Toma de decisiones con múltiples alternativas multidimensionales: una defensa del método Copeland

Toma de decisiones con múltiplesalternativas multidimensionales: una

defensa del método Copeland

Sebastián [email protected]

Área de Ciencia Política y de la AdministraciónUniversidad de Salamanca

Articulo borrador a ser presentado en el seminario de CienciaPolítica de la Universidad de Salamanca, el día 3 de noviembrede 2014. Agradezco los comentarios de Manuel Alcántara, yGuillermo Boscán Carrasquero.

mailto:[email protected]

Toma de decisiones con múltiples alternativasmultidimensionales: una defensa del método Copeland

Introducción

Este texto tiene dos cometidos. Primero, explicar la mecánica delos diferentes métodos de votación mayoritarios cuando existenmúltiples alternativas disponibles, señalando sus virtudes ydeficiencias a la luz de la teoría de la elección social. Ensegundo lugar, se hace una evaluación de los mismos a la luz delcometido epistémico de seleccionar la “mejor” alternativa, paralo cual se apela al criterio “MLE” (máximum likelihood estimation). Seconcluye que el método Llull/Copeland ofrece el mejor estimadorestadístico de la “mejor alternativa”, así como el único métodoque cumple con la condición –que aquí llamaremos, en honor a sudescubridor- la condición “Miller”, que exige que lasalternativas seleccionadas siempre se sitúen dentro del conjuntode alternativas no cubiertas.

I. Métodos de toma de decisiones con múltiplesalternativas: una clasificación

En esta primera parte ofrezco una explicación de los distintosmétodos de toma de decisiones con múltiples alternativas,describiendo la forma de expresar las preferencias y la mecánicade cómputo para seleccionar la alternativa ganadora. El lectorversado en el tema puede saltearse esta primera parte e irdirectamente a la segunda.

El método de la no-objeción

El método de la no objeción consiste en que algún participanteproponga al resto una alternativa, de entre las disponibles, ysi nadie la objeta, entonces ésta terminará siendo implementada(Urfalino, 2006). Teóricamente el método da un amplio margenpara que se den situaciones de parálisis, puesto que basta conuna sola objeción para vetar una propuesta. En otro orden, noparece que haya ninguna posibilidad de que, bajo este método,termine siendo escogida una alternativa que pueda ser rechazadapor una mayoría, ya que, teniendo todos los participantes poderde veto individual, el método equivale a instrumentar la reglade la unanimidad. Sin embargo, un análisis más riguroso de laepistemología social subyacente a los proceso de comunicaciónentre personas que tienen que resolver cuestiones muy complejas,sometidas a evaluaciones de riesgo, nos revelará que la mecánica

del método de la no-objeción es propicia para que se den, conmayor probabilidad que en otros métodos, dos tipos de actitudesepistémicas por parte de los participantes: una mayorprobabilidad de no revelar información privada que puede poner en dudala bondad o justicia de la alternativa, y una mayor probabilidadde deferir al juicio del que propone la alternativa. En esa línea, losparticipantes que poseen información privada adversa, en estecontexto, son incapaces de valorar con exactitud las actitudesepistémicas de los demás: no sabrán si los demás están suspendiendo el juicioo aceptando la validez de la propuesta, puesto que el marco (frame) delmétodo ha prefijado –arbitrariamente- que el status por defecto de lano formulación de objeciones es la aceptación de la alternativa(Urfalino, 2006). Por lo tanto, muchas actitudes escépticas desus compañeros, representativas de suspensiones del juicio,serán consideradas erróneamente como actitudes de asentimientode la propuesta, con lo cual quien dispone de informaciónprivada de validez incierta tendrá menores incentivos pararevelarla y mayores para esconderla, por miedo a sufrir la burlao la desaprobación de la mayoría1. A esto se lo conoce como“cascadas informativas”.

La mayoría relativa

El método de la mayoría relativa pide que todos voten por laalternativa “más preferida”, de entre todas las disponibles.Aquella alternativa que obtenga la mayoría relativa de votos,será la escogida. Uno de los problemas más evidentes del métodode mayoría relativa es que da un margen muy amplio deprobabilidad de salga escogido un perdedor Condorcet, esto es,una alternativa que, si se la sometiera a votación por pares dealternativas, terminaría perdiendo con todas. En efecto,consideremos el siguiente ejemplo sencillo, con órdenescompletos de preferencias:

Tabla 1

1 2 3 4 5 6 71º

C C C A B B D

2º

B B B D A D B

3 D D D B D A A

1 Este mecanismo está detrás de lo que se conoce como “group-think” (Asch, 1955; Janis,1971), o la “espiral del silencio” (Noelle-Newman, 1974): Cuando un individuo tienecreencias adversas a las de la mayoría, prefiere guardar silencio a expresarlas yconfrontar al grupo mayoritario.

º4º

A A A C C C C

En este ejemplo tenemos que C es el ganador por mayoríarelativa, ya que si todos votaran por sus primeras preferencias,terminaría obteniendo más votos que el resto. Sin embargo, sitenemos en cuenta los órdenes completos de preferencias, nosdaríamos cuenta que C también es un perdedor Condorcet, puesto queuna mayoría de votantes escogería cualquier otra alternativadistinta a C, si acaso se le ofreciera la oportunidad de votarpor pares de alternativas.

Múltiples alternativas multidimensionales: votaciones escalonadas “cuestión por cuestión”

Supongamos que en un pueblo de once habitantes, las crecidas delrío han destruido el viejo puente romano. En nuestro ejemplo,los once habitantes de un pueblo tienen que decidir si volver areconstruir un puente romano o construir un nuevo puente decemento. Sin embargo, esa no es la única cuestión en juego: unavez que los habitantes deciden qué tipo de puente se ha deconstruir, acto seguido deben decidir a quién encargarle laconstrucción del mismo. Pongamos que hay dos arquitectos quepodrían hacerse cargo de la tarea, pero por diferentes razoneslos participantes tampoco se ponen de acuerdo a quiénadjudicarle la empresa. Resulta, entonces, que sobre estesegundo punto también surgen desacuerdos en la población, y locurioso es que las personas que discuten sobre esta segundacuestión no son las mismas que discutían sobre la primera, estoes, hay algunas personas que quieren un puente romano yprefieren que A sea el arquitecto, otras personas que quieren unpuente romano y prefieren que el arquitecto sea B, personas quequieren un puente de cemento a ser construido por A, y quienesquieren un puente de cemento a ser construido por B. Se trata deuna nueva cuestión que, una vez que alguien la introduce,establece un nuevo eje o clivaje en torno al cual sereconfigura el desacuerdo.

En nuestro sencillo ejemplo, y dado que tenemos dos cuestiones(tipo de puente, arquitecto), tenemos cuatro alternativascomplejas: RA, RB, CA y CB. ¿Cómo decidir por votaciónmayoritaria entre cuatro alternativas complejas, todas lascuales incluyen combinaciones de dos cuestiones distintas?

En vez de pedirles a los participantes que voten sólo por laalternativa compleja más preferida, las votaciones escalonadas“cuestión por cuestión” pide que se vote primero por unacuestión y luego por otra, en momentos diferentes. Cuando laspersonas deben votar más de una cuestión, decimos que laspersonas se enfrentan a una agenda con alternativas complejas,es decir, con alternativas que involucran, cada una de ellas,cuestiones múltiples (multiple-issues agenda). En este tipo deagendas, es importante distinguir entre dos sub-especies:cuestiones múltiples con preferencias separables, y cuestionesmúltiples con preferencias no-separables. Vamos a empezar con el casode las preferencias separables.

Cuestiones múltiples con preferencias separables

Imaginemos, para simplificar, que tenemos tres habitantes, quedeben decidir entre dos cuestiones: el tipo de puente (C o R), ya qué arquitecto adjudicarle la obra (A o B). Decimos que laspersonas tienen preferencias separables en torno a estas doscuestiones, cuando la alternativa que una persona prefiererespecto de una cuestión a decidir, no depende en absoluto de loque prefiere en la segunda cuestión a decidir. Cuando laspersonas tienen, en cambio, preferencias no-separables, laspreferencias de las personas respecto de una cuestión dependen decómo se resuelva la otra cuestión. Por ejemplo, un caso depreferencias no separables sería aquel en el cual uno de loshabitantes del pueblo prefiriera el puente romano sólo si esconstruido por A, y el puente de cemento sólo si es construidopor C. En ese caso, su preferencia respecto de A depende de que Aconstruya un puente romano (tal vez porque cree que A es un buenconstructor de puentes romanos, y no de puentes de cemento), ysu preferencia respecto de B depende de que éste construya unpuente de cemento. En cambio, si el habitante prefiere elpuente romano con independencia de quién lo construya, yprefiere el arquitecto A con independencia de qué tipo de puentehabrá de construirse, estaríamos hablando de un caso conpreferencias separables.

Una manera de decidir entre dos cuestiones separables sería lade pedirles a los habitantes que voten, de una sola vez, y demanera simultánea, por ambas cuestiones (es decir, que emitandos votos simultáneos), o alternativamente, que voten de manerasecuencial por una cuestión y luego por otra. Es interesanteadvertir que si las cuestiones son separables, el resultadodebería ser el mismo con independencia de cuál sea el método de votación utilizado(secuencial o simultáneo). Para ver esto, es necesario darse

cuenta que las preferencias de las personas, respecto de cadacuestión, pueden agruparse en combinaciones de cuestionesbinarias, por orden de preferencia, de mayor a menor. Porejemplo, si el primer habitante prefiere la combinación C y A, ysuscribe preferencias separables, entonces necesariamente suúltima preferencia es la combinación R y B. Esto significa,también, que su orden completo de alternativas complejaspreferidas (esto es, no sólo las alternativas complejaspreferidas en primer nivel, sino las combinaciones preferidas ensegundo, tercero y cuarto lugar) o bien será CA>CB>RA>RB, o bienCA>RA>CB>RB. Lo que quiere decir que, por cada preferenciaindividual en torno a la combinación de dos cuestionesseparables, existirán sólo dos órdenes posibles completos de preferencias. Y esque, cualquiera sea la primera elección de una persona en tornoa las dos cuestiones separables, la combinación inversa siempreserá su última preferencia. Esto restringe significativamente elnúmero de órdenes completos de preferencias posibles: tratándosede dos cuestiones separables, sólo seis órdenes completos depreferencias son posibles. Si las cuestiones fueran no-separables, entonces habría 16 órdenes completos posibles (Lacyy Niou, 2000: 10).

La lógica de las votaciones con múltiples cuestiones ypreferencias separables está bien estudiada. Los estudiosdemuestran que, cuando existe una alternativa compleja (queincluye una combinación de dos o más cuestiones separables) quees preferida, en comparaciones por pares, a las demás (GanadorCondorcet), no importa que la votación sea simultánea (esto es,las personas votan en un solo momento por todas las cuestiones)o secuencial (esto, en un primer momento se vota por unacuestión, y en un segundo momento por otra). Sea como sea, lanaturaleza separable de las preferencias garantiza la elecciónde esa alternativa compleja (Kadane, 1972, Schwartz, 1977), ypor lo tanto garantiza que no sea escogida una alternativacompleja que sea rechazada por la mayoría de votantes encomparaciones por pares.

Cuestiones múltiples con preferencias no-separables

Cuando las personas suscriben preferencias no separables entorno a dos cuestiones, la preferencia por una alternativa, enuna primera cuestión, depende de que se prefiera una alternativaespecífica, en otra segunda cuestión. Consideremos un ejemplosimple, con tres votantes que suscriben preferencias noseparables en torno a las dos cuestiones a decidir, el tipo depuente y el arquitecto.

Tabla 2

1 2 31º

RA

CB

CA

2º

RB

RB

RB

3º

CB

RA

CB

4º

CA

CA

RA

En este ejemplo, el primer votante prefiere R si lo va aconstruir A, y en segundo lugar R aún si lo construye B, pero siresulta que se va a construir C, entonces prefiere que loconstruya A a que lo construya B. El segundo votante prefiereque sea B el que construya un tipo de puente C, y en segundolugar también que B construya un tipo de puente R, pero siresulta elegido el arquitecto A, entonces prefiere que ésteconstruya R a C. Y el tercer votante, finalmente, prefiere que Aconstruya C, y si no, en segundo lugar, que B construya R. Entodos los casos, las preferencias que suscriben los votantes encada cuestión, depende de cómo se decidan las otras cuestiones.

En este escenario, pedirles a los votantes que emitan un votosimultáneo para ambas cuestiones puede resultar contraproducente.En efecto, si los tres habitantes emitieran de manera simultáneaun doble voto para ambas cuestiones, la combinación ganadorasería CA, que resulta de computar el número de votos por cadacuestión con arreglo a las primeras preferencias. El problema,sin embargo, es evidente: CA es rechazada por una mayoría devotantes (que la ubican en la última preferencia), mientras queRB sería la alternativa ganadora si se le pidiera a los votantesque votaran secuencialmente por cada cuestión. Instrumentar unmétodo de votación escalonado o secuencial significa que losvotantes votan, en primer término, por una cuestión, y aresultas de lo que se decida en la primera cuestión, votan enconsecuencia por una segunda cuestión2. Como las preferenciasson no-separables, la lógica del voto es distinta: dependiendo delresultado que salga victorioso en la primera cuestión, losvotantes pueden votar por una u otra alternativa en la segunda

2 También se conoce como voto secuencial (sequential voting), o voto “cuestión por cuestión”(issue-by-issue voting, Schwartz, 1977; Ordeshook, 1986; Kramer, 1972), o “propuesta porpropuesta”, (bill-by-bill voting, Miller, 1995) o una agenda Plott–Levine (Plott andLevine, 1978; Miller, 1995).

cuestión. Si se vota primero por el tipo de puente, entonces loshabitantes votan con arreglo a sus primeras preferencias. Estopuede graficarse del siguiente modo (donde las flechas indicanel hecho de que los votantes ponen a un lado esas cuestiones yalternativas):

Tabla 3

1 2 31º

R-A

C-B

C-A

2º

RB RB RB

3º

CB RA CB

4º

CA CA RA

En la primera ronda, se puede ver cómo los votantes escogen C.Acto seguido, y a resultas de lo decidido en la primeracuestión, los habitantes votan por la segunda de las cuestiones,pero aquí sucede algo digno de destacar: dado que laspreferencias son no-separables, los habitantes votan en lasegunda ronda por la cuestión preferida con arreglo a sus primeraspreferencias remanentes. Esto es, dado que R ya no está másdisponible, puesto que fue escogido C, los habitantes eliminande su esquema mental todas aquellas combinaciones de cuestionesque contienen R. Esto puede expresarse gráficamente del modosiguiente (donde las celdas cubiertas con líneas oblicuasindican la eliminación de las alternativas del orden individualde preferencias respectivo):

Tabla 4

1 2 31º

R-A

C-B

C-A

2º

RB RB RB

3º

CB RA CB

4º

CA CA RA

Acto seguido, y con arreglo a las primeras preferenciasremanentes, los habitantes votan por la segunda de lascuestiones, donde puede verse que escogerán a B.

Tabla 5

1 2 3R-A C

-BC -A

RB RB RBC –B

RA CB

CA CA RA

De manera que, si los votantes emiten un voto secuencial, oescalonado, cuestión por cuestión, la combinación ganadora seráRB, que en este ejemplo es el ganador Condorcet (esto es, unaalternativa que gana a todas las demás en comparaciones porpares). De todos modos, cuando las preferencias no sonseparables, y la distribución de los órdenes de preferencias estal que existe un ganador Condorcet, la votación escalonada nosiempre asegura la elección del mismo. Sin embargo, lo que síasegura la votación escalonada o secuencial es que no salgaescogido un perdedor Condorcet, es decir, una alternativacompleja que sea pareto-dominada por las demás.

Cuestiones múltiples con preferencias mixtas

En condiciones reales, resulta muy difícil discernir si estamosante situaciones de preferencias separables o no separables,porque para ello deberíamos conocer, con antelación a nuestrodiseño del mecanismo de votación (simultánea o secuencial),cuáles son los órdenes completos individuales de preferencias,una información que resulta casi siempre imposible de disponer.En condiciones normales, por lo tanto, lo habitual seríaencontrarnos con escenarios mixtos, esto es, órdenes depreferencias que responden a la lógica de las preferenciasseparables, junto con órdenes que responden a la lógica de laspreferencias no separables. De aquí en más, vamos a presentarnuestros ejemplos como incluyendo ambos tipos de preferencias.

Lo interesante, en cualquier caso, es darse cuenta que laelección de un sistema de votación secuencial no produce ningúnefecto en los votantes que suscriben preferencias separables, puesto que aúncuando votaran, en una segunda ronda, con arreglo a suspreferencias remanentes (eliminando de sus esquemas mentales lascombinaciones que incluían la cuestión derrotada en la primeraronda), los votantes seguirán eligiendo la segunda cuestión máspreferida en el primer nivel. En cambio, para los votantes quesuscriben preferencias no separables, la decisión de emitir un

Primera preferencia remanente de 1

Primera preferencia remanente de 2 y 3

doble voto simultáneo por ambas cuestiones, o votarescalonadamente cuestión por cuestión en momentos separados,puede producir resultados rotundamente distintos. Esta es unarazón para preferir, siempre que sea posible, las votacionesescalonadas y no las votaciones simultáneas, ya que comúnmenteno sabemos –ni podemos inferir- la naturaleza de laspreferencias de los votantes en torno a las múltiples cuestionesque se dirimen.

Cuando el orden cronológico importa

En escenarios de preferencias mixtos, o no separables, puedendarse situaciones complejos, como el siguiente, en el que,dependiendo de qué tipo de cuestión se vote en primer orden y ensegundo orden, los resultados pueden ser distintos, y uno deellos inferior o subóptimo respecto del otro. Esto es, aúncuando las votaciones secuenciales descarten la elección de unperdedor Condorcet, a veces puede suceder que, habiendo unganador Condorcet, éste no resulta escogido con sólo cambiar elorden cronológico de las cuestiones a decidir. Consideremos elsiguiente caso de once habitantes:

Tabla 6

Preferencias separables Preferencias no separables

1ro

2do

3ro

4to

5to

6to

7mo 8vo

9no

10mo

11vo

1º

R-A

R-B

C-A

C-B

R-A

C-A

R-B C-B

R-A

R-B C-B

2º

R-B

R-A

C-B

C-A

C-A

R-A

C-B R-B

C-B

C-A R-A

3º

C-A

C-B

R-A

R-B

R-B

C-B

R-A C-A

R-B

R-A C-A

4º

C-B

C-A

R-B

R-A

C-B

R-B

C-A R-A

C-A

C-B R-B

Puente Romano: RPuente Cemento: CArquitecto A: AArquitecto B: B

Supongamos que se plantea la posibilidad de decidir primero quétipo de puente elegir, y en una segunda etapa a quiénadjudicarle la obra. En la primera fase, y de conformidad conlas primeras preferencias de cada habitante, la mayoría vota porel puente romano (6 contra 5). En el cuadro que sigue, se puede

ver en negrita las primeras preferencias de la mayoría en tornoal tipo de puente (las segundas, terceras y cuartas preferenciasno desempeñan ningún papel, razón por la cual se ignoran en elanálisis). 1º fase

Tabla 7

Habitantes1ro

2do

3ro

4to

5to

6to

7mo 8vo

9no

10mo

11vo

1º

R-A

R-B

C-A

C-B

R-A

C-A

R-B C-B

R-A

R-B C-B

2º

R-B

R-A

C-B

C-A

C-A

R-A

C-B R-B

C-B

C-A R-A

3º

C-A

C-B

R-A

R-B

R-B

C-B

R-A C-A

R-B

R-A C-A

4º

C-B

C-A

R-B

R-A

C-B

R-B

C-A R-A

C-A

C-B R-B

En la segunda fase de votación, y como es obvio, losparticipantes eliminan de su mente y del orden de preferenciasindividual, las alternativas que incluyen el puente de Cemento –puesto que esta cuestión ya fue zanjada en una primera fase - yvotan de conformidad con sus primeras preferencias remanentes(esto es, una vez eliminadas las alternativas que incluyen C).En el cuadro, las alternativas eliminadas figuran tachadas conlíneas oblicuas. El orden de preferencias remanente de cadahabitante sería el siguiente:

2º faseTabla 8

Habitantes1ro

2do

3ro

4to

5to

6to

7mo 8vo

9no

10mo

11vo

R-A

R-B

C-A

C-B

R-A

C-A

R-B C-B

R-A

R-B C-B

R-B

R-A

C-B

C-A

C-A

R-A

C-B R-B

C-B

C-A R-A

C-A

C-B

R-A

R-B

R-B

C-B

R-A C-A

R-B

R-A C-A

C-B

C-A

R-B

R-A

C-B

R-B

C-A R-A

C-A

C-B R-B

Eliminadas las opciones que incluyen C, entonces cada habitantevotará por el arquitecto a quien adjudicarle la obra, deconformidad con su primera preferencia remanente. En este caso,

la opción mayoritaria favorece al arquitecto A (6 votos contra5). En el cuadro, puede verse en negrita las primeraspreferencias de la mayoría.

