Résidus et dualit

Inventiones math. 26, 8 9 - 131 (1974) �9 by Springer-Verlag 1974

R6sidus et dualit6

Jean-Pierre Ramis (Strasbourg) et Gabriel Ruget (Paris)

. . . . L e hombre x est dkchirant~r ...

Andr6 l?ieyre de Mandiargues

(Feu de Braise)

Une introduction vague

Une motivation de ce travail est de sous-tendre d'id6es simples la d6monstration de certadns th6or~mes d'Andreotti-Grauert, g6n6ralis6s au cas relatif: on part d'un morphisme d'espaces analytiques complexes f : X---, Yet d'un faisceau coh6rent .~ sur X; on veut d6montrer que, moyennant des hypotheses dites de convexit6 ou de concavit6 de ce morphisme, certaines images directes Rif . ~ sont des faisceaux coh6rents. (Se proposant de g6n6raliser au cas relatif certains th6or~mes d'An- dreotti-Vesentini, on pourrait aussi bien s'int6resser aux images directes /t supports propres R f ~ [21].)

Supposons par exemple (c'est le cas << convexe >>), qu'il existe une fonction tp sur X, fi va]eurs r6elles, fortement p-convexe [21] 1 dans {d0<~o}, et telle que, pour tout dEN, l'adh6rence de Xd={q~<d } soit propre vis fi vis clef; on d6montre [19, 26] que l'application (Rkf. ~)y (Rkfd.~,~)y est bijective pour 2+p<k et surjective pour k = l +p, si d o <d (fd d6signant la restriction de f fi X d et ~y la fibre du faisceau if). (On d6montre en fait un r6sultat plus pr6cis, le r6sultat sur les fibres 6tant insuffisant: pour les degr6s correspondants l'application naturelle H k(f-1 (y,); ~ ) _~ H k ( f -~ (y,) c~ Xd; ~ ) est bijective ou surjective, pour tout Y' ouvert de Stein relativement compact dans Y.) Dans ce cas les d6monstrations par Kiehl-Verdier ou Forster-Knorr du th6or6me des images directes de Grauert [8, 18, 9] peuvent 8tre adapt6es [26], et on obtient la coh6rence des Rkf. ~ pour 1 + p--< k: en effet, la d6monstra- tion du th6or6me de finitude <dr la Schwartz>> qui est la clef du travail de Kiehl-Verdier (th6or6me 2 de [8]) proc~de par r6currence descendante sur k. Par contre, dans ]e cas ~ concave ~, (pour obtenir la d6finition d'un morphisme q-concave, on remplace dans celle d'un morphisme p-convexe

t 0-convexe = p lur isousharmonique, tandis que d a n s [ 1 ] 1-convexe = p.s.h. !

7 Inventlones math. Vol 26

90 J.P. Ramis el G. Ruget

p par q et on change le sens des in6galit6s), on a sur les fibres (Rkf,~)y des renseignements pour k < p r o f x . ~ - q - 2 - d i m 1I. Aiasi, a moins de trouver (ce dont /l notre connaissance personne n'est encore capable) une m6thode qui ~< accroche~) (avec une perte de degres liee/t la dimension de la base) la transversalit6 aux changements de base (selon la terminologie de [18]) des faisceaux de cycles d 'un repr6sentant convenable de R]~, ~ , la technique pr6c6dente est inop6rante puisque l'on est incapable d 'amorcer la recurrence 2. On est alors tent6 de chercher un thdor6me <~dual~, c'est-/l-dire un renseignement sur Rf,.R ~'~o~(X; ~, Kx) (ses objects de cohomologie sont coh6rents pour k > q + 2 - prof x~) , off K] d6signe le complexe dualisant de X [22]: on l 'obtient par une etude 5. la Andreott i-Grauert des fibres des faisceaux de cohomologie de ce complexe [21], puis par l'utilisation de la d6monstration d 'Houzel du th6or6me des images directes de Grauert [16]: la clef de cette d6mon- stration est 6galement un th6or~me de finitude <~/~ la Schwartz~ qui s'6tablit par r6currence descendante et que l'on peut appliquer ici car on dispose d ' isomorphismes ou de surjectivit6 en degr6s k > q + 2 - profx~ (on peut se contenter de r6sultats sur les fibres grfice aux m6thodes bornologiques). Reste, et c'est le but essentiel de cet article, /~ trouver un th6or~me de portee g~n~rale comparant RfR~'~o~(X;~,K'x) bL R f , o~. On connait bien un tel thdor6me [23] 3, mais h61as seulement dans le cas d'un morphisme X ~ Y propre! On sait aussi que, si Y est un point (r6duit), on peut s'affranchir de l 'hypoth6se de propret6 (i.e. compacit6) ~ condition de mettre quelques topologies dans les 6nonc6s [22]. Nous d6montrerons ici qu'il y a un isomorphisme fonctoriel

(*) R f R J f o ~ ( X ; g , K]) --~ R J, Co~lop (Y; R f . ~ , K~);

pour donner facilement un sens au symbole R ougvm~'o~, nous nous ram6nerons d 'abord au cas off Y est un polydisque. Le choix d'un repr6sentant convenable du complexe R f , ~ dont les objects sont topologiquement ((quasi-coh~rents ~ (i.e. se comportent au mieux vis fl vis des r6tr6cissements de la base Y) permet de se ramener/ l un probl6mes de modules sur l 'anneau (9(Y) (au lieu du faisceau (gr);

R Homtop(Y; R f , ~ , K~)

est alors d6fini via une r6solution E--~ FRf, ~, off les/J sont des espaces de fonctions sur Y fi valeurs dans un Fr6chet nucl6aire, et via la <~ r6solu- tion)> (!) de K~ par le translat6 du faisceau D r des germes de formes holomorphes de degre maximum.

Les deux membres de (*) ayant un sons, il suffit de construire une fi6che et de d6montrer qu'elle est un isomorphisme: c'est, plus quelques

2 Cf. toutefois [27~ et [28]. On en trouvera d'ailleurs une nouvelle d6monstration ici.

Residus et dualild 91

ingr6dients sp6cifiques, un exercice de descente cohomologique. Forster et Knorr nous ont appris [9] comment d6couper proprement un espace analytique en petits morceaux, chacun emball6 dans un joli polydisque (d6coupage et embatlage adapt6s, si l'on veut, /~ un morphisme de l'espace analytique dans un autre), et l'on se doute bien que, si X est le produit de Y par un polydisque, f ~tant la projection, il ne sera pas difficile de fabriquer (*). Dans Forster-Knorr [9], on explique aussi comment d6couper ~,, et le reconstruire A partir de ses fragments. II faut faire Ia m~me chose pour R outfox(X; ~ Kx), c'est-A-dire pr6ciser les donn6es de descente qui s'appellent ici ~syst6mes /l liaisons covariantes~> (les ~verbundenes Garbensystem>> de [9]) ou ~contravariantes>>. Ensuite, il faut v6rifier que la construction (apres d6coupage) de l'isomorphisme (*) est compatible aux donndes de descente; pour cela, on utilise un plongement canonique du complexe dualisant d'un polydisque U dans te translat6 T-a~mu'~""(U) du complexe de Dol- beault, plongement que l'on construit fl l'aide de la th6orie des r6sidus multiples de Herrera. Cette th6orie est une g6n6ralisation de la th6orie des r6sidus simples de Herrera-Libermann et Dolbeault [15, 7], et nous la regarderons aussi comme une g6n6ralisation des r6sidus multiples de Grothendieck [3, 12].

I1 est impossible de terminer cette introduction sans rendre hommage A Grothendieck: outre qu'elle nous rut sugg6r6e par sa th6orie de la dualit6 relative alg6brique, cette version de la dualit6 relative anaIytique utilise essentiellement les ingr6dients suivants:

produits tensoriels topologiques et espaces nucldaires, techniques de descente, complexe de Cousin en g6om+trie alg6brique (permettant de con-

struire le comple dualisant),

que l'on dolt tous b, Grothendieck.

Quelques ~nonc~s precis

On trouvera dans cet article Ia d6monstration des r6sultats suivants.

Th~or~me 1 (premier thdor~me de dualitd relative). Soient X un espace analytique paracompact, de dimension de Zariski

bornOe, Y un polydisque ouvert de C" et f : X--~ Y une application ana- lvtique. Pour tout (gx-module coh6rent ,~,, il existe un reprOsentant born6 ./g', d ob]ets FN-libres et difl~rentielles ~<ontinues,, de R f . ,~ , un reprOsentant born6 ,U', d ob]ets DFN-tibres et difj~rentielles ~continues,, de R f R J d ~ ( X ; S , Kx), et un quasi-isomorphisme r162

7*

92 J.P. Ramis et G. Ruget

reprOsentan t

(*) R f R O f ~ o ~ ( X ; ~ , K ' x ) - - ~ R ~ o ~ L o f i ( Y ; R f , ~ K ' r ) .

Th6or6me 2 (deuxi~me th~orSme de dualit8 relative). Soient X un espace analytique paracompact, de dimension de Zariski

born~e, Y un polydisque ouvert de ~ et f : X - + Y une application analytique. Pour tout (gx-module coh8rent if,, il existe un repr~sentant borne. ~l', dt objets DFN-libres et diff~rentieftes << continues ~, de R.~ if,, un repr~sen- rant bornO oU', fi of?jets FN-libres et difJ~rentielles c<continues>~ de R f , R 3r (X ; ~ Kx), et un quasi-isomorphisme <<continu >>

W ' ~ ovgo~L,~p (y; ./d", T-"Or) ; reprOsentant

(**) R f , R Wo~ (X', o ~, Kx) -+ R J f ~ L o f i (Y; R f ~, K~,).

Th6or&ne 3 4. Soient X et Y deux espaces analytiques dOnombrables ?t l'infini, X ~tant de dimension de Zariski bornOe, e l f : X--~ Y une application fortement q-concave. Pour tout (gx-module cohdrent ~ , les images directes Rk f . ~ sont des (gr-modules cohkrents pour

k < p r o f x ~ - q - 2 - dim Y.

Comme on l'a dit dans l'<< introduction vague>>, ce dernier r6sultat se d6duit du th6or6me 1. Par une m6thode analogue, on prouverait (cf. [2 l]) /l partir du th6or6me 2 la

Conjecture I. Soient X et Y deux espaces analytiques dOnombrables fi l'infini, X Otant de dimension de Zariski born~e, et f : X -+ Y une application analytique fortement p-convexe. Pour tout (gx-module coherent ~ , les images directes ~ supports propres Rk f ~ sont des (gr-modules coh~rents

pour k < prof x ~ - P - 1 - dim Y.

Remarque I. La technique de Verdier dans [30] e t l a transposition aux hyperecouvrements du travail effectu6 ci-dessous pour les recouvrements devrait perrnettre d'6tendre les th6or6mes 1 et 2 au cas off i f" est un cornplexe born6 ~l cohomologie coh6rente. Le th6or6me 1 par exemple donnerait un isomorphisme

R f, R ~ r .~', K~) --~ R J f ~ g ~ f i ( Y ; R f ~ ' , K~),

&off, en dualisant sur la base et en posant f f = R ~r i f ; Kx), un isomorphisme, R f , R 3r f#; Kx)--, R ovt~omgofi( Y; R f f#', Ky), qui ressemble beaucoup a l 'isomorphisme (**) du th6or6me 2: on constatera

4 Ce theoreme r6soud une conjecture de Y.T. Sin [27].

Rbsidus et dualite 93

toutefois que les topologies dont sont munis les complexes par cette methode ne coincident pas de mani6re 6vidente avec celles du th6or6me 2.

Grftce au lemme d'unicit6 de topologies en dualit6 de [22], les topologies induites sur les objets de cohomologie coincident dans le cas absolu.

Remarque 2. I1 est clair que, sous des hypothSses raisonnables, on aura 6galement un th6or6me de dualit6 relative, mSme pour un morphisme non propre, en g6om6trie alg6brique. I1 n'y aura qu'un seul th6orame de dualit6 (/l condition de l'6noncer pour un complexe), puisqu'il n'y a plus de topologies.

Conjecture 2 5. Soient X et Y des schdmas noethdriens, f: X---, Y un morphisme compactifiable [6]; on suppose que Y possOde un complexe rOsiduet K) [12]. On peut alors construire un complexe rOsiduel K'r pour Y et une trace R f K'v ~ K'v Jburnissant, pour tout complexe born~ de (fix- modules ~ " fi cohomologie cohdrente, un quasi-isomorphisme

R f. R Jf~,~(X ; ~, Kx)---~ R Jvt'~(Y: R f , ~ , Kr).

(R f est ddfini dans [6].)

Un tel th6or6me est esquiss6 dans [6] (th6or6me 2), off il est utilis6 pour d6montrer le th6orSme de dualit6 dans le cas alg6brique propre (tout comme nous le raisons ci-dessous pour le cas analytique propre) il reste en s'inspirant de [12] /t mettre au point les questions de trace et de complexes r6siduels et nous esp6rons qu'iI se trouvera un lecteur assez courageux pour cela 6.

Remarque 3. Les isomorphismes (*) et (**) proviennent respectivement des homomorphismes naturels

R f R ~ (X; o~, Kx) ~ R ,Jf,~ ~er,/, (Y; R f , ~ , Rfi Kx) et

R J, R 9f~o~(X; o~, Kx) --, R ~f,~ ~ / o ~ ( Y; Rf, o ~, R f Kx)

et des homomorphismes de source les second membres d6duits de la trace relative Tx/r: R f Kx--~ Kv (provenant d'une section privil6gi6e de

N-z.~'o/~~ R f, Kx, K))).

