RENDICONTI DEL CIRCOLO MATEMATICO Ol PALERMO Serie II, Tomo XXVIII (1979), pp. 445-454

SULLA CONVERGENZA DELLE SERIE REALI

A TERMINI NON NEGATIVI

LIVIA D'APUZZO

In this paper some necessary and sufficient conditions are given for convergence of a series with non-negative terms. As a particular case, one finds again the well-known ratio-test for convergence of series with positive terms; in such a connection, some observations are made of didactical interest. Finally, some relations are emphasiged concerning theorems of convergence for real series (here obtained) and fixed point theorems already known.

Nel n. 1 di questo lavoro vengono messe in luce condiz ioni necessarie e

sufficienti pe r la convergenza di una scriP reale a termini non negativi; tal i con-

dizioni vengono espresse, nel n. 2, in a l t ra forma, con r i fe r imento ad una classe

di scrip real i a termini non negativi comprenden te quel le a te rmini posit ivi .

Dai r isul tat i ot tenuti si r i cavano poi , nei nn. 3 e 4, a lcune condiz ioni suffi-

cienti, per la sudde t ta convergenza.

In par t ico lare , si r i t rova che, pe r ogni successione (a,) n e N di numer i real i

positivi, la cond iz ione :

l im ' ' - a " + l < 1 . a ~

b sufficiente pe r la convergenza de l ia scrip di termine generale a , ; a tale pro-

posito, vengono fat te alcune osservazioni di un cer to interesse didat t ico.

Sempre nei nn. 3 e 4, vengono ri levati , nel l 'ordine di idee di una no ta di

I. Del Prete [1] , legami t ra teoremi di convergenza per scriP real i qui ot tenuti

e noti teoremi di punto unito.

Lavoro eseguito nell'ambito del Gruppo Nazionale per l'Analisi Funzionale e le sue Applicazioni del C. N. R.

446 uvt^ D'APUZZO

1. - Conven iamo di denotare , in questo lavoro, con (a.) n ~ N (1) una suc-

cessione di numeri real i non negativi, e con il s imbolo p . . . . per ogni coppia

(n, m) di N 2 con n < m, il numero :

a~ + . . . -4- am.

Det to ~ l ' ins ieme del le appl icazioni q~ di [0, + oo [ in [0, + oo [ ta l i che :

l ira ( x - - 9 ( x ) ) = + ~o. x ~ -4- o r

ci p ropon i amo di d imos t ra re che :

1.1 - Le seguenti proposizioni sono equivalenti:

A) Esiste un'applicazione r di r tale che :

pn+~, ,.+1 < q~ (pn, ~) V ( n , m ) E W : n _ < m.

B) Esistono un intero posit ivo n ed un'applicazione q~ di ~ tali che:

On+l, m+l < q~ (pn,,.) V m E N : m _> n.

C) Esistono una coppia (n, ~) di N 2, con n ~ ,~, ed un'applicazione q~ di

tali che :

Pn+I,m+I ~--- q~ (pn, m) V m E N :m >__ u.

D) La serie di termine generale an converge.

Dim. Che A) impl ichi B) e che B) impl ich i C) ~ evidente.

D imos t r i amo che C) impl ica D). A tale scopo ~ sufficiente far vedere che:

l im 9n, m < + oo. m

Orbene , se fosse l im p., , . = + oo, per l ' appa r t enenza di qo a ~ si av rebbe : m

l im (p., m - - 9 (P., m)) = + or m

(1) Con N denotiamo l'insieme degli interi posifivi.

SULLA CONVERGENZA DELLE SERIE REAL| A TERMINI NON NEGATIVI 447

Ma cib b assurdo in quanto, qualunque sia l ' intero positivo m >_ ,~, risultan- do per ipotesi:

an - - a m + l = p . . . . - - 9.+1, m+l > 9" , m - - 9 (pn , m) .

si ha :

a. _>_ p., ,. -- 9 (P., .,).

Che C) implichi D) resta cosi acquisito.

Dimostr iamo infine che D) implica A).

Basta al l 'uopo osservare che, detta l la somma della serie di termine generale a. e denotata con 9 l 'applicazione:

x:[0, + ~[ - - . l , risulta:

nonch6:

lim ( x - - 9 ( x ) ) = + ~ .

p.+1.,.+1 -- 9 (9 . , , . ) V ( n . m ) E N Z : n <_ m.

La (1.1) 6 cosi dimostrata.

Osserviamo che con procedimento analogo si pub dimostrare c h e l a D) anche equivalente ad ognuna delle seguenti proposizioni:

E) Esiste un'applicazione 9 di [0, + oo [ in [0, + ~ [ tale che:

9.+1, ,.+1 <- 9 (9., ,.) V (n. m) E N 2 : n <_ m,

sup a . < lim' (x--9(x)) . n E N x ~ + o ~

F) Esistono un'applicazione 9 di [0, + ,,o [ in [0, + ~ [ ed un intero posi-

tivo n tali che :

9.+t,m+l <~ 9 ( 9 . , " ) V m E N : m >_ n.

a. < lira' (x - 9 (x)).