Ahora supongamos que se plantea cambiar el orden cronológico dela votación por etapas, de manera que en esta oportunidad, en laprimera etapa se vota por el arquitecto a quien adjudicarle laobra, y en la segunda por el tipo de puente a construir. Aligual que en el caso anterior, los votantes deciden la primeradimensión de conformidad con sus primeras preferencias (cuadro1), y en la segunda fase deciden la segunda dimensión deconformidad con sus primeras preferencias remanentes. Lo curioso esque esta vez, en la primera votación la mayoría opta por elegirel arquitecto B (6 contra 5), y en la segunda fase de votación,una vez eliminadas del rango de posibilidades las alternativaque incluyen A, los votantes eligen al puente de cemento (6contra cinco).

1º faseTabla 9

Habitantes1ro

2do

3ro

4to

5to

6to

7mo 8vo

9no

10mo

11vo

1º

R-A

R-B

C-A

C-B

R-A

C-A

R-B C-B

R-A

R-B C-B

2º

R-B

R-A

C-B

C-A

C-A

R-A

C-B R-B

C-B

C-A R-A

3º

C-A

C-B

R-A

R-B

R-B

C-B

R-A C-A

R-B

R-A C-A

4º

C-B

C-A

R-B

R-A

C-B

R-B

C-A R-A

C-A

C-B R-B

2º faseTabla 10

Habitantes1ro

2do

3ro

4to

5to

6to

7mo 8vo

9no

10mo

11vo

R-A

R-B

C-A

C-B

R-A

C-A

R-B C-B

R-A

R-B C-B

R-B

R-A

C-B

C-A

C-A

R-A

C-B R-B

C-B

C-A R-A

C-A

C-B

R-A

R-B

R-B

C-B

R-A C-A

R-B

R-A C-A

C-B

C-A

R-B

R-A

C-B

R-B

C-A R-A

C-A

C-B R-B

Lo que el ejemplo indica es que el orden de votación es decisivoa la hora de decidir qué tipo de alternativa será implementada.Antes de someter a votación cualquiera de las alternativasbinarias, los participantes tienen que ponerse de acuerdo sobrequé orden cronológico adoptar, porque es posible que estadecisión condicione los resultados hacia una u otra alternativa.Y esto incluso en situaciones en las que existe una alternativaque representa un ganador Condorcet, como muestra el ejemplo,donde RA gana a todas las demás en comparaciones por pares.

El efecto perturbador de las preferencias no separables

Es interesante advertir, también, el efecto perturbador quetienen las preferencias no separables en escenarios mixtos. Enel caso anterior, vimos cómo, en un escenario de preferenciasmixtas, cambiando el orden cronológico de las cuestiones adecidir, podríamos arribar a resultados bien distintos. Ahoraveamos lo que sucede si “partimos” los votantes en gruposseparados impares (por razones analíticas, eliminaremos elvotante octavo, de manera que el primer grupo quede impar), yles pedimos que voten por las mismas dos cuestiones, primero deuna manera simultánea, y luego de una manera secuencial (y,dentro de esta segunda modalidad, primero con un ordencronológico, y luego con el inverso).

Lo que vemos en este caso es que la introducción de personas quesuscriben preferencias no separables, dentro de un grupo devotantes con preferencias separables “contamina” el proceso devotación, en el sentido de que ahora la modalidad de votaciónresulta decisiva. En el primer grupo, vemos que no importa cuál

G1 (con preferencias separables)

1ro

2do

3ro

4to

5to

6to

7mo

1º

R-A

R-B

C-A

C-B

R-A

C-A

R-B

2º

R-B

R-A

C-B

C-A

C-A

R-A

C-B

G2 (preferencias noseparables)

1ro 2do 3ro1º

R-A R-B C-B

2º

C-B C-A R-A

3 R-B R-A C-A

sea la modalidad de votación, el resultado siempre es el mismo.En el segundo grupo, en cambio, la modalidad de votaciónsimultánea arroja como resultado una alternativa que puede serconsiderada el perdedor Condorcet para dicho grupo, y las dosmodalidades de votación secuencial arrojan resultadosdiferentes. Esta constatación es un argumento muy importante quemilita decididamente a favor de las votaciones secuenciales, en tanto quegarantiza el descarte de los perdedores Condorcet. Es más, noimporta el número de votantes que suscriban preferencias noseparables para preferir las votaciones secuenciales: con sóloun votante que exprese el carácter no separable de suspreferencias en ambas cuestiones, conviene instrumentar unproceso de votación secuencial. Este es también, según veremos,uno de los grandes obstáculos que pone en aprietos a losmecanismos de democracia directa (Lacy y Niou, 2000), ya queresulta muy difícil instrumentar un proceso de votación popularmasiva de carácter secuencial cuando están en juego múltiplescuestiones vinculadas.

Votaciones secuenciales por pares de alternativas

A diferencia de las votaciones escalonadas “cuestión porcuestión”, las votaciones escalonadas por pares de alternativasplantea un esquema de votación en las que las alternativas sevan votando por pares, y los participantes deben elegir una solacada vez que votan. Esta modalidad de votación fue ideada porprimera vez por Ramón Llull, clérigo y filósofo mallorquín de laEdad Media (véase Colomer, 2013), y su propuesta puedeconsiderarse el primer intento analítico encaminado a fundarracionalmente una teoría de la elección social.

La propuesta más robusta (y defendida por el mismo Llull en unprimer momento) consiste en pedirles a los votantes que voten,en votaciones secuenciales, por pares de alternativas, de talmanera que todas las alternativas confronten entre sí. En nuestroejemplo, ello equivaldría a pedirles a los votantes que votenprimero entre RA y RB, en un segundo momento entre RA y CB, enun tercer momento entre RA y CA, en un cuarto momento entre RB yCB, en un quinto momento entre RB y CA, y en un sexto momentoentre CB y CA. Con cuatro alternativas complejas, tenemos seismomentos electorales o votaciones. Con cinco alternativas, losmomentos de votación ascienden a 10, y con seis alternativas a15. Este método se conoce como el método exhaustivo de votacionessecuenciales por pares de alternativas, ya que todas lasalternativas se confrontan con todas y cada una del resto envotaciones binarias (Colomer, 2013). El ganador, según Llull,

sería aquella alternativa que contara con el mayor margen devictorias-derrotas. Esto es: por cada alternativa, se sumantodas las victorias, a éstas se le restan todas derrotas, y elresultado indica el margen de victorias-derrotas. Según veremosmás adelante, este método de cómputo es similar al ideado porArthur Copeland en 1951 para los métodos posicionales (Copeland,1951). La única diferencia reside en que, en la propuesta deLlull, los votantes sólo manifiestan su preferencia por unaúnica alternativa (de entre dos) en distintos momentoselectorales, mientras que en el método Copeland los votantesdeben jerarquizar en una lista todas las alternativas.

Uno de los problemas más evidentes de este método es que, concuatro o tres alternativas, los empates son frecuentes cuando noexiste ninguna alternativa que venza a las demás en todas lascomparaciones por pares. Para desempatar, Llull sugirió utilizarel sorteo (Colomer, 2013: 323), pero también se puede apelar aotros métodos de desempate. El más común consiste en contar, porcada alternativa, los votos a favor y restar esta cifra por losvotos en contra en cada comparación por par, y luego sumar todoslos restos. Aquella alternativa que tuviera el margen totalmayor de votos a favor-en contra, sería la ganadora (Laraki yBalinski, 2010: 48). Otra forma simple de desempatar sería lade tomar las alternativas empatadas, eliminar el resto dealternativas con un número inferior de victorias, y volver adesplegar el método Llull/Copeland entre las alternativas quequedan.

Una segunda modalidad de votación secuencial, tambiénexplicitada por el propio Llull, aunque en un segundo momento(véase Colomer, 2013, Laraki y Balinski, 2010: 47-49), consisteen pedirle a los votantes que voten, en distintos momentoselectorales, por pares de alternativas, pero descartando oeliminando de manera iterativa todas las alternativas quepierden en cada momento electoral. Por ejemplo, si en unaprimera votación RA vence a RB, entonces esta última ya quedadescartada para siempre. Si en una segunda votación RA pierdecontra CB, entonces RA queda fuera de juego. Ello nos dejaría,en una tercera votación, sólo con CB y CA, y la ganadora de estaúltima votación terminaría siendo escogida. A este métodopodemos denominarlo de “votaciones secuenciales por pares dealternativas con eliminación escalonada”. A diferencia del método devotaciones secuenciales por pares de alternativas exhaustivo, elmétodo de eliminación escalonado requiere una menor cantidad demomentos electorales, siendo el número de momentos electoralesigual a N-1. Así, con cuatro alternativas, sólo se requieren

tres momentos electorales. Con cinco alternativas, sólo serequieren cuatro momentos electorales.

Naturalmente, si una de las alternativas es preferida a todaslas demás, en comparaciones por pares, el método de eliminaciónescalonado garantizará que ésta salga ganadora. Obsérvese queeste método tiene consecuencias distintas al método devotaciones secuenciales “cuestión por cuestión” con preferenciasseparables. Si éste último no garantizaba que saliera escogidoun ganador Condorcet (aunque sí que nunca salga un perdedorCondorcet), el método de la eliminación escalonada con pares dealternativas complejas garantiza ambas cosas. A falta de unganador Condorcet, sin embargo, el método arroja distintosresultados, dependiendo del orden cronológico en que se planteanlos pares de alternativas. Con todo, aún en este supuesto deausencia de ganador Condorcet, el método asegura que nunca salgaganador un perdedor Condorcet, en caso de existir.

Un tercer método de votación secuencial muy usado, que puede serconsiderado una categoría mixta entre el método de mayoríarelativa y el de eliminación escalonada, es el balotaje secuencial, obalotaje a secas, que habitualmente se usa para la selección depresidentes en muchos países del mundo. Según este método, laspersonas votan, en una primera ronda, por una única alternativapreferida, de entre todas las alternativas consideradas.Aquellas dos alternativas que reciban la primera y segundamayoría relativa de votos, respectivamente, irán a una segundaronda de votaciones. La alternativa más votada en esta segundaronda o vuelta será finalmente la ganadora. Al igual que elmétodo de eliminación escalonada de Llull, el balotajesecuencial garantiza que no salga nunca escogido un perdedorCondorcet. Sin embargo (y a diferencia del método de Llull)tampoco asegura que salga escogido el ganador Condorcet, en casode existir. En efecto, puede darse el caso de que el ganadorCondorcet sea la tercera alternativa más votada en primer lugary, sin embargo, ésta misma alternativa sea capaz de vencer pormayoría al resto de alternativas en votaciones por pares dealternativas.

Métodos de votación posicionales

Los métodos posicionales piden a los votantes que expresenórdenes individuales de preferencias, situando en el primernivel a la alternativa más preferida, y ubicando el resto dealternativas en segundo, tercero o cuarto nivel, por orden depreferencia y hasta agotar el número de alternativas en

cuestión. A estos métodos también se los denomina “Métodos devotación con órdenes individuales de preferencias (o “ranked-ballot” voting systems). Dentro de estos métodos, existen aquellos quepiden que expresen órdenes completos de preferencias, y otrosque permiten la expresión de órdenes incompletos, pudiendo losvotantes en estos últimos no jerarquizar “todas” lasalternativas sino un subconjunto de ellas, y en ocasiones situaren un mismo nivel a varias alternativas. Existen varias fórmulaspara computar el ganador en esta clase de métodos, que pasaremosa considerar. Consideremos primero los métodos posicionales conórdenes completos de preferencias.

Método Hare/Ware y variantes

Según este método, que debemos a Thomas Hare (1857)3, se tomacomo ganadora a aquella alternativa que obtenga la mayoríaabsoluta de votos con arreglo a las primeras preferencias. Es decir, setoman en cuenta sólo las alternativas ubicadas en el primernivel de los órdenes individuales, y si alguna de éstas obtieneuna mayoría absoluta de votos, esta sale ganadora. Si ningunaobtiene una mayoría absoluta de votos, entonces se descarta delos órdenes individuales aquella alternativa que reciba la menorcantidad de votos, y se vuelve a aplicar el método hasta obteneruna alternativa con una mayoría absoluta de votos en las primeraspreferencias.

Consideremos el ejemplo de once votantes con preferencias mixtas(véase Tabla). Sucede que en este escenario no hay ninguna delas cuatro alternativas que sea considerada primera preferenciapor al menos seis votantes: tres alternativas reciben tres votos(RA; RB; CB) y una dos (CA). Gráficamente esto se puede ver bientomando sólo la primera fila de las primeras preferencias decada habitante (descartando las restantes filas), y viendocuantos votos recibe cada alternativa.

Tabla 11

Habitantes1ro

2do

3ro

4to

5to

6to

7mo 8vo

9no

10mo

11vo

1 R- R- C- C- R- C- R-B C- R- R-B C-B

3 A decir verdad, el abogado inglés Thomas Hare ideó el método en 1857 para la elecciónde múltiples ganadores, y fue el arquitecto americano y profesor de Harvard RobertWilliam Ware, quien propuso en 1871 el sistema de Hare para la elección de un sologanador. Dicho método fue usado por primera vez en 1893 en Australia para la eleccióndel gobierno colonial de Queensland (McLean, 2002).

º A B A B A A B A2º

R-B

R-A

C-B

C-A

C-A

R-A

C-B R-B

C-B

C-A R-A

3º

C-A

C-B

R-A

R-B

R-B

C-B

R-A C-A

R-B

R-A C-A

4º

C-B

C-A

R-B

R-A

C-B

R-B

C-A R-A

C-A

C-B R-B

El ejemplo muestra no sólo que no existe una alternativa quecuente con el respaldo de la mayoría absoluta, sino que tampocoexiste alternativa que reciba la mayoría relativa. Lo único quepuede decirse de esta distribución de preferencias es que una delas alternativas recibe menos votos que las demás: CA. Entonces,una manera razonable de proceder es la de eliminar estaalternativa del menú de posibilidades del cuadro, y votar enconsecuencia de conformidad con las primeras preferencias remanentes. En estoconsiste, básicamente, el método Hare/Ware: en ir descartando,de manera iterativa, las opciones que han recibido la menorcantidad de votos en las primeras preferencias, hasta llegar aun sólo ganador4. En el siguiente cuadro puede verse el orden depreferencias remanentes una vez que descartamos C-A:

Tabla 12

Habitantes1ro

2do

3ro

4to

5to

6to

7mo 8vo

9no

10mo

11vo

R-A

R-B

C-A

C-B

R-A

C-A

R-B C-B

R-A

R-B C-B

R-B

R-A

C-B

C-A

C-A

R-A

C-B R-B

C-B

C-A R-A

C-A

C-B

R-A

R-B

R-B

C-B

R-A C-A

R-B

R-A C-A

C-B

C-A

R-B

R-A

C-B

R-B

C-A R-A

C-A

C-B R-B

Una vez que se elimina CA de los órdenes individuales, tomamoslas primeras preferencias remanentes respecto de las tresalternativas remanentes. Tenemos entonces el siguienteresultado: R-A y C-B reciben cuatro votos, y R-B recibe 3 votos.

4 Este método puede emplearse para la elección de uno o varios ganadores, y se usa parala elección de cargos representativos. Para la elección de varios cargos representativos(varios ganadores) se conoce como Single Transferable Vote, y se emplea para la elección delegisladores en Irlanda y Malta, para la elección de Senadores Nacionales en Australia,así como para la elección de legisladores locales en Tasmania y Territorio Capital deAustralia. Tratándose de un solo ganador, se conoce como Alternative Vote (o instant run-offvoting), y se emplea para la elección del Presidente en India, Irlanda y Sri Lanka, ypara la elección de diputados en Australia.

Nuevamente, ninguna de las alternativas recibe la mayoríaabsoluta, y tampoco hay ninguna que reciba la mayoría relativa.Otra vez, de los resultados sólo pueden decirse que hay unaalternativa remanente que ha recibido menos votos que lasrestantes (R-B). Entonces, pasamos a eliminarla de los órdenesindividuales de los habitantes, y volvemos a considerar susprimeras preferencias remanentes.

Tabla 13

Habitantes1ro

2do

3ro

4to

5to

6to

7mo 8vo

9no

10mo

11vo

R-A

R-B

C-A

C-B

R-A

C-A

R-B C-B

R-A

R-B C-B

R-B

R-A

C-B

C-A

C-A

R-A

C-B R-B

C-B

C-A R-A

C-A

C-B

R-A

R-B

R-B

C-B

R-A C-A

R-B

R-A C-A

C-B

C-A

R-B

R-A

C-B

R-B

C-A R-A

C-A

C-B R-B

Esta vez sí, tenemos una opción mayoritaria: R-A. A través de unproceso de eliminación iterada de alternativas minoritarias, ycómputos escalonados de votos de conformidad con las primeraspreferencias remanentes, llegamos a una opción mayoritariaclara. Nuestro ejemplo arroja como resultado R-A.

Una segunda variante de este método consistiría en tomar en unaprimera fase de cómputo aquellas dos alternativas más votadas deconformidad con las primeras preferencias, eliminando lasalternativas perdedoras, y en un segundo cómputo ver cuál de lasdos es victoriosa de acuerdo con las primeras preferenciasremanentes. Este método se denomina balotaje instantáneo (también“contingent voting”), y difiere del balotaje clásico o secuencial enque los electores expresan, de una sola vez, órdenes depreferencias y por lo tanto nunca necesitan de dos momentoselectorales separados para escoger un sólo ganador.

Una tercera variante es el método Carey5 que consiste en hallarel voto promedio de las alternativas que figuran como primeraspreferencias, y todas aquellas que reciben votos por debajo delpromedio quedan descartadas de los órdenes individuales de

5 Una generalización del método ideado por Craig Carey, investigador del Instituto deestudios judiciales de Nueva Zelanda, para tres candidatos en distritos uninominales(véase Legrand, 2013).

preferencias, tras lo cual se vuelve a aplicar el método, hastaobtener un solo ganador.

Finalmente, una cuarta variante la encontramos en el llamado“Voto suplementario”. Bajo este método, se les pide a losvotantes que sólo que escojan una primera y segunda alternativa,de la lista de candidatos. Se toman las primeras preferenciasde cada voto, y aquella que obtenga la mayoría absoluta devotos, es la ganadora. En el supuesto de que ninguna obtenga lamayoría absoluta, se toman las dos alternativas más votadas (conarreglo a las primeras preferencias), y se descarta el resto dealternativas de los órdenes individuales. Luego, para resolverla contienda entre los dos más votados según las primeraspreferencias, se procede a contar las segundas preferencias. Ladiferencia entre este método y el “balotaje instantáneo” es queen éste último los votantes deben expresar órdenes completos depreferencias, mientras que en el voto suplementario debenlimitar sus órdenes de preferencias a sólo dos candidatos6.

