ITAP Fizik Olimpiyat Okulu 15 Eylül 2010 Resmi Sınavı (Prof. Dr. Ventsislav Dimitrov)

Konu: Döngüsel süreçlerin Termodinamiği

Soru 1. Diyagramdaki döngüsel süreç iki izobar ve iki izotermal süreçten oluşuyor.

Eğer diyagramdaki 1-4 noktaları için α=1

3

VV

ve 12

4 =VV

ise

(burada α bir sabittir), 1

3

TT

ne kadardır?

Çözüm: Yazıları daha kısa yazmak için nR=1 olarak alalım, burada n mol sayısı R ise gaz sabitidir. Buna göre bir n mol miktarda ideal gazın denklemi TPV = şekline geliyor. Diyagrama göre 111 VPT = ve 1444 TVPT == (1-4 süreci bir izotermdir).

Buradan 441121 VPVPT = . Aynı şekilde 3322

23 VPVPT = (2-3 süreci bir izotermdir). Bu iki

denklemden 4411

332221

23

VPVPVPVP

TT

= . Verilere göre α==41

3221

23

VVVV

TT

, buradan α=1

3

TT

(Cevap).

ITAP Fizik O

limpiy

at Oku

lu

Soru 2. n mol miktarda olan helyum gazının PV diyagramdaki döngüsel süreci bir izobardan (1-2) ve iki tane lineer süreçten oluşuyor. İzobar sürecinde gaz W miktarda iş yapıyor ve sıcaklığı dört katına çıkıyor. 1 ve 3 durumlarında sıcaklık aynıdır. PV diyagramda 2 ve 3 noktalarından geçen doğru koordinat sistemin başlangıç noktasından geçmektedir. Bu verilere göre gazın sıcaklığı durum 1’de ne kadardır? Bir döngüsel süreçte gazın yaptığı toplam iş ne kadardır?

Çözüm: Yazıları daha kısa yazmak için nR=1 olarak alalım. Buna göre ideal gazın denklemi tnRTPV == oluyor, burada t birimi enerji boyutunda olan mutlak

sıcaklıktır, yani nRt

T = . Verilere göre 111222 44 VPtVPt === , buradan 112 4 VV = olduğu

gözleniyor. Verilere göre ( ) 111121 33 tVPVVPW ==−= . Buradan 31

Wt = ’ye olduğunu

buluruz. Boyutlu şeklinde ise nRW

T31 = (Cevap).

Doğru 2-3 başlangıç noktadan geçtiğine göre doğrunun denklemi aVP = dir, burada

α bir sabittir. Nokta 2 için 1

1121 44

Pt

aaVaVP === , buradan 1

21

4tP

a = buluruz. Nokta 3

için ise 3

1

3

333 P

ta

Pt

aaVP === . Buradan 4

21

123

PatP == ⇒

21

3

PP = . Gaz bir döngüde

yaptığı iş sayısal olarak PV diyagramdaki 1-2-3 üçgenin alanına eşittir:

( )( )43

43

21 1

111231

tVPVVPPWt ==−−= ⇒

4W

Wt = (Cevap)

ITAP Fizik O

limpiy

at Oku

lu

Soru 3. Bir mol miktarda helyum gazının PV diyagramdaki 1-2-3 döngüsel süreçte yaptığı işi bulunuz. Süreç bir adiabat (1-2), bir izobar (2-3) ve bir izokordan (3-1) oluşmaktadır. Adiabat sürecinde en yüksek ile en düşük sıcaklık arasındaki fark ∆T dir. İzobar sürecinde ise gazdan Q miktarda ısı alınıyor.

Çözüm: Birinci yasaya göre bir döngüsel süreçte bir sistemin yaptığı iş (W) sisteme verilen net ısıya (Qt) eşittir (veya verilen ısı eksi alınan ısıya eşittir). Diyagrama göre sisteme verilen net ısı

( ) ( ) ( )))) 313123 TTCQTTCTTCQW VVPt −+−=−+−== , (1) burada Q izobar süreçte gazdan alınan ısı miktarı, CP ve ise Cv sabit basınç ve sabit hacim koşullarında ısı kapasiteleridir. Verilere göre

PCQ

TT −=− 23 (2)

Adiabat denkleminden 1

22

−

=γ

VV

TT sıcaklığın hacmin monoton azalan bir fonksiyonu

olduğu gözleniyor, yani diyagramdaki adiabatik süreçte en yüksek sıcaklık T1, en düşük ise T2 dir: verilere göre

TTT ∆=− 21 . (3)

Denk(2-3)’ten PCQ

TTT +∆=− 31 buluruz ve Denk(1)’ye göre

QCCC

TCTCQCC

QWP

VPVV

P

V −−∆=∆++−= . Helyum için RCP 2

5= ve RCP 2

3= .

