Негосударственное образовательное учреждение высшего образования

«Международный институт экономики и права»

(НОУ МИЭП)

Утверждено НОУ МИЭП, Косевич Александр Валентинович, РЕКТОР

28.03.2019 14:20 (MSK), Сертификат № E919B9E9F24016A0E811F97515F429D1

электронная цифровая подпись

Методические указания для проведения практических занятий

по дисциплине

«Информатика и математика»

(для студентов факультета юриспруденции)

2019

2

Методические указания

составил(и): К.п.н.,доц. Л.К. Шаймарданова

Методические указания для проведения практических

занятий по дисциплине «Информатика и математика»

разработаны в соответствии с ФГОС ВО:

Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования

по направлению подготовки 40.03.01 ЮРИСПРУДЕНЦИЯ (уровень бакалавриата)

(приказ Минобрнауки России от 01.12.16г. №1511).

составлены на основании учебного плана:

утвержденного Учёным советом НОУ МИЭП от 20.02.2019 протокол № 3.

Методические указания одобрены на заседании кафедры

Гуманитарных и естественно-научных дисциплин

Протокол от 20 февраля 2019 г. № 7

Зав. кафедрой Т.В. Карпенкова

3

Содержание

1. Цель методических указаний 4

2. Перечень тем практических занятий 6

3. Содержание и методика проведения практических занятий 6

4. Заключительная часть занятия 70

5. Учебно-методическое и информационное обеспечение 71

4

1. Цель и задачи методических указаний Методические указания предназначены для выполнения практических

работ по направлениям обучения по программам 40.03.01 и разработаны в

соответствии с содержанием рабочей программы дисциплины. Рекомендации

предназначены для оказания помощи обучающимся при выполнении задач,

тестовых заданий, усвоении теоретических вопросов по курсу на практических

занятиях.

Практическое занятие – это одна из форм учебной работы, которая

ориентирована на закрепление изученного теоретического материала, его более

глубокое усвоение и формирование умения применять теоретические знания в

практических целях, используя владение основными методами, способами и

средствами получения, хранения, переработки информации, навыками работы с

компьютером как средством управления информацией.

Готовясь к практическому занятию, обучающийся должен освежить в

памяти теоретические сведения, полученные на лекции, самостоятельном

изучении. Только это обеспечит высокую эффективность практических учебных

занятий.

Преподаватель имеет возможность в личном кабинете наблюдать за работой

каждого обучающегося, оказывая ему необходимую методическую и

консультационную помощь на практическом занятии.

Практические занятия являются важной формой, способствующей усвоению

курса. Основные задачи этих занятий сводятся к тому, чтобы научить

обучающихся, самостоятельно мыслить, изжить имеющиеся штампы и

способствовать расширению общей исторической культуры. В ходе занятий

обучающиеся должны научиться применять выработанную методику в практике

конкретно-исторических исследований, способность работать с информацией в

глобальных компьютерных сетях.

В процессе практических занятий обучающихся выполняют различные

виды работы. Практические работы могут носить репродуктивный и поисковый

характер.

Работы, носящие репродуктивный характер, отличаются тем, что при их

проведении обучающихся пользуются подробными инструкциями, в которых

указаны: цель работы, пояснения порядка выполнения работы, заполнения

таблицы.

Работы, носящие поисковый характер, отличаются тем, что при их

проведении обучающиеся не пользуются подробными инструкциями, им не

задан порядок выполнения необходимых действий, от обучающихся требуется

выбор способов выполнения работы, инструктивной и справочной литературы.

Работы, носящие поисковый характер, отличаются тем, что обучающиеся

должны решить новую для них проблему, опираясь на имеющиеся у них

теоретические знания.

Содержание практических занятий является решением разного рода задач,

работа с литературой, справочниками, составление таблиц, схем, и др.

5

Тематика, содержание и количество часов, отводимое на практические

занятия, зафиксировано в рабочей программе дисциплины. Состав практических

заданий планируется с таким расчетом, чтобы за отведенное время обучающиеся

смогли их качественно выполнить поставленные задачи.

При проведении практических занятий используются различные формы

организации работы обучающихся: фронтальная, групповая, индивидуальная.

Каждая из них позволяет решать определенные дидактические задачи:

разнообразить работу обучающихся, повысить ответственность каждого студента

за самостоятельное выполнение полного объема работ, повысить качество

подготовки обучающихся.

Основными этапами практического занятия являются:

1.проверка знаний обучающихся – их теоретической подготовленности к

занятию;

2.инструктаж, проводимый преподавателем;

3.выполнение заданий, работ, упражнений, решение задач, тестовых задач;

4.последующий анализ и оценка выполненных работ и степени овладения,

обучающихся запланированными компетенциями

Критерии и показатели, используемые при оценивании выполнения задания:

Знать: основные категории и понятия, характеризующие обобщение, анализ,

восприятие информации позволяющие анализировать результаты расчетов и

обосновывать управленческие решения

Уметь оценивать информацию с точки зрения важности, актуальности,

доступности, позволяющую разрабатывать эффективные управленческие

решения, использовать владение основными методами, способами и средствами

получения, хранения, переработки информации, навыками работы с

компьютером как средством управления информацией.

Владеть: основными методами и алгоритмами обобщения, анализа,

восприятия информации, позволяющими организовать подходы для обработки

экономических данных в соответствии с поставленной задачей, принципами и

направлениями из разных областей знаний в своей деятельности позволяющими

выбрать средства для обработки экономических данных в соответствии с

поставленной задачей, основными категориями и понятиями,

характеризующими обобщение, анализ, восприятие информации позволяющими

принимать решения, в том числе в условиях неопределенности и риска.

Описание каждой практической работы содержит: тему, цели работы,

оборудование, задания, порядок выполнения заданий, формы контроля,

требования к выполнению заданий.

6

2. Перечень тем практических занятий

Практическая работа № 1. «Понятие предела. Предел функции. Основные

правила вычисления пределов. Понятие производной. Физический и

геометрический смысл производной. Производные элементарных функций.

Основные правила дифференцирования. Понятие интеграла. Неопределенный и

определенный интеграл. Таблица основных интегралов. Формула Ньютона-

Лейбница. Понятие кратного интеграла. Применение интеграла и производной».

Практическая работа № 2. «Метод математической индукции. Правила

произведения и суммы. Размещения, перестановки и сочетания. Повторения

Способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях».

Практическая работа № 3. «События и операции над ними. Определение

вероятности. Сложение и умножение вероятностей. Условная вероятность.

Полная вероятность. Формула Байеса. Случайные величины. Закон

распределения вероятностей. Основные распределения. Числовые

характеристики случайной величины. Способность работать с информацией в

глобальных компьютерных сетях».

Практическая работа № 4. «Генеральная совокупность. Выборка.

Вариационный ряд. Полигон и гистограмма. Характеристики генеральной

совокупности. Выборочные средняя и дисперсия. Оценка генеральной

совокупности по выборке. Исправленные оценки. Статистическая гипотеза,

понятие о проверке гипотез».

3. Содержание и методика проведения практических занятий:

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №1 «Понятие предела. Предел функции.

Основные правила вычисления пределов. Понятие производной. Физический и

геометрический смысл производной. Производные элементарных функций.

Основные правила дифференцирования. Понятие интеграла. Неопределенный и

определенный интеграл. Таблица основных интегралов. Формула Ньютона-

Лейбница. Понятие кратного интеграла. Применение интеграла и производной».

Цель занятия: Изучить понятие предела и предела функции. Основные

правила вычисления пределов. Понятие производной. Физический и

геометрический смысл производной. Производные элементарных функций.

Основные правила дифференцирования. Понятие интеграла. Неопределенный и

определенный интеграл. Таблица основных интегралов. Формула Ньютона-

Лейбница. Понятие кратного интеграла. Применение интеграла и производной.

Понятие предела является фундаментальным понятием в математическом

анализе. С другой стороны, это понятие позволяет изучать поведение

7

различных процессов и моделей как на бесконечности, так и в конкретных

точках. На ряде примеров рассмотрим основные методы вычисления пределов.

1. )1(lim 2

4

xx

x.

В любой задаче на пределы сначала рассматривается прямая подстановка

)()(lim afxfax

. Если при этом получается конечное значение (в том числе и 0) или

∞, или –∞, то расчет закончен. В данном примере: .13144)1(lim 22

4

xx

x

2. 1

2lim

24

2

2

xx

x

x.

Решение: .0124

22

1

2lim

24

2

2

xx

x

x

3. )35(lim 17

1

x

xx .

Решение: 1351)35(lim 0717

1

x

xx .

4.

1

13lim

2xx.

Решение: 31

31

13lim

2

xx.

Здесь использована теорема: величина, обратная бесконечно большой,

является бесконечно малой, т.е. 0.

5. xx

xxx

3

2

1

12lim .

Решение: 0

0

11

12112lim

3

2

1

xx

xxx

.

В данном случае прямая подстановка привела к неопределенности.

Упростим функцию:

)1(

1

)1)(1(

)1(

)1(

)1(12 2

2

2

3

2

xx

x

xxx

x

xx

x

xx

xx.

Таким образом,

0)11(1

11

)1(

1lim

0

012lim

13

2

1

xx

x

xx

xxxx

.

6. 5143

5112lim

2

2

5

xx

xxx

.

Решение: 0

0

551453

551152

5143

5112lim

2

2

2

2

5

xx

xxx

.

Используем разложение квадратного трехчлена на множители по известной

формуле: ))(( 212 xxxxacbxax , где

a

acbbx

2

42

2,1

.

Тогда

3

13

5,02

3

153

5,052

5143

51122

2

x

x

xx

xx

xx

xx.

Следовательно,

8

5625,0

16

9

3

153

5,052

3

13

5,02lim

5143

5112lim

52

2

5

x

x

xx

xxxx

.

7. 83

12lim

3

3

x

xxx

.

Решение:

83

12lim

3

3

x

xxx

.

В этом случае следует разделить числитель и знаменатель на старшую

степень аргумента, т.е. на х3, и использовать теорему 0

1

, т.е.

3

2

03

002

83

112

lim:

:

83

12lim

3

32

3

3

3

3

x

xxx

x

x

xxxx

.

8. 52

lim2

x

xx

.

Решение:

0

1

52

1lim

:

:

52lim

2

2

22

xx

x

x

x

xxx

.

9. x

xx

3sinlim

0.

Применим первый замечательный предел 1sin

lim0

u

uu

. Для приведения

заданного выражения к такому виду введем замену переменной: u=3x;

отсюда 3

ux . Следовательно, .

sin3

3

sin3sin

u

u

u

u

x

x

Для аргумента: 0x , т.е. 03

u или 0u .

Таким образом, 313sin

lim33sin

lim00

u

u

x

xux

.

10. x

x x

21lim .

Используем второй замечательный предел в форме: eu

u

u

11lim .

Заменяем переменную:

ux

12 , откуда

2=

xu и ux 2 . Из x следует u2 и u .

Таким образом, 2

221

1lim1

1lim2

1lim euux

u

u

u

u

x

x

.

11. x

xx21lim

0

.

9

Используем второй замечательный предел в форме: euu

u

1

01lim .

Заменяем переменную: ux 2 , откуда 2

ux . Из 0x следует 0

2

u

и 0u .

Таким образом, 2

2121

001lim1lim21lim21lim

euuxx

u

u

u

u

x

x

x

x.

Следующим фундаментальным понятием математического анализа

является понятие производной и дифференциала функции. С другой стороны,

связанные с этими понятиями приращение, скорость изменения,

ускорение – важные характеристики функции, позволяют делать общие

выводы об изменяемости и устойчивости различных процессов и моделей.

12. Найти приращение функции у = х2

+ 1, если аргумент х изменяется от 1

до 1,4.

По определению ).()( xfxxfy

В нашем случае f (x) = 12 + 1 = 2; f (x+∆x)=1,4

2+1=2,96.

Следовательно, ∆у = 2,96 – 2 = 1,96.

В дальнейших примерах рассмотрим технику дифференцирования.

13. у= х2 – 5х + 4.

Дифференцируем: 52)4()(5)( 2 xxxy .

14. 323 3

115

xxxxy .

Предварительно перепишем это выражение:

323

1

2

1

3

15

xxxxy .

Теперь дифференцируем:

)(3

1)(5 323

1

2

1

xxxxy

433

4

2

1

33

12

3

15

2

1xxxx

433 4

12

3

5

2

1

xxxx .

15. xxy sin2 .

Используем формулу производной от произведения. Имеем:

xxxxxxxxy cossin2sinsin)( 222

.

16. 12

2

x

xxf .

Используем формулу производной от дроби. Имеем:

2222

22

22

2222

)1(

2

)1(

2)1(2

)1(

)1()1()(

x

x

x

xxxx

x

xxxxxf .

10

17. у=(1+5х)3.

Это сложная функция. Преобразуем ее в систему.

51

3

xu

uy, отсюда

5

5133

22

dx

du

xudu

dy

и 25115 xdx

du

du

dyy .

18. xy 2cos .

xu

uy

cos

2

, отсюда

xdx

du

xudu

dy

sin

cos22

и xxdx

du

du

dyy sincos2 .

19. xxy 33 .

3ln333ln33333 23233 xxxxxxy xxxxx

.

20. 124 xxy . Найти )2(y .

Последовательно дифференцируя, получаем:

xyxyxy 24;12;24 23 . Следовательно, 48224)2( y .

21. С помощью дифференциала вычислить )1,2ln( , если известно,

что 693,02ln .

Приближенная формула имеет вид: xxfxfxxf )()()( .

В нашем случае

х=2; ∆х=0,1; ;1

=)( ;693,0=2ln=)2( ;ln)(x

xffxxf 2

1)2( f .

Следовательно, 743,005,0693,01,02

12ln)1,02ln( .

Наиболее часто встречающимися применениями дифференцирования

являются раскрытие неопределенных пределов (правило Лопиталя) и

исследование особенностей изменяемости функций, в том числе построение

графиков функций.

22. Вычислить 1

23lim

23

3

1

xxx

xxx

.

Решение:

0

0

123

33lim

0

0

1

23lim

2

2

123

3

1 xx

x

xxx

xxxx

5,1216

16

26

6lim

1

x

xx

.

23. Вычислить xxx

lnlim 4

0.

0lnlim 4

0xx

x. Для раскрытия неопределенности такого типа следует

предварительно преобразовать произведение в дробь.

Возможны два варианта:

4

1

ln

x

x или

0

0

ln

1

4

x

x.

11

Только после этого можно применить правило Лопиталя. Используя

первый вариант, получим:

04

lim4

1lim

1

lnlim0lnlim

4

05

0

4

0

4

0

x

x

x

x

xxx

xxxx.

24. Вычислить xx

xA1

lnlim

.

Здесь имеет место случай 0. Для раскрытия таких пределов удобно

сначала прологарифмировать заданную функцию и затем применить правило

Лопиталя. Имеем:

01

ln

1lim

)ln(lnlim)ln(lnlimln

1

xxx

xxA

xx

x

x.

Так как ln A = 0, то А = е 0 = 1.

25. Найти экстремумы функции 152 3 23 5 xxy .

Дифференцируем: 3

1

3

10...

x

xy

. Производная, очевидно, не существует

при х=0. Кроме того, она равна 0 при х=1. Следовательно, имеем две

стационарные точки х1=0 и х2=1. Опять используем первое достаточное

условие:

+0 – 1+

Здесь для определения знаков производной

в интервалах вычислялись:

)81( ),1( yy и )8(y .

x Таким образом, заданная функция имеет максимум при х = 0 и минимум при

х = 1. Соответствующие экстремальные значения: уmax=f (0)=...=1, ymin= f (1)=...= –

2.

26. Найти экстремумы функции у=3 – 2х2 + х

4.

Дифференцируем: 344 xxy .

Стационарные точки: 044 3 xx , откуда 01 x ; ;12 x 13 x .

Используем второе достаточное условие. Вторая производная: 2124 xy .

Таким образом: 040124)0( 2 y ,

т.е. 01 x является точкой максимума и 300230 42max fy .

081124)1( 2 y , т.е. 12 x является точкой минимума и

211231 42min,1 fy .

