RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO DIRETO AO PONTO PROFESSOR: GUILHERME NEVES

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO DIRETO AO PONTO PROFESSOR: GUILHERME NEVES

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 1

Aula 4 1. Conjuntos ............................................................................................................................................2

I. Relação de pertinência.................................................................................................................. 3

1. Formas de representação de um conjunto ............................................................................7

2. Cardinal de um conjunto...............................................................................................................8

II. Classificação dos conjuntos quanto à cardinalidade ..................................................... 8

3. Conjunto Universo e Conjunto Solução...................................................................................9

4. Igualdade de Conjuntos ..............................................................................................................10

5. Exercícios ..........................................................................................................................................11

6. Subconjuntos...................................................................................................................................12

7. Operações com conjuntos ..........................................................................................................13

Interseção de Conjuntos .........................................................................................................................14

Reunião de conjuntos...............................................................................................................................14

Diferença .......................................................................................................................................................15

Diferença simétrica ...................................................................................................................................16

8. Diagramas de Euler-Venn e cardinalidade de conjuntos................................................17

9. Conjuntos Numéricos ...................................................................................................................25

Conjunto dos Números Naturais ..........................................................................................................26

Operações com números naturais.......................................................................................................27

Conjunto dos números inteiros ............................................................................................................34

Regras dos sinais com números inteiros ..........................................................................................36

Conjunto dos números racionais .........................................................................................................38

Conjunto dos números irracionais.......................................................................................................45

Números reais .............................................................................................................................................46

Reta real ........................................................................................................................................................46

10. Potências ...........................................................................................................................................51

11. Radicais..............................................................................................................................................55

Comparação de radicais ..........................................................................................................................61

Máximo Divisor Comum ..........................................................................................................................63

Mínimo Múltiplo Comum..........................................................................................................................67

Sistemas Métricos......................................................................................................................................74

Sistemas de Medidas de Tempo...........................................................................................................81



Números Complexos.................................................................................................................................86

Operações com números complexos..................................................................................................87

Conjugado de um número complexo .................................................................................................88

Módulo de um número complexo ........................................................................................................88

Representação Geométrica dos números complexos ..................................................................88

12. Relação das questões comentadas .........................................................................................95

13. Gabaritos.........................................................................................................................................107

1. Conjuntos

A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa no cotidiano: um agrupamento ou coleção de objetos. Vejamos alguns exemplos:

i) conjunto das vogais. ii) conjunto dos países membros da União Europeia. iii) conjunto das pessoas que formam a Equipe Pedagógica do Ponto dos Concursos. iv) conjunto dos números pares positivos.

Cada objeto que faz parte da formação do conjunto é chamado de elemento.

Nos exemplos acima, os elementos são, respectivamente:

i) a, e, i, o, u ii) Alemanha, Áustria, Bélgica, Bulgária, Chipre, Dinamarca, Eslováquia,... iii) Fernando, Flávia, Davi, Vicente, Lu, Moraes, Carol. iv) 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...

É importante notar que um elemento de um conjunto pode ser uma letra, um nome, um número. Na realidade, o elemento de um conjunto pode ser qualquer coisa!!!

“Guilherme, já que o elemento de um conjunto pode ser qualquer coisa, é possível que um conjunto seja elemento de outro conjunto?”

É claro!!! Quando eu digo que o elemento de um conjunto pode ser qualquer coisa, eu o faço literalmente.

Vejamos um exemplo: o conjunto dos estados que formam o Brasil é um conjunto formado por estados que, por sua vez, são conjuntos de cidades.



Vejamos outro exemplo: O conjunto das seleções que disputaram a Copa do Mundo de 2010 é um conjunto formado por times que, por sua vez, são conjuntos de jogadores.

Normalmente utilizamos letras maiúsculas para indicar os conjuntos e utilizamos letras minúsculas para indicar os elementos.

I. Relação de pertinência

Vamos considerar um conjunto A e um elemento . Há aqui uma dicotomia: ou o elemento pertence ao conjunto A ou o elemento não pertence ao conjunto A.

Para indicar que é elemento de A, escrevemos:

(lê-se “ pertence ao conjunto A” ou “ é elemento do conjunto A”).

Para indicar que não é elemento de A, escrevemos:

(lê-se “ não pertence ao conjunto A” ou “ não é elemento do conjunto A”).

Acostume-se com estas notações envolvendo traços inclinados. Normalmente um traço inclinado “em cima” de um símbolo significa que devemos negá-lo.

Exemplos:

O símbolo significa “existe”. O símbolo significa “não existe”.

O símbolo significa “igual”. O símbolo significa “não é igual”, ou seja, significa “diferente”.

Bom, vamos voltar aos conjuntos.

Vamos considerar o conjunto V das vogais.

, , , ,

Observe que a ordem dos elementos não é importante, ou seja, trocando a ordem que os elementos estão dispostos, o conjunto permanece inalterado.

Isto quer dizer que:

, , , , , , , ,



É importante também ressaltar o seguinte fato: PODEMOS, mas não DEVEMOS repetir elemento em um mesmo conjunto, pois a repetição de elementos não significa que foram introduzidos novos elementos.

Isto significa que os conjuntos , , , , e , , , , , , , , , , , são iguais.

Vamos fazer uma analogia meio que “grosseira” para entendermos alguns conceitos.

Imaginemos que um conjunto seja como uma sacola de supermercado que contenha em seu interior os elementos.

No exemplo do conjunto V das vogais, a visualização seria:

i) Podemos ter um pacote sem nenhum objeto. Esse pacote corresponde ao conceito de conjunto vazio, cuja representação matemática é ou a letra grega (phi)

.

Vamos agora com essa história das sacolas de supermercado tentar compreender melhor o fato de que um conjunto pode ser elemento de outro conjunto.

Vamos considerar dois conjuntos V e C, o primeiro com as vogais e o segundo com as consoantes.

, , , ,

, , , , , , , , … , , ,



Esses pacotinhos correspondem a conjuntos cujos elementos são, respectivamente, as vogais e as consoantes.

Coloquemos esses pacotinhos dentro de outro pacote, que chamaremos de A.

Podemos visualizar isto assim:

Em linguagem de conjuntos poderíamos escrever:

, , , ,

, , , , , … , , ,

,

A =

A =



Portanto, o conjunto A tem dois elementos, V e C. Como V é elemento de A, podemos escrever que ; como C é elemento de A, podemos escrever que

. Desta forma, podemos concluir que um conjunto pode ser elemento de outro.

Vejamos um exemplo um pouco mais formal.

Considere o conjunto , . Este conjunto possui apenas dois elementos, a saber: a, b.

Podemos, então escrever que:

,

,

Considere agora o conjunto , , , . Coloquei os seus elementos em vermelho para destacar. O conjunto , , , possui dois elementos, a saber: {a,b} e {a,c}.

Observe que os elementos do conjunto , , , são dois conjuntos.

Podemos então afirmar que:

, , , ,

, , , ,

Mas não podemos afirmar que , , , , pois os elementos de , , , são conjuntos e não letras.

Voltando para a analogia das sacolas...

A visualização do conjunto , , , é a seguinte:



1. Formas de representação de um conjunto

Usualmente, há três maneiras de representar conjuntos.

1) Representação por extensão

Enumeram-se os elementos do conjunto, escrevendo-os entre chaves e separando-os por vírgula (ou ponto e vírgula). Por exemplo, o conjunto dos aprovados no AFRFB 2009.

A = {Carlos Beckenkamp, Gisele Sulsbach, Nádia Carolina, Patrícia Lamadrid, Mário Machado, Júlio Marinho, Marcelo Mossi, ...}

Observe que o conjunto A possui muitos elementos. Desta forma, a representação por extensão muitas vezes é trabalhosa e cansativa. Por essa razão, vamos aprender a segunda forma de representação de conjuntos.

2) Representação por compreensão

O conjunto será representado por meio de uma propriedade que caracteriza os seus elementos.

| 2009

A expressão acima é lida assim: A é o conjunto dos elementos x tal que x é uma pessoa aprovada no AFRFB 2009.

No lado esquerdo do traço escrevemos o elemento genérico que representa os elementos do conjunto. No lado direito do traço, escrevemos a propriedade que caracteriza os elementos do conjunto.

Observe que a propriedade que caracteriza o conjunto permite estabelecer se um dado elemento pertence ou não ao conjunto.

Carlos Beckenkamp pertence ao conjunto A? Sim, pois ele foi aprovado no AFRFB 2009.

Gugu Liberato pertence ao conjunto A? Não, pois ele não foi aprovado no AFRFB 2009.

3) Representação por diagramação (diagrama de Euler-Venn)

Utilizamos uma curva fechada e não-entrelaçada para representar o conjunto.



2. Cardinal de um conjunto

O cardinal de um conjunto é por definição a quantidade de elementos deste conjunto.

Exemplo: | é ã

O conjunto A possui 3 elementos (Rio Grande do Sul, Paraná e Santa Catarina), logo o cardinal do conjunto A é 3.

Representamos esta informação assim:

3

II. Classificação dos conjuntos quanto à cardinalidade

1) Conjunto Vazio

É todo conjunto que tiver cardinal igual a 0 (zero).

Exemplos:

| é ú

2) Conjunto Unitário

É todo conjunto que tiver cardinal igual a 1 (um).

Exemplo:

5 1

4,4,4,4,4,4,4 1

Lembre-se que quando repetimos elementos não estamos introduzindo novos elementos no conjunto.



Em tempo, 4,4,4,4,4,4,4 4

Já vi muito alunos, erradamente, representarem o conjunto vazio assim: . Está errado!!!

A que “ideia” corresponderia este conjunto ? Lembra que falamos que o conjunto vazio “corresponde” a uma sacola sem nada dentro? Fazendo uma

analogia, temos que a “ideia” de é um conjunto que tem um elemento: . Ou seja, este conjunto seria um pacote em cujo interior há outro pacote,

este último nada contendo.

3. Conjunto Universo e Conjunto Solução

Chamamos de conjunto universo ou simplesmente universo o conjunto ao qual pertencem todos os possíveis elementos de uma teoria ou situação problema.

Todo subconjunto restrito e determinado do conjunto universo é denominado conjunto solução.

Quase sempre a resposta para algumas questões depende do conjunto universo que é considerado.

Por exemplo: Resolva a equação considerando como conjunto universo o conjunto dos números naturais.

Veremos nas que o conjunto dos números naturais é o conjunto 0,1,2,3,4, … .

Ora, resolver a equação 5 2 significa encontrar um número que somado ao número 5 resulte no número 2.

Como estamos considerando como conjunto universo o conjunto dos números naturais, podemos afirmar que não existe número natural tal que 5 2.

Podemos então dizer que, considerando como conjunto universo o conjunto dos números naturais, o conjunto solução da equação 5 2 é o conjunto vazio.



Vejamos outro exemplo: Resolva a equação considerando como conjunto universo o conjunto dos números inteiros.

Veremos que o conjunto dos números inteiros é o conjunto Z … 3, 2, 1 0,1,2,3, … .

Ora, resolver a equação 5 2 significa encontrar um número que somado ao número 5 resulte no número 2.

Como estamos considerando como conjunto universo o conjunto dos números inteiros, podemos afirmar que a solução desta equação é o número 3. Isto porque 3 5 2.

Neste caso, o conjunto solução é o conjunto 3 .

Vejamos um exemplo bem ilustrativo.

Considere os dias da semana. Quais os dias que começam pela letra Q?

Neste caso, o conjunto universo é o conjunto A e o conjunto solução é o conjunto B.

Estes conceitos serão muito utilizados na Teoria das Probabilidades.

4. Igualdade de Conjuntos

Dois conjuntos A e B são iguais se e somente se todo elemento de A é também elemento de B e reciprocamente, ou seja, todo elemento de B é também elemento de A.

Exemplos:

, , , , , , , ,



2,4,6,8,10, … | é

Observe novamente que na definição de igualdade entre conjuntos não é relevante a noção de ordem entre os elementos, como já foi comentado anteriormente.

Observe também que a repetição de algum elemento na descrição do conjunto é absolutamente inútil.

, , , , , , , , , , , , , , ,

Utilizaremos sempre a notação mais simples.

Se A não é igual a B, escrevemos . Para que os conjuntos A e B não sejam iguais, basta que exista algum elemento de A que não pertença a B ou que exista algum elemento de B que não pertença a A.

, , , , ,

5. Exercícios

01. Descreva os elementos dos seguintes conjuntos:

é| 2010

| é

| é é

Resolução

í á

, , , , ,

Observe que não existe número que seja negativo e positivo simultaneamente. Portanto, o conjunto C é o conjunto vazio.

02. Represente pelo método da compreensão os seguintes conjuntos:

A = {Deodoro da Fonseca, Floriano Peixoto, Prudente de Morais,...,Getúlio Vargas,..., Lula, Dilma}

B = {Salvador, Brasília, Rio de Janeiro}

C = {Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de Janeiro, São Paulo}



Resolução

| é á

| é á

| é ã

6. Subconjuntos

Considere o conjunto formado pelas letras a,b,c,d,e,f,g,h,i.

, , , , , , , ,

A partir do conjunto acima, podemos formar outros conjuntos. Vamos utilizar apenas as vogais que pertencem ao conjunto A. Formamos então o conjunto V:

, ,

Observe que todos os elementos de V são também elementos de A. Dizemos então que o conjunto V é subconjunto do conjunto A. Isto é verdade porque todo elemento de V é elemento de A.

Dizemos que um conjunto A é um subconjunto de um conjunto B se todo elemento que pertencer a A também pertencer a B.

A notação matemática é a seguinte: . O símbolo é denominado sinal de inclusão.

A expressão pode ser lida das seguintes maneiras:

- A é subconjunto de B. - A é parte de B. - Todo elemento de A é elemento de B.

Podemos também escrever com a seguinte simbologia: . Esta expressão é lida das seguintes maneiras:

- B contém A ou B inclui A.

Utilizando o gráfico de Euler-Venn temos:



Exemplo: Considere o conjunto , , , , . Vejamos algumas relações de inclusão:

, , , , ,

, , , , , ,

, , , ,

, , , , , , , ,

Com a notação indicamos que A não é subconjunto de B. Obviamente A não é subconjunto de B somente se existe pelo menos um elemento de A que não pertence a B.

, , 3, , , , ,

Observação importante: Os símbolos e são utilizados para exprimir relações entre elementos e conjuntos. Os símbolos , , , são utilizados para exprimir relações entre conjuntos.

7. Operações com conjuntos

Vamos considerar dois conjuntos dados:

1,2,3,4,5

4,5,6,7,8,9,10

Utilizando o diagrama de Euler-Venn, temos o seguinte:



Observe que há dois elementos comuns aos conjuntos A e B.

Interseção de Conjuntos

A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são comuns a A e B, isto é, pelos elementos que pertencem a A e também pertencem a B. Designamos a interseção de A e B por (lê-se A inter B).

|

Vamos destacar no nosso exemplo anterior a interseção dos conjuntos A e B.

Desta forma, temos que 4,5 .

Reunião de conjuntos

Chamamos de união de A com B ao conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos dois conjuntos iniciais. Abaixo, em cores, destacamos a união de A e B.



Designamos a união de A e B por (lê-se A união B).

|

No nosso exemplo temos que 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 .

Diferença

A diferença entre A e B corresponde ao conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. A figura abaixo representa a diferença entre os dois conjuntos (destaque em cores):

Designamos a diferença de A e B por ou por \ (lê-se A menos B).

|

No nosso exemplo temos que 1,2,3 .

