TEORIA DE LAUTILIDAD

MULTIATRIBUTOY

PROCESO ANALITOCO DEJERAQUIZACIÓN.

Toma de Decisiones

Gustavo Benítez Barajas 8 LAE27/04/2015

Introducción

La Teoría de la Utilidad Multiatributo (UMA) proporciona una

base formal para describir o prescribir elecciones entre

alternativas cuyas consecuencias están caracterizadas por

múltiples atributos relevantes. En los años 70 se publicaron

algunos resúmenes muy buenos de esta teoría, Fishburn

(1970,1977), Krantz et al. (1971), Farquhar (1977,1980),

Roberts (1979) y Keeney y Raiffa (1976), siendo este ultimo un

excelente libro cuya contribución fue fundamental dentro del

área de la utilidad multiatributo, que se reedito en 1993, y

que después de 25 años se considera que en sus aspectos

teóricos y de fundamentos continua siendo básico. En la teoría

de la utilidad multiatributo se considera útil la distinción

entre la teoría descriptiva y la prescriptiva. Indiquemos que

una teoría descriptiva es simplemente un cuadro conjeturado de

la realidad, es decir, una proposición que refleja posibles

relaciones entre objetos o clases de objetos del mundo exterior

y así los modelos UMA descriptivos pretenden explicar y

predecir los intercambios (trade-offs) que llevan a cabo los

decisores utilizando para ello sus propios artificios o

ingenios. Sin embargo, las teorías prescriptivas no describen

como son las cosas, sino que proporcionan consejos sobre la

elección o juicios que debe realizar el decisor, resultando que

los modelos UMA prescriptivos se han diseñado para ayudar a los

individuos a llevar a cabo los intercambios, con la esperanza

de alcanzar mejores decisiones. Así, al nivel mas simple, un

análisis prescriptivo guiar a al individuo en las elecciones

que lleve a cabo, construyendo un modelo de decisión que

describe las alternativas con las que se enfrenta y prediciendo

sus consecuencias. En resumen, un análisis prescriptivo

aconseja de dos formas. Primero en la construcción del modelo

para el decisor guiándole a través de un proceso de evolución y

clarificación de las preferencias y creencias y, segundo,

mostrando al individuo lo que un decisor racional haría al

enfrentarse con una situación de elección semejante. Con ello,

es de esperar que el análisis prescriptivo mejore la percepción

por parte del individuo del problema así como sus sensaciones

sobre el. También es útil y obligada la distinción entre

decisiones bajo certidumbre y bajo incertidumbre o riesgo. En

el primer caso, los individuos actúan con información perfecta

en el sentido de que serán capaces de especificar con seguridad

las consecuencias de los diferentes cursos de acción. Sin

embargo, en el segundo caso, el decisor posee únicamente

información parcial y se supone que es capaz de asignar

probabilidades subjetivas a cada una de las posibles

consecuencias de las alternativas en consideración. Podría

argumentarse que ninguna decisión es en certidumbre, sin

embargo para algunos propósitos la suposición de elección bajo

certidumbre proporciona una aproximación razonable a la

situación con la que se enfrenta un decisor. En todo caso, la

distinción entre elección bajo certidumbre frente a

incertidumbre es importante ya que se requerirán distintas

clases de modelos UMA para ambas situaciones.

Estructuración de las consecuencias como vectores de

atributos

Una idea básica en el tratamiento de los problemas mediante el

Análisis de Decisiones es su división en partes mas pequeñas,

ya que centrándose en cada parte de modo separado es probable

que el decisor consiga un mejor entendimiento del problema que

el que lograrla a partir de una visión global. En la mayoría de

los problemas de decisión surge de forma inmediata un objetivo

global, que no suele tener una sencilla traducción a una única

variable cuantitativa. De aquí la conveniencia o necesidad en

muchos casos de la estructuración de un árbol o jerarquía de

objetivos que emane del objetivo global planteado para el

problema. Así, asociado a cada objetivo pueden existir o

definirse sub-objetivos que, de hecho, también son objetivos

pero en un nivel mas bajo y que ayudan a precisar mejor las

preferencias de decisor respecto del objetivo del que emanan. A

su vez, para estos nuevos objetivos, podrán considerarse de

nuevo sub-objetivos de nivel mas bajo y así sucesivamente hasta

construir el árbol de objetivos, con la propiedad de que al ir

descendiendo en el los objetivos se irán haciendo mas precisos,

siendo por ello mas fácil definir variables (resultado)

