01Analise Pi Final14Jul2014

Universidade Estadual deCampinas

Instituto de Matemática, Estatística e Ciências daComputação

IMECC

Ivan Andrés Saavedra Peralta

Análise do conceito decírculo e da

existência do número na matemática egípcia

da antiguidade

Análise do conceito de círculo e da existência do número namatemática egípcia da antiguidade

Orientador: Prof. Dr. Dicesar Lass Fernandez

CampinasAgosto de 2014

Sumário

1.0 – Resumo......................................032.0 – Motivação...................................033.0 – Introdução Histórica........................044.0 – Conteúdo Geral do papiro Rhind..............055.0 – Análise Geral do Problema 41 do papiro Rhind 066.0 – Análise Específica dos Problemas de 42 até 55 dopapiro Rhind......................................087.0 – Conclusões da análise dos problemas de 41 até 55do papiro Rhind...................................128.0 – Exemplos de interpretações equivocadas......149.0 – Exemplos de interpretações corretas.........1510.0 – Conclusões finais..........................1611.0 – Referências bibliográficas.................17

Data de Impressão: 18/10/2022Ivan Andrés Saavedra Peralta Página 2/27


1.0 – Resumo

Este trabalho analisa detalhadamente todos os problemas dopapiro Rhind que tratam de círculos com o objetivo de verificar comoele era tratado na matemática egípcia da antiguidade e se realmenteexistiu o número nos cálculos de área de círculos. Para acessar oconteúdo original dos problemas, nos baseamos na primeira traduçãoamericana do papiro Rhind, realizada por Arnold Buffum Chace, com o



apoio da Mathematical Association of America e publicado em 1927nos Estados Unidos da América.

Dessa análise, concluímos que na matemática egípcia não existiunem o conceito de e nem o seu valor, não existiu uma descrição decomo o círculo era definido e nem como era construído. Foi deduzidodos problemas que o círculo era produzido como uma figura redondainterna a um quadrado, ligando os pontos médios dos lados doquadrado circunscrito. Somente o diâmetro era usado para descreverum círculo, sendo que seu diâmetro seria obtido pela medida do ladodo quadrado circunscrito. Portanto, não usavam nem o raio e nem operímetro para caracterizar um círculo.

2.0 – Motivação

Não é difícil encontrar pessoas instruídas afirmando que amatemática egípcia da antiguidade era muito evoluída e como provadessa convicção, entre outros argumentos e exemplos, apresentam ovalor muito preciso que os egípcios usariam para a constante docírculo, denominada atualmente de . Essa convicção é bastantelongeva, datando da época em que foi decifrada a escritahieroglífica por Champollion. A decifração da escrita egípciapossibilitou a tradução de diversos documentos da antiguidadeegípcia, entre eles alguns de conteúdo matemático, tais como opapiro Rhind.

A primeira geração de especialistas a ter acesso aos documentosmatemáticos antigos egípcios, analisava tais documentos segundo umavisão contemporânea, interpretando os problemas matemáticos antigos,conforme as convenções da matemática do século XX. A partir dessemodo de analisar a matemática da antiguidade, surgiram algumasinterpretações equivocadas, tais como a questão da existência donúmero na matemática egípcia.

Neste trabalho, inicialmente nos propusemos a seguinte questão:existiu realmente o conceito do número na matemática egípcia daantiguidade, como afirmam diversos autores especializados emhistória da matemática ? Dessa simples questão, surgiram outrosquestionamentos inter-relacionados, que nos levaram a tomarconsciência de que algumas idéias sustentadas como inquestionáveis,se baseiam numa interpretação tendenciosa de um primeiro



investigador, normalmente muito conceituado. Por ser um“especialista de reputação”, suas afirmações foram consideradasverdadeiras por outros estudiosos do assunto, que acabaram porautenticar essa interpretação ao citá-la em seus trabalhos, sem umaanálise detalhada e minuciosa das fontes originais, até que se tornaum consenso dentro de uma comunidade de especialistas. Depois disso,o consenso se torna uma “verdade” aceita, e conseqüentemente, dedifícil questionamento. Uma dessas idéias, que pretendemos avaliar,é a da existência do número na matemática da antiguidade egípcia.

Com esse objetivo, fizemos uma análise de todos os problemasenvolvendo o cálculo de áreas de círculos, baseados num documento-fonte da matemática egípcia antiga, muito conhecido, famoso enomeado de papiro Rhind.

3.0 – Introdução Histórica

O documento histórico e matemático da antiguidade egípcia,conhecido como “papiro Rhind”, foi comprado no Egito em 1.858, porum advogado escocês chamado Alexander Henry Rhind, numa viagem quefez ao vale do rio Nilo, por sugestão médica, para tratamento de umproblema de saúde. Segundo informações dos negociantes de relíquiasantigas egípcias, esse papiro havia sido descoberto alguns anosantes nas ruínas da antiga cidade de Tebas, no alto Egito, próximo àcidade atual de Luxor.

Alexander Rhind morreu 5 anos depois da aquisição desse papirono Egito, o qual foi comprado pelo Museu Britânico. Nessa épocagrande parte do papiro estava perdida. Passados 50 anos foramencontrados alguns fragmentos na Sociedade Histórica de Nova York.Alguns estudiosos consideram que é de 1.550 a.C.

Esse papiro é um rolo de 513,0 centímetros de comprimento e 32centímetros de largura que está atualmente exposto no museubritânico, na sua forma desenrolada. Foi adquirido em 1.865 pelomuseu, após a morte de Alexander Rhind e recebeu seu nome emhomenagem a seu “descobridor”. É um dos três documentos maisimportantes da matemática antiga egípcia, juntamente com o papiroMoscou e o papiro Berlim. Além deles, existem outros papiros,



segundo alguns historiadores, de menor importância: papiro Kahum ePapiro de Ajmin.

Papiro Rhind: 84 problemas. Datado de 1.650 a.C.Papiro Moscou: 25 problemas. Datado de 1.800 a.C.

