1. MREŽE GEOMETRIJSKIH TELA

1.1. Mreža piramide

Na slici 103.prikazana je kosa četvorostrana piramida sa bazom ABCD u ravni H, gde se baza vidi u pravoj veličini. Presečna ravan piramide je pod nekim uglom u odnosu i na H i na V projekcijsku ravan. Tačke preseka predstavljaju prodore ivica piramide kroz presečnu ravan, ravan α.

Donji deo presečene piramide je zarubljena piramida. Da bi se nacrtala mreža zarubljene piramide, potrebno je jos da se nađu i bočne ivice zarubljene piramide. Na slici 103. nađena je prava veličina preseka obaranjem ravni α, pomoću proizvoljne tačke L oko prvog traga α' u H projekcijsku ravan.

1

Određivanje pravih veličina bočnih ivica zarubljene i nezarubljene piramide vrši se tako štoiz vrha druge projekcije piramide V'' spušta vertikala do ose X, i taj presek označi sa K. Desnood ove tačke po osi X nanosi se dužina prvih projekcija bočnih ivica piramide. Najpre se prenosidužina A'V' iz tačke K i dobija tačku A0. Spajanjemtačke A0 sa V'' dobija se prava dužina bočne ivice piramide. Prenošenjem i ostalih bočnih ivica iz prve projekcije, dobijaju se tačke na osi X, B, C iD. Spajanjem ovij tačaka sa V'' dobijaju se i ostale prave dužine bočnih ivica.

Kada se iz drugih projekcija tačaka preseka: Ap'', Bp'', Cp'' i Dp'', povuku paralele sa osom X do preseka sa pravim dužinama ivica piramide, dobijaju se tačke preseka A0'', B0'' C0'' i D0'', koje predstavljaju pravu veličinu bočnih ivica zarubljene piramide. Prava veličinu preseka, odnosno gornje baze, nalazi se obaranjem ravni α, pomoću proizvoljne tačke L, oko prvog traga α' u H projekcijsku ravan. Prava veličina donje baze je u prvoj projekciji pošto baza piramide leži u H ravni.

Pomoću ovako nađenih pravih veličina piramide, može da se nacrta mreža piramide, što je i prikazano na slici 104. Iz proizvoljno izabrane tačke V nanosi se dužina A0V'' i dobija se tačka A.Sada se uzima u otvor šestara dužina B0V'' i iz tačke V opisuje luk. Zatim se uzima u otvor šestaradužina A'B' i iz tačke A pravi luk. Na preseku ova dva luka nalazi se tačka B. Sada se uzima otvorom šestara dužina B0V'' i iz tačke V opisuje se luk,

2

zatim se uzima u otvor šestara stranica B'C' i iz tačke Bo treba opisati luk do preseka sa prethodno nacrtanim lukom, na preseku je tačka C. Zatim uzimamo dužinu C0V'' i iz vrha V opišemo luk, sledećim otvorom šestara uzimamo dužinu stranice C'D' i iz tačke C opisujemo luk do preseka sa prethodno opisanim lukom, gde se nalazi tačka D. Zatim uzimamo dužinu A0V'' u otvor šestara i opisujemo luk, a potom uzimamo u otvor šestara dužinu D'A' i iz tačke D opisujemo luk do preseka sa prethodnim lukom i dobijamo tačku A. Spajanjem tačaka A, B, C, D sa tačkom V dobijamo spoljašnji omotač ove piramide. Nanošenjem dužina A0'', B0'', C0'' i D0'' na ivice omotača piramide dobijamo tačkepreseka gornjeg bazisa piramide. Spajanjem ovih tačaka dobijamo izgled preseka stranica piramide saravni i izgled omotača zarubljene piramide.

Da bi konstruisali donji i gornji bazis na zarubljenoj piramidi, najpre se mora u prvoj

3

projekciji bazis A' B' C' i D' podeliti dijagonalomB' D' na dva trougla. To se treba uraditi i sa pravom veličinom A0' B0' C0' i D0' deleći ga A0' i C0' dijagonalom na dva trougla. Donji bazis se crtatako da iz tačke B opisuje luk poluprečnika A' B' do preseka sa lukom iz tačke C poluprečnika A' C'. Na preseku ova dva luka je tačka A. Sada se iz tačke A opisuje luk poluprečnika A' D' do preseka sa lukom iz tačke C poluprečnika C' D', gde se nalazi tačka D. Spajanjem ovih tačaka dobija se donji bazis.

Konstrukcija gornjeg bazisa je ista kao i donjeg i može da se konstruiše na bilo kom preseku stranice , a za ovaj slučaj uzet je presek C0'' D0''. U otvor šestara uzeta je dužina dijagonale A0'C0' i iz tačke Co'' na mreži povučen je luk, zatim se uzima u otvor šestara dužina presečene stranice A0' D0' i iz tačke D0'' povlači se luk do preseka saprethodnim lukom i tu se dobija tačka A0''. Tako sedobijaju i ostale tačke gornjeg bazisa.

U slučaju da je presečna ravan α uspravna na V projekcijsku ravan, a prema horizontali zaklapa neki ugao i da, pri tome, seče pravilnu četvorostranu piramidu, presek piramide, mreža i oblik zarubljene piramide prikzani su na slici 104.Gornji i donji bazis prikazani su šrafurom.

4

Presek pravilne šestostrane piramide, čijibazis leži u H ravni, sa ravni α, koja je uspravna na V projekcijsku ravan, prikazan je na slici 105.gde je pored preseka, konstruisana i mreža piramide i daj je izgled zarubljene piramide. Radi lakšeg praćenja i bolje vidljivosti, presek piramide i mreža označeni su brojevima.

