RENOICONTI DEL CIRCOLO MATEMATICO DI PALERMO Serie II, Tomo XXXI (1982), pp. 25%266

SUI GRUPPI SOTTOMODULARI INFINITI

FRANCESCO DE GIOVANNI -- SILVANA FRANCIOSI

Lower-modular infinite groups are considered in this paper. We give a generali- zation of a theorem of Jones and Ito to locally finite groups and to nilpotent-by-abelian groups; moreover we study periodic subgroups of lower-modular groups.

Siano H e K sottogruppi di un gruppo G. Denotati con H A K l'interse-

zione insiemistica H 1"1 K e con H V K il sottogruppo generato da H e K, l ' insieme 1 (G) dei sottogruppi di G ~ un reticolo algebrico completo. Si dir~ che G ~ sottomodulare se tale ~ l(G), cio~ se da (1) H < . H V K segue

H A K < . K . I gruppi sottomodulari finiti sono stati caratterizzati da Jones ([6]) e

Ito ([5]). Nel presente lavoro si prendono in esame i gruppi sottomodulari infiniti; in particolare, nel n. 1 si estende al caso localmente finito il risultato di Jones e Ito, nel n. 2 vengono studiati i sottogruppi periodici dei gruppi sottomodulari iperabeliani, mentre nel n. 3 vengono caratterizzati i gruppi sot-

tomodulari a derivato nilpotente. Notazioni e terminologia sono quelle usuali (cfr. [9] e [10]); in particolare:

(1) Se G ~ un gruppo periodico, I I (G) denota l ' insieme dei numeri primi p tali che G sia dotato di qualche elemento di periodo p;

(2) Qualunque sia il numero primo p, IIp denota l ' insieme dei numeri

primi maggiori di p;

(3) S (G) denota lo zoccolo del gruppo G (cio~ il sottogruppo generato

dai sottogruppi normali minimali di G).

Lavoro eseguito nell'ambito del G.N.S.A.G.A. de1 C.N.R. (1980-81). (1) La notazione A < . B < G esprime che A e B sono sottogruppi di G e che A

massimale in B.

258 F R A N C E S C O D E GIOVANNI - S I L V A N A F R A N C l O S I

1. La struttura dei gruppi sottomodulari finiti ~ descritta dalla seguente ben nota proposizione:

1.1. (Jones [6], Ito [5]) Un gruppo finito G ~ sottomodulare s e e solo se supersolubile e induce su ciascun suo ]attore principale un gruppo di auto-

morfismi identico oppure di ordine primo.

Allo scopo di estendere il risultato precedente al caso localmente finito, si premette quanto appresso:

1.2. Un gruppo G ~ sottomodulare s e e solo se da H < . K <_ G segue che H ~ di Dedekind (2) in K.

Dimostrazione. Sia G sottomodulare; poich6 la sottomodularit~ si eredita

per sottogruppi, ~ sufficiente provare che ogni sottogruppo massimale M di G

risulta di Dedekind in G, cio~ che si ha (H V M) A K = H V (M A K) ogni

q u a l v o l t a H < K < G e H ~ M . Risultainfatti ( H V M ) A K = G A K = K =

= H V (M A K), giacch6 M A K ~ massimale in K e H ~ M A K. Reciproca-

mente, da H < . K___G segua che H ~ di Dedekind in K, e siano A e B

sottogruppi di G tali che A sia massimale in A V B. Per assurdo esista in G

un sottogruppo X tale che A A B < X < B , da X ~ A segue A V X = A V B ,

ma A ~ di Dedekind in A V B e quindi si ha la contraddizione B = (A V X) A

A B = X V ( A A B ) = X .

1.3. Un gruppo G localmente supersolubile linito ed a sottogrouppi finiti

sottomodulari 0 sottomodulare.

