Unghiul de directie, Curbura si Evolventa -conspect

Unghiul de direcție, Curbura și Evolventa[conspect]

6.May.2011Gafițoi Marius-Andrei

Cuprins

Unghiul de directie...............................................3

Curbura.......................................................4Definitia curburii..........................................5Curbura unui cerc...........................................8

Evolventa......................................................9Relatiile pentru calculul evolventei.......................11Generalitati ale evolventei................................13

Pag 1 Unghiul de direcție, Curbura și Evolventa

Unghiul de direcție, Curbura și Evolventa Pag 2

Unghiul de directieUnghiul de directie este unghiul (ϕM sau ϕN)facut de tangenta la curba in punctul de interes (M sau N), in punctul unde se calculeaza acest unghi, cu aliniamentul initial (O Ti X).


Figura 1. Unghiul de directie

CurburaCurbura are la baza formularea geometrica a lungimii unui segment dearc de cerc subintins de un unghi cu valoarea de un radian.Un radian este unghiul la centru care subîntinde un arc de cerc egalcu raza cercului. Cum unghiul total de 360° subîntinde toatălungimea cercului care cuprinde 2𝜋R, rezultă că unghiul de 360° are2𝜋 radiani.

L=α [rad]∗R

Distanta intr-un interval de timp, de a lungul unei traiectorii apunctului material este lungimea unui arc de cerc in functie detimp: s=s(t)

Centrul de curbura este definit la fiecare pozitie s localizata la odistanta ρ de centru, siuat pe traiectorie. Distanta necesara ρ lalungimea unui arc de cerc s este definita in functie de variatiatangentei la curba, care este determinata la randul ei detraiectorie. Daca orientarea tangentei intr-un punct de pornire estedϕ(s), atunci ρ este definit de derivata dϕ/ds:1ρ=k (s )=dφ

ds

ds=ρdφ→dφ=dsρ→dφ=1

ρds→ 1

ρ=dφds

=K(curbura)

s=Rdφ→R=sdφ

→dφ=sR→ 1dφ

=Rs→ 1R

=dφs

=K(curbura)

Unde:


Figura 2. Formularea geometrica a lungimii unui segment de arc de cerc subintins de un unghi cu valoarea de un

Figura 3. Lungimea unui segment de arc de cerc subintins de un

dϕ - este unghiul la centru măsurat în radiani.ρ = R - raza de curbură.ds = s - lungimea arcului de cerc subintins de unghiul la centru.

Sa presupunem ca un punct material se deplaseaza intr-un plan cu oviteza egala cu unitatea. Astfel punctul material va desena curba Cpe planul respectiv. Folosind timpul ca un parametru putem definicurba in functie de acesta. Directia deplasarii este data devectorul P iar curbura masoara cat de repede se roteste acestvector. Daca o curba este apropiata de o anumita directie, vectorultangent variaza foarte putin iar curbura este mica, iar undevectorul variaza multa in raport cu unitatea de timpul, curbura esteuna mare.Asa cum curbura unui cerc este raportul dintre unghiul de la centrulsi lungimea arcului de cerc subintins de catre acesta. Curbura laorice moment pe curba este data de limita unghiului infinitezimaldϕ, in radiani, dintre tangentele la curba in punctele cedelimiteaza un segment de curba infinitezimal ds. Daca cele douatangente de la capatele segmentului delimitat sunt reprezentate deversori, este usor de aratat ca la trecerea la limita, valoareadiferentei dintre cei doi versori este dϕ.Considerandu-se curba C si punctul Pde pe aceasta, exista un singur cercde raza R care se apropie cel maimult de acel punct sau o linietangenta la curba ce pot aproximacurbura in acest punct. Intuitivcurbura curbei C, dintr-un sistem deaxe bidimensional, intr-un punct Ppoate fi gandita ca si curbura unuicercului de raza R tangent la curbain punctul P. Astfel curbura curbeiC in punctul P este definita cafiind curbura respectivului cerc saulinie. Curbura unui cerc este definita de care lungimea razei. Cu cat razaeste mai scurta cu atat curbura in zona punctului P este mai mare,iar cu cat raza este mai mare cu atat curbura in zona punctului Peste mai mica. O linie dreapta sau un aliniament poate fi considerato curba cu raza foarte mare tinzand catre infinit, astfel curbura saeste foarte mica tinzand catre zero.Lungimea razei unui cerc este proportionala ca inversului curburii.


K(P)=1R→R= 1

K(P)

Definitia curburiiCurbura masoara variatia cu care tangenta la curba se modifica inraport cu unitatea de masura in cuprinsul curbei. Mai simplu curburapoate fi definita ca variatia in directie a curbei. Curbura curbei C in orice punct masoara variatia tangentei candaceasta se deplaseaza din punctul respectiv intr-un punct aflat inimediata apropiere.

