Bilangan Berpangkat

Bilangan Berpangkat

Pangkat sebenarnya

Pangkat bulat positif

(𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑛𝑥𝑚

𝑎𝑚 x 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛

𝑎𝑚

𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛

p.𝑎𝑛 + q . 𝑎𝑚 =

𝑎𝑛 𝑝 + 𝑞𝑎𝑚−𝑛

p.𝑎𝑛 - q . 𝑎𝑚 =

𝑎𝑛 𝑝 − 𝑞𝑎𝑚−𝑛

atau p.𝑎𝑛 + q . 𝑎𝑚 =

𝑎𝑛 𝑝 + 𝑞𝑎𝑚−𝑛

Pangkat Tak

sebenarnya

Pangkat

Bulat Negatif

𝑎−𝑛= 1

𝑎𝑛

𝑎 bilangan real

𝑎 ≠ 0 dan

bilangan bulat

positif

Pangkat

Nol

𝑎0= 1 𝑎

bilangan real

𝑎 ≠ 0

Pangkat

pecaha

n

Bentuk akar

𝑎𝑏 = 𝑎𝑥 𝑏

𝑎

𝑏 =

𝑎

𝑏

𝑎 𝑐 ± 𝑏 𝑐 =

(𝑎 ± 𝑏) 𝑐

𝑝 𝑎 × 𝑞 𝑏 =

pq 𝑎𝑏

𝑝 𝑎

𝑞 𝑏 =

𝑝

𝑞

𝑎

𝑏

Bilangan Berpangkat

BAB I

Bilangan Berpangkat Bulat

Setiap manusia yang hidup pasti dia akan membutuhkan sesuatu atas dirinya seperti makan,

bernafas, pakaian, tempat tinggal, dan lain-lain. Kebutuhan-kebutuhan manusia sebagian besar

diperoleh tidak dengan cuma-cuma. Diperlukan sebuah usaha untuk mendapatkannya baik mencari,

membeli, dan usaha-usaha yang lainnya. Untuk membeli sebuah kebutuhan, kadang manusia harus mengeluarkan uang dalam jumlah

besar. Misal untuk membeli rumah mewah manusia harus mengeluarkan uang sebesar 1 milyar rupiah.

Jika dalam matematika 1 milyar dapat dituliskan dengan 1.000.000.000. Agaknya untuk menuliskan

jumlah tersebut terlalu panjang, dapat juga dituliskan dalam bentuk baku yaitu 1 × 109. Nah, bilangan

yang dituliskan sebagai 109 inilah yang disebut sebagai bilangan berpangkat. Dalam hal ini 10 disebut

bilangan pokok, sedangkan 9 disebut bilangan pangkat. Karena pangkatnya bilangan bulat, maka

disebut bilangan berpangkat bilangan bulat.

1.1 Bilangan Berpangkat positif

Jika a adalah sembarang bilangan riil dan n adalah

Sembarang bilangan bulat positif yang lebih dari 1 ,

maka a pangkat n( ditulis an ) dapat ditulis sebagai

perkalian n buah faktor dimana setiap Faktornya

adalah bilangan a .

1.2 Sifat – Sifat Operasi Bilangan Berpangkat

a. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat

𝑎𝑚 = 𝑎 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎………..𝑎

𝑛 𝑓𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟

Definisi

Edward Waring (1743–1798)

Setiap bilangan bulat merupakan bilangan

pangkat tiga dari bilangan itu sendiri

atau merupakan jumlah dari beberapa bilangan

pangkat tiga. Pernyataan ini diungkapkan oleh

seorang matematikawan Inggris, Edward Waring,

pada tahun 1770.

Pernyataan tersebut

dapat dibuktikan kebenarannya. Jika

diambil sebarang bilangan bulat,

bilangan tersebut dapat dinyatakan

sebagai bilangan bulat berpangkat tiga.

