Tam giac trong mat phang Oxy

Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy

LỜI MỞ ĐẦU1. LÝ do chän ®Ò tµi

Trang bÞ nh÷ng tri thøc, ph¬ng ph¸p vµ ph¸t triÓn t

duy, trÝ tuÖ cho häc sinh lµ môc tiªu ®îc ®Æt lªn hµng

®Çu trong çc môc tiªu d¹y häc m«n to¸n. Trong ch¬ng

tr×nh H×nh häc 10 çc bµi to¸n liªn quan ®Õn täa ®é vµ

ph¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng Oxy lµ phÇn rÊt quan

träng. PhÇn täa ®é trong mÆt ph¼ng ®ãng vai trß cùc k×

quan trong trong to¸n häc vµ còng lµ phÇn kh«ng thÓ thiÕu

trong çc ®Ò thi §¹i häc trong nh÷ng n¨m häc gÇn ®©y. Häc

sinh ®îc lµm quen víi çc bµi tËp vÒ täa ®é vµ ®êng th¼ng

trong §¹i sè tõ khi häc THCS, lªn THPT çc em l¹i gÆp

l¹i trong m«n §¹i sè 10 vµ h×nh häc 10, nhng çc em vÉn

hay gÆp khã kh¨n khi cho r»ng ®©y lµ to¸n h×nh häc. §Ó häc

sinh thÊy ®îc çch nhÊt qu¸n cña d¹ng to¸n t×m ®Ønh vµ

c¹nh cña tam gi¸c t«i muèn lµm næi bËt yÕu tè gi¶i tÝch

trong viÖc gi¶i quyÕt bµi tËp h×nh häc. Trong qu¸ tr×nh

d¹y häc t«i lu«n t×m tßi çc vÝ dô ®iÓn h×nh tæng hîp

thµnh çc ph¬ng ph¸p gi¶i cô thÓ cho häc sinh, ®ång thêi

híng dÉn häc sinh biÕt nhËn d¹ng bµi to¸n vµ ph¸t triÓn

thµnh çc bµi to¸n míi. §©y còng lµ vÊn ®Ò cã thÓ ph¸t

triÓn ®îc t duy to¸n häc cho häc sinh.

Díi ®©y t«i xin trao ®æi víi quý ®ång nghiÖp vµ çc

em häc sinh mét chuyªn ®Ò nhá tr×nh bµy vÊn ®Ò nhá vÒ ph-GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng Thái

2


¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng: ”T×m mét sè yÕu tè cña tam

gi¸c trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy.”

Néi dung ®Ò tµi gåm 3 phÇn: PhÇn 1: LÝ thuyÕt vÒ ®iÓm ®êng th¼ng trong mÆt ph¼ng täa

®é Oxy.

PhÇn 2: §iÓm ®êng th¼ng ®Æc biÖt trong tam gi¸c.

PhÇn 3: Bµi tËp tæng hîp.

2. Môc ®Ých nghiªn cøu

Mét vÊn ®Ò trong H×nh häc 10 mµ häc sinh thÊy khã kh¨n

khi gÆp ph¶i. Gióp häc sinh ®Þnh híng ®îc bµi to¸n t×m

mét sè yÕu tè cña tam gi¸c trong mÆt ph¼ng Oxy khi gi¶i

bµi tËp.

Båi dìng cho häc sinh ph¬ng ph¸p, kÜ n¨ng gi¶i to¸n

h×nh häc gi¶i tÝch trong mÆt ph¼ng. Qua ®ã nh»m n©ng cao

kh¶ n¨ng t duy logic, t¹o høng thó häc tËp cho häc sinh.

3. §èi tîng nghiªn cøu

C¸c kiÕn thøc vÒ täa ®é ®iÓm, ®êng th¼ng ®Æc biÖt cña

tam gi¸c vµ ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng. Nh»m t×m lêi gi¶i cho

mçi bµi to¸n vÒ ph¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng cô thÓ.

4. Giíi h¹n cña ®Ò tµi

Lµ gi¸o viªn trùc tiÕp gi¶ng d¹y häc sinh khèi 10 cña

trêng THPT Hång Th¸i t«i thÊy c¸c em hay gÆp khã kh¨n khi

lµm bµi tËp vÒ t×m ®iÓm vµ ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng trong

tam gi¸c. Nªn t«i tËp trung vµo viÖc: “gióp häc sinh t×mGV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng Thái

3


®iÓm ®êng th¼ng trong tam gi¸c khi biÕt mét sè d÷ kiÖn

®Æc biÖt”, ¸p dông gi¶ng d¹y trong çc tiÕt häc tù chän

b¸m s¸t cho häc sinh líp 10 t«i d¹y.

