Microgénesis de limite y continuidad en estudiantes universitarios

UNIVERSITAT AUTÓNOMA DE BARCELONA

Departament de Didáctica de las Matemàtiques i de les Ciènces Experimentals

TESIS DOCTORAL

Foto Arte: Ángela María Ramírez Franco

ESTUDIO MICROGENÉTICO DE ESQUEMAS

CONCEPTUALES ASOCIADOS A DEFINICIONES DE

LÍMITE Y CONTINUIDAD EN UNIVERSITARIOS DE

PRIMER CURSO

CÉSAR DELGADO G

PROFESOR ASOCIADO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

UNIVERSIDAD DEL VALLE

CALI, COLOMBIA

Bellaterra, Otoño 1998

UNIVERSITAT AUTÒNOMA DE BARCELONA

Departament de Didàctica de les Matemàtiques i de les Ciències

Experimentals

TESIS DOCTORAL

ESTUDIO MICRGENÉTICO DE ESQUEMAS

CONCEPTUALES ASOCIADOS A DEFINICIONES DE

LÍMITE Y CONTINUIDAD EN UNIVERSITARIOS DE

PRIMER CURSO

CÉSAR DELGADO G.

PROFESOR TITULAR.


DE LA

UNIVERSIDAD DEL VALLE.

CALI, COLOMBIA.

Bellaterra Otoño 1998


Departament de Didàctica de les Matemàtiques i de les Ciències Experimentals

ESTUDIO MICRGENÉTICO DE ESQUEMAS CONCEPTUALES

ASOCIADOS A DEFINICIONES DE LÍMITE Y CONTINUIDAD EN

UNIVERSITARIOS DE PRIMER CURSO

Aquesta recerca ha estat realizada en el marc del Programa de Doctorat de Didàctica de

les Ciències i de les Matemàtiques del Departament de Didàctica de la matemàtica i de

les Ciències Experimentals de la Universitat Autònoma de Barcelona, per César

Augusto Delgado García, sota la direcció de la Dra. Carmen Azcárate Giménez.

Bellaterra Otoño 1998

Carmen Azcárate Giménez César Augusto Delgado García


Departament de Didàctica de les Matemàtiques i de les Ciències Experimentals

LECTURA DE TESI DOCTORAL

“Estudio microgenético de esquemas conceptuales asociados a

definiciones de límite y continuidad en universitarios de primer curso”

“CUM LAUDE” POR UNANIMIDAD

AUTOR: César Augusto Delgado García

DIRECTORA: Carmen Azcárate Giménez

TRIBUNAL:

Dr. César Coll Salvató, Universitat de Barcelona

Dr. Matías Camacho Machín, Universidad de la Laguna

Dr. Joaquim Giménez Rodríguez, Universitat de Barcelona

Dra. Rufina Gutiérrez Goncet, Fundación Castro Verde Madrid

Dr. Joseph Maria Fortuny Aymemi, Universitat Autònoma de Barcelona

Demecres, 25 de novembre de 1998. 17,00 hores

Facultat de Ciéncies de l’Educació

Un niño me preguntó “¿qué es la hierba?”

Trayéndome un montón en sus manos.

¿Cómo podría explicárselo?, sé tanto como él.

Supongo que es la bandera de mí carácter tejida verde de la esperanza. (Walt Whitman)

A María Elena.

A mis hijos: Julio y Diego

A los amigos.

Agradecimientos

Nunca imaginé lo difícil que sería abordar una investigación en didáctica de las matemáticas. Mi condición de profesor universitario, del departamento de matemáticas de la Universidad del Valle (Cali-Colombia), me restringía a investigar y enseñar la propia disciplina, que en los cursos de matemática fundamental, cálculo, geometría vectorial y álgebra lineal, presentaba y aún presenta situaciones de enseñanza y aprendizaje que dislocan la posición del profesorado y del estudiante en todos los rincones del planeta. Mi particular interés por llegar de mejor forma al estudiante, hacía que me preocupara por las dificultades que surgían en los cursos de matemáticas, para ciencias e ingenierías, pero sinceramente, creí que ello obedecía a simples estrategias de enseñanza, que por razones de mi formación no alcanzaba a atalayar y que los problemas surgían por la naturaleza misma del conocimiento matemático.

Bajo esta creencia inicié los estudios de doctorado y ahí fue Troya, poco a poco, me di cuenta que investigar los fenómenos de la enseñanza y del aprendizaje de las matemáticas implica entrecruzar disciplinas como la misma matemática, la psicología, la epistemología, la historia, la sociología, la antropología, la lingüística y otras mas, de las que se sirve la didáctica; empresa que afronté con la seriedad que se ameritaba. Traía en mente investigar sobre el tema de la continuidad y el límite, conceptos fundamentales en los cursos regulares de cálculo y factor de grandes tropiezos para los estudiantes. Ya entrado en terreno, en unión de la Doctora Carmen Azcárate, vimos la posibilidad de enfocarnos en el estudio de la evolución de los esquemas conceptuales de los estudiantes, tema difícil por cierto, pero cautivante y motivador. Van entonces mis primeros agradecimientos para mi directora Carmen Azcárate por su oportuna orientación y, sobre todo, por su probada paciencia en las fatigosas discusiones que sobre muchos tópicos sostuvimos. Igualmente a los profesores César Coll y Rufina Gutiérrez en los que encontré la identificación con el tema y el impulso constante para sacarlo adelante.

Gracias también a la Universidad del Valle por su política de capacitar a sus docentes al mejor nivel con la mira de contribuir a jalonar a Colombia hacia el desarrollo. A mis colegas por su reconocimiento de la importancia de esta disciplina, que conmigo y otros que vamos en la misma dirección, debemos hacerla fructificar en nuestro entorno. Resalto la colaboración de la profesora Aleyda Espinosa, su estímulo y preocupación constantes los tendré siempre en cuenta. Por su firme confianza y credibilidad en las bondades de la didáctica de .las matemáticas, estoy obligado a mencionar a los profesores Jairo Álvarez, Carlos Rodríguez, Ernesto Acosta y José Escobar.

Gracias al Departamento de Didáctica de las Matemáticas y de las Ciencias Experimentales de la Universidad Autónoma de Barcelona, a sus profesores y personal administrativo.

No puedo dejar de incluir en estos agradecimientos a una compañera que ya no se encuentra entre nosotros, Luz Marina Ospina, con ella sostuvimos largas e interesantes discusiones y estoy seguro que hubiera disfrutado mucho viendo la culminación de este trabajo.

A Álvaro Perea, el colega, compañero y amigo, sólo puedo decirle que siempre estará en mi recuerdo y espero que nuestro pequeño seminario pueda ser continuado en el futuro, gracias amigo.

A María Elena por su apoyo, estímulo, comprensión, para ella va todo. A mis hijos Julio y Diego, sólo espero que los tantos momentos restados se multipliquen ahora con ellos y la juventud que se lo merece

A todos gracias. He comprendido que la tarea apenas inicia.

Índice: Estudio Microgenético de Esquemas Conceptuales Asociados a Definiciones de Límite y

Continuidad en Universitarios de Primer Curso.

ÍNDICE

RESUMEN 1

INTRODUCCIÓN 2

CAPITULO 1. 6

MARCO TEÓRICO: HACIA UN MODELO COGNITIVO PARA EL

ESTUDIO DE LA MODIFICACIÓN DE ESQUEMAS CONCEPTUALES

EN SITUACIONES DE AULA

PRESENTACIÓN 7

1. LA EPISTEMOLOGÍA GENÉTICA DE PIAGET 8

A. La Perspectiva Biológica 8

B. La Perspectiva Interaccionista 14

C. La Perspectiva Constructivista 16

1.1. ESTRUCTURA, FUNCIÓN Y CONTENIDO 22

1.2. LOS INVARIANTES FUNCIONALES 23

1.3. EL CONCEPTO DE ESQUEMA 25

1.4. ASIMILACIÓN Y ACOMODACIÓN 34

1.5. NIVELES DE INTERACCIÓN Y PROCESOS COGNITIVOS. 35

1.6. LA EQUILIBRACIÓN Y LOS MECANISMOS DE ACCIÓN 39

1.7. CARACTERIZACIÓN DEL EQUILIBRIO COGNITIVO 40

1.8. LAS FORMAS DE EQUILIBRACIÓN 41

1.9. EL MODELO DE LA EQUILIBRACIÓN INCREMENTANTE 43

1.10. LAS REGULACIONES. 43

1.11. PERTURBACIÓN 48

1.12. COMPENSACIÓN 49

1.13. LA EQUILIBRACIÓN INCREMENTANTE 52

1.14. LA ABSTRACCIÓN REFLEXIVA 55

1.15. LA EXPERIENCIA ADQUIRIDA 56



1.16. LA TOMA DE CONCIENCIA 57

1.17. OBSERVABLES Y COORDINACIONES INFERENCIALES 60

1.18. LOS TRES PLANOS DEL CONOCIMIENTO 65

1.19. LOS PROCESOS DE INTERIORIZACIÓN Y EXTERIORIZACIÓN 67

1.20. EL FUNCIONAMIENTO DE LA EQUILIBRACIÓN 68

1.21. LAS CLASES DE EQUILIBRACIÓN 73

1.22. FORMAS DE CONDUCTA Y COMPENSACIONES 74

1.23. EQUILIBRACIÓN. LO POSIBLE, LO NECESARIO Y LO REAL 75

1.24. UNA AUSENCIA EN EL MODELO DE PIAGET 77

2. LA PERSPECTIVA VYGOTSKIANA 79

2.1. LOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES 79

2.2. CONCEPTO DE ACCIÓN MEDIADA 80

2.3. INTERNALIZACIÓN 81

2.4 .ZONA DE DESARROLLO PRÓXIMO 82

3. POSIBLE RELACIÓN ENTRE LAS PERSPECTIVAS DE PIAGET Y VIGOTSKY 83

3.1 EL CICLO DE INTERACCIÓN SOCIOCOGNITIVA 86

4. LA PERSPECTIVA DIDÁCTICA 88

4.1. LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS 88

5. EPISTEMOLOGÍA Y DIDÁCTICA 90

5.1. ALGUNOS APORTES DE LA EPISTEMOLOGÍA DE LA EDUCACIÓN

MATEMÁTICA 92

5.1.1. El concepto de obstáculo epistemológico 92

5.1.2. Definición personal y definición formal del concepto 94

5.1.3. Esquemas y estructura lógica-formal del concepto matemático 95

5.1.4. Los principios cognitivos de Tall 98

5.1.5. El desarrollo cognitivo y los objetos matemáticos 99

5.1.6. Las ideas de Anna Sfard 100

5.1.7. Fases del desarrollo cognitivo en matemáticas 101



5.1.8. Visualización y simbolización en matemáticas 102

5.1.9. La noción de “procepto” 103

5.1.10 Subsistemas del sistema simbólico 104

5.1.11 La teoría de situaciones 106

5.1.12. Fenómeno didáctico y conceptos de interactividad y aprendizaje 108

CAPÍTULO 2. 110

EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN Y LA METODOLOGÍA

PRESENTACIÓN. 111

1. ENFOQUE DE LA INVESTIGACIÓN. 112

1.1 SOBRE HIPÓTESIS DIRECTRICES 112

1.2. ENFOQUE METODOLÓGICO 113

2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN 115

2.1. OBJETIVOS 115

2.2. HIPÓTESIS DE LA INVESTIGACIÓN 115

2.3. TIPO DE ESTUDIO 116

3. METODOLOGÍA DE ANÁLISIS 117

3.1. PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS 123

3.2. INSTRUMENTOS DE ANÁLISIS 125

3.2.1. Categorización lógica de los esquemas asociados a una noción

matemática 125

3.2.2. Aplicación de la categorización lógica 126

3.2.3. Categorización operativa de los esquemas conceptuales 127

3.3. PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS DE LA MODIFICACIÓN DE LOS ESQUEMAS

CONCEPTUALES 131

3.3.1. Procedimiento de análisis local 132

3.3.2. Procedimiento de análisis global 134

4. ENTORNO DE APRENDIZAJE Y DE INVESTIGACIÓN 140



4.1 EL CONTRATO DIDÁCTICO 140

CAPÍTULO 3. 144

PRIMERA FASE DE LA INGENIERÍA: LOS ANÁLISIS PRELIMINARES

PRESENTACIÓN 145

1. ANÁLISIS EPISTEMOLÓGICO DEL CONCEPTO DE CONTINUIDAD 146

1.1 EL MODELO DE ANÁLISIS 146

1.2 EL PERIODO DE LOS GRIEGOS ANTIGUOS 148

1.2.1. Los pitagóricos y el planteamiento del problema del continuo 149

1.2.2. El Continuo De Aristóteles 152

1.2.3. El continuo en los elementos 153

1.2.4. El continuo de Arquímedes 156

1.2.5. Resultados del estudio epistemológico del continuo en el

periodo Griego 158

1.2.6. Conclusiones 163

1.3 EL CONTINUO EN LA EDAD MEDIA 165

1.3.1. Los hindúes 166

1.3.2. Los árabes 167

1.3.3. Los europeos. 167

1.3.4. Conclusiones sobre progresos en la solución del problema

del continuo durante la edad media. 172

1.4 EL CONTINUO EN EL RENACIMIENTO 174

1.4.1. El cambio de paradigma 174

1.4.2. Los aportes en el campo numérico 175

1.4.3. El desarrollo simbólico del álgebra 175

1.4.4. Los preámbulos del cálculo infinitesimal 175

1.4.5. Conclusiones sobre los progresos en la solución del problema del

continuo en el renacimiento. 177



1.5. EL ANÁLISIS EPISTEMOLÓGICO DE LOS CONCEPTOS DE CONTINUO,

CONTINUIDAD Y LÍMITE EN LOS SIGLOS XVII- XVIII 178

1.5.1. El método de las coordenadas 178

1.5.2. El método de los indivisibles y la continuidad 181

1.5.3. Isaac Newton 182

1.5.4. Gottifferd Leibniz 186

1.5.5. Leonard Euler 189

1.5.6. las críticas de Berkeley 194

1.5.7. Conclusiones sobre los progresos en la solución del problema

del continuo durante los siglos XVII- XVII 1195

1.6. DEFINICIONES DE LOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO

DESDE 1780 A 1880 198

1.6.1. Joseph Louis Lagrange. 198

1.6.2. El concepto de límite 200

1.6.3. El problema de la cuerda vibrante 202

1.6.4. Bernard Bolzano 209

1.6.5. Augustin Louis Cauchy 212

1.6.6. Karl Weiertrass 215

1.6.7. Conclusiones del periodo (1780-1880) 218

1.7. RESULTADOS DEL ESTUDIO EN EL PERIODO (400-1880) 223

2. EL ANÁLISIS DE LAS CONCEPCIONES DE LOS ALUMNOS RESPECTO

DE LOS CONTENIDOS A ENSEÑAR 237

2.1. LA INVESTIGACIÓN DE SIERPINSKA 237

2.2. LA INVESTIGACIÓN DE CORNU 239

2.3. COMENTARIOS FINALES RESPECTO A LOS TRABAJOS

DE SIERPINSKA Y CORNU 241

3. EL ANÁLISIS DE LA ENSEÑANZA USUAL Y SUS EFECTOS 242



3.1 HIPÓTESIS DE LA INGENIERÍA DIDÁCTICA 246

CAPÍTULO 4. 250

SEGUNDA FASE DE LA INGENIERÍA: CONCEPCIÓN Y ANÁLISIS

A PRIORI. ESTRUCTURA DE LA GUÍA COMO UN INSTRUMENTO

DE INFLUENCIA EDUCATIVA Y DE INVESTIGACIÓN

PRESENTACIÓN: La concepción de la guía como núcleo de la ingeniería 251

1. CONCEPCIÓN Y ANÁLISIS A PRIORI 252

1.1. SITUACIONES FUNDAMENTALES DE LA CONTINUIDAD 254

1.2. SITUACIONES FUNDAMENTALES DE LÍMITE 263

2. CONCEPCIÓN DE LAS SITUACIONES ADIDÁCTICAS DE LA GUÍA 272

2.1 CONTINUIDAD 273

2.2 LÍMITE 317

CAPÍTULO 5. 333

CUARTA FASE DE LA INGENIERÍA: ANÁLISIS A POSTERIORI DE

LOS PROTOCOLOS DE LAS PRODUCCIONES DE LOS

ESTUDIANTES.

PRESENTACIÓN 334

1. ANÁLISIS DEL PROTOCOLO Nº 1 335

1.1 PRIMERA PARTE: CONTINUIDAD 335

1.2 LÍMITE 371

CAPÍTULO 6. 384

CONCLUSIONES GENERALES

1. CONCLUSIONES 385

1.1. ACERCA DEL OBJETIVO Nº 1: EFICACIA DEL INSTRUMENTO 385

1.2. ACERCA DEL OBJETIVO Nº 2: CARACTERIZACIÓN DE LA

ESTRUCTURA COGNITIVA 386

1.3. ACERCA DEL OBJETIVO Nº 3: IDENTIFICACIÓN DE OBSTÁCULOS Y



DIFICULTADES 386

1.4. ACERCA DEL OBJETIVO Nº 4: DESCRIPCIÓN DE LA EVOLUCIÓN

DE LA ESTRUCTURA COGNITIVA 388

1.5. ACERCA DEL OBJETIVO Nº 5: SOBRE LA METODOLOGÍA DE

LA INVESTIGACIÓN 391

2. IMPLICACIONES DE LA INVESTIGACIÓN 391

7. BIBLIOGRAFÍA 393

8. ANEXOS

ANEXO I Programa de Cálculo I 399

ANEXO II Facsímil de las respuestas del estudiante 401

ANEXO III. Instrumento. 407

ANEXO IV. Protocolo del estudiante. 412

Resumen

1

ESTUDIO MICROGENÉTICO DE ESQUEMAS CONCEPTUALES ASOCIADOS

A DEFINICIONES DE LÍMITE Y CONTINUIDAD EN UNIVERSITARIOS DE

PRIMER CURSO

RESUMEN

Este es un estudio de casos con relación a la secuenciación y control de obstáculos y

dificultades conceptuales, con el fin de desarrollar los esquemas conceptuales de los

alumnos que dan cuenta de las definiciones matemáticas de límite y continuidad.

El marco teórico, ontogenético-sociocultural y didáctico, define el campo conceptual para

examinar los procesos y evolución de las nociones de los estudiantes en relación con sus

condiciones cognitivas iniciales y potenciales, su acción sobre los medios y la interacción

social en el aula.

Para el estudio de la evolución conceptual se emplean situaciones didácticas que propician

conflictos con los esquemas y se analiza el cambio de éstos en el proceso de enseñanza y

aprendizaje, durante una semana.

La conclusión principal es la posibilidad de establecer situaciones didácticas que permiten

controlar la evolución conceptual y establecer una relación eficaz entre aprendizaje y

desarrollo cognitivo.

PALABRAS CLAVE: Microgénesis, Esquema Conceptual, Límite y Continuidad.

Introducción

2

INTRODUCCIÓN

El objetivo de este trabajo es estudiar el problema de la enseñanza y aprendizaje de

los conceptos de límite y continuidad, en el caso de un primer curso de cálculo a nivel

universitario, para proponer explicaciones que ayuden a comprender las fuentes de la

problemática y, así encontrar soluciones a las dificultades que se presentan en la

enseñanza de estos conceptos fundamentales del cálculo.

Las raíces de esta investigación surgieron ante nuestra incapacidad inicial para

encontrar soluciones “satisfactorias” a las dificultades de comprensión y aplicación, que

observábamos en los estudiantes universitarios, en su encuentro con los conceptos básicos

del calculo. La historia de lo que después de algunos años se constituiría en el problema de

investigación de la presente tesis doctoral comenzó, en el año 1986, en el departamento de

matemáticas de la Universidad del Valle (Cali, Colombia) cuando un grupo de profesores,

con una visión teórica de la didáctica muy pobre, en aquella época, pensamos que si lo

importante en la adquisición de los conocimientos era la acción del estudiante en un

proceso constructivo, entonces deberíamos diseñar y aplicar instrumentos didácticos que

facilitaran la labor y que neutralizaran la tendencia del profesor a disfrutar del placer de

proporcionar buenas explicaciones a los estudiantes, que la experiencia, por lo demás, nos

demuestra que no son suficientes para lograr un verdadero aprendizaje. Diseñamos,

entonces, un modelo de enseñanza y un conjunto de doce guías para el trabajo del

estudiante que cubren la estructura temática del curso de cálculo I (límite, continuidad,

diferenciación e integración en una variable), aplicándolas durante tres años en la

Universidad del Valle.

De aquí surgió la publicación (Delgado, 1994) donde se esboza una propuesta

didáctica tendiente a resolver el problema de la enseñanza de los conceptos de límite,

continuidad. En dicho artículo se expresan las ideas básicas para el diseño de un

dispositivo didáctico, correspondiente a la introducción de los conceptos, que

denominamos «guía» (sobre límite y continuidad) construido para propiciar los conflictos

que, a nuestro entender, es necesario abordar en una estrategia constructivista del

aprendizaje1.

Durante el bienio 1993-1995, en el programa del Doctorado en Didáctica de las

Matemáticas y las Ciencias Experimentales de la Universidad Autónoma de Barcelona y

bajo la dirección de la Doctora Carmen Azcárate retomamos y discutimos la experiencia

explicitada citada con la cual definimos el problema a investigar, así como el marco

teórico. Nuestro problema se expresa de la siguiente manera:

1 En este trabajo, nosotros adoptamos la definición de aprendizaje propuesta por César Coll según la cual, el aprendizaje

en sentido constructivista es: “Un proceso de construcción de significados y de atribución de sentidos cuya

responsabilidad última corresponde al alumno” (Coll, C. 1995. p. 218)

Introducción

3

¿Es posible controlar, en una situación de aprendizaje, la evolución de la estructura

cognitiva del estudiante, respecto a: las dificultades conceptuales y obstáculos

cognitivos que surgen en el aprendizaje de las nociones matemáticas de límite y

continuidad?.

¿Es posible que una secuencia didáctica en la que se tomen en cuenta las dificultades

conceptuales y obstáculos cognitivos sea eficaz para potenciar la evolución de la

estructura cognitiva del estudiante, relacionada con las nociones matemáticas de

límite y continuidad?

En primera instancia observamos que en la literatura no existía un estudio

relacionado con la evolución del cambio conceptual del alumno desde el punto de vista de

las dificultades conceptuales y obstáculos cognitivos relacionados con los conceptos de

límite y continuidad. Emprendimos entonces el análisis de las producciones escritas de un

estudiante respecto de la guía de límite y continuidad lo que constituyó la tesis de Maestría

(Delgado, C., 1995). En este trabajo logramos establecer la eficacia de los instrumentos

teóricos y del método en el estudio de la evolución conceptual de un estudiante a partir de

sus producciones escritas respecto de la guía ejecutada en el marco del modelo de

enseñanza-aprendizaje que se aplicó en la Universidad del Valle. Los resultados y

conclusiones de la investigación se discutieron en el reporte de investigación presentado

en el P.M.E. realizado en Valencia–España (Delgado & Azcárate, 1996). De igual manera

quedó clara la tarea de profundizar y completar aspectos tanto teóricos como

metodológicos camino a configurar una investigación más exhaustiva.

La presente tesis doctoral, constituye la continuación del estudio del problema

mencionado, en ella profundizamos en el marco teórico e incrementamos el número de

casos. El marco teórico que expondremos en el primer capítulo, tiene por objetivo definir

un conjunto de principios orientadores de nuestra investigación que posee tres

dimensiones: cognitiva, didáctica y epistemológica.

Los principios de la dimensión cognitiva son necesarios para analizar tres

actividades en que se ven involucrados el profesor y los estudiantes cuando enseñan o

estudian la matemática: la actividad individual, la actividad social, y la actividad

matemática. Cada una de estas actividades observa sus propios principios y se relaciona

con las otras de una manera compleja en un sistema didáctico. Para comprender este

sistema, es decir, el conjunto de relaciones que unen sus elementos y las leyes que rigen

las interacciones entre ellos nos remitimos a las teorías que son, y han sido, la fuente de

muchos estudios que se han realizado respecto al cambio cognitivo y los procesos

cognitivos en situaciones didácticas. Así, con respecto a la actividad individual, los

trabajos, sobre el constructivismo genético-estructural, de Jean Piaget (1969, 1974, 1984,

1985, 1989, 1990a) principalmente, Bärbel Inelder (1975), Jhon H. Flavell (1985) y

Jerome Bruner (1995) nos han permitido penetrar en el corazón mismo de los mecanismos

que intervienen en la modificación conceptual, en especial consideramos los conceptos:

estructura, esquema y sus relaciones con los invariantes funcionales de asimilación-

acomodación; estructura y los procesos de equilibración y abstracción reflexiva; esquema

y acción. Esta teoría basada en los mecanismos evolutivo y adaptativo del modelo

biológico es acorde con nuestra visión constructivista y facilita el análisis de las

producciones del sujeto desde la perspectiva de los procesos internos (intrapersonales)

pero deja de lado los procesos externos (interpersonales) que según nuestras observaciones

inciden en el desarrollo cognitivo.

Introducción

4

Es aquí que, para posibilitar un estudio más holístico del aprendizaje que tome en

cuenta los mecanismos de influencia escolar, consideramos la teoría sociogenética y

socioconstructiva, de Vygotsky (1982), a la luz de las actualizaciones indicadas por J.

Wertsch (1985, 1991), Alex Kozulin (1990) y César Coll (1995) entre otros. Esta teoría,

parece complementaria con la visión de J. Piaget de la actividad individual, en particular,

nos interesamos en los concepto de acción mediada, instrumentos de mediación, zona de

desarrollo próximo, interactividad, intersubjetividad e internalización, los cuales ayudan a

explicar los mecanismos de influencia sociocultural en el desarrollo cognitivo y, en

particular, en relación con el aprendizaje individual con la ayuda de otros.

Aplicando estos principios de la teoría cognitiva general, en nuestro estudio teórico

que se ubica en el contexto de lo que la comunidad científica denomina pensamiento

matemático avanzado (D. Tall, 1992), establecemos las relaciones necesarias con la

definición de «concept image», D. Tall & S. Vinner (1981), propuesta para referirse a la

“estructura cognitiva total” que define la acción del sujeto en situaciones relacionadas con

el concepto matemático y, diferenciar aquellas construcciones internas y privadas que el

sujeto pone en obra cuando se encuentra con situaciones relacionadas con el concepto

definido por la comunidad matemática. La noción de «concept image», es más específica

y queda comprendida en la noción general de esquema Piagetiano. Así mismo, con este

marco teórico general, indagamos por los principios cognitivos que se infieren de los

modelos de lenguaje y formas de razonamiento característicos del pensamiento

matemático avanzado, en este sentido contrastamos la tesis de A. Sfard (1991), sobre el

papel de los algoritmos en el pensamiento matemático, con las tesis de D. Tall (1994b,

1995) respecto del pensamiento matemático y la formación de los conceptos,

especialmente nos interesó la noción de procepto la cual nos permite justificar nuestro

método para lograr la construcción de la definición (-) de límite y continuidad. En

cuanto al proceso de abstracción reflexiva en situaciones de la construcción de las

nociones matemáticas ha sido de gran ayuda el artículo, sobre este tema, de E. Dubinsky

(1992).

Si bien estas dos teorías nos proporcionan principios orientadores de la dimensión

cognitiva de la investigación para responder a nuestros interrogantes sobre los factores

generales del cambio conceptual, desde una perspectiva ontológica y sociocultural,

también es cierto que estamos interesados en el estudio de modificación conceptual no en

general ni a lo largo del desarrollo de las estructuras cognitivas, sino en situaciones de

aprendizajes, locales, en instituciones educativas y en particular en el aula de clase lo que

nos lleva a considerar la segunda dimensión.

Se trata de la dimensión didáctica, asociada a las características del funcionamiento

del sistema de enseñanza, nos remitimos a los trabajos sobre la didáctica de la matemática

de G. Brousseau (1981; 1983; 1986; 1988;1989; 1990; 1991) referentes a la teoría de

situaciones y las relaciones entre: el saber a enseñar, el profesor y el alumno. Estos

elementos permiten estudiar los fenómenos didácticos y las consecuencias psico-

cognitivas de los procesos de enseñanza-aprendizaje que se derivan del contrato didáctico

establecido en el marco de una institución y una sociedad; también los conceptos de

transposición didáctica de Y. Chevallard & M. Johsua (1982); Johsua, S. & Dupin J.

(1989), sobre el proceso de transformación a que es sometido el conocimiento establecido

por la comunidad científica, para adaptarlo a la enseñanza; Chevallard, Y., Bosh, M., y

Gascón, J, (1997) sobre la problemática didáctica del estudio de las matemáticas. Es en

este estudio que el estudiante se involucra en una «obra matemática», con la ayuda de un

Introducción

5

experto y en colaboración con otros, pero una obra que ya es una realidad de saber sabio,

que tuvo su génesis y dificultades particulares lo que nos lleva a la tercera dimensión de la

investigación, la epistemológica

En el dominio de la epistemología de las matemáticas y en particular las referentes a

los conceptos de límite y continuidad, las investigaciones de G. Brousseau (1983), A

Sierpinska (1985) y B. Cornu (1986) brindan una valiosa información sobre los obstáculos

epistemológicos ligados a éstos conceptos. Con base en tales trabajos, centramos nuestra

investigación en los medios didácticos para superarlos, proponiéndonos investigar el

cambio conceptual de los estudiantes, los factores que inciden en su evolución, los

conflictos cognitivos que surgen en el desarrollo de la secuencia didáctica y la eficacia de

las situaciones planteadas en el dispositivo didáctico, tomando como objeto de estudio las

producciones escritas de los estudiantes referidas a la guía mencionada.

La investigación se caracteriza por ser un estudio en la perspectiva de «la ingeniería

didáctica» (Artigue, M. 1988): se consideran la concepción, la realización, la observación

y el análisis de una secuencia didáctica, para indagar sobre la microgénesis de los

conceptos matemáticos de continuidad y límite. En cuanto a las dimensiones del análisis ,

al introducir la interactividad respecto a la guía, hemos considerado los modelos de

análisis que presenta César Coll y otros (1995) en los trabajos sobre «los mecanismos de

influencia educativa», aclarando que, tomamos aquello que consideremos pertinente a

nuestro trabajo que resulta limitado al considerar únicamente las respuestas escritas

durante la secuencia didáctica .

Los resultados de la investigación conducen a concluir que es posible situar

secuencias didácticas que favorecen la modificación de los esquemas conceptuales del

estudiante para responder por los conceptos definidos en la matemática. Esta posibilidad

depende de mecanismos de influencia educativa que propician la cesión, traspaso y control

de la responsabilidad del aprendizaje, que en última instancia corresponde al alumno. La

capacidad para obrar de tales mecanismos es función la naturaleza del conocimiento a

enseñar, de la actividad individual y la interactividad en el aula. Estos resultados

contribuyen a la validación de la tesis sobre el papel fundamental de la sociocultura en el

desarrollo cognitivo y reafirma la necesidad de fundamentar una teoría que relacione

aprendizaje con desarrollo.

Estudio Microgenético de Esquemas Conceptuales

Asociados a Definiciones de Límite y Continuidad en

Universitarios de Primer Curso.

CAPÍTULO 1

MARCO TEÓRICO: HACIA UN MODELO COGNITIVO

PARA EL ESTUDIO DE LA

MODIFICACIÓN DE ESQUEMAS

CONCEPTUALES EN

SITUACIONES DE AULA

6

CAPÍTULO 1

MARCO TEÓRICO: HACIA UN MODELO COGNITIVO

PARA EL ESTUDIO DE LA

MODIFICACIÓN DE ESQUEMAS

CONCEPTUALES EN SITUACIONES

DE AULA

7

CAPÍTULO 1

MARCO TEÓRICO

Hacia un modelo cognitivo para el estudio de la modificación de esquemas conceptuales en situaciones de aula

PRESENTACIÓN

El presente marco teórico tiene el propósito de establecer un conjunto de conceptos

básicos que consideramos pertinentes al estudio de un «fenómeno didáctico», relacionado

con la evolución conceptual de estudiantes que se ocupan en la construcción de ciertos

conocimientos matemáticos en una situación de aula. Pretendemos, con ello, hacer

inteligibles los fundamentos de la investigación, que resultan complejos al relacionar los

tres tipos de actividad: individual, social y matemática, que están imbricadas en el

«sistema didáctico». Nuestro primer paso, es situar una teoría general del conocimiento

de la que importaremos algunos principios e hipótesis para sustentar el análisis de la

problemática psico-cognitiva y epistemológica en el marco de la investigación didáctica;

reconociendo la independencia de los campos de investigación, en cuanto a los objetos de

que se ocupan y sus métodos. Esta teoría general se fundamentará, a su vez, en dos fuentes

como son: la epistemología genética centrada en las investigaciones ontogenéticas

realizadas por la escuela de Piaget y, la sociocognitiva formulada por Vygotski y sus

seguidores. Nuestra hipótesis es que las dos teorías resultan complementarias para el

objetivo de nuestro estudio. Adoptando una posición ecléctica, nos proponemos identificar

los elementos teóricos complementarios que, importados al campo de la didáctica,

contribuyan a la fundamentación teórica del estudio de los mecanismos y factores que

condicionan el aprendizaje de conceptos en el estudiante en una situación didáctica.

El marco de la teoría general del conocimiento que mencionamos arriba es necesario, pero

no suficiente, para investigar los problemas de los procesos de estudio de la matemática en

situaciones didácticas, pues éstos tienen sus propios orígenes, tanto en el funcionamiento

del sistema didáctico (Brousseau, G. 1986; Chevallard Y. et alt. 1997), como en la

naturaleza epistemológica del saber en juego. Así, las dificultades de adquisición del

conocimiento matemático y los problemas relativos a los obstáculos epistemológicos

(Brusseau, G. 1983) que deben ser considerados para la construcción de situaciones que

conduzcan a un aprendizaje de los conceptos matemáticos, encuentra sus fuentes

explicativas en la naturaleza misma de los conceptos y los contextos en que son

presentados los objetos matemáticos. Éstos problemas son abordados, actualmente, tanto

por los investigadores de la escuela francesa como por los anglo sajones que están

desarrollando un campo teórico que se ha venido denominando Advanced mathematical

Epistemología genética de Piaget (perspectiva biológica)

8

thinking, (por ejemplo: Tall, D. 1992; Tall, D. & Vinner, S., 1991; Dreyfuss, T., 1990) en

el cual los problemas del conocimiento toman características específicas pero,

indudablemente, en profunda relación con la actividad que se realiza en un sistema

didáctico, lo que nos lleva a tomar en consideración, además, lo recientes aportes teóricos

en este campo.

Así, pues, nuestro objetivo, en el campo teórico, es apropiar un marco conceptual, que

permitan modelar y analizar situaciones de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, de

nivel avanzado, para investigar y plantear explicaciones a un «fenómeno didáctico» a

partir de la actividad conjunta del estudiante y el profesor en torno de una tarea o

contenido; considerando tres dominios: psicológico, epistemológico y didáctico. Y tres

aspectos sistémicos: social, individual y didáctico-matemático.

El marco teórico estará constituido por cuatro partes. La primera identifica los

conceptos básicos, que nuestra lectura de los trabajos de Piaget nos ha permitido

establecer y que relaciona la actividad individual como un factor del desarrollo cognitivo,

lo que lleva a los neopiagetianos a postular que la actividad autoestructurante es la fuente

del aprendizaje escolar; la segunda corresponde a los planteamientos de la obra de

Vygotski, que destaca la actividad social como factor fundamental del desarrollo, por

tanto, los neovygotskianos postulan que el aprendizaje escolar es posible gracias a la

actividad conjunta en la construcción de significados; la tercera, se refiere a la teoría en el

campo de la didáctica de las matemáticas donde se plantean las consideraciones

específicas de la actividad del sujeto que estudia matemáticas. Por último, la cuarta parte

de este marco teórico está constituida por nuestra toma posición teórica en el campo de la

didáctica respecto de los aportes de cada uno de los campos mencionados a nuestras

hipótesis y preguntas de la investigación que orientan el análisis de los datos en la

investigación didáctica que desarrollaremos.

1. LA EPISTEMOLOGÍA GENÉTICA DE PIAGET

El programa de la investigación de Piaget aborda el problema de la naturaleza del

conocimiento humano planteando la pregunta ¿cómo el sujeto evoluciona de un estado de

conocimiento a otro más desarrollado?. Su respuesta se fundamenta en tres perspectivas: la

biológica, la interaccionista y la del constructivismo genético. Daremos primero una

somera visión de los tres aspectos para luego en el marco, que estos proporcionan,

presentar la equilibración como uno de los factores que Piaget considera responsable del

desarrollo cognitivo y nosotros un verdadero mecanismo que participa en la construcción

progresiva de significados en el aula.

A. La perspectiva Biológica.

Piaget (1969; 1990b), sostiene que al abordar los problemas de la génesis de la

inteligencia no se pude dejar de lado la pregunta

¿Cuál es la relación entre la razón y la organización biológica? (Piaget, 1990b, p. 12)

La razón es que la variedad de respuestas posibles desde el punto de vista del biólogo

puede conducir igualmente a diferentes interpretaciones psicológicas de la inteligencia (lo

mismo en filosofía y didáctica). Piaget (1990b), afirma que ante el riesgo de sufrir


9

pasivamente las influencias de una de las varias soluciones a la pregunta que existían en su

época (1947) es preferible “escoger alguna con toda lucidez para extraer de ella los

postulados de los que se arranca en la investigación” (Ídem, p. 12). Advirtiendo, que

debido al estado de los conocimientos no se podía llegar a una conclusión positiva. No

obstante el tiempo transcurrido, la pregunta sigue siendo actual1.

Piaget plantea que existe “cierta continuidad entre la inteligencia y los procesos de

morfogénesis y adaptación al medio”2:

La inteligencia verbal o reflexiva reposa sobre la inteligencia práctica o

sensoriomotríz, que se apoya a su vez sobre los hábitos y asociaciones adquiridos para

combinarlos de nuevo. Éstos suponen, por otra parte, el sistema de los reflejos, cuya

conexión con la estructura anatómica y morfológica del organismo es evidente. Por

consiguiente existe una cierta continuidad entre la inteligencia y los procesos de

morfogénesis y adaptación al medio. (Piaget, 1990b, p. 12)

Por tanto, interesa saber cómo las estructuras hereditarias preparan la adaptación

intelectual

Los reflejos y la morfología misma de los órganos a los que se encuentran vinculados

constituyen una especie de conocimiento anticipado del medio exterior, conocimiento

inconsciente y totalmente material, como es obvio, pero indispensable para el

desarrollo ulterior del conocimiento efectivo. ¿Cómo es posible semejante adaptación

de las estructuras hereditarias? (Piaget, 1990b, p. 23)

Esta pregunta aún hoy se encuentra sin una solución definitiva. Piaget describe cinco

soluciones propuestas por los biólogos de la época y las correlaciona con las diferentes

interpretaciones psicológicas que colocamos entre paréntesis: Lamarkismo (correlacionado

con asociacionismo en psicología: “el conocimiento resulta...de los hábitos adquiridos sin

que ninguna actividad interna, que constituiría a la inteligencia en cuanto a tal, condicione

estas adquisiciones” –ídem, p.24.), vitalismo (intelectualismo psicológico, la inteligencia

se explica por sí misma, la facultad de conocer es innata y la actividad inteligente es el

hecho primario del que todo deriva en el plano psíquico), preformismo y emergencia

(apriorismo, considera las estructuras mentales anteriores a la experiencia. Y las teorías de

la «forma o Gestalt en psicología» considerando que éstas “no son más que un

preformismo más dinámico –ídem, p.25.), mutacionismo (pragmatismo y

convencionalismo: “el ajuste de conductas se explica ...por la selección posterior de

comportamientos que surgen casualmente en relación con el medio externo” –ídem, p.25.)

y una quinta solución que es la que él adopta.

De acuerdo a ésta última los biólogos plantean la posibilidad que aún en los niveles

más internos –nivel genético– hay interacción con el medio y como resultado del mutuo

intercambio el sistema genético, dentro de ciertos límites, prepara el fenotipo de manera

anticipada para dar respuestas a las variaciones del medio. Hay selección natural, sólo que

ésta ya no seria un agente , como el operario que selecciona y separa los productos

defectuosos de una línea de producción, sino una consecuencia de la variación genética de

la aptitud.

1 Se puede consultar, Actas del Primer Congreso Internacional de Ontología . Categorías e inteligibilidad global. El

proyecto ontológico a través de la reflexión contemporánea., 1993. Coordinador: Víctor Gómez Pin. Publicacions de la

Universitat Autónoma de Barcelona. Bellaterra (Barcelona). En particular ver: Orsua Nicanor. Cerebro y conocimiento:

hacia una reconsideración científico-natural de las categorías. pp. 347-354 2 Una de las tesis de toda teoría biológica actual del conocimiento es que “existe una entidad mente-cerebro” (Orsua N.

1993. p. 348).


10

Existen, sin duda, «caracteres adquiridos», del tipo de los que Lamarck creía

hereditarios y hoy pensamos que no. Pero aunque los cambios no se hereden, cabría

esperar que la capacidad de experimentar tales modificaciones apropiadas del sistema

de desarrollo posea carácter hereditario. Si así fuera, la selección natural favorecería los

organismos que poseyeran una mayor capacidad de adaptarse a una situación anormal,

y actuaría en contra de los que no se dejaran modificar o lo fueran de un modo extraño

y perjudicial. De hecho se fomentaría en el sistema de desarrollo una tendencia a ser

fácilmente modificado en direcciones que sean útiles para enfrentarse a las exigencias

ambientales y a ser difícilmente desviados hacia rutas inútiles o perjudiciales3

(Wadington, 1979, p. 33)

En este contexto selección natural es el nombre de un proceso que resulta de la

naturaleza de los seres vivos, en particular de su variabilidad hereditaria. Por tanto, no es

el azar (mutacionismo-neodarwinista) en los errores de copia del código genético el que

determina el fenotipo y luego la selección como agente (nuevamente el azar) lo que

explicaría la novedad; ni tampoco lo sería la herencia directa de «caracteres adquiridos».

Más bien, habría que aceptar las consideraciones del genetista Waddington que plantea, en

palabras de Piaget,

[...] como uno de los feedbacks esenciales que intervienen en la selección, el hecho de

que, por influencia del genoma, el animal «elige» y «modifica» su medio antes de

aceptar pasivamente las acciones que intervienen en la formación de fenotipo (véase

The Strategy of the Genes, p. 107, fig. 13). (Piaget, 1969, p. 31)

Así, desde el punto de vista genético el genoma no es el producto del azar de las

variaciones endógenas (mutaciones) o externas del medio (selección) sino que ante las

variaciones que éste le opone hay que reconocerlo como un sistema organizado capaz de

dar respuestas anticipadas a diferentes tensiones externas –dentro de ciertos límites– y

alcanzar nuevas formas fenotípicas mejor adaptadas. Por tanto, no carece del todo de

sentido reconocer, en los organismos, la capacidad de preparar los medios más apropiados

para responder al medio y que el uso o desuso de sus órganos, aunque no se herede

directamente como pensaba Lamark, actúa por selección natural de modo que establecen

una fase en que aparecen nuevas variaciones. Así,

el organismo y el medio constituyen un todo indisociable, es decir, que al lado de las

mutaciones fortuitas es preciso separar las variaciones adaptativas que implican a la vez

estructuración propia del organismo y una acción del medio, aunque los dos términos

son inseparables el uno del otro. (Piaget, 1990b, p. 25)

Propone en consecuencia, interpretar nuestro aparato cognitivo y su función de

conocer, como continuación y producto del funcionamiento y diferenciación de las

funciones de adaptación y organización características, en todos los niveles, de los seres

vivos. Su tesis central es que toda la vida es autorregulación. Por tanto, la continuidad

biológica de la cognición no se puede establecer a partir de una concepción limitada de la

adaptación como “conservación y supervivencia”, es decir, como equilibrio entre el

organismo y el medio, sino que debe caracterizarse en términos de equilibrio o

regulaciones de las acciones recíprocas organismo-medio, así,

existe adaptación cuando el organismo se transforma en función del medio, y cuando

esta variación tiene por efecto un crecimiento de los intercambios entre el medio y él

mismo favorables a su conservación. (Piaget, 1990b, p. 15)

Se aparta, entonces, de las tesis lamarkistas (el medio responsable de las variaciones

que se heredan genéticamente) y neodarwinistas (el azar como último factor de la

variación) de la evolución, admitiendo la participación activa del organismo en su destino

3 Waddington cita aquí su libro. Waddington, C. H., 1958, The estrtegy of the genes. London.


11

mediada por mecanismos reguladores. Se adhiere, por tanto, a una tercería teórica de la

evolución que admite, aún a nivel genético, la variación fenotípica como producto de

interacciones entre el genoma y el medio; el mecanismo autorregulador y el marco de la

«norma de reacción» admitida por el genotipo y no el azar o la simple sumisión a

presiones externas, explicarían la aparición de nuevos fenotipos. Similarmente, en las

escalas embriológicas, fisiológicas y neurológicas existen mecanismos autorreguladores

que al mismo tiempo que preservan la organización posibilitan construcciones endógenas

con mayor aptitud para responder a las contingencias del medio.

Para Piaget el conocimiento, como elemento de la organización biológica, sería

asimilable a esta forma de concebir la evolución y por tanto, se inspira en la actividad

funcional del organismo en su interacción con el medio externo y la existencia de una

cierta autorregulación como elementos explicativos de la evolución cognitiva del ser

humano. Se argumenta que si lo propio de la conservación y adaptación de todo organismo

en todos los niveles (o sistemas: genético, epigenético, fisiológico, neurológico) es su

autorregulación ante las variaciones que le presenta el medio, entonces esta capacidad

funcional se prolonga en el comportamiento que consiste

en un conjunto de elecciones y acciones sobre el medio, que organiza de manera

óptima los intercambios. El aprendizaje no constituye de ninguna manera excepción a

esta definición, pues al adquirir nuevos condicionamientos o nuevos hábitos, el ser vivo

asimila las señales y organiza esquemas de acción que se imponen al medio, a la vez

que se adapta a él. (Piaget, 1969, p. 32)

El comportamiento, entonces, se caracteriza por las acciones que modifican el medio

exterior con una finalidad, por ejemplo, la construcción de un nido o para aumentar el

poder del organismo sobre el medio, como ocurre con la construcción de herramientas.

Este carácter teleonómico de las acciones dirigidas a utilizar o transformar al medio

diferencian al comportamiento de lo simplemente fisiológico como ocurre en ciertas

acciones como el acto de respirar porque si bien altera el medio externo, no lo hacen con

la finalidad de producir tal alteración.

Luego hay una asimilación activa a nivel del comportamiento y las funciones

cognoscitivas, obedecen como las demás, a las leyes muy generales de la asimilación y

la adaptación, pues los esquemas de acción constituyen, como los demás «formas» de

la organización vital, pero formas funcionales de estructura dinámica y no material (en

el sentido de que entran juego de masas), (Piaget, 1969, p. 32)

Estas estructuras se constituyen simultáneamente en órganos funcionales de

autorregulación cognoscitiva y en instrumentos para el intercambio con el medio.

En una palabra, la estructura cognitiva es el sistema de conexiones que el individuo

puede y debe utilizar y no se reduce de ninguna manera al contenido de su pensamiento

consciente ya que éste es el que le impone ciertas formas en lugar de otras, y ello según

los niveles sucesivos de desarrollo cuyo origen inconsciente se remonta hasta las

coordinaciones nerviosas y orgánicas. (Piaget, 1975b, p. 43)

Se conforma, así, su hipótesis fundamental sobre una continuidad entre procesos

orgánicos y mecanismos cognoscitivos:

Toda la vida es, esencialmente autorregulación.

Los procesos cognitivos se nos presentan entonces, simultáneamente como la

resultante de la autorregulación orgánica, cuyos mecanismos esenciales reflejan, y

como los órganos más diferenciados de esta autorregulación en el seno de las


12

interacciones con el exterior4, de tal manera que terminan, con el hombre, por extender

éstas al universo entero (Piaget, 1969. p. 26)

El nombre que adoptó para este proceso autorregulador fue el de “equilibración

incrementante” o “maximizadora” para indicar que se trata de equilibrios que superan un

estado actual alcanzando nuevas organizaciones pero conservando al mismo tiempo las

estructuras previas.

Como se puede observar, lo que plantea Piaget es que las estructuras cognitivas se

construyen, estas construcciones dan origen a nuevos comportamientos que se explican

genéticamente, siempre a través de un proceso de interacción entre el sujeto y el objeto, lo

que conduce a pensar en mecanismos autorreguladores de este proceso, los cuales no

pueden, según él, separarse de los mecanismos autorreguladores presentes en los

intercambios entre organismo-medio –por ejemplo, el sistema nervioso humano–; por el

contrario, tales mecanismos, de autorregulación cognoscitiva, serían prolongación de

aquellos.

Las funciones cognitivas, por tanto, en esta perspectiva, serían los órganos

especializados de la autorregulación de los intercambios en el seno del comportamiento

(Piaget, 1969, p. 33)

Para Piaget los términos función y estructura son inseparables: la estructura en todo

momento depende de la relación de sus funciones, y en muchos casos es manifestación de

ellas. Aquí, el énfasis es que las estructuras, funciones y comportamientos están

estrechamente entrelazados. Es la actividad del organismo la que incrementa la

diferenciación y especialización de las funciones, en órganos especializados para realizar

funciones específicas (en el caso humano hasta alcanzar las estructuras lógico-

matemáticas que posibilitan el pensamiento formal), de allí la necesidad de un mecanismo

regulador y un proceso de equilibración que posibilite la integración de las

diferenciaciones para mantener el sistema como un todo.

En esta perspectiva, respecto a los factores del desarrollo orgánico conocidos como

la programación debida al genoma y las influencias del medio, habría que agregar

[...] los factores de equilibración o autorregulación que no son propiamente, ni hereditarios

(puesto que se imponen motu propio en función de las situaciones) ni adquiridos desde el exterior

(puesto que se trata de regulación interna) (Piaget, 1969, p. 34)

Lo que nos interesa señalar es que postular la autorregulación como factor del

desarrollo orgánico, presente en todas las escalas –sistemas: genético, epigenético,

fisiológico y nervioso–, permite pensar el desarrollo cognitivo ya no “como una “simple

mezcla de elementos hereditarios y adquiridos” sino como “una organización que busca su

equilibrio”. Claramente, esta posición diverge tanto del asociacionismo, que explica el

conocimiento por la simple asociación de estímulo y respuesta sin intervención de

actividad interna, como del pragmatismo que considera la elaboración de estructuras por

una vía puramente endógena y el ajuste de las conductas se produce a posteriori por la

selección de comportamientos que surgen casualmente en la relación con el medio

externo.

Consecuente con la posición respecto a la teoría evolutiva descrita, Piaget señala que

esta organización del desarrollo orgánico se prolonga en el comportamiento en sus

intercambios con el medio en los cuales las funciones cognitivas sirven de órganos de

autorregulación. Y esto en dos sentidos: hacia el exterior para garantizar la conservación

de la organización y hacia el interior para prever construcciones que aparecen como

4 Las cursivas son de Piaget.


13

necesarias sólo al alcanzar equilibrios progresivamente más estables. Este doble

funcionamiento de la autorregulación se observa en todas las escalas biológicas y la

autorregulación se constituye en el mecanismo que permite responder a los desequilibrios

que plantea el medio inmediato. A medida que se asciende en ellas, el sistema

correspondiente se encuentra más abierto, por tanto más susceptible a múltiples

desequilibrios que conducen al establecimiento de mejoras en la organización, alcanzando

así equilibrios (organizaciones) progresivamente más estables.

Por último, el comportamiento está expuesto a muchos desequilibrios, puesto que

depende sin cesar de un medio ilimitado y fluctuante a merced del cual está; la función

autorreguladora de los mecanismos cognitivos desemboca, entonces, en las formas de

equilibrio más estable que conoce el ser vivo: las de las estructuras de la inteligencia,

cuyas operaciones lógico-matemáticas se imponen con necesidad desde que las

civilizaciones humanas han llegado a cobrar conciencia reflexiva (Piaget, 1969, p. 36)

Esta perspectiva teórica respecto a la función autorreguladora de los mecanismos

cognitivos repercute necesariamente en los procesos de enseñanza-aprendizaje que deben

tomar en consideración, como uno de los factores centrales que intervienen en el

aprendizaje, la autorregulación que no es ni heredada ni impuesta desde afuera. Si se toma

en serio la propuesta teórica de Piaget entonces la modelización de las situaciones de

enseñanza y el seguimiento de los aprendizajes se verán profundamente afectados. Esto

fue lo que ocurrió con las investigaciones piagetianas que, orientadas por este principio, se

ocuparon de la equilibración para penetrar así el corazón mismo de la evolución de las

estructuras cognitivas. Los mecanismos de equilibración explicarían, a partir de la

observación del comportamiento del infante, las primeras conductas que se constituyen

por la equilibración de asimilaciones5 y acomodaciones a partir de estructuras elementales

preexistentes biológicamente. La evolución estructural continuaría progresando mediante

el mecanismo de la equilibración maximizadora, en estadios secuenciales, hasta alcanzar

las estructuras lógico-matemáticas propias del pensamiento formal.

Los resultados de estas investigaciones muestran que:

1. El desarrollo intelectual es el producto de factores internos y externos que se

resumen en los cuatro siguientes: maduración, la influencia del medio físico (por la

acción del sujeto sobre los objetos), la influencia social (por la transmisión cultural) y

equilibración (de los procesos de: asimilación –de elementos externos a estructuras

internas– y acomodación –de estas estructuras a los eventos externos).

2. En relación con el aprendizaje lo que señalamos, es la importancia de tomar en cuenta

esta posición para plantear una distancia real, y no sólo formal, de aquellas acciones

didácticas apoyadas en concepciones del aprendizaje empiristas o innatistas que, en

ocasiones, aún inconscientemente, invaden nuestras prácticas, ya que como afirma

Inhelder respecto de la perspectiva biológica de Piaget:

Se ve desde el principio en qué difiere tal interpretación de inspiración biológica, en

términos de asimilación (y de acomodación complementaria) y de esquemas, de la que

subyace en las teorías del aprendizaje que intentan explicar el desarrollo cognoscitivo

por medio de los modelos de conexión, de asociación o de condicionamiento: estos

mecanismos se refieren a relaciones impuestas desde el exterior entre los elementos

vinculados, mientras que la noción de asimilación implica siempre un proceso de

interacción de los objetos nuevos a las estructuras anteriores y la elaboración de

estructuras nuevas por el sujeto actuando en interacción con el medio. (Inhelder, B.

Sinclair, & Bovet, 1975, pp. 21-22) B.

5 Mas adelante se explican estos procesos de asimilación y acomodación (ver: asimilación y acomodación)

Epistemología Genética (perspectiva interaccionista)

14

B. La perspectiva Interaccionista

La realidad es conocida a partir de la actividad que un sujeto ejerce sobre ella. Para

Piaget el objeto existe pero sus propiedades sólo son conocibles por aproximaciones

sucesivas, es decir, la toma de conciencia de la realidad consiste en una serie de

construcciones mentales, por tanto, sólo la interacción sujeto-objeto puede conducir a su

construcción o reconstrucción si éste es el caso. Desde este punto de vista, el conocimiento

debe ser considerado como una relación de interdependencia entre el sujeto y el objeto y no

como entidades disociables, el objeto que se cree alcanza, es siempre el objeto re-

presentado e interpretado por la inteligencia del sujeto: lo que llega a ser conocido no existe

independientemente sino en relación con el proceso de autorregulación o, en otros

términos, es el resultado del equilibrio entre asimilación6 y acomodación

7:

[...] los conocimientos no constituyen una copia del medio, sino que son un sistema de

interacciones reales que reflejan la organización autorreguladora de la vida tanto como

a las cosas mismas. (Piaget, 1969, p. 26)

Esta definición tan amplia del conocimiento, incluyendo todo contacto recíproco entre

el organismo y el medio, en el que la cosa se convierte en algo conocido para el

organismo, tiene la finalidad de señalar que en todo funcionamiento vital está involucrado

un grado de conocimiento y además, la continuidad entre el conocimiento práctico y el

intelectual.

De acuerdo con este planteamiento, si el conocimiento es el resultado de un sistema

de interacciones recíprocas entre el sujeto y el objeto, se desprende que la objetividad no

es algo inmediatamente alcanzable ni absoluto, sino que depende de la comprensión y la

utilización de la información con respecto a aquella construcción, lo que supone una

elaboración continuada acompañada de descentraciones necesarias para asimilar el punto

de vista de otros o las relaciones entre el sujeto y los objetos de conocimiento. La realidad

es aprehensible por la proyección sobre ella de unos principios de organización o formas

lógico-matemáticas, de aquí la relación dialéctica entre la realidad externa y las estructuras

internas del sujeto que convergen en la búsqueda de la objetividad.

Piaget (1990a) distingue dos tipos de interacción presentes en la elaboración de los

conocimientos: la que corresponde al mundo de los objetos físicos relativa a la explicación

del conocimiento causal, que conduce al conocimiento práctico y la del mundo de los

objetos conceptuales relacionada a la inferencia deductiva, que conduce al conocimiento

conceptual. Entre los dos tipos de conocimiento existe una continuidad constructiva que

los interrelaciona dialécticamente y conduce a la elaboración de las «categorías de la

razón» (Totalidad y relación, Ideal y valor –corresponden a la función reguladora8–;

Cualidad y clase, Relación cuantitativa y número –corresponden a la función

implicativa9–; Objeto y espacio, Causalidad y tiempo, –corresponden a la función

6 Entendida, por ahora, como el proceso de transformación del dato externo al incorporarlo a la organización interna

(esquemas) 7 Entendida, por ahora, como la aplicación de la organización interna a los datos particulares.

8 Piaget distingue tres grandes funciones invariantes de la cognición: La función organizadora, la implicativa y la

explicativa. Estas funciones del intelecto son prolongación tres grandes funciones biológicas: la organización, y la

adaptación. Esta última es el resultado de las funciones de asimilación (que se prolonga en función intelectual

implicativa) y la acomodación (que se prolonga en la función intelectual explicativa 9 La función implicativa se refiere a la asimilación del dato a los invariantes que se van a encontrar “en todos los

estadios, correspondiendo uno de ellos a la síntesis de las cualidades, es decir al de las clases (conceptos o

esquemaspreconceptos), el otro a la de relaciones cuantitativas o de los números” (Piaget, J. 1990b, p.21)

Epistemología Genética (perspectiva interaccionista)

15

explicativa10

–) que constituyen las grandes formas o estructuras organizadoras y

adaptativas de la actividad intelectual.

En relación con los tipos de interacción corresponden dos tipos de experiencia: la

experiencia física, que resulta (en parte) de actuar sobre los objetos; extrayendo

(asimilación) sus informaciones de los objetos o de las acciones del sujeto sobre los

aspectos materiales de ellos (abstracción empírica y pseudoempírica); decimos “en parte”,

porque las lecturas de los observables del objeto supone puestas en relación

(acomodación) que son debidas al funcionamiento –acción sobre los observables– de las

estructuras lógico-matemáticas del sujeto –de allí la relación dialéctica entre el

conocimiento práctico y el conocimiento conceptual–. Pero, además, estos dos procesos de

asimilación que se dirige hacia el interior y acomodación, dirigido hacia al exterior son,

los dos, regulados por la Totalidad organizada producto de todas las experiencias

anteriores y organizadora de sus segmentos que son la relación; y por los la dinámica del

Ideal que constituye el objetivo final de las acciones y el valor relativo a los medios que

permiten alcanzar el objetivo. Este tipo de interacción es el origen de las estructuras

causales.

El otro tipo de experiencia es la lógico-matemática que se extrae, de aquellas

abstracciones reflexivas que saca sus informaciones de las coordinaciones de las acciones

del sujeto que se apoyan en los objetos. El proceso vuelve a ser el mismo de asimilaciones

y acomodaciones reguladas por la organización total. el progreso constructivo conduce a la

constitución de las estructuras operatorias lógico-matemáticas.

Se observa así, claramente las dos direcciones del conocimiento: una hacia el exterior

que permite la comprensión de los fenómenos y conforma la experiencia práctica; otra que

organiza los contenidos de la conciencia o conceptos y estructura la experiencia

conceptual. Las dos se apoyan en la acción y, se dirigen en dos direcciones distintas pero

complementarias. Proceden de la abstracción pero ésta se diferencia en empírica,

seudoempírica o reflexiva de acuerdo a su domino de aplicación, la primera sobre los

objetos y sus relaciones, la segunda en las acciones sobre aspectos materiales de los

objetos y la tercera a sobre las coordinaciones de la acción del sujeto. Estas abstracciones,

empíricas seudoempíricas y reflexivas, se constituyen en instrumentos de construcción. En

particular, las abstracciones reflexivas, a las que nos referiremos más adelante, constituyen

el mecanismo constructivo de los conceptos matemáticos en sentido estricto.

Adelantando algunas conclusiones, respecto a la perspectiva interaccionista del

conocimiento y su aplicación en el aula, conviene destacar aquí las siguientes:

1. El conocimiento se genera a partir de la acción del sujeto, tanto sobre los objetos como

sobre las propias coordinaciones de sus acciones.

2. No es posible considerar un objeto potencialmente enseñable independientemente de la

pesquisa sobre la relación que se pueda establecer entre el conocedor y lo

potencialmente conocible.

10 La función explicativa “se refiere al conjunto de operaciones que permiten deducir lo real, o bien, dicho de otra

manera, de conferirle una cierta permanencia, al tiempo que proporcionan la razón de sus transformaciones. Desde este

punto de vista, dos aspectos complementarios pueden distinguirse en toda explicación, relativo el uno a la elaboración de

los objetos, relacionado el otro con la causalidad, siendo aquellos a la vez producto de esta y la condición de su

desarrollo.” (Piaget, J. 1990b, p.22)

Epistemología genética (perspectiva constructivista)

16

3 La no distinción de los dos tipos de conocimiento, práctico y conceptual, y las

experiencias de que proceden, así como, de sus instrumentos de construcción,

conduce a falsas ilusiones respecto a la contribución de cierto tipo de situaciones de

aprendizaje en la construcción de los conceptos en el aula.

Estas conclusiones nos lleva a considerar la perspectiva constructivista del

modelo.

C. La perspectiva Constructivista

Según la epistemología genética de Piaget (1977a), ningún conocimiento humano, salvo

los concernientes al instinto, que se han transformado por la evolución en la fisiología del

organismo, está preformado ni en estructuras internas, constituidas por el sujeto, ni en los

objetos, sino, más bien, el conocimiento es el producto de “un sistema de interacciones

funcionales” entre el sujeto y el objeto mediadas por las estructuras. Pero, entonces, ¿Cuál

es la génesis de estas estructuras?

Es aquí que se relacionan las tres perspectivas: la biológica, que apunta hacia el

mecanismo (interno) de los intercambios organismo-medio que tiende a constituirse en

estructuras autorreguladoras que garantizan la organización interna; la interaccionista, que

pone en primer plano de la constitución del conocimiento a la acción, que se orienta hacia

los dos polos (interno y externo); y, por último, la perspectiva contruccionista, que explica

los procesos que hacen posible la constitución de estructuras.

El modelo en que se apoya Piaget para el estudio del desarrollo intelectual y el

desarrollo psicológico en general es la lógica formal de los matemáticos. Así para Piaget,

[...] el álgebra de la lógica puede ayudarnos a especificar estructuras psicológicas, y a

poner en forma de cálculo aquellas operaciones y estructuras que tienen un carácter

central en nuestros procesos reales de pensamiento (Piaget, 1997, p. 34)

Piaget considera el modelo matemático de la lógica proposicional para describir la

lógica natural que utiliza el sujeto y seguir sus modificaciones en su progreso desde las

primeras conductas reflejas hasta el pensamiento formal; es decir, primero en el plano de

las acciones prácticas y luego en acciones interiorizadas u operaciones. Según él, el sujeto

manifiesta en su comportamiento poseer ciertas estructuras lógicas –constituidas en “todos

estructurados”, no conscientes– que organizan sus acciones u operaciones en el acto o los

procesos del pensamiento. Estas estructuras surgen progresivamente como producto de la

actividad del sujeto sobre objetos externos. Inicialmente, es una actividad de efectuación

sobre objetos que se reduce a mover, atraer, golpear, etc. Esta conducta da origen a los

primeros esquemas como agarrar, centrar la mirada, succionar cosas diferentes, etc. que

poco a poco se coordinan entre sí y constituyen los esquemas de acción; posteriormente,

surge una conducta que implica una actividad funcional que responde al interés propio y

está dirigida hacia la satisfacción de una necesidad tal como alcanzar un objetivo. Esta

conducta implica una estructura interna, más elaborada que la anterior, que organice las

acciones coordinando los medios (esquemas de acción) para alcanzar un fin. Por último, la

actividad se transforma en autoestructurante en la medida que el sujeto establece

objetivos autónomamente o por sugerencias de otro y organiza por cuenta propia sus

acciones para alcanzar el objetivo establecido. Esta conducta exige una estructura más

completa que todas las anteriores que permita la elaboración de hipótesis, comprobación

de la coherencia de lo posible con lo necesario y de esto con lo real. Así, pues, el


17

desarrollo consiste en una sucesión de construcciones de estructuras generales que actúan

como organizadores y operadores de los intercambios entre el sujeto y el medio externo.

Son estas estructuras generales –que definen las leyes de transformación que

gobiernan la inteligencia (y que hacen posible el pensamiento conceptual)– las que

interesan a Piaget. Aclarando que, la lógica matemática como expresión del pensamiento

más elaborado construido por el hombre constituye el reflejo de las estructuras internas.

Por tanto, no se trata de establecer un paralelo entre la lógica natural y la lógica formal, lo

que no tendría sentido, sino más bien de una correspondencia. La lógica formal responde

al propósito de tener un sistema de comunicación, sencillo y preciso, sometido a una leyes

que permiten caracterizar los razonamientos válidos y articular las leyes de inferencia con

el estudio de métodos de demostración. Es un sistema que se refiere a axiomas y

definiciones, por tanto, la forma en que procede el razonamiento en el contexto de la

lógica matemática es diferente de la manera de proceder del razonamiento que se emplea

en la experiencia cotidiana..

Así, por ejemplo, la lógica formal no prescribe directamente si un carácter A implica

o no otro carácter no B. El procedimiento lógico consiste en definir formalmente el

carácter A y B y luego procede a examinar si A implica no B, respetando el «principio de

contradicción»11

[...] que se refiere a las definiciones, esto es, a conceptos axiomatizados y no a las

nociones vivientes de las que el pensamiento se sirve en la realidad. El procedimiento

seguido por el pensamiento real consiste, ...en actuar y obrar, construyendo los

conceptos según las posibilidades de composición de esas acciones u operaciones.

(Piaget, 1983, p. 42)

Así, en el proceso de construcción de esquemas de acción, que posteriormente se

constituyen en esquemas operatorios, el principio de validación está regido por la

coherencia interna que se define en términos de la experiencia del sujeto, en el sentido que

si ejecuta un conjunto de acciones obteniendo un resultado satisfactorio (para él válido)

entonces resultaría contradictorio oponer acciones que se encaminaran en otra dirección no

deseada.

[...], las acciones se organizan según condiciones internas de coherencia, y es la

estructura de esta organización lo que constituye el hecho del pensamiento real,

correspondiente a lo que, en el plano axiomático, se llama el «principio de

contradicción» (Piaget, 1983, p. 42)

Hechas las aclaraciones respecto al modelo matemático que se adopta para especificar

las estructuras cognitivas y poner en relación aquellas operaciones y estructuras que

gobiernan los procesos del pensamiento podemos, ahora, plantear en palabras de Piaget la

cuestión central de la génesis de las estructuras:

[...] todo conocimiento supone un aspecto de elaboración nueva y el gran problema de

la epistemología consiste en conciliar esta creación de novedades con el doble hecho de

que, en el terreno formal, se convierten en necesarias apenas elaboradas y, en el plano

de lo real permiten (y son las únicas que lo permiten) la conquista de la objetividad.

(Piaget, 1977a, p. 8)

Aquí, se alude al carácter de necesidad (en el sentido de la implicación formal)12

de

las estructuras (sensorio-motríces, pre-operatoria y operatorias), confirmado por él, en el

11

También conocido como «principio de no contradicción» que consiste en prohibir la afirmación y negación

simultáneas de un carácter dado. El término «principio de contradicción» es empleado por Piaget de acuerdo a su

utilización en la cultura francesa. 12

Cuando en la implicación pq, las proposiciones p y q están relacionadas en tal forma que (es verdad que) p implica

a q, se acostumbra a llamar a p, «condición suficiente para q» y a q, «condición necesaria para p». Esta terminología de


18

estudio experimental donde observa que toda nueva construcción estructural es condición

necesaria de una estructura previa que es su condición suficiente y, simultáneamente estas

novedades estructurales permiten una conquista gradual de la objetividad; es el caso, por

ejemplo, del esquema del objeto permanente sin el cual ninguna objetividad sería posible;

éste, que no aparece en los primeros años, debe esperar hasta el final del período

sensoriomotor, a la constitución de la reversibilidad del grupo práctico de los

desplazamientos. Ésta estructura y su invariante, el objeto permanente, permite establecer

al nivel de la inteligencia práctica coordinaciones mejor adaptadas al medio físico. La

conciliación de la novedad con el doble aspecto del carácter necesario de la estructura y su

capacidad para asimilar lo real es un problema porque no es aceptable, en esta teoría, una

estructura sin génesis a riesgo de caer en una posición innatista; ni una génesis sin

estructura lo que equivaldría a una posición empirista.

En su análisis, se aclara que no obstante que la expresión «epistemología genética»

indica remontarse a la génesis del conocimiento, se debe entender que no es posible

determinar un origen absoluto, pues siempre es posible un análisis regresivo. Génesis,

entonces, indica la existencia de una construcción indefinida y lo que trata de explicar la

«epistemología genética» es, cómo se pasa de un conocimiento menos a otro más

elaborado y, así develar las razones y el mecanismo de tales construcciones. Para alcanzar

este objetivo será necesario conocer el máximo posible de fases constructivas.

Respecto a las soluciones clásicas al problema, todas las variedades epistemológicas

que oscilan entre el empirismo, que supone que toda información emana de los objetos, y

el innatismo que, imagina estructuras a priori que se imponen a los objetos, comparten el

postulado de:

suponer que a todos los niveles existe un sujeto que conoce sus capacidades en grados

diversos (aunque se reduzcan tan sólo a la percepción de objetos), objetos que existen

como tales a los ojos del sujeto (incluso si se reducen a «fenómenos»), y sobre todo

instrumentos de intercambio o de conquista (percepciones o conceptos) que determinan

el trayecto que conduce del sujeto a los objetos o viceversa, (Piaget, 1977a, p. 14)

En términos de Piaget se tiene que, en el comienzo el niño no tiene conciencia de sí

mismo como sujeto, y durante mucho tiempo tampoco tiene conciencia de la permanencia

del objeto lo que contradice este supuesto. Mostrando, en el principio, un sujeto

indiferenciado de los objetos y centrado en su propio cuerpo; por tanto el conocimiento no

puede proceder, en sus orígenes, ni de los objetos ni del sujeto sino:

más bien de interacciones que se producen a medio camino entre ambos y por tanto

depende de los dos a la vez, pero con una indiferenciación completa y no como

intercambios entre formas distintas (Piaget, 1977a, p. 14-15)

Es decir, no existen, de entrada, mecanismos diferenciados de intercambio y en tanto

esas interacciones entre sujeto y objeto se den en forma aislada, no coordinadas, no hay

conciencia de sujeto ni objeto; sólo en la medida que esas interacciones den lugar a

coordinaciones, se construyen recíprocamente el sujeto y el objeto.

estructuras “necesarias” la utiliza Piaget para enfatizar que los resultados finales en cada período del desarrollo no

obedece ni a preformación ni a cualquier influencia del medio. Es necesario recordar la perspectiva biológica en la que

se destaca la capacidad autorreguladora de la organización interna que permite elaborar instrumentos de intercambio

anticipándose a los variaciones ulteriores del medio, de tal manera que una vez terminada la construcción, y sólo al final

del proceso, estas estructuras resultan las más aptas para ampliar los poderes del sujeto y beneficiarse del medio. Así, el

a priori estructural que los innatistas ubican en el principio del desarrollo sólo se encuentra al final.


19

Por tanto, propone centrar el análisis en cómo el organismo procede, en consecuencia

con su dotación biológica, a construir instrumentos mediadores de la actividad cognitiva

esquemas, objetos e instrumentos invariantes de intercambio–, considerando que éstos,

partiendo de la zona de contacto entre el cuerpo propio y las cosas se dirigirán cada vez

más hacia las dos direcciones complementarias del exterior y lo interior, y de esta doble

construcción progresiva depende la elaboración solidaria del sujeto [conocedor]13

y de

los objetos (Piaget, 1977a, p. 15)

En esta perspectiva, el instrumento de intercambio inicial propuesto es la acción

reconociendo que las percepciones desempeñan un papel esencial pero, como a

continuación afirma,

ellas dependen en parte de la acción en su conjunto y algunos mecanismos

perceptivos... sólo se constituyen cuando se ha alcanzado un cierto nivel de

construcción de los objetos. De modo general, toda percepción conduce a conferir a los

elementos percibidos significaciones relativas a la acción (Piaget, 1977a, p. 15)

Por tanto es la acción la que debe considerarse en primer lugar al estudiar la génesis

del conocimiento.

Piaget (1992) identifica tres14

grandes estadios o periodos secuenciales del desarrollo

cognitivo: sensoriomotor (0-2 años); operatorio, que se divide en dos subperiodos: a)

preoperatorio (2- 7 años) y b), operatorio concreto (7- 11 años); finalmente el operatorio

formal que se alcanzaría entre los 12-15 años. Aquí, sólo expresaremos un bosquejo

sumario de algunos aspectos (funcionales y estructurales) del período sensoriomotor a

modo de ilustración de las grandes líneas de este constructivismo. No nos detendremos en

el análisis detallado de los estadios y sus etapas, pero sí nos interesa señalar, como lo

veremos más adelante y para ello nos detendremos en el subperiodo preoperatorio, que en

todo comportamiento se encuentran presentes, de manera indisociable, ciertos factores

funcionales y elementos estructurantes de la actividad del sujeto. Igualmente, que a cada

estadio corresponde un conjunto de estructuras que caracterizan todas las conductas

propias de este estadio; cada estructura es preparada para las anteriores y se integra en la

siguiente; es decir, que la construcción es progresiva e integrativa.

Por ejemplo, las novedades estructurales del periodo sensoriomotriz (Piaget, J. 1974,

p.p. 72-80), se explican a partir de las coordinaciones generales de la acción, es decir, de

los lazos comunes a todas las coordinaciones sensoriomotrices abstraídas de la acción, la

que en principio se encuentra reducida a los actos reflejos y de programación instintiva

(succión, aprehensión, etc.) y que por el ejercicio, el ensayo y el error, se convierten en

conductas adquiridas que son la manifestación de los primeros instrumentos cognitivos de

regulación y de intercambio con el medio, llamados esquemas elementales, que conducen

a la inteligencia práctica o las conductas instrumentales.

ahora bien, en todos estos comportamientos cuyas raíces son innatas y cuyas

diferenciaciones son adquiridas, encontramos ciertos factores funcionales y

determinados elementos estructurales comunes. (Piaget, 1974, p. 75)

13

El corchete es nuestro y tiene la finalidad de aclarar que Piaget se refiere a un sujeto con conciencia de sus acciones y

voluntad para el acto. 14

Piaget en sus estudios más sistemáticos se refiere a tres estadios, pero en otros se refiere a cuatro: sensoriomotor (0-2

años), preoperatorio (2-7), operatorio concreto (7–11) y operatorio formal (11–16). Esto se explica porque el periodo

preparatorio se considera como subperiodo del periodo la preparación y de organización de las operaciones concretas,

como lo hemos expuesto arriba. Respecto a las edades, Piaget mismo reconoce que estas pueden variar en un individuo

concreto.


20

Los factores funcionales son la asimilación de nuevos objetos a los esquemas y la

acomodación de los esquemas de asimilación a la diversidad de objetos. Los elementos

estructurantes son esencialmente:

Ciertas relaciones de orden: orden de los movimientos en un reflejo, en los de una

costumbre, en las conexiones entre medios y fines.

Los ajustes: subordinación de un esquema simple como el de aprehensión a uno más

complejo como sacar un objeto de un receptáculo.

Las correspondencias: en las relaciones de reconocimiento, entre las claves visuales y

las tactilocinestésicas de acciones (que van a prefigurar la imitación), etc.

Ahora bien, mediante el juego de las asimilaciones simples y recíprocas, y desde el

nivel sensoriomotor anterior al lenguaje, estas formas elementales de coordinación

permiten la constitución de ciertas estructuras equilibradas, es decir, cuyas regulaciones

garantizan ya determinado grado de reversibilidad. (Piaget, 1974, p. 76)

Señalando que las dos estructuras más destacables en el periodo son:

El grupo práctico de los desplazamientos: coordinación de los desplazamientos,

rodeos y regresos cuya equilibración se manifiesta por la constitución de la invariante

del esquema del objeto permanente

La forma de la causalidad objetivada y especializada: interviene en los

comportamientos instrumentales. Por ejemplo atraer hacia sí los objetos utilizando un

bastón.

En el subperíodo siguiente, preoperatorio, aparecen gracias al proceso de

internalización del gesto externo (imitación en acto), un conjunto de conductas imitación

diferida, juego simbólico, imágenes mentales, dibujo y lenguaje– no presentes en el

periodo sensoriomotor que permite la evocación de las situaciones no percibidas

actualmente, es decir, la representación en pensamiento. Se revela, así, la función

semiótica que,

consiste en poder representar algo (un “significado” cualquiera: objeto, acontecimiento,

esquema conceptual, etcétera) por medio de un “significante” diferenciado y que sólo

sirve para esa representación: lenguaje, imagen mental, gesto simbólico, etc. (Piaget &

Inhelder, 1984, p. 59)

Desde el momento de la aparición de la función semiótica se asiste a las primeras

abstracciones reflexivas que consisten en reflejar (sentido físico) en el plano del

pensamiento aquello que ya existe en la acción y reflexionar sobre lo así introducido para

dar lugar a nuevas estructuraciones que se expresan en estructuras operativas y

comportamientos distintos.

Por ejemplo, a nivel sensoriomotor, las relaciones de orden que permanecían insertas

en cualquiera que fuese el esquema articulado, se desprenden de él para dar lugar a una

conducta específica: la de clasificar u ordenar. (Piaget, 1974, p. 77)

Las transformaciones de los elementos estructurantes más notables, en el

subperíodo preoperatorio son:

Los esquemas de clasificación y de orden: por combinaciones figurales y de orden

pero sin transitividad.

Las correspondencias: se vuelven más sistemáticas: aplicaciones de uno a varios,

elemento a elemento entre una copia y su modelo, etc.

Anotando que:


21

En estos comportamientos hay un indiscutible principio de lógica, pero con dos

limitaciones esenciales: no hay aún reversibilidad, o sea, que faltan operaciones (si

definimos estas por su posibilidad de inversión) y por consiguiente no hay

conservaciones cuantitativas (un todo dividido no conserva su suma, etc.). Así pues se

trata de una semilógica (en sentido propio pues falta la mitad, es decir, las inversas)...

(Piaget, 1974, p. 77)

Esta estructura semilógica prefigura la estructuras lógicas que aparecen en el tercer

periodo después de la construcción de las estructuras operatorias que tiene lugar en el

subperíodo operatorio concreto.

Se ve así, desde el principio, los principios constructivos básicos de este modelo de

desarrollo cognitivo y que podemos resumir así:

1. Construcción de estructuras que tienen carácter de necesarias, en el sentido de que

toda novedad es implicada por el conjunto de todas las anteriores, pero sin estar

preformadas en estructuras de partida.

2. Los logros estructurales son producto de equilibraciones o regulaciones internas como

respuestas a las tensiones del medio que producen desequilibrios internos.

3. Los mecanismos reguladores son las propias estructuras que median los intercambios

con el medio

4. Entre génesis y estructura existe una necesaria interdependencia:

La génesis nunca es otra cosa que el paso de una estructura a otra, pero un paso

formador que lleva de lo más débil a lo más fuerte, y la estructura nunca es otra cosa

que un sistema de transformaciones, pero cuyas raíces son operatorias y tienden, en

consecuencia, a una formación previa de los instrumentos adecuados (Piaget, 1974, p.

162)

Lo anterior lleva a afirmar que el desarrollo intelectual es un proceso de construcción

de estructuras de acuerdo a un orden secuencial de estadios en el que los factores de

maduración, experiencia, interacción social y la equilibración son importantes

El interés por la concepción constructivista de Piaget, desde el punto de vista de una

teoría del aprendizaje en sentido estricto, reside en tres hechos.

1. Indica que el aprendizaje en sentido estricto (incorporación de información

específica a estructuras construidas) es siempre relativo al grado de desarrollo de

las estructuras.

2. La incorporación de nueva información exige una construcción activa yo

coordinación con el conocimiento anterior, sujeta a los mecanismos

autorreguladores del sistema.

3. La incorporación no siempre es automática y pasa por el filtro de las

regulaciones que anulan o compensan las perturbaciones del sistema lo que

produce equilibraciones o reequilibraciones; el equilibrio indica el alcance de la

conquista.

Estos hechos obligan a pensar el proceso de enseñanza-aprendizaje, como se

ampliará más adelante, en función de estímulos externos (respecto a asimilaciones

deseables) e internos (en cuanto acomodaciones necesarias), para comprometer así, las

Estructura, función y contenido

22

estructuras operatorias del estudiante en términos de desequilibrios y equilibraciones

deseadas. De tal manera que si aprender, en sentido piagetiano, es adaptarse a situaciones

nuevas, y la novedad cognitiva es producto de una actividad constructiva autorregulada,

entonces esta actividad sólo puede ser realizada, en última instancia, por el estudiante.

Esto implicaría centrar las acciones del docente, no ya en la explicación tradicional sino en

el diseño y seguimiento de situaciones y tareas que, por su misma naturaleza,

comprometan acciones operatorias del estudiante en una actividad constructiva del

conocimiento que se desea enseñar.

La asignatura que queda pendiente es si esto, que acabamos de exponer, es suficiente

para garantizar y explicar el aprendizaje en el aula, o, ¿existen otros procesos y factores

que inciden en la construcción del conocimiento matemático, y no son considerados en

esta estrategia constructivista del aprendizaje? Para dar cabal respuesta a la pregunta es

necesario comprender a fondo los mecanismos y procesos que interviene en la

construcción de las estructuras cognitivas generales que posibilitan el pensamiento

práctico o conceptual, lo que haremos a continuación con relativo detalle.

1.1 ESTRUCTURA, FUNCIÓN Y CONTENIDO

Un aspecto importante para comprender esta teoría sobre el desarrollo cognitivo, es la

diferenciación que se establece entre contenido, función y estructura. La relación de

estos elementos en los actos del sujeto desplegados hacia el exterior o interiorizados en

pensamiento, que se manifiestan en la conducta –adaptación a situaciones nuevas y

particulares–, permite tener acceso a los factores y mecanismos que explican el por qué y

el cómo del surgimiento de las novedades cognitivas.

Toda conducta tiene un componente de conocimiento el cual, como hemos anotado,

se definió como producto de un sistema de interacciones funcionales (ver p. 9). Pues bien,

un contenido de conducta es lo que el sujeto expresa de una situación; se extrae del hecho

particular al que va dirigido el conocimiento, el dato no interpretado de la conducta. Por

ejemplo, el niño que afirma: “que un móvil va más rápido porque recorre más distancia”

como si el tiempo fuera función de la distancia y no de la velocidad. Esta afirmación es el

contenido de la conducta. En tanto que la forma se extrae de la estructura interna y se

impone al suceso externo; en el ejemplo, la organización interna asimila los datos del

evento de acuerdo a leyes internas y lo exógeno es sustituido por la interpretación –va más

rápido porque recorre más distancia– producto de inferencias del sujeto, cuya estructura es

la de las operaciones y su elaboración es por tanto endógena.

La idea de función, expresa la solidaridad de un cierto número de actividades

diferenciadas de la actividad total dependiente de cada una de ellas, es decir, el término se

refiere a las características amplias de la actividad inteligente como explicar, comprender,

etc. La estructura que da forma y contenido a la acción del sujeto es entendida como un

sistema de transformaciones autorregulado que interactúa con el medio externo por medio

de esquemas de acción y se encuentra subordinada a la función. Tanto la estructura

cognitiva como el contenido de la conducta varían con la edad, mientras que la función se

constituye en un invariante. Esto es evidente cuando se comparan las explicaciones del

niño y del adulto cuyos contenidos son distintos puesto que proceden de estructuras con

grados de desarrollo diferentes mientras que la función de explicación es la constante.

Toda función esta siempre ligada a los invariantes funcionales de asimilación y

Invariantes funcionales

23

acomodación por un lado y organización por otro. Ya los hemos mencionado antes, pero

ahora nos detendremos para precisar su relación con las variaciones estructurales.

1.2 LOS INVARIANTES FUNCIONALES

De nuevo, Piaget, en concordancia con su hipótesis de la continuidad entre la

organización biológica y el conocimiento, afirma que las funciones fundamentales de

organización y adaptación de todo organismo vivo se prolongan en la cognición:

El organismo se adapta construyendo materialmente formas nuevas para introducirlas

en las del universo, mientras que la inteligencia prolonga una creación de esta

naturaleza construyendo mentalmente unas estructuras susceptible de aplicarse a las del

medio. En un sentido y al comienzo de la evolución mental, la adaptación intelectual es

en consecuencia más restringida que la adaptación biológica, pero al prolongar ésta,

aquélla la desborda infinitamente: si, desde el punto de vista biológico la inteligencia es

un caso particular de la actividad orgánica y si las cosas percibidas y conocidas son una

parte restringida del medio al que el organismo tiende a adaptarse, seguidamente se

opera una inversión de estas relaciones. Pero de esto de modo alguno impide la

búsqueda de invariantes funcionales (Piaget, 1990b, p. 14-15)

En este planteamiento se resumen varios elementos del modelo biológico en los que

se apoya la epistemología genética de Piaget para concluir que existe una continuidad

funcional (la capacidad para organizarse y adaptarse) y discontinuidad estructural,

biológica, en el progreso hacia lo que todos los que se ocupan de la inteligencia coinciden

en señalar como característico de la actividad inteligente propiamente dicha: la

formulación de proposiciones, hipótesis y el control. Estos procesos, implican el más alto

grado de complejidad de los intercambios a distancia entre el sujeto y el objeto; esta

distancia se define en función de la capacidad de acción de las estructuras –instrumentos

de intercambio– sobre los objetos, medida en términos de la movilidad y de la extensión

del campo de aplicación15

de la estructura.

Para delimitar el dominio que se ocupará en sus investigaciones Piaget (1989, pp. 13-

28) afirma que: basta llegar a un acuerdo sobre el grado de complejidad de los

intercambios a distancia que se convendrá en llamar «inteligentes» pero el problema que

se plantea es, entonces, definir el límite inferior que separa lo que se considera inteligente.

Así, por ejemplo, Claparède caracterizó la inteligencia como la «adaptación a

situaciones nuevas». Esta definición funcionalista deja por fuera el instinto y el hábito que

son adaptaciones a circunstancias que se repiten y toma como límite inferior el tanteo

empírico que es la “fuente de tanteos interiorizados que caracterizan ulteriormente la

búsqueda de hipótesis” (ídem, p. 20). Mientras, Büler, define estructuralmente la

inteligencia como «actos de comprensión súbita» y considera tres estructuras: instinto,

adiestramiento e inteligencia.

[...] esa definición es demasiado amplia: la inteligencia solo aparece con los actos de

comprensión súbita (aha-Erlebnis), en tanto que el tanteo pertenece adiestramiento

(Piaget 1989, p. 20)

15

Así, por ejemplo, una estructura que depende sólo de la percepción actual del objeto es menos móvil que una

estructura operatoria que puede actuar sobre objetos representados o imaginados, pero sobre todo porque su

reversibilidad permite reconstituir las operaciones y recomponerlas; en tanto que, la irreversibilidad de la estructura más

elemental, impuesta por la percepción que orienta las acciones en una única dirección, limita el campo de estas

composiciones.

Invariantes funcionales

24

No obstante, las investigaciones de Köheler demuestran que los monos antropoides

son capaces de comportamientos inteligentes por «comprensión súbita».Y por otro lado,

[...] la proposición, la hipótesis y el control, cuya reunión caracteriza la inteligencia

según Claparède, se encuentra ya en germen en las necesidades, los ensayos y errores y

en la sanción empírica propias de las adaptaciones sensorio-motrices menos

evolucionadas (Piaget, 1989, p. 20)

Entonces, ante la alternativa de escoger entre la definición funcionalista de Claparède

que cubre casi todas las estructuras cognitivas y la definición estructuralista que obliga a

partir de una estructura particular, lo cual no es más que una convención, “descuidando la

continuidad real” (ídem, p. 20), Piaget propone hacer caso omiso a la cuestión de las

fronteras y considera más útil definir la inteligencia “por la reversibilidad de las

estructuras móviles que ella construye” (ídem, p. 21) es decir,

[...] la inteligencia constituye el estado de equilibrio hacia el cual tienden todas las

adaptaciones sucesivas de orden sensorio-motor y cognoscitivo, así como todos los

intercambios asimiladores y acomodadores del organismo y el medio. (Piaget, 1989, p.

20)

Esta definición tiene, así, la ventaja de poder considerar simultáneamente los dos

aspectos estructural y funcional de la inteligencia presentes en los intercambios con el

medio, para dar cuenta del desarrollo en términos de organización (función de regulación)

y adaptación (equilibrio de las funciones de asimilación y acomodación), Constituyendo

la organización y la asimilación-acomodación invariantes funcionales propios de todo

organismo.

La continuidad funcional se infiere de los estudios experimentales de la conducta

humana y su comparación con el funcionamiento orgánico identificando las funciones

comunes a todas las estructuras tanto orgánicas como cognitivas. Así, desde el punto de

vista biológico los organismos, como sistemas, presentan una organización interna que es

inseparable de su adaptación al medio externo. La organización es el aspecto interno del

ciclo vital cuyo aspecto externo es la adaptación. Los biólogos han atribuido a la

organización, sistemas16

y subsistemas coordinados entre sí, que se constituyen en formas

cíclicas y cerradas en sí mismas lo cual garantiza la no deformación de la totalidad como

resultado del intercambios con el medio no benéficos. En cuanto a la adaptación, se

manifiesta en la relación que une los elementos organizados y los elementos del medio;

esta relación no es más que el equilibrio entre los procesos de asimilación a la

organización interna de los elementos externos y acomodación modificaciones necesarias

bajo la influencia del medio– de ésta para integrar aquellos elementos nuevos en el ciclo

interno.

Similar organización presenta la cognición como sistema. Así, Piaget afirma:

[...] por lo que respecta a la inteligencia, tanto en su forma reflexiva como práctica,

encontramos este doble fenómeno de la totalidad funcional y de la interdependencia

entre la organización y la adaptación. Por lo que se refiere a las relaciones entre las

partes y el todo, que definen a la organización, es sabido que cada operación intelectual

es siempre relativa a todas las demás y que sus propios elementos están a la vez regidos

por la misma ley. Cada esquema se encuentra de esta manera coordinado a todos los

demás, y él mismo constituye una totalidad de partes diferenciadas. Todo acto de

inteligencia supone un sistema de implicaciones mutuas y de significaciones solidarias.

16

Por ejemplo: sistema nervioso y sistema endocrino; sistema respiratorio; sistema digestivo, etc.

Esquema

25

En consecuencia, las relaciones entre la organización y la adaptación son las mismas

que en el plano orgánico. (Piaget, 1990b, pp. 17-18)

Los mecanismos funcionales que están presentes en todos los períodos del desarrollo

cognitivo que ya hemos descrito y que conducen a la construcción de estructuras

cognitivas (agrupamientos prácticos, clases, relaciones, etc.) son la asimilación que

consiste en incorporar el mundo exterior a las estructuras ya construidas y la acomodación,

o sea, los reajustes de éstas con cada variación exterior.

Se puede denominar «adaptación» al equilibrio de estas asimilaciones y

acomodaciones: esta es la forma general de equilibrio psíquico y el desarrollo aparece

entonces, en su progresiva organización, como una adaptación siempre más precisa a la

realidad. (Piaget, 1992, p. 17)

En este contexto, la inteligencia práctica y reflexiva cumplen, cada una en su

momento, una función de coordinación en la organización interna para dar respuestas

adaptadas a nuevas situaciones externas y satisfacer, así, las necesidades del sujeto;

involucrando en ello, a una totalidad estructurada que se manifiesta externamente por los

esquemas de acción. Se plantean, así, dos niveles de interacción:

1. Dirigido hacia el exterior, entre sujeto-objeto, que involucra los esquemas de acción,

los invariantes funcionales de asimilación-acomodación y un proceso de organización

de las acciones entre el sujeto y el objeto, por tanto implica la presencia de mecanismos

de autorregulación. Es decir, estamos frente a un sistema abierto que interactúa con el

medio y produce los contenidos de la conducta.

2. Dirigido hacia el medio interno, entre las estructuras y los contenidos de la conducta, la

estructura total se informa de los contenidos por asimilación y acomodación interna lo

que implica nuevos procesos de organización o reorganización del todo y las partes; por

tanto la presencia de mecanismos autorreguladores. De nuevo se tiene un sistema de

interacción abierto en cierto sentido pero, y esto es importante, que tiende a un “cierto

cierre” que se alcanza cuando el sistema logra su máximo equilibrio.

Precisemos ahora algunos de los términos que hemos empleado en esta descripción de los

sistemas cognitivos.

1.3 EL CONCEPTO DE ESQUEMA

Como hemos visto, en este modelo cognitivo se asume que todo nuevo conocimiento

presupone una estructura cognitiva previa, que tuvo su génesis en los primeros años de

vida del sujeto y su desarrollo siempre está ligado a la acción en el intercambio con el

mundo externo, lo que imprime una cierta dirección al desarrollo de tal manera que cada

estado de equilibrio alcanzado aparece al término como necesario. En efecto, las acciones

son susceptibles de repetición y generalización constituyendo, así, los primeros

instrumentos de intercambio, ligados a la percepción, pero que gradualmente la subordinan

y superan y que Piaget denomina esquemas de acción :

llamaremos esquemas de acciones a lo que, en una acción es de tal manera

transponible, generalizable o invariante de una situación a la siguiente, o dicho de otra

manera lo que hay de común en las diversas repeticiones o aplicaciones de la misma

acción (Piaget, 1969, pp. 8-9)

Desde este punto de vista los esquemas son «formas» o estructuras de equilibrio

dinámico, cuya función asimiladora asigna significado a las acciones; el significado

Esquema

26

depende de la forma actual. En tanto que, por las variaciones externas estas estructuras

experimentan transformaciones o acomodaciones a las variaciones, dando lugar a la

diferenciación del esquema que es la fuente de las novedades estructurales, y por tanto

internas, que marcan el progreso cognitivo. Estos dos procesos son solidarios y señalan la

dirección del desarrollo por equilibraciones cada vez mejor adaptadas.

La organización interna de estas formas o esquemas no ocurre de cualquier manera,

ellos se organizan (desde el punto de vista psicológico) en estructuras con leyes

semejantes a las de la lógica que se orientan por la coherencia interna de las operaciones

del pensamiento real percibida por el éxito o fracaso de la acción y que corresponde, en la

lógica formal, al principio de no contradicción.

[...] dos esquemas pueden ser coordinados o disociados (unión) uno puede estar

parcialmente incluido en el otro (inclusión), o tener solamente una parte en común

(intersección); en la partes de un esquema o en la coordinación de dos o más esquemas

puede aparecer un orden de sucesión invariante o ciertas permutaciones (tipos de

orden), así como correspondencias término a término, de uno a varios o de varios a uno

(biyecciones, etc.), y cuando un esquema pone un fin a una acción, resulta

contradictorio para el sujeto orientarse en sentido contrario. (Piaget, 1986, p. 220)

Cada período del desarrollo se caracteriza, por tanto, por la aparición de estructuras

originales como también de novedades funcionales; estas estructuras nuevas dan lugar a

conductas diferentes de las precedentes y cuyo radio de acción es cada vez más extenso.

Así:

La percepción y los actos reflejos dan lugar a los esquemas de acción que se

organizan en las estructuras sensoriomotrices con las que se accede a los objetos

próximos y momentáneos (inicialmente no hay representación). En este nivel del

desarrollo que cubre el período sensoriomotor las conductas de la inteligencia práctica

se caracterizan por:

– La socialización del sujeto: está dominada por el egocentrismo: reducción del

punto de vista de los demás al punto de vista propio.

– Las conexiones de la interiorización: sólo alcanza las percepciones sucesivas sin

llegar a representar un cuadro completo –a causa de la ausencia de

representación.

– Los móviles: se limitan a alcanzar un fin lúdico o práctico.

El dominio de la acción: se restringe a lo real y actual

Pero, al final del período sensoriomotriz, surge la función semiótica que posibilita la

representación. La inteligencia sensoriomotriz desemboca, entonces, en la constitución del

objeto permanente, el espacio práctico y las constancias perceptivas de la forma y las

dimensiones.

Esta novedad resulta vital para la constitución de las estructuras posteriores porque, si

bien en un principio la asimilación y la acomodación constituyen un todo indiferenciado,

con el surgimiento de la representación se produce toda una revolución por la

diferenciación progresiva de estas dos funciones, dando origen al pensamiento

representativo que prolonga el pensamiento práctico de la inteligencia sensoriomotriz que

actúa sobre cuadros perceptivos y actuales, en pensamiento preoperatorio (preconceptual)

sobre imágenes o recuerdo-imagen, luego, con la aparición del lenguaje, sobre signos y

expresiones verbales y, por último, en pensamiento operatorio (conceptual) que se apoya

Esquema

27

sobre “configuraciones” o estructuras pero que logra su independencia operatoria de la

configuración ya que se trata de transformaciones de un estado a otro y no como ocurría

con sus antecesores (el pensamiento práctico y preconceptual) que se referían a un estado

como tal. Lo figurativo desempeña, entonces, el papel de ilustración que puede o no

acompañar a las transformaciones operatorias. Se alcanza, así, la representación

cognoscitiva propia del pensamiento reflexivo.

Este desarrollo que acabamos de describir, y que va del esquema de acción de la

inteligencia práctica al esquema conceptual de la inteligencia reflexiva, cubre los períodos

II y III que van de los 2 años hasta los 15 o 16, por tanto el seguimiento de su desarrollo es

complejo y exige entrar en detalles que se pueden consultar el Piaget (1994), pero, que

nosotros no cubriremos. Sólo nos referiremos a los conceptos más destacados y a algunos

ejemplos del papel de los invariantes funcionales (asimilación-acomodación) en los

procesos de equilibración que conducen hasta la representación cognoscitiva que da

acceso al pensamiento por conceptos.

Antes de describir a grandes rasgos el paso del esquema de acción al esquema

conceptual es necesario hacer explícita la terminología que emplea Piaget (1994). Así,

respecto al término representación él distingue dos significados diferentes de su empleo:

[...] en sentido amplio, la representación se confunde con el pensamiento, es decir, con

la inteligencia que no se apoya simplemente en percepciones y movimientos

(inteligencia sensorio-motora) sino en un sistema de conceptos o esquemas mentales

(Piaget, 1994, p. 91)

Por tanto, en este sentido el término representación hace referencia al conocimiento

conceptual en el cual un individuo aplica su inteligencia a una situación particular. En

tanto que,

En sentido estricto: se reduce a la imagen mental o al recuerdo-imagen, es decir a la

evocación simbólica de realidades ausentes. (Piaget, 1994, p. 91)

Esta diferenciación es necesaria para explicar el surgimiento progresivo de las

novedades en la representación que permiten alcanzar la imagen mental como resultado

del equilibrio entre asimilación y acomodación y, más tarde, constituir sistemas de

representación o esquemas “figurativos” (1994. p. 333-334) que son independientes de los

esquemas “operatorios” o “conceptos”, pero que se relacionan entre sí en el pensamiento

reflexivo, el cual a su vez es el techo del desarrollo cognitivo. En palabras del propio

Piaget:

Por lo demás es claro que ambas clases de representaciones, amplias y limitadas,

presentan relaciones entre sí: el concepto es un esquema abstracto y la imagen un

símbolo concreto, pero sin llegar a reducir el pensamiento a un sistema de imágenes, se

puede decir que todo pensamiento se acompaña de imágenes, puesto que si pensar,

consiste en relacionar significaciones, la imagen sería un “significante” y el concepto

un “significado”. Además, es muy posible que ambas se constituyan en forma

concurrente. (Piaget, 1994, p. 92)

El pensamiento, entonces, se apoya en un sistema de significaciones, es decir, de la

relación entre un significante y su significado para acceder a la comprensión del hecho o

de la cosa. Piaget distingue dos clases: «significaciones de orden superior» para referirse a

significaciones de carácter colectivo y por tanto convencionales, por ejemplo las

significaciones de las palabras en un idioma. Y «significaciones elementales» que

corresponden a las percepciones del sujeto. A las primeras corresponde el signo que es un

significante convencional o arbitrario que señala un significado estable convenido

Esquema

28

socialmente, cuya apropiación por parte del sujeto conduce a compartir el punto de vista

propio con el de los otros. En tanto que, el significante de las segundas es el símbolo

diferenciado de su significado que es el esquema de acción o de operación del sujeto. En el

símbolo el significado corresponde al punto de vista propio, tanto más subjetivo si el

sujeto no ha logrado descentraciones necesarias y aún no alcanza estructuras más

equilibradas. Una característica del símbolo es que,

son «motivados», es decir, que presentan, aunque significantes diferenciados,

alguna semejanza con sus significados (Piaget & Inelder 1984, p. 64).

Por ejemplo, la imagen mental de persona u objeto, o el recuerdo imagen constituyen

símbolos diferenciados de su significado, aunque éste inicialmente puede ser cualquier

cosa: así, el niño que al ver un adulto le llama papá, revela la constitución de un “modelo

interno” o imagen mental que se asocia a la palabra y asigna el significado de ser adulto o

alto por semejanza del padre; pero no realmente el significado de diccionario de la palabra.

El paso de un sistema de significaciones elementales a un sistema de significaciones

de orden superior implica un conjunto de adquisiciones vicariantes que provienen del

lenguaje, la descentración del punto de vista propio, el completamiento de las estructuras

cognitivas, etc., pero sobre todo requiere de un largo proceso de desarrollo de la actividad

representativa.

Piaget considera las diferentes formas del pensamiento representativo: imitación,

juego simbólico y finalmente en representación cognoscitiva. Las tres formas evolucionan

por equilibración progresiva de asimilación y acomodación lo que es característico de toda

adaptación, como ocurre en el caso de la adaptación sensoriomotora, sólo que en ésta se

trata de adaptación a situaciones actuales; en tanto que, la adaptación representativa supera

las anteriores porque permite rebasar lo inmediato aumentando así en el espacio y el

tiempo el campo de la adaptación. Con la representación las estructuras de la asimilación

cambian y los procesos asimilación-acomodación se duplican: antes se reducían a lo actual

del intercambio sujeto-medio, ahora hay que agregar asimilaciones y acomodaciones de la

experiencia evocada (memoria) y lo actual; de allí el aumento del campo de la adaptación.

¿Cómo explica Piaget en su modelo este doble proceso que marca el límite del

pensamiento sensoriomotor y el pensamiento representativo?

Dos son los aspectos centrales de su explicación. Lo primero, es su observación

respecto al surgimiento de la imitación y el juego simbólico como resultado de la

diferenciación progresiva de los procesos de asimilación y acomodación que ocurre al

final del período sensoriomotor y se equilibra durante el período de las operaciones

concretas.

La imitación de sonidos y movimientos se produce inicialmente en presencia del

modelo: el niño al escuchar el tren pronuncia sonidos como “tch, tch,..” o imita gestos de

sus padres. Luego, no sólo imita en presencia del modelo sino que puede evocar en

cualquier momento estos sonidos y estos gestos, se llega así, a la imitación representativa.

Ahora bien, la imitación se explica por el dominio de la acomodación del esquema

sensoriomotor sobre la asimilación. Este dominio se debe a que los móviles de la imitación

consisten estrictamente en la reproducción del modelo, por oposición a los móviles de una

acción sensoriomotora que se encamina a satisfacer una necesidad; por tanto, se trata de la

acomodación del esquema al modelo y esta acomodación desencadena la asimilación que

es simplemente reconocedora de los caracteres del modelo y reproductora de éstos en

sonidos o movimientos. Por el contrario, cuando se trata de acciones destinadas a

Esquema

29

satisfacer una necesidad funcional (por ejemplo, la necesidad de alimento en el bebé) la

asimilación es generalizadora y la acción se encamina hacia objetos sustitutos (por

ejemplo, succionar cualquier objeto), en estos casos es la función asimiladora la que

desencadena el proceso y el esquema se acomoda al objeto porque es necesario.

Con la acomodación de los nuevos modelos el papel de la acomodación se hace

decisivo: el modelo diferencia, en efecto, el esquema de asimilación, lo cual constituye

una acomodación activa y no pasiva y este esfuerzo acomodador tiende a un fin que no

es el de la utilización sino el de la copia y la adecuación, lo cual muestra el nuevo papel

de la acomodación. (Piaget, 1994, p. 377)

Esta diferenciación del esquema por copia y adecuación al modelo permite la

constitución de un “modelo interno” en la medida que la imitación se interioriza y se

convierte en representación. Pero este “modelo interno”, no se constituye aún en imagen

mental, en tanto subsista desequilibrio entre asimilación y acomodación por el dominio de

la acomodación sobre la asimilación impidiendo, así, una generalización, por extensión,

del significado que permanece unido al modelo representado.

Por otro lado, el juego simbólico del niño pequeño presenta la otra cara de la moneda

de este desequilibrio inicial entre asimilación y acomodación producido por la

diferenciación progresiva de las dos funciones que intervienen en todo proceso de

adaptación.

Los móviles lúdicos del juego hacen que la asimilación generalizadora desencadene el

proceso de acción predominando sobre la acomodación imitadora del esquema. Así, el

niño que juega con una concha que desplaza sobre una cara de una caja de cartón

recreando el movimiento de una hormiga sobre una pared, asigna un significado que nada

tiene en común con los objetos externos excepto la relación entre lo imaginado: la concha

como la hormiga y los movimientos propios como los de ésta. Aquí, es la asimilación

generalizadora la que desencadena la acomodación de un “modelo interno” a la situación

que se representa externamente y a la que el sujeto asigna un significado. Por tanto, el

juego simbólico presupone el “modelo interno” producto de la interiorización del

mecanismo imitativo; pero ahora este modelo se extiende a nuevas situaciones

constituyendo así una verdadera representación que se caracteriza por la diferenciación de

“significante” los objetos y los movimientos del “significado” ligado al modelo interno

que imagina la hormiga desplazándose sobre una pared.

Se comprende así, el surgimiento del símbolo por imitación diferida que proporciona

los significados que el juego aplica de manera libre y, más tarde, cuando se logra el

equilibrio estable entre asimilación y acomodación, es decir sin predominio de uno sobre

otro (como no sea más que momentáneo) la inteligencia aplica a significados diversos y

adaptados.

La segunda reflexión, de Piaget para explicar el paso del pensamiento sensoriomotor

y el pensamiento representativo se deriva de las observaciones precedentes respecto a la

imitación y el juego simbólico que conducen a la representación cognoscitiva. Así, decir

representación significa:

[...] reunión de un “significador” que permite la evocación y de un “significado”

procurado por el pensamiento. (Piaget, 1994, p. 371)

Es decir el “significador” posibilita el encuentro de la experiencia evocada con todas

sus significaciones anteriores y el significado que es procurado por el conocimiento actual

Esquema

30

en que el sujeto aplica su inteligencia a una situación particular. Este proceso implica el

apoyo de un sistema de “significantes”. Entonces, la hipótesis es que:

[...] ese “significador” común a todas las representaciones nos parece estar constituido

por la acomodación que se prolonga en imitación y por consiguiente en imágenes o

imitaciones interiorizadas. Recíprocamente el “significado” se sobrentiende, procurado

por la asimilación que, incorporando el objeto a esquemas anteriores, por eso mismo le

da una significación. Se deduce que la representación implica un doble juego de

asimilación y acomodaciones, actuales y pasadas, cuyo equilibrio de unas con relación

a las otras no podría ser rápido, pues ocupa toda la primera infancia (Piaget, 1994, pp.

371-372)

Así, pues, es en términos de los desequilibrios cambiantes de estos dos procesos

como se explica el desarrollo de la representación que evoluciona de la imitación

representativa –cuando la acomodación supera la asimilación–, al juego simbólico –

dominio de la asimilación– y por último alcanza la representación cognoscitiva –cuando se

alcanza el equilibrio estable entre la asimilación y acomodación y éstas son completas.

Cuando se logra este equilibrio,

[...] la imitación y el juego se integran en la inteligencia; la primera se vuelve reflexiva

y el segundo constructivo y la representación cognoscitiva misma alcanza el nivel

operatorio, gracias a la reversibilidad que caracteriza el equilibrio de una asimilación y

acomodación generalizadas. (Piaget, 1994, p. 372)

Estos progresos en los sistemas de significantes van acompañados de la descentración

progresiva de la conducta y novedades estructurales que determinan las leyes de

organización de los esquemas. Se supera, entonces, la inteligencia sensoriomotriz o

práctica que surge antes del lenguaje y que en lugar de palabras y conceptos se aplica a

objetos, utilizando únicamente percepciones y movimientos organizados en esquemas de

acción.

Una de las conquistas de la representación es la imagen mental concebida como:

[...] copia o reproducción interior del objeto.. (Piaget, 1994, p. 96)

producto de la interiorización de la imitación. Pero la imagen no es una prolongación de la

percepción pura, sino de lo que Piaget denomina “actividad perceptiva” distinguiendo dos

tipos de actividad perceptiva: una que depende de estructuras

relativamente independientes de la edad; por ejemplo, las ilusiones geométricas que son

comunes en el adulto, en el niño y aún en los animales...Pero además, por otra parte,

hay una “actividad perceptiva” formada de comparaciones, análisis, anticipaciones, etc.

y que es fuente de correcciones y regulaciones y que regularmente crece con la edad.

(Piaget, 1994, p. 104)

Esta actividad perceptiva es la que engendra la imagen constituyendo una especie “de

esquema o una copia resumida del objeto percibido y no de su vivacidad sensorial” (ídem.

p. 106). Pero además, este mecanismo de construcción de la imagen mental se presenta en

todos los niveles de la inteligencia y ello, por la naturaleza de esta actividad perceptiva

[...] que prolonga la inteligencia sensoriomotora en función antes de la aparición del

lenguaje y de la inteligencia conceptual. [...]. Cuando aparece la inteligencia

conceptual, los esquemas sensorio-motores que constituyen la subestructura dependen

de la regulación de las costumbres motoras y de la percepción aunque en sí mismas

experimentan poco a poco la influencia de los esquemas conceptuales y operatorios en

los cuales se integra parcialmente.

Se ve cómo viene a ser posible concebir la imagen, aún en los niveles ulteriores de la

representación como una imitación interior debida a los esquemas sensoriomotores

siempre presentes. La imagen no es, pues, el prolongamiento de la percepción como tal,

Esquema

31

sino de la actividad perceptiva, la cual es una forma elemental de inteligencia, que

deriva de la inteligencia sensorio-motora característica de los primeros 18 meses de

existencia. (Piaget, 1994, p. 105)

Aquí es necesario aclarar las relaciones entre la imitación y la imagen mental. La

imitación (sensoriomotriz) es en su origen una imitación del modelo presente y es exterior,

el gesto imitativo toma el papel de “significante” representativo, es decir es una imitación

que esta en vías de interiorización y en este caso, el gesto precede al “modelo interno”.

En la imitación propiamente representativa, sucede lo contrario: la imagen interior

precede al gesto exterior, el cual la copia como en un “modelo interno” que asegura la

continuidad entre el modelo real ausente y la reproducción imitativa. Pero la imagen...,

no es otra cosa sino la acomodación de los esquemas sensorio-motores que se ha

desarrollado en imitaciones exteriores, pero que se ha interiorizado y prolonga la

actividad sensorio-motora que dirige aún la percepción y la motricidad. La imagen es a

la vez imitación interiorizada y esquema de imitaciones representativas. (Piaget, 1994,

p. 380)

Estos progresos que se alcanzan gracias al surgimiento de la función simbólica que

conduce a diferenciar “significantes” de “significados” es posible por la diferenciación y

equilibración progresiva de los procesos de asimilación y acomodación (ver Piaget 1994,

pp. 371-397). Los significantes se constituyen en esquemas “figurativos” y los

“significados” en esquemas conceptuales u operativos, prolongando los primeros las

percepciones actuales y los segundos los esquemas de acción de la inteligencia

sensoriomotriz, dando lugar –gracias al lenguaje y la socialización progresiva– a la

constitución de un sistema de significaciones (significantes relacionados a significados) de

orden superior sobre los que opera la inteligencia reflexiva

La inteligencia reflexiva, entonces, surge gracias a que el desarrollo de la

representación permite la constitución de un sistema simbólico disociado de la

actividad perceptiva y la constitución de acciones interiorizadas o esquemas

operatorios :

Desde el punto de vista psicológico, las operaciones son acciones interiorizables,

reversibles y coordinadas en sistemas caracterizados por leyes que se aplican al sistema

como un todo. Son acciones, puesto que se llevan a cabo sobre objetos antes de ser

realizadas sobre símbolos. Son interiorizables, puesto que se pueden ejecutar

mentalmente sin perder el carácter original de acciones. Son reversibles, a diferencia de

las simples acciones que son irreversibles. [...]. Por último, y puesto que no existen

aisladamente, las operaciones se encuentran conectadas en todos estructurados. (Piaget,

1997, p. 43)

Los esquemas de acción que dependían de configuraciones ligadas a los cuadros

perceptivos actuales, dan lugar a esquemas operatorios que se coordinan por la

composición de sus transformaciones mediante el pensamiento y no por percepciones

sucesivas y movimientos reales, igualmente sucesivos, como ocurría en la inteligencia

sensoriomotriz. La equilibración entre la asimilación y acomodación es, entonces,

permanente y no ocasional y esto ocurre en su doble proceso respecto a lo actual y a lo

evocado, logrando así, la coherencia entre el pensamiento representativo y la acción.

La inteligencia reflexiva opera entonces coordinando esquemas conceptuales que se

prolongan en acciones externas, aclarando que desde el punto de vista psicológico,

Un concepto no es, en efecto, más que un esquema de acción o de operación. ..., las

acciones se organizan según condiciones internas de coherencia, y es la estructura de

esta organización lo que constituye el hecho del pensamiento real, correspondiente a lo

Esquema

32

que, en el plano axiomático, se llama el «principio de contradicción»” (Piaget, 1983, p.

42)

Es decir, el concepto desde este punto de vista es una forma y su organización como un

todo estructurado al igual que sus funciones asimiladoras y de acomodación están sometidas

a las leyes de la estructura total. En tanto que,

En un sentido lógico, el concepto es un constructo mental del aspecto generalizable de

una cosa conocida. Posee “intención” (o comprensión) al responder a la pregunta ¿cuál

es la esencia de la cosa? Y posee “extensión” al mencionar qué cosas son ejemplos del

concepto.(Furth, 1971, p. 186)

Dicho de otra manera, el concepto de una cosa es el producto reflexionado que se

obtiene por abstracción de coordinaciones generales de acciones u operaciones como

clasificaciones, relaciones, correspondencias etc., que definen la cosa por sus propiedades

inherentes y generalizables. Y se relaciona con imágenes mentales, símbolos y en general

representaciones que permiten la evocación de ejemplos del concepto. Este producto

constituye el concepto en sentido lógico.

Esta aclaración terminológica es importante porque entendiendo el concepto lógico –

como referido a un estado de equilibrio en un momento dado– se hace posible la

descripción del esquema actual. En tanto que, el concepto en sentido psicológico hace

referencia al aspecto dinámico del esquema y por tanto se ve como una estructura sujeta a

los mecanismos de equilibración entre asimilación-acomodación presentes en

intercambios con el medio. Para hacer hincapié en la diferencia, cuando hablemos de la

estructura diremos esquema conceptual y cuando la referencia sea al estado de equilibrio

diremos concepto lógico.

Otra aclaración terminológica necesaria, concierne a la expresión externa que

manifiesta la organización interna del concepto lógico:

En su manifestación verbal, el concepto es un expresión verbal de un concepto lógico

junto con su comprensión verbalizada; sin embargo la verbalización es extrínseca al

concepto lógico como tal (Furth, 1971, p. 186)

En esta perspectiva las estructuras operatorias que consolidan la inteligencia

reflexiva, son responsables de la estructuración de los conceptos particulares que antes

existían en la forma de esquemas de acción ligados a percepciones actuales, luego como

preconceptos esquemas de acción con representación pero cuyas asimilaciones-

acomodaciones aunque equilibradas son incompletas porque falta el establecimiento de

estructuras de clases generales– los unos ligados a los objetos materiales y los otros

dependiendo de la imagen por asimilación a un objeto-imagen privilegiado y sin

acomodación generalizadora a otros objetos. Con el completamiento de las estructuras, la

acción es reconstruida en el plano de la representación y reorganizada por la estructura

operatoria y así, en el nuevo plano, el concepto práctico se enriquece gracias a la

reversibilidad y la movilidad de las operaciones. El concepto se libera de la imagen por su

misma generalidad y no la emplea sino a título de ilustración.

La inteligencia reflexiva coordina entonces los dos niveles de interacción el primer

nivel, más externo entre el sujeto y los objetos que implican asimilaciones y

acomodaciones del dato externo a la estructura interna donde la acomodación como

significador se apoya en el sistema de significantes (imágenes mentales y símbolos) para

evocar significados (esquemas conceptuales). La acción puede, entonces, ser reconstruida

en el plano del pensamiento y, así, tomar conciencia de ella junto con las coordinaciones y

Esquema

33

superaciones de dificultades que el proceso de toma de conciencia supone (más adelante

explicaremos este importante concepto).

Todo esto lleva a una organización de la novedad (segundo nivel de interacción, más

interno que el primero) por asimilaciones y acomodaciones recíprocas (entre esquemas) en

estructuras generales y actuales y por tanto, dado que las estructuras son variables en el

tiempo, un producto siempre inacabado y sujeto de modificaciones. Las leyes de la

estructura organizan las novedades en subestructuras coordinadas con las estructuras

generales y otras subestructuras, formando así una totalidad coherente progresivamente

adaptada al medio.

Así, la construcción de una clase implica un sistema clasificatorio, la construcción de

una relación asimétrica transitiva, un sistema de relaciones seriales, etc. Igualmente, la

construcción del sistema numérico supone una comprensión de la sucesión numérica

n1. (Piaget, 1997, p. 43)

Según Piaget, para alcanzar el funcionamiento real de la inteligencia, es necesario

partir del plano de la acción misma. Existe una continuidad que liga estas estructuras

operatorias a la acción verdadera y esto se puede observar aún en los objetos más

abstractos de los que se ocupa el pensamiento. Por ejemplo, en el caso del pensamiento

matemático:

En una expresión cualquiera, tal como (x2 y z u), cada término designa en

definitiva una acción; el signo () expresa la posibilidad de una sustitución, el signo ()

una reunión, el signo () una separación, el cuadrado (x2) la acción de reproducir 2

veces x, y cada uno de los valores u, x, y y z la acción de reproducir cierto número de

veces la unidad. Cada uno de los símbolos se refiere, pues, a una acción que podría ser

real, pero que el lenguaje matemático se limita a designar abstractamente, bajo la forma

de acciones interiorizadas, es decir de acciones en pensamiento. (Piaget, 1989, p. 44)

Esta observación, proporciona una forma de estudiar la formación de los conceptos

como producto de procesos internos que dependen de la organización de las estructuras

operatorias. Así, por ejemplo, el concepto matemático de la conmutatividad de una

operación, se constituye en un esquema conceptual del niño cuando de su acción de sumar

una misma cantidad de objetos, ordenados de manera diferente, puede él abstraer de la

coordinación de sus acciones (producto de la interiorización) que el orden de los objetos

no altera el resultado de la suma (producto de la abstracción reflexiva). Este producto, la

conmutatividad, de las acciones (reordenar y sumar) y la reflexión interna del fenómeno se

constituye en una propiedad que puede ser comprobada por el sujeto realizando nuevos

arreglos con objetos diferentes y ser así generalizada a situaciones similares.

Resumiendo, los esquemas son resultado de interacciones que se realizan en dos

niveles: el primero, da origen a los contenidos de conducta y el segundo constituye

estructuras interiorizadas que se organizan e interactúan cíclicamente con los contenidos.

Aclarando que:

1. Los esquemas, son construcciones cuya materia prima inicial es el simple acto reflejo,

constituyéndose luego en hábitos, representaciones, operaciones –acciones reversibles

interiorizadas–, conceptos y juicios lógicos –que inicialmente se reducen al principio de

no contradicción.

2. Como estructuras, los esquemas organizan las percepciones, clasificándolas en grupos

de acuerdo a características comunes, estableciendo propiedades, objetos y relaciones.

Asimilación y acomodación

34

3 Estas estructuraciones de conjunto, diferenciaciones e integraciones graduales,

conforman sistemas y subsistemas cognitivos, con funciones y estructuras propias que

interactúan entre sí y con el mundo externo.

1.4 ASIMILACIÓN Y ACOMODACIÓN

Un invariante funcional de los sistemas orgánicos es la adaptación por asimilación y

acomodación. Ahora, en consecuencia con el postulado de Piaget sobre la continuidad

funcional entre los sistemas orgánicos y los sistemas cognitivos, éstos últimos presentarían

tal función. Tanto la asimilación cognitiva, como la orgánica consisten en la incorporación

de elementos externos en una estructura interna, pero a diferencia de la segunda, ya no se

trata de elementos materiales sino, como lo hemos visto, de elementos perceptibles,

motores y conceptuales. Esta diferencia resulta de capital importancia porque la

disociación entre forma y contenido, que caracteriza a todo conocimiento, aumenta la

capacidad adaptativa de las estructuras, por ampliación del medio, al ser las formas más

móviles en el tiempo y el espacio por la liberación de su relación directa y actual de los

contenidos. La acomodación, complemento indisociable de toda asimilación, es la

modificación de la estructura interna para responder a una situación particular.

Así, pues, diremos que la primera función del conocimiento es la de ser asimilación,

precisamente en el sentido de una interacción entre el objeto y el sujeto, tal que haya, a

la vez, acomodación lo más completa posible a los caracteres del objeto, pero

incorporación igualmente esencial a estructuras anteriores. (Piaget, 1969, p. 53)

Esta cita permite observar, en primer lugar, el doble nivel en que opera las

asimilación-acomodación: nivel externo (sujeto-objeto), nivel interno (estructura-

contenido); en segundo lugar, la necesidad de estos dos procesos es evidente, pues, si todo

fuese asimilación el sujeto dispondría de unos cuantos esquemas que asimilarían

“cualquier cosa”, es decir su capacidad para discriminar lo uno de lo otro seria muy

limitada. Y, si sólo acomodara, esto significaría que el sujeto poseería un conjunto

inmenso de esquemas disociados entre sí, es decir su capacidad coordinadora estaría

restringida. Las dos situaciones conducirían a la deformación del sistema.

Respecto a la última afirmación, los hechos comprobados, experimentalmente,

relativos al funcionamiento de los esquemas lleva a Piaget a dos conclusiones que formula

en términos de postulados:

Primer Postulado: Todo esquema de asimilación tiende a alimentarse, es decir, a

incorporar los elementos exteriores a él que son compatibles con su naturaleza.

Segundo Postulado: Todo esquema de asimilación se encuentra obligado a acomodarse

a los elementos que asimila, es decir, a modificarse en función de sus particularidades,

pero sin perder por ello su continuidad ( y por tanto su cerramiento en cuanto ciclo de

procesos interdependientes), ni sus poderes de asimilación. (Piaget, 1990a, p. 9)

El primero, corresponde a la activación del sistema y, el segundo, expresa la

necesidad de un equilibrio entre la asimilación y la acomodación, pues al estar “obligado”

el esquema a acomodarse, es decir, a modificarse en extensión o comprensión, estas

ampliaciones están sujetas a la conservación del funcionamiento del ciclo de procesos

involucrados en la acción y la conservación de los poderes asimiladores del esquema. Si

no existiese equilibrio entre los dos procesos, como ya lo hemos observado, se produciría

una deformación del sistema y el caos, lo que equivaldría a la muerte del sistema. En

realidad son procesos complementarios e inseparables, así se entiende que, si la

Niveles de interacción y procesos cognitivos

35

acomodación se relaciona con la adquisición de nuevos conceptos ella sólo es posible

gracias a la asimilación que depende de los esquemas previos que estarían involucrados en

las nuevas coordinaciones que constituyen el nuevo conocimiento.

Respecto a la relación entre la acomodación y el nuevo conocimiento, es conveniente

subrayar que en un primer nivel, lo que proporciona una acomodación exitosa es un nuevo

contenido y no una nueva capacidad de conocer. Mientras que las novedades de las

estructura generales del conocimiento (grupo de desplazamientos prácticos, agrupaciones,

grupo INRC, estructuras causales, etc.) que caracterizan al desarrollo, se refieren a

procesos constructivos que tienen lugar en niveles más internos, en los cuales la

acomodación no es suficiente para explicar el desarrollo. El por qué y el cómo, tienen su

causa primaria en la equilibración, de la que hablaremos con más detalle un poco más

adelante, como respuesta a perturbaciones que producen desequilibrio en el sistema,

advirtiendo que Piaget, se ocupa principalmente del estudio del conocimiento como

capacidad y no como contenido particular.

1.5 NIVELES DE INTERACCIÓN Y PROCESOS COGNITIVOS

Resulta, pues, importante diferenciar tres niveles jerárquicos de interacción; aclarando

que lo que lo que expresamos a continuación corresponde a nuestra lectura de la obra de

Piaget y por tanto sólo nos compromete a nosotros. Esta diferenciación se hace necesaria

porque únicamente nos ocuparemos de las novedades conceptuales (contenidos

particulares) que se apoyan en los esquemas que ya hacen parte de la experiencia

adquirida por el sujeto y, por tanto, están relacionados con el desarrollo alcanzado y los

mecanismos que son responsables de éste.

En el primer nivel de interacción, entre sujeto y objeto, reconoceremos un sistema de

acción cuyos elementos son esquemas de acción que interactúan entre sí y cuyas

relaciones definen el sistema. En el segundo nivel, interacción entre la estructura total y

contenidos de conducta –aquello que el sujeto infiere de su acción–, aparece otro sistema

diferenciado del primero que llamaremos sistema estructural cuyos elementos son

estructuras operativas y figurativas con interacciones mutuas y cuyas leyes de

composición definen el sistema. Este segundo sistema, gobierna el funcionamiento del

primero y los dos están sometidos a lo que llamaremos el sistema cognitivo total que se

refiere al complejo que integra la totalidad de los elementos que interactúan internamente

y cuyas relaciones se manifiestan en la acción adaptativa del sujeto a una situación

particular. Éste sistema cognitivo total define el tercer nivel de interacción, que anticipa

las novedades estructurales para responder a las variaciones del medio, es decir, sus

mecanismos de equilibración son responsables tanto de las novedades estructurales que se

producen a lo largo del desarrollo cognitivo del sujeto, como del funcionamiento del

sistema total en cada acción particular. Por tanto implica un sistema de regulaciones entre

el sistema cognitivo total y los subsistemas, organizando y gobernando el funcionamiento

de los dos niveles anteriores (figura 1.1).

En el primer nivel de interacción, las perturbaciones (internas o externas) que

producen desequilibrios son detectadas por el sistema cognitivo total del sujeto, activando

el sistema de acción en el cual los esquemas de acción cumplen la misión de asimilar los

elementos del medio necesarios para compensar las perturbaciones que originan el

desequilibrio. Estos esquemas actúan en ciclos asimilación-acomodación-

retroalimentación informando al sistema estructural que oficia de regulador de las


36

acciones retroinformando al sistema de acción sobre el resultado de sus acciones y

corrigiéndolas en función de los resultados (contenidos de conducta), de acuerdo a las

leyes de composición estructuradoras del sistema estructural y ello por ciclos igualmente

asimilación-acomodación-retroalimentación, pero ahora entre contenidos de conducta y

los subsistemas de la estructura total comprometidos en la acción. El funcionamiento de

los dos sistemas esta gobernado, como ya lo hemos dicho, por un sistema cognitivo total

que proporciona forma y organización a la acción con respecto a las estructuras operativas

amplias (agrupamientos, grupos, etc.), lo que nos lleva a mencionar el segundo invariante

funcional de la cognición, que necesariamente completa la adaptación (asimilación-

acomodación): la organización interna.

Por lo que se refiere a las relaciones entre las partes y el todo, que definen la

organización, es sabido que cada operación intelectual es siempre relativa a todas las

demás y que sus propios elementos están a su vez regidos por la misma ley. Cada

esquema se encuentra de esa manera coordinado con todos los demás, y él mismo

constituye una totalidad de partes diferenciadas. (Piaget, 1984, pp. 17-18)

Los esquemas, en interacción con los elementos externos, se coordinan entre sí en “ciclos

cognitivos” –que definimos un poco más adelante– y éstos a su vez con el sistema total,

Medio

Externo Lo conocido

Frontera de lo conocido y

lo nuevo

Primer nivel de

interacción

Segundo nivel de

interacción

Tercer nivel de

interacción

S

I

S

T

E

M

A

DE

A

C

C

I

Ó

N

S

I

S

T

E

M

A

E

S

T

R

U

C

T

U

R

A

L

Contenido de

conducta

Incorporación de

nuevo contenido

Incorporación de

nuevas estructuras

SISTEMA TOTAL: estructuras sensorio-motoras, operatorias, etc.

Medio Interno

Asimilación

Acomodación Retroalimentación

Esquemas de

acción

Estructura

activada

Función

Asimilación Acomodación

Retroalimentación

Asimilación Acomodación

Retroalimentación

Figura 1.1: Contenido, función y estructura. Niveles de interacción del sistema

cognitivo y sus ciclos de interacción


37

sin perder por ello la propia naturaleza de cada esquema o de cada “ciclo” con sus

implicaciones y significaciones solidarias con aquellos elementos externos que les son

propios y con ellos mismos.

Nos referiremos ahora, a lo que Piaget entiende por “proceso cognitivo” y “ciclo

cognitivo”, así como la relación entre ambos conceptos. Un proceso cognitivo, es el

conjunto de fases que conducen a la activación de la estructura cognitiva; presupone

interacción-procesamiento interno-producto. De modo esquemático y formal (pues no es

posible aislar un solo esquema) un proceso cognitivo se puede ilustrar de la siguiente

manera: si A representa el esquema de acción y A’ es el elemento que alimenta al

esquema, entonces el ciclo de interacción será representado por AA’. Esta simbolización

nos permite encapsular el ciclo asimilación-acomodación-retroalimentación del primer

nivel de interacción entre sujeto-medio.

El procesamiento interno corresponde al segundo nivel de interacción entre la

estructura cognitiva y los contenidos de conducta originados en el nivel anterior que

informan a la estructura produciendo la activación de un esquema B que es objeto de

asimilación y acomodación por A; B es el producto, siempre interno, de la interacción. El

símbolo indicará la culminación del proceso que entonces, se representa:

(AA’)B

donde “x” representa la interacción en el primer nivel y “” indica la interacción y el

producto del segundo nivel.

Ahora, el ciclo cognitivo es la organización estructural de los procesos cognitivos.

Piaget caracteriza, formalmente, los ciclos de la siguiente manera:

Llamemos A, B, C, etc., a las partes constitutivas de un ciclo de esta clase y A’, B’, C’,

etc., a los elementos del entorno que son necesarios para su alimentación; estamos

entonces en presencia de una estructura, cuya forma esquemática es:

(AA’)B; (BB’)C; ...; (ZZ’)A, etc. (Piaget, 1990a, p. 6)

Así, un proceso cognitivo se coordina con el siguiente y así sucesivamente hasta

terminar el ciclo cognitivo. Éste último, presenta entonces las dos características del

sistema cognitivo total: es abierto en cuanto a los intercambios con el medio y cerrado. en

sí mismo porque no necesita de elementos externos para su funcionamiento conservando

la organización funcional y estructural del sistema. Agreguemos a lo dicho, que en el

sistema estructural, integrado por subestructuras diferenciadas, éstas se coordinan unas a

otras por formas igualmente cíclicas: así, los elementos A,...,M pertenecientes a una

subestructura y N,...,Z elementos de otra, se organizan cada uno en un ciclo AM y NZ

pero coordinados entre sí con o sin interacción y subordinados en un ciclo total AZ.

(Piaget, J. 1990a. p. 6)

Las relaciones establecidas entre estructura, contenido y función en relación con los

niveles de interacción del sistema cognitivo, se representan en la figura N° 1. Allí, en el

primer nivel de interacción, el sistema de acción responde a las perturbaciones que

desencadenan desequilibrios, con interacciones, entre el sujeto y el medio, en forma de

ciclos asimilación-acomodación-retroalimentación de los esquemas asimiladores. En el

segundo nivel de interacción, el sistema estructural es informado y autorregula al sistema

de acción organizando los ciclos cognitivos dando, así, una forma a los contenidos de

conducta. En el tercer nivel de interacción, el sistema cognitivo total autorregula el

proceso del sistema estructural en el marco de las composiciones de las estructuras

amplias (operatorias y causales) , de las que se sirve el sujeto en la acción. La frontera,


38

móvil, de lo conocido (línea punteada de la región sombreada). se amplía como resultado

de retroalimentaciones de los esquemas de asimilación que permiten acomodaciones mejor

adaptadas a las exigencias del medio (nuevos contenidos de conducta). Cuando estos

nuevos contenidos de conducta resultan gravemente perturbadores para el sistema

estructural se origina un desequilibrio del medio interno producido por la adaptación más

los nuevos datos que informan a este sistema. Entonces, el medio interno (segundo nivel

de interacción) procede a realizar una selección del dato dando origen a una respuesta

endógena que conduce a un reemplazo de un carácter de la estructura. Y ese reemplazo se

debe a una reconstrucción endógena (en el tercer nivel de interacción) sin ninguna acción

directa de los factores exógenos propios del medio externo. Recíprocamente este nuevo

carácter estructural conduce a la integración del nuevo contenido a los ciclos del sistema

de acción. Se alcanza, así, un nuevo estado de equilibrio del sistema (ver figura 1.1).

Podemos ahora entender por qué Piaget concibe la estructura cognitiva como “un

sistema de transformaciones autorregulado”, esto quiere decir, que le atribuye la

capacidad de “organizarse a sí mismo” sin recurrir a factores exógenos, lo que permitiría

explicar el crecimiento cognitivo en términos de autorregulación del sistema. Ya hemos

dicho que el nombre que corresponde a la autorregulación es el de equilibración. Aunque

este concepto aparece muy temprano en sus obras, realmente no se convierte en un

enunciado operativo hasta cuando formula su teoría de la equilibración de las estructuras

cognitivas (Piaget, 1990a.), en la que la equilibración sería uno de los factores del

desarrollo cognitivo, los otros son la maduración, experiencia personal y la interacción

social. Pero, indudablemente, para él la adaptación cognitiva inspirada en la perspectiva

biológica en términos de equilibración entre asimilación y acomodación, constituye el

mecanismo central que explica desarrollo y la constitución de estructuras operatorias.

Veamos, a continuación, los aspectos centrales de esta teoría de la equilibración.

1.6 LA EQUILIBRACIÓN Y LOS MECANISMOS DE ACCIÓN

Como ya se ha dicho, los esquemas, en virtud de los invariantes funcionales de

asimilación y acomodación que le son característicos, incorporan aquellos elementos

presentes en nuevas situaciones que son propios con su estructura y se acomodan a las

características particulares de la situación. relacionando experiencias previas con la

experiencia actual. La acomodación puede llevar a modificaciones del ciclo cognitivo en

sus coordinaciones con otros esquemas que permanecían aislados o a la emergencia, por

construcción, de nuevos esquemas que se integran al ciclo, alcanzando nuevos niveles

jerárquicos (nuevas estructuras) por diferenciación e integración con las construcciones

anteriores. Estos progresos constructivos se deben al proceso de equilibración que

conduce al desarrollo de las estructuras cuando la asimilación se enfrenta a obstáculos

(perturbaciones) que impiden alcanzar un objetivo. Por tanto las explicaciones del

progreso cognitivo se encuentran en la equilibración incrementante.

El mecanismo que pone en funcionamiento el sistema y por tanto en el camino a su

desarrollo se infiere del concepto de necesidad.

En efecto, según la perspectiva funcionalista, toda actividad mental, y en particular

cognitiva, procede de una tendencia a satisfacer una necesidad, consistiendo esta en un

desequilibrio momentáneo y su satisfacción en una reequilibración (Piaget, 1990a, p.

89)

La equilibración y los mecanismos de acción

39

La toma de conciencia de la necesidad, entonces, desencadena un conjunto de

acciones que cesa al lograr el éxito. Si la satisfacción pudo ser alcanzada, por las

compensaciones que oponen las regulaciones (automáticas o activas) del sistema de

acuerdo al tipo de perturbación, entonces se dice que el sistema se ha reequilibrado. Tal es

el mecanismo propuesto para explicar la naturaleza de la actividad cognitiva.

Como veremos más adelante estas equilibraciones o reequilibraciones no siempre son

inmediatas, es el caso cuando la estructura cognitiva presenta esquemas que resultan

insuficientes y dejan escapar ciertos aspectos claves para la comprensión de una situación,

entonces son necesarias regulaciones activas (proceso de equilibración) que conducen a la

modificación de uno o varios esquemas componentes de un ciclo cognitivo o a establecer

coordinaciones con esquemas o subsistemas que permanecían aislados. Es aquí que

aparece la contradicción y el conflicto cognitivo cuya superación produce una

modificación del estado de equilibrio actual.

Las modificaciones que tienen lugar en el sistema, pueden definirse como

“equilibraciones” o “reequilibraciones” en el sentido de que toda equilibración lo es a

título provisional, pero siempre tendiente a mejorar el estado anterior y nunca como una

regresión (si hay regresión será momentánea o aparente)

[...] el progreso del conocimiento no se debe ni a una programación hereditaria innata,

ni a una acumulación de experiencias empíricas, sino que es el resultado de una

autorregulación a la que podemos llamar equilibración. Ahora bien, esta equilibración

no lleva al estadio anterior, en caso de una perturbación, sino que conduce,

normalmente, a un estadio mejor en comparación con el estado de partida y todo ello

porque el mecanismo auto-regulador ha permitido mejorarlo. Llamo pues,

"equilibración incrementante" a este progreso en la equilibración. (Piaget, y otros,

1981, p 33-34).

Si relacionamos este mecanismo con los conceptos hasta aquí presentados tendremos:

1. La interacción: un sujeto que interactúa con el medio externo. La calidad de la

interacción depende de

2. el estado de equilibrio o desarrollo actual de su estructura que ha sido producto de un

3. proceso de equilibración anterior que se concretó en dos aspectos del conocimiento: la

forma, que se deriva de la estructura interna (no observable pero que se manifiesta en la

organización de los esquemas de acción) y el contenido que se deriva de las situaciones

a las que esta forma se aplica. Asociado al proceso de equilibración está el

4. mecanismo de actividad cognitiva, la activación de un esquema de acción se origina

por un desequilibrio momentáneo que se percibe como una necesidad y desencadena un

conjunto de acciones para satisfacerla. Esto implica el funcionamiento de un ciclo

cognitivo con las asimilaciones y acomodaciones propias de los esquemas que debe

conducir a

5. una equilibración entre la asimilación y la acomodación como resultado de la

satisfacción de la necesidad si este es el caso. O asimilaciones y acomodaciones

recíprocas si se trata de modificaciones introducidas en el ciclo cognitivo, o, en el

sistema estructural a causa de un conflicto cognitivo, que se señala con la línea

punteada en el esquema que se presenta a continuación. Esquemáticamente:

Caracterización del equilibrio cognitivo

40

De acuerdo a la caracterización del equilibrio cognitivo se distinguen tres formas de equilibración

que corresponden a los tres niveles de interacción, que de nuestra parte hemos destacado, y que

comprometen los sistemas: de acción, estructural y el sistema cognitivo total.

1.7 CARACTERIZACIÓN DEL EQUILIBRIO COGNITIVO

Piaget, caracteriza el equilibrio cognitivo en términos de dos factores: estructural y

funcional (asimilación-acomodación). Comparando el equilibrio cognitivo con el

equilibrio mecánico y termodinámico en la física, considera que éste es diferente,

compartiendo con el primero los trabajos virtuales y con el segundo la irreversibilidad.

