Trabajando con límites y Geogebra

Algunas ideas que surgieron a partir de un comentario que me realizara un docente en un

espacio de capacitación y las utilidades del Geogebra.

Este docente comenta que nunca había logrado reflexionar con los chicos lo que había

logrado en esta oportunidad.

Él propuso una función racional del tipo

, y la utilización del software Geoge-

bra.

Los alumnos copiaron la función f(x) en Entrada con el objetivo de observar su gráfico, y

su sorpresa fue que era una recta.

Entonces comenzaron a preguntarse ¿Es una recta? ¿Por qué es una recta?

Algunos probaron realizar desarrollos algebraicos:

Aquí comentaron que podrían simplificar, sólo si salvaban la indeterminación y ahí sí sería

una recta.

El docente interviene: ¿Qué hacemos con el dominio? ¿Cuál es el dominio de esa función?

Los chicos proponen que deberían ser los reales menos el 3, pero ¿por qué el Geogebra no

muestra el agujerito?

Uno de ellos dice:

Probemos que sucede si buscamos la imagen de f(x) para x=3 y es ahí cuando al in-

gresar en Entrada:

Y darle Enter, descubren que en la vista algebraica indica indefinida.

Sus alumnos respondieron, ahí está la asíntota.

A pesar del error conceptual, los chicos avanzaron un gran paso en sus conceptos de con-

tinuidad, dominio, imagen de un punto y otras cuestiones más.

Además otros habían probado que sucedería si intersectaban la función f(x) con la recta

paralela al eje y que pasa por el 3, y encontraron que esta intersección también está inde-

finida.

Pero si volvemos al tratamiento anterior, a mí se me ocurre que podríamos introducir el

concepto de límites laterales, observando que sucede cuando me acerco a x=3 por dere-

cha o izquierda tanto como quiero, y esto utilizando de la barra del Geogebra, Opciones:

Redondeo y la cantidad de lugares decimales que se considera apropiada para observar lo

que sucede:

→ Aproximándome por izquierda ⃝ Aproximándome por derecha

2 2,5 2,9 2,99 2,999 3 3,0001 3,001 3,01 3,1

Indefinida

*valores obtenidos en Geogebra con redondeo de 5 lugares decimales.

Estos valores se pueden calcular utilizando:

vista de Hoja de cálculo: ingresando en forma algebraica el cálculo como en Excel.

Luego de tener toda la tabla completa, trasladar la lista de puntos al gráfico (Crea

lista de puntos).

desde la Entrada de datos y después de haber ingresado la función f(x), ingresar

f(2), enter y se obtendrá un número a en la vista algebraica que será el resultado

de f(2), luego desde la misma entrada se puede ingresar como par ordenado estos

puntos para observar su ubicación como (2;a), en forma abreviada sin tener que

escribir todos los decimales del número que se quiere ingresar.

Ahora con el redondeo de 5 decimales podemos observar lo siguiente:

Aclaración: si los alumnos no utilizaron el redondeo indicado pueden observar lo siguiente (ver imagen),

infiriendo directamente que los valores tienden al 6, sin inspeccionar más opciones:

Los datos ingresados son los de la tabla, pero el software lo modifica por el redondeo a aplicar.

Utilizando el Zoom de acercamiento:

Nunca se observa el “agujerito”, pero sí que tanto cuando me acerco por izquierda, como

por derecha a los valores de x=3, los valores de f(x) se aproximan a 6.

Entonces, a pesar que la función no tiene imagen en ese punto, si existe el límite:

=6

Funciones por partes, sus discontinuidades y sus límites laterales:

De la misma manera se podrían abordar algunas funciones definidas por partes.

Por ejemplo, la función graficada en el libro de Tinta Fresca M3, pág. 113, bajo el título

Límite finito en un punto.

En este caso tenemos dos propuestas interesantes, trabajar un análisis a partir de gráficos

desprovistos de fórmulas o tratar de determinar las formulas que permitieron construir

estos gráficos y luego realizar los acercamientos por derecha e izquierda en forma más

analítica. Para ello tendremos que tener en cuenta los contenidos disponibles de nuestros

alumnos, pero también las disponibilidades de este software.