Misalnya, 3 = 43

+ 43+ (−5)3dan

20 = 43 + 43+ (−3)3+

(−3)3+ (−3)3+ (−3)3 Sumber: Ensiklopedi Matematika & Peradaban Manusia, 2002

INFOMATIKA

𝑎𝑚 x 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 Dengan 𝛼

bilangan real dan m,n bilangan

bulat positif

Bilangan Berpangkat

b.Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat

c.Sifat Perpangkatan Bilangan Berpangkat

d.Sifat Penjumlahan

e.Sifat Pengurangan bilangan berpangkat

(𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑛𝑥𝑚 Dengan 𝛼

bilangan real dan m,n bilangan

bulat positif

p.𝑎𝑛 + q . 𝑎𝑚 =

𝑎𝑛 𝑝 + 𝑞𝑎𝑚−𝑛 Dengan

𝛼 bilangan real dan m,n

bilangan bulat positif yang

memenuhi m≥ 𝑛

p.𝑎𝑛 - q . 𝑎𝑚 =

𝑎𝑛 𝑝 − 𝑞𝑎𝑚−𝑛 atau p.𝑎𝑛

+ q . 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛 𝑝 + 𝑞𝑎𝑚−𝑛

𝑎𝑚

𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 Dengan 𝛼 bilangan

real yang tidak nol dan m,n

bilangan bulat positif yang

memenuhi

Bilangan Berpangkat

1.3 Bilangan Berpangkat Bulat Negatif

Bilangan dengan pangkat bulat negatif bukan merupakan

bilangan berpangkat yang sebenarnya, misalnya 4-2 tidak

dapat diartikan sebagai perkalian faktor-faktornya. Oleh

karena itu bilangandengan pangkat negatif sering disebut

sebagai bilangan dengan pangkat tak sebenarnya.

1.4 Bilangan Berpangkat Nol

Perhatikan kembali rumus 𝑎𝑚

𝑏𝑚 = 𝑎𝑚−𝑛 pada

pembahasan sebelumnya. Jika dipilih m = n

maka diperoleh :

Jika a bilangan riil dan ≠ 0

maka 𝑎−𝑛 adalah

kebalikan dari 𝑎𝑛 , dapat ditulis :

𝑎−𝑛 = 1

𝑎−𝑛 atau 𝑎𝑛 = 1

𝑎𝑛

Definisi

𝑎𝑚

𝑎𝑚 = 𝑎𝑚−𝑛

1 = 𝑎0

Jadi, 𝑎0 = 1, dengan 𝛼 ≠ 0

Definisi

Bilangan Berpangkat

1.5 Bilangan Rasional Berpangkat Bulat

a. Bilangan Rasional

Setiap bilangan bulat dapat dinyatakan dalam bentuk

pecahan. bilangan-bilangan yang dapat dituliskan dalam

bentuk pecahan disebut bilangan rasional.

Bilangan Rasional adalah

Bilangan yang dapat

dinyatakan dalam bentuk a/b

dimana a,b € Real b ≠ 0.

1. Hitunglah

a. 5−2 b. −7−2

2. Hitunglah perpangkatan – perpangkatan berikut :

a. 5 0 c. (25)0

b. (12)0 d. 34𝑎2𝑏0

Jawaban :

1. a. 5−2 b. −7−2

= 1

5 x

1

5 =

1

−7 x

1

−7

=1

25 =

1

49

2. 𝑎. 5 0 = 1 c. (25)0 = 1

𝑏. (12)0 = 1 d. 34𝑎2𝑏0= 34𝑎2

Contoh soal 1.1

Bilangan Berpangkat

b. Bilangan rasional berpangkat bulat

sifat-sifat yang berlaku pada bilangan bulat berpangkat bulat

berlaku juga pada bilangan rasional berpangkat bulat

Hitunglah perpangkat bilangan rasional berikut

a. (2/3)pangkat tiga

b. 0,323232… atau 0,32

jawab :