Pero, lo encuentra muy próximo al equilibrio biológico que comprende dos tipos de

equilibrio: homeostasis y homeorreisis. El primero, estático y sincrónico, garantiza la

conservación de cada sistema abierto, en los intercambios del organismo con el medio, por

tanto se refiere al equilibrio funcional que preserva las estructuras logradas. El segundo,

dinámico y diacrónico, prepara al primero y garantiza el proceso de formación de los

órganos en el desarrollo epigenético, en el transcurso del cual las «creodas»17

se

diferencian unas de otras y presentan, cada una, una cierta independencia.

hay «homeorresis» si el proceso formador, desviado de su trayectoria por influencias

exteriores, es llevado a volver a ella por el juego de compensaciones coercitivas

(Piaget, 1969, p. 19)

Las creodas desembocan en la formación de los órganos que en cierta fase del

desarrollo se integran y es cuando se constituye un conjunto de interacciones funcionales

y ya no estructurales que dependen del sistema nervioso.

En el terreno cognoscitivo, se distingue el proceso de equilibración del estado de

equilibrio. El primero se refiere a la equilibración que conduce a la formación de las

estructuras, por tanto es dinámico y diacrónico; se caracteriza por oponer compensaciones

activas a las perturbaciones externas. El segundo, señala la equilibración funcional que

conserva las estructuras logradas, por tanto es estático y sincrónico; se caracteriza por

regular la interacción con el medio por medio de ciclos de retroalimentación. Existe, pues,

17

Este término es introducido por Waddington para aludir a “una trayectoria que actúa como un atracto r para las

trayectorias próximas” (Waddington y otros. 1976. Hacia una biología teórica, Alianza-Universidad. Madrid. Piaget lo

interpreta como “rutas necesarias” que caracterizan “estos desarrollos particulares de un órgano o una parte de un

embrión” (Biología y conocimiento, p. 19)

Proceso Interacción

Estado

Asimilación

Acomodación

Variaciones

del medio

Estructura

Función

Acción: necesidad

coordinación: inteligencia

Mecanismo de

actividad cognitiva

Conflicto

Equilibración

Figura 1.2: Mecanismos de Funcionamiento del sistema cognitivo

Las formas de equilibración

41

relación entre el proceso de equilibración y el estado de equilibrio, los estados representan

equilibrios relativos (pueden ser superados) que mantienen una estructura organizada y

colaboran con sus regulaciones a la construcción, y por tanto, al proceso de equilibración

de nuevas organizaciones que superan el estado anterior.

El equilibrio cognitivo, entonces, se caracteriza por las acciones conservadoras que

ejercen: los elementos o los subsistemas y del sistema total, unos sobre otros. Interesa,

ahora, señalar las características particulares del equilibrio según el tipo de interacciones.

1.8 LAS FORMAS DE EQUILIBRACIÓN

Se identifican tres formas de equilibración:

1. En el primer nivel de interacción, entre sujeto y objeto, existe una equilibración entre la

asimilación y la acomodación, en la cual ya se observa la característica de este tipo

peculiar de equilibrio cognitivo: las mutuas conservaciones

Observemos que ya hay un comienzo de conservación mutua, porque el objeto es

necesario para el desarrollo de la acción y, recíprocamente el esquema de asimilación

es quien confiere significado al objeto, transformándole (desplazamiento, utilización,

etc.) gracias a esta acción (Piaget, 1990a, p. 10)

2. En el segundo nivel, entre los subsistemas de la estructura, de nuevo es necesario

suponer una equilibración entre asimilación recíproca y acomodación igualmente

recíproca.

Pero ésta es de un tipo diferente de la primera, porque si la acomodación de los

esquemas a la realidad exterior se encuentra expuesta a múltiples obstáculos

inesperados, que se deben a la resistencia de los objetos, la asimilación recíproca de los

subsistemas válidos y su acomodación recíproca tiene éxito tarde o temprano y conduce

entonces a una mutua conservación (Piaget, 1990a, p. 11)

3. En el tercer nivel, equilibración entre el sistema total y los subsistemas,

[...] hay que considerar aparte el equilibrio progresivo de la integración y la

diferenciación, y por lo tanto las relaciones entre los subsistemas y la totalidad que los

engloba. Esta tercera forma no se confunde con la segunda, ya que añade una jerarquía

a la simple relación entre colaterales...En este caso la integración en un todo es cuestión

de asimilación y la diferenciación exige acomodaciones; no obstante hay conservación

mutua del todo y las partes... (Piaget, 1990a, p. 11)

Como se observa, lo común a las tres formas de equilibración son sus componentes de

asimilación y acomodación, así, como su carácter conservativo. Aclaremos, para lo que

sigue, que hasta aquí la actividad asimiladora ha sido caracterizada (postulado Nº 1 y

postulado Nº 2) por la tendencia a reconocer y la obligación a acomodarse a las

características positivas de los objeto, esquemas y subsistemas; pero, además, afirma

Piaget, para alcanzar un posible equilibrio cognitivo, deben intervenir en correspondencia

con las afirmaciones (que atribuyen los caracteres positivos de lo conocido), las

negaciones que definen sus caracteres negativos. Por tanto, en cada una de las tres formas

de equilibración debe existir una correspondencia entre afirmaciones y negaciones. Así:

1. En la equilibración entre los esquemas A, B, C, etc. y los objetos exteriores A’, B’,

C’, etc., de caracteres a’, b’, c’ , etc., es necesario que el sujeto distinga cada carácter,

por ejemplo a’, de otros caracteres x, y, .., que entonces, serán el conjunto de los no-

Las formas de equilibración

42

a’. Además, para el desarrollo de la acción (clasificación, relación, etc.) es necesario

recurrir al esquema A que se aplica a A’ y no a otros que serán los no-A..

Por lo tanto, es evidente que no importa cual término se oponga a los que de él se

distinguen, tanto en extensión como en comprensión, lo cual entraña tantas negaciones

como afirmaciones, pudiendo esta correspondencia quedar implícita, pero a menudo

exigir una explicitación más o menos sistemática. (Piaget, 1990a, p. 12)

En este mismo nivel de interacción, entre sujeto y objeto, a menudo sucede que un

esquema no encuentra su alimento A’, pero puede acomodarse a A’’ de caracteres a’’

próximos a los caracteres a’ de A’. Entonces, el esquema A se modifica en A2 pero sin

suprimir la existencia de la forma previa A que ahora se nombrará A1

conllevando entonces el esquema inicial simplemente a la presencia de dos

subesquemas A1 y A2 , por lo que A A1 A2. Sólo que para que esta subdivisión se

estabilice bajo una forma de equilibrio (utilizando los A2 sólo los A’’ y A1 los A’), las

negaciones parciales A1 A·noA2 y A2 A·no-A1 son indispensables (y son

constitutivas de clases secundarias de grupos y, por lo tanto, complementarias en la

clase incluyente más próxima). De este modo se advierte la necesidad funcional de las

negaciones. (Piaget, 1990a, pp. 12-13)

2. En el segundo nivel de interacción, la equilibración entre subsistemas por asimilación

y acomodación recíprocas, presenta los mismos mecanismos. Pero, hay que

considerar la intersección entre los dos subsistemas S1 y S2 que es la parte común que

se aplican al mismo contenido. La estabilización de esta estructura de intersección

exige nuevas negaciones.

En efecto, coordinar los dos subsistemas S1 y S2 es descubrirles una parte operativa

común, S1·S2 , que se opone a S1·no-S2 y a S2·no-S1, y esto implica de nuevo

negaciones parciales, pero indispensables para la estabilidad coherente de la

coordinación. (Piaget, 1990a, p. 13)

3. En el tercer nivel de interacción, la equilibración entre la diferenciación y la

integración también conllevan negaciones necesarias, puesto que, diferenciar una

totalidad T de los subsistemas S implica no sólo señalar los caracteres que pertenecen

a cada S sino negar aquellos que no le corresponden y, por otra parte, integrar el

sistema total T, es extraer las propiedades comunes a todos los S que constituyen a T

y, al mismo tiempo, diferenciar negativamente, las propiedades comunes a los

caracteres que no pertenecen a T.

En una palabra, la diferenciación se basa en negaciones y la integración las

implica a su vez, a la espera de que la totalidad T se vea ella misma superada y se

convierta en un subsistema T1 de rango superior a los S, junto a una segunda

estructura T2 y en el seno de una nueva totalidad ampliada. (Piaget, J. 1990a, p.

13)

Se explica así, la correspondencia necesaria entre las afirmaciones y las negaciones

para la estabilidad del equilibrio en las tres formas de equilibración.

Ahora bien, después de caracterizar el equilibrio cognitivo en términos de

conservaciones mutuas en todos los niveles (aspecto estructural) y de la correspondencia

de las afirmaciones y las negaciones (aspecto funcional) a cada una de las tres formas de

equilibración, nos interesa abordar en términos del uso que haremos, en nuestros análisis

mucho más adelante, la relación que según Piaget existe entre esta correspondencia entre

afirmaciones y negaciones y la razón por la cual se producen desequilibrios, así como, el

problema de su superación, es decir, penetrar en los mecanismos del modelo de lo que

Piaget denomina «equilibración incrementante»

El modelo de la equilibración incrementante

43

1.9 EL MODELO DE LA EQUILIBRACIÓN INCREMENTANTE

En la presentación que hemos hecho de la equilibración nos hemos limitado al

aspecto descriptivo. Ahora, trataremos de precisar el aspecto operativo del modelo

tomando como ejes las obras: La equilibración de las estructuras cognitivas (1990a),

Investigación sobre la contradicción (1978) y la toma de conciencia (1985). Plantearemos

primero los aspectos de la actividad del sistema cognitivo y luego los de la actividad del

sujeto. Respecto al primero, interesa la relación entre las regulaciones y los desequilibrios,

así, como, los mecanismos que permiten alcanzar la equilibración o la reequilibración del

sistema. En cuanto al segundo esta relación de las regulaciones con las perturbaciones y

las compensaciones que necesariamente deben referirse a un «sujeto» capaz de “sentir” las

contradicciones que conducen a conflictos cognitivos y su superación, lo que conduce a

los procesos de toma de conciencia y de abstracción reflexiva.

Conviene advertir, antes de entrar en el tema, que el sujeto para Piaget no es un sujeto

particular, sino un sujeto que es parte integral de su epistemología, cuya actividad es un

elemento constitutivo del conocimiento

Es evidente que si hace falta apelar a las actividades del sujeto, para dar cuenta de las

construcciones precedentes, se trata de un sujeto epistémico, es decir, de los

mecanismos comunes a todos los sujetos individuales del mismo nivel (Piaget, 1974, p.

81)

Por lo tanto, la actividad del sujeto se hace presente a través de una determinada

organización en la conducta, expresada en las estructuras. Todas ellas pueden observarse,

como subsistemas de un sistema más amplio, el sujeto epistémico.

La actividad del sistema.

En la investigación sobre la contradicción (1978), uno de los hechos que comprueba es: la

tendencia inicial del sujeto a centrase en las características positivas, descuidando las

negaciones y por tanto los caracteres negativos, que como se acaba de ver ambos son,

necesarios para obtener estabilidades coherentes. Esto se debe a que, las afirmaciones se

pueden obtener de manera más o menos intuitiva, por aproximaciones de ensayo y error

reteniendo los éxitos y rechazando los fracasos. Pero las negaciones requieren de una

elaboración más consciente, sistemática y toman más tiempo en constituirse. Esta primacía

de las afirmaciones sobre las negaciones, en los primeros estadios del desarrollo, es la

razón de los desequilibrios que compromete a: el sistema de acción, sistema estructural y

sistema total. (ver figura Nº1)

De ello se deduce que la equilibración progresiva es un proceso indispensable del

desarrollo, un proceso cuyas manifestaciones se modifican en cada estadio en el sentido

de un mejor equilibrio tanto en su estructura cualitativa como en el campo de su

aplicación,... (Piaget, 1990a, p. 20).

El proceso que permite explicar cómo se produce la equilibración o las

reequilibraciones en el modelo de Piaget es el de las regulaciones.

1.10 LAS REGULACIONES

Las regulaciones son el proceso central de la equilibración.

En su forma más general, una regulación es un control retroactivo que mantiene el

equilibrio relativo de una estructura organizada o de una organización que se esta

construyendo. (Piaget, 1969, p. 189).

Regulaciones, perturbaciones y compensaciones

44

Es decir, la regulación mantiene una relación de equilibrio entre el sujeto y el medio o

entre la totalidad y la organización que está en proceso de construcción. Por lo tanto, se

establece la definición operativa de la regulación en términos de correcciones y refuerzos

de la acción, que son el producto de procesos de retroalimentación al sistema:

se habla de regulación, de forma general, cuando la repetición A’ de una acción se ve

modificada por los resultados de ésta, y, por lo tanto, por un efecto de rebote de los

resultados de A sobre su nuevo desarrollo A’. La regulación puede manifestarse

entonces mediante una corrección de A (retroalimentación negativa) o mediante su

refuerzo (retroalimentación positiva), pero en este caso con posibilidad de aumento del

error (como ilustra el modelo material de un incendio) o del éxito (formación de

hábitos, etc.).. (Piaget, 1990a, p. 21)

La regulación funciona entonces por un mecanismo de retroalimentaciones o “feed-

back” que pueden ser positivas o negativas. Aunque esta definición está en términos de la

acción se trata de un proceso general que se da en todos los niveles de interacción que ya

hemos mencionado (Ver figura Nº 1).

Así, la retroalimentación negativa, opera a modo de corrección de una acción:

respecto de: los objetos externos, o de los esquemas que integran el ciclo cognitivo que

gobierna la acción; o sobre las coordinaciones de los subsistemas, o en relación a la

diferenciación e integración de los subsistemas y el sistema total

La retroalimentación negativa, como su nombre lo indica, consiste en una corrección

supresora, ya se trate de apartar obstáculos o de modificar los esquemas eliminando un

elemento en provecho de otro, disminuyendo su fuerza o su extensión, etc. (Piaget,

1990a, p. 28)

Algo similar ocurre con la retroalimentación positiva, pero a diferencia de la anterior,

opera sobre las insuficiencias de la acción que por ciertas carencias, por ejemplo, la

ausencia de ciertos conocimientos, no puede alcanzar su objetivo. A tales insuficiencias se

les llama lagunas y, como tales, cuando corresponden a un esquema activo, deben de ser

llenadas para alcanzar el objetivo de la acción. Entonces la retroalimentación positiva,

se trata de un refuerzo y parece, por tanto, ajena a cualquier negación. Pero en el

ámbito cognitivo, difiere de la simple actividad asimiladora que trata de generalizar su

alimentación (postulado 1) precisamente en que tiende a reforzarla rellenando una

laguna (debilidad, etc.), mientras que un fin o su estabilización no se alcancen

fácilmente: ahora bien, una laguna es un carácter negativo y llenar una laguna con un

refuerzo es también una supresión, aunque afecte a esta insuficiencia como tal, no es

jugar con palabras ver en la retroalimentación positiva la negación de una negación, por

ejemplo cuando se trata de suprimir la distancia espacio-temporal que separa de la

llegada a un objetivo (Piaget, 1990a, pp. 28-29)

Volviendo a las regulaciones, este mecanismo de retroalimentación permite que

desemboquen en compensaciones. Así, las regulaciones se manifiestan de dos maneras:

En un refuerzo del esquema A: cuando en el ciclo de asimilación-acomodación-

retroalimentación, el juego de las asimilaciones y las acomodaciones produce una

retroalimentación positiva: añadiendo elementos no considerados; vinculando

esquemas que permanecían aislados al ciclo cognitivo, coordinado otros subsistemas,

etc.

En una corrección del esquema A: cuando en el ciclo de asimilación-acomodación-

retroalimentación, el juego de las asimilaciones y las acomodaciones produce una

retroalimentación negativa: diferenciando el esquema A que se alimenta de A’ de

caracteres a’, en esquemas A1 y A2 donde A1 reconoce los A’ de caracteres a’ y A2 los


45

A’’ de caracteres a’’ e integrando A2 al ciclo cognitivo. Esto implica la elaboración

activa de negaciones: A1 y no-A1; A2 y no- A2; a’ y no-a’, a’’y no-a’’

La regulación permite entonces al sujeto adaptar sus acciones respecto al medio

variando su conducta respecto a aquél y, como ya lo hemos dicho a propósito de la

adaptación, modificando al medio tanto como a los elementos internos que posibilitan la

acción y, así, alcanzar el equilibrio. Pero debemos aclarar que el equilibrio logrado puede

ser resultado de dos situaciones que conviene diferenciar. Una, que corresponde a

reequilibraciones, que incorporan modificaciones al sistema, en el marco de un estado de

equilibrio alcanzado que corresponde a la(s) estructura(s) actuales del sujeto. La otra,

asociada a la equilibración, pero, ahora, las modificaciones implican reorganizaciones

estructurales con construcción de nuevas estructuras que engloban a las anteriores. En el

primer caso, se habla del control autorregulador de la(s) estructua(s): para referirse a los

procesos que aseguran la conservación de la estructura frente a las perturbaciones que se

oponen al sistema. En el segundo caso, se trata de cierta «norma de acomodación»

(también llamada de asimilación), de la cual hablaremos más adelante a propósito de la

equilibración maximizadora, que impone cierto control al desarrollo admitiendo “ciertas”

variaciones que dan lugar a superaciones de los estados de equilibrio, como respuesta a las

perturbaciones. De acuerdo a estas dos situaciones, que se plantean cuando se habla del

equilibrio, entonces,

es conveniente distinguir dos grados de regulaciones. Unas siguen siendo internas a la

estructura ya construida o casi terminada y constituyen así su autorregulación logrando,

en los estados de equilibrio, su autorregulación. Las otras intervienen en la

construcción de nuevas estructuras englobando la o las precedentes e integrándolas bajo

la forma de subestructuras en el seno de estructuras más vastas. (Piaget, 1974, p. 21)

Los procedimientos de autorregulación que garantizan la autoconservación de las

estructuras son: el ritmo, las regulaciones y las operaciones.

Respecto al origen de las regulaciones, ellas parecen

proceder de mecanismos estructurales todavía más simples...: son los mecanismos de

ritmos, que se encuentran en todas las escalas biológicas y humanas. Ahora bien, el

ritmo asegura su autorregulación por los medios más fundamentales fundados en las

simetrías y las repeticiones. (Piaget, J. 1974, p. 20)

En este proceso constructivo de las estructuras autorreguladoras, las regulaciones

prefiguran la autorregulación que emplea operaciones bien reguladas, entendiendo que la

operación18

se puede considerar como

[...] una regulación «perfecta»: ello significa que no se limita a corregir errores a la

vista del resultado de los actos, sino que constituye una precorrección de ellos gracias a

los medios internos de control tales como la reversibilidad (por ejemplo n n 0),

fuente del principio de contradicción (si n n 0, entonces n n). (Piaget, 1974,

p.19)

Se observa, así, el carácter constructivo de los mecanismos autorreguladores de las

estructuras cognitivas y el papel central que juegan las regulaciones, en el sentido general

del término, en la construcción de tales mecanismos.

18

Para Piaget, “La operación es una acción interiorizada que se hace reversible por su coordinación con otras acciones

interiorizadas en una estructura de conjunto que involucra ciertas leyes de totalidad.” (Piaget, J. 1970. p. 51). La

reversibilidad es la posibilidad de deshacer la acción, bien por inversión o por reciprocidad.


46

A continuación, plantearemos un conjunto de dicotomías de las regulaciones, que se

refieren al complejo proceso de la regulación:

1. Las que se refieren a la conducta en general:

Aquellas que tratan de conservar un estado y que equivalen a la homeostasis

biológica, implican retroalimentaciones positivas.

Las que intervienen en la progresión hacia un estado no alcanzado (homeorresis),

implican retrolimentaciones negativas,

2. Las que atañen a las relaciones entre los elementos que intervienen en la

equilibración:

Regulaciones sujeto-objeto: afectan las relaciones entre el sujeto y el objeto a los que

tiene que adaptarse. Estas regulaciones, en el primer nivel de interacción (sujeto-

objeto), desembocan en asimilaciones y acomodaciones cuya finalidad es la posesión,

por el pensamiento, de los objetos. Se trata, por tanto, de regulaciones de las

abstracciones empíricas extraídas de los objetos mismos y que afectan los contenidos

de la conducta. Conducen al conocimiento del mundo físico.

Regulaciones entre esquemas o entre subsistemas: conciernen a las relaciones entre

esquemas o subsistemas. Estas regulaciones, en el segundo nivel de interacción

(contenidos de conducta-estructura), desembocan en asimilaciones y acomodaciones

recíprocas que modifican los esquemas o los subsistemas. Pero tales modificaciones

son el resultado de la superación de conflictos o contradicciones.

En tales casos, se tratará pues de completar los subsistemas que se unen, o de

modificarlos hasta la superación de los conflictos o contradicciones, y es evidente

que entonces son necesarias múltiples regulaciones. Ahora bien, volviendo de

nuevo a las relaciones entre el sujeto y los objetos, éstos sólo sirven como

soportes para relaciones más complejas, que son las de los subsistemas entre sí.

Dicho de otro modo, se tratará entonces de una regulación no ya de abstracciones

empíricas, sino de las abstracciones pseudoempíricas (es decir que atañen a las

propiedades que las operaciones del sujeto introducen en los objetos, como el

orden, o el número, etc., y no a propiedades físicas). Hay, por lo tanto, aquí un

tipo más complejo de regulaciones. (Piaget, 1990a, p.24)

3. Respecto a los medios empleados:

Regulaciones casi automáticas:

se presentan en los casos sensoriomotores simples, cuando los medios se

encuentran poco sujetos a variaciones, salvo la precisión de las acomodaciones o

ajustamientos (por ejemplo tratar de coger un objeto teniendo en cuenta las

distancias o su tamaño requiere una apertura mayor o menor de las manos).

(Piaget, 1990a, p. 25

Regulaciones activas, surgen en:

el caso en que el sujeto se ve obligado a cambiar de medios o puede dudar entre

varios (por ejemplo cuando el niño construye un castillo de cartas) y en que, por

lo tanto, interviene una necesidad de efectuar elecciones. (Piaget, 1990a, p. 25).

Lo importante en esta dicotomía es que las regulaciones automáticas no

necesariamente implican una toma de conciencia. En cambio, las regulaciones activas la

provocan,


47

son, por lo tanto, la fuente de una representación o conceptualización de las acciones

materiales, lo que llevará a subordinar sus regulaciones a un control por una instancia

superior, lo cual constituye un inicio de regulación de segundo grado. (Piaget, 1990a, p.

25)

4. Clasificación de las regulaciones de acuerdo a su jerarquía.

regulaciones simples

regulaciones de regulaciones (de segundo grado), etc. hasta las autorregulaciones con

autoorganización, susceptibles de modificar su programa inicial mediante

diferenciación, multiplicación y coordinación de los fines a conseguir.

Por ejemplo, en la lectura de los observables físicos el sujeto emplea, no solo las

regulaciones que lo aproximan, en primaria instancia, al objeto; sino también, un

marco lógico matemático que se extrae de las coordinaciones generales de las mismas

acciones por abstracción reflexiva, lo que ya es una regulación de una jerarquía

superior

Los numerales tres y cuatro, llevan a la necesidad de postular un regulador, un

mecanismo, semejante a un termostato, que contenga en su programa una dirección de las

regulaciones activas y sus jerarquías. Como tal programa consiste en las conservaciones

mutuas de los elementos y el cierre de los ciclos, el dilema que se plantea es si ése

regulador es exógeno o endógeno. En la primera opción el programa estaría dirigido por la

naturaleza de las cosas del mundo externo y esto privilegiaría el desequilibrio en

detrimento de la equilibración en los procesos constructivos. Tal opción no es aceptable,

dado que como hemos visto todo conocimiento depende de los marcos asimiladores del

sujeto. Por lo tanto, el regulador tiene que ser endógeno, cuya programación no es

hereditaria y en consecuencia se basa en las conservaciones mutuas inherentes al proceso

funcional de asimilación. El regulador que se propone es el sistema cognitivo total

Por lo tanto, no hay ningún círculo (o, más precisamente, existe, pero no es vicioso)

cuando se admite que la totalidad desempeña la función de regulador con respecto a las

regulaciones parciales, porque les impone una norma demasiado restrictiva: someterse

a la conservación del todo y, por lo tanto, al cerramiento del ciclo de las interacciones,

o verse implicadas en una dislocación total, comparable a la muerte de un organismo.

(Piaget, 1990a, p. 22).

Ahora, podemos explicar el carácter regulador de los ciclos de interacción (ver figura

Nº1). En los diferentes niveles de interacción los ciclos asimiladores, por su misma

naturaleza (recordar los postulados 1 y 2) implican procesos retroactivos, que llevan en

función de los resultados de las asimilaciones-acomodaciones, a la repetición del ciclo de

interacción y procesos proactivos, que llevan a refuerzos y correcciones, sometidos a la

norma de la conservación y el cierre del ciclo cognitivo impuesta por la totalidad del

sistema. A esta regulación de los ciclos se denomina «regulaciones de retroalimentación»

En general, por su misma definición, cualquier regulación presenta dos procesos de

direcciones contrarias: uno retroactivo, que conduce del resultado de una acción a su

repetición, y el otro proactivo, que lleva a correcciones y refuerzos de allí su importancia

con respecto a las afirmaciones y las negaciones que debido a su asimetría son la causa de

desequilibrios.

Esto nos lleva a considerar la actividad del sujeto en el proceso de equilibración que

será fuente de las construcciones, mientras que el desequilibrio del sistema, desde el punto

de vista del sujeto, tiene el carácter de motivador del proceso constructivo.


48

La actividad del sujeto en la equilibración

Cuando introdujimos el tema que nos ocupa, afirmamos que la actividad del sujeto es

un elemento constitutivo del conocimiento y en este momento debería ser claro que tal

actividad es siempre relativa a los esquemas del sujeto, por tanto, sólo interesan aquellas

perturbaciones frente a las cuales reacciona el sujeto. Veamos, entonces, como se

caracterizan tales perturbaciones.

1.11 PERTURBACIÓN

Para Piaget una perturbación es:

aquello que constituye un obstáculo para la asimilación, tal como la llegada a un

objetivo, todas las regulaciones , son desde el punto de vista del sujeto, reacciones a las

perturbaciones (Piaget, 1990a, p. 22).

Donde, relaciona la perturbación con la conducta del sujeto que deberá readaptarse

(asimilación-acomodación) a la situación particular que impide la satisfacción de la

necesidad experimentada, oponiendo una regulación. Por ello, desde el punto de vista del

sujeto, toda regulación es reacción a una perturbación. Podemos interpretar lo anterior,

en el sentido de que el sujeto puede ser considerado como “un regulador”, sede de un

programa funcional que controla su relación con el medio externo y consigo mismo. Tal

programa se basa en los postulados de la asimilación y la acomodación, que ya hemos

comentado.

Así, las perturbaciones pueden afectar a esquemas de asimilación o de acomodación.

En este sentido, distingue dos clases de perturbaciones:.

Respecto a los esquemas de acomodación.

Las que se oponen a la acomodación: resistencia del objeto, obstáculos para las

acomodaciones recíprocas de esquemas y subsistemas etc. En una palabra constituyen

las causas de fracasos o errores, en la medida que el sujeto se hace consciente de ellos,

y las regulaciones que les oponen entrañan entonces retroalimentaciones negativas.

(Piaget, 1990a, p. 22)

Respecto a los esquemas de asimilación.

La segunda clase de perturbaciones, fuente de desequilibrios, consiste, por el contrario,

en lagunas que dejan las necesidades insatisfechas y se traducen en alimentación

insuficiente de un esquema” (Piaget, 1990a, p. 22)

En este caso las readaptaciones se orientan a llenar la laguna y por tanto entrañan

retroalimentaciones positivas.

Pero es conveniente precisar que cualquier laguna no constituye una perturbación...

(Piaget, 1990a, p. 22)

Lo cual es claro ya que es imposible cubrir la totalidad de lo conocible, por tanto

poseemos innumerables lagunas (por ejemplo no conocer un idioma) pero ellas no siempre

son perturbadoras.

Por el contrario, una laguna se convierte en perturbación cuando se trata de un objeto o

de unas condiciones de una acción que sería necesaria para realizar una acción, o

incluso de la carencia de un conocimiento para resolver un problema. la laguna en

cuanto a perturbación es, pues, siempre relativa a un esquema de asimilación ya activo

y el tipo de asimilación entraña entonces una retroalimentación positiva, como


49

prolongación de la actividad asimiladora de un esquema (postulado Nº 1) (Piaget,

1990a, p. 22).

En general no es cierto, que toda reacción a una perturbación (obstáculo o laguna)

engendra una regulación. Por ejemplo se puede reaccionar repitiendo la acción, pero sin

que los resultados de la acción inicial modifiquen la acción en su repetición. En tal caso no

se puede hablar de regulación.

En resumen, existe perturbación cuando los elementos externos o internos están

relacionados con la actividad del sistema y esta relación depende del estado del sistema en

un momento determinado.

1.12 COMPENSACIÓN

Ahora bien, las compensaciones son el resultado en que desembocan las regulaciones

(como reacciones a las perturbaciones). Aunque casi toda regulación produce una

compensación, no todas lo hacen. Por ejemplo, algunas regulaciones por

retroalimentación positiva pueden conducir a un refuerzo del error, pero en tal caso esta

situación será momentánea. Piaget propone una definición amplia de compensación y

luego diferencia las clases de compensaciones de acuerdo al tipo de regulación que las

producen. Afirma que:

Si denominamos compensación a una acción de sentido contrario a un efecto dado que

tiende a anularlo o a neutralizarlo, entonces es evidente que las retroalimentaciones

negativas desempeñan tal función en cuanto instrumentos de corrección. (Piaget,

1990a, p. 30).

Por tanto, de acuerdo a esta definición todas las regulaciones por retroalimentación

negativas desembocan en una compensación y esto ocurre de igual manera en todos los

niveles de interacción (sujeto-objeto/ contenidos de conducta-estructura/ subsistemas-

sistema total)

De forma general, las regulaciones mediante retroalimentaciones negativas desembocan

siempre en compensaciones, pero en cuyo seno se pueden distinguir dos clases: las

compensaciones por «inversión», que consisten en anular la perturbación, y las

compensaciones por «reciprocidad» que consisten en diferenciar el esquema para

acomodarlo al elemento inicialmente perturbador. Por lo tanto, las primeras implican

negaciones completas y las segundas negaciones parciales, pero esta vez internas en el

seno del nuevo sistema así reestructurado. En el caso de las perturbaciones que se

pueden producir en la asimilación recíproca de los esquemas o subsistemas, es evidente

que las regulaciones desembocan entonces en compensaciones por reciprocidad.

(Piaget, 1990a, p. 30).

En cuanto a las regulaciones por retroalimentación positiva, puesto que consisten en

refuerzos, también desembocan en compensaciones; ya que, si se recurre a refuerzos,

excepto en el caso de refuerzo del error o de comprensión inmediata, es para resolver

dificultades. Como la solución de dificultades implica correcciones, entonces, en estos

casos las retroalimentaciones positivas están unidas a otras negativas y a las

compensaciones a que éstas conllevan. Tal es el caso de las «regulaciones activas», dado

que un cambio de medios (cuando otros medios se revelan insuficientes) implica refuerzos

y correcciones. También es el caso de las lagunas, ya hemos visto, que cuando una laguna

corresponde a un esquema activo implica retroalimentaciones positivas, por lo tanto, llenar

una laguna es una compensación. Se subraya el papel afectivo del objetivo como un factor

principal en el desarrollo de las retroalimentaciones positivas


50

el factor principal, cuando se forma una retroalimentación positiva, es el valor que el

sujeto atribuye al objetivo y que le hace juzgar como indispensable la satisfacción de la

necesidad (práctica o puramente cognitiva) a la cual corresponde (Piaget, 1990a, p. 32).

Recordemos que la necesidad es la manifestación de un desequilibrio momentáneo y

su satisfacción como una reequilibración. En cuanto a la relación entre la elección de

objetivos y la necesidad planteados dice que:

en relación con la asimilación recíproca de los subsistemas y sobre todo con el

equilibrio de las diferenciaciones y las integración... esta elección en sí misma ya se

encuentra condicionada por necesidades de compensación (Piaget, 1990a, p. 32).

Ahora en cuanto a las regulaciones de regulaciones.

también en este caso, si una regulación resulta insuficiente, es decir, no consigue anular

todas las perturbaciones o rellenar las lagunas , se hará necesario subordinarlas a otras,

que desempeñarán una doble función de corrección y de refuerzo...Pero como las

compensaciones en juego son entonces más complejas, ya que en este caso afectan a

mecanismos que son ya compensadores, las negaciones que engendran son igualmente

de un tipo más elaborado y comienzan a parecerse a operaciones inversas. (Piaget,

1990a, p. 32).

En efecto, la tendencia natural del sujeto a centrar su comprensión en los aspectos

positivos llevan a descuidar los aspectos negativos de las compensaciones elementales y se

debe esperar a la construcción de los mecanismos operatorios para el manejo de las

negaciones operatorias.

Las compensaciones propias de las regulaciones de regulaciones marcan una etapa en

esa dirección, en particular por el hecho de que, en vez de oponerse a perturbaciones

inicialmente exteriores, se interiorizan cada vez más. (Piaget, 1990a, p. 33).

Los caracteres comunes a estas diferentes compensaciones, son:

1. Su dirección: por su misma definición toda compensación se orientan en dirección

inversa (anulación ) o recíproca (neutralización) respecto a la perturbación.

2. La evaluación terminal: como la compensación es la respuesta de las regulaciones a

desequilibrios causados por una perturbación que impide alcanzar un objetivo,

necesariamente a la actividad del ciclo:

PerturbaciónDesequilibrioRegulaciónCompensación

debe corresponder una evaluación que indique el logro parcial o total del objetivo y, por

tanto un ciclo completo será:

PerturbaciónDesequilibrioRegulaciónCompensaciónEvaluaciónetc.

[...] la evaluación final consiste en un juicio sobre ese acceso (completo, parcial o

fallido), mediante asimilación recognitiva en los casos sensorio-motores más simples,

pero luego con posibilidad de comprensión de las nuevas relaciones debidas a la

reequilibración de la asimilación y de la acomodación y a las informaciones extraídas

de los elementos inicialmente perturbadores y finalmente integrados en la conducta

readaptada (Piaget, 1990a, p. 33).

3. La conservación: Las compensaciones tienden a conservaciones a través de

transformaciones: conservación de un estado o de la progresión de una formación, de

un esquema, de un subsistema, etc.

Finalmente, respecto a la relación entre las regulaciones y las compensaciones en que

desembocan a causa de las perturbaciones observa que:


51

es importante señalar con fuerza el hecho de que estos procesos formadores ya son a la

vez constructivos y conservadores. En sí misma una regulación ya es una

construcción.... Pero, de forma mucho más general, la intervención de elementos

perturbadores y las acomodaciones resultantes de las compensaciones engendran

nuevos conocimientos, relativos unos a los objetos y otros a las acciones mismas del

sujeto, de tal manera que la reequilibración se hace indisociable de construcciones,

constituyéndose éstas gracias al poder anticipador que, antes o después, es el resultado

de retroacciones. (Piaget, 1990a, p. 34).

Encontramos, Así, que la fuente de los conocimientos, en este mecanismo

constructivo de las regulaciones, está íntimamente relacionado con las perturbaciones lo

que llevará a Piaget a concordar con la conclusión de B. Inhelder y M. Bovet respecto a

sus investigaciones entre la relación del aprendizaje y el desarrollo (1975) en las cuales se

demuestra que:

los factores de adquisición más fecundos están constituidos por las perturbaciones que

engendran situaciones de conflictos..., que una vez que se han dosificado de forma

sistemática implican las superaciones y las nuevas construcciones (Piaget, 1990a, p.

45).

Señalando además, que “las compensaciones engendran nuevos conocimientos,

relativos unos a los objetos y otros a las acciones mismas del sujeto” que, como veremos

más adelante, involucran dos procesos que son determinantes en la construcción cognitiva

y lo que es más importante en la mejora y superación de las adquisiciones, se trata de: la

toma de conciencia19

y la abstracción empírica y reflexiva. La última, se refiere

precisamente a los conocimientos que el sujeto deriva de la coordinación de las acciones

en oposición, de las empíricas, en las que el conocimiento se deriva de los observables

comprobados en los caracteres materiales de la acción, es decir de los objetos.

Ahora, volviendo al problema de la equilibración, se destaca el hecho que la

equilibración no se puede limitar al resultado de las simples compensaciones y en ése caso

concebirla como una marcha hacia el equilibrio

[...] ya que además es constantemente una equilibración orientada hacia un equilibrio

mejor; ninguna estructura equilibrada permanece en un estado definitivo incluso si más

tarde conserva sus caracteres especiales sin modificaciones (Piaget, 1990a, p. 35).

lo que lo lleva a considerar el concepto de equilibración maximizadora o incrementante

para explicar el hecho de la superación de los estados de equilibrio alcanzados por

equilibraciones simples siempre limitadas e incompletas gracias a la intervención de un

sujeto, como ya lo hemos dicho, capaz de tomar conciencia de sus actos y reflexionar

sobre sus acciones lo que conduce a nuevos procesos retroactivos y proactivos pero ahora

de una potencia superior porque se trata de regulaciones de acciones interiorizadas

(operaciones) sobre las representaciones20

19

La toma de conciencia se refiere a la construcción en el plano de la representación conceptual de lo que ya existe en la

acción (Piaget, J. 1985) 20 El término es usado en dos sentidos. En sentido amplio, se refiere al pensamiento, es decir, la inteligencia que se

apoya en un sistema esquemas y no está limitada a percepciones y movimientos. En sentido estricto,

“se reduce a la imagen mental o al recuerdo imagen, es decir, a la evocación simbólica de

realidades ausentes”. (Piaget, J., 1994. p. 91).

Las dos clases de representaciones, amplias y limitadas presentan relaciones entre sí. Así, el pensamiento, operativo, se

apoya en imágenes mentales

La equilibración incrementante

52

1.13 LA EQUILIBRACIÓN INCREMENTANTE

Ya se ha dicho que, la fuente real del progreso cognitivo se encuentra en el proceso de

equilibración, aunque, como hemos visto, no es suficiente hablar de una marcha hacia el

equilibrio. Por tanto esta equilibración debe manifestarse en una mejora de las estructuras

previas que se perturbaron. Es indudable, el hecho de que estas mejoras deben, entonces,

estar relacionadas con compensaciones que constituirían el producto de ciertas

regulaciones que tienden a equilibraciones maximizadoras

Esta maximización se traduce de dos maneras, según que las mejoras sean simplemente

el resultado del éxito de las regulaciones compensadoras y, por lo tanto, del equilibrio

momentáneamente alcanzado, o las novedades se extraigan (mediante abstracciones

reflexivas) del mismo mecanismo de estas regulaciones. (Piaget, 1990a, p. 35).

Veamos entonces, en qué consisten los enriquecimientos y cuales son sus fuentes.

1. Ampliación del referencial (extensión) del esquema, por enriquecimientos en su

contenido. Ya hemos visto que estos enriquecimientos son producto de regulaciones en

la medida que los elementos perturbadores se asimilan al esquema que hasta el

momento no podía acomodarse a ellos.

2. Ampliación de la comprensión del esquema, por enriquecimientos debidos a la

diferenciación del esquema en nuevos esquemas y su integración al ciclo cognitivo

3. Aumento de la «norma de acomodación» del esquema, por enriquecimientos debidos al

aumento del número de esquemas. Aquí, la norma de acomodación tiene el mismo

sentido de lo que en biología se denomina la «norma de reacción»:

conjunto de fenotipos posibles para un cierto genotipo en relación con las variaciones

dadas del entorno (Piaget, 1990a, p. 38).

Tal norma de acomodación depende de la resistencia y la plasticidad conjuntas

del ciclo cognitivo pero dado que tal factor no es posible de juzgar, se inclina por

considerar un segundo factor:

es el número de esquemas elementales o de los subsistemas (esquemas unidos) ya

construidos en el sistema total, porque cuanto más elevado es este número, más se

amplia la norma de acomodación del esquema considerado, ya que sus probabilidades

de relación aumentan y en este caso el número de regulaciones aumenta igualmente con

el de las posibles acomodaciones. Pero la recíproca es igualmente cierta, es decir, que

cuanto más se amplía la «norma de acomodación» de un esquema elemental (también

se podía llamar «norma de asimilación»), más probabilidades hay de que entre en

asimilación recíproca con otros y que constituya de este modo nuevos subsistemas en el

seno del sistema total. (Piaget, 1990a, p. 38).

Esta ampliación de la norma de reacción junto con

un proceso construcción unido al juego de las regulaciones y del cual, por otra parte,

constituye un aspecto inseparable: es la abstracción reflexiva,...cuyo mecanismo

interfiere continuamente con la formación de regulaciones de regulaciones, hasta tal

punto que parece tratarse en este punto de un solo y mismo mecanismo analizado en

dos lenguajes y desde dos puntos de vista diferentes (Piaget, 1990a, p. 40).

Esta colaboración entre abstracciones y regulaciones conducen, entonces, a múltiples

enriquecimientos de orden estructural y conceptual. Recordemos que, los primeros

consisten en la formación de nuevos subsistemas que determinan la capacidad de conocer

del sujeto, que corresponden a compensaciones que son producto de regulaciones, en las


53

que intervienen necesariamente abstracciones reflexivas que implican una labor consciente

del sujeto y por tanto constituyen construcciones propiamente dichas. El producto de tales

construcciones, es, así, una segunda variedad de la equilibración que precisamente hace de

ella una equilibración maximizadora. Con el fin de hacer más clara esta exposición,

dejaremos para el final la explicación del importante concepto de abstracción reflexiva,

que interviene como instrumento constructivo.

4. Construcción gradual de negaciones de diferentes clases, por enriquecimientos

obtenidos del «proceso de reflexión» de la abstracción reflexiva que traduce en el

plano del pensamiento las negaciones prácticas, en principio simplemente

sensoriomotoras, en negaciones conceptuales.

5. Perfeccionamiento de la autorregulación del sistema, por enriquecimientos debidos al

«producto de reflexión» de la abstracción reflexiva.

6. La formación indefinida de operaciones sobre operaciones, por el enriquecimientos

debidos a la colaboración de las regulaciones y de la abstracción reflexiva al moverse

las dos de niveles en niveles

7. La formación de las operaciones, por el enriquecimiento debido a la interiorización de

las regulaciones de las acciones prácticas por inversión y reciprocidad, convirtiéndose

en el plano de la representación en una estructura reguladora que entraña parejas de

operaciones directas e inversas (o recíprocas) que constituyen el punto terminal de las

regulaciones en sus mejoras.

En resumen:

La equilibración cognitiva, en la mayoría de los casos, es una marcha hacia un

equilibrio mejor

Uno de los factores más fecundos en la adquisición de conocimientos es el de las

perturbaciones que engendran conflictos cognitivos. Pero, comenta Piaget, respecto a

la eficacia de los dispositivos concebidos en la investigación de Inhelder & Bovet

(1975) para generar conflictos en situaciones de aprendizaje:

Un aspecto especialmente interesante de los resultados obtenidos es que un mismo

dispositivo no es generador de conflictos más que a ciertos niveles determinados, para la

estructura considerada; dicho de otro modo, que no es perturbador por sí mismo y por

así decirlo de modo absoluto, sino que, por lo contrario, se concibe como una

perturbación o no se concibe, de acuerdo con los elementos ya adquiridos o por adquirir

de la estructura en formación (Piaget, 1990a, p. 45).

Existe una estrecha relación entre las construcciones y las compensaciones. Lo que se

observa

a) Desde el nivel de la actividad de los esquemas elementales de acción:

En efecto, el objeto no asimilado y aún no asimilable constituye un obstáculo y se hace

necesaria una nueva acomodación cuyo significado es, pues, compensador. Pero como

la asimilación constituyen dos polos siempre inseparables y no dos conductas distintas,

es evidente que entonces la nueva asimilación desempeña el papel de construcción

(extensión del dominio del esquema, introducción de nuevas articulaciones en el ciclo,

etc.) y la nueva acomodación la de compensación (nuevos ajustamientos en

reciprocidad o de inversión de los caracteres imprevistos del objeto), siendo cada una

de estas direcciones solidaria con la otra en un todo indisociable (Piaget, 1990a, p. 45).

b) y, en forma general, en la actividad del sujeto en los estadios superiores en los

cuales se comprometen las tres formas de equilibración:


54

i) entre los esquemas del sujeto y los objetos (sistema de interacción)

ii) entre esquemas y subsistemas del mismo rango (sistema estructural)

iii) entre los subsistemas parciales en sus diferenciaciones y el sistema total en su

integración

Respecto a su funcionamiento, en diferentes situaciones, se tiene que: como toda

acción comporta una teleonomía determinada por su esquema director, que activa y

organiza un ciclo cognitivo, de acuerdo a la experiencia previa, entonces, al ejecutar una

nueva acción a otra situación relacionada con aquellas situaciones previas que son

asimilables por el esquema director, los nuevos medios a emplear deben ajustarse a las

formas de equilibración (i) y (ii) y los nuevos objetivos a (ii) y (iii)

lo cual somete doblemente, tanto en cuanto a los objetivos como en cuanto a los

medios, las nuevas construcciones a las exigencias de compensaciones.

Recíprocamente, como los motores esenciales del desarrollo cognitivo son los

desequilibrios externos (dificultades de aplicaciones y de atribuciones de operaciones a

los objetos) e internos (dificultades de composición), así como las reequilibraciones

que implican estos desequilibrios, la equilibración, tarde o temprano es necesariamente

maximizadora y constituye un proceso de superación tanto como de estabilización,

reuniendo de forma indisociable las construcciones y las compensaciones en el seno de

los ciclos funcionales. (Piaget, 1990a, p. 47).

Así, se ha construido un modelo de equilibración en el que los contrarios no sólo se

atraen sino que se implican mutuamente en un ciclo cerrado pero que al mismo tiempo es

susceptible de ampliarse y de enriquecerse al tiempo que conserva su forma. Además, y

esto es muy importante, “reúne de forma indisociable las construcciones y las

compensaciones en el seno de los ciclos funcionales”; esto quiere decir, que las

construcciones sometidas a los ciclos asimilación-acomodación-retroalimentación, son la

fuente del progreso.

Tales construcciones, como ya lo hemos dicho, son producto de dos procesos

constructivos: la abstracción reflexiva y la toma de conciencia. Ambos vinculados a la

acción del sujeto y el segundo es condición necesaria del primero. Pero, además, los dos,

están relacionados con la equilibración incrementante, lo que nos obliga a hacer un

entretejido en la exposición que debería continuar con el funcionamiento de la

equilibración, para intercalar los conceptos de abstracción que se involucran en las

interacciones tanto externas como internas comprometidas en el funcionamiento de la

equilibración y luego exponer el concepto de toma de conciencia que interviene en la

construcción general de los conocimientos y por tanto se explica con base en el

funcionamiento de la equilibración.

A continuación abordaremos el concepto de abstracción, para seguidamente exponer

el de toma de conciencia. Como ambos conceptos se refieren a procesos constructivos del

modelo, se impone la comprensión de su papel como prerrequisito en la explicación del

funcionamiento de la equilibración, que emprenderemos al final.

1.14 LA ABSTRACCIÓN REFLEXIVA

Ya hemos dicho, a propósito de la equilibración, que la colaboración entre

abstracciones reflexivas y regulaciones conducen a los enriquecimientos que hacen de la

equilibración una equilibración incrementante; nos interesa, ahora, señalar qué entiende

Piaget por abstracción reflexiva y cual es su papel en los procesos constructivos. Se trata,

La abstracción reflexiva

55

entonces, de explicar mediante qué procesos la acción práctica del sujeto da lugar a

novedades en el plano de la representación, que constituirán instrumentos del pensamiento

que se libera de las percepciones y en el cual la inteligencia actúa sobre esquemas

representativos y no solamente sobre objetos concretos.

Al nivel de la acción práctica, como ya lo hemos dicho, la consecución de un fin y su

satisfacción, o no, constituye una evaluación del resultado. Existe pues, inicialmente, un

esquema director de la acción que organiza acciones particulares adaptándolas al objetivo

deseado, lo que implica regulaciones automáticas o activas según el sujeto se vea obligado

a elegir entre diferentes medios. Así, el desarrollo de la acción involucra otras acciones.

En tal caso, ya lo hemos dicho, se dice que son acciones coordinadas, en oposición de

acciones simples (p.ej. mirar, aprehender, empujar, etc.). Pero estas coordinaciones a

nivel de la acción práctica son el resultado de la adaptación funcional de elementos

abstraídos de la acción. Es decir, de la actividad asimiladora de un esquema de acción

sobre otro (asimilaciones recíprocas), con las afirmaciones y negaciones que ello conlleva,

lo que implica, de hecho, conjuntos más o menos complejos de abstracciones de diferente

tipo dependiendo su clasificación de su origen.

Se distinguen, entonces, tres clases de abstracción: empírica o física, seudoempírica y

reflexiva

Abstracción empírica o física: extrae sus informaciones de los objetos o de las

acciones del sujeto sobre los aspectos materiales de ellos. Es decir,

deriva su origen de las propiedades físicas de los objetos y por esta razón es llamada

«abstracción empírica» (Piaget, 1973, p. 81).

Conduce al conocimiento del mundo físico. Por ejemplo, de la comparación de peso

de objetos se puede extraer que no siempre el más voluminosos es el de mayor peso.

Abstracción seudoempírica: se origina en las acciones sobre los aspectos materiales

de los objetos, pero lo abstraído no está presente en los objetos mismos sino que se infiere

de las acciones del sujeto, que éste, atribuye a los objetos:

es decir, que atañen a propiedades que las operaciones del sujeto introducen en los

objetos, como el orden, o el número, etc. y, no a propiedades físicas (Piaget, 1990a, p.

24).

Por ejemplo, de alinear un conjunto de botones en filas o círculos, etc., y en cada

arreglo contar los elementos el niño puede abstraer que la suma total es independiente del

orden. En este caso, la conmutatividad de la suma con números naturales es una

abstracción pseudoempírica, aunque los observables se apoyen en los objetos, porque ha

sido abstraída de las manipulaciones (disposición de arreglos diferentes y sumas de los

elementos) que el sujeto ejerce sobre los objetos. Pero, ni el orden impuesto ni la suma,

pertenecen a ellos, sino que son operaciones realizadas por el sujeto sobre éstos.

Abstracción formal o reflexiva: extrae sus informaciones de las coordinaciones

generales de la acción del sujeto y no de los objetos. El nombre de reflexiva obedece a que

en ella se produce una reflexión, en el sentido físico del termino, que se traduce en el

proceso de “reflejar” lo que está ya dado en el en un nivel (por ejemplo en el plano de la

acción) a un nivel superior (por ejemplo al plano del pensamiento) y una reflexión en el

sentido del acto de reflexionar, que implica una reorganización de lo que ha sido

transferido de un nivel a otro.

La abstracción reflexiva

56

La abstracción reflexiva conlleva dos momentos indisociables: un «proceso de

reflexión» en el sentido de una proyección en un nivel superior de lo extraído del nivel

precedente (acabamos de ver un ejemplo de ello) y un «producto» de la reflexión en el

sentido de una reconstrucción o reorganización cognitiva (más o menos consciente o

no) de lo que de este modo ha sido transferido (Piaget, 1990a, p. 40).

El ejemplo referido, es el que las negaciones conceptuales se extraen de las

estructuras de las regulaciones compensadoras, que exigen la negación de las acciones

prácticas que tiende el sujeto a descuidar y que, como hemos visto, son necesarias para

lograr el equilibrio (entre las afirmaciones y negaciones), proyectando estas negaciones

prácticas al plano de la conceptualización de los esquemas. Así,

[...] en una clasificación como AA’B, BB’C, etc., supone en efecto tantas

negaciones como elementos positivos porque A’B·(noA) AB·(noA’), etc., y el

conjunto de las operaciones inversas que se elaboran en los estadios operatorios

constituyen el punto final de estas conceptualizaciones que se fundan en su punto de

origen en las negaciones de la acción exigidas por las regulaciones compensadoras,

desde sus formas motrices iniciales (Piaget, 1990a, p. 24).

El proceso de desarrollo desde las primeras regulaciones compensatorias hasta las

regulaciones por conceptos, se pueden considerar como un «producto» de «productos» de

reflexiones obtenidos de múltiples «procesos de reflexión», puesto que tales regulaciones

por conceptos se derivan de las regulaciones de las acciones prácticas por diferenciación e

integración, de las regulaciones prácticas, y su proyección en un nuevo plano, el del

pensamiento.

Otro ejemplo es la misma abstracción lógico-matemática que es caracterizada como

un auténtico proceso de abstracción reflexiva por dos razones: De una parte,

«refleja» (en el sentido de un reflector o de una proyección) algo que procede de un

plano inferior (por ejemplo, las acciones) para proyectarlo en un plano superior de

pensamiento o de representación mental, y, por otra, constituye «reflexión», en el

sentido de una actividad mental de reorganización, puesto que reconstruye en este

plano superior lo que ha obtenido a partir de las coordinaciones de la acción. (Piaget,

1986, p. 222).

En general todos los conceptos matemáticos son «producto» de la reflexión obtenidos

de «procesos de reflexión». Sería equivocado pensar, que la abstracción reflexiva sólo se

relaciona con la construcción de los conceptos matemáticos; por el contrario, y de ahí su

importancia, ella interviene en la construcción de cualquier esquema, incluso los más

elementales. De tal manera que si se pregunta ¿de dónde provienen los esquemas? la

respuesta, de acuerdo a lo que se acaba de exponer es: de la diferenciación e integración de

esquemas previos por abstracción reflexiva. La acción del sujeto conduce, entonces, a

aprendizajes o, dicho de otra manera a la construcción de esquemas; el conjunto de estos

aprendizajes constituye lo que se denomina la experiencia adquirida. Veamos qué

elementos constituyen tal experiencia de acuerdo al modelo que estamos exponiendo y

cómo se relacionan las clase de abstracción que hemos expuesto.

1.15 LA EXPERIENCIA ADQUIRIDA

La experiencia en el marco piagetiano, se compone de experiencia física y

experiencia lógico matemática. La primera tiene su fuente en la acción del sujeto sobre los

objetos físicos y su producto se obtiene de obrar sobre los objetos y descubrir propiedades

por abstracción empírica. La segunda se puede obtener de dos maneras:

La toma de conciencia

57

a) Obrando igualmente sobre los objetos, pero descubriendo propiedades no de los

objetos sino de las acciones u operaciones del sujeto que éste atribuye a los objetos

(abstracciones pseudo empíricas)

b) Obrando, no sobre los objetos “sino sobre las coordinaciones generales de las

acciones (como reunir, ordenar, poner de acuerdo, etc.) que se puede ejercer sobre

ellos.” (Piaget, J. 1974. p.24) (abstracción reflexiva)

En cuanto a la relación entre los dos tipos de experiencia en la acción del sujeto, las

observaciones experimentales indican que, la experiencia física siempre presupone la

existencia de un marco asimilador lógico-matemático, sin el cual no es posible “leer” los

observables. Tal marco, está conformado por un sistema de esquemas que son el producto

de abstracciones reflexivas anteriores. Por tanto, la experiencia física ulterior siempre está

referida a la experiencia lógico-matemática anterior que constituye, por así decirlo, la

proveedora de los instrumentos de registro de que dispone el sujeto y que

no son puramente perceptivos sino que consisten de esquemas preoperatorios u

operatorios aplicados a la percepción actual, los cuales pueden modificar los datos en

un sentido de precisión suplementaria o de deformación (Piaget, 1990a, p. 30)

Como estos marcos asimiladores (lógico-matemáticos) que imponen sus formas a lo

real no están dados como un producto totalmente acabado sin más, sino por lo contrario,

siempre son susceptibles de mejoramiento, entonces existe siempre la posibilidad de

perturbaciones que producen desequilibrios, dando lugar a regulaciones que desembocan

en compensaciones. Las equilibraciones finales constituyen los estados de conocimiento

alcanzados después de este proceso de equilibración. Tales estados de conocimiento puede

ser más o menos conscientes para el sujeto, la diferencia entre lo uno u lo otro depende de

dos procesos solidarios, que son: la “toma de conciencia” de la acción propia y la “toma de

conocimiento” del objeto. Estos dos procesos complementarios, constituyen la

conceptualización propiamente dicha

1.16 LA TOMA DE CONCIENCIA

En dos investigaciones La price de conscience (1974) y Réussir et comprende (1974)

Piaget, analiza dos tipos de conducta: aquella en que las acciones alcanzan un éxito precoz

y las regulaciones son automáticas; y aquella otra en que las acciones, cuyos aciertos

progresivos, no son precoces. El problema que estudia es el paso del «saber hacer» al

«conocer» cómo se hace. Sus conclusiones se alejan de la idea según la cual la toma de

conciencia es un acto de iluminación, sin saber cómo y por qué. Los datos informan que

existen conductas en las cuales el sujeto tiene conciencia de los objetivos y toma

conciencia de los resultados, incluso con éxitos precoces, y sin embargo la toma de

conciencia de los mecanismos internos y de conocimiento de los mecanismos externos que

llevan del objetivo al resultado permanece, incluso largo tiempo, fuera del alcance de la

conciencia y conocimiento del sujeto.

Los resultados de la investigación, demuestran que la toma de conciencia es un

proceso constructivo y, por tanto, dinámico, en el que el paso de lo inconsciente a lo

consciente exige continuas construcciones, que consisten en rehacer acciones u

operaciones de las que se quiere tomar conciencia y esto a todos los niveles: la toma de

conciencia del acto transforma a éste en imagen; la de la imagen transforma a ésta en

palabra; la del movimiento transforma a éste en un signo; la toma de conciencia del

esquema de acción transforma a éste en un concepto. Todas ellas, son procesos de


58

reconstrucción que comparten el hecho de construir en el plano de la representación

conceptual aquello que ya existe en el plano de la acción, es decir, el paso de una

asimilación práctica (esquema-objeto) a una asimilación conceptual (esquema conceptual-

observables/ yo/ coordinaciones inferenciales). Por tanto, se concluye que:

[...] esa toma de conciencia consiste esencialmente en una conceptualización (Piaget,

1985, p. 254).

Ahora, el por qué de la toma de conciencia o sus razones funcionales se explica, en

parte, en los casos de desadaptación en el que las regulaciones automáticas resultan

insuficientes; en tal caso las regulaciones activas desencadenarían la toma de conciencia,

mientras que ésta sería totalmente inútil cuando el funcionamiento se adaptase

normalmente. Pero, además, los resultados experimentales de ciertas situaciones (Piaget, J.

1985) demuestran que existen tomas de conciencia bastante tardías sin que intervengan

tales desadaptaciones. Esto conduce entonces a

situar las razones funcionales de la toma de conciencia en un contexto más amplio que

el de las desadaptaciones, pero que comprenda a éstas como caso particular no

descuidadle (Piaget, 1985, p. 255).

Tal contexto no puede ser otro que la acción del sujeto. Se trata, entonces, del paso de

la acción material al pensamiento, entendido como interiorización de los actos. En efecto,

los hechos muestran que al ejecutar una acción, el sujeto, es inicialmente consciente del

objetivo y de la necesidad de evaluar el resultado; pero no siempre lo es de los

mecanismos internos que la producen. Por tanto la toma debe consistir en un avance

progresivo desde lo inicialmente consciente, que se ubicaría en la “periferia” de la acción,

hacía el núcleo mismo que la genera. Definiendo la periferia no por el objeto ni por el

sujeto,

sino por la reacción más inmediata y exterior del sujeto frente al objeto: utilizarlo según

un fin (lo que para el observador significa asimilar ese objeto a un esquema anterior) y

tomar nota del resultado obtenido Piaget, 1985, p. 256).

Ahora bien, el estudio del comportamiento de los sujetos, respecto al proceso de la

toma, sugiere la existencia de una, «ley de dirección de toma de conciencia» referida a un

origen Periférico (P) y las direcciones hacia los centros (C) del sujeto y (C’) del objeto;

donde estos términos se definen en función de los elementos que intervienen en un

comportamiento dado. Así: la periferia P y los centros se definen por:

P(objetivo; resultado)

C mecanismos centrales de la acción del sujeto

C’propiedades intrínsecas, no superficiales, de los objetos

Usando este lenguaje se puede explicar el por qué de la toma de conciencia:

a) En el caso de fracasos, el sujeto procede a investigar las causas de su error y eso lleva

a la toma de conciencia de los elementos más centrales de la acción: partiendo de lo

observable en el objeto (resultado fallido), el sujeto buscará en qué puntos ha tenido

falta de acomodación del esquema al objeto, y , a partir del observable de la acción

(su finalidad o dirección global) dedicará su atención a los medios o eventuales

cambios.

b) Pero, además, ya se ha dicho que la toma de conciencia se produce aún en los casos

en que el éxito es alcanzado. En tales casos, si existe, la búsqueda de nuevos medios

para optimizar o generalizar la acción a situaciones diferentes, de nuevo conduce a un


59

proceso de toma de conciencia porque ello sólo es posible por la reflexión sobre los

medios cognitivos de la acción y los medios externos que intervienen en la situación:

si el progreso de la toma de conciencia no depende ya de dificultades de la acción, sólo

puede proceder del mecanismo asimilador en sí. Señalarse un fin frente al objeto es ya

asimilar éste a un esquema práctico, y, en la medida en que el objetivo y el resultado

del acto proporcionan toma de conciencia, aún permaneciendo generalizables en las

acciones, el esquema se convierte en concepto, y la asimilación se hace representativa,

es decir susceptible de evocaciones en extensión (Piaget, 1985, p. 256).

Tal extensión de la asimilación es la que conduce a la búsqueda de nuevos medios y

de rebote, a la comprensión de las acciones del sujeto, que progresan hacia sus centros

respectivos por retroalimentaciones entre los dos observables: acción y objeto, que dan

lugar a coordinaciones inferenciales respecto de la acción y de las propiedades de los

objetos.

Este movimiento de vaivén entre lo externo y lo interno, es lo que se expresa como la

ley general de dirección de la toma de conciencia de la propia acción:

la toma de conciencia, que parte de la periferia (objetivos y resultados), se orienta hacia

las regiones centrales de la acción cuando trata de alcanzar el mecanismo interno de

ésta: reconociendo los medios empleados, razones de su elección o de su modificación

durante el ejercicio, etc.(Piaget, 1985, p. 256).

De acuerdo a esta ley, la toma de conciencia procede de lo más externo de la acción

(objetivo y el resultado de las acciones) que son los registros de las coordinaciones

internas, iniciales, necesarias el desarrollo de los actos; luego se orienta al detalle de las

relaciones entre los elementos internos correlativas a los elementos externos, y también a

sus relaciones exógenas, que en conjunto afectan a la acción.

Las razones por las cuales se adopta el lenguaje de periferia y centro son:

1. El hecho de que los mecanismos centrales de la acción puedan permanecer

inconscientes

2. Que el conocimiento parte, no del sujeto ni del objeto, sino, de la interacción entre los

dos

[...] es decir del punto P de la figura, punto que es efectivamente periférico entre el

sujeto (S) y el objeto (O). De allí que la toma de conciencia se orienta hacia los

mecanismos centrales (C) de la acción, mientras que la toma de conocimiento del

objeto se orienta hacia sus propiedades intrínsecas (y, en este sentido, igualmente

centrales C’), y no ya superficiales, aunque aún relativas a las acciones del sujeto

(Piaget, 1985, p. 256).

C P C’

O S

Figura 1.3: Orientación y centros de la actividad de conceptualización. (Piaget, 1985. p. 256)

Observables y coordinaciones

60

Toma de conciencia de la acción propia y toma de conocimiento del objeto son dos

procesos correlativos; que partiendo de P se dirigen en direcciones opuestas; el primero, es

un proceso de interiorización: disocia la forma del contenido, y, el segundo, de

exteriorización: aplica formas a los objetos. Como veremos más adelante, el conocimiento

al avanzar simultáneamente de la periferia de la acción P hacia los centros C y C’ se apoya

en las relaciones que se establecen progresivamente entre las formas internas y los

contenidos externos, y estas relaciones interesan tanto al problema de la toma de

conciencia como a la toma de conocimiento del objeto, estos dos procesos se combinan

sinérgicamente constituyendo un proceso de conceptualización.

Respecto al cómo de la toma de conciencia se debe referir a los procesos de

interiorización de la acción y externalización de las formas a los objetos. Estos dos

procesos se expresan en términos como: observables y coordinaciones que es necesario

precisar previamente.

1.17 OBSERVABLES Y COORDINACIONES

Un observable,

es lo que la experiencia permite comprobar mediante una lectura inmediata de los

hechos presentes por sí mismos... . (Piaget, 1990a, p. 49)

No obstante, esta lectura depende de los instrumentos de registro que no sólo

consisten de mecanismos perceptivos sino que además se conforman de esquemas que

filtran lo percibido, por tanto:

los observables, hay que definirlos, pues, por medio de lo que el sujeto cree comprobar

y no simplemente de lo que es comprobable. Lo cual equivale a decir que una

comprobación nunca es independiente de los instrumentos de registro (y por tanto de

una asimilación) de los que dispone el sujeto. (Piaget, 1990a, pp. 49-50)

Además, hay que distinguir dos tipos de observables: los que corresponden al sujeto

(Obs S) y los que corresponden al objeto (Obs O). Los primeros se refieren a lo que el

sujeto cree comprobar en su representación interna de las acciones externas; los segundos,

se refieren a la materialización de sus acciones sobre los objetos y, si es el caso, las

acciones que los objetos ejercen unos sobre otros. Advirtiendo que puede ser difícil

establecer la frontera entre estos observables puesto que el sujeto atribuye a los objetos sus

propias operaciones al elaborar sus explicaciones y ello ocurre en todos los niveles del

conocimiento. Sin embargo, como lo que interesa en el proceso de la conceptualización es

el estado de equilibrio alcanzado como resultado de la equilibración progresiva entre la

toma de conciencia de las propias acciones y la toma de conocimiento de las propiedades

intrínsecas a la naturaleza del objeto y

como uno de los factores esenciales de la equilibración propia de un determinado nivel

N es la repercusión de estos segundos observables (objeto) sobre los primeros (acción),

la cuestión de las delimitaciones sigue siendo secundaria, habiendo de ponerse el

acento en las interacciones del sujeto y del objeto. (Piaget, 1990a, p. 50)

Por tanto, estos observables se relacionan con las coordinaciones puesto que la

ejecución de la acción implica una organización de los medios (internos y externos)

necesarios para alcanzar el objetivo, lo cual supone un conjunto de inferencias necesarias

y supera de este modo los observables. De nuevo, se debe distinguir aquellas

coordinaciones que se extraen de los observables del objeto (y constituyen abstracciones


61

empíricas) de aquellas que se infieren de los observables del sujeto (constituyen

abstracciones pseudoempíricas o reflexivas). Como veremos, un poco más adelante,

observables y coordinaciones constituyen ciclos cerrados de interacción, pero con la

posibilidad de aperturas que admiten las modificaciones debidas a la consideración o toma

de conciencia de las coordinaciones del sujeto que afectan las coordinaciones del objeto y

por tanto sus observables. Como los observables del sujeto dependen de los observables

del objeto entonces se afectan las coordinaciones del sujeto reiniciando de nuevo el ciclo

pero con posibilidad de alcanzar niveles de equilibrio superiores debido al proceso de

conceptualización de las acciones alcanzada en la interacción cíclica. Esquemáticamente:

Obs OObs SCoord SCoord OObs OObs Setc.

De esta manera, la evolución de la conceptualización se logra por la tendencia al

reemplazo o duplicación de unos conocimientos prácticos de naturaleza exógena a través

de una construcción endógena. Tendencia que se explica por la ley de dirección de la toma

de conciencia de la periferia al centro, es decir, de los observables a las coordinaciones

internas necesaria para el acto.

La toma de conciencia se produce en tres fases principales:

La primera, comienza a medio camino de las interacciones entre el sujeto y el objeto

con el solo registro de los observables de los objetos y los resultados exteriores de la

acción, de donde resulta la prioridad de las abstracciones empíricas.

En la segunda, se sigue con el registro del desarrollo material de la acción y de las

variaciones del objeto, por consiguiente la toma se realiza aún sobre observables, pero

ahora más numerosos y más focalizados, dando lugar a un acopio de observables más

centrales.

Finalmente, la tercera fase conduce a la toma de conciencia de las coordinaciones

internas necesarias para la ejecución de la acción y correlativas a la toma de

conocimiento de las propiedades intrínsecas del objeto; de donde resulta una parte

creciente de «procesos de abstracción» de abstracciones reflexivas y de sus «productos

de abstracción» que constituirían los modelos causales en el caso de atribución de

operaciones al objeto.

Pero, como ya se ha dicho, la toma de conciencia consiste en un auténtico proceso de

conceptualización, entonces, el mecanismo, que hace conscientes los elementos

inconscientes, consiste en el mismo proceso de construcción que involucra las tomas de

conciencia y las tomas de conocimiento y en tal caso no hay diferencia entre los

mecanismos de las dos tomas. Así se confirma en las investigaciones (Piaget, 1985). Por

ejemplo, en las siguientes situaciones que son representativas de las situaciones en

general:

a) Toma de conciencia con la intervención de conflictos: El sujeto que lanza una honda

y acierta en el blanco y al preguntarle en qué punto suelta la piedra afirma que lo hace

frente al blanco

b) Toma de conciencia sin conflicto, por prolongación de la actividad asimiladora del

esquema de acción: El sujeto que dibuja un nivel de líquido paralelo a la base del

recipiente cuando éste se encuentra inclinado.


62

Del análisis de los resultados en las diferentes fases de la toma de conciencia en estos

dos casos se concluye que:

En los dos casos hay reconstrucción gradual en el plano de la representación. Así:

En el caso (a), inicialmente hay un rechazo del conflicto entre el observable sobre el

objeto y el observable del sujeto que cree hacer el lanzamiento frontal y no tangencial. El

rechazo del observable del objeto (lanzamiento tangencial) consiste en que el sujeto

genuinamente “ve” salir el proyectil frente al objetivo. Lo importante es que el observable

rechazado no es un hecho físico exterior al sujeto sino que corresponde al conocimiento de

su propia acción, sólo que ésta es inconsciente, y por consiguiente conocido en la acción

pero no en su consciente conceptualización. Aquí, se presenta una analogía de la toma de

conciencia con la toma de conocimiento, que corresponde al caso en que en la

conceptualización se ignoran datos importantes para la constitución del concepto, como si

la toma de conciencia procediera de un modo análogo a la conceptualización.

En efecto, la contradicción no hay que ubicarla en la acción del sujeto, puesto que

ésta conduce al éxito (dar en el blanco) sino en el proceso de conceptualización que

caracterizan a la toma de conciencia. En este caso referidos al movimiento circular, lo que

implica una construcción gradual que avance del rechazo hacia la integración de la

contradicción, por tanto, se trata de grados de toma de conciencia. Esto es así por varios

hechos: i) entre la acción de éxito precoz (lanzamiento tangencial) y los comienzos

erróneos de tomas de conciencia (lanzamiento frontal) hay intermedios (admitir un

lanzamiento no frontal ni tangencial sino entre ambas posiciones); ii) no todo en la acción

que acierta después de regulaciones automáticas, es totalmente inconsciente y existen

tomas de conciencia momentáneas pero con «regresión», que en el plano psicológico

significan que el esquema de lanzamiento en trayectoria tangencial aceptado de forma

momentánea es dominado por el esquema primitivo del lanzamiento frontal; iii) la

conceptualización en sí es un proceso y como tal, su grado de conciencia debe variar.

En el caso (b) de la toma de conciencia, originada por la prolongación de la actividad

asimiladora, se trata de un retraso de la conceptualización respecto de la acción, aquí de la

construcción de un sistema de transformaciones de un sistema de coordenadas respecto de

otro que se realizará de manera gradual pero sin conflictos.

En suma: el mecanismo de toma de conciencia aparece en todos esos aspectos como un

proceso de conceptualización, que reconstruye y luego sobrepasa, en el plano de la

semiotización y de la representación, lo que había adquirido en los esquemas de acción.

En tal perspectiva no hay, pues, diferencia de naturaleza entre la toma de conciencia de

la acción propia y la toma de conocimiento de las secuencias exteriores al sujeto,

implicando las dos una elaboración gradual de nociones a partir de un dato, éste

consiste en los aspectos materiales de la acción ejecutada por el sujeto o de las acciones

que se efectúan sobre los objetos. (Piaget, 1985, p. 263-264).

Ilustraremos con un ejemplo esta dependencia solidaria entre observables y

coordinaciones, que conducen, por un lado, a la toma de conciencia de la acción y por

otro a la toma de conocimiento del objeto para pasar de la acción práctica a la

representación, es decir, la conceptualización de la acción y su relación con el proceso de

equilibración. El ejemplo corresponde a una interacción elemental entre sujeto y objeto en

la que los observables en juego intervienen en una relación causal. Se trata de la situación

en que un sujeto empuja un objeto.


63

Primera fase de la toma de conciencia: el sujeto registra sólo los observables situados

en la periferia (objetivo y resultado) los cuales dependen a la vez de un mismo esquema de

asimilación (en este caso mover algo) al que se ha incorporado el objeto y los caracteres

de éste.

El Obs O consiste en la resistencia que opone el objeto (Ro) y el movimiento (Mo) que

adquiere el objeto. Entre estos dos elementos existe una relación de dependencia de la cual

es consciente el sujeto: el movimiento depende de la resistencia que opone el objeto. Se

nota: Ro Mo

El Obs S consiste en el movimiento del sujeto (Ms) y el impulso (Is) que se imprime

al objeto. También entre estos dos elementos existe una relación de dependencia de la cual

es consciente el sujeto: el impulso es resultado del esfuerzo del sujeto que se concreta en

la acción de movimiento. Se nota: MsIs

La conciencia inicial del sujeto respecto al objetivo y resultado de la acción, cuando

se limita a empujar el objeto, relacionan los dos observables por la actividad asimiladora

del esquema director de la acción de la siguiente manera (en la que todavía no

consideramos las coordinaciones inferenciales):

a) El complejo (Ms Is) depende de la resistencia Ro del objeto, ya que el esfuerzo del

sujeto es dosificado en función de esta resistencia percibida Ro

b) Recíprocamente, el movimiento del objeto Mo está en función de este complejo

(MsIs), ya que se comprueba que este movimiento Mo varía con la acción del

sujeto. (Piaget, 1990a, p. 54)

Se tiene entonces un modelo de la relación de los observables en una interacción

causal que en adelante se denominará interacción elemental tipo IA:

La doble flecha, entre los observables, indica el proceso de equilibración entre la

asimilación y la acomodación. Recordemos, que en esta primera fase los medios que

interviene en el desarrollo permanecen ignorados y con mayor razón si la acción se regula

automáticamente, entonces el desarrollo de toma de conciencia de los complejos de

observables señalados en el esquema de la interacción (fig. 1.4) corresponde a lo que se

denomina la segunda fase de la toma de conciencia.

Segunda fase de la toma de conciencia: al seguimiento material del desarrollo de la

acción y las variaciones del objeto, corresponden, respectivamente, la función (a) que

lleva a la toma de conciencia de la acción, la cual se realizará a partir de los observables

del objeto. Recíprocamente la función (b) señala que la toma de conocimiento de los

medios externo, que se realizará a partir de los observables de la acción que proporcionará

lo esencial de las informaciones sobre el objeto y, paulatinamente, la explicación causal de

su comportamiento. Tenemos, pues, un primer proceso general que consiste en una acción

Figura 1.4: Interacción tipo IA (causal). Relación entre los

observables (tomada de (Piaget, J. 1990a. p.55)

a

b

Ms Is Ro Mo


64

recíproca, pero alternada de los observables del objeto sobre los de la acción e

inversamente. El progreso de las tomas que se realiza, en la que consideramos la segunda

fase, involucra las coordinaciones inferenciales que el sujeto extrae del proceso general

que acabamos de describir. Estas coordinaciones inferenciales, ya sean aplicadas o

atribuidas a los objetos, sólo pueden originarse por la lógica del sujeto, es decir, de la

coordinación general de sus propias acciones, de allí, el vínculo indisociable de la toma de

conciencia y la abstracción reflexiva.

Tercera fase de la toma de conciencia: Si consideramos las coordinaciones que el

sujeto puede extraer de esta interacción tipo IA obtenemos un modelo de interacción que

se denomina tipo IIA, que es lo que realmente sucede en el proceso completo de la

interacción en la medida que la toma de conciencia y la toma de conocimiento se dirige

hacia sus respectivos centros C y C’.

En efecto, la interacción tipo IA necesariamente informa al sujeto de que el complejo

de su acción (MsIs) está regulado por (Ro) y de que el movimiento (Mo) adquirido por el

objeto depende de su acción. Pero esto no constituye aún coordinaciones, ya que éstas son

inferencias que superan los observables. Sin embargo en el progreso de la toma de

conciencia de la acción propia, el sujeto puede deducir de que “algo” ha transmitido él al

objeto y de la toma de conocimiento del resultado, por ejemplo, podría inferir que a más

“esfuerzo” más movimiento del objeto. Las dos son coordinaciones pues ni lo transmitido

ni el “esfuerzo” son observables, no se pueden “ver”.

La primera (Coord S) corresponde a una inferencia que proviene del complejo MsIs

que se notara simplemente Obs S. Estas coordinaciones inferenciales conducen a la toma

de conciencia de la propia acción.

La segunda (Coord O) es una inferencia que proviene del complejo RoMo que se

notará abreviadamente por Obs O. Estas coordinaciones conducen a la toma de

conocimiento del objeto.

Entre la toma de conciencia de la acción y la toma de conocimiento del objeto hay un

intercambio continuo de información que va acompañado de dos clases de asimetrías

solidarias. La primera responde al hecho que las dos tomas alimentan observables

susceptibles de esclarecer a la otra y por tanto pueden tener la dirección objetoacción o

acciónobjeto (cuya dependencia funcional, (a) y (b), se indica en la figura 1.4 y en la

figura 1.5 corresponde a la función (1), que comprende las dos direcciones) ; pero en

cuanto se incorporan las coordinaciones que enlazan ésos observables: Coord O alimenta a

Obs O que se proyecta a Obs S que esclarece a Coord S; entonces, sólo cabe la dirección

que va de la acción al objeto (cuya dependencia funcional (2) se indica en la figura 1.5).

Así, los observables de cualquier grado pueden ser suministrados tanto por las acciones

como por los objetos en tanto que las coordinaciones inferenciales sólo pueden provenir de

las coordinaciones generales de las acciones. Esto explica cierto retardo en la

conceptualización de los observables de los objetos, debido a los obstáculos que provienen

de inferencias anteriores que resultan contradictorias al observable objeto y que es

necesario reconstruir para superar la contradicción.

De ahí la segunda asimetría, respecto al tipo de abstracción utilizada. En el polo de la

acción tiene lugar dos tipos: empíricas que se extraen de observables que constituyen la

realización material de la acción (Obs S u ObsO) y reflexiva que se refieren a las

inferencias que se extraen de las coordinaciones generales de ésas acciones (Coord S o

Coord. O). En cuanto a la abstracción reflexiva puede suceder dos eventos: que

Los tres planos del conocimiento

65

permanezca inconsciente debido a que su fuente son las coordinaciones que aparecen en la

conciencia como razonamientos pero que el sujeto ignora el origen de su necesidad

intrínseca. Y, el evento, en que esta abstracción es necesariamente consciente cuando

surge de comparar dos acciones para encontrar lo común en ellas. En este último caso se

llama «abstracción reflexionada» para indicar que es un producto del «proceso de

reflexión». Estas asimetrías tendrán repercusión en los procesos de interiorización (PC)

y de exteriorización (PC’) que abordaremos más adelante.

Tomando todo esto en cuenta, el modelo de interacción causal tipo IIA en la que

intervienen observables y coordinaciones se representa en el siguiente modelo de

interacción: (aquí sólo se representa un estado de la interacción; el modelo general (que

plantearemos más adelante) involucra una sucesión de estos estados que se orientan en la

dirección de un equilibrio mejor)

Este proceso general de las dos tomas, mantiene y renueva el juego de vaivén entre

los procesos de interiorización PC y exteriorización PC’ de la acción, cuya

solidaridad en la conceptualización está condicionada por las asimetrías, que hemos

comentado arriba, de los intercambios de información entre la toma de conciencia y las

toma de conocimiento. Pero antes de detenernos en las aportaciones de las asimetrías en la

conceptualización veamos como este mecanismo de la toma de conciencia que se orienta

de la periferia de la acción hacia los centros C y C’ es compartido en todos los planos del

conocimiento, diferenciándose tan solo la naturaleza de los centros en cada plano.

1.18 LOS TRES PLANOS DEL CONOCIMIENTO

Hemos visto que la acción es en sí misma un conocimiento, se trata de un «saber

hacer» aunque no se sea consciente del «cómo» se hace, es decir, de la comprensión de su

conceptualización; también que la acción constituye la fuente de esta conceptualización.

Tenemos, así, en principio, dos planos del conocimiento: el de la acción y el de la

conceptualización. Los dos comparten el hecho de orientarse de la periferia (la frontera

entre el sujeto y el objeto) hacia los centros C y C’ y el hecho de ser a la vez progresivos y

retrospectivos. Este último carácter es el que determina una continuidad en la evolución

del conocimiento, pues quiere decir que las realizaciones alcanzadas en el plano superior

se originan en lo adquirido en el plano inferior.

El plano de la acción: las reacciones iniciales del sujeto se limitan a asimilaciones de

los objetos a esquemas aislados seguidas de acomodaciones momentáneas. El

progreso se realiza por la coordinación que provienen de asimilación y acomodación

recíprocas de los esquemas que intervienen en una acción. Luego los esquemas

constituyen formas cada vez más independientes de los contenidos y que conforman

1

2

Figura Nº 1.5: Modelo de interacción. Relación entre los observables y las

coordinaciones (Piaget, 1990a. p. 59)

Obs SCoord SObs OCoord O

Los tres planos del conocimiento

66

las estructuras operatorias caracterizadas por leyes de composición constituyendo

estas estructuras y sus leyes una cierta lógica de la acción (Piaget, J. 1985, p. 269).

Claramente estamos ante un proceso que va de la periferia al centro, como lo hemos

visto en el plano de la conceptualización. Pero en cuanto a los centros los de la acción,

sobre los cuales actúa el mecanismo formador, están constituidos por las regulaciones

orgánicas dependientes de la organización neurológica, de las cuales, por abstracción

reflexiva, se construyen las coordinaciones. Mientras que los de la conceptualización están

dados por estas coordinaciones ya establecidas en la acción. Pero como hemos visto, el

paso al plano de la conceptualización requiere de un proceso de reconstrucción en el cual

se integran nuevas relaciones lógicas.

En los dos casos, el de la acción como el de su conceptualización, el mecanismo

formador es, a la vez, retrospectivo, puesto que saca sus elementos de fuentes anteriores,

y constructivo como creador de nuevas relaciones (Piaget, 1985, p. 270).

Pero, además existe un tercer plano que comparte la analogía de su mecanismo

formador con los dos anteriores. Es el plano de la abstracción reflejada que corresponde

al conocimiento hipotético deductivo del estadio formal. Se tiene, así, tres planos

jerarquizados:

1. El plano de la acción: que corresponde a un saber técnico no conceptualizado, pero

organizado en un sistema de esquemas de acción

2. El plano de la conceptualización: aquel del saber tecnológico, que extrae sus elementos

de la acción, haciéndola inteligible gracias al proceso de toma de conciencia

modificando la acción con nuevos elementos que amplían su dominio. la

conceptualización se concreta en un sistema de esquemas conceptuales asociados a los

esquemas de acción.

3. El plano de la abstracción reflejada21

: que corresponde al saber teórico. El sujeto

elabora deducciones hipotético deductivas, es decir, construye teorías apoyándose en

las realizaciones del saber tecnológico.

Su mecanismo formador, consistente en operaciones de segunda potencia –es decir, en

operaciones nuevas, pero efectuadas sobre las anteriores– demuestra que se trata, una

vez más, de abstracciones que parten del plano precedente, pero compuestas y

enriquecidas según combinaciones hasta entonces no realizadas. (Piaget, 1985, p. 270).

En cada uno de estos planos se construyen progresivamente coordinaciones por

asimilación recíproca de los esquemas: primero prácticos en el plano 1; y luego

conceptuales, en los planos 1 y 2, lo que constituyen asimilaciones que se pueden llamar

transversales, pero, además también existen asimilaciones recíprocas longitudinales, en el

sentido de que los esquemas conceptuales que se originan de los esquemas de acción, en

un momento dado actúan retroactivamente sobre las acciones, dirigiéndolas de acuerdo a

planes más estructurados, proporcionándoles mejores medios, etc. Similarmente ocurre

respecto a las conquistas del plano 3 en relación con los planos 2 y 1. Veamos lo que

aportan, en los diferentes planos del conocimiento, las asimetrías del intercambio de

información (que hemos comentado más arriba) en el marco de los dos procesos

solidarios: interiorización y externalización.

21

Recordemos que la abstracción reflejada se refiere a aquel producto de abstracción reflexiva que se hace consciente al

sujeto

Los procesos de interiorización y exteriorización

67

1.19 LOS PROCESOS DE INTERIORIZACIÓN Y EXTERIORIZACIÓN

Uno de los resultados más importantes de las investigaciones de Piaget sobre la

toma de conciencia es el carácter general de la circularidad de los ciclos cognitivos entre

el sujeto y el objeto en el que el conocimiento del objeto proviene de la acción del

sujeto sobre él y su progreso se explica en términos del acceso a los mecanismos

centrales C y C’ en virtud de dos procesos solidarios: de interiorización PC que acaba

por conducir a la construcción de las estructuras lógico-matemáticas y de

exteriorización PC’ que lleva a la elaboración de las estructuras causales (para ver el

detalle de estos proceso en los tres planos del conocimiento se puede consultar Piaget, J,

1985, pp.271-274). Destacaremos los aspectos más centrales de la interiorización y

exteriorización en los planos 2 y 3.

En el plano de la conceptualización

La interiorización, como ya se ha dicho, se realiza por el proceso de toma de

conciencia de la acción propia: interiorización de la acción mediante

representaciones semiotizadas (imitación diferida, dibujo, imágenes mentales,

lenguaje). Al progresar, la toma de conciencia, se polariza en dos tipos de

abstracciones: empírica, que proporciona una descripción de los observables de la

acción material. Y reflexiva, que obtiene de las coordinaciones generales de la acción

el material para las coordinaciones inferenciales; éstas, a su vez, permiten relacionar

e interpretar esos observables, lo que significa que la conceptualización tiene un

carácter operatorio, pues conduce a razonamientos y estructuraciones.

La exteriorización, se realiza por la toma de conocimiento del objeto. La abstracción

empírica aporta la representación de los observables de los objetos y la abstracción

reflexiva (en la dirección de C), responsable de las estructuraciones operatorias de

los observables, conduce a

una interpretación deductiva de los hechos en la dirección de C’; de ahí la formación

de las explicaciones causales, por atribución de operaciones a los mismos objetos,

promovidos así al rango de operadores eficaces. (Piaget, 1985, p. 273).

En el plano de la abstracción reflejada

La interiorización, se produce por una prolongación del pensamiento en sí mismo,

debido a que se actúa sobre «productos» de la abstracción reflexiva que son

conscientes para el sujeto.

En el terreno lógico-matemático, es decir, en función del movimiento de

interiorización, eso significa que el sujeto se hace capaz de teoría (de lo que abusan

los responsables de los programas de enseñanza) y no solamente de razonamientos

«concretos» (Piaget, 1985, p. 273).

La exteriorización, se produce por la elaboración de modelos teóricos posibles para

la explicación de un fenómeno.

En una palabra: la solidaridad de los dos movimientos, de interiorización o lógico-

matemático, y de externalización o físico causal, se hace aún más estrecha que en los

niveles precedentes, por los progresos en la abstracción, y en virtud de la bien

conocida paradoja de que la adaptación a los datos concretos de la experiencia es

función del carácter abstracto de los cuadros noéticos que permite analizarlos e

incluso captarlos (Piaget, 1985, p. 273).

Conviene destacar la importancia instrumental y teórica de la abstracción reflexiva.

Su papel instrumental se observa, tanto en el proceso de interiorización (el paso

El funcionamiento de la equilibración

68

constructivo de un nivel inferior a otro superior), como en el de la exteriorización

(interpretaciones deductivas de los fenómenos). En cuanto al modelo teórico, su

importancia, reside en el hecho que sin ella no se explicaría la apertura de los ciclos de

interacción, a la que ya hemos aludido, que proporciona el material para los observables y

las coordinaciones que son los elementos fundamentales en el proceso de equilibración.

En resumen, la importancia de la toma de conciencia es que los observables y las

coordinaciones existen como tales sólo en la medida que el sujeto cobra conciencia de

ellos. Esta toma, es una construcción que conduce a la conceptualización y depende de la

abstracción reflexiva, así como del proceso de equilibración que conlleva un

funcionamiento complejo, sobre el cual volveremos a continuación.

1.20 EL FUNCIONAMIENTO DE LA EQUILIBRACIÓN

Cuando comentamos la perspectiva interaccionista, expresamos que se distinguen dos

clases de interactividad presentes en la elaboración de los conceptos. La interactividad que

se relaciona con el mundo físico de la cual, para su estudio, se consideran dos tipos: El

tipo IA que especifica la relación entre observables y, IIA que relaciona observables y

coordinaciones en un modelo de interacción. Y la interactividad relacionada con el mundo

de los objetos lógico-matemáticos en la que se distinguen de nuevo: el tipo IB

(observables) y IIB (observables y coordinaciones). Estas dos clases de interacción están

asociadas, respectivamente, a la experiencia que se deriva de abstracciones empíricas

(experiencia física) y aquella que se obtiene de abstracciones reflexivas (experiencia

lógico matemática), con una estrecha interrelación entre ellas puesto que los esquemas

lógico-matemáticos son el marco asimilador de los observables físicos. Esta solidaridad da

origen a los conocimientos empíricos y lógico-matemáticos. Acabamos de exponer, a

propósito de la toma de conciencia, las interacciones causales tipos IA (relación de

observables) y IIA (que relaciona observables y coordinaciones), a continuación nos

referiremos a los modelos de interacción lógico-matemáticas y al funcionamiento general

de la equilibración que comparten las dos clases de interactividad.

El esquema que plantea Piaget para la segunda clase de interacción, alude al

conocimiento lógico-matemático (clasificaciones, correspondencias, ordenamientos, etc.)

relativo a inferencias que provienen de la actividad u operaciones del sujeto y no de los

objetos mismos. Cuando tal actividad se realiza sobre objetos materiales las inferencias

son producto de abstracciones seudoempíricas o reflexivas, pero, cuando se trata de

objetos de representación como símbolos o imágenes mentales sólo interviene

abstracciones reflexivas. Ahora bien, nos interesa, en primer lugar, establecer el modelo

general de la interacción, en términos de las superaciones equilibradoras, del paso de un

estado de equilibrio n a una sucesión de estados n1, n2, etc. para, así, comprender

cómo el sujeto logra progresar en su pensamiento hasta llegar a reemplazar el objeto

concreto por objetos estrictamente simbólicos, como ocurre, por ejemplo, en la

matemática “pura”, lo que finalmente conduce al pensamiento formal.

Consideraremos, primero, el caso en que el sujeto aplica sus acciones u operaciones a

objetos concretos . De aquí, deduciremos el modelo general de progreso; el término de

general obedece al hecho que tal modelo se aplica tanto a interacciones causales, que ya

hemos estudiado, como a las interacciones lógico-matemáticas, que veremos a

continuación, sobre objetos concretos y más adelante sobre objetos simbólicos.


69

1. El modelo tipo IB (relación entre observables) de acciones aplicadas sobre objetos

concretos, presenta las siguientes particularidades que lo diferencian del tipo IA:

La relación entre los observables. Como en las interacciones tipo IA los observables

registrados en la acción se subordinan de los que dependen de los objetos, pero ahora

los observables son relativos a una acción lógico matemática, es decir, aquella que

transforma los objeto sólo enriqueciéndolos con formas intemporales (orden,

clasificaciones, correspondencias, etc.) prescindiendo de los componentes físicos

(cinemáticos, dinámicos, etc.). Entonces,

Los observables del sujeto se definen:

As Observables relativos a las intenciones más o menos precisas de la actividad u

operación, proyectadas o comprobadas, del sujeto (clasificación,

correspondencias, etc.)

Fs aplicación de la operación, es decir, las formas de las acciones impuestas al

objeto (clasificación, relaciones, etc)

Y los observables en el objeto:

Ro resistencia real o nula de los objetos a la asimilación a las formas, es decir

sumisión o rechazo de los objetos que se dejan o se resisten a los

ordenamientos, clasificaciones, relaciones, etc.

Mo modificaciones de los objetos a causa de la actividad As que imprime la forma

Fs sobre ellos (AsFs) que no estaba presente antes de su manipulación.

Con estas distinciones en mente, la forma esquemática del modelo de interacción,

entre los observables del sujeto y los del objeto (tipo IB), es entonces:

Donde se preservan las dependencias funcionales (a) y (b) expuestas a propósito del

tipo IA y la doble flecha indica el equilibrio global, duradero o momentáneo de los

procesos locales de asimilación (a) y de acomodación (b) atribuidos a los observables.

2. En cuanto al modelo IIB que relaciona los observables con las coordinaciones toma la

misma forma que en el modelo causal IIA (ver figura Nº 5), pero ahora

Los Obs S, que representan el complejo (AsFs) expresa en este caso las intenciones

operatorias del sujeto, que pueden en principio ser vagas o estar condicionadas por

coordinaciones previas lo que implica el funcionamiento de un esquema anticipador

que condiciona la acción.

Los Obs O, que representan el complejo (RoM0) consiste en las comprobaciones

efectuadas sobre los objetos en la medida que éstos son modificados por las mismas

a

b

Figura 1.6: Interacción tipo IB (lógico-matemática). Relación entre los

observables (tomada de (Piaget, 1990a. p. 57)

As Fs Ro Mo


70

acciones del sujeto, es decir, se trata de la realización material de las intenciones (Obs

S) del sujeto.

Respecto a las coordinaciones,

Las Coordinaciones relativas a la acción (Coord S), corresponden a las composiciones

preoperatorias u operatorias que el sujeto planificaba y verifica, o que descubre a

posteriori, pero en los dos casos después de comparar los dos observables.

Las Coordinaciones en los objetos (Coord O), su diferencia, respecto a la interacción

causal (IIA), es que en el tipo IIB las coordinaciones de la acción del sujeto ya no son

«atribuidas» al objeto sino «aplicadas» a ellos lo que implica que las Coord S, que

resultan de comparar los observables, se vuelven a encontrar en los objetos, siendo

entonces idénticas a las de los objetos.

El progreso en el conocimiento se da como consecuencia de la equilibración

mayorante, de estados sucesivos de equilibrio, que aparece como necesaria por la propia

interacción que pone en evidencia la insuficiencia de las coordinaciones respecto de los

observables (el conflicto cognitivo o la necesidad de perfeccionar los medios internos o

externos para el logro del objetivo). El paso de un estado n al estado n 1 se debe a la

superación de los conflictos o la conquista de los nuevos medios.

El modelo general de un proceso de interacción constructivo debe, tanto en el caso de

la interacción causal como lógico matemática, tomar entonces la forma:

El proceso (1) (ver figura 1.5) de objeto a sujeto conduce a la toma de conciencia de

relaciones que en principio no fueron observadas o se rechazaron. El proceso (2) de las

coordinaciones de la acción, en el caso de interacciones del tipo IIB son idénticas en sujeto

y objeto, ya que se trata de las mismas operaciones que el sujeto impone como formas a

las acciones sobre los objetos que son al mismo tiempo formas del sujeto, mientras que en

el caso IA, estas coordinaciones se diferencian puesto que, como vimos en el ejemplo de

las acciones causales, la operación del sujeto es «atribuida» a los objetos: así, la

transmisión del impulso inferida ya no se “ve” como una operación del sujeto, sino como

un proceso físico inherente a objetos (mano móvil pasivo) como si ellos mismos fueran

operadores activos.

Las líneas de trazos gruesos y oblicuos indican que los nuevos observables dependen

de los observables y coordinaciones previos. Es aquí, que el modelo resulta útil para

explicar los diferentes escenarios del funcionamiento de la equilibración. Esta parte de la

consideración de los proceso (1) de toma de conciencia y (2) de coordinaciones que dan

etc. etc.

Figura 1.7: Modelo general de interacción. Secuencia de los estados

progresivos de equilibrio.(Piaget, 1990a. p. 63)

Obs S(n) Coord S(n) Obs O(n) CoordO(n)

Obs S(n1) Coord S(n1) Obs O(n1) CoordO(n1)



71

origen a abstracciones empíricas o abstracciones reflexivas y conducen, así, a las

modificaciones de los esquemas conceptuales asociados a una situación problema, así:

1. La doble flecha indica el equilibrio entre observables y coordinaciones. Cada estado

posee su propia forma de equilibrio, estable o inestable, caracterizado por:

a) Las interacciones entre el sujeto y el objeto (concreto o mental) del que se ha

alcanzado ciertas propiedades y,

b) las relaciones entre los observables y las coordinaciones.

2. De acuerdo a estas interacciones y relaciones de cada estado, se logra una coherencia

suficiente para estabilizar el equilibrio o desequilibrios causados por perturbaciones o

lagunas, que conduce entonces a un equilibrio mejor. Es aquí, que las contradicciones o

conflictos juegan un papel funcional importante que lleva a tomas de conciencia ya sea

por contradicciones entre observables insuficientemente conceptualizados o entre

observables y coordinaciones destinadas a unirlos mediante inferencias necesarias.

3. El modelo expresa que desde el estado inicial existen interacciones entre observables y

coordinaciones, por tanto colaboración entre las abstracciones empíricas que provienen

de los observables y las abstracciones reflexivas que se construyen de las

coordinaciones. Estas abstracciones reflexivas, como ya lo hemos visto, desempeñan el

papel motriz de las superaciones de un nivel a otro.

4. Los nuevos observables (en el caso de las interacciones causales) son el resultado de

estas colaboraciones de los dos tipos de abstracción donde las líneas gruesas oblicuas

(ver figura N 7) orientadas, hacia abajo, de izquierda a derecha representan las

abstracciones empíricas y las líneas oblicuas de derecha a izquierda, que se les unen, las

abstracciones reflexivas. En el caso de las interacciones lógico matemáticas los nuevos

observables son producto únicamente de abstracciones reflexivas, por tanto el modelo

sólo presentará las líneas gruesas oblicuas que se orientan hacia abajo de derecha a

izquierda.

5. El funcionamiento de la equilibración procede por ciclos, como lo habíamos observado

a propósito de la toma de conciencia de la acción, en el siguiente orden:


Donde se pueden dar tres posibilidades:

a) Concordancia, rápida entre los observables conceptualizados (Obs O) y los

observables de las acciones (Obs S), así como entre las coordinaciones entre sí o

entre las coordinaciones y los observables. En tal caso el ciclo se cierra y no hay

lugar a modificaciones; el equilibrio continuará estable mientras que no

intervengan nuevas observaciones o inferencias que causen alguna perturbación.

b) Contradicciones momentáneas, en consecuencia hay regulaciones locales entre

los pares:

(Obs O , Obs S); (Obs S , Coord S); (Coord S , Coord O); e incluso en el seno de

las Coord S y Coord O, cuando utilizan estructuras cuya compatibilidad no es

inmediata.

c) Contradicciones persistentes, cuando la contradicción no puede ser superada por

regulaciones locales:

este es el caso de los conflictos, reales o virtuales, entre las coordinaciones y los

observables, especialmente entre Coord O y Obs O, o entre las coordinaciones

mismas, en cuanto subsistemas de variables extensiones. El resultado de ellos es


72

descubrimiento de nuevos observables que habían escapado hasta entonces a las

comprobaciones demasiado sumarias, o a una nueva conceptualización de los

observables registrados anteriormente, lo cual, en los dos casos lleva a nuevas

coordinaciones: de ahí un desequilibrio y una necesaria reequilibración, que

conduce desde un estado n a un estado n1, etc. (trazos gruesos y oblicuos en el

modelo). (Piaget, 1990a, p. 65).

En resumen, estamos ante un modelo sumamente operativo, que se focaliza en la

actividad del sujeto y, señala, de forma clara, los procesos de toma de conciencia y

abstracción reflexiva que conducen a la conceptualización y construcción de novedades

que se insertan en un sistema cognitivo autorregulado, es decir, con capacidad de

responder a las perturbaciones elaborando compensaciones necesarias para alcanzar

equilibraciones o reequilibraciones del sistema. Esta equilibración puede ser inteligible

para un observador en términos de la conducta del sujeto, es decir de los observables y

coordinaciones que éste manifiesta, explícitamente o implícitamente, ya sea utilizando el

lenguaje o como reflejo de la propia acción. Lo que nos lleva a plantear las clases de

equilibración en relación con la conducta del sujeto. Pero antes, plantearemos

esquemáticamente una tercera clase de interacción a la que se aplica el modelo general de

equilibración que acabamos de exponer.

Se trata de interacciones entre objetos (tipo IIC). Hasta aquí hemos estudiado las

interacciones que involucran acciones del sujeto: causales (IA y IIA), lógico-matemáticas

(IB y IIB). Ahora, se trata de plantear el modelo cuando unos objetos actúan sobre otros y

la intervención del sujeto consiste en variar los factores o disociarlos.

pero del modo que lo podría hacer la naturaleza misma sin más manipulaciones que las

que puede hacer un astrónomo respecto a los movimientos celestes (Piaget, 1990a, p.

70).

Esta clase de interacción resulta de interés especial para el estudio de los efectos y

aplicaciones de los medios tecnológicos en situaciones didácticas.

En esta clase de interacción se definen:

a) Los observables:

Observables que afectan a la variación de los factores supuestos, se trata de

observables (Obs X) de las variables independientes que manipula el sujeto, que

sustituyen, en el modelo de la figura Nº 5, los observables de la acción del sujeto

(Obs S)

Observables de los resultados comprobados, que son relativos a las variables

dependientes (Obs Y), suponiendo que Yf(X). Estos observables sustituyen en el

modelo a los observables del objeto (Obs O)

b) Las coordinaciones:

Coordinaciones relativas a la acción del sujeto (Coord S), son las mismas de la

interacción lógico-matemática, puesto que la síntesis de las dependencia entre las

variables (X, Y) deben desembocar en un modelo estructural de naturaleza lógico-

matemática y, por tanto, necesariamente construido por operaciones del sujeto.

Coordinaciones en los objetos (Coord O), en este caso son «atribuidas» a los objetos,

como en el modelo causal, se traducen en forma de modelo causal.

La relación entre observables y coordinaciones en el modelo de interacción tipo IIC

tiene entonces la forma

Las clases de equilibración

73

La puesta en relación YX de los resultados observados Obs Y con las variaciones de los

factores Obs X desemboca, pues, en las funciones Yf(X), mientras que la atribución

del modelo Coord S en la coordinación de los objetos Coord O expresa su causalidad.

(Piaget, 1990a, p. 70).

El sistema estará en equilibrio si la explicación causal sigue estando de acuerdo con

los observables Y y X. En caso contrario, las contradicciones debidas a los hechos o a las

conceptualizaciones implican superaciones en estados n 1, etc. de equilibrio superiores.

1.21 LAS CLASES DE EQUILIBRACIÓN

Como hemos visto, el concepto de equilibración de Piaget tiene la cualidad de

permitir explicaciones razonables del cómo y por qué se produce el crecimiento cognitivo

del sujeto, es decir cómo y por qué se aprende y progresa en el aprendizaje. En cuanto al

por qué se atribuye al comportamiento humano que tiende a modificar y ampliar el medio.

Respecto al cómo, se atribuye a la equilibración de los sistemas cognitivos, entendiendo

por tales:

En primer lugar pueden ser simples descripciones, como cuando se trata de obs O o S,

conceptualizados por el sujeto con ocasión de una acción o de un acontecimiento

particular. También serán los instrumentos cognitivos de los que (implícitamente o

explícitamente) se sirve el sujeto en sus conceptualizaciones: clasificaciones, sistemas

de relaciones, seriaciones, números, medidas, etc., en todos los niveles preoperatorios u

operatorios. Igualmente serán, y esto a propósito de las coordinaciones Coord S y O,

bien las composiciones operatorias particulares elaboradas por el sujeto con ocasión del

problema planteado, bien sus explicaciones causales. Finalmente, tanto estas

composiciones locales como estas explicaciones se referirán a estructuras más amplias

(agrupamientos, grupos, etc.), que constituyen el nivel superior de estos tipos de

sistemas. Resultado de esta diversidad es el hecho de que las fronteras de un sistema

cognitivo siguen siendo en general móviles, ya sea éste más o menos complejo, excepto

cuando en virtud de su progresiva especificidad, las estructuras operatorias finales se

cierran en sí mismas. (Piaget, 1990a, p. 72-73).

Ahora, que hemos caracterizado el equilibrio cognitivo en función de conservaciones

mutuas entre los elementos del sistema, y, un estado de equilibrio como aquel en el que

todas las transformaciones virtuales del sistema se compensan entre sí, veamos, entonces,

las clases de equilibraciones que se distinguen en términos de los niveles de interacción.

Existen tres clases de equilibraciones:

1. Equilibración alfa, corresponde al primer nivel de interacción (ver figura Nº 2) en la

periferia de la acción y por tanto una equilibración entre sujeto y objeto, es decir, entre

asimilación y acomodación.

Y X

SO

Figura 1.8: Modelo de interacción tipo IIC. Relación entre los

observables y las coordinaciones (Piaget, 1990a. p.71)

Obs X Coord S Obs Y Coord O


74

2. Equilibración beta, que se refiere a la interacción más interna (segundo nivel de

interacción) entre los subsistemas de la estructura total que se coordinan en el ciclo

cognitivo para la acción, por tanto entre los subsistemas y el sistema total.

3. Equilibración gama, corresponde al tercer nivel de interacción que conduce a la

integración de novedades estructurales por extensión y comprensión de las estructuras

previas, por tanto se trata de equilibrio

[...] entre estos sub-sistemas, en tanto que diferenciados, y el todo, en tanto que

integración, y por tanto, equilibrio entre diferenciación e integración; esta última es la

más difícil y la que más tarda en realizarse, y además siempre bajo formas

provisionales, ya que cualquier forma de equilibrio siempre será superada. (Piaget, y

otros, 1976, p 33-34).

Ahora, estos procesos autorreguladores involucran la actividad de un sujeto y por

tanto las tres clases de equilibración se estudian por las conductas del sujeto y el

significado funcional que presentan las compensaciones en el curso de estas

equilibraciones que acabamos de mencionar.

1.22 FORMAS DE CONDUCTA Y COMPENSACIONES

Se trata de establecer la relación entre las formas de conducta en cada una de las

clases de equilibración y las compensaciones cuyos mecanismos ya hemos estudiado.

1. Conducta alfa (), surge cuando un hecho nuevo, que procede del exterior del sistema,

introduce en éste una perturbación: por ejemplo, cuando la experiencia anterior del

sujeto se contradice con un nuevo observable o el objeto presenta un carácter no

asimilable por el esquema actual. La reacción del sujeto, se expresa en una conducta

alfa que se caracteriza en dos tipos de acuerdo a los siguientes términos:

a) Neutralización de la perturbación sin conciencia de ella: son reacciones que

tienden a anular una perturbación débil, sin considerarla como tal, porque el

elemento perturbador no se “ve” como necesario, entonces el sujeto reacciona

ignorando, en la práctica, la perturbación, lo cual constituye una compensación

en sentido inverso a la perturbación.

Si se trata de una pequeña perturbación próxima al punto de equilibrio, se

obtendrá la compensación mediante una simple modificación introducida por el

sujeto en sentido inverso a la perturbación en cuestión. (Piaget, 1990a, p. 73).

b) Neutralización de la perturbación implícita, se trata de perturbaciones más

fuertes o que son consideradas implícitamente, en este caso hay un rechazo o

eliminación de la perturbación pero sin consideración que implique una

regulación constructiva, imponiendo el esquema que resulta contradictorio.

[...] en este caso la anulará despreciándola sin más o simplemente eliminándola...

(Piaget, 1990a, p. 74).

Las dos clases de reacciones de esta conducta alfa son parcialmente compensadores

por tanto el equilibrio que resulta es muy inestable.

2. Conducta beta (), la reacción característica es que el elemento perturbador es tomado

interiorizado, produciendo una modificación en la estructura interna que puede

consistir, por ejemplo, en ampliar no tanto la extensión del esquema sino, más bien su


75

comprensión, por reducción de características o por una reestructuración de las

existentes, etc.

[...] la segunda conducta consistirá en integrar en el sistema el elemento perturbador

surgido del exterior, consistiendo entonces la compensación no en anular la

perturbación o en rechazar el nuevo elemento, para que no intervenga en el interior del

conjunto ya estructurado, sino en modificar por «desplazamiento del equilibrio» hasta

hacer asimilable el hecho inesperado (Piaget, 1990a, p. 74) .

La interiorización o integración, por estas conductas , de la perturbación la

transforman en variación interna, susceptible de compensaciones parciales dado que

pueden afectar la organización total del sistema y en tal caso será necesario no solo

diferenciaciones entre los subsistemas, sino diferenciaciones e integraciones de estas

variaciones en el seno del sistema total lo que ya implica el tercer tipo de conducta gama.

3. Conducta gama (), esta conducta consistirá, de acuerdo a lo que acabamos de

comentar,

en anticipar las posibles variaciones, las cuales pierden, en la medida en que son

previsibles y deducibles, su carácter de perturbaciones y viene a insertarse en las

transformaciones virtuales del sistema (Piaget, 1990a, p. 74).

Estas anticipaciones son posibles porque la equilibración entre los subsistemas

constituye una estructura con sus transformaciones y así toda variación posible se

integrará en las transformaciones que pueden ser inferidas: por ejemplo, para un sujeto en

posesión de la estructura de grupo matemático, un conjunto dotado de una ley de

composición interna, que sea virtualmente22

un grupo, podrá ser reconocido como tal sin

que tal descubrimiento constituya un perturbación.

Ahora, bien, estas transformaciones conllevarán un juego de compensaciones, pero de

acuerdo a un nuevo significado..., el sentido de la compensación es el de una simetría

inherente a la organización del sistema, y no ya el de una eliminación de las

perturbaciones. (Piaget, 1990a, p. 76).

Esta simetría se expresa en el hecho de que toda transformación T del sistema implica

la existencia de su inversa T-1

y de la composición T• T-1

I. Queda por resolver el

problema de explicar la naturaleza de lo posible en estas anticipaciones de las variaciones

que se encuentran tan sólo en el plano virtual del sistema y que el sujeto actualiza en

relación con un problema que necesita resolver, es decir, los factores, y su relación con las

anticipaciones y los procedimientos del sujeto, que desembocan en el acceso al mundo de

lo posible y lo necesario en relación con lo real

1.23 EQUILIBRACIÓN. LO POSIBLE, LO NECESARIO Y LO REAL

Hemos visto, que toda construcción cognitiva se encuentra ligada a las perturbaciones

que ponen en marcha las transformaciones reguladoras, de tal manera que se alcanzan

compensaciones que equilibran el sistema. Este carácter indisociable entre perturbación y

22

El término «virtual» es introducido en esta teoría de la equilibración para definir el equilibrio del sistema cognitivo:

por la completa compensación de todas las transformaciones virtuales posibles compatibles con el sistema. En este

sentido, “si se habla simplemente de modificaciones virtuales, pensando bien en los hechos exteriores que interesan al

sistema pero aún no considerados por el sujeto, bien en las acciones u operaciones realizables pero aún no efectuadas, la

distinción conserva todo su sentido, porque, o bien estas modificaciones son origen de posibles perturbaciones sin

reacciones compensadoras, y el sistema se encuentra entonces en vías de equilibrio, o bien se trata de transformaciones

hasta ese momento virtuales, pero previstas y englobadas en el sistema..., y en ese caso se encuentran compensadas de

antemano, lo que tiende a garantizar el equilibrio del conjunto.” (Piaget, J., 1990a, p 72).

Equilibración. Lo posible, lo necesario y lo real

76

construcción conduce a plantear el problema de la apertura sobre nuevos posibles y su

relación con los procedimientos del sujeto.

La idea central es que los nuevos posibles no se pueden reducir a una simple

combinatoria de las posibilidades preformadas de la estructura, por tanto, interesa, no el

carácter deducible de lo posible, sino el proceso de formación de las posibilidades, es

decir, la apertura de un ciclo cognitivo a nuevas posibilidades, como cuando se cambia de

perspectiva en el abordaje de un problema que se resiste al sujeto. En una sola palabra es

el problema de lo que en un acto creativo se denomina «iluminación». Se trata, entonces,

de la creación de algo que no existía en el sistema y sólo está presente, en él, en un estado

virtual de lo posible que el sujeto actualiza en el plano del pensamiento.

Esta apertura hacia nuevos posibles no se da sin más en el sujeto, por lo contrario, son

de difícil acceso y surgen ligados a rechazos categorizados como imposibles, estas

dificultades que producen las aperturas consisten no sólo en la capacidad del sujeto para

imaginar lo nuevo sino, también, en superar las limitaciones que le imponen sus creencias

de lo que debe ser real, de ahí, su resistencia al devenir de lo posible. Por tanto, lo posible

debe estar relacionado con la necesidad que imprime la motricidad al proceso de

superación que, obviamente, debe obedecer a un proceso de equilibración entre lo posible

lo real y lo necesario.

Lo posible se relaciona con lo necesario en un proceso constructivo (i.e.

equilibración) por las transformaciones del sistema que conectan lo posible y lo necesario

como dos aspectos de una misma realidad. Mientras que lo necesario exige una

diferenciación en el seno de este proceso constructivo (lo cual lleva a las actualizaciones),

lo posible, entre tanto, alude a la integración, es decir, a la incorporación de la novedad

virtual en el plano actual del sistema. En este proceso de equilibración se distinguen tres

fases del desarrollo que se relacionan con los estados de equilibrio del sistema y la

conducta del sujeto (ver tabla Nº 1) que ya hemos comentado.

1. Indiferenciación entre lo real y lo necesario, es la primera fase en la que lo real domina

lo necesario: los hechos son de la manera como el desarrollo alcanzado por el sujeto

permiten captarla por las razones explicativas que el sistema permite. Por ejemplos

[...] en el niño: un cuadrado debe reposar sobre uno de sus lados, de lo contrario no

sería un cuadrado, o la luna sólo ilumina la noche porque esa es su ley y “no es ella

quien manda”. Ejemplo en la historia: ...toda álgebra debe ser conmutativa. etc. (Piaget,

y otros, 1981, p. 20)

2. Diferenciación por multiplicación de posibles, en esta fase las composiciones de las

transformaciones del sistema lleva a la conquista de las necesidades y la elaboración de

nuevos posibles.

3. Integración de lo posible, corresponde a la actividad del sujeto sobre lo real, que en

cuanto representa un conjunto de “hechos”, progresivamente es diferenciado (por las

transformaciones del sujeto) en sus dos polos: lo posible y lo necesario, pero en la

medida que estas transformaciones conducen a actualizaciones (de estados virtuales del

sistema), por tanto enriquecimientos de lo real,

[...] en el seno de un conjunto de variaciones intrínsecas posibles, los sistemas que las

constituyen dan origen a unas estructuras en las que las composiciones suministran las

razones necesarias de los estados de hecho. Es, pues, el equilibrio de lo posible y de lo

necesario (relaciones necesarias entre posibles) lo que conduce a la explicación de lo

real al subordinársele mediante intersecciones crecientes. (Piaget, y otros, 1981, p. 20)


77

Estos procesos corresponden entonces, respectivamente, a los estados alfa, beta y

gama de equilibrio. En la tabla Nº 1 se dan ejemplos de la relación que se establece entre

procesos, estados y conductas en la equilibración cognitiva.

Aquí, finalizamos de exponer el modelo cognitivo propuesto por Piaget en el que

podemos destacar lo siguiente:

1. Queda claro que en este modelo se subordina toda forma de conocimiento a la

actividad de un sujeto que no procede ni por simple copia ni por programación

innata, sino más bien por auto-organización que se explica por una equilibración

"incrementante".

2. El desarrollo y por tanto el pensamiento procede

a) Por el paso de la toma de conciencia de las acciones y su transformación en

operaciones

b) La coordinación de las operaciones en estructuras que se formalizan cada

vez más en tanto el sujeto se aproxime al razonamiento hipotético-deductivo

c) A la constitución de formas de equilibrio que se caracterizan por estructuras

de conjunto reversibles, basadas en la inversión y la reciprocidad

3. El factor principal de desarrollo son las perturbaciones del sistema que dan

origen conflictos cognitivos.

4. El crecimiento cognitivo es justificado en términos de la equilibración

El "por qué" del desarrollo hay que buscarlo: 1) en esos móviles fundamentales,

que conllevan por sí solos mecanismos de equilibración aumentante, y 2) en los

conflictos que hay que superar entre la realización de esas tendencias y las

perturbaciones que surgen sin cesar y que les opone el medio exterior. (Piaget, y

otros, 1981, p. 59)

5. La novedad cognitiva se explica por la tensión entre lo posible y lo real, generada

por nuevas necesidades que llevan a engendrar nuevos posibles aún en contra de

creencias, conceptos o normas previas.

1.24 UNA AUSENCIA EN EL MODELO COGNITIVO DE PIAGET

El modelo cognitivo de Piaget ha sido blanco de críticas numerosas, en especial,

referidas a la consideración de la influencia del factor socio-cultural en el desarrollo del

sujeto. Este factor, aunque reconocido como responsable de acelerar o retardar el

desarrollo no hace parte del modelo. Como hemos visto, la cognición es un sistema

complejo autorregulado. La construcción de novedades, con las superaciones de conflictos

y ampliación de dominios inherentes a ellas, son la propia motivación del sistema. De esta

manera los procesos constructivos son automotivados. Basta que estén presentes las

condiciones idóneas para que el proceso siga desarrollándose.

De esto se desprende que en el modelo, el papel de la escuela será entonces

secundario, porque el aprendizaje seguiría al desarrollo. En consecuencia, no tendría

sentido enseñar conceptos si estos no están al alcance del desarrollo cognitivo actual del

estudiante: los conceptos que están por debajo del nivel no influyen en el desarrollo y los

que se encuentran en consonancia con las condiciones necesarias y suficientes del sistema,


78

éste se encarga autónomamente de ellos; finalmente si el nuevo concepto plantea

exigencias superiores a las condiciones del sistema éste los rechaza.

De esta manera la responsabilidad del profesor por los resultados del proceso queda

limitada y se traslada a los planificadores de la educación que determinan qué enseñar y en

qué momento se enseña.

De esta situación no es culpable Piaget, que no se ocupó de los problemas de la

enseñanza. Tampoco descalifica el modelo, lo que queremos decir es que su modelo

resulta insuficiente para dar cuenta del aprendizaje de conceptos no espontáneos. El

modelo permite explicar la dinámica interna de la modificación de los conceptos

espontáneos, pero la automotivación resulta ser una explicación insuficiente. Es por ello,

que recurrimos al enfoque sociocultural que se basa en las ideas de Vygotsky para extraer

elementos teóricos que permitan complementar los aportes de Piaget y conformar así un

modelo aplicable a situaciones de enseñanza-aprendizaje.

Tabla Nº 1

Nivel de

Equilibrio Fases de Desarrollo Equilibrio Conducta

Alfa

"Indiferenciación: Toda realidad es lo que es porque

"debe" ser así"...[...] "llamaremos "pseudo necesidad"

a esta indiferenciación entre lo real y lo necesario y

de aquí las limitaciones de lo posible, que muy poco

se diferencia, por su parte, de lo real" (Piaget, J. 1981

p 20). Ejemplos:

En la historia:

- Toda función continua es diferenciable en

algunos puntos, pues no es posible imaginar una

función que, siendo continua, no sea

diferenciable en ningún punto de su dominio.

En el aprendiz de cálculo:

La raíz cuadrada de x2 es x, pues la raíz cuadrada de todo número positivo es un número positivo.

"Neutralización de la

perturbación y, por tanto

equilibrio entre

asimilación y

acomodación" (Piaget, J.

1981 p 23)

"Alfa, no consiste más

que en intentos de

neutralización de la

perturbación, bien sea

por la supresión, bien

negándola

implícitamente por una

especie de ignorancia

voluntaria comparable

al rechazo" (Piaget, J.

1981 p 35)

Beta

"Diferenciaciones por multiplicación de posibles y la

conquista de las necesidades debidas a las

composiciones estructurales" (Ídem, p 20)

En los ejemplos dados:

- Se encuentra un contra ejemplo

- La raíz cuadrada de (-2)2 -2, lo cual es

inconsistente con la definición de raíz enésima

de números positivos. Es necesario construir una

proposición que resuelva la "inconsistencia" (Principio de tricotomía de los números reales)

"Inicio de integración de

la perturbación bajo la

forma de variación en el

interior del sistema

organizado y, por tanto

equilibrio entre los

subsistemas." (Ídem, p 23)

"Beta, tiene en cuenta

la perturbación, busca

compromisos que

susciten

"desplazamientos de

equilibrio" del sistema

inicial" (Ídem, p 35)

Gama

"Integración : lo real en tanto que conjunto de

"hechos" se ve progresivamente absorbido por sus

dos polos [lo posible y lo necesario] y, a su vez,

enriquecedor: mientras que cada transformación

tiende a concebirse como una actualización en el seno

de un conjunto de variaciones intrínsecas posibles, los

sistemas que los constituyen dan origen a unas

estructuras en las que las composiciones suministran

las razones necesarias de los estados de hecho."

(Ídem, p 20)

- Se establece relación entre comunidad y

diferenciabilidad.

- Formulación y demostración del teorema: la raíz

cuadrada de x2 al cuadrado es igual al valor

absoluto de x.

Anticipación de

variaciones posibles y, por

tanto, equilibrio entre

diferenciaciones e

integraciones"

[subsistemas y la estructura

total] (Ídem, p 23)

"Gama, viene a

incorporar la

perturbación en el

sistema dentro del cual

ella se convierte en este

caso en una variación

intrínseca y deducible"

(Ídem, p 35)

La perspectiva Vygotskiana

79

2. LA PERSPECTIVA VYGOTSKIANA

La reducción anterior de la explicación del desarrollo a mecanismos (endógenos) de

equilibración y autorregulación de un sujeto, limita la visión del fenómeno cognitivo,

otorgando al factor social únicamente el papel de acelerar o retardar el desarrollo. Así,

queda de lado la posibilidad de considerar que el patrimonio cultural e histórico, que hereda

todo ser humano cuando se inserta en la vida social, pudiera influir en la organización y la

naturaleza de los procesos cognitivos. Es indudable que las capacidades del hombre se

potencian por la cultura, por el reconocimiento de sus raíces y la comunicación con otros.

Y ello gracias a los procesos que hacen posible el aprendizaje. Pero, surge la pregunta:

¿existe una relación entre aprendizaje y desarrollo?

Las bases teóricas fundamentales para el estudio de esta relación las sentó Vygotsky,

quien argumentó que no tiene sentido hablar de aprendizaje independiente de una

particular etapa de desarrollo cognitivo alcanzada, en esto coincide con el punto de vista

de Piaget; pero difiere de la visión piagetiana cuando agrega que el aprendizaje debe ser

considerado un factor del desarrollo.

Esta problemática ameritaría un análisis en profundidad sobre los elementos

empíricos y teóricos que llevan, a Vygotsky, a considerar que el pensamiento y el lenguaje

tienen un origen social y que los cambios históricos que se producen en la sociedad

conllevan a cambios en la conciencia y la conducta humana. Sin embargo, por razones de

espacio y tiempo nos vemos limitados a mencionar aquellos conceptos centrales en la

teoría de Vygotsky que nos permite complementar el modelo cognitivo de Piaget para

conformar nuestra visión de aprendizaje en el aula.

2.1 LOS COCEPTOS FUNDAMENTALES

La inspiración de Vygotsky respecto al papel funcional del entorno sociocultural en el

desarrollo, surge del análisis filogenético de la evolución humana donde la vida en

comunidad, el desarrollo de herramientas y la comunicación son elementos que moldean el

desarrollo y cambian, según él, la naturaleza de las funciones mentales naturales dando

origen a formas superiores como: la memoria lógica, la atención selectiva, el razonamiento

verbal y la formación de conceptos científicos.

Para Vygotsky, al igual que para Piaget, la mente media entre el sujeto y el mundo

externo; pero en Vygotsky, ésta noción es más amplia. La mente está conformada por un

sistema de funciones que dotan a la experiencia de significado. Este significado se

construye por la apropiación gradual de un sistema simbólico, cuyo núcleo es social, y

gracias a un proceso que permite su extracción del contexto social para convertirlo en

propio. La mente en esta concepción no tiene un lugar en el cerebro, en palabras de

Kouzulin

Mas que una simple extensión de un proceso natural que se origina en la vida humana,

el proceso mental superior es función de una actividad socialmente significativa

(Kozulin, 1994, p. 114)

Es decir, la mente se revela en un sujeto-en-acción-social, por tanto la cognición no

se reduce a un proceso psicológico y el pensamiento sólo tiene sentido en un contexto de

significados socialmente construidos.


80

En el marco de esta concepción de mente se ubican los planteamientos de Vygotsky

respecto al desarrollo; según él, éste se rige por una ley fundamental de acuerdo a la cual

En el desarrollo cultural del niño, toda función aparece dos veces: primero, a nivel

social, y más tarde, a nivel individual; primero entre personas (interpsicológicas), y

después en el interior del propio niño (intrapsicológica). Esto puede aplicarse

igualmente a la atención voluntaria, a la memoria lógica y a la formación de conceptos.

Todas las funciones superiores se originan como relaciones entre seres humanos.

(Vygotsky, 1996, p. 94)

En esta perspectiva, el desarrollo de los procesos mentales superiores como el

pensamiento verbal, la memoria lógica, la atención selectiva, formación de conceptos, etc.,

se mira en términos de la maestría alcanzada en el manejo de instrumentos simbólicos que

están potencialmente presentes en el entorno cultural

Los conceptos fundamentales y de interés para nosotros son: acción mediada,

internalización y zona de desarrollo próximo. El primero permite relacionar el papel de los

símbolos en los procesos de adaptación entendida como el proceso por el cual el sujeto

transforma el medio externo y al hacerlo transforma sus propias operaciones internas, es

decir, se transforma a sí mismo. El segundo, describe cómo es posible que una operación

externa se transforme en una operación interna. Y el tercero, explica la relación entre

aprendizaje y desarrollo permitiendo comprender el curso interno del segundo.

2.2 EL CONCEPTO DE ACCIÓN MEDIADA

Tanto Vygotsky como Piaget atribuyen un papel crucial a la actividad en el

desarrollo. Los dos realizan el estudió del fenómeno cognitivo tomando como punto de

partida la acción humana. Piaget, relaciona la acción con la percepción y los procesos de

autoregulación en la interacción sujeto-objeto. En su modelo la acción (esquemas de

acción) organiza la percepción y en último término confiere estructura al pensamiento y al

lenguaje. Estos esquemas de acción dependen, en su desarrollo, del factor maduración. Al

respecto, Vygotsky da una visión más amplia al incorporar el ambiente sociocultural como

factor importante de dicho fenómeno.

Su idea es que la acción humana, tanto en el plano individual como en el social, está

mediada por herramientas técnicas y herramientas psicológicas (signos o conductas de

otros), el uso de tales instrumentos en actividades socialmente significativas transforman

y dan forma a la acción, en el sentido que “median” el desempeño de los sujetos en la

realización de una tarea; esta “mediación” puede favorecer la acción en términos de

alcanzar su objetivo, pero en algunos casos resulta obstaculizadora o ineficaz. Esto

conduce a analizar la acción ligada a los instrumentos mediadores, por tanto, a identificar

el papel efectivo de los instrumentos de mediación en una determinada situación y un(os)

sujeto(s) dado(s).

La contribución principal de Vygotsky derivó de su concepción de herramientas

psicológicas. Para Vygotsky, la función del signo en los procesos de adaptación a

situaciones nuevas es equiparable al papel que, de acuerdo a la teoría marxista, complieron

las herramientas en la evolución de la especie humana.

La creación y utilización del signo como método auxiliar para resolver un problema

psicológico determinado (recordar, compara algo, relatar cosas, elegir, etc.) es un

proceso análogo a la creación y utilización de instrumentos en lo que al proceso


81

psicológico se refiere. El signo actúa como un instrumento de actividad psicológica, al

igual que una herramienta lo hace en el trabajo (Vygotsky, 1996, p. 88)

Aclarando las limitaciones de la analogía. Ella descansa en la función mediadora que

caracteriza tanto a las herramientas como al signo. Por ello pueden ser incluidas, desde la

perspectiva psicológica, bajo una misma categoría. Y la limitación es que mientras el

signo se encuentra internamente orientado para alcanzar cambios en la conducta; la

herramienta es externamente orientada para alcanzar cambios en los objetos. Sin embargo,

los dos procesos están interconectados ya que como afirma Vygotsky,23

La conquista de la naturaleza y la conquista de la conducta están mutuamente

relacionadas, en la medida en que la transformación de la naturaleza por parte del

hombre también cambia la naturaleza del hombre mismo (Vygotsky, L. Istoriya

razvitiya, p. 24)

Estas transformaciones de la conducta que aparecen como consecuencia de la

intervención de mediadores despertó su interés por establecer el papel de los sistemas de

signos, tales como el lenguaje humano, en las operaciones interpsicológicas e

intrapsicológicas. Esto nos lleva al concepto de internalización.

2.3 INTERNALIZACIÓN

Este concepto es crucial en la explicación de la transformación de las funciones

naturales en funciones superiores.

Llamamos internalización a la reconstrucción interna de una operación externa

(Vygotsky, 1996, p. 92)

El sujeto realiza una acción externa con cierta intensión (significado), que por el

intercambio interpersonal toma una significación diferente a la que inicialmente atribuye

el sujeto y, al resultar significativa para él, éste reconstruye en el plano interno el nuevo

significado (enriquecido por los aportes del otro) modificando así el significado inicial. En

palabras de Vygotsky,

El proceso de internalización consiste en una serie de transformaciones.

a) Una operación que inicialmente representa una actividad externa se

reconstruye y comienza a suceder internamente.[...]

b) Un proceso interpersonal queda transformado en otro intrapersonal. [...]

c) La transformación de un proceso interpersonal en un proceso intrapersonal es

el resultado de una prolongada serie de sucesos evolutivos. [...]

(Vygotsky, L., 1996, p. 94)

Cuando se habla de actividad externa Vygotsky dice social. Es en este contexto que se

entiende la relación de la mediación de los signos o de la comunicación interpersonal en la

apropiación de las actividades socialmente significativas e históricamente desarrolladas.

Lo que inicialmente aparece como mediador sígnico externo o una comunicación

interpersonal más adelante se convierte en un proceso psicológico interno (Kozulin, p.

116).

Este complejo proceso de internalización es difícil de comprender y en palabras de

Jerome Bruner:

En realidad, la “internalización”, sin embargo nunca fue totalmente explicada por

Vygotsky, es quizás el mayor deus ex machina en su sistema. Pero a diferencia de

23

Citado por Kozulin, (1996, p. 116)


82

aprendizaje por asociación, internalización también implica sistematicidad para él: e.

g., una vez ocurre la internalización, “... el niño no tiene que reestructurar

separadamente todos sus conceptos previos, lo cual podrían ser una labor de Sisyphean

(interminable). Una vez que una nueva estructura ha sido incorporada internamente a su

pensamiento...ésta gradualmente se extiende a los viejos conceptos a medida que ellos

son dibujados hacia el interior de las operaciones mentales de tipo superior.” 24

Pero

“siendo dibujadas hacia el interior de” tales operaciones también cuentan con el

intercambio social, sugiriendo que algo de la sistematicidad del desarrollo reside en la

naturaleza sistemática del discurso y la cultura mismas. (Bruner, 1997, p. 68)

Por otra parte, anota Cobb (1994), que la noción de internalización aunque ha

permitido a los investigadores identificar patrones de interacciones, y esquemas colectivos

a partir de análisis de vídeo o de transcripciones, lleva muchas dificultades en el momento

de dar cuenta cómo puede suceder este traspaso de los patrones externos al mundo interno

del niño. Así, refiriéndose a la ley fundamental del desarrollo de Vygostky, afirma:

Desde el punto de vista constructivista, este informe de internalización desde el campo

social al campo cognitivo interno lleva a dificultades, porque las relaciones

interpersonales que son internalizadas están fuera del niño. (Cobb, 1994, p. 16)

De esta manera este es un problema abierto. Cobb, en el mismo artículo, avanza una

posible solución orientada en la dirección de extender el concepto de abstracción empírica

de Piaget (1994, p.16). Igualmente señala Cobb,

La suposición que la actividad individual es culturalmente situada está implícita en la

discusión de von Glasersfeld respecto de la construcción de conceptos matemáticos.

Aquí, la noción de abstracción reflexiva es usada para explicar los procesos por los

cuales las acciones son reificadas y se vuelven objetos mentales matemáticos sobre los

cuales ellas mismas pueden actuar; (cf. Sfard, 1991; Thompson, 199425

). (Cobb, 1994,

p. 16)

Nosotros compartimos este último punto de vista y más adelante explicaremos cómo

entendemos el proceso de internalización en nuestra investigación, pero antes tenemos que

referirnos al concepto de zona de desarrollo próximo.

2.4 ZONA DE DESARROLLO PRÓXIMO

Este importante concepto permite relacionar dos ambientes del conocimiento: el

externo o sociocultural en el que se realizan procesos interpersonales sobre actos

compartidos y socialmente significativos; y el interno o individual en el que se realizan

procesos cognitivos sobre significados de acciones propias y aquellos que se vislumbran

por sugerencias de las acciones de otros.

La zona de desarrollo próximo (Z.D.P) define las condiciones de existencia de la

relación entre los dos ambientes arriba descritos. En palabras de Vygotsky la Z.D.P,

No es otra cosa que la distancia entre el nivel real de desarrollo, determinado por la

capacidad de resolver independientemente un problema, y el nivel de desarrollo

potencial, determinado a través de la resolución de un problema bajo la guía de un

adulto o en colaboración con otro compañero capaz (Vygotsky, L.S., 1996, p. 133)

Así, si las acciones externas plantean exigencias cognitivas que superan el desarrollo

potencial del sujeto este no se relaciona significativamente con la situación planteada. Si

24

Vygotsky, L.S. (1962). Thougt and language. Cambridge, MA: MIT Press (p. ix., itálicas adicionadas) 25

Thompson, P. W. (1994). Images of rate and operationalunderstanding of the fundamental theorem of calcu lus.

Educational Studies in Mathematics, 26, 229-274

Una posible relación Piaget - Vygotsky

83

por lo contrario, las acciones externas están en el nivel real de desarrollo cognitivo o son

inferiores entonces existe una relación pero ésta no lleva a una exigencia cognitiva que

obligue a una modificación interna. Por tanto, para lograr modificaciones cognitivas (un

nuevo conocimiento) es necesario realizar una construcción conjunta de la Z.D.P. en torno

a la situación de la cual se genera el nuevo conocimiento.

Las realizaciones de los actores en la Z.D.P. crean “un rasgo de aprendizaje” y es aquí

que interviene el proceso de internalización.

Una vez se han internalizado estos procesos, se convierten en parte de los logros

evolutivos independientes del niño (Vygotsky, L.S., 1996, p. 133)

Donde, como ya lo hemos destacado el proceso (b) de la internalización definida

anteriormente requiere una justificación que no aparece en el modelo de Vygotsky.

Ante este estado de la materia26

, en el cual la perspectiva vygotskiana, al igual que la

piagetiana, también resulta insuficiente para explicar la totalidad de los procesos que

interviene en la relación desarrollo-aprendizaje; nosotros intentaremos incorporar los

elementos que hemos comentado del marco Vigotskiano al marco de la teoría de la

equilibración de Piaget (1995) –que se toma como base teórica en el análisis

psicocognitivo de nuestra investigación–, con la esperanza de encontrar evidencia

empírica que contribuya a la solución de las lagunas que hemos encontrado en estos

marcos teóricos.

3. UNA POSIBLE RELACIÓN ENTRE LAS PERSPECTIVAS DE PIAGET Y

VYGOTSKY

El título de esta sección se inspira en nuestra lectura de la polémica Piaget-Vygotsky

respecto al papel de la escuela en el aprendizaje de los concepto científicos-vs-conceptos

espontáneos y, en consecuencia, en el plano más general respecto a la relación entre la

psicogénesis y la sociogénesis (Ver Vygotsky, 1995, pp. 182-195). Nosotros no

entraremos a discutir aquí las tesis que allí se plantean, sólo pretendemos señalar que las

discusiones teóricas entre constructivismo y perspectivas socioculturales tienen allí su

origen. Nos interesa, abordar el problema con un sentido pragmático por tanto lo

ubicaremos en términos de la cuestión en que estamos interesados en nuestro estudio. Ella

se refiere a la manera de enfrentar obstáculos epistemológicos que surgen en el momento

de enseñar los conceptos de límite y continuidad en un primer curso universitario.

Nuestra pregunta inicial se puede formular en términos generales de la siguiente

manera: ¿Cómo puedo construir situaciones para estudiantes que conecten con sus

conceptos espontáneos pero que al mismo tiempo permitan alcanzar la definición

matemática? ¿Cómo puedo considerar sus intereses y conectarlos a ideas y experiencias

producto de centurias de exploraciones matemáticas e invenciones?.

La primera pregunta se puede contestar desde la perspectiva constructivista y la

segunda involucra una respuesta de carácter sociocultural.

26

En realidad, por razones de tiempo y espacio la exposición sólo toca los puntos que son de nuestro interés. Un informe

amplio y detallado se encuentra en Coll & otros (1995)


84

Surge entonces el problema de la tensión existente entre las dos perspectivas. Nuestra

solución instrumental contempla elementos de ambas y se expone en detalle en capítulo

tres. Por ahora sólo estamos interesados en plantear nuestra hipótesis respecto a la

solución del problema relativo a los elementos teóricos que se incorporan.

Asumimos como hipótesis la afirmación de Vygotsky respecto al origen diferente de

los conceptos espontáneos y científicos:

Aunque los conceptos científicos y espontáneos se desarrollan en direcciones opuestas,

los dos procesos están íntimamente conectados. [...] Al recorrer su lenta ruta

ascendente, el concepto cotidiano prepara el camino al concepto científico y su ruta

descendente. Crea una serie de estructuras necesarias para la evolución de los aspectos

más primitivos y elementales de un concepto, que le dan cuerpo y vitalidad. A su vez,

los conceptos científicos proporcionan estructuras para el desarrollo ascendente de los

conceptos espontáneos del niño hacia la conciencia y el uso deliberado. Los conceptos

científicos crecen de arriba abajo gracias a los conceptos espontáneos; los conceptos

espontáneos crecen de abajo arriba gracias a los conceptos científicos. (Vygotsky,

1995, p. 184)

Entendiendo que la sociogénesis jalona el desarrollo de la psicogénesis

proporcionando los elementos de la experiencia histórica, evitando la recapitulación y

proveyendo un diseño estructural posible para el desarrollo del concepto espontáneo. En

contrapartida la psicogénesis provee la estructura actual sobre la cual se realiza el diseño

del concepto científico. La mente, en sentido vygotskiano, como protagonista de esta

construcción se sirve del diseño de la sociogénesis y de los materiales de la psicogénesis.

La mente, respondería entonces a autorregulaciones internas de los sistemas

cognitivos y regulaciones socioculturales en la zona de desarrollo próximo:

Los conceptos espontáneos, faltos de control consciente y volitivo, encuentran dicho

control en la zona de desarrollo próximo, con la cooperación entre el niño y adultos.

Por esta razón es esencial elevar previamente los conceptos espontáneos hasta un cierto

nivel de desarrollo que garantice que los conceptos científicos estén realmente, sólo un

poco por encima de los espontáneos (Vygotsky, 1995, p. 185)

que garantiza, el control de los esquemas conceptuales, bajo condición de que la

interacción se produzca en el dominio de la Z.D.P.

En consecuencia con lo anterior, asumimos la tesis de la equilibración piagetiana

como factor del desarrollo en términos de conflictos que hay que superar entre la

realización de la tendencia a la inercia y resistencia al cambio de los esquemas (conceptos

espontáneos) que son obstáculo epistemológico y las perturbaciones que les opone el

medio externo (físico y sociocultural).

De esta manera, podremos incorporar el elemento aprendizaje-social como un factor

operativo del desarrollo, junto con los factores de maduración, experiencia y

equilibración.

Nosotros pensamos que la siguiente interpretación del proceso de internalización

podría explicar, al menos para nuestros propósitos, a nivel descriptivo27

, el traspaso de los

patrones externos al mundo interno del sujeto.

27

No es operativo porque no tenemos argumentos para definir el nuevo operador () que surge necesariamente de la

consideración del concepto de mente vigotskiano como una extensión de la concepción de cognición piagetiana. La

definición de depende de las soluciones psicocognitivas que se de al problema del traspaso.