5. NhiÖm vô cña ®Ò tµi.

KÕ ho¹ch gióp ®ì häc sinh häc tèt m«n H×nh häc 10

phÇn ph¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng: gi¶i ®îc bµi to¸n

“t×m mét sè yÕu tè cña tam gi¸c trong mÆt ph¼ng täa ®é

Oxy ”.

6. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu

VÒ lÝ luËn:

“Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em

ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những

điều đã học”.

§æi míi trong ph¬ng ph¸p d¹y häc hiÖn nay coi

träng viÖc: “lÊy häc trß lµm trung t©m ngêi thÇy chØ

®ãng vai trß lµ ngêi gióp çc em ®i ®óng híng, gióp çc

em tiÕp thu kiÕn thøc mét çch chñ ®éng, s¸ng t¹o”.

VÒ thùc tiÔn

PhÊn ®Êu ®Ó d¹y tèt çc m«n häc nãi chung vµ m«n

To¸n nãi riªng lµ nguyÖn väng tha thiÕt cña ®éi ngò

gi¸o viªn. To¸n häc lµ m«n khoa häc suy diÔn trõu tîng

nªn lµ gi¸o viªn To¸n víi t«i ®©y còng lµ dÞp ®Ó t«i

häc tËp, nghiªn cøu, trau dåi ®Ó rót ra nh÷ng kinhGV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng Thái

4


nghiÖm cho riªng m×nh. §Ó mçi tiÕt häc to¸n tr«i qua

häc sinh h×nh thµnh nh÷ng kiÕn thøc míi vµ kÜ n¨ng míi,

vËn dông mét c¸ch s¸ng t¹o nhÊt, th«ng minh nhÊt trong

viÖc häc to¸n. C¸c em thÊy yªu thÝch m«n to¸n h¬n, høng

thó häc tËp h¬n.

NỘI DUNGPhần 1: LÍ THUYẾT VỀ ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG

1. VÉC TƠ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG1.1 Véctơ là véctơ chỉ phương (VTCP) của

giá của 1.2 Véctơ là véctơ pháp tuyến (VTCP) của

giá của 1.3 Nhận xét: Đường thẳng có vô số véctơ chỉ phương

và vô số véctơ pháp tuyến đồng thời 2.PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

2.1 Phương trình tham số: Đường thẳng đi qua điểmvà có VTCP phương trình tham số

dạng:

Nhận xét: VTCP VTPT 2.2 Phương trình chính tắc: Đường thẳng đi qua điểm

và có VTCP phương trình chính tắc

dạng: .

2.3 Phương trình tổng quát: Đường thẳng đi qua điểmvà có VTPT phương trình tổng quát

dạng: .

Nhận xét:VTPT VTCP .

GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng Thái

5


2.4 Phương trình hệ số góc: Phương trình đường thẳng vớihệ số góc a: phương trình dạng .

2.5 Phương trình đường thẳng qua 2 điểm ,

: Phương trình dạng .

2.6 Phương trình dạng đoạn chắn qua dạng:.

2.7 Phương trình chùm đường thẳng: Cho 2 đường thẳng cắtnhau: , với thìđường thẳng qua I là với

3.VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

3.1 Dạng tham số: đi qua

đi qua

- Nếu thì tại I.- Nếu và thì - Nếu và thì

3.2 Dạng tổng quát: và

Xét hệ:

- Nếu hệ có 1 nghiệm thì .- Nếu hệ vô nghiệm thì .- Nếu hệ có nghiệm với mọi x hoặc mọi y thì .

4.GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG4.1 Dạng hệ số góc: Cho

Góc giữa với


6


với

4.2 Dạng tổng quát: Cho 2 đường thẳng:

.

5.KHOẢNG CÁCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC5.1 Khoảng cách từ đến : là

5.2 Cho cắt nhau thì phương trình 2 đường

phân giác:

Dấu hiệu Phân giác góc nhọn Phân giác góc tù

Phần 2: ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC

Loại 1: Xác định các yếu tố của tam giác khi biết trước tọađộ một đỉnh và phương trình của 2 đường có cùng tính chất.

Dạng 1: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh và 2đường cao xuất phát từ 2 đỉnh còn lại.Cách giải:

* Viết phương trình AB, AC. * Tìm toạ độ của B,C.


