Trường Đại học Trà Vinh GIÁO TRÌNH MÔN HỌC CHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHUYÊN STT MÔN...

Trường Đại học Trà Vinh QT7.1/PTCT1-BM-7

Vi tích phân A1 trang 1

GIÁO TRÌNH MÔN HỌC CHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHUYÊN

STT MÔN HỌC GHI CHÚ

1 2 3 4 5

TÊN MÔN HỌC MÃ SỐ THỜI LƯỢNG CHƯƠNGTRÌNH

VI TÍCH PHÂN A1 Số tín chỉ: 05 ( 01 tín chỉ ứng với 15 tiết) Lý thuyết: 75 tiết Thực hành: 0 tiết Tổng công: 75 tiết

ĐIỀU KIỆN TIÊN QUYẾT

Toán phổ thong

MÔ TẢ MÔN HỌC

Vi tích phân A1 được thiết kế trong nhóm kiến thức cơ bản. Cung cấp kiến thức đại cương về tập hợp, quan hệ và logic suy luận. Trang bị cho sinh viên sáu kết quả cơ bản về Giải tích toán học thực sự cần thiết cho việc tiếp cận các môn chuyên ngành: Hàm số; Giới hạn; liên tục; Phép tính vi, tích phân của hàm một biến; Khảo sát sự hội tụ , phân kỳ của chuỗi số dương; tình tổng của chuỗi hàm hội tụ. Sinh viên tiếp cận những kiến thức trên thông qua việc kết hợp bài giảng trên lớp, tự học và tìm hiểu thêm trong các tài liệu. Trang bị kiến thức toán học bước đầu giúp sinh viên làm quen với một vài ứng dụng toán học trong tin học và cuộc sống.

ĐIỂM ĐẠT

- Hiện diện trên lớp: 10 % điểm ( Danh sách các buổi thảo luận và bài tập nhóm). Vắng ba buổi không được cộng điểm này. - Kiểm tra KQHT: 20 % điểm ( 2 bài kiểm tra giữa và cuối môn học: Có ba thang điểm: 2.0 ( hai chẵn); 1.0 ( một tròn); 0,0: (không chẵn). - Kiểm tra hết môn: 70% điểm ( Bài thi hết môn) * Lưu ý: Danh sách các buổi thảo luận và hai bài kiểm tra



được hủy khi danh sách điểm thi hết môn được công bố.



CẤU TRÚC MÔN HỌC

KQHT 1: Xác định các kiến thức cơ bản về giới hạn dãy số và dãy hàm một biến số KQHT 2: Khảo sát hàm số, tính gần đúng giá trị của một biểu thức bằng ứng dụng vi phân. KQHT 3 : Tính tích phân đổi biến, từng phần và ứng dụng tính diện tích hình phẳng, độ dài cung phẳng và thể tích vật thể tròn xoay. KQHT 4: Khảo sát một số bài toán về sự hội tụ hay phân kỳ bằng vận dụng lý thuyết tích phân suy rộng loại I, loại II KQHT 5: Khảo sát sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số dương. KQHT 6: Tính tổng của chuỗi hàm hội tụ.

* Thực hành: Làm bài tập trên lớp+ Hoạt đông theo nhóm+ Thảo luận

KQHT 1 Sự tồn tại vấn đề

KQHT 2 Phân tích vấn đề

KQHT 3 Tổng hợp vấn đề

KQHT 4 Thác triển vấn đề

KQHT 5 Ứng dụng trong Toán

KQHT 6 Ứng dụng trong cuộc sống

TOÁN PHỤC VỤ CHUYÊN NGÀNHTOÁN PHỔ THÔNG

VI TÍCH PHÂN A1



KẾT QUẢ VÀ CÁC BƯỚC HỌC TẬP

Kết quả học tập/ hình thức đánh giá Các bước học tập Phương tiện, tài liệu, nơi học và

cách đánh giá cho từng bước học 1.1 Hãy dùng ký hiệu logic toán học trình bày: + Định nghĩa giới hạn dãy. + Định nghĩa giới hạn hàm. 1.2 Trình bày ít nhất hai ví dụ mang tích chất lý thuyết.

+ Bảng đen + Kiến thức cơ bản về giới hạn “Phổ thông Trung học”. * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo: + Nguyễn Đình Trí; Tạ Ngọc Đạt -Toán cao cấp T2. + Lê văn Hốt- Đại học kinh tế-Toán cao cấp P2. + Học trong phòng. + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.

1. Xác định các kiến thức cơ bản về giới hạn dãy số và dãy hàm một biến số. Đánh giá: Bài tập dạng lý thuỵết Dùng ký hiệu logíc. + Đạt : Trình bày được chính xác ít nhất một trong ba định nghĩa và giải được một ví dụ. * Giới hạn dãy số; * Giới hạn hàm số; * Hàm một biến số liên tục tại một điểm.

1.3 Thế nào là hàm số sơ cấp liên tục tại điểm, trong khoảng, đoạn? Khảo sát tính liên tục một số hàm ví dụ mang tích chất lý thuyết. 1.4. Trình bày các khái niệm ở vô cực?

+ Bảng đen + Kiến thức cơ bản về giới hạn “Phổ thông Trung học”. * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo + Nguyễn Đình Trí; Tạ Ngọc Đạt -Toán cao cấp T2. + Lê văn Hốt- Đại học kinh tế-Toán cao cấp P2. + Học trong phòng. + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.

2.1 Đạo hàm, vi phân hàm một biến là gì? Giống và khác nhau ra sao?

+ Bảng, phấn + Kiến thức Phổ thông Trung học. * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo + Nguyễn Đình Trí; Tạ Ngọc Đạt -Toán cao cấp T2. + Lê văn Hốt- Đại học kinh tế-Toán cao cấp P2. + Học trong phòng. + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.

2. Khảo sát hàm số và tính gần đúng giá trị của hàm một biến số bằng vi phân. Đánh giá : Dùng kỹ thuật

+Lập sơ đồ chữ T. + Đạt: Hoàn thành được hai trong năm yêu cầu: * Viết đúng 9 công thức đạo hàm cơ bản mang tính tổng quát. * Viết chính xác biểu thức vi phân toàn phần hàm một biến.

2.2 Công thức cơ bản.

+ Bảng, phấn. + Kiến thức Phổ thông Trung học + Học trong phòng. + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.



* Viết chính xác công thứ khai triển Taylore-Maclaurence. * Giải chính xác có kiểm tra lại bằng máy tính cầm tay một ví dụ tính gần đúng giá trị một biểu thức bằng vi phân cấp một. * Giải hoàn chỉnh một ví dụ: khảo sát hàm số.

2.3 Ứng dụng. + Khảo sát hàm số. + Thiết lập phương trình tiếp tuyến. + Tính gần đúng giá trị một biểu thức. * Bằng vi phân cấp 1. * Bằng khai triển Taylore- Maclaurence

+ Bảng, phấn. + Kiến thức Phổ thông Trung học * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo + Nguyễn Đình Trí; Tạ Ngọc Đạt -Toán cao cấp T2. + Lê văn Hốt- Đại học kinh tế-Toán cao cấp P2. + Học trong phòng. + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.

3.1 Định nghĩa tích phân hàm một biến? Nêu lại các công thức tính: + Diện tích hình phẳng. + Độ dài cung phẳng. + Thể tích vật thể tròn xoay.

+ Giấy A4, A0, viết lông, băng keo * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo + Lê Phương Quân -Vi tích phân A1 –Đại học Cần thơ. + Nhóm các tác giả- Bài tập Giải tích- Đại học Cần thơ. + Học trong phòng + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.

3. Tính tích phân đổi biến, từng phần và ứng dụng tính diện tích hình phẳng, độ dài cung phẳng và thể tích vật thể tròn xoay Đánh giá: Câu hỏi ngắn Đạt: * Trả lời được: “Tại sao tích phân đổi biến và tích phân từng phần là hai tích phân thông dụng?” * Giải đúng ít nhất một ví dụ ứng dụng công thức tính: diện tích hình phẳng, độ dài cung phẳng và thể tích vật thể tròn xoay.

3.2 Có bao nhiêu pp tính tích phân hàm một biến? Pp nào là hiệu hiệu quả nhất? Tại sao? 3.3 Bài tập ứng dụng.

+ Giấy A4, A0, viết lông, băng keo. * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo + Nhóm các tác giả - Bài tập Giải tích- Đại học Cần thơ. + Nguyễn Viết Đông -Trần Ngọc Hội- Toán cao cấp C1 –Đại học mở bán công TP Hồ Chí Minh. + Lê văn Hốt- Toán cao cấp P2 –Đại học kinh tế. + Học trong phòng + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.



4.1 Trình bày định nghĩa tích phân suy rộng lọai I; loại II ? Các loại tích phân này giống và khác tích phân chương trình phổ thông ở những điểm nào?

+ Bảng, phấn. * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo + Vi tích phân A1 – Lê Phương Quân-Đại học Cần thơ + Học trong phòng + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.

4.2 Nêu các tiêu chuẩn để xét sự hội tụ và phân kỳ của tích phân suy rộng? Tại sao tích phân

∫−

+

ε

ε

b

a

xdxf )()(

cận trên ε−b và cận dưới là ε+a ?

+ Giấy A0, viết lông, băng keo. * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo: + Nhóm các tác giả - Bài tập Giải tích- Đại học Cần thơ. + Nguyễn Viết Đông -Trần Ngọc Hội- Toán cao cấp B và C –Đại học mở bán công TP Hồ Chí Minh. + Học trong phòng + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.

4. Khảo sát một số bài toán về sự hội tụ hay phân kỳ bằng vận dụng lý thuyết tích phân suy rộng loại I, loại II Đánh giá : Câu hỏi ngắn Bài tập thực hành dạng viết Đạt: Trả lời đúng hai trong bốn vấn đề sau: * Trong hai loại tích phân suy rộng loại I và loại II tích phân nào dễ khảo sát? Tại sao? * Trường hợp nào sử dụng công thức gần đúng để khảo sát sự hột tụ hay phân kỳ của tích phân suy rộng? * Viết chính xác ít nhất hai tiêu chuẩn xét sự hôi tụ hay phân kỳ của tích phân? * Xét đúng ít nhất một ví dụ sự hội tụ hay phân kỳ của tích phân suy rộng?

4.3 Áp dụng xét sự tụ và phân kỳ của số ví dụ tích phân suy rộng.

+ Giấy A0, viết lông, băng keo. * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo: + Nhóm các tác giả - Bài tập Giải tích- Đại học Cần thơ. + Nguyễn Đình Trí-Toán Cao cấp T2. + Học trong phòng. + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.

5. Khảo sát sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số dương. Đánh giá : Câu hỏi ngắn Bài tập giải theo nhóm. Đạt: Giải thích đúng

5.1 Thế nào là một một chuỗi số? Chuỗi hàm? Chuỗi đan dấu? Chuỗi lũy thừa?

+ Bảng, phấn, Giấy A0, viết lông, băng keo. + Kiến thức về chuỗi số, chuỗi hàm. * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” + Học trong phòng. + Trả lời câu hỏi ngắn.



5.2 Trình bày các tiêu chuẩn về sự hội, phân kỳ của chuỗi?

+ Giấy A0, viết lông, băng keo. * Tài liệu chính: “Vi tích phân A1”* Các tài liệu tham khảo:

+ Lê Phương Quân - Vi tích phân A1 - Đại học Cần thơ. + Học trong phòng. + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.

ba yêu cầu: * “ Sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số dương” * Chuỗi hàm hội tụ, phân kỳ, hội tuyệt đối hay bán hội tụ? * Xét đúng ít nhất hai ví dụ về sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi?

5.3 Ứng dụng: Xét sự hội tụ, phân kỳ của một vài chuỗi số dương?

+ Giấy A0, viết lông, băng keo. * Tài liệu chính: “Vi tích phân A1”* Các tài liệu tham khảo: + Nhóm các tác giả - Bài tập Giải tích- Đại học Cần thơ. + Nguyễn Đình Trí-Toán Cao cấp T2. + Toán cao cấp B và C – Nguyễn Viết Đông -Trần Ngọc Hội- Đại học mở bán công TP Hồ Chí Minh.

6. Tính tổng của một chuỗi hàm hội tụ. Đánh giá : Câu hỏi ngắn Bài tập thực hành giải theo nhóm: *Yêu cầu: Giải đúng bài toán: “Tìm miền hội tụ và bán kính hội tụ từ đó suy tổng của chúng” Đạt: * Lập luận chính xác * Đúng thời gian theo qui định của GV ra đề. * Có sự hợp tác các thành viên trong nhóm.

6.1 Thế nào là chuỗi lũy thừa? Người ta thường khảo sát chuỗi hàm có tâm hay chuỗi hàm không có tâm?

+ Giấy A0, viết lông, băng keo. * Tài liệu chính: “Vi tích phân A1”* Các tài liệu tham khảo: + Lê Phương Quân-Vi tích phân A1 –Đại học Cần thơ. + Trần Ngọc Liên -Vi tích phân A1 –Đại học Cần thơ. + Lê văn Hốt- Toán cao cấp P2 –Đại học kinh tế. + Học trong phòng. + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.



* Đúng kết quả. 6.2 Trình bày các bước giải bài toán tìm miền hội tụ? 6.3 Trình bày các bước giải bài toán tính tổng của một chuỗi hàm hội tụ?

+ Giấy A0, viết lông, băng keo. * Tài liệu chính: “ Vi tích phân A1” * Các tài liệu tham khảo: + Bài tập Giải tích- Nhóm các tác giả - Đại học Cần thơ. + Toán Cao cấp T2-Nguyễn Đình Trí. + Toán cao cấp C1 – Nguyễn Viết Đông -Trần Ngọc Hội- Đại học mở bán công TP Hồ Chí Minh. + Toán cao cấp P2- Lê Văn Hốt- Đại học kinh tế TP HCM. + Học trong phòng. + Trả lời câu hỏi và bài tập ngắn.

KẾ HOẠCH ĐÁNH GIÁ MÔN HỌC

Hình thức đánh giá Kết quả học tập

Thời lượng

giảng dạy

Mức độ yêu cầu đạt được Viết Thao

tác

Bài tập về nhà

Thực tập

thực tế

Đề tài Tự học

1. 11,0 Giải được bài tập

X


X


X


X


X


X

ĐÁNH GIÁ CUỐI MÔN HỌC



HÌNH THỨC

Thi ( tự luận) .

THỜI GIAN

90 phút.

NỘI DUNG ĐÁNH GIÁ

Trọng tâm: - Các bài toán tính giới hạn; Xét tính liên tục; gián đoạn của dãy số và dãy hàm một biến số. - Các bài toán về khảo sát hàm số; tiếp tuyến; vi phân toàn phần và ứng dụng vi phân tính gần đúng. - Các khai triển TayLor và Maclaurance. - Các bài toán về tích phân đặc biệt: tích phân dùng phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần. - Các bài tập về diện tích hình phẳng; độ dài cung phẳng và thể tích vật thể tròn xoay. - Xét sự hội tụ và phân kỳ của tích phân suy rộng loại I và loại II. - Sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số dương” - Chuỗi hàm hội tụ, phân kỳ, hội tuyệt đối hay bán hội tụ - Tìm miền hội tụ và bán kính hội tụ từ đó suy tổng của chúng.



NỘI DUNG CHI TIẾT MÔN HỌC KQHT 1: Xác định các kiến thức cơ bản về giới hạn dãy số và dãy hàm một biến số

BƯỚC HỌC 1: Trình bày các kiến thức bổ sung về các trường số Bài hướng dẫn CÁC TRƯỜNG SỐ

I. TẬP CÁC SỐ: Tập số tự nhiên: N = { };...2;1 Tập số nguyên: Z = { };...2;1;0 ±±

Tập số hữu tỷ: Q = ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≠∈= 0,,; qZqpqpxchosaox

Một số hữu tỷ bao giờ cũng viết được dưới dạng một số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Ví dụ 1: .75,043;25,0

41

==

...1666,167= ta có thể viết )6(1,1

67=

...363636,11115

= hay )36(,11115

=

Ngược lại, cho một số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn thì nó sẽ biểu diễn một số hữu tỷ nào đó.

• Số thập phân hữu hạn a0,a1a2…an sẽ biểu thị số hữu tỷ

nnaaaa

qp

101010 221

0 ++++= L

• Số thập phân vô hạn tuần hoàn a0,a1,a2…an (b1b2…bm) sẽ biểu thị số hữu tỷ

)101010

(110

10101010 2

212

210 m

mm

nm

nn bbbaaa

aqp

+++−

+++++=−

LL

?)(0

=→

xfLimxx

hữu hạn

?)()(=

∞→ xgxfLim

x vô hạn

?)( )(

?=

→

xV

xxULim

Điểm đến 1: Xét các BT giới hạn dạng

)()( 00

xfxfLimxx

=→

định nghĩa

Tìm tham số để hàm số liên tục, gián đoạn tại điểm.

* Điểm đến 2: Xét các BT liên tục



Nhận xét: Một số thập phân hữu hạn cũng có thể được xem là số thập phân vô hạn tuần

hoàn, chẳng hạn: )0(25,041...25000,0

41

== hay

Như vậy có sự đồng nhất giữa tập số hữu tỷ và tập các số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Định nghĩa 1 Một số biểu diễn được dưới dạng một số thập phân vô hạn không tuần hoàn

được gọi là số vô tỷ. Tập các số vô tỷ kí hiệu là: I Ví dụ 2

...141592653,3

...414213562,12==

π; Tập số thực R = Q ∪ I

Đường thẳng thực ( trục số ): Trên đường thẳng Δ lấy điểm O làm gốc và chọn vectơ đơn vị eOE = . số x là số thực khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một điểm M thuộc đường thẳng Δ sao cho exOE = . Khi đó điểm M được gọi là điểm biểu diễn hình học của số thực x trên đường thẳng Δvà đường thẳng Δđược gọi là đường thẳng thực hay trục số. 0 1 x O E M

Hình 1.1

II SỐ PHỨC • Số phức là số có dạng: z = a + ib. Trong đó a, b∈R, i là đơn vị ảo với i2 = - 1. • Ta ký hiệu: a = Rez gọi là phần thực; b = Imz gọi là phần ảo. C là tập hợp tất

cả các số phức. • Số phức z = a + ib có thể biểu diễn hình học là một điểm M(a; b) trên mặt

phẳng Oxy. • Số phức ibaz −= đựoc gọi là số phức liên hợp của số phức z = a + ib, hai số

phức liên hợp đối xứng nhau qua Ox.

