Bilangan Berpangkat
Bilangan Berpangkat
Pangkat sebenarnya
Pangkat bulat positif
(𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑛𝑥𝑚
𝑎𝑚 x 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
𝑎𝑚
𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛
p.𝑎𝑛 + q . 𝑎𝑚 =
𝑎𝑛 𝑝 + 𝑞𝑎𝑚−𝑛
p.𝑎𝑛 - q . 𝑎𝑚 =
𝑎𝑛 𝑝 − 𝑞𝑎𝑚−𝑛
atau p.𝑎𝑛 + q . 𝑎𝑚 =
𝑎𝑛 𝑝 + 𝑞𝑎𝑚−𝑛
Pangkat Tak
sebenarnya
Pangkat
Bulat Negatif
𝑎−𝑛= 1
𝑎𝑛
𝑎 bilangan real
𝑎 ≠ 0 dan
bilangan bulat
positif
Pangkat
Nol
𝑎0= 1 𝑎
bilangan real
𝑎 ≠ 0
Pangkat
pecaha
n
Bentuk akar
𝑎𝑏 = 𝑎𝑥 𝑏
𝑎
𝑏 =
𝑎
𝑏
𝑎 𝑐 ± 𝑏 𝑐 =
(𝑎 ± 𝑏) 𝑐
𝑝 𝑎 × 𝑞 𝑏 =
pq 𝑎𝑏
𝑝 𝑎
𝑞 𝑏 =
𝑝
𝑞
𝑎
𝑏
Bilangan Berpangkat
BAB I
Bilangan Berpangkat Bulat
Setiap manusia yang hidup pasti dia akan membutuhkan sesuatu atas dirinya seperti makan,
bernafas, pakaian, tempat tinggal, dan lain-lain. Kebutuhan-kebutuhan manusia sebagian besar
diperoleh tidak dengan cuma-cuma. Diperlukan sebuah usaha untuk mendapatkannya baik mencari,
membeli, dan usaha-usaha yang lainnya. Untuk membeli sebuah kebutuhan, kadang manusia harus mengeluarkan uang dalam jumlah
besar. Misal untuk membeli rumah mewah manusia harus mengeluarkan uang sebesar 1 milyar rupiah.
Jika dalam matematika 1 milyar dapat dituliskan dengan 1.000.000.000. Agaknya untuk menuliskan
jumlah tersebut terlalu panjang, dapat juga dituliskan dalam bentuk baku yaitu 1 × 109. Nah, bilangan
yang dituliskan sebagai 109 inilah yang disebut sebagai bilangan berpangkat. Dalam hal ini 10 disebut
bilangan pokok, sedangkan 9 disebut bilangan pangkat. Karena pangkatnya bilangan bulat, maka
disebut bilangan berpangkat bilangan bulat.
1.1 Bilangan Berpangkat positif
Jika a adalah sembarang bilangan riil dan n adalah
Sembarang bilangan bulat positif yang lebih dari 1 ,
maka a pangkat n( ditulis an ) dapat ditulis sebagai
perkalian n buah faktor dimana setiap Faktornya
adalah bilangan a .
1.2 Sifat – Sifat Operasi Bilangan Berpangkat
a. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat
𝑎𝑚 = 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎………..𝑎
𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟
Definisi
Edward Waring (1743–1798)
Setiap bilangan bulat merupakan bilangan
pangkat tiga dari bilangan itu sendiri
atau merupakan jumlah dari beberapa bilangan
pangkat tiga. Pernyataan ini diungkapkan oleh
seorang matematikawan Inggris, Edward Waring,
pada tahun 1770.
Pernyataan tersebut
dapat dibuktikan kebenarannya. Jika
diambil sebarang bilangan bulat,
bilangan tersebut dapat dinyatakan
sebagai bilangan bulat berpangkat tiga.