asociadas a ellos. La generación de sub-objetivos en niveles

cada vez mas bajos del árbol vendrá determinada por los juicios

del decisor que deberá basarse, por una parte, en si la

especificidad lograda con el sub-objetivo alcanzado es la

adecuada y, por otra, si el sub-objetivo es suficientemente

preciso para asociarle una escala, bien objetiva o subjetiva,

como para reflejar los valores de las consecuencias de las

alternativas. Para cada uno de los objetivos de mas bajo nivel

se asociara una variable resultado o atributo, que permitirán

tener una medida de la realización, satisfacción o logro de

cada curso de acción respecto de ese objetivo. La forma en que

se medirá el atributo así como una descripción de su unidad de

medida, serán parte de la definición del atributo en cada

contexto. Se consideran básicamente dos tipos de atributos:

objetivos y subjetivos, dependiendo de si es posible tener una

escala de medida directa o es necesario la construcción de una

ad hoc para el atributo en cuestión. Una vez que se disponga

del árbol de objetivos y de los atributos asociados a los

objetivos del nivel mas bajo, nos enfrentaríamos a la cuestión

de si podemos considerar que esa estructura cualitativa esta

terminada. Se han propuesto varios criterios para contrastar si

el conjunto de objetivos y atributos elaborado es el adecuado,

Keeney y Raiffa (1976).

Teoría del Valor Multiatributo: El Caso de Certidumbre

En los tratamientos económicos estándar de elecciones bajo

certidumbre se ve al decisor como capaz de considerar

intercambios continuos entre los valores de los atributos.

Tales intercambios llevan a los mapas de indiferencia en los

cuales se basa el análisis económico del comportamiento clásico

de los consumidores y las empresas, ver Stigler (1966). El

proceso que conlleva su construcción es compensatorio en el

sentido de que un incremento en el valor de un atributo puede

compensar, al menos parcialmente, el decremento en el valor de

otro. Los estudios psicológicos sobre preferencias para

resultados multiatributo se han sustentado, en general, en este

modelo de intercambios compensatorios. La teoría de medida

conjunta proporciona la base formal para la evaluación de

resultados multiatributo bajo certidumbre. Bajo la hipótesis de

que el decisor se siente satisfecho con el conjunto X =

(X1, ..., Xn) de los n atributos que describen las

consecuencias de las decisiones en términos de todos los

factores que se consideran relevantes, y que no existe

incertidumbre o que esta es despreciable, entonces cada

decisión llevar a asociada un solo resultado posible, es decir,

cada decisión tendrá asociada un vector numérico x = (x1, ...,

xn) y diremos que v es una función de valor multiatributo sobre

X, si satisface la condición v (x1, ..., xn) ≥ v (x 1, ..., x

n) ⇔ (x1, ..., xn) (x 1, ..., x n), donde el símbolo

representa las preferencias del decisor y significa “preferido

o indiferente a”. De esta manera, v será una función de valor

si ordena las alternativas de manera consistente con las

preferencias del decisor. En la literatura aparecen otros

nombres para esta misma construcción tales como función de

preferencias o función de utilidad ordinal, entre otros. El

problema del decisor será entonces, determinar aquella

alternativa que maximice la función v. Así, v servirá para

comparar los distintos niveles de los atributos a través del

efecto que tengan las magnitudes xi sobre v.

Teoría de la Utilidad Multiatributo: El Caso de

Incertidumbre

Ya indicamos que una decisión se dice bajo incertidumbre o

riesgo cuando el decisor no se encuentra seguro de la

consecuencia que resultara de cada posible curso de acción,

pero es capaz de expresar tal incertidumbre en forma de

distribución de probabilidad sobre los resultados. Aunque el

termino riesgo se utiliza usualmente en las situaciones en que

se definen probabilidades objetivas, nosotros adoptamos aquí el

enfoque bayesiano que considera la probabilidad como una medida

o grado de conocimiento del decisor sobre los sucesos. Ya que

en la mayoría de los problemas es poco razonable suponer que se

conocen los factores externos con certidumbre, será necesario

construir el modelo de preferencias para el decisor de manera

que resulte apropiado para hacer elecciones bajo incertidumbre.

