ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΣΕ ΣΧΟΛΕΙΑ ΤΗΣΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

«Η συνάρτηση y=ax»

Κωνσταντίνος Θέος Σοφία Ζήση

Σχολείο: 1ο Πρότυπο ΠειραματικόΓυμνάσιο

ΑθηνώνΤάξη: Β΄ ΓυμνασίουΤμήμα: Β3Ημερομηνία: 06/02/2014Διδακτική ώρα: 3η

Υπεύθυνη καθηγήτρια: Δρ. Σ. ΠατσιομίτουΣυνοδός: Γ. Ψυχάρης

Θέμα μαθήματος: Η συνάρτηση y=ax

� Η καθηγήτρια μοίρασε από ένα φύλλο εργασίας με 14 ερωτήματα σε κάθε μαθητή. Η επίλυσή του έγινε με τηβοήθεια όλης της τάξης σε μορφή διαλόγου. Μέσα σε μιαδιδακτική ώρα πρόλαβαν να απαντηθούν τα 11 πρώταερωτήματα.

Στόχος της δραστηριότητας αυτής ήταν:1) να μελετήσουν οι μαθητές την συνάρτηση y=αx

2) να εξοικειωθούν σε ήδη υπάρχουσες γνώσεις όπως ταανάλογα ποσά, τη γραφική παράσταση συνάρτησης καιτην εφαπτομένη οξείας γωνίας και

3) μέσω των αριθμητικών και εικονικώναναπαραστάσεων

που προσφέρονται από το λογισμικό δυναμικήςγεωμετρίας (Geomter’s Sketchpad, Geogebra κλπ), καιτου διαδραστικού πίνακα να διερευνήσουν το πώςσχετίζεται η παράμετρος α της συνάρτησης με τηνγραφική της παράσταση.

� Οι μαθητές στον πίνακα, στο χαρτί και στο βιβλίοσυναντούν στατικές αναπαραστάσεις των διαφόρωνεννοιών που συνήθως δυσκολεύονται να«φανταστούν» τη συμμεταβολή τους και τον τρόποαλληλεπίδρασης τους, εν αντιθέσει με την δυνατότηταπου παρέχεται από την χρήση των λογισμικών για τηνκατανόηση και εμπέδωση τέτοιων καταστάσεων.

� Με αυτό τον τρόπο ο μαθητής αλλάζει στάση και αντίνα θεωρεί τον εαυτό του ως παθητικό δέκτη τηςπληροφορίας μπαίνει στη θέση του ενεργού μέλουςτης ομάδας με ρόλο παρατηρητή-ερευνητή καισχολιαστή των γεγονότων –εικόνων που παρατηρείστο περιβάλλον του λογισμικού το οποίο o ίδιος έχειτην δυνατότητα να διαχειρίζεται και να τροποποιεί.

� Η δραστηριότητα περιελάμβανε μια ευθεία της μορφής y=αx πάνω

στο καρτεσιανό επίπεδο μέσω του λογιστικού προγράμματος The

Geometer’s Sketchpad (GSP).

Τα παιδιά έπρεπε:

1) να κατανοήσουν

τις έννοιες της εξαρτημένης

μεταβλητής x και της

ανεξάρτητης y με τη χρήση

του

συρσίματος του σημείου Β.

2) να κατασκευάσουν τις

ευθείες y=2x και y= -2x και να

μελετήσουν τις κλίσεις των

ευθειών.

� Κάποια στιγμή κατά τη διάρκεια του μαθήματος ζητήθηκεαπό ένα μαθητή να κατασκευάσει στο διαδραστικό πίνακατη γραφική παράσταση της y=2x και από μια μαθήτρια τηνy=-2x.

Ο 1ος μαθητής έφτιαξε ένα πίνακα τιμών με θετικές μόνοτιμές στο x και σχεδίασε εύκολα τη γραφική παράσταση.

Στη 2η μαθήτρια παρατηρήθηκε μια δυσκολία στηνεπιλογή των τιμών που θα έπρεπε να επιλέξει καθώς καιστις πράξεις με τους αρνητικούς αριθμούς για να βρει τηνεξαρτημένη μεταβλητή y.

