Apostila Calc2

PUCRS - Faculdade de Matemática Profa. Cláudia Batistela

Cálculo Diferencial e Integral II

TTTóóópppiiicccooo PPPááágggiiinnnaaa 1 - DDiiffeerreenncciiaall 1

2 - IInntteeggrraall IInnddeeffiinniiddaa 3

3 - IInntteeggrraall DDeeffiinniiddaa 15

4 – TTééccnniiccaass ddee IInntteeggrraaççããoo 31

5 - EEqquuaaççõõeess DDiiffeerreenncciiaaiiss 39

6 - SSeeqquuêênncciiaass ee SSéérriieess 49

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II CLÁUDIA BATISTELA / LUIZ C. RENZ / MARIA DE LOURDES MILANEZ

1

DDDiiifffeeerrreeennnccciiiaaalll Seja ( )xfy = uma função derivável e dx uma variável independente denominada diferencial dx.

A diferencial dy é uma variável dependente tanto de x quanto de dx definida por:

( ) dxxfdy '=

Se 0dx ≠ podemos ainda expressar esta relação por ( )xfdx

dy '=

Significado geométrico O significado geométrico das diferenciais pode ser melhor compreendido com o auxílio das figuras abaixo. Observe na Fig. 1 que ( )xf ' é a inclinação da reta tangente de f em x. Vamos considerar um acréscimo de dx∆x = unidades a x. Nestas condições, temos que: ● ∆y representa a variação em y que ocorre quando começamos em x e nos movemos ao

longo da curva ( )xfy = até que ( )dx∆x = unidades sejam percorridas no eixo x. ● dy representa a variação em y que ocorre quando começamos em x e nos movemos ao

longo da reta tangente até que ( )xdx ∆= unidades sejam percorridas no eixo x.

Fig. 1 Fig. 2

A Fig. 2 destaca a diferença entre o incremento ∆y e a diferencial dy.


2

Exemplo: A forma diferencial da função 2xy = é dx2xdy = Se tomarmos 1x = , teremos dx2dy = . Isto significa que se percorrermos a reta tangente à

curva 2xy = em 1x = , então uma variação de dx unidades em x produz uma variação de dx2 unidades em y. Considerando-se ainda, por exemplo, um avanço de 2dx = unidades, isto produzirá uma elevação 4dy = unidades ao longo da reta tangente. Confira estes resultados no gráfico abaixo:

Aproximação linear local do ponto de vista diferencial Mesmo que ∆y e dy sejam geralmente diferentes, a diferencial dy é uma boa aproximação de

∆y quando dx∆x = estiver próximo de zero. Lembre que: ( )∆x

∆ylimxf

0x∆

'

→=

Assim, quando ∆x estiver próximo de zero teremos ( )∆x

∆yxf ' ≈ , ou ainda, ( ) dydxxf∆y ' =≈

Ou seja, para valores de dx próximos de zero, a diferencial dy aproxima muito bem o incremento ∆y . Isto ocorre porque o gráfico da reta tangente é a aproximação linear local do gráfico de f.


3

IIInnnttteeegggrrraaalll IIInnndddeeefffiiinnniiidddaaa Seja a função ( ) 2xxf = .

Existe alguma função cuja derivada seja igual a 2x ?

Podemos observar que todas estas funções possuem uma parte em comum ( )2x e outra diferente formada por uma constante. Vamos então representar todos estes exemplos de forma genérica por

( ) CxxF 2 += sendo C : constante O processo de encontrar antiderivadas é denominado antiderivação, antidiferenciação ou

ainda integração.

Representação do processo de integração: ( ) ( ) CxFdxxf +=∫

Interpretação geométrica da integral indefinida

Seja ( )xf uma função contínua e ( ) CxF + sua primitiva ( ou integral ). ( ) CxF + representa uma família de funções pois para cada valor real de C teremos uma função diferente. Exemplo:

Sendo ( ) 2xxf = ➪ ( ) CxxF 2 += A integral indefinida corresponde geometricamente a uma família de curvas com a propriedade de, em pontos de mesma abscissa, possuírem tangentes geométricas paralelas entre si.


4

Observe os seguintes resultados:

???dxxCxdx x2 2 =⇒+= ∫∫

Cálculo via Maple: > int(2*x,x); x2

???dxxCxdx x3 232 =⇒+= ∫∫

???dxxCxdx x4 343 =⇒+= ∫∫

???x

dx =∫

Generalização do resultado:

-1psendo,C1p

xdxx

1pp ≠+

+=

+

∫ e ( ) Cxlndxxdxx

dx 1- +== ∫∫

Propriedades da integral indefinida

∫ ∫= f(x)dx cf(x)dx c , sendo c uma constante

∫ ∫ ∫±=± g(x)dxf(x)dxg(x)]dx[f(x)


5

Cálculo via Maple com tutorial:

Exemplo: ∫ =

+++ ????dxx

1x53x2

➩➩➩➩ Após inicializado o programa deve ser utilizado o seguinte comando: > with(Student[Calculus1]): > IntTutor(3*x^2+5+sqrt(x)+1/x,x);

= d⌠

⌡

+ + + 3 x2 5 x

1x

x + + + x3 5 x2 x

( )/3 2

3( )ln x


6

✔✔✔✔ Exercícios

❶ Calcule a integral indefinida das funções abaixo apresentadas.

Respostas:

① ( )∫ ++ dx13xx 2 Cx2

3x

3

x 23

+++

② ∫−−

dxx

2x2x2

23

> int((2*x^3-x^2-2)/x^2,x);

Cx

2xx 2 ++−

− + x2 x2x

③ ∫ dxx > int(sqrt(x),x);

C3

x2 3

+

2 x( )/3 2

3

④ ∫ dxx.x 42 > int(x^2*x^4,x);

C7

x 7

+

x7

7

⑤ ∫ dxxx C5

x2 5

+

⑥ ∫ 5x

dx C4x

14

+−

⑦ ∫ dxx

4 Cx8 +

❷ Determine ( )xy em cada caso.

Respostas:

① ( ) 01y,5x3dx

dy 2 =−= ( ) 45xxxy 3 +−=

② xx

1

dx

dy2

−= ( ) Cx

1

2

xxy

2

+−−=

③ ( ) 04y,x2

1

dx

dy == ( ) 4xxy −=

④ 3 2x

3

dx

dy = ( ) Cx9xy 3 +=

⑤ ( ) ( ) 10y,40y,23dx

yd '2

2

==−= x ( ) 14x2

3x

3

xxy

23

+++−=

⑥ ( ) ( ) ( ) 50y,00y,80y,4dx

yd '' '3

3

==−== ( ) 54x3

2xxy 2

3

+−=


7

⑦ 23xdx

dy = ( ) Cxxy 3 +=

⑧ ( )

( )

=

+=

00y

xxsendx

dy

( ) ( ) 12

xxcosxy

2

++−=

✔✔✔✔ Aplicações ① A função velocidade de um certo movimento é dada por 3620t3tv(t) 2 +−= , com "t" medido em segundos. Determine a função posição s(t) desse movimento, sabendo que no tempo de 2 segundos o espaço percorrido é de 47 metros.

Resposta: ( ) 736t10ttts 23 ++−=

② Sabendo que o ponto ( )5,2 pertence a uma curva de equação ( )xfy = e que a declividade da reta tangente em cada ponto da mesma é dada por 32x − , encontre a equação da curva.

Resposta: 73xxy 2 +−=

③ Uma partícula move-se de acordo com os dados que se seguem. Sendo ( )ts a posição, ( )tv a

velocidade e ( )ta a aceleração da partícula no instante t, encontre a posição da partícula.

Respostas:

⒜ ( ) ( ) ( ) ( ) 00s,tcostsentv =−= ( ) ( ) ( )tsentcos1ts −−=

⒝ ( ) ( ) ( ) 30v,10s,2tta ==−= ( ) 13tt6

tts 2

3

++−=

⒞ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 122πs,00s,t3cost10senta ==+= ( ) ( ) ( ) 3π

6tt3cost10sents ++−−=

④ Uma bola é arremessada para cima com uma velocidade de 48 pés / s da margem de um penhasco 432 pés acima do solo. Desprezando-se a resistência do ar, determine:

( Use g = 32pés/s2 para a aceleração da gravidade ) Respostas:

⒜ sua velocidade após t segundos ( ) 48t32tv +−=

⒝ após quanto tempo a bola atinge sua altura máxima. s1,5t =

⒞ sua altura após t segundos ( ) 43248t16tts 2 ++−=

⒟ após quanto tempo a bola atinge o solo. s,96t ≈

⑤ Uma companhia estima que o custo marginal para produzir x itens de um determinado produto é dado por ( ) 0,002x1,92xCmg −= . Se o custo para produzir um item é de R$ 562,00

encontre o custo para produzir 100 itens.


8

OBS: Sendo ( )xC a função custo para produzir “x ” unidades de um certo produto, chama-se função custo marginal à derivada da função custo em relação a x, que é representada por

( ) ( )xCxC 'mg = .

Resposta: 742,08R$

⑥ A espessura ( )ty de gelo formado num lago satisfaz a equação diferencial y

3y ' = . Sabendo

que em 0t = dias o gelo tem 2,5 cm de espessura, determine em quanto tempo a camada de gelo terá 5 cm de espessura.