No papiro Rhind há dois conjuntos de problemas matemáticosidentificados por BM 10.058 (que ocupa 199,5 cm do comprimento) e BM10.057 (que ocupa 295,5 cm do comprimento), tendo 18 cm de intervaloentre eles, separando os dois conjuntos de problemas dentro dopapiro desenrolado. Segundo Arnold Buffum Chace, na sua tradução de1.927, no total há 84 problemas matemáticos. Esses problemas abordamassuntos relativos à aritmética, álgebra primitiva (verbal),geometria e medição (área e volume), progressões aritméticas eprogressões geométricas.

O papiro Rhind é um documento autêntico, mas também é uma cópiade um documento escrito anteriormente que acredita-se ter sido ooriginal, mas que também pode ter sido uma cópia de outro ainda maisantigo. Segundo o escriba do papiro Rhind, o copista Ahmose, estefez uma cópia de um documento anterior, “no ano 33 do reinado deApophis” o penúltimo rei da décima quinta dinastia dos Hyksos (porvolta de 1.650 a 1.550 a.C.). Portanto, sabe-se pelo escriba copistaque o papiro Rhind foi copiado de um original da décima segundadinastia (por volta de 1.985 a 1.795 a.C).

No papiro Rhind, o escriba Ahmose, também chamado de Ahmes,escreve: “Este livro foi copiado no ano 33, no quarto mês da estaçãoda inundação, debaixo da majestade do rei do Alto e Baixo Egito, “A-user-Re” , dotado com vida, em semelhança com os escritos antigosfeitos no tempo do rei do Alto e Baixo Egito, “Ne-ma’et-Re”. É oescriba “A’h-mose” quem copia este escrito”. [2] Nesse texto apalavra “Re” é um título oficial, representado o título de rei.

Desse modo, o próprio papiro Rhind se apresenta como uma cópiade um documento ainda mais antigo ( por volta de 200 anos antes ) oqual nada impede que também tenha sido cópia de algum outro aindamais antigo, de modo que alguns especialistas chegam a afirmar quesua abordagem matemática remontaria a 3.000 a.C.



4.0 – Conteúdo Geral do papiro Rhind

O texto no papiro Rhind é escrito da direita para a esquerda emescrita hierática (cursiva). Possui duas cores: preto e vermelha e éacompanhado de desenhos de formas geométricas. Assim, como a maioriados registros matemáticos antigos, este também não apresentadefinições, nem axiomas, nem teoremas, nem regras gerais, nemfórmulas aritméticas, nem deduções lógicas. Apresenta apenas algunsproblemas de natureza específica usando números particulares. Amaior parte desses problemas é apresentada como histórias narradas,tratando sobre questões cotidianas como encontrar a área de umcampo, ou encontrar o volume de um celeiro. Além disso, há problemasrecreacionais ou de enigmas, os quais aparentemente não tem nenhumafinalidade prática. [2]

Os eruditos pensam que é uma coleção de exercícios para uso emescolas de escribas, os quais tinham que saber ler, saber escrever esaber aritmética para realizar contas simples. Através davisualização das obras de construção civil e religiosa, obrasartísticas, museus e bibliotecas que existiram na antiguidadeegípcia, poderíamos conjecturar que a matemática egípcia deveria tersido bastante prática e avançada, entretanto, neste trabalho nosbaseamos somente nos registros históricos matemáticos (papiros),seguindo a tradição do método histórico-científico de somenteafirmar aquilo que está devidamente documentado. A tradição oral e oconjunto arquitetônico-artístico dos povos da antiguidade podemrevelar muita coisa sobre o passado, mas não demonstra nadasolidamente, produzindo mais hipóteses do que conclusões. Asconclusões cientificamente corretas devem estar baseadas nosdocumentos, por isso partimos para a análise dos demais problemas dopapiro Rhind.

Segundo Richard J. Gillings, no seu livro “Mathematics in theTime of the Pharaohs”, o conteúdo do papiro Rhind pode serclassificado conforme o tipo de problemas abordados, de acordo com oesquema a seguir: Problemas de 1 até 6: Repartição de 1, 2, 6, 7, 8 e 9 barras entre

10 homens;Problemas de 7 até 20: Multiplicação de partes ou “frações”;



Problemas de 21 até 23: Subtração;Problemas de 24 até 29: Procura de números (28 e 29) e equações

resolvidas usando regras práticas (24 a 27);Problemas de 30 até 34: Equações lineares mais complicadas

resolvidas usando divisões;Problemas de 35 até 38: Equações lineares mais complicadas usando

regras práticas;Problemas de 39 até 40: Progressões aritméticas;Problemas de 41 até 46: Cálculo de Volumes cilindros, de prismas e

de cubos;Problema 47: Divisão 100 quádruplos de “hekat” por 10 e seus

múltiplos;Problemas de 48 até 55: Cálculo de áreas de triângulos, retângulos e

círculos;Problemas de 56 até 60: Inclinação, alturas e bases de pirâmides;Problemas de 60 até 61B: Tabela de uma regra para encontrar 2/3 de

ímpares e partes unitárias;Problema 62: Peso de metais preciosos;Problema 63: Repartições proporcionais;Problema 64: Progressão aritmética;Problema 65: Repartição proporcional de grãos em grupos de

homens;Problemas 69 até 78: Trocas, proporção inversa, cálculos de

"pesu";Problema79: Progressão geométrica;Problemas 80 até 81: Tabelas de partes do olho de “Hórus” de

grãos em termos de “hinu”;Problemas 82 até 84: Problemas, não muito claros, sobre

quantidades de comida de gansos, pássaros e bois;Problema 85: Escritura enigmática. No papiro aparece ao

contrário. [3].

