EcΘŋΘɱía

ϻateɱática &

N° 1 – Año 1 – Trujillo Setiembre 2013

C e n t r o d e E s t u d i o s “ F o l k e K a f k a ”

𝑥

𝑦

𝑧

EcΘŋΘɱía & ϻateɱática

EcΘŋΘɱía & ϻateɱática N° 1 – Trujillo 7 de Setiembre del 2013

DIRECTOR:

Julio Fernando Becerra Saucedo

EQUIPO DE REDACCIÓN:

Julio José Becerra Saucedo

Julio Becerra Castañeda

Denier Ágreda López

Wilson Guevara Vega

COLABORADORES:

Mg. Alejandro Inga Durango

E-mail:

economiaymatematica@outlook.com

PRESENTACIÓN

Conforme surgen avances en las

matemáticas se plantean nuevas cuestiones

en la ciencia económica: es el desafío actual,

lograr que la ciencia económica y las

matemáticas, además de complementarse

cada vez mejor, se utilice para resolver

problemas en una realidad económica tan

cambiante como la que estamos viviendo.

En “EcΘŋΘɱía & ϻateɱática” nos proponemos

participar activamente y contribuir a la

difusión del conocimiento científico de la

Economía Matemática.

El Director

EcΘŋΘɱía & ϻateɱática EL USO DE LOS MULTIPLICADORES DE LAGRANGE EN ECONOMÍA

1

Los multiplicadores de Lagrange es una técnica empleada para hallar máximos o mínimos

sujetos a restricciones, permite explorar entre los posibles valores máximos o mínimos, a

fin de elegir sólo aquellas que satisfacen la restricción.

Supóngase que una función de variables expresada por:

Debe encontrar el máximo o mínimo, sujetándose a una sola restricción expresada por:

Por lo que:

Sea una función F que estará definida por:

Donde se denomina multiplicador de Lagrange.

Se forma el sistema de ecuaciones y obtener las derivadas parciales de F con

respecto a . Se igualan a cero las expresiones resultantes, luego, se

resuelven las ecuaciones para determinar las incógnitas.

Esto implica encontrar todos los valores de que satisfaga el sistema

anterior. Entre los conjuntos de valores de que satisface el sistema se puede

encontrar coordenadas de todos los puntos máximos y mínimos si existen tales puntos.

El método de Multiplicadores de Lagrange no establece ninguna distinción entre los

puntos máximos y los mínimos o entre los puntos que no son ninguno de ambos.

Aplicaciones:

1. Una función de utilidad de tres productos está dada por:

Los costos de los tres artículos son S/.1, S/.2 y S/.3, respectivamente.

El consumidor puede gastar S/.54 y desea aumentar al máximo la utilidad. La

restricción de presupuesto está dada por la ecuación:

Maximizar la función de utilidad.

Análisis Matemático

EcΘŋΘɱía & ϻateɱática Solución:

Sea

⇒

Reemplazando valores:

Si , la razón presupuestaria queda satisfecha y se tiene un valor

máximo de , dicho valor ocurre con .

2. Una función de tres variables no negativas está dado por:

.

Minimice teniendo en cuenta las dos restricciones siguientes:

Sea

⇒

El valor mínimo de es 14.

1 Julio José Becerra Saucedo

Estudiante de Maestría en Ciencias Matemáticas – Universidad Nacional de Trujillo

𝜕𝐹

𝜕𝑤 𝑥𝑦 𝜆

⇒ 𝜆 𝑥𝑦

𝜕𝐹

𝜕𝑥 𝑤𝑦 𝜆

⇒ 𝜆 𝑦

𝜕𝐹

𝜕𝑦 𝑤𝑥 𝜆

⇒ 𝜆

𝑤𝑥

𝜕𝐹

𝜕𝑤 𝜆 𝑥 𝜆

𝜕𝐹

𝜕𝑥 𝜆 𝑥 𝜆

𝜕𝐹

𝜕𝑦 𝑤

𝑥 𝑥 𝑦 𝜆 𝜆

𝜕𝐹

𝜕𝜆 𝑥 𝑦 𝑤

𝜕𝐹

𝜕𝜆 𝑤 𝑥 𝑦

EcΘŋΘɱía & ϻateɱática NUEVOS HORIZONTES EN ECONOMÍA

2

Los economistas tratan de describir cómo funciona el mundo económico, observando lo

que sucede, construyen modelos – descripción de algún aspecto del entorno económico

que incluye sólo aquellas características del mundo necesarias para cumplir el propósito

que se persigue – y los someten a prueba. Las predicciones de tal modelo podrían

corresponder a los hechos o estar en conflictos con ellos. Al comparar las predicciones de

un modelo con los hechos podemos comprobar su veracidad y desarrollar una teoría

económica (resume lo que se cree entender acerca de las elecciones que realizan los

diferentes agentes económicos). Y en estos modelos, una pieza fundamental en todo

modelo económico es el concepto de equilibrio general, que es la solución de un

sistema de relaciones que se dan entre unidades económicas previamente definidas.

