PUCRS - Faculdade de Matemática Profa. Cláudia Batistela
Cálculo Diferencial e Integral II
TTTóóópppiiicccooo PPPááágggiiinnnaaa 1 - DDiiffeerreenncciiaall 1
2 - IInntteeggrraall IInnddeeffiinniiddaa 3
3 - IInntteeggrraall DDeeffiinniiddaa 15
4 – TTééccnniiccaass ddee IInntteeggrraaççããoo 31
5 - EEqquuaaççõõeess DDiiffeerreenncciiaaiiss 39
6 - SSeeqquuêênncciiaass ee SSéérriieess 49
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II CLÁUDIA BATISTELA / LUIZ C. RENZ / MARIA DE LOURDES MILANEZ
1
DDDiiifffeeerrreeennnccciiiaaalll Seja ( )xfy = uma função derivável e dx uma variável independente denominada diferencial dx.
A diferencial dy é uma variável dependente tanto de x quanto de dx definida por:
( ) dxxfdy '=
Se 0dx ≠ podemos ainda expressar esta relação por ( )xfdx
dy '=
Significado geométrico O significado geométrico das diferenciais pode ser melhor compreendido com o auxílio das figuras abaixo. Observe na Fig. 1 que ( )xf ' é a inclinação da reta tangente de f em x. Vamos considerar um acréscimo de dx∆x = unidades a x. Nestas condições, temos que: ● ∆y representa a variação em y que ocorre quando começamos em x e nos movemos ao
longo da curva ( )xfy = até que ( )dx∆x = unidades sejam percorridas no eixo x. ● dy representa a variação em y que ocorre quando começamos em x e nos movemos ao
longo da reta tangente até que ( )xdx ∆= unidades sejam percorridas no eixo x.
Fig. 1 Fig. 2
A Fig. 2 destaca a diferença entre o incremento ∆y e a diferencial dy.
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2
Exemplo: A forma diferencial da função 2xy = é dx2xdy = Se tomarmos 1x = , teremos dx2dy = . Isto significa que se percorrermos a reta tangente à
curva 2xy = em 1x = , então uma variação de dx unidades em x produz uma variação de dx2 unidades em y. Considerando-se ainda, por exemplo, um avanço de 2dx = unidades, isto produzirá uma elevação 4dy = unidades ao longo da reta tangente. Confira estes resultados no gráfico abaixo:
Aproximação linear local do ponto de vista diferencial Mesmo que ∆y e dy sejam geralmente diferentes, a diferencial dy é uma boa aproximação de
∆y quando dx∆x = estiver próximo de zero. Lembre que: ( )∆x
∆ylimxf
0x∆
'
→=
Assim, quando ∆x estiver próximo de zero teremos ( )∆x
∆yxf ' ≈ , ou ainda, ( ) dydxxf∆y ' =≈
Ou seja, para valores de dx próximos de zero, a diferencial dy aproxima muito bem o incremento ∆y . Isto ocorre porque o gráfico da reta tangente é a aproximação linear local do gráfico de f.
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3
IIInnnttteeegggrrraaalll IIInnndddeeefffiiinnniiidddaaa Seja a função ( ) 2xxf = .
Existe alguma função cuja derivada seja igual a 2x ?
Podemos observar que todas estas funções possuem uma parte em comum ( )2x e outra diferente formada por uma constante. Vamos então representar todos estes exemplos de forma genérica por
( ) CxxF 2 += sendo C : constante O processo de encontrar antiderivadas é denominado antiderivação, antidiferenciação ou
ainda integração.
Representação do processo de integração: ( ) ( ) CxFdxxf +=∫
Interpretação geométrica da integral indefinida
Seja ( )xf uma função contínua e ( ) CxF + sua primitiva ( ou integral ). ( ) CxF + representa uma família de funções pois para cada valor real de C teremos uma função diferente. Exemplo:
Sendo ( ) 2xxf = ➪ ( ) CxxF 2 += A integral indefinida corresponde geometricamente a uma família de curvas com a propriedade de, em pontos de mesma abscissa, possuírem tangentes geométricas paralelas entre si.
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4
Observe os seguintes resultados:
???dxxCxdx x2 2 =⇒+= ∫∫
Cálculo via Maple: > int(2*x,x); x2
???dxxCxdx x3 232 =⇒+= ∫∫
???dxxCxdx x4 343 =⇒+= ∫∫
???x
dx =∫
Generalização do resultado:
-1psendo,C1p
xdxx
1pp ≠+
+=
+
∫ e ( ) Cxlndxxdxx
dx 1- +== ∫∫
Propriedades da integral indefinida
∫ ∫= f(x)dx cf(x)dx c , sendo c uma constante
∫ ∫ ∫±=± g(x)dxf(x)dxg(x)]dx[f(x)
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5
Cálculo via Maple com tutorial:
Exemplo: ∫ =
+++ ????dxx
1x53x2
➩➩➩➩ Após inicializado o programa deve ser utilizado o seguinte comando: > with(Student[Calculus1]): > IntTutor(3*x^2+5+sqrt(x)+1/x,x);
= d⌠
⌡
+ + + 3 x2 5 x
1x
x + + + x3 5 x2 x
( )/3 2
3( )ln x
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✔✔✔✔ Exercícios
❶ Calcule a integral indefinida das funções abaixo apresentadas.
Respostas:
① ( )∫ ++ dx13xx 2 Cx2
3x
3
x 23
+++
② ∫−−
dxx
2x2x2
23
> int((2*x^3-x^2-2)/x^2,x);
Cx
2xx 2 ++−
− + x2 x2x
③ ∫ dxx > int(sqrt(x),x);
C3
x2 3
+
2 x( )/3 2
3
④ ∫ dxx.x 42 > int(x^2*x^4,x);
C7
x 7
+
x7
7
⑤ ∫ dxxx C5
x2 5
+
⑥ ∫ 5x
dx C4x
14
+−
⑦ ∫ dxx
4 Cx8 +
❷ Determine ( )xy em cada caso.
Respostas:
① ( ) 01y,5x3dx
dy 2 =−= ( ) 45xxxy 3 +−=
② xx
1
dx
dy2
−= ( ) Cx
1
2
xxy
2
+−−=
③ ( ) 04y,x2
1
dx
dy == ( ) 4xxy −=
④ 3 2x
3
dx
dy = ( ) Cx9xy 3 +=
⑤ ( ) ( ) 10y,40y,23dx
yd '2
2
==−= x ( ) 14x2
3x
3
xxy
23
+++−=
⑥ ( ) ( ) ( ) 50y,00y,80y,4dx
yd '' '3
3
==−== ( ) 54x3
2xxy 2
3
+−=
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7
⑦ 23xdx
dy = ( ) Cxxy 3 +=
⑧ ( )
( )
=
+=
00y
xxsendx
dy
( ) ( ) 12
xxcosxy
2
++−=
✔✔✔✔ Aplicações ① A função velocidade de um certo movimento é dada por 3620t3tv(t) 2 +−= , com "t" medido em segundos. Determine a função posição s(t) desse movimento, sabendo que no tempo de 2 segundos o espaço percorrido é de 47 metros.
Resposta: ( ) 736t10ttts 23 ++−=
② Sabendo que o ponto ( )5,2 pertence a uma curva de equação ( )xfy = e que a declividade da reta tangente em cada ponto da mesma é dada por 32x − , encontre a equação da curva.
Resposta: 73xxy 2 +−=
③ Uma partícula move-se de acordo com os dados que se seguem. Sendo ( )ts a posição, ( )tv a
velocidade e ( )ta a aceleração da partícula no instante t, encontre a posição da partícula.
Respostas:
⒜ ( ) ( ) ( ) ( ) 00s,tcostsentv =−= ( ) ( ) ( )tsentcos1ts −−=
⒝ ( ) ( ) ( ) 30v,10s,2tta ==−= ( ) 13tt6
tts 2
3
++−=
⒞ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 122πs,00s,t3cost10senta ==+= ( ) ( ) ( ) 3π
6tt3cost10sents ++−−=
④ Uma bola é arremessada para cima com uma velocidade de 48 pés / s da margem de um penhasco 432 pés acima do solo. Desprezando-se a resistência do ar, determine:
( Use g = 32pés/s2 para a aceleração da gravidade ) Respostas:
⒜ sua velocidade após t segundos ( ) 48t32tv +−=
⒝ após quanto tempo a bola atinge sua altura máxima. s1,5t =
⒞ sua altura após t segundos ( ) 43248t16tts 2 ++−=
⒟ após quanto tempo a bola atinge o solo. s,96t ≈
⑤ Uma companhia estima que o custo marginal para produzir x itens de um determinado produto é dado por ( ) 0,002x1,92xCmg −= . Se o custo para produzir um item é de R$ 562,00
encontre o custo para produzir 100 itens.
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OBS: Sendo ( )xC a função custo para produzir “x ” unidades de um certo produto, chama-se função custo marginal à derivada da função custo em relação a x, que é representada por
( ) ( )xCxC 'mg = .
Resposta: 742,08R$
⑥ A espessura ( )ty de gelo formado num lago satisfaz a equação diferencial y
3y ' = . Sabendo
que em 0t = dias o gelo tem 2,5 cm de espessura, determine em quanto tempo a camada de gelo terá 5 cm de espessura.