081124)1(2

y , т.е. 13 x является второй точкой минимума и

21123142

min,2 fy .

27. Исследовать выпуклости функции у=3х4 – 4х

3.

Дифференцируем: 23 1212 xxy ; xxy 2436 2 .

Стационарные значения для второй производной:

36х2 – 24х=0, откуда х1=0 и х2= .

3

2

12

+32

0

–0+

x

Вычисляя знаки второй производной в интервалах обычным образом,

заключаем, что обе точки будут точками перегибов заданной функции, причем

при х<0 и х>3

2 функция вогнутая, а при 0<x<

3

2 функция выпуклая.

Ординаты точек перегиба:

у1, пер= f (0)=...=0; у2, пер=

3

2f .59,0

28. Исследовать функцию x

xy

ln и построить ее график.

1) ОДЗ этой функции: x>0. Вертикальная асимптота: х=0.

2) Уже по ОДЗ ясно, что заданная функция общего вида.

3) Определим точку пересечения с осью оХ: 0ln

x

x, откуда 0ln x

и х = 1.

4) Дифференцируем: .ln1

...2x

xy

5) Определим стационарные точки. Значение х=0 исключаем, как не

вошедшее в ОДЗ. Тогда: 0ln1 x , откуда х=е.

6) Выберем второе достаточное условие.

Вторая производная: 3

3ln2

x

xy

.

Тогда 01

...)(3

eey , т.е. точка х = е является точкой максимума,

и 37,0ln

max e

eefy . Заданная функция возрастает при x < e и убывает при x >

e.

7) Определим выпуклости заданной функции. Стационарные значения

второй производной 03ln2

3

x

x, откуда х = е

1,5.

– x+

e1,5

Таким образом, точка х=е1,5

является точкой перегиба, причем слева от нее

функция выпукла, а справа – вогнута. Ордината упер=...=5,1

5,1

e.

8) Проверим горизонтальную асимптоту:

,01

1

1lim

lnlim

xx

xxx

следовательно, ось оХ является горизонтальной

асимптотой.

Всех полученных данных достаточно для построения графика.

13

x

1 e

e10

y

Интегрирование функций является обратной операцией по отношению к

операции дифференцирования, т.е. восстановление функции по заданным

производной или дифференциалу.

Функция F(x) называется первообразной функцией для заданной функции

y = f(x) на отрезке a x y, если в каждой точке этого отрезка ее производная

равна f(x), т.е. )()( xfxF .

Каждая непрерывная функция имеет бесконечное множество первообразных

функций, отличающихся друг от друга на постоянную величину.

Общее выражение F(x) + C для всех первообразных функций от данной

функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и

обозначается dxxf )( ,

где f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным

выражением.

При вычислении неопределенных интегралов необходимо использовать как

стандартную таблицу, так и различные приемы упрощения подынтегральных

выражений, позволяющих свести задачу к табличным интегралам или привести к

такому виду, который позволит воспользоваться справочными таблицами. 29. Вычислить dxxx )45( . В данном случае – приводим к табличному виду

Cxn

dxx nn 1

1

1:

xdxdxxdxxx 45)45( 21 CxxCxx

25,1

215,0

23

10

24

15,05 .

30. Вычислить

dxx

x2

3

sin

1sin.

Здесь для приведения к табличному виду

Cxdx

xCxxdx ctg

sin

1;cossin

2

преобразуем подынтегральное выражение к сумме двух слагаемых:

Cxxdxx

xdxx

x

ctgcos

sin

1sin

sin

1sin22

3

.

Во многих случаях для приведения к табличному виду можно

использовать замену переменной (подстановку). 31. Вычислить интеграл

dxx 124 .

14

Здесь для применения табличной формулы Ca

adxa

xx

ln необходимо

преобразовать показатель степени 2x – 1. Введем подстановку: u = 2x – 1, откуда du = 2dx и dudx

2

1 .

Тогда:

4ln

45,045,05,04

5,0

2

12

4 12u

uux dudu

dudx

dxdu

xu

dx Cx

4ln

45,0

12

.

32. Вычислить интеграл 25 x

xdx.

duuu

du

duxdx

xdxdu

xu

x

xdx 21

2

2 3

1

2

1

2

1

2

5

5

Cxu 221 5 .

33. Вычислить интеграл 2)38( x

dx.

duuu

du

dudx

dxdu

xu

x

dx 2

22 3

1

3

1

3

1

3

38

)38(

Cxu

)38(3

1

3

1.

34. Вычислить интеграл xdxxcos . Интегралы такого типа вычисляются с помощью формулы интегрирования

по частям vduuvudv .

xdxxx

xvxdxdv

dxduxuxdxx sinsin

sincoscos Cxxx cossin

35. Вычислить интеграл xdxx ln2 .

dxx

xx

x

xvdxxdv

dxx

duxu

xdxx1

3ln

3

3

1ln

ln33

32

2 Cxxx

93

ln 33

.

В случае, когда нужно вычислить интеграл от дроби, используется прием

деления «углом». Это возможно тогда, когда степень числителя больше или

равна степени знаменателя. 36. Вычислить интеграл

dx

x

x

1

12.

Разделим: 2x – 1 x+1 , следовательно

2x + 2 2

–3

1

32

1

32

1

12

xxx

x.

Тогда:

Cxx

x

dxdxdx

xdx

x

x)1ln(32

132

1

32

1

12.

37. Вычислить интеграл

dx

x

xx

1

3

.

Делим:

15

x3 + 0 × x2 + x +0 –x + 1

x3

+ x2

–x2 – x – 2

x2

+ x

x2

– x

2x + 0

2x – 2

2

Таким образом: x

xxx

xx

1

22

1

23

, откуда:

dx

xxxdx

x

xx

1

22

1

23

Cxxxx

)1ln(2223

23

.

Если знаменатель дроби разлагается на простые множители (x – xi),

то для интегрирования таких дробей используется метод неопределенных

коэффициентов: 2121 ))(( xx

B

xx

A

xxxx

nmx

.

38. Вычислить интеграл

dx

xx

x

65

22

. Так как )6)(1(652 xxxx , то

6165

22

x

B

x

A

xx

x.

Приведем правую часть к общему знаменателю:

)6)(1(

)1()6(

65

22

xx

xBxA

xx

x.

Отбрасывая знаменатели и открывая скобки, получим

)6()(2 BAxBAx .

Чтобы два алгебраических выражения были тождественно равны, следует

обеспечить равенство соответствующих коэффициентов. Получаем систему

уравнений:

26

1

BA

BA.

Отсюда 7

3A ;

7

4B и

6

1

7

4

1

1

7

3

65

22

xxxx

x.

Таким образом,

67

4

17

3

65

22 x

dx

x

dxdx

xx

xCxx )6ln(

7

4)1ln(

7

3.

39. Вычислить интеграл

dx

xxx

x

)3)(2(

57.

Аналогично предыдущему примеру, имеем:

32)3)(2(

57

x

C

x

B

x

A

xxx

x;

)2()3()3)(2(57 xCxxBxxxAx ;

16

AxCBAxCBAxx 6)23()(570 22 .

Соответствующая система уравнений и ее решение:

15

26;9,0;

6

5;

56

723

0

CBA

A

CBA

CBA

.

Таким образом,

315

26

29,0

6

5

)3)(2(

57

x

dx

x

dx

x

dxdx

xxx

x

Cxxx )3ln(15

26)2ln(9,0ln

6

5.

Понятие определенного интеграла имеет самостоятельное значение в

математическом анализе. Однако их вычисление основано на использовании

формулы Ньютона-Лейбница применительно к известным первообразным. Рассмотрим ряд примеров вычисления определенных интегралов. 40. Вычислить интеграл

4

2

2 )3( dxxx . Первообразная: 2

32

2

3

3)3( x

xdxxx .

По формуле Ньютона-Лейбница:

67,363

1102

2

3

3

24

2

3

3

4

2

3

3

23

23

2

423

xx.

Вычисление значения интеграла обычно принято записывать цепочкой,

без выделения первообразной и формулы Ньютона-Лейбница. 41. Вычислить интеграл

1

0

)( dxex x .

)0(

2

1

2)( 01

2

0

121

0

eeex

dxex xx 218,2718,25,05,015,0 ee .

При замене переменной необходимо сразу преобразовать верхний и нижний

пределы. 42. Вычислить интеграл

3

0

1 dxxx .

2

1

2

2

23

0

2)1(231

101

2

1

1

1

1 uduuu

ududx

ux

xu

xu

dxxx

15

117

3

1

5

12

3

2

5

22

352)(2

35352

1 1

23524

uuduuu .

43. Вычислить интеграл

0

21 x

dx.

Несобственные интегралы первого рода (один или оба предела интегрирования содержат бесконечность и подынтегральная функция непрерывна) вычисляются по той же формуле Ньютона-Лейбница, но с применением теорем о бесконечно малых и бесконечно больших величинах.

17

20

20arctgarctgarctg

100

2

xx

dx.

Здесь использована известная формула 2

tg

или, более строго,

2arctglim

xx

.

44. Вычислить интеграл

1x

dx.

1lnlnln11

xx

dx. Здесь учтено, что 01ln;lnlim

x

x. Интеграл

расходится. 45. Вычислить интеграл

21 x

dx.

Аналогично примеру 59 имеем:

22

)arctg(arctgarctg1 2

xx

dx.

46. Оценить значение интеграла

2

0

2sin1

x

dx с помощью теоремы о среднем

определенного интервала. В случае сложных подынтегральных выражений или «неберущихся»

интегралов для оценки значения интеграла достаточно удобна теорема о

среднем: )()()( abcfdxxfb

a

.

Здесь c – точка внутри интервала интегрирования (т.е. a < c < b),

выбираемая при выполнении расчета. Для практических целей удобно выбирать

середину интервала, т.е. 2

bac

.

Для решения примера выберем 42

20

2

bac .

Тогда:

2

0 22

05,102

4sin1

1

sin1

x

dx.

Точное значение интеграла равно 1,12, т.е. погрешность составила 7%.

Заметим, что удачный выбор точки с может повысить точность вычислений.

Однако середина интервала удобнее для грубой оценки значения интеграла. При необходимости более точных вычислений следует использовать другие методы, из которых рекомендуем формулу трапеций.

47. Вычислить интеграл

1

0

21 x

dx по формуле трапеций.

Формула трапеций имеет вид:

1

1

)(2

)()()(

n

ii

b

a

xfbfaf

n

abdxxf .

Здесь 0Zn – число интервалов разбиения области интегрирования; xi – абсцисса конца интервала, причем x0 = a и xn = b.

Точность формулы зависит от выбираемого значения n. При ответственных

расчетах рекомендуется вычислить интеграл для двух различных значений n (к

18

примеру, n = 8 и n = 12), после чего сравнить результаты. Если они близки, то

расчет закончен. Существует и аналитическая формула для оценки погрешности.

Выберем для данного примера n = 5, т.е. разобьем область интегрирования

10 x на пять интервалов.

Длина интервала 2,05

01

n

abh , следовательно

2

baс

:

x5 1x4 08 ,x3 06 ,x2 04 ,x1 02 ,x0 0В

нашем примере 21

1)(

xxf

. Для вычисления )( ixf удобно оформить расчеты

следующей таблицей:

N xi 21

1)(

i

ix

xf

0 0 1

1 0,2 0,9615

2 0,4 0,8621

3 0,6 0,7353

4 0,8 0,6098

5 1 0,5000

В соответствии с формулой трапеций:

)6098,07353,08621,09615,0(

2

5000,01

5

01

1

1

0

2x

dx7837,0 .

Точное значение этого интеграла 0,7854, т.е. погрешность составила

0,2%. Если повторить расчет, приняв n = 10, то приближенное значение интеграла

будет 0,7850, что отличается от точного на 0,05%. Таким образом, формула трапеций обеспечивает хорошую практическую точность вычислений и легко реализуется на компьютере.

Существуют и другие достаточно удобные формулы приближенного

интегрирования (квадратурные формулы) – Симпсона, Гаусса и др., которые

можно найти в перечисленной в конце темы литературе. 48. Найти площадь полуволны синусоиды. Геометрический смысл определенного интеграла – площадь фигуры,

образованной линией y = f(x), осью 0x и вертикальными прямыми x = a

и x = b. Отсюда следует, что общая формула площади любой фигуры

с учетом того, что по физическому смыслу площадь S не может быть

отрицательной, имеет вид:

b

a

dxxfS )( .

При решении задач на площади рекомендуется предварительно построить эскиз вычисляемой площади. В данном случае:

19

y x sin

0

S

y

x

1

Отсюда:

0

sinxdxS . 00

cossin

xxdx 2)0cos(cos .

Следовательно, 2S 2 квадр. ед. 49. Вычислить площадь фигуры, образованной осью 0x и линией 42 xy

на интервале 50 x .

2

y

x5

–4

0

Эскиз показывает, что линия 42 xy пересекает ось 0x. При вычислении

площади разобьем интеграл на два слагаемых для того чтобы не допустить

алгебраического сложения величин различных знаков. Найдем сначала точку

пересечения функции с осью 0x:

42 xy 21 x 21 x отбрасываем, так как это значение не входит

в интервал 50 x ).

Таким образом, 3

97

3

81

3

16...)4()4(

5

2

22

0

2 dxxdxxS кв. ед.

50. Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y x x 5 2 и

y x 2.

20

2,5

y x x 5 2

y x 2y

x

5

0

Точки пересечения линий определятся из уравнения 22 5 xxx ,

т.е. 5,2;0 21 xx .

Для решения задач со сложным очертанием области удобно использовать

графическое разложение на сумму простейших фигур. Так, в нашем случае:

2,5

y x x 5 2S

0 00 2,5 2,5

S

S2S1

y x 2

Следовательно, чтобы получить искомую площадь S, достаточно

определить площадь S1 для функции 22 5 xxx и вычесть из нее площадь

S2 для функции 2xy , т.е.

21,521,542,10...)5(5,2

0

25,2

0

221 dxxdxxxSSS кв. ед.

С целью более глубокого изучения темы выполните следующие

задания:

1. Вычислить пределы:

1.1. 2

23

21)(

limpxp

pxx

. 1.2. 23

4

22

1 2lim

px

pxxpx

.

1.3. 3

22

12

1

2lim

pxp

pxx

. 1.4.

21

211

2 33lim

1 px

pxpxpx

.

1.5. xp

xpx

2

1

0

sinlim

. 1.6. xpp

xpx

31

3

0 sin

sinlim

.

1.7. x

x x

p

21lim . 1.8. x

xxp

1

10

1lim

.

2. Найти первые производные от функций:

21

2.1. 324,01

pp xxxpy . 2.2. 3)( 321

pxppy .

2.3. 32

21 5

pxpx

xpy

. 2.4. 3

12 xppy .

2.5. x

p

xpy 2

1 1

3

. 2.6.

22

1xpepy .

2.7. xp exy 1 . 2.8.

xp

pxy

2

1cosln .

2.9. x

p

ep

xy

1

2

. 2.10. 23

32

2231 pypyxxp .

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №2. «Метод математической индукции. Правила

произведения и суммы. Размещения, перестановки и сочетания. Повторения

Способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях».

Цель занятия: Изучить метод математической индукции. Правила

произведения и суммы. Размещения, перестановки и сочетания. Повторения

Способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях.

Математическая индукция – метод математического доказательства,

который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для

всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения

с номером 1 – база (базис) индукции, а затем доказывается, что если верно

утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 –

шаг индукции, или индукционный переход.

Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так

называемого принципа домино. Пусть какое угодно число

косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая,

обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается

индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база

индукции). В основе метода математической индукции лежит принцип

математической индукции.

Он заключается в следующем: некоторое утверждение справедливо для

всякого натурального n, если

1. оно справедливо для n = 1 и

2. из справедливости утверждения для какого-либо произвольного

натурального n = k следует его справедливость для n = k+1.

