Математические заметки �Том 90 выпуск 5 ноябрь 2011

УДК 517.5

Наилучшие полиномиальные приближения в 𝐿2

некоторых классов 2𝜋-периодических функцийи точные значения их поперечников

М. Ш. Шабозов, Г. А. Юсупов

В статье рассматривается задача о нахождении точных неравенств меж-ду наилучшими приближениями периодических дифференцируемых функцийтригонометрическими полиномами и модулями непрерывности 𝑚-го порядкав пространстве 𝐿2, а также даны их приложения. Для некоторых классов функ-ций, определяемых указанными модулями непрерывности, вычислены точныезначения 𝑛-поперечников в 𝐿2.

Библиография: 22 названия.

1. Обозначим через 𝐿2[0, 2𝜋] пространство измеримых и суммируемых по Лебегу2𝜋-периодических действительных функций с конечной нормой

‖𝑓‖2 := ‖𝑓‖𝐿2[0,2𝜋] =(

1𝜋

∫ 2𝜋

0

|𝑓(𝑥)|2 𝑑𝑥)1/2

.

Пусть ℑ𝑛−1 – подпространство всевозможных тригонометрических полиномовпорядка 6 𝑛−1. Хорошо известно, что для произвольной функции 𝑓 ∈ 𝐿2, имеющейразложение в ряд Фурье

𝑓(𝑥) ∼ 𝑎0

2+

∞∑𝑘=1

(𝑎𝑘 cos 𝑘𝑥+ 𝑏𝑘 sin 𝑘𝑥),

величина ее наилучшего приближения элементами подпространства ℑ𝑛−1 равна

𝐸𝑛(𝑓)2 := inf{‖𝑓 − 𝑇𝑛−1‖2 : 𝑇𝑛−1(𝑥) ∈ ℑ𝑛−1} = ‖𝑓 − 𝑆𝑛−1(𝑓)‖2 ={ ∞∑

𝑘=𝑛

𝜌2𝑘

}1/2

,

где

𝑆𝑛−1(𝑓 ;𝑥) =𝑎0

2+

𝑛−1∑𝑘=1

(𝑎𝑘 cos 𝑘𝑥+ 𝑏𝑘 sin 𝑘𝑥)

— частичная сумма порядка 𝑛− 1 ряда Фурье функции 𝑓(𝑥), а 𝜌2𝑘

def= 𝑎2𝑘 + 𝑏2𝑘.

c○ М.Ш. Шабозов, Г.А. Юсупов, 2011

764

НАИЛУЧШИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В 𝐿2 НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ 765

Символом △𝑚ℎ (𝑓)2 обозначим норму разности 𝑚-го порядка функции 𝑓 ∈ 𝐿2

с шагом ℎ:

△𝑚ℎ (𝑓)2 := ‖△𝑚

ℎ 𝑓( · )‖2 ={

1𝜋

∫ 2𝜋

0

𝑚∑𝑘=0

(−1)𝑘

(𝑚

𝑘

)𝑓(𝑥+ 𝑘ℎ)

2𝑑𝑥

}1/2

и равенством𝜔𝑚(𝑓 ; 𝑡)2

def= sup{△𝑚ℎ (𝑓)2 : |ℎ| 6 𝑡}

определим модуль непрерывности 𝑚-го порядка функции 𝑓 ∈ 𝐿2.Под 𝐿𝑟

2 (𝑟 ∈ N, 𝐿02 = 𝐿2) понимаем множество функций 𝑓 ∈ 𝐿2, у которых про-

изводные (𝑟 − 1)-го порядка абсолютно непрерывны, а производные 𝑟-го порядка𝑓 (𝑟) ∈ 𝐿2. В пункте 2 при определении классов функций структурные свойствафункции 𝑓 ∈ 𝐿𝑟

2 охарактеризуем скоростью стремления к нулю модуля непрерывно-сти 𝑟-й производной 𝑓 (𝑟)(𝑥), задавая эту скорость посредством мажоранты некото-рой усредненной величины 𝜔𝑚(𝑓 (𝑟); 𝑡)2.

При решении экстремальных задач теории приближения дифференцируемых пе-риодических функций тригонометрическими полиномами в пространстве 𝐿2, свя-занных с нахождением точных констант в неравенствах типа Джексона–Стечкина

𝐸𝑛(𝑓)2 6 𝜒 · 𝑛−𝑟𝜔𝑚

(𝑓 (𝑟),

𝑡

𝑛

)2

, 𝑡 > 0,

рассматривались различные экстремальные характеристики, приводящие к уточне-нию оценок сверху постоянных 𝜒 (см., например, [1]–[16]). Следуя работе Вакар-чука [10], для компактного изложения некоторых результатов, полученных ранее,введем следующее обозначение:

𝜒𝑚,𝑛,𝑟,𝑝(𝜙;ℎ) = sup𝑓∈𝐿𝑟

2𝑓 =const

𝐸𝑛(𝑓)2(∫ ℎ

0𝜔𝑝

𝑚(𝑓 (𝑟), 𝑡)2𝜙(𝑡) 𝑑𝑡)1/𝑝

, (1)

где 𝑚,𝑛, 𝑟 ∈ N, 𝑝 ∈ (0,∞), 𝜙(𝑡) > 0, 0 < 𝑡 6 ℎ, 0 < ℎ 6 𝜋/𝑛, причем в (1) условнополагаем 0/0 def= 0.

Величины вида (1) в разное время изучали:1) Черных [1]:

a) 𝜒1,𝑛,𝑟,2(𝜙, 𝜋/𝑛), где 𝜙(𝑡) = sin𝑛𝑡;б) 𝜒𝑚,𝑛,0,2(𝜙, 2𝜋/𝑛), где 𝜙(𝑡) = sin(𝑛𝑡/2) + (sin𝑛𝑡)/2;

2) Тайков [3]: 𝜒1,𝑛,𝑟,2(𝜙, 𝑡), где 𝜙(𝑡) ≡ 1, 0 < 𝑡 6 𝜋/(2𝑛);3) Тайков [4]: 𝜒1,𝑛,𝑟,1(𝜙, 𝜋/𝑛), где 𝜙(𝑡) ≡ 1;4) Тайков [5]: 𝜒𝑚,𝑛,𝑟,2(𝜙, 𝑡), где 𝜙(𝑡) ≡ 1, 0 < 𝑡 6 𝜋/𝑛;5) Лигун [6]: 𝜒𝑚,𝑛,𝑟,2(𝜙, 𝑡), где 𝜙(𝑡) > 0; 0 < 𝑡 6 𝜋/𝑛;6) Айнуллоев [11]: 𝜒𝑚,𝑛,𝑟,2(𝜙, 𝑡), где 𝜙(𝑡) = sin𝛾 𝛽𝑡, 0 6 𝑡 6 ℎ; 0 6 𝛾 6 2𝑟 − 1,