G) Esistono un'applicazione 9 di [0, + o~ [ in [0. + ,,~ [ ed una coppia (n, ~) di N z, con n <_ ,~. tali che:

p.+l. ,.+1 < 9 (P.. ,.) V m E N : m > , ~ ,

a . < l im ' ( x - - 9 ( x ) ) .

448 uvtA D'APUZZO

2. - Supponiamo ora che la successione (an)n c N goda della propr ie tg :

oO se ~ nullo l' e lemento a. . sono nulli tutti gIi elementi di indice maggiore d in .

In tale ipotesi, denota to con A l ' insieme delle applicazioni ~. di [0, + oo [ in

[0. + oo [ tali che:

l im (1 -- ~,(x)) . x = + oo, X ~ .ql- OO

consider iamo le seguenti proposizioni :

A ' ) Esiste un'applicazione )~ di A tale che:

p.+l,m+~ ~ k (p . ,m) p ..... V ( n . m ) E NZ:n < m.

B') Esistono un intero positivo n ed un'applicazione )~ di A tctli che :

p~+~, m+~ --< ~, (P., m) p~, ,~ V m E N : m _> n.

C') Esistono una coppia (n, ~) di N 2, con n < ~, ed un'applicazione )~ di A

tali che: p.+~, m+l ~< k(p . , m) p . .~ V m E N : m >__ v (2).

Dimos t r i amo che le proposizioni A) e A ' ) sono equivalenti. Per p rovare che A ' ) impl ica A) basra considerare l 'appl icazione:

~0:xE [0, + ~ [ ~ k ( x ) - x.

Per provare che A) implica A ' ) cons ider iamo l 'appl icazione:

k : x E [0, + ~o[ --.

0 se x = 0

(x) se x ~ 0 .

X

DaU'appar tenenza di 9 a ~ discende in m o d o ovvio l ' appar tenenza di )~ a A. Inoltre. per ogni coppia (n. m) di interi positivi, con n <__ m. la diseguaglianza

0.+1, m+l < k (O~, ,-) P~,.,

r isulta evidente se p . . . . ~ 0; nel caso in cui sia pn.m = O. essa consegue dall 'essere an---_ 0 e quindi, per la proprieth ~), anche p.+~, m+~ = 0.

(2) Ovviamente, per una qualunque successione (a~)n E N di numeri reali non negativi, la

propriet~ ~) 8 necessaria perch6 si verifichi A'), e non ~ invece inclusa n6 in B') n6 in (2').

SULLA CONVERGENZA DELLE SERIE REALI A TERMINI NON NEGATIVI 449

Abbiamo cosi dimostrato l'equivalenza delle proposizioni A) e A'). Analo- gamente si vede che sono equivalenti le proposizioni B) e B') e le pro,posizioni C) e C'). Da tali equivalenze si deduce che la proposizione (1.1), limitatamente al caso in cui la successione (a.)n E N goda della a), e la seguente proposizione (2.1)

conseguono banalmente l'una dall'altra.

2.1 - Se (a.)n C N 0 una successione di numeri reali non negativi godente

della oc), le proposizioni A'), B'), C') e' D) sono equivalenti.

Sempre nel caso in cui la successione (an)n c N goda della ix), possiamo ovvia-

mente formulate tre proposizioni E'), F'), G') equivalenti alla D), e legate rispetti-

vamente alle proposizioni E), F), G) cosi come A') b legata ad A).

Osserviamo anche che, poich6 le implicazioni A') ~ A), B') ~ B) e C') ~ C) possono essere verificate indipendentemente dalla proprieth ~), sussiste la seguente proposizione :

2.2 - Per una qualunque successione (a.) n c N di numeri reali non negativi,

ognuna delle proposizioni A'), B'), C') implica Ia convergenza della serie di

termine generale a . .

3. - Dalla (2.2) consegue facilmente che:

3.1 - Se (a.) n c N ~ una qualunque successione di humeri reali non negativi

godente della proprietgt :

[3) 3 ( k , n ) E [0, 1[ • N :am+l<_kam V m E N : m > _ n ,

la serie di termine generale as converge.

Dim. Basta infatti osservare che per la successione (a.) n ~ N ~ verificata la B') in quanto risulta:

p.+l, m+l -- kp . ,~ V m E N:m >_ n

e l'applicazione :

~,:xE [0, + ~ [ - ~ k

appartiene a A.