Resposta: t = 3 dias e 3 horas
Tabela base de primitivas
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
ka
u arcsec
a
1
auu
du12)
ka
u arctg
a
1
ua
du11)
ka
uarcsen
ua
du10)
ku cscdu u cotg u csc9)
ku secdu u tgu sec8)
ku cotgdu ucsc7)
ku tgdu usec6)
kusen du u cos5)
ku cosdu usen 4)
k edue3)
kulnu
du2)
1p,k1p
uduu1)
22
22
22
2
2
uu
1pp
+
=−
+
=+
+
=−
+−=
+=
+−=
+=
+=
+−=
+=
+=
−≠++
=
∫
∫
∫
∫∫∫∫∫∫∫
∫
∫+
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Exemplos:
⒜ Cxxdx1)(2x 2 ++=+∫
⒝ ( )C
6
12xdx1)(2x
32 ++=+∫
⒞ ( )C
22
12xdx1)(2x
1110 ++=+∫
✔✔✔✔ Exercícios
Determine as seguintes integrais indefinidas: Respostas:
① ( ) dx12x 3
∫ − ( )C
8
12x 4
+−
② dx8xx 2∫ − ( )C
3
8x32
+−
③ ( )∫ − 365x
dx2 ( ) C65x5
12
+−
−
④ ∫ + dxe 13x C3
e 13x
++
⑤ ∫ − 3x4
dx ( )C
3
3x4ln +−−
⑥ dx45x
2
3
e3x
∫
−+ ( )
C5
45x2ln
9
e3x
+−+
⑦ ( )∫ +−
−38xx
dx4x32
( )C
2
38xx3ln 2
++−
⑧ ∫ ++ 168xx
dx22
C4x
2 ++
−
⑨ ∫ +4 2 83x
dxx ( )C
9
83x2 4 32
++
⑩ ∫ dx (5x)sec6 2 ( )C
5
5xtg6 +
⑪ ∫
dx
2
xcos C
2
xsen2 +
⑫ ( ) ( )∫ dx4xtan.4x2sec
( )C
2
4xsec +
⑬ ( )( )∫ xcos
dxxsen ( )( ) Cxcosln +−
⑭ ( )∫ 7xcsc
dx
( )C
7
7xcos +−
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10
⑮ ∫ + 4x
dx2
C
22
xtgarc
+
⑯ ( ) ( )∫ dxxcosxsen 3 ( ) ( ) Cxsen
7
2xsen
3
2 73 +−
⑰ ( ) ( )∫ dx3xcotg3xsen ( ) C3xsen3
1 +
✔✔✔✔ Aplicação O preço de revenda de certa máquina decresce a uma taxa que varia com o tempo de uso. A equação
5t
e960dt
dv −−=
representa a taxa de variação de seu valor após t anos de uso, em reais por ano. Calcule o valor de uma máquina, comprada nova por R$ 5.000,00, após 5 anos.
Resposta: R$ 1965,82
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Cálculo via Maple com tutorial:
( ) ( )∫ = ????dx3xcotg 3xsen
> with(Student[Calculus1]): > IntTutor(sin(3*x)*cot(3*x),x);
= d⌠⌡
( )sin 3x ( )cot 3x x13
( )sin 3x
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Substituições com mudança de variável Exemplos:
❶ ( )
C1x23
1x2
1x
dxx3
++−+
=+∫
❷ ( ) ( )C
2
3x453x3
3x
dx5x 3 2
3 5
3+
−+−=
−∫
❸ ( ) ( )
C3
2x4
5
2x2dx2xx
35
++
−+
=+∫
❹ ( ) ( ) ( )
C3x3
1
3x8
1
3x
dxx9810
++
++
−=+∫
✔✔✔✔ Exercícios
Determine a solução das integrais indicadas com o auxílio da tabela base e compare com os resultados apresentados.
① ∫ +
=
C
2
xtg2
2
xcos
dx
2
② ( ) ( ) Cx2x2sendxx
1x2cos ++=
+∫
③ ( )( ) ( )∫ +−−=
+− C
3x
1xsec2edx
x
2
xcos
xsen2e
6x
72x
④ ( )∫ ++−=− C9x4x5
4xdx32x 3
522
⑤ ( ) ( )∫ +−= Cxcotgxsen
dx2
⑥ ( )∫ +=+
Cxarctg3
2dx
33x
22
⑦ ( )∫ +−=+
Cxarctgxdx1x
x2
2
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⑧ ( ) ( ) ( )∫ +−= C
2
2xcosdx2xtg2xcos
⑨ ( )∫ +−=+−
Cx2arctgxdx1x
1x2
2
⑩ ( ) ( )∫ += C5xsendx5xsec
5
⑪ ( ) ( ) ( )∫ += C6xsen6
1dx6xsen6xcotg
⑫ ( )∫ +=− −− Ce4
1dx1xe 4x2x4x2x 22
⑬ ∫ +
=−
C3
4xarcsec
3
1
916xx
dx2
⑭ ( ) ( ) ( )
C3
4x16
5
4x8
7
4x
2
dx4-xx3572
+−
+−
+−
=∫
⑮ ( ) ( ) ( )
C28
2x3
10
2x33
4
2x33dxx.2x-3
7532 +
−−
−+
−−=∫
⑯ ( ) ( ) ( )
C3
x12
5
x14
7
x12dxx1x
3572 +
++
+−
+=+∫
✔✔✔✔ Exercícios
Resolva as seguintes equações: Respostas:
⒜ ( ) 2xxcosdx
dy += ( ) ( ) Cxxsenxy 2 ++=
⒝ 1-2xdx
dy = ( ) Cxxxy 2 +−=
⒞ x
y
dx
dy = ( ) xCxy =
⒟ ( )
2
22'
x
1xy
−= ( ) Cx
12xx
3
1xy 3 +−−=
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14
⒠
( )
=
+=
21y
y
x2y
2'
( )3
2x212xy
3 −+= x
⒡ ( )
y
xseny ' = ( ) ( ) Cx2cosxy +−±=
⒢ ( )
( )
=−+=
20f
5x6xxf 2'
( ) 25xx2
12xxf 23 +−+=
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IIInnnttteeegggrrraaalll DDDeeefffiiinnniiidddaaa Seja f uma função contínua definida num intervalo [ ]b ; a .
Se dividirmos o intervalo [ ]b ; a em n subintervalos de comprimento n
ab∆x
−= , e
considerarmos bxxxxxa n1n210 =<<<<<= −L os extremos destes intervalos então a
integral definida de f no intervalo [ ]b ; a é dada por
( ) ( )∆xxflimdxxfb
a
n
1i
*i
n∫ ∑=+∞→
=
onde [ ]10*1 x;xx ∈ , [ ]21
*2 x;xx ∈ , ... , [ ]n1-n
*n x;xx ∈
Exemplo: Considere ( ) 1xxf 2 −=
2n = 4n =
8n = 40n =
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Interpretação geométrica da integral definida Seja f uma função contínua num intervalo [ ]b ; a com ( ) [ ]b;ax0,xf ∈∀≥ . A integral definida da função f no intervalo [ ]b ; a representa geometricamente a área compreendida entre a curva da função f , o eixo x e as retas x = a e x = b.
Teorema fundamental do cálculo Seja f uma função contínua num intervalo [ ]b ; a e F uma antiderivada da f em [ ]b ; a .
Chamaremos de integral definida de f em [ ]b ; a ao número real obtido da seguinte forma:
( ) ( ) ( )∫ −=b
a
aFbFdxxf
Exemplo:
( ) ( ) ?1F2Fdx3x2
1
4 =−=∫
Sendo ( ) ∫ ∫ +=== C5
3xdxx3dx3xxF
544
Logo, ( ) ( ) ( ) ( )5
93
5
1.3
5
2.3
5
3x1F2Fdx3x
552
1
52
1
4 =
−
=
=−=∫
Cálculo via Maple
> int(3*x^4,x=1..2); 935
a b
A
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Propriedades da integral definida
①①①① 0f(x)dxa
a
=∫
②②②② ∫ ∫ ∫ <<+=b
a
c
a
b
c
bca sendo ,f(x)dx f(x)dxf(x)dx
③③③③ ∫ ∫−=b
a
a
b
f(x)dxf(x)dx
④④④④ Se ∫∫ ≥∈∀≥b
a
b
ag(x)dxf(x)dxentãob][a;xg(x),f(x)
✔✔✔✔ Aplicações ① Um estudo indica que, daqui a x meses, a população de determinada cidade crescerá a uma
taxa de x62 + pessoas por mês. Qual será o aumento da população da cidade nos próximos quatro meses ?
Resposta: 40 pessoas
② Em certa fábrica, quando o nível de produção mantém-se em q unidades diárias, o custo
marginal é $ ( )24q3 − / unidade produzida. Qual será o aumento verificado no custo total de fabricação se a média de produção crescer, passando de 6 para 10 unidades ?
Resposta: $ 208,00
③ Em certa comunidade, a demanda de gasolina cresce exponencialmente a uma taxa de 5% ao ano. Sendo a demanda atual de 4 milhões de litros por ano, que quantidade da gasolina será consumida na comunidade durante o período de 3 anos ?
Resposta: 12,95 milhões de litros
Valor médio de uma função Em muitas situações práticas é interessante conhecermos o valor médio de uma função contínua num intervalo. Exemplos: o nível médio de poluição do ar em determinado período, a velocidade média de um caminhão durante uma viagem, a produtividade média de um operário no trabalho, etc. O valor médio de uma função contínua ( )xf num intervalo bxa ≤≤ é dado por
( )∫−=
b
a
dxxfab
1médioValor
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Exemplos:
❶ Os registros indicam que, t horas após a meia-noite, a temperatura de certo local é de
( ) 104t0,3ttf 2 ++−= graus Celsius. Qual era a temperatura média no local entre 9h da manhã e meio-dia ?
Resposta: C18,7médiaaTemperatur o=
❷ Um copo de limonada a uma temperatura de 40º F é deixado em uma sala cuja temperatura constante é de 70º F. Usando a lei do resfriamento de Newton pode-se mostrar que se a temperatura da limonada atingir os 52º F em uma hora, então sua temperatura T como função do tempo decorrido pode ser modelada por
( ) t0,530e70tT −−= ,
onde a temperatura T é medida em graus Fahrenheit e o tempo t em horas. Encontre a temperatura média Tm da limonada ao longo das primeiras 5 horas.
Resposta: Temperatura média F59o≈
Cálculo de área Exemplos : Cálculo de áreas em destaque através da integral definida, sendo:
❶ ( ) xxf =
Resposta: u.a. 8A =
❷ ( ) 4xxf 2 +−=
Resposta: .u.a3
32A =
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19
❸ ( ) 4xxf 2 −=
Resposta: .u.a3
32A =
❹ ( ) 22
xxf +−=
Resposta: .u.a5A =
❺ ( ) 2x4xxf −=
Resposta: .u.a3
16A =
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20
❻ ( ) ( )( ) ( )xsen xcos1xf −=
Resposta: .u.a2A =
Área da região entre curvas Em alguns casos a área a ser determinada envolve diferentes funções, conforme mostram os exemplos a seguir. Exemplos:
❶ Cálculo da área da região limitada pelas funções ( ) 3xxf = e ( ) 2xxg +−= .
➥➥➥➥ u.a. 4
3A =
❷ Cálculo da área da região limitada pelas funções ( ) 2xxf = e ( ) xxg = .
➥➥➥➥ u.a. 3
1A =
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21
❸ Cálculo da área da região limitada pelas funções ( ) 3xf = , ( ) 1xxg 2 −= e o eixo x.
➥➥➥➥ u.a. 3
28A =
❹ Cálculo da área da região limitada pelas funções ( ) 9xf = e ( ) 2xxg = entre 1x = e 4x = .