𝑟 ∈ N, 𝛽 > 0, 0 < 𝛽ℎ 6 𝜋;7) Шалаев [7]: 𝜒𝑚,𝑛,𝑟,2/𝑚(𝜙, 𝜋/𝑛), где 𝜙(𝑡) = sin𝑛𝑡, при 𝑚 = 1 следует результат

Черныха из [1];8) Юссеф [16]: 𝜒1,𝑛,𝑟,2(𝜙, 𝑡), где 𝜙(𝑡) = sin(𝜋𝑡/ℎ); 0 < 𝑡 6 ℎ 6 𝜋/𝑛;9) М. Ш. Шабозов и О. Ш. Шабозов [12]: 𝜒𝑚,𝑛,𝑟,𝑝(𝜙, 𝑡), где 𝜙(𝑡) = sin𝛾(𝜋𝑡/ℎ),

1/𝑟 < 𝑝 6 2, 0 6 𝛾 6 𝑟𝑝− 1, 𝑟 ∈ N, 0 < 𝑡 6 ℎ 6 𝜋/𝑛;

766 М.Ш. ШАБОЗОВ, Г.А. ЮСУПОВ

10) Вакарчук [10]: 𝜒𝑚,𝑛,𝑟,2/𝑚(𝜙, 𝑡), где 𝜙(𝑡) ≡ 1, 0 6 𝑡 6 𝜋/(2𝑛);11) Юсупов [14]: 𝜒𝑚,𝑛,𝑟,𝑝(𝜙, 𝑡), где 𝜙(𝑡) = sin𝛾(𝛽𝑡/ℎ), 0 6 𝑡 6 ℎ, 0 < 𝛽 6 𝜋,

0 6 ℎ 6 𝜋/𝑛, 0 6 𝛾 6 𝑟𝑝− 1, 𝑟 ∈ N, 0 < 𝑝 6 2.Рассматривались также другие экстремальные характеристики, в определенном

смысле аналогичные (1) (см., например, [17]–[20]). Целью данного сообщения явля-ется обобщение известного неравенства Лигуна [6] при 0 < 𝑝 6 2, из которого приконкретном выборе весовой функции 𝜙(𝑡) вытекают цитированные выше результатыиз работ [1]–[11].

Теорема 1. Пусть 𝑚,𝑛, 𝑟 ∈ N, 0 < 𝑝 6 2, 0 < ℎ 6 𝜋/𝑛, 𝜙(𝑡) > 0, 0 < 𝑡 6 ℎ.Тогда справедливы неравенства

{𝐴𝑟,𝑚𝑛,ℎ,𝑝(𝜙)}−1 6 𝜒𝑚,𝑛,𝑟,𝑝(𝜙;ℎ) 6

{inf

𝑛6𝑘<∞𝐴𝑟,𝑚

𝑘,ℎ,𝑝(𝜙)}−1

, (2)

где

𝐴𝑟,𝑚𝑘,ℎ,𝑝(𝜙) = 2𝑚/2

(𝑘𝑟𝑝

∫ ℎ

0

(1− cos 𝑘𝑡)𝑚𝑝/2𝜙(𝑡) 𝑑𝑡)1/𝑝

, 𝑘 > 𝑛.

Доказательство. Воспользуемся следующим упрощенным вариантом неравен-ства Минковского [21; с. 32]:(∫ ℎ

0

( ∞∑𝑘=𝑛

|𝑓𝑘(𝑡)|2)𝑝/2

𝑑𝑡

)1/𝑝

>

( ∞∑𝑘=𝑛

(∫ ℎ

0

|𝑓𝑘(𝑡)|𝑝 𝑑𝑡)2/𝑝)1/2

, ℎ > 0, 0 < 𝑝 6 2,

и имея ввиду, что для произвольной 𝑓 ∈ 𝐿𝑟2 имеет место соотношение

𝜔2𝑚(𝑓 (𝑟); 𝑡)2 = 2𝑚 sup

{ ∞∑𝑘=1

𝑘2𝑟𝜌2𝑘(1− cos 𝑘𝑢)𝑚 : |𝑢| 6 𝑡

},

получаем (∫ ℎ

0

𝜔𝑝𝑚(𝑓 (𝑟); 𝑡)2𝜙(𝑡) 𝑑𝑡

)1/𝑝

>

{∫ ℎ

0

[2𝑚

∞∑𝑘=𝑛

𝑘2𝑟𝜌2𝑘(1− cos 𝑘𝑡)𝑚

]𝑝/2

𝜙(𝑡) 𝑑𝑡}1/𝑝

={∫ ℎ

0

(2𝑚

∞∑𝑘=𝑛

𝑘2𝑟𝜌2𝑘(1− cos 𝑘𝑡)𝑚[𝜙(𝑡)]2/𝑝

)𝑝/2

𝑑𝑡

}1/𝑝

>

{2𝑚

∞∑𝑘=𝑛

(𝑘𝑟𝑝𝜌𝑝

𝑘

∫ ℎ

0

(1− cos 𝑘𝑡)𝑚𝑝/2𝜙(𝑡) 𝑑𝑡)2/𝑝}1/2

={ ∞∑

𝑘=𝑛

𝜌2𝑘

[2𝑚/2

(𝑘𝑟𝑝

∫ ℎ

0

(1− cos 𝑘𝑡)𝑚𝑝/2𝜙(𝑡) 𝑑𝑡)1/𝑝]2}1/2

def=( ∞∑

𝑘=𝑛

𝜌2𝑘{𝐴

𝑟,𝑚𝑘,ℎ,𝑝(𝜙)}2

)1/2

> inf𝑛6𝑘<∞

𝐴𝑟,𝑚𝑘,ℎ,𝑝(𝜙)𝐸𝑛(𝑓)2, (3)

НАИЛУЧШИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В 𝐿2 НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ 767

откуда и следует оценка сверху в неравенстве (2). Оценку снизу, справедливую привсех 0 < ℎ 6 𝜋/𝑛, получаем для функции 𝑓0(𝑥) = cos𝑛𝑥 ∈ 𝐿𝑟

2 из следующей цепочкиравенств:

𝐸𝑛(cos𝑛 · )2 = 1 = 2𝑚/2

(𝑛𝑟𝑝

∫ ℎ

0(1− cos𝑛𝑡)𝑚𝑝/2𝜙(𝑡) 𝑑𝑡

)1/𝑝

𝐴𝑟,𝑚𝑛,ℎ,𝑝(𝜙)

=

(∫ ℎ

0(sup|𝑢|6𝑡 2𝑚𝑛2𝑟(1− cos𝑛𝑢)𝑚)𝑝/2𝜙(𝑡) 𝑑𝑡

)1/𝑝

𝐴𝑟,𝑚𝑛,ℎ,𝑝(𝜙)

=

(∫ ℎ

0𝜔𝑝

𝑚((cos𝑛 · )(𝑟), 𝑡)2𝜙(𝑡) 𝑑𝑡)1/𝑝

𝐴𝑟,𝑚𝑛,ℎ,𝑝(𝜙)

,

а потому имеем

𝜒𝑚,𝑛,𝑟,𝑝(𝜙;ℎ) >𝐸𝑛(cos𝑛 · )2(∫ ℎ

0𝜔𝑝

𝑚((cos𝑛 · )(𝑟), 𝑡)2𝜙(𝑡) 𝑑𝑡)1/𝑝

=(∫ ℎ

0

𝜔𝑝𝑚((cos𝑛 · )(𝑟), 𝑡)2𝜙(𝑡) 𝑑𝑡

)−1/𝑝

= {𝐴𝑟,𝑚𝑛,ℎ,𝑝(𝜙)}−1. (4)

Требуемое соотношение (2) теперь следует из сопоставления неравенств (3) и (4),чем и завершаем доказательство теоремы 1.

Положим ℎ = 𝑎/𝑛 и 𝜙(𝑡) = 𝑞(𝑛𝑡). Тогда

𝐴𝑟,𝑚𝑘,ℎ,𝑝(𝜙) = 2𝑚/2

(𝑘𝑟𝑝

∫ 𝑎/𝑛

0

(1− cos 𝑘𝑡)𝑚𝑝/2𝑞(𝑛𝑡) 𝑑𝑡)1/𝑝

= 2𝑚/2𝑛𝑟−1/𝑝

((𝑘

𝑛

)𝑟𝑝 ∫ 𝑎

0

(1− cos

𝑘

𝑛𝑡

)𝑚𝑝/2

𝑞(𝑡) 𝑑𝑡)1/𝑝

.

Откуда сразу следует, что

inf𝑛6𝑘<∞

𝐴𝑟,𝑚𝑘,ℎ,𝑝(𝜙) > 2𝑚/2𝑛𝑟−1/𝑝 · inf

𝑥>1

(𝑥𝑟𝑝

∫ 𝑎

0

(1− cos𝑥𝑡)𝑚𝑝/2𝑞(𝑡) 𝑑𝑡)1/𝑝

. (5)

В связи с неравенством (5) для формулировки последующих результатов парал-лельно с характеристикой (1) вводим следующую экстремальную характеристику:

𝜒𝑚,𝑛,𝑟,𝑝(𝑞; 𝑎) = sup𝑓∈𝐿𝑟

2𝑓 =const

2𝑚/2𝑛𝑟−1/𝑝𝐸𝑛(𝑓)2(∫ 𝑎

0𝜔𝑝

𝑚(𝑓 (𝑟), 𝑡/𝑛)2𝑞(𝑡) 𝑑𝑡)1/𝑝

,

более тонко учитывающую структурные свойства функции 𝑓 ∈ 𝐿𝑟2.

Используя рассуждение работы Лигуна [6] и теорему 1, сформулируем следующееутверждение.

Следствие 1. Пусть 𝑚,𝑛, 𝑟 ∈ N, 1/𝑟 < 𝑝 6 2 и 𝑞(𝑡) > 0, 0 < 𝑡 < 𝑎 6 𝜋 . Тогдаимеет место неравенство

{Φ𝑚,𝑟,𝑝(𝑎, 𝑞; 1)}−1/𝑝 6 𝜒𝑚,𝑛,𝑟,𝑝(𝑞; 𝑎) 6{

inf𝑥>1

Φ𝑚,𝑟,𝑝(𝑎, 𝑞;𝑥)}−1/𝑝

,

768 М.Ш. ШАБОЗОВ, Г.А. ЮСУПОВ

гдеΦ𝑚,𝑟,𝑝(𝑎, 𝑞;𝑥) = 𝑥𝑟𝑝

∫ 𝑎

0

(1− cos𝑥𝑡)𝑚𝑝/2𝑞(𝑡) 𝑑𝑡.

При этом, если функция 𝑞(𝑡), 0 6 𝑡 6 𝑎, такова, что

inf{Φ𝑚,𝑟,𝑝(𝑎, 𝑞;𝑥) : 𝑥 > 1} = Φ𝑚,𝑟,𝑝(𝑎, 𝑞; 1),

то справедливо равенство

𝜒𝑚,𝑛,𝑟,𝑝(𝑞; 𝑎) = {Φ𝑚,𝑟,𝑝(𝑎, 𝑞; 1)}−1/𝑝.

В частности, если 𝑞(𝑡) = 𝑡𝑟𝑝−1𝑞1(𝑡), 0 6 𝑡 6 𝑎, 𝑟𝑝 > 1 и функция 𝑞1(𝑡) не возрастаетна (0, 𝑎), то

inf{Φ𝑚,𝑟,𝑝(𝑎, 𝑡𝑟𝑝−1𝑞1(𝑡);𝑥) : 𝑥 > 1} = Φ𝑚,𝑟,𝑝(𝑎, 𝑡𝑟𝑝−1𝑞1(𝑡); 1). (6)

Доказательство. Для доказательства равенства (6) необходимо отметить, чтоесли

𝑞1(𝑡) = {𝑞(𝑡), 0 6 𝑡 6 𝑎; 𝑞(𝑎), 𝑎 > 𝑡},

то при всех 𝑥 > 1 имеем

Φ𝑚,𝑟,𝑝(𝑎, 𝑡𝑟𝑝−1𝑞1(𝑡);𝑥) =∫ 𝑎

0

(1− cos𝑥𝑡)𝑚𝑝/2(𝑥𝑡)𝑟𝑝−1𝑞1(𝑡) 𝑑(𝑥𝑡)

=∫ 𝑎𝑥

0

(1− cos 𝑡)𝑚𝑝/2𝑡𝑟𝑝−1𝑞1

(𝑡

𝑥

)𝑑𝑡

>∫ 𝑎𝑥

0

(1− cos 𝑡)𝑚𝑝/2𝑡𝑟𝑝−1𝑞1(𝑡) 𝑑𝑡

>∫ 𝑎

0

(1− cos 𝑡)𝑚𝑝/2𝑡𝑟𝑝−1𝑞1(𝑡) 𝑑𝑡 = Φ𝑚,𝑟,𝑝(𝑎, 𝑡𝑟𝑝−1𝑞1(𝑡); 1).

