KALKULUS VEKTOR
8
8
Teorema Stokes
Pada bagian ini, kita akan mempelajari:
Teorema Stokes dan
penggunaannya dalam integral.
KALKULUS VEKTOR
TEOREMA STOKES VS. TEOREMA GREEN
Teorema Stokes dapat dianggap sebagai
Teorema Green versi dimensi yang lebih
tinggi.
Teorema Green menghubungkan integral lipat dua
terhadap daerah/bidang datar D dengan integral garis
sepanjang kurva batas bidang tersebut.
Teorema Stokes menghubungkan integral permukaan
terhadap permukaan S dengan integral garis sepanjang
kurva batas S (kurva ruang).
PENDAHULUAN
Gambar berikut menunjukkan permukaan
berarah dengan vektor normal satuan n.
Arah S menunjukkan arah positif dari kurva batas
C.
Ini berarti bahwa:
Jika Anda berjalan dalam arah positif sepanjang C
dengan kepala Anda searah dengan arah n,
permukaan akan selalu berada di sebelah kiri Anda.
PENDAHULUAN
TEOREMA STOKES
Misalkan:
S merupakan suatu permukaan mulus sepotong-
sepotong berarah yang dibatasi oleh suatu kurva batas
C mulus sepotong-sepotong, sederhana, tertutup
dengan arah positif.
F merupakan medan vektor yang komponen-
komponennya memiliki turunan parsial kontinyu pada
daerah terbuka dalam ruang yang mengandung S.
Maka, curlC
S
d d F r F S
Sehingga, Teorema Stokes mengatakan:
Integral garis sepanjang kurva batas S dari komponen
tangensial F sama dengan integral permukaan
komponen normal dari curl F.
dan
curl curl
C C
S S
d ds
d d
F r F T
F S F n S
TEOREMA STOKES
Kurva batas berarah positif dari permukaan
berarah S sering dituliaskan sebagai S.
Jadi, teorema ini dapat dituliskan sebagai:
curlS
S
d d
F S F r
Persamaan 1 TEOREMA STOKES
TEOREMA STOKES, TEOREMA GREEN, TDK
Ada analogi diantara Teorema Stokes,
Teorema Green, dan Teorema Dasar Kalkulus
(TDK).
Seperti dinyatakan sebelumnya, ada integral yang
melibatkan turunan pada ruas kiri Persamaan 1 (ingat
kembali bahsa curl F merupakan bentuk ringkas dari
turunan F).
Ruas kanan melibatkan nilai F hanya pada batas S.
Kenyataannya, perhatikan kasus khusus
dimana permukaan S:
Datar.
Terletak pada bidang-xy dengan arah ke atas.
TEOREMA STOKES, TEOREMA GREEN, TDK
Maka,
Normal satuan adalah k.
Integral permukaan menjadi integral lipat dua.
Teorema Stokes menjadi:
curl curlC
S S
d d dA F r F S F k
TEOREMA STOKES, TEOREMA GREEN, TDK
Ini hampir sama dengan bentuk vector
Teorema Green yang diberikan pada
Persamaan 12 pada bagian 5
Sehingga, kita dapat melihat bahwa Teorema
Green merupakan kasus khusus dari Teorema
Stokes.
TEOREMA STOKES, TEOREMA GREEN, TDK
TEOREMA STOKES
Teorema Stokes terlalu sulit bagi kita untuk
membuktikan dalam bentuk umum.
Namun, kita dapat membuktikan ketika:
S merupakan grafik.
F, S, dan C berperilaku baik.
TEOREMA STOKESKASUS KHUSUS
Kita anggap bahwa persamaan S
adalah:
z = g(x, y), (x, y) D
dengan:
g memiliki turunan parsial orde-kedua kontinyu.
D merupakan daerah bidang sederhana yang kurva
batas C1 bersesuaian dengan C.
Bukti
Jika arah S ke atas, arah positif C
bersesuaian dengan arah positif C1.
BuktiTEOREMA STOKESKASUS KHUSUS
Kita juga ingat bahwa:
F = P i + Q j + R k
dengan turunan parsial dari P, Q, dan R
kontinyu.
BuktiTEOREMA STOKESKASUS KHUSUS
S merupakan grafik suatu fungsi.
Sehingga, kita dapat menggunakan
Formula 10 pada bagian 7 dengan F diganti
dengan curl F.
