Uso de actividades de modelación en la formación matemática de ingenieros: memoria predoctoral

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Diseno de actividades de modelacion para la

formacion matematica de ingenieros: el caso de la

UACM

Documento base para la memoria predoctoral que se presenta en el

VII Coloquio de Doctorado en Matematica Educativa28 al 30 de Agosto, 2013 CICATA, IPN Mexico

Por: Rita Xochitl Vazquez Padilla

Asesoras: Dra. Marıa Trigueros Gaisman

Dra. Avenilde Romo Vazquez

Indice general

1. Introduccion 5

2. Modelacion matematica y formacion de ingenieros 7

2.1. Las matematicas en la formacion de ingenieros . . . . . . . . . . . . . 8

2.2. La modelacion dentro de la matematica educativa . . . . . . . . . . . 12

2.2.1. De los problemas aplicados a la modelacion . . . . . . . . . . 13

2.2.2. Ciclos de modelacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.3. La modelacion como una teorıa: el estudio ICMI 14 . . . . . . 19

2.2.4. Clasificaciones mas recientes: el grupo de estudio 21 en el 11

ICME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.5. Una perspectiva mixta: APOE y actividades detonadoras de

modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3. La modelacion en la formacion matematica de ingenieros . . . . . . . 25

2.3.1. Uso de modelos desde las necesidades de la practica: el enfoque

de Bissell y Dillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.2. El modelo de formacion de ingenieros en la UACM . . . . . . 29

2.4. La pregunta de investigacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. El marco conceptual: TAD y APOE 35

3.1. La Teorıa Antropologica de lo Didactico . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2. La teorıa APOE en el diseno de secuencias didacticas . . . . . . . . . 42

3

4 INDICE GENERAL

4. El plan metodologico 47

4.1. Fase I: Contexto BSS y modelo matricial . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2. Fase II: Hacia el diseno de la actividad . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.1. Analisis de documentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.2. Primera aproximacion al diseno . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5. Conclusiones 69

6. Bibliografıa 71

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Capıtulo 1

Introduccion

En este documento se presenta un proyecto de investigacion cuyo objetivo es di-

senar actividades didacticas basadas en modelacion matematica para la formacion de

futuros ingenieros. Dada mi experiencia como profesora de matematicas en formacion

de ingenieros durante doce anos y habiendo decidido a realizar una investigacion en

Matematica Educativa, la primera pregunta que surge es: ¿Que investigar en relacion

a la formacion matematica de ingenieros durante los primeros anos de la carrera, y

porque hacerlo?

En el capıtulo dos de esta memoria se intenta dar respuesta a tales cuestiones: en el

se presenta el contexto en el que se desarrolla la investigacion. Se comienza analizando

cual es la problematica, desde la Matematica Educativa, en la que se inscribe este

tema de investigacion. Se presenta en un panorama sobre las distintas perspectivas

que tiene la modelacion como herramienta de ensenanza de matematicas, haciendose

enfasis en dos de ellas que parecen adecuadas para investigar en el contexto del primer

ano de ingenierıa. Las dos perspectivas pertenecen a distintas visiones epistemologicas

del uso de modelos, de modo que uno de los retos es integrar elementos de una y otra

en el diseno de las actividades de modelacion.

Ademas, se asume que el investigar la forma en que se produce y transmite el

conocimiento matematico en la universidad depende no solo de los procesos de pen-

5

6 CAPITULO 1. INTRODUCCION

samiento individuales, sino de la forma en que los distintos actores involucrados en

el proceso de ensenanza y aprendizaje delimitan tal produccion y transmision de

conocimientos, es decir, existe una dimension institucional del proceso. Lo anterior

resulta en un interes de abordar el problema de la inclusion de actividades de mo-

delacion considerando las instituciones en juego; por otro lado, al existe un interes

educativo de disenar las actividades para ser probadas en el aula. Estos dos intere-

ses corresponden a una mirada macroscopica y a una microscopica, respectivamente,

del proceso de ensenanza y se pueden inscribir en dos teorıas educativas: la Teorıa

Antropologica de lo Didactico (TAD) y la Teorıa Accion-Proceso-Objeto-Esquema

(APOE). Estas dos teorıas se revisan en el capıtulo tres para conformar un marco

conceptual.

En el capıtulo cuatro se presenta una propuesta metodologica en la que confluyen

las consideraciones anteriores y que se define por la intencion de trabajar en la

matematica escolar pero considerando la matematica de uso en la practica. Ası, el

reto que presenta la investigacion es integrar elementos de estos dos ambitos. En

este ultimo capıtulo se presentan los inicios de una propuesta de diseno de actividad

de modelacion basada en elementos del Algebra Lineal (representacion matricial de

un sistema de ecuaciones) generada a partir de un contexto extramatematico: el

problema de la separacion ciega de fuentes. Se expone el avance en el diseno a partir

de los elementos teoricos expuestos en el capıtulo tres.

Finalmente,en el capıtulo cinco se reportan las conclusiones del diseno de inves-

tigacion aquı presentado.

Capıtulo 2

Modelacion matematica y

formacion de ingenieros

En este capıtulo se abordara en primer termino, el tema de la importancia de

la ensenanza de matematicas en las formaciones profesionales y algunos de los retos

que esta presenta en la actualidad, en particular en las carreras de ingenierıa. Desde

Pollak (Pollak, 1969) se ha senalado la relevancia del uso de modelos en la formacion

de ingenieros. A partir de entonces han sido numerosas las investigaciones desde la

Matematica Educativa que buscan explicar que y como incluir el uso de modelos en

la ensenanza.

Para explicitar lo que se entendera por modelacion, se hara primero una revi-

sion de los terminos modelo, modelacion y ciclo de modelacion para situarlos en el

contexto de la matematica educativa. Siendo esta un area fecunda en investigacio-

nes durante las ultimas dos decadas, existen numerosas perspectivas sobre el tema.

Por ello, se presentan dos estudios que proponen una organizacion de las distintas

perspectivas, en particular se revisara la llamada perspectiva contextual, dentro de

la cual se han desarrollado investigaciones sobre el uso de modelacion desde la teorıa

APOE.

Asimismo, se analiza un enfoque que no esta considerado en tales clasificaciones -el

7

8CAPITULO 2. MODELACION MATEMATICA Y FORMACION DE INGENIEROS

desarrollado por Bissell y Dillon- y que surge de estudiar el uso que los profesionistas

dan a las matematicas y en particular, a los modelos matematicos.

Como un antecedente a la metodologıa, se presentan en este capıtulo algunas

caracterısticas del modelo educativo de la Universidad Autonoma de la Ciudad de

Mexico, institucion en la que desarrollaremos la investigacion. El panorama ası pre-

sentado es una base a partir de la cual se plantea la pregunta de investigacion, con

la que se finaliza este capıtulo.

2.1. Las matematicas en la formacion de ingenie-

ros

Ante la pregunta: ¿que investigar en relacion a la formacion matematica de inge-

nieros durante los primeros anos de la carrera, y porque hacerlo? considero necesario

precisar primero que entiendo con estos terminos.

De manera general la formacion matematica se refiere al conjunto de asignaturas

de matematicas que deben cursar los ingenieros en la universidad. Mas alla de una

definicion estricta, me interesa considerar en la acepcion del termino “formacion

matematica de ingenieros” cuestiones como: ¿Cual ha sido el lugar que historicamente

han tenido las matematicas en la ingenierıa? ¿A que nivel educativo nos referimos,

y en que contexto tiene lugar la formacion? ¿Cual es el objetivo de las matematicas

dentro de la formacion? ¿Que desafıos presenta en la actualidad el impartir cursos de

matematicas dentro de una formacion de ingenierıa? ¿Cual es es el rol de los cursos

de matematicas en relacion a la practica profesional del ingeniero? Vamos a analizar

algunas de estas cuestiones en esta seccion.

El lugar que ocupan las matematicas en la formacion profesional y en particu-

lar en la ingenierıa, es una preocupacion que ha estado presente desde hace siglos.

Considermos dos ejemplos, distantes en el tiempo. En el siglo XVIII, Pierre Simon

de Laplace impone en 1795 un modelo de formacion matematica para ingenieros

en la Escuela Politecnica, en Parıs, Francia. Laplace consideraba “que un conoci-

2.1. LAS MATEMATICAS EN LA FORMACION DE INGENIEROS 9

miento profundo del analisis matematico dotaba a los estudiantes de una base solida

que les permitirıa dominar posteriormente la geometrıa, la mecanica y los cursos de

aplicacion.” (Romo-Vazquez, 2009)

Ası, en este modelo se reconoce a las matematicas como un cuerpo de conocimien-

tos autonomos que proveen a los estudiantes de herramientas para que posteriormente

cursen otras asignaturas.

En nuestros dıas la importancia de las matematicas en la formacion de ingenieros

que plantea el modelo anterior sigue vigente y aun mas, plantea nuevos retos debido

al uso de la tecnologıa: por ejemplo, en (Dujet, 2006) se argumenta la necesidad de

incluir las matematicas en la ingenierıa:

Las matematicas, (( lenguaje de todas las ciencias )), como ya lo expre-

saba Galileo, son necesarias para que el estudiante-ingeniero pueda lle-

gar a comprender las otras ciencias, ası como para ayudarle a adquirir

las tecnicas y los metodos que constituyen las herramientas que le son

imprescindibles (analisis, prevision del comportamiento de un sistema:

mecanico, electrico, informatico, etc.) (Dujet, 2006)

y sobre el uso de la tecnologıa:

Para hacer frente a estos nuevos desafıos, el ingeniero, no solo tiene que

demostrar que es capaz de adaptarse a la sociedad en la cual va a tra-

bajar, sino que tambien debe poder usar con gran maestrıa las nuevas

herramientas tecnologicas puestas a su disposicion. Dichas herramien-

tas se basan generalmente en nuevas y emergentes teorıas matematicas

que hubieran podido considerarse todavıa, hace apenas una o dos deca-

das, como inmaduras, pero que ahora han demostrado cumplidamente

en el mundo de la produccion que son capaces de producir herramien-

tas (programas de simulacion...), o metodos (de apoyo en la decision. . . )

apropiados y fructıferos, para proporcionar respuestas, ya sean parciales


o imperfectas, en este nivel de complejidad y de incertidumbre en el cual

nos hallamos inmersos.(Dujet, 2006)

El uso de la tecnologıa y la evolucion y diversificacion de las ingenierıas (y en

general, de las carreras que que requieren del uso de herramientas matematicas)

generan nuevas problematicas en relacion al como incluir las matematicas en la for-

macion, que han constituido un tema solido de investigacion dentro de la matematica

educativa.

Uno de los documentos clave en este sentido es el tercer estudio ICMI, publicado

en 1987 con el tıtulo Mathematics as a service subject. En su prefacio, los editores

argumentan de manera profusa que la ensenanza de las matematicas en formaciones

no matematicas es una necesidad social innegable, y ponen en evidencia los retos

que plantea esta necesidad al incluirse dentro de las formaciones universitarias y la

urgencia de que la educacion matematica se adapte a tales necesidades:

Mas que nunca, las matematicas interactuan con otras ciencias y con

actividades tecnicas en las que la ciencia esta representada. (. . . ) Las

matematicas como disciplina de servicio, representan una actividad muy

importante dentro de las instituciones de educacion superior, una activi-

dad muy variada, muy interesante y poco comprendida. (. . . ) las deman-

das explıticas para que las matematicas sean ensenadas como disciplina

de servicio son importantes y crecientes. De acuerdo a las aspiraciones de

la carrera y la eleccion de la disciplina principal, las matematicas apare-

cen a veces como indispensalbes, o bien como utiles pero de importancia

secundaria. Las formas de ensenanza deben adaptarse para correspon-

der a estos tipos distintos de demandas. (Howson, Kahane, Lauginie, y

Turckheim, 1987)

Ası, las formaciones (no matematicas) que contemplan cursos de matematicas en

sus currıculos se enfrentan a la necesidad de hacer elecciones respecto a los metodos

2.1. LAS MATEMATICAS EN LA FORMACION DE INGENIEROS 11

de ensenanza de esta disciplina. En este sentido, se senalan en el mismo documento

dos posibles criterios para hacer tales elecciones: el primero, elegir los topicos que uno

imagina como los mas utiles para el trancurso de la vida profesional del estudiante,

y el segundo, ensenar lo que necesitan inmediatamente para el aprendizaje de la

disciplina principal (ingenierıa, por ejemplo).

Contrario a lo que sucede en general, los autores afirman que el primer criterio

deberıa ser el mas importante. Por tanto, es necesario que al elegir formas de ensenar

las matematicas se piense no solo en el conocimiento que se pretende adquieran los

estudiantes, sino tambien, en las formas de pensamiento asociadas a estos conoci-

mientos. Se senala la diferencia entre el conocimiento en sı mismo, y la habilidad

para hacer uso de este conocimiento, particularmente en el caso de la ingenierıa: “En

el curso de su vida profesional, un ingeniero difıcilmente tendra que resolver un pro-

blema matematico, pero frecuentemente tendra que reconocer si la cuestion a la que

se enfrenta puede o no modelarse, o ser abordada matematicamente. . . ” (Howson y

cols., 1987)

Lo expuesto anteriormente pone en evidencia la importancia social e historica

que han tenido y tienen actualmente las matematicas dentro de las formaciones

no-matematicas, y la necesidad de adaptar su ensenanza a las exigencias de cada

formacion particular. En relacion a la ingenierıa, una de las necesidades en las que

se pone enfasis es que el ingeniero debe ser capaz de modelar situaciones y usar

los modelos matematicos para resolver problemas de su disciplina. El campo de las

aplicaciones y la modelacion en la educacion matematica ha sido estudiado desde los

anos 60 del siglo pasado y tiene en Henry Pollak a su principal precursor.