➥➥➥➥ u.a. 3
38A =
❺ Cálculo da área da região limitada pela função ( ) ( )xsenxf = e o eixo x entre -πx = e 1x = .
➥➥➥➥ ( )( )u.a. 1cos3A −=
❻ Cálculo da área da região limitada pela função ( ) ( )xlnxf = e o eixo x entre 1x = e 4x = .
➥➥➥➥ ( )( )u.a. 2ln83A +−=
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22
✔✔✔✔ Exercícios
Em cada um dos itens que segue, calcule a área da região limitada pelas curvas cujas equações são dadas e com o auxílio dos gráficos também apresentados.
①
===
−=
0y
4x
0x
x3xy 2
➥➥➥➥ .u.a3
19A =
②
==
−=−=
0y
1x
2x
44xy 3
➥➥➥➥ .u.a27A =
③
==
−=++=
0y
1x
1x
12xxy 2
➥➥➥➥ .u.a3
8A =
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23
④
==++
0y
02y4xx 2
➥➥➥➥ .u.a3
16A =
⑤
==
4y
xy 2
➥➥➥➥ .u.a3
32A =
⑥
≥=
−=
0x
5xy
4xxy 3
➥➥➥➥ .u.a4
81A =
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24
⑦
−==
x2y
xy 2
➥➥➥➥ .u.a2
9A =
⑧
−=−=x1y
1xy 2
➥➥➥➥ .u.a2
9A =
⑨
===
−=
2x
-2x
xy
3xxy 3
Efetue a representação gráfica !! ➥➥➥➥ .u.a8A =
⑩
==
+=−=
1x
-2x
1xy
x3y 2
Efetue a representação gráfica !! ➥➥➥➥ .u.a2
9A =
⑪
=
+=
=
0
42
x-y
xy
x
Efetue a representação gráfica !! ➥➥➥➥ .u.a3
20A =
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25
Sólidos de revolução Um sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região plana em torno de uma reta que está no mesmo plano da região, sendo a reta denominada eixo de revolução.
Volume por discos perpendiculares ao eixo x Seja f um função contínua e não-negativa no intervalo [ ]b ; a e seja R a região limitada por
( )xfy = , o eixo x e pelas retas ax = e bx = . O sólido de revolução gerado pela rotação da
região R em torno do eixo x tem volume dado por
( )[ ]∫=b
a
2 dxxfπV
Como as secções transversais têm a forma de disco, a aplicação desta fórmula é chamada de método dos discos.
Exemplo: Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
0ye4x,xy === em torno do eixo x.
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26
➥➥➥➥ u.v.8πV =
✔✔✔✔ Exercícios
Em cada um dos itens abaixo apresentados, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo x.
①
=−=
0y
x2xy 2
➥➥➥➥ u.v.π15
16V =
②
=+=
4y
3xy 2
➥➥➥➥ u.v.π5
48V =
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27
③
===
0y
8x
y 3 x
➥➥➥➥ u.v.π5
96V =
④
===
=
4x
1x
0yx
2y
➥➥➥➥ u.v.π3V =
Volume por discos perpendiculares ao eixo y O sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo y tem volume dado por
( )[ ]∫=d
c
2 dyygπV
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28
Exemplos: ❶ Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
0xe2y,xy === em torno do eixo y.
➥➥➥➥ u.v.5
32πV =
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29
❷ Calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
2yxexy2 == em torno do eixo y.
➥➥➥➥ u.v.π15
64V =
➥➥➥➥ u.v.3
32πV =
➥➥➥➥ u.v.5
32πV =
✔✔✔✔ Exercícios
Em cada um dos itens abaixo apresentados, calcule o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas indicadas em torno do eixo y.
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30
①
=
=3
2
xy
xy
➥➥➥➥ u.v.π10
1V =
②
===
0y
4x
xy
➥➥➥➥ u.v.π5
128V =
③
=
=
8xy
xy2
2
➥➥➥➥ u.v.π5
24V =
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31
TTTééécccnnniiicccaaasss dddeee IIInnnttteeegggrrraaaçççãããooo
Integração por partes
Certas integrais não podem ser resolvidas diretamente ou por substituição de variáveis simples. Nesses casos é necessário fazer uso de certas técnicas de integração, como é o caso da chamada técnica de integração por partes.
Considerando-se a regra de derivação do produto entre duas funções, vem:
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )xf.xg xg.xfxg.xf ''' += ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )xf.xg -xg.xf xg.xf ''' =
Integrando-se ainda ambos os lados desta equação obtemos:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dx xf.xgxg.xfdxxg.xf '' ∫∫ −=
ou ainda
∫ ∫−= du.vv.udv.u
sendo ( ) ( )( ) ( )
==
==
dx xgdvexg v
dx xfduexfu '
'
Exemplos: Avaliar as integrais a seguir utilizando a técnica de integração por partes.
❶ ( ) C1xedxex xx +−=∫
❷ ( ) C22xxedxex 2xx2 ++−=∫
❸ ( ) ( ) Cxxlnx dxxln +−=∫
❹ ( ) ( ) C4
xxln
2
xdx xlnx
22
+−=∫
❺ ( ) ( ) ( )∫ ++−= C
2
x
2
xcosxsendxxsen2
❻ ( ) ( ) ( )∫ ++= C
9
3xcos3xsen
3
xdx3xcosx
❼ ( ) ( ) ( )( )∫ +−= Cxcosxsen2
edxxsene
xx
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32
✔✔✔✔ Exercícios Utilize a técnica de integração por partes para comprovar as igualdades abaixo apresentadas.
① ( ) ( ) C3x9ln3x2
x
2
13xln
2
xdx 3xlnx
22
+
++−−+=+∫
② Mostre que 2exy x += − é solução do problema ( )
( )
=−= −
20y
ex1y x'
③ ( ) ( ) C9
xxln
3
xdx xlnx
332 +−=∫
Cálculo via Maple com tutorial:
( )∫ = ????dxxsen ex
> with(Student[Calculus1]):
> IntTutor(exp(x)*sin(x),x);
= d⌠⌡eeeex ( )sin x x − + 1
2eeeex ( )cos x
12
eeeex ( )sin x
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33
Integração de funções racionais com frações parciais
Uma função racional é uma razão de dois polinômios. Assim, sendo( ) ( )( )xq
xpxf = uma
função racional onde ( )xp ( )xq são funções polinomiais, é possível utilizarmos recursos
algébricos para determinarmos uma primitiva de ( )xf em termos de funções elementares. A
idéia básica consiste em decompor o integrando( )xf numa soma de frações mais simples, denominadas frações parciais, que podem ser integradas separadamente. Exemplo:
C1xln34xln2dx1x
3dx
4x
2dx
43xx
105x2
+++−=+
+−
=−−
−∫ ∫∫
Observe que
( )( )( ) ( )( )( ) 1x
3
4x
2
1x4x
4-xB1xA
1x
B
4x
A
1x4x
105x
43xx
105x2 +
+−
=+−
++=+
+−
=+−
−=−−
−
Vamos então analisar diferentes casos, supondo que ( )( )xq
xp seja uma função racional própria, o
que significa que o grau do numerador é menor do que o grau do denominador. Caso 1: O denominador apresenta somente fatores de 1º grau e sem repetição. Exemplo:
( ) ( ) C6
5xln 5
6
1xln
5x6
dx5
1x6
dx
54xx
dxx2
++
+−
=+
+−
=−+ ∫ ∫∫
( ) ( ) ( ) ( )5x6
5
1x6
1
5x
B
1x
A
5x1x
x
54xx
x2 +
+−
=+
+−
=+−
=−+
sendo
=
=
6
5B
6
1A
Cálculo via Maple > convert(x/(x^2+4*x-5),parfrac);
+ 5
6 ( ) + x 51
6 ( ) − x 1
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34
Caso 2: O denominador apresenta somente fatores de 1º grau, mas há fatores que se repetem. Exemplo:
( ) ( ) C3
1xln
1x
1
3
12xln
1x12x
dx3x2
+−
+−
−+
−=−+∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1x3
1
1x
1
12x3
2
1x
C
1x
B
12x
A
1x12x
3x222 −
+−
++
−=−
+−
++
=−+
sendo
=
=
−=
3
1C
1B3
2A
Cálculo via Maple > convert(3*x/((2*x+1)*(x-1)^2),parfrac);
+ − 1
3 ( ) − x 11
( ) − x 1 2
23 ( ) + 2 x 1
Caso 3: O denominador apresenta fatores do 2º grau, sem possibilidades de decomposição e sem repetição. Exemplo:
( ) ( )( )
C17
x4arctg
34
1xln
17
4-xln 16
1x4-x
dxx2
2
2
+++
+=+∫
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1x17
4
1x17
x
4x17
16
1x
CBx
4-x
A
1x4-x
x2222
2
++
++
−=
+++=
+ sendo
=
=
=
17
4C
17
1B
17
16A
Caso 4: O denominador apresenta fatores do 2º grau, sem possibilidades de decomposição e com repetição. Exemplo:
( ) ( ) ( ) ( )C
3x
23xln2xln
dx3x
2xdx
3x
4xdx
2x
1dx
3x2x
920x16x4x3x
22
22222
234
++
−+++=
++
++
+=
++++++
∫ ∫∫∫
( ) ( ) ( ) ( )3x
EDx
3x
CBx
2x
A
3x2x
920x16x4x3x22222
234
+++
+++
+=
++++++
sendo
=====
0E
2D
0C
4B
1A
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35
✔✔✔✔ Exercícios
Utilize a técnica de frações parciais para comprovar as igualdades abaixo apresentadas.
① ( ) ( ) C22
52xln17
11
3-xln3dx
52x3x
x6 ++
−=+−
−∫
② C5
xln-
5
5-xlndx
5xx
12
+=−∫
③ C1xln3xln3x
3
x
1dx
xx
2x234
+−+−+=−+
∫
④ ( ) ( ) ( ) C3
2xln2
2
1xln
6
1xlndx
2x1x1x
x +−
+−
−+
−=−−+∫
⑤ C4
2xln
4
2xln
4x
dx2
++
−−
=−∫
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36
Integração por substituição trigonométrica Método para o cálculo de integrais contendo um único radical que ocorre no integrando
da forma 22 xa − , 22 xa + , 22 ax − , com 0a > , realizado através de substituições
envolvendo funções trigonométricas denominadas substituições trigonométricas. Exemplos: ❶ ???dxx1 2 =−∫
Neste caso a forma genérica 22 xa − é observada, sendo 1a = .