Resposta: t = 3 dias e 3 horas

Tabela base de primitivas

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ka

u arcsec

a

1

auu

du12)

ka

u arctg

a

1

ua

du11)

ka

uarcsen

ua

du10)

ku cscdu u cotg u csc9)

ku secdu u tgu sec8)

ku cotgdu ucsc7)

ku tgdu usec6)

kusen du u cos5)

ku cosdu usen 4)

k edue3)

kulnu

du2)

1p,k1p

uduu1)

22

22

22

2

2

uu

1pp

+

=−

+

=+

+

=−

+−=

+=

+−=

+=

+=

+−=

+=

+=

−≠++

=

∫

∫

∫

∫∫∫∫∫∫∫

∫

∫+


9

Exemplos:

⒜ Cxxdx1)(2x 2 ++=+∫

⒝ ( )C

6

12xdx1)(2x

32 ++=+∫

⒞ ( )C

22

12xdx1)(2x

1110 ++=+∫


Determine as seguintes integrais indefinidas: Respostas:

① ( ) dx12x 3

∫ − ( )C

8

12x 4

+−

② dx8xx 2∫ − ( )C

3

8x32

+−

③ ( )∫ − 365x

dx2 ( ) C65x5

12

+−

−

④ ∫ + dxe 13x C3

e 13x

++

⑤ ∫ − 3x4

dx ( )C

3

3x4ln +−−

⑥ dx45x

2

3

e3x

∫

−+ ( )

C5

45x2ln

9

e3x

+−+

⑦ ( )∫ +−

−38xx

dx4x32

( )C

2

38xx3ln 2

++−

⑧ ∫ ++ 168xx

dx22

C4x

2 ++

−

⑨ ∫ +4 2 83x

dxx ( )C

9

83x2 4 32

++

⑩ ∫ dx (5x)sec6 2 ( )C

5

5xtg6 +

⑪ ∫

dx

2

xcos C

2

xsen2 +

⑫ ( ) ( )∫ dx4xtan.4x2sec

( )C

2

4xsec +

⑬ ( )( )∫ xcos

dxxsen ( )( ) Cxcosln +−

⑭ ( )∫ 7xcsc

dx

( )C

7

7xcos +−


10

⑮ ∫ + 4x

dx2

C

22

xtgarc

+

⑯ ( ) ( )∫ dxxcosxsen 3 ( ) ( ) Cxsen

7

2xsen

3

2 73 +−

⑰ ( ) ( )∫ dx3xcotg3xsen ( ) C3xsen3

1 +

✔✔✔✔ Aplicação O preço de revenda de certa máquina decresce a uma taxa que varia com o tempo de uso. A equação

5t

e960dt

dv −−=

representa a taxa de variação de seu valor após t anos de uso, em reais por ano. Calcule o valor de uma máquina, comprada nova por R$ 5.000,00, após 5 anos.

Resposta: R$ 1965,82


11


( ) ( )∫ = ????dx3xcotg 3xsen

> with(Student[Calculus1]): > IntTutor(sin(3*x)*cot(3*x),x);

= d⌠⌡

( )sin 3x ( )cot 3x x13

( )sin 3x


12

Substituições com mudança de variável Exemplos:

❶ ( )

C1x23

1x2

1x

dxx3

++−+

=+∫

❷ ( ) ( )C

2

3x453x3

3x

dx5x 3 2

3 5

3+

−+−=

−∫

❸ ( ) ( )

C3

2x4

5

2x2dx2xx

35

++

−+

=+∫

❹ ( ) ( ) ( )

C3x3

1

3x8

1

3x

dxx9810

++

++

−=+∫


Determine a solução das integrais indicadas com o auxílio da tabela base e compare com os resultados apresentados.

① ∫ +

=

C

2

xtg2

2

xcos

dx

2

② ( ) ( ) Cx2x2sendxx

1x2cos ++=

+∫

③ ( )( ) ( )∫ +−−=

+− C

3x

1xsec2edx

x

2

xcos

xsen2e

6x

72x

④ ( )∫ ++−=− C9x4x5

4xdx32x 3

522

⑤ ( ) ( )∫ +−= Cxcotgxsen

dx2

⑥ ( )∫ +=+

Cxarctg3

2dx

33x

22

⑦ ( )∫ +−=+

Cxarctgxdx1x

x2

2


13

⑧ ( ) ( ) ( )∫ +−= C

2

2xcosdx2xtg2xcos

⑨ ( )∫ +−=+−

Cx2arctgxdx1x

1x2

2

⑩ ( ) ( )∫ += C5xsendx5xsec

5

⑪ ( ) ( ) ( )∫ += C6xsen6

1dx6xsen6xcotg

⑫ ( )∫ +=− −− Ce4

1dx1xe 4x2x4x2x 22

⑬ ∫ +

=−

C3

4xarcsec

3

1

916xx

dx2

⑭ ( ) ( ) ( )

C3

4x16

5

4x8

7

4x

2

dx4-xx3572

+−

+−

+−

=∫

⑮ ( ) ( ) ( )

C28

2x3

10

2x33

4

2x33dxx.2x-3

7532 +

−−

−+

−−=∫

⑯ ( ) ( ) ( )

C3

x12

5

x14

7

x12dxx1x

3572 +

++

+−

+=+∫


Resolva as seguintes equações: Respostas:

⒜ ( ) 2xxcosdx

dy += ( ) ( ) Cxxsenxy 2 ++=

⒝ 1-2xdx

dy = ( ) Cxxxy 2 +−=

⒞ x

y

dx

dy = ( ) xCxy =

⒟ ( )

2

22'

x

1xy

−= ( ) Cx

12xx

3

1xy 3 +−−=


14

⒠

( )

=

+=

21y

y

x2y

2'

( )3

2x212xy

3 −+= x

⒡ ( )

y

xseny ' = ( ) ( ) Cx2cosxy +−±=

⒢ ( )

( )

=−+=

20f

5x6xxf 2'

( ) 25xx2

12xxf 23 +−+=


15

IIInnnttteeegggrrraaalll DDDeeefffiiinnniiidddaaa Seja f uma função contínua definida num intervalo [ ]b ; a .

Se dividirmos o intervalo [ ]b ; a em n subintervalos de comprimento n

ab∆x

−= , e

considerarmos bxxxxxa n1n210 =<<<<<= −L os extremos destes intervalos então a

integral definida de f no intervalo [ ]b ; a é dada por

( ) ( )∆xxflimdxxfb

a

n

1i

*i

n∫ ∑=+∞→

=

onde [ ]10*1 x;xx ∈ , [ ]21

*2 x;xx ∈ , ... , [ ]n1-n

*n x;xx ∈

Exemplo: Considere ( ) 1xxf 2 −=

2n = 4n =

8n = 40n =


16

Interpretação geométrica da integral definida Seja f uma função contínua num intervalo [ ]b ; a com ( ) [ ]b;ax0,xf ∈∀≥ . A integral definida da função f no intervalo [ ]b ; a representa geometricamente a área compreendida entre a curva da função f , o eixo x e as retas x = a e x = b.

Teorema fundamental do cálculo Seja f uma função contínua num intervalo [ ]b ; a e F uma antiderivada da f em [ ]b ; a .

Chamaremos de integral definida de f em [ ]b ; a ao número real obtido da seguinte forma:

( ) ( ) ( )∫ −=b

a

aFbFdxxf

Exemplo:

( ) ( ) ?1F2Fdx3x2

1

4 =−=∫

Sendo ( ) ∫ ∫ +=== C5

3xdxx3dx3xxF

544

Logo, ( ) ( ) ( ) ( )5

93

5

1.3

5

2.3

5

3x1F2Fdx3x

552

1

52

1

4 =

−

=

=−=∫

Cálculo via Maple

> int(3*x^4,x=1..2); 935

a b

A


17

Propriedades da integral definida

①①①① 0f(x)dxa

a

=∫

②②②② ∫ ∫ ∫ <<+=b

a

c

a

b

c

bca sendo ,f(x)dx f(x)dxf(x)dx

③③③③ ∫ ∫−=b

a

a

b

f(x)dxf(x)dx

④④④④ Se ∫∫ ≥∈∀≥b

a

b

ag(x)dxf(x)dxentãob][a;xg(x),f(x)

✔✔✔✔ Aplicações ① Um estudo indica que, daqui a x meses, a população de determinada cidade crescerá a uma

taxa de x62 + pessoas por mês. Qual será o aumento da população da cidade nos próximos quatro meses ?

Resposta: 40 pessoas

② Em certa fábrica, quando o nível de produção mantém-se em q unidades diárias, o custo

marginal é $ ( )24q3 − / unidade produzida. Qual será o aumento verificado no custo total de fabricação se a média de produção crescer, passando de 6 para 10 unidades ?

Resposta: $ 208,00

③ Em certa comunidade, a demanda de gasolina cresce exponencialmente a uma taxa de 5% ao ano. Sendo a demanda atual de 4 milhões de litros por ano, que quantidade da gasolina será consumida na comunidade durante o período de 3 anos ?

Resposta: 12,95 milhões de litros

Valor médio de uma função Em muitas situações práticas é interessante conhecermos o valor médio de uma função contínua num intervalo. Exemplos: o nível médio de poluição do ar em determinado período, a velocidade média de um caminhão durante uma viagem, a produtividade média de um operário no trabalho, etc. O valor médio de uma função contínua ( )xf num intervalo bxa ≤≤ é dado por

( )∫−=

b

a

dxxfab

1médioValor


18

Exemplos:

❶ Os registros indicam que, t horas após a meia-noite, a temperatura de certo local é de

( ) 104t0,3ttf 2 ++−= graus Celsius. Qual era a temperatura média no local entre 9h da manhã e meio-dia ?

Resposta: C18,7médiaaTemperatur o=

❷ Um copo de limonada a uma temperatura de 40º F é deixado em uma sala cuja temperatura constante é de 70º F. Usando a lei do resfriamento de Newton pode-se mostrar que se a temperatura da limonada atingir os 52º F em uma hora, então sua temperatura T como função do tempo decorrido pode ser modelada por

( ) t0,530e70tT −−= ,

onde a temperatura T é medida em graus Fahrenheit e o tempo t em horas. Encontre a temperatura média Tm da limonada ao longo das primeiras 5 horas.

Resposta: Temperatura média F59o≈

Cálculo de área Exemplos : Cálculo de áreas em destaque através da integral definida, sendo:

❶ ( ) xxf =

Resposta: u.a. 8A =

❷ ( ) 4xxf 2 +−=

Resposta: .u.a3

32A =


19

❸ ( ) 4xxf 2 −=

Resposta: .u.a3

32A =

❹ ( ) 22

xxf +−=

Resposta: .u.a5A =

❺ ( ) 2x4xxf −=

Resposta: .u.a3

16A =


20

❻ ( ) ( )( ) ( )xsen xcos1xf −=

Resposta: .u.a2A =

Área da região entre curvas Em alguns casos a área a ser determinada envolve diferentes funções, conforme mostram os exemplos a seguir. Exemplos:

❶ Cálculo da área da região limitada pelas funções ( ) 3xxf = e ( ) 2xxg +−= .

➥➥➥➥ u.a. 4

3A =

❷ Cálculo da área da região limitada pelas funções ( ) 2xxf = e ( ) xxg = .

➥➥➥➥ u.a. 3

1A =


21

❸ Cálculo da área da região limitada pelas funções ( ) 3xf = , ( ) 1xxg 2 −= e o eixo x.

➥➥➥➥ u.a. 3

28A =

❹ Cálculo da área da região limitada pelas funções ( ) 9xf = e ( ) 2xxg = entre 1x = e 4x = .