7


* Viết phương trình BC.Bài tập 1.1: Cho biết A(-1;-3) và phương trình 2 đườngcao BH: , CK: . Viết phương trình cáccạnh của tam giác.Giải:

Vì nên AB có phương trình : Phương trình AB có dạng: .

Vì nên AC có phương trình 12 m : Phương trình AC có dạng: 01253 yx .

Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:

Phương trình cạnh BC: .Bài tập tương tựBài tập 1.2: Cho tam giaùc ABC vôùi phöông trình caïnh BC: x-y +2=0, hai ñöôøng cao BH:2x-7y-6=0, CH: 7x-2y-1=0.Vieátphöông trình hai caïnh coøn laïi vaø ñöøông cao thöù ba .Bài tập 1.3. Cho tam giaùc ABC coù phöông trình caïnh AB :5x-3y+2=0 vaø phöông trình caùc ñöôøng cao qua ñænh A vaøB laàn löôït laø : 4x-3y +1=0 , 7x+2y -22 =0 Laäp phöông trình hai caïnh AC, BC vaø ñöôøng cao thöù ba.Bài tập 1.4: Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABCbieát B(-4;-5) vaø hai ñöôøng cao coù phöông trình : 5x+3y– 4=0 , 3x +8y +13=0Bài tập 1.5: Cho tam giaùc ABC vôùi ñænh A(1;1) .Caùcñöôøng cao haï töø B vaø C laàn löôït naèm treân caùcñöôøng thaúng : -2x +y -8 = 0; 2x +3y-6=0Haõy vieát phöông trình ñöôøng thaúng chöùa ñöôøng cao haïtöø A vaø xaùc ñònh toaï ñoä caùc ñænh B,C. (ĐHSP HN 2000)Bài tập 1.6: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có và2 đường thẳng lần lượt chứa các đường cao vẽ từ B và C cóphương trình : và .


8


Tính diện tích tam giác ABC.Dạng 2: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh và 2 trungtuyến xuất phát từ 2 đỉnh còn lại.Cách giải:

Cách 1. * Kiểm tra A không thuộc (d1), (d2).(nếu giả thiết chưa

cho cụ thể) * Tìm toạ độ trọng tâm. * Tìm toạ độ B, C. * Viết phương trình các cạnh.

Cách 2. * Kiểm tra A không thuộc (d1), (d2).(nếu giả thiết chưa

cho cụ thể) * Tìm toạ độ trọng tâm G. * Tìm toạ độ A0 là điểm đối xứng với A qua G. * Viết phương trình đường thẳng (d3) qua A0 và song

song với (d1), Viết phương trình đường thẳng (d4) qua A0 và song

song với (d2). * Tìm B, C. * Viết phương trình các cạnh của tam giác.

Bài tập 2.1: Cho biết A(1;3) và phương trình 2 đườngtrung tuyến BM: , CN: . Viết phương trình cáccạnh của tam giác.Giải: Gọi G là trọng tâm Tọa độ G là nghiệm của hệ: .

Gọi I là trung điểm của BC thì

BM:

CN:


9

A

B C

MN


Vì I là trung điểm của BC nên:

Phương trình AB:

Phương trình AC:

Phương trình BC: .Bài tập tương tự:Bài tập 2.2: Vieát phöông trình caùc caïnh cuûa moät tam giaùcbieát ñænh A(4,3) ,hai trung tuyeán coù phöông trình x+y -5= 0 ,2x-y -1 =0.Bài tập 2.3: Cho biết A(1;1) các trung tuyến hạ từ B và Clần lượt có phương trình : , CN: . a. Viết phương trình trung tuyến xuất phát từ A. b. Xác định tọa độ B, C..Bài tập 2.4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có

và phương trình hai đường trung tuyến. Viết phương trình các cạnh của

tam giác.Dạng 3: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh và 2 phângiác trong xuất phát từ 2 đỉnh còn lại.Cách giải: Cách giải.

* Tìm toạ độ các điểm A1,A2 lần lượt đối xứng với Aqua (d1), (d2).

* Viết phương trình A1A2 và tìm toạ độ của B, C.* Viết phương trình AB, AC.

Bài tập 3.1: Cho biết A(2;-1) và phương trình 2 đường phângiác trong của góc B: , góc C: . Viếtphương trình các cạnh của tam giác.

