1

Ing. Gabriela Ortiz L. 1

Sistemas Físicos

Dependiendo de los elementos del

sistema, los podemos clasificar en:

Sistemas eléctricos

Sistemas mecánicos

Sistemas electromecánicos

Sistemas de fluídos

Sistemas termodinámicos

Ing. Gabriela Ortiz L. 2

Sistemas Físicos

En general tenemos 3 tipos de elementos:

De almacenamiento de energía cinética

De almacenamiento de energía potencial

Disipadores de energía

Ecuaciones diferenciales describen el funcionamiento dinámico de estos sistemas

Ing. Gabriela Ortiz L. 3

Sistemas Eléctricos

Tenemos ecuaciones diferenciales que relacionan elementos eléctricos pasivos

Elementos los asumimos lineales

R: Disipa energía

L: Almacena energía a través de un campo magnético

C: Almacena energía por medio de un campo eléctrico

Ing. Gabriela Ortiz L. 4

Sistemas Eléctricos

∫=

=

dttvL

ti

dt

tdiLtv

)(1

)(

)()(

dt

tdvCti

dttiC

tv

)()(

)(1

)(

=

= ∫

R

+

-

V(t)

i(t)

RG

tGvti

Rtitv

1

)()(

)()(

=

=

=

2

Ing. Gabriela Ortiz L. 5

Ejemplo 1: Circuito eléctrico

LCR VVVte ++=)(

∫ ++=dt

tdiLdtti

CRtite

)()(

1)()(

2

2

)(

)(

dt

VdLCV

dt

dVRCte

dt

dVCtiAdemás

cc

c

c

++=

=

Encontrar la función de transferencia del sistema

Representar el sistema por medio de un diagrama de bloques

Representar el sistema utilizando variables de

estadoIng. Gabriela Ortiz L. 6

Ejemplo 1 (continuación)

Función de transferencia

1

1

)(

)()(

2 ++==

sRCLCssE

sVsG c

Diagrama de Bloques

Ing. Gabriela Ortiz L. 7

Ejemplo 1 (continuación)

Representación en variables de estado

)()(

)(1

0

)(

)(

1

10

)(

)(

1

2

1

2

1

txty

teLtx

tx

LRL

C

tx

tx

=

+

−−=

&

&

Ing. Gabriela Ortiz L. 8

Ejemplo 1 (continuación)

Diagrama de Bloques (a partir de

diagrama de flujo de señal)

3

Ing. Gabriela Ortiz L. 9

Sistemas Mecánicos

Se dividen en: Sistemas de traslación Sistemas de rotación

Sistemas Mecánicos de Traslación Variables

Aceleración, Velocidad y Desplazamiento

Elementos básicos Amortiguador Viscoso Masa Resortes lineales

Ing. Gabriela Ortiz L. 10

Sistemas Mecánicos lineales

2

2 )()(

)()(

dt

tydMtf

dt

tdvMtf

=

=

∫=

=

dttvKtf

tKytf

)()(

)()(

dt

tdyBtf

tBvtf

)()(

)()(

=

=

Am

ort

igua

dor

Masa

Resort

e L

inea

l

Ing. Gabriela Ortiz L. 11

Otros tipos de fricción

Fuerzas de fricción dependen de: Composición de las superficies

Presión entre superficies

Velocidad relativa, etc…

Fricción viscosa Relación lineal

Fricción Estática Representa una fuerza que tiende a prevenir el

movimiento

0)()( =±= ysFtf& Ing. Gabriela Ortiz L. 12

Otros tipos de fricción

Fricción de Coulomb

Fuerza de amplitud constante con respecto al cambio de velocidad

dtdy

dtdyFtf c=)(

4

Ing. Gabriela Ortiz L. 13

Ejemplo 2: Sistema mecánico lineal

1. Encontrar la función de transferencia del sistema

2. Representar el sistema por medio de un diagrama de bloques

3. Representar el sistema utilizando variables de estado

Distancia recorrida la vamos a considerar como la salida del sistema

Consideramos también una superficie sin fricción

Ing. Gabriela Ortiz L. 14

Ejemplo 2 (continuación)

Función de transferencia del sistema

KsBMssG

sF

sY

++==

2

1)(

)(

)(

Diagrama de bloques

Ing. Gabriela Ortiz L. 15

Ejemplo 2 (continuación)