Dimostrazione. Sia M un sottogruppo massimale in qualche K < G; la

locale supersolubilit~ di G assicura che M ha indice primo in K (err. [7],

coroll. 2), sicch6 K/MK ~ finito (3). Allora K ~ generato da MK e da un con-

veniente sottogruppo finito X, cosi K / M x risulta sottomodulare in quanto iso-

(2) Un sottogruppo H di un gruppo G si dice di Dedekind in G se per ogni coppia (K,L) di sottogruppi di G da H < L segue H V (KA L ) = ( H V K ) A L e da K ~_< L segue K V (H A L ) = ( K V H ) A L.

(3) Ora e nel seguito, H G e H c denoteranno rispettivamente la chiusura normale ed il << core ~ del sottogruppo H ___ G.

S U I G R U P P I SOTTOMODULARI I N F I N I T I 259

morfo al gruppo finito sottomodulare X/MK A X. Dopo di cib M/MK ~ di Dedekind in K/MK (cfr. 1.1), onde M ~ di Dedekind in K; per l'arbitrarieth

di M e per la 1.1 G ~ sottomodulare.

Si ~ ora in grado di provare il

TEOREMA 1.4. Un gruppo localmente finito G ~ sottomodulare s ee solo se localmente supersolubile e induce su ciascun suo fattore principale un gruppo

di automorfismi identico oppure di ordine primo.

Dimostrazione. Sia G sottomodulare. La locale supersolubilith di G segue

evidentemente dalla 1.1. Siano quindi H/K un fattore principale e x un qua-

lunque elemento di G; poich~ G ~ localmente supersolubile, H/K ha ordine primo, ed ~ quindi un fattore principale del gruppo sottomodulare finito

H V (x)/K, sicch6 per la 1.1 x induce su H/K l'automorfismo identico oppure

un automorfismo di ordine primo. Reciprocamente, per dimostrare la sufficienza

della condizione, si proverb che ogni sottogruppo finito H di G ~ sottomodulare. Sia X un qualunque sottogruppo normale ~ 1 di H, e sia A = X G la chiusura

normale di X in G; poich6 X ~ finito l'insieme ~] dei sottogruppi normali di G

contenuti propriamente in A ~ induttivo e quindi dotato (Lemma di Zorn) di

un elemento massimale B; chiaramente A/B ~ u n fattore principale di G ed

ha percib ordine primo. Si ha X ~ B, da cui A ----- B X e percib A/B ~ X / X A B, cosi X / X A B ~ un fattore principale di H. Qualunque sia l'elemento h E H A

A zc(n /B) , si ha [h,X] <_X e [h,X] < [h,A] <--B, per cui [h,X] _<

< X A B e H A Zc(A/B) <_Z~(X/X A B). Allora, al pari di G/Za(A/B),

il gruppo H/Zn (X/X A B) ~ identico oppure di ordine primo. L'arbitrarieth

di X tra i sottogruppi normali non identici di H prova la possibilitg di costruire,

nel gruppo supersolubile finito H, una serie principale sui cui fattori H induce gruppi di automorfismi identici oppure di ordine primo. Poich6 serie principali di H risultano H-isomorfe, dalla 1.1 segue la sottomodularitg di H. Dopo di

cib G risulta sottomodulare a causa di 1.5.

Osservazione 1.5. Nel Teorema 1.4 non si pub prescindere dalla locale finitezza, supponendo il gruppo G soltanto periodico. E infatti chiaro che i

gruppi di Tarski risultano sottomodulari.

Osservazione 1.6. Un gruppo sottomodulare localmente finito pub non essere iperabeliano. Esistono infatti p-gruppi localmente finiti (e quindi sotto-

modulari) col radicale di Gruenberg identico (cfr. [9], Part 2, pag. 29).

260 F R A N C E S C O D E G I O V A N N I - S I L V A N A F R A N C I O S I

TEOREMA 1.7. Per un gruppo localmente finito G sono equivalenti:

(i) G 0 sottomoduIare e ogni intervaIlo di l (G) ~ irriducibile;

(ii) G ~ un p-gruppo, oppure risulta G = (N, biN p-gruppo abeliano,

b q= 1, q primo <p, a b = a ~ ( V a E N ) , r-:-@l (rood. p)).

Dimostrazione.