La variable tiempo, que está presente en dichos sistemas nos permite diferenciar dos

métodos para construir nuestros modelos, los cuales pueden ser modelos estáticos, donde

los valores de las variables exógenas sólo podrán cambiar al cambiar los valores de las

variables endógenas; y los modelos dinámicos, donde manteniendo contaste el valor de

las variables exógenas, los valores de solución de las variables endógenas variarán con el

paso del tiempo o, donde la solución de un periodo tendrá repercusiones en el periodo

posterior.

Sin embargo, la Economía, entendida como ciencia empírica, que está vinculada

totalmente a la realidad, ha sido víctima de un largo proceso de simplificación, de

desintegración o pérdida de unidad, de alejamiento de la necesaria visión normativa, de

determinismo o, en última instancia, de reduccionismo esterilizante en las antípodas de la

complejidad.

El regreso de la ciencia económica a lo real y lo esencial no supone de manera alguna

disminución o detrimento del rigor en el análisis. Por otro lado, la recuperación de la

razón de ser de la economía obliga a utilizar nuevos instrumentos conceptuales y técnicas

avanzadas en modelización, en ocasiones de una gran dificultad en consonancia con la

incuestionable complejidad de los fenómenos económicos.

En física, la dinámica es el estudio matemático del movimiento. Por otra parte, según la

conocida definición de Bertalanffy, un sistema se considera como un conjunto de

elementos en interacción, pudiéndose hablar de sistemas abiertos y sistemas cerrados.

De forma general, lo sistemas dinámicos están constituidos por un conjunto de elementos,

cuyo estado se caracteriza a su vez por un conjunto de variables, x, y,…, z, entre las que

existen relaciones matemáticas, denominadas leyes o ecuaciones de movimiento o

evolución. En el estudio de tales sistemas se trata de determinar la variación temporal de

esas variables mediante funciones x(t), y(t), …, z(t), estableciendo y resolviendo,

Proyección

EcΘŋΘɱía & ϻateɱática sucesivamente, las ecuaciones de evolución. Es aquí que el análisis en profundidad de

los sistemas dinámicos se impone, puesto que, si queremos avanzar en la nueva

concepción de la economía, más compleja y real, y por consiguiente, más coherente

con su verdadera esencia y finalidad.

Entonces para comprender la fenomenología económica en toda su extensión y

significado, resulta imprescindible su planteamiento en términos dinámicos. En la

física, por ejemplo, se puede hablar de estática y dinámica con entidad propia y definida

en cada caso, mientras que en la ciencia económica, por el contrario, la primera constituye

tan sólo una virtualidad, una apariencia, el producto de una visión subjetiva donde la

naturaleza esencial e inevitablemente dinámica del fenómeno económico no puede ser

alterado. Parafraseando a Heráclito de Efeso, el fenómeno económico, como el mundo, es

un flujo permanente en el que todo está en movimiento, fundamentándose la movilidad

permanente en la estructura contradictoria de toda realidad.

Cada vez se avanza más en encontrar herramientas que nos permitan prever,

explicar los fenómenos económicos, tales avances como la teoría de catástrofes en

economía, la cual consiste en una transición brusca de un estado de mínimo

potencial (un estado de equilibrio) a otro. Por ejemplo, la presunción de que la

economía se ajusta automáticamente, o las soluciones insatisfactorias a problemas

derivados de la existencia de bienes no divisibles y, por consiguiente, de curvas de

utilidad discontinuas, constituyen cuestiones que pueden ser superadas mediante la teoría

de catástrofes permitiendo así, un mayor acercamiento al comportamiento del mundo real.