Representación en variables de estado

)()(

)(1

0

)(

)(10

)(

)(

1

2

1

2

1

txty

tfMtx

tx

MBMKtx

tx

=

+

−−=

&

&

Ing. Gabriela Ortiz L. 16

Sistemas Mecánicos de Rotación

Variables

Par o torque T

Velocidad angular ω

Desplazamiento angular θ

Elementos Básicos

Amortiguador viscoso rotacional

Momento de Inercia

Resorte torsional

5

Ing. Gabriela Ortiz L. 17

Ley de Movimiento

Ley de movimiento de Newton para movimiento de rotación

J=Inercia

α=acelaración angular

∑ = αJFuerzas

Ing. Gabriela Ortiz L. 18

Sistemas Mecánicos de Rotación

Inercia La inercia de un elemento depende de la

composición geométrica alrededor del eje de rotación y de su densidad

Para un disco circular

M=Masar=radio

2

2

1MrJ =

Ing. Gabriela Ortiz L. 19

Sistemas Mecánicos rotacionales

)()(

)()(

tKtT

dttKtT

r

r

θ

ω

=

= ∫

dt

tdBtT

tBtT

r

r

)()(

)()(

θ

ω

=

=

2

2 )()(

)()(

)()(

dt

tdJtT

dt

tdJtT

tJtT

θ

ω

α

=

=

=

Momento de inercia

Resorte Torsional

Amortiguador Viscoso

Rotacional

Ing. Gabriela Ortiz L. 20

Otros tipos de fricción

Son válidos los tipos de fricción

descritos en el movimiento traslacional

Fricción estática

Fricción de Coulomb

0)()(

=±=

θ&sFtT

dtd

dtdFtT c

θ

θ=)(

6

Ing. Gabriela Ortiz L. 21

Ejemplo 3: Sistema mecánico

rotacional

Al disco se le aplica un par T(t) y se desea:

1. Encontrar la función de transferencia del sistema

2. Representar el sistema por medio de un diagrama de bloques

3. Representar el sistema utilizando variables de estado

Considere:

J: momento de inercia alrededor del eje de rotación.

BR: Coeficiente de fricción viscosa para simular la fricción de la superficie cercana al disco

La inercia del eje es despreciable pero se considera la constante del resorte torsional

Ing. Gabriela Ortiz L. 22

Ejemplo 3 (continuación)

Función de transferencia

Diagrama de bloques

rr KsBJssT

s

++=

Θ2

1

)(

)(

Ing. Gabriela Ortiz L. 23

Ejemplo 3 (continuación)

Ecuaciones de estado

)()(

)(1

0

)(

)(10

)(

)(

1

2

1

2

1

txty

tTJtx

tx

JBJKtx

tx

rr

=

+

−−=

&

&

Ing. Gabriela Ortiz L. 24

Conversión entre movimientos de

traslación y rotación

Cremallera y piñon

Banda y polea

)()( trtx θ=

Distancia que viaja la masapor cada revolución del piñón o la polea es 2πr

Distancia que viaja la masaes:

Inercia equivalente vista porel motor:

22 rg

WMrJ ==

7

Ing. Gabriela Ortiz L. 25

Conversión entre movimientos de

traslación y rotación

Anillo sin finDistancia lineal que viaja la masapor cada revolución del tornillo es L=2πr

Inercia equivalente vista porel motor:

2

2

2

==

π

L

g

WMrJ

Ing. Gabriela Ortiz L. 26

Trenes de engranes

Sirven como dispositivos de acople

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

θ

θ

ω

ω====

N

N

r

r

T

T

http://es.wikipedia.org/wiki/Engranaje

Ing. Gabriela Ortiz L. 27

Tren de Engranes considerando

pérdidas

T: Par aplicado

T1, T

2: pares de

torsión transmitidos

Ejemplo

Incluimos inercia, fricción viscosa, y fricción de Coulomb

Ing. Gabriela Ortiz L. 28

Zona Muerta

Se presenta en sistemas mecánicos

de transmisión cuando el

acoplamiento no es perfecto

8

Ing. Gabriela Ortiz L. 29

Ejemplo 4: Circuito de 2 entradas-2

salidas

Señales de entrada: Vi1(t) y Vi2(t)

Señales de salida: VC1(t) y VC2(t)

Ing. Gabriela Ortiz L. 30

Ejemplo 4 (continuación)

Diagrama de bloques

Ing. Gabriela Ortiz L. 31

Ejemplo 5: Dos masas

Obtener la representación en el espacio de estados de este sistema

Entrada: u(t)

