Ung dung phep doi xung tam dung hinh

www.MATHVN.com ỨNG DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM VÀO BÀI TOÁN DỰNG HÌNH

Hoàng Nguyên - www.mathvn.com 1

Bài 1: Cho hai đường tròn ( 1S ) và ( 2S ) có giao điểm A, hãy dựng đường thẳng qua A

sao cho nó cắt hai đường tròn theo các dây cung bằng nhau.

GIẢI * Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng qua A theo yêu cầu bài toán .

1

2

( )

( )

B S

C S

∈∈

Ta có: AB = AC Xét

1 1

'1 1

1

( ) ( ')

(C (S '))

A

S S

S S

B C

→

∈֏

֏

Ñ

* Cách dựng: Dựng 1( ')S 1 1( ) ( ')A S S=Ñ

1 2( ') ( )S S C∩ = ( khác A )

Nối AC Dựng 1( )AC S B∩ =

Ta có ABC là đường thẳng cần dựng. * Chứng minh: AB = AC,thật vậy:

Chứng minh: ∆ AB 1S = ∆ AC '1S

Ta có: 1BAS∆ cân tại 1S �1S⇒ = 180� - �12BAS

1ACS∆ cân tại '1S �

1 'S⇒ = 180� - �'12CAS

Mà: �1BAS = �'1CAS (đối đỉnh)

Suy ra: '1 1BAS CAS∆ = ∆

* Biện luận:



Nếu 1( )S tiếp xúc 2( )S thì có 1 nghiệm hình

Nếu 1( )S , 2( )S cắt nhau tại 2 điểm thì có 2 nghiệm hình.

Bài 2: Qua điểm A cho trước, hãy kẻ một đường thẳng sao cho đoạn thẳng xác định bởi các giao điểm của nó với một đường thẳng và một đường tròn cho trước nhận A làm trung điểm.

GIẢI

* Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng CAB theo yêu theo yêu cầu bài toán . Với B ∈ ( )O , C ∈ ( )l , AB = AC

Xét phép đối xứng tâm A: Đ A

'( ) ( )l l→

C ֏ B ( B '( )l∈ ) * Cách dựng: Dựng '( )l = Đ ( )A l

Dựng B = '( ) ( )l O∩ Nối BA Dựng C = BA ( )l∩ Ta được đường thẳng ABC cần dựng . * Chứng minh: AB =AC Theo cách dựng ta có ( )l // ( ')l Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng trên lần lượt tại H, K. Chứng minh ACH∆ = ABK∆



Ta có:

� �

� �

� �

1

( )

( )

H K v

HAC KAB dd

ABK ACH slt

= = = =

Suy ra: ACH∆ đồng dạng ABK∆ (1) Mà: AH = AK (tính chất đối xứng tâm A) Suy ra: ACH∆ = ABK∆ Vậy: AB = AC * Bi ện luận: (l’) = Đ ( )A l

Nếu '(l ) tiếp xúc thì có 1 nghiệm hình .

Nếu '( )l cắt (O) tại 2 điểm thì có 2 nghiệm hình .

Nếu '( )l và (O) không có giao điểm thì vô nghiệm . Bài 3: Cho góc ABC và điểm D nằm trong góc đó. Hãy dựng đoạn thẳng sao cho cắt AB, BC lần lượt tại E,E’ và EE’ nhận D làm trung điểm. GIẢI

* Phân tích: Giả sử dựng được đường thẳng theo yêu cầu bài toán.

'

E AB

E BC

∈∈

DE = DE’

Xét phép đối xứng : ' '

'

D

BC B C

E E

→֏

Ñ



* Cách dựng: Dựng ' ' ( )DB C BC= Ñ

Dựng ' 'E B C AB= ∩ Nối DE Dựng E’=BC∩ DE Ta có đường thẳng EDE’ cần dựng. * Chứng minh: thật vậy DE = DE’, vì: Từ D hạ vuông góc xuống BC, B’C’ cắt lần lượt tại H, H’. Suy ra DH = DH’ (1)

Mà 'DE H∆ đồng dạng 'DEH∆ , Vì:

� �

� �

� �

' '( )

' '( )

' 1

E DH EDH dd

DE H DEH slt

H H v

= = = =

(2)

Từ (1), (2) suy ra ' 'DE H DEH∆ = ∆ Vậy: DE = DE’ * Bi ện luận: Bài toán có 1 nghiệm hình. Bài 4:Cho hai đường tròn (O1), (O2) có giao điểm A. Hãy dựng đường thẳng qua A định trên hai đường tròn hai dây cung sao cho hiệu của chúng bằng a cho trước.

GIẢI

* Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng qua A và AB – AC = a (a cho trước).



Xét phép đối xứng tâm qua A : '2 2( ) ( )

A

O O→Ñ

C ֏ C’ Suy ra: AC =AC’ Hai đường thẳng (l1), (l2) lần lượt qua O1, O2 và vuông góc với BC.