Qualunque sia la successione (a,)nc N di numeri reali positivi, la ~) equivalente alla proprietY:

T) lira" a~+~ < 1;

con la (3.1) si ritrova pertanto la ben nota sufficienza della ~,) per la convergenza della serie di termine generale an.

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450 UVIA D'~trzzo

Ta le sufficienza ~ s tata dunque qui acquisita, contrar iamente al solito, indi- pendentemente dalta considerazione detle serie geometriche. Appa re percib di un cer to interesse, dal punto di vista didattico, osservare esplici tamente che la (3.1) pub faci lmente dimostrarsi , a prescindere dal la (2.2), con il p rocedimento che a b b i a m o seguito per p rovare l ' implicazione C ) ~ D), ed osservare inoltre che la (3.1) implica banalmente , insieme con la predet ta sufficienza della y), la con- vergenza delle serie geometr iche con ragione in ] - - 1, 1 [ (3) e quindi la convergenza a 0 della successione (kn)ncN per k E ] - - l , 1[.

Equivalente alla proposiz ione (3.1) b la seguente proposizione:

3.2 - Se (a~) n ~ N k una qualunque successione di numeri reali non negativi

godente della propriet?~:

~) Esistono un intero positivo n ed un'applicazione crescente k di [0, + co [ in [0, 1 [ tall che :

(1) am+l < k(am) a,, V m E N : m _> n,

la serie di termine generale an converge.

Per la verifica di tale equivalenza, r isul tando evidente c h e l a propr ie th [3) impl ica la proprieth ~), bas ta far vedere che ~) impl ica [3); a tale scopo basta osservare che, ammessa Ia ~), per ogni intero posi t ivo m maggiore d i n si ha :

an >__ an+ l >- . . . >- am

e q u i n d i :

)~ (am) _< )~ (an).

1~ interessante notare t h e la proposizione (3.2) e il seguente teorema di

punto unito sono equivalenti :

3.3 - Sia I un'applicazione di uno spazio metrico completo (S, d) in s3

tale che risulti: d (/(x), J (y) _< a ( d ( x , y ) ) , d ( x , y ) V (x,y) ES 2,

con ~ applicazione crescente di [0, + ~o [ in [0, 1 [.

In tali ipotesi f ha un unico punto unito ~ e ~ attrae S (~) (s).

(3) Evidentemente, una volta acquisita la eonvergenza della serie geometrica di ragione k E ] - - l , 1[, per determinate la somma s di tale serie basta osservare che: s = 1 + ks.

(4) La locuzione ~ ~ attrae S �9 significa che:

lira [n(x) = ~ VxES, n

jn essendo, per ogni intero non negativo n, l'iterata n-esima di J. (5) Tale teorema differisee soltanto formalmente dal teor. (4.3) della nota [1], nella quale

~i pone in risalto l'eqmvalenza tra atcuni teoremi di punto unito ed alcuni criteri di conver- genza per serie reali.

SULLA CONVERGENZA DELLE SERIE REALI A TERMINI NON NEGATIVI 4 5 1

Verifichiamo c h e l a proposizione (3.3) implica la proposizione (3.2).

Nelle ipotesi della (3.2), supponiamo per assurdo c h e l a serie di termine

generale an diverga. Conseguentemente, detto S l'insieme degli elementi della

successione (9n, m)m~n e detta d la metrica indotta in S dalla metrica euclidea

in R, lo spazio metrico (S, d) risulta completo. Osservando inoltre che, per la

supposta divergenza e per la (1), non pub essere nullo alcun termine di indice

maggiore o uguale a n, possiamo considerare l'applicazione [ di S in s6 definita

dall'essere :

f(P., ,~)= P..,~+I V m E N:m >_ n.

Considerati due elementi di S. x = 9,,, ~ e y = 9 . . . . con n _< r _< s, risulta:

d ([ (x). J (y)) = 9,', ~+l -- 9., r+l = ar+2 "-]- . . . "-~ G+x,

d ( x , y ) : 9,', s - - p,', r " ~ a r + l -a t- . . . q- as,

da cui, tenendo conto della (1) e osservando che 6

si ha :

k (a~) <_ ~, (an)

d (f (x), f (y)) ~_ ~, (a,') d (x, y).

V m E N : m >_n,

Conseguentemente, denotata con ~ l'applicazione:

x~ [0, + oo [ ~ ),(an),

risulta verificata l'ipotesi della (3.3), e pertanto la convergenza della successione

(iv (0,,,))p c N, ossia della successione (p,,,'+p)p ~ N ' in contrasto con l'ipotesi della

divergenza delia serie di termine generale an.

Dimostriamo ora c h e l a proposizione (3.2) implica la proposizione (3.3).