85

En primer lugar, consideraremos la notación de Heins von Forester(1976) que

simplifica el ciclo de interacción cognitiva de Piaget (ver figura 1.7) y lo define como un

operador denominado COORD que comprende las coordinaciones del sujeto sobre los

observables de una misma especie.

COORD: modifica, recompone, transforma, etc. las formas, los arreglos, los

comportamientos, etc. las formas , los arreglos, los comportamientos, etc. observados

en un momento dado, digamos inicialmente obso y llamémosle “el argumento

primario”, en otras observadas en otro momento, obs1. Expresemos el resultado de esta

operación mediante la ecuación:

obso = COORD (obso).

(von Forester, 1976, p. 92)

El operador COORD puede operar sobre el resultado precedente y se obtiene

obs2 =COORD(obs1)=COORD(COORD(obso)

y (recursivamente) tras n etapas obsn =COORD

(n) (obso)

mediante esta abreviación, la secuencia funcional

puede reemplazarse por

De esta manera el operador interno de la interacción queda definido de acuerdo a la

teoría de equilibración de Piaget.

En segundo lugar, ampliar el modelo de interacción cognitivo de Piaget a un modelo

sociocognitivo en el que se concibe el conocimiento como producto de interacción con

otros sujetos, implica definir un nuevo operador. Esta necesidad surge de la consideración,

de acuerdo al modelo cognitivo, que el conocimiento es producto de equilibraciones de

abstracciones empíricas y reflexivas. En el modelo cognitivo (Piaget) las abstracciones

reflexivas se extraen de la coordinación de acciones del sujeto (ver 1.20.) por tanto de algo

interno. La pregunta es: ¿en el nuevo modelo (sociognitivo) de dónde se extraen las

abstracciones reflexivas?; de acuerdo a la concepción de conocimiento (producto de

interacción con otro) estas deben extraerse de algo externo. Por tanto se tendría que

extender el concepto de abstracción reflexiva y con esta extensión definir una nueva

operación. Esta operación la representaremos con el símbolo .

En tercer lugar, el operador será como el piagetiano un operador de coordinaciones

(Coord) del sujeto que actúa sobre observables (para el sujeto), pero la naturaleza de éstos

incorpora los observables del otro sujeto que son significativamente compartidos por el

sujeto actuante. En otros términos, en la interacción, los observables del sujeto individual

se transforman por el enriquecimiento de los significados que aporta otro sujeto y que son

compartidos por el actuante como si fueran propios. En la atribución de los nuevos

significados (significaciones de una situación que en el plano individual aún no existen) se

COORD COORD COORD COORD

obso obsn

obso obsn

n veces

COORDn


86

realizó un proceso de abstracción “reflexiva” pero extraída de las coordinaciones del otro

(y no de las propias como exige el concepto de abstracción piagetiano).

En cuarto lugar, el producto de estas abstracciones “reflexivas” es procesado

internamente en el ciclo de interacciones cognitivo por el operador COORD como un

observable y ahora está sometido a las leyes de equilibración del modelo piagetiano. Las

abstracciones reflexivas (en sentido piagetiano) que se obtienen constituyen el nuevo

conocimiento que se integra en la estructura cognitiva del sujeto.

En quinto lugar, la regulación de los procesos de interacción estarían sometidos a

leyes de regulación externas que se definirían en términos de (por ejemplo):

Las restricciones debidas a la naturaleza epistemológica del conocimiento

Las restricciones debidas al entorno socio-cultural (en la escuela el contrato didáctico)

Las restricciones impuestas por los instrumentos de mediación, etc.

En tanto que las regulaciones del proceso individual son las mismas del modelo cognitivo

(Piagetiano). De esta manera todo el proceso estaría sometido a leyes externas e internas

En sexto lugar, el proceso sociocognitivo de constitución del conocimiento sería

entonces producto de la composición de los dos operadores COORD y Coord. actuando

sobre una situación (S) de interacción socialmente significativa en la cual se generan los

observables.

Por último, y no por ello menos importante, la condición necesaria para que este

proceso se de es que se construya una Z.D.P. que garantice el “control consciente y

volitivo” de los conceptos espontáneos de los sujetos.

Debemos insistir que lo que acabamos de expresar es una interpretación plausible de

una situación de interacción como generadora de un conocimiento nuevo. Será tarea de los

psicólogos dar una definición rigurosa del proceso y así resolver el problema del traspaso

de patrones socioculturales externos al mundo interno del sujeto. Entre tanto nosotros nos

apoyaremos en estas ideas para explicar nuestra interpretación del proceso de

internalización vygotskiano en una situación de aprendizaje en el aula.

3.1 EL CICLO DE INTERACCIÓN SOCIOCOGNITIVA.

El experto (E) toma el conocimiento (C) del flujo cultural y considera los posibles

conceptos espontáneos (Ce) presentes en un sujeto ideal (Se) opera cognitivamente sobre

los observables de estos dos elemento para producir una situación S1, significativa

respecto a C, (los nuevos observables) resultado de las operaciones

dirigida al estudiante (e) para que reconstruya el conocimiento (C) en el aula.

Aquí el operador representa las coordinaciones del sujeto sobre los observables

socioculturales (coord); el triángulo grande representa las coordinaciones del sujeto sobre

sus propios observables –el término propio indica que los significados atribuidos

corresponden a esquemas conceptuales ya establecidos– (COORD); y el símbolo “o”,

indica la operación de composición de los dos operadores.

Obs (C, Ce) o Obs S1


87

El estudiante interactúa con la comunicación S1 y produce una comunicación S1’

resultado de las operaciones

Donde la restricción (R), indica que los operadores son los mismos que los empleados por

el experto pero en el aprendiz su dominio está restringido por los esquemas del sujeto y

por tanto el resultado del procesamiento (Obs S1’) no son los mismos del experto (los

significados atribuidos a la situación son diferentes)

Si identificamos el símbolo S1’ como los significados que expresa externamente el

estudiante, éstos constituirán la materia prima de los observales que retornan al experto.

Éste opera sobre ellos:

Donde los Obs S1’’ son producto de las coordinaciones que el experto realiza para

producir devoluciones e institucionalizaciones28

como parte del andamiaje de la

construcción de la Z.D.P. Estas acciones están orientadas a ceder la responsabilidad y

control del aprendizaje de parte del experto al estudiante. Dicho de otra manera, los Obs

S1’’ son producto de ajustes de las acciones del profesor. El funcionamiento de

equilibraciones (piagetianas) de los sujetos procede por ciclo en el siguiente orden:

Obs(C, C e) coordCOORD ObsS1 (coordR COORD R )

ObsS1’ coordCOORD ObsS1’’ etc.

La figura 1.9 proporciona una imagen visual del proceso. El sombreado de los círculos

representa el significado que el experto (círculo superior) desea que el alumno (círculo

inferior) reconstruya. Estos significados se transforman a medida que se progresa (de

izquierda a derecha) en la construcción de la Z.D.P, gracias a la interactividad29

de los

participantes. Las líneas paralelas representan la frontera de cada sujeto con el ambiente

sociocultural externo en el cual se realizan las interacciones

La internalización es entonces un proceso dialéctico que es posible, gracias a la

acción conjunta sobre un objeto de conocimiento, bajo ciertas condiciones y no se trata de

una transferencia simple.

28

Brousseau (1980) 29

Coll & otros (1995)

Obs (S1) o Obs S1’ R R

Obs (S1’ ) o Obs S1’’

∆ ∆ ∆ ∆

S1 S1’’ S1’’’’ S1’’

Cc Ce S1’ S1’’’ S1’’

R R R R

R R R

Figura 1.9: Ciclo de interacción sociocognitiva.

La perspectiva didáctica

88

Las dos perspectivas Cognitiva y sociocognitiva nos proporcionan elementos teóricos

para analizar la actividad individual y social de un sujeto que construye su conocimiento.

Pero, nuestro sujeto realiza su trabajo en una parcela específica del conocimiento: las

matemáticas. Por tanto debemos considerar los aspectos cognitivos de la actividad

matemática.

4. LA PERSPECTIVA DIDÁCTICA

Hasta aquí, hemos desarrollado un conjunto de ideas respecto al problema de la cognición

en general. Esto nos proporciona un marco teórico necesario para orientar nuestras

acciones investigativas, pero no suficiente para explicar las problemáticas que surgen en el

aula cuando un grupo de estudiantes se aplican a apropiar un conocimiento de un campo

específico guiados por un experto. Como tampoco es suficiente, aunque sí necesario,

poseer el conocimiento del saber específico.

En efecto, la apropiación de un sistema organizado de conocimientos científicos

implica, desde el punto de vista de la enseñanza y del aprendizaje de un conocimiento

particular (C), tener ciertos conocimientos que desbordan estos y otros campos teóricos

que interviene en el momento de buscar las justificaciones a un conjunto de acciones

como:

Construcción de escenarios artificiales para una problemática particular del

conocimiento C.

Dar vida real a esta problemática, es decir, que ella responda a necesidades cognitivas

del aprendiz.

Proporcionar instrumentos intelectuales y técnicos que estén al alcance del aprendiz

para resolver esa problemática.

Disponer de mecanismos de influencia educativa que permitan ceder el control y la

responsabilidad de la concepción de la problemática, a cargo del profesor, hacia el

estudiante; de tal manera que éste asuma la obra como propia adquiriendo

progresivamente el control y responsabilidad de su realización.

Controlar el proceso de la apropiación de C y sus resultados.

No existe manera de justificar y mucho menos explicar las acciones arriba

mencionadas desde un único marco teórico ya sea matemático, psicocognitivo, filosófico,

sociológico, etc. Es por ello que en los últimos años surgió la didáctica de las matemáticas

(también llamada Educación Matemática) como un campo teórico que se ocupa de ciertos

fenómenos que surgen en los procesos de enseñanza y aprendizaje, que requieren de

instrumentos teóricos y metodologías particulares para encontrar explicaciones a las

problemáticas que ellos plantean.

4.1 LA DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICA

Esta disciplina se ha desarrollado en las últimas décadas construyendo un dominio

conceptual y métodos de investigación propios. Su campo conceptual se nutre de

disciplinas como: psicología, historia, filosofía, sociología, lógica, neurología, lingüística

y antropología; pero, genera con independencia sus propios conceptos. Actualmente


89

existen dos tendencias, la anglosajona en la que esta disciplina toma el nombre de

Educación Matemática y se interesa por aspectos cognitivos específicos como:

matemáticas y cognición (Dreyfus, 1991) abstracción matemática y generalización

(Dubinsky, 1992) formas de representación de objetos matemáticos (Sfard,1991; Tall,

1994b, 1995), definición de conceptos matemáticos, esquema conceptual (Tall & Vinner,

1981; Tall, 1991), etc. La didáctica francesa se presenta de una manera más teórica y

global y su núcleo conceptual es la teoría de situaciones y obstáculos epistemológicos

(Brousseau, 1981, 1983a, 1986) respecto al cual giran los trabajos de G. Vergnaud en la

teoría de campos conceptuales, transposición didáctica de Chevallard (1985) y en el área

metodológica los trabajos de ingeniería didáctica (Chevallard, 1882, Artigue, 1988). Para

los franceses,

La didáctica de una disciplina es la ciencia que estudia, para un dominio particular

(aquí las ciencias y las matemáticas), los fenómenos de la enseñanza, las condiciones

de transmisión de la «cultura» propia a una institución (aquí las instituciones

científicas), y las condiciones de la adquisición de conocimientos por un aprendiz.

(Johsua & Dupin, 1993, p. 2)

El estudio entonces se centra en tres elementos: la disciplina (en nuestro caso la

matemática), la naturaleza del aprendizaje y las condiciones en que éste se realiza. El

análisis de las interacciones entre estos elementos, pone de manifiesto los principios

reguladores de la acción, al mismo tiempo que revela la estructura general tanto como la

de los subsistemas que la integran. Los teóricos franceses han adoptado un enfoque

sistémico para estudiar, en el aula, las interacciones entre el saber que se enseña, el

alumno y el profesor (elementos del sistema didáctico); ellos sostienen que un fenómeno

didáctico30

está siempre en relación con todos los elementos del sistema y por tanto no

puede ser explicado de manera aislada. Chevallard (1991), afirma que:

Los sistemas didácticos son formaciones [...] en torno a un saber (designado

ordinariamente por un programa); un contrato didáctico se constituye alrededor de un

proyecto compartido de enseñanza y de aprendizaje que agrupa al profesor y a los

alumnos en un mismo lugar. El entorno próximo de un sistema didáctico está en

principio constituido por un sistema de enseñanza, que reúne el conjunto de sistemas

didácticos, y presenta un conjunto diversificado de dispositivos estructurales que

permiten el funcionamiento didáctico (Chevallard, 1991, p. 23)

La puesta en relación de éstos tres elementos (profesor, alumno, saber que se enseña)

conforman la base del funcionamiento de la enseñanza; según Johsua y Dupin (1993) es

aquí donde las historias y las determinaciones particulares que las estructuran dentro de

una autonomía particular las une en provecho unas de otras.

a) El alumno accede a una enseñanza con una estructuración particular de

conocimientos. Esta se puede revelar compatible con lo que se le va hacer aprender,

pero puede también no estar en correspondencia, lo que es frecuente en el caso de los

saberes científicos. Si el alumno no puede aprender sino a partir de lo que él ya conoce,

30

fenómeno didáctico: se identifica con este nombre a los problemas que se plantea un investigador de la didáctica para

entender y encontrar buenas explicaciones a los procesos que surgen en el estudio de las matemáticas y que se relaciona

con las actividades de: utilizar matemáticas conocidas, aprender y enseñar matemáticas, y crear matemáticas nuevas. La

formulación de un fenómeno didáctico parte de la constatación de un hecho que se repite y presenta un punto estable del

sistema didáctico, pero que ante las necesidades actuales plantea una problemática que obstaculiza el funcionamiento del

sistema didáctico con relación a los nuevos requerimientos del medio que se producen por diversas razones –adelantos

técnicos, nuevas formulaciones de la ciencia, nuevas necesidades sociales, etc.– Según Chevallard et alt comprenden:

[...] los fenómenos que emergen de cualquier proceso de estudio de las matemáticas,

independientemente de que dicho proceso esté dirigido a utilizar las matemáticas, a aprenderlas,

a enseñarlas o a crear matemáticas nuevas (Chevallard, y otros, 1997. p. 47)


90

entonces él responde necesariamente en contra de eso que él conoce ya, en un momento

u otro. Estos mecanismos cognitivos, que él ha adquirido para cercar lo más próximo,

constituyen una primera restricción didáctica mayor.

b) El saber que ha de ser enseñado presente en la clase conserva ataduras culturales y

sociales con el exterior de la clase. También tiene una historia, que condiciona a la vez

el contenido a enseñar, su lugar en el curso, la forma de su presentación. Depende de

muchos factores relacionados entre sí: concepciones epistemológicas dominantes en las

comunidades científicas, relaciones culturales establecidas con aquellos dominios por

el publico, objetivos sociales fijados en la enseñanza. Estos determinantes se

constituyen en sistema global, el cual, bajo formas específicas, se manifiesta en cada

objeto de enseñanza particular.

c) El profesor desarrolla concepciones precisas, ligadas a su propia historia, sobre la

manera como un alumno aprende, sobre las finalidades de la enseñanza que él divulga,

sobre los fundamentos epistemológicos de las ciencias. Esto constituye de cualquier

manera su ideología privada que condicionará en parte los actos de enseñanza

realizados. (Johsua & Dupin, 1993, p. 5)

Estos tres elementos, al entrar en relación ponen de manifiesto una estructura que

Johsua & Dupin (1993) denominan estructura didáctica que:

Actúa como un filtro: integra o rechaza elementos de la historia de cada uno de sus

componentes. además: obra para que éstas características se transformen en vista de

hacer simplemente posible el funcionamiento didáctico. (Johsua & Dupin, 1993, p. 5)

La estructura didáctica se manifiesta así como un sistema didáctico con un peso

específico en la determinación de las relaciones entre los componentes de su estructura, ya

que estas deben tomar forma de acuerdo a las necesidades del sistema. Entre las

necesidades aparece claramente la de transformar el saber científico de la disciplina para

ponerlo al alcance del aprendiz (la transposición didáctica), también la necesidad de

regular las acciones, de los elementos inteligentes de la estructura didáctica, en el

aprendizaje; es decir: las reglas que median la acción del sujeto con el saber a aprender;

entre éste y sus pares; entre los alumnos y el profesor(el contrato didáctico)

Respecto a nuestro trabajo investigativo nos apoyaremos en la teoría de situaciones

de Brousseau (1981, 1986) para el diseño de un instrumento de intervención en el aula.

También, utilizaremos la metodología de la ingeniería didáctica (Artigue, 1988) para

justificar la planificación, ejecución y evaluación de la experiencia.

En cuanto a los aportes de la escuela anglosajona que son de nuestro interés son

aquellos respecto a las formas de representación y desarrollo de los conceptos

matemáticos avanzados y en particular en los trabajos de David Tall & Vinner, S. (1981),

Tall (1981), (1985), (1987), (1981), (1991), (1992), (1994a), (1994b), (1994c), (1995).

Pero, antes de entrar en materia es conveniente ubicar la didáctica respecto a los aportes de

otras disciplinas.

5. EPISTEMOLOGÍA Y DIDÁCTICA

Como hemos visto en el apartado anterior en los procesos del aula tienen lugar una gran

variedad de fenómenos todos ellos complejos y en última o primera instancia se relacionan

con los interrogantes epistemológicos:

La perspectiva didáctica: epistemología y didáctica

91

¿Qué es el conocimiento? ¿Qué papel juegan la percepción, la acción, el

lenguaje y el simbolismo?

Todos, profesores e investigadores de la didáctica, tienen algo que decir respecto de

estos interrogantes; pero lo importante no es tanto lo que se expresa, sino lo que se hace.

Las respuestas verdaderas se observan en la acción. La caracterización de la acción a la luz

de los interrogantes arriba escritos refleja la concepción epistemológica del sujeto

(investigador-enseñante) y el producto de sus actos está fuertemente ligado a ella.

Dreyfus & otros (1990, pp. 113-134) en un interesante artículo nos ayudan a recordar,

rápidamente las fuentes de la epistemología de la educación matemática: las preguntas

generales epistemológicas se especializan de acuerdo a la disciplina que se trate, pues la

forma de producir el conocimiento científico varía de una ciencia a otro, así como los

objetos que le son propios a ellas.

Así, la epistemología de la matemática (E.M) se nutre en diferentes fuentes:

i. De los Matemáticos; como Poincare, Hadamard, Connes, etc. cuando

expresan sus reflexiones, sustentadas en la propia experiencia, respecto a la

naturaleza de las matemáticas, su relación con el cerebro humano, etc.

ii. Del debate matemático filosófico sobre los fundamentos de las matemáticas

que se expresa en las concepciones del formalismo, intuicionismo, neo-

platonismo, constructivismo. (ver N. Goodman, 1979, pp. 540-551)

iii. De la aproximación histórica, que trata de explicar el ambiente científico y

social en el cual surgen y evolucionan los conceptos matemáticos nuevos.

La epistemología de la Psicología (E.P): tiene raíces diferentes a las de la E.M.

i. Por la naturaleza de los objetos que tienen que ver con la psicología como

ciencia:

¿entorno?, ¿consciente?, ¿inconsciente?, ¿módulos elementales de ¿acción?,

¿percepción?, ¿memoria?, ¿organizaciones complejas del entorno?

¿representaciones complejas?.

ii. Las clases de modelos que explican el fenómeno psicológico:

¿asociaciones?, ¿mecanismos internos?, ¿mecanismos biológicos como

adaptación?, ¿modelos neuro-psicológicos?, ¿modelos de la ciencia

computacional?, ¿modelos socioculturales?

La Epistemología de la Educación Matemática (E.E.M.):

Hereda las preguntas de los dos campos E.M. y E.P., agregando nuevas preguntas

puesto que la educación matemática se realiza en una cierta sociedad, en una

institución, en un cierto salón de clases, con diferentes metas como la educación de

futuros ciudadanos. Estas restricciones no afectan el conocimiento matemático per se,

pero tiene fuertes repercusiones por la forma en que los maestros ven la enseñanza de

las matemáticas y las matemáticas mismas. No solamente las representaciones de las

matemáticas de los estudiantes difieren de las de sus profesores, sino que, las

representaciones de los maestros varían mucho, de acuerdo a su visión de las

matemáticas, la psicología y la sociedad. (Dreyfus & otros,1990, pp.113 -134).

Así, las preguntas centrales de la E.E.M.se debaten en diferentes campos:

• Del dominio psico-cognitivo:


92

Tiene que ver con los procesos mentales de los estudiantes en el aprendizaje:

¿redescubrimiento?, ¿reinvención de los conceptos?, ¿ construcción de los

conceptos?.

• Del dominio de la historia de las matemáticas:

¿Cuál es la naturaleza y la función de un nuevo concepto, un nuevo procedimiento,

un nuevo tipo de razonamiento, una nueva representación?.

Más concretamente, ¿cuál es la relación de competencias y concepciones

matemáticas nuevas con los problemas prácticos o teóricos que hacen a estas útiles y

significativas?.

Estas clases de preguntas de las tres epistemologías son esenciales para la

investigación en la didáctica, la selección de situaciones y la elección o construcción de

modelos de aprendizaje.

5.1. ALGUNOS APORTES DE LA EPISTEMOLOGÍA DE LA EDUCACIÓN

MATEMÁTICA A LA DIDÁCTICA.

A continuación comentaremos algunos aportes de la E.E.M. a la didáctica que están

relacionados con nuestra investigación.

5.1.1. El concepto de obstáculo epistemológico.

Bachelard (1938) introdujo el término "obstáculo epistemológico":

Es en términos de obstáculos que se debe plantear el problema del conocimiento

científico. No se trata de considerar los obstáculos externos, como la complejidad y la

fugacidad de los fenómenos ni de incriminar la debilidad de los sentidos y del espíritu

humano: es en el acto mismo de conocer, íntimamente, que aparecen, por una clase de

necesidad funcional, son lentos y son problema. Es aquí que se encuentran las causas

del estancamiento y aún de la regresión, es aquí que hay que encontrar las causas de la

inercia que es eso que llamamos obstáculo. ( Bachelard, 1938, p 15 )

Esta célebre cita plantea que la esencia de los obstáculos está en el terreno del mundo

interno del sujeto,«en el acto de conocer », que se resiste por alguna clase de «necesidad

funcional » al cambio conceptual. Por esta razón el concepto de obstáculo epistemológico

ha resultado ser un concepto potente para explicar ciertos comportamientos del estudiante

en su aprendizaje de las matemáticas.

Michèle Artigue en su articulo “Epistémologie et Didactique” comenta:

El primer texto de didáctica de las matemáticas donde aparece la noción de obstáculo

epistemológico es, a mi modo de ver en la conferencia presentada en 1976 por G.

Brousseau en Louvain la Neuve [13]31

. G. Brousseau vio en particular en la noción de

obstáculo el medio de cambiar el estatus del error mostrando que:

El error y el fracaso no tienen el rol simplificado que a veces se le quiere asignar.

El error no es solamente el efecto de la ignorancia, de la incertidumbre, del azar

tal como se cree en las teorías empíricas o conductistas del aprendizaje, pero

puede ser el efecto de un conocimiento anterior que tuvo su interés, su éxito, pero

ahora se revela falso o simplemente inadaptado. Los errores de este tipo no son

erráticos e imprevisibles, ellos se constituyen en obstáculos. Tanto en el

31

Brousseau G. (1976) La problemátique et l´enseignement des mathématiques, XXVIIIº encuentro de la CIEAEM,

Lovaina la Nueva.


93

funcionamiento del maestro como del alumno, el error es constitutivo del sentido

del conocimiento adquirido.

En su perspectiva de un aprendizaje por adaptación a un medio problemático, el

objetivo principal de la didáctica es justamente de «estudiar las condiciones que

debieran constituir las situaciones o problemas propuestos al estudiante para favorecer

la aparición, el funcionamiento y el rechazo de sus concepciones sucesivas». Esto lo

conduce a la noción de salto informacional, sólo un salto informacional suficiente, que

pueda en efecto bloquear los mecanismos de adaptación y de acomodación de las

concepciones anteriores y arrastre el cuestionamiento de un conocimiento obstáculo.

(Artigue, 1990, p. 249 ).

En el texto citado por Artigue, G. Brousseau distingue, de hecho, tres orígenes

fundamentales de los obstáculos encontrados en la enseñanza matemática:

Un origen ontogenético, debido a las limitaciones impuestas, por el nivel de

desarrollo de las capacidades cognitivas de los alumnos, en el proceso de enseñanza,

Un origen didáctico, debidos a las decisiones del sistema educativo, o las acciones del

profesor en el proceso de enseñanza

Un origen epistemológico, por los obstáculos ligados a la naturaleza del conocimiento

mismo y que son propios de él, se repiten en la historia, muestran su persistencia y

dificultad para evolucionar, es decir los obstáculos en el sentido de Bachelard.

Desde el punto de vista de la didáctica interesan los esquemas conceptuales de los

individuos que no están en conflicto con la definición formal, pero que constituyen

verdaderos obstáculos epistemológicos para el aprendizaje del concepto.

Si admitimos que la evolución del conocimiento científico ha sido producto, desde el

punto de vista cognitivo, de superaciones de obstáculos epistemológicos y de

equilibraciones sucesivas, entonces la teoría de la equilibración de Piaget se torna en

instrumento útil para explicar: la naturaleza, la inercia y la resistencia del cambio

conceptual en la ontogénesis en relación con aquellos obstáculos planteados y superados

en la filogénesis.

Pero la equilibración, por sí sola, no es suficiente; el sujeto ontogenético es heredero

del "sujeto" histórico; sus realizaciones están mediadas, como ya hemos visto por la

evolución sociocultural, luego, es necesario complementar las unidades de análisis

ontológicas con las unidades que toman en cuenta la influencia sociocultural. Esto nos

obliga a mirar en el espejo de la historia para precisar las condiciones y factores que

permiten o favorecen una evolución conceptual y examinar en los estudiantes de hoy

cuales son atribuibles a líneas de desarrollo natural o sociocultural. Los estudios

realizados sobre la relación entre la historia y la psicogénesis por ejemplo, los trabajos

relativos al concepto de límite de Sierpinska (1985), Cornu (1982)han permitido

establecer que:

Algunas problemáticas han sido fuente de progreso.

Algunas uniones con otros conceptos han favorecido este desarrollo.

Transponiendo esto al desarrollo cognitivo del sujeto, quiere decir, que:

a) El conflicto cognitivo es condición necesaria para generar el cambio conceptual.

b) La puesta en relación de los conceptos es fundamental para la evolución

conceptual.


94

Por otro lado, el estudio en la historia de:

Los progresos sucesivos de los conceptos.

Sus ritmos de aparición.

permite discernir: cuales son los principales obstáculos que, en un determinado período

histórico, le han faltado superar y cómo se han podido superar.

El estudiante enfrenta obstáculos, algunos son repetición de los observados en la

historia, y progresa en su conocimiento; desafortunadamente nosotros, los responsables de

orientar su aprendizaje, olvidamos las condiciones históricas en que se ha gestado el

cambio conceptual, proceso que en muchos casos ha tomado mucho tiempo y a nosotros

mismos nos ha desvelado innumerables noches; procesos que han levantado polémicas

centenarias!.

La aproximación histórica permite descubrir algunos de estos obstáculos, aquellos

que son pasajes obligados, y se puede entonces hacer la hipótesis que estos son también

obstáculos para los alumnos de hoy.

Para nuestro trabajo, el origen epistemológico del obstáculo resulta de gran

importancia, de hecho ha sido uno de sus ejes orientadores; como ya lo hemos expresado

es necesario para el progreso conceptual enfrentar y superar estos obstáculos. A la luz de

las investigaciones epistemológicas se puede entender que es inútil dejar de lado los

obstáculos; por el contrario se debe identificarlos y preparar situaciones para que ellos se

manifiesten. Así lo confirman estudios, por ejemplo de tópicos del cálculo, como:

continuidad (Vinner, 1987); rectas tangentes (Tall, 1987), (Azcárate, 1990); límites

(Cornu, 1981), (Sierpinska, 1985); los cuales, muestran que:

1. Los estudiantes aprenden los procedimientos del cálculo (encontrando límites,

diferenciando, etc.) a un nivel puramente algorítmico; estos procedimientos tienen

generalmente asociados esquemas conceptuales muy pobres.

2. La visualización es escasa, y si ésta ocurre la relación cognitiva entre lo visual-

gráfic0 y lo analítico-representaciones algebraicas es el punto más importante de

dificultad. (Dreyfus, 1990, pp. 113-134)

A continuación nos referimos a algunos aportes teóricos que tienen su fuente en la

E.P. en especial los últimos trabajos del profesor Tall en el campo del pensamiento

matemático avanzado.

5.1.2. Definición personal y definición formal del concepto

Para el estudio de la modificación de los conceptos espontáneos del alumno en los

procesos de aprendizaje de los conceptos matemáticos, es necesario hacer dos distinciones.

Primero entre: la definición «personal» y la definición «oficial» del concepto; en segundo

lugar, entre: la «estructura» conceptual del alumno y la «estructura», socialmente

construida, del concepto en la matemática.

En referencia al primer aspecto, Carmen Azcárate, y otros (1993) comentan:

En su estudio de los problemas de aprendizaje de los límites de sucesiones, de límites

de funciones y de continuidad, Tall y Vinner (1981) se refieren a la diferencia que

existe entre los conceptos matemáticos definidos formalmente y los procesos

cognitivos utilizados para concebirlos. A efectos de clarificación del lenguaje nos

parece relevante la distinción que establecen y que consiste en considerar por separado:


95

—La definición del concepto como una secuencia de palabras o una definición verbal

que explica el concepto con precisión. Se podrá distinguir entre las definiciones

formales, aceptadas por la comunidad científica de los matemáticos, y las

definiciones personales que utilizan las personas como construcción o

reconstrucción de una definición formal. (1993, p. 92)

La definición personal (DP) del concepto puede reflejar el nivel de conciencia de los

elementos que estructuran el concepto en un momento dado o simplemente ser una

expresión evocada del concepto definido (CD) que el estudiante no aplica en su práctica,

es decir no es operativa. Vinner y Dreyfus (1989), ilustran lo que sucede en el aula cuando

el estudiante tiene que aplicar una definición en un contexto y el problema que ello plantea

a la didáctica:

Todos los conceptos matemáticos excepto los primitivos, tienen definiciones formales.

Muchas de estas definiciones se introducen a los estudiantes de enseñanza secundaria o

universitaria en un momento o en otro. Por otra parte, los estudiantes no utilizan

necesariamente la definición cuando deciden si un objeto matemático dado es un

ejemplo o no del concepto. En muchos casos, él o ella deciden sobre la base de un

concept image, es decir el conjunto de todas las imágenes mentales del estudiante

asociadas al concepto, juntamente con todas las propiedades que le caracterizan. (Por

imagen mental entendemos cualquier clase de representación: imagen, forma simbólica,

diagrama, gráfica, etc.) El concept image del estudiante es el resultado de su

experiencia con ejemplos y contraejemplos del concepto. Por tanto, el conjunto de

objetos matemáticos que el estudiante considera ejemplos del concepto no es

necesariamente el mismo que el conjunto de objetos matemáticos determinados por la

definición [formal]. Si estos dos conjuntos no son el mismo, el comportamiento del

estudiante puede ser diferente del que espera el profesor. Para mejorar la comunicación

necesitamos comprender por qué se da esta diferencia; por tanto, es importante explorar

los esquemas que tienen los estudiantes de varios conceptos matemáticos. (Vinner y

Dreyfus, 1989,p.356)

La importante noción “concept image” de la cita fue formulada en 1981 por Vinner y

Tall, y tiene su equivalente en la escuela francesa en lo que se denomina “concepción”. En

los dos casos la finalidad de los términos es diferenciar la estructura cognitiva asociada al

concepto de la estructura lógica-formal del concepto en la matemática

5.1.3. Concepciones o esquemas conceptuales y estructura lógica-formal del

concepto matemático

Respecto de la segunda diferenciación necesaria, entre estructura del sujeto y

estructura del concepto matemático, los teóricos de la didáctica han acuñado diferentes

términos para la "acción de concebir", del sujeto; es decir, la acción de "formar o empezar

a tener ciertas cosas en la mente", con la finalidad de hacer distinciones entre la estructura

del concepto «oficial» matemático y la estructura o conjunto de representaciones,

esquemas, asociaciones internas, propiedades, que son asociadas por el sujeto a un

concepto. Lo que permite poner en evidencia la falsa ilusión de la transparencia de la

comunicación matemática profesor-estudiante. Por ejemplo, Michèle Artigue (1990) al

referirse a la necesidad del término «concepción» en la teoría de la didáctica, afirma:

La noción de concepción responde en efecto, para mi, a dos necesidades distintas:

- Poner en evidencia la pluralidad de los puntos de vista posibles sobre un mismo

objeto matemático, diferenciar las representaciones y modelos de tratamiento que le

son asociados, poner en evidencia su adaptación más o menos buena en la resolución

de diferentes tipos de problemas.


96

- Ayudar a la didáctica a luchar contra la ilusión de transparencia de la comunicación

didáctica inducida por la epistemología escolar y los conocimientos efectivamente

construidos por el alumno. (Artigue, 1990, p. 265).

Y respecto a las diferentes aproximaciones al concepto, Azcárate y otros destacan que

Varios autores utilizan los términos concepto matemático y la expresión concepciones

de los individuos o de los alumnos.

Artigue (1990), por ejemplo, analiza la compleja trayectoria de la noción de concepción

en la comunidad didáctica francesa y da su propia definición, estableciendo un

paralelismo entre concepto matemático y concepción:

«De la misma manera que en un concepto matemático se distingue:

—la noción matemática tal como se define en el contexto del saber sabio en

una época dada,

—el conjunto de los significantes asociados al concepto,

—la clase de los problemas en cuya resolución adquiere su sentido,

—los instrumentos: teoremas, técnicas algorítmicas, específicas del

tratamiento del concepto.

En las concepciones de los sujetos se distinguirán diversas componentes,

y, en particular:

—la clase de las situaciones-problemas que le dan sentido al concepto para

el alumno,

—el conjunto de los significantes que es capaz de asociarle, en particular las

imágenes mentales,

—las expresiones simbólicas,

—los instrumentos, teoremas, algoritmos de los que dispone para manipular

el concepto.»

Por otra parte, Sfard (1991) establece también distinciones entre concepto matemático,

que designa las ideas matemáticas en su forma «oficial» como constructos teóricos que

forman parte de lo que ella llama «universo formal del conocimiento ideal», y

concepción matemática que designa todo el conjunto de representaciones y

asociaciones internas del individuo y que evoca el concepto; se puede decir que una

concepción es el correspondiente del concepto en el «universo interno y subjetivo del

conocimiento humano». (1993, p. 92)

Nosotros consideramos que en el contexto de nuestro trabajo, y por la trayectoria en

la investigación de los conceptos de límite de David Tall, la definición que más se

aproxima a nuestros intereses es la propuesta por Tall y Vinner (1981), que denominaron

"concepto imagen " y que en adelante, siguiendo la terminología de Azcárate, llamaremos

"esquema conceptual" (E.C). Esta noción hace referencia a la estructura interna del sujeto

asociada a las nociones matemáticas:.

Llamaremos "concepto imagen" a la estructura cognitiva completa que está asociada al

concepto, la cual incluye imágenes mentales, propiedades y procesos. Se construye a

través de los años con experiencias de todo tipo, cambian si el individuo se encuentra

con nuevos estímulos y madura de ese modo (Vinner y Tall, 1981, p.152)

Ejemplos de expresiones asociadas a esquemas conceptuales de alumnos:

- Una función es continua si se puede dibujar de un solo trazo.

- Toda función continua es diferenciable excepto en puntos aislados.


97

- La raíz cuadrada de x al cuadrado es x.

Aquí, lo importante es que estas expresiones reflejan los elementos de la estructura

cognitiva, que traducen niveles de conciencia respecto a los objetos y relaciones

matemáticas. El contraste de estas verbalizaciones y las acciones del sujeto permite

realizar inferencias plausibles respecto a la estructura cognitiva asociada en ciertas

situaciones estimuladas por determinados contextos.

Tall (1992) hace especial referencia al conflicto que se presenta, en la transición al

pensamiento matemático avanzado, entre la estructura E.C. y la estructura lógica del C.D.

Comenta que la consideración de los conflictos en el pensamiento está dispersa en la

literatura; por ejemplo cita a Papert32

: «nuevo conocimiento usualmente contradice el

viejo, y el aprendizaje efectivo requiere estrategias para tratar con tales conflictos.

Algunas veces las piezas conflictivas del conocimiento pueden ser reconciliadas, en otras

uno u otro deben ser abandonados, y algunas veces los dos pueden ser "abordados" con

seguridad si se mantienen en compartimentos mentales separados». Dice Tall que:

Esto es particularmente aplicable [...] al pensamiento matemático avanzado cuando la

mente simultáneamente tiene concept image basados en experiencias tempranas que

interactúan con nuevas ideas basadas en definiciones y deducciones. La idea de definir

un concepto en una frase, como opuesto a su descripción, es de entrada muy difícil de

comprender, particularmente cuando hay palabras en la definición que no están

definidas. Es imposible hacer una iniciación sin hacer algunas asunciones, y ellas son

con base en los concepto imagen individuales, no sobre alguna formulación lógica del

concepto definido. (Tall, 1992)

Nosotros adoptamos el concepto piagetiano de esquema conceptual para interpretar el

término “concept image” de Tall. La ventaja de darle este significado es que el concepto

se vuelve operativo ya que se puede interpretar su funcionamiento en términos de los

conceptos de asimilación y acomodación y todos los demás elementos del modelo

cognitivo ya definidos en la teoría piagetiana; de esta manera pasa de ser un concepto

descriptivo a constituír un instrumento teórico útil en el estudio de los aprendizajes de

conceptos.

Estos planteamientos aportan las siguientes hipótesis para nuestra investigación:

Hipótesis psico-cognitivas

HPC1. La estructura lógica del concepto se construye a partir de los E.C asociados al

concepto.

HPC2. El E.C determina, la asimilación de una situación particular dada y la acomodación

de los esquemas a ella. La toma de conciencia de los desequilibrios entre estos

dos procesos lleva modificaciones de los E.C.

HPC3. El E.C evoluciona con la experiencia del individuo siempre que ella proporcione las

condiciones necesarias para producir inconsistencias externas que se conviertan

en conflictos cognitivos entre el E.C y la situación en consideración, y con él la

necesidad de modificación de la estructura para restablecer el equilibrio.

HPC4. El conflicto cognitivo es condición necesaria para resolver, si se presentan, las

incoherencias entre E.C y el C.D

32

Papert, S, 1980, p. 284, Mindstorms Brighton: Harvester Press


98

5.1.4. Los principios cognitivos de Tall

En la conferencia con motivo del congreso internacional de matemáticos de Zurich,

Tall (1994a) plantea que “los matemáticos luchan con ideas en la investigación, pero las

ideas se organizan para ser enseñadas en una secuencia lógica clara. ¿Cómo es qué,

cuando se presentan con teorías bien organizadas, los estudiantes deben luchar

demasiado?” y pregunta “¿Es que los estudiantes carecen del esfuerzo o intelecto

necesario, o existen otras razones?”.

Él da una respuesta que nosotros compartimos y es (en nuestras palabras) que: una

cosa es hacer matemática y otra enseñarla; en el primer caso el matemático se preocupa

por sus métodos y su estrategia. Su visión de la matemática juega un papel determinante

en su actividad matemática; ella orienta los procesos, las pruebas, la búsqueda de caminos

alternativos. Por otro lado, en la enseñanza, intervienen los procesos cognitivos y la

experiencia matemática del estudiante, obviamente diferentes de los del profesor, pero con

ellos enfrenta su aprendizaje, empleando herramientas y métodos que, para él, funcionan.

Tales procesos y experiencia previa, del estudiante, no pueden pasar inadvertidos por el

profesor; existen ciertas regularidades en los procesos cognitivos del sujeto que pueden

orientar al profesor en su labor de enseñanza; dichas regularidades se expresan en

principios como los que mencionó Tall en la conferencia a la que hacemos referencia:

Principio cognitivo I: Para sobrevivir en sentido Darwiniano, el individuo debe tratar

de maximizar el uso de su estructura cognitiva por focalizaciones sobre conceptos y

métodos que funcionen, descartando rápidamente estados intermedios que no tengan un

prolongado valor. (Tall, 1994a, p.1)

Este principio nos recuerda el principio físico de "la mínima acción", aquí la acción

del sujeto está mediada y, como hemos visto, los instrumentos de mediación dan forma a

la acción; de tal manera que si aceptamos la hipótesis del darwinismo cognitivo (por

variación y selección)33

, para lograr maximizar el desarrollo cognitivo, se requiere que los

elementos (mediadores), que estimulan la acción del sujeto, sean apropiados para

alimentar a un generador de diversidad y proporcionar criterios externos que alimenten el

sistema de selección. El énfasis de Tall es sobre la capacidad focalizadora del cerebro,

más que sobre el proceso mismo de selección y lo entendemos en el sentido que tal

capacidad es necesaria para desarrollar el proceso pero nosotros observamos que ella no es

suficiente. La focalización para Tall, no es un punto fuerte del cerebro como sí lo es, por

ejemplo, su gran capacidad para almacenar información; por tanto un aspecto importante a

tomar en cuenta es cómo lograr presentaciones del conocimiento matemático para apoyar

la focalización.

He aquí su segundo principio:

Principio cognitivo II: El cerebro tiene un pequeño foco de atención y un gran

espacio para guardar y por lo tanto el crecimiento cognitivo necesita para su desarrollo.

(a) Un mecanismo de compresión de ideas para encajarlas en el foco de atención.

(b) Un mecanismo de vinculación con la información relevante almacenada y que

permita conducirla al foco de atención de una manera adecuada. (Ídem, p.2)

33

La tesis de «darwinismo generalizado» que explica la transición de un nivel cognitivo a otro superior, ha sido sugerida

por diferentes investigadores de la neurociencia, en particular, por Jean Pierre Changeux. (Ver Changeux & Connes,

Materia de reflexión, 1993, Matatemas Nº 30, Barcelona.)


99

Dice Tall:

Los datos necesitan ser comprimidos dentro de una forma que pueda ser asociada

efectivamente con el foco de atención y un mecanismo es requerido para cambiar

apropiadamente el dato dentro y fuera de la memoria de almacenamiento. (Tall, 1994b,

p.5)

Con respecto a la compresión de la información y su poder, vale la pena recordar el

caso de los grandes maestros de ajedrez, estudiado por los psicólogos, y que llama la

atención por su gran capacidad para desarrollar estrategias que les permitan encontrar

variantes ganadoras. Una explicación es la siguiente:

Parece que de algún modo aprenden un nuevo lenguaje que contiene una serie

importante de posibilidades, de jugadas posibles, cada una correspondiente a una

palabra. La cantidad estaría entre siete y diez mil, como un diccionario francés o inglés.

En lugar de analizar de forma sistemática y combinatoria la distribución de los peones

en el tablero, el gran maestro apela a su memoria para elaborar la estrategia adecuada.

Así que más que inventar constantemente nuevas estrategias, razona preferiblemente a

partir de imágenes y de estrategias que ha memorizado. (Changeux & Connes, 1993)

En este ejemplo se observa el papel del lenguaje como método para comprimir

información y de esta manera permitir la focalización en aspectos más pertinentes en

términos de la estrategia necesaria para la situación. Aquí es la imagen y las estrategias

memorizadas las que potencian el pensamiento.

Si reconocemos como una debilidad del cerebro su función focalizadora y tomamos

en cuenta observaciones como la descrita por Changeux, entonces cabe preguntarse por

los métodos de la Matemática para comprimir la información. Tall (1994a) afirma que:

En matemáticas hay varios métodos para comprimir información:

(1) representando información visualmente (una imagen es mejor que mil palabras)

(2) usando símbolos para representar información de manera compacta

(3) si un proceso es demasiado largo para ubicarlo de forma apropiada en el foco de

atención, la práctica puede convertirlo en una rutina de tal manera que su extensión

no requiera mucho pensamiento. (Tall, 1994a, p.2)

Por último, Tall menciona un principio que no por conocido y de sentido común, es

menos importante y que nosotros lo expresaríamos como «se aprende pensando acerca de

lo pensado».

Principio cognitivo III: Un poderoso agente en el aprendizaje con comprensión es la

travesía de construcciones matemáticas por uno mismo y entonces reflexionar sobre el

propio conocimiento- pensando a cerca de lo pensado. (Ibíd. p.2)

Estos son principios sencillos, pero como dice Tall: “es más fácil decir que hacer”, sin

embargo allí están y los profesores muchas veces actuamos contra natura planteando

situaciones de aprendizaje "buenas" para nosotros, pero que se alejan del contexto

cognitivo del estudiante.

El desarrollo cognitivo y los objetos matemáticos

Con respecto al desarrollo cognitivo y su relación con la enseñanza de la matemática,

existe una amplia literatura en diferentes campos: la epistemología, la psicología, la

historia, la filosofía y como afirma Vergnaud & otros:


100

Hay al menos tres niveles de preguntas interfiriendo: epistemología de las matemáticas,

epistemología de la psicología y epistemología de la educación matemática. (Vergnaud

& otros, 1990, pp. 14- 23)

Se trata de encontrar principios explicativos para comprender la naturaleza del

conocimiento matemático y con ello poder responder interrogantes del estilo: ¿Cómo

puede suceder que gente con cerebros bien dotados, pueda tener dificultades para entender

la matemática?; ¿qué es eso que hace a la matemática inaccesible para muchas personas?;

¿cuál es la naturaleza del conocimiento matemático?

5.1.6. Las ideas de Anna Sfard

Algo que diferencia las matemáticas de otras disciplinas son los “objetos” sobre los

que se ejecuta el proceso de abstracción, pues ellos no tienen una existencia física, sino

que sólo habitan en la mente y por tanto son producto de abstracciones previas sobre

“objetos abstractos”. Anna Sfard (1991), refiriéndose al respecto, afirma que:

Expresando lo que la gente usualmente dice, a saber: que la matemática es la más

abstracta de las ciencias, no ayuda mucho. Siendo casi un cliché, este reclamo tiene

poco poder exploratorio. La cuestión real que podría preguntarse aquí es cualitativa

más que cuantitativa: ¿Cómo la abstracción matemática difiere de otras clases de

abstracción en su naturaleza, en la forma de desarrollarse, en sus funciones y

aplicaciones?. (Sfard, 1991, p. 2)

En particular el estudio de Anna Sfard sobre el papel de los procesos en el

pensamiento matemático y la abstracción reflexiva de Piaget resulta muy interesante; ella

platea que:

Un análisis de las diferentes definiciones matemáticas y representaciones nos lleva a la

conclusión que las nociones abstractas, tales como número o función, pueden ser

concebidas en dos formas fundamentalmente diferentes: estructuralmente (como

objetos) y (operacionalmente) como procesos. (Sfard, 1991, p. 1)

Según lo anterior las entidades matemáticas, por ejemplo límite, espacio vectorial,

etc., son productos de abstracción reflexiva que se extraen de las coordinaciones generales

de las acciones del sujeto ya presentes en los procesos; esa forma del sujeto de representar

interiormente las entidades matemáticas se caracteriza de la siguiente manera:

Mirar una entidad matemática como un objeto significa ser capaz de referirse a ella

como si fuera una cosa real -una estructura estática, existiendo en algún lugar del

espacio y el tiempo. Esto también significa tener la capacidad para reconocer la idea

"con una mirada" y para manipularla como un todo, sin entrar en detalles. [...]. En

contraste, la interpretación de un movimiento como un proceso implica recordarlo

como potencial más que una entidad actual, que viene a nuestra existencia interior en

petición de una secuencia de acciones. Así, mientras que la concepción estructural es

estática ( o podría decir después de Frege 1970 “Timeless”), instantánea, e integrativa,

la operacional es dinámica, secuencial y detallada. (Sfard, 1991, p. 4)

Compartimos el planteamiento, en términos de la caracterización, de las dos formas

de concebir las nociones matemáticas abstractas; pero, creemos que no siempre, como

Sfard conjetura, la concepción procedimental precede a la estructural. Tenemos dos

razones para sustentar nuestro punto de vista. La primera proviene de la concepción

vigotskiana respecto al poder mediador de los sistemas simbólicos y su papel en la

formación de los conceptos. La segunda se basa, como veremos un poco más adelante,

trabajos de Tall; pero antes, veamos el planteamiento de Sfard respecto de el desarrollo de

concepciones operacionales a estructurales.


101

5.1.7. Fases del desarrollo cognitivo en matemáticas.

Sfard sostiene que la transición del concepto implícito en los procesos operativos al

concepto estructurado, requiere de tres fases que denomina: Interiorización, condensación,

y "reification"34

. Esta última etapa es precisamente la que se aproxima a lo que Tall

(1994b) llama encapsulación; la diferencia consiste en la forma como los dos autores

explican los proceso de transición de una fase a otra. Sfard se refiere al paso de la

condensación a la cosificación de la siguiente manera:

• Interiorización.

En el estado de interiorización 35

un aprendiz obtiene familiaridad con un proceso que

podría eventualmente dar origen a un nuevo concepto (como el conteo lleva a los

números naturales, sustracción que conduce a los negativos, o manipulaciones

algebraicas que se convierten en funciones).Esos procesos son ejecutados sobre objetos

matemáticos de bajo nivel. Gradualmente el aprendiz se convierte en experto para

ejecutar esos procesos. El término interiorización es usado aquí, en mucho, en el

sentido que fue dado a éste por Piaget (1970, p. 14); nosotros pondríamos decir que un

proceso ha sido interiorizado si este "puede ser llevado a cabo a través de

representaciones [mentales], y en orden a ser considerado, analizado y comparado éste

necesita no ser lejano a las realizaciones actuales. (Sfard, 1991, p. 18)

• Condensación.

La fase de condensación es un período de "comprimir" prolongadas secuencias de

operaciones en unidades más manejables. En éste estado una persona comienza a ser

más y más capaz de pensar alrededor de los procesos dados como un todo sin sentir la

urgencia de entrar en detalles. Esto es como establecer una parte recurrente de un

programa de ordenador dentro de un procedimiento autónomo: de ahora en adelante el

aprendiz puede referir el proceso en términos de relaciones input-output, más que

señalando alguna operación. Como en el caso de los ordenadores, se podrá dar un

nombre para ésta condensación completa. Este es el punto en que un nuevo concepto

nace oficialmente Cualquier dificultad que indique el output [el producto final] de los

procesos que yacen debajo (como en el caso de la sustracción de un número de otro

más pequeño mientras sólo los números no signados son conocidos) podría servir como

un disparador adicional para la idea de la nueva entidad matemática. Gracias a la

condensación, la combinación de el proceso con otros procesos, hacer comparaciones

y generalizaciones comienza a ser mucho más fáciles. Un progreso en condensación

podría manifestar así mismo también una creciente facilidad para alternar entre

diferentes representaciones del concepto. (Sfard, 1991, p. 19)

La fase de condensación dura tanto como una nueva identidad permanezca fuertemente

conectada a ciertos procesos. Solamente cuando una persona comienza a ser capaz de

concebir la noción como un objeto totalmente emplumado, nosotros diremos que el

concepto ha sido cosificado. (Ídem., p. 19)

• Cosificación.

Cosificación, por tanto, es definida como un cambio ontológico -una repentina

habilidad para ver alguna cosa como familiar con una luz totalmente nueva. Así,

mientras que interiorización y condensación son graduales, cambios cuantitativos más

que cualitativos, cosificación es un salto cuántico instantáneo: un proceso se solidifica

en un objeto interior, en una estructura interior estática. Varias representaciones de el

34

La traduciremos como cosificación 35

Interiorización, en el sentido de Piaget, "es la disociación eventual entre la forma general de una coordinación y el

contenido particular de una acción exterior. La interiorización conduce de la inteligencia «práctica» a la inteligencia

operatoria y es una condición previa tanto para el conocimiento objetivo como para la representación simbólica," (Furth

Hans, 1971)


102

concepto comienzan semánticamente a ser unificadas por éste constructo, abstracto,

permanentemente imaginario. (Ídem., p. 19-20)

Nosotros pensamos que es posible una fase previa a las tres que señala Sfard. Su

origen es sociocultural y debe surgir en el proceso de internalización de Vygotsky. Ocurre

en el momento en que el aprendiz realiza operaciones externas más avanzadas que las que

podría realizar a solas. Es decir, en la Z.D.P. y toma en “préstamo” significados, de otro,

que aún no ha interiorizado y por tanto no pertenecen a su mundo interno. Estas

relaciones, propiedades, procesos, estrategias, etc. que son sugeridas por el experto ya sea

explícitamente o por sus propias acciones y que para el aprendiz son significativas y

viables, se (en la terminología de Tall) “encapsulan” en esquemas figurativos (Piaget) que

luego sirven de “pivotes” en los procesos de reconstrucción interna de las operaciones

externas. La llamaremos fase inductiva.

5.1.8. Visualización y simbolización en matemáticas

Nos ocuparemos ahora de los últimos trabajos de David Tall (1994b), (1995), en los

cuales profundiza en el análisis del desarrollo cognitivo, en especial de los procesos de

abstracción y la transición del pensamiento matemático elemental al pensamiento

matemático avanzado. En su explicación encontramos respuesta a nuestros interrogantes

sobre el número de formas en que se pueden concebir nociones matemáticas y la

diferencia con el planteamiento de Sfard (1991).

Tall(1994b), hace un refinamiento de los tres tipos de sistemas simbólicos que Bruner

(1966) propuso para explicar el tránsito de "el lenguaje en su forma natural" y "los dos

lenguajes artificiales, el de números y el de lógica". La preocupación de Tall es explicar

los roles de la visualización y simbolización (como herramientas mediadoras de la

abstracción) en el crecimiento cognitivo matemático. Tall, se refiere a la distinción de

Bruner de:

tres modos diferentes de representación mental –el sensorio-motor, el icónico, y el

simbólico.–. En su ensayo "patrones de crecimiento" [Bruner] escribió:

Qué significa trasladar la experiencia dentro de un modelo del mundo. Permítame

sugerir que hay probablemente tres formas en las cuales los humanos realizan

este hecho. La primera es a través de la acción [...]. Hay un segundo sistema que

depende de lo visual u otras organizaciones sensoriales y del uso de imágenes

resumidas. [...]. Nosotros nos referiremos a la primera forma de representación

como enactivo36, la segunda es icónica. [...]. Finalmente, hay una representación

en palabras o lenguaje. Su marca de fabrica es que ella es simbólica por

naturaleza. (Bruner, 1966, pp. 10-11)

Bruner consideraba que estas representaciones se desarrollaban en secuencia en el

individuo, primero la representación a través de los esquemas sensorio-motores (enactivo)

luego la representación icónica y, finalmente la representación simbólica. Tall (1994b)

Destaca el papel de los símbolos matemáticos en el desarrollo del pensamiento

matemático y particularmente en el pensamiento geométrico y analítico. Como ya hemos

dicho, los símbolos tienen un gran poder para comprimir información y Tall afirma que

ellos son el pivote para la encapsulación37

de procesos matemáticos en objetos .

36

Enactivo es nuestra traducción al castellano de la palabra inglesa "enactive" que traduce: tener el poder de

representar o establecer interiormente en acto, es decir, por medio de la acción. 37

Se corresponde con el proceso de cosificación de Sfard que ya hemos mencionado.


103

5.1.9. La noción de “procepto”

Tall (1994b) usa la palabra “procept” para denotar simultáneamente proceso

(process) y concepto (concept). Nosotros la traduciremos, conservando la idea original,

por procepto. Dice Tall que las teorías de los psicólogos modernos y los neurosicólogos

sobre el funcionamiento del cerebro, le orientaron para probar:

la utilidad de la teoría de los subsistemas de Bruner para descubrir aspectos sutiles del

crecimiento del [pensamiento] matemático. [...] En el inicio de los años 80 yo empecé

a trabajar sobre una aproximación visual a el cálculo, usando el computador en

correspondencia con el modo icónico de Bruner que subyace en las ideas matemáticas

simbólicas (e.g. Tall, 1985a). Esto podría sugerir una división entre modos visuales y

simbólicos . No obstante, Michael Thomas y yo (Tall & Thomas, 1991) encontramos

un significativo elemento visual también en álgebra. El modo de proceder simbólico de

Bruner, debería ser en esencia un modo visuo-simbólico en el cual los símbolos son

escritos, dibujados y vistos . Una vez escrita, la página puede ser escaneada en

cualquier orden y alguna parte puede ser un foco de atención para reflejar sobre él el

significado y para considerar su patrón de relación, en los ratos de ocio, con otras

partes. El simbolismo escrito permite una mayor flexibilidad en el uso que el mundo

del habla.

Nosotros propusimos la idea de un aprendizaje versátil combinando gestalts visuales

globales para un cubrimiento total de ideas y manipulaciones secuenciales de símbolos.

Al mismo tiempo nosotros fuimos conscientes de que los símbolos algebraico eran

usados de dos maneras diferentes -como aritmética donde una expresión tal como 2+3x

se puso para un proceso de evaluación (cuando se le da a x un valor) o es manipulado

como un objeto matemático. Lo anterior causó gran dificultad (algunas veces termina

en “pérdida de clausura”) para niños incapaces de aceptar un símbolo que no pudo ser

evaluado para el valor desconocido x. (Tall, 1994b, p. 2)

De acuerdo a lo anterior, además de las representaciones conceptuales operacional y

estructural sobre los que se apoya la abstracción matemática, (que estudia Sfard) existe un

modo visuo-simbólico en el que los símbolos se convierten en protagonistas de la acción,

por ello Tall se platea la necesidad de un nuevo constructo teórico que denomina procepto:

[...}. Los niños usan el simbolismo numérico como una notación representando

juntamente un proceso (conteo) y el concepto (número). La adición al comienzo se ve

como un proceso, usualmente con alguna forma de contar como "3+2 hacen 5", después

esto es encapsulado como el conocido hecho "3+2 es 5". Esta encapsulación de

procesos en objetos usa el simbolismo como un pivot para representar a uno u otro

proceso o concepto. Nosotros acuñamos el término procepto para representar esta

amalgama de proceso y concepto con un símbolo operando dualmente para uno u otro.

El símbolo puede ser hablado, oído, visto y leído, y la combinación de estas

percepciones sensoriales y acciones proporcionan su existencia cognitiva como un

objeto matemático. Pero éste [procepto] es más poderoso que aquel [símbolo en

general] -los procesos pueden ser usados para hacer matemática y el objeto para pensar

sobre ello

[...]. Algunos ejemplos de proceptos de la aritmética, álgebra, cálculo y análisis son los

siguientes:

34 (proceso de división, concepto de fracción)

0limx

sen x

x (proceso de tender al límite, concepto de límite)

32x (proceso de evaluación, concepto de expresión)

1

limk n

kx K

a

(proceso de tender al límite, concepto de límite)

ƒ'(x) (proceso de diferenciación, concepto de derivada)"


104

La noción de "procepto" nos permitió observar como algunos niños ven el simbolismo

mayormente como proceso y otros los usan flexiblemente como cualquiera de las dos

procesos o conceptos, teniendo ellos una enorme ventaja.

Nosotros encontramos al menos tres clases diferentes de proceptos lo cual ayudó

nuestro análisis sobre diferentes niveles:

proceptos operacionales tales como 32 los cuales puedesn tener un

proceso de construcción por computación para producir el resultado.

proceptos molde tales como 23x cuyo proceso de construcción no puede

ser ejecutada hasta que tenga lugar la sustitución de valores, pero el símbolo

puede en sí mismo ser manipulado.

Proceptos estructurales tales como 3

1

1

n n

los cuales tienen un proceso

asociado asociado (tender al límite) pero no tienen un método construido

(como parte integral y permanente) para calcular el valor del límite mismo.

(Tall, 1994b, p. 2-3)

Creemos que la noción de procepto es una idea brillante , como veremos más

adelante, es el eje central que permite enriquecer nuestra explicación de los procesos de

abstracción en matemática y por tanto generar o apoyar propuestas didácticas más

eficientes y eficaces (pasar de la yunta al tractor).

5.1.10. Subsistemas del Sistema Simbólico

La teoría de Tall (1994b, 1995) que pone en evidencia la necesidad de incorporar esta

unidad de análisis en los estudios cognitivos, parte como lo hemos dicho de la teoría de los

tres tipos de sistemas de representación de Bruner (en activo, icónico y simbólico). Dice

Tall, refiriéndose al sistema simbólico de Bruner que este sistema posee tres subsistemas:

Estos subsistemas yo los llamo verbal, proceptual y lógico. Cada uno trata los objetos

matemáticos de una manera diferente, tienen formas diferentes de actuar sobre objetos

matemáticos y tienen su propia forma de prueba.

Él esta interesado en establecer la relación de éstos subsistemas, que integrarían el

sistema simbólico, con los sistemas enactivo e icónico. Para él:

El sistema enactivo sensorio motor es la raíz de nuestra actividad, iniciando con la

percepción de objetos en el mundo exterior y actuando sobre ellos. Las nociones de

objeto y acción sobre objetos suministran dos fuerzas motrices en matemáticas; el

énfasis sobre objetos (geométricos) lleva a la geometría euclidiana y el énfasis sobre

acciones (encapsulando procesos como objetos) hacia la aritmética y el álgebra (Tall,

1994b, p. 3)

Es decir, el sistema enactivo es la base del desarrollo del pensamiento matemático

(geométrico y analítico) y su crecimiento debe ser explicado por el papel de sus dos

fuerzas motrices: "percepción de" y "acción sobre" objetos. Lo novedoso de este

planeamiento es la incorporación de la noción de procepto para explicar "la acción sobre"

objetos y su relación con la "percepción de" tales objetos.

El crecimiento cognitivo desde el pensamiento matemático elemental hasta el avanzado

en el individuo puede entonces iniciarse hipotéticamente con “percepción de” y acción

sobre" objetos en el mundo exterior, estructurado por medio de dos desarrollos

paralelos —uno visuo-espacial a verbal- deductivo, el otro encapsulaciones sucesivas

de procesos-a-conceptos usando manipulaciones simbólicas— orientados a el uso de

todo esto para inspirar el pensamiento creativo basado en objetos formalmente

definidos y pruebas sistemáticas (Tall, 1995)


105

Aquí es necesario hacer una aclaración: Tall se refiere a la acción38

cognoscitiva del

sujeto; la acción de percibir39

y actuar sobre objetos. Estas dos formas de acción

cognoscitiva se apoyan en sistemas de representación propios que median el desarrollo

cognitivo. El desarrollo visual (geométrico) se basa en el sistema icónico:

El sistema icónico visuo-espacial usa representaciones icónicas para permitir a nuestro

sentido espacial establecer patrones de relación y considerar "experimentos mentales"

donde nosotros imaginamos ciertas condiciones apoyándonos en una gestalts estática o

dinámica para "ver" si una conclusión se sostiene. Tales pruebas son holísticas, no

necesariamente tienen alguna deducción lógica. (Tall, 1994b, p. 3)

El progreso de las percepciones, en el sentido de su alejamiento de su

descontextualización de las situaciones que las originaron, para hacerse más

independientes del mundo externo se apoya en el sistema verbal:

El sistema verbal del lenguaje diario es usado para definir versiones idealizadas de

objetos geométricos (como cuando "un punto tiene posición pero no medida") y para

describir construcciones y patrones de relación. Los objetos mentales más que las

definiciones son dominantes en los procesos de pensamiento y por esta razón yo los

llamo "objetos definidos" para enfatizar que el objeto viene antes que la definición.

(Tall, 1994b, p. 3-4)

Estos «objetos definidos» son entidades sobre las cuales se desarrolla el pensamiento

matemático elemental, ellas se pueden representar simbólicamente facilitando su

manipulación en procesos que contribuyen a establecer relaciones y propiedades que

proporcionan el significado y que contribuye a la construcción de la definición del

concepto a nivel del pensamiento matemático avanzado. El crecimiento cognitivo se ve en

términos de un desarrollo de contribuciones paralelas entre lo visual/geométrico y lo

procedimental/analítico, en donde el desarrollo analítico tiene ahora una nueva unidad de

análisis en la noción de procepto y un sistema para apoyar su desarrollo; el sistema

proceptual:

El sistema proceptual concierne a los símbolos de aritmética, álgebra, cálculo y cosas

así, que son usados para representar el resultado de un cálculo u operación deseada

tales como:

3+5, 2(x+3), f(x), g(f(x)), 1

1,( ) ',

k n

kn

k

Lim a senx dxx

Puesto que estos símbolos (con excepción de ciertos proceptos estructurales) han sido

construidos en algoritmos para ejecutar el proceso, ésta es el área que es más fácilmente

convertible en operativa en el ordenador.

El modo lógico usa definiciones formales de conceptos como base de prueba

sistemática. Para enfatizar el hecho que la definición es ahora la noción fundamental (y

todos los objetos que satisfacen la definición tendrían las propiedades deducidas) yo

uso el término "objeto definición "40

para distinguir éste de un "objeto definido"

elemental. (Tall, 1994b, p. 3-4)

En su más reciente artículo, Tall (1995) observa la utilidad de diseccionar la actividad

mental humana en input (percepción), procesamiento interno (pensamiento) y output

(acción); esto permite observar, separadamente, las actividades matemáticas de percibir

38

"Acción. Es un intercambio funcional de la organización biológica y el medio, que presupone una estructura interna y

lleva a una estructuración del medio. Para Piaget, la acción no se limita a la acción exterior; generalmente es sinónimo

de comportamiento." (Furth, 1971, p.185) 39

"Percepción. Es una actividad cognoscitiva que se centra en datos sensoriales inmediatos." (Furth, 1971, p.189) 40

En el original "defined object" que traduciremos “objeto definición”.


106

objetos, pensar acerca de ellos y ejecutar acciones sobre ellos. Este, en nuestra opinión, es

un excelente punto de partida para entender la diferencia de Tall con respecto a las teorías

que, como la de Sfard, suponen la necesidad (del sujeto) de representar (por tanto,

abstraer) los conceptos primero como procesos y luego como entidades estructuradas;

éstas teorías son consecuencia de los estudios de Piaget sobre el desarrollo de los

conceptos matemáticos en el niño:

[...] entidades matemáticas se mueven de un nivel a otro; una operación sobre tales

"entidades" se vuelve a la vez un objeto de la teoría, y este proceso es repetido hasta

que nosotros alcanzamos estructuras que son alternativamente estructuradas o están

siendo estructuradas por estructuras más fuertes (Piaget, 1972, p. 70)

Tall se aparta de éste punto de vista:

Yo por tanto supuse hipotéticamente que, más que ver el crecimiento en las

matemáticas elementales como un desarrollo singular a la manera de la teoría de

estadios neo-piagetiana, una teoría alternativa es ver dos desarrollos diferentes que

ocurren al mismo tiempo. Uno es Visuo-espacial atractivamente verbal e inclinado

hacia la prueba, el otro usa símbolos juntamente con procesos para hacer cosas (tales

como contar, adición, multiplicación) y también conceptos para pensar sobre ello (tales

como número, suma y producto). (Tall, 1995, p. 1)

Nosotros estamos de acuerdo con esta hipótesis de Tall. Pensamos que si bien es

cierto que en la historia, se pueden identificar desarrollos de la matemática visuo-

espaciales (geometría euclidiana) independientes de los símbolos (operativos) ligados a

procesos y que se pudo desarrollar el álgebra y la aritmética sin hacer referencia a la

geometría, tampoco es menos cierto que el hombre moderno dispone de la capacidad de

apropiar los desarrollos de la cultura matemática y, de hecho, el estudiante construye

estructuras cognoscitivas que son más poderosas y median su desarrollo cognitivo. Sería

absurdo no tomar en cuenta la ventaja (en conocimientos y tecnología) que el alumno de

hoy tiene sobre el hombre del pasado.

Lo anterior no quiere afirmar aquellas ideas de "la matemática moderna" que

promovieron los matemáticos bourbakistas, deslumbrados por el poder y la elegancia de

las estructuras matemáticas, que condujeron al debilitamiento de la enseñanza de la

geometría euclidiana. Todo lo contrario, nuestra experiencia y los debates sobre el tema,

confirman la necesidad urgente de volver a las ideas fundamentales y básicas de la

matemática. Pero este retorno debe hacerse con la lección bien aprendida para no repetir

errores del pasado.

Entender Cómo se produce la transición de las matemáticas elementales a las

matemáticas avanzadas es un problema abierto que debemos enfrentar

5.1.11. La teoría de situaciones:

Esta teoría de las situaciones didácticas introducida por G Brousseau (1983a), se

fundamenta en la idea Piagetiana según la cual, un conocimiento adquiere su significado

en la acción del sujeto al adaptarse al medio:

El alumno aprende, adaptándose a un medio que es factor de contradicciones, de

dificultades, de desequilibrios, un poco como lo ha hecho la sociedad humana. Este

saber, fruto de la adaptación del alumno, se manifiesta por respuestas nuevas que son

prueba del aprendizaje (Brousseau, 1986. p.13)


107

Señalando, además, que

[...] una noción aprendida no es utilizable sino en la medida en que ella es relacionada

con otras, esas relaciones constituyen su significación, su etiqueta, su método de

activación. Pero, no es aprendida si no es utilizable y utilizada efectivamente, es decir,

sólo si es una solución a un problema. Tales problemas, junto con las restricciones a las

que la noción responde, constituyen la significación de la noción (Brousseau, 1983b.

p.170)

Esto implica que el significado de una noción se construye en una situación que

provocan adaptaciones deseadas eligiendo acertadamente los problemas que se le

proponen. Según Brousseau esta elección se realiza con base a lo que denomina situación

matemática específica de un conocimiento, es decir, una situación matemática que el

estudiante debe resolver, que sea comunicable sin utilizar el conocimiento en cuestión y la

estrategia que permite alcanzar el éxito se construye a partir de los conocimientos que

guían las acciones del estudiante. El marco que operativiza este concepto de es la teoría de

juegos (Brousseau, 1986) en la que se modela la situación matemática específica del

conocimiento observando que

Se toma la noción de situación “matemática” como primitiva, exigiéndose que pueda

ser modelizada mediante un juego formal. Se dice que una situación matemática es

específica de un conocimiento si se cumplen las dos condiciones siguientes:

1. Es comunicable sin utilizar dicho conocimiento

2. La estrategia óptima del juego formal asociado a la situación se obtiene a partir de

la estrategia de base (que consiste en jugar al azar, aunque respetando las reglas de

juego) utilizando el conocimiento en cuestión.

(Chevallard, y otros, 1997. p. 214)

La importancia de este concepto, reside en destacar la función mediadora de la

situación modelada respecto a las acciones del estudiante que busca una estrategia

ganadora (alcanzar un conocimiento que resuelve la situación) al mismo tiempo que

responsabiliza al profesor de la construcción de tales modelos y del aseguramiento de su

funcionamiento.

La teoría de Brousseau enfatiza el hecho que un proceso de enseñanza de una noción

debe girar en torno de la organización de situaciones fundamentales que representan un

conjunto de situaciones adidácticas que preservan el sentido de un conocimiento. El ajuste

de las situaciones con fines didácticos determinan el conocimiento a enseñar en un

momento dado y el sentido particular que este conocimiento va a tomar, debido a las

restricciones y deformaciones aportadas por la situación fundamental. Brousseau (1986)

define tres tipos de situaciones adidácticas: de acción, formulación y validación (estas

nociones las explicamos y aplicamos en los capítulos dos y cuatro). La idea es que estas

situaciones inducen al alumno a transitar etapas propias de la actividad matemática.

La estrategia constructiva del aprendizaje se centra, así, en la construcción de

situaciones apropiadas, para originar realizaciones y conflictos deseados y en el

seguimiento de las coordinaciones y transformaciones conceptuales del sujeto hacia un

objetivo claramente establecido.

Nuestra hipótesis es que una estrategia como la descrita arriba, que tome en

consideración el desarrollo cognitivo actual y potencial del estudiante favorece el

aprendizaje; dado que las estructuras actuales pueden ser jalonadas por situaciones que

conducen a realizaciones potenciales que luego se cristaliza en verdaderos logros

evolutivos independientes del estudiante.


108

5.1.12 El fenómeno didáctico y los conceptos de interactividad y aprendizaje

Los concepto de interactividad y aprendizaje que expondremos a continuación

permiten focalizar nuestra mirada en aspectos centrales para el estudio de un fenómeno

didáctico. Por ejemplo, en el caso que investigamos en este trabajo éste se caracteriza por

la resistencia de las definiciones matemáticas de límite y continuidad a su

conceptualización. El objetivo es, entonces, entender y explicar las causas de esta

resistencia y los mecanismos tanto individuales como socio-culturales que intervienen en

la construcción del conocimiento en el aula. La tesis central es que sólo penetrando en el

corazón de los mecanismos que subyacen en la interactividad profesor/alumno cuando se

ocupan en el aprendizaje de un objeto de conocimiento específico es posible encontrar

explicaciones al problema.

El concepto de interactividad (Coll, 1995) supera el dualismo que se establece entre

lo que hace el profesor, cómo y por qué lo hace y lo que hace el estudiante, cómo y por

qué lo hace; que tradicionalmente conduce a un reduccionismo de la problemática

atribuyéndola bien a factores psicológicos, actitudinales o motivacionales de los

profesores o alumnos, o, bien a factores metodológicos. Por lo contrario poner el acento en

la interactividad,

[...] definida como la articulación de las actuaciones de los profesores y los alumnos (o

del adulto y del niño, en el caso de situaciones educativas no escolares) en torno a una

tarea o un contenido de aprendizaje determinado , supone pues una llamada de atención

sobre la importancia de analizar actuaciones de los alumnos en estrecha vinculación

con las actuaciones del profesor; y recíprocamente. (Coll, y otros 1995. p. 204)

La articulación de las acciones en torno a una tarea socialmente significativa, como

se deduce del planteamiento de Coll, cambia la perspectiva de la problemática usual que

mira hacia un solo polo (profesor, estudiante, saber a enseñar, o, el contexto socio-

cultural) llamando la atención respecto a la organización de acciones conjuntas en torno a

significados sociales, como elemento central de estudio de la problemática didáctica.

Esta focalización en la interactividad como unidad de análisis de la problemática

coincide con lo postulado (en Chevallard y otros, 1997) sobre la fuente de explicación de

un fenómeno didáctico:

Las explicaciones didácticas deben..., partir de la descripción de la actividad

matemática que realizan conjuntamente profesor y alumnos en el aula y fuera de ella,

así como de las cláusulas del contrato didáctico que rigen la actividad. (Chevallard, y

otros. 1997. p.76)

Esto, implica abordar la enseñanza y el aprendizaje como un todo que se define y

comprende por las acciones que se organizan en torno a un determinado contenido a

enseñar y a aprender; donde las acciones del estudiante que conduzcan a un aprendizaje

es el objetivo de las acciones del profesor en la enseñanza. Pero, sobre todo, interesa como

objeto de estudio el conjunto de intersección de las acciones, de unos y otros, que se puede

definir por el encuentro funcional de las transformaciones que cada actor del proceso

realiza sobre el objeto a enseñar y a aprender, en un marco sociocultural que media tales

acciones.

Aquí es necesario poner en claro lo que entendemos por aprendizaje. Primero,

aprender como acción individual es un acto que significa, en la teoría de Piaget,

adaptación a situaciones nuevas.; en este sentido es considerado por Brousseau en su

teoría de situaciones con lo cual estamos de acuerdo. Pero, sin embargo, distinguimos el


109

acto de aprender, que se refiere a los procesos intrapersonales, del proceso de aprendizaje

que es más amplio e involucra los procesos interpersonales; el aprender, en situaciones de

aula, es posible gracias a la ayuda de otro y en especial de un experto. El marco teórico

que hemos expuesto conduce a interpretar el aprendizaje escolar en el sentido que propone

César Coll:

[...] como un proceso de construcción progresiva de sistemas de significados

compartidos a propósito de las tareas, situaciones o contenidos en torno a los cuales se

organiza la actividad conjunta de los participantes. (Coll, y otros 1995. p. 224)

Esta interpretación trasciende las concepciones de aprendizaje centradas en los

procesos psicológicos individuales como aquellas de corte empirista ausubeliano que

consideran el «aprendizaje significativo» (Asubel, 1968) como el establecimiento, por

parte del estudiante, de las relaciones del nuevo objeto de conocimiento, de manera

esencial y coherente, con elementos ya establecidos por sus experiencias previas en su

estructura cognitiva. Esta definición conduce a formulación de modelos de aprendizaje

que ven la mente como el espejo en que se reflejan las representaciones externas. En el

campo de la educación matemática hay muchos ejemplos que Poul Cobb encuadra en el

término de «visiones representacionales de la mente»

La visión representacional de la mente en educación matemática es evidenciada por las

teorías que caracterizan el aprendizaje como un proceso en el cual los estudiantes

modifican sus representaciones mentales internas para construir relaciones matemáticas

o estructuras como espejo de aquellas que se incorporaron en representaciones

instruccionales externas. Se argumenta que, psicológicamente, esta visión cae presa de

la paradoja del aprendizaje, así, antropológicamente, falla al considerar la naturaleza

social y cultural de la actividad matemática y esto, lleva pedagógicamente hacia

recomendaciones extrañas con la propia meta de lograr un aprendizaje con

comprensión. Estas dificultades se ven surgir desde el dualismo creado entre

matemáticas en la cabeza de los estudiantes y matemáticas en su entorno. (Cobb, y

otros. 1992, p. 2).

Esta “visión representacional de la mente” que sustentan epistemológicamente

modelos como el ausubeliano divergen del planteamiento Piagetiano según el cual:

«conocer significa actuar sobre los objetos», lo que de inmediato relaciona el aprendizaje

con la actividad del sujeto, pero, los significados de esta actividad son resultado de una

actividad autoestructurante y no necesariamente coincide con los significados que

externamente se quiere alcanzar. Precisamente por esto último, es necesario ampliar la

concepción de aprendizaje piagetiano –producto de actividad autoestructurante– de tal

manera que considere la interactividad entre profesoralumno y alumnoalumno gracias a

la cual se produce la negociación de los significados en el aula. Reconociendo, al mismo

tiempo que los proceso interindividuales tienen sus leyes y dinámicas propias que se

complementan con las leyes y dinámicas de los procesos intrapersonales.

En consecuencia con lo anterior, nuestra experiencia consiste en diseñar, aplicar y

analizar, una secuencia didáctica producto de una obra de ingeniería didáctica en torno a

los conceptos de continuidad y límite; para estudiar los efectos de un instrumento pautado

que hace de mediador de la interactividad en el aula, con el fin de alcanzar un aprendizaje

en el sentido de Coll y, del lado de la investigación del fenómeno didáctico, encontrar las

explicaciones del mismo. En el capítulo que sigue abordaremos el problema de la

metodología de nuestra investigación.




CAPÍTULO 2

EL PROBLEMA DE

INVESTIGACIÓN Y LA

METODOLOGÍA

110

CAPÍTULO 2

EL PROBLEMA DE

INVESTIGACIÓN Y LA

METODOLOGÍA

111

CAPÍTULO 2

EL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN Y LA METODOLOGÍA

PRESENTACIÓN

Esta investigación, parte de una propuesta para el mejoramiento de la enseñanza del

Cálculo a nivel universitario respecto a las nociones matemáticas que el curriculum señala

como necesarias para la formación de futuros ingenieros y científicos. En su momento, la

propuesta se concibió y aplicó en forma empírica, con un conocimiento muy escaso de la

teoría didáctica, guiados por la reflexión sobre las prácticas educativas y sus resultados. A

posteriori, hemos identificado una gran similitud entre la organización de nuestra acción e

intención didáctica relacionadas con la solución de “un problema de enseñanza-

aprendizaje” y la teoría de la «ingeniería didáctica» que, como instrumento de

investigación, se ocupa del estudio de fenómenos didácticos por la intervención sobre el

sistema escolar: planificando la acción, con base en análisis e hipótesis previos que

conducen a una concepción de una ingeniería que debe responder a un conjunto de

hipótesis previas, derivadas de los estudios preliminares relativos al fenómeno. La

estrategia de esta metodología es poner a prueba, en una situación de aula, estas hipótesis

preliminares que serán ratificadas o descartadas, luego de la ejecución de la ingeniería,

gracias a un análisis a posteriori que contrasta hipótesis y resultados obtenidos. El método

garantiza, así, las relaciones y distancias entre la acción en el aula y la validez interna de la

investigación.

El trabajo inicial, consistente en el desarrollo de la noción de límite y continuidad con

estudiantes universitarios mediante guías de trabajo, siguió en la práctica un derrotero

semejante al propuesto por la metodología de la ingeniería didáctica, cuyo fundamento

teórico ha contribuido a consolidar este estudio, en la organización y el análisis de

resultados derivados del diseño y las acciones en el aula.

Enfoque de la investigación

112

1. ENFOQUE DE LA INVESTIGACIÓN

En este apartado expondremos las hipótesis que orientan la investigación, del

fenómeno didáctico y haremos explícito el paradigma investigativo en que nos situamos.

1.1 SOBRE HIPÓTESIS DIRECTRICES

El marco teórico que hemos expuesto en el primer capítulo inspira una serie de

hipótesis directrices y preguntas que dirigen la investigación. Las directrices se resumen

en tres que se corresponden a los tipos de actividades: individual, sociocultural y

matemática, presentes cuando un sujeto estudia matemáticas.

HPC: (hipótesis psicocognitiva): Aprender es la acción individual de adaptación al

medio. Esta adaptación está orientada por las variaciones externas que

preparan estructuras propias para responder a estas variaciones no previstas.

HS: (hipótesis sociocultural): La conducta está mediada por instrumentos

intelectuales que dan forma y sentido a las acciones. Por tanto, estos

instrumentos mediadores de carácter intelectual que provienen de la cultura,

intervienen en el cambio ontogenético; ellos toman poco a poco un papel

primordial en el desarrollo de las funciones superiores de la inteligencia y

por tanto en los procesos individuales de adaptación.

HD: (hipótesis didáctica): El aprendizaje es un proceso de construcción de

significados y sentidos socialmente compartidos, gracias a la ayuda de un

experto, y en última instancia es responsabilidad del estudiante.

Estas hipótesis directrices y las preguntas dirigidas a la investigación, que

expresaremos un poco más adelante, orientan el análisis del «fenómeno didáctico» hacia la

búsqueda de indicadores empíricos interpretables en términos de:

Cesión y traspaso del control y la responsabilidad en la obra matemática.

Dificultades y obstáculos epistemológicos relativos a los conceptos de límite y

continuidad.

Modificación de esquemas conceptuales.

En consecuencia con lo anterior, en este capítulo plantearemos el problema de

investigación, los objetivos específicos y las hipótesis del análisis. Luego explicamos la

metodología empleada indicando: qué investigamos, cómo y cuáles son nuestras unidades

de análisis. Por último haremos explícitos nuestros instrumentos de análisis que permiten

obtener los indicadores tanto de la cesión y traspaso, como de la modificación deseada de

los esquemas conceptuales.


113

1.2 ENFOQUE METODOLÓGICO

Nuestra investigación se enmarca en la metodología de ingeniería didáctica, que se

aplica al estudio de un fenómeno didáctico. Esto implica cubrir cuatro fases en la

investigación: análisis preliminares, concepción de la ingeniería y análisis a priori,

experimentación y, por último, un análisis a posteriori y validación.

El estudio se centra en la modificación de los esquemas conceptuales de los

estudiantes, cuando trabajan conjuntamente en una secuencia didáctica (Coll, 1995, p.

207), estructurada en torno a un instrumento pautado. Este instrumente se concibe como

un mecanismo de influencia educativa (ídem, p. 193) de cesión y traspaso del control y

responsabilidad del profesor en la obra matemática de un contenido a enseñar, y asunción

del control y responsabilidad del aprendizaje por el estudiante. A tal instrumento lo

llamamos Guía. No obstante que la Guía se elaboró mucho antes de tener acceso al

presente marco teórico, ella se adapta a la ingeniería pudiendo ser considerada en este

marco investigativo como un conjunto estructurado de situaciones adidácticas, que

responden en su diseño a la teoría de situaciones didácticas introducida por Guy Brousseau

(1983).

La primera fase de la ingeniería, análisis a priori, justifica la intervención que

realizamos en el aula que corresponde a una secuencia didáctica, que expondremos en

detalle más adelante. La secuencia didáctica, entonces, cumple dos funciones. Una dirigida

a alcanzar ciertos objetivos de enseñanza-aprendizaje de manera satisfactoria y la otra,

proporcionar los datos empíricos para estudiar un fenómeno didáctico. Éste se refiere al

funcionamiento del sistema didáctico respecto a la enseñanza de los conceptos de límite y

continidad; funcionamiento que los análisis preliminares revelan como insatisfactorio.

Este fenómeno lo hemos caracterizado como:

un oscurecimiento del concepto de continuidad y una comprensión muy

pobre de la definición (-) de límite en el caso de funciones de variable

y valor real en un punto,

La reflexión de partida es la siguiente: la enseñanza-aprendizaje del concepto de

límite resulta difícil, porque en el proceso de su construcción concurren simultáneamente

un conjunto de conocimientos que son verdaderos obstáculos epistemológicos. Este hecho,

dificulta centrar la atención, de la ayuda del profesor y de las acciones del estudiante, en la

superación de estos obstáculos. La organización y ajuste de las acciones mutuas de

profesor y estudiante en torno al contenido es necesaria pues los elementos conceptuales

involucrados en la construcción del concepto de límite presentan una relación estructural

compleja, reflejo del modo de conocer del sujeto más que de la complejidad del concepto

mismo. Este hecho es reconocido en las conclusiones de Cornu (1981) respecto a los

obstáculos cognitivos que surgen en el proceso de aprendizaje del concepto:

Los obstáculos a franquear no están forzosamente dispuestos "en serie", ellos están

organizados entre sí de una manera compleja y un tema interesante de búsqueda podría

ser el analizar esta organización, y colocar a punto las secuencias permitiendo de

seguro al alumno el franqueamiento de los obstáculos, conociendo a cada instante

dónde se está. (Cornu, 1981, p. 256)


114

Precisamente ésta fue nuestra perspectiva cuando analizamos el fenómeno y en

términos de lograr un mejoramiento del aprendizaje de los conceptos de límite y

continuidad, concebimos una estrategia constructivista de enseñanza.

Al retomar el fenómeno ya no sólo como un problema de mejoramiento del

aprendizaje sino como problema de investigación, hacemos explícitos los análisis

preliminares (primera fase de la ingeniería) que desembocan en la concepción y análisis a

priori (segunda fase) de la secuencia didáctica, que nosotros ya habíamos estructurado en

el instrumento; ahora, mostraremos cómo las situaciones adidácticas elaboradas

previamente a la investigación propiamente dicha, toman en cuenta una organización de

los obstáculos a franquear. Para ello, identificamos las variables que conciernen a la

organización de la ingeniería, la hipótesis que la orienta y describimos las variables

adidácticas en términos de tres dimensiones: epistemológica, psicocognitiva, y didáctica.

Dicho de otra manera, hacemos explícitos nuestros argumentos que aseguran un

funcionamiento más satisfactorio del sistema didáctico respecto al fenómeno planteado.

Luego describimos las condiciones de la experimentación en el aula (tercera fase) y por

último realizaremos la cuarta fase que consiste en el análisis a posteriori que, en este caso,

consiste en el estudio de las producciones escritas de los estudiantes respecto a las

situaciones propuestas en la Guía.

Resumiendo, esta investigación se enmarca en un estudio de tipo cualitativo y se

centra en el aspecto cognitivo del estudiante; se estudian las modificaciones de las

estructuras cognitivas asociadas a los conceptos matemáticos de continuidad y límite, en

términos de las dificultades y obstáculos que se deben superar respecto a un conjunto

estructurado de situaciones adidácticas planteadas en el instrumento. Éste se interpreta en

el marco de la metodología de la ingeniería didáctica. En este sentido, no controlamos

variables como: las formas de organización de la acción conjunta respecto a los

intercambios comunicativos directos profesor-alumno, alumno-alumno, que forman parte

de la interactividad en el aula, y que por supuesto influyen en los procesos cognitivos

aparentemente individuales. La variable bajo control es, pues, la organización estructural

de las situaciones que afectan los procesos intrapersonales responsables en última

instancia del aprendizaje. Suponemos, entonces, que las otras variables independientes son

constantes y estudiamos la variable del aprendizaje como dependiente de las variaciones

de la estructura de la tarea, las ayudas, indicaciones, e institucionalizaciones escritas en el

instrumento. Y esto, bajo la hipótesis, según la cual el conjunto de situaciones organizadas

en un instrumento mediador pautado, permiten secuenciar y, así, atender el enfrentamiento

organizado de los obstáculos epistemológicos.

Las unidades de análisis que hemos elegido son: la unidad general de análisis que

corresponde al concepto de secuencia didáctica propuesta por Coll (1995) y como sub-

unidades los conceptos de situación didáctica de Brousseau (1983), internalización

(Vygotski, 1982) y equilibración (Piaget, 1990).

Formulación del problema de investigación. – Objetivos e Hipótesis de la investigación

115

2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN

Nuestro problema se plantea en términos de las respuestas a las siguientes preguntas

objeto de la investigación:

—¿Es posible controlar, en una situación de aprendizaje, la modificación de la estructura

cognitiva del estudiante, respecto a las dificultades conceptuales y obstáculos

cognitivos (esquemas conceptuales) que surgen en el aprendizaje de las nociones

matemáticas de límite y continuidad?

—¿Es posible que una secuencia didáctica en la que se tomen en cuenta las dificultades

conceptuales y obstáculos cognitivos sea eficiente para potenciar la evolución de la

estructura cognitiva del estudiante, relacionada con las nociones matemáticas de

límite y continuidad?

2.1 OBJETIVOS.

Nuestra investigación se plantea los siguientes objetivos:

1. Analizar la eficacia de las situaciones planteadas en la guía respecto a la evolución de

los esquemas conceptuales del alumno, con relación a las nociones matemáticas de

límite y continuidad.

2. Caracterizar la estructura cognitiva (esquema conceptual), que el alumno pone en

juego al iniciar la secuencia didáctica, por medio de la red sistémica previamente

establecida (Ver red sistémica figura 2.1, página N123 ).

3. Identificar los obstáculos cognitivos y dificultades conceptuales en el estudiante

respecto a las nociones de límite y continuidad, que surgen al enfrentar las situaciones

adidácticas, planteadas en el instrumento (guía de trabajo del estudiante) y que,

posiblemente, susciten problemas de asimilación o acomodación a sus esquemas

conceptuales, con o sin conflicto cognitivo, respecto a las situaciones.

4. Describir la evolución de la estructura cognitiva del estudiante, respecto a las

nociones de límite y continuidad, expresada en sus producciones escritas frente a las

situaciones de la guía; utilizando el marco del instrumento para tal descripción

2.2 HIPÓTESIS DE LA INVESTIGACIÓN

Las hipótesis referidas al trabajo de investigación son:

Las producciones individuales escritas del estudiante de acuerdo con la guía, permiten

identificar las dificultades conceptuales y los obstáculos cognitivos respecto a las

nociones de límite y continuidad.

Una secuencia didáctica que responda a un diseño de ingeniería que toma en cuenta,

primero, la construcción del concepto de continuidad y luego, a partir de ella, obtener

Metodología de análisis

116

progresivamente el concepto de límite, permite focalizar la atención del estudiante y

la acción del profesor sobre ciertos obstáculos cognitivos y dificultades

conceptuales.

La secuencia didáctica de la guía de trabajo como agente mediador de la acción, acota

los obstáculos cognitivos y las dificultades conceptuales durante la interacción del

alumno con ésta y con el grupo.

La acción individual sobre la guía de trabajo y la posterior interacción social, en el

debate del grupo de las producciones individuales, potencian la evolución de la

estructura cognitiva respecto a las nociones de límite y continuidad.

La guía pautada es un verdadero (en sentido funcional) instrumento de influencia

educativa.

2.3 Tipo de estudio

Dada la enorme cantidad de datos obtenidos en un grupo numeroso, a raíz de la

aplicación de un instrumento extenso y la necesidad de comprender los factores por los

cuales el estudiante modifica o acomoda sus esquemas conceptuales frente a una situación

problemática y cómo progresivamente evoluciona hacia esquemas más elaborados, se optó

por estudiar a fondo un caso y considerar algunos casos representativos de variaciones de

los resultados esperados para así poder dar cuenta de la variabilidad y generalidad de los

aprendizajes1.

3. METODOLOGÍA DEL ANÁLISIS

La idea central que nos guía, es que, para considerar la organización de los obstáculos

epistemológicos que condicionan el aprendizaje de límite y continuidad, el estudio se debe

centrar en el análisis de las modificaciones de los esquemas conceptuales que los

estudiantes ponen en juego al enfrentar un conjunto estructurado de situaciones didácticas

con el objetivo de definir y dar sentido matemático a los términos “continuidad” y

“límite”. De tal manera que el análisis integre las dimensiones:

Temporal

Epistemológica

Psicocognitiva y

Didáctica

Por tanto la unidad general de análisis es la secuencia didáctica en el sentido

propuesto por César Coll y que al mismo tiempo es unidad de observación y de

interpretación. Esta unidad juega un papel central en las diferentes fases de la ingeniería.

Así:

En la primera fase de la ingeniería, los análisis preliminares corresponden a un

estudio respecto a los siguientes aspectos de la secuencia didáctica:

1 Ver Barlow & Hersen 1998. p.p. 49-50


117

El análisis epistemológico de los conceptos de continuidad y límite

El análisis de la enseñanza usual y sus efectos

El análisis de los esquemas conceptuales de los alumnos, en términos de las

dificultades y obstáculos que dificultan su evolución

El análisis del campo de restricciones en que se sitúa la acción didáctica propuesta

El análisis epistemológico, consiste en identificar los problemas conceptuales

(Toulmin, 1977) que han sido el motor del desarrollo histórico de los conceptos de límite y

continuidad; se trata de determinar: ¿en qué circunstancias aparecen las variaciones

conceptuales de límite y continuidad?, ¿cuáles fueron las problemáticas que hicieron

necesarias tales variaciones?. ¿cuáles han sido las condiciones o factores que hacen que la

incorporación de las variaciones fuera más o menos rápida?, ¿cuáles, y por qué, han sido

las variaciones aceptadas o rechazadas?, ¿cómo se resolvieron los problemas que llevan a

la variación conceptual? ¿Cuáles han sido los obstáculos epistemológicos, de la época,

ligados a los problemas que ocupan a la comunidad matemática? En resumen se trata de

encontrar explicaciones del devenir histórico del conocimiento en juego.

El análisis de la enseñanza usual y sus efectos. Se trata de la caracterización de la

enseñanza tradicional de los conceptos de límite y continuidad en los cursos de cálculo de

nivel universitario, para analizar su funcionamiento y las restricciones que tienden a hacer

de este funcionamiento un estado de equilibrio del sistema, que por lo demás, resulta poco

satisfactorio.

El análisis de los esquemas conceptuales de los alumnos y de las dificultades y

obstáculos que dificultan su evolución. Se trata de identificar el funcionamiento de las

estructuras cognitivas que el estudiante de hoy pone en juego en el momento de interactuar

con situaciones que requieren una atribución de significados y sentidos que definen una

noción matemática. En particular interesa aquellas estructuras que se constituyen en

verdaderos obstáculos epistemológicos, en el sentido de Bachelard (1938) y Piaget (1995),

que en cierto momento impiden tomar conciencia de elementos externos que revelan

inconsistencias de los esquemas conceptuales o estructuras del sujeto; estos esquemas,

ofrecen resistencia a las modificaciones necesarias que llevan a estructuras cognitivas más

fuertes y equilibradas, de tal manera que respondan por el concepto lógico definido en la

matemática.

El análisis del campo de restricciones en que se sitúa la acción didáctica propuesta.

Por último, en esta primera fase se plantea una acción sobre las restricciónes observadas

que caracterizan el fenómeno didáctico objeto de la investigación. Se indaga entonces,

sobre la existencia de condiciones de un equilibrio del sistema didáctico que produzca un

funcionamiento más satisfactorio.

La segunda fase, concepción y análisis a priori, consiste en seleccionar las variables

del sistema que no están sujetas a restricciones y que constituyen las variables de

comando de la investigación –aquellas variables del conocimiento objeto de enseñanza

que pueden ser manipuladas por el investigador–. Se distinguen dos clases: variables

macro-didácticas o globales y micro-didácticas o locales. Esta selección conduce


118

entonces a la concepción y puesta a punto de la secuencia didáctica tomando nuevamente

en cuenta las cuatro dimensiones que hemos mencionado: epistemológica, psicocognitiva,

didáctica; la dimensión temporal integra el análisis de todas las anteriores, la(s) hipótesis

de la ingeniería y sobre todo el problema que se pretende investigar.

En nuestro caso, que corresponde a una secuencia didáctica que se elaboró sin

conocimiento previo de la metodología de ingeniería, la fase de concepción y análisis

preliminares cumple el papel de explicitar el trabajo anteriormente realizado en términos

de elección de variables, así como, en función de hipótesis de la ingeniería y el diseño de

situaciones adidácticas.

Respecto a la elección de variables:

a) Variables macro-didácticas. Hemos considerado como tales los conceptos de infinito,

continuidad y límite. Son variables «macro», porque constituyen los conceptos base del

cálculo diferencial e integral; son manipulables, la transposición didáctica y el orden que

se define en el curriculum para su enseñanza afectan de manera significativa el aprendizaje

de las ideas centrales del curso.

Como se justificará en el capítulo 3, nuestros análisis preliminares, conducen a

plantear la siguiente hipótesis que guía la concepción de la ingeniería y que condiciona la

organización global y local:

HI: (hipótesis de la ingeniería): el control y la secuenciación de los obstáculos

epistemológicos, relacionados con los conceptos de límite y continuidad, se puede

alcanzar construyendo primero el concepto de continuidad y luego el de límite

como un operador, en principio, no definido en los reales extendidos –aplazando,

en parte, el problema del infinito.

Este orden permite aislar un conjunto de obstáculos relacionados con el carácter

operativo del concepto de límite y así, primero centrar la atención en el aspecto cualitativo

del concepto y luego, una vez superados los obstáculos relacionados con este aspecto,

enfrentar los que se vinculan a la operación.

Con ello, se favorece un aprendizaje constructivo de los conceptos básicos del

Cálculo tomando en consideración la naturaleza del conocimiento y los mecanismos

cognitivos del sujeto, gracias a un andamiaje constituido por situaciones adidácticas que

median en la evolución de los esquemas conceptuales de los alumnos.

b) Variables micro-didácticas. El andamiaje que acabamos de mencionar se estructura con

base al diseño de situaciones adidácticas, eligiendo y manipulando variables locales:

aquellos elementos de la situación matemática que son susceptibles de cambiar de una

situación a otra y que, al hacerlo, obligan a un cambio de estrategia para resolver la

situación de manera óptima. Por tanto, conciernen a la organización de un estado local de

la secuencia didáctica. Este cambio debe ser estable en el tiempo e integrador de la

estrategia anterior, al mismo tiempo que, posteriormente puede ser integrado a una

estrategia más general; pero que, responde siempre establemente a las variables de la

situación. La forma de provocar este cambio suele provenir de ciertas características de la

situación adidáctica que hacen que fracasen las estrategias actuales del estudiante.

Volviendo al análisis a priori de esta fase de la ingeniería, diremos que tanto en lo que

se refiere a las variables macro-didácticas como las micro-didácticas, la descripción de

ellas, toma en cuenta los siguientes aspectos:


119

1°. Epistemológico del conocimiento matemático en relación con:

1.1 La situación didáctica: que cubre los aspectos de devoluciones del problema e

institucionalizaciones actuando sobre situaciones adidácticas de acción, de

formulación o de validación.

1.2 La(s) variable(s) didáctica(s): se definen en términos del desarrollo de una

estrategia propia para resolver una situación problema

1.3 La obligación del cambio de estrategia, condicionada por la naturaleza de la

situación que se expresa en la manipulación de las variables.

2°. Psico-cognitivo en relación con:

Los efectos psicocognitivos que se espera de las variables, observables en la conducta

del sujeto. Entendiendo que el proceso de enseñanza-aprendizaje obedece a una estrategia

didáctica general de naturaleza constructivista, por tanto,

[...] la ayuda al alumno a construir significados y a atribuir sentido a lo que aprende ha

de concebirse también como un proceso. [...]; lo que hay es una estrategia didáctica

general de naturaleza constructivista que se rige por el principio de ajuste de la ayuda

pedagógica... (Coll, 1995. p.219)

En consecuencia con lo anterior el análisis preliminar se realiza en términos del

conocimiento que se tiene de los esquemas conceptuales que en el alumno hacen de

obstáculo epistemológico respecto a las adaptaciones a los nuevos conocimientos. Esta

adaptación puede ser más o menos laboriosa y la situación que se diseña puede o no

oponer resistencias a ella. En particular en el caso de la presencia de obstáculos

epistemológicos la concepción de las variables se realiza en función de inconsistencias

externas al conocimiento que se supone va a resistirse a la modificación. Interesa pues,

tomar en consideración:

2.1 Las inconsistencias externas, que potencialmente estén en posibilidad de perturbar

el sistema cognitivo del sujeto y, que tiendan hacia una modificación de las

estructuras en una dirección deseada.

2.2 El andamiaje, que permita apoyar la regulación, que opondría el sistema cognitivo a

la perturbación. De tal manera que su diseño anticipe los ajustes tanto del estudiante

en cuanto a sus regulaciones, como del profesor en cuanto a las ayudas para el

aprendizaje.

2.3 La compensación deseada como resultado de los procesos de regulación; ésta se

infiere de la estrategia ganadora.

2.4 La modificación deseada de la estructura cognitiva, que se espera alcance el

estudiante.

3°. Didáctico respecto a:

3.1 El Papel mediador de la situación didáctica para alcanzar la acción deseada de las

variables que debe desembocar en el conocimiento C. Este conocimiento es

resultado, en parte, del funcionamiento de las siguientes variables de la

interactividad:

Interacción sujeto-medio (SM): un modelo implícito de acción (ciclo cognitivo),

sugiere una decisión o un algoritmo.


120

Interacción comunicativa sujeto-sujeto (CSS): un lenguaje permite la organización de

la actividad del sujeto y la producción de un mensaje.

Interacción de validación sujeto–sujeto (VSS): una teoría permite la construcción de

proposiciones y juicios respecto al modelo de acción.

Entendiendo la interactividad en el sentido de César Coll:

[...], definida como la articulación de las actuaciones del profesor y de los alumnos [...]

en torno de una tarea o un contenido de aprendizaje determinado, supone pues una

llamada de atención sobre la importancia de analizar las actuaciones de los alumnos en

estrecha vinculación con las actuaciones del profesor y recíprocamente. (Coll, C., 1995,

p. 204)

En este sentido, además de las variables que hemos anotado para que un

conocimiento C sea alcanzado, se requiere la inducción del experto participando en la

construcción de la Z.D.P. según la teoría Vygotskiana y, en términos de Brousseau,

interviniendo para producir devoluciones del problema (DP) e institucionalizaciones de

conocimiento (IP) a cargo del profesor. Es decir, las acciones del profesor son necesarias

para asegurar que el ciclo adidáctico funcione en un marco didáctico, más amplio, en el

que el experto actúa intencionalmente sobre el par alumno-medio, produciendo los ajustes

necesarios.

En otras palabras, el papel de la situación didáctica es diferente de aquel de las

situaciones adidácticas. El efecto funcional de una situación didáctica es el de traspaso de

aquello que ya existe en el plano sociocultural (potencialmente interpsicológico) –que se

reproduce artificialmente en la escuela– al plano individual (intrapsicológico); de cesión

del control de acciones interindividuales, que se realizan con ayuda del experto, al control

individual del estudiante que las reconstruye y hace suyas, reponsabilizándose de este

modo de la obra matemática.

Pero, este “traspaso” nada tiene de automático ni es unidireccional (profesor

estudiante). Por el contrario, se apoya en un proceso complejo y dialéctico que Vygotsky

llamó internalización : los significados que se elaboran socialmente alrededor de un

contenido específico (mediados por la co-construcción de una Z.D.P), son reconstruidos

en el plano intrapersonal y, bajo la dinámica propia de este plano, el estudiante va

adquiriendo progresivamente un control consciente sobre aquello que realiza en el plano

social con la ayuda de otro2. Esto es posible, gracias a la articulación de las acciones del

profesor con las acciones del estudiante alrededor de la situación adidáctica, que el experto

ha considerado como propia para comprometer al estudiante en la construcción del

conocimiento objeto de enseñanza.

Para que este proceso de internalización se de, es necesaria la participación activa y

consciente del experto en la organización, dirección, vigilancia y ajuste de la interacción

social. Por un lado, se trata del trabajo cultural de explotar la experiencia histórica en

función de los objetivos de la escuela y, por otro, de asegurar la responsabilización del

alumno de su aprendizaje; actuando en la interacción de tal manera que la naturaleza del

conocimiento situado obligue a emplear y transformar la propia experiencia del estudiante.

Esta labor no puede ser realizada por el alumno y en consecuencia introduce dos variables:

devolución del problema (DP) e institucionaliciones de conocimiento (IP). Estas variables

son dependientes de la acción del profesor que se articula con las acciones del estudiante y

2 Vygotski, 1996. pp. 87-94


121

si bien es cierto que surgen circunstancialmente en los contactos individuales directos que

se producen en la interactividad, condicionando el aprendizaje; ello no significa que no se

deban prever y, en lo posible, anticipar en el diseño de la ingeniería algunos elementos de

ajuste expresados en: ayudas, comentarios y ciertas institucionalizaciones. Por tanto, estas

variables que inciden en el aprendizaje de un conocimiento, se deben adicionar a las tres

que están a cargo de la adaptación del alumno.

Así, el conocimiento C como producto de la interactividad, gracias a la acción

didáctica, se puede pensar como una especie de suma de las contribuciones de cada

variable:

C SM+CSS+VSS+DP+IP

Sirva todo lo anterior para ubicar, en su justa dimensión, el papel y los efectos

esperados de la Guía como instrumento pautado que interviene como núcleo de una

organización didáctica compleja. En otros términos la guía es un andamiaje que utiliza la

ingeniería para la investigación de un fenómeno didáctico ligado a la construcción de un

conocimiento particular.

Ahora, desde este último punto de vista, la guía cumple la doble función de

experimentar nuestras hipótesis respecto al funcionamiento del sistema (tercera fase de la

ingeniería) y la de proporcionar los datos sobre los cuales nosotros realizaremos nuestro

análisis a posteriori para validar o rechazar las hipótesis preliminares de la ingeniería

(cuarta fase). Pero antes de describir el entorno de la investigación en que se realizó la

tercera fase, vamos a dejar en claro qué investigamos y cómo lo hacemos.

Para situar nuestro nivel de análisis, expondremos brevemente el programa de

investigación que se realiza desde hace varios años en el departamento de Psicología

Educativa y de la Educación de la Universidad de Barcelona. César Coll (1995) define el

núcleo del programa,

[...] en primera aproximación, como el estudio de algunos mecanismos de influencia

educativa que se manifiestan en, o actúan a través de, la interacción entre el profesor y

los alumnos, en el caso de la educación escolar, y la interacción entre el alumno y el

niño, en el caso de situaciones educativas no escolares. (Coll, p. 193)

Coll entiende por «mecanismos de influencia educativa» aquellos que en una

situación de interactividad hacen posible el ajuste

[...] entre, por una parte, la ayuda pedagógica del profesor y, por otra, el proceso de

construcción del conocimiento de los alumnos. (Coll, p. 219)

y plantea que el

[...] estudio de los mecanismos de influencia educativa que operan a nivel de la

interacción profesorgrupo de alumnos debe centrarse en el análisis de las formas de

organización de la actividad conjunta. Coll, p. 234)

tomando la secuencia didáctica “como unidad básica de observación, análisis e

interpretación...” (ídem. p. 234)

Cuando nosotros hemos planteado que la guía pautada es un mecanismo de influencia

educativa, lo hacemos en este sentido que plantea Coll y por ello consideramos que existe

una relación entre nuestro trabajo y el de su grupo. Sólo que nuestra investigación se

refiere a un nivel de análisis que no es contemplado en la publicación que hemos citado

pero que estamos enterados se trabaja en ello.


122

Coll y su grupo (1995), abordan dos niveles de análisis. El primero de análisis

“macro”:

[...] se centra en la articulación de las actuaciones del profesor y de los alumnos en

torno a la tarea o contenido de aprendizaje y en su evolución a lo largo de la secuencia

didáctica. Coll, p. 235)

Cuya unidad de análisis es la secuencia didáctica y se vincula con las formas de

organización de la actividad conjunta como una sub-unidad de análisis correspondiente a

este nivel.

El propósito es aportar respuestas a las preguntas respecto a la cesión y traspaso del

control y responsabilidad del aprendizaje.

El segundo nivel de análisis, considerado como micro:

[...] se centra en los significados que actualizan los participantes mediante su actividad

discursiva (Coll, p. 298)

Al igual que el anterior la unidad básica de análisis es la secuencia didáctica que en este

caso

[...] se vincula con las formas de mediación semiótica utilizadas. (Coll, p. 235)

que constituye la sub-unidad de análisis de este nivel.

Su propósito es responder a las cuestiones formuladas sobre la construcción

progresiva de sistemas de significados compartidos a lo largo de la secuencia didáctica.

Coll anota que estos dos niveles de análisis son complementarios.

Ambos análisis, por lo demás, han de tener un carácter complementario y deben de

llevarse a cabo de tal manera que sus resultados respectivos se apoyen y se enriquezcan

mutuamente en aras de una interpretación integrada. Coll, p. 252)

Nosotros proponemos un tercer nivel de análisis que surge como necesario para

considerar los mecanismos de equilibración cognitiva, que a nivel intra juegan un papel

importante en la internalización de los procesos interpersonales que se analizan en los

niveles primero y segundo. Es aquí que entra en juego nuestra hipótesis de la

complementariedad de los modelos de construcción de conocimientos que se derivan de

las teorías piagetiana y vigotskiana.

Este tercer nivel de análisis se centra en los significados que actualiza el estudiante

en sus producciones escritas, gracias a la naturaleza mediadora de los mecanismos de

influencia educativa en la construcción de nuevo conocimiento –situaciones adidácticas de

acción, formulación y validación–. Se vincula con los procesos de internalización y

equilibrio entre asimilación y acomodación de los esquemas conceptuales como resultado

de la mediación del instrumento y los ajustes que realiza el profesor. Por tanto, la sub-

unidad de análisis es internalización-equilibración cognitiva. El propósito del análisis es

responder a las preguntas formuladas como problema de nuestra investigación.

Además, el carácter de este tercer nivel es el de ser complementario de los dos

anteriores y en algunos aspectos es inseparable de ellos. Los resultados respectivos

proporcionarán un interpretación más integral de la problemática. No obstante, nuestra

investigación se restringe a este tercer nivel. A continuación expondremos el cómo

realizamos el análisis.

El procedimiento de análisis

123

3.1 EL PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS

Recordemos que, de acuerdo con la metodología de la ingeniería didáctica, en primer

lugar se realizan los análisis preliminares que desembocan en la concepción de la

ingeniería –en nuestro caso su estructura está consignada en la guía–. Después de la

ejecución, se realiza el análisis a posteriori. Se tienen, pues, dos tipos de análisis, el

primero ya lo hemos descrito y ahora nos referiremos al segundo, o sea, el análisis a

posteriori que se realiza sobre los datos obtenidos.

Como la idea es que el contraste entre los dos tipos de análisis garanticen la validez

interna de la investigación, se vuelven a considerar las tres dimensiones: epistemológica,

psicocognitiva y didáctica; respecto a la dimensión temporal; pero, ahora sobre los datos.

De tal manera que el análisis integre, la naturaleza matemática del problema, el significado

que el estudiante ha atribuido a cada una de las situaciones, el efecto didáctico de la

situación y esto a lo largo de la secuencia didáctica (dimensión temporal). Para lograr lo

anterior se procede de la siguiente manera: se analizan en orden las preguntas cubriendo

en cada una de ellas simultáneamente las tres dimensiones del análisis. Así:

La dimensión epistemológica, para analizar los significados sentidos y relaciones

lógicas de los contenidos matemáticos que el estudiante expresa respecto a cada una

de las veinticinco situaciones de la Guía. Y esto de acuerdo con el tipo de situación

adidáctica –acción, comunicación o validación.

Por ejemplo, en una situación adidáctica de acción sujeto-medio observamos la

variable SM respecto a la interacción del sujeto con el problema, obteniendo de su

respuesta la información sobre la organización lógica (definiciones, relaciones,

propiedades, etc.) que el sujeto implícitamente atribuye al contenido matemático de la

situación como resultado de sus propias realizaciones y la ayuda, si es el caso, de la

indicación o institucionalización que presente el instrumento al respecto – entonces se

analiza la posible relación de la ejecución con las variables: “devolución del

problema” (DP) o “institucionalización”; escritas por el profesor (IP) en la guía–. Es

posible que el estudiante se apoye en otro tipo de ayuda externa como por ejemplo la

que resulta de la interactividad con otros o consulta del texto, y que en determinado

momento pueden favorecer o perjudicar su realización. Este tipo de influencia se

supone constante y no la consideramos. Aclarando, que la información en este nivel

se interpreta desde el punto de vista matemático que se observa por la ejecución de la

acción y se apoya en inferencias plausibles sobre el conocimiento que aplica el

estudiante.

En el caso de una situación adidáctica de comunicación sujeto-sujeto, el análisis

se centra en la variable CSS para observar el sistema de significaciones y sentidos

matemáticos que, en el discurso escrito, hacen explícito el modelo matemático que el

sujeto atribuye a su acción. Como en el caso anterior el análisis se hace en términos

de la estructura matemática implícita en cada situación.

Similarmente, cuando el análisis se refiere a una situación adidáctica de

validación, éste se centra en la variable VSS pero lo que se observa es la coherencia

lógica de proposiciones y juicios respecto a la validación del modelo de acción.

El procedimiento de análisis

124

La dimensión psicocognitiva, para analizar los efectos psicognitivos que producen

las situaciones debidos a los cambios de variables. Entendiendo que un aprendizaje

es el proceso de construcción de significados y que aprender es el proceso de

adaptación a una situación nueva cuyo resultado final depende de los procesos de

equilibración entre asimilación-acomodación. Esta adaptación puede ser más o menos

laboriosa y la situación puede o no oponer resistencias a ella.

En particular, en el caso de la presencia de obstáculos epistemológicos, la

manipulación de las variables tienen la función de plantear inconsistencias externas al

conocimiento que se resiste a la modificación. Interesa pues, describir en tales

circunstancias:

La perturbación, del sistema cognitivo del sujeto que se provoca, como consecuencia

de la interiorización de inconsistencias externas respecto a los esquemas del sujeto.

La regulación, que opone el sistema cognitivo a la perturbación, que llevan a

modificaciones o nuevas coordinaciones de los esquema conceptuales.

La compensación, o sea el resultado de los procesos de regulación que se manifiestan

en acciones, definiciones, relaciones, etc. matemáticas observables en las estrategias

empleadas o en las formulaciones del modelo de acción o en su validación.

La equilibración del sistema cognitivo. No toda perturbación desemboca en una

compensación. Se distinguen tres estados de equilibración: alfa, beta y gama. [ver en

el marco teórico las formas de equilibración]

La dimensión didáctica para analizar los efectos didácticos de las variables: SM,

CSS, VSS, DP, e IP, respecto a las intenciones mediadores de la ingeniería

La dimensión temporal, corresponde al análisis integrador de las tres dimensiones y

su resultado informa sobre los obstáculos y dificultades realmente presentes en cada

situación, lo mismo que si ellos fueron superados incorporando nuevos elementos

conceptuales (definiciones, relaciones, propiedades, etc.). También del estado de

equilibración de los esquemas a lo largo de toda la secuencia didáctica.

La información que proporciona este análisis a posteriori se contrasta con el análisis

a priori para obtener las respuestas al problema objeto de estudio y las conclusiones

respecto a los objetivos de la investigación.

3.2 INSTRUMENTOS DE ANÁLISIS

Los instrumentos que ayudan a organizar el análisis son configurados a partir de los

análisis preliminares y se aplican igualmente en el análisis a priori y a posteriori. De

acuerdo con el carácter de la dimensión de análisis, existen instrumentos que son

justificados bien por el análisis preliminar o por el marco teórico. Pero cada instrumento

proporciona elementos para cada una de las dimensiones, de tal manera que se facilite la

integración de las tres dimensiones: epistemológica, psicocognitiva y didáctica, con la

dimensión temporal.

Así, para llevar a cabo los análisis arriba mencionados, tanto del devenir histórico de

las nociones matemáticas, como de su constitución en la ontogénesis, nos basamos en la

idea según la cual: antes de ser totalmente aceptadas por la comunidad matemática estas

nociones matemáticas sufren un proceso más o menos largo de transformaciones respecto

Instrumentos de análisis

125

a su extensión, comprensión y estatuto matemático. Similarmente se puede hablar de tales

transformaciones de los esquemas conceptuales asociados a una noción matemática en el

caso de un sujeto. Esto nos permite categorizar los esquemas referidos a las nociones de

continuidad y límite.

3.2.1 Categorización lógica de los esquemas asociados a una noción matemática

Estableceremos categorías para los esquemas en relación a:

La extensión de la noción: local o global.

Por global, entendemos una propiedad que “hace intervenir todos los reales de un

intervalo”3

Por local, entendemos un a propiedad que “para todo punto x [...], no hace intervenir

más que los puntos en un entorno de x.”4

La comprensión de la noción o el dominio matemático definido por los objetos en

que se aplica la noción:

Dominio: Geométrico: Objetos: grandezas5, trayectorias

Dominio: Geométrico-Aritmético. Objetos: curvas, funciones numéricas algebraicas

de variables reales.

Dominio: Aritmético. Objetos: el conjunto de funciones arbitrarias en el conjunto

de los reales de Dedekind.

Dominio: Topológico. Objetos: funciones en los espacios topológicos

El estatuto de la noción, protomatemático, paramatemático, matemático. Según

Chevallard (1980, pp. 57-66):

1. Las nociones protomatemáticas, son aquellas movilizadas implícitamente, que los

matemáticos utilizan sin nombrarlos ni definirlos explícitamente en términos

matemáticos y que son considerados “como en la sombra” de sus realizaciones. En la

misma forma hablaremos de un esquema protomátemático en el caso de los modelos

implícitos de acción del sujeto.

2. Las nociones paramatemáticas, se trata de conocimientos movilizados con un

nombre pero que aún no están definidos matemáticamente; ellos son “nociones-

herramienta” de la actividad matemática pero normalmente no son objeto de estudio

sino que son objeto de negociación en términos de validaciones prácticas que sean

suficientemente claras a los matemáticos (un ejemplo actual: la integral de Richard

Feynman); ellas comprenden las nociones metamatemáticas y las maneras de utilizar

los conocimientos matemáticos. También en este sentido nos referiremos a esquemas

paramátemáticos en el caso del estudiante.

3. Las nociones matemáticas propiamente dichas, son las nociones ya construidas y

definidas matemáticamente y forman un núcleo de conocimientos que están bajo el

control de las teorías matemáticas. Como en los casos anteriores hablaremos en el

3 Bouvier, A y Michel, G, 1984. Diccionario de Matemáticas. Alcal Editor. Madrid

4 Ídem.

5Observación: El término de “grandeza” se refiere a la noción que aparece en los trabajos de Darboux hallada por

Lebesque (1975. p. 129) y que define: «una grandeza es todo aquello susceptib le de aumentación y de disminución».


126

mismo sentido de esquemas conceptuales matemáticos.

3.2.2 Aplicación de la categorización lógica

Como en nuestro modelo un esquema es una «forma» internamente organizada, por

tanto no observable a los sentidos, entonces lo que puede ser observable para nosotros es

su funcionamiento. Es decir, la asimilación-acomodación que se exterioriza en

manifestaciones de acción o de verbalización respecto del modelo de acción y, a partir de

estas exteriorizaciones, se puede inferir la organización del esquema conceptual en su

sentido lógico, es decir, su extensión y comprensión.

Los esquemas siempre están relacionados con la acción. Es decir, a las ejecuciones

del sujeto ya sean externas o internas (movimientos, pensamientos, etc.) encaminadas a la

obtención de un fin. Por tanto es una conducta observable exteriormente. La acción

presupone una estructura interna y un factor de desequilibrio del sistema estructural que la

desencadene. Esta actividad de la estructura se observa por los efectos funcionales

respecto a una situación. Estos efectos funcionales tiene una doble dirección que son

correlativas: una respecto a las transformaciones de los observables del objeto6, producto

de la asimilación y por tanto relacionada con los significados que se atribuye a los

elementos presentes en la situación –de lo externo a lo interno– y la otra, respecto a las

transformaciones que sufre la estructura producto de modificaciones internas necesarias

para adaptarse a las variaciones externas –de lo interno a lo externo.

En otros términos, toda acción implica asimilación-acomodación a esquemas

existentes y la acción es una respuesta a las necesidades del sujeto definidas en términos

de esquemas. Esta relación entre esquema y acción permite, gracias a la observación del

comportamiento del sujeto, hacer inferencias respecto a la «forma» que estructura un

contenido particular (esquema asociado a un contenido) en términos de su significado

como miembros de una clase que se define por extensión y comprensión.

Por esta razón, nuestra caracterización de un esquema es siempre relativa a los

productos observables de las acciones del sujeto dirigidas a utilizar y transformar una

situación, así como también, a conservar o aumentar las capacidades del esquema

A continuación, daremos unos ejemplos de aplicación de la categorización de

esquemas conceptuales de continuidad inferida de las definiciones escritas (producto de

acciones) de los estudiantes respecto a la situación que plantea la necesidad de formular un

modelo de continuidad de una función en un punto.

6 OBSERVABLE: Piaget anota que si bien un observable,

es lo que la experiencia permite comprobar mediante una lectura inmediata de los hechos presentes por sí

mismos... . (Piaget, 1990a. p. 49)

No obstante, esta lectura depende de los instrumentos de registro que no sólo consisten de mecanismos perceptivos sino

que además se conforman de esquemas que filtran lo percibido, por tanto:

los observables, hay que definirlos, pues, por medio de lo que el sujeto cree comprobar y no

simplemente de lo que es comprobable. Lo cual equivale a decir que una comprobación nunca es

independiente de los instrumentos de registro (y por tanto de una asimilación) de los que dispone

el sujeto y que estos instrumentos no son puramente perceptivos, sino que consisten en esquemas

preoperatorios u operatorios aplicados a la percepción actual, los cuales pueden modificar los datos en un sentido de precisión suplementaria o de deformación.. (Piaget, 1990. pp. 49 -50)

Estos observables se relacionan con las coordinaciones (inferencias del sujeto) en tanto que una coordinación, que

implica la organización de los medios (internos y externos) necesarios para alcanzar el objetivo de la acción, supone un

conjunto de inferencias necesarias y supera de este modo los observables.


127

Ejemplo 1. El esquema que se asocia a la definición,

«f es continua si su gráfico se puede dibujar de un solo trazo»

corresponde a un esquema conceptual que categorizamos como global; geométrico que se

aplica a curvas y gráficos de funciones numéricas de variable y valor en los reales; y

paramatemático.

Ejemplo 2. El esquema asociado a la definición:

«f es continua en xp, si cuando x se aproxima a p f(x) se aproxima a f(p)»

corresponde a un esquema conceptual que categorizamos como local; aritmético que se

aplica funciones numéricas de variable y valor en los reales; y paramatemático.


«f es continua en x p, si cuando xV(p) f(x)V(f(p)) »

corresponde a un esquema conceptual que categorizamos como local; geométrico-aritmético que se aplica a gráficos de funciones numéricas de variable y valor en los reales; y paramatemático.


«f es continua en x p, sixpf(x)f(p)»

corresponde a un esquema conceptual que categorizamos como local; Aritmético que se



«f es continua en x p, si para todo0 existe 0 tal que,

xpf(x)f(p)»


aplica funciones numéricas de variable y valor en los reales; y matemático.


«f es continua en x p, si para toda V(f(p)) existe V(p) tal que

xV(p) f(x)V(f(p)) »

corresponde a un esquema conceptual que categorizamos como local; geométrico-

aritmético que se aplica a funciones numéricas de variable y valor en los reales; y

matemático.

3.2.3 Caracterización operativa de los esquemas conceptuales

Otra caracterización que interesa a nuestro propósito de estudio de la modificación de

esquemas conceptuales es aquella que refleje la eficacia del esquema respecto a las

situaciones. Hemos expresado arriba que los esquemas conceptuales que emplean los

alumnos se pueden caracterizar a partir de las acciones y explicaciones que realiza el

sujeto al ejecutar una tarea. Entonces conviene distinguir los esquemas conceptuales de los

alumnos con base a la eficacia de sus ejecuciones, de las cuales inferiremos

organizaciones plausibles de los ciclos cognitivos que el sujeto emplea en la tarea.


128

De acuerdo con nuestro modelo de los procesos cognitivos, al iniciar una tarea el

sujeto tiene en mente el objetivo y el resultado esperado de sus acciones. Ejecutar una

tarea significa, entonces, emplear un esquema director A de las acciones, este esquema

director en el primer nivel de interacción con el medio organiza un ciclo cognitivo que es

resultado de la inteligencia que coordina un conjunto de esquemas que asimilan los datos y

se acomodan a ellos integrándolos al ciclo produciendo así una respuesta que, en caso de

éxito, debe ser acorde con A (cierre del ciclo), y esto independientemente de la conciencia

o no del sujeto sobre los procesos y de la naturaleza del objeto (la toma de conciencia

conduce a la conceptualización).

Los aciertos y errores en las respuestas son índices de los esquemas puestos en juego

y es la toma de conciencia de ellos lo que lleva a reequilibraciones del sistema cognitivo

que se reflejan en estados de conocimiento más evolucionado.

De acuerdo a su eficacia los esquemas conceptuales se pueden clasificar en

Esquema propio. Es aquél que es óptimo y poderoso para obrar en la solución de una

situación. Es decir, el ciclo cognitivo posee el menor número de esquemas necesarios

y suficientes para resolver una situación.

Ejemplo: el esquema «g es continua en xp si su gráfico se traza sin levantar el

lápiz», es un esquema propio para determinar que f(x) x2 es continua en todo real p;

pues basta trazar el gráfico.

Observemos que esta caracterización de esquema propio, no se refiere a los

aspectos de rigor matemático (esto es otro problema) sino a la capacidad para actuar

económicamente en una situación. Por ejemplo, el esquema no sería propio para

probar que la composición de funciones continuas es continua, que implicaría

necesariamente recurrir al esquema subyacente a la definición de continuidad de

Weirstrass

(0) (0 ( xDf (xpf(x) f(p)))

Esquema propio no óptimo. Permite resolver una situación pero de una manera

costosa en tiempo y esfuerzo. Implica la coordinación, en un ciclo cognitivo, de un

conjunto de esquemas que podrían ser reemplazados por un ciclo referido a un

esquema más eficaz que coordine un ciclo con un menor número de esquemas.

Ejemplo: el esquema asociado a la definición de continuidad de Weirstrass sería

propio y no optimo si se aplicara a cada situación en la que intervenga una

composición de funciones continuas; un esquema más económico sería el asociado al

teorema «Si f es continua en xp y g es continua en xf(p) entonces gof es continua

en xp» que reemplaza la demostración para cada caso particular.

Esquema no operativo. Un esquema que por la naturaleza de la situación tiende a

asimilar los datos de ella pero que está limitado en su operatividad sobre ellos. Este

esquema puede ser propio en un dominio semejante pero cuyos elementos son de una

naturaleza diferente.

Ejemplo: el esquema asociado a la definición de Weirstraus no es aplicable a

una función de dominio no numérico

Esquema erróneo. Es un esquema que se aplica a una situación que no corresponde a

su dominio. Este uso inapropiado es originado por una generalización excesiva.


129

Ejemplo: decir que una función es continua sobre un intervalo si ella está

definida para todo punto en ese intervalo, expresa un esquema erróneo.

Las dos caracterizaciones de los esquemas conceptuales que acabamos de exponer –

logica y operativa– resulta útil para organizar nuestros instrumentos de análisis tanto para

la dimensión epistemológica como para la dimensión psicocognitiva.

Los instrumentos de análisis de la dimensión epistemológica, son producto de la

combinación de la información obtenida de los análisis preliminares respecto a la

epistemología de los conceptos de continuidad y límite, con aquella de las concepciones

de los alumnos respecto a estos conceptos.

En el capítulo cuarto, explicaremos la concepción del instrumento de la ingeniería –la

estructura de la guía–, pero ahora nos referimos al instrumento de análisis que de allí se

deriva. La estructura de la guía se divide en dos partes. La primera, referida al andamiaje

para la construcción del concepto de continuidad y la segunda al concepto de límite. Las

situaciones adidácticas iniciales están diseñadas de tal manera que las definiciones

protomatemáticas asociadas al esquema conceptual más elemental funcionen. Las

definiciones escritas del concepto lógico, asociadas al esquema conceptual de continuidad

las notamos con la letra indiciada Ci donde i1,2,3,4,5,6,7. Los subíndices indican el

grado de formalización de la definición. Así, por ejemplo, la definición

C1 f es continua si su gráfico se puede dibujar de un solo trazo

corresponde al esquema más elemental y sería un esquema propio para una situación en la

que se muestra que f(x) x2 es continua. En tanto que, si la situación exige demostrar que

la función es continua para todo p real, el esquema propio correspondería al asociado a la

definición

C5 (0) (0 (x Df (xpf(x) f(p))))

y en esta situación se diría que el esquema C1 es no operativo.

Esta organización, es inseparable de las situaciones e involucra la imagen mental que

éstas activan y permite la evocación de significados (esquemas conceptuales). En este

sentido, los esquemas operativos asociados tanto a la definición de continuidad como a la

de límite –que notaremos con Li i1,2,3,4,5,6,7–, se relacionan con imágenes geométricas

o aritméticas.

La relación entre los dos conceptos conduce a dos importantes teoremas. El primero

garantiza que si f es continua en xp entonces el límite existe y es f(p). A esta forma de

concebir el límite de una función la denominamos (L7). El segundo advierte que el

recíproco del teorema no es cierto. Para que f sea continua en xp, es necesario que el

límite exista pero, además, se requiere que el límite sea igual a f(p). A esta forma de

definir la continuidad de f la notamos por (C7). De tal manera que los teoremas establecen

una relación que esquemáticamente expresamos:

donde la línea continua indica la implicación del primer teorema y la línea punteada que

L7 es condición necesaria para C7 pero no suficiente. Esta relación nos permite considerar

a L7 y C7 como las definiciones que corresponden al mayor desarrollo de los esquemas a

lo largo de la secuencia didáctica propuesta.

L7 C7


130

Ahora bien, de acuerdo con nuestro modelo cognitivo, la toma de conciencia que

conduce a la conceptualización implica procesos de diferenciación de los esquemas en

función de las situaciones nuevas. Esta diferenciación conduce hacia las novedades

estructurales pero éstas son integradoras en el sentido que el esquema viejo es asimilado a

una estructura más fuerte, sin perder por ello sus capacidades originales.

Para poder captar la modificación de los esquemas en términos de adaptaciones y

superación de obstáculos cognitivos, de manera que se pueda informar de las

diferenciaciones establecidas y las integraciones en nuevas estructuras conceptuales, se

diseñan situaciones adidácticas que por su naturaleza obligan a aplicar esquemas propios

y las variables de comando llevan a situaciones nuevas que implican las diferenciaciones

e integraciones. Esto se hace organizando secuencialmente las situaciones de forma que el

estudiante tenga posibilidad de éxito usando estructuras conceptuales progresivamente

más fuertes que se construyen previamente a partir de las anteriores y son definidas

lógicamente por escrito –las definiciones Ci y Li –. Así, se plantea la hipótesis sobre el

progreso de las definiciones personales, gracias a la intervención didáctica mediada por

las situaciones de la guía, en la secuencia que indican las flechas de la figura 2.2

representando a la vez el carácter integrador de la definición personal ulterior.

si xV(p) f(x) V(L)

xV(p) f(x) V(L)

xV(p) f(x) V(f(p))

xV(p) f(x) V(f(p))

C1 : si su gráfico se puede dibujar de un solo trazo

RED SISTEMICA

C3 : si cuando

C5 : si para toda V (f(p)) existe V(p) tal que

C2 : si cuando x se aproxima a p, f(x) se aproxima a f(p)

| xp | < | f(x)f(p) | < C6 : si para todo >0 Existe >0 tal que

Imagen

geométrica

Imagen

aritmética

Continuidad

(de f en xp)

Figura 2.1 : Categorización lógica de las definiciones de continuidad y límite

C7 : f es continua en xp, si el límite de f existe en xp entre y es

igual a f(p)

L7 : Si f es continua en x, el límite de f existe en xp y es f(p)

Relación

Continuidad y Límite

C4 : si |xp| < | f(x) f(p) | <

Límite

(de f en xp)

Imagen

geométrica

Imagen

aritmética

L1 : si cuando los puntos A(x) se aproximan al punto P(p) entonces

los puntos M(f(x)) se aproximan al punto S(L)

L3 : si cuando

L5 : si para toda V (L) existe V(p) tal que para todo x p :

L2 : si cuando x se aproxima a p, f(x) se aproxima a L

L4 : si 0< |xp| < | f(x) L | <

L6 : si para todo >0 Existe >0 tal que 0 <| xp | < | f(x)L | <


131

Las flechas con línea continua indican que el proceso de construcción se realiza en

una situación de interactividad en el aula. Las flechas de línea discontinua indican que las

construcciones que se proponen serán construidas de manera individual fuera del aula

(respecto al concepto de límite); señalando también las relaciones entre las definiciones de

continuidad, –posiblemente– ya establecidas con la ayuda de otro, y las definiciones de

límite que debe construir a solas. Esta manera de proceder obedece a varias razones; la que

aquí interesa señalar es que con ello se pretende obtener datos sobre la internalización de

las operaciones que el sujeto ha logrado con la ayuda de otros, pero que ahora está

obligado a realizar a solas en el caso de la construcción del concepto de límite. Esto es

posible porque los dos conceptos se relacionan entre sí por la “propiedad de

aproximación” como se explicará en detalle más adelante cuando abordemos la

concepción del instrumento de la ingeniería.

La figura 2.2, representa la evolución cognitiva deseada de los esquemas conceptuales

asociados a las definiciones. Ellos son activados por las situaciones adidácticas de la guía

que están estructuradas a manera de favorecer la secuencia de desarrollo en la forma

siguiente:

Las letras L y L simbolizan las definiciones de límites laterales y la doble flecha señala

la definición de límite en términos de límites laterales.

Este diagrama junto con las consideraciones respecto a las categorizaciones de los

esquemas será un instrumento para el análisis de la modificación de los esquemas

conceptuales como resultado de adaptaciones a las situaciones propuestas en la guía. Este

análisis se complementa con las inferencias puntuales que se hacen de las realizaciones

escritas del estudiante en cada situación adidáctica.

3.3 PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS DE LA MODIFICACIÓN DE LOS ESQUEMAS

CONCEPTUALES

Para estudiar las modificaciones de los esquemas realizamos dos tipos de estudio que

conviene distinguir. Uno local y otro global, pero advirtiendo que los dos son

complementarios.

Llamamos análisis puntual aquél que se obtiene para una situación adidáctica local.

Es decir, referido a un problema concreto de la guía, estableciendo como críticas las

situaciones adidácticas en las cuales hay un cambio de variable para producir una

inconsistencia externa que tenga posibilidad de derivar en inconsistencia interna y así

poner en marcha el mecanismo de equilibración cognitiva que dé como resultado la

modificación conceptual. Se trata, pues, de un análisis transversal, que da cuenta de las

relaciones lógicas respecto a los elementos matemáticos de una situación particular.

Figura 2.2: Diagrama de construcción de las definiciones personales de

continuidad (Ci ) y límite (Li ), i1, 2, ...7

C1 C2 C3 C4 C5 C6

L1 L2 L3 L4 L5 L6 L = L

C7 L7

Procedimiento de análisis: local

132

El resultado de este análisis se contrasta y afina con el seguimiento de las

realizaciones ulteriores para llegar a caracterizar en cada situación crítica un estado de los

esquemas conceptuales en el tiempo ti y la modificación se identifica al conocer los

estados ti+1 ... tn a lo largo de las situaciones adidácticas críticas. Por este procedimiento

se obtiene un análisis de la evolución global o longitudinal que integra las cuatro

dimensiones epistemológica, psicocognitiva, didáctica y temporal–. Es decir, el análisis

transversal se complementa con un análisis longitudinal, que da cuenta de las

modificaciones del esquema o estructura asociada al concepto matemático.

El análisis local (o transversal) informa sobre los esquemas que el sujeto aplica a una

situación particular. Los aciertos y en especial los errores permiten identificar la existencia

o no, de obstáculos o dificultades y también la forma como se relacionan los diferentes

conceptos matemáticos en la aplicación al problema; en tanto que el análisis global (o

longitudinal) informa sobre los obstáculos y dificultades superados de un estado ti al

siguiente y así sucesivamente, o dicho de otra manera, permite explicitar los elementos y

las soluciones que producen el progreso a través de los estados sucesivos. Conviene, pues,

detallar los dos procedimientos de análisis.

3.3.1 Procedimiento de análisis local

Para cada situación se detallan los conceptos matemáticos que el sujeto expresa

implícita o explícitamente en su producción escrita. La dimensión epistemológica da

entonces la información respecto a su organización lógica. Esto permite enfocar la

atención en los factores operativos del ciclo cognitivo (dimensión psicognitiva) que se

activa por la situación particular que el estudiante resuelve o trata de resolver. Es decir, en

las habilidades y capacidades, en cada momento del desarrollo de la guía.

La información de la dimensión del análisis epistemológico se interpreta usando el

concepto de ciclo de interacción, consignando en cada casilla la información obtenida en

términos de los observables y coordinaciones que el investigador atribuye al sujeto a partir

de las realizaciones respecto a una situación adidáctica Si .

Obs S Coord S Obs O Coord O

Se consigna: una

descripción de la

acción del sujeto

respecto al objeto

Se consigna: las

inferencias implícitas o

explícitas, que organizan

y dan sentido a la acción

en términos del objetivo

de la tarea.

Se consigna:

lo que el sujeto cree

comprobar respecto

al objeto

En el caso de objetos

abstractos estas

coordinaciones son las

mismas de Coord S

Donde (1) representa el proceso de asimilación, (2) el de acomodación y la doble

flecha () representa la equilibración de los dos procesos. El primero atribuye

significados (esquemas conceptuales) a los observables del objeto y el segundo desempeña

el papel de significador que permite la evocación de esquemas ya constituidos que serán

coordinados en términos de las inferencias extraídas del significado proporcionado por la

asimilación de los observables del objeto y los esquemas evocados. Se trata de un proceso

iterativo de la forma

2

1

Procedimiento de análisis: local

133


que desemboca en la realización final del estudiante

A partir de las realizaciones del estudiante (sus decisiones explícitas), podemos

reconstruir de manera esquemática un ciclo cognitivo virtual que describe,

plausiblemente, la interacción en términos de los esquemas conceptuales necesarios y

suficientes para alcanzar el objetivo de la tarea y que el sujeto se obliga a poner en juego.

Este ciclo se representa en la forma:

A S B; B S(1)

C;...; Z S(n) Ar

Donde A, B, C,..., Z. representan los esquemas conceptuales que están actuando sobre

la situación S y sus aspectos más particulares S(1)

....S(n)

. Aquí A es el esquema director de

la acción total. Es decir es un esquema anticipador que vincula el objetivo y el resultado

previsto y ello lleva a coordinar en el ciclo otros esquemas que aparecen como medios

necesarios para alcanzar el objetivo.

El esquema director actúa sobre la situación externa S asimilando de ella, los

elementos que son compatibles con su estructura y acomodándose a las condiciones

particulares de éstos (apertura del ciclo), como resultado se activa un conjunto de

esquemas necesarios para dar continuidad al proceso hasta alcanzar la equilibración

(satisfacción de la necesidad y cerradura del ciclo). Si el sistema aún no se equilibra, el

esquema producto del proceso cognitivo anterior busca su alimento en los elementos S(i)

de S o en los esquemas de que dispone el sujeto (asimilación recíproca) para la

satisfacción de la necesidad que ha surgido por el propio funcionamiento interno del ciclo.

El proceso termina cuando se alcanza el éxito o se producen rechazos, parciales o totales,

en caso de fracaso; la característica en ambas situaciones es el tipo de equilibración

alcanzada. El cierre del ciclo se señala en la forma Ar que dirige el proceso y evalúa los

resultados que en criterio del sujeto constituyen una respuesta válida a la situación.

En resumen, conocida la respuesta Ar de un estudiante concreto, es posible hacer

inferencias plausibles respecto a los esquemas que conforman el ciclo total; esta

inferencias se pueden confirmar o modificar analizando las formulaciones y justificaciones

ulteriores del sujeto (esto es posible gracias al análisis global).