Substituição a ser efetuada: ( )tsenax = ,
−∈2
π;
2
πt
Considerando-se a substituição necessária: ( )( )
==
dttcosdx
tsenx
Assim, ( ) ( )
C2
t
2
tsentcosdxx1 2 ++=−∫
Retornando-se à variável original da integral, temos: ( )
( )
−=
=2x1tcos
xsenarct
Logo, ( )
C2
xsenarc
2
x1xdxx1
22 ++−=−∫
❷ ???dx36x 2 =+∫
Neste caso a forma genérica 22 xa + é observada, sendo 6a = .
Substituição a ser efetuada: ( )ttgax = ,
−∈2
π;
2
πt
Considerando-se a substituição necessária: ( )
( )
==
dtt6secdx
ttg6x2
Assim, ( ) ( ) ( ) ( )( ) Cttgtseclnttgtsec1836x 2 +++=+∫
Retornando-se à variável original da integral, temos:
( )
( )
+=
=
6
36xtsec
6
xttg
2
Logo, C6
x36xln18
2
36xxdx36x
222 +
+++
+=+∫
OBS: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )C
2
utguseclnu tgusecduusec3 +
++=∫
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37
❸ ???16x
dx2
=−∫
Neste caso a forma genérica 22 ax − é observada, sendo 4a = .
Substituição a ser efetuada: ( )tsecax = ,
∈2
3π;πou
2
π;0t
Considerando-se a substituição necessária: ( )( ) ( )
==
dtttgtsec4dx
tsec4x
Assim,
( ) ( ) Cttgtsecln16x
dx2
++=−∫
Retornando-se à variável original da integral, temos:
( )
( )
−=
=
4
16xttg
a
xtsec
2
Logo,
C4
16xxln
16x
dx 2
2+−+=
−∫
OBS: ( ) ( ) ( ) Cutguseclnduusec ++=∫
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38
✔✔✔✔ Exercícios
Utilize técnicas de integração para comprovar as igualdades abaixo apresentadas.
① ( ) ( ) ( )∫ ++−= Cxsenxcosxdxxsenx
② ∫ +++−=−−
−C2x4ln3x3lndx
122x2x
1214x2
③ C4x
x4
x4x
dx 2
22+−−=
−∫
④ ∫ ++−+=−+
+C8xln43-xln3x2lndx
x245xx
48-x46x23
2
⑤ C3
xarcsen
x
x-9dx
x
x9 2
2
2
+
−−=−
∫
⑥ ( ) ( ) ( ) C23xcos9
123xsenx
3
1dx2-3xcosx +−+−=∫
⑦ C5
x5arcsec25-xdx
x
25x 22
+
−=−
∫
⑧ ( ) ( ) ( )∫ ++= C
2
x
2
xcosxsendxxcos2
⑨ ∫ ++−=−+
C7-xln5x3lndxx7x
212x2
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39
EEEqqquuuaaaçççõõõeeesss DDDiiifffeeerrreeennnccciiiaaaiiisss Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas, sendo que são de grande interesse nas ciências exatas e nas engenharias, uma vez que muitas leis e relações físicas podem ser formuladas matematicamente por meio de uma equação diferencial. Uma equação diferencial pode ser classificada como ordinária ( EDO ) se a função incógnita
depende de apenas uma variável independente, ou parcial ( EDP ) no caso da função incógnita depender de mais de uma variável independente. Exemplos:
( )
=++−
+=
t23
3
ey2tdt
dyt
dt
yd
13xdx
dy
são EDOs
0x
y5
t
y2
2
2
2
=∂∂−
∂∂
é uma EDP
OBS: Nossos estudos estarão restritos às equações diferenciais ordinárias. A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que nela aparece, e o grau de uma equação diferencial que pode ser escrita como um polinômio na função incógnita e suas derivadas, é a potência a que se acha elevada a derivada de ordem mais alta. Exemplo:
6xdx
dyy
dx
dy2y
dx
yd4
553
2
2
=
−
+
EDO de ordem 2 e grau 3 Uma função ( )xyy = é uma solução de uma equação diferencial num intervalo aberto I se ao substituirmos y e suas derivadas na equação a mesma estiver satisfeita. Exemplo:
2xey = é uma solução da EDO 2xeydx
dy =− no intervalo ( )∞+∞−= ,I
Teste: 2x2x2x ee2e =− ✔✔✔✔
No entanto, esta não é a única solução em I, pois 2xx eCey += também é uma solução para
todo valor real da constante C. Na verdade a solução 2xey = vem a ser um caso particular da
solução envolvendo a constante C, onde C = 0. A solução 2xx eCey += é chamada de
solução geral da equação em I. O gráfico de uma solução de uma equação diferencial é chamado de curva integral da equação, ou seja, a solução geral de uma equação diferencial produz uma família de curvas integrais correspondentes a diferentes valores possíveis de serem assumidos pelas constantes, conforme pode ser constatado no gráfico a seguir.
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40
Quando um problema aplicado leva a uma equação diferencial, geralmente existem condições que determinam valores específicos para as constantes arbitrárias. Para uma equação de primeira ordem, a única constante arbitrária pode ser determinada especificando-se o valor da função desconhecida ( )xy em um ponto arbitrário 0x . Isto é chamado de condição inicial, e o
problema é então denominado problema de valor inicial (ou condição inicial) de primeira ordem ( PVI ou PCI ), genericamente representado da seguinte forma:
( )( )
=
=
00 yxy
xfdx
dy
Geometricamente a condição inicial ( ) 00 xxy = tem o efeito de isolar da família de curvas
integrais a curva que passa pelo ponto ( )00 y,x .
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41
Equações de primeira ordem separáveis Equações de primeira ordem que podem ser expressas da forma ( ) ( ) dxxgdyyh = são denominadas separáveis, já que as expressões envolvendo x e y aparecem em lados diferentes da equação. Esta separação permite que a integração de ambos os lados determine a solução da equação na forma ( ) ( ) CxGyH += . Exemplos: Resolução de equações por separação de variáveis:
❶ yxdx
dy 2=
Cálculo via Maple
> dsolve(diff(y(x),x)=x^2*y(x)); = ( )y x _C1 eeee
x3
3
❷ 32' xyy =
Cálculo via Maple
dsolve(diff(y(x),x)=(y(x))^2*x^3); = ( )y x −4
− x4 4 _C1
❸ 1dx
dyx 3 =
Cálculo via Maple
> dsolve(x^3*diff(y(x),x)=1); = ( )y x − + 1
2 x2_C1
❹ ( )
==−
30y
2x2xyy '
Cálculo via Maple
>dsolve({diff(y(x),x)-2*x*y(x)=2*x,y(0)=3},y(x)) = ( )y x − + 1 4 eeee( )x2
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42
✔✔✔✔ Exercícios
Determine a função ( )xy utilizando separação de variáveis.
Respostas:
① ( ) ( ) 0dx
dy1x1y 22 =+++ ( ) ( )( )Cxarctgtgxy +−=
② ( ) dx2ydy3xyx −=+ Cxln2yln3y +−=+
③ ( ) 10y;0dyydxex ==− ( ) 12exy x −=
④ 0dyy3xdx2xy 223 =+ ( )
3 2x
Cxy =
⑤ ( ) 0dx
dy4x6x2xy 2 =−++ ( ) 3
4x
Cxy
2−
−=
Equações lineares de primeira ordem Uma equação diferencial de primeira ordem é denominada linear se puder ser escrita no formato:
( ) ( )xqyxpdx
dy =+
Exemplo: ( ) ( ) ( ) ( )xcosxqexxpsendoxcosyxdx
dy 44 ===+
Resolução: Método dos fatores integrantes
⒜ Determinação do fator integrante: ( ) ( )∫=dxxp
exI
⒝ Multiplicar ambos os lados da equação por ( )xI e expressar o resultado como
( )( ) ( ) ( )xq.xIy.xIdx
d =
⒞ Integrar ambos os lados da equação obtida no passo ⒝ em relação a x e então determinar y. Colclusão:
( ) ( ) ( ) dxxqxIxI
1y ∫=
Exemplos: Resolução de equações lineares:
❶ 0eydx
dy 2x =−−
> dsolve(diff(y(x),x)-y(x)=exp(2*x)); = ( )y x ( ) + eeeex _C1 eeeex
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43
❷ ( )
=
=−−
21y
0xydx
dyx
> dsolve({x*diff(y(x),x)-y(x)=x,y(1)=2}); = ( )y x ( ) + ( )ln x 2 x
✔✔✔✔ Exercícios
Determine a função ( )xy das equações lineares abaixo.
Respostas:
① 0x2xyy ' =−− ( )2
1eCxy
2x −=
② 22
'
x
1
x
2yy =− ( )
x2
e
C
2
1xy +−=
③ 4' xx
4yy =+ ( )
4
5
x
C
9
xxy +=
④ e
2x
x
yy
4' =− ( ) xC
2e
xxy
5
+=
⑤ ( ) 0xsenyy ' =−+ ( ) ( ) ( )2
xcos
2
xseneCxy x −+= −
Aplicações das EDOs de primeira ordem
∙ Problemas de crescimento e decrescimento
Seja ( )tN a quantidade de substância (ou população) sujeita a um processo de crescimento ou
decrescimento. Se admitirmos que dt
dN , taxa de variação da quantidade de substância, é
proporcional à quantidade de substância presente, então
Nkdt
dN =
onde k é a constante de proporcionalidade. Exemplo: Certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente. Se, inicialmente a quantidade de material é 50 miligramas, e se após duas horas perderam-se 10% da massa original, determine:
⒜⒜⒜⒜ a expressão para a massa de substância restante em um tempo arbitrário t
⒝⒝⒝⒝ a massa restante após 4 horas
⒞⒞⒞⒞ o tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade
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44
OBS: o tempo necessário para reduzir uma substância sujeita a decréscimo à metade da quantidade original é chamada meia-vida da substância.
➥➥➥➥ ⒜⒜⒜⒜ ( ) t-0,053e50tN = ⒝⒝⒝⒝ ( ) mg5,404N = ⒞⒞⒞⒞ h13t ≈
Cálculo via Maple > dsolve(diff(N(t),t)=k*N(t));
= ( )N t _C1 eeee( )k t
Representação gráfica da função de crescimento: ( ) t-0,053e50tN =
∙ Problemas de variação de temperatura Segundo a lei de variação de temperatura de Newton a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o meio ambiente. Seja T a temperatura do corpo e mT a temperatura do meio ambiente. Então, a taxa de variação
da temperatura do corpo é dt
dT, e a lei de Newton relativa à variação de temperatura pode ser
formulada como
( )TTkdt
dTm −=
onde k é a constante de proporcionalidade. Escolhendo-se para K um valor positivo, torna-se necessário o sinal negativo na lei de Newton a
fim de tornar dt
dT negativa em um processo de resfriamento. Neste processo, T é maior que mT ;
e assim mT-T é positiva.