On retrouve ainsi le formalisme de la dualit6 relative en g6om6trie alg6brique et celui de la dualit6 relative ~alg6brique~ 6tablie dans [23] pour le cas analytique propre. On remarquera que la trace relative peut se localiser en haut, ce qui est un progr6s par rapport a [12] et [23] 7

5 Que l'on peut enluminer de fonctorialit6s. 6 On trouvera un cas particulier (cas lisse absolu) dans [13]. 7 Cf. [6].


Voici enfin le plan de l 'ar t ic le:

w 1. Algebre homologique 6v6tique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 w 2. Les faisceaux ~quasi-coh6rents)) en g6om6trie analytique . . . . . . . . . . 98 w 3. Trivialisation d'une application analytique; modules /l liaisons covariantes ou

contravariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 w 4. Le th6orr de dualit6 relative pour les syst~mes de Forster-Knorr . . . . . . I08 w 5. Complexe dualisant et r6sidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I 11 w 6. Le th6orr de dualite relative pour une application analytique quelconque . . 116 w 7. La dualit6 relative dans le cas propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 w 8. Coh6rence de certaines images directes dans le cas q-concave relatlf . . . . . . 123 w 9. Un deuxieme th~3r~me de dualit6 relative pour les systdmes de Forster-Knorr . 127

w 1. Alg6bre homologique 6v6tique

Foncteurs ~A et Tor top~

Nous reprenons quelques d6finit ions de [18] (cf. ega lement [8]); d 'une par t pou r la commodi t6 du lecteur, d ' au t re par t parce que nous avons besoin d 'hypo th6ses un peu plus g6n6rales (espaces du type F N ou D F N ) .

Rappels. On d6signera pa r F N la classe des espaces de Freche t nucl6aires, pa r D F N la classe des duals forts de Fr6chets nucl6aires: dual fort de (Fr~chet nuc l6a i r e )= (dual fort de Fr6chet) nucl6aire. Ces deux classes sont s tables pa r sous-espaces ferm6s, quot ien ts s6par6s et p rodu i t s tensoriets topo log iques compl6t6s ~)r Pou r une app l i ca t ion lin6aire d ' un espace F dans un espace F (resp. D F N dans D F N ) , on a le th6or6me du g raphe ferm6.

On rappel le que si E et F sont deux e.v.t.l.c.s, complets , et si E est nucl6aire, les deux p rodu i t s lensor ie ls t opo log iques E@,~F et E~)~F coinc ident en tan t qu 'espaces vectoriels topologiques . On les d6signera a lors pa r ~ ou ~ r

Proposi t ion 1. (i) Si F, F', F" et E sont des Frdchets, avec E ou F nucldaires, et si la suite 0--~ F'--~ F--* F"--, 0 est exacte (les diff&entielles Otant continues), la suite 0 --* E @ F'--* E @ F--, E @ F"--* 0 est Ogalement exacte.

(ii) Si F, F', F" el E sont des espaces D F N , et si la suite O---~ F'---~ F---, F"---~O est exacte, il en est de mdme de la suite O---,E@F'---~E@F---~ E@F"--~O.

(i) est d6mont r6 dans [10-] (expos6 24). P rouvons (ii):

0 -~ ( F " ) ' ~ ( F ) ' ~ (F')'---, 0 est une suite exacte d 'espaces F N ; d 'apr~s (i), la suite 0 --, (E)' @ (F") '~ (E)' ~ (F) '~ (E)' ~ (F ' ) '~ O, qui s'6crit aussi O~(E(~F") ' -~(E~F) ' -~(E@F') - - -~O, est exacte. On en d6dui t le r6sultat pa r dualit6.

Rdsidus et duaht+ 95

Nous ferons grand usage du lemme suivant (cf. [22]).

Lemme 2. Soient F" et G" deux complexes d'espaces F (re~sp. DFN ), d diffOrentielles continues, et u" un morphisme linOaire continu F'--* G'. Si u" est un quasi-isomorphisme alg~brique, c'est un quasi-isomorphisme topologique.

Le foncteur QA

Dans toute la suite A d6signe une alg6bre FN (resp. DFN). Si A est du type FN, un A-module isomorphe/l un module de la forme A @ F, off F est du type FN, sera dit FN-libre; si A est du type DFN, un A-module isomorphe/l un module du type A @ F, off F est du type DFN, sera dit DFN-libre.

Si A est du type FN (resp. DFN) une r6solution FN-libre (resp. DFN- libre) d'un A-module (topoIogique) M du type FN (resp. DFN) est une suite exacte ~ diff6rentielles continues (A-lin6aires)

...--~ L" a" ,...--~ L~ M--, O,

off les/2 sont FN-libres (resp. DFN-libres). Une telle r6solution est dite directe si Imd" admet, en tant que tl2-espace vectoriel un suppldmentaire topologique dans L "-~.

Proposition 3. Soit A une algObre FN (resp. DFN). (i) Tout A-module topologique du type FN (resp. DFN) admet une

rOsolution FN-libre (resp. DFN-libre) directe fonctorielle.

(ii) Si E et E" sont deux rOsolutions FN-libres (resp. DFN-libres) directes d'un A-module FN (resp. DFN) M, il existe un morphisme E--, E', unique d homotopie pros.

(i) On pose p " ( M ) = A @ . . - @ A @ M ( n + l facteurs A); c'est un A-module par le premier facteur. On d6finit d": P"(A)--, P"-~(A) par

d"(a o | 1 7 4 1 7 4 ( - 1)iao|174 | 1 7 4 1 7 4

+ ( - 1)"a o | . . . | a,,_ I |

Un op6rateur d'homotopie ll~-lin6aire continu est fourni par x ~ 1 | x. On obtient la << r6solution standard)~ de M.

(ii) Si L = A @ F (F du type FN, resp. DFN), l'application naturelle L~(L, M) ~ L e ( K M) (off LA(L, M) est le sous-espace ferm6 de Le(L, M) (muni de la b-topologie) form6 des application A-lineaires) est un isomorphisme d'espaces vectoriels topologiques. Ainsi, si M ~ M"---,O est une suite exacte ~t diff6rentielle continue, tl~-directe (topologiquement), de A-modules topologiques du type FN (resp. DFN), l'application


naturelle LA(L,M)-+LA(L,M") est surjective: c'est la ~presque)~ projectivit6 de L. La preuve de (ii) est alors standard.

Remarques. (i) le lecteur devine ce qu'est la r6solution canonique P'(M') d'un complexe born6/t droite.

(ii) si E--*M est une r6solution libre, E'---~M' une r6solution libre ~-directe, avec les topologies qu'il faut, tout morphisme M - - , M ' se prolonge ~t E -~ E'.

Soit A une alg6bre FN (resp. DFN). Soient M et N deux A-modules topologiques du type FN (resp. DFN). On pose

M @AN=Coker(d: M @ A @ N---,M | g), off

d ( m | 1 7 4 1 7 4 1 7 4 M @AN

est naturellement muni d'une structure QFN (resp. QDFN) en gbn6ral non s6par6e. Si M = A QF, alors M @ A N = F Q N avec sa topologie.

Les foncteurs Tor top A

Avec les notations ci-dessus, si M e t N sont deux A-modules FN (resp. DFN) on pose Tortop~ (M, N) = H k (M @ A P'(N)) = H k (M ~A E), pour toute r6solution FN-libre (resp. DFN-libre) directe de N (Ies 6galit6s s'entendent avec topologie). Si N est FN-libre (resp. DFN-libre), on a Tortop2 (M, N) = 0, pour k > l . Si O~M' - -*M~M"- -~O est une suite exacte de A-modules FN (resp. DFN), on a une suite exacte de complexes O--+M'@AP' (N) - - .M~aP ' (N)~M"@Ap ' (N)~O. On en deduit une suite exacte (au moins alg6brique) des Tortop A. Si 0 ~M'---, M ~ M " ~ 0 est exacte et C-directe (topologiquement), on obtient une suite exacte longue des Tortop2 topologique (les morphismes de connex- ion sont A-lin6aires continus: les autres l'6tant en tout 6tat de cause).

On constate que M Q A N = T o r t o p ~ ( M , N ) et que le bifoncteur Tor top2( . , . ) est sym6trique. Enfin, si M" et N" sont deux complexes born6s /t droite de A-modules topologiques de type FN (resp. DFN), /l diff6rentielles A-lin6aires et continues, on d6finit Tortop~ (M', N').

On peut calculer les Tortop~(M, N) avec leur topologie en utilisant une r6solution FN-libre (resp. DFN fibres) quelconque de M (ou N), et pas seulement une r6solution libre directe. En effet, si E---~ N e s t une r6solution FN-libre (resp. DFN-libre) et E'-- ,N une r6solution libre directe, d'apr6s la ~presque>> projectivit6 des I2, on a un quasi-isomorphisme E ~ E'. On en d6duit (argument standard) un morphisme continu M Q a E - * M | qui est alg6briquement un quasi-isomorphisme. C'est un quasi-isomorphisme topologique d'apr6s le lemme 2.

Si M (ou N) admet une r6solution (finie ou non) par des A-modules libres de type fini, on a M @A N = M | N et Yortop{ (M, N) = Tor A (M, N).

Residus et dualit6 97

Foncteurs HomtopA et Extop~

Comme pr6c6demment, A d6signe une alg6bre FN (resp. DFN). On appel]era A-module de type DFN (resp. FN) un espace DFN (resp. FN) qui se trouve aussi 6tre un A module topotogique via une alg6bre DFN (resp. FN). Par exemple, si A est l'alg+bre D F N des fonctions holomorphes au voisinage d'un polydisque compact K de IIY, et si B est l'alg6bre des fonctions holomorphes dans un polydisque ouvert. U c K, Bes t un A-module de type FN.

Si M el N sont deux A-modules topologiques (de type FN et DFN respectivement; ou DFN et FIN respectivement), on d6signe par Lr N) ou Homtopr N) l'espace des applications C-lin~aires continues de M dans N muni de la b-topologie (topologie de la convergence uniforme sur les born6s). Les espaces vectoriels topologiques consid6r6s etant r6flexifs, on a Le(M, N ) = M ' Q N (6galit6 d'espaces vectoriels topologiques); on d6signe par LA(M,N) ou HomtopA(M,N) te sous-espace ferm6 de Lr N) form6 des applications A-linbaires: HomtopA(M, N) est un A-module topologique de type DFN (resp. FN).

Si M =A (~ F (off F est FN, resp. DFN), et N e s t un A-module de type DFN (resp. FN), l'application naturelle HomtopA(M,N)--4 Homtope(F, N) est un isomorphisme d'espaces vectoriels topologiques de type DFN (resp. FN).

Si M est un A-module topologique de type FN (resp. DFN) et N u n A-module topologique de type DFN (resp. FN), on pose

Extopka (M, N) = H k (HomtopA (P'(M), N))= H ~ (HomtopA (L', N)),

oti E est une r6solution FN-libre (resp. DN-libre) C-directe de M. Si M est FN-libre (resp. DFN-libre), on a Ex top~(M,N)=0 si k > l . On constate que Extop~ (M, N)= Homtopa(M, N) et que les ExtopkA (M, N) sont naturellement munis d'une structure de A-module topologique Q D F N (resp. QFN).

Si M" est un complexe born6 & droite de A-modules FN (resp. DFN), /L diff6rentielles A-lin6aires continues, et N" un complexe born6 ~ gauche de A-modules DF N (resp. FN), on pose R Homtopa(M',N')= Homtopa(P'(M'), N') et on ddsigne par Extop](M' ,N' ) les espaces de cohomologie de ce complexe.

Si O--~M'--,M---,M"---,O est une suite exacte de A-modules du type FN (resp. DFN) et N u n A-module du type DFN (resp. FN), pour tout entier k les suites

O --~ pk ( m') --~ pk ( M ) - . pk ( m") --~ O

sont exactes (les applications A-lin6aires intervenant dans ces suites provenant des applications •-lin6aires

O__~ pk-l(M,)_, pk-l(M)___~ pk-l(M,,)_~O; p - l ( . ) = . ) ,


on en d6duit les suites exactes de A-modules DFN-libres (resp. FN-libres)

0 ---, Homtopa (Pk (M"), N)--* HomtopA (pk(M), N)

__~ Homtop A (pk (M'), N) --~ 0.

D'ofl la suite exacte longue

0 ~ HomtOpa (M", N) ~ HomtopA (M, N) ~ HomtopA (M', N) 1 t t ExtopA (M , N) -~ Extop~ (M, N) --, Extop~ (m', N) --,...

On deduit de ce qui pr6c6de que l'on peut calculer les Extop~ (M, N) avec n'importe quelle r6solution FN-libre (resp. DFN-libre) de M (on utilise le lemme 2). Enfin si M" est ~. composantes FN-libres et born6 droite, N" ~ composantes DFN, et bornd fi gauche (resp. DFN et FN); on a un quasi-isomorphisme topologique

Homtopa (M', N') -* HomtopA (P'(M'), N');

on peut donc calculer les Extop~(M', N') comme objets de cohomologie de HomtopA (M', N').

w 2. Les faisceaux <~quasi-coh~rents>> en g~om6trie analytique

Dans toute cette partie on d6signera par X un espace analytique complexe paracompact. Nous modifierons un peu la terminologie habituelle et dirons qu'un @x-module ,~ est de type FN si, pour tout ouvert de Stein U de X, on a sur F(U; ,~) une structure de (fi(U)-module FN, les applications de restriction F(K; ~)---> F(L; ~ ) ~tant continues.

Nous noterons F( U; ,~) = F(U) et F(K; ~-) = ~'(K). @x-modules FN-libres et (9x-modules DFN-tibres (of. aussi [5]).

Si F est un escape vectoriel topologique du type FN, on lui associe le prefaisceau d6fini sur les ouverts de Stein U de X par U~--~(fi(U)QF. On d6signe par (fix ~)F le faisceau associ6. On dira qu'un (fix-module isomorphe/l (fix Q F est FN-libre.

Proposition 4 (cf. [5]). (i) Hk(U; (fix@F)=(9 pour k__>l, pour tout ouvert de Stein U de X.

(ii) F(U;(gxQF)=(f i (Uj~F (i.e. le pr~faisceau consid~r~ est un faisceau), pour tout ouvert U de X.