La teoría del caos que muestra que existen cierto tipo de fenómenos que comparten

características de categorías deterministas e indeterministas, que son deterministas

(entendiendo por fenómeno determinista aquel que se halla sujeto a leyes) pero no se

pueden predecir, de apariencia aleatoria y desordenada pero que, sin embargo, obedecen

ciertas leyes. En la economía están presentes los mecanismos que dan lugar a la

aparición de fenómenos complejos, principalmente relaciones de tipo no lineal y

retardos.

La economía de la complejidad, donde la complejidad se presenta como una relación de

conocimiento en el cual el acto de conocer se une al objeto o dicho de otro modo, lo real

se articula a la teoría. Y por último, la economía sinergética que se ocupa de la no-

linealidad y de la inestabilidad como fuente de la variedad y complejidad de la dinámica

económica, en vez de entenderlos como fenómenos transitorios y perturbadores, como

hizo la economía tradicional (definida como aquella que utiliza modelos económicos

estáticos)

La economía sinergética trata de la evolución económica como procesos

irreversibles, jugando el tiempo y la dinámica caótica un papel esencial en la

EcΘŋΘɱía & ϻateɱática comprensión de los mismos, es decir, en el lenguaje de los expertos en la materia

pretende ver cómo puede producirse el caos endógeno debido a las interacciones

dinámicas de diferentes fuerzas en un proceso evolutivo que, cabe mencionar, no es

considerado por la economía dinámica tradicional.

Algunos autores sostienen que la economía dinámica tradicional debería considerarse un

caso especial de la economía sinergética, que sugiere direcciones prometedoras para

explicar la complejidad del fenómeno económico.

A lo largo de los siglos XIX y XX la matemática ha ido evolucionando y

diversificándose, de forma que la interacción entre ésta y la economía cada vez es más

estrecha: conforme surgen avances en las matemáticas se plantean nuevas cuestiones

en la ciencia económica. Sin lugar a duda, los avances que ha tenido la ciencia

económica en tratar de explicar los fenómenos económicos ha sido gracias a los avances

en las matemáticas, pero a la vez éste también ha sido su limitante.

Hace cien años no se podía pensar en sistemas dinámicos, hace cincuenta años no se

podía pensar en los famosos ciclos económicos reales, hace treinta años no se podía

concebir la idea de introducir expectativas racionales en nuestros modelos debido a

la limitante matemática. ¿Cuántas teorías faltan por crear? ¿Cuántas crisis nos falta

presenciar? ¿Podremos explicar en su totalidad un fenómeno económico? es claro

que el desafío actual de la ciencia económica es encontrar modelos que se acerquen

más en explicar la realidad económica tan cambiante.

Desde los principios del presente siglo, la ciencia de la complejidad ha aparecido como un

nuevo estimulante desafío, aunque aún no se halla ultimada, ni definidas sus fronteras de

manera clara e incuestionable. Como diría Fernández, por el momento es poco más que la

idea de una idea.

Pero en cualquier caso parece evidente que necesitamos en los momentos actuales que

se cristalice y arraigue un paradigma de la complejidad. Lo que es isomorfo entre el

pensamiento, la vida, el universo, es la complejidad, que evidentemente comporta

coherencia lógica, pero también lo infralógico, lo ilógico, lo metalógico…la salida de la

edad de hierro planetaria y de la prehistoria del espíritu nos exige pensar de forma

radicalmente compleja”

2 Julio Fernando Becerra Saucedo

Estudiante de Economía – Universidad Nacional de Trujillo

EcΘŋΘɱía & ϻateɱática PRINCIPIOS A TENER EN CUENTA POR LOS PROFESIONALES EN

ECONOMÍA3

La ciencia económica se orienta a formar profesionales competentes conducentes a lograr

que en sus labores diarias contribuyan a que la sociedad logre mayor bienestar para sus

integrantes. El uso eficiente de los escasos recursos es la premisa básica en la formación

de los economistas. Ese uso racional permite que los agentes económicos (familias,

empresas y gobierno) maximicen su función de utilidad y por lo tanto de la sociedad en su

conjunto.

El análisis beneficio–costo es la principal herramienta que los economistas

disponen para la mejor toma de decisiones. El citado análisis es el gran aporte de la

ciencia económica para el mejor uso de los recursos escasos. Todos los días, en cada

momento, se toman decisiones conducentes al logro de objetivos concretos. Las

decisiones son más acertadas cuando se cumplen tres premisas. La primera, es que debe

estar sustentada en el análisis ; la segunda, que los beneficios y costos considerados

para el análisis deben ser los adecuados; y la tercera, que la decisión debe ser afirmativa

cuando los beneficios superan a los costos; en caso contrario, no es conveniente realizar la

actividad sujeta a decisión.