Envoltura en forma y contenido cambiante

do cambiante

<A>

B

C Esquemas

establecidos en

el tiempo t1

respecto a la

situación Si

X

Y

Z

.

.

.

Esquema director (conjuntos representativos)

B

C

X

Y

Z

.

.

.

<Aw

>

t1 tk ti tiempo

Figura 2.3: Representación transversal o local de conjuntos representativos de la

organización atribuida al esquema director <A >

<Awx >

Procedimiento de análisis: Global

134

Los esquemas presentes en cada situación se pueden ver como organizaciones de un

estado ti que se somete al análisis lógico formal de sus relaciones en cada situación

particular. Este análisis local se puede representar gráficamente considerando que cada

situación permite tomar una muestra representativa, de la organización del esquema

director A y los esquemas necesarios B, C, ..., Z presentes, en periodos sucesivos de

tiempo. Estos conjuntos representativos de la organización del esquema director pueden

cambiar, en extensión y comprensión (forma y contenido al que se aplican) o el esquema

director puede coordinar al ciclo esquemas que permanecían aislados, a medida que se

progresa en el desarrollo de la secuencia didáctica.

De esta manera se pueden seguir los factores que repercuten en modificaciones del

esquema director (AW, AWR, etc.) y la explicación se da en términos de los procesos

de internalización y equilibración.

3.3.2 Procedimiento de análisis global

Ya hemos dicho que el análisis local permite identificar los problemas conceptuales

del sujeto y que éstos son factores del progreso conceptual. Por tanto, para describir el

procedimiento de análisis de las modificaciones de los esquemas conceptuales ligados a

tales problemas, interesa recordar de dónde surgen los problemas y cómo se relacionan las

soluciones con la modificación conceptual.

De acuerdo con nuestro marco teórico, los problemas surgen cuando los conjuntos

representativos de la organización de un esquema director A (o el conocimiento C) que

se aplica a una situación S se quedan a la zaga, en algunos aspectos remediables, de las

explicaciones ideales para S. Estas explicaciones ideales (I), que en principio sólo se

vislumbran y perciben produciendo una cierta insatisfacción en el sujeto respecto a sus

conocimientos actuales, provienen de la actividad anticipadora de los esquemas o son

inducidas y reforzadas por los debates que se dan, bien en la interactividad o, por

comentarios consignados en los instrumentos de ayuda educativa. Así, se tiene un

problema conceptual (P) cuando existe diferencia entre las explicaciones ideales (I) y los

conocimientos (C) en un momento dado.

Entonces los problemas conceptuales del sujeto provienen de inconsistencias externas

que aparecen al comparar las ideas que surgen respecto a una situación con la experiencia

del sujeto. Estas ideas se ponen en conflicto con la naturaleza de la situación o unas con

otras.

La solución de un problema nuevo, en un momento dado, respecto a una situación

matemática determinada, puede constituir una dificultad o un obstáculo dependiendo del

efecto que tenga sobre la estructura cognitiva en cuestión.

Si nos preguntamos qué cuestiones constituyen una dificultad o un obstáculo en la

solución de un problema auténtico para un individuo, se debe responder considerando el

desarrollo cognitivo actual y potencial del sujeto, nuestra respuesta debe tomar en

consideración la diferencia entre aquello que el sujeto puede realizar a solas y esto que

realiza con la ayuda de un experto, tomando en consideración la toma de conciencia

respecto de los objetos y operaciones de que se ocupa; así como de la validez de sus

métodos.

En un momento dado, el nivel del conocimiento teórico matemático alcanzado admite

plantear ciertas cuestiones, proponer el abordar las conjeturas conocidas y permite decidir


135

si ellas son verdaderas o falsas y su estatuto no se cuestionará en adelante. Pero ello está

condicionado por el nivel de desarrollo conceptual del sujeto.

La solución de problema nuevo, en un momento dado, en el marco de un cierto

conocimiento (del sujeto) de la teoría matemática, puede constituir una dificultad o un

obstáculo dependiendo del efecto sobre la estructura cognitiva asociada al cuerpo teórico

en cuestión.

Si la solución no implica una reestructuración del conjunto representativo de

esquemas o esquema director como consecuencia de la necesidad de modificar el punto de

vista teórico del sujeto, en tal caso se dice que una dificultad ha sido evacuada. La señal de

una dificultad es que produce un cerco al sujeto sin encontrar una salida, no obstante que

los medios de solución estén ya disponibles. La dificultad demanda entonces energía, pero

no una espera de elementos nuevos de la teoría ni de la forma de hacer uso de ella.

Si por lo contrario, el problema que se plantea viene a ser resuelto después de haber

exigido una reestructuración del conocimiento y un cambio importante del punto de vista,

entonces se dice que un obstáculo ha sido superado. La señal que indica un obstáculo, es

que algunos elementos del esquema director en un momento dado oponen resistencia al

nuevo conocimiento necesario e impiden la solución del problema.

Con estas ideas en mente podemos volver sobre los procedimientos de análisis. La

guía, como ya se ha dicho, se estructura en torno a ciertas situaciones adidácticas, algunas

de las cuales se diseñan con el propósito de poner en evidencia inconsistencias externas

que promuevan conflictos internos que posiblemente se constituyen en verdaderos

problemas conceptuales para el sujeto –las llamaremos situaciones críticas–. Sus

realizaciones y el análisis posterior en sus dimensiones respectivas conducen a identificar

las posibles dificultades u obstáculos y se utiliza un código alfabético para consignar su

descripción. Por ejemplo, en una situación, el estudiante puede evidenciar una dificultad

cuando pasa por alto ciertos elementos que caracterizan el dominio de una función, lo que

se refleja en la elaboración del gráfico de ésta. En tal caso, se codifica la dificultad y se

describe según las hipótesis del investigador respecto a sus causas. Así,

DGF: (dificultad de graficación de la función). El estudiante ha representado la función

sin discriminar el dominio de definición. Esto se debe, posiblemente...

los puntos suspensivos indican las hipótesis que se sustentan en términos del conocimiento

respecto a las anteriores realizaciones o en los elementos que se han considerado en los

análisis preliminares o en conjeturas que el investigador deberá confirmar más adelante

con base en el análisis global. Igualmente sucede en el caso de los obstáculos solo que en

tal caso la primera letra del código es una O para denotar obstáculo. Ejemplo:

ON: (obstáculo numérico). El estudiante considera que los números racionales “llenan” la

recta real. Esto se debe, posiblemente...

Para observar en el análisis global las dificultades y obstáculos que surgen en la

situación particular y que serán fuente de debates que derivan en desequilibrios cognitivos,

que en última instancia deben conducir al aprendizaje, la información codificada se

consigna en una representación evolutiva que se diseña para indicar la evolución de los

esquemas conceptuales a lo largo de la secuencia didáctica.

Así, en una situación crítica Si frente a la cual el estudiante opone un esquema A

que resulta debatible porque las explicaciones ideales I que hacen inteligible la naturaleza

de la situación superan el conocimiento C asociado a A, el investigador identifica las


136

fuentes del conflicto, si éste se da, y se analiza la variación adoptada cuya señal es el

cambio del punto de vista del sujeto respecto a la situación. El investigador interpreta las

reacciones del sujeto en términos de perturbaciones del sistema cognitivo asociado al

esquema directos A; identificando los obstáculos y dificultades; los elementos o

relaciones matemáticas que establecen un nuevo estado equilibrio y finalmente observa el

estado de equilibrio alcanzado. Si el equilibrio corresponde a un estado alfa, significa que

el esquema se resiste a la modificación; si corresponde a un estado beta, se indican las

diferenciaciones del esquema antiguo presentes que son señal del inicio de la variación y

de un desequilibrio del esquema antiguo; si el estado es gama, significa que la nueva

variación se diferencia de la antigua y la integra en la nueva estructura cognitiva asociada

al concepto matemático en cuestión. Este proceso de análisis de una situación crítica o

punto de debate se puede representar esquemáticamente como se muestra en la figura 2.4.

El análisis global o evolutivo a lo largo de la secuencia didáctica integra estos análisis

parciales, y da cuenta de:

• Las situaciones adidácticas (de acción, de formulación y de validación) en las que el

estudiante realiza la acción.

• Los conflictos que el estudiante tuvo que enfrentar.

• Las dificultades conceptuales evacuadas.

• Los obstáculos epistemológicos que surgen en la producción del estudiante, gracias a

la naturaleza de la situación.

• Los elementos epistemológicos, psicocognitivos y didácticos que hicieron posible

alcanzar la modificación conceptual deseada.

• La conducta de equilibración observada, respecto a inconsistencias externas.

• El estado de equilibración alcanzado.

Los resultados del análisis global conforman el análisis a posteriori de la ingeniería,

se representa esquemáticamente en diagramas de flujo donde se consigna la información

codificada. Estos diagramas de flujo siguen las pautas de aquéllos que se desprenden del

análisis a priori y que se muestran en las figuras 2.5, 2.6 y 2.7.

El diagrama 2.5 corresponde a la primera parte de la secuencia didáctica que

comprende el aprendizaje de la definición ( , ) de continuidad de una función en un

punto; 2.6 y 27 corresponden a la segunda parte dedicada a límite.

La evolución que plantean los diagrama cuando se siguen las líneas de desarrollo de

los esquemas es teórica y corresponde a la consignación en los diagramas de los análisis a

B

Y

Z

.

.

B2

Y

Z

.

Punto de debate nuevo esquema

variaciones

abandonadas

<A

> Esquema en:

equilibrio desequilibrio

<A2 >

M

> <A1 >

integrado a

<A2 >

antiguo esquema

diferenciado de <A2 >

Estado en t1 Estado en t2

Figura 2.4: esquema del proceso de variación conceptual


137

priori que se concretan en el diseño de situaciones adidácticas de la guía (primera

columna), los efectos que se espera provocar en la estructura cognitiva que el estudiante

asocia al concepto (segunda columna) y las formas de mediación planificadas (tercera

columna).

Los resultados del análisis a posteriori se consignan en sendos diagramas de flujo

evolutivo que realmente ha seguido el estudiante y se contrastan con los diagramas

teóricos, obteniendo así una información visual que ayuda a la obtención de resultados y

conclusiones de la investigación.

A continuación mostramos los diagramas evolutivos teóricos correspondientes.

Figura 2.5: Diagrama de flujo evolutivo (continuidad)

LA SITUACIÓN G1

ORIGINA QUE EVOLUCIONA MEDIADA

POR: Ayudas

1-2 Problema

3 Definición

4 Aplicación

5 Aplicación

Inconsistencia externa

Obstáculos y dificultades

Relación

Definición 6 Aplicación

Obstáculos y Dificultades

7 Aplicación



8-13 Institucionalización (entorno y distancia)

Relación: necesaria continuidad

Relación: entorno-distancia

Relación: “próx.”-entrono-dist.

14 Inconsistencia externa


Definición

15 a) Negación

b) Aplicación


16 Negación de la definición



Relación necesaria y suficiente de continuidad

Definición

17 Definición final

****● ●***

*

●

P

●****

AC1 AC1

AC1 AC1

P1

R1

C2

AC2

R2

R3

R4

R5 R5’

AC2

AC2 AC2

●**** P2

P3

R6

C3

****●

C3 ●***

*

P4

C3 C4

AC3-----AC3 AC2

C3 C4

R6´

’ C6 C5

C5 C4 C6 C3

C1

C1

CONVENCIONES: Esquema conceptual en:

Equilibrio

Conflicto ******** Desequilibrio

Integrado

Abandonado

Pi problema N° i

ACiaplicación de la definición C i

ACi aplicación de la negación de la definición Ci

Ri relación i-ésima

Ii instrucción i-ésima

I5

I6

I7

I8

I14

I15

I16

C1


138

Figura 2.6: Diagrama de flujo evolutivo (límite)

LA SITUACIÓN G1

ORIGINA QUE EVOLUCIONA

18 Definición

(a) Aplicación



Recuperación relaciones:

de la definición de continuidad

Relación valor numérico de la

aproximación

Diferenciación: de esquemas,

continuidad y límite

Definiciones

19 a) Problema

Interpretación


Relación:

El límite de una operación

matemática

19 b) Definiciones

20 Comparación


Relaciones: continuidad-límite;

límite-continuidad

Criterio: para calcular el límite

Definiciones

21 Definición

Signo

R1

0

R9´

’

C6 C5 C7 L5

C7

C7 L6

****●

●*******●**********●*******●

●

●****

AC5

(R2 R4 R5 R6)

R7

C5

R8

C5

L6 C5

●****

P

P6

L6 L5

L5

L5

L6 C6

CONVENCIONES:

Esquema conceptual en: Equilibrio

Conflicto *****

Desequilibrio

Integrado

Pi problema N° i

ACi iaplicación de la definición C i

ACi aplicación de la negación de la definición Ci


C5

P5

(f, p)L

P7

R1

0

(f, p)f(p)


139

Figura 2.7: Diagrama de flujo evolutivo (límite)

LA SITUACIÓN G1


22. Definición

Interpretación

Inconsistencia extrema

Relaciones: aproximación

lateral y desigualdades

Diferenciación: esquema de

límite y límite lateral

Definiciones

23. Comparación

Interpretación de signos


Relaciones: límites laterales y

límite

Relación: existencia de límite

en términos de límites laterales

Definición

24- 25 Aplicación



Relación: necesaria y

suficiente para la existencia de

límite

Estrategia: técnica (, )

25 Aplicación

L5 CONVENCIONES:

Esquema conceptual en:

Equilibrio Conflicto *****

Desequilibrio

Integrado

Pi problema N° i


ACi aplicación de la negación de

la definición Ci


P

P8 ●****

R1

1

R1

2

L5

L

L5 L

L

L

Signos

●****P9 ●

R1

3

R13

L L L

L

L

L7

A L5 AL5

3

●****P11 P10●****

R6

E

A L5 AL5

3

Entorno de aprendizaje y de investigación

140

4 ENTORNO DE APRENDIZAJE Y DE INVESTIGACIÓN

Plantearemos enseguida las circunstancias que rodean la experiencia como son: el

contrato didáctico previamente establecido, los compromisos que en él se definen y los

recursos necesarios para cumplir las obligaciones del contrato.

La experiencia se realizó en un grupo de 150 estudiantes, dirigida por el investigador

que al mismo tiempo ejerció de profesor con la ayuda de cuatro asistentes de docencia.

Estos asistentes son matemáticos que realizan estudios de segundo ciclo. Tanto el profesor

como los asistentes tienen la responsabilidad de realizar el seguimiento de 30 estudiantes

durante todo el curso de Cálculo.

4.1 EL CONTRATO DIDÁCTICO

Nosotros explicitamos un contrato didáctico a los sujetos que intervienen de forma

directa o indirecta en el proceso. El contrato se fundamenta en cinco principios básicos,

propios de un proceso de enseñanza-aprendizaje de un curso básico. Ellos son:

Primer principio: Sólo interesa aquello que es fundamental y básico.

Segundo principio: La necesidad es generadora de conocimiento.

Tercer principio: La reflexión sobre el error es importante.

Cuarto principio: Interesa la superación del error.

Quinto principio: Se aprende haciendo.

El curso está estructurado alrededor de doce guías de trabajo y ellas constituyen su eje

central. Las guías están diseñadas con base a una transposición didáctica que busca

proporcionar las situaciones propicias para el surgimiento de las dificultades y preguntas

que provoquen la aparición de los conceptos fundamentales. Las guías cumplen la

función de focalizar las acciones en aspectos teóricos que nosotros consideramos

fundamentales y básicos. Una guía no proporciona por sí misma un aprendizaje autónomo,

pero sí es una herramienta imprescindible en nuestra propuesta.

El instrumento que vamos a usar es la primera guía, que se ubica en la introducción

del concepto de límite en el primer curso de cálculo universitario y se utilizó de la

siguiente manera:

El estudiante inicialmente trata de resolver las preguntas de la guía individualmente;

con sus producciones escritas participa en una primera sesión de clase de dos horas, en las

cuales su actividad se distribuía aproximadamente así: veinte minutos en los cuales tiene la

oportunidad de plantear sus preguntas, dificultades, dudas, surgidas de su trabajo y además

escucha las de otros compañeros quienes tratan entre pares de resolverlas y aclararlas con

base en la experiencia de los participantes. El profesor en este tiempo actúa como

moderador, orientador y estimula la discusión y la argumentación, interviniendo

activamente con elementos teóricos solo cuando éstos son necesarios, pero no

fundamentales en la solución del problema.

Continúa con 80 minutos de trabajo en pequeños grupos (2 o 3 estudiantes) y el

profesor recorre el auditorio observando las dificultades y argumentaciones tomando


141

cuidado de no intervenir directamente en el proceso mismo de construcción en que el

estudiante está comprometido. Al final de la clase, el profesor interviene en una puesta en

común en la que se aclaran los conceptos necesarios para solucionar el problema.

El estudiante se compromete a trabajar por cada hora de clase presencial, dos horas de

trabajo individual en casa, por lo tanto a la siguiente sesión llevará escrita su producción

de 4 horas. La siguiente sesión presencial (2 horas) tiene una estructura similar y también

continúa con 4 horas de trabajo en casa, pero la sesión final se caracteriza porque el

tiempo dedicado al trabajo en grupo se reduce en 20 minutos, que se incrementan en la

puesta en común, ahora en la modalidad de una clase magistral a cargo del profesor (40

minutos).

Al finalizar la semana, los estudiantes entregan su producción respecto a las 25

preguntas de la guía, las cuales pasan a ser evaluadas por un equipo (4 estudiantes de

postgrado de matemáticas coordinados por el profesor titular). Esta evaluación

debidamente comentada se devuelve a los estudiantes la semana siguiente para tomarla

como punto de partida en el trabajo posterior. La figura N 6 ilustra la distribución de

tiempos y fases del modelo.

Compromisos del estudiante

Se establece un acuerdo con el estudiante para que:

— Responda ordenadamente las preguntas de la guía.

— Escriba sus propias respuestas.

— Discuta estas respuestas con sus compañeros (se establecen grupos estables de dos o

tres estudiantes).

— Vuelva, individualmente, a leer las preguntas e introducir cambios a sus respuestas si

lo cree necesario.

— No borre los "errores", pero en cambio escriba las modificaciones.

— Diferencie claramente el tiempo de estudio individual del tiempo de estudio en grupo.

Figura 2.8: Tiempos y fases del modelo enseñanza-aprendizaje

T.G P

P

P.C

T.G

C.M

P

T.G

T.I

T.I

T.I

Auxiliar

Profesor

Alumno

P : Preguntas

T.I : Trabajo individual

TG : Trabajo en grupo

P.C : Puesta en común

C.M : Clase Magistral


142

Compromisos del profesor

— Realizar un seguimiento cuidadoso de las respuestas del estudiante.

— Cuestionar y orientar, pero no dar respuestas. Éstas deben surgir de los propios

estudiantes.

— Establecer los momentos en que se debe reunir todo el grupo para lograr, después del

trabajo individual y de grupo, una puesta en común acuerdo con respecto a los

diferentes puntos de vista de los estudiantes y el asunto teórico que los ocupa.

— Construir nuevas situaciones didácticas sí ello es necesario.

— Explicar aquellos conceptos distintos de límite y continuidad que el estudiante no

recuerde o no conozca.

— Planificar y coordinar una reunión semanal, de 2 horas, con los asistentes de docencia

para:

Determinar y unificar criterios de evaluación. Se entiende que estamos interesados en

la función pedagógica de la evaluación, es decir: la evaluación diagnóstica, formativa

y sumativa.

Informarse semanalmente de los informes de seguimiento de las producciones

semanales de los estudiantes, elaborados por los asistentes de docencia.

Fijar un horario de consulta, para atender preguntas de estudiantes fuera de clase (2

horas semana por cada grupo de 30 estudiantes).

Compromisos de los asistentes de docencia

— Realizar un seguimiento cuidadoso de las producciones escritas del estudiante;

orientar la corrección de tal manera que estimule la reflexión del estudiante sobre sus

errores y que al mismo tiempo le orienten en la focalización de los aspectos centrales

de su origen.

— Cuestionar y orientar; pero no criticar negativamente las respuestas de los estudiantes.

Estas son el reflejo material del progreso en el conocimiento.

— Asistir a las reuniones de evaluación y planificación, coordinadas por el profesor,

para unificar criterios respecto de asuntos matemáticos teóricos, evaluativos y de la

función de los problemas planteados en la guía en relación con la producción del

estudiantes y el asunto teórico que los ocupa.

— Determinar y unificar criterios de evaluación.

— Reportar al profesor, por escrito, los resultados de la evaluación de las producciones

semanales de los estudiantes.

— Fijar un horario de consulta, para atender las preguntas de los estudiantes respecto de

la evaluación de la tarea (2 horas semana por cada grupo de 30 estudiantes)

Materiales

Los alumnos dispondrán de los siguientes materiales:

— Guía de trabajo

— Texto. (Tom Apostol. Calculus, Tomo 1).


143

— Lápiz y papel.

Hemos elegido el texto de Tom Apostol por varios motivos, entre ellos:

• La exposición rigurosa de los conceptos.

• Se adecua al enfoque continuidad-límite.

• El lenguaje empleado en su escritura.

• Es apropiado para aprender a leer textos matemáticos.

• Sus excelentes problemas.

Consideramos que la interacción del estudiante con el texto y la guía son

fundamentales en el proceso de aprendizaje: propicia la actividad simbólica del alumno

(función intrapsicológica de los instrumentos mediadores) interiorizando los procesos que

se manifiestan en su actividad externa perceptiva (función interpsicológica de los

instrumentos mediadores), comunicativa, etc; relacionando éstas con sus esquemas

conceptuales en una formulación explícita de esas reglas y esas estructuras .

En resumen, en este capítulo hemos planteado el problema de investigación, los

procedimientos y describimos los instrumentos que utilizamos para el análisis. Ahora, en

el tercer capítulo plantearemos nuestros análisis preliminares. Estos análisis y la

concepción del instrumento darán un completo sentido a los diagramas de flujo teóricos

que aquí mostramos.




CAPÍTULO 3

PRIMERA FASE DE LA

INGENIERÍA: LOS ANÁLISIS

PRELIMINARES

144

CAPÍTULO 2

EL PROBLEMA DE

INVESTIGACIÓN Y LA

METODOLOGÍA

145

CAPÍTULO 3

PRIMERA FASE DE LA INGENIERÍA: LOS ANÁLISIS PRELIMINARES

PRESENTACIÓN

En este capítulo presentaremos los estudios preliminares que dan fundamento al

diseño de la ingeniería. Tres son los aspectos que se abordan: el primero, concerniente a la

naturaleza matemática de los conceptos objeto de estudio. Es decir, la epistemología de

continuidad y límite de una función en un punto, según su génesis histórica. El segundo,

referente a los obstáculos epistemológicos asociados a estas nociones, presentes en los

alumnos de hoy. Y, el tercero, en relación con las características actuales de la enseñanza

usual de estos conceptos.

Nosotros compartimos la creencia de que existe una relación entre la evolución

conceptual en el aula y en la ciencia. Tanto en la escuela como en la comunidad

matemática el conocimiento no surge de forma milagrosa, transparente, inmediata, de una

vez y para siempre. Todo lo contrario, la aproximación epistemológica de la matemática

muestra la lenta variación del estatuto de una noción. Así, como los problemas que

constituyeron su fuente, los obstáculos que hubo que salvar y las dificultades conceptuales

evacuadas para alcanzar su solución.

La constitución de una nueva noción implica la superación de un conocimiento

anterior que ha tenido éxito en el pasado, pero que ahora se revela insuficiente para

obtener las respuestas a las nuevas cuestiones generadas por problemas igualmente

inéditos que se deben resolver. Estas superaciones no son ni inmediatas ni plenas, sino que

se debe vencer cierta inercia de concepciones antiguas, que en la sombra dirigen las

acciones y los razonamientos.

Por un lado el estudio filogenético de los conceptos revela que éstos sufren un

proceso lento de institucionalización.1 en el cual intervienen factores internos de la

matemática como disciplina científica y externos de los entornos social, cultural y

científico de la época. Por otro lado, el estudio ontogenético de los conceptos, realizados

por los didactas, muestran similarmente que, los procesos de construcción de los esquemas

conceptuales asociados a los conceptos matemáticos son igualmente lentos.

1 Entendiendo por institucionalización, el proceso que va desde la presencia implícita de un conocimiento en los

procesos o razonamientos empleados en un momento dado (estatuto protomatemático); pasando, luego, a ser reconocido

como un instrumento útil en la matemática, pero no es objeto de estudio en sí mismo (estatuto paramatemático); y

finalmente, se toma de conciencia de su función en un cuerpo teórico, y por tanto de la necesidad de hacerlo objeto de

estudio para articularlo de forma coherente con los conocimientos establecidos, hasta alcanzar su aceptación por la

comunidad científica (estatuto matemático).

Análisis Epistemológico del concepto de Continuidad

146

1. ANÁLISIS EPISTEMOLÓGICO DEL CONCEPTO DE CONTINUIDAD

Las consideraciones que hicimos en la presentación del capítulo señalan la importancia del

estudio histórico para la concepción de la ingeniería. Nosotros vamos a describir y analizar

solamente las etapas principales de la evolución del concepto de continuidad hasta finales

del siglo XIX. Estas etapas son:

1. La Antigüedad (500 a.C-212 a.C): en el curso de la cual se genera el problema del

continuo numérico generado por las controversias respecto a las paradojas de Zenón

en relación con los procesos infinitos. Se plantea el problema de la relación entre lo

continuo y lo discreto. El concepto de continuidad aparece implícitamente en los

razonamientos relacionados con grandezas, es decir cualquier cosa susceptible de

aumentar o disminuir, por ejemplo el movimiento local.

2. La Edad Media (400-1450) y el Renacimiento (1400-1600): etapa en el cual se

progresa en la aceptación a nivel técnico y constitución de los elementos del continuo

numérico; la construcción de sistemas de representación simbólica y en la

constitución del álgebra y el método de lo infinitesimales. Es decir se establecen los

pre-requisitos del Cálculo y se logra su fundación. El estudio de cantidades variables

que se constituye en el objeto del cálculo, retoma el problema griego, pero desde un

punto de vista práctico y aquí surge nuevamente, implícitamente el problema de la

continuidad pero ahora relacionado a curvas y trayectorias.

3. Los siglos XVII-XVIII: etapa en cuyo transcurso se crea la geometría analítica paso

importante en la solución del divorcio entre geometría y aritmética provocado por las

controversias griegas respecto al continuo. Se define por primera vez el concepto de

función y con ello el concepto de continuidad se hace explícito.

4. La centuria del rigor (1780-1880): en la cual se constituye el Análisis, y se

institucionalizan los conceptos de función, límite, continuidad, número real y se

“domestica” el infinito.

Pretendemos: Identificar los problemas que se plantea la comunidad matemática de

cada etapa y cuya solución genera la evolución conceptual del continuo matemático,

buscando cubrir los momentos iniciales de la constitución de estos concepto y el momento

de constitución rigurosa.

Nosotros enfocamos el análisis epistemológico, en los problemas conceptuales que a

lo largo de la historia han sido factores determinantes en la institucionalización del

concepto. Nuestra indagación se orienta a identificar los obstáculos epistemológicos que,

en la época, hicieron lenta la solución de los problemas y cómo ellos fueron superados.

Para alcanzar este objetivo nos apoyamos en el modelo propuesto por Toulmin (1977) para

el estudio de la variación conceptual en la historia. A continuación destacaremos los

aspectos del modelo que para nuestro propósito son más pertinentes

El modelo de análisis

147

1.1 EL MODELO DE ANÁLISIS

Toulmin, considera que para explicar la evolución y racionalidad de la empresa

científica es necesario, no sólo referirse al objeto de estudio en el que se centran las

actividades de una disciplina en particular, sino también a las actitudes profesionales por

las que se guían esas actividades. Objeto y actitudes profesionales definen entonces

adecuadamente una «disciplina». De acuerdo a esta perspectiva, son los problemas que

surgen en la interacción entre el sujeto y el mundo o entre el sujeto y los otros miembros

de la comunidad, los que interesa estudiar:

Para formular el punto en términos generales: los problemas de la ciencia nunca han

estado determinados por la naturaleza del mundo solamente, sino que han surgido

siempre del hecho de que, en el campo involucrado, nuestras ideas sobre el mundo

están en conflicto con la naturaleza o unas con otras. (Toulmin, 1977, p. 160)

De esta manera la tarea de la ciencia es resolver los problemas que plantean tales

conflictos, para aproximar o disminuir la distancia entre las «ideas corrientes» que

tenemos sobre el mundo, sus posibilidades para actuar sobre él y nuestros «ideales

intelectuales» razonables.

Respecto a la forma de la evolución de los problemas, afirma que ella es secuencial y

continua, sin importar el cambio que sufren, de época en época, los conceptos y técnicas

reales para resolverlos; los cambios no resultan de «saltos» repentinos, sino de la

acumulación gradual de modificaciones menores, que son capitalizadas por la experiencia

cultural. Por tanto, interesa observar las exigencias locales e inmediatas de cada situación

intelectual y las ventajas ligadas a diferentes novedades conceptuales. Tales exigencias

son específicas de la situación; la sucesión de problemas que se generan entre ellas y la

capacidad para satisfacerlas no obedece a los dictados externos de la lógica, sino ha

hechos históricos transitorios y propios de la situación problemática particular. Por tanto,

la fuente de los problemas científicos se encuentra, en la relación histórica entre las

actitudes de los científicos profesionales y el mundo de la naturaleza que estudian.

Los problemas surgen (sostengo) cuando nuestras ideas sobre el mundo están en

conflicto con la naturaleza o entre si, esto es, cuando nuestras ideas corrientes quedan

atrás, en algunos aspectos remediables, de nuestros ideales intelectuales. (Toulmin,

1977, p. 160)

Lo que para nosotros es importante aquí es precisamente la relación que establece

Toulmin entre los problemas conceptuales de la ciencia y su fuente: el conflicto cognitivo

entre las ideas mismas o entre ellas y la experiencia. Es decir:

Los problemas conceptuales en la ciencia provienen de la comparación, no de

«proposiciones» con «observaciones», sino de «ideas» con la «experiencia». Nuestras

presentes facultades explicativas deben ser juzgadas a la luz de las ambiciones y los

ideales intelectuales relevantes. Y no se puede definir apropiadamente la naturaleza de

los «problemas» científicos sin considerar también el carácter de esos ideales. (

Toulmin, 1977, p.160-161)

Por «ideales intelectuales» (I) de una ciencia se entiende, según él, aquellas

concepciones muy generales compartidas por la comunidad de la disciplina acerca de la

forma general que debe tomar una explicación completa de cierto fenómeno, para poder

explicar perfectamente las relaciones que lo definen, y ello es posible porque se comparte

cierto objetivo comunal. Y son ideales porque desde su perspectiva la realidad sólo se

conoce por aproximaciones sucesivas y siempre superables.

El continuo en el período griego

148

Para satisfacer tales ideales la comunidad científica dispone del patrimonio, que

hereda de la experiencia histórica: teorías, conjeturas, conceptos, instrumentos técnicos,

etc. Lo así heredado, junto con los intereses de la época y las formas de aproximación al

mundo constituyen la «capacidad corriente» (C), disponible, para lograr la inteligibilidad

necesaria y suficiente.

El desequilibrio que se produce en determinado momento entre el ideal y la capacidad

da origen a conflictos que son la fuente del planteamiento de un nuevo problema (P) a

resolver, es decir:

Problemas científicos = Ideales explicativos-Capacidades corrientes.

Así pues, el motor del progreso de la empresa científica es el desequilibrio entre I y C

que es la fuente de conflictos que se constituyen en problemas para la comunidad

científica.

Para encontrar explicaciones a la evolución y racionalidad de la empresa científica,

Toulmin propone un metasistema análogo al usado en Biología para el estudio de

poblaciones, en este caso los conceptos de una ciencia, que coexisten en un tiempo

determinado; Toulmin considera que el cambio conceptual es la unidad básica de la

dinámica científica.

1.2 EL PERÍODO DE LOS GRIEGOS ANTIGUOS (500-212 A.C.)

Los griegos antiguos levantaron el problema del continuo al preguntarse: ¿qué

relación existe entre lo discreto y lo continuo?. En principio los Pitagóricos entrevieron,

audazmente, un isomorfismo entre los puntos de la recta y los números. Tanto las figuras

geométricas como los números constituían abstracciones producidas por la mente y

distintas de los objetos físicos esta manera de diferenciar lo abstracto y lo concreto les

permitió descubrir una armonía entre el mundo abstracto de las ideas y el universo físico.

Sus consideraciones filosóficas, les llevó a situar la Aritmética en un lugar de privilegio.

Estaban sorprendidos por el hecho de que los fenómenos que eran de muy diferente

forma desde el punto de vista cualitativo, presentaban propiedades matemáticas

idénticas. Por lo tanto, las propiedades matemáticas deberían ser la ciencia de tales

fenómenos (Kline, 1992, p. 203).

Así, imaginaron un Universo infinito en un estado constante de cambio y

permanencia; el secreto para la comprensión de este Universo estaba en descubrir los

términos ocultos y las conexiones que creaban simultáneamente los modelos de unidad y

cambio.

En su deseo de encontrar un primer principio ellos sostuvieron, que los números

constituyen el universo entero. El concepto de número que manejaban los pitagóricos era

el de

una progresión de multitudes comenzando en una unidad y una regresión que terminaba

en esta (Heath, 1921, p. 69–70)

es decir, un número representaba una clase de agregados y por tanto era discreto. La

unidad era indivisible y constituía la esencia del universo

A pesar de poseer tan limitado concepto de número (entero positivo), intentaron

"identificar los reinos de número y magnitud"(Boyer, 1987, p. 19). El espacio estaba


149

constituido por puntos, el tiempo estaba constituido por instantes. Puntos e instantes eran

los átomos de Demócrito y a ellos les correspondían números. El espacio y el tiempo

tenían también una cualidad conocida como "continuidad". "Pese a que las magnitudes

geométricas se pueden dividir indefinidamente, los átomos son las últimas partículas

indivisibles" (Kline, 1992, p. 207). De esta manera se deduce la continuidad de la recta

como determinada por la “contigüidad” de sus partes “que se unen según lo continuo”

En consecuencia, una línea era mirada como formada de un número integral de

mónadas o unidades geométricas. Este punto de vista se contradijo con el descubrimiento

de los inconmensurables; no era posible elegir una unidad pequeña, que permitiera medir

la diagonal del cuadrado respecto a su lado. Así la diagonal de un cuadrado no estaba

constituida de una "progresión de multitudes" i,e. por un entero. Esto contradecía uno de

los elementos fundamentales de la doctrina Pitagórica, que en boca de Filolao se

expresaba:

Todas las cosas que pudieran ser conocidas tienen número; pues no es posible que sin

número nada pueda ser conocido ni concebido (Boyer, 1987, p. 85).

1.2.1 LOS PITAGÓRICOS Y EL PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA DEL

CONTINUO

El descubrimiento pitagórico de las razones inconmensurables planteó en la época el

problema de la relación entre lo discreto y lo continuo. Los primeros en cuestionar el

continuo numérico fueron los Eleáticos, escuela fundada por Parménides que rivalizó con

los Pitagóricos.

El principio fundamental de los Eleáticos era el de la unidad y permanencia del Ser,

punto de vista que contrastaba profundamente con las ideas Pitagóricas de

multiplicidad y cambio. (Boyer, 1987, p. 108).

Zenón de Elea (450 a.C.) fue alumno de Parménides, sus cuatro paradojas conocidas

con los nombres de “la dicotomía”, “de la flecha”, de “Aquiles y la tortuga”, y la “del

estadio”, pretendían refutar las ideas de la divisibilidad infinita del tiempo y el espacio;

negar la existencia de indivisibles o átomos matemáticos, como constituyentes del espacio

y el tiempo.

Tanto el argumento de la DICOTOMIA como la de AQUILES sostienen que el

movimiento es imposible bajo la hipótesis de la subdivisibilidad indefinida del espacio

y el tiempo; los argumentos de la FLECHA y el ESTADIO tratan de demostrar en

cambio que el movimiento es igualmente imposible si hacemos la hipótesis opuesta, es

decir, la de que la subdivisibilidad del espacio y del tiempo termina en indivisibles

(Boyer, 1987, p. 109).

Lo que encontramos aquí es evidentemente el obstáculo epistemológico del infinito

potencial, que impide concebir el proceso de subdivisión infinita para alcanzar el límite.

Esto llevó a concebir la unidad como indivisible, por tanto, el número sólo se puede

obtener por una división finita pues todo proceso de división debe terminar en la unidad

que es indivisible. Para superar estos “errores” es necesario admitir el infinito actual que

admite la divisibilidad infinita.

Según Carl Boyer (1987, p. 111), las paradojas de Zenón influyeron notablemente en

el pensamiento matemático griego y junto con el impacto del conocimiento de los

inconmesurables llevaron a restringir el dominio de los números a lo discreto y lo continuo


150

se atribuyó a lo geométrico. Se cortó así la posibilidad de desarrollar el concepto de

isomorfismo entre los puntos de la recta y los números reales, que más adelante

constituirían el principio fundamental de la geometría analítica.

La ausencia de argumentos a favor de un continuo numérico obligó a los matemáticos

de la época a aferrarse al continuo físico que era sugerido en la matemática por las

magnitudes geométricas. Desde este último punto de vista, la geometría en lugar de los

números, debería explicar el mundo.

Platón (427-347 a.C.) propuso que las idealizaciones perfectas de los objetos físicos

constituían la auténtica realidad. Diferenció el mundo de las ideas –de los estados

perfectos– del mundo físico –la realización imperfecta del mundo ideal–

Por lo tanto, todo el mundo ideal merece estudio y sólo se puede obtener un

conocimiento infalible en las puras cosas intangibles. Sobre el mundo físico sólo

podemos tener opiniones y la ciencia física está condenada a verse hundida en el fango

de las sensaciones (Kline, 1992, p. 73–74).

Esta concepción llevaría a Platón a privilegiar el razonamiento deductivo de la

matemática sobre el razonamiento inductivo de las ciencias experimentales.

Platón fue el primero en sistematizar las reglas de la demostración rigurosa y se supone

que sus seguidores ordenaron los teoremas en orden lógico (Kline, 1992, p. 75).

El razonamiento deductivo seguido por reglas lógicas preestablecidas y aceptadas era

el más seguro para transitar en la filosofía. El aceptar unos axiomas y razones lógicamente

era garantía para obtener conclusiones "verdaderas".

Mientras que la inducción, la experimentación y las generalizaciones basadas en la

experiencia sólo pueden dar un conocimiento de lo probable, la deducción conduce a

resultados absolutamente seguros si las premisas son correctas (Kline, 1992, p. 75).

La consecuencia positiva que se obtuvo al destacar el razonamiento deductivo en la

matemática de la época, fue establecer el razonamiento deductivo como un modo válido

para tratar los objetos matemáticos, sujeto a normas que filtran el conocimiento que se

considera como aceptable. Por otro lado, esta posición implicó que las ciencias

experimentales tuvieran poco apoyo para su desarrollo. Las observaciones eran

interpretaciones de nuestros sentidos, por tanto, el mundo material que observamos es una

copia del mundo ideal inteligible, que es el verdadero, y sólo se puede conocer por medio

del razonamiento lógico que nos libera de las falsas interpretaciones. Es decir, la verdad

no esta en la apariencia sensible sino en la idea de la cosa. Únicamente el mundo de las

ideas es real.

La fuerza de la epistemología de Platón, se demuestra en su supervivencia, con ciertos

refinamientos y variaciones, hasta la época moderna; la encontramos en el idealismo

trascendental de Kant según el cual «los fenómenos son simples representaciones» y

también en el idealismo absoluto de Hegel: «la idea se realiza dialécticamente en el

espíritu absoluto».

En el contexto filosófico de Platón (existencia de un mundo independiente y eterno

de las ideas, que constituía la realidad del universo del que formaban parte los conceptos

matemáticos),

la mónada pitagórica y el atomismo matemático de Demócrito, los cuales dieron a toda

línea una densidad, quizás apelaban demasiado fuerte a la experiencia sensorial

material para galantear a Platón por lo que él recurrió al altamente abstracto APEIRON

o INFINITO INDETERMINADO. De acuerdo a Platón, el CONTINUUM podía


151

mirarse mejor como el generado por el fluir del apeiron que se pensaba como una

agregación siempre grande de indivisibles. Este punto de vista representaba una fusión

de lo continuo y lo discreto no contrario al intuisionismo moderno de Brower.... Platón

aparentemente no dio respuestas directas a las dificultades involucradas en la

inconmensurabilidad o en las paradojas de Zenón, aunque si expresó su oposición al

concepto de infinito de Pitágoras y la mónada como una unidad dotada de posición y

también al atomismo de Demócrito. (Boyer, 1959, p. 28).

Para poder extender a los inconmensurables las demostraciones geométricas que se

basaban en conmensurables, Eudoxo (408-355) introdujo la idea de magnitud continua.

No se trataba de un número, sino entidades geométricas (longitud, área, volumen, etc.) las

cuales eran continuas, contrariamente a los números que eran discretos.

Eudoxo definía entonces una razón de magnitudes y a partir de ella una proporción, es

decir una igualdad de dos razones que cubría los casos conmensurables e

inconmensurables (Kline, 1992, p. 79).

Las razones y proporciones no se representaban numéricamente sino que estaban

ligados a la geometría. Esta idea de Eudoxo, resolvió el problema de los inconmensurables

de el mundo de los antiguos, pero

forzó una nítida separación entre número y geometría, dado que únicamente la

geometría podría manejar las razones inconmensurables ( Kline, 1992, p. 79).

De esta manera se pasó de lado respecto al infinito o simplemente sobrevive bajo la

“sombra” de la intuición. Al mismo tiempo que, se cerro el paso a los problemas que mas

tarde conducirían al concepto de números racionales e irracionales como tales.

El sistema filosófico de Platón fue invertido por su alumno Aristóteles (384-322), que

optó por una visión opuesta a la de su maestro, dando a la filosofía una perspectiva

diferente: la idea existe pero no está en otro mundo, por el contrario se encuentra en el

mundo presente a los sentidos, y es un dato que la filosofía debe explicar dando sentido a

sus relaciones por medio de la observación, razonando y pensando. Se trata pues de una

filosofía de la inmanencia. Aristóteles fue un enciclopedista: escribió sobre; mecánica,

física, matemáticas, lógica, meteorología y muchos temas más. En lo que respecta a la

matemática, su obra es importante por establecer

los principios básicos de la matemática, distinguiendo entre los axiomas o nociones

comunes, que son verdades comunes a todas las ciencias, y los postulados que son

primeros principios aceptables para una ciencia concreta. Entre los axiomas incluye los

principios lógicos, tales como la ley del tercio excluido (Kline, 1992, p. 83 –84).

Los comentaristas de la obra de Aristóteles destacan su concepto de definición, que

coincide con la idea moderna.

Aristóteles traslada el papel que Platón había establecido a las ideas como la realidad

del universo, y del cual harían parte las matemáticas, a la materia. Era la sustancia

concreta la que constituía el mundo independiente y eterno. La matemática labora sobre

las ideas;

así, la matemática, trabaja con objetos abstractos que se derivan de propiedades de los

cuerpos físicos (Kline, 1992, p. 83).

La dupla Platón-Aristóteles originan dos paradigmas de la epistemología que ha

logrado sobrevivir hasta el momento actual y muestra la dinámica interna que generan dos

doctrinas opuestas en el dominio del pensamiento.


152

1.2.2. EL CONTINUO DE ARISTÓTELES

El continuo sólo está con las magnitudes geométricas; el número representa lo

discreto. Para Aristóteles el continuo no puede ser concebido como una acumulación de

puntos, esto se expresa en sus discusiones sobre la concepción de la recta ideal y su

relación con los puntos:

Un punto, dice, es indivisible y tiene posición; pero entonces ninguna acumulación de

puntos, por muchos que incluyera, podría darnos algo divisible, mientras que una recta

es desde luego una magnitud divisible. Por lo tanto los puntos no pueden construir nada

continuo como una recta, pues un punto no puede ser continuo con otro punto. Un

punto, añade, es como el ahora en el tiempo; el ahora es indivisible y no una parte del

tiempo. Un punto puede ser el comienzo, un final o un divisor en un segmento pero no

es parte de él ni de ninguna magnitud. Solamente por movimiento puede un punto

generar una recta y ser así origen de la magnitud. También afirma que si un punto no

tiene longitud, si una recta estuviera compuesta de puntos, tampoco tendría longitud, y

análogamente si el tiempo estuviera constituido de instantes, no habría ningún intervalo

de tiempo. (Kline, 1992, p. 84).

Estas ideas lleva a la conclusión que en su sistema los puntos y los números son

magnitudes discretas que se deben distinguir de la magnitudes continuas que pertenecen a

la geometría. No es posible concebir entonces un continuo numérico. La definición de

Aristóteles de continuo es la siguiente:

Una cosa es continuo cuando los límites en los que se tocan dos partes sucesivas

cualesquiera son uno y el mismo y están, como la palabra misma continuo implica,

juntos (Kline, 1992, p. 84).

Esta idea está ligada a la física, se refiere a entes físicos; la continuidad es una

propiedad que hace que extremos de dos cosas contiguas sean una misma cosa y se

mantengan unidas.

El infinito en Aristóteles.

Aristóteles distingue dos clases de infinito: potencial y actual. El potencial evoca la

posibilidad de superación, por ejemplo todo número entero positivo admite uno siguiente

por lo que la lista de los números es ilimitada. El infinito actual es la consideración de la

totalidad con todos sus elementos, por ejemplo; el conjunto de los enteros. El infinito

potencial se caracteriza porque, las partes se consideran dadas o construidas

sucesivamente, proceso que, por consiguiente, no puede ser completo, por tanto el

conjunto de partes como tal sólo existe en potencia. Si se consideran las partes como dadas

simultáneamente se está aceptando un infinito actual. El infinito potencial está ligado al

procedimiento, la acción y la dinámica.

Los Atomistas admitieron un universo infinitamente grande, con formas infinitamente

numerosas de mundos en él, es decir, un infinito actual. Aristóteles negó la existencia de

un infinito actual, no aceptó lo infinitamente pequeño o infinitamente grande o

infinitamente numeroso : todos los infinitos según él, son solamente potenciales.

Refiriéndose a la doctrina del infinito en potencia, Aristóteles dice:

No afecta a la teoría matemática, puesto que los matemáticos no necesitan del infinito

ni hacen uso de él, sino tan solo de magnitudes tan grandes como se quiera, pero

finitas; y la división que se realice sobre una magnitud muy grande puede aplicarse en

igual razón a otra magnitud cualquiera, de manera que ello no supone diferencia alguna

para la demostración. (Physica,III,7,2076 27–34).


153

Concepciones como esta constituyeron lo que Cantor denominó el “Horror al infinito”

y que aquí expresa la eliminación del infinito actual y el rastro del obstáculo de la

“inducción incompleta” señalado por Sierpinska (1985, p. 39). Se puede responsabilizar a

tales obstáculos de impedir un surgimiento más temprano de conceptos matemáticos

(límite, número real, convergencia, continuidad, etc.) que tiene su base precisamente en el

concepto de infinito.

1.2.3. El Continuo en los Elementos

Queda establecido que, los griegos no pensaron en un continuo numérico tal y como

se define en nuestros tiempo, es decir, un conjunto compacto y conexo. Solamente

Aristóteles define un continuo físico como se ha anotado, pero, en los Elementos de

Euclides se encuentran referencias implícitas a las ideas que deben configurar el concepto

de conjunto continuo. Sin embargo,

si se busca en Euclides el enunciado explícito de un principio de continuidad, no

encontraremos nada (Caveing y otros, 1988, p. 18).

Algunos comentaristas de Euclides afirman que éste había captado intuitivamente la

continuidad pero no enunció el principio de continuidad de la recta, necesario para algunas

demostraciones deficientes en las que, por ejemplo, se requiere la existencia de puntos de

intersección entre dos líneas. Maurice Caveing, argumenta contundentemente que el

concepto de continuidad de la recta y la estructura del continuo están lejos de ser captados

por la intuición ya sea ésta empírica o racional.

Euclides hace objeto al continuo de un tratamiento muy complejo que...exige... se

formulen varios principios (orden denso de los puntos de la recta, orden total entre las

magnitudes de la misma especie, existencia de la cuarta proporcional, axioma de la

medida); lejos de venir dado de entrada en una intuición única y primitiva, dichos

principios se manifiestan por el contrario, uno a uno, a través del análisis regresivo de

los requisitos de diversos procedimientos operatorios (Caveing y otros, 1988, p. 30).

Esta conclusión se basa en planteamientos que reconstituyen los conceptos

necesarios, desde el punto de vista moderno, para atribuir –a los autores de los

«Elementos»– un conocimiento implícito o intuitivo del continuo, mostrando la

imposibilidad de tal suposición.

Por ejemplo, siguiendo los razonamientos de Caveing, en el libro X y XII de los

Elementos se descubren algunos enunciados no explícitos por Euclides y que parecen

surgir de la mano por su necesidad operatoria. Tal es el caso en la demostración de la

proposición X,1.

Preposición X,1: Dadas dos magnitudes desiguales, si de la mayor se resta una magnitud

mayor que la mitad, repitiendo este proceso quedará en algún momento

una magnitud menor que la más pequeña de las dos magnitudes dadas.

Euclides usa implícitamente las siguientes resultados:

1. Orden Total: Dadas dos magnitudes A, B de la misma especie se da una de las tres

situaciones siguientes:

A > B , A < B , A B

2. Propiedad Arquimediana: Dadas dos magnitudes A, B (B<A) de la misma especie,

existe n en los naturales tal que:


154

nB > A

En su argumentación se apoya en la definición V,4

Definición V,4: Entre dos magnitudes A, B (A > B) existe una razón de la una a la otra si

y sólo si existen enteros mi , n

i , i1,2,3,... tales que:

m1A > n

1 B > m

2A > n

2B>...

y supone implícitamente 2, que ya había sido utilizada y establecida como lema por

Eudoxo.

En el libro XII se asume la existencia de "la cuarta proporcional" sin ninguna

demostración.

Cuarta Proporcional : Dadas las magnitudes A, B, C, (siendo A y B de la misma especie)

existe una magnitud X (de igual especie que C) que es a C como B

es a A.

Es fácil darse cuenta de que la afirmación de existencia de esta magnitud en general

constituye un sustituto débil del axioma de continuidad de Dedekind2 (Caveing y otros,

1988, p. 25).

Pero, por supuesto, el contexto es bastante diferente.

Para observar cómo la necesidad operatoria obliga a asumir lo anteriormente

expuesto, comentaremos la demostración de la Proposición XII, 2 que se apoya en la

proposición XII,1.

Proposición XII,1: La razón entre los polígonos semejantes inscritos en círculos es como

la razón entre los cuadrados de los diámetros de ambos círculos.

Proposición XII,2: La razón entre dos círculos es la misma que la que hay entre los

cuadrados de sus diámetros.

Los pasos que sigue Euclides en la demostración son los siguientes:

1. Prueba que si P1

, P2

, P3 ,...., P

n ,... son polígonos regulares, inscritos en la

circunferencia, de 4, 8, 16,.....2n....lados; entonces se puede agotar el área del círculo,

sustrayendo el área de los polígonos, siendo el área del polígono Pn más de la mitad

de la diferencia entre el área del círculo y el área del polígono Pn–1

.

2. Usa la proposición X,1 para afirmar que: la diferencia entre el área del círculo y la de

un polígono regular con un número de lados, infinitamente grande, puede hacerse

menor que cualquier magnitud fijada de antemano.

Si S y S' son las áreas de los círculos y d, d' sus diámetros. Euclides desea probar

que:

S : S' = d2

: d'2

Supongamos que no se cumple la igualdad y en su lugar se tiene:

S : S" = d2

: d'2

(1)

2 Si todos los puntos de una línea recta pueden repartirse en dos clases tales que cada punto de la primera clase esté «a la

izquierda» de cada punto de la segunda clase, entonces existe un punto y uno sólo que produce esta partición de todos los

puntos en dos clases o división de la línea recta en dos partes. Cf. Steligkeit und Irrationale Zablen, 1905, p. 11. [citado

en Caveing y otros, 1988, p.20)]


155

donde S" es un área mayor o menor que S'. (Se asume la existencia de la cuarta

proporcional).

Si S" < S´ . De lo probado en 1 y 2 y la proposición X,1 se sigue que, existe un polígono

P' tal que:

P' < S' – S"

Por tanto

S" < P' < S' (2)

Si inscribimos en S un polígono P, semejante a P', por la proposición XII,1

P : P'= d2

: d'2

(3)

y por (1) y (3) : S"= P : P' o equivalentemente

P : S = P' : S"

Pero P < S . Luego P' < S" lo que contradice a (2). De forma similar se puede probar

que S" no puede ser mayor que S' . Luego S" = S y teniendo en cuenta (1) queda

demostrada la proposición.

Como se puede observar en esta demostración se impone la necesidad de aceptar el

orden total entre magnitudes, existencia de la cuarta proporcional y el infinito potencial,

que son ideas que configuran la estructura del continuo geométrico. Estas nociones no son

explícitas pero de alguna manera han surgido de la necesidad para precisar los conceptos,

en especial, para eludir el problema planteado por los inconmensurables.

Pero no es necesario un axioma de continuidad del tipo de Dedekind. Basta con el

axioma de Arquímedes, y el orden denso de los puntos racionales. En otras palabras, la

continuidad no es accesible; pero sólo se alcanza a través de la divisibilidad indefinida,

es decir potencialmente (Caveing y otros, 1988, p. 29).

Las definiciones:

Definición V,1: Una magnitud es parte de otra mayor cuando la mide.

Definición V,5: Se dice que dos magnitudes están en la misma razón, la primera a la

segunda y la tercera a la cuarta, cuando, tomamos cualquiera

equimúltiplos de la primera y la tercera y cualquiera equimúltiplos de la

segunda y la cuarta, entonces los primeros equimúltiplos ambos exceden,

son iguales o son menores que los segundos equimúltiplos, tomados en el

orden correspondiente.

permitieron a los griegos salvar el obstáculo numérico de los inconmensurables y la

proposición X,1 constituyó el principio sobre el cual está basado el método de exhausción

de Eudoxo. El método permitió calcular el área del círculo, el volumen de la pirámide, el

cono, el cilindro y la esfera, gracias a que

excluye los infinitesimales de todas las demostraciones en la geometría de los griegos

(Boyer, 1959, p. 33)

eludiendo así los problemas de la divisibilidad infinita, del continuo y su relación con los

infinitesimales. A pesar que el proceso indicado en X,1 se realiza tantas veces como se

desee:

Los matemáticos Griegos nunca consideraron literalmente este proceso como la

ejecución de un número infinito de pasos, tal y como nosotros lo hacemos en el paso al

límite (Boyer, 1959, p. 34).


156

El método de exhausción, aunque equivalente en muchos aspectos a el tipo de

argumento ahora empleado en la prueba de existencia de un límite en el cálculo

diferencial o integral, no presenta el punto de vista involucrado en el paso al límite

(Boyer, 1959, p. 85).

Así, por ejemplo, la sucesión P1, P

2, P

3,......, P

n,.... de las áreas de los polígonos inscritos

en el círculo en X,1 , tendría un límite C si: para todo >0 existe N natural tal que si n>N

entonces

|Pn–C|<

Este número C sólo cumple la propiedad establecida en términos analíticos por la

definición, la cual emplea la lógica formal, el concepto de número real y el orden. En tanto

que, en el contexto del método de exhausción el razonamiento está guiado por intuición

espacial, la subdivisión ilimitada y la argumentación por reducción al absurdo.

Esta concepción que teme al infinito, impide ver un proceso de aproximación como

una operación que llega a un resultado (como es el caso del límite), eliminando así el

problema del infinito. Por tanto es necesario recurrir a otro proceso, que en este caso es un

razonamiento mirando el resultado y luego pasar a una demostración. No poseer la

operación de paso al límite limita la obtención de nuevos resultados, aquellos que no se

dejan captar por una visualización geométrica o no se pueden intuir físicamente. Esta

observación, señala la manifestación del rechazo que opone el obstáculo “horror al

infinito” a una nueva concepción que es aquella que admite el “estatus de operación del

límite”

1.2.4 El Continuo de Arquímedes

Quizás quien más se acercó, entre los antiguos, al proceso de paso al límite fue

Arquímedes De Siracusa (287-212),

El, más que ningún otro autor griego acercó la geometría a la mecánica y utilizó con

gran ingenio argumentos geométricos para dar demostraciones.(Kline, 1992, p. 233).

Gracias a que imaginó las figuras geométricas como constituidas por segmentos de

líneas o láminas delgadas, pudo desarrollar un método heurístico, dirigido por

consideraciones físicas, que facilitaban el descubrimiento de proposiciones matemáticas.

El nuevo conocimiento, obtenido mediante un razonamiento inductivo, posteriormente era

demostrado rigurosamente por medio del método de exhausción.

El método deductivo de exhausción no era una herramienta que se adaptara bien para el

descubrimiento de nuevos resultados pero Arquímedes lo combinó con consideraciones

infinitesimales (Boyer, 1959, p. 48).

En el tratado de Arquímedes, conocido como El Método, él expone como usó las

ideas procedentes de la mecánica para obtener teoremas matemáticos correctos. En este

libro se calcula el área del segmento parabólico, empleando la ley de las palancas y la idea

de superficie hecha de segmento de rectas.

Arquímedes empleó su método heurístico, simplemente como una investigación

preliminar a la demostración rigurosa por el método de exhausción (Boyer, 1959, p.

51).

En el tratado La cuadratura de la parábola, se demuestra con todo el rigor, el

problema del cálculo del área del segmento parabólico. El procedimiento empleado es el

del método de exhausción sin hacer referencia al infinito ni a los infinitesimales.


157

Es importante destacar el comentario de Carl Boyer, respecto a la prueba del área del

segmento parabólico :

[...] él entonces demostró que el área de n de tales polígonos estaba dada por la suma

(en la notación actual):

A( 1 + 1/4 + 1/16 + ........+ 1/4n–1)

donde A es le área del triángulo inscrito que tiene la misma base y vértices que el

segmento (de la parábola). La suma infinita de la serie es 4/3 A , y esto fue

probablemente lo que permitió a Arquímedes inferir que el área del segmento

parabólico era también 4/3 A .

Sin embargo él no estableció el argumento de esta manera, en lugar de encontrar el

límite de la suma infinita, él encontró la suma de los n primeros términos y adicionó el

residuo, usando la igualdad

A( 1 + 1/4 + 1/16 +......+1/4 n–1 + 1/3.1/4n–1 ) = 4/3 A

Cuando el número de términos es grande, la serie "agota" 4/3 A sólo en el sentido

griego que el residuo 1/3.1/4n–1 puede ser tan pequeño como se desee. Esto es, por

supuesto, exactamente el método de prueba para la existencia de un límite; pero

Arquímedes no interpretó así el argumento. El no expresó la idea de la no existencia de

residuo en el límite o que la serie infinita es rigurosamente igual a 4/3 A. En lugar de

esto, él probó, por una doble reducción al absurdo (el método de exhausción), que el

área del segmento parabólico, no puede ser ni mayor, ni menor que 4/3 A.(Boyer, 1959,

p. 52).

Nuevamente, está presente aunque en otro contexto el obstáculo de “horror al

infinito” que rechaza la admisión del proceso de paso al límite como una operación

matemática. Parece sorprendente que en este contexto numérico no haya prosperado la

noción de operación matemática ligada a la situación para obtener un resultado. Mucho

más, si tomamos en cuenta que aquí se realizan aproximaciones sucesivas, guiadas por la

heurística, aparentemente cercanas a la operación con límites, en el sentido que permite

descubrir el resultado (y no como ocurre en el método de exhausción donde se conoce

previamente)

Otro concepto notable en los trabajos de Arquímedes es su definición de la espiral, la

cual es atípica en la geometría griega, que no se ocupa de la variabilidad y por el contrario

sólo se estudian figuras estáticas. Como consecuencia, ellos no se aproximaron al

concepto de función. Sin embargo estudiaron algunas curvas aisladas por medio de

consideraciones cinemáticas, este es el caso de la espiral que Arquímedes define como:

el lugar geométrico de un punto en el plano que, partiendo del extremo de una

semirrecta se mueve uniformemente sobre ella, mientras que la semirrecta gira

uniformemente alrededor de su extremo(Boyer, 1987, p. 172).

2a A

Figura 3.1


158

Las ecuaciones paramétricas del movimiento son:

rkt qwt

eliminando el parámetro t obtenemos la ecuación polar raq. Con la descomposición del

movimiento,

Arquímedes parece haber hallado la dirección instantánea del movimiento resultante de

los dos componentes por medio del paralelogramo de las velocidades, esta parece ser la

primera vez que se determinó la tangente a una curva que no fuera una

circunferencia.(Boyer, 1987, p. 173).

Arquímedes dedujo y probó que "el área limitada por la primera vuelta de la espiral y

la línea inicial es igual a un tercio del primer circulo"(Kline, 1992, p. 160). El

procedimiento es básicamente el mismo descrito anteriormente, la novedad está en que

ahora considera sectores circulares inscritos y circunscritos, acotando el área A por sumas

superiores (S) e inferiores (S)

de manera que la diferencia |S – S | sea tan pequeña como se desee.

Esta manera no es la misma que "agotando" el área añadiendo cada vez más figuras

lineales. Sin embargo en la última parte de la demostración Arquímedes utiliza el

método indirecto de demostración igual a como lo hizo en la prueba del área del

segmento parabólico y como lo hace Euclides en sus demostraciones por

aproximaciones sucesivas. No hay ningún límite explícito en el proceso (Kline, 1992,

p. 161–162)

pero, la forma de acotar el área es exactamente la misma que hoy se realiza y que prueba

la existencia del límite!!

1.2.5 Resultados del estudio epistemológico del continuo en el período griego.

Expresaremos ahora algunos resultados de los desarrollos del continuo por los

Griegos, respondiendo las preguntas referentes a:

A) La innovación o variación conceptual.

B) Los procedimientos de selección.

C) La relación entre cambio conceptual y unidad de la disciplina.

A) la Innovación o Variación Conceptual.

Durante el período Griego se introdujo el problema (P1) del continuo que se

plantea al buscar respuesta a la pregunta

O -– S < A < S

Figura 3.2.

C’

r

b

p

q

r’

q’ C

B

p’ P

Q

R


159

P1 : ¿Cuál es la relación entre lo discreto y lo continuo?.

La pregunta surge del planteamiento de las paradojas de Zenón que cuestionaron

la concepción Pitagórica del continuo (Cp)

Cp: Continuo pitagórico. Es cierta "cualidad" inherente a espacio y tiempo, que

relaciona el todo con sus "últimos" elementos constitutivos (átomos). Los

átomos que forman una pluralidad tenían por una parte características de la

unidad geométrica, el punto, y por otra las características de la unidad numérica.

Lo continuo era geométrico y numérico. Los pitagóricos, entonces, concebían la

recta formada por partículas (átomos) y la continuidad estaba dada por contacto

entre ellas.

Esta idea es cuestionada y se produce una primera variación conceptual que

notaremos (V1) hacia un continuo (Ce) concebido por la escuela Aristotélica y que

aparece implícito en los Elementos:

Ce: Continuo en los Elementos. El continuo sólo está en las magnitudes geométricas

y la noción es sugerida por representaciones externas; en los elementos no se

encuentra un enunciado explícito del continuo, tan sólo se menciona (postulado 2

de los Elementos), pero aparece implícitamente en algunas demostraciones que

involucran la intersección de líneas y en la existencia de la cuarta proporcional.

Respecto a la solución del problema P1, se designa al número (enteros positivos,

y cocientes entre enteros) para representar lo discreto y la geometría lo continuo.

Posteriormente, en tiempos de Arquímedes surge una segunda variación (V2),

jalonada por razones eminentemente prácticas, que define el continuo Arquimediano:

Ca: Continuo Arquimediano. Es sugerido por los sentidos, ligado a la mecánica y

generado por el movimiento. El continuo geométrico es obtenido por la

agregación de infinitos indivisibles geométricos.

Esta noción se operativiza permitiendo descubrir límites, pero no se define

como una operación de paso al límite que, de esta manera, se relega a una cierta

heurística no explícita, sino tan sólo inferida por los comentaristas de la obra de

Arquímedes.

Respecto a la solución al problema P1, aparece una clara, aunque implícita,

relación entre continuo y paso al límite. Tal relación implícita e inferible de los

procedimientos, permanece bajo la tutela restrictiva del infinito potencial. El

objeto ideal geométrico se ve como un objeto concreto sobre el que se opera para

obtener un resultado. La continuidad de grandezas aparece implícita en los

razonamientos.

Consideramos las dos variaciones:

V1: variación del continuo Pitagórico (Cp) al continuo Euclidiano (Ce) .

V2: variación que da forma al continuo Arquimediano (Ca) como un híbrido de Cp

y Ca.

V1: Los pitagóricos, audazmente, entrevieron un isomorfismo entre los puntos de la

recta (recordemos que la recta son segmentos que se extiende según lo continuo)


160

y los números. Si la recta era formada por agregados y continua (por contacto),

entonces, los números formaban un continuo numérico (Cp). Esta posición no

satisface los ideales explicativos del momento. Se encuentra más razonable

admitir lo continuo en lo geométrico que viene sugerido por el movimiento. Se

separa lo aritmético –que corresponde a lo discreto– de lo geométrico –que da

cuenta de lo continuo.

A.1. Los factores causales de la variación .

La variación V1 surge como resultado:

Del enfrentamiento de dos teorías filosóficas rivales (Pitagóricos y Eleáticos).

Surgen paradojas que Cp no puede explicar. En este caso las exigencias de los

ideales explicativos superan los conocimientos, del número y sus propiedades, de

la época.

Del predominio de la noción de infinito potencial que impide ver el infinito

actual. Este obstáculo se manifiesta en los razonamientos respecto a las paradojas

de Zenón (la divisibilidad potencialmente infinita sin alcanzar el límite)

De la ausencia de un concepto de número más amplio y la imposibilidad de

constituirlo dados los instrumentos teóricos del momento.

De la imposición a los sentidos del continuo físico y lo abstracto del continuo

numérico. El continuo físico se constituye en obstáculo para avanzar en la

construcción de un continuo matemático, por lo contrario reafirma el continuo

geométrico como sugerido por el movimiento.

Los factores causales de la variación V2

El híbrido es el resultado:

de una imaginación sutil (indivisible Geométrico de Arquímedes).

del acercamiento de dos disciplinas (Física y Geometría).

de los resultados positivos, en la matemática, del método heurístico de Arquímedes al relacionar áreas, indivisibles y Mecánica.

A.2. Respecto al rigor y lentitud del cambio de estatuto de las nociones:

Este aspecto lo interpretamos a la luz de las definiciones introducidas por

Chevallard3 respecto al estatuto que adquiere una noción en su proceso de

institucionalización. Una noción tiene un estatuto protomatemático si ella interviene

en los razonamientos y procesos matemáticos de forma implícita, se consideran

obvias. Posteriormente, una noción puede adquirir un estatuto paramatemático, es

decir se considera una herramienta útil y se hace uso de ella, se tiene conciencia de

ella y se le asigna un nombre pero no son objeto de estudio para el matemático.

Finalmente, la noción puede ingresar al dominio de la matemática y se constituye en

objeto de estudio para el matemático. Se nombra y define. En tal caso su estatuto es

matemático. Así, Chevallard señala una dirección del proceso de institucionalización

de un concepto:

3 Chevallard, 1985. La transposición didáctica , pp. 57-66


161

protomatemáticoparamatemáticoMatemático

que ocurre tanto en la filogénesis del concepto, en el seno de una comunidad

científica; como en la ontogénesis, en el marco de un sistema didáctico.

Observamos que en tres siglos que son los que comprende el período estudiado,

no se logró avanzar en la constitución del continuo numérico. Esto se explica en

términos de la lentitud que imponen los obstáculos epistemológicos en el sentido de

Bachellard.

La prisión psíquica, creada por la obligación de apelar a la intuición geométrica,

impidió a los Griegos liberar la abstracción matemática de un fuerte

condicionamiento de las percepciones físicas. Por ello, encontramos en el infinito

potencial, un obstáculo epistemológico cuya manifestación causa serias

perturbaciones que actualmente se conocen con el nombre de “horror al infinito”. El

infinito potencial de Aristóteles, niega la posibilidad de un infinito actual, en “acto”,

repercute durante siglos llevando al manejo poco riguroso de conceptos y

definiciones por la ausencia de una elaboración teórica del infinito actual. Su

sustituto paso a ser la “intuición” que lleva a aceptar como válido aquello que se

comprueba para “pocos” casos y, luego, por una inducción incompleta se extiende

de manera abusiva a “todos”. Esto no desconoce que la “intuición” no ha jugado un

papel importante, sólo señala, que depender de ella como criterio de validación ha

llevado ha inconsistencias y retardos en el avance de la disciplina.

El “horror al infinito” es responsable de la resistencia al cambio de la

concepción Ce, pero además se pone en evidencia que ni el continuo geométrico

sugerido por la visión corpuscular de la recta, ni el numérico son de ningún modo

intuitivos (ya se entienda, intuición como evidencia inmediata producida por un dato

sensorial o por el razonamiento).

A.3. La selección de los cambios.

Nos interesa señalar ahora los factores que son responsables de que los cambios

se dieran en cierta dirección y no otra

En V1, la variación se produjo preferentemente en la dirección de Ce por los

siguientes factores:

El sentido práctico. La geometría griega es más cercana al mundo de lo concreto,

por tanto, el desarrollo de Ce permitía resolver los problemas prácticos que a

ellos interesaban.

Los obstáculos epistemológicos. El continuo no es intuitivo. El número sólo es

posible por abstracción, por tanto, su desarrollo conceptual es más lento debido a

los obstáculos que se deben superar: horror al infinito, obstáculo de la

concepción física del continuo (corpuscular y dinámica).

Desarrollos desiguales entre geometría y aritmética.

El Paradigma Filosófico de la época.

B) Procedimientos de Selección.

Respecto a los procedimientos de selección de la época, por medio de los cuales

se aceptan o rechazan ciertas variantes conceptuales


162

B.1 Respecto a los factores que determinaron el ingreso de la variante conceptual.

En el caso V1

i– Factores externos:

El paradigma Eleático del Universo exigía un continuo sin indivisibles.

Las exigencias de la economía y la organización social de los Griegos, se

satisfacían con los desarrollos explicativos de la Geometría de los Elementos. No

era imperativo un continuo numérico.

El desarrollo incipiente de la Mecánica, más cualitativo que cuantitativo, no

exigía un concepto numérico más completo. Los matemáticos no enfrentaron una

exigencia intelectual para emprender la tarea.

ii– Factores internos.

La ausencia de sistemas simbólicos más desarrollados que permitieran abstraer

de los procedimientos operatorios las ideas implícitas, que conducirían a la

construcción de un continuo numérico.

El temor al infinito.

La solución que brindó el trabajo de Eudoxo al obviar los problemas planteados

por los inconmensurables, el infinito y los indivisibles.

La prisión psíquica, creada por la apelación a la intuición sensorial, que impedía

a los Griegos liberar la conceptualización de un fuerte condicionamiento de los

sentidos.

En el caso de V2

i– Factores externos.

El desarrollo de la física Arquimediana permitió establecer una relación entre

mecánica y geometría, que parecía ser prometedora.

ii– Factores internos

Los conceptos físicos eran aplicables a los "objetos" matemáticos.

La relación del continuo geométrico, compuesto por indivisibles, y la Mecánica;

produjo un método heurístico de gran poder en el descubrimiento de nuevas

relaciones matemáticas.

B.2. Respecto a las consideraciones en que reposa la selección de la variante.

La selección ha obedecido a “buenas razones” generadas por el debate entre las

escuelas Pitagóricas y Eleática, debido a que la matemática no está constituida (en la

época) propiamente como una disciplina independiente. El debate, se plantea desde la

perspectiva filosófica.

B.3. Respecto a los criterios de selección.

Por la razón que ya hemos expuesto del desarrollo incipiente de la matemática

como disciplina, es claro que tales criterios que permiten distinguir los cambios


163

conceptuales “válidos” de los “erróneos”, son deficientes y tan sólo encontramos

evidencia de rigor en el texto de los Elementos de Euclides, el cual define los estándar

de rigor de la época

c) Relación Cambio Conceptual Unidad de la Ciencia.

El cambio conceptual, en el período estudiado da origen a tres ramas de la

matemática: Logística, aritmética y geometría. La unidad de la matemática no se ve

amenazada, cada rama identifica sus metas y problemas propios, así como el núcleo

que les es común.

1.2.6 Conclusiones

Del estudio histórico del período estudiado se revela la existencia de un conjunto de

obstáculos epistemológicos cuya interrelación y predominio explica la exclusión de las

nociones fundamentales del cálculo en la época griega y su lentitud para alcanzar su

institucionalización en las matemáticas de las épocas subsiguientes. Señalaremos, los que

en nuestro concepto son los principales.

Obstáculos epistemológicos

1. El paradigma filosófico de las matemáticas. Para los griegos las matemáticas no son

una creación, ellas preexisten en la naturaleza. El hombre se limita a descubrirlas y a

describirlas. Las ideas aceptadas eran aquellas que se alcanzaban por interpretación

estrictamente lógica, pero los postulados en que se fundamentan esta deducciones no

eran arbitrarios y estaban sugeridos por concepciones establecidas por la experiencia

empírica.

Esta concepción cierra el paso a la especulación y admite sólo aquello que es

comprobable por la experiencia. Sin embargo, ella favorece la instauración en la

cultura griega del valioso método deductivo con el que se alcanza la perfección del

sistema axiomático de la geometría de Euclides; pero a causa de la misma concepción

ésta se limita a la recta, la circunferencia y las figuras relacionadas con ellas;

constituyendo, así, el conjunto de las curvas “verdaderas”. El rigor exigía que se

demostrara la existencia de la figura, es decir, se admiten sólo aquellas que se

obtenían por regla y compás excluyendo las demás. Por ejemplo, la parábola se

consideró como una sección cónica estudiando sus propiedades cualitativas sin

ocuparse de las propiedades matemáticas. Las limitaciones, consecuencia del

obstáculo epistemológico, no se circunscribieron a esta visión restringida de la

geometría sino que provocó lo que Cantor denominó el “horror al infinito”

2. El “horror al infinito”. Los griegos eludieron el infinito actual, admitiendo sólo el

infinito potencial.

Este obstáculo está relacionado con (1) porque para concebir el infinito actual era

necesario alejarse de lo sensible y entonces acudir a la especulación, actividad

intelectual que filosóficamente era rechazada. La señal de la presencia de este

obstáculo es el rechazo en la matemática griega de lo infinitamente pequeño, lo

infinitamente grande y los procesos infinitos. Por ejemplo, el concepto de lo


164

infinitamente pequeño está implícito en la relación existente entre los puntos de una

línea. Para eludirlo Aristóteles separó los dos conceptos puntos y recta; así,

admitiendo que los puntos (lo discreto) estaban en la recta. Pero, negó que ella (lo

continuo) pudiera estar conformada por puntos pues lo continuo no se puede construir

a partir de lo discreto.

Esta incomprensión de la relación entre lo discreto y lo continuo, a causa de la

exclusión de lo infinitamente pequeño, también condujo a la omisión del paso al

límite. Entonces se recurre al método de exhausción que exige que la diferencia entre

las magnitudes que se aproximan y su magnitud límite sea estrictamente positiva para

que intuitivamente sea aceptable la aproximación.

3. El obstáculo geométrico. Las concepciones que hemos enumerado contribuyeron a

afirmar el predominio de la geometría como el modelo perfecto de razonamiento y

validación de los objetos matemáticos aceptables.

Esta concepción y la incapacidad para admitir el número irracional condujeron a

separar la aritmética de la geometría impidiendo el desarrollo del álgebra y lo

complicado de las demostraciones geométricas constituyeron un obstáculo para el

desarrollo del cálculo.

Como consecuencia de la presencia de estos obstáculos el pensamiento Griego

presenta las siguientes limitaciones:

Se niega, temporalmente, la posibilidad de la existencia de un continuo numérico.

Esta es una concepción errónea4. El desarrollo posterior de este concepto muestra que

estas concepciones pueden ser estables por largos períodos de tiempo, a menos que,

surjan nuevos problemas de los cuales se deriven las teorías necesarias para

desestabilizarlo. Se afirma que lo continuo sólo puede referirse a los objetos

geométricos. Esta es una concepción pertinente e inadaptada 5

La variación V2 , que plantea una solución en la que se relacionan conceptos de la

física con conceptos geométricos para resolver un problema práctico, reafirma la

última parte de la conclusión anterior. Indicando que la negación de los indivisibles

por una parte y por otra los resultados obtenidos de su utilización para derivar

resultados matemáticos válidos, lleva a una posición contradictoria que no ve

plausible admitir un continuo geométrico formado por indivisibles y los procesos que

conducirían a la noción de límite.

La presencia de estas limitaciones en el pensamiento griego nos enseña que:

— La idea del continuo, en matemáticas es altamente abstracta y no es intuitiva.

— No es suficiente poseer una idea de divisibilidad potencialmente infinita, para acceder

al concepto de límite.

4 Concepción errónea: es una concepción que no es válida para ninguna situación problema. Ella traduce una forma de

pensar que es falsa. 5 Concepción pertinente e inadaptada: es una concepción que permite resolver situación problema, pero de una manera

larga fastidiosa y costosa.


165

— El método de los infinitesimales de Arquímedes es la forma operatoria de la noción

matemática de paso al límite. Como instrumento para calcular demostró ser útil y por

ello fue aceptado en la comunidad matemática. La toma de conciencia, el paso de lo

operativo a lo conceptual, fue un largo proceso resultado de la actividad de la

comunidad matemática y de su reflexión sobre la actividad misma.

— El concepto de función está implícito en los cálculos astronómicos de los Griegos

Antiguos, en tablas y gráficas, pero el concepto como tal no es abordado como objeto

de estudio por los griegos. Al respecto Boyer comenta:

Nosotros hemos visto que la geometría Griega trató en su mayor parte con la forma

más que con la variación, así que el concepto de función no fue desarrollado.

(Boyer, 1959, p. 56)

— El concepto de continuidad está implícito en los razonamientos griegos respecto al

movimiento, que era entendido en un sentido amplio de “cambio” que incluía las

grandezas geométricas. También se encuentra, implícito, en el manejo de las

proporciones, pero referida siempre al modelo geométrico, como lo confirma

Youschkevitch (1976) cuando explica la influencia del pensamiento Aristotélico en

las ideas de los matemáticos de la edad media. Él comenta, que Oresme dirá, a

mediados del siglo XIV, que toda cosa medible, excepto los números (que Oresme

concebía a la imagen de los griegos), se debe imaginar como una cantidad continua6

Esto porque los puntos, líneas y superficies en los cuales, según Aristóteles, la

medida o razón (mensura seu proportio) es hallada inicialmente son necesarios para

medir estas “cosas”; en todas las otras cosas, la medida o razón es estudiada por la

relación mental con los puntos, líneas y superficies.( Youschkevitch, 1976, p. 18)

Así, la continuidad geométrica se traslada a toda cosa medible.

La polémica surgida de la propuesta Pitagórica del continuo planteó un problema cuya

solución se obtendría 2.000 años después (Dedekind, Cantor) y que enriqueció la

matemática.

1.3 EL CONTINUO EN LA EDAD MEDIA (400-1450)

Con la desaparición de la Cultura Griega vino un período que cubre la edad media y

el renacimiento, durante el cual no hubo progresos en la propia solución del problema que

plantearon los griegos sobre la relación entre lo continuo y lo discreto.

Los historiadores atribuyen este estancamiento en el progreso de las matemáticas a

múltiples causas pero en particular a los intereses y concepciones filosóficas de los

gobernantes de los diferentes imperios: Romanos, Mahometanos, Hindúes y Cristianos

que en diferentes momentos de la edad media se dominaron unos a otros. En este período

predominó el espíritu práctico de los Romanos, el misticismo de los Mahometanos y por

fortuna el aprecio que experimentaron los árabes por la ciencia griega. La valoración de la

cultura griega, impulsó a los árabes a conservar y traducir a su idioma parte de su legado

cultural. Más tarde, en el apogeo del imperio, se propagó hacia Europa y los Cristianos,

tradujeron al latín los manuscritos árabes y griegos para convertirlos en objeto de estudio

en los monasterios y después en las primeras Universidades fundadas a Europa.

6 Youschkevitch, 1976, p. 18

El continuo en la edad media

166

Las contribuciones más importantes a las matemáticas de la época, se atribuyen a hindúes

y árabes y consistieron fundamentalmente en el desarrollo del campo numérico y del

álgebra; ya en la parte final de la edad media aparecen las aportaciones de los europeos

que introducen en la matemática el problema de la variación que dará origen al Cálculo.

1.3.1 Los Hindúes

Históricamente se considera a los hindúes como herederos de la matemática Griega,

aunque no poseían el mismo espíritu crítico griego su interés por las aplicaciones prácticas

y astronómicas hicieron que desarrollaran un sistema simbólico para los números en el que

se destaca el hecho de asignar un símbolo individual (alrededor del siglo III) para los

números del 1 al 9 y que se conocen como los símbolos Brahmi. Los hindúes utilizaron

una gran variedad de signos para los números pero por el año 600 y ya con conocimiento

del cero los símbolos Brahmi y el valor posicional de la numeración se convirtieron en

elementos de uso generalizado. La aceptación del cero como un número para todos sus

efectos fue uno de los grandes aportes. Mahavira (siglo IX) desarrollo la aritmética del

cero,

Mahavira dice que la multiplicación de un número por cero da cero y que la sustracción

de cero no disminuye el valor del número. Sin embargo, afirma también que si se

divide un número por cero, su valor permanece invariable. (Kline, 1992, p. 250)

Este encuentro con el infinito, en la división por cero, es expuesto más tarde por

Bhaskara (nacido en 1114)

Bhaskara, al hablar de una fracción cuyo denominador es cero dice que dicha fracción

permanece invariable aunque se añada o sustraiga cualquier cantidad, así como no sufre

ningún cambio la inmutable divinidad cuando se crean y destruyen los mundos. Un

número dividido por cero, añade, se designa como una cantidad infinita (Kline, 1992, p.

250)

Otro aporte, fue la extensión de las operaciones aritméticas a los irracionales. Operaban

con ellos como si fueran números enteros

Bhaskara dice: «Llamemos la suma de dos irracionales al mayor número irracional, y

dos veces su producto al menor de ellos. La suma y la diferencia de ellos se efectúa

como si fueran números enteros» (Kline, 1992, p. 251)

Este método y otros que elaboraron para operar con los irracionales son correctos,

pero no estaban fundamentados. Lo que muestra el contraste con los griegos que se

preocuparon por el rigor y la institucionalización de los conceptos; por lo contrario, los

hindúes más preocupados por los resultados, desarrollaron la aritmética sin preocuparse de

cuestiones filosóficas.

Finalmente, los progresos realizados en el álgebra, usaron abreviaturas y palabras

para describir las operaciones, las incógnitas las notaban con palabras que denotaban

colores.

este simbolismo, aunque no era exhaustivo, era suficiente para que se pueda clasificar

el álgebra hindú como cuasisimbólica, y en realidad lo era más que el álgebra

sincopada de Diofanto. (Kline, 1992, p. 250)


167

Los hindúes resolvieron algunas ecuaciones cuadráticas incluyendo las soluciones

negativas pero no llegaron a admitir las raíces cuadradas de números negativos y por tanto

no resolvieron la ecuación general de segundo grado para todos los casos, como lo hizo

Diofanto.

El álgebra se aplicó a los problemas habituales de comercio, pero la astronomía fue la

aplicación más importante.

1.3.2 Los Árabes

Los árabes tomaron la idea de notación posicional y mejoraron los símbolos hindúes.

Con estos símbolos notaron los números enteros y las fracciones, igualmente operaron

libremente con los irracionales.

De hecho, Omar khayyam (1048?-1122) y Nasír-Eddin (1201-1274) afirman

claramente que toda razón de magnitudes, tanto conmensurables como

inconmensurables , puede ser obtenida como número, aseveración que Newton se vio

obligado a reafirmar en su Aritmética Universal de 1707.” (Kline, 1992, p. 259)

Los árabes poco aportaron además del mejoramiento del sistema simbólico y de

acuñar la palabra “álgebra” que proviene de al-jabr para significar “restauración”. El

álgebra de los árabes se basó en el álgebra hindú. Ellos resolvieron algunas ecuaciones

cúbicas algebraicamente y las justificaron geométricamente.

1.3.3 Los Europeos

Hasta el año 500 d. C., mientras que las culturas romana, griega, árabe, babilónica y

egipcia florecían, los europeos eran tribus primitivas, con excepción de partes de Francia e

Inglaterra que habían adquirido alguna cultura durante la dominación del Imperio

Romano. Hacia éste año, la iglesia Católica, que ya era poderosa, comenzó a dominar y

convertir a los bárbaros germánicos y godos al Cristianismo, para lo cual fundó escuelas,

[...] éstas estaban asociadas a monasterios ya existentes que conservaban fragmentos de

las culturas griega y romana y habían estado enseñando a la gente a leer los servicios de

la iglesia y los libros sagrados. Un poco más tarde la necesidad de preparar hombres

para desempeñar puestos eclesiásticos motivó el desarrollo de escuelas superiores. [...]

Bolonia, la primera Universidad fue fundada en 1088. Las Universidades de París ,

Salerno, Oxford y Cambridge fueron establecidas alrededor de 1200. (Kline, 1992, p.

272)

La iglesia convirtió en Europa el latín como idioma de la ciencia y de las

matemáticas, muchos trabajos de griegos y árabes se tradujeron a esta lengua siendo

conocidos y estudiados por los europeos en la parte final de la edad media.

El paradigma filosófico Cristiano destacaba lo espiritual sobre lo material, la realidad

última era la vida eterna del alma. La salud del alma que se alimentaba de principios

morales para asegurar el cielo era lo importante.

Las doctrinas del pecado, del miedo del infierno, de la salvación y del deseo del cielo

eran dominantes. Puesto que el estudio de la naturaleza no contribuía a alcanzar tales

fines o a prepararse para la vida futura, era rechazado como algo sin valor y herético.

(Kline, 1992, p. 276)


168

Las fuentes del conocimiento sobre la naturaleza y del papel del hombre de los

europeos fueron las Sagradas Escrituras. Sin embargo con el progreso de la economía y el

comercio que se estableció entre con los árabes y el Oriente Próximo contribuyó al

conocimiento de los trabajos de los Griegos. Esto causó un impacto que motivó a la Iglesia

a apoyar el estudio de esta cultura.

Los europeos se interesaron en los trabajos griegos y la iglesia envió eruditos a

estudiar y recoger copias a los centros árabes de África, España, sur de Francia Sicilia y

Oriente Próximo. Uno de ellos, Leonardo de Pisa (1170-1250), conocido como Fibonacci

aprendió aritmética en el norte de África y en 1202 escribió su Liber Abaci, que se volvió

muy popular. Este tratado

[...] consistía en una traducción libre de materiales árabes y griegos al latín. La notación

árabe para los números, y los métodos de cálculo hindúes, ya eran algo conocidos en

Europa, pero sólo en los monasterios. La gente utilizaba en general los números

romanos, y evitaba el cero porque no lo entendían. El libro de Leonardo ejerció una

gran influencia y cambió el panorama; enseñó el método hindú de cálculo con enteros y

fracciones, raíces cuadradas y raíces cúbicas. Estos métodos fueron mejorados después

por comerciantes florentinos. (Kline, 1992, p. 283)

Leonardo fue uno de los pocos matemático dignos de mencionarse en la época, comprendió el

conocimiento matemático de la época, se interesó en el álgebra, siguiendo las líneas del

pensamiento árabe En el Liber Quadratorum (1225)

[...].expuso la solución de ecuaciones determinadas e indeterminadas de primero y

segundo grado, así como algunas ecuaciones cúbicas. (Kline, 1992, p. 283)

También se ocupó de la geometría en su Practica Geometriae (1220), reprodujo

buena parte de los Elementos y de la trigonometría Griega, pero, como anota Kline, su

aporte más importante la hizo respecto a los irracionales

La característica nueva más significativa del trabajo de Leonardo es la observación de

que la clasificación de Euclides de los irracionales en los Elementos no incluía todos

los irracionales. Leonardo mostró que las raíces de x3+2x

2+10x=20 no pueden

construirse con regla y compás. Esta fue la primera indicación de que el sistema de

números contenía más de los que permitía el criterio griego de existencia basado en la

construcción mencionada. (Kline, 1992, p. 283)

Sin embargo se debe subrayar que Leonardo siguió la tradición de los «logísticos» o

calculadores griegos sin preocuparse de los aspectos de fundamentación teórica lo que fue

característico de las matemáticas de la época.

Destacamos entonces que el uso y la aplicación práctica permitió conquistar

progresivamente el terreno del número y sólo después se abordaron los problemas

abstractos de existencia que preocupó a los griegos. A lo largo de la edad media prevaleció

una idea “intuitiva” de número que se enriqueció confiando en los éxitos prácticos

proporcionando con ello una cierta confianza que llevó a considerar las «razones» de

Euclides como números lo mismo que los negativos, los irracionales y el cero. A estos

“números” se les aplicaba las reglas del cálculo con los enteros se obtenían resultados

exactos si preocuparse por las razones que permitían obtener tales éxitos. Durante este

período de la historia ni la idea de función, ni mucho menos la continuidad fueron

estudiados; pero sí se utilizaron en la práctica matemática, en palabras de Youschkevitch:

Sin embargo, el número de funciones utilizadas se aumentó y los métodos para

estudiarlas(Youschkevitch, 1976, p. 16)


169

Estos desarrollos técnicos de la matemática constituiría la base sobre la cual se

construiría los conceptos de función y otros conceptos centrales del cálculo que se

constituiría en la ciencia de la variación. Este importante concepto de función será

decisivo en el despegue de las nuevas ciencias. Pero primero será necesario desprenderse

del marco Aristotélico.

La noción de función aparece por primera vez..., en las escuelas de filosofía

natural de Oxford y París. Un grupo de pensadores como Grossteste y Robert Bacon, de

estas escuelas, que prosperaron en el siglo XIV, declaraban que las matemáticas son el

principal instrumento para estudiar los fenómenos naturales. Se desmarcan de la

doctrina Aristotélica de las cualidades y de las formas, procediendo al estudio del

movimiento no uniforme, local y cuantitativo.

Cualidades o formas son fenómenos tales como el calor, luz, color, densidad,

distancia, velocidad, etc., que pueden poseer varios grados (gradus) de intensidad

(intensio) y que, de una forma general, cambian continuamente entre ciertos límites

dados. Las intensidades de las formas son consideradas en relación con sus extensiones

(extensio) como por ejemplo, la cantidad de materia, , de tiempo, etc. (Youschkevitch,

1976, p. 17)

Esta noción de función, aún implícita, es el origen del método de la intensidad de las

formas que será introducido por Oresme y que dará origen a conceptos como velocidad

instantánea, aceleración y cantidad variable.

Nicolas Oresme (1323-1360) fue uno de los matemáticos más destacados de la Alta

Edad Media. Realizó aportaciones en el campo numérico, en particular, en su trabajo

Algoritristmus Proportion (1360), extiende la potenciación a exponentes racionales.

Su reflexión fue que (en nuestra notación) 43=64 y que (4

3)

1/2=8 entonces 4

3/2=8.

(Kline, 1992, p. 284)

Otro aporte de Oresme fue el método de la latitud de las formas para el estudio de la

variación. En el estudio del cambio, en el caso del calor, propuso considerar el calor no

como una cualidad que se agrega de una sustancia a otra sino como una cantidad que varia

de intensidad. Afirma que toda intensidad que pueda expresarse por una sucesión de datos,

se representa por un segmento (latitud) levantado perpendicularmente sobre la recta de la

extensión (longitud). al final de los extremos de las latitudes se genera una línea de

intensidad. Aunque Oresme, al igual que sus contemporáneos tienen una visión de la

cualidad no limitada a la descripción de los estados de cambio, como planteaba

Aristóteles, sino que la cualidad podía ser estudiada cuantitativamente y así, la matemática

resulta ser un instrumento adecuado para estudiar los fenómenos naturales; no obstante, la

influencia del continuo geométrico de los griegos y su separación del concepto de número

(lo discreto) no ha podido ser aún superada. Esto se deduce del marco puramente

geométrico y no numérico en el que Oresme ubica, implícitamente, función y continuidad.

Así, comenta Youschkevitch

Toda cosa medible, escribe Oresme, excepto los números [que el interpreta, a la imagen

de los Griegos, como siendo un conjunto de unidades] es imaginada a la manera de una

cantidad continua

Esto porque los puntos, líneas y superficies en las cuales, según Aristóteles, se

encuentra inicialmente la medida o razón son necesarias para medir esas “cosas”; en

todas las otras cosas, estudiada la medida o razón es por su relación mental con los

puntos, líneas y superficies. (Youschkevitch, 1976, p. 18)


170

Con esta visión, Oresme construye un modelo geométrico para estudiar el cambio y la

velocidad del cambio. La ruptura con la concepción Aristotélica de las cualidades y las

formas, en conjunción con el modelo geométrico que media en la representación

cuantitativa permiten definir, así, el problema central del cálculo, a saber, el estudio de la

variación. Aquí, aparece implícitamente la continuidad ligada a la idea de cambio. Así,

Oresme,

[...] para representar el cambio de la velocidad con el tiempo, representa el tiempo a lo

largo de una línea horizontal, que llama longitud, y las velocidades en distintos

instantes de tiempo mediante líneas verticales, que llamó latitudes. (Kline, 1992, p.

284)

Con esta representación gráfica se apoya para reducir un movimiento uniformemente

acelerado a un movimiento uniforme, utilizando el teorema del grado medio . que era muy

usado en la edad media sin justificación. El movimiento uniformemente varia do lo

representa con el triángulo OAB, como se muestra en la figura, un poco más adelante,

donde la velocidad decrece uniformemente desde OA en O a cero en B. Ahora el teorema

del grado medio como era conocido en la edad media afirma

[...] una magnitud intensiva uniformemente variada entre dos grados extremos, produce

el mismo «resultado» global que una magnitud intensiva uniformemente variada cuyo

grado constante fuera igual al grado medio precedente. (Caveing y otros, 1988, p. 47).

Esta equivalencia era representada por Oresme en la figura

mediante la igualdad de del área de las dos superficies. Es decir, obtuvo la proposición que

la distancia recorrida por un cuerpo partiendo del reposo y moviéndose con aceleración

uniforme es la misma que la que recorre el móvil si se moviera en el mismo intervalo de

tiempo con una velocidad uniforme que es la mitad de la velocidad final. Según Carl

Boyer:

Más tarde, en el siglo XVII, esta proposición jugó un papel central en el desarrollo de

los métodos infinitesimales y de la dinámica Galileana. [...] Oresme y Galileo

proporcionaron a ésta una demostración geométrica la cual, aunque no rigurosa el

sentido moderno, fue la mejor que podía suministrase antes que el cálculo integral fuera

establecido. (Boyer, 1959, p. 83)

A

B

C

O

E D

A

B O


171

Siguiendo las interpretaciones de Boyer, aunque Oresme concluye la igualdad de las

distancias a partir de la congruencia de los triángulos ECA y EDB, nunca mencionó

explícitamente el hecho de que el área bajo la curva en cada caso representara la distancia

recorrida; ni por qué el área bajo una curva de velocidad-tiempo representaba la distancia

recorrida.

Es probable, sin embargo, que él pensara el área como formada por un número grande

de líneas verticales o indivisibles, cada uno de los cuales representaba una velocidad la

cual continuaba por un tiempo muy pequeño. Tal interpretación atomista está en

armonía con la visión que él expresaba sobre velocidades instantáneas y con los

intereses escolásticos sobre los infinitesimales. (Boyer, 1959, p.83)

El concepto de función que parece estar implícito en la representación no había sido

aún definido y las funciones se describían de manera verbal en referencia a una propiedad

específica. Afirma Kline que

se dice a menudo que Oresme contribuyó a la formación del concepto de función, a la

representación funcional de las leyes físicas, y a la clasificación de funciones. Se le ha

acreditado también la geometría de coordenadas y la representación gráfica de

funciones. En realidad la latitud de las formas es una idea poco clara, como mucho un

tipo de gráfico. [...] su influencia en el pensamiento posterior fue pequeña. Galileo

utilizó esta figura, pero con bastante más claridad y acierto. (Kline, 1992, p. 285)

El sistema de coordenadas de Oresme no establece una correspondencia entre puntos

del plano y lugares geométricos definida por una propiedad general como se hace hoy día,

sino que tal sistema sólo existe y se instrumenta estrictamente para el problema en

consideración.

Por otra parte el razonamiento con indivisibles, implícitos, es el reflejo del interés que

por los infinitesimales surgió en la edad media y que necesariamente revivió, bajo la tutela

de los escritos de Aristóteles, la polémica de la relación del continuo, los indivisibles y el

infinito. Los partidarios de los indivisibles, sostenían que el tiempo estaba constituido por

indivisibles, y que una hora estaba hecha de 22.560 de tales instantes7

durante la última parte del período medioeval la idea de los indivisibles bajo varias

formas y modificaciones fue defendida por Robert Grosseteste, Walter Burley, y Henry

Goethalts, entre otros. Por otro lado, Roger Bacon protestó, en su Opus majus, que la

doctrina de los indivisibles era inconsistente con aquella de la inconmensurabilidad

(Boyer, 1959, p.66)

El opositor más fuerte de las teorías de los indivisibles fue Thomas Bradwardine. Su

pensamiento estaba influido por el punto de vista Peripatético, que rechazaba cualquier

atomismo.

En su obra Geometría especulativa y en Tractus de continuo (1328) discutió sobre la

naturaleza de las magnitudes continuas oponiéndose a los atomistas

Bradwardine consideró, a la luz del problema del continuum los diversos puntos de

vista representados por quienes proponían la doctrina de los indivisibles. Algunos

interpretaban la cuestión en términos del atomismo físico, otros de puntos matemáticos;

algunos asumían un finito, otros un infinito, número de puntos; algunos postulaban

contiguidad inmediata, otros un conjunto discreto de indivisibles. Bradwardine mismo

mantuvo que las magnitudes continuas, aunque incluyendo un número infinito de

indivisibles, no están hechas de tales átomos.«Nullum continuum ex indivisibilus

infinitis integrari vel componi», decía Bradwardine, usando, quizás por primera vez en

esta relación la palabra que Leibniz adoptaría (por sugerencia de los hermanos

7 Boyer, 1959, p. 66


172

Bernoulli) para designar en su Cálculo la suma de un número infinito de infinitesimales

–la integral. Bradwardine aseveró, por lo contrario, que una magnitud continua esta

compuesta de un número infinito de continuos de la misma clase. El infinitesimal, por

tanto, poseía para él, como para Aristóteles, solamente una existencia potencial.

(Boyer, 1959, p.66-67)

Entre la posición de Bradwardine y los que defendían la existencia de líneas

indivisibles estaba una posición intermedia defendida por William Occam.

Mientras admitía que ninguna parte de algo continuo es indivisible, él sostenía que,

contrario a lo que enseñaba Aristóteles, la línea recta está actualmente (no sólo

potencialmente) formada por puntos. En otra relación, sin embargo, Occam dijo que

puntos, líneas, y superficies son negaciones puras, no teniendo realidad en el sentido

que un sólido es real. (Boyer, 1959, p.67)

Según Boyer, en un sentido general, la idea del continuo de Occam se puede asimilar

a la concepción formalista que ve el continuo como un conjunto perfecto8.de puntos denso

en todas partes. En tanto que la opinión de Bradwardine, la identifica con los intuicionistas

modernos, que conciben el continuo como formado por un infinito número de continuos

infinitamente divididos. No obstante advierte que estas comparaciones sólo son admitidas

desde un punto de vista formal ya que las

[...] especulaciones escolásticas se centraron invariablemente sobre la cuestión

metafísica de la existencia real de los indivisibles mas que sobre la investigación de una

representación que pudiera ser consistente con las premisas de las matemáticas (Boyer,

1959, p.67)

En ésta última cita se observa la presencia, en el pensamiento de los matemáticos

medioevales, de la concepción aristotélica de la matemática griega según la cual se

consideraba a las matemáticas como una abstracción idealizada de la ciencia natural.9

Esta concepción fue dominante en el tiempo de Euclides y es evidente en los Elementos

donde se observa, en consecuencia con esta visión, que los axiomas y definiciones no son

arbitrarios(as), sino que son determinados(as) por interpretaciones del mundo de la

percepción sensorial. Similarmente, como anota Boyer, lo que se buscaban estos

matemáticos, era una evidencia del mundo sensorial que permitiera asegurar la existencia

de los indivisibles.

1.3.4 Conclusiones sobre los Progresos en la Solución del Problema del Continuo

Durante la Edad Media

La concepción de las matemáticas, dominante en este período es la aristotélica: se

consideraba a las matemáticas como una abstracción idealizada de la ciencia natural.

Por tanto, los conceptos matemáticos están determinados por las interpretaciones del

mundo de la experiencia sensorial.

Se amplió el campo numérico y la notación posicional permitió operar más

eficientemente con los números enteros, fraccionarios e irracionales. El desarrollo del

campo numérico es más “intuitivo” que riguroso.

8 Conjunto perfecto en la definición actual: cerrado sin puntos aislados

9 Ver, Boyer, 1959, p. 302.


173

El perfeccionamiento de la notación simbólica y el uso libre de los irracionales,

favoreció el trabajo con las ecuaciones y en general el desarrollo de una álgebra en la

que las letras y las operaciones se aplican a una clase más amplia de números.

La aceptación de los números irracionales abrió la posibilidad de realización de la

idea que vislumbraron los Pitagóricos sobre la correspondencia biunívoca entre

puntos de la recta y los números. Esta idea se concretaría más adelante en la

constitución de la geometría analítica. Así, el álgebra podría coexistir con la

geometría.

El concepto del continuo. En el período de la edad media no hubo avances en la

fundamentación del continuo numérico. No obstante, las «razones» de Euclides se

consideraron como números . Los números se emplearon libremente, y se extendió a

ellos las operaciones conocidas de los enteros, aunque sin ninguna justificación

rigurosa y sólo guiados por la confianza que proporcionaban los éxitos prácticos. Se

vuelve a las viejas discusiones sobre la estructura del continuo. Bradwardine defiende

el punto de vista del continuo euclidiano Ce; Robert Grosseteste, y otros reivindican

el continuo pitagórico Cp; y William de Occam el arquimediano Ca, cada uno de ellos

con variaciones respecto a las versiones originales. Estas discusiones tenían más un

carácter dialéctico que matemático.

El concepto de función. Recordemos que en los griegos el concepto de función esta

implícito en los cálculos de astronomía y en las proporciones aritméticas. Durante la

edad media esta situación no varia en cuanto a la institucionalización del concepto

aunque el numero de funciones que aparece en la práctica matemática se incrementa.

Así, la noción está implícita en las representaciones gráficas de latitudes y longitudes;

el marco de las variables que intervienen es geométrico y se refieren más a relaciones

entre grandezas que entre magnitudes –las coordenadas son segmentos de línea y no

números–. Las funciones son definidas por la descripción verbal de una propiedad

específica, o bien por su gráfico representando más un modelo cualitativo que

cuantitativo. El estatuto de esta noción es protomatemático.

El concepto de continuidad, que como hemos visto en el período griego estaba

implícito en los razonamientos geométricos y en particular en las proporciones de

magnitudes. No varía su estatuto en la Edad Media. Es implícito, sugerido por la

experiencia sensible y se aplica a “grandezas”, es decir cualquier cosa susceptible de

aumentar o disminuir –Por ejemplo, los lados y apotemas de polígonos inscritos y

circunscritos en la circunferencia cuando la aproximan–. En la parte final de la edad

media la continuidad aparece ligada a la idea de cambio y de velocidad y se aplica a

curvas (líneas de intensidad), formadas por intensidades de magnitudes continuas que

dependen de longitudes de magnitudes igualmente continuas. Es un concepto global,

geométrico y su estatuto es protomatemático. Las concepciones ligadas a esta noción

implícita de continuidad ligada a la experiencia sensible, global y geométrico las

llamaremos continuidad primitiva y la notaremos C(P) para referirnos a ella en lo que

sigue.

Aparecen las primeras ideas de variable, implícitas en las representaciones gráficas.

Las funciones son descripciones verbales de relaciones. Estas ideas resultan útiles

para la representación cuantitativa de las leyes físicas. Se desarrollan así instrumentos

que serán importantes para el estudio del problema central del calculo: la variación.

El continuo en el Renacimiento

174

1.4 EL CONTINUO EN EL RENACIMIENTO (1400-1600)

En los siglos XV a XVI el concepto del continuo no sufrió ningún cambio

significativo, pero sí se crearon las condiciones filosóficas que favorecieron un nuevo

ambiente intelectual para los cambios que se producirían en el siglo siguiente. Igualmente

se produjeron avances en la obtención de un sistema simbólico que permitió el

planteamiento y manejo de ecuaciones en un campo numérico más amplio y aceptado.

1.4.1 El Cambio de Paradigma

El fortalecimiento económico de los Romanos les permitió, en la primera parte del

siglo XV, dedicarse a recopilar y estudiar los documentos griegos y en especial su relación

con el Imperio Bizantino produjo un fructífero intercambio entre griegos y romanos. Con

la toma de Constantinopla por los turcos, los griegos se trasladaron a roma llevando

consigo sus tratados. Esto y el surgimiento de una clase comercial en Italia que se había

convertido, gracias a su situación geográfica, en epicentro del comercio entre oriente y

occidente, produjo un movimiento que se reveló contrario a los preceptos de la Iglesia,

fundamentados en los preceptos Aristotélicos, que se oponía a la experimentación y al

desarrollo del pensamiento crítico. Surge entonces un nuevo orden en Europa, el

paradigma se origina en lo que se aprendió de los griegos:

el estudio de la naturaleza, el disfrute del mundo físico, el perfeccionamiento de la

mente y el cuerpo, la libertad de investigación y de expresión y la confianza en la razón

humana. (Kline, 1992, p. 294)

aunque estos ideales no fueron explícitos en Aristóteles. El conocimiento de los trabajos

matemáticos de Platón y Pitágoras, les enseñó que la naturaleza estaba escrita en lenguaje

matemático, la naturaleza obedece a leyes físicas simples y universales y el número es la

esencia de la realidad. Todo esto implicaba una revisión de las interpretaciones que los

escolásticos produjeron respecto de la Cultura Griega.

El renacimiento del Platonismo clarificó y cristalizó las ideas y métodos con los que

estos hombres habían estado luchando. El énfasis pitagórico-platónico sobre las

relaciones cuantitativas como la esencia de la realidad se hizo dominante en forma

gradual. (Kline, 1992, p. 294)

En efecto, el descubrimiento, por una parte, de Pitágoras que había dado a la

matemática una interpretación supra-sesorial, invirtiendo así el orden que sus antecesores

los hindúes tempranos que organizaron el conocimiento matemático dentro de un esquema

deductivo, pero las bases se levantaron en mucho de la ciencia empírica. Y por otra parte,

del idealismo de Platón que afirma que la verdad de la cosa no está en su apariencia

sensible sino en la idea de esa cosa; permitirían a los matemáticos la libertad intelectual

necesaria para generar especulaciones fructíferas para la matemática, libres de la prisión

que impone los juicios empiristas y el sentido común.

El producto de este movimiento en el tema que nos ocupa fue principalmente el desarrollo

del álgebra y el perfeccionamiento de los métodos del calculo que realizaban los

ingenieros y artesanos.


175

1.4.2 Los Aportes en el Campo Numérico

Los números negativos no sólo eran aceptados sino que Rafael Bombelli (siglo XVI)

dio una definición satisfactoria; los irracionales todavía planteaban serios problemas,

además se conocieron los números complejos.

Así, Cardano en el capítulo 37 de su Ars Magna (1545), plantea y resuelve el problema

de dividir 10 en dos partes cuyo producto sea 40, cuya ecuación es x(10x)=40.

Obtiene las raíces 5 15 , y 5 15 , y luego dice: «dejando a un lado las torturas

mentales que ello implica», multipliquemos 5 15 , y 5 15 ; el producto es 25

(15), es decir, 40. Afirma entonces que «así progresa la sutileza aritmética, cuyo fin

es, como se ha dicho, tan refinado como inútil»(Kline, 1992, p. 339)

También Bombelli se encontró con los complejos al resolver las ecuaciones de tercer

grado y

formuló en forma prácticamente moderna las cuatro operaciones con números

complejos, aunque todavía considerados como inútiles y «sofísticos».» (Kline, 1992, p.

339)

1.4.3 El Desarrollo Simbólico del Álgebra

Las limitaciones que presentaban los sistemas de coordenadas de la época, como el

propuesto por Oresme, se resolverían con el desarrollo de un sistema simbólico propuesto

por Vieta que posibilitó la expresión cómoda y sencilla, al mismo tiempo que un mayor

grado de generalidad de las ecuaciones algebraicas.

Como ya hemos visto, los avances en el álgebra se debían entre otros a las prácticas

de uso por la clase comerciante, basadas en los métodos árabes e hindúes. En su

Introducción al arte analítico (1591) Francois Viète recuperó los procedimientos

operatorios de uso estrictamente numérico, proyectándolos en el plano abstracto en un

lenguaje simbólico rudimentario. Para ello divide la problemática del análisis en dos

partes: (a) la “zetética” o arte de determinar los problemas y su representación por medio

de un simbolismo preestablecido y (b) el “análisis porístico” o arte de manejo de

ecuaciones. Respecto a este último distingue entre dos tipos de logística: la “numerosa”,

trata con números y la “espaciosa”, es una forma de operar con especies o formas de

cosas.

Vieta trazó la línea divisoria entre la aritmética y el álgebra. [...] Así, en un sólo paso, el

álgebra se convirtió en un estudio de tipos generales de formas y ecuaciones, pues lo

que se hace para el caso general cubre una infinidad de casos particulares” » (Kline,

1992, p. 350)

De esta manera, los aportes de Oresme, sistemas de coordenadas y el enfoque

analítico de Vieta, concurren en la génesis de la algebrización de la geometría que medio

siglo después originará la geometría analítica.

1.4.4 Los preámbulos del Cálculo Infinitesimal

Además de los trabajos antes reseñados los inicios de sistemas de representación

geométrica, durante la parte final del siglo XVI surgió una variación del método de los

infinitesimales de Arquímedes. Hasta ese momento sólo se reproducía el método

exactamente incluyendo la demostración por exhausción.


176

Según Boyer (1959, pp.99-100), quizás el primero que introdujo una modificación al

método fue el ingeniero de Brujas Simon Stevin (1548-1620). En el tratado De La Estática

(1586) establece una teoría infinitesimal de los centros de gravedad. Stevin demostró

como sigue que el centro de gravedad de un triángulo está en su mediana:

Inscribe en el triángulo ABC un número de paralelogramos de igual altura, como se

ilustra [en la figura] El centro de gravedad de la figura inscrita descansaría en la

mediana, por el principio según el cual las figuras bilateralmente simétricas están en

equilibrio (un principio usado por Arquímedes en la prueba de la ley de las palancas y

también por Stevin en su bien conocida demostración de la ley del plano inclinado). Sin

embargo, podemos inscribir en el triángulo un número infinito de tales paralelogramos,

para todos ellos el centro de gravedad estará sobre AD.

Entre mayor sea el número de paralelogramos así inscritos, menor será la diferencia

entre la figura inscrita y el triángulo ABC. Sí, ahora, los “pesos” de los triángulos ABD

y ACD no son iguales, ellos tendrían una cierta diferencia fija. Pero puede no existir tal

diferencia. Puesto que cada uno de esos triángulos puede hacerse diferir menos de

aquello de las sumas de los paralelogramos inscritos dentro de ellos, lo que es igual.

Por tanto, los “pesos” de ABD y ACD son iguales y entonces el centro de gravedad de

el triángulo ABC está sobre la mediana AD. [Sevin, Hypomnemata mattematica, IV,

37-58. Cita de Boyer.] (Boyer, 1955, pp.99-100).

Se encuentra aquí un razonamiento que por primera vez se aproxima a la idea de paso

al límite con infinitesimales. Claramente es una modificación del método de Arquímedes

porque el resultado se obtiene de un modo directo evitando el paso que exigía el rigor

Arquimediano de reducción al absurdo para demostrar la igualdad. Además, en el texto

anterior desaparece, de cierta manera, el “horror al infinito”, que obligaba al uso del

método de exhausción. Las demostraciones de Stevin eran fundamentalmente geométricas,

utilizaba infinitesimales y substituía el método de exhausción con la palabra “infinita”

para referirse a la suma de los infinitesimales –que difiere de la figura dada tanto como se

desee– pero el infinito sólo tiene para él un sentido potencial. No obstante, estas

demostraciones eran replicadas con números. Como comenta Boyer, Stevin aún

presentaba vacilaciones para aceptar que la suma infinita es el límite buscado y en este

sentido comparte con los griegos la necesidad de apoyarse en un argumento

suplementario, que en el caso de los últimos era la doble reducción al absurdo para

demostrar la igualdad y, en el caso de Stevin, en sus demostraciones suplementarias “con

números” construía sucesiones superiores e inferiores que convergen al límite. Esto se

observa en le caso de la demostración de que la presión promedio de una pared vertical de

una vasija llena de agua corresponde a la presión en su punto medio, y según Boyer:

Esta «demostración por números» pudo corresponder a la dada en el Cálculo si Stevin

se hubiera limitado a una de sus dos sucesiones y hubiera pensado de el resultado, dado

A

B

C

D


177

por sus sucesivas subdivisiones de la pared, como formando literalmente una sucesión

infinita con límite 1/2. (Boyer, 1955, p. 103)

Afirmando, además, que quizás lo que más influyó en ocultar a los matemáticos, por

más de dos centurias, las bases lógicas del Cálculo fue el predominio como concepción

fundamental de los métodos geométricos, más que aritméticos; reconociendo, no obstante,

que aunque la base del Cálculo es aritmética se debe reconocer que el nuevo análisis es el

resultado en su mayor parte de los dibujos sugestivos de la geometría.

El problema que queda planteado es ¿qué significa una suma infinita?

1.4.5 Conclusiones sobre los Progresos en la Solución del Problema del Continuo en

el Renacimiento.

El cambio de paradigma significó la superación del marco Peripatético en el que se

consideraba que las matemáticas eran una abstracción idealizada de la ciencia natural.

Aceptar tal punto de vista implica que las premisas y definiciones no pueden ser

arbitrarias, ellas deben ser confirmadas a posteriori por la ciencia natural lo que

significaba una fuerte restricción al desarrollo autónomo de las ideas matemáticas. El

resurgimiento del paradigma rival, la visión Pitagórica-Platónica, que veían las

matemáticas como una realidad supra-sensorial que tiene su contraparte en el mundo

material, liberó a las mentes de la obligación de justificar sus objetos conceptuales en

términos de la apariencia sensible. Las premisas se establecen, entonces, en forma de

categorías a partir de las cuales el matemático realiza sus deducciones lógicas con la

única obligación de que no presenten contradicciones internas con el sistema

matemático total. Como una consecuencia del cambio de paradigma, el énfasis en las

relaciones cuantitativas como la esencia de la realidad se hizo dominante en forma

gradual.

El campo numérico se continuo ampliando y se dio una definición de los números

negativos. Los complejos se aceptaron, aunque sin mucho agrado, y se formuló las

cuatro operaciones con estos números.

La notación simbólica propuesta por Vieta junto con el sistema de coordenadas de

Oresme facilitarían los desarrollos posteriores de la geometría analítica.

La aparición del método de los infinitesimales permitió superar el “horror al infinito”

que acusaban los griegos y por primera vez se obtienen razonamientos próximos a la

idea de límite, evitando así el método de exhausción.

El concepto de continuo. No hubo avances en la fundamentación del continuo

numérico. No obstante, se emplearon los infinitesimales y el infinito bajo el supuesto

de un continuo arquimediano. El continuo arquimediano Ca resurgió en este período

debido al desarrollo de los métodos infinitesimales, permitiendo tratar el continuo

como compuesto de indivisibles. Los resultados se justificaban pragmáticamente por

su consistencia con la geometría euclidiana.

El infinito es potencial.

El concepto de continuidad no ha sufrido modificación durante este período.

Corresponde a lo que hemos caracterizado como continuidad primitiva C(P) de los

Griegos Antiguos y los matemáticos de la Edad Media. Es una concepción global,

geométrica que se aplica a grandezas y curvas. Su estatuto es protomatemático.

Continuo, continuidad y límite. Siglos XVII -XVIII

178

El concepto de función. Aparecen las primeras ideas de relaciones entre cantidades

variables, implícitas en las representaciones gráficas. Las funciones son descripciones

verbales de relaciones entre magnitudes. Estas ideas resultan útiles para la

representación cuantitativa de las leyes físicas. Se desarrollan así instrumentos que

serán importantes para el estudio del problema central del calculo: la variación. El

concepto de función pasa a tener un estatuto paramatemático, es decir se tiene

conciencia del concepto como un instrumento útil en el trabajo de los matemático,

pero aún no es un objeto de estudio en sí mismo.

1.5 EL ANÁLISIS EPISTEMOLÓGICO DE LOS CONCEPTOS DE CONTINUO,

CONTINUIDAD Y LÍMITE EN LOS SIGLOS XVII-XVIII

El problema de la relación entre lo discreto y lo continuo se perfila en este periodo,

gracias al resurgimiento del problema de la variación y con él la recuperación de las

técnicas infinitesimales que, pondrá en escena la relación entre los indivisibles y el

continuo geométrico; surge el debate entre la concepción Paripatética de un infinito sólo

en potencia, que reconoce lo infinitamente grande y niega lo infinitamente pequeño, frente

a la concepción de un infinito actual que trabaja exitosamente con infinitesimales, no

obstante no poseer una idea de su significado matemático. Estos conceptos, en principio,

están implícitos en la solución de los grandes problemas que abordará el Cálculo: las

tangentes y las cuadraturas.

Entre los factores que contribuyeron al desarrollo y definición de la problemática,

además de los ya anotados: el desarrollo simbólico del álgebra, ampliación del campo

numérico, evolución de los paradigmas, etc., se debe destacar la construcción de la

geometría analítica como método de demostración y aplicación del álgebra.

1.5.1 El Método de las Coordenadas

Hasta René Descartes (1596-1650) y Pierre Fermat (1601-1665) el álgebra estaba

subordinada a la geometría. Sus creaciones en el terreno, que ya tenían honorables

antecedentes como en Oresme y los geómetras proyectivos, cambiarían esta relación y

abriría un dominio nuevo a la matemática en el que lo más poderoso del pensamiento

algebraico y el geométrico se combinarían sinérgicamente.

La disciplina que crearon se llama geometría de coordenadas o analítica, y su idea

central es asociar ecuaciones algebraicas a curvas y superficies. Es ésta una de las vetas

más ricas y fructíferas del pensamiento matemático que jamás se haya conocido (Kline,

1992, p. 103)

Siguiendo a Kline (1992, pp. 402-403), Fermat utilizó coordenadas oblicuas para

representar las curvas –sin dibujar nuestros ejes x e y– y se apoyó en el álgebra de Vieta.

Fermat consideraba una curva cualquiera y un punto genérico J sobre ella como se muestra

en la gráfica.

O A

E

Z Z’ Z’’

J

T T’


179

La posición de J estaba dada por dos números A –longitud de O a Z– y E –longitud de Z a

J– que equivalen a nuestros x e y pero sólo consideraba valores positivos. El principio

general era enunciado por Fermat, según cita de Kline, de la siguiente manera:

Siempre que en una ecuación se hallen dos cantidades incógnitas, tenemos un lugar

geométrico, cuyo extremo describe una línea recta o curva [citado por Kline, 1992,

p.402]

Aquí, A y E son variables en el sentido de Vieta como letras que representan una clase de

números. Esta manera de relacionar ecuaciones y curvas amplió el número de curvas

conocidas que antes se reducían a las curvas griegas que se obtenían por regla y compás

curvas planas–, las secciones cónicas –curvas sólidas– y todas las demás que llamaban

lineales. Así además de asociar a las cónicas una ecuación, llegó a afirmar que las

ecuaciones de primer grado en A y en E representan siempre una recta en tanto que las de

segundo grado tiene cónicas como lugares geométricos.

En su Methodus ad Disquiriendam Maximan et Minimam (Método para hallar máximos

y mínimos, 1673), introdujo las curvas yxn e yx

n . (Kline, 1992, p.403)

Por su parte Descartes, molesto por que cada demostración geométrica exigiera la

creación de métodos nuevos y a menudo ingeniosos y gracias a sus conocimiento de

álgebra, se dedicó a emplear el método algebraico a la geometría.

Desde el comienzo de La geometría Descartes plantea el enfoque de analizar lo

geométrico mediante el cálculo sobre los segmentos constitutivos de los lugares: «Todos

los problemas de la geometría pueden fácilmente reducirse a tales términos que a

continuación sólo es necesario conocer la longitud de las líneas rectas, para construirlos».

Para resolver los problemas aplica el álgebra de Vieta y gradualmente va formándose

la idea de ecuación de una curva.

Apunta en primer lugar que las construcciones geométricas requieren sumar, restar,

multiplicar y dividir líneas, así como extrae raíces cuadradas de líneas concretas. Como

todas estas operaciones existen en el álgebra, pueden expresarse en términos

algebraicos. (Kline, 1992, p.409)

El método de Descartes consiste en suponer conocida la solución y designar con

letras todas las líneas necesarias para buscar la solución deseada, asignando unidades de

magnitud. Por ejemplo, para sumar dos segmentos los designa con las letras AB y CD y

establece la relación de sus longitudes con los números a y b respectivamente y escribe la

suma ab. El producto de un segmento por sí mismo o nota a2 . El método analítico, al

estilo de Pappus, parte de considerar que la solución buscada existe, luego de asignar

nombres a las líneas (incógnitas y parámetros) de la construcción que relaciona las

variables del problema, se obtiene la ecuación relacionando de manera ordenada los datos,

las incógnitas y los parámetros

Así, al no hacer distinción entre líneas conocidas y desconocidas, hemos de

«desenmarañar» la dificultad mostrando en qué forma están relacionadas entre sí estas

líneas, con la idea de expresar la misma cantidad en dos formas distintas, lo cual nos da

una ecuación. Hemos de encontrar tantas ecuaciones como líneas desconocidas haya. Si

quedan varias ecuaciones, hay que combinarlas hasta que sólo quede una incógnita

expresada en términos de líneas conocidas. (Kline, 1992, p.409)

Dependiendo de la naturaleza del problema este podrá expresarse por cualquiera de

las siguientes ecuaciones:


180

z b

z2 az b

2

z3 a z

2 b

2 z c

3

z4 a z

3 c

3z d

4 , etc.

Donde, los parámetros y las constantes se indicaban con las letras a, b, c,... y las

variables con las letras x, y, z,... El signo igual no existía en la época en su lugar usaba el

símbolo ∞. Los valores de x e y sólo son positivos, pero anota Kline que

[...], sus ecuaciones cubren porciones de la curva en zonas distintas de la que hoy

llamaríamos primer cuadrante. Se limita a suponer que el lugar geométrico en

consideración se halla en el primer cuadrante, haciendo referencia de pasada a lo que

podría suceder en otro caso. (Kline, 1992, p.412)

Por supuesto implícitamente en su método de coordenadas, Descartes asume el

continuo numérico dando por supuesto, como anota Kline, “inconscientemente” que a

cada longitud le corresponde un número real positivo.

Es importante destacar que con Fermat y Descartes se supera el criterio –griego– que

exigía la constructibilidad de la línea para aceptar la existencia de una curva; para

Descartes toda las curvas aceptables eran las que admitían una expresión algebraica.

Concluye [en su libro II] con la muy significativa afirmación de que las curvas

geométricas son las que se pueden expresar mediante una ecuación algebraica (de

grado finito) en x e y, con lo que acepta la concoide y la cisoide, mientras que llamaba

mecánicas a todas las demás (Kline, 1992, p.413)

Más tarde Leibniz emplearía las palabras «algebraica» y «trascendente» en vez de los términos «geométrica» y «mecánica».

Al ampliar el concepto de curva admisible, Descartes dio un paso fundamental. No sólo

no admitía curvas anteriormente rechazadas, sino que ensanchaba su dominio, pues

dada cualquier ecuación algebraica en x e y, puede obtenerse una curva y generar así

curvas totalmente nuevas (Kline, 1992, p.413)

Los trabajos de la geometría analítica de Fermat y Descartes no fueron recibidos con

el entusiasmo que, con los ojos de hoy, podría esperarse; una de las causas de la lentitud

de su aceptación se atribuye al obstáculo geométrico de la creencia en la perfección y rigor

de la geometría griega en contraste con la falta de rigor del álgebra, que había aceptado

como números los negativos y los irracionales sin una justificación bien fundamentada.

Ya hemos mencionado la repugnancia de Barrow a aceptar los números irracionales

como algo más que símbolos de magnitudes geométricas continuas. La aritmética y el

álgebra hallaban su justificación lógica en la geometría; por tanto el álgebra no podía

reemplazar a la geometría o existir como su igual. (Kline, 1992, p.421)

Sin embargo, gradualmente se superarían estas resistencias. Un ejemplo son los trabajos

de John Wallis, en De sectionibus Conicis (1625) en el que demuestra algebraicamente las

propiedades de las cónicas, extendiendo además los ejes coordenados para comprender los

números negativos:

Wallis fue también el primero en introducir conscientemente abscisas y ordenadas

negativas. Es posible que Newton que hizo lo mismo más tarde tomara la idea de

Wallis. (Kline, 1992, p.422)


181

Esta extensión permitió la aplicación del método de coordenadas con toda generalidad, así

lo hicieron Newton y todos los matemáticos en adelante. La geometría analítica se valoró

por su poder como herramienta de doble uso para las matemáticas.

Por una parte, los conceptos geométricos podían ser formulados algebraicamente, y los

objetivos geométricos podían alcanzarse por medio del álgebra. Recíprocamente, al

interpretar geométricamente los enunciados algebraicos puede lograrse una visión más

intuitiva de su significado, lo cual puede, a su vez, ser fuente de nuevas conclusiones

(Kline, 1992, p.426)

La geometría analítica junto con el refinamiento de los símbolos en el álgebra se

convertía en un instrumento eficaz para la obtención de relaciones abstractas por medio

del razonamiento deductivo.

Al mismo tiempo se produce una ruptura definitiva del paradigma aristotélico

respecto a la relación entre la cualidad y la magnitud. El estudio del movimiento y la

variación pueden ser ahora realizados cuantitativamente surgiendo la convicción de que la

matemática es de alguna forma independiente del razonamiento experimental e intuitivo.

1.5.2. El Método de los Indivisibles y la Continuidad

Con la obtención de los instrumentos que acabamos de describir se abren nuevas

perspectivas para enfrentar el problema que plantearon los Griegos Antiguos sobre la

relación entre un continuo, supuestamente geométrico, y los números. Aunque el problema

como tal no fue planteado directamente hasta el siglo XIX, él estaba implícito en los

problemas que los matemáticos de la época se vieron obligados a resolver, por necesidades

más de orden práctico que teórico. Se trataba del estudio del movimiento y la variación.

Así, se observa que en la ideas que dieron origen al Cálculo, se elude el problema

Griego que relaciona el infinito con el paso de lo discreto a lo continuo: Newton,

recurriendo a la intuición del movimiento continuo, y Leibniz haciendo un llamado al

principio de continuidad. Cada uno de ellos construyeron un sistema coherente de métodos

y conceptos para resolver problemas de tangentes y cuadraturas de curvas en general.

Los objetos a los que se aplicaba el cálculo eran curvas sin considerar explícitamente

una relación funcional entre variables que eran consideradas como cantidades

susceptibles de aumento o disminución y no como valores en un conjunto numérico.

Durante el siglo XVII el cálculo estuvo ligado estrechamente a las investigaciones

relacionadas con curvas, debido a que no había un concepto explícito de variable o de

relación funcional entre variables (Grattan-Guinness, 1984, p.26)

Las curvas se consideraban como generadas por el movimiento del punto extremo de

un segmento vertical u oblicuo que s desplaza sobre una línea horizontal.

Además de las curvas conocidas, otras nuevas se introdujeron como curvas generadas

por el movimiento. El antecedente lo encontramos en la espiral de Arquímedes, pero en la

época griega las curvas asociadas a movimientos estaban fuera de los límites de la

matemática

La actitud era completamente diferente en el siglo XVII. Mersenne, en 1615, definió la

cicloide (que era conocida anteriormente) como el lugar geométrico que describe un

punto (fijo) de una rueda que gira sobre el suelo. Galileo, que había demostrado que la

trayectoria de un proyectil disparado en el aire formando un ángulo con respecto al

suelo es una parábola, consideró la curva como el lugar geométrico que describe un

punto móvil (Kline, 1992, p.447)


182

Los problemas que ocuparon a los matemáticos respecto a las curvas fueron las

cuadraturas, determinación de tangentes, máximos y mínimos, y el problema de encontrar

una curva cuyas tangentes tienen una propiedad dada. La curva más estudiada fue la

cicloide y se puede observar lo que constituían los asuntos problema en la época en el

comentario de Guiness:

En el 1658 Blaise Pascal organizó una competición destinada a hallar el área de una

sección de cicloide, su centro de gravedad, los volúmenes de los sólidos engendrados al

girar dicha sección en torno a determinados ejes y el centro de gravedad de estos

sólidos. (Grattan-Guinness, 1984, p.27)

Este problema del cálculo del área encerrada por la cicloide había sido abordado en

1634 por Roverbal y, dice Kline, que “la curva seno apareció en las matemáticas como la

curva asociada a la cicloide ”(1972, p. 447).

1.5.3 Isaac Newton (1642–1727)

Los problemas que hemos enumerado fueron abordados por diferentes matemáticos

(entre los que se destacan: Roverbal, Fermat, Barrow, Pascal y Wallis) y desarrollaron

diferentes métodos para resolver un conjunto de situaciones particulares, pero no pudieron

ver la relación entre los diferentes procesos que podrían tomar la forma de método general.

Newton y Leibniz lo hicieron:

El problema del cálculo de la velocidad instantánea a partir del conocimiento de la

distancia recorrida en función del tiempo, y su inverso, se vio pronto que eran casos

particulares del cálculo del cambio relativo instantáneo de una variable con respecto a

otra, y su problema inverso. El primer tratamiento significativo de cambios relativos, en

general, se debe a Newton. (Kline, 1992, p.454-455)

Veamos cuales fueron las ideas centrales que permitieron a Newton acceder al

método del cálculo. De esta manera podremos observar cómo la ausencia de una

formulación explícita y lógicamente coherente de la continuidad de una función en un

punto, así como del concepto de límite hacían que sus tratamientos carecieran de

fundamentación, pero no por ello fueron menos iluminadores y efectivos en la solución de

los problemas planteados en la época.

Tres son las ideas fundamentales:

1. Considerar los desarrollos en series de potencias que permitían expresar las curvas

algebraicas en términos de constantes por potencias de la variable –expresiones

elementales–.

2. Considerar los infinitesimales (o “momentos” de las cantidades en la terminología de

Newton) como instrumentos para obtener variaciones instantáneas.

3. Desarrollar algoritmos y reglas generales para las expresiones elementales. De esta

manera logra reducir las operaciones sobre expresiones de curvas arbitrarias a

operaciones aplicadas a expresiones elementales.

Estas ideas se pueden seguir en su exposición en una monografía titulada De Analysi

per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (sobre el análisis por medio de ecuaciones

con un infinito número de términos) que, según Kline (1992, p. 475), hizo circular entre

sus amigos en 1669 y sólo se publicó en 1711.


183

En 1665 Newton descubrió el «teorema binomial» que extendía el desarrollo binomial,

que es válido para potencias con n natural, a exponentes fraccionarios p/q, en cuyo caso

se obtiene

(ax) a

1

a1

x ( 1)

1 2

a

2 x

2 ....... (1)

Este teorema fue descubierto en el contexto de la cuadratura del círculo10

y(1x)1/2

.

Newton comparó las cuadraturas que se obtenían para exponentes en los números

naturales, que eran fáciles de calcular, y extrapoló esta idea para el caso de exponentes

racionales obteniendo la cuadratura del círculo y (1x)1/2

.

En el mismo tratado da un método para hallar la relación entre la cuadratura de una

curva y su ordenada. Supone que tiene una curva y como la de la figura

y que el área bajo la curva, ABD, es z donde

zax (2)

y el exponente puede ser entero o racional. A un incremento infinitesimal de x lo llama

momento de x y lo representa con o. En la figura ABx, considera Bo y Hv tales que

las áreas BKH y BD sean iguales, donde el área del paralelogramo BDov.

Entonces

zova(xo) (3)

Aplica el teorema del binomio al segundo miembro, obteniendo una serie infinita cuando

es fraccionario, resta (2) de (3), divide por o. Considera B «infinitamente pequeño», en

cuyo caso, como muestra la figura v se hace igual a y, y los términos que aun contienen o

desaparecen, con lo que resulta

y ax1

que en el lenguaje actual indica que la derivada de la función del área bajo la curva en x es

el valor de la función f en x. Recíprocamente, si la curva está dada por y ax1

, el área

encerrada por ella es zax.

Newton vio claramente que los problemas de la cuadraturas deberían enfocarse de esta

manera inversa: si se calcula la y para cada función algebraica z, se podrían determinar

todos los tipos de curvas (y, x) que se pueden cuadrar. Y de hecho, determinó muchas

de tales curvas cuadrables, coleccionándolas en largas listas que constituyen así nada

menos que las primeras tablas de integrales. (Grattan-Guinness, 1984, p.78)

10

Ver, Grattan-Guinness, 1984, pp. 76-78

A B

D H K

y

z

0

v


184

Después de obtener este resultado, Newton estableció la regla para calcular la integral

de una suma de funciones que en términos de hoy se expresa diciendo, que la integral

indefinida de una suma de funciones es la suma de cada una de las integrales de las

funciones. Así, expresando las expresiones algebraicas en series de potencias calculó

integrales, extendiendo la integración término a término a las series.

Hasta este momento, Newton había empleado como elemento fundamental de su

método los «momentos» o «incrementos pequeños» “o” y “ov” para x y z,

respectivamente, pero no hay una definición explícita de ellos y se interpretan de

diferentes maneras: “cantidades infinitamente pequeñas”, o “indivisibles” o

“infinitesimales”. Estos incrementos de las variables, eran tan pequeños que se podían

despreciar, pero no eran nulos puesto que se podía dividir por ellos.

Los momentos son cantidades infinitamente pequeñas, indivisibles o infinitesimales. La

lógica de lo que hizo Newton no está clara, por supuesto. Dice en este trabajo que su

método está «explicado brevemente más que demostrado con precisión» (Kline, 1992,

p.477-478)

Newton tratará de obviar esta falta de precisión en una obra más extensa titulada Methodus

Fluxionum et Serierum Infinitarum, escrito en 1672 pero que se publicó en 1736. Allí

reformuló los algoritmos que había diseñado para calcular la derivada de las curvas

algebraicas y sus demostraciones para expresarlos en términos de «fluentes» y «fluxiones».

En este trabajo dice que considera sus variables como generadas por el movimiento

continuo de puntos, rectas y planos, más que como agregados estáticos de elementos

infinitesimales, como en el artículo anterior. Ahora, una cantidad variable la llama

fluente y a su cambio relativo fluxión. (Kline, 1992, p.478)

Newton consideraba las cantidades de su geometría analítica como fluentes, es decir

cantidades que varían con respecto al tiempo y al cambio con respecto al tiempo lo llamo

la fluxión. Las fluxiones eran notadas con la variable y un punto en su parte superior. Así,

si x, y, z son fluentes entonces sus fluxiones son

, ,x y z

respectivamente. El método para resolver el problema de obtener las relaciones de las

fluxiones conocidas las relaciones entre los fluentes es básicamente el mismo. Por

ejemplo, si los fluentes están dados por la ecuación

yx (1)

Newton deja fluir x e y, para obtener

( )y o y x o x

(2)

desarrolla el segundo miembro, resta (1) de (2), luego divide por o y desprecia los

términos que aún contienen o obteniendo, finalmente, la relación entre las fluxiones

1y x x

(3)

En la terminología moderna, se puede interpretar como

dy dxy x

dt dt

y utilizando la relación


185

dy dy dx

dt dx dt

Con lo cual (3) se expresaría:

1dyx

dx

Lo novedoso en la justificación, es que los “momentos”,

o y e o x

ya no son cantidades fijas o agregados o indivisibles. Ahora, representan cantidades que

aumentan o disminuyen continuamente con respecto al tiempo. Pero, aún, siguen siendo

cantidades «infinitamente pequeñas». Newton, no define las fluxiones (el cambio de x

respecto al tiempo, el cambio de y respecto al tiempo).

En su Tractus de Quadratura Curvarum (tratado sobre la cuadratura de las curvas),

un tercer artículo sobre el cálculo, escrito en 1676 pero publicado en 1704, Newton

observa los inconvenientes de trabajar con infinitesimales y propone una teoría que

reformula el cálculo en términos de lo que él denominó “primera y última razón” con la

cual, según él, no tendría que recurrir a los infinitesimales.

Critica ahora el despreciar términos que incluyen o porque, según dice:

«en matemáticas no se deben despreciar los errores más diminutos...Considero las

cantidades matemáticas en este punto no como consistentes en pequeñas partes, sino

como descritas por un movimiento continuo. Las líneas están descritas, y por tanto

generadas, no por la yuxtaposición de partes, sino por el movimiento continuo de

puntos; las superficies por el movimiento de líneas; los ángulos por la rotación de los

lados; las porciones de tiempo por un flujo continuo...

Las fluxiones son, hasta la aproximación que queramos, como los incrementos de

las fluyentes generados en tiempos iguales y tan pequeños como sea posible y, para

hablar con precisión, están en la razón primera de los incrementos emergentes; aunque

pueden expresarse mediante líneas cualesquiera que sean proporcionales a ellos.»

(Kline, 1992, p.480)

Aquí, el concepto fundamental es el de fluxión, la velocidad de cambio de una

variable que se considera aumentando o disminuyendo continuamente en el tiempo, pero

en los cálculos lo que realmente interviene es la razón de las fluxiones: “las fluxiones

están en la razón «primera» o «última» de los incrementos nacientes o evanescentes”. Para

Newton la razón primera surge de considerar la razón entre los incrementos, de las

variables x e y, cuando ambos aumentan desde cero. La última razón se obtiene cuando los

incrementos disminuyen ambos hacia cero. Así la razón de las fluxiones es igual a la

última o primera de las razones de los incrementos «nacientes» o «evanescentes».

Anota Grattan–Guinness que aunque el concepto de límite está implícito en este

razonamiento, no se resuelve la cuestión de la existencia de la razón última o primera:

[...] la formulación dada, tal como lo está, deja importantes resquicios a la duda, ya que

en tanto los incrementos existen, su razón no es su razón última, y cuando han dejado

de existir no tiene ninguna razón entre sí en absoluto. Así, pues, también se presenta

aquí una cuestión de fundamentos a saber:

FQ 3: ¿Existen las razones primeras o últimas?

(Grattan-Guinness, 1984, p.118)

Conviene destacar los elementos teóricos que se maneja en el trabajo de Newton.


186

El concepto de función es implícito y el cálculo se aplica a curvas y no a funciones

como relación entra variables numéricas. Las curvas son el equivalente a nuestras

funciones.

El concepto de variable se entiende como las cantidades que cambian con el tiempo

de manera continua y no como valores de un conjunto numérico.

El concepto de infinitesimal, se percibe como una cantidad variable que aumenta o

disminuye respecto al tiempo.

El concepto del continuo no es tratado matemáticamente, se elude introduciendo

como sustituto el movimiento ligado a la experiencia perceptiva, como lo había hecho

Aristóteles para eludir el problema del infinito y del continuo numérico.

El concepto de límite es implícito

La continuidad es un concepto implícito que se percibe, en el sentido que las curvas

continuas son aquellas que se representan por un solo trazo. Es un concepto global,

geométrico y tiene un carácter temporal. Su estatuto es protomatemático.

1.5.4 Gottiferd Wilhein Leibniz (1646-1716)

El competidor de Newton en la creación del cálculo fue Leibniz. Si visión del cálculo

fue diferente a la de Newton. Una explicación de las diferencias que no de los elementos

teóricos a su alcance, puede ser según Boyer, debida a las formaciones diferentes de su

pensamiento. El uno, Newton, científico. El otro Leibniz, abogado y filósofo.

Las ideas centrales de Leibniz en la concepción de su cálculo son:

1. Una concepción filosófica que le lleva a indagar más por los métodos que por los

resultado. Su interés es encontrar un simbolismo adecuado que permita encontrar

procedimientos y fórmulas generales.