(ii) On consid6re l'application naturelle (fi(U) ~ F ~ , F(U; (fix ~ F). On a (fi(U)Q F=Le(F', @(U)). On vdrifie facilement t'injectivite de (p; la surjectivit6 s'6tablit ainsi: s i f est une section de F(U; (fix Q F), pour tout ouvert V assez petit de U, elle d6finit un 616ment fvS(_9(V)@F= Le(F', (fi(V)); fv et fw coincident sur Vc~ W, ce qui veut dire qu'elles

Residus et duali tc 99

d6finissent une application lin6aire continue F'--* (9(Vu W). On obtient par recoilement une application tineaire continue F'-*(9(U), c'est /l dire un 616ment de (9(U) | dont l'image par (pest f.

(i) SoJent U un ouvert de Stein et ll={Ui}i~1 un recouvrement ouvert localement fini de U par des ouverts de Stein. On consid~re le complexe de ~ech C'(ll;(9(II)). II esI acyclique en degrSs >=I et sa cohomologie en degre 0 est (9(U) (Th. de Leray). Par tensorisation topologique par F, on en d6duit que H~(II; (6 x (~ F))=(9(U) @ F si k =0 et 0 sinon (prop. 1). On obtient Hk(U; (9 x @ F) comme limite inductive des H~(II; 6x @ F) suivant les recouvrements 11; le r~sultat est donc clair.

Si F est un espace vectoriel topologique du type DFN, on lui associe le prefaisceau d6fini sur les compacts de Stein K de X (adherence de bu r int6rieur) par K~-~(9(K)@F. On d6signe par (9x@F le faisceau associ& On dira qu'un (gx-module isomorphe/ t (9 x @ F est DFN-libre.

Proposition 5. Pour tout compact de Stein K de X

(i) H k (K ; (9 x @ F) = (9 pour k >= 1.

(ii) F(K; (9 x @ F) = (9(K) @ F.

Cette proposition s'~tablit de mani~re analogue/~ la prec6dente.

Transversalits La notion de transversalit~ est due 5_ Verdier [18]. On designe par A une alg~bre FN (resp. DFN).

D~finition. Soient M e t N deux A-modules topologiques de type FN (resp. DFN). On dit que M e t N sont transverses si M@AN est s6pare et si T o r t o p # ( M , N ) = 0 pour k__> 1.

Exemple. Si M est FN-libre (resp. DFN-libre), il est transverse h tout N.

Lemme 6. Soit 0 ---, M' --, M --~ M " ~ 0 une suite exacte de A-modules FN (resp. DFN). Si N est un A-module FN (resp. DFN) transverse gl M et M", il est transverse h M'.

Lemme 7. Soient A-- ,A ' - -+ A" des homomorphismes d'alg@bres FN (resp. DFN). Si A' et A" sont transverses d M sur A, A" est transverse A ' @ A M sur A'.

Proposition8 [31], Soient f : X---~ Y une application analytique, oL'~ X et Y sont des espaces de Stein. Soient Y ' c Y un ouvert de Stein et un (9x-module cob@rent. A lors F(X; g ) e s t transverse fi (9(Y') et

F ( X ; ~ ) (~e~y)(9(Y') = r ( f - ~( Y'); ~).

(gx-modules FN-quasi-coh~rents et (gx-modules DFN-quasi-cohdrents.

X est toujours un espace analytique complexe paracompact.


DOfinition. Un (gx-module ~ ' est dit

(i) FN-quasi-coh6rent s'il est de type FIN et si, pour tous les ouverts de Stein U et V de X, V c U, Jk'(U) et (9(V) sont transverses sur (_9(U) et si l 'application naturelle ~ '(U)Qo(v)(9(V)-- , Me(V) est un isomorphisme d'espaces vectoriels topologiques.

(ii) DFN-quasi-coherent, s'il est de type D F N et si, pour tous compacts de Stein K et L de X, L c K , rig(L) et (9(L) sont transverses sur (9(K) et si 1'application naturelle ~'(K)@~(Kj(9(L)--~J/(L) est isomorphisme d'espaces vectoriels topologiques.

DOfinition. (i) Soient U un ouvert de Stein de X et M un @(U)-module topologique de type FN. Si M est transverse/t (9(V) sur (9(U), pour tout ouvert de Stein V de U, on dit que M est transverse ~t (9 v.

(ii) D6finition analogue avec un compact de Stein K et un (9(K)- module de type DFN.

Si M est un (9(U)-moduIe transverse A (9 u, on d6signe par ~/ le Or-module associ6 au pr6faisceau M: V--- ,M@o(v)O(V ) (V ouvert de Stein); de marne, si M est un (9(K)-module transverse fi (OK, on d6finit un (gK-module AT/.

Proposition 9. (i) Si M est un (9(Uj-module transverse gt (o u, on a, pour tout ouvert de Stein V de U, F(V; f 4 ) = m @e(v)(9(V ) et Hk(v; /Q)=0 si k > 1 ; il en rOsutte que Yl est un (gv-module FN-quasi-cohOrent.

(ii) Si M est an (9(K)-module transverse ?t (gK, on a, pour tout compact de Stein L de K, F(L; ~ I ) = M @~(K)(9(L) et Hk(L;]~/)=0 si k_>_l; il en rOsulte que M est un @K-module DFN-quasi-coh~rent.

On a d 'abord le

Lemme 10. Le foncteur ~ de la cat~gorie des @(U)-modules topologiques transverses ~ (9 v (resp . . . . ) de type F N (resp. DFN) dans la catOgorie des @u-modules (resp . . . . ) est exact.

En effet, c'est le compos6 de deux foncteurs exacts M ~--~M et M-- , f / qui est le foncteur << passage au faisceau ~.

Dbmontrons seulement (i) ((ii) s'6tablirait de mani6re analogue): La r6solution canonique P ' (M) du (9(U)-module M donne naissance

fi des suites exactes courtes

O--. No--. p~ M--~O,

O -* N~ -+ P ' ( M ) ---~ No --~ O . . . .

T o u s l e s N~ sont transverses (r6currence en utilisant le lemme 6). En appliquant le foncteur ~ , on en d6duit des suites exactes de (gu-modules,

Rbsidus et dualit6 101

donc des suites exactes de cohomologie

0--, F(U; No)--~ r(u; P~ (M))-~ F(U; M)-~ n' (U; R o) -~ H' (U; po (M)) --, Hi( U;/~7/) --, H i +' ( U; /9 o) --~ H ~ +' ( U; po (M)) -~-- .

Comme Hi(U; PJ(M))=0 pour i > l (les PJ(M) sont FN-libres), on a

H ~ (U; ff4)=HZ(U;iflo)=H3(U; fl~) . . . . . H~+2(U;]Vk) . . . .

Comme U est plongeable dans un ouvert de (17'=JR 2", on a

H2m+I (U ; N2m_ I)=O,

donc H ~ (U; ~/) = 0, et de m6me pour les Hk(U; ~/), pour k > 1.

On a alors une exacte F(U; P~ (M)) ~ F(U; po (M)) ~ F(U; ~/) ~ 0, qui s'6crit P~ (M) ~ pO (M)-+ F(U; ~ ) ~ 0; l 'appiication naturelle M--o F(U; M) est donc un isomorphisme.

On a aussi d6montr6 la

Proposition 11. (i) Si M est un (~(U)-module transverse d (~u, la r~solution canonique P'(M) fournit une r~solution de 3~I par des (gv- modules FN-libres.

(ii) Si M est un (_9(K)-module transverse d (9 K, la r~solution P'(M) fournit une r#solution de t~I par des (_Or-modules DFN-libres.

Exemples. Si f : X ~ Y est une application analytique, X et Y Stein, le faisceau J , f f est, pour tout Cx-module coh6rent o ~, FN-quasi-coh6rent. En effet, F(X; ~ ) est un (9(Y)-modute transverse ~ (9 r et/~(X; ~ ) = . f , ~ .

Si X est une vari&6 de dimension n, Y un sous-espace analytique de codimension p de X et ~ un (~x-module localement libre de type fini, H~(X; F) est un (gx-module FN-quasi-coh6rent, pour tout ouvert U assez petit de X (on 6crit, au moins pour p > 2, H p- ~ ( U - Y; ~ ) = H~(U; ~ ) , on calcule H v-~ ( U - Y ; ~ ) par un complexe de (~ech; la seule difficult8 est de verifier que cet espace est s@ar~).

La notion de (gx-module Iocalement FN-quasi-coh6rent ou DFN- quasi-cohSrent va de soi. Un problSme fort int6ressant est de savoir si localement FN-quasi-coh6rent (resp. DFN-quasi-cohSrent) entraine FN-quasi-coh6rent (resp. DFN-quasi-coh6rent). Outre des renseignements pr6cieux sur la cohomologie locale (voir ci-dessus) ceci entrainerait une r6ponse positive ~ la conjecture de Stein.

Les foncteurs ~ @ (X; ~ " , JV')

Soient J r / un (gx-modute FN-libre: J / / = (9 x @ F, et JV un (gx-module DFN-quasi-coh6rent. Si K est un compact de Stein de X et U un ouvert de Stein de X, K c U , Homtopo<v~(~g(O),JV(K))=F'~W(K) est

102 J.p. Ramis et G. Ruget

inddpendant du choix de U; F' @,A/'(K) est clairement transverse & OK et on voit ce que l'on appelle F '~ ) JV: c'est un (gx-module DFN-quasi- coh6rent. On pose

Soient ~ ' un (gx-module DFN-libre: J / / = (9 x (~ F, et ./ff un (gx-module FN-quasi-coh6rent. Si U est un ouvert de Stein contenu dans un compact de Stein K de X; Homtope~K ~ (J//(K)dV'(U))= F'~)JV'(U) est ind6pendant du choix de K. On pose

d & ~ d ~ f i (X; ,///, ./v') = F' @ A p, c'est un (gx-module FN-quasi-coherent.

Plus g6n6ralement soient Me" un (_gx-modute FN-quasi-coh6rent et .W an (gx-module DFN-quasi-coh6rent. On suppose X de Stein- ,//g admet alors une r6solution FN-libre ~;-directe So'; o u f o ~ @ (s est d6fini 5. un quasi-isomorphisme topologique pr6s, on le d6signera par R ) f '~g~>p (X; ~ , ( , ~ ) et on notera rT>&.# k (X; J / , . # ' ) ses faisceaux de cohomologie. On peut calculer R . ~ o m & / ~ ( X ; ~ , J V ' ) avec une r6solution FN-libre quelconque de Jd (donc aussi les &ct~/r k (X; Jr JV')).

On a des r6sultats analogues en travaillant au voisinage d'un compact K et en partant de ~ ' DFN-quasi-coh&ent et jV" FN-quasi-coh6rent.

On peut d6finir les &v&/? (~r Jff) si ~ ' et Jg" sont seulement locale- rnent quasi-cohdrents.

On ddfinit enfin R , ~ d ~ p ( X ; J C / ' , ~ 4 # ' ) et les & , , / @ ( X ; o/eL', A p') pour ~ " born6 5. droite et /i composantes FN-quasi-coh6rentes (resp. DFN-quasi-coh6rentes) et Jg'" born6/l gauche e t / l composantes D F N - quasi-coh6rentes (resp. FN-quasi-coh6rentes (faires les restrictions convenables; X Stein ou travailler au voisinage d'un compact pour

Si ~U est un Cx-module libre inversible, on a un quasi-isomorphisme

J/[" --~ R Jt~o ~ g ~ fi ( X ; ( R ~r zT ~ d , T fi ( X ; JP[ ", JV" ), JV" ) ) .

Exempte d'application. Pour 6clairer te lecteur, voici dans un exemple (w 8) comment servent certains des lemmes faciles et g6n6raux qui pr6c6dent.

On a, sur un polydisque ouvert X de C", un complexe born6 ~ " de faisceaux libres de type FN, un faisceau inversibIe ~ et on sait que pour beaucoup de polydisques compacts K ~ X,

c = r(/<, Ix ; .a ' , w ) )

poss6de une r6solution F" born6e/t droite par des (9(K) modules de type DFN, et marne libres de type fini en degr6 >a . On veut conclure que J//" est ~ cohomologie coh6rente en degr6s < - a .

Rdsldus et dualit6 103

1 ~ On se d6brouille pour que F" soi t / l composantes libres en tous degr6s: on tronque F" en degr6s <a, soit F" ; si C" est le cylindre de F"--* E, C" est acyclique en degr6s >a. II existe donc un C'" nul en degr6s > a qui s'envoie quasi-isomorphiquement dans C', ce C" 6tant libre comme C" en tous degres, saul le degr6 a - I, et C '~- 1 etant transverse ~i (9(K) (recurrence descendante sur les cycles de C'). On prend une rdsolution C"" de C" nulle en degrds >a , et libre en tous degr6s. Alors, le cyclindre de C " ' ~ F " est libre en tous degres, de type fini en degr6s >a , et il va quasi-isomorphiquement dans E.

2 ~ Par bidualite, on sait que J C ' = ~ o~ d~ ,~ (X;Lf ' , ~U) , off 5 ~ est le complexe de faisceaux de type D F N associ6/t E. II faut en d6duire que Jr Homtop(X; ~; ,JV) o/t .~" est associ6 au F" libre obtenu en [% En fait, la th6orie des Extop montre que, pour tout polydisque ouvert U = K, Homtop~lK~(L', o/~(U)) est quasi- isomorphe/t

Homtop~K I (F; o/V'(U)).

3 ~ Nous avons ainsi d6montr6 que J4"" est a cohomologie coh6rente en degr6s < - a (de m6me que S " est clairement ~ cohomologie co- h6rente en degres >a). En fait, on peut gagner un degr(} de chaque c6t6: du c6t6 de ~ ' , grfice au

Lemme 12. Si q) est un (gx-module cohdrent, F u n espace FN (resp. DFN), et si f : ~o x @ F - , q~ est un morphisme (gx-linOaire et continu, alors I m f est un faisceau coherent.