El costo de oportunidad es otra gran contribución de la ciencia económica. Suele definirse

como aquel costo en que se incurre cuando los recursos se utilizan en una alternativa y se

desecha otra opción. En toda decisión hay una renuncia implícita a la utilidad o beneficios

que se hubieran podido obtener al elegir cualquier otra decisión. Para cada situación

siempre hay más de una forma de abordarla, y cada una ofrece una utilidad mayor o

menor que las otras, por consiguiente, siempre que se tome una u otra decisión, se habrá

renunciado a las oportunidades y posibilidades que ofrecían las otras alternativas. Por eso,

es necesario siempre incluir el costo de oportunidad dentro del total de costos, no hacerlo

es subestimar el costo total y por lo tanto no estaría cumpliéndose la segunda premisa

mencionada anteriormente.

Suele suceder que los estudiantes o profesionales en economía no incorporan en sus

decisiones personales toda la teoría económica que suelen conocer. Esperan aplicar sus

conocimientos sólo en sus labores profesionales. Hay decisiones personales, de mucha

Análisis de realidad

EcΘŋΘɱía & ϻateɱática trascendencia, que necesitan evaluarse de manera profesional para reducir los riesgos de

cometer errores. El matrimonio, por lo importante y trascendente en nuestras vidas, es una

decisión que necesita ser evaluada con criterio de . Cuando las parejas deciden

contraer matrimonio, asumiendo que cada uno hizo la evaluación respectiva, es porque

cada uno de ellos ha determinado que el beneficio de casarse es mayor al costo de

hacerlo. Si al poco tiempo el matrimonio se disuelve es porque se cometieron errores en

el respectivo análisis .

Cuál es el principal costo que los contrayentes consideran que incurren cuando deciden

casarse. Esta pregunta suelo hacerla siempre a mis alumnos en clase y la respuesta es casi

unánime, el costo relevante es la perdida de la libertad individual. Por lo tanto, el

beneficio que esperan los contrayentes debe superar con creces el alto costo que se

incurre al casarse. ¿Y cuál es ese beneficio por lo que las personas están dispuestas a

perder la libertad? La respuesta al respecto no es unánime. Es variado el beneficio

esperado; sin embargo, en muchas personas prevalece la belleza física de su pareja como

principal rédito. De ser así, la probabilidad de que el matrimonio fracase es mayor, porque

no hay calce en los plazos entre el beneficio y costo. El matrimonio es una actividad de

largo plazo, se contrae para toda la vida, como dirían nuestros abuelos, por lo tanto, los

beneficios y costos considerados también tienen que tener un horizonte de largo plazo. La

belleza física es un atributo de corto plazo, que se reduce con el transcurrir de los años.

Mientras eso no suceda el matrimonio se mantendrá vigente porque el beneficio es mayor

al costo, pero en el mediano plazo, cuando la belleza física comienza a reducirse, el costo

comienza a superar el beneficio esperado, razón por lo cual las personas comienzan a

cuestionar su relación matrimonial, llevando a su término, en muchos casos.

Los resultados son diferentes para aquellas personas que eligieron como beneficio, no la

belleza física sino, la belleza espiritual de la pareja, contenida en un conjunto de valores

(honestidad, responsabilidad, solidaridad, emprendedorismo, entre otros). Los valores se

mantienen vigentes toda la vida, lo que conlleva a que el beneficio esté siempre por

encima del costo, garantizando la durabilidad del matrimonio.

En el campo empresarial también se toman decisiones que conllevan a utilizar los escasos

recursos en diversas soluciones que satisfacen una misma necesidad. El análisis es

EcΘŋΘɱía & ϻateɱática también relevante en la elección de la mejor alternativa. En las decisiones de inversión,

para citar un caso, el se incorpora en las técnicas de evaluación de proyectos que

permiten elegir el proyecto que va a generar mayor valor para los accionistas. Sin

embargo, suele ser que solo las medianas y grandes empresas hacen uso de estos

principios económicos que les permite crecer y consolidarse en el mercado. Por su parte,

en la pequeña y micro empresa existe mucho empirismo que los mantiene en niveles de

subsistencia. Muchas de ellas, cuando comparan sus ingresos con sus gastos creen tener

excedentes; sin embargo, no pueden acumular y crecer porque estos excedentes son

ficticios porque no han incorporado en sus egresos el costo de oportunidad del personal

familiar que trabaja en la empresa y de otros recursos familiares que se utilizan en el

negocio pero que no se retribuye su uso.