Следствие 1 доказано.

Пусть 𝐶(𝑚)[0, ℎ] – класс функций 𝜓(𝑡), у которых производная 𝜓(𝑚)(𝑡) ⊂ 𝐶[0, ℎ].Выясним, какими дифференциальными свойствами должна обладать весовая функ-ция 𝜙(𝑡), 0 6 𝑡 6 ℎ, чтобы выполнялось равенство

inf{𝐴𝑟,𝑚

𝑘,ℎ,𝑝(𝜙) : 𝑛 6 𝑘 <∞}

= 𝐴𝑟,𝑚𝑛,ℎ,𝑝(𝜙)

или, что то же самое,

𝜒𝑚,𝑛,𝑟,𝑝(𝑞; 𝑎) = {Φ𝑚,𝑟,𝑝(𝑎, 𝑞; 1)}−1/𝑝. (7)

Лемма. Пусть весовая функция 𝑞(𝑡) ∈ 𝐶(1)[0, 𝑎] (𝑎 > 0) удовлетворяет следую-щим условиям:

а) 𝑞(𝑡) > 0 для всех 𝑡 ∈ [0, 𝑎];б) при всех 1/𝑟 < 𝑝 6 2, 𝑟 ∈ N, 0 6 𝑡 6 𝑎 выполняется дифференциальное

неравенство(𝑟𝑝− 1)𝑞(𝑡)− 𝑡𝑞′(𝑡) > 0.

Тогда имеет место соотношение (7).

НАИЛУЧШИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В 𝐿2 НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ 769

Доказательство. Заметим, что для справедливости (7) достаточно доказать,что при выполнении условий леммы функция

Φ𝑚,𝑟,𝑝(𝑎, 𝑞;𝑥) = 𝑥𝑟𝑝

∫ 𝑎

0

(1− cos𝑥𝑡)𝑚𝑝/2𝑞(𝑡) 𝑑𝑡 (8)

при всех 𝑥 > 1 является монотонно возрастающей, причем

inf{Φ𝑚,𝑟,𝑝(𝑎, 𝑞;𝑥) : 𝑥 > 1} = Φ𝑚,𝑟,𝑝(𝑎, 𝑞; 1). (9)

Дифференцируя функцию (8), имеем

𝑑

𝑑𝑥Φ𝑚,𝑟,𝑝(𝑎, 𝑞;𝑥)

= 𝑟𝑝𝑥𝑟𝑝−1

∫ 𝑎

0

(1− cos𝑥𝑡)𝑚𝑝/2𝑞(𝑡) 𝑑𝑡+ 𝑥𝑟𝑝

∫ 𝑎

0

𝑑

𝑑𝑥(1− cos𝑥𝑡)𝑚𝑝/2𝑞(𝑡) 𝑑𝑡. (10)

Воспользовавшись тождеством

𝑑

𝑑𝑥(1− cos𝑥𝑡)𝑚𝑝/2 =

𝑡

𝑥

𝑑

𝑑𝑡(1− cos𝑥𝑡)𝑚𝑝/2

и выполнив интегрирование по частям во втором интеграле соотношения (10), с уче-том условия б) леммы получаем

𝑑

𝑑𝑥Φ𝑚,𝑟,𝑝(𝑎, 𝑞;𝑥)

= 𝑟𝑝𝑥𝑟𝑝−1

∫ 𝑎

0

(1− cos𝑥𝑡)𝑚𝑝/2𝑞(𝑡) 𝑑𝑡+ 𝑥𝑟𝑝−1

∫ 𝑎

0

𝑑

𝑑𝑡(1− cos𝑥𝑡)𝑚𝑝/2𝑡𝑞(𝑡) 𝑑𝑡

= 𝑥𝑟𝑝−1

{(1− cos 𝑎𝑥)𝑚𝑝/2𝑎𝑞(𝑎) +

∫ 𝑎

0

(1− cos𝑥𝑡)𝑚𝑝/2[(𝑟𝑝− 1)𝑞(𝑡)− 𝑡𝑞′(𝑡)] 𝑑𝑡}

> 0,

откуда сразу следует соотношение (9). Лемма доказана.

Следствие 2. Пусть 𝑞(𝑡) = sin𝛾(𝛽𝑡/ℎ), 0 6 𝛽 6 𝜋 , 0 6 𝑡 6 ℎ, 0 < ℎ 6 𝜋/𝑛,0 6 𝛾 6 𝑟𝑝−1, 1/𝑟 < 𝑝 6 2, 𝑟 ∈ N. Тогда при всех 𝑚,𝑛, 𝑟 ∈ N справедливы равенства

𝜒𝑚,𝑛,𝑟,𝑝

(sin𝛾

(𝛽𝑡

ℎ

);ℎ

)= 2−𝑚𝑛−𝑟

{∫ ℎ

0

(sin

(𝑛𝑡

2

))𝑚𝑝

sin𝛾

(𝛽𝑡

ℎ

)𝑑𝑡

}−1/𝑝

. (11)

В частности, при 𝛽 = 𝜋 , ℎ = 𝜋/𝑛 из (11) получаем

𝜒𝑚,𝑛,𝑟,𝑝

(sin𝛾 𝑛𝑡;

𝜋

𝑛

)= 2−(𝑚+𝛾/𝑝)𝐵−1/𝑝

(𝑚𝑝+ 𝛾 + 1

2,𝛾 + 1

2

)𝑛−𝑟+1/𝑝,

где 𝐵(𝑎, 𝑏) – бета-функция Эйлера.