Gọi lần lượt đối xứng với A qua CN và BM


10

A

B C

N M

A1 A2

KI


: phương trình dạng qua A(2;-1) nên : AA1:

A1 đối xứng với A qua CN nên I là trung điểm của AA1

: phương trình dạng qua A(2;-1) nên : AA2:

A2 đối xứng với A qua BM nên K là trung điểm của AA2

.

Đường thẳng BC qua A1A2 nên phương trình dạng:.

Đường thẳng AB có VTCP Phương trình dạng:

Đường thẳng AC có VTCP Phương trình dạng: .Bài tập tương tự:Bài tập 3.2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có

và phương trình hai đường phân giác.

a.Tính tọa độ các điểm B, C.b.Viết phương trình các cạnh của tam giác.

Loại 2:Xác định các yếu tố của tam giác khi biết trước tọađộ một đỉnh và phương trình của 2 đường có tính chất khácnhau.


11


Dạng 4: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh B và 1đường cao AH và 1 phân giác trong góc C.Cách giải:

* Lập phương trình BC..* Tìm C giao của BC và phân giác.* Tìm B’ đối xứng với B qua phân

giác góc C.* Lập phương trình AC qua B’ và

C.* Tìm A giao của AC và AH.* Lập phương trình AB.

Bài tập 4.1: Cho biết B(2;-1) và đường cao AH vàphân giác trong CD: .Viết phương trình các cạnhcủa tam giác.Giải: Vì nên phương trình BC có dạng: BC qua B(2;-1) nên . Phương trình BC: .

nên tọa độ C là nghiệm của hệ:

Gọi B’ đối xứng với B qua CD nên . Phương trình BB’có dạng:BB’ qua B(2;-1) nên . Phương trình BB’ dạng: .

nên tọa độ I là nghiệm của hệ:

I là trung điểm của BB’ nên Đường thẳng AC qua C và B’ có VPCP .Phương trình AC dạng: .GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng Thái

12

D

C

H

B

B’

AI

D


nên tọa độ A là nghiệm của hệ:

Phương trình AB dạng: Bài tập tương tự: Bài tập 4.2 (ĐH KTHN 98) Cho tam giác ABC có đỉnh , đườngcao BH nằm trên đường thẳng , phân giác trong góc C nằmtrên đường thẳng . Viết phương trình cạnh BC. Bài tập 4.3: Cho tam giác ABC có B(1;5) và phương trình đườngcao AH: , đường phân giác CD: . Tìm tọa độcác điểm A, C.Dạng 5:Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh, 1 đườngcao và trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh khác nhau. Cách giải: * Kiểm tra điểm A không thuộc 2 đường đã cho. * Lập phương trình cạnh AC ( vuông góc với đườngcao) * Tìm tọa độ C. * B thuộc BH ( tham số hóa B) tìm trung điểm M củaAB theo tham số. * Vì M thuộc CM nên tìm được tham số đó. Tìm được B. * Lập phương trình AB,BC.Bài tập 5.1: Cho biết A(2;-7) và đường cao BH vàtrung tuyến CM : .Viết phương trình các cạnh củatam giác.Giải: Vì và AC qua A nên phương trình AC dạng:



13

A

C B

H M


.Trung điểm M của AB:

Phương trình đường thẳng AB: .

Phương trình đường thẳng BC: .Bài tập tương tựBài tập 5.2: Cho tam giaùc ABC coù B(-4;0) , ñöôøng cao kẻ từA: vaø ñöôøng trung tuyeán keû töø ñænh C coùphöông trình : .

a.Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC.b.Tính diện tích tam giác.

Bài tập 5.3: Cho tam giác ABC có đỉnh A(2;1) đường cao qua B: và trung tuyến qua C: . Xác định tọa độ B

và C của tam giác.Bài tập 5.4: Cho tam giác ABC có đỉnh A(13) đường cao qua B:

và trung tuyến qua C: . Lập phương trìnhcác cạnh của tam giác.Bài tập 5.4: Cho tam giaùc ABC coù C(4;-1) , ñöôøng cao vaøñöôøng trung tuyeán keû töø ñænh A coù phöông trình töôngöùng laø : (d1) : 2x-3y +12=0 , (d2) : 2x+3y =0Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC.