(i) ~ (ii) Sia G non primario e sia q il minimo dei periodi degli ele-

menti ~ 1 di G. Qualunque siano i q'-elementi a~ e a2 di G, il gruppo sotto-

modulare finito (a~, a2, b) ha ordine del tipo p~q (p numero primo) (cfr.; [12],

prop. 1.5), sicch6 l'arbitrariet~ di a~ e a2 tra i q'-elementi di G comporta

II(G) = {p,q}. Qualunque sia la parte finita A di G costituita da p-elementi,

la prop. 1.5 di [12] applicata al gruppo sottomodulare finito (A ,b) assicura

che tale gruppo ~ dotato di un unico p-sottogruppo di Sylow S che risulta abeliano,

e si ha a b = a ~, con r intero indipendente da a'E S e tale che r ~;~ 1 (mod. p).

Dopo di ci6, con ovvie considerazioni si ottiene (ii).

(ii) ~ (i) Sia H u n sottogruppo finito di G; se H <_ N, chiaramente H

sottomodulare. Sia invece H ~ N, e sia c un elemento di periodo q di H;

si ha N �9 (c) = G e H = H A (N . (c}) = (H A N) - (c) risulta sottomodulare

per la prop. 1.5 di [12]. Dopo di ci6 ogni sottogruppo finito di G ~ sotto-

modulate, e la sottomodularith di G segue dalla 1.3 (cib B evidente se G

un p-gruppo). Allo scopo di provare che ogni intervallo di I (G) ~ irriducibile,

si supponga in primo luogo G p-gruppo. Si consideri per il momento un inter-

vallo finito [H, K] di l (G), e sia ~0: [H, K] ---, s X s un isomorfisrno retico-

lare; posto (4) At = q0 -1 (Is, 02) e A2 ---~ q0 - s ( 0 t , / 2 ) , da H < X ___ K segue

X = (X/k As) V (X A A2). Posto N ---- Nr (H), qualunque sia il sottogruppo

X / H di N/H si ha X = ( X A A 1 ) V ( X A A z ) = ( X A ( N A A 1 ) ) V ( X A ( N A A 2 ) ) ,

e la coppia (N A AI/H, N A A2/H) ~ A-distributiva in I(N/H). Allora i

gruppi N A A1/H e N A A2/H sono coprimi (cfr.; [12]), e si pub quindi sup-

porte N A AI = H, cio~ H -- NA1 (H). D'altra parte, essendo G localmente nil-

potente e l'intervallo [H, K] finito, H ha indice finito in K e quindi anche in

AI, siccM si ha H = As, per cui s ~ banale e l'intervallo [H, K] ~ irriducibile.

(4) Dove 0~=mins e I i=maxs ( i= 1,2).

SUI GRUPPI SOTTOMODULARI INFINITI 261

Sia quindi [H, K] un qualunque intervallo di l(G), e per assurdo esista

un isomorfismo q0: [H,K] ~ s • s con s e s reticoli aventi entrambi ordine maggiore di 1. Poich6 il reticolo [H,K] ~ completo, esistono degli

intervalli finiti non banali ~a di s e ~2 di s ; posto ~ = ~1 X ~2, l'insieme

qo -I (9) ~ un intervallo finito di l(G) che risulta riducibile, in quanto isomorfo

a ~1 X g2, e ci6 ~ assurdo per quanto gi?~ provato. Pertanto se G ~ p-gruppo

ogni intervallo di l (G) ~ irriducibile. Sia quindi G non primario e siano [H, K]

un intervallo di l (G) e q): [H, K]----s X s un isomorfismo reticolare, e si

definiscano come nel caso precedente i sottogruppi A I e A2. Se H < N, H

normale in G, e l'irriducibilith di [H,K] segue da quella di I(K/H) (cfr. [12],

theor. 4, pag. 5). Supposto invece H ~ N, sia c un elemento di periodo q

di H; si ha allora G = N �9 (c), e quindi H = (N �9 (c)) A H = (N A H) �9 (c)

e similmente K = (N A K) . (c). Qualunque sia ~1 sottogruppo X di G tale

che N A H < _ X < N A K , si ha H = ( N A H ) . ( c ) < X . ( c ) < - - - ( N A K ) "

