Ломакина Анастасия, 472ПМИ

Контрольная работа по курсу"Теория расписаний. Алгоритмический подход".

Задача 1. Раскрой выпуклого n-угольника.

0 0 5 10 15 7 6

0 0 0 6 9 8 5

5 0 0 0 7 14 8

10 6 0 0 0 8 15

15 9 7 0 0 0 5

7 8 14 8 0 0 0

6 5 8 15 5 0 0

Пусть n(k, l)—минимальная стоимость раскроя многоугольника M(k, l), если l > k + 2 и

n(k, l) = 0, если l = k + 1, n(k, l) = 0, если l = k + 2; d(k, l)—длина диагонали (k, l), если l > k + 1

и d(k, l) = 0, если l = k + 1. Тогда

n(k, l) = min{n(k, i) + n(i, l) + d(k, i) + d(i, l)}, k < i < l.

1. l − k = 3

n(1, 4) = min(n(1, 2) + n(2, 4) + d(1, 2) + d(2, 4), n(1, 3) + n(3, 4) + d(1, 3) + d(3, 4))

= min(6, 5) = 5.

n(2, 5) = min(n(2, 3) + n(3, 5) + d(2, 3) + d(3, 5), n(2, 4) + n(4, 5) + d(2, 4) + d(4, 5))

= min(7, 6) = 6.

n(3, 6) = min(n(3, 4) + n(4, 6) + d(3, 4) + d(4, 6), n(3, 5) + n(5, 6) + d(3, 5) + d(5, 6))

= min(8, 7) = 7.

n(4, 7) = min(n(4, 5) + n(5, 7) + d(4, 5) + d(5, 7), n(4, 6) + n(6, 7) + d(4, 6) + d(6, 7))

= min(5, 8) = 5.

2. l − k = 4

n(1, 5) = min(n(1, 2) + n(2, 5) + d(1, 2) + d(2, 5), n(1, 3) + n(3, 5) + d(1, 3) + d(3, 5),

n(1, 4) + n(4, 5) + d(1, 4) + d(4, 5)) = min(6 + 9, 5 + 7, 5 + 10)

= min(15, 12, 15) = 12.

n(2, 6) = min(n(2, 3) + n(3, 6) + d(2, 3) + d(3, 6), n(2, 4) + n(4, 6) + d(2, 4) + d(4, 6),

n(2, 5) + n(5, 6) + d(2, 5) + d(5, 6)) = min(7 + 14, 6 + 8, 6 + 9)

= min(21, 14, 15) = 14.

1

n(3, 7) = min(n(3, 4) + n(4, 7) + d(3, 4) + d(4, 7), n(3, 5) + n(5, 7) + d(3, 5) + d(5, 7),

n(3, 6) + n(6, 7) + d(3, 6) + d(6, 7)) = min(5 + 15, 7 + 5, 7 + 14)

= min(20, 12, 21) = 12.

3. l − k = 5

n(1, 6) = min(n(1, 2) + n(2, 6) + d(1, 2) + d(2, 6), n(1, 3) + n(3, 6) + d(1, 3) + d(3, 6),

n(1, 4) + n(4, 6) + d(1, 4) + d(4, 6), n(1, 5) + n(5, 6) + d(1, 5) + d(5, 6))

= min(14 + 8, 7 + 5 + 14, 5 + 10 + 8, 12 + 15) = min(22, 26, 23, 27) = 22.

n(2, 7) = min(n(2, 3) + n(3, 7) + d(2, 3) + d(3, 7), n(2, 4) + n(4, 7) + d(2, 4) + d(4, 7),

n(2, 5) + n(5, 7) + d(2, 5) + d(5, 7), n(2, 6) + n(6, 7) + d(2, 6) + d(6, 7))

= min(12 + 8, 5 + 6 + 15, 6 + 9 + 5, 14 + 8) = min(20, 26, 20, 22) = 20.

4. l − k = 6

n(1, 7) = min(n(1, 2) + n(2, 7) + d(1, 2) + d(2, 7), n(1, 3) + n(3, 7) + d(1, 3) + d(3, 7),

n(1, 4) + n(4, 7) + d(1, 4) + d(4, 7), n(1, 5) + n(5, 7) + d(1, 5) + d(5, 7),

n(1, 6) + n(6, 7) + d(1, 6) + d(6, 7))

= min(20 + 5, 12 + 5 + 8, 5 + 5 + 10 + 15, 12 + 15 + 5, 22 + 7)

= min(25, 25, 35, 32, 29) = 25.