Dạng 6:Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh, 1 trungtuyến và 1 phân giác trong xuất phát từ 2 đỉnh khác nhau.Cách giải: * Kiểm tra điểm A không thuộc 2 đường đã cho. * Tìm K đối xứng với A qua phân giác. * C thuộc CK (tham số hóa C), tìm trung điểm M của ACtheo tham số * Vì M thuộc BM nên tìm được tham số đó. Tìm được C. * Lập phương trìnhAC, BC. * Tìm B lập phương trình AB.GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng Thái

14


Bài tập 6.1:Cho biết A(1;2), đường trung tuyến BM :và phân giác trong CD: .Viết phương trình

các cạnh của tam giác.Giải: Điểm Trung điểm M của AC:

Lấy K đối xứng với A qua CD nên mà AK qua A phương trình AK:

nên: I là trung điểm của AK nên K(-1;0).Đường thẳng BC qua K, C dạng:

Đường thẳng AC:

nên:

Đường thẳng AB: Bài tập tương tự : Bài tập 6.2: Cho tam giác ABC có A(4;-1) và phương trình trungtuyến BB1: , phân giác trong CC1: . Viếtphương trình các cạnh của tam giác. Bài tập 6.3: Cho biết C(4;3), Phân giác trong và đườngtrung tuyến kẻ từ một đỉnh của tam giác có phương trình:

, .Viết phương trình các cạnh của tamgiác.

Loại 3 Xác định các yếu tố của tam giác khi biết trước tọađộ một số điểm đặc biệt nào đó của tam giác.

Dạng 7: Tìm phương trình đường thẳng cạnh còn lại của tam giác khi biết 2GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng Thái

15

A

BK C

MD I


cạnh và tọa độ trọng tâm.

Cách giải: * Tìm được 1 đỉnh của tam giác A * Tham số hóa đỉnh B và C. * G là trọng tâm nên tìm được B và C * Viết phương trình BC.

Bài tập 7.1: Lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biếttrọng tâm và , .Giải:

nên tọa độ A là nghiệm của hệ:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:

Đường thẳng BC qua M(8;4) và có VTPT : Phương trình dạng: Bài tập tương tựBài tập 7.2: Cho tam giác ABC biết trọng tâm và

, .a.Tìm tọa độ A và trung điểm M của BCb.Tìm B và viết phương trình BC


16

A

B MC

G


Bài tập 7.3: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọngtâm . Biết phương trình các cạnh AB, AC theo thứtự : , . Tìm tọa độ các đỉnh của tamgiác.Dạng 8: Tìm phương trình đường thẳng cạnh còn lại của tam giác khi biết 2cạnh và tọa độ trực tâm.Cách giải: * Viết phương trình đườngthẳng BH, tìm B * Viết phương trình đườngthẳng CH, tìm C. * Viết phương trình BC.

Bài tập 8.1: Lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biếttrực tâm và , .Giải: Đường thẳng nên phương trình BH: BH qua H(1;1) . Phương trình BH dạng:

nên tọa độ B là nghiệm của hệ :

Đường thẳng nên phương trình CH: CH qua H(1;1) . Phương trình CH dạng:

nên tọa độ C là nghiệm của hệ :

Đường thẳng BC qua và có VTPT nên phươngtrình dạng: .


17

AA

B

H

C


Bài tập tương tự:Bài tập 8.2: Cho phương trình hai cạnh của tam giác ABC là :

, và tọa độ trực tâm H(3;-1). Viếtphương trình đường thẳng cạnh còn lại.Dạng 9: Tìm phương trình đường thẳng cạnh còn lại của tam giác khi biết 2cạnh và tọa độ trung điểm cạnh còn lại Cách giải: * B thuộc AB ( tham số hóa B) * C thuộc AC ( tham số hóa C) * M là trung điểm của BC * Viết phương trình BC.Bài tập 9.1: Lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biếttrung điểm của BC là và , .Giải:

nên nên

Vì M là trung điểm của BC nên

Theo bài ra nên:

Đường thẳng BC qua M(-2;2) và có có phươngtrình : Dạng 10: Cho biết tọa độ 2 điểm của tam giác. Tìm tọa độ đỉnh còn lại thuộc1 đường thẳng sao cho thỏa mãn điều kiện cho trước.Cách giải: * Tham số hóa tọa độ đỉnh đã cho. * Cho thỏa mãn điều kiện đầu bài.Bài tập 10.1: Cho tam giác ABC biết A(-1;3), B(1;1) vàGV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng Thái

18


a.Tìm C thuộc sao cho tam giác ABC cân ở C.b.Tìm C thuộc sao cho tam giác ABC vuông ở A.

Giải:a/ ,

Để cân ở C .

b/ .Ta có : Để vuông ở A

Bài tập tương tựBài tập 10.2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm và các đườngthẳng và . Tìm tọa độ B, C lần lượtthuộc sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.