Desde su posicion fuera del ambito educativo, como matematico y miembro di-

rectivo de los laboratorios Bell en Estados Unidos, Henry Pollak ha tenido un papel

muy influyente en la defensa de integrar la modelacion a la formacion matematica,

partiendo de las necesidades de la practica profesional. En respuesta a la pregun-

ta: ¿Que necesitan los empleadores en relacion a la educacion matematica de sus

empleados? el afirma:


(. . . ) sobre todo, necesitamos saber que el pensamiento matematico, analıti-

co, estructural, cuantitativo, sistematico, puede aplicarse al mundo real y

puede dar entendimiento valioso de este, en otras palabras, que la modela-

cion matematica es posible y puede ser exitosa. (. . . ) Ademas, necesitan

entender las matematicas. Entender cuando y porque las matematicas

funcionan. (Pollak, 1987)

Podemos ver a partir del analisis de estos trabajos que la cuestion de las matemati-

cas necesarias para la formacion de ingenieros sigue abierta. Que las necesidades de la

practica no se presentan unicamente en torno a contenidos sino tambien a diferentes

tipos de pensamiento y sobre todo a un entendimiento de que matematicas utilizar

y por que utilizarlas. Esto me lleva a cuestionarse como en un curso de la forma-

cion basica pueden atenderse estas necesidades. Una posibilidad es hacerlo a traves

de actividades de modelacion matematica que permitan el mismo tiempo abordar

un contenido, su aplicacion y la razon de su aplicacion en torno a una situacion

especıfica.

Con el objetivo de abordar esta cuestion en la siguiente seccion veremos como

se inscribe la modelacion como tema de investigacion dentro de la matematica edu-

cativa. Expondre un panorama sobre las distintas perspectivas que existen sobre el

tema, senalando algunas diferencias epistemologicas. Esta revision me permitira, mas

adelante, definir un enfoque de modelacion que se responda a las caracterısticas de

la formacion matematica de estudiantes del primer ano de ingenierıa en la UACM y

a partir del cual pueda disenar actividades de modelacion.

2.2. La modelacion dentro de la matematica edu-

cativa

En la seccion anterior mencionamos la importancia que tiene usar la modela-

cion en la formacion matematica, pero ¿Que entender por modelacion? (y tam-

2.2. LA MODELACION DENTRO DE LA MATEMATICA EDUCATIVA 13

bien:¿Que entender por modelo matematico en un contexto de ensenanza?), ¿Por-

que considerar la modelacion en los cursos de matematicas? ¿Bajo que condiciones?

¿Quienes deberıan ensenarla?

Estas, entre otras cuestiones, han sido sujetas a estudio sistematico dentro de

la matematica educativa desde hace por lo menos 25 anos. Los congresos ICME y

las conferencias ICTMA producen periodicamente estudios en relacion al tema de la

modelacion. En esta seccion revisaremos parte del estudio ICMI 14: Modelling and

Applications in Mathematics Education en el que se presenta el estado del arte de la

modelacion y en particular, se propone una clasificacion de las distintas perspectivas

sobre el uso de modelacion como herramienta de ensenanza.

2.2.1. De los problemas aplicados a la modelacion

Hace veinte anos Werner Blum presento en su artıculo (Blum, 1993) el estado del

arte de la modelacion matematica en la ensenanza. Como antecedente en este tema

menciona la resolucion de problemas aplicados, un enfoque usado ampliamente en

los anos ochenta y noventa y presente hasta nuestros dıas en las aulas, como puede

verse en la seccion de ejercicios de casi cualquier libro de texto de matematicas a

nivel universitario. En la figura 2.1 presentamos un ejemplo.

En el ejemplo anterior, el modelo matematico que ha de usarse esta dado por el tema

que se esta estudiando (Sistemas de ecuaciones lineales). El problema pertenece a

la seccion del texto donde se aborda el metodo para resolver sistemas de ecuaciones

lineales. Ası, la tarea del estudiante es resolver el problema con la tecnica aprendida y

por tanto, reduce la posibilidad de que el estudiante tome decisiones sobre el modelo

matematico a elegir, las variables relevantes, o bien que ponga a prueba distintas

formas de representar el problema (todas estas habilidades consideradas importantes

para las formaciones que hacen uso de la matematica, ver seccion 2.1). Blum discute

las diferencias entre las aplicaciones y la modelacion en (Niss, Blum, Galbraith, y

Henn, 2007).

De forma general puede decirse que las actividades de aplicacion, entendidas de


Figura 2.1: Ejemplo de problema aplicado en un texto de Algebra Lineal


esta manera, van de las matematicas hacia el mundo real: el interes se centra en el

objeto matematico y el contexto sirve para ilustrar el uso del objeto. La modelacion

va mas bien en la direccion contraria: se parte del mundo real hacia las matematicas

y el interes se centra en los procesos involucrados en este camino. El enfoque de

modelacion permite que el estudiante se cuestione en relacion a que herramientas

matematicas pueden ser utiles para abordar la situacion, distinga datos relevantes,

formule hipotesis y conjeturas. Este enfoque resulta adecuado para complementar

la formacion matematica de ingenieros. En varios estudios se concibe la modelacion

como un proceso cıclico, que se abordara en la siguiente seccion.

2.2.2. Ciclos de modelacion

El concepto de modelo matematico (que antecede al de modelacion) cambia de

acuerdo al uso (Bender, 2000). En la introduccion del estudio ICMI 14 los investi-

gadores Mogens Niss, Werner Blum y Peter Galbraith lo definen en los siguientes

terminos: “Un modelo matematico consiste del dominio de interes extramatematico

D, algun dominio matematico M y un mapeo de D a M .” (Niss y cols., 2007)

Y lo esquematizan ası:

Figura 2.2: Esquema de modelo matematico segun Niss, Blum y Galbraith.


Sobre la modelacion:

El termino modelacion (modelling) se refiere al proceso entero, y todo

lo involucrado en el: estructurar D, elegir un dominio matematico M

adecuado, y un mapeo de D a M adecuado, trabajar matematicamente

dentro de M , interpretar y evaluar conclusiones en relacion a D y repetir

este ciclo varias veces si es necesario. (Niss y cols., 2007)

El ciclo de modelacion mencionado de manera esquematica en esta definicion

ha sido estudiado desde diversos enfoques teoricos y para distintos propositos (Lin-

gefjard, 2011 y Borromeo Ferri, 2006). Algunos autores proponen refinamientos de

este modelo: como ejemplo tenemos el siguiente, utilizado en (Blum y Borromeo Fe-

rri, 2009) para ilustrar las rutas que sigue un estudiante al resolver una tarea de

modelacion.

Figura 2.3: Refinamiento del ciclo de modelacion, segun Borromeo-Ferri.


Si bien los ciclos pueden concebirse de manera distinta, una descripcion general

del proceso de modelacion puede ser la siguiente: se inicia con una situacion del mun-

do real (o extra-matematico). Normalmente, la situacion tiene que ser simplificada,

estructurada y precisada por quien resuelve el problema, lo que lleva la creacion de

un modelo de la situacion. Luego el modelo es traducido al lenguaje matematico

produciendo un modelo matematico de la situacion. El proceso continua a traves de

elegir metodos matematicos adecuados para el modelo, a partir de lo cual se obtie-

nen ciertos resultados matematicos, que tienen que ser interpretados en relacion a

la situacion original. Si existen discrepancias entre la situacion real y los resultados

obtenidos, se regresa a revisar la situacion y reconsiderar el modelo, con lo cual se

inicia un nuevo ciclo.

Una pregunta que surge al revisar los distintos planteamientos de como se lleva

al cabo el proceso de modelacion se relaciona con los fines de implementar estos

procesos en la ensenanza. Niss propone dos grandes categorıas:

La primera categorıa se enfoca en las aplicaciones y la modelacion para

el aprendizaje de las matematicas, es decir, sobre los caminos potencia-

les en las cuales las aplicaciones y la modelacion pueden ser un vehıculo

para facilitar y apoyar el aprendizaje por parte de los estudiantes de las

matematicas, vistas como un tema (de conocimiento). La otra categorıa

se enfoca en aprender matematicas como un medio para desarrollar com-

petencias en aplicar las matematicas y construir modelos matematicos,

en medios que son extra-matematicos. Ası, es una dualidad porque las

relaciones entre el aprendizaje de matematicas y las aplicaciones y la mo-

delacion, tienen dos diferentes orientaciones, dependiendo de cuales sean

los objetivos y los medios para alcanzarlos. (Niss y cols., 2007)

Con relacion a la formacion de ingenieros, la segunda categorıa que propone Niss

parece adecuarse mejor a las necesidades de dicha formacion vistas desde la practica,

de acuerdo a lo mencionado en la seccion 2.1.


El analisis de ciclos de modelacion ha sido util tambien para distinguir algunos

puntos conflictivos para la implementacion en el aula. En (Borromeo Ferri, 2011) se

mencionan tres principales obstaculos, cada uno proveniente de un actor del proceso

de ensenanza-aprendizaje:

De la instruccion y la evaluacion: la modelacion es una actividad que toma

mucho tiempo si consideramos los programas de cursos, que generalmente estan

saturados de contenidos que deben cubrirse en un tiempo determinado.

Desde el estudiante: los resultados durante el proceso de modelacion no son

predecibles.

Desde el profesor: las tareas de modelacion son demandantes, requieren investi-

gar, comprender y trabajar en contextos no matematicos y un manejo de clase

que cambia el foco de atencion de la tradicional exposicion del profesor, hacia

el trabajo de los estudiantes.

Aunque el estudio aquı analizado tiene ya un tiempo dentro del panorama de

la matematica educativa, encontramos que estas dificultades siguen presentes en los

cursos de matematicas, particularmente en el contexto mexicano.

La organizacion de los programas de estudio mantiene una estructura en la que

la saturacion de contenidos dificulta la inclusion de actividades de modelacion que

toman mas tiempo de lo que permite el programa, tanto para el desarrollo del trabajo

de los estudiantes, como la dedicacion que el profesor debe invertir al investigar sobre

el contexto no matematico, desarrollar y poner en practica las actividades. Lo anterior

resulta en una complejidad para la implementacion de actividades de modelacion en

el aula, misma que sera necesario considerar al momento de plantear la ruta de

investigacion.

La modelacion se ha consolidado ya como una teorıa dentro de la matematica

educativa (Kaiser, Blomhoj, y Sriraman, 2006) conformandose de numerosas pers-

pectivas, metodos y objetivos de estudio. En la siguiente seccion revisaremos una

clasificacion de estas perspectivas, resultado de un trabajo sostenido desde el ICMI


14 y continuado por grupos de investigacion sobre el tema de modelacion, particu-

larmente el Topic Study Group 21 dentro del congreso ICME 11.

De esta revision, nos interesa resaltar algunas perspectivas que puedan adecuar-

se al contexto educativo en el que haremos la investigacion (formacion inicial de

ingenieros en la UACM).

2.2.3. La modelacion como una teorıa: el estudio ICMI 14

En el artıculo Towards a didactical theory for mathematical modelling (Kaiser y

cols., 2006) los autores afirman que existe una teorıa para la ensenanza y el apren-

dizaje de la modelacion matematica. De frente a las crıticas a las que ha sido sujeta

la Matematica Educativa en relacion a la (falta de) consolidacion de marcos teoricos

propios, ellos consideran que la modelacion, siendo aun una teorıa en desarrollo y

por tanto incompleta, es una teorıa consolidada en el sentido de que existe como

un sistema de puntos de vista conectados que cubren todos los niveles didacticos, y

esta basada en un entendimiento coherente de los procesos de modelacion matemati-

ca y su conexion con los procesos de ensenanza y aprendizaje, resaltando ademas que

el desarrollo teorico se da en conjunto con la practica docente.

En este artıculo presentan una revision de las perspectivas de modelacion que

consideran, componen el estado del arte sobre el tema, de acuerdo al estudio ICMI

14 (Niss y cols., 2007). Un punto comun a estas perspectivas es la idea subyacente de

un modelo del proceso de modelacion. En este sentido, reconocen seis perspectivas:

1. Analizar procesos de modelacion matematica autenticos, retrospectivamente,

segun su desarrollo historico.

2. Identificar elementos clave en la competencia de modelacion matematica

3. Analizar el trabajo de modelacion matematica de los estudiantes retrospecti-

vamente para determinar con que parte del ciclo estan trabajando, los caminos

elegidos y las dificultades en el proceso de modelacion.


4. Como herramienta para apoyar el trabajo de modelacion de los estudiantes y

la metacognicion relacionadas con este.

5. Como herramienta para planificar cursos o proyectos de modelacion, identifi-

cando las partes del ciclo con las que estan trabajando.

6. Como herramienta para analizar un elemento curricular en la ensenanza de las

matematicas. Resaltan el uso de un ciclo de modelacion general como un punto

de referencia.

