Sviluppi armonici

Sviluppi armonici

Angelo Zanni a.zanni� libero.it

Liceo Scientifico “Francesco d’Assisi”-Roma

Dicembre 2010

Breve introduzioneIn fisica, il moto armonico è il moto descritto da un “oscillatore armonico”, cioè un sistema meccanico che, quando

perturbato dalla sua posizione di equilibrio, è soggetto ad una forza di richiamo F proporzionale allo spostamento

subito x in accordo alla legge di Hooke:

F = -k x , dove k è una costante positiva.

Se F è la sola forza agente, il sistema è detto oscillatore armonico semplice, ed esso subisce un moto armonico sem-

plice ossia oscillazioni sinusoidali attorno al punto di equilibrio, con ampiezza e frequenza costante.

Plot@Sin@2 Π tD, 8t, 0, 1<D

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.0

-0.5

0.5

1.0

Il fatto è che, però, il moto armonico è un moto che raramente si verifica in natura.

È però, un moto base; nel senso che se ad esempio, si agitasse una carica elettrica con un moto armonico attorno ad

una posizione di equilibrio, si produrrebbe un campo elettromagnetico che darebbe una luce pura (monocromatica).

Agitando, quindi, una carica con un moto armonico potrei avere il rosso, arancione, giallo, verde, azzurro, indaco e

violetto. In realtà i colori dell'arcobaleno sono sei, ma viene aggiunto l'indaco, che non è un colore puro, ma una

sfumatura di viola, semplicemente per arrivare al numero sette che è considerato più solenne.

Quindi i sei colori puri corrispondono ad una funzione sinusoidale; per esempio la luce monocromatica di un laser

verde corrisponde ad un segnale sinusoidale di frequenza 560 THz.

mailto:[email protected]

Se voglio quindi ottenere altri colori, devo fare una combinazione di funzioni sinusoidali.

Considerazioni matematicheConsideriamo la seguente coppia di funzioni f(t) e g(t) definite nel modo seguente:

f@t_D :=4

ΠSin@100 Π tD;

g@t_D :=4

3 ΠSin@300 Π tD;

La f e la g sono funzioni sinusoidali di frequenza, rispettivamente, 50 Hz e 150 Hz (quindi di periodo 1

3di f )

Facciamone un grafico:

2 Oscillazioni sinusoidali.nb

g1 = PlotBf@tD, :t, 0,4

50>, PlotRange ® :80, 0.08<, :-

5

Π,

5

Π>>,

PlotStyle ® [email protected], RGBColor@0, 0, 1D<F

0.02 0.04 0.06 0.08

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

g2 = PlotBg@tD, :t, 0,4

50>, PlotRange ® :80, 0.08<, :-

5

Π,

5

Π>>,


0.02 0.04 0.06 0.08

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Facciamo il grafico della funzione somma S(t)=f(t)+g(t) e vediamo cosa succede.

S@t_D := f@tD + g@tD

Oscillazioni sinusoidali.nb 3

g3 = PlotBS@tD, :t, 0,4

50>, PlotRange ® :80, 0.08<, :-

5

Π,

5

Π>>,


0.02 0.04 0.06 0.08

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

Come si vede, non si tratta più di una funzione sinusoidale, ma se provo a sovrapporre il grafico di f e di g, scopro

qualcosa:

Show@g1, g2, g3D

0.02 0.04 0.06 0.08

-1.5

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

In pratica, il periodo e la frequenza di S è uguale al periodo e alla frequenza di f (che chiameremo FONDAMEN-

TALE), mentre chiameremo la g(t): ARMONICA.

Consideriamo ora la successione di funzioni sinusoidali costruite nel modo seguente ( si noti che la frequenza è

uguale ad un multiplo dispari di 50 Hz ).


fn_@t_D :=4

H2 n - 1L ΠSin@2 Π H2 n - 1L 50 tD

Vediamo come sono fatte

8f1@tD, f2@tD<

:4 Sin@100 Π tD

Π,

4 Sin@300 Π tD3 Π

>

Sono proprio le nostre funzioni f e g!

Somma di sinusoidiRifacciamo qualche grafico

graf12 = PlotBf1@tD + f2@tD, :t, 0,4

50>,

PlotRange ® :80, 0.08<, :-4

Π,

4

Π>>,

PlotStyle ® [email protected], RGBColor@1, 0.445258, 0.156146D<F

0.02 0.04 0.06 0.08

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Confronto con f1 :


PlotB8f1@tD + f2@tD, f1@tD<, :t, 0,4

50>,

PlotRange ® :80, 0.08<, :-4

Π,

4

Π>>,

PlotStyle ® [email protected], RGBColor@1, 0.445258, 0.156146D<,

[email protected], RGBColor@0, 0, 1D<<F

0.02 0.04 0.06 0.08

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Aggiungiamo f3, confrontiamo e poi vediamo il grafico della somma :