То есть, доказательство по методу математической индукции проводится в

три этапа:

1. во-первых, проверятся справедливость утверждения для любого

натурального числа n (обычно проверку делают для n = 1);

2. во-вторых, предполагается справедливость утверждения при любом

натуральном n=k;

22

3. в-третьих, доказывается справедливость утверждения для числа n=k+1,

отталкиваясь от предположения второго пункта.

и), то все косточки в ряду упадут.

Таким образом, индукция позволяет получить множество общих

утверждений на основе известных или очевидных фактов. А метод

математической индукции призван определить справедливость полученных

утверждений.

В качестве примера, рассмотрим числовую

последовательность: , n – произвольное

натуральное число. Тогда последовательность сумм первых n элементов этой

последовательности будет следующая

Исходя из этого факта, по индукции можно утверждать, что .

Комбинаторика – это наука о расположении элементов в определенном

порядке и о подсчете числа способов такого расположения.

Комбинаторный принцип умножения если одну часть действия можно

выполнить способами, а другую – способами, то все действие можно

выполнить числом способов.

Пример. Пусть требуется составить набор из ручки, карандаша и линейки.

Имеется:

5 различных ручек,

7 различных карандашей,

10 различных линеек.

Сколькими способами можно составить требуемый набор?

Решение. Действием в данном случае является составление набора из ручки,

карандаша и линейки; действие распадается на три этапа (части): выбрать ручку,

выбрать линейку и выбрать карандаш. Первую часть действия – выбрать ручку –

можно выполнить пятью способами, вторую часть действия – выбрать карандаш

– можно выполнить семью способами, третью часть действия – выбрать линейку

– можно выполнить десятью способами. Тогда все действие можно выполнить

Число способов. Т.е. возможно 350 вариантов такого набора.

23

Пример. Сколько существует наборов длины из нулей и единиц?

Решение. Действием в данном случае является составление набора

длины из нулей и единиц.

Набор будет составлен, если все позиций (мест) будут заполнены нулями

и единицами. Действие распадается на частей: заполнить первую позицию,

вторую и т.д., заполнить -ю позицию. Первую часть действия – написать

первую компоненту – можно двумя способами: можно написать 0, а можно

написать 1, написать вторую компоненту тоже можно двумя способами, и так

все мест в наборе: на каждом месте можно написать либо 0 либо 1:

Тогда все действие согласно комбинаторному принципу умножения можно

выполнить числом способов:

Комбинаторный принцип сложения. Если два действия взаимно

исключают друг друга, и одно из них можно выполнить способами, а другое –

способами, то оба действия можно выполнить числом способов.

Пример.

Выборкой объема из множества называется всякая

последовательность из элементов множества .

Если элементы в выборке не повторяются, то выборка

называется бесповторной, иначе – выборкой с повторениями

При бесповторной выборке все равно, каким образом осуществляется

выбор: берутся все элементы сразу, или же поочередно (по одному).

Расположение элементов выборки в определенном порядке

называется упорядочением , при этом выборка называется упорядоченной, в

противном случае – неупорядоченной.

24

Рассмотрим бесповторную выборку

Расположение различных элементов в определенном порядке

называется перестановкой без повторений из элементов.

Например, на множестве из трех элементов возможны следующие

перестановки: .

Число различных перестановок без повторений из элементов

обозначается и равно , т.е.

Сочетанием без повторений из элементов по называется

неупорядоченное -элементное подмножество -элементного множества. Число

сочетаний без повторений из элементов по равно :

Например, требуется подсчитать, сколькими способами можно составить

бригаду из трех человек для дежурства в группе из 30 человек. Поскольку

порядок расположения людей в бригаде не фиксируется и люди не повторяются,

то мы имеем случай сочетаний из 30 элементов по 3 без повторений:

.

Таким образом, бригаду дежурных из трех человек в группе из 30 человек

можно выбрать 4060 различными способами.

Размещением без повторений из элементов по называется

упорядоченное -элементное подмножество -элементного множества.

Теорема.

Число размещений без повторений из элементов по равно:

.

Доказательство. Чтобы получить упорядоченное -элементное

подмножество -элементного множества, нужно выполнить два этапа:

выбрать элементов из (это можно выполнить числом способов) и затем

упорядочить выбранные элементы (это можно сделать числом способов).

Согласно комбинаторному принципу умножения, все действие – получить

упорядоченное -элементное подмножество -элементного множества –

можно числом способов.

25

Свойства сочетаний без повторений:

1)

Доказательство. Поскольку и , то

утверждаемое очевидно.

2) (без доказательства).

Значения могут быть найдены не расчетом по формуле количества

сочетаний, а с помощью так называемого треугольника Паскаля. (Блез Паскаль

(1623 – 1662) – французский математик).

Этот треугольник имеет вид:

1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

Закономерность его построения такова: складывая две рядом стоящие числа,

получаем число, стоящее ниже между ними. Первая строчка – значения числа

сочетаний из 1 ( ), вторая – из 2 ( – слева направо), и т.д.

Рассмотрим выборку с повторениями

Пусть имеется выборка из элементов, причем элементов из них –

одинаковые.

1. Число различных перестановок на элементах такой выборки равно:

- число перестановок с повторениями на множестве из

элементов

2. Сочетание с повторениями из элементов по – неупорядоченная

выборка элементов с возвращением из множества, содержащего элементов:

26

– число различных сочетаний с повторениями из

элементов по

3. Размещения с повторениями из элементов по – расположение

различных шаров по различным ячейкам

– число различных размещений с повторениями

Пример. Сколько различных 4-буквенных слов можно составить из

символов ?

Решение. Другими словами, требуется найти число перестановок с

повторениями на 4 элементах выборки, в которой два элемента одинаковы:

Пример. Сколько различных перестановок можно составить из букв

слова АБАКАН?

Решение. Требуется найти число перестановок на множестве из 6 элементов,

среди которых три элемента одинаковы:

.

Верно обобщение рассматриваемой формулы: число различных

перестановок на множестве из элементов, среди которых имеется

элементов первого вида,

элементов второго вида,

…

элементов -го вида

равно:

27

Пример. Сколько перестановок можно получить из букв слова

КОЛОКОЛА?

Решение. Требуется найти число перестановок с повторениями на

множестве из 8 букв, среди которых:

буква К повторяется 2 раза;

буква О повторяется 3 раза;

буква Л повторяется 2 раза

буква А повторяется 1 раз.

Таким образом, .

Пример. Сколькими способами можно составить набор из 5 шоколадок,

если имеются шоколадки трех сортов в количестве по 10 штук каждого вида?

Решение. Поскольку при составлении шоколадного набора порядок

расположения шоколадок не важен, то используем для подсчета формулу

сочетаний с повторениями:

Пример. Сколькими способами можно рассадить 7 человек по 9 вагонам?

Решение. Поскольку по условию задачи в один вагон могут сесть несколько

человек, и поскольку рассадка зависит от того кто в каком вагоне находится, то

используем формулу размещения с повторениями:

Эту же задачу можно решить, применяя комбинаторный принцип

умножения: действие – рассадить 7 человек распадается на 7

этапов: разместить первого пассажира, разместить второго пассажира, …,

разместить седьмого пассажира. Первый этап – размещение первого пассажира

можно выполнить 9 способами, второго пассажира тоже можно разместить 9

способами, и т.д. :

Пример. Сколькими способами можно рассадить 7 человек по 9 вагонам по

одному в вагон?

28

Решение. Поскольку по условию задачи в один вагон могут сесть только

один человек, и поскольку рассадка зависит от того кто в каком вагоне находится,

то используем формулу размещений без повторений:

Эту же задачу можно решить, применяя комбинаторный принцип

умножения: действие – рассадить 7 человек распадается на 7

этапов: разместить первого пассажира, разместить второго пассажира, …,

разместить седьмого пассажира. Первый этап – размещение первого пассажира

можно выполнить 9 способами, второго пассажира тоже можно разместить 9

способами, и т.д. :

Пример. Сколько различных сигналов можно составить из четырех флажков

различных цветов, если каждый сигнал должен состоять не менее чем из двух

флажков?

Решение. Составить сигнал можно из двух флажков, из трех или из четырех.

Перечисленные ситуации взаимно исключают друг друга (два флажка – это не

три и не четыре), поэтому вычислим, сколькими способами можно составить

сигнал в каждой из перечисленных ситуаций, и сложим полученные результаты.

Действие – составить сигнал – означает выбрать флажки из четырех и

расположить их в определенном порядке. Таким образом, в каждом случае нужно

выполнить два этапа: первый – выбрать флажки, второй – расположить

выбранные флажки в определенном порядке.

Составляем сигналы из двух флажков: выбрать два флажка из четырех

можно различными способами, и расположить выбранные

два флажка в определенном порядке можно числом способов. Таким образом,

согласно комбинаторному принципу умножения, можно составить

различных сигналов из двух флажков.

Составляем сигналы из трех флажков: выбрать три флажка из четырех

можно различными способами, и расположить выбранные

три флажка в определенном порядке можно числом способов. Таким

образом, согласно комбинаторному принципу умножения, можно

составить различных сигналов из трех флажков.

Составляем сигналы из четырех флажков: выбрать четыре флажка из

четырех можно – одним способом, а расположить выбранные

29

четыре флажка в определенном порядке можно способами. Значит,

можно составить различных сигнала из четырех флажков.

Применим теперь комбинаторный принцип сложения: всего

существует сигналов из не менее, чем двух флажков.

Пример. Номер автомобиля состоит из трех букв и трех цифр. Сколько

различных номеров можно составить, используя 10 цифр и алфавит в 30 букв.

Очевидно, что количество всех возможных комбинаций из 10 цифр по 4

равно 10.000.

Число всех возможных комбинаций из 30 букв по две равно .

Если учесть возможность того, что буквы могут повторяться, то число

повторяющихся комбинаций равно 30 (одна возможность повтора для каждой

буквы). Итого, полное количество комбинаций по две буквы равно 900.

Если к номеру добавляется еще одна буква из алфавита в 30 букв, то

количество комбинаций увеличивается в 30 раз, т.е. достигает 27.000

комбинаций.

Окончательно, т.к. каждой буквенной комбинации можно поставить в

соответствие числовую комбинацию, то полное количество автомобильных

номеров равно 270.000.000.

Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих применение комбинаторных

формул в задачах.

1. Упростить выражение

!7!2

!9

!6!3

!8

!10

!4!7B .

Было бы неправильным просто вычислить все факториалы, после чего

перейти к арифметике – слишком большие числа. Используем, где возможно,

расчленение факториалов:

30

1

720

24

1098

4321

1098!7

!4!7

!10

!4!7

; 84

321

987

!6!3

987!6

!6!3

!8

;

3621

98

!7!2

98!7

!7!2

!9

. Следовательно, 6,1

30

483684

30

1B .

2. Упростить выражение

!3!1

!1

1

!5

m

m

mmA .

Напомним, что 1!!1 mmm ; m

mm

!!1 и 54!3!5 , тогда

2054

!3!

)1(!

)1(

54!3

m

m

mm

mmA .

3. При расследовании хищения установлено, что у преступника

семизначный телефонный номер, в котором ни одна цифра не повторяется.

30

Следователь, полагая, что перебор этих номеров потребует одного-двух часов,

доложил о раскрытии преступления. Прав ли он?

Известно, что любое число может быть записано с использованием десяти

цифр – 0, 1, ..., 9. Так как телефонные номера обычно не начинаются с 0, то

задача состоит в вычислении числа комбинаций из девяти различных цифр по 7.

Очевидно, что это размещение по семи различным местам семи из девяти

различных цифр, т.е.

440181

!2

9876543!2

!2

!9

!79

!979

A номеров.

Даже если на проверку одного номера тратить 1 минуту, то на все

уйдет 3024 часа или 126 суток. Таким образом, следователь не прав.

4. Сколькими способами семь разных учебников можно поставить

на полке в один ряд?

Так как порядок учебников по условию значения не имеет, то имеем задачу о

числе перестановок семи разных книг. Следовательно,

50407654321!77 P способов.

5. В штате прокуратуры областного центра имеется пять следователей.

Сколькими способами можно выбрать двух из них для проверки оперативной

информации о готовящемся преступлении?

Поскольку не имеет значения, какой сотрудник будет первым, а какой –

вторым, т.е. необходим выбор двух разных сотрудников из пяти возможных, то

это задача о сочетаниях из пяти человек по два. Следовательно:

10

!3!2

54!3

!3!2

!5

!25!2

!525

C способов.

6. В розыгрыше первенства по футболу среди вузов принимает участие 16

команд, при этом любые две команды играют между собой только один матч.

Сколько всего календарных игр?

Данная задача о числе выборок из 16 по 2. Таким образом,

120!14!2

1615!14

!14!2

!16

)!216(!2

!16216

C игр.

7. Изменим условия примера 3. Пусть стало известно, что в телефонном

номере преступника встречаются только цифры 2, 4, 5 и 7. Насколько

уменьшится перебор всех возможных номеров?

Таким образом, в семизначном телефонном номере встречаются только

четыре цифры, остальные три, очевидно, повторяют какие-то из имеющихся.

Следовательно, имеем задачу о размещениях из четырех цифр по семи, т.е. с

повторениями.

Решение:

A47(повт.) = 4

7 =16384 номера.

Перебрать все эти номера можно примерно за 11 суток, что почти в 10 раз

меньше, чем в примере 3.

8. Сколькими способами можно разложить в ряд две зеленые и четыре

красные папки?

31

Так как названия папок не указываются, а критерием является цвет,

то задача состоит в расположении шести цветных папок двух цветов. Имеем

случай перестановок с повторениями. Следовательно,

15!4!2

65!4

!4!2

!64,26

P способами.

9. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «какао», чтобы

получились все возможные различные наборы букв?

В заданном слове 5 букв, причем «к» и «а» повторяются по два раза, а «о»

встречается один раз. Таким образом, 30!1!2!2

!51,2,25 P способов.

10. В кондитерской имеется пять разных видов пирожных. Сколькими

способами можно выбрать набор из четырех пирожных?

Ясно, что можно выбрать как различные виды пирожных, так и

повторяющиеся, и даже составить набор из четырех одинаковых пирожных.

Так как порядок следования пирожных в наборе не имеет значения, то эта

задача относится к классу сочетаний с повторениями.

Следовательно, 45C (повт.) 70

!4!4

!84154 C способами.

С целью более глубокого изучения темы выполните следующие

задания:

1. Вычислить

!12

!12

!1

!1

!2

!

2

2

1

1

3

3

p

p

p

p

p

p.

2. С помощью правила симметрии вычислить: 3

3

2

2

1

1 232 32 p

ppp

pp CCCA

.

3. В учебной группе 32 pp студентов.

Сколькими способами их можно разбить на бригады по p1 человек?

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №3. «События и операции над ними.

Определение вероятности. Сложение и умножение вероятностей. Условная

вероятность. Полная вероятность. Формула Байеса. Случайные величины. Закон

распределения вероятностей. Основные распределения. Числовые

характеристики случайной величины. Способность работать с информацией в

глобальных компьютерных сетях»

Цель занятия: Изучить события и операции над ними. Определение

вероятности. Сложение и умножение вероятностей. Условная вероятность.

Полная вероятность. Формула Байеса. Случайные величины. Закон

распределения вероятностей. Основные распределения. Числовые

характеристики случайной величины. Способность работать с информацией в

глобальных компьютерных сетях.

Рассмотрим ряд примеров, иллюстрирующих вычисление вероятностей

событий и анализ дискретных случайных величин.

1. Брошены два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма

очков на выпавших гранях равна пяти, а произведение – четырем.

32

Каждый кубик при бросании дает одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. Так как оба

кубика бросаются независимо, то по теореме умножения общее число исходов: 6

· 6 = 36.

Ясно, что удовлетворить условию задачи возможно только двумя

сочетаниями очков: 1, 4 или 4, 1. То есть только два исхода благоприятствуют

условию задачи. Следовательно, по определению вероятности:

056,018

1

36

2AP .

2. В коробке имеется 15 шаров, из которых 10 окрашены, а 5 –

прозрачные. Извлекаем, не глядя, три шара. Какова вероятность того, что все

они будут окрашены?

Общее число исходов при извлечении шаров:

455)!310(!3

!15315

Cn .