Ответ: стоимость минимального раскроя составляет 25; возможные варианты раскроя:

1. (2,7),(3,7),(3,5),(5,7);

2. (2,7),(2,5),(2,4),(5,7);

3. (1,3),(3,7),(3,5),(5,7).

Задача 2. Задача двух станков. Алгоритм Джонсона.

1 =⇒ 2 2 =⇒ 1 1 2j 1 2 3 4 5p1j 5 6 6 9 8p2j 7 5 6 4 5

j 6 7 8 9p1j 3 7 5 7p2j 7 6 4 9

j 10 11p1j 6 3

j 12 13p2j 7 5

Формулировка задачи: 2 |F |Cmax.N12 = {1, 2, 3, 4, 5}—работы, поступающие сначала на первый прибор, а потом на второй;

N21 = {6, 7, 8, 9}—работы, поступающие сначала на второй прибор, а потом на первый; N1 =

{10, 11}—работы, производящиеся только первым прибором; N2 = {12, 13}—работы, производя-щиеся только вторым прибором.

Алгоритм Джонсона: Идея алгоритма заключается в в построении начала π1 и конца π2 оп-тимального порядка обслуживания π = (π1, π2).Рассмотрим работу алгоритма для множества N12.

2

На каждом шаге находятся номера работ, соответствующие минимальным элементам множествp1j и p2k; если minp1j

< minp2k, то π1 = (π1, j); если minp1j

> minp2k, то π2 = (k, π2); если minp1j

= minp2k,

то все равно, к какому из частичных расписаний добавлять работу. После этого требование j илиk исключается из рассмотрения и процедура повторяется до тех пор, пока не будут рассмотренывсе работы. Для N21 процесс аналогичен, но в зеркальном отражении. Множества N1 и N2 можноупорядочить в произвольном порядке (в данном случае упорядочим по возрастанию pj).

После применения алгоритма к исходным данным имеем следующее:

π12 = (1, 3, 2, 5, 4);

π21 = (8, 7, 9, 6);

π1 = (11, 10);

π2 = (13, 12).

Ответ: оптимальные расписания для приборов:

πI = (1, 3, 2, 5, 4, 11, 10, 8, 7, 9, 6);

πII = (8, 7, 9, 6, 13, 12, 1, 3, 2, 5, 4);

CI = CII = 65.

Задача 3. Графический алгоритм решения здачи Ранец.f(x) = 5 x1 + 7x2 + 4x3 + 7x4 → max,

5x1 + 4x2 + 6x3 + 4x4 ≤ 14,

xi ∈ {0, 1}, j = 1, . . . , 4.

Пусть t - объем контейнера, g(t)— значение целевой функции в зависимости от объема.Обозначения на графиках: - - — график, полученный сдвигом графика с предыдущего шага,

- . - — график с предыдущего шага.

Рис. 1 Рис. 2. Сдвиг на 4 ед. вправо и на 7 ед. вверх

3

Рис. 3. Сдвиг на 6 ед. вправо и на 4 ед. вверх Рис. 4. Сдвиг на 4 ед. вправо и на 7 ед. вверх

Ответ: x∗ = (x1, x2, x3, x4) = (1, 1, 0, 1); f(x∗) = 19.

Задача 4. Минимизация/Максимизация суммарного запаздывания

j 1 2 3 4 5 6 7pj 18 16 14 13 12 11 10dj 45 46 47 48 49 51 52

(Множество работ уже отсортировано в порядке возрастания директивных сроков.)a) Алгоритм B-1 решения задачи минимизации суммарного запаздывания для одного при-

бора.Формулировка задачи: 1 | |

∑Tj.

F ∗k (t)— оптимальное значение целевой функции на шаге k, π∗

k(t)— оптимальное расписаниена шаге k, dk(t) = dk − dn + t, n = 7.

k = 7 :

π∗7(t) = (7), 0 ≤ t ≤ 94,

F ∗7 (t) = max(0, 10− t).