PlotB8f1@tD + f2@tD, f3@tD<, :t, 0,4

50>,

PlotRange ® :80, 0.08<, :-4

Π,

4

Π>>,

PlotStyle ® [email protected], RGBColor@1, 0.445258, 0.156146D<,

[email protected], RGBColor@0, 1, 0D<<F

0.02 0.04 0.06 0.08

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Che succede se sommo anche questa?

graf123 = PlotBf1@tD + f2@tD + f3@tD, :t, 0,4

50>,

PlotRange ® :80, 0.08<, :-4

Π,

4

Π>>,

PlotStyle ® [email protected], [email protected], 1, 0.000534066D<F

0.02 0.04 0.06 0.08

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0


Cosa succede se continuo ancora? Per esempio fino a 10? Vediamo:

PlotBâi=1

10

fi@tD, :t, 0,4

50>, PlotRange ® :80, 0.08<, :-

4

Π,

4

Π>>,


0.02 0.04 0.06 0.08

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

È lo sviluppo di un’onda quadra con 10 armoniche sulla fondamentale f1.

Show@%, g1D

0.02 0.04 0.06 0.08

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Se la rossa non vi pare abbastanza quadra, potremmo andare avanti, per esempio alla 20-esima armonica


PlotBâi=1

20

fi@tD, :t, 0,4

50>, PlotRange ® :80, 0.08<, :-

4

Π,

4

Π>>,


0.02 0.04 0.06 0.08

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Porto lo sviluppo fino alla 40-esima armonica la cui frequenza sarà 4050 Hz.

PlotBâi=1

40

fi@tD, :t, 0,4

50>, PlotRange ® :80, 0.08<, :-

4

Π,

4

Π>>,


0.02 0.04 0.06 0.08

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Se ancora non siete contenti................Il prossimo è lo sviluppo fino a 5 MHz (si noti all’inizio l’istruzione Timing che

si occupa di restituire il tempo di esecuzione)


TimingBPlotB âi=1

50 000

fi@tD, :t, 0,4

50>, PlotRange ® :80, 0.08<, :-

4

Π,

4

Π>>,

PlotStyle ® [email protected], RGBColor@1, 0.0860914, 0.109667D<FF

:3480.62,0.02 0.04 0.06 0.08

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

>

Come vedete c’è voluta quasi un’ora di elaborazione per produrre il risultato sperato..........non ne vale la pena e

vediamo di capire perchè .

Considerazioni finaliLa forma d’onda quadra perfetta ha infinite armoniche, quindi in teoria se io dovessi ricostruire un’onda quadra dovrei

fare uno sviluppo in serie (........di Fourier). Ciò, matematicamente avrebbe una sua logica, ma fisicamente non

avrebbe molto senso e, a giudicare dall’ultimo output, nemmeno “softwaristicamente” (perdonate il neologismo!) in

quanto per ricostruire un’onda quadra perfetta mi basterebbero “solo” 50000 armoniche. Questo da un punto di vista

puramente visivo, nel senso che potrei tranquillamente andare oltre i 5 MHz e migliorare il punto di vista matematico,

senza però migliorare il punto di vista percettivo.

Se, ad esempio, stessimo facendo una analisi armonica in ambito acustico, dovremmo tenere conto del fatto che

l’orecchio umano percepisce frequenze fino ad un massimo di 20 kHz; quindi fare un’analisi armonica su frequenze

superiori non avrebbe alcun senso fisico. Se operassimo nel campo della visione, dovremmo tenere presente che lo

spettro (= armoniche + la fondamentale) del visibile varia tra i 400 e i 790 TeraHz. Quindi non converrebbe allargare

oltre lo spettro, poichè l’occhio non se ne accorgerebbe.

I 4 KHz usati nel penultimo input, rappresentano già una buona approssimazione di un’onda quadra. In realtà , questa è

la larghezza di banda delle trasmissioni telefoniche. Rappresenta quindi uno standard! Quando sentiamo qualcuno al

telefono, capiamo di chi si tratta anche se sappiamo che quella non è la voce vera (come dal vivo). Quando parliamo

dal vivo emettiamo una vibrazione che può essere scissa nella fondamentale + le sue armoniche. Quando si sente la

voce dal vivo, per ricostruire l’onda si fa uno sviluppo fino a 20 kHz. Se parliamo al telefono, la voce non si per-

cepisce come dal vivo (anche se la riconosciamo) perchè arrestiamo lo sviluppo fino allo standard telefonico di 4 kHz,

cioè fino a 40 armoniche. Precisiamo, infine, cosa si intende col termine larghezza di banda.

Per determinare la larghezza di banda di una forma d’onda, si fa lo sviluppo armonico, quindi la fondamentale + le armoniche e si considera la quantità B = fmax - fmin. Dove B è proprio la larghezza di banda e fmax, fmin indicano la frequenza massima e minima.

Si osservi che per una funzione sinusoidale si ha B = 0. Mentre per un’onda quadra perfetta si ha B = ¥; quindi si fa

un taglio e la si rappresenta in una certa banda. Per esempio, se la rappresento in una banda di 4 kHz, farò

f1 + f2 + ... ... + f40.


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