Доказательство. В самом деле, при указанных в следствии 2 значениях пара-метров 𝑝, 𝑟, 𝛽, 𝛾, ℎ и с учетом вышедоказанной леммы имеем

(𝑟𝑝− 1)𝑞(𝑡)− 𝑡𝑞′(𝑡) =(𝛽𝑡

ℎ

)sin𝛾−1

(𝛽𝑡

ℎ

)[(𝑟𝑝− 1)

sin(𝛽𝑡/ℎ)𝛽𝑡/ℎ

− 𝛾 cos(𝛽𝑡

ℎ

)]𝑑𝑡 > 0,

5 Математические заметки, т. 90, вып. 5

770 М.Ш. ШАБОЗОВ, Г.А. ЮСУПОВ

поскольку выражение в квадратных скобках в силу условий следствия на 𝛾 (0 6𝛾 6 𝑟𝑝− 1) и неравенство

sin(𝛽𝑡/ℎ)(𝛽𝑡/ℎ)

− cos(𝛽𝑡

ℎ

)> 0, 0 6 𝛽 6 𝜋, 0 6 𝑡 6 ℎ, 0 < ℎ 6

𝜋

𝑛,

положительное, откуда и вытекает утверждение следствия 2.

Отметим, что результат следствия 2 при 𝑝 = 2, 𝛾 = 1, 𝛽 = 𝜋, ℎ = 𝜋/𝑛, 𝑚 ∈ Nранее доказан в работе Черных [1], случай 𝑝 = 2, 𝛾 = 0, 𝛽 = 𝜋, ℎ = 𝜋/𝑛, 𝑚 = 1имеется в работе Тайкова [5], 𝑝 = 2, 0 6 𝛾 6 2𝑟 − 1, 0 < 𝛽 6 𝜋, 0 < ℎ 6 𝜋/𝑛,𝑚,𝑛, 𝑟 ∈ N рассмотрен Айнуллоевым [11], а 1/𝑟 < 𝑝 6 2, 0 6 𝛾 6 𝑟𝑝 − 1, 𝛽 = 𝜋,ℎ = 𝜋/𝑛, 𝑚,𝑛, 𝑟 ∈ N М. Ш. Шабозовым и О. Ш. Шабозовым [12]. В общем случае,когда 0 < 𝑡 6 ℎ 6 𝜋/𝑛, 0 < 𝛽 6 𝜋, 0 6 𝛾 6 𝑟𝑝 − 1, 1/𝑟 < 𝑝 6 2, 𝑚,𝑛, 𝑟 ∈ N,соотношение (11) другим путем доказано в работе Юсупова [14].

2. Пусть 𝑆 – единичный шар в 𝐿2; M – выпуклое центрально-симметричное под-множество из 𝐿2; Λ𝑛 ⊂ 𝐿2 – 𝑛-мерное подпространство; Λ𝑛 ⊂ 𝐿2 – подпространствокоразмерности 𝑛; L : 𝐿2 → Λ𝑛 – непрерывный линейный оператор, переводящийэлементы пространства 𝐿2 в Λ𝑛; L ⊥ : 𝐿2 → Λ𝑛 – непрерывный оператор линейногопроектирования пространства 𝐿2 на подпространство Λ𝑛. Величины

𝑏𝑛(M, 𝐿2) = sup{sup{𝜀 > 0 : 𝜀𝑆 ∩ 𝐿𝑛+1 ⊂ M} : Λ𝑛+1 ⊂ 𝐿2

},

𝑑𝑛(M, 𝐿2) = inf{sup{‖𝑓‖2 : 𝑓 ∈ M ∩ Λ𝑛} : Λ𝑛 ⊂ 𝐿2

},

𝑑𝑛(M, 𝐿2) = inf{sup{inf{‖𝑓 − 𝑔‖2 : 𝑔 ∈ Λ𝑛} : 𝑓 ∈ M} : Λ𝑛 ⊂ 𝐿2

},

𝜆𝑛(M, 𝐿2) = inf{inf{sup{‖𝑓 −L 𝑓‖2 : 𝑓 ∈ M} : L𝐿2 ⊂ Λ𝑛} : Λ𝑛 ⊂ 𝐿2

},

𝜋𝑛(M, 𝐿2) = inf{inf{sup{‖𝑓 −L ⊥𝑓‖2 : 𝑓 ∈ M} : L ⊥𝐿2 ⊂ Λ𝑛} : Λ𝑛 ⊂ 𝐿2

}называют соответственно бернштейновским, гельфандовским, колмогоровским, ли-нейным, проекционным 𝑛-поперечниками в пространстве 𝐿2.

Так как 𝐿2 является гильбертовым пространством, справедливы следующие соот-ношения между перечисленными 𝑛-поперечниками [22]:

𝑏𝑛(M;𝐿2) 6 𝑑𝑛(M;𝐿2) 6 𝑑𝑛(M;𝐿2) = 𝜆𝑛(M;𝐿2) = 𝜋𝑛(M;𝐿2). (12)

Пусть Φ(𝑢) – произвольная непрерывная возрастающая при 𝑢 > 0 функция такая,что Φ(0) = 0. При любых 𝑚,𝑛, 𝑟 ∈ N, 0 6 𝛾 6 𝑟𝑝 − 1, 1/𝑟 < 𝑝 6 2, 0 < 𝛽 6 𝜋,0 < ℎ 6 𝜋/𝑛 определим класс функций

𝑊𝑚,𝑟𝑝,𝛾 (Φ) := 𝑊 (Φ;𝑚,𝑛, 𝑟, 𝑝, 𝛾, 𝛽)

={𝑓(𝑥) ∈ 𝐿𝑟

2 :∫ ℎ

0

𝜔𝑝𝑚(𝑓 (𝑟); 𝑡)2 sin𝛾 𝛽

ℎ𝑡 𝑑𝑡 6 Φ𝑝(ℎ)

}.

При выполнении некоторых условий относительно мажоранты Φ(𝑢) вычислимзначения вышеперечисленных 𝑛-поперечников класса 𝑊𝑚,𝑟

𝑝,𝛾 (Φ) в пространстве 𝐿2.С этой целью введем обозначение

(sin

𝑛𝑡

2

)𝑚

*

def=

⎧⎪⎨⎪⎩(

sin𝑛𝑡

2

)𝑚

, если 𝑛𝑡 6 𝜋;

1, если 𝑛𝑡 > 𝜋.

НАИЛУЧШИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В 𝐿2 НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ 771

Если N – некоторый класс функций из 𝐿2, то полагаем также

𝐸𝑛(N)𝐿2

def= sup{𝐸𝑛(𝑓)2 : 𝑓 ∈ N}.