5.0 – Análise Geral do Problema 41 do papiro Rhind

O Problema 41 começa da seguinte maneira: “Encontre o volume deum celeiro cilíndrico de diâmetro 9 e altura 10”. A solução desseproblema é descrita da seguinte maneira: “retire 1/9 de 9, isto é, 1;



a parte restante é 8. Multiplique 8 vezes 8; isso produz 64.Multiplique 64 vezes 10; isso produz 640 cúbitos cúbicos”. [2]

Ao interpretar a resolução deste problema, considerando d =diâmetro do círculo e r = raio do círculo, muitos matemáticoschegaram às seguintes conclusões:

1) Os egípcios usavam uma fórmula para calcular a área docírculo A ;

2) A fórmula usada pelos egípcios seria dada por A = (8/9*d)2

;3) Comparando a fórmula egípcia antiga, A = (8/9*d)2 , em

função do diâmetro, com a nossa fórmula moderna em função do raio,dada por A = (256/81)*r2 , concluíram que o valor de , para osegípcios, seria dado pela relação 256/81 ; portanto teríamos que egipcio

= 256/81.

Acontece que para que essa interpretação seja válida, osescribas egípcios deveriam ter um conceito da origem do número esua aplicação em cálculos envolvendo círculos (cálculo docomprimento da circunferência ou cálculo da área do círculo). O quenós chamamos de é o valor constante da relação linear entre ocomprimento da circunferência, C, e seu diâmetro, d, notando quepara nós, essa é uma relação de comprimentos lineares e não deáreas:

= C / d ou = C / 2r Desse modo, os egípcios deveriam saber medir o comprimento da

circunferência, C, do círculo e perceber que a relação entre ocomprimento da circunferência e seu diâmetro era constante em todosos círculos “perfeitos”.

Será que os egípcios sabiam medir o comprimento dacircunferência ? Será que eles mediam o diâmetro como sendo umalinha passando pelo centro do círculo e tocando dois pontos opostosda circunferência ?

Sem esses conceitos não podemos afirmar que os egípcios usavamalgum valor para o número para calcular a área de um círculo, eportanto não deveriam nem mesmo usar a fórmula A = (d2)/4.

É bom perceber que o procedimento descrito no papiro Rhind nãodiz para calcular d2, em seguida, multiplicar d2 por 256/81 (que seriao valor do egípcio) e depois dividir o resultado por 4. Caso issofosse descrito, então poderíamos dizer que os egípcios usavam a



fórmula A = (d2)/4 e que conseqüentemente também usariam o valor256/81 para o valor de no cálculo de áreas de círculos.

O problema 41 apenas descreve uma seqüência simples de etapaspara se calcular a área de um círculo de diâmetro 9, usando ocálculo da área de um quadrado de lado 8.

Assim sendo, apenas podemos afirmar que os egípcios sabiam quea área de um quadrado de lado 8 (A = 64) era muito próxima da áreade um círculo de lado 9 (A = 63,617 usando = 3,14159 ), conformeEli Maor afirma na frase: “portanto, para encontrar a área da basecircular, o escriba substituiu essa base por um quadrado de lado 8/9

do diâmetro” . [7] Eli Maor afirma que : “o escriba substituiu essa base por um

quadrado de lado 8/9 do diâmetro”, mas essa afirmação omite que odiâmetro do círculo era 9, e nos induz a acreditar que os egípciosusavam sempre a relação 8/9 para qualquer outro valor de diâmetro, oque não corresponde à descrição completa do problema.

Na descrição completa do problema 41, informa-se inicialmenteque o círculo tem diâmetro 9 e que se retira 1/9 desse valor, paraobter-se o valor (9 – 1/9 de 9) = 8, calculando-se o valor da área docírculo com esse valor 8, para obter-se a área 64 como sendo a áreado círculo de diâmetro 9.

Analisando unicamente o problema 41, poderíamos generalizar oprocedimento nele descrito, afirmando que o método egípcio paracalcular a área de um círculo de diâmetro d, seria calcular a áreade um quadrado de lado L = [d – (1/d * d)] = (d – 1) . Seguindo esseraciocínio, então a descrição generalizada do procedimento egípciopara cálculo da área de um círculo qualquer de diâmetro d seria:

Procedimento egípcio generalizado: ‘Encontre o volume de umceleiro cilíndrico de diâmetro d e altura 10’. A solução desseproblema seria descrita da seguinte maneira: ‘retire 1/d do valor d,isto é, 1; a parte restante é (d-1). Multiplique (d-1) vezes (d-1);isso produz (d-1)2. Multiplique (d-1)2 vezes 10; isso produz 10*(d-1)2

cúbitos cúbicos’. Usando a hipótese do “procedimento egípcio generalizado”

(obtido a partir do problema 41) para calcular a área de outroscírculos cujos diâmetros variassem entre d > 4 e d < 13, obteríamoscomo resultado as áreas de quadrados dadas por (d-1)2 . Secomparássemos os resultados do procedimento egípcio, com o cálculoda área dos mesmos círculos usando a fórmula atual A = (d2)/4,

Data de Impressão: 18/10/2022Ivan Andrés Saavedra PeraltaPágina 10/27


aplicando nessa fórmula tanto um valor atual de = 3,141592 quantoo suposto egípcio de 256/81; então obteríamos os resultados exibidosna tabela abaixo:

diâmetro

diâmetro– 1

Área doProcediment

oÁrea do Círculo pelafórmula: A = d2/4

Diferença dasÁreas

d ( d – 1 ) ( d - 1 )2 =3,141592

= 256 /81

=3,141592

=256/81

5 4,0 16,00 19,635 19,753 3,635 3,7536 5,0 25,00 28,274 28,444 3,274 3,4447 6,0 36,00 38,485 38,716 2,485 2,7168 7,0 49,00 50,265 50,568 1,265 1,5689 8,0 64,00 63,617 64,000 -0,383 0,00010 9,0 81,00 78,540 79,012 -2,460 -1,98811 10,0 100,00 95,033 95,605 -4,967 -4,39512 11,0 121,00 113,097 113,778 -7,903 -7,222

Analisando a tabela acima, verificamos que o procedimentoegípcio somente produz bons resultados para círculos de diâmetro 8 e9. Para os demais diâmetros, o procedimento hipotético não produzbons resultados. Coincidentemente ou não, o melhor resultado, aqueleque apresenta a menor diferença entre o calculado e o esperado éjustamente o caso no qual o diâmetro do círculo é 9. Além disso,nos problemas envolvendo cálculo de áreas de círculos no papiroRhind, há somente dois valores de diâmetros: d = 9 e d =10, sendoque na maioria deles utilizam-se círculos de diâmetro 9. Seria issoapenas uma coincidência casual ?

