ASSOCIAÇÃO EDUCACIONAL SÃO JOSÉCURSO PRÉ-VESTIBULAR, AULAS DE REFORÇO, OFICINAS DE REDAÇÃO E MATEMÁTICA E INFORMÁTICATurma: ______________ Nova Friburgo, _____/_____/_______ Turno:______________ Professor: Antonio JoséAluno (a)

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Semelhança de Triângulos:

Definição: Dois triângulos sãosemelhantes se, e somente se,possuem os três ângulosordenadamente congruentes e os ladoshomólogos proporcionais.

Dois lados homólogos (homo =mesmo; logos = lugar) são taisque cada um deles está em um dostriângulos e ambos são opostos aângulos congruentes.

Razão se semelhança:aa'

=bb'

=cc'

=k , k é chamada razão de semelhança dos triângulos.

Se k=1, os triângulos são congruentes.

Exemplo: Sendo dado que os triângulos ABC e A'B'C' são semelhantes, que oslados do segundo têm medidas A'B'=3cm, A'C'=7cm e B'C'=5cm e que a medida dolado AB do primeiro é 6cm, vamos obter a razão de semelhança dos triângulos eos outros dois lados do primeiro triângulo.

∆ABC ~ ∆A'B'C' ⟺ aa'

= bb'=

cc' ⇒ a5

=b7=63=2. Logo, k=2; e, a5

=b7=2

⇒{a5=2⇒a=10

b7

=2⇒b=14

Propriedades:

a) Reflexiva: ∆ABC ~ ∆ABCb) Simétrica: ∆ABC ~ ∆DEF ⟺ ∆DEF ~ ∆ABCc) Transitiva: ∆ABC ~ ∆DEF e ∆DEF ~ ∆MNP ⇒ ∆ABC ~ ∆MNP

Teorema fundamental de semelhança:

"Se uma reta é paralela a um dos lados de um triânguloe intercepta os outros dois em pontos distintos, entãoo triângulo que ela determina é semelhante aoprimeiro".

Casos de semelhança:

A) "Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, entãoeles são semelhantes".B) "Se dois lados de um triângulo são proporcionais aoshomólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidosentre esses lados são congruentes, então os triângulossão semelhantes".C) "Se dois triângulos têm os lados homólogosproporcionais, então eles são semelhantes".

Relações métricas em Triângulos retângulos:

Considerando o triângulo ABC, retângulo em A, e conduzindo AD perpendicular aBC, com D em BC, vamos caracterizar os elementos seguintes:

BC = a: hipotenusa,AC = b: cateto,AB = c: cateto,BD = m: projeção do cateto c sobre a hipotenusa,CD = n: projeção do cateto b sobre a hipotenusa,AD = h: altura relativa à hipotenusa.

Relações métricas:

a2 = b2+c2; ah = bc; h2 = mn; b2 = an; c2 = am

Exemplos:

1) Na figura ao lado, determine a medida x:

2) Dois ciclistas partem de uma mesma cidade em direção reta; um em direçãoleste e outro em direção norte. Determine a distância que os separa depois deduas horas, sabendo que a velocidade dos ciclistas é de 30km/h e 45km/h,respectivamente.

Aplicações do teorema de Pitágoras:

A) Diagonal do quadrado;

B) Altura do triângulo equilátero.

Estudo das principais Áreas:

Retângulos; quadrados; paralelogramos: S = b.h, onde b - base e h - altura.

Triângulos: S = b.h2

Losango: S = D.d2 , onde D - diagonal maior e d - diagonal menor.

Trapézios: S = (B+b ).h2

, onde B - base maior, b

- base menor e h - altura.

Polígonos regulares: S = P.a2 , onde P -

perímetro e a - apótema.

Círculo: S = 𝛑r2 , onde r - raio do círculo

Exemplos:

3) Na figura ao lado temos um quadrado ABCD inscrito no triângulo PQR. Se QC éigual ao lado do quadrado, RD = 3dm, a altura, relativa a AB, do triângulo PABé igual a 4dm e a área do triângulo PQR é de 75dm2, determine o lado doquadrado.

4) Com uma corda de 40m de comprimento construimos um quadrado e com a mesmacorda construimos depois um trapézio isósceles cuja base maior é o dobro damenor e cujos lados oblíquos têm medidas iguais à base menor. Determine a razãoentre a área do quadrado e a área do trapézio.