Благоприятных исходов того, что все шары окрашены:

120

!310!3

!10310

Cm .

Следовательно, 264,091

24

455

120AP .

3. В библиотеке на стеллаже расставлено 15 учебников по математике,

причем только 5 из них пригодны для студентов юридического факультета.

Студент наудачу выбирает 3 учебника. Какова вероятность того, что хотя бы

один из учебников – тот, что нужен?

Всего три учебника из 15 можно выбрать:

455)!310(!3

!15315

Cn способами.

Ненужные учебники при этом (из 10 шт.) могут быть выбраны:

120

!310!3

!10310

Cm способами.

Следовательно, вероятность того, что все учебники непригодны:

264,091

24

455

120

n

mAP .

Поскольку события А – «хотя бы один учебник пригоден» и A – «все три

учебника непригодны» противоположны и составляют полную группу, то:

1 APAP .

Следовательно, 736,0264,011 APAP .

4. Два стрелка одновременно стреляют по мишени. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,7, второго – 0,8. Найти вероятность того, что в мишень попадет только один стрелок.

Так как два стрелка стреляют одновременно и независимо друг от друга, то, используя противоположные события «попадание – промах» и правило умножения вероятностей, получим следующие варианты событий:

– попадают оба стрелка: 56,08,07,021 PP ;

33

– попадает первый стрелок и не попадает второй: 14,02,07,021 PP ;

– попадает второй и промах у первого: 24,08,03,021 PP ;

– промах обоих стрелков: 06,03,02,021 PP .

Эти события образуют полную группу, так как

106,024,014,056,0 .

Решением задачи, по правилу сложения, будет:

38,024,014,02121 PPPP .

5. Программа экзамена содержит 25 вопросов, из которых студент знает 20. Преподаватель последовательно задает три вопроса. Найти вероятность того, что студент сможет ответить на все вопросы А, В, С.

Вероятность того, что первый вопрос экзаменатора будет из числа

известных студенту, равна 25

20AP .

Таким образом, остается 24 вопроса, из которых 19 известны. Следовательно,

24

19/ ABP .

Аналогично, вероятность того, что студент ответит и на третий вопрос:

23

18/ ABCP .

Таким образом, вероятность отличной оценки:

496,023

18

24

19

25

20// ABCPABPAP .

6. В мешок, содержащий два шара неизвестного цвета, опущен белый шар. После встряхивания извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны любые предположения о цвете двух шаров, находившихся в мешке.

Пусть А – событие извлечения белого шара. Построим предположения

о первоначальном составе шаров:

В1 – белых шаров нет;

В2 – один белый шар из двух;

В3 – оба шара белые.

Так как гипотезы В1, В2 и В3 по условию равновероятны, то

3

1321 BPBPBP .

А теперь промоделируем извлечение:

– если в мешке первоначально не было белых шаров, то:

3

1/ 1 BAP , так как только одно событие из трех благоприятно;

– в мешке уже был один белый шар, следовательно:

3

2/ 2 BAP , так как уже два события из трех благоприятны;

– в мешке оба шара были белые:

13

3/ 3 BAP .

34

Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, найдем

по формуле полной вероятности:

332211 /// BAPBPBAPBPBAPBPAP

3

21

3

1

3

2

3

1

3

1

3

1 .

7. Два автомата производят одинаковые детали. Производительность

первого автомата в два раза больше производительности второго. Вероятность

производства отличной детали у первого автомата равна 0,60,

а у второго 0,84. Наудачу взятая для проверки деталь оказалась отличного

качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым

автоматом.

Пусть А – событие: деталь отличного качества. Имеем две гипотезы:

В1 – деталь произведена первым автоматом. Тогда 3

21 BP , так как этот

автомат производит, согласно условию, деталей в два раза больше второго.

В2 – деталь изготовлена вторым автоматом, причем 3

12 BP .

Условные вероятности того, что деталь произведена первым автоматом по

условию: 60,0/ 1 BAP , а вторым – 84,0/ 2 BAP .

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества,

по формуле полной вероятности:

2211 // BABPBAPBPAP 68,084,03

160,0

3

2 .

Искомая вероятность того, что взятая деталь изготовлена первым

автоматом, по формуле Байеса:

588,068,0

6,032111

AP

BAPBP

A

BP .

8. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

X 1 3 6 8

p 0,2 0,1 0,4 0,3

Построить многоугольник распределения.

В прямоугольной системе координат по оси x будем откладывать возможные

значения xi, а по оси y – вероятности этих значений. Построим точки )2,0;1(1M ;

)1,0;3(2M ; )4,0;6(3M и )3,0;8(4M . Соединив эти точки отрезками, получим ответ.

35

xi

M2

M4

M3

M1

9 8 7 6 5 4 3 2 1 10

0,5

0,1

0,2

0,3

0,4

Pi

9. Компьютер состоит из трех независимо работающих элементов:

системного блока, монитора и клавиатуры. При однократном резком

повышении напряжения вероятность отказа каждого элемента равна 0,1.

Исходя из распределения Бернулли, составить закон распределения числа

отказавших элементов при скачке напряжения в сети.

Возможные значения величины X (число отказов):

x0 =0 – ни один из элементов не отказал;

x1 =1 – отказ одного элемента;

x2 =2 – отказ двух элементов;

x3 =3 – отказ всех элементов.

Так как по условию p = 0,1, то q = 1 – p = 0,9. Используя формулу Бернулли,

получим

729,09,00 3330033 qqpCP ,

243,09,01,0331 2221133 pqqpCP ,

027,09,01,0332 2212233 qpqpCP ,

001,01,03 3303333 pqpCP .

Контроль: 1001,0027,0243,0729,0 .

Следовательно, искомый закон распределения:

X 0 1 2 3

p 0,729 0,243 0,027 0,001

10. Произведено 500 выстрелов из винтовки. Вероятность негодного

патрона 002,0p . Найти вероятность того, что в серии было ровно три

осечки.

Так как n = 500 велико, а вероятность 002,0p мала и все выстрелы

независимы, то имеет место формула Пуассона:

!ke

npkP

np

k

n .

Следовательно, 061,0!3

)002,0500(3

002,0500

3

500

eP .

36

11. Найти числовые характеристики случайной величины X, заданной

законом распределения: X -5 2 3 4

p 0,4 0,3 0,1 0,2

Математическое ожидание:

3,02,041,033,024,05 XM .

Запишем закон распределения X 2:

X 2 25 4 9 16

p 0,4 0,3 0,1 0,2

Математическое ожидание:

3,152,0161,093,044,025)( 2 XM .

Находим дисперсию:

21,15)3,0(3,15)]([)( 222 XMXMXD .

Стандарт 9,321,15σ XDX .

12. Случайная величина X задана законом распределения Х 1 2 4

p 0,1 0,3 0,6

Найти начальные и центральные моменты первых трех порядков.

Найдем сначала начальные моменты )(ν kk XM .

1,36,043,021,01ν1 XM ;

9,106,0163,041,01)(ν 22 XM ;

9,406,0643,081,01)(ν 33 XM .

Теперь найдем центральные моменты kk XMXM )]([μ .

0μ 01 xMXMXM ;

XD 29,11,39,10ννμ 22122 ;

888,01,329,101,339,40ν2νν3νμ 3312133 .

С целью более глубокого изучения темы выполните следующие

задания:

1. Бросаются три игральных кубика.

Определить вероятность появления ровно p2 очков.

2. Среди (p1 + p2 + p3) деталей имеются четыре бракованных. Произвольно

вынимаются пять деталей.

Какова вероятность того, что среди них хотя бы одна бракованная?

3. На экзамен вынесено (p1·p2·p3) вопросов, причем студент может ответить

на три четверти этих вопросов. Для получения тройки надо ответить не менее чем

на три вопроса, четверки – на четыре и пятерки – на пять.

Определить вероятность получения студентом оценок 2, 3, 4 и 5.

4. На трех станках изготавливаются патроны. На первом станке в

минуту изготавливается p1 патронов, на втором – p2 и на третьем – p3.

Установлено, что после одного часа работы на первом станке 2% патронов, на

втором 3% и на третьем 5% являются дефектными. На контроль берется один

патрон после каждого часа работы.

Определить полную вероятность того, что он будет дефектным.

37

5. Два студента на практике в налоговой полиции проверяют правильность

заполнения налоговых деклараций членами Правительства РФ.

Первый студент обрабатывает 60% деклараций, второй – 40%. Вероятность

того, что первый студент допустит ошибку при обработке, равна 100

1p, а

вероятность ошибки второго – 100

2p. Руководитель практики для контроля проверил

одну декларацию и выявил ошибку проверки.

По формуле Байеса определить вероятность того, что ошибся первый

студент. 6. В партии, содержащей (p1·p2·p3) упаковок чая, имеется 6 упаковок,

в которых чай подменен наркотиком. Наудачу берется 5 упаковок.

Построить ряд и многоугольник распределения числа упаковок с чаем

среди отобранных.

7. Монету бросают p1 раз.

Написать распределение Бернулли для случайной величины X – числа

появлений орла в процессе испытания.

8. Учебник по математике издан тиражом 100 000 экз. Вероятность

бракованного экземпляра000101p

p .

С помощью распределения Пуассона найти вероятность того, что в

тираже будет ровно p2 бракованных книг.

9. Для закона распределения, заданного таблицей:

Х 1 2 4 7 8 10

p a1 a2+0,04 a3+0,01 a1+a2 a2+a3 0,95-(2a1+3a2+2a3)

где 100

11

pa ;

1002

2

pa ;

1003

3

pa ,

определить математическое ожидание, дисперсию и стандарт случайной величины X.

Практическая работа №4. «Генеральная совокупность. Выборка.

Вариационный ряд. Полигон и гистограмма. Характеристики генеральной

совокупности. Выборочные средняя и дисперсия. Оценка генеральной

совокупности по выборке. Исправленные оценки. Статистическая гипотеза,

понятие о проверке гипотез.»

Цель занятия: Изучить понятия:

Генеральная совокупность.

Выборка.

Вариационный ряд.

Полигон и гистограмма.

Характеристики генеральной совокупности.

Выборочные средняя и дисперсия.

Оценка генеральной совокупности по выборке.

Исправленные оценки.

Статистическая гипотеза, понятие о проверке гипотез.

38

Научиться решать задачи.

Наблюдения над биологическими объектами могут охватывать все члены

изучаемой совокупности без единого исключения или ограничиваться

обследованием лишь некоторой части членов данной совокупности. В первом

случае наблюдения называют полными или сплошными, во втором – частичными

или выборочными. Полное обследование совокупности позволяет получать

исчерпывающую информацию об изучаемом объекте, в чем и заключается

преимущество этого способа перед способом выборочного наблюдения. Однако к

сплошному наблюдению прибегают редко, так как эта работа сопряжена с

большими затратами времени и труда, а также в силу практической

невозможности или нецелесообразности проведения такой работы. Невозможно,

например, учесть всех обитателей зоо- или фитопланктона даже небольшого

водоема, потому что их численность практически необозрима. Нецелесообразно

высевать всю партию семян для того, чтобы определить их всхожесть. В

подавляющем большинстве случаев вместо сплошного наблюдения изучению

подвергают некоторую часть обследуемой совокупности, по которой и судят о ее

состоянии в целом.

Совокупность, из которой отбирают определенную часть ее членов для

совместного изучения, называют генеральной. Отобранная тем или иным

способом часть генеральной совокупности получила название выборочной

совокупности или выборки. Общую сумму членов генеральной совокупности

называют ее объемом и обозначают буквой N. Теоретически объем генеральной

совокупности ничем не ограничен, т. е. генеральную совокупность представляют

как бесконечно большое множество относительно однородных единиц или

членов, составляющих ее содержание. Практически же объем генеральной

совокупности всегда ограничен и может быть различным в зависимости от

объекта наблюдения и той задачи, которую приходится решать. Например, при

определении продуктивности животных той или иной породы или вида

генеральную совокупность составят все особи данной породы или вида. Если же

вопрос о продуктивности животных решают в зоне данной области или района,

то генеральную совокупность составят все животные изучаемой породы,

распространенной в данной области или районе.

Объем выборки, обозначаемый буквой п, может быть и большим, и малым,

но он не может содержать менее двух единиц. Выборочный метод – основной

при изучении статистических совокупностей. Его преимущество перед полным

учетом всех членов генеральной совокупности заключается в том, что он

сокращает время и затраты труда (за счет уменьшения числа наблюдений), а

главное – позволяет получать информацию о таких групповых объектах,

сплошное обследование которых практически невозможно или нецелесообразно.

Основное требование, предъявляемое к любой выборке, сводится к

получению наиболее полной информации о состоянии генеральной

совокупности, из которой выборка взята. Опыт показал, что правильно

отобранная часть генеральной совокупности, т.е. выборка, довольно хорошо

отображает структуру генеральной совокупности. Однако полного совпадения

выборочных показателей с характеристиками генеральной совокупности, как

39

правило, не бывает. Чтобы выборка наиболее полно отображала структуру

генеральной совокупности, она должна быть достаточно представительной, или

репрезентативной. Репрезентативность выборки достигается способом

рандомизации (от англ. random – случай) или случайным отбором вариант из

генеральной совокупности, что обеспечивает равную возможность для всех

членов генеральной совокупности попасть в состав выборки.

Существует два основных способа отбора вариант из генеральной

совокупности: повторный и бесповторный. Повторный отбор производят по

схеме «возвращения» учтенных единиц в генеральную совокупность, так что

одна и та же единица может попасть в выборку повторно. При бесповторном

отборе учтенные единицы не возвращаются в генеральную совокупность,

каждая отобранная единица регистрируется только один раз. Повторный отбор не

влияет на состав генеральной совокупности, и возможность каждой единицы

попасть в выборку не меняется. При бесповторном отборе возможность единиц,

составляющих генеральную совокупность, попасть в выборку меняется, так как

каждый предшествующий отбор влияет на результаты последующего, а также и

на состав генеральной совокупности, который тоже претерпевает изменения. В

практике обычно применяют бесповторный случайный отбор. Так, если

измеряют рост мужчин призывного возраста, то, измерив одного из них,

вторично его уже не измеряют. Случайный повторный отбор служит

теоретической моделью, с помощью которой изучают процессы, совершающиеся

в статистических совокупностях, что имеет определенное познавательное

значение.

Идеальный случайный отбор производится по методу жеребьевки или

лотереи, а также с помощью таблицы случайных чисел.

Наряду с простым случайным отбором в практике применяют и другие виды

выборки из генеральной совокупности. К ним относится типический, серийный

и механический отбор. Типический отбор используют в тех случаях, когда

генеральная совокупность расчленяется на отдельные (типические) группы.

Например, в хозяйстве среди крупного рогатого скота находятся первотелки,

группы коров по второму, третьему и другим отелам. В таких случаях из каждой

группы случайным способом отбирают одинаковое, а чаще пропорциональное

число единиц. Затем вычисляют групповые характеристики, объединяемые в

общую характеристику генеральной совокупности.

При серийном отборе, как и при типическом, генеральную совокупность

предварительно делят на группы (серии, гнезда), образуемые обычно по

территориальному принципу. Затем по усмотрению исследователя из общего

количества серий или гнезд отбирают некоторое их число для совместной

обработки. При этом серии могут быть как равночисленными, так и состоять из

разного числа единиц. Например, из 30 групп подростков в возрасте от 14 до 15

лет намечено обследовать выборочно шесть групп. Членов этих групп и

объединяют для совместного изучения. Таким образом, в отличие от типического

отбора при серийной выборке из генеральной совокупности извлекают не

отдельные единицы, а целые серии или гнезда относительно однородных единиц.

40

При механическом отборе генеральная совокупность разбивается на

несколько равных частей или групп. Затем из каждой группы случайным

способом отбирают по одной единице. Например, при обследовании посева ржи

на урожайность намечено отобрать 100 растений (или колосьев). В таком случае

поле ржи должно быть разбито на сто равных делянок. Следовательно, при

механическом отборе число единиц равно численности групп, на которые

разбита генеральная совокупность.

