X A H X H A

58

CHƯƠNG 2: MA TRẬN

§1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM Ma trận [A] gọi là đối xứng nếu [A]T = [A]

Cho một ma trận vuông [A], cấp n. Ta nói ma trận [A] không suy biến (non singular) nếu ma trận có thể nghịch đảo được hay nói cách khác, định thức của ma trận khác không. Ma trận Hermite là một ma trận vuông có các phần tử là số phức bằng chuyển vị liên hợp của nó, nghĩa là phần tử ở hàng i cột j bằng số phức liên hợp của phân tử ở hàng j cột i

TA A∗ ⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . Ví dụ ma trận

[ ]3 2 j

A2 j 1

+⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

là ma trận Hermite.

Ma trận Householder là một ma trận vuông dạng:

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ]= − TT2H E U U

U U

Trong đó v là vec tơ cột khác zero Ma trận [A] gọi là trực giao nếu [A]T[A] = [E] Ma trận phức [U] gọi là ma trận unita nếu

TU U E∗⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ =⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . Ví dụ ma

trận [ ]

1 j 1 j2 2U

1 j 1 j2 2

+ − +⎡ ⎤⎢ ⎥

= ⎢ ⎥+ −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

là ma trận unita

Một ma trận chỉ có một cột gọi là một vec tơ Chuẩn của một vec tơ X, kí hiệu là X , là một số thực thoả mãn: ‐ X > 0 ‐ cX c X= ‐ X Y X Y+ ≤ + Giả thiết X = [x1, x2,…,xn]T, ta thường dùng một trong 3 chuẩn sau đây: ‐ j1 j

X max x=

‐ n

j2j 1

X x=

=∑

59

‐ n 2

j3j 1

X x=

= ∑

Chuẩn của một ma trận [A], kí hiệu là A , là một số thực thoả mãn: ‐ A > 0

‐ cA c A= ‐ A B A B+ ≤ + ‐ AB A B≤ Ta thường dùng một trong 3 chuẩn sau đây:

‐ n

i ,j1 i j 1A max a

=

= ∑

‐ n

i ,j1 j i 1A max a

=

= ∑

‐ n 2

i ,j3i ,j 1

A a=

= ∑

Ma trận [A] gọi là xác định dương nếu với vec tơ [x] bất kì ta có: [ ] [ ][ ]Tx A x 0> Ma trận [A] gọi là nửa xác định dương nếu với vec tơ [x] bất kì ta có: [ ] [ ][ ]Tx A x 0≥

Ta định nghĩa ma trận xác định âm và nửa xác định âm một cách tương tự.

Hạng của ma trận là cấp của ma trận con của ma trận ấy có định thức khác không còn mọi ma trận con cấp cao hơn đều có định thưc bằng không(ma trận con là ma trận có được bằng cách xoá một số hàng và cột của ma trận ban đầu).

§2. BIẾN ĐỔI HOUSEHOLDER 1. Ma trận Householder: Ta biến đổi ma trận [A] về dạng có các phần tử thuộc đường chéo chính, các phần tử phía trên và phía dưới đường chéo chính khác zero, còn các phần tử còn lại bằng zero(ma trận ba đường chéo) bằng cách dùng phép biến đổi Householder. Phép biến đổi Householder dùng ma trận Householder.

[ ] [ ] [ ][ ]= −TU UH E

Q (1)

60

Trong đó:

[ ] [ ] [ ]= = 2T1 1Q U U U2 2

(2)

Do [H] đối xứng nên:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]⎛ ⎞⎛ ⎞= = − −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

T TT U U U UH H H H E E

Q Q

[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]( )[ ]= − +

T TT

2

U U U UU UE 2Q Q

[ ] [ ][ ] [ ]( )[ ] [ ]= − + =TT

2U 2Q UU UE 2 E

Q Q

Từ đây ta thấy [H] cũng là ma trận trực giao. Cho [X] là vec tơ bất kỳ và khảo sát phép biến đổi [H][X]. Chọn: [U] = [X] + k[I1] (3) Trong đó: [ ]= ±k X [ ] = ⎡ ⎤⎣ ⎦L