Podemos também considerar a diferença de B e A. Neste caso, devemos considerar os elementos de B que não pertencem a A.

|



6,7,8,9,10

Diferença simétrica

Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença simétrica de A com B o conjunto ∆ tal que:

∆

No nosso exemplo:

∆ 1,2,3,6,7,8,9,10

Pelo diagrama acima, podemos facilmente perceber que ∆ corresponde aos elementos que pertence a e não pertencem a . Portanto, podemos

escrever:

∆

01. (STN 2005/ESAF) Considere dois conjuntos, A e B, onde A = {X1, X2, X3, X4} e B = {X1, X5, X6, X4}. Sabendo-se que a operação Ψ é definida por A Ψ B = (A – B) ∪ (B – A), então a expressão (A Ψ B) Ψ B é dada por:

a) { X1, X5, X4}



b) { X1, X2}

c) { X1, X2, X3, X4}

d) {X4, X6, X5}

e) { X1, X6}

Resolução

Na realidade a operação corresponde à diferença simétrica.

Precisamos calcular: (A Ψ B) Ψ B.

Vamos fazer por partes. Vamos começar com o que está dentro do parêntesis. Comecemos com:

A Ψ B = ?

A Ψ B = )()( ABBA −∪−

A Ψ B = {X2, X3} ∪ {X5, X6} = {X2, X3, X5, X6}

Vamos chamar este conjunto acima de C.

C = {X2, X3, X5, X6}

Pronto. Calculamos o que estava dentro do parêntesis. Agora podemos continuar com a expressão original:

(A Ψ B) Ψ B = C Ψ B

(A Ψ B) Ψ B = ( ) ( )CBBC −∪−

(A Ψ B) Ψ B = {X2, X3} ∪ {X1, X4}

(A Ψ B) Ψ B = {X1, X2, X3, X4}

Letra C

8. Diagramas de Euler-Venn e cardinalidade de conjuntos

Frequentemente é útil escrever dentro dos diagramas não os elementos propriamente ditos, e sim o número de elementos do conjunto. O cardinal de um conjunto é o seu número de elementos.



Vejamos um exemplo: Num grupo de motoristas há 28 que dirigem carro, 12 que dirigem moto e 8 que dirigem carro e moto. Quantos motoristas há nesse grupo? Quantos só dirigem carro?

Resolução

Vamos representar com diagramas os conjuntos citados.

O problema falou explicitamente que 8 dirigem carro e moto. Este é o número de elementos da interseção dos dois conjuntos.

Sabemos que 28 pessoas dirigem carro e que, destes, 8 dirigem carro e moto. Concluímos que 28 – 8 = 20 pessoas dirigem apenas carro (dirigem carro e não dirigem moto).

Sabemos também que 12 pessoas dirigem moto. Como 8 pessoas dirigem carro e moto, então 12 – 8 = 4 pessoas dirigem apenas moto.



Resposta: O total de motoristas é igual a 20 8 4 32. Vinte pessoas dirigem apenas carro.

Observe que neste caso o total de pessoas corresponde ao número de elementos da união dos dois conjuntos citados.

Poderíamos seguir o seguinte raciocínio:

Há 28 pessoas que dirigem carro e 12 pessoas que dirigem moto. O total de pessoas “seria” igual a 28 12 40. O problema é que existem 8 pessoas que foram contadas duas vezes. Neste caso, as pessoas que dirigem carro e moto devem ser subtraídas deste resultado, pois elas foram contadas duas vezes. O total de pessoas é igual a 40 8 32.

Vamos resumir a conta que fizemos para chegar neste resultado:

32 28 12 8

O “32” é o número de elementos da união .

O “28” é o número de elementos do conjunto das pessoas que dirigem carro (C).

O “12” é o número de elementos das pessoas que dirigem moto (M).

O “8” é o número de elementos das pessoas que dirigem carro e moto ( .

Designando por o número de elementos do conjunto X chegamos à seguinte fórmula:

Genericamente, dados dois conjuntos A e B, o número de elementos da união é dado por:

)()()()( BAnBnAnBAn ∩−+=∪

Há uma expressão parecida quando estão envolvidos três conjuntos:

Vamos resolver algumas questões envolvendo estes conceitos.

02. (Fiscal de Rendas RJ 2010/ESAF) Em uma amostra de 100 empresas, 52 estão situadas no Rio de Janeiro, 38 são exportadoras e 35 são sociedades anônimas. Das empresas situadas no Rio de Janeiro, 12 são exportadoras e 15 são sociedades anônimas e das empresas exportadoras 18 são sociedades anônimas. Não estão situadas no Rio de Janeiro nem são sociedades anônimas



e nem exportadoras 12 empresas. Quantas empresas que estão no Rio de Janeiro são sociedades anônimas e exportadoras ao mesmo tempo? a) 18 b) 15 c) 8 d) 0 e) 20

Resolução

Há uma fórmula muito útil para ser utilizada em problemas como este. É dada uma situação envolvendo três conjuntos e é pedido o número de elementos da interseção dos três conjuntos.

A fórmula é a seguinte... Considere A,B e C três conjuntos quaisquer e representa o número de elementos do conjunto X.

Vamos considerar como conjunto universo a amostra de 100 empresas. Denotaremos por R o conjunto dessas empresas que estão situadas no Rio de Janeiro, E o conjunto das empresas exportadoras e S as empresas que são sociedades anônimas.

Desta forma:

Não estão situadas no Rio de Janeiro nem são sociedades anônimas e nem exportadoras 12 empresas. Desta forma, 100 12 88.

52 estão situadas no Rio de Janeiro 52

38 são exportadoras 38

35 são sociedades anônimas 35

Das empresas situadas no Rio de Janeiro, 12 são exportadoras e 15 são sociedades anônimas 12 e 15

Das empresas exportadoras 18 são sociedades anônimas 18

Vamos colocar estas informações na fórmula:

88 52 38 35 12 15 18

88 80

8



Letra C

03. (ATRFB 2009/ESAF) Uma escola para filhos de estrangeiros oferece cursos de idiomas estrangeiros para seus alunos. Em uma determinada série, 30 alunos estudam francês, 45 estudam inglês, e 40, espanhol. Dos alunos que estudam francês, 12 estudam também inglês e 3 estudam também espanhol. Dos alunos que estudam inglês, 7 estudam também espanhol e desses 7 alunos que estudam inglês e espanhol, 3 estudam também francês. Por fim, há 10 alunos que estudam apenas alemão. Não sendo oferecidos outros idiomas e sabendo-se que todos os alunos dessa série devem estudar pelo menos um idioma estrangeiro, quantos alunos dessa série estudam nessa escola?

a) 96.

b) 100.

c) 125.

d) 115.

e) 106.

Resolução

Resumindo as informações:

1) 30 alunos estudam francês

2) 45 estudam inglês

3) 40 estudam espanhol

4) 12 estudam francês e inglês

5) 3 estudam francês e espanhol

6) 7 estudam inglês e espanhol

7) 3 estudam inglês, francês e espanhol

8) 10 alunos estudam apenas alemão

Vamos começar pelas intersecções. Da sétima informação, temos que 3 alunos fazem inglês, francês e espanhol.



Da sexta informação, temos que 7 alunos estudam inglês e espanhol. Destes 7, 3 já foram alocados na região amarela acima. Logo, faltam 4 alunos para serem alocados na intersecção entre inglês e espanhol.

Agora vamos preencher a intersecção entre francês e espanhol. Da informação 5, temos que há 3 pessoas nesta intersecção. Todas estas 3 pessoas já estão alocadas, pois são as mesmas que fazem as três línguas.



Por fim, vamos à intersecção entre inglês e francês. Da informação 4, temos que são 12 pessoas nesta região. Três delas já foram alocadas. Faltam 9.

Terminadas as intersecções, vamos aos alunos que fazem apenas 1 língua.

Sabemos que 30 alunos estudam francês. 12 deles já foram alocados. Faltam 18.



45 estudam inglês. 16 deles já foram alocados. Faltam 29.

40 estudam espanhol. 7 deles já foram alocados. Faltam 33.



Além dos alunos acima, temos os 10 que estudam apenas alemão.

Somando todos eles, temos:

106.

Letra E

9. Conjuntos Numéricos

Não podemos começar um curso de Matemática sem falar sobre números. O engraçado é que definir o que é um número está fora do escopo deste curso. Para falar a verdade, é bem complicado definir o que são números...

O professor Giuseppe Peano (1858-1932) era um matemático notável.

Na introdução de seu trabalho intitulado Sul concetto de numero (1891), escreveu: Uma criança, desde tenra idade, usa as palavras um, dois, três, etc., posteriormente usa a palavra número; somente muito mais tarde a palavra agregado aparece em seu vocabulário. E como a filologia nos ensina, o desenvolvimento dessas palavras ocorre na mesma ordem nas línguas indo-européias. Portanto, do ponto de vista prático, a questão me parece resolvida; ou seja, não há vantagem, no ensino, definir número. Esta ideia é muito clara para os alunos e qualquer definição iria somente confundi-los.

Por outro lado, mesmo sem definir os “números”, todos nós temos uma noção bem definida sobre esses objetos matemáticos. E não precisamos falar que os números estão ao nosso redor como bem disse Pitágoras:

“Os números governam o mundo”.



Nesta parte da aula, apresentaremos os chamados conjuntos numéricos e suas propriedades.

Conjunto dos Números Naturais

A noção de um número natural surge com a pura contagem de objetos. Ao contar, por exemplo, os livros de uma estante, temos como resultado um número do tipo:

0,1,2,3 …

Obviamente não poderíamos ter um número negativo de livros. Também não poderíamos imaginar alguém falando: “Tenho 3,4231 livros na minha estante”.

A este conjunto denominamos conjunto dos números naturais.

Se por acaso houver a necessidade de excluir o número 0 (zero), indicaremos com um asterisco sobrescrito à letra N.

1,2,3,4 …

Este conjunto é chamado conjunto dos números naturais não-nulos. No conjunto dos números naturais, podemos definir apenas duas operações básicas: adição e multiplicação.

Você deve estar se perguntando: “E por que não subtração e divisão?”

A questão é a seguinte: dizemos que uma operação está bem definida quando sempre podemos operar naquele conjunto. Por exemplo: Será que é sempre possível somar dois números naturais? É claro que sim!!

Podemos efetuar 2+3=5, 3+0=3 e assim por diante.

Ou seja, a soma de dois números naturais também é um número natural. Por isso, dizemos que o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à adição.

Será que é sempre possível multiplicar dois números naturais? É claro que sim!!

Podemos efetuar 3 x 5 = 15, 4 x 1 = 4, 8 x 0 = 0...

Podemos então concluir que o produto de dois números naturais é também um número natural. Ou seja, o conjunto dos números naturais é FECHADO em relação à multiplicação.

Será que é sempre possível subtrair dois números naturais? Agora respondemos em alto e bom tom... NÃO!!!



Podemos efetuar 5 – 3 = 2. Por outro lado, não podemos efetuar (no conjunto dos números naturais) 3 – 5. Isto porque o resultado desta operação é um número negativo. Podemos então dizer que o conjunto dos números naturais NÂO É FECHADO em relação à subtração.

Da mesma maneira sabemos que o conjunto dos números naturais NÃO É FECHADO em relação à divisão. Podemos efetuar 8 : 2 = 4, mas não podemos efetuar 2 : 8 (o resultado desta operação, como iremos ver adiante, é uma fração que não é um número natural).

Observe que falamos algumas expressões tipicamente matemáticas como soma, adição, multiplicação, produto, etc.

Qual é a diferença entre soma e adição? É a mesma coisa? Vejamos...

Operações com números naturais

Como bem já dissemos, podemos definir apenas duas operações no conjunto dos números naturais: adição e multiplicação.

Vamos aprender detalhadamente cada uma dessas operações.

Considere o seguinte cálculo: 3 + 5 = 8.

O símbolo “+” representa a operação de adição. O resultado da adição é chamado de soma.

Portanto “adição” e “soma” não têm o mesmo significado. Adição é o nome da operação. Soma é o resultado da adição.

Definimos então a operação de adição:

a,b parcelasc soma

a b c→⎡

+ = ⎢ →⎣

No nosso exemplo, os números 3 e 5 são as parcelas e 8 é a soma.

Vejamos algumas propriedades importantes da adição.

1 Propriedade comutativa

Esta propriedade afirma que alterar a ordem das parcelas não altera a soma. Em símbolos:

para todos a,b Na b b a+ = + ∈

Obviamente sabemos que 3 + 5 = 8 e 5 +3 = 8, portanto 3 + 5 = 5 + 3.



Ex.: 4554945954

+=+⎭⎬⎫

=+=+

2 Propriedade associativa A adição de três números naturais pode ser feita associando-se as duas primeiras ou as duas últimas parcelas. Aqui, devemos obedecer à regra de que devemos primeiro efetuar as operações que se encontram dentro dos parêntesis.

5)(3253)(210825)(32105553)2(

++=++⎭⎬⎫

=+=++=+=++

3 Existência do elemento neutro da adição

Existe o número 0 (zero) que possui a seguinte propriedade.

0 0

Desta forma, 5 + 0 = 0 + 5 = 5. Por esta razão, o número zero é chamado de elemento neutro da adição.

4 Propriedade do fechamento

A soma de dois números naturais é um número natural.

Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a adição é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Vai adicionar dois números naturais? Com certeza o resultado (a soma) será um número natural!! Não tem como a soma ser um número negativo, um número irracional, etc.

Vamos falar um pouquinho agora sobre a multiplicação. Observe o seguinte cálculo:

3 4 12

Podemos representar a operação da multiplicação por dois símbolos (ou nenhum como veremos adiante). Usualmente, utilizamos o ·.

Assim, 3 4 3 · 4 12.

Quando estamos trabalhando com letras ou com expressões dentro de parêntesis é muito comum não utilizamos símbolo algum para representar a multiplicação. Assim,

3 3 .



Ou seja, 3 3 · 3 .

Vamos nos deparar muitas vezes com expressões do tipo: 2 1 .

Observe que não há símbolo algum entre os parêntesis do meio. Esta expressão significa que devemos multiplicar as expressões que estão nos parêntesis.

2 1 2 · 1 2 1

Daqui por diante usaremos indistintamente os símbolos ·. Normalmente utilizaremos quando estivermos trabalhando exclusivamente com números e utilizaremos · quando houver letras na expressão. Mas não se preocupe... Você pode utilizar qualquer um dos dois símbolos. Veja o que fica melhor esteticamente e utilize... Ok?

Podemos agora definir a operação da multiplicação, suas propriedades e nomenclaturas.

a,b fatoresc produto

a b c→⎡

× = ⎢ →⎣

Da mesma maneira que foi comentado na operação de adição, convém observar a diferença entre “multiplicação” e “produto”. Multiplicação é o nome da operação e produto é o resultado da multiplicação.

5 Propriedade comutativa

A ordem dos fatores não altera o produto.

É-me indiferente efetuar 3 x 4 ou efetuar 4 x 3. O resultado (produto) será o mesmo 12.

Desta forma, podemos afirmar que para todos a,bab ba N= ∈ .

Lembre-se que significa a vezes b. Ou seja,

· ·

277214271472

⋅=⋅⎭⎬⎫

=⋅=⋅

6 Propriedade associativa



A multiplicação de três números naturais pode ser feita associando-se os dois primeiros ou os dois últimos fatores.

5)(4354)(3602035)(436051254)3(

⋅⋅=⋅⋅⎭⎬⎫

=⋅=⋅⋅=⋅=⋅⋅

7 Existência do elemento neutro da multiplicação

Existe o número 1 (um) que possui a seguinte propriedade:

· 1 1 ·

Ou seja, tanto faz efetuar 4 vezes 1 ou 1 vezes 4: o resultado é igual a 4.