2. El descubrimiento de la propiedad de la suma de términos de sucesiones constituidas

por diferencias de términos consecutivos de una sucesión dada. b1a1a2 , b2a2a3 ,

b3a3a4 .,...y la suma se calcula directamente por

b1b2b3 ...bn a1 an1

3. La comprensión que el problema de las cuadraturas es un problema de suma de

sucesiones y es el problema inverso de encontrar la recta tangente, entonces éste

último es un problema de diferencias de una sucesión

La forma como aplicó estas ideas directrices para crear el calculo se puede observar

en el siguiente comentario que extraemos de Grattan-Guinness (1984, pp. 83-93). En la

gráfica que se presenta a continuación, Leibniz define una sucesión de ordenadas

equidistantes y.

C

Y1

Y2

Y3

Y4

Y5

0 1 1 1 1 1 1 B


187

Si su distancia es 1, la suma de las ordenadas da una aproximación de la cuadratura de

la curva y la diferencia entre dos ordenadas sucesivas nos da aproximadamente la

pendiente de la correspondiente tangente

Más aún cuando más pequeña se elija la unidad 1, mejor es la aproximación. Leibniz

dedujo de esto que si la unidad pudiera ser tomada infinitamente pequeña, estas

aproximaciones se harían exactas; en este caso la cuadratura sería igual a la suma de las

ordenadas, y la pendiente de la tangente sería igual a la diferencia de las ordenadas

sucesivas. De esta manera, de la reciprocidad de las operaciones de tomar sumas y

diferencias, sacó Leibniz la conclusión de que las determinaciones de cuadraturas y de

tangentes eran también operaciones inversas la una de la otra. (Grattan-Guinness, 1984,

p.85-86)

En este planteamiento general se ve que Leibniz seguiría un cálculo infinitesimal. De

esta manera encontró las reglas básicas de diferenciación e integración e introdujo un

simbolismo apropiado para ejecutar los procedimientos. Así, asignó los símbolos «d» para

la diferencial y «∫» para la suma o integración como más tarde los hermanos Bernoulli

denominarían a la operación, caracterizo la relación inversa de estos símbolos y algunas

reglas para utilizarlos.

Los conceptos de continuidad y límite aparecen implícitos en los procedimientos

infinitesimales del cálculo de Leibniz. Trataremos de expresar un resumen de éstos

conceptos que aparecen relacionados en la concepción de los diferenciales y sus

transformaciones que involucran el infinito.

La diferencial de un variable es la diferencia infinitamente pequeña entre dos valores

sucesivos de la variable. También definió la diferencial (ver Grattan-Guinness, 1984,

pp. 95-96) geométricamente. Introduce un segmento finito dx como se muestra en la

gráfica

Y define el dy como el segmento que satisface la proposición

y: dy:dx

siendo la longitud de la subtangente, o equivalentemente

ydy dx

Es decir el diferencial dy es un segmento finito.

El principio de continuidad. Leibniz nunca pudo explicar el paso de las razones

diferenciales finitas a las razones infinitesimales, pero era consciente de que esto

plantea el problema de existencia de las cantidades infinitamente pequeñas, no

obstante él se aferraba a que su cálculo estaba justificado por la aplicación de

consideraciones matemáticas ordinarias bien conocidas y correctas. Afirmaba que era

A B

C

dx

x

y


188

«innecesario volver atrás y caer en las controversias metafísicas como las de la

composición del continuo»11

: Sin embargo, convocado a explicar la transición de las

magnitudes finitas a infinitesimales, él recurrió aun principio cuasi-filosófico conocido

como la ley de la continuidad. [...] Este “postulado” lo expresó Leibniz, en una carta a

Bayle en 1687, como sigue: «en cualquier supuesta transición que acaba en un término,

es válido elaborar un razonamiento general en el que el término final esté incluido»12

(Boyer, 1959, p.217)

Y comenta Boyer, que en la manipulación de los cálculos Leibniz aplica la ley o

postulado de continuidad cuando dice:

«la diferencia no se asume cero hasta que el cálculo es purgado tanto como sea posible

por omisiones legítimas, y reducido a razones de cantidades no evanescentes y

finalmente llegamos al punto donde aplicamos nuestros resultados al último caso»13

–

ostensiblemente por la ley de la continuidad. (Boyer, 1959, p.217 -218)

Claramente Leibniz ha establecido un principio que permite obtener lo continuo a

partir de lo discreto y a través de procesos infinitos. Dicho de otra manera, el principio de

continuidad justifica el proceso de límite, como anota Boyer:

Leibniz justificó la condición de límite por la ley de la continuidad, mientras que los

matemáticos han mostrado desde entonces que la última debe ser ella misma definida

primero en términos de límites. (Boyer, 1959, p.218)

Este hecho resulta significativo desde la perspectiva de nuestra investigación, pues

muestra cómo una idea tan general y abstracta como la «ley de continuidad», permitió

“justificar” los resultados básicos del cálculo que implícitamente contenían el paso al

límite, no obstante ser concebida como un principio de «razón suficiente» más allá de la

experiencia sensible. Por otro lado, Newton al apelar a su «primera» y «última» razón

sugerida por la percepción física, implícitamente invocaba el principio de continuidad de

Leibniz.

El concepto de infinito. En Leibniz, la concepción de lo infinitamente grande y lo

infinitamente pequeño está ligada a su principio de continuidad y a veces da la

impresión de admitir el infinito actual, aunque Boyer (1959, p. 214-216) afirma que

esta posición no fue consistente ni clara. Por ejemplo, en 1695 en el Acta eriditorum,

al responder a las críticas respecto a los infinitesimales, formuladas por Niewentijdt,

Leibinz afirma que después de todo las frases “infinito” e “infinitesimal”

«significan meramente cantidades que se pueden tomar tan grandes o pequeñas como

se desee para mostrar que el error en que se incurre es menor que cualquier numero que

pueda fijarse de antemano –esto es que no hay error» 14

(Boyer, 1959, p.219)

Aquí la posición corresponde en “algo como Aristóteles había mirado lo infinitamente

pequeño como potencial solamente” (Boyer, 1959, p. 215) y agrega:

Sin embargo, él reiteró que uno puede usar éstos “entes últimos” –esto es, como

cantidades actuales infinitas e infinitamente pequeñas– como un instrumento, «en la

misma forma en que los algebristas utilizan las raíces imaginarias con gran provecho»15

(Boyer, 1959, p.219)

Admitiendo, así, un infinito actual y adicionando “como cantidades” (números) los

infinitesimales y el infinito.

11

Leibniz y Bernoulli, Commercieum philosophicum et mathematicum, I, 402 ff. (citado por Boyer, 1959) 12

Leibniz, Early Mathemathical Manuscripts, pp. 147 (referncia en Boyer, 1959) 13

Leibniz, Early Mathemathical Manuscripts, pp. 151-52 (referencia en Boyer, 1959) 14

Philosophische Schritten, VI, 90. (citado en Boyer, 1959, p. 215) 15

Mathematische Schritten, V, 407. (citado en Boyer, 1959, p. 215)


189

El concepto de continuo. Leibniz relaciona el problema del infinito y el continuo,

extendiendo

[...] el continuo de Arquímedes a un continuo no arquimediano mediante la adición de

infinitesimales y de números infinitamente grandes. La teoría de Leibniz fue la

dominante hasta la revolución weierstrassiana. (Lakatos, 1981, p. 73)

La continuidad de las curvas descansa en su principio metafísico de la “ley de

continuidad” que expresa:

«en cualquier supuesta transición que acaba en un término, es válido elaborar un

razonamiento general en el que el término final esté incluido»

Las curvas continuas, son integradas por sumas de diferencias infinitamente pequeñas de

valores continuos. Leibniz recurre entonces a la idea de los “entes últimos”, sugeridos por

la ley de continuidad, que se conservan por una misma ley. El carácter de esta concepción

es metafísico y su estatuto protomatemático.

La palabra “función”, según Youschkvith, es mencionada por primera vez en la obra

«Methodus tangentium inversa, seu de fonctionibus», escrita por Euler en 1684. Pero,

cita a D. Mahnke, que afirma que:

«Leibniz no utiliza todavía la palabra función para designar la relación formal que une

la ordenada de un punto de una curva a su abscisa, pero, el tiene el espíritu del concepto

general de función que designa por la palabra “relación”» (Youschkevitch, 1976, p. 30)

por tanto el concepto de función es implícito en la obra de Euler.

Una vez Newton y Leibniz establecieron las bases del cálculo quedó por realizar la

tarea de su desarrollo y fundamentación.. Esta labor fue emprendida por varios

matemáticos como l’Hôpital, los hermanos Bernoulli, Jean Le Rond d’Alambert y muchos

otros, pero en concepto de Grattan-Guinness, fue en gran medida obra de Leonard Euler.

1.5.5 Leonard Euler (1701-1783)

Euler no sólo contribuyó con conceptos y métodos nuevos sino que ordenó y unificó

el nuevo campo matemático en tres grandes obras: Introductio in analysin infinitorum

(introducción al análisis de los infinitos, 1748), Institutiones calculi differentialis (tratado

sobre el cálculo diferencial, 1755) e Institutiones calculi integralis (tratado sobre el

cálculo integral, 1768-1770)

Si bien en el principio el cálculo era inseparable de la geometría, de tal manera que en

la época de los Bernoulli y de l’Hôpital,

el cálculo consistía en una colección de métodos analíticos para resolver problemas

sobre curvas y los objetos principales que se manejaban eran cantidades geométricas

variables tal como aparecían en esos problemas (Grattan-Guinness, 1984, p.102)

Sin embargo, en la medida que los problemas que se abordaron se volvieron más

complicados y las fórmulas más intrincadas, el origen geométrico de las variables se fue

haciendo más remoto y así el cálculo se fue convirtiendo en un trabajo sobre fórmulas. En

esta transición del cálculo inseparable de lo geométrico al cálculo que se ocupa de

funciones, los libros de Euler desempeñaron un papel fundamental. En la Introductio, se

define por primera vez en una obra el concepto de función. Para Euler este concepto es el

organizador de todos los demás conceptos del cálculo. Boyer afirma que:

Euler fue el primer matemático que dio prominencia al concepto de función y realizó

un estudio sistemático y clasificación de todas las funciones elementales, junto con sus

diferenciales e integrales. (Boyer, 1959, p.243)


190

Similarmente, Youschkevitch, comenta que la primera definición explícita de función

aparece en un artículo de J. Bernoulli: Remarques sur ce qu’on a donné jusqu’ici de

solutions des problèmes sur les isopérimetres publicado en las memorias de la Academia

Royal de Ciencias de París en 1748.

Definición. Se llama función de una grandeza variable a una cantidad compuesta de

manera arbitraria por esa grandeza variable y constantes

Euler en su obra “Introducutio in anlysis infinitorum”, escrita en 1744 pero publicada

en 1748 introduce el concepto de función comenzando por definir las nociones iniciales.

Según Euler, una constante es una cantidad definida tomando siempre el mismo valor,

mientras que una variable es introducida como un conjunto (a veces un subconjunto) de

números complejos.

Una cantidad variable, escribe Euler, es una cantidad indeterminada o, si se

prefiere, una cantidad universal, que comprende todos los valores

determinados.

De ese modo, prosigue él, una cantidad variable comprende todos los

números en ella misma, tanto positivos como negativos, los números

enteros y fraccionarios, aquellos que son racionales, trascendentes,

irracionales. No se debe excluir el cero ni los números imaginarios

En su definición de función, Euler sigue, una vez más, a su maestro J. Bernoulli

reemplazando siempre la palabra “cantidad por “expresión analítica”:

«una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta

de una manera arbitraria por esa variable y por números o cantidades

constantes» 16

[...] esta definición tiene el inconveniente formal de no considerar las constantes como

funciones de pleno derecho. (Youschkevitch, 1976, p. 36)

El término “analítica” indicaba las operaciones admisibles en la expresión. Estas eran

las operaciones algebraicas usuales e incluían los procesos de paso al límite. La

importancia de la definición es que señala claramente cuales son las operaciones por las

que se obtienen funciones. Así, esta definición incluye, los polinomios, las funciones que

se obtienen por series infinitas, y las funciones trascendentes, además los coeficientes

constantes pueden tomar valores complejos.

Conviene una precisión. La noción de “definición analítica” sufrió una lenta

institucionalización. Primero, debido a que en principio las funciones se manejaban

intuitivamente, y de algún modo experimental, en las aplicaciones en las que intervenían

cantidades variables. Y, segundo, por la confusión introducida por Descartes que expulsó

de la geometría toda curva que no tuviera una definición analítica precisa, restringiendo el

término analítica únicamente a las operaciones algebraicas como procedimientos válidos

en tal definición.17

Sin embargo,

[...], poco a poco, y a veces por caminos muy indirectos diversas operaciones

trascendentes, el logaritmo, la exponencial, las funciones trigonométricas, las

cuadraturas, la resolución de ecuaciones diferenciales, el paso al límite, la sumación de

series, van adquiriendo el derecho de ciudadanía, sin que sea fácil para cada una de

ellas indicar el momento preciso en que se da el paso ; además, el primer paso hacia

adelante es seguido de un paso hacia atrás.

[...] Para encontrar la noción general de expresión analítica hay que llegar hasta

Gregory, que la define en 166718

como una cantidad que se obtiene a partir de otras

16

Itroductio in analysin infinitorum , 1784, Vol I, p.4. (cittado por Grattan-Guinness, 1984, p.102) 17

Bourbaki, 1 18

Christiani Hugenii, Zullichemii Philophi vere magni, Dum viveret Zelemii Toparchae, Opera..., 4 tomos en 1 vol.,

Lugd, Batav., 1751. (p 413)


191

cantidades mediante una sucesión de operaciones algebraicas «o de cualquier otra

operación imaginable», e intenta precisar esta noción en su prefacio19

, explicando la

necesidad de añadir a las cinco operaciones del álgebra20

una sexta operación, que no es

otra cosa en definitiva que paso al límite. (Bourbaki, 1972. pp. 267 -268)

Realizada esta importante precisión volvamos a nuestra historia. Euler pensaba que la

forma más general y mejor para expresar una función analítica era la serie infinita de

potencias enteras. Ante la imposibilidad de probar esta creencia, él solicitaba un contra

ejemplo en la seguridad que era inexistente.

Efectivamente, la gran mayoría de las funciones utilizadas en la época de Euler eran

analíticas (en nuestra acepción del término) en su dominio de definición completo,

salvo, posiblemente, en valores aislados del argumento y, en estos casos particulares,

podían ser desarrollados tomando potencias fraccionarias o negativas del argumento.

(Youschkevitch, 1976, p. 39)

Esta creencia, que lleva a admitir que toda función se podía representar en una serie

de potencias de la variable independiente fue compartida por los matemáticos de la época,

como lo señala Youschkevitch:

Lagrange intentó igualmente probar que, generalmente, las potencias que intervienen

son los enteros positivos, mientras que las potencias fraccionarias o negativas no

pueden intervenir sino solamente en los casos correspondientes a los valores

correspondientes a los valores aislados particulares del argumento (Youschkevitch,

1976, p. 40)

En consecuencia con esta visión algebraica de función, la atención de los matemáticos

en el estudio de éstas se focalizó en las formas de representación más que en una relación

entre variables en la cual la variable dependiente debe ser determinada unívocamente por

la variable independiente.

Respecto a la continuidad de una función en Euler y sus contemporáneos era una

noción centrada en la forma, es decir, en su representación algebraica (analítica), más que

referida a una propiedad numérica entre las variables.

Por función continua, Euler, como Leibniz y otros pensadores del siglo XVII, entendía

una función especificada por una fórmula analítica; su término «continua» significa en

realidad «analítica» para nosotros, excepto en lo que se refiere a una discontinuidad

excepcional como en y=1/x. (Kline, 1992, p.540)

Para Euler la continuidad se identificaba por la invariabilidad de la ley analítica en

todo el dominio de definición de la función. En tanto que, la discontinuidad implicaba un

cambio de la ley analítica. Euler llamó, por esta razón, “mixtas” a las curvas discontinuas,

para significar que estaban definidas por más de una ley analítica.

Youschkevitch (1976, pp. 40-47) afirma, que debido a los argumentos de naturaleza

física respecto a la solución del problema de la cuerda vibrante, se llegaba a que las

soluciones generales de la ecuación en derivadas parciales, no se pueden expresar por una

única ley analítica. A este resultado había llegado D’Alambert en 1746 y el propio Euler

en su artículo “Sobre la oscilación de cuerdas” de 1748, había propuesto que en la

solución pueden ser admitidas las curvas de forma arbitraria; es decir, las funciones que no

pertenecen a la clase de funciones “mixtas” y generalmente, según Euler, no se acomodan

a ninguna ley analítica. Se requería entonces una precisión de aquello que se entendía

19

Idem, pp. 408-409. 20

Se trata de las cuatro operaciones racionales y de la extracción de raíces de orden cualquiera; J. Gregory no dejó

nunca de creer en la posibilidad de resolver por radicales las ecuaciones de todos los grado. (nota de Bourbak i)


192

como función. Euler, observa entonces que su definición de función de la Introuctio que

sólo admitía como tales a las expresadas por una ley analítica era demasiado restrictiva

pues dejaba fuera las curvas arbitrarias.

En el prefacio de su «Institutiones calculi differentialis», Euler modifica la definición

de función que había dado en el volumen I de la Introductio expresando noción en

términos de la relación entre las variables:

Si unas cantidades dependen de otras de tal modo que sufren una variación cuando

estas últimas varían, entonces se dice que las primeras son funciones de las segundas;

esta denominación es la más extensa y contiene en ella misma todas las maneras por las

cuales una cantidad puede ser determinada por las otras. Si, por consiguiente, x designa

una cantidad variable, entonces todas las otras variables que dependan de x no importa

de qué manera, o que son determinadas por x, son llamadas funciones de x.

Esta definición es más amplia e incluye las funciones “mixtas” y en general funciones

arbitrarias. No obstante que esta definición libera el concepto de función de la focalización

algebraica, facilitando el acceso al paso al límite como método aplicado a las funciones, la

definición original del concepto es tan fuerte en Euler que, como anota Youschkevitch,

Sin embargo, en la misma obra, consagrada al cálculo diferencial, sólo son

consideradas las funciones analíticas, estado de hecho que permite a Euler pasar de la

utilización del concepto de límite de una función (mencionado una sola vez en el

prefacio), apoyándose en un curioso «cálculo de ceros» (Youschkevitch, 1976, p. 49)

Respecto a la continuidad, en la memoria “De usu functionum discontinuarum in

analysi” escrita en 1763 pero publicada en 1767, define la continuidad utilizando

imágenes geométricas como comenta Youstchkevith:

[...],suponiendo no solamente que la relación entre las coordenadas de todos los puntos

de una tal curva [continua] están determinados por una sola y la misma ley o ecuación,

pero también que:

«Todas las partes de la curva [continua] sean unidas por la línea lo más

estrechamente posible, a fin de hacer imposible todo cambio en ellas sin

desordenar la línea de continuidad »

[...]. En cuanto a las curvas discontinuas Euler las define como:

«Todas las curvas que no son definidas por ninguna ecuación definida, de la

suerte que uno acostumbra a trazar por el movimiento libre de la mano»


Gráficamente esta clasificación de las funciones en continuas y discontinuas sería

Euler: continua discontinua discontinua

Actual: diferenciable continua discontinua

Aquí, el concepto de continuidad es explícito, geométrico y se aplica a curvas o

funciones. La caracterización geométrica de una curva continua se da en términos de

continuidad de los puntos pero sin cambios “bruscos” de su gráfico (en el lenguaje

moderno se diría gráficos continuos y suaves, sin “picos”). La caracterización aritmética

exige que la función esté dada por una sola ecuación y se exceptúan los casos como 1/x.


193

Respecto a los fundamentos del cálculo en la obra de Euler, afirma Boyer, fue “en

extremo elemental”. Él creía que las nociones de lo infinitamente grande o lo

infinitamente pequeño no ocultaba ningún misterio como se pensaba comúnmente. Por

ejemplo, pensaba que las diferencias infinitamente pequeñas son de hecho iguales a cero,

pero pueden tener entre sí razones finitas; en su opinión la igualdad 0n0 implica que 0/0

puede tomar el valor de n en algunos casos, y el cálculo diferencial se ocupa de investigar

los valores de tales razones entre “ceros”.

Esta visión bien pudo servir de base para una interpretación en términos de límites, en

la cual las diferenciales son simplemente variables aproximándose a cero como un

límite. Euler, sin embargo, no procedió de esta manera. (Boyer, 1959, p.244)

Euler rechazó la creencia generalizada, en la época, que los diferenciales eran

cantidades constantes menores que cualquier magnitud asignable y consideró que esta idea

era un “miserable abuso del principio de la razón suficiente”21

El afirmó, como lo había hecho James Bernoulli, que un número menor que cualquier

cantidad dada necesariamente es cero.22

Las diferenciales dx y dy eran por tanto

simples ceros. [...] Leibniz había expresado sugestivamente que los diferenciales

podrían ser considerados como ceros cualitativos, los cuales sin embargo conservan por

la ley de continuidad el carácter de las relaciones de las cantidades finitas de las cueles

ellos eran derivados. (Boyer, 1959, p.244)

Con respecto al infinito, Euler poseía una concepción potencial de infinito. Pero, su

visión era aritmética y no geométrica, el infinito era una cantidad más grande que

cualquier cantidad finita asignable. La suma de la serie de los naturales era infinita, pero

no explica el paso de lo finito (suma finita) a lo infinito. Su idea respecto al infinito era

semejante a la de Wallis y Bernard Fontenelle, quienes usaron el símbolo ∞ para denotar

“aquellas cantidades que tomaban valores más grandes que cualquier cantidad asignable”,

sin preocuparse por encontrar justificaciones metafísicas. Con esta idea se calculaban

potencias infinitas como por ejemplo, ∞∞1

∞ y lo infinitamente pequeño era 1/∞

(Boyer, 1959, p. 241-242)

Puesto que la suma de la serie 123.. puede ser más grande que cualquier cantidad

finita, ésta debe ser infinita y puede ser representada por el símbolo ∞.23

En otro punto

él sugirió que ∞ era una suerte de límite entre los números positivos y negativos, en

este aspecto semejante al número 0. De manera similar él afirmó que la relación a/0∞

debería ser interpretada como que, de ninguna vez infinito puede resultar en una

magnitud finita.24

(Boyer, 1959, p.244)

Este manejo libre del infinito, aplicando operaciones válidas en lo finito, a lo infinito,

llevo a Euler al igual que a sus contemporáneos que manipularon las expresiones infinitas

de la misma manera que las finitas.

Respecto a la variación conceptual del concepto de continuidad que investigamos, se

destaca el hecho del compromiso de Euler con una definición explícita de la continuidad,

que es abstracta y desligada, en parte, de interpretaciones geométricas. Esta idea de un

desarrollo formal del cálculo, se constituye así, en paso necesario para alcanzar las

nociones fundamentales.

21

Cartas a German Princess, II, 61; cf. también Opera omnia, X, 67. (citado por Boyer, 1959, p.244) 22

Opera omnia, X, pp. 70-72. (citado por Boyer, 1959, p.244) 23

Opera omnia, X, 7. (citado por Boyer, 1959, p.245) 24

Opera omnia, X, 75. (citado por Boyer, 1959, p.245)


194

1.5.6 Las Críticas de Berkeley (1685-1753)

El obispo George Berkeley, preocupado25

por la amenaza que planteaba a la iglesia el

mecanisismo y el determinismo que estaban en boga en la época, escribió una fuerte

crítica a la manera como los matemáticos razonaban de manera inductiva y no deductiva

sin dar cuenta de las razones lógicas de sus procedimientos. El título de la obra publicada

en 1734 y que se conoce como “El analista” hace referencia “al matemático infiel” que

era Edmond Halley y describe muy bien el objetivo de sus criticas. El título completo es:

El analista, o Discurso Dirigido a un Matemático Infiel, Donde se Examina si los

Objetos, Principios e Inferencias del Análisis Moderno están Formulados de Manera

más Clara, o Deducidos de Manera más Evidente, que los misterios religiosos y los

Asuntos de la Fe. 26

Destacaremos las críticas más importantes siguiendo la exposición de Grattan-

Guinness (1984, pp. 118-120) y Boyer (1959, p. 226-228). Berkeley cuestiona las

cantidades infinitamente pequeñas, afirmando que se sustentan con ideas vagas y

contradictorias. La crítica es demoledora como se observa en la cita más famosa del “The

Analyst”

Y qué son estas fluxiones? ¿Las velocidades de incrementos evanescentes? ¿Y qué son

estos mismos incrementos evanescentes? No son ni Cantidades finitas, ni Cantidades

infinitamente pequeñas sin ser tampoco una simple nada. ¿No podríamos llamarlos los

Fantasmas de las Cantidades desaparecidas? (The Analyst, p.35)

Consciente del éxito que se alcanzaba en la aplicación de este instrumento teórico,

afirmo que esto era posible por medio de una doble compensación de errores que está

implícita en la aplicación de reglas del cálculo:

Por ejemplo, si uno determina una tangente, entonces supone en primer lugar que el

triángulo característico es semejante al triángulo formado por la ordenada la

subtangente y la tangente, lo cual implica un error porque estos dos triángulos son sólo

aproximadamente semejantes. A continuación aplicamos las reglas del cálculo para

hallar la razón dy/dx, lo cual introduce de nuevo un error, ya que estas reglas han sido

deducidas despreciando diferenciales de orden superior. Estos errores vienen a

compensarse uno con otro, y así el matemático llega «bien que no a la Ciencia, sí a la

Verdad, porque no puede llamarse Ciencia cuando se procede a ciegas y se llega a la

verdad no sabiendo cómo ni por qué medios»27

(Grattan-Guinness, 1984, p.119-120)

En las críticas de Berkeley uno observa la fuerza o resistencia de la concepción del

continuo euclidiano –que caracterizamos en el estudio de lo griegos como Ce –. Esta

concepción de un continuo geométrico, que no admite la divisibilidad infinita debido a que

lo continuo, el espacio y el tiempo, está intrínsecamente sugerido por la experiencia

sensorial; como consecuencia, es inconcebible que en los actos reales se puedan ejecutar

divisiones que agoten un proceso infinito (el infinito es potencial solamente). Así, en la

antigüedad los polígonos que aproximan al circulo nunca lo alcanzan y para justificar el

resultado, que se intuye potencialmente pero no se acepta en rigor, se recurre a la prueba

por exhausción. Por lo demás, todo aquello ligado a los procesos de aproximación infinita,

para ser aceptado como un resultado válido, debería pasar por la prueba de exhausción.

Exactamente esta es la visión que subyace en Berkeley y lo lleva a rechazar el concepto de

velocidad instantánea que se deriva del cálculo de fluxiones de Newton.

25

Kline, 1992, p. 568. 26

Citado por Grattan-Guinness, 1984, p. 118 27

The Analyst, 1734, p. 22


195

Así, Berkeley argumenta que el concepto de velocidad depende de intervalos de

espacio y tiempo y que es imposible concebirla como una velocidad instantánea, i. e.

como una velocidad en la cual esos intervalos son cero. Su argumento es, por supuesto,

absolutamente válido para mostrar que la velocidad instantánea no tiene realidad física,

pero esto no es razón por la cual, si se define propiamente o se toma como una noción

indefinida, no se pueda admitir como una abstracción matemática. (Boyer, 1959, p.

227)

Claramente, en el marco de una concepción aristotélica o escolástica, los métodos

infinitesimales de Newton y Leibniz que implican divisibilidad infinita y exigen un

continuo no geométrico y un infinito actual no tienen aceptación.

[...] Berkeley, el idealista extremo, deseó excluir de las matemáticas la “inconcebible”

idea de velocidad instantánea. [...] Él aceptó los indivisibles de Cavalieri, pero insistió

en que ellos eran un número finito, afirmando que la divisibilidad infinita era sólo una

ficción, y que las magnitudes infinitamente pequeñas son inconcebibles, porque ellas

implican la existencia de una extensión sin percepción de la mente a través de los

sentidos. Berkeley fue incapaz de apreciar que las matemáticas no eran un asunto con

un mundo «real» (Boyer, 1959, p. 227)

El reconocimiento de la necesidad de justificar matemáticamente los métodos

infinitesimales generada por las críticas de Berkeley, impulsó el trabajo de

fundamentación que ocuparía a los matemáticos en la siguiente centuria y que establecería

las bases de Análisis.

1.5.7 Conclusiones sobre los Progresos en la Solución del Problema del Continuo

durante los siglos XVII-XVIII

Se produce la ruptura definitiva del paradigma aristotélico respecto a la relación

entre la cualidad y la magnitud. Los griegos intentaron separar y contrastar lo

cualitativo y lo cuantitativo. La representación geométrica permitió asociar estas

categorías, poniendo en evidencia que aún una explicación cuantitativa está sujeta a

nociones sensoriales de tamaño, longitud, duración, etc. Recíprocamente, la

explicación de lo cualitativo pasa a través de lo cuantitativo. Gracias a esta ruptura, el

estudio del movimiento y la variación pueden ser ahora realizados cuantitativamente

surgiendo la convicción de que la matemática es de alguna forma independiente del

razonamiento experimental e intuitivo.

Gradualmente se superan las resistencias de aceptar el álgebra como instrumento

para generar nuevas curvas y estudiar sus propiedades geométricas. De aquí en

adelante, las propiedades geométricas se podrán formular algebraicamente y,

recíprocamente, problemas algebraicos podrán ser interpretados geométricamente. De

esta manera, la geometría analítica junto con el refinamiento de los símbolos en el

álgebra se convertía en un instrumento eficaz para la obtención de relaciones

abstractas por medio del razonamiento deductivo.

El desarrollo del método de las coordenadas de Fermat y Descartes permitió

establecer una correspondencia intuitiva entre un continuo geométrico constituido por

puntos de la recta, el plano o el espacio y un continuo numérico que se suponía que

existía y se aceptaba como un hecho necesario.

Los indivisibles son interpretados como cantidades infinitamente pequeñas, en

ocasiones constante y en otras como cantidades que aumentan y disminuyen

gradualmente con respecto al tiempo.


196

El empleo de las técnicas infinitesimales plantean el debate sobre la existencia de los

indivisibles y su relación con el continuo geométrico. No obstante que los métodos

permitían alcanzar resultados satisfactorios, no se pudo explicar matemáticamente

este paso de lo finito a lo infinito o de lo discreto a lo continuo.

El concepto central del cálculo en Newton Leibniz y Euler es la diferencial. Para

Leibniz la diferencial es una diferencia infinitamente pequeña entre valores sucesivos

de la variable. En L’Hopital, son valores creciendo o decreciendo de manera continua

y entonces las diferencias son las partes infinitamente pequeñas en que aumentan o

disminuyen. En newton son los equivalentes a éstas diferenciales que el denomina

«momentos» definidas como cantidades infinitamente pequeñas.

El concepto de límite está implícito en los trabajos de Newton y Leibniz, pero se

aplica a cantidades variables y no a funciones. Su estatuto es paramatemático.

Los objetos a los que se aplica el cálculo son curvas sin considerar explícitamente

una relación funcional entre variables las cuales eran consideradas como cantidades

susceptibles de aumento o disminución y no como valores de un conjunto numérico.

El concepto de función tanto en Newton como en Leibniz es implícito y es Euler

quien descubre la importancia de considerar las funciones y no simples variables

como los objetos a los que se aplica el cálculo.

El continuo numérico sigue siendo inteligible y se elude su justificación matemática

de dos maneras. Newton apelando al continuo sugerido por el movimiento físico y

Leibniz postulando su ley de continuidad, basada en una razón necesaria y sin acudir

a la sugerencia de los sentidos. La estructura del continuo en Leibniz, además de

contemplar los números reales incluye los infinitesimales y los números infinitamente

grandes. Esta concepción permanecerá como dominante hasta Weierstrass.

El infinito es en ocasiones potencial y en otras actual

El concepto de función. Recordemos que el concepto de función tiene hasta el inicio

de este período un estatuto paramatemático. J. Bernoulli, en 1748, define por primera

vez el concepto de función:

«Definición. Se llama función de una grandeza variable a una cantidad compuesta de

manera arbitraria por esa grandeza variable y constantes»

Euler, en el mismo año, destaca la importancia del concepto de función y lo define

siguiendo a Bernoulli sustituyendo el término “cantidad” por “expresión analítica”:

una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de una

manera arbitraria por esa variable y por números y cantidades constantes

El término “expresión analítica” indica las operaciones admisibles en la formación de

funciones y fue definida por J. Gregory en 1667:

[...] como una cantidad que se obtiene a partir de otras cantidades mediante una

sucesión de operaciones algebraicas «o de cualquier otra operación imaginable», e

intenta precisar esta noción en su prefacio28

, explicando la necesidad de añadir a las

cinco operaciones del álgebra29

una sexta operación, que no es otra cosa en definitiva

que paso al límite.

28

Ídem, pp. 408-409. 29

Se trata de las cuatro operaciones racionales y de la extracción de raíces de orden cualquiera; J. Gregory no dejó

nunca de creer en la posibilidad de resolver por radicales las ecuaciones de todos los grado. (nota de Bourbaki)


197

Posteriormente y como respuesta a las cuestiones originadas a raíz del problema de la

cuerda vibrante, define la noción de manera más general en términos de la relación

entre las variables:

Si unas cantidades dependen de otras de tal modo que sufren una variación cuando

estas últimas varían, entonces se dice que las primeras son funciones de las segundas

El concepto de función durante este periodo ha adquirido, así, un estatuto matemático.

El concepto de continuidad de una función que en la concepción C(P) tenía un

estatuto protomatemático se hace explícito, y se consideran como tales las funciones

que están dadas por una única fórmula analítica (nuestras funciones diferenciales).

Posteriormente Euler proporciona una caracterización geométrica de continuidad.

Una curva es continua, cuando:

Todas las partes de la curva [continua] sean unidas por la línea lo más

estrechamente posible, a fin de hacer imposible todo cambio en ellas sin

desordenar la línea de continuidad

En tanto que se consideran discontinuas aquellas que se definen por varias

fórmulas para dominios diferentes.

Todas las curvas que no son definidas por ninguna ecuación definida, de la

suerte que uno acostumbra a trazar por el movimiento libre de la mano

La noción de continuidad se aplica a curvas y funciones, es global, aritmética y

geométrica. Su estatuto ahora es paramatemático. Denominaremos a esta definición

«concepción euleriana de continuidad» y escribiremos C(E) en lo que sigue, para

hacer referencia a ella.

Las críticas por la falta de fundamentación del cálculo lleva a plantear las siguientes

preguntas30

:

P3 :¿Existen las cantidades infinitamente pequeñas?

P4 :¿Se puede garantizar que es seguro el uso de cantidades infinitamente

pequeñas en el cálculo?.

P5 :¿Existen razones primeras y últimas?.

Estas preguntas constituyen verdaderos replanteamientos de los desarrollos a

P2 : ¿Existen realmente los indivisibles?

planteada al final de la Edad Media.

Todas estas cuestiones no son más que desarrollos del problema que plantearon

los griegos


que como hemos visto, los éxitos en el uso de los infinitesimales en el estudio de la

variación –en la Edad Media, Renacimiento y en los siglos diecisiete y dieciocho–

plantean de más en más, la necesidad de dar una respuesta a esta importante pregunta para

así poder fundamentar una de las invenciones teóricas más importantes de la historia

humana, el cálculo.

30

Ver sección 1.2.5.

Definición de los conceptos fundamentales (1780-1880)

198

1.6 DEFINICIONES DE LOS CONCEPTOS FUNDAMENTALES DEL CÁLCULO

DESDE 1780 A 1880

Las críticas de Berkeley dieron comienzo al período de fundamentación del calculo

que tomaría una centuria en realizarse. Los cambios centrales respecto a las ideas

fundadoras consisten en considerar las funciones como objeto del cálculo y la derivada

como concepto central, entendiendo por derivada una función que se obtiene por un paso

al límite. Pero es precisamente el concepto de límite (implícito en los fundadores) el que

será parte de la solución de las preguntas fundamentales31

que anteriormente planteamos.

Sin embargo, creemos, bien pudo ser el concepto de continuidad de una función en un

punto el concepto base del cálculo. Nuestra hipótesis se apoya en los trabajos de Lagrange

que comentaremos a continuación.

1.6.1 Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

Lagrange reaccionó ante la idea de compensación de errores de Berkeley tratando de

evitar el uso de aquellos elementos del cálculo que se manipulaban convenientemente para

obtener resultados correctos. En 1759, comunica a Euler su intención de desarrollar un

programa en el cual el cálculo se fundamente en un método algebraico que, según él,

[...] sea el más claro y más simple que se haya dado: esto es, como puede verse,

independiente de toda metafísica y de todas las teorías del infinitamente pequeño o

cantidades evanescentes (límites)....

Lagrange, en un artículo de 177232

expone por primera vez la idea de definir la

derivada únicamente utilizando procedimientos algebraicos. Más tarde en su Théorie des

functions analytiques (1797, Euvres, 9), intentó reconstruir los fundamentos del cálculo

infinitesimal, el título de la obra descubre sus intenciones: «Teoría de las funciones

analíticas. Conteniendo los principales teoremas del cálculo diferencial sin hacer uso de lo

infinitamente pequeño, ni de cantidades evanescentes ni de límites o fluxiones, y reducido

al arte del análisis algebraico de las cantidades finitas»

Antes de mirar la idea de derivada de Lagrange, reseñaremos las definiciones de los

conceptos relacionados que están explícitos en la obra.

La definición de función de Lagrange es similar a la que ya habían formulado Jean

Bernoulli y Euler, que reconocían como tal a las expresiones analíticas formada, de modo

arbitrario, a partir de una cantidad variable y constantes. Dicho de otro modo, una función

es una combinación de variables y constantes por medio de operaciones en una expresión.

Lagrange definió función de la siguiente manera:

Lamamos función de una o de varias variables a cualquier expresión del cálculo en la

que entran dichas cantidades de una manera arbitraria... La palabra función fue utilizada

por los primeros analistas para denotar las potencias de una cantidad en general. Desde

entonces el significado de la palabra se ha extendido para designar cualquier cantidad

formada de manera arbitraria a partir de otra cantidad... 33

y las funciones continuas lo eran en el sentido de Euler, es decir expresiones algebraicas

analíticas.

31

Ver Grattan-Guinnes, 1984, pp. 116-120. 32

Nouv. Mém. de l’Acad. de Berlin, 1772, pub. 1774, ( Euvres, 3 441-476) 33

Lagrange, J. 1813, Théorie des functions analytiques , (segunda ed.). [Cit. por Grattan-Guinness, 1984. p. 133]


199

Lagrange estaba convencido que toda función se podría desarrollar en una serie de

Taylor

f(xh) f(x) phqh2rh

3... (1)

donde los coeficientes p , q ,r ,... eran las funciones derivadas. Lagrange añadía que estos

coeficientes podían ser calculados por métodos que están libres de las consideraciones de

paso al límite.

Mediante un argumento un tanto complicado pero puramente formal, Lagrange

concluye que podemos obtener 2q de p del mismo modo que obtenemos p de f(x), y que

una conclusión análoga se tiene para los demás coeficientes, r, s,... de (1). De aquí, si

notamos p por f ’(x) y designamos por f’’(x) la función derivada de f ’(x) como f ’(x) se

deriva de f(x) entonces

1 1'( ), ''( ) '''( ),....

2! 3!p f x q f x r f x

de donde (1) da 2

( ) ( ) '( ) ''( ) ...2!

hf x h f x hf x f x

[...] A Lagrange le resta todavía mostrar cómo deriva p o f ’(x) de f(x). Para ello, utiliza

(1) despreciando todos los términos después del segundo. Así, pues, f(x+i)-f(x)=pi,

divide por i y concluye que p=f ’(x)” (Kline, 1992, p. 574)

La afirmación, de Lagrange, que toda función se podría expresar en una serie de

Taylor llevó al abandono de su programa y dejó de ser considerado como una opción para

la fundamentación del cálculo. En efecto, Cauchy en 1852,

[...] dio un ejemplo de una función derivable que, sin embargo, no admite

representación en serie de Taylor alrededor de cero; tal función es:

21/ 0( )

0 0

xe xf x

x

puesto que la función y todas sus derivadas son cero en x 0. (Farfán, 1997. p. 53)

Y, a continuación observa Farfán que:

Sin embargo, Lagrange logra demostrar los teoremas básicos del cálculo y obtiene las

funciones derivadas para funciones sencillas del tipo que nosotros utilizamos en el

bachillerato; por esta razón resultaría interesante probar un acercamiento lagrangiano

en nuestros cursos de este nivel (Farfán, 1997. p. 53. La cursiva es nuestra)

Lo destacado en cursivas es importante, porque encontramos una coincidencia con

nuestro punto de vista. Nosotros consideramos perfectamente viable un tratamiento en esta

dirección utilizando una definición que denominamos derivada de Carathéodory (Delgado,

1992).

Haremos un pequeño paréntesis en la exposición para relacionar la idea de Lagrange

y el problema del cálculo de su derivada, con la definición que siglo y medio después

formula Carathéodory y que no exige el uso del concepto de límite.

Respecto a la última afirmación de Kline, agregamos que Lagrange, posiblemente

tenía en mente la continuidad de la función p en x; pero, obviamente no disponía de una

definición de continuidad que le permitiera definir la derivada, como lo hizo

Carathéodory34

en 1954. En efecto, él utilizó la definición de continuidad y con base en

ella definió la diferenciabilidad de una función en un punto. La caracterización de

34

Carathéodory, C. Theory of Functions of a Complex Variable, Vol. Y, Chelsea, New York, (1954)


200

diferenciabilidad en el sentido de Carathéodory se desprende de observar que la función de

pendientes de rectas secantes (ancladas en el punto (a, f(a)) a la grafica de la función f,

definida por

( ) ( )( )

f x f ax

x a

toma el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en (a, f(a)) si es una

función con una discontinuidad removible en xa. El valor de en a será entonces el valor

de la pendiente de la recta tangente y se llamará la derivada de f en a. Con esta motivación

entonces se puede establecer la siguiente definición de diferenciabilidad:

f es diferenciable en xa si existe una función continua en a y tal que

f(x) f(a) (x)(x a),

Al valor de en a lo notamos f ’(a) (a) (la derivada de f calculada en a).

Como se puede observar, parece que estamos trabajando a la manera de Lagrange, y

en efecto, así fuera excepto por la condición explícita de la continuidad de que es el

coeficiente p de Lagrange. En cuanto al cálculo de derivadas se procede exactamente

como lo hizo Lagrange. Por ejemplo, f(x)xn es diferenciable en xa si existe continua

en a tal que

xn a

n (x)(x a) o sea.

(x a) (xn1

xn2

a... x an2

an1

) (x)(x a)

dividiendo por x – a, se obtiene la función (x) xn1

+ xn2

a... xan2

an1

que es

continua en todo número real. Por tanto, la derivada de f en a es

f ’(a) (a) n an1

Lagrange no estaba tan equivocado respecto a la idea de su programa de

reestructuración del cálculo diferencial. De hecho, nosotros35

en el artículo Fréchet vs.

Carathéodory publicado en 1994 demostramos que, la definición de Carathéodory es

equivalente a la formulada por Fréchet y que la primera ofrece algunas ventajas sobre la

segunda. Finalmente, subrayamos nuestra hipótesis inicial de que en este momento se

presenta el abandono de una línea de desarrollo conceptual, la de la continuidad como basa

de la diferenciación y se inicia el predominio del concepto de límite como noción

fundamental. Aquí, cerramos nuestro paréntesis y volvemos a nuestra historia.

Respecto a la suma infinita, afirma Grattan–Guinness, que Lagrange no estaba muy

satisfecho de sus series de potencias y de hecho su método no tuvo mucha aceptación por

sus contemporáneos. Sin embargo se le reconoce que su trabajo tuvo la importancia de

definir el cálculo como una teoría de las funciones y sus derivadas.

1.6.2 El Concepto de Límite

El otro punto de vista que influiría en la fundamentación del cálculo y que finalmente

sería el dominante es el de la derivada como paso al límite sostenido por Benjamin Robins

y d’Alambert

35

Acosta, E. & Delgado, C. Fréchet vs. Carathéodory, American Mathematical Monthly, Vol 101, 1994.


201

Robins y d’Alambert consideraban los límites de las variables como los valores

limitadores a los que dichas variables se pueden aproximar tan cerca como se quiera.

Así, por ejemplo, d’Alambert explica este concepto en el artículo36

«Límite» ...en los

siguientes términos:

«Una magnitud se dice que es el límite de otra magnitud cuando la segunda

se puede aproximar a la primera en menos que cualquier magnitud dada, por

pequeña que ésta sea, aunque la primera magnitud no pueda superar a la

magnitud a la que se aproxima»

(Grattan-Guinness, 1984, p. 122)

Obsérvese que no se menciona la variable independiente, posiblemente estaba

implícito que ella tomaba valores “infinitamente grandes” puesto que se trataba de

sucesiones donde la variable toma valores en los naturales y además que implícitamente se

asume que la relación entre las variables es monótona.

Durante mucho tiempo, comenta Grattan-Guinness, Robins y d’Alambert impulsaron

la idea de que el concepto de límite era el modo más correcto para resolver los problemas

de los fundamentos del Cálculo; sin embargo, este enfoque era uno más entre otros

planteamientos posibles al problema. Así mismo, él cree que, la razón de la lentitud de

aceptación de esta línea de pensamiento se debió al objeto de aplicación del concepto a

que hacía referencia la definición: cantidades variables.

[...] tanto Robins como d’Alambert consideraron sólo límites de variables; en esta

forma aparecía aún muy poco claro [el concepto de límite], y la oscuridad que

presentaba sólo podía eliminarse una vez que el concepto se aplicase a funciones bajo

condiciones de comportamiento de la variable independiente especificadas de manera

explícita. (Grattan-Guinness, 1984, p. 122-123)

La formulación de esta definición de límite planteó muchos problemas y la idea de

Lagrange de los polinomios de Taylor para obviar el paso al límite no logró interesar a los

matemáticos. Hoy sabemos que este problema de fundamentación era difícil porque el

asunto central del debate es el infinito que interviene en los infinitesimales, los límites, las

diferenciales y las series. La solución del problema aparece cuando se logra alcanzar los

conceptos de función, límite, continuidad y continuo numérico y colocarlos en relación

unos con otros.

El mismo Lagrange, comenta Grattan–Guinness, quizás estaba insatisfecho con su

enfoque, por ello durante el período en que fue director de la sección matemática de la

academia de Berlín, se anunció en 1784 la convocatoria de un premio para «una teoría

clara y precisa de lo que se llama el infinito en matemáticas»37

:

Es bien sabido que la geometría superior emplea frecuentemente lo infinitamente

grande y lo infinitamente pequeño...La Academia, en consecuencia, desea una

explicación de cómo es posible que se hayan conseguido deducir tantos teoremas

correctos a partir de unos presupuestos contradictorios, así como...un principio

verdaderamente matemático que pueda sustituir correctamente al del infinito38

El concurso fue ganado por Simon Lhulier por su estudio sobre limites39

. Él definió el

límite de la misma manera de d’Alambert, introdujo la notación «lim» y demostró que

36

d’Alambert y Diderot, 1765, Límite, Ecyclopaedia, Vol. 9, p. 542 37

Grattan-Guinness, 1984. p. 134 38

Nouveaux mémoires de l’Acedémie Royale des Sciences, Arts et Belles-Lettres (1784, publ. 1786), pp. 12 -13. [cit.

Grattan-Guinness. 1984, p.134] 39

Lhulier, S. 1786, Exposition élémentaire des principes des calculs supérieurs (Berlin)


202

lim

lim ( ) lim ( )( ) ( lim )( lim )lim

nn n

n n n nn n n nn n

n

pp

p q p qq q

y posteriormente

Hizo notar el hecho obvio, pero que aparentemente había pasado desapercibido hasta

entonces, de que el paso al límite no tiene por que ser de una manera monótona


Lo interesante de este trabajo es que Lhullier es que define la derivada como el límite del

cociente de incrementos de las variables dependientes respecto a la variación de la variable

independiente, y el símbolo dydx, dice Lhullier, debe ser leído como un símbolo único.

En este caso, la derivada es una función cuyo valor depende del punto en cuestión.

Irónicamente, sin embargo, la denominó «razón diferencial», lo que suponía un ajuste

bastante desconcertante entre a definición y la terminología. (Grattan-Guinness, 1984,

p. 135)

Este enfoque dominaría en la época y muestra lo difícil que fue superar la tendencia a

relacionar el límite con cantidades variables y no con funciones.

Si bien la obra de Lhullier, como las de otros de sus contemporáneos, alcanzó ciertos

logros estos fueron esporádicos e irregulares y no significaron un progreso significativo en

la solución del problema de la fundamentación. Dos problemas físicos, la cuerda vibrante

y la conducción del calor llevarían a focalizar la atención de los matemáticos en los

conceptos centrales de función, convergencia continuidad y límite.

1.6.3 El problema de la cuerda vibrante

Como ya lo hemos comentado uno de los problemas cuya solución conduciría ha

establecer una teoría de funciones bien fundamentada, fue el problema de la cuerda

vibrante. Este problema consistía en encontrar un modelo matemático para describir el

movimiento vertical de una cuerda elástica, uniformemente densa y con sus extremos

fijos, cuando se produce, inicialmente, un desplazamiento vertical de la cuerda que la hace

vibrar.

En términos matemáticos el problema consiste en encontrar la función de posición de

los puntos de la cuerda en cada instante t. El proceso de matematización del problema,

parte de, la consideración física, pensar la cuerda como compuesta por n masas iguales e

igualmente espaciadas, unidos por una cuerda elástica sin peso. Luego, la consideración

matemática, hace la cuerda continua. Para hacer esto, se hacía tender el número de masa

(m) a infinito mientras decrecía el volumen y la masa de cada una de ellas, de manera que

la masa total de la creciente cantidad de pequeñas masas individuales se aproximase a la

masa de la cuerda continua. El problema se plantea entonces en términos de la solución de

la ecuación diferencial de segundo orden en derivadas parciales:

2 22

2 2

( , ) ( , )y t x y t xa

t x

(1)

donde y es el desplazamiento vertical en el instante t del punto de abscisa x.

Dado que los extremos de la cuerda de longitud L son fijos, la solución de (1) debe de

satisfacer las condiciones de frontera

y(0, t)0 ; y(L, t) 0 (2)


203

y además, si después de tensar la cuerda, en el momento de iniciar su movimiento la

velocidad es cero e yf(x) es la configuración inicial de la cuerda, entonces las condiciones

de contorno de la solución exigen que

0

0

t

y

t

; y(x,0)f(x) (3)

D’Alambert, en 1746, probó que

La solución era

yf(xat) g(xat) (4)

donde f y g quedaban determinadas por las condiciones iniciales. Ahora bien lo que ya

resultaba discutible era el tipo de funciones que podían admitirse en la ecuación (4)


Al considerar las condiciones iniciales (3) la solución (4) se reduce a

y(x, t) f(at x) f(at x) (5)

y, puesto que y(0, t) 0, se tiene que f(at) f(at), por tanto f es una función impar.

También, suponiendo que la cuerda es tensada sobre todo el eje real (, ) y tomando

en consideración que y(L, 0) 0 se tiene que la función f es periódica, con período 2a.

Euler, que en 1748 había obtenido por otros procedimientos la misma solución

general (4) de D’Alambert, discrepó en cuanto a la naturaleza de las funciones admitidas

en las condiciones iniciales.

Respecto al debate sobre el problema de la cuerda vibrante y las soluciones que

alternativamente fueron surgiendo, se puede consultar una bonita exposición en Farfán

(1997, pp. 27-55), en la cual nos apoyaremos en lo que sigue, tomando sólo las partes que

nos interesan para ubicar los elementos centrales de la controversia. Allí, se afirma que,

Euler muestra en su trabajo que puede admitirse una parábola f(x)hx(ax) como la

forma inicial de la cuerda, y ella no es impar ni periódica. Más aún da un método según

el cual pueden admitirse curvas descritas por una infinidad de expresiones analíticas no

idénticas entre sí. Así pues, las curvas discontinuas pueden describir la forma inicial de

la cuerda. (Farfán, 1997, p.33)

Así, el problema cuyo origen fue físico, se convierte en un problema matemático

teórico (P6) que volverá sobre P1 (relación entre lo continuo y lo discreto) que plantearon

los griegos y que en términos de la fundamentación del cálculo se traslado a las cuestiones

P2 P3 P4 P5 que planteamos anteriormente40

P6 :¿Que tipo de funciones f y g se pueden admitir en la fórmula

yf(xat)g(xat) donde y es solución de la ecuación diferencial de la

cuerda vibrante.?

Euler, en 1747, al buscar funciones para su solución que fueran periódicas propuso

2....,

x xsen sen

L L

(a)

considerándola como un caso particular.

40

Ver conclusiones, sección 1.5.7.


204

El hecho de que la serie fuera finita o infinita no es un problema; él sólo se asegura de

las funciones de dicha solución cumplieran con la continuidad y satisficieran a la

ecuación de onda. (Farfán, 1997, p.47)

No obstante, Daniel Bernoulli empleando argumentos físicos obtuvo la misma expresión

trigonométrica, pero a diferencia de Euler la presentó como solución general del problema.

2 2....,

x x xy sen sen sen

L L L

La cual, según Farfán, se toma como “la descripción más general del movimiento” y la

serie es infinita. Pero, como no ha sido deducida matemáticamente,

no existe prueba de la generalidad de que una función sea susceptible de tal

representación; aunado a ello, no existen indicaciones de algún método para calcular

los coeficientes. (Farfán, 1997, p.47)

Esto lleva a Euler a rechazar la supuesta generalidad de la solución argumentando que

todas las curvas comprendidas en dicha ecuación presentarían características que las

distinguen de toda otra curva que no sea periódica e impar como, lo es en efecto, la

función seno. Además, para Euler era claro que si se dan para un instante cualquiera, la

configuración de la cuerda yh(x) y la velocidad yt k(t) en cada punto, entonces el

movimiento quedaría totalmente determinado por las ecuaciones:

h(x) f(x)f(x); 2

1( ) ( ) ( )

x

ok t dt f x f x

c

Por tanto, si la forma dada al comienzo a la cuerda no tiene estas propiedades, no estará

comprendida por la ecuación. La pregunta es ¿qué tan generales son las funciones h y k?.

Según Euler, se deben admitir funciones que, en su terminología son discontinuas, es

decir, en la términos actuales, funciones con picos para incluir los casos en que la

configuración inicial de la cuerda es de la forma:

De acuerdo con estos planteamientos, la solución de Bernoulli no podría ser admitida

como la más general. Los concepciones de Euler que impedían que aceptara la propuesta

de Bernoulli eran las siguientes:

1. Una función que es cero sobre parte del intervalo AB y tiene la forma de la figura

no se puede expresar trigonométricamente, puesto que no tiene naturaleza sinusoidal en el

tramo Aa41

41

Farfán, 1997, p. 49.

B A

A a B


205

2. La función seno es “continua”, su suma infinita, debe conservar esta propiedad y ser

“continua” .

Las dos concepciones son erróneas. La segunda, muy típica de los matemáticos de la

época consiste en trasladar, sin más, las propiedades ciertas en los casos finitos a lo

infinito. Y la primera, está relacionada con la idea de función de Euler –en ese momento

definida como la que se expresa por una única “expresión analítica”– Identificando la

función con la expresión se descuida los aspectos del dominio y la relación entre las

variables. Aspectos estos que son esenciales en la definición moderna de función. Este fue

el caso, de Euler como lo señala Farfán al referirse a la periodicidad, la imparidad y la

objeción Nº 1:

La referencia de Euler hacia el argumento anterior, al que llamamos periodicidad, es

completamente errónea cuando se repara que el análisis del problema se reduce a la

porción AB en que la cuerda es tensada; lo que suceda fuera de AB es irrelevante, a la

vibración de la cuerda, y por tanto, las matemáticas usadas para describirlo. En

consecuencia, las funciones tigonométricas son adecuadas al problema de la cuerda ya

que la relación (a) tiene período LAB. De igual manera, la imparidad del seno es

irrelevante para el problema, ya que se aplica sólo a los reales negativos, no al intervalo

AB. (Farfán, 1997, p.50)

Este error de Euler no es de poca monta,

Pero no es un desliz trivial su error es grande, de la clase que sólo un profundo

pensador podría avanzar lo suficiente en el problema como para cometerlo. Y fue en le

corazón de su nueva teoría de funciones, y mostró la influencia que la vieja teoría

ejercía sobre él... (Grattan-Guinness, 1970, p. 10)

Los interrogantes que plantearon estos debates respecto al problema de la cuerda

vibrante, llevó a la revisión de los conceptos de función, continuidad y límite de la época.

Ya hemos expresado las definiciones más representativas de función (Bernoulli, Euler,

Lagrange), continuidad (Euler) y límite (Robins, d’Alambert). No obstante, los

fundamentos del análisis estaban poco claros como observa en la redacción de los

problemas de concurso propuestos por la comunidad en el siglo XVIII, citados por

Grattan-Guiness42

: respecto a la naturaleza de las funciones que satisfacen una ecuación

diferencial:

En 1817, después de la muerte de Euler...la Academia de San Petersburgo propuso la

siguiente cuestión sobre funciones:

«Si las funciones arbitrarias a las que se llega integrando ecuaciones

[diferenciales] en tres o varias variables, representan cualquier curva o

superficie bien sea algebraica o trascendente, bien sea mecánica,

discontinua o producida por un movimiento voluntario de la mano; o bien si

estas funciones incluyen sólo a las curvas continuas representadas por una

ecuación algebraica o trascendente».

La fraseología de la cuestión muestra bien claro el caótico estado de la teoría de

funciones en aquella época: una colección de términos sacados de varias fuentes,

mecánica, geometría, álgebra y de la materia misma todavía incoherente conocida por

«análisis». La elección misma que ofrece ya de entrada la cuestión también resulta

interesante ¿tendremos necesariamente que nadar en este mar de confusión, o nos

podremos retirar a la seguridad de las curvas continuas representadas por una ecuación

algebraica o trascendente? (Grattan- Guinness, 1984, p 136)

42

Del cálculo a la teoría de conjuntos, 1630-1910. Una introducción histórica. Compilación de I. Grattan-Guinnes,

1980, Alianza Universidad


206

Recordemos que las funciones "continuas" lo eran en el sentido de Euler, es decir las

que para nosotros son diferenciables; en tanto que las funciones definidas por mas de una

expresión algebraica o “arbitrarias” (definidas por movimientos libres de la mano) o

mixtas se consideraban discontinuas. Sin embargo, la definición fue criticada y se dieron

contraejemplos a la definición euleriana de continuidad. Se trata de los casos de funciones

definidas por dos expresiones analíticas diferentes en dos intervalos diferentes del dominio

de la variable independiente (Euler-discontinuas) y que pueden ser representadas por una

única expresión (por tanto era Euler-continua) –Por ejemplo, f(x)= 2x –. La distinción

entre funciones continuas y discontinuas lleva entonces a contradicción. En cuanto a las

curvas mecánicas eran consideradas como tales, las que su gráfico se ve como la

trayectoria que describe un punto en movimiento –Por ejemplo, la espiral de Arquímedes.

Este ejemplo resulta interesante porque en los alumnos de hoy emplean expresiones

similares cuando se aplican en la caracterización de la continuidad de una función.

También lo es, la argumentación del ganador del premio, Louis Arbogast, quien en 1791

en su ensayo43

distinguió dos formas de discontinuidad:

1. La función puede cambiar de forma, es decir, la ley según la cual la función depende

de la variable puede cambiar súbitamente. Una curva formada por una colección de

varias partes de curvas distintas está en este caso. Sea la curva un trozo de parábola de

A a B, de B a C un trozo de elipse, de C a D un trozo de círculo; la continuidad queda

rota en los puntos B y C....

Llamaremos curvas discontinuas tanto aquellas que están formadas por la unión de

varias partes de curvas como las que, trazadas por medio de un movimiento libre de la

mano, no están sujetas a ninguna ley en ninguna parte de su recorrido, con tal que todas

las partes de las curvas se unan unas tras otras sin interrupción ... Por funciones

discontinuas entendemos las funciones que representan este tipo de curvas...

2. La ley de continuidad queda rota de nuevo cuando las diferentes partes de una curva

no se unen entre sí sin interrupción ... A las curvas de este tipo la llamaremos curvas

discontiguas, porque no todas sus partes se unen bien, o no son contiguas sin

interrupción, y daremos el nombre de funciones discontiguas a las funciones que se

supone corresponden a curvas de esta naturaleza.44

De aquí se concluye que para Arbogast sólo son continuas las curvas (o funciones)

definidas por una sola ley pero que no cambian “súbitamente” de forma. Esta precisión

permite resolver la contradicción que se presenta al considerar la función

2( )f x x

que es continua en sentido euleriano, por estar dada por una única expresión analítica. Sin

embargo, ella se puede representar por f(x) x si x≥0; f(x) x si x<0, lo cual contradice

la supuesta continuidad en sentido de Euler. El problema se resuelve con la precisión de

Arbogast. La gráfica de f cambia de forma en x 0:

43

Arogast, L.-F, A., 1791, Mémoire sur la nature des fonctions arbitraires...San Petesburgo. 44

Arbogast, L., 1791, pp. 9-10; citado por Grattan-Guinness, 1984, p. 137


207

Por tanto la continuidad se rompe en (0, 0). Observemos, de paso, que su derivada es una

función discontigua en el sentido de Arbogast.

Con las puntualizaciones de Arbogast se adquirían criterios más finos para referirse a

las funciones aceptables como solución de las ecuaciones en derivadas parciales que

admitían funciones no tan “buenas” como las eulerianas. Estas funciones podían ser ahora

discontinuas con derivada discontigua en puntos aislados.

En resumen, las curvas son discontinuas si están definidas por leyes distintas

(funciones definidas a trozos) y además que sus partes se unan bien (contiguas), o bien por

ninguna ley en absoluto (movimiento libre de la mano).Las funciones discontinuas de

Arbogast son, en el sentido moderno, continuas porque sus partes se unen bien. En tanto

que nuestras actuales funciones discontinuas a saltos son, para Arbogast, discontiguas.

Arbogast: Continua discontinua discontigua

Actual: Diferenciable continua discontinuidad de “salto” en B y C

Al hacer referencia a la gráfica de la función y no a la expresión de ella, Arbogast está

proporcionando un marco geométrico a la definición de continuidad, el cual era necesario

por lo complicada que se fue convirtiendo la teoría de las funciones algebraicas; al mismo

tiempo que, de alguna manera, se admite como funciones aquellas que no poseen

expresión analítica y se amplia el concepto de “continuidad” euleriano –las que son

representables por una expresión analítica– incluyendo la contigüidad.

Este giro hacia la geometría fue un paso intermedio importante en el progreso hacia el

análisis matemático (Grattan- Guinness, 1984, p 137)

Caracterizaremos la concepción de continuidad dominante en el siglo XVIII ligadas a

la definiciones tipo Euler-Arbogast como global geométrica y aritmética. Se aplica a

curvas y funciones de variable real.

Esta definición de continuidad [Arbogast], de carácter geométrico y global, aparece

espontáneamente en los alumnos de hoy, especialmente en el requerimiento de la unión de

las partes del gráfico o de su dibujo a un solo trazo. Esta situación también proviene de

presentaciones que hacen algunos profesores en la introducción del concepto y que, en

ocasiones, se ve como indeseable por los amantes del rigor matemático que prefieren

evitarlas. Nuestra posición es que se deben enfrentar y propiciar situaciones que pongan en

evidencia sus deficiencias para producir, así, desequilibrios cognitivos y con ellos la

necesidad de obtener definiciones más rigurosas. Esto sin olvidar, que los conceptos

matemáticos tienen una naturaleza propia, que no tiene que corresponder a la experiencia

del mundo sensible y la única condición que requiere para su existencia es que no sean

contradictorios en el sistema matemático. Por tanto, si bien en su génesis los conceptos

matemáticos pueden provenir de percepciones, ellos prontamente se independizan de éstas

C B

D A

D C B

A


208

consideraciones para ingresar en el mundo abstracto de las matemáticas. Esto

precisamente lo que se observa en la evolución histórica de estas ideas.

Durante el siglo XVIII la palabra función se asoció a una expresión que relacionaba

variables y constantes por medio de los símbolos de las operaciones. No se especifica su

dominio ni su regla de correspondencia, es un totalidad que englobada en una única

expresión analítica contiene intrísecamete los diferentes caracteres de paridad o

imparidad, periodicidad, continuidad, etc. Esta idea iba a ser modificada a comienzos del

siglo XIX en virtud de los trabajos de Fourier y Dirichlet sobre convergencia de series

infinitas. En particular Dirichlet da un ejemplo que plantea la necesidad de emplear un

concepto más general de función y demuestra que pocas funciones arbitrarias se podían

expresar por medio de series infinitas de funciones trigonométricas (series de fourier). Al

respecto Grattann-Guinness (1984, pp.159-166) que la demostración en la cual Dirichlet

determina intervalos de convergencia de las series de fourier indagando por condiciones

suficientes para f, es

[...] una de las demostraciones más importantes de la historia de esta materia, ya que, a

la vez que mostraba cómo debía hacerse el análisis matemático, proponía una tarea

importante: la de intentar obtener condiciones suficientes cada vez más generales para

la convergencia de las series de Fourier. Esto implicaba considerar funciones con una

infinidad de valores extremos y discontinuidades y/o de valores infinitos en un

intervalo finito, y estos estudios,..., ocuparon un lugar prominente en el desarrollo

posterior del análisis matemático. (Grattan-Guinness, 1984, p. 164-165)

Con el descubrimiento de las series de Fourier, se observó que se podían representar, en

tales series, una clase más amplia de funciones que incluso podían no ser diferenciables en

muchos puntos o ser discontinua en otros tantos. Esto llevó a Dirichelet a formular su

definición general de función en 1837:

Si una variable y está relacionada con otra variable x de tal manera que siempre que se

atribuya un valor numérico a x hay una regla según la cual queda determinado un único

valor de y, entonces se dice que y es función de la variable independiente x. Boyer,

1986. p. 687)

En la conclusión del trabajo que se acaba de comentar, Dirichlet, utiliza una función que

será el prototipo de funciones generales no necesariamente ligadas a expresiones analíticas

y que juegan un papel importante en la teoría de integración. En este caso se trata de una

función que no se puede expresar en una serie de Fourier:

« ...f(x) es igual a una constante determinada c cuando la variable toma un valor

racional, e igual a otra constante d cuando el valor de esta variable es irracional. La

función así definida tiene valores finitos y determinados para todo valor de x, y sin

embargo no es posible sustituirla en la serie [de Fourier], en vista de que las diferentes

integrales que aparecen en dicha serie pierden todo su significado en este caso.»45

De aquí en adelante se planteo como tarea general encontrar criterios generales para

determinar la convergencia de series y en general la constitución de una teoría de las series

que permitiera erradicar los resultados poco rigurosos y ambivalentes.

Así, la necesidad de dotar de rigor, a las matemáticas de la época levantadas por

Lagrange (1797), Bolzano (1817) y más tarde Weierstrass (1859), sugirieron evitar las

consideraciones derivadas de la intuición espacial; pero no se puede negar que sin estas

consideraciones tal necesidad no hubiera existido.

45

Dirichlet, J. 1829. Sur la convergence des séries trigonométriques. J. rei. ang. Math., 4(1829), 157-169; Obras, vol. 1,

117-132.


209

1.6.4 Bernard Bolzano (1781-1848)

Bolzano fue uno de los primeros matemáticos que emprendió la obra de

fundamentación del cálculo. Esto significaba volver a interpretar y demostrar

matemáticamente aquellos conceptos y teoremas basados en intuiciones geométricas.

Después de examinar el estado de las matemáticas a principios del siglo XIX, constata

algunas imprecisiones en las demostraciones y en los conceptos. La lista de estas

imperfecciones incluye tanto a la teoría de las paralelas y el concepto de línea , de

superficie y de sólido en geometría, como los conceptos de número negativo, de

número irracional y de número imaginario en aritmética, al igual que los conceptos de

continuidad, de límite y de infinitamente pequeño en análisis. (Sabestik, 1990, p.393)

Estas deficiencias teóricas eran resultado del recurso a la intuición espacial y

temporal, al que se veían obligados los matemáticos, ante la ausencia de una teoría que

orientara sus acciones intelectuales cuando se aplicaban a formular y probar sus

conjeturas. Bolzano, según Sabestik inicia su trabajo con una tratado de lógica (la

Wissenschaflehre, que en adelante se llamará WL) que inicia en 1810 y termina en 1830.

Acto seguido se dedica a escribir su Grösssenlerhre, que termina en 1833. Sin embargo,

esta importante obra en la que se establece el objeto de las matemáticas sólo es publicada

en 1930. Similarmente ocurrió con la mayor parte de su obra que permaneció inédita y no

fue conocida por sus contemporáneos.

En la Grösssenlerhre, Bolzano define las matemáticas como la ciencia de las

magnitudes (Sabestik, 1990, p. 397)

Pero esta definición se debe entender en el contexto de su obra anterior sobre lógica.

Según las lecciones de la WL, la unidad de la ciencia consiste menos en el objeto de

estudio que en la naturaleza de sus proposiciones. El problema de la unidad de la

matemática es pues esencialmente el problema que trata la naturaleza de las

proposiciones matemáticas (Sabestik, 1990, p. 397)

En el proceso de construcción de su sistema lógico-matemático Bolzano comprendió

que la definición dada por Kant de la matemática debería ser modificada. Para Kant, dice

Sabestik:

la matemática debe caracterizarse por la naturaleza del conocimiento que le es propio:

ella es la ciencia a priori de la construcción de los conceptos de la intuición pura.

(Sabestik, 1990, p. 397)

Bolzano no acepta el a priori Kantiano que recae en la construcción de los objetos de

la intuición pura: es decir, que hacen referencia a la de la sensibilidad del espacio, el

tiempo y el entendimiento. Ello fundamentalmente por tres razones

1. Las formas de la intuición pura (el espacio y el tiempo) no interviene en la

matemática pura, pertenecen sólo a las disciplinas aplicadas como la geometría y la

cronometría.

2. las construcciones son procedimientos auxiliares propiamente técnicos y no

matemáticos, y su posibilidad resulta de los conceptos y de los axiomas ya

establecidos; en fin,

3. en una ciencia definida como un conjunto de proposiciones (en sí) y no como un

conjunto de conocimientos (subjetivos e históricamente situados), es necesario

transformar el problema del conocimiento matemático en el problema del estatuto

de las proposiciones matemáticas.

El a priori Kantiano, que se refiere al origen del conocimiento matemático, será

reemplazado por la caracterización intrínseca de las proposiciones conceptuales puras.

Para Bolzano, la matemática es pues una ciencia conceptual pura, cuyo objeto principal

está constituido por el campo de las magnitudes. (Sabestik, 1990, p. 397)


210

De esta concepción se desprende que las matemáticas giran en torno de la demostración:

la matemática es una ciencia demostrativa que procede a partir de proposiciones

primitivas (axiomas), definidas no apelando a la evidencia, sino a su poder deductivo

(Sabestik, 1990, p. 398)

Esta visión de la matemática implicó el establecimiento de un nuevo orden en la

matemática: la aritmética, álgebra y el análisis constituyen la matemática pura. La

geometría, que hasta entonces era el prototipo de sistema axiomático, tiene que reubicarse

en el nuevo sistema como parte de las disciplinas aplicadas al espacio. Como resultado de

este nuevo orden, se realiza una nueva síntesis de muchas demostraciones fundadas

previamente sobre demostraciones geométricas y cinemáticas y que en adelante sólo

pertenecerán a la matemática pura. Lo anterior obligadamente implicó la necesidad de

precisar los conceptos fundamentales de la matemática pura y en particular los del análisis

como el concepto de función, continuidad, derivada, etc. Pero, además, la nueva visión de

la matemática como “ciencia del objeto en general” produjo un segundo beneficio:

[...], consiste en la creación de una nueva disciplina. En efecto, la exposición de la

matemática pura está precedida de “nociones previas” (Vorkentnisse), que aportan algo

totalmente nuevo y que son llamadas para fundar la matemática: es una doctrina de

colecciones, de totalidades, de sistemas, es decir, la primera versión histórica de lo que

un día llegaría a ser la teoría de conjuntos.

En lo sucesivo, los números, las magnitudes, así como otros conceptos no menos

importantes m como el de “magnitud variable” (de función), estarán definidos en

términos lógicos y conjuntistas. Para Bolzano, todos los objetos matemáticos, números,

magnitudes, funciones figuras, no son otra cosa que conjuntos. Así, su doctrina de

conjuntos es la disciplina fundadora y unificadora de la matemática. (Sabestik, 1990, p.

399)

Ubicado de esta manera, el sistema matemático de Bolzano, describiremos

brevemente algunos de los aportes teóricos, principalmente en el campo del Análisis.

Respecto al infinito, Bolzano fue uno de los primeros matemáticos en aceptar el

infinito actual y comparó conjuntos infinitos estableciendo una correspondencia biunivoca

entre sus elementos. Aunque, realmente se trataba de un redescubrimiento de la idea de

correspondencia biunivoca usada por Galileo cuando señaló que los enteros positivos se

pueden poner en relación con una parte de su clase, por ejemplo los cuadrados perfectos46

.

Lo importante en este nuevo encuentro, es que Bolzano, centró su atención, como lo hizo

Platón, sobre el infinito como multiplicidad o agregación, apartándose de la visión de los

escolásticos de la alta edad media que, al igual que Aristóteles, consideraron el infinito

desde el punto de vista de las magnitudes.

Esta visión del infinito actual, formado por agregados le permitió concebir los objetos

geométricos como siendo formados por puntos para así, establecer el cálculo sobre la base

de un riguroso desarrollo de la teoría de encajes infinitos.

La idea fructífera de los encajes infinitos en conjunción con la de conjunto está

presente en las construcciones de número, en las demostraciones de las propiedades de las

funciones (magnitudes variables) continuas, y muchos conceptos más que de ese momento

en adelante no serán más otra cosa que conjuntos. Así, con estas ideas fundamentales en

mente, Bolzano construye un continuo numérico formado por elementos medibles

construidos en dos clases: los números finitos que corresponden a nuestros números reales

actuales y por otra parte por los números infinitamente pequeños. Además define los

46

Ver Boyer, 1959, p. 116


211

números infinitamente grandes, que completarían el continuo numérico, como números no

medibles47

. Esta construcción, sin embargo, presentaba problemas de contradicciones

internas originadas en su definición de los números infinitamente pequeños, que fueron

observadas por el mismo Bolzano.

Además de estas construcciones Bolzano demostró, entre otros resultados, la

existencia de una cortadura producida por cada racional, la densidad de los racionales en la

recta real, el teorema de existencia de la cota superior para todo conjunto acotado de

números reales.

Su teoría de funciones se fundamenta en el conjunto de los números medibles y en el

concepto de función entendida como dependencia arbitraria entre los números. Uno de los

resultados importantes de esta teoría fue la introducción, por primera vez, de la noción de

continuidad de una función como un concepto propiamente matemático. Hasta este

momento, la noción de continuidad se veía como útil y se utilizaba pero no era

considerada un objeto de estudio en sí misma, es decir gozaba de un estatuto

paramatemático. De ahora en adelante Esta noción goza de un estatuto matemático,

reconociendo la importancia de su papel en la fundamentación del análisis, por tanto se

torna un objeto de estudio del cual interesa investigar su relación con los conceptos de

límite y, por supuesto, de derivada e integral.

La primera definición de continuidad dada por Bolzano en 1817-18, hacia intervenir

todos los puntos de un intervalo:

f(x) es continua en un intervalo si en cualquier x del intervalo la diferencia f(xw)f(x)

se puede hacer tan pequeña como se desee tomando w suficientemente pequeña. (Kline,

1992, p. 1225)

Si bien esta definición introduce la noción de continuidad como concepto

matemático, ella no esta libre de imperfecciones que más adelante serán criticadas.

Expresiones como “se puede hacer tan pequeña como se desee” o “suficientemente

pequeñas” no se consideraron como aceptables. Esto de ningún modo va a demeritar la

labor institucionalizadora en que se empeñó Bolzano y la utilización de esta definición

para demostrar las propiedades de las funciones continuas sobre intervalos cerrados (los

compactos en los reales): acotamiento, el valor máximo se alcanza, valores intermedios y

el teorema que afirma que una función monótona que toma todos sus valores intermedios

es continua. Lo interesante, anota Sabestik es el estilo de las demostraciones de Bolzano

que

Es exactamente de la misma forma que tales teoremas serán demostrados por

Weierstrass y su escuela. La teoría de funciones se apoya sobre los teoremas

fundamentales de la teoría de números medibles: teorema de Bolzano-Cauchy, de

Bolzano-Gauss y de Bolzano-Weierstrass. El concepto de punto de acumulación está

claramente formulado por Bolzano y todas las demostraciones están conducidas de

manera puramente aritmética, basándose en las propiedades de los números reales en

un lenguaje puro, de donde toda noción ajena, de origen geométrico o cinemático, es

excluida, lenguaje que ya es el nuestro. (Sabestik, 1990, p.415)

En su estudio de la continuidad, Bolzano demuestra que la continuidad por izquierda

no implica la continuidad a derecha, pero no puede extender la definición a funciones de

varias variables. Tampoco llega ha establecer la continuidad uniforme. Además, Bolzano

47

Ver Sabestik, 1990, pp. 404-414


212

proporcionó un ejemplo que demostraba que era equivocada la creencia que la continuidad

de una función era suficiente para garantizar su diferenciabilidad48

;

Bolzano proporcionó un ejemplo de una función no diferenciable. [...] Esta ilustración

dada por Bolzano pudo haber cumplido, en la matemática, el papel del experimento

crucial en ciencia, mostrando que las funciones continuas no necesariamente, a pesar

de las sugerencias de la intuición geométrica y física, poseen derivadas. Sin embargo, a

causa d que el trabajo de Bolzano no fue conocido en su tiempo, tal papel fue reservado

al famoso ejemplo de tal función dado por Weiersstrass alrededor de un tercio de siglo

más tarde. (Boyer, 1959, p. 270)

También proporcionó el ejemplo de una función discontinua en todo punto de su dominio.

Estas funciones producían inconsistencias externas a las concepciones que se

instauraron en la mente de los matemático en consecuencia con la relación que se

establecía entre la continuidad y el movimiento físico, o la continuidad del espacio y el

tiempo. Según sugerían los sentidos, la variación debería representarse en una función por

lo menos continua a pedazos y no se podía, desde esta visión, concebir una función

continua y sin embargo, no diferenciable en ningún punto. Estos ejemplos muestran que

las sugerencias intuitivas que proviene de los sentidos puede ser engañosa y

contraproducente en el momento de precisar los conceptos y propiedades de los objetos

matemáticos.

Bolzano llamó la atención respecto a la necesidad de considerar las condiciones de

convergencia de las series infinitas, –y con ello de paso replicaba a Lagrange, que como

hemos visto estaba convencido que su método de series evitaba la necesidad de considerar

infinitesimales o límites– y por supuesto, tomar como concepto central del análisis la

noción de límite. Así por ejemplo, él formuló el teorema que expresa que si la sucesión

f1(x), f2(x), f3(x),..., fn(x),..., fn+r(x),... es tal que la diferencia entre fn(x) y fn+r(x) se vuelve y

permanece menor que cualquier cantidad dada cuando n se incrementa indefinidamente,

entonces existe un y sólo un valor hacia el cual se aproxima tanto como se desee.

Esta proposición fundamental de Bolzano tendría más tarde también una significación

con respecto a la definición general de número real y el continuo aritmético (Boyer,

1959, p.270)

Anotando además, que las ideas de Bolzano no constituyeron una influencia decisiva

en la época ya que no se conocieron sino medio siglo después, pero el matemático

Augustin-Louis Cauchy, afortunadamente, tuvo ideas similares y sería el responsable de su

desarrollo y divulgación.

1.6.5 Augustin-Louis Cauchy (1789-1857)

A Cauchy se le considera al fundador del análisis moderno porque él formuló de

manera rigurosa los conceptos fundamentales de este campo de la matemática. Cauchy,

como muchos matemáticos de su época dio por sentado el concepto de número real y a

partir de esta base definió los conceptos básicos del análisis. Así, en el Cours d’analyse

(1821), da su definición de variable y función. Así:

«Se llama variable a una cantidad que se considera tiene que tomar sucesivamente

muchos valores diferentes unos de los otros»49

48

Ver Boyer, 1959, p. 269 49

Citado en Kline, 1992, p. 1254.


213

Lo importante de esta definición es que diferencia entre “cantidad” y los “valores” que

toma ésta. Es decir entre cantidad y número; pero tiene el problema de su reverencia a

“tomar sucesivamente...” los valores. En cuanto al concepto de función:

Cuando se relacionan cantidades variables entre ellas de modo que estando dado el

valor de una de éstas, se pueda determinar los valores de todas las otras, ordinariamente

se conciben a estas cantidades diversas expresadas por medio de la que está entre ellas,

la cual toma entonces el nombre de variable independiente; y las otras cantidades

expresadas por medio de la variable independiente son aquellas que uno llama

funciones de la variable50

En esta definición ya no se menciona la forma (expresión analítica) como el elemento

que define la función sino el valor de la función.

A Cauchy se le atribuye el honor de ser el primero en institucionalizar el concepto de

límite que antes se usaba como una noción instrumental necesaria en los procesos de

aproximación. Cauchy, al igual que Bolzano comprendió que la materia debería ser

explicada en términos de límites.

El concepto de límite hasta Bolzano y Cauchy careció de precisión en su formulación.

Esto se debió a que apelaba a intuiciones geométricas y físicas que obstaculizaban la

concepción aritmética del concepto, y por otro lado, a la interpretación de los inventores

del concepto que lo veían como instrumento para tratar con cantidades geométricas. Como

hemos visto, Euler y Lagrange en cierto sentido representaron la excepción a esta regla.

Ellos consideraron necesario establecer el cálculo centrado en el formalismo de su

concepto de función analítica. Sin embargo rechazaron la idea de límite.

El concepto de límite aparece en su libro Cours d’Analyse de 1821 que sistematiza

sus notas del curso que impartía en la l’ecole Royale Polytechnique de París.

Cuando los valores sucesivos asignados a una variable se acercan indefinidamente a un

valor fijo de modo que terminan por diferir de él tan poco como se desee, este último es

llamado el límite de los otros. Así por ejemplo, un número irracional es el límite de

diversas fracciones que toman valores cada vez más aproximados a él

El ejemplo, fue omitido por Cauchy en sus obras de 1823 y 1829. La razón es que si

se interpreta como una definición de número irracional, la definición resulta circular, pues

para que el límite tenga significado se presupone la existencia de los irracionales51

. Esto

es, uno no puede definir √2 como el límite de la sucesión

1, 1.4, 1.41, ....

porque para probar que esta sucesión converge, uno debe asumir, de acuerdo a la

definición de límite y convergencia, la existencia del número hacia el cual converge como

algo previamente demostrado o definido.

El desliz de Cauchy al pretender definir los irracionales usando la definición de límite

es causado por cierta concepción, implícita en el razonamiento, cuando aplica el teorema

de Bolzano-Cauchy sobre la convergencia de sucesiones: si la sucesión a1, a2, a3,..., an,...,

an+r,... es tal que la diferencia entre an y anr se vuelve y permanece menor que cualquier

cantidad dada cuando n se incrementa indefinidamente, entonces existe un y sólo un valor

hacia el cual se aproxima tanto como se desee.

50

Citado en Kline, 1992, p. 1254. 51

Ver: Kline, 1992, p. 1255.


214

Esto es, él creyó que la existencia de un número, que posee una relación externa a la

sucesión que lo aproxima, se seguía de la relación interna que expresa el teorema y por

tanto de la sucesión misma. Este razonamiento es reflejo de preconcepciones provenientes

de las imágenes geométricas de paso al límite –como la circunferencia límite del polígono

inscrito de n lados– que activan en la mente cuestiones irrelevantes respecto a la operación

de paso al límite, pero que introducen “ruido” en los razonamientos –en el caso de los

polígonos inscritos en la circunferencia cuando el número de lados crece al infinito,

cuestiones como: ¿está la circunferencia formada por un número infinito de lados

infinitesimales? o ¿es que el polígono se convierte en una circunferencia?– ¡Y,

precisamente esto es lo que se pretendía evitar con la definición aritmética de límite!

Volviendo a la definición de límite, interpretando esta definición, a la luz del rigor

matemático actual, ella adolece de imprecisiones: ¿qué significa “se acercan

indefinidamente”? Y ¿“cada vez más aproximados”? Si tratamos de buscar una

justificación matemática a esta terminología en el trabajo de Cauchy no la encontramos.

por ejemplo se podría pensar que Cauchy trata de responder estos interrogantes cuando

define los infintésimos y lo infinitamente grande. Veamos:

[...] En el prefacio de su trabajo de 1821, Cauchy dice que para hablar de la continuidad

de las funciones debe dar las propiedades de las cantidades infinitamente pequeñas,

«Se dice que una cantidad variable se hace infinitamente pequeña cuando su valor

numérico decrece indefinidamente de modo tal que converge al límite 0.» [Cours, p. 5]

Llama a tales variables infinitésimos.

«Se dice que una cantidad variable se hace infinitamente grande cuando su valor

numérico se incrementa indefinidamente de manera tal que converge al límite ∞.»

[Cours, p. 5]

Sin embargo ∞ no significa una cantidad fija, sino algo indefinidamente grande (Kline,

1992, p. 1256)

Lo interesante en esta definición es la interpretación de Cauchy del infinito en sus dos

aspectos: lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño. Recordemos que el infinito

Aristotélico aceptaba lo infinitamente grande por agregación, pero sólo en potencia, esta

misma idea se encuentra presente en la definición de Cauchy. Pero, por otro lado,

Aristóteles negó lo divisibilidad infinita y por tanto desterró la posibilidad de aceptar los

infinitesimales; ahora, Cauchy, gracias al concepto de límite resuelve el problema de la

negación de lo infinitamente pequeño, que obstaculizo desde los griegos hasta finales de la

edad media, el desarrollo del cálculo infinitesimal. Aquí no hay división infinita, solo

existe una variable de valor numérico que decrece indefinidamente al número cero. Pero

esto no resuelve el problema presente en la definición de límite, pues si se toma en

consideración las definiciones de infinitésimos e infinito, la definición de límite resulta

circular. El problema se resolverá, más adelante cuando la definición se plantee en

términos, no de un infinito potencial, sino actual como lo hizo mas adelante Weierstrass.

Grattan-Guinnes, señala respecto a la definición de límite de Cauchy que:

El concepto de variable, presente en su definición de infinitésimos cuando los nombra

como si se tratara de una cantidad cuyos valores numérico tendiera hacia cero es

dinámica y aún ligada a la experiencia sensorial. En contraste con el punto de vista

actual y que ya adoptaría Weierstrass, según el cual

[...] la palabra «variable» se usa para designar un símbolo; la variable x es un símbolo

que representa indistintamente uno cualquiera de cierta colección de valores, pero no

representa una cantidad por que tal cosa no existe. (Grattan-Guinness, 1984, p. 144)


215

Así, para Weierstrass un infinitésimo es una variable que tiene límite cero. En estos

términos, hablar de lo infinitamente pequeño no presupone la existencia de valores

infinitamente pequeños. En tanto que las frases de Cauchy: “tan pequeño como

queramos” y “disminuir indefinidamente hasta converger al límite cero”; deja abierta

la pregunta de si hay realmente o no valores infinitamente pequeños que puede

recorrer la variable.

El carácter dinámico , implícito en la definición de los infinitesimales de Cauchy, es

el mismo que observamos en la misma noción en Newton en el que sus cantidades

variables pasan a cero como valor límite.

El concepto de continuidad de una función en Cauchy, de acuerdo con la cita de

Kline, se plantea en términos de infinitésimos o lo que es equivalente, en términos de

límites, como sigue:

[...] Sea f(x) una función de la variable x, supóngase que para cada valor de x que se

encuentre entre dos límites [cotas] dados, esta función toma constantemente un valor

finito y único. Si, empezando con un valor de x contenido entre estos dos límites, se

asigna a la variable x un valor infinitamente pequeño, la función misma tomará como

incremento la diferencia f(x+)- f(x), el cual dependerá al mismo tiempo de la nueva

variable y del valor x. Garantizado esto, la función f(x) será entre los dos límites

asignados a la variable x, una función continua de la variable si, para cada valor de x

que se encuentre entre estos dos límites, el valor numérico de la diferencia f(x+)- f(x)

decrece indefinidamente con el de . En otras palabras, la función f(x) permanecerá

continua con respecto a x entre los dos límites dados, si, entre estos limites, un

incremento infinitamente pequeño de la variable produce siempre un incremento

infinitamente pequeño de la función misma.

También decimos que la función f(x) es una función continua de x en la vecindad

de un valor particular asignado a la variable x, siempre que sea continua [la función]

entre estos dos límites de x, no importe cuan cercanos estén, los cuales encierren el

valor en cuestión». Entonces se dice que f(x) es discontinua en x si no es continua en

todo el intervalo alrededor de x (Kline, 1992, p. 1256)

La cursiva del texto no es nuestra, y lo que ella expresa en términos de infinitésimos –

infinitamente pequeño se debe entender en el trabajo de Cauchy, en términos de

indefinidamente pequeño y límites– es equivalente a decir que f es continua en un

intervalo si el límite de la variable f(x) cuando x se aproxima a x0 es f(x0), para todo x0 en

el intervalo. En la formulación de Cauchy se destaca el cambio de la noción global de

continuidad que se manejo anteriormente a una definición local. De esto es perfectamente

consciente Cauchy y por ello en punto aparte define el carácter local de la definición.

La definición de Cauchy se puede caracterizar, entonces, como local, porque se mira

lo que sucede en un punto del intervalo, para luego generalizarlo a todos los otros puntos;

es aritmética porque para determinarla se recurre a calcular el límite y su estatuto es

matemático.

1.6.6 Karl Weierstrass (1815-1897)

Karl Weierstrass dedicó gran parte de sus primeros de vida a la docencia. Su

producción científica comenzó a ser conocida después de los cuarenta años de edad,

durante los años 1850 hasta 1880 en que se desempeñó como profesor de la Universidad

de Berlín. Muchos de sus trabajos se divulgaron gracias a las notas de sus alumnos, en


216

especial Eduard Heine52

. Según Grattan–Guienness, aunque el mismo Weierstrass se pudo

ver como continuador de la obra de Cauchy en realidad fue muy crítico con sus métodos y

más bien su trabajo es más cercano a la obra de Lagrange.

Weierstrass construyó una base puramente aritmética y formal para el análisis,

independiente de toda consideración geométrica. Las ideas central fueron

Introducir una definición de número racional independiente del concepto de límite53

..

Eliminar toda consideración intuitiva de movimiento en la definición de límite, como

aquella de Cauchy que da a entender que una “cantidad” variable “aproxima” al

limite.

La primera idea le permitió resolver el problema de circularidad de la definición de límite

de Cauchy. La segunda idea resolvió el problema de las interpretaciones subjetivas del

concepto, convirtiendo la definición de límite en algo “estático” y dependiente únicamente

de consideraciones aritméticas.

Para alcanzar este último objetivo, interpretó una variable x como un símbolo que

designa o señala uno cualquiera de una colección de valores numéricos. Esta

interpretación de variable conduce inmediatamente a la definición de variable continua de

Weierstrass y el refinamiento de las definiciones de continuidad y límite.

Así, una variable continua era definida en términos de consideraciones estáticas

relacionándola aritméticamente con su conjunto de valores numéricos:

Si para cualquier valor x0 del conjunto y para cualquier sucesión de números positivos

1, 2, 3,..., n no importa que tan pequeños sean, existen en los intervalos (x0i,

x0i) otros del conjunto, esta es llamada continua. (Boyer, 1959, p. 286)

En otras palabras, una variable continua en un conjunto A de los valores de la variable es

aquella tal que para todo x0 en A y cualquier número positivo, hay otros valores de la

variable en el intervalo (x0 , x0 ).

En esta misma dirección, Weierstrass define la continuidad, diciendo que la función f

es continua, en ciertos límites de x,

si para algún valor x0 en el intervalo y para algún número positivo arbitrariamente

pequeño, es posible encontrar un intervalo alrededor de x0 tal que, para todos los

valores en este intervalo la diferencia f(x)f(x0) es en valor absoluto menor que

(Boyer, 1959, p. 287)

Eliminando, de esta manera la vaguedad de la frase «se hace y permanece menor que

cualquier cantidad dada», que Bolzano y Cauchy usaron en sus definiciones.

Heine, influenciado por las lecturas de las notas de su profesor Weierstrass escribió,

en 1872, esta definición en la forma:

Si para cualquier dado, puede ser encontrado un 0 tal que para 0, la diferencia

f(x)f(x) es menor en valor absoluto que (Boyer, 1959, p. 287)

52

Heine, E. H. 1872, Die elemente der Functionenlehre. J. rei ang. Math., 71(1870), 353-365 53

Ver Boyer, 1959, p 285


217

O como se conoce en la actualidad la definición de Weierstrass: f(x) es continua en x x0 si

dado cualquier número positivo , existe una tal que para toda x en el intervalo

xx0, f(x) f(p). Que se escribe empleando los símbolos lógicos y de la teoría

de conjuntos en la forma: f es continua en x p

(0) (0 (xDf (xpf(x) f(p)))) (1)

Similarmente se define el límite de una variable o de una función:

Si para cualquier dado, puede ser encontrado un 0 tal que para 0 0 , la

diferencia f(x0)L es menor en valor absoluto que , entonces L es el límite de f(x) en

x x0 (Boyer, 1959, p. 287)

que en términos actuales se escribe simbólicamente: L es el límite de f en xp si

(0) (0 (xDf (0xpf(x) L))) (2)

Esta definición de límite ya no incurre en los problemas de circularidad que hemos

anotado en el caso de la definición de Cauchy. Esto porque Weierestrass no define el

irracional como el límite de una sucesión, sino que primero construye una cierta

colección de agregados racionales no ordenados los cuales cumplen la condición que

cualquier suma finita de ellos es siempre menor que un cierto número racional q0. Tal

colección es el irracional . Posteriormente, si se desea, se puede probar que la sucesión

de los agregados converge al número así construido (ver el detalle en Boyer, 1959, pp.

285-286).

Weierstrass resuelve la cuestión de la existencia del límite de una sucesión

convergente haciendo la sucesión (realmente el considera un agregado no ordenado) en

sí misma el límite o el número. (Boyer, 1959, p. 286)

Resulta oportuno transcribir el comentario de Boyer respecto a la idea de variabilidad

que jugó un papel protagónico en esta gesta intelectual que nosotros hemos descrito,

tomando en cuenta únicamente los aspectos más destacados concernientes con nuestra

investigación, y que culminaría con la solución del problema del continuo numérico

gracias a los trabajos de Cantor y Dedekind iniciados en el año 1872. Dice Boyer:

En una retrospectiva, es pertinente observar que mientras la idea de variabilidad fue la

ruina de los matemáticos griegos puesto que ella condujo a las paradojas de Zenon, fue

precisamente este concepto que, revivido al final de la Edad Media y representado

geométricamente, llevó en el siglo XVII al Cálculo. Sin embargo, con la culminación

de casi dos centurias de discusiones sobre los fundamentos del nuevo Análisis, el

mismo aspecto que había llevado a su surgimiento, fue en cierto sentido otra vez

excluido de la matemática con la así llamada teoría “estática” de variable que

Weierstrass había desarrollado. La variable no representa un paso progresivo a través

de todos los valores de un intervalo, sino la asunción disyuntiva de cualquiera de los

valores del intervalo. Nuestra intuición vaga de movimiento, aunque notablemente

fructífera al haber sugerido las investigaciones que produjeron el Cálculo, fue

encontrada a la luz de nueva elaboración del pensamiento, bastante inadecuada y

engañosa. (Boyer, 1959, p. 288)

Los problemas para los cuales no se tenía una solución satisfactoria: aquel del infinito

que usó Weierstrass en su definición de los irracionales y la relación entre este infinito

actual y el continuo numérico. Estos problemas fueron investigados por Dedekind y

Cantor siguiendo una línea similar a la de Weierstrass, pero nosotros no nos ocuparemos

de ellos.

Conclusiones del período (1780- 1880)

218

1.6.7 Conclusiones del Período (1780-1880)

Las críticas de Berkeley tuvieron una respuesta positiva como se observa al evaluar

los siguientes logros:

Se llega a nueva visión de la matemática que se concreta en el establecimiento de un

nuevo campo teórico: la teoría de conjuntos. En adelante la lógica y la teoría de

conjuntos se instalan como base de la matemática pura que comprende: la aritmética,

álgebra y el análisis. Bolzano define la matemática se como la ciencia de las leyes del

objeto en general:



(Sabestik, 1990, p. 398)

Esta visión, compartida por la mayoría de sus contemporáneos, implicó la definición

de los conceptos básicos de la matemática pura: número, función, magnitud, etc.;

sobre una base lógica y conjuntista independientes de las interpretaciones subjetivas y

sólo obligadas a preservar la coherencia interna del sistema.

El concepto de función se constituye en el objeto central del análisis. Recordemos que

la concepción que predominó en el siglo XVII era euleriana en la cual una función era

identificada por su expresión. Se consideraban como tales las expresadas por una

única expresión analítica. Lagrange define en 1772 las funciones en el mismo sentido

de Euler pero omite el término “constante”:

Lamamos función de una o de varias variables a cualquier expresión del cálculo en la

que entran dichas cantidades de una manera arbitraria... La palabra función fue utilizada

por los primeros analistas para denotar las potencias de una cantidad en general. Desde

entonces el significado de la palabra se ha extendido para designar cualquier cantidad

formada de manera arbitraria a partir de otra cantidad...

El foco de esta definición es la ley de formación que se dice puede ser arbitraria, lo cual

ampliaba el conjunto de objetos aceptables como funciones y destaca uno de los aspectos

que, según los ojos de hoy, deben ser considerados en la definición.

Posteriormente en 1821, Cauchy define la función centrado la atención en los valores

de la función:

Cuando se relacionan cantidades variables entre ellas de modo que estando dado el

valor de una de éstas, se pueda determinar los valores de todas las otras, ordinariamente

se conciben a estas cantidades diversas expresadas por medio de la que está entre ellas,

la cual toma entonces el nombre de variable independiente; y las otras cantidades

expresadas por medio de la variable independiente son aquellas que uno llama

funciones de la variable

El aspecto del valor que toma la relación para cada valor de la variable independiente

será importante en el establecimiento de la noción general de función.

Las series de Fourier implicaron la necesidad de admitir funciones “menos buenas” que las

que hasta entonces se aceptaban. Dirichelet formula su definición general de función en

1837:

Si una variable y está relacionada con otra variable x de tal manera que siempre que se

atribuya un valor numérico a x hay una regla según la cual queda determinado un único

valor de y, entonces se dice que y es función de la variable independiente x. Boyer,

1986. p. 687)


219

que se focaliza en dos aspectos: ley de formación y valores de la función. Esta definición

prácticamente corresponde a la definición moderna.

El concepto de infinito. El infinito actual está presente en los razonamientos de los

matemáticos de la época. Por ejemplo en Bolzano, y Weierstrass. En el caso de

Cauchy es potencial, pero se resuelve el problema de lo infinitamente pequeño gracias

al concepto de límite. Un infinitésimo es una variable numérica que decrece

indefinidamente al número cero.

El concepto de límite, hasta entonces vivía como una noción paramatemática; es

decir, se le considera una herramienta útil para los matemáticos pero no había sido

objeto de estudio y por tanto es una noción implícita. En 1765, es definida por

D’Alambert como una “cota”, un valor “limite” de una variable que se acerca de

manera decreciente a este valor.

Una magnitud se dice que es el límite de otra magnitud cuando la segunda se puede

aproximar a la primera en menos que cualquier magnitud dada, por pequeña que ésta

sea, aunque la primera magnitud no pueda superar a la magnitud a la que se aproxima

No se menciona variables ni dependencia alguna entre ellas; se trata de “aproximación” de

magnitudes. Posteriormente, en 1784, Simon Lhulier define el límite de manera semejante

a la de D’Alambert e introduce la notación «lim» en la que se especifican las variables del

límite y hace notar que el paso al límite no tiene por que ser de una manera monótona.

En 1821, el concepto es institucionalizado como un concepto matemático. Cauchy

define en el Cours d’Analysi :

Cuando los valores sucesivos asignados a una variable se acercan indefinidamente a un

valor fijo de modo que terminan por diferir de él tan poco como se desee, este último es

llamado el límite de los otros.

El concepto es aún impreciso. Se aplica a funciones, pero su definición se focaliza en los

valores de la función sin mencionar la variable independiente que queda implícita en la

definición. La definición es dinámica: “se acercan indefinidamente” “tan poco como se

desee”. Esta concepción dinámica plantea interrogantes que no se pueden resolver en este

contexto: ¿existen valores indefinidamente pequeños?

Weierstrass-Heine (1872): define el límite de una variable o de una función:

Si para cualquier dado, puede ser encontrado un 0 tal que para 0 0 , la

diferencia f(x0)L es menor en valor absoluto que , entonces L es el límite de f(x) en

x x0

En esta definición la definición se aplica a funciones y conceptos de la aritmética la

lógica y conjuntos liberan a la noción de toda apelación a imágenes de la cinemática o

geométricas. Es un objeto de la matemática pura.

Los infinitesimales , con la noción de límite de Cauchy, se supera el problema que

llevó a Aristóteles a erradicar lo infinitamente pequeño. Aquí ya no se trata de

divisibilidad infinita sino de una cantidad variable cuyo valor numérico decrece

hacia cero.

Se dice que una cantidad variable se hace infinitamente pequeña cuando su valor

numérico decrece indefinidamente de modo tal que converge al límite 0.

Estas variables son llamadas infinitésimos.

El concepto de variable. Poco a poco se observa una diferenciación entre cantidad

variable y variable numérica.. La cantidad variable como representación de objetos


220

de la física como velocidad, calor, etc., respecto a la variable como cualquiera de los

elementos de un conjunto numérico (variable numérica). Esta diferenciación es

necesaria para precisar el concepto de función, de límite y continuidad.

Weierstrass: interpretó una variable x como un símbolo que designa o señala uno

cualquiera de una colección de valores numéricos. Esta interpretación de variable conduce

inmediatamente a la definición de variable continua de Weierstrass y el refinamiento de

las definiciones de continuidad y límite.

Así, una variable continua era definida en términos de consideraciones estáticas

relacionándola aritméticamente con su conjunto de valores numéricos:

Si para cualquier valor x0 del conjunto y para cualquier sucesión de números positivos

1, 2, 3,..., n no importa que tan pequeños sean, existen en los intervalos (x0i,

x0i) otros del conjunto, esta es llamada continua. (Boyer, 1959, p. 286)

En otras palabras, una variable continua es aquella tal que si x es cualquier valor del

conjunto de valores de la variable y cualquier positivo, hay otros valores de la variable

en el intervalo (x0 , x0 ).

El concepto de continuidad que, como hemos visto en el estudio del período anterior,

interviene en los razonamientos y procesos del cálculo de Newton y Leibniz de forma

implícita y por tanto era una noción protomatemática. En el primero la continuidad de

las curvas era sugerida por el movimiento y en el segundo por un principio metafísico

de una “ley de continuidad”. Con Euler el concepto adquiere el estatuto

paramatemático y se aplica a funciones eulerianas. Así, una función continua era

aquella definida por una expresión analítica. Durante el periodo que ahora nos ocupa,

el concepto de continuidad es institucionalizado.

Conviene notar que, antes de alcanzar su estatuto matemático propiamente dicho,

el concepto de continuidad debió poseer implícitamente, a nuestro modo de ver, una

importancia central en los trabajos de Lagrange. No se explica de qué otra manera

este matemático y otros de su época pudieron proponer un desarrollo del cálculo sin

paso al límite. Esto es una mera hipótesis y sería interesante desarrollar una pesquisa

histórica ya que nosotros no hemos podido confirmarla. La importancia de la

hipótesis es múltiple, pero basta señalar que, de no dominar el concepto de límite el

pensamiento de los matemáticos de la época hubiera sido perfectamente posible

(nosotros ya lo hemos probado –Delgado, 1994b) un desarrollo del cálculo, con base

únicamente en el concepto actual de función continua.

En el problema de precisar esta noción, –que se veía, bien en un marco físico,

bien en uno metafísico, o en uno algebraico– intervino el matemático Louis Arbogast.

Realmente él no proporciona una nueva definición de continuidad, se apoya en la

definición euleriana. Y sólo hace algunas precisiones pero, y esto es el aporte

importante, lo hace en un marco geométrico. Así, indica que la continuidad se debe

mirar geométricamente respecto al comportamiento de la variable independiente en el

punto en que “la continuidad queda rota”:

1. La función puede cambiar de forma, es decir, la ley según la cual la función

depende de la variable puede cambiar súbitamente. Una curva formada por una

colección de varias partes de curvas distintas está en este caso. Sea la curva un trozo

de parábola de A a B, de B a C un trozo de elipse, de C a D un trozo de círculo; la

continuidad queda rota en los puntos B y C....


221

Y se pone de acuerdo respecto al marco algebraico del concepto euleriano de

continuidad las definidas por una ley.

Llamaremos curvas discontinuas tanto aquellas que están formadas por la

unión de varias partes de curvas como las que, trazadas por medio de un

movimiento libre de la mano, no están sujetas a ninguna ley en ninguna parte de su

recorrido, con tal que todas las partes de las curvas se unan unas tras otras sin

interrupción ... Por funciones discontinuas entendemos las funciones que

representan este tipo de curvas... »

Pero va más allá y, distingue un nuevo tipo de discontinuidad que conformará la clase

de funciones discontiguas en el sentido de Arbogast y que corresponde a nuestras

actuales funciones discontinuas.

2. La ley de continuidad queda rota de nuevo cuando las diferentes partes de una

curva no se unen entre sí sin interrupción ... A las curvas de este tipo la llamaremos

curvas discontiguas, porque no todas sus partes se unen bien, o no son contiguas sin


supone corresponden a curvas de esta naturaleza.»54

Los móviles de la distinción de Arbogast responden a la posibilidad de aceptar en la

solución de ecuaciones en derivadas parciales, funciones “discontinuas” que tuvieran

derivadas discontiguas en puntos aislados.

La primera definición de continuidad fue dada por Bolzano entre 1817 y 1818; hacia

intervenir todos los puntos de un intervalo:

f(x) es continua en un intervalo si en cualquier x del intervalo la diferencia

f(xw)f(x) se puede hacer tan pequeña como se desee tomando w suficientemente

pequeña. (Kline, 1992, p. 1225)

El concepto se puede aplicar a funciones “arbitrarias”. Es decir se vuelve un concepto

operativo que interviene y permite realizar demostraciones, gracias al uso de

desigualdades y a su carácter aritmético. No obstante, la definición es imprecisa pues,

¿qué significa “suficientemente pequeña”?, ¿”tan pequeña como se desee”? son

términos subjetivos que por lo tanto pueden depender del observador. Los

cuantificadores y su orden están implícitos en el lenguaje natural empleado.

Llamaremos a esta noción concepción de Bolzano de continuidad y escribiremos

C(B) para referirnos a ella en adelante. Esta concepción la caracterizamos como

global, aritmética; se aplica a funciones de variable real y valor real; su estatuto es

matemático.

En Cauchy, de acuerdo con la cita de Kline, la continuidad se plantea en

términos de infinitésimos o lo que es equivalente, en términos de límites, como sigue:

Sea f(x) una función de la variable x, supóngase que para cada valor de x que se

encuentre entre dos límites [cotas] dados, esta función toma constantemente un

valor finito y único. Si, empezando con un valor de x contenido entre estos dos

límites, se asigna a la variable x un valor infinitamente pequeño, la función misma

tomará como incremento la diferencia f(x)f(x), el cual dependerá al mismo

tiempo de la nueva variable y del valor x. Garantizado esto, la función f(x) será

entre los dos límites asignados a la variable x, una función continua de la variable

si, para cada valor de x que se encuentre entre estos dos límites, el valor numérico

de la diferencia f(x) f(x) decrece indefinidamente con el de . En otras palabras,

la función f(x) permanecerá continua con respecto a x entre los dos límites dados,

54 (Arbogast, L., 1791, pp. 9-10; Citado por Grattan-Guinness, 1984, p. 137)


222

si, entre estos limites, un incremento infinitamente pequeño de la variable produce

siempre un incremento infinitamente pequeño de la función misma.

También decimos que la función f(x) es una función continua de x en la

vecindad de un valor particular asignado a la variable x, siempre que sea continua

[la función] entre estos dos límites de x, no importe cuan cercanos estén, los cuales

encierren el valor en cuestión». Entonces se dice que f(x) es discontinua en x si no

es continua en todo el intervalo alrededor de x

La cursiva del texto no es nuestra, y lo que ella expresa en términos de

infinitésimos –infinitamente pequeño se debe entender en el trabajo de Cauchy, en

términos de indefinidamente pequeño y límites– es equivalente a decir que f es

continua en un intervalo si el límite de la variable f(x) cuando x se aproxima a x0 es

f(x0), para todo x0 en el intervalo. En la formulación de Cauchy se destaca el cambio

de la noción global de continuidad que se manejo anteriormente a una definición

local. De esto es perfectamente consciente Cauchy y por ello en punto aparte define el

carácter local de la definición. Llamaremos a la noción asociada a esta definición

concepción de continuidad de Cauchy y la notaremos C(C) para referirnos a ella. Esta

concepción tiene un carácter local, aritmético, se aplica a funciones y su estatuto es

matemático.

Weierstrass define la continuidad, diciendo que la función f es continua, en

ciertos límites de x,




(Boyer, 1959, p. 287)

Eliminando, de esta manera la vaguedad de la frase «se hace y permanece menor que

cualquier cantidad dada», que Bolzano y Cauchy usaron en sus definiciones.

Heine, influenciado por las lecturas de las notas de su profesor Weierstrass

escribió, en 1872, esta definición en la forma:

Si para cualquier dado, puede ser encontrado un 0 tal que para 0 , la

diferencia f(x)f(x) es menor en valor absoluto que (Boyer, 1959, p. 287)

O como se conoce en la actualidad la definición de Weierstrass: f(x) es continua en

xx0 si dado cualquier número positivo , existe una tal que para todo x, del

dominio de f, en el intervalo xx0, se tiene que f(x)f(p). Que se escribe

empleando los símbolos lógicos y la teoría de conjuntos en la forma: f es continua en

x p

(0) (0 (xDf (xpf(x) f(p)))) (1)

Esta definición se caracteriza como: local, aritmética; se aplica a funciones y su

estatuto es matemático. A las concepciones ligadas a la definición de Weierstrass las

llamaremos concepciones Weierstrasiana de continuidad y la notaremos C(W).

El continuo numérico. El continuo real es completado por Weierstrass y adquiere un

estatuto matemático. Si embargo su institucionalización final será alcanzada con los

trabajos de Cantor y Dedekind que al dar una definición de los números reales, hacen

explícita su estructura como un conjunto perfecto55

y conexo.

55

Es decir, un conjunto cerrado sin puntos aislados

Resultados del período (400-1880)

223

1.7 RESULTADOS DEL ESTUDIO EN EL PERÍODO (400-1880)

Siguiendo el procedimiento empleado para analizar el período griego, responderemos

las preguntas referentes a:

A) La innovación o variación conceptual.

B) Los procedimientos de selección.

C) La relación entre cambio conceptual y unidad de la disciplina.

distinguiendo tres momentos en los que se concretan los progresos alcanzados en la

evolución del concepto de continuidad durante ciertos intervalos de tiempo. Estos

momentos son:

tER (tiempo de reconstrucción de las nociones griegas y replanteamiento del problema del

continuo): comprende los periodos de la Edad Media y Renacimiento.(400-1600,

aproximadamente)

tF (tiempo de la fundación del cálculo): cubre el siglo XVII y la primera mitad del siglo

XVII, aproximadamente.

tD (tiempo de la definición de los conceptos fundamentales del análisis matemático):

abarca la centuria que va de 1780 a 1880, aproximadamente.

En cada uno de estos momentos nuestra caracterización de las concepciones –de la

continuidad– que se movilizan, en principio implícitamente y luego se hacen explícitas en

definiciones concretas, es la siguiente:

1. En el tiempo de reconstrucción de las nociones griegas y replanteamiento del

problema del continuo (tER)

Durante el período que comprende la Edad Media y el renacimiento el problema (P1)

del continuo que plantearon los griegos y que hemos enunciado en la pregunta


no pudo ser resuelto; el continuo dominante fue el continuo euclideo Ce (ver, resultados

del período griego) cuya estructura rechaza la consideración de indivisibles, reduciendo el

continuo a lo geométrico como representación ideal del continuo generado por

movimiento.

La concepción de continuidad que llamaremos continuidad primitiva, aparece ligada a

Ce.

C(P) (concepción de continuidad primitiva). Aristóteles la expresó en los siguientes

términos:


cualesquiera son uno y el mismo y están, como la palabra misma continuo

implica, juntos" (Kline, 1992, p. 84).

Esta misma idea aparece, implícitamente, en los razonamientos y procesos que

empleaban los matemáticos en la Edad Media y el renacimiento. La continuidad es


224

sugerida por la experiencia sensorial y los modelos abstractos provienen de la

geometría. Lo continuo, es el espacio y el tiempo; se genera por el movimiento; no

esta constituido por indivisibles ni se puede obtener por tales agregados. Lo

discreto, no continuo, corresponde al reino de los números.

Caracterización: es una concepción, global, geométrica, se aplica a

grandezas y curvas. Su estatuto es protomatemático.

Es necesario aclarar que si bien la concepción euclidiana del continuo fue dominante

en la época, no obstante, coexistieron las concepciones del continuo pitagórico Cp y

particularmente activa estuvo la concepción arquimediana Ca, que planteaba ya en la

época de lo griegos antiguos el manejo de los indivisibles como una forma de calcular el

límite. El problema que inquieto a los matemáticos que al final de la edad media

empleaban los indivisibles fue

P2 :¿Existen realmente los indivisibles?

Pregunta que, vuelve a sobre el problema P1 de los griegos y que sólo sería resuelta en el

siglo XIX. Sin embargo, la polémica que surgió y el descubrimiento de los planteamiento

de Pitágoras-Platón, llevó durante el renacimiento a un cambio respecto a la visión de las

matemáticas que permitió la libre especulación y constituyó un estímulo para la creación

del Cálculo a finales del siglo XVII.

2. La continuidad en el tiempo de la fundación del cálculo siglos XVII–XVIII (tF)

Durante este período los matemáticos no se preocuparon por los problemas de la

fundamentación. Ayudados por las nuevas ideas filosóficas que pernearon la actividad

intelectual en el renacimiento se dedicaron a desarrollar libremente el método de los

infinitesimales que constituyó la primera versión del Cálculo. En este contexto se

manejaron implícitamente tres concepciones de la continuidad cuyos representantes fueron

Newton, Leibniz y Euler.

En Newton la idea de continuidad está implícita en sus variables que llamó “fluentes”

estos variaban dependiendo del tiempo de manera continua. Esta idea de la continuidad

aparece en el Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum, escrito en 1672 pero que se

publicó en 1736.

En este trabajo dice que considera sus variables como generadas por el movimiento

continuo de puntos, rectas y planos, más que como agregados estáticos de elementos

infinitesimales,... Ahora, una cantidad variable la llama fluente y a su cambio relativo

fluxión. (Kline, 1992, p.478)

Esta vaga idea de continuidad es el concepto base de la noción de paso al límite que

se aplicaba en el método de las fluxiones.

C(N) (concepción de continuidad en Newton): La continuidad es sugerida por el

movimiento. Una curva es continua si se puede dibujar de un solo trazo.

Caracterización: es una concepción geométrica, global, se aplica a curvas y

sus estatuto es protomatemático.

En Leibniz la concepción de continuidad es implícita y metafísica. Se basa en lo que

él denominó “principio de continuidad”. Este principio, permite a Leibniz obtener lo

continuo a partir de diferencias finitas que se agotan exhaustivamente hasta llegar al punto


225

en que se aplica el resultado al último caso. No se trata, pues, de cantidades evanescentes

como los infinitesimales de Newton. Para Leibniz el infinito y el infinitesimal

significan meramente cantidades que se pueden tomar tan grandes o pequeñas como se

desee para mostrar que el error en que se incurre es menor que cualquier numero que

pueda fijarse de antemano –esto es que no hay error.56

(Boyer, 1959, p.219)

En este contexto, mucho más abstracto, la continuidad de una curva en Leibniz depende de

la naturaleza de los elementos involucrados en el proceso; sea por movimiento del punto

que genera una curva continua, sea por la suma infinita de diferencias infinitesimales de

infinitas partes continuas. Así, por ejemplo, de acuerdo al principio de continuidad, no es

posible trazar una curva de un punto a otro sin cubrir todos los puntos intermedios de

manera continua obteniendo así una trayectoria igualmente continua. En el cálculo de

Leibniz, la continuidad es el concepto base del método de paso al límite.

C(L) (concepción de continuidad en Leibniz): es una concepción metafísica que se

deriva de su ley o “principio de continuidad”:

«en cualquier supuesta transición que acaba en un término, es válido elaborar un

razonamiento general en el que el término final esté incluido»57

Caracterización: es una concepción global, geométrica, se aplica a curvas y

su estatuto es protomatemático.

La continuidad en Euler cambia de marco conceptual. Hasta Euler el calculo consistía

en la aplicación de métodos analíticos para resolver los problemas relacionados con curvas

y se aplicaban a cantidades geométricas variables que se relacionaban por medio de

ecuaciones. Este marco geométrico, resultó insuficiente cuando los problemas se hicieron

más complicados y las ecuaciones más intrincadas. Así, el origen geométrico de las

variables se hizo cada vez más remoto y el cálculo se centró sobre las fórmulas o

expresiones algebraicas. Se pasa entonces del cálculo en un marco geométrico al cálculo

en el marco algebraico.

Euler toma conciencia del concepto de función, lo define y destaca su papel e

importancia en el método de los infinitesimales. En adelante el cálculo se ocupa de

funciones. Las funciones se obtenían por las operaciones algebraicas y paso al límite; sus

expresiones se denominaron “expresiones analíticas” para denotar que se originan en tales

operaciones.

C(E) (concepción de continuidad en Euler): era una noción centrada en la forma. Es

decir, en su expresión analítica, más que referida a una cierta propiedad aritmética

entre las variables.

Por función continua, Euler, como Leibniz y otros pensadores del siglo XVII,

entendía una función especificada por una fórmula analítica; su término «continua»

significa en realidad «analítica» para nosotros, excepto en lo que se refiere a una

discontinuidad excepcional como en y1/x. (Kline, 1992, p.540)

Así, la definición de continuidad está determinada por la definición de función

dada en su Intructio en 1748 que dejaba por fuera las funciones arbitrarias. Más

tarde, en 1755 en su obra «Institutiones calculi differentialis», Euler modifica la

56 Philosophische Schritten, VI, 90. (citado en Boyer, 1959, p. 215)

57Leibniz, Early Mathemathical Manuscripts, pp. 147 (referncia en Boyer, 1959)


226

definición de función por una más general que admitía las curvas “arbitrarias” y se

libera de la definición “analítica”. Sin embargo, la definición inicial es resistente y

no logra ser superada. Así, en 1763, expresa la continuidad utilizando imágenes

geométricas:

[...],suponiendo no solamente que la relación entre las coordenadas de todos los

puntos de una tal curva [continua] están determinados por una sola y la misma ley

o ecuación, pero también que:

«Todas las partes de la curva [continua] sean unidas por la línea lo más

estrechamente posible, a fin de hacer imposible todo cambio en ellas sin desordenar

la línea de continuidad »

[...]. En cuanto a las curvas discontinuas Euler las define como:

«Todas las curvas que no son definidas por ninguna ecuación definida, de la suerte

que uno acostumbra a trazar por el movimiento libre de la mano»


Caracterización: Es una concepción, global, aritmética y geométrica, se

aplica a curvas y funciones, y su estatuto es paramatemático –un concepto que se

tiene conciencia de él, se le nombra, pero que aun no es objeto de estudio en sí

mismo.

El final de este período, en el cual se utilizaron implícita y libremente los conceptos

base del cálculo, lo marca las críticas de Berkeley

Y qué son estas fluxiones? ¿Las velocidades de incrementos evanescentes? ¿Y qué son

estos mismos incrementos evanescentes? No son ni Cantidades finitas, ni Cantidades

infinitamente pequeñas sin ser tampoco una simple nada. ¿No podríamos llamarlos los

Fantasmas de las Cantidades desaparecidas? (The Analyst, p.35)

que llevan a plantear las preguntas respecto al método infinitesimal

P3 :¿Existen las cantidades infinitamente pequeñas?

P4 :¿Se puede garantizar que es seguro el uso de cantidades infinitamente

pequeñas en el cálculo?.

P5 :¿Existen razones primeras y últimas?.

Estas preguntas constituyen verdaderos replanteamientos de los desarrollos a

P2 : ¿Existen realmente los indivisibles?

planteada al final de la Edad Media.

Todas estas cuestiones no son más que desarrollos del problema que plantearon los

griegos

P1 : ¿Cuál es la relación entre lo discreto y lo continuo?

que como hemos visto, los éxitos en el uso de los infinitesimales en el estudio de la

variación –en la Edad Media, Renacimiento y en los siglos diecisiete y dieciocho–

plantean de más en más, la necesidad de dar una respuesta a esta importante pregunta para

así poder fundamentar una de las invenciones teóricas más importantes de la historia

humana, el cálculo.


227

3. La continuidad en el tiempo de la definición de los conceptos fundamentales del

análisis matemático 1780-1880 (td)

Este período se caracterizas por los esfuerzos en dar respuesta a los interrogantes que

surgieron desde los griegos. En este contexto, el concepto que expresó Euler respecto a la

continuidad se revela insuficiente ante la exigencias de una explicación más

fundamentada. La concepción de Euler vincula la continuidad (definida por la expresión

“analítica”) con los procesos de paso al límite. Sin embargo, este vínculo es oscuro y si se

quiere formal; de allí, en parte, los errores y descuido respecto a las caracterizaciones de

funciones que se derivaban de las series.

Lagrange, intenta resolver el problema de la fundamentación por medio de un método

algebraico que no hace intervenir los infinitesimales y al parecer fundamentado en una

concepción de continuidad como una propiedad de aproximación, implícita en sus

demostraciones en las que intervenían las series de Taylor. Su fracaso impidió un posible

desarrollo del cálculo con base en la continuidad. La fundamentación se realizó, entonces,

en sentido inverso: la idea base será el concepto de límite y en función de éste se define la

continuidad. Por supuesto que esta fundamentación requiere del establecimiento del

continuo numérico, pero para ello se tendría que esperar hasta Cantor y Dedekind.

Por otra parte, los problemas que se enfrentaban como el de la cuerda vibrante llevó a

precisar cada vez más los conceptos de función y continuidad. Este problema condujo al

planteamiento de la pregunta

P6: ¿Que tipo de funciones f y g se pueden admitir en la fórmula

yf(xat)g(xat) donde y es solución de la ecuación diferencial de la

cuerda vibrante.?

Algunas de las respuestas que se dieron no se podían comprender en el marco de la

definición algebraica de Euler. Por ello después de su muerte, en 1817 la Academia de San

Petesburgo propuso aclarar si las funciones arbitrarias que se obtenían por integración de

ecuaciones diferenciales, representan: “cualquier curva o superficie bien sea algebraica o

trascendente, bien sea mecánica, discontinua o producida por un movimiento voluntario de

la mano; o bien si estas funciones incluyen sólo a las curvas continuas representadas por

una ecuación algebraica o trascendente”.58

Louis Arbogast elaboró un trabajo para dar una

respuesta. En realidad allí no se propone una definición diferente de la continuidad de

Euler. Pero, se hacen algunas precisiones que permite comprender en la definición a las

curvas arbitrarias. Tiene la importancia de ubicar el problema de la continuidad en un

marco geométrico. Esto permitiría focalizar la atención en el carácter local de la noción de

continuidad.

C(A) (concepción de continuidad en Arbogast)

1. La función puede cambiar de forma, es decir, la ley según la cual la función

depende de la variable puede cambiar súbitamente. Una curva formada por una

colección de varias partes de curvas distintas está en este caso. Sea la curva un trozo de

parábola de A a B, de B a C un trozo de elipse, de C a D un trozo de círculo; la

continuidad queda rota en los puntos B y C....

58 Grattan-Guinness, 1984, p. 137


228

Llamaremos curvas discontinuas tanto aquellas que están formadas por la unión

de varias partes de curvas como las que, trazadas por medio de un movimiento libre de

la mano, no están sujetas a ninguna ley en ninguna parte de su recorrido, con tal que

todas las partes de las curvas se unan unas tras otras sin interrupción ... Por funciones

discontinuas entendemos las funciones que representan este tipo de curvas...

2. La ley de continuidad queda rota de nuevo cuando las diferentes partes de una

curva no se unen entre sí sin interrupción ... A las curvas de este tipo la llamaremos

curvas discontiguas, porque no todas sus partes se unen bien, o no son contiguas sin


supone corresponden a curvas de esta naturaleza.59

En el numeral (1) Arbogast define geométricamente la continuidad exigiendo que la curva no tenga

cambios “súbitos” de dirección. En los puntos en que ocurra lo contrario la función es discontinua

en el punto donde los cambios tengan tal carácter. En el numeral (2), queda claro que la

continuidad exige que las partes “se unan bien”. En caso contrario la función será discontigua.

Caracterización: La concepción es local, geométrica, se aplica a curvas

arbitrarias y funciones. Su estatuto es paramatemático.

En Bernard Bolzano, el estatuto de la noción de continuidad pasa a ser matemático.

Bolzano realiza un trabajo de sistematización de las matemáticas dejando desde un

comienzo clara su posición respecto a lo que para él constituía el objeto y método de la

matemática como disciplina científica: la matemática es la ciencia del objeto en general,

pero más que por los objetos que ella trata su unidad como disciplina científica esta dada

por la naturaleza de sus proposiciones, así,



(Sabestik, 1990, p. 398)

Esto implicó un nuevo orden en las matemáticas y significó la ruptura total con la

concepción escolástica de las matemáticas. En este marco la concepción de continuidad de

Bolzano es la siguiente

C(B) (Concepción de continuidad en Bolzano): Bolzano define la continuidad, entre

1817 y 1818, de la siguiente manera

f(x) es continua en un intervalo si en cualquier x del intervalo la

diferencia f(xw) f(x) se puede hacer tan pequeña como se desee

tomando w suficientemente pequeña. (Kline, 1992, p. 1225)

Esta definición se aleja de los orígenes cinemático o geométricos para ser ahora una

propiedad aritmética

Caracterización: es una concepción local, aritmética, se aplica a funciones

numéricas y su estatuto es matemático.

Agustín Cauchy, considerado el fundador del Análisis matemático, en el Cours

d’analysi, publicado en 1821, define el conceptos de variable función y límite. Luego con

base en estas definiciones define cantidad infinitamente grande e infinitésimo resolviendo,

en parte, las preguntas P2 a P5 quedando por resolver el problema de circularidad de su

definición de límite. A continuación define la continuidad en términos del límite:

C(C) (concepción de continuidad en Cauchy):

59 Arbogast, L., 1791, pp. 9-10; citado por Grattan-Guinness, 1984, p. 137


229

[...] «Sea f(x) una función de la variable x, supóngase que para cada valor de x que se

encuentre entre dos límites [cotas] dados, esta función toma constantemente un valor

finito y único. Si, empezando con un valor de x contenido entre estos dos límites, se

asigna a la variable x un valor infinitamente pequeño, la función misma tomará como

incremento la diferencia f(x+)-f(x), el cual dependerá al mismo tiempo de la nueva

variable y del valor x. Garantizado esto, la función f(x) será entre los dos límites

asignados a la variable x, una función continua de la variable si, para cada valor de x

que se encuentre entre estos dos límites, el valor numérico de la diferencia f(x+)-f(x)

decrece indefinidamente con el de . En otras palabras, la función f(x) permanecerá

continua con respecto a x entre los dos límites dados, si, entre estos limites, un

incremento infinitamente pequeño de la variable produce siempre un incremento

infinitamente pequeño de la función misma.

También decimos que la función f(x) es una función continua de x en la vecindad

de un valor particular asignado a la variable x, siempre que sea continua [la función]

entre estos dos límites de x, no importe cuan cercanos estén, los cuales encierren el

valor en cuestión». Entonces se dice que f(x) es discontinua en x si no es continua en

todo el intervalo alrededor de x (Kline, 1992, p. 1256)

La cursiva, que no es nuestra, expresa que en esta definición infinitamente

pequeño se debe entender en términos de límites de acuerdo a las definiciones de

cantidades infinitecimales que se daban en el mismo texto. Es decir, en términos

actuales la definición de Cauchy es equivalente a decir que f es continua en xx0 si,

00lim ( ) ( )

x xf x f x

Caracterización: es la misma que la concepción de Bolzano; local, aritmética

y se aplica a funciones. Su estatuto es matemático.

El problema lógico de la definición de límite que ya hemos anotado fue resuelto por

Karl Weierestrass introduciendo una definición de número irracional independiente de la

definición de límite. Weiestrass define el concepto de variable continua recurriendo a

consideraciónes puramente aritméticas. En la misma dirección define la continuidad. Este

trabajo lo realizó entre 1846 y 1856 pero sólo se conoció en 1859.

C(W) (concepción de continuidad en Bolzano): Weierstrass define la continuidad

afirmando que, la función f es continua en ciertos límites de x




(Boyer, 1959, p. 287)

Caracterización: corresponde a una concepción, local, aritmética, se aplica a

funciones “arbitrarias”. Su estatuto es matemático.

Esta definición supera la vaguedad de la frase «se hace y permanece menor que cualquier

cantidad dada», que Bolzano y Cauchy usaron en sus definiciones.

Heine, influenciado por las lecturas de las notas de su profesor Weierstrass escribió,

en 1872, esta definición en una forma más próxima a la actual.

C(H) (Concepción de continuidad en Heine)

Si para cualquier dado, puede ser encontrado un 0 tal que para 0 , la

diferencia f(x)f(x) es menor en valor absoluto que (Boyer, 1959, p. 287)

Caracterización: corresponde a la misma de Weierstrass.


230

La definición de Weierstrass se corresponde exactamente con la definición que se

reconoce en la actualidad como la definición de Weierstrass: f(x) es continua en x x0 si

dado cualquier número positivo , existe una tal que para todo x, del dominio de f, en el

intervalo xx0, se tiene quef(x) f(p). Que se escribe empleando los símbolos

lógicos y de la teoría de conjuntos en la forma: f es continua en x p

(0) (0 (xDf (xpf(x) f(p))))

A) La Innovación o Variación Conceptual.

Para facilitar el análisis de las variaciones del concepto de continuidad a lo largo de

todo el período (400-1880), organizaremos las concepciones en grupos representativos que

por sus características y relaciones con los conceptos vecinos: infinito, continuo numérico,

variable, función, límite, infinitesimal; presenten variaciones como resultado de la

superación de un conocimiento anterior que por las exigencias de una nueva problemática

se revela insuficiente, pero que opone resistencia a su modificación. Es decir en términos

de las concepciones que necesitan superar obstáculos epistemológicos y por lo tanto

implican rupturas con modelos previos. Estos grupos son:

C(P) (concepción de continuidad primitiva): implícita en los Griegos antiguos,

dominante en la edad media y renacimiento. En términos de Aristóteles esta

noción se expresa:


cualesquiera son uno y el mismo y están, como la palabra misma continuo

implica, juntos (Kline, 1992, p. 84).


grandezas y curvas. Su estatuto es protomatemático.

C(N-L (concepción de continuidad en Newton y Leibniz) concepciones justificadas por un

principio general comprendido por el principio de continuidad de Leibniz

en cualquier supuesta transición que acaba en un término, es válido elaborar un

razonamiento general en el que el término final esté incluido

La continuidad puede entonces, provenir de sugerencias físicas o geométricas y el

razonamiento se acepta en virtud del principio de continuidad. Lo continuo se

genera por el movimiento: el movimiento de un punto genera una trayectoria

continua –obviamente en virtud del principio de continuidad–. Similarmente, una

curva es continua si se puede dibujar de un solo trazo.


trayectorias y curvas. Su estatuto es protomatemático.

C(E-A) (concepción de continuidad en Euler y Arbogast). En esta concepción la

continuidad se deriva de la unicidad de la representación analítica o de la

contiguidad de las partes de una curva “suave”. Una función puede ser continua a

trozos (donde no cambia su ley de formación o sus partes se unen bien sin cambios

“súbitos” de dirección.

Caracterización: es una concepción, global, Aritmética y geométrica, se

aplica a funciones y curvas arbitrarias. Su estatuto es paramatemático.


231

C(B-C) (concepción de continuidad en Bolzano y Cauchy ). En esta concepción la

continuidad se define en términos del concepto de límite: f es continua en xx0 si,

f(x0) existe y

00l im ( ) ( )

x xf x f x

Caracterización: es una concepción local, aritmética y se aplica a funciones.

Su estatuto es matemático.

C(W) (concepción de continuidad en Weierstrass). En esta concepción la continuidad se

define como una propiedad de la función en un punto que se define estáticamente:

f es continua en xp si,

(0) (0 (xDf (xpf(x) f(p))))

Caracterización: es una concepción local, aritmética y se aplica a funciones.

Su estatuto es matemático.

Consideraremos las siguientes variaciones:

V1: variación de continuidad primitiva C(P) a continuidad en Newton y Leibniz

C(NL).

V2: variación de C(NL) a continuidad en Euler y Arbogast C(EA).

V3: variación de C(EA) a continuidad en Bolzano y Cauchy C(BC).

V4: variación de C(BC) a continuidad en Weierstrass C(W).

A.1. Los factores causales de la variación .


El redescubrimiento, de las ideas de Pitágoras y Platón que permiten la

superación de la visión de los Escolásticos respecto de las matemáticas; como

también de los trabajos de Arquímedes que lleva a desarrollar el método de los

infinitesimales.

La ampliación del continuo numérico

El desarrollo de un sistema simbólico en álgebra

La construcción del método de las coordenadas

La aceptación de cantidades infinitesimales e infinitamente grandes.

El cambio de estatuto del concepto de función. (de protomátemático a

paramatemático)


De la ruptura definitiva del paradigma aristotélico respecto a la relación entre

cualidad y magnitud.

La aceptación del álgebra como instrumento útil para el estudio de las curvas

El cambio de estatuto del concepto de función (de paramatemático a matemático)

El carácter algebraico de las funciones se vuelve más complejo y difícil de

imaginar geométricamente.


232

La aceptación de los procesos infinitecimales como método válido para calcular

La necesidad de entender qué significaba una suma infinita (funciones definidas

por series. i.e., paso al límite)


La necesidad de dar fundamentación matemática a las ideas del cálculo

(encontrar las respuestas a los problemas P3 , P4 P5 ).

Una nueva visión del objeto y método de la matemática (Bolzano)

El cambio de estatuto del concepto de límite (de paramatemático a matemático)

La aceptación de la definición general de función de Euler (1755)


La necesidad de establecer una definición independiente de todo llamado a la

experiencia sensorial.

Los refinamientos de las definiciones de variable y función

La definición de número real

A.2. Respecto al rigor y lentitud del cambio de estatuto de las nociones:

Recordemos que el análisis se realiza con base al concepto de obstáculo

epistemológico de Bachelard y la noción de estatuto (protomatemático,

paramatemático y matemático) dada por Chevallard para indicar los niveles de

institucionalización del concepto. Para simplificar la escritura, señalaremos un

obstáculo epistemológico originado por una concepción A, donde A es una

codificación de la descripción de la naturaleza de la concepción en la forma O(A),

donde O indica que se trata de un obstáculo epistemológico y la letra entre el

paréntesis el código de su característica.

Otro punto a tener en cuenta es el siguiente: dado que la continuidad está

íntimamente relacionada con el concepto de límite, es de esperar que ella comparta

algunos obstáculos con este concepto. Por esta razón trataremos, en lo posible,

clasificar los obstáculos relativos a la continuidad de acuerdo al patrón establecido

por Sierpinska (1985) en relación a los obstáculos del segundo concepto. Hechas estas

aclaraciones, procedamos al análisis.

La variación V1 no conduce al cambio del estatuto protomatemático de la

concepción primitiva. La noción de continuidad aún en Newton y Leibniz

permanece implícita. Los matemáticos se apoyan en ella para aplicar sus

métodos infinitesimales manipulando ecuaciones y desarrollos en series de forma

algebraica. Es un conocimiento que, en términos de Piaget, se encuentra a nivel

de la acción sin que se tenga conciencia de las propiedad intrínsecas que hacen

de él un objeto conceptual, o en términos de Dubinsky, el concepto aún no se ha

constituido en un objeto que la mente pueda manipular como un elemento.

La variación V2 indica el cambio de estatuto protomatemático [C(NL)] a

paramatemático. Euler y Arbogast definen la continuidad C(EA).


233

Las razones de la lentitud de institucionalización de las concepciones C(P) y

C(NL) se explica en términos de los siguientes obstáculos epistemológicos que

nosotros hemos identificado:

0. O(O) (obstáculo relativo a la ontología de las matemáticas) Se origina en una creencia

respecto al objeto y método de la matemática.

Aristóteles consideró las matemáticas como una abstracción idealizada de la ciencia

natural, y como tal las premisas y definiciones no fueron arbitrarias, sino fueron

determinadas por nuestra interpretación del mundo de la percepción sensorial. (Boyer,

1959, p. 302)

Desde entonces, esta creencia se hizo general y sólo hasta el siglo XIX pudo ser

superada (Bolzano). En consecuencia con ella, los conceptos permitidos eran sólo aquellos

consistentes con la experiencia sensorial; un concepto es excluido, no tanto a causa de la

demostración de alguna inconsistencia lógica, sino a causa de una supuesta

incompatibilidad con el mundo de la naturaleza, del cual las entidades de las matemáticas

se derivan por una disociación de propiedades irrelevantes. Así, la continuidad depende

de la coincidencia extremidades y de la cualidad de ser una sola cosa, como la percepción

parece indicar. En resumen:

Las matemáticas eran la lógica de las relaciones, pero la naturaleza de éstas eran

completamente determinadas por postulados los cuales, a su vez, estaban dictados por

la evidencia de la experiencia física. (Ídem.)

Son ejemplos de este obstáculo las concepciones implícitas de variable, función,

continuidad y límite. Su presencia se hace más evidente en las primeras definiciones de

estos conceptos.

En nuestra exposición histórica fácilmente se puede encontrar evidencia de los errores

que esta concepción origina y observar la resistencia a la modificación de tales conceptos

embrionarios ligados a la experiencia sensorial.

Este obstáculo agrupa un conjunto constituido por tres subconjuntos de otros

obstáculos más específicos relativos al concepto de continuidad propiamente dicho. Ellos

son:

I. O(H): obstáculos relativos a la noción de infinito; “horror al infinito”

II. O(F): obstáculos relativos a la noción de función

III. O(L): Obstáculos lógicos

Los elementos de estos subconjuntos se manifiestan progresivamente de acuerdo

a las variaciones conceptuales y los cambios de estatuto; por esta razón los

caracterizaremos en el momento en que ellos se presenten.

I. O(H) (obstáculos relativos a la noción de infinito: “horror al infinito”). Este obstáculo

ha sido reportado por Sierpinska (1985) con relación al concepto de límite.

“Horror al infinito” es una expresión atribuida a George Cantor:

El horror al infinito es una forma de miopía que impide ver el infinito actual, aunque,

en su forma superior este infinito nos haya creado y nos conserva y en sus formas

secundarias transformadas él se manifiesta todo entorno de nosotros y va hasta habitar

nuestros espíritus (George Cantor, G, Gesammelte Abhandlungen, 1932)


234

Es un esquema conceptual que tiene su origen en la experiencia sensorial; lleva a

buscar alternativas a cuestiones en las que el infinito actual es necesario para su

solución, pero tal decisión permanece inconsciente debido a que el obstáculo “impide

ver el infinito actual”.

En el caso del cambio de estatuto de las concepciones C(P) y C(NL), que en

este momento nos ocupa, éste es uno de los obstáculos responsables de su lentitud y

se hace presente en el elemento de este grupo (I) que notaremos I.1. y que a

continuación describimos:

I.1 (La continuidad no es una propiedad aritmética ). Es un esquema conceptual, que

tiene como modelo de continuidad las imágenes que se derivan de lo sensorial: el

espacio y el tiempo. La trayectoria de un objeto que se mueve es algo continuo,

una superficie, etc. Está presente en el tiempo de Euclides asignando lo continuo

a lo geométrico en tanto que los números representan lo discreto. En esta

concepción, la continuidad se verifica siguiendo procedimientos que eluden el

infinito actual. Nosotros la encontramos en la concepción primitiva de

continuidad y las concepciones de Newton y Leibniz – C(P) y C(NL)–

Otro obstáculo que actúa sobre la variación V1, pertenece al subconjunto de

obstáculos relativos al concepto de función [grupo II. O(F)].