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45
Exemplo: Coloca-se um corpo com temperatura desconhecida num quarto mantido à temperatura constante de 30º F. Se, após 10 minutos, a temperatura do corpo é 0º F e após 20 minutos é 15º F, determine a temperatura inicial desconhecida.
➥➥➥➥ F30T o0 −=
Cálculo via Maple > Tm:=30: > dsolve(diff(T(t),t)=k*(Tm-T(t)));
= ( )T t + 30 eeee( )−k t
_C1
Representação gráfica da função temperatura: ( ) t-0,0693e6030tT −=
∙ Circuitos elétricos A equação básica que rege a quantidade de corrente i (em ampéres) em um circuito simples do tipo RL consistindo de uma resistência R (em ohms), um indutor L (em henries) e uma força eletromotriz (fem) E (em volts) é
L
Ei
L
R
dt
di =+
Para um circuito do tipo RC consistindo de uma resistência, um capacitor C (em farads), uma força eletromotriz, e sem indutância, a equação que rege a quantidade de carga elétrica q (em coulombs) no capacitor é
R
Eq
RC
1
dt
dq =+
A relação entre q e i é
dt
dqi =
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46
Exemplo: Um circuito RL tem fem de 5 volts, resistência de 50 ohms e indutância de 1 henry. Sendo a corrente inicial nula, determine a corrente no circuito no instante t.
➥➥➥➥ 10
e
10
1i
t50−
−=
Cálculo via Maple > E:=5: R:=50: L:=1: > dsolve(diff(i(t),t)+50*i(t)=E/L);
= ( )i t + 110
eeee( )−50 t
_C1
Representação gráfica da corrente: ( )10
e
10
1ti
t50−
−=
✔✔✔✔ Exercícios OBS: Os resultados podem sofrer pequenas variações em função do número de dígitos utilizados nos cálculos.
① Uma cultura de bactérias cresce a uma taxa proporcional à quantidade presente. Após uma hora, observaram-se 1000 núcleos de bactérias na cultura, e após 4 horas, 3000 núcleos. Determine:
⒜⒜⒜⒜ a expressão para o número de núcleos presentes na cultura no tempo arbitrário t
⒝⒝⒝⒝ o número de núcleos inicialmente existentes na cultura
➥➥➥➥ ⒜⒜⒜⒜ ( ) t0,366e693,5tN = e ⒝⒝⒝⒝ ( ) 6940N ≈ núcleos
② A população de determinado estado cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existentes. Se após dois anos a população é o dobro da inicial, e após três anos é de 20.000 habitantes, determine a população inicial.
➥➥➥➥ Sendo ( ) t0,3477062etN = , então ( ) 70620N =
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47
③ A população mundial era de 5,28 bilhões em 1990 e 6,07 bilhões em 2000. Encontre o modelo exponencial considerando estas informações para fazer uma previsão da população mundial no ano 2020. Calcule ainda, de acordo com esses dados, quando a população mundial excederá 10 bilhões.
➥➥➥➥ Sendo ( ) t0,0139e28,5tN = , então a provável população em 2020 será de 8,02 bilhões
10 bilhões de habitantes entre 2035 e 2036
④ A tabela abaixo apresenta algumas informações a respeito da população mundial (em bilhões).
ANO POPULAÇÃO 1950 2,56
2000 6,08
Utilize o modelo de crescimento populacional e as informações apresentadas na tabela para prever a população mundial em 2010.
➥➥➥➥ Sendo ( ) t0,0173e56,2tN = , então uma provável população de 7,22 bilhões em 2010
⑤ Um corpo à temperatura inicial de 50º F é colocado ao ar livre, onde a temperatura ambiente é de 100º F. Se após 5 minutos a temperatura do corpo é de 60º F, determine:
⒜⒜⒜⒜ o tempo necessário para a temperatura atingir 75º F
⒝⒝⒝⒝ a temperatura do corpo após 20 minutos
➥➥➥➥ Sendo ( ) t0,0446-e50100tT −= , então: ⒜⒜⒜⒜ min5,15t = e ⒝⒝⒝⒝ ( ) F79,520T o=
⑥ Coloca-se uma barra de metal à temperatura de 100º F num quarto com temperatura constante de 0º F. Se após 20 minutos a temperatura da barra é de 50º F, determine:
⒜⒜⒜⒜ o tempo necessário para a barra chegar à temperatura de 25º F
⒝⒝⒝⒝ a temperatura da barra após 10 minutos
➥➥➥➥ Sendo ( ) t0,0346-e100tT = , então: ⒜⒜⒜⒜ min40t = ⒝⒝⒝⒝ ( ) F70,710T o=
⑦ Uma garrafa em temperatura ambiente ( )F72o é colocada em um refrigerador onde a
temperatura é de F44o . Após meia hora a garrafa está resfriada a uma temperatura de F61o . Nestas condições, determine:
⒜⒜⒜⒜ A temperatura da garrafa após mais meia hora na geladeira.
⒝⒝⒝⒝ Qual o tempo necessário para a garrafa atingir a temperatura de F50o .
➥➥➥➥ Sendo ( ) t0,0166-e2844tT += , então: ⒜⒜⒜⒜ F54,3t o= e ⒝⒝⒝⒝ Aproximadamente min 93
⑧ Um investidor aplica na bolsa de valores determinada quantia que triplica em 30 meses. Encontre quanto tempo essa quantia será quadruplicada supondo que o aumento é proporcional ao investimento feito.
➥➥➥➥ Sendo ( ) t0,03660eyty = , então: t = 37,8 meses ou 3 anos, 1 mês e 24 dias
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48
⑨ A equação diferencial VC
Q
dt
dQR =+ descreve a carga Q em um condensador com
capacidade C durante um processo de carga envolvendo uma resistência R e uma força eletromotriz V. Se a carga é nula quando 0t = , expresse Q como função de t.
➥➥➥➥
−=− CR
t
e1CVQ
⑩ Sabe-se que o Césio 137 se desintegra a uma taxa proporcional à massa existente em cada instante. Se sua meia-vida (tempo necessário para 50% da massa inicialmente presente ( )0N se
desintegrar) é da ordem de 30 anos, qual o percentual presente, em relação ao inicial, após cinco anos ?
➥➥➥➥ Sendo ( ) t0,02310eNtN −= , então ( ) 0N 89%5N =
⑪ Suponha que as cargas elétricas acumuladas de um capacitor estejam escapando através de seus terminais a uma taxa proporcional à voltagem V e que, se t for medido em segundos,
40
V
dt
dV −=
Encontre V nesta equação, usando 0V para denotar o valor de V quando t = 0. Quanto tempo a
voltagem demorará para atingir 10% de seu valor inicial ?
➥➥➥➥ Sendo ( ) 40t
0 e VtV−= , então segundos92t = para atingir 10% de seu valor inicial
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49
SSSeeeqqquuuêêênnnccciiiaaasss eee SSSééérrriiieeesss
Sequências Sequência numérica é uma sucessão infinita de números determinados por uma lei ou função. Exemplo:
• A sequência dos números pares: 0, 2, 4, 6, …, 2n, … • A sequência dos números ímpares: 1, 3, 5, 7, … , 2n+1, …
Cada termo de uma sequência é, em geral, representado por uma variável indexada. Dessa forma denota-se uma sequência arbitrária da seguinte maneira:
LL ,a,,a,a,a n321
Onde:
termoésimo-n o éa
termosegundo o éa
termoprimeiro o éa
n
2
1
M
*** A sequência é ordenada !! Quando se conhece o termo geral de uma sequência pode-se representá-la escrevendo o mesmo entre chaves ou entre parênteses : { } 0nna ≥ ou ( ) 0nna ≥ .
Exemplos:
Sequência dos números pares: { } 0n2n ≥
Sequência dos números ímpares: { } 0n12n ≥+ .
Observação: A variação do n não começa obrigatoriamente em zero, pode ser em 1 ou em qualquer outro número inteiro positivo. Muitas vezes encontra-se a sequência representada por { }na ou ( )na , nesse caso convenciona-se que n começa em 1.
✔✔✔✔ Exercício de aula
Represente por extenso os 5 primeiros termos das seguintes sequências:
⒜ 1n1n
n
≥
+
⒝ 0n
n2
1
≥
⒞ { } 0n!n ≥
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50
Também se pode definir uma sequência como uma função cujo domínio é o conjunto dos
números inteiros positivos: f(n)n
lRlN:f *
a
→
Onde:
( )( )
( )
⇒=
==
seqüênciadagenéricotermonfa
2fa
1fa
n
2
1
M
Encarando a sequência com uma função podemos considerar o seu gráfico no plano cartesiano e como o domínio da função é o conjunto *lN , os pontos do gráfico serão ( ) ( ) ( )n21 a,n,,a,2,a,1 L . As vezes usamos o gráfico cartesiano de uma sequência para avaliar o comportamento do termo na quando n cresce indefinidamente.
Representação gráfica de sequências Exemplo:
Considerando a sequência .n
11
+ , temos:
n
11an += ou
n
11f(n) +=
M
4
5a
3
4a
2
3a
2a
4
3
2
1
=
=
=
=
L,4
5,
3
4,
2
3,2
Ao se estudar uma sequência interessa saber como ela evolui, ou seja, como ela se comporta
à medida que os seus termos vão sendo gerados. Analisando o gráfico da sequência pode-se avaliar o comportamento do termo na quando n cresce indefinidamente. Na sequência acima, à
medida que n aumenta o termo na se aproxima de 1.
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51
Associação com funções de variável real Pode-se entender uma sequência numérica como uma seleção de pontos de uma função de variável real. Exemplo:
n
11an +=
x1
1f(x) +=
Teorema
Seja uma função f definida em um intervalo [ )∞+;c , onde IRc∈ , e a sequência ( )na tal que
naf(n) = para cada inteiro positivo.
• Se Lf(x)limx
=∞+→
então Lalim nn
=∞+→
.
• Se ∞+=∞+→
f(x)limx
(ou )∞− então ∞+=∞+→ n
nalim (ou )∞−
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52
Isto significa que o limite de uma sequência pode ser obtido a partir do limite da função de variável real correspondente. Assim sendo, pode-se usar a Regra de L´Hôpital para a verificação
de limites com indeterminações 0
0 ou
∞∞
.