� Το γεγονός ότι έβαλαν μόνο θετικές τιμές στη μεταβλητή xτους εμπόδισε να αντιληφθούν ότι η γραφική παράστασηεπεκτείνεται σε 2 τεταρτημόρια και όχι μόνο σε ένα όπωςφαινόταν στο πίνακα και κατ’ επέκταση να διακρίνουν τησυμμετρία της κάθε μιας ευθείας με τους άξονες.

� «Μετρήστε την οξεία γωνία που σχηματίζει η ευθεία y=2x με τον οριζόντιο άξονα και στη συνέχεια υπολογίστε τηνεφαπτομένη της. Ομοίως την γωνία που σχηματίζει ηευθεία y=-2x με τον οριζόντιο άξονα και στη συνέχειαυπολογίστε την εφαπτομένη της. Τι παρατηρείτε;»

Περιγραφή του ερωτήματος:Οι μαθητές από τα προηγούμενα ερωτήματα είχαν ήδηκατασκευάσει τις δύο ευθείες. Οπότε αυτό που έπρεπε νακάνουν σε αυτό το ερώτημα ήταν να μετρήσουν μόνο τιςγωνίες που σχηματίζουν με τον οριζόντιο άξονα με τηβοήθεια του λογισμικού(GSP). Το ερώτημα αυτό στηνουσία εισάγει στους μαθητές την ισότητα μεταξύ της κλίσηςμιας ευθείας με την εφαπτομένη της γωνίας πουδημιουργείτε μεταξύ της γραφικής παράστασης y=αx καιτου άξονα xx’.

( κλίση ευθείας= εφθ= α )

� Η εκπαιδευτικός μέτρησε με τη βοήθεια τουGeometer’s Sketchpad την γωνία θ που σχηματίζει ηy=2x και υπολογίστηκε 63ο και στην συνέχειαυπολογίστηκε πάλι με το λογισμικό η εφ63ο=2 πουείναι και η κλίση της ευθείας.

� Έπειτα, έγινε η ίδια διαδικασία για την ευθεία y=-2xκαι τα αποτελέσματα από το λογισμικό ήταν:ω=63ο και εφ 63ο=2

( και όχι εφ63ο= -2 όπως θα περιμέναμε)

• Οι μαθητές δεν γνωρίζουν την έννοια τουτριγωνομετρικού κύκλου στη Β τάξη, οπότε πρέπει ναμετρήσουν την γωνία που σχηματίζει η y=-2x με τονοριζόντιο άξονα πάνω στο σχήμα για τον υπολογισμότης εφαπτομένης.

• Επομένως δεν έχουν δυνατότητα να κατανοήσουν τηνμέτρηση της παραπληρωματικής γωνίας (και στησυνέχεια τον υπολογισμό της εφαπτομένης τηςγωνίας) για την εύρεση της κλίσης της ευθείας y=-2x.

• Αυτό δημιουργεί μια απρόβλεπτα εξελισσόμενηκατάσταση μέσω του λογισμικού GSP. Δηλαδή, ηευθεία y=2x και η ευθεία y=-2x μοιάζει να έχουν τιςίδιες κλίσεις (ίσες με 2)

[παρατηρήσεις που δόθηκαν από τη διδάσκουσα]

�Επιβάλλεται η άμεση αντίδραση του διδάσκοντα καιαλλαγή περιβάλλοντος για την κατανόηση των μαθητών(από GSP ���� σε διαδραστικό πίνακα)

Για να ξεπεράσει τοεμπόδιο πουεμφανίστηκε, ηκαθηγήτρια καθοδήγησετην μαθήτρια ναξανασχεδιάσει την y=-2x στο διαδραστικό πίνακαπλέον και να υπολογίσειτην εφαπτομένη τηςγωνίας με τον κλασσικόορισμό(απέναντι κάθετηπρος προσκείμενηκάθετη πλευρά) όπουβγαίνει εφω=-2 όπως ηκλίση της ευθείας.