Phép toán: Cho 2 số phức z1 = a1 + ib1; z2 = a2 + ib2, khi đó ta có:

( ) ( )( ) ( )

( )

⎩⎨⎧

==

⇔=

≠+−

+++

=

++−=+++=±

21

2121

222

22

212122

22

2121

2

1

1221212121

212121

ImImReRe

0;

.

zzzz

zz

zba

baabiba

bbaazz

babaibbaazzbbiaazz

Chý ý: Ta thực hiện các phép toán theo quy tắc chung thuận tiện hơn. Ví dụ 3: (1 – 3i) + (- 2 + 7i) = - 1 + 4i

( 1 – i)(2 + i) = 2 + i – 2i – i2 = 3 – i

( )( ) 174

444

41 i

iii

i−

=−+

−=

+

y b M(a; b) z = a + ib r ϕ O a x -b ibaz −= H 1.2



Dạng lượng giác của số phức Ta biểu diễn số phức z = a + ib bởi vectơ OM , gọi 22 baOMr +== là mođun

của số phứuc z, ký hiệu: z .

Góc ( )OMOx,=ϕ được xác định sai khác nhau Zkk ∈;2 π gọi là argumen,

Ký hiệu: Argz. Ta có abtg =ϕ .

Từ ý nghĩa hình học, ta có ϕϕ sin;cos rbra == ( )ϕϕ sincos irz +=⇒ . Ví dụ 4’: Biểu diễn số phức z = 1 + i dưới dạng lương giác. Giải

Ta có: 211 22 =+=r , 4

1 πϕϕ =⇒=tg ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⇒

4sin

4cos2 ππ iz .

Cho các số phức ( ) ( ) ( )22221111 sincos;sincos;sincos ϕϕϕϕϕϕ irzirzirz +=+=+= .

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )[ ]

[ ] ( )zuuz

knArgzzArgzzninrz

kArgzArgzzzArg

zz

zzi

rr

zz

kArgzArgzzzArgzzzzizrzz

nn

nnnnn

=⇔=

+==⇒+=

+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇒−+−=

++==⇒+++=

πϕϕ

πϕϕϕϕ

πϕϕϕϕ

2;sincos

2;sincos

2.;.sincos..

212

1

2

1

2

12121

2

1

2

1

2121212121212121

Biểu diễn u dưới dạng ( )θθρ sincos iu += . Ta có:

( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+

=

=⇔

⎩⎨⎧

+==

⇔

+=+⇔=

1;0;22

sincossincos

nknk

r

knr

irninzun

n

nn

πϕθ

ρ

πϕθρ

ϕϕθθρ

1;0;2sin2cos −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++

=⇒ nknki

nkru n πϕπϕ

Ví dụ 5: Tính 1/ ( )201 iA += . 2/ 4 1 iu += Giải

1/ Ta có: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

4sin

4cos2 ππ iA ( ) 1010 25sin5cos2 −=+=⇒ ππ iA .

2/

3;0;16

8sin16

8cos24

2sin

42

cos2 84442 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

+= kkikk

ik

z ππππππ ππ

4 1 iu +=⇒ có 4 giá trị:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

169sin

169cos28

1ππ iu

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

1617sin

1617cos28

2ππ iu

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

16sin

16cos28

0ππ iu



⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

1625sin

1625cos28

3ππ iu

III. KHOẢNG - LÂN CẬN. Định nghĩa 2: Khoảng là tập hợp các số thực ( hay các điểm ) nằm giữa hai số

thực ( hay hai điểm ) nào đó. Phân loại khoảng: Khoảng hữu hạn: Khoảng đóng: [ ] { }bxaRxba ≤≤∈= \, Khoảng mở: ( ) { }bxaRxba <<∈= \, Khoảng nửa đóng, nửa mở: ( ] { }bxaRxba ≤<∈= \, [ ) { }bxaRxba <≤∈= \, Khoảng vô hạn: ( ) { }axRxa <∈=∞− \, ; ( ] { }axRxa ≤∈=∞− \, ( ) { }bxRxb >∈=∞+ \, ; [ ) { }bxRxb ≥∈=∞+ \, Định nghĩa 3 Giả sử a là một số thực, khoảng mở (a -ε , a +ε ) (với ε > 0) được gọi là lân

cận bán kính ε của a. ( ) a -ε a a +ε Hình 1.3 • Câu hỏi củng cố:

Hãy dùng giảng đồ Vence để biểu diễn các trường số mà bạn đã học?

BƯỚC HỌC 2: Trình bày các định nghĩa về giới hạn dãy số.

Bài hướng dẫn HÀM SỐ - GIỚI HẠN – LIÊN TỤC

* HÀM SỐ I. HÀM SỐ.

1. Định nghĩa 1: Cho X ⊂R , một hàm số f xác định trên X là một quy tắc sao cho ứng với mỗi

giá trị của biến x thuộc X có duy nhất một giá trị thực của biến y . Kí hiệu y = f(x) • x được gọi là biến độc lập, y được gọi là biến phụ thuộc. • X được gọi là miền xác định của hàm số, kí hiệu là Df . • Tập Y = { }fDxxfyRy ∈=∈ ),(\ được gọi là miền giá trị của hàm số, kí

hiệu Rf Ví dụ 1: Khi nuôi một con bò, quan sát quá trình tăng trọng của bò ta có mối liên hệ giữa

thời gian nuôi t (ngày) và trọng lượng m (kg) của con bò là một hàm số m = m(t). 2. Định nghĩa 2:

Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm M( x, f(x)) trong hệ toạ độ Descartes. G = { }DxxfxM ∈),(,( 3. Các tính chất



a. Hàm số đơn điệu Định nghĩa 3: • Hàm số y = f(x) được gọi là tăng ( hay tăng nghiêm ngặt ) trên tập E⊂Df , nếu

với mọi x1, x2 ∈E , x1 < x2 thì f(x1) ≤ f(x2) ( hay f(x1) < f(x2). • Hàm số y = f(x) được gọi là giảm ( hay giảm nghiêm ngặt ) trên tập E⊂Df ,

nếu với mọi x1, x2 ∈E , x1 < x2 thì f(x1) ≥ f(x2) ( hay f(x1) > f(x2). • Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số đơn điệu ( hay đơn điệu nghiêm ngặt)

trên E⊂Df nếu nó tăng hoặc giảm ( hay tăng nghiêm ngặt hoặc giảm nghiêm ngặt ) trên E.

Nếu ta sử dụng thuật ngữ trên mà không nhắc đến tập E thì coi như E = Df . Ví dụ 2: Hàm số y = f(x) = x2 giảm nghiêm ngặt trên (-∞ , 0] và tăng nghiêm ngặt trên[0,

+∞ ). Thật vậy, giả sử x1, x2 ∈ [0, +∞ ) và x1 < x2 . Khi đó ta có f(x1) – f(x2) = x1

2 – x22 = ( x1 – x2 )( x1 + x2 ) < 0 ⇒ f(x1) < f(x2)

Vậy hàm số y = x2 tăng nghiêm ngặt trên [0, +∞ ) . Chứng minh tương tự ta có hàm số y = x2 giảm nghiêm ngặt trên (-∞ , 0] .

b. Hàm số chẵn và hàm số lẻ. Định nghĩa 4: Tập X được gọi là tập đối xứng qua gốc toạ độ O nếu với bất kỳ

x∈ X thì –x ∈ X. Người ta thường gọi tắt là tập đối xứng. Định nghĩa 5: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập đối xứng X, khi đó ta có: • Hàm số y = f(x) là hàm số chẵn nếu với mọi x thuộc X thì f(-x) = f(x). • Hàm số y = f(x) là hàm số lẻ nếu với mọi x thuộc X thì f(-x) = - f(x). Ví dụ 3: 1. Hàm số f(x) = x2 là hàm số chẵn trên R. 2. Hàm số g(x) = x3 là hàm số lẻ trên R. Thật vậy, với mọi x ∈ R , ta có: f(-x) = (- x)2 = x2 = f(x) g(-x) = (- x)3 = - x3 = - f(x) Chú ý: Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị của hàm số lẻ

đối xứng qua gốc toạ độ. c. Hàm số bị chặn.

Định nghĩa 6: • Hàm số y = f(x) được gọi là bị chặn dưới trên tập X⊂Df nếu tồn tại số a ∈R sao cho f(x) ≥ a ∈∀x X. • Hàm số y = f(x) được gọi là bị chặn trên trên tập X⊂Df nếu tồn tại số b ∈R sao cho f(x) ≤ b ∈∀x X. • Hàm số y = f(x) được gọi là bị chặn trên tập X⊂Df nếu nó vừa bị chặn trên

vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại hai số a, b∈R sao cho a ≤ f(x) ≤ b ∈∀x X. Chú ý:

Đồ thị của hàm số bị chặn sẽ nằm giữa hai đường thẳng y = a và y = b.

Ví dụ 4: Hàm số f(x) = x4 bị chặn trên tập X= [1, +∞ ).

Thật vậy, với mọi x∈X ta luôn có: f(x) = x4 > 0 và f(x) =

x4 < 4

Vậy hàm số f(x) = x4 bị chặn trên tập X= [1, +∞ ).



d. Hàm số tuần hoàn. Định nghĩa 7: Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số t ≠ 0 sao cho với

mọi x∈Df ta luôn có x± t ∈Df và f(x + t) = f(x). Số dương T nhỏ nhất (nếu có) trong các số t nói trên được gọi là chu kỳ của

hàm số tuần hoàn. Ví dụ 5: 1. Các hàm số y = sinx và y = cosx tuần hoàn với chu kỳ T = 2π . 2. Các hàm số y = tgx và y = cotgx tuần hoàn với chu kỳ T = π .

3. Các hàm số y = sin(ax + b) và y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kỳ T = aπ2 .

Thật vậy, xét hàm số f(x) = sin(ax + b). Giả tồn tại số t ≠ 0 sao cho f( x + t) = f(x) Rx∈∀ ⇔ sin[a(x + t) + b] = sin(ax + b) Rx∈∀ ⇔ sin[a(x + t) + b] - sin(ax + b) = 0 Rx∈∀

⇔ 2cos(ax + 2at + b)sin

2at = 0 Rx∈∀

⇔ sin2at = 0

⇔2at = kπ , k∈Z\{0}

⇔ t = akπ2 , k∈Z\{0}

Số T dương nhỏ nhất ứng với k = 1 ( hoặc k = -1), do đó ta có T =aπ2 là chu kỳ

của hàm số f(x) = sin(ax + b). Các hàm số còn lại chứng minh tương tự. ( coi như bài tập) e. Hàm số hợp và hàm số ngược.

Định nghĩa 8: Cho hai hàm số f(x) và g(x) thoả Rf ⊂Dg , khi đó hàm số hợp của f(x) và g(x) là

hàm số h(x) được xác định h(x) = g[f(x)] với mọi x∈Df . Kí hiệu h = g o f .

Ví dụ 6: Cho hai hàm số f(x) = x2 và g(x) = 2x . Hãy xác định hàm số go f và f og.

Giải go f = g[f(x)] = g(x2) = 2

2 x fog = f[g(x)] = f(2x) = (2x)2 = 22x

Định nghĩa 9: Cho hàm số y = f(x) thoã: với mọi x1, x2∈Df và x1 ≠ x2 ta luôn có f(x1)≠ f(x2).

Khi đó hàm số ngược của hàm số f, kí hiệu f –1 được xác đinh bởi: x = f –1(y)

với y = f(x). Ví duï 7: Haøm soá y = x3 coù haøm ngöôïc laø 3 xy = . Chú ý:

1. Nếu g là hàm ngược của hàm f thì Dg = Rf và Rg = Df . 2. Đồ thị của hai hàm số ngược nhau đối xứng qua đường thẳng y = x. 3. Ñieàu kieän ñeå haøm y = f(x) coù haøm ngöôïc laø haøm f phaûi ñôn ñieäu

trong mieàn xaùc ñònh cuûa noù



f. Hàm số sơ cấp. Định nghĩa 10: Các hàm số sơ cấp cơ bản là các hàm số : • Hàm số luỹ thừa: y = xα ( ∈α R). • Hàm số mũ: y = ax ( 0 < a ≠ 1 ) • Hàm số logarithm: y = logax ( 0 < a ≠ 1 ) • Các hàm số lượng giác: y = sinx , y = cosx , y = tgx , y = cotgx • Các hàm lượng giác ngược: y = arcsinx , y = arccosx , y = arctgx , y =

arccotgx

i. y = arcsinx:y = sinx là hàm tăng nghiêm ngặt trên ]2

;2

[ ππ− nên nó có hàm ngược: x

= arcsiny.

Hàm ngược của y = sinx )22

( ππ≤≤

− x là y = arcsinx, đồ thị của nó đối xứng với đồ

thị của hàm y = sinx )22

( ππ≤≤

− x qua đường thẳng y = x.

ii. y = arccosx: y = cosx là hàm giảm nghiêm ngặt trên [0; π] nên nó có hàm ngược x = arccosy.

Hàm ngược của hàm y = cosx (0 ≤ x ≤ π) là y = arccosx, đồ thị của nó đối xứng với đồ thị của hàm số y = cosx (0 ≤ x ≤ π) qua đường thẳng y = x.

iii. y = arctgx: y = tgx là hàm tăng nghiêm ngặt trên )2

;2

( ππ− nên nó có hàm ngược:

x = arctgy.

Hàm ngược của hàm y = tgx )22

( ππ<<

− x là y = arctgx, đồ thị của nó đối xứng với

đồ thị của hàm y = tgx )22

( ππ≤≤

− x qua đường thẳng y = x.

iv. y = arccotgx: y = cotgx giảm nghiêm ngặt trên (0,π) nên nó có hàm ngược x = arccotgy. Hàm ngược của hàm y = cotgx (0 < x < π) là y = arccotgx, đồ thị của nó đối xứng với đồ thị của y = cotgx (0 < x < π) qua đường thẳng y = x .

Định nghĩa 11: Hàm số sơ cấp là những hàm số được tạo thành bởi một số hữu hạn các phép toán đại số thông thường ( cộng, trừ, nhân, chia với mẫu khác không) và phép lấy hàm hợp từ những hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số.

Ví dụ 8:

13lg

22

3)4

sin(4cos

5 2

4

+−=

++=

+++=

−

xxy

xy

xxy

x

π

II. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

+ Các định nghĩa Định nghĩa 1 Cho hàm số f xác định trên tập N = {1, 2, 3…., n}, khi đó các giá trị của hàm f

ứng với n = 1, 2, 3, …. lập thành một dãy số: f(1), f(2), f(3),…., f(n) . Nếu ta đặt xn = f(n) (n = 1, 2, 3….) thì dãy số nói trên được viết thành: x1, x2, x3, …., xn. hay viết gọn {xn}. Mỗi số x1, x2, x3, …. được gọi là số hạng của dãy số {xn}, xn gọi là số hạng tổng quát. Ví dụ 1:



a. {xn}, với xn = a ∀n: a, a, a…. b. {xn}, với xn = (-1)n : -1, 1, -1, 1, ……, (-1)n Định nghĩa 2: Số a được gọi là giới hạn của dãy số {xn} nếu ∀ε > 0 cho trước (bé tùy ý), tồn

tại số tự nhiên N sao cho: ∀ n > N thì ε<− axn . Ký hiệu: anxlim

n=

∞→ hay xn → a khi n → ∞ .

Định nghĩa 3: - Nếu dãy {xn} có giới hạn là một số hữu hạn a thì ta nói dãy số {xn} hội tụ hay

hội tụ về a. - Nếu dãy {xn} không hội tụ thì ta nói dãy số{xn} phân kì.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng 11n

nlimnxlimn

n=

+=

∞→∞→

Giải.

Với mọi ,0>ε ta xét 1ε

ε −>⇒<+

=−+

=− 1n1n

111n

n1nx

Vậy 0>∀ε (bé tùy ý), ε1ε

<−+

⇒>∀=∃1n

nNn cho 1]sao-1[N

Vậy 11

limlim =+

=∞→

∞→ nn

nxn

n

Định nghĩa 4: Dãy số {xn} được gọi là dãy số dần tới ∞ khi n→∞ nếu ∀M > 0, lớn tùy ý,

Nn cho Nsao >∀∃ thì Mx n > . Ký hiệu: ∞=

∞→ nxlimn

hay xn→∞ khi n→∞ .

Ví dụ 3: Chứng minh rằng ∞==∞→

∞→n5

nn

limnxlim

Giải: Xét M5lognMn5n5nx >⇒>==

0M >∀ , lớn tùy ý: n5Nn:]M5[logN ⇒>=∃ > M

Vậy: ∞=∞→

n5limn

+ Các tính chất. 1. Nếu dãy số {xn} có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. 2. Nếu dãy số {xn} có anxlim

n=

∞→ và a > p (hay a < q) thì tồn tại số dương N

sao cho pxNn n >⇒>∀ (hay xn < q). 3. Nếu dãy {xn } có giới hạn thì nó bị chặn, tức là tồn tại số M > 0 sao cho

nM,xn ∀≤ . 4. Giả sử {xn}, {yn} là những dãy số có giới hạn thì: - Nếu xn = yn thì nylimnxlim

nn ∞→∞→=



- Nếu xn ≥ yn thì nylimnxlimnn ∞→∞→

≥

5. Cho ba dãy số {xn}, {yn}, {zn} thoã xn ≤ yn ≤ zn ∀n. Khi đó, nếu anzlimnxlim

nn==

∞→∞→thì anylim

n=

∞→.

6. Giả sử {xn}, {yn} là các dãy số hội tụ, khi đó ta có : Dãy số {xn ± yn} cũng hội tụ và nynlimnxlim)nyn(xlim

nn ∞→±=±∞→∞→

.

Dãy số {xn . yn} cũng hội tụ và nylim.nxlimn.ynxlimnn

n∞→∞→

∞→= .

Dãy số {xn . yn} cũng hội tụ và nylim.nxlimn.ynxlimnn

n∞→∞→

∞→= .

Dãy số {k xn} cũng hội tụ và nxlimnkxlimn

n∞→

∞→= k .

Dãy số ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

nynx

cũng hội tụ và nylimnxlim

nynxlim

n

nn

∞→

∞→∞→

= ( 0lim ≠∞→ nn

y )

• Câu hỏi củng cố: Dùng ký hiệu logíc Toán học trình bày định nghĩa giới hạn dãy số?