BuktiTEOREMA STOKESKASUS KHUSUS
Hasilnya adalah:
dengan turunan parsial dari P, Q, dan R
dapat dihitung pada (x, y, g(x, y)).
curlS
D
d
R Q z P R z Q PdA
y z x z x y x y
F S
BuktiPers. 2TEOREMA STOKESKASUS KHUSUS
Misalkan
x = x(t) y = y(t) a t b
merupakan persamaan parametric dari C1.
Maka, persamaan parametric dari C
adalah:
x = x(t) y = y(t) z = g(x(t), y(t)) a t b
BuktiTEOREMA STOKESKASUS KHUSUS
Ini memungkinkan kepada kita, dengan
bantuan Dalil Rantai, untuk menghitung
integral integral garis seperti berikut ini:
C
b
a
b
a
d
dx dy dzP Q R dt
dt dt dt
dx dy z dx z dyP Q R dt
dt dt x dt y dt
F r
BuktiTEOREMA STOKESKASUS KHUSUS
Kita gunakan Teorema Green pada langkah
terakhir.
1
b
a
C
D
z dx z dyP R Q R dt
x dt y dt
z zP R dx Q R dy
x y
z zQ R P R dA
x y y x
BuktiTEOREMA STOKESKASUS KHUSUS
Selanjutnya, kita gunakan Dalil Rantai
lagi, ingat bahwa:
P, Q, dan R adalah fungsi dari x, y, dan z.
z sendiri merupakan fungsi dari x dan y.
BuktiTEOREMA STOKESKASUS KHUSUS
Sehingga, diperoleh:
2
2
C
D
d
Q Q z R z R z z zR
x z x x y z x y x y
P P z R z R z z zR dA
y z y y x z y x y x
F r
BuktiTEOREMA STOKESKASUS KHUSUS
Empat suku dalam integral lipat dua saling
menghilangkan.
Enam yang tersisa dapat disusun ulang
serupa dengan ruas kanan Persamaan 2.
Oleh karena itu, curlC
S
d d F r F S
BuktiTEOREMA STOKESKASUS KHUSUS
TEOREMA STOKES
Hitung
dengan:
F(x, y, z) = y2 i + x j + z2 k
C adalah kurva perpotongan antara bidang
y + z = 2 dand silinder x2 + y2 = 1.
(Arah C berlawanan arah jarum jam jika dilihat
dari atas.)
Cd F r
Contoh 1
Kurva C (elips) ditunjukkan pada
gambar.
dapat dihitung
secara langsung.
Namun demikian, lebih
mudah menggunakan
Teorema Stokes.
Cd F r
Contoh 1 TEOREMA STOKES
Pertama kita hitung:
2 2
curl 1 2yx y z
y x z
i j k
F k
Contoh 1 TEOREMA STOKES
Ada banyak permukaan yang dibatasi C.
Pilihan paling sesuai adalahdaerah elips S pada bidang y + z = 2 yang dibatasi C.
Jika arah S ke atas, C memiliki arah positif.
Contoh 1 TEOREMA STOKES
Proyeksi D dari S pada bidang-xy
adalah cakram x2 + y2 1.
Jadi, menggunakan
Persamaan 10 pada bagian
7 dg z = g(x, y) = 2 y,
diperoleh hasil berikut.
Contoh 1 TEOREMA STOKES
2 1
0 0
12 3
2
00
21 22 30
12
curl 1 2
1 2 sin
2 sin2 3
sin
2 0
CS D
d d y dA
r r dr d
r rd
d
F r F S
Contoh 1 TEOREMA STOKES
Gunakan Teorema Stokes untuk menghitung
dengan:
F(x, y, z) = xz i + yz j + xy k
S adalah bagian dari
bola x2 + y2 + z2 = 4
yang terletak di
dalam silinder
x2 + y2 =1
dan di atas
bidang-xy.
curlS
d F S
Contoh 2 TEOREMA STOKES
Untuk mencari kurva batas C,
kita selesaikan:
x2 + y2 + z2 = 4 dan x2 + y2 = 1
dikurangkan,
diperoleh z2 = 3.
Jadi,
(karena z > 0).