Así, cuando las decisiones son bajo incertidumbre en el sentido

anterior, el principio de de la utilidad esperada, Ríos Insua

etc. al (2001), proporciona una guía normativa ampliamente

aceptada para modelizar el comportamiento de un decisor. Se

podrá emular un modelo para ´ el decisor cuyas preferencias

sean representables mediante una función de utilidad de von

Neumann-Morgenstern y de forma análoga al caso bajo

certidumbre, existen condiciones de independencia/dependencia

que serán apropiadas para que en problemas particulares limiten

´ la forma de la función de utilidad.

Proceso Analítico Jerárquico PAJ (Analytic HierarchyProcess AHP)

Introducción

En la presente investigación se advierte la importante

limitación que configura la evaluación frente a situaciones

problemáticas complejas donde la intervención se manifiesta en

una diversidad de impactos que exceden largamente los

financieros y económicos. Se trata de considerar en la

selección las dimensiones institucionales, organizativas,

ambientales, técnicas, sociales y políticas.

Para el tratamiento y análisis de este tipo de problemas se han

desarrollado métodos denominados de Decisión Multicriterio o

Multiobjetivo (MDM), que contribuyen a resolver en parte los

problemas señalados. Entre ellos se encuentra el denominado

Proceso Analítico Jerárquico - PAJ (Analytic Hierarchy Process

AHP).

El antecedente inmediato de estos métodos es el denominado

Cuadro de Puntuación, procedimiento mediante el cual se

descompone un objetivo complejo, de múltiples dimensiones, en

sus atributos constitutivos más relevantes. Cada uno de estos

atributos recibe una ponderación relativa que mide su

importancia en la consecución del Objetivo General (Objetivo

Complejo) con lo que -a la vez- se establecen valoraciones

relativas entre los atributos que conforman el conjunto.

En relación con estos atributos se establecen criterios de

satisfacción que son valorados por medio de escalas, que

pueden ser de distinta naturaleza, tales como escalas

cardinales, ordinales, nominales, dicotómicas. Precisamente,

esta diversidad de escalas es la que permite capturar el grado

de satisfacción de criterios sustantivamente diferentes, sean

cuantitativos o cualitativos.

Las debilidades principales del Cuadro de Puntuación residen:

1) la asignación de peso relativo a los criterios se hace a

partir de la subjetividad del analista, aunque esta pueda ser

atenuada mediante el uso de ciertos procedimientos como el

método Delphi o la ronda de expertos; y 2) En la posibilidad de

que los procedimientos de puntuación contengan inconsistencias

que no pueden ser verificadas.

Estas limitaciones pueden ser solucionadas –en buena medida-

mediante la utilización de estos MDM, pues con ellos se puede

reducir las afirmaciones conjeturales, las conclusiones no

explicitadas o el comportamiento intuitivo que está íntimamente

asociado al proceso de atribución de pesos relativos a los

criterios y a la valoración de la medida en que las distintas

soluciones propuestas (alternativas) satisfacen los objetivos

específicos.

Por su parte, estos métodos muestran dos variantes, los MDM

continuos y los MDM discretos.

«Los primeros se basan en la estructura general de un conjunto

de funciones reales y continuas sujeto a un conjunto de

restricciones bajo la forma de ecuaciones y/o inecuaciones que

conforman la región factible en el espacio continuo de solución

del modelo.

El conjunto de soluciones factibles puede generarse a partir

del conjunto de restricciones. Este es el caso de la

Programación por Metas y el denominado Simplex Multicriterio.

El segundo grupo atiende los problemas de decisión discretos.