BƯỚC HỌC 3: Trình bày các vấn đề về giới hạn hàm. Bài hướng dẫn: GIỚI HẠN HÀM

I. GIỚI HẠN HÀM CỦA HÀM SỐ a. Các định nghĩa.

Trong phần này ta luôn giả sử f(x) là hàm số được xác định trong lân cận điểm x0, không nhất thiết phải xác định tại x0.

Định nghĩa 1: Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là L nếu với mọi dãy số {xn} trong lân cận của x0 thoã: nxxn ∀≠ 0 và

0nxnxlim =

∞→thì Lnf(xlim

n=

∞→) .

Kí hiệu: Lf(x)lim0

xx=

→ hay f(x) → L khi x → x0.

Định nghĩa 2: Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x → x0 nếu với mọi 0>ε cho trước ( bé tùy ý) tồn tại số δ dương sao cho với mọi x thoã δ<−< 0xx0 ta có

ε<−Lf(x) . Định nghĩa 3: Số L được gọi là giới hạn phải ( trái ) của hàm số f(x) khi x → x0 nếu với mọi 0>ε cho trước ( bé tùy ý) tồn tại số δ dương sao cho với mọi x thoã

)00 x( δ0 xxxx <<−+<< δ0x ta có ε<−Lf(x) .

Kí hiệu: Lf(x)lim

0xx

=+

→

( Lf(x)lim

0xx

=−

→

).

Định nghĩa 4: Số L được gọi là giới hạn của hàm số f(x) khi x → ∞ nếu với mọi 0>ε (bé

tùy ý) tồn tại số 0M > (lớn tùy ý) sao cho với mọi x thoã Mx > ta có ε<−Lf(x) .

Kí hiệu: Lf(x)limx

=∞→

hay f(x) → L khi x → ∞ .

Ví dụ 1: 1. Chứng minh: 0sin =

→x

0xlim .

2. Chứng minh: 6lim =−−

→ 3x92x

3x.

3. Chứng minh: 0x1lim

x=

∞→.

Giải:

1. Vì x → 0 ta có thể chỉ rút: 0,xsinx2

x >∀⇒<<⇒< εεπ bé tùy ý:

εδεδ <≤=−⇒<=−<>=∃ xsinx0sinxx0x0:0 Vậy 0sin =

→x

0xlim



2. Khi x → 3 ⇒ x – 3 → 0 ta có: ε<−=−+=−−− 3x63)(x63x92x

εδεδε <−−−

⇒<−<>∃>∀ 63x92x3x0:0, .

Vậy: 6lim =−−

→ 3x92x

3x

3. Xét: ,1xx1

x10

x1

ε>⇔<==− ε với mọi ε > 0 (bé tùy ý)

εε

<−⇒>>=∃ 0x1Mx:01M .

Vậy 0x1lim

x=

∞→

b. Các tính chất. Dựa vào giới hạn của dãy số, định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy ra các

tính chất sau: 1. Nếu f(x) có giới hạn thì giới hạn đó là duy nhất. e) Nếu hàm số f(x) có giới hạn là L khi x→x0 và L > a (hay L < a ) thì trong

một lân cận nào đó của x0 (không kể x0) ta có f(x) > a (hay f(x)<a ). 2. Nếu f(x) ≤ g(x) trong một lân cận nào đó của điểm x0 và

af(x)0

xx=

→lim , bg(x)

0xx

=→lim thì b ≤ a.

3. Nếu f(x) = C ( C là hằng số) thì Cf(x)limf(x)xxx

0

==∞→→

lim .

e) Nếu f(x) là một hàm số sơ cấp xác định tại điểm x0 và ở trong lân cận x0 thì )f(xf(x)lim

0xx

0

=→

.

4. Giả sử f(x), g(x) và h(x) là những hàm số được xác định trong một lân cận nào đó của điểm x0, không nhất thiết xác định tại x0. Khi đó, nếu các hàm số f(x), g(x) và h(x) thỏa mãn điều kiện : g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) và

Lh(x)limg(x)lim00

xxxx==

→→ thì Lf(x)lim

0xx

=→

.

5. - Giả sử hàm số f(x) xác định tại mọi x dương lớn tuỳ ý, khi đó nếu hàm f(x) là hàm số đơn điệu tăng và bị chặn trên thì f(x) có giới hạn khi x → +∞

6. - Giả sử hàm số f(x) xác định tại mọi x âm lớn tuỳ ý về giá trị tuyệt, khi đó nếu hàm f(x) là hàm số đơn điệu giảm và bị chặn dưới thì f(x) có giới hạn khi x → -∞ .

7. ⇔=→

Lxfxx

)(lim0

Lf(x)lim

0xx

=+

→

= Lf(x)lim

0xx

=−

→

.

8. Nếu các hàm số f(x) và g(x) có giới hạn khi x→x0 thì các hàm [f(x) ± g(x)],

f(x).g(x), g(x)f(x) cũng có giới hạn và ta có:

lim [f(x) ± g(x)] = lim f(x) ± lim g(x).



lim [f(x).g(x)] = lim f(x).lim g(x).

0)(0

lim; ≠→

= xgxxlimg(x)

limf(x)g(x)f(x)lim

9. Xét hàm hợp f(u) và u = u(x) , khi đó ta có: Nếu 0)(lim

0

uxuxx

=→

, f(u) xác định trong một lân cận của u0 và

Lufuu

=→

)(lim0

thì Lxufxx

=→

)]([lim0

.

Ví dụ 2: Tính: 5)3x2(xx2lim2x

−+→

Giải Đặt uuf =)( ; u(x) = 2x(x2 + 3x – 5), ta cĩ 20)532(2)( =−+=

→→xxxxu

2x2xlimlim

5220)( ===→→

uuf20u20u

limlim

Vậy 52=−+→

5)3x2(xx2lim2x

c. Các giới hạn cơ bản.

1x

xsinlim0x

=→

.

1=+→ x

x) ln(1lim0x

.

aln1 =−→ x

xalim0x

. Đặt biệt 11 =−→ x

xelim0x

.

.11 =−+→ x

x)(1lim0x α

α

exx =+→

1

)1(0x

lim hay exx

=+∞→

)11(xlim .

Chú ý: Khi tính giới hạn của hàm số chúng ta thường gặp các dạng vô định như :

00 ,

∞∞ , ∞−∞ , ∞1 . sau đây là một vài ví dụ minh hoạ.

Ví du 3:

1. Tính: x

12xx1lim0x

−++→

.

2. Tính: 23x2x67x2xlim

1x +−+−

→.



3. Tính: xtgx

0xlim→

.

4. Tính: 2

cos1x

x−→0x

lim . 5. Tính: 1xxxlim

x ++

+∞→.

6. Tính: )( xxx −++∞→x

lim .

7.Tính: xxx

2

1

)sin1(0

lim +→

.

Giải:

1) 1)2xx1x(

1)2xx11)(2xx1(limx

12xx1lim0x0x

+++

+++−++=−++→→

21

12xx1

x1lim1)2xx1x(

x2xlim0x0x

=+++

+=+++

+=→→

2) 52x6xlim

2)1)(x(x6)1)(x(xlim

23x2x67x2xlim

1x1x1x=

−−=

−−−−=

+−+−

→→→

3) 11.1cos

1.sincos.

sin====

→→→→ xxx

xxx

xtgx

0x0x0x0xlimlimlimlim

4) .121.)

2

2sin

(2sin2cos1 2

2

2

2 ===−

→→→ x

x

x

x

xx

0x0x0xlimlimlim

5) 1xxxlim

x ++

+∞→= 1

1

=+

+

+∞→

x11

1lim

xx .

6) )( xxx −++∞→x

lim =xxx

x+++∞→x

lim =21

111

1 =++

+∞→

x

xlim .

7) ee])xsin1[(0x

lim)xsin1(0x

lim 2

1

x2

xsin

xsin

1

x2

1

==+→

=+→

.

• Câu hỏi củng cố:

Dùng ký hiệu logíc Toán học trình bày định nghĩa giới hạn dãy hàm?



BƯỚC HỌC 4: Trình bày các khái niệm về vô cực và sự liên tục cùa hàm số. Bài hướng dẫn: VÔ CÙNG BÉ VÀ VÔ CÙNG LỚN

a. Các định nghĩa Định nghĩa 1

Hàm f(x) được gọi là vô cùng bé( hay vô cùng lớn) khi 0xx → nếu

0)(lim0

=→

xfxx

( hay +∞=→

)(lim0

xfxx

) . ( Ở đây x0 có thể hữu hạn hoặc vô

hạn). Ví dụ1:

1) Khi x → 0 thì sin x là VCB vì 0xsinlim0x

=→

.

2) Khi x → ∞ thì x1

là VCB vì 0x1lim

x=

∞→.

3) Khi x → 0 thì x1

là VCL vì +∞=→ xx

1lim0 .

Nhận xét:

• Nếu hàm f(x) là một VCB khi 0xx → và khác 0 thì )x(f

1là một VCL khi

0xx → . Nếu f(x) là một VCL khi 0xx → thì )x(f

1 là một VCB khi 0xx → .

• Một hằng số có trị tuyệt đối bé đến đâu thì cũng không được coi là hàm VCB, một hằng số dù cótrị tuyệt đối lớn đến đâu thì nó cũng chỉ là một số lớn chứ không phải là VCL.

Định nghĩa 2 Giả sử f(x), g(x) là hai VCB khi 0xx → . Ta bảo chúng là các VCB(VCL) so

sánh được nếu tồn tại giới hạn cxgxf

xx=

→ )()(lim

0, khi đó:

i. Nếu c≠ 0 ,c ∞≠ thì ta nói rằng f(x) và g(x) là những VCB(VCL) cùng cấp. ii. Nếu c = 0 thì ta nói rằng f(x) một VCB cấp cao hơn (VCL cấp thấp hơn) so

với g(x). iii. Nếu tồn tại r > 0 sao cho f(x) cùng cấp với [g(x)]r thì ta nói rằng f(x) là

VCB (VCL) cấp r đối với g(x). Ví dụ 2:

Khi x → 0 thì 1 – cos x và x2 là hai VCB cùng cấp với nhau.

Vì 21

21.)

2

2sin

(lim2sin.2

limcos1lim 2

02

2

020===

−→→→ x

x

x

x

xx

xxx.

• Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: Giả sử f(x), g(x) là hai VCB khi 0xx → , đồng thời

f(x), g(x) đều là tổng của nhiều VCB thì giới hạn của tỉ số )()(

xgxf bằng giới hạn của tỉ

số giữa hai VCB có cấp thấp nhất ở tử số và ở mẫu số.



Ví du 3: 31

x3xlim

x5x4x3xtgxsinxlim

0x73

32

0x==

++++

→→

Định nghĩa 3 Giả sử f(x), g(x) là hai VCB khi 0xx → . Ta bảo chúng là các VCB tương đương khi

0xx → . nếu 1)()(lim

0

=→ xg

xfxx

. Kí hiệu: f(x) ∼ g(x).

Ví dụ 4: Khi x → 0 thì sin x ∼ x ; ex – 1 ∼ x; ln (1 + x) ∼ x. Chú ý: Nếu trong quá trình nào đó: α1(x) ∼ )(2 xα còn β1(x) ∼ )(2 xβ thì trong quá trình

ấy: )()(

lim)()(

lim2

2

1

1

xx

xx

βα

βα

= .

Ví dụ 5:

1) 35

x3x5lim

x3sinx5sinlim

0x0x==

→→

2) 32

x3x2lim

1e)x21ln(lim

0xx30x==

−+

→→

b. Các tính chất 1) Tổng của hai VCB là một VCB (khi x → x0 ) .

2) Tích của một VCB với một đại lương bị chặn là một VCB (khi x→ x0). 3) Lxf

xx=

→)(lim

0(hữu hạn)khi và chỉ khi f(x)–L = α(x) là VCB khi x→ x0.

HÀM SỐ LIÊN TỤC

I. Các Định Nghĩa Định nghĩa 1: Cho hàm số f(x) xác định tại x0 và ở trong lân cận x0, khi đó

hàm f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu )x(f)x(flim 0xx 0

=→

.

Định nghĩa 2: Cho hàm số f(x) xác định tại x0 và ở trong lân cận x0, khi đó hàm f(x) được gọi là liên tục tại x0 nếu flim

0xΔ

→Δ= 0.

Với Δx = x – x0 gọi là số gia của đối số x. Δ f = f(x) – f(x0) = f(x0 + Δx) – f(x0), gọi là số gia của hàm f(x)

ứng với Δx tại x0. Định nghĩa 3: Hàm f(x) được gọi là liên tục trái ( phải )tại điểm x0 nếu: • Hàm f(x) xác định tại điểm x0 và ở trong lân cận trái (phải ) điểm x0. • )()(lim 0

0

xfxfxx

=−→

( )()(lim 00

xfxfxx

=+→

).

Định nghĩa 4 - Hàm f(x) được gọi là liên tục trong khoảng (a; b) nếu f(x) liên tục tại mọi x

thuộc khoảng (a; b). - Hàm f(x) được gọi là liên tục trên [a; b] nếu f(x) liên tục trong khoảng (a; b)

và liên tục phải tại x = a và liên tục trái tại x = b. Định nghĩa 5: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu nó không liên tục

tại x0 và x0 được gọi là điểm gián đoạn của hàm f(x). Người ta đã chia các điểm gián đoạn của f(x) làm hai loại:



+ Nếu x0 là điểm gián đoạn của hàm số và giới hạn trái, phải của hàm số f(x) khi x dần tới x0 đều là hữu hạn thì x0 gọi là điểm gián đoạn loại một của hàm số f(x), còn ω = )(lim)(lim

00

xfxfxxxx −+ →→

− được gọi là bước nhảy của f(x) tại x0.

Đặc biệt: Nếu )(lim)(lim00

xfxfxxxx −+ →→

= được gọi là điểm gián đoạn bỏ được.

+ Các điểm gián đoạn không phải là điểm gián đoạn loại một thì gọi là điểm gián đoạn loại hai. Ví dụ 1:

Xét sự liên tục trái, phải của hàm số ⎩⎨⎧

<+≥

=1131

)(2

xkhixxkhix

xf tại điểm x = 1.

Giải

* )1(1lim)(lim 2

11fxxf

xx===

++ →→)x(f⇒ liên tục phải tại x = 1 .

* )1(413lim)(lim11

fxxfxx

≠=+=−− →→

)x(f⇒ không liên tục trái tại x = 1.

Chú ý: điều kiện cần và đủ để cho hàm f(x) liên tục tại x0 là hàm f(x) phải liên tục trái

và liên tục phải tại x0 . II. Tính liên tục của hàm số sơ cấp

- Mọi hàm số sơ cấp f(x) nếu xác định x0 và ở trong lân cận tại x0 thì f(x) liên tục tại x0. - Mọi hàm sơ cấp f(x) liên tục tại mọi điểm trong miền xác định của nó.

Ví dụ 1: 1) f(x) = xn ( Nx∈ ) liên tục tại ∀x.

2) 1x

1)x(f−

= liên tục tại ∀x ≠ 1.

3) 1x)x(f 2 −= liên tục tại mọi 111 ≥∨−≤⇔≥ xxx . III. Các phép tính về hàm liên tục tại cùng một điểm.

1) Nếu f1(x), f2(x) là những hàm số liên tục tại điểm x0 thì tổng, hiệu (f1(x) ± f2(x));

tích (f1(x) . f2(x)); thương )x(f)x(f

2

1 ( f2(x)≠ 0) cũng là những hàm số liên tục tại

điểm x0. 2) Nếu u = u(x) là hàm số liên tục tại x = x0, còn hàm f(u) liên tục tại u = u0 thì

hàm f[u(x)] cũng là liên tục tại x0. Ý nghĩa hình học của khái niệm liên tục: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] thì đồ thị của nó là một đường cong

liền không bị ngắt quãng nối hai điểm A(a, f(a)); B(b, f(b)).

Những tính chất quan trọng của hàm f(x) liên tục trên [a, b]: i. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] thì nó bị chặn trên [a, b].

ii. Nếu hàm f(x) liên tục trên [a; b] thì nó giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.




1. Hãy nêu định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, trong khoảng, trên đoạn? 2. Hãy cho biết tính chất quan trọng của hàm số liên tục trên một đoạn?



KQHT 2 : Khảo sát hàm số và tính gần đúng giá trị của hàm một biến số bằng ứng dụng vi phân, bằng khai triển Taylore – Maclaurence.

BƯỚC HỌC 1: Trình bày phép tính đạo hàm hàm một biến Bài hướng dẫn:

ĐẠO HÀM I. Các định nghĩa

Định nghĩa 1: Giả sử y = f(x) là hàm số xác định tại điểm x0 và trong lân cận

của điểm x0. Nếu giới hạn x

xfxxfxy

xx Δ−Δ+

=ΔΔ

→Δ→Δ

)()(limlim 00

00 tồn tại hữu hạn thì giới hạn

đó được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x0. Kí hiệu: f’(x0) . Chú ý:

• Ta có thể kí hiệu đào hàm của hàm số dưới các dạng sau:

y’ ; dxdy ;

dxxdf )( ; f’(x).

• Giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm x0 được biểu diễn như sau:

f’(x0) ; 0

'

xxy

=;

0xxdxdy

=

; 0

)(

xxdxxdf

=

.

Định nghĩa 2: Giả sử hàm số y = f(x) xác định tại x0 và tại ∀ x > x0 ( hay ∀ x <

x0 ). Nếu giới hạn )()()(

lim 0'00

0xf

xxfxxf

x+

→Δ=

Δ−Δ+

+ ( hay

)()()(

lim 0'00

0xf

xxfxxf

x−

→Δ=

Δ−Δ+

−) tồn tại hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm

phải ( hay đạo hàm trái ) của hàm f(x) tại điểm x0. Định nghĩa 3:

* Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a , b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc khoảng đó.

• Hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm trên khoảng (a , b) và có đạo hàm phải tại a, có đạo hàm trái tại b. Ví dụ 1: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = ax + b.

Đạo hàm: y’- Vi phân: dyMối liên hệ y’ và dy.

Tính y’của )()( xvxuy =Tính vi phân toàn phần

Giải BT ứng dụng: + Tính gần đúng. + Khảo sát hàm số. + Tìm GTLN+ GTNN. + PT tiếp tuyến

Điểm đến:Xét các vấn đề về đạo hàm



Giải:

Ta có [ ] ( ) axxa

xbaxbxxa

xxfxxfxf

xxx=

ΔΔ

=Δ

+−+Δ+=

Δ−Δ+

=→Δ→Δ→Δ 000

' lim)(lim)()(lim)( .