� Το πρόβλημα δημιουργήθηκε γιατί το λογισμικόυπολόγισε την οξεία γωνία και όχι την παραπληρωματικήτης.

Το εμπόδιο αυτό οδήγησε την καθηγήτρια να πάρει τηναπόφαση να παρακάμψει να διδάξει αυτό που είναιμαθηματικά ορθό(επιστημονική έννοια) γνωρίζοντας ότιτα παιδιά δε θα το καταλάβουν επειδή δεν έχουν τιςπροαπαιτούμενες γνώσεις και να τους μεταδώσει μιαπροσωρινή γνώση(σχολική γνώση) που θα λύσεικατανοητά το πρόβλημα.

Στην επιστήμη της διδακτικής αυτό ονομάζεταιΔιδακτικός Μετασχηματισμός (didactic transposition), έννοιαέννοιαέννοιαέννοια πουπουπουπου εισήχθηεισήχθηεισήχθηεισήχθη απόαπόαπόαπό τοντοντοντον ΓάλλοΓάλλοΓάλλοΓάλλο στοχαστήστοχαστήστοχαστήστοχαστήG.Brousseau μέσαμέσαμέσαμέσα απόαπόαπόαπό τοτοτοτο έργοέργοέργοέργο τουτουτουτου «didactical situations».

Σχολιασµός κατανόησης και

ανακάλυψης µαθητώνΣημαντικά σημεία της διδασκαλίας ήταν τα

παρακάτω:

� ανακάλυψη του άξονα συμμετρίας των ευθειών λόγωτης αλληλεπίδρασης με το λογισμικό

� σημαντική κατανόηση των εννοιών (αναγνώριση –απαντήσεις όλων των παιδιών της συσχέτισης τηςκλίσης των ευθειών και της συσχέτισής της με τηνεφαπτομένη της γωνίας)

� ανακάλυψη της γωνίας των 45ο , του ισοσκελούς καιορθογωνίου τριγώνου και της έννοιας της διχοτόμουτης γωνίας για την ευθεία y=x.

� ΗΗΗΗ έννοιαέννοιαέννοιαέννοια τουτουτουτου "διδακτικούδιδακτικούδιδακτικούδιδακτικού μετασχηματισμούμετασχηματισμούμετασχηματισμούμετασχηματισμού“ όπωςόπωςόπωςόπως τηντηντηντηνδιατύπωσανδιατύπωσανδιατύπωσανδιατύπωσαν :

� οοοο Y. Chevallard (1986): «εργασίαεργασίαεργασίαεργασία κατάκατάκατάκατά τηντηντηντην οποίαοποίαοποίαοποία ηηηηεπιστημονικήεπιστημονικήεπιστημονικήεπιστημονική γνώσηγνώσηγνώσηγνώση πουπουπουπου πρόκειταιπρόκειταιπρόκειταιπρόκειται νανανανα διδαχθείδιδαχθείδιδαχθείδιδαχθείμετατρέπεταιμετατρέπεταιμετατρέπεταιμετατρέπεται σεσεσεσε αντικείμενοαντικείμενοαντικείμενοαντικείμενο διδασκαλίαςδιδασκαλίαςδιδασκαλίαςδιδασκαλίας».