Теорема 2. Если для любого заданного 0 < 𝜇 6 1 и для всех 𝜆 > 0, 0 < 𝛽 , 𝑢 6 𝜋 ,0 6 𝛾 6 𝑟𝑝− 1, 1/𝑟 < 𝑝 6 2, функция Φ(𝑢) удовлетворяет условию

Φ𝑝(𝜇𝑢)∫ 𝜆𝜋

0

(sin

𝑣

2

)𝑚𝑝

*sin𝛾 𝛽𝑣

𝜆𝜋𝑑𝑣 6 Φ𝑝(𝜆𝑢)

∫ 𝜇𝜋

0

(sin

𝑣

2

)𝑚𝑝

sin𝛾 𝛽𝑣

𝜇𝜋𝑑𝑣, (13)

то и с любыми 𝑚,𝑛, 𝑟 ∈ N справедливы равенства

𝜌2𝑛(𝑊𝑚,𝑟𝑝,𝛾 (Φ), 𝐿2) = 𝜌2𝑛−1(𝑊𝑚,𝑟

𝑝,𝛾 (Φ), 𝐿2) = 𝐸𝑛(𝑊𝑚,𝑟𝑝,𝛾 (Φ))𝐿2

= 2−𝑚𝑛−𝑟

(∫ 𝜇𝜋/𝑛

0

(sin

𝑛𝑡

2

)𝑚𝑝

sin𝛾 𝑛𝛽

𝜇𝜋𝑡 𝑑𝑡

)−1/𝑝

Φ(𝜇𝜋

𝑛

),

где 𝜌𝑘( · ) – любой из вышеперечисленных 𝑘-поперечников 𝑏𝑘( · ), 𝑑𝑘( · ), 𝑑𝑘( · ), 𝜆𝑘( · )и 𝜋𝑘( · ).

Доказательство. Оценку сверху для проекционного 𝑛-поперечника с учетомопределения класса𝑊𝑚,𝑟

𝑝,𝛾 (Φ) и характеристики 𝜒𝑚,𝑛,𝑟,𝑝( · ) получим из равенства (11)при ℎ = 𝜇𝜋/𝑛 (0 < 𝜇 6 1):

𝜋2𝑛(𝑊𝑚,𝑟𝑝,𝛾 (Φ), 𝐿2) 6 𝜋2𝑛−1(𝑊𝑚,𝑟

𝑝,𝛾 (Φ), 𝐿2) 6 sup{𝐸𝑛(𝑓) : 𝑓 ∈𝑊𝑚,𝑟𝑝,𝛾 (Φ), 𝐿2}

6 2−𝑚𝑛−𝑟

(∫ 𝜇𝜋/𝑛

0

(sin

𝑛𝑡

2

)𝑚𝑝

sin𝛾 𝑛𝛽

𝜇𝜋𝑡 𝑑𝑡

)−1/𝑝

Φ(𝜇𝜋

𝑛

). (14)

С целью получения оценки снизу бернштейновского 𝑛-поперечника класса 𝑊𝑚,𝑟𝑝,𝛾 (Φ)

вводим в рассмотрение (2𝑛+ 1)-мерную сферу полиномов

𝜎2𝑛+1 ={𝑇𝑛(𝑥) : ‖𝑇𝑛‖2 = 2−𝑚𝑛−𝑟

(∫ 𝜇𝜋/𝑛

0

(sin

𝑛𝑡

2

)𝑚𝑝

sin𝛾 𝑛𝛽

𝜇𝜋𝑡 𝑑𝑡

)−1/𝑝

Φ(𝜇𝜋

𝑛

)}и докажем, что 𝜎2𝑛+1 ⊂𝑊𝑚,𝑟

𝑝,𝛾 (Φ).В работе [5] доказано, что для произвольного полинома 𝑇𝑛(𝑥) ∈ 𝜎2𝑛+1 имеет место

неравенство

𝜔𝑚(𝑇 (𝑟)𝑛 , 𝑡)2 6 2𝑚𝑛𝑟

(sin

𝑛𝑡

2

)𝑚

*‖𝑇𝑛‖2. (15)

Неравенство (15) возведем в степень 𝑝, 1/𝑟 < 𝑝 6 2, умножим на sin𝛾(𝛽𝑡/𝜆𝑢) ипроинтегрируем по 𝑡 в промежутке [0, 𝜆𝑢], затем делаем замену переменной 𝑛𝑡 =𝑣 в правой части и заменяем норму полинома по формуле радиуса сферы 𝜎2𝑛+1.В итоге после всех этих операций получаем∫ 𝜆𝑢

0

𝜔𝑝𝑚(𝑇 (𝑟)

𝑛 , 𝑡)2 sin𝛾 𝛽𝑡

𝜆𝑢𝑑𝑡 6

Φ𝑝(𝜇𝜋/𝑛)∫ 𝜆𝑢

0(sin𝑛𝑡/2)𝑚𝑝

* sin𝛾(𝛽𝑡/𝜆𝑢) 𝑑𝑡∫ 𝜇𝜋/𝑛

0(sin𝑛𝑡/2)𝑚𝑝 sin𝛾(𝑛𝛽/(𝜇𝜋))𝑡 𝑑𝑡

=Φ𝑝(𝜇𝜋/𝑛)

∫ 𝜆𝑛𝑢

0(sin 𝑣/2)𝑚𝑝

* sin𝛾(𝛽𝑣/(𝜆𝑛𝑢)) 𝑑𝑣∫ 𝜇𝜋

0(sin 𝑣/2)𝑚𝑝 sin𝛾(𝛽𝑣)/(𝜇𝜋) 𝑑𝑣

.

5*

772 М.Ш. ШАБОЗОВ, Г.А. ЮСУПОВ

Введя обозначения 𝑢 = 𝜋/𝑛 и используя условие (13) теоремы, приходим к неравен-ству∫ 𝜆𝑢

0

𝜔𝑝𝑚(𝑇 (𝑟)

𝑛 , 𝑡)2 sin𝛾 𝛽𝑡

𝜆𝑢𝑑𝑡 6

Φ𝑝(𝜇𝑢)∫ 𝜆𝜋

0(sin 𝑣/2)𝑚𝑝

* sin𝛾(𝛽𝑣)/(𝜆𝜋) 𝑑𝑣∫ 𝜇𝜋

0(sin 𝑣/2)𝑚𝑝 sin𝛾(𝛽𝑣)/(𝜇𝜋) 𝑑𝑣

6 Φ𝑝(𝜆𝑢),

откуда следует включение 𝜎2𝑛+1 ⊂ 𝑊𝑚,𝑟𝑝,𝛾 (Φ). Отсюда по теореме Тихомирова [22]

для бернштейновского 𝑛-поперечника имеем оценку снизу

𝑏2𝑛−1(𝑊𝑚,𝑟𝑝,𝛾 (Φ), 𝐿2) > 𝑏2𝑛(𝑊𝑚,𝑟

𝑝,𝛾 (Φ), 𝐿2) > 𝑏2𝑛(𝜎2𝑛+1, 𝐿2)

= 2−𝑚𝑛−𝑟

(∫ 𝜇𝜋/𝑛

0

(sin

𝑛𝑡

2

)𝑚𝑝

sin𝛾 𝑛𝛽

𝜇𝜋𝑡 𝑑𝑡

)−1/𝑝

Φ(𝜇𝜋

𝑛

). (16)

Сопоставляя неравенства (14) и (16), с учетом соотношения (12), получим утвер-ждение теоремы 2.