Đặt biệt: Nếu f(x) = C thì f’(x) = 0. II. Các định lý.

Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x là hàm số f(x) có đạo hàm trái và đạo hàm phải bằng nhau.

Định lý 2: Giả sử hàm số f(x) xác định tại x0 và trong lân cận của nó. Khi đó nếu hàm f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại x0. Chú ý: Nếu hàm số f(x) liên tục tại x thì chưa thể suy ra nó có đạo hàm tại x.

Ví dụ 2: Hàm số f(x) = x liên tục tại x = 0 nhưng không có đạo hàm tại đây. III. Ý nghĩa của đạo hàm 1. Ý nghĩa hình học.

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C), trên (C) lấy hai điểm M0(x0, y0), M(x, y).Vị trí giới hạn nếu có của các tuyến M0M khi M→M0 dọc theo đồ thị (C) được gọi là tiếp

tuyến của (C) tại điểm M0. Với 00 ; yyyxxx −=Δ−=Δ ta có tỉ số xy

ΔΔ

là hệ số góc

của các tuyến M0M. Khi M→M0 thì xΔ →0 và giới hạn nếu có của xy

ΔΔ

là hệ số góc

của tiếp tuyến. Theo định nghĩa của đạo hàm thì f’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm M0(x0, y0).

y M (C) M0

O x

Hình 2.1

2. Ý nghĩa vật lý Xét một chất điểm M chuyển động trên trục Ox sao cho tại thời điểm t thì S(t) là khoảng cách đại số OM . Sau khoảng thời gian Δ t tức là tại thời điểm t +Δ t chất



điểm ở vị trí M’ với khoảng cách đại số ,OM = S(t +Δ t), khi đó quảng đường đi của

chất điểm trong khoảng thời gian Δ t là S( t + Δ t ) – S(t). Do đó vận tốc trung bình của

chất điểm trong khoảng thời gian Δ t là tỉ số t

tSttSΔ

−Δ+ )()( . Bấy giờ giá trị

ttSttStS

t Δ−Δ+

=→Δ

)()(lim)(0

' là vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t.

IV. Qui tắc tính đạo hàm. Định lý 1:

Giả sử f(x), g(x) là các hàm số có đạo hàm tại x, khi đó các hàm tổng, hiệu, tích, thương của chúng cũng có đạo hàm tại x và:

[ ][ ]

)0)(()(

)().()().()()(

)().()().()().(

)()()()(

2

'''

'''

'''

≠−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+=

±=±

xgxg

xgxfxgxfxgxf

xgxfxgxfxgxf

xgxfxgxf

Định lý 2: Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm tại x0, hàm f(u) xác định trong khoảng chứa

điểm u0 = u(x0) và hàm f(u) có đạo hàm tại điểm u0 thì hàm hợp h(x) = f[u(x)] có đạo hàm tại điểm x0 và h’(x0) = h’(u0).u’(x0). Định lý 3:

Giả sử hàm y = f(x) có hàm ngược là f –1(x). Nếu hàm f(x) có đạo hàm tại x0 và

0)( 0' ≠xf thì f –1(x) có đạo hàm tại y0 = f(x0) và ( )

)(1)(

0'0

'1

xfyf =− .

V. BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP.

f(x) )(' xf αx ; un 1−αα x ; nu’un-1

xa ; au xe ; eu

aa x ln ; u’aulna. xe lne = ex ; u’eulne = u’eu

xalog ; lnx; logau ax ln

1 ( ≠1 a>0)

;uu

ulog

'

( ≠1 u>0);x1 ;(x>0)

sinx; sinu cosx; u’cosu cosx; cosu - sinx; -u’cosu

tgx; tgu x2cos

1 ;x

u2

'

cos

cotgx; cotgu x2sin

1− ;

xu

2

'

sin−

arcsinx; arcsinu 21

1x−

;2

'

1 uu−

arccosx; arccosu 21

1x−

− ; 2

'

1 uu−

−



arctgx; arctgu 21

1x+

; 2

'

1 uu+

arccotgx; arccotgu 21

1x+

− ; 2

'

1 uu+

−

VI. Đạo hàm cấp cao.

Định nghĩa : Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm y’ = f’(x) trong khoảng (a, b), ta gọi f’(x) là đạo hàm cấp 1của hàm f(x). Bản thân f’(x) cũng là hàm số nên nó có thể có đạo hàm, nếu hàm f’(x) có đạo hàm tại x thuộc khoảng (a, b) thì ta gọi đạo hàm của

hàm f’(x) là đạo hàm cấp 2 của hàm f(x) và kí hiệu )('''' xfy =2

2

2

2 )(dx

fddx

yd== .

Tổng quát: Đạo hàm cấp n của hàm f(x) là đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1) của nó.

Kí hiệu: n

n

n

nnn

dxfd

dxydxfy ===)()()()( .

• Câu hỏi củng cố - Hãy trình bày định nghĩa đạo hàm, các định lý, ý nghĩa hình học của đạo hàm bằng sơ đồ trực quan? BƯỚC HỌC : 2. Xác định thế nào là vi phân? Mối quan hệ vi phân đạo hàm và các định lý cơ bản của vi phân. 3. Trình bày một số ứng dụng của phép tính vi phân.



4. Viết khai triển Taylore – Maclaurence. Bài hướng dẫn:

VI PHÂN I. ĐỊNH NGHĨA VI PHÂN. Định nghĩa :

Cho hàm số f(x) xác định tại x0 và trong lân cận của nó. Cho x một số gia Δx tuỳ ý, nếu tại x0 số gia của hàm số Δy = f(x0 + Δx) – f(x0) viết được dưới dạng: )( xxAy Δ+Δ=Δ α trong đó A là đại lượng không phụ thộc vào Δx và )( xΔα là vô cùng bé bậc cao hơn Δx ( nghĩa là 00)( →Δ→Δ xkhixα ) thì ta nói hàm số f(x) khả vi tại điểm x0 và đại lượng AΔx được gọi là vi phân của hàm số tại điểm x0. Kí hiệu: dy = AΔx . Nhận xét:

Từ định nghĩa ta suy ra )( xdyy Δ+=Δ α hay )( xdyy Δ=−Δ α . Vậy nếu f(x) khả vi thì số gia của hàm số sai khác vi phân một lượng vô cùng bé không đáng kể. Do đó ta có: 0→Δ≈Δ xkhidyy .

Vi phân cấp hai của hàm f(x) là vi phân của vi phân cấp một, kí hiệu: d2f(x). Vi phân cấp n của hàm f(x) là vi phân của vi phân cấp n - 1 của hàm f(x), kí hiệu: dnf(x). Ta có: dnf(x) = f(n)(x).dxn. II. MỐI LIÊN HỆ GIỮA VI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM. Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để hàm số y = f(x) khả vi tại điểm x0 là f(x) có đạo hàm hữu hạn tại điểm x0. Chú ý: Vi phân của hàm f(x) thường được viết dưói dạng xxfdf Δ= )( 0

' * QUI TẮC TÍNH VI PHÂN. Định lý 2:

1. Giả sử f(x), g(x) là các hàm số khả vi, khi đó ta có: d(f± g) = df ± dg d(fg) = gdf + fdg

)0(2 ≠−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛g

gfdggdf

gfd

2. Giả sử y =f(u) và u = u(x) là những hàm số khả vi, khi đó ta có df[u(x)] = f ‘[u(x)] = f ‘(u).u ‘(x).dx = f ‘(u).du

* CÔNG THỨC TÍNH XẤP XỈ.

Theo nhận xét sau định nghĩa: Nếu f(x) khả vi tại điểm x0 và 0)( 0' ≠xf

thì xxfy Δ≈Δ )( 0' hay xxfxfxxf Δ+≈Δ+ )()()( 0

'00

Ví dụ: Tính gần đúng 3 28 Giải:

Ta có 333

27113

27112728 +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=



Xét hàm số f(x) = 3 x 3 2

'

31)(x

xf =⇒ , Chọn x0 = 1 và 271

=Δx . Khi đó áp

dụng công thức tính gần đúng ta có: xxfxfxxf Δ+≈Δ+ )()()( 0'

00

271).1()1()

2711( 'fff +≈+⇔

271.

311

27113 +≈+⇔

Vậy 04,32713

271.

3113283 ≈+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +≈

III. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN. Định nghĩa :

Hàm số f(x) đạt cực đại ( hay cực tiểu) tại điểm x0∈(a, b)⊂Df nếu tồn tại một lân cận của điểm x0 sao cho với mọi x thuộc lân cận đó ta có: ))()(()()( 00 xfxfhayxfxf ≥≤

Điểm x0 gọi là điểm cực đại ( hay cực tiểu) của hàm số, điểm cực đại hay cực tiểu gọi chung là điểm cực trị. Giá trị hàm số tại điểm cực đại ( hay cực tiểu) gọi là giá trị cực đại ( hay cực tiểu) và gọi chung là giá trị cực trị.

Định lý 1: (Fermat) Nếu hàm số f(x) xác định trong khoảng (a, b), đạt cực đại hay cực tiểu tại điểm x0 ∈(a, b) và tồn tại )( 0

' xf thì )( 0' xf = 0.

Định lý 2: (Rolle) Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và khả vi trên khoảng (a, b) và

f(a) = f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm c∈(a, b) sao cho f’(c) = 0. Định lý 3: (Lagrange) Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] và khả vi trong khoảng (a, b) thì

tồn tại ít nhất một điểm c∈(a, b) sao cho ab

afbfcf−−

=)()()(' .

Định lý 4: (Cauchy) Nếu các hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a, b], khả vi trên khoảng (a, b) và

),(0)(' baxxg ∈∀≠ thì tồn tại ít nhất một điểm c∈(a, b) sao cho )()()()(

)()(

'

'

agbgafbf

cgcf

−−

= .

Định lý 5: (Taylor) Nếu hàm số f(x) khả vi đến cấp (n +1) trong lân cận Δ của điểm x0 thì

0, xxx ≠Δ∈∀ tồn tại số c nằm trong khoảng giữa x và x0 sao cho

)()(!

)()(

!2)(

)(!1

)()()( 0

0)(

20

0''

00

'

0 xRxxn

xfxx

xfxx

xfxfxf n

nn

+−++−+−+= K

Trong đó sai số Rn(x) gọi là phần dư Lagrange xác định bởi :

10

)1(

)(!)1()()( +

+

−+

= nn

n xxn

cfxR ( với c nằm giữa x và x0 ).

Khi đó công thức trên được viết lại ).()(!

)()(

00

0)(

xRxxk

xfxf n

n

k

kk

+−= ∑=

Công thức này gọi là công thức Taylor.

Đa thức ∑=

−=n

k

kk

n xxk

xfxP

00

0)(

)(!

)()( gọi là đa thức Taylor.



Khi x0 = 0 thì công thức Taylor có dạng )(!

)0()(0

)(

xRxk

fxf n

n

k

kk

+= ∑=

( Bây giờ phần dư là: 1)1(

!)1()()( +

+

+= n

n

n xn

cfxR ), gọi là công thức Maclaurin.

* Một số công thức khai triển Maclaurin. 1. f(x) = ax.

)(!

ln!2

ln!1

ln1 22

xRxn

axaxa nn

nx +++++= K

Với 11

)!1(ln)( +

+

+= n

nc

n xn

aaxR ( c nằm giữa 0 và x ).

2. f(x) = ex.

)(!!2

12

xRnxxxe n

nx +++++= K

Với cn

n enxxR

)!1()(

1

+=

+

( c nằm giữa 0 và x ).

3. f(x) = sinx.

)(!)12(

)1(!5!3

sin 12

121

53

xRnxxxxx n

nn

−

−− +

−−+−+−= K

Với 1212 )!12(

]2

)12(sin[)( +

− +

++= n

n xn

ncxR

π

( c nằm giữa 0 và x ).

4. f(x) = cosx.

)(!2

)1(!4!2

1cos 2

242

xRn

xxxx n

nn +−+−+−= K

Với 222 )!22(

])1(cos[)( +

+++

= nn x

nncxR π ( c nằm giữa 0 và x ).

5. f(x) = ln(x + 1).

)()1(432

)1ln( )1(432

xRnxxxxxx n

nn +−++−+−=+ −K

Với 1

1

)1)(1()( +

+

++= n

n

n cnxxR ( c nằm giữa 0 và x ).

6. f(x) = α)1( x+ .

)(!

)1()2)(1(!2

)1(1)1( 2 xRxn

nxxx nn +

+−−−++

−++=+

αααααααα KK

Với 1)1()1(!)1(

)()1()( ++−++

−−= nn

n xcn

nxR αααα K ( c nằm giữa 0 và x ).

Ví dụ:

1) Dùng khai triển Macluarin của hàm ex tính gần đúng giá trị số e với sai số nhỏ hơn10 –3.

2) Dùng khai triển Macluarin của hàm sinx tính gần đúng giá trị sin10 với sai số nhỏ hơn 10 –5.



Giải: 1) Áp dụng công thức khai triển Macluarin của hàm f(x) = ex với x = 1, ta có:

!1

!2111

ne ++++≈ K

Với sai số )1,0(;!)1(

)( ∈+

== cn

exRc

nε

Mà )1,0(!)1(

3!)1(

∈∀+

≤+

= cnn

ec

ε

Để ε < 10 –3 thì ta chỉ cần lấy n = 6, khi đó !6

1!5

1!4

1!3

1!2

111 ++++++≈e

2) Áp dụng công thức khai triển Macluarin của hàm f(x) = sinx với x= 10, ta có:

!)12()1()1(

!5)1(

!3)1(11sin

1201

503000

−−+−+−≈

−−

n

nnK

Với sai số )180

,0(;!)12(

]2

)12(sin[)( 12

12π

π

ε ∈+

++== +

− cxn

ncxR n

n

Mà )180

,0(!)12(!)12(

]2

)12(sin[ 1212 π

π

ε ∈∀+

≤+

++=

+

+ cnx

xn

nc nn

Với 180π

=x thì !)12(

180)180

(

12

12 +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

≤=

+

− nR

n

n

ππε

Để ε < 10 –5 thì ta chỉ cần lấy n = 1, khi đó ( )( )3

30

180!31801sin ππ

−≈

Định lý 6: ( Qui tắc L’Hospital thứ nhất ) Giả sử :

1. f(x) và g(x) là các hàm số khả vi trong lân cận của điểm x0 2. 0)(lim)(lim

00

==→→

xgxfxxxx

.

3. 0)(' ≠xg ở trong lân cận của x0.

4. Axgxf

xx=

→ )()(lim '

'

0 ( hữu hạn hay vô hạn )

Khi đó Axgxf

xx=

→ )()(lim

0.

Định lý 7: ( Qui tắc L’Hospital thứ hai ) Giả sử : f(x) và g(x) là các hàm số khả vi trong lân cận của điểm x0 .

2. ∞==→→

)(lim)(lim00

xgxfxxxx

.

3. 0)(' ≠xg ở trong lân cận của x0.



4. Axgxf

xx=

→ )()(lim '

'

0 ( hữu hạn hay vô hạn )

Khi đó Axgxf

xx=

→ )()(lim

0.

Ví dụ: Tính

1) xx

xx sinlim

3

0 −→; 2) x

n

x ex

+∞→lim

Giải:

1) 6

2sin

2lim6

2sin2

3limcos1

3limsin

lim2

2

02

2

0

2

0

3

0=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==−

=− →→→→ x

x

xx

xx

xxx

xxxx

2) 0!lim)1(limlimlim21

===−

==+∞→

−

+∞→

−

+∞→+∞→ xxx

n

xx

n

xx

n

x en

exnn

exn

ex

K

• Câu hỏi củng cố: 1. Hãy dùng sơ đồ chữ T phân biệt mối quan hệ giữa đạo hàm và vi phân. 2. Hãy viết biểu thức vi phân toàn phần và công thức tính xấp xĩ. 3. Viết khai triển Taylore- Maclaurence.

BƯỚC HỌC 3: Trình bày một số ứng dụng của phép tính vi phân.

Bài hướng dẫn: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN

1. Khảo sát tính đơn điệu của hàm số. Định lý 1:

Giả sử hàm số f(x) khả vi trên (a, b), điều kiện cần và đủ để f(x) tăng ( hay giảm ) trên khoảng (a, b) là )0)((0)( '' ≤≥ xfhayxf với mọi x∈(a, b).

* Cực trị của hàm số. Định lý 2: ( Điều kiện cần ) Nếu hàm số f(x) đạt cực trị tại x0 và khả vi tại x0 thì 0)(' =xf . Định nghĩa:

Điểm x0∈Df được gọi là điểm tới hạn của hàm số f(x) nếu f(x) không khả vi tại x0 hoặc 0)(' =xf . Điểm tới hạn loại 0)(' =xf còn gọi là điểm dừng của hàm số.

Định lý 3: ( Điều kiện đủ thứ nhất của cực trị )



Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trong lân cận của điểm x0, có đạo hàm trong lân cận đó ( có thể trừ điểm x0 ). Nếu x0 là điểm tới hạn của hàm số và )(' xf đổi dấu từ dương sang âm ( từ âm sang dương ) khi đi qua x0 thì x0 là điểm cực đại ( cực tiểu ).

Định lý 4: ( Điều kiện đủ thứ hai của cực trị ) Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp hai trong lân cận của điểm

x0 và 0)(' =xf . Khi đó nếu )0)((0)( 0''

0'' >< xfxf thì x0 là điểm cực đại ( cực

tiểu ). Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số 21)( xxxf −=

Giải: • Miền xác định Df = [-1,1]

• 220

121)(

2

2' ±=⇔=

−

−= x

xxxf

• Bảng xét dấu f’

x ∞− –1 22

− 22 1 ∞+

)(' xf - 0 + 0 - f(x) CĐ CT

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 22

− , đạt cực đại tại x = 22 ; fCT = f(

22

− ) =

21

− ,

fCĐ = f(22 ) =

21 .

2. Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b].

Để tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm các điểm tới hạn của hàm số f(x) trong khoảng (a, b). 2. Tính giá trị của hàm số tại các điểm trên và tính f(a), f(b). 3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong các giá trị trên là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

của hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]. Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x) = x3 – 3x + 4 trên [-3, 2].