D~monstration. On travaille au voisinage d'un compact de X, et on applique i 'axiome de Zorn aux faisceaux images des restrictions fE de f it ~;x@ E, oti E decrit les sous-espaces de dimension finie de F: on trouve un sous faisceau cohhrent 7' de 4~ contenant toutes les images des fE, alors ~ contient l'image de j; par raison de densit6 ~ gauche et de fermeture/~ droite.

Du c6t6 des M, on dualise le r&ultat pr6c4dent; par exemple, si F est de type DFN, soient U c K une paire de polydisques ouvert-compact. On remarque d 'abord que (9(K) @ E a pour image dans ~(K) exactement ~(K), donc (9(K)(~ F a aussi pour image LP(K). On en d6duit, en appliquant Homtopc~}(. ,N(U))(45 suppose libreL que cb'(U)-.(9(U)@E' et cI)'(U)-,g)(U)@F' ont le m6me noyau, donc le faisceau noyau de q~' ---, (9 x @ F' est cohhrent.

Pour completer l'exemple, voici comment l'on raisonnerait dans le cas non lisse:

Soit U un ouvert de 112", le complexe Kv construit dans [22] n'est malheureusement pas topologiquement quasi-coh6rent. Si o~ =tOv~)o~, off F est un espace FN (resp. DFN), on peut toutefois d6finir raison- nablement un complexe afe~/,~/~ (U; o ~, Kv):


c'est le complexe K~(F') construit avec des formes m6romorphes sur U /~ valeurs dans F' comme K~j a 6t~ construit dans [22] avec des formes m6romorphes fi valeurs dans ~ (on remarquera que Kv(F') ne merite pas de s'appeler K v Q F' car pas plus les sections sur les ouverts de Stein que celles sur tes compacts de Stein n'admettent de topologie naturelle compl~te). On vSrifie que K~(F') est une r6solution de T-dimv Qb, @ F'.

Plus g6n6ralement si X est un espace analytique et G u n espace FN (resp. DFN), on construit en passant par les plongements locaux un complexe Kv(G). Ainsi si ~ " est un complexe FN (resp. DFN)-libre born6 fi droite el ~, gauche de (~x-modules, on sait d+finir ~ & / d X ; L~', Kv). On a un quasi-isomorphisme naturel

Si A ~ est de plus libre de type fini en degr6 > a, en utilisant pour la suite spectrale que l'on pense des raisonnements analogues ~ ceux d6velopp6s dans l'exemple analyse plus haut on prouve que ~v~Lo~ (X; ~ ' , K~) est A cohomologie coh6rente en degr6s < - d i m X - a .

w 3. Trivialisation d'une application analytique; modules a liaisons covariantes ou contravariantes

1. Liaisons

Soit W= { Wn},~N un syst6me semi-simplicial d'espaces analytiques: W,= [ I W~, off (W~, (9,) est un espace analytique complexe, et, si e < ~ ,

I~l =n on a une application analytique W~ ~ W~, les diagrammes auxquels on pense etant commutatifs.

On notera @w la collection des (~,=(gw. Un ~gw-module sera une collection {F~},~A, ofz F, est un (9,-module. Les notions de morphismes d'un s.s.s. W dans un autre W', de contre-image d'un (gw,-module, et de morphisme entre @w-modules vont de soi.

Exemple: ~ un recouvrement ouvert localement fini 1[= { U~}i~ d'un espace analytique X, on associe un systeme semi-simplicial 6vident U (construction de (~ech), muni d'un morphisme p dans Ie s.s.s. <<constant>> X, et doric, fi tout faisceau ~ de @x-modules, est associ6 un ~v-module

DOfinition. Un (gw-module ~ liaisons covariantes est la donn6e d'un Cgw-module G={G,} el d'un syst6me de liaisons: si a c f l , on a un morphisme de (9~-modules ~p~: G, ~ (n~) , G,; les diagrammes auxquels on pense ~tant commutatifs.

R6sidus et dualit6 105

Suite de l'exemple pr6c6dent: p * ~ est naturellement muni d'une structure de (gv-module 5. liaisons covariantes.

D~finition. Un ~0w-module ~ liaisons contravariantes est la donn6e d'un @w-module H={H=} et d'un syst6me de liaisons: si c~=fl, on a un morphisme de (9=-modules. H,< r (g~)~; les diagrammes 6vidents 6tant commutatifs.

Suite du m~me exemple: p*~- est aussi muni d'une structure naturelle de @v-module ~, liaisons contravariantes (prolongements par z6ro).

La notion de morphisme de @w-modules 5- liaisons covariantes (resp. contravariantes) va de soi: on exige la commutativit6 des diagrammes naturels entre les liaisons. Les (gw-modules 5. liaisons covariantes (resp. contravariantes) forment une cat6gorie ab61ienne.

Si o~ et ~-2 sont deux (gw-modules, ~ f f ~ r ~2 ) n'est que la collection des j ~ r ~,~2).

Si ~ est un @w-module 5- liaisons covariantes et ~ un (gw-module /t liaisons contravariantes, on a une structure naturelle de (gw-module liaisons contravariantes sur ~o~r ~ ) .

Soit maintenant S u n espace analytique. On dira que West au-dessus de S si 1'on a un morphisme s de Wdans le s.s.s, constant S. (Par exemple, U est au-dessus de X.)

Si ff est un (9w-module 5- liaisons covariantes, on d6finit s, if: c'est un complexe de (_gs-modules, dont le n-i6me objet est [ I s~, (g, et dont

I~I=, les morphismes sont fabriqu6s /t partir des morphismes naturels ( ~ f l ) s , , ~---, s~,~r provenant de s, , ~---, s,,(~c~ fl),~r

De faqon analogue, si ~ff est un (gw-module 5. liaisons contravariantes, on d6finit s ! ~ff: c'est un complexe de @s-modules, dont le n-i6me objet est

l-I s~~ les morphismes aIlant de soi. l~l- -~

Si S est r6duit ~i un point, on notera s, ff = F( W; aj) et s ! ~ff = F~ (W; ~'~).

Reprenant les notations de l'exemple pr6c6dent, nous laissons au lecteur la d6monstration du

Lemme. Si J" est un complexe born~ ~ gauche de @x-modules injectifs, l'application naturelle

r ( x , J ') ~ F(U; p* ~')

est un quasi-isomorphisme, ainsi que l'application naturelle

r~(u, p*J')-,Ux,*').

2. Syst~mes semi-simpliciaux de Forster-Knorr

Soient S u n espace anaIytique, I un ensemble d6nombrable d'indices, {Di}i~x une famille de polydisques ouverts de C "~. On d6signe par A

8 Invent:ones math..Vol 26


l 'ensemble des multi-indices ~ = (i~ . . . . . i,)(ijE I), ordonn6 par l'inclusion. On suppose qu'il n'y a pas de multi-indice de longueur > N, entier donne. On pose, pour c~eA, D=Di x . . . x D i , et V,=SxD~ . Si ec/~, on a l e s applications de projection 6videntes ~/~: Dr D~, ~z~: V~-~ V~, ~ : V~--, S, et l'on laisse expliciter au lecteur un certain nombre de diagrammes commutatifs.

On obtient par le processus d6crit ci-dessus un syst6me semi-simplicial d'espaces analytiques V=(V,;rc~) et une application analytique ~: V---,S. Un tel systame sera appel6 ~(syst6me de Forster-Knorr au- dessus de S~.

Morphismes de syst6mes de Fors ter-Knorr au-dessus de S, Produits

Soient V = S x D et V ' = S x D' deux syst+mes de Forster-Knorr au- dessus de S. On d6signe par I l 'ensemble d'indices relatif 5_ V, par I ' celui relatif/t V', par A l 'ensemble des multi-indices d'616ments de I de longueur __< N, par A' l 'ensemble des multi-indices d'61dments de I ' de longueur < N. On suppose D o et D', vides pour [c~[ > N. Enfin, on suppose donn6e une injection I ' ~ ,I, telle que, pour i ' l l ' , Di,=D~,(i,~xAv. On note q~, l 'application de projection D}--,De(i,) et r~, l 'application de projection q~, • (ids). On est alors en mesure de d6finir un morphisme de syst6me semi-simpliciaux que nous appelerons morphisme de syst6mes de Forster- Knorr de V' dans V

Si ~,~ et ~ ' sont respectivement un (gv-module et un Ov,-module liaisons covariantes (resp. contravariantes) on laisse expliciter au lecteur la notion de morphisme de ~ dans o ~ ' (resp. de o ~ ' darts ~,~).

On a par exemple un morphisme naturel (9 v --+ (gv,.

Soient toujours deux syst6mes de Fors ter-Knorr V e t V' au-dessus de S, I l 'ensemble d'indices relatif/~ V', I' celui relatif ~t V', A et A' les ensembles de multi-indices correspondants. On pose

I " = I x I ' , A " = A x A ' , D~,,=D~xD~,, V~,',=SxD~,,.

On obtient ainsi un systeme de Forster-Knorr V" muni de deux morphismes naturels V" ~ Vet V" -* V', on l 'appellera produit de Vet V'.

Trivialisations d 'une application analytique

Soit f : X ~ S, off S est un polydisque ouvert de C" et X un espace analytique de dimension de Zariski born6e.

Soit 11 = { U~}i~ run recouvrement localement fini de X par des ouverts d'Oka-Weil, (arrangeons-nous plus pr6cis6ment pour qu'il existe N tel que U~ soit vide lorsque ]c~[ >N. On suppose que, pour tout i~l,f(U~) est relativement compact dans S. On note U le syst6me semi-simplicial au-dessus de S associ6 5, tl.

Residus et duah tc 107

DOfinition. Une ll-triviatisation de f est la donn6e d'un syst6me seml- simplicial V de Forster-Knorr au-dessus de S, et d'un morphisme de systbmes semi-simpliciaux au-dessus de S,j: U-+ V, tel que, pour tout c~eA, L: U,--+ V~ soit un piongement.

La donnde d'une lI-~rivialisation de f 6quivaut h la donn6e d'une famille de plongements Ji: Ui--+V~=SxDi rendant commutatifs les diagrammes que l'on pense.

S i 11= { U~ }i~i et l r = { u/', }r~ r sont deux recouvremen ts localement finis de X par des ouverts d'Oka-Weil (b~ et Ud,=~ pour toni>N) (avec f(U~) et f(U~') relativement compacts dans S, pour ieI et i 'e I'), on d6signe par 11" le recouvrement << produit >> (I" = I x I; U/,, =/2/ca U/,,, si i" = (i, i')). On a des morphismes naturels de systemes semi-simpliciaux au-dessus deS, U ' - + U et U'--+U'.

Soient (V, H, S) et (V', H', S) respectivement une lI-trivialisation et une ll'-trivialisation de f Le produit (V", H", S) des systemes de Forster- Knorr Vet V' fournit une ll"-trivialisation de f, On a des diagrammes commutatifs

U " - - - - ~ V " U"-- - - - -*V"

] l ! '~ s U - - , V U' -~*V'

de syst~mes semi-simpliciaux au-dessus de S

On note p: U - , X et p': U'--* X les applications ~videntes.

Lemme 13. Dans les conditions prdc~dentes, si ~ est un ~x-module cohOrent, il existe des complexes 12, E" et E", respectivement de (fly, C'v, et ~v,,-modules libres de type fini, (i liaisons covariantes et nuts en degrO > O, des quasi-isomorphismes de modules gi liaisons covariantes

E--*j.p*~J, E ' - * j ' . p * ~ et E - - ~ j . p ~, (e .E <--E

et i5', E " ~ - E et rendanl commutatifs les diagrammes

C~, E'" , (~, j" p* ~ ~ , E'" , ~ , j , p*

l t l I E >.],p*d~ E " -~j,p*,~

Ddmonstration. On reprend la m6thode de Forster-Knorr [9] (lemme 1). On construit d 'abord E et E ' ; compte tenu de la m6thode employSe, la construction de E'" va ensuite de soi. 8*

108 J.P. Ram~s et G. Ruget

w 4. Le th~or~me de dualit~ relative pour les syst~mes de Forster-Knorr

I.

Le th6orSme (7) de dualit6 absolue pou r un polydisque ouver t et son faisceau structural.

Soit D u n polydisque ouvert de lI2 ~, K~ son complexe dualisant, que l 'on pour ra remplacer (dans la cat6gorie d6riv6e) par le complexe T -e '@~' des courants de bidegr~ (n,.), d6cal6 de d degr6s vers la gauche. Rappe lons la cons t ruc t ion de l 'appl icat ion naturelle:

O: RF~ R 9fom(D; OD, KS)---, R ~fo~e~fl (pt; RF(Cv), K;,),

qui est un i somorph isme: on passe par l ' interm6diaire de

R Jfom,Jofi (p ~; RF(Ov), RF~ (K~,)),

0 = fl o cr a 6tant repr~sent6e par l 'oubli :

3~fo~c(D, (9 o , T -a '9d6 ") --* ((9(D))' @ T - " ' ~ " ' (D),

et fl 6tant fabriqu6 ~ par t i r de la trace 616mentaire (l ' int6gration):

T - " '.~,a'" (D) -* I17;

0 est surjectif puisque, d 'apr6s Hahn-Banach , toute forme lin6aire sur RF((9o) se pro longe en un couran t de type (d,d) fi suppor t compac t ; ce couran t est d6fini/l un bord pras (pour la d"-cohomologie) , c'est-~t-dire que 0 est injectif.

2. Cas d'un produit de polydisques se projetant sur un facteur

Soit S, polydisque ouver t de C =, not re base, et appelons ~ la premiere project ion de V = S • D. Posons

Nv= T - ' ~ s @ T -d 'gb' , ~"

off Qs est le faisceau des formes h o l o m o r p h e s de degr6 n sur S. Le morphisme naturel

c~ : R rt: R ~;r ~ (V; (fly, Kv) --* R ~ l ~ (S; R rt, (9 v , R ~z! Kv)

est represent6 pa r l 'appl icat ion naturel le (cf. 1)

n, 5 ( f ~ ( V; (gv, Nv) , Yt~,~dofi (S; n . (gv, :~: Nv),

T-=Os(~ V - a ' ~ " ( D ) , (9(D)'@ T-" f2s@ T -~ '@~"(D).