Buradan QTRW52

23

−∆= (Cevap)

ITAP Fizik O

limpiy

at Oku

lu

Soru 4. Bilinen bir miktarda helyum gazı pistonu hareketli olan bir silindir içinde

bulunmaktadır. Sabit basınç altında gaz durum 1’den durum 2’ye kadar ısıtılıyor (şekildeki PV diyagrama göre). Bu süreçte gaz A12 miktarı kadar iş yapıyor. Ardından 2-3 sürecinde gazın üzerine -A23 miktarında iş yaparak (-A23>0) gaz basıncı hacimle orantılı olarak şeklinde sıkıştırılıyor. Son olarak 3-1 adiabatik sürecinde gaz sıkıştırılıyor ve başlangıç duruma getiriliyor. 3-1 adiabatik sürecinde gazın yaptığı işi (A31) bulunuz.

Çözüm: Yazıları daha kısa yazmak için 1=nR alınmıştır, buna göre ideal gazın denklemi TPV = oluyor. Bir döngüsel süreçte sistemin yaptığı net iş (A) sisteme verilen net ısıya (Q) eşittir: QA = . Örnekte

312312312312 QQQAAA ++=++ . (1)

3-1 süreci adiabatik olduğuna göre 031 =Q . 1-2 süreci ise

izobardır⇒ )( 1212 TTCQ P −= . Termodinamiğin birinci yasasına ve verilere göre

121212121212 )()( ATTCAUUTTCQ VP +−=+−=−= . (U – sistemin iç enerjisidir).

Buradan 121212 )( ACC

CTTCQ

VP

PP −

=−= ⇒

12121212 23AA

CCC

AQVP

V =−

=− (2)

(Helyum gazı için nRCV 23

= ve nRCP 25

= dir). 2-3 sürecinde verilere göre aVP =

burada α bir sabittir veya 2aVPV = ⇒ 2aVT = . Bu süreçte sistemin yaptığı iş

( ) dTaVdaVdVPdVA21

21 2 ====δ , yani ( )2323 2

1TTA −= . Birinci yasaya göre

2323232323 )( ATTCAUUQ V +−=+−= ⇒

2323232323 32)( AACTTCAQ VV ==−=− (3) Denk(1)’ye göre

( ) ( ) 23122323121231 323

AAAQAQA +=−+−= .(Cevap)

ITAP Fizik O

limpiy

at Oku

lu

Soru 5. Döngüsü 1-2 izoterminden, 2-3 izokorundan ve 3-1 adiabatından oluşan bir ısı makinen verimi η dir, döngünün en yüksek ve en düşük sıcaklıkları arasındaki fark ise ∆T dir. Buna göre n mol miktarda olan bir atomlu ideal gaz izoterm sürecinde ne kadar iş yapacaktır?

Çözüm: Yazıları daha kısa yazmak için 1=nR alınmıştır, buna göre ideal gazın

denklemi TPV = , ısı kapasiteleri ise 25

=PC ve 21

=VC oluyor. Verilere göre makine

sadece izoterm süreçte

121

2112 ln A

VV

TQ =

= (1)

miktarda ısı alıyor ve sadece izokor süreçte açığa

( ) TTTCQ V ∆=−=23

3232 (2)

miktarda ısı veriyor. Verimin tanımına göre 12

321QQ

−=η . Buradan 122

31

AT∆

−=η veya

η−∆

=123

12

TA , boyutlu şeklinde ise ( )η−

∆=

123

12

TnRA (Cevap)

ITAP Fizik O

limpiy

at Oku

lu

Soru 6. PV diyagramdaki 1-2-4-1 döngüsünün verimi η1, 2-3-4-2’in ise η2 dir. 1-2-3-4-1 döngüsünün verimini bulunuz. 4-1 ve 2-3 süreçleri izokor, 3-4 izobar, 1-2 ve 2-4 ise basıncın hacmin lineer fonksiyonu olduğu süreçlerdir. Döngülerde süreçlerin yönü saat yönündedir. Makinede çalışan gaz ideal gazdır.