Рис. 5. k = 7

4

k = 6 :

π1 = (6, 7), π2 = (7, 6);

F (π1) = max(0, 11− (51− 52 + t)) + F ∗7 (t− 11) = max(0, 12− t) + F ∗

7 (t− 11);

F (π2) = F ∗7 (t) +max(0, 11 + 10− (51− 52 + t)) = F ∗

7 (t) +max(0, 22− t);

F ∗6 (t) = min(F (π1), F (π2));

π∗6(t) =

(7, 6), 0 ≤ t ≤ 11,

(6, 7), 11 ≤ t < 22,

(7, 6), (6, 7), 22 ≤ t ≤ 94.

Рис. 6 Рис. 7. k = 6

k = 5 :

π1 = (5, π∗6(t− 12)), π2 = (π∗

6(t), 5);

F (π1) = max(0, 12− (49− 52 + t)) + F ∗6 (t− 12) = max(0, 15− t) + F ∗

6 (t− 12);

F (π2) = F ∗6 (t) +max(0, 12 + 11 + 10− (49− 52 + t)) = F ∗

6 (t) +max(0, 36− t);

F ∗5 (t) = min(F (π1), F (π2));

π∗5(t) =

(7, 6, 5), 0 ≤ t ≤ 11,

(6, 7, 5), 11 ≤ t ≤ 14,

(5, 7, 6), 14 ≤ t ≤ 23,

(5, 6, 7), 23 ≤ t < 34,

(5, 7, 6), (5, 6, 7), 34 ≤ t < 36,

(5, 7, 6), (5, 6, 7), (7, 6, 5), (6, 7, 5), 36 ≤ t ≤ 94.

5

Рис. 8 Рис. 9. k = 5

k = 4 :

π1 = (4, π∗5(t− 13)), π2 = (π∗

5(t), 4);

F (π1) = max(0, 13− (48− 52 + t)) + F ∗5 (t− 13) = max(0, 17− t) + F ∗

5 (t− 13);

F (π2) = F ∗5 (t) +max(0, 13 + 12 + 11 + 10− (48− 52 + t)) = F ∗

5 (t) +max(0, 50− t);

F ∗4 (t) = min(F (π1), F (π2));

π∗4(t) =

(7, 6, 5, 4), 0 ≤ t ≤ 11,

(6, 7, 5, 4), 11 ≤ t ≤ 14,

(5, 7, 6, 4), 14 ≤ t < 23,

(5, 7, 6, 4), (4, 7, 6, 5), t = 23,

(5, 6, 7, 4), 23 ≤ t < 25,

(5, 6, 7, 4), (4, 6, 7, 5), 25 ≤ t ≤ 27,

(4, 5, 7, 6), 27 ≤ t ≤ 36,

(4, 5, 6, 7), 36 ≤ t < 47,

(4, 5, 7, 6), (4, 5, 6, 7), 47 ≤ t < 49,

(4, 5, 7, 6), (4, 5, 6, 7), (4, 7, 6, 5), (4, 6, 7, 5) 49 ≤ t < 50,

(4, 5, 7, 6), (4, 5, 6, 7), (4, 7, 6, 5), (4, 6, 7, 5),

(5, 7, 6, 4), (5, 6, 7, 4), (7, 6, 5, 4), (6, 7, 5, 4), 50 ≤ t ≤ 94.

6

Рис. 10 Рис. 11. k = 4

k = 3 :

π1 = (3, π∗4(t− 14)), π2 = (π∗

4(t), 3);

F (π1) = max(0, 14− (47− 52 + t)) + F ∗4 (t− 14) = max(0, 19− t) + F ∗

4 (t− 14);

F (π2) = F ∗4 (t) +max(0, 14 + 13 + 12 + 11 + 10− (47− 52 + t)) = F ∗

4 (t) +max(0, 65− t);

F ∗3 (t) = min(F (π1), F (π2));