�9 (c) = K e quindi X. (c) = ((X. (c}) A A1) V ((X. (c)) A A2) = ((c) (X A

AA0) V ( ( c ) ( X A A 2 ) ) = ( c ) (XAA~)(XAA2) . D'altra parte X ~ l'unico

p-sottogruppo di Sylow di X . (c) e quindi X = (X A A1)(X A A2). Dopo di

ci6 l'applicazione

'~ : X,E [HAN, KAN] --, (XAA , , X A A 9 J~ [ H A N A A I , K A N A A , ] X

X [HANAA2, KANAA2]

un isomorfismo reticolare. Poich6 il reticolo l (K A N / H A N) ~ irriducibile,

uno dei fattori del codominio di �9 ~ costituito da un unico elemento. Sia per

fissare le idee H A N A A1 = K A N A A1; si ha allora K A N A A 1 < H < A2,

e q u i n d i K A N A A I < _ _ K A N A A 2 e K A N = K A N A A 2 , da e u i K A N < <A2. Dopo di ci6 s iha K = ( K A N ) . ( c ) < A 2 , e quindi K = A 2 e H = A I

e s ~ banale, sicch6 [H, K] ~ irriducibile.

2. In base alla 1.2, i gruppi sottomodulari appaiono come una naturale

generalizzazione reticolare degli /V-gruppi (s). Un risultato di Baer (cfr. [1],

theor. 3.9) assicura che un ~/-gruppo iperabeliano ~ dotato di massimo sotto-

gruppo di torsione. Un analogo risultato non sussiste per i gruppi sottomodulari,

neppure se supersolubili, come illustra la situazione seguente.

(5) Un gruppo G si dice un N-gruppo se da H <. K < G segue H <1K (cfr. [9]).

262 F R A N C E S C O DE GIOVANNI - S ILVANA F R A N C I O S I

Sia G = ( a , x : x z = 1, a x = a -1) il gruppo diedrale infinito, e siano H

e K sottogruppi di G tali che H < . K V H; se uno dei sottogruppi H e K contenuto in (a), i sottogruppi H e K sono permutabili e ]K: H A KI =

= I H V K : HI ~ un numero primo, siccM H A K ~ massimale in K. Sia

quindi H ~ (a) e K ~ (a); non pub risultare [H I = 2 giacch6 altrimenti H V K

sarebbe finito, e quindi I = ( a ) A ( H V K ) = ( a ) A H e H c ~ H V K , il che

assurdo. Se ]K[ =2, si ha ovviamente H A K < - K. Si pub pertanto supporre

t i l l>2 e IKI>2, e quindi H1 = H A (a> # 1 e K~ = K A (a) r 1; poich6 (a) ciclico infinito, risulta 1 ~ Ha A K1 <1 G e i l gruppo G/HI A KI ~ diedrale

finito. Dalla 1.1 segue che G/H~ A K1 ~ sottomodulare e quindi, poich6

H 1 A K , _ < H A K , si ha H A K < - K e G ~ sottomodulare.

Sussiste perb il seguente risultato:

TEOREMA 2.1. Sia G un gruppo iperabeliano sottomoduIare; qualunque sia

il numero primo p, l'insieme dei IIp-elementi di G ~ un sottogruppo.