Aquí las opciones son determinadas de antemano. Entre los mas

conocidos se encuentran la familia de métodos Electre, el

Prométhée y el PAJ «.1

Este último, el Proceso Analítico Jerárquico muestra ventajas

en términos de simplicidad y claridad, pese a lo cual su

aplicación tiene un escaso desarrollo, al punto que se1

encuentran solo unos pocos antecedentes en Iberoamérica, algún

incipiente tratamiento en el país y es prácticamente

desconocido en la práctica profesional de la Evaluación de

Proyectos.

Proceso Analítico Jerárquico (PAJ)

El PAJ parte de una metodología de trabajo sencilla, basada en

la descomposición del problema (o el objetivo) en una

estructura jerárquica.

Como la mayoría de las grandes ideas científicas, el Proceso

Analítico Jerárquico (AHP) puede considerarse, según la

orientación dada al mismo, de muy diversas maneras. Su

contribución es importante en niveles operativos, tácticos y

estratégicos, sirviendo para mejorar la eficiencia, la eficacia

y fundamentalmente la efectividad del sistema. En resumen se

puede entender como: 1) una técnica que permite la resolución

de problemas multicriterio, multientorno y multiactores,

incorporando en el modelo los aspectos tangibles e intangibles,

así como el subjetivismo y la incertidumbre inherente en el

proceso de toma de decisiones. 2) una teoría matemática de la

medida generalmente aplicada a la dominación de la influencia

entre alternativas respecto a un criterio o atributo5 . 3) una

filosofía para abordar, en general, la toma de decisiones.

Este proceso se fundamenta en varias etapas que se destacan a

continuación:

Primer Etapa

En una primera etapa se construye una jerarquía básica,

conformada por el Objetivo General y los Criterios que, a su

vez, pueden estar constituidos por diversos niveles

jerárquicos. La jerarquía se construye de modo tal que los

elementos de un mismo nivel sean del mismo orden de magnitud y

puedan relacionarse con algunos o todos los elementos del

siguiente nivel.

En una jerarquía típica el nivel más alto localiza el problema

de decisión (objetivo). Los elementos que afectan a la decisión

son representados en los niveles inmediatos inferiores, de

forma que los criterios ocupan los niveles intermedios. Por

último, suele representarse en el nivel más bajo, a las

opciones de decisión o alternativas, aunque éstas mas que

conformar la estructura jerárquica constituyen las distintas

respuestas posibles al problema o las posibilidades diferentes

de satisfacer en algún grado el objetivo General.

Su construcción es la parte más creativa del proceso y requiere

de un consenso entre todas las partes implicadas en el proceso

de decisión. Esto es particularmente válido en el caso de

Proyectos Complejos abordados por equipos multidisciplinarios.

La figura 1 muestra un esquema del modelo jerárquico.

Segunda Etapa

Una vez construida la estructura jerárquica del problema se da

paso a la segunda etapa del proceso del PAJ: la valoración de

los elementos. El decisor debe emitir sus juicios de valor o

preferencias en cada uno de los niveles jerárquicos

establecidos. Esta tarea consiste en una comparación de

valores subjetivos “por pares” (comparaciones binarias). Estas

comparaciones se basan tanto en factores cuantitativos como

cualitativos.

Esta comparación puede realizarse por medio de una escala de

medidas. La propuesta por Saaty 2 se basa en el rango 1 a 9 y

consiste en la comparación de dos elementos que cuando son

igualmente preferidos o importantes el decisor le asigna al par

de elementos un «1»; si es moderadamente preferido se

representa por «3», en el caso de fuertemente preferido por «5»

y extremadamente preferido por «9». Los números pares se

utilizan para expresar situaciones intermedias.

El objetivo de esta etapa es calcular la prioridad de cada

elemento, tal como la define Saaty “Las prioridades son rangos

numéricos medidos en una escala de razón. Una escala de razón

es un conjunto de números positivos cuyas relaciones se

mantienen igual si se multiplican todos los números por un

número arbitrario positivo. El objeto de la evaluación es

emitir juicios concernientes a la importancia relativa de los

elementos de la jerarquía para crear escalas de prioridad de

influencia”.

El resultado de estas comparaciones es una matriz cuadrada,

recíproca y positiva, denominada «Matriz de comparaciones

pareadas», de forma que cada unos de sus componentes reflejen

la intensidad de preferencia de un elemento frente a otro

respecto del Objetivo considerado.