Misalnya, 3 = 43
+ 43+ (−5)3dan
20 = 43 + 43+ (−3)3+
(−3)3+ (−3)3+ (−3)3 Sumber: Ensiklopedi Matematika & Peradaban Manusia, 2002
INFOMATIKA
𝑎𝑚 x 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 Dengan 𝛼
bilangan real dan m,n bilangan
bulat positif
Bilangan Berpangkat
b.Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat
c.Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat
d.Sifat Penjumlahan
e.Sifat Pengurangan bilangan berpangkat
(𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑛𝑥𝑚 Dengan 𝛼
bilangan real dan m,n bilangan
bulat positif
p.𝑎𝑛 + q . 𝑎𝑚 =
𝑎𝑛 𝑝 + 𝑞𝑎𝑚−𝑛 Dengan
𝛼 bilangan real dan m,n
bilangan bulat positif yang
memenuhi m≥ 𝑛
p.𝑎𝑛 - q . 𝑎𝑚 =
𝑎𝑛 𝑝 − 𝑞𝑎𝑚−𝑛 atau p.𝑎𝑛
+ q . 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛 𝑝 + 𝑞𝑎𝑚−𝑛
𝑎𝑚
𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 Dengan 𝛼 bilangan
real yang tidak nol dan m,n
bilangan bulat positif yang
memenuhi
Bilangan Berpangkat
1.3 Bilangan Berpangkat Bulat Negatif
Bilangan dengan pangkat bulat negatif bukan merupakan
bilangan berpangkat yang sebenarnya, misalnya 4-2 tidak
dapat diartikan sebagai perkalian faktor-faktornya. Oleh
karena itu bilangandengan pangkat negatif sering disebut
sebagai bilangan dengan pangkat tak sebenarnya.
1.4 Bilangan Berpangkat Nol
Perhatikan kembali rumus 𝑎𝑚
𝑏𝑚 = 𝑎𝑚−𝑛 pada
pembahasan sebelumnya. Jika dipilih m = n
maka diperoleh :
Jika a bilangan riil dan ≠ 0
maka 𝑎−𝑛 adalah
kebalikan dari 𝑎𝑛 , dapat ditulis :
𝑎−𝑛 = 1
𝑎−𝑛 atau 𝑎𝑛 = 1
𝑎𝑛
Definisi
𝑎𝑚
𝑎𝑚 = 𝑎𝑚−𝑛
1 = 𝑎0
Jadi, 𝑎0 = 1, dengan 𝛼 ≠ 0
Definisi
Bilangan Berpangkat
1.5 Bilangan Rasional Berpangkat Bulat
a. Bilangan Rasional
Setiap bilangan bulat dapat dinyatakan dalam bentuk
pecahan. bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam
bentuk pecahan disebut bilangan rasional.
Bilangan Rasional adalah
Bilangan yang dapat
dinyatakan dalam bentuk a/b
dimana a,b € Real b ≠ 0.
1. Hitunglah
a. 5−2 b. −7−2
2. Hitunglah perpangkatan – perpangkatan berikut :
a. 5 0 c. (25)0
b. (12)0 d. 34𝑎2𝑏0
Jawaban :
1. a. 5−2 b. −7−2
= 1
5 x
1
5 =
1
−7 x
1
−7
=1
25 =
1
49
2. 𝑎. 5 0 = 1 c. (25)0 = 1
𝑏. (12)0 = 1 d. 34𝑎2𝑏0= 34𝑎2
Contoh soal 1.1
Bilangan Berpangkat
b. Bilangan rasional berpangkat bulat
sifat-sifat yang berlaku pada bilangan bulat berpangkat bulat
berlaku juga pada bilangan rasional berpangkat bulat
Hitunglah perpangkat bilangan rasional berikut
a. (2/3)pangkat tiga
b. 0,323232… atau 0,32
jawab :
a. (2/3)pangkat tiga = 2/3 x 2/3 x 2/3 = 2 pangkat tiga / 3 pangkat tiga
b. Misal : x = 0,323232…
100x = 32,323232… -
x = 0,323232…
99x = 32
x = 32/99 Jadi 0,323232… = 32/99
Contoh soal 1.2
Bilangan Berpangkat
BAB II
Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan
2.1Pengertian Bentuk Akar
Dalam matematika kita mengenal berbagai jenis bilangan. Beberapa contoh jenis
bilangan diantaranya adalah bilangan rasional dan irrasional. Bilangan rasional adalah
bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan m, n ∈ B dan n ≠ 0. Contoh
bilangan rasional seperti: , 5, 3 dan seterusnya. Sedangkan bilangan irrasional adalah
bilangan riil yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan m, n ∈ B dan n ≠ 0.
Bilangan-bilangan seperti termasuk bilangan irrasional, karena hasil akar dari
bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional.
Bilangan-bilangan semacam itu disebut bentuk akar. Sehingga dapat disimpulkan
bahwa bentuk akar adalah akar-akar dari suatu bilangan riil positif, yang hasilnya
merupakan bilangan irrasional.
2.2 Sifat – Sifat dan menyederhanakan bentuk akar
𝑎2 = 𝛼 dengan a bilangan
real positif
Definisi
𝑎
𝑏 =
𝑎
𝑏
Dengan a≥ 0 dan b ≥ 0
SIFAT 2
Hubungan antara
macam-macam bilangan
dapat disajikan seperti
berikut.