7

π∗3(t) =

(7, 6, 5, 4, 3), 0 ≤ t ≤ 11,

(6, 7, 5, 4, 3), 11 ≤ t ≤ 14,

(5, 7, 6, 4, 3), 14 ≤ t < 23,

(5, 7, 6, 4, 3), (4, 7, 6, 5, 3), t = 23,

(5, 6, 7, 4, 3), 23 ≤ t < 25,

(5, 6, 7, 4, 3), (4, 6, 7, 5, 3), 25 ≤ t ≤ 27,

(4, 5, 7, 6, 3), 27 ≤ t < 36,

(4, 5, 7, 6, 3), (3, 5, 7, 6, 4), t = 36,

(4, 5, 6, 7, 3), 36 ≤ t < 38,

(4, 5, 6, 7, 3), (3, 5, 6, 7, 4) 38 ≤ t < 39,

(4, 5, 6, 7, 3), (3, 5, 6, 7, 4), (3, 4, 6, 7, 5) 39 ≤ t ≤ 41,

(3, 4, 5, 7, 6), 41 ≤ t ≤ 50,

(3, 4, 5, 6, 7), 50 ≤ t < 61,

(3, 4, 5, 7, 6), (3, 4, 5, 6, 7), 61 ≤ t < 63,

(3, 4, 5, 7, 6), (3, 4, 5, 6, 7), (3, 4, 7, 6, 5), (3, 4, 6, 7, 5) 63 ≤ t < 64,

(3, 4, 5, 7, 6), (3, 4, 5, 6, 7), (3, 4, 7, 6, 5), (3, 4, 6, 7, 5),

(3, 5, 7, 6, 4), (3, 5, 6, 7, 4), (3, 7, 6, 5, 4), (3, 6, 7, 5, 4), 64 ≤ t < 65,

(3, 4, 5, 7, 6), (3, 4, 5, 6, 7), (3, 4, 7, 6, 5), (3, 4, 6, 7, 5),

(3, 5, 7, 6, 4), (3, 5, 6, 7, 4), (3, 7, 6, 5, 4), (3, 6, 7, 5, 4),

(4, 5, 7, 6, 3), (4, 5, 6, 7, 3), (4, 7, 6, 5, 3), (4, 6, 7, 5, 3),

(5, 7, 6, 4, 3), (5, 6, 7, 4, 3), (7, 6, 5, 4, 3), (6, 7, 5, 4, 3), 65 ≤ t ≤ 94.

Рис. 12 Рис. 13. k = 3

8

k = 2 :

π1 = (2, π∗3(t− 16)), π2 = (π∗

3(t), 2);

F (π1) = max(0, 16− (46− 52 + t)) + F ∗3 (t− 16) = max(0, 22− t) + F ∗

3 (t− 16);

F (π2) = F ∗3 (t) +max(0, 16 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10− (46− 52 + t)) = F ∗

3 (t) +max(0, 83− t);

F ∗2 (t) = min(F (π1), F (π2));

π∗2(t) =

(7, 6, 5, 4, 3, 2), 0 ≤ t ≤ 11,

(6, 7, 5, 4, 3, 2), 11 ≤ t ≤ 14,

(5, 7, 6, 4, 3, 2), 14 ≤ t < 23,

(5, 7, 6, 4, 3, 2), (4, 7, 6, 5, 3), t = 23,

(5, 6, 7, 4, 3, 2), 23 ≤ t < 25,

(5, 6, 7, 4, 3, 2), (4, 6, 7, 5, 3), 25 ≤ t ≤ 27,

(4, 5, 7, 6, 3, 2), 27 ≤ t < 36,

(4, 5, 7, 6, 3, 2), (3, 5, 7, 6, 4), t = 36,

(4, 5, 6, 7, 3, 2), 36 ≤ t < 38,

(4, 5, 6, 7, 3, 2), (3, 5, 6, 7, 4, 2) 38 ≤ t < 39,

(4, 5, 6, 7, 3, 2), (3, 5, 6, 7, 4, 2), (3, 4, 6, 7, 5, 2) 39 ≤ t ≤ 41,

(3, 4, 5, 7, 6, 2), 41 ≤ t ≤ 50,

(3, 4, 5, 6, 7, 2), 50 ≤ t < 53,

(3, 4, 5, 6, 7, 2), (2, 4, 5, 6, 7, 3) 53 ≤ t < 54,

(3, 4, 5, 6, 7, 2), (2, 4, 5, 6, 7, 3), (2, 3, 5, 6, 7, 4), 54 ≤ t < 55,

(3, 4, 5, 6, 7, 2), (2, 4, 5, 6, 7, 3), (2, 3, 5, 6, 7, 4), (2, 3, 4, 6, 7, 5), 55 ≤ t ≤ 57,