Exercícios modelo ENEM:

05-(UEL) Para medir a altura de um edifício, um engenheiro utilizou o seguinteprocedimento: mediu a sombra do prédio obtendo 10,0 metros. Em seguida, mediusua própria sombra que resultou em 0,5 metros. Sabendo que sua altura é de 1,80metros, ele pode calcular a altura do prédio, obtendo:a) ( ) 4,5 mb) ( ) 10,0 mc) ( ) 18,0 md) ( ) 36,0 me) ( ) 45,0 m

06-(UNIRIO/ENCE) No desenho ao lado apresentado, as frentes para a rua A dosquarteirões I e II medem, respectivamente, 250m e 200m, e a frente doquarteirão I para a rua B mede 40m a mais do que a frente do quarteirão II paraa mesma rua. Sendo assim, pode-se afirmar que a medida, em metros, da frente domenor dos dois quarteirões para a rua B é:a) ( ) 160

b) ( ) 180c) ( ) 200d) ( ) 220e) ( ) 240

07 (UERJ) (modificada) A figura ao lado representa um círculode centro O e uma régua retangular, graduada em milímetros. Os pontos A, E e Opertencem à régua e os pontos B, C e D pertencem, simultaneamente, à régua e àcircunferência.Considere os seguintes dados:

O diâmetro do círculo é, em centímetros:a) ( ) 3,1b) ( ) 3.2c) ( ) 3,3d) ( ) 3,5e) ( ) 3,6

08-(UENF) (modificada) Na figura ao lado todos os triângulos são retângulos econgruentes e o quadrado ABCD tem lado igual a7mm.Sendo CE=BF=AG=DH=5mm, pode-se afirmar que operímetro do quadrilátero EFGH é:a) ( ) 44mmb) ( ) 48mmc) ( ) 50mmd) ( ) 52mme) ( ) 56mm

09-(UERJ) (modificada) Unindo-se os pontos médios doslados do triângulo ABC, obtém-se um novo triângulo A'B'C', como mostra a figuraao lado.Se S e S' são, respectivamente, as áreas de ABC e A'B'C', arazão S/S', equivale a:a) ( ) 4 b) ( ) 2c) ( ) √3 d) ( ) 3/2

e) ( ) √32

10-(UERJ) (modificada) Um piso plano é revestido de hexágonos regularescongruentes cujo lado mede 10cm. Na ilustração de parte desse piso, T, M e Fsão vértices comuns a três hexágonos e representa, os pontosnos quais se encontram, respectivamente, um torrão deaçúcar, uma mosca e uma formiga.Ao perceber o açúcar, os dois insetos partem no mesmoinstante, com velocidades constantes, para alcançá-lo.

Admita que a mosca leve 10 segundos para atingir o ponto T. Despreze oespaçamento entre os hexágonos e as dimensões dos animais.A menor velocidade, em centímetros por segundo, necessária para que a formigachegue ao ponto T no mesmo instante em que a mosca, é igual a:a) ( ) 3,5b) ( ) 4,0c) ( ) 5,0d) ( ) 5,5e) ( ) 7,0

11-(FUEC) A corda PQ de uma circunferência S, cuja medida do diâmetro é 10cm, éo diâmetro de uma outra circunferência menor, que passa pelo centro de S. Amedida da área da região limitada pela circunferência menor é:

a) ( ) 25π2

b) ( ) 15π2c) ( ) 5πd) ( ) 10πe) ( ) 25π

12-(UFMG) (modificada) Na figura ao lado, plana, há um triânguloequilátero, ABE, cujo lado mede a, e um quadrado, BCDE, cujolado também mede a.Com base nessas informações, é correto afirmar que a área dotriângulo ABC é:

a) ( ) a2

3

b) ( ) a2

4

c) ( ) a2√34

d) ( ) a2√38

e) ( ) √34

13-Na figura ao lado o triedro OX, OY e OZ é tri-retângulo e ABC é isósceles de base BC. Sabe-se que ABC faz 60° com XOY e dista√3m de O. Calcule a área de ABC.a) ( ) 5 m2

b) ( ) 6 m2

c) ( ) 7 m2

d) ( ) 8 m2

zA

y B

Cx

e) ( ) 9 m2

14-(PUC-SP) Na figura ao lado BC=CA=AD=DE. Quanto mede o ângulo CAD?a) ( ) 10°b) ( ) 20°c) ( ) 30°d) ( ) 40°e) ( ) 60°15-(UFF) Unindo-se os pontos médios dos lados de um hexágono regular deperímetro P, obtém-se um outro hexágono regular de perímetro