Catatan
Bilangan
irasional Bilangan
rasional
Bilangan
bulat
Bilangan
pecahan
Bilangan
cahaya
Bilangan
bulat negatif
Bilangan bulat
negatif
Bilangan
Nol
𝑎𝑏 = 𝑎 x 𝑏
Dengan a dan b bilangan real
positif
Sifat 1
Bilangan
diagram
Real
Bilangan Berpangkat
2.3 Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar
a. penjumlahan dan pengurangan
b.Perkalian dan pembagian
𝑎 𝑐+ 𝑏 𝑐 = ( a + b) 𝑐
Sifat penjumlahan
𝑎 𝑐 - 𝑏 𝑐 - = (a – b ) 𝑐
Sifat pengurangan
𝑝 𝑎+ 𝑞 𝑏 = pq 𝑎𝑏
perkalian
𝑝 𝑎
𝑞 𝑏=
𝑝
𝑞
𝑎
𝑏
Pembagian
Hitunglah operasi bentuk akar berikut dengan terlebih dahulu menyederhanakan bentuk akarnya.
a. 2 + 32
b. 6 + 54 - 250
c. 32 - 2 + 8
d. 4 3 - ( 27 + 12 )
Siapa berani ?
Bilangan Berpangkat
2.4Merasionalkan Penyebut Suatu Pecahan
Dalam sebuah bilangan pecahan penyebutnya dapat berupa bentuk akar. Pecahan
adalah beberapa contoh pecahan yang penyebutnya berbentuk akar. Penyebut
pecahan seperti itu dapat dirasionalkan. Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan
tergantung dari bentuk pecahan tersebut.
a.Merasionalkan Bentuk 𝑎
𝑏
cara merasionalkan bentuk 𝑎
𝑏 adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut
pecahan tersebut sekawan dari penyebutnya, yaitu :
1. Sederhanakan bentuk – bentuk akar berikut:
a. 20 b. 35
2. Hitunglah :
a. 13 5 + 29 5
b. -5 2 + 12 8
jawaban :
1. a. 20 = 4 𝑥 5 = 4 x 5 = 32
𝑏. 35 = 5 𝑥 7 = 5 x 7
2.𝑎. 13 5 + 29 5 = (13 + 29) 5 = 42 5
b. -5 2 + 12 8 = -5 2 + 12 4𝑥2
= -5 2 + 12 4x 2
= ( -5 + 24) 2
= 19 2
Contoh soal
𝑎
𝑏=
𝑎
𝑏 .
𝑏
𝑏 =
𝑎 𝑏
𝑏 =
𝑎
𝑏 𝑏
Bilangan Berpangkat
b.Merasionalkan Bentuk 𝑐
𝑎± 𝑏
Untuk pecahan bentuk 𝑐
𝑎± 𝑏 , cara merasionalkanya adalah dengan mengalikan
pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan 𝑎 ± 𝑏. Bentuk sekawan dari
𝑎 + 𝑏 adalah 𝑎 − 𝑏, sedangkan bentuk sekawan dari 𝑎 − 𝑏 adalah 𝑎 ± 𝑏
c.Merasionalkan Bentuk 𝑐
𝑎 ± 𝑏
sama seperti dua bentuk sebelumnya, cara merasionalkan bentuk 𝑐
𝑎 ± 𝑏 adalah
dengan mengalihkan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk sekawan dari
𝑎 ± 𝑏. Bentuk sekawan dari 𝑎 + 𝑏 adalah 𝑎 − 𝑏 sedangkan bentuk sekawan
dari 𝑎 − 𝑏 adalah 𝑎 + 𝑏
5.Bilangan Berpangkat Pecahan
𝑐
𝑎+ 𝑏=
𝑐
𝑎+ 𝑏 .
𝑎+ 𝑏
𝑎+ 𝑏 =
𝑐(𝑎− 𝑏)
𝑎2−𝑎 𝑏+𝑎 𝑏 –( 𝑏)2 =
𝑐(𝑎− 𝑏)
𝑎2−𝑏2
𝑐
𝑎+ 𝑏=
𝑐
𝑎+ 𝑏 .
𝑎− 𝑏
𝑎− 𝑏 =
𝑐( 𝑎− 𝑏)
( 𝑎 ) 2− 𝑎 . 𝑏 + 𝑎 . 𝑏 − 𝑏2
=
𝑐(𝑎− 𝑏)
𝑎−𝑏
𝑎𝑚
𝑛 = 𝑎𝑚𝑛 atau 𝑎𝑚𝑛
= 𝑎𝑚
𝑛
Bilangan Berpangkat
1. Rasionalkan penyebut pecahan – pecahan berikut :
a. 3
6+ 2 b.