Método Coombs

Por supuesto, la anterior es sólo una manera de plantear laforma de arribar a una decisión. También podríamos pensar que,dado que no tenemos ninguna alternativa mayoritaria clara a laluz de las primeras preferencias, en vez de empezar eliminandolas alternativas minoritarias de las primeras preferencias,podría ser razonable empezar eliminando las alternativas que despiertan elrechazo mayoritario de la mayoría de los votantes, esto es, las alternativasmayoritarias de las últimas preferencias. En ese caso, tendríamos quetomar las últimas preferencias (cuarta fila), examinar si existealguna alternativa que reciba una mayoría relativa de votos enrelación con las demás, y pasar a eliminarla del mapa conceptualpara dar lugar a un segundo cómputo de votos de conformidad conlas primeras preferencias remanentes. En esto consiste,básicamente, el método Coombs7 (Coombs, 1964; Grofman y Feld,2004). En nuestro ejemplo, si tomáramos las últimaspreferencias, nos daríamos cuenta que ninguna es claramenterechazada por los votantes (RA recibe 2 votos, mientras que lasdemás reciben 3 votos).

1º faseTabla 14

6 El sistema de voto suplementario se usa para escoger todos los alcaldes del ReinoUnido, también el Alcalde de Londres.7 En honor al matemático y psicólogo Clyde Coombs, profesor de psicología matemática dela Universidad de Michigan, Estados Unidos, quien concibió por vez primera este métodoen 1964 (Coombs, 1964).

Habitantes1ro

2do

3ro

4to

5to

6to

7mo 8vo

9no

10mo

11vo

R-A

R-B

C-A

C-B

R-A

C-A

R-B C-B

R-A

R-B C-B

R-B

R-A

C-B

C-A

C-A

R-A

C-B R-B

C-B

C-A R-A

C-A

C-B

R-A

R-B

R-B

C-B

R-A C-A

R-B

R-A C-A

C-B

C-A

R-B

R-A

C-B

R-B

C-A R-A

C-A

C-B R-B

Por lo tanto, en una segunda fase de eliminación podríamosescalar a las penúltimas preferencias (descartando RA en elanálisis), para ver si alguna de las alternativas recibe unavotación mayoritaria en las penúltimas preferencias. Pero ennuestro ejemplo vemos que tampoco encontramos una alternativareciba una mayoría relativa de votos en las penúltimaspreferencias, sólo podemos decir que existe una alternativarecibe menos votos (CB).

2º faseTabla 15

Habitantes1ro

2do

3ro

4to

5to

6to

7mo 8vo

9no

10mo

11vo

R-A

R-B

C-A

C-B

R-A

C-A

R-B C-B

R-A

R-B C-B

R-B

R-A

C-B

C-A

C-A

R-A

C-B R-B

C-B

C-A R-A

C-A

C-B

R-A

R-B

R-B

C-B

R-A C-A

R-B

R-A C-A

C-B

C-A

R-B

R-A

C-B

R-B

C-A R-A

C-A

C-B R-B

Entonces escalaríamos nuevamente a la siguiente fila (descartando CB del análisis), para ver si existe alguna alternativa remanente que reciba una mayoría de votos en las antepenúltimas preferencias (en nuestro ejemplo serían las segundas preferencias de los habitantes). En esta ocasión sí, tendríamos una opción mayoritaria: C-A.

3º faseTabla 16

Habitantes1ro

2do

3ro

4to

5to

6to

7mo 8vo

9no

10mo

11vo

R-A

R-B

C-A

C-B

R-A

C-A

R-B C-B

R-A

R-B C-B

R-B

R-A

C-B

C-A

C-A

R-A

C-B R-B

C-B

C-A R-A

C-A

C-B

R-A

R-B

R-B

C-B

R-A C-A

R-B

R-A C-A

C-B

C-A

R-B

R-A

C-B

R-B

C-A R-A

C-A

C-B R-B

Entonces, en una cuarta fase, procedemos a eliminar CA, ypasamos a ver cuáles de las alternativas recibe la mayoría devotos con arreglo a las primeras preferencias remanentes. En elejemplo, tenemos que RA y CB reciben 4 votos, y RB recibe 3votos.

4º faseTabla 17

Habitantes1ro

2do

3ro

4to

5to

6to

7mo 8vo

9no

10mo

11vo

R-A

R-B

C-A

C-B

R-A

C-A

R-B C-B

R-A

R-B C-B

R-B

R-A

C-B

C-A

C-A

R-A

C-B R-B

C-B

C-A R-A

C-A

C-B

R-A

R-B

R-B

C-B

R-A C-A

R-B

R-A C-A

C-B

C-A

R-B

R-A

C-B

R-B

C-A R-A

C-A

C-B R-B

Dado que no hay ninguna alternativa que reciba la mayoría devotos con arreglo a las primeras preferencias remanentes,procedemos a instrumentar un nuevo proceso de eliminación de lasalternativas mayoritarias de las últimas preferenciasremanentes, y así hasta alcanzar una alternativa que reciba lamayoría de votos con arreglo a las primeras preferenciasremanentes. Para ahorrarle el proceso al lector, el resultado esCB.

Volvemos, entones, al mismo problema. Si decidimos aplicar elmétodo Hare/Ware, la alternativa ganadora es RA, que es unaganadora Condorcet. Si en cambio nos resolvemos a aplicar elmétodo Coombs, la alternativa ganadora es CB. Sin embargo,cualquiera de los dos métodos garantiza el descarte del perdedorCondorcet (en este caso, CA).

Método Bucklin

El método Bucklin8 también configura una forma alternativa deescoger un ganador de múltiples alternativas complejas. Al igualque en los sistemas anteriores, los votantes ordenan en unapapeleta las alternativas de mayor a menor (primera preferencia,segunda, etcétera). Se toman en cuenta las primeraspreferencias, y se escoge aquella que obtenga la mayoríaabsoluta de los votos. Si ninguna de las alternativas obtiene lamayoría absoluta de los votos con arreglo a las primeraspreferencias (6 votos), entonces se pasa a considerar lassegundas preferencias, y se cuentan los votos que reciben lasalternativas con arreglo a las segundas preferencias, que sesuman a los ya recibidos por las primeras preferencias. Si, conla suma de votos de las segundas preferencias, alguna alcanza lamayoría absoluta de votos (que se mantiene siempre constante, yes 6), ésta resulta ganadora. Si no, se pasa a sumar los votosque reciben las alternativas con arreglo a las terceraspreferencias, que se suman a los ya recibidos por las primeras ysegundas preferencias, y así hasta que alguna alcance el umbralconstante de la mayoría absoluta de votos.

Es importante insistir en que la cifra que define la mayoríaabsoluta siempre se define en términos de las primeraspreferencias, y se mantiene constante. Esto es, si tenemos 11habitantes, la mayoría absoluta de los votos es 6. Si conforme alas primeras preferencias no existe ninguna alternativa quecuente con el respaldo de seis votantes, entonces se procede aañadir los votos recibidos por las alternativas con arreglo alas segundas preferencias, que se añaden a los recibidos por las8 Que recibe el nombre de quien lo concibió por vez primera, James W. Bucklin (1856-1895), abogado, alcalde rural, defensor de la causa indígena (que lo llevó a vivir enuna reserva aborigen por varios años), militante del partido republicano, más tardeadepto a las teorías de Henry George, más tarde masón, promotor de los parques públicosy de la forestación, legislador estatal, entre muchas otras cosas. Hacia 1901 viajóhacia Australia, en cabeza de una comisión encargada de estudiar el sistema tributario ypolítico de ese país, viaje que pagó enteramente con su dinero. No es improbable queallí haya conocido a Nanson. El sistema de votación propuesto por Bucklin fue usado enla ciudad que fundó (Gran Junction, Colorado) desde 1909 hasta 1920 (véase Hoag andHallett;1926: 485-491). Curiosamente, la primera medida que propuso como legislador fuela construcción de un puente (véase Archivos de Mesa County, Colorado).

primeras preferencias. Si en este segundo cómputo alguna alternativa reúneseis votos, entonces resulta ganadora. Una de las dificultades que debeenfrentar este método es que, con frecuencia, puede desembocaren una situación en la que más de dos alternativas reúnen lamayoría absoluta de votos en las segundas o terceras fases decómputo. En ese caso, se considera ganadora aquella alternativaque recibe más votos, aún cuando ambas hayan superado el umbralde la mayoría absoluta. Si dos alternativas reciben igualcantidad de votos y pasan el umbral de la mayoría absoluta, sedesempata, sólo entre ellas dos, con arreglo al siguiente nivelde preferencias, o se escoge por sorteo alguna de las dos.

En nuestro ejemplo, cuando consideramos las primeraspreferencias, puede verse que ninguna alternativa recibe seisvotos. En efecto, RA, RB y CB reciben cada una tres votos, y CArecibe dos votos. Pasamos entonces a contar los votos recibidospor las alternativas con arreglo a las segundas preferencias ylos sumamos a los ya recibidos con arreglo a las primeraspreferencias. En este caso, tenemos RA y CB que suman seis (6)votos cada una, y RB y CA que suman, respectivamente, cinco (5).Aquí tenemos, precisamente, dos alternativas ganadoras quesuperan el umbral constante de la mayoría absoluta, y queempatan en cantidad de votos. Para desempatar, una solución amano es la de pasar a una tercera fase de cómputo descartandolas otras dos alternativas y computando únicamente los votosrecibidos por RA y CB con arreglo a las terceras preferencias.En este supuesto, RA ganaría al sumar 9 votos, frente a CB, querecibiría 8. El ganador Bucklin, en nuestro ejemplo, sería RA. Unode los problemas, no obstante, del método Bucklin es que nogarantiza el descarte de perdedores Condorcet, aunqueciertamente disminuye las probabilidades de que éste seaescogido, al menos si lo comparamos con el método de la mayoríarelativa.

Método Borda

En 1770 el ingeniero francés Jean Charles Borda9 (1733-1799)propuso el método que él denominó “elección por orden de mérito”y que hoy lleva su nombre10, en el que los votantes no sólo9 Borda fue un miembro de la Academia Francesa de Ciencias. Fue una figura importante enlos círculos científicos de su época, donde se lo conocía por sus trabajos enhidráulica, mecánica, óptica, y especialmente en el diseño de instrumentos avanzadospara la navegación (Young, 1988). Su método se usa para la elección de miembros deminorías étnicas en el Parlamento de Eslovenia (Börgers, 2010: 6). 10 Sin embargo, parece que el cardenal, matemático y filósofo alemán Nicolás de Cusa(1401-1464) ya había ideado en 1433 un método como el de Borda para escoger al Papa,aunque su propuesta no tuvo éxito (véase Colomer, 2013: 321, y New World Encyclopedia:http://www.newworldencyclopedia.org/entry/Nicholas_of_Cusa)

http://www.newworldencyclopedia.org/entry/Nicholas_of_Cusa

ordenan las alternativas de mayor a menor según suspreferencias, sino que les asignan, a cada una de ellas, unapuntuación, de manera que la primera preferencia recibe N puntos(siendo N el número de alternativas disponibles), la segunda N-1, tercera N-2, y la cuarta preferencia N-3). Según este método,resulta elegida la alternativa con mayor puntuación total. Ennuestro ejemplo la puntuación de cada alternativa figura entreparéntesis en cada una de las celdas:

Tabla 18

Habitantes1ro 2do 3ro 4to 5to 6to 7mo 8vo 9no 10mo 11vo

1º

R-A (4)

R-B (4)

C-A (4)

C-B (4)

R-A (4)

C-A (4)

R-B (4)

C-B (4)

R-A (4)

R-B (4)

C-B (4)

2º

R-B (3)

R-A (3)

C-B (3)

C-A (3)

C-A (3)

R-A (3)

C-B (3)

R-B (3)

C-B (3)

C-A (3)

R-A (3)

3º

C-A (2)

C-B (2)

R-A (2)

R-B (2)

R-B (2)

C-B (2)

R-A (2)

C-A (2)

R-B (2)

R-A (2)

C-A (2)

4º

C-B (1)

C-A (1)

R-B (1)

R-A (1)

C-B (1)

R-B (1)

C-A (1)

R-A (1)

C-A (1)

C-B (1)

R-B (1)

En este contexto de elección el ganador Borda sería laalternativa RA, que recibiría 29 puntos frente a CB, querecibiría 28. En tercer lugar quedaría RB, con 27 puntos, yfinalmente CA, con 26.

Una variante del método Borda es el Método Borda Cualificado (QBC,Qualified Borda Count)11 en virtud del cual las personas puedenexpresar ordenes incompletos de preferencias individuales. Así,si existen cuatro alternativas, las personas pueden simplementeescoger dos: por ejemplo, las correspondientes a su primera ysegunda preferencia. Lo interesante de esta variante del métodoes que quienes emiten órdenes incompletos no pueden aprovecharse delmayor puntaje que reciben las primeras preferencias en el caso de que el ordenhubiese sido completo. Esto es, si se escogen dos alternativas (deun total de cuatro), la alternativa correspondiente a la primerapreferencia no recibe el valor 4 y la segunda el valor 3. Encambio, las alternativas van ocupando las posiciones desde abajo aarriba, y recibiendo los puntajes correspondientes a cada nivel.Si son 2 alternativas de cuatro, entonces la segunda alternativaocupa la última posición y recibe un puntaje de 1, y la primeraalternativa ocupa la anteúltima posición y recibirá un puntajede 2. De este modo, se incentiva que los votantes expresenórdenes completos de preferencias si quieren hacer valer losmayores puntajes de sus primeras preferencias. Donald Saari(2006: 128) ha propuesto utilizar este método cualificado cuandohay que escoger entre un número extenso de alternativas,

11 Este método ha sido concebido por Peter Emerson, director del Instituto De Borda(Irlanda del Norte) al momento de escribirse este texto (Emerson, 2011).

superior a siete. En la propuesta de Saari, en una primera faselos votantes deben escoger, por el método Borda Cualificado,cuatro alternativas, de entre todas las disponibles. Aquellascuatro alternativas con más puntajes, se someten a una segundafase de votación. En esta segunda fase, se utiliza el métodoBorda común.

Michel Balinski y Rida Laraki (2010: 102-3) han propuesto unasegunda variante del método Borda, que ellos denominan el juiciomayoritario Borda, pero que analíticamente queda incluido dentro dela categoría de los métodos posicionales, al pedirle a losvotantes sólo que jerarquicen las alternativas de mayor a menor.El método (que podría denominarse Borda-mediano, o median Borda)ha sido ideado para reducir la probabilidad de que los votantesexpresen preferencias insinceras con miras a favorecer laalternativa de su preferencia. El método consiste en asignar lospuntajes a todas las alternativas en cada orden individual, conarreglo al método Borda, y luego tomar el puntaje “mediano” querecibe cada alternativa (en vez de sumar todos los puntajes). Laalternativa con el puntaje mediano mayor es la ganadora.Consideremos el siguiente ejemplo.

Tabla 19


1º

R-A (4)

R-B (4)

C-A (4)

C-B (4)

R-A (4)

C-A (4)

R-B (4)

C-B (4)

R-A (4)

R-B (4)

C-B (4)

2º

R-B (3)

R-A (3)

C-B (3)

C-A (3)

C-A (3)

R-A (3)

C-B (3)

R-B (3)

C-B (3)

C-A (3)

R-A (3)

3º

C-A (2)

C-B (2)

R-A (2)

R-B (2)

R-B (2)

C-B (2)

R-A (2)

C-A (2)

R-B (2)

R-A (2)

C-A (2)

4º

C-B (1)

C-A (1)

R-B (1)

R-A (1)

C-B (1)

R-B (1)

C-A (1)

R-A (1)

C-A (1)

C-B (1)

R-B (1)

Una vez que tenemos todos los puntajes, observamos cuántas vecescada alternativa recibe un puntaje de 4, cuántas un puntaje de3, cuántas un puntaje de 2, cuántas un puntaje de 1, yconsignamos nuestras observaciones en una secuencia, de mayor amenor puntaje. Así, tenemos las siguientes secuencias por cadaalternativa:

RA: 4, 4, 4, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 1RB: 4, 4, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 1CB: 4, 4, 4, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 1CA: 4, 4, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 1

En este caso, tenemos dos alternativas que empatan en el puntajemediano (RA y CB). Para desempatar, eliminamos todos aquellos

puntajes medianos equivalentes en ambas series, y volvemos aextraer la mediana de los puntajes remanentes en la serie:

RA: 4, 4, 4, 3, 3, 3, 2, 2, 2*, 1, 1CB: 4, 4, 4, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 1

En nuestro caso, el ganador Borda-mayoritario es RA, que recibeun puntaje mediano superior.

Para ver cómo el método atempera la expresión insincera depreferencias, consideremos este escenario complejo:

Tabla 20

13v 11v 9v 11v 8vRA RA CA CB CBCA CB CB RA CACB CA RA CA RARB RB RB RB RB

En esta situación, CB es el ganador Condorcet, mientras que elganador Borda es RA (con 163 puntos). Si dos de los oncevotantes de la cuarta columna (en negrita), expresaranpreferencias insinceras, situando a RA debajo de CA, el ganadorBorda pasaría a ser CB. Sin embargo, si aplicamos el métodoBorda-mayoritario, el ganador Borda seguiría siendo RA. Serequeriría que siete de esos once votantes situaraninsinceramente RA por debajo de CA para cambiar el ganador Bordamayoritario.

Decimos que el método sólo atempera la expresión insincera depreferencias porque en algunos escenarios basta con que sólo unode los votantes cambie insinceramente de preferencias paratransformar el resultado final. Consideremos, por ejemplo, elcaso prototipo del puente:

Tabla 21


1º

R-A (4)

R-B (4)

C-A (4)

C-B (4)

R-A (4)

C-A (4)

R-B (4)

C-B (4)

R-A (4)

R-B (4)

C-B (4)

2º

R-B (3)

R-A (3)

C-B (3)

C-A (3)

C-A (3)

R-A (3)

C-B (3)

R-B (3)

C-B (3)

C-A (3)

R-A (3)

3º

C-A (2)

C-B (2)

R-A (2)

R-B (2)

R-B (2)

C-B (2)

R-A (2)

C-A (2)

R-B (2)

R-A (2)

C-A (2)

4º

C-B (1)

C-A (1)

R-B (1)

R-A (1)

C-B (1)

R-B (1)

C-A (1)

R-A (1)

C-A (1)

C-B (1)

R-B (1)

En este escenario, RA es el ganador Condorcet, el ganador Borda(con 29 puntos) y el ganador Borda-mayoritario. Si el últimovotante situara a RA en el último lugar, en aras de favorecer laalternativa CB (que prefiere antes que RA), y el resto dehabitantes votara con sinceridad, entonces la ganadora Bordapasaría a CB, con 28 puntos, y ya no habría ningún ganadorCondorcet. El método Borda mayoritario, sin embargo, tampocovaldría para evitar esta manipulación de las preferencias,porque éste también arrojaría como ganador a CB (que pasaría atener un puntaje mediano superior a RA). Por eso, el métodoBorda-mediano resiste la expresión insincera de preferenciasindividuales sólo cuándo el votante individual insincero no espivotal respecto de la mediana.

Método Borda y variaciones de Laplace

Laplace12 observó que resulta difícil conocer o incluso definirla voluntad de una asamblea cuando las opiniones de sus miembrosson tan variadas, e imaginó un enfoque distinto. En el modelo deLaplace cada votante asigna a cada alternativa un puntaje real,entre un mínimo de 0, y un máximo arbitrario de R, querepresenta (en la opinión del votante) el mérito de laalternativa. Laplace asumió que los puntajes dados a lasalternativas por los votantes estarían distribuidosuniformemente en un intervalo [0;R], y se preguntó cuál sería lavalor promedio esperado de la alternativa con el peor puntaje,de la alternativa que sigue al peor puntaje, y así. Laplaceobservó una diferencia entre meramente preferir un candidato yvotar por una alternativa en torno a la cual todos buscan larespuesta correcta, ya que, en este segundo caso, la suma deprobabilidades asignadas a las diferentes alternativas debesumar 1. Asumiendo que todos expresan preferencias sinceras, yque la distribución de los puntajes sería uniforme entrevotantes, calculó la probabilidad de que una alternativacualquiera salga escogida en último lugar, de que salga escogidaen anteúltimo lugar, y así hasta la alternativa escogida enprimer lugar. La suma de probabilidades, en cada orden depreferencias, como dijimos, debe sumar 1. Con un conjunto dealternativas n, la manera de calcular la probabilidad de escogerla peor alternativa es equivalente a 1/n (1/n); la probabilidadde que salga la siguiente peor alternativa es 1/n (1/n + 1/n-1);y la probabilidad de que salga la alternativa superior es 1/n(1/n + 1/n-1 + 1/n-2 + … + 1/1). Por ejemplo, si n=3, la

12 Pierre Simon, Marqués de Laplace, fue un matemático y astrónomo francés, coetáneo aBorda y Condorcet. Fue el fundador de la teoría de la probabilidad (véase Laplace, 1820,v, clii-cliiii).

probabilidad de escoger la última alternativa es 1/3 (1/3) =2/18; la probabilidad de escoger anteúltima es 1/3 (1/3 + 1/2)=5/18, y la de escoger la mejor alternativa es 1/3 (1/3 +1/2+1) =11/18. El esquema es equivalente a decir que la últimaalternativa tiene una probabilidad estimada de ser escogida de0,111, la segunda de 0,277, y la primera de 0,611.