Nelle ipotesi della (3.3), si ha:

d (f (x), [ (y)) < d (x, y) V (x, y) E S2 : x ~ y,

e pertanto la [ ~ continua e non pub avere pifi di un punto unito. La tesi della

(3.3) sarh perci6 dimostrata se faremo vedere che, per ogni x di S, la suc-

cessione (in (x)) n ~ N converge. Consideriamo la serie di termine generale d ([" (x),

] "+1 (x)). Tale serie ~, a norma della (3.2), convergente, in quanto risulta:

d( l , '+~(x) , / , '+2(x) )<_~(dq"(x) , / "+~(x) ) ) .d ( /~(x) , l "+~(x) ) V n E N ,

452 UWA o'xvvzzo

ed (z ~ una applicazione crescente di [0, + oo [ in [0, 1 [. Ne deriva, con un semplice ragionamento (6), ch~ la successione (l n (x)) n E N ~ di Cauchy, e quindi convergente.

L 'equiva lenza tra le proposizioni (3.2) e (3.3) ~ cosi acquisita (7).

4. - Osserviamo che se nella (3.2) si sostituisce all ' ipotesi ~c )~ crescente l ' ipotesi cc ~, decrescente ~, si ha una proposizione falsa.

Infat t i la serie a rmonica

1 1 l q - ~- + . . . + - - - i f - + . . .

diverge e tuttavia, considerata la seguente appl icazione decrescente e a valori minor i di 1 :

1 ~, :xE[O, + oo [---, l + x

risulta:

(c), n + l --~" n

Y n E N .

Poss iamo invece af fermare che:

4.1 - Se (a,) n c I~ ~ una successione di numer i reali non negativi ed esistono

un intero posi t ivo n e d un'applicazione decrescente ), di [0, + ~ [ in [0, 1 [

tali che :

pn+l, m+t ~ ~,(pn, m) pn, m V m E N : m ~ n,

le serie di termine generale an converge.

Dim. Risulta, infatti, per la decrescenza di ~,:

l im (1 -- ~,(x))- x = q- oo, x~-]- oo

e per tan to ~ verificata ta B'). Ne consegue l 'asser to per la (2.2).

(6) Cfr. [1], dim. della (2.1). (7) Con lo stesso ragionamento si dimostra c h e l a proposizione (3.1) ~ equivalente al

teorema di punto unito di Banach-Caccioppoli.

SULLA CONVERGENZA DELLE SERIE REALI A TERMINI NON NEGATIVI 453

Analogamente si dimostra che:

4,2 - Se (a,)n c N ~ una successione di humeri reali non negativi ed esiste

una applicazione decrescente )~ di [0, + ~ [ in [0, 1 [ tale che:

Pn+l, m+l ~ k (pn, m) P . . . . V (n, m) E N 2 : n <_ m,

Ia serie di termine generale a, converge.

Infine, 6 utile osservare che la proposizione (4.2) si pub anche dimostrare

come corollario del seguente teorema di punto unito dovuto a E. Rakotch

(cfr. [2]).

4.3 - Se J ~ un'applicazione di uno spazio metrico completo (S, d) in sd,

tale che:

d( f (x) , ] (y)) -< ~(d(x ,y ) ) d (x , y ) V ( x , y ) E S 2 : x ~ y,

o~ essendo un'applicazione decrescente di ]0, + oo [ in [0, 1 [, f ha un unico punto

unito ~ e ~ attrae S.

Invero, nelle ipotesi della (4.2), supposto per assurdo c h e l a serie di ter-

mine generale as diverga, denot iamo con S l 'insieme degli elementi della serie,

e cio6 della successione (Pl,,~)m ~ ~ , e con d la metrica indotta in S dalla metrica

euclidea in R. L o spazio metrico (S, d) ~ completo, ed ha senso considerare

l 'applicazione [ di S in s6 definita dall 'essere:

f ( p l , m) = pl, m+l V m E N (s).

Risultando, come facilmente si verifica:

d (f (x), f (y)) _< ~, (d (x, y ) ) . d (x, y) 'V' (x, y) E S 2 : x r y,

sono verificate le ipotesi della (4.3), con ct uguale alla restrizione di ~, a ]0, + oo [.

Di conseguenza, a norma della (4.3), la successione (P~.m)mcN converge,

contrariamente all 'ipotesi c h e l a serie diverga.

(s) Cfr. la verifica, effettuata nel n. 3, della implicazione ( 3 . 3 ) ~ (3.2).

4 5 4 uvx^ D'APVzzo

BIBLIOGRAFIA

[1] Del Pretc I., Su alcune generalizzazioni del teorema di punto unito di Banach-Caccioppoli equivalenti al criterio del rapporto, Ricerche di Mat., 20 (1971), 260-268.

[2] Rakotch E., A note on contractive mappings, Proc. Amer. Math. Soc. 13 (1962),459-465.

Pcrvenuto il I0 gcnnaio 1977

lstituto Universitario Navale Cattedra di Matematica

Via A. Acton, 38 - 80134 Napoli