A I'aide de la trace el6mentaire n:Nv--~ T -"Ms (int6gration dans les fibresl, on construit une application

Ho~ to f i (S; ;% (9 v , ~z~ Nv) --. -)Fo m/~o~ (S; n . (gv, T - " Os)

reprhsentant

fi: R ~ [ , , f i (S; R ~, (gv , R ~z~ Kv ) --' R , ~ g o / ~ (S; R ~z, (gv, Ks).

On a ainsi obtenu 0=flo~, repr6sent6 par un quasi-isomorphisme continu de complexes de 0s-modules DFN-libres (~ diff6rentielles continues): c'est le quasi-isomorphisme de 1, tensoris~ par T - ' O s.

3. La trace pour les syst~mes de Forster-Knorr

Reprenons les notations du w c'est h dire consid~rons un syst6me de Forster-Knorr V = { V , = S x D~} au dessus de S; supposons de plus que S soit un polydisque ouvert de (E ~. On dispose d'une collection de morphismes de complexes (de degr6 0) 0,0, d6finis pour a c 13

O,p: G~! T-a~ '~Da~ ''---~ T-a" ' ~ ] ' "

commutant comme l'on pense (on eonstuit O,pen pensant que

k ' + k " = k

off l'on a pos6 p = f i - : ( , et en utilisant l'integration '~o '~,(Do)~(U). On voit donc apparaitre un module & liaisons contravariantes Nv:

N='= T-" ~2~ T -~-' ~,o~o,-,

Si S d6signe le syst6me de Forster-Knorr trivial au dessus de S index6 par a, et q sa projection sur S, on a de plus des traces

t = G! N~--~ q, T - " Y2s = T - " f2s , &off

Tv/s: ~z!N'---, T - ' f 2 s,

qui repr6sente un morphisme de R x~Kv darts Ks, la source 6tant vue comme un complexe DFN libre, et Ies fl6ches devenant continues.

4. La dualitO relative

Soit toujours V un syst6me de Forster-Knorr au dessus du polydisque S. Nous dirons qu'on Or-module E est libre de type fini si, pour tout a, sa composante sur V~ est un (9,-module libre de type fini; supposons de plus que/2 soit born6/L droite et/L liaisons covariantes. On a une applica-

t 10 J.P. RamJs et G. Ruget

tion naturetle

~ ~ , ~ ( V; L', N~) -~ ~,%~/o/~ (S; 7c, E, ~ Nv ),

qui, jointe fi la trace Tv s, fournit

0: ~ ~"o~ ( V; E, Nv) ~ Off--doff (S ; ~ , E, T - " (2s)

repr6sentant

0: ~ R 3fo~(V; L', Kv)---, R ~ ~ /op (S; ~, E, Ks)-

Pour v6rifier que 0 est un quasi-isomorphisme continu de complexes de (gs-modules D F N libres, il suffit de passer par l'interm6diaire du quasi- isomorphisme de complexes de (:s-modules/t liaisons contravariantes

a~ ~ ( V; E, Nv) ---, ~ o ~ /~p (S; a , E, T -" f2 s)

(a: V ~ S ) construit imm6diatement /l l'aide du w On remarque ensuite que

q: a, of~.m (V; E, Nv)= n~-~o~e (V; E, Nv) et que

q., )ff~go/~ (S; a . L', T - " (2s) = ~fo~lo~ (S; 7z. L', T - " (2s).

Si V'--, Vest un morphisme de syst6mes de Forster-Knorr au-dessus de S, E un complexe de (Sv-modules libres de type fini, born6 A droite, E" un complexe borne fi droite de (gv,-modules libres de type rink tous deux

liaisons covariantes, et E ' - - . E un morphisme (de modules/~ liaisons covariantes) au-dessus de S, on prie le lecteur d'6crire la formule de <<variance>> liant les th6or6mes de dualite relative pour (V, 7z, S) et E d'une part et (V', 7r', S) et E" d'autre pa r t

5. Trace et transpos~e

On d6signe toujours par V un syst6me de Forster-Knorr au-dessus d'un polydisque S de (F".

On a construit plus haut le morphisme trace

Tv s : ~z! Nv ~ T - " s'2s.

Comme 7z~N v est un complexe born6 de (9s-modules DFN libres, ce morphisme d6finit un 616ment de Extop~ rc~Nv, T-"f2s).

Nous allons retrouver cet 616ment par un proc6d6 un peu different. La collection des complexes de faisceaux T . . . . ~ " ' " ( m y = d r + n ) , muni du syst6me 6vident de liaisons contravariantes ddduit des traces 616mentaires, est un (gv-module /t liaisons contravariantes que l'on ddsignera par Av. On a un quasi-isomorphisme de complexes de (gv- modules /~ liaisons contravariantes N v ~ A v . On en d6duit un quasi- isomorphisme de complexes de (gs-modules ~z~Nv-*rc~A'v, les objets


du second 6tant F,,(S;.)-acycliques. Ainsi le complexe ~(~, , ~v) est un repr6sentant de R F ~ K v dont les objets sont des espaces D F N et les diff6rentielles continues.

Ma i s on a une app l ica t ion naturel le F~(S; ~ A v ) ~ YAV; Av), qui est un i somorph i sme topo log ique de complexes d 'espaces D F N r6alisant RF~ n~ Kv--~ RF~ Kv. Par ailleurs, F~(V; Av) est na ture l lement en duali t6 avec F( V; ~v ~ et F~ (S, n~ Av) est na ture l lement en dual i te avec F(S; ~. go..), l ' i somorph i sme ci-dessus 6rant le t ranspos6 de l ' i somorph i sme naturel

rlv; ?o..)~ r(s; ~, ~..).

Or on a des quas i - i somorph i smes cont inus de complexes d 'espaces F N

r(S; : ,~, , /~/, iS; ~,N~, T - " s r(s; ~ . & " ),

r(v; 62v)-~ F(v: &.-). On a donc r6alis6 une app l i ca t ion

F(V; 62v)-+ R F(S; R J#~../o/z (S; r r ,K/ , Ks) )

<< t ranspos6e >> de RF~(S; R T t : K v ) ~ Fc(V; Kv). I1 est clair que l'616ment de Extop ~ (S; rc~ Nv, T-" Qs) = Extop ~ (S; ~z~ Kv, Ks) dSfini par la trace relative Tv, s. n'est aut re q u e . l ' image de 1 ~ par l ' app l ica t ion

F( V; 62v) --~ R F(S; ~'~o~ge)fi (S; ~ N~;, T - " Qs)-

w 5. Complexe dualisant et r~sidus

Dans le p a r a g r a p h e suivant, nous aurons besoin de c o m p a r e r deux modules ~, l iaisons con l rava r i an tes sur un syst6me de F o r s t e r - K n o r r t r ivial isant une app l ica t ion X ~ S ; nous ferons pou r cela un usage essentiel du th6or6me suivant:

Th/mr/~me 14. Soit X une vari~t~ analytique complexe de complexe dualisant Kx[22] . On peut trouver un morphisme (injectif en chaque degrO) de complexes de 62x-modules

Cx: K'x --+ T -~i"x ~ , , x , .

qui soit un quasi-isomorphisme, et qui soit fonctoriel vis-dl-vis des plongement X'-~ Y.

L'out i l essentiel pour la d6mons t ra t ion de ce th6or6me sera la th6orie des r&idus mul t ip les de Her re ra (non encore publi6e; cf. cependan t [14]) 8 .

En fait, fi l'heure actuelle (janvier 1973), Herrera ne sait pas encore demontrer l'existence des r6sidus multiples avec la d~finition, id6ale>~ donn6e ci-dessous. Mais il sait les construire par une m6thode plus terre ~ terre, qui donne routes les propri~t+s dont nous avons ici besoin. Mars 1974: Herrera salt actuellement d6montrer tous los r6suttats annonc&.

l 12 J. P, Ra mis et G. Ruget

La question 4tant locale, nous allons travailler dans le germe X en un point d 'une vari6t6 de dimension n, d 'anneau structural (9. Commen~ons par un ((rappel~ sur le rhsidu de Grothendieck ([3, 12]): soient co une forme ho lomorphe de degr6 n, (co e E2) et./1 . . . . . f , un systhme de n functions d6finissant le point-base (muni d 'un anneau de nilpotents d = ( 9 / (fl . . . . . f,)). Au symbole de Grothendieck [ f l , - ' g - , / , i , on associe un 616ment de Ext~(d,(~), ceci grfice A la rhsolution de Kosziil de . 4 fabriqu4e avec les f~. Mais on peut aussi calculer cet Ext/L l'aide de la r4solution de f2 par le complexe de courants ' 9 " " : on associe ainsi au symbole une classe de courants de type (n, n) ~ support le point-base; en fait, cette classe contient un couran t particulier: celui qui s'6crit

~ a i ~5, 6dzl A. . . Adz, Ad~i A. . . Ad~, i c z

off zj sont des coordonn6es holomorphes , i des n-indices, et c5 la masse de Dirac du point-base. C'est a0 le r~sidu de Grothendieck du symbole [ f , .~ , f . ] ; en fait, tout le courant pr6cit6 est int6ressant et c'est lui que generalise le r6sidu multiple de Herrera dans le cas off le symbole [f~, .3., fp] compor te seulement p fonctions dafinissant une intersection compl6te dont nous noterons encore l 'anneau ~ ' :

Th6or~me 15 (Herrera). Soient g, fl . . . . . fp des fonctions holomorphes sur X, en position d'intersection complbte gOom~trique (la codimension de V(g) c~ V(f/) est p + 1 ), et soit co une forme diffOrentielle (rOelle) de degr~ q sur X, fi coefficients (complexes) semi-m~romorphes, leurs vari~tOs polaires Otant contenues dans V(g) w V(fl). Alors, si ~o est une forme de degrO 2 n - p - q , fi coefficients cg~o, d support compact, la limite

lim ~ co A q~ a ~ o ]gl>a

ILl =

existe et dOfinit un courant que nous dOsignerons par

Vp~ R6si~ ..... s, co-

Bien entendu, cette d6finition n'est compl6te que si l 'on a orient6 convenablement la chaine serni-analytique sur laquelle on integre, orientat ion que nous laissons au lecteur le soin de deviner, et qui a pour effet de rendre VpgR6s/ , ..... I~ alterne par rappor t aux f . Bien stir,

Stockes dit que d R6s;~ ..... I c o = R 6 s l ...... i dco,

dVp~ Resi~ ..... j . co - Vpg R6sl, ..... ~r. d co = R6sg, j. ..... s. co-

Si la vari6t6 polaire de co est contenue dans U v (f) , on a

Vpg Rhsi~ ..... s, co = R6si~ ..... I , co,

Residus el dualite 113

et si elle est contenue darts V(g) 0 V(f), on a i,j

Vp~ R6sr ..... f ~o=0.

Mais la propri6t6 la plus importante (etla plus difficile 5. 6tablir) est celle dite de (( rinvarmnce des tubes ~.

Th~or~me 16 (Herrera). Soient b e t a, des fonctions holomorphes tales que G = b g et F , .=ai f soient encore en position d'intersection compl?te g~om~trique. Ators

Vp~ Rest ...... v, cn = Vpg R6s I ...... fp co.

Avec ce th6or6me, on volt par exemple que, si aij est une matrice p x p de fonctions holomorphes, si l'on pose h~ = ~ a~jfj, et si co est une forme ~oc, Oil a

R e s f .. . . . . fv ( ~ ) =R6sh ...... hp((~)d~t(aij)~:~p).

Revenons maintenant/t la g6n6ralisation du r6sidu de Grothendieck; en particulier, e) d6signe desormais une forme holomorphe de degr6 n. Avec le formulaire que nous venons de donner, on d6montre sans dif- ficult6 le

Lemme 17. L'application qui, au symbole If1, Y.., fv], associe le courant

Rdsf ...... f , est en fai l une applica tion de Ext~ (d , f2) dans '~"' e,

compatible avec Ie calcul du Ext par la rOsolution f2 ~ ' ~ " " (diffkrentielle d") ; elle est en particulier injective.

Supposons pour un instant que f~ . . . . . J~, d6finissent un ensemble irr6ductible 7. On voit bien maintenant comment interpr6ter H~(Spec (9, f2) (notation de [13], off [22]) comme un ensemble de courants de type (n, p): Hf est la limite pour les entiers q et les fonctions g non identiquement nulles sur 7 de F(Dg,o~xd~((9/(ff . . . . . fq), f2)); un 6lament de ce dernier

/

groupe peut 6tre repr6sent6 par un ((symbole~ ~-~ [f~q, .?.,ffl] auquel

on associe le courant Vpg RSs s ...... I~ g~.~.-, ffl , ce qui, comme dans

le lemme 17, d6finit une application injective de H~(Spec(9, f2) dans i~n, p

I1 faut maintenant 6tudier H~(Spec(9, g2) lorsque ~, irr6ductible de codimension p, n'est plus intersection complete. Comme pr6c6demment, H~=li~m F(Dg, A'~(SpecC, i2)). Pour un d6nominateur g fix6, cherchons

g

114 J .P . R a m i s et G. R u g e t

5. envoyer F(Dg,,~f~) dans '@"'P: nous pouvons choisir p fonctions

f~ . . . . . . fp d6finissant une intersection complate ~ dont o~ est l 'une des composantes cq . . . . . c~, telles de plus que g ne s 'annule pas identiquement sur ~, envoyer

F(D~ , :~ ) dans F(D~, Jt~r~j . . . . . ~ ) ,

dont nous repr6sentons los ~16ments par des symboles auxquels nous appl iquons Vpg R6s: ...... / . Reste 5. vb~rifier que le r6sultat ne d6pend pas du syst~me f~ ..... f~ choisi (il y a un espoir, sile but que nous pousuivons est raisonnable, puisqu 'on ne perd aucun renseignement en passant de r(D~, ~ ) ~ F(D~, ~ . . . . . r~)).