Dimostrazione. Siano x e y due Hp-elementi di G, e per assurdo il sotto- gruppo H = (x ,y) sia infinito. Un risultato di Baer (cfr. [9] part 1, pag. 171) assicura che H ~ dotato di un quoziente infinito a immagini omomorfe proprie finite, e si pub evidentemente supporre the H goda di tale proprietY. Poich6 H non ~ abeliano, il gruppo H/H" ~ finito. Qualunque sia l'immagine omomorfa finita H'/K di H', K ha indice finito in H, e quindi il gruppo H/KH ~ finito e percib supersolubile, in quanto sottomodulare. Allora il gruppo H'/KH nilpotente e percib tale ~ anche H'/K. Dopo di cib H' ~ un gruppo iperabe- liano finitamente generabite a immagini omomorfe finite tutte nilpotenti, ed

quindi nilpotente per un teorema di Robinson ([8]). I1 gruppo H" ~ allora supersolubile, per cui H risulta policiclico. D'altra parte ogni immagine omo- morfa finita di H ~ supersolubile in quanto sottomodulare, e quindi, per un teorema di Baer ([2]), supersolubile 6 anche H. Allora H risulta periodico, in quanto generato da elementi di periodo dispari (cfr. [13], pag. 10) e quindi finito, il che 6 assurdo. Da cib segue la finitezza di H e quindi la sua super- solubilith. Allora H ~ un IIp-gruppo (cfr. [10], pag. 232).

Osservazione 2.2. Nel Teorema 2.1 non si pu6 prescindere dall'ipotesi di

iperabelianit~, come mostra la situazione seguente: sia G u n gruppo semplice

infinito in cui ogni sottogruppo non banale abbia ordine primo p oppure q (p > q primi distinti) (gruppo di Tarski relativo ai due numeri primi distinti

p e q). Allora G ~ sottomodulare, ma l'insieme dei suoi IIq-elementi non

un sottogruppo.

SUI GRUPPI SOTTOMODULARI INFINITI 263

3. In questo numero si perverrh alla caratterizzazione dei gruppi sotto- modulari a derivato nilpotente, esaminando anzitutto il caso finitamente gene- rabile.

3.1. Sia G u n gruppo finitamente generabile e con iI derivato nilpotente; allora ogni sottogruppo normale minimale N di un sottogruppo H di G ~ finito e il gruppo degli automorfismi indotti da H su N ~ ciclico.

Dimostrazione. Sia H u n sottogruppo di G, e sia N un sottogruppo normale

minimale d i l l . Se N A H A G ' = I si ha N ( H A G ' ) = N • e H A

A G" <_ Zn (N); se invece risulta N A H A G' ~ 1, si ha, per la nilpotenza di H A G ' , N A Z ( H A G ' ) ~ I e quindi N _ < Z ( H A G ' ) . Pertanto in ogni caso risulta H A G" ~ Zn (N), e il gruppo H/ZH (N) risulta abeliano e finita- mente generabile al pari di H / H / k G'c~ H G'/G'. PoicM H/ZH (N) ~ un gruppo irriducibile di automorfismi del gruppo abeliano N, un teorema di P. Hall (cfr. [9], Part 2, theor. 9.55) assicura che N ~ finito, siccM tale ~ anche H/ZH(N). D'altra parte l'abelianith di H / Z n ( N ) ed un risultato di Baer ([3]) comportano che H/ZH (N) ~ sottogruppo del gruppo moltiplicativo di un campo, ed ~ quindi ciclico, giaccM finito.

3.2. Per un gruppo G finitamente generabile e con il derivato nilpotente sono equivalenti :

(i) G ~ sottomodulare;

(ii) I ]attori principali di ogni sottogruppo H di G hanno ordini primi

e H induce su ciascuno di essi un gruppo di automorfismi identico oppure di ordine primo.

Dimostrazione.

(i) ~ (ii) Sia N u n sottogruppo normale minimale di un sottogruppo H di G; per la 3.1 N ~ finito e H/ZH(N) ~ ciclico. Sia quindi x Z ~ ( N ) un gene- ratore di H/ZH (N); si pub ritenere ix) < N �9 (x) giacch6 da N ~ ix} segui- rebbe N < Z(H). Sia K un sottogruppo di H tale che ( x ) < K <_ N . (x) , e quindi K contenga un etemento non identico y di N; si ha N = ( y ) ~ = = (y)~X~ <_K, sicch6 K = N - { x ) e ix) risulta massimale in N . (x). La sottomodularith di G assicura allora che N A (x} ~ massimale in N e vi ha quindi indice primo. D'altra parte N A (x) r normale in (x} e in Z~t (N), e quindi anche in H = (x ) �9 Z~(N), per cui si ha N A (x) = 1 e l'ordine di N

un numero primo. Dopo di ci6 ~ chiaro che ogni fattore principale di H ha ordine primo. E sufficiente provare che G induce un gruppo di automorfismi