Khoảng cách giữa (l1), (l2) là d =2

a ( vì

'

2 2 2

AB AC a− = ).

Suy ra (l2) là tiếp tuyến của đường tròn (O1;2

a).

* Cách dựng: Dựng '

2 2( ) ( ) ' ( )(1)A AO O C C= ⇒ =Ñ Ñ

Dựng 1( ; )2

aO

Dựng (l2) là tiếp tuyến của 1( ; )2

aO đi qua O2’.

Dựng qua O1 đường thẳng (l1)//(l2). Dựng (l) qua A và vuông góc với (l2). Dựng 1( ) ( )B l O= ∩

2( ) ( )C l O= ∩ Ta có đường thẳng BAC cần dựng. *Chứng minh: AB – AC = a Theo phép dựng (1) ta có: AC =AC’ Chứng minh: AB – AC’ = a

Ta có: d = 2

a

'

2 2 2'

AB AC a

AB AC a

⇔ − =

⇔ − =

Vậy: AB - AC = a *Bi ện luận: Nếu (O1) tiếp xúc (O2) thì có 1 nghiệm hình. Nếu (O1) giao (O2) tại 2 điểm thì có 2 nghiệm hình.



Bài 5: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, BC cố định, A di chuyển trên đường tròn. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC.

GIẢI *Phần thuận: Gọi I là trung điểm BC. A’ đối xứng của A qua O

Suy ra: � �' ' 90ABA ACA= = �

Ta có:

'' / /

' à ình ình ành.'

/ / '

AB A BA B HC

AB HCBHCA l h b h

AC A CBH A C

AC BH

⊥ ⇒ ⊥

⇒⊥ ⇒ ⊥

Mà: IB = IC Nên: IH =IA’ Hay: ' ( )IA H= Ñ .

Khi A di chuyển trên đường tròn tâm O thì A’ cũng di chuyển trên đường tròn tâm O. Vì O, BC, I cố định Nên quỹ tích của H là đường tròn tâm(O’;BC). (Với ' ( )IO O= Ñ ).

*Phần đảo: Lấy H ∈(O’;BC) Bài 6: Cho tam giác ABC.Tìm các điểm trong tam giác sao cho 3 điểm đối xứng với nó qua trung điểm các cạnh tam giác đều thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.



GIẢI

*Phần thuận: Gọi E là điểm cần tìm. Gọi M là trung điểm AB.

Và giả sử: 1ME E→Ñ .

Ta có: MA B→Ñ

MB A→Ñ .

Suy ra: � �1AEB BE A= .

� �

� �

1 1ì ( ) , ên 180

180

V E O n AE B C

AEB C

∈ + =

⇒ = −

�

�

Tương tự: � �180AEC B= −�

� �180BEC A= −� .

Vậy E là giao điểm của 3 cung chứa góc ( �180 C−� ) dựng trên AB, ( �180 B−� ) dựng trên AC,

( �180 A−� ) dựng trên BC. Theo hình học lớp 9, suy ra E cần tìm là điểm duy nhất và chính là trực tâm tam giác ABC. * Phần đảo: Với E là trực tâm tam giác ABC. M là trung điểm AB.

1ME E→Ñ E1 ≡

Chứng minh: E1 thuộc đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC. Gọi C’ đối xứng với C qua O, C’∈(O).

Nhận thấy: � �' ' 90CAC CBC= = �

'

/ / 'à

C A ACBE C A

M BE AC

⇒ ⊥ ⇒⊥

Tương tự ta có: AE / / BC’ Suy ra AEBC’ là hình bình hành. Nên M là trung điểm EC’.

Mặt khác: 1ME E→Ñ

Hay M là trung điểm EE1

Vậy E1 ≡C’ 1 ( )E O⇒ ∈ .



Bài 7: Cho đường tròn (O), hai dây cung AB và CD không cắt nhau, J thuộc CD. Dựng X trên đường tròn sao cho các dây cung AX, BX chắn trên dây CD đoạn EF nhận J làm trung điểm.

GIẢI * Phân tích: XA, XB chắn dây CD tại E, F. Dựng E’ là điểm sao cho AEJE’ là hình bình hành F’ là điểm sao cho JFBF’ là hình bình hành Gọi I là trung điểm AB.