➥➥➥➥ u.a. 3

38A =

❺ Cálculo da área da região limitada pela função ( ) ( )xsenxf = e o eixo x entre -πx = e 1x = .

➥➥➥➥ ( )( )u.a. 1cos3A −=

❻ Cálculo da área da região limitada pela função ( ) ( )xlnxf = e o eixo x entre 1x = e 4x = .

➥➥➥➥ ( )( )u.a. 2ln83A +−=


22


Em cada um dos itens que segue, calcule a área da região limitada pelas curvas cujas equações são dadas e com o auxílio dos gráficos também apresentados.

①

===

−=

0y

4x

0x

x3xy 2

➥➥➥➥ .u.a3

19A =

②

==

−=−=

0y

1x

2x

44xy 3

➥➥➥➥ .u.a27A =

③

==

−=++=

0y

1x

1x

12xxy 2

➥➥➥➥ .u.a3

8A =


23

④

==++

0y

02y4xx 2

➥➥➥➥ .u.a3

16A =

⑤

==

4y

xy 2

➥➥➥➥ .u.a3

32A =

⑥

≥=

−=

0x

5xy

4xxy 3

➥➥➥➥ .u.a4

81A =


24

⑦

−==

x2y

xy 2

➥➥➥➥ .u.a2

9A =

⑧

−=−=x1y

1xy 2

➥➥➥➥ .u.a2

9A =

⑨

===

−=

2x

-2x

xy

3xxy 3

Efetue a representação gráfica !! ➥➥➥➥ .u.a8A =

⑩

==

+=−=

1x

-2x

1xy

x3y 2

Efetue a representação gráfica !! ➥➥➥➥ .u.a2

9A =

⑪

=

+=

=

0

42

x-y

xy

x

Efetue a representação gráfica !! ➥➥➥➥ .u.a3

20A =


25

Sólidos de revolução Um sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região plana em torno de uma reta que está no mesmo plano da região, sendo a reta denominada eixo de revolução.

Volume por discos perpendiculares ao eixo x Seja f um função contínua e não-negativa no intervalo [ ]b ; a e seja R a região limitada por

( )xfy = , o eixo x e pelas retas ax = e bx = . O sólido de revolução gerado pela rotação da

região R em torno do eixo x tem volume dado por

( )[ ]∫=b

a

2 dxxfπV

Como as secções transversais têm a forma de disco, a aplicação desta fórmula é chamada de método dos discos.

Exemplo: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas

0ye4x,xy === em torno do eixo x.


26

➥➥➥➥ u.v.8πV =


Em cada um dos itens abaixo apresentados, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo x.

①

=−=

0y

x2xy 2

➥➥➥➥ u.v.π15

16V =

②

=+=

4y

3xy 2

➥➥➥➥ u.v.π5

48V =


27

③

===

0y

8x

y 3 x

➥➥➥➥ u.v.π5

96V =

④

===

=

4x

1x

0yx

2y

➥➥➥➥ u.v.π3V =

Volume por discos perpendiculares ao eixo y O sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo y tem volume dado por

( )[ ]∫=d

c

2 dyygπV


28

Exemplos: ❶ Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas

0xe2y,xy === em torno do eixo y.

➥➥➥➥ u.v.5

32πV =


29

❷ Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas

2yxexy2 == em torno do eixo y.

➥➥➥➥ u.v.π15

64V =

➥➥➥➥ u.v.3

32πV =

➥➥➥➥ u.v.5

32πV =


Em cada um dos itens abaixo apresentados, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo y.


30

①

=

=3

2

xy

xy

➥➥➥➥ u.v.π10

1V =

②

===

0y

4x

xy

➥➥➥➥ u.v.π5

128V =

③

=

=

8xy

xy2

2

➥➥➥➥ u.v.π5

24V =


31

TTTééécccnnniiicccaaasss dddeee IIInnnttteeegggrrraaaçççãããooo

Integração por partes

Certas integrais não podem ser resolvidas diretamente ou por substituição de variáveis simples. Nesses casos é necessário fazer uso de certas técnicas de integração, como é o caso da chamada técnica de integração por partes.

Considerando-se a regra de derivação do produto entre duas funções, vem:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )xf.xg xg.xfxg.xf ''' += ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )xf.xg -xg.xf xg.xf ''' =

Integrando-se ainda ambos os lados desta equação obtemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dx xf.xgxg.xfdxxg.xf '' ∫∫ −=

ou ainda

∫ ∫−= du.vv.udv.u

sendo ( ) ( )( ) ( )

==

==

dx xgdvexg v

dx xfduexfu '

'

Exemplos: Avaliar as integrais a seguir utilizando a técnica de integração por partes.

❶ ( ) C1xedxex xx +−=∫

❷ ( ) C22xxedxex 2xx2 ++−=∫

❸ ( ) ( ) Cxxlnx dxxln +−=∫

❹ ( ) ( ) C4

xxln

2

xdx xlnx

22

+−=∫

❺ ( ) ( ) ( )∫ ++−= C

2

x

2

xcosxsendxxsen2

❻ ( ) ( ) ( )∫ ++= C

9

3xcos3xsen

3

xdx3xcosx

❼ ( ) ( ) ( )( )∫ +−= Cxcosxsen2

edxxsene

xx


32

✔✔✔✔ Exercícios Utilize a técnica de integração por partes para comprovar as igualdades abaixo apresentadas.

① ( ) ( ) C3x9ln3x2

x

2

13xln

2

xdx 3xlnx

22

+

++−−+=+∫

② Mostre que 2exy x += − é solução do problema ( )

( )

=−= −

20y

ex1y x'

③ ( ) ( ) C9

xxln

3

xdx xlnx

332 +−=∫


( )∫ = ????dxxsen ex

> with(Student[Calculus1]):

> IntTutor(exp(x)*sin(x),x);

= d⌠⌡eeeex ( )sin x x − + 1

2eeeex ( )cos x

12

eeeex ( )sin x


33

Integração de funções racionais com frações parciais

Uma função racional é uma razão de dois polinômios. Assim, sendo( ) ( )( )xq

xpxf = uma

função racional onde ( )xp ( )xq são funções polinomiais, é possível utilizarmos recursos

algébricos para determinarmos uma primitiva de ( )xf em termos de funções elementares. A

idéia básica consiste em decompor o integrando( )xf numa soma de frações mais simples, denominadas frações parciais, que podem ser integradas separadamente. Exemplo:

C1xln34xln2dx1x

3dx

4x

2dx

43xx

105x2

+++−=+

+−

=−−

−∫ ∫∫

Observe que

( )( )( ) ( )( )( ) 1x

3

4x

2

1x4x

4-xB1xA

1x

B

4x

A

1x4x

105x

43xx

105x2 +

+−

=+−

++=+

+−

=+−

−=−−

−

Vamos então analisar diferentes casos, supondo que ( )( )xq

xp seja uma função racional própria, o

que significa que o grau do numerador é menor do que o grau do denominador. Caso 1: O denominador apresenta somente fatores de 1º grau e sem repetição. Exemplo:

( ) ( ) C6

5xln 5

6

1xln

5x6

dx5

1x6

dx

54xx

dxx2

++

+−

=+

+−

=−+ ∫ ∫∫

( ) ( ) ( ) ( )5x6

5

1x6

1

5x

B

1x

A

5x1x

x

54xx

x2 +

+−

=+

+−

=+−

=−+

sendo

=

=

6

5B

6

1A

Cálculo via Maple > convert(x/(x^2+4*x-5),parfrac);

+ 5

6 ( ) + x 51

6 ( ) − x 1


34

Caso 2: O denominador apresenta somente fatores de 1º grau, mas há fatores que se repetem. Exemplo:

( ) ( ) C3

1xln

1x

1

3

12xln

1x12x

dx3x2

+−

+−

−+

−=−+∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1x3

1

1x

1

12x3

2

1x

C

1x

B

12x

A

1x12x

3x222 −

+−

++

−=−

+−

++

=−+

sendo

=

=

−=

3

1C

1B3

2A

Cálculo via Maple > convert(3*x/((2*x+1)*(x-1)^2),parfrac);

+ − 1

3 ( ) − x 11

( ) − x 1 2

23 ( ) + 2 x 1

Caso 3: O denominador apresenta fatores do 2º grau, sem possibilidades de decomposição e sem repetição. Exemplo:

( ) ( )( )

C17

x4arctg

34

1xln

17

4-xln 16

1x4-x

dxx2

2

2

+++

+=+∫

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1x17

4

1x17

x

4x17

16

1x

CBx

4-x

A

1x4-x

x2222

2

++

++

−=

+++=

+ sendo

=

=

=

17

4C

17

1B

17

16A

Caso 4: O denominador apresenta fatores do 2º grau, sem possibilidades de decomposição e com repetição. Exemplo:

( ) ( ) ( ) ( )C

3x

23xln2xln

dx3x

2xdx

3x

4xdx

2x

1dx

3x2x

920x16x4x3x

22

22222

234

++

−+++=

++

++

+=

++++++

∫ ∫∫∫

( ) ( ) ( ) ( )3x

EDx

3x

CBx

2x

A

3x2x

920x16x4x3x22222

234

+++

+++

+=

++++++

sendo

=====

0E

2D

0C

4B

1A


35


Utilize a técnica de frações parciais para comprovar as igualdades abaixo apresentadas.

① ( ) ( ) C22

52xln17

11

3-xln3dx

52x3x

x6 ++

−=+−

−∫

② C5

xln-

5

5-xlndx

5xx

12

+=−∫

③ C1xln3xln3x

3

x

1dx

xx

2x234

+−+−+=−+

∫

④ ( ) ( ) ( ) C3

2xln2

2

1xln

6

1xlndx

2x1x1x

x +−

+−

−+

−=−−+∫

⑤ C4

2xln

4

2xln

4x

dx2

++

−−

=−∫


36

Integração por substituição trigonométrica Método para o cálculo de integrais contendo um único radical que ocorre no integrando

da forma 22 xa − , 22 xa + , 22 ax − , com 0a > , realizado através de substituições

envolvendo funções trigonométricas denominadas substituições trigonométricas. Exemplos: ❶ ???dxx1 2 =−∫

Neste caso a forma genérica 22 xa − é observada, sendo 1a = .