Segundo alguns matemáticos afirmam, a “fórmula” usada pelosegípcios para calcular a área de um círculo em função de seudiâmetro seria dada por A = (8/9*d)2. Desenvolvendo essa “fórmula”em função do raio r do círculo obteríamos:A = (8/9*d)2 = (8/9)2 *(d)2 = (64/81)*(2r)2 = (64/81)*(4*r2) = (64*4/81)*(r2)= (256/81)*( r2);

Comparando a suposta “fórmula” egípcia acima com a fórmulamoderna: A = *r2 , conclui-se que o valor de egípcio seria de256/81. O desenvolvimento acima, mesmo estando matematicamente correto,considera implicitamente que os egípcios usavam o raio, r, paracalcular a área de círculos; entretanto, os egípcios usavam somenteo diâmetro. Em todos os problemas do papiro Rhind somente o diâmetroera usado para calcular a área de círculos e nunca o raio.



6.0 – Análise Específica dos Problemas de 42 até 55do papiro Rhind

Conforme a tabulação de Richard J. Gillings, os problemas de 42até 55 tratam do cálculo de áreas e volumes de algumas figurasgeométricas simples. Eles serão analisados focando na abordagem docírculo e cálculos relacionados. Portanto, direcionaremos nossaatenção para duas características:

1) Qual elemento do círculo é usado para calcular sua área ? Oraio r ou o diâmetro d ?

2) Qual expressão algébrica (“fórmula”) é usada para calcular aárea do círculo ? A expressão algébrica A = [d – (1/9*d)]2

que ao ser manipulada algebricamente produz A = (8/9*d)2 ou aexpressão A = L2 = [d – (1/d * d)]2 que produz algebricamenteA = (d – 1)2 ?

Para isso, utilizamos a tradução livre do papiro Rhindpublicada por Arnold Buffum Chace [2], em 1927, com o aval daAssociação Matemática da América, sediada em Ohio nos EUA. Iniciamoscom a tradução integral do problema 41:

Problema 41 do papiro Rhind : “Encontre o volume de um celeirocilíndrico de diâmetro 9 e altura 10. Retire 1/9 de 9, isto é 1; aparte restante é 8. Multiplique 8 vezes 8; isso produz 64.Multiplique 64 vezes 10; isso produz 640 cúbitos cúbicos. Adicione ½disso a isso; isso produz 960, seu conteúdo em Khar. Retire 1/20 de960, isto é 48. 4800 hekat de grãos caberão dentro dele”. [2]

Qual elemento do círculo é usado para calcular sua área ? Oraio r ou o diâmetro d ?

No problema 41 do papiro Rhind é usado única eexclusivamente o diâmetro (d=9) para o cálculo da área docírculo. Em nenhum momento é usado o raio do círculo.



Qual expressão algébrica é usada para calcular a área docírculo ?

No problema 41 do papiro Rhind, para o cálculo da área docírculo, é usada única e exclusivamente a expressãoalgébrica A = [d – (1/9*d)]2 onde d = 9. Em nenhum momentoé usada a expressão algébrica A = L2 = [d – (1/d * d)]2 =(d – 1)2.

Problema 42 do papiro Rhind : “Encontre o volume de um celeirocilíndrico de diâmetro 10 e altura 10. Retire 1/9 de 10, isto é 1 1/9

; a parte restante é (8 2/3 1/6 1/18). Multiplique (8 2/3 1/6 1/18) vezes(8 2/3 1/6 1/18); isso produz (79 1/108 1/324). Multiplique (79 1/108 1/324)vezes 10; isso produz (790 1/18 1/27 1/54 1/81) cúbitos cúbicos”. [2]




No problema 42 do papiro Rhind, para o cálculo da área docírculo, é usada única e exclusivamente a expressãoalgébrica A = [d – (1/9*d)]2 onde d = 10. Em nenhummomento é usada a expressão algébrica A = L2 = [d – (1/d *d)]2 = (d – 1)2 .

Neste problema 42 do papiro Rhind, vemos que o valor retiradodo diâmetro d = 10, é a mesma partição 1/9 retirada no problema 41,quando o diâmetro era d = 9 . Desse modo, concluímos que estáincorreta a hipótese feita somente a partir do problema 41 e chamadade “procedimento egípcio generalizado”.

A resolução deste problema 42 parece ser mais complexa porcausa do uso de partições múltiplas, decorrente da tradiçãomatemática egípcia de representar as partições somente como partesde uma unidade. Portanto, nas partições egípcias o numerador somentepoderia ser o número 1. Havia poucas exceções a essa regra, sendouma delas a relação de partes 2/3. Todas as demais relações de partesdeveriam ter somente o numerador unitário 1. Desse modo, para os



egípcios 1/9 de 10 somente poderia ser representado por 1 e 1/9 ,enquanto que para nós poderia ser 1 e 1/9 ou 10/9.

Conseqüentemente, os escribas egípcios não usariam uma fórmulaque tivesse uma relação de partes do tipo 8/9 ou 64/81 como aparecem nafórmula sugerida por alguns matemáticos “modernos”:

A = [(8/9)*d]2 = (64/81)*d2 , para os egípcios a relação de partes (8/9) era representada pela

partição múltipla: (2/3 + 1/6 + 1/18)

Problema 43 do papiro Rhind : “Um celeiro cilíndrico dediâmetro 9 e altura 6. Qual é a quantidade de grãos que cabem dentrodele ? Retire 1/9 dele, isto é, 1 desde 9; o restante é 8. Adicione a8 seu 1/3; isso produz 10 2/3. Multiplique 10 2/3 vezes 10 2/3; issoproduz 113 2/3 1 /9. Multiplique (113 2/3 1/9 ) vezes 4, 4 cúbitos sendo2/3 da altura; isso produz 455 1/9, isso cabe dentro de um khar.Encontre 1/20 disso, isto é (22 ½ ¼ 1/180). A quantidade de grãos quecaberão dentro dele é (22 ½ ¼ ) vezes 100 hekat ( ½ 1/32 1/64 ) hekat(2 ½ ¼ 1/36 ) ro.” [2]




No problema 43 do papiro Rhind, para o cálculo da área docírculo, é usada única e exclusivamente a expressãoalgébrica A = [d – (1/9*d)]2 onde d = 9. Em nenhum momentoé usada a expressão algébrica A = L2 = [d – (1/d * d)]2 =(d – 1)2 .