Por essa razão, o número 1 é chamado elemento neutro da multiplicação.

8 Propriedade do fechamento

O produto de dois números naturais é um número natural.

Como bem já explicamos acima, é por esta razão que dizemos que a multiplicação é uma operação bem definida no conjunto dos números naturais. Vai multiplicar dois números naturais? Com certeza o resultado (o produto) será um número natural!! Não tem como o produto ser um número negativo, um número irracional, etc.

Temos ainda uma propriedade que relaciona a multiplicação e a adição. É a chamada propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ou simplesmente propriedade distributiva.

9 Propriedade Distributiva

Antes de enunciar a propriedade seja com palavras seja com símbolos, vejamos um exemplo. Efetue 2 · 3 5 .

Existe uma hierarquia entre as operações matemáticas. Se não estivessem escritos os parêntesis, no caso, 2 · 3 5, deveríamos efetuar primeiramente 2 · 3 6 e em seguida adicionar o 5. No caso, 2 · 3 5 6 5 11.



Mas no nosso caso há os parêntesis. Devemos, portanto, ignorar a hierarquia das operações, pois devemos efetuar obrigatoriamente as operações que estão dentro dos parêntesis.

2 · 3 5 2 · 8 16

A propriedade distributiva nos diz que na multiplicação de uma soma por um número natural, multiplicam-se cada um dos termos por esse número e em seguida somamos os resultados. No caso, para efetuar 2 · 3 5 podemos multiplicar 2 por 3, multiplicar 2 por 5 e finalmente somar os dois resultados.

2 · 3 5 2 · 3 2 · 5 6 10 16

Utilizaremos bastante este fato ao trabalhar com “letras”... Por exemplo, a expressão 2 · 3 pode ser desenvolvida da seguinte maneira:

2 · 3 2 · 2 · 3 2 · 6

Ou simplesmente:

2 · 3 2 6

04. (TCE/PB/2006/FCC) Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcionário responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a seguinte resposta: “O total de livros do acervo é o resultado da adição de dois números naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos substituídos por letras.” M A R R A + M A R R A T O R T A

Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então, ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros do acervo dessa biblioteca é um número

a) menor que 70000. b) compreendido entre 70000 e 75000. c) compreendido entre 75000 e 80000. d) compreendido entre 80000 e 85000. e) maior que 85000.

Resolução

Vamos entender o enunciado. Ele simplesmente efetuou uma adição e trocou os algarismos por letras. Letras iguais correspondem a números iguais e letras distintas correspondem a algarismos distintos.



Olhemos inicialmente para os algarismos das unidades. Devemos descobrir um número tal que A A A+ = . Ou seja, qual é o número que somado com ele mesmo, é igual a ele mesmo?? Só pode ser o número zero!! Tem-se, então, que 0A = . Observe que 0 + 0 = 0 (lembre-se que o número zero é o elemento neutro da adição). Já podemos substituir as letras A por 0.

M 0 R R 0

M 0 R R 0

T O R T 0

Observe os algarismos das dezenas e das centenas. Aparentemente realizamos a mesma operação R R+ e obtemos dois resultados distintos. Isso se deve ao fato de a soma ser maior do que 10 e somos obrigados a acrescentar uma unidade na casa das centenas. Devemos testar R para o seguinte conjunto de valores: {5,6,7,8,9} (pois a soma deve ser maior do que 10).

Será que R = 5? Rapidamente concluímos que R não pode ser 5, pois ao efetuar R + R = 10, temos que T = 0. Mas lembre-se que letras distintas correspondem a algarismos distintos. E como A = 0, T não pode ser 0 e consequentemente R não pode ser 5.

Será que R = 6? Vejamos o que acontece... Lembre-se que 6 + 6 =12.

M 0 R=6 R=6 0

M 0 R=6 R=6 0

T O=1 R=3 T=2 0

Observe o absurdo. Ao efetuarmos 6 + 6 obtemos 12. Escrevemos o algarismo das unidades 2 no resultado e “subimos 1”. Na coluna do meio devemos efetuar R + R + 1 (este 1 é aquele que “subiu”). Temos que 6 + 6 + 1 = 13, então escrevemos o algarismo das unidades 3 e subimos 1. Temos agora que R = 3. Absurdo, já que estávamos supondo que R = 6.

Da mesma maneira, testando R = 7 e R = 8 chegamos a absurdos parecidos com o caso R = 6.

Chega-se a conclusão de que R=9.



0 9 9 0

0 9 9 0

9 8 0

Desse modo, sabemos que T=8. Logo, a soma será escrita da seguinte forma:

4 0 9 9 0

4 0 9 9 0

8 1 9 8 0

Logo, MARRA=81980.

Letra D

05. (Senado Federal/2008/FGV) Na operação de multiplicação abaixo, cada letra representa um algarismo

O valor de A+B+C é:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

Resolução

3 1 3, 3 2 6, 3 3 93 4 12, 3 5 15, 3 6 183 7 21, 3 8 24, 3 9 27

× = × = × =× = × = × =× = × = × =

Ao multiplicarmos o algarismo C pelo número 3, obtemos um número cujo

algarismo das unidades é igual a 4. Logo, . Como , ao efetuarmos o produto do número 3 pelo algarismo B, devemos adicionar 2 ao resultado.

8C = 3 8 24× =



1 A B 8

x 3

A B 8 4

O produto 3 B⋅ deverá ser um número cujo algarismo das unidades seja igual a 6, pois ao adicionarmos 2 teremos como resultado um número cujo algarismo das unidades é igual a 8. Logo, B=2, pois 3 2 6× = .

1 A 2 8

X 3

A 2 8 4

Finalmente, o número A deve ser tal que 3 A⋅ termine em 2. Portanto, 4A = .

1 4 2 8

X 3

4 2 8 4

Como 4A = , 2B = e 8C = , temos que 14A B C+ + = .

Letra E

Conjunto dos números inteiros

Vimos anteriormente que o conjunto dos números naturais é fechado em relação à adição e à multiplicação. Com o intuito de definir a operação “subtração” ampliaremos o conjunto dos números naturais.

Criamos, portanto, o conjunto dos números inteiros que é representado pela letra Z (inicial de zahl - número em alemão).

Chama-se conjunto dos números inteiros o conjunto

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

Dizemos que o número – é o simétrico ou oposto do número .



Por exemplo, o número 5 é o simétrico de 5 e reciprocamente: 5 é o simétrico de 5.

Neste conjunto destacam-se os seguintes subconjuntos:

(1) Conjunto dos inteiros não nulos (diferentes de zero):

| 0 … 3, 2, 1,1,2,3, …

(2) Conjunto dos inteiros não positivos (menores ou iguais a zero):

| 0 … 3, 2, 1,0

(3) Conjunto dos inteiros não negativos (maiores ou iguais a zero):

| 0 0,1,2,3,4 …

(4) Conjunto dos inteiros negativos (menores que zero):

| 0 … 3, 2, 1

(5) Conjunto dos inteiros positivos (maiores que zero):

| 0 1,2,3,4 …

Observe que o número 0 não pertence ao conjunto dos inteiros positivos e não pertence ao conjunto dos inteiros negativos. Portanto, o número 0 (zero) não é positivo e não é negativo. Dizemos que zero é neutro.

Observe que sempre que efetuarmos a adição de um número com o seu oposto (simétrico) o resultado será igual a 0. Desta forma:

5 5 0

2 2 0

3 3 0

Podemos então definir a operação “subtração” da seguinte maneira:

a minuendob subtraendoc diferença

a b c→⎡

⎢− = →⎢⎢ →⎣



Rapidamente percebemos que a subtração não é uma operação comutativa. Basta olhar, por exemplo, que 5 – 3 = 2 e 3 – 5 = - 2. A subtração também não goza da propriedade associativa e não possui elemento neutro.

Podemos afirmar que o conjunto dos números inteiros é FECHADO em relação à subtração. Ou seja, se você vai calcular a diferença entre dois números inteiros, com certeza o resultado será um número inteiro.

Observe ainda que todos os números naturais são números inteiros, mas nem todos os números inteiros são naturais. Dizemos que o conjunto dos números naturais é subconjunto dos números inteiros.

Regras dos sinais com números inteiros

( )a− a− =

( ) ( ) ( )a b a b a b ab⋅ − = − ⋅ = − ⋅ = −

( ) ( )a b− ab⋅ − =

As observações acima são conhecidas como “Regra dos sinais” para a multiplicação (e divisão) de inteiros.

Sinais dos números

Resultado

iguais positivo

diferentes negativo

Exemplos:



Vejamos como operar a adição e a subtração com números inteiros.

Se os números possuírem sinais iguais, devemos adicionar os números e repetir o sinal.

2 3 5

2 3 5

Se os números possuírem sinais opostos, devemos subtrair os números e repetir o sinal do maior.

5 2 3

5 2 3

06. (TRT/2006/FCC) O esquema abaixo representa a subtração de dois números inteiros, na qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras X, Y, Z e T.

Obtido o resultado correto, a soma X+Y+Z+T é igual a:

a) 12 b) 14 c) 15 d) 18 e) 21

Resolução

Podemos reescrever o enunciado da seguinte maneira:

Onde a primeira linha representa o minuendo, a segunda linha o subtraendo e a terceira linha representa a diferença.

Para descobrirmos o valor de Z, devemos perceber que 6 2 4− = . Portanto, 2Z = .

4 9 6

0 9

3 8 4



Para descobrirmos o valor de X, devemos perceber que 17 9 8− = . Portanto, 7X = .

Concluído esse raciocínio inicial, temos plenas condições de terminar a subtração.

7, 1, 2, 818

X Y Z TX Y Z T

= = = =+ + + =

Letra D

Conjunto dos números racionais

Até o presente momento, conseguimos definir 3 operações básicas: adição, multiplicação e subtração. Com os números expostos não temos condições de definir a divisão. Isto porque com números inteiros podemos dividir 8 por 2, mas não podemos dividir 2 por 8. Para resolver este impasse, vamos definir o conjunto dos números racionais que é representado pela letra Q.

O número p é chamado numerador da fração e o número q é chamado denominador da fração.

O conjunto dos racionais é formado por todas as frações em que o numerador é inteiro e o denominador é um inteiro não-nulo e também por todos os números que podem ser representados desta forma. Todo número na forma de decimal finito ou de dízima periódica pode ser convertido à forma de fração.

Todos os números naturais são números racionais, pois todos podem ser escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1.

221

4 9 7 6 0 9 2

3 8 4

4 9 7 6 1 0 9 2 3 8 8 4



Todos os números inteiros são números racionais, pois todos podem ser escritos na forma de fração. Basta colocar o denominador igual a 1.

22

1

Observe que o sinal – pode ser colocado em qualquer lugar da fração. Desta forma:

21

21

21 2

Além dos números naturais e números inteiros, todos os números decimais finitos e as dízimas periódicas também são números racionais.

Números decimais finitos são números como 1,47 ; 2, 513 ; 3,0154.

Para transformar números decimais finitos na forma de fração devemos seguir os seguintes passos:

i) Colocar no numerador todo o número sem a vírgula.

ii) Colocar no denominador o número 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais.

1,47147100

2,5132.5131.000

3,015430.154

10.000

Finalmente as dízimas periódicas. O que são dízimas periódicas? São números decimais com infinitas casas decimais. Só isso? Não...

É preciso que exista certo conjunto de números que se repitam periodicamente infinitas vezes. Vejamos alguns exemplos:

0,14141414141414141414141414141414141414141414 ….

Observe que o conjunto de dígitos 14 se repete infinitas vezes.

32,021 …

Observe que o conjunto de dígitos 546 se repete infinitas vezes.

Pense em uma raça preguiçosa... pensou?

A raça mais preguiçosa que existe é a dos MATEMÁTICOS!



Os Matemáticos são tão preguiçosos que adoram inventar abreviações, notações e símbolos... Tudo para escrever pouco.

Imagine se estivéssemos dando esta aula em um quadro...Teríamos uma preguiça enorme de escrever

32,021 …

(Aqui no computador é muito fácil... Basta utilizar CTRL+C e CTRL+V!!)

A notação é a seguinte: utiliza-se uma barra em cima dos dígitos que se repetem, ou seja, do período. Portanto,

32,021546546546546546 … 32,021546

Muito mais simples, não?

A pergunta que surge é a seguinte: se afirmamos que as dízimas periódicas são números racionais e os números racionais são representados por frações, como transformamos as dízimas periódicas em frações?

Existem diversos métodos para fazer esta transformação. Há livros que costumam separar as dízimas periódicas em simples e compostas. Há livros que fazem esta transformação utilizando sistemas de equações. Há outros que utilizam P.G. (progressão geométrica). Pela experiência que temos, julgamos o método abaixo como o mais simples por diversas razões.

i) Qual a utilidade de separar as dízimas periódicas em simples e compostas?

ii) Você gosta armar sistemas de equações e resolvê-los? Um pouco trabalhoso para resolver uma simples questão de dízima periódica, não?

iii) É realmente necessário aprender Progressão Geométrica para resolver uma simples questão de dízima periódica?

Vejamos um exemplo: transformar em fração o número 3,12851851851 …

O primeiro passo é colocar naquela notação da barra que falamos anteriormente.

3,12851851851 … 3,12851

Denominaremos “Número Completo” e abreviaremos por NC o número da dízima periódica sem a vírgula e sem a barra. No nosso exemplo,

312.851.

Denominaremos “Número fora da barra” e abreviaremos por NFB os números que estão fora da barra. No nosso exemplo, 312.

Meio caminho já foi andado. O numerador da fração é o número .



Por enquanto, nossa fração está assim:

3,12851312.851 312

E como fica o denominador?

Você deve contar quantos algarismos estão embaixo da barra. No nosso caso, há 3 números embaixo da barra. A regra nos diz que devemos colocar no denominador tantos 9’s (noves) quantos forem os números embaixo da barra. Como são 3 números embaixo da barra, devemos colocar 3 noves no denominador.

3,12312.851 312

Pronto? Ainda não!! Falta só uma coisinha para terminar...

Vamos olhar agora para os números que estão “entre a vírgula e a barra”. Quantos são eles? 2!!!

A regra nos diz que devemos colocar tantos zeros quantos forem os algarismos entre a vírgula e a barra.

3,312.851 312

Pronto!!!

3,12851312.851 312

99.900312.539

Se você só acredita vendo... pegue uma calculadora e divida 312.539 por

99.900

99.900.

Muito fácil não??

E olhe que já colocamos como primeiro exemplo um número bem difícil.

Vamos praticar um pouco mais.

Transforme em fração o número 0,666666 …

Vamos colocar na notação da barra.

0,666 … 0, 6

ú 6



ú 0

Quantos algarismos há na barra? Apenas um!! Portanto, colocamos apenas um 9 no denominador.

Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum!! Portanto, não colocamos zeros no denominador.

0,666 …6 0

969

23



0,1343434 … 0,134

ú 134

ú 1

Quantos algarismos há na barra? Dois!! Portanto, colocamos dois 9’s no denominador.

Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Apenas um!! Portanto, colocamos um zero no denominador..

0,1343434 …134 1

990133990



0,999 … 0, 9

ú 9

ú 0

Quantos algarismos há na barra? Apenas um!! Portanto, colocamos apenas um 9 no denominador.

Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Nenhum!! Portanto, não colocamos zeros no denominador.

0,999 …9 0

999 1

Portanto, 0,999 … 1



Observe que 0,99999999999... não é APROXIMADAMENTE 1!! É IGUAL a 1!!

A bem da verdade, 0,999 … 1 representam o mesmo número. Apenas estão escritos de maneiras diferentes.

