RODRIGO ARAYA V. JAVIER MANCILLA V.

PROF. GUÍA: JOSÉ CERONIPROF. CO-GUÍA: VÍCTOR DONOSO

Medición de Rendimiento de Sistemas de Almacenamientos basado en Análisis Envolvente de Datos

Objetivos

Conceptos básicosModelo RatioModelo lineal CCRModelo CCR y su problema DualBCC - Input

Conceptos básicos

Productividad=

Entradas virtuales=

Salidas virtuales=

=

Conceptos básicos

Retornos constantes a escala

Retornos variables a escala

CASO 1: Una entrada y una salida

BODEGA A B C D E F G H

Espacio 2 3 3 4 5 5 6 8Órdenes terminada

s

1 3 2 3 4 2 3 5

0,5 1 0,67

0,75 0,8 0,4 0,5 0,625

Frontera Eficiente

1 2 3 4 5 6 7 8 90

1

2

3

4

5

6

A

B

C

D

E

F

G

H

ESPACIO

ÓRDE

NES

TERM

INAD

AS

Frontera Eficiente

Frontera Eficiente

Bodega B presenta el mayor ratio: =1Bodega B es eficiente y las demás son ineficientes

Frontera Eficiente

Caso 2: Una entrada y dos salidas

Bodega A B C D E F GEmpleados 1 1 1 1 1 1 1Órdenes terminada

s

1 2 3 4 4 5 6

Producto almacenad

o

5 7 4 3 6 5 2

0 1 2 3 4 5 6 7012345678

A

B

CD

EF

G

ÓRDENES TERMINADAS/EMPLEADOS

PROD

UCTO

S AL

MACE

NADO

S/EM

PLEA

DOS

Frontera Eficiente

Conjunto de Posibilidades de Producción

Frontera Eficiente

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

6

7

8

A

B

C

D

E

F

G

ÓRDENES TERMINADAS/EMPLEADOS

PROD

UCTO

S AL

MACE

NADO

S/EM

PLEA

DOS

Q

P

Decision Making Unit (DMU)

Modelo CCR

Modelo Ratio:() máx (1.1)

Sujeto a :(1.2) (1.3)(1.4)

Modelo CCR

De programación fraccional a lineal() máx (2.1)

Sujeto a:=1(2.2) (2.3)

(2.4)(2.5)

Eficiencia CCR

presenta eficiencia CCR: Si ), con y .Sino, es ineficiente CCR.=

Conjunto de Posibilidades de Producción (Production Possibility Set)

Propiedades de P:

Las actividades (xj, yj) (j=1,…,n) pertenecen a P.

Si una actividad (xj, yj) pertenece a P, entonces la actividad (tx, ty) pertenece a P para cualquier escalar positivo t. (propiedad de CRS).

Conjunto de Posibilidades de Producción (Production Possibility Set)

Para una actividad (x,y) en P, cualquier actividad semipositiva (,) con ≥ x e y está incluida en P.

Cualquier combinación lineal semipositiva de actividades en P pertenece a P.

P= {(x,y) / x X≥ λ , y ≤ Yλ, λ 0}≥

donde λ es un vector semipositivo en Rn.

Modelo CCR y el Problema Dual

(3.1)Sujeto a:

v (3.2)-vX + uY (3.3)u (3.4)

Problema Dual

(3.5)Sujeto a:

(3.6)(3.7)(3.8)

Donde = (λ1 ,…, n)T

Correspondencia entre problema lineal y dual

Restricción(LP)

Variable dual(DLP)

Restricción(DLP)

Variable primal(LP)

=1Y

Fase I

(3.5)

Sujeto a:

(3.6)

(3.7)

(3.8)

Fase II (extensión del DLP0)

max ω = e s- + e s+

Sujeto a:

s- = θ*xo – Xλs+ = Yλ – yo

λ ≥ 0, s- ≥ 0, s+ ≥ 0

Donde e = (1,…,1) e s- = e s+ =

Definición (Max-slack Solution, Zero-slack Activity)

Una solución óptima (λ*, s -*, s +*) de la fase II es llamada «solución max-slack».

Si la solución «max-slack» satisface: s -*

= 0 y s +* = 0 , entonces es llamada «zero-slack».

Definición (Eficiencia CCR, Eficiencia Ratio, Eficiencia Técnica)

Si una solución óptima (θ*, λ*, s -*, s +*) del problema de las 2 fases satisfacen θ* = 1 y es «zero-slack», entonces la DMU0 es llamada CCR-eficiente. De lo contrario la DMU0 es llamada CCR-ineficiente, porque

(i) θ* = 1 (eficiencia débil)(ii) s -* = 0 y s +* = 0

Condiciones Complementarias

Estas condiciones se sostienen entre cualquier solución óptima (v*, u*) de (LP0) y (λ*, s -*, s +*) de (DLP0).

v* s -* = 0

u* s +* = 0

CASO 3: Problema DUAL

DMU A B C D E F G

Entrada 43

73

81

42

24

101

37

Salida 1 1 1 1 1 1 1

CASO 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11012345678

A B

CD

E

F

G

Input 1

Input 2

Casos con retornos a escala variables

Modelo BCC-INPUT (4.1)

Sujeto a:(j=1,…,n) (4.2)

u , libre (4.3)

(4.4)Sujeto a:

v (4.5)-vX + uY (4.6)

u libre en signo (4.7)

(4.8)Sujeto a:

(4.9)(4.10)

e1(4.11)

(4.12)

Eficiencia BCC

Si una solución óptima () satisface

Conclusiones

Retornos variables a escala

BCC-INPUT

Resolución de problema utilizando DUAL