Числовые показатели, характеризующие генеральную совокупность,

называют параметрами, а числовые показатели, характеризующие выборку,–

выборочными характеристиками или статистиками. Выборочные

характеристики являются приближенными оценками генеральных параметров.

Это величины случайные, варьирующие вокруг своих параметров. Оценки

генеральных параметров по выборочным характеристикам могут быть

точечными и интервальными.

Генеральные характеристики, или параметры, принято обозначать буквами

греческого алфавита, а выборочные характеристики– латинского. Выборочная

средняя x является оценкой генеральной средней а, выборочная дисперсия sx2–

оценкой генеральной дисперсии x2, а среднее квадратическое отклонение sx –

оценкой стандартного отклонения х, характеризующего генеральную

совокупность. Это точечные оценки, представляющие собой не интервалы, а

числа («точки»), вычисляемые по случайной выборке.

Требования, предъявляемые к точечным оценкам.

Выборочные характеристики как величины случайные, варьирующие вокруг

своих генеральных параметров, в основном не совпадают с ними по абсолютной

величине. Для того чтобы статистические оценки давали «хорошие»

приближения оцениваемых параметров, они должны удовлетворять

определенным требованиям. Оценки должны удовлетворять по меньшей мере

следующим требованиям: быть состоятельными, эффективными и

несмещенными.

Для пояснения смысла этих свойств необходимо рассмотреть понятие

выборочного распределения некоторой статистики. Пусть из бесконечно

большой генеральной совокупности случайным образом извлекается большое

число выборок, каждая из которых включает одно и то же количество

наблюдений п. В каждой из этих выборок вычисляют значение статистики и. В

силу случайных причин эти величины будут варьировать, образуя некоторое

распределение, которое называют выборочным распределением статистики.

В тех случаях, когда распределение анализируемого признака не слишком

сильно отличается от нормального вида, а объем выборок не слишком мал, очень

часто выборочные распределения многих статистик оказываются нормальными.

Поэтому их свойства можно описать только двумя параметрами: математическим

ожиданием статистики аu и ее дисперсией 2u; если же есть основание считать,

что признак имеет, например, распределение Пуассона, то необходимо оценить

параметр , которым это распределение определяется.

41

Точечная оценка статистики называется состоятельной, если при

увеличении объема выборки она стремится к величине генерального параметра.

Так, для генеральной средней состоятельной оценкой является выборочная

средняя, для генеральной дисперсии состоятельной оценкой будет выборочная

дисперсия.

Точечная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую

дисперсию выборочного распределения по сравнению с другими аналогичными

оценками, т. е. обнаруживает наименьшую случайную вариацию.

Оценка называется несмещенной, если математическое ожидание ее

выборочного распределения совпадает со значением генерального параметра.

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно

количественного признака Х извлечена выборка объёма n.

Выборочной средней вx называют среднее арифметическое значение

признака выборочной совокупности.

Если все значения nxxx ,...,, 21 признака выборки объёма n различны, то

n

xxxx n

в

...21

.

Если же значения признака kxxx ,...,, 21 имеют соответственно частоты

kfff ,..., 21 , то n

fx

x

k

iii

в

1

.

Замечание. Выборочная средняя, найденная по данным одной выборки, есть,

очевидно, определённое число. Если же извлекать другие выборки того же

объёма из той же генеральной совокупности, то выборочная средняя будет

изменяться от выборки к выборке. Таким образом, выборочную среднюю можно

рассматривать как случайную величину, а, следовательно, можно говорить о

распределениях выборочной средней и о числовых характеристиках этого

распределения (его называют выборочным), в частности, о математическом

ожидании и дисперсии выборочного распределения.

Для того, чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений

количественного признака выборки вокруг своего среднего значения вx , вводят

сводную характеристику – выборочную дисперсию.

Выборочной дисперсией вD называют среднее арифметическое квадратов

отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения вx .

Если все значения nxxx ,...,, 21 признака выборки объёма n различны, то

n

xx

D

n

iвi

в

1

2)(

.

Если значения признака kxxx ,...,, 21 имеют соответственно частоты

kfff ,...,, 21 , причём nfff k ...21 , то

42

n

fxx

D

k

iiвi

в

1

2)(

.

Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы её математическое

ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить

вD на дробь 1n

n

. Сделав это, получим исправленную дисперсию, которую

обычно обозначают через 2s :

1

)()(

111

2

1

2

2

n

fxx

n

fxx

n

nD

n

ns

k

iiвi

k

iiвi

в

.

Исправленная дисперсия является, несмещённой оценкой генеральной

дисперсии.

Итак, в качестве оценки генеральной дисперсии принимают исправленную

дисперсию 1

)(1

2

2

n

fxx

s

k

iiki

.

Кроме дисперсии для характеристики рассеяния значений признака

выборочной совокупности вокруг своего среднего значения пользуются сводной

характеристикой – средним квадратическим отклонением.

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартным)

называют квадратный корень из выборочной дисперсии: вв D.

Для оценки же среднего квадратического отклонения генеральной

совокупности используют «исправленное» среднее квадратическое отклонение,

которое равно квадратному корню из исправленной дисперсии:

1

)(1

2

n

fxx

s

k

iiвi

.

Замечание. Сравнивая формулы n

fxx

D

k

iiвi

в

1

2)(

и 1

)(1

2

2

n

fxx

s

k

iiki

, видим,

что они отличаются лишь знаменателями. Очевидно, при достаточно больших

значениях n объёма выборки выборочная и исправленная дисперсии различаются

мало. На практике пользуются исправленной дисперсией, если примерно n<30.

Пример 1. Среди свиноматок хозяйства было выбрано 64 свиноматки,

данные по опоросам среди которых следующие:

8; 10; 6; 10; 8; 5; 11; 7; 10; 6; 9; 7; 8; 7; 9;11; 8; 9; 10; 8; 7; 8; 11; 8; 7; 10; 8; 8;

5; 11; 8; 10; 12; 7; 5; 7; 9; 7; 10; 5; 8; 9; 7; 12; 8; 9; 6; 7; 8; 7; 11; 8; 6; 7; 9; 10.

Определим среднее выборочное число поросят в пометах 64 свиноматок и

вычислим показатели вариации для этой выборки. Предварительно рассчитаем

вспомогательные величины в табл. 1.

43

Таблица 1.

Классы xi Частоты fi xi*fi xi-xв (xi-xв)2(xi-xв)

2*fi

5 4 20 -3,25 10,56 42,25

6 7 42 -2,25 5,06 35,44

7 13 91 -1,25 1,56 20,31

8 15 120 -0,25 0,06 0,94

9 7 63 0,75 0,56 3,94

10 9 90 1,75 3,06 27,56

11 6 66 2,75 7,56 45,38

12 3 36 3,75 14,06 42,19

Сумма 64 528 2,00 42,50 218,00 Подставляя найденные величины в формулы, имеем:

Выборочная средняя числа поросят в опоросах:

25,864/528

i

ii

вf

fxx

поросят;

Выборочная дисперсия числа поросят:

3,41218/64

)(1

2

n

fxx

D

k

iiвi

в

.

Выборочное cреднее квадратическое отклонение числа поросят в опоросах:

85,141,3 вв D поросят.

Исправленная выборочная дисперсия числа поросят:

3,46218*/63641

2

вDn

ns

.

Исправленное cреднее квадратическое отклонение числа поросят в

опоросах:

86,146,32 ss поросят.

Итак, нами найдены следующие точечные оценки по данной выборке:

точечная оценка среднего числа поросят в опоросах для генеральной

совокупности (то есть по всему хозяйству): 8,25 поросят;

точечная оценка среднего квадратического отклонения числа поросят в

генеральной совокупности: 1,86 поросят.

Как уже было сказано выше, точечной называют оценку, которая

определяется одним числом. Все оценки, рассмотренные выше, – точечные. При

выборке малого объёма точечная оценка может значительно отличаться от

оцениваемого параметра, т. е. приводить к грубым ошибкам. По этой причине

при небольшом объёме выборки следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами

интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность

оценок (смысл этих понятий выясняется ниже).

44

Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика *

служит оценкой неизвестного параметра . Будем считать постоянным

числом ( может быть и случайной величиной). Ясно, что * тем точнее

определяет параметр , чем меньше абсолютная величина разности

*.

Другими словами, если 0 и *

, то чем меньше , тем оценка

точнее. Таким образом, положительное число характеризует точность оценки.

Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что

оценка * удовлетворяет неравенству

*

; можно лишь говорить о

вероятности , с которой это неравенство осуществляется.

Надёжностью (доверительной вероятностью) оценки по * называют

вероятность , с которой осуществляется неравенство *

. Обычно

надёжность оценки задаётся наперёд, причём в качестве берут число, близкое

к единице. Наиболее часто задают надёжность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Пусть вероятность того, что *

, равна : *P

.

Заменив неравенство *

равносильным ему двойным

неравенством

*, или **

, имеем

**P .

Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал

),( ** заключает в себе (покрывает) неизвестный параметр , равна

. Доверительным называют интервал ),( ** , который покрывает

неизвестный параметр с заданной надёжностью .

Замечание. Интервал ),( ** имеет случайные концы (их называют

доверительными границами). Действительно, в разных выборках получаются

различные значения * . Следовательно, от выборки к выборке будут изменяться

и концы доверительного интервала, т.е. доверительные границы сами являются

случайными величинами – функциями от nxxx ,...,, 21 .

Так как случайной величиной является не оцениваемый параметр , а

доверительный интервал, то более правильно говорить не о вероятности

попадания в доверительный интервал, а о вероятности того, что

доверительный интервал покроет .

Метод доверительных интервалов разработал американский статистик Ю.

Нейман, исходя из идей английского статистика Р. Фишера.

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределён

нормально, причём среднее квадратическое отклонение этого распределения

45

известно. Требуется оценить неизвестное математическое ожидание a по

выборочной средней x . Поставим своей задачей найти доверительные

интервалы, покрывающие параметр a с надёжностью .

Примем без доказательства, что если случайная величина Х распределена

нормально, то выборочная средняя X , найденная по независимым наблюдениям,

также распределена нормально. Параметры распределения X таковы:

nXaXM

)(,)(

.

Приняв во внимание, что по условию нам задана вероятность , получаем

следующую формулу (чтобы получить рабочую формулу, выборочную среднюю

вновь обозначим через x )

)(2 0 tФ

n

txa

n

txP

.

Смысл полученного соотношения таков: с надёжностью можно

утверждать, что доверительный интервал

n

tx

n

tx

,

покрывает

неизвестный параметр a ; точность оценки n

t

.

Укажем ещё, что число t определяется из равенства )(2 0 tФ , или

2)(0

tФ

; по таблице функции Лапласа находят аргумент t, которому

соответствует значение функции Лапласа, равное 2

.

Поясним смысл, который имеет заданная надёжность. Надёжность =0,95

указывает, что если произведено достаточно большое число выборок, то 95% из

них определяет такие доверительные интервалы, в которых параметр

действительно заключён; лишь в 5% случаев он может выйти за границы

доверительного интервала.

Доверительным вероятностям, как это видно из таблицы функции Лапласа,

соответствуют следующие величины нормированных отклонений:

вероятности 1=0,95 соответствует t1== 1,96; вероятности

2= 0,99

соответствует t2 = 2,58; вероятности 3= 0,999 соответствует t3= 3,29.

Выбор того или иного порога доверительной вероятности исследователь

осуществляет исходя из практических соображений той ответственности, с какой

делаются выводы о генеральных параметрах.

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределён

нормально, причём среднее квадратическое отклонение неизвестно. Требуется

оценить неизвестное математическое ожидание a с помощью доверительных

интервалов. Разумеется, невозможно воспользоваться результатами предыдущего

параграфа, в котором предполагалось известным.

46

Оказывается, что по данным выборки можно построить случайную

величину nS

aXT

, которая имеет распределение Стьюдента с k = n-1

степенями свободы; здесь X – выборочная средняя, S – «исправленное» среднее

квадратическое отклонение, n – объём выборки.

Пользуясь распределением Стьюдента, находим:

n

StXa

n

StXP

.

Значит, доверительный интервал

n

stx

n

stx

,

, покрывает неизвестный

параметр a c надёжностью . По таблице приложения 1 по заданным n и

можно найти t .

Пример 2. Случайная величина Х – вес полугодовалого поросенка в

хозяйстве (то есть в генеральной совокупности) – распределена нормально. По

выборке объёма n = 16 найдены выборочная средняя x =20,2 кг и «исправленное»

среднее квадратическое отклонение s=0,8 кг. Оценить неизвестное

математическое ожидание при помощи доверительного интервала с надёжностью

0,95.

Решение. Найдём t . Пользуясь таблицей приложения 1, по =0,95 и n = 16

находим t =2,13.

Найдём доверительные границы:

.626.2016

8,013,22,20

,774,1916

8,013,22,20

кгn

stx

кгn

stx

Итак, с надёжностью 0,95 неизвестный параметр a заключён в

доверительном интервале 19,774< a<20,626 (кг).

Пусть количественный признак Х генеральной совокупности распределён

нормально. Требуется оценить неизвестное генеральное среднее квадратическое

отклонение по «исправленному» выборочному среднему квадратическому

отклонению s.

Доверительный интервал, покрывающий параметр с заданной

надёжностью находят по следующей формуле: )1()1( qsqs .

Здесь параметр q определяют, пользуются таблицей приложения 2, а s

находят по выборке.

Пример 3. Случайная величина Х – вес полугодовалого поросенка в

хозяйстве – (то есть в генеральной совокупности) распределён нормально. По

выборке объёма n=25 найдено «исправленное» среднее квадратическое

47

отклонение s=0,8 кг. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное

среднее квадратическое отклонение с надёжностью 0,95.

Решение. По таблице приложения 2 по данным =0,95 и n=25 найдём

q=0,32.

Искомый доверительный интервал таков:

0,8 (1 – 0,32)< <0,8 1(1+0,32), или

0,544< <1,056 (кг).

Замечание. Если q>1, то неравенство примет вид

0< <s(1+q).

Пример 4. Количественный признак Х генеральной совокупности

распределён нормально. По выборке объёма n=10 найдено «исправленное»

среднее квадратическое отклонение s=0,16. Найти доверительный интервал,

покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение с

надёжностью 0,999.

Решение. По таблице приложения 2 по данным =0,999 и n=10 найдём

q=1,80 (q>1). Искомый доверительный интервал таков:

0< <0,16 (1+1,80), или

0< <0,448.

Ранее нами было показано, что выборочные характеристики являются

оценками генеральных параметров, которые, как правило, остаются

неизвестными. Там же описаны точечные и интервальные способы оценки

неизвестных параметров по значениям выборочных характеристик.

Ниже будут обсуждаться сравнительные оценки генеральных параметров по

разности, наблюдаемой между сравниваемыми выборками. Это важно, так как ни

одно исследование не обходится без сравнений. Сравнивать приходится данные

опыта с контролем, урожайность одной культуры с урожайностью другой,

продуктивность одной группы животных с продуктивностью другой и т. д.

О преимуществе той или иной из сравниваемых групп судят обычно по

разности между средними долями и другими выборочными показателями –

величинами случайными, сопровождаемыми ошибками репрезентативности.

Вопрос о достоверности выборочной разности с ее ошибкой приходится

решать исходя из той или иной гипотезы, т. е. предположения или допущения

относительно параметров сравниваемых групп, которое выражено в терминах

вероятности и может быть проверено по выборочным характеристикам.

Часто необходимо знать закон распределения генеральной совокупности.

Если закон распределения неизвестен, но имеются основания предположить, что

он имеет определённый вид (назовём его А), выдвигают гипотезу: генеральная

совокупность распределена по закону А. Таким образом, в этой гипотезе речь

идёт о виде предполагаемого распределения.

Возможен случай, когда закон распределения известен, а его параметры

неизвестны. Если есть основания предположить, что неизвестный параметр

равен определённому значению 0 , выдвигают гипотезу: = 0 . Таким

образом, в этой гипотезе речь идёт о предполагаемой величине параметра одного

известного распределения.

48

Возможны и другие гипотезы: о равенстве параметров двух или нескольких

распределений о независимости выборок и многие другие.