07. (BNB 2003/ACEP) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível m/n, então m + n é igual a:

A) 88 B) 89 C) 90 D) 91 E) 92

Resolução

Para transformar a expressão decimal 0,011363636... em uma fração o primeiro passo é escrever na notação da barra.

0,011363636 … 0,01136

ú 1.136

ú 11

Quantos algarismos há na barra? Dois!! Portanto, colocamos dois 9’s no denominador.

Quantos algarismos há entre a barra e a vírgula? Três!! Portanto, colocamos três zeros no denominador.

0,011361.136 11

99.0001.125

99.000

A questão pede que coloquemos a resposta na forma de fração irredutível. Fração irredutível é aquela que não pode mais ser simplificada. Claramente podemos simplificar o numerador e o denominador por 5.

1.12599.000

22519.800

Na realidade, podemos simplificar o numerador e o denominador por 5 várias vezes.



22519.800

453.960

9792

Agora podemos simplificar o numerador e o denominador por 9.

9792

188

Agora não dá para simplificar mais. Temos, portanto, uma fração irredutível.

0,011363636 …1

88

A questão pede para efetuar onde 1 88.

1 88 89

Letra B

Agora que já definimos o conjunto dos números racionais, podemos falar na divisão propriamente dita.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

→→→→

+⋅=

restorquocienteqdivisorddividendoD

r qdD ou d | D q r

Exemplo:

38 | ___9__2 4

Ou seja, 38 dividido por 9 é igual a 4 e resto 2. Isto porque 9 · 4 2 38.

Quando o resto de uma divisão é zero, dizemos que a divisão é exata.

É importante frisar que é impossível dividir por 0. Ou seja, o divisor nunca pode ser 0.

Assim, não há sentido na fração 5/0.

08. (ANVISA 2010/CETRO) Considere 0,00003 e 3.600.000. Desse modo, b/a vale

a) cento e vinte trilhões.

b) cento e vinte bilhões.

c) um bilhão e duzentos milhões.



d) cento e vinte milhões.

e) um milhão, cento e vinte mil.

Resolução

Para efetuar a divisão, devemos igualar a quantidade de casas decimais e em seguida “apagar as vírgulas”.

3.600.000,000000,00003

360.000.000.0003 120.000.000.000

Letra B

Subconjuntos Notáveis dos Racionais

Analogamente ao conjunto dos números inteiros, há certos subconjuntos do conjunto dos números racionais que merecem destaque. Ei-los:

(1) Conjunto dos racionais não nulos (diferentes de zero):

| 0

(2) Conjunto dos racionais não positivos (menores ou iguais a zero):

| 0

(3) Conjunto dos racionais não negativos (maiores ou iguais a zero):

| 0

(4) Conjunto dos racionais negativos (menores que zero):

| 0

(5) Conjunto dos racionais positivos (maiores que zero):

| 0

Conjunto dos números irracionais

Não há unanimidade quanto ao símbolo para representar o conjunto dos irracionais.

Existem números cuja representação decimal com infinitas casas decimais não é periódica. Tais números não são racionais e são denominados irracionais. Alguns exemplos famosos:

√2 1,4142135 …



3,1415926535 …

2,718281 …

0,12345678910111213141516 …

A constante de Champernowne é a concatenação dos números naturais nas casas decimais.

ö 0,235711131719 …

A constante de Coperland-Erdös é a concatenação dos números primos nas casas decimais.

0,5772156649 …

Tais números não podem ser expressos como uma fração com numerador e denominador inteiros.

Números reais

Chama-se conjunto dos números reais - - aquele formado por todos os números com representação decimal (finita, ou infinita periódica ou infinita não periódica). Podemos dizer que o conjunto dos números reais é a união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.

Reta real

Os números reais podem ser representados por pontos em uma reta orientada denominada Reta Real.

09. (TRT-SC 2007/CETRO) Considere os conjuntos:

N, dos números naturais.

Z, dos números inteiros.

Q, dos números racionais.

R, dos números reais.



Assinale a alternativa correta.

(A) a, b N temos a b N

(B) Existe um elemento em Z que é menor que qualquer número inteiro.

(C) N Z Q R

(D) a Z, b Z e b 0 a/b Z

(E) A equação 3x 1 = 0 não tem solução em Q.

Resolução

a) Falsa. A subtração não é uma operação nos Naturais, isto porque nem sempre a – b N. A subtração só é definida quando o minuendo (a) for maior ou igual ao subtraendo (b). Por exemplo, 3 – 5 = -2 e

2 N.

b) Falsa. O conjunto Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} não possui um menor elemento nem um maior elemento.

c) Verdadeiro. Todo número natural é um número inteiro, todo número inteiro é um número racional e todo número racional é um número real.

d) Falsa. Se a Z, b Z e b 0, nem sempre a/b Z. Por exemplo, 8 Z, 5Z e 8/5 = 1,6 .

e) Vamos resolver a equação 3x 1 = 0.

3 1

13

Portanto, a alternativa E é falsa.

Letra C

10. (Agente Administrativo – Ministério dos Transportes 2010/CETRO) Em relação ao estudo dos Conjuntos Numéricos, considere as seguintes afirmações:

I.

II. N Z Q R

III.

IV.



V.

Considere:

Ir = Conjunto dos números irracionais.

N = Conjunto dos números naturais.

Q = Conjunto dos números racionais.

R = Conjunto dos números reais.

Z = Conjunto dos números inteiros.

As afirmações verdadeiras estão contidas em

a) I apenas.

b) I e III apenas.

c) I, II e V apenas.

d) II, III, IV e V apenas.

e) I, II, III, IV e V.

Resolução

Nenhum número racional é irracional. Os números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma a/b, onde a é inteiro e b é um inteiro diferente de zero. A união do conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais (Ir) é o conjunto dos números reais.

Como vimos na questão anterior, N Z Q R.

Assim,

I é verdadeira, II é verdadeira. III é falsa, pois . IV é falsa, pois . V é verdadeira pois o conjunto dos números irracionais é formado

por todos os números reais que não são racionais.

Letra C

11. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina 2005/FEPESE) Considere os conjuntos:

N dos números naturais,

Q dos números racionais,



Q+ números racionais não-negativos,

R dos números reais.

O número que expressa

a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de Q+, mas não de N.

b) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q+.

c) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de N.

d) a velocidade média de um veículo é um elemento de Q, mas não de Q+.

e) a medida do lado de um triângulo é um elemento de Q.

Resolução

a) Falso, pois a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de N.

b) Verdadeiro, pois o valor pago por um sorvete é um racional não-negativo. Por exemplo, 2,37 reais.

c) Falso, pois a medida da altura de uma pessoa não necessariamente é um elemento de N, pode ser um racional não-natural. Por exemplo, 1,72m.

d) Falsa, pois, teoricamente, a velocidade média de um veículo pode ser um número irracional.

e) Falsa, pois a medida do lado de um triângulo pode ser irracional.

Letra B

12. (TCE-MG FCC 2007) Considere o número inteiro e positivo X4Y, em que X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente. Sabendo que 15 480 : (X4Y) = 24, então X4Y é um número compreendido entre

a) 800 e 1 000

b) 600 e 800

c) 400 e 600

d) 200 e 400

e) 100 e 200



Resolução

A expressão 15.480 : (X4Y) pode ser escrita assim:

15.4804

Temos então:

15.4804 24

O número (X4Y) que está dividindo, pode “passar para o segundo membro” multiplicando.

15.480 24 24 ( 4 ) 15.480 ( 4 ) 645( 4 )

X Y X YX Y

= ⇒ ⋅ = ⇒ =

Letra B

13. (TCE-PB 2007/FCC) Quantos algarismos são usados para numerar de 1 a 150 todas as páginas de um livro?

a) 327

b) 339

c) 342

d) 345

e) 350

Resolução

Da página 1 até a página 9 são usados 9 x 1 = 9 algarismos.

Da página 10 até a página 99 são usados 90 x 2 = 180 algarismos.

Da página 100 até a página 150 são usados quantos algarismos?

Cada página tem 3 algarismos. Da página 100 até a página 150 são 51 páginas!

Portanto, teremos 51 x 3 = 153 algarismos.

Total: 9 + 180 + 153 = 342 algarismos.

Letra C



10. Potências

A multiplicação de fatores iguais pode ser escrita na forma de potência. Observe:

4 4 · 4 · 4 · 4 · 4 1.024

Na potência 4 4 é a base (fator que se repete) e 5 é o expoente (número de vezes que o fator se repete).

Sendo um número real e um número inteiro maior que 1, define-se:

· · … ·

Exemplos:

5 5 · 5 · 5 125

8 8 · 8 64

23

23 ·

23

49

2 2 · 2 · 2 8

• Toda potência de expoente 1 é igual a base.

• Toda potência de expoente 0 é igual a 1.

1, 0

Observação: 0 é çã á .

• Toda potência de expoente negativo é igual ao inverso da potência de expoente positivo.

IMPORTANTE

Se o expoente é um número par, o resultado da potência é positivo.

Se o expoente é ímpar e a base é um número negativo, o resultado dapotência é negativo.

Se a base é positiva, o resultado da potência é positivo.



1

Exemplos:

5 5

34 1

25

52

1258

515

15

Propriedades Operatórias

·

Em palavras:

• Para multiplicar potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes são adicionados.

• Para dividir potências de mesma base, conserva-se a base e os expoentes são subtraídos.

• Para elevar uma potência a outra potência, conserva-se a base e os expoentes são multiplicados.

Exemplos

5 · 5 5 5

55 5 5

5 5 · 5

14. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) A soma dos algarismos do número 10 3 é:

a) 88 b) 89 c) 91



d) 95 e) 97

Resolução

Qual o significado de · · · · · · · · ·

Com dez fatores “x”.

Portanto, 10 10.000.000.000

10 3 10.000.000.000 3 9.999.999.997

A soma dos algarismos é 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 88.

Letra A

15. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Simplificando , encontra-se:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 221

Resolução

Vamos relembrar algumas propriedades das potências.

Lembre-se que para multiplicar duas potências de mesma base, repetimos a base e somamos os expoentes. Para dividir potências de mesma base, repetimos a base e subtraímos os expoentes. Assim,

·

/

E da mesma forma que · , temos que · (óbvio não?).

Como podemos utilizar estas propriedades para resolver esta questão?

Observe que 20 = 18+2 e 19 = 18 +1. Portanto:

2 2 2 · 2

2 2 2 · 2

2 22

2 · 2 2 · 22



Podemos colocar 218 em evidência:

2 · 2 2 · 22

2 · 2 22 2 2 4 2 6

Letra C

16. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Simplificando a expressão

onde n pertence ao conjunto dos números inteiros, obtém-se o seguinte resultado:

a) 1/3 b) 1/27 c) 3 d) 27 e) 1/9

Resolução

Vamos resolver de duas maneiras. A primeira, utilizando as propriedades vistas na questão anterior.

3 3 33 3 3

3 · 3 3 · 3 3 · 33 · 3 3 · 3 3 · 3

Vamos colocar 3n em evidência no numerador e no denominador.

3 · 3 3 · 3 3 · 33 · 3 3 · 3 3 · 3

3 · 3 3 33 · 3 3 3

3 3 33 3 3

3 3 33 3 3

13

19

127

9 3 1

9 3 12713

1327

13/11327 ·

113

127

Ufa! Trabalhoso... Vejamos uma maneira bem mais fácil!

Dê uma olhada para as alternativas. Percebeu que o valor de não influencia na resposta? Desta maneira, vamos escolher um valor arbitrário. É óbvio que vamos escolher um número bom! E qual seria um número bom? Eu escolheria o número 3 porque todos os expoentes deixam de ser negativos.

3 3 33 3 3

Esta é a expressão. Vamos substituir por 3.

3 3 33 3 3

3 3 33 3 3

9 3 1243 81 27

13351



Simplificando por 13...

13351

127

Bem melhor, não?!

Letra B

17. (Pref. de Resende 2007/CEPERJ) Considere-se que 10 , 3 . O valor de tal que 10 9.000 é:

a) 3,628 b) 3,746 c) 3,882 d) 3,015 e) 3,954

Resolução

Perceba que 9.000 9 · 1.000 3 · 10

Mas o enunciado nos disse que 3 10 , .

Portanto:

9.000 9 · 1.000 3 · 10 10 , · 10

Lembre-se que para elevar uma potência a outra potência, devemos conservar a base e multiplicar os expoentes.

9.000 10 , · 10 10 , · 10 10 , · 10 10 , 10 ,

10 9.000

10 10 ,

3,954

Letra E

11. Radicais

Se é um número não-negativo ( 0) e é um número natural maior que 1, então a raiz enésima de é um número não-negativo ( 0) tal que .

Vamos recordar o resultado de algumas raízes para fixar o conceito.



√9 3 3 9.

√32 2 2 32.

√0 0 0 0.

√ é í , é é .

Raízes de índice par

Quando elevamos um número positivo ou negativo ao quadrado (ou a qualquer outro expoente par), o resultado é sempre um número positivo. Veja os exemplos:

5 25

5 25

Mas isso não implica dizer que o número 25 tem duas raízes quadradas: 5 e -5.

Na definição dada, foi dito que a raiz enésima de um número positivo é um número positivo.

Portanto:

√25 5

√25 5

Desta maneira, é falso afirmar que √49 7.

Por outro lado, podemos escrever que √25 5. Não é o radical que “causa” o sinal, e sim o sinal que o antecede.

É importante saber que não existe raiz de um número negativo se o índice do radical for par (trabalhando com números reais).

Por exemplo, √ 16 não existe porque não há um número real que elevado ao quadrado dê 16. Até porque todo número elevado ao quadrado não pode ser negativo.

Note a diferença:

√16 4



√ 16 ã

Raízes de índice ímpar

Se o índice do radical é ímpar, admite-se a existência de raízes com radicando negativo.

√8 2 2 8

√ 8 2 2 8

Propriedades

Considere , números reais não-negativos ( 0 0), um número natural maior que 1 e um número inteiro qualquer.

√ · √ √

√√

0

√ √

√ √

Efetue √3 · √12 2√27 3√75)

√3 · √12 2√3 · √27 3√3 · √75 √3 · 12 2√3 · 27 3√3 · 75

√36 2√81 3√225 6 2 · 9 3 · 15 33

Estas propriedades ajudam a simplificar radicais, por exemplo:

√28 √4 · 7 √4 · √7 2√7

√300 √100 · 3 √100 · √3 10√3

0,444 …49

√4√9

23

Potência de expoente racional



Se a é um número real positivo, m é um número inteiro e n é um número natural não nulo, temos:

√

Observe:

Exemplos:

3 3 √3

5 5 √25

27 , … 27 √27 3

Racionalização de Denominadores

Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar os radicais que aparecem nesse denominador, sem alterar o valor da fração.

Grosso modo, racionalizar é “tirar” o radical do denominador.

Para racionalizar, devemos multiplicar o numerador e o denominador da fração por um número chamado fator racionalizante do denominador.

1º caso Racionalizando quando o denominador é um radical de índice 2

Para racionalizar frações em que o denominador é uma raiz quadrada, multiplicamos ambos os termos da fração por essa mesma raiz quadrada e, assim, obtemos uma fração equivalente com denominador radical.

Lembre-se que se é um número não-negativo, √ · √ √ .

Veja os exemplos:

8√2

8 · √√2 · √

8√22 4√2

102√5

10 · √2√5 · √

10√52 · 5

10√510

√5

√



O NÚMERO NÃO MUDOU!! MUDOU APENAS A FORMA DE ESCREVÊ-LO!!

2º caso Racionalizando quando o denominador é um radical de índice diferente de 2

Lembre-se que se a é um número não-negativo, √ .