Exemplo:
Seja a sequência .n
11
+
Temos que:
101x
1lim1lim
x
11lim
xxx=+=+=
++∞→+∞→+∞→
ou, usando a Regra de L´Hôpital:
11lim1
01lim
x
1xlim
x
11lim
xxxx==+=+=
++∞→+∞→+∞→+∞→
Logo 1n
11lim
n=
+∞+→
Se uma sequência ( )na é tal que Lalim n
n=
∞+→, diz-se que a sequência é convergente ( ou
converge para L ). Quando não existe nn
alim∞+→
, diz-se que a sequência é divergente ( ou
diverge ).
Teorema Seja a sequência ( )na .
Se 0alim nn
=∞→
então 0alim nn
=∞→
Exemplo:
Seja a sequência .3
11)(
0nn
n
≥
−
Considerando o valor absoluto de cada termo, obtém-se a sequência:
LL ,3
1,,
81
1,
27
1,
9
1,
3
1,1
n
Temos que:
03
1lim
3
1lim
n
nnn=
=
∞+→∞+→
.
Logo, a sequência
n3
1 converge para 0.
Assim, pelo teorema anterior conclui-se que
03
11)(lim
nn
x=
−∞+→
e que a sequência dada é convergente.
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53
✔✔✔✔ Exercícios
① Verifique a convergência das sequências:
⒜ 1nn
1
≥
Maple: > limit(1/sqrt(n), n=infinity) 0
⒝
++
2
2
2n9
6n5
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54
⒞ { } 0 n n2 ≥ Maple: > limit(2^n, n=infinity); ∞
⒟ 0n
ne
n
≥
⒠
++− +
54nn
3n1)(
21n
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55
⒡ ( )5
⒢ ( )
+13
1-n
n
⒣ ( ){ }3n1- n
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56
② Represente graficamente os 6 primeiros termos da sequência ( ){ } 0nnπcos ≥ e conclua a
respeito de sua convergência ou divergência. Justifique sua resposta.
Sequências definidas recursivamente Algumas sequências não surgem de uma fórmula para o termo geral, mas de fórmulas que especificam como gerar cada termo em função de seus anteriores. Tais sequências dizemos são definidas recursivamente e as fórmulas que as definem são chamadas de fórmulas de
recursão. Exemplo: A sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... é chamada sequência de Fibonacci. Qual sua fórmula recursiva?
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57
Séries
Motivação No século V a.C. o filósofo grego Zenon propôs o seguinte problema: “Uma pessoa percorre um trajeto de um quilômetro em etapas, sendo que em cada etapa ela percorre a metade da distância restante. Quando termina sua jornada?” Essa questão constituía um paradoxo, pois era impossível conceber que se realizasse um número infinito de etapas em um tempo finito, de modo que ir de um ponto a outro seria impossível! No entanto, a subdivisão infinita de [0;1] proposta por Zenon trouxe à tona a evidência de que
18
1
4
1
2
1 =+++ L
ou seja, de que um processo infinito de acumulação poderia resultar em um resultado finito. Este é principal objeto do estudo das séries. Cálculo via Maple: Compare os resultados obtidos via Maple considerando-se diferentes quantidades de etapas: > restart: sum(1./2^n, n=1..3); 0.8750000000 > restart: sum(1./2^n, n=1..10); 0.9990234375 > restart: sum(1./2^n, n=1..100); 1.000000000 Observação Uma soma interminável de termos pode ou não resultar num número finito. Exemplos: ⒜ L+++++ 11111 resultado tende ao infinito
⒝ 00000 =++++ L
⒞ ???111111 =+−+−+− L
⒟ 3
10003,0003,003,03,0 =++++ L
0 1 1/2 3/4 ...
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58
Definição e Notação Se { }na é uma sequência então a soma LL +++++ n321 aaaa é chamada de série infinita
ou simplesmente série
LL +++++=∑∞
=n321
1n n aaaaa
Observação
Quando se quer representar uma série genericamente pode-se usar na∑ .
Exemplos:
⒜ L++++=∑∞
= 81
1
27
1
9
1
3
1
3
1
1nn
⒝ L+++=+∑
∞
= 4
3
3
2
2
1
1n
n
1n
Séries de termos positivos são aquelas cujos termos são todos positivos ( )n0,an ∀> .
Exemplos: Observe que dentre as séries abaixo apenas a primeira é uma série de termos positivos.
⒜ +
n=1
1
n.(n+1)
∞
∑ ⒝ n+
n=1
(-1)
n
∞
∑ ⒞ n+
n=1
1+(-1)
n
∞
∑
CUIDADO!
+
n=1
sen(n)
n
∞
∑
NÃO é uma série de termos positivos!!!
Séries de termos alternados são aquelas cujos termos são alternadamente positivos e negativos
n +1n 1 2 3 4(-1) a a -a +a -a +......=∑ ou n
n 1 2 3 4(-1) a -a +a -a +a -......=∑
Exemplos: +
n
n=0
(-1)∞
∑ n+1+
n=1
(-1)
n
∞
∑ + +
n
n =1 n =1
cos(nπ)cos(nπ)ou (-1)
n n
∞ ∞
∑ ∑
✔✔✔✔ Exercício 1
Encontre a soma dos 5 primeiros termos de cada série:
⒜ +
n=1
n∞
∑ ⒝ +
2n=1
1
n
∞
∑ ⒞ +
nn=1
1
2
∞
∑
⒟ n+
n=1
(-1)
n
∞
∑ ⒠ +
nn=1
3
10
∞
∑ ⒡ n+
10n=1
(-2)
n
∞
∑
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59
Somas parciais de uma série Dada a série
+
n 1 2 3 nn=1
a = a +a +a +...+a +...∞
∑ , pode-se construir uma nova sequência { } 1nnS ≥ tal que:
1 1S =a
2 1 2S =a +a
3 1 2 3S =a +a +a
M
n 1 2 3 nS =a +a +a +...+a
Essas somas parciais formam uma nova sequência { }nS chamada sequência das somas
parciais da série. Se a sequência { }nS converge para L, isto é, LSlim n
n=
∞+→, então dizemos que a série na∑
converge e que L é a sua soma. Se não existe n
n +lim S→ ∞
então a série na∑ diverge, isto é, não tem soma.
Observação: n
n +lim S→ ∞
= na∑
Exemplo:
Seja a série n=1
1
n (n+1)
∞
∑ ( Série telescópica )
⒜ Vamos encontrar 1 2 3 4S ,S ,S ,Se nS .
⒝ Vamos mostrar que a série converge e encontrar sua soma.
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60
Séries geométricas Uma série geométrica é a soma de uma sequência geométrica ou progressão geométrica. Uma série geométrica é uma série da forma
∑∞
=
−− =+++++1n
1n1n32 ararararara LL
onde a e r são constantes e a 0≠ A n-ésima soma parcial da série geométrica é
n2 3 n-1
n
a (1- r )S = a+ar+ar +ar +...+ar = , r 1
1-r≠
Se r <1 , n
n +
lim r = 0→ ∞
e se r 1≥ , n
n +
lim r→ ∞
não existe.
Logo:
A série geométrica converge se 1r < e sua soma é r1
aS
−=
A série geométrica diverge se 1r ≥
Exemplo: Vamos mostrar que a série
n
30,3+0,03+0,003+0,0003+...+ +...
10
converge e vamos determinar sua soma. A série dada é uma série geométrica com a = 0,3 e r = 0,1. Como r = 0,1 <1, pelo teorema
anterior concluímos que a série converge e tem por soma
3
1
9
3
0,9
0,3
0,11
0,3
r1
aS ===
−=
−=
Assim,
3
1
10
30,00030,0030,030,3
n=++++++ LL
Que justifica a notação periódica
L33333,03
1 =
** As séries geométricas permitem expressar qualquer dízima periódica através de uma fração.
✔✔✔✔ Exercício 2
Determine quais séries são geométricas.
⒜ n
n=1
1
2
∞
∑ ⒝ ( )∑∞
=
−0n
n1 ⒞ n
n=1
3
10
∞
∑
⒟ n=1
1
n.(n+1)
∞
∑ ⒠ n=1
n∞
∑ ⒡
n-1
n=1
5-4
∞
∑
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61
✔✔✔✔ Exercício 3
Verifique se cada uma das séries abaixo são convergentes ou divergentes e, em caso de convergência, determine a sua soma ( ou valor numérico).
⒜ L+++++=∑
∞
=− 432
1n1n 3
2
3
2
3
2
3
22
3
2
⒝ ∑
∞
=0nn3
1
⒞
n
2nn=1
(-1) 1 1 1= - + - +...
9 81 7293
∞
∑ ⒟
n-11 1 1 -1
1 - + - +....+ +...77 7 7 7
⒠ n-11+2+4+8+16+...+2 +... ⒡ 4 + 4 + 4+ 4+...
⒢ n-1
n=1
3 8+
n (n+1)4
∞
∑ ⒣ n
n=1
(-1)∞
∑
⒤ n+1n -1
n=1
10(-1)
9
∞
∑ ⒥
n+2
n=1
2-3
∞
∑
⒦ n -1
nn=1
(-3)
4
∞
∑
✔✔✔✔ Exercício 4
Determine a série geométrica cuja soma é 0,484848484848484...:
✔✔✔✔ Exercício 5
Determine o número racional representado pela dízima periódica:
⒜ 0,152152152⋯ ⒝ 7,222⋯ ⒞ 12,0444⋯
Propriedades das séries ❶ Se n
n=1
a∞
∑ converge e “c” é um número qualquer então nn=1
ca∞
∑ também converge e vale
nn=1
ca∞
∑ = nn=1
c a∞
∑ .
❷ Se nn=1
a∞
∑ diverge e “c” é um número qualquer então nn=1
ca∞
∑ também diverge .
❸ Se nn=1
a∞
∑ e nn=1
b∞
∑ convergem então n nn=1
(a ±b )∞
∑ também converge e vale
n nn=1
(a ±b )∞
∑ = nn=1
a∞
∑ ± nn=1
b∞
∑ .
❹ Se nn=1
a∞
∑ converge e nn=1
b∞
∑ diverge então n nn=1
(a ±b )∞
∑ diverge.
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62
Observação
Se nn=1
a∞
∑ e nn=1
b∞
∑ são ambas divergentes então n nn=1
(a ±b )∞
∑ pode convergir ou divergir.
Como, na maioria dos casos, fica difícil ou praticamente impossível encontrar o valor correspondente à soma da série, empregaremos testes para estabelecer apenas a convergência ou a divergência da mesma. Isto é suficiente na maioria das aplicações porque, sabendo que a soma existe, podemos aproximar o seu valor com um grau arbitrário de precisão, bastando somar um número suficiente de termos da série.