Tambien consideran, fuera de estas seis perspectivas, otras como las Actividades

detonadoras de modelos (R.Lesh, 2003).

Estas perspectivas teoricas se han seguido analizando. Un ejemplo de ello es el fo-

ro del grupo de estudio 21 que tuvo lugar en el congreso ICME 11 en el ano 2008. En

la siguiente seccion analizamos la clasificacion mas reciente con el objetivo de identi-

ficar trabajos representativos de distintos niveles educativos y distintos objetivos de

ensenanza.

2.2.4. Clasificaciones mas recientes: el grupo de estudio 21

en el 11 ICME

Dos anos despues del estudio ICMI 14 -dedicado a la modelacion y las aplica-

ciones en la educacion matematica, como se menciono anteriormente- se conforma

un grupo de estudio para la conferencia ICME 11 llamado Grupo de estudio sobre

las aplicaciones matematicas y la modelacion en la ensenanza y el aprendizaje de

matematica (TSG21). El grupo reconoce que, si bien la modelacion es una teorıa

coherente dentro de la Matematica Educativa, no esta sustentada en un unico pa-

radigma de investigacion. Por el contrario, existen distintas aproximaciones. En las

actas de esta conferencia se busca categorizar los artıculos presentados en la confe-

rencia dentro de este tema para dar pie a una discusion sobre las bases teoricas de


los distintos enfoques (Blomhoj y Carreira, 2009). La categorizacion ası resultante,

no cubre toda el area pero cada categorıa tiene un nivel de consolidacion aceptable,

en tanto que lleva varios anos y ha producido una cantidad igualmente aceptable de

artıculos de investigacion.

Se reconocen las siguientes perspectivas:

La perspectiva realista. Centra su vision de la modelacion como resolucion

de problemas aplicados e introduce el uso de la tecnologıa como recurso para

modelar. Su referente basico son los trabajos de (Pollak, 1969) . Un artıculo

representativo de esta perspectiva es el de (Kadijevich, Haapasalo, y Hvorecky,

2005).

La perspectiva socio-crıtica. Su proposito es develar el poder formativo

de la modelacion matematica, en el sentido de crear discursos reflexivos entre

los estudiantes, estructurando la crıtica y la reflexion en torno al proceso de

modelacion y al proceso de aplicacion.

La perspectiva contextual. Basada en una extensa investigacion sobre re-

solucion de problemas y el papel que juegan los problemas en contexto (word

problems) en la ensenanza de las matematicas. En la ultima decada, esta pers-

pectiva esta representada por los trabajos de Richard Lesh, a partir de lo que el

denomina las actividades detonadoras de modelos (Model Eliciting Activities,

MEAs), dirigidas por seis principios.

La perspectiva educativa. Su principal interes es introducir la modelacion

matematica a la ensenanza, haciendo enfasis en las nociones de modelo, en

el proceso y en las competencias de modelacion matematicas. Sus principales

exponentes son Mogens Niss, Werner Blum y Jay Galbraith.

La perspectiva cognitiva. La representan principalmente las investigaciones

de Rita Borromeo-Ferri. (Borromeo Ferri, 2011) En esta perspectiva, el interes


principal es comprender cuales de las funciones cognitivas surgen en los estu-

diantes al resolver actividades de modelacion matematica a nivel individual.

En Mexico, la Dra. Patricia Camarena tiene una amplia gama de trabajos con

respecto a los modelos matematicos en el contexto de las ciencias (Camarena,

2000). Sus estudios estan enmarcados en su teorıa llamada “Matematicas en

el contexto de las ciencias”. Su principal interes es investigar las habilidades

cognitivas involucradas en la modelacion de problemas de ingenierıa. Los ele-

mentos cognitivos identificados estan relacionados principalmente con (1) las

concepciones matematicas que se requieren en el proceso de matematizacion,

(2) habilidades cognitivas en ingenierıa, relacionadas con las diferentes fases

del proceso de modelacion y, (3) elementos cognitivos especıficos vinculados

con los tipos particulares de modelos y problemas de ingenierıa.

Luego de analizar brevemente este panorama sobre los enfoques de trabajos en

modelacion se hara hincapie en dos enfoques: uno hıbrido entre la perspectiva con-

textual que puede situarse dentro del programa cognitivo y la Teorıa Antropologica

de lo Didactico, que permitirıa el analisis del uso de modelos en la practica.

Estas perspectivas parecen adecuarse al problema de investigacion que interesa

en el presente trabajo porque a) permiten analizar la practica de la modelacion en

contextos de ingenierıa y b) sugieren una metodologıa de trabajo que puede aplicarse

en los cursos de matematicas del ciclo basico. Hay que recordar que los cursos de

matematicas ocupan un lugar preponderante en la formacion basica (primeros dos

anos) de las ingenierıas. Este tema se analizara con mas detalle, ubicandolo en el

contexto de la UACM en la seccion 2.3.2.

2.2.5. Una perspectiva mixta: APOE y actividades detona-

doras de modelos

La perspectiva contextual citada anteriormente contempla el diseno y el analisis

de tareas de modelacion con respecto a intenciones particulares para el aprendizaje


en el nivel bachillerato principalmente.

En (Hamilton, Lesh, y Lester, 2008) se plantea dentro de esta lınea un tipo de

actividad estructurada conocida como Model Eliciting Activity que se ha utilizado

en los cursos de ingenierıa en los niveles basicos.

Un artıculo que ejemplifica bien este tipo de actividades es (Moore, 2008), de las

que resaltan ciertas caracterısticas en el diseno: encontrar contextos alcanzables para

los estudiantes, que el problema planteado sea accesible de modo tal que los estu-

diantes tengan elementos para evaluar su respuesta, y que pueda ser generalizable.

Ademas, la estructura de la actividad da pautas para la evaluacion del proceso de

modelacion.

En la literatura, (MEDIA, 2013) las actividades detonadoras de modelos -si bien

homogeneas en la estructura, basadas en seis principios- tienen alcances y objetivos

de aprendizaje muy diversos. Ademas, notamos que las habilidades de trabajo cola-

borativo, inferencia, comunicacion de ideas, entre otras, forman el objetivo principal

de las secuencias mientras que los elementos matematicos presentes juegan un papel

secundario. Lo anterior deja ver la necesidad de apuntalar la actividad de modelacion

con un marco teorico solido, en el que esten presentes los conceptos matematicos. La

siguiente perspectiva (una combinacion de las actividades detonadoras de modelos

con la teorıa APOE , perteneciente al programa cognitivo) parece responder a esta

necesidad.

La teorıa APOE (accion-proceso-objeto-esquema) expuesta a detalle en el estudio

de Ed Dubinsky (Dubinsky y Mc Donald, 2001) es una teorıa que ha sido probada

con exito en la ensenanza de matematicas, particularmente en el nivel superior.

Esta teorıa se enfoca en la construccion de conocimiento matematico por medio

del mecanismo de abstraccion reflexiva (ibid,2001) que supone que la construccion

del conocimiento matematico pasa por tres etapas basicas: accion, proceso y objeto.

En el capıtulo 3 revisaremos este marco teorico.

En esta lınea de investigacion encontramos -en el ambito de la educacion supe-

rior en Mexico- los trabajos de miembros del grupo RUMEC, por ejemplo (Possani,


Trigueros, Preciado, y Lozano, 2010) en los que se complementa la perspectiva con-

textual de modelacion con la teorıa APOE, dando como resultado un marco teorico

mixto que ha generado varias investigaciones enfocadas principalmente, en el Algebra

Lineal.

Se propone en ese marco teorico una metodologıa que consiste en partir de la des-

composicion genetica de un concepto y a traves del uso de actividades de modelacion

y actividades de construccion de conceptos, mirar la construccion que el estudiante

ha logrado en relacion a la descomposicion genetica preestablecida. Es a traves de

cuestionarios y entrevistas que el investigador puede identificar dicho avance.

En esta seccion se han descrito en terminos generales lo que se conoce como pro-

ceso de modelacion, contrastandolo con los problemas aplicados o word problems

que siguen siendo de uso frecuente en los cursos universitarios. Se han mencionado

tambien dos categorıas distintas de acuerdo al objetivo de incluir la modelacion en

actividades didacticas y algunas dificultades que conlleva su implementacion. Asimis-

mo, se reviso una clasificacion de las perspectivas de la modelacion como herramienta

de ensenanza planteadas en anos recientes. De lo anterior, surge la pregunta: ¿Que ti-

po de actividades de modelacion pueden tener lugar en una formacion de ingenieros

en la UACM?

Lo anterior lleva a cuestionarse sobre la existencia de herramientas teoricas que

permitan disenar las actividades, favoreciendo al profesor que desea incorporarlas en

su practica. Este punto se retomara en el capıtulo 3.

Los enfoques aquı referidos tienen en comun la existencia de un modelo sobre el

ciclo de modelacion, como se han mencionado en la seccion 2.2.2. En las actividades

de modelacion que se han revisado dentro de estos enfoques, esta presente en todos

los casos el proceso de “matematizacion” de la realidad.

Otros autores, sin embargo, cuestionan tal postura cuando se trata de describir

el uso que los ingenieros dan a los modelos matematicos, como se analizara en la

seccion siguiente.

2.3. LA MODELACION EN LA FORMACION MATEMATICA DE INGENIEROS25

2.3. La modelacion en la formacion matematica

de ingenieros

El interes de acercar la practica a la teorıa en carreras no cientıficas se ha senalado

en otras investigaciones (Pollak, 1987). En los anos recientes, las polıticas educativas

a nivel global senalan la importancia de promover metodos de ensenanza y aprendi-

zaje basados en la solucion de problemas reales, particularmente en la formacion de

ingenieros en Mexico (Swain, 2011) (Kent y Noss, 2002) , (Kent, Noss, Guile, Hoyles,

y Bakker, 2007).

La modelacion ha resultado ser un vehıculo para desarrollar importantes practicas

matematicas en varios ambitos del aprendizaje de profesiones cuyo interes esta fuera

del ambito cientıfico y matematico, entre las que estan: la resolucion de problemas en

las que intervienen habilidades de pensamiento avanzadas, entender y conectar con-

ceptos matematicos, no matematicos y representar y comunicar ideas matematicas

usando metodos formales e informales.

Segun Gainsburg, “las tareas de modelacion pueden provocar en el estudiante la

reflexion metacognitiva de sus metodos de solucion y justificar aseveraciones sobre

cantidades y sus relaciones” (Gainsburg, 2006).

En el proceso de ensenanza-aprendizaje la modelacion ayuda ademas a reflejar

las practicas que se dan fuera del aula, acercando al estudiante a la vida laboral.

En la actualidad, el uso de la tecnologıa hace necesario que el profesional, y en

particular el ingeniero, se enfrente a problemas complejos en los que debe poner en

practica habilidades de analisis e interpretacion, busqueda de patrones, resolucion de

problemas, comunicacion y trabajo interdisciplinario, mismas que pueden potenciarse

a partir del uso de la modelacion en el aula (Kent y Noss, 2002) , (Hamilton y cols.,

2008) y que tienen poca oportunidad de presentarse en un enfoque tradicional de

ensenanza del tipo teorıa → aplicacion (Skovmose, 2001).

El dominio de las tecnicas matematicas, que sigue siendo el centro de atencion

en muchos de los cursos de matematicas en las ingenierıas, es uno de los pasos que


se reconocen dentro del proceso de modelacion. Sin embargo, algunas investigaciones

hacen evidente que esta es una de las actividades que menos reto representa para los

ingenieros en la practica: aun mas, que los calculos que el ingeniero usa para analizar

sus modelos pertenecen en buena parte a las matematicas basicas . Por lo que el

reto parece estar tanto en la consolidacion de conceptos matematicos basicos con

vistas a su uso en la practica, como en el desarrollo de otras habilidades involucradas

en el proceso de modelacion como por ejemplo, la interpretacion de un sistema, la

toma de decisiones al elegir variables y al definir o ajustar parametros, entre otras.

Asimismo se ha encontrado evidencia de que en la practica, el ingeniero, mas que

crear modelos matematicos los usa y los adapta segun las necesidades del problema.

(Bisell y Dillon, 2002), (Bisell y Dillon, 2000)

En ese sentido, nos referiremos al artıculo (Bisell y Dillon, 2002). En el, los autores

distinguen algunas caracterısticas del proceso de modelacion cuando se utiliza en la

ensenanza en nivel superior, dentro de las areas tecnologicas (particularmente la

ingenierıa), como veremos a continuacion.

2.3.1. Uso de modelos desde las necesidades de la practica:

el enfoque de Bissell y Dillon

En el documento mencionado se describen dos formas de ver el proceso de mo-

delacion: el ciclo duro y el suave, que se muestran en las figuras 2.4 y 2.5.

Hay, segun los autores, particularidades del uso de modelos en ingenierıa que no

se ven representadas en el uso de ninguno de estos ciclos. Es decir, son aspectos del

proceso de modelacion de la practica profesional que difieren de los que se consideran

en el contexto academico (tanto en educacion matematica como en educacion en

ingenierıa), entre ellos destacan:

1. El uso y adaptacion de modelos versus la creacion de los modelos. Es inusual

crear un modelo desde los “primeros principios”.

2. Los ingenieros frecuentemente recurren a modelos estandares, cuyas soluciones


Figura 2.4: El ciclo suave de modelacion.