Çözüm: Yazıları daha kısa yazmak için 1=nR alınmıştır, buna göre ideal gazın

denklemi TPV = , ısı kapasiteleri ise 25

=PC ve 21

=VC oluyor. Önceden farklı

süreçlerde makine ısı aldığı almadığını açıklayalım. 1-2 ve 4-2 lineer süreçle için bVaP += burada a ve b negatif olmayan sabitlerdir. Buna göre 2bVaVPVT +==

ve 02 ≥+=′ bVaT , yani T hacimle artan bir fonksiyondur. Buradan 0>+∆= ATCQ V (A lineer süreçte yapılan pozitif iştir). 1-2 sürecinde sisteme verilen ısı Q1, 4-2’de Q2 ve 4-1 sürecinde ise Q3 olsun. 1-2-4-1 döngüsünde yapılan iş A1, 4-2-3-4 döngüsünde ise A2 olsun. 2-3 ve 3-4 süreçlerinde sistemden ısı alınmaktadır. Bu açıklamalara göre ve verimin tanımına göre

=++

=

=

+=

QA

QQAA

QA

QQA

31

21

2

22

31

11

η

η

η

(1)

Aynı anda birinci yasaya göre dönge 1-2-4-1 için 23211 QQQQQA −=+−= ⇒ ( )112 1 η−=−= QAQQ .

Buradan ( ) ( )QQQQQAAA 212112122121 1 ηηηηηηηηη −+=−+=+=+= .

Denk(1)’re göre 2121 ηηηηη −+==QA

(Cevap)

ITAP Fizik O

limpiy

at Oku

lu

Soru 7. Bilinen bir miktarda olan gazın yaptığı döngüsel süreç iki izobar ve iki izokor süreçlerden oluşuyor (şekildeki gibi). Bu süreçler 1,2,3 ve 4 noktalarında kesişiyor. 2 ve 4 noktalarında sırasıyla sıcaklık T2 ve T4 eşittir, 2. ve 4. noktalardan geçen doğru koordinat sistemin başlangıç noktasından geçiyor. Bu verilere göre 1. ve 3. noktalardaki sıcaklığı bulunuz.

Çözüm 1: Yazıları daha kısa yazmak için nR=1 birim olarak alalım. Verilere göre O-4-2 doğrultusunda aVP = burada α bir sabittir. Buna göre 44 aVP = ve

22 aVP = ⇒2

4

2

4

VV

PP

=

veya 2442 VPVP = (1)

İdeal gaz denklemine göre

=

=

243

421

VPT

VPT (2)

Denk(1) de kullanılırsa 21 TT = buluruz. Denk(2)’den

424422244231 TTVPVPVPVPTT === (3)

Yani, 4231 TTTT == (Cevap) Çözüm 2: Yazıları daha kısa yazmak için P4=1, V4=1 ve nR=1 sırasıyla basınç, hacim ve gaz sabiti birimi olarak alalım. Buradan T4=1 ve nokta 2 eğimi 1 olan doğrultuda olduğuna göre 22 VP = ’ye eşittir. Gaz denklemine göre 222 TVP = , buradan

222 TVP == .

Buradan 22421 TPVPT === ve 22213 TVVPT === .

Boyutlu şeklinde ise 4

2

4

1

TT

TT

= ⇒ 3421 TTTT == (Cevap)

ITAP Fizik O

limpiy

at Oku

lu

Soru 8. n mol miktarda olan helyum gazı PV diyagramdaki döngüsel süreçte yer almaktadır. Süreç iki izobar ve iki izokordan oluşuyor. 1-2 izokor sürecinde gaza Q miktarda ısı aktarılıyor ve bu süreçte gazın sıcaklığı 4 katına çıkıyor. Durum 2 ve 3’te sıcaklıklar aynıdır, doğru 3-1 ise koordinat sistemin başlangıç noktasından geçiyor. Bu verilere göre durum 1’de gazın sıcaklığını ve gazın döngüsel süreçte yaptığı işi bulunuz.

Çözüm: Yazıları daha kısa yazmak için P1=1, V1=1 ve nR=1 sırasıyla basınç, hacim ve gaz sabiti birimi olarak alalım. (Buna göre 110 VPE = , 10 TT = sırasıyla enerji ve

sıcaklık birimi, ısı kapasitesi ise 23

23

== nRCV oluyor).