(2, 3, 4, 5, 7, 6), 57 ≤ t ≤ 66,

(2, 3, 4, 5, 6, 7), 57 ≤ t < 77,

(2, 3, 4, 5, 7, 6), (2, 3, 4, 5, 6, 7), 77 ≤ t < 79,

(2, 3, 4, 5, 7, 6), (2, 3, 4, 5, 6, 7), (2, 3, 4, 7, 6, 5), (2, 3, 4, 6, 7, 5) 79 ≤ t < 80,

(2, 3, 4, 5, 7, 6), (2, 3, 4, 5, 6, 7), (2, 3, 4, 7, 6, 5), (2, 3, 4, 6, 7, 5),

(2, 3, 5, 7, 6, 4), (2, 3, 5, 6, 7, 4), (2, 3, 7, 6, 5, 4), (2, 3, 6, 7, 5, 4), 80 ≤ t < 81,

(2, 3, 4, 5, 7, 6), (2, 3, 4, 5, 6, 7), (2, 3, 4, 7, 6, 5), (2, 3, 4, 6, 7, 5),

(2, 3, 5, 7, 6, 4), (2, 3, 5, 6, 7, 4), (2, 3, 7, 6, 5, 4), (2, 3, 6, 7, 5, 4),

(2, 4, 5, 7, 6, 3), (2, 4, 5, 6, 7, 3), (2, 4, 7, 6, 5, 3), (2, 4, 6, 7, 5, 3),

(2, 5, 7, 6, 4, 3), (2, 5, 6, 7, 4, 3), (2, 7, 6, 5, 4, 3), (2, 6, 7, 5, 4, 3), 81 ≤ t < 83,

(2, 3, 4, 5, 7, 6), (2, 3, 4, 5, 6, 7), (2, 3, 4, 7, 6, 5), (2, 3, 4, 6, 7, 5),

(2, 3, 5, 7, 6, 4), (2, 3, 5, 6, 7, 4), (2, 3, 7, 6, 5, 4), (2, 3, 6, 7, 5, 4),

(2, 4, 5, 7, 6, 3), (2, 4, 5, 6, 7, 3), (2, 4, 7, 6, 5, 3), (2, 4, 6, 7, 5, 3),

(2, 5, 7, 6, 4, 3), (2, 5, 6, 7, 4, 3), (2, 7, 6, 5, 4, 3), (2, 6, 7, 5, 4, 3),

(3, 4, 5, 7, 6, 2), (3, 4, 5, 6, 7, 2), (3, 4, 7, 6, 5, 2), (3, 4, 6, 7, 5, 2),

(3, 5, 7, 6, 4, 2), (3, 5, 6, 7, 4, 2), (3, 7, 6, 5, 4, 2), (3, 6, 7, 5, 4, 2),

(4, 5, 7, 6, 3, 2), (4, 5, 6, 7, 3, 2), (4, 7, 6, 5, 3, 2), (4, 6, 7, 5, 3, 2),

(5, 7, 6, 4, 3, 2), (5, 6, 7, 4, 3, 2), (7, 6, 5, 4, 3, 2), (6, 7, 5, 4, 3, 2), 83 ≤ t ≤ 94.

9

Рис. 14 Рис. 15. k = 2

k = 1 :

π1 = (1, π∗2(t− 18)), π2 = (π∗

2(t), 1);

F (π1) = max(0, 18− (45− 52 + t)) + F ∗2 (t− 18) = max(0, 25− t) + F ∗

2 (t− 18);

F (π2) = F ∗2 (t) +max(0, 18 + 16 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10− (45− 52 + t))

= F ∗2 (t) +max(0, 101− t);

F ∗1 (t) = min(F (π1), F (π2));