Derivata unui arc de cerc.

Se considera o curba intr-un sistem de coordonate (X,Y) ce poate fiscrisa de forma y = f(x). Punctul A este un punct fix situat pe aceastacurba iar lungimea s a curbei de la acest punct pana la un alt punctales arbitrar pe curba P(x,y). Consideram punctul Q de coordonate


Figura 4. Derivata unui segment

(x+Δx, y+Δy). Lungimea curbei dintre P si Q este Δs. Aceasta distantavariaza in raport cu coordonata x:

dsdx=lim

∆s→0

∆s∆x=√1+(dydx )

2

ds2=dx2+dy2 (teorema lui Pitagora in triunghiul dreptunghic ds dxdy)Δs se apropie de coarda PQ atunci cand PQ se apropie de zero (deaici rezulta si limita Δs tinde catre zero). Astfel ds este ipotenuza iarcatetele sunt dx si dy.

ds2dx2

=1+dy2dx2

→ dsdx=√1+(dydx )2

ds2dy2

=dx2dy2

+1→ dsdy=√(dxdy )2

+1

dsdu=√(dxdu )

2

+(dydu )2


Se considera o curba aflata intr-un sistem de axe (X,Y). Pe aceastacurba se aleg arbitrar doua puncte P si P’ cu lungimea segmentuluide arc dintre ele egala cu Δs. Curbura medie dintre cele doua puncteeste definita ca variatia unghiului de directie Δϕ in raport culungimea arcului Δs. Variatia unghiului de directie este diferentadintre unghiul de directie al punctului P’ si cel al punctului P,deplasarea tangentei la curba din punctul P in punctul P’. Astfelcurbura in punctul P este definita ca:

K=limΔφ→0

ΔφΔs

=dφds

Pentru a afla raportul dϕ/ds se fac urmatoarele calcule matematice:

dφds=

dφdx

∗dx

dsSe poate observa ca:

tg (φ )=dydx

→φ=arctg(dydx )(arctgu)'= u'

1+u2

(arctg dydx )'=

dydx

1+(dydx )2


Figura 5. Curbura unei curbe

dφdx

=ddx (arctg dydx )=

ddx (dydx )1+(dydx )

2 (1)

dxds

= 1dsdx

= 1

√1+(dydx )2(2)

n√xm=xmn

x12∗x

11=x

32

Din (1) si (2) rezulta:

K=dφds=

dφdx∗dx

ds =

ddx (dydx )1+(dydx )

2∗1

√1+(dydx )2

=

d2ydx2

[1+(dydx )2]

32

Aceasta este curbura unei curbe, cu ecuatia y = f(x), situata intr-un plan cu sistemul de axe (X,Y).

Curbura unui cercSe considera un cerc cu raza R. Tangenta la cerc in punctul P faceun unghi ϕ cu axa X. Diferenta dintre unghiul ϕ al tangentei dinpunctul P cu axa X si unghiul ϕ’ al tangentei din punctul P’ cu axa Xeste Δϕ.

∆φ=φ'−φ∆s=R∆φ

∆φ=∆sR

K=∆φ∆s

=∆φR∆φ

=1R

Curbura unui cerc este constanta si egala cu inversul razei.



Figura 6. Curbura

EvolventaFigura de mai jos reprezinta zona de inceput a unei curbe circularesau curbe progresive. Punctul A este punctul principal Ti (tangentade intrare pentru curba circulara) sau AR (aliniament-racordare, incazul cand curba este o curba progresiva). Punctele O A si M0 suntsituate pe aceeasi dreapta ce reprezinta tangenta dusa la curba inpunctul A. Aceasta axa este considerata a fi directia aliniamentuluiinitial de intrare in curba.

Punctul O este un punct arbitrar situat pe aliniament. Distanta OAeste cunoscuta. Punctul M este un punct oarecare pe curba, definitprin distanta sM . sM=OA+ AM Punctul P este punctul situat pe curba intre punctele M si A.Tangentele din punctele P si M impreuna cu unghiurile de directie ϕP

si ϕM sunt reprezentate in figura. Punctul M1 este situat pedirectia tangentei in punctul P, astfel incat sa fie indeplinitaconditia:PM1=PM=sM−sPunctul M0 este situat pe directia tangentei in punctul A, astfelincat sa fie indeplinita conditia:AM0=AM=sM−OAObligand punctul P sa descrie curba de la punctul A la punctul M,punctul M1 - situat intotdeauna pe tangenta dusa in punctul P lacurba - va descrie curba dintre punctele M si M0 care reprezintaevolventa in punctul M.Evolventa pentru un punct M situat pe curba reprezinta de fapt,curba care trece prin punctul M si ale carei puncte curente M1

indeplinesc conditia PM1=PM.