T1I 1 0 0

Ta có:

[ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]( ) [ ]

⎧ ⎫+⎛ ⎞ ⎪ ⎪= − = −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎪ ⎪⎩ ⎭

TT1U X k IU UH X E X E X

Q Q

[ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )

[ ][ ] [ ]( )+ +

= − = −TT 2

1 1U X X k I X U k k X

X XQ Q

Nhưng: [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]= + + = + + +

T 2 T TT 21 1 1 1 1 12Q X k I X k I X k X I I X k I I

= + + = +2 2 21 1k 2kx k 2(k kx )

Như vậy: [ ][ ] [ ] [ ] [ ]= − = − = −⎡ ⎤⎣ ⎦L

T1H X X U k I k 0 0 0 (4)

nghĩa là phép biến đổi loại trừ tất cả các phần tử của [X] trừ phần tử đầu tiên. 2. Biến đổi Householder một ma trận đối xứng: Bây giờ ta áp dụng phép biến đổi cho ma trận [A] đối xứng:

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ][ ] [ ]

[ ][ ][ ] [ ][ ]

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= =⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ′ ′⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

T TT11 11

1a X a X1 0

P AX A H X H A0 H

(5)

61

Trong đó [X] là cột đầu tiên của [A] với phần tử đầu tiên bị bỏ đi. [A’] có được từ [A] bằng cách bỏ đi cột và hàng đầu tiên. Ma trận [H] cấp (n ‐1) được xây dựng theo các công thức (1) ÷ (3). Do (4) ta thấy phép biến đổi này làm cột đầu tiên của [A] trở thành:

[ ][ ]

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M

11

11

ak

a0

H H

0

Phép biến đổi:

[ ] [ ][ ]( )[ ][ ] [ ][ ][ ]

[ ]⎡ ⎤

= →⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ′⎢ ⎥⎣ ⎦

T11

1 1a H XP A P A

H X H A H (6)

sẽ đường chéo hoá hàng đầu tiên và cột đầu tiên của ma trận [A]. Sơ đồ biến đổi của ma trận 4×4 là: Hàng và cột thứ 2 của ma trận [A] được biến đổi tiếp bằng cách dùng phép biến đổi đối với phần bên phải, phía dưới của ma trận. Phép biến đổi này có thể biểu diễn bằng [ ][ ][ ] [ ]→2 2P A P A , trong đó:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

T2

2E 0

P0 H

(7)

với [E2] là ma trận đơn vị 2×2 và [H] là ma trận (n ‐ 2)×(n ‐ 2) có được bằng cách chọn [X] từ (n ‐ 2) phần tử phía dưới của cột thứ 2 của ma trận [A]. Thực hiện (n ‐ 2) phép biến đổi:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Ti

iE 0

P0 H

i = 1, 2,..., n ‐ 2

để có được ma trận ba đường chéo(tridiagonal). Ta có:

×

1 0 0 0 0 0 0

[Q]

a11 a12 a13 a14 a21 a31 a41

[A’]

1 0 0 0000

[Q]× =

a11 ‐k 0 0‐k 0 0

[Q][A’] [Q]

62

[ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ]⎛ ⎞ ′

′ ′ ′ ′= − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

TT TA UU UA H A E A U A V U

Q Q

Trong đó:

[ ] [ ][ ]′=

A UVQ

(8)

Do vậy:

[ ][ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]( )⎛ ⎞′ ′= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

TTU UH A H E A V U

Q

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]( )′ ′= − − −T

T TU UA V U A V UQ

[ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]( )[ ]′

′= − − +T T T

T U U A U U V UA V U

Q Q

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ][ ]′= − − +T T TA V U U V 2g U U Trong đó:

[ ] [ ]=TU Vg2Q

(9)

Đặt: [W] = [V] ‐ g[U] (10) Ta thấy ngay phép biến đổi có dạng: [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ]′ ′= − −T TH A H A W U U W (11) Thuật toán có thể tóm lại như sau: ‐ Cho [A’] là ma trận vuông cấp (n ‐ i) có được từ phần dưới bên phải của ma trận [A] ‐ Đặt + += ⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦L