a. (2/3)pangkat tiga = 2/3 x 2/3 x 2/3 = 2 pangkat tiga / 3 pangkat tiga

b. Misal : x = 0,323232…

100x = 32,323232… -

x = 0,323232…

99x = 32

x = 32/99 Jadi 0,323232… = 32/99

Contoh soal 1.2

Bilangan Berpangkat

BAB II

Bentuk Akar dan Pangkat Pecahan

2.1Pengertian Bentuk Akar

Dalam matematika kita mengenal berbagai jenis bilangan. Beberapa contoh jenis

bilangan diantaranya adalah bilangan rasional dan irrasional. Bilangan rasional adalah

bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan m, n ∈ B dan n ≠ 0. Contoh

bilangan rasional seperti: , 5, 3 dan seterusnya. Sedangkan bilangan irrasional adalah

bilangan riil yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan m, n ∈ B dan n ≠ 0.

Bilangan-bilangan seperti termasuk bilangan irrasional, karena hasil akar dari

bilangan tersebut bukan merupakan bilangan rasional.

Bilangan-bilangan semacam itu disebut bentuk akar. Sehingga dapat disimpulkan

bahwa bentuk akar adalah akar-akar dari suatu bilangan riil positif, yang hasilnya

merupakan bilangan irrasional.

2.2 Sifat – Sifat dan menyederhanakan bentuk akar

𝑎2 = 𝛼 dengan a bilangan

real positif

Definisi

𝑎

𝑏 =

𝑎

𝑏

Dengan a≥ 0 dan b ≥ 0

SIFAT 2

Hubungan antara

macam-macam bilangan

dapat disajikan seperti

berikut.

Catatan

Bilangan

irasional Bilangan

rasional

Bilangan

bulat

Bilangan

pecahan

Bilangan

cahaya

Bilangan

bulat negatif

Bilangan bulat

negatif

Bilangan

Nol

𝑎𝑏 = 𝑎 x 𝑏

Dengan a dan b bilangan real

positif

Sifat 1

Bilangan

diagram

Real

Bilangan Berpangkat

2.3 Operasi Aljabar Pada Bentuk Akar

a. penjumlahan dan pengurangan

b.Perkalian dan pembagian

𝑎 𝑐+ 𝑏 𝑐 = ( a + b) 𝑐

Sifat penjumlahan

𝑎 𝑐 - 𝑏 𝑐 - = (a – b ) 𝑐

Sifat pengurangan

𝑝 𝑎+ 𝑞 𝑏 = pq 𝑎𝑏

perkalian

𝑝 𝑎

𝑞 𝑏=

𝑝

𝑞

𝑎

𝑏

Pembagian

Hitunglah operasi bentuk akar berikut dengan terlebih dahulu menyederhanakan bentuk akarnya.

a. 2 + 32

b. 6 + 54 - 250

c. 32 - 2 + 8

d. 4 3 - ( 27 + 12 )

Siapa berani ?

Bilangan Berpangkat

2.4Merasionalkan Penyebut Suatu Pecahan

Dalam sebuah bilangan pecahan penyebutnya dapat berupa bentuk akar. Pecahan

adalah beberapa contoh pecahan yang penyebutnya berbentuk akar. Penyebut

pecahan seperti itu dapat dirasionalkan. Cara merasionalkan penyebut suatu pecahan

tergantung dari bentuk pecahan tersebut.

a.Merasionalkan Bentuk 𝑎

𝑏

cara merasionalkan bentuk 𝑎

𝑏 adalah dengan mengalikan pembilang dan penyebut

pecahan tersebut sekawan dari penyebutnya, yaitu :

1. Sederhanakan bentuk – bentuk akar berikut:

a. 20 b. 35

2. Hitunglah :

a. 13 5 + 29 5

b. -5 2 + 12 8

jawaban :

1. a. 20 = 4 𝑥 5 = 4 x 5 = 32

𝑏. 35 = 5 𝑥 7 = 5 x 7

2.𝑎. 13 5 + 29 5 = (13 + 29) 5 = 42 5

b. -5 2 + 12 8 = -5 2 + 12 4𝑥2

= -5 2 + 12 4x 2

= ( -5 + 24) 2

= 19 2

Contoh soal

𝑎

𝑏=

𝑎

𝑏 .