TESTES
Teste da divergência
Se 0alim nn
≠∞→
então a série ∑∞
= 1n na diverge
OBS: No caso de termos nn +
lim a = 0→ ∞
nada podemos afirmar sobre a convergência da série,
ou seja,
a condição nn +lim a = 0→ ∞
não é suficiente para garantir a convergência da série nn=1
a∞
∑
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63
Exemplos:
SÉRIE TESTE CONCLUSÃO
n=1
4n
5n-2.
∞
∑ n +
4n 4lim = 0
5n-2 5→ ∞≠ A série é divergente
2n=1
1
n
∞
∑ 2n +
1lim
n→ ∞=0 Nada se afirma
n
n=1
e
n
∞
∑ 0n
elim
n
n≠
+∞→ A série é divergente
n=1
1
n
∞
∑ n +
1lim
n→ ∞= 0 Nada se afirma
Existem séries nn=1
a∞
∑ divergentes, apesar de possuírem nn +lim a 0→ ∞
= .
Exemplo: n +
1lim 0
n→ ∞= e no entanto a série
n=1
1
n
∞
∑ , chamada série harmônica, é divergente.
✔✔✔✔ Exercício 6
Use o teste da divergência para mostrar que as séries dadas abaixo divergem:
⒜ ∑∞
=1n
1 ⒝ n=1
11+
n
∞
∑ ⒞ n=1
1n sen
n
∞ ⋅
∑
Séries – p ( ou p-séries ou séries hiper-harmônicas ) Uma série do tipo
LL +++++=∑∞
=pppp
1n p n
1
3
1
2
1
1
1
n
1
com 0p > é denominada série – p.
Teorema
A série p é convergente se 1p > e é divergente se 1p0 ≤<
∗ Se p =1 então a série-p é a série harmônica n=1
1 1 1 1= 1+ + + +...
n 2 3 4
∞
∑ ( série divergente )
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64
✔✔✔✔ Exercício 7
Verifique se as séries dadas abaixo são convergentes ou divergentes.
⒜ ∑∞
=1n5 3n
1 ⒝ ∑
∞
=1nen
1 ⒞
n=1
1
n n
∞
∑ ⒟ 2
n=1
1
n
∞
∑ ⒠ n=1
1
n
∞
∑
✔✔✔✔ Exercício 8
Mostre que a série n-1
3 2n=1
1 1+
6n
∞
∑ é divergente.
✔✔✔✔ Exercício 9
Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 10 metros. A bola repica aproximadamente metade da distância após cada queda. Use uma série geométrica para aproximar o percurso total feito pela bola até o repouso completo.
Teste da integral O teorema conhecido como teste da integral serve para estudar a convergência ou divergência de uma série de termos positivos, através do cálculo da integral imprópria de uma função, cujas imagens para valores inteiros não negativos, correspondem aos termos da série.
Suponha que f seja uma função contínua, positiva e decrescente no intervalo [ )∞+;1
e seja ( )nfan = .
Se
( )
( )
∞=
=
∫ ∑
∫ ∑∞+ ∞
=
+∞ ∞
=
1 1nn
1 1nn
divergenteéa então ,divergente édx xf
econvergentéa então e,convergent é Ldx xf
OBS: Em geral,
( )∑ ∫∞
=
∞
≠1n 1
n dxxfa
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65
✔✔✔✔ Exercício 10
Use o teste da integral para verificar se as séries dadas abaixo são convergentes ou divergentes:
⒜ 2
+- n
n=1
n.e∞
∑ ⒝ +
2n=1
2n
1+n
∞
∑ ⒞ +
3n=1
1
n
∞
∑ ⒟ +
n=1
1
n
∞
∑
⒠ +
2n=1
1
n
∞
∑ ⒡ +
n=1
1
n
∞
∑ ⒢ +
- n
n=1
e∞
∑ ⒣ ( )∑
+∞
=2n nlnn
1
Teste de Leibniz (Teste da Série Alternada)
A série alternada ( )∑∞
=−
1n n
n a1 é convergente se satisfizer as seguintes condições:
• 1nn aa +≥ para todo n >1 e
• n +lim =0na→ ∞
✔✔✔✔ Exercício 11
Use o teste da série alternada para determinar a convergência ou a divergência das seguintes séries:
⒜ n
n=1
(-1)
n
∞
∑ ⒝ n
n=1
(-1) .(n+3)
n.(n+1)
∞
∑ ⒞ n+1
n=1
(-1)∞
∑
⒟ n-1
n=1
2n(-1)
4n-3
∞
∑ ⒠ 2
n
n=1
n(-1)
3n(n+1)
∞
∑ ⒡ n-12
n=1
2n(-1)
4n -3
∞
∑
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66
Teste da Comparação dos Limites
Seja na∑ uma série de termos não negativos e nb∑ uma série de termos positivos.
Se n
n +n
alim = L>0
b→ ∞, então ambas as séries convergem ou ambas divergem.
Se n
n +n
alim =0
b→ ∞ e nb∑ converge, então na∑ converge.
Se n
n +n
alim =
b→ ∞+ ∞ e nb∑ diverge, então na∑ diverge.
✔✔✔✔ Exercício 12
Use o teste da comparação dos limites para determinar a convergência ou a divergência das seguintes séries.
⒜ ∑∞
= +1 31
1
nn
⒝ ∑∞
= +1n2 2n
1 ⒞ ∑
∞
= +1n2 1n
n
⒟ ∑∞
= ++1n24 2nn
1 ⒠ ∑
∞
= −2 1n
2
n
⒡ ∑∞
=
+
1n3n
1n
Teste da Razão
Seja ∑ na uma série de termos não nulos e seja La
alim
n
1n
n=+
∞→ ( ou ∞ ).
• Se 1L < então a série é convergente .
• Se 1L > ou ∞=+
∞→n
1n
n a
alim então a série é divergente
• Se 1L = nada se conclui.
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67
✔✔✔✔ Exercício 13
Use o teste da razão para determinar a convergência ou a divergência das seguintes séries:
⒜ ∑+∞
=1k !k1
⒝ ∑+∞
=1kk2
k ⒞ ∑
∞
=1n2
n
n
3
⒟ ∑+∞
=3kk4
(2.k)! ⒠ ∑
+∞
= −1k 12.k
1 ⒡ ∑
∞
=1n2n
1
⒢ ∑∞
=
+−1n
21n
n
n!1)( ⒣ ∑
∞
=1nn2
n! ⒤ ∑
∞
=
−1n
nn
n!
31)(
Observação importante O teste da razão é mais adequado quando an contém fatorial, potências e produtos, não funciona em série-p.
Séries de Potências Usamos séries de potências para representar algumas das mais importantes funções que aparecem na matemática, na física e na química. Série de potências em x é uma série da forma
∑∞
=+++++=
0n
nn
2210
nn xbxbxbbxb LL
onde
nb é um número real x é uma variável
Exemplos:
⒜ ∑∞
=++++++=
0n
n32n ...x...xxx1x
Neste caso, 1bbbbb n3210 ====== LL
⒝ ( ) ( ) ...!2n
x1)(...
6!
x
4!
x
2!
x1
!2n
x1)(
2nn
6
0n
422nn +−++−+−=−∑
∞
=
Neste caso, 720
1b;
24
1b;
2
1b;1b 3210 −==−==
Série de potências de potências em x-c é uma série da forma
( ) ( ) ( ) ( )∑∞
=+−++−+−+=−
0n
nn
2210
nn cxbcxbcxbbcxb LL
onde
nb é um número real
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68
x é uma variável c é uma constante ( centro da série )
Exemplo: n
2n=1
(x-5)
n
∞
∑
**Note que:
⒜ ao escrevermos o termo correspondente a n = 0 adotamos por convenção que 0(x-c) =1
mesmo quando x = c.
⒝ quando x = c todos os termos são iguais a zero para n >1, assim a série sempre converge
quando x = c e ( )∑∞
=
=−0n
0n
n bcxb
Intervalo de Convergência Uma série de potências pode ser encarada como uma função na variável x. Segundo essa interpretação, o conjunto de valores de x para os quais a série é convergente representa o domínio dessa função. Esse conjunto é também denominado intervalo de convergência. Teorema:
O raio de convergência de uma série de potências da forma ( )∑∞
=0n
nn c-xb é dado por
1n
n
n b
blimR
+∞→
=
A partir disto podemos ter apenas três possibilidades:
✔ 0R = , e neste caso a série converge apenas para x = c
Exemplo: ( )n
0n
1x!n∑∞
=
−
Sendo !nbn = e ( ) !1nb 1n +=+ então ( ) 01n
1lim
!1n
!nlimR
nn=
+=
+=
∞→∞→
Logo, a série converge apenas para ( )série da centro 1x = ou
✔ +∞=R , e neste caso a série converge para todos os valores reais dex
Exemplo: ∑∞
=0n
n
!n
x
Sendo !n
1bn = e ( ) !1n
1b 1n +
=+ então
( )
( ) ( ) ∞=+=+=
+
=∞→∞→∞→
1nlim!n
!1nlim
!!1n
1!n
1
limRnnn
Logo, a série converge em ( ) IRIou,I =∞+∞−= ou
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69
✔ existe um número real positivo “R” de modo que a série converge pelo menos para todo
( )Rc,rcx +−∈ . A convergência dos extremos do intervalo deve ser testada individualmente com os procedimentos vistos para séries numéricas.
Exemplo: ∑∞
= +0n
n
4n
x
Sendo 4n
1bn +
= e 5n
1b 1n +
=+ então 11lim4n
5nlim
!5n
14n
1
limRnnn
==++=
+
+=∞→∞→∞→
Logo, a série converge, pelo menos, em ( )1,1I −=
Teste nos extremos do intervalo: Para 1x −= :
( )L+−+−=
+∑∞
= 7
1
6
1
5
1
4
1
4n
1-
0n
n
Série Alternada Convergente
Para 1x = :
( )L++++=
+∑∞
= 7
1
6
1
5
1
4
1
4n
1
0n
n
Série Divergente
Sendo assim, a série ∑∞
= +0n
n
4n
x é, de fato, convergente no intervalo [ )1,1I −=
Exercício 14 Encontre o intervalo de convergência de cada uma das séries dadas abaixo:
⒜ n
n=1
(x+1)
n
∞
∑ ⒝ n
n
n=0
(x-3)(-1)
n+1
∞
∑ ⒞ n
nn=1
n x
5
∞
∑
⒟ n
n=0
n!x∞
∑ ⒠ n
n=1
(x-3)
n
∞
∑ ⒡ n 2n
2n 2n=0
(-1) x
2 (n!)