Problema 44 do papiro Rhind : “Exemplo de cálculo do volume deum celeiro retangular, seu comprimento sendo 10, sua largura sendo10 e sua altura sendo 10. Qual é a quantidade de grãos que cabemdentro dele ? Multiplique 10 vezes 10; isso produz 100. Multiplique100 vezes 10; isso produz 1.000. Adicione seu ½; isso produz 1.500,seu conteúdo em khar. Tome 1/20 de 1.500; isso produz 75, isso contémno quádruplo do hekat, isto é 7.500 hekat de grãos.” [2]



O problema 44 do papiro Rhind trata do cálculo do volume de umcubo de lado 10 unidades e da quantidade de grãos que cabem nessevolume numa unidade chamada hekat.

Problema 45 do papiro Rhind : “Um celeiro retangular paradentro do qual tem entrado 7.500 quádruplo de hekat de grãos. Quaissão as suas dimensões ? Multiplique 75 vezes 20; isso produz 1.500.Tome 1/10 de 1.500, isto é 150, 1/10 de seu 1/10 , 15, 2/3 de 1/10 de seu1/10, 10.” “Portanto, as dimensões são 10 por 10 por 10.” [2]

O problema 45 do papiro Rhind trata do cálculo do lado de umcubo, partindo não do valor de seu volume, mas partindo daquantidade de grãos que o cubo pode armazenar, numa unidade demedida de grãos chamada hekat. É interessante que a partir daquantidade de grãos que caberiam no cubo, os escribas egípciosconseguiam determinar o comprimento dos seus lados.

Problema 46 do papiro Rhind : “Um celeiro retangular paradentro do qual tem entrado 2.500 quádruplos de hekat de grãos. Quaissão as suas dimensões ? Multiplique 25 vezes 20; isso produz 500,seu conteúdo em khar. Tome 1/10 de 500, isto é 50, seu 1/20 , isto é,25, 1/10 de seu 1/10 , isto é 5, 2/3 de 1/10 de seu 1/10, isto é 3 1/3.Portanto, as dimensões são 10 por 10 por 3 1/3.” [2]

O problema 46 do papiro Rhind trata do cálculo dos lados de umprisma de base quadrada, partindo não do valor de seu volume, maspartindo da quantidade de grãos que o prisma pode armazenar, numaunidade de medida de quantidade de grãos chamada hekat.

Problema 47 do papiro Rhind : “Suponha que o escriba diz paravocê: deixe-me saber qual é o resultado quando 100 quádruplos dehekat são divididos por 10 e seus múltiplos, em um celeiroretangular ou circular.” [2]

1 representa em grãos 100 quádruplos de hekat1/10 representa em grãos 10 quádruplos de hekat1/20 representa em grãos 5 quádruplos de hekate assim por diante: 1/30, 1/40, 1/50, 1/60, 1/70, 1/80, 1/90 até 1/100: 1/100 representa em grãos 1 quádruplos de hekat [2]O problema 47 do papiro Rhind trata do cálculo das partes

decimais de 100 numa unidade descrita como “quádruplos de hekat”.



Este problema envolvendo divisão por 10, 20, 30, ... , até 100e representado por Chace no formato de 1/10 ,

1/20 , 1/30 até 1/100 é o

momento oportuno para afirmar que não compartilhamos da opinião dealguns matemáticos que afirmam que “os egípcios utilizavam frações”.

Acreditamos que o mais correto seria afirmar que elesutilizavam “partes de uma unidade completa” fosse ela qual fosse. Oconceito de frações atual é muito mais abrangente e complexo do quea abordagem egípcia. A necessidade de usar “partes” surgia emproblemas práticos de repartição de bens, herança, terrenos,cereais, pães, quantidade de cerveja, etc. Numa sociedade complexa ecom recursos limitados, a questão da repartição das quantidades derecursos materiais disponíveis era muito importante para manter oequilíbrio de seu funcionamento. Portanto, consideramos que osegípcios usavam partições de uma quantidade inteira e não fraçõescomo fazemos hoje em dia.

Problema 48 do papiro Rhind : “Compare a área de um círculo ede seu quadrado circunscrito.”

O círculo de diâmetro 9 O quadrado de lado 91 8 setat 1 9 setat2 16 setat 2 18 setat4 32 setat 4 36 setat8 64 setat 8 72 setat

Total = 9 + 72 = 81 setat [2]Este problema 48 é o único que pede para se comparar a área de

um círculo de diâmetro 9 (que para os egípcios era igual a 64) com aárea de seu quadrado circunscrito (que era igual a 81). Isso mostraque os egípcios sabiam que a área de um círculo seria um pouco menordo que a área do quadrado que estivesse circunscrito a esse círculo.Seria portanto natural calcular a área de um círculo qualquer apartir da área de um quadrado com lado (L) um pouco menor do que olado do quadrado circunscrito (d). Nesse caso, a questão seriaquanto menor seria o lado desse quadrado (L).

Os egípcios concluíram que o lado desse quadrado (L) seriaobtido retirando 1/9 do lado do quadrado circunscrito (d); portanto L= d – [(1/9)*d]. Outra questão importante e que não é respondidaneste trabalho, é como eles chegaram a esse valor de 1/9 ? Talvezeles tivessem feito os cálculos retirando ½, 1/3, ¼, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8,1/9, 1/10, 1/11, 1/12 e assim por diante, até concluir que o melhor valora ser retirado seria o valor de 1/9 do diâmetro do círculo. Porém,isso é mera especulação; e mesmo que tivessem feito isso, surge



outra questão: para decidir qual melhor valor a ser retirado, elesdeveriam saber previamente qual era o melhor resultado.