p'. Calculando a razão p'P , encontramos:

a) ( ) √3b) ( ) 12

c) ( ) 2√33

d) ( ) √32

e) ( ) 1

16-(Megazine-10) Um triângulo equilátero com 99cm2 deárea tem três triângulos equiláteros cortados eretirados dele, um em cada canto (figura à direita). Afigura resultante é um hexágono regular.a) ( ) 11cm2

b) ( ) 22cm2

c) ( ) 33cm2

d) ( ) 55cm2

e) ( ) 66cm2

17-(UFF) No estudo da distribuição de torres em uma rede de telefonia celular,é comum se encontrar um modelo no qual as torres de transmissão estãolocalizadas nos centros de hexágonos regulares, congruentes, justapostos einscritos em círculos, como mostra a figura ao lado.Supondo que, nesta figura, o raio de cada círculo seja igual a 1km, é corretoafirmar que a distância d3,8 (entre as torres 3 e 8), a distância d3,5 (entre astorres 3 e 5) e a distância d5,8 (entre as torres 5 e 8) são, respectivamente,em km, iguais a:a) ( ) d3,8 = 2√3, d3,5 = 3, d5,8 = 3+2√3b) ( ) d3,8 = 4, d3,5 = 3, d5,8 = 5

c) ( ) d3,8 = 4, d3,5 =3√32

, d5,8 =4+ 3√32

A

40°B

CD E

d) ( ) d3,8 = 2√3, d3,5 = 3, d5,8 = √21e) ( ) d3,8 = 4, d3,5 =3√3

2, d5,8 =

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18--(UFF)Considere o triângulo PMN, retânguloem M, representado na figura ao lado.A área, em cm2, do triângulo obtido, unindo-seos pontos médios de PM, MN e NP é:a) ( ) 4

b) ( ) 6c) ( ) 12d) ( ) 20e) ( ) 24

19-(Megazine-10) A figura à direita mostra duasfolhas de papel retangulares sobrepostas.O que podemos afirmar sobre as medidas assinaladas com a, b, c e d?

a) ( ) ad = bc b) ( ) ad=cb

c) ( ) (a+b).c = d d) ( ) (ac).b = d

e) ( ) (a+b)c

=d

20-(Megazine-10) Observe a espiral da concha de um caramujo (figura à direita).

Ela é uma aproximação da conhecida espiral logarítmica, que não raro éencontrada na natureza. O desenho abaixo nos mostra a construção dessa espiral,veja:

O ponto de partida para a montagem da espiral é umquadrado de lado 1, em seguida fazemos outro com a mesmamedida e, a partir dai, para que se ajustemperfeitamente, o lado de cada novo quadrado será a somados dois quadrados desenhados anteriormente, como podemosobservar no desenho.

A figura abaixo (e à direita) é composta por triângulos, esua construção é análoga à que vimos acima quandotrabalhamos com os quadrados.Com base no que vimos, determine a área do triângulo cujolado está representado por x.a) ( ) 36√3

b) ( ) 24√3c) ( ) 169√3

4d) ( ) 49√2e) ( ) 49√3

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Gabarito:05- d 06- a 07- c08- d 09- a 10- e11- a 12- b 13- d14- b 15- d 16- e17- d 18- b 19- a20- a

Exercícios de Revisão1. (Enem 2012) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem, mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguirmostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).

Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por: a) 2xy b) 15 – 3x c) 15 – 5y d) –5y – 3x e) 5y + 3x – xy 2. (Enem 2012) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos deaquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m2 de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 m2 de área. O fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na plantaseguinte (ambientes representados por três retângulos é um trapézio).

Avaliando-se todas as informações, serão necessários a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B. b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B. 3. (Enem 2012) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.

Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral,são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00o m2.

De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral? a) R$ 22,50 b) R$ 35,00 c) R$ 40,00 d) R$ 42,50 e) R$ 45,00 4. (Enem 2012) Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o

auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da medida L do lado da base da estatua.

Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência desegurança seja cumprida? a) b) c) d)

e) 5. (Enem 2011) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de lazer reinvidicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido àscaracterísticas técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça:

Terreno 1: 55 m por 45 m Terreno 2: 55 m por 55 m Terreno 3: 60 m por 30 m Terreno 4: 70 m por 20 m Terreno 5: 95 m por 85 m

Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno a) 01. b) 02. c) 3. d) 4. e) 5.