Figura 2.5: El ciclo duro de modelacion.


son bien conocidas y que (mas que crearse) tienen que adaptadas o modificadas

ligeramente.

3. La experiencia es importante: los modelos son refinamientos de otros modelos

usados anteriormente, y que incluso han fallado, a partir de lo cual el ingeniero

“modelador” gana experiencia, de modo que la modelacion no es un proceso

algorıtmico, sino subjetivo.

4. La utilidad de un modelo en funcion de si puede emplearse exitosamente: un

modelo es util si puede ser empleado exitosamente.

Es de notar el ultimo punto: en la matematica escolar el uso de modelos, si se

da, esta restringido frecuentemente a que la solucion sea exacta o que corresponda al

uso de una tecnica o contenido en particular, sin tomar en cuenta si este modelo es

exitoso, en el sentido de que puede ser facilmente resuelto aunque sea poco preciso,

como parece darse en la practica profesional.

Tambien mencionan una jerarquıa de habilidades que estan presentes al usar un

modelo, entre ellas:

1. Manipulativas: reacomodar formulas, sustituir numeros correctamente en una

expresion, cambiar el numero o formula en una hoja de calculo.

2. En un siguiente nivel, interpretar lo que se hace al manipular una formula.

3. Aplicar las conclusiones alcanzadas a partir de la interpretacion del modelo.

Mencionan tambien la creciente importancia del uso de software, y las explica-

ciones que el ingeniero hace de un modelo (Bisell y Dillon, 2000).

Debido a la gran diversidad de ingenierıas que existe (tanto por sus objetivos co-

mo por sus enfoques) no podemos hablar de “un ingeniero” ni de “una ingenierıa” en

abstracto. Cada formacion tiene distintas intenciones profesionales, distintas formas

de estructurar los conocimientos y los objetivos de aprendizaje y por tanto, distin-

tas necesidades en relacion a las matematicas. Sin embargo, encontramos que en su


mayorıa, las carreras de ingenierıa contemplan un tronco comun, que dura de uno a

dos anos, en el que el estudiante toma cursos de ciencias basicas y matematicas y un

segundo momento -al que llamaremos formacion disciplinar- en donde adquiere las

herramientas propias de la ingenierıa. Esto se cumple en la Universidad Autonoma

de la Ciudad de Mexico (UACM), institucion de educacion superior en donde desa-

rrollaremos la investigacion y cuyo modelo describiremos en la siguiente seccion. Los

elementos ası presentados confluyen finalmente en la pregunta de investigacion, con

la que cerramos este capıtulo.

2.3.2. El modelo de formacion de ingenieros en la UACM

La UACM se crea como una universidad publica de servicio a los habitantes de

la Ciudad de Mexico, con caracterısticas novedosas. El modelo contempla generar

estudiantes con una formacion crıtica, cientıfica y humanista.

El ingreso es irrestricto, en el sentido de que el unico requisito para ingresar es

contar con un diploma de bachillerato y ganar un lugar a traves de un sorteo. No

existe pues, examen de admision ni otros criterios que restrinjan el ingreso, como la

edad o el bachillerato de provenencia.

Las caracterısticas mencionadas confluyen en una poblacion heterogenea, con

conocimientos matematicos igualmente heterogeneos. A diferencia de otras institu-

ciones en donde se pide contar con un cierto numero de creditos en matematicas y

fısica para ingresar a una ingenierıa, en la UACM no es un requisito, de modo que la

unica base comun que puede suponerse sobre los estudiantes, son los conocimientos

de un bachillerato que puede ser tecnico o no, presencial o no, etcetera.

Uno de los ejes principales de la formacion universitaria en el modelo original de

la UACM es la no especializacion temprana. En la figura 2.6 se muestra un extracto

de uno de los documentos producidos en esta universidad dentro del programa de

apoyo academico Galatea, en el que se explica que se entiende por “no especializacion

temprana”, y porque esta es una premisa del modelo de la UACM.


Figura 2.6: No especializacion temprana en el modelo de la UACM


Lo anterior incide en la forma en que institucionalmente se entiende la formacion

matematica en el ciclo basico: esta debe proveer al estudiante de un pensamiento

cientıfico, al mismo tiempo que siente las bases necesarias para ingresar al ciclo

superior, esto es una dicotomıa que en la practica es difıcil de resolver.

La universidad ofrece cinco ingenierıas. De acuerdo al modelo mencionado, to-

das ellas comparten un Ciclo Basico que corresponde a los primeros dos anos de

formacion. Este ciclo basico a su vez, esta compuesto por veinte asignaturas, de las

cuales ocho son cursos de matematicas, cuatro son de fısica, uno de quımica, cuatro

de informatica o introduccion a la ingenierıa, y tres son cursos optativos dentro de

alguno de los colegios de humanidades.

Como podemos ver, los cursos de matematicas conforman la mayorıa de los cursos

en cada semestre de este ciclo, lo que hace patente la importancia que se le da a la

disciplina en la formacion de ingenieros en la UACM. (ver figura 2.7)

53%

27%

20%

Distribución de cursos por área en el ciclo básico de las ingenierías ISET, ISTU en la UACM

Matemá.cas

Física

Otros (Informá.ca/Ingeniería/Química)

Figura 2.7: Cursos de matematicas en el ciclo basico de la UACM.


En el ciclo superior sin embargo, no se contemplan cursos de matematicas. Se

asume que los conocimientos conseguidos en los cursos de matematicas durante el

ciclo basico son indispensables para ingresar a los cursos del ciclo superior, aunque

no existen restricciones institucionales para que un estudiante curse una materia de

cualquier ciclo. Los profesores a su vez, no transitan entre los dos ciclos: es decir,

los profesores que dan cursos de matematicas no participan en el ciclo superior, y

viceversa. Lo anterior, implica que la responsabilidad de vincular la formacion basica

con la de especialidad, recae principalmente en el estudiante. Es importante mencio-

nar que practicamente todos los docentes de matematicas tienen una formacion en

matematicas (licenciatura o posgrado en ciencias matematicas o fısico-matematicas)

y los del ciclo superior, en alguna ingenierıa.

Esto nos lleva a preguntarnos ¿Como incide el enfoque que se le da a los cursos de

matematicas del ciclo basico en el aprendizaje de esta disciplina, para los estudiantes

de ingenierıa en la UACM? ¿Responde esta formacion matematica a las necesidades

de la formacion en la especialidad (es decir en los cursos del ciclo superior)?

Tales preguntas soportan una pregunta de investigacion mas general, misma que ex-

pondremos en la siguiente seccion.

2.4. La pregunta de investigacion

El interes central de esta investigacion es disenar una actividad didactica basada

en el uso y adaptacion de modelos, que acerque la practica profesional a la formacion

matematica en el nivel basico, en el contexto de las carreras de ingenierıa de la

UACM.

Un interes planteado desde el inicio ha sido enmarcar la investigacion del uso

de actividades de modelacion dentro de la formacion de ingenieros, por las razones

expuestas en la introduccion. Si bien al inicio se considero abordar el problema de

modelacion desde una perspectiva cognitiva (para investigar la construccion de un

2.4. LA PREGUNTA DE INVESTIGACION 33

concepto mediante actividades de modelacion) se hizo evidente mas tarde que para

acercar los mundos de la formacion (basica) y la practica, era necesario tomar en

cuenta como esta ultima incidıa en la primera.

En particular, no resulta suficiente pensar el proceso de modelacion (a partir del

cual se disenara la actividad) respondiendo a un ciclo como el que se describio en

la seccion anterior, a la luz de lo estudiado en (Bisell y Dillon, 2000). Es necesario

entonces considerar ¿Como los ingenieros entienden y usan un modelo matematico?

y ¿Como lo hacen los profesores de ingenierıa?, con el fin de emular ese tipo de

actividad en las secuencias de modelacion.

Se perciben entonces tres ambitos: la practica profesional, la formacion univer-

sitaria de ingenierıa y los cursos de matematicas del ciclo basico. De allı surge la

necesidad de recurrir a una teorıa que se adecuara para para analizar la actividad

de modelacion sujeta a las restricciones de cada una de las instituciones en juego.

La Teorıa Antropologica de lo Didactico parece ser un marco adecuado. A continua-

cion, expongo los elementos de esta teorıa y como pienso que podrıa usarlos en mi

investigacion.

De lo anterior, se plantea como pregunta principal:

¿Como disenar actividades basadas en el uso y adaptacion de modelos en la

formacion matematica de los ingenieros de la UACM?

Y se consideran tambien otras preguntas auxiliares: ¿Que tipo de actividades didacti-

cas pueden generarse para incorporar el uso que los ingenieros dan en la practica a

los modelos matematicos? ¿Es posible adaptar un contexto real de la ingenierıa para

generar estas actividades y como hacerlo? ¿Es posible lograr que estas actividades,

al estar inscritas en los cursos de ciclo basico, permitan construir conocimiento ma-

tematico?

Capıtulo 3

El marco conceptual: TAD y

APOE

El analisis de las investigaciones presentadas en el capıtulo anterior permitio iden-

tificar tres ambitos que participan en la formacion universitaria de ingenierıa: los cur-

sos de matematicas del ciclo basico, los cursos de especialidad con una componente

matematica y la practica profesional.

En (Romo-Vazquez, 2009) estos tres ambitos son considerados en terminos de ins-

tituciones y se estudian en el marco de la Teorıa Antropologica de lo Didactico (TAD,

en adelante). En este mismo trabajo se consideran otras instituciones como son: las

matematicas como disciplina y las ciencias del ingeniero (disciplinas intermediarias)

como disciplinas. El analisis de proyectos de ingenierıa (actividades practicas) per-

mite considerar la TAD como una aproximacion teorica que ofrece herramientas para

el estudio de los modelos utilizados en contextos de ingenierıa. En esta seccion se

presentan elementos de dicha teorıa y como podrıan ser considerados para desarrollar

esta investigacion.

Dado que uno de los objetivos de esta investigacion es el diseno de actividades

didacticas basadas en el uso de modelos para los cursos del ciclo basico -y en parti-

cular del Algebra Lineal- se considera la teorıa APOE. Dicha eleccion se basa en el

35

36 CAPITULO 3. EL MARCO CONCEPTUAL: TAD Y APOE

analisis presentado en la seccion 2.2.5 en el que se muestra como esta teorıa ofrece

herramientas tanto para el diseno de actividades de modelacion para construir co-

nocimiento matematico y medir sus efectos una vez que estas son enfrentadas por

los estudiantes. Esta teorıa, como se mostro en la seccion antes mencionada, ha sido

utilizada en el diseno de actividades didacticas de modelacion (Possani y cols., 2010).

Los elementos constitutivos de esta teorıa y la manera en que pueden ser utilizados

para esta investigacion se presentan en la segunda parte de esta seccion.

Se reconoce que la TAD aporta elementos para describir la dimension institucional

que condiciona y posibilita la actividad de modelacion en contextos de ingenierıa,

mientras que la APOE aporta elementos para el diseno de la actividad didactica que

permite la construccion de conocimiento matematico (visto como modelo) en el aula.

Considerar la dimension institucional y cognitiva de la actividad de modelacion en

el aula es una complejidad que debe enfrentarse en el desarrollo de este estudio. Sin

embargo, existe un antecedente de dialogo entre ambas teorıas que resulta una base

importante para sustentar el marco conceptual aquı propuesto (Trigueros, Gascon,

y Bosch, 2011).

3.1. La Teorıa Antropologica de lo Didactico

Segun los autores de la obra Theories on Mathematics Education, la TAD es una

extension de la teorıa de situaciones didacticas de Brousseau que surge del interes

de ampliar el alcance que el programa cognitivo habıa imprimido a la investigacion

en matematica educativa.

El precursor de esta teorıa es Yves Chevallard quien expreso la necesidad de

generar un cambio de paradigma, que partiera de las ideas de Brousseau pero que

apuntara hacia los orıgenes de la actividad matematica que se encontraba en las insti-

tuciones productoras de saber matematico. Ası, el estudio de la actividad matematica

se inscribio dentro de una dimension institucional.

En esta teorıa, Chevallard se intereso en la dimension institucional del saber: en

3.1. LA TEORIA ANTROPOLOGICA DE LO DIDACTICO 37

como las instituciones condicionan la produccion y la difusion del saber matematico.

Por esto importa conocer donde (en que institucion) se valida el conocimiento y

cuales son los cambios que este sufre cuando va a ensenarse o cuando se convierte en

objeto de ensenanza.