Giải: • Ta có 1033)( 2' ±=⇔=−= xxxf



• f(1) = 2 ; f(-1) = 6 ; f(-3) = -14 ; f(2) = 6 • Giá trị lớn nhất của hàm số là 6 đạt tại x = -1; x = 2 ( fmax = 6) và giá trị nhỏ

nhất của hàm số là -14 đạt tại x = -3 ( fmin = -14). Ví dụ 2: Người ta muốn thiết kế một cái lon hình trụ đứng có diện tích toàn

phần là S. Hãy xác định kích thước của lon sao cho thể tích của nó lớn nhất. Giải: Gọi x, y (x, y > 0) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của lon. Ta có:

Diện tích toàn phần của lon là: S = S2 đáy + Sxq = xxSyyxx

ππππ

2222

22 −

=⇒+

Thể tích của lon là: 32

22

222 xxS

xxSxyxV π

ππππ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −==

Bài toán trở thành tìm x sao cho V(x) 3

2xxS π−= đạt giá trị lớn nhất.

Ta có π

π6

032

)( 2' SxxSxV ±=⇔=−= .

Bảng biến thiên:

x ∞− π6S

− 0 π6S ∞+

0 + 0 - V(x) CĐ

Vậy V đạt giá trị lớn nhất khi π6Sx = ⇒

π62 Sy =

Ví dụ 3: Người ta muốn thiết kế một cái thùng hình chữ nhật (với hai đáy là hình vuông) với thể tích cần đạt được là V. Hỏi kích thuớc cạnh đáy và chiều cao bằng bao nhiêu thì tiết kiệm nguyên liệu nhất.

Giải: Gọi x, y (x, y > 0) lần lượt là kích thuớc cạnh đáy và chiều cao của thùng.

Ta có:

Thể tích của thùng là: V = x2y 2xVy =⇒

Diện tích toàn phần của thùng là: S = S2 đáy + Sxq = 2x2 + 4xy = 2x2 + xV4

Bài toán trở thành tìm x sao cho S(x) = 2x2 + xV4 đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có 32

' 044)( VxxVxxS =⇔=−=

Bảng biến thiên:

x ∞− 0 3 V ∞+

)(' xS - 0 +



A B

S(x) CT

Vậy V đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 3 V ⇒ y = 3 V Ví dụ 4: Giả sử AB là một đoạn thẳng trên bờ biển và L là một đảo nhỏ ở

ngoài khơi (AL vuông góc với AB), người ta muốn mắc một đường dây cáp từ L đến B. Hãy xác định vị trí của điểm C trên đoạn AB sao cho tổng giá tiền cáp ( tính trên đơn vị ngàn đồng ) là nhỏ nhất ? Biết rằng: Phần cáp dưới nước giá 500 ngàn đồng/km, phần cáp trên bờ giá 300 ngàn đồng/km, AL = 5 km, AB = 10 km.

Giải Gọi AC = x km ( 100 ≤≤ x ) ⇒ CB = 10 - x

Vì AL vuông góc AB nên LC = 22 5+x Tổng tiền cáp: 500 22 5+x + 300(10 - x)

Xét hàm số t(x) = 500 22 5+x + 300(10 - x) ⇒ 3005

500)(22

' −+

=x

xxt

Cho t’(x) = 0 4

15±=⇒ x ; Ta có: ( ) ( ) 5250010;55000;5000

415

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ttt .

Vậy: t(x) đạt giá trị nhỏ nhất ( t(x)min = 5000) khi x = 4

15 , tức là ta cần chọn điểm C

cách A là 3,75 km . 3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

Để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm miền xác định của hàm số, tính đạo hàm cấp 1 để từ đó suy ra tính đơn

điệu, cực trị của hàm số. 2. Tính đạo hàm cấp 2 để khảo sát tính lồi lõm, điểm uốn của đồ thị. • Đồ thị hàm số y = f(x) gọi là lõm ( hay lồi ) nếu )0)((0)( '''' <> xfhayxf . • Điểm (x0, f(x0)) gọi là điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: i. Đồ thị của hàm số y = f(x) có một tiếp tuyến tại x0. ii. Tính lồi, lõm của hàm số trái ngược nhau ở hai phía của x0. 3. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số thông qua các giới hạn đặc biệt. • Nếu ±∞=

→)(lim xf

ax thì x = a là đường tiệm cận đứng.

• Nếu 0)]()([lim =+−±∞→

bxaxfx

thì y = ax + b là đường tiệm cận ngang (a = 0)

hoặc đường tiệm cận xiên ( a ≠ 0) của hàm số. 4. Tìm các điểm đặt biệt: các điểm cực trị, điểm uốn, điểm giao của đồ thị với

các trục toạ độ. 5. Lập bảng biến thiên 6. Vẽ đồ thị hàm số.


1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có bao nhiêu bước? 2. Hày cho biết bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số liên

tục trên đoạn [ a; b] gồm những bước nào?



PHẦN HƯỚNG DẪN THỰC HÀNH KQHT 2 : Khảo sát hàm số và tính gần đúng giá trị của hàm một biến số bằng ứng dụng vi phân vi phân.

Trang thiết bị + vật liệu cung cấp cho học viên: 1. Giấy A4, A3, A0. 2. Viết lông

• Các bước thực hành: Chủ đề 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1. Dùng sơ đồ trực quan để tóm tắt các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2. Khảo sát và vẽ đồ thị của một số hàm sơ cấp cơ bản. 3. So sánh với các hàm đã từng khảo sát với chương trình phổ thông.

• Ghi chép / Báo cáo kết quả: • Kết luận / Thảo luận:



TIÊU CHUẨN CHO BÀI THỰC HÀNH (CHECKLIST)

Tiêu chí Có Không

1. Miền xác định.

2. Đạo hàm cấp một để xét tính tăng giảm và cực trị của hàm số

3. Tiệm cận hoặc tính lồi lõm.

4. Bảng biến thiên

5. Điểm đặt biệt

6. Vẽ đồ thị

7. Khó hay dễ so với các bài toán kháo sát của phổ thông.

8. Tích cực tham gia thảo luận nhóm

Nhận xét: ------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------------------------------------------------



Chủ đề 2: Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]. 1. Dùng sơ đồ trực quan để tóm tắt các bước tìm cực trị hàm số liên tục trên

đoạn [a, b]. 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trịnhỏ nhất một số hàm sơ cấp cơ bản.

• Ghi chép / Báo cáo kết quả: • Kết luận / Thảo luận:





1. Miền xác định.

2. Đạo hàm cấp một để xét tính tăng giảm.

3. Cho đạo hàm cấp một triệt tiêu.

4. Bảng biến thiên

5. Xét các giá trị hai đầu đoạn.

6. So sánh các giá trị cực đại, cực tiểu và các giá trị hai đầu đoạn.


Nhận xét: --------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------



Chủ đề 3: Ứng dụng vi phân để tính gần đúng giá trị của một biểu thức

1. Dùng sơ đồ trực quan để tóm tắt các bước tính gần đúng giá trị của một biểu thức.

2. Tính gần đúng giá trị của một số biểu thức.

* Ghi chép / Báo cáo kết quả: • Kết luận / Thảo luận:





1. Chọn hàm.

2. Chọn x0 = ? suy ra ?xΔ = có nhỏ hay không?

3. Tính đạo hàm cấp 1.

4. Tính các giá trị hàm và giá trị đạo hàm tại x0.

5. Công thức .)()( 0'

0 xxfxfA Δ×+=


Nhận xét: -------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------



KQHT 3: Tính tích phân đổi biến, từng phần, diện tích hình phẳng, độ dài cung phẳng và thể tích vật thể tròn xoay. BƯỚC HỌC 1: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

Bài hướng dẫn: CHƯƠNG III PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN

§1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH

Định nghĩa 1: Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b)

nếu ),()()(' baxxfxF ∈∀= . Ví dụ 1:

Hàm 3

)(3xxF = là nguyên hàm của hàm f(x) = x2 với mọi x vì xxfxF ∀= )()(' .

Định lý 1: Nếu hàm F(x) là nguyên hàm của hàm f(x)trên khoảng (a, b) thì (F(x) + C)

cũng là nguyên hàm của hàm f(x). Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b) đều có thể biểu diễn dưới dạng (F(x) + C).

Định nghĩa 2: Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm f(x) trên khoảng (a, b) được gọi là tích

phân bất định của hàm f(x). Kí hiệu: ∫ dxxf )( .

Theo định lý 1 nếu hàm f(x) có nguyên hàm là F(x) thì CxFdxxf +=∫ )()( .

Ví dụ 2: ∫ += Cxdxx3

32

Định lý 2: Cho f(x) và g(x) là các hàm số có nguyên hàm trên khoảng (a,b), khi đó:

Đạo hàm: y’- Tích phân ∫ dxxf )(

Mối liên hệ y’ và ∫ dxxf )( .

Tính ∫ dxxf )( bằng: + Công thức cơ bản; +Bằng PP đổi biến và từng phần

Giải BT ứng dụng tính: + Diện tích hình phẳng; + Độ dài cung phẳng; + Thể tích vật thể tròn xoay.

Điểm đến: Xét các vấn đề về tích phân



1. [ ] )()('

xfdxxf =∫ .

2. dxxfdxxfd )()( =∫ .

3. CxfxdfhayCxfdxxf +=+= ∫∫ )()()()(' .

4. )0()()( ≠= ∫∫ ααα dxxfdxxf .

5. ∫∫∫ +=+ dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ .

Ví dụ 3: ∫∫∫ ++=+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ Cxxxdx

xdxxdx

xx 4

32122 .

Bảng các tích phân:

∫∫ =+= CdxCaxadx 0; ;

∫ ∫ +=−≠++

=+

Cxdxx

Cxdxx ln1;)1(1

1

αα

αα ; ln 1 .

1dx x C

x= + +

+∫

;ln

xx x xaa dx C e dx e C

a= + = +∫ ∫ ; ' .

uu ee dx C

u= +∫

Cxxdx +−=∫ cossin ; 2 2

1 ln .2

dx x a Cx a a x a

−= +

− +∫

Cxxdx +=∫ sincos ; 22 ln .dx x x k C

x k= + + +

+∫

∫ +−= Cgxx

dx cotsin 2 ; 2 2

1 ln .2

dx a x Ca x a a x

+= +

− −∫

∫ += Ctgxx

dx2cos

;2

2 2 2 2 2 21 ln .2 2

ax a dx x a x x a C± = ± ± − ± +∫

∫ +=+

Carctgxx

dx21

;2

2 2 2 2 arcsin ;( 0).2 2

x a xa x dx a x C aa

− = − + + >∫

∫ +=−

Cxx

dx arcsin1 2

; ln ;sin 2dx xtg C

x= +∫ ln ( ) ;

cos 2 4dx xtg C

xπ

= + +∫

II. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. Phương pháp đổi biến số Định lý 1:

Nếu CxFdxxf +=∫ )()( thì [ ] [ ] CtFdtttf +=∫ )()()( ' ϕϕϕ với )(tϕ là hàm số có đạo hàm liên tục. Dạng 1:

Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm f(x), nếu hàm số hợp f[u(x)] với u(x) là hàm khả vi thì [ ] CxuFCuFduufdxxuxuf +=+== ∫∫ )]([)()()()( ' .

Ví du 1:

1. ( ) Cxxxddxxxxdxx +=== ∫∫∫ 4sin)(sinsinsin.sincos.sin

43'33 .

2. ∫∫∫∫ −=−−== )(cos)1(cos)sin)(1(cossin.sinsin 2223 xdxdxxxxdxxxdx



Cxxxdxxd +−=−= ∫∫ cos3

cos)(cos)(coscos3

2 .

3. ∫ ∫∫∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+−

−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+−

−=

− axdx

axdx

adx

axaxaaxdx

2111

21

22

[ ] Caxax

aCaxax

aaxaxd

axaxd

a+

+−

=++−−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++

−−−

= ∫∫ ln21lnln

21)()(

21

4. ∫ ∫∫ +=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=+

Caxarctg

aC

axarctg

aax

axd

a

axa

dxax

dx 11

1

1

1122

222

5/ ∫ ∫ ∫ +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=−

Cax

ax

axd

ax

dxaxa

dx arcsin

11

12222

Dạng 2: Cho ∫ dxxf )( , giả sử x = x(t) khả vi và có hàm ngược.

Nếu [ ] )(.)( ' txtxf có nguyên hàm là hàm F(t) thì [ ] [ ] CxtFCtFdttxtxfdxxf +=+== ∫∫ )()()()()( ' .

Ví dụ 2: Tính I = ∫ − dxxa 22 Giải

Đặt x = asint với ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−∈

2,

2ππt , ta có:

∫ ∫∫∫ =−=−=−= tdtadtttadttataadxxaI 222222222 cossin1cos)cos(sin

CttataCttadtta++=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+= ∫ cossin

2222sin

2)2cos1(

2

2222

Cxaxxa+−+= 22

2

21

2arcsin

2

2. Phương pháp tích phân từng phần: Định lý 2:

Cho các hàm u(x), v(x) khả vi và )().(' xvxu có nguyên hàm. Khi đó )().( ' xvxu cũng có nguyên hàm và ∫∫ −= dxxvxuxvxudxxvxu )().()().()().( '' .

Chú ý: Vì dxxudu )('= và dxxvdv )('= nên công thức trên thường được viết dưới dạng ∫∫ −= vduuvudv

Ví dụ 3: Tính I = ∫ xdxx ln3



Giải

Ta có I = [ ] [ ]∫∫∫ −=−= dxxxxxdxxxxxd 34444 ln41)(lnln

41)(ln

41

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−= Cxxx

4ln

41 4

4

III. TÍCH PHÂN CỦA CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN 1. Tích phân của hàm số hữu tỷ

Dạng 1:

∫ + nbaxdx

)( trong đó a, b là các hằng số và n = 1, 2, 3….

Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:

1. ∫ +=

)(1 baxdxI

2. )1()(2 ≠

+= ∫ n

baxdxI n

Giải

1. ( )∫∫ ++=++=++

=+

= Cbaxa

Cbaxabax

baxdabax

dxI ln1ln1)()(1

)( 11

2.

Cnbax

aC

nbax

abaxdbax

abaxdxI

nnn

n +−+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−+

=++=+

=−−

−∫∫ 1)(1

1)(1)()(1

)(

1

1

1

2

Dạng 2:

∫ ++ baxxdx

2 trong đó a, b là các hằng số và n = 1, 2, 3….


1. ∫ ++=

121 xxdxI

2. ∫ ++=

4422 xxdxI

3. ∫ −−=

123 23 xxdxI

Giải 1.

CxarctgCx

arctg

x

xd

x

dxI

++

=++

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= ∫ ∫

312

32

2321

32

23

21

21

43

21 2221

2. ∫∫ ++

−=+−+

=+

=++

=−

Cx

Cxx

dxxx

dxI2

121)2(

)2(44

21

222



3.

1122

23

13)1(3ln

41

32

31

32

31

ln43

31

32

313

1

31

323

1

CxxC

x

x

x

dx

xx

dxI

++−

=++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

=−−

=

∫

∫

CxxC

xx

++−

=+++−

=131ln

41

43ln

131ln

41

1

Cách khác:

Ta có 131)13)(1(

1123

12 +

+−

=+−

=−− x

Bx

Axxxx

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

=⇔

⎩⎨⎧

=−=+

⇔−++=−++=⇔

43

41

103

)3()1()13(1B

A

BABA

BAxBAxBxA

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+

−=⇒ ∫ ∫∫∫ 13

314

1)13(4

3)1(4

1131

43

41

3 xdx

xdxdx

xxdx

xxI

( ) CxxCxx ++−

=++−−=131ln

4113ln1ln

41

Dạng 3:

∫ +++ dx

baxxBAx

2 trong đó A, B, a, b là các hằng số, n = 1, 2,…

và a2– 4b < 0.

Ví dụ 3: Tính dxxx

xI ∫ ++−

=1

12

Giải Ta có

∫∫

∫ ∫∫

++−

++++

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++−

+++

=++−+

=

123

1)1(

21

13

112

21

1312

21

22

2

222

xxdx

xxxxd

xxdxdx

xxxdx

xxxI

= C

x

dxxx +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−++ ∫ 22

2

23

212

31ln21

= Cxarctgxx ++

−++3

1231ln21 2

Dạng 4:

dxedxcbxax

CBxAx∫ +++

++))(( 2

2

trong đó A, B, C, a, b, c, d, e là các hằng số, n = 1, 2,

3… và b2–4ac< 0, dex −= không là nghiệm của phương trình

Ax2+Bx+C = 0.




1. ∫ +=

)1( 21 xxdxI

2. dxxxx

xxI ∫ ++++−

=)1)(1(

12

2

2

Giải

1. Ta có ACxxBACBxxxAx

CBxxA

xx+++=+++=⇔

++

+=+

2222 )()()1(1

1)1(1

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=

=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

=+⇒

01

1

10

0

CBA

AC

BA

Vậy

1 2 2

2

2 2

2

1( 1) 1

1 ( 1)ln1 2 1

1ln ln 12

dx xI dxx x x x

dx xdx d xx Cx x x

x x C

⎛ ⎞= = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠+

= − = − ++ +

= − + +

∫ ∫

∫ ∫ ∫

2. Ta có 11)1)(1(

122

2

+++

++

=+++

+−xx

CBxx

Axxx

xx

))(1()1(1 22 CBxxxxAxx +++++=+−⇔ CAxCBAxBAxx ++++++=+−⇔ )()(1 22

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−=

=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=++

=+⇒

22

3

11

1

CBA

CACBA

BA

Vậy dxxx

xxdxdx

xxx

xdx

xxxxxI ∫∫ ∫∫ ++

++−

+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+++

−+

=+++

+−=

1112

13

122

13

)1)(1(1

222

2

2

Cxx

dxxx

dxxx +++

−++

+−+= ∫∫ 11

)12(1ln3 22

C

x

dxxxxxdx +

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−++++

−+= ∫∫ 222

2

23

211

)1(1ln3

Cxarctgxxx ++

−++−+=3

123

2)1ln(1ln3 2

Dạng 5:

∫ + nmxdx

)( 22 trong đó m là hằng số và n = 1, 2,….