10

π∗1(t) =

(7, 6, 5, 4, 3, 2, 1), 0 ≤ t ≤ 11,

(6, 7, 5, 4, 3, 2, 1), 11 ≤ t ≤ 14,

(5, 7, 6, 4, 3, 2, 1), 14 ≤ t < 23,

(5, 7, 6, 4, 3, 2, 1), (4, 7, 6, 5, 3, 1), t = 23,

(5, 6, 7, 4, 3, 2, 1), 23 ≤ t < 25,

(5, 6, 7, 4, 3, 2, 1), (4, 6, 7, 5, 3), 25 ≤ t ≤ 27,

(4, 5, 7, 6, 3, 2, 1), 27 ≤ t < 36,

(4, 5, 7, 6, 3, 2, 1), (3, 5, 7, 6, 4), t = 36,

(4, 5, 6, 7, 3, 2, 1), 36 ≤ t < 38,

(4, 5, 6, 7, 3, 2, 1), (3, 5, 6, 7, 4, 2, 1) 38 ≤ t < 39,

(4, 5, 6, 7, 3, 2, 1), (3, 5, 6, 7, 4, 2, 1), (3, 4, 6, 7, 5, 2, 1) 39 ≤ t ≤ 41,

(3, 4, 5, 7, 6, 2, 1), 41 ≤ t ≤ 50,

(3, 4, 5, 6, 7, 2, 1), 50 ≤ t < 53,

(3, 4, 5, 6, 7, 2, 1), (2, 4, 5, 6, 7, 3, 1) 53 ≤ t < 54,

(3, 4, 5, 6, 7, 2, 1), (2, 4, 5, 6, 7, 3, 1), (2, 3, 5, 6, 7, 4, 1), 54 ≤ t < 55,

(3, 4, 5, 6, 7, 2, 1), (2, 4, 5, 6, 7, 3, 1), (2, 3, 5, 6, 7, 4, 1), (2, 3, 4, 6, 7, 5, 1), 55 ≤ t ≤ 57,

(2, 3, 4, 5, 7, 6, 1), 57 ≤ t ≤ 66,

(2, 3, 4, 5, 6, 7, 1), 66 ≤ t < 77,

(1, 2, 3, 4, 5, 7, 6), (2, 3, 4, 5, 6, 7, 1), t = 77,

(1, 2, 3, 4, 5, 7, 6), 77 < t ≤ 84,

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1), 84 ≤ t ≤ 94.

Рис. 16 Рис. 17. k = 1

Ответ: минимальное суммарное запаздывание F ∗ = F ∗1 (52) = 87 достигается на расписании

π∗ = π∗1(52) = (3, 4, 5, 6, 7, 2, 1).

11

b) Графический подход решения задачи максимизации суммарного запаздывания для одногоприбора.

Формулировка задачи: 1 | (nd) |max∑Tj.

F ∗k (t)— оптимальное значение целевой функции на шаге k, π∗

k(t)— оптимальное расписаниена шаге k, n = 7, 0 ≤ t ≤ 94.

k = 1 :

π∗1(t) = (1), 0 ≤ t ≤ 94,

F ∗1 (t) = max(0, 18 + t− 45) = max(0, t− 27).

Рис. 18. k = 1

k = 2 :

π1 = (2, 1), π2 = (1, 2);

F (π1) = max(0, 16 + t− 46) + F ∗1 (t+ 16) = max(0,−30 + t) + F ∗

1 (t+ 16);

F (π2) = F ∗1 (t) +max(0, 18 + 16 + t− 46) = F ∗

1 (t) +max(0,−12 + t);

F ∗2 (t) = max(F (π1), F (π2));

π∗2(t) =

(2, 1), (1, 2), 0 ≤ t ≤ 11,

(2, 1), 11 < t ≤ 28,

(1, 2), 28 ≤ t ≤ 94.

12

Рис. 19 Рис. 20. k = 2

k = 3 :

π1 = (3, π∗2(t+ 14)), π2 = (π∗

2(t), 3);

F (π1) = max(0, 14 + t− 47) + F ∗2 (t+ 14) = max(0,−33 + t) + F ∗

2 (t+ 14);

F (π2) = F ∗2 (t) +max(0, 18 + 16 + 14 + t− 47) = F ∗

2 (t) +max(0, 1 + t);

F ∗3 (t) = max(F (π1), F (π2));

π∗3(t) =

(3, 2, 1), 0 ≤ t ≤ 13,

(2, 1, 3), 13 ≤ t ≤ 28,

(1, 2, 3), 28 ≤ t ≤ 94.