Substituição a ser efetuada: ( )tsenax = ,

−∈2

π;

2

πt

Considerando-se a substituição necessária: ( )( )

==

dttcosdx

tsenx

Assim, ( ) ( )

C2

t

2

tsentcosdxx1 2 ++=−∫

Retornando-se à variável original da integral, temos: ( )

( )

−=

=2x1tcos

xsenarct

Logo, ( )

C2

xsenarc

2

x1xdxx1

22 ++−=−∫

❷ ???dx36x 2 =+∫

Neste caso a forma genérica 22 xa + é observada, sendo 6a = .

Substituição a ser efetuada: ( )ttgax = ,

−∈2

π;

2

πt

Considerando-se a substituição necessária: ( )

( )

==

dtt6secdx

ttg6x2

Assim, ( ) ( ) ( ) ( )( ) Cttgtseclnttgtsec1836x 2 +++=+∫

Retornando-se à variável original da integral, temos:

( )

( )

+=

=

6

36xtsec

6

xttg

2

Logo, C6

x36xln18

2

36xxdx36x

222 +

+++

+=+∫

OBS: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C

2

utguseclnu tgusecduusec3 +

++=∫


37

❸ ???16x

dx2

=−∫

Neste caso a forma genérica 22 ax − é observada, sendo 4a = .

Substituição a ser efetuada: ( )tsecax = ,

∈2

3π;πou

2

π;0t

Considerando-se a substituição necessária: ( )( ) ( )

==

dtttgtsec4dx

tsec4x

Assim,

( ) ( ) Cttgtsecln16x

dx2

++=−∫

Retornando-se à variável original da integral, temos:

( )

( )

−=

=

4

16xttg

a

xtsec

2

Logo,

C4

16xxln

16x

dx 2

2+−+=

−∫

OBS: ( ) ( ) ( ) Cutguseclnduusec ++=∫


38


Utilize técnicas de integração para comprovar as igualdades abaixo apresentadas.

① ( ) ( ) ( )∫ ++−= Cxsenxcosxdxxsenx

② ∫ +++−=−−

−C2x4ln3x3lndx

122x2x

1214x2

③ C4x

x4

x4x

dx 2

22+−−=

−∫

④ ∫ ++−+=−+

+C8xln43-xln3x2lndx

x245xx

48-x46x23

2

⑤ C3

xarcsen

x

x-9dx

x

x9 2

2

2

+

−−=−

∫

⑥ ( ) ( ) ( ) C23xcos9

123xsenx

3

1dx2-3xcosx +−+−=∫

⑦ C5

x5arcsec25-xdx

x

25x 22

+

−=−

∫

⑧ ( ) ( ) ( )∫ ++= C

2

x

2

xcosxsendxxcos2

⑨ ∫ ++−=−+

C7-xln5x3lndxx7x

212x2


39

EEEqqquuuaaaçççõõõeeesss DDDiiifffeeerrreeennnccciiiaaaiiisss Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas, sendo que são de grande interesse nas ciências exatas e nas engenharias, uma vez que muitas leis e relações físicas podem ser formuladas matematicamente por meio de uma equação diferencial. Uma equação diferencial pode ser classificada como ordinária ( EDO ) se a função incógnita

depende de apenas uma variável independente, ou parcial ( EDP ) no caso da função incógnita depender de mais de uma variável independente. Exemplos:

( )

=++−

+=

t23

3

ey2tdt

dyt

dt

yd

13xdx

dy

são EDOs

0x

y5

t

y2

2

2

2

=∂∂−

∂∂

é uma EDP

OBS: Nossos estudos estarão restritos às equações diferenciais ordinárias. A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que nela aparece, e o grau de uma equação diferencial que pode ser escrita como um polinômio na função incógnita e suas derivadas, é a potência a que se acha elevada a derivada de ordem mais alta. Exemplo:

6xdx

dyy

dx

dy2y

dx

yd4

553

2

2

=

−

+

EDO de ordem 2 e grau 3 Uma função ( )xyy = é uma solução de uma equação diferencial num intervalo aberto I se ao substituirmos y e suas derivadas na equação a mesma estiver satisfeita. Exemplo:

2xey = é uma solução da EDO 2xeydx

dy =− no intervalo ( )∞+∞−= ,I

Teste: 2x2x2x ee2e =− ✔✔✔✔

No entanto, esta não é a única solução em I, pois 2xx eCey += também é uma solução para

todo valor real da constante C. Na verdade a solução 2xey = vem a ser um caso particular da

solução envolvendo a constante C, onde C = 0. A solução 2xx eCey += é chamada de

solução geral da equação em I. O gráfico de uma solução de uma equação diferencial é chamado de curva integral da equação, ou seja, a solução geral de uma equação diferencial produz uma família de curvas integrais correspondentes a diferentes valores possíveis de serem assumidos pelas constantes, conforme pode ser constatado no gráfico a seguir.


40

Quando um problema aplicado leva a uma equação diferencial, geralmente existem condições que determinam valores específicos para as constantes arbitrárias. Para uma equação de primeira ordem, a única constante arbitrária pode ser determinada especificando-se o valor da função desconhecida ( )xy em um ponto arbitrário 0x . Isto é chamado de condição inicial, e o

problema é então denominado problema de valor inicial (ou condição inicial) de primeira ordem ( PVI ou PCI ), genericamente representado da seguinte forma:

( )( )

=

=

00 yxy

xfdx

dy

Geometricamente a condição inicial ( ) 00 xxy = tem o efeito de isolar da família de curvas

integrais a curva que passa pelo ponto ( )00 y,x .


41

Equações de primeira ordem separáveis Equações de primeira ordem que podem ser expressas da forma ( ) ( ) dxxgdyyh = são denominadas separáveis, já que as expressões envolvendo x e y aparecem em lados diferentes da equação. Esta separação permite que a integração de ambos os lados determine a solução da equação na forma ( ) ( ) CxGyH += . Exemplos: Resolução de equações por separação de variáveis:

❶ yxdx

dy 2=

Cálculo via Maple

> dsolve(diff(y(x),x)=x^2*y(x)); = ( )y x _C1 eeee

x3

3

❷ 32' xyy =

Cálculo via Maple

dsolve(diff(y(x),x)=(y(x))^2*x^3); = ( )y x −4

− x4 4 _C1

❸ 1dx

dyx 3 =

Cálculo via Maple

> dsolve(x^3*diff(y(x),x)=1); = ( )y x − + 1

2 x2_C1

❹ ( )

==−

30y

2x2xyy '

Cálculo via Maple

>dsolve({diff(y(x),x)-2*x*y(x)=2*x,y(0)=3},y(x)) = ( )y x − + 1 4 eeee( )x2


42


Determine a função ( )xy utilizando separação de variáveis.

Respostas:

① ( ) ( ) 0dx

dy1x1y 22 =+++ ( ) ( )( )Cxarctgtgxy +−=

② ( ) dx2ydy3xyx −=+ Cxln2yln3y +−=+

③ ( ) 10y;0dyydxex ==− ( ) 12exy x −=

④ 0dyy3xdx2xy 223 =+ ( )

3 2x

Cxy =

⑤ ( ) 0dx

dy4x6x2xy 2 =−++ ( ) 3

4x

Cxy

2−

−=

Equações lineares de primeira ordem Uma equação diferencial de primeira ordem é denominada linear se puder ser escrita no formato:

( ) ( )xqyxpdx

dy =+

Exemplo: ( ) ( ) ( ) ( )xcosxqexxpsendoxcosyxdx

dy 44 ===+

Resolução: Método dos fatores integrantes

⒜ Determinação do fator integrante: ( ) ( )∫=dxxp

exI

⒝ Multiplicar ambos os lados da equação por ( )xI e expressar o resultado como

( )( ) ( ) ( )xq.xIy.xIdx

d =

⒞ Integrar ambos os lados da equação obtida no passo ⒝ em relação a x e então determinar y. Colclusão:

( ) ( ) ( ) dxxqxIxI

1y ∫=

Exemplos: Resolução de equações lineares:

❶ 0eydx

dy 2x =−−

> dsolve(diff(y(x),x)-y(x)=exp(2*x)); = ( )y x ( ) + eeeex _C1 eeeex


43

❷ ( )

=

=−−

21y

0xydx

dyx

> dsolve({x*diff(y(x),x)-y(x)=x,y(1)=2}); = ( )y x ( ) + ( )ln x 2 x


Determine a função ( )xy das equações lineares abaixo.

Respostas:

① 0x2xyy ' =−− ( )2

1eCxy

2x −=

② 22

'

x

1

x

2yy =− ( )

x2

e

C

2

1xy +−=

③ 4' xx

4yy =+ ( )

4

5

x

C

9

xxy +=

④ e

2x

x

yy

4' =− ( ) xC

2e

xxy

5

+=

⑤ ( ) 0xsenyy ' =−+ ( ) ( ) ( )2

xcos

2

xseneCxy x −+= −

Aplicações das EDOs de primeira ordem

∙ Problemas de crescimento e decrescimento

Seja ( )tN a quantidade de substância (ou população) sujeita a um processo de crescimento ou

decrescimento. Se admitirmos que dt

dN , taxa de variação da quantidade de substância, é

proporcional à quantidade de substância presente, então

Nkdt

dN =

onde k é a constante de proporcionalidade. Exemplo: Certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se, inicialmente a quantidade de material é 50 miligramas, e se após duas horas perderam-se 10% da massa original, determine:

⒜⒜⒜⒜ a expressão para a massa de substância restante em um tempo arbitrário t

⒝⒝⒝⒝ a massa restante após 4 horas

⒞⒞⒞⒞ o tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade


44

OBS: o tempo necessário para reduzir uma substância sujeita a decréscimo à metade da quantidade original é chamada meia-vida da substância.

➥➥➥➥ ⒜⒜⒜⒜ ( ) t-0,053e50tN = ⒝⒝⒝⒝ ( ) mg5,404N = ⒞⒞⒞⒞ h13t ≈

Cálculo via Maple > dsolve(diff(N(t),t)=k*N(t));

= ( )N t _C1 eeee( )k t

Representação gráfica da função de crescimento: ( ) t-0,053e50tN =

∙ Problemas de variação de temperatura Segundo a lei de variação de temperatura de Newton a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Seja T a temperatura do corpo e mT a temperatura do meio ambiente. Então, a taxa de variação

da temperatura do corpo é dt

dT, e a lei de Newton relativa à variação de temperatura pode ser

formulada como

( )TTkdt

dTm −=

onde k é a constante de proporcionalidade. Escolhendo-se para K um valor positivo, torna-se necessário o sinal negativo na lei de Newton a

fim de tornar dt

dT negativa em um processo de resfriamento. Neste processo, T é maior que mT ;

e assim mT-T é positiva.