II. O(F): (Obstáculos relativos al concepto de función). El cálculo es un método que se

aplica a funciones. Para comprender la naturaleza de los conceptos base a

plenitud, es necesario que el concepto de función exista en la mente como un

objeto sobre el cual actúan los conceptos base. En nuestro estudio histórico se

observa la correlación entre los procesos de institucionalización de los pares de

conceptos (función, continuidad); (función, límite) –esta última reportada por

Sierpinska (1985)–. La primera correlación se hará explícita a medida que

avancemos en nuestro análisis. Por ahora, basta señalar que hasta que el concepto

de función no ha sido claramente establecido (definición de Dirichilet, 1837) no

se pudo liberar el concepto de continuidad ni el de límite de intuiciones

geométricas y físicas (Weierestrass, 1846–1856 y su alumno Heine, 1872)

En este subconjunto colocaremos el obstáculo ya reportado por Sierpinska (1992) y

que nosotros encontramos en la variación V1 . Lo numeraremos con II.1

II.1 (focalización en la cualidad o forma). Es un esquema conceptual que se caracteriza

por:

Mirar los cambios como un fenómeno; focalizándose en cómo la cosa cambia,

ignorando qué cambia. (Sierpinska, 1992, p. 36)

Este obstáculo se encuentra en la doctrina Aristotélica de las cualidades y de las

formas. Cualidades o formas son fenómenos tales como el calor, luz, color, velocidad,

madurez, etc. Aristóteles estudia las cualidades describiendo los cambios de estado y

no su aspecto cuantitativo, con lo cual la matemática queda excluida como

instrumento adecuado para el estudio de la cualidad. Esta situación fue superada tan

sólo en la Edad media por Grossteste, Robert Bacon y otros pensadores de la época en

el convencimiento que la matemática es el instrumento principal para estudiar los

fenómenos naturales; no sin antes tomar conciencia de que la cualidad y forma de

tales fenómenos interesa desde el punto de vista cuantitativo. Este es el primer paso

hacia la institucionalización del concepto de función: mirar qué cambia; identificar

la(s) variable(s) responsables del cambio para buscar los métodos que permitan medir

su variación.


235

Para lograr captar matemáticamente la variación es necesario conjugar la geometría y el

álgebra. La primera proporciona un sistema de representación y la segunda un método

para calcular, pero ellas por sí solas no son suficientes. Es aquí que intervendrá las

nociones de continuidad y límite (ver: 1.3.3.), es decir, el método del cálculo.

Recíprocamente, el método del cálculo sin álgebra y geometría es inconcebible.

En resumen los obstáculos que hemos descrito, pertenecientes al conjunto O(O) y a

los subconjuntos O(H), y O(F), explican el por qué de la lentitud del cambio de estatuto

de la noción de continuidad en las variaciones V1 y V2 .

La variación V3 implica el cambio de estatuto paramatemático [C(E-A)] a

matemático. Bolzano y Cauchy definen la continuidad C(B-C). Ahora señalaremos

los obstáculos que hicieron lento su cambio al estatuto matemático, propiamente

dicho. Nosotros encontramos un obstáculo relativo al concepto de función

II.2. (La continuidad es una propiedad formal ). El origen de este obstáculo es un

esquema conceptual inferido de los procesos de construcción de funciones. La

atención se focaliza la representación obtenida y no en la relación funcional de los

valores numéricos. Como consecuencia se identifica función con la ecuación. En

la época de Euler, las funciones eran obtenidas a partir de operaciones algebraicas

y de paso al límite, siendo en su mayoría “continuas” en el sentido de Euler. Esto

llevó a identificar el concepto de función con su “expresión analítica” y

“continuidad” con la supuesta unicidad de la expresión de la función. Esto

conduce a Euler, y otros matemáticos de la época, a creer que toda función tiene

una única representación “analítica” (concepción errónea). De esto se desprende

que si una curva se representa por más de una ley entonces no es continua en el

sentido euleriano.

La resistencia de este obstáculo es tal que Euler cambió su definición inicial de función en

el prefacio de su obra dedicada al cálculo diferencial y sin embargo, la nueva definición no

es empleada en el resto de la obra.

La variación V4 implica ya no un cambio de estatuto sino un refinamiento de la

definición. Weierestrass define la continuidad C(W). Respecto a los obstáculos que

hicieron lento el proceso de eliminar los vínculos geométricos y físicos de la

concepción C(B-C), nosotros encontramos los mismos obstáculos relativos al

concepto de función y los lógicos ya reportados por Sierpinska (1985) y que

mencionaremos en el apartado siguiente.

A.3. La selección de los cambios.

Nos interesa señalar ahora los factores que son responsables de que los cambios se

dieran en cierta dirección y no otra

Nosotros encontramos que hasta Cauchy coexisten dos tendencias respecto a cuáles

deberían ser los conceptos base del cálculo:

A) Los que pensaban que era necesario eliminar los infinitesimales entre ellos

Lagrange. En tal caso el concepto base debía ser la continuidad.

B) Aquellos que sostenían que el concepto base era el de límite.

Dependiendo de la elección el desarrollo del cálculo pudo ser diferente (ver nuestro

comentario en el apartado 1.6.3.)


236

La variación se produjo preferentemente en la dirección de B, en nuestro concepto,

principalmente por un factor de carácter cognitivo:

El límite es una operación matemática. Esta operación que, inicialmente, cobra vida

en la acción y permanece a nivel inconsciente en la mente de los matemáticos, reúne,

así, las condiciones, en términos de Piaget y Dubinsky, favorables para una

abstracción reflexiva cuyo producto es la constitución de un objeto conceptual: el

concepto de límite. En tanto que la continuidad no es un concepto operativo o en la

terminología de Tall no es un procepto.

B) Procedimientos de Selección.

Respecto a los procedimientos de selección de la época, por medio de los cuales se

aceptan o rechazan ciertas variantes conceptuales

B.1 Respecto a los factores que determinaron el ingreso de la variante conceptual B

i– Factores externos:

El desarrollo de las ciencias experimentales focalizado ahora en los aspectos

cuantitativos, plantea la necesidad de disponer de una herramienta práctica para

el estudio de la variación.

ii– Factores internos.

La constitución de sistemas simbólicos más desarrollados que permitieron

abstraer de los procedimientos operatorios las ideas implícitas, que conducirían a

la construcción del concepto de límite.

La superación del “horror” al infinito.

El desarrollo progresivo del concepto de función.

La constitución del continuo numérico.

B.2. Respecto a las consideraciones en que reposa la selección de la variante.

La selección ha obedecido a criterios intrínsecos a la matemática que, a partir de

Bolzano, define su objeto y método propio e independiente de consideraciones

subjetivas.

B.3. Respecto a los criterios de selección.

La matemática se ha constituido en una disciplina autónoma, el criterio de selección

obedece al principio lógico de no contradicción interna.

C) Relación Cambio Conceptual Unidad de la Ciencia.

Se llega a nueva visión de la matemática que se concreta en el establecimiento de un

nuevo campo teórico: la teoría de conjuntos. En adelante la lógica y la teoría de

conjuntos se instalan como base de la matemática pura que comprende: la aritmética,

álgebra y el análisis. Bolzano define la matemática como la ciencia de las leyes del

objeto en general

Las concepciones de los alumnos (Sierpinska)

237

2. EL ANÁLISIS DE LAS CONCEPCIONES DE LOS ALUMNOS RESPECTO

DE LOS CONTENIDOS A ENSEÑAR.

Los contenidos que nos ocupan son las definiciones - de límite y continuidad de

una función en un punto. Cada una de ellas poseen características que les son propias, pero

así mismo, comparten un núcleo matemático que es la base de su constitución. Este núcleo

está conformado por elementos conceptuales comunes como: número real, función y

vecindad de un punto. También la forma o relación entre los objetos matemáticos que

participan en las definiciones comportan la misma estructura lógica: frases cuantificadas

que expresan la continuidad de una función de una variable real en la forma

(0)( 0 (xDf (xpf(x) f(p))))

y la existencia del límite L de la función f en x=p como

(>0) (>0 (xDf (0<|xp|< |f(x) L|<)))

Ahora bien, es abundante la literatura que da cuenta de las dificultades que se

observan en los procesos de enseñanza y aprendizaje de éstas nociones, que por ser el

fundamento del cálculo, preocupan a la comunidad de los didactas y los responsables de la

educación. Estas dificultades y fracasos han sido estudiadas principalmente desde el punto

de vista de los obstáculos epistemológicos que actúan en el aprendizaje de estas nociones,

en particular, nos referimos a las ya clásicas de Cornu (1981; 1991) y Sierpinska (1985),

sobre el concepto de límite, que se sitúan dentro de la línea de investigaciones indicadas

por G. Brousseau (1983a): descubrir los obstáculos epistemológicos ligados a las

matemáticas que se enseñan en la escuela y encontrar los medios didácticos para ayudar a

los alumnos a superarlos. A continuación nos referiremos a estas investigaciones para

señalar los obstáculos epistemológicos que presentan los estudiantes de hoy.

2.1 LA INVESTIGACIÓN DE SIERPINSKA (1985)

Como ya lo hemos dicho, s un trabajo que se ubica en la línea de investigaciones

propuestas por Brousseau (1983a). En este caso, se trata de obstáculos epistemológicos

relativos a la noción de límite presentes en los alumnos. El objetivo de la investigación es

elaborar una lista de los obstáculos referidos a un «marco topológico» del concepto de

límite de acuerdo a la definición:

Si f: AY es una aplicación de un subconjunto A de un espacio topológico Y y x0

es un punto de adherencia de A, entonces se dice que L en Y es el límite de f en p

si para toda vecindad V de L en Y existe una vecindad U de x0 tal que:

0( )U

xf A V

Se trata de un estudio cualitativo en el que interviene cuatro estudiantes que trabajan

en duplas sobre las situaciones que propone el investigador. La estrategia de análisis

consiste en comparar los obstáculos presentes en la historia del concepto con los que

revelan los sujetos en la situación experimental. El análisis histórico le permitió clasificar

los obstáculos en cinco grupos:


238

I. «Horror al infinito».

II. Obstáculos ligados a la noción de función.

III. Obstáculos «geométricos».

IV. Obstáculos «lógicos».

V. El obstáculo del símbolo.

A partir de esta clasificación de los obstáculos en la historia y del análisis de la

experiencia (la que ella realizó), obtuvo una lista de obstáculos relativos a la noción de

límite presentes en los sujetos que participaron en la investigación:

La lista de obstáculos y los resultados de Sierpinska son:

I. «Horror al infinito»

La expresión de Cantor: «Horror al infinito» para referirse al problema de la

negación del infinito, es utilizada para denominar el conjunto que agrupa las diversas

formas en que se expresa la negación del estatus de operación matemática para el

paso al límite. Según Sierpinska, se trata de convencerse del hecho que:

I.1 El paso al límite es un método de demostración riguroso que elimina el problema

del infinito. Esta convicción puede ser establecida sin que ello impida a los

alumnos caer en el extremo opuesto: de aplicar un esquema riguroso a la libertad

total de elegir el razonamiento mirando el resultado, siempre que este sea

verdadero. Se encuentra las tres formas siguientes:

I.2 Un razonamiento basado en una inducción incompleta.

I.3 El paso al límite considerado como la investigación de eso de lo cual no

conocemos más que aproximaciones.

I.4 Para dar una justificación a un resultado, si uno no puede hacer las

demostraciones rigurosas, es suficiente encontrar una fórmula que describa la

situación antecedente y que permite una verificación a posteriori por un cálculo

simple.

Sierpinska se pregunta: “¿En dónde se manifiesta la eliminación del infinito?”. Y

responde: “Para una inducción incompleta es suficiente tener un número finito de

casos para extraer una conclusión general. En el caso de I.3 uno no se ocupa de un

número finito de términos de la serie, sólo de aquellos que constituyen las

aproximaciones por eso, se elimina, se renueva en la sombra casi todos los términos

de la serie”. Ella coloca en este grupo otros dos obstáculos de tipo "algebraico":

I.6 Transferir automáticamente los métodos del álgebra propios para manipular los

grandes finitos a los grandes infinitos.

I.7 Transferir las propiedades de los términos de una serie convergente a su límite

(llamado por Leibniz principio de continuidad).

I.5 El obstáculo que consiste en asociar el paso al límite hacia un movimiento físico,

de una aproximación.


239

II. Obstáculos ligados a la noción de función.

Son manifestaciones de este obstáculo:

II.1 La no distinción entre límite y extremo superior (inferior).

II.2 La concentración de la atención en la parte relacional de la función.

II.3 Reducción a funciones monótonas.

III. Obstáculos geométricos.

Se manifiesta por:

III.1 Una idea geométrica de la diferencia entre «grandeza» variable y una «grandeza»

constante que es su límite. La concepción del círculo como límite de polígonos

inscritos o circunscritos, sería un síntoma de este obstáculo. Aquí «grandeza» no

es un número. ¿Qué significa que el círculo es el límite de los polígonos?. ¿Qué

significa que la secante es «arbitrariamente cercana» a la tangente?. Es la

concepción de la diferencia lo que cuenta; en el método de exhausción el término

«diferencia» cambiaba de sentido con el cambio de grandeza en cuestión y esto

pude ser una de las razones para que el método se resistiría a la generalización.

La noción de «diferencia» tiene diferentes vestidos de acuerdo a la topología en

que se trabaje.

IV. Obstáculos lógicos

Se manifiesta por:

IV.1 Borradura de los cuantificadores. La pérdida de apreciación del papel de los

cuantificadores cuando se quiere definir el concepto de límite en la lengua

natural y no simbólica.

IV.2 No se distingue el orden de los cuantificadores. En el lenguaje común no se pone

atención al orden de las palabras que tienen consecuencia.

V. El obstáculo de símbolo.

Este obstáculo es el reflejo de la no interpretación del límite como una operación.

2.1 LA INVESTIGACIÓN DE CORNU (1981a)

Este trabajo pretende aproximar una estrategia para la enseñanza del concepto de

límite, en el sentido de Cauchy y en el inicio de la adquisición del concepto. Se parte de

dos estudios anteriores: el estudio de concepciones espontáneas ligadas a la nación del

límite (Cornu, 1980) y un estudio histórico-epistemológico (Cornu, 1981a) .

El objeto de la investigación son los obstáculos epistemológicos referidos a un

«marco aritmético» del concepto en el sentido de Cauchy: La función f tiene límite L en

xp si:

(>0) (>0 (xDf (0<|x-p|< |f(x)-L|<)))

Las concepciones de los alumnos (Cornu)

240

La investigación es un estudio de casos: se analiza el trabajo de un grupo de alumnos

en una situación de clase, cuando el profesor se propone introducir el concepto de límite.

Se supone que los estudiantes no han tenido una experiencia de enseñanza de este

concepto en el pasado.

La experiencia gira alrededor de fichas de trabajo que serán el objeto de la actividad

de la clase. Se observan dos sesiones, de dos horas cada una; en la primera hora se realiza

un trabajo individual sobre las fichas, en la segunda se realiza una discusión en grupo y

luego una puesta en común. En el curso de la primera sesión se realizan actividades de

aproximación:

— Actividad geométrica, contempla dos partes. En la primera, se trata de identificar el

círculo como el límite de polígonos regulares. En la segunda se plantea una paradoja

que surge del razonamiento sobre una figura geométrica.

— Actividad de análisis, se propone determinar la tangente a una curva (f(x)x2 en x1).

— Actividad numérica, se trata de identificar el límite de sucesiones de números

decimales.

En la segunda sesión, se propone el problema de hallar la ecuación de la tangente a la

curva ysenx en x0. Se trata de introducir el concepto de límite de forma explícita en

términos de y

La estrategia de análisis consiste en comparar los obstáculos presentes en la historia

del concepto con los que revelan los sujetos en la situación experimental.

El análisis histórico le permitió clasificar los obstáculos en cinco grupos:

1. Obstáculo de la transposición numérica.

2. Obstáculo del aspecto metafísico.

3. Obstáculo de las grandezas (conceptos de grandezas: infinitamente grandes o

pequeñas)

4. Obstáculo ¿el límite se alcanza o no?.

5. Otros obstáculos.

La lista y los resultados de Cornu.

1. Obstáculo de la «transposición numérica». Ligado a la "dificultad para desprenderse

del contexto geométrico y cinemático para trabajar no sobre las grandezas, sino sobre

los números", es decir dificultad en la aritmetización del concepto de límite.

Según Cornu, este obstáculo esta prácticamente ausente en el alumno de hoy.

2. Obstáculo del «aspecto metafísico». Ligado al problema del infinito. Se trata de eludir

el problema del infinito, el cual es visto como un concepto más metafísico que


241

matemático. ¿Existe un estado intermediario entre esto que es nulo y esto que no es

nulo?. ¿Hay un número más grande que los otros?.

Cornu afirma que es uno de los mayores obstáculos observados en los alumnos.

El infinito interviene y se rodea de misterio, los alumnos tienen dificultades que se

expresan en "creer":

«Eso no es riguroso ......... pero funciona»

«Eso no existe..................., es abstracto»

«El método es justo si uno se contenta con un valor aproximado»

Este obstáculo hace difícil la comprensión del concepto de límite de una serie, en

especial cuando el límite no puede ser calculado directamente. ¿cómo estar seguro si

el límite existe si no se puede calcular?.

3. Obstáculo de las grandezas: «infinitamente grandes o pequeñas».

Según Cornu, es el segundo obstáculo en importancia. El estudiante tiene la idea de

que existen números más pequeños que los verdaderos números, pero sin embargo no

son números. Por ejemplo:

«Se aproxima lo más posible al cero absoluto»

«Aunque A y M se tocan pero no estarán confundidos»

«Las pendientes están en un cierto momento muy poco diferenciadas, pero no son

iguales»

«El mayor número es 0.999999........... es el último número antes de 1»

4. Obstáculo «¿el límite se alcanza o no?». El autor afirma que esta cuestión es una

"fuente de obstáculos", pero no precisa cuales.

Cornu afirma que este obstáculo esta presente en el debate del aprendizaje, en la

misma forma como se encuentra en la historia. Ejemplos:

«Cuando m tiende a cero es que m puede ser igual a cero?»

«—Más n crece, más 1/n se acerca acero.

—En tanto que se quiere?.

—No, porque un día lo tocará.»

5. Otros obstáculos. Se refiere a los obstáculos que se manifiestan con "la dificultad de

pensar que una suma infinita pueda ser finita". O el problema «0/0».

2.3 COMENTARIOS FINALES RESPECTO A LOS TRABAJOS DE SIERPINSKA Y

CORNU

Respecto al enfoque de la investigación de Sierpinska, ella pone de manifiesto que en su

aproximación teórica, se interesa por los factores, en la terminología de Tall y Vinner, del

«Concept Image» que no están en conflicto con la definición formal porque como afirman

Tall y Vinner (1981) se corre el riesgo de “no provocar el conflicto cognitivo e impedir


242

seriamente el aprendizaje de la teoría formal.” Es entre estos últimos factores en

conflicto, afirma Sierpinska, que buscamos los obstáculos epistemológicos. La

terminología de Sierpinska denota una clara influencia de la teoría de equilibración

cognitiva de Piaget y los trabajos de Dubinsky, aclaramos que el término de “concept

image” aparece cuando ella comenta los trabajos de los creadores de este importante

concepto.

En cuanto a Cornu la idea base de para enfrentar los obstáculos epistemológicos se

fundamenta en la necesidad de construir situaciones matemáticas de tal manera que ciertos

elementos de las “concepciones propias” del estudiante entran en contradicción. Por

“concepciones propias”, dice Cornu, se entiende aquellas que se forman como un mezcla

de la noción matemática y de las “concepciones espontáneas” y son las que el estudiante

pone en juego en el momento de resolver un problema.

Estas concepciones propias no están definitivamente fijas: ellas pueden evolucionar con

el tiempo en un mismo alumno, en función de situaciones encontradas, de obstáculos

franqueados. De otra parte, ellas no constituyen necesariamente un conjunto coherente.

Hay entre el conjunto de concepciones propias de un estudiante, partes coherentes; pero

puede haber contradicciones entre algunas de estas partes. En un momento dado, es

decir, frente a un problema dado, el estudiante coloca o mete en obra una parte de esas

concepciones propias. Las incoherencias pueden subsistir en tanto que los aspectos

contradictorios no han sido movilizados simultáneamente poniendo así en evidencia la

contradicción. (Cornu, 1981, p. 256)

Concluyendo, respecto a la enseñanza, que:

Los obstáculos a franquear no están forzosamente dispuestos "en serie", ellos están

organizados entre si de una manera muy compleja y un tema interesante de búsqueda

podría ser el de analizar esta organización, y colocar a punto las secuencias permitiendo

de seguro al alumno en el franqueamiento de obstáculos, conociendo en cada instante

donde se esta. (Ídem.)

Las listas de obstáculos de Cornu y Sierpinska, no se pueden comparar

exhaustivamente, dado que las situaciones experimentales corresponden a marcos

diferentes de la noción (topológico uno y aritmético el otro). No obstante, coinciden en

señalar que el obstáculo del infinito es el que más se presenta. En cuanto al obstáculo

geométrico o de transposición numérica, parecen no estar de acuerdo en que este es un

obstáculo presente en el alumno actual.

Nosotros tomaremos en consideración estas listas y la que hemos elaborado respecto

a la continuidad, para contrastarlas con los obstáculos que encontremos en el análisis a

posteriori en la cuarta fase de nuestra ingeniería.

3. EL ANÁLISIS DE LA ENSEÑANZA USUAL Y SUS EFECTOS

La enseñanza usual del concepto de límite se ubica, por lo general, en un marco

algebraico. El objetivo propuesto es alcanzar rápidamente las técnicas para calcular límites

de funciones y justificar los cálculos de derivadas e integrales para luego aplicar estos

conceptos en la solución de problemas típicos. De esta manera, la enseñanza tradicional se

centra en una práctica algebraica y algorítmica del cálculo.

La enseñanza usual y sus efectos

243

El orden que se sigue en la introducción de los conceptos base es

«límitecontinuidad». Es decir, el orden histórico de fundamentación del análisis que se

impuso a partir de los trabajos de Cauchy (Cours d’ Análysi, 1821). El problema que se

presenta consiste en la dificultad para apropiar el significado de la definición de limite. La

fuente principal de los inconvenientes se encuentra, en los múltiples obstáculos

epistemológicos que habitan en la mente de los estudiantes. Ellos se activan en el

momento de apropiar el significado del concepto de límite y no tiene sentido buscar una

forma de eludirlos.

Respecto a la manera de enfrentar esta problemática se observan claramente dos

tendencias: una formalista, impulsada a raíz de la llamada reforma de las matemáticas

modernas de los años 60 que ha sido muy criticada, dando lugar a una contrarreforma en la

década de los 80, que surge en el seno de las prácticas educativas y se impulsa desde los

foros de la comunidad de los didactas (ICME, PME, Sociedades Matemáticas de

Nacionales, Seminarios Internacionales, etc.) que propone un acercamiento intuitivo a las

ideas fundamentales, especialmente en los cursos introductorios al cálculo. Estas dos

maneras de proceder son formas más o menos generalizadas que conviven en la enseñanza

actual. No obstante, los esfuerzos de los reformadores no han logrado obtener resultados

satisfactorios lo que ha motivado un gran cantidad de investigaciones didácticas al

respecto. Lo anterior se comprueba examinando la ya larga lista de los reportes de

investigación (ver, por ejemplo, Artigue, 1995; Tall, D. 1992(a)-(b)) en relación con el

concepto de límite.

Para caracterizar, lo que en nuestro concepto es el común denominador de estas dos

tendencias, consideraremos la introducción al concepto de continuidad en el texto

“Calculus”, Vol 1. de Tom Apostol. No se trata de criticar aquí este excelente libro, pero sí

dibujar las dos tendencias que mencionamos antes y las concepciones respecto a la

enseñanza que subyacen detrás de ciertas practicas.

En el texto en cuestión, se presenta en primer término una idea "intuitiva" de

continuidad, destacando la importancia del concepto, para luego pasar a definirlo en

términos del concepto de límite. Escribe Apostol:

A pesar de que el significado de la palabra «continuo» parece intuitivamente clara a

todo el mundo, no es fácil imaginarse cuál sería una buena definición de esta idea. Un

diccionario popular da la siguiente definición de continuidad:

Continuidad: Cualidad o condición de ser continuo.

Continuo: Que tiene continuidad entre las partes.

Intentar aprender el significado de continuidad únicamente a partir de estas dos

definiciones, es lo mismo que intentar aprender chino con sólo un diccionario chino.

Una definición matemática satisfactoria de continuidad, expresada enteramente por

medio de las propiedades del sistema de los números reales, fue formulada por primera

vez en 1821 por el matemático francés Agustin-Louis Cauchy (1789-1857). Su

definición, que aún se da hoy día, puede exponerse más fácil mente por medio del

concepto de límite que se introducirá a continuación60

. (Apostol, 1988, p. 156)

En todo lo afirmado tiene razón el profesor Apostol. Primero, es cierto que el

significado de la noción de «continuo» matemático no es fácil de comprender y lo que es

más grave el «continuo numérico» nada tiene de intuitivo. Carlos Romero (1993) reporta,

en su investigación sobre los esquemas conceptuales del continuo, que un alto porcentaje

60

La cursiva es nuestra.


244

de los alumnos de último año de educación secundaria «ven la recta como formada por

discos o pequeñas esferas». Esta forma de ver la recta coincide con la visión pitagórica;

para Pitágoras el espacio estaba constituido por puntos, el tiempo por instantes (átomos de

Demócrito); espacio y tiempo tenían una cualidad conocida como "continuidad", según los

pitagóricos:

Pese a que las magnitudes se pueden dividir infinitamente, los átomos son las últimas

partículas indivisibles (Kline, 1992, p. 207)

Esta concepción entró en contradicción con el descubrimiento de los

inconmensurables. A partir de entonces surgió la controversia del “continuo numérico vs.

continuo geométrico” ¡que sólo se resolvería dos mil años después! La pregunta es: ¿cómo

se procede frente a concepciones como estas?

Investigaciones como las referidas más arriba indican que en los alumnos de hoy

concepciones como la del continuo pitagórico se encuentran presentes y ya estamos

informados por los análisis epistemológicos que la idea del «continuo» en matemáticas es

altamente compleja, abstracta y nada tiene de intuitiva.

En segundo lugar, estamos de acuerdo con Apostol cuando afirma, que el concepto de

continuidad “puede exponerse más fácilmente por medio del concepto de límite” pero

recordemos: una cosa es exponer una idea y otra que los estudiantes hagan suyos los

significados propios de la matemática asociados a la idea. Los esquemas conceptuales que

poseen los estudiantes suelen jugar malas pasadas a los expositores.

La secuencia de la exposición del concepto de continuidad en el texto de Apostol es:

Una introducción “intuitiva” (visual) de la noción de continuidad. (p. 155)

Introduce el símbolo de límite. (p. 156)

Define el símbolo de límite en términos de entornos. (p. 157)

Define el símbolo de límite en términos de números reales. (p. 157)

Proporciona cinco ejemplos de aplicación de la definición (p.159-160)

Define continuidad en términos de límite. Luego, la define usando entornos y

números reales.

Esta secuencia es un excelente ejemplo de lo que se ha denominado la lógica de la

explicación, es decir parte de la estructura simbólica y lógica, propia del concepto en la

institución matemática, para luego explicar el significado. Quienes proceden de esta

manera tienen la creencia, implícita o explícita, que el conocimiento es una copia exacta

de estructuras externas que existen en un mundo independiente, que el sujeto se limita a

descubrir. Por tanto, una explicación rigurosa y lógicamente estructurada de los conceptos

es casi que suficiente para permitir la incorporación limpia, diáfana y estable de sus

significados y sentidos.

La primera consecuencia, de un tratamiento que sólo consulta el aspecto explicativo,

es que el nivel de apropiación del concepto de límite por los estudiantes, aún a nivel

universitario, es demasiado pobre como lo demuestran las investigaciones sobre el tema y

las continuas recomendaciones que se realizan en los foros internacionales sobre este

punto. La segunda, es que el concepto de continuidad queda en la sombra como un

agregado teórico que surge del concepto de límite. Si este es el estado de la enseñanza de

los conceptos base, ¿cómo se pueden captar los significados de los conceptos de derivada

e integral?


245

En la enseñanza universitaria, la lógica de la explicación es el común denominador de

dos maneras de proceder respecto a la enseñanza del concepto de límite que son el reflejo

de las tendencias que mencionamos en el inicio del apartado. Las denominamos

“instrumental” y “conceptual.” Caracterizaremos estas dos maneras o formas de enfrentar

la problemática que nos ocupa, en función de lo que los profesores aspiran de sus

estudiantes: los “conceptualistas” buscan la comprensión estructural del concepto en torno

a la definición (,); los "instrumentalistas" tienen como fin primordial la comprensión

procedimental. En términos de Anna Sfard (1991):

la comprensión procedimental: se reduce a saber calcular. Se espera que la noción

abstracta de límite se conciba en forma operacional, es decir, ligada a la acción

procedimental del sujeto, por tanto, la estructura conceptual relacionada al concepto

matemático es dinámica, secuencial y detallada. Su evocación es potencial más que

actual. Aquí la función de la noción es pensada más como un procedimiento para hacer

que para pensar en lo que se hace.

Comprensión estructural: se trata de “ver” la noción de límite como un objeto, una

estructura estática que se reconoce “con una mirada” instantánea e integrativa. Su

evocación es actual. Esta “visión” estructurada permite pensar en los procesos de límite

de forma global y focalizar la atención en aquellos elementos esenciales al concepto.

Estas concepciones de los profesores respecto a la finalidad de su enseñanza se ponen

en juego en el aula de una manera más o menos consciente de la siguiente manera:

Los que optan por la comprensión procedimental, pretenden lograrla por medio de la

manipulación instrumental o algorítmica, partiendo de una motivación de límite que

denominan intuitiva; generalmente el problema de la recta tangente o velocidad

instantánea sirven para este propósito, verbalizando luego la definición rigurosa del

concepto y dedicando todo su esfuerzo a la enseñanza de técnicas y métodos para

calcular límites.

De otro lado quienes privilegian la comprensión estructural eligen el mismo punto de

partida: una definición intuitiva y con base en ella formulan, explican y justifican la

definición de límite. Pretenden alcanzar la estructuración conceptual, haciendo

énfasis en el dominio de la técnica (), apoyados en un sistema simbólico, la lógica

y el álgebra.

Tanto los unos como los otros, emplean para sus fines, la estrategia que impone la

lógica de la explicación, que es consecuente con la práctica de enseñanza que concibe el

aprendizaje como: “la modificación del comportamiento por efecto de la experiencia”. En

esta concepción el eje del aprendizaje lo constituyen los sucesos que ocurren en el

entorno: la claridad de la exposición, el tipo y número de ejercicios propuestos, etc. y que,

supuestamente, son suficientes para motivar al aprendiz y producir un aprendizaje. En

consecuencia el diseño externo (contenido y forma), las actitudes del docente, tanto como,

la motivación por el aprendizaje de parte de los estudiantes, serán los factores

responsables del éxito o el fracaso de la empresa educativa.

En realidad unos y otros obtienen resultados poco satisfactorios. Hoy sabemos que las

explicaciones de esta situación no se encuentran en las actitudes o factores afectivos, pues,

las actitudes y motivaciones son consecuencia de una problemática más compleja y no su

causa.. El resultado de la acción educativa, es consecuencia de múltiples factores que

tienen un origen epistemológico, psicocognitivo y didáctico.

Hipótesis de la ingeniería didáctica

246

Hemos acumulado suficientes argumentos para concluir que el funcionamiento actual del

sistema da como resultado un oscurecimiento del concepto de continuidad y una comprensión muy

pobre de la definición (-) de límite en el caso de funciones de variable y valor real en un punto.

Entre los factores que condicionan este fenómeno didáctico, que ya se han estudiado, están los que

se derivan de los obstáculos epistemológicos producto de los esquemas conceptuales que ponen en

juego los estudiantes en situaciones de aprendizaje.

3.1 HIPÓTESIS DE LA INGENIERÍA DIDÁCTICA

El estudio preliminar que hemos realizado y el marco teórico en que nos movilizamos

nos lleva a concluir que la enseñanza del concepto de límite es problemática, porque es un

concepto operativo que involucra otros conceptos igualmente abstractos, lo que dificulta

centrar la atención en los elementos propios del concepto ya que resulta imposible, en la

presentación tradicional, separar los aspectos operativo de los conceptuales que surgen

simultáneamente en los problemas de cálculo en que el limite interviene61.

Para enfrentar esta problemática conjeturamos que es posible acotar el conjunto de

obstáculos epistemológicos para asegurar una debida atención a las situaciones que

permiten su superación. La manera de realizar este acotamiento se vislumbra al establecer

un diferencia entre “conceptos no operativos” y “conceptos operativos”. Esta

diferenciación es importante porque desde el punto de vista cognitivo los móviles que

generan los procesos de abstracción en cada una de estas clases de conceptos son de

naturaleza matemática bien diferente. Para que se entienda la última afirmación es

necesario definir que entendemos por conceptos no operativos y operativos:

Conceptos no operativos, pero necesarios para fundamentar un campo teórico.

Ejemplo: infinitésimo, continuidad, espacio vectorial, estructura algebraica, etc.

Conceptos operativos, que permiten desarrollar algoritmos y procedimientos para

resolver problemas matemáticos. Ejemplo: Límite, derivada, integral, etc.

Corresponden, en la terminología del profesor Tall (1994b) a los proceptos.

Los primeros, en principio, son movilizados implícitamente y requieren de una

especie de necesidad para ser reconocidos como elementos pertinentes en un cuerpo

teórico. Ellos están unidos a una variedad de nociones y situaciones teóricas que no están

ligadas, directamente, con procedimientos; es la toma de conciencia progresiva de su

presencia y necesidad lo que induce a construirlos. Dado que su necesidad no es evidente,

ellos pueden permanecer largo tiempo implícitamente en los razonamientos del sujeto y

ser sustituidos por conceptos subjetivos que son fuente de errores. Por ejemplo, la noción

de continuidad primitiva C(P).

Los segundos aparecen más ligados a la acción misma, al problema concreto que el

sujeto puede o no resolver; su necesidad es evidente, su eficiencia y eficacia son fáciles de

constatar. La reflexión sobre la acción y sus resultados conducen a una toma de conciencia

más o menos clara y con ella a su constitución como objetos conceptuales. No obstante,

este proceso de conceptualización puede resultar complejo dada la naturaleza dual

proceso-concepto, es decir su carácter de ser proceptos. Por ejemplo, el largo proceso de

institucionalización del concepto de límite.

61

De acuerdo a Tall (1994b) límite es un procepto, es decir el símbolo es el significante que reúne, en un todo, los

significados de límite como proceso para calcular y como concepto para pensar en lo que se hace.


247

Si aceptamos lo anterior, podemos estar de acuerdo que tomar en cuenta estas

diferencias tiene implicación directa sobre las decisiones didácticas respecto a la

construcción de situaciones que favorezcan la conceptualización.

En efecto, si tomamos como variables macrodidácticas los conceptos de límite (L),

continuidad (C) que en la enseñanza tradicional sigue el orden (L C) y consideramos

la conmutación (C L) entonces sería factible separar del procepto límite los aspectos

conceptuales y operativos. De esta manera, se puede proceder, en primer lugar, a la

construcción de los significados conceptuales del procepto, con lo cual neutralizamos los

obstáculos relativos a la negación de límite como una operación. Es decir, los siete

obstáculos del grupo I de la lista de Sierpinska y se diseñan situaciones adidácticas para

enfrentar los obstáculos de nuestros grupos (0, II y IV) y posiblemente algunos de los

obstáculos señalados para el límite por Sierpinska en los grupos equivalentes de su lista.

Después de atender la variable C, se actúa sobre los significados relacionados con el

aspecto operativo, es decir sobre la variable L, para lo cual se construyen situaciones

adidácticas para enfrentar los obstáculos de los grupos restantes (I, III y V) de la lista de

Sierpinska. De esta manera, al menos teóricamente, resolveríamos el problema relativo a

la secuenciación de los obstáculos levantado por Cornu.

En cuanto a las implicaciones matemáticas de esta decisión no existe problema, pues

es posible pensar la continuidad de una función como una propiedad local de

“aproximación”, donde se dice que f cumple la propiedad de aproximación o de

continuidad en xp si,

(0) (0 (xDf (xpf(x) f(p)))) (1)

Posteriormente, se define el límite utilizando los conocimientos de continuidad. Esta

definición se motivaría pensando el límite como un valor “esperado” que hace continua a

una nueva función f*

Definición (límite). Sea f una función definida en un intervalo abierto A que contiene

a p, excepto quizás en p. Sea L un número real, escribimos

lim ( )x p

f x L

si la función f* definida en Ap por f*(x)f(x) si xp, f*(p) L, es continua en p. O lo

que es equivalente sí:

(0) (0 (xDf (0xpf(x) L))) (2)

De esta manera, se puede seguir a continuación desarrollando como antes los

conceptos de derivada, integral, los teoremas usuales y sus demostraciones; con la ventaja

adicional de rescatar de las sombras el concepto de continuidad. Si se pregunta ¿pasará,

ahora el límite a ser un agregado teórico? Nuestra respuesta es que no, dado su carácter

operatorio.

Por otro lado, nosotros hemos señalado que es posible desarrollar el cálculo

diferencial sin utilizar el paso al límite (ver sección 1.6.1.), tomando como concepto base

la continuidad. Así, partiendo de la observación que la función pendientes de rectas

secantes (ancladas en el punto (a, f(a)) a la gráfica de la función f, definida por

( ) ( )( )

f x f ax

x a


248

toma el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en (a, f(a)) si es una

función con una discontinuidad removible en xa. El valor de en a será entonces el valor

de la pendiente de la recta tangente y se llamará la derivada de f en a. Esto motiva la

siguiente definición.

Definición (derivada en el sentido de Carathéodory)62.

Sea f una función definida en un

intervalo abierto U, y a un punto de U. f es diferenciable en a si existe una función f(x,a),

continua en a, que satisface la relación

f(x) f(a) f(x, a)(x a), para todo xU (3)

El número f(a, a) es la derivada de Carathéodory de f en a. En lo que sigue

escribiremos f(x) en lugar de f(x, a), sin olvidar que f(x) depende de a.

No es difícil ver que esta definición es equivalente a la derivada de Cauchy que se usa

en los cursos tradicionales.

Lo interesante de esta definición, además de simplificar las demostraciones de los

teoremas –por ejemplo, regla de la cadena o el de la función implícita–, es que se puede

extender a funciones vectoriales sin ninguna complicación. Para terminar daremos la

demostración de la regla de la cadena y definiremos la derivada para el caso vectorial.

Teorema (diferenciabildad de la función compuesta). Sea f definida en el intervalo abierto

U, aU, y g definida en el intervalo abierto V, f(U)V, tal que f es diferenciable en a y g

diferenciable en f(a). Entonces g o f es diferenciable en a.

Demostración. Si h g o f entonces

h(x)h(a) g(f(x))g(f(a))

g(f(x))( f(x) f(a))

g(f(x))f(x)(xa)

f es continua en a por ser diferenciable en xa, por hipótesis g es continua en f(a) y f es

continua en xa, por lo tanto (g o f) f es continua en a. Tenemos así que g o f es

diferenciable en a y que h (g o f)f

Corolario (regla de la cadena). Bajo las hipótesis del teorema

(g o f)’(a) g’(f(a) f ’(a)

Se puede comparar esta demostración con la de cualquier texto para observar la

economía en nuestra prueba. Empleando los argumentos usuales se demuestran los

teoremas de valores extremos, de Rolle, del valor medio y teorema del polinomio de

Taylor, la diferencia está en que el argumento fuerte de las demostraciones recae en el

álgebra de las funciones continuas.

En la enseñanza tradicional la forma más usual de hacer la extensión de la derivada a

funciones vectoriales, es mediante la introducción de la derivada total como aproximación

lineal de la función en un punto. Esto corresponde a la definición de la derivada de

Frechet. Sin embargo, veamos que una interpretación conveniente de la relación (3) nos

permite extender la derivada de Caratheodory a funciones vectoriales.

62

La definición fue propuesta por primera vez por Constantine Caratheodory (1954)


249

Sea f una función de n en m

y a un punto en n. Como ya lo hemos dicho

debemos dar una interpretación a la expresión

f(x) f(a) f(x) (x a)

Identifiquemos f(x) f(a) con un vector columna de m y xa como un vector columna de

n. Por tanto f(x) se puede interpretar como una matriz mn (realmente f(x)L( n

,

m), que se identifica con el espacio Mmn de matrices reales mn). Pues bien, como la

relación (3) tiene sentido para f podemos dar la siguiente definición.

Definición. f es diferenciable en a si existe f : n m

, continua en a, tal que

f(x) f(a) f(x) (x a)

Si f existe, Df(a) f(a) M mn

En Delgado & Acosta (1994b) se demuestra la equivalencia entre la derivada de

Frechet y Carathéodory y los teoremas básicos del cálculo vectorial, pudiéndose apreciar

el poder de simplificación de (3) en las argumentaciones.

Respecto al cálculo de derivadas se procede como siempre: se factoriza (x a) de la

diferencia f(x) f(a) y se muestra que el factor resultante f (x) es una función continua en

a. Si este es el caso, f’(a) no será otra cosa que f(a). Veamos un ejemplo.

Ejemplo. Si f: 2 2

, está definida por f(x, y)(x2, y

2) y (a, b) 2

, la diferencia

f(x, y) f(a, b) se puede factorizar así:

f(x, y) f(a, b) (x2, y

2) (a

2, b

2)= (x

2 a

2, y

2b

2) (( xa)(xa), (yb)(yb))

=0

0

x a x a

y b y b

El factor resultante f (x,y) = ¨ 0

0

x a

y b

es una función continua en (a,b) y

Df(a,b) = ¨2 0

0 2

a

b

Estas ideas nos llevan a plantear la siguiente hipótesis que guía la concepción de la

ingeniería:

HID (hipótesis de la ingeniería didáctica).La construcción didáctica, del concepto de

continuidad de una función en un punto y, luego, sobre esta base la del concepto de

límite asegura el control y la secuenciación de los obstáculos epistemológicos

relacionados con estos conceptos, gracias a un andamiaje constituido por situaciones

adidácticas que median en la evolución de los esquemas conceptuales de los alumnos.

Con ello, se favorece una estrategia constructivista del aprendizaje de los conceptos

básicos del Cálculo que toma en consideración los aspectos cognitivos del sujeto.

En el capítulo que sigue discutiremos la concepción del instrumento que concreta las

situaciones adidácticas para poner a prueba nuestra hipótesis.




CAPÍTULO 4

SEGUNDA FASE DE LA

INGENIERÍA: CONCEPCIÓN Y

ANÁLISIS A PRIORI.

ESTRUCTURA DE LA GUÍA

COMO INSTRUMENTO DE

INFLUENCIA EDUCATIVA Y DE

INVESTIGACIÓN

250

CAPÍITULO 4

SEGUNDA FASE DE LA

INGENIERÍA: CONCEPCIÓN Y

ANÁLISIS A PRIORI.

ESTRUCTURA DE LA GUÍA COMO

INSTRUMENTO DE INFLUENCIA

EDUCATIVA Y DE

INVESTIGACIÓN

251

CAPÍTULO 4

SEGUNDA FASE DE LA INGENIERÍA: CONCEPCIÓN Y

ANÁLISIS A PRIORI. ESTRUCTURA DE LA GUÍA COMO

INSTRUMENTO DE INFLUENCIA EDUCATIVA Y DE

INVESTIGACIÓN

PRESENTACIÓN

En este capítulo describiremos la construcción de las situaciones adidácticas que

conforman la ingeniería. La concepción se explica en términos de las hipótesis

epistemológicas, psicocognitivas, didácticas y las de la propia ingeniería proporcionadas

por el marco teórico de la investigación. Como ya se ha dicho, la guía que define la

estructura de la secuencia didáctica en torno a las situaciones adidáticas, desempeña dos

papeles. Uno, el de instrumento mediador, de las acciones didácticas del profesor en el

proceso de enseñanza y de las acciones de los estudiantes en su aprendizaje; el otro, su

función como instrumento de investigación de un fenómeno didáctico.

La concepción de la guía, como instrumento de influencia educativa, se realizó

empíricamente. Así, diseñamos una primera guía que se aplicó y, después de analizar los

primeros resultados, se discutió con algunos profesores del colectivo matemático de la

Universidad del Valle, Cali Colombia. Con estas contribuciones se perfeccionó un

segundo instrumento que incorporaba las experiencias del primero. Este proceso se realizó

durante cinco cursos continuos (cinco años). Simultáneamente, además de la guía que nos

ocupa, se construyeron otras diez guías que cubren las diferentes temáticas del curso de

Cálculo I de la Universidad del Valle (ver programa anexo), todas ellas se ajustan a una

estrategia constructivista del aprendizaje.

Desde la perspectiva de la investigación, la concepción empírica de la guía se plantea

en el marco teórico que conscientemente hemos adoptado para buscar explicaciones, en el

terreno de la didáctica, a un fenómeno didáctico presente en el sistema escolar. En este

sentido podemos hablar de concepción de un instrumento de investigación o de

concepción de la ingeniería.

Esta concepción de la ingeniería se apoya en los análisis preliminares que hemos

expuesto en el capítulo 3 y toma distancia de la experiencia que realizamos en la fase de

concepción empírica del instrumento, lo que es necesario para elaborar el análisis a priori

y, así, después de analizar los datos recogidos (análisis a posteriori) contrastar los dos

análisis.

Concepción y análisis a priori

252

1.1 CONCEPCIÓN Y ANÁLISIS A PRIORI

Como hemos visto, en nuestro análisis preliminar, en la presentación tradicional:

límite continuidad, se presenta un fenómeno didáctico que se caracteriza por el

oscurecimiento de la noción de continuidad y la inaccesibilidad, para la mayoría de los

estudiantes, de la definición ( de límite. Para estudiar el fenómeno, decidimos actuar

sobre dos variables macro-didácticas: límite y continuidad. Esta intervención, consiste en

conmutar las variables construyendo primero el esquema conceptual que subyace a la

definición de continuidad de Weirestrass:

(0) (0 (xDf (xpf(x) f(p)))) (1)

y luego, apoyados en esta construcción conceptual, fomentar una evolución hacia el

esquema de límite de la función relacionado con la definición:

(0) (0 (xDf (0 xp f(x) L))) (2)

Diseñamos, en primer lugar, un conjunto de 17 situaciones locales referidas a la

construcción de la definición (, ) de continuidad de una función de variable y valor real;

en segundo lugar 8 situaciones, también locales, referentes a la construcción del concepto

(, ) de limite y su relación con la primera. Para describir estas situaciones consideramos

dos partes: La primera comprende las situaciones adidácticas (1-17), referentes al

concepto de continuidad, que se ajustan alrededor de ciertas situaciones fundamentales

que determinan el conocimiento que se va a enseñar y el sentido que toma por el control

de las variables didácticas que se introducen en el diseño. La segunda parte, describe las

situaciones fundamentales y sus variables estructuradas en torno al concepto de límite (18-

25) y comprende las situaciones: 18 y 19, que se refieren al sentido de la expresión

simbólica del concepto de límite; 20 y 21, abordan la relación entre continuidad y límite;

22 y 23, límites laterales y su relación con la definición de límite; 24 y 25, relativas a la

aplicación de la técnica épsilon-delta para la prueba de la existencia del límite.

La construcción de las situaciones fundamentales obedece a una estrategia

constructivista del aprendizaje que se orienta por las hipótesis y preguntas a la

investigación que expusimos en el capítulo dos (ver: hipótesis directrices y problema de

investigación). En consecuencia, el experto construye y plantea un problema matemático P

cuya solución, por el alumno, constituye el objetivo de toda la secuencia didáctica. Esta

solución es gradual y está determinada por un conjunto de situaciones fundamentales Si

que, por su naturaleza matemática, definen el significado y sentido de los conocimientos

asociados a una sucesión de definiciones Ci (continuidad de f en xp) o Li (límite de f en

xp) cuya constitución debería desembocar en las definiciones (1) y (2) respectivamente.

De acuerdo con lo anterior y tomando en cuenta los análisis preliminares, el experto

selecciona las variables locales y define cada una de las situaciones fundamentales, su

secuencia y el andamiaje necesario para garantizar el progreso del estudiante en la

construcción conceptual.

En nuestro caso, esta organización está plasmada en la Guía. En ella cada situación

fundamental se concibe de acuerdo con el siguiente esquema general:

Concepción y análisis a priori

253

1. Existe una situación Si , que es representativa del dominio de aplicación de un esquema

conceptual asociado a una definición personal Ci (que el experto prevé, gracias a los

análisis preliminares, está al alcance del sujeto) que proporciona una solución parcial al

problema general P (permite resolver la situación particular Si en el dominio del

problema, pero aún no resuelve totalmente P).

2. Se plantea la situación fundamental Si+1 , en la que hay un cambio de variable que hace

que la nueva situación produzca una inconsistencia externa al esquema asociado a Ci.

La interactividad debe llevar a perfilar esta inconsistencia en un desequilibrio cognitivo

que constituye un problema Pi que el estudiante asume como propio.

3. Existe un andamiaje, que el experto puede prever en líneas generales y ajustar durante

la interactividad, para ayudar a regular las acciones del sujeto que buscan alcanzar un

nuevo estado de equilibración cognitiva. Es decir, ayuda a obtener una compensación

del sistema cognitivo constituida por las relaciones matemáticas Ri necesarias para

resolver el problema.

4. Si el problema Pi está en el dominio de la zona de desarrollo próximo que se construye

en la interactividad, gracias a los ajustes de las acciones tanto del experto como del

estudiante, es posible que se produzca el aprendizaje. En tal caso, el nuevo esquema

conceptual se expresará en una definición personal Ci+1 que se obtiene por

diferenciación de la antigua Ci y que simultáneamente la integra (equilibración gama

del sistema cognitivo).

En la tabla Nº 2 resumimos esta estrategia y ponemos en relación las acciones que se

esperan del experto articuladas, en torno al instrumento de mediación (la guía), con las

acciones esperadas del estudiante. Esta interactividad debe conducir a la construcción de

una Z.D.P. en la que se da la modificación conceptual.

Tabla Nº2

Situación Fundamental. Una Estrategia Constructivista del Aprendizaje

Experto Construye una situación Si:

representativa del

dominio de aplicación de

un esquema conceptual

asociado a una definición

personal Si

Esta situación

proporciona una solución

parcial del problema

general P

Construye una situación

fundamental Si+1 :

para provocar una

inconsistencia externa

Actúa para producir

devoluciones y ayudar a

precisar el problema Pi

Ajustar sus acciones: para

producir devoluciones e

institucionalizaciones que son

parte del andamiaje que se

construye para que el

estudiante alcance las

relaciones matemáticas Ri que

son solución de Pi

Instrumento

de

mediación

Alumno Aplica un esquema

conceptual propio para Si

asociado a una definición

personal Ci

Toma de conciencia de la

inconsistencia externa y

acepta el problema Pi que

asume como propio.

El esquema se

desequilibra.

Ajusta sus acciones: para

desarrollar las regulaciones que

llevan a una compensación, ésta

es el nuevo conocimiento

asociado a Ci1 Este se obtiene

por diferenciación e integración

del esquema asociado a Ci

Esquema reequilibrado

Ci

Ci1

Ci

P

Esquema en equilibrio En desequilibrio

Pi Ri

Líneas evolutivas de los esquemas asociados a las definiciones personales

Situaciones fundamentales: continuidad

254

1.1 SITUACIONES FUNDAMENTALES DE LA CONTINUIDAD

Aquí, identificamos cuatro situaciones fundamentales que giran alrededor de una

problemática previamente introducida: definir la continuidad de una función en un punto.

Tales situaciones son instrumentos para provocar el cambio de estrategia cognitiva en el

estudiante, es decir, una evolución conceptual gracias a la naturaleza matemática de las

situaciones, la acción individual del sujeto y su participación interactiva en el aula. Ellas

son:

1.1.1 Primera Situación Fundamental

La primera, es una situación adidáctica, en la cual no funciona la estrategia que

corresponde al esquema más primitivo –asociado a la definición personal C1; ver

diagramas capítulo 2– que consiste en juzgar la continuidad por la visualización de un

salto en la gráfica o, por la percepción de su trazo continuo.

C1 (definición asociada a una imagen geométrica): f es continua si su gráfico no

“salta”.

Esta estrategia, es exitosa en el caso de funciones que se puedan dibujar con facilidad

y donde la visualización de la gráfica pone en evidencia un salto o interrupción. El

esquema es figurativo (centrado en aspectos externos, de bajo nivel operativo) y su

operatividad depende de la visualización de la gráfica para determinar la no continuidad o,

en el evento contrario, la continuidad de la función en el punto en cuestión.

La variable didáctica, que elegimos para diseño y control de las diferentes

situaciones adidácticas asociadas a la situación fundamental, es el tipo de función objeto

de estudio. Se trata de cambiar de funciones en las que su gráfico se puede dibujar a partir

de una expresión algebraica simple (por ejemplo f(x)x) y donde la concepción más

primitiva es exitosa, a funciones que por su definición, al representarlas y visualizar su

gráfico, el esquema primitivo conduce a errores; por ejemplo, en x2 la función:

( )2

xg x

si x Q

si x I

no admite la aplicación exitosa de C1.

La obligación de cambio de estrategia. Si, para decidir la continuidad de g en x2, se

aplica la estrategia relacionada con un esquema conceptual del tipo primitivo asociado a

una definición del tipo C1: «g es continua en x2 si su gráfico no salta» o «g es continua

en x2 si su gráfico se traza sin levantar el lápiz», etc.; se produce la respuesta errada: g no

es continua en x2. En este caso el esquema es erróneo, porque siendo exitoso con otras

funciones se aplica en un contexto inapropiado. El enfrentamiento de la respuesta así

producida con otra que señala que g sí es continua en x2, configura una inconsistencia

externa y es, potencialmente, una perturbación. Para que efectivamente sea tal, el sujeto

debe tomar conocimiento de ella y sólo entonces deviene en una inconsistencia interna, es

decir, una perturbación que desequilibra el sistema cognitivo del sujeto.

En la interactividad, gracias a las devoluciones del experto, se perfila el problema P1

que el estudiante debe resolver

P1 (conflicto entre “salto” y “próximo”): El criterio C1 permite decidir si una


255

función es continua o no, en ciertos casos. Sin embargo, existen situaciones en

que una función es continua en un punto xp, no obstante la gráfica “salta” o no

se ha dibujado de “un solo trazo”.

¿Cómo definir la continuidad en estas situaciones? ¿Existe una relación entre

el “salto” de los valores f(x) y f(p) en el caso que f sea continua en xp? ¿En el

caso que f no sea continua en xp?

La necesidad de resolver el problema, desencadena un conjunto de regulaciones

activas para restablecer el equilibrio perdido. Las regulaciones conducen a la modificación

del ciclo cognitivo, gracias a la naturaleza matemática de la situación que obliga, para

obtener éxito, a realizar un cambio de estrategia.

En este caso, la estrategia ganadora pasa por considerar la relación que existe entre

la “aproximación” de los valores f(x) al valor f(p), cuando x se “aproxima” a p. Es decir, es

necesario establecer la siguiente relación entre “salto” y “próximo”. Si f “salta” o no se

puede dibujar de un trazo en xp, entonces pueden suceder dos eventos:

R1 (relación entre continuidad y “próximo”): si f “salta” en xp, pero, cuando x se

“aproxima” a p, los valores f(x) correspondientes se “aproximan” a f(p),

entonces, la función es continua en xp.

R1 (negación de R1): f no es continua en xp, si cuando x se “aproxima” a p, los

f(x) correspondientes no se “aproximan” a f(p).

La toma de conciencia de esta relación conduce a la modificación del ciclo cognitivo

asociado a la definición C1. Esta modificación consiste en la construcción e incorporación

al ciclo de un nuevo esquema, como por ejemplo, el asociado a la definición personal del

tipo

C2 (definición asociada a una imagen de “aproximación”): f es continua en xp

si, cuando x se aproxima a p, f(x) se aproxima a f(p)

que en el caso planteado correspondería a una estrategia ganadora o, en otros términos,

una equilibración incrementante. Esquemáticamente este proceso se puede representar

como se muestra en la gráfica.

exitosa genera un

problema Se establece

una relación

Nueva definición

C1

P ● ●●

P2 R

1

C2

C1

Definición

primitiva Aplicación Aplicación Relación Equilibración

Esquema en equilibrio Esquema en desequilibrio

Figura 4.1: Primera situación fundamental. Diagrama evolutivo del

esquema asociado a C1


256

Respecto al proceso que acabamos de describir es necesario puntualizar:

Primero, no todas las modificaciones que se producen en los esquemas provocan la

equilibración incrementante, sólo lo hacen aquellas que llevan a una mejor consistencia

interna

Segundo, antes de cambiar, el esquema respondía a las situaciones de su dominio de

manera exitosa, era un conocimiento válido. Para alcanzar la consistencia externa perdida,

el nuevo esquema debe dar cuenta no sólo del conocimiento anterior, sino también del

nuevo conocimiento discrepante. Es decir la equilibración produce una diferenciación y

una integración del esquema primitivo y el nuevo esquema.

En resumen, los esquemas evolucionan sólo cuando una inadecuación del esquema

viejo se hace evidente y la necesidad de alcanzar el éxito lleva a adoptar los cambios que

lleva a una mayor validez. Por esta razón, se hace necesario focalizar el diseño de la

ingeniería en aquellas situaciones matemáticas que por su propia naturaleza obligan a

modificar los esquemas para dar buena cuenta de ellas.

Las situaciones asociadas a esta situación fundamental están diseñadas para hacer de

instrumento mediador de las acciones en la co-construcción de una zona de desarrollo

próximo (Z.D.P), gracias a las articulaciones de las acciones inter-individuales que

producen en los momentos de interactividad, que a su vez inducirían la actividad intra-

individual del ciclo:

PerturbaciónDesequilibrioRegulaciónCompensaciónEvaluación etc.

El funcionamiento del ciclo produce diferentes clases de equilibración (alfa, beta, o gama)

que son observables por el tipo de conducta del sujeto respecto a la perturbación

(neutralización, diferenciación o diferenciación e integración). Este proceso puede ser

lento y dar lugar a trayectorias cognitivas diferentes pero que progresivamente deben

evolucionar hacia la obtención de una estrategia ganadora pertinente a la situación.

1.1.2 Segunda Situación Fundamental

En la segunda situación fundamental, la situación adidáctica plantea una

problemática donde el esquema conceptual, aritmético-local y paramatemático, que se

asocia a la definición personal: «g es continua en xp si cuando x se aproxima a p, f(x) se

aproxima a f(p)», resulta vulnerable debido a lo subjetivo del término “próximo a...” o “se

aproxima a f(p)”

La variable didáctica. En este caso, es el valor f(p) asignado en la definición de una

función con discontinuidad removible en xp; f(p) se toma de tal manera que un sujeto

puede considerarlo como “próximo” a los valores que toma f “cuando x se aproxima a p”

y, no obstante, la función no es continua en xp.

La obligación de cambio de estrategia. Si el estudiante no define lo que entiende

como “próximo” es posible que un esquema como el asociado a C2 lleva a errores cuando

la diferencia entre f(p) y el valor al que se aproximan los f(x) sea muy “pequeña”. Surge,

entonces, una inconsistencia externa con el esquema asociado a C2 que lleva a plantear el

problema:

P2 (de la subjetividad del término “próximo”): ¿Qué significado tienen las

expresiones “..f(x) se aproxima a f(p).. “.. x se aproxima a p...”?


257

Se trata de una dificultad que se puede evacuar sin mayor inconveniente

introduciendo el concepto matemático de entorno con centro en un punto p y radio .

Nosotros lo definimos en la guía:

Esta definición favorece la coordinación del esquema “próximo a...” con el esquema

figurativo asociado a la noción de intervalo abierto denotado por (p, p+) que se

visualiza en una recta real en la forma

para, así, establecer la relación entre próximo y entorno (R2)

R2 (relación x es “próximo” a p): “x es próximo a p si y sólo sí xN(p)”

y su negación

R2 (negación de R2): “x no es próximo a p sí y solo sí xN(p).

El esquema así construido es un esquema figurativo; como todo esquema de este tipo

es estático y poco operativo, pues requiere de una imagen mental o visual externa para

decidir la calidad de próximo para cada valor particular de x.

Desde el punto de vista de las situaciones matemáticas, que interesan a la

problemática que nos ocupa, es necesario coordinar este esquema con el concepto de

distancia entre dos puntos con el fin de obtener un esquema operativo que actúa en la

obtención algebraica del conjunto de todos los x que son próximos a p, para cada valor de

. Este esquema posee el poder de transformar los elementos de una situación vinculando

esquemas necesarios y por ello es más flexible ganado capacidad de asimilación-

acomodación a nuevas situaciones. Para que ello se dé, introducimos la

Este concepto de distancia define una métrica en el conjunto de los números reales y

el estudiante puede establecer la relación entre un delta convenido y el conjunto de puntos

que disten de p en una cantidad menor que delta. Es decir, acotar los valores del conjunto

de los puntos que se consideran próximos.

R3 (acotamiento de puntos próximos): La distancia entre el punto A de

coordenada x y el punto P de coordenada p es menor que delta, sí y sólo sí,

xp.

R3 (negación de R3): La distancia entre el punto A de coordenada x y el punto P de

coordenada p es menor que delta y xp≥, o,xp y la distancia entre el

punto A de coordenada x y el punto P de coordenada p no es menor que delta.

( ) p p p

Definición (Entorno)

Se llama entorno con centro p y radio > 0 a cualquier intervalo abierto con centro p y longitud 2. Se

simboliza:

N (p)

Definición (Distancia entre dos Puntos).

Dado el punto M de coordenada x y el punto P de coordenada p definirnos la distancia entre M y P como:

|xp|


258

La coordinación deseada, entre el término “próximo” y los conceptos de entorno y

distancia, se establece si se construye la equivalencia (R4)

R4 (relación entre “próximo” y entorno-distancia): para un dado, x es “próximo”

a p sí y sólo sí, x pertenece al entorno de centro p y radio delta.

Equivalentemente,

xN (p) xp

Donde el lado derecho representa el esquema operativo que indica que dado , “x es

próximo a p” sí xp lo que significa operar con desigualdades sin necesariamente

recurrir a una visualización.

Las situaciones asociadas a esta situación fundamental median en la co-construcción

de una zona de desarrollo próximo, que como resultado final producirá una encapsulación

significante y significativa de la equivalencia. Es decir, que asegure:

i) La relación entre el signo N (p) y el esquema figurativo asociado a un intervalo

abierto de la forma

que permite interpretar

xN (p) x( p, p)

ii) La relación entre el esquema figurativo de intervalo abierto y el esquema operativo

que le es asociado por la definición de intervalo abierto en la recta con la topología

usual

(a, b) xR : axb

que establece la equivalencia

x( p, p) p x p

iii) La construcción del esquema que lleva a interpretar la desigualdad xp como la

distancia entre: el conjunto de los puntos M de coordenada x tales que distan de P de

coordenada p una cantidad menor que . Ello, es equivalente a imaginar la solución

como el conjunto de puntos que pertenecen a un entorno de centro p y radio . Es

decir:

xp xN(p)

Para establecer esta equivalencia, sin apelar en la argumentación al esquema figurativo

que se activa al percibir la desigualdad xp evocando una imagen de un entorno de

centro p y radio en el cual “viven” los x que satisfacen la desigualdad, es necesario

introducir y probar el teorema:

x x

Así, coordinando los esquemas anteriores con el asociado al teorema, se demuestra:

xN (p) x( p, p) p- x p xp xp

que una vez encapsulada en: xN (p) xp , se convierte en un traductor del

esquema figurativo asociado a xN (p) en un esquema operativo asociado a xp , y

recíprocamente.

( ) p p p


259

Como resultado del andamiaje proporcionado por las situaciones de la guía asociadas

a esta segunda situación fundamental que, como hemos visto, apuntan a favorecer la

encapsulación de la equivalencia planteada en R4, el estudiante tendrá la capacidad de

reformular su definición C2, afinando la terminología, para obtener:

C3 (definición de continuidad en términos de entornos): f es continua en xp si,

xN(p) f(x)N(p)

C4 (definición de continuidad en términos de distancia): f es continua en xp si,

xp f(x) f(p)

De la misma forma que lo hicimos en la primera situación fundamental, el proceso

constructivo de C3 y C4 se puede representar en la gráfica:

Respecto a la borradura de los cuantificadores, observable en el esquema asociado a

la definición personal:

«f es continua en xp si cuando x se aproxima a p f(x) se aproxima a f(p)»,

esta claro que, una vez sea superada la dificultad que acabamos de comentar, aparecen en

escena los números y al traducir la frase en términos de entornos y de distancia.

Estas expresiones simbólicas, en C3 y C4, ayudan a focalizar la atención del

pensamiento en los números y . Ahora se puede enfrentar, de cara a perfeccionar la

definición matemática, el obstáculo epistemológico llamado por Sierpinska (1985)

“obstáculo lógico” de los cuantificadores y su orden. La señal de la presencia del

obstáculo es la ausencia de un reconocimiento de su papel cuando los estudiantes formulan

las definiciones de límite y, en nuestro caso, de continuidad del estilo en C3 y C4 en las

que no aparecen los cuantificadores.

Las siguientes situaciones fundamentales tienen como objetivo proporcionar el andamiaje

necesario para ayudar al estudiante a superar este obstáculo. Se trata de someter a prueba

las definiciones C3 y C4 (en las que no aparecen los cuantificadores) para comprobar que

ellas no son coherentes y por tanto conducen a contradicciones lógicas, a menos que, se

tomen en cuenta los cuantificadores y su orden.

Definición

activada por la

situación

fundamental

Exitosa Genera un

problema

Se establece un

conjunto de

relaciones

Variación

conceptual

Definiciones

activas y en

desarrollo

C2

P

● ●●

P2 (R2, R3 R4)

C4

C3

C2

C1 C1

Definición

primitiva

no activa

Aplicación Aplicación Relación Equilibración


Figura 4.2: Segunda situación fundamental. Diagrama evolutivo del

esquema asociado a C2


260

1.1.3 Tercera Situación Fundamental

La situación adidáctica plantea, si es el caso, la re-elaboración, escritura y aplicación

de la definición personal de continuidad C3 y C4 para dar cuenta de los casos de

continuidad o discontinuidad de una función en general.

La variable didáctica, en este caso es el paso de la definición de la continuidad a su

negación. Distinguimos dos marcos para este proceso:

i) Geométrico local, referido a los entornos: N (p) y N( f(p)).

ii) Aritmético-local, referido a las desigualdades:

xp y f(x) f(p)

Se trata de, movilizar los esquemas asociados a definiciones en términos de entornos,

y por tanto figurativos, hacia los esquemas relacionados con definiciones en términos de

distancia entre puntos y por tanto esquemas más operativos. Las oscilaciones entre los

esquemas figurativo y operativo contribuye a la encapsulación simbólica de procesos y

conceptos (Tall, 1995) que progresivamente conduzcan a la determinación de la relación

y.

Aquí, resulta de importancia capital insistir en la negación en cada caso de la

definición con el fin de producir una toma de conciencia de las regulaciones que el sujeto

pone en juego, de manera automática, cuando define un objeto por sus caracteres positivos

descuidando aquellos aspectos negativos que contribuyen a establecer una definición

coherente del objeto. La coherencia cognitiva de una definición se alcanza por la

discriminación de los caracteres A’ del objeto que son asimilables por el esquema A que lo

define y los no-A’ que separan los objetos no asimilables y por tanto son no-A. La

equilibración entre A y no-A determina la coherencia del esquema A.

La negación de C3 unida a la tendencia de pensar la definición mirando del eje de las

abscisas hacia el eje de ordenadas, lleva a plantear inconsistencias respecto a la relación

entre los xN(p) y los correspondientes f(x) N(f(p)) en el caso en que f no sea continua.

¿Son todos los x que pertenecen a N(p)? o ¿son “algunos” xN(p)?

La obligación del cambio de estrategia. Si el estudiante no precisa en C3 que f es

continua en xp si, para todo x, se verifica que

xN(p) f(x) N(f(p))

la negación de C3 resulta inconsistente, pues sin el cuantificador que afecta a los x la

negación quedaría:

C3 (negación de C3): f no es continua en xp si, xN(p) f(x) N( f(p))

y la pregunta obvia sería ¿todos los x? Esto lleva a perfilar el problema que el estudiante

debe resolver:

P3 (condición necesaria para la continuidad): ¿qué relación existe entre los

xN(p) y las imágenes f(x) respecto al entorno N(f(p)), en el caso que f sea

continua en p? ¿En el caso que f no sea continua en p?

La estrategia ganadora, se alcanza si se toma conciencia del papel del cuantificador

de los x en la definición. Esto lleva a establecer la relación:

R5 (relación necesaria para la continuidad): para que f sea continua en xp es


261

necesario que para todos los x que pertenecen a N(p) se tenga que sus imágenes

f(x) pertenecen a N( f(p)).

La toma de conciencia de esta relación introduce una modificación importante en el ciclo

cognitivo asociado a C3 que se extiende a C4, pero, simultáneamente se presentan

desequilibrios originados por inconsistencias que provienen de la elección de los radios ,

de los entornos. Es esta elección arbitraria? Esta pregunta es la fuente de la cuarta

situación fundamental.

1.1.4 Cuarta Situación Fundamental

La situación adidáctica plantea la cuestión que lleva a establecer si la relación R5 es

suficiente, o no, para que las definiciones C3 y C4 sean coherentes. Es decir, si la negación

lógica separa las funciones cuyas características no corresponden a la clase de funciones

continuas.

La variable didáctica, en este caso es el paso de la definición de la continuidad a su

negación y la atención se centra en la relación entre los radios de los entornos.

La obligación del cambio de estrategia. En esta situación, la estrategia ganadora está

dada por el establecimiento de la relación entre el radio y el radio .

Como la tendencia natural en la formulación de la definición es privilegiar lo que

sucede en el eje de abscisas para observar los resultados sobre el eje de ordenadas,

entonces el estudiante tiende a elegir un delta arbitrario y acomoda o encuentra

gráficamente el épsilon de tal manera que se cumpla que para todo x

xN(p) f(x) N( f(p))

en el caso que f sea continua en xp. Pero este procedimiento es fácil de falsear cuando se

pide aplicar la negación de esta definición, pues se pueden mostrar contraejemplos

visuales de funciones discontinuas pero que si se elige el épsilon “suficientemente”

grande, entonces, de acuerdo a la definición serían continuas, lo cual es contradictorio y la

definición no es coherente. En estas discusiones que el experto propicia en el aula se

perfila el problema que debe resolver el estudiante

P4 (condición suficiente para la continuidad): ¿qué relación existe entre el radio

del entorno con centro en f(p) y el radio del entorno con centro en p, en el caso

que f sea continua en xp? ¿En el caso que f no sea continua en xp?

La estrategia ganadora, se alcanza si se toma conciencia del papel de los

cuantificadores de los radios de los entornos y su jerarquía. Esto lleva a establecer la

relación:

R6 (relación entre y ): Si f es continua en xp entonces existe una relación entre

y , de tal manera que es función de . Es decir, para todo 0 dado es posible

encontrar 0, tal que para todos los x que pertenecen a N(p) se tenga que sus

imágenes f(x) pertenecen a N( f(p)).

La toma de conciencia de esta relación y su coordinación con la relación R6 introduce una

modificación importante en el ciclo cognitivo asociado a C3 que se extiende a C4. La señal

de que estas modificaciones se han producido se encuentran si el estudiante produce las

definiciones:


262

C6 (definición de continuidad): f es continua en xp, si para todo 0 dado es

posible encontrar 0, tal que para todos los x que pertenecen a N(p) se tenga

que sus imágenes f(x) pertenecen a N( f(p)). En forma equivalente: f es continua

en xp, si

(N( f(p)) ) ( N(p) (xDf (xp, xN(p) f(x)N( f(p)) )))

Esta definición se traduce fácilmente en términos aritméticos:

C5 (definición de continuidad de Weierstrass): f es continua en xp, si

() ( (x Df (xp f(x) f(p))))

De esta manera, el juego entre las aplicaciones de las definiciones geométricas y

analítico-numéricas, tanto en casos de continuidad como de discontinuidad de una función,

tiene por su naturaleza lógica como única posibilidad de éxito la abstracción reflexiva de

los cuantificadores y su orden que se deriva de la coordinación de las propias operaciones

del sujeto.

Las situaciones adidácticas asociadas con esta situación hacen de mediadoras para la

co-construcción de la zona de desarrollo próximo que culmine en el establecimiento de la

definición de Weierstrass para la continuidad de f y el abandono de las definiciones C3 y

C4 que no tomaban en cuenta los cuantificadores.

El proceso evolutivo de los esquemas asociados a las definiciones C3 y C4 que

culmina en la construcción de C6 y C5 se puede representar como se muestra en la figura

4.3. En ella se representan igualmente las definiciones C1 y C2, que aunque no son

activadas directamente por las situaciones, los esquemas asociados a ellas pueden jugar un

papel de apoyo en los procesos reguladores del estudiante cuando se aplican en la

búsqueda de las soluciones de los problemas P3 y P4.

Definición

activada por la

situación

fundamental

exitosa Genera un

problema

Se establece un

conjunto de

relaciones

Variación

conceptual

Definiciones

activas

C4

P

● ● ●●●

P3 R5, P4 R6

C5

C6

I

C2 C2

Definición

primitiva Aplicación Aplicación Relación Equilibración


Figura 4.3: Tercera y cuarta situación fundamental. Diagrama

evolutivo de esquemas asociado a C3 y C4

C3 ●

(Definición abandonada)

● ●●● I (Definición abandonada)

Aplicación Relación

C1 C1

◢

◣

◣

◤

Situaciones Fundamentales: límite

263

1.1 SITUACIONES FUNDAMENTALES DEL LÍMITE

Respecto al concepto en cuestión, nosotros separamos dos aspectos. La razón de esta

decisión didáctica, como ya lo hemos expuesto en el capítulo 3, es acotar y secuenciar en

lo posible el número de obstáculos que se presentan en el proceso de construcción del

concepto.

Un aspecto, referente al límite como la propiedad local de aproximación de una

función f a un número dado. Así, la función f definida en un intervalo abierto que

contiene al punto p, no necesariamente del dominio de f, cumple la propiedad de

aproximación a L en xp si,

(0) (0 (x Df (0xpf(x) L))) (2)

El otro aspecto, se refiere al carácter operativo del concepto y lleva considerar el

límite como un operador . El operador, actúa sobre una familia de funciones definidas (excepto, quizás, en p) en un intervalo abierto que contiene a p– y el

conjunto de números reales R; de tal manera que se define

: R R

(f, p) (f, p)L

donde (f, p)L significa que existe un número L que satisface la propiedad (2) de

límite de f en p. Dicho de otra manera, que se debe encontrar L que satisfaga (2)

El diseño en esta guía no contempla la generalización del operador a los reales

extendidos que se aborda en la siguiente secuencia didáctica del curso. La razón de esta

decisión didáctica, nuevamente es acotar y secuenciar el número de obstáculos

relacionados, en este caso, con los valores infinitos en las dos variables.

Por otra parte, desde el punto vista de los procesos cognitivos del sujeto la orientación

teórica de la concepción, de esta parte de la ingeniería, proviene de las conclusiones de

Piaget & Inhelder (1968b) respecto a la relación memoria e inteligencia. Según ellos, no es

posible establecer una dualidad entre la memoria e inteligencia atribuyendo, por una parte,

a la primera sólo un papel de conservación del recuerdo y su recuperación tal cual fue

registrado en la situación inicial; en tanto que, por otro lado, la segunda se caracteriza por

la comprensión e invención, pero sin conservación. Por lo contrario la memoria y la

inteligencia conforman una totalidad inseparable con desarrollos paralelos y ello debido a

que el código que utiliza la memoria para captar, conservar y recuperar la información está

dado por los mismos esquemas que utiliza la inteligencia.

El hecho fundamental es entonces que, entre la codificación inicial y los recuerdos con

sus descodificaciones y recodificaciones sucesivas, el código mismo ha cambiado y es

difícil no reconocer que este hecho interesa también a la memoria como tal y no sólo a

la inteligencia.(Piaget, J. & Inhelder, B. 1968b, p.450)

Por tanto, los recuerdos no representan una copia fiel de un suceso pasado y sus posibles

alteraciones no sólo son atribuibles a cambios cuantitativos, sino que también hay que

considerar, además, las modificaciones del contenido cualitativo del recuerdo porque los

códigos (los esquemas) varían con la edad. Una vez que aceptamos que no captamos el

mundo por simples percepciones sino que descubrir su organización supone una


264

construcción o reconstrucción mediada por los esquemas operatorios del sujeto, lo cual es

función de la inteligencia, de la misma manera es razonable aceptar que recuperar un

recuerdo supone la comprensión y construcción de la situación pasada mediada por el

esquematismo y las operaciones de que es capaz el sujeto:

[...] el recuerdo, en tanto que organización del pasado, utilizaría los esquemas

preoperatorios u operatorios pero en una dirección que es específica: construir,

conservar o reconstituir desde las imágenes concretas de eventos particulares,

concebidos como si estuvieran producidos en realidad... (Piaget, J. & Inhelder, B.

1968b, p.443)

Así, la memoria en tanto se aplica a la recuperación del recuerdo es inteligencia, ya que

supone una reorganización permanente apoyada en el esquematismo total propio de ella.

Por otra parte, si nos ubicamos en el polo de la inteligencia que se aplica a la

investigación de la realidad actual, y hemos comprendido que para descubrir una

organización es necesario construirla o reconstruirla, no es difícil aceptar que la memoria,

en su papel de conservación de los esquemas, interviene para dar continuidad a la vida

mental.

De esta manera la inteligencia y la memoria conforman una totalidad en la que hay

una colaboración mutua. De una parte, en la recuperación de la información, la memoria

se confunde con la inteligencia en tanto adaptación de aspectos pasados a los esquemas

actuales, y, por otra, la adaptación inteligente a situaciones nuevas utiliza el esquematismo

conservado por la memoria a titulo de instrumentos de generalización.

De acuerdo a lo anterior, nuestra hipótesis respecto al papel de las situaciones

adidácticas que conforman esta primera situación fundamental, consiste en considerar que

al interpretar las situaciones que aquí se plantean, el estudiante recurre a la memoria

evocadora recuperando los recuerdos de la experiencia pasada para apoyar la comprensión

y construcción de la realidad presente. Ahora bien, si en la recuperación interviene el

esquematismo de la inteligencia, entonces este proceso revelaría los esquemas

conceptuales que efectivamente el estudiante ha logrado alcanzar en su proceso de

conceptualización de la continuidad. Y en este sentido, el análisis de las producciones del

estudiante proporcionaría información sobre la estabilidad de las construcciones pasadas,

dadas las relaciones existentes entre continuidad y límite, respecto de las actuales referidas

al límite que el sujeto realmente es capaz de establecer.

Con esta perspectiva en mente, identificamos tres situaciones fundamentales.

1.1.1 Primera Situación Fundamental

La primera, en torno de la caracterización del límite como la propiedad (2) que puede o no

cumplir una función. Las situaciones adidácticas correspondientes a esta situación

fundamental se orientan a provocar la evocación y extensión del esquema relacionado con

la propiedad de continuidad:

(0) (0 (xDf (xp f(x) f(p)))) (1)

de las funciones que ya hemos estudiado.

La situación adidáctica. La tarea propuesta consiste en expresar matemáticamente –

en términos de -– la propiedad de aproximación de los valores de una función al número

L, cuando esta propiedad se enuncia en lenguaje natural de la siguiente manera:


265

"f(x) toma valores "próximos" al numero L siempre que x sea

"suficientemente" "próximo" a p, x p"

La variable didáctica, de esta situación es el cambio de código: una información dada

en lenguaje natural debe ser traducida a un lenguaje matemático, para ser interpretada

atribuyendo significados matemáticos precisos y libres de interpretaciones subjetivas.

La obligación del cambio de estrategia. La situación exige expresar la frase en

términos de entornos y distancia entre puntos (esto lleva a evocar la definición de

continuidad de f en xp), por tanto se obliga a emplear estos esquemas (el código) para

organizar la información dada en lenguaje natural e interpretarla matemáticamente.

Un elemento que puede ser fuente de perturbación, de los esquemas de continuidad

evocados para apoyar la interpretación, es que los valores de f se “aproximan” a un

número L del cual no se informa nada respecto a su origen y papel en la frase. Por otra

parte, pero relacionada con la anterior, se informa que los f(x) se “aproximan” a L cuando

la variable independiente toma valores en cierta “proximidad” de p, pero, xp (y por tanto

no se tiene información de f(p)). Se perfila entonces el problema

P5 (significado de límite de una función en un punto): ¿cual es el significado

matemático de la frase "f(x) toma valores "próximos" al numero L siempre que x sea

"suficientemente" "próximo" a p, x p". ¿Cuál es el significado del número L?

Para obtener las compensaciones necesarias para restablecer el equilibrio del esquema

perturbado el sujeto debe recuperar las relaciones R2 (“próximo” y entorno), R4 (entorno y

distancia), R5 (condición necesaria de proximidad) y R6 (relación entre y ) si se trata de

relaciones ya establecidas. En caso contrario ellas deben ser construidas junto con la nueva

relación (R7):

R7 (valor numérico de la aproximación): El número L que satisface la propiedad

(2) representa el valor al cual se “aproximan” los valores de una función f

definida en un intervalo abierto que contiene a p (sin importar el valor f(p) o si

ella no está definida en xp) cuando x toma valores “suficientemente”

“próximos” a p.

Este conjunto de relaciones resuelven entonces el problema P5. Esta solución

representa, entonces, la construcción de un nuevo esquema que llamaremos esquema

asociado a la definición de límite (L6) que se expresa:

L6 (definición de límite): El número L es el límite de f en xp si,

(N(L)) ( N(p) (xDf (xp, xN(p) f(x)N(L) )))


L5 (definición de límite de Weierstrass): El número L es el límite de f en xp si,

() ( (xDf ( 0<xp f(x) L)))

La reconstrucción de las relaciones ya establecidas junto con la toma de conciencia de

la relación R7 lleva a obtener los esquemas asociados a las definiciones L6 y L5 a partir de

los esquemas asociados a C6 y C5. Pero, en caso que los esquemas más evolucionados no

estén presentes en el sujeto, éste sólo podrá establecer una definición de límite equivalente

a aquella de continuidad que corresponden a su desarrollo conceptual real.

Este proceso se puede describir esquemáticamente en el siguiente diagrama:


266

1.1.2 Segunda Situación Fundamental

La segunda situación fundamental, se introduce con la problemática de dotar de

significado a la expresión simbólica:

lim ( )x p

f x L

de la cual se afirma que representa la propiedad de aproximación de una función f en xp

descrita en la frase que se ha dado al estudiante.

La situación adidáctica, plantea la problemática de establecer la coordinación de

esquemas –los significados asociados a la propiedad de aproximación (2)– con el

significante (aspecto externo) del signo:

lim ( )x p

f x L

El signo (o símbolo matemático de la operación) señala el conjunto de significados

atribuidos, por la comunidad matemática, al concepto de límite.

En particular interesa la coordinación del esquema asociado a (1) con el esquema

correspondiente a (2) para abstraer el significado del signo como la forma en que se

representa una operación que asigna al par (f, p) un número L que cumple la propiedad de

aproximación (2). Se genera, así el problema

P6 (significado de límite como una operación): ¿cual es el significado del símbolo

lim ( )x p

f x L

si éste encapsula el significado matemático de la frase: " f(x) toma valores "próximos" al

numero L siempre que x sea "suficientemente" "próximo" a p, x p"

La variable didáctica de esta situación está dada por el cambio de representación: un

proceso matemático se describe en lenguaje natural en la frase escrita para significar que

existe un número L que satisface la propiedad (2) y este hecho se representa con el

símbolo de límite que señala este significado concreto.

La obligación del cambio de estrategia. La relación enunciada entre la frase y el

símbolo de límite obliga a observar el papel de los elementos significantes, que se

representan externamente en el signo, con respecto a los significantes de las palabras que

señalan su significado matemático encapsulado en (2). Se perfila, entonces la solución al

Definición

activada por la

situación

fundamental

evocación

exitosa de

relaciones

Genera

problema

Se establece

una relación

Variaciones

conceptuales

Definiciones

activas

C5

P ● ● ●

P5 (R2, R4 R5 R6) L5

C5

L6

Definiciones

primitivas Interpretación Aplicación Relación

Equilibración Esquema en equilibrio Esquema en desequilibrio

Figura 4.4: Primera situación fundamental del concepto de límite. Diagrama evolutivo de los

esquemas diferenciados de C5 y asociados a las definiciones L5 L6

R7 (definición diferenciada)

◣


267

problema (P6) que consiste en atribuir al proceso de aproximación el significado de una

operación matemática [L(f, p) L], es decir, en establecer la relación:

R8 (relación entre el símbolo de límite y su significado): El símbolo

lim ( )x p

f x L

indica que el número L satisface (2) para f en xp. O, dicho de otra manera, L es un

número que se asigna al par (f, p) si y solo sí L satisface (2)

Esta la solución de P6 representa, entonces, la construcción de un nuevo esquema que

llamaremos esquema asociado a la definición de límite (L6) que se expresa:


(N(L)) ( N(p) (xDf (x≠p, xN(p) f(x)N(L) )))



() ( (xDf ( 0<xp f(x) L)))

El proceso evolutivo esperado de esta situación se representa esquemáticamente:

1.1.3 Tercera situación fundamental

Es una situación que apoya a las construcciones conceptuales, posiblemente,

realizadas en las situaciones anteriores. Su objetivo específico es proporcionar las

condiciones que obliguen al estudiante a identificar los caracteres que diferencian o

relacionan los conceptos de límite y continuidad.

El primer problema que se plantea directamente en la guía es:

P7 (continuidad y límite): ¿Existe una relación entre continuidad y límite?

La situación obliga a comparar y diferenciar las definiciones de continuidad y límite

y como resultado de este proceso se espera que el estudiante establezca las siguientes

relaciones:

Definición

activada por la

situación

fundamental

Evocación

exitosa de

relaciones

Genera

problema

Se establece

una relación

Variación

conceptual

Definiciones

activas

L5

R8

●● P6 L5

definiciones

primitivas

Interpretación Relación


Figura 4.5: Segunda situación fundamental. El límite como una operación matemática. Diagrama

evolutivo de los esquemas asociados a las definiciones L5 y L6

L6 L6

Signo (f, p)L

●●

◥

◢


268

R9 (relación entre continuidad y límite): Si f es continua en xp entonces el límite

de f en xp existe y es igual a f(p)

R10 (relación entre límite y continuidad): La recíproca de R9 no es cierta. Si el

límite (L) de f en xp existe no necesariamente f es continua en p. Para que lo

sea, es necesario que se cumplan simultáneamente que:

i) f(p) exista

ii) el límite de f en p exista

iii) el límite sea igual a f(p).

El establecimiento de estas relaciones lleva a la formulación de la definición de

continuidad en términos de límite:

C7 (definición de continuidad en términos de límite): Una función f es definida en

un intervalo abierto que contiene a p, se dice continua en xp si,

i) f(p) existe

ii) lim ( )x p

f x L

iii) L= f(p)

Y, también, proporciona un criterio que permite calcular directamente el límite en xp,

evaluando la función (en caso que ella sea continua en p)

Criterio para calcular el límite de una función continua: Si f es continua en xp,

entonces

lim ( ) ( )x p

f x f p

La demostración rigurosa de estas relaciones se institucionalizan en posteriores

secuencias didácticas que se abordan en el curso. Por ahora, sólo se trata que el estudiante

visualice las relaciones y posteriormente se podrá plantear el problema de su validación

matemática.

El diagrama evolutivo de esta situación se representa:

Definición

activada por la

situación

fundamental

Evocación

exitosa de

relaciones

Genera

problema

Se establecen

las relaciones

Variaciones

conceptuales

Definiciones

activas

L5

R10

●●

P7

L5

Definiciones

primitivas Comparación

Relación


Figura 4.6: Tercera situación fundamental. Relaciones entre el límite y continuidad. Diagrama

evolutivo de los esquemas asociados a las definiciones (L5, C5 y L6, C6)

L6 L6

(f, p)f(p)

●●

C6

C5

● ●

● ●

(Criterio)

C7

C6

C7

C5

R9

L5

L6

C6

C5

R10

◢

◥


269

En el diseño de la ingeniería se prevé el evento que la solución al problema P7 no se

encuentre al alcance del estudiante de manera inmediata. En tal caso la situación

fundamental contempla las dos situaciones siguientes que plantean dos problemas cuyo

enfrentamiento ayuda a andamiar las modificaciones conceptuales deseadas.

Una situación adidáctica que obliga a establecer la coordinación de esquemas –los

significados asociados a la propiedad de aproximación (2)– con el significante (aspecto

externo) del signo:

lim ( )x p

f x L

si se tiene la información que el signo (o símbolo matemático de la operación) señala que

el evento de la aproximación se realiza cuando x toma valores mayores que p (se aproxima

por la derecha a p), lo que se indica con el símbolo xp.

En particular interesa la coordinación del esquema asociado en (2) al concepto de

distancia 0xp o de entorno N(p), con las desigualdades: pxp (x a izquierda) y

pxp (x a derecha). La desigualdad con valor absoluto involucra todos los x, xp, a

izquierda y derecha de p, situación que se expresa en la doble desigualdad p x p,

de la que se obtiene las desigualdades: pxp y pxp, necesarias para abstraer el

significado del signo de límite lateral. Se genera, así el problema:

P8 (significado de límite lateral): ¿cual es el significado del símbolo

lim ( )x p

f x L

si éste encapsula el significado matemático de la frase:

"f(x) toma valores "próximos" al numero L siempre que x tome valores, por la

derecha, "suficientemente" "próximos" a p, xp "

Las variables didácticas, de este conjunto de situaciones son dos:

i) límites laterales.

ii) funciones discontinuas en xp, definidas a trozos, con y sin discontinuidad

removible.

La obligación del cambio de estrategia. en el caso de la primera de las variables es

forzada por la consideración de la aproximación a derecha o a izquierda de p, que lleva a

las relaciones:

R11 (relación de aproximación a derecha de p): x se aproxima por la derecha a p, si

px p

R12 (relación de aproximación a izquierda de p): x se aproxima por la izquierda a

p, si

pxp

para diferenciar a (2) en

(0) (0 (xDf (px pf(x) L))) (3)


270

que define el significado del símbolo: lim ( )x p

f x L

o a modificar (2) por

(0) (0 (xDf (pxpf(x) L))) (4)

para definir el símbolo: lim ( )x p

f x L

La toma de conciencia de las relaciones R11 y R12, entonces, han desembocado en el

establecimiento de dos nuevas definiciones:

L (límite lateral de f a la derecha de p): Se dice que f tiene límite a derecha en

xp, si existe un número L tal que,

(0) (0 (xDf (px p f(x) L))) (3)

Y se nota con el símbolo: lim ( )x p

f x L

L (límite lateral de f a la izquierda de p): Se dice que f tiene límite a la izquierda

en xp, si existe un número L tal que,

(0) (0 (xDf (pxp f(x) L))) (4)

Y se nota con el símbolo: lim ( )x p

f x L

El proceso de esta situación se representa esquemáticamente:

Como consecuencia de la construcción anterior surge la siguiente situación que

conduce al problema:

P9 (límites laterales y límite): ¿cual es la relación entre los límites laterales de

f, cuando éstos existen en xp y el límite de f en p?

cuya solución se basa en el establecimiento de las relaciones:

R13 (relación entre límites laterales y límite ): Si existen los límites laterales

de f en xp y son iguales entonces el límite de f en p existe y es igual a los

límites laterales.

Definición

activada por la

situación

fundamental

evocación

exitosa de

relaciones

Genera

problema

Se establecen

relaciones

Variaciones

conceptuales

Definiciones

activas

L5

P ● ●●

P8

L

L5

L

Definiciones

primitivas Interpretación Aplicación Relación


Figura 4.7: Tercera situación fundamental del concepto de límite. Diagrama evolutivo de

los esquemas diferenciados de L5 y asociados a las definiciones L L

R11 (definición diferenciada)

R12

◣


271

R13 (negación de R15): Si no existe límite lateral, en xp, o si existen y LL

se concluye que f no tiene límite en p.

Este proceso lo representamos en el diagrama:

Respecto a la segunda variable (ii) de esta tercera situación fundamental, se trata de

situaciones adidácticas de validación que se plantean para comprobar si efectivamente el

estudiante ha comprendido el papel de los cuantificadores en la relación entre y que se

expresa en (2). Aquí surge el problema de la técnica , que permite encontrar

explícitamente, para una función específica y un punto p, la relación entre épsilon y delta.

Este problema será enfrentado en extenso en la siguiente secuencia didáctica para la que

ha diseñado la guía Nº 2 y que aquí no analizamos. Se trata, entonces, sólo de comprobar

el estado de equilibración alcanzado por los esquemas asociado a la definición (2).

La estrategia ganadora que permite establecer explícitamente la relación épsilon

delta, tanto en los casos de existencia del límite como en los casos en que no existe, es

sometida a prueba en una situación que el estudiante debe validar o refutar.

La validación de la estrategia ganadora, sólo se puede alcanzar por el

establecimiento explícito de la relación funcional entre - tal que se cumpla (2) en los

casos en que el límite existe o, en caso contrario, mostrando un 0 para el que se verifique

la negación de (2).

Nosotros esperamos que este conjunto de situaciones apoyen la diferenciación del

esquema asociado a (2) en los esquemas (3) y (4) y, recíprocamente, la integración de

éstos en (2), cuando se alcance una equilibración gama, favorezca la equilibración de los

dos esquemas (continuidad y límite). Esta equilibración, puede ser observada en el

comportamiento del estudiante al expresar, por sus propios medios, la relación entre límite

y continuidad. Es decir, una señal del aprendizaje de los conceptos es la conclusión, del

estudiante, que se expresa al decir que toda función continua en xp, tiene límite L y L

f(p). Y, en sentido inverso, si una función tiene límite en xp, ella es o puede hacerse

continua si L f(p) o se define f(p) L.

Definición

activada por la

situación

fundamental

Evocación

exitosa de

relaciones

Genera

problema

Se establecen

las relaciones

Variación

conceptual

Definiciones

activas

L

R13 R13

●● P9

L

definiciones

primitivas Interpretación

Relación


Figura 4.8: Tercera situación fundamental: límite y límites laterales (L7). Diagrama

evolutivo de los esquemas asociados a las definiciones L y L

L

L

Signo L L

L

●●

L7

►

►

►

►

►

Concepción de situaciones adidácticas: continuidad

272

2. CONCEPCIÓN DE LAS SITUACIONES ADIDÁCTICAS DE LA GUÍA

Establecidas las situaciones fundamentales de la ingeniería, pasaremos a detallar las

situaciones adidácticas relacionadas con ellas y que conforman el cuerpo de la guía que

oficia de instrumento de mediación para la construcción de los conceptos en la Z.D.P. En

este sentido, el progreso en la evolución conceptual del estudiante es resultado, en parte,

del funcionamiento de las variables de la interactividad: Interacción sujeto-medio (SM)

que implica un modelo implícito de acción; Interacción comunicativa sujeto-sujeto (CSS)

que relaciona un lenguaje con la organización de la actividad del sujeto y la producción de

un mensaje; Interacción de validación sujeto–sujeto (VSS), en la cual una teoría permite la

construcción de proposiciones y juicios respecto al modelo de acción.

Este funcionamiento, responde a un ciclo de interactividad en relación a las tres

variables:

SM: intercambio de informaciones no codificadas. Corresponde a las situaciones

adidácticas de acción, diseñadas para generar un diálogo entre el sujeto y el medio

que tiene el efecto de producir una retroalimentación impersonal proveniente de la

naturaleza de la situación misma, sin intervención del experto o de otro agente

externo, gracias a los procesos retroactivos y proactivos propios de la asimilación-

acomodación de ciclos cognitivos. Se trata, entonces de aplicar en el diseño y

posteriormente en el análisis de las producciones del sujeto el modelo de interacción:

que ya hemos expuesto en el primer capítulo junto con su ciclo de equilibración:


Este ciclo desemboca en una decisión, producto de elecciones que en criterio del

sujeto son adecuadas, pudiendo quedar implícito el sistema de elaboración de la decisión

así como su justificación.

CSS: intercambio de informaciones codificadas según un lenguaje. Corresponden a las

situaciones adidácticas de formulación, diseñadas para obligar al sujeto a expresar

explícitamente, en forma oral o escrita, el modelo de acción. Los observables de la

acción (Obs S) que dependen de los observables registrados en los objetos:

Obs O Obs S

son expresados por el sujeto en un lenguaje permitiendo a otro actuar sobre la

organización explícita de las inferencias individuales de la acción del sujeto (Coord

S). Se produce así, un intercambio de informaciones entre emisor y receptor con

argumentaciones o rechazos, en este sentido es un paso hacia la validación; sólo que,

los interlocutores buscan alcanzar la comprensión de la situación de acción y de los

planes de la acción, con el objeto de coordinar sus acciones por medio del acuerdo.

1

2

Obs SCoord SObs OCoord O


273

En este sentido, los interlocutores intercambian informaciones que afectan las

estrategias individuales, reorientándolas, completándolas, etc. Se trata de una

negociación de estrategias para acoger aquella que logre un consenso.

VSS: intercambio de juicios. Corresponde a situaciones adidácticas de validación, éstas

son construidas de manera que se obligue al estudiante a aplicar el conocimiento C

en una situación concreta para la que C es crucial, justificando ante otro sus

decisiones; o, explicando el conocimiento C para que otro pueda actuar sobre la

situación usando este conocimiento. El sujeto debe validar sus afirmaciones que

pueden ser cuestionadas por otro. Estos intercambios contribuyen a la toma de

conciencia de la forma matemática (aspecto estructural del conocimiento) de C

gracias a la reflexión (inducida por los cuestionamientos) respecto a la naturaleza de

sus acciones y la naturaleza de la situación relativa a C. Esta dialéctica, conduce a la

conceptualización.

El funcionamiento del conjunto de situaciones adidácticas según el ciclo

SM CSS VSS etc.

es necesario pero no suficiente para inducir en el alumno los conocimientos culturales que

se desea que aprenda. Es aquí que, la teoría de la equilibración de Piaget se revela

insuficiente. Por ello, como ya lo hemos expuesto en el primer capítulo, se requiere la

inducción del experto participando en la construcción de la Z.D.P. en cuyo desarrollo

realiza los ajustes necesarios – devoluciones (DP) e institucionalizaciones (IP)– actuando

intencionalmente sobre el par alumno-medio.

Así, el conocimiento C como producto de la interactividad, gracias a la acción

didáctica, se puede pensar como la suma de las contribuciones de cada variable:

C SMCSSVSSDPIP

Esta perspectiva nos permite ver la Guía como instrumento pautado que interviene

como núcleo de una organización didáctica compleja. En otros términos la guía es un

mecanismo de influencia educativa utilizado por la ingeniería para la construcción de un

conocimiento particular.

2.1 CONTINUIDAD

Ahora, explicaremos, en los términos arriba expuestos, las funciones de cada

situación adidáctica de la guía relativas a la construcción del concepto de continuidad de

una función en xp.

Primero se introduce una cláusula del contrato didáctico (explícito) que compromete

al profesor a proporcionar en el material presente las situaciones necesarias (en su

concepto) para construir el conocimiento de continuidad y límite, y compromete al

estudiante a emplear sus conocimientos espontáneos en la respuesta a cada situación

siguiendo el orden establecido en el instrumento y escribiendo sus respuestas

Situación G1

En términos de la teoría didáctica, aquí se proponen dos situaciones: una, corresponde


274

a una situación adidáctica de acción (numerales (a) y (b)); la otra, induce una situación

adidáctica de formulación (numerales (c) y (d)). Y se introduce, en boca de un

matemático, el término «continua» en referencia a la propiedad que será objeto de

estudio, para construir el significado del término, durante toda la secuencia didáctica.

Concepción de los numerales (a) y (b) en G1

Dimensión epistemológica de la situación matemática. El origen tanto del concepto

del continuo numérico como de la continuidad de una función, aparece en contextos

físicos y en particular ligados al movimiento. La necesidad de comprender la naturaleza de

situaciones concretas del mundo físico y de elaborar sus modelos teóricos, derivó en la

elaboración de conceptos matemáticos como el de función, ecuaciones diferenciales, etc.

La definición rigurosa de propiedades de las funciones, como por ejemplo la continuidad,

se hicieron necesarias para evitar errores y comprender mejor los fenómenos. En este

sentido, la situación en G1 proporciona un contexto, artificial, en el cual el conocimiento a

enseñar tomará la forma del problema (P) que consiste en caracterizar matemáticamente

la propiedad de continuidad de una función en un punto.

La naturaleza del problema, exige el empleo de conceptos matemáticos como

variable (independiente, dependiente); función; propiedades de una función (monotonía);

y gráfico de la función.

Dimensión psicocognitiva, la comprensión del objetivo, de parte del estudiante, que

consiste en construir las gráficas y la previsión del resultado de sus acciones: las gráficas

deben dar cuenta de la velocidad y aceleración de la bola en los trayectos AB, BC y CD

genera un desequilibrio que se expresa en la necesidad de alcanzar el objetivo. Se activa,

entonces, el sistema de acción y se pone en funcionamiento el ciclo de equilibración que

corresponde a la variable de interacción SM, que ya hemos descrito arriba. Esta variable se

analiza en términos observables y coordinaciones, necesarias y suficientes, para obtener

una estrategia ganadora. En la concepción teórica ideal de (a) son posibles, por ejemplo:

1. Una bola de masa m rueda (como se muestra en la gráfica) desde una altura h.

B s C

Encuentre:

(a) La gráfica de la velocidad en función del tiempo en el recorrido de A a D.

(b) La gráfica de la aceleración en función del tiempo en el recorrido de A a D.

(c) Compare las gráficas obtenidas. ¿Como son las gráficas en los instantes anteriores y posteriores del

paso por B y C?

(d) Cómo son las gráficas de la velocidad v(t) y la aceleración a(t) en el instante tl en que la bola pasa

por B? ¿En el instante t2 en que la bola pasa por C?

Un matemático diría que:

“La función velocidad es continua en todo punto, mientras

que la función aceleración no es continua en tl y t

2”.

h

D

A


275


La acción de dibujar

la gráfica, donde:

V(t)=kt, t[0, t1]


la gráfica, donde:

V(t)=-kt, k0

t[t1, t2 ]

La velocidad de la bola

aumenta continuamente en

AB: VA = 0; VBmáxima

Si se toma en cuenta el

rozamiento:

la velocidad de la bola

disminuye en BC: VBVC

Visualización del

movimiento en AB

Visualización del

movimiento en BC


aumenta continuamente

en AB: VA = 0;

VBmáxima

Considerando el

rozamiento:

la velocidad de la bola

disminuye en BC:

VBVC


la gráfica, donde:

V(t)kt, k0

t[t2, t3 ]


decrece continuamente en

CD: VBVC VD0

Visualización del

movimiento en CD


decrece continuamente

en CD: VBVC VD0

El ciclo de equilibración,


desemboca en una decisión, en este caso el gráfico de v(t) producto de elecciones que en

criterio del sujeto son adecuadas.


reconstruir de manera esquemática un ciclo cognitivo virtual que describa la interacción

SM en términos de los esquemas conceptuales necesarios y suficientes para alcanzar el

objetivo de la tarea y que el sujeto se obliga a poner en juego. Por ejemplo, si el estudiante

dibuja para el problema (a):

Se infiere que el sujeto ha empleado los esquemas conceptuales:

Gf :gráfico de una función.

V : velocidad

Y el funcionamiento de estos esquemas, se explica en términos de asimilación-

acomodación que generan una sucesión de procesos cognitivos, a los que no tenemos

acceso, que se pueden inferir plausiblemente, gracias al modelo de equilibración. Así, el

objetivo de la tarea, planteado por la situación S, lleva a activar un esquema que se

constituye en director de las acciones del sujeto. Este esquema, es la herramienta básica de

la inteligencia para la coordinación de medios (otros esquemas) para alcanzar el fin. La

regulación interna de la coordinación realizada por la inteligencia, es impuesta por la

previsión de los resultados de la acción. En este caso el esquema director es Gf y la

situación S es la que plantea el problema (a) de la guía. El medio que alimenta la acción

del sujeto es el lenguaje que comunica la problemática y el dibujo de la situación S.

1

2

0 t1 t2 t3 t

v

v1


276

El esquema director actúa sobre la situación externa S asimilando de ella, los

elementos que son compatibles con su estructura y acomodándose a las condiciones

particulares de éstos (apertura del ciclo), como resultado se activa un esquema necesario

para dar continuidad al proceso hasta alcanzar la equilibración (satisfacción de la

necesidad y cerradura del ciclo). Si el sistema aún no se equilibra, el esquema producto del

proceso cognitivo anterior busca su alimento en los elementos de S o en los esquemas de

que dispone el sujeto (asimilación recíproca) para la satisfacción de la necesidad que ha

surgido por el propio funcionamiento interno del ciclo. El proceso termina cuando se

alcanza el éxito o se producen rechazos, parciales o totales, en caso de fracaso; la

característica en ambas situaciones es el tipo de equilibración alcanzada. En estos términos

el ciclo para el caso (a) y un sujeto ideal es:

Gf x S V : V x S’ Vr : Gf x Vr Gf r

donde S’ representa las características observadas del trayecto (AB, BC, o CD); Vr

representa el cierre del ciclo de aplicación del esquema de velocidad y es el producto de

las coordinaciones de las inferencias del observable S’ que el sujeto atribuye al objeto

como velocidades ( VA 0, VB máxima; VC VB ; etc.). En sentido semejante Gfr

representa el cierre del ciclo total que es ahora el observable en el dibujo de la gráfica de

velocidad del movimiento.

En resumen, conocida la respuesta Gfr de un estudiante concreto, es posible hacer

inferencias plausibles respecto a los esquemas que conforman el ciclo total; esta

inferencias se pueden confirmar o modificar analizando las formulaciones y justificaciones

del justo respecto al proceso (esto es lo que se pretende con el numeral (c))

Similarmente podemos modelar la situación de acción para la obtención de la gráfica

de aceleración


La acción de dibujar la

gráfica, donde:

a(t)= k1, k10

t[0. t1)

Existe una fuerza neta

constante en dirección del

movimiento por tanto, la

aceleración es constante y

positiva en AB.

Visualización del

movimiento en AB

Coinciden con las

Coord S, que el

sujeto ahora aplica a

los objetos.


gráfica, donde:

a(t)=0, t[t1, t2 ]


gráfica, donde:

a(t) = k2, k20;

t[t1, t2 )

Si no se considera el

rozamiento, la fuerza neta es

cero luego, la aceleración es

nula en BC.

Si se toma en cuenta el

rozamiento: Fr= Cte. y

opuesta al movimiento,

luego la aceleración es

negativa y constante en BC.

Visualización del

movimiento en

BC

Visualización del

movimiento en

BC

Coinciden con las

Coord S.

Coinciden con las

Coord S.


gráfica, donde:

a(t)=k3, k30

t[t2, t3 ]

Existe una fuerza neta

constante en dirección

opuesta al movimiento, por

tanto, la aceleración es

negativa y constante en CD.

Visualización del

movimiento en

CD

Coinciden con las

Coord S.

1

2


277

El ciclo de equilibración, culmina en la decisión que se observa en la realización del

sujeto. En este caso, si se toman las decisiones pertinentes se obtendría (en el caso que se

desprecia el rozamiento) el gráfico:

Los esquemas conceptuales que necesariamente se emplean para esta realización son:

Gf :gráfico de una función.

A : aceleración

El modelo de funcionamiento de estos esquemas, que ya hemos explicado, permite

inferir en el caso (b) el ciclo cognitivo de nuestro sujeto ideal:

Gf S A : A S’ Ar : Gf Ar Gfr

Donde, S’ representa las características observadas del trayecto (AB, BC, o CD); Ar

representa el cierre del ciclo de aplicación del esquema de aceleración y es el producto de

las coordinaciones de las inferencias del observable S’ que el sujeto atribuye al objeto

como aceleración en los diferentes trayectos (a(t)k1, k1 0, 0 t t1, t1: tiempo en

recorrer AB; etc.). En sentido semejante Gfr representa el cierre del ciclo total que es ahora

el observable en el dibujo de la gráfica de aceleración del movimiento.

Dimensión didáctica de las situaciones (a) y (b). Estas situaciones tienen la intención

didáctica de facilitar las condiciones en que se apoya el profesor para producir una

devolución del problema, tal que, provoque en el alumno una interacción profunda y

fecunda con la situación adidáctica. Es aquí, que la variable DP –que comanda el experto

y tiene por objeto la cesión y el traspaso de la responsabilidad de la obra matemática, del

experto al estudiante– interviene para maximizar los valores de la variable SM, CSS y

VSS, para lo cual el experto comunica o se abstiene de comunicar información, preguntas,

métodos, etc. En estas situaciones en particular, las cuestiones sobre las que el profesor

estará vigilante y presto a exigir precisiones o problematizar, serán aquellas referidas a

conceptos tales como: variable, definición de función, dominio y rango, gráfico de una

función, función lineal, función constante; informaciones físicas que se derivan del

modelo matemático (por ejemplo pendiente de la recta en la gráfica de v(t) o área bajo la

curva en el caso de a(t), etc.). Estas cuestiones si bien no son el objeto central de nuestra

problemática, son pertinentes para contextualizar la situación y producir una buena

devolución.

Concepción de los numerales (c) y (d) en G1

Dimensión epistemológica de la situación matemática: esta en relación con los

a

a1

•

•

•

a2

a3

0 t t 2 t1 t3


278

resultado obtenidos en (a) y (b). Se trata de caracterizar las funciones en la vecindad de t1

(cuando la bola pasa por A) y t2 (cuando la bola pasa por B) a partir de las gráficas ya

obtenidas.

Naturaleza del problema. La formulación de las características de las funciones, exige

el empleo de un lenguaje matemático que apoye apropiadamente la formulación. Para ello

se requiere el uso de términos como: creciente, decreciente, constante, continua,

discontinua, etc. El significado de que el sujeto le atribuye a cada uno de ellos, reflejará

una determinada organización de los elementos particulares que el sujeto ha interpretado

de la estructura y función de la situación matemática.

Dimensión psicocognitiva. La situación propicia el desarrollo hacia la

conceptualización, obligando el paso del saber hacer (técnica), a saber cómo se hace

(tecnología). En esta dirección, se trata de poner en acción dos conjuntos de estímulos: los

que proviene de las gráficas de las funciones (objetos), hacia los cuales se dirige la

actividad del estudiante y los estímulos de la palabra que tienen la función de signos con

ayuda de los cuales el sujeto organiza, comunica y valida su actividad.

En el caso de (c), los observables de la acción de comparar las gráficas y comunicar

el resultado se registran en la formulación explícita, es decir de la puesta en relación de:

Obs O Obs S

Los obs S (registro del sujeto respecto a los obs O) en la formulación pueden contener

expresiones del lenguaje matemático (creciente, constante, etc.) o del lenguaje natural

(aumenta, se mantiene, etc.) y una estructura que relaciona estos términos. De aquí, se

deducen, plausiblemente, las inferencias posibles Coord S respecto a los Obs O y el ciclo

cognitivo que organiza la acción del sujeto.

En el caso (d), la acción de comparar se focaliza localmente en una característica de

las gráficas en los instantes t1 y t2 . La palabra «continua» va a desempeñar el papel

funcional de signo como medio esencial de dirección y control del proceso de negociación

del significado matemático respecto a determinadas situaciones matemáticas y los

significados que espontáneamente le atribuye el sujeto respecto del conjunto de sus

experiencias individuales.

Dimensión didáctica de (c) y (d). Para lograr una optima devolución, el profesor

atenderá las cuestiones referentes a la pertinencia del lenguaje. Por ejemplo, si un

estudiante afirma que la gráfica de la velocidad aumenta en los instantes anteriores al

paso por B, el profesor (que detecta la no pertinencia de la palabra “aumenta”) puede

preguntar: ¿que quieres decir cuando afirmas que “la gráfica de la velocidad aumenta”? y

obtenida la respuesta puede preguntar a otro estudiante: ¿estás de acuerdo con la

explicación de tu compañero? y así, orientar un debate sobre una definición (función

creciente) que no es sencilla pues se deben poner en lugar diferentes elementos:

un conjunto de referencia

un comportamiento numérico de los valores de la función para cierto comportamiento

de los valores de la variable independiente

emplear cuantificadores lógicos

como se puede observar en la definición que aparece en el texto de Calculus de Tom

Apostol:


279

Una función se dice que es creciente en un conjunto S si f(x)f(y) para cada par de

puntos x e y de S con xy. Si se verifica la desigualdad estricta f(x)f(y) para todo xy

se dice que la función es creciente en sentido estricto en S. (Apostol, T. , 1988, p. 94)

Detenerse en la construcción de una definición como esta, es importante para el

objetivo de la secuencia didáctica. No sólo por la importancia y el papel que el concepto

particular pueda jugar en la formación de ciertas nociones del curso, sino además, porque

brinda la oportunidad de mostrar la delicadeza y cuidado que requiere el uso del lenguaje y

la significación de las palabras que se comparten. La necesidad de su despersonalización

para evitar significaciones diferentes y poder llegar a un significado compartido para así

referirse a los mismos objetos yo aspectos de éstos. Otro aspecto a tener en cuenta es el de

la importancia de los cuantificadores en la frase, teniendo en mente las dificultades que

aparecen en este sentido en la definición (-) de continuidad y límite.

Como se puede observar, las acciones que puede realizar el profesor alrededor de

estas situaciones de formulación brindan la oportunidad de asegurar la devolución del

problema y así optimizar los valores de las variables del ciclo de interactividad.

Situación G2

La segunda situación de la guía es nuevamente una situación adidáctica de

formulación que plantea:

Concepción de G2

Dimensión epistemológica de la situación matemática. El análisis histórico nos

enseña que las primeras respuestas a preguntas sobre el significado del término de

continuidad como propiedad de una función, fueron expresadas en términos como

“movimiento libre de la mano”; “unión de varias partes de la curva sin interrupción” y

estaban referidas a funciones, considerando como tales sólo aquellas que se definen por

una sola ley de formación (Euler, 1748; Arbogast, 1791). Es decir, en el proceso de

institucionalización del conocimiento, inicialmente, no encontramos términos de

aproximación local sino una caracterización geométrica y global . Primero, estrechamente

ligada a la sugerencia sensible del continuo físico del tiempo y del movimiento (Newton y

Lipnitz) y más adelante, cuando ya se dispone del auxilio de los conceptos de variable y

función más finos, en los intentos de formulaciones explícitas, se expresa de manera más

aritmética. Sin embargo, las formulaciones del concepto permanecían sugeridas aún, por el

continuo geométrico ligado a la representación gráfica de la función. Estas concepciones

físicas y geométricas de la continuidad, pueden ser interpretadas como obstáculos

epistemológicos que explican la demora en consolidar en el cuerpo matemático el

concepto de continuidad como una propiedad local de las funciones.

Este marco de referencia nos ayuda a prever algunos obstáculos cognitivos presentes

en el estudiante y las situaciones que propician su aparición para enfrentarlos y superarlos.

El objeto de esta situación es, entonces, provocar una formulación del concepto de

continuidad para obligar, en las situaciones siguientes, una progresiva conceptualización

matemática de la noción.

La naturaleza del problema. El problema de la caracterización de la propiedad de

2. De acuerdo a sus respuestas en el Nº 1 (d) escriba lo que para usted significa que la función velocidad

v es continua en t1 (o en t2).


280

continuidad se refiere a funciones de variable real que se dejan, en esta situación,

visualizar gráficamente y representan el modelo abstracto de la velocidad y aceleración de

un movimiento físico. El contexto, obliga a emplear en la formulación expresiones que

sean suficientes para dilucidar la propiedad en una situación visual del fenómeno

matemático. Por ejemplo “la gráfica no se interrumpe” o “al trazar la gráfica no se levanta

el lápiz”, etc. Estos términos del lenguaje cotidiano se revelan suficientes porque la

situación no exige, debido a su naturaleza, el esfuerzo de precisar más allá este lenguaje.

Dimensión psicocognitiva. Los esquemas de acción del sujeto, empleados en la

actividad previa (situación G1) y su resultado, determinan el marco de la formulación. El

sujeto reflexiona sobre sus acciones y toma conciencia de los elementos que hacen posible

su realización, tanto como, de las relaciones del objeto de conocimiento que, según su

concepto son las más pertinentes en la acción. Este supuesto unido a la naturaleza del

problema llevan a esperar, de un sujeto ideal1, formulaciones de la continuidad que giran o

se expresan en los términos:

«f es continua si su gráfico no salta»

Es decir, una definición del concepto que corresponde a un esquema conceptual que

categorizamos como global; geométrico-aritmético que se aplica a curvas y gráficos de

funciones numéricas de variable y valor en los reales; y su estatuto es paramatemático. Por

ser el más primitivo que esperamos lo denominamos C1.

Dimensión didáctica. La intención didáctica de G2, es dejar un registro escrito de la

formulación explícita de un primer modelo que el sujeto considera pertinente a la

situación. A la vez que sirve de apoyo a la siguiente realización del estudiante en G3,

cumple la función de ser el único elemento de prueba que dispone el estudiante respecto a

sus afirmaciones. El profesor, en determinado momento puede exigir su lectura para

demostrar algún cambio de posición o inconsistencia en una acción determinada respecto

al significado que ha querido expresar por escrito el estudiante.

Situación G3

Es una situación adidáctica de formulación, respecto al término de continuidad pero

ahora se trata de su extensión a una función en general y no sólo aquella de la velocidad o

aceleración que contextualizan la definición del concepto en G2. Se solicita:

Concepción de G3

Dimensión epistemológica de la situación matemática. Para definir un concepto

matemático es necesario despojarlo de las atribuciones no matemáticas o sensoriales que

puedan haberlo sugerido y que están presentes en las formulaciones paramatemáticas de la

noción. Se trata entonces de una construcción matemática sometida al control de la teoría

matemática.

La naturaleza del problema. Es un problema abierto que permite una formulación

1 El análisis a priori de la ingeniería se realiza respecto a un sujeto «ideal», en el sentido que los análisis preliminares

nos da acceso a aquellos elementos cognitivos que son comunes a todos los sujetos y respecto a los cuales se diseñan las

situaciones de la ingeniería para provocar y asegurar el aprendizaje.

3. Escriba la idea que usted tiene para definir la continuidad de una función en el punto xp.


281

paramatemática o matemática del concepto. El dominio de aplicación de la noción de

acuerdo a la situación obliga a considerar objetos que son funciones de una variable y

valor real. Los posibles esquemas que pueden ser activados por la situación y que se

concretan en definiciones personales de la forma Ci son:

1. El esquema que se asocia a la definición:

C1 (definición primitiva): f es continua si su gráfico se puede dibujar de un solo

trazo,

corresponde a un esquema conceptual que categorizamos como global; geométrico-

aritmético que se aplica a curvas y gráficos de funciones numéricas de variable y

valor en los reales; y paramatemático.

2. El esquema asociado a la definición:

C2 (definición por valores próximos): f es continua en xp, si cuando x se

aproxima a p f(x) se aproxima a f(p),

corresponde a un esquema conceptual que categorizamos como local; aritmético que

se aplica funciones numéricas de variable y valor en los reales; y paramatemático.


C3 (definición por entornos): f es continua en xp, si cuando

xN(p) f(x)N(f(p)),

que categorizamos como local; geométrico-aritmético que se aplica a gráficos de

funciones numéricas de variable y valor en los reales; y paramatemático.


C4 (definición en términos de distancia entre puntos): f es continua en xp,

sixp f(x) f(p),

es un esquema conceptual que categorizamos como local; Aritmético que se aplica

funciones numéricas de variable y valor en los reales; y paramatemático.


C5 (definición de Weierstrass): f es continua en xp, si

() ( (xDf (xp f(x) f(p)))),

lo categorizamos como local; Aritmético que se aplica funciones numéricas de

variable y valor en los reales; y matemático.


C6 (definición con entornos): f es continua en xp, si

(N( f(p) ) (N(p) (xDf ( xN(p) f(x)N( f(p) ))),



282

aritmético que se aplica a gráficos de funciones numéricas de variable y valor en los

reales; y matemático.

Dimensión psicocognitiva de la situación matemática. El sujeto formulará una

definición (posiblemente C1) de acuerdo a los esquemas conceptuales que

espontáneamente posea y, que, según su criterio, son suficientes para definir la

continuidad de una función en un punto. Aquí pueden aparecer diferentes definiciones

asociadas a diferentes esquemas conceptuales desde los más primitivos hasta los más

elaborados.

Dimensión didáctica de la situación. Nuevamente se busca disponer de un registro

escrito de la formulación de la definición de continuidad. Sobre los esquemas asociados a

este registro, actuara el profesor apoyándose en las situaciones que a continuación presenta

la guía, que hacen de instrumento de mediación, con el fin de producir necesidades

cognitivas en el sujeto que conduzcan a la superación (si es necesaria) del esquema

conceptual y así, obtener un mejor definición.

De cara a la investigación, la situación permite registrar la definición que el

estudiante pone en juego y de acuerdo a ella el investigador infiere un ciclo cognitivo

plausible que será confirmado o modificado de acuerdo al comportamiento del sujeto

respecto a las situaciones que enfrenta posteriormente.

Situación G4

Es una situación adidáctica de validación que pone a prueba la estrategia que el

estudiante ha definido en G3.

Concepción de G4

Dimensión epistemológica de la situación matemática. Se considera una función que

no se define por una expresión algebraica f(x)n, nxn1), su dominio es el conjunto de

los números reales y el rango los números enteros. La función posee entonces un conjunto

numerable de puntos de discontinuidad. Pero es continua en todo xRZ. La naturaleza de la situación. La situación obliga al empleo de la definición

formulada en G3, tanto afirmativa (en x1/2) como negativa (en x1). La forma del

gráfico de f, favorece el uso de la formulación más ingenua del estilo: “f es continua en

xp, si su gráfica no salta en p”. Y su negación: “f no es continua en xp, si su gráfica salta

en p”, asociadas al esquema más primitivo C1.

La utilización de la estrategia asociada a este esquema, es la menos costosa (menor

número de esquemas necesarios para un ciclo cognitivo pertinente a la situación) respecto

de otras posibles.

Dimensión psicocognitiva. El esquema, que define la formulación de la definición y

4. Considere la función f(x) = [x] (menor entero). Usando su definición determine si:

(a) ¿ f es continua en x = 1/2 ? Respuesta: si

(b) ¿ f es continua en x = l ? Respuesta: No

En general f no es continua en p Z. En caso que su definición no le permita concluir las respuestas

mejórela y escriba una nueva definición que permita deducir la respuesta correcta.


283

constituye el significado para el sujeto, será puesto a prueba en una situación concreta. La

situación obliga a emplear explícitamente el sentido afirmativo y negativo del esquema. El

éxito en la acción, refleja el equilibrio cognitivo del esquema: intervención en la acción

del sujeto, tanto de las afirmaciones (que atribuyen los caracteres positivos de lo

conocido), como de sus correspondientes negaciones que definen los caracteres negativos.

Es aquí que se constata la realidad y capacidad del esquema para adaptarse a la situación.

Es decir, si la formulación corresponde o no al esquema que podemos inferir de ella o si lo

expresado por el sujeto ha sido tomado “en préstamo” de alguna fuente externa.

Pensando en un sujeto ideal, que comprende el objetivo: determinar si f(x) [x] es

continua en x1/2; x1, empleando en ello la definición dada en G3. Y que prevé un

resultado: continua a la gráfica no “salta” discontinua si sucede lo contrario, entonces, el

ciclo de interacciones SM (teórico) en términos de observables y coordinaciones será:


Identificación del

objetivo: determinar la

continuidad de f

Se debe obtener el gráfico

de f para aplicar la

definición dada en G3 Lectura de G4

Leer la expresión que

define a f


gráfica de f. Donde,

f(x)n si

nxn1, nN

Se trata de la función

“menor entero”

Indica que para xR, nxn1, nN. se tiene

que f(x) n

Lectura de la expresión

simbólica f(x) [x] Para xR, nxn+1,

nN. se tiene que

f(x)n

La respuesta: la función

es continua en x1/2

Como el gráfico no “salta”

la función es continua en

x1/2

Visualización del

gráfico V’ en x1/2

El gráfico no “salta”

entonces f es

continua en x1/2


no es continua en x1

Como el gráfico

“salta” la función no es

continua en x1

Visualización del

gráfico V’ en x1

f no es continua en

x1



desemboca en una decisión, en este caso la afirmación que f es continua en x1/2 y

discontinua en x1, producto de elecciones que en criterio del sujeto son adecuadas.


reconstruir de manera esquemática un ciclo cognitivo virtual que describe la interacción

SM en términos de los esquemas conceptuales necesarios y suficientes para alcanzar el

objetivo de la tarea y que el sujeto se obliga a emplear.

Al comprometerse en la solución del problema, el estudiante activa el esquema

general C, categoría de lo continuo; C interactúa con los elementos presentes en S4

(expresiones simbólicas), esta interacción posiblemente origina un desequilibrio cognitivo

que plantea una necesidad de alcanzar un objetivo (determinar la continuidad de f) y la

1

2


284

previsión del resultado. El sujeto se dispone a desarrollar un conjunto coordinado de

acciones para lograr su objetivo. Se inicia, entonces, un ciclo de equilibración que se

organiza en términos de la finalidad de la acción y de los resultados esperados. Así: C

reconoce globalmente a S4 (activación de esquemas del sistema de acción) produciendo la

activación de Gf,: el esquema general de representar gráficamente una función, que a su

vez produce la activación de esquemas pertinentes a un ciclo cognitivo (subordinado al

ciclo de C) que produce como resultado la gráfica de una función. El esquema Gf,:

interactúa con los elementos significantes de G4 atribuyendo significados y coordinando,

gracias a éstos, los procesos cognitivos en un ciclo donde Gf es el esquema director de

representar gráficamente una función y H,...,N esquemas (del sistema cognitivo) que se

activan en los procesos del ciclo para interactuar con los elementos H’,..,N’ presentes en la

situación y que son necesarios para su alimentación.

El ciclo cognitivo (encadenamiento de procesos cognitivos) subordinado concluye en

la representación gráfica de la función particular (organización y adaptación de Gf a los

elementos G’...N’ contenidos en la situación particular S4. El cierre del ciclo con la

obtención del resultado (parcial respecto al proceso total de determinar la continuidad) lo

notaremos Gfr. Esquemáticamente:

(C S4) Gf; (Gf G’)H; ...; (NN’) Gfr,

Externamente Gfr, se concreta en la gráfica que el estudiante dibujó (V’). La

visualización de la gráfica V’ será el elemento que alimentará a Gfr (ya organizado y

adaptado a la situación particular) para producir la activación del esquema conceptual

asociado a una definición personal del tipo C1 que actúa sobre el mismo elemento V’

concluyendo el proceso en el cierre del ciclo total que se expresa en la respuesta C1r del

estudiante que justifica el resultado de sus acciones. De acuerdo a lo anterior, el ciclo

cognitivo completo será:

(CS4) Gf; (GfG’)H; ...; (NN’) Gfr; (GfrV’) C1 ; (C1V’)C1r

Dimensión didáctica. Se trata de una situación adidáctica de validación. El profesor

interviene como oponente, de manera despersonalizada, produciendo una devolución del

problema al escribir las respuestas (Sí, No) y la ayuda:

I4 (instrucción en G4):

En general f no es continua en pZ. En caso que su definición no le permita concluir las

respuestas mejórela y escriba una nueva definición que permita deducir la respuesta

correcta.

que aparecen en la redacción de la situación. Este será, posiblemente, el primer

cuestionamiento para el estudiante en su trabajo en solitario. No obstante, en la

interactividad del grupo, el profesor estará atento a realizar las acciones convenientes para

que la devolución de la situación adidáctica efectivamente se realice.

De cara al análisis de la ingeniería interesa la aplicación de la definición que el

estudiante ha expresado explícitamente en G3 y que codificaremos, en el caso afirmativo,

como AC1 (aplicación de la definición personal C1) y, en el caso negativo, A~C1

(aplicación de la negación de C1); indicando si estas aplicaciones son o no coherentes.

Este análisis indicará si la situación ha sido efectiva, o no, para ceder la responsabilidad y

el control del aprendizaje al estudiante.


285

Situación G5

Propone dos situaciones. La primera (a), que plantea la validación de la definición

que el estudiante ha formulado y, posiblemente, ha utilizado con éxito en las situaciones

anteriores.

La segunda (b), actúa como situación adidáctica de validación de la definición

primitiva o de cualquier otra que el estudiante haya formulado. Pero, si se trata de C1, la

estrategia no funciona y el estudiante debe construir una nueva estrategia. La situación,

entonces, se transforma en una situación adidáctica de acción.

Concepción de (a) en G5

Dimensión epistemológica de la situación. La evolución del concepto de continuidad

según la historia de la noción, tuvo dependencia directa con el desarrollo del concepto de

función. Así, la consideración de funciones en un cuadro geométrico como lo hicieron

Fourier y Dirichelet permitió concebir funciones más generales que las que se

consideraban en el cuadro algebraico euleriano. Por ejemplo, Dirichelet imaginó la

función f que toma el valor c cuando x es racional, y, d cuando x es irracional, con dc,

que ilustra la situación de una función que es discontinua en todo su dominio. Ejemplos

como este, que hacen intervenir funciones no definidas algebraicamente, afectaron las

nociones fundamentales del Cálculo de la época como los criterios de: convergencia de

series, integrabilidad y diferenciabilidad de funciones. Criterios, que como sabemos, están

ligados al concepto de continuidad y por tanto exigían una definición cada vez más

profunda y fecunda de este concepto. Al mismo tiempo, la visualización de las funciones

en un marco geométrico se constituyó en una herramienta útil para la construcción y

prueba de los conceptos del Cálculo y en particular del mismo concepto de continuidad.

La naturaleza del problema. La variable de la situación que en este caso es el tipo de

función, cambia de f definida por una expresión algebraica a una función estilo Dirichelet

g. Este cambio, hace que la estrategia que recurre a la visualización de un “salto” o la

percepción de un “trazo continuo”, como criterio para determinar la continuidad de una

función, se revele insuficiente al aplicarla a la función g en x2, pues evidentemente allí

“salta” la gráfica o no se obtiene de un “trazo continuo”, no obstante, g es continua en x1.

Para lograr este efecto la parte (a) de la situación propone la función f que permite aplicar

5. Considere las funciones f(x) x; y ( )2

x si x Qg x

si x

usando su definición determine si:

(a) ¿ f es continua en x l?

(b) ¿ g es continua en x2?

Si su idea de continuidad le permitió observar que las funciones son continuas en los puntos x1 y x2

siga usándola con las siguientes funciones. En caso contrario observe las deficiencias y encuentre una

mejor definición. Escríbala y aplíquela a cada función hasta lograr una definición de continuidad, que

permita reconocer la continuidad o no de f en x p.

Ayuda: Tome dos situaciones. Una donde f sea continua en x p y otra donde no lo sea. Observe hacia

que valor se aproxima f(x) cuando x se aproxima a x p.


286

el esquema C1 con éxito. Este resultado y el contraste con el que se obtiene de aplicar C1 a

la función g de la parte (b), debe obligar a un cambio de la estrategia empleada por el

estudiante y que en (b) se revela insuficiente.

Dimensión psicocognitiva. Pensando en un sujeto ideal, que comprende el objetivo:

determinar si f(x) x es continua en x1 usando la definición dada en G3. Y que prevé un

resultado: continua a la gráfica no “salta” discontinua si sucede lo contrario, entonces, el

ciclo de interacciones SM teórico en términos de observables y coordinaciones asociado a

la definición C1 se constituye como se indica a continuación y, el ciclo de equilibración,


desemboca en una decisión. En este caso la afirmación de que f es continua en x1,

producto de elecciones que en criterio del sujeto son adecuadas.

Ciclo de interacciones:


Identificación del


continuidad de f

Aplicar al gráfico de f la

definición dada en G3 Lectura de G5

Leer la expresión

que define a f


gráfica de f. Donde,

f(x)=x, xR

La ecuación representa una

recta que pasa por (0.0).

Para trazar su gráfico basta

obtener otro punto: si x1,

f(1)=1

Lectura de la

expresión simbólica

f(x)=x

Dibujar un sistema

de coordenadas

cartesianas y por

(0,0) y (1,1) trazar

la recta


es continua en x1

Como el gráfico no “salta”

la función es continua en

x1

Visualización del

gráfico V’ f es continua en x1

El ciclo cognitivo virtual es similar al descrito en la situación anterior de G4.

Esquemáticamente:

(C1S5) Gf; (GfG’)H; ...; (NN’) Gfr; (GfrV’) C1 ; (C1V’)C1r

Dimensión didáctica. Se trata de una situación adidáctica de validación. La intención

didáctica es favorecer la devolución del problema (DP) presentando en (a) una situación

del dominio del esquema C1 que se puede contrastar con la situación inmediata (b) que

excede su capacidad asimiladora. En (a) se produce un refuerzo del esquema C1 que se

pretende desequilibrar a continuación con la situación (b).

Concepción de (b) en G5

Dimensión epistemológica de la situación matemática. Se trata de una función que es

continua en x2 y discontinua en el resto de su dominio; con la particularidad que en x2

la gráfica “salta” o no se pude “dibujar de un solo trazo”. Esta función, no está definida

por una única expresión algebraica y su dominio (partido) hace intervenir los conjuntos

numéricos de los racionales e irracionales que tiene intersección vacía pero, su unión

define el continuo numérico de los números reales. Estas particularidades introducen en

escena nuevas dificultades y obstáculos respecto a la actividad asimiladora del esquema

conceptual de función que posea el estudiante. En la génesis de la noción matemática de

función no se aceptó, en principio, como tales las relaciones entre variables que no

1

2


287

obedecían a una única ley algebraica de formación. Así, el cuadro algebraico en que se

definían usualmente las funciones hace de obstáculo epistemológico que impide ver la

posibilidad de extender la definición a relaciones más generales. Otro problema, que surge

es el de la relación entre el continuo geométrico de la recta y el numérico de los reales que

resuelve el problema que los Antiguos Griegos plantearon respecto a la relación entre lo

discreto y lo continuo. A este respecto, los modelos discretos de la recta real que la hacen

“ver” como formada por “pequeñas unidades” y su continuidad como determinada por “su

contacto”, hacen de obstáculo para admitir el orden denso de los reales y concebir un

continuo numérico al estilo de las cortaduras de Dedekind o los reales de Cantor. Si estos

obstáculos están presentes en el alumno, éste tendrá problemas para concebir la gráfica de

la función g.

La naturaleza del problema. Como lo hemos planteado arriba es posible que se

planteen serios problemas en la representación de la gráfica de g, pero es necesario

enfrentar esta problemática y tratar de avanzar en la superación de estos obstáculos.

Cuando el estudiante logre la representación gráfica, el cambio de la variable de la

situación (“salta” pero es continua) podrá actuar obligando al cambio de estrategia y a

buscar una nueva que de cuenta de la continuidad de la función en la nueva situación. La

nueva estrategia no debe ser incompatible con la anterior, es decir, está obligada a dar

cuenta de los casos que previamente se veían a la luz de los “saltos”.

En la interactividad, gracias a las devoluciones del experto, se perfila el primer

problema P1 que el estudiante debe resolver camino a la constitución progresiva del

concepto matemático de continuidad de f en xp.

P1 (conflicto entre “salto” y “próximo”): El criterio C1 permite decidir si una

función es continua o no, en ciertos casos. Sin embargo, existen situaciones en

que una función es continua en un punto xp, no obstante la gráfica “salta” o no

se ha dibujado de “un solo trazo”.

¿Cómo definir la continuidad en estas situaciones? ¿Existe una relación entre el

“salto” de los valores f(x) y f(p) en el caso que f sea continua en xp? ¿En el caso

que f no sea continua en xp?

En este caso, la estrategia ganadora pasa por considerar la relación que existe entre

la “aproximación” de los valores f(x) al valor f(p), cuando x se “aproxima” a p. Es decir, es

necesario establecer la siguiente relación entre “salto” y “próximo”. Si f “salta” o no se

puede dibujar de un trazo en xp, entonces pueden suceder dos eventos:

R1: que f sea continua en xp, si cuando x se “aproxima” a p, los valores f(x)

correspondientes se “aproximan” a f(p).

~R1: que f no sea continua en xp, si cuando x se “aproxima” a p, f(x) no se

“aproxima” a f(p).

La toma de conciencia de esta relación debe conducir a la modificación del ciclo

cognitivo asociado a la definición C1.

La nueva estrategia no es evidente en este juego impersonal (SM) entre el estudiante

y la situación, para resolver este problema se plantea un comentario sobre las posibles

acciones del estudiante y se proporciona una ayuda, a manera de intervención del experto

(DP). La ayuda introduce el término que denota la acción de «aproximación» entre los

valores [x y p], [f(x) y f(p)].


288

Dimensión psicognitiva. En principio el estudiante tenderá a aplicar la estrategia que

ha sido exitosa en las situaciones anteriores. Es decir desarrollará un ciclo cognitivo de la

forma que ya hemos explicado y que representamos esquemáticamente así:

(C1S5) Gf; (GfG’)H; ...; (NN’) Gfr; (GfrV’) C1 ; (C1V’)C1r

Recordemos que todo ciclo cognitivo tiene un doble carácter: el de ser abierto en

cuanto a los intercambios con el medio (asimilación-acomodación, simbolizado en el ciclo

de arriba por “x”) lo que posibilita las modificaciones y generalizaciones del ciclo y, el

otro, en cuanto a su cerradura que garantiza su conservación. Esta tensión entre la apertura

y la cerradura determina una forma especial de «equilibrio» del sistema que según Piaget

[...] se basa en acciones conservadoras que los elementos o los sistemas ejercen unos

sobre otros..., lo que implica... una solidaridad de la diferenciación y la integración”

(Piaget, J. 1990, p. 6)

Esto tiene dos implicaciones importantes. Por un lado explica la tendencia a la

conservación de los esquemas equilibrados en el ciclo; de allí su resistencia a las

modificaciones. Y por otro, señala que el equilibrio se puede perder por perturbaciones

introducidas en el sistema debidas a deficiencias del esquema en la asimilación (que

implica una diferenciación de los elementos externos propios de su estructura y de

acomodación del esquema, integrando al ciclo estos elementos que llevan a activar un

esquema necesario en la organización total del mismo). Como ya hemos explicado, las

autorregulaciones del sistema que se ponen en marcha pueden conducir, en el caso C1 que

nos ocupa, a uno de los tres eventos siguientes:

1. Que algún esquema B del ciclo, rechace un elemento nuevo B’’ diferente (pero que el

sujeto no reconoce como tal) del alimento B’ asimilable por B y que se presenta en la

situación S5. En tal caso, el esquema se acomoda (rechaza a B’’) continuando el ciclo.

La respuesta del sujeto es errada o puede ser acertada pero debido a otra

consideración errónea que compensa el error. La equilibración, así producida

corresponde a una equilibración alfa que se caracteriza por la indiferenciación de la

novedad.2.

2. Que B interactué con B’’, cerrando el ciclo en una respuesta errada o incompleta. En

este caso el sujeto sabe que “algo va mal” pero no puede precisar “qué va mal”. Este

comportamiento indica el inicio de una toma de conciencia de una situación

conflictiva. En este caso diremos que el ciclo cognitivo presenta una disfunción3. y

corresponde al inicio de una diferenciación, es decir, a una equilibración beta del

ciclo.

También puede suceder que B interactué con B’’, interrumpiendo el ciclo. Son los

casos en que el estudiante abandona la tarea y se vence ante lo desconocido. Diremos

en estas situaciones que el ciclo presenta un «cortocircuito»4

2 El ciclo se cierra en una respuesta errónea o aparentemente correcta porque el esquema no reconoce la diferencia del

elemento nuevo. El sujeto no es consciente de que “algo va mal” y no modifica su comportamiento. 3 Llamaremos disfunción de un ciclo cognitivo, cuando el ciclo se cierra produciendo una respuesta errada a causa de

una contradicción interna entre los esquemas no identificada a nivel consciente por el sujeto (aún no conflictiv a). Una

disfunción es diferente del corto circuito 4 Llamaremos cortocircuito de un ciclo cognitivo, cuando el ciclo se interrumpe a causa de la novedad que lo perturba y

hace obstáculo a la asimilación. El sujeto es consciente de que “algo va mal” pero no puede identificar “qué va mal” en

sus propias acciones y no encuentra en su repertorio las acciones que conduzcan al resultado esperado, por tanto,

abandona la tarea.


289

3. Que haya una modificación compensadora por diferenciación e integración

(modificando B por su diferenciación en B2 y B1 donde este último da cuenta de los

elementos B’ que asimilaba B anteriormente y B2 asimila el nuevo elemento B’’. La

integración de B2 al ciclo de B, implica la conservación tanto B2 como de B1 en el

esquema ampliado B). En tal caso, hay adaptación y equivale a nuevo equilibrio en el

sistema cognitivo (es decir un aprendizaje). (Piaget, 1975, pp. 6-7).

