METODOS

NUMERICOS

1

17. Mostrar que la secuencia de iteraciones de Newton de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 + 2 con

𝑥0 = 0 oscilará entre 0 y 1. Dar una representación gráfica de este hecho. Encuentre ahora una raíz

positiva de 𝑓(𝑥) usando el método de Newton por la elección de un 𝑥0 adecuado.

A continuación procedemos a graficar la función. Para ellos utilizamos los siguientes comandos:

Calculamos las raíces de forma individual de con 𝑥0 = 0.

2

En efecto, nos damos cuenta de que los valores de 𝑓(𝑥) con 𝑥0 = 0, oscilan entre 0 y 1 infinitamente.

La raíz de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 + 2, no es positiva. Esto es posible afirmarlo si utilizamos el

mismo método anterior, sin importar el valor de 𝑥0, la ecuación va a converger a su raíz. Para

encontrar esta raíz, hacemos lo siguiente:

En este caso vamos a utilizar 𝑥0 = −2.

Podemos ver que el resultado con 12 cifras decimales es:

𝑥 = −1.769292354238

3

12.(g). Aplicar el método de la secante para determinar un cero con una precisión de 𝜖 = 10−4 a la

función 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛(𝑥).

Para este método utilizamos el siguiente programa:

Esta ecuación tiene tres raíces. Podemos apreciar esto al observar como la gráfica es cortada en tres

ocasiones por en eje 𝑥.

Ingresamos los siguientes códigos:

A continuación procedemos a encontrar cada una de ellas. Para ello escogemos un valor cercano al

punto de intersección, basándonos en la gráfica de la función.

4

Raíz N°1:

Raíz N°2:

Raíz N°3:

Ahora mostramos un poco más de cerca estas intersecciones, esto con el fin de ver un poco más de

cerca que las aproximaciones que encontramos son ciertas y que el método realmente funciona.

Ingresamos los siguientes códigos:

5

Como resultado, el programa nos arroja la siguiente gráfica:

Finalmente las raíces de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛(𝑥), con cuatro cifras decimales y un error de

𝜖 = 10−4 son:

𝑥 = −1.8955

𝑥 = 0.0000

𝑥 = 1.8955

6

6.(b). Para la función siguiente encontrar un intervalo y una función de iteración 𝑥 = 𝑔(𝑥) de modo

que la iteración de punto fijo:

𝑥𝑘+1 = 𝑔(𝑥𝑘)

Converja para cada elección de 𝑥0 en el intervalo. A continuación aplique dos iteraciones para

aproximar un cero a ese intervalo escogiendo una aproximación inicial adecuada 𝑥0.

La función es: 𝑓(𝑥) =3

𝑥2 − 𝑥 − 2

Reescribiendo la ecuación en la forma 𝑥 = 𝑔(𝑥)

Tomando directamente la ecuación (puede haber varias opciones)

1. 𝑥 = 𝑔(𝑥) =3

𝑥2 − 2

2. 𝑥 = 𝑔(𝑥) = √3

𝑥+2

3. 𝑥 = 𝑔(𝑥) = −√3

𝑥+2

Nos es conveniente utilizar la segunda.

Usaremos el siguiente código:

En este caso el intervalo de convergencia es:

𝐼 = {𝑅}

Es decir que cualquier número real que tomemos e ingresemos en el programa, nos va arrojar la

solución para la ecuación.

7

A continuación mostramos la convergencia para 𝑥0 = 100

Procedemos a mostrar la convergencia para 𝑥0 = −20

La raíz de la función 𝑓(𝑥) =3

𝑥2 − 𝑥 − 2 es 𝑥 = 1.

8

33. Metodo de Haley. La siguiente iteración para encontrar una raíz de 𝑓(𝑥) = 0:

𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖

2𝑓(𝑥𝑖)𝑓′(𝑥1)

2𝑓(𝑥𝑖)2 − 𝑓(𝑥𝑖)𝑓′′(𝑥1)

Se conoce como iteración de Haley.

Se puede demostrar que si 𝑓(𝑥) es tres veces continuamente diferenciable y 𝑥 = 𝜉 es una raíz de

𝑓(𝑥) = 0, pero no de su derivada, entonces la iteración de Haley converge a cero si la aproximación

inicial 𝑥0 está suficientemente cerca, y además la convergencia es cúbica; esto es,

𝑒𝑖+1

𝑒𝑖3

≤ 𝐶

, para alguna 𝐶 > 0. Calcular un cero positivo de 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 1 a partir de 𝑥0 = 0,5 con una

tolerancia de error de 𝜖 = 10−4.

Para este método utilizamos el siguiente programa:

Al introducir los datos en el programa, nos arroja lo siguiente:

Finalmente obtenemos nuestro resultado.

𝑟 = 0.3473

9

41. Escribir un programa que implemente el método de Jacobi y otro que implemente el método de

Gauss-Seidel para la resolución de un sistema lineal 𝐴𝑥 = 𝑏, con las siguientes condiciones:

Que indique si el método resulta o no convergente para la matriz 𝐴.

Que incluya una restricción al número de iteraciones.

Que finalice si el método se estaciona.

Procedemos a plasmar cada uno de los programas para hacer los incisos pedidos.

Método que indica la convergencia de la matriz para cada uno de los casos.

10