𝑏

𝑏 =

𝑎 𝑏

𝑏 =

𝑎

𝑏 𝑏

Bilangan Berpangkat

b.Merasionalkan Bentuk 𝑐

𝑎± 𝑏

Untuk pecahan bentuk 𝑐

𝑎± 𝑏 , cara merasionalkanya adalah dengan mengalikan

pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan 𝑎 ± 𝑏. Bentuk sekawan dari

𝑎 + 𝑏 adalah 𝑎 − 𝑏, sedangkan bentuk sekawan dari 𝑎 − 𝑏 adalah 𝑎 ± 𝑏

c.Merasionalkan Bentuk 𝑐

𝑎 ± 𝑏

sama seperti dua bentuk sebelumnya, cara merasionalkan bentuk 𝑐

𝑎 ± 𝑏 adalah

dengan mengalihkan pembilang dan penyebutnya dengan bentuk sekawan dari

𝑎 ± 𝑏. Bentuk sekawan dari 𝑎 + 𝑏 adalah 𝑎 − 𝑏 sedangkan bentuk sekawan

dari 𝑎 − 𝑏 adalah 𝑎 + 𝑏

5.Bilangan Berpangkat Pecahan

𝑐

𝑎+ 𝑏=

𝑐

𝑎+ 𝑏 .

𝑎+ 𝑏

𝑎+ 𝑏 =

𝑐(𝑎− 𝑏)

𝑎2−𝑎 𝑏+𝑎 𝑏 –( 𝑏)2 =

𝑐(𝑎− 𝑏)

𝑎2−𝑏2

𝑐

𝑎+ 𝑏=

𝑐

𝑎+ 𝑏 .

𝑎− 𝑏

𝑎− 𝑏 =

𝑐( 𝑎− 𝑏)

( 𝑎 ) 2− 𝑎 . 𝑏 + 𝑎 . 𝑏 − 𝑏2

=

𝑐(𝑎− 𝑏)

𝑎−𝑏

𝑎𝑚

𝑛 = 𝑎𝑚𝑛 atau 𝑎𝑚𝑛

= 𝑎𝑚

𝑛

Bilangan Berpangkat

1. Rasionalkan penyebut pecahan – pecahan berikut :

a. 3

6+ 2 b.

8

5+ 2 𝑐.

−4

5− 6

2. ubahlah bentuk pangkat pecahan berikut ke bentuk akar

a. 31

2 b. 67

2

Jawaban :

1.

a. 3

6+ 2=

3

6+ 2 .

6− 2

6− 2 =

3(6− 2)

36−2 =

3(6− 2)

34

= 3

34 (6 - 2 )

b. 8

5+ 2=

8

5+ 2 .

5− 2

5− 2 =

8( 5− 2)

5−2

= 8

3 ( 5 − 2)

c. −4

5− 6 =

−4

5− 6 .

5− 6

5− 6 =

−4(5+ 6)

25−6 =

−4(5+ 6)

19

= = −4

19 (5 + 6 )

2. a. 31

2 = 3 b. 67

2 = 67

Contoh soal

Bilangan Berpangkat

A. Pilih satu jawaban yang benar

1. Hasil dari 84: 86 adalah………………..

a. −16 c. −64

b. −1

16 d.

1

64

2. Nilai dari (2𝑥−3 . 𝑦2)3adalah ……………….

a. 𝑥9

8𝑦6 c. 8𝑦6

𝑥9

b. 𝑦6

8𝑥9 d. 8𝑥6

𝑥9

3. Nilai dari (−8)−2 sama dengan

a. 64 c. −64

b. −1

64 d.