Ví dụ 5: Tính ∫ += 222 )( mx

dxI



Giải

Ta có ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−++

=+

−+=

+= ∫∫∫∫ dx

mxxdx

mxmx

mdx

mxxmx

mmxdxI 222

2

222

22

2222

222

2222 )()(1

)(1

)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+

= ∫∫ 222

2

222 )(1

mxdxx

mxdx

m

Tính ∫ ∫ ++

=+ 222

22

222

2

)()(

21

)( mxmxxd

mxdxx

Đặt u = x ⇒ du = dx

22222

22 1)(

)(mx

vmx

mxddv+

−=⇒++

=

∫∫ ++

+−=

+ 2222222

2

21

)(2)( mxdx

mxx

mxdxx

Vậy

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

+−−

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+

=

∫∫

∫∫

2222222

222

2

222

211

)(1

mxdx

mxx

mxdx

m

mxdxx

mxdx

mI

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

+= ∫ 222222

1mx

dxmx

xm

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

+= C

mxarctg

mmxx

m1

21

222

2. Tích phân của hàm số lượng giác

Dạng 1:

∫ dxxxR )cos,(sin trong đó R(sinx, cosx) là hàm hữu tỷ theo sinx, cosx.

Ta sẽ hữu tỷ hoá tích phân bằng cách đặt 2xtgt = , khi đó

22

2

2 12;

11cos;

12sin

tdtdx

ttx

ttx

+=

+−

=+

=

Và ∫ dxxxR )cos,(sin sẽ trở thành tích phân hàm hữu tỷ.

Ví dụ 1: Tính ∫ +=

xdxIcos53

Giải

Đặt 2xtgt = 22

2

2 12;

11cos;

12sin

tdtdx

ttx

ttx

+=

+−

=+

=⇒

2

2

2

21

211

2

2

1 2ln4 4 23 5

21 ln4 2

dtt

tt

x

x

dt tI Ct t

tg Ctg

+−+

+= = = − +

− −+

+= +

−

∫ ∫ ∫

Dạng 2:



∫ dxxxR )cos,(sin , ta xét các trường hợp sau. Trường hợp 1: Nếu R(sinx, cosx) = R(- sinx, - cosx) thì ta đặt t = tgx. Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:

1/ ∫ −=

xxdxI 221 cos3sin

2/ ∫ +−=

xxxdxI

2sincossin 222

Giải

1/ Đặt tgxt = 22

22

22

1;

1sin;

11cos

tdtdx

ttx

tx

+=

+=

+=⇒

( )

2

2

2 2

11 21

1 1

22

33

1 3ln2 3 33

1 3ln .2 3 3

dtt

tt t

dtIt

dt t Ctt

tgx Ctgx

+

+ +

= =−−

−= = +

+−

−= +

+

∫ ∫

∫

2/ Ta có ∫ +−=

xxxxdxI

cossin2cossin 222

Đặt tgxt =

2222

22

22

1

1cos;1

sin;1

;1

sin;1

1cost

xt

txt

dtdxt

txt

x+

=+

=+

=+

=+

=⇒

( ) Ctt

t

dttt

dtItt

ttt

tdt

+++−+

=−+

=−+

=+−

= ∫ ∫ ∫+++

+

2)1(2)1(ln

221

2)1(12 2221

21

11

11

222

2

2

Ctgxtgx

+++−+

=2121ln

221

Trường hợp 2: Nếu R(sinx, cosx) = -R(- sinx, cosx) thì ta đặt t = cosx.

Ví dụ 2: Tính dxx

xI ∫ += 2

3

cos1sin

Giải Đặt t = cosx ⇒ dt = - sinxdx

∫∫∫∫ +−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

+−+

=+−

−=−+

−= Carctgttdtt

dtt

tdtttxdx

xxI 2

121

121

11)sin(

cos1sin

22

2

2

2

2

2

Cxarctgx +−= )(cos2cos Trường hợp 3:

Nếu R(sinx, cosx) = -R(sinx, - cosx) thì ta đặt t = sinx.

Ví dụ 3: Tính ∫= xxdxI

cossin 2



Giải Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx

∫ ∫ ∫∫∫ +−

=−−+

=−

== 2222

22

2222 1)1()1(

)1(cossincos

tdt

tdtdt

tttt

ttdt

xxdxI

Cxx

xCtt

ttdt

tdt

+−+−

−=+−+−

−=+−

−= ∫∫ sin1

1sin1sinln

211

11ln

21

1 22

3. Tích phân của hàm số vô tỷ

Dạng 1: ∫ + dxbaxxR n ),( , ta đặt n baxt ++= .

Ví dụ 1: Tính ∫ ++=

3 11 xdxI

Giải

Đặt 3 1+= xt⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=⇒

dttdxtx

2

3

31

∫∫ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

++−=

+= Ctttdt

tt

tdttI 1ln

23

1113

13 22

Cxxx

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++++−

+= 11ln1

2)1(

3 333 2

Chý ý: Nếu ∫ ++ dxbaxbaxxR nn ,...),,( 21 , ta đặt n baxt += với n = BCNN(n1, n2,…).

Ví dụ 2: Tính ∫ +=

)1(3 xxdxI

Giải

Đặt 6 xt =⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=⇒

dttdxtx

5

6

6

( )∫∫∫ ++=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

+=

+= Carctgttdt

ttdtt

ttdttI 6

1116

16

)1(6

22

2

23

5

( ) Cxarctgx +−= 666 Dạng 2:

dxcbxax

BAxcbxax

dx∫ ∫

++

+

++ 22;


1. ∫++

=5221

xxdxI

2. ∫−−

=22

1 xxdxI

3. ∫++

+= dx

xxxI

10435

23



Giải

1. ( ) ( )

Cxxxx

xd

x

dxI +++++=++

+=

++= ∫ ∫ 521ln

21

)1(

412

2221

2. ( )

( )( ) ( )

CxCx

x

xd

x

dxI ++

=++

=+−

+=

+−= ∫ ∫ 5

12arcsinarcsin25

21

2212

25

21

221

45

2

3. ∫∫∫++

+−

++

++=

++

−+=

222

2

2

25

3)6()2(

)2(7104

)104(25

104

7)42(

x

xdxxxxd

xx

xI

Cxxxxx +++++−++= 104)2(ln71045 22



Dạng 2:

∫ ++ dxcbxaxxR ),( 2 . Ta dùng phép thế Euler

(i ) Nếu a > 0, đặt xatcbxax −=++2 ( hoặc xatcbxax +=++2 ). (ii ) Nếu c > 0, đặt cxtcbxax +=++2 ( hoặc cxtcbxax −=++2 ). (iii ) Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm thực x1, x2 thì ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2), khi đó ta đặt )( 1

2 xxtcbxax −=++ Ví dụ 2:

Tính ∫+−+

=12 xxx

dxI

Giải

Đặt xtxx −=+− 12

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+−

=

−−

=⇒

2

2

2

)12(12

121

tttdx

ttx

[ ]dt

tt

tdt

tt

tdt

tttt

xxxdxI ∫∫∫∫ ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+=−+−

=+−+

= 223

83

22

2

2 )12()12(412

)12(3312

)12()1(2

1

Ct

ttt

tdttd

tdt

+−

−−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+−−

−= ∫ ∫ ∫ )12(1

4312ln

23ln2

)12()12(

43

)12()12(

832 22

2

Cxxx

xxxxxx +−+−+

−−+−+−+−+=1122

1431122ln

231ln2

2

22

Chú ý: Để tính ∫ ++ dxcbxaxxR ),( 2 ta có thể dùng phép đổi biến số lượng giác.

Ta có ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=++ 2

222

44

2 aacb

abxacbxax

Đặt 2

22

2

22

44;

44;

2 aacbn

aacbm

abxu −

−=−

=+= .

Khi đó tích phân trên được đưa về các dạng: (1) ∫ − dtmuxR ),( 22 ( khi b2 – 4ac 0≥ và a > 0 ).

(2) ∫ − dtumxR ),( 22 ( khi b2 – 4ac 0≥ và a < 0 ).

(3) ∫ + dtnuxR ),( 22 ( khi b2 – 4ac < 0 và a > 0 ). Đối với các tích phân này ta có thể dùng phép đổi biến số bằng các đặt:

(1) t

musin

= ; (2) u = msint; (3) u = ntgt

Chú ý: Bằng phương pháp tích phân từng phần ta tính được:

∫ +±+±±=± Caxxaaxxdxax 222

2222 ln22



∫ ++−=− Caxaxaxdxxa arcsin

22

22222

• Câu hỏi củng cố: 1. Theo bạn hiểu thế nào là tích phân ? 2. Tích phân bất định là gì ? Bạn hiểu thế nào về hằng số C trong kết quả của

tích phân bất định ? 3. Mục đích đổi biến số là gì ? Làm sao bạn biết đặt biến mới là đúng hay sai ? 4. Bạn hiểu nghĩa ” tích phân từng phần” là như thế nào ? Và cho biết vấn đề

chính trong tích phân từng phần là gì ? 5. Theo bạn có bao nhiêu phương pháp tính tích phân? Và phương pháp nào

thường hay ứng dụng nhiều nhất ? 6. Theo bạn có cần quan tâm đến tích phân các dạng khác hay không ? Tại sao ?



PHẦN HƯỚNG DẪN THỰC HÀNH KQHT 3 : Tính tích phân đổi biến, từng phần, diện tích hình phẳng, độ dài cung phẳng và thể tích vật thể tròn xoay. BƯỚC HỌC 1: Tích phân bất định

• Trang thiết bị + vật liệu cung cấp cho học viên: 1. Giấy A4, A3. 2. Viết long • Các bước thực hành: 1. Bạn hãy liệt kê 10 công thức tích phân mà bạn cho rắng là cơ bản ? 2. Liệt kê các phương pháp tính tích phân bất định ? 3. Mục đích đổi biến số là gì ? Làm sao bạn biết đặt biến mới là đúng hay sai ? 4. Bạn hãy cho 02 bài tập về tích phân bất định có ứng dụng hai phương pháp

giải ? • Ghi chép / Báo cáo kết quả: • Kết luận / Thảo luận:





1. Có đủ 10 công thức tích phân cơ bản

2. Có hai ví dụ mỗi ví dụ có cách giải ứng dụng 01 phương pháp

3. Có sử dụng hai phương pháp tính tích phân

4. Có làm cho hàm số dưới dấu tích phân đơn giản hơn theo biến mới không ?

5. Vi phân theo biến mới có xuất hiện trong hàm số dưới dấu tích phân cũ không ?

6. Đổi biến trong tích phân bất định có trả lại biến cũ khi về kết quả

7. Tích phân bất định được tính theo vi phân hay đạo hàm

8. Tích phân đổi biến, tích phân từng phần đều tính được là nhờ tích phân cơ bản

9. Bạn có phần nào hiểu rõ ràng hơn về cách tính tích phân so với chương trình phổ thông

Nhận xét: ------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------- -------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------------------



BƯỚC HỌC 2: Tích phân xác định Bài hướng dẫn:

§2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I. ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1. Bài toán diện tích hình thang cong

Cho hàm số y = f(x) liên tục, đơn điệu và không âm trên đoạn [a, b]. Xét hình thang ABCD được giới hạn bởi các đường thẳng x = a, x = b, trục ox và đường cong y = f(x). Ta chia đoạn [a, b] một cách tuỳ ý thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia

bxxxxxxa nkk =<<<<<<<= + KK 1210 Trên mỗi đoạn nhỏ được chia [xi-1, xi ] ta dựng một hình chữ nhật với chiều rộng là

1−−=Δ iii xxx và chiều cao là )( if ξ ( với ),( 1 iii xx −∈ξ ). Tổng diện tích của n hình chữ

nhật trên là: ∑=

Δ=n

iiin xfS

1

).(ξ ( chính là diện tích hình bậc thang như hình vẽ H 3.1).

Nhận xét: Diện tích của hình bậc thang gần bằng diện tích của hình thang cong ABCD khi n càng lớn và các đoạn được chia càng nhỏ. Do đó diện tích S của hình

thang ABCD đã cho là: ∑=

→Δ∞→Δ==

n

iiixnn

xfSSi 10max

)(limlim ξ

y C D A B O a xi-1 xi b x H 3.1 2. Định nghĩa tích phân xác định

Cho f(x) là hàm số xác định trên đoạn [a, b], chia đoạn [a, b] một cách tuỳ ý thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia

bxxxxxxa nk =<<<<<<<= + KK 1210 . Đặt { }ixd Δ= max ( với 1−−=Δ iii xxx ), i = 1…n.

Trên mỗi đoạn [xi-1, xi] lấy điểm iξ ( i = 1…n )tuỳ ý, lập tổng ∑=

Δ=n

iiin xfI

1)(ξ

và gọi là tổng tích phân của hàm f(x) trên [a, b]. Tăng điểm chia lên vô hạn ( ∞→n ) sao cho 0→d , nếu trong quá trình đó

II n → ( hữu hạn ) mà không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a, b] và cách lấy điểm iξ thì I được gọi là tích phân xác định của hàm f(x) trên [a, b].

Kí hiệu: ∑∫=

→Δ==

n

iiid

b

a

xfdxxfI10

)(lim)( ξ

Khi đó ta nói hàm f(x) khả tích trên [a, b]. Nhận xét:



1. ∫b

a

dxxf )( nếu có thì chỉ phụ thuộc vào hàm f(x) và hai cận a, b không phụ thuộc vào

biến số, tức là ∫ ∫=b

a

b

a

dttfdxxf )()( .

2. Khi định nghĩa tích phân xác định ta coi a < b. Nếu a > b thì

∫ ∫−=b

a

b

a

dxxfdxxf )()(

và khi a = b thì ∫ ∫ ==b

a

a

a

dxxfdxxf 0)()( .

3. Theo định nghĩa tích phân xác định thì diện tích hình thang cong mà ta đã xét là:

∫=b

a

dxxfS )( .

4. Từ định nghĩa trên người ta chứng minh được các định lý sau: Định lý 1: Mọi hàm số f(x) liên tục trên [a, b]đều khả tích trên đoạn đó. Định lý 2: Nếu trên đoạn [a, b], hàm số f(x) bị chặn và chỉ có một số điểm gián

đoạn thì nó khả tích trên đoạn đó. Định lý 3: Nếu hàm số f(x) đơn điệu và bị chặn trên đoạn [a, b] thì nó khả tích

trên đoạn đó. Ñònh lyù 4: ( Các tính chất của hàm khả tích )

1. Nếu hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a, b] thì các hàm )(xf và k.f(x) cũng khả tích trên đoạn [a, b].

2. Nếu hai hàm số f(x) và g(x) khả tích trên đoạn [a, b] thì tổng, hiệu và tích của chúng cũng khả tích trên đoạn [a, b].

3. Nếu hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên mọi đoạn [ ] [ ]ba,, ⊂βα . Ngược lại, nếu ta chia đoạn [a, b] thành các đoạn nhỏ và f(x) khả tích trên từng đoạn nhỏ đó thì f(x) khả tích trên đoạn [a, b].

2. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Giả sử f(x) và g(x) là các hàm khả tích trên đoạn [a, b], khi đó:

1. [ ] dxxgdxxfdxxgxfb

a

b

a

b

a∫∫∫ ±=± )()()()( .

2. dxxfkdxxkfb

a

b

a∫∫ = )()( .

3. dxxfdxxfdxxfb

c

c

a

b

a∫∫∫ += )()()( .

4. Nếu [ ]baxxgxf ,)()( ∈∀≤ thì dxxgdxxfb

a

b

a∫∫ ≤ )()( .

5. ∫∫ ≤b

a

b

a

dxxfdxxf )()( .



6. Nếu [ ]baxMxfm ,)( ∈∀≤≤ thì )()()( abMdxxfabmb

a

−≤≤− ∫ .

7. ( Định lý giá trị trung bình của hàm số ) Nếu hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a, b] và [ ]baxMxfm ,)( ∈∀≤≤ thì tồn tại số

[ ]Mm,∈μ sao cho )()( abdxxfb

a

−=∫ μ .

Đặc biệt: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì tồn tại số

[ ]bac ,∈ sao cho ))(()( abcfdxxfb

a

−=∫ .

Giá trị ∫−=

b

a

dxxfab

cf )(1)( được gọi là giá trị trung bình của hàm số f(x).

Kí hiệu: f .

3. CÔNG THỨC CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Giả sử hàm số f(x) khả tích trên đoạn [a, b], khi đó f(x) cũng khả tích trên đoạn

[a, x] ⊂ [a, b]. Nghĩa là tồn tại tích phân ∫x

a

dttf )( và nó là một hàm số theo biến

x.

Kí hiệu: ∫=x

a

dttfxF )()( . Khi đó hàm F(x) có các tính chất sau:

1/ Nếu hàm f(x) khả tích trên đoạn [a, b] thì F(x) liên tục trên đoạn đó. 2/ Nếu hàm f(x) liên tục tại x thì hàm F(x) có đạo hàm tại x và )()(' xfxF = . Định lý : ( Công thức Newton-Leibniz ) Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a, b] và F(x) là một nguyên hàm của nó thì

)()()()( aFbFxFdxxf b

a

b

a

−==∫ .

Nhận xét: Công thức này cho phép tính tích phân xác định thông qua nguyên hàm của hàm f(x) mà không cần sử dụng định nghĩa, về nguyên tắc ta có thể tích được tích phân xác định.

4. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

4.1. Tính diện tích hình phẳng • Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi

đồ thị của hàm số y = f(x) và các đường thẳng x = a ; x = b ; y = 0 được tính theo công thức:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤−

≥

==

∫

∫∫ b

a

b

ab

a xfkhidxxf

xfkhidxxfdxxfS

0)()(

0)()()( .



o Nếu các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(x) ; y = g(x) và các đường thẳng x = a ; x = b

được tính theo công thức: ∫ −=b

a

dxxgxfS )()( .

• Nếu phương trình đường cong cho dưới dạng )(yx ϕ= , )(yϕ liên tục trên đoạn

[a, b] thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường )(yx ϕ= ; y = a ; y = b và x = 0

được tính theo công thức: ∫=b

a

dyyS )(ϕ .

Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số ⎩⎨⎧

==

)()(tytx

ψϕ

thì công thức

∫=b

a

dxxfS )(

trở thành ∫2

1

)().( 't

t

dttt ϕψ trong đó t1, t2 lần lượt là nghiệm của các phương

trình )(,)( tbta ϕϕ == và )(,)(,)( ' ttt ϕψϕ là các hàm số liên tục trên đoạn [t1, t2]. Ví dụ : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 ( 0≥x ) và y =

2 - x. Giải

Giao điểm của các đường y = x2 ( 0≥x ) và y = 2 - x là nghiệm của hệ ( )

⎩⎨⎧

−=≥=

xyxxy

202

⎩⎨⎧

==

⇒11

yx

Vậy diện tích cần tìm là

[ ]27

322)2()2(

1

0

321

0

21

0

2 =−−=−−=−−= ∫∫xxxdxxxdxxxS (đvdt)

4.2. Tính độ dài đường cong phẳng • Cung cho bởi đường cong có phương trình y = f(x), trong đó f(x) là hàm số

đơn trị và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b]. Độ dài cung AB, với A(a, f(a)) và B(b, f(b))

được tính theo công thức: [ ]∫ +=b

a

dxxfl 2' )(1 .