La TAD analiza el cambio que el conocimiento y la practica sufren cuando se

adaptan de una institucion a otra. Dichos cambios deberan estudiarse a partir de

un modelo de investigacion de la practica, que no puede limitarse unicamente a des-

cribir que y como se ensena en una cierta institucion. Para ello la TAD usa como

herramienta de investigacion las praxeologıas, termino que etimologicamente une dos

conceptos: praxis y logos, de donde se suele traducir praxeologıa “como el estudio

sobre la practica. (Bosch, 2011)”

Las praxeologıas son pues las unidades mınimas a partir de las cuales se analiza la

actividad matematica, y estan formadas de cuatro elementos: T el tipo de tarea o

tareas, τ la tecnica, θ la tecnologıa y Θ la teorıa. Una praxeologıa en una institucion

determinada, al ser adaptada, sufre una transposicion que resulta en otra praxeo-

logıa dentro de otra institucion (la definicion del termino institucion se precisa mas

adelante). Una praxeologıa esta compuesta de dos bloques, como se muestra en el

siguiente esquema:

[T/τ ] Bloque tecnico-practico

T , Tipos de tareas

τ , tecnicas

[θ/Θ] Bloque tecnologico-teorico

θ, tecnologıas

Θ, teorıas

En forma sintetica, se denota a la praxeologıa como

[T, τ, θ,Θ]

Para entender los elementos de la expresion anterior recurrimos a la siguiente

explicacion, que se encuentra en el artıculo de Carl Winslow, dentro de las memorias

del congreso bianual sobre la TAD:


[. . . ]toda actividad humana (en particular la actividad matematica) esta mo-

tivada por una accion o tarea, y lo que se hace para llevar al cabo esta

tarea, es la tecnica. Las tareas se agrupan en tipos si estas se resuelven

usando una misma tecnica , y recıprocamente, una tecnica se reconoce

por el tipo de tareas (similares) que permite resolver. Una de las carac-

terısticas de la practica y el aprendizaje humanos es que las tecnicas estan

sujetas a explicaciones, a argumentos y otras formas de discurso, a lo que

se le llama tecnologıa. Finalmente, la tecnologıa es a su vez, explicada y

justificada por un“superdiscurso”, que se llama Teorıa. (Winslow, 2011)

El concepto de institucion se entiende del siguiente modo:

Las instituciones se refieren a organizaciones sociales estables, que enmar-

can las actividades humanas y simultaneamente las hacen posibles por los

recursos que estas instituciones ponen a disposicion de sus sujetos. Estos

recursos materiales e intelectuales han sido producidos por comunidades,

a lo largo de los procesos de enfrentamiento a situaciones problematicas

y se trata de resolverlas con regularidad y eficacia. (Romo-Vazquez y

Castela, 2011)

Como una extension del modelo praxeologico clasico, presentado anteriormente, en

(Romo-Vazquez y Castela, 2011) se presentan dos componentes tecnologicas, teorica

y practica, para conformar el Modelo praxeologico extendido.

Dichas componentes pueden provenir de dos o mas instituciones. Este modelo se

presenta esquematicamente en (Romo-Vazquez y Castela, 2011) del siguiente modo:[T, τ,

θth

θp,Θ]←− P (S)

←− Iu

Como se ve en la formulacion anterior el modelo considera dos componentes

tecnologicas: θth (teorica) y θp (practica). La componente practica es un discurso

que tiene seis funciones que permiten describir, validar, explicar, facilitar, motivar


y evaluar el uso de tecnicas matematicas en referencia a instituciones usuarias, no

necesariamente matematicas.

Con P (S) se representa la institucion productora de saberes (por ejemplo, el

Algebra Lineal) e Iu denota la institucion usuaria de tales saberes (por ejemplo, el

ingeniero profesional). Al enfrentarse a tareas en un contexto de ingenierıa, se recurre

al uso de saberes matematicos (modelos matematicos) mediante tecnicas matemati-

cas validadas por saberes matematicos θth. El uso de la tecnica (como por ejemplo,

reconocer la naturaleza de la tarea, discriminar una tecnica de otra dependiendo de

su utilidad o bien adaptar la tecnica al contexto, etcetera) es validado en cambio por

saberes practicos θ, legitimados por Iu.

Para la componente practica se identifican seis funciones: la utilidad de estas

es reconocer como los saberes practicos validan la adaptacion y uso de los modelos

matematicos. Estas se describen en (Romo-Vazquez y Castela, 2011) de la manera

siguiente:

1. Describir el tipo de tareas y la tecnica. La produccion de un discurso que ca-

racteriza el tipo de tarea y los pasos que componen una tecnica es considerada

como una pieza de saber que no es identificable por sı misma. Las acciones y el

contexto social donde se situa la nocion praxeologica en un sistema compartido

se pueden identificar en la elaboracion de un sistema de representaciones ver-

bales y simbolicas. La produccion de estos lenguajes y la descripcion que ellos

permiten hacer constituye una componente esencial del proceso de transmision

de una invencion tecnica.

2. Validar la tecnica. Corresponde a lo que generalmente se entiende como justi-

ficar. Los saberes considerados establecen que la tecnica produce bien lo que

ella dice que produce, que los pasos que la componen permiten alcanzar los

objetivos que le son asignados. En el caso de las matematicas, esta funcion es

generalmente asegurada por los saberes, justificados por las teorıas matemati-

cas. Sin embargo en otros contextos, los saberes validados experimentalmente

en laboratorio o empıricamente en el uso pueden validar una tecnica.


3. Explicar la tecnica. Se trata de saberes que permiten analizar como la tecnica y

sus diferentes pasos permiten conseguir los objetivos pretendidos. Contribuyen

a la comprension de las causas de los sujetos y estan relacionadas a su cultura

compartida.

4. Facilitar la aplicacion de la tecnica. Los saberes considerados en esta funcion

permiten a los usuarios utilizar con eficacia pero tambien con un cierto con-

fort la tecnica. Estos son portadores de mejoras pero tambien de advertencias

que permiten evitar errores y torpezas conocidas como frecuentes. Este domi-

nio de saberes es el terreno privilegiado de las elaboraciones tecnologicas de

los usuarios. Dicho dominio produce efectos retomados de descripciones que

lo especifican al adaptarlo a las condiciones particulares del contexto institu-

cional de utilizacion y el enriquecimiento de la memoria de las experiencias

acumuladas.

5. Motivar la tecnica y los pasos que la componen. Estos saberes estan orientados

hacia la practica. Ellos participan de una inteligencia de los fines: son los ob-

jetivos esperados que justifican racionalmente los pasos mostrando su razon de

ser. Se trata de escribir una historia de la tecnica que situe sus componentes,

unas en relacion con las otras: por que (¿para hacer que?) ¿se realiza tal paso

en tal momento? Los saberes de motivacion estan seguidos por saberes sobre

el tipo de tareas puesto que ellos analizan los objetivos. Permiten anticipar las

etapas esperadas y entonces juegan un rol heurıstico importante luego que la

aplicacion de la tecnica necesita adaptaciones.

6. Evaluar la tecnica. Los saberes considerados en este rubro tienen que ver con el

dominio, las condiciones y los lımites de una tecnica relativamente a las tareas

del tipo T. Ellos pueden igualmente considerarse con el funcionamiento de la

tecnica desde el punto de vista de sus usuarios. La funciones evaluar, facilitar

y motivar pueden estar bastante relacionadas: la puesta en evidencia de ciertas

dificultades (evaluar) puede provocar al cabo de cierto tiempo la produccion


de mejoramientos (facilitar), la motivacion es dada por la evaluacion.

En relacion a esta investigacion la utilidad de este modelo radica en que, al

considerar las matematicas que usan los ingenieros, importa donde y como se utilizan.

Ası, un modelo matematico puede ser el optimo en relacion a su facilidad de uso y no a

su validez o coherencia matematica (un elemento tambien mencionado anteriormente

dentro de la investigacion de Bissell y Dillon, ver seccion 2.3.1).

El uso de la teorıa Antropologica de lo didactico y en particular del modelo

praxeologico extendido, resulta util para describir las relaciones entre instituciones.

En (Romo-Vazquez, 2009) se distinguen las siguientes:

Productoras de saberes: P (M), P (DI) de matematicas y de disciplinas inter-

mediarias, respectivamente. Producen la praxeologıa, haciendo pesar sobre esta

sus restricciones y condicionamientos.

De ensenanza de matematicas E(M) y E(DI) de disciplinas intermediarias.

Corresponderıan a los cursos de matematicas de ciclo basico y ciclo superior

respectivamente.

Ip instituciones usuarias, es decir, las de la practica profesional. Podrıan estar

representadas por ingenieros practicantes o los proyectos que estos realizan.

Estas herramientas teoricas se han utilizado para analizar la circulacion de

saberes matematicos en contextos de ingenierıa. En (Romo-Vazquez, 2009) se

presentan analisis praxeologicos de proyectos desarrollados por ingenieros en

formacion, con la siguiente estructura:

• Se describen las tareas a desarrollar y se analizan a partir de los docu-

mentos de las instituciones productoras de saber matematico P (M), y

de disciplinas intermediarias P (DI); de las instituciones de ensenanza

E(M) y E(DI) y de la practica, Ip, dependiendo de la tarea en cuestion

y de las instituciones que intervienen.


• Se analizan las tecnicas concernientes a cada tarea.

• Se investigan los elementos teoricos que sustentan las tecnicas, en rela-

cion a la institucion que los provee (ya sea productora, de ensenanza o

practica).

Con base en este modelo, es posible describir la circulacion de saberes ma-

tematicos en el contexto de un curso de Algebra Lineal en la UACM.

Las herramientas aquo presentadas se consideran utiles para analizar el con-

texto ingenieril conocido como BSS (capıtulo 4), considerado dentro de P (DI)

y posiblemente, Ip. En este contexto se analizaran las praxeologıas asociadas

al uso de modelos matematicos con el objetivo de reconocer tareas, tecnicas y

sobre todo, las validaciones en juego. Dichas validaciones se suponen teoricas

y practicas. Este analisis sera la base para el diseno de la actividad didactica.

Las herramientas de la teorıa APOE seran utilizadas para realizar dicho diseno

y se presentan a continuacion.

3.2. La teorıa APOE en el diseno de secuencias

didacticas

La teorıa APOE (o APOS, en ingles, por las siglas de Action, Process, Object,

Schema) tiene como bases principales las ideas de Piaget, en relacion a como

se pasa de un estado de conocimiento a otro, y los trabajos de Ed Dubinsky en

torno al pensamiento matematico avanzado (Dubinsky y Mc Donald, 2001).

En esta teorıa se consideran cuatro tipos de construcciones esenciales en el

aprendizaje de los conceptos matematicos: accion, proceso, objeto y esquema

(Trigueros, 2005). El mecanismo que permite que un individuo haga este tipo

de construcciones y transite entre ellas es la abstraccion reflexiva, y se consi-

dera que el conocimiento matematico del individuo esta determinado por las

3.2. LA TEORIA APOE EN EL DISENO DE SECUENCIAS DIDACTICAS 43

conexiones que establece entre estos cuatro tipos de construccion. Ası, una de

las metas de las investigaciones que se basan en esta teorıa es disenar estra-

tegias que posibiliten que los estudiantes hagan construcciones adecuadas y a

establecer conexiones adecuadas entre estas.

Segun la teorıa, el individuo usa una concepcion accion de un concepto u objeto

matematico cuando ha transformado dicho concepto actuando sobre el a traves

de procedimientos o algoritmos especıficos, que obedecen a estımulos externos.

Cuando el sujeto reflexiona sobre sus acciones, estas pueden ser interiorizadas

en un proceso mental. La interiorizacion es un mecanismo que se puede descri-

bir como lograr la construccion de una estructura mental que haga el mismo

trabajo

que el estımulo externo. Una vez ocurrida la interiorizacion, el individuo pue-

de reflexionar sobre el concepto sin hacer acciones especıficas sobre el, y se

considera que muestra una concepcion proceso del concepto. Cuando, a traves

de aplicar acciones y reflexionar sobre el proceso logra concebirlo como una

totalidad, transforma el proceso en objeto. El mecanismo que permite transi-

tar entre estas dos construcciones se llama encapsulacion. Ası, el individuo usa

una concepcion objeto del concepto matematico cuando lo ha encapsulado y

puede resolver una situacion que involucre dicho concepto. El objeto se integra

a las estructuras previas del individuo. Al integrar las acciones, procesos y ob-

jetos se llega a un esquema (schema), la construccion mas amplia. Un esquema

contiene a su vez, otros esquemas previos, de modo que es una construccion

inacabada. El individuo hace evolucionar sus esquemas a traves de integrar

nuevas relaciones y estructuras a sus esquemas previos.

La teorıa APOE plantea un ciclo de investigacion con tres componentes:

1. Analisis teorico

2. Diseno e implementacion en ensenanza


3. Observacion, analisis y verificacion de datos

En el primero, se describen las construcciones y mecanismos mentales que pue-

de realizar el sujeto para construir el concepto, lo que se conoce como la des-

composicion genetica del concepto. Una descomposicion genetica no es unica.

Para disenar materiales con ella, el investigador debe apoyarse en datos de los

sujetos de la investigacion. Los resultados de la investigacion se utilizan para

refinar la descomposicion de manera que sea mas congruente a la forma en que

aprenden los alumnos.

Desde el punto de vista de esta teorıa, la dificultad de una tarea matematica

dependera de la complejidad de las construcciones mentales que dicha tarea

requiere (interiorizacion de un sistema de acciones para construir un proceso

mental, coordinacion de procesos, encapsulacion de un proceso para construir

un objeto, reversion de un proceso, etc.) y, simultaneamente, del grado de

flexibilidad de los esquemas mentales correspondientes.