45

Exemplo: Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida num quarto mantido à temperatura constante de 30º F. Se, após 10 minutos, a temperatura do corpo é 0º F e após 20 minutos é 15º F, determine a temperatura inicial desconhecida.

➥➥➥➥ F30T o0 −=

Cálculo via Maple > Tm:=30: > dsolve(diff(T(t),t)=k*(Tm-T(t)));

= ( )T t + 30 eeee( )−k t

_C1

Representação gráfica da função temperatura: ( ) t-0,0693e6030tT −=

∙ Circuitos elétricos A equação básica que rege a quantidade de corrente i (em ampéres) em um circuito simples do tipo RL consistindo de uma resistência R (em ohms), um indutor L (em henries) e uma força eletromotriz (fem) E (em volts) é

L

Ei

L

R

dt

di =+

Para um circuito do tipo RC consistindo de uma resistência, um capacitor C (em farads), uma força eletromotriz, e sem indutância, a equação que rege a quantidade de carga elétrica q (em coulombs) no capacitor é

R

Eq

RC

1

dt

dq =+

A relação entre q e i é

dt

dqi =


46

Exemplo: Um circuito RL tem fem de 5 volts, resistência de 50 ohms e indutância de 1 henry. Sendo a corrente inicial nula, determine a corrente no circuito no instante t.

➥➥➥➥ 10

e

10

1i

t50−

−=

Cálculo via Maple > E:=5: R:=50: L:=1: > dsolve(diff(i(t),t)+50*i(t)=E/L);

= ( )i t + 110

eeee( )−50 t

_C1

Representação gráfica da corrente: ( )10

e

10

1ti

t50−

−=

✔✔✔✔ Exercícios OBS: Os resultados podem sofrer pequenas variações em função do número de dígitos utilizados nos cálculos.

① Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após uma hora, observaram-se 1000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, 3000 núcleos. Determine:

⒜⒜⒜⒜ a expressão para o número de núcleos presentes na cultura no tempo arbitrário t

⒝⒝⒝⒝ o número de núcleos inicialmente existentes na cultura

➥➥➥➥ ⒜⒜⒜⒜ ( ) t0,366e693,5tN = e ⒝⒝⒝⒝ ( ) 6940N ≈ núcleos

② A população de determinado estado cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Se após dois anos a população é o dobro da inicial, e após três anos é de 20.000 habitantes, determine a população inicial.

➥➥➥➥ Sendo ( ) t0,3477062etN = , então ( ) 70620N =


47

③ A população mundial era de 5,28 bilhões em 1990 e 6,07 bilhões em 2000. Encontre o modelo exponencial considerando estas informações para fazer uma previsão da população mundial no ano 2020. Calcule ainda, de acordo com esses dados, quando a população mundial excederá 10 bilhões.

➥➥➥➥ Sendo ( ) t0,0139e28,5tN = , então a provável população em 2020 será de 8,02 bilhões

10 bilhões de habitantes entre 2035 e 2036

④ A tabela abaixo apresenta algumas informações a respeito da população mundial (em bilhões).

ANO POPULAÇÃO 1950 2,56

2000 6,08

Utilize o modelo de crescimento populacional e as informações apresentadas na tabela para prever a população mundial em 2010.

➥➥➥➥ Sendo ( ) t0,0173e56,2tN = , então uma provável população de 7,22 bilhões em 2010

⑤ Um corpo à temperatura inicial de 50º F é colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente é de 100º F. Se após 5 minutos a temperatura do corpo é de 60º F, determine:

⒜⒜⒜⒜ o tempo necessário para a temperatura atingir 75º F

⒝⒝⒝⒝ a temperatura do corpo após 20 minutos

➥➥➥➥ Sendo ( ) t0,0446-e50100tT −= , então: ⒜⒜⒜⒜ min5,15t = e ⒝⒝⒝⒝ ( ) F79,520T o=

⑥ Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100º F num quarto com temperatura constante de 0º F. Se após 20 minutos a temperatura da barra é de 50º F, determine:

⒜⒜⒜⒜ o tempo necessário para a barra chegar à temperatura de 25º F

⒝⒝⒝⒝ a temperatura da barra após 10 minutos

➥➥➥➥ Sendo ( ) t0,0346-e100tT = , então: ⒜⒜⒜⒜ min40t = ⒝⒝⒝⒝ ( ) F70,710T o=

⑦ Uma garrafa em temperatura ambiente ( )F72o é colocada em um refrigerador onde a

temperatura é de F44o . Após meia hora a garrafa está resfriada a uma temperatura de F61o . Nestas condições, determine:

⒜⒜⒜⒜ A temperatura da garrafa após mais meia hora na geladeira.

⒝⒝⒝⒝ Qual o tempo necessário para a garrafa atingir a temperatura de F50o .

➥➥➥➥ Sendo ( ) t0,0166-e2844tT += , então: ⒜⒜⒜⒜ F54,3t o= e ⒝⒝⒝⒝ Aproximadamente min 93

⑧ Um investidor aplica na bolsa de valores determinada quantia que triplica em 30 meses. Encontre quanto tempo essa quantia será quadruplicada supondo que o aumento é proporcional ao investimento feito.

➥➥➥➥ Sendo ( ) t0,03660eyty = , então: t = 37,8 meses ou 3 anos, 1 mês e 24 dias


48

⑨ A equação diferencial VC

Q

dt

dQR =+ descreve a carga Q em um condensador com

capacidade C durante um processo de carga envolvendo uma resistência R e uma força eletromotriz V. Se a carga é nula quando 0t = , expresse Q como função de t.

➥➥➥➥

−=− CR

t

e1CVQ

⑩ Sabe-se que o Césio 137 se desintegra a uma taxa proporcional à massa existente em cada instante. Se sua meia-vida (tempo necessário para 50% da massa inicialmente presente ( )0N se

desintegrar) é da ordem de 30 anos, qual o percentual presente, em relação ao inicial, após cinco anos ?

➥➥➥➥ Sendo ( ) t0,02310eNtN −= , então ( ) 0N 89%5N =

⑪ Suponha que as cargas elétricas acumuladas de um capacitor estejam escapando através de seus terminais a uma taxa proporcional à voltagem V e que, se t for medido em segundos,

40

V

dt

dV −=

Encontre V nesta equação, usando 0V para denotar o valor de V quando t = 0. Quanto tempo a

voltagem demorará para atingir 10% de seu valor inicial ?

➥➥➥➥ Sendo ( ) 40t

0 e VtV−= , então segundos92t = para atingir 10% de seu valor inicial


49

SSSeeeqqquuuêêênnnccciiiaaasss eee SSSééérrriiieeesss

Sequências Sequência numérica é uma sucessão infinita de números determinados por uma lei ou função. Exemplo:

• A sequência dos números pares: 0, 2, 4, 6, …, 2n, … • A sequência dos números ímpares: 1, 3, 5, 7, … , 2n+1, …

Cada termo de uma sequência é, em geral, representado por uma variável indexada. Dessa forma denota-se uma sequência arbitrária da seguinte maneira:

LL ,a,,a,a,a n321

Onde:

termoésimo-n o éa

termosegundo o éa

termoprimeiro o éa

n

2

1

M

*** A sequência é ordenada !! Quando se conhece o termo geral de uma sequência pode-se representá-la escrevendo o mesmo entre chaves ou entre parênteses : { } 0nna ≥ ou ( ) 0nna ≥ .

Exemplos:

Sequência dos números pares: { } 0n2n ≥

Sequência dos números ímpares: { } 0n12n ≥+ .

Observação: A variação do n não começa obrigatoriamente em zero, pode ser em 1 ou em qualquer outro número inteiro positivo. Muitas vezes encontra-se a sequência representada por { }na ou ( )na , nesse caso convenciona-se que n começa em 1.

✔✔✔✔ Exercício de aula

Represente por extenso os 5 primeiros termos das seguintes sequências:

⒜ 1n1n

n

≥

+

⒝ 0n

n2

1

≥

⒞ { } 0n!n ≥


50

Também se pode definir uma sequência como uma função cujo domínio é o conjunto dos

números inteiros positivos: f(n)n

lRlN:f *

a

→

Onde:

( )( )

( )

⇒=

==

seqüênciadagenéricotermonfa

2fa

1fa

n

2

1

M

Encarando a sequência com uma função podemos considerar o seu gráfico no plano cartesiano e como o domínio da função é o conjunto *lN , os pontos do gráfico serão ( ) ( ) ( )n21 a,n,,a,2,a,1 L . As vezes usamos o gráfico cartesiano de uma sequência para avaliar o comportamento do termo na quando n cresce indefinidamente.

Representação gráfica de sequências Exemplo:

Considerando a sequência .n

11

+ , temos:

n

11an += ou

n

11f(n) +=

M

4

5a

3

4a

2

3a

2a

4

3

2

1

=

=

=

=

L,4

5,

3

4,

2

3,2

Ao se estudar uma sequência interessa saber como ela evolui, ou seja, como ela se comporta

à medida que os seus termos vão sendo gerados. Analisando o gráfico da sequência pode-se avaliar o comportamento do termo na quando n cresce indefinidamente. Na sequência acima, à

medida que n aumenta o termo na se aproxima de 1.


51

Associação com funções de variável real Pode-se entender uma sequência numérica como uma seleção de pontos de uma função de variável real. Exemplo:

n

11an +=

x1

1f(x) +=

Teorema

Seja uma função f definida em um intervalo [ )∞+;c , onde IRc∈ , e a sequência ( )na tal que

naf(n) = para cada inteiro positivo.

• Se Lf(x)limx

=∞+→

então Lalim nn

=∞+→

.

• Se ∞+=∞+→

f(x)limx

(ou )∞− então ∞+=∞+→ n

nalim (ou )∞−


52

Isto significa que o limite de uma sequência pode ser obtido a partir do limite da função de variável real correspondente. Assim sendo, pode-se usar a Regra de L´Hôpital para a verificação

de limites com indeterminações 0

0 ou

∞∞

.