• Cung cho bởi đường cong có phương trình ( )btatytx

≤≤⎩⎨⎧

==

)()(

ψϕ

, trong đó

)(tϕ và )(tψ là các hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b]. Độ dài cung AB, với

))(),(( aaA ψϕ và ))(),(( bbB ψϕ được tính theo công thức:



• [ ] [ ]∫ +=b

a

dtttL 2'2' )()( ψϕ (đvđd).

Ví dụ : Tính độ dài cung của đường cycloide )20()sin1()sin(

π≤≤⎩⎨⎧

−=−=

ttayttax

Giải

Ta có ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

−=

tatytatx

sin)()cos1()(

'

'

[ ] [ ] 222222'2' sin2sin4)cos22()()( tt aatatytx ==−=+⇒

Vậy độ dài cung cần tìm là :

( ) aadadtal tttt 8cos4sin4sin2 2

02

2

022

2

02 =−=== ∫∫

πππ

(đvđd).

4.3. Tính thể tích vật thể • Vật thể bất kỳ: Là vật thể được giới hạn bởi một mặt cong kín với hai mặt

phẳng x = a; x = b vuông góc với ox. Giả sử S(x) là diện tích thiết diện giữa vật thể và mặt phẳng vuông góc với ox tại x ( [ ]bax ,∈ ) và S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a, b]. Khi đó

thể tích của vật thể được tính theo công thức: ∫=b

a

dxxSV )( .

• Vật thể tròn xoay: Là vật thể được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đường y = f(x), x = a, x = b và y = 0 quanh trục ox. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay được

tính theo công thức: ∫=b

ax dxxfV )(2π .

Chú ý: Vật thể tròn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong giới hạn bởi đường y = f(x), x = a, x = b và y = 0 quanh trục oy. Khi đó thể tích vật thể tròn xoay được

tính theo công thức: ∫=b

ay dxxxfV )(2π .

Ví dụ : Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi đường y = 2x - x2 và y = 0 khi:

1/ Xoay quanh trục ox. 2/ Xoay quanh trục oy.

Giải Ta có đường y = 2x - x2 cắt trục ox tại x = 0 và x = 2 nên ta có:



1/

22

02

2 2

02

2 3 4

0

23 54

0

( )

(2 )

(4 4 )

4 163 5 15

xV f x dx

x x dx

x x x dx

x xx

π

π

π

ππ

=

= −

= − +

⎛ ⎞⎜ ⎟= − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

∫

∫.

2/ 2 2

2

0 0

22 3 42 3

0 0

2 ( ) 2 (2 )

2 82 (2 ) 23 4 3

yV xf x dx x x x dx

x xx x dx

π π

ππ π

= = −

⎛ ⎞⎜ ⎟= − = − =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫

∫.

4.4. Tính diện tích mặt tròn xoay Mặt tròn xoay là một mặt cong sinh ra do ta quay quanh trục ox một cung

đường cong phẳng AB có phương trình y = f(x), [ ]bax ,∈ [ với f(x) là hàm số đơn trị và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b] ; A(a, f(a)), B(b, f(b))].

Diện tích mặt tròn xoay được tính theo công thức:

[ ]∫ +=b

a

dxxfxfS 2' )(1)(2π .

Chú ý: 1/ Nếu quay đường cong phẳng quanh trục oy thì:

[ ]∫ +=b

a

dxxfxS 2' )(12π .

2/ Nếu đường cong phẳng cho bởi phương trình [ ]baxyx ,,)( ∈= ϕ ( với hàm số )(yϕ là hàm số đơn trị và có đạo hàm liên tục trên [a, b] ). Khi đó ta có:

Khi quay quanh trục ox: [ ]∫ +=b

a

dyyyS 2' )(12 ϕπ .

Khi quay quanh trục oy: [ ]∫ +=b

a

dyyyS 2' )(1)(2 ϕϕπ .

Ví dụ : Tính diện tích mặt tạo nên khi quay đường parbol ⎩⎨⎧

≤≤=

10

2

yyx

quanh trục ox. Giải

Ta có ( )[ ] 22'

'

41)(10

2)(yyx

ydoxy

yyx+=+⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥=

=



Vậy diện tích cần tìm là:

32

12

01

2 2

01

2

32 0

2 1 4

1 4 (1 4 )4

(1 4 ). (5 5 1)4 6

S y y dy

y d y

y

π

π

π π

= +

= + +

+= = −

∫

∫ .


1. Thế nào là tích phân xác định ? 2. Hãy trình bày các công thức cơ bản của tích phân xác định ? 3. Hãy viết bốn công thức ứng dụng của tích phân xác định ?



BƯỚC HỌC 2: Tích phân xác định

• Trang thiết bị + vật liệu cung cấp cho học viên: 1. Giấy A4, A3. 2. Viết long • Các bước thực hành: 1. Cho hai ví dụ: một ví dụ ứng dụng phương pháp đổi biến số, một ví dụ

ứng dụng một trong bốn công thức ứng dụng của tích phân từng phần xác định ? 2. Hãy so sánh kết quả của tích phân xác định và tích phân bất định? • Ghi chép / Báo cáo kết quả:

• Kết luận / Thảo luận:





1. Có hai ví dụ: một ví dụ ứng dụng phương pháp đổi biến số, một ví dụ ứng dụng một trong bốn công thức ứng dụng của tích phân từng phần xác định?

2. Ứng dụng phương pháp đổi biến số trong quá trình tính tích phân không?

3. Có sử dụng một trong bốn công thức ứng dụng của tích phân xác định không ?

4. Kết quả tích phân xác định có hữu hạn hay vô hạn ?

5. Đúng thời gian qui định

6. Kết quả chính xác và lập luận logíc

7. Sự hợp tác của các thành viên trong nhóm

Nhận xét: --------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------



BƯỚC HỌC 3: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, độ dài cung phẳng và thể tích vật thể tròn xoay?.

• Trang thiết bị + vật liệu cung cấp cho học viên: 1. Giấy A4, A3. 2. Viết long • Các bước thực hành: 1. Cho một ví dụ ứng dụng một trong bốn công thức ứng dụng của tích

phân từng phần xác định ? 2. Hãy cho biết sự bất lợi khi sử dụng công thức tính độ dài của đường

công phẳng? • Ghi chép / Báo cáo kết quả: • Kết luận / Thảo luận:





1. Có một ví dụ tính độ dài cung phẳng không?

2. Có sử dụng đạo hàm cấp một không ?

3. Có sử dụng công thức tính độ dài cung phẳng chính xác không ?

4. Kết quả tích phân xác định có hữu hạn hay vô hạn ?

5. Đúng thời gian qui định.

6. Kết quả chính xác và lập luận logic.

7. Sự hợp tác của các thành viên trong nhóm.

Nhận xét: ------------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------



KẾT QUẢ HỌC TẬP 4: Khảo sát một số bài toán về hội tụ hay phân kỳ bằng sự vận dụng lý thuyết tích phân suy rộng loại I, loại II

Bài hướng dẫn:

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

I. TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI MỘT Định nghĩa: Giả sử hàm f(x) xác định trên [ )∞+,a và khả tích trên mọi đoạn [a, b]. Giới hạn

( nếu có ) của tích phân ∫b

a

dxxf )( khi ∞+→b gọi là tích phân suy rộng của hàm f(x)

trên [ )∞+,a , kí hiệu: ∫+∞

a

dxxf )( .

Vậy ∫∫ ∞+→

+∞

=b

ab

a

dxxfdxxf )(lim)( .

• Nếu ∫∞+→

b

ab

dxxf )(lim hữu hạn thì ∫+∞

a

dxxf )( hội tụ và hàm f(x) khả tích trên [ )∞+,a .

• Nếu ∫∞+→

b

ab

dxxf )(lim vô hạn hoặc không tồn tại thì ∫+∞

a

dxxf )( phân ỳ.

Tương tự, ∫∫ ∞−→∞−

=a

bb

a

dxxfdxxf )(lim)( ( Tính hội tụ và phân kỳ cũng tương tự ).

dxxfdxxfdxxfa

a

∫∫∫∞+

∞−

∞+

∞−

+=⇒ )()()( .

Tích phân ∫∞+

∞−

dxxf )( hội tụ khi ∫+∞

a

dxxf )( và ∫∞−

a

dxxf )( hội tụ.

Ví dụ: 1/ Tính ∫∞+

−=0

12

dxxeI x .

* Điểm đến: Xét các vấn đề vềTích phân suy rộng.

* Định nghĩa tích phân suy rộng:

a/ ∫+∞

∞−

dxxf )( : loại I.

b/ ∫−

+

ε

ε

b

a

dxxf )( : loại II.

* Các tiêu chuẩn hội tụ, phân kỳ.

*Giải BT ứng dụng xét sự hội tụ và phân kỳ của tích phân: + Bằng PP tính trực tiếp. + Bằng các tiêu chuẩn.



2/ Xét sự hội tụ của tích phân ( )0,02 >>= ∫∞+

αα axdxI

a

.

Giải 1/

( )

2 2

2 2

21

0 0

0

1lim lim ( )2

1 1 1lim lim 12 2 2

b bx x

b b

bx b

b b

I xe dx e d x

e e

− −

→+∞ →+∞

− −

→+∞ →+∞

⎛ ⎞= = − −⎜ ⎟

⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞= − = − =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫.

2. Nếu 1≠α thì

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−

<∞+=−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

== −−−

∞+→

−

∞+→∞+→ ∫ 11

1)(lim

11

1limlim 111

1

2 αα

α

ααααα

α

α khiakhi

abxxdxI

b

b

ab

b

ab

.

Nếu 1=α thì

( ) ( ) +∞=−====∞+→∞+→∞+→

∞+

∫∫ abxxdx

xdxI

b

b

ab

b

ab

a

lnlnlimlnlimlim2 .

Vậy ( )0,02 >>= ∫∞+

αα axdxI

a

hội tụ khi 10 ≤< α v à phân kỳ khi 1>α .

II TÍCH PHÂN SUY RỘNG LOẠI HAI

Định nghĩa: Giả sử f(x) là hàm bị chặn và khả tích trên mọi đoạn [ ] ,0(, >− εεba bé tuỳ ý)

nhưng không bị chặn trên đoạn [ ]bb ,ε− . Giới hạn (nếu có) của tích phân dxxfb

a∫−ε

)(

khi 0→ε gọi là tích phân suy rộng của hàm f(x) trên đoạn [a, b].

Kí hiệu: dxxfb

a∫ )(

Vậy dxxfdxxfb

a

b

a∫∫−

→=

ε

ε)(lim)(

0.

• Nếu ∫−

→

ε

ε

b

a

dxxf )(lim0

hữu hạn thì ∫b

a

dxxf )( hội tụ và hàm f(x) khả tích trên [ ]ba, .

• Nếu ∫−

→

ε

ε

b

a

dxxf )(lim0

vô hạn hoặc không tồn tại thì ∫b

a

dxxf )( phân ỳ.

Tương tự, nếu f(x) là hàm khả tích và bị chặn trên mọi đoạn [ ]ba ,ε+ nhưng không bị

chặn trên đoạn [ ]ε+aa, thì dxxfdxxfb

a

b

a∫∫+

→=

εε

)(lim)(0

( Tính hội tụ và phân kỳ cũng

tương tự ).

dxxfdxxfdxxfb

c

c

a

b

a∫∫∫ +=⇒ )()()( ( nếu f(x) không bị chặn tại c [ ]ba,∈ ).



Tích phân ∫b

a

dxxf )( hội tụ khi ∫c

a

dxxf )( và ∫b

c

dxxf )( hội tụ.

Ví dụ:

1/ Tính ∫− −

=1

121

1 xdxI .

2/ Xét sự hội tụ của tích phân ∫ −=

1

02 1 x

dxI .

Giải 1/

( )

1 1

1 2 200 0

1

00 0

2 2lim1 1

2lim arcsin 2limarcsin(1 )

2arcsin1

dx dxIx x

x

ε

ε

ε

ε εε

π

−

→

−

→ →

= =− −

= = −

= =

∫ ∫

.

2/

1 1

2 0 00 0

1

00 0

(1 )lim lim1 1

lim ln(1 ) lim( ln )

dx d xIx x

x

ε ε

ε ε

ε

ε εε

− −

→ →

−

→ →

⎛ ⎞−= = −⎜ ⎟

− −⎝ ⎠⎡ ⎤= − − = − = +∞⎣ ⎦

∫ ∫.

Vậy ∫ −=

1

02 1 x

dxI phân kỳ.

3. ĐIỀU KIỆN HỘI TỤ CỦA TÍCH PHÂN SUY RỘNG Định lý: Giả sử f(x) và g(x) là các hàm khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, b] và

axxgxf ≥∀≤≤ )()(0 , khi đó ta có:

• Nếu ∫∞+

a

dxxg )( hội tụ thì ∫∞+

a

dxxf )( hội tụ và ∫∞+

a

dxxf )( ∫∞+

≤a

dxxg )( .

• Nếu ∫∞+

a

dxxf )( phân kỳ thì ∫∞+

a

dxxg )( phân kỳ .

Định lý: Giả sử f(x) và g(x) là các hàm không âm và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a,

b]. Khi đó, nếu )0()()(lim ∞+<<=

∞+→kk

xgxf

xthì các tích phân ∫

∞+

a

dxxf )( và ∫∞+

a

dxxg )( cùng

hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Định lý:

Nếu ∫∞+

a

dxxf )( hội tụ thì ∫∞+

a

dxxf )( hội tụ.

Định nghĩa:

• ∫∞+

a

dxxf )( được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu ∫∞+

a

dxxf )( hội tụ.



• ∫∞+

a

dxxf )( được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu ∫∞+

a

dxxf )( hội tụ và ∫∞+

a

dxxf )( phân

kỳ. Ví dụ: Xét sự hội tụ của các tích phân sau đây:

a) ∫+∞

++13 2 )x1()x1(1

∀ x≥ 1: f(x) = 3 2 )x1()x1(1

++≥ 0

và < 3

22

1 x.x1

= 6

7x1

vì α = 67

> 1

Suy ra: ∫+∞

++13 2 )x1()x1(1

phải hội tụ.

b) ∫ −

1

03 2

2

)x1(xdxcos

, f(x) = 3 2

2

)x1(xcos

− → ∞ khi x → 1 – 0

f(x) = 3 2

2

)x1(xcos

− là một VCL khi x → 1 – 0

f(x) = 3 2

2

)x1(xcos

− =

3 2

2

)x1(xcos

−.

31)x1(

1−

chứng tỏ

f(x) = 3 2

2

)x1(xcos

− là VCL ngang cấp với

31)x1(

1−

vì α = 31

< 1 .

⇒ ∫ −

1

03 2

2

)x1(xcos

phải hội tụ.

3) Xét ∫ −+1

0xsin

3

dx1e

)x1ln(

f(x) = 1e

)x1ln(xsin

3

−+

> 0, ∀x∈(0; 1] khi x → +0

)x1ln( 3+ ∼ 31

x ; 1e xsin − ∼ sin x ∼ x

⇒ =−

+→ξ 1e

)x1ln(limxsin

3

0 xxlim

31

0x +→ = +∞=

+→ 32

x1lim

0x

Khi x → +0: 1e

)x1ln(xsin

3

−+

là một VCL ngang cấp với 32

x1

= 32

)0x(1−

.

Vì α = 32

< 1 thì tích phân suy rộng phải hội tụ.

4) ∫+∞

03xxdxsin ∀x≥1:

33 x1

xxsin vì ∫

+∞

03x

dx hội tụ,

nên theo định lý ∫+∞

03

dxx

xsin hội tụ tức ∫+∞

03xxdxsin hội tụ tuyệt đối.

• Câu hỏi củng cố: 1. Thế nào là tích phân suy rộng ? 2. Có mấy loại tích phân suy rộng ?



3. Hãy cho biết điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng? BƯỚC HỌC 2: Tích phân suy rộng

• Trang thiết bị + vật liệu cung cấp cho học viên: 1. Giấy A4, A3. 2. Viết long • Các bước thực hành: 1. Cho hai ví dụ: một ví dụ về tích phân suy rộng loại I và một ví dụ về tích

phân suy rộng loại II 2. Hãy sử dụng điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng xét sự hội và phân

kỳ của hai ví dụ vừa cho ? • Ghi chép / Báo cáo kết quả: • Kết luận / Thảo luận:





1. Có một ví dụ tích phân suy rộng loại I và một ví dụ tích phân suy rộng loại II không?

2. Có sử dụng tiêu chuẩn hội của tích phân không ?


4. Sự hợp tác các thành viên trong nhóm

5. Kết quả chính xác và lập luận logic

Nhận xét: ------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------------------



KQHT 5: Khảo sát sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi số dương. BƯỚC HỌC 1: Chuỗi số, chuỗi số dương, chuỗi đan dấu. Bài hướng dẫn:

CHƯƠNG V LÝ THUYẾT CHUỖI

1 KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU Định nghĩa 5.1

• Cho dãy số thực (un), n = 1, 2, 3... Biểu thức ( )1......211

++++=∑∞

=n

nn uuuu

được gọi là chuỗi. un được gọi là số hạng tổng quát hay số hạng thứ n của chuỗi (1). • Tổng Sn = u1 + u2 + ... + un được gọi là tổng riêng của chuỗi (1). • Nếu Sn có giới hạn S thì chuỗi (1) gọi là chuỗi hội tụ và có tổng là S. Ta viết:

∑∞

=

=1n

nuS .

• Chuỗi (1) không hội tụ thì gọi là phân kỳ. Ví dụ 5.1: Xét sự hội tụ của các chuỗi sau:

1/ ∑∞

=0n

nq .

2/ ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1

11lnn n

.

Giải

1/ Ta có: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠−−

=++++= −

1

11

1...1 12

qkhin

qkhiq

qqqqS

n

nn

- Nếu ⇒−

=⇒<∞→ q

Sq nn 11lim1 chuỗi hội tụ.

- Nếu ⇒∞=⇒>∞→ nn

Sq lim1 chuỗi phân kỳ.

- Nếu ⇒∞=⇒=∞→ nn

Sq lim1 chuỗi phân kỳ.