La teorıa APOE se ha utilizado como marco teorico integrada junto con una

perspectiva de modelacion conocida como Models and Modelling (R.Lesh, 2003)

para investigar la posibilidad de introducir a los alumnos en conceptos im-

portantes dentro del area de las Ecuaciones Diferenciales a traves del uso de

modelos. En (Trigueros, 2009) se reporta una investigacion conducida con estu-

diantes de Economıa cuyo objetivo didactico consistio en desarrollar un modelo

para predecir el precio de un bien en el mercado. La metodologıa seguida con-

sistio en el diseno, por parte del investigador, de una descomposicion genetica

del topico Ecuacion diferencial de primer orden. Esta descomposicion se uti-

lizo para guiar la intervencion del profesor. El investigador diseno actividades

para trabajar el modelo en el aula. Los alumnos trabajaron en pequenos grupos

y en el artıculo se reporta el desarrollo de varios ciclos de modelacion. Estos

ciclos se identificaron por el tipo de trabajo desarrollado por los estudiantes y

consistieron en:

3.2. LA TEORIA APOE EN EL DISENO DE SECUENCIAS DIDACTICAS 45

1. Seleccionar y relacionar variables

2. Introducir la razon de cambio como una variable a considerar

3. Refinamiento del modelo y analisis del mismo (a partir de actividades

basadas en la descomposicion genetica)

4. Encontrar soluciones, planear la recoleccion de datos y formas de trabajar

con los parametros (a partir de actividades basadas en la descomposicion

genetica)

5. Representacion de datos y analisis de resultados.

6. Diseno de un reporte final

En el artıculo se describe el desarrollo de estos ciclos con detalle, haciendo notar

como en cada uno, el investigador recurre a la descomposicion genetica para

identificar, entre otros puntos: como son las concepciones de los estudiantes en

relacion al concepto mencionado (ecuacion diferencial de primer orden), y si

pueden o no llevar a cabo acciones en el concepto y coordinar estas acciones con

su propio conocimiento del contexto no matematico (economıa). En relacion a

un grupo particular de estudiantes se menciona, por ejemplo:

(. . . ) Estos estudiantes mostraron haber coordinado el esquema de-

rivada, el esquema funcion y el esquema economıa. Fueron capaces

de llevar al cabo acciones sobre funciones y relacionar funciones

y derivadas como objetos para construir una ecuacion diferencial.

Tambien usaron estos esquemas para sugerir un metodo grafico pa-

ra encontrar la relacion entre la derivada y la funcion. Este ins-

trumento probo ser util para desarrollar acciones sobre la ecuacion

diferencial y entender el significado del posible comportamiento de

la funcion solucion. (Trigueros, 2009)


Reconocer la actividad matematica propuesta en la secuencia didactica en

terminos de acciones, procesos, objetos y esquemas puede favorecer en los estu-

diantes la construccion de conocimiento matematico (visto como modelo). Un

analisis mas fino sobre el trabajo aquı presentado y otros, (Trigueros, Oktac,

y Ku, 2008) debe permitir describir con mayor precision la construccion de

modelos matematicos a partir de ciertas tareas propuestas en la secuencia. Es

decir, el objetivo de construir conocimiento matematico debe atender tanto a

los objetivos del programa del curso de matematicas E(M) como al uso de este

en tanto que modelo en relacion a las necesidades de E(DI) y de Ip.

Los elemento Analisis teorico, Diseno e implementacion en la ensenanza y Ob-

servacion, analisis y verificacion de datos mencionados anteriormente se consi-

deran utiles para el diseno y su experimentacion en el aula.

Capıtulo 4

El plan metodologico

Recordemos que el reto de esta investigacion esta en usar un contexto que pro-

viene de la practica para disenar una actividad de modelacion en el que tengan

lugar las praxeologıas mixtas identificadas en dicho contexto. Ası como dar

cuenta de como el estudiante a traves de la actividad, da sentido y coherencia

a estas praxeologıas dentro de los cursos de matematicas del ciclo basico de

las ingenierıas en la UACM. En el capıtulo anterior propusimos el uso de las

teorıas TAD y APOE para estudiar estas dos dimensiones del problema de in-

vestigacion. En esta seccion se expone el plan metodologico para abordar dicho

problema con base en los elementos teoricos analizados.

De acuerdo a las formulaciones sobre instituciones presentadas en 3.1 en lo que

sigue haremos referencia a las siguientes: la institucion de produccion de cono-

cimientos de ingenierıa P (DI), el ambito escolar de la ensenanza de matemati-

cas para ingenieros en el primer ano de carrera E(M) y el de ensenanza de

las disciplinas intermediarias (cursos de ingenierıa en el ciclo superior), E(DI).

Para caracterizar las relaciones entre estas instituciones en torno a modelos

matematicos tanto en su uso como en la ensenanza se ha propuesto un plan

conformado por las tres fases siguientes:

47

48 CAPITULO 4. EL PLAN METODOLOGICO

• Fase I. Se elige y analiza un contexto extramatematico a partir del cual

se disenara la actividad didactica.

• Fase II. Se disena la actividad didactica

• Fase III. Se implementa la actividad en el aula, se analiza y se reportan

los resultados.

Esquematicamente, este plan puede verse como sigue:

Fase I

Elección de un contexto

Búsqueda bibliográfica (documentos representantes de las ins;tuciones)

Iden;ficación de un modelo matemá;co

Fase II

Análisis de documentos representantes de ins;tuciones P(M),P(DI), E(M)

Fase III

Implementación en el aula

Recolección de evidencias.

Análisis y reporte de resultados

Uso del modelo en la prác;ca

Conceptos matemá;cos inmersos en el modelo

Análisis APOE

Diseño de ac;vidad didác;ca

Figura 4.1: Plan metodologico

En este documento se presentan principalmente los avances de la Fase I (en

relacion a un contexto particular de la ingenierıa biomedica) que son un pre-

cedente fundamental para el diseno de la actividad didactica. Las otras dos

fases se esbozan para mostrar como se ha considerado desarrollar el plan me-

todologico antes presentado.

4.1. FASE I: CONTEXTO BSS Y MODELO MATRICIAL 49

4.1. Fase I: Contexto BSS y modelo matricial

El contexto de uso que se esta considerando en esta primera etapa del proyecto

se conoce como el problema de separacion ciega de fuentes (BSS,

La eleccion del contexto tiene como antecedente una descripcion del mismo

con objetivos didacticos, que se realizo anteriormente a partir de una colabo-

racion con ingenieros biomedicos (Romo, 2012) ,(Macıas, 2012) en las cuales se

muestra que existen modelos matematicos en uso (vectores y matrices ası como

el calculo de la inversa de una matriz). Por lo anterior, este contexto resulta

adecuado para esta investigacion, pues los modelos mencionados se inscriben

en el curso de Algebra Lineal, en el segundo semestre del ciclo basico.

De la metodologıa propuesta en (Macıas, 2012) se retoman dos categorıas: 1)

Eleccion del contexto extramatematico y 2) Eleccion y descripcion del modelo

matematico en uso, (ibid, p.22) las cuales son redefinidas a la luz del plan me-

todologico conformado por las tres fases. Mas alla de un trabajo colaborativo

con ingenieros biomedicos, se considero necesario analizar diferentes documen-

tos que abordan de manera mas general el metodo de la BSS y que permitan

al mismo tiempo, distinguir su formulacion matematica y los contextos de in-

genierıa donde es utilizado.

Una primera busqueda bibliografica para ubicar el tema dentro del area de

ingenierıa nos permitio concluir que el problema BSS tiene formulaciones que

responden a distintos grados de complejidad y notamos que las investigaciones

sobre los metodos o algoritmos para resolver el problema han sido ampliamen-

te desarrolladas durante los ultimos 15 anos en distintas areas de ingenierıa e

incluso de las matematicas. Se distinguen entonces varios metodos para resol-

verlo, por lo que en adelante, haremos referencia tanto al problema BSS como a

algun metodo de BSS. La siguiente es una definicion muy general del problema:

Problema BSS (Primera aproximacion). La separacion ciega de fuentes

consiste en terminos generales, en determinar las fuentes (senales) de origen


que dieron lugar a una mezcla, sin conocer la forma en como se mezclaron.

Se recurrio a documentos provenientes de P(DI) para conocer dichas formula-

ciones y para identificar el tipo de modelos matematicos presentes en ellas. Es

importante notar que si bien en el origen el problema se situa en la ingenierıa

biomedica, la busqueda bibliografica nos presenta una gran variedad de ejem-

plos en distintos contextos (por ejemplo, el procesamiento de senales digitales

y la radiastronomıa, (Caiafa, s.f.)). Esta caracterıstica del problema abre un

abanico de posibilidades para el desarrollo de la actividad didactica, lo que

resulta una caracterıstica interesante en la eleccion del contexto.

El objetivo de la busqueda bibliografica fue identificar un modelo matematico

que pudiera ser abordado con herramientas del curso de Algebra Lineal, perte-

neciente al segundo semestre del ciclo basico en la UACM. A continuacion se

presenta el modelo identificado con estas caracterısticas, y se ejemplifica en el

contexto de ingenierıa biomedica.

Problema BSS (Segunda aproximacion). Consideremos que existen dos

fuentes que producen senales temporales: s1(t) y s2(t). Por ejemplo, las senales

podrıan ser las que se obtienen con un electroencefalograma. Supongamos que

colocamos dos electrodos (o sensores, cuya funcion es registrar las senales en-

cefalicas) en distintas posiciones de la cabeza. Estos electrodos registraran,

cada uno, una superposicion diferente de las fuentes, es decir:

x1(t) = a11s1(t) + a12s2(t)

x2(t) = a21s1(t) + a22s2(t)

donde x1(t) y x2(t) son las senales registradas por los electrodos (mezclas) y los

valores de los coeficientes aij dependeran de la geometrıa de la configuracion

de fuentes y sensores. Las ecuaciones anteriores pueden escribirse en forma


compacta usando notacion matricial de la siguiente manera:

x(t) = As(t) (1)BlindSourceSeparation).Esteproblemasurgedelaingenierıabiomedica(Comon yJutten,2010)yestarelacionadoconeltopicodeanalisisdesenales.

La eleccion del contexto tiene como antecedente una descripcion del mismo

con objetivos didacticos, que se realizo anteriormente a partir de una colabo-

racion con ingenieros biomedicos (Romo, 2012) ,(Macıas, 2012) en las cuales se

muestra que existen modelos matematicos en uso (vectores y matrices ası como

el calculo de la inversa de una matriz). Por lo anterior, este contexto resulta

adecuado para esta investigacion, pues los modelos mencionados se inscriben

en el curso de Algebra Lineal, en el segundo semestre del ciclo basico.

De la metodologıa propuesta en (Macıas, 2012) se retoman dos categorıas: 1)

Eleccion del contexto extramatematico y 2) Eleccion y descripcion del modelo

matematico en uso, (ibid, p.22) las cuales son redefinidas a la luz del plan me-

todologico conformado por las tres fases. Mas alla de un trabajo colaborativo

con ingenieros biomedicos, se considero necesario analizar diferentes documen-

tos que abordan de manera mas general el metodo de la BSS y que permitan

al mismo tiempo, distinguir su formulacion matematica y los contextos de in-

genierıa donde es utilizado.

Una primera busqueda bibliografica para ubicar el tema dentro del area de

ingenierıa nos permitio concluir que el problema BSS tiene formulaciones que

responden a distintos grados de complejidad y notamos que las investigaciones

sobre los metodos o algoritmos para resolver el problema han sido ampliamen-

te desarrolladas durante los ultimos 15 anos en distintas areas de ingenierıa e

incluso de las matematicas. Se distinguen entonces varios metodos para resol-

verlo, por lo que en adelante, haremos referencia tanto al problema BSS como a

algun metodo de BSS. La siguiente es una definicion muy general del problema:

Problema BSS (Primera aproximacion). La separacion ciega de fuentes

consiste en terminos generales, en determinar las fuentes (senales) de origen

que dieron lugar a una mezcla, sin conocer la forma en como se mezclaron.


Se recurrio a documentos provenientes de P(DI) para conocer dichas formula-

ciones y para identificar el tipo de modelos matematicos presentes en ellas. Es

importante notar que si bien en el origen el problema se situa en la ingenierıa

biomedica, la busqueda bibliografica nos presenta una gran variedad de ejem-

plos en distintos contextos (por ejemplo, el procesamiento de senales digitales

y la radiastronomıa, (Caiafa, s.f.)). Esta caracterıstica del problema abre un

abanico de posibilidades para el desarrollo de la actividad didactica, lo que

resulta una caracterıstica interesante en la eleccion del contexto.

El objetivo de la busqueda bibliografica fue identificar un modelo matematico

que pudiera ser abordado con herramientas del curso de Algebra Lineal, perte-

neciente al segundo semestre del ciclo basico en la UACM. A continuacion se

presenta el modelo identificado con estas caracterısticas, y se ejemplifica en el

contexto de ingenierıa biomedica.