Exemplo:

Seja a sequência .n

11

+

Temos que:

101x

1lim1lim

x

11lim

xxx=+=+=

++∞→+∞→+∞→

ou, usando a Regra de L´Hôpital:

11lim1

01lim

x

1xlim

x

11lim

xxxx==+=+=

++∞→+∞→+∞→+∞→

Logo 1n

11lim

n=

+∞+→

Se uma sequência ( )na é tal que Lalim n

n=

∞+→, diz-se que a sequência é convergente ( ou

converge para L ). Quando não existe nn

alim∞+→

, diz-se que a sequência é divergente ( ou

diverge ).

Teorema Seja a sequência ( )na .

Se 0alim nn

=∞→

então 0alim nn

=∞→

Exemplo:

Seja a sequência .3

11)(

0nn

n

≥

−

Considerando o valor absoluto de cada termo, obtém-se a sequência:

LL ,3

1,,

81

1,

27

1,

9

1,

3

1,1

n

Temos que:

03

1lim

3

1lim

n

nnn=

=

∞+→∞+→

.

Logo, a sequência

n3

1 converge para 0.

Assim, pelo teorema anterior conclui-se que

03

11)(lim

nn

x=

−∞+→

e que a sequência dada é convergente.


53


① Verifique a convergência das sequências:

⒜ 1nn

1

≥

Maple: > limit(1/sqrt(n), n=infinity) 0

⒝

++

2

2

2n9

6n5


54

⒞ { } 0 n n2 ≥ Maple: > limit(2^n, n=infinity); ∞

⒟ 0n

ne

n

≥

⒠

++− +

54nn

3n1)(

21n


55

⒡ ( )5

⒢ ( )

+13

1-n

n

⒣ ( ){ }3n1- n


56

② Represente graficamente os 6 primeiros termos da sequência ( ){ } 0nnπcos ≥ e conclua a

respeito de sua convergência ou divergência. Justifique sua resposta.

Sequências definidas recursivamente Algumas sequências não surgem de uma fórmula para o termo geral, mas de fórmulas que especificam como gerar cada termo em função de seus anteriores. Tais sequências dizemos são definidas recursivamente e as fórmulas que as definem são chamadas de fórmulas de

recursão. Exemplo: A sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... é chamada sequência de Fibonacci. Qual sua fórmula recursiva?


57

Séries

Motivação No século V a.C. o filósofo grego Zenon propôs o seguinte problema: “Uma pessoa percorre um trajeto de um quilômetro em etapas, sendo que em cada etapa ela percorre a metade da distância restante. Quando termina sua jornada?” Essa questão constituía um paradoxo, pois era impossível conceber que se realizasse um número infinito de etapas em um tempo finito, de modo que ir de um ponto a outro seria impossível! No entanto, a subdivisão infinita de [0;1] proposta por Zenon trouxe à tona a evidência de que

18

1

4

1

2

1 =+++ L

ou seja, de que um processo infinito de acumulação poderia resultar em um resultado finito. Este é principal objeto do estudo das séries. Cálculo via Maple: Compare os resultados obtidos via Maple considerando-se diferentes quantidades de etapas: > restart: sum(1./2^n, n=1..3); 0.8750000000 > restart: sum(1./2^n, n=1..10); 0.9990234375 > restart: sum(1./2^n, n=1..100); 1.000000000 Observação Uma soma interminável de termos pode ou não resultar num número finito. Exemplos: ⒜ L+++++ 11111 resultado tende ao infinito

⒝ 00000 =++++ L

⒞ ???111111 =+−+−+− L

⒟ 3

10003,0003,003,03,0 =++++ L

0 1 1/2 3/4 ...


58

Definição e Notação Se { }na é uma sequência então a soma LL +++++ n321 aaaa é chamada de série infinita

ou simplesmente série

LL +++++=∑∞

=n321

1n n aaaaa

Observação

Quando se quer representar uma série genericamente pode-se usar na∑ .

Exemplos:

⒜ L++++=∑∞

= 81

1

27

1

9

1

3

1

3

1

1nn

⒝ L+++=+∑

∞

= 4

3

3

2

2

1

1n

n

1n

Séries de termos positivos são aquelas cujos termos são todos positivos ( )n0,an ∀> .

Exemplos: Observe que dentre as séries abaixo apenas a primeira é uma série de termos positivos.

⒜ +

n=1

1

n.(n+1)

∞

∑ ⒝ n+

n=1

(-1)

n

∞

∑ ⒞ n+

n=1

1+(-1)

n

∞

∑

CUIDADO!

+

n=1

sen(n)

n

∞

∑

NÃO é uma série de termos positivos!!!

Séries de termos alternados são aquelas cujos termos são alternadamente positivos e negativos

n +1n 1 2 3 4(-1) a a -a +a -a +......=∑ ou n

n 1 2 3 4(-1) a -a +a -a +a -......=∑

Exemplos: +

n

n=0

(-1)∞

∑ n+1+

n=1

(-1)

n

∞

∑ + +

n

n =1 n =1

cos(nπ)cos(nπ)ou (-1)

n n

∞ ∞

∑ ∑

✔✔✔✔ Exercício 1

Encontre a soma dos 5 primeiros termos de cada série:

⒜ +

n=1

n∞

∑ ⒝ +

2n=1

1

n

∞

∑ ⒞ +

nn=1

1

2

∞

∑

⒟ n+

n=1

(-1)

n

∞

∑ ⒠ +

nn=1

3

10

∞

∑ ⒡ n+

10n=1

(-2)

n

∞

∑


59

Somas parciais de uma série Dada a série

+

n 1 2 3 nn=1

a = a +a +a +...+a +...∞

∑ , pode-se construir uma nova sequência { } 1nnS ≥ tal que:

1 1S =a

2 1 2S =a +a

3 1 2 3S =a +a +a

M

n 1 2 3 nS =a +a +a +...+a

Essas somas parciais formam uma nova sequência { }nS chamada sequência das somas

parciais da série. Se a sequência { }nS converge para L, isto é, LSlim n

n=

∞+→, então dizemos que a série na∑

converge e que L é a sua soma. Se não existe n

n +lim S→ ∞

então a série na∑ diverge, isto é, não tem soma.

Observação: n

n +lim S→ ∞

= na∑

Exemplo:

Seja a série n=1

1

n (n+1)

∞

∑ ( Série telescópica )

⒜ Vamos encontrar 1 2 3 4S ,S ,S ,Se nS .

⒝ Vamos mostrar que a série converge e encontrar sua soma.


60

Séries geométricas Uma série geométrica é a soma de uma sequência geométrica ou progressão geométrica. Uma série geométrica é uma série da forma

∑∞

=

−− =+++++1n

1n1n32 ararararara LL

onde a e r são constantes e a 0≠ A n-ésima soma parcial da série geométrica é

n2 3 n-1

n

a (1- r )S = a+ar+ar +ar +...+ar = , r 1

1-r≠

Se r <1 , n

n +

lim r = 0→ ∞

e se r 1≥ , n

n +

lim r→ ∞

não existe.

Logo:

A série geométrica converge se 1r < e sua soma é r1

aS

−=

A série geométrica diverge se 1r ≥

Exemplo: Vamos mostrar que a série

n

30,3+0,03+0,003+0,0003+...+ +...

10

converge e vamos determinar sua soma. A série dada é uma série geométrica com a = 0,3 e r = 0,1. Como r = 0,1 <1, pelo teorema

anterior concluímos que a série converge e tem por soma

3

1

9

3

0,9

0,3

0,11

0,3

r1

aS ===

−=

−=

Assim,

3

1

10

30,00030,0030,030,3

n=++++++ LL

Que justifica a notação periódica

L33333,03

1 =

** As séries geométricas permitem expressar qualquer dízima periódica através de uma fração.


Determine quais séries são geométricas.

⒜ n

n=1

1

2

∞

∑ ⒝ ( )∑∞

=

−0n

n1 ⒞ n

n=1

3

10

∞

∑

⒟ n=1

1

n.(n+1)

∞

∑ ⒠ n=1

n∞

∑ ⒡

n-1

n=1

5-4

∞

∑


61


Verifique se cada uma das séries abaixo são convergentes ou divergentes e, em caso de convergência, determine a sua soma ( ou valor numérico).

⒜ L+++++=∑

∞

=− 432

1n1n 3

2

3

2

3

2

3

22

3

2

⒝ ∑

∞

=0nn3

1

⒞

n

2nn=1

(-1) 1 1 1= - + - +...

9 81 7293

∞

∑ ⒟

n-11 1 1 -1

1 - + - +....+ +...77 7 7 7

⒠ n-11+2+4+8+16+...+2 +... ⒡ 4 + 4 + 4+ 4+...

⒢ n-1

n=1

3 8+

n (n+1)4

∞

∑ ⒣ n

n=1

(-1)∞

∑

⒤ n+1n -1

n=1

10(-1)

9

∞

∑ ⒥

n+2

n=1

2-3

∞

∑

⒦ n -1

nn=1

(-3)

4

∞

∑


Determine a série geométrica cuja soma é 0,484848484848484...:


Determine o número racional representado pela dízima periódica:

⒜ 0,152152152⋯ ⒝ 7,222⋯ ⒞ 12,0444⋯

Propriedades das séries ❶ Se n

n=1

a∞

∑ converge e “c” é um número qualquer então nn=1

ca∞

∑ também converge e vale

nn=1

ca∞

∑ = nn=1

c a∞

∑ .

❷ Se nn=1

a∞

∑ diverge e “c” é um número qualquer então nn=1

ca∞

∑ também diverge .

❸ Se nn=1

a∞

∑ e nn=1

b∞

∑ convergem então n nn=1

(a ±b )∞

∑ também converge e vale

n nn=1

(a ±b )∞

∑ = nn=1

a∞

∑ ± nn=1

b∞

∑ .

❹ Se nn=1

a∞

∑ converge e nn=1

b∞

∑ diverge então n nn=1

(a ±b )∞

∑ diverge.


62

Observação

Se nn=1

a∞

∑ e nn=1

b∞

∑ são ambas divergentes então n nn=1

(a ±b )∞

∑ pode convergir ou divergir.

Como, na maioria dos casos, fica difícil ou praticamente impossível encontrar o valor correspondente à soma da série, empregaremos testes para estabelecer apenas a convergência ou a divergência da mesma. Isto é suficiente na maioria das aplicações porque, sabendo que a soma existe, podemos aproximar o seu valor com um grau arbitrário de precisão, bastando somar um número suficiente de termos da série.