Figura 7. Zona de inceput a unei curbe arc de

Pentru determinarea lungimii evolventei, se considera doua punctevecine P si P’ situate pe curba data si tangentele la curba inaceste puncte. Intre aceste doua puncte, se masoara distanta ds iarintre punctele M1 si M’1 - situate pe evolventa - se masoara dE.Cele doua tangente se intersecteaza in punctul V. Pentru usurarea calculelor se considera O=A=Ti=AR.dE=(PM1−PV)dφPM1=PM=(sM−s)

PV=φtg(dρ2 )Se neglijeaza segmentul PV iar dE va rezulta:

dE=(sM−s)dρIntegrarea prin parti:

∫a

bf(x)g' (x)dx=f (x)g (x )∨

b

a−∫a

bf' (x)

g (x )dx

sM−s=f (x)−1=f' (x )

dφds

=g' (x )φ=g (x)

dE=(sM−s)dφprinintegrare→

E=∫0

sM(s¿¿M−s)

dφds

ds=(s¿¿M−s)φ∨sM

0−∫0

sM

−1φds→E=∫

0

sMφds¿¿

ϕ este unghiul de directie din punctul P.


Figura 8. Determinarea tangentelor de intrare si de

Relatiile pentru calculul evolventeiLa calculul evolventei se tine seama de interpretarea derivatei si aintegralei (tangenta, suprafata) si formularea geometrica a lungimiiunui segment de arc de cer subintins de un unghi cu valorea de unradian.ds=ρdφ [rad]

dφ=dsρ

=(1ρ )dsφ=∫

0

s

dφ=∫0

s 1ρds

1) Calculul evolventei la arcul de cerc La curbele circulare, curbura este constanta.

K=dφds

=dφRdφ

=1R

ds=Rdφs - se masoara din punctul principal Ti .

dφ=dsR prinintegrare→φ=∫

0

s 1R ds=

sR

E=∫0

s

φds=∫0

s sR ds→E=

s2

2R


Figura 9. Semnificatia marimilor care intervin

2) Calculul evolventei la curbele progresiveLa curbele progresive, care leaga un aliniament de o curbacirculara, legea de variatie a curburii este uniforma.s - se masoara din punctul principal AR.

Aplicand teorema lui Thales triunghiurilor ABC si ADE se obtinelegea de variatie a curburii:

BDCE=

ADAE→

1ρ1R

=sL→

1ρ=

sL1R


Figura 10. Calculul evolventei

Pentru a calcul unghiul de directie trebuie cunoscuta legea devariatie a curburii. Pentru clotoida, parabola cubica si parabolacubica imbunatatita in calculul riparilor se considera ca aceastacurbura variaza liniar cu lungimea s.

ds=ρdφ→dφ=1ρds=

sL1R dsprinintegrare→φ=∫

0

s sL1R ds=

s22LR

E=∫0

s

φds=∫0

s s22LR ds→E=

s36LR

Generalitati ale evolventeiEvolventa serveste la calculul: - sagetile teoretice;- corectiilor furnizate masinilor grele de cale la executialucrarilor de ripaj;- la verificarea gabaritului ( a sporurilor de gabarit care apar lacirculatia vehiculelor in curba);- la inscrierea vehiculelor in curba.Relatia de calcul a evolventei se obtine in functie de legea devariatie a curburii. In programele de calcul al riparilor, ripareaintr-un punct i se calculeaza cu relatia aproximativa:ri≅Ei,P−Ei,E

Ei,P - evolventa pentru curba proiectata.


Figura 11. Calculul evolventei la curba progresiva

Ei,E - evolventa pentru curba existenta.

Pentru curba existenta evolventa trebuie sa fie exprimata in functiede sagetile masurate.Evolventa se determina functie de variatia unghiului de directie.Pentru curba progresiva:

ds=ρdφ→dφ=1ρds=

sL1R dsprinintegrare→φ=∫

0

s sL1R ds=

s22LR

Variatie parabolica (VP).Pentru cerc:

dφ=dsR prinintegrare→φ=∫

0

s 1R ds=

sR

Variatie liniara (VL).Intre curbura, unghi de directie si evolventa exista aceleasicorelatii care exista in mecanica constructiilor intre incarcare,forta taietoare si moment incovoietor.


Unghiul de directie, Curbura si Evolventa -conspect

Documents

Transcript of Unghiul de directie, Curbura si Evolventa -conspect