Ti 1,i i 2 ,i n ,iX a a a

‐ Tính [ ]X . Cho k = [ ]X nếu x1 > 0 và k = ‐ [ ]X nếu x1 < 0

‐ Cho −= +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ LT

1 2 n iU k x x x

‐ Tính [ ]=

2UQ

2

‐ Tính [ ] [ ][ ]′=

A UVQ

‐ Tính [ ] [ ]=

TU Vg2Q

63

‐ Tính [W] = [V] ‐ g[U] ‐ Tính [ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ]′= − −T TA A W U U W ‐ Đặt + += = −i ,i 1 i 1,ia a k Ta xây dựng hàm housetrans() để thực hiện thuật toán trên:

function A = housetrans(A) % Bien doi Householder ma tran A thanh ma tran % ba đường chéo dang[c\d\c]. % De co c va d dung d = diag(A), c = diag(A,1). n = size(A, 1); for k = 1:n‐2 u = A(k+1:n, k); uMag = sqrt(dot(u, u)); if u(1) < 0; uMag = ‐uMag; end u(1) = u(1) + uMag; A(k+1:n, k) = u; % Luu u vao phan duoi cua A. H = dot(u, u)/2; v = A(k+1:n,k+1:n)*u/H; g = dot(u, v)/(2*H); v = v ‐ g*u; A(k+1:n, k+1:n) = A(k+1:n, k+1:n) ‐ v*uʹ ‐ u*vʹ; A(k, k+1) = ‐uMag; end k = zeros(n); for i = 1:n k(i, i) = A(i, i); end for i = 1:n‐1 k(i, i+1) = A(i, i+1); k(i+1, i) = A(i, i+1); end A = k;

64

Để tính ma trận ba đường chéo theo phép biến đổi Householder ta dùng chương trình cthousetrans.m:

clear all, clc a = [ 1 2 3 4; 2 9 3 5; 3 3 3 7; 4 5 7 6]; b = householder(a) d = diag(b) c = diag(b, 1)

§3. BIẾN ĐỔI THÀNH MA TRẬN HESSENBERG

Nếu ma trận [A] là ma trận đối xứng, phương pháp Householder có thể được sử dụng để biến đổi nó thành ma trận đồng dạng đối xứng ba đường chéo. Nếu ma trận [A] không đối xứng, phương pháp Householder biến đổi ma trận [A] thành ma trận đồng dạng Hessenberg. Ma trận Hessenberg là ma trận có dạng:

[ ]

11 12 13 1,n

21 22 23 2n

32 33 2n

nn

a a a aa a a a0 a a aH

0 0 0 a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

LLL

M M M L ML

Ta thực hiện phép biến đổi Householder trên ma trận [A] và có được: [Q][H][Q’] = [A] trong đó [Q] là ma trận trực giao (ta gọi đây là phân tích Hessenberg ma trận [A]) . Thuật toán có thể tóm lại như sau: ‐ Cho [Q] là ma trận đơn vị cấp n ‐ Đặt += ⎡ ⎤⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦L

Ti 2,i n ,iX 0 a a

‐ Tính [ ]X . Cho α= [ ]X nếu ai+2,i > 0 và α = ‐ [ ]X nếu ai+2,i < 0

‐ Cho −= α +⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦⎣ ⎦ LT

2 n iU 0 x x

‐ Tính [ ]β =

2U2

‐ Tính [ ] [ ] [ ][ ]′= −β

U UP E

65

‐ Tính [ ] [ ][ ]=Q Q P ‐ Tính [ ] [ ][ ][ ]=A P A P Ta xây dựng hàm hessenberg() để thực hiện phép phân tích trên:

function [H, Q] = hessenberg(a) [n, n] = size(a); q = eye(n); for k = 1:n ‐ 2 alfa = 0; for j = k+1:n alfa = alfa + a(j, k)^2; end alfa = sign(a(k+1, k))*sqrt(alfa); u = zeros(1, n); u(k+1:n) = a(k+1:n, k); u(k+1) = u(k+1) + alfa; beta = .5*u*uʹ; p = eye(n); for i = 1:n p(i, 1:n) = p(i, 1:n) ‐ (u(i)*u(1:n))/beta; end q = q*p; a = p*a*p; end H = a; Q = q;