Mientras el método Borda pide que se asigne un puntaje de n (on-1) a la mejor alternativa, y n-1 (o n-2) a la segunda, y asísucesivamente hasta completar n, el método sugerido por Laplaceconsiste en asignar puntajes sensiblemente diferentes, que seextraen de las mencionadas fórmulas. Si, por ejemplo, n=5, laprobabilidad estimada de la última alternativa es 0.04, de laanteúltima es 0,09, de la tercera es 0,1566, de la segunda0,2566, y de la primera es 0,4566. Obsérvese que el métodoLaplace puede arrojar un ganador distinto al que arroja Borda.Supongamos que tenemos el siguiente escenario con cincovotantes:

Tabla 22

1 2 3 4 51º

A B C D B

2º

D A A B A

3º

B C D A C

4º

C D B C D

En este escenario, el ganador Borda es A, y el ganador Laplacees B.

Método de Condorcet

Uno de los métodos clásicos para escoger un ganador de entremúltiples alternativas es el método Condorcet13, un método queademás puede servir para identificar perdedores Condorcet, esto es,situaciones en las que una alternativa puede resultaruniversalmente rechazada por una mayoría en el caso de que seles pidiera a los votantes que voten por pares de alternativas.El método Condorcet consiste en confrontar cada alternativa conlas demás, una por una, y ver los votos que recibe cadaalternativa vis-a-vis los votos que recibe cada una de las demás(esto es lo que en la jerga se llama comparación de votos por pares dealternativas). Detengámonos en su mecánica de cómputo.

Siguiendo con el ejemplo de once habitantes, el procedimiento esel siguiente: tomamos la alternativa RA y la confrontamos con laalternativa RB, luego con la CA, y finalmente con la CB, en cadauno de los órdenes individuales de los habitantes, y vemos cuálde las alternativas recibe más votos en cada confrontación porpares. Acto seguido hacemos lo mismo con RB, a la queconfrontamos con CA y con CB. Finalmente seguimos con CA, a laque confrontamos con CB14.

13 En honor a su creador, el Marqués de Condorcet, que lo concibió en 1785, en el 'Ensayosobre la aplicación del análisis a la probabilidad de las decisiones sometidas a la pluralidad de voces. El nombrede Condorcet es tan importante en la ciencia política, que una breve referenciahistórica no está de más. Además de francés, fue filósofo, científico, matemático,político, historiador, y politólogo, descollando en todas las disciplinas. En 1789, alestallar en Francia la Revolución, Condorcet tuvo un papel protagonista como defensor denumerosas causas liberales. Tras la Toma de la Bastilla fue elegido para el ConsejoMunicipal de París. En 1791, fue elegido representante de París en la Asamblealegislativa, tras haber solicitado la implantación de la República. Se alineó con losGirondinos, que proponían una reforma pacífica e incremental del Estado feudal hacia unrégimen republicano federal y una sociedad más liberal. La Asamblea adoptó, como sistemaeducativo de la nación, el que proponía Condorcet, introduciendo el laicismo en laenseñanza. Incluso propuso un borrador de constitución para la nueva Francia, en la quese establecían asambleas locales para la selección –a través del voto secreto y previadeliberación- de representantes a la Asamblea Nacional. En este proyecto de Constitución esnotable que bastaba con ser residente por un año para poder ejercer el derecho de elegirrepresentantes. Además, adoptó una posición activa en la lucha de las mujeres,mostrándose partidario al voto de las mujeres en un artículo de 1790 (Sobre la admisión delas mujeres en el derecho de ciudadanía). En definitiva, alguien que tuvo siempre, o casisiempre, la razón de su parte (véase Williams, D. 2004; para el concepto derepresentación política defendido por Condorcet, véase Urbinati, 2004, 2006: 176-223). 14 Ramón Llull (teólogo, poeta, místico y misionero mallorquín) diseñó en 1299 un métodoequivalente al de Condorcet, basado en comparaciones por pares, pero su propuestautilizaba un procedimiento de votaciones escalonada en el tiempo, en lugar de marcar lapreferencia de los candidatos en una papeleta (Hägele G. y F. Pukelsheim; 2001).

Empecemos con RA. La confrontamos con RB en cada uno de loshabitantes. Esto equivale en el cuadro a ignorar –poner a unlado- todas las demás alternativas de los órdenes individuales(en el cuadro, las alternativas ignoradas figuran ocultas con unguión).

Tabla 23

Habitantes1ro

2do

3ro

4to

5to

6to

7mo 8vo

9no

10mo

11vo

R-A

R-B

C-A

C-B

R-A

C-A

R-B C-B

R-A

R-B C-B

R-B

R-A

C-B

C-A

C-A

R-A

C-B R-B

C-B

C-A R-A

C-A

C-B

R-A

R-B

R-B

C-B

R-A C-A

R-B

R-A C-A

C-B

C-A

R-B

R-A

C-B

R-B

C-A R-A

C-A

C-B R-B

Una vez que nos centramos en las dos alternativas de interés,procedemos a comparar los votos que recibe RA vis-a-vislos querecibe RB. Tratándose del habitante 1, vemos que éste prefiereRA a RB; en ese caso decimos que RA recibe un voto. El segundohabitante, en cambio, prefiere RB a RA, con lo cual esta vez esRB la que recibe un voto. Hacemos lo mismo con los siguienteshabitantes, todo lo cual nos da los siguientes resultados: RArecibe 6 votos, RB recibe 5 votos. Esto significa que RA vence a RB pormayoría de votos en comparaciones por pares. Acto seguido, yutilizando el mismo método, pasamos a contrastar RA con CA, yluego RA con CB. Después, contratamos RB con CA, y seguidamenteRB con CB. Y para terminar, contrastamos CB con CA. La tabla decomparaciones por pares sería la siguiente:

Tabla 24. Tabla de comparaciones por pares

CA

CB

RA

RB

CAversus

5 5 5

CBversus

6 5 6

RAversus

6 6 6

RBversus

6 5 5

En el ejemplo, vemos que RA vence a RB, a CA y a CB, y que CApierde con todas las demás alternativas. En este caso, decimosque RA es el ganador Condorcet y CA el perdedor Condorcet.

El problema de las mayorías cíclicas

Uno de los problemas más acuciantes del método Condorcet es que,en determinados supuestos, no arroja ningún ganador Condorcet,dando lugar a situaciones de indecisividad. Consideremos elsiguiente ejemplo, que incluye alternativas complejas conórdenes de preferencias no separables.

Tabla 25

1 2 31º

RA

CB

RB

2º

RB

CA

CA

3º

CB

RA

RA

4º

CA

RB

CB

En este supuesto, RA vence a RB y a CB, pero pierde con CA. Porsu parte, RB vence a CB y a CA, pero pierde con RA.Seguidamente, tenemos el caso de CB, que vence a CA, pero pierdecon RA y RB. Y finalmente tenemos el caso de CA, que vence a RA,pero pierde con RB y CB. Esto podemos graficarlo del siguientemodo, donde las flechas indican que la alternativa (de la queparte la flecha) es la ganadora:

Este es el famoso problema de las mayorías cíclicas: una mayoríaprefiere RA a RB, una mayoría prefiere RB a CB, una mayoríaprefiere CB a CA, pero también una mayoría prefiere CA a RA.Ello significa que las mayorías colectivas abrazan preferenciasno transitivas. Si entendemos la transitividad como una condición dela racionalidad de las preferencias (si prefiero A a B, y B a C,entonces racionalmente debería preferir A a C), la conclusión

RA

CA

RB

CB

inmediata es que las mayorías son irracionales, o al menos violanuna condición de racionalidad más o menos establecida.

Muchos autores ven, junto a esto, un problema más angustioso: elde no poder encontrar, a falta de parámetros externosindisputables, una función social, dependiente de las preferencias, dela que podamos inferir la voluntad colectiva de la mayoría, o elbien común (Arrow, 1951; Riker, 1982; Tullock, 2000). En efecto,en escenarios de mayorías cíclicas, cualquiera de lasalternativas podría salir vencedora, si se votara por pares enmomentos distintos, dependiendo de cuál sea el orden dealternativas binarias que se sometan a votación.

Métodos aplicables en caso de mayorías cíclicas

Hemos visto que, tratándose de múltiples alternativas, elmétodo Condorcet puede arrojar, teóricamente, situaciones demayorías cíclicas, en las que no existe ningún ganador que venzaa todas las demás alternativas en comparaciones por pares. Puesbien, tenemos que preguntarnos cómo resolver esos escenarioscíclicos, porque el caso es que tenemos que tomar una decisión. Aquíexpondré brevemente algunos métodos que se han ofrecido pararesolver la indecisividad del método Condorcet en supuestos demayorías cíclicas.

Uno de los métodos más simples para solucionar la indecisividaddel método Condorcet fue propuesto por Black (1958: 46-66):utilizar siempre el método Condorcet, y en caso de mayoríascíclicas, emplear el método Borda de manera subsidiaria.

Una segunda solución fue propuesta por Dodgson15 (1876): sumarlos márgenes de derrota de todos los candidatos o alternativas, yaquel candidato con el margen de derrota absoluta menor, resultaríaganador. Consideremos el ejemplo de la tabla 26 (los númerosindican los votos de respaldo de cada alternativa frente a cadauna de las demás, y los números en negrita indican que laalternativa es vencedora frente a su oponente):

Tabla 26

A B C D EA

versus…

458

461

485

511

15 Charles Lutwidge Dodgson, alias “Lewis Carroll” (1832-1898), fotógrafo, escritor ymatemático inglés, autor de “Alicia en el País de las Maravillas” y “Alicia a través delEspejo”.

Bversus

…

463

461

312

623

Cversus

…

460

460

460

460

Dversus

…

436

609

461

311

Eversus

…

410

298

461

610

El método Dodgson pide que tomemos sólo las derrotas de cadaalternativa en comparaciones por pares, y sumemos los márgenesde derrota (resultantes de restarle, a los votos de laalternativa ganadora, los votos de la alternativa perdedora queestamos considerando). Aquella alternativa que tuviera un margentotal de derrota menor, sería la ganadora. En nuestro ejemplo, Cresultaría ganadora ya que, en cada comparación por pares,pierde por sólo un voto frente a sus oponentes, dando un margende derrota total de 4. Las demás alternativas, en cambio,exhiben un margen de derrota total mayor. Lo paradójico delejemplo es que C es el perdedor Condorcet, y tampoco es elganador Borda!

Raynaud propone un método más complejo: en vez de dar comoganadora a la alternativa que tuviera un margen total de derrotamenor, buscar la alternativa que tenga el margen de derrotamayor en una comparación por par, eliminarla de los órdenes depreferencia individuales, y volver a computar el métodoCondorcet. Si en esta segunda fase no existe ningún ganadorCondorcet, se vuelve a aplicar el método Raynaud, y así hastaconseguir un único ganador.

Simpson-Kramer propone un procedimiento inverso: tomar, paracada alternativa, los votos que recibe “en contra” en cadacomparación por par, y escoger la cifra mayor, es decir, elmargen de derrota mayor de la alternativa en una comparación por

par. Se procede del mismo modo para cada alternativa, y se formauna lista de “cifras mayores” de votos “en contra” por cadaalternativa. Aquella alternativa que, de entre la lista, obtengala cifra menor de los máximos votos en contra, es el ganadorSimpson-Kramer, o ganador MiniMax (Levin y Nalebuff, 1995: 15).El ganador Condorcet siempre será el ganador MiniMax, pero elmétodo no garantiza que nunca salga ganador un perdedorCondorcet.

Método Nanson y variantes

El matemático australiano Edward John Nanson16 propuso, hacia1882, un método alternativo e independiente de toma dedecisiones que también permite sortear la indecisividad del métodoCondorcet (McLean, 2002)17: los participantes ordenan lasalternativas preferidas de mayor a menor, y votan enconsecuencia. Seguidamente, se lleva a cabo un primer cómputo deconformidad con el método Borda. Una vez que tenemos la suma devalores para cada alternativa, extraemos el valor promedio.Aquellas alternativas que reciben una calificación inferior alvalor promedio, son eliminadas del esquema. Acto seguido, sevuelve a implementar el método Borda con las alternativasremanentes. Nuevamente, se extrae el valor promedio y seeliminan aquellas alternativas inferiores al mismo. Y así hastaquedarse con una sola alternativa, que sería la Ganadora Nanson.Lo interesante de este método es que, al igual que el métodoDodgson, si existe un ganador Condorcet, el método Nansongarantiza la elección del mismo, y a diferencia del métodoDodgson, garantiza que nunca salga victorioso un perdedorCondorcet. Dado que un perdedor Condorcet es derrotado portodos sus oponentes por mayoría simple en comparaciones porpares, siempre estará por debajo del puntaje promedio. Aleliminar de manera iterada las alternativas cuyos puntajes estánpor debajo de ese umbral, el perdedor Condorcet desaparecerátras las sucesivas etapas (y si hay un ganador Condorcet, éstesaldrá ganador). Una variante del método anterior, debida a Baldwin (1926), seinspira en el criterio de descarte de alternativas citado, peroelimina en cada etapa solamente al candidato peor puntuado. Una16 Según parece, Nanson fue un profesor que no se preocupó por difundir sus hallazgos.Tal vez por esa razón no despertó la admiración de sus colegas. Así, en un informe de1904 sobre el desempeño de su departamento académico solicitado por una comisióngubernamental, no figuran los artículos de Nanson por los que hoy se lo recuerda(McLean, 2002). 17 Según Ian McLean, la única que vez que se usó este método para la elección derepresentantes políticos fue para las elecciones municipales de la ciudad de Marquette,Michigan, en la década de 1920 (McLean, 2002).

segunda variante del método Nanson es el propuesto por Rouse,que emplea el procedimiento inverso al método Baldwin: consisteen empezar descartando la alternativa con el mejor puntaje Borda,y proceder del mismo modo hasta quedarnos con una solaalternativa, que sería la peor alternativa según el método Rouse,que habría que pasar a descartar de los órdenes individuales depreferencias, para volver a aplicar el mismo método hastaconseguir una alternativa ganadora (Legrand, 2013). A diferenciadel método Borda, Bucklin, Coombs y Hare, tanto el método deNanson, el de Baldwin y el de Rouse resultan Condorcet eficientes,esto es, siempre que existe un solo ganador Condorcet éstetermina siendo escogido. Y a diferencia del método Dodgson y delmétodo de mayoría relativa y Bucklin, los tres aseguran que losperdedores Condorcet nunca sean escogidos, incluso si no hayningún ganador Condorcet. Más aún, los tres aseguran que nuncasalga ganadora una alternativa que esté situada fuera delConjunto Smith.

Método Copeland

Luego tenemos el método Copeland (1951), que es conceptualmenteequivalente –en la manera de computar el ganador- al métodoexhaustivo de votaciones secuenciales ideado por Ramon Llull, ysólo difieren en que el método Copeland es un método posicional.Nos detendremos con algún detalle en este método al finalizar elcapítulo, puesto que, según argumentaré, es el único que cumplecon la propiedad de maximizar la probabilidad de que una mayoríaescoja la mejor alternativa, o la propiedad de garantizar que lao las alternativas ganadoras siempre formen parte del conjuntode “alternativas no cubiertas”. Por ahora, bastará con decir queel método Copeland consiste en sumar las victorias de cadaalternativa en comparaciones por pares y a dicha suma restarlelas derrotas, siendo ganadora aquella alternativa que cuente conun margen de victorias-derrotas mayor. En caso de empate entredos alternativas, puede escogerse aquella cuyas victoriascuenten con un mayor margen total de votos de respaldo entrevictorias y derrotas (Levin y Nalebuff, 1995: 14), o eliminarlas demás alternativas perdedoras y volver a emplear el métodoCopeland.

Método Kemeny

Un método con una mecánica algo distinta a los anteriores, peroque también permite escoger un ganador en escenarios de mayorías

cíclicas, es el ideado por John G. Kemeny18 (Kemeny, 1959). Elmétodo puede explicarse en varias fases. En la primera fase, seevalúan los votos que recibe cada alternativa en comparaciones porpares. Por ejemplo, y al igual que hacíamos con el métodoCondorcet, empezamos con la comparación R-A versus R-B. Paraello, ponemos a un lado o ignoramos momentáneamente las demásalternativas, como en el siguiente gráfico:

Tabla 27

Habitantes1ro

2do

3ro

4to

5to

6to

7mo 8vo

9no

10mo

11vo

R-A

R-B

C-A

C-B

R-A

C-A

R-B C-B

R-A

R-B C-B

R-B

R-A

C-B

C-A

C-A

R-A

C-B R-B

C-B

C-A R-A

C-A

C-B

R-A

R-B

R-B

C-B

R-A C-A

R-B

R-A C-A

C-B

C-A

R-B

R-A

C-B

R-B

C-A R-A

C-A

C-B R-B

Una vez que nos centramos en sólo las dos alternativas deinterés, procedemos a comparar los votos que recibe RA vis-a-vislos que recibe RB; luego pasamos a contrastar RA con CA, luegocontrastamos RA con CB, luego RB con CA, luego RB con CB, yfinalmente CA con CB. En cada una de las comparaciones,registramos los votos que recibe cada alternativa enfrentada asu oponente, y desplegamos la tabla de comparaciones por pares.

Seguidamente (y en esto consiste la peculiaridad del métodoKemeny), consideramos todos los órdenes transitivos de preferenciascolectivas posibles. Dado que son cuatro alternativas, tenemos24 órdenes colectivos o permutaciones posibles de alternativas(N! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24):

Tabla 28

18 John George Kemeny (1926-1992), húngaro de nacimiento, educado en Princeton,matemático y científico de la informática , fue presidente del Dartmouth College (1970-1981), donde se destacó por promover el reclutamiento de estudiantes de minorías y laeducación para indios americanos. Junto con Thomas E. Kurtz fueron los creadores dellenguaje de programación para compaturadoras BASIC (Dartmouth BASIC). También juntoscrearon uno de los primeros sistemas de tiempo compartido del mundo, el Sistema de Tiempo-Compartido de Dartmouth (Dartmouth Time-Sharing System, DTSS).

Una vez que tenemos las 24posibles permutacionesposibles, pasamos aanalizar el apoyo en votosque tiene cada una de lasmismas. Para analizar elapoyo en votos de cadaposibilidad lógica opermutación, se toman los votos que recibe cada alternativafrente a la siguiente en orden de preferencia, en comparacionespor pares, y luego se suma el total de votos. Para dar unejemplo concreto: tratándose de la primera permutación (RA > RB> CA > CB), analizamos primero los votos que, en comparaciones porpares, recibe RA frente a RB. Como vimos anteriormente, RA recibe6 votos. Luego, pasamos analizar el desempeño de RA versus CA, yseguidamente el desempeño de RA versus CB. Luego pasamos aanalizar RB frente a CA, y más tarde RB frente a CB. Finalmente,sumamos todos los votos registrados en esas comparaciones porpares, lo cual arroja como resultado 34 votos (6 + 6 + 6 + 6 + 5+ 5 =34). El resultado es que la primera permutación cuenta conun apoyo de 34 votos.

Pues bien, hacemos el mismo cómputo con las 24 permutacionesposibles, e indagamos cuál de todas ha obtenido el mayorpuntaje. Aquella permutación que ha obtenido el mayor puntaje es el ordencolectivo transitivo ganador, y la alternativa que figura en primer lugar dentro de esapermutación es el ganador Kemeny. En nuestro ejemplo, la secuencia RA>CB > RB > CA puede ser concebida como el orden de alternativaspreferido por los habitantes y la alternativa RA como la ganadoraKemeny.