∞
∑
⒢ n
n+1n=0
n(x+2)
3
∞
∑
Representação de Funções por Séries de Potências Uma série de potências pode representar uma função quando for convergente. Exemplo:
( )x1
1xf
−= pode ser representada por ( ) LL ++++++= n32 xxxx1xf
desde que 1x <
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70
pois LL ++++++ n32 xxxx1 é uma série geométrica e se 1x < então esta série é
convergente. Neste caso, a soma de seus termos é dada por x1
1S
−= .
Logo,
( ) ∑∞
=
=−
=0n
nxx1
1xf se 1x <
Exercício 15 Considerando o resultado acima, obtenha uma representação em série de potências para:
⒜ ( )x1
1xg1 +
= ⒝ ( )x1
1xg2 −
−= ⒞ ( )23 x1
1xg
−= ⒟ ( )
x1
xxg
3
4 −=
A questão que permanece é “como associar uma função a uma série” ? Trabalhos notáveis realizados no sentido da associação de funções e séries foram desenvolvidos pelos matemáticos Colin Maclaurin (1698-1746) e Brook Taylor (1685-1731).
Série de Maclaurin A idéia proposta por Maclaurin era supor que uma função poderia ser escrita na forma de uma série de potências, ou seja,
2 n0 1 2 nf(x) = a +a .x+a .x +...+a .x +...
restando determinar os coeficientes an adequadamente. Substituindo x por 0 tem-se:
2 n0 1 2 n 0f(0) = a +a .0+a .0 +...+a .0 +...= a
Influenciado pelos trabalhos de Newton sobre o cálculo infinitesimal, Maclaurin observou que, nas condições enunciadas,
2 3 4 n0 1 2 3 4 nf(x)=a +a .x+a .x +a .x +a .x +...+a .x +... ⇒ 0f(0) = a
2 3 n-11 2 3 4 nf '(x)= a +2.a .x+3.a .x +4.a .x +...+n.a .x +... ⇒ 1f '(0) = 1.a
2 n-22 3 4 nf ''(x)= 2.a +3.2.a .x+4.3.a .x +...+n.(n-1).a .x +... ⇒ 2f ''(0) =2.1.a
n-33 4 nf '''(x)= 3.2.a +4.3.2.a .x+...+n.(n-1).(n-2).a .x +... ⇒ 3f '''(0) =3.2.1.a
M Genericamente:
(n)nf (0) = n!.a
ou ainda:
(n)
n
f (0)a =
n! , se n≥ 1
0a = f(0)
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71
A forma geral da Série de Maclaurin é, então, dada por
(n)2 nf (0) f (0) f (0)
f(x) = f(0)+ x+ x +...+ x +...1! 2! n!
′ ′′
ou (n)
n
n=1
f (0)f(x) = f(0)+ x
n!
∞
∑
Observe que para ser possível a expansão em Série de Maclaurin:
� a função tem de estar definida em x = 0;
� a série deve ser convergente. Exemplo: Sendo ( ) ( )2xcosxf = , então ( ) 10f = e
( ) ( )2x2senxf ' −= ( ) 00f ' =⇒
( ) ( )2xcos4xf '' −= ( ) 40f '' −=⇒
( ) ( )2x8senxf ''' = ( ) 00f ''' =⇒
( ) ( )2xcos16xf iv = ( ) 160f iv =⇒
( ) ( )2xsen32xf v −= ( ) 00f v =⇒
( ) ( )2xcos64xf vi −= ( ) 640f vi −=⇒
Escrevendo-se a série de Maclaurin, vem:
( )
( ) ( )( )∑
∞
=
−=
+−+−=
+−+++−+=
0n
2nn
642
65432
!2n
2x1
!6
64x
!4
16x
!2
4x1
!6
64x
!5
0x
!4
16x
!3
0x
!2
4x
!1
x01xf
L
L
Exercício 16 Obtenha a série de Maclaurin para as funções:
⒜ xf(x) = e ⒝ f(x) = sen(x) ⒞ 1
f(x) = 1-x
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72
Série de Taylor Taylor posteriormente generalizou a idéia proposta por Maclaurin, observando que esse processo também era válido para uma expansão em um centro c genérico: A forma geral da Série de Taylor com centro c é dada por
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) LL +−++−+−+= nn
2' ''
cxn!
cfcx
2!
cfcx
1!
cfcfxf
ou
( )(n)
n
n=1
f (c)f(x) = f(c)+ . x-c
n!
∞
∑
Observe que para ser possível a expansão em Série de Taylor:
� a função tem de estar definida em x = c; � a série deve ser convergente.
Observação Ao polinômio gerado pelo truncamento da Série de Taylor no termo de grau n dá-se o nome de polinômio aproximador de Taylor de grau n:
(n)2 n
n
f´(c) f´́ (c) f (c)p (x) = f(c)+ (x-c)+ (x-c) +...+ (x-c)
1! 2! n!
Observe ainda que:
� O polinômio aproximador de grau 1 é a reta tangente à função.
� A Série de Maclaurin é a Série de Taylor com centro c = 0. Exemplo: Obtenha a série de Taylor para as funções com os centros indicados:
⒜ f(x) = sen(x), c = π
2 ⒝
1f(x) =
1-x , c = 3 ⒞
1f(x) =
x , c = 1
Exercício 17 Obtenha a série de Taylor para as funções com os centros indicados:
⒜ f(x) = ln(x+1), c = 0 ⒝ f(x) = lnx , c = 1 ⒞ -2xf(x) = e , c = 0
⒟ f(x) = cos(x) , c = π ⒠ f(x) = sen(2x) , c =π ⒡ 1
f(x) =x-1
, c = 0
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73
Exercício 18 Aproxime a função ( ) x2exf = por um polinômio de Maclaurin de grau 3. Avalie ( )0,5f
através deste resultado e compare com o valor obtido via calculadora para ( ) ee 0,5 2 =×
Exercício 19 Expresse e calcule as integrais indefinidas como séries de potências centradas em zero.
⒜ ( ) dx3xsen∫ , considerando a série como um polinômio de grau 7
⒝ dxe2x
∫−
, considerando a série como um polinômio de grau 6
Exercício 20 Aproxime as integrais definidas como as mesmas séries de potências centradas em zero determinadas no exercício 19.
⒜ ( )∫1
0
dx3xsen , considerando a série como um polinômio de grau 7
⒝ dxe1
0
x2
∫ −, considerando a série como um polinômio de grau 6
Respostas Exercício 1
⒜ 15 ⒝ 1,463611... ⒞ 0,96875
⒟ -0,783333... ⒠ 0,33333 ⒡ -1,998079...
Exercício 2 (a) , (b) , (c) e (f)
Exercício 3
⒜ C ; S = 3 ⒝ C ; S = 3
2 ⒞ C ; S =
1-
10 ⒟ C ; S =
7
7 1+
⒠ D ⒡ D ⒢ (g) C ; S = 12 ⒣ D
⒤ C ; S = 9 ⒥ C ; S = 8
- 45
⒦ C ; S = 1
7
Exercício 4
2nn =1
48
10
∞
∑
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74
Exercício 5
⒜ 152/999 ⒝ 65/9 ⒞ 542/45
Exercícios 6 ⒜
n +lim 1 1 0→ ∞
= ≠
⒝ 011
1lim
n
1nlim
n
11lim
nnn≠=
=
+=
+∞+→∞+→∞+→
⒞ 2
n + n + n + n +
2
1 1 1sen cos
1 1n n nlim n sen = lim lim lim cos 1 0
1 1n nn n
→ ∞ → ∞ → ∞ → ∞
⋅ − ⋅ = = = ≠ −
Exercício 7 ⒜ D ⒝ C ⒞ C ⒟ C ⒠ D
Exercício 8
2 33 2n = 1 n = 1
1 1 =
nn
∞ ∞
∑ ∑ (Série-p) 2 2
p = = <13 3
(Série divergente)
n -1
2 3 4n =1
1 1 1 1 11+ ...
6 6 6 6 6
∞ = + + + +
∑ (Série geométrica)
1a =1 ; r =
6 ;
1 1r = = <1
6 6 (Série convergente)
** A série dada é a soma de uma série divergente com uma série convergente, logo ela é uma série divergente.
Exercício 9 30 m
Exercício 10 ⒜ C ⒝ D ⒞ C ⒟ D ⒠ C ⒡ D ⒢ C ⒣ D
Exercício 11 ⒜ C ⒝ C ⒞ D ⒟ D ⒠ D ⒡ C
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75
Exercício 12 ⒜ C ⒝ C ⒞ C ⒟ C ⒠ D ⒡ C
Exercício 13 ⒜ C ⒝ C ⒞ D ⒟ D ⒠ D ⒡ C ⒢ D ⒣ D ⒤ C
Exercício 14 ⒜ [ )-2;0 ⒝ (2; 4] ⒞ (-5; 5) ⒟ 0 ⒠ [2; 4)
⒡ IR ⒢ (-5; 1)
Exercício 15
⒜ ( )∑∞
=
−0n
nx ⒝ n
0n
x∑∞
=
− ⒞ 2n
0n
x)(∑∞
=
⒟ n3
0n
x +∞
=∑
Exercício 16
⒜ ∑∞
=
=++++0n
n32
!n
x
!3
x
!2
xx1 L ⒝
( )( )∑
∞
=
+
+−=+−+−
0n
12nn753
!12n
x1
!7
x
!5
x
!3
xx L
⒞ ∑∞
=
=++++0n
n32 xxxx1 L
Exercício 17
⒜ ∑∞
=
+−1n
n1n
n
x1)( ⒝
n
1)(x1)(
n
1n
1n −−∑∞
=
− ⒞ ∑∞
=
−0n
nn
n!
x2)(
⒟ ∑∞
=
+ −−0n
2n1n
(2n)!
π)(x1)( ⒠ ∑
∞
=
++
+−−
0n
n12n12n
1)!(2n
1)(π).(x(2) ⒡ n
0n
x∑∞
=−
Exercício 18
( ) ( )∑+∞
=
=+++++==0n
n432x2
n!
2xx
3
2x
3
42x2x1exf L
Polinômio de grau 3: ( ) 32 x3
42x2x1xP +++=
( ) 2,66670,5P = e 2,7183e =
Exercício 19 ⒜ ( ) Cx
4480
243x
80
27x
8
9x
2
3dxx
560
243x
40
81x
2
93xdx3xsen 8642753 +−+−=
−+−= ∫∫