8
5+ 2 𝑐.
−4
5− 6
2. ubahlah bentuk pangkat pecahan berikut ke bentuk akar
a. 31
2 b. 67
2
Jawaban :
1.
a. 3
6+ 2=
3
6+ 2 .
6− 2
6− 2 =
3(6− 2)
36−2 =
3(6− 2)
34
= 3
34 (6 - 2 )
b. 8
5+ 2=
8
5+ 2 .
5− 2
5− 2 =
8( 5− 2)
5−2
= 8
3 ( 5 − 2)
c. −4
5− 6 =
−4
5− 6 .
5− 6
5− 6 =
−4(5+ 6)
25−6 =
−4(5+ 6)
19
= = −4
19 (5 + 6 )
2. a. 31
2 = 3 b. 67
2 = 67
Contoh soal
Bilangan Berpangkat
A. Pilih satu jawaban yang benar
1. Hasil dari 84: 86 adalah………………..
a. −16 c. −64
b. −1
16 d.
1
64
2. Nilai dari (2𝑥−3 . 𝑦2)3adalah ……………….
a. 𝑥9
8𝑦6 c. 8𝑦6
𝑥9
b. 𝑦6
8𝑥9 d. 8𝑥6
𝑥9
3. Nilai dari (−8)−2 sama dengan
a. 64 c. −64
b. −1
64 d.
1
64
4. (100)−1 - (125)−1 =………………………………
a. 1
125000 c. −
1
500
b. 1
50 d.
1
500
5. Nilai dari (25)0 adalah……………………..
a. 1 c. -1
b. 25 d. – 25
Uji kompetensi
Bilangan Berpangkat
6. Hasil dari 32 + 18 - 98 = …………….
a. 2 2 c. −2 2
b. 0 d. - 2
7. Hasil dari (2𝑎 3 - 2 )2 =…………………….
a. 12𝑎2 - 8𝛼 3 + 4 c. 6𝑎2 - 8𝛼 3 + 4
b. 12𝑎2 - 4𝛼 3 + 4 d. 8𝑎2 - 8𝛼 3 + 4
8. 3+ 2
3− 2 = ……………..
a. 11
7 +
6 2
7 c.
11
7 +
3 2
7
b. 7
11 +
6 2
11 d. 11 - 6 2
9. Tentukan nilai dari 8 3 x 24 12 adalah……………
a. 1152 c. – 384 2
b. – 1152 3 d. 384 3
10. Bentuk Rasional dari pecahan −4
5− 6 adalah…………….
a. −4
19 (5 + 6 ) c.
9
19 (5 - 6 )
b. 4
19 (5 + 6 ) d.
−9
19 (5 - 6 )
11. Kerangka balok dibuat dari kawat yang panjangnya 2 m dengan ukuran
panjang 16cm, lebar 12cm dan panjang diagonal ruangnya 20 2 cm.
panjang sisa kawat yang tidak terpakai adalah………
a. 12 cm c. 8 cm
b. 10 cm d. 6cm
Bilangan Berpangkat
12. 3
7 dapat disederhanakan menjadi……………………………..
a. 3
7 21 c.
3 7
3
b. 7 7
3 d. 3 7
13. Hasil penjabaran dari ( 10 + 6)2 adalah
a. 16 + 2 15 c. 16 + 3 15
b. 16 + 4 15 d. 16 + 5 15
14. Bentuk sederhana dari 48
2 5 adalah ………………
a. 2
5 5 c.
2
3 15
b. . 2
5 15 d.
2
5 35
15. Sebuah persegipanjang memiliki ukuran panjang dan lebar berturut – turut
10𝑎3 dan 4𝑎3.Tentukan luas persegi panjang tersebut
a. 40𝑎6 c. 18 𝑎3
b. 40𝑎3 d. 18𝑎6
16. 𝑎4 + 𝑎8 dapat disederhanakan menjadi……………..
a. 𝑎5(1 + a) c. 𝑎11(1 - a)
b. 𝑎4(a - 1) d. 𝑎12(1 + a)
17. Hasil penjabaran dari ( 10 + 6 )2 adalah………….
a. 16 + 2 15 c. 16 + 3 15
b. 16 + 4 15 d. 16 + 5 15
Bilangan Berpangkat
18.Bentuk Rasional dari pecahan −6
7 adalah…………….
a. −7
6 7 c.
6
7 7
b. −6
7 7 d.