5

1.2. Mreža prizme

Pošto se pri konstrukciji meže koriste samo prave veličine odgovarajućih duži, mi smo u obavezida te duži i nađemo. Kada donji bazis prizme leži uH projekcijskoj ravni, prava velićina bazisa vidi se u prvoj projekciji. Na slici 106. prikazan je presek petostrane prizme sa ravni α.

Obaranjem ravni α oko prvog traga, korišćenjem tačke L'' i sutražnice, lako se nalaze tačka A0, B0,C0, D0, E0. Spajanjem ovih tačaka dobija se prava veličina preseka zarubljene prizme. Još je potrebnod a se nađu prave veličine bočnih ivica prizme i dijagonale dı d2 d3 d4 i d5 paralelograma, koji čine omotač prizme. Bočne ivice zarubljene i nezarubljene prizme određuju se postupkom okretanjaduži. Spuštanjem uspravne prave iz tačke C1", do preseka sa osom X, nalazi se tačka K, od koje se udesno nanose prve pojekcije bočnih ivica A' A1', idobija se tačka A0, koja, kad se spoji sa tačkom

6

C1", predstavlja pravu dužinu svih bočnih ivica prizme. Nanošenjem dijagonale d1, d2, d3, d4 i d5 desno od tačke K, po osi X, dobijaju se tačke P, Q,R, M i N, koje, kad se spoje sa tackom C1", dobijaju se prave veličine dužina dijagonala d01, d02, d03, d04 i d05.

Konstrukcija omotača prizme započinje se od slobodno izabrane tačke A, kao na slici 107. Iz ovetačke nanosi se dužina A0 C1'' i označava se sa AA1.Sada se nad ovom ivicom konstruiše bočna površina piramide AA1 BB1, tako što se iz tačke A1 konstruišeluk poliprečnika do1, a iz tačke A konstruiše luk poluprečnika dužine A' B'; na ovom preseku je tačkaB. Spajanjem tačke A i B dobija se duž koja se paralelno prenese do tačke A1, a kraj duži se oznaci sa B1. Iz ove tačke otvorom šestara nanosi se dužina dijagonale d2, a potom iz tačke B otvoromšestara nanosi se dužina B' C' i na ovom preseku dobija se tačka C. Spajanjem tačaka B i C dobija seduž koja se prenosi paralelno do tačke B1, a kraj duži obeleži se sa C1. Spajanjem tačaka CC1 dobija se druga stranica omotača prizme.Iz tačke C1 otvoromšestara konstruiše se luk poluprečnika dužine dijagonale d3, a iz tačke C konstruiše se luk dužine C' D', na ovom preseku lukova je tačka D. Paralelno se prenosi duž CD, do tačke C1, a kraj duži označi se sa D1 i spajaju se tačke DD1.

Iz tačke D1 konstruiše se luk poluprečnika d4, a iz tačke D konstruiše se luk poluprečnika D' E' ina ovom preseku lukova je tačka E. Duž DE prenosi se paralelno do tačke D1, i kraj ove duži označi sesa tačkom E1, koja se spaja sa tačkom E. Sada se iztačke E1 konstruiše luk poluprečnika d5, a iz tačke

7

E konstruiše se luk poluprečnika E' A', i na ovom preseku je tačka A. Paralelno se prenosi ova duž dotačke E1, a kraj duži označimo sa A1. Spajanjem tačke AA1 konstruisan je omotač prizme.

Za konstrukciju omotača zarubljene prizme uzimaju se dužine A0 i Ap0, Bp0, Cp0, Dp0 i Ep, i nanosimo ih na odgovarajuće ivice omotača, dobijajući tačke Ap0, Bp0, Cp0, Dp0 i Ep0. Spajanjemovih tačaka dobijaju se linije preseka gornjeg bazisa i oblik omotača zarubljene prizme, što se i vidi na slici 108.

Pri konstrukciji gornjeg ili donjeg bazisa polazi se od saznanja da se oni mogu konstruisati nad bilo kojom ivicom, za donji bazis AB, BC, CD, DE ili EA, a za gornji bazis nad ivicama: Ap0, Bp0, Bp0, Cp0, Cp0, Dp0, Dp0, Ep0 i Ep0 Ap0. U ovom slučaju donji bazis konstruiše se nad ivicom DE, a gornji bazis nad ivicom Bp0 Cp0. U prvoj projekciji bazis je podeljen dvema dijagonalama A' D' i B' C'.

8

Iz tačke D treba konstruisati luk poluprečnika A' D' tj.dužine dijagonale, a iz tačke A konstruiše seluk poluprečnika A' E' tj.dužine stranice i taj presek označi se sa A. Sada se iz tačke B nanosi otvorom šestara dijagonala B' C', odnosno konstruiše se luk, a iz tačke D konstruiše se luk poluprečnika C' D' i taj presek se označi sa C. Iz ove tačke C otvorom šestara konstruiše se luk poluprečnika B' C', a iz nove tačke A konstruiše seluk poluprečnika dužine A' B', i ovaj presek označimo sa B. Spajanjem ovih tačaka preseka dobijase donji bazis.

Isti postupak primenjuje se i pri konstrukciji gornjeg bazisa, s tim što se u pravoj veličini preseka A0 B0 C0 D0 E0 ovaj presek podeli dijagonalama B0D0 i A0C0. Gornji bazis zarubljene prizme vidi se u pravoj veličini u oborenom položaju, a gornji bazis je konstruisan iznad duži Bp0 Cp0.

9

Literatura:Mr Milan Stojanović, Leskovac, 2004.

10