Soit doric f~' . . . . . J~ un autre syst6me tel que ,f~ . . . . ,j~,. Grace 5. un lemme que nous n '~noncerons pas, on ne perd aucune g6n6ralit6 5. supposer que p quelconques fonctions parmi les Jl et les f / sont en position d' intersection complete g6om6trique. Appelons f l l e ferm6 de SpecC, d6fini par l 'ensembles des Ji et Ji'. Les applications de F(Dg. ~ ) dans F(Og, ~ .... ) et F(D~, g(~-~I .... ) transitent via F(Dg, ~ f ) , qui peut 6tre calcul~ par le proc~d6 de Cech (voir [22]): si co~ ...... ~,,~ ....... ~/, est un cocycle associ6 h u n 616ment de F(D,, : 'C:) (co~ ...... ~:. ~ ....... ~ est une forme m6romorphe ayant pour d~nominateur un produit de puissances de g, de fh, .... Ji~ et deN; +~ . . . . . L;) . oa~ ..... pet (,)~ ,....,p, reprdsentant les images de cot el6ment dans F(Dg,~Y:~ .... ) e t F(D~,~r~ .... ) respectivement. Pour

montrer que Vp~R~s:, ..... : o ) t ..... v et Vp~R~s:i ..... f~o)~, .... p, sont le m~me courant , mont rons que tous los Vp~ Res:~, ...... t~:.:{:+,, ..... :~ Co ... sont 6gaux. Oublions Vp~, et appelons (p~ les fonctions f et f ' r6unies; il suffit de v6rifier que, par exemple

R6s~o, ..... ~p_,,~,, Co1 ..... p- l ,v = R6s+, ..... +p_,,+,+~ CO1 . . . . . p--l,p+l'

Ceci se fait en utilisant la condi t ion de cocycle pour le systeme d'indices 1 . . . . . p + 1, 5. laquelle on applique l 'opdration Rds~, ...... <op_,, +p +p+ ,-

Nous disposons donc, pour tout 7 irr6ductible de codimension p, d 'une application injective de Hff(Spect0, t?) dans '~" ' ; . Reste 5. voir que ceci donne une application injective de I J H~ dans ,~,,v (la somme en

question n'est autre que la fibre au point-base du ccmplexe dualisant), et que le bord du complexe dualisant commute avec cette injection et le bord d"/2i~ du complexe de courants. La premiere assertion r6sulte du lemme de purer6 suivant (qui indique entre autres que le courant associ6 5. un 61~ment non nul de H~ a exactement pour support 7):

Lemme 18. Soient g, f l . . . . . fp, h des fonctions dont los p + 1 premiOres et les p+ l dernikres sont en position d'intersection complOte g~omOtrique;

R6sidus et duahte 115

soit de plus o) une Jorme holomorphe. Supposons que le courant

~- j ; ) (a priori d support dm~s (~ V(Ji) ) Vp~ R6s: ...... :p g J[ ... i

induise 0 dans le complOmentaire de V(h). Alors, if ~gait lui-mime nut.

Quant ~ l'assertion sur les differentielles, elle provient de ce que l'operation bord dans le complexe dualisant consiste/~ peu pr6s/t faire passer g du rang de d6nominateur spOcial au rang des Ji (c'est exactement 9a si 7~ V(g) est irr6ductible), et de ce que d"Vp=R6s .

Terminons par deux remarques en appendice:

Appendice I. Si X est un espace analytique complexe coh6rent comme espace analytique rdel (par exemple si les composantes irreductibles de X sont normalest, on peut encore realiser K x comme sous-complexe de '~x . Pour voir ceci, on plonge X (localement) darts une vari6t6 V; par d~finition, Kx=Home~((gx, Kv). A un 616ment de Kx, est donc associ6 un courant de V annule par l'id6al J de X dans V; ~ ce renseignement joignons le

Lemme 14. S i p >= 1, et si O est une jonction holomorphe s'annulant sur N vtfo, alors"

q~ Vpg R~sz ....... rp g,/;--. 7/~- = 0,

et un th~or~me de Malgrange [20] assurant que toute fonction differen- tielle sur V nulle sur X est combinaison de fonctions de ..r et de J : nous voyons bien que les 6laments de K x induisent des courants sur X (au sens de [151t.

Appendice 2. Revenons aa residu muttipte de Herrera, darts le cas o~5 m

m est holomorphe. On peut obtenir R6s: ...... :~ f : , . . . f ~ comme un

hypercourant, par une m6thode assez diff6rente de celle de Herrera. Disons le pour c~ V ( f ) = S lisse: le lecteur gdn6ralisera. Soient X~ un premier exemplaire de X, Xz un deuxi6me exemplaire, X2 l'exemplaire X z muni de la structure complexe conjug6e; X, comme varlet6 analytique r6elle, peut etre vue comme la diagonale de X~ x X2, cette derni6re

(.0 6tant sa complexifi6e. Alors, f~. . . fq~ fournit un 616ment de H~, (X~ ; f2f).

D'autre part, l'int6gration sur S fournit un 616ment de H~ (X2, f2~)= P P H~=(X2, f2=). Le produit externe de ces classes de cohomologie est dans

H~P(X1 x _ ~ z , f 2 [ ' | ot~ X=S1 xS2 n'est autre que le complexifi6 du S diagonal.


Utilisons maintenant le morphisme de Gysin de l'inclusion ScS, de codimension r6elle 2n-2p. On obtient une classe dans

Hs2"(X, • X2, ~ | ~ ) = FsJgxZ~(X~ •215174 '''~, o/! sr ~' p d6signent les formes de type (n, p) sur X/t coefficients analytiques r6els. Nous avons bien construit un hypercourant de type (n, p),/t support dans S; c'est le bon! A partir de IA, et sachant que l'on veut que Vp commute aux op6rateurs diff6rentiels holomorphes, on peut construire les Vp R6s.

w 6. Le th6or6me de dualit6 relative pour une application analytique queiconque

Nous nous contenterons d'un th60r~me ~ local en bas >>. C'est suffisant pour les deux applications principales que nous avons en rue:

- retrouver la thaorie de la duatit6 relative pour un morphisme propre

- d6montrer la coh6rence de certaines images directes moyennant des hypothbses de convexit6 ou concavit6 relative.

On peut obtenir un succ6dan6 de th60r6me ~(global en bas>>, en remplagant la base par un syst6me de Forster-Knorr. En tout 6tat de cause un th6or6me ~global en bas~ sera utilisable seulement quand seront mieux connues les relations entre quasi-coh6rence locale et globale 9.

Soit donc f : X--> S une application analytique, off S est un polydisque ouvert dans IE" et X un espace analytique paracompact, de dimension de Zariski born6e. Soit aussi ~ un s coh6rent.

Une topologie sur Rf.W est la donn6e d'une famille de complexes born6es ~ droite {J//'} de (gs-modules dont les objets soient FN-libres et les diff6rentielles continues, telle que chaque complexe de la famille soit un repr6sentant de Rf.~, et que, si d/~ et J/2 sont deux complexes de la famille, iI existe un diagramme de quasi-isomorphismes continus

~r , off -/[3 est un complexe de la famille.

Une topologie sur Rf. RJF~(X; .~, Kx) est la donn6e d'une famille de complexes born6s ~ gauche de 6s-modules jtr" dont les objects soient DFN-libres et les diff6rentielles continues, telle que chaque complexe de la famille soit un repr6sentant de R f R J e ' ~ ( X ; ~ Kx) et que, si Xt" et all/'; sont deux complexes de la famille, il existe un diagramme de quasi-

isomorphismes continus ~4r3 , oti Jtr; est un complexe de la famille. ~ ~4r2 "

9 On peut toutefois construire une trace globale T x re F(Y; d%go//(Y; R J, K) , K~,)).

R6sidus et duality? 1 I7

Th6or~me 1. II existe des topologies sur R f , ~ et sur

Rf., R 9f~n (X; if, Kx)

(construites par lrivialisalion de f ) relies que.

(i) Si ~ " est un reprd.sentant topologique de R f,. R J~cC'~(X; ~, Kx), iI existe uu reprOsentant topologique J/l" de R f , f f el un qt~asi-isomorphisme lopologique

W'--, Yt'~,,t~/~ (S; Jr T" f2s).

(ii) Si ~ et ~Vs sont des reprOsentants topologiques de

on peut grouuer un autre repr~sentam topotogique . /~ , des repr~sentants topologiques ~(a', ~//~2 el J//3 de R f , ~ , tels que l'on ait tm diagramme commutatif

w ; - - - - , ~ A ( s ; ~ ; ; T-"~s)

.A,"s ~ Jfo~dop (S; Jt'~, T- ~ as),

o~ les fl6ches seient des quasi-isomorphismes continus.

Remarques: 1 ~ Le morphisme du (i) repr6sente une application

Rf., R J~ f~ (X; ff,,K~) 0, R 3 fz~ O (S; R f , d~, Ks) ,

qui est un isomorphisme. 2 ~ Le th6or~me de dnalit6 est fonctoriel en f f (en un sens que Yon

laisse expliciter au lecteur). 3 ~ Cet ~nonc6 ne n6cessite aucunement la notion de faisceau quasi-

coherent, ni d'alg~bre bomologique EVTique. C'est pour l'appliquer que ]es Iemmes rassembl6s w 1 deviennent indispensables.

L'id~e de la d6monstration est de remonter R f, R H e ~ ( X ; ~, Kx) et R f , ~ en f, 9 ~ ( U ; p*ff,, Jr)) et f , p*ff qui Ieur sont quasi-isomorphes (U est le complexe serni-simplicial associ6/t un recouvrement de X par des ouverts d'Oka-Weil, p la projection de U sur X, Jr) une r6solution injective de )ft; ~t liaisons contravariantes <<naturelles~}. On trivialise ensuite le morphisme f A l'aide d'un plongement j de U dans un syst~me de Forster-Knorr V au-dessus de S. Ce plongement permet de remplacer f, 9r p*J-~J~) et Rf , p*f f par des complexes isomorphes dans la cat6gorie d6rivee rc!JC'o~v(~"; N~;) et n,~s off A ~ est un complexe born6/t droite de Cv-modules libres de type fini 5. liaisons covariantes, [r6solution de j , p * Y ) . On est ramen6 au theoreme de dualit6 relative pour un systSme de Forster-Knorr.

1t8 J.P. Ramis et G. Ruget

La trace relative

Bien que la trace relative Txj s n' intervienne pas directement dans la demons t ra t ion du th~or~me (on passe par l ' interm6diaire de Tvts), sa construct ion est parall61e fl cette d6monst ra t ion , et nous allons la d6tailler.

Soient lI = { Ui}i~l un recouvrement ouvert localement fini de X par des ouverts d 'Oka-Wei l (avec f(U~) relativernent compac t dans S), et ( V,, z, S, j) une l l- tr ivia[isation de f ( j : U ~ Vest un morph i sme au-dessus de S).

Si ~ est un (fix-module, nous no te rons C'(ff) sa r6solution de Godement , qui varie fonctoriel lement avec c~. Si c~ est fl fibres injectives, on sait que C'(f#) est une resolut ion injective [4].

Une derni6re r emarque avant de travailler:

Soient Z et A deux po]ydisques ouverts de ~E"" et ~m". Soit 7z: Z x A ~ Z la premi6re projection. Soil W un sous-ensemble analyt ique de Z x A tel que la restriction de ~ fl W soit une immersion. On se donne un (gz• ~-module c~, fl suppor t dans W, un (gz-module ~,, et un morph i sme n: a3 ~ 9~. I1 existe alors un morph i sme naturel ~z, C'(C~) ~ C" (~vg).

Nous allons main tenan t compare r plusieurs modules sur V fl liaisons cont ravar iantes : le point essentiel est, que, d 'apres le th6or6me 14, j , p* K] = ) F ~ (j, p* Co x, Kv) va quas i - i somorph iquement dans

~ , ~ (J. p* (~x, ~;3.

La remarque ci-dessus en traine q ue C ' ( ~ o ~ (j, p* (fix, A v)) est un module /i liaisons cont ravar ian tes (~%~(Vp;j , oo, Avp) est ~ suppor t dans .j(Up), et la restriction de ;%~ ~. j(U~) est une immersion) ; de m6me,

c ' ( H ~ 0, p* (fix, I~;~)

est un module fl liaisons cent ravar ian tes , qui va quas i - i somorph iquement dans le pr6c6dent, et qui permet de calculer R f,. K x. Nous devons nous raccrocher fl ~: ~ o ~ ( j , p * (.9 x, Nv), via bien stir ~ J f ~ ( J . P* (fix, A)); en fair, ce dernier coincide avec rc~ C" (.;/go~ (j, p* (fix, A v)), grfice fl la mollesse des dis t r ibut ions (voir [22], d6mons t ra t ion du th6or6me 1). En r6sum6, et en nuanqant convenab lement l 'emploi du signe = , on a

R f K'x = To: C" (j, p* K x) = ~, Jt~z~ ( V; j , p* (gx, Nv).

On peut main tenant choisir diverses r6solutions libres de type fini born6es ~'-*J,P*(f ix , que ]'on saura au besoin ~comparer) ) les unes aux autres. D'of i une topologie suf R f K~, en la personne de

7z, Yt~ ~ ' , Nv).

Residus et dualite 119

La trace relative Tv/s envoie ce repr6sentant dans

~ / ~ / ~ (s; n. d', r-"~s),

lequel, 6valu6 sur une section (~l~> de ~, L- ~ ~,(9 x (dans la cat6gorie d6rivde) donne une section de T-"Qs. On a ainsi construit la trace

r~,s: R~ K) ~ K;~.