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения, или

о параметрах известных распределений.

Например, статистическими являются гипотезы:

1) генеральная совокупность распределена по закону Пуассона;

2) дисперсии двух нормальных совокупностей равны между собой.

В первой гипотезе сделано предположение о виде неизвестного

распределения, во второй – о параметрах двух известных распределений.

Гипотеза «на Марсе есть жизнь» не является статистической, поскольку в

ней не идёт речь ни о виде, ни о параметрах распределения.

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей

гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место

противоречащая гипотеза. По этой причине эти гипотезы целесообразно

различать.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу 0H .

Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу 1H , которая

противоречит нулевой.

Например, если нулевая гипотеза состоит в предположении, что

математическое ожидание a нормального распределения равно 10, то

конкурирующая гипотеза, в частности, может состоять в предположении, что

.10a Коротко это записывают так: 0H : a=10; 1H : .10a

Различают гипотезы, которые содержат только одно и более одного

предположений.

Простой называют гипотезу, содержащую только одно предположение.

Например, если – параметр показательного распределения, то гипотеза

0H :=5 – простая. Гипотеза 0H : математическое ожидание нормального

распределения равно 3 ( известно) – простая.

Сложной называют гипотезу, которая состоит из конечного или

бесконечного числа простых гипотез. Например, сложная гипотеза H : >5

состоит из бесчисленного множества простых вида ii bH : , где ib – любое

число, большее 5. Гипотеза 0H : математическое ожидание нормального

распределения равно 3 ( неизвестно) – сложная.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому

возникает необходимость её проверки. Поскольку проверку производят

статистическими методами, её называют статистической. В итоге статистической

проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т.

е. могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная

гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная

гипотеза.

49

Подчеркнём, что последствия этих ошибок могут оказаться весьма

различными. Например, если отвергнуто правильное решение «продолжать

строительство жилого дома», то эта ошибка первого рода повлечёт материальный

ущерб: если же принято неправильное решение «продолжать строительство»,

несмотря на опасность обвала стройки, то эта ошибка второго рода может

повлечь гибель людей. Можно привести примеры, когда ошибка первого рода

влечёт более тяжёлые последствия, чем ошибка второго рода.

Замечание 1. Правильное решение может быть принято также в двух

случаях:

1) гипотеза принимается, причём и в действительности она правильная;

2) гипотеза отвергается, причём и в действительности она неверна.

Замечание 2. Вероятность совершить ошибку первого рода принято

обозначать через ; её называют уровнем значимости. Наиболее часто уровень

значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят уровень

значимости, равный 0,05, то это означает, что в пяти случаях из ста имеется риск

допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу).

Для проверки нулевой гипотезы используют специально подобранную

случайную величину, точное или приближённое распределение которой

известно. Обозначим эту величину в целях общности через K .

Статистическим критерием (или просто критерием) называют случайную

величину K , которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Например, если проверяют гипотезу о равенстве дисперсий двух

нормальных генеральных совокупностей, то в качестве критерия K принимают

отношение исправленных выборочных дисперсий: 22

21

s

sF

.

Эта величина случайная, потому что в различных опытах дисперсии

принимают различные, наперёд неизвестные значения, и распределена по закону

Фишера – Снедекора.

Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют частные значения

входящих в критерий величин и таким образом получают частное (наблюдаемое)

значение критерия.

Наблюдаемым значением наблK называют значение критерия, вычисленное

по выборкам. Например, если по двум выборкам найдены исправленные

выборочные дисперсии 2021 s и 52

2 s , то наблюдаемое значение критерия

45

2022

21

s

sFнабл

.

После выбора определённого критерия множество всех его возможных

значений разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них

содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другая

– при которых она принимается.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при

которых нулевую гипотезу отвергают.

50

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют

совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез можно

сформулировать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит

критической области – гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия

принадлежит области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

Поскольку критерий K – одномерная случайная величина, все её

возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Поэтому критическая

область и область принятия гипотезы также являются интервалами и,

следовательно, существуют точки, которые их разделяют.

Критическими точками (границами) крk называют точки, отделяющие

критическую область от области принятия гипотезы.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и

двустороннюю критические области.

Правосторонней называют критическую область, определяемую

неравенством K > крk, где крk

– положительное число.

Левосторонней называют критическую область, определяемую

неравенством K < крk, где крk

– отрицательное число.

Односторонней называют правостороннюю или левостороннюю

критическую область.

Двусторонней называют критическую область, определяемую

неравенствами ,, 21 kKkK где 12 kk .

В частности, если критические точки симметричны относительно нуля,

двусторонняя критическая область определяется неравенствами ( в

предположении, что крk>0):

кркр kKkK ,, или равносильным неравенством крkK

.

Как найти критическую область? Обоснованный ответ на этот вопрос

требует привлечения довольно сложной теории. Ограничимся её элементами.

Для определённости начнём с нахождения правосторонней критической области,

которая определяется неравенством K > крk, где крk

>0. Видим, что для отыскания

правосторонней критической области достаточно найти критическую точку.

Следовательно, возникает новый вопрос: как её найти?

Для её нахождения задаются достаточной малой вероятностью – уровнем

значимости . Затем ищут критическую точку крk, исходя из требования, чтобы

при условии справедливости нулевой гипотезы вероятность того, критерий K

примет значение, большее крk, была равна принятому уровню значимости:

Р( K > крk)= .

Для каждого критерия имеются соответствующие таблицы, по которым и

находят критическую точку, удовлетворяющую этому требованию.

51

Замечание 1. Когда критическая точка уже найдена, вычисляют по данным

выборок наблюдаемое значение критерия и, если окажется, что наблK > крk, то

нулевую гипотезу отвергают; если же наблK < крk, то нет оснований, чтобы

отвергнуть нулевую гипотезу.

Пояснение. Почему правосторонняя критическая область была определена,

исходя из требования, чтобы при справедливости нулевой гипотезы выполнялось

соотношение

Р( K > крk)= ? (*)

Поскольку вероятность события K > крk мала ( – малая вероятность),

такое событие при справедливости нулевой гипотезы, в силу принципа

практической невозможности маловероятных событий, в единичном испытании

не должно наступить. Если всё же оно произошло, т.е. наблюдаемое значение

критерия оказалось больше крk, то это можно объяснить тем, что нулевая

гипотеза ложна и, следовательно, должна быть отвергнута. Таким образом,

требование (*) определяет такие значения критерия, при которых нулевая

гипотеза отвергается, а они и составляют правостороннюю критическую область.

Замечание 2. Наблюдаемое значение критерия может оказаться большим крk

не потому, что нулевая гипотеза ложна, а по другим причинам (малый объём

выборки, недостатки методики эксперимента и др.). В этом случае, отвергнув

правильную нулевую гипотезу, совершают ошибку первого рода. Вероятность

этой ошибки равна уровню значимости . Итак, пользуясь требованием (*), мы с

вероятностью рискуем совершить ошибку первого рода.

Замечание 3. Пусть нулевая гипотеза принята; ошибочно думать, что тем

самым она доказана. Действительно, известно, что один пример,

подтверждающий справедливость некоторого общего утверждения, ещё не

доказывает его. Поэтому более правильно говорить, «данные наблюдений

согласуются с нулевой гипотезой и, следовательно, не дают оснований её

отвергнуть».

На практике для большей уверенности принятия гипотезы её проверяют

другими способами или повторяют эксперимент, увеличив объём выборки.

Отвергают гипотезу более категорично, чем принимают. Действительно,

известно, что достаточно привести один пример, противоречащий некоторому

общему утверждению, чтобы это утверждение отвергнуть. Если оказалось, что

наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то этот факт

и служит примером, противоречащим нулевой гипотезе, что позволяет её

отклонить.

Отыскание левосторонней и двусторонней критических областей сводится

(так же, как и для правосторонней) к нахождению соответствующих критических

точек. Левосторонняя критическая область определяется неравенством K < крk

( крk<0). Критическую точку находят, исходя из требования, чтобы при

справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что критерий примет

52

значение, меньшее крk, была равна принятому уровню значимости:

Р( K < крk)= .

Двусторонняя критическая область определяется неравенствами ,, 21 kKkK Критические точки находят, исходя из требования, чтобы при

справедливости нулевой гипотезы сумма вероятностей того, что критерий

примет значение, меньшее 1k или большее 2k , была равна принятому уровню

значимости: )()( 21 kKPkKP . (*)

Ясно, что критические точки могут быть выбраны бесчисленным

множеством способов. Если же распределение критерия симметрично

относительно нуля и имеются основания (например, для увеличения мощности)

выбрать симметричные относительно нуля точки (- крk )и крk

( крk>0), то

).()( кркр kKPkKP Учитывая (*), получим 2

)(

крkKP.

Это соотношение и служит для отыскания критических точек двусторонней

критической области. Критические точки находят по соответствующим

таблицам.

Мы строили критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность

попадания в неё критерия была равна при условии, что нулевая гипотеза

справедлива. Оказывается целесообразным ввести в рассмотрение вероятность

попадания критерия в критическую область при условии, что нулевая гипотеза

неверна и, следовательно, справедлива конкурирующая.

Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в

критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза.

Другими словами, мощность критерия есть вероятность того, что нулевая

гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза.

Пусть для проверки гипотезы принят определённый уровень значимости и

выборка имеет фиксированный объём. Остаётся произвол в выборе критической

области. Покажем, что её целесообразно построить так, чтобы мощность

критерия была максимальной. Предварительно убедимся, что если вероятность

ошибки второго рода (принять неправильную гипотезу) равна , то мощность

равна 1- . Действительно, если – вероятность ошибки второго рода, т.е.

события «принята нулевая гипотеза, причём справедливо конкурирующая», то

мощность критерия равна 1 – .

Пусть мощность 1 – возрастает; следовательно, уменьшается вероятность совершить ошибку второго рода. Таким образом, чем мощность больше, тем

вероятность ошибки второго рода меньше.

Итак, если уровень значимости уже выбран, то критическую область

следует строить так, чтобы мощность критерия была максимальной.

Выполнение этого требования должно обеспечить минимальную ошибку второго

рода, что, конечно, желательно.

53

Замечание 1. Поскольку вероятность события «ошибка второго рода

допущена» равна , то вероятность противоположного события «ошибка

второго рода не допущена» равна 1 – , т.е. мощности критерия. Отсюда

следует, что мощность критерия есть вероятность того, что не будет допущена

ошибка второго рода.

Замечание 2. Ясно, что чем меньше вероятности ошибок первого и второго

рода, тем критическая область «лучше». Однако при заданном объёме выборки

уменьшить одновременно и невозможно; если уменьшить , то будет

возрастать. Например, если принять =0, то будут приниматься все гипотезы, в

том числе и неправильные, т.е. возрастает вероятность ошибки второго рода.

Как же выбрать наиболее целесообразно? Ответ на этот вопрос зависит от

«тяжести последствий» ошибок для каждой конкретной задачи. Например, если

ошибка первого рода повлечёт большие потери, а второго рода – малые, то

следует принять возможно меньшее .

Если уже выбрано, то, пользуясь теоремой Ю. Неймана и Э.Пирсона,

можно построить критическую область, для которой будет минимальным и,

следовательно, мощность критерия максимальной.

Замечание 3. Единственный способ одновременного уменьшения

вероятностей ошибок первого и второго рода состоит в увеличении объёма

выборок.

В области статистики и биометрии в частности применяют два вида

статистических критериев: параметрические, построенные на основании

параметров данной совокупности (например, x и s2

x) и представляющие функции

этих параметров, и непараметрические, представляющие собой функции,

зависящие непосредственно от вариант данной совокупности с их частотами.

Первые служат для проверки гипотез о параметрах совокупностей,

распределяемых по нормальному закону, вторые – для проверки рабочих гипотез

независимо от формы распределения совокупностей, из которых взяты

сравниваемые выборки. Применение параметрических критериев связано с

необходимостью вычисления выборочных характеристик – средней величины и

показателей вариации, тогда как при использовании непараметрических

критериев такая необходимость отпадает.

При нормальном распределении признака параметрические критерии

обладают большей мощностью, чем непараметрические критерии. Они способны

более безошибочно отвергать нулевую гипотезу, если она не верна. Поэтому во

всех случаях, когда сравниваемые выборки взяты из нормально

распределяющихся совокупностей, следует отдавать предпочтение

параметрическим критериям.

В случае очень больших отличий распределений признака от нормального

вида следует применять непараметрические критерии, которые в этой ситуации

оказываются часто более мощными. В ситуациях, когда варьирующие признаки

выражаются не числами, а условными знаками, применение непараметрических

критериев оказывается единственно возможным.

54

Из параметрических критериев в статистике и биометрии применяют t-

критерий Стьюдента и F-критерий Фишера. Первый используют для

сравнительной оценки средних величин, второй – для оценки дисперсий. Ниже

рассмотрен отдельно каждый из этих критериев.

Рассмотрим статистический анализ в Excel .

Задание 1

Построить эмпирическое распределение результатов тестирования в баллах

для следующей выборки: 69, 85, 78, 85, 83, 81, 95, 88, 97, 92, 74, 83, 89, 77, 93.

Решение

1. В ячейку А1 введите слова Результаты, в диапазон А2:А16 – результаты

тестирования.

2. Выберите ширину интервала 5 баллов. Тогда при крайних результатах 69 и

97 баллов, получится 7 интервалов. В ячейку С1 введите название

интервалов Границы. В диапазон С2:С8 введите граничные значения

интервалов: 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100.

3. Введите заголовки создаваемой таблицы: в ячейку D1 – Абсолютные

частоты, в ячейку Е1 – Относительные частоты, в F1 – Накопленные

частоты.

4. Заполните столбец абсолютных частот. Для этого выделите для них блок

ячеек D2:D8, вызовите Мастер функций, категория – Статистические,

функция – Частота, в поле Массив данных введите диапазон данных

тестирования А2:А16, в поле Массив интервалов введите диапазон

интервалов С2:С8, нажмите комбинацию клавиш Ctrl+Shift+Enter. В

столбце D2:D8 появится массив абсолютных частот.

5. В ячейке D9 найдите общее количество результатов тестирования, с

помощью Автосумма.

6. Заполните столбец относительных частот. В ячейку Е2 введите формулу

=$D2/$D$9 .

Протягиванием скопируйте полученное значение в диапазон Е3:Е8.

Получим массив относительных частот.

7. Заполните столбец накопленных частот. В ячейку F2 скопируйте значение

относительной частоты из ячейки Е2. В ячейку F3 введите формулу

=F2+E3. Протягиванием скопируйте полученное значение в диапазон

F4:F8. Получим массив накопленных частот.

8. В результате получим таблицу, представленную на рисунке 1.

A B C D E F

1.

Результаты

Границы

Абсолютные

частоты

Относительные

частоты

Накопленные

частоты

2. 69 70 1 0,067 0,067

3. 85 75 1 0,067 0,133

4. 78 80 2 0,133 0,267

5. 85 85 5 0,333 0,600

55

6. 83 90 2 0,133 0,733

7. 81 95 3 0,200 0,933

8. 95 100 1 0,067 1,000

9. 88 15

10. 97

11. 92

12. 74

13. 83

14. 89

15. 77

16. 93

Рис. 1. Результат вычислений относительных и накопленных частот

9. Постройте диаграмму относительных и накопленных частот. Выделите

диапазон Е1:F8, вызовите Мастер диаграмм, откройте вкладку

Нестандартные, выберите тип диаграммы График/гистограмма2, нажмите

Далее. Откройте вкладку Ряд и в поле Подписи оси Х выделите диапазон

С2:С8, нажмите Далее. Откройте вкладку Заголовки, в поле Ось Х введите

название Баллы, в поле Ось Y – Относительная частота, в поле Вторая ось

Х – Накопленная частота. Нажмите Готово.

Получите диаграмму как на рисунке 2.

56

Задание 2

Для данных из задания 2 построить эмпирические распределения,

воспользовавшись процедурой Гистограмма.

Решение

1. В ячейку А1 введите слова Результаты, в диапазон А2:А16 – результаты

тестирования.