264 F R A N C E S C O DE GIOVANNI - S I L V A N A F R A N C l O S I

di ordine primo su ogni sottogruppo normale minimale K. Per quanto gi~ provato K ha ordine primo e quindi G/ZG (K) ~ ciclico. Sia g u n elemento di G tale che G/ZG(K)= (gZG(K)), e si supponga G/ZG(K)~ 1. I1 sotto-

gruppo ( g ) A Zc (K) ~ chiaramente normale in K V (g), e il quoziente

K V (g) K ((g) A Zo(K)) (g) (g) A Za (K) (g) A Zo (K) (g) A Za (K)

finito e sottomodulare. Da G / Z a ( K ) # I segue K-y~(g) e quindi

K ((g) A Zo (K)) , in quanto isomorfo a K, ~ normale minimale in

(g) A Zo (K)

K V (g) (g) �9 Dal teorema di Jones- Ito segue ehe G/Zo (K)

(g) A ZG (K) (g) A Za (K)

ha ordine primo.

(ii) ~ (i) Siano H e K sottogruppi di G tali che H sia massimale in K; poich6 i fattori principali di K sono finiti, risulta finito anche l'indice di H

in K (cfr. [9], Part 2, lemma 9.39.2). Considerato il nocciolo HK di H in K, poich6 i fattori principali di K hanno ordini primi, il gruppo finito K/Hr supersolubile; allora le ipotesi su K e la 1.1 comportano che K/HK ~ sotto-

modulare, per cui H/HK ~ di Dedekind in K/HK e H ~ di Dedekind in K.

La sottomodularith di G segue allora dalla 1.2.

3.3. Per un gruppo radicale G sono equivalenti:

(i) G ~ sottomodulare;

(ii) da H massimale in K <_ G segue the H ha indice finito in K, e inoltre

ogni sottogruppo finitamente generabile di G ~ sottomodulare.

Dimostrazione.

(i) ~ (ii) Sia 1 = K0 --< K1 ~ . �9 ~ Ks < K~+I --< . . . --< Ky = K una ca- tena principale ascendente a fattoriali localmente nilpotenti di K, e sia ~ il

minimo ordinale tale the K ~ H; chiaramente ~z non b ordinale limite, e

Ks_l--< H. Risulta H massimale in K = H Ks e quindi, per la sottomodularitg

di G, H A Ks ~ massimale in K~ ; allora H A Ks/Ks-1 ~ massimale nel gruppo

localmente nilpotente Ks/Ks_~ e quindi, per un noto teorema di Baer (efr. [9], Part 1, theor. 5.38), H A Ks ~ normale in Ks. Dopo di ci6 [K: H[ = = IKs : H A Ks] ~ un numero primo�9

S U I GRUPPI SOTTOMODULARI INFINITI 265

(ii) ~ (i) Siano H e K sottogruppi di G tali che H sia massimale in K;

poich6 HK, al pari di H, ha indice finito in K, esiste un sottogruppo finita-

mente generabile X di G tale che K = X HK. Dopo di cib il gruppo K/H~:,

in quanto isomorfo a X / X / k Hr, ~ sottomodulare, sicch6 H ~ di Dedekind

in K e l'asserto segue dalla 1.2.

Dalla 3.2 e dalla 3.3 segue il

TEOREMA 3.4. Per un gruppo G con iI derivato nilpotente sono equivalenti:

(i) G ~ sottomodulare;

(ii) da H < . K < G segue che H ha indice finito in K, ed i ]attori win-

cipaIi di ogni sottogruppo finitamente generabile X di G hanno ordini primi

e X induce su ciascuno di essi un gruppo di automorfismi identico oppure di

ordine primo.

Dimostrazione.