Esquissons maintenant la d6monstration du th6orbme: si J/g" est une rdsolution de j , p*W par un complexe de @-modules libres de type fini,/~ liaisons covariantes (nul en degr6s >0), 7r~ j ( f ~ (V; ~ " , Nv) est un reprdsentant topologique de R f R ~;r ~J, K~) (on le v6rifie par un argument analogue 5- celui employ6 pour la trace). II suffit d'appliquer le thdor6me de dualit6 relative 5- (V, 7r, S) et M', pour obtenir un quasi- isomorphisme continu

~, ~r ~/", N v ) 0 ~ ,;~g,~/~ (S: ~c.,g', T-"f2s);

il est clair que rr, og" est un repr6sentant de R J. ~. On obtient donc clairement la topologie cherch6e en faisant varlet

le recouvrement tl, puis la rdsolution ,If/'.

Trace et dualitd relative

On peut d6crire ainsi le morphisme de dualit6 relative: on a un diagramme commutatif de quasi-isomorphismes (de modules 5_ liaisons contravariantes)

d'4ff~(V; j .p* ~, )f~m(V; j ,p* Cx ; Av)

, ~ , ~ ( V ; ; "* ~~'~ ; -*(9x; Av)--- - - - -~Jt~(V;j .p*,~; Av) J . P " t . ~ 2 ( g v J , F

i

II est clair sur ce diagramme que Fon a un morphisme naturel

n~ ~'~m (V; Jg" | S ' , Nv) ---* ,,uf~ ~A,~/~ (S; z~, (~/" | ~ ' ) , m N;)

qui suivi du morphisme d6duit de la trace construite plus haut redonne (5- des quasi-isomorphismes pr6s que l'on laisse expliciter au lecteur) la dualit6 ci-dessus.


Le morphisme de dualit6 provient donc du morphisme naturel:

R f, R ~fv~ (X; ~, Kx) --, R Wo~&/~ (S; R f , ~, R f, Kx)

suivi du morphisme

R 3r (S; nf , ,~ , R f K~)-+ R ovt%~gofi (S; R f , ~,, Ks)

ddduit de la trace relative Tx/s.

Trace et transpos(e

On a des representants topologis6s de RF~(X;Kx) et RF(X; (Px) (associ6s /t tout recouvrement convenable de X: cf. [22]) en dualit6. I1 s'agit de trouver des representants topologis6s de R F,(S; R f Kx) et R F(S; R W~Lof i (S; R f, K x, Ks) ) en dualit6 et des applications continues (repr6sentant les applications naturelles) et transpos6es l'une de l'autre

R F~ (S; Rf., Kx) -* R F~ (X; Kx) et

R F(S; R ~ d ~ f i (S; R f, Kx, Ks) ) ~-- R F(X; Ox).

La r6ponse est donn6e par le diagramme suivant, off ~" d6signe une r~solution libre de j , p*(9 x et Cv le complexe de d"-cohomologie sur les fonctions <<diff6rentiables dans les fibres et d6pendant holomorphique- ment de s~S>>)

Fc(V; J fv~ (V; ~ ' , Nv))x F(V; s | C~

I ! rAv; ~ ( v ; j , p* ev, N~) • r(v;j, p* ev| c~

cat. d~r.

F~(U; Kv) F(U ; Ou).

La trace Tx/seExtop~ RfK'x, Ks) est l'image de IEF{X, (gx) dans RF(S; R ~o~L~/~ (S; RfK'x, Ks)), dont un bon repr6sentant figure en haut/l droite du diagramme ci-dessus.

R d s i d u s et d u a l i t e 121

w 7. La dualit~ relative dans le cas propre

Dans le cas absolu, l'un quelconque des th6or~mes de dualite de [22] el le lh6ordme de finitude de Cartan-Serre (X compact) conduisent fi un 6nonc6 alg6brique: l'accouplement naturel

Hk(X ; ~'1 • Ext-k(X; ,~, K}) ~ (E

met les deux espaces en dualit6 alg~brique. I1 en est de m6me dans le cas reIatif (propre): le th6or~me de dualit~ ~ topologique)) 6tabli ci-dessus et le theor6me de coh6rence des images directes de Grauer* ([11, 9, 16, 18]) conduisent ~. un 6nonc6 alg6brique: c'est le th6or6me 6tabli dans la premi&e partie de [23J par une m6thode directe (mais sophistiqu6e ...):

Th~or~me 20. Soit f : X - ~ S une application anatytique propre f u n espace analytique X dans un poIydisque ouvert S de 112".

(i) Les topologies naturelles sur les espaces H ~ (X; K x) et H ~ (S; R f , Kx) (la seconde est la topoIogie d~duite du fait que R f , K'x est d cohomologie coh~rente et S Stein) sont s@ar&s, l'application naturelle

H,9(S; R f , K x ) ~ H~~ (X; Kx)

est continue et sa transposOe F(X ; 6 x ) - ' Ext ~ (S; R f , Kx, Ks) fournit un Oldment privildgid Tx/s de Ext~ R f , Kx, Ks) ( I'image de 1) appel6 trace relative.

(ii) Si ~ est un (Sx-module cohdrent, l'application composOe de l'application naturette

R f , R o~t"o~ (X; ~, K)) -+ R -a~C'o#,a (S; R J, ~. R f , Kx)

et de I'apptication dOduite de la truce

R ,vf~,az (S: R L ~ , R J , K ~ ) ~ R ~ . , , ( S ; R f , ~ . Ks)

et un isomorphisme.

La m~thode de passage du topologique/t l'alg6brique est formul6e dans les deux lemmes.

Lemme 21. Si ~ est un (~s-module libre de type .fini et . ~u n (gs-module FN-quasi-coh~rent (resp. DFN-quasi-cohdrent), tout morphisme de &s-modules ~ - + o~ est ~eontinu~.

Lemme 22. Si g " est un complexe bornd ~ droite de Cs-module FN- quasi-cohdrents ( resp. DFN-quasi-cohdrents), gl d(ffOrentielles ~ continues ~, d cohomotogie cohOrente, et .~" un complexe bornd d gauche de Cs-modules DFN-quasi-cohdrents (resp. FN-quasi-cohdrents), d dijJOrentielles (r

9 Inventlones math. Vol. 26


tinues~), on a un isomorphisme

R ~ (S; ~ ' , ~r ~ R ~ , ~ p IS; ~ ' , ~')

(quitted restreindre S).

On peut en effet trouver un quasi-isomorphisme de complexes de 6s-modules 50"--* W', off 5 ~ est / t objets libres de type fini et born6/t droite; d'aprbs le lemme pr6c6dent, c'est un quasi-isomorphisme de complexes de Cs-modules FN-quasi-coh6rents (resp. DFN-quasi-co- h6rents)/l diff6rentielles << continues>> (50" est/~ objets FN-libres et DFN- libres). D'ofi

R J~,'~z~,,ndo~ (S; ~ ' , f#') = ~,~o~.ag~fi (S; L', G') = ~ , ~ (S; 50", N')

= R Jt'b,m (S; ~ ' , ~').

Revenons /t la situation indiqude plus haut: j': X ~ S propre et un Cx-module cohdrent. D'apr5s le th6or6me des images directes de Grauert, R f , ~ = Rf , .~ est born6/~ droite et / t cohomologie cohdrente. Doric

R ) f ~ g o f l (S; R f . ~ , T -"Y2s )=R~f~(S ; R f . ~ , T-"f2s)

= R J f ~ ( S ; R f . ~ ~, Ks).

Ainsi le th6or6me de dualit6 relative <<topologique>> nous fournit un isomorphisme

R f . R ~ (X; ~, K~} ~ R J(fo~ (S; R f . W, K~).

I1 reste ~t voir que cet isomorphisme est bien celui decrit dans [23].

La trace relative ~+ lopologique, Tx~s fournit un hlhment de

Extop~ R f , K x, T-"f2s)= Ext~ R f , K'x, T ~f2s)

= Ext~ (S; R f . K'x, K'sL

et le morphisme 0 de dualit6 ++ topologique~> se deduit du morphisme

R Wo.n(X; ~, Kx)-* R W ~ f i (S; R f . ~, R f . Kx)

et du morphisme venant de la trace

R J f~go f i (S; R f . Y, R f . K)) -+ R 3fo~gofl (S; R f . ~, Ks).

I1 suffit de se reporter au w 6 (trace et dualit6 relative) pour voir que cette opOration est d6crite en utilisant yg,~g~fi (S; re, 50"@ 5 ~ r h Nv) comme reprhsentant de R.~o ,wg@(S:Rt , T,,Rfi. K'x); mais c'est aussi un reprhsentant de R .3fo~(S; R f , ~, R j , Kx).

Res~dus et dualite 123

La seule chose ~ vdrifier est que la trace Txj s dans Ext ~ (S; R f , K), K)) fournie par la dualit6 ((topologique, est celle d6crite dans la partie (i) du th6or6me. On a vu que l'application naturelle

H~~ (S; ~, )~o~ (V; ~,Q', Nv))--~ H~ (Kx)

~tait un isomorphisme d'espaces vectoriets topologiques (les espaces 6rant munis des topologies <<naturelles>> 6videntes): cf. w (trace et transpos6e). On laisse v6rifier au lecteur, que si ~#/'~ ~ , ~ (V; ~ ' , N~)= R f . K x est un quasi-isomorphisme, avec .ff[" born6 fi droite et fi objets libres de type fini, l'application naturelie

H~ J { ' ) ~ H~ ~, ~,~ ~r (V; ~ ' , Nv))

est un isomorphisme d'espaces vectoriels topologiques, si l'on met sur le premier espace la topologie dOcrite dans [22] (th. 2); or cette derniOre topologie est sOparOe.

w 8. Coherence de certaines images directes dans ie cas q-concave relatif

Un thdor~me de f initude

Nous ferons un usage essentiel du r6sultat suivant (dfi ~. Houzel [16]):

Th~or~me 23. Soient (S, (-gs) un espace annel~ en alg~bres bornologiques muhiplicativement convexes compIOtes et 3 o . . . . . ~r des complexes de ~s-modules bornologiques compJets," soient de plus, pour i= 1 . . . . . r, des morphismes de complexes u~: ~ - i - - ~ ~i" et des entiers relatifs a, b, avec a < b. Si les hypothOses a), b), c) qui sui~ent sont satisfaites, les complexes 4 " sont a-pseudo-coh4rents (i.e. i! existe localement un quasi-isomorphisme Y ' - - , ~ ' , o~'l 5P" est un comptexe bornO ~ droite et fi composantes libres de type f in i en degr~ >a; c f [17]).

a) Pour tout i = 1 , . . . , r et tout s~S, ~kt,s est s~par~, nul pour k>_b,_ et possOde la propriOtO d'homomorphisme pour k > a.

b) Pour tout i= 1 . . . . . r, u~ est un a-quasi-isomorphisme (i.e. Hk(u~) est un isomorphisme pour a > k et un Opimorphisme pour a = k ; c f [17]) et u~ est (gs-nuclOaire en degrO > a.

c) l + b - a < r .

Pour la terminologie introduite, on est prie de se raporter fi [16]. Si S est un polydisque ouvert de C", il est naturellement muni d'une structure d'espace annel6 en alg6bres bornologiques complOtes multi- plicativement convexes.

On rappelle le rdsultat suivant ([16], page 40t.

9"


Lemme 24. Si E et F sont des limites inductives d~nombrables d'espaees de Fr~chet, E (~ F poss8de ta propriOt~ d'homomorphisme jorte.

Off l'on rencontre des morphismes A-nucl8aires

Soit f : X ~ S une application analytique (S polydisque ouvert de centre 0 de ~"). Soit X' un ouvert de X, tels que X' soit f-propre, Soient enfin un recouvrement 1I = {U~}i~1 de X et un recouvrement l I '= {U~ ~i,~i, localement finis de X' par des ouverts d'Oka-Weil (resp, de X et X'); on suppose 11' plus fin que le recouvrement induit par 11 sur X' (et on se donne une application I'~-%I, telle que Ui'c=U~I~ et cp(I') fini).

Dans ces conditions, on peut trouver une ~-triviatisation (V, n, S,j) de f et une ~l'-trivialisat~on de la restriction f ' de f ~ X, (V', z', S,j'), telles que l'on nit un morphisme r de syst6mes semi-simpliciau• au-dessus de S,r: (V' ,n ' ,S)-*(V,n,S) , oil rc=Vi:=S• se d6duit d'une inclusion DI~D~,) ,DI 6tant relativement compact dans D~i,i (il en r6sulte que D'=, = c Dot,,)).

Lemme 25. Si (V, n, S) est un systSme de Forster-Knorr au dessus de S e t w" un complexe born8 d droite de (gx-modules libres de type [ini fi liaisons covariantes, la fibre en s~S du complexe de (~v-modules n, ~ut~o~ (V; S ' , N~) est un complexe de ~,-modules bornologiques complets, fi diffSrentielles LO~-linSaires bornOes, dont los objets vOrifient Ia propriOt8 d'homomorphisme (6;~, fibre dt l'origine du faisceau (5 s est une atgObre bornologique complete, muItiplicativement convexe).

En ~ remplaqant)) ~ " par un complexe d f , ol) k_ J / /~- ((~)~"-, la fibre consid6r6e s'identifie 5_ un complexe dont les objets sont de la forme (5', ~) H, ofl H est somme d6nombrable d'espaces de la forme ('~"~" k (O~))~, donc limite inductive d6nombrable d'espaces de Banach. On peut donc appliquer le lemme 24 ~ 0

Lemme 26. Si, dans [ct situation dOcrite plus haut (r: (V' ,n' ,S)-~ (V,n, S)), on se donne un complexe ~" born8 de C~v-modules libres de type fini, d liaisons covariantes, et si l'on pose L#"= r* 5~" (Sf"" est un complexe bornO de ~v,-modules libres de type J~ni, d liaisons eovariantes), on a un morphisme naturel ( ~ z J t ~ ( V ' ; L~", Nv,)-* n!~o~,~(V; L~", Nv)) de complexes de (Ss-modules bornotogiques. Ce morphisme est (~s-IinOaire bornO et (Ss-nuclSaire en tvus degr~s.