TESTES

Teste da divergência

Se 0alim nn

≠∞→

então a série ∑∞

= 1n na diverge

OBS: No caso de termos nn +

lim a = 0→ ∞

nada podemos afirmar sobre a convergência da série,

ou seja,

a condição nn +lim a = 0→ ∞

não é suficiente para garantir a convergência da série nn=1

a∞

∑


63

Exemplos:

SÉRIE TESTE CONCLUSÃO

n=1

4n

5n-2.

∞

∑ n +

4n 4lim = 0

5n-2 5→ ∞≠ A série é divergente

2n=1

1

n

∞

∑ 2n +

1lim

n→ ∞=0 Nada se afirma

n

n=1

e

n

∞

∑ 0n

elim

n

n≠

+∞→ A série é divergente

n=1

1

n

∞

∑ n +

1lim

n→ ∞= 0 Nada se afirma

Existem séries nn=1

a∞

∑ divergentes, apesar de possuírem nn +lim a 0→ ∞

= .

Exemplo: n +

1lim 0

n→ ∞= e no entanto a série

n=1

1

n

∞

∑ , chamada série harmônica, é divergente.


Use o teste da divergência para mostrar que as séries dadas abaixo divergem:

⒜ ∑∞

=1n

1 ⒝ n=1

11+

n

∞

∑ ⒞ n=1

1n sen

n

∞ ⋅

∑

Séries – p ( ou p-séries ou séries hiper-harmônicas ) Uma série do tipo

LL +++++=∑∞

=pppp

1n p n

1

3

1

2

1

1

1

n

1

com 0p > é denominada série – p.

Teorema

A série p é convergente se 1p > e é divergente se 1p0 ≤<

∗ Se p =1 então a série-p é a série harmônica n=1

1 1 1 1= 1+ + + +...

n 2 3 4

∞

∑ ( série divergente )


64


Verifique se as séries dadas abaixo são convergentes ou divergentes.

⒜ ∑∞

=1n5 3n

1 ⒝ ∑

∞

=1nen

1 ⒞

n=1

1

n n

∞

∑ ⒟ 2

n=1

1

n

∞

∑ ⒠ n=1

1

n

∞

∑


Mostre que a série n-1

3 2n=1

1 1+

6n

∞

∑ é divergente.


Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 10 metros. A bola repica aproximadamente metade da distância após cada queda. Use uma série geométrica para aproximar o percurso total feito pela bola até o repouso completo.

Teste da integral O teorema conhecido como teste da integral serve para estudar a convergência ou divergência de uma série de termos positivos, através do cálculo da integral imprópria de uma função, cujas imagens para valores inteiros não negativos, correspondem aos termos da série.

Suponha que f seja uma função contínua, positiva e decrescente no intervalo [ )∞+;1

e seja ( )nfan = .

Se

( )

( )

∞=

=

∫ ∑

∫ ∑∞+ ∞

=

+∞ ∞

=

1 1nn

1 1nn

divergenteéa então ,divergente édx xf

econvergentéa então e,convergent é Ldx xf

OBS: Em geral,

( )∑ ∫∞

=

∞

≠1n 1

n dxxfa


65


Use o teste da integral para verificar se as séries dadas abaixo são convergentes ou divergentes:

⒜ 2

+- n

n=1

n.e∞

∑ ⒝ +

2n=1

2n

1+n

∞

∑ ⒞ +

3n=1

1

n

∞

∑ ⒟ +

n=1

1

n

∞

∑

⒠ +

2n=1

1

n

∞

∑ ⒡ +

n=1

1

n

∞

∑ ⒢ +

- n

n=1

e∞

∑ ⒣ ( )∑

+∞

=2n nlnn

1

Teste de Leibniz (Teste da Série Alternada)

A série alternada ( )∑∞

=−

1n n

n a1 é convergente se satisfizer as seguintes condições:

• 1nn aa +≥ para todo n >1 e

• n +lim =0na→ ∞


Use o teste da série alternada para determinar a convergência ou a divergência das seguintes séries:

⒜ n

n=1

(-1)

n

∞

∑ ⒝ n

n=1

(-1) .(n+3)

n.(n+1)

∞

∑ ⒞ n+1

n=1

(-1)∞

∑

⒟ n-1

n=1

2n(-1)

4n-3

∞

∑ ⒠ 2

n

n=1

n(-1)

3n(n+1)

∞

∑ ⒡ n-12

n=1

2n(-1)

4n -3

∞

∑


66

Teste da Comparação dos Limites

Seja na∑ uma série de termos não negativos e nb∑ uma série de termos positivos.

Se n

n +n

alim = L>0

b→ ∞, então ambas as séries convergem ou ambas divergem.

Se n

n +n

alim =0

b→ ∞ e nb∑ converge, então na∑ converge.

Se n

n +n

alim =

b→ ∞+ ∞ e nb∑ diverge, então na∑ diverge.


Use o teste da comparação dos limites para determinar a convergência ou a divergência das seguintes séries.

⒜ ∑∞

= +1 31

1

nn

⒝ ∑∞

= +1n2 2n

1 ⒞ ∑

∞

= +1n2 1n

n

⒟ ∑∞

= ++1n24 2nn

1 ⒠ ∑

∞

= −2 1n

2

n

⒡ ∑∞

=

+

1n3n

1n

Teste da Razão

Seja ∑ na uma série de termos não nulos e seja La

alim

n

1n

n=+

∞→ ( ou ∞ ).

• Se 1L < então a série é convergente .

• Se 1L > ou ∞=+

∞→n

1n

n a

alim então a série é divergente

• Se 1L = nada se conclui.


67


Use o teste da razão para determinar a convergência ou a divergência das seguintes séries:

⒜ ∑+∞

=1k !k1

⒝ ∑+∞

=1kk2

k ⒞ ∑

∞

=1n2

n

n

3

⒟ ∑+∞

=3kk4

(2.k)! ⒠ ∑

+∞

= −1k 12.k

1 ⒡ ∑

∞

=1n2n

1

⒢ ∑∞

=

+−1n

21n

n

n!1)( ⒣ ∑

∞

=1nn2

n! ⒤ ∑

∞

=

−1n

nn

n!

31)(

Observação importante O teste da razão é mais adequado quando an contém fatorial, potências e produtos, não funciona em série-p.

Séries de Potências Usamos séries de potências para representar algumas das mais importantes funções que aparecem na matemática, na física e na química. Série de potências em x é uma série da forma

∑∞

=+++++=

0n

nn

2210

nn xbxbxbbxb LL

onde

nb é um número real x é uma variável

Exemplos:

⒜ ∑∞

=++++++=

0n

n32n ...x...xxx1x

Neste caso, 1bbbbb n3210 ====== LL

⒝ ( ) ( ) ...!2n

x1)(...

6!

x

4!

x

2!

x1

!2n

x1)(

2nn

6

0n

422nn +−++−+−=−∑

∞

=

Neste caso, 720

1b;

24

1b;

2

1b;1b 3210 −==−==

Série de potências de potências em x-c é uma série da forma

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

=+−++−+−+=−

0n

nn

2210

nn cxbcxbcxbbcxb LL

onde

nb é um número real


68

x é uma variável c é uma constante ( centro da série )

Exemplo: n

2n=1

(x-5)

n

∞

∑

**Note que:

⒜ ao escrevermos o termo correspondente a n = 0 adotamos por convenção que 0(x-c) =1

mesmo quando x = c.

⒝ quando x = c todos os termos são iguais a zero para n >1, assim a série sempre converge

quando x = c e ( )∑∞

=

=−0n

0n

n bcxb

Intervalo de Convergência Uma série de potências pode ser encarada como uma função na variável x. Segundo essa interpretação, o conjunto de valores de x para os quais a série é convergente representa o domínio dessa função. Esse conjunto é também denominado intervalo de convergência. Teorema:

O raio de convergência de uma série de potências da forma ( )∑∞

=0n

nn c-xb é dado por

1n

n

n b

blimR

+∞→

=

A partir disto podemos ter apenas três possibilidades:

✔ 0R = , e neste caso a série converge apenas para x = c

Exemplo: ( )n

0n

1x!n∑∞

=

−

Sendo !nbn = e ( ) !1nb 1n +=+ então ( ) 01n

1lim

!1n

!nlimR

nn=

+=

+=

∞→∞→

Logo, a série converge apenas para ( )série da centro 1x = ou

✔ +∞=R , e neste caso a série converge para todos os valores reais dex

Exemplo: ∑∞

=0n

n

!n

x

Sendo !n

1bn = e ( ) !1n

1b 1n +

=+ então

( )

( ) ( ) ∞=+=+=

+

=∞→∞→∞→

1nlim!n

!1nlim

!!1n

1!n

1

limRnnn

Logo, a série converge em ( ) IRIou,I =∞+∞−= ou


69

✔ existe um número real positivo “R” de modo que a série converge pelo menos para todo

( )Rc,rcx +−∈ . A convergência dos extremos do intervalo deve ser testada individualmente com os procedimentos vistos para séries numéricas.

Exemplo: ∑∞

= +0n

n

4n

x

Sendo 4n

1bn +

= e 5n

1b 1n +

=+ então 11lim4n

5nlim

!5n

14n

1

limRnnn

==++=

+

+=∞→∞→∞→

Logo, a série converge, pelo menos, em ( )1,1I −=

Teste nos extremos do intervalo: Para 1x −= :

( )L+−+−=

+∑∞

= 7

1

6

1

5

1

4

1

4n

1-

0n

n

Série Alternada Convergente

Para 1x = :

( )L++++=

+∑∞

= 7

1

6

1

5

1

4

1

4n

1

0n

n

Série Divergente

Sendo assim, a série ∑∞

= +0n

n

4n

x é, de fato, convergente no intervalo [ )1,1I −=

Exercício 14 Encontre o intervalo de convergência de cada uma das séries dadas abaixo:

⒜ n

n=1

(x+1)

n

∞

∑ ⒝ n

n

n=0

(x-3)(-1)

n+1

∞

∑ ⒞ n

nn=1

n x

5

∞

∑

⒟ n

n=0

n!x∞

∑ ⒠ n

n=1

(x-3)

n

∞

∑ ⒡ n 2n

2n 2n=0

(-1) x

2 (n!)

∞

∑

⒢ n

n+1n=0

n(x+2)

3

∞

∑

Representação de Funções por Séries de Potências Uma série de potências pode representar uma função quando for convergente. Exemplo:

( )x1

1xf

−= pode ser representada por ( ) LL ++++++= n32 xxxx1xf

desde que 1x <


70

pois LL ++++++ n32 xxxx1 é uma série geométrica e se 1x < então esta série é

convergente. Neste caso, a soma de seus termos é dada por x1

1S

−= .