(i) ~ (ii) Owia .

(ii) ~ (i) Sia H < - K _ < G ; poich6 HK, al pari di H, ha indice finito

in K, esiste un sottogruppo finitamente generabile X di G tale che K = X H r .

Allora il gruppo finito K/HK ~ isomorfo a X / X / k H~ e quindi sottomodulare

per la 1.1, siccM H ~ di Dedekind in K e G ~ sottomodulare per la 1.2.

3.5. Sia G u n gruppo radicale e sottomodulare con �9 (G) = 1. Allora G

metabeliano ed ipociclico.

Dimostrazione. Qualunque sia il sottogruppo massimale M di G, M ha

indice finito in G e quindi, per un risultato di R. Schmidt (cfr. [11]), il

gruppo G/Ms ~ metabeliano, e quindi G" <MG; dopo di cib si ha

G " < /~ Ma = I e G ~ metabeliano. Dalla dimostrazione della 3.3 segue M < . G

che ogni sottogruppo massimale di G ha indice primo e quindi G risulta ipo-

ciclico (cfr. [4], teor. 2.3).

3.6. Sia G un gruppo sottomodulare localmente finito e con �9 (G)= 1.

Allora G ~ metabeliano e ipociclico.

Dimostrazione. Osservato che G ~ localmente supersolubile, si ragiona come

nella 3.5.

266 FRANCESCO DE GIOVANNI - S1LVANA FRANClO$1

Si concluderh osservando che:

3.7. Sia G u n gruppo sottomodulare e col derivato localmente nilpotente.

Ogni ]attore principale finito di G ha ordine primo.

Dimostrazione. Sia N u n sottogruppo normale minimale finito di G; se

N~;g~G', si ha N G ' = N • e G ' < Z c ( N ) . Se invece N _ < G ' , la finitezza

di N assicura che N / ~ S (G') ~ 1 e quindi N ~ S (G') ~ Z (G'), sicch6 anche

in tal caso G'.<_ Zc (N). Dopo di cib G / Z c (N) ~ abeliano finito e, come nella

3.2, si ottiene che N ha ordine primo. E chiaro aUora che ogni fattore principale

finito di G ha ordine primo.

BIBLIOGRAFIA

[1] Baer R., Nilpotent groups and their generalizations, Trans. Amer. Math. Soc,, 47 (1940), 393-434.

[2] Baer R., tIberaufl6sbare Gruppen, Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 23 (1957), 11-28. [3] Baer R., Irreducible groups o] automorphisms o[ abelian groups, Pacific J. Math.,

14 (1964), 385-406. [4] Franchetta A., Alcune osservazioni sui gruppi i cui sottogruppi massimali hanno indici

primi, Rend. Accad. Sci. Fis. Mat. Napoli, 45 (1978), 453-462. [5] Ito N., Note on LM-groups o~ finite order, Kodai Math. Sere. Reports (1951), 1-6. [6] Jones A.W., Semimodular finite groups and the Burnside basis theorem, Bull. Amer.

Math. Sot., 52 (1946). [7] Phillips R. E - Robinson D.J.S. - Roseblade 1. E., Maximal subgroups and chie[

factors of certain generalized soluble groups, Pacific I. Math., 37 (1971), 475-480. [8] Robinson D. 1. S., A theorem on finitely generated hyperabelian groups, Invent.

Math., 10 (1970), 38-43. [9] Robinson D. J. S., Finiteness conditions and generalized soluble groups, Springer 1972.

[10] Schenkman E., Group theory, Van Nostrand Company 1965. [11] Schmidt R., Modulare Untergruppen endlieher Gruppen, Illinois I. Math., 13 (1969),

358-377. [12] Suzuki M., Structure of a group and the structure of its lattice o] subgroups,

Springer 1956. [13] Zappa G., Sui gruppi di Hirsch supersolubili I, Rend. Sere. Mat. Univ. Padova,

12 (1941), 1-11.

Pervenuto i l 5 giugno 1981

Istituto di Matematica via Mezzocannone, 8

80134 Napoli