Comme pour la d6monstration du lemme pr6c6dent, on remplace L~'par ~//'. On est alors ramen6 ~ prouver la (gs-nuct6arit6 d'applications (5's | H ' ~ (0 s | H provenant, par extension des scalaires, d'applications ~-nucl6aires H ' -* H; ce qui est trivial.

~o ~) topologique et bornologique coincident pour les espaces consid6r6s.


Le th~orOme de cohOrence

Rappelons tout d'abord le rdsultat suivant (cf. [21 ]).

Th~orSme 27. Soit f : X--~ S une application analytique (S polydisque ouvert de ~"). Soit @: X -+ IR une application continue, fortemem q-convexe sur {@<do}. On suppose que l'adhOrence de Xd= [d<@} est f propre, pour tout d < do. Soit ~ un @x-module cohOrent.

Alors, pour tout d<do, l'application (Jd est la restriction d e / ~ )(el

(Rk~ R Wo~ (Xu; ,~,, Kx~,) ) ~ (Rkf R , ~ e (X; if, Kx))

est bijectiue pour q+ 3 - p r o j x S <=k et surjective pour q+ 2 - p r o j x , ~ = k(s~S).

On a vu que l'on pouvait trouver (apr6s avoir H-trivialis6 J) un representant de R f R -~o~,~ (X; S, Kx) de la forme ~z! W6,,, (V; ~ ' , N~.), off ~(~" est un complexe borne de @v-modules libres de type fini fi liaisons covariantes. On pose alors X ' = Xa (apr6s avoir chosi d< do) et on choisit des recouvrements 11 et 1[' et des trivialisations comme d6crits ci-dessus. Le th6or6me qui pr6c6de montre alors que l'on a un ( q + 2 - p r o f x ~ ) - quasi-isomorphisme

Ud = ~Zl ~,-m ( V'; i~' ", Nv) --, u~ ( V; 2, ~', Nv)

de complexes de (gs-modules.

Plus gdn6ralement, si d2<d~<do, on a un (q+2-profx#Y)-quasi- isomorphisme

6's-nucl6aire en tous degres.

En choisissant une suite d~ . . . . . dr assez longue, on peut alors appliquer le th6oreme 23, et l'on obtient la

Proposition 28. Avec les notations prOc~dentes (n~ ~ > ~ (V; ~ ' , Nv)) est un complexe bornO ~ droite et (q + 2-prof~ ~)-pseudocohdrent.

Quitte & r6duire S, on a doric un quasi-isomorphisme ~(continu~ (on revient/t la topologie) de complexes de (gs-modules

~" - - , re, Y t ~ (V; L~', Nv),

off ,~" est born6 ~ droite et ~ composantes libres de type fini en degr6s > q + 1 - p r o f x ~ On peut de plus supposer que toutes les composantes


de o~" sont DFN-l ibres . Le th6or6me de dualit6 relative conduit alors (cf. w 11 au

Th6or6me 3. Soient f : X--+ Y une application analytique (X et Y espaces analytiques, avec X de dimension de Zariski born~e) et ~ un Cx- module coh&ent. Soit O: X--*IR une application continue, fortement q-concexe sur {~O<do}. On suppose que 1'adherence de X~= {d<~9} est f-propre, pour tout d < d o.

Alors les faisceaux de Cv-modules R k f , , ~ sont cob&cuts pour k < p r o f r ~ - q - d i m Y - 2 .

On n 'a ~ vrai dire trait6 que le cas o6 la base Y est lisse; pour passer un cas g6n6ral on utilise un p longement Yd- ,U (U ouver t de r il en existe, qu i t t e / t r6duire Y. Si 1 / e s t un recouvrement d 'Oka-Wei l de X, U le systeme semi-simplicial associe,

f : U- - , Y el p: U ~ , X

les morph i smes naturels, et f f un Cx-module coherent, les objets de f . p * ~ " sont FN-quas i -coh6rents (cf. exemple, page 20), les diff6ren- tielles de f . p * F (( continues ~r. On a donc une r6solution FN-l ibre ~(canonique>r ~f'" de f . p* f f = R f , ~..

Si main tenan t g = iof, une l l- tr ivialisation de g fournit une r6solution FN- l ibre ~Ar de R g . , ~ . I1 est facile de construire un quas i - i somorphisme j r i,L.w'. On en d6duit les quas i - i somorphismes :

~'~o~nd~fl ( Y ; ~L#', K'y ) ---, . Y f ~ g o p (U; i , c,(,-, T - " ~2u)

--~ Of~,~e,@(U ; Jr T-" f2u) ,

et les consid6rat ions d6velopp6es plus haut (of. page 23) permet tent de conclure.

Te rminons par un exemple trivial:

Soil T = ~ / ~ un tore complexe ( ~ = Z + i 2 ~ ) .

Soit D l ' image dans T d u disque Ilzll <�89 On pose Y = r

X = T x C Z - D x {(zl,z2)llzl12 + lz2t2 ~ 1}

et on d6signe par f = X ~ Y la ~(projection)) 6v~dente.

Le lecteur v6rifiera que f est for tement 0-concave. Soit ~ le faisceau des formes diff6rentielles ho lomorphes relatives de degr6 1 sur X. On a prof x ~ = 3. Ainsi, profx ~ - q - 2 - dim Y = - 1.

1 En fail, on a besoin de pseudo-coh&ence au voisinage de petits polydisques compacts K de S; on applique done le th6or6me 1 de [1.6] pour l'alg6bre ~9(K) et les complexes

F( K, ni Yfom( V~; ,5~, Nv.))= R FIid.).


On constate bien que RZf , ~ est un faisceau inversible sur

Y - {(z,, z~) I Iz~l ~ + Iz~l ~ > 1}

et est le faisceau nul sur {(z l , zz) l[z l[2+lz2lZ< 1}, il ne peut donc 6tre coh6rent. Q u a n t / t R ~ il n 'est visiblement pas coh6rent sur {(zt, Zz)llzll 2 + l zzl-' < l}. Le lecteur construira facilement d 'autres exemples en d imensions vari6es pouvan t que le th6or6me 3 est le meilleur rdsultat possible.

w 9. Un deuxi~me th6or~me de dualit~ relative pour les syst+mes de Forster-Knorr

Un syst6me de compac t s P associ~/l un syst~me de Fo r s t e r -Knor r (V ,n ,S) au-dessus du polydisque ouvert S de C" (Vo=J_[ V~), est Ia

donn6e pour chaque i e I d'un polydisque ferm6 C Z c D ~ de 112 "~. On pose P~ = S x Ci c Vii. On pose C, = Cio x ... • Ci~ (~ = (io, ..- , ip)), P~ = S x C~ ~ V,. On obtient un syst~me semisimplicial P au-dessus de S, on note v: P---, S la restriction de n / l P.

1. Le thOorOme ( ? ) de dualit~ relative pour un polydisque compact et son faisceau structural

Soient D u n polydisque ouvert de C "D et C u n sous-polydisque ferm6 de D. On va d6crire la dualit6 absolue pour le faisceau (9 c (D ne sert qu'/t l '6criture et peut ~tre choisi aussi pr6s que l 'on veut de C).

On d6signe par T - " " ~ D'" le complexe des faisceaux d 'hyper- courants de bidegr6 (riD,.) d6cal6 de n o degr6s vers la gauche.

On a T - " ~ " d . . . . (C)=Homc(D;(OD, T , ~ o , . ) , et ce complexe est un reprdsentant de RFcRJgo~(D; (9 D, T - " ~ ~ (~o est flasque et ~ fibres injectives).

On a ensuite une appl icat ion naturelle (oubli)

H o m c ( D ; (9 D, T . . . . ~ r ~ , Homtopr T -"~ 'd" '~" (C) )

((9(C))' (~ T . . . . d . . . . (C)

(on remarque que l 'on dispose de topologies FN sur les deux termes du produi t tensoriel).

De la trace 616mentaire T - " ~ 1 7 6 (6valuation sur 1), on d6duit une appl icat ion flo a = 0.

Homc(D;(9o , T-"O#3;~ ' qui est l 'appl icat ion que l 'on pense (la cohomolog ie du premier complexe est Hc ~ (T -"~' f2o) en degr6 0 et nulle en les autres degr6s).


On a ainsi construit i 'isomorphisme naturel

. R ) f ~ g ~ p (pt., RF(Cc), RFc (KD))

// / i

RFc R W ~ (D; Co, K'o) - - - - ~ R dt~,~L~fi (pt., RF(Cc), Kpt.).

On designe par Sr ~ le complexe des faisceaux de germes de formes diff~rentielles/t coefficients analytiques reels de bidegr6 (0,.). On a un quasi-isomorphisme naturel

T -=~ '~r . . . . (C) = Homtopc(~r176 "(C), C ) ~ Homtopr (C), e) .

On aura remarqu6 que cette d6monstration est dans l'esprit de [24, 25].

2. Cas d'un produit de polydisques se projetant sur un facteur

On param6tre la construction pr6c6dent par un polydisque ouvert S de C = pour obtenir la dualit6 relative pour Cc• On note S • C=P. Pesons ~(v = T - " f l s @ T-"M"~" (il n'y a pas de topologie naturelle sur los hyperfonctions mais une seule mani~re de donner un sens raisonnable au signe +" on utilise par exemple ~ ' (U)= 'd (U) / '~ (0U)) .

On a Ttp~o~(V; (gv, ~'~v) = 7re ly = T - " O s Q T - " 'd""(C), qui est un complexe de Cs-modules FN-libres repr6sentant de

R rcv R Yfo~ ( V; C v , Jt~v) �9

En proc6dant comme pour l'autre th6or6me de dualit6, on obtient le

Lemme 29. L'application

0: Xp ~o~a ( V; Ov, ~v ) --o Wo~Lofi (S; n , (9p; T - " Qs)

est un quasi-isomorphisme continu de complexes de (gs-modules FN-libres (Ct d~f~rentielles continues).

3. Trace et dualit~ relative pour un systOme de Forster-Knorr

Soient V un syst~me de Forster-Knorr au-dessus de S (poIydisque ouvert de ~") et P u n syst6me de compacts associ6s.

On construit (comme pour l'autre th6orbme de dualit6) une trace relative

Tv/s: np, Jfv--~ T -"Qs .

On a th6orSme de dualit6 relative pour ta restriction h P d'un complexe libre de type fini born6 ~ droite de Or-modules iibres a liaisons covariantes.

Soit L~" un tel complexe; on d6signe ~ , sa restriction h P.

Residus et duahte 129

On a une application naturelle

La trace relative permet d'en d6duire une application

On dOmontre (comme dans l'autre cas) que 0 est un quasi-isomorphisme continu de complexes de (gs-modules FN-Iibres. On a not6 6videmment ne~ l'image directe b. supports propres et darts P, c'est-~-dire que l'on prend le complexe de cochaines finies auquel on pense.

4. Le deuxiOme th~orOme de dualit~ relative pour une application analytique quelconque

Nous nous contenterons 6galement ici d'un th6or6me local ~<en bas~. Soit f : X ~ S une application analytique, off S est un polydisque ouvert de C" et X un espace analytique paracompact de dimension de Zariski born6e. Soit aussi Y un (gx-module coh6rent.

Une topologie sur R f ~ est la donn~e d'une famille de complexes born& ~ droite de (~s-modules ~ " dont les composantes sont DFN-libres et les diff+rentielles ~< continues ~, telle que chaque complexe de la fami]le soit un representant de R f .~, et que, si J/~ et J /2 sont deux complexes de la famille, il existe un diagramme de quasi-isomorphismes continus

~'~, off Jf/~ est un complexe de la familte.

Une topologie sur R f , R o ~ (X; J ~, Kx) est la donnee d'une famille de complexes born6s 5, gauche de (gs-modules Jr"" dont les composantes sont FN-libres et tes diff6rentielles continues, telle que chaque complexe de la famille soit un repr6sentant de R f , R J g ~ ( X ; ~ K~) et que, si .~" et -~z" sont deux complexes de la famille, il existe un diagramme de quasi-isomorphismes continus

~ " , off ~ " est un complexe de la famille.

Th+or~me 2. Avec les notations ci-dessus: II existe des topologies sur R f , ~ et sur R Jt~o~(X ; ~, Kx) (construites par trivialisation de J) telles que

(i) Si ~/'" est un repr~sentant topologique de R f , R ~ ( X ; ~, Kx), il existe un reprdsentant topologique rig" de R f, Y et un quasi-isomorphisme

130 ,J. P. Ramis et G. Ruget

topologique ~+"'-~ ~ , ~ ( S ; ~', T-~ (ii) Si .A~" et A/'2" sont des repr&entants topologiques de

R f . R ~ v ~ ( X ; ~, Kx),

on peut trouver un reprdsentant topologique A/~ ", des repr~sentants topologiques M/[~ , Jtl 2 et dg~ de R f Y, tels que l'on air un diagramme commutatff"

~;'~ , ~ f i (S; ~ ; , r - " ~ l \\\ \ \ \ \ , \

~'~*i" - - - ~ ~ e ~ / ~ f i (S; dr'i, T-"Y2s),

ot~ los fl&hes sont des quasi-isomorphismes continues.

On laisse le soin au lecteur d'6tablir le th6or6me et d'6crire tout ce qu'il voudra en recopiant le travail effectu6 pour le premier th6or6me de dualit6.

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J ean- Pierre Ramis Institut de Recherche Mathematique Avancee Universit+ Louis Pasteur F-67084 Strasbourg, France

Gabriel Ruget U.E.R. de mathematiques Universite Paris VII 2, place Jussieu F-75005 Paris, France

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Résidus et dualit

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