Problema BSS (Segunda aproximacion). Consideremos que existen dos

fuentes que producen senales temporales: s1(t) y s2(t). Por ejemplo, las senales

podrıan ser las que se obtienen con un electroencefalograma. Supongamos que

colocamos dos electrodos (o sensores, cuya funcion es registrar las senales en-

cefalicas) en distintas posiciones de la cabeza. Estos electrodos registraran,

cada uno, una superposicion diferente de las fuentes, es decir:

x1(t) = a11s1(t) + a12s2(t)

x2(t) = a21s1(t) + a22s2(t)

donde x1(t) y x2(t) son las senales registradas por los electrodos (mezclas) y los

valores de los coeficientes aij dependeran de la geometrıa de la configuracion

de fuentes y sensores. Las ecuaciones anteriores pueden escribirse en forma

compacta usando notacion matricial de la siguiente manera:

x(t) = As(t) (1)


donde s(t) = [s1(t) s2(t)]T y x(t) = [x1(t) x2(t)]

T y A es la matriz de coeficien-

tes o matriz de mezcla. Desde luego la ecuacion (1) tambien puede aplicarse al

caso de la mezcla de un numero arbitrario N de fuentes y sensores. El problema

de la separacion ciega de fuentes (BSS) consiste en recuperar las senales de las

fuentes s(t) utilizando solamente los registros capturados por los electrodos, es

decir, a partir de x(t). Esta claro que, si se conocieran los coeficientes de mezcla

o lo que es lo mismo las distancias relativas entre sensores y fuentes, entonces

el problema estarıa resuelto gracias al Algebra utilizando transformacion lineal

inversa, es decir: s(t) = A−1x(t)

donde A−1 es la inversa de la matriz de mezcla. (Caiafa, s.f.)

Lo expuesto en esta seccion corresponde a la Fase I del plan metodologico pro-

puesto, centrado en el contexto BSS. De forma esquematica tenemos entonces:

BSS: Separación Ciega de fuentes (ing. biomédica, telecomunicaciones, etc.)

Elección del contexto Iden.ficación de un modelo matemá.co

€

As = x

A = la matriz de mezcla s= el vector de fuentes X= el vector de observaciones

Fase I

Búsqueda bibliográfica

DisCntas formulaciones:

Modelo lineal instantáneo de mezcla

modelo convoluCvo

modelo no lineal.

Complejidad de las hipótesis: independencia estadísCca de las fuentes.

Figura 4.2: Fase I. Contexto BSS

Con el fin de realizar el analisis de documentos representantes de las instituciones

usuarias (correspondiente a la primera parte de la fase II) se comenzo una revision de

algunos de los documentos que en la fase I sirvieron para ubicar el contexto de uso y


otros que se seleccionaron porque resultan representativos de las instituciones P(M),

P(DI), E(M), E(DI). Presentamos esta revision bibliografica inicial en la siguiente

seccion.

4.2. Fase II: Hacia el diseno de la actividad

En esta seccion se muestra la metodologıa que guıa el proceso del analisis del

contexto de la BSS para disenar una secuencia didactica (conjunto de actividades

didacticas) para el curso de Algebra Lineal.

Primeramente se utilizara el modelo praxeologico extendido para dar cuenta de

como se da la circulacion de las praxeologıas relacionadas con dicho problema entre

algunas de las instituciones Ip, P (M), P (DI), E(M), E(DI), las cuales consideramos

participan en la formacion de futuros ingenieros. Ası, este problema, surgido de un

contexto extramatematico es el punto de partida del diseno de la actividad.

Para hacer este analisis se considero necesario reconocer el uso de los modelos

matematicos presentes en los metodos BSS a partir de documentos provenientes

de la comunidad de investigacion en BSS , y por tanto, representantes de P (DI)

(Georgiev y Theis, 2004), (Comon y Jutten, 2010),(Puntonet, s.f.),(Sanchez-Morillo,

2008).

Una de las formulaciones encontradas corresponde al modelo de mezclas ins-

tantaneas lineales, que puede expresarse en terminos de una ecuacion matricial, como

se menciono en la seccion anterior. Las hipotesis del problema para este modelo in-

volucran conceptos como independencia estadıstica de las fuentes, que corresponden

a cursos de matematicas mas alla del 5o semestre en las ingenierıas de la UACM.

Haciendo una adaptacion de tales hipotesis el problema puede plantearse en terminos

del calculo de la inversa de la matriz de mezcla.

Con base en lo anterior, y considerando que uno de los objetivos de la tesis es

analizar el uso de los elementos relacionados con la ecuacion As = x, (matrices, vec-

tores, producto de matriz por vector y calculo de la inversa) sujetos a las condiciones

4.2. FASE II: HACIA EL DISENO DE LA ACTIVIDAD 55

de E(M) y E(DI), el analisis tiene dos objetivos principales:

1. Reconocer caracterısticas del uso de este modelo para disenar la secuencia

didactica.

2. Reconocer el uso de matrices, vectores, inversa de una matriz (conceptos y

operaciones) en el metodo de la BSS.

Para lograr estos objetivos se realizo una busqueda de documentos relacionados

con la BSS y con los conceptos del Algebra Lineal inmersos en el modelo propuesto. A

partir de esta busqueda se comenzo un analisis que situa cada documento en relacion

a las instituciones usuarias. El esquema de la figura 4.3 muestra el resultado de este

proceso:


E(M) Curso de Álgebra lineal [9] UACM: Programa de estudios del curso de Algebra Lineal [10] Poole: un enfoque del álgebra lineal hacia las aplicaciones [11] Grossman: un enfoque teórico.

Un objetivo de la tesis: Analizar un uso de matrices, vectores, cálculo de la inversa de una matriz en el método de la BSS

¿Dónde buscar?

P(DI) Separación de fuentes. [2] Common-Jutten: Estado del arte de las investigación en torno a las formulaciones y métodos de BSS [3] Puntonet: clasificación de algoritmos para BSS. [4] Georgiev: condiciones para solubilidad en términos de la dispersión de las fuentes. [5] Sánchez-Morillo: tesis

E(DI) Tratamiento de Señales [1] Moon, Stirling: la teoría matemática soporta y valida el uso de algoritmos en tratamiento de señales. [6] Caiafa, C.: Un panorama de BSS y sus aplicaciones. [7] Carrión: técnicas para procesar señales biomédicas. [8] Oppenheim: Texto universitario del área de señales y sistemas.

Figura 4.3: Clasificacion de documentos


En la siguiente seccion presentamos una descripcion inicial de cada uno de los

documentos que aparecen en el esquema anterior.

4.2.1. Analisis de documentos

Documentos representantes de P(DI)

Se eligieron documentos avalados por P (DI) como son: un handbook, dos artıculos

de investigacion y una tesis doctoral, que permitieron mostrar tanto las caracterısti-

cas del metodo como sus diferentes contextos de uso, y de los que se obtuvo un

panorama de los algoritmos BSS para las distintas formulaciones e hipotesis. Un

punto a resaltar es que frecuentemente tales algoritmos se validan desde P (DI) de

acuerdo a la facilidad (economıa) de implementacion. Esto ultimo sugiere que la fun-

cion 4 del modelo praxeologico extendido facilitar la aplicacion de la tecnica puede

estar interviniendo en la validacion de los algoritmos. Dicho de otro modo, no solo

importa la coherencia y validez del algoritmo sino la facilidad con que este pueda ser

aplicado.


1. Common C. y Jutten: Handbook of Blind Source Separation: Independent com-

ponent analysis and applications.

Este libro es un compendio del estado del arte sobre el problema BSS: sus

formulaciones, metodos y algoritmos. Es un documento que se produce desde

P(DI), notemos que si bien este documento surge y es validado por una co-

munidad de investigacion, esta dirigido a ingenieros practicantes. En este se

reconoce la complejidad del problema de BSS desde los distintos contextos en

los que se plantea, las hipotesis y las tecnicas utilizadas. Ademas, se reconoce

la fuerte componente matematica en el problema. “ The problem can be sta-

ted in various contexts (. . . ) it can be adressed in blind or semiblind contexts

using second order or higher order statistics(. . . ) There is a wide variety of

mathematical problems depending on the hypothesis assumed.”(ibid, p.3)

Si bien este documento se produce desde P(DI), distinguimos distintas valida-

ciones segun el uso. Por ejemplo, si un ingeniero biomedico quiere afinar un

metodo que esta programando para analizar un EEG y recurre al libro para

distinguir que aproximacion le conviene segun los datos que ha recabado, en-

tonces la validacion la hace el: el metodo es util o no para el problema practico.

Se considera que la funcion validar la tecnica puede figurar en este proceso, es

decir la validacion de la tecnica se hace en base al problema que se esta re-

solviendo, se verifica la utilidad de la tecnica tanto en su coherencia como en

su uso, pero la validacion se rige por el uso. En cambio, si un ingeniero in-

vestigador que esta produciendo teorıa sobre BSS recurre al libro para tener

un panorama de los metodos existentes, la validacion la hara de acuerdo a si

el libro presenta un panorama completo o no, de dichos metodos. Es decir, la

validacion se hara en referencia a la teorıa matematica que sustenta el metodo

y a la generalidad considerada.

Lo anterior permite tomar en cuenta dos criterios para la clasificacion: el pri-

mero de acuerdo a quien produce el documento (y por tanto lo valida) y un

segundo de acuerdo a para quien se produce (y por tanto, la validacion es-


tara relacionada con el uso).

2. Puntonet, C. (2003) . Procedimientos y Aplicaciones en Separacion de Senales

(BSS-ICA)

Este documento es un artıculo de investigacion en el que se presenta un resu-

men de los procedimientos mas conocidos en el ambito de la separacion ciega

de senales y del analisis en componentes independientes, y en el que se propone

una clasificacion de los procedimientos lineales y no lineales. *

El problema BSS tiene una formulacion matematica. Esto da pie a investiga-

ciones cuyo eje generador es la matematica teorica, por ejemplo, cuando se

analizan las hipotesis del problema. La validacion, sin embargo, esta dada por

la insitucion productora de la disciplina intermediaria P(DI). Un ejemplo es el

siguiente documento:

3. Georgiev, P. y Theis, F. (2004) Blind Source separation of linear mixtures with

singular matrices.

Es un artıculo de investigacion desde la teorıa matematica en el que se dan con-

diciones para la solubilidad del problema BSS bajo hipotesis sobre dispersion

de las fuentes.

4. Sanchez-Morillo, D. (2008) Procesado y transmision de senales biomedicas pa-

ra el diagnosticos de trastornos y enfermedades del sueno. Tesis doctoral en

ingenierıa.

Aunque esta tesis no aborda directamente el problema BSS se considero con

el fin de explorar los metodos de la practica involucrados en el uso del modelo

matricial dentro de una aplicacion de BSS a neurociencias: la separacion de

senales producidas por un electroencefalograma. Ası, el objetivo fue explorar

las configuraciones de electrodos, que tipo de variables miden y en que unidades

se miden, y los metodos para analizar graficas producidas por instrumentos de

registro de biosenales, para tener elementos que permitan disenar la secuencia


didactica. La tesis esta inscrita en el area de Ingenierıa en Telecomunicaciones

y su objetivo es producir conocimiento para la ingenierıa.

Esta primera revision muestra que en los distintos contextos considerados el

modelo BSS se plantea para vectores de senales (biomedicas, de audio, satelita-

les, etcetera). Por otra parte, puede verse que el metodo puede estar conformado

por formulaciones matematicas complejas y que estas pueden ser tambien va-

riadas como por ejemplo desde la estadıstica o desde un enfoque puramente

matricial. Se requiere un analisis mucho mas fino para reconocer la naturaleza

de las validaciones en juego, de los conocimientos matematicos involucrados y

de las condiciones de uso que cada uno de los contextos impone. Sin embar-

go, esta revision muestra la generalidad del metodo y en ese sentido resulta

interesante para poder basar el diseno de la actividad didactica pues no se

inscribe a una sola ingenierıa. Por supuesto, en el diseno de la actividad esto

permitirıa no enfocarse a una sola ingenierıa, pero sera un reto determinar la

generalidad con la que pueda ser tratado. Por otra parte, se considera que esta

revision guıa el analisis que debe continuarse, los documentos provenientes de

P(DI) permiten dar cuenta de los discursos tecnologicos que sustentan las for-

mulaciones matematicas del metodo y aunque algunos usos aparecen, el acento

esta puesto en la validez del metodo y en las consideraciones que deben tenerse

en cuenta para adaptarlo. Aunque estas son vistas desde un punto de vista mas

teorico o al menos mas general. Todo lo anterior muestra que una adaptacion

del contexto de uso a un contexto de ensenanza requiere conocer la naturaleza

de estos objetos y como se inscriben dentro de las matematicas.

Documentos provenientes de E(DI)

Con el objetivo de analizar el contexto de ensenanza del metodo de la BSS se

eligieron documentos de la ensenanza de disciplinas intermediarias, los cuales se

ubican principalmente en el area del Analisis de Senales. Cabe mencionar que el

Procesamiento de senales es un tema considerado importante en la formacion de


ingenieros en la UACM, como se justificara mas adelante.

A continuacion presentamos la revision de los documentos representantes de

E(DI). Corresponden a un artıculo de divulgacion para estudiantes de ingenierıa,

dos textos universitarios sobre procesamiento de senales, un programa de estudios

(ciclo superior, UACM) y un texto de metodos matematicos para este tema. Un as-

pecto interesante es como se considera en algunos de estos documentos la importancia

de la teorıa matematica.

1. Moon. T.K y Stirling (2000) Mathematical methods and algoritms for signal

processing.

El libro esta dirigido tanto a estudiantes de ingenierıa, como a ingenieros prac-

ticantes. Si bien podemos ubicarlo como un documento representante de E(DI),

notamos que hay un interes principal en mostrar los metodos matematicos.