Dạng 11: Cho 1 đỉnh của tam giác, 2 đỉnh còn lại thuộc 2 đường thẳng khác.Tìm 2 đỉnh (đường thẳng) thỏa mãn điều kiện cho trước.Cách giải: * Tham số hóa tọa độ 2 đỉnh thuộc 2 đường thẳng. * Cho 2 điểm thỏa mãn điều kiện đầu bài. ( hoặc sử dụng phương pháp khác tùy vào bài toán)Bài tập 11.1:Cho ; và điểm A là giaocủa d1, d2. Tìm và sao cho tam giác ABC có trọngtâm G(3;5)Giải:


19


Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:

Bài tập 11.2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm . Viếtphương trình đường thẳng d qua cắt trục Ox, Oy tại Bvà C sao cho cân tại A. Giải: Gọi . Phương trình đường thẳng d dạngđoạn chắn:

.cân tại A

Với thay vào

Với thay vào (loại) Vì trùng với .Bài tập tương tựBài tập 11.2: Cho ; và điểm A(2;3). Tìm

và sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(2;0).

Phần 3. BÀI TẬP TỔNG HỢP.

Bài tập 1:Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm và .Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tamGV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng Thái

20


giác OAB. (ĐH-A2004)Giải: Cách 1: (Viết phương trình 2 trong 3 đường cao và tìm giao điểm)+ Đường thẳng qua O(0;0) và vuông góc với AB có VTPT

có phương trình: Đường thẳng qua và vuông góc với OA có VTPT

có phương trình: .

Trực tâm H là nghiệm của hệ: .

+ (Viết phương trình 2 trong 3 đường trung trực và tìm giao điểm) Đường trung trực cạnh OA có phương trình , Đường trungtrực cạnh OB có phương trình . Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB nghiệm của hệ:

.

Cách 2: + Gọi trực tâm của tam giác ABO thì:

+ Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB thì hay

Bài tập 2:Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có AB=AC vàgóc BAC=900 biết là trung điểm cạnh BC và trọng tâm của tam giác. Tìm tọa độ đỉnh A, B, C.(ĐH-B2003)Giải: Vì G là trọng tâm và M là trung điểm BC nên: Phương trình BC qua M(1;-1) và vuông góc với là Mà vuông cân tại A nên


21

A

C

BGM


tọa độ B, C thỏa mãn phương trình đường tròn :.

Tọa độ B, C là nghiệm của hệ sau:

Vậy tọa độ B, C là .Bài tập 3: Lập phương trình các cạnh của tam giác biết đỉnhA(2;1) trực tâm H(-6;-3) và trung điểm cạnh BC là D(2;2).Giải: Đường thẳng BC qua D(2;2) và có VTPT . Phương trình BC dạng: .Giả sử B(x;y) thì C(4-x;4-y) (Do D(2;2) là trung điểm củaBC.)

. Vì nên

B(1;4) hoặc B(3;0) nên phương trình AC và AB dạng:

Bài tập 4:Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có diện tích hai đỉnh . Trọng tâm tam giác nằm

trên đường thẳng . Tìm tọa độ đỉnh C.Giải: Vì đường thẳng : nên Phương trình đường thẳng AB: và chiều cao

Khoảng cách từ G tới AB bằng .

Theo công thức khoảng cách ta có

.


22

A

C

BG


Với thì

Với thì

Vậy có 2 điểm C thỏa mãn: .Bài tập 5: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm và các đườngthẳng và . Tìm tọa độ B, C lần lượtthuộc sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. (ĐH- B2007).Giải: Vì nên

Để vuông cân ở A thì

Đặt ta được:

Vậy B(-1;3), C(3;5) hoặc B(3;-1), C(5;3).Bài tập 6: Trong mặt phẳng Oxy xác định tọa dộ đỉnh C của tamgiác ABC biết hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳngAB là điểm H(-1,-1), đường phân giác trong của góc A cóphương trình : và đường cao kẻ từ B có phươngtrình . (ĐH – B2008)Giải: Gọi d1 : d2 : Vì d1 là phân giác trong của góc A nênđường thẳng l qua H và vuông góc với d1

cắt AC tại điểm H’ đối xứng với H qua


23


d1. Gọi I là giao điểm của l và d1, I là trung điểm của HH’.Phương trình đường thẳng l : Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ :

Gọi tọa độ của H’(a;b) thì Đường thẳng AC qua H’(-3;1) và d2: nên AC có hệsố góc bằng nên có phương trình là:

suy ra tọa độ của điểm A:

CH qua H(-1;-1) có VPPT là .Phương trình CH dạng:


Bài tập 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABCcân tại A và có đỉnh và các đỉnh B, C thuộc đườngthẳng . Xác định tọa độc các điểm B và C, biếtdiện tích tam giác ABC bằng 18 (ĐH-B2009)Giải : Gọi đường cao là AH

Ta được: AH =

BC =

AB= AC=

Hai điểm B(x; y), C(x; y) cùng thỏa mãn hệ sau:

hoặc (x; y)=

Vậy hoặc .