2 Saaty , T. L., The Analytic Hierarcy Process, McGraw-Hill, New York1980.

A modo de ejemplo, en este paso se obtiene para cada criterio

una matriz A como la que se muestra a continuación, donde se

han comparado tres elementos: a, b, c:

a b c

a 1 3 2

b 1/3 1 7

c ½ 1/7 1

Según la matriz, el elemento c es dos veces más importante que

a, en tanto que el a es tres veces más importante que b.

Realizada la comparación de los factores en la matriz y

asignados los juicios de valor entre pares de factores, es

necesario realizar el cálculo de peso (wj) para cada factor el

cual describe en forma precisa las características de los

juicios de valor considerados.

El procedimiento utilizado para obtener el vector principal

consiste en completar la matriz de comparación con los valores

de juicio de valor y se suma cada columna.

Matriz de

Comparaciones

a b C

a 1 3 2

b 1/3 1 7

c 1/2 1/7 1

total 1,83 4,14 10,00

1/ total 0,55 0,24 0,10

El procedimiento utilizado para obtener el vector principal

consiste en genera una matriz auxiliar en la que se completa

cada celda con el resultado de la división cada valor de juicio

por la sumatoria de la columna correspondiente. Finalmente, se

promedian los valores normalizados de las filas. Este promedio

corresponde al vector principal.

El resultado obtenido se puede normalizar, mediante dos

procedimientos. El utilizado en el ejemplo, considerado como

el más sencillo, normaliza la matriz sumando los valores en

cada columna de la matriz de comparaciones pareadas, se

determina el inverso de cada columna y se lo multiplica por

cada elemento de la matriz y la resultante se denomina matriz

de comparaciones normalizada. En el anexo se expone el otro

procedimiento.

Matriz Normalizada Vector

de

Priorida

des

a B c Total

a 0,55 0,72 0,20 1,47 0,49

b 0,18 0,24 0,70 1,12 0,37

c 0,27 0,03 0,10 0,41 0,14

3,00 1,00

Sumando cada fila se determina el cálculo del peso o vector

principal de cada factor.

A continuación se calcula la razón de consistencia para

verificar los resultados de la asignación de juicios de valor

que -mas allá de las reglas claras y neutrales que puedan

establecerse- pueden estar afectados por una cuota de

subjetividad.

Una vez construida la escala jerárquica de objetivos,

realizadas las comparaciones pareadas, concluido el análisis de

consistencia y obtenido el vector de prioridades se cuenta con

una valoración de la importancia relativa de cada uno de los

criterios considerados.

Tercer Etapa

El paso siguiente, tercera etapa, comprende el análisis de las

distintas opciones (alternativas) propuestas para valorar en

que medida éstas satisfacen cada uno de los Criterios. Este

grado de satisfacción puede ser medido a partir de escalas

diferentes, a saber: ordinal, cardinal, nominal, dependiendo de

las particularidades del criterio.

El resultado es una matriz que, una vez obtenida, se normaliza

y con ella se construye el Vector de Prioridades respectivo.

Cabe notar que este análisis del desempeño de cada alternativa

puede apoyarse en la información obtenida con la cual se

construyó la escala específica.

Cuarta Etapa

Por último, se sintetiza el resultado a partir del aporte

relativo de cada alternativa a cada uno de los criterios y del

nivel de preferencia relativo atribuido a éstos, para alcanzar

el Objetivo General.

Como etapa final de este proceso puede elaborarse un análisis

de sensibilidad dado que el resultado logrado es dependiente,

en buen grado, de los niveles jerárquicos establecidos por el

decisor y de los juicios de valor de los elementos

constitutivos de la estructura jerárquica.

Fuentes de Consulta.

1. http://www.uv.es/asepuma/recta/extraordinarios/ Vol_01/03t.pdf

2. www.uv.es/asepuma/recta/extraordinarios/Vol_01/02t.pdf 3. www.fce.unl.edu.ar/catedras/backend/materiales/617.doc 4. www.pronacose.gob.mx/pronacose14/.../

EMPLEO_AHP_ARTICULO.pdf