Los autores consideran importante que los ingenieros practicantes conozcan

del procesamiento de senales tanto la teorıa como la “implementacion” de las

matematicas: “como y porque funciona, y como hacer que la computadora lo

haga”. Entonces, uno de los roles de la teorıa reconocidos por E(DI) es funda-

mentar el conocimiento que el ingeniero debe utilizar para crear, modificar, o

ajustar algoritmos presentes en la practica (en particular, al programar):

The purpose of this book is to bridge the gap between introductory

signal processing classes and the mathematics prevalent in contem-

porary signal processing research and practice, by providing a uni-

fied applied treatment of fundamental mathematics, seasoned with

demonstrations using MATLAB. This book is intended not only for

current students of signal processing, but also for practicing engi-

neers who must be able to access the signal processing research lite-

rature, and for researchers looking for a particular result to apply.

It is thus intended both as a textbook and as a reference. (Moon y

Stirling, 2000)


2. Caiafa, C. (2012). Topico en Procesamiento de senales: separacion ciega de

fuentes y aplicaciones.

Este es un artıculo inscrito en el area de procesamiento de senales en el que

se explica el problema de BSS y sus aplicaciones en varias areas (uno al pro-

cesamiento de imagenes satelitales y otro a Radioastronomıa). Es un artıculo

introductorio cuya intencion principal es difundir un tema de estudio.

3. Carrion, P. (2007). Procesado de senales biomedicas.

Un texto dentro de una serie universitaria en el area de Ingenierıa biomedica

e Ingenierıa Electronica. Un enfoque hacia la Medicina. Presenta tecnicas para

procesar senales biomedicas, entre ellas, la BSS.

4. Oppenheim, A. (1997). Senales y sistemas

Este es uno de los libros de texto recomendados en la bibliografıa basica del

programa del curso de Analisis de senales de la UACM. De este texto se con-

tinuara el analisis sobre los conceptos de senal y linealidad.

5. UACM. (2004) Programa de estudios del curso Analisis de Senales.

El procesamiento de senales es un tema de importancia en la formacion de in-

genieros, como podemos ver a partir del programa de estudios. En cinco de las

seis ingenierıas de la UACM este tema se contempla en por lo menos un curso.

Existen dos asignaturas relacionadas directamente con este tema, si bien, el

tema esta presente tambien en otros cursos que lo incluyen indirectamente.

Estos cursos son:

* Analisis de senales: Obligatoria del ciclo basico (4o semestre) para las licen-

ciaturas ISET, e ISEI, y optativa para ISTU e ISET.

* Procesamiento digital de senales: obligatoria de 9o semestre para ISET e ISEI.

En el programa de estudios de Analisis de senales se establece, en relacion a la

funcion de esta asignatura en el plan de estudios y a los vınculos del curso con

otras asignaturas:


[...] la ingenierıa electrica se encarga del estudio de las relaciones

y procesamiento de las senales electricas, dichas relaciones en ge-

neral se pueden expresar como operaciones matematicas. Por lo

tanto, es indispensable un curso de analisis de senales en esta ca-

rrera, debido a que esta asignatura sienta las bases de analisis y

sıntesis de senales (electricas). Los vınculos con otras asignaturas

son extensos, por un lado, se requieren conocimientos de matemati-

cas y fısica como, calculo diferencial e integral (MAT01), algebra

y geometrıa analıtica (MAT02), calculo vectorial (MAT04), alge-

bra lineal (MAT03), electricidad y magnetismo (FIG03). En el caso

de las asignaturas precedentes se pueden mencionar las de rela-

cion directa como, teorıa de los circuitos (TEC01), teorıa electro-

magnetica.(http://www.uacm.edu.mx/ , 2013)

Documentos provenientes de E(M)

Como puede verse en esta cita, el curso de algebra lineal E(M) esta relacionado

con el curso de analisis de senales, por lo que se sugieren para el analisis, dos libros de

texto de algebra lineal (que aparecen como bibliografıa recomendada en el programa

de estudios y que utilizan enfoques distintos en relacion al uso de modelos) y el

mismo programa de estudios.

1. UACM. (2004) Programa de Algebra Lineal.

2. Poole, D. (2006) Algebra Lineal.

3. Grossman, S. (1995) Algebra Lineal.

Los documentos aquı presentados han sido considerados a partir de un primer analisis

que muestra las posibles relaciones entre las instituciones de ensenanza E(DI) y E(M)

con la institucion P(DI). Un analisis mas fino en terminos del Modelo praxeologi-

co extendido permitira generar una descripcion del metodo de la BSS, las senales


consideradas y los modelos matematicos involucrados. Un elemento de suma impor-

tancia es el de evidenciar tanto los conocimientos que cada institucion (P(DI), E(DI)

y E(M)) valida y el tipo de discursos asociados. Dicha descripcion constituira una

referencia para el diseno de la actividad con la intencion de describir las praxeologıas

mixtas inmersas en dicho modelo, a partir de cuestionamientos como: ¿Que restric-

ciones imprimen las instituciones P (DI) (y posiblemente Ip) a estas praxeologıas?

¿Cual es la naturaleza de sus explicaciones? ¿Cuales son las hipotesis para usar el

modelo? ¿Que conocimientos previos requieren para su uso?

En el esquema del plan metodologico (fig. 4.2) se considera para esta segunda

fase el analisis a partir de la teorıa APOE de los conceptos matematicos inmersos

en el modelo, con el fin de que el diseno de la actividad didactica tome en cuenta

la construccion de tales conceptos y permita analizar el aprendizaje de los alumnos

conforme trabajan en el actividad de modelacion. Aunque esta parte del plan me-

todologico aun esta en una etapa de construccion, presentamos algunas ideas para

desarrollarla.

En las metodologıas seguidas en investigaciones que estudian los procesos de

modelacion desde la teorıa APOE (Trigueros, 2009) se hace patente la necesidad de

conocer el fenomeno en cuestion (contexto extramatematico) tanto para modelarlo,

como si se aborda desde un modelo existente. Este conocimiento se evidencıa y se

construye partiendo de los conocimientos previos de los estudiantes, a traves de

discusiones grupales, por ejemplo. En el caso del contexto BSS la discusion puede

centrarse en los aspectos relacionados con las mezclas de senales (¿Porque lineal?,

¿Que se mezcla?) con la intencion, mas tarde, de dar sentido al producto de matriz por

vector que produce una mezcla lineal, y tambien, a una generalizacion del concepto

vector para el cual las entradas sean funciones (senales). Este ultimo aspecto resulta

importante porque en los documentos considerados para E(M) se distingue un uso

de vectores y matrices como arreglos de numeros reales fuera del contexto de funcion.

La finalidad docente de la actividad se ve reflejada en la construccion de un

concepto matematico, que en el contexto que hemos elegido puede ser el modelo


matricial de un sistema de ecuaciones. Se puede considerar en el diseno, preguntas

que indaguen sobre las acciones, procesos y objetos de los que dispone el estudiante en

relacion a este concepto, (lo anterior supone que hay disponible una descomposicion

genetica del mismo, lo que ocurre en el caso de sistemas de ecuaciones, ver (Trigueros,

Oktac, y Manzanero, 2007)). Con estos elementos, es posible describir el estado de

construccion del esquema forma matricial de un sistema de ecuaciones.

4.2.2. Primera aproximacion al diseno

Con base en el analisis de documentos, se esta afinando una propuesta de esquema

para la actividad de modelacion. Esta primera version de la secuencia didactica consta

de cuatro partes. Esta pensada para ser probada con estudiantes del curso de Algebra

Lineal siguiendo una metodologıa de trabajo en pequenos grupos de estudiantes -

como la utilizada en (Trigueros, 2009)- y con la intervencion de un profesor de Algebra

Lineal y al menos un profesor de Analisis de senales, para verificar la validacion de

los usos del contexto en P(DI) y desde la teorıa, en E(M).

Actividad de modelacion en el contexto BSS

(Ideas para su desarrollo)

Parte I. Introduccion

Objetivo: Que el estudiante conozca un ejemplo del contexto Separacion Ciega de

fuentes, en este caso, senales biomedicas y que situe el ejemplo como parte de un

problema mas amplio en ingenierıa.

Tareas: obtener informacion de la lectura, hacer conjeturas.

Este tipo de tarea se inscribe dentro del contrato que establece el modelo educativo

de la UACM en relacion a la formacion crıtica, cientıfica y humanista.

Parte II. Las senales biomedicas

Objetivo: que el estudiante vincule el concepto de funcion con el de senal, con en-

foque en el contexto biomedico.


Tareas: Interpretar la grafica de una senal (biosenal): interpretar un punto, un inter-

valo de crecimiento. Observar la diferencia grafica entre senales discretas y continuas

(las lıneas verticales que en matematicas no tienen sentido, y que son de uso comun

en textos de ingenierıa). Ampliar el concepto de variable independiente: tiempo, fre-

cuencia.

Parte III. El modelo matricial

Objetivo: Conocer el modelo matricial y las restricciones a las que esta sujeto. Uti-

lizar conocimientos de Algebra Lineal para resolver un caso simple usando el modelo

matricial.

Tareas: Explicar el contexto. Hacer preguntas que dirijan la atencion a la compren-

sion del problema. Atencion al caso lineal (esta es una explicacion que proviene de

Ip, ver Comon-Jutten y Carrion). Explorar tamano de matrices a partir de distintas

configuraciones de fuentes y sensores. Cada tipo de configuracion genera distintos ti-

pos de solucion del problema (ver Comon-Jutten y Carrion). Pedir al estudiante que

dada una configuracion, lo ubique como alguno de los tipos de problema. Proponer

un diagrama que muestre las distancias entre 2 fuentes y 2 sensores y pedir que de-

duzcan los coeficientes de la matriz de mezcla. Dar las graficas de dos observaciones

y pedir que encuentren las fuentes usando la matriz inversa.

Este tipo de tarea se inscribe en E(M). En las clases es comun abordar un tema a

partir de ejemplos simplificados en los que sea posible hacer calculos a mano. Esto

se confirma en los instrumentos de evaluacion, en donde observamos que no hay

ejercicios en los que se pida calcular una inversa de una matriz de tamano mayor a

tres.

Parte IV. Generalizacion del modelo. Algunas ideas para su desarrollo son:

Ampliar usando una configuracion distinta (mas sensores o mas fuentes, interpretar

¿que pasa si no es cuadrada? Asimismo, proponer preguntas orientadas a reconocer

la dificultad del problema en el caso de no conocer/considerar la matriz. Tambien,

que pasarıa si las observaciones (senales de salida) no fueran analıticas (por ejemplo,

a partir de una grafica surgida de un simulador).


Las tareas aquı consideradas deberan estructurarse mas a profundidad con base

en el marco conceptual propuesto en el capıtulo tres. Se busca establecer un dialogo

entre las teorıas tomando como referencia la actividad didactica. Ası por ejemplo, la

tarea “conocer las restricciones a las que esta sujeto el problema”(mencionadas en

la parte III de la propuesta de diseno) tiene una validacion que otorga P(DI) (por

ejemplo, en terminos de facilidad) y otra que otorga E(M) (por ejemplo, el tamano de

la matriz para la existencia de inversa). El trabajo de los estudiantes al enfrentarse

a esta tarea, permitira por un lado, dar cuenta de los esquemas previos que entran

en juego en el concepto de matriz y si la actividad produjo nuevas construcciones.

Capıtulo 5

Conclusiones

El diseno del proyecto se situa dentro del uso de la modelacion como un medio

para acercar las matematicas basicas que se imparten en los primeros anos al tipo

de trabajo que desarrollan los ingenieros en la practica. Su objetivo principal es

proponer una metodologıa para disenar actividades didacticas que consideren el uso

de modelos en la practica y que cumplan una funcion didactica de construccion de

conocimiento matematico.

La herramienta a utilizar son actividades de modelacion en las que se busca

integrar elementos de dos enfoques aparentemente ajenos: por un lado, el uso de

modelos vistos desde la practica (Bisell y Dillon, 2000), utilizando el modelo pra-

xeologico extendido para describir el transito de las praxeologıas entre las institu-

ciones E(DI), E(M), P (M), P (DI) y posiblemente, Ip y, dado que la actividad se

centrara en los cursos del ciclo basico, es necesario usar un enfoque en el que se

pueda dar cuenta del efecto de las actividades sobre la comprension de los conceptos

matematicos involucrados como el que provee la teorıa APOE.

El diseno de las actividades involucra un trabajo complejo, interdisciplinario y de

inmersion en un contexto extra-matematico. El reto principal de la investigacion es

utilizar un contexto de la practica para desarrollar actividades didacticas que pue-

dan implementarse en cursos de la formacion basica, cuando los estudiantes aun no

69

70 CAPITULO 5. CONCLUSIONES

cuentan con una base fuerte de herramientas matematicas ni conocimientos asocia-

dos al uso de dichas herramientas. Una de las cuestiones pendientes respecto a estas

actividades es si deben implementarse antes o despues de introducir el concepto en

el curso. Considero que las dos posibilidades dan lugar a resultados distintos.

La intencion es mostrar como una actividad didactica cuyas componentes ma-

tematicas estan inscritas dentro de los contenidos de los cursos de matematicas del

primer ano del ciclo basico, puede reflejar elementos de la praxis del ingeniero y dar

cuenta del proceso metodologico seguido en su diseno, probarla y evaluarla.

Capıtulo 6

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Uso de actividades de modelación en la formación matemática de ingenieros: memoria predoctoral

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