8√2

8 · √√2 · √

8√4√2

8√42 4√4

Observe que o expoente do fator racionalizante foi obtido assim: 5 3 2

3º caso Racionalizando quando o denominador é uma soma ou diferença de dois termos, sendo pelo menos um dos termos um radical

Para ensinar este 3º caso, falarei sobre um “produto notável”.

·

Concluímos que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo.

·

Pois bem, vamos ver um exemplo:

6√5 √2

6 · √ √√5 √2 · √ √

6 · √5 √2

√5 √2

6 · √5 √25 2

6 · √5 √23

2 · √5 √2 2√5 2√2

74 √3

7 · √4 √3 · √

7 · 4 √3

4 √3

7 · 4 √316 3

7 · 4 √313

Observe que o fator racionalizante de √5 √2 é √ √ (troca o sinal).

O fator racionalizante de 4 √3 é √ .

18. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Na igualdade √ √√ √

√ , o valor de é:

a) 1 b) 3 c) 3 d) 5 e) 7



Vejamos alguns exemplos de racionalização de denominadores. Racionalizar o denominador significa transformar o denominador em um número racional. Ou seja, se o denominador apresenta um radical, nosso objetivo é eliminar o radical.

4√2

Observe que o denominador é um número irracional. Racionalizar o denominador significar “acabar com o número irracional do denominador”.

Neste caso, a saída é multiplicar o numerador e o denominador por √2.

4√2

·√2√2

4√22 2√2

Desta forma:

4√2

2√2

Vamos lembrar o seguinte produto notável:

·

Este produto notável nos ajudará na racionalização de denominadores como o do enunciado.

Sempre que tivermos uma soma de radicais no denominador, devemos multiplicar o numerador e o denominador pela diferença dos radicais. Sempre que tivermos uma diferença de radicais no denominador, devemos multiplicar o numerador e o denominador pela soma dos radicais.

√7 √5√7 √5

·√7 √5√7 √5

√49 √35 √35 √25

√7 √5

7 2√35 57 5

12 2√352

√7 √5√7 √5

6 √35

Como √ √√ √

√ , concluímos que 6 35

O valor de é 6 35 36 35 1

Letra A



19. (APO/MPOG – 2008 – ESAF) Sabe-se que os números x,y e z são números racionais. Sabe-se, também, que

2√33 √3

.

Com essas informações, conclui-se que:

a) b)

· 6

c) 6

d) · 0

e) / 6· 6

Resolução

Racionalizando o denominador:

2√33 √3

·3 √33 √3

3 √3 6√3 69 3

3 6 6 · √39 3

Para que z seja racional, o número que multiplica √3 deve ser igual a 0. Portanto,

6 0

6

Letra E

Comparação de radicais

Para comparar radicais (decidir quem é o maior ou o menor) devemos utilizar a seguinte propriedade:

√ √

Isto significa que podemos alterar o índice da raiz. Para tanto, devemos multiplicar (ou dividir) o índice por certo número p e, para não alterar o valor



da raiz, devemos multiplicar (ou dividir) o expoente do radicando pelo mesmo número p.

Exemplo:

2 2 ·· 2

Exemplo: Quem é maior: √2 ou √3 ?

Ora, os índices são diferentes. Para fazer a comparação, devemos reduzir os radicais ao mesmo índice. Devemos pensar em um número que seja múltiplo de 4 e de 5. Que tal 20?

Devemos raciocinar da seguinte maneira: Qual o número que multiplicado por 5 é igual a 20? Este número é 4. Portanto, devemos multiplicar o índice e o expoente do primeiro radical por 4.

√2 2· √16

Vejamos o segundo radical. Qual o número que multiplicado por 4 é igual a 20? Este número é 5. Portanto, devemos multiplicar o índice e o expoente do segundo radical por 5.

3· √243

Desta forma: perguntar quem é maior: √2 ou √3 é o mesmo que perguntar quem é maior: √16 ou √243?

Como √243 √16, então √3 √2

20. (Secretaria Municipal de Fazenda 2005/FJG) Os valores √4, √8 √16, quando ordenados de modo decrescente, têm a seguinte apresentação:

a) √4 √16 √8 b) √4 √8 √16 c) √16 √4 √8 d)√8 √4 √16

Resolução

Para comparar os radicais, devemos reduzi-los ao mesmo índice. Para começar, devemos pensar em um número que seja múltiplo dos índices.

Qual um múltiplo comum de 2, 6 e 3? Que tal 6?

Devemos multiplicar 2 por 3 para obter 6.





Desta forma:

√4 4· √64

√16 16· √256

Facilmente percebemos que:

√256 √64 √8

Portanto:

√16 √4 √8

Letra C

Máximo Divisor Comum

Se a divisão de um número natural por outro (não nulo) é exata, dizemos que o primeiro é divisível pelo segundo, ou que o segundo número é divisor do primeiro. Desta forma temos que:

15 é í 3

3 é 15

O conjunto dos divisores de um número é aquele que comporta todos os divisores do número em questão. Por exemplo, o conjunto dos divisores de 6 é:

1,2,3,6

O maior dos divisores comuns de dois ou mais números chama-se máximo divisor comum (m.d.c.).

Vejamos...

Qual é o m.d.c. entre 8 e 12?

Vamos listar os divisores de cada número.

, , , 8



, , 3, , 6,12

Os números em vermelho são os divisores comuns de 8 e 12. Dentre os divisores comuns, qual é o maior? A resposta é 4. Portanto, 8,12 4. Vamos aprender um método mais rápido para calcular o m.d.c. na resolução das questões.

21. (Fundação CASA 2010/VUNESP) Um eletricista tem 4 rolos do fio X, com 84 m cada um, 3 rolos do fio Y, com 144 m cada um, e 5 rolos do fio Z, com 60 m cada um. Para fazer as ligações necessárias de uma obra, ele deverá cortar os fios dos 12 rolos em pedaços do mesmo tamanho, sendo esse tamanho o maior possível, de modo que não reste nenhum pedaço de fio nos rolos. Dessa maneira, ele deverá obter um número total de pedaços igual a (A) 24. (B) 36. (C) 49. (D) 64. (E) 89.

Resolução

Vejamos, por exemplo, o fio X. Cada rolo do fio X tem 84 metros. Será que podemos dividir o rolo do fio X em pedaços de 10 metros sem que haja resto? É óbvio que não! E por que não? Porque 10 não é um divisor de 84.

Será que podemos dividir o rolo do fio X em pedaços iguais de 4 metros sem que haja resto? Sim! E por que sim? Porque 4 é um divisor de 84, ou seja, 84 dividido por 4 é igual a 21 e resto 0.

Seguindo este raciocínio, o tamanho de cada pedaço deve ser um divisor do comprimento de cada rolo de fio. Ou seja, o tamanho do pedaço que estamos querendo calcular deve ser um divisor de 84, 144 e 60. Temos que calcular um número que seja divisor comum destes três números. O problema é que há vários divisores comuns, como por exemplo, 2 ou 4.

O enunciado então determina que o tamanho de cada pedaço seja o maior possível.

Resumindo: o tamanho de cada pedaço deve ser o maior divisor comum de 84, 144 e 60. Vocês conhecem este número como MDC: M de maior, D de divisor e C de comum.

Vamos calcular o 84,144,60 . Utilizaremos o método da fatoração simultânea. Como bem diz o nome do método, devemos fatorar os três números simultaneamente, ou seja, de uma só vez. Para isto, devemos procurar números que dividam simultaneamente os três números.



Pense em um número que divida 84, 144 e 60. Pensou? Que tal 2?

84 dividido por 2 é igual a 42, 144 dividido por 2 é igual a 72 e 60 dividido por 2 é igual a 30.

Vamos pensar em um número que divida 42, 72 e 30. Que tal 2 novamente?

42 dividido por 2 é igual a 21, 72 dividido por 2 é igual a 36 e 30 dividido por 2 é igual a 15.

Pense em um número que divida 21, 36 e 15... Que tal 3?

21 divido por 3 é igual a 7, 36 dividido por 3 é igual a 12 e 15 dividido por 3 é igual a 5.

Há algum número natural (diferente de 1) que divida 7, 12 e 5 simultaneamente? Não! Então devemos parar. Para calcular o MDC, devemos multiplicar 2 · 2 · 3 12.

Conclusão: cada pedaço terá 12 metros.

O rolo do fio X tem 84 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo do fio X será dividido em:

8412 7 ç

Como temos 4 rolos do fio X, então teremos no total 4 · 7 ç .

O rolo do fio Y tem 144 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo do fio Y será dividido em:

14412 12 ç

84, 144 , 60 242, 72 , 30

84, 144 , 60 242, 72 , 30 221, 36, 15

84, 144 , 60 242, 72 , 30 221, 36, 15 37, 12, 5



Como temos 3 rolos do fio Y, então teremos no total 3 · 12 ç .

O rolo do fio Z tem 60 metros. Se cada pedaço terá 12 metros, então cada rolo do fio Z será dividido em:

6012 5 ç

Como temos 5 rolos do fio Z, então teremos no total 5 · 5 ç .

Dessa maneira, ele deverá obter um número total de pedaços igual a 28 36 25 89.

Depois de calculado o comprimento de cada pedaço, poderíamos seguir o seguinte raciocínio para calcular o total de pedaços.

Temos 4 rolos do fio X, cada um com 84 metros. O comprimento total do fio X é igual a 4 · 84 336 .

Temos 3 rolos do fio Y, cada um com 144 metros. O comprimento total do fio Y é igual a 3 · 144 432 .

Temos 5 rolos do fio Z, cada um com 60 metros. O comprimento total do fio Z é igual a 5 · 60 300 .

O comprimento total de todos os rolos de fio é igual a 336 432 300 1.068 .

Como cada pedaço de fio terá 12 metros, então teremos:

1.06812 89 ç

Letra E

22. (SEAP-SP 2009/VUNESP) Em um presídio há 400 detentos, sendo 240 no setor X e 160 no setor Y. Para realizar atividades na oficina de artes, o total de detentos foi dividido em grupos com o mesmo número de integrantes, sendo esse número o maior possível, sem deixar nenhum detento de fora e sem misturar os detentos dos dois setores. Dessa forma, foram formados (A) 5 grupos. (B) 8 grupos. (C) 10 grupos. (D) 12 grupos. (E) 13 grupos.

Resolução

Para que os grupos tenham o mesmo número de integrantes, devemos encontrar um número que seja divisor de 240 e seja divisor de 160 (para que



não haja resto). Além disso, este divisor deve ser o maior possível. Devemos, portanto, calcular o máximo divisor comum (MDC) dos números 240 e 160. O processo para o cálculo do MDC está descrito na questão anterior. Devemos fatorar os números apenas por números que dividam os dois números simultaneamente.

Portanto, 240,160 2 · 2 · 2 · 2 · 5 80. Isto significa que cada grupo terá 80 detentos.

Dividindo os 400 detentos em grupos de 80, teremos 5 grupos (observe que 400 dividido por 80 é igual a 5).

Letra A

Mínimo Múltiplo Comum

Para obtermos os múltiplos do número 4, multiplicamos cada elemento do conjunto dos números naturais pelo número 4.

4 0 0

4 1 4

4 2 8

4 3 12

4 4 16

Os múltiplos de 4 são 0,4,8,12,16,20,24, … .

Percebe-se facilmente que esse conjunto tem infinitos elementos.

Devemos nos lembrar dos seguintes fatos:

O zero é múltiplo de qualquer número. Todo número é múltiplo de 1 e de si mesmo.

240, 160 2120, 80 2 60, 40 2 30, 20 2

15, 10 53, 2



O único múltiplo de zero é o próprio zero.

O menor dos múltiplos comuns (excluído o zero) de dois ou mais números chama-se mínimo múltiplo comum (m.m.c.).

Qual o m.m.c. entre 8 e 12?

ú 8 0,8,16, , 32,40, , 56,64, , 80, …

ú 12 0,12, , 36, , 60, , 84, …

Observe que existem infinitos múltiplos comuns não-nulos. Dentre todos os múltiplos comuns não-nulos, o menor é 24. Portanto, 8,12 24.

Normalmente os problemas envolvendo mmc são aqueles que surgem periodicidades. Por exemplo:

Imagine que Guilherme tenha folga no trabalho a cada 8 dias. Sua esposa Manuella folga no seu trabalho a cada 12 dias. Se os dois folgaram juntos hoje, quando folgarão juntos novamente?

A resposta é dada pelo mmc. Os dois folgarão juntos novamente daqui a 24 dias!

Obviamente eles não folgarão juntos APENAS daqui a 24 dias. Esta é apenas a PRÓXIMA vez em que folgarão juntos. Pelo conjunto dos múltiplos que escrevi anteriormente, percebemos que eles também daqui a 48 dias, daqui a 72 dias, etc.

O processo para calcular o mmc é muito parecido com o processo para calcular o mdc, utilizando fatoração simultânea. A diferença é que no cálculo do mmc nós continuamos a fatoração até que não seja mais possível fatorar.

Vejamos:

Devemos pensar em um número que divida os dois simultaneamente. Que tal 2?

8, 12

8, 12 24, 6



Devemos agora pensar em um número que divida simultaneamente 4 e 6. Que tal 2?

Agora não temos mais como dividir 2 e 3 pelo mesmo número. Vamos continuar a fatoração. Dividindo por 2 (repetimos o 3).

E agora dividimos por 3.

Desta forma, 8,12 2 · 2 · 2 · 3 24

23. (Instituto Butantan 2010/VUNESP) Um paciente recebe 3 medicamentos, todos os dias. O primeiro, de 4 em 4 horas, o segundo, de 8 em 8 horas, e o terceiro, a cada 10 horas. Ele recebeu os medicamentos juntos às 7 horas do dia 27 de novembro de 2009. Receberá os 3 medicamentos juntos, novamente, no mês de novembro de 2009, dia (A) 28, às 19 horas. (B) 28, às 23 horas. (C) 29, às 7 horas. (D) 29, às 11 horas. (E) 30, às 7 horas.

Resolução

8, 12 24, 6 22, 3

8, 12 24, 6 22, 3 2 1, 3

8, 12 24, 6 22, 3 2 1, 3 31, 1



Para calcular o tempo de coincidência dos eventos (período comum) devemos calcular o mínimo múltiplo comum dos períodos.

Desta forma, . . . 4,8,10 2 · 2 · 2 · 5 40 . Isto significa que os 3 medicamentos chegam juntos a cada 40 horas. Ele recebeu os medicamentos juntos às 7 horas do dia 27 de novembro de 2009.

Ora, sabemos que 40 24 16 1 16

7 horas do dia 27 de novembro de 2009 + 1 dia = 7 h do dia 28 de novembro de 2009.

7 h do dia 28 de novembro de 2009 + 16 horas = 23 h do dia 28 de Nov. de 2009.

Letra B

24. (Agente Fiscalização Sanitária – Pref. de Sorocaba 2010/VUNESP) Antônio, Hélio e Emílio são três responsáveis pela fiscalização sanitária da dengue e fazem plantão, respectivamente, a cada 10, 15 e 18 dias. Eles trabalharam juntos no dia 27 de março. O próximo plantão, imediatamente após esse, que os três farão juntos, será no dia

(A) 15 de maio (B) 26 de maio (C) 25 de junho (D) 30 de junho (E) 27 de julho

Resolução

Para calcular o período que os três trabalham juntos, devemos calcular o mínimo múltiplo comum de 10, 15 e 18.

4, 8, 10 22, 4, 5 21, 2, 5 21, 1, 5 51, 1, 1

10,15, 18 25, 15, 9 35, 5, 3 35, 5, 1 51, 1, 1



Assim, 10,15,18 2 · 3 · 3 · 5 90 dias. Observe que o problema não considera meses de 30 dias. Devemos considerar a quantidade de dias que cada mês realmente tem.