Esquemáticamente esta situación se representa

Es necesario aclarar que la modificación o construcción no tiene nada de automática,

en la generalidad de los casos es un proceso (abstracción reflexiva) que presenta

dificultades; requiere tiempo y ayudas para su constitución.

El efecto psicocognitivo que se espera de la situación G5 es el de producir una

perturbación al esquema de asimilación C1 que ponga en evidencia sus limitaciones; ésta

deviene de la forma del conocimiento –que se deriva del esquema– respecto del contenido

del conocimiento –que se deriva de los aspectos particulares de la situación–.

En otras palabras, al interactuar el sujeto con G5 tenderá a aplicar, a la función g, el

esquema C1 que ha sido exitoso. Ahora, los esquemas y las acciones comportan

expectativas; en este caso, la expectativa de C1 es que si la gráfica salta no es continua.

Pero esta expectativa entra en contradicción con la respuesta que ha introducido el experto

en G5 comentando que g es continua en x2 y con los observables que el sujeto puede

comprobar respecto a la gráfica. Es decir, el sujeto está ante una inconsistencia externa.

Cuando el sujeto identifica la inconsistencia externa se produce una inconsistencia interna

o perturbación.

La perturbación es el inicio de un proceso constructivo que se expresa, en este caso,

mediante el funcionamiento de las interacciones tipo IIB, que desarrollan el ciclo de

equilibración

PerturbaciónDesequilibrioRegulaciónCompensaciónEvaluación

En tanto que, las diferentes formas de equilibrio del ciclo corresponden a las

conductas , , , que el sujeto opone, mediante sus reacciones compensadoras, a los

desequilibrios. Los resultados que se observen en las producciones de los estudiantes,

siguiendo el desarrollo de la guía deben mostrar que las progresivas puestas en relación

entre los observables (Obs..) y las nuevas coordinaciones (Coord...) que resultan de ellos

situación tras situación exigen, y de forma necesaria, las compensaciones de cuya

hipótesis partimos. No obstante, puede suceder que el sujeto posea en una situación

determinada, que ha sido diseñada para perturbar un esquema menos evolucionado, un

esquema o más evolucionado, y en tal caso no se perturba, o alguno de sus componentes

(esquemas coordinados al ciclo) se perturba pero por otra causa diferente a la que se ha

previsto y por tanto la perturbación deseada de acuerdo a la hipótesis de la situación no se

alcanza en el momento y el sujeto deberá resolver primero los desequilibrios del esquema

afectado. En tales casos el diseño de la ingeniería da la posibilidad que, si el esquema que

pone en juego el estudiante no es el que corresponde a la definición rigurosa del concepto

matemático en construcción, entonces, tarde o temprano encontrará en una situación una

B1 B’)C; ...; (ZZ’)A, etc.

B2 B’’)C; ...; (ZZ’)A, etc.

(AA’) B


290

perturbación que obligará a obtener una compensación necesaria.

En resumen, el proceso general que se encontraría sin excepción se iniciaría en cada

caso con la aplicación de un esquema inicial de asimilación, cuyo ciclo cognitivo se

encontraría tarde o temprano con perturbaciones y las compensaciones que resultan de las

regulaciones se traducirían en una nueva construcción. Tal construcción consistiría en una

nueva estructura de equilibrio del nuevo ciclo cognitivo asociado al nuevo esquema. El

estado de equilibrio (, , ) del esquema nuevo se caracteriza entonces en términos de las

diferenciaciones e integraciones respecto de los elementos perturbadores y por tanto del

esquema inicial.

Dimensión didáctica. Se trata de una situación adidáctica de acción. La intención

didáctica es favorecer la acción SM, de tal manera que el contraste de la estrategia

empleada en (a) (del dominio del esquema C1) y los resultados de su empleo en (b) (que se

escapa del dominio de C1) produzca el desequilibrio del esquema C1 y ello se concrete en

un conflicto cognitivo que el sujeto debe superar con la ayuda de las otras variables de la

interactividad que controla el profesor ( CSS, VSS, DP e IP) para perfilar el problema P1

y así encausar las acciones del estudiante que lleven a la obtención de la relación R1 y su

negación ~R1.

Por ejemplo, la guía contiene la siguiente instrucción dirigida a producir una

devolución del problema:

I5 (instrucción de G5):

Si su idea de continuidad le permitió observar que las funciones son continuas en los

puntos x1 y x2 siga usándola con las siguientes funciones. En caso contrario observe las

deficiencias y encuentre una mejor definición. Escríbala y aplíquela a cada función hasta

lograr una definición de continuidad, que permita reconocer la continuidad o no de f en

xp.

Ayuda: Tome dos situaciones. Una donde f sea continua en x p y otra donde no lo

sea. Observe hacia que valor se aproxima f(x) cuando x se aproxima a x p.

La primera parte, se orienta a provocar, posiblemente, una reflexión sobre la

definición afirmando que g es continua en x2, lo que puede dar lugar a un

cuestionamiento de la definición del estudiante. En tanto que la ayuda, pretende sugerir

una manera de proceder para determinar si la definición propuesta funciona o no

introduciendo, además, el término “aproximarse” que lleva a focalizar la atención en los

valores “próximos” que se deben relacionar.

Esta instrucción es un punto de apoyo que el profesor utilizará en la interactividad

con el grupo, realizando las acciones convenientes para que la devolución de la situación

adidáctica se realice. El profesor tratará de maximizar los valores de las variables de la

interactividad para que el resultado de la suma favorezca la evolución del esquema C1.

Dadas las situaciones que se plantean en el instrumento, las intenciones de la

secuencia didáctica y el control sobre las variables de comando de las situaciones que

ejerce el profesor, se espera que el esquema C1 evolucione hacia un esquema del estilo:

C2 (definición asociada a una imagen de “aproximación”) g es continua en xp,

si los valores g(x) se aproximan a g(p) cundo x se aproxima a p.

En resumen: se trata de andamiar la construcción de la Z.D.P proceso que se continua

con el desarrollo de la interactividad en el aula y se finaliza con la institucionalización del

conocimiento (IP).


291

Para el análisis se registra la definición C2 si esta ha sido producida por el estudiante

o, en caso contrario, las dificultades u obstáculos que han impedido su génesis.

Igualmente, si I5 ha afectado las acciones del estudiante y en qué sentido lo hizo.

Situación G6

Aquí, se proponen tres situaciones adidácticas de acción, en las que se juega con el

valor de las variables didácticas –la definición de las funciones– con el fin de focalizar los

esquemas del estudiante en el aspecto local de la propiedad de continuidad y, en particular,

observar el caso de una discontinuidad removible.

Como siempre se contraponen las situaciones que obligan a emplear el aspecto

afirmativo y de negación de la definición. Se espera que el esquema empleado en el juego

sea C2, que se asocia a la definición del concepto que se expresa en la forma:

C2 : f es continua en xp, si cuando x se aproxima a p, f(x) se aproxima a f(p)

En esta definición el término “se aproxima” debe aparecer para ser objeto de debate.

En las tres situaciones de G6 tanto C2 como C1, y por supuesto cualquier otro esquema

más evolucionado, funcionan. El objetivo general de la situación es constatar cuál es el

esquema que el sujeto realmente aplica y, en caso de evolución –de C1 a C2 provocada por

G5–, observar el estado de equilibrio del nuevo esquema.

Concepción de G6

Dimensión epistemológica de la situación. Nuevamente se vuelve a presentar

funciones definidas a trozos pero, ahora presentan un solo punto de discontinuidad

contrastando con la situación de G5 (b) en que el evento de discontinuidad se presenta en

infinitos puntos. Además, se introduce en situación de una función que presenta de

discontinuidad removible, que se puede observar comparando la función G6 (b) con G6

(c).

La naturaleza del problema. El cambio de variable produce una disminución del nivel

de dificultad con respecto a la parte (b) de G5. Es decir, se propone un dominio partido

pero sin los problemas que puede suscitar el tener que pensar en el continuo numérico,

bien para representar la gráfica o para evaluar la función, proceso que era obligado en la

situación anterior. La razón de esta decisión obedece al propósito de no dejarnos desbordar

por obstáculos cognitivos que se puedan presentar en relación con el continuo numérico y

poder avanzar hacia nuestro objetivo central de construir el concepto de límite que ayudará

6. Diga si las siguientes funciones son continuas en xp. Justifique su respuesta. (Use su idea de

continuidad)

a) f(x)2x3 en x1 Respuesta: Si

b)

2 1

11

( )1 1

x

xsi x

f xsi x

en x 1 Respuesta: No

c)

2 1

11

( )2 1

x

xsi x

f xsi x

en x 1 Respuesta: Si

Si su argumentación es confiable y han tenido éxito en los ejercicios anteriores, continúe con el siguiente

ejercicio. En caso contrario revise su definición y vuelva a intentar hasta obtener una idea de continuidad

razonable.


292

a consolidar el esquema de continuo real. De esta manera no produciremos un posible

bloqueo del proceso cognitivo de aplicación del esquema asociado a la continuidad de una

función.

La forma en que están definidas las funciones en (b) y (c) obliga al estudiante a

focalizar la atención en el aspecto local de la propiedad de continuidad. Si el estudiante ha

incorporado el término “próximo” a su definición, entonces esperamos que el esquema C1

evolucione al esquema C2 que corresponde a un esquema conceptual que categorizamos

como local; aritmético que se aplica funciones numéricas de variable y valor en los reales;

su estatus es protomatemático.

Dimensión psicocognitiva. Las variables de la situación, permiten al sujeto actuar con

los esquemas C2 o C1. Lo que interesa aquí, es propiciar el empleo de uno cualquiera de

ellos –u otro más evolucionado– y discutir su eficacia para resolver la situación. Si no se

ha surgido C2, es posible retomar el punto (b) de G5 para, si es el caso, mostrar que C1 no

funciona allí; en tanto que, C2 resulta apropiado. Al mismo tiempo la situación se presta

para comprobar que el esquema C1 queda comprendido por el esquema C2. Es decir,

ayuda a las regulaciones que conducen a la diferenciación e integración de los esquemas

para alcanzar así una compensación que lleva a un estado de equilibrio gama.

Un sujeto ideal, si ha alcanzado un estado de equilibrio gama –discriminó e integró

C1 y C2– entonces, para cada situación (a), (b) y (c) elegirá el más económico –menor

esfuerzo cognitivo–. Así:

Concepción de (a) en G6

Se espera que aplique C1, de acuerdo al ciclo de interacciones que ya hemos descrito

junto con el detalle del ciclo cognitivo, plausible, que hemos inferido. Es decir, el sujeto

representaría gráficamente la función f(x)2x3 y observa que en x1 el gráfico “no salta”,

concluyendo que la función en (a) es continua.

Concepción de (b) y (c) en G6

Las funciones propuestas tienen la particularidad de que su gráfico “salta” en un

punto único y las partes en que se divide (dos semirrectas) pueden ser visualizadas como

“próximas”. Si el esquema C2 está presente en el pensamiento del sujeto sin discriminar la

aplicación local del significado de “próximo” a los valores de las variables y no a la

visualización global de la gráfica como tal, entonces se presenta una inconsistencia

externa: la expectativa del esquema C1 es que la función sea discontinua en x1 –allí

“salta”– pero la observación visual global según C2 del gráfico (no de las variables)

informa que sus partes son “próximas”. Esta inconsistencia externa, deviene entonces en

una inconsistencia interna entre los esquemas C1 y C2. La perturbación así generada se

resuelve por la regulación que lleva a mirar localmente y sobre las variables la

“aproximación” local; cuando se observe que la propiedad de continuidad que se ha

caracterizado globalmente en la gráfica, es invariante si se cambia la caracterización por

aproximaciones correlativas de la variable independiente x al punto p y le variable

dependiente f(x) al punto f(p), la compensación se habrá alcanzado. Esto implica una

discriminación de los esquemas C1 –global y geométrico– y C2 –local y aritmético–. Al

mismo tiempo, se produce una integración del esquema C1 al esquema C2: toda función

que es C2-continua, es C1-continua. El recíproco es falso.


293

Esta equilibración es un paso intermedio en términos de la construcción final que

deseamos alcanzar (la definición [,]) . La razón es que desde el punto de vista del rigor

matemático el esquema C2 es insuficiente, debido a que no se hace explícito el significado

del término “aproximarse”, ¿significa, por ejemplo, considerar valores de la variable x y

calcular la diferencia numérica respecto a p para determinar si la diferencia se hace

“pequeña”?. En tal caso, ¿qué significa “pequeña”?; otro problema que tiene el mismo

carácter es: ¿que relación existe entre las aproximaciones de la variable x y la variable

f(x)?

La manera que se pasa, por el momento, sin levantar los cuestionamientos que

acabamos de expresar, es visualizando en la gráfica la aproximación. Este recurso, visual

lleva implícito el uso de un infinito actual y no potencial, como sería el caso de evaluar y

estimar diferencias para un conjunto inagotable de valores. Por otra parte también queda

implícita la correlación necesaria de las dos aproximaciones que más tarde se explícita en

términos de épsilon y deltas. La visualización se revela, así, como un recurso que nos

permite aplazar el enfrentamiento de los obstáculos del “horror al infinito” y “lógicos”

respecto a los cuantificadores.

Siendo fieles a la hipótesis según la cual el conocimiento como proceso de interacción

con el mundo elige los caminos más económicos, resulta razonable esperar que el sujeto

trate de construir las gráficas de las funciones para visualizar sobre ellas la aproximación.

Tomando en cuenta esta observaciones, el ciclo de interacciones SM teórico, en términos

de observables y coordinaciones, en relación a G6, se realizan de la forma siguiente.

En la parte (a) de G6 , el ciclo de interacciones tendría la misma forma del que hemos

descrito en la parte (b) de G5, pero ahora aplicado a la función f(x)2x3 y que se

esquematiza en el ciclo cognitivo

(C1S6) Gf; (Gf G’)H; ...; (NN’) Gfr; (GfrV’) C1 ; (C1V’)C1r

En (b) y (c) de G6 , como ya se ha dicho, tanto C1 como C2 funcionan. El ciclo de

interacción de C2 sería:


Identificación del


continuidad de f


definición asociada a C2 Lectura de G6 Leer la expresión que

define a f


gráfica de f.

Donde, f(x)x1, x1;

f(1)1

La ecuación representa

una recta que pasa por

(0.1) y (2, 3) pero no

contiene al punto (1, 2).

El punto del gráfico que

corresponde a x1 es el

asociado al par (1, 1)

Lectura de la expresión

2 1

11

( )1 1

x

xsi x

f xsi x

Dibujar un sistema de

coordenadas

cartesianas y por (0,1)

y (1,3) trazar la recta

sin pintar el punto

(1,2).

Dibujar el punto (1, 1)

La respuesta: f no es

continua en x1 porque se

observa en la gráfica que x

al tomar valores próximos

a p, f(x) se aproxima a 2;

pero 21f(1)

Como el valor al que se

aproxima f(x) es diferente

de f(1), la función no es

continua en x1

Visualización del

gráfico V’

f no es continua en x1

2

1


294



desemboca en una decisión, en este caso la afirmación de que f no es continua en x1,

producto de las inferencias el sujeto (el ciclo es semejante en el caso (c), pero, allí, se

refiere al evento afirmativo de la definición).

El ciclo cognitivo virtual es similar al descrito en la situación G4, pero ahora relativo

al esquema director C2. Esquemáticamente:

(C2S6)Gf; (Gf S6’)H; ...; (N S6(j)

)Gfr; (Gfr S6(j+1)

) C2 ; (C2 S6(j+2)

)C2r

Aquí, C2 actúa visualizando (la acción más económica) la “aproximación” de los

valores de las variables (x hacia p y f(x) hacia f(p)) apoyándose en la gráfica de la función

para producir C2r , que en el caso en que el valor al que se “aproxima” f(x) sea diferente al

valor visualizado f(p) produce una respuesta negativa (corresponde a la situación G6 (b)) y

en el caso contrario produce una respuesta positiva (corresponde a la situación G6 (c)).

La comparación del funcionamiento de los esquemas C1 y C2 que en este caso se

pueden aplicar con éxito a una misma situación con respecto a la situación G5 (b) en la que

C1 no funciona, pero sí C2 debe ser aprovechada para estimular la diferenciación e

integración de los esquemas, es decir, para ayudar al sujeto a alcanzar una equilibración

gama, gracias a los efectos mediadores de las acciones al comparar los efectos sobre G5

(b) y G6 (b)-(c) en las situaciones propiciadas por la interactividad donde se articulan las

acciones del experto, las acciones del o de los sujetos respecto a la situación matemática.

Dimensión didáctica. Se trata de una situación adidáctica de validación. La intención

didáctica es favorecer la devolución del problema (DP) presentando en (a) una situación

del dominio del esquema C1 que se puede contrastar con la situación inmediata (b) que

obliga al análisis local y por tanto favorece la aplicación de C2. En (a) se produce un

refuerzo del esquema C1 que a continuación (en la situación (b) y (c)) se pretende

diferenciar e integrar a C2. La situación obliga a justificar la respuesta por lo que la

consideramos una situación adidáctica de validación.

I6. (instrucción en G6.):

Si su argumentación es confiable y ha tenido éxito en los ejercicios anteriores, continúe

con el siguiente ejercicio. En caso contrario revise su definición y vuelva a intentar hasta

obtener una idea de continuidad razonable.

Este comentario aparece para señalar la necesidad de asegurar que la definición y su

negación funcionen en los casos en que

(a) la función es continua:

f(x) se “aproxima” a f(p) cuando x se “aproxima” a p.

(b) la función no es continua, pero la discontinuidad es removible:

f(x) se “aproxima” a un valor L cuando x se “aproxima” a p, pero Lf(p).

(c) la función se hace continua por la redefinición en xp.

f(x) se “aproxima” a un valor L cuando x se “aproxima” a p, y Lf(p).

Las devoluciones que el profesor provoque alrededor de estos aspectos ayudará a

consolidar C2 e integrar C1 o en el caso que C2 no haya surgido apoyar su construcción.


295

Situación G7

Es una situación adidáctica de acción. La variable didáctica corresponde a la forma en que

se definen las funciones. El juego sólo admiten como estrategia ganadora el empleo de un

esquema del tipo C2, con la condición de que el significado del término “próximo” no

dependa del observador. Así, al aplicar C2 en (a) el estudiante puede visualizar en la

gráfica los resultados de la aproximación a cero y concluir que la función es continua en

x0. De la misma forma se puede concluir en (b) que la función es continua en x1, pues

si no se establece un significado más preciso al término “próximo”, nadie puede objetar

“legalmente” la afirmación: “para todos los x próximos a 1 los f(x) son próximos a 2,001”.

Pero, sin embargo la función no es continua en x1. Se presenta entonces una

inconsistencia externa a C2. Para superar la inconsistencia el esquema C2 debe ser refinado

y, así, evolucionar a C3. Esto lleva al estudiante a plantearse un nuevo problema (P2) que

debe resolver y así alcanzar una estrategia ganadora. Para ayudar a andamiar la

construcción del nuevo esquema –la nueva estrategia– se hace un comentario para poner

en evidencia la subjetividad del término “próximo” y se proporcionan dos definiciones

matemáticas que eliminan las interpretaciones subjetivas.

7. Diga si las siguientes funciones son continuas en xp. Justifique su respuesta usando su definición

de continuidad.

a) 2

( )0

x si x Qf x

si x I

en x0 Respuesta: Si

b)

2 11

1( )

2,001 1

xx

si xf x

si x

en x1 Respuesta: No

Si usted tiene dificultad en establecer la no continuidad de f en el último ejercicio posiblemente se deba al

uso en su definición de términos como: f(x) se “aproxima” a f(p)........x se “aproxima” a f(p).

El problema de usar las palabras entre comillas es que la idea de proximidad es relativa al observador.

Así 2,001 puede ser considerado por un observador como “próximo a 2. Sin embargo para otro

observador que tenga una escala más fina puede que no sea lo “suficientemente” “próximo” a 2. Sin

embargo para otro observador que tenga una escala más fina puede que no sea lo “suficientemente”

“próximo”.

Observador 1

Observador 2

Debemos encontrar un instrumento que resuelva este problema. Las siguientes definiciones matemáticas

pueden ayudar:


Se llama entorno con centro p y radio >0 a cualquier intervalo abierto con centro p y longitud 2. Se

simboliza:

N(p)

Definición (Distancia entre dos Puntos)


|xp|

Observe que si se conviene que “próximo” al número p es todo aquel x que pertenezca a un determinado

entorno entonces no habrá dudas para reconocer la proximidad

2,001

2

2

2,001


296

Concepción de G7

Dimensión epistemológica de la situación. Las funciones son del estilo Dirichelet, el

nivel de dificultad para la representación gráfica es mayor en (a) que en (b) debido a que el

dominio de la primera introduce en escena los problemas que ya hemos anotado en G5 (b).

Además, la función en (a) es continua en un único punto; en tanto que la función en (b) es

discontinua en un único punto y continua en todos los demás.

La naturaleza del problema. El cambio de variable de (a) a (b) se realiza con el

propósito de perturbar la estrategia visual que permite ganar el juego en los casos en que la

visualización es plausible. La función en (b) se define en todo x real, asignándole en el

punto de la discontinuidad un valor que difiere de 2 una cantidad (0,001) que los

estudiantes podrían aceptar como “pequeña” y por tanto se cumpliría que los f(x) se

“aproximan” a f(1)2,001 cuando x se “aproxima” a 1. También, desde el punto de vista

de la visualización de la gráfica, al dibujar el punto (1, 2,001) se podría ver como

“próximo” o haciendo parte de las otras partes del gráfico. Este cambio en la variable debe

obligar a refinar la terminología asociada al esquema C2 que ahora puede ser cuestionada

cuando las variables CSS, VSS, DP e IP sean activadas de acuerdo al dispositivo

didáctico.

Se perfila entonces, gracias a la interactividad, el problema:



Se trata de una dificultad que se puede evacuar sin mayor inconveniente

introduciendo el concepto matemático de entorno con centro en un punto p y radio .

Dado que, los instrumentos técnicos que refinan la terminología no son evidentes, para

resolver el problema nos valemos de la experiencia sociocultural, colocando al alcance del

alumno las definiciones de «entorno» y «distancia» entre dos puntos, esperando que con la

ayudas de la guía y los debates en el aula el estudiante establezca las relaciones

R2 (relación entre “próximo y entorno): se dice que “x es próximo a p si xN(p)”

y su negación

R2 (negación de R2) “x no es próximo a p si xN (p)”.

que permiten resolver, en parte, el problema y alcanzar una nueva estrategia ganadora.

Sin embargo, sabemos que la interpretación del papel en la definición C2 de los

conceptos de entorno y distancia, requiere de la comprensión de ciertas relaciones entre

los dos conceptos, y que ello no se produce de manera inmediata, entonces para que el

estudiante incorpore a sus esquemas operativos estas dos definiciones se plantean las

situaciones 8 a 11 que más adelante discutiremos.

Dimensión psicocognitiva. Como siempre, en principio el estudiante tenderá a usar la

estrategia que ha sido exitosa en las situaciones anteriores, es decir, la asociada al esquema

C2 (también C1 u otro esquema mas evolucionado). En el caso (a), ésta estrategia funciona

visualizando la aproximación sobre la gráfica; pero, la expectativa del mismo esquema

respecto a la situación en (b) que esperaría, por lo que ya hemos anotado respecto a los

significados que se atribuya a la palabra “próximo”, que la función de G7 (b) sea continua

en x1, puede ser perturbada por la inconsistencia externa que plantea que f no es continua

en x1 –visualmente se puede considerar que cuando x se aproxima a 1 los f(x) son


297

“próximos” a f(1)2,001–, lo que contradice la respuesta que ha introducido el experto en

G7 (b).

Si el sujeto ha construido el esquema C2, entonces el ciclo

(C2S6)Gf; (Gf S6’)H; ...; (N S6(j)

)Gfr; (Gfr S6(j+1)

) C2 ; (C2 S6(j+2)

)C2r

se vería perturbado en C2r que se asocia a la respuesta errónea. Es aquí que debe jugar

un papel la aportación que el experto introduce por escrito en G7:


“Si usted tiene dificultad en establecer la no continuidad de f en el ultimo ejercicio

posiblemente se deba al uso en su definición de términos como: f(x) se “aproxima” a

f(p)...............x se “aproxima” a f(p).”

El problema de usar las palabras entre comillas es que la idea de proximidad es relativa al

observador. Así 2,001 puede ser considerado por un observador como “próximo” a 2. Sin

embargo para otro observador que tenga una escala mas fina puede que no sea lo

"suficientemente” “próximo”.

Observador 1

Observador 2

El papel que esperamos juegue este comentario es que el estudiante identifique la

inconsistencia externa para que ésta derive en una inconsistencia interna que desequilibre

el esquema C2, obligando al sujeto a poner en marcha regulaciones activas para

comprender la situación y encontrar una estrategia ganadora (modificando el esquema C2).

Como hemos previsto que las regulaciones necesarias no son evidentes entonces se

propone una ayuda que media las acciones del estudiante:


“Debemos encontrar un instrumento que resuelva este problema. Las siguientes

definiciones matemáticas pueden ayudar:


Se llama entorno con centro p y radio > 0 a cualquier intervalo abierto con centro p y

longitud 2. Se simboliza:

N(p)


Dado el punto M de coordenada x y el punto P de coordenada p definirnos la distancia

entre M y P como:

|xp|

Observe que si se conviene que “próximo” al número p es todo aquel x que pertenezca a

un determinado entorno entonces no habrá dudas para reconocer la proximidad.”

Para que el sujeto conceptualice estos conceptos definidos proponemos las situaciones

8-11 que más adelante comentaremos. Se trata que el sujeto internalice (en el sentido de

Vygotsky) los significados socioculturales que se asocian a los signos que son

significantes (externos) en la definición construyendo símbolos internos y particulares

(imágenes mentales; significante interno) como producto del aspecto significativo del

conocimiento construido por el individuo (significado que se deriva de los esquemas del

sujeto). Este conocimiento del sujeto, será el producto del traspaso del conocimiento

(externo) que proviene de la experiencia sociocultural al conocimiento conceptual

(interno) producto de la experiencia personal del sujeto. Para que el traspaso se de son

necesarias las siguientes condiciones:

2,001

2

2

2,001


298

Una coordinación intra-individual que asimile los elementos externos a los esquemas

operativos del sujeto

“Una coordinación inter-individual de las operaciones que asegure a la vez la

reciprocidad general de los puntos de vista y la correspondencia del detalle de las

operaciones y los resultados” (Piaget, J. 1994. La formación del símbolo en el niño..

Fondo de cultura económica. México. p. 327)

La consistencia interna del nuevo conocimiento se garantiza porque según el modelo

de equilibración no todos los cambios que se producen en los esquemas conducen a una

equilibración incrementante, sólo lo hacen aquellos que llevan a una mejor consistencia.

En cuanto a la consistencia externa, antes de cambiar el esquema estaba conforme con su

conocimiento anterior, que para las situaciones conocidas ere totalmente válido. Ahora, el

nuevo esquema estará en consonancia no sólo con el anterior, sino también con el nuevo

conocimiento que era discrepante.

Para que las dos condiciones que expresamos arriba se alcancen, además de las

situaciones 8-11, el diseño de la ingeniería contemplan las situaciones 12-13 que deben

llevar en G14 a la formulación de las nuevas definiciones asociadas a esquemas más

válidos como C3 y C4. Donde

C3 (definición de continuidad en términos de entornos): f es continua en xp, si

cuando xV(p) f(x)V( f(p)).



reales; y paramatemático.

En tanto que, la definición aritmética equivalente,

C4 (definición de continuidad en términos de distancia): f es continua en xp,

sixp f(x) f(p).



La razón por la que las modificaciones que se producen en los esquemas conducen a

un conocimiento más válido es que los esquemas se modifican sólo cuando una

inadecuación del esquema viejo se hace evidente, y por consiguiente sólo se adoptan las

modificaciones que lleva a una mayor validez.

En resumen la situación G7 sólo plantea las condiciones en las que se debería

observar un inconsistencia externa respecto del esquema C2. Pero además es necesario que

el sujeto tome conciencia de ella y desarrolle un conjunto de regulaciones que lleven a una

compensación (construcción de C3 y C4). Las situaciones G8 hasta G14 juegan entonces el

papel de andamiaje de la ingeniería para apoyar y alcanzar el cambio conceptual.

Dimensión didáctica. Se trata de una situación adidáctica de acción en la cual se

espera que surja una inconsistencia externa que obligue a un cambio de estrategia en el

estudiante o en caso que el esquema empleado sea propio para la situación nos permita

controlar su estabilidad frente a la situación planteada. Al mismo tiempo la situación

cumple el papel de referente en las situaciones adidácticas de comunicación, formulación,

validación; así, como fuente de devoluciones e institucionalización. Es decir, constituye el

dominio donde actuaran la s variables SM, CSS, VSS, DP e IP durante la interactividad

en el aula.


299

Situación G8

Propone una situación adidáctica de acción en la que se pondrá a prueba los

significados que el estudiante asocia al concepto definido de entorno.

Concepción de G8

Dimensión epistemológica. Definidos los conceptos de entorno y distancia se puede

eliminar las frases como: “x es próximo a p” o “x se acerca a p”, que están asociadas a

esquemas de velocidad y tiempo que provienen de la experiencia personal del sujeto. Los

conceptos definidos lleva a objetivar esta experiencia de tal manera que si x es una letra

que denota un valor cualquiera de los valores posibles que puede tomar en un conjunto

dado y es cualquier número real positivo, entonces, considerando el conjunto de

números reales (p, p) se dice que “x es próximo a p” si x(p, p). En caso

contrario “x no es próximo a p”. Aquí, el entorno es un intervalo abierto tal y como se

define en el cuerpo ordenado de los números reales. Es decir, un conjunto de la forma

(a, b)xR: axb, con a,bR

Y la proximidad deseada está determinada por el número , por tanto no depende de la

apreciación subjetiva del observador.

En otras palabras, la topología usual de R proporciona el criterio para identificar los

puntos interiores, frontera y exteriores de un conjunto. En este caso, se trata entornos y se

establece que puntos “próximos” son aquellos puntos interiores; en tanto que la frontera y

el exterior del entorno son puntos no “próximos”. El criterio recurre a la métrica definida

por el valor absoluto en R para lo cual se introduce el concepto de distancia entre los

puntos P y Q de coordenadas x e y respectivamente, la distancia entre P y Q se define

como el valor absoluto de la diferencia de sus coordenadas:

d(P, Q) d(x, y) xy

Así, el criterio que permite establecer si «x es “próximo” a p» para un 0 dado consiste en

verificar si

xy<0

La naturaleza del problema. Se trata del ajuste conceptual que lleva a caracterizar

matemáticamente la noción subjetiva que se asocia a la palabra “próximo”, gracias a un

instrumento técnico, el de entorno. Dado un 0 y un punto p, el criterio para establecer la

proximidad de x0 a p será la verificando la doble desigualdad de la definición de intervalo

abierto o, equivalentemente, verificando que la distancia entre x0 y p es menor que el

número 0 .

Aquí, se espera que el diseño de la ingeniería lleve a la construcción de las relaciones:

R2 (relación entre “próximo y entorno): se dice que “x es próximo a p si xN

(p)” y su negación

8. Diga si los siguientes valores de x son próximos a 2 para los radios que se dan:

x 2,001 0,0001 Respuesta: No

x 2,00005 0,0001 Respuesta: Si

x 2,001 0,05 Respuesta: Si

x 3 1.1 Respuesta: Sí


300

R2: “x no es próximo a p si xN (p)”.

y las relaciones métricas

R3 (distancia entre puntos no relativa): La distancia entre el punto A de


xp.

R3 (negación de R3) La distancia entre el punto A de coordenada x y el punto P de

coordenada p no es menor que delta, sí y sólo si, xp≥.

que son necesarias para encontrar la solución del problema P2 que ha surgido en relación

con la terminología empleada en la definición C2. Este problema lo hemos expresado en

los siguientes términos:



La razón por la que hemos introducido el concepto de entorno y no el concepto

topológico más general de “vecindad de un punto” es solamente practica, dado que es el

concepto que se utiliza en el libro de texto del curso (Calculus, Tom Apostol).

La estrategia ganadora consiste en: determinar la diferencia en valor absoluto entre p

y x0 y comparar el resultado con el valor 0 conocido. Si la diferencia es, en valor

absoluto, menor que 0 entonces x0 es próximo a p. En caso contrario, no lo es.

Existe una estrategia visual que, en ciertos casos, es menos económica que se puede

describir de la siguiente forma: determinar los extremos p0 y p0. Dibujar el entorno y

el punto x0 en una recta real y luego visualizar si x0 pertenece o no al entorno.

En las dos estrategias los criterios implícitos son:

x0p0 xN0(p) y por tanto x0 es “próximo” a p

x0p0 xN0(p) y por tanto x0 no es “próximo” a p

Dimensión psicocognitiva. Se trata de una toma de conciencia de la definición de

entorno y distancia entre puntos, es decir, de una conceptualización que se apoya en un

constructo ya elaborado (las definiciones) para avanzar en la puesta en común de los

medios internos (esquemas) y los medios externos (significantes que señalan significados

socioculturales). El resultado de esta toma de conciencia es la apropiación de las

definiciones por la adaptación de los significados internos (formas del esquema) a los

significados socioculturales que se expresan en las definiciones de los conceptos. Se trata

pues, de articular el conocimiento figurativo (centrado en los aspectos exteriores, la

configuración estática tal y como aparecen a los sentidos) que el sujeto puede expresar

como un concepto verbal pero sin comprender su significado, a un conocimiento operativo

(que transforma una situación dada en una «forma»). El sujeto reconoce la definición

como significante sólo si posee un conjunto de esquemas operativos a los cuales pueda

asimilar la definición. En caso contrario, el conocimiento no se reflejará en las acciones

del sujeto y tan sólo será algo que se puede recitar de memoria.

Cuando el sujeto se emplea en la tarea de “determinar si x0 es próximo a 2 para cierto

0” se obliga a realizar cierto esfuerzo para comparar la estructura de sus propias acciones

con la estructura donde fue extraída la definición. Para tener éxito en esta tarea debe

comprometer activamente una estructura de conocimiento (debe pensar), tomando


301

conciencia de los significados que el atribuye a los signos externos y tomando

conocimiento de las relaciones externas que señala la definición.

Dimensión didáctica. Se trata de una situación adidáctica de acción, dirigida a la

apropiación de una definición.

La variable didáctica. consiste en los diferentes valores 0 del radio del entorno, para

los cuales el estudiante debe poseer una estrategia que le permita ganar el juego en las

diferentes situaciones. Las estrategias que puede emplear para ganar un juego pueden ser:

Visual: dibujando en la recta real el intervalo (p0, p0) y el punto que se asocia al

número x0 y luego proceder visualmente a verificar si x0(p0, p0).

Aritmética: verificando que x0 satisface la desigualdad p0 x0 p0 o

equivalentemente que la diferencia x0p es menor que 0

De estas la estrategia optima es la segunda, aunque la primera es la que el estudiante

tendería a emplear por ser más económica (en ciertas situaciones).

La obligación del cambio de estrategia. La forma decimal como se expresan los

radios y los valores x0 ponen un grado de dificultad a la visualización lo que obliga a

pensar en la estrategia aritmética.

Situación G9

Se propone una situación adidáctica de acción, con el objeto de relacionar los

conceptos de distancia y entorno respecto al significado de la proposición: “x pertenece al

entorno”

Concepción de G9

Dimensión epistemológica de la situación. Se trata de definir un abierto de R usando

la métrica de distancia entre puntos, conocidos los números p, y el significado de la

proposición abierta que se simboliza en la forma:

xp

Donde el signo xpsignifica la distancia entre dos puntos en la recta real de coordenada

x y de coordenada p. Por tanto, la proposición se refiere a todos los puntos cuya distancia

al punto de coordenada p es menor que el número positivo dado de antemano. Ese

abierto de R es de la forma

(p, p)

Y tiene una representación gráfica:

9. Encuentre el entorno al cual pertenece x si:

(a) |x2| < 0,01

(b) 1

| 3 |2

x

(c) |x1| < 1 Respuesta: N1(1)

(d) |2x 3| < Respuesta: N(3/2)

(e) |x p| < Respuesta: N(p)

p p p (

)

●


302

que se asocia con el símbolo

N(p)

La naturaleza del problema. Se trata de establecer un proceso para identificar el

centro y radio del entorno al que pertenecen los x dados por la desigualdad con valor

absoluto. El proceso implica el establecimiento a nivel práctico de las relaciones entre las

proposiciones matemáticas:

xp , x( p, p) y x N(p)

De nuevo son posibles dos estrategias. La primera corresponde a un marco aritmético

y la segunda a uno geométrico.

Estrategia aritmética. Se vale de los siguientes elementos teóricos propios de la

estructura de cuerpo ordenado de los números reales:

(1) Teorema (propiedad del valor absoluto): para todo a, b en los reales

(i) ab≤ab

(ii) ab≤ab

(2) Teorema (propiedad del valor absoluto): para todo x R

xpa paxap

(3) Teorema (propiedades del orden en R): para todo a, b, c, en los reales se cumple,

i) ab acbc

ii) Si c0 ab acbc

iii) Si c0 ab acbc

(4) Definición (de intervalo abierto)

(a, b)x R : axb, con a,b R , ab

(5) Definición de entorno

N (p)(p, p)

(6) Teorema (propiedades de los signos)

i) (1)(a) a

ii) (a)(b) (a)( b) ab

iii) (a)( b) ab

La estrategia en este marco aritmético es a partir de la desigualdad obtener el entorno

utilizando los elementos teóricos anotados. Es decir resolver la inecuación:

1i) (3 ii) (2) (3 i)

axbk axba k xbaka kaxb/a ka

(3i) (4) (5)

k/a b/a x k/a b/a x(b/a k/a, b/a + k/a)

(5)

xNk/a (b/a).

Donde el centro del entorno es pba y el radio k/a

La segunda estrategia consiste en transformar la expresión axbk en la forma


303

xp en la cual se identifica el centro del entorno (p) y el radio ():

(1-i) (3-ii) (6-iii)

axbk axb/a k xb/ak/a x (b/a)k/a

Donde el centro del entorno es pb/a y el radio = k/a

Dimensión psicocognitiva. En la acción el sujeto debe establecer un procedimiento

que permita identificar el centro y el radio del entorno que define la desigualdad general

axb k

Para lo cual es necesario disponer de los esquemas asociados a las propiedades de la

estructura algebraica y de orden de los números reales como por ejemplo las que hemos

numerado arriba. El proceso de solución implica un conjunto de coordinaciones de los

medios –esquemas conceptuales– para alcanzar el objetivo.

Dimensión didáctica. Se trata de una situación adidáctica de acción, dirigida a la

construcción de un procedimiento. Aquí serán necesarias un conjunto de devoluciones del

problema (DP) que conduzcan a conceptualizar las propiedades de la estructura de R. El

experto estará atento a realizar institucionalizaciones (IP) de los teoremas y propiedades

así como los procedimientos de solución de las inecuaciones.

La variable didáctica. consiste en las diferentes expresiones algebraicas sobre las que

actúa el valor absoluto.

La obligación del cambio de estrategia. En la desigualdad xp, el estudiante

puede identificar por simple correspondencia entre elementos de elementos el centro p del

entorno y el radio . No ocurre lo mismo si la expresión es de la forma general axbk.

Esto obliga a desarrollar un procedimiento que constituye la estrategia ganadora para

cualquier valor de las variables. Este procedimiento realmente son dos: uno que

transforma axbk, por manipulaciones algebraicas, en xp para luego, por

correspondencia entre términos, identificar el radio y el centro del entorno. El otro

procedimiento posible es resolver la desigualdad encontrando el intervalo abierto y luego

identificar el centro y radio.

Situación G10

Propone una situación adidáctica de formulación en la que una frase en lenguaje

natural se debe expresar en lenguaje matemático.

Concepción de G10

Dimensión epistemológica de la situación. consiste en utilizar los instrumentos

técnicos matemáticos que introducen rigor en las formulaciones para interpretar

matemáticamente una expresión dada en leguaje natural que califica la proximidad de x a

p.

10. Considera la frase:

"x está más próximo a 2 que 1.5 y 2.5".

Escriba la frase usando:

(a) El concepto de entorno.

(b) El concepto de distancia entre puntos.


304

La naturaleza del problema. Es un problema de lenguaje matemático.

Dimensión psicocognitiva. Se trata de asimilar un contenido particular a los esquemas

de entorno y distancia para codificar en signos matemáticos lo que se asimila del lenguaje

natural.

Dimensión didáctica. Es una situación adidáctica de formulación dirigida la

traducción de un frase en términos del rigor matemático.

Situación G11

Propone una situación adidáctica de formulación, pero ahora se trata de un frase que

niega la proximidad de x a p. Su concepción es semejante a la que acabamos de expresar

para la situación G10.

Concepción de G11

Dimensión epistemológica de la situación. Se resuelve utilizando instrumentos

técnicos matemáticos que despojan las formulaciones de posibles interpretaciones

subjetivas.

La naturaleza del problema. Es un problema de lenguaje matemático y lógica

matemática

Dimensión psicocognitiva. Se trata de tomar conciencia de los caracteres afirmativos

y negativos de los esquemas asociados a los conceptos matemáticos de entorno y distancia

como instrumentos para sustituir el término “próximo”.

Dimensión didáctica. Es una situación adidáctica de formulación dirigida a

proporcionar una situación que obligue al reconocimiento del caso negativo.

Situación G12

Es una situación adidáctica de formulación que se concibe en la misma dirección de

las dos anteriores. Ahora, el énfasis es el reconocimiento y empleo de los símbolos

matemáticos.

Concepción de G12

Dimensión epistemológica de la situación. El estudiante debe establecer la relación

R4 (relación entre “próximo” y entorno-distancia): Para un dado, x es “próximo”

a p sí y sólo sí, xN (p) y equivalentemente,

xN (p) xp

La naturaleza del problema. La situación obliga a establecer los significado

11. Considere la frase:

"x no está tan próximo a 2 como 1.5 y 2.5"

Escriba-la frase usando: Entornos, distancia entre puntos.

12. Exprese en términos de distancia entre puntos, la información sobre x que se simboliza como: x

N (p)


305

i) del signo N (p) que se apoya en el esquema figurativo asociado a un intervalo

abierto de la forma

lo que permite interpretar

xN (p) x( p, p)

ii) la relación entre el esquema figurativo de intervalo abierto y el esquema operativo

que le es asociado por la definición de intervalo abierto en la recta con la

topología usual

(a, b) xR : axb

que establece la equivalencia

x( p, p) p x p

iii) la construcción del esquema que lleva a interpretar la desigualdad xp como

la distancia entre: el conjunto de los puntos M de coordenada x tales que distan

de P de coordenada p una cantidad menor que . Ello, es equivalente a imaginar

la solución como el conjunto de puntos que pertenecen a un entorno de centro p y

radio . Es decir:

xp xN(p)

Dimensión psicocognitiva. Se trata de tomar conciencia de las relaciones matemáticas

que validan la equivalencia sin apelar, en la argumentación, al esquema figurativo que se

activa al percibir la desigualdad xp evocando una imagen de un entorno de centro p

y radio en el cual “viven” los x que satisfacen la desigualdad. Esto implica utilizar los

esquemas conceptuales relacionados con la estructura algebraica y de orden de los

números reales. En particular, la estructura cognitiva asociada a la demostración del

teorema

x - x

resulta fundamental en el establecimiento de las coordinaciones que interviene en el

establecimiento de R4

Así, coordinando los esquemas asociados con la estructura algebraica y de orden de

los reales, con el asociado al teorema, se demuestra la relación R4:

xN (p) x( p, p) p x p xp xp

que una vez encapsulada en: xN (p) xp , se convierte en un traductor del

esquema figurativo asociado a xN (p) en un esquema operativo asociado a xp , y

recíprocamente.

Situación G13

Propone una situación adidáctica de acción, establecer una relación.

( ) p p p

13. ¿Qué relación existe entre el radio y la idea de la proximidad"?


306

Concepción de G13

Dimensión epistemológica de la situación. el elemento central que permite eliminar el

término de “próximo” es el valor del radio del entorno. Una vez se establece el valor del

radio, los x “próximos” serán todos los que pertenecen al entorno, se evita la subjetividad

que se deriva de término.

La naturaleza del problema. El radio del entorno se puede elegir a conveniencia de

acuerdo a los requerimientos del contexto en que se defina la proximidad.

Dimensión psicocognitiva. favorece una toma de conciencia de la relación del papel

del radio del entorno respecto a la expresión “próximo”

Dimensión didáctica. Se trata de una situación adidáctica de formulación, dirigida a

establecer explícitamente el papel que juega para el estudiante el radio del entorno.

Situación G14

Se propone una situación adidáctica de formulación para establecer la continuidad en

términos de la relación entre las variables de la función.

Concepción de (a) y (b) en G14

Dimensión epistemológica de la situación. Las relaciones R2, R3, R4 que se espera

haya establecido el estudiante, se reflejan en esta situación adidáctica de formulación. Si la

puesta en obra de la ingeniería ha sido exitosa, un estudiante que posea un esquema

conceptual del tipo asociado a C2

C2 (continuidad en términos de “proximidad”): g es continua en xp si, cuando x

se aproxima a p, f(x) se aproxima a f(p)

Debe estar en capacidad de emplear una terminología más refinada modificando las

expresiones “cuando x se aproxima a p” y “f(x) se aproxima a f(p)”, que son subjetivas y

ligadas a imágenes geométricas y de movimiento físico, gracias a la introducción de los

conceptos de entorno y distancia que reducen las proposiciones que son asociadas a lo

“infinitamente pequeño” o lo “infinitamente grande” a relaciones entre magnitudes finitas.

Los conceptos de entorno y distancia permiten encapsular en signos los significados que se

asocian a los procesos de aproximación indefinida que trabajan haciendo uso de un

infinito potencial, reemplazando esta visualización por otra estática, asociada a un infinito

actual, en la que interviene todos los x que pertenecen al entorno N (p). La definición de

continuidad adquiere, así, un carácter más estático y la propiedad de aproximación se hace

más objetiva al no depender del observador sino de sus relaciones cuantificables por

relaciones matemáticas.

14. Lea su definición de continuidad y reescríbala usando:



Si su definición es buena, en ella deben aparecer dos entornos N(f(p)) y N(p). ¿Podría escribir las

respuestas a las siguientes preguntas?:

(c) ¿Qué relación existe entre xN (p) y las imágenes f(x) respecto del entorno N(f(p)), en el caso en

que f sea continua en p?. ¿En el caso en que f no sea continua en p?


307

Esta modificación de C2 se concreta en las definiciones personales C3 y C4

C3 (definición de continuidad en términos de entornos): f es continua en xp si,

xN(p) f(x)N(p)

El esquema conceptual asociado a esta definición lo caracterizamos como local;

geométrico-aritmético y paramatemático.

Utilizando la relación de equivalencia (R4) entre entorno y distancia se obtiene

C4 (definición de continuidad en términos de distancia): f es continua en xp si,

xp f(x)f(p)

El esquema asociado a C4 es entonces, local que se aplica a funciones de valor real y

variable real, y paramatemático.

La naturaleza del problema. Se trata del ajuste conceptual que lleva a la formulación

de C3 y C4.

Dimensión psicocognitiva. El desequilibrio del esquema asociado a la definición C2

producido en G7 por la toma de conciencia de la inconsistencia externa que allí se plantea

lleva a alcanzar las compensaciones que se expresan en las relaciones R2, R3 y R4, ellas

constituyen la modificación del esquema desequilibrado en los esquemas asociados a las

definiciones C3 y C4. El nuevo estado de equilibrio es aún inestable porque las nuevas

definiciones modificadas resultan vulnerables debido a la ausencia de los cuantificadores.

Dimensión didáctica. Se trata de una situación adidáctica de formulación, en la cual

se espera que el estudiante exprese las definiciones C3 y C4

La variable didáctica. consiste en la traducción de las expresiones “x se aproxima a

p” “f(x) se aproxima a f(p)” que aparecen en la definición C2 en términos de los signos

xN (p) y f(x)N( f(p)),

La obligación del cambio de estrategia. Las inconsistencias que se observaron en las

situaciones anteriores respecto a C2 junto con la ayuda de las nociones que permiten

resolverlas, obligan a modificar la definición C2 refinando el lenguaje por medio de los

instrumentos conceptuales de entorno y distancia.

Concepción de (c) en G14

Dimensión epistemológica de la situación. Las definiciones C3 y C4 no dan cuenta de

manera explícita de los cuantificadores que hacen que la definición de continuidad tome

una estructura coherente. La situación en (c) focaliza la atención en la relación que el

estudiante observa entre los xN (p) y f(x)N( f(p)) pero que no da cuenta explícita de

que la relación se debe cumplir para todos los x que pertenecen al entorno

La naturaleza del problema. Se trata de un problema de carácter lógico. En él que

intervienen de manera directa las reglas lógicas que facilitan de manera automática la

negación de las proposiciones que una vez escritas en signos –que encapsulan un conjunto

de significados– centran la atención en los caracteres fundamentales de los objetos

comprendidos por la definición, distinguiendo aquellos caracteres que separan los objetos

que no la cumplen. En este sentido una definición como C3 al negarla pone en evidencia

incoherencias; así:


308

C3: f es continua en xp si,

xN(p) f(x) N( f(p))

la negación de C3 resulta inconsistente pues sin el cuantificador que afecta a los x la

negación quedaría:

C3: f no es continua en xp si xN(p) f(x) N( f(p))

y la pregunta obvia sería ¿todos los x? Esto lleva a perfilar un nuevo problema que el

estudiante debe resolver.

Dimensión psicocognitiva. Se trata de una toma de conciencia de la inconsistencia

que se presenta si no se hace explícito que la propiedad obliga a todos los x que pertenecen

al entorno. Se configura el problema:


xN(p) y las imágenes f(x) respecto al entorno N( f(p)), en el caso que f sea


cuya solución conducen a alcanzar las compensaciones que llevan a un equilibrio más

estable de los esquemas asociados a las definiciones C3 y C4. Estas compensaciones se

traducen en la relación:



f(x) pertenecen a N( f(p))

obteniendo así, una estrategia ganadora en la que se toma conciencia del papel del

cuantificador de los x en la definición.

La toma de conciencia de esta relación introduce una modificación importante en el

ciclo cognitivo asociado a C3 que se extiende a C4. Pero, simultáneamente se presentan

desequilibrios originados por inconsistencias que provienen de la elección de los radios ,

de los entornos. Es esta elección arbitraria? Esta pregunta surge en la siguiente situación

planteada en G15.

Dimensión didáctica. Se trata de una situación adidáctica de acción, dirigida a

focalizar la atención en el cuantificador de las x en la definición de tal manera que se

obtenga una definición coherente.

La variable didáctica. está representada por la negación de C3.

La obligación del cambio de estrategia. La negación de C3 lleva a inconsistencias que

remiten en el problema P3 cuya solución hace explícito el cuantificador “x,...” y la nueva

formulación –C3*– queda entonces:

C3* f es continua en xp si,

x Df, xN(p) f(x) N( f(p))

y la negación de C3*:

C3*: f no es continua en xp si,

x0 Df, x0N(p) f(x0) N( f(p))

La nueva definición se puede expresar en términos de distancia y obtener C4*



309

x Df, xp f(x)- f(p)

Con lo que se resuelve P3 y, parcialmente, el problema de los cuantificadores.

Situación G15.

Se trata de una situación adidáctica de validación. El estudiante debe poner a prueba

su definición, en particular en el caso negativo, y constatar la capacidad ésta para

discriminar las funciones no continuas. Aquí, resulta indispensable tomar en consideración

las relaciones entre los números épsilon y delta que permiten abstraer la noción de

consideraciones geométricas para reducirlas a relaciones aritméticas.

Concepción de G15

Dimensión epistemológica de la situación. Las modificaciones introducidas en las

definiciones C3 y C4 no son suficientes para que la definición de continuidad sea

coherente, aún hace falta establecer la relación entre y que se expresa en términos de

una dependencia entre estos dos números determinada por los cuantificadores y su

jerarquía (proveniente del orden de los cuantificadores).

En el establecimiento de las nuevas relaciones la lógica matemática juega un papel

fundamental. El empleo de los de los signos “”, “”, “”, “”, los conectivos

proposicionales y las reglas lógicas ayudan a focalizar la atención en las relaciones que

caracterizan la continuidad, para establecer la definición:


()(( (xDf (xp f(x) f(p))))

La naturaleza del problema. Nuevamente es un problema lógico que apunta a superar

el obstáculo lógico denominado por Sierpinska (1985) “borradura” de los cuantificadores.

La modificación de C3 en.

C3*: f es continua en xp si, xDf , xN(p) f(x) N( f(p))

y su negación,

C3*: f no es continua en xp si, x0Df , x0N(p) f(x0) N( f(p))

reflejan la tendencia natural de los estudiantes a definir la continuidad mirando sólo lo que

sucede del eje de abscisas al eje de ordenadas. Precisamente, nosotros nos apoyamos en

este hecho para revelar las inconsistencias externas respecto de los esquemas que los

estudiantes asocian a C3*. Para lograr que la inconsistencia se revele al estudiante la

situación de G15 solicita en la parte (a) que escriba la negación ~C3* y en la parte (b) que

la aplique al caso de la función “menor entero”. Para apoyar las acciones del estudiante se

escribe la instrucción


Ilustre con un gráfico la no continuidad de f en x p y compare el gráfico y la negación

de la continuidad.

15. (a) ¿Cuál es la negación de su definición de continuidad?

Ilustre con un gráfico la no continuidad de f en x p y compare el gráfico y la negación de la

continuidad.

(b) Usando su definición para la no continuidad de f en x p, muestre con un gráfico que f(x)[x]

(menor entero) no es continua en x 2.


310

Si el estudiante sigue la instrucción y al definir “mira” del eje de abscisas al eje de

ordenadas, entonces dibuja la gráfica y visualmente “elige” primero un arbitrario y

luego “escoge “ un “suficientemente pequeño” de tal manera que se cumpla ~C3*

Esta manera de proceder implicaría que la negación de C3* se escribe explícitamente

en la forma:

C3*: ( 0 x0 Df, x0N(p) f(x0)N( f(p)) ))

Pero esto lleva a una inconsistencia, pues si se considera una función que sea continua

en xp, para todo delta siempre se puede elegir un épsilon lo suficientemente pequeño para

que se cumpla C3, lo cual es una contradicción con el hecho que f es continua en xp.

Gráficamente:

Esta inconsistencia llevará a formular el problema P4 que se abordará en G16.

Dimensión psicocognitiva. Se espera que la situación favorezca la revelación de una

inconsistencia externa con el esquema conceptual asociado a la modificación de la

definición C3.

Dimensión didáctica. Esta situación obliga a focalizar la atención en los

cuantificadores que acompañan a y para definir su relación en la definición de

continuidad. Las devoluciones del problema y las institucionalizaciones giran en torno de

la negación lógica de proposiciones cuantificadas y sus reglas. El punto central de los

debates en el aula lo constituye la coherencia de las definiciones que propone el

estudiante.

Situación G16

Es una situación adidáctica de acción. Se trata de propiciar el proceso de la toma de

conciencia del papel del orden de los cuantificadores en la definición. Este proceso, debe

conducir a la coordinación de las relaciones que hemos denominado “necesarias” y

2

1

3

1 2 3

F(x)

↕ ↕

f(x0)

f(p)

p

↕ ↕

x0


311

“suficientes” entre las variables y el orden de los cuantificadores.

Como esta conceptualización global de las relaciones no es inmediata, se ha tomado el

cuidado de proporcionar, en la redacción de la situación, un conjunto de indicaciones

sobre el procedimiento a seguir y unas pautas para orientar las acciones del estudiante que

le permitirán, si las toma en cuenta, alcanzar el éxito en su empresa.

Concepción de G16

Dimensión epistemológica. Si la situación anterior produce el efecto de llamar la

atención del estudiante sobre el papel del orden de los cuantificadores en la negación

C3*: ( 0 x0Df, x0N(p) f(x0)N( f(p)) )),

entonces, se percibe la necesidad de tomar en cuenta el orden de la elección de y o en

caso contrario incurrir en inconsistencias como las que hemos ilustrado en la situación

anterior. La pregunta natural que surge en esta situación es ¿cuál es la relación entre y

? ¿en el caso que f sea continua en xp? ¿en el caso que no lo sea?. Se perfila así el

problema:

P4 (condición suficiente para la continuidad): ¿qué relación existe entre el radio

del entorno con centro en f(p) y el radio del entorno con centro en p, en el caso

que f sea continua en xp? ¿En el caso que f no sea continua en xp?

La lógica matemática juega un papel central en esta situación. Así, por ejemplo, la

definición C2 –que se escribe en lenguaje natural– se precisa más tarde incorporando el

concepto de entorno y empleando el lenguaje lógico


16. ¿Qué relación existe entre el radio del entorno con centro en f(p) y el radio del entorno, N(p). En

el caso en que f sea continua en p?. ¿En el caso en que f no sea continua en p?.

Comentario:

Seguramente usted habrá percibido que existe una relación entre N(f(p)) y N

(p), pero es necesario

precisar, ¿cuál es la relación? para ello debe abordar el problema con sumo cuidado. anotando sus

observaciones para cada una de las diferentes posibilidades que existen.

Para resolver el problema recomendamos el uso de dibujos y las siguientes pautas:

i) a) Dibuje una función continua en xp. Escriba, en términos de entornos, su definición de

continuidad.

b) Elija un entorno como conocido. Dibújelo sobre el eje correspondiente y encuentre gráficamente

el otro entorno, de tal manera que se cumpla su definición de continuidad. ¿Es arbitrario el

radio del entorno que usted encontró?. ¿Se puede escribir esta dependencia usando

cuantificadores?. ¿Existe alguna relación de dependencia entre los radios - de los entornos?

¿Anotó sus respuestas a las preguntas anteriores?.

Reescriba su definición de continuidad de tal manera que de cuenta de la relación entre los entornos.

ii) Niegue la definición obtenida en i) y verifique si ella permite establecer la no continuidad de una

función en xp. Use un dibujo. Si la negación no da cuenta de la continuidad se debe a su elección del

entorno inicial. Cambie la elección y repita el proceso.


312

xDf , xN(p) f(x) N( f(p))

Ahora, las reglas que rigen la negación de proposiciones cuantificadas y conectivos

lógicos permiten obtener de manera automática la negación

~C3*: f no es continua en xp si,

x0Df, x0N(p) f(x0) N( f(p))

Pero, además, los cuantificadores lógicos presentan la ventaja de encapsular procesos

en signos más concisos que ayudan a la focalización de la atención en las relaciones

esenciales del concepto. Así, por ejemplo, en la situación anterior G15 (b) el estudiante al

ilustrar que la función “menor entero” no es continua en xp, ejecuta el proceso de

«elegir un y posteriormente escoger un conveniente con el objetivo de dar

cuenta de la negación ~C3»

entonces los cuantificadores puede encapsular el proceso si se toma en cuenta que la

elección de delta es arbitraria y por tanto se puede indicar con el signo ; en tanto que la

escogencia de no ha sido arbitraria, ella depende del delta, indicando este hecho con el

signo . Agregando, un orden en el proceso: primero, elección de y, luego, escogencia

de . Estos dos procesos afectan la condición de no continuidad que exige la existencia de

un x0, que pertenece al entorno de radio delta y centro en p, y su imagen f(x0) no pertenece

al entorno de radio épsilon y centro en f(p). Todo este complejo razonamiento se expresa

sintéticamente, gracias a los signos y las reglas lógicas, en la forma:

~C3**: ( 0 x0 Df ( x0N(p) f(x0)N( f(p)) ))),

que lleva a ~ (~C3**)= C3**

C3**: ()( 0 (xDf ( xN(p) f(x) N( f(p)) )))

en la que parece evidente la necesidad de conmutar las dos primeras cantidades

cuantificadas.

Estas expresiones simbólicas, permiten captar de una mirada las relaciones

involucradas en el proceso que dan significado y sentido a las acciones del estudiante.

Dimensión psicocognitiva. Se trata de una toma de conciencia de la relación que

existe entre y de tal manera que su establecimiento sea suficiente para que, tomando en

cuenta la condición necesaria R5 que se estableció en G14, la definición que se alcanza por

las nuevas modificaciones de los esquemas asociados a C3 y C4 sea, finalmente, coherente.

Esto implica una diferenciación en el ciclo cognitivo de los esquemas directores

asociados a C3 y C4 que lleven a la construcción de nuevos esquemas conceptuales gracias

al establecimiento de la relación:

R6 (relación entre y ): Si f es continua en xp entonces existe una relación entre

y , de tal manera que depende de . –=g()– Es decir, para todo 0 dado

es posible encontrar 0. tal que para todos los x que pertenecen a N(p) se tenga

que sus imágenes f(x)pertenecen a N( f(p)).

La toma de conciencia de esta relación y su coordinación con la relación R6 introduce


313

una modificación importante en el ciclo cognitivo asociado a C3 que se extiende a C4. La

señal de que estas modificaciones se han producido se encuentran si el estudiante produce

las definiciones:

C6 (definición de continuidad): f es continua en xp, si para todo entorno de radio

es posible determinar un entorno de radio , tal que, para todos los x que

pertenecen a N(p) se tenga que sus imágenes f(x) pertenecen a N( f(p)).

O usando el simbolismo lógico:

C6 (definición topológica de continuidad):

(N( f(p)) )( N(p) (xDf, (xN(p) f(x)N( f(p)) )).



()( (xDf (xp f(x)- f(p)))).

De esta manera, el juego entre las aplicaciones de las definiciones geométricas y

aritméticas, tanto en casos de continuidad como de discontinuidad de una función, tiene

por su naturaleza lógica como única posibilidad de éxito la abstracción reflexiva de los

cuantificadores y su orden que se deriva de la coordinación de las propias operaciones del

sujeto.

Las situaciones adidácticas asociadas con esta situación hacen de mediadoras para la

co-construcción de la zona de desarrollo próximo que culmine en el establecimiento de la

definición de Weierstrass para la continuidad de f y el abandono de las definiciones C3 y

C4 que no tomaban en cuenta los cuantificadores.

Dimensión didáctica. Se trata de una situación adidáctica de acción y formulación. La

instrucción I16 (ver G16) tiene el objetivo de producir devoluciones del problema al

estudiante (DP) en torno a la coherencia de la definición que el estudiante ha formulado,

para lo cual se recomienda el uso de dibujos y se formulan preguntas respecto a la relación

entre y , centrando las cuestiones en los aspectos lógicos del problema P4 que el

estudiante debe resolver.

La variable didáctica. es la negación de la definición de tal manera que en el marco

geométrico de cuenta de la no continuidad de una función arbitraria en un punto xp y la

negación de la negación defina la continuidad de f en xp.

Esto obliga, como ya lo hemos comentado a tomar una decisión respecto al orden de

elección de los números y .

La obligación del cambio de estrategia. Si la elección es tal que primero se toma un

arbitrario y luego se escoge un , significa que g() –delta es la variable

independiente–. Pero, esto lleva a inconsistencias como la que comentamos en G15. Por

tanto, para obtener una estrategia ganadora, el estudiante se obliga a elegir primero un y

luego escoger un , lo que conduce a la función g(), donde la variable independiente es

el número y la función g depende de la función que es objeto de estudio y, posiblemente

del punto p. Esta última observación no se espera que surja en este momento y ella se

aborda en el estudio, que nosotros denominamos “la técnica , ”, de las situaciones

planteadas en G24 y G25.


314

Situación G17

Esta situación tiene, fundamentalmente, un carácter de validación respecto a la

definición que a lo largo de la secuencia didáctica ha alcanzado el estudiante. Al mismo

tiempo, el comentario lo invita a reflexionar sobre los resultados de sus acciones en la

situación anterior. Esto puede dar lugar a nuevas acciones y G17 puede, entonces, tornarse

en situaciones adidácticas de acción y formulación.

Concepción de G17

Dimensión epistemológica de la situación. La evolución del concepto de continuidad

se debe concretar en la obtención de las definiciones:

C6 (definición de continuidad en términos de entornos): f es continua en xp, si

(Ne(f(p)) )(N(p) (xDf ( xN(p) f(x)Ne(f(p)) )))

que corresponde a un esquema conceptual que categorizamos como local; geométrico-


reales; y matemático.


()(()(xDf (xp f(x) f(p))))

asociada a un esquema conceptual que categorizamos como local; Aritmético que se

aplica funciones numéricas de variable y valor en los reales; y matemático.

La naturaleza del problema. Se trata de un problema de formulación y validación de

las definiciones que el estudiante finalmente alcanza en su evolución conceptual a lo largo

d las situaciones de G1 hasta G16.

La estrategia ganadora. En este caso, consiste en comprobar que las definiciones son

coherentes y en particular si ellas toman en cuenta el papel de los cuantificadores.

Dimensión psicocognitiva. Se espera que surta el efecto de llamar la atención del

sujeto sobre los aspectos que se han movilizado en las situaciones anteriores, brindando la

oportunidad de que el sujeto reflexione nuevamente sobre ellos.

Dimensión didáctica. Se trata de una situación adidáctica de validación. El

comentario tiene la intención de producir una devolución del problema para asegurar que

el estudiante ha reflexionado la situación de G16.

RESUMEN DE LA PRIMERA PARTE: CONTINUIDAD

En una situación ideal, esperamos que el diseño de la ingeniería surta los efectos que

hemos detallado cuando enunciamos explícitamente los móviles epistemológicos,

17. Lea su definición de continuidad de f en xp y observe si en ella se tuvo en cuenta sus respuestas del

ejercicio anterior. En caso contrario reescríbala, de tal manera que en ella quede claro las relaciones

entre y xN(p) y f(x) respecto de N

(f (p)).


315

psicocognitivos y didácticos que orientan la concepción de cada una de las situaciones

propuestas en la Guía.

En tal caso, la modificación esperada de los esquemas, de un sujeto también ideal, se

puede resumir en un diagrama de flujo evolutivo como el que se presenta a continuación.

En este diagrama se puede observar el espíritu teórico de nuestra propuesta que se expresa

en términos de situaciones adidácticas de acción como G1 que lleva a plantear el

problema general (P) de definir la continuidad de un función de variable y valor real en un

punto, y las situaciones G5, G7, G15 y G16 que generan respectivamente los problemas P1,

P2, P3 y P4 cuyo desenlace conduce a progresar en la solución de P.

Estos problemas son asumidos como propios por el estudiante, siempre que ellos se

constituyan en auténticos conflictos conceptuales originados por la observación de

inconsistencias externas respecto a los esquemas que el sujeto aplica a una cierta situación.

Pero, también, siempre que la interactividad en el aula haya conducido a la

construcción de una zona de desarrollo próximo –con el apoyo del andamiaje

proporcionado por las situaciones adidácticas de formulación y validación como G3, G4,

G6 G8, G9, G10 G11, G12, G13 y G14, que hacen de instrumentos mediadores de las acciones

del experto y de los estudiantes– en la cual se deben obtener las relaciones R1, R2, R3 R4,

R5, y R6 .

Estas relaciones expresan las compensaciones necesarias, en nuestro criterio, para

obtener una equilibración incrementante de los esquemas cognitivos que lleve, finalmente,

a alcanzar las definiciones C6 y C5 que integran las definiciones, asociadas a esquemas

menos evolucionados, como C1, y C2, abandonando en el proceso las definiciones C3, y

C4.

Finalmente se debe advertir que no se puede asegurar una evolución exacta a la que se

observa en el diagrama de flujo evolutivo, debido a que algunos obstáculos

epistemológicos o lagunas conceptuales pueden impedir que cierta situación caiga en el

dominio de la Z.D.P. de un estudiante concreto. No obstante, las situaciones deben ser

efectivas para revelar cuales son los obstáculos o dificultades conceptuales que han

impedido una toma de conciencia de un problema Pi .

El seguimiento de las realizaciones posteriores del estudiante, a lo largo de la Guía, debe

indicar si estos obstáculos y aquellas dificultades han sido superados o evacuadas.

Además, la concepción de las situaciones tiene la particularidad de permitir que –una vez

superado el obstáculo o evacuada la dificultad que impedía la toma de conciencia de Pi–

este problema se asuma más adelante y, en tal caso, la evolución conceptual del estudiante

simplemente será más lenta.


316

DIAGRAMA DE FLUJO EVOLUTIVO

LA SITUACIÓN G1

ORIGINA QUE EVOLUCIONA MEDIADA

POR: Ayudas

1-2 Problema

3 Definición

4 Aplicación

5 Aplicación



Relación

Definición

6 Aplicación


7 Aplicación



8-13 Institucionalización (entorno y distancia)


Relación: entorno-distancia

Relación: “próx.”-entrono-dist.



Definición

15 a) Negación

b) Aplicación





Relación necesaria y

suficiente de continuidad

Definición


****● ●***

*

●

P

●****

AC1 AC1

AC1 AC1

P1

R1

C2

AC2

R2

R3

R4

R5 R5’

AC2

AC2 AC2

●**** P2

P3

R6

C3

****●

C3 ●***

*

P4

C3 C4

AC3-----AC3 AC2

C3 C4

R6´

’ C6 C5

C5 C4 C6 C3

C1

C1

CONVENCIONES:


Equilibrio Conflicto ******

Desequilibrio

Integrado

Abandonado

Pi problema N° i

ACiaplicación de la definición Ci


la definición Ci



I5

I6

I7

I8

I14

I15

I16

C1

Concepción de situaciones adidácticas: Límite

317

2.2 LÍMTE

Procedemos, ahora, a analizar la concepción de las situaciones adidácticas asociadas a

las situaciones fundamentales de límite que expusimos en el apartado 1.2 y que

corresponden a la segunda parte de la ingeniería. Recordaremos que la idea que orienta

esta segunda parte de la concepción, es favorecer la acción individual del estudiante en la

interacción con el instrumento, excluyendo deliberadamente situaciones de interactividad

en el aula con el fin de obtener indicativos de la internalización de las operaciones que el

sujeto ha realizado con la ayuda del experto y de los pares a lo largo de la primera parte.

Dicho de otra manera, si la ingeniería ha sido eficaz para lograr la construcción de los

esquemas conceptuales asociados a las definiciones de continuidad, entonces, los

resultados de su aplicación en la solución de las nuevas situaciones que se exponen a

continuación, indicará el estado real de equilibrio de los esquemas alcanzados por el

estudiante.

Lo anterior, sin olvidar los objetivos epistemológicos, psicocognitivos y didáctico que

ya hemos explicado en el apartado citado.

Situación G18

Concepción G18

Dimensión epistemológica de la situación. El objetivo de la situación es comprobar si

el significado matemático asociado a la frase se encuentra en casa del estudiante. Dicho de

otra manera, es una situación que para su solución rigurosa exige el empleo de los

conceptos matemáticos de entorno y distancia; conceptos lógicos y el establecimiento de

un conjunto de relaciones matemáticas entre las variables independiente y dependiente

respecto a los números y .

La posesión de estos elementos y su organización exitosa debe conducir a la

reformulación de la frase en términos de

(a) entornos:

((L)) (N(p) (xDf (xp, xN(p) f(x)Ne(L) )))


“f(x) toma valores “próximos al número L siempre que x sea “suficientemente”

“próximo” a p, xp”

Diga si:

(a) Se cumple para la función: 2 1

( )1

xf x

x

cuando L 2 y p 1

(b) ¿Podría rescribir la frase usando el concepto de entorno?

(c) ¿Podría rescribir la frase usando el concepto de distancia entre puntos?


318

(b) distancia

() ( (xDf (0<xp f(x) L)))

La naturaleza del problema. La frase expresa, en lengua natural, las condiciones que

cumple un número L respecto a una función f y un número p no necesariamente en el

dominio de f, sin mencionar para nada la palabra “límite”. Estas condiciones están

encapsuladas en las palabras entre comillas cuyos significados van más allá de aquellos

que se les atribuye en contextos cotidianos. Son significados matemáticos que, como

hemos visto en el caso de la continuidad de f en xp, sustituyen las imágenes de

“aproximación” potencialmente infinita por relaciones aritméticas entre números. Así, el

número L se interpreta como un resultado, cuya existencia se asegura por la satisfacción

algebraica de las desigualdades determinadas por las relaciones entre los números: x, f(x),

y .

La estrategia ganadora. El éxito en la tarea sólo es posible si el estudiante está en

posesión de los conceptos matemáticos que permiten una traducción coherente de la frase.

La ayuda que se proporciona para alcanzar el objetivo consiste en presentar la función que

se da en (a) para que el estudiante active sus conocimientos y decida si ella satisface o no

las condiciones dadas en lenguaje natural. Esto obliga a focalizar la atención en los

aspectos matemáticos del comportamiento de la función en una vecindad de p, para lo cual

la estrategia más económica consiste en representar la gráfica de la función y visualizar

sobre ella los significados de la frase. Este problema de la interpretación sobre una función

concreta debe llevar a intuir una cierta familiaridad de la situación con el concepto de

continuidad, sólo que en este caso f no está definida en xp. Este hecho puede resultar

perturbador, pues los valores de f se “aproximan” a p, como ocurre en la continuidad, pero,

L no corresponde a ningún valor de la función contrariamente a la expectativa generada

por el concepto de continuidad. Se perfila, entonces el problema:

P5 (significado de límite de una función en un punto): ¿cuál es el significado

matemático de la frase “f(x) toma valores “próximos al número L siempre que x sea

“suficientemente” “próximo” a p, xp”. Cuál es el significado del número L?

Que el estudiante debe construir y resolver por sus propios medios y sin ayudas generadas

en el aula.

Dimensión psicocognitiva. En la parte (a) la interpretación de la frase respecto a la

función dada conduce el desarrollo de un ciclo de interacción SM de la forma:

2

1 0

1

1


319


Identificación del

objetivo: aplicar la frase al

número L2 para f en x1

Dibujar el gráfico de f

para visualizar el

comportamiento de f

Lectura de G18 Leer la expresión que

define a f

La acción de simplificar la

expresión para obtener:

f(x)x1, x1;

y dibujar la gráfica de f

La ecuación representa

una recta que pasa por

(0.1) y (0, 1) pero no

contiene al punto (1, 2).

Lectura de la

expresión simbólica

2 1( )

1

xf x

x

Dibujar un sistema de

coordenadas cartesianas y

por (1.0) y (0,1) trazar

la recta señalando el

punto (1,2) que no forma

parte del gráfico

La acción de visualizar las

“aproximaciones” Cuando x se aproxima

a p f(x) se aproxima a 2.

Visualización del

gráfico V’

L=2 cumple el enunciado

de la frase para f en x=1



Desemboca en una decisión, en este caso la afirmación: 2 cumple el enunciado de la frase

para f en x2, producto de las inferencias del sujeto.

Observemos que en el ciclo cognitivo asociado a una intervención como la que

acabamos de describir, sería más simple que el que se activa en el caso en que el

estudiante se viera obligado a justificar sus razonamientos. En tal situación se deben hacer

explícitos los significados matemáticos que el sujeto asigna a expresiones como:

“próximo, “siempre que”, “suficientemente próximo” y el sentido que ellas adquieren en

el contexto en que se aplican. Éste es precisamente el objetivo de la situación en (b) y (c).

En (b) y (c) de G18 la tarea es traducir la frase al lenguaje matemático que

supuestamente posee el estudiante. En otras palabras, la situación obliga a emplear un

codificador (esquemas conceptuales) matemático para convertir la expresión del lenguaje

natural en una expresión matemática.

Este proceso, se apoya en la memoria que evoca las situaciones familiares reconstruyendo

la frase con el apoyo del esquematismo operatorio total de la inteligencia. Así, en la tabla

que presentamos más abajo, se puede observar una descomposición de la frase en sus

elementos significantes (primera columna) y los codificadores o esquemas que traducen el

significado en nuevos significantes, operando en cada proceso la inteligencia en su función

coordinadora pero, en este caso, aplicada a la reconstrucción del recuerdo de situaciones

análogas ya experimentadas por el sujeto.

1

2

EXPRESIÓN EN LENGUAJE NATURAL EXPRESIÓN MATEMÁTICA

“f(x) toma valores “próximos al número L

siempre que x sea “suficientemente”

“próximo” a p, xp”.

CODIFICADOR

(esquemas conceptuales)

SIGNIFICADOS SIGNIFICANTES SIGNIFICANTES

((L)) (N(p) (xDf (xp, xN(p) f (x)Ne(L) )))

() ( (xDf (0<xp f(x) L)))


320

La reconstrucción final debe culminar en una coordinación de las coordinaciones

parciales que se detallan en la tabla y se concreta, en caso de éxito en la escritura:

((L)) (N(p) (xDf (xp, xN(p) f(x)Ne(L) )))

que es la solución a la tarea propuesta en G18 (b) y del problema P5 si se observa la

relación:





“próximos” a p

Al mismo tiempo que se recuperan (por tanto reconstruyen) las relaciones R2 (“próximo”

y entorno), R6 (relación entre y ) si se tratan de relaciones ya establecidas o en caso

contrario ellas deben ser construidas.

OBJETO

(significante)

ESQUEMA

(significado)

SIGNO

(significante) COORDINACIÓN

f(x) toma valores

“próximos” al número L

Entorno (L) f(x)Ne(L)

Siempre que x sea Conectivos lógicos xN(p) f(x)Ne(L)

“suficientemente” Cuantificadores , ((L)) (N(p) (xDf (xp...)))

“próximo a p Entorno N(p) xN(p)

xp diferente xp x no toma el valor de p

La relación de equivalencia entre entorno y distancia (R4), supuestamente establecida

en la primera parte de la secuencia didáctica, permite expresar la traducción de la frase

(G18 b) en la forma:

() ( (xDf (0<xp f(x) L))) (2)

que resuelve G18 (c).

Dimensión didáctica. El numeral (a) define una situación adidáctica de acción, en

tanto que los numerales (b) y (c) constituyen una situación adidáctica de formulación. En

este caso no hay devoluciones ni institucionalizaciones, el estudiante actúa a solas y la

intención didáctica es comprobar si los esquemas que permiten alcanzar (2) están

presentes en el estudiante, o, en caso contrario, qué esquemas son los que emplea.

Situación G19

Es una situación relacionada con G18 cuyo objetivo es favorecer las acciones del

estudiante para relacionar la expresión (2) que define el concepto de límite de una función

en un punto con el concepto de operación matemática que se encapsula en el signo de

límite. Se trata entonces de resolver un nuevo problema (P6) para alcanzar las definiciones

rigurosas de límite.


321

Concepción G19

Dimensión epistemológica de la situación. El símbolo

lim ( )x p

f x L

denota la operación matemática de límite, donde el operador actúa sobre una familia de

funciones –definidas (excepto, quizás, en p) en un intervalo abierto que contiene a p– y

el conjunto de números reales ; de tal manera que se define

:

(f, p) (f, p)L

donde (f, p)L significa que para el número L se satisface la propiedad (2) de límite de f

en p.

La naturaleza del problema. La coordinación del significado de la aproximación de f

y su traducción en (2) con la afirmación que el símbolo de límite es utilizado para

describir éste comportamiento de f en xp, plantea el problema:


lim ( )x p

f x L

si éste encapsula el significado matemático de la frase: "f(x) toma valores

"próximos" al numero L siempre que x sea "suficientemente" "próximo" a p, x p"

La variable didáctica, de esta situación está dada por el cambio de representación

para un mismo significado: un proceso matemático se describe en lenguaje natural en la

frase escrita para significar que L satisface la propiedad (2) y este hecho se representa con

el símbolo de límite que señala éste significado concreto.

La obligación del cambio de estrategia. La relación enunciada entre la frase y el

símbolo de límite obliga a observar el papel de los elementos significantes, que se

representan externamente en el signo, con respecto a los significantes de las palabras que

señalan su significado matemático encapsulado en (2). Se perfila, entonces la solución al

problema (P6) que consiste en atribuir al proceso de aproximación el significado de una

operación matemática [ (f, p)L], es decir, en establecer la relación:


lim ( )x p

f x L

indica que el número L satisface (2) para f en xp. O, dicho de otra manera, L es

un número que se asigna al par (f, p) si y solo sí L satisface (2)

19. Para describir el comportamiento de la función f del ejercicio N° 18 los matemáticos usan el símbolo

lim ( )x p

f x L

(a) ¿Qué entendería usted con este símbolo?

(b) Trate de definir el símbolo

lim ( )x p

f x L

en términos de: entornos; números reales


322

Esta relación permite resolver el problema P6, representando, entonces, la

construcción de un nuevo esquema que llamaremos esquema asociado a la definición de

límite (L6) que se expresa:


(N(L)) ( N(p) (x Df (xp, xN(p) f(x)N(L) )))



() ( (x Df ( 0<xp f(x) L)))

Dimensión psicocognitiva. La estrategia ganadora se alcanza por la toma de

conciencia de un único significado que puede tomar diferentes representaciones

significantes y por tanto estas representaciones son equivalentes. Así, la frase significante

(F) que aparece en G18 , para describir el comportamiento de f en p relacionado con el

número L, es equivalente a la expresión significante (2); También, F es equivalente al

significante de límite –el símbolo de límite–. Por tanto, el símbolo de límite es equivalente

a (2). Se obtiene, así, la solución de P6

Dimensión didáctica. Para los fines didácticos globales del curso de cálculo, es

fundamental asegurar que el estudiante construya la relación R8 pues ella es la base sobre

la que se genera toda la teoría. La situación permite evaluar el estado de progreso y, de

acuerdo a los resultados, tomar las decisiones didácticas necesarias para que el aprendizaje

se produzca. Estas decisiones se concretan en ajustes de las acciones del experto

orientadas por los diseños de la ingeniería de las secuencias didácticas posteriores que

deben asegurar la posibilidad de su realización, independientemente de los desarrollos

desiguales que se presentan en el grupo de estudiantes, siendo precisamente este uno de

los objetivos de todo diseño de ingeniería didáctica.

De cara a la investigación, el análisis de las producciones del estudiante proporcionan

indicativos del estado actual de la obra matemática y se puede evaluar el progreso en

términos de obstáculos y dificultades superadas, estabilidad de los esquemas conceptuales,

etc.

Situación G20

Es una situación adidáctica de acción que se orienta a resolver –en parte– una

pregunta que, posiblemente, ya se ha formulado el estudiante: ¿Cómo se obtiene el número

L en la operación de límite?. Una respuesta parcial surge de la mano del establecimiento

de la relación de los conceptos de continuidad y límite.

Concepción G20

Dimensión epistemológica de la situación. La relación entre límite y continuidad

vincula dos de los conceptos más importantes del Cálculo. Por un lado si f es continua en

xp, entonces el límite de f en p existe y es igual a f(p) y por otro, si el límite de f en xp

existe y es igual a f(p) entonces, f es continua en p. Entre las implicaciones que tienen

20. ¿Qué relación puede establecer entre su idea de continuidad f en xp y el símbolo

lim ( )x p

f x L


323

estas relaciones conviene destacar, en este momento, que la primera permite calcular el

límite de una función continua de manera automática, simplemente evaluando la función

en el punto y la segunda que si se conoce el límite de una función en p, para determinar si

ella es continua o no basta comparar el límite con el valor de f(p).

Estos dos resultados junto con el establecimiento y demostración de una álgebra del

límite y de la continuidad proporcionan los procedimientos más generales para calcular los

límites y para determinar la continuidad o no de una función en un punto.

La naturaleza del problema. El problema se plantea directamente en la forma de

pregunta:


lo que obliga a comparar los significados de las definiciones de continuidad y límite que el

estudiante haya establecido.

La estrategia ganadora se obtiene al establecer las relaciones:




límite (L) de f en xp existe, no necesariamente f es continua en p. Para que lo


i) f(p) exista



El establecimiento de estas relaciones lleva a la formulación la definición de

continuidad en términos de límite:

C7 (definición de continuidad en términos de límite): Una función f es definida en

un intervalo abierto que contiene a p, se dice continua en xp si,

i) f(p) existe

ii) lim ( )x p

f x L

iii) L= f(p)

Y también proporciona un criterio para calcular directamente el límite en xp, evaluando

la función (en caso que ella sea continua en p)

Criterio para calcular el límite de una función continua: Si f es continua en xp,

entonces

lim ( ) ( )x p

f x f p

Dimensión psicognitiva. La comparación de las definiciones debe favorecer las

asimilaciones y acomodaciones recíprocas entre los esquemas asociados a éstas para

inferir las relaciones que resuelven P7. Nuestra hipótesis es que entre menos evolucionada

sea la definición mayores serán las posibilidades de fracaso y ello, porque éstas


324

definiciones se apoyan en esquemas más figurativos –imágenes mentales– que operatorios

y todavía incompletos lo que lleva a centrar la atención en aspectos dispersos sin una

mirada integral que focalice los elementos esenciales a cada concepto.

Dimensión didáctica. Se trata de una situación adidáctica de acción en la que el

conocimiento adquirido se pone en juego para establecer la relación dando lugar a la

evaluación de la capacidad operatoria de los conceptos.

Situación G21

Se trata de una situación adidáctica de formulación, su objetivo es obtener

explícitamente una de las implicaciones de la relación entre límite y continuidad que se

investigó en la situación anterior.

Concepción G21

La concepción G21, sigue los mismos lineamientos de G20, que ya hemos expuesto y

no nos detendremos en ella.

Situación G22

Es una situación adidaáctica de formulación y tiene el mismo sentido que G18, es

decir, asignar significado a un significante.

Concepción G22

Dimensión epistemológica de la situación. La definición (2) del símbolo de límite

indica que para cierto delta que depende de épsilon, todos los xp, verifican que:

xN(p) f(x) N (L),

lo que implica que la “aproximación” a L se debe producir en todas las direcciones

(por izquierda y derecha de p, en el caso unidimensional). Ahora, se afirma que el símbolo

lim ( )x p

f x L

se utiliza para señalar el comportamiento de f en xp respecto del número L, pero la

“aproximación” sólo se realiza cuando x toma valores mayores que p. Se perfila, entonces,

el problema:

P8 (significado de límite lateral): ¿cual es el significado del símbolo

21. Defina la continuidad de f en x p

lim ( )x p

f x L

22. Si se quiere afirmar que x se aproxima a p tomando valores mayores que p (se aproxima por la

derecha a p) se indica con el símbolo x p . Defina usando la distancia entre puntos el símbolo

lim ( )x p

f x L


325

lim ( )x p

f x L

si éste encapsula el significado matemático de la frase:

" f(x) toma valores "próximos" al numero L siempre que x tome valores, por la derecha,

"suficientemente" "próximos" a p, x p"

La naturaleza del problema. El problema exige la diferenciación del esquema

asociado a la expresión (2) respecto de los significados asociados a los signos 0xp,

o, el equivalente xN(p) que involucran en (2) a todos los x “suficientemente”

“próximos”. Esta diferenciación se alcanza observando las equivalencias:

0 xp [ xp xp] [p x p xp]

[p xp px p] [x( p, p) x( p, p)]

donde las desigualdades pxp, pxp indican respectivamente la aproximación por

la “izquierda” y la “derecha” a p, y equivalentemente los intervalos. Estas observaciones

permite establecer las relaciones:

R11 (relación de aproximación a derecha de p): x es próximo por la derecha a p, si

pxp

y

R12 (relación de aproximación a izquierda de p): x es próximo por la izquierda a p,

si

pxp

para diferenciar a (2) en

(0) (0 (x Df (pxp f(x) L))) (3)

que define el significado del símbolo:

lim ( )x p

f x L

o a modificar (2) por

(0) (0 (x Df (pxp f(x) L))) (4)

para definir el símbolo:

lim ( )x p

f x L

La toma de conciencia de las relaciones R11 y R12, entonces, han desembocado en el

establecimiento de dos nuevas definiciones:

L (límite lateral de f a la derecha de p): Se dice que f tiene límite a derecha en

xp, si existe un número L tal que,

(0) (0 (x Df (pxp f(x) L))) (3)

Y se nota con el símbolo

lim ( )x p

f x L


326

L (límite lateral de f a la izquierda de p): Se dice que f tiene límite a la izquierda

en xp, si existe un número L tal que,

(0) (0 (x Df (pxp f(x) L))) (4)

Y se nota con el símbolo

lim ( )x p

f x L

Dimensión psicognitiva. El efecto psicocognitivo esperado en esta situación es similar

al que ya describimos en G18, por tanto la situación brinda la oportunidad de comprobar

nuestros supuestos respecto al proceso constructivo de la evocación en la solución de un

problema nuevo.

Dimensión didáctica. La formulación de la definición de los límites laterales

permitirá tener información respecto de los conceptos construidos o por construir por el

estudiante y así determinar los ajustes necesarios para consolidar el proceso constructivo

de los conceptos de límite y continuidad en las secuencias didácticas que siguen a la

presente.

Situación G23

Es una situación adidáctica de acción relacionada con las construcciones que,

posiblemente, se alcancen en la situación anterior. El objetivo es definir el concepto de

límite en términos de límites laterales. A esta definición la notamos L7

Concepción G23

Dimensión epistemológica de la situación. Se trata de relacionar las definiciones de

límites laterales con la definición de límite.

La naturaleza del problema. El problema surge naturalmente de la situación anterior

y se plantea directamente en la forma:

P9 (límites laterales y límite): ¿cuál es la relación entre los límites laterales de f y

el límite de f en p?

La estrategia ganadora se alcanza estableciendo las relaciones:

R13 (relación entre límites laterales y límite ): Si existen los límites laterales de f en

xp y son iguales entonces el límite de f en p existe y es igual a los límites

laterales.

y

R13 (negación de R15): Si no existe algún límite lateral, en xp, o si existen y LL

se concluye que f no tiene límite en p.

23. ¿Qué relación existe entre los símbolos

lim ( )x p

f x L

lim ( )x p

f x L

lim ( )x p

f x L

Observación: A los límites de f cuando x se aproxima a p, por la derecha o la izquierda se llaman Límites

Laterales


327

Dimensión psicognitiva. Se trata de verificar el estado de equilibración del esquema

conceptual de límite con relación a los esquemas de límites laterales. Si la diferenciación

del esquema de límite produjo las variaciones conceptuales asociadas a las definiciones (3)

y (4), entonces la señal que indica que se ha alcanzado un estado de equilibración gamma

es la integración de los esquemas de límites laterales en el esquema de límite, esto se

observa si el estudiante produce la relación R13 y su negación

Dimensión didáctica. nuevamente la situación tiene como fin evaluar los estados del

desarrollo conceptual alcanzados por el estudiante para tomar decisiones respecto a los

ajustes de las acciones del experto respecto a las secuencias didácticas posteriores y de

cara a la investigación evaluar los efectos de la primera parte de la ingeniería.

Situaciones G24 y G25

Plantearemos la concepción de estas dos situaciones adidácticas de acción y

validación en un solo bloque porque ellas corresponden a un mismo problema relacionado

con una técnica que hemos denominado «técnica épsilon delta». El problema se puede

plantear en términos generales de la siguiente manera:

P (problema de existencia): Dados f, p y un número – f(p) o L– probar que se

verifica

a)

(0) (0 (x Df (xpf(x) f(p)))) (1)

cuando f es continua en xp, o, en el caso del límite de f en p,

(0) (0 (x Df (0xp f(x) L))) (2)

b) Similarmente, para la situación negativa, probar que

(00) (0 (x0 Df (x0p f(x0) f(p)≥0))) (3)

cuando f no es continua en xp, o, cuando L no es el límite de f en p,

(00) (0 (x0 Df (0x0p f(x0)-L≥ 0))) (4)

Para resolver el problema en todos estos eventos es necesario

i) Estar en posesión de los significados de los signos que aparecen en las definiciones

matemáticas

ii) Identificar el método de demostración apropiado para el problema. Es decir, tener

conocimiento de cómo proceder para demostrar la existencia de un objeto

matemático. Esto implica, una conciencia del objetivo de las acciones: construir el

objeto del cual se afirma su existencia, y verificar que éste satisface la definición o la

negación correspondiente

iii) Estar en posesión o desarrollar una técnica específica para la construcción del objeto

Estos planteamientos resumen en términos generales las dimensiones epistemológicas

y psicocognitivas de G24 y G25; en cuanto a la dimensión didáctica las situaciones exigen

justificar las respuestas por tanto se involucran una validación del modelo empleado por el

estudiante para obtener una respuesta. Esta justificación proporciona un indicativo del

estado de conocimiento final respecto a la definición (, ) de continuidad y límite. El

contraste entre lo observado en la situación inicial de la guía y este resultado final,

mediado por el seguimiento de las realizaciones intermedias deben proporcionar un cuadro


328

fiable respecto a las conclusiones de la investigación.

A continuación describimos los aspectos específicos de cada situación

Situación G24

Se trata de una situación adidáctica de validación del modelo de acción que aplica el

estudiante en el caso negativo de la definición.

Concepción G24

Dimensión epistemológica de la situación. En este caso el estudiante debe resolver el

problema:

P10 (aplicación de la definición de límite): Dados f, p y un número L, probar que se

verifica:

(N (L) ) (N(p) 0 (x Df (xp, xN(p) f(x) N (L) ))) (2’)

o, en caso contrario, probar:

P11 (aplicación de la negación de la definición de límite): Dados f, p y un número

L, probar que se verifica

(N0 (L)) (N(p) (x0 Df (x0p, x0N(p) f(x0) N (L) ))) (4’)

La naturaleza del problema. La forma del planteamiento de la situación G24 hace que

el problema P tenga un dificultad menor, puesto que tanto en (a) como en (b) se

proporcionan las definiciones que el estudiante no tendrá que evocar, sino simplemente

verificar si se cumplen o no justificando su respuesta.

La estrategia ganadora en la parte (a) se puede alcanzar dibujando la gráfica de la

función y señalando gráficamente un entorno N0(L) de tal manera que para todo entorno

de radio se pueda mostrar, en el gráfico, la existencia de x0 en N(p), x0p y f(x 0)

N0(L).

en el gráfico de observa que para un x0 tal que 1 x0 2- 0 se tiene que f(x0)=x0 , por tanto:

1 x0 2 0 1 x0 2 0 0 2x01 [2x00 1 x0 2 0 ]

24. Sea 2 1

( )1

x si xf x

x si x

Diga si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.

a) Para todo N(2), existe N

(l), tal que para todo xN

(l) se tiene que f(x)N

(2)

b) Existe N0(2), para todo N(l), tal que existe x

0, x0N

(l) y f(x0) N0(2)

f(x0)

1

↕0

↕0

x0

1

2


329

lo que demuestra que la afirmación en (a) es falsa.

La estrategia ganadora para resolver (b), obliga a encontrar los números 0 y x0 que

satisfacen la negación (4’). Por ejemplo, 012 y x0 mayor que 1 y menor que k, donde

kmin3/2, 1+

Dimensión psicocognitiva. La situación exige focalizar la atención en el papel

funcional de los cuantificadores y su orden. Los signos en la definición, en la medida que

activan esquemas conceptuales –significados–, definen el objetivo a las acciones,

apoyando, además, a la inteligencia que busca proveer los medios necesarios para

alcanzarlos.

Dimensión didáctica. Se trata de una situación adidáctica de validación ya que su

resultado se orienta a validar o contradecir una afirmación.

Situación G25

Se trata de una situación adidáctica de acción cuyo objetivo consiste en provocar la

construcción de un procedimiento para encontrar explícitamente la relación entre épsilon y

delta.

Concepción G25

La concepción de esta situación es similar a la de G25, sólo que el énfasis se hace

sobre el proceso de encontrar la relación entre épsilon y delta

Dimensión epistemológica de la situación. El problema P que presentamos al

introducir G24 se centra ahora en la técnica épsilon delta. Conocidos f, p, L y dado un

épsilon encontrar un delta tal que (2) o (3) se satisfacen.

La naturaleza del problema. El problema se plantea primero (a) para un épsilon

específico (1) y, luego (b), para un épsilon arbitrario. Se trata de una demostración de

existencia y como tal se debe construir el objeto que se dice existe, en este caso, el delta

para 1 o para cualquier 0. El problema que se plantea es: ¿cómo proceder para lograr

la construcción del objeto?

T (técnica épsilon delta):La estrategia ganadora se alcanza si se observa

i) que es posible acotar superiormente la expresiónf(x)L con la expresión

kxp donde k0 de tal manera que:

f(x)L... kxp

ii) como se desea que: f(x)L. siempre que .. xp para cierto que

depende de , entonces se hace

25. Considere la función

f(x) 3 2

3 2

x si x

si x

a) Dado N(6), ¿ es posible encontrar N

(2) tal que para todo x, xN

(2), x2 se cumpla que f(x)N

(6) ?

Respuesta: 1/3

b) Para todo , ¿es posible encontrar tal que sí

0<|x2|<| f(x) 6|< Respuesta: /3


330

f(x)L... kxp.

iii) dado que k0, entonces

f(x)L... kxp. xp/k

con lo cual basta tomar /k.

La dimensión psicocognitiva y didáctica de la situación es similar a la que expusimos

en G24.

RESUMEN DE LA SEGUNDA PARTE: LÍMITE

El espíritu de esta segunda parte, es proporcionar una mayor autonomía al estudiante

para organizar y ejecutar la tarea que consiste en atribuir un conjunto de significados y

relaciones a los signos que la comunidad matemática utiliza para nombrar y utilizar el

concepto de límite de una función en un punto.

Esta autonomía se refiere a que el estudiante interactúa con las situaciones fuera del

aula, controlando y organizando sus propias acciones en torno a la tarea, por tanto no

dispone de las ayudas interpersonales para realizar sus operaciones. El experto no

interviene directamente y en este sentido cede la totalidad de la responsabilidad y el

control del aprendizaje al estudiante, sus intervenciones están presentes sólo a través del

instrumento en el cual ha organizado una secuencia de situaciones que ayudan a andamiar

el aprendizaje. Estas situaciones adidácticas, debido a la naturaleza epistemológica de la

matemática involucrada en la tarea, poseen un profunda relación estructural de

significados con las situaciones de la primera parte referentes a la continuidad en un punto.

Por ello, se espera que las realizaciones del estudiante revelen los esquemas conceptuales

que dan cuenta de los procesos que realmente ha logrado internalizar, así como el poder

operativo de estos esquemas en el proceso de solución de situaciones nuevas.

Las situaciones que tiene que enfrentar le obligan a identificar, para tener éxito, un

conjunto de problemas como P5, P6, ..., P11; también a organizar los medios intelectuales

para encontrar las estrategias ganadoras que se concretan en la recuperación de las

relaciones R1, R2, ..., R6, supuestamente ya construidas, y el establecimiento de unas

nuevas R7, R6, ..., R15 junto con una técnica para encontrar la relación entre épsilon y delta

en la definición de continuidad y límite. El cumplimiento, total o parcial, de estas

obligaciones que se desprenden de la estructura de la tarea será un indicativo para evaluar

el grado del traspaso de la responsabilidad y el control de la obra matemática del profesor

al estudiante. Al mismo tiempo que, desde el punto de vista de la investigación, se obtiene

un informe respecto a la eficacia del instrumento Guía como mecanismo de influencia

educativa para lograr el aprendizaje.

Los resultados de la evolución serán utilizados para realizar los ajustes necesarios

tanto de las acciones del profesor como de los estudiantes en las siguientes secuencias

didácticas.

Finalmente queremos subrayar que la evolución conceptual que esperamos y que

resumimos en los flujos evolutivos de la continuidad que ya presentamos y los de límite

que se encuentran a continuación, posiblemente no se realicen en su totalidad y

posiblemente se desarrollan en otras líneas individuales. Esto se debe a que el traspaso no

se produce automáticamente ni de manera lineal. Hay avances y retrocesos. Por ello la

ingeniería busca en esta segunda parte construir las mejores condiciones para evaluar y,


331

así, ajustar las acciones didácticas ulteriores. Pero, por supuesto, previamente se han

tomado la previsiones del caso al planificar las situaciones adidácticas futuras que

permiten volver nuevamente sobre aquellos aspectos cognitivos que los análisis

preliminares señalan como conflictivos, fuentes de obstáculos y en general resistentes a su

modificación.


LA SITUACIÓN G1


18 Definición

(a) Aplicación





Relación valor numérico de

la aproximación



Definiciones

19 a) Problema

Interpretación


Relación:


matemática

19 b) Definiciones

20 Comparación


Relaciones: continuidad-

límite; límite-continuidad


Definiciones

21 Definición

Signo

R1

0

R9´

’

C6 C5 C7 L5

C7

C7 L6

****●

●*******●**********●*******●*

***●

●

●****

AC5

(R2 R4 R5 R6)

R7

C5

R8

C5

L6 C5

●****

P

P6

L6 L5

L5

L5

L6 C6

CONVENCIONES:


Conflicto *****

Desequilibrio

Integrado

Pi problema N° i


ACi aplicación de la negación de la

definición Ci


C5

P5

(f, p)L

P7

R1

0

(f, p)f(p)


332


LA SITUACIÓN G1


22. Definición

Interpretación






Definiciones

23. Comparación




límite



Definición

24- 25 Aplicación





límite


25 Aplicación

L5 CONVENCIONES:


Equilibrio Conflicto *****

Desequilibrio

Integrado

Pi problema N° i



la definición Ci


P

P8 ●****

R1

1

R1

2

L5

L

L5 L

L

L

Signos

●****P9 ●

R1

3

R13

L L L

L

L

L7

A L5 AL5

3

●****P11 P10****●

R6

E

A L5 AL5

3




CAPÍTULO 5

CUARTA FASE DE LA

INGENIERÍA: ANÁLISIS A

POSTERIORI DE LOS

PROTOCOLOS DE LAS

PRODUCCIONES DE LOS

ESTUDIANTES

333

CAPÍITULO 5

CUARTA FASE DE LA

INGENIERÍA : ANÁLISIS A

POSTERIORI

334

CAPÍTULO 5

CUARTA FASE DE LA INGENIERÍA. ANÁLISIS A POSTERIORI DE LOS PROTOCOLOS DE LAS PRODUCCIONES DE LOS

ESTUDIANTES

PRESENTACIÓN

Los protocolos correspondientes a las producciones de los estudiantes aparecen en la

sección de apéndices. A continuación, desarrollaremos el análisis, siguiendo las pautas que

establecimos en el capitulo dos.

Para facilitar la lectura recordamos las siguientes convenciones:

Obs Sobservables del sujeto1

Obs Oobservables del objeto

Coord Scoordinaciones relativas a la acción del sujeto

Coord Ocoordinaciones en los objetos

(Gn) Enunciado Nº n de la guía

(Sn) Situación Nº n

Y las convenciones para la descripción de Observables de las acciones del estudiante en

las situaciones adidácticas de: acción Nº n (ASn); formulación Nº n (FSn); validación Nº n

(VSn).

1 Ver página 64 del capítulo primero

Análisis del protocolo N° 1: Continuidad

335

1. ANÁLISIS DEL PROTOCOLO Nº 1

1.1 CONTINUIDAD

La Guía se introduce con la siguiente cláusula del contrato didáctico:

S1 : Situación de la guía Nº 1 (G1).

S1 El estudiante dibuja y escribe:

1. a b.

El objetivo de esta guía es proporcionar situaciones que permitan al lector, reconstruir el concepto de

límite y continuidad de una función, a partir de sus propias experiencias. Es importante responder cada

pregunta siguiendo el orden planteado y hacer el esfuerzo por escribir la respuesta.

a


Encuentre:



(c) Compare las gráficas obtenidas. ¿Cómo son las gráficas en los instantes anteriores y posteriores del

paso por B y C?

(d) ¿Cómo son las gráficas de la velocidad v(t) y la aceleración a(t) en el instante tl en que la bola pasa



"La función velocidad es continua en todo punto, mientras

que la función aceleración no es"

continua en tl y t

2 .

h

D

A

B C S


336

c. Antes del paso por y , la primera gráfica es creciente, mientras que la segunda es constante.

Después de y , la primera es decreciente y la segunda es constante pero negativa.

d. En la segunda gráfica, al pasar por y , esta se desfasa, lo que no ocurre en

La situación plantea dos clases de situaciones adidácticas: (a), (b) de acción (AS1) y

(c), (d) de formulación (FS1). Esto nos obliga a dividir el análisis en dos partes. En la

primera consideramos la AS1 y en la segunda FS1

AS1 acción en la situación S1): En la parte (a) y (b), el estudiante aplicó su esquema

conceptual de función matemática para interpretar, usando un modelo gráfico

correcto, el comportamiento de la velocidad y la aceleración en relación con el

movimiento de la bola; que se infiere del dibujo en el contexto de S1 .

Efecto epistemológico: El estudiante produce sendos modelos gráficos de las

variaciones de la velocidad y la aceleración respecto a la variable independiente de

tiempo. Las gráficas muestran una modelización matemática correcta de las relaciones

entre las variables físicas, que el estudiante ha inferido del texto descriptivo y el dibujo de

la situación, y que él codifica en el lenguaje gráfico de las funciones.

Efecto psicocognitivo. De acuerdo a los resultados de las acciones del estudiante, se

infiere que éste desarrolló un ciclo cognitivo similar al que se previó en nuestra

concepción del instrumento.

La gráfica de velocidad-tiempo (Obs S) es resultado de las Coord S que el sujeto

impone sobre el dibujo ( y por ello son las mismas Coord O)

Situación S1 (a) Trayecto AB Trayecto BC Trayecto CD

Coord OCoord S V creciente

VA0; VA máx.

Vcte.

VBVC

V decreciente

VCVB; VD0

El producto de las acciones del sujeto (la gráfica), se explica en términos de la

equilibración de un ciclo cognitivo en el que la organización y funcionamiento de los

medios (esquemas) permite alcanzar el objetivo y la evaluación del resultado. En este

caso:

El objetivo: dibujar la gráfica de la velocidad en función del tiempo, se alcanzó

gracias al funcionamiento y coordinación de los siguientes esquemas:

: esquema conceptual de velocidad. Para el caso de la situación S1 basta con la noción

escalar del concepto físico de velocidad y la visualización del movimiento de la bola,

para inferir los valores que el sujeto asocia a la noción en relación con el movimiento

como “un número que aumenta (o no cambia, o disminuye) en el transcurso del

tiempo”. De acuerdo a la gráfica elaborada por el estudiante, él posee un esquema

conceptual de velocidad que le permite atribuir tal característica al movimiento de la

bola.

f: esquema conceptual de función. La situación S1, exige la noción de correspondencia

entre los valores de tiempo y los valores de la rapidez que se infieren de la

visualización del movimiento según los trayectos: en AB, a más tiempo mayor

rapidez; en BC la rapidez es constante; en CD la rapidez disminuye hasta hacerse

cero. Estas coordinaciones llevan a inferir las correspondencias y las asignaciones


337

numéricas:

A t00 VAV(0) 0

B t1 VBV(t1) donde VBVA 0

C t2 VBV(t2) VC

D t3 VDV(t3) 0

El estudiante ha realizado (ver la gráfica) estas operaciones. Esto nos informa que,

éste posee un esquema conceptual que reconoce una relación funcional entre dos

conjuntos abstraídos de la situación S, pero, del cual no podemos afirmar si es capaz de

formular de acuerdo con alguna definición formal matemática.

Gf: esquema conceptual de gráfico de una función. Este es el esquema director de la

actividad del sujeto en la situación S1, (a). Y, lo es, en el sentido que sin él resulta

incomprensible el objetivo de la tarea, lo que significaría un problema para la

activación del ciclo cognitivo; además, la interacción de Gf (por asimilaciones y

acomodaciones) con los elementos presentes en S1 produce la activación y

organización de los esquemas o medios necesarios para satisfacer las necesidades de

alimentación del ciclo planteadas por el objetivo. El resultado del ciclo de

equilibración:


y su evaluación final dependen de la capacidad del esquema Gf para coordinar los

esquemas necesarios de acuerdo a la naturaleza de la situación.

Así, en este caso, la comprensión del objetivo gracias a Gf, obliga a imaginar el

movimiento (interacción con S1), identificar variables y a establecer las relaciones

entre las variables pertinentes; luego, disponer de un sistema de coordenadas y

representar (de acuerdo a un conjunto de convenciones) la relación funcional, en este

caso inferida cualitativamente, entre los valores de las variables. El estudiante ha

realizado este proceso obteniendo una gráfica continua en todo punto.

Este resultado, muestra que el esquema de la continuidad del movimiento

producto de la experiencia adquirida del estudiante sugiere, en la sombra, la idea de

una gráfica continua. Se trata de un saber en el plano de la acción, aún no explícito,

pero organizado en un sistema de esquemas de acción; obviamente no se puede

asegurar que el sujeto es consciente de esto que él interpreta y realiza bien en su

respuesta gráfica.

En estos términos un ciclo cognitivo plausible –en el caso (a)– que se infiere de las

coordinaciones del sujeto, que nosotros consideramos necesarias para poner en relación

los observables de la situación y los observables del producto de las acciones del sujeto,

es:

Gf S1V; VS’0 ...Vr; Vr S’1 f; f S’1... fr; fr S’2Gf;

Gf S’3...Gfr

donde, S1 representa los observables iniciales de la situación que definen el objetivo de las

acciones del sujeto, estos elementos alimentan al esquema director Gf produciendo la

activación del esquema ; S’0 representa las características que el sujeto cree comprobar

respecto de la velocidad en los trayectos (AB, BC, y CD) y que alimentan el esquema .


338

Se desarrolla entonces un ciclo cognitivo dirigido por el esquema que se subordina al

ciclo de Gf ; r representa el cierre del ciclo de aplicación del esquema de velocidad y es

el producto de las coordinaciones inferenciales del observable S’0 que el sujeto atribuye al

objeto como velocidades ( A0, VBmáxima; VCVB; etc.) y sus respectivas

evaluaciones; S’1 son los elementos que alimentan el esquema r que producen la

activación del esquema f que dirige otro ciclo, pero ahora subordinado a r que se cierra

en fr, el cierre se manifiesta en el establecimiento de la relación funcional entre las

variables (v(t) kt, k0. t[0, t1]; etc.). El esquema fr que es subordinado a Vr que a su vez

está subordinado a Gf , lleva a activar nuevamente a Gf que se cierra en Gfr que permite al

sujeto dibujar el gráfico de la función de velocidad. El esquema Gfr representa el cierre del

ciclo total que es ahora el observable en el dibujo de la gráfica de velocidad del

movimiento.

En sentido semejante obtenemos el ciclo cognitivo que explica la realización gráfica

de la aceleración en (b). Sin embargo, esta realización generalmente ofrece una mayor

dificultad ya que la aceleración es una característica del movimiento que se abstrae de la

abstracción previa de la velocidad; además, desde el punto de vista matemático se trata de

concebir una función con dominio a trozos, difícil de aceptar por el estudiante que tiende a

unir los puntos de la gráfica. Pensamos que este obstáculo puede estar superado en nuestro

sujeto, bien porque esta superación se realizó en experiencias pasadas, o bien porque no

está presente gracias a la ayuda en los procesos interactivos (CSS, VSS, DP e IP) en el

aula.

Efecto didáctico. Las situaciones (a) y (b) han resultado efectivas para iniciar la

devolución del problema: caracterizar la propiedad de continuidad de una función. El

estudiante está cumpliendo con su parte del contrato didáctico que se ha establecido. Los

resultados obtenidos indican que el estudiante participa activamente en el juego.

Segunda parte: la situación adidáctica de formulación.

FS1 (formulación en S1): En (c) y (d) se produjo la formulación de las características de

las gráficas. En (c) el estudiante utiliza un lenguaje matemático propio donde propio

significa con significado matemático; mientras que el lenguaje en (d) es inapropiado

(palabras que en el lenguaje cotidiano tienen un sentido que difiere del que toman en

el lenguaje propio de la matemática).

Efecto epistemológico: En (c), el estudiante emplea un lenguaje matemático propio

para describir el comportamiento de las funciones. Los términos: creciente, decreciente y

constante, resultan adecuados y bien aplicados para comunicar matemáticamente las

observaciones del estudiante.

En (d), sin embargo, el término empleado para describir la discontinuidad de la

gráfica de aceleración es “desfase”:

[...], al pasar por B y C, ésta se desfasa, lo que no ocurre en A

No aparecen los términos continua o discontinua (propios).

Efecto psicocognitivo: El lenguaje empleado en (c) indica que posiblemente, el

estudiante posee un buen nivel de organización de los conceptos matemáticos que se

asocian a la propiedad de una función de ser creciente, decreciente o constante en un

subconjunto S de su dominio. No ocurre lo mismo en (d) donde el lenguaje resulta


339

inapropiado para comunicar la observación realizada por el estudiante. El término

matemático “desfase” cuando se aplica a las funciones tiene un sentido diferente al que el

estudiante le atribuye en su comunicación. Esta tendencia a extender el significado de

términos del lenguaje natural a dominios indiscriminados lleva a la formulación de

definiciones personales erróneas (que desde el punto de vista matemático atribuyen

significaciones sin ninguna relación con la situación –matemática– problema).

Esperábamos que la palabra «continua» que se introdujo en el comentario,

encapsulara la característica de la función (ser continua en t1; o, discontinua en t1)

producto de las observaciones del sujeto; quedando abierta la posibilidad de que él

expresara, explícitamente, su modelo de acuerdo a las inferencias que se derivan de los

Observables comprobados al comparar las dos gráficas en los instantes t1 o t2. Sin

embargo, en el caso que analizamos esto no sucedió, como lo hemos observado.

Un posible ciclo de interacción del sujeto respecto a G1(d), que llevaría la

formulación que escribe el estudiante, es:


La acción de comparar la

forma de las dos gráficas.

El sujeto focaliza la

atención en la forma de

la gráfica de la

aceleración.

La gráfica de la

aceleración se

“desfasa” al pasar por B

y C, lo que no ocurre en

A.

La forma de las dos

gráficas en los puntos:

A(t0, v(t0)), A(t0, a(t0));

B(t1, v(t1)), B(t1, a(t1))

C(t2, v(t2)), C(t2, a(t2))

La gráfica de la

aceleración se

“desfasa” al pasar

por B y C, lo que no

ocurre en A.

Esta tabla que inferimos de la formulación del sujeto es el resultado del ciclo de

equilibración,


que desemboca en una decisión, en este caso la formulación, producto de elecciones

que en criterio del sujeto son adecuadas.

La producción del estudiante indica que el esquema de acción de la continuidad que

él conceptualiza caracterizando la propiedad como “desfase” no esta relacionado con el

concepto matemático de continuidad matemático.

Efecto didáctico: Las situaciones (c) y (d), han permitido al estudiante avanzar hacia

un compromiso más estrecho con el problema. La formulación de las características de las

funciones en términos de un lenguaje codificado apoyará las abstracciones necesarias para

la construcción del conocimiento de continuidad, ayudando a centrar el pensamiento y las

acciones (propias y de otros) en los aspectos estructurales centrales relativos al concepto

que nos interesa construir. Se progresa en el desarrollo del juego.


1

2

2. De acuerdo a sus respuestas en el Nº 1 (d) escriba lo que para usted significa que la función

velocidad v es continua en t1 (o en t2).


340

S2. El estudiante escribe:

2. V es continua en t1 cuando al aproximarse tanto por la izquierda como por la derecha, los valores

tienden al mismo número, y éste corresponde en realidad a la función.

FS2 (formulación en S2): El estudiante formula una definición de continuidad que

corresponde al esquema conceptual C7. Este esquema se considera el más

evolucionado de los posibles esquemas que consideramos en el diseño de las

situaciones; Y ello, porque relaciona el concepto de límite y continuidad. Para que la

relación sea plenamente operativa, es indispensable que en la mente del estudiante

exista un conocimiento de límite y continuidad para derivar la relación entre ellos. La

definición personal expresada arriba la caracterizamos como: local, aritmética y

paramatemática.

Efecto epistemológico. La formulación expresa una definición de continuidad

apoyada en una noción de “límite”. Los términos empleados pueden ser interpretados de

diferente manera, ¿qué significa aproximarse? ¿a qué valor se aproximan? y ¿qué significa

que el valor corresponda “en realidad a la función”?. Todos estos términos serán objeto de

negociaciones en las situaciones de validación.

La definición propuesta se asemeja a la de los textos usuales, por ejemplo (Apostol,

T. Calculus, p. 160)

DEFINICIÓN DE CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Se dice

que una función f es continua en un punto p si

a) f está definida en p, y

b) lim ( ) ( )x x

f x f p

donde previamente se ha definido el significado del símbolo de límite. Parece que el

estudiante considera, implícitamente, el concepto de límite con la siguiente significación:

al acercarse a p, atribuyendo a la variable independiente valores menores y mayores que p,

entonces, si existe el límite, los valores que toma la función se acercan a un mismo valor

fijo que es el límite de la función.

Efecto psicocognitivo. Ha desaparecido el término “desfase” que encapsulaba, en G1

(d), la característica de continuidad de la función; en su lugar el sujeto utiliza el término

“continua”. Este término, introducido en el comentario de la situación G1 (d) –al que

remite el enunciado de G2–, claramente provocó, en la interacción con G2, la evocación de

una definición de la continuidad que necesariamente es producto de experiencias previas

de la enseñanza escolar. Lo dicho, se desprende de observar que: de acuerdo al diseño de

nuestra secuencia didáctica el concepto de límite se aborda a posteriori; y la terminología

empleada como “tender a” es propia del concepto de límite –que no se ha introducido en

clase–.

Interesa saber ¿Cómo el sujeto ha podido establecer esta formulación de continuidad

en términos de límites?. La pregunta tiene sentido porque en G1 (d) el sujeto no dio

muestras de relacionar los observables con el esquema conceptual matemático de

continuidad que ahora emplea. Parece obvio, que un factor (externo) que contribuye al

hecho es el carácter cerrado de la situación G2 que obliga al estudiante a volver sobre sus

pasos y retomar la situación G1 (d); pero ahora, con el objetivo de dotar de significado a la

palabra “continua” utilizada por el matemático imaginario. También, es obvio que en el

proceso interviene la memoria evocadora; pero, no se trata de un simple acto de


341

recuperación de información; más bien el recuerdo cumple la función de reorganización de

las inferencias –Coord S(2)– que son producto de nuevos observables –Obs S(2)–

obtenidos al volver sobre la situación G1 (d).

Nuestra hipótesis es que la formulación es producto de una abstracción reflexiva que

extrae los nuevos observables (2) de la coordinación de las acciones del sujeto sobre G1

(d) –que ya describimos en el ciclo de interacción en la segunda parte de G1 –; las

denominaremos Coord S(1) y Coord O(1). Estos nuevos observables (2) son

reorganizados, en un nivel superior (segundo nivel), por la inteligencia bajo la influencia

de la evocación de una definición que la memoria del sujeto ha activado por la asociación

del término “continua” con experiencias previas.

Para ver en detalle estos dos momentos de la abstracción reflexiva, consideraremos

primero nuestras inferencias respecto del ciclo de interacción en el nivel superior (segundo

nivel) que después relacionaremos con el ciclo que planteamos para G1 (d) y que

consideramos el nivel inferior (primer nivel).

Ciclo de interacción en G2 (segundo nivel):

Obs S(2) Coord S(2) Obs O(2) Coord O(2)

La acción de evocar

la definición de

continuidad en

términos de límites.

Para que v sea continua

en t1 se debe cumplir

que al aproximarse t a

t1 por la izquierda y la

derecha, los valores

(v(t)) tiendan al mismo

número, y este

corresponda a la

función

La gráfica de la

aceleración se “desfasa”

al pasar por B y C, lo que

no ocurre en A. En este

caso el matemático

afirma que es

“discontinua” en:

B(t1, a(t1)) y C(t2, a(t2))

En tanto que la función

velocidad es “continua”

en”

B(t1, v(t1)) y C(t2, v(t2))

Para que v sea continua en

t1 se debe cumplir que al

aproximarse t a t1 por la

izquierda y la derecha, los

valores (v(t)) tiendan al

mismo número, y este

corresponda a la función

Los observables (2) son el producto de la abstracción reflexiva sobre las

coordinaciones (1) de las acciones del sujeto respecto a la situación G1 (d); pero, es un

producto que tan sólo se ha asociado al término “continua” de una manera figurativa. En

este nivel (2), este producto será sometido a un proceso de reconstitución (acciones

esquemas imágenes recuerdo) en el que la evocación juega el papel de organizadora del

conocimiento en el nuevo plano hasta alcanzar el equilibrio (indicado con la doble flecha)

entre observables-coordinaciones del sujeto y observables-coordinaciones del objeto. La

conducta equilibrada se expresa externamente en la definición personal:

V es continua en t1 cuando al aproximarse tanto por la izquierda como por la derecha,

los valores tienden al mismo número, y éste corresponde en realidad a la función.

El proceso de abstracción reflexiva con sus dos momentos de reflejamiento

(producto) y reflexión (organización), que llevan a la formulación de la definición

personal, se puede representar esquemáticamente:

1

2


342

Donde el ciclo del nivel inferior lo hemos detallado cuando estudiamos el efecto

psicocognitivo de las coordinaciones respecto a la situación G1 (d).

El producto final de las acciones del sujeto (la definición) se explica en términos de la

equilibración entre las diferenciaciones e integraciones en un ciclo cognitivo en el que la

organización y funcionamiento de los medios (esquemas) permite alcanzar el objetivo y la

evaluación del resultado. En este caso:

El objetivo: Asignar un significado a la palabra “continua” respecto a la situación

dada se alcanzó, por el funcionamiento y coordinación de los siguientes esquemas:

7: esquema conceptual de continuidad-limite. Este esquema depende de la relación entre

límite y continuidad ( ver figura 1.2) y en particular de 2 (esquema asociado a L2). Si

existe el límite L y Lf(p), entonces f es continua.

: esquema conceptual de evaluación de f. Conocida la ley de formación y el dominio de

la función es posible, para cada valor del dominio, obtener el valor transformado de

acuerdo a la ley de formación.

l: esquema conceptual de límite lateral. Consiste en evaluar la función con valores de x

(x p o x>p) y observar a qué valor tienden los valores f(x) cuando los x se aproximan

a p.

: esquema conceptual de criterio de existencia de límite. Si existen los límites laterales

y son iguales entonces el límite existe y es igual a los límites laterales

En esta situación C7 es el esquema director de la actividad del sujeto sobre la

situación S2 (que en este caso el estudiante aplica igualmente a S3). La interacción de C7

(por asimilaciones y acomodaciones) con los elementos presentes en S produce la

activación y organización de los esquemas o medios necesarios para satisfacer las

necesidades de alimentación del ciclo. El resultado del ciclo de equilibración:


y su evaluación final dependen de la capacidad del esquema C7 para coordinar los

esquemas necesarios de acuerdo a la naturaleza de la situación.

Así, en este caso, la comprensión del objetivo gracias a las coordinaciones previas del

estudiante lleva a la evocación de C7 que se expresa explícitamente en la definición dada

por el estudiante.

Este resultado, muestra que el esquema de la continuidad-límite producto de la

experiencia adquirida del estudiante implica un esquema de límite no explícito. En estos

términos el ciclo cognitivo del estudiante es:

C7 Sl; l S’lr; lr S’’; lrr ; r S’’’C7; C7 rC7r

Nivel inferior: Obs S(1) Coord S (1) Obs O (1) Coord O (1)

Abstracción reflexiva

Nivel superior: Obs S(2) Coord S (2) Obs O (2) Coord O (2)


343

Efecto didáctico. La situación G2 ha resultado efectiva al favorecer la devolución del

problema central de la secuencia didáctica y provocar el compromiso del estudiante con

una definición del concepto de continuidad; éste ha expresado de forma explícita el

conocimiento que supuestamente pondrá en juego en las situaciones sucesivas esto, por

supuesto, si no incumple el contrato didáctico que se ha establecido. Notaremos esta

definición personal como CL2 para indicar que es una definición de continuidad pero

relacionada al concepto de límite y en particular al esquema conceptual 2 que se asocia a

la definición personal de límite que ya hemos caracterizado en el diseño del instrumento y

que notamos como L2. Así, tenemos la formulación

CL2 (definición personal de continuidad asociada a límite): “V es continua en t1 cuando al

aproximarse tanto por la izquierda como por la derecha, los valores tienden al mismo número, y éste

corresponde en realidad a la función.”

El lenguaje en que se expresa CL2 para dar cuenta de la situación, será la base para la

comunicación en las situaciones de validación que siguen a continuación. Esto obligará a

negociar su significado y como resultado de estas negociaciones con el profesor o los

pares, llegar a modificaciones del esquema de continuidad asociado a la definición CL2,

gracias al diseño de la ingeniería y los valores positivos que tomen las otras variables

didácticas (CSS, VSS, DP e IP).


S3 El estudiante escribe

3. Considero igual respuesta al punto 3

FS3 (formulación en S3): El estudiante nos remite en realidad a G2 y que ya analizamos

en FS2, donde la definición personal para la continuidad de f en xp se expresó:

CL2: “V es continua en p cuando al aproximarse tanto por la izquierda como por la derecha, los valores

tienden al mismo número, y éste corresponde en realidad a la función.”


S4 El estudiante dibuja y escribe

4. f(x) [x]

a) F es continua en x 1/2 ? Sí porque tenemos que :

al aproximarnos por izquierda y derecha, el valor tiende a cero, y éste es el menor # entero

correspondiente a 1 / 2.

b) F es continua en x1 ? No, vemos en el gráfico anterior que por la izquierda tiende a cero y por la

derecha a uno.


4. Considere la función f(x) [x] (menor entero). Usando su definición determine si:

(a) ¿ f es continua en x 1/2 ? Respuesta: si

(b) ¿ f es continua en x l ? Respuesta: No



1 2 1


344

AS4 (aplicación en S4): Dibuja la gráfica y aplica correctamente C7 y su negación ˜C7

justificando en cada caso su respuesta.

Efecto epistemológico. Analizaremos el efecto desde dos perspectivas: la aplicación

del concepto definido y los aspectos matemáticos que no han sido expresados por el

estudiante pero que están implícitos en su formulación. Esto último no garantiza que el

sujeto sea consciente de ellos.

Parece ser que la aplicación del concepto definido se ha realizado según el siguiente

procedimiento: Para decidir si es continua o no f en xp, se observa el comportamiento de

los valores de la función cuando x toma valores próximos a p por izquierda y derecha. Si

los valores respectivamente tienden a un mismo número y este es igual a f(p), entonces la

función es continua en xp. En caso contrario, no lo es.

Ahora, lo que no queda claro en la producción del estudiante es el procedimiento

matemático empleado para realizar la observación del comportamiento de la función.

Podemos adelantar dos realizaciones posibles del estudiante:

1. Grafica la función y sobre el gráfico realiza una comprobación visual del

comportamiento de los valores de la función cuando x “se aproxima” a p. Luego, de

acuerdo al resultado de esta visualización y a su definición, concluye la continuidad o

no de f en cada punto solicitado.

2. Calcula los límites laterales, compara los resultados entre sí y con el valor f(p).

Luego, concluye de acuerdo a la definición formulada.

Los términos que emplea el estudiante en la justificación escrita, por ejemplo en (b):

“No, vemos en el gráfico anterior que por la izquierda tiende a cero y por la derecha a

uno”, nos llevan a sospechar que el procedimiento empleado en este caso es el primero.

No obstante, no podemos inferir lo mismo en el caso (a) donde cabe la posibilidad del

segundo procedimiento. En consecuencia, queda el interrogante sobre el grado de

elaboración de los esquemas conceptuales que posee el sujeto en relación al concepto

matemático de límite. Este hecho, nos lleva a plantear la segunda perspectiva del análisis

que mencionamos inicialmente y que se refiere a los aspectos matemáticos implícitos en la

formulación de la definición de continuidad dada por el estudiante.

Tal formulación, requiere la aplicación de los operadores (límites laterales) que

actúan sobre funciones f y números reales p, donde los operadores

: f –

: f

(f, p) *(f, p) L (f, p)

(f,p) L

se simbolizan

lim ( )x p

f x L

(1) lim ( )x p

f x L

(2)

y los símbolos (1) y (2) significan:

(1) (0) (0(xDf (pxp+ f(x)L)))

(2) (0) (0(xDf ( pxp f(x) L)))


345

de donde sus respectivas negaciones son:

(1) (00) (0(x0 Df (p x0p+ f(x) L≥0)))

(2) (00) (0(x0 Df (p x0p f(x) L≥0)))

Ahora bien, poseer este conocimiento implica que el estudiante tenga conciencia de

un conjunto complejo de relaciones matemáticas –uno de los objetivos de la secuencia

didáctica– de lo cual no tenemos hasta el momento ninguna información; en consecuencia,

focalizaremos nuestra atención en las realizaciones de su interacción con las situaciones

posteriores para dilucidar este punto.

Efecto psicocognitivo. La función en este situación se deja dibujar; por tanto, permite

actuar figurativamente sobre su realización gráfica para apoyar, en imágenes mentales, las

intenciones operativas del sujeto y no ya sobre la operación de calcular el límite que

obligaría a emplear esquemas más operativos: evaluar la función, calcular las diferencias

entre valores, verificar si la condición de aproximación entre f(x) y L se da “siempre” para

todos los x “suficientemente” “próximos” a p –lo que implica una conciencia de los

cuantificadores–, etc. La inclinación a activar el pensamiento figurativo en la solución del

problema para esta función específica, no es sorprendente; dado que la función no opone

resistencia a su graficación y porque el pensamiento siempre busca los caminos más

económicos para obtener resultados.

De acuerdo a los posibles procedimientos (1) y (2), podemos inferir sendos ciclos

cognitivos asociados a la situación. Pero, antes conviene insistir, en que los ciclos tan sólo

son inferencias plausibles de las coordinaciones que realmente el sujeto realiza. Ellos

pueden ser confirmados o negados por los análisis posteriores de las producciones del

estudiante. Su función, es la de servir como registro de hipótesis provisorias sobre los

esquemas y su organización cognitiva presentes en las acciones del estudiante en cada

situación específica.

Respecto al procedimiento (1), necesariamente involucra los siguientes esquemas:

C7: esquema conceptual de continuidad-límite. Es el esquema director –necesario para la

comprensión del objetivo, organización de los medios y la evaluación del resultado–

de la actividad del sujeto en la situación S4. El esquema está asociado a la definición

del concepto que el sujeto ha expresado en G2 y como ya lo comentamos está referido

al concepto de límite.

Gf : esquema conceptual de gráfico de una función. El esquema que se asocia a la

definición matemática de gráfico de una función entendido como el conjunto:

(x, y) : yf(x), x en el dominio de f

que se representa gráficamente de acuerdo a un sistema convencional de

coordenadas (en este caso coordenadas cartesianas rectangulares). Este esquema

estructura la actividad del sujeto para representar el gráfico de f en un sistema de

coordenadas. En esta situación, el contenido particular (S4’) al que se aplica la forma

del esquema es la relación funcional f(x) [x], que no es algebraica y corresponde a

una función definida a trozos con dominio los reales.

v : esquema de límite-visual. Es una forma visual del esquema asociado al concepto de

límite. Estructura la actividad por la visualización, respecto a la gráfica de f, de

movimientos de la variable x; que el sujeto imagina acercándose a p, en relación con


346

el movimiento de las imágenes f(x); observando si las aproximaciones por la

izquierda y derecha de p conducen a que las imágenes f(x) se aproximen a un mismo

punto; si se comprueba el hecho, el punto se identifica con el número L y se dice que

es el límite de f en xp. En caso contrario, se dice que el límite no existe. En la

presente situación el contenido particular al que se aplica la forma del esquema es la

gráfica (S4’’) de f(x)[x]

El ciclo cognitivo que podemos plausiblemente inferir de las coordinaciones del

sujeto es:

C7S4 Gf ; Gf S4’ ... Gfr ; GfrS4’’; v ; vS4”... vr ; vrS4’’’ C7r ;

Donde, S4 S4’ S4’’ S4’’’ representan los observables sobre el objeto, es decir las

realizaciones de las acciones que modifican los elementos de S4, por el efecto

estructurador de las formas que se derivan de los esquemas. Y como siempre, de acuerdo a

nuestras convenciones Gfr y vr representan los cierres de ciclos que se coordinan al ciclo

dirigido por C7 que a su vez se cierra en C7r .

Ahora, respecto al procedimiento (2), los esquemas necesarios para justificar el

resultado serían: C7 el esquema de continuidad-límite, que acabamos de analizar a

propósito del procedimiento (1) y que se aplica al contenido S4 y los esquemas E

(evaluación de f); l (límite lateral); (criterio de existencia de límite) que ya describimos

en términos generales en G2 (d), pero, que podemos ahora detallar.

E: esquema conceptual de evaluación de f. Es un forma procedimental que el sujeto

asocia al concepto de función en relación con los caracteres que definen su nexo

funcional; estructura la actividad que se orienta a obtener valores específicos de la

función, para ciertos elementos del dominio. En este caso, el contenido al que se

aplica el esquema es una función definida a trozos no algebraica

l : esquema de límite lateral. Se confirma que este esquema significa para el estudiante

la activación de evaluar la función con valores de x (x p o x>p) y observar a qué

valor “tienden” los valores f(x) cuando los x se aproximan a p. En este caso, la

observación parece que se realiza para cada x en el eje de abscisas y su valor

correspondiente en el eje de ordenadas.

El interrogante que subsiste respecto a este esquema es ¿qué significado asocia el

sujeto a la palabra “tienden”. ¿Se trata de constatar visualmente un “movimiento” de los

f(x) hacia el punto que se asocia al número L? ¿ Se refiere a una diferencia entre los

valores f(x) y L que se puede hacer “tan pequeña como se desee”? También de la palabra

“aproximarse” y su relación con “tienden” que permanece implícita.

Nuestra hipótesis respecto a los interrogantes es que el sujeto está en posesión de un

esquema de acción, que permite hacer, pero que aún no ha sido conceptualizado –no existe

en el plano del conocimiento conceptual– y por tanto no adquiere aún la categoría de

esquema conceptual.

Esta hipótesis se sostiene no obstante que, si bien, para un observador especialista en

la materia, la formulación en (a) del estudiante no presenta inconsistencias; no por ello se

puede asegurar que el sujeto está en posesión de los significados y su organización que el

lector especializado atribuye al leer lo escrito por el estudiante.

: esquema conceptual de criterio de existencia de límite. Este esquema estructura la

actividad del sujeto que se aplica a determinar la existencia de un límite verificando


347

primero la existencia de los límites laterales(usando su esquema Ll), luego los

compara y toma una decisión.

En este caso, el ciclo cognitivo plausible es:

C7S4 l ; tS4’E ; ES4’’... Er ; ErS4’’’ l ; l S4(iv) lr ; lr S4

(v);

; S4(vi)

... r ; vrS4(vii) C7 ; C7 S4

(viii) C7r

Donde S4 representa los observables iniciales y S4’,..., S4(viii)

constituyen la sucesión

de nuevos observables enriquecidos por las acciones que el sujeto aplica sobre los objetos.

Efecto didáctico. Como situación de aplicación provocó el intercambio del sujeto con

la situación para resolver el problema.

Notaremos la aplicación de la definición para el caso afirmativo con las letras ACL2

(aplicación de la definición CL2) y en caso negativo con A~CL2 (aplicación de la negación

de la definición CL2 ).

ACL2 (aplicación de la definición personal CL2): Dibuja la gráfica y aplica

correctamente CL2, justificando su respuesta

A~CL2 (aplicación de la negación de CL2): Dibuja la gráfica y aplica correctamente

~CL2, justificando su respuesta

Queda abierto el terreno para que con los aportes de las otras variables, que influyen

en la construcción del conocimiento en el aula –CSS, VSS, DP e IP–, se progrese en la

construcción de la Z.D.P asociada al concepto matemático de continuidad;

proporcionando los elementos situacionales complementarios que se observen como

necesarios de acuerdo a los resultados que hemos analizado y la articulación de las

actuaciones del sujeto en la interactividad



5. f(x) x g(x) 2

x si x Q

si x I

a) f(x) sí es continua en x 1

5. Considere las funciones f(x)=x g(x)=2

x si x Q

si x I



(b) ¿ g es continua en x 2?








348

AS5 (acción en S5): Responde la parte (a) con una afirmación correcta, pero no justificada

explícitamente. No hay ninguna respuesta para G5 (b).

Efecto epistemológico. El estudiante aplica su definición pero consigna sólo el

resultado sin interactuar con el comentario ni la ayuda que aparecen en G5. Una

explicación para esta actitud, respecto a G5 (b),. es que el estudiante no ha encontrado un

significado con el que pueda interpretar la expresión

g(x) 2

x si x Q

si x I

Este hecho no es sorprendente, ya lo comentamos en la concepción del instrumento,

pues se trata de una función que se sale del cuadro algebraico en el que usualmente se

presentan, en la escuela, las funciones. Pero, además, una expresión como esta exige para

su comprensión la integración de conceptos sobre la naturaleza de los conjuntos numéricos

(números racionales e irracionales) que conforman el universo de los números reales; en

particular, de la densidad de Q e I, en si mismos, y, entre sí; es decir:

Q e I son densos

Q es denso en I, y recíprocamente I es denso en Q

Q I

Q I R

Conceptos que relacionados con otros como: cotas superiores (inferiores) de un

conjunto numérico, extremo superior (inferior), elemento máximo (mínimo), contribuyen

a construir la noción del continuo numérico. Todos estos conceptos juegan un papel en la

atribución de significado a la expresión simbólica de la función g.

Efecto psicognitivo. Nos interesa interpretar la ausencia de una respuesta. No se trata

de una falta de interés en jugar el juego, pues el estudiante ha venido respondiendo a las

situaciones planteadas en la guía. La explicación hay que encontrarla identificando las

lagunas en su conocimiento que impiden el desarrollo de un ciclo cognitivo referido al

esquema C7; sea por el procedimiento (1) o el procedimiento (2) que acabamos de analizar

más arriba.

Primero, es indudable que la función g por su naturaleza representa para el estudiante

un factor perturbador al resistirse a la actividad asimiladora de los esquemas. La

perturbación proviene de una inconsistencia externa respecto a las expectativas del

esquema que no son satisfechas o que resultan inadecuadas. Tales expectativas pueden

referirse a uno, o los dos aspectos siguientes:

Dft (dificultad de coordinación de los esquemas de función): Los contenidos que

serían potencialmente asimilables por el esquema de función que el sujeto activa no se

reconocen en la situación. Por lo general (aún en estudiantes de este nivel y parece

que este es el caso de nuestro estudiante), el esquema de función reconoce como tal a

expresiones dadas por una única ley de formación, expectativa que se ve frustrada en

la situación que analizamos. Y esto puede suceder a pesar de que en su estructura

cognitiva coexista un esquema asociado a la definición matemática del concepto (por

ejemplo, la definición moderna: una correspondencia entre dos conjuntos no vacíos

que asigna a cada elemento del primero un único elemento del segundo –definición


349

Dirichlet-Bourbaky–). Este es un ejemplo del fenómeno estudiado por Sholomon

Vinner y Tommy Dreyfus (1989). Este fenómeno de separar en “compartimentos

estancos” esquemas potencialmente inconsistentes que se activan de acuerdo a

situaciones específicas sin establecer las diferenciaciones pertinentes que conduzca a

la activación y aplicación del esquema apropiado a la situación, lo reconoceremos

como una dificultad cognitiva debida a una deficiencia en la coordinación de los

esquemas, en este caso referida al esquema de función, y la notaremos (Dft).

El efecto de esta situación es la interrupción del ciclo cognitivo que dirige C7 que

exige la representación de la gráfica (procedimiento (1)) para visualizar la aproximación;

lo que se traduce, externamente, en la no respuesta a la pregunta sobre la continuidad de la

función g. Sin embargo, puede existir otra clase de inconsistencia externa que explica este

resultado, pero, ahora en relación al esquema de evaluación necesario para ejecutar el

procedimiento (2). Y, como veremos, estaría referida al aspecto numérico de la situación.

ON (obstáculo epistemológico numérico): Los contenidos necesarios para alimentar al

esquema de evaluación no se reconocen en la situación. El esquema evaluación actúa

sobre elementos del dominio de la función y por tanto debe reconocer tales elementos

para funcionar. En este caso el dominio es el conjunto de los números reales, pero se

requiere de la existencia de un esquema que discrimine los racionales de los

irracionales y que integre estos conjuntos en un todo que los contiene; lo que implica,

en esta situación, coordinar los esquemas pertinentes a la estructura del continuo

numérico real. La experiencia y las investigaciones, muestran que esta estructura en

los estudiantes es muy pobre: generalmente asocian como irracional unas cuantas

expresiones simbólicas (las más usuales: , 2 , e) y sus esquemas relacionados con

expresiones decimales presentan serias inconsistencias –ver por ejemplo: Brousseau

(1980); Cornu, B. (1980)–; La fuente de tales inconsistencias pueden ser relacionadas

con los esquemas relativos al orden denso (Carlos Romero, 1994) de los reales, allí se

reporta que un alto porcentaje de alumnos de secundaria «ven la recta como formada

por discos o esferas». Esta forma de “ver” hace obstáculo para concebir un continuo

numérico dotado de un orden denso –hecho que se observa en el desarrollo histórico

del continuo numérico–. Estos esquema presentes en el estudiante hacen de obstáculo

epistemológico; un conocimiento que opone resistencia a la modificación, debido a

que su funcionamiento no permite tomar conciencia de las potenciales inconsistencias

externas (proceso necesario para transformar la inconsistencia externa en interna) y

generar, así, nuevas necesidades en el sujeto que conduzcan a desplegar un conjunto

de acciones en la búsqueda, en el mundo de lo posible, de nuevos medios necesarios

para resolver la inconsistencia externa. Es decir, estos esquemas hacen oposición a la

construcción del nuevo conocimiento. Razonablemente se puede afirmar que algunos

de estos hechos están presentes en la mente de nuestro estudiante e impiden “ver” los

irracionales que están presentes (y son infinitos!!!) alrededor del racional 2, por tanto

el esquema de evaluación no ha encontrado el contenido sobre el cual actuar.