Tabla 29

Permutación posible

Votos


Votos

1. RA > RB > CA > CB

34 13. CA > CB > RA > RB

32

1. RA > RB > CA> CB2. RA > RB > CB> CA3. RA > CA > RB> CB4. RA > CA > CB> RB5. RA > CB > RB> CA6. RA > CB > CA> RB7. RB > RA > CA> CB8. RB > RA > CB> CA9. RB > CA > RA> CB10. RB > CA > CB> RA11. RB > CB > RA> CA12. RB > CB > CA> RA

13. CA > CB > RA> RB14. CA > CB > RB> RA15. CA > RA > CB> RB16. CA > RA > RB> CB17. CA > RB > CB> RA18. CA > RB > RA> CB19. CB > CA > RA> RB20. CB > CA > RB> RA21. CB > RA > CA> RB22. CB > RA > RB> CA23. CB > RB > CA> RA24. CB > RB > RA> CA

2. RA > RB > CB > CA

35 14. CA > CB > RB > RA

31

3. RA > CA > RB > CB

33 15. CA > RA > CB > RB

33

4. RA > CA > CB > RB

34 16. CA > RA > RB > CB

32

5. RA > CB > RB > CA

36 17. CA > RB > CB > RA

30

6. RA > CB > CA > RB

35 18. CA > RB > RA > CB

31

7. RB > RA > CA > CB

33 19. CB > CA > RA > RB

33

8. RB > RA > CB > CA

34 20. CB > CA > RB > RA

32

9. RB > CA > RA > CB

33 21. CB > RA > CA > RB

34

10. RB > CA > CB > RA

31 22. CB > RA > RB > CA

35

11. RB > CB > RA > CA

33 23. CB > RB > CA > RA

33

12. RB > CB > CA > RA

32 24. CB > RB > RA > CA

34

Young-Levenlick (1978) demostraron que el método Kemeny siempreescoge al ganador Condorcet, en caso de existir, y garantiza quenunca salga ganador un perdedor Condorcet. Otra propiedadvaliosa del método es que cumple con el criterio deindependencia “local” de las alternativas irrelevantes (Young,1986, 1988, 1995), según el cual si eliminamos una alternativade los órdenes individuales de preferencias, se mantieneinalterada, en el orden colectivo, la relación entre lasalternativas restantes adyacentes a la alternativa eliminada.Sin embargo, el método Kemeny es vulnerable, como todos losmétodos, a los “cambios de preferencias irrelevantes”19. Porejemplo, consideremos el siguiente ejemplo:

Tabla 30

3v

2v

2v

1º

A B C

19 Este criterio general se denomina “independencia de las alternativas irrelevantes”, yfue formulado por Kenneth Arrow como una de las condiciones generales mínimas que unmétodo debería cumplir para arrojar resultados racionalmente consistentes. El criteriose formula del siguiente modo: cuando el resultado colectivo sitúa a una alternativa Aen un nivel superior (o inferior) a B, esta relación depende sólo de las posicionesrelativas de A con B en los órdenes individuales de preferencias. Si, como en elejemplo, se invierten dos alternativas (A y B), en uno de los órdenes individual depreferencias, sin que ello afecte la relación de estas dos alternativas con C, entoncesla relación de C con A, y de C con B en el resultado colectivo debería seguir siendo lamisma. Como consecuencia, la relación entre dos alternativas (A y B), en el resultadocolectivo, no debería cambiar cuando otra alternativa (C ) se añade o se quita de laelección social. Ningún método satisface esta condición (véase Balinski y Laraki, 2010:57).

Secuencia Kemeny

2º

B C A

3º

C A B

En este ejemplo, la secuencia Kemeny es A>B>C con un puntaje de13, y el ganador Kemeny es A. Si los dos votantes que suscribenel orden B>C>A cambiaran sus ordenes individuales de preferencias sólo en lo querespecta a B y a C, para pasar a defender C>B>A, y aplicáramos elmétodo Kemeny, la secuencia Kemeny entonces pasaría a ser C>A>Bcon 13 puntos (la secuencia A>B>C pasaría a tener 11 puntos). Elganador Kemeny, por lo tanto, cambiaría con sólo cambiar órdenesindividuales de preferencias irrelevantes en relación con A.

Método Tideman

El método Tideman, o de pares ordenados (ranked pairs), es unmétodo desarrollado en 1987 por Nicolaus Tideman, que puede serusado para escoger un solo ganador o varios ganadores. Se ideócomo método subsidiario al de Condorcet, aunque teóricamentepuede ser aplicado de manera directa, para generar órdenescolectivos de preferencias con múltiples ganadores. Elprocedimiento es el siguiente: 1) se despliega la tabla decomparaciones por pares, 2) se ordenan todas las comparacionespor pares de mayor a menor según el margen de victoria. Lacomparación por par que tenga un mayor margen de victoria, seubica en primer lugar, y en orden descendiente el resto, 3) Se“bloquean” (lock in) las comparaciones por pares de maneraescalonada, empezando por la comparación por par superior(aquella con un margen de victoria mayor), y así hasta dar conalguna de las comparaciones por pares restantes generadora de unciclo. En ese caso, la comparación se tiene como no existente, yse sustituye a la misma por una relación coherente con latransitividad del orden colectivo.

Imaginemos que tenemos el siguiente orden de preferencias con sucorrespondiente tabla de comparaciones por pares:

Tabla 31

42v

26v

15v

17v

A B C D

B C D C

C D A B

D A B A

Tabla 32

A B C DA versus

57 42 42

B versus

43

68 68

C versus

58

32

83

D versus

58 32 17

Lo primero que tenemos que hacer es poner en una lista todas lascomparaciones por pares, y ver cuál es la ganadora.

A vs. B: Ganadora A con 57 votosA vs. C: Ganadora C con 58 votosA vs. D: Ganadora D con 58 votos B vs. C: Ganadora B con 68 votosB vs. D: Ganadora B con 68 votosC vs. D: Ganadora C con 83 votos.

La comparación por par con la mayoría más amplia se ubica enprimer lugar de la lista. En nuestro ejemplo, es C vs. D (quegana con 83 votos). Luego, ubicamos el resto de comparacionespor pares en orden descendente, según la cantidad de votos delos ganadores. En nuestro ejemplo tenemos un empate entre (B vs.C), y (B vs. D). Dado que C vence a D en comparaciones porpares, entonces colocamos primero la comparación por par B vs.C. De este modo, tenemos la siguiente lista de comparaciones porpares, en orden descendente:

C vs. D: Ganadora C con 83 votos.

B vs. C: Ganadora B con 68 votosB vs. D: Ganadora B con 68 votosA vs. C: Ganadora C con 58 votosA vs. D: Ganadora D con 58 votos A vs. B: Ganadora A con 57 votos.

Luego procedemos a “bloquear” los pares, esquivando aquellos queproducen un ciclo. Este es el gráfico de las victorias en comparaciones por pares, donde pueden verse dos ciclos (1º: A > B, B>D, y D>A; y 2º: A>B, B>C y C>A).

Empezamos por la comparación C vs. D (la primera de nuestralista), y la bloqueamos.

Seguimos con la segunda y tercera comparación de nuestra lista,y las bloqueamos:

Luego procedemos a bloquear el resto de comparaciones por pares,esquivando aquellas que podrían producir un ciclo. En nuestroejemplo, la única comparación por par que podría producir unciclo es la última de la lista, con lo cual la eliminamos delgráfico. Esto conceptualmente equivale a decir que, dado que Bgana a C, y C gana a A, entonces B debería ganar a A, y por esoponemos una flecha sustituta, que convierte a B en ganadorafrente a A:

A

C

B

D

57

5858

68

83

68

A

C

B

D

A

C

B

D

A B

Con lo cual el ganador Tideman resulta ser B, y la secuenciaTideman B>C>D>A. El método Tideman tiene propiedades semejantesa las del método Kemeny. Es Condorcet-eficiente (siempre que seaplique de manera subsidiaria al método Condorcet), garantizaque nunca salga ganador un perdedor Condorcet y cumple, al igualque Kemeny, con el criterio de independencia local frente a lasalternativas irrelevantes.

Método Schulze

Markus Schulze, del Instituto Tecnológico de Berlín, desarrollóen 1997 un método novedoso, que hoy lleva su nombre, para elegirun ganador de entre múltiples alternativas, aunque también puedeutilizarse para escoger varios ganadores (véase Schulze, 2011).A diferencia del método Borda clásico, o del método Kemeny, losparticipantes pueden expresar un orden de preferenciasincompleto. Esto es, si existen 5 alternativas, no es necesarioque los participantes ordenen todas las alternativas de mayor amenor, pudiendo consignar órdenes parciales. Asimismo, losvotantes pueden ubicar en un mismo nivel distintas alternativas,si consideran que entre ellas no hay diferencias relevantes. Porejemplo, si hay cuatro alternativas, RA, RB, CA y CB, el votantepuede simplemente consignar que prefiere RA a CA y CB, ubicandoen su lista de preferencia primero RA y luego, por debajo, CA yCB en un mismo nivel. A las alternativas que se omiten (en elejemplo, RB) se las interpreta como que están ubicadas en unnivel de menor preferencia (y si son varias las omitidas, todasen el mismo nivel inferior). Como ejemplo, el votante puedeconsignar el siguiente orden de preferencias en la papeleta:

Tabla 33

Votante

1º

R-A

2º

C-A,C-B

3º

(vacía)

Para explicar este método, tomaremos como base un ejemplocomplejo, con 45 votantes y cinco alternativas simples. Cada

C D

participante puede consignar órdenes incompletos y expresarpreferencias de indiferencia respecto de dos o más alternativas.Tenemos así el siguiente gráfico:

Tabla 34

Votantes5v

5 v

8 v 3v

7 v 2 v

7v

8v

1º

A A D,E,C

B A A,B

D E

2º

C D A C B,C,D

D,E

C B

3º

B E B A E C B A

4º

E B,C

D A D

5º

D E E C

El método Schulze consta de dos fases. En la primera fase,procedemos –como hicimos con el método Condorcet y Kemeny- a lascomparaciones por pares de todas las alternativas, y registramoslos votos que recibe cada una de ellas en comparaciones porpares. Desplegamos así la matriz de las comparaciones por pares(la letra negrita indica victoria):

Tabla 35

A B C D EA

versus…

26 27 30 29

Bversus

…

19

19 21½

24

Cversus

…

18

26 15½

26

Dversus

…

15

23½

29½

27

Eversus

…

16

21 19 18

Visualicemos ahora en un gráfico las sendas –representadas porflechas- que unen las alternativas ganadoras con las perdedorasen las comparaciones por pares, y el respaldo en voto que tiene

cada senda (las flechas que unen las alternativas perdedoras conlas ganadoras las omitimos para facilitar la interpretación delgráfico):

Ahora lo que tenemos que hacer es detectar cuál es la senda más robusta de cada alternativa para alcanzar a cada una de las demás. Empecemos por la alternativa A. Analizamos la senda más robusta de A frente a B. En este caso, la senda más robusta es la flecha que une A con B, con 26 votos (la flecha en color rojo):

Existe otra senda alternativa que parte de A y llega a B:aquella que pasa por D, por C y por B (y que figura en colorazul). Sin embargo, el eslabón de esa senda con la menorcantidad de votos es el que conecta C con B, que registra 26

A

B

C

D

26

E

27

29

24

26

26

27

A

B

C

D

26

E

27

29

24

26

26

27

votos, la misma cantidad de votos que la senda que conecta Adirecta con B. Esto significa que, habiendo una sendaalternativa, debe tomarse el eslabón con la menor cantidad devotos de la senda.

Puede parecer, a primera vista, que la senda más robusta essiempre la flecha que une directamente una alternativa con laotra (y que representa las victorias en comparaciones porpares), pero no es así. Fijémonos lo qué pasa al analizar lasenda más robusta de A frente a C. En este caso, también tenemosdos sendas alternativas que conectan A con C. En la primera, quees una senda directa, A vence a C por 27 votos en comparacionespor pares. Sin embargo, la senda más robusta es la segunda, laque recorre A D C, puesto que, en esa senda, el eslabón quecuenta con menor cantidad de votos es el que conecta D frente aC, que registra 29,5 votos de respaldo. En ese caso, dichoeslabón registra una cantidad de votos mayor a 27 votos. Luego, lasegunda senda es la senda más robusta, según el método Schulze.El método Schulze lo que hace, entonces es registrar la ciframenor de votos de los eslabones de las diferentes sendas, yaquella senda que cuente con el eslabón menor con mayor cantidadde votos, es la senda más robusta (en este caso, 29,5).

Pues bien, con arreglo a este método extraemos la senda másrobusta (tomando el vínculo más débil de esa senda) de cadaalternativa frente a cada una de las demás. Ello nos da lasiguiente matriz de comparaciones de sendas más robustas. Las cifrasen negrita indican victorias:

Tabla 36

A

B

C

D

26

E

27

29

24

26

26

27

A B C D EA

versus…

26 29,5

30 29

Bversus

…

19

21½

21½

24

Cversus

…

19

26 21½

26

Dversus

…

15

23½

29½

27

Eversus

…

19

21 21 21

Acto seguido, analizamos las victorias de cada alternativafrente a las demás, y extraemos el orden de preferenciascolectivo resultante. Así, vemos que A vence a B, a C, a D y aE; que D vence a B, a C, y a E; que C vence a B y a E, que Bvence a E, y que E no vence a ninguno. De esta manera, tenemosel orden colectivo de preferencias A > D > C > B > E, en el queA es el ganador Schulze.

Al igual que el método Kemeny, Schulze siempre escoge al ganadorCondorcet, en caso de que exista, y garantiza que nunca seaescogido un perdedor Condorcet, ni una alternativa situada fueradel Conjunto Smith.

Método Condorcet-mediano

Michel Balinski y Rida Laraki han propuesto un método basado enlas comparaciones por pares, pero con algunas variacionesinteresantes, destinadas a minimizar la probabilidad de que losvotantes expresen preferencias insinceras. El método incluyevarias fases. Primero, se obtienen los órdenes individuales depreferencias “reducidos”, esto se registran cuántos votantessuscriben el mismo orden de preferencias individuales, y seconsignan todos los votantes que defienden un determinado ordende preferencias. Segundo, se obtienen todas las permutaciones lógicasposibles de las alternativas, del mismo modo en que lo hacíamoscon el método Kemeny. Tercero, por cada permutación lógica, seanaliza cuántos votantes suscriben, en sus órdenes individuales,“toda” la permutación completa, cuántos suscriben N-1comparaciones por pares de dicha permutación, cuántos suscriben

N-2 comparaciones por pares de la permutación, y así hasta N -(N-1). Cuarto, por cada permutación lógica, los votosindividuales reciben un puntaje, que indica el número decomparaciones por pares de la permutación que satisface su voto.Así, si cuatro votos suscribieron la permutación A>B>C, entoncescada uno de esos votos recibirá, al contrastarse con lapermutación lógica A>B>C, un puntaje de 3, por satisfacer lastres comparaciones por pares posibles (A>B, A>C, B>C). Esoscuatro votos, en cambio, recibirán cada uno un puntaje de 2,cuando se lo contraste con la permutación lógica A>C>B (ya quecada uno de ellos sólo cumplirán con la comparación por par A>By A>C). Quinto, por cada permutación lógica se extiende la seriede puntajes recibidos por los votos individuales, empezando porlos puntajes superiores y terminando con los inferiores.Finalmente, en cada permutación lógica se extrae el puntajemediano. Aquella permutación lógica que obtenga el puntajemediano superior, es la ganadora Condorcet-Mediana (o laganadora Balinski-Laraki).

Expliquemos el método con un ejemplo. Consideremos el siguienteescenario, con los órdenes individuales ya reducidos (donde laprimera celda de cada columna indica el número de votantes quesuscribe cada orden):

Tabla 37

13v

11v

9v

11v

8v

RA RA CA

CB CB

CA CB CB

RA CA

CB CA RA

CA RA

RB RB RB

RB RB

Extraemos, como en el método Kemeny, todas las permutacioneslógicas posibles. Acto seguido, contrastamos las permutacioneslógicas con todos los órdenes individuales reducidos, yconsignamos, por cada permutación, cuántos votos sustentan cadauno de los puntajes (puntajes que indican el número decomparaciones por pares que satisface cada voto). En lasiguiente tabla pueden verse todas las permutaciones lógicas ylos votos que sustentan cada puntaje.

Tabla 38

Permutación 6 5 4 3 2 1 Permutación 6 5 4 3 2 1

posible posible1. RA > RB > CA > CB

0 0 13 11 9+11

8 13. CA > CB > RA > RB

9 8 13+11

11 0 0

2. RA > RB > CB > CA

0 0 11 13+11 8 9 14. CA > CB > RB > RA

0 9 8 13+11+11

0 0

3. RA > CA > RB > CB

0 13 11 9+11+8

0 0 15. CA > RA > CB > RB

0 13+9

11+8 11 0 0

4. RA > CA > CB > RB

13

11 9+11 8 0 0 16. CA > RA > RB > CB

0 0 13+9 11+8 11 0

5. RA > CB > RB > CA

0 11 13+11+8

0 9 0 17. CA > RB > CB > RA

0 0 9 8 13+11

11

6. RA > CB > CA > RB

11

13+11

8 9 0 0 18. CA > RB > RA > CB

0 0 0 13+9 11+8 11

7. RB > RA > CA > CB

0 0 0 13 11 9+11 19. CB > CA > RA > RB

8 9+11

11 13 0 0

8. RB > RA > CB > CA

0 0 0 11 13+9

11 20. CB > CA > RB > RA

0 8 9+11 11 13 0

9. RB > CA > RA > CB

0 0 0 11 13+9

8 21. CB > RA > CA > RB

11

11+8

13+9 0 0 0

10. RB > CA > CB > RA

0 0 0 9 8 13+11

22. CB > RA > RB > CA

0 11 11+8 13+9 0 0

11. RB > CB > RA > CA

0 0 0 11 11+8

13+9 23. CB > RB > CA > RA

0 0 8 9+11 11 13

12. RB > CB > CA > RA

0 0 0 11 9+11

11 24. CB > RB > RA > CA

0 0 11 11+8 13+9 0

Seguidamente, por cada permutación lógica, se extiende la seriede puntajes, empezando por los votos con puntajes superiores yterminando con los votos con puntajes inferiores. La permutaciónque obtenga el puntaje mediano superior es la ganadora, y laalternativa ubicada en primer lugar de esa permutación, laganadora Condorcet-mediana. En este caso, la ganadora es lapermutación RA>CB>CA>RB, y RA es la alternativa ganadoraCondorcet-mediana. Sin embargo, este resultado es idéntico alorden de preferencias colectivo arrojado por el método Borda! Ydistinto del resultado arrojado por el método Condorcet clásico(bajo el cual CB resulta el ganador) y al método Kemeny (quearroja el siguiente orden de preferencias colectivo:CB>RA>CA>RB).

Una variante de este método, en vez de utilizar puntajes segúncuantas comparaciones por pares son congruentes con cadapermutación posible, emplea un sistema de categorías graduales.Supongamos que tenemos cuatro alternativas (A, B, C). Unapermutación posible de esas tres alternativas es A>B>C (quetraduciremos, por convención, 321). Pues bien, a un voto con unorden individual de preferencias que registrara exactamente esapermutación (a>b>c), se le asignará la primer categoría (321). Aun orden individual que, en cambio, registrara a>c>b, se leasignará la categoría segunda (312), un voto con ordenindividual que registrara b>a>c, recibirá la tercera categoría(231), y así sucesivamente. Pues bien, cada permutación lógicarecibe la categoría 321. Luego, cada permutación pasa acontrastarse con los diferentes votos y sus respectivos órdenesindividuales. Estos votos, si registran exactamente lapermutación en cuestión, recibirán la máxima categoría. Si encambio registran diferencias, recibirán categorías menores. Para

dar un caso concreto, supongamos que tenemos diez votantes, conestos tres órdenes de preferencias: 6 votantes suscriben A>B>C,3 votantes suscriben B>C>A, y 1 votante suscribe C>A>B. Puesbien, esos votos, dados los órdenes de preferencias quesuscriben, se ubicarán en las siguientes categorías, por cadapermutación lógica.