2. В ячейку С1 введите название интервалов Границы. В диапазон С2:С8

введите граничные значения интервалов: 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100.

3. Для вызова процедуры Гистограмма выберите меню Сервис – Анализ

данных, выделите Гистограмма, нажмите Ok.

4. В окне Гистограмма в поле Входной диапазон введите диапазон

исследуемых данных А2:А16, в поле Интервал карманов введите диапазон

С2:С8, в поле Выходной диапазон введите ссылку на левую верхнюю

ячейку выходного диапазона F1.

Установите переключатели в положение Интегральный процент и Вывод

графика, нажмите Ok.

Сравните полученную диаграмму с диаграммой из задания 1.

Упражнения для самостоятельного выполнения. 1. Постройте эмпирические функции распределения успеваемости в группе

из 20 студентов: 4, 4, 5, 3, 4, 5, 4, 5, 3, 5, 3, 3, 5, 4, 5, 4, 3, 5, 3, 5.

2. Постройте эмпирические функции распределения для роста (в см) группы

из 20 мужчин: 181, 169, 178, 178, 171, 179, 172, 181, 179, 168, 174, 167, 169,

171, 179, 181, 181, 183, 172, 176.

Определение основных статистических характеристик

Задание 3

Найдите выборочные среднее, моду, дисперсию и стандартное отклонение

для следующей выборки: 26, 35, 29, 27, 33, 35, 30, 33, 31, 29.

Решение

1. В диапазон А1:А10 введите данные выборки.

2. В ячейке А11 с помощью Мастера функций, категория Статистические,

вычислите среднее значение – функция СРЗНАЧ.

3. В ячейке А12 вычислите наиболее часто встречающее значение в выборке,

с помощью функции МОДА.

4. В ячейке А13 найдите дисперсию выборки, характеризующую степень

разброса элементов выборки относительно среднего значения.

Используйте функцию ДИСП.

5. В ячейке А14 найдите стандартное отклонение выборки от среднего

значения, с помощью функции СТАНДОТКЛОН.

Задание 4

Для данных из задания 3 найдите основные статистические характеристики

с помощью инструментов Пакета анализа.

Решение

1. В диапазон А1:А10 введите данные выборки.

2. Выберите в меню Сервис команду Анализ данных, выделите

строку Описательная статистика, нажмите Ok.

57

3. В поле Входной интервал выделите диапазон А1:А10, активируйте

переключателем поле Выходной интервал и укажите ячейку А11. В

разделе Группировка, установите переключатель по столбцам. Установите

флажок в поле Итоговая статистика и нажмите Ok.

4. В результате анализа в указанном выходном диапазоне получим

соответствующие значения.

Медиана – число, которое является серединой выборки.

Эксцесс – частоты появления удаленных от среднего значения.

Асимметрия – величина, характеризующая несимметричность

распределения элементов выборки относительно среднего значения. Принимает

значение от -1 до 1. Для симметричного распределения асимметрия равна 0.

Интервал – разница между максимальным и минимальным значениями

элементов выборки.

Счет – количество элементов в выборке.

Упражнения для самостоятельного выполнения: В рабочей зоне производились замеры концентрации вредного вещества.

Получен ряд значений (мг/м3): 12, 16, 15, 14, 10, 20, 16, 14, 18, 14, 15, 17, 23, 16.

Определите основные статистические характеристики с помощью Мастера

функций и инструмента Описательная статистика.

Построение доверительных интервалов для среднего

Задание 5

Пусть имеется выборка, содержащая числовые значения: 13, 15, 17, 19, 22,

25, 19. Необходимо определить границы 95%-ного доверительного интервала для

среднего значения.

Решение

1. В диапазон А1:А7 введите исходный ряд чисел.

2. В ячейке В1 найдите среднее значения исходного диапазона, с помощью

функции СРЗНАЧ.

3. В ячейке В2 найдите стандартное отклонение диапазона, с помощью

функции СТАНДОТКЛОН.

4. Выделите ячейку В3, вызовите Мастер функций, категория

Статистические, функция ДОВЕРИТ. В поле Альфа введите число 0,05,

которое означает 95%-й уровень значимости, в поле Станд_откл выделите

ячейку В2, в поле Размер введите размер выборки – число 7. Нажмите Ok.

5. В ячейке В3 появится полуширина 95%-ного доверительного интервала

для среднего значения выборки. Для нахождения нижней границы

доверительного интервала от среднего значения в В1 надо отнять

полученное значение в В3, для нахождения верхней границы следует

прибавить В1 и В3. В В4 введите формулу =В1-В3 , в В5 – формулу

=В1+В3 .

Задание 6

Для данных из задания 5 найти границы 95%-ного доверительного

интервала для среднего значения с помощью процедуры Описательная

статистика.

58

Решение

1. В диапазон А1:А7 введите исходный ряд чисел.

2. Выберите в меню Сервис команду Анализ данных, выделите

строку Описательная статистика, нажмите Ok.

3. В поле Входной интервал выделите диапазон А1:А7, активируйте

переключателем поле Выходной интервал и укажите ячейку В1. В

разделе Группировка, установите переключатель по столбцам. Установите

флажок в поле Уровень надежности и введите 95, нажмите Ok.

4. В указанном выходном диапазоне получим значение доверительного

интервала. Для нахождения нижней границы доверительного интервала от

среднего значения надо отнять полученное значение, для нахождения

верхней границы – прибавить. Выборочное среднее значение находится

обычно одновременно с доверительным интервалом

процедурой Описательная статистика, следует только установить

флажок в поле Итоговая статистика.

Упражнения для самостоятельного выполнения Определите границы 95%-ного доверительного интервала выборки 2, 3, 5, 7,

4, 9, 6, 4, 9, 10, 4, 7, 9. Используйте функцию ДОВЕРИТ и процедуру

Описательная статистика.

Анализ двух выборок

Задание 7

Сравнивается количество баллов по тесту у двух групп студентов.

Необходимо определить достоверность различия между группами при двух

вариантах постановки задачи:

группы состоят из разных студентов;

группы состоят из одних и тех же студентов, но первая – до посещения

курсов, а вторая – после.

A B C

1. 1 группа 2 группа

2. 19 32

3. д 22 35

4. 34 40

5. 42 54

6. 50 61

7.

8. 0,212244 0,001081

9.

59

Решение

1. Введите исходные данные.

2. Для выявления достоверности отличий выделите свободную ячейку А8,

вызовите Мастер функций, категория Статистические, функция ТТЕСТ, в

поле Массив1 выделите диапазон данных первой группы А2:А6, в

поле Массив2 выделите диапазон данных второй группы В2:В6, в

поле Хвосты всегда вводится цифра 2, в поле Тип введите цифру 3.

Нажмите Ok. В ячейке А8 появится значение вероятности.

3. Поскольку величина вероятности случайного появления анализируемых

данных 0,212244 больше уровня значимости 0,05, то нулевая гипотеза не

отвергается. Следовательно различия между выборками могут быть

случайными, поэтому на основании применения критерия Стьюдента

нельзя сделать вывод о достоверности отличий двух групп студентов по

количеству баллов, набранных по тесту.

4. Для решения второго варианта задачи, выделите ячейку В8, вызовите

Мастер функций, категория Статистические, функция ТТЕСТ, в

поле Массив1 выделите диапазон данных первой группы А2:А6, в

поле Массив2 выделите диапазон данных второй группы В2:В6, в

поле Хвосты всегда вводится цифра 2, в поле Тип введите цифру 1.

Нажмите Ok. В ячейке В8 появится значение вероятности.

5. Поскольку величина вероятности случайного появления анализируемых

данных 0,001081 меньше уровня значимости 0,05, то нулевая гипотеза

отвергается. Следовательно, различия между выборками не случайные и

можно сделать вывод о том, что в двух группах студентов выявлены

достоверные отличия по количеству набранных баллов, что явилось

результатом посещения курсов.

Упражнения для самостоятельного выполнения Выявить достоверны ли отличия при сравнении данных реализации

турфирмой путевок за периоды до, и после начала рекламной компании. Ниже

приведены количества реализованных путевок по месяцам.

A B C

1. С

рекламой

Без

рекламы

2. 162 135

3. д 156 126

4. 144 115

5. 137 140

6. 125 121

7. 145 112

60

8. 151 130

9.

Задание 8.

Пусть после окончания двух институтов экономического профиля

трудоустроились по специальности из первого институту 90 человек, а из

второго 60 (обе группы молодых специалистов включали по 1000 человек).

Достоверны ли отличия по успешности трудоустройства?

Решение

1. Принимается нулевая гипотеза, что выборки принадлежат к одной

генеральной совокупности.

2. Введите данные в рабочую таблицу: в ячейку А1 – 90, в В1 – 60, в ячейке

А2 найдите среднее А1 и В1 с помощью функции СРЗНАЧ, в ячейке В2 –

тоже среднее А1 и В1.

3. Выделите ячейку А3, вызовите Мастер функций, категория

Статистические, функция ХИ2ТЕСТ, в поле Фактический

интервал выделите диапазон А1:В1, в поле Ожидаемый

интервал выделите диапазон А2:В2. Нажмите Ok.

4. Поскольку полученное значение вероятности 0,014306 меньше уровня

значимости 0,05, то нулевая гипотеза отвергается. Следовательно, различия

между выборками не могут быть случайными и выборки считаются

достоверно отличающимися друг от друга. Поэтому на основании

применения критерия хи-квадрат можно сделать вывод о том, что в двух

группах выпускников выявлены достоверные отличия по успешности

трудоустройства.

Упражнения для самостоятельного выполнения В ходе социологического опроса ответы распределились следующим

образом:

Мужчины Женщины

Да 58 35

Нет 11 25

Не знаю 10 23

Есть ли достоверные отличия в ответах мужчин и женщин?

Задание 9

Для данных из задания 7 определить достоверность различия между

группами студентов с помощью процедур пакета Анализ данных.

Решение

Рассмотрим первый случай, когда группы состоят из разных студентов.

1. Введите исходные данные.

61

2. Поскольку данные не имеют попарного соответствия следует использовать

процедуру Двухвыборочный t-тест с различными дисперсиями. Для

этого в меню Сервис выберите команду Анализ

данных, выделите Двухвыборочный t-тест с различными

дисперсиями и нажмите Ok.

3. В поле Интервал переменной1 выделите диапазон А2:А6, в поле Интервал

переменной2 выделите В2:В6, установите переключатель в поле Выходной

интервал и укажите ячейку А8. Нажмите Ok.

4. В указанном выходном диапазоне появятся результаты процедуры.

Величина вероятности случайного появления анализируемых выборок

(P(T<=t) двухстороннее) 0,212174 больше уровня значимости 0,05, т.е.

различия между выборками могут быть случайными.

Рассмотрим второй случай, когда группы состоят из одних и тех же

студентов, но первая – до посещения курсов, а вторая – после.

1. Поскольку данные имеют парное соответствие следует использовать

процедуру Парный двухвыборочный t-тест для средних. Выберите эту

процедуру через меню Сервис, команда Анализ данных.

2. В поле Интервал переменной1 выделите диапазон А2:А6, в поле Интервал

переменной2 выделите В2:В6, установите переключатель в поле Выходной

интервал и укажите ячейку D8. Нажмите Ok.

3. В указанном выходном диапазоне появятся результаты процедуры.

Величина вероятности случайного появления анализируемых выборок

(P(T<=t) двухстороннее) 0,00108 меньше уровня значимости 0,05, т.е.

нулевая гипотеза отвергается. Следовательно, различия между выборками

не могут быть случайными и выборки считаются достоверно

отличающимися друг от друга.

Упражнения для самостоятельного выполнения 1. Определите, достоверны ли различия в количестве приобретаемых

туристических путевок семейными парами и отдельными туристами.

Количество приобретаемых путевок

Месяцы 1 2 3 4 5 6

Семейные

пары

67 75 58 89 96 94

Отдельные

туристы

43 56 78 87 85 90

2. В таблице приведены результаты группы студентов по скоростному

чтению до и после специального курса по быстрому чтению. Произошли

ли статистически значимые изменения скорости чтения у студентов?

Студент 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

62

До курса 86 83 86 70 66 90 70 85 77 86

После 82 79 91 77 68 86 81 90 85 94

Получение случайных чисел

Задание 10

1. Введите в ячейку А1 формулу =СЛЧИС(), которая генерирует случайное

число в диапазоне от 0 до 1. Нажимайте F9. В ячейке изменяется

выводимое число.

2. Введите в ячейку В1 формулу =СЛУЧМЕЖДУ(1;50), которая возвращает

случайное целое число, лежащее в указанных границах и скопируйте ее в

В2: J20. Нажимайте F9.

Задание 11

1. Постройте следующую таблицу:

1. 2. 3. 4. 5.

1 Среднее 5 Среднее

2 Стандартное

отклонение

0,3 Стандартное

отклонение

3

2. Для получения нормально распределенных случайных величин

воспользуйтесь функцией НОРМОБР. В С1 введите формулу

=НОРМОБР(СЛЧИС();$В$1;$В$2) и скопируйте ее в блок С2:С20. В

ячейках Е1 и Е2 введите формулы для расчета среднего значения и

стандартного отклонения С1:С20.

3. Нажимая F9 , посмотрите как в ячейках Е1 и Е2 изменяются значения, но

остаются близкими к значениям в ячейках В1 и В2.

Задание 12

Предположим, что вы проводите 10 презентаций в неделю и 20 % из них

заканчиваются заключением сделки. Хотелось бы узнать, насколько будет

успешным следующий год.

Решение

1. В меню Сервис выберите команду Анализ данных, укажите Генерация

случайных чисел и нажмите Ok.

2. В поле Число случайных чисел введите 50 (50 рабочих недель в году). В

поле Распределение выберите Биномиальное. В поле Значение p введите 0,2

(20 %) и в поле Число испытаний – 10.

3. Укажите выходной диапазон. Для этого установите флажок в

поле Выходной интервал и введите, например, А1. Нажмите Ok.

4. В столбце А получите 50 случайных чисел, среди которых будут несколько

нулевых. Это означает, что на этой неделе не будет заключена сделка.

Задание 13

63

Проводятся курсы по 7 различным предметам: математика, физика, химия,

английский язык, информатика, литература, история. Необходимо составить

расписание на месяц, так чтобы предметы чередовались в случайном порядке.

Решение

1. Пронумеруйте предметы по порядку: 1 – математика, 2 – физика, 3 –

химия, 4 – английский язык, 5 – информатика, 6 – литература и 7 – история.

Введите числа 1 – 7 в диапазон А1:А7.

2. Укажем желаемую вероятность появления каждого предмета. Пусть все

предметы будут равновероятны (p = 1/7). Введите число 1/7 в диапазон

В1:В7. Для этого в ячейку В1 введите формулу =1/7 и скопируйте её в

диапазон В2:В7.

3. В меню Сервис выберите команду Анализ данных, укажите Генерация

случайных чисел и нажмите Ok.

4. Укажите Число переменных – 1, Число случайных чисел – 30 (количество

дней в месяце). В поле Распределение выберите Дискретное.

5. В поле Входной интервал значений и вероятностей введите (мышью)

диапазон, содержащий номера предметов и их вероятности – диапазон

А1:В7.

6. Установите флажок в поле Выходной диапазон и введите С1. Нажмите Ok.

7. В столбце С получите 30 случайных чисел, например: 3, 1, 5, 7, 7, 1, 3, …,

и т.д. Это означает, что в первый день следует проводить курсы по химии,

во второй – по математике, в третий – по информатике и т.д.

Упражнения

1. Создать последовательность 1000 нормально распределенных случайных

чисел, имеющее среднее значение – 100 и стандартное отклонение – 2.

2. Создать последовательность из 10 действительных случайных чисел,

равномерно распределенных в диапазоне от 3 до 7.

3. Составить расписание на месяц для случайной демонстрации на

телевидении одного из 4-х рекламных роликов некоторой фирмы. Причем

вероятность появления рекламного ролика № 1 должна быть в 2 раза выше,

чем остальных рекламных роликов.

(Используйте Дискретное распределение).

Обработка выборки в среде Excel.