Llamaremos a este hecho obstáculo numérico y lo notaremos (ON), sin poder

identificar exactamente su fuente dado que la única evidencia que tenemos es la no

respuesta del estudiante a G5 (b)

Como en el caso de la dificultad DFt, es posible que lo que ha impedido una respuesta

del estudiante fue la interrupción del ciclo cognitivo que dirige C7 debida a que la

expectativa del esquema evaluación E no pudo ser satisfecha a partir de la situación

externa. El estudiante no pudo identificar la inconsistencia que produce un obstáculo a la


350

acomodación del esquema de evaluación de una función. Esta inconsistencia externa –de

la cual no tiene conciencia el estudiante– constituye una perturbación potencial al sistema,

que se manifiesta en la paralización de la actividad del estudiante (no hay respuesta

externa).

Es importante destacar que, en la concepción teórica de la situación G5, nuestra

expectativa era generar una perturbación del esquema asociado al concepto de continuidad

(el problema que generaría la perturbación lo notamos P1 en la fase de diseño del

instrumento guía; ver concepción del instrumento). Pero, en la realidad, esto no ha

sucedido pues las perturbaciones observadas se refieren a ciclos subordinados al ciclo

general dirigido por C7. Nos referimos a los ciclos correspondientes a los esquemas Gf y E,

que como lo hemos descrito son los que han sido afectados.

Efecto didáctico. La situación de acción en G5 nos proporciona una información sobre

los posibles problemas que existen en casa del estudiante y provocó una perturbación que

debe conducir a una compensación si las variables didácticas han sido eficaces para actuar.

Esta compensación en lo que se refiere al obstáculo epistemológico ON, si realmente

existe, puede tomar tiempo y en especial si consideramos las construcciones necesarias

para superarlo (conceptos de cota, extremo, límite, etc.). Los resultados de las

realizaciones del estudiante indican que,

ACL2 (aplicación de la definición personal): En (a), responde con una afirmación

correcta sin justificar su respuesta. No responde la parte (b)

Dft (dificultad de coordinación de esquemas de función): La situación plantea la

dificultad asociada a la representación gráfica de una función definida a “trozos”.

ON (obstáculo epistemológico numérico): La situación pone en evidencia la posibilidad

de existencia de un obstáculo epistemológico asociado a las imágenes mentales

geométricas que el estudiante posee del continuo numérico

P1 (conflicto entre salto y próximo –P1 es vacío–): No se plantea el problema de

búsqueda de mejores condiciones para precisar la idea de continuidad de una función

en un punto. Y ello por dos razones; la primera, porque el estudiante que analizamos

ha puesto en juego un esquema más evolucionado sobre el cual la situación no actúa

como agente perturbador; la segunda, porque como lo habíamos previsto en la etapa

de diseño la función g plantea otros problemas que ocupan la atención del estudiante

y que deben ser resueltos para tener la posibilidad de representar la gráfica de

funciones definidas a trozos y así poder tomar conciencia de posibles inconsistencias

externas con el esquema del estudiante.

La situación G5, independientemente del hecho de no producir la perturbación

deseada, ha resultado efectiva para obrar como instrumento de mediación en el progreso

hacia una Z.D.P. en la que construiremos el concepto de continuidad y límite; por

supuesto, en relación con la eficacia de las otras variables didácticas.

Respecto al comentario y la ayuda de G5 –que llamaremos instrucciones de la

situación Nº 5 (I5)– la función esperada es la de producir una devolución del problema P1

y, en este sentido, parece que surte el efecto de “silenciar” al estudiante evitando que

exprese una respuesta a la ligera. Consideramos, a pesar de lo anterior que la instrucción

es vacía (I5) en el sentido que no observamos una respuesta explícita a ella.


351

I5: El estudiante no ha seguido las instrucciones. Se compromete con la respuesta de la

parte G5 (a). Posiblemente Dft u ON (o ambos) bloquea(n) una realización escrita de

G5 (b) y por ello el estudiante no ha podido seguir el hilo de instrucción.

Recordemos que de acuerdo al diseño de la guía, la función de las instrucciones (I) es

ayudar a la construcción de una Z.D.P. en la cual se deben elaborar las soluciones a un

problema (P). El conjunto de las interacciones con P constituyen el dominio sobre el cual

opera I. Para el caso de G5 (b) –dado que las interacciones del sujeto posiblemente se

centran en los problemas Dft u ON, que no pertenecen al dominio para el cual se ha escrito

I–, el dominio de I es vacío.



a) f(x) 2x+3 f(x) 5 Por izquierda y por derecha f(x) tiende a 5.

b) f(x)

2 11 1

1

1 1

xx Para x

x

x

Tenemos (1) 2 1

1 (1) 21

xx aquí f

x

(2) f(1) 1

AS6 (acción en S6): Responde la parte (a) y (b) sin afirmar o negar nada respecto a la

continuidad de las funciones (es lo que se pregunta). Escribe comentarios respecto al

Vemos que por izquierda y derecha f(x) tiende a

ser 2 cuando x tiende a ser 1, pero al valer x1,

f(x) vale uno.


continuidad)

a) f(x) 2x3 en x 1 Respuesta: Sí

b) f(x)

2 11

1

1

xsi x

x


c) f(x)

2 11

1

2

xsi x

x

en x 1 Respuesta: Sí

Si su argumentación es confiable y ha tenido éxito en los ejercicios anteriores, continúe con el siguiente

ejercicio. En caso contrario revise su definición y vuelva a intentar hasta obtener una idea de

continuidad razonable.

1 -

2 -

3 -

4 -

1 2 3 4


352

valor de las funciones en x1 y su comportamiento cuando x toma valores por la

izquierda y derecha de 1. No hay ninguna realización escrita respecto a G6 (c).

Efecto epistemológico. En la parte (a), el estudiante escribe f(x)5 y a continuación

afirma que por la izquierda y por derecha f(x) “tiende” a 5. En este caso no justifica esta

última afirmación ni de manera gráfica ni evaluando la función. Podemos interpretar este

hecho, suponiendo que la expresión f(x)2x3 es familiar al estudiante y visualiza su

gráfico como el de una recta, lo cual es suficiente para producir lo escrito. Sin embargo, es

extraño que el estudiante no escriba que debido a su comentario la función es continua en

x1.

La escritura incorrecta f(x)5 la interpretaremos como un lapsus que indica una

perturbación del esquema evaluación E.

En la parte (b), se confirma que el estudiante tiene problemas con la graficación de

una función definida a trozos. Cuando escribe:

1) 2 1

1 (1) 21

xx aquí f

x

2) f(1) 1

sin discriminar en 1), que la función no esta definida en x1 y precisamente por ello no se

puede afirmar que “aquí f(1) 2”. El estudiante no es consciente de la redefinición de la

función para que tome un valor en x1, que se indica con el signo igual que se subdivide

empleando un signo de llave para comprender dos reglas de formación de acuerdo a los

valores señalados del dominio de la función.

La afirmación: “Vemos que por izquierda y derecha f(x) tiende a ser 2 cuando x tiende a ser 1, pero

al valer x1, f(x) vale uno.” que acompaña la gráfica, llevaría a concluir, según la definición

de continuidad del estudiante, que f no es continua en x1. No obstante esta afirmación no

aparece como respuesta.

Conviene recordar, para lo que sigue, que en nuestro análisis preliminar y en la

concepción del instrumento hemos tomando en cuenta las relaciones que se establecen,

desde el punto de vista de la matemática, entre las definiciones personales de continuidad

y límite que están implícitas en el proceso de construcción de estos conceptos. Como ya lo

hemos dicho, ellos están relacionados por lo que denominamos la “propiedad de

aproximación” que se distingue del carácter operatorio del «procepto» (Tall. D. 1995)

límite. Esta propiedad de aproximación de los valores de f a un número A se caracteriza de

forma rigurosa por la expresión proposicional:

(0) (0(xDf (0≤xp f(x)A))),

que en el caso de la continuidad exige que f esté definida en xp y Af(p). En el caso del

límite, f puede no estar definida en xp y AL, donde L es el límite de la función y la

desigualdad, del antecedente en la implicación, es estricta.

Este hecho nos llevó a pensar una secuencia didáctica que seguiría –posiblemente– el

orden evolutivo que indican las flechas de línea continua que unen en el gráfico de abajo

los Ci y los Li , (con i1, 2, ....,7). Tanto los Ci como los Li representan las definiciones

personales asociadas a sus correspondientes esquemas conceptuales que evolucionan

gracias a la intervención didáctica mediada por las situaciones de la guía:


353

Esta no es la situación de nuestro estudiante que, como ya lo hemos dicho, aplica para

la continuidad la definición C7 que involucra una relación matemática con L7, que a su vez

depende de otra relación (LlLl+) que involucra la definición de límites laterales.

Efecto psicognitivo. El ciclo cognitivo que plausiblemente habíamos inferido respecto

a G4

C7S4 Gf ; Gf S4’ ... Gfr; GfrS4’’; v; vS4’’ ... vr; LvrS4’’’ C7r ;

se confirma, ahora, es el que gobierna las acciones del sujeto tal como lo hemos descrito

en S4 de G4, en donde el ciclo se realizaba completamente cerrándose en C7r gracias a que

la función no opuso resistencia para realizar su gráfica. El no cierre del ciclo cognitivo en

una respuesta indica que el esquema asociado a CL2 o alguno de los esquemas

subordinados se encuentra perturbado. En este caso, la perturbación tiene su fuente en las

inconsistencias externa que plantea la expresión que define la función en (b) al esquema

de función del estudiante que se niega a asimilar como tal las definidas a trozos, como es

el caso. Se confirma nuestra hipótesis de G5 según la cual existe una dificultad cognitiva

DFt que consiste en que el esquema de función del estudiante no reconoce como tales a

funciones que se definen por más de una ley de formación. El sujeto ahora es consciente

de “cierta” inconsistencia externa, pero no ha alcanzado establecer las regulaciones

necesarias para modificar su esquema. Una hipótesis plausible es que el estudiante

identifica como función sólo las definidas por una única expresión (al estilo euleriano: ver

apartado 1.5.5).

El esquema de función del estudiante parece estar asociado a la imágen mental que

identifica función con expresión algebraica y según la cual: «Una función es aquello que

se asocia a una única expresión algebraica»

Este conocimiento hace de obstáculo a un concepto más general de función; lo

denominaremos obstáculo algebraico relativo al concepto de función lo notamos

(OF(A)).

OF(A) (obstáculo epistemológico algebraico relativo al concepto de función): Se

observa cuando aparece una función definida por más de una ley de formación y es

un conocimiento que asocia el concepto de función a una imagen mental que “ve”

como función sólo aquellas que se definen por una única expresión algebraica

Un esquema que se expresa en la forma de arriba, lleva a interpretar el significado de

los signos en que se expresa una función definida a trozos como: «una manera

simplificada de notar dos funciones» (DFt)

Lo que implica una dificultad para interpretar y graficar una función de este tipo. Esta

dificultad ya la hemos notado (Dft).

L L

▲

▼ L2 L1 L3 L4 L5 L6

C1 C2 C3 C4 C5 C6 ▶ ▶ ▶ ▶ ▶

▶ ▶ ▶ ▶ ▶ ▶

C7 L7 ◀


354

Al tratar de dibujar la gráfica de la función definida a trozos el esquema lleva a “ver”

la gráfica como constituida de “dos partes” independientes la una de la otra, lo que

produce una perturbación al ciclo cognitivo –que el sujeto espera aplicar a una única

función–, y al no estar consolidadas las regulaciones necesarias para compensarla

producen los titubeos que se observan en el proceso del ciclo que finalmente no se cierra

en una respuesta coherente.

En conclusión de lo anterior, podemos razonablemente suponer que en la mente del

estudiante esta presente un obstáculo epistemológico relativo al concepto de función

OF(A). Y, como consecuencia de este obstáculo se presenta al sujeto la dificultad para

realizar el dibujo de la gráfica de una función definida a trozos DFt. Estos dos hechos han

impedido una respuesta coherente y delatan la presencia de perturbaciones potenciales que

comienzan a ser interiorizadas pero que no alcanzan las regulaciones necesarias para

restablecer el equilibrio.

Por otra parte, las realizaciones del estudiante nos llevan a confirmar la hipótesis

según la cual el esquema que emplea el estudiante para límites laterales es tan sólo

figurativo, apoyado en la visualización de las variaciones por movimientos sobre la

gráfica

Respecto a los efectos deseados de la situación, de acuerdo al análisis teórico del

diseño, nosotros esperábamos producir un desequilibrio que llevara a una modificación de

un esquema asociado a la definición más primitiva C1 para alcanzar el esquema asociado a

C2. Por supuesto este no ha sido el caso, pues el estudiante puso en juego, como ya lo

anotamos, un esquema aparentemente más evolucionado pero que aún no ha sido

conceptualizado. Esta ausencia de conceptualización del esquema 2 –asociado a la

definición personal del concepto de límite:

L2 f tiene límite en xp si cuando x se aproxima a p por izquierda y derecha, f(x) se

aproxima a L,

que es el que en sus acciones realmente aplica el estudiante–, se pone en evidencia por la

dependencia visual para expresar la respuesta. Aquí, L2 refleja un esquema que existe en el

plano de la acción; de allí su dependencia de una visualización necesaria para “ver” y

constatar la aproximación.

Este esquema es potencialmente afectable por las situaciones que hemos programado

para perturbar al esquema asociado a C2 debido a que ambos comparten “la propiedad de

aproximación”. Esto significa que, posiblemente, las modificaciones conceptuales se

produzcan en orden inverso del que habíamos previsto teóricamente. Es decir, seguiría la

secuencia de las flechas continuas del diagrama:

En donde la doble flecha punteada señalan la posibilidad de un salto de la

caracterización de la continuidad en términos de límites, como ha sucedido hasta ahora,

C7

L L

▲

▼

◀ L7

L1 L2 L3 L4 L5 L6

L1 L2 L3 L4 L5 L6

← →

⇢ ⇢ ⇢ ⇢ ⇢

⇢


355

para centrarse en la continuidad (flechas punteadas en una dirección) como una

“propiedad de aproximación” independiente del concepto de límite. Las tres flechas más

inferiores indican la definición personal L2 que actualmente le da sentido a la igualdad de

los límites laterales atribuida por el sujeto como necesaria para que f sea continua en xp.

En términos del esquema asociado a L2, esperamos que las situaciones futuras

conduzcan a un conflicto con el término “próximo” que llevaría a desarrollar regulaciones

que modifiquen el esquema. Aunque hemos observado que el ciclo cognitivo está

perturbado, por los problemas (OF(A) y Dft) que hemos anotado, ellas no han afectado

directamente al esquema asociado a L2. Es en este punto que resultará interesante observar

si la mediación de las situaciones permiten superar los obstáculos y las dificultades no

directamente relacionados con el esquema que se desea modificar (L2) para que el sujeto

pueda tomar conocimiento de la inconsistencia externa que afecta directamente a L2 y ésta

se transforme en inconsistencia interna posibilitando el inicio de la modificación del

esquema.

Efecto didáctico. La situación de acción obra sobre las realizaciones del estudiante y

plantea nuevos problemas que él debe superar. Como ya lo hemos dicho, a causa de su

conocimiento actual respecto al concepto de función éste no ha alcanzado una estrategia

ganadora estable. Esta estrategia, en el caso negativo (b), de acuerdo a la definición del

estudiante (CL2), le llevaría a partir de la observación de la gráfica a la aplicación:

A~CL2: f no es continua en x1, porque cuando x se aproxima a uno por izquierda y

derecha los valores f(x) se aproximan a 2, siendo 21f(1)

Por tanto consideramos que la aplicación del esquema para el caso negativo no se ha

producido. Este hecho lo notaremos A~CL2

A~CL2 (aplicación de la negación de la definición personal –es vacía–): El estudiante

no aplica la negación de continuidad (~CL2).

Con respecto a la aplicación de CL2 en el caso afirmativo (a), tenemos:

ACL2 (aplicación de la definición personal): aplica la definición afirmativa , pero de

forma inestable sin concluir explícitamente la continuidad de f en x1

Respecto al problema (P1) que plantearía una inconsistencia externa entre “salto” de

“próximo” no se da porque como ya lo hemos explicado el esquema que el sujeto pone en

juego es más evolucionado que C1 . Este hecho lo notaremos P1

P1 (constitución del problema P1 –es vacía–): No se plantea el problema de

búsqueda de mejores condiciones para precisar la idea de continuidad de una

función en un punto. Y ello por las dos razones que ya expusimos en el análisis de

G5 (b) pero que ahora ya no se refieren a una hipótesis sino ha hechos

confirmados.

Respecto a las instrucciones escritas en la situación (I6), consideramos que la

instrucción es vacía (I6) en el sentido que no observamos una respuesta explícita a ella.

I6 (ajuste de la instrucción de G6 –es vacía–): El estudiante no ha seguido las

instrucciones. Se compromete con las situaciones de la parte G6 (a) y (b) pero no

concluye nada sobre la pregunta. No produce nada respecto a (c). Posiblemente Dft

u ON (o ambos) bloquea(n) una realización escrita de G6 (c) y por ello el

estudiante no ha podido seguir el hilo de instrucción.


356



a) f(x) 2

0

x si x Q

si x I

Para x 0

El gráfico se compone de dos partes: uno para los x

irracionales y otro para los racionales. Al x tomar el valor

cero, ambos gráficos tienden por izquierda y derecha al valor

cero. Y además f(x) es cero.

b) f(x)

2 11 1 1

1

2,001 1

xsi x x si x

x

si x

1


de continuidad.

a) 2

( )0

x si x Qf x

si x I

en x0 Respuesta: Si

b)

2 11

1( )

2,001 1

xx

si xf x

si x

en x1 Respuesta: No







“próximo”.

Observador 1

Observador 2


pueden ayudar:



simboliza:

N(p)



|xp|



2,001

2

2

2,001


357

AS7 (acción en S7, parte a): Dibuja la gráfica correcta y aplica visualmente la

definición personal CL2 pero sin concluir si f es continua o no.

Efecto epistemológico. El gráfico es correcto. El estudiante reconoce como función

ésta que está definida e un dominio partido; discrimina los valores de f en el caso racional,

de los valores de f cuando x es un número irracional.

ACL2 (aplicación de la definición personal): la aplicación de la definición personal

CL2 se realiza visualizando la aproximación con apoyo en la gráfica, por tanto es

una aplicación visual. No obstante, que uno puede inferir que su conclusión es que

f es continua en x1, el estudiante no se expresa explícitamente sobre la

continuidad de f.

Efecto psicocognitivo. El sujeto ha evacuado la dificultad Dft relacionada con la

interpretación y el dibujo de la gráfica de una función definida a “trozos”. esta dificultad

había aparecido en G5 ligada al obstáculo epistemológico numérico ON y en G6 en

relación con el obstáculo OF(A). El obstáculo referido a las funciones de Euler (OF(A)

parece superado. No obstante, mantenemos dudas respecto al obstáculo numérico (ON) y

sólo podríamos pensar que ha sido parcialmente superado. Posiblemente, el estudiante ha

incorporado las discusiones en clase respecto a la estructura de R como un cuerpo dotado

de un orden denso. Pero, esta incorporación puede estar más ligada a un esquema

figurativo que operativo (un esquema que se acomoda a una situación gracias a la

evocación de una imagen mental asociada a un significado singular que aún no está

plenamente coordinado a la estructura operatoria total. El esquema sólo se acomoda a las

situaciones semejantes a la que fue su fuente de constitución y no es estable en

acomodaciones a situaciones variantes nuevas) y esto, porque la superación del obstáculo

ON pasa por una reestructuración conceptual de la noción de número real que implica la

construcción matemática del conjunto infinito de los irracionales y su puesta en relación

con el continuo numérico. Es decir, ¡una construcción del estilo cortaduras de Dedekind!

que conducen a establecer el axioma de completitud de los números reales. Nuestros

estudiantes hasta este momento tan sólo han tenido, en este sentido experiencias parciales

respecto a la irracionalidad de números como raíz cuadrada de p con p número primo, y

una aproximación axiomática a la estructura de los números reales de la que se deriva la

densidad de los racionales en sí mismos, de los irracionales y entre los dos conjuntos.

También la existencia de conjuntos numéricos acotados superiormente pero que no tienen

máximo y acotados inferiormente que carecen de elemento mínimo. El axioma de

completitud o axioma del extremo superior es conocido por los estudiantes y se ha

utilizado para demostrar la existencia de raíces cuadradas de números reales no negativos

y, más general, la existencia y unicidad de la raíz enésima de números reales. A pesar de

ello, no podemos asegurar nada respecto a la organización establecida por el sujeto

respecto a estas nociones y por ello mantenemos nuestras reservas en relación con la

superación de ON.

Consideremos el funcionamiento del ciclo de interacción que podemos inferir de la

realización del estudiante, para ver en detalle los procesos que se reflejan en la aplicación

de la definición personal CL2 a la situación que estamos analizando.

Ciclo de interacción en G7 (parte a):


358


Identificación del


continuidad de f en x0


definición asociada a CL2 Lectura de G7

Leer la expresión

que define a f


gráfica de f.

Donde:

f(x) x2 si xQ;

f(x) 0 si xI

La ecuación y x2 representa

una parábola cóncava hacia

arriba con vértice en (0.0).

Pero no contiene los puntos

(x, f(x)) con xI

La ecuación y0 representa

una recta que coincide con

el eje de abscisas. Pero no

contiene los puntos

(x, 0) con xQ

Lectura de la

expresión

f(x) 2

0

x si x Q

si x I

Lectura de la parte

f(x) 0 si xI

Trazar la parábola

sin pintar los puntos

correspondientes a

valores irracionales.

Representar los

puntos sobre el eje

de abscisas que

corresponden al

dominio irracional.

La acción de imaginar a

x aproximarse a 0 y

observar si los

correspondientes valores

f(x) se aproximan al

mismo número y si este

corresponde o no al

valor de f en cero.

La gráfica de f(x) x2

tiende a cero cuando x

tiende por izquierda y

derecha a cero

La gráfica de f(x) 0 tiende

a cero cuando x tiende por

izquierda y derecha a cero

f(0) 0

Visualización del

gráfico V’ “Al x tomar el valor

cero, ambos

gráficos tienden por

izquierda y derecha

al valor cero. Y

además f(x) es cero”



desemboca en el comentario que hemos consignado al final de la columna Coord S. En

este caso la afirmación de que f es continua en x0, no aparece explícitamente (el ciclo

cognitivo no se cierra en la respuesta). Esto es señal de la presencia de una perturbación en

el ciclo cognitivo del sujeto que impide una equilibración final

El ciclo cognitivo virtual tiene como esquema director el asociado a la definición

CL2. Esquemáticamente:

CL2S6Gf ; Gf S6’ H; ...; N S6(j) Gfr ; Gfr S6

(j+1) CL2 ; CL2 S6

(j+2) ?!

Aquí, CL2 actúa visualizando (la acción más económica) la “aproximación” de los

valores de las variables (x hacia 0 y f(x) hacia f(0)) apoyándose en la gráfica de la función

para producir CL2r, que en el caso en que el valor al que se “aproxima” f(x) sea igual al

valor visualizado f(0) produce una respuesta afirmativa (corresponde a la situación G7 (a))

y en el caso contrario ) –negación de la definición (~CL2)– produce una respuesta negativa

(corresponde a la situación G7 (b)). Sin embargo la afirmación esperada de la continuidad

de f en x0 no se ha producido explícitamente y como se observa en la producción del

estudiante, este no produce ninguna respuesta en el caso negativo de la parte (b) de G7.

Para comprender un poco más la causa de estos hechos veamos la realización del

estudiante en G7 (b) y al final analizamos los efectos didácticos de las dos partes.

AS6 (acción en S6, parte b): Dibuja la gráfica correcta pero no produce ninguna respuesta

ni comentario

1

2


359

Efecto epistemológico. Podemos interpretar el silencio del estudiante desde el punto

de vista de la naturaleza del problema de la siguiente manera:

La situación bloquea la respuesta porque el estudiante observa que f(x) se “aproxima”

a dos cuando x se “aproxima” a 1, por tanto el límite es dos. Pero, desde el punto de vista

de esta idea vaga sobre lo que se considera como “próximo”, puede ser que 2,001 sea

también tomado como un valor al que se “aproxima” f(x) cuando x se “aproxima” a uno. Si

esta es la situación para el estudiante, entonces debe resolver el problema:

P2 (problema relativo al significado matemático de la expresión “próximo a...”). ¿Qué

significa, matemáticamente, que f(x) se “aproxima” al número L? cuando x se

“aproxima” a p? ¿Cómo definir matemáticamente una situación que se expresa en

lenguaje usual como “próximo a....”?

La existencia de estas preguntas indicarían que el estudiante tiene un trabajo por

delante cuya solución lleva a la construcción de la propiedad matemática que nosotros

hemos llamado “de aproximación de una función” relacionada con los conceptos de

continuidad y límite en términos de ( , ).

Efecto psicocognitivo. La situación (b) de G7 plantea una inconsistencia externa al

esquema de límite que posee el sujeto. De acuerdo a este esquema el límite es un valor L

único, al cual se “aproxima f(x) cuando x se “aproxima” por izquierda y derecha a un

número p. La toma de decisiones depende de lo que significa para el sujeto el término

“próximo”. En este caso tanto dos como 2,001 pueden ser considerados como valores a los

que f(x) se “aproxima” cuando x se aproxima a uno, tanto por izquierda como por derecha.

¡El límite no es único! contrariamente a las expectativas del esquema.

Lo que tendremos que observar, en lo que sigue, es si la inconsistencia deviene en un

conflicto cognitivo, a lo que el sujeto debe oponer un conjunto de regulaciones (establecer

nuevas relaciones) que desemboquen en una compensación cognitiva (modificación del

esquema conceptual) cuya señal será la solución del problema P2.

Volviendo sobre el análisis que dejamos pendiente respecto a la parte (a), la

explicación que encontramos para el no cierre del ciclo es que el obstáculo OF(A) aún está

presente en el sujeto, como parece revelarlo su expresión “ambos gráficos tienden....” ¿se

refiere a gráficos de dos funciones? ¿qué significa que un gráfico se aproxime a ...? ¿Es el

gráfico o los valores?. El esquema euleriano se resiste a su modificación y conduce a

errores.

Dimensión didáctica. Se trata de una situación adidáctica de acción. La intención

didáctica es favorecer la devolución del problema (DP). En (a) la situación está en el

dominio del esquema asociado a CL2 que se puede contrastar con la situación inmediata

(b) que obliga a focalizar la atención en la negación de la definición

A~CL2 : f no es continua en x1, porque cuando x se aproxima a uno por izquierda y

derecha los valores f(x) se aproximan a 2, siendo 22.001f(1)

Por tanto consideramos que la aplicación del esquema para el caso negativo no se ha

producido. Este hecho lo notaremos A~CL2

A~CL2 (aplicación de la negación de la definición personal –es vacía–): El estudiante

no aplica la negación de continuidad (~CL2).

Con respecto a la aplicación de CL2 en el caso afirmativo (a), tenemos:


360

ACL2 (aplicación de la definición personal): aplica la definición afirmativa , pero de

forma inestable sin concluir explícitamente la continuidad de f en x0

Respecto al problema (P2) que plantearía una inconsistencia externa entre la noción

de “próximo” y el esquema conceptual, en este caso asociado a límite, parece que se ha

presentado si tomamos como señal de su presencia el silencio del estudiante, pero esto se

debe confirmar con los análisis de la actuación del estudiante respecto al andamiaje que se

proporciona en G8–G13 para resolver, en parte, el problema P2 y alcanzar la modificación

de su esquema conceptual asociado a CL2.

P2 (constitución del problema P2): Aparentemente el estudiante se encuentra con el

problema de precisar matemáticamente el significado del término “próximo a..”.

Respecto a las instrucciones de G7 (I7), consideramos que la instrucción ha surtido el

efecto esperado impidiendo que el estudiante se precipite en una respuesta no

reflexionada. Sin embargo, debemos esperar al desarrollo de G8 hasta G13 para valorar el

efecto de acuerdo a la reequilibración que alcance el sujeto respecto al esquema viejo y las

modificaciones que lo diferencian del nuevo.

I7 (ajuste de la instrucción de G7): El estudiante ha leído el comentario de G7 y

probablemente ello ha evitado una respuesta precipitada identificando una posible

inconsistencia con su esquema. La incorporación conceptual de las definiciones –

entorno y distancia entre puntos– que se proponen como solución al problema P2, no

puede ser inmediata, pero debe observarse su gradual conceptualización en lo que

sigue.


S8 El estudiante escribe y dibuja:

a) x2,001 =0,0001 No es próximo puesto que se encuentra fuera del entorno.

b) x2,00005 =0,0001 Sí, porque está dentro del entorno

c) x2,001 =0,05

d) x3 =1,1


x2,001 0,0001 Respuesta: No

x2,00005 0,0001 Respuesta: Sí


x3 1,1 Respuesta: Sí

( )

2,0001 2 1,9999 2,001

( ) 2,00005

2 1,9999 2,001

x sí es próximo a

2

( ) 2,0001

2 1,95 2,05

Sí es próximo a 2 ( )

2 0,9 3,1

3


361

AS8 (acción en S8): El estudiante determina correctamente, si el valor dado es, o no es,

próximo a un valor p fijo. El criterio empleado es geométrico.

Efecto epistemológico. El concepto de entorno ha permitido al estudiante determinar

si “x0 es próximo a 2” o “x0 no es próximo a 2 para cada uno de los 0 dados. De tal

manera que x0 es 0–próximo a 2 si x0(p, p). En caso contrario “x0 no es 0–próximo

a p”. Donde el entorno es un intervalo abierto que el estudiante representa en la recta real.

Observemos que otra posibilidad para determinar la proximidad, es hacer uso de la

métrica del valor absoluto, estableciendo:

“x0 es 0 –próximo a 2” si d(x0, 2) x02 0

Este no ha sido el caso en nuestro estudiante. Su realización sólo nos permite afirmar que

ha establecido la relación:

R2 (relación entre “próximo y entorno): se dice que “x es próximo a p si xN


~R2: “x no es próximo a p si xN (p)”.

pero no sabemos nada de las relaciones métricas



xp.

~R3 (negación de R3) La distancia entre el punto A de coordenada x y el punto P de


que son necesarias para encontrar la solución del problema P2 de la subjetividad del

término “próximo a..” Sin embargo este problema no ha surgido en relación con la

terminología empleada en la definición CL2. El estudiante reiteradamente emplea la

palabra “tiende a..” pero no hemos podido captar en sus realizaciones el significado que el

sujeto le atribuye y por otro lado, pero en relación a la constitución de P2, las situaciones

no han conducido a su planteamiento resultado del cuestionamiento de la definición

personal CL2.

Efecto psicocognitivo. La situación ha sido efectiva para producir una toma de

conciencia de las definición de entorno (relaciones externas consignadas en símbolos) y su

relación con los significados (relaciones internas). Es decir el estudiante ha alcanzado una

estrategia ganadora visual: dibujando en la recta real el intervalo (p0, p0) y el punto

que se asocia al número x0 y luego proceder visualmente a verificar si x0(p0, p0).

Es necesario observar que el esquema asociado a esta estrategia es figurativo

dependiendo, lo que impone ciertas limitaciones a su funcionamiento en situaciones en las

cuales la visualización no sea posible (en ciertas situaciones será un esquema propio no

óptimo). En tanto que el esquema aritmético (que se apoya en la métrica del valor

absoluto): verificando que x0 satisface la desigualdad p0 x0 p0 o equivalentemente

que la diferencia x0p es menor que 0; no ha surgido espontáneamente en el estudiante

en la situación. Este es un esquema más económico y eficaz (esquema propio)

Efecto didáctico. Se trataba de una situación adidáctica de acción, dirigida a la

apropiación de una definición. La situación ha sido efectiva para producir una devolución

del problema referente al término “próximo”. La DP consiste en llamar la atención del


362

estudiante respecto a la naturaleza de las situaciones de G8 que se focalizan sobre la

cuestión de P2 que el estudiante ha eludido (inconscientemente) en todo momento. Como

consecuencia el estudiante retorna a interactuar con las definiciones en G7 que habían

resultado ineficientes en aquella situación.

I7 (ajuste de la instrucción de G7): El estudiante ha regresado sobre sus pasos y ha

interactuado con I7. Como resultado ha encontrado una estrategia ganadora para la

situación.

La forma decimal que esperábamos llevara un grado de dificultad alto a la

visualización no obligaron a recurrir a la definición aritmética como nosotros

esperábamos.

S9: Situación de la guía Nº 9 G9).

S9 El estudiante escribe:

a) x2 0,01 0,01x20,01 1,99x2,01 N0,01(2)

b) 3x 1/2 0,53x0,5 = x3 0,5 N0,5(3)

0,5x30,5 2,5x3,5

c) x+1 1 1x+11 2x0 N1(1)

d) 2x+3 32x3 3 3

2 2x

N(3/2)

e) x+p x+p px p N(p)

AS9 (acción en S9): El estudiante determina correctamente, los entornos señalando centro

y radio.

Efecto epistemológico. El estudiante ha definido en cada caso el abierto de R a partir

la proposición abierta que se simboliza en la forma:

x p (1)

Ese abierto de R está expresado en la doble desigualdad:

px p (2)

que el estudiante asocia con el símbolo

N(p) (3)

El estudiante ha desarrollado un proceso aritmético para identificar el centro y radio

del entorno al que pertenecen los x dados por la desigualdad con valor absoluto. De esta

manera estableció las relaciones entre las proposiciones matemáticas:


(a) |x—2| < 0.01

(b) |3—x| < 1

2

(c) |x+1| < 1 Respuesta: N1(-1)

(d) |2x+3| < d Respuesta: Nd(-3/2)

(e) |x + p| < d Respuesta: Nd(-p)


363

xp , p x p y xN(p)

Esta estrategia aritmética se basa en las propiedades de orden de los reales y en

especial en:

(1) Teorema (propiedad del valor absoluto): para todo x R

xp a paxpa

Es conveniente anotar que el estudiante no utilizó la estrategia geométrica que en

algunos casos es factible. Tampoco aparece una justificación en el paso de (2) a (3). Es

decir la relación entre la doble desigualdad y el intervalo abierto que ella define ( su

significado geométrico ) : paxpa x(pa, pa).

Efecto psicocognitivo. El efecto de esta situación ha sido la coordinación de los

esquemas de entorno y distancia como esquemas aplicables para definir rigurosamente el

significado de “próximo”. En el conjunto de situaciones propuestas este objetivo se

alcanzó, pero la ausencia del concepto de intervalo abierto en la respuesta deja una duda

respecto a la coordinación entre los esquemas de distancia y entorno. Para validar que tal

coordinación existe de manera estable en la mente del estudiante tendremos que esperar a

que se presente una situación nueva que requiera su utilización y observar si efectivamente

el estudiante aplica la coordinación de estos conceptos

Efecto didáctico. Se trataba de una situación adidáctica de acción, dirigida a la

construcción de un procedimiento. Como ya lo comentamos las ejecuciones escritas del

estudiante no reflejan dificultades con la tarea.

S10: Situación de la guía Nº 10 (G10).


“x está más próximo a 2 que 1,5 y 2,5”

– Entorno: Hay un entorno de radio 0,5 con centro en 2 tal que xN0,5(2)

– Distancia entre puntos: Hay un punto x cuya distancia al punto 2 es menor que 0,5 (Distancia

entre 1,5 y 2)

FS10 (formulación en S10): En la parte (a), el estudiante selecciona, correctamente, un

radio del entorno a partir del cual la proposición es verdadera señalando centro y

radio. En (b), el énfasis está en la existencia de x y no en el número que determina

los x “próximos” a 2 (0.5 o cualquier mayor que cero y menor que 0.5)

Efecto epistemológico. En (a) el estudiante emplea un criterio matemático correcto

para definir la proximidad un x a 2. En (b) el criterio no es claro. La frase dada

implícitamente exige dos cuantificadores. Así, ella es verdadera si existe un 0 que

determina todos los x 0-próximos a 2. Para las situaciones (a)y (b) basta tomar 00≤0.5







364

para todo x tal que xN0(2), o en términos de distancia, para todo x que satisface

xp0. El estudiante razonó correctamente para el caso de los entornos pero en el caso

b el orden de los cuantificadores está invertido. En el caso del lenguaje usual esto no tiene

consecuencias por los sentidos que se atribuyen en el contexto, pero seguro que se

encuentran dificultades en el momento de negar matemáticamente la proposición.

Efecto psicocognitivo. Se revela un comportamiento equilibrado del esquema de

entorno para interpretar matemáticamente la proximidad. Pero en el caso aritmético el

esquema no discrimina el papel del número positivo que determina, en la desigualdad los

x próximos a p. Es seguro que esto llevará a errores cuando el esquema aritmético se

integre a un ciclo cognitivo complejo.

Dimensión didáctica. La función de la situación de provocar una formulación ha sido

efectiva.

Situación G11


“x no está tan próximo a 2 como 1,5 y 2,5”

– Entorno: Hay un entorno de radio 0,5 con centro en 2 tal que x N0,5(2)

– Distancias: Existe un punto x cuya distancia al punto 2 es mayor que 0,5.

FS11 (formulación en S11): Respecto a entorno, el estudiante expresa en lenguaje

corriente y símbolos matemáticos su interpretación de la negación dada en lenguaje

corriente. Esta interpretación no tiene sentido en el contexto matemático.

Respecto a distancia, la interpretación no recurre al lenguaje matemático.

Efecto epistemológico. Respecto a entorno. Se revela explícitamente en lenguaje

corriente el cuantificador de existencia (del radio del entorno) “Hay un entorno..”, pero no

aparece el cuantificador de x lo que hace que la frase no tenga sentido; dado un valor de la

variable x, uno no puede decidir si la “proposición” es verdadera o falsa.

Efecto psicocognitivo. El estudiante no ha tomado conciencia del papel de lenguaje

matemático en el proceso de contextualizar matemáticamente los significados y sentidos

del lenguaje cotidiano para evitar interpretaciones subjetivas. Se revela aquí un obstáculo

epistemológico lógico que lleva a “borrar” de los cuantificadores en las interpretaciones

matemáticas que proviene, en nuestro concepto, de la dinámica del lenguaje cotidiano de

acuerdo a la cual, el contexto en que se produce la comunicación hace innecesario

explicitar cuantificadores y orden de ellos, para alcanzar una comunicación satisfactoria.

Esto es posible cuando los interlocutores comparten una misma situación, dado que

significados no explícitos pero compartidos por ellos, hacen que la situación misma se

encargue de agregar un sentido a las palabras variando (y completando) el significado

estricto (de diccionario y estructura lógica de la comunicación) de la frase. Llamaremos a

este problema obstáculo lógico de borradura de cuantificadores y lo notaremos OL(B).

Dimensión didáctica. La situación ha sido efectiva para obligar a la formulación. Las

expresiones escritas del estudiante han permitido identificar un posible obstáculo que de





365

confirmarse, conducirá a errores en situaciones en que este conocimiento participe.

OL(B) (obstáculo lógico de borradura de cuantificadores): es un conocimiento que

lleva a considerar (inconscientemente) innecesario el hacer explícitos los

cuantificadores en una comunicación matemática. Su fuente es la experiencia

personal con el lenguaje cotidiano, que permite a los sujetos comunicarse

exitosamente apoyados en los sentidos que se generan en contextos compartidos.

Situación G12


12. N(p). “Existe un punto cuya distancia al punto p es menor que el valor .”

FS12 (formulación en S12): El estudiante expresa en lenguaje corriente su interpretación

de la expresión simbólica dada.

Efecto epistemológico. El estudiante no utiliza los símbolos matemáticos

correspondientes. Es decir: xp y los cuantificadores. Dado que,

( xR ) (xN(p) xp)

cuestión que es necesaria para establecer la relación entre “próximo”, distancia y entorno

(la relación que en la fase de diseño llamamos R4)

Dimensión psicocognitiva. El estudiante no ha tomado conciencia de la relación

matemática (R4)

R4 (relación entre “próximo” y entorno-distancia): Para un dado, x es “próximo” a p

sí y sólo sí, xNd (p) y equivalentemente,

xN (p) xp

Tampoco, se es consciente del papel de los cuantificadores en la precisión del

significado matemático. Nuevamente se presenta OL(B).

Dimensión didáctica. La situación se muestra efectiva para provocar la formulación

sobre la cual actuarán las variables DP, CSS, VSS, e IP. respecto a los problemas

epistemológicos y psicocognitivos ya identificados.

Situación G13


13. Un punto es próximo a otro si se encuentra dentro del entorno de radio especificado

FS13 (formulación en S13): El estudiante expresa en lenguaje corriente la relación

señalando, de manera correcta que la proximidad entre los puntos depende del “radio

especificado”


N(p)

13. ¿Qué relación existe entre el radio y la idea de la “proximidad”?


366

Efecto epistemológico. Aunque el estudiante expresa la relación queda por ver si se

tiene un criterio matemático que permita verificarla.

Dimensión psicocognitiva. La realización del estudiante indica una toma de

conciencia de la relación del papel del radio del entorno respecto a la expresión

“próximo”, pero queda la dudad si el esquema asociado es más figurativo que operativo.

Efecto didáctico. Se trataba de una situación adidáctica de formulación, dirigida a

establecer explícitamente el papel que juega para el estudiante el radio del entorno.

Creemos que la situación no cumple a cabalidad el objetivo porque no podemos

informarnos del alcance operativo de su respuesta.

Situación G14

S14. El estudiante no responde.

FS14 (formulación en S14): El estudiante se expresa con su silencio.

Efecto epistemológico. de la situación. Nosotros esperábamos que las relaciones R2,

R3 y R4 producto del trabajo del estudiante en las situaciones anteriores, se reflejaran en

esta situación adidáctica de formulación. Este no ha sido el caso. Interpretando la voz del

silencio diremos que, el estudiante ha mal que bien establecido las relaciones, pero para él

no tienen relación con el su definición personal (CL2) en la cual el problema es que las

variables “tienden a....” y en su criterio esto no tiene que ver con ”próximo a...” . En

consecuencia, él no se considera obligado a refinar la terminología de la definición.

Efecto psicocognitivo. La situación no surte ningún efecto dado que el esquema

asociado a CL2 no ha sido perturbado y de esta manera el andamiaje proporcionado por las

situaciones anteriores cuya función era ayudar a establecer las compensaciones necesarias

para alcanzar un nuevo estado de equilibrio del esquema no han operado en una Z.D.P. del

problema. Las razones no se encuentran en el camino diferente que los esquemas presentes

en el estudiante le han obligado a seguir. Para nosotros el esquema asociado a CL2

también es potencialmente perturbable por las situaciones que hemos planteado. ?Entonces

por qué no se ha producido esta perturbación? Nuestra hipótesis es que los obstáculos ON

y OF(A) que han surgido impidieron perturbar directamente al esquema de continuidad,

pero han perturbado esquemas que se integran en el ciclo cognitivo asociado a CL2. Esto

produce un desplazamiento de la atención del estudiante sobre los esquemas perturbados

alejándose de la Z.D.P. en que se produce el desequilibrio deseado.

Efecto didácttco. Contrariamente a lo que se podría pensar, la interpretación del

silencio del estudiante retroinforma sobre la situación de aprendizaje. El aprendiz ha

construido algunos conceptos por la dinámica del contrato didáctico, pero estos no han




Si su definición es buena, en ella deben aparecer dos entornos N(f(p)) y N (p). ¿Podría escribir las





367

obedecido a necesidades cognitivas genuinas por las razones que ya hemos anotado. En

consecuencia si la ingeniería no actúa con DP oportunas los conceptos así adquiridos se

perderán en el limbo de las cosas inútiles que se olvidan prontamente. Como no tenemos

acceso a la interacción cara a cara sólo nos queda esperar encontrar en lo que sigue un

reflejo del poder de la ingeniería para obrar en el sentido anotado.

P3 :(condición necesaria para la continuidad – P3 es vacío–): No se tiene evidencia de

que el estudiante concluya para f continua en xp, que para todo x en N(p) se debe

implicar que f(x)N(f(p)). Y la negación de este hecho.

En consecuencia no se tiene evidencia del establecimiento de la relación R5

R5 :(relación necesaria para la continuidad – R5 es vacía): para que f sea continua en

xp es necesario que para todos los x que pertenecen a N(p) se tenga que sus

imágenes f(x) pertenecen a Ne(f(p))

I14 :(ajuste de la instrucción de G14 –es vacía–): el estudiante no ha seguido las

instrucciones.

Situación G15


Una función f(x) es discontinua en el punto p, cuando f(p) no tiene imagen, o al aproximarse por izquierda y

derecha dentro del entorno, tienden a valores distintos entr e sí o con respecto a la imagen de p, si la hay.

f(x) [x} menor entero

VS15 (validación en S15): Respecto a la parte (a), el estudiante escribe la negación de su

definición empleando términos como “aproximarse”, “entorno” y “tiende”.

Respecto a la parte (b), aplica con éxito esta “negación”.

Efecto epistemológico. Respecto a la parte (a) la negación de la definición personal

CL2 es coherente y permite identificar la no continuidad en situaciones donde la gráfica

presenta un salto fácil de visualizar. Nosotros esperábamos una reacción respecto a las

definiciones personales de continuidad este no es el caso.

Respecto a la parte de (b) de aplicación, la negación funciona perfectamente dado que el



continuidad.

(b) Usando su definición para la no continuidad de f en x p, muestre con un gráfico que f(x) [x]


1

2

1 2 3 4

La función no es continua e x2 puesto que por

la izquierda tiende a 1 y por la derecha tiende

a 2, y la imagen es 1.


368

esquema conceptual es propio para la situación.

Efecto psicocognitivo. La situación ha resultado propicia para producir un refuerzo en

el esquema asociado a CL2. Este esquema se perfila como un obstáculo epistemológico de

origen didáctico, lo notaremos OD(CL2). Por otro lado, volvemos a confirmar el carácter

figurativo y geométrico del esquema conceptual.

Efecto didáctico. En consecuencia con el efecto psicocognitivo, la situación no ha

producido el efecto deseado. Se observa el obstáculo:

OD(CL2) (Obstáculo didáctico): se caracteriza por el funcionamiento, a todo coste, de

CL2

I15 (instrucción en G15): Ilustre con un gráfico la no continuidad de f en x p y compare el

gráfico y la negación de la continuidad.

parece haber ayudado al estudiante a precisar la negación de su definición.

Situación G16

S16 El estudiante no responde

VS16 (validación en S16): el estudiante no responde.

Efecto epistemológico. La situación no ha sido considerada como pertinente por el

estudiante dado que él no está empleando en su definición los elementos que el comentario

sugiere.

Efecto psicocognitivo. Claramente la situación de G15 ha contribuido a reforzar el

esquema conceptual asociado a CL2. El estudiante está en todo su derecho para negarse a

considerar la instrucción (I16) ¿Para qué me preocupo por toda esta jerga si mi definición

funciona? Tiene razón, por ahora. se confirma el carácter de obstáculo epistemológico de



Comentario:

Seguramente usted habrá percibido que existe una relación entre N(f(p)) y N (p), pero es necesario






continuidad.


el otro entorno, de tal manera que se cumpla su definición de continuidad. ¿Es arbitrario el radio

del entorno que usted encontró?. ¿Se puede escribir esta dependencia usando cuantificadores?.

¿Existe alguna relación de dependencia entre los radios e-d de los entornos?




función en xp. Use un dibujo. Si la negación no da cuenta de la continuidad se debe a su elección

del entorno inicial. Cambie la elección y repita el proceso.


369

origen didáctico de OD(CL2)

Efecto didáctico. No produce el efecto deseado. no obstante nos pone en

conocimiento sobre los aspectos que debemos observar en las situaciones siguientes.

P4 (condición suficiente para la continuidad – es vacía–): la situación que hemos

comentado hace innecesario, para el estudiante plantearse el problema de la relación

entre los radios de los entornos.

R6 (relación entre y – es vacía–): En consecuencia con lo anterior, no tenemos

evidencia del establecimiento de entre y .

OD(CL2) (obstáculo didáctico): se caracteriza por el funcionamiento de una noción

aprendida en la escuela, que funciona con éxito en ciertas situaciones y se resiste a su

modificación.

I16 :(ajuste de la instrucción de G14 –es vacía–): la instrucción no surte efecto.

Situación G17


(N(p) ) (N(f (p)) (xN

(p)) ( f(x)N (f(p))

Para todo entorno de centro en P radio ; existe un entorno con centro en f(p) y radio tal que todo x

que pertenece al primer entorno, existe un f(x) que pertenece al segundo

FS17 (formulación en S17): el estudiante escribe una definición personal de continuidad

utilizando el lenguaje de la lógica matemática y el concepto de entorno.

Efecto epistemológico. La definición presenta, entre otros problemas lógicos, la

inversión del orden de los cuantificadores. Por razones que ya hemos discutido en la fase

de diseño de la ingeniería, ella resulta inconsistente desde el punto de vista matemático.

Sin embargo, se puede destacar que contiene una información matemática que indica una

aproximación a las relaciones esenciales de la definición. Así:

1. Esta claro que una condición necesaria es que f esté definida en xp.

2. Que la continuidad implica una cierta relación (que el estudiante no logra

expresar en su escritura) entre los x y sus imágenes: para todos los x del entorno

de radio delta “existe” su imagen en el entorno de centro f(p) y radio épsilon.

3. Existe una cierta relación entre los entornos: el entorno del eje de ordenadas

depende del entorno que se tome sobre el eje de abscisas (aquí la alteración del

orden de los entornos y por tanto de los cuantificadores).

Notaremos esta definición como C6* para indicar que corresponde a un esquema

desequilibrado pero que tiende a buscar rápidamente su equilibrio en C6

C6* (definición personal de continuidad): f es continua en xp si:

(N (p) ) (N(f (p)) (xN(p)) ( f(x) N (f(p))



entre y ; xN (p) y f(x) respecto de N (f (p)).


370

Efecto psicocognitivo. Sorprendentemente el estudiante formula esta definición sin

ningún antecedente, en nuestro registro, sobre la constitución de los conflictos que darían

origen a las problemáticas P3 y P4. y como producto de las compensaciones obtener las

relaciones R5 y R6 con las cuales se llegaría a la definición (, ) de continuidad (C6).

Efecto didáctico. la situación ha provocado la formulación de continuidad de función

sin recurrir al concepto de límite.

DIAGRAMA DE FLUJO EVOLUTIVO: CONTINUIDAD

LA SITUACIÓN G1 ORIGINA QUE EVOLUIONA MEDIADA

POR: Ayudas

1-2 Problema

3 Definición

4 Aplicación

5 Aplicación



Relación

Definición

6 Aplicación


7 Aplicación



8-13 Institucionalización (entorno

y distancia)


Relación: entorno-distancia Relación: “próx.”-entrono-dist.



Definición

15 a) Negación

b) Aplicación





Relación necesaria y

suficiente de continuidad

Definición


****● ●***

**

● P

●****

ACL2 ACL2

ACL2 ACL2

P1:

C2:

ACL2

R2

R3

R4

R5: R5:

’

ACL2:

ACL2: ACL2

●**** P2

P3:

R6 :

C4: CL2: ; C3:

P4:

CL2: ; C3: C4:

ACL2

CL2

R6’:

C6*

C5

C5 C4 C6 CL2 C1 C2


Equilibrio

Conflicto

********* Desequilibrio

Integrado

Abandonado No considerado

Pi problema N° i

ACiaplicación de la definición C i

ACi aplicación de la negación

de la definición Ci



X: X no presente

I5:

I6

I7

I8

I14:

I15

I16:

R1:

ON DF1

OF(A)

OF(A)

OL(B)

OD(CL2)

OD(CL2)

●**** ****●

●****

C3

C6

ACL2

CL2

Análisis del protocolo N° 1: Límite

371

1.2 LÍMITE

Situación G18

S18 El estudiante escribe y dibuja.

F (x) toma valores “próximos” al número siempre que x sea suficientemente próximo a P, con x P.

a) 2 1

( ) 11

xf x x

x

b) (N(p)) (N()) (XN(p) f(x)N ()

c) (N(p)) (N()) (|xp| < | f(x) | <)

AS18 (acción en S18 parte (a)): El estudiante dibuja la gráfica y observa visualmente la

“aproximación de las imágenes de la función cuando x se “aproxima a L2.

Concluyendo, correctamente, que la función en x1 satisface el enunciado de la

frase.

FS18 (formulación en S18 parte (b) y (c)): en la parte (b) el estudiante escribe una

definición personal en términos de entornos. El orden de los cuantificadores y de

los entornos está invertido; similarmente ocurre en la definición en (c)

Efecto epistemológico. En la parte (a) el estudiante interpreta el significado de la frase

en términos de “aproximación” de los valores de la función a un número dado, en este

caso se trata del límite de la función aunque el término “límite” no se ha introducido ni en

la guía ni en clase. Un hecho importante es, la parte en que el estudiante aclara “para xp

y f(x)”, porque indica que el estudiante es consciente que en xp la función tiene

problemas y por otro lado, acepta como “natural” la aproximación a un número L del cual

no se sabe de dónde surge y sólo interesa en cuanto número, al cual se “aproxima” los

valores de la función cuando x toma valores “próximos” a p pero diferentes de p.

Respecto a las situaciones de formulación –partes ((b) y (c)–, el estudiante ha logrado

p

L

Si se cumple , porque al x irse

aproximando a P, su imagen

va aproximándose a L, para

x p y f(x) L.




Diga si:

(a) Se cumple para la función 2 1

( )1

xf x

x

cuando L 2 y p 1




372

establecer la condición necesaria de la aproximación (R5)

|xp|<|f(x) |<

donde asumimos que él considera todos los x del dominio de la función que satisfacen el

antecedente de la implicación con xp. Sin embargo, esta consideración no se refleja en la

expresión simbólica que exige escribir el antecedente de la implicación de la forma:

0 x p ; y en el caso de la formulación en términos de entornos aclarar que xp.

En cuanto al orden de los cuantificadores que aparece en la definición personal, lleva

a las contradicciones que hemos señalado en la fase de diseño en G14. Esta forma de

introducir los cuantificadores se debe a que el sujeto fija su atención en aquello que es

necesario para que una función se aproxime a un número L dado, que se observa mirando

el entorno N(p) que visualmente se proyecta, por el gráfico de f, sobre el eje de ordenadas

en el cual se elige el entorno N(p) de tal manera que se cumple la condición necesaria que

el estudiante ha expresado –corresponde al proceso de la parte (a)–. El problema de esta

manera de proceder, es que la relación entre épsilon y delta se invierte (épsilon dependerá

de delta) contrariamente a lo que exige la consistencia lógica2 de la definición. Esta forma

“natural” de proceder, recuerda la noción topológica de límite que se basa en las nociones

de conjunto y espacio topológico:

Si ƒ:A Y es una aplicación de un subconjunto A de un espacio

topológico X en un espacio topológico Y y x0 es un punto de adherencia

de A, entonces se dice que y en Y es límite de ƒ en x0 si para toda

vecindad V de y en Y existe una vecindad U de x0 tal que

0( )u

xf A C V

Aún en esta definición que aparentemente es más natural que la aquella en el marco

aritmético de Weierstrass, en el momento de establecer la relación entre las vecindades

(equivalente a la relación entre épsilon y delta), primero se considera cualquier vecindad

de L en el espacio topológico de llegada para luego encontrar la vecindad de x0 en el

espacio de salida, de tal manera que se cumpla la condición necesaria de la aproximación

(del límite). Este proceso inverso del pensamiento que va en dirección contraria de la

dependencia funcional (de la variable independiente a su imagen), que permite establecer

la relación correcta entre la vecindades (o entre épsilon y delta) es uno de los problemas

que le cuesta un gran esfuerzo cognitivo al estudiante.

Efecto psicocognitivo. En las realizaciones del estudiante se observan dos procesos

diferenciados. El primero, dirigido a dar significado a la frase que se realiza de acuerdo al

ciclo de interacción SM que se previó en la fase de diseño del instrumento (ver,

situaciones adidácticas de límite, p. 378). El segundo, implica interpretar en el lenguaje

matemático los términos «valores “próximos”» «”suficientemente” “próximos” a...» y su

organización lógica en una estructura matemática. El éxito de esta acción está

condicionado a la recuperación (o reconstrucción) de las relaciones R2 (“próximo” y

entorno), R4 (equivalencia: entorno y distancia), R5 (condición necesaria de proximidad) y

R6 (relación entre y ). En el caso del estudiante, se puede afirmar por el análisis de su

2 Decimos que una definición personal es lógicamente consistente cuando ella permite identificar, con respecto a un

conjunto universal, el subconjunto al cual ella hace referencia, y la negación discrimina el complemento de éste; de tal

manera, que la intersección entre los conjuntos de ejemplos y contraejemplos es vacía.


373

producción escrita que él está en posesión de las relaciones R2, R4 y R5; pero no de R6. La

falta de esta última relación impide que el sujeto alcance el equilibrio de los esquemas

conceptuales asociados a las definiciones (, ) de continuidad y límite. Este hecho

significa que la secuencia de estados de equilibrio de los ciclos de interacción (ver figura

1.7) que en este caso permite alcanzar, en su momento, por abstracciones reflexivas

(flechas gruesas oblicuas) las relaciones anotadas y con ellas modificación de los

esquemas conceptuales espontáneos (conceptos espontáneos) de tal manera que ellos den

cuenta de las definiciones matemáticas de continuidad y límite, aún no han alcanzado el

estado de equilibrio deseado.

Lo anterior se puede plantear en términos del operador COORD que ya hemos definido en

el capítulo uno ( apartado 3) tomando como observable al inicio de la secuencia didáctica

la primera definición (en S1) que plantea el sujeto respecto a la continuidad de f:

obs0 “..., al pasar por B y C, ésta se desfasa, lo que no ocurre en A”

que gracias a factores externos3 (ver explicaciones de S2) y al operador COORD se

transforma en el observable:

obs1 CL2 (definición personal de continuidad asociada a límite):

“V es continua en t1 cuando al aproximarse tanto por la izquierda como por la derecha, los valores

tienden al mismo número, y éste corresponde en realidad a la función.”

O sea: obs1COORD(COORD(obso); y (recursivamente) tras n etapas, producto de las

interacciones SM, VSS, CSS y las intervenciones del experto DP e IP se traducen en el

observable enésimo:

Obsn (N(p)) (N()) (XN (p) f(x)N () (N(p)) (N()) (|xp| <

| f(x) | <)

obsn COORD(n)

(obso)

Gráficamente:

3 En el curso de la interactividad actúa el operado coord que hemos notado con (Cap. uno, sección 3.1) que

transforma en observables del sujeto aquellas coordinaciones de un experto que ayudan a las operaciones propias del

sujeto. La composición de los dos operadores [COORD. (coord. (coordinaciones del experto))] describen el proceso de

internalización. Aquí, sólo consideramos el operador COORD que se refiere al proceso individual de reconstrucción de

lo externo.

Obs0 COORD.(n)

Obsn

etc. etc.

Obs S(n) Coord S(n) Obs O(n) CoordO(n)




374

Donde la síntesis de estas coordinaciones las hemos expresado en la tabla

OBJETO

(significante)

ESQUEMA

(significado)

SIGNO

(significante) COORDINACIÓN

f(x) toma valores

“próximos” al número L

Entorno N(L) (1)

f(x)N(L)

Siempre que x sea Conectivos lógicos (2)

xN(p) f(x)N(L)

“suficientemente”

Cuantificadores , (3)

(N(p) (N(L)) (x (xp,...)))

“próximo” a p

Entorno N(p) (4)

xN(p)

xp Diferente xp (5)

x no toma el valor p

Cada una de estas coordinaciones constituyen abstracciones reflexivas que el sujeto

alcanzó en su momento y que una vez constituidas se reflejan en el plano externo en la

forma de las relaciones que hemos enumerado excepto R6 que en (4) aparece pero con los

entornos conmutados.

Se presenta entonces en nuestro estudiante el obstáculo epistemológico lógico del

“orden de los cuantificadores” (OL(O)) ya señalado por Sierpinska (1985, p. 54) cuyo

problema central es que: para establecer el orden de los cuantificadores y su jerarquía se

debe pensar en términos de la consistencia lógica de la definición. Aquí concurren dos

hechos. El primero obedece a la tendencia natural de definir pensando sólo en los casos

afirmativos, hasta que el esquema no alcanza su equilibrio diferenciando los

contraejemplos. El segundo, ligado a la visión operativa de la función que va del eje de

abscisas al eje de ordenadas, proceso que es contravariante con el que lleva a establecer la

jerarquía de los entornos o la relación delta en función de épsilon.

Dimensión didáctica. Como ya lo hemos dicho, en la fase de diseño de la ingeniería,

en esta situación no hay devoluciones ni institucionalizaciones; el estudiante actúa a solas

y la intención didáctica es comprobar si los esquemas que permiten alcanzar

(0) (0(xDf (0≤xp f(x)L))) (2)

están presentes en el estudiante, o, en caso contrario, qué esquemas son los que emplea. El

estudiante ha dado dos definiciones que caracterizamos de la siguiente manera:

L6* (definición personal de límite –entornos–): L es límite de f en xp sí

(N(p)) (N()) (XN (p) f(x)N ())

L6*(definición personal de límite –distancia–): L es límite de f en xp sí

(N(p)) (N()) (xp f(x) )

Efecto didáctico. La situación de formulación ha resultado efectiva para revelar el

estado actual de aprendizaje de los conceptos. Se revela el obstáculo epistemológico:

OL(O) (obstáculo epistemológico lógico relativo al orden de los cuantificadores): El

estudiante no reconoce la jerarquía de los cuantificadores y su orden.


375

El estudiante ha establecido las relaciones:

R2 (relación entre “próximo y entorno): se dice que “x es próximo a p si xNd


~R2:“x no es próximo a p si xN (p)”.

y las relaciones métricas



xp.

~R3 (negación de R3) La distancia entre el punto A de coordenada x y el punto P de


y ha establecido la equivalencia:

R4 (relación entre “próximo” y entorno-distancia): Para un dado, x es

“próximo” a p sí y sólo sí, xN (p) y equivalentemente,

xN (p) xp

que permiten resolver el problema:



También la relación:



f(x) pertenecen a N(f(p))

que resuelve el problema:


xN(p) y las imágenes f(x) respecto al entorno Ne(f(p)), en el caso que f sea


Finalmente, también encontramos la relación:





“próximos” a p

que soluciona el problema:

P5 (significado de límite de una función en un punto): ¿cual es el significado

matemático de la frase "f(x) toma valores "próximos" al numero L siempre que x sea

"suficientemente" "próximo" a p, x p".

¿Cuál es el significado del número L?

Tal es el estado del aprendizaje que inferimos de la producción escrita del estudiante en

este momento. Para conocer la estabilidad de los esquemas debemos observar el

comportamiento del sujeto frente a las situaciones siguientes.


376

Situación G19


a) Cuando x se aproxima a P, su imagen ( )f x se aproxima a L, sin ser xp ni ( )f x

b) (N (p)) (N()) (xN (p) ; xp f(x)N (L))

FS19 (formulación en S19): El estudiante formula el significado que atribuye al símbolo

de límite interpretándolo como un proceso de aproximación local. En la parte (b)

proporciona su definición matemática en términos de entornos.

Efecto epistemológico. Se observa que el estudiante trata de precisar más su

definición. Por ejemplo, ahora aparece claramente que xp, que no figuraba

explícitamente en su interpretación anterior.

L6**(definición personal de límite –entornos–): L es límite de f en xp sí

(N(p)) (N()) (XN (p) ; xp f(x)N ())

Pero, la situación no es suficiente para cuestionar el orden de los entornos de tal manera

que el estudiante no ha observado que la definición L6** puede ser falseable.

Efecto psicocognitivo. Se confirman nuestras observaciones respecto a los esquemas

presentes en el estudiante. Ahora, podemos agregar que el estudiante asocia al símbolo de

límite el carácter de una operación, es decir, ve el límite como un proceso para calcular un

número a partir del procedimiento de aproximación y que tal número debe satisfacer L6**.

Sin embargo, debemos esperar tener una evidencia más clara de este hecho para estar

seguros de nuestra afirmación.

Efecto didáctico. La definición L6** parece ser estable en las acciones del estudiante

y ha establecido la relación:


lim ( )x p

f x L

indica que el número L satisface (2) para f en xp. O, dicho de otra manera, L es

un número que se asigna al par (f, p) si y solo sí L satisface (2)

Esta relación permite resolver el problema P6,


lim ( )x p

f x L

si éste encapsula el significado matemático de la frase: "f(x) toma valores

"próximos" al numero L siempre que x sea "suficientemente" "próximo" a p, x p"

19. Para describir el comportamiento de la función f del ejercicio Nº 18 los matemáticos usan el símbolo

lim ( )x p

f x L



lim ( )x p

f x L

en términos de: entornos; de números reales


377

representando, entonces, la construcción de un nuevo esquema que llamaremos esquema

asociado a la definición de límite (L6) que se expresa:


(N(p)) (N()) (XN (p) ; xp f(x)N ())

Situación G20


Siempre que hay continuidad hay límite, pero no siempre que hay límite hay continuidad. Es decir,

cuando una función es continua, se puede establecer el límite por aproxim aciones laterales, pero no

siempre ese límite es la imagen en ese punto, por lo tanto no habría continuidad .

FS20 (formulación en S20): En la primera parte el estudiante establece correctamente la

relación entre límite y continuidad. Pero, en la aclaración que realiza se contradice al

afirmar que “cuando f es continua...” pueden existir los límites laterales y la función

no ser continua.

Efecto epistemológico. No obstante la contradicción que se observa en la aclaración,

es posible afirmar, con base en la primera parte de la respuesta, que el estudiante ha

coordinado los esquemas de límite y continuidad estableciendo la relación R9

(continuidad-límite) y R10 (límite-continuidad) que resuelven el problema P7 (relación

entre límite y continuidad). Aclarando que las definiciones que podemos inferir de las

producciones del estudiante, serían las relacionadas a la definición L6** que ya anotamos

y su correspondiente C6**. Estas definiciones personales adolecen del defecto del orden

de los cuantificadores, por lo demás, se corresponden con L6 y C6 de nuestra red

sistémica.

Efecto psicocognitivo. Como hemos dicho la relación entre límite y continuidad es

correcta. Es decir, los esquemas de límite y continuidad han sido coordinados

estableciendo diferenciaciones e integraciones entre los esquemas que dan como resultado

las relaciones anotadas. Respecto a la contradicción que observamos, la interpretamos

como un error de escritura. Posiblemente el estudiante penso: “cuando f no es continua...”;

con lo cual la contradicción desaparece. Llama la atención que el estudiante habla de

“límites laterales” en lugar de límite. Posiblemente esto se deba a la influencia del

esquema que él pone en juego desde el comienzo de la secuencia didáctica (el asociado a

la definición CL2).

Efecto didáctico. La situación pone en evidencia la estabilidad de las definiciones

personales del estudiante y su capacidad de asimilación recíproca. El estudiante ha

establecido las relaciones:




límite (L) de f en xp existe, no necesariamente f es continua en p. Para que lo


20. ¿Qué relación puede establecer entre su idea de continuidad de f en x p y el símbolo

lim ( )x p

f x L


378

i) f(p) exista



que resuelven el problema:


Situación G21


X es continua en el punto x P lim ( )x p

f x L

FS21 (formulación en S21): El estudiante formula correctamente la relación.

Efecto epistemológico. Los resultados observados nos permiten reafirmar las

observaciones de la situación anterior.

Efecto psicocognitivo. No hay nada que agregar a lo dicho en la situación G20.

Efecto didáctico. los resultados observados en las tres últimas situaciones permiten

afirmar que el estudiante ha logrado construir la definición:


(N(p)) (N( L)) (xN (p) ; xp f(x)N (L))

y posiblemente la definición de continuidad que se deriva de la relación establecida entre

los conceptos:

C6**(definición personal de continuidad –entornos–): f es continua en xp sí

(N(p)) (N( f(p))) (xN (p) f(x)N (f(p)))

Observando, una vez más, que el orden de los entornos no es correcto.

Situación G22


( 0) ( 0 (xp f(x) f(p) )

FS22 (formulación en S22): La definición presenta una novedad en el orden de los

cuantificadores. Ahora es correcto. Pero, el intervalo en que considera los x está mal

considerado y en lugar de considerar el número L, el estudiante piensa en f(p) !!!


derecha a p) se indica con el símbolo xÆp. Defina usando distancia entre puntos el símbolo

lim ( )x p

f x L

21. Defina la continuidad de f en x p usando el símbolo:

lim ( )x p

f x L


379

Efecto epistemológico. Parece que la situación produce una perturbación en el

esquema de límite asociado a entornos que impide al estudiante establecer la relación

aritmética pxp que encapsula el proceso de “aproximarse por la derecha”. Los hechos

que debería establecer el estudiante a partir de la corrección de L5** por L5 (si como

parece, por la definición de límite lateral, ha sucedido) son:

1. Aproximarse a p significa que para cierto , xN (p) o de manera equivalente: p

x p

2. Aproximarse a p por la derecha significa que x toma valores mayores que p pero

“próximos” a p. En lenguaje algebraico, se interpreta pxp para cierto delta.

3. Coordinar las interpretaciones de la aproximación en la estructura de la definición de

límite y límite lateral.

Efecto psicocognitivo. Como se puede observar de la naturaleza epistemológica del

problema, la situación implica una serie de coordinaciones entre diferentes esquemas que

al parecer no han sido posibles en nuestro estudiante.

Efecto didáctico. De los análisis anteriores se desprende que el estudiante no pudo

establecer las relaciones:

R11 (relación de aproximación a derecha de p): x es próximo por la derecha a p, si

pxp

y

R12 (relación de aproximación a izquierda de p): x es próximo por la izquierda a p, si

p x p

para diferenciar a L5 en

(0) (0 (x Df (pxp+f(x) L))) (3)

que define el significado del símbolo:

lim ( )x p

f x L

Situación G23


lim ( )x p

f x L

si y solo si lim ( ) lim ( )x p x p

f x L f x L

FS23 (formulación en S23): El estudiante produce una formulación correcta.

Efecto epistemológico. Nada que agregar.


lim ( )x p

f x L

lim ( )x p

f x L

lim ( )x p

f x L

Observación: A los limites de f cuando x se aproxima a p por la derecha o la izquierda se llaman

Limites Laterales.


380

Efecto psicocognitivo. No obstante la validez de la relación, pensamos que ésta es

sólo formal, dada la realización del estudiante en la situación anterior. Es decir, ella

corresponde a un esquema más figurativo que operativo.

Efecto didáctico. El estudiante ha podido establecer (al menos a nivel formal) la

relación:

R13 (relación entre límites laterales y límite ): Si existen los límites laterales de f en xp

y son iguales entonces el límite de f en p existe y es igual a los límites laterales.

que resuelve el problema:

P9 (límites laterales y límite): ¿cuál es la relación entre los límites laterales de f y el

límite de f en p?

Situación G24


2 1( )

1

x si xf x

x si x

a) (Ne(2)) (N

(1)) (xN

d(1) f(x)Ne

(2))

b) ( N0(2)) (N(1) ( x 0; x0 N

(1)) f(x) NO

(2))

VS24 (validación en S24): Respecto a la parte (a) traduce la frase al lenguaje matemático y

afirma que es falsa (lo cual es correcto), pero no justifica su respuesta. En la parte

(b) se limita a traducir la pregunta y no responde.

Efecto epistemológico. Nosotros somos conscientes de la dificultad matemática de la

situación y así lo comentamos en la fase de diseño (ver diseño de la situación G24 en el

capítulo cuarto). entre las dificultades de carácter lógico que se enfrenta el estudiante está

la negación de la definición L5. Por ello diseñamos la situación tratando de que la

redacción ayudara al estudiante a observar las relaciones pertinentes. Esto no ha sucedido.

Efecto psicocognitivo. El silencio del estudiante en la parte (b) indica que no se ha

querido comprometer en una respuesta porque el esquema correspondiente a L5 aún no

24. Sea

2 1( )

1

x si xf x

x si x


a) Para todo N (2), existe N (l), tal que para todo xN (l) se tiene que f(x)N (2)

b) Existe N0 (2), para todo N (l), tal que existe x

0, x0ŒN (l) y f(x)Nt0 (2)

2

1

Falsa


381

alcanza un estado de equilibrio (gama) que lleve a discriminar los aspectos afirmativos y

negativos de los objetos e integrarlos de tal manera que exista en la mente la posibilidad

de identificar los casos afirmativos y negativos. Nosotros hemos observado que a lo largo

de toda la secuencia el estudiante ha eludido pronunciarse respecto a los casos en que se

tiene que aplicar el esquema asociado a la negación de sus definiciones.

Efecto didáctico. El estudiante no da evidencia de alcanzar un procedimiento que

haga operativa la definición.

Situación G25


3 2( )

3 2

x si xf x

si x

a) >0 >0 N(2) f (x) N (1)

b) 0 0 0x2 f(x)-6

3x6 3(x2) 3 (x2) x2/ 3

como (x2)

3

AS25 (acción en S25): Tanto en (a) como en (b) el estudiante ejecuta correctamente el

procedimiento para encontrara el delta en función de épsilon.

Efecto epistemológico. Nada que agregar a lo dicho en la fase de diseño.

Efecto psicocognitivo. Sorprendentemente el estudiante, que no pudo justificar sus

respuestas en G24 da muestra de haber encontrado una estrategia ganadora para determinar

el delta. Nosotros desconfiamos de la estabilidad de los esquemas asociados a esta

producción. No obstante, el hecho que el estudiante esté en capacidad de apropiar de una

fuente externa tal proceso indica que este conocimiento pertenece a su Z.D.P. y que se

puede esperar que las secuencias didácticas siguientes permitan alcanzar los equilibrios del

esquema de límite y continuidad de tal manera que permitan abordar el curso de cálculo de

una manera constructiva.


3 2( )

3 2

x si xf x

si x

a) Dado N1(6), ¿ es posible encontrar N (2) tal que para todo x, xN (2), x2 se cumpla que f(x)N

1(6) ?

Respuesta: =1/3

b) Para todo > 0, ¿ es posible encontrar >0 tal que sí

0<|x2|< | f(x) 6|< ? Respuesta: = 3

- 6- -

( ı ) 2

f(x)6 < 1

1< f(x)6 < 1 1< 3x6 < 1 5<3x<7

53<x<73

x (53 ; 73) N13 (2) 13


382

Efecto didáctico. La situación muestra que el estudiante ha adquirido un

conocimiento aceptable, a este nivel de los problemas asociados con la actividad

matemática de definir dos conceptos matemáticos que son el fundamento del método del

cálculo.

DIAGRAMA DE FLUJO EVOLUTIVO: LÍMITE (I)

LA SITUACIÓN G1

ORIGINA QUE EVOLUIONA

18 Definición

(a) Aplicación





Relación valor numérico de

la aproximación



Definiciones

19 a) Problema

Interpretación


Relación:


matemática

19 b) Definiciones

20 Comparación


Relaciones: continuidad-

límite; límite-continuidad


Definiciones

21 Definición

Signo

R1

0

R9´

’

C7

L6** C7**

C6**

****●

●********●**************●*****

***●

●

●****

ACL2

(R2 R4 R5 )

R7

CL2

R8

C5**

L6* CL5

●****

P

P6

L6

*

L5*

L5**

L5*

L6** C6**

CONVENCIONES:


Conflicto *****

Desequilibrio

Integrado

Pi problema N° i



la definición Ci


CL2

P5

(f, p)L

P7

R1

0

(f, p)f(p)

CL(O) R6*

C5** C7**

L5**


383

DIAGRAMA DE FLUJO EVOLUTIVO: LÍMITE (II)

LA SITUACIÓN G1

ORIGINA QUE EVOLUIONA

22. Definición

Interpretación






Definiciones

23. Comparación




límite



Definición

24- 25 Aplicación





límite


25 Aplicación

L5*

*


Equilibrio

Conflicto ***** Desequilibrio

Integrado

Pi problema N° i



la definición Ci


P

P8 ●****

R11 R12

L5

L:

L5 L:

L* L

*

Signos

●****P9 ●

R1

3

R13

L L

L

L* L

* L7

A L5 AL5

3

●****P11 P10****●

R6

E

A L5 AL5

3




CAPÍTULO 6

CONCLUSIONES

GENERALES

384

CAPÍITULO 6

CONCLUSIONES

385

CAPÍTULO 6

CONCLUSIONES

1. CONCLUSIONES

1.1. ACERCA DEL OBJETIVO Nº 1: EFICACIA DEL INSTRUMENTO

«Analizar la eficacia de las situaciones planteadas en la guía respecto a

la evolución de los esquemas conceptuales del alumno, con relación a

las nociones matemáticas de límite y continuidad. »

El instrumento como agente mediador probó su eficacia, desde el momento en que las

situaciones se convierten en el objeto de la obra matemática. Las situaciones y las

variables didácticas imponen un control que, de cierta manera, regula la interactividad

para alcanzar el objetivo de la secuencia didáctica. Este control y la responsabilidad del

objetivo es traspasado gradualmente del profesor, constructor de las situaciones, a los

estudiantes que se encargan de reconstruir o construir los significados que la naturaleza

matemática de ellas hace necesarios para alcanzar el éxito. Esta afirmación se sustenta en

los resultados del análisis de la evolución conceptual del alumno, no obstante que la

experiencia se ejecuto en un período de tiempo muy corto (una semana). Del análisis a

posteriori concluimos que:

1. El estudiante ha comprendido y asumido la tarea de construir la definición

empleando sus conocimientos matemáticos, aprendiendo aquellos que se

hicieron necesarios y construyendo nuevos conceptos.

2. El Esquema conceptual (EC) inicial corresponde a la definición personal CL2 y el

cambio de las variables didácticas pone en evidencia que el estudiante no está en

posesión de otro E.C más evolucionado, lo cual se manifiesta en la ausencia de

una respuesta en varias de las situaciones donde el esquema se revela

insuficiente. Por ejemplo, en G5 y G6

3. Las situaciones plantean dificultades que el estudiante progresivamente va

superando.

4. En las primeras situaciones el estudiante tomó conciencia de la limitación de CL2

pero no fue capaz de presentar una alternativa.

5. La ayuda que se proporciona en las instrucciones que acompaña ciertas

situaciones, surte efectos y en algunos casos observamos que el estudiante

regresa a situaciones ya transitadas con la confianza de encontrara soporte a sus

acciones.

Conclusiones

386

1.2 ACERCA DEL OBJETIVO N° 2: SOBRE LA CARACTERIZACIÓN DE LA

ESTRUCTURA COGNITIVA INICIAL

«Caracterizar la estructura cognitiva (esquema conceptual), que el

alumno pone en juego al iniciar la secuencia didáctica, por medio de la

red sistémica previa establecida»

La definición que pone en juego el estudiante desde el inicio y en toda la primera parte

(continuidad) de la secuencia aparentemente corresponde a C7; lo que implicaría una

estructura conceptual que se apoya en el concepto de límite L5 o L6 y en tal caso el

estudiante podría superar sin mayor dificultad todas las situaciones planteadas en la guía.

El análisis de las producciones posteriores del estudiante llevan a la conclusión que él se

apoya en la definición de límite L2 y, en su caso, se asocia a un esquema básicamente

visual, por tanto más geométrico que aritmético. Por esta razón notamos esta definición

como CL2 y el esquema director de la organización estructural cognitiva lo notamos C7

para indicar su fuente la definición de continuidad en términos de límite (C7) (ver la

descripción del ciclo cognitivo C7, pp. 410-412)

Desde le punto de vista lógico el E.C. lo caracterizamos como aritmético porque su

dominio de aplicación corresponde a funciones de variable real, local porque se refiere a

una propiedad en un punto p que sólo hace intervenir puntos de una vecindad de p y su

estatuto es paramatemático, porque se trata de una definición cuyo significado es objeto

de negociación en la secuencia didáctica.

1.3 ACERCA DEL OBJETIVO N° 3: SOBRE LOS OBSTÁCULOS

EPISTEMOLÓGICOS Y DIFICULTADES

«Identificar los obstáculos cognitivos y dificultades conceptuales en el

estudiante respecto a las nociones de límite y continuidad, a través de

situaciones problemáticas, planteadas en el instrumento (guía de trabajo

del estudiante) y que, posiblemente, susciten problemas de asimilación o

acomodación a sus esquemas conceptuales, con o sin conflicto

cognitivo, respecto a las situaciones».

Respecto de los obstáculos

Se identificaron los siguientes:

1) Relativos a la noción de función:

OF(A) (obstáculo epistemológico algebraico relativo al concepto de función): Se

observa cuando aparece una función definida por más de una ley de formación y es

un conocimiento que asocia el concepto de función a una imagen mental que “ve”

como función sólo aquellas que se definen por una única expresión algebraica

Conclusiones

387

Este obstáculo se expresa en la interpretación de la expresión algebraica de una función

definida a trozos, según la cual:

«Cada expresión algebraica, escrita en la notación de ƒ, representa una

función independiente». Es decir, «la expresión de una función a trozos

es una manera simplificada de notar dos funciones». (Ver p. 344)

2) Obstáculos numéricos:

ON (imagen del continuo numérico) l esquema conceptual que lleva a creer que:

«los Q “llenan” la recta» o «los I “llenan” la recta»

Es un obstáculo epistemológico que impide “ver” las siguientes propiedades de los

números reales R:

Los racionales Q son densos en los irracionales I.

Los irracionales son densos en los racionales.

Q I =

Q I = R

3) Obstáculos físicos.

OL(D) (imagen dinámica del límite). La imagen dinámica sugerida por las expresiones:

«x se aproxima a...», «ƒ(x) se aproxima a...» e impiden ver las relaciones que

interesan, en nuestro caso, las diferencias numéricas entre x y p, ƒ(x) y ƒ(p); La

imagen dinámica prima sobre la idea estática de la definición. Es un obstáculo

físico ya anotado por Sierpinska ( 1985)

Evidencia de este obstáculo las encontramos en nuestro estudiante en la misma

formulación de CL2 y es una de las razones que explican su resistencia a la modificación.

4) Obstáculos lógicos

OL(B) (Borradura de los cuantificadores): consiste en no tomar conciencia del orden de

los cuantificadores.

«el uso del lenguaje ordinario algunas veces se convierte en un obstáculo

que impide ver las relaciones esenciales y rigurosas de los conceptos»

En este caso origina el obstáculo lógico llamado por Sierpinska “borradura de los

cuantificadores” .

OL(C) (Obstáculo lógico de consistencia lógica) Se expresa en la resistencia a negar una

proposición para verificar su consistencia.

«basta verificar que una definición funcione en algunos casos

particulares y afirmativos para que ella sea lógicamente consistente»

Aquí las fuentes del problema obedecen a dos frentes:

El primero; referido a la complejidad que surge de la Lógica matemática misma. Para los

estudiantes es un problema la negación de expresiones del tipo: (xA)( p(x) ) o

(xA)(p(x))

Conclusiones

388

El segundo; de lado de las concepciones provenientes de la lógica ordinaria llevadas a la

lógica matemática. Estas concepciones serán fuente de obstáculos epistemológicos lógicos

ligados al concepto de continuidad. En éste caso la concepción lógica según la cual, basta

verificar que una definición funcione en algunos casos particulares y afirmativos para que

ella sea lógicamente consistente .

Esta concepción hace ver la verificación del caso negativo como innecesaria,

convirtiéndose en un obstáculo para el establecimiento riguroso de la definición.

OL (O) (Orden de los cuantificadores): «la visión operativa de la función que va del eje

de abscisas al eje de ordenadas»

“Esta necesidad de «mirar el eje x sobre el eje y» es la dificultad que es la fuente de

este obstáculo” [orden de los cuantificadores]. (Sierpinska, 1.985).

La explicación de la dificultad es que en la definición de la continuidad de una función en

un punto intervienen dos procesos:

El primero que consiste en determinar dado Este proceso es necesario para precisar el

concepto de continuidad de ƒ en el punto; es una necesidad fundamentalmente teórica

(consistencia lógica) más que algorítmica, por tanto su surgimiento debe obedecer a la

percepción de los problemas lógicos involucrado, su precisión y solución. Así el problema

central es la identificación de la función de los cuantificadores y su jerarquía (quién

depende de quién). Este proceso es contravariante con:

«la visión operativa de la función que va del eje de abscisas al eje de ordenadas»

que define el segundo proceso.

El segundo corresponde a un proceso de verificación. Se trata de comprobar que para todo

x en n el entorno de radio , se tiene que ƒ(x) pertenece al entorno de radio dado de

antemano. Este proceso se corresponde con la visión operativa de la función. La

simultaneidad de los dos procesos contribuye a dejar en la sombra el orden de los

cuantificadores.

Respecto a las dificultades:

1) Respecto al concepto de función.

El estudiante sujeto de nuestro estudio tiene dificultades conceptuales respecto a:

Identificar el dominio de la función (ver Dft p.416 ).

La definición de función

1.4 ACERCA DEL OBJETIVO N° 4: LA EVOLUCIÓN COGNITIVA DEL

ESTUDIANTE

«Describir la evolución de la estructura cognitiva del estudiante,

respecto a las nociones de límite y continuidad, expresada en sus

producciones escritas frente a los problemas de la guía; utilizando el

marco del instrumento para tal descripción.»

Conclusiones

389

Cuando observamos el caso por primera vez nos llamó la atención el hecho que un

estudiante aplicara en el inicio de la secuencia un esquema aparentemente avanzado:

continuidad definida en términos de límite. Esto contrastaba con el resto de estudiantes

que empleaban un esquema más primitivo de acuerdo al cual una función es continua si

su gráfico no se interrumpe (C1). El contraste resultaba interesante porque el diseño de la

secuencia didáctica parte de la hipótesis que el estudiante emplearía un esquema elemental

y sólo al final de la experiencia didáctica, posiblemente alcanzaría el esquema que

relaciona continuidad y límite (L7).

Los interrogantes que surgieron frente a este caso fueron ¿Cómo reaccionará el sujeto

frente a las situaciones? ¿Cuál es el nivel de formalización matemática del esquema? ¿es

estable?. Las respuestas a estos interrogantes fueron apareciendo a medida que avanzamos

en el análisis de las producciones escritas.

En la primera parte (continuidad) la reacción inicial a la situación generada por el

problema físico, fue caracterizar la discontinuidad de la gráfica de aceleración como un

“desfase”. Pero esto es momentáneo. Cuando se introduce en (G3) el término “continua”,

la memoria del estudiante hace su trabajo evocando el esquema correspondiente a la

definición (L7) que nosotros fuimos precisando gracias a las producciones escritas y lo

codificamos como (CL2). para indicar que él define continuidad (C) usando una definición

del estilo (L2) que corresponde a un esquema “visual” y poco operativo.

Este esquema le permite salvar con éxito la situación en (G4), pero, luego en (G5) se

encuentra en problemas, puesto que el funcionamiento del esquema depende de tener la

gráfica a la vista. Esto no fue posible por las dificultades del estudiante para interpretar la

gráfica de una función definida por mas de “una ley de formación”. Se revela entonces un

obstáculo epistemológico de tipo algebraico (OF(A)) ligado al concepto de función. Como

si esto fuera poco, se agregaba el hecho que el dominio de la función se parte en los

racionales e irracionales, por lo que surge otro obstáculo epistemológico, en este caso

numérico que notamos (ON). Como resultado de estos dos obstáculos, el esquema no

puede responder por la situación y dar una respuesta en la aplicación del esquema al caso

negativo y el conflicto entre “salto” y “próximo” que esperábamos (P1). no se produce de

acuerdo a la secuencia. En consecuencia la relación (R1) no se construye.

En la siguiente situación (adidáctica de acción), G6, el estudiante aplica el esquema

asociado a (CL2) en el caso afirmativo pero de manera desequilibrada ( no produce una

respuesta final), en tanto que, en el caso negativo no hay ninguna respuesta . los

obstáculos realizan su trabajo.

En la situación (G7) ocurre algo similar pero se observa que el estudiante comienza a

resolver sus problemas respecto a ON y a OF(A), lo que impide que se constituya el

problema (P2).

A manera de salvación para el estudiante que insiste en aplicar (CL2) aparecen las

situaciones (G8) a (G13) que giran alrededor de los conceptos de entorno y distancia.,

permitiéndole establecer independientemente del esquema en dificultades, las relaciones

próximo y de entorno(R2) y luego la de próximo y distancia ((R4)).y posteriormente la

equivalencia entre próximo y distancia (R4). En esta actividad se revela el obstáculo

lógico de “borradura” de los cuantificadores ,OL(B).

De regreso a la labor de definir la continuidad en (G14) no se encuentra ninguna

respuesta. El silencio es elocuente!, nos indica que el estudiante no encuentra relación

Conclusiones

390

entre la jerga de entornos y distancias con su esquema, no obstante que asumió la

responsabilidad de construir las relaciones que ya indicamos. En (G15), él encuentra una

situación favorable para el manido esquema asociado a (CL2) produciéndose un refuerzo

de éste, lo que nos lleva a considerar que dicho esquema se ha constituido en un obstáculo

epistemológico de origen didáctico, OD(CL2). En la situación (G16) guarda un prudente

silencio.

Finalmente parece que la reflexión del estudiante le ha permitido volver sobre sus

pasos, conectar aquellas relaciones ya establecidas con la problemática de la definición de

continuidad, que él, ahora, formula en lenguaje matemático utilizando el lenguaje de la

lógica matemática para proposiciones cuantificadas pero que, presenta los inconvenientes

que se derivan del hecho que no ha establecido la condición necesaria (R5) y suficiente

(R6) de continuidad. Esta definición la notamos (C6*) que con (CL2) constituyen logros

que manifiestan un progreso en la equilibración del esquema asociado a continuidad (ver

diagrama de flujo evolutivo de continuidad).

Ahora estaban claras las limitaciones de la definición inicial de continuidad. Después

de seguir el análisis, uno comprende que estas limitaciones obedecen a que se apoyan en

un esquema conceptual de límite muy elemental (asociado a L2). Ella correspondía a un

esquema figurativo, geométrico y local. Las preguntas, ahora, giran respecto al efecto del

proceso constructivo anterior sobre las situaciones de la segunda parte que se realizan

fuera del control del profesor y con pocas ayudas en la guía.

En la parte correspondiente a límite pedimos interpretar matemáticamente, en G18, la

definición de este concepto expresada en lenguaje natural. Para tener éxito, el estudiante

debe poseer las relaciones que hemos enumerado antes respecto a continuidad y aplicarlas

a la nueva situación (en ella no se menciona el término “límite”). Es aquí que parece

ocurre el momento de iluminación y las piezas que el estudiante consideraba,

posiblemente, como un poco inútiles cobran su sentido y acaba por encajar como en un

rompe cabezas para conformar un cuadro casi completo de la definición. El trabajo sobre

las situaciones (G18,..., G21) muestran cómo el estudiante alcanza la relación R5 y con ella

avanza hasta obtener la definición L5** que difiere de la definición rigurosa en el orden de

los cuantificadores (ver diagrama de flujo, límite (I)).

Finalmente, en G24 y G25 se logra la construcción de R6 con la ayuda de las

expresiones que sugieren la técnica épsilon-delta. Siendo probable que con ella el esquema

asociado a L5** alcance el equilibrio necesario para producir la definición L5 y su

correspondiente C5.

En otros casos los estudiantes inician la secuencia empleando esquemas más

elementales como:

Diana: “La función f es continua en xp cuando en este punto no sufre ninguna

interrupción”

Bernardo:“La función es continua en xp si su gráfico no se rompe en xp”

Carlos: “f es continua cuando no observamos saltos bruscos en sus valores . Su gráfico

se puede dibujar sin levantar el lápiz”

El caso Carlos lo estudiamos en profundidad en la tesis de Maestría y se presentó como

reporte de investigación del (Delgado & Azcárate, 1996) en la reunión del grupo

Psychology of Mathematics Education. En este caso y en otros que estudiamos se

Conclusiones

391

presentan obviamente similitudes y diferencias respecto a los aspectos epistemológicos,

psicocognitivos y didácticos que por razones de espacio no reproducimos en esta memoria,

pero que residen en los archivos de la investigación. Los comentarios finales y

conclusiones abarcan todos los casos y es de esperar que abran otras posibilidades de

estudio y de investigación.

1.5 ACERCA DE LA METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN

En el aspecto metodológico, esta investigación se caracteriza por hacer un estudio de un

caso para indagar sobre la microgénesis de dos conceptos matemáticos durante un período

de una semana. El método de análisis corresponde a una ingeniería didáctica en la cual

hemos aplicado la teoría de situaciones de Brousseau, cambiando la teoría de juegos

(propuesta por Brousseau) por una interpretación de las situaciones en términos de la

teoría de equilibración de Piaget. Nuestra experiencia con los instrumentos metodológicos

específicos que hemos utilizado nos permite concluir:

La red sistémica utilizada para establecer los conceptos definidos que posiblemente

expresaran los estudiantes demostró ser un instrumento muy útil para seguir el rastro

del cambio conceptual del estudiante y en la estructuración de las situaciones de

conflicto conceptual.

Los diagramas evolutivos que hemos diseñado permiten identificar las situaciones de

conflicto y focalizan la atención sobre los elementos que en ella intervienen, o en

caso de no producirse tal conflicto, identificar las razones que lo impiden. También

se puede observar en ellos el nivel de equilibración de los esquemas conceptuales al

final del proceso.

Las tablas de los ciclos de interacción SM favorecen la organización de las

producciones de los alumnos para su posterior análisis y realizar inferencias a cerca

de la estructura cognitiva activada en la situación.

Los ciclos cognitivos son útiles para formular hipótesis plausibles respecto a los

esquemas conceptuales y su organización en la acción del estudiante.

2. IMPLICACIONESDE LA INVESTIGACIÓN

2.1 IMPLICACIONES DIDÁCTICAS

Creemos que nuestra investigación puede tener algunas implicaciones didácticas, de estas

la que nos parece central y relevante es que:

«es posible establecer situaciones didácticas que permitan tener un

control sobre el cambio conceptual del estudiante»

Lo anterior significa tener la posibilidad de realizar una enseñanza más eficiente y eficaz.

Esta implicación podría resolver una de las preocupaciones más sentidas de la comunidad

de los profesores de las matemáticas a nivel universitario

En particular creemos que nuestra hipótesis:

Conclusiones

392

HID (hipótesis de la ingeniería didáctica).La construcción didáctica, del concepto de

continuidad de una función en un punto y, luego, sobre esta base la del concepto de

límite asegura el control y la secuenciación de los obstáculos epistemológicos

relacionados con estos conceptos, gracias a un andamiaje constituido por situaciones

adidácticas que median en la evolución de los esquemas conceptuales de los

alumnos. Con ello, se favorece una estrategia constructivista del aprendizaje de los

conceptos básicos del Cálculo que toma en consideración los aspectos cognitivos del

sujeto.

Tiene plena confirmación en nuestra investigación. Esto podría implicar un postura nueva

respecto a la organización de la enseñanza de los conceptos base del cálculo.

2.2 TAREAS INVESTIGATIVAS FUTURAS

Con respecto a las tareas investigativas futuras, serían deseable hacer un análisis

similar, pero en un período de tiempo más amplio y de ser posible conformar un grupo

multidisciplinario que permita un análisis más profundo y en especial investigar la

estabilidad de los esquemas del estudiante en el largo plazo.




BIBLIOGRAÍA

393

BIBLIOGRAFÍA

Bibliografía

394

BIBLIOGRAFÍA

Artigue, M. (1988). Ingénierie didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol. 9, Nº 3, pp. 281-308

Artigue, M. (1990). Epistémologie et Didactique. Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol. 10, Nº2 3, pp.

243-285.

Artigue, M. (1995). La enseñanza de los principios del cálculo: problemas epistemológicos, cognitivos y didácticos .

Gómez, P. (ed.). Ingeniería didáctica en educación matemática . (pp 97-140). Empresa docente & Grupo

editorial Iberoamericana. Bogotá.

Ausubel, D. P. (1968). Educational Psychology: A Cognitive View. Holt., Rinehart & Winston. New York. Traducción al

castellano: Psicología educativa: un punto de vista cognoscitivo. Trillas. México (1976)

Azcárate, C. (1990). La velocidad: Introducción al concepto de derivada. Tesis Doctoral. Universidad Autónoma de

Barcelona.

Azcárate, C. (1991). Instantaneous spedd: concept images at college students’ level and its evolution in a learning

experience. Proceedings of the XV conference of the International Group for the Psychology of Mathematics

Education (pp. 96-103).

Azcárate, C. y otros. (1993). Didáctica de las matemáticas y psicología. Infancia y Aprendizaje, Nº 62-63, pp. 77-99.

Arquímedes (1993). El método relativo a los problemas mecánicos. Seminario de historia de la matemática, Universidad

Autónoma de Barcelona. González, M. & Vasqué, J. Ediciones de la Universidad Politécnica de Cataluña.

Barcelona.

Bachelard, G. (1938). La formation de l'espirit scientifique. Librairie Philosophique. París Traducción al castellano: La

formación del espíritu científico. Siglo XXI. México (1990).

Barlolow, D. H. & Hersen M. (1984). Single Case Experimental Designs. Pergamon Press. New York. Traducción al

castellano: Diseños experimentales de caso único. Estratégias para el cambio conductual. Ediciones

Martínez Roca. Barcelona. (Edición consultada 1988).

Bertalanffy, L. V. (1968). General System Theory: Foundations, Development, Applications. Publicado por George

Braziller. New York. Traducción al castellano: Teoría general de los sistemas. Fondo de cultura económica.

México. (edición consultada 1993).

Boyer, C. (1987). Historia de la matemática. Alianza Editorial. Madrid.

Boyer, C. (1959). The History of the Calculus and his Conceptual Development . Dover Publications. New York.

Bourbaki, N. (1972) Elementos de Historia de las matemáticas. Alianza Universidad. Madrid.

Brousseau, G. (1980). Les Échecs Électifs en Mathématiques dans l´Enseignement Élémentaire. Revue de laryngologic

ontologic rhinologic. Vol 101, Nº 34, pp. 107-131.

Brousseau, G. (1981) Problèmes de didactique des déximaus. Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol. 2, Nº

1, La Pensée Sauvage. Grenoble.

Brousseau, G. (1983a). Les obstacles Épistémologiques et les Problèmes en didactique. Recherches en Didactique des

Mathématiques, Vol. 4, Nº 2, La Pensée Sauvage. Grenoble.

Brousseau, G. (1983b). Obstacles Épistémologiques en Mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques,

Vol. 4, Nº 2, pp. 165-198. La Pensée Sauvage. Grenoble.

Brousseau, G. (1986). Fondements et Méthodes de la didactique des Mathématiques. Recherches en Didactique des

Mathématiques, Vol. 4, Nº 2, La Pensée Sauvage. Grenoble. Traducción al castellano: Fundamentos y

métodos de la didáctica de las matemática. Publicaciones del seminario García y Galdeano. Universidad de

Zaragoza (Edición consultada 1988).

Brousseau, G. (1988). Le Contrat Didactique: Le Milieu. Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol. 9, Nº 3, pp.

309-336.

Bruner, J. (1997). Celebrating Divergence: Piaget and Vygotsky. Human Developmenent, 1, Vol 40, pp. 63-73

Cangeus, J. & Connes, A. (1993). Materia de reflexión. MATEMAS Nº 30. Barcelona.

Carathéodory, A. (1954). Theory of functions of complex variable. Vol. 1, Chelsea. New York.

Bibliografía

395

Carry, L. (1994). La teoría de las proporciones de Eudoxio interpretada por Dedekin . Mathesis, Nº9, pp. 1-24.

Caveing, M. & otros. (1988). Pensar la matemática. Tusquets Editores. Barcelona.

Chevallard, Y. & Joshua, M. (1982). Un Exemple d’Analyse de la Transposition Didactique. Recherches en Didactique

des Mathématiques, Vol. 3, Nº 1, pp. 150-239.

Chevallard, Y. (1982) Sur l'Ingénierie Didactique. Texte préparé pour la Deuxième Ecole d'Eté de Didactique des

Mathématiques. Orléans. Juillet 1982.

Chevallard, Y. (1985) La transposition Didactique. Du savoir savant au savoir enseigné. La Pensée Sauvage. Grenoble.

Traducción al Castellano: La transposición Didáctica. Del saber sabio al saber enseñado. Aique. Argentina.

1991. (Edición consultada 1991)

Chevallard, Y., Bosch, M., y Gascon, J. (1997). Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre la enseñanza y el

aprendizaje. I.C.E.-Horsori. Universidad de Barcelona.

Cobb, P., Yackel, E., Wood, T. (1992). A constructivist Alternative to the Representational View of Mind in

Mathematics Education. Journal for Research in Mathematics Education , Vol 23, Nº 1, pp. 2-33.

Coll, C. & otros (1995). Actividad conjunta y habla. En Fernández B. & Melero Z. M. (compiladores): La interacción

social en contextos educativos. Siglo XXI. Madrid.

Cornu, B. (1981). Apprentissage de la Notion de Limite: Modèles Spontanés et Modèles Propres. En: Comiti, C. &

Vergnaud, G. (Eds), Proceedings of the Fifth conference of the International Group for the Psychology of

Mathematics Education (pp. 322-329).

Cornu, B. (1986). Les Principaux Obstacles à l'Apprentissage de la Notion de Limite, Bulletin, IREM-A.P.M.E.P.

Grenoble.

Cornu, B. (1988). Learning Limits. Action Group 4, ICME 6. Budapest.

Cornu, B. (1980). Interférence des Modèles Spontanés dans l´Apprentissage de la Notion de Limite. Séminaire de

Recherche Pédagogique, Nº 8, Laboratoire IMAG. Grenoble.

Cornu, B. (1981). Grandes Lignes de l'Évolution Historique de la Notion de Limite. Bulletin APMEP Nº 335, pp. 627-

641.

Cornu, B. (1982 ). Quelques Obstacles à l´Apprentissage de la Notion de Limite. Séminaire de didactique et Pédagogie

des Mathématiques, Nº 34, Grenoble, pp. 230-268.

Delgado, C.; Acosta, E. y Rodríguez, C. (1992). La derivada de Carathéodory. Matemáticas: Enseñanza Universitaria,

Vol 2, Nº 2, pp. 31-38. Universidad del Valle. Cali, Colombia.

Delgado, C. (1994a). Sobre la enseñanza del concepto de límite. Matemáticas: Enseñanza Universitaria, Vol 3, Nº 2, pp.

77-91. Universidad del Valle. Cali, Colombia.

Delgado, C. y Acosta, E. (1994b). Fréchet vs. Carathéodori. American Mathematical Monthly, Vol 101, Nº 4, pp. 332-

338.

Delgado, C. (1995). Estudio de la evolución de los esquemas conceptuales de los alumnos universitarios en su proceso

de aprendizaje de los conceptos de límite y continuidad . Tesis de Maestría. Universidad Autónoma de

Barcelona. Bellaterra.

Delgado, C. y Azcárate, C (1996). Study of the evolution of graduated student’s concept images while learning the

notions of limit and continuity. Proceedings of the 20th conference of the International Group for the

Psychology of Mathematics Education (pp. 289-296).

Dou, A. (1988). Leonard Euler. Método de máximos y mínimos. Universidad Autónoma de Barcelona. Bellaterra.

Douady, R. y Perrin, M. J. (1989) Un Processus d’Apprentissage de Concept d’Aire de Surface Plane. Educational

Studies in Mathematics, 20, pp. 387-424.

Dreyfus T. (1990). Mathematics and Cognition. Advanced Mathematical Thinking. En Nesher, P. y Kilpatrick, J. (Ed).

ICMI Study Series. Cambridge University Press. pp. 113-148.

Dubinsky, E. (1992). Reflective Abstraction in Advanced Mathematical Thinikng. Advanced Mathematical Thinking.

Tall, D. (Ed.), Kluwer Academic Publisher. London.

Farfán, M. R. (1997). Ingeniería didáctica, un estudio de la variación y el cambio. Grupo Editorial Iberoamérica.

México.

Evans, R. I. (1982). Jean Piaget. El hombre y sus ideas. Kapelusz. Buenos Aires.

Furth, H. (1971). Las ideas de Piaget, su aplicación en el aula. Editorial Kapelusz. Buenos Aires.

Bibliografía

396

Galileo Galilei (1988). En Azcárate, C. & otros. Las Matemáticas de Galileo. Estudio histórico sobre La nueva ciencia

del movimiento. Universidad Autónoma de Barcelona. Bellaterra.

Guershon, H. & Kaput, J. (1992). The Role of Conceptual Entities and their Symbols in Building Advanced

Mathematical Concepts. Advanced Mathematical Thinking. Tall, D. (Ed.), Kluwer Academic Publisher.

London.

Goodman, N. (1979). Mathematics as an Objective Science. American Mathematical Monthly, Vol 86, Nº 7, pp. 540-

551.

Grattan-Guiness, I. (1970). The Development of Foundations of Mathematical Analysis fromm Euler to Riemann.

Cambridge.

Grattan-Guiness, I. (1984). Del cálculo a la teoría de conjuntos, 1630-1910, una introducción histórica . Alianza

Universidad. Madrid.

Grattan-Guiness, I. (1991). Qué es y qué debería ser el cálculo. Mathesis, Vol 6, pp. 393-417.

Gutiérrez, R. y otros. (1990). Enseñanza de las ciencias en la educación intermedia . Alianza Editorial. Madrid.

Heath Thomas, L. (1921). A History of Greek Mathematics. Vol. I. Oxford University Press.

Hernández, J. (1993). El rigor de Cauchy y el análisis matemático. Mathesis, Vol 9, pp. 225-240.

Inhelder, B., Sinclair, H., Bovet, M. (1974) Apprentissage et Structures de la Connaissance. Presses Universitaires de

France. Paris. Traducción al castellano: Aprendizaje y estructuras del conocimiento. Ediciones Morata.

Madrid. (Edición consultada 1975).

Johsua, S & Dupin, J. (1993). Introduction à la Didactique des Sciences et des Mathématiques . Presses Universitaires de

France. Paris.

Kline, M. (1992). El pensamiento matemático de la antigüedad a nuestros días. Alianza Editorial. Madrid.

Kozulin, A. (1994). La psicología de Vygotski. Alianza Editorial. Madrid

Lakatos, I. (1981) Matemáticas, ciencia y epistemología. Alianza Universidad. Madrid.

Moreno, L. (1987). Acerca del enfoque didáctico del cálculo. Memorias del XII Congreso Nacional de Matemáticas, U.

Nacional. Bogotá, Colombia.

Piaget, J. (1937) La Naissance de l’Intelligence chez l’Enfant. Delachoux-Niestlé. Neuchatel-Paris. Traducción al

castellano: El nacimiento de la inteligencia en el niño. Editorial Crítica. Barcelona. (Edición consultada

1990b).

Piaget, J. (1946). La Formation du Symbole chez l’Enfant. Delachoux-Niestlé. Neuchatel-Paris. Traducción al castellano:

La formación del símbolo en el niño . Fondo de Cultura Económica. México. (Edición consultada 1994).

Piaget, J. (1949). Introduction à l'Épistémologie Génétique .: La Pensée Mathématique. Vol 1. Presses Universitaires de

France. París (P. U. F.), Paris. Traducción al castellano: Introducción a la epistemología genética. El

pensamiento matemático. Paidos. Buenos Aires. (Edición consultada 1975).

Piaget, J. (1953). Logic and Psychology. Manchester University Press. Manchester. Traducción al castellano: Lógica y

psicología. Deaño, A. y Delval, J. (Comp.) Ediciones Altaya. pp. 31-74. (Edición consultada 1997).

Piaget, J. (1957a). Introduction. Programme et Méthodes de l’Épistémologie Génétique , Vol 1 de «Etudes

d’Épistémologie Génétique». P. U. F., Paris. Traducción al castellano: Psicología, lógica y comunicación.

Ediciones Nueva Visión. Buenos Aires. (Edición consultada 1970).

Piaget, J. et al. (1957b). Les Liasons Analytiques et Synthétiques dans les Componements du Sujet. , «Etudes

d’Épistémologie Génétique». Vol. 4, P.U.F. Paris.

Piaget, J. (1964) Six Études de Psychologie, De Gambier. Génève. Traducción al castellano: Seis estudios de psicología.

Labor. Barcelona. (Edición consultada 1992).

Piaget, J. & Inhelder, B. (1966) La Psychologie de l’Enfant. P.U.F., Paris. Traducción al castellano: Psicología del niño.

Editorial Morata. Madrid. (Edición consultada 1984).

Piaget, J. (1967a) La Psychologie de l’Intelligence. Colin. Paris. Traducción al castellano: La psicología de la

inteligencia, Edit. Crítica. Barcelona. (Edición consultada 1989).

Piaget, J. (1967b) Biologie et Connaissance, Gallimard, Paris. Traducción al castellano: Biología y conocimiento. Siglo

XXI. Madrid. (Edición consultada 1969).

Piaget, J. (1968) Le Structuralisme, P.U.F. Paris. Traducción al castellano: El estructuralismo, Oikos S. A. Barcelona.

(Edición consultada 1974).

Bibliografía

397

Piaget, J. & Inhelder, B. (1968b) Mémoire et Intelligence.. P.U.F., Paris.

Piaget, J. (1969) Psychologie et Pédagogie. Denoël-Gonthier. Paris. Traducción al castellano: Psicología y pedagogía.

Ariel. Barcelona. (Edición consultada 1977).

Piaget, J. (1972). Problèmes de Psychologie Génétique, Denoël-Gonthier. Traducción al castellano: Problemas de

epistemología genética. Ariel. Barcelona. (Edición consultada 1975b).

Piaget, J. (1973). Remarques sur l’Éducation Mathématique . Match Ecole, 58, 1-7. Traducción al Castellano en: J.

Piaget, G. Choquet, J. Dieudonne y Otros. La enseñanza de las matemáticas modernas., p.p. 219-227,

“Observaciones sobre la educación matemática”. Hernández, J. (Comp). Alianza Universidad. Madrid.


Piaget, J. (1974a). La Prise de Conscience, P.U.F., Paris. Traducción al castellano: La toma de conciencia. Morata.

Madrid. (Edición consultada 1985).

Piaget, J. et al. (1974b) Recherches sur la Contradiction. «Etudes d’Épistémologie Génétique». Vol. 35, P.U.F. Paris.

Traducción al castellano: Investigaciones sobre la contradicción. Siglo XXI. Madrid. (Edición consultada

1978).

Piaget, J. (1975). L’Équilibration des Structures Cognitives. Problème Central du Développement . «Etudes

d’Epistémologie Génétique». Vol. 33, P.U.F. Paris. Traducción al castellano: La equilibración de las

estructuras cognitivas. Problema central del desarrollo . Siglo XXI. Madrid. (Edición consultada 1990a).

Piaget, J. (1976) Le Comportament, Moteur de l’Évolution. Gallimard. Paris. Traducción al castellano: El

comportamiento, motor de la evolución . Ediciones Nueva Visión. Buenos Aires. (Edición consultada 1977).

Piaget, J. (1977a). Epistemología genética. Solpa. Buenos Aires.

Piaget, J. et al. (1977b). Epistémologie Génétique et Équilibration, Delachaux & Niestlé S. A. Neuchâtel. Traducción al

castellano: Homenaje a Jean Piaget. Epistemología genética y equilibración. Editorial Fundamentos Madrid.


Piaget, J. (1977c). Recherches sur l’Abstraction Réfléchissante, «Etudes d’Epistémologie Génétique». Vol. 35. P.U.F.

Paris. Traducción al castellano: Investigaciones sobre la abstracción reflexionante. Editorial Huemul S.A.


Piaget, J. (1978). Recherches sur la Généralisation, «Etudes d’Epistémologie Génétique». Vol. 36. P.U.F. Paris.

Traducción al castellano: Investigaciones sobre la generalización. Premia editora de libros S.A., Tlahuapan,

México. (Edición consultada 1984).

Piaget, J. (1982). Epistemología genética. Artículo, en Evans, R. I, 1982. Jean Piaget. El hombre y sus ideas. Kapelusz.

Buenos Aires.

Popper, K. (1991). Conjeturas y refutaciones. Alianza Universidad. Madrid.

Robert, A. (1982). L'Adquisition de la Notion de Convergence des Suites Numériques dans l´Enseignement Supérieur.

Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol 3, Nº 4, pp. 307-341.

Robinet, J. (1983). Une Expérience d'Ingénierie Didadctique sur la Notion de Limite de Fonction. Recherches en

Didactique des Mathématiques, Vol 4. Nº 3, pp. 223-292.

Romero, C. (1993). Esquemas conceptuales del continuo. Tesis de Maestría. Universidad Autónoma de Barcelona.

Bellaterra.

Sebestik, J. (1990). El sistema matemático de Bernardo Bolzano. Mathesis, Vol 6, pp. 393-417.

Sierpinska, A. (1985). Obstacles Épistémologiques Relatifs à la Notion de Limite. Recherches en Didactique des

Mathématiques, Vol 6, Nº 1, pp. 5-67.

Sfard, A. (1991). On the Dual Nature of Mathematical Conceptions: Reflections on Processes and Objects as Different

Sides of the Same Coin. Educational Studies in Mathematics. Vol 22, Nº 4, pp. 1-32.

Servais, W. (1967). Concreto y abstracto. Material para la enseñanza de las matemáticas . Editorial Ariel. Barcelona.

Struik, J. (1969). A Source Book in Mathematics 1200-1800. Cambridge.

Tall, D. & Vinner, S. (1981). Concept Images and Concept Definition in Mathematics with Particular Reference to

Limits and Continuity. Educational Studies in Mathematics , Vol 12, pp. 151-169.

Tall, D. (1992a). The Transition to Advanced Mathematical Thinking: Functions, Limits, Infinity, and Proof. Grawns, D.

A. (ed). Handbook of Research on Mathematics Teaching & Learning. pp. 495-511. Macmillan. New York.

Tall, D. (1992b).The Nature of Advanced Mathematical Thinking. Tall, D, (ed.). Advanced Mathematical Thinking.

Kluwer Academic Publishers. Dordrecht / Boston / London.

Bibliografía

398

Tall, D. & Gray E. (1993) Sucess and Filure in Mathematics: The Flexible Meaning of Symbols as Process and Concept.

Mathematics Education Research Centre. University of Warwick.

Tall, D. (1994a). Understanding the Processes of Advanced Mathematical Thinking. International Congress of

Mathematicians, Zurich, August, 1994.

Tall, D. (1994b). A Versatile Theory of Visualisation and Symbolisation in Mathematics. Commission Internationale

pour l'Etude et l'Amélioration de l'Enseignement des Mathématiques, Toulouse, France. (Pre print)

Tall, D. (1995). Cognitive Growth in Elementary and Advanced Mathematical Thinking. Plenary Lecture at the Annual

Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (PME 19), Recife,

Brasil, July 1995. (Pre print)

Toulmin, S. (1977). La comprensión humana, el uso colectivo y la evolución de los conceptos. Alianza Editorial.

Madrid.

Vergnaud, G. (1990). Epistemology and Psychology of Mathematics Education. En Nesher, P. y Kilpatrick, J. (Ed).

Mathematics and Cognition. Cambridge University Press. New York.

Vinner, S. (1987). Continuous Functions-images and Reasoning in College Students. En Proceedings of the 11th

International Conference for the Psychology of Mathematics Education (Vol 3, pp 177-183). Université de

Montréal. Montréal, Canada.

Vinner, S. & Davis, R. (1986). The Notion of Limit: Some Seemingly Unavoidable Misconception Stages. Journal of

Mathematical Behaviuor, Vol 25, pp. 281-303.

Vinner, S. & Dreyfus, T. (1989). Images and Definitions for the Concept of Function. Journal of Mathematical

Behaviuor, Vol 20, Nº4, pp. 356-366.

von Forester, H. (1976). Los objetos: Garantías de Comportamientos Propios. En: Homenaje a Jean Piaget.

Epistemología genética y equilibración. Editorial Fundamentos Madrid. (Edición consultada 1981, pp. 89 -

105).

Vygotski, L. S. (1962). Thought and Language. Cambridge, MA: Mit Press. (Original publicado en1934).

Vygotski, L. S. (1977). Pensamiento y lenguaje. La Pléyade. Buenos Aires.

Vygotski, L. S. (1.982). Obras escogidas. Visor Distribuciones. Madrid.

Vygotski, L. S. (1996). El desarrollo de los procesos psicológicos superiores. Crítica. Barcelona. (Resumen del ensayo

original: Herramienta y símbolo en el desarrollo de los niños. 1930)

Wadington, H. C. (1962). A Century of Darwin, Edited for S. A. Barnett. Heinemann Educational Books. Londres.

Traducción al castellano: Un siglo después de Darwin. 1. La evolución. S. A. Barnett y otros. Alianza

Editorial. Madrid. (Edición consultada 1979).

Wertsch, J. V. (1985). Vygotski y la transformación social de la mente. Paidos, Buenos Aires.

Williams, S. R. (1990). The Understanding of Limit: Three Perspectives. Proceedings of Mathematical Education , Vol

1.

Waldegg, G. (1990). Cantor y la matematización del infinito. Mathesis, Vol 6, pp. 75-96.

Youschkevitch, A. P. (1976). The concept of function up to the middle of the 19th century. Archive for history of exact

sciences, 16, 36-85. Traducción al Francés: Le concept de fonction jusqu’au milieu du XIXc siècle. trad.

Bellemin, J., Fragments d’histoire des Mathématiques. Broucheure APMEP, 41, pp. 7-68.




ANEXOS

Anexo I: Programa Cálculo I. - Universidad del Valle

399


FACULTAD DE CIENCIAS


PROGRAMAS

Agosto - Diciembre del 92

Opciones para Ingeniería (PTlNG)

Cálculo I (Grupo 03) (CD) (111154) (3Teor., 2Tll,.1 Tut.) (A:64) (B:16) (C: 32) (Prereq.

(111015) (A)

Contenidos:

I. Límite y Continuidad. 1. Definición de continuidad de una función. 2. definición de

límite de una función. 3.Relación entre límite y continuidad. 4 Relación entre límite y

límites laterales. 5 La técnica e-d. 6. Teoremas . 6. teoremas fundamentales de límites;

límite de la función compuesta. 7. Límites infinitos. 8 Límites al infinito. 9. Asíntotas

oblicuas, horizontales y verticales. 9. Propiedades de las funciones continuas; álgebra de

las funciones continuas. 10. Función compuesta y continuidad. 11. Teoremas de:

conservación del signo, Bolzano, del valor intermedio, del acotamiento de funciones

continuas en [a,b] y del máximo y mínimo para funciones continus en [a,b]. 12. Definición

de extremos absolutos. 13. Función inversa ; propiedades que se conservan en la inversión:

continuidad, monotonía.

II. La derivada. 1. Solución de dos problemas básicos: Cálculo de la recta tangente a la

gráfica de ƒ en el punto (a,ƒ(a)). Cálculo de la velocidad instantánea. 2. Definición de

recta tangente. 3 definición de derivada de una función. 4. ejemplos de cálculo de

derivadas de las funciones f(x)k, f(x) n x , f(x)xn, f(x)sen x. 5. Álgebra de derivadas. 6.

Notaciones de la derivada. 7. Incrementos diferenciales.

III. Aplicaciones de la derivada. 1. Función compuesta y derivada: regla de la cadena,

coeficientes de variación relacionados, derivación implícita. 2. Derivada de la función

inversa. Derivadas de orden superior. 4. Definición de extremos relativos. 5. Teoremas de

los extremos relativos, Rolle y valor medio. 6. Consecuencias del teorema del valor medio.

7 Criterios de la primera y segunda derivada para el estudio de las funciones: Monotonía,

extremos (absolutos y relativos), concavidades. 8. Determinación de asíntotas. 9 Gráficos

de funciones. 10 Problemas de optimización. 11. La derivada como razón de cambio y sus

aplicaciones. 12. Antiderivada como proceso inverso de la derivación.

IV. La integral de Riemman. 1. Cálculo del área bajo el arco parabólico. 2. Sumas de

Riemman: superiores e inferiores. 3. Definición del símbolo de integral definida. 4.

Interpretación geométrica de la integral definida. 5. Criterios de integrabilidad:

Integrabilidad de Riemman, de funciones monótonas, de funciones continuas en [a,b]. 6.

Propiedades de la integral definida. 7. Teorema del valor medio para integrales. 8.

Relación entre integración y derivación: la derivada de la integral indefinida. 9. Primer

teorema fundamental del cálculo. 10. Antiderivadas y segundo teorema fundamental del

cálculo. 11. Integración numérica (método dl trapecio). 12. Una aplicación del teorema

fundamental del cálculo (solución de la ecuación funcional f(xy) f(x) f(y). 13. Definición

del logaritmo natural como una integral indefinida. 14. Definición del logaritmo base a>0,

a1. 15. propiedades fundamentales del logaritmo. 16. Gráfica de la función logaritmo.

17. Fórmulas de derivación e integración en que interviene el logaritmo. 18. Derivación

logarítmica. 19. La función exponencial. 20. Definición de ax, xR, a>0, a1. 21.

Anexo I: Programa Cálculo I. - Universidad del Valle

400

Funciones hiperbólicas. 22. Derivadas de funciones exponenciales, hiperbólicas,

trigonométricas. 23. Derivación e integración de las funciones trigonométricas inversas

V. Métodos de integración. Integración por partes. 2 Integrales trigonométricas. 3.

Sustituciones trigonométricas. 4. Fracciones parciales. 5.Manejo de tablas de integrales. 6.

Formas indeterminadas. 7. Integrales impropias. 8. Estudio de las formas indeterminadas.

9 Regla de L’Hopital y su extensión. 10. Extensión de la integral de Riemman. 11

Integrales con límites d integración infinitos. 12. Integrales con integrados no acotados.

13. Aplicaciones de la integral.

Bibliografía: 1. Apostol, Tom. Calculus., Vol I.Editorial Reverte. 1980. 2. Protter y

Morrey, Cálculo con geometría analítica. Fondo educativo interamericano. 1980. 3.

Edwars y Penney. Cálculo y geometría analítica. Prentice Hall. 1985. 4. Leithold, Luis. El

cálculo con geometría analítica. Harper y Row Latinoamericana. 1982. 5. Swokwski, Earl

W. El cálculo con geometría analítica. Editorial Iberamericana. 1988.

Anexo I: Programa del curso Cálculo I para ingenieros de Univalle

Anexo II: Facsímil de respuesta del estudiante

401

Anexo II: facsímil de respuestas del estudiante


402


403


404


405


406

Anexo III: Instrumento de Investigación

407

Anexo III: Instrumento de investigación



DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS1

TALLERES

(OTCDl54t)

GUIA 1

"Un buen símbolo tiene una tal sutileza y ejerce

una sugestión tal que parece un maestro vivo".

Bertrand ussell

El objetivo de esta guía es proporcionar situaciones que permitan al lector, reconstruir el concepto de límite

y continuidad de una función, a partir de sus propias experiencias. Es importante responder cada pregunta

siguiendo el orden planteado y hacer el esfuerzo por escribir la respuesta.


Encuentre:



(c) Compare las gráficas obtenidas. ¿Cómo son las gráficas en los instantes anteriores y posteriores del paso

por B y C?

(d) ¡ Cómo son las gráficas de la velocidad v(t) y la aceleración a(t) en el instante t1 en que la bola pasa por

B ? ¿ En el instante t2 en que la bola pasa por C ?


“La función velocidad es continua en todo punto, mientras que la función aceleración no es continua en t

1 y t

2”

2. De acuerdo a sus respuestas en el Nº.1 (d) escriba lo que para usted significa que la función velocidad v

es continua en t1 (o en t

2).

3. Escriba la idea que usted tiene para definir la continuidad de una función en el punto x p.

4. Considere la función f(x) [x] (menor entero).2 Usando su definición determine si:

(a) ¿ f es continua en x1/2 ? Respuesta: Sí

(b) ¿ f es continua en xl ? Respuesta: No

En general f no es continua en pZ. En caso que su definición no le permita concluir las respuestas mejórela

y escriba una nueva definición que permita deducir la respuesta correcta.

1 Esta es una publicación del Departamento de Matemáticas de la Universidad del Valle. A.A. 25360, Cali, Colombia.

2 f(x)=n, nxn+1; nZ

B s C

A

h

D


408

5. Considere las funciones ( ) ;f x x y ( )g x 2

x si x Q

si x I


(a) ¿ f es continua en x l ?

(b) ¿ g es continua en x 2 ?

Si su idea de continuidad le permitió observar que las funciones son continuas en los puntos x1 y x2 siga

usándola con las siguientes funciones. En caso contrario observe las deficiencias y encuentre una mejor

definición. Escríbala y aplíquela a cada función hasta lograr una definición de continuidad, que permita

reconocer la continuidad o no de f en x p.

Ayuda : Tome dos situaciones. Una donde f sea continua en xp y otra donde no lo sea. Observe hacia que

valor se aproxima f(x) cuando x se aproxima a xp.


continuidad)

a) f(x) 2x+3 en x1 Respuesta: Sí

b) f(x)

2 1

11

1 1

xsi x

x

si x

en x1 Respuesta: No

c) f(x)

2 1

11

2 1

xsi x

x

si x

en x1 Respuesta: Sí


ejercicio. En caso contrario revise su definición y vuelva a intentar hasta obtener una idea de continuidad

razonable.

7. Diga si las siguientes funciones son continuas en xp. Justifique su respuesta usando su definición de

continuidad.

a) f (x) 2

0

x si x Q

si x I


b) f(x)

2 1

11

2,001 1

xsi x

x

si x

en x = 1 Respuesta: No

Si usted tiene dificultad en establecer la no continuidad de f en el ultimo ejercicio posiblemente se deba al

uso en su definición de términos como: f(x) se “aproxima” a f(p)...............x se “aproxima” a p.

El problema de usar las palabras entre comillas es que la idea de proximidad es relativa al observador. Así

2.001 puede ser considerado por un observador como “próximo” a 2. Sin embargo para otro observador que

tenga una escala mas fina puede que no sea lo "suficientemente” “próximo”.

Observador 1

Observador 2


pueden ayudar:


Se llama entorno con centro p y radio > 0 a cualquier intervalo abierto con centro p y longitud 2. Se

simboliza:

N(p)

2

2,001

2 2,001


409



|x - p|

Observe que si se conviene que "próximo" al número p es todo aquel x que pertenezca a un determinado

entorno entonces no habrá dudas para reconocer la proximidad.


x2.001 =0.0001 Respuesta: No

x2.00005 =0.0001 Respuesta: Sí

x2.001 =0.05 Respuesta: Sí

x3 =1.1 Respuesta: Sí


(a) x2 < 0.01

(b) 3x < 1

2

(c) x1| < 1 Respuesta: N1(-1)

(d) 2x 3 < Respuesta: N(-3/2)

(e) x p < Respuesta: N(-p)







"x no esta tan próximo a 2 como 1.5 y 2.5"

Escriba la frase usando: Entornos, distancia entre puntos.

12. Exprese en términos de distancia entre puntos, la información sobre x. que se simboliza como: xN(p)

13. ¿ Qué relación existe entre el radio y la idea de la proximidad" ?

14. Lea su definición de continuidad y rescríbala usando:



Si su definición es buena, en ella deben aparecer dos entornos N(f(p)) y N(p). ¿Podría escribir las


(c) ¿Qué relación existe entre xN(p) y las imágenes f(x) respecto del entorno N(f(p)), en el caso en


15- (a) ¿ Cuál es la negación de su definición de continuidad ?

Ilustre con un gráfico la no continuidad de f en xp y compare el gráfico y la negación de la

continuidad.

(b) Usando su definición para la no continuidad de f en xp, muestre con un gráfico que f(x) [x]

(menor entero) no es continua en x2.


410

16. ¿Qué relación existe entre el radio del entorno con centro en f(p) y el radio del entorno, N(p)? ¿En

el caso en que f sea continua en p? ¿En el caso en que f no sea continua en p?

Comentario:

Seguramente usted habrá percibido que existe una relación entre N(f(p)) y N

(p), pero es necesario precisar,

¿cuál es la relación? Para ello, debe abordar el problema con sumo cuidado anotando sus observaciones en

cada una de las diferentes posibilidades que existen.


i) a) Dibuje una función continua en xp. Escriba, en términos de entornos su definición de continuidad.

b) Elija un entorno como conocido. Dibújelo sobre el eje correspondiente y encuentre gráficamente el

otro entorno de tal manera que se cumpla su definición de continuidad. ¿Es arbitrario el radio del

entorno que usted encontró?. ¿Se puede escribir esta dependencia usando cuantificadores?. ¿Existe

alguna relación de dependencia entre los radios - de los entornos?

¿ Anotó sus respuestas a las preguntas anteriores ?.

Rescriba su definición de continuidad de tal manera que de cuenta de la relación entre los entornos.

ii) Niegue la definición obtenida en (i) y verifique si ella permite establecer la no continuidad de una




ejercicio anterior. En caso contrario rescríbala, de tal manera que en ella quede claro las relaciones entre

y xN(p) y f(x) respecto de N

(f (p)).


"f(x) toma valores "próximos" al numero L siempre que

x sea "suficientemente" "próximo" a p, x p"

Diga si:


( )1

xf x

x

cuando L2 y p1




lim ( )x p

f x L



lim ( )x p

f x L

en términos de: entornos; de números reales.


lim ( )x p

f x L


lim ( )x p

f x L

22. Si se quiere afirmar que x se aproxima a p tomando valores mayores que p (se aproxima por la derecha a

p) se indica con el símbolo xp. Defina usando distancia entre puntos el símbolo

lim ( )x p

f x L


411


lim ( )x p

f x L

lim ( )x p

f x L

lim ( )x p

f x L

Observación: A los limites de f cuando x se aproxima a p por la derecha o la izquierda se llaman Limites

Laterales.

24. Sea f(x) = 2 1

1

x si x

x si x


a) Para todo N(2), existe N

(l), tal que para todo xN

(l) se tiene que f(x)N

(2)

b) Existe N

(2), para todo N(l), tal que existe x

0, x0N

(l) y f(x)N

(2)


f(x) = 3 2

( )3 2

x si xf x

si x

a) Dado N(6), ¿es posible encontrar N

(2) tal que para todo x, xN

(2), x2 se cumpla que (x)N

(6) ?

Respuesta: =1/3

b) Para todo , ¿ es posible encontrar tal que sí

0 < |x-2| <| f(x)-6| < Respuesta: =/3

Anexo IV: Protocolo del estudiante

412

Anexo IV: Protocolo del Estudiante

Nombre: René Nº 6



DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

TALLERES

(OTCDl54t) GUIA 1

"Un buen símbolo tiene una tal sutileza y ejerce

una sugestión tal que parece un maestro vivo".

Bertrand Russell


B s C

Encuentre:



(c) Compare las gráficas obtenidas. ¿Como son las gráficas en los instantes anteriores y posteriores del

paso por B y C?

(d) Cómo son las gráficas de la velocidad v(t) y la aceleración a(t) en el instante tl en que la bola pasa



“La función velocidad es continua en todo punto, mientras

que la función aceleración no es continua en tl y t

2”.

h

D

A

El objetivo de esta guía es proporcionar situaciones que permitan al lector, reconstruir el concepto de

límite y continuidad de una función, a partir de sus propias experiencias. Es importante responder cada

pregunta siguiendo el orden planteado y hacer el esfuerzo por escribir la respuesta


413


1. a b.

c. Antes del paso por y , la primera gráfica es creciente, mientras que la segunda es constante.

Después de y , la primera es decreciente y la segunda es constante pero negativa.

d. En la segunda gráfica, al pasar por y , esta se desfasa, lo que no ocurre en

S2. El estudiante escribe:

2. V es continua en t1 cuando al aproximarse tanto por la izquierda como por la derecha, los valores

tienden al mismo número, y éste corresponde en realidad a la función.


3. Considero igual respuesta al punto 3

S4 El estudiante dibuja y escribe

4. f(x) [x]

a) F es continua en x 1/2 ? Sí porque tenemos que :

al aproximarnos por izquierda y derecha, el valor tiende a cero, y éste es el menor # entero

correspondiente a 1 / 2.

b) F es continua en x1 ? No, vemos en el gráfico anterior que por la izquierda tiende a cero y por la

derecha a uno.

a

2. De acuerdo a sus respuestas en el Nº 1 (d) escriba lo que para usted significa que la función

velocidad v es continua en t1 (o en t2).


4. Considere la función f(x) [x] (menor entero). Usando su definición determine si:

(a) ¿ f es continua en x 1/2 ? Respuesta: si

(b) ¿ f es continua en x l ? Respuesta: No



1 2 1


414


5. f(x) x g(x) 2

x si x Q

si x I

a) f(x) sí es continua en x 1


a) f(x) 2x+3 f(x) 5 Por izquierda y por derecha f(x) tiende a 5.

b) f(x)

2 11 1

1

1 1

xx Para x

x

x

Tenemos (1) 2 1

1 (1) 21

xx aquí f

x

(2) f(1) 1

5. Considere las funciones f(x)=x g(x)=2

x si x Q

si x I



(b) ¿ g es continua en x 2?







Vemos que por izquierda y derecha f(x) tiende a

ser 2 cuando x tiende a ser 1, pero al valer x1,

f(x) vale uno.


continuidad)

a) f(x) 2x3 en x 1 Respuesta: Sí

b) f(x)

2 11

1

1

xsi x

x


c) f(x)

2 11

1

2

xsi x

x



ejercicio. En caso contrario revise su definición y vuelva a intentar hasta obtener una idea de

continuidad razonable.

1 -

2 -

3 -

4 -

1 2 3 4


415


a) f(x) 2

0

x si x Q

si x I

Para x 0

El gráfico se compone de dos partes: uno para los x

irracionales y otro para los racionales. Al x tomar el

valor cero, ambos gráficos tienden por izquierda y

derecha al valor cero. Y además f(x) es cero.

b) f(x)

2 11 1 1

1

2,001 1

xsi x x si x

x

si x

1


de continuidad.

a) 2

( )0

x si x Qf x

si x I

en x0 Respuesta: Si

b)

2 11

1( )

2,001 1

xx

si xf x

si x

en x1 Respuesta: No







“próximo”.

Observador 1

Observador 2


pueden ayudar:



simboliza:

N(p)



|xp|



2,001

2

2

2,001


416

S8 El estudiante escribe y dibuja:

a) x2,001 =0,0001 No es próximo puesto que se encuentra fuera del entorno.

b) x2,00005 =0,0001 Sí, porque está dentro del entorno

c) x2,001 =0,05

d) x3 =1,1


a) x2 0,01 0,01x20,01 1,99x2,01 N0,01(2)

b) 3x 1/2 0,53x0,5 = x3 0,5 N0,5(3)

0,5x30,5 2,5x3,5

c) x+1 1 1x+11 2x0 N1(1)

d) 2x+3 32x3 3 3

2 2x

N(3/2)

e) x+p x+p px p N(p)


x2,001 0,0001 Respuesta: No



x3 1,1 Respuesta: Sí

( )

2,0001 2 1,9999 2,001

( ) 2,00005

2 1,9999 2,001

x sí es próximo a 2 ( ) 2,0001

2 1,95 2,05

Sí es próximo a 2 ( )

2 0,9 3,1

3


(a) |x—2| < 0.01

(b) |3—x| < 1

2

(c) |x+1| < 1 Respuesta: N1(-1)

(d) |2x+3| < d Respuesta: Nd(-3/2)

(e) |x + p| < d Respuesta: Nd(-p)


417


“x está más próximo a 2 que 1,5 y 2,5”

– Entorno: Hay un entorno de radio 0,5 con centro en 2 tal q ue xN0,5(2)

– Distancia entre puntos: Hay un punto x cuya distancia al punto 2 es menor que 0,5 (Distancia

entre 1,5 y 2)


“x no está tan próximo a 2 como 1,5 y 2,5”

– Entorno: Hay un entorno de radio 0,5 con centro en 2 tal q ue xN0,5(2)

– Distancias: Existe un punto x cuya distancia al punto 2 es mayor que 0,5.


12. N(p). “Existe un punto cuya distancia al punto p es menor que el valor .”


13. Un punto es próximo a otro si se encuentra dentro del entorno de radio especificado

S14. El estudiante no responde.










N(p)

13. ¿Qué relación existe entre el radio y la idea de la “proximidad”?




Si su definición es buena, en ella deben aparecer dos entornos N(f(p)) y N (p). ¿Podría escribir las





418


Una función f(x) es discontinua en el punto p, cuando f(p) no tiene imagen, o al aproximarse por izquierda y

derecha dentro del entorno, tienden a valores distintos entre sí o con respecto a la imagen de p, si la hay.

f(x) [x} menor entero

S16 El estudiante no responde




continuidad.

(b) Usando su definición para la no continuidad de f en x p, muestre con un gráfico que f(x) [x]


1

2

1 2 3 4

La función no es continua e x2 puesto que por

la izquierda tiende a 1 y por la derecha tiende

a 2, y la imagen es 1.



Comentario:

Seguramente usted habrá percibido que existe una relación entre N(f(p)) y N (p), pero es necesario






continuidad.


el otro entorno, de tal manera que se cumpla su definición de continuidad. ¿Es arbitrario el radio

del entorno que usted encontró?. ¿Se puede escribir esta dependencia usando cuantificadores?.

¿Existe alguna relación de dependencia entre los radios e-d de los entornos?








entre y ; xN (p) y f(x) respecto de N (f (p)).


419

(N(p) ) (N(f (p)) (xN

(p)) ( f(x)N (f(p))

Para todo entorno de centro en P radio ; existe un entorno con centro en f(p) y radio tal que todo x

que pertenece al primer entorno, existe un f(x) que pertenece al segundo

S18 El estudiante escribe y dibuja.

F (x) toma valores “próximos” al número siempre que x sea suficientemente próximo a P, con x P.

a) 2 1

( ) 11

xf x x

x

b) (N(p)) (N()) (XN(p) f(x)N ()

c) (N(p)) (N()) (|xp| < | f(x) | <)


a) Cuando x se aproxima a P, su imagen ( )f x se aproxima a L, sin ser xp ni ( )f x

b) (N (p)) (N()) (xN (p) ; xp f(x)N (L))


Siempre que hay continuidad hay límite, pero no siempre que hay límite hay continuidad. Es decir,

p

L

Si se cumple , porque al x irse

aproximando a P, su imagen

va aproximándose a L, para

x p y f(x) L.




Diga si:


( )1

xf x

x

cuando L 2 y p 1




lim ( )x p

f x L



lim ( )x p

f x L

en términos de: entornos; de números reales


lim ( )x p

f x L


420

cuando una función es continua, se puede establecer el límite por aproximaciones laterales, pero no

siempre ese límite es la imagen en ese punto, por lo tanto no habría continuidad .


X es continua en el punto x P lim ( )x p

f x L


( 0) ( 0 (xp f(x) f(p) )


lim ( )x p

f x L

si y solo si lim ( ) lim ( )x p x p

f x L f x L


2 1( )

1

x si xf x

x si x

a) (Ne(2)) (N

(1)) (xN

d(1) f(x)Ne

(2))

b) ( N0(2)) (N(1) ( x 0; x0 N

(1)) f(x) NO

(2))


lim ( )x p

f x L


derecha a p) se indica con el símbolo xÆp. Defina usando distancia entre puntos el símbolo

lim ( )x p

f x L


lim ( )x p

f x L

lim ( )x p

f x L

lim ( )x p

f x L

Observación: A los limites de f cuando x se aproxima a p por la derecha o la izquierda se llaman

Limites Laterales.

24. Sea

2 1( )

1

x si xf x

x si x


a) Para todo N (2), existe N (l), tal que para todo xN (l) se tiene que f(x)N (2)

b) Existe N0 (2), para todo N (l), tal que existe x

0, x0ŒN (l) y f(x)Nt0 (2)

2

1

Falsa


421


3 2( )

3 2

x si xf x

si x

a) >0 >0 N(2) f (x) N (1)

b) 0 0 0x2 f(x)-6

3x6 3(x2) 3 (x2) x2/ 3

como (x2)

3


3 2( )

3 2

x si xf x

si x

a) Dado N1(6), ¿ es posible encontrar N (2) tal que para todo x, xN (2), x2 se cumpla que f(x)N

1(6) ?

Respuesta: =1/3

b) Para todo > 0, ¿ es posible encontrar >0 tal que sí

0<|x2|< | f(x) 6|< ? Respuesta: = 3

- 6- -

( ı ) 2

f(x)6 < 1

1< f(x)6 < 1 1< 3x6 < 1 5<3x<7

53<x<73

x (53 ; 73) N13 (2) 13

Microgénesis de limite y continuidad en estudiantes universitarios

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