Рис. 21 Рис. 22. k = 3

13

k = 4 :

π1 = (4, π∗3(t+ 13)), π2 = (π∗

3(t), 4);

F (π1) = max(0, 13 + t− 48) + F ∗3 (t+ 13) = max(0,−35 + t) + F ∗

3 (t+ 13);

F (π2) = F ∗3 (t) +max(0, 18 + 16 + 14 + 13 + t− 48) = F ∗

3 (t) +max(0, 13 + t);

F ∗4 (t) = max(F (π1), F (π2));

π∗4(t) =

(4, 2, 1, 3), (3, 2, 1, 4), 0 ≤ t ≤ 13,

(2, 1, 3, 4), 13 < t ≤ 28,

(1, 2, 3, 4), 28 ≤ t ≤ 94.

Рис. 23 Рис. 24. k = 4

k = 5 :

π1 = (5, π∗4(t+ 12)), π2 = (π∗

4(t), 5);

F (π1) = max(0, 12 + t− 49) + F ∗4 (t+ 12) = max(0,−37 + t) + F ∗

4 (t+ 12);

F (π2) = F ∗4 (t) +max(0, 18 + 16 + 14 + 13 + 12 + t− 49) = F ∗

4 (t) +max(0, 24 + t);

F ∗5 (t) = max(F (π1), F (π2));

π∗5(t) =

(5, 4, 2, 1, 3), (5, 3, 2, 1, 4), (4, 2, 1, 3, 5), (3, 2, 1, 4, 5), t = 0,

(4, 2, 1, 3, 5), (3, 2, 1, 4, 5), 0 < t ≤ 13,

(2, 1, 3, 4, 5), 13 < t ≤ 28,

(1, 2, 3, 4, 5), 28 ≤ t ≤ 94.

14

Рис. 25 Рис. 26. k = 5

k = 6 :

π1 = (6, π∗5(t+ 11)), π2 = (π∗

5(t), 6);

F (π1) = max(0, 11 + t− 51) + F ∗5 (t+ 11) = max(0,−40 + t) + F ∗

5 (t+ 11);

F (π2) = F ∗5 (t) +max(0, 18 + 16 + 14 + 13 + 12 + 11 + t− 51) = F ∗

5 (t) +max(0, 33 + t);

F ∗6 (t) = max(F (π1), F (π2));

π∗6(t) =

(6, 4, 2, 1, 3, 5), (6, 3, 2, 1, 4, 5), (5, 4, 2, 1, 3, 6), (4, 2, 1, 3, 5, 6),

(5, 3, 2, 1, 4, 6), (3, 2, 1, 4, 5, 6), t = 0,

(4, 2, 1, 3, 5, 6), (3, 2, 1, 4, 5, 6), 0 < t ≤ 13,

(2, 1, 3, 4, 5, 6), 13 < t ≤ 28,

(1, 2, 3, 4, 5, 6), 28 ≤ t ≤ 94.

Рис. 27 Рис. 28. k = 6

15

k = 7 :

π1 = (7, π∗6(t+ 10)), π2 = (π∗

6(t), 7);

F (π1) = max(0, 10 + t− 52) + F ∗6 (t+ 10) = max(0,−42 + t) + F ∗

6 (t+ 10);

F (π2) = F ∗6 (t) +max(0, 18 + 16 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + t− 52)

= F ∗6 (t) +max(0, 42 + t);

F ∗7 (t) = max(F (π1), F (π2));

π∗7(t) =

(6, 4, 2, 1, 3, 5, 7), (6, 3, 2, 1, 4, 5, 7), (5, 4, 2, 1, 3, 6, 7), (4, 2, 1, 3, 5, 6, 7),

(5, 3, 2, 1, 4, 6, 7), (3, 2, 1, 4, 5, 6, 7), t = 0,

(4, 2, 1, 3, 5, 6, 7), (3, 2, 1, 4, 5, 6, 7), 0 < t ≤ 13,

(2, 1, 3, 4, 5, 6, 7), 13 < t ≤ 28,

(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), 28 ≤ t ≤ 94.

Рис. 29 Рис. 30. k = 1

Ответ: максимальное суммарное запаздывание F ∗ = F ∗7 (0) = 115 достигается на множестве

расписаний:

π∗ = π∗7(0) = {(6, 4, 2, 1, 3, 5, 7), (6, 3, 2, 1, 4, 5, 7), (5, 4, 2, 1, 3, 6, 7), (4, 2, 1, 3, 5, 6, 7),

(5, 3, 2, 1, 4, 6, 7), (3, 2, 1, 4, 5, 6, 7)}.

16