Tabla 39


Categoría 1º(321)

Categoría 2º(312)

Categoría 3º(231)

Categoría 4º(213)

Categoría 5º(132)

Categoría 6º(123)

ABC (321) 6 0 0 3 1 0ACB (321) 0 6 1 0 3 0BAC (321) 0 3 6 0 0 1BCA (321) 3 0 0 1 6 0CAB (321) 1 0 0 6 3 0CBA (321) 0 1 3 0 0 6

Una vez que tenemos los votos asignados a cada categoría, encada permutación lógica, procedemos a extender la serie devotos, con sus respectivas categorías, de mayor a menor. Aquellapermutación lógica que obtenga la categoría mediana mayor, es laganadora (Balinski y Laraki, 2010: 106-107).

Métodos de votación no posicionales

Los métodos posicionales, según vimos, pedían a los votantes que“ordenaran” o posicionaran, en las papeletas, las alternativasde mayor a menor, según sus preferencias. Existe sin embargo unaclase de sistemas de votación en las que los votantes puedenexpresar sus preferencias de un modo distinto, sin emitir“ordenes” o rankings individuales, pero tampoco pidiéndoles (comolos métodos uni-preferenciales) que voten sólo por una únicaalternativa. Esta clase de métodos, llamados “no posicionales”,también puede emplearse para la selección de un ganador de entremúltiples alternativas simples o complejas. Una de las virtudesde los métodos no posicionales es que son cognitivamente menoscostosos para los votantes (Balinski y Laraki, 2010: 115).Resulta razonable pensar que un votante puede ordenar cuatroalternativas, de mayor a menor. Sin embargo, hay razonescientíficas para pensar que, pasado el umbral de sietealternativas, la capacidad cognitiva empieza a fallar, lo queobedece a una saturación de la información (Miller, 1957).

Approval voting

El voto aprobatorio o approval-voting20 es un sistema de votaciónmediante el cual el votante puede votar por todas lasalternativas que desee. Se suele utilizar en los casos deelecciones con un único ganador, si bien también puedeextenderse a elecciones con múltiples ganadores. Cada votantepuede votar tantas opciones como quiera, y a cada una puede dar sólo unvoto. Esto puede interpretarse como equivalente a decir que cadavotante puede "aprobar" o "desaprobar" cada opción votando o nopor ella, de allí el nombre del sistema. La opción con más votosresulta la ganadora. La ventaja de este método es que permite a losvotantes que expresen tolerancias en lugar de preferenciasúnicas21.

El voto aprobatorio puede resultar un método adecuado cuando lasmúltiples alternativas que se barajan están divididas en torno avarias cuestiones evaluables a la luz de dimensiones transversales(cross-cuting dimensions) entre los grupos. Si las dimensiones sontransversales, los grupos enfrentan menores incentivos para laadopción de un voto estratégico. Si, por ejemplo, los gruposdiscrepan en torno a tres cuestiones, como quién debe ser elarquitecto, qué tipo de puente construir, y dónde ubicarlo, ycada uno de los grupos considera prioritaria una de lascuestiones, mostrando indiferencia respecto de las demás,entonces las demás cuestiones pueden cruzarse con la cuestiónprioritaria irrenunciable de cada grupo. De este modo, cadagrupo puede emitir un voto aprobatorio respecto de lascombinaciones que recibe su opción preferida con arreglo a lascuestiones no prioritarias. Por ejemplo, el primer grupo puedeconsiderar prioritaria la cuestión “tipo de puente” (y preferir,con carácter irrenunciable, el puente romano a un puente decemento); el segundo grupo puede considerar prioritaria la

20 El voto aprobatorio fue empleado durante el período 1294-1621 para la elección de 41Papas de la Iglesia Católica (Colomer y McLean, 1998). El sistema incluía, además delvoto aprobatorio, el carácter secreto del voto y la regla de los 2/3 para la eleccióndel Papa. También un sistema de voto aprobatorio fue propuesto, durante la convenciónde Filadelfia, para la elección del Presidente de los Estados Unidos, a través de uncolegio electoral. La propuesta fue finalmente desechada para dar paso a un sistema dedoble voto (voto para Presidente y Vice-Presidente). En el ámbito académico, el métodofue descrito por primera vez en 1977 por John Kellett y Kenneth Mott (“PresidentialPrimaries: Measuring Popular Choice,” in Polity, Summer 1977), y un año más tarde porSteven J. Brams and Peter C. Fishburn (“Approval Voting,” American Political Science Review,September 1978). 21 Algunos estudiosos de las Ciencias Políticas consideran que esto es una ventaja,especialmente para las elecciones a representantes en las que optar mayoritariamente porlos candidatos aceptables es más importante que hacerlo por candidatos que generandinámicas de polarización entre los electores. El voto aprobatorio se suele proponercomo mecanismo apropiado cuando está en juego un solo escaño, como la elección depresidente, o diputados en distritos uninominales. En todo caso, debe tenerse en cuentaque estas ventajas deben sopesarse con la propensión del voto aprobatorio a incentivar laproliferación de candidaturas.

cuestión Arquitecto (y preferir con carácter irrenunciable elarquitecto A al arquitecto B); y finalmente el tercer grupoconsiderar prioritaria la cuestión “lugar de construcción” (ypreferir con carácter irrenunciable el lugar X al lugar Y). Enese caso, los votantes del primer grupo podrán emitir un votoaprobatorio por todas las cuestiones alternativas noprioritarias, siempre que incluyan el puente romano; losvotantes del segundo grupo podrán actuar del mismo modo siempreque las cuestiones alternativas no prioritarias incluyan elarquitecto A, y el tercer partido obrará igual siempre que lascuestiones alternativas incluyan el lugar X. Si todos emiten unvoto aprobatorio en relación con las demás cuestiones, entoncessaldrá ganador el mínimo común denominador.

Ahora bien, esta presunta virtud del voto aprobatorio funcionasólo cuando las cuestiones pueden cruzarse en dimensionestransversales. Si en cambio las múltiples alternativas seestructuran en torno a dimensiones no transversales, en virtud delas cuales cada grupo considera que la particular combinación dedimensiones de su alternativa es la mejor con exclusión de lasdemás, las partes tienen incentivos para votar únicamente por la alternativa queprefieren. Si por ejemplo, una parte considera irrenunciable lacombinación R-B-Y, otra parte la combinación C-B-X, y la terceraparte la combinación C-A-Y, entonces no habrá incentivos paraemitir un voto aprobatorio respecto de combinacionesalternativas. Si cada votante utiliza esta táctica, la elecciónse convierte en una elección “Gana el que más votos relativos tenga". Ysi todos los votantes adoptan esta estrategia, sigue siendoposible que termine saliendo ganador un Perdedor Condorcet, estoes, una alternativa que es considerada la peor por una mayoríaabsoluta de votantes, precisamente una de las situaciones que elvoto aprobatorio pretendía conjurar22. 22 Es interesante ver en cualquier caso que un sistema de mayoría relativa puro agravaríala probabilidad de que saliera ganando un Perdedor Condorcet, al no permitir siquiera laposibilidad de emitir un voto aprobatorio por segundas o terceras preferencias.

R-A-X

R-B-Y

A-C-Y

X-C-B

A-C-X

R-B-X

R

A

C

Si la transversalidad de las cuestiones es parcial, los gruposcon cuestiones cruzadas pueden alinearse entre ellos sinnecesidad de renunciar a alguna de sus alternativas. Así, porejemplo, un grupo puede considerar irrenunciable R-A,mostrándose indiferente respecto del lugar de construcción. Otrogrupo puede considerar irrenunciable R-Y, mostrando indiferenciacon respecto al arquitecto. Y un tercer grupo puede considerarirrenunciable el puente de cemento. En ese caso, los dosprimeros grupos pueden emitir un voto aprobatorio respecto delas dimensiones cruzadas que son consideradas aceptables, yexcluir todas aquellas alternativas que contengan C (Figura 5).Si todos los grupos que apoyan las alternativas con dimensionescruzadas son minoritarios, pero en conjunto conforman unamayoría absoluta, el voto aprobatorio les permite presentar lastres alternativas y votar por ellas, con exclusión de aquellaque consideran inaceptable23.

Voto acumulativo

El voto acumulativo consiste en otorgar, a cada votante, unnúmero específico de votos, que puede repartir como mejor leparezca entre las diferentes alternativas. Por ejemplo, si cadavotante posee 5 votos, y existen cinco alternativas, el votantepuede escoger entre adjudicar los cinco votos a una solaalternativa, o instrumentar algún esquema de reparto (porejemplo, dar 3 votos a una alternativa y 2 a otra, o 1 voto acada una). La alternativa con mayor número de votos resulta laganadora.

Uno de los problemas del voto acumulativo ofrece un mayor margenpara que se produzcan situaciones de empate, dado que resulta

23 Laslier y Van der Straeten (2002) mostraron, por ejemplo, que el voto aprobatorio, dehaberse instrumentado, no hubiera llevado al mismo resultado en las votaciones en laprimera vuelta de las elecciones presidenciales francesas de 2002. En ella, losganadores fueron Chirac y Le Pen. En el caso de haberse utilizado el voto aprobatorio,los ganadores hubieran sido Chirac y Jospin, ya que algunos votantes de Le Pen y deJospin habrían emitido un doble voto aprobatorio a Chirac, y los votantes de Chirac undoble voto aprobatorio a Jospin.

R-A-X

C

imprevisible cómo se van a repartir los votos. Su grado dedecisividad es, en ese sentido, menor que el de otros sistemas devotación. En cuanto al cometido de rastreo de la verdad, se puedeesgrimir que el voto acumulativo da un mayor espacio –asumiendoque los participantes suscriben preferencias epistémicassinceras- para que cada persona adjudique sus votos con arregloa sus creencias subjetivas sobre la verdad probable de cadaalternativa. Si, por ejemplo, un votante cree que la alternativaA es mejor con un grado de verdad probable de 0,8, y posee diezvotos a repartir, entonces podrá destinar 8 votos a esaalternativa, dejando los otros dos para el resto. El problemaes que el voto acumulativo, en la práctica, es vulnerable a lamanipulación estratégica de las preferencias, convirtiendo enilusoria la asignación de votos en congruencia con los grados deverdad subjetiva probable de cada votante. Si, por ejemplo, unvotante cree que A posee un valor de verdad probable de 0,6,frente a B y a C, que reciben respectivamente 0,3 y 0,1; frentea la posibilidad de que B pueda salir ganadora, en virtud de queotros la consideran mejor, tendrá incentivos para asignar latotalidad de votos a A y ningún voto a B y a C, con lo cual laasignación de votos no traducirá las creencias subjetivas de laspersonas sobre la verdad probable de las alternativas.

Desde otro punto de vista, hay que decir el voto acumulativoconcede ventaja a las alternativas polarizadas, aquellas que seprefieren con exclusión de las demás, y que no admiten segundasopciones mejores. Supongamos que 8 de los once votantes sedebate entre las cuatro alternativas, pero 3 votantesextremistas prefieren una quinta alternativa radical. Si cadavotante posee, supongamos, 10 votos, estos tres votantesotorgaran 10 votos a su alternativa preferida, a resultas de locual la alternativa radical recibirá 30 votos. El resto de losvotantes, sin embargo, distribuye sus votos entre las cuatroalternativas razonables, en virtud de lo cual cada alternativarecibirá 20 votos cada una. El resultado es que un grupo deextremistas impone su preferencia sobre un grupo de personasrazonables.

Método mejor-peor (best-worst Methods)

Otro método no posicional es el método “mejor-peor”. Bajo estemétodo, las personas votan sólo por la mejor y la peoralternativa, de un conjunto N de alternativas. La alternativaganadora es aquella que obtiene la mayoría relativa de votosnetos, esto es, una vez que se computa, por cada una de ellas, ladiferencia entre los votos “mejor” y los votos “peor” (véase

Louviere y Wordworth, 1990, Marley, 2009, García Lapriesta2009). Existen variantes de este método, según por cuántasalternativas se pueda votar. Una variante común es la de votarpor las “dos” mejores y “dos” peores alternativas: la ganadora,otra vez, es aquella que obtenga el mayor número de votos netos.

Voto bipolar

El voto “bipolar”24 es similar al método “mejor-peor”, sólo que,a diferencia de éste último, los votantes pueden optar por votarsólo por su opción más preferida, sólo por su opción menospreferida, o por ambas a la vez en una misma papeleta. El métodopara computar al ganador es idéntico al del método mejor-peor:aquel que obtenga la mayor cantidad de votos netos es elganador. Una de las virtudes del voto bipolar es la deneutralizar las visiones o perspectivas más extremistas yconducir a candidatos situados en el centro (Sifry, 2013).

Voto promedio (Range voting)

El range voting o voto de escala, es un sistema que intentaintroducir grados o valores de discriminación en laspreferencias de los votantes. Quienes propugnan este métodosostienen que los sistemas anteriores resultan mecanismos toscosde captación de las preferencias de los votantes, porque aúncuando los votantes ordenen las alternativas, con sólojerarquizar las alternativas no sabemos si la distancia (entérminos de valor de verdad probable, si adoptamos unaperspectiva epistémica, o de intensidad de preferencias siadoptamos una posición más utilitarista) que separa a la primerade la segunda es la misma que la separa a la segunda de latercera. Tal vez el votante prefiere A a B, y B a C, pero laconfianza en la preferencia de A frente a B es dos vecessuperior a la confianza en preferencia de B frente a C. El rangevoting permite captar esos grados de confianza en laspreferencias, introduciendo escalas numéricas u ordinales en laspreferencias de los votantes.

En este sistema cada votante califica a cada alternativa conarreglo a una escala concreta, por ejemplo, de 0 a 99, o de 1 a5. Todas las alternativas deben ser calificadas a la luz de esamisma escala, que funciona como un lenguaje común o parámetroexterno intersubjetivo de los votantes. Los puntajes que recibe

24 Este sistema fue propuesto por primera vez por Daniel Ferguson, físico del MIT, yTheodore Lowi, politólogo de la Universidad de Cornell y primer presidente de laAmerican Political Science Association (Sifry, 2013).

cada alternativa son sumados, y aquella que obtenga el mayorpuntaje promedio es la ganadora25. A los votantes se les puedepermitir abstenerse de calificar ciertas alternativas. En esecaso, se considera por defecto que los votantes han adjudicado adichas alternativas el menor puntaje posible.

Uno de los problemas del “range voting” es que es vulnerable ala manipulación estratégica de las calificaciones, por parte delos votantes. En efecto, supongamos que tenemos tresalternativas, A, B y C, y cinco votantes que deben calificar lasmismas con un puntaje del 1 al 10. El primer votantecalificaría, según sus creencias sinceras, a A con un 10, a Bcon un 5, y a C con un 1. El segundo calificaría sinceramente aA con un 7, a B con un 8, y a C con un 2. Y el tercerocalificaría a A con un 5, a B con 6, y a C con un 2.

Tabla 40

La suma de los puntajes, en caso de que los participantescalifiquen de manera sincera las alternativas, arrojaría elsiguiente resultado: A sería la ganadora, con un puntajepromedio de 7,4; B con un puntaje promedio de 7, y C con unpuntaje promedio de 1,8. Sin embargo, tres de los participantes(una mayoría absoluta) consideran que B es mejor que A, por lo que, desaber que A iba a recibir una calificación tan alta por parte dedos votantes, habrían decidido infravalorar falsamente a A ysobreestimar el valor de B.

Juicio Mayoritario

25 Los primeros en utilizar un sistema de range voting fueron los venecianos, que escogíanal Dogo votando en una escala de 1 a 3 (Lines, 1986; Mowbray y Gollman, 2007).

A B C1er votante 10 5 12do votante 7 8 23er votante 5 8 24to votante 10 5 25to votante 5 8 2Puntajepromedio

7,4

7 1,8

El método denominado juicio mayoritario26 pide a los votantes quecalifiquen las alternativas con arreglo a alguna escala cardinalo numérica, u ordinal o de grados (como la de muy bueno, bueno,regular, malo y muy malo, o algún otro adjetivo), y seleccionaaquella alternativa que obtenga el puntaje (o la categoríaordinal) mediana superior. Aunque el range voting se puede utilizarpara escoger múltiples ganadores o incluso simplemente comomecanismo de información de las preferencias de los votantesrespecto de diferentes alternativas hipotéticas (sobre diversosasuntos comunes)27, aquí vamos a considerar su aplicación para laelección de un sólo ganador entre múltiples alternativas.

El uso de la mediana está dirigido, precisamente, a evitar ominimizar la expresión insincera de preferencias por razonesestratégicas. En efecto, utilicemos el mismo ejemplo anterior,en el que 5 votantes califican 3 alternativas a la luz de unaescala del 1 al 10.

Tabla 41

26 Este método ha sido en 2007 concebido por Michel Balinski y Rida Laraki (profesores dela Ecóle Polytecnique de París al momento de escribirse este texto). Francis Galton(1822-1911) cuenta como uno de los pioneros más reputados de este método. Galtón, ademásinglés, fue antropólogo, geógrafo, inventor, matemático, explorador, psicólogo,meteorólogo, y por sobre todas las cosas, una mente ávida de conocimientos. Galton habíaparticipado, en 1907, de un juego de apuestas en Plymouth, en la que los participantescompetían por estimar el peso de un buey. Aquel que más se acercaba al peso exacto,ganaba la apuesta. Algunos participantes eran expertos en pesaje de animales (granjeros,carniceros), mientras que otros sólo se guiaban por la intuición. En esa experiencia,Galton se dió cuenta que el la cifra mediana estimada (“middlemost”) por los participantes erauna cifra bastante acertada del peso real del buey, en ocasiones mejor que el pesoestimado por los expertos. La experiencia le llevó a pensar que bajo ciertascircunstancias los grupos se desempeñan relativamente bien, mejor incluso que losindividuos más inteligentes que los componen. Y llegó a la conclusión de que así como laapuesta mediana es un buen predictor del peso real, el voto mediano –cuando los votantespueden calificar las propuestas- es un buen predictor de los méritos de las cuestionespolíticas en juego (Galton, 1907, p 450).27 En el año 2004, como parte de una iniciativa de la cooperativa Karma Food, deToronto, una cooperativa dueña de un mercado de alimentos que aspira a que sus miembrostengan control de la producción y calidad de lo que allí se vende. Su presidente, JasonDiceman, introdujo las denominadas “dotmocracy sheets”, en las que a los miembros yclientes se los invitaba a escribir ideas y propuestas de mejora y luego a calificarcada una de ellas con un mayor o menor número puntos (dots), según el nivel deaprobación de las mismas. El range voting en este caso no obliga al votante a calificartodas las alternativas, ni siquiera a comparar las alternativas entre sí, ya que ellaspueden versas sobre temas que no están en absoluto relacionados. La cooperativa publicómás tarde un informe sobre “Dotdemocracy” en la que explica el funcionamiento y losresultados de su iniciativa (véase Karma Coop, 2004). Algunas aplicaciones de esta ideapueden encontrarse en http://dotmocracy.org

A B C1er votante 1

05 1

2do votante 7 8 23er votante 5 8 24to votante 1

05 2

5to votante 5 8 2Puntajemediano

7 8 2

http://dotmocracy.org/

Si utilizamos la mediana y no el promedio, veremos que elganador, en este caso, es la alternativa B. Pero no sólo eso:cualquier intento, por parte del primer y cuarto votante (queprefieren A como primera opción), de expresar preferenciasinsinceras, de cara a perjudicar a B, resultaría frustrado. Aúncuando otorgaran un puntaje de 10 a la alternativa A, y un 0 ala alternativa B, no lograrán eliminar el puntaje mediano de B,que seguirá siendo 8.