Xét phép đối xứng : IJ K→Ñ Ta có: AE’ // = F’B Suy ra: ' 'AE I BF I∆ = ∆ Vậy I là trung điểm E’F’ KE’JF’ là hình bình hành

Ta có: � �' 180 ' 'JE K E JF= −�

= �180 AXB−�

= �180 ACB−� ( Cùng chắn cung AB ). * Cách dựng: Dựng: ( )IK J=Ñ (1)

Dựng cung chứa góc: (δ ) nhìn dây JK với góc ( �180 ACB−� ) cùng phía với A so với JK. (2) Dựng (d) qua A và song song CD. (3) Dựng: E’ = (d) ∩ (δ ). (4)

Dựng cung chứa góc: ( 'δ ) nhìn dây JK với góc ( �180 ACB−� ) cùng phía với B so với JK. (5) Dựng (d’) qua B và song song CD. (6) Dựng: F’ = (d’) ∩ ( 'δ ). (7) Dựng (l) qua A và song song E’J E = (l) ∩ CD. (8) X = (l) ∩ (O). Dựng (l’) qua B và song song F’J F = (l’) ∩ CD. (9) X = (l’) ∩ (O). Ta có X cần dựng. * Chứng minh: JE = JF X ∈(O) • Theo phép dựng (1), (2), (4), (5), (7) ta có KE’JF’ là hình bình hành Mà: ( )IK J=Ñ



� �

' '

' '

' ' ( )

' '

IE IF

IA IB AIE BIF

AIE BIF dd

AE BF

⇒ =

= ⇒ ∆ = ∆=

⇒ =

Theo phép dựng (3),(8) ta có AE’JE là hình bình hành ⇒ AE’ = JE Theo phép dựng (6),(9) ta có BF’JF là hình bình hành ⇒ BF’ = JF Suy ra: JE = JF

• Theo phép dựng (8), (9) ta có: � �' 'E JF AXB=

� �

( )� �V ' 180 ' '

' ' V 2

ì KE J E JFE JF ACB

à

= − ⇒ =

�

Suy ra: � �AXB ACB= ,C∈(O) hai góc cùng nhìn cung CB nên X∈(O). * Biện luận: Số nghiệm hình là số giao điểm của (d) và (δ ). Bài 8: Hãy dựng hình ngũ giác khi biết 5 trung điểm các cạnh.

GIẢI



*Phân tích: Giả sử đã dựng được ngũ giác A1A2A3A4A5 nhận B1, B2, B3, B4, B5 lần lượt là trung điểm các cạnh A1A2, A2A3, A3A4, A4A5, A5A1 .

Ta có 3 51 2 41 2 3 4 5 1

B BB B BA A A A A A→ → → → →Ñ ÑÑ Ñ Ñ

Vậy: 5 4 3 2 11 1

B B B B BA A→Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ (1)

Ta thấy: 5 4 3 2 1B B B B BÑ Ñ Ñ Ñ Ñ là phép đối xứng tâm. Rõ ràng mọi phép đối xứng tâm chỉ có một

điểm bất động duy nhất, đó chính là tâm đối xứng . Từ (1) suy ra:

5 4 3 2 1B B B B BÑ Ñ Ñ Ñ Ñ = 1AÑ (2)

Lấy X bất kì trên mặt phẳng.

Giả sử: 3 51 2 41 2 3 4 5

B BB B BX X X X X X→ → → → →Ñ ÑÑ Ñ Ñ

Do (2) suy ra: 15

AX X→Ñ

Vậy: A1 là trung điểm XX5. * Cách dựng: Lấy X bất kì thuộc mặt phẳng.

Dựng: 11

BX X→Ñ

21 2

BX X→Ñ

32 3

BX X→Ñ

43 4

BX X→Ñ

54 5

BX X→Ñ

Dựng A1: A1 là trung điểm XX5

Dựng: A2 11 2

BA A→Ñ

A3 22 3

BA A→Ñ

A4 33 4

BA A→Ñ

A5 44 5

BA A→Ñ

Nối: A1A5 Ta được ngũ giác A1A2A3A4A5 cần dựng . * Chứng minh: B5 là trung điểm A1A5

Theo phép dựng: A1 là trung điểm XX5 ⇒ 1 1 5XA A X=��

Theo phép dựng:1

1

11 1 2

1 2

B

B

X XXA X A

A A

→ ⇒

→

Ñ

Ñlà hình bình hành

1 2 1XA A X⇒ =��

Tương tự ta có: 2 1 2 3 4 3 4 5A X X A A X X A= = =��

Suy ra: 4 5 1 5X A A X=��

Vậy: X4A5X5A1 là hình bình hành .



Mà: 54 5

BX X→Ñ

Nên: B5 cũng là trung điểm A1A5 . * Bi ện luận: Bài toán có 1 nghiệm hình ( Vì A1A5 nhận B5 duy nhất làm trung điểm ). Chú ý : Cách dựng trên có thể mở rộng sang đa giác với số lẻ cạnh bất kì. Nghĩa là : nếu cho (2k + 1) trung điểm các cạnh của (2k + 1)giác ta sẽ dựng được (2k + 1)giác

Ung dung phep doi xung tam dung hinh

Documents

Transcript of Ung dung phep doi xung tam dung hinh