Chuỗi số - Chuỗi hàm: + Định nghĩa; + Các phép toán; + Các tiêu chuẩn hội tụ.

So sánh chuỗi số và chuỗi hàm

Giải bài tập xét sự hội tụ và phân kỳ:

+ Chuỗi số; + Chuỗi hàm.

Điểm đến: Xét các vấn đề về Chuỗi số và chuỗi hàm



- Nếu ⇒−= 1q Sn không có giới hạn ⇒ chuỗi phân kỳ.

Vậy ∑∞

=0n

nq hội tụ khi 1<q và phân kỳ khi 1≥q .

2/ Ta có : ( ) nnn

nun ln1ln1ln −+=+

=

( ) ( ) ( )[ ] ( )1lnln1ln...2ln3ln1ln2ln +=−+++−+−=⇒ nnnSn +∞=⇒

∞→ nnSlim ⇒ chuỗi phân kỳ.

* Các định lý:

Định lý 5.1: Nếu ∑∞

=1nnu hội tụ thì 0lim =

∞→ nnu .

Hệ quả: Nếu 0lim ≠∞→ nn

u thì ∑∞

=1nnu phân kỳ.

Ví dụ 5.2: ∑∞

= +1 1n nn phân kỳ vì 01

1lim ≠=

+∞→ nn

n.

Định lý 5.2: Nếu hai chuỗi ∑∞

=1nnu và ∑

∞

=1nnv hội tụ thì các chuỗi ∑

∞

=1nnau ; ( )∑

∞

=

+1n

nn vu cũng

hội tụ và ( ) ∑∑∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

+=+=11111

,n

nn

nn

nnn

nn

n vuvuuau .

Định lý 5.3:

Cho hai chuỗi .........211

++++++=∑∞

=nk

nn uuuuu và ......1

1

+++= +

∞

+=∑ mk

kmm uuu

Khi đó, chuỗi ∑∞

=1nnu hội tụ khi và chỉ khi ∑

∞

+= 1kmmu hội tụ.

Hệ quả: Tính hội tụ của chuỗi không đổi nếu ta bỏ một số hữu hạn các số hạng của chuỗi.

Ví dụ 5.3: ∑∞

=0 21

nn hội tụ ∑

∞

=

⇒2 2

1n

n hội tụ và 21

211

21

21

02

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= ∑∑

∞

=

∞

= nn

nn

BƯỚC HỌC 2: Các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi . Bài hướng dẫn: CHUỖI SỐ DƯƠNG

Định nghĩa 5.2: Nnuu nn

n ∈∀>∑∞

=

0;1

được gọi là chuỗi số dương.

* Các định lý :

Định lý 5.4: Chuỗi số dương ∑∞

=1nnu hội tụ ⇔ tổng riêng Sn bị chặn trên.

Định lý 5.5: ( Tiêu chuẩn so sánh )

Cho hai chuỗi ∑∞

=1nnu và ∑

∞

=1nnv thoả điều kiện tồn tại số dương N sao cho

Nnvu nn ≥∀≤<0 , khi đó:



- Nếu ∑∞

=1nnv hội tụ thì ∑

∞

=1nnu hội tụ.

- Nếu ∑∞

=1nnu phân kỳ thì ∑

∞

=1nnv phân kỳ.

Ví dụ 5.4: ∑∞

=1 .31

nnn e

hội tụ vì 031

.31

≥∀≤ ne nnn và ∑

∞

=1 31

nn hội tụ.

Định lý 5.6: ( Tiêu chuẩn so sánh )

Cho hai chuỗi số dương ∑∞

=1nnu và ∑

∞

=1nnv . Nếu ( )+∞<<=

∞→kk

vu

n

n

n0lim thì hai chuỗi

cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Ví dụ 5.5:

∑∞

=1

1n n

phân kỳ vì 11

11lnlim =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞→

n

nn

và ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

1

11lnn n

phân kỳ.

Định lý 5.7: ( Tiêu chuẩn D'Alembert )

Cho chuỗi số dương ∑∞

=1nnu , giả sử tồn tại D

uu

n

n

n=+

∞→

1lim . Khi đó:

o Nếu D < 1 thì ∑∞

=1nnu hội tụ.

o Nếu D > 1 thì ∑∞

=1nnu phân kỳ.

Ví dụ 5.6:

∑∞

=1 !n

n

nn phân kỳ vì ( )

( ) 111lim1lim!!1

1limlim1

1 >=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=++

=∞→∞→

+

∞→

+

∞→e

nnn

nn

nn

uu n

n

n

nn

n

nn

n

n

Định lý 5.8: ( Tiêu chuẩn Cauchy )

Cho chuỗi số dương ∑∞

=1nnu và giả sử tồn tại Cun

nn=

∞→lim . Khi đó:

o Nếu C < 1 thì ∑∞

=1nnu hội tụ.

o Nếu C > 1 thì ∑∞

=1nnu phân kỳ.

Ví dụ 5.7: ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+1 13n

n

nn phân kỳ vì

31

13limlim =

+=

∞→∞→ nnu

nn

nn

Định lý 5.9: ( Tiêu chuẩn tích phân ) Cho hàm số )(xf dương, liên tục và giảm trên [ ]∞+;a . Khi đó:

Chuỗi số ∑∞

=

+0

)(k

kaf cùng hội hoặc cùng phân kỳ với ∫+∞

a

dxxf )( .

Ví dụ 5.8:

∑∞

=2

1n n

phân kỳ vì hàm số x

xf 1)( = liên tục, dương, giảm trên [ ]+∞;2 và ∫+∞

2

1 dxx

phân kỳ.



V.3 CHUỖI ĐAN DẤU Định nghĩa 5.3:

Chuỗi đan dấu là chuỗi có dạng: ( ) ( ) ...1...1 121

1

1 +−++−=− +∞

=

+∑ nn

nn

n uuuu với un >

0 Nn∈∀ . Định lý 5.10: ( Tiêu chuẩn Leibnitz )

Cho chuỗi đan dấu ( )∑∞

=

+−1

11n

nn u , nếu Nnuu nn ∈∀≤−+ 01 và 0lim =

∞→ nnu thì chuỗi

( )∑∞

=

+−1

11n

nn u hội tụ.

Ví dụ 5.9:

Chuỗi ( )∑∞

=

+−1

1 11n

n

n hội tụ vì ( ) Nn

nnnnuu nn ∈∀≤

+−=−

+=−+ 0

111

11

1 và

01lim =∞→ nn

.

Định lý 5.11: Nếu chuỗi ∑∞

=1nnu hội tụ thì chuỗi ∑

∞

=1nnu hội tụ.

Ví dụ 5.10:

Chuỗi ∑∞

=12

cosn n

nα hội tụ vì Nnnn

n∈∀≤ 22

1cos α mà ∑∞

=12

1n n

hội tụ ⇒∑∞

=12

cosn n

nα

hội tụ ⇒∑∞

=12

cosn n

nα hội tụ.

Chú ý: Nếu chuỗi ∑∞

=1nnu phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alembert hay Cauchy thì

∑∞

=1nnu cũng phân kỳ.

Ví dụ 5.11:

Chuỗi ( )∑∞

=

+−1

1

2!1

nn

n n phân kỳ vì ( ) ∑∑∞

=

∞

=

+ =−11

1

2!

2!1

nn

nn

n nn phân kỳ

( ( )+∞=

+=

+=

∞→+∞→

+

∞→ 21lim

!2.

2!1limlim 1

1 nn

nu

un

n

nnn

n

n).

Định nghĩa 5.4:

• Nếu chuỗi ∑∞

=1nnu hội tụ thì chuỗi ∑

∞

=1nnu gọi là hội tụ tuyệt đối.

• Nếu chuỗi ∑∞

=1nnu hội tụ mà chuỗi ∑

∞

=1nnu phân kỳ thì chuỗi ∑

∞

=1nnu gọi là bán hội

tụ. Ví dụ 5.12:

Chuỗi ( )∑∞

=

+−1

1 11n

n

n hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối nên chuỗi ( )∑

∞

=

+−1

1 11n

n

n bán

hội tụ.




1. Hãy cho biết chuỗi số là gì? 2. Thế nào là chuỗi số hội tụ, phân kỳ ? 3. Hãy nêu các tiêu chuẩn hội tụ và phân kỳ ? Theo bạn thì tiêu chuẩn nào là thông dụng nhất trong toán học ? 4. Thế nào là chuỗi đan dấu và chuỗi đan dấu hội tụ theo tiêu chuẩn nào ? 5. Bạn hiểu thế nào là một chuỗi số hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ ?

KẾT QUẢ HỌC TẬP 6: Tính tổng của chuỗi hàm hội tụ. Bài hướng dẫn:

CHUỖI LŨY THỪA I. CHUỖI HÀM

Là chuỗi mà mọi số hạng của nó đều là những hàm số của biến số x.

∑∞

=1nn )x(U = U1(x) + U2(x) + U3(x) + … + Un(x) + …..

từ ∑∞

=1nn )x(U cho x = x0: ∑

∞

=1n0n )x(U . Nếu chuỗi số hội tụ, thì x = x0 là điểm hội

tụ, tập hợp tất cả các điểm hội tụ của gọi là miền hội tụ của chuỗi theo biến ∑∞

=1nn )x(U

là hàm S(x) được xác định trong miền hội tụ của chuỗi:

S(x) = U1(x) + U2(x) + U3(x) + … + Un(x) + ….. = ∑∞

=1n0n )x(U

II. CHUỖI LUỸ THỪA: Định nghĩa 5.5:

Chuỗi luỹ thừa là chuỗi có dạng: ......2100

+++++=∑∞

=

nn

n

nn xaxaxaaxa

* Miền hội tụ: Định lý 5.13: ( Định lý Abel )

Nếu chuỗi ∑∞

=0n

nn xa hội tụ tại 00 ≠x thì nó hội tụ tuyệt đối tại mọi x mà 0xx < .

Nhận xét: Nếu chuỗi ∑∞

=0n

nn xa phân kỳ tại 01 ≠x thì nó sẽ phân kỳ tại mọi x mà

1xx > .

* Điểm đến: Xét các Chuỗi hàm hội tụ

Chuỗi lũy thừa: + Chuỗi có tâm bất kỳ; + Chuỗi có tâm chính tắc.

Bài tập: Tìm miền hội tụ và bán kính hội tụ của chuỗi từ đó suy tổng của chúng.



Theo định lýAbel, sẽ tồn tại số 0≥r để chuỗi ∑∞

=0n

nn xa hội tụ tuyệt đối trong (-r;

r) và phân kỳ trong các khoảng ( ) ( )∞+∞− ;,; rr . Còn tại rx ±= thì chuỗi ∑∞

=0n

nn xa có

thể hội tụ hay phân kỳ.

Số r nói trên gọi là bán kính hội tụ của chuỗi ∑∞

=0n

nn xa . Khoảng (-r; r) gọi là

khoảng hội tụ của chuỗi ∑∞

=0n

nn xa .

Vậy muốn tìm miền hội tụ, trước hết ta tìm khoảng hội tụ và sau đó ta xét tính hội tụ của chuỗi tại rx ±= .

* Qui tắc tìm bán kính hội tụ:

Cho chuỗi ∑∞

=0n

nn xa , nếu l

aa

n

n

n=+

∞→

1lim hoặc lannn=

∞→lim ( )+∞≤≤ l0 thì bán kính

hội tụ:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=∞++∞=

+∞<<

=0

0

01

lkhilkhi

lkhil

r

Ví dụ 5.13: Tìm miền hội tụ của các chuỗi sau:

1/ ∑∞

=1n

n

nx

2/ ( )∑∞

=

+

1 3.2

nn

n

nx

Giải

1/ Ta có: 11

limlim 1 =+

=∞→

+

∞→ nn

aa

nn

n

n⇒ khoảng hội tụ (-1; 1).

Khi x = 1 ⇒ chuỗi ∑∞

=1

1n n

phân kỳ.

Khi x = - 1⇒ chuỗi ( )∑∞

=

−1

11n

n

n hội tụ.

Vậy miền hội tụ của chuỗi là: 11 <≤− x .

2/ Đặt X = x + 2, xét chuỗi ∑∞

=1 3.nn

n

nX

Ta có: 31

)1(3limlim 1 =

+=

∞→

+

∞→ nn

aa

nn

n

n⇒ khoảng hội tụ của chuỗi ∑

∞

=1 3.nn

n

nX là (-3; 3).

Khi X = 3 ⇒ chuỗi ∑∞

=1

1n n

phân kỳ.

Khi X = - 3 ⇒chuỗi ( )∑∞

=

−1

11n

n

n hội tụ.



⇒ miền hội tụ của chuỗi ∑∞

=1 3.nn

n

nX là 33 <≤− X .

Vậy miền hội tụ của chuỗi ( )∑∞

=

+

1 3.2

nn

n

nx là: 15 <≤− x .

* Các tính chất của chuỗi luỹ thừa:

Cho chuỗi ∑∞

=0n

nn xa , khoảng hội tụ (-r; r) và có tổng là f(x) =∑

∞

=0n

nn xa . Khi đó:

1. f(x) là hàm liên tục trong (-r; r).

2. Có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi ∑∞

=0n

nn xa , chuỗi mới ∑

∞

=

−

1

1

n

nn xna

cũng có khoảng hội tụ là (-r; r).

3. Có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi ∑∞

=0n

nn xa ,

chuỗi mới ∑∫∞

=

+

+=

0

1

0 1)(

n

nnx

xna

dxxf cũng có khoảng hội tụ là (-r; r).

Ví dụ 5.14: Tính tổng của chuỗi ∑∞

=1n

nnx .

Giải Miền hội tụ của chuỗi là: (-1; 1). Gọi S(x) = x + 2x2 + 3x3 +…+ nxn +… = x(1 + 2x + 3x2 +…+ nxn-1 +…)

=x.S1(x).

......)( 32

01 +++++=⇒ ∫ n

x

xxxxxS ( )11

)(1 <−

=⇒ xdox

xxS .

( )2

'

1 11

1)(

xxxxS

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

=⇒ .

Vậy ( )21

)(x

xxS−

= .

• Câu hỏi củng cố 1. Bạn hiểu thế nào là một chuỗi hàm ? 2. Có mấy loại chuỗi lũy thừa ? 3. Hãy trình bày các bước tìm miền hội tụ của một chuỗi hàm ?

Thực hành:

Sinh viên tự cho hai chuỗi lũy thừa: một chuỗi có tâm và một chuỗi không tâm rồi tiến hành tìm miền hội tụ của hai chuỗi đó



PHẦN HƯỚNG DẪN THỰC HÀNH KQHT 6 : Tính tổng của chuỗi hàm hội tụ BƯỚC HỌC : Thực hành tìm miền hội tụ và bán kính hội của

chuỗi lũy thừa • Trang thiết bị + vật liệu cung cấp cho học viên: 1. Giấy A0 2. Viết long • Các bước thực hành: 1. Xác định dạng chuỗi. 2. Xác định các hệ trong chuỗi. 3. Xác định tiêu chuẩn để tính bán kính hội tụ 4. Xét hai đầu đoạn của miền hội tụ. 5. Xác định miền hội tụ của chuỗi lũy thừa. • Ghi chép / Báo cáo kết quả: • Kết luận / Thảo luận:





1. Xác định dạng chuỗi

2. Xác định các hệ trong chuỗi

3. Xác định tiêu chuẩn để tính bán kính hội tụ

4. Xét hai đầu đoạn của miền hội tụ

5. Xác định miền hội tụ của chuỗi lũy thừa.


7. Sự hợp tác của các thành viên trong nhóm

8. Kết quả chính xác và lập luận logíc

Nhận xét: --------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ----------------------------------------------------------------------------------------------------



TÀI LIỆU THAM KHẢO

TÀI LIỆU THAM KHẢO ĐỂ BIÊN SOẠN NỘI DUNG MÔN HỌC [1] Tạ Ngọc Đạt- Nguyễn Đình Trí: Toán cao cấp Tập II. Nhà xuất bản giáo

dục,1999. [2] Lê Văn Hốt: Toán cao cấp PII. Tủ sách Đại học Kinh tế, 2004. [3] Lê Phương Quân: Vi tích phân B, Đại học Cần Thơ, 2002 [4] Nguyễn Viết Đông- Trần Ngọc Hội: Toán cao cấp B vá C. Đại học mở bán

công TPHCM, 2005. [5] Phan Văn Ba – Đinh Thành Hòa: Bài tập Giải tích. Đại học Cần Thơ [6] Nguyễn Thanh Bình-Lê Văn Sáng, Đại số tuyến tính, Đại học Cần Thơ.

[7] Nguyễn Viết Đông-Lê Thị Thiên Hương-Nguyễn Anh Tuấn-Lê Anh Vũ, Bài tập toán cao cấp, tập 1 và 2 - NXB Giáo Dục

[8] Trần Văn Hạo, Đại số tuyến tính, NXB Khoa học Kỹ thuật, 1997.

[9] Lê Ngọc Lăng (chủ biên) Ôn thi học kỳ và thi vào giai đoạn 2, NXB Giáo dục, 1997.

TÀI LIỆU THAM KHẢO ĐỀ NGHỊ CHO HỌC VIÊN [1] Tạ Ngọc Đạt- Nguyễn Đình Trí: Toán cao cấp Tập II. Nhà xuất bản giáo

dục,1999. [2] Lê Văn Hốt: Toán cao cấp PII. Tủ sách Đại học Kinh tế, 2004. [3] Lê Phương Quân: Vi tích phân B, Đại học Cần Thơ, 2002. [4] Nguyễn Viết Đông- Trần Ngọc Hội: Toán cao cấp B vá C. Đại học mở bán

công TPHCM, 2005. [5] Phan Văn Ba – Đinh Thành Hòa: Bài tập Giải tích. Đại học Cần Thơ. [6] Giáo trình vi tích phân A1- Đại học Trà Vinh, 2006. [7] Phan Quốc Khánh, Phép tính vi phân tập 1 và 2, NXB Giáo dục, 1997 [8] Lê Ngọc Lăng (chủ biên) Ôn thi học kỳ và thi vào giai đoạn 2, NXB Giáo

dục, 1997.

[9] Trần Văn Hạo, Đại số tuyến tính, NXB Khoa học Kỹ thuật, 1997.

Trường Đại học Trà Vinh GIÁO TRÌNH MÔN HỌC CHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHUYÊN STT MÔN...

Documents

Transcript of Trường Đại học Trà Vinh GIÁO TRÌNH MÔN HỌC CHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHUYÊN STT MÔN...