Tabla 42

*expresión insincerade preferencias

Pero lo inverso no sucede. Si los tres votantes que prefieren Ba A, decidieran infravalorar falsamente a A, otorgándole unpuntaje de 0, entonces sí terminarían perjudicando a A, ya queahora el puntaje mediano de A pasaría a ser 0. Pero, con quesólo uno de ellos vote de manera sincera, la calificación deeste voto resultará ser el puntaje mediano. Esto muestra que, aúncuando las mayorías absolutas, conscientes de su condición demayoría, no necesiten preocuparse por la expresión insincera delas preferencias de las minorías en un sistema de juiciomayoritario, éstas sí pueden perjudicar la valoración de lasalternativas minoritarias sólo si actúan coordinadamente. Pero,en condiciones en las que las mayorías se saben mayoríasabsolutas, los incentivos para infravalorar a las alternativasminoritarias son mucho menores. Además, siempre está el riesgode que un miembro de la mayoría vote sinceramente respecto delas demás alternativas, con lo que la planificación estratégicaterminará fracasando. Esto muestra que el sistema de juiciomayoritario, aún cuando no sea a prueba de manipulaciónestratégica, sí minimiza la probabilidad de que la mismaacaezca.

A B C1er votante 1

00*

1

2do votante 7 8 23er votante 5 8 24to votante 1

00*

2

5to votante 5 8 2Puntajemediano

7 8 2

Ahora bien, imaginemos que tenemos 21 votantes, que calificantres alternativas del siguiente modo:

Tabla 43

En este ejemplo, existe unempate preliminar entre la alternativa B y C, dado que ambasvencen a A y obtienen un puntaje mediano de 5. La manera dedesempatar es fácil: se eliminan, de ambos órdenes, los puntajesmedianos de los órdenes de manera sucesiva, hasta dar con algúnvalor diferencial.. Así, la serie de puntajes obtenidos por B yC son las siguientes:

B: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 5, 5, 5*, 5, 5, 5, 10, 10, 10, 10,10, 10, 10

C: 1, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5*, 5, 5, 5, 5, 10, 10, 10, 10,10, 10

*puntaje mediano

Acto seguido, se eliminan los puntajes medianos equivalentes enambas series:

B: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 5, 5, 5*, 5, 5, 5, 10, 10, 10, 10,10, 10, 10

C: 1, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5*, 5, 5, 5, 5, 10, 10, 10, 10,10, 10

Se obtiene así la serie remanente con los puntajes medianosremanentes:

B: 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10

C: 1, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 10, 10, 10, 10, 10, 10

En este caso, la mediana es el puntaje medio entre 1 y 10 delorden B, y el puntaje medio entre 5 y 5, del orden C. La

Votantes A B C1 votante 10 5 17 votantes 10 1 57 votantes 1 10 56 votantes 1 5 10Puntajepromedio

4,4

5,3

6,2

Puntajemediano

1 5 5

alternativa ganadora es B, que tiene un puntaje medianoremanente de 5,5.

Ahora bien, es interesante ver que si, de entre los 6 votantesque calificaron a B con 5 puntos, a C con 10, y a A con 1,cuatro de ellos cambiaran estratégicamente los puntajes, ycalificaran a B con 4 puntos (manteniendo los puntajes dados a Cy a A), entonces lograrían que saliera ganadora C, lo quemuestra que el juicio mayoritario no está blindado a ladistorsión estratégica de preferencias. Ahora bien, para logrartransformar el resultado a su favor, los cuatro votantes debenacordar entre ellos votar de una manera univoca, algo resultacostoso. Por eso, en el juicio mayoritario, los votantesindividuales pueden transformar los resultados finales a sufavor, expresando preferencias insinceras, sólo si son pivotalesen relación con el cómputo del puntaje mediano.

Métodos mixtos

Junto con los métodos posicionales y no posicionales, tenemoslos métodos “mixtos”, que combinan un método de votación noposicional, con algún método de votación no posicional. Aquí voya referir cuatro métodos mixtos en particular: dos métodos deúnica instancia: el preference-approval voting (Brams y Sanver,2006), el fallback voting (Brams y Sanver, 2006), y dos métodos dedoble instancia: el Approval-majority judgement, y el Approval-Copeland. En los dos primeros, los participantes votan sólo unavez. Los dos segundos, en cambio, son métodos bi-instanciales,es decir, requieren de dos fases o momentos distintos devotación. Por razones de espacio, sólo haré una brevedescripción de los mismos.

Preference-approval voting

El método preference-approval combina el voto aprobatorio (approval-voting) con el método Condorcet. A los votantes se les pide que,además de ordenar las alternativas por orden de preferencia,identifiquen aquellas que desaprueban, fijando una línea entrelas alternativas aprobadas y las desaprobadas. Por ejemplo, unvotante puede emitir el siguiente orden de preferencias A>B IC>D. Ello significa que aprueba sólo las alternativas A y B(desaprobando el resto), y entre las aprobadas, que prefiere Asobre B. La línea vertical I indica la frontera entre lasalternativas aprobadas y las desaprobadas. Así, un votante puedeaprobar todas, o aprobar sólo una de las alternativas. Laselección del ganador se ajusta a las siguientes dos reglas:

1. Si ningún candidato, o exactamente un sólo candidato, recibeuna mayoría absoluta de votos aprobatorios, entonces el ganadorPreference-Approval es el que sería ganador bajo el ApprovalVoting simple (es decir, aquella alternativa que recibe lamayoría de votos aprobatorios).

2. Si dos o más candidatos reciben una mayoría absoluta de votosaprobatorios, entonces tenemos dos supuestos: a) Si uno de estoscandidatos gana al resto de alternativas aprobadas encomparaciones por pares, entonces es el ganador Preference-Approval (aún cuando no sea el ganador bajo el approval votingordinario o incluso la alternativa con menos votos aprobatorios).Si, en cambio, b) no existe ninguna alternativa aprobada pormayoría absoluta que gane al resto de alternativas aprobadas encomparaciones por pares, entonces el ganador es aquellaalternativa que recibe más votos aprobatorios (es decir, elganador es equivalente al ganador bajo el approval votingordinario).

Este método no asegura que salga siempre escogido el ganadorCondorcet. Consideremos por ejemplo el siguiente escenario:

I. 1er votante: a b | cII. 2do votante: b | a cIII. 3er votante: c | a b

El candidato b es el ganador Approval Voting, ya que ha sidoaprobado por dos de los 3 votantes, mientras que los candidatosA y C han sido aprobados sólo por un votante cada uno. Sinembargo, A es el ganador Condorcet.

O consideremos el siguiente escenario:

I. 1er votante: a b c | dII. 2do votante: b c | a dIII. 3er votante: d | a c b

Las alternativas B y C alcanzan una mayoría absoluta de votos aprobatorios (y empatan en cantidad de votos aprobatorios). Dadoque B gana a C en comparaciones por pares, éste es el ganador preference-approval. Sin embargo, el ganador Condorcet es A, queno ha alcanzado la mayoría absoluta de votos aprobatorios y por eso ha sido descartado del cómputo.

O, finalmente, consideremos el siguiente escenario:

I. 1er votante: d a b c | eII. 2do votante: d b c a | eIII. 3er votante: e | d c a bIV. 5to votante: a b c | d eV. 6to votante: c | b a d e

Los candidatos A, B y C alcanzan la mayoría absoluta de votosaprobatorios, y entre ellos se verifica un ciclo: A>B>C>A. Elcandidato con mayor cantidad de votos aprobatorios es C (concuatro votos). Sin embargo, el candidato D es el ganadorCondorcet, que ha sido descartado del cómputo por no alcanzar lamayoría absoluta de votos aprobatorios.

Fallback Voting

Este método, propuesto por Brams y Sanver (2006) es una mezclade voto aprobatorio con el método Bucklin. Así, los votantesordenan, de mayor a menor, solo las alternativas que aprueban.Es decir, los votantes bien pueden escoger una sola alternativa,o dos, o las que deseen, pero si escogen más de una, debenordenarlas de mayor a menor. Para computar el ganador, seconsideran primero las alternativas situadas en el nivelsuperior de cada orden individual, es decir, las primeraspreferencias. Si alguna alternativa recibe una mayoría absolutade votos en las primeras preferencias, es la ganadora. Sininguna alternativa recibe una mayoría absoluta, se pasa aconsiderar las segundas preferencias de cada orden individual, yse suman los votos que recibe cada alternativa en este segundonivel, a los ya recibidos en las primeras preferencias. Sialguna alternativa alcanza una mayoría absoluta de votos, es laganadora. Si ninguna lo consigue, se pasa al tercer nivel, y seprocede del mismo modo, hasta que alguna alternativa consiga lamayoría absoluta de votos (para el caso, el número de votosrequeridos siempre se mantiene constante). Si existen dos o másalternativas que consiguen esa mayoría, entonces la ganadora esaquella que obtenga la mayor cantidad de votos aprobatorios. Si,al descender sucesivamente a través de los niveles, ningunaalternativa alcanza la mayoría, la ganadora será aquella quereciba la mayoría relativa de votos aprobatorios.

Approval-majority judgment voting

Este método, que puede ser útil hay que elegir una entre unnúmero amplio de alternativas, consiste en emplear, en unaprimera fase, el voto aprobatorio, a fin de seleccionar un

número reducido de alternativas. En una segunda fase, losvotantes deben “calificar” las alternativas seleccionadas en laprimera fase: aquella que reciba la calificación mediana mayor,es la ganadora.

Para que este método funcione debidamente, es importanteestablecer un “umbral” de votos, por debajo del cual lasalternativas quedarían descartadas para la segunda fase. Si elumbral de votos aprobatorios es del 50%, entonces todas aquellasalternativas que reciban más de 50 votos aprobatorios, pasarán ala segunda fase. Si, en cambio, queremos ser más permisivos, sepuede establecer un umbral menor, como el 40% o el 45%. Si sólouna alternativa alcanzara el umbral de votos, entonces no habríasegunda fase, y ésta sería la ganadora.

II. Evaluando la capacidad de rastreo de la verdad: el enfoquede la máxima verosimilitud

Desde un punto de vista histórico, los trabajos de Condorcet sonimportantes no sólo por concebir un método singular de toma dedecisiones (el método Condorcet), sino porque representa una delas más tempranas aplicaciones de lo que hoy llamamos“contrastación estadística de hipótesis”. La contrastación estadística dehipótesis consiste en inferir, de una muestra de observaciones,cuál de los diversos estados de la naturaleza (inobservables)resulta más probable de ser verdadero. Aplicado a los métodos detoma de decisiones, ello equivale a decir que, de una muestra devotos, buscamos inferir cuál de las alternativas, o cuál rankingde alternativas, es más probable de ser verdadero, dado que elvalor de verdad de éstos nos es desconocido. Este enfoque seconoce como la “estimación de la máxima verosimilitud” (máximum likelihoodestimation). Todo lo que necesitamos, para llevarlo a cabo, es unmodelo teórico que explique cómo las cantidades observables (ennuestro caso, los votos) dependen probabilísticamente del estadode la naturaleza inobservable (la alternativa mejor, o el rankingmejor).

Condorcet asumió, primero, que en cualquier comparación por par(pairwise comparison) cada votante escogerá la mejor alternativa conuna probabilidad fija p, que es superior a 1/2 e inferior a 1, yes igual en todos los votantes. Segundo, asumió que el juicio decada votante respecto de cada comparación por par, esindependiente del juicio que tenga sobre cualquier otro par.

Finalmente, asumió que el juicio de los votantes esestadísticamente independiente de los juicios de los demásvotantes.

Consideremos esta tabla de votantes con los siguientes órdenesde preferencias individuales:

Tabla 44

1v

4v

1v

3v

1º

A C E E

2º

B D A A

3º

C B D B

4º

D E B D

5º

E A C C

La tabla de comparaciones por pares es la siguiente:

Tabla 45

A B C D EA contra

5 5 5 1

B contra

4 5 4 5

C contra

4 4 5 5

D contra

4 5 4 5

E contra

8 4 4 4

Condorcet quiso estimar, en su trabajo, el orden de preferencias (oranking) más probable de ser verdadero (Young, 1986). Supongamosque el ranking verdadero es ABCDE –A primero, B segundo, C tercero,D cuarto, y E quinto. Un voto a favor de A por sobre B ocurrirácon una probabilidad p, y un voto a favor de B sobre A ocurrirácon una probabilidad menor, equivalente a 1-p. Por la misma

razón, un voto a favor de A sobre C ocurrirá con unaprobabilidad p, y un voto a favor de C sobre A ocurrirá con unaprobabilidad 1-p. Pues bien, la probabilidad combinada deobservar los 90 votos individuales de las comparaciones porpares es:

x x x

x x

x x

x

=

Si, en cambio, asumiéramos que el ranking verdadero es EABCD, laprobabilidad combinada de observar los 90 votos individuales delas comparaciones por pares es

A vs.B

A vs.C

A vs.D

A vs.E

B vs.C

B vs.D

B vs.E

C vs.D

C vs.E

D vs. E

x x x

x x

x x

x

=

La manera de computar el coeficiente de verosimilitud esidéntica para todos los rankings lógicamente posibles. Elobjetivo consiste, precisamente, en maximizar el coeficiente deprobabilidad tanto como sea posible.

Tabla de coeficientes de verosimilitud

Permutación

Coeficiente

L(abcde)

P45 (1-p)45

A vs.B

A vs.C

A vs.D

A vs.E

B vs.C

B vs.D

B vs.E

C vs.D

C vs.E

D vs. E

……

L(bcdea) P49 (1-p)41

L(bcead) P49 (1-p)41

… …

L(beacd) P49 (1-p)41

L(cdbea) P49 (1-p)41

L(cdeab) P49 (1-p)41

… …

L(dbcea) P49 (1-p)41

L(dbeac) P49 (1-p)41

… …

L(deabc) P49 (1-p)41

… …

L(eabcd) P49 (1-p)41

… …

L(eacdb) P49 (1-p)41

L(eadbc) P49 (1-p)41

… …120 permutaciones

L(edcba) P45 (1-p)45

Para cada ranking, el exponente p es la suma de todos los votosde las comparaciones por pares que están de acuerdo y se ajustanal ranking asumido como verdadero, y el exponente de (1-p) es lasuma de todos los votos de las comparaciones por pares que estánen desacuerdo con dicho ranking. Asumiendo que p > 1/2, se sigueque el ranking más probable de ser verdadero es aquel con elexponente p más alto. En el ejemplo anterior, hay once rankingsque maximizan el mismo coeficiente máximo de verosimilitud(bcdea, bcead, beacd, cdbea, cdeab, dbcea, beac, deabc, eabcd, eacdb, eadbc yedcba). El resultado es equivalente a aplicar el método Kemeny, quearrojaría un empate entre esos once rankings diferentes. Deacuerdo con esto, puede decirse que el método Kemeny es el quemaximiza la probabilidad de arrojar un orden de preferencias colectivo verdadero(Young, 1986, 1988)28.

Ahora bien, es importante darse cuenta que el método Kemenyequivale a obtener el coeficiente de máxima verosimilitud de losrankings, pero no de las alternativas. Si se tratara sólo debuscar al coeficiente de máxima verosimilitud de las alternativas,entonces el cálculo de la máxima verosimilitud se reduciría acomparar la probabilidad combinada de que ocurrieran los votosrecibidos por cada alternativa en cada comparación por par queésta interviene, asumiendo distintos valores de verdad. Porejemplo, si asumimos que A es verdadera, el coeficiente deverosimilitud de A, dada la muestra de votos, es el siguiente:

x x x

=

28 Los resultados son idénticos si, en vez de utilizar el enfoque de máxima verosimilitud, empleamos un enfoque bayesiano de cálculo de la probabilidad (Young, 1995).

A vs.B

A vs.C

A vs.D

A vs.E

Si en cambio asumimos que B es verdadera, el coeficiente deverosimilitud de B es:

x x

=

Y el de E, asumiendo que E es verdadera, sería el siguiente:

x x x

=

De esta comparación, surge que E equivale al modelo que maximizael coeficiente de verosimilitud de la mejor alternativa. Si nosdetenemos brevemente a evaluar la manera en que calculamos elcoeficiente, nos daremos cuenta que consiste en tomar cadaalternativa, y multiplicar el exponente de p y de (1-p) en cadacomparación por par de ésta frente a las demás (lo que esequivalente a sumar los votos que recibe cada alternativa en

E vs.A

E vs.B

E vs.C

E vs.D

B vs.C

B vs.D

B vs.E

B vs.A

cada comparación por par), a fin de buscar aquella alternativaque maximiza el producto de los exponentes (lo que esequivalente a buscar aquella alternativa que maximiza la suma devotos de las comparaciones por pares). Esto es equivalente abuscar el ganador Borda. Por consiguiente, si se trata demaximizar la probabilidad de encontrar la mejor alternativa, elmétodo Borda es el criterio que ofrece la máxima verosimilitud(Young, 1986, 1988).

Máxima verosimilitud (mayoritaria) grupal

Ahora bien, es importante observar que el cálculo de la máximaverosimilitud recién expuesto intenta inferir la máximaprobabilidad de que un voto individual escoja la alternativacorrecta, o el ranking correcto, dada una determinada muestra devotos. Vimos, en ese sentido, que el método Kemeny certifica lamáxima probabilidad individual de escoger el ranking correcto,mientras que el método Borda certifica la máxima probabilidadindividual de escoger la alternativa correcta.

Sin embargo, hay que preguntarse si, en política, esta manera deproceder es adecuada, teniendo en cuenta que lo que buscamos esmaximizar la probabilidad de que las mayorías acierten. Estásuficientemente estudiado que, asumiendo una serie decondiciones (que la probabilidad individual de acertar essuperior a 1/2, que las alternativas son dos, y que el juicio decada uno sea estadísticamente independiente del juicio de losdemás), la probabilidad de que un grupo escoja, por mayoría absolutade votos, la mejor alternativa, es siempre superior a laprobabilidad individual de escogerla. O dicho de otro modo: laprobabilidad de que un individuo seleccionado por azar escoja lamejor alternativa es siempre inferior a la probabilidad de queun sub-grupo seleccionado por azar (del conjunto de lapoblación) escoja la mejor alternativa. Esta premisa es elresultado de un teorema que cuenta con poderosas pruebasmatemáticas y con numerosas pruebas empíricas, y vale la penapreguntarse a qué nos compromete a la hora de llevar a cabo elcálculo de máxima probabilidad. Si la probabilidad grupal de queuna mayoría acierte es superior a la probabilidad de que unindividuo acierte, ¿por qué entonces no intentar maximizar laprobabilidad grupal, y no la probabilidad individual? En vez depreguntarse cuál sería la probabilidad individual, dada unamuestra de votos, de escoger el mejor ranking, o la mejoralternativa, en política resulta más apropiado preguntarse cuálsería la probabilidad de que un grupo escoja por mayoría la

alternativa correcta, o el ranking correcto, de una muestra dedecisiones mayoritarias de diferentes grupos.

Si partimos de estas premisas, entonces el cálculo de máximaverosimilitud procede de manera distinta: en vez de tener encuenta los votos individuales que recibe cada alternativa encada comparación por par, tenemos en cuenta sólo la decisiónmayoritaria para cada alternativa en cada comparación por par.Ello significa que nuestra tabla de comparaciones por pares setransforma de tal manera que pasamos a considerar en ella sólolas decisiones mayoritarias (donde 1 es la decisión de una mayoría afavor de una determinada alternativa, y 0 es el voto de unamayoría en contra de una alternativa):

Tabla 45

A B C D EA contra

5 5 5 1

B contra

4 5 4 5

C contra

4 4 5 5

D contra

4 5 4 5

E contra

8 4 4 4

A B C D EA contra

1 1 1 0

B contra

0 1 0 1

C contra

0 0 1 1

D contra

0 1 0 1

E 1 0 0 0

contra

Con esta nueva tabla, procedemos a hacer el cálculo de máximaprobabilidad mayoritaria grupal de acertar. Así, si queremosmaximizar la probabilidad de que un grupo escoja el rankingcorrecto, y asumimos que el ranking correcto es ABCDE, entoncesel cálculo de máxima verosimilitud mayoritario-grupal es elsiguiente:

x x x

x x

x x

x

A vs.B

A vs.C

A vs.D

A vs.E

B vs.C

B vs.D

B vs.E

C vs.D

C vs.E

D vs. E

=

Calculamos del mismo modo el coeficiente de verosimilitud paralos demás rankings posibles, y seleccionamos aquel que maximizael coeficiente. En nuestro ejemplo, los resultados arrojan queexisten tres rankings con un coeficiente idéntico de máximaprobabilidad mayoritaria-grupal: ABCDE, ACDBE, y ADBCE, los trescon un coeficiente de probabilidad de Ahora procedamos a calcular el coeficiente de máximaverosimilitud mayoritaria grupal de la mejor alternativa. Elcálculo, en este caso, es sensiblemente distinto al anterior, yaque sólo debemos multiplicar los coeficientes de verosimilitudde cada alternativa en cada comparación por par en la que éstaaparece, asumiendo que dicha alternativa es la correcta. Si, porejemplo, asumimos que la mejor alternativa, es A, su coeficientede verosimilitud es:

x x x

=

Procedemos a calcular los coeficientes de verosimilitudmayoritaria-grupal de las demás alternativas, y seleccionamos laalternativa que maximiza dicho coeficiente. El resultado es quela alternativa A, que era la primera alternativa del ranking conmáxima probabilidad mayoritaria grupal, es también la alternativaque exhibe el máximo coeficiente de verosimilitud mayoritariagrupal.