Salida: y1(t), y2(t)

Ing. Gabriela Ortiz L. 32

Analogías Mecánico-Eléctricas

Sistemas Análogos

Sistemas que se pueden representar mediante el mismo modelo matemático pero son diferentes físicamente

Sirven, por ejemplo, para estudiar sistemas que no son fáciles de manejar experimentalmente

9

Ing. Gabriela Ortiz L. 33

Analogía Fuerza-Tensión

ResistenciaCoeficiente de fricción viscosa

InductanciaMasa o Momento de inercia

CorrienteVelocidad

CargaDesplazamiento

1/CapacitanciaConstante de Resorte

TensiónFuerza o Par

Sistema EléctricoSistema Mecánico

Ing. Gabriela Ortiz L. 34

Analogía Fuerza-Corriente

1/ResistenciaCoeficiente de fricción viscosa

CapacitanciaMasa o Momento de inercia

VoltajeVelocidad

Acoplamiento por flujo magnético

Desplazamiento

1/InductanciaConstante de Resorte

CorrienteFuerza o Par

Sistema EléctricoSistema Mecánico

Ing. Gabriela Ortiz L. 35

Sistemas Electromecánicos

Principios Básicos Tm=Km Φ ia

Tm Par motor [Nm]

Km Constante de proporcionalidad

Φ Flujo magnético [webers]

ia Corriente de Armadura [A]

eb=Km Φ ωm

eb Fuerza contraelectromotriz [volts]

Φ Flujo

ωm Velocidad del eje [rad/s]

Ing. Gabriela Ortiz L. 36

Motores C.D. de imán permanente

Controlado por inducido

La operación de un motor C.D. con control de armadura proporciona una relación prácticamente lineal entre velocidad de estado permanente y la tensión de entrada

La dirección de rotación depende de la polaridad de la tensión de entrada (en condiciones estables)

10

Ing. Gabriela Ortiz L. 37

Motor C.D de imán permanente

)()(

)()(

)()(

)()(

ttTmecánicaPotencia

titveléctricaPotencia

tktkv

tiktT

mm

ab

mbmmb

aim

ω

ωφω

=

=

==

=

Ing. Gabriela Ortiz L. 38

Ejemplo 6

Considere una carga acoplada a un

motor de imán permanente y TL(t)

como el par de dicha carga

Ecuaciones causa-efecto para el circuito del motor

Defina las variables de estado del sistema y dibuje un diagrama de estados

Ing. Gabriela Ortiz L. 39

Ejemplo 7

Se conocen los siguientes datos de un motor c.d.: Ra=2Ω

La=0,02H Kb=0,11 V/rad/s Ki=|Kb| J=0,02 kgm2

Encontrar un diagrama de bloques para simulación con Simulink la velocidad angular del motor con una entrada v(t)=20u(t) V

Considere además B=B0=0.01 [Nms] para 0 ≤ t < 1500 B0 J/Kb

2

B=0.5 B0 para t≥ 1500 B0 J/Kb2

Ing. Gabriela Ortiz L. 40

Diagrama de bloques del modelo de

un motor c.d. de imán permanente

Diagrama Simplificado

11

Ing. Gabriela Ortiz L. 41

Funciones de transferencia de otros

motores

))(()(

)(

ff

m

f RsLbsJs

K

sV

s

++=

θMotor C.D. controlado por campo,Actuador rotacional

)(

)1()(

)(

mB

Jdonde

ss

K

sV

s m

C

−=

+=

τ

τ

θMotor C.A., Control de campo bifásicoActuador rotacional

m: Pendiente de la curvapar-velocidad linealizada(normalmente negativa)

Ing. Gabriela Ortiz L. 42

Sistemas Neumático

presióntp

skgflujotqDonde

tqRtp f

:)(

]/[:)(

)()( =∆

dt

tdpKtq

dttqK

tp

)()(

)(1

)(

=

= ∫

Resistenciadel fluído Rf

Capacitanciadel fluído K

Ejemplo

Ing. Gabriela Ortiz L. 43

Referencias

[1] Dorf, Richard, Bishop Robert. „Sistemas de control moderno“, 10ª Ed., Prentice Hall, 2005, España.

[2] Ogata, Katsuhiko. „Ingeniería de Control Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª Ed., Madrid.

[3] Kuo, Benjamin C.. „Sistemas de Control Automático“, Ed. 7, Prentice Hall, 1996, México.