111 VPT = denkleminden T1=1. Nokta 3, 3-1-0 doğrultusunda bulunduğuna göre eğimi 1 ve 33 VP = .

Verilere göre 44 123 === TTT .

Gaza 1-2 sürecinde verilen ısı ( ) 1112 29

323

) TTTTCQ V =⋅=−= dir. ⇒ QT92

1 = , boyutlu

biçiminde ise nRQ

T92

1 = (Cevap)

Gaz denklemine göre durum 3 için 333 TVP = , buradan 2333 === TVP . Durum 2 için

ise 44 12222 ==== TPVPT . Buradan 1-2-3 üçgenin alanı ( )( )23

21

1312 =−−= VVPPA ,

boyutlu biçiminde ise39

223

23

23

111

QQnRTVPA =⋅=== . ⇒

3Q

A = (Cevap)

ITAP Fizik O

limpiy

at Oku

lu

Soru 9. 1-2 adiabatından, 2-3 izoterminden ve 3-1 izobarından oluşan süreçte (şekildeki gibi) bir miktar helyum gazı A miktarda iş yapmaktadır. Eğer süreçteki en yüksek ve en düşük sıcaklık arasında fark ∆T ise gaz izoterm sürecinde ne kadar iş yapıyor?

Çözüm: 2-3 izoterm sürecinde termodinamiğin birinci yasasına göre

0<= PdVQδ çünkü bu süreçte hacım azalıyor, yani sistemden ısı alınıyor. İzoterm sürecinde sistemden alınan ısı miktarı Q1 olsun. İzobar sürecinde ise (3-1) sisteme verilen ısı miktarı

025

)( 212 >∆=−= TRTTCQ P (1)

çünkü RPV

T = denklemine göre hacim artınca sıcaklık ta artıyor. 1-2 adiabat

sürecinde ise sistemin sıcaklığı devamlı azalıyor: Termodinamiğin birinci yasasına göre

12 QQA −= (2) İzoterm süreçte

231 AQ =− (3)

Denk(1-3)’ten 223 QAA −= ⇒ TRAA ∆−=25

23 (Cevap)

ITAP Fizik O

limpiy

at Oku

lu

Soru 10. Bilinen bir miktarda helyum gazı pistonu hareketli olan bir silindir içinde bulunmaktadır. Gaz üzerine W12 (W12>0) miktarda iş yapılarak gaz 1-2 adiabatik sürecinde durum 1’den durum 2’ye kadar sıkıştırılıyor (PV diyagramdaki gibi). Ardından gaz 2-3 izoterm sürecinde durum 2’den durum 3’çe kadar genişliyor. Son olarak gaz durum 3’ten basıncı hacmine orantılı olarak şeklinde ilk duruma kadar sıkıştırılıyor. Eğer tüm 1-2-3-1 sürecinde gaz A miktarda iş yaparsa gaz 2-3 izoterm sürecinde ne kadar iş (A23) yapacaktır?

Çözüm: Yazıları daha kısa yazmak için P1=1, V1=1 ve nR=1 sırasıyla basınç, hacim ve gaz sabiti birimi olarak alalım. (Buna göre 110 VPE = , 10 TT = sırasıyla enerji ve

sıcaklık birimi, ısı kapasitesi ise 23

23

== nRCV oluyor).

111 VPT = denkleminden ⇒T1=1.

Nokta 3, 3-1-0 doğrultusunda bulunduğuna göre eğimi 1 ve 333 TVP == .

Verilere göre 23 TT = . 2-3 izoterm sürecinde gaza verilen ısı

232 AQ = (1) 3-1 lineer sürecinde sistemden alınan ısı ise Q1 olsun:

( ) 13131 ATTCQ V +−= , (2)

Burada ( )( ) ( )( )1313131313 21

21

TTTTVVPPA −+=−+= , yani

( )1313 21

TTA −= (3)

( ) ( ) ( )1313131 221

23

TTTTTTQ −=−+−= (4)

Termodinamiğin birinci yasasına göre ( )132312 2 TTAQQA −−=−= , buradan

( )2

2313

AATT

−=− (5)

Sistemin yaptığı toplam iş:

( )

−+−=

−+−=−+−=++=42

1 231223131223132312312312

AAWATTWAAAWAAAA ,

buradan 1223 34WAA −= veya 1223 3

4WAA += (Cevap).

ITAP Fizik O

limpiy

at Oku

lu