64

При большом объёме выборки её анализ требует большого объёма

вычислений, поэтому естественно проводить его за компьютером. Имеется

большое число программных средств, как специально предназначенных для

статистического анализа, так и содержащихся в универсальных программах в

качестве подпрограмм и опций. Достаточно возможностей для этого

предоставляет, в частности, доступная всем программаExcel. Команды для

проведения статистического анализа можно найти в меню «Сервис Анализ

данных» и в меню «Функции Статистические» и «Функции Работа с базами

данных».

Таблица 1.

Рассмотрим работу в

этой среде на следующем

примере. В лабораторном

практикуме группа из 25

студентов определяла

концентрацию некоторого

вещества в выданном им

растворе. Каждый из них

сделал по 4 параллельных

определения. Их результаты,

округлённые до 0,5 г/л я

занёс в

таблицу Excel (табл.1).У

меня образовался массив,

содержащий 4 столбца

B,C,D и E, и 25 строк с №2

до №26. Далее я хочу найти

минимальное число из этого массива – нижнюю границу выборки. Я щёлкаю по

пустой ячейке, в которой хочу найти ответ, затем навожу курсор на « », и

нажимаю левую клавишу мыши. Открывается окно выбора функций – «Мастер

функций». В разделе «Категории» я открываю «статистические» и нахожу

тамМИН.

65

После щелчка мышью по этому названию и “OK” открывается диалоговое

окно «Аргументы функции» с пометкой МИН. В окошко, помеченное «Число 1»,

можно ввести сами числа, что, конечно, неудобно. Вместо этого я щёлкаю

мышью по крайней левой верхней клетке массива, затем нажимаю “Shift” и

одновременно щёлкаю по крайней правой нижней клетке. При этом в

вышеуказанном окошке появляются границы массива в виде “$B$2:$E$26. Ответ

«300,5» появляется сразу, а при щелчке «OK» – в заготовленной клетке. Точно

так же я могу применить эту функцию к любой прямоугольной части этого

массива, вызвав саму функцию МИН (теперь её позывной можно найти в

категории «Последние») и отметив, как описано выше, щелчками мыши, клетки

в начале и конце выбранной части массива. Впрочем, выделять массив можно и

движением мыши, если сначала навести курсор на начало массива, нажать левую

клавишу мыши, и, не снимая нажатия, провести курсор до конечной точки

массива.

Конечно, такое подробное описание вызовет улыбку у продвинутого

пользователя, но, возможно, среди читателей есть и такие, которые впервые в

жизни откроют документ Excel.

Для краткого описания действий при использовании других функций будем

использовать следующие обозначения:

ЩАа – щелчок по клетке начала диапазона,

ЪЩЯя – щелчок по клетке конца диапазона с одновременным нажатием

Shift,

ЩСс – щелчок по свободной ячейке, в которой будет указан результат.

, серв., дигр., адат, стат. – щелчки по значкам , «сервис», «диаграмма»,

«анализ данных», «статистические» соответственно. Напомним, что если какая-

либо функция используется повторно, то быстрее найти её не через

«статистические», а через «последние».

Итак, считаем, что в таблицу Excel внесены данные выборки в виде строки,

столбца, или двумерного массива. Цели и действия представлены в таблице 2.

Таблица 2.

Что требуется найти Действия

Объём выборки ЩСс, , стат.,СЧЕТ, ЩАа, ЪЩЯя,

Нижнюю границу ЩСс, , стат.,МИН, ЩАа, ЪЩЯя,

Верхнюю границу ЩСс, , стат.,МАКС, ЩАа, ЪЩЯя,

Среднее

арифметическое ЩСс, , стат.,СРЗНАЧ, ЩАа, ЪЩЯя,

Моду ЩСс, , стат.,МОДА, ЩАа, ЪЩЯя,

Медиану ЩСс, , стат.,МЕДИАНА, ЩАа, ЪЩЯя,

66

Нижний квартиль ЩСс, , стат.,КВАРТИЛЬ, ЩАа, ЪЩЯя, затем

щёлкнуть по окну «значение» и ввести число «1»,

Верхний квартиль ЩСс, , стат.,КВАРТИЛЬ, ЩАа, ЪЩЯя, затем

щёлкнуть по окну «значение» и ввести число «3»,

Выборочную

дисперсию ЩСс, , стат.,ДИСП, ЩАа, ЪЩЯя,

ЩСс, , стат.,СТАНДОТКЛОН, ЩАа, ЪЩЯя,

Доверительный

интервал для

среднего

ЩСс, , стат.,ДОВЕРИТ, ЩАа, ЪЩЯя,

Асимметрию ЩСс, , стат.,СКОС, ЩАа, ЪЩЯя,

Эксцесс ЩСс, , стат.,ЭКСЦЕСС, ЩАа, ЪЩЯя,

В таблице 1 в столбцах F-I вы видите результаты выполнения

соответствующих функций для каждой из 25 строк массива. При этом нет

необходимости вводить формулу функции в каждую строку отдельно –

достаточно ввести её в первую строку, а в окошко аргументов ввести координаты

начала и конца этой строки:

После нажатия « » в ячейке, в которую введена данная формула,

появляется соответствующий результат:

Если теперь навести курсор на чёрный квадратик в нижнем правом углу

этой ячейки, и при нажатой левой клавише мыши провести его вдоль столбца до

последней строки массива данных, то после отпускания клавиши весь столбец

67

заполнится результатами, полученными для всех остальных строк по той же

формуле.

Для группировки данных и получения интервального ряда можно

использовать функцию ЧАСТОТА. Для её применения сначала формируем

столбец интервалов. Для нашего примера, в котором объём

выборки , , удобно выборку разбить на 7 равных

интервалов шириной 3 . При этом в ячейки для массива интервалов вводим

только значения верхних границ интервалов. Так, в ячейку я внёс число 303

для интервала , в - число 306 для интервала , …, в - 321 для

интервала . Затем я выделяю свободную ячейку , и щёлкаю по .

Появляется мастер функций, в котором я нахожуЧАСТОТА и раскрываю шаблон

для ввода аргументов. После ввода вышеописанным способом границ массива

данных щёлкаем по окну массив интервалов и выделяем для ввода

ячейки . Обратите внимание, что выделена одна дополнительная ячейка,

как этого требует синтаксис

функции.

После нажатия в

ячейке появляется число вариант

со значением , . Для

вывода остальных значений надо

выделить ячейки , после чего

нажать клавишу , а

затем . В результате

в столбце и появятся все

компоненты вектора частот.

ЧАСТОТА

303 4

306 12

309 23

312 31

315 21

318 7

321 2

Рассмотрим теперь, какие возможности для первичной обработки выборки

имеются в меню «сервис анализ данных». Раскроем диалоговое

окно«описательная статистика».

68

Первая строка «Входной интервал» нам уже знакома: данные в неё можно

внести действиями ЩАа, ЪЩЯя, или движениями мыши с нажатой правой

кнопкой, или непосредственно введя в окошко номера левой верхней и правой

нижней ячеек массива, разделённые двоеточием Аа:Яя. Далее предлагается

выбрать группировку – «По строкам» или «По столбцам». Дело в том, что эта

«описательная статистика» может обрабатывать одновременно большое

количество выборок, каждая из которых может быть введена либо в виде строки,

либо в виде столбца. Поэтому, если мы выделим массив, содержащий 25 строк и

4 столбца, то программа не будет рассматривать его как одну выборку,

содержащую 100 вариант. Если мы пометим окошко «По столбцам», то

программа будет обрабатывать массив как 4 выборки по 25 вариант в каждой.

Соответственно, при флажке «По строкам» мы получим обработку 25 выборок

по 4 варианта. Далее следует окошко «Метки в первой строке/столбце». Если

его не помечать, то результаты обработки каждой из выборок будут помечены

надписями «Строка (Столбец) 1», «Строка (Столбец) 2», «Строка (Столбец)3»…

.Если же мы хотим , чтобы результаты были обозначены иначе, (например,

фамилиями студентов), то мы при вводе указаний массива данных в

строку Входной диапазон должны захватить и стоящий перед ним столбец

(строку) меток (фамилий или номеров опытов в данном примере). На этом ввод

данных завершается.

Куда выводить результаты: Параметры вывода. Обычно

при открытии диалогового окна

активизировано окошко Новый

рабочий лист. Это означает, что

результаты будут выведены на

новом листе, номер которого при

желании можно задать, так же как

и номер новой книги в

окошке Новая рабочая книга.

Если же надо поместить

результаты на исходном листе, то

надо активизировать

окошко Выходной

интервал, после чего щёлкнуть по

свободной ячейке, которая будет

левой верхней ячейкой выходного массива.

Что выводить.

При установке флажка «Итоговая статистика» для каждой выборки будет

выведена таблица такого вида:

В этой таблице под стандартным отклонением понимается величина

выборочного стандарта , под стандартной ошибкой – выборочный

стандарт среднего , интервал – разность между максимальным и

Строка1

Среднее 309,875

Стандартная ошибка 1,599153422

Медиана 309,5

Мода #Н/Д

Стандартное отклонение 3,198306844

Дисперсия выборки 10,22916667

Эксцесс -0,02453947

Асимметричность 0,598903954

Интервал 7,5

Минимум 306,5

Максимум 314

Сумма 1239,5

Счет 4

69

минимальным значениями выборки, сумма – сумма всех значений выборки, счёт

– объём выборки. Остальные термины пояснения не требуют.

Если активизировать окошко «Уровень надёжности», то выводится строка

со значением полуширины симметричного доверительного интервала,

соответствующим указанной в этом окошке доверительной вероятности и

равным произведению на соответствующий квантиль распределения

Стьюдента:

Уровень

надежности(95,0%) 5,089219898

Активизация окошек К-ый наименьший и К-ый наибольший позволяет

выводить к-ое в порядке возрастания и (или) к-ое в порядке убывания значения в

выборке, соответствующие указанным номерам. Значениям к=1 соответствуют

минимальное и

максимальное значения

вариант.

Обратимся теперь к

графическому изображению

данных. Для этого в

меню Анализ данных есть

функция Гистограмма, в

диалоговом окне которой в

окошко Входной

интервал вводим одним из

описанных ранее способов

номера ячеек начала и конца

массива данных. Затем в

окошко Интервал

карманов вводим таким же образом номера массива, в котором указаны верхние

границы интервалов, на которые мы решили разбить выборку (см. выше

описание функции Частота). Флажок Метки надо устанавливать только в том

случае, если в массив данных включён и столбец меток. Как и в вышеописанных

функциях ставим флажок Новый лист или Новая книга (с указанием номера

или без), или Выходной интервал. В последнем случае в активизированное

окошко вводим номер левой верхней ячейки диапазона вывода результата.

Игнорируя надпись Парето, помечаемИнтегральный процент и Вывод

графика. выводит нам во-первых, таблицу, два первых столбца, как и после

исполнения функции Частотапредставляют интервальный вариационный ряд, а

третий столбец – аналог интегральной функции распределения, показывает долю

вариант в выборки, имеющих значение меньшее или равное указанного в первом

столбце. Кроме этого, появляется и графическое изображение – гистограмма и

график интегрального процента. Можно редактировать это изображение, но

здесь мы не будем рассматривать все многочисленные возможности этого.

70

4. Заключительная часть занятия

Реализация компетенций

1. Степень завершенности и правильности ответов на задания ПТК:

– полнота раскрытия вопросов; – обоснованность способов и методов

работы с материалом;

– умение работать с литературой;

– умение обобщать, сопоставлять различные точки зрения по

рассматриваемому вопросу, аргументировать основные положения и

выводы, анализировать основные этапы и закономерности развития

общества;

– владение основными методами, способами и средствами получения,

хранения, переработки информации, навыками работы с компьютером

как средством управления информацией.

2. Полнота и целостность выполнения задания, полнота использования

литературных источников по вопросам; анализа учебной литературы по данной

дисциплине для решения профессиональных задач .

3. Соблюдение требований к решению задач:

– правильное оформление;

– грамотность и культура изложения;

– владение терминологией и понятийным аппаратом проблемы;

– способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях.

Преподаватель анализирует оценочную таблицу 1. оценки «отлично» заслуживает студент, обнаруживший всестороннее,

систематическое и глубокое знание учебно-программного материала, умение

свободно выполнять задания, предусмотренные программой, усвоивший основную и

знакомый с дополнительной литературой, рекомендованной программой. Как

правило, оценка «отлично» выставляется студентам, усвоившим взаимосвязь

основных понятий дисциплины в их значении для приобретаемой профессии,

проявившим творческие способности в понимании, изложении и использовании

учебно-программного материала;

2. оценки «хорошо» заслуживает студент, обнаруживший полные знания учебно-

программного материала, успешно выполняющий предусмотренные в программе

задания, усвоивший основную литературу, рекомендованную в программе. Как

правило, оценка «хорошо» выставляется студентам, показавшим систематический

71

характер знаний по дисциплине и способным к их самостоятельному пополнению и

обновлению в ходе дальнейшей учебной работы и профессиональной деятельности;

3. оценки «удовлетворительно» заслуживает студент, обнаруживший знание учебно-

программного материала в объеме, необходимом для дальнейшей учебы и

предстоящей работы по профессии, справляющийся с выполнением заданий,

предусмотренных программой, знакомый с основной литературой, рекомендованной

программой. Как правило, оценка «удовлетворительно» выставляется студентам,

допустившим погрешность в ответе на экзамене и при выполнении экзаменационных

заданий, но обладающим необходимыми знаниями для их устранения под

руководством преподавателя;

4. оценка «неудовлетворительно» выставляется студенту, обнаружившему пробелы в

знаниях основного учебно-программного материала, допустившему принципиальные

ошибки в выполнении предусмотренных программой заданий. Как правило, оценка

«неудовлетворительно» ставится студентам, которые не могут продолжить обучение

или приступить к профессиональной деятельности по окончании вуза без

дополнительных занятий по соответствующей дисциплине.

Подведение итогов занятий.

Преподаватель сообщает о достижении целей занятия: способностью

работать с информацией в глобальных компьютерных сетях .

На основании заключительной беседы с обучающимися преподаватель

делает вывод, о том насколько достигнуты цели практического занятия.

5. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Код Авторы Заглавие Назначение Издательство Год издания Коли-

чество

Л1.1 Попов А.М.,

Сотников В.Н.,

Нагаева Е.И.

Информатика и

математика для юристов

учебник для

студентов вузов,

обучающихся по

специальностям

«Юриспруденция»

М.: Юнити-Дана,– 392 с 2015 ЭБС

Л1.2 Казанцев С.Я.,

Дубинина Н.М.

Информатика и

математика для юристов

учебник для

студентов вузов,

обучающихся по

специальностям

«Юриспруденция»

,2-е изд., перераб. и

доп

М.: Юнити-Дана, 559 с. 2015 ЭБС

5.1. Дополнительная литература

Л2.1

Н.М.

Чепурнова,

Л.Л.

Ефимова. –

Правовые основы

информатики учеб. пособие

М.: Юнити-Дана,. –

295 с. 2015 ЭБС

Л2.2

А.М. Попов,

В.Н.

Сотников,

Е.И. Нагаева.

–

Информатика и

математика

учебник для

вузов/ 3-е изд.,

перераб. и доп

М.: Юрайт, 430 с.

Умо 2015 ЭБС

72

5.2. Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет»

Наименование ресурса Адрес

Э1 Вся элементарная математика http://www.bymath.net

Э2 Сайт элементарной математики http://www.mathnet.spb.ru

Э3 Образовательный математический сайт http://www.exponenta.ru

5.3. Перечень информационных и дистанционных образовательных технологий

Операционная система Windows 7

Интегрированный пакет прикладных программ Microsoft Office 2010

(Access, Excel, Power Point, Word и т.д.)

Электронно-библиотечная система «Университетская библиотека он-лайн»

Справочно-правовая система «Консультант Плюс»

Информационно-правовая система Гарант

Система дистанционного обучения «Прометей»

Система видеоконферецсвязи «Mirapolis Virtual Room»

Галактика Портал внутренних и внешних коммуникаций учебного заведения

(личный кабинет обучающегося/преподавателя в ЭИОС НОУ МИЭП)