Finalmente, en la actividad del Estado, cuya participación en la actividad económica es la

de brindar con eficiencia los bienes públicos, como educación, salud, seguridad,

infraestructura, justicia, entre otros, no se utilizan con eficiencia los recursos fiscales

recaudados debido a que no hay institucionalidad y los operadores no son los adecuados.

Como resultado del sostenido crecimiento que el país ha registrado en los últimos años,

gracias a la inversión del sector privado, las instituciones públicas tienen mayor

capacidad de gasto por los crecientes recursos fiscales recaudados; sin embargo, lo

anterior no se traduce en bienestar para la población, debido a que el gobierno no sabe

gastar; y si lo hace, el gasto es de mala calidad porque no se sustenta en un adecuado

análisis ; por lo que urge reformar el sector público con la finalidad de

modernizarlo, hacerlo eficiente y competitivo, a la par, con el sector privado. La Ley de

Servicio Civil, recientemente promulgada, se orienta a los cambios que se esperan del

aparato estatal, para hacerlo eficiente y que proporcione los servicios que la población

requiere.

3 Mg. Alejandro Inga Durango

XXVI Curso de Extensión Universitaria. BCRP. Lima. 1979

EcΘŋΘɱía & ϻateɱática LOS MODELOS COMO BASE DEL ANÁLISIS ECONÓMICO

4

Los modelos económicos son una descripción simplificada del funcionamiento de la

economía y recogen relaciones existentes entre las variables económicas. Se usan para

formular y analizar sistemáticamente hipótesis acerca del funcionamiento de la economía.

La complejidad del mundo real resulta imposible de captar por un simple modelo

económico, por ello se tiene que introducir hipótesis simplificadoras (supuestos) – lo que

se pierde en realismo y en poder explicativo, se gana en generalidad y claridad – para

formular predicciones y responder a preguntas del tipo “qué sucedería sí”.

Los modelos económicos son instrumentos que facilitan la toma de decisiones.

Los modelos económicos se expresan como un sistema de ecuaciones (lenguaje

matemático) y toman la forma de relaciones funcionales entre las variables económicas.

Camilo Dugan y Estila M. Bee señalan que “Modelo en economía es un conjunto de

relaciones matemáticas que expresan, en forma simplificada e idealizada, las

características básicas y esenciales de:

1º. Un orden institucional, legal vigente

2º. Una tecnología incorporada a la actividad económica objeto de análisis

3º. La regularidad observada en el comportamiento real de los sujetos de la actividad

económica.

Un modelo se especifica mediante una ecuación (modelos uniecuacionales) o varias

ecuaciones (modelos multiecuacionales). Cada ecuación explica un sector (agricultura,

manufactura, gobierno, etc.) o una categoría (consumidores, productores, inversores,

instituciones financieras, etc.) de la actividad económica objeto de investigación.

Según con su contenido empírico, las ecuaciones de un modelo se clasifican en:

1º. Ecuaciones de comportamiento

2º. Ecuaciones institucionales o legales

3º. Ecuaciones tecnológicas

4º. Ecuaciones de definición o identidad

5º. Ecuaciones de equilibrio móvil

Análisis Económico

EcΘŋΘɱía & ϻateɱática Una ecuación de comportamiento explica el modo de actuar de los sujetos de la

actividad económica pertenecientes a una estrategia determinada (consumidores,

productores, importadores, asalariados, etc.)

Ejemplo: La función consumo

Donde representa el comportamiento de los consumidores.

c: Función del ingreso disponible del periodo precedente medido por .

Y: Ingreso disponible

T: Impuestos

t: Hábitos de consumo y gasto de los consumidores reflejadas en la componente tendencia – variable tiempo –

Una ecuación institucional, reflejan los efectos que producen en un modelo

económico, las existencias de leyes, o un orden institucional dado, al condicionar la

actividad económica.

Ejemplo: La ecuación del impuesto

Donde indica que el total de impuesto T que se puede recaudar es función del ingreso

nacional.

T: Recaudación

: Ingreso nacional

y : Parámetros que están condicionadas por leyes impositivas

Una ecuación tecnológica, explica los modos de producción incorporada a la

actividad económica. En general reflejan la tecnología que utiliza una economía.