1

64

4. (100)−1 - (125)−1 =………………………………

a. 1

125000 c. −

1

500

b. 1

50 d.

1

500

5. Nilai dari (25)0 adalah……………………..

a. 1 c. -1

b. 25 d. – 25

Uji kompetensi

Bilangan Berpangkat

6. Hasil dari 32 + 18 - 98 = …………….

a. 2 2 c. −2 2

b. 0 d. - 2

7. Hasil dari (2𝑎 3 - 2 )2 =…………………….

a. 12𝑎2 - 8𝛼 3 + 4 c. 6𝑎2 - 8𝛼 3 + 4

b. 12𝑎2 - 4𝛼 3 + 4 d. 8𝑎2 - 8𝛼 3 + 4

8. 3+ 2

3− 2 = ……………..

a. 11

7 +

6 2

7 c.

11

7 +

3 2

7

b. 7

11 +

6 2

11 d. 11 - 6 2

9. Tentukan nilai dari 8 3 x 24 12 adalah……………

a. 1152 c. – 384 2

b. – 1152 3 d. 384 3

10. Bentuk Rasional dari pecahan −4

5− 6 adalah…………….

a. −4

19 (5 + 6 ) c.

9

19 (5 - 6 )

b. 4

19 (5 + 6 ) d.

−9

19 (5 - 6 )

11. Kerangka balok dibuat dari kawat yang panjangnya 2 m dengan ukuran

panjang 16cm, lebar 12cm dan panjang diagonal ruangnya 20 2 cm.

panjang sisa kawat yang tidak terpakai adalah………

a. 12 cm c. 8 cm

b. 10 cm d. 6cm

Bilangan Berpangkat

12. 3

7 dapat disederhanakan menjadi……………………………..

a. 3

7 21 c.

3 7

3

b. 7 7

3 d. 3 7

13. Hasil penjabaran dari ( 10 + 6)2 adalah

a. 16 + 2 15 c. 16 + 3 15

b. 16 + 4 15 d. 16 + 5 15

14. Bentuk sederhana dari 48

2 5 adalah ………………

a. 2

5 5 c.

2

3 15

b. . 2

5 15 d.

2

5 35

15. Sebuah persegipanjang memiliki ukuran panjang dan lebar berturut – turut

10𝑎3 dan 4𝑎3.Tentukan luas persegi panjang tersebut

a. 40𝑎6 c. 18 𝑎3

b. 40𝑎3 d. 18𝑎6

16. 𝑎4 + 𝑎8 dapat disederhanakan menjadi……………..

a. 𝑎5(1 + a) c. 𝑎11(1 - a)

b. 𝑎4(a - 1) d. 𝑎12(1 + a)

17. Hasil penjabaran dari ( 10 + 6 )2 adalah………….

a. 16 + 2 15 c. 16 + 3 15

b. 16 + 4 15 d. 16 + 5 15

Bilangan Berpangkat

18.Bentuk Rasional dari pecahan −6

7 adalah…………….

a. −7

6 7 c.

6

7 7

b. −6

7 7 d.

7

6 7

19. Akar sekawan dari 3 - 5 adalah …

a. 5 + 3 c. 3 - 5

b. 5 – 3 d. 3 + 5

20. 14 + 2 24 dapat di sederhanakan menjadi………

a. 4 + 6 c. 2 + 12

b. 3 + 8 d. 2 + 7

B. Kerjakanlah Soal – soal berikut

1. Tuliskan dalam bentuk pangkat positif

a. 3−5 b. 𝑎−2

2. Sederhanakan bentuk – bentuk perkalian berikut

a. 63 × 64 c. 52 × 33 × 2

b. (−4) × (−4)2 d. 7𝑎3 × 𝑏4 × 3𝑎2 × 𝑏

3. Sederhanakan bentuk – bentuk akar berikut

a. 2

16 c.