Obsérvese que, en este caso, llegamos al coeficiente deverosimilitud mayoritaria grupal multiplicando los exponentes de

A vs.B

A vs.C

A vs.D

A vs.E

probabilidad de cada alternativa en cada comparación por par, loque es equivalente a sumar las victorias y derrotas de cadaalternativa en cada comparación por par, lo que es igual aaplicar el Método Llull/Copeland. Luego, el métodoLlull/Copeland es el método que maximiza la verosimilitudmayoritaria grupal, tanto para escoger el mejor ranking, comopara escoger la mejor alternativa.

Los resultados indican que, dependiendo de qué sea lo quebusquemos maximizar, si a) la probabilidad de que un individuoescoja el ranking correcto, o b) la alternativa correcta o, encambio, buscamos maximizar c) la probabilidad de que un grupoescoja por mayoría la alternativa mejor, o el mejor ranking,entonces tendremos a mano distintos métodos óptimos: el métodoKemeny es óptimo para maximizar la probabilidad individual deescoger el ranking correcto, el método Borda lo es paramaximizar la probabilidad de escoger la alternativa correcta, yel método Llull/Copeland para maximizar la probabilidadmayoritaria grupal de escoger tanto la alternativa como el rankingcorrecto.

Creo, sin embargo, que existen tres razones para preferir elmétodo Llull/Copeland en la teoría democrática. Primero, porquedebemos diseñar los procedimientos colectivos de toma dedecisiones democráticos de manera que éstos maximicen tanto comosea posible la toma de decisiones correctas por la regla de la mayoría(y no para maximizar la probabilidad individual de acertar), yel método Llull/Copeland es el único compatible con estaaspiración. En segundo lugar, porque el método Llull/Copeland,en tanto modelo o estimador de maximización de la verosimilitud,no arroja inconsistencias entre el cometido de buscar la mejoralternativa y el mejor ranking. Y en tercer lugar, por unapropiedad que cumple el método Llull/Copeland pero que violanlos demás métodos: garantizar que, en caso de mayorías cíclicas,la alternativa seleccionada forme parte del conjunto de alternativas nocubiertas (uncovered set). Pasaré a demostrar brevemente esta últimapropiedad.

El criterio Miller

En la teoría de la elección social existe una amplísimaliteratura acerca de las propiedades formales que los métodosdeberían cumplir, siendo el trabajo de Arrow (1951) el primeroen iniciar este tipo de análisis. Entre las propiedades formalesque han sido analizadas está el criterio de unanimidad,consistencia (o transitividad), el de monotonicidad, el criterio

Condorcet, el criterio Perdedor Condorcet, el criterio Smith, elcriterio de independencia frente a las alternativas que noforman parte del Conjunto Smith, el criterio de independenciafrente a los cambios de preferencias irrelevantes, el deindependencia local frente a las alternativas irrelevantes (Youngy Levenglick, 1979, Young, 1988), el de independencia frente alos clones (Tideman, 1987), el de reversión simétrica, pornombrar sólo los más importantes. En su ya inmortal trabajo,Arrow demostró que no existe ningún método que cumpla, al mismotiempo, con una serie de condiciones mínimas de racionalidad. Enparticular, demostró que no existe ningún método que arroje unorden colectivo de preferencias transitivo y cumpla al mismotiempo con el criterio general de independencia frente a las alternativasirrelevantes.

En este apartado quiero modestamente contribuir a estaliteratura introduciendo un nuevo criterio de evaluación de losmétodos, que aquí llamaré el criterio “Miller”, y que consisteen preguntarse si los diferentes métodos de toma de decisionesson capaces de garantizar que la alternativa seleccionada formesiempre parte del “conjunto de alternativas no cubiertas”(Miller, 1980), un concepto que, según dije, ayuda a entenderpor qué no cabe esperar la proliferación caótica de mayoríascíclicas en espacios multidimensionales y a predecir que losciclos – a falta de un manipulador de la agenda- estarán siempreacotados a un número reducido y “central” de alternativas. Enese sentido, quiero mostrar que el único método que garantizanla elección de una alternativa situada en el conjunto dealternativas no cubiertas es el método general Llull/Copeland(un método general en el que incluyo método de votacionesescalonadas por pares de alternativas complejas en su varianteexhaustiva –atribuible a Llull- y el método posicional Copeland,incluidos todos los métodos subsidiarios ideados para resolverlos empates a los que es propenso el método Copeland). Los demásmétodos, según mostraré, se muestran incapaces de garantizaresta condición. Para demostrarlo, procederé a la manera en quese procede en la refutación de hipótesis: mostraré distintosejemplos de votaciones posibles en los que diferentes métodosviolan el criterio Miller.

Supongamos que deben decidirse tres cuestiones sustantivasvinculadas, y que los votantes combinan esas tres cuestiones enalternativas complejas (o conjuntos de cuestiones), que ordenande mayor a menor según sus preferencias (en la tabla, cadacuestión específica plantea dos alternativas -Yes, No-, y lacombinación de las alternativas en cada cuestión específica da

cuerpo a una alternativa compleja, o conjunto de cuestiones, quees identificada con una letra entre paréntesis):

Tabla 46

18v 15v 5v 18v 19vYYY (A)

YYN (B)

NNY (E)

NYY (D)

NNY (E)

YYN (B)

YYY (A)

YYN (B)

NNY (E)

YYY (A)

YNN (C)

NYY (D)

YYY (A)

YNY (G)

YNN (C)

NYY (D)

YNN (C)

NNN (F)

YYN (B)

NYY (D)

NNY (E)

NNY (E)

NYY (D)

YYY (A)

NNN (F)

NNN (F)

YNY (G)

YNN (C)

NNN (F)

YNY (G)

YNY (G)

NNN (F)

YNY (G)

YNN (C)

YYN (B)

NYN (H)

NYN (H)

NYN (H)

NYN (H)

NYN (H)

En este escenario de votación, con estos órdenes individuales depreferencias, la tabla de comparaciones por pares, con sucorrespondiente gráfico de flechas indicando el conjunto Smith(en rojo) y el Conjunto Miller (en azul), son como sigue:

Tabla 47

A B C D E F G HA

versus

37

75

57

33

75

57

75

Bversus

38

56

38

33

56

38

75

Cversus

0 19

37

33

52

57

75

Dversus

18

37

38

51

70

75

75

Eversus

42

42

42

24

75

75

75

Fversus

0 19

23

5 0 42

75

Gversu

18

37

18

0 0 33

75

sH

versus

0 0 0 0 0 0 0

En este gráfico de flechas, es importante ver que el conjuntoSmith (que expresa el conjunto mínimo de alternativas que vencea todas aquellas que están fuera del conjunto), está formado porlas alternativas complejas A, B, D y E. Sin embargo, A estácubierta por B, ya que B vence a A y a todas las demásalternativas derrotadas por esta última. Por consiguiente, elconjunto Miller (o conjunto de alternativas no cubiertas) estáformado por las alternativas complejas B, D y E.

En este escenario, es interesante ver cuál es la alternativa queselecciona cada método en cuestión, con el objeto de ver sialguno escoge como ganadora a una alternativa cubierta.Empecemos por el método de votaciones escalonadas cuestión porcuestión (o issue by issue). Bajo este método, si el orden devotaciones de la cuestiones es tal que primero se vota por la 3ºcuestión, segundo por la 2º cuestión, y tercero por la 1ºcuestión (3º; 2º; 1º), el resultado de las votacionesmayoritarias será YYY, es decir, la alternativa compleja A, queestá cubierta por B. Luego, el método de votaciones escalonadascuestión por cuestión no garantiza la elección de alternativassituadas dentro del Conjunto Miller. Tampoco cumpliríamos con elcriterio Miller si procediéramos a instrumentar un método devotaciones escalonadas por “eliminación de alternativas”: si,por ejemplo, empezáramos votando entre C y B (ganaría B, y Cquedaría eliminada), luego entre B y E (ganaría E), luego entreE y D (ganaría D), para finalmente votar entre D y A, tendríamosque la ganadora sería la alternativa A, que está fuera delconjunto Miller. Luego, el método de votaciones escalonadas poreliminación de alternativas complejas no cumple con el criterioMiller.

AB

C

D

EF

G

H

http://www.google.es/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&docid=h9ZTfz21lwx_EM&tbnid=-CPlKeloIbXU1M:&ved=0CAUQjRw&url=http%3A%2F%2Fwww.sciencedirect.com%2Fscience%2Farticle%2Fpii%2FS0065245805650085&ei=Oj3cUtX_IcHb0QWoo4GIDg&bvm=bv.59568121,d.d2k&psig=AFQjCNHPqxIX7fYRFDHtS0B_y5ZE11kq2w&ust=1390251693851290%00%E5%A1%B9%EF%92%81%E1%B4%BB%E4%A1%BF%E2%B2%AF%E5%B6%82%E8%97%84%E6%8C%A7%00%00%EA%AE%A5

Si, en cambio, en este escenario nos decidimos a aplicar algúnmétodo posicional de toma de decisiones con múltiplesalternativas complejas, pidiéndole a los votantes que ordenen demayor a menor las ocho alternativas complejas (o conjuntos decombinaciones posibles de las tres cuestiones), es interesantever que el Método Kemeny, Borda, Black, Nanson, Bucklin, Schulzey Condorcet-Mayoritario escogen la alternativa A, es decir, unaalternativa del conjunto Smith pero fuera del conjunto Millerpor estar cubierta por B. Luego, ninguno de estos métodos cumplecon el criterio Miller. El método Copeland (y el método Llullexhaustivo), en este escenario, en cambio, arroja un empate entreB y E, ambas ubicadas en el conjunto Miller. Cualquiera que seael método que utilicemos para desempatar entre estas dosalternativas, el caso es que resultado siempre recaerá dentrodel Conjunto Miller.

Es fácil mostrar que otros métodos tampoco cumplen con elcriterio Miller. Así, por ejemplo, pongamos que tenemos estostres escenarios de votación:

(1) (2)(3)

En el primer escenario, el Conjunto Smith es (A, B, D, E, F, G)y el conjunto Miller es (A, D, G), ya que B está cubierta por Gy las alternativas F y E están cubiertas por D. El método Hare,sin embargo, escoge como ganadora a la alternativa B. Luego, elmétodo Hare viola el criterio Miller. En este escenario, sinembargo, el método Copeland escoge a D.

En el segundo escenario, el Conjunto Smith está formado por (A,B, D, E, F, G), y el Conjunto Miller por (B, D y G). El métodoDodgson, sin embargo, escoge a la alternativa F, que estácubierta por D. Luego, el método Dodgson viola el criterioMiller. El método Copeland, en este ejemplo, escoge laalternativa D.

En el tercer escenario, el Conjunto Smith está formado por (A,B, D y E), y el Conjunto Miller por (A, B y E), ya que D está

18v

15v

5v

19v

19v

10v

A B C A E DF G A D C FD D E F G BG A F E F GB C B G B CE E D B A AC F G C D E

18v

15v

5v

19v

19v

10v

A B C D E D F

G A A G F

G D E B C BD C F E F AB F B G B C

18v 15v 5v 18v 19vD B A B EE A D A BC D E G CF C F E DG E B D FA F C F GB G G C A

cubierta por A. El método Coombs, sin embargo, escoge a D.Luego, el método Coombs viola el criterio Miller. El métodoCopeland, en este escenario, arroja un empate entre A y B, ambassituadas en el conjunto Miller. Tanto el método Small, como elresto de métodos utilizados para desempatar arrojan a B como elganador.

En definitiva, el método general Llull/Copeland –en el cual seincluyen las variantes del mismo utilizadas para desempatar- esel único método que cumple con el criterio Miller, al garantizarque las alternativas seleccionadas quedan situadas siempre dentrodel conjunto de alternativas no cubiertas. Esta es un argumentopoderoso, pues, para sustentar la tesis de que se trata delmétodo óptimo de toma de decisiones colectivas con múltiplesalternativas.

Una de las objeciones más fuertes que se le reprochan al métodoCopeland, no obstante, reside en que viola el criterio deindependencia de las alternativas irrelevantes. Este criterio en laliteratura puede recibir distintas especificaciones, pero aquíserá útil distinguir entre el criterio de monotonicidad (según elcual, si un votante cambia su orden individual de preferenciaspara situar a la alternativa que es ganadora Copeland en unnivel más alto, luego el resultado colectivo debe arrojar elmismo ganador Copeland), el criterio de independencia de laspreferencias irrelevantes (según el cual, si un votante cambia su ordende preferencias en otras dos alternativas distintas a laganadora Copeland, sin que ello afecte la relación de ésta conaquellas en ese orden individual, entonces el método debearrojar el mismo ganador Copeland), y el criterio estricto deindependencia de las alternativas irrelevantes (según el cual,si eliminamos una alternativa perdedora de los órdenes depreferencias individuales, el ganador Copeland seguirá siendo elmismo).

Con respecto al criterio de monotonicidad, se ha demostrado queel Método Copeland es monotónico (Fishburn, 1977, Nurmi, 2013).Sin embargo, incumple tanto el criterio de independencia de laspreferencias irrelevantes, como el criterio de independenciafrente a las alternativas irrelevantes. Consideremos elsiguiente ejemplo:

Tabla 48

4v

12v

8v

2v

2v

8v

8v

1 A B B C C D E

º2º

D A A B D A C

3º

C C D A A E D

4º

B D E D B C B

5º

E E C E E B A

En este ejemplo, A es el ganador Copeland, con 3 victorias.Supongamos ahora que los ocho votantes de la anteúltima columnaintercambian E por C en sus ordenes de preferenciasindividuales. Teóricamente, ello no debería afectar al ganadorCopeland, porque estas dos alternativas seguirán manteniendo lamisma relación perdedora con A en dichos órdenes individuales.Sin embargo, si desplegamos el método Copeland, ahora nosarrojaría un empate entre A y B, ambos con 3 victorias cada uno.Con sólo cambiar el orden de dos alternativas irrelevantes paraA en dichos ordenes individuales, A deja de ser la ganadoraúnica.

Ahora imaginemos que eliminamos a C de la votación. Dado que Ces, aparentemente, una alternativa irrelevante, puesto que sólorecibe 2 victorias (frente a las 3 que tiene A), su descarte nodebería tener consecuencias importantes en el cómputo delganador Copeland. Sin embargo, en ausencia de C, el ganadorCopeland pasaría a ser B, con dos victorias y media. Luego, elmétodo Copeland viola el criterio de independencia de lasalternativas irrelevantes, y por esta razón parecería serespecialmente vulnerable a la manipulación de la agenda.

Muchos autores consideran que la violación de estos doscriterios pone en tela de juicio la conveniencia de usar métodoCopeland. Sin embargo, es importante poner en perspectiva estasobjeciones. En primer lugar, ningún método cumple con elcriterio general de independencia de las alternativasirrelevantes (Arrow, 1951), en el sentido que o bien violan elcriterio de monotonicidad, o bien el de independencia respectode las preferencias irrelevantes, o bien el criterio estricto deindependencia de las alternativas irrelevantes, con lo cual almétodo Copeland simplemente estaría, en este punto, en pie deigualdad con el resto de métodos. En segundo lugar, esimportante ver que, en el ejemplo que estamos considerando, elconjunto Miller está formado por (A, B, C) y el método Copelandescoge a una alternativa dentro de ese conjunto (A). Sieliminamos a una alternativa fuera del conjunto Miller, como D,el método Copeland ahora pasará a dar un triple empate entre A,

B y C, pero las tres alternativas seguirán estando dentro delconjunto Miller. Y si en vez de eliminar D eliminamos a unaalternativa dentro del conjunto Miller, como C, la alternativaganadora pasará a ser B, pero el conjunto Miller seguirá siendo A yB. Con esto quiero decir que, aunque el método Copeland viole elcriterio de independencia de las alternativas irrelevantes, sucapacidad para escoger alternativas situadas en el conjuntoMiller siempre se mantiene inalterable. Podrá ser un métodoinestable a la hora de seleccionar un único ganador, pero suestabilidad para seleccionar alternativas dentro del conjunto dealternativas no cubiertas está fuera de duda.

Otros autores han mencionado la propensión del método Copelanden la generación de empates (Colomer, 2013). Sin embargo,existen formas de desempatar. La más común consiste en contar,por cada alternativa, los votos a favor y restar esta cifra porlos votos en contra en cada comparación por par, y luego sumartodos los restos. Aquella alternativa que tuviera el margentotal mayor de votos a favor-en contra, sería la ganadora(Laraki y Balinski, 2010: 48). Otra forma de desempatarconsistiría en tomar, en vez del margen total de votos a favor yen contra, el margen promedio de todas las comparaciones porpares. Una tercera forma de desempatar, que resultaría apropiadacuando tenemos más de cuatro alternativas, consistiría en tomarel margen total de votos a favor y en contra pero sólo de lascomparaciones por pares entre las alternativas del ConjuntoSmith, o del conjunto de “alternativas no cubiertas”. Una últimaforma de desempatar, finalmente, sería la de tomar lasalternativas empatadas, eliminar el resto de alternativas con unnúmero inferior de victorias, y volver a desplegar el métodoLlull/Copeland entre las alternativas que quedan.

Métodos subsidiarios en caso de empate: 1 Margen total votos a favor -en contra en comparaciones por pares2 Margen promedio votos a favor-en contra en comparaciones por pares3 Eliminar alternativas derrotadas y volver a desplegar el método

Llull/Copeland4 Margen total votos a favor-en contra sólo de alternativas del Conjunto

Smith5 Margen total de votos a favor-en contra sólo de alternativas del conjunto

de alternativas no cubiertas.Fuente: elaboración propia

Conclusiones

Dado que en política las opciones que enfrentan losparticipantes con frecuencia son multidimensionales e involucranmúltiples alternativas con múltiples combinaciones de cuestionesdistintas, no es nada evidente cuál es la mejor regla o métodode decisión, ni resulta evidente que la alternativa que surgedel proceso democrático cuente con el respaldo incontestable dela mayoría, ni que sea la mejor de todas las disponibles.

En este artículo he ofrecido una explicación de la mecánica dediferentes métodos de toma de decisiones con múltiplesalternativas multidimensionales. Si sólo hubiese dos opcionesunidimensionales, quizá podríamos decir que la regla de lamayoría absoluta es la regla más eficiente en términos deseleccionar la mejor alternativa, y la más respetuosa de laigualdad de las partes. Pero cuando nos damos cuenta que lasopciones políticas habitualmente involucran múltiplesalternativas multidimensionales, el escenario de elección socialse vuelve extremadamente complejo, dado que existen múltiplesformas de arribar a una decisión colectiva. El gran desafío,pues, está en encontrar criterios racionales para seleccionaralguno de los métodos disponibles. En este artículo he intentadocontribuir con la literatura de la elección social en esedesafío. He intentado demostrar que el método posicionalCopeland es el único método que cumple con dos propiedadesrelevantes: es el método que maximiza la probabilidad grupal deseleccionar la alternativa correcta, y es el único método quegarantiza la selección de una alternativa situada dentro delconjunto de alternativas no cubiertas. A mi juicio, elcumplimiento de estos dos criterios lo convierte en el métodoóptimo de toma de decisiones con múltiples alternativas.

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Toma de decisiones con múltiples alternativas multidimensionales: una defensa del método Copeland

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