� καικαικαικαι οιοιοιοι J. P. Astolfi καικαικαικαιM. Develay (1989): είναιείναιείναιείναι εξαιρετικάεξαιρετικάεξαιρετικάεξαιρετικάλεπτήλεπτήλεπτήλεπτή γιατίγιατίγιατίγιατί επιβάλλειεπιβάλλειεπιβάλλειεπιβάλλει τητητητη ριζικήριζικήριζικήριζική αλλαγήαλλαγήαλλαγήαλλαγή τηςτηςτηςτης φύσηςφύσηςφύσηςφύσης τωντωντωντωνεπιστημονικώνεπιστημονικώνεπιστημονικώνεπιστημονικών εννοιώνεννοιώνεννοιώνεννοιών εφεφεφεφ' όσονόσονόσονόσον καθιστάκαθιστάκαθιστάκαθιστά υποχρεωτικήυποχρεωτικήυποχρεωτικήυποχρεωτική τητητητημετατόπισημετατόπισημετατόπισημετατόπιση τωντωντωντων αρχικώναρχικώναρχικώναρχικών ερωτημάτωνερωτημάτωνερωτημάτωνερωτημάτων πουπουπουπου παρήγαγανπαρήγαγανπαρήγαγανπαρήγαγαν τηντηντηντηνέννοιαέννοιαέννοιαέννοια, αλλάαλλάαλλάαλλά καικαικαικαι τοτοτοτο δίκτυοδίκτυοδίκτυοδίκτυο τωντωντωντων σχέσεωνσχέσεωνσχέσεωνσχέσεων αλληλεπίδρασηςαλληλεπίδρασηςαλληλεπίδρασηςαλληλεπίδρασηςμεμεμεμε άλλεςάλλεςάλλεςάλλες έννοιεςέννοιεςέννοιεςέννοιες.

ΠρόκειταιΠρόκειταιΠρόκειταιΠρόκειται, κατάκατάκατάκατά κάποιονκάποιονκάποιονκάποιον τρόποτρόποτρόποτρόπο, γιαγιαγιαγια μιαμιαμιαμια ολοκληρωτικήολοκληρωτικήολοκληρωτικήολοκληρωτικήεγκατάλειψηεγκατάλειψηεγκατάλειψηεγκατάλειψη τουτουτουτου επιστημολογικούεπιστημολογικούεπιστημολογικούεπιστημολογικού πλαισίουπλαισίουπλαισίουπλαισίου καικαικαικαι τηντηντηντην

υιοθέτησηυιοθέτησηυιοθέτησηυιοθέτησημιαςμιαςμιαςμιας σχολικήςσχολικήςσχολικήςσχολικής επιστημολογίαςεπιστημολογίαςεπιστημολογίαςεπιστημολογίας, ηηηη οποίαοποίαοποίαοποία οδηγείοδηγείοδηγείοδηγεί σεσεσεσε νέεςνέεςνέεςνέεςδεσμεύσειςδεσμεύσειςδεσμεύσειςδεσμεύσεις καικαικαικαι νέεςνέεςνέεςνέες σχηματοποιήσειςσχηματοποιήσειςσχηματοποιήσειςσχηματοποιήσεις κατάλληλεςκατάλληλεςκατάλληλεςκατάλληλεςαποκλειστικάαποκλειστικάαποκλειστικάαποκλειστικά γιαγιαγιαγια τηντηντηντην εκπαίδευσηεκπαίδευσηεκπαίδευσηεκπαίδευση.

� Η προσπάθεια προσαρμογής της επιστημονικής γνώσης στησχολική πραγματικότητα, αποτελεί πρακτική η οποίαεμφανίστηκε μαζί με την οργανωμένη διδασκαλία.

� Στο πρόβλημα αυτό, η απάντηση που δίνεται στο πλαίσιο τωνπαραδοσιακών προσπαθειών δημιουργίας "διδακτέας ύλης" είναι η "απλοποίηση" των επιστημονικών αντικειμένων. Η"απλοποίηση" πρόκειται για μια παγιωμένη πρακτική, στοεπίπεδο λήψης και υλοποίησης εκπαιδευτικών αποφάσεων σταπλαίσια των εκπαιδευτικών θεσμών, η οποία συμβάλλειαποφασιστικά στη διαμόρφωση του εμπράγματου και νοητούχώρου της διδασκαλίας.

� Γιατί πράγματι, η πρακτική της απλοποίησης τωνεπιστημονικών αντικειμένων οδηγεί στην παραγωγή προϊόντωντα οποία από τη μια πλευρά αποτελούν τα βασικά εργαλεία τηςεκπαιδευτικής διαδικασίας και από την άλλη προσδιορίζουν ταόρια των αναζητήσεων των εκπαιδευτικών .(Κώστας Ραβάνης)