81

100

b. 9

10 d.

25

36

4. Hitunglah :

𝑎. 4 3 + 8 3 c. 15 7 - 25 7

b. 8 3 × 24 12 d. 10 8

5 2

Bilangan Berpangkat

5. ubahkan bentuk akar berikut ke bentuk pangkat pecahan

a. 6 c. 93

b. 1524 d. 6

7

2

6. Sederhanakan bentuk – bentuk pecahan berikut

a.21

2 × 21

2 c. (41

2 )7

4

b. 5

83

563

7. Rasionalkan penyebut pecahan – pecahan berikut :

a. 3

6+ 2 b.

8

5+ 2 𝑐.

−4

5− 6

8. perhatikan gambar berikut

c

tentukan panjang BC

3cm

A 6 cm B

Bilangan Berpangkat

Kunci Jawaban

1.D 11.C

2. C 12.C

3. D 13. B

4. D 14. B

5.A 15. A

6. B 16. A

7. A 17. B

8. A 18. B

9. A 19. D

10 A 20. C

B. Essay

1. a. 3−5

3−5 = 1

35

b. a−2

𝑎−2 = 1

𝑎2

2. 𝑎. 63 × 64 = 63+4 = 67

b. (−4) × (−4)2 = (−4)1+2= (−4)3

c. oleh karena bilangan pokoknya tidak sama, perkalian 52 × 33 × 2 tidak dapat

disederhanakan.

Bilangan Berpangkat

𝑑. 7𝑎3 × 𝑏4 × 3𝑎2 × 𝑏 = 7𝑎3 × 3𝑎2 × 𝑏4 × 𝑏

= 21𝑎3+2 𝑏4+1

= 21𝑎5 × 𝑏5

3. a. 2

16 =

2

16 =

2

4

b. 9

10 =

9

10 =

3

10

c. 81

100 =

81

100 =

9

10

d. 25

36 =

25

36 =

5

6

4. a.4 3 + 8 3 = (4 + 8) 3 = 12 3

b. . 8 3 × 24 12 = 8 3 × 24 4 𝑥 3

= 8 3 × 48 3

= 8 × 48 × 3 𝑥 3

= 1.152

c. 15 7 - 25 7 = (15 – 25 ) 7

= - 10 7

d. 10 8

5 2 =

10 4 𝑥 2

5 2 =

20 2

5 2 = 4

5. a. 6 = 61

2

b. 1524 = 15

2

4 = 151

2

c. 93

= 91

3

d. 67

2 = 67

Bilangan Berpangkat

6. a. 21

2 × 21

2 = 22

2 =21 = 2

b. 5

83

563

= 58

3 − 6

3 = 5 2

3

c. (41

2 )7

4 = 41

2 ×7

4 = 47

8

7. a. . 3

6+ 2 =

3

6+ 2×

6− 2

6− 2 =

3(6− 2)

36−2 =

3(6− 2)

34 =

3

34 (6 − 2)

b. 8

5+ 2 =

8

5+ 2×

5− 2

5− 2=

8( 5− 2)

5−2 =

8

3 (5 − 2)

𝑐. −4

5− 6 =.

−4

5− 6𝑥

5+ 6

5+ 6 =

−4(5− 6)

25−6 =

−4(5− 6)

19 =

−4

19 (5 − 6)

8. . perhatikan gambar berikut

c

tentukan panjang BC

3cm

A 6 cm B

BC = 𝐴𝐵2 + 𝐴𝐶2

= 62 + 32

= 36 + 9

= 45

= 9 × 5

= 9 X 5

= 3 5 jadi panjang BC = 3 5 𝑐𝑚

Bilangan Berpangkat

DAFTAR PUSTAKA

Avianti, Agus.2007.Mudah belajar Matematika .Jakarta: Departemen Pendidikan

Nasional

www6.fheberswalde.de

theresiaveni.wordpress.com

www.member.belajar-matematika.com