24

A

B CH


Bài tập 8: Xác định tọa độ đỉnh B của tam giác ABC, biết, ác đường phân giác trong và trung tuyến kẻ từ đỉnh

A lần lượt có phương trình , .Giải:Gọi C’ đối xứng với C qua phân giác AD: Khi đó

thì VTCP của AD là Vì

.

H là trung điểm của CC’ nên

(AM là trung tuyến từ A, M trung điểm BC) nên tọa độ A lànghiệm của hệ: .Phương trình AB qua A(9;-2) và C’(2;-1) nên:

M là trung điểm của BC nên:

Vậy: .Bài tập 9: Cho tam giác ABC có cả 3 góc nhọn. Viết phươngtrình đường thẳng chứa cạnh AC của tam giác, biết tọa độchân đường cao hạ từ A, B, C tương ứng là: , ,Giải:Gọi H là trực tâm tam giác ABC thì:Từ tính chất của tứ giác nội tiếp, ta chứng minh được H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A1B1C1.Đường thẳng A1B1 có phương trình : GV: Hoàng Thương Thương THPT Hồng Thái

25

A

C BMH

C’

D

A

CA1

B1

HB

C1


Đường thẳng B1C1 có phương trình : Khi đó phương trình cặp đường phân giác góc A1B1C1:

Thay tọa độ của A1, C1 vào phương trình của ta được:

nằm về 2 phía khác nhau của là phân giáctrong của góc A1B1C1. Nên BB1 là đường thẳng là phân giác ngoài của gócA1B1C1. Vậy AC có phương trình là : .( Tương tự các đường phân giác ngoài của góc B1A1C1, A1C1B1 tương ứng là cácđường thẳng BC, AB của tam giác ABC).

KÕt luËn- Với mục đích tự học và nâng cao trình độ, nâng cao

chất lượng giảng dạy cho học sinh trong trường phổ thông,

đồng thời cung cấp tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 10.

§Ò tµi t«i ®· nªu ®îc ph¬ng ph¸p chung cho mçi d¹ng còng

nh minh häa b»ng c¸c bµi to¸n cô thÓ, ®ång thêi còng ®a ra

cho mçi d¹ng mét sè bµi tËp t¬ng tù ®Ó vËn dông.

- §Ò tµi ®· ®îc t«i ¸p dông gi¶ng d¹y trong giê häc tù chän

b¸m s¸t t¹i líp 10A10, 10A12 trêng THPT Hång Th¸i vµ thu ®-

îc kÕt qu¶ t«i xin tr×nh bµy trang sau.

- Tuy vËy, trong qu¸ tr×nh viÕt, do thêi gian vµ kinh

nghiÖm gi¶ng d¹y cã h¹n nªn kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu

sãt, h¹n chÕ nhÊt ®Þnh. RÊt mong nhËn ®îc sù gãp ý cña Héi


26


®ång khoa häc nhµ trêng THPT Hång Th¸i – §an Phîng – Hµ

Néi, Héi ®ång khoa häc Së GD & §T Hµ Néi. T«i xin ch©n

thµnh c¶m ¬n.

KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM1. Kết quả thu được

Đề tài đã được tôi áp dụng trong quá trình giảng dạy tựchọn bám sát lớp 10, được học sinh đồng tình và đạt đượckết quả, nâng cao khả năng tìm điểm và phương trình đườngthẳng trong tam giác khi biết một số yếu tố liên quan.