Để phân tích ma trận ta dùng chương trình cthessenberg.m:

clear all, clc a = [ 1 2 3 4; 5 6 7 4; 6 4 8 9; 3 5 7 9]; [H, Q] = hessenberg(a) §4. PHÂN TÍCH MA TRẬN THEO PHƯƠNG PHÁP DOOLITTLE

66

Một ma trận không suy biến [A] gọi là phân tích được thành tích hai ma trận [L] và [R] nếu: [A] = [L] [R] Việc phân tích này, nếu tồn tại, là không duy nhất.

Nếu ma trận [L] có các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1, ta có phép phân tích Doolittle.

Nếu ma trận [R] có các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1, ta có phép phân tích Crout.

Nếu [R] = [L]T (hay [L] = [R]T) ta có phép phân tích Choleski. Với ma trận bậc 3, [L] và [R] có dạng:

[ ] [ ]11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 0 0 r r rL l 1 0 R 0 r r

l l 1 0 0 r

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Để tìm lij và rij ta thực hiện phép nhân. Sau khi nhân ta có:

[ ]11 12 13

11 21 12 21 22 13 21 23

11 31 12 31 22 32 13 31 23 32 33

r r rA r l r l r r l r

r l r l r l r l r l r

⎡ ⎤⎢ ⎥= + +⎢ ⎥⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

Bây giờ ta thực hiện phép khử Gauss đối với phương trình trên. Đầu tiên ta chọn hàng thứ nhất làm trụ và thực hiên phép biến đổi: hàng 2 ‐ l21 × hàng 1 (khử a21) → hàng 2 hàng 3 ‐ l31 × hàng 1 (khử a31) → hàng 3 kết quả ta có:

[ ]11 12 13

1 22 23

22 32 23 32 33

r r rA 0 r r

0 r l r l r

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦

Sau đó ta lấy hàng thứ hai làm trụ và thực hiện biến đổi: hàng 3 ‐ l32 × hàng 2 (khử a32) → hàng 3 và có:

[ ]11 12 13

2 22 23

33

r r rA 0 r r

0 0 r

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Như vậy ta thấy ngay rằng ma trận [R] là ma trận có được khi thực hiện loại trừ Gauss tiến ma trận [A] và các phần tử của [L] là các nhân tử dùng khi

67

loại trừ aij. Điều đó có nghĩa là để tìm ma trận [L] và [R] ta dùng phép khử Gauss tiến. Ta xây dựng hàm doolittle() để thực hiện loại phân tích Doolittle.

function [l,r] = doolittle(A) %Phan tich ma tran A thanh A = L*U n = size(A, 1); u = zeros(n); for k = 1:n‐1 for i = k+1:n if A(i, k)~= 0.0 lambda = A(i, k)/A(k, k); A(i, k+1:n) = A(i, k+1:n) ‐ lambda*A(k, k+1:n); A(i, k) = lambda; end end end l = tril(A); for i = 1:n l(i, i) = 1; end l = triu(A); for i = 1:n l(i,i) = A(i, i); end

§5. PHÂN TÍCH MA TRẬN THEO PHƯƠNG PHÁP CROUT

Tương tự như thuật toán Doolittle, ta có thể phân tích ma trận [A] theo thuật toán Crout thành tích của ma trận [L] và [R]. Các ma trận bậc 3 theo Crout có dạng:

[ ] [ ]11 12 13

21 22 23

31 32 33

l 0 0 1 r rL l l 0 R 0 1 r

l l l 0 0 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Để tìm lij và rij ta thực hiện phép nhân. Sau khi nhân ta có:

68

[ ]11 11 12 11 13

21 21 12 22 21 13 22 23

31 31 12 32 31 13 32 23 33

l l r l rA l l r l l r l r

l l r l l r l r l

⎡ ⎤⎢ ⎥= + +⎢ ⎥⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦

Như vậy: a11 = 1. r11 + 0.0 + 0.0 = r11 ; a12 = r12 ; a13 = r13

a21 = l21r11 ; a22 = l21r12 + r22 ; a23 = l31r11

a31 = l31r11 ; a32 = l31r12 ; a33 = l31r13 + l32r23 + r33

Một cách tổng quát ta có : với j > i : lij = rji = 0 với i = 1 : r1j = a1j (j = 1 tới n) lj1 = aj1/r11 (j = 1 tới n) với i = 2 tới n

∑−

=−=

1i

1kkjikijij rlar ( j = i tới n)

ii

1i

1kkijkji

ji r

rlal

∑−

=−

= (j = i tới n)

Ta xây dựng hàm crout() để phân tích ma trận theo thuật toán Crout:

function [l, r] = crout(a) n = size(a, 1); l = zeros(n); r = zeros(n); for i = 1:n r(1, i) = a(1, i); l(i, i) = 1.; l(i, 1) = a(i, 1)/a(1, 1); end for k = 2:n r(k, k:n) = a(k, k:n) ‐ l(k, 1:k)*r(1:k, k:n); if k~= n

69

for i = 1:n l(i, k) = (a(i, k)‐ l(i, 1:k‐1)*r(1:k‐1, k))/r(k, k); end end end §6. PHÂN TÍCH MA TRẬN THEO PHƯƠNG PHÁP CHOLESKI Thuật toán Choleski cho phép phân tích ma trận [A] thành tích hai ma

trận: [A] = [L][L]T. Thuật toán này đòi hỏi: ‐ [A] là ma trận thực, đối xứng ‐ [A] là ma trận xác định dương Ta vuông [A] cấp 3 theo thuật toán Choleski:

11 12 13 11 11 21 31

21 22 23 21 22 22 32

31 32 33 31 32 33 33

a a a l 0 0 l l la a a l l 0 0 l la a a l l l 0 0 l

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Sau khi thực hiện phép nhân ta có:

211 12 13 11 11 21 11 31

2 221 22 23 11 21 21 22 21 31 22 32

2 2 231 32 33 11 31 21 31 22 32 31 32 33

a a a l l l l la a a l l l l l l l la a a l l l l l l l l l

⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ = + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ + + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Vế phải là ma trận đối xứng. Cân bằng các phần tử của hai ma trận ta có: 11 11 21 21 11 31 31 11

2 2 222 22 21 32 32 21 31 22 33 33 31 32

l a l a / l l a / l

l a l l (a l l ) / l l a l l

= = =

= − = − = − −

Tổng quát, với ma trận cấp n, ta có:

[ ][ ]( )j

Ti1 j1 i2 j2 ik jkij k 1

L L l l l l l l i j=

= + + ⋅⋅ ⋅+ = ≥∑

Cân bằng với phần tử của ma trận [A] ta có:

j

ij ik jkk 1

a l l i j, j 1,...,n j 1,2,...,n=

= = + =∑

Do ma trận [L] là ma trận tam giác trái nên đối với cột thứ nhất ta có: 11 11 i1 i1 11l a l a / l= = Đối với cột khác, rút lij ra khỏi tổng ta có:

70

j 1

ij ik jk ij jjk 1

a l l l l−

=

= +∑

Nếu i = j (phần tử trên đường chéo) thì:

j 1

2jj jj jk

k 1l a l j 2,3,...,n

−

=

= − =∑

và phần tử nằm ngoài đường chéo:

j 1

ij ij ik jkk 1 jj

1l a l l j 2, 3,..., n i j 2, j 3,...,nl

−

=

⎛ ⎞= − = = + +⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

Dựa vào thuật toán trên ta xây dựng hàm choleski()

function L = choleski(A) % Phan tich ma tran a thanh A = LL’. % Cu phap: L = choleski(A) f = posdef(A); if f == 0 error(ʹMa tran khong xac dinh duong!ʹ); return end n = size(A, 1); for j = 1:n temp = A(j, j) ‐ dot(A(j, 1:j‐1),A(j, 1:j‐1)); if temp < 0.0 error(ʹMa tran khong xac dinh duongʹ) end A(j, j) = sqrt(temp); for i = j+1:n A(i, j)=(A(i, j) ‐ dot(A(i, 1:j‐1),A(j, 1:j‐1)))/A(j, j); end end L = tril(A); function f = posdef(M) %Kiem tra lieu ma tran M co xac dinh duong hay kong isposdef = true;