Contoh 2
3z
TEOREMA STOKES
Jadi, C adalah lingkaran dengan
persamaan: x2 + y2 = 1, 3z
Example 2 TEOREMA STOKES
Persamaan vektor C adalah:
r(t) = cos t i + sin t j + k 0 t 2
Karena itu, r(t) = sin t i + cos t j
Juga, diperoleh:
3
Example 2
3cos 3sin cos sint t t t t F r i j k
TEOREMA STOKES
Sehingga, dengan Teorema Stokes,
2
0
2
0
2
0
curl
( ( )) '( )
3 cos sin 3 sin cos
3 0 0
CS
d d
t t dt
t t t t dt
dt
F S F r
F r r
Example 2 TEOREMA STOKES
Perhatikan, dalam Contoh 2, kita menghitung
integral permukaan sederhana dengan
mengetahui nilai F pada kurva batas C.
Ini berarti bahwa:
Jika kita memiliki permukaan berarah lainnya
dengan kurva batas C yang sama, kita peroleh hasil
yang sama untuk integral permukaan!
TEOREMA STOKES
Secara umum, jika S1 dan S2 adalah
permukaan berarah dengan kurva batas
berarah C yang sama dan keduanya
memenuhi hipotesis Teorema Stokes, maka
Pernyataan ini sangat berguna ketika kita mengalami
kesulitan untuk mengintegralkan terhadap satu
permukaan tetapi mudah untuk mengintegralkan
terhadap yang lain.
1 2
curl curlC
S S
d d d F S F r F S
Persamaan 3 TEOREMA STOKES
VEKTOR CURL
Sekarang kita gunakan Teorema Stokes
untuk menyoroti pada makna vektor curl.
Anggap bahwa C kurva tertutup berarah dan v
menunjukkan medan kecepatan aliran fluida.
VEKTOR CURL
Perhatikan integral garis
dan ingat bahwa v T adalah komponen v
dalam arah vector tangent satuan T.
Ini berarti bahwa semakin dekat arah v terhadap
arah T, semakinbesar nilai v T.
C Cd ds v r v T
SIRKULASI
Sehingga, merupakan ukuran
kecenderungan fluida bergerak sekitar C.
Ini disebut sirkulasi v sekitar C.
Cd v r
VEKTOR CURL
Sekarang, misalkan:
P0(x0, y0, z0) merupakan titik dalam fluida.
Sa cakram kecil dengan radius a dan pusat P0.
Maka, (curl F)(P) (curl F)(P0) untuk semua titik-titik
P pada Sa karena curl F kontinyu.
VEKTOR CURL
Sehingga, dengan Teorena Stokes, diperoleh
aproksimasi dari sirkulasi sekitar lingkaran
batas Ca:
0 0
2
0 0
curl curl
curl
curl
a
a a
a
CS S
S
d d dS
P P dS
P P a
v r v S v n
v n
v n
VEKTOR CURL
Aproksimasi menjadi lebih baik jika a 0.
Sehingga, diperoleh:
0 0 201
curl limaCa
P P da
v n v r
Persamaan 4
CURL & SIRKULASI
Persamaan 4 memberikan hubungan
antara curl dand sirkulasi.
Ini menunjukkan bahwa curl v n adalah ukuran
dari pengaruh rotasi fluida pada sumbu axis n.
Pengaruh curl terbesar pada sumbu sejajar
terhadap curl v.
Bayangkan roda pedal kecil ditempatkan
pada fluida di titik P.
Roda pedal berputar
paling cepat ketika
sumbunya sejajar
terhadap curl v.
CURL & SIRKULASI
KURVA TERTUTUP
Terakhir, kita sebutkan bahwa Teorema
Stokes dapat digunakan untuk membuktikan
Teorema 4 pada bagian 5:
Jika curl F = 0 dalam semua ruang dimensi 3,
maka F adalah konservatif.
Dari Teorema 3 dan 4 pada bagian 3,
kita tahu bahwa F konservatif jika
untuk setiap lintasan tertutup C.
Diberikan C, anggap kita dapat mencari permukaan
berarah S yang batasnya adalah C.
Ini dapat dilakukan, namun membutuhkan
pembuktian dengan teknik lanjut.
0C
d F r
KURVA TERTUTUP
Maka, Teorema Stokes memberikan:
Kurva yang tidak sederhana dapat dibagi menjadi
sejumlah kurva sederhana.
Integral sekitar kurva ini semuanya adalah 0.
curl 0 0C
S S
d d d F r F S S
KURVA TERTUTUP
Menambahkan integral ini,
diperoleh:
untuk sembarang kurva tertutup C.
0C
d F r
KURVA TERTUTUP
Top Related