Các em hứng thú học tập hơn, khi đã quy bài toán hìnhhọc về các yếu tố giải tích. Ở những lớp đã được giảng dạy vàphân loại bài toán các em biết định hướng khi giải bài tậpdạng này. Học sinh với mức học trung bình khá trở lên đã cókỹ năng giải bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt.Kết quả thu được cụ thể như sau :

Lớp10A10Sĩ số50

Không hiểubài-không

làm được bàitập

Hiểu bài-làm đượcbài tập

Học lựcG K TB Y

Trướckhi

71 % 29 % 5% 29% 53% 13%


27


thựchiện đềtài

Sau khithực

hiện đềtài

24 % 76 % 10% 55% 28% 7%

Lớp10A12Sĩ số46

Không hiểubài-không

làm được bàitập

Hiểu bài-làm đượcbài tập

Học lựcG K TB Y

Trướckhithực

hiện đềtài

74 % 26 % 4% 20% 58% 18%

Sau khithực

hiện đềtài

28 % 72 % 8% 53% 30% 9%

Như vậy sau khi chuyên đề được áp dụng tôi thấy cácphương pháp có hiệu quả tương đối. Theo tôi khi dạy phầntìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy giáo viên cần đưathêm các bài toán dạng tương tự để học sinh vận dụng và nắmđược bài tốt hơn.2. Bài học kinh nghiệm Qua việc nghiên cứu và tiến hành dạy thử nghiệm chuyênđề, đồng thời tôi có lấy ý kiến của học sinh cho thấy: a.Đối với giáo viên Sau nghiên cứu và viết sáng kiến xong tôi đã nắm rõ về

phương pháp tìm các yếu tố của tam giác khi biết cácyếu tố đặc biệt.


28


Nắm chắc cơ sở lý luận về phương pháp dạy học sinh “tìmmột số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy”

b.Đối với học sinh Học sinh hiểu rõ, có phương pháp và kĩ năng giải bài

tập Rèn luyện khả năng phân tích, tìm tòi lời giải, nghiên

cứu khai thác lời giải một bài toán.Như vậy, giáo viên không chỉ truyền thụ cho học sinh

những kiến thức của sách giáo khoa mà cần chú ý phân loạicác dạng toán, khái quát được cách giải cho mỗi dạng tạohứng thú học tập cho học sinh.


29


Môc lôc

Lêi më ®Çu......................................2

1. LÝ do chän ®Ò tµi: ...........................2

2. Môc ®Ých nghiªn cøu: ..........................2

3. §èi tîng nghiªn cøu:...........................3

4. Giíi h¹n nghiªn cøu: ..........................3

5. NhiÖm vô cña ®Ò tµi: ..........................3

6. Ph¬ng ph¸p nghªn cøu: .........................3

Néi dung ..........................................4

PhÇn 1: LÝ thuyÕt vÒ ®iÓm ®êng th¼ng trong mÆt ph¼ng

...................................................4

1. Vec t¬ ®Æc trng ..............................4


30


2. Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng.........................4

3. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng.................5

4. Gãc gi÷a hai ®êng th¼ng........................5

5 Kho¶ng c¸ch vµ ph¬ng tr×nh ®êng ph©n gi¸c.......5

PhÇn 2: §iÓm vµ ®êng th¼ng ®Æc biÖt trong tam gi¸c. 6

Lo¹i 1:BiÕt täa ®é 1 ®iÓm vµ ph¬ng tr×nh 2 ®êng cïng

tÝnh chÊt .....................................6

Lo¹i 2: BiÕt täa ®é 1 ®iÓm vµ ph¬ng tr×nh 2 ®êng kh¸c

tÝnh chÊt......................................9

Lo¹i 3: BiÕt täa ®é 1 sè ®iÓm vµ ®êng ®Æc biÖt. 12

PhÇn 3: Bµi tËp tæng hîp.........................17

KÕt luËn ..........................................22

Tµi liÖu tham kh¶o1. Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n h×nh häc gi¶i tÝch trong mÆt ph¼ng

– Lª Hång §øc, Lª H÷u TrÝ.

2. TuyÓn tËp 750 bµi tËp to¸n h×nh häc – NguyÔn Sinh Nguyªn.

3. Bµi to¸n ThiÕt lËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng – NguyÔn

Thanh C¶nh.


31


4. Giíi thiÖu ®Ò thi tuyÓn sinh vµo §H, C§ toµn quèc (2002

– 2010) – TrÇn TuÊn DiÖp – Ng« Long HËu – NguyÔn Phó Trêng.

5. C¸c tµi liÖu trªn internet: Violet, VNmath.com, ebook.here.vn.

NhËn xÐt cña héi ®ång gi¸m kh¶o cÊp trêng:........................................................................................................................


32


............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................

............................................................NhËn xÐt cña héi ®ång gi¸m kh¶o cÊp së:..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


33


......................................................................

......................................................................


34

Tam giac trong mat phang Oxy

Documents

Transcript of Tam giac trong mat phang Oxy