Muita gente confunde os meses com 30 e os meses com 31 dias. Há um processo mnemônico muito fácil para a memorização destes meses.

Primeiro, feche a sua mão conforme a figura abaixo.

Para o nosso processo mnemônico, vamos da saliência do dedo indicador até a saliência do dedo mínimo, ignorando o polegar. Perceba que existem 4 saliências (dos ossos) e três reentrâncias (entre um dedo e outro), conforme a figura abaixo:

Agora vamos fazer o seguinte: Vamos considerar a primeira saliência como sendo janeiro, a primeira reentrância, como fevereiro, e assim por diante, conforme a figura abaixo:



Marcados os meses de janeiro, fevereiro, março abril, maio, junho e julho, não tem mais “espaço” para marcarmos os outros meses. Faremos então a mesma coisa que fizemos com janeiro, começaremos do dedo mínimo:

Todos os meses que estão em uma saliência, têm 31 dias. Todos os meses que estão em uma reentrância, têm 30 dias (exceto, claro, de fevereiro que tem 28 ou 29 dias).

Eles trabalharam juntos no dia 27 de março. Como o mês de março possui 31 dias, então vamos contar 4 dias em março.

O mês de abril tem 30 dias e o mês de maio tem 31 dias. Já contamos 4 30 31 65 . Para completar os 90 dias, precisamos de 90 65 25dias, que serão contados em junho. Portanto, próximo plantão, imediatamente após esse, que os três farão juntos, será no dia 25 de junho.

Letra C

25. (SEAP-SP 2009/VUNESP) Três agentes penitenciários fazem rondas noturnas em um determinado presídio. O primeiro tem que acionar o relógio de controle a cada 36 minutos; o segundo, a cada 24 minutos, e o terceiro, a



cada 18 minutos. Dessa maneira, pode-se afirmar que eles acionam simultaneamente o relógio de controle a cada (A) 1 h 24 min. (B) 1 h 18 min. (C) 1 h 12 min. (D) 1 h 06 min. (E) 1 h.

Resolução

Para calcular o tempo de coincidência dos eventos (período comum) devemos calcular o mínimo múltiplo comum dos períodos.

Desta forma, . . . 36,24,18 2 · 2 · 2 · 3 · 3 72 .

72 60 12 1 12

Letra C

26. (Técnico Administrativo TRT 24ª Região 2011/FCC) Sabe-se que Vitor e Valentina trabalham como Auxiliares de Enfermagem em uma empresa e, sistematicamente, seus respectivos plantões ocorrem a cada 8 dias e a cada 6 dias. Assim sendo, se no último dia de Natal – 25/12/2010 – ambos estiveram de plantão, então, mantido o padrão de regularidade, uma nova coincidência NÃO ocorrerá em

(A) 18 de maio. (B) 24 de abril. (C) 31 de março. (D) 10 de fevereiro. (E) 18 de janeiro.

Resolução

36, 24, 18 218. 12, 9 2 9, 6, 9 2 9, 3, 9 3

3, 1, 3 31, 1 , 1



O intervalo das coincidências é calculado a partir do M.M.C. dos períodos.

6, 8 23, 4 23, 2 23, 1 31,1

Assim, 6,8 2 · 2 · 2 · 3 24. Ou seja, os plantões coincidem a cada 24 dias.

Houve uma coincidência no dia 25 de dezembro de 2010. Vamos avançar de 24 em 24 dias. A próxima coincidência será no dia 18 de janeiro (6 dias de dezembro mais 18 dias de janeiro = 24 dias). Em seguida, há uma coincidência no dia 11 de fevereiro (13 dias em janeiro mais 11 dias de fevereiro = 24 dias).

Já podemos marcar a alternativa D.

A próxima coincidência será no dia 7 de março (17 dias em fevereiro mais 7 dias de março = 24 dias). Como 7 + 24 = 31, então a próxima coincidência é no dia 31 de março. Correndo mais 24 dias, chegamos no dia 24 de abril. Finalmente, a próxima coincidência será no dia 18 de maio (6 dias em abril + 18 dias de maio = 24 dias).

Gabarito: D

Sistemas Métricos

27. (PUC-MG) Em metrologia, pé é uma unidade de medida linear equivalente a cerca de 30,48 cm. Um avião que trafega a 30000 pés do solo está voando a uma altura mais próxima de:

a) 6km b) 7km c) 8km d) 9km e) 10km

Resolução



30.000 pés = 30.000 x 30,48 cm = 914.440 cm. Para transformar de centímetro para metro devemos dividir o resultado por 100. Assim, 914.440 cm = 9.144,40 m. E para transformar de metro para quilometro devemos dividir o resultado por mil. Dessa forma, 9.144,40 m = 9,14440 km.

Letra D

Temos os seguintes múltiplos e submúltiplos do metro.

Múltiplos: Decâmetro (dam), hectômetro (hm) e quilômetro (km).

Submúltiplos: Decímetro (dm), centímetro (cm) e milímetro (mm).

km hm dam m dm cm mm

Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 10 a cada passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda devemos dividir por 10 a cada passagem.

Então para 914.440 cm serem transformados em quilômetros, devemos dividir por 100.000 (5 casas). 914.440 cm = 9,14440 km.

Significados dos prefixos:

k quilo (1000)

h hecto (100)

da deca (10)

d deci (1/10)

c centi (1/100)

m mili (1/1000)

O mesmo processo pode ser usado para os múltiplos e submúltiplos do litro e grama.

kl hl dal l dl cl ml

kg hg dag g dg cg mg




Por exemplo: Transformar 8.432 dg (decigramas) para dag (decagramas). Devemos andar duas casas para a esquerda, assim devemos dividir 8.432 por 100 obtendo 84,32 dag.

Se estivermos trabalhando com unidades de área (múltiplos e submúltiplos de m2), a cada passagem devemos multiplicar ou dividir por 100.

Se estivermos trabalhando com unidades de volume (múltiplos e submúltiplos de m3), a cada passagem devemos multiplicar ou dividir por 1.000.

28. (COVEST 2003) Uma empresa de exportação de gasolina comunicou à ANP o desaparecimento de 7,2 milhões de litros de gasolina dos seus depósitos. Se um caminhão-tanque tem capacidade de 32m3, quantos caminhões seriam necessários para transportar a gasolina desaparecida? (obs.: 1m3=1000 litros)

a) 205

b) 210

c) 215

d) 220

e) 225

Resolução

O texto nos informou que 1m3=1000 litros. 7,2 milhões de litros = 7.200.000 litros. Pela relação dada temos que 7.200.000 litros = 7.200m3. Como cada caminhão transporta 32 m3, o total de caminhões desaparecidos é 7.200/32 = 225.

Letra E

29. (DOCAS-PA 2006/CESPE-UnB) Considere que uma caixa d’água cúbica tem as arestas medindo 2 m de comprimento. Então essa caixa-d’água tem capacidade para mais de 7.000 litros de água.

Resolução

O volume de uma caixa cúbica é o produto das três dimensões.

Assim,

2 2 2 8 ³

Como 1 m³ = 1.000 litros, então o volume da caixa é igual a 8.000 litros.



O item está certo.

30. (TJPA 2006/CESPE-UnB) A extensão do estado do Pará, que é de 1.248.042 km2, corresponde a 16,66% do território brasileiro e 26% da Amazônia. O estado do Pará, cortado pela linha do Equador no seu extremo norte, é dividido em 143 municípios, onde vivem cerca de seis milhões de pessoas. Com base no texto acima, assinale a opção correta. A) O estado do Pará tem 1.248.042.000 m2 de extensão. B) A extensão do estado do Pará corresponde a mais de 1/5 do território brasileiro. C) A extensão do estado do Pará corresponde a menos de 7/25 da Amazônia. D) No estado do Pará, há exatamente 6 habitantes por km2.

Resolução

Vamos analisar cada alternativa de per si.

A) O estado do Pará tem 1.248.042.000 m2 de extensão.






O mesmo processo pode ser usado para os múltiplos e submúltiplos do litro e do grama.

kl hl dal l dl cl ml

kg hg dag g dg cg mg


Se estivermos trabalhando com unidades de área (múltiplos e submúltiplos de m2), a cada passagem devemos multiplicar ou dividir por 100.



Se estivermos trabalhando com unidades de volume (múltiplos e submúltiplos de m3), a cada passagem devemos multiplicar ou dividir por 1.000.

Ora, o texto nos informou que a extensão do estado do Pará é de 1.248.042 km2. Queremos transformar esta medida para m2. Observe a seguinte tabela de transformação de unidades:

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Para transformar as unidades da esquerda para a direita, multiplicamos por 100 a cada passagem. Para transformar as unidades da direita para esquerda devemos dividir por 100 a cada passagem. Ora, multiplicar por 100 significa adicionar 2 zeros (se o número for inteiro) ou deslocar a vírgula duas casas decimais para a direita. Analogamente, dividir por 100 significa cortar 2 zeros (se houver) ou deslocar a vírgula para a esquerda.

Para concluir o raciocínio: queremos efetuar a transformação de unidades de km2 para m2. Devemos andar 3 casas para direita (a cada passagem adicionamos 2 zeros), então devemos acrescentar 6 zeros.

Portanto,

1.248.042 1.248.042.000.000

A alternativa A é falsa.

B) A extensão do estado do Pará corresponde a mais de 1/5 do território brasileiro.

A extensão do Pará foi dada em termos percentuais (16,66% do território nacional). Como fazer a comparação deste percentual com a fração 1/5?

Devemos transformar a fração 1/5 em porcentagem, para isto basta multiplicá-la por 100%.

15

15 · 100% 20%

Como 16,66% é menor do que 20%, então a extensão do Pará corresponde a menos de 1/5 do território brasileiro.

A alternativa B é falsa.

C) A extensão do estado do Pará corresponde a menos de 7/25 da Amazônia.



Da mesma maneira que foi resolvida a alternativa B, devemos transformar a fração 7/25 para porcentagem.

725

725 · 100% 28%

Como a extensão do Pará é 26% da Amazônia, então corresponde a menos de 7/25 da Amazônia.

A alternativa C é verdadeira.

D) No estado do Pará, há exatamente 6 habitantes por km2.

No estado do Pará há cerca de seis milhões de pessoas em 1.248.042 km2 de extensão. A densidade demográfica é de:

6.000.000 1.248.042 6 /

A alternativa D é falsa.

Gabarito oficial: Letra C

31. (TRT 4ª Região 2006/FCC) Um peso de papel, feito de madeira maciça, tem a forma de um cubo cuja aresta mede 0,8 dm. Considerando que a densidade da madeira é 0,93 g/cm3, quantos gramas de madeira foram usados na confecção desse peso de papel? (A) 494,18 (B))476,16 (C) 458,18 (D) 49,418 (E) 47,616

Resolução








A aresta do cubo é de 0,8 dm. Para transformar esta medida para centímetros, devemos multiplicar por 10.

0,8 8

Sendo aresta de um cubo, o seu volume é igual a ³. Portanto, o volume do cubo dado é igual a:

³ 8³ 512 ³

A densidade de um corpo é a razão entre a massa e o volume do corpo.

Portanto:

0,93 512 476,16

Letra B

32. (CREA/SP 2010/VUNESP) De um caminhão de entrega são descarregadas 500 caixas iguais de mercadorias, em forma de paralelepípedo, medindo cada uma 40 cm de comprimento por 30 cm de largura e por 20 cm de altura. Essas caixas empilhadas e justapostas vão ocupar um volume de

Dado: volume do paralelepípedo = comprimento x largura x altura

(A) 12 m3 (B) 120 L. (C) 1.200 L. (D) 12.000 m3 (E) 120.000 cm3

Resolução

É importante saber que 1 í ú corresponde a 1 litro. Desta forma, para saber o volume de cada paralelepípedo em litros, devemos transformar todas as suas medidas para decímetro.

1 decímetro é o mesmo que 10 centímetros. Portanto:

40 4

30 3

20 2



O volume de cada paralelepípedo é igual a 4 · 3 · 2 24 24

Portanto, o volume de cada paralelepípedo é igual a 24 litros.

Tem-se 500 caixas no total e o volume ocupado por elas é igual a:

500 · 24 12.000

Por enquanto não encontramos alternativas, mas lembre-se que 1 m³ é o mesmo que 1.000 litros. Desta forma, 12.000 litros equivalem a 12 m³.

Letra A

Sistemas de Medidas de Tempo

33. (IBGE 2009/CESGRANRIO) Certo nadador levou 150 segundos para completar uma prova de natação. Esse tempo corresponde a

a) um minuto e meio. b) dois minutos. c) dois minutos e meio. d) três minutos. e) três minutos e meio.

Resolução

Sabemos que 1 minuto equivale a 60 segundos. Desta forma, para transformar 150 segundos para minutos, devemos dividir 150 por 60.

15060 2,5

Poderíamos também ter pensado assim:

1 60 2 120

Para completar os 150 segundos, precisamos de mais 30 segundos (meio minuto).

Assim, 150 segundos = 2 minutos e meio.

Letra C



34. (TJ-RO 2008/CESGRANRIO) Aos domingos, é possível fazer um passeio de 7 km pela antiga Estrada de Ferro Madeira-Mamoré, indo de Porto Velho até Cachoeira de Santo Antônio. Esse passeio acontece em quatro horários: 9h, 10h 30min, 15h e 16h 30min. Um turista pretendia fazer o passeio no segundo horário da manhã, mas chegou atrasado à estação e, assim, teve que esperar 3 horas e 35 minutos até o horário seguinte. A que horas esse turista chegou à estação?

a) 10 h 55 min. b) 11h 15 min. c) 11h 25 min. d) 11h 45 min. e) 11h 55 min.

Resolução

O turista pretendia fazer o passeio no segundo horário (às 10h 30 min). Ele chegou atrasado e teve que esperar 3 horas e 35 minutos até o horário seguinte (15 horas).

Para calcular o horário de chegada do turista, devemos subtrair 3 horas e 35 minutos de 15 horas.

15 0 3 35

Para efetuar tal subtração, vamos “emprestar” 1 hora para a casa dos minutos. Assim, podemos dizer que 15 14 60 .

14 60 3 35 11 25

Letra C

35. (METRO-SP 2007/FCC) Suponha que em uma parede da área de embarque de uma estação do Metrô há um relógio digital que registra horas, minutos e segundos. Salomé perguntou a um Agente de Estação qual o horário de chegada do próximo trem, e ele, apontando para o relógio digital, respondeu: “O trem chegará no instante em que, nesse relógio, os números que indicam as horas, os minutos e os segundos mudarem, simultaneamente, pela primeira vez.” Se no momento em que Salomé fez a pergunta o relógio marcava 07:55:38 (7 horas, 55 minutos e 38 segundos), então ela ainda teve que esperar pelo trem (A) 4 minutos e 32 segundos. (B) 4 minutos e 22 segundos. (C) 4 minutos e 12 segundos.



(D) 3 minutos e 42 segundos. (E) 3 minutos e 32 segundos.

Resolução

“O trem chegará no instante em que, nesse relógio, os números que indicam as horas, os minutos e os segundos mudarem, simultaneamente, pela primeira vez.”

Quando o relógio marcar 08h, os minutos passarão de 59 para 00 e os segundos também passarão de 59 para 00 (e obviamente as horas mudarão de 07 para 08).

Assim, devemos calcular o intervalo de tempo entre 07:55:38 e 08:00:00.