Замечание. Сделав замену переменной 𝑛𝑡 = 𝑢, утверждение теоремы 2 запишемв виде

𝛾2𝑛(𝑊𝑚,𝑟𝑝,𝛾 (Φ), 𝐿2) = 𝛾2𝑛−1(𝑊𝑚,𝑟

𝑝,𝛾 (Φ), 𝐿2) = 𝐸𝑛(𝑊𝑚,𝑟𝑝,𝛾 (Φ))𝐿2

= 2−𝑚𝑛−𝑟+1/𝑝

(∫ 𝜇𝜋

0

(sin

𝑡

2

)𝑚𝑝

sin𝛾 𝛽

𝜇𝜋𝑡 𝑑𝑡

)−1/𝑝

Φ(𝜇𝜋

𝑛

).

Условия теоремы 2 выглядят неестественными и труднопроверяемыми. Но этоне так. Легко проверить, что условие (13) является необходимым и достаточнымусловием, для того чтобы совокупность функций{

2−𝑚𝑛−𝑟+1/𝑝

(∫ 𝜇𝜋

0

(sin

𝑡

2

)𝑚𝑝

sin𝛾 𝛽

𝜇𝜋𝑡 𝑑𝑡

)−1/𝑝

Φ(𝜇𝜋

𝑛

)}·{

sin𝑛𝑥cos𝑛𝑥

}принадлежала классу 𝑊𝑚,𝑟

𝑝,𝛾 (Φ).Ниже мы проанализируем условия теоремы 2 и ради простоты при 𝛾 = 0 найдем

значения 𝛼, при которых функция Φ*(𝑢) = 𝑢𝛼 удовлетворяет этим условиям. С этойцелью запишем неравенство (13) в эквивалентной форме∫ 𝜆𝜋

0(sin 𝑣/2)𝑚𝑝

* 𝑑𝑣∫ 𝜇𝜋

0(sin 𝑣/2)𝑚𝑝 𝑑𝑣

6

(𝜆

𝜇

)𝛼𝑝

, 𝜆 > 0, 0 < 𝜇 6 1. (17)

Имеет место следующее утверждение.

Теорема 3. Для того чтобы неравенство (17) имело место с любыми задан-ными 𝜆 > 0, 0 < 𝜇 6 1, 𝑚, 𝑟 ∈ N, 1/𝑟 < 𝑝 6 2, необходимо и достаточно, чтобычисло 𝛼 = 𝛼(𝜇;𝑚, 𝑝) определялось по формуле

𝛼 = 𝛼(𝜇;𝑚, 𝑝) = 𝜇𝜋

(sin

𝜇𝜋

2

)𝑚𝑝{𝑝

∫ 𝜇𝜋

0

(sin

𝑣

2

)𝑚𝑝

𝑑𝑣

}−1

. (18)

Доказательство. Приравнивая производные по 𝜆 от левой и правой частейнеравенства (17) при 𝜆 = 𝜇, получаем (18). Из неравенства (18) при любых 0 <

НАИЛУЧШИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В 𝐿2 НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ 773

𝜇 6 1, 𝑚, 𝑟 ∈ N, 1/𝑟 < 𝑝 6 2 определим границы значения числа 𝛼. Докажемнеравенство (17) с ограничениями

1𝑝

6 𝛼(𝜇;𝑚, 𝑝) 6 𝜇−𝑚𝑝

(𝑚+

1𝑝

).

В самом деле, из равенства (18), оценивая 𝛼(𝜇;𝑚, 𝑝), получаем

1𝑝

6 𝛼(𝜇;𝑚, 𝑝) =𝜇𝜋(sin(𝜇𝜋/2))𝑚𝑝

𝑝∫ 𝜇𝜋

0(sin 𝑣/2)𝑚𝑝 𝑑𝑣

6𝜋

2𝑝∫ 𝜋/2

0((2/𝜋)𝜇𝑣)𝑚𝑝 𝑑𝑣

= 𝜇−𝑚𝑝

(𝑚+

1𝑝

).

Поскольку согласно этому неравенству 𝛼 < 𝜇−𝑚𝑝(𝑚+ 1/𝑝), 0 < 𝜇 6 1, для доста-точно малых 𝜆 > 0 неравенство (17) выполняется. Из определения 𝛼 = 𝛼(𝜇;𝑚, 𝑝)следует другая эквивалентная форма неравенства (17):

(1/𝜋)∫ 𝜆𝜋

0(sin 𝑣/2)𝑚𝑝

* 𝑑𝑣

(sin(𝜇𝜋/2))𝑚𝑝6

𝜇

𝛼𝑝

(𝜆

𝜇

)𝛼𝑝

. (19)

Обе части неравенства (19) совпадают на концах интервала 𝜆 ∈ (0, 𝜇) вместесо своими производными по 𝜆. Если допустить знак равенства в (19) на данноминтервале, то производные обеих частей неравенства (19)

(sin𝜆𝜋/2)𝑚𝑝*

(sin𝜇𝜋/2)𝑚𝑝,

(𝜆

𝜇

)𝛼𝑝−1

будут совпадать на четырех различных точках отрезка [0, 𝜇].Таким образом, функция

𝑟(𝜆) =(sin𝜆𝜋/2)*(sin𝜇𝜋/2)

−(𝜆

𝜇

)(𝛼𝑝−1)/𝑚𝑝

имеет четыре нуля на [0, 𝜇]. Это означает, что производная

𝑟′(𝜆) =𝜋/2(cos𝜆𝜋/2)*

(sin𝜇𝜋/2)− 𝛼𝑝− 1

𝜇𝑚𝑝

(𝜆

𝜇

)(𝛼𝑝−1−𝑚𝑝)/𝑚𝑝

имеет три различных нуля на интервале (0, 𝜇), и мы пришли к противоречию. Этимнеравенство (17) доказано для 𝜆 ∈ (0, 𝜇].