Portanto, este problema 48 do papiro Rhind é o que maisesclarece como os egípcios pensavam o cálculo da área de um círculo.Para os matemáticos egípcios a área de um círculo não era calculadapor nenhuma expressão algébrica: nem por A = (256/81)*(r)2 e nem porA = (64/81)*(d)2 .

Para os escribas egípcios, simplesmente a área do círculo dediâmetro d=9 era considerada a mesma que a área de um quadrado delado L=8; como apresentado nos problemas 41 e 43. Enquanto que aárea do círculo de diâmetro d=10 era considerada igual à área doquadrado de lado L, onde L = 10 – 10/9 = 90/9 – 10/9 = (90 –10)/9 = 80/9 =8,88 = (8 2/3 1/6 1/18) como no problema 42.




No problema 48 do papiro Rhind, para o cálculo da área docírculo, é usada única e exclusivamente a expressãoalgébrica A = [d – (1/9*d)]2 onde d = 9. Em nenhum momentoé usada a expressão algébrica A = L2 = [d – (1/d * d)]2 =(d – 1)2 .

Problema 49 do papiro Rhind : “Exemplo de cálculo de área.”“Suponha que é dito para você: Qual é a área de um retângulo deterra de 10 khet por 1 khet ?” “Portanto, faça isso”:

1 1.00010 10.000100 100.0001/10 10.0001/10 de 1/10 1.000Essa é a sua área. [2]

O problema 49 do papiro Rhind trata do cálculo da área de umretângulo, a partir das medidas de seus lados. Portanto, esteproblema não trata do cálculo da área de círculos.



Problema 50 do papiro Rhind : “Exemplo de um campo redondo dediâmetro 9 khet. Qual é sua área ? Retire 1/9 do diâmetro, isto é 1;o restante é 8. Multiplique 8 vezes 8; isso produz 64. Portanto, ocampo contém 64 setat de terra.” [2]




No problema 50 do papiro Rhind, para o cálculo da área docírculo, é usada única e exclusivamente a expressãoalgébrica A = [d – (1/9*d)]2 onde d = 9. Em nenhummomento é usada a expressão algébrica A = L2 = [d – (1/d *d)]2 = (d – 1)2 .

Problema 51 : Cálculo da área de um triângulo de lado 10 khet ebase 4 khet. [2]

Problema 52 : Cálculo da área de um triângulo com 3 ladosdiferentes. [2]

Problema 53 : Cálculo da área das seções de um triângulo. [2]

Problema 54 : Quais áreas iguais deverão ser retiradas de 10campos se a soma dessas áreas deve ser 7 setat. [2]

Problema 55 : Quais áreas iguais deverão ser retiradas de 5campos se a soma dessas áreas deve ser 3 setat. [2]

Os problemas de 51 até 55 do papiro Rhind envolvem cálculos comáreas, mas nada referente à área de círculos. Com isso, concluímos aanálise dos problemas 42 até 55. Podemos afirmar que analisamostodos os problemas do papiro Rhind envolvendo áreas de círculos,para chegarmos a uma conclusão baseada somente no texto original,sem levar em consideração a opinião dos tradutores e nem doscomentaristas.



7.0 – Conclusões da análise dos problemas 41 até 55do papiro Rhind

Da análise dos problemas 41 a 55 do papiro Rhind chegamos àsseguintes conclusões:

1) Para o cálculo da área de círculos os escribas matemáticosegípcios usavam somente o valor do diâmetro do círculo.Conseqüências:

a. Os matemáticos egípcios não usavam o raio do círculo.b. Os matemáticos egípcios não usavam o perímetro do círculo.c. Os matemáticos egípcios não usavam nenhum procedimento que

levasse a uma expressão algébrica do tipo: A = K*raio2;onde K seria uma constante.

2) Os escribas matemáticos egípcios não usavam fórmulas, nemequações e nem expressões algébricas para fazer nenhum tipo decálculo envolvendo área de círculos. Todos os valores eramobtidos através de procedimentos descritivos, detalhados passoa passo, o qual nós chamamos atualmente de algoritmos.

3) No papiro Rhind é ensinado um mesmo algoritmo para o cálculo daárea de somente dois círculos: o de diâmetro 9 e o de diâmetro10. Qualquer afirmação de que esse procedimento era usado paracírculos com outros diâmetros é uma extrapolação generalizada,não baseada no texto original deste papiro.

4) O procedimento ou algoritmo para calcular a área dos círculos(A) de diâmetro 9 e 10, implica em calcular a área de umquadrado, cujo lado (L) é obtido subtraindo-se 1/9 do diâmetro(1/9*d) do diâmetro (d) desses círculos.

Conseqüências:a. O lado do quadrado L é obtido do diâmetro do círculo d,

por um algoritmo que pode ser representado pela seguinteexpressão algébrica: L = d – (1/9 * d) ; mas isso nãosignifica que os matemáticos egípcios usassem uma fórmulapara obter a área dos círculos.



b. A área do círculo seria obtida pelo cálculo da área doquadrado de lado L, a qual os escribas egípcios obtinhammultiplicando L*L. Podemos representar a área do círculopela seguinte expressão:

Área do Círculo = A = L * L = L2 = [d – (1/9 * d)]2 ,usada somente para d= 9 ou d=10 neste papiro.

c. A fórmula apresentada no item b é apenas uma representaçãodo procedimento egípcio para calcular a área de doiscírculos.

5) Do papiro Rhind, verificamos também que o diâmetro do círculo,d, usado para calcular a área do círculo, na verdade era obtidoa partir da figura de um quadrado. No papiro Rhind, não há umadefinição teórico-conceitual de diâmetro para um círculoqualquer. Desse modo, em termos práticos, usava-se comodiâmetro do círculo, d, o lado do quadrado circunscrito (Lcirc)ao redor desse círculo. Isso significa que d não era obtido apartir do círculo, mas a partir do quadrado circunscrito,assumindo que d = Lcirc. Isso reforça o argumento de que namatemática egípcia não era usado o raio da circunferência paracalcular a área do círculo, assim como não se usaria a metadedo lado do quadrado (1/2*L) para calcular sua área.