Ejemplo: La función de producción Cobb-Douglas homogénea de grado cero.

Donde K: capital

L: trabajo

EcΘŋΘɱía & ϻateɱática Una ecuación de definición o identidad, son relaciones que se verifican siempre, ya

sea por su construcción lógica o por la definición contable que ellas satisfacen.

Ejemplo: La ecuación

Es una identidad, la demanda final o total o producto nacional se particiona

funcionalmente en la demanda de bienes de consumo y la demanda de bienes de

inversión .

La ecuación de equilibrio móvil son aquellas igualdades que resulta de una

condición impuesta o postulado introducido.

Por ejemplo: es una ecuación móvil

Se postula la igualdad entre la oferta y la demanda como condición de equilibrio.

EcΘŋΘɱía & ϻateɱática Ejemplo de modelos económicos

1. Modelos de mercado de corto plazo

Ecuación de demanda:

Ecuación de oferta:

Condición de equilibrio:

Donde las variables son:

Los parámetros son:

La condición de equilibrio indica que para que exista equilibrio en este mercado la

cantidad demandada debe ser igual a la cantidad ofrecida.

2. Modelo macroeconómico

Las variables endógenas1 son:

Las variables exógenas2 son:

Este modelo permite predecir los efectos de la política gubernamental en la renta

nacional.

1 Una variable exógena es aquella cuyo valor se supone determinado fuera del modelo, son valores que

se toman como datos, no es afectado por los valores de otras variables del modelo. 2

Una variable exógena es aquella cuyo valor se determina dentro del modelo.

D: Cantidad demandada

S: Cantidad ofertada

P: Precio

𝑑𝐶

𝑑𝑌 𝛽

𝛽: Propensión marginal a consumir

𝛼: Consumo autónomo

C: Cantidad consumida

Y: Renta nacional

I: Volumen de inversiones

G: Déficit del gobierno

4 Julio Becerra Castañeda – Economista

XXXVI Curso de Extensión Universitaria BCRP. Lima. 1989

EcΘŋΘɱía & ϻateɱática

Desafío:

Fuente: Examen de Selección y Actualización BCRP 2012

En un mercado de automóviles de segunda mano (sin señalización). Los

vendedores de autos usados valoran sus coches (precio de reserva) como:

𝑟𝑖 4𝑣𝑖

5, donde 𝑣𝑖 (de información pública) corresponde a la valoración de

los compradores por el coche de calidad i, además lo siguiente:

Existen 2 tipos de coches, tal que: 𝑣 y 𝑣 .

Los compradores desconocen a priori si están comprando un auto de calidad

1 ó 2.

Los vendedores gozan de todo el poder de negociación (precio = valoración

de los compradores). La forma funcional de sus precios de reserva es

información privada y no pueden señalizar la calidad de sus coches.

Asimismo considere que para un comprador resulta igualmente probable

adquirir cualquier de estos 2 tipos.

Señalización (certificaciones). Considere que el gobierno ha decretado que

todos los vendedores dispongan de un certificado de calidad para efectuar la

venta de sus automóviles. La agencia encargada de otorgar estas

certificaciones cobra 300 por cada emisión (independiente de la calidad).

Describa cómo sería el equilibrio en este caso.

a. Sólo se venden un tipo de coche

b. Ambos tipos de coches se venden a un mismo precio

c. Ambos tipos de coches se venden a precios diferenciados

d. El precio de equilibrio es 1 000.

e. b y d son correctas

EcΘŋΘɱía & ϻateɱática

CURSOS DE EXTENSIÓN UNIVERSITARIA DE

ECONOMÍA Y FINANZAS

61er

CURSO DE EXTENSIÓN UNIVERSITARIA DE ECONOMÍA 2014

7mo

CURSO DE EXTENSIÓN DE FINANZAS AVANZADAS 2014

El Banco Central de Reserva del Perú convoca a los estudiantes universitarios a

participar en los cursos avanzados a nivel de post grado en las áreas de economía y

finanzas.

CURSO DE ACTUALIZACIÓN Y SELECCIÓN

Dirigido a alumnos de economía de las universidades del interior del país. El curso busca:

Reforzar los conocimientos académicos de los estudiantes de economía.

Seleccionar a los mejores alumnos para participar en el 61er Curso de Extensión

Universitaria de Economía 2014.