Если предположить, что неравенство (17) не имеет места для 𝜆 > 𝜇, то обяза-тельно найдется 𝜆 = 𝜇* > 𝜇, для которого в (17) будет реализовано равенство. Этоследует из того, что левая часть в (17) является линейной функцией от 𝜆 при 𝜆 > 1,а правая часть – возрастающая выпуклая вниз функция, поскольку по определению𝛼𝑝 > 1. Таким образом, функция 𝑟(𝜆) будет иметь четыре нуля на полуинтервале[0, 𝜇*), а ее производная 𝑟′(𝜆) – по крайне мере, три различных нуля при 0 < 𝜆 < 𝜇*,и мы опять пришли к противоречию. Этим неравенство (17) доказано.

Следствие 3. Для любых натуральных 𝑚, 𝑛, 𝑟 , 1/𝑟 < 𝑝 6 2,

𝛼 = 𝛼(1;𝑚, 𝑝) =√𝜋

𝑝· Γ

(𝑚𝑝

2+ 1

)·{

Γ(𝑚𝑝+ 1

2

)}−1

,

774 М.Ш. ШАБОЗОВ, Г.А. ЮСУПОВ

Γ(𝑏) – гамма-функция Эйлера, справедливы равенства

𝜌2𝑛(𝑊𝑚,𝑟𝑝,0 (Φ*), 𝐿2) = 𝜌2𝑛−1(𝑊

𝑚,𝑟𝑝,0 (Φ*), 𝐿2) = 𝐸𝑛(𝑊𝑚,𝑟

𝑝,0 (Φ*))𝐿2

= 2−𝑚(𝛼𝑝)1/𝑝𝜋𝛼−1/𝑝𝑛−𝑟−𝛼+1/𝑝,

где 𝜌𝑘( · ) – любой из вышеперечисленных 𝑘-поперечников 𝑏𝑘( · ), 𝑑𝑘( · ), 𝑑𝑘( · ), 𝜆𝑘( · )и 𝜋𝑘( · ).

Авторы благодарят рецензента за ценные замечания.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Н.И. Черных, “О наилучшем приближении периодических функций тригонометри-ческими полиномами в 𝐿2”, Матем. заметки, 2:5 (1967), 513–522.

[2] Н.И. Черных, “О неравенстве Джексона в 𝐿2”, Приближение функций в среднем,Сборник работ, Тр. МИАН СССР, 88, 1967, 71–74.

[3] Л.В. Тайков, “Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непре-рывности функций из 𝐿2”, Матем. заметки, 20:3 (1976), 433–438.

[4] Л.В. Тайков, “Наилучшие приближения дифференцируемых функций в метрике про-странства 𝐿2”, Матем. заметки, 22:4 (1977), 535–542.

[5] Л.В. Тайков, “Структурные и конструктивные характеристики функций из 𝐿2”, Ма-тем. заметки, 25:2 (1979), 217–223.

[6] А.А. Лигун, “Некоторые неравенства между наилучшими приближениями и модуля-ми непрерывности в пространстве 𝐿2”, Матем. заметки, 24:6 (1978), 785–792.

[7] В.В. Шалаев, “О поперечниках в 𝐿2 классов дифференцируемых функций, определя-емых модулями непрерывности высших порядков”, Укр. матем. журн., 43:1 (1991),125–129.

[8] С.Б. Вакарчук, “О наилучших полиномиальных приближениях в 𝐿2 некоторых клас-сов 2𝜋-периодических функций и точных значениях их 𝑛-поперечников”, Матем. за-метки, 70:3 (2001), 334–345.

[9] С.Б. Вакарчук, “Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значе-ния поперечников функциональных классов из 𝐿2”, Матем. заметки, 78:5 (2005),792–796.

[10] С.Б. Вакарчук, “Неравенства типа Джексона и поперечники классов функций в 𝐿2”,Матем. заметки, 80:1 (2006), 11–19.

[11] Н. Айнуллоев, “О поперечниках дифференцируемых функций в 𝐿2”, Докл. АНТаджССР, 28:6 (1985), 309–313.

[12] М.Ш. Шабозов, О. Ш. Шабозов, “О поперечниках классов периодических функцийв пространстве 𝐿2[0, 2𝜋]”, Докл. АН РТ, 49:2 (2006), 111–115.

[13] Х. Юссеф, “О наилучших приближениях функций и значениях поперечников классовфункций в 𝐿2”, Применение функционального анализа в теории приближений, Сб.научн. трудов, Калининский гос. ун-т, Калинин, 1988, 100–114.

[14] Г.А. Юсупов, “О точных значениях поперечников некоторых классов периодическихдифференцируемых функций в пространстве 𝐿2[0, 2𝜋]”, Докл. АН РТ, 51:12 (2008),810–817.

[15] В.А. Юдин, “Диофантовы приближения в экстремальных задачах в 𝐿2”, Докл. АНСССР, 251:1 (1980), 54–57.

[16] В.И. Иванов, О. И. Смирнов, Константы Джексона и константы Юнга в простран-ствах 𝐿𝑝, Тульский гос. ун-т, Тула, 1995.

[17] С.Н. Васильев, “Точное неравенство Джексона–Стечкина в 𝐿2 с модулем непрерыв-ности, порожденным произвольным конечно-разностным оператором с постояннымикоэффициентами”, Докл. РАН, 385:1 (2002), 11–14.

НАИЛУЧШИЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В 𝐿2 НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ 775

[18] М. Г. Есмаганбетов, “Поперечники классов из 𝐿2[0, 2𝜋] и минимизация точных кон-стант в неравенствах типа Джексона”, Матем. заметки, 65:6 (1999), 816–820.

[19] С. Б. Вакарчук, А.Н. Щитов, “Наилучшие полиномиальные приближения в 𝐿2 и по-перечники некоторых классов функций”, Укр. матем. журн., 56:11 (2004), 1458–1466.

[20] А. С. Сердюк, А. И. Степанец, “Прямые и обратные теоремы теории приближенийфункций в пространстве 𝑆𝑝”, Укр. матем. журн., 54:1 (2002), 106–124.

[21] G.H. Hardy, J. E. Littlewood, G. Polya, Inequalities, Cambridge Univ. Press, Cambrige,1952.

[22] В. М. Тихомиров, Некоторые вопросы теории приближений, Изд-во Моск. ун-та, М.,1976.

М.Ш. ШабозовИнститут математики АН Республики Таджикистан,г. ДушанбеE-mail : shabozov@mail.ru

Г. А. ЮсуповТаджикский национальный университет, г. ДушанбеE-mail : G_7777@mail.ru

Поступило22.02.2010

Исправленный вариант29.09.2010