7
6 7
19. Akar sekawan dari 3 - 5 adalah …
a. 5 + 3 c. 3 - 5
b. 5 – 3 d. 3 + 5
20. 14 + 2 24 dapat di sederhanakan menjadi………
a. 4 + 6 c. 2 + 12
b. 3 + 8 d. 2 + 7
B. Kerjakanlah Soal – soal berikut
1. Tuliskan dalam bentuk pangkat positif
a. 3−5 b. 𝑎−2
2. Sederhanakan bentuk – bentuk perkalian berikut
a. 63 × 64 c. 52 × 33 × 2
b. (−4) × (−4)2 d. 7𝑎3 × 𝑏4 × 3𝑎2 × 𝑏
3. Sederhanakan bentuk – bentuk akar berikut
a. 2
16 c.
81
100
b. 9
10 d.
25
36
4. Hitunglah :
𝑎. 4 3 + 8 3 c. 15 7 - 25 7
b. 8 3 × 24 12 d. 10 8
5 2
Bilangan Berpangkat
5. ubahkan bentuk akar berikut ke bentuk pangkat pecahan
a. 6 c. 93
b. 1524 d. 6
7
2
6. Sederhanakan bentuk – bentuk pecahan berikut
a.21
2 × 21
2 c. (41
2 )7
4
b. 5
83
563
7. Rasionalkan penyebut pecahan – pecahan berikut :
a. 3
6+ 2 b.
8
5+ 2 𝑐.
−4
5− 6
8. perhatikan gambar berikut
c
tentukan panjang BC
3cm
A 6 cm B
Bilangan Berpangkat
Kunci Jawaban
1.D 11.C
2. C 12.C
3. D 13. B
4. D 14. B
5.A 15. A
6. B 16. A
7. A 17. B
8. A 18. B
9. A 19. D
10 A 20. C
B. Essay
1. a. 3−5
3−5 = 1
35
b. a−2
𝑎−2 = 1
𝑎2
2. 𝑎. 63 × 64 = 63+4 = 67
b. (−4) × (−4)2 = (−4)1+2= (−4)3
c. oleh karena bilangan pokoknya tidak sama, perkalian 52 × 33 × 2 tidak dapat
disederhanakan.
Bilangan Berpangkat
𝑑. 7𝑎3 × 𝑏4 × 3𝑎2 × 𝑏 = 7𝑎3 × 3𝑎2 × 𝑏4 × 𝑏
= 21𝑎3+2 𝑏4+1
= 21𝑎5 × 𝑏5
3. a. 2
16 =
2
16 =
2
4
b. 9
10 =
9
10 =
3
10
c. 81
100 =
81
100 =
9
10
d. 25
36 =
25
36 =
5
6
4. a.4 3 + 8 3 = (4 + 8) 3 = 12 3
b. . 8 3 × 24 12 = 8 3 × 24 4 𝑥 3
= 8 3 × 48 3
= 8 × 48 × 3 𝑥 3
= 1.152
c. 15 7 - 25 7 = (15 – 25 ) 7
= - 10 7
d. 10 8
5 2 =
10 4 𝑥 2
5 2 =
20 2
5 2 = 4
5. a. 6 = 61
2
b. 1524 = 15
2
4 = 151
2
c. 93
= 91
3
d. 67
2 = 67
Bilangan Berpangkat
6. a. 21
2 × 21
2 = 22
2 =21 = 2
b. 5
83
563
= 58
3 − 6
3 = 5 2
3
c. (41
2 )7
4 = 41
2 ×7
4 = 47
8
7. a. . 3
6+ 2 =
3
6+ 2×
6− 2
6− 2 =
3(6− 2)
36−2 =
3(6− 2)
34 =
3
34 (6 − 2)
b. 8
5+ 2 =
8
5+ 2×
5− 2
5− 2=
8( 5− 2)
5−2 =
8
3 (5 − 2)
𝑐. −4
5− 6 =.
−4
5− 6𝑥
5+ 6
5+ 6 =
−4(5− 6)
25−6 =
−4(5− 6)
19 =
−4
19 (5 − 6)
8. . perhatikan gambar berikut
c
tentukan panjang BC
3cm
A 6 cm B
BC = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2
= 62 + 32
= 36 + 9
= 45
= 9 × 5
= 9 X 5
= 3 5 jadi panjang BC = 3 5 𝑐𝑚
Bilangan Berpangkat
DAFTAR PUSTAKA
Avianti, Agus.2007.Mudah belajar Matematika .Jakarta: Departemen Pendidikan
Nasional
www6.fheberswalde.de
theresiaveni.wordpress.com
www.member.belajar-matematika.com
Top Related