Reconstruyendo una función por partes:

Cada una de las partes pueden determinarse por un ajuste polinómico de grado 2, por

ejemplo en la imagen del libro podemos determinar con precisión tres puntos en la prime-

ra rama:

Si introducimos esos puntos y optamos por Comando: AjustePolinómico, aparecerá en

Entrada el comando con unos corchetes, entre los cuales deberemos ingresar los puntos

separados por una coma y después de otra coma el 2, que indica el grado, entonces ten-

dremos la parábola que pasa por esos puntos en su versión completa. Así ingresamos los

datos:

Y de esta manera obtenemos el gráfico y la ecuación que define la función cuadrática que

pasa por esos tres puntos:

Lo mismo podríamos realizar con la otra rama, a pesar que en esta no podemos determi-

nar con tanta precisión la ubicación de los puntos. Estimaremos sus posiciones, por ejem-

plo:

Y repetiremos los pasos anteriores, obteniendo la otra rama completa:

Ahora como esta es una función definida por partes podemos utilizar un comando lógico

como ser Sí, donde utilizaremos como expresión afirmativa para los valores de la

primera función cuadrática obtenida y como expresión negativa la de la segunda función.

El comando Sí, después de elegirse aparecerá en Entrada con unos corchetes que esperan

que ingresen primero la condición que delimita el sí o el no, en este caso . Después

de una coma la condición positiva y separado por otra coma la condición negativa.

Ahora podríamos analizar los límites laterales cuando x→3 por derecha e izquierda to-

mando valores en cada caso, cabe aclarar que en esta oportunidad tampoco podemos

discriminar cuál de los dos intervalos es el semicerrado. Pero sí como muestra interesante,

si graficamos la recta x=3 y determinamos la intersección con la función, el único punto

que señala es el que corresponde al intervalo semicerrado:

Límites y otras funciones racionales:

En este caso también extraída del libro M3 coordinados por Horacio Itzcovich y Andrea

Novembre de Tinta Fresca, la función racional

cuenta con dos asíntotas:

una horizontal en y=-1 y otra vertical en x=-2.

En este caso y una vez que se ha utilizado el graficador, se ha determinado la imagen de

ciertos valores de x que tienen que ver con la determinación de las asíntotas.

Es decir, si queremos valores de x próximos a -2, podríamos completar una tabla como la

siguiente:

→ Aproximándome por izquierda ⃝ Aproximándome por derecha -2,1 -2,01 -2,001 -2,0001 -2 -1,9999 -1,999 -1,99 -1,9

*redondeo de quince decimales

En este caso ingresé por error el -2 y obtuve que , cuestión que confundiría a

los alumnos en el tratamiento de la continuidad. Estas son algunas de las limitaciones del

software que tenemos que tener presentes al momento de planificar una clase, pensando

las intervenciones apropiadas al momento que un alumno explorando o por error logre

esa solución.

Por lo tanto

Geogebra nos

estaría dando

Si quisiéramos

saber que su-

cede cuando

podr-

íamos hacer lo

mismo asig-

nando a x valo-

res muy gran-

des o muy pe-

queños. En este

caso se ingre-

saron valores

de x iguales a 2000 y a 19999999999999980000000, considerados como b y c respectiva-

mente. Obteniendo por este último y por el redondeo máximo, de 15 decimales, el valor

de -1 que coincide con .

Aunque todos estos desarrollos son intuitivos, hay que tener en claro todas las posibilida-

des y todas las limitaciones que nos ofrece el graficador.

¿Cómo validar cada una de soluciones alcanzadas? ¿Hasta dónde me conformo con la in-

formación que me ofrece el graficador? ¿Qué conocimientos deben tener disponibles

nuestros alumnos para poder discriminar entre las distintas soluciones que ofrece el soft-

ware? ¿Cuándo sé que el resultado obtenido corresponde a la imagen de una función?

¿Cómo valido mis argumentaciones?

Y por otro lado ¿Cómo gestiono la clase en presencia de este material y estos recursos?

Si los alumnos cuentan con netbooks tienen Geogebra disponible y por lo tanto podemos

llevar a la práctica alguna de estas situaciones

Selecciona una actividad y detalla: ¿Cómo gestionaríamos la clase? ¿Qué contenidos dis-

ponibles son necesarios al momento de llevarla a la práctica?

Analicemos ahora las funciones logarítmicas y exponenciales:

¿Cuál será el límite de la función cuando , ya que el log no está defi-

nido para valores negativos solo nos interesa analizar el acercamiento por el lado positivo.

Este grafico tiene un redondeo de 10 decimales.

Al dar valores más próximos a 0 por derecha se observa que sus valores son negativos

pero cada vez mayores en valor absoluto, aunque el software le asigna a x=0 una imagen

igual a - .

Ahora en la función exponencial que pasaría cuando queremos analizar lo que

sucede para el límite de esta función cuando .

El valor de a se obtiene de realizar y b de teniendo

un redondeo de 15 decimales (sin los puntos, ya que Geogebra los considera coma).