71

for i=1:length(M) if ( det( M(1:i, 1:i) ) <= 0 ) isposdef = false; break; end end f = isposdef;% 0 neu sai, 1 neu dung §7. PHÂN TÍCH QR BẰNG THUẬT TOÁN HOUSEHOLDER

Cho ma trận [A], phân tích QR của nó cho ta: [A] = [Q]*[R] Trong đó [Q] là ma trận trực giao và [R] là ma trận tam giác phải. Ta dùng biến đổi Householder để tìm các ma trận [Q] và [R]. [ ][ ] [ ][ ] [ ]− − ⋅ ⋅ ⋅ =n 1 n 2 1H H H A R (1) Như vậy:

[ ] [ ][ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ]

− − −− − − −

− −

= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ =

1 1 1n 1 n 2 1 1 n 2 n 1

1 n 2 n 1

A H H H R H H H R

H H H R Q R (2)

Tích của tất cả các ma trận Householder: [ ] [ ] [ ][ ]− −= L1 n 2 n 1Q H H H (3) không những đối xứng mà còn trực giao như mỗi ma trận [Hk]:

[ ] [ ] [ ] [ ][ ]( ) [ ] [ ][ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ]− − − −

− − − −

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

TT1 n 2 n 1 1 n 2 n 1

T T Tn 1 n 2 1 1 n 2 n 1

Q Q H H H H H H

H H H H H H E

Ta xây dựng hàm qrdecom() để phân tích ma trận:

function [Q, R] = qrdecom(A) %Phan tich QR n = size(A, 1); R = A; Q = eye(n); for k = 1:n ‐ 1 H = householder(R(:, k), k); R = H*R; %Pt.(1) Q = Q*H; %Pt.(3)

72

end Hàm householder() dùng để tạo ra ma trận Householder:

function H = householder(x, k) % Tao ma tran Householder n = length(x); tmp = sum(x(k+1:n).^2); g = sqrt(x(k)^2 + tmp); c = sqrt((x(k) + g)^2 + tmp); u = zeros(n, 1); u(k) = (x(k) + g)/c; u(k + 1:n) = x(k + 1:n)/c; H = eye(n) ‐ 2*u*uʹ; %ma tran Householder

Để phân tích ma trận ta dùng chương trình ctqrdecom.m:

clear all, clc a = [4 1 3 ‐2; 1 ‐2 4 1; 3 4 1 2; ‐2 1 2 3]; [q, r] = qrdecom(a)

§8. PHÂN TÍCH QR BẰNG THUẬT TOÁN QUAY GIVENS

Kỹ thuật quay Givens là một phương pháp để phân tích ma trận [A] thành tích của ma trận [Q] và ma trận [R] bằng cách làm cho các phần tử lần lượt bằng zero cho đến khi có được ma trận tam giác phải. Ý tưởng là dùng một ma trận quay đơn giản 2 × 2 đặt dọc theo đường chéo chính của một ma trận đơn vị và làm cho một phần tử của ma trận bằng zero. Các phần tử của ma trận quay để quay một vec tơ ngược chiều kim đồng hồ một góc θ là:

[ ]θθ − θ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥θ θ⎣ ⎦

cos sinQ

sin cos

Nếu ta muốn quay vec tơ [x1 x2]T và muốn làm cho x2 bằng zero rồi quaytheo chiều kim đồng hồ một góc θ(hay ngược chiều kim đồng hồ một góc ‐θ) trong đó:

73

θ = 2

1

xarctgx

thì ma trận quay để thực hiện phép quay này theo chiều kim đồng hồ một góc θ là:

[ ]θθ θ⎡ ⎤

= ⎢ ⎥− θ θ⎣ ⎦

cos sinQ

sin cos

Trong đó:

θ = =+1

2 21 2

xcos cx x

θ = =+2

2 21 2

xsin sx x

Do đó:

[ ]θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −+ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 2

2 22 11 2

x x c s1Qx x s cx x

Chú ý là như mong muốn:

[ ]θ⎡ ⎤+

⎡ ⎤+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ +⎢ ⎥= = =+ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

2 21 2 2 2

1 1 2 2 2 1 21 2

2 1 2

x xx cx sx x xQ x xx sx cx 00

Nếu A là ma trận m × n, ta sẽ xem điều gì xảy ra khi ta thay các phần tử của [Q] vào ma trận con xác định bằng các cột và hàng thứ i, các cột và hàng thứ j. Nói cách khác ta thay ma trận 2 × 2 này dọc theo đường chéo chính tại một số điểm:

[ ]

kl

kl

1 0 0 0

k i, l j0 c s 0

c k, l i; k,l jG

s k i; l j0 s c 0

s k j; l i0

0 0 0 1

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥δ ≠ ≠⎧⎢ ⎥⎪ = =⎪ ⎢ ⎥= =⎨ ⎢ ⎥= =⎪ ⎢ ⎥−

⎪− = = ⎢ ⎥⎩⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L L L

M O M M M O M

L L L

M M M O M M M

L L L

M M M M O M

L L L

Như vậy [G] là ma trận đơn vị m × m ngoại trừ các giá trị đã bị thay thế: gii = gjj = c gij = ‐gij = s Điều này sẽ tạo ra ma trận unita: [G]T[G] = [E] nghĩa là:

74

= δ∑ lk lp kplg g

và đòi hỏi: c2 + s2 = 1 Điều này đúng vì cos2θ + sin2θ = 1 ∀θ. Khi ma trận này được áp dụng cho ma trận m × n ta có:

⎧ δ = ≠⎪⎪⎪= = = + =⎨⎪⎪ = − + =⎪⎩

∑∑ ∑

∑

kl lp kpl

kp kl lp il lp ip jpl l

jl lp ip jpl

a a k i, j

b g a g a ca sa k i

g a sa ca k j

Như vậy ma trận mới chỉ bị thay đổi ở hàng i và cột j. Ta chọn s và c sao cho các phần tử ở cột r và hàng j bằng zero:

=+jr

2 2jr ir

as

a a =

+ir

2 2jr ir

aca a

Như vậy ta sẽ có:

− +

= =+

jr ir ir jrjr 2 2

jr ir

a a a bb 0

a a

Ta xây dựng hàm givens() để thực hiện thuật toán trên:

function [Q, R] = givens(A); % Phan tich QR bang thuat toan quay Givens n = size(A, 1); Q = eye(n); for j = 1:n‐1 for i = n:‐1:j+1 z = 1/sqrt(A(i‐1, j)^2 + A(i, j)^2); c = A(i‐1, j)*z; s = A(i, j)*z; A(i‐1:i,:) = [c s; ‐s c]*A(i‐1:i,:); Q(i‐1:i,:) = [c s; ‐s c]*Q(i‐1: i,:); end end R = A;

75

Q = Qʹ; Để phân tích một ma trận ta dùng chương trình ctgivens.m:

clear all, clc A = [17 24 30 17; 8 13 20 7; 2 10 8 6; ‐23 ‐43 ‐54 ‐26]; [Q, R] = givens(A)

§9. PHÂN TÍCH QR BẰNG THUẬT TOÁN GRAM ‐ SCHMIDT

Ta có thể thực hiện việc phân tích ma trận [A] thành tích các ma trận [Q] và [R] bằng cách trực giao hoá các cột của ma trận [A]. Ta gọi các cột của ma trận [A] là a1,...,an. Từ các vec tơ này ta muốn có n vec tơ trực giao v1,...,vn. Vec tơ trực giao đầu tiên được chọn là: 1 1v a= Để có vec tơ thứ hai, ta dùng y2 nhưng trừ bớt đi phần y2 cùng chiều với v2. Như vậy ta có: 2 1 1v y ba= − với b được chọn sao cho v1 trực giao với v2: 1 2 1 2 1 1 2 1 1v v v (a bv ) v a bv v 0= − = − = hay:

1 2

1 1

v abv v

=

Tiếp tục quá trình đến bước thứ k ta có:

k 1

i kk k i

i ii 1

v av a vv v

−

=

= −∑

Như vậy thuật toán gồm các bước:

‐ = = 111 1 1

11

ar a , qr

- lặp từ k = 2 đến n k 1

k k ik i kki 1

q a r q r−

=

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

với T

ik i kr q a= và rkk được chọn sao cho kq 1= , nghĩa là:

76

k k ikz a q r= − kkr z= Ta xây dựng hàm qrgramschmidt() để thực hiện thuật toán trên:

function [Q, R] = qrgramschmidt(A); % Phan tich mt bang thuat toan Gram ‐ Schmidt [m,n] = size(A); R(1,1) = norm(A(:, 1)); Q(:,1) =A(:, 1)/R(1, 1); for k = 2:n R(1:k‐1, k) = Q(1:m, 1:k‐1)ʹ*A(1:m, k); z = A(1:m, k) ‐ Q(1:m, 1:k‐1)*R(1:k‐1, k); R(k,k) = norm(z); Q(1:m,k) = z/R(k, k); end Để phân tích một ma trận ta dùng chương trình chương trình

ctqrgamschmidt.m:

clear all, clc a = [ 1 2 3 4 5; 6 7 8 9 0; 3 4 5 6 7; 8 9 0 1 2; 2 4 6 8 1]; [q, r] = qrgramschmidt(a)

§10. PHÂN TÍCH MA TRẬN THEO GIÁ TRỊ RIÊNG Cho ma trận [A], ta có: [A][X] = λ[X] Nếu ta đặt [U] là một ma trận mà các cột của nó là các vec tơ riêng của ma trận [A] và ma trận [Λ] là ma trận đường chéo có các phần tử trên đường chéo chính là λi thì: [A][U] = [Λ][U] hay: [A] = [U][Λ][U]‐1 Dạng này của ma trận được gọi là dạng phân tích theo giá trị riêng và vec tơ riêng. Ta dùng chương trình cteigdecom.m để phân tích ma trận:

clear all, clc

77

a = [ 1 3 5; 3 4 9; 5 9 6]; [L, U] = eigjacobi(a)

§11. PHÂN TÍCH LQ

Cho ma trận [A]T, ta có thể phân tích QR ma trận này thành: [A]T = [Q1][R1] Do ([Q][R])T = [R1]T[Q1]T nên: ([A]T)T = [A] = [L][Q] và ta nhận được phân tích LQ của ma trận [A]. Ta xây dựng hàm lqdecom() để thực hiện thuật toán này:

function [Q, L] = lqdecom(A) A = Aʹ; [Q, L] = qrdecom(A); L = Lʹ; Q = Qʹ;

Để phân tích một ma trận ta dùng chương trình ctlqdecom.m:

clear all, clc a = [ 1 3 5; 2 4 6; 7 8 9]; [Q, L] = lqdecom(a)

§12. PHÂN TÍCH JORDAN

1. Ma trận có thể đường chéo hoá: Ma trận [A] gọi là có thể đường chéo hoá nếu và chỉ nếu tồn tại phép biến đổi đồng dạng [V] sao cho [A] = [V][Λ][V]‐1 trong đó [Λ] là ma trận đường chéo [Λ] = diag(λ1, λ2,..., λn). Điều kiện cần để [A] có thể đường chéo hoá là [A] có n vec tơ riêng độc lập tuyến tính. Điều kiện đủ để [A] có thể đường chéo hoá là [A] có n giá trị riêng phân biệt vì khi [A] có n giá trị riêng phân biệt thì các vec tơ riêng tương ứng là độc lập tuyến tính. Số lần lặp lại mi của giá trị riêng λi gọi là vô số đại số (algebraic multiplicity) của λi, kí hiệu là AM(λi ). Số vec tơ riêng độc lập tuyến tính tương ứng với giá trị riêng λi gọi là vô số hình học (geometric multiplicity) của λi, kí hiệu là GM(λi ).

X A H X H A

Documents

Transcript of X A H X H A