6) Além disso, os egípcios não usavam o comprimento dacircunferência, C, para realizar nenhum cálculo. Desse fato,podemos pressupor que eles não sabiam calcular o valor de C.Conseqüentemente, não deveriam conhecer o número como arelação entre o comprimento da circunferência e o comprimentodo diâmetro do círculo ( = C/d).

7) O máximo que poderíamos dizer é que os egípcios conheciam umarelação constante entre a área do círculo, A, e a área doquadrado A = d2 e essa relação constante era de 64/81, ou seja:

A : A :: 64:81

ou em notação moderna: A / A = 64/81 A = (64/81) * ANesse caso, a relação de partes 64/81 viria de (8/9)2 e essa

relação estaria explicitada no problema 42 pela soma das trêsrelações de partes seguintes:



(2/3 + 1/6 + 1/18) = 8/9

As sete conclusões acima, foram apresentadas de forma bastantedescritiva, pois acreditamos que a exposição simples das conclusõesé a melhor forma de esclarecer a interpretação que julgamos maiscoerente com a análise dos textos originais.

A seguir, apresentamos algumas interpretações de outrosmatemáticos, com o intuito de descrever o método de análise queconduziu-os a conclusões que consideramos equivocadas.

A principal fonte de engano no método de análise utilizado é oconceito de que “os povos da antiguidade utilizavam fórmulas”, assimcomo nós, para obter seus resultados. Os que aceitaram essa premissacomo válida, acabaram chegando em conclusões distantes da realidade.Também apresentamos exemplos de interpretações corretas.



8.0 – Exemplos de interpretações equivocadas

A idéia base que conduz à maioria das interpretaçõesequivocadas é a seguinte:

“Os povos antigos usavam muitas FÓRMULAS para o cálculo deáreas de quadrados, retângulos e círculos...”

Essa idéia base é encontrada em diversos livros de história damatemática, escritos por matemáticos que insistem em “encaixar” osprocedimentos da antiguidade numa fórmula moderna. Como conseqüênciadessa idéia, usada como hipótese inicial, são feitas deduçõeslógicas que produzem a enganosa conclusão: “existia o número namatemática egípcia da antiguidade”.

A hipótese inicial, neste caso, seria a afirmação implícita:“os matemáticos egípcios usavam uma fórmula em função do raio dotipo: A = K*r2 onde K seria uma constante” . A partir do algoritmousado pelos egípcios, transcreve-se esse procedimento para afórmula: A = [d – (1/9*d)]2 , a qual chamaremos de “fórmula doalgoritmo”.

Realizando as manipulações algébricas exibidas abaixo, na“fórmula do algoritmo”, temos:A = [(d) – (1/9*d)]2 = [(9*d/9) – (1/9*d)]2 = [(9-1)*(d/9)]]2

=[(8)*(d/9)]2 = [(8/9)*(d)]2 = = A = (8/9)2 *(d)2 = (64/81)*(2r)2 = (64/81)*(4*r2) = (64*4/81)*(r2) =(256/81)*( r2) ,

logo temos que A =(256/81)*( r2) , então, obtem-se lógica ematematicamente que K = 4 * (8/9)2 = 4* (64/ 81) = 256/81 = 3,16... .

Apesar de a dedução acima estar matematicamente correta, elaparte de uma premissa falsa (“os escribas egípcios usavam fórmulas”)e utiliza um método algébrico moderno que não era usado naantiguidade; portanto a conclusão é falsa; logo não existia namatemática egípcia e seu valor não era K = egípcio = 3,16... .

Mesmo considerando que os matemáticos egípcios usassemfórmulas, então a fórmula usada por eles deveria ser do tipo A =



K*d2 , visto que eles usavam o diâmetro e não raio. Neste caso, K nãoseria igual ao valor do moderno, mas seria K = 64/81 = 0,7901....

A análise de Katz do problema 50 do papiro Rhind, em seu livro“A history of mathematics”, faz o seguinte comentário: “Em outraspalavras, o escriba egípcio está usando a fórmula A = (d – d/9)2 =[(8/9)*d]2. Uma comparação com a fórmula A = (/4)*d2 , mostra que ovalor egípcio para a constante no caso da área era 256/81 =3,16049....”. [6]

Analisando o problema 41 do papiro Rhind, Eli Maor, no seulivro “Trigonometric Delights” conclui que: “portanto, paraencontrar a área da base circular, o escriba substituiu essa basepor um quadrado de lado 8/9 do diâmetro”. [7] Nessa frase, Maor expõea verdadeira natureza do procedimento egípcio: para calcular a áreado círculo de diâmetro d=9, os egípcios calculavam a área de umquadrado de lado igual a 8, onde 8 era obtido de: “d – 1/9*d” .

Entretanto, logo em seguida, Maor usa a fórmula: A = [(8/9)*d]2 =(64/81)*d2 , e compara-a com a fórmula moderna de cálculo da área de umcírculo A, em função de seu diâmetro: A = (d2)/4 . Dessa comparaçãoele deduz que : 64/81 = /4 = 4 * (64/81) = 256 / 81; para concluir que: “os egípcios usavam o valor = 256/81 = 3,16049, um erro de somente0,6% do valor verdadeiro de . Uma conquista notável !” [7]

Poderíamos apresentar mais exemplos de diversos outros autores,todos eles graduados em matemática, alguns até professoresuniversitários, mas todos teriam explicações semelhantes às dadasnos exemplos acima. Consideramos que esses exemplos são suficientespara ilustrar o argumento principal aqui apresentado: não basta umadedução estar matematicamente correta para produzir um resultadoverdadeiro, além disso é necessário que a premissa inicial sejatambém verdadeira, caso contrário o resultado permanecerá falso.