Logo,

( ) ∑∞

=

=−

=0n

nxx1

1xf se 1x <

Exercício 15 Considerando o resultado acima, obtenha uma representação em série de potências para:

⒜ ( )x1

1xg1 +

= ⒝ ( )x1

1xg2 −

−= ⒞ ( )23 x1

1xg

−= ⒟ ( )

x1

xxg

3

4 −=

A questão que permanece é “como associar uma função a uma série” ? Trabalhos notáveis realizados no sentido da associação de funções e séries foram desenvolvidos pelos matemáticos Colin Maclaurin (1698-1746) e Brook Taylor (1685-1731).

Série de Maclaurin A idéia proposta por Maclaurin era supor que uma função poderia ser escrita na forma de uma série de potências, ou seja,

2 n0 1 2 nf(x) = a +a .x+a .x +...+a .x +...

restando determinar os coeficientes an adequadamente. Substituindo x por 0 tem-se:

2 n0 1 2 n 0f(0) = a +a .0+a .0 +...+a .0 +...= a

Influenciado pelos trabalhos de Newton sobre o cálculo infinitesimal, Maclaurin observou que, nas condições enunciadas,

2 3 4 n0 1 2 3 4 nf(x)=a +a .x+a .x +a .x +a .x +...+a .x +... ⇒ 0f(0) = a

2 3 n-11 2 3 4 nf '(x)= a +2.a .x+3.a .x +4.a .x +...+n.a .x +... ⇒ 1f '(0) = 1.a

2 n-22 3 4 nf ''(x)= 2.a +3.2.a .x+4.3.a .x +...+n.(n-1).a .x +... ⇒ 2f ''(0) =2.1.a

n-33 4 nf '''(x)= 3.2.a +4.3.2.a .x+...+n.(n-1).(n-2).a .x +... ⇒ 3f '''(0) =3.2.1.a

M Genericamente:

(n)nf (0) = n!.a

ou ainda:

(n)

n

f (0)a =

n! , se n≥ 1

0a = f(0)


71

A forma geral da Série de Maclaurin é, então, dada por

(n)2 nf (0) f (0) f (0)

f(x) = f(0)+ x+ x +...+ x +...1! 2! n!

′ ′′

ou (n)

n

n=1

f (0)f(x) = f(0)+ x

n!

∞

∑

Observe que para ser possível a expansão em Série de Maclaurin:

� a função tem de estar definida em x = 0;

� a série deve ser convergente. Exemplo: Sendo ( ) ( )2xcosxf = , então ( ) 10f = e

( ) ( )2x2senxf ' −= ( ) 00f ' =⇒

( ) ( )2xcos4xf '' −= ( ) 40f '' −=⇒

( ) ( )2x8senxf ''' = ( ) 00f ''' =⇒

( ) ( )2xcos16xf iv = ( ) 160f iv =⇒

( ) ( )2xsen32xf v −= ( ) 00f v =⇒

( ) ( )2xcos64xf vi −= ( ) 640f vi −=⇒

Escrevendo-se a série de Maclaurin, vem:

( )

( ) ( )( )∑

∞

=

−=

+−+−=

+−+++−+=

0n

2nn

642

65432

!2n

2x1

!6

64x

!4

16x

!2

4x1

!6

64x

!5

0x

!4

16x

!3

0x

!2

4x

!1

x01xf

L

L

Exercício 16 Obtenha a série de Maclaurin para as funções:

⒜ xf(x) = e ⒝ f(x) = sen(x) ⒞ 1

f(x) = 1-x


72

Série de Taylor Taylor posteriormente generalizou a idéia proposta por Maclaurin, observando que esse processo também era válido para uma expansão em um centro c genérico: A forma geral da Série de Taylor com centro c é dada por

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) LL +−++−+−+= nn

2' ''

cxn!

cfcx

2!

cfcx

1!

cfcfxf

ou

( )(n)

n

n=1

f (c)f(x) = f(c)+ . x-c

n!

∞

∑

Observe que para ser possível a expansão em Série de Taylor:

� a função tem de estar definida em x = c; � a série deve ser convergente.

Observação Ao polinômio gerado pelo truncamento da Série de Taylor no termo de grau n dá-se o nome de polinômio aproximador de Taylor de grau n:

(n)2 n

n

f´(c) f´́ (c) f (c)p (x) = f(c)+ (x-c)+ (x-c) +...+ (x-c)

1! 2! n!

Observe ainda que:

� O polinômio aproximador de grau 1 é a reta tangente à função.

� A Série de Maclaurin é a Série de Taylor com centro c = 0. Exemplo: Obtenha a série de Taylor para as funções com os centros indicados:

⒜ f(x) = sen(x), c = π

2 ⒝

1f(x) =

1-x , c = 3 ⒞

1f(x) =

x , c = 1

Exercício 17 Obtenha a série de Taylor para as funções com os centros indicados:

⒜ f(x) = ln(x+1), c = 0 ⒝ f(x) = lnx , c = 1 ⒞ -2xf(x) = e , c = 0

⒟ f(x) = cos(x) , c = π ⒠ f(x) = sen(2x) , c =π ⒡ 1

f(x) =x-1

, c = 0


73

Exercício 18 Aproxime a função ( ) x2exf = por um polinômio de Maclaurin de grau 3. Avalie ( )0,5f

através deste resultado e compare com o valor obtido via calculadora para ( ) ee 0,5 2 =×

Exercício 19 Expresse e calcule as integrais indefinidas como séries de potências centradas em zero.

⒜ ( ) dx3xsen∫ , considerando a série como um polinômio de grau 7

⒝ dxe2x

∫−

, considerando a série como um polinômio de grau 6

Exercício 20 Aproxime as integrais definidas como as mesmas séries de potências centradas em zero determinadas no exercício 19.

⒜ ( )∫1

0

dx3xsen , considerando a série como um polinômio de grau 7

⒝ dxe1

0

x2

∫ −, considerando a série como um polinômio de grau 6

Respostas Exercício 1

⒜ 15 ⒝ 1,463611... ⒞ 0,96875

⒟ -0,783333... ⒠ 0,33333 ⒡ -1,998079...

Exercício 2 (a) , (b) , (c) e (f)

Exercício 3

⒜ C ; S = 3 ⒝ C ; S = 3

2 ⒞ C ; S =

1-

10 ⒟ C ; S =

7

7 1+

⒠ D ⒡ D ⒢ (g) C ; S = 12 ⒣ D

⒤ C ; S = 9 ⒥ C ; S = 8

- 45

⒦ C ; S = 1

7

Exercício 4

2nn =1

48

10

∞

∑


74

Exercício 5

⒜ 152/999 ⒝ 65/9 ⒞ 542/45

Exercícios 6 ⒜

n +lim 1 1 0→ ∞

= ≠

⒝ 011

1lim

n

1nlim

n

11lim

nnn≠=

=

+=

+∞+→∞+→∞+→

⒞ 2

n + n + n + n +

2

1 1 1sen cos

1 1n n nlim n sen = lim lim lim cos 1 0

1 1n nn n

→ ∞ → ∞ → ∞ → ∞

⋅ − ⋅ = = = ≠ −

Exercício 7 ⒜ D ⒝ C ⒞ C ⒟ C ⒠ D

Exercício 8

2 33 2n = 1 n = 1

1 1 =

nn

∞ ∞

∑ ∑ (Série-p) 2 2

p = = <13 3

(Série divergente)

n -1

2 3 4n =1

1 1 1 1 11+ ...

6 6 6 6 6

∞ = + + + +

∑ (Série geométrica)

1a =1 ; r =

6 ;

1 1r = = <1

6 6 (Série convergente)

** A série dada é a soma de uma série divergente com uma série convergente, logo ela é uma série divergente.

Exercício 9 30 m

Exercício 10 ⒜ C ⒝ D ⒞ C ⒟ D ⒠ C ⒡ D ⒢ C ⒣ D

Exercício 11 ⒜ C ⒝ C ⒞ D ⒟ D ⒠ D ⒡ C


75

Exercício 12 ⒜ C ⒝ C ⒞ C ⒟ C ⒠ D ⒡ C

Exercício 13 ⒜ C ⒝ C ⒞ D ⒟ D ⒠ D ⒡ C ⒢ D ⒣ D ⒤ C

Exercício 14 ⒜ [ )-2;0 ⒝ (2; 4] ⒞ (-5; 5) ⒟ 0 ⒠ [2; 4)

⒡ IR ⒢ (-5; 1)

Exercício 15

⒜ ( )∑∞

=

−0n

nx ⒝ n

0n

x∑∞

=

− ⒞ 2n

0n

x)(∑∞

=

⒟ n3

0n

x +∞

=∑

Exercício 16

⒜ ∑∞

=

=++++0n

n32

!n

x

!3

x

!2

xx1 L ⒝

( )( )∑

∞

=

+

+−=+−+−

0n

12nn753

!12n

x1

!7

x

!5

x

!3

xx L

⒞ ∑∞

=

=++++0n

n32 xxxx1 L

Exercício 17

⒜ ∑∞

=

+−1n

n1n

n

x1)( ⒝

n

1)(x1)(

n

1n

1n −−∑∞

=

− ⒞ ∑∞

=

−0n

nn

n!

x2)(

⒟ ∑∞

=

+ −−0n

2n1n

(2n)!

π)(x1)( ⒠ ∑

∞

=

++

+−−

0n

n12n12n

1)!(2n

1)(π).(x(2) ⒡ n

0n

x∑∞

=−

Exercício 18

( ) ( )∑+∞

=

=+++++==0n

n432x2

n!

2xx

3

2x

3

42x2x1exf L

Polinômio de grau 3: ( ) 32 x3

42x2x1xP +++=

( ) 2,66670,5P = e 2,7183e =

Exercício 19 ⒜ ( ) Cx

4480

243x

80

27x

8

9x

2

3dxx

560

243x

40

81x

2

93xdx3xsen 8642753 +−+−=

−+−= ∫∫


76

⒝ 42

x

10!

x

3

xxdx

!3

x

!2

xx1dxe

753642x2

−+−=

−+−= ∫∫

−

Exercício 20

⒜ ( )4480

2949x

4480

243x

80

27x

8

9x

2

3dx3xsen

1

0

86421

0

=−+−=∫

⒝ 35

26

42

x

10!

x

3

xxdxe

1

0

7531

0

x2

=−+−=∫ −

Apostila Calc2

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