Se o relógio tivesse marcando exatamente 07:55, então faltariam 5 minutos para as 8 horas. Como já se passaram 38 segundos, então devemos tirar 38 segundos de 5 minutos.

5 min 38 4 min 22

Letra B

Poderíamos ter utilizado um raciocínio parecido com o da questão anterior.

Como 1 hora equivale a 60 minutos, então podemos dizer que 8 horas = 7 horas + 60 minutos.

Como 1 minuto = 60 segundos, então podemos escrever que 8 horas = 7 horas + 59 min + 60 segundos.

Letra B

36. (METRO-SP 2007/FCC) Se um trem leva 2 minutos para percorrer o trajeto entre duas estações, o esperado é que outro trem, cuja velocidade média é 80% da velocidade do primeiro, percorra o mesmo trajeto em (A) 2 minutos e 40 segundos. (B) 2 minutos e 30 segundos. (C) 2 minutos e 20 segundos. (D) 2 minutos e 15 segundos.



(E) 2 minutos e 5 segundos.

Resolução

Resolução

Vamos considerar que a velocidade do trem na primeira situação é igual a 100. Neste caso, o trem gasta 2 minutos para percorrer o trajeto. Como a velocidade do outro trem é igual a 80% da velocidade do primeiro trem, então a sua velocidade será igual a 80. Qual o tempo gasto por ele?

Vamos armar a regra de três.

Velocidade Tempo (min) 100 2 80

Diminuindo a velocidade, o tempo gasto para percorrer o trajeto aumentará. As grandezas são inversamente proporcionais. Devemos inverter a coluna das velocidades no momento de armar a proporção (ainda estudaremos detalhadamente as regras de três).

Velocidade Tempo (min) 100 2 80

2 80100

80 · 2 · 100

20080 2,5

2 30 .Letra B

37. (METRO-SP 2010/FCC) Suponha que às 5h30min de certo dia, dois trens da Companhia do Metropolitano de São Paulo partiram simultaneamente de um mesmo terminal T e seguiram por Linhas diferentes. Considerando que a cada 78 minutos da partida um dos trens retorna a T, enquanto que o outro o faz a cada 84 minutos, então, nesse dia, ambos se encontraram novamente em T às (A) 19h42min. (B) 21h48min. (C) 21h36min. (D) 23h42min. (E) 23h48min.



Resolução

Para calcular o período de coincidência dos eventos, devemos calcular o MMC entre 78 e 84.

Assim, 78,84 2 2 3 7 13 1.092 .

Vamos dividir este tempo por 60 para transformá-lo em horas.

1.092 60 12 18

Concluímos que eles se encontram a cada 18 horas e 12 minutos.

Eles se encontraram às 5 horas e 30 minutos. O próximo encontro será às:

5 30 18 12

23 42

Letra D

38. (DOCAS PA 2006/CESPE-UnB) Considere que o guarda portuário Pedro substituiu Carlos, com problemas de saúde, durante 12 dias e, em cada dia, durante 2 horas e 25 minutos. Nessa situação, para que Carlos retribua a Pedro o mesmo espaço de tempo trabalhado, deve substituí-lo durante 29 horas.

Resolução

O tempo total de substituição deve ser igual a 12 vezes 2 horas e 25 minutos.

12 x 2 horas = 24 horas.

12 x 25 minutos = 300 minutos = 300/60 = 5 horas.

O tempo total é igual a 24h + 5 h = 29 horas.

O item está certo.

78, 84 239, 42 2 39, 21 3 13, 7 7 13, 1 13 1,1



Números Complexos

Até hoje, só vi este assunto em provas da CESGRANRIO. Mas é importante notar que este assunto está explícito no edital da Receita Federal e poderia tranquilamente ter caído na prova de 2009. Eis o conteúdo de 2009:

RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO: 1. Estruturas Lógicas. 2. Lógica de Argumentação. 3. Diagramas Lógicos. 4. Trigonometria. 5. Matrizes, Determinantes e Solução de Sistemas Lineares. 6. Álgebra. 7. Combinações, Arranjos e Permutação. 8. Probabilidade, Variáveis Aleatórias, Principais Distribuições de Probabilidade, Estatística Descritiva, Amostragem, Teste de Hipóteses e Análise de Regressão. 9. Geometria Básica. 10. Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros, Desconto, Equivalência de Capitais, Anuidades e Sistemas de Amortização. 11. Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de: raciocínio matemático (que envolvam, entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as quatro operações nas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricos complexos; números e grandezas proporcionais; razão e proporção; divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem); raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de conceitos; discriminação de elementos.

Entre os conjuntos numéricos já conhecidos tínhamos inicialmente o conjunto dos números naturais.

0,1,2,3,4, …

Para que a subtração fosse sempre possível, ele foi estendido e obtivemos o conjunto dos números inteiros.

… , 3, 2, 1,0,1,2,3, …

Para que também a divisão fosse possível, estendemos este e obtivemos o conjunto dos números racionais, que podem ser escritos na forma de fração, com numerador inteiro e denominador inteiro não-nulo.

No conjunto dos números racionais, não podemos calcular a raiz quadrada de certos números positivos. Em situações parecidas, precisamos incorporar os números irracionais.

Da união dos racionais com os irracionais surgem os números reais.

Veremos posteriormente que algumas equações do segundo grau não podem ser resolvidas (quando ∆ 0). Isto porque não podemos calcular a raiz



quadrada de números negativos (quando estamos trabalhando exclusivamente com números reais.

Por isso, temos de estender o conjunto dos números reais para obter um novo conjunto chamado de conjunto dos números complexos.

Criou-se então a chamada unidade imaginária. E o que é esta unidade imaginária?

É um número tal que ² 1

Este não é o momento para filosofar. Quando você passar no seu concurso, e quiser se aprofundar sobre esta questão da unidade imaginária, me mande um e-mail que indicarei ótimas referências bibliográficas. No momento, estamos apenas interessados em resolver as possíveis questões de concursos sobre números complexos.

Então, vamos ACEITAR que exista este número tal que ² 1. Ok?

Bom, aceitando que este número exista, então podemos definir os números complexos.

Todo número complexo pode ser escrito de maneira única na forma:

, 1

Essa é a forma algébrica de escrever um número complexo. E é esta forma que nos interessa para resolver as provas da CESGRANRIO.

O número é chamado de PARTE REAL do número complexo.

O número é chamado de PARTE IMAGINÁRIA do número complexo.

Por exemplo: Em 2 3 , a parte real é 2 e a parte imaginária é 3.

Em 3 3 0 , a parte real é 3 e a parte imaginária é 0 (neste caso dizemos que é um número real).

Em 4 0 4 , a parte real é 0 e a parte imaginária é 4 (neste caso dizemos que é um imaginário puro).

Operações com números complexos

Usando a forma algébrica, as operações de adição, subtração e multiplicação são intuitivas. Na multiplicação, por exemplo, basta aplicar a propriedade distributiva, porém observando que ² 1. Não precisamos decorar fórmulas!



2 3 5 7 2 5 3 7 3 10

1 2 2 3 2 3 4 6 ² 2 6 · 2 6 8

Conjugado de um número complexo

Considere o número complexo . Definimos o conjugado de z, o número

tal que .

É simplesmente isso!!

Para obter o conjugado de um número complexo, copiamos a parte real e trocamos o sinal da parte imaginária.

Exemplos:

2 3 2 3

5 4 5 4

Módulo de um número complexo

Pronto!

Este é o conceito MAIS IMPORTANTE DE TODOS, quando estamos falando de números complexos na CESGRANRIO. Quase todas as questões da referida banca são sobre este tópico. E o conceito é muito fácil.

O módulo do número complexo é o número | | √ ² ²

Exemplo: O módulo do número complexo 3 4 é o número

| | 3² 4 ² √9 16 √25 5

Representação Geométrica dos números complexos

Os números complexos podem ser representados de várias formas. Vimos que a forma algébrica é do tipo .



Outra maneira de representar um número complexo é através de um par ordenado de números reais. Assim, se , podemos então escrever que

, .

Se você puder, leia novamente a página 16 da parte 1 desta aula 5.

Por outro lado, sabemos que a cada par de números reais , está associado um único ponto do plano.

Logo, podemos associar a cada número complexo o ponto P do plano de coordenadas a e b, isto é, P(a,b).

O plano cartesiano no qual estão representados os números complexos é denominado de plano complexo ou plano de Argand-Gauss.

Dizemos que o ponto P(a,b) é o afixo do número complexo . (Já caiu em prova!!!!)

No plano complexo, o eixo x é denominado de eixo real e o eixo y é denominado de eixo imaginário.

Os números reais são representados no eixo x e os imaginários puros são representados no eixo y.



Exemplo: Represente no plano complexo os seguintes números complexos.

2 4

1 3

3 3 0 ú

2 0 2 á

39. (Petrobras 2008/CESGRANRIO) O afixo do número complexo é o ponto 6; 10 . O módulo de z é igual a (A) 2√34(B) 4√17(C) 4√34(D) 4 (E) 8

Resolução

O afixo do número complexo é o ponto , . Assim, concluímos que 6 e 10. O módulo de z é igual a

| | 6 10 √136

3,0

2,4

2

1, 3

0,2

3

3

1

4

2



| | √4 · 34 2√34Letra A

40. (Petrobras Biocombustível 2010/CESGRANRIO) Sejam w = 3 − 2i e y = m +pi dois números complexos, tais que m e p são números reais e i, a unidade imaginária. Se w + y = −1 + 3i, conclui-se que m e p são, respectivamente, iguais a (A) − 4 e +1 (B) −4 e +5 (C) +2 e +1 (D) +2 e +5 (E) +4 e −1

Resolução Sabemos que 1 3 .

Como 3 2 e , então:

3 2 1 3

No primeiro membro vamos somar parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária.

3 2 1 3

Dois números complexos são iguais se e somente se as partes reais são iguais e as partes imaginárias são iguais.

3 12 3

45

Letra B

41. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Sejam z e w dois números complexos não reais. Se z é o conjugado de w e z=2−3i, efetuando-se a operação z − w, o resultado encontrado será (A) − 6i (B) − 4 (C) − 2 (D) + 4 (E) + 6i

Resolução

O conjugado do número complexo é o número . Ou seja, para calcular o conjugado de um número complexo, devemos repetir a parte real e



trocar o sinal da parte imaginária. Como 2 3 é o conjugado de , então 2 3 .

Queremos calcular o valor de .

2 3 2 3 2 3 2 3 6

Letra A

42. (Petrobras Distribuidora S.A. 2008/CESGRANRIO) Os números complexos z1, z2 e z3 formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão i, onde i representa a unidade imaginária. Se z3 = 2 + i, então z1 é igual a (A) –2 – i (B) –2 + i (C) –1 – 2i (D) +1 – 2i (E) +2 – i

Resolução

Estudaremos progressão geométrica na próxima aula. Se você nunca estudou este assunto, espere para ler esta resolução depois da aula 5.

Para avançar um termo na progressão geométrica, devemos multiplicar cada termo pela razão. Para retroceder (voltar), devemos dividir cada termo pela razão.

A razão da P.G. dada é igual a . Como o terceiro termo é igual a 2 , então o segundo termo é igual a:

O primeiro termo é igual a:

²

Como ² 1, então:

1 2 2

Letra A

43. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Sejam z1 e z2 dois números complexos de mesmo módulo e x, um número real positivo. Se 12 · e 24√6 · , então é igual a



(A) 2 (B) 4 (C) 6√3(D) 2√15(E) 4√15

Resolução

Sabemos que | | | |.

12² ² 2 4√6 ²

Elevando os dois membros ao quadrado, podemos “cortar” a raiz quadrada.

12² ² 2 4√6 ²

144 ² 4 ² 16 · 6

144 ² 4 ² 96

144 96 4 ² ²

3 ² 48

² 16

4 4

Como o enunciado informou que x é um número real positivo, então 4.

Letra B

44. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Em um treinamento, um supervisor fez algo diferente. Cada funcionário sorteou um cartão no qual estava escrito um número complexo não real e teve que calcular o seu módulo. Acertando o cálculo, o funcionário ganhava n balas, onde n correspondia ao menor número inteiro maior que o valor calculado. Carlos retirou o cartão no qual estava escrito “8−7i” e calculou corretamente o seu módulo. Quantas balas Carlos ganhou? (A) 4 (B) 5 (C) 7 (D) 10 (E) 11

Resolução



Vamos calcular o módulo do número complexo 8 7 .

| | 8² 7 ² √64 49 √113

Como √100 10 e √121 11, então 10 √113 11.

O menor número inteiro que é maior que √113 é 11.

Letra E

45. (Petrobras 2008/CESGRANRIO) Sejam e dois números complexos, com e . Pode-se afirmar que o produto · é um número cujo afixo é um ponto situado no

(A) eixo imaginário. (B) eixo real. (C) 1º quadrante (D) 3º quadrante (E) 4º quadrante

Resolução

Vamos multiplicar o número pelo número .

· · ² ² ²

Como ² 1, então:

· ² ² ² ²

· ² ²

O enunciado afirma que e são diferentes de zero.

Portanto, o número · é um número imaginário puro (pois a sua parte real é zero). Seu afixo está localizado no eixo imaginário.

Letra A



12. Relação das questões comentadas

01. (STN 2005/ESAF) Considere dois conjuntos, A e B, onde A = {X1, X2, X3, X4} e B = {X1, X5, X6, X4}. Sabendo-se que a operação Ψ é definida por A Ψ B = (A – B) (B – A), então a expressão (A Ψ B) Ψ B é dada por:

a) { X1, X5, X4}

b) { X1, X2}

c) { X1, X2, X3, X4}

d) {X4, X6, X5}

e) { X1, X6}

02. (Fiscal de Rendas RJ 2010/ESAF) Em uma amostra de 100 empresas, 52 estão situadas no Rio de Janeiro, 38 são exportadoras e 35 são sociedades anônimas. Das empresas situadas no Rio de Janeiro, 12 são exportadoras e 15 são sociedades anônimas e das empresas exportadoras 18 são sociedades anônimas. Não estão situadas no Rio de Janeiro nem são sociedades anônimas e nem exportadoras 12 empresas. Quantas empresas que estão no Rio de Janeiro são sociedades anônimas e exportadoras ao mesmo tempo? a) 18 b) 15 c) 8 d) 0 e) 20

03. (ATRFB 2009/ESAF) Uma escola para filhos de estrangeiros oferece cursos de idiomas estrangeiros para seus alunos. Em uma determinada série, 30 alunos estudam francês, 45 estudam inglês, e 40, espanhol. Dos alunos que estudam francês, 12 estudam também inglês e 3 estudam também espanhol. Dos alunos que estudam inglês, 7 estudam também espanhol e desses 7 alunos que estudam inglês e espanhol, 3 estudam também francês. Por fim, há 10 alunos que estudam apenas alemão. Não sendo oferecidos outros idiomas e sabendo-se que todos os alunos dessa série devem estudar pelo menos um idioma estrangeiro, quantos alunos dessa série estudam nessa escola?

a) 96.

b) 100.

c) 125.

d) 115.

e) 106.



04. (TCE/PB/2006/FCC) Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de uma biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o funcionário responsável pelo setor, que era aficionado em matemática, deu a seguinte resposta: “O total de livros do acervo é o resultado da adição de dois números naturais que, no esquema abaixo, comparecem com seus algarismos substituídos por letras.” M A R R A + M A R R A T O R T A

Considerando que letras distintas correspondem a algarismos distintos, então, ao ser decifrado corretamente, o código permitirá concluir que o total de livros do acervo dessa biblioteca é um número

a) menor que 70000. b) compreendido entre 70000 e 75000. c) compreendido entre 75000 e 80000. d) compreendido entre 80000 e 85000. e) maior que 85000.