9.0 – Exemplos de interpretações corretas

No livro Historia de las ciencias de Michel Serres, no capítuloentitulado El uno es el otro: una historia del círculo, a autora desse capítulo,Catherine Goldstein, faz as seguintes afirmações:

“... os círculos traçados no papiro Rhind, e os círculosgravados nas tabuinhas de argila babilônicas, não fazem mais queilustrar os procedimentos referentes a eles, e como na Índia dos



Sulvasutras não abrem caminhos para uma investigação teórica docírculo em si mesmo, ...” e “... a questão fundamental querespondem os textos do Oriente Próximo é a do cálculo da superfíciedo círculo; os egípcios diretamente a partir de seu diâmetro e osbabilônios mediante o cálculo do perímetro; ...” . [4] : p.154,onde sublinhamos as afirmações que nos interessavam.

“A metrologia do círculo: alguns métodos e resultados para ocálculo da superfície de um círculo em algumas civilizações. Origem:papiro Rhind, Egito, início do 2º milênio a.C. Problema: cálculo deum campo redondo. Procedimento e resultado (modernizados): [diâmetro– 1 / 9 diâmetro] 2 . Comentário: procedimento exclusivamente numérico;não há nome específico para o círculo; não há cálculo dacircunferência.”. [4] : p.156

“... Os papiros egípcios, as tabuinhas de argila babilônicas,tão pouco prolixas, ... , definem um interlocutor e ordenam a eleque procedimento seguir; ...” [4] : p.158

No livro A history of algorithms – from the pebble to the microchip, seuautor, Jean-Luc Chabert, no capítulo 5, entitulado Da medição do círculopara calcular faz as seguintes afirmações:

“ ... o papiro Rhind indica que os egípcios consideravam queessa razão (da circunferência de um círculo com seu diâmetro, a qualnós chamamos de ) poderia ser estimada como igual a: 4 * ( 1 –1/9 )2 = 3,16... . Nós deveríamos, entretanto, ser cuidadosos paraevitar qualquer erro neste estágio: não existe nenhum modo pelo qual possa ser considerado como um número em uma fórmula . Sendocorretos desde o início, o nunca foi escrito, nem mesmo pensado, em termos de expressões algébricas. Ao invés disso, métodos decálculos ou algoritmos foram inventados, os quais usavam a linguagemde seu tempo.” [1]

“... Por exemplo, o papiro Rhind, ... , explica, através deexemplos, uma regra para calcular a área de um círculo dado o seudiâmetro. Usando essa regra, em por exemplo o problema 48, resultana área de um círculo de diâmetro 9 como aquela de um quadrado delado 8. A regra pode ser escrita algebricamente como a fórmula : A =( d – d/9 )2 e a partir dela nós podemos deduzir um valor para osvalores de : = (4*A) / d2 = 4*(8/9)2 = 3,16.... .”[1]



10.0 – Conclusões finais

Neste trabalho analisamos a questão da existência do número nopapiro Rhind e concluímos:

Não existe nem o conceito e nem o seu valor na matemáticaegípcia antiga, pelas seguintes razões:

i) os escribas não calculavam o comprimento da circunferência, ii) os escribas não usavam o raio para calcular a área do círculo, iii) sem comprimento da circunferência e sem raio do círculo não

existe como relação linear entre esses dois valores.

Sobre o conceito de círculo concluímos que:

i) não existe nenhuma definição teórica que explique como o círculoera construído,

ii) o círculo seria concebido como uma figura redonda e interna a umquadrado circunscrito,

iii) o lado do quadrado circunscrito seria o diâmetro do círculo,iv) somente o diâmetro era usado como parâmetro de descrição de um

círculo,v) não usavam nem o raio nem o perímetro para caracterizar um

círculo,



As conclusões acima foram obtidas da análise direta dos textosoriginais traduzidos, sem recorrer a comentaristas e nem aespecialistas em história da matemática.

Os comentaristas foram pesquisados, entretanto, devido ao fatode apresentarem afirmações contraditórias ou confusas ou poucoconvincentes, tivemos que recorrer aos textos originais traduzidospara obter as conclusões acima listadas.

11.0 – Referências bibliográficas

[1]: CHABERT, Jean-Luc; A history of algorithms – from the pebble to the microchip;Cap.5 Da medição do círculo para calcular Editora: Springer.

[2]: CHACE, Arnold Buffum; The Rhind Mathematical Papyrus – Volume I; FreeTranslation and Commentary by Arnold Buffum Chace; pgs: 51,52, 102 - 111; British Museum; 10.057 and 10.058; MathematicalAssociation of America; Oberlin; OHIO; USA; 1927; TheUniversity of Michigan Libraries.



[3]: GILLINGS, Richard J. ; Mathematics in the Time of the Pharaohs, Editora:MIT Press; Cambridge; 1972.

[4]: GOLDSTEIN, Catherine; Historia de las ciencias; Editor: Michel Serres;Capítulo: El uno es el otro: una historia del círculo, pgs 151 – 173;Editora: Catedra Teorema; 1989

[5]: GOUVÊA, Fernando Q. & BERLINGHOFF, William P.; A Matemática atravésdos tempos – um guia fácil e prático para professores e entusiastas; ediçãoampliada, Tradução: Elza Gomide e Helena Castro; Vencedor doBeckenbach Book Prize 2007 da The Mathematical Association ofAmerica; Editora Blucher; 2004.

[6]: KATZ, Victor J. ; A history of mathematics, an introduction; SecondEdition; Chapter 1: elementary geometry, pgs 19 – 25;University of the District of Columbia; reprinted 1998.

[7]: MAOR, Eli; Trigonometric Deligths; Princeton University Press;Princeton; New Jersey; 1998.

[8]: ROBINS, Gay & SHUTE, Charles; The Rhind mathematical papyrus, an ancientEgyptian text; Capítulo: Squaring the circle, pgs: 44 – 46; TheTrustees of the British Museum; British Museum PublicationsLtd; London; 1987.

[9]: ZARCO, Angel Pulpón; Historia del Papiro de Rhind y similares, pgs: 67 –71.


01Analise Pi Final14Jul2014

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