05. (Senado Federal/2008/FGV) Na operação de multiplicação abaixo, cada letra representa um algarismo

O valor de A+B+C é:

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

06. (TRT/2006/FCC) O esquema abaixo representa a subtração de dois números inteiros, na qual alguns algarismos foram substituídos pelas letras X, Y, Z e T.

Obtido o resultado correto, a soma X+Y+Z+T é igual a:

a) 12 b) 14 c) 15



d) 18 e) 21

07. (BNB 2003/ACEP) A expressão decimal 0,011363636... é uma dízima periódica composta e representa um número racional x. Se a geratriz desta dízima for escrita sob a forma de uma fração irredutível m/n, então m + n é igual a:

A) 88 B) 89 C) 90 D) 91 E) 92

08. (ANVISA 2010/CETRO) Considere 0,00003 e 3.600.000. Desse modo, b/a vale

a) cento e vinte trilhões.

b) cento e vinte bilhões.

c) um bilhão e duzentos milhões.

d) cento e vinte milhões.

e) um milhão, cento e vinte mil.

09. (TRT-SC 2007/CETRO) Considere os conjuntos:

N, dos números naturais.

Z, dos números inteiros.

Q, dos números racionais.

R, dos números reais.

Assinale a alternativa correta.

(A) a, b N temos a b N

(B) Existe um elemento em Z que é menor que qualquer número inteiro.

(C) N Z Q R

(D) a Z, b Z e b 0 a/b Z

(E) A equação 3x 1 = 0 não tem solução em Q.



10. (Agente Administrativo – Ministério dos Transportes 2010/CETRO) Em relação ao estudo dos Conjuntos Numéricos, considere as seguintes afirmações:

I.

II. N Z Q R

III.

IV.

V.

11. (Tribunal Regional do Trabalho, 12a Região • Santa Catarina 2005/FEPESE) Considere os conjuntos:

N dos números naturais,

Q dos números racionais,

Q+ números racionais não-negativos,

R dos números reais.

O número que expressa

a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de Q+, mas não de N.

b) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de Q+.

c) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de N.

d) a velocidade média de um veículo é um elemento de Q, mas não de Q+.

e) a medida do lado de um triângulo é um elemento de Q.

12. (TCE-MG FCC 2007) Considere o número inteiro e positivo X4Y, em que X e Y representam os algarismos das centenas e das unidades, respectivamente. Sabendo que 15 480 : (X4Y) = 24, então X4Y é um número compreendido entre

a) 800 e 1 000

b) 600 e 800



c) 400 e 600

d) 200 e 400

e) 100 e 200

13. (TCE-PB 2007/FCC) Quantos algarismos são usados para numerar de 1 a 150 todas as páginas de um livro?

a) 327

b) 339

c) 342

d) 345

e) 350

14. (RIO PREVIDENCIA 2010/CEPERJ) A soma dos algarismos do número 10 3 é:

a) 88 b) 89 c) 91 d) 95 e) 97

15. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Simplificando , encontra-se:

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 221

16. (Pref. de Cantagalo 2010/CEPERJ) Simplificando a expressão

onde n pertence ao conjunto dos números inteiros, obtém-se o seguinte resultado:

a) 1/3 b) 1/27 c) 3 d) 27 e) 1/9



17. (Pref. de Resende 2007/CEPERJ) Considere-se que 10 , 3 . O valor de tal que 10 9.000 é:

a) 3,628 b) 3,746 c) 3,882 d) 3,015 e) 3,954

18. (SEE/RJ 2010/CEPERJ) Na igualdade √ √√ √

√ , o valor de é:

a) 1 b) 3 c) 3 d) 5 e) 7

19. (APO/MPOG – 2008 – ESAF) Sabe-se que os números x,y e z são números racionais. Sabe-se, também, que

2√33 √3

.

Com essas informações, conclui-se que:

a) b)

· 6

c) 6

d) · 0

e) / 6· 6

20. (Secretaria Municipal de Fazenda 2005/FJG) Os valores √4, √8 √16, quando ordenados de modo decrescente, têm a seguinte apresentação:

a) √4 √16 √8 b) √4 √8 √16 c) √16 √4 √8 d)√8 √4 √16

21. (Fundação CASA 2010/VUNESP) Um eletricista tem 4 rolos do fio X, com 84 m cada um, 3 rolos do fio Y, com 144 m cada um, e 5 rolos do fio Z, com 60 m cada um. Para fazer as ligações necessárias de uma obra, ele deverá cortar os fios dos 12 rolos em pedaços do mesmo tamanho, sendo esse



tamanho o maior possível, de modo que não reste nenhum pedaço de fio nos rolos. Dessa maneira, ele deverá obter um número total de pedaços igual a (A) 24. (B) 36. (C) 49. (D) 64. (E) 89.

22. (SEAP-SP 2009/VUNESP) Em um presídio há 400 detentos, sendo 240 no setor X e 160 no setor Y. Para realizar atividades na oficina de artes, o total de detentos foi dividido em grupos com o mesmo número de integrantes, sendo esse número o maior possível, sem deixar nenhum detento de fora e sem misturar os detentos dos dois setores. Dessa forma, foram formados (A) 5 grupos. (B) 8 grupos. (C) 10 grupos. (D) 12 grupos. (E) 13 grupos.

23. (Instituto Butantan 2010/VUNESP) Um paciente recebe 3 medicamentos, todos os dias. O primeiro, de 4 em 4 horas, o segundo, de 8 em 8 horas, e o terceiro, a cada 10 horas. Ele recebeu os medicamentos juntos às 7 horas do dia 27 de novembro de 2009. Receberá os 3 medicamentos juntos, novamente, no mês de novembro de 2009, dia (A) 28, às 19 horas. (B) 28, às 23 horas. (C) 29, às 7 horas. (D) 29, às 11 horas. (E) 30, às 7 horas.

24. (Agente Fiscalização Sanitária – Pref. de Sorocaba 2010/VUNESP) Antônio, Hélio e Emílio são três responsáveis pela fiscalização sanitária da dengue e fazem plantão, respectivamente, a cada 10, 15 e 18 dias. Eles trabalharam juntos no dia 27 de março. O próximo plantão, imediatamente após esse, que os três farão juntos, será no dia

(F) 15 de maio (G) 26 de maio (H) 25 de junho (I) 30 de junho (J) 27 de julho

25. (SEAP-SP 2009/VUNESP) Três agentes penitenciários fazem rondas noturnas em um determinado presídio. O primeiro tem que acionar o relógio de controle a cada 36 minutos; o segundo, a cada 24 minutos, e o terceiro, a cada 18 minutos. Dessa maneira, pode-se afirmar que eles acionam simultaneamente o relógio de controle a cada (A) 1 h 24 min.



(B) 1 h 18 min. (C) 1 h 12 min. (D) 1 h 06 min. (E) 1 h.

26. (Técnico Administrativo TRT 24ª Região 2011/FCC) Sabe-se que Vitor e Valentina trabalham como Auxiliares de Enfermagem em uma empresa e, sistematicamente, seus respectivos plantões ocorrem a cada 8 dias e a cada 6 dias. Assim sendo, se no último dia de Natal – 25/12/2010 – ambos estiveram de plantão, então, mantido o padrão de regularidade, uma nova coincidência NÃO ocorrerá em

(A) 18 de maio. (B) 24 de abril. (C) 31 de março. (D) 10 de fevereiro. (E) 18 de janeiro.

27. (PUC-MG) Em metrologia, pé é uma unidade de medida linear equivalente a cerca de 30,48 cm. Um avião que trafega a 30000 pés do solo está voando a uma altura mais próxima de:

a) 6km b) 7km c) 8km d) 9km e) 10km

28. (COVEST 2003) Uma empresa de exportação de gasolina comunicou à ANP o desaparecimento de 7,2 milhões de litros de gasolina dos seus depósitos. Se um caminhão-tanque tem capacidade de 32m3, quantos caminhões seriam necessários para transportar a gasolina desaparecida? (obs.: 1m3=1000 litros)

a) 205

b) 210

c) 215

d) 220

e) 225



29. (DOCAS-PA 2006/CESPE-UnB) Considere que uma caixa d’água cúbica tem as arestas medindo 2 m de comprimento. Então essa caixa-d’água tem capacidade para mais de 7.000 litros de água. 30. (TJPA 2006/CESPE-UnB) A extensão do estado do Pará, que é de 1.248.042 km2, corresponde a 16,66% do território brasileiro e 26% da Amazônia. O estado do Pará, cortado pela linha do Equador no seu extremo norte, é dividido em 143 municípios, onde vivem cerca de seis milhões de pessoas. Com base no texto acima, assinale a opção correta. A) O estado do Pará tem 1.248.042.000 m2 de extensão. B) A extensão do estado do Pará corresponde a mais de 1/5 do território brasileiro. C) A extensão do estado do Pará corresponde a menos de 7/25 da Amazônia. D) No estado do Pará, há exatamente 6 habitantes por km2.

31. (TRT 4ª Região 2006/FCC) Um peso de papel, feito de madeira maciça, tem a forma de um cubo cuja aresta mede 0,8 dm. Considerando que a densidade da madeira é 0,93 g/cm3, quantos gramas de madeira foram usados na confecção desse peso de papel? (A) 494,18 (B))476,16 (C) 458,18 (D) 49,418 (E) 47,616

32. (CREA/SP 2010/VUNESP) De um caminhão de entrega são descarregadas 500 caixas iguais de mercadorias, em forma de paralelepípedo, medindo cada uma 40 cm de comprimento por 30 cm de largura e por 20 cm de altura. Essas caixas empilhadas e justapostas vão ocupar um volume de

Dado: volume do paralelepípedo = comprimento x largura x altura

(F) 12 m3 (G) 120 L. (H) 1.200 L. (I) 12.000 m3 (J) 120.000 cm3

33. (IBGE 2009/CESGRANRIO) Certo nadador levou 150 segundos para completar uma prova de natação. Esse tempo corresponde a

a) um minuto e meio. b) dois minutos. c) dois minutos e meio. d) três minutos. e) três minutos e meio.



34. (TJ-RO 2008/CESGRANRIO) Aos domingos, é possível fazer um passeio de 7 km pela antiga Estrada de Ferro Madeira-Mamoré, indo de Porto Velho até Cachoeira de Santo Antônio. Esse passeio acontece em quatro horários: 9h, 10h 30min, 15h e 16h 30min. Um turista pretendia fazer o passeio no segundo horário da manhã, mas chegou atrasado à estação e, assim, teve que esperar 3 horas e 35 minutos até o horário seguinte. A que horas esse turista chegou à estação?

a) 10 h 55 min. b) 11h 15 min. c) 11h 25 min. d) 11h 45 min. e) 11h 55 min.

35. (METRO-SP 2007/FCC) Suponha que em uma parede da área de embarque de uma estação do Metrô há um relógio digital que registra horas, minutos e segundos. Salomé perguntou a um Agente de Estação qual o horário de chegada do próximo trem, e ele, apontando para o relógio digital, respondeu: “O trem chegará no instante em que, nesse relógio, os números que indicam as horas, os minutos e os segundos mudarem, simultaneamente, pela primeira vez.” Se no momento em que Salomé fez a pergunta o relógio marcava 07:55:38 (7 horas, 55 minutos e 38 segundos), então ela ainda teve que esperar pelo trem (A) 4 minutos e 32 segundos. (B) 4 minutos e 22 segundos. (C) 4 minutos e 12 segundos. (D) 3 minutos e 42 segundos. (E) 3 minutos e 32 segundos.

36. (METRO-SP 2007/FCC) Se um trem leva 2 minutos para percorrer o trajeto entre duas estações, o esperado é que outro trem, cuja velocidade média é 80% da velocidade do primeiro, percorra o mesmo trajeto em (A) 2 minutos e 40 segundos. (B) 2 minutos e 30 segundos. (C) 2 minutos e 20 segundos. (D) 2 minutos e 15 segundos. (E) 2 minutos e 5 segundos.

37. (METRO-SP 2010/FCC) Suponha que às 5h30min de certo dia, dois trens da Companhia do Metropolitano de São Paulo partiram simultaneamente de um mesmo terminal T e seguiram por Linhas diferentes. Considerando que a cada 78 minutos da partida um dos trens retorna a T, enquanto que o outro o faz a cada 84 minutos, então, nesse dia, ambos se encontraram novamente em T às (A) 19h42min. (B) 21h48min. (C) 21h36min. (D) 23h42min.



(E) 23h48min.

38. (DOCAS PA 2006/CESPE-UnB) Considere que o guarda portuário Pedro substituiu Carlos, com problemas de saúde, durante 12 dias e, em cada dia, durante 2 horas e 25 minutos. Nessa situação, para que Carlos retribua a Pedro o mesmo espaço de tempo trabalhado, deve substituí-lo durante 29 horas. 39. (Petrobras 2008/CESGRANRIO) O afixo do número complexo é o ponto 6; 10 . O módulo de z é igual a (A) 2√34(B) 4√17(C) 4√34(D) 4 (E) 8 40. (Petrobras Biocombustível 2010/CESGRANRIO) Sejam w = 3 − 2i e y = m +pi dois números complexos, tais que m e p são números reais e i, a unidade imaginária. Se w + y = −1 + 3i, conclui-se que m e p são, respectivamente, iguais a (A) − 4 e +1 (B) −4 e +5 (C) +2 e +1 (D) +2 e +5 (E) +4 e −1

41. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Sejam z e w dois números complexos não reais. Se z é o conjugado de w e z=2−3i, efetuando-se a operação z − w, o resultado encontrado será (A) − 6i (B) − 4 (C) − 2 (D) + 4 (E) + 6i

42. (Petrobras Distribuidora S.A. 2008/CESGRANRIO) Os números complexos z1, z2 e z3 formam, nessa ordem, uma progressão geométrica de razão i, onde i representa a unidade imaginária. Se z3 = 2 + i, então z1 é igual a (A) –2 – i (B) –2 + i (C) –1 – 2i (D) +1 – 2i (E) +2 – i

43. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Sejam z1 e z2 dois números complexos de mesmo módulo e x, um número real positivo. Se 12 · e 24√6 · , então é igual a

(A) 2 (B) 4 (C) 6√3



(D) 2√15(E) 4√15

44. (Petrobras 2010/CESGRANRIO) Em um treinamento, um supervisor fez algo diferente. Cada funcionário sorteou um cartão no qual estava escrito um número complexo não real e teve que calcular o seu módulo. Acertando o cálculo, o funcionário ganhava n balas, onde n correspondia ao menor número inteiro maior que o valor calculado. Carlos retirou o cartão no qual estava escrito “8−7i” e calculou corretamente o seu módulo. Quantas balas Carlos ganhou? (A) 4 (B) 5 (C) 7 (D) 10 (E) 11

45. (Petrobras 2008/CESGRANRIO) Sejam e dois números complexos, com e . Pode-se afirmar que o produto · é um número cujo afixo é um ponto situado no

(A) eixo imaginário. (B) eixo real. (C) 1º quadrante (D) 3º quadrante (E) 4º quadrante



13. Gabaritos

01. C 02. C 03. E 04. D 05. E 06. D 07. B 08. B 09. C 10. C 11. B 12. B 13. C 14. A 15. C 16. B 17. E 18. A 19. E 20. C 21. E 22. A 23. B 24. C 25. C 26. D 27. D 28. E 29. Certo 30. C 31. B 32. A 33. C 34. C 35. B 36. B



37. D 38. Certo 39. A 40. B 41. A 42. A 43. B 44. E 45. A

RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO DIRETO AO PONTO PROFESSOR: GUILHERME NEVES

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