INSTITUTO DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

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INSTITUTO DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICASGUÍA DE TRABAJO

Nombre de la Asignatura : ANÁLISIS Y CÁLCULO DIFERENCIAL Código :Unidad 5: APLICACIONES DE LA DERIVADA

Guía No. 5/5Tiempo estimado para el desarrollo de la guía : 5

Autor de la Guía: ICFM Revisado por: ICFMOBJETIVOS ESPECÍFICOS

Que el estudiante logre : Obtener la ecuación de la tangente y normal a la gráfica de una

función• Usar la derivada para encontrar dónde una función se está incrementando o disminuyendo.• Definir un punto estacionario de una función• Distinguir entre un punto de crítico y un punto estacionario• Localizar puntos críticos usando la primera derivada de una función.• Clasificar puntos críticos usando primeras derivadas• Aplicar el teorema de valor intermedio a funciones continuas• Comprender las propiedades cóncava y convexa• Identificar desde su gráfica donde una función es cóncava y donde es convexa• Definir y localizar puntos de inflexión sobre la gráfica de una función• Determinar los extremos locales aplicando la segunda derivada• Realizar la gráfica completa de una función• Obtener las ecuaciones de tangente y normal para ecuaciones implícitas• Resolver problemas que involucren tasas de cambio relacionadas• Usar los diferenciales para la estimación de errores y sensibilidadal cambio

ANALISIS Y CALCULO – NIVEL 1 GUIA 1

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• Localizar los valores máximos y mínimos de cantidades físicas• Resolver problemas usando modelos de crecimiento y decaimiento

1. MATERIAL DE APOYO

Libro de texto: STEWART, J.: “Cálculo de una variable”, (Sextaedición). Cengage Learning. 2008.

Software matemático

2. PRERREQUISITOS:

1. Analice el dominio de la función y encuentre las asíntotas siexisten

(a) f (x )= x3−xx2−6x+5

(b) f (x )= 4x2

√x2−2

(c) f (x )={exx<0x2x>0

2. Analizar la continuidad de las funciones:

(a) f (x )= 2√x2−4

(b) f (x )= (x+1 )3

(x−1 )2

(c) f (x )={exx<0x2x>0

3. Determine la derivada de las siguientes expresiones:

A) y=log2 (e−xcosπx)


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B) Determinar dydx por medio de diferenciación implícita

(2x+3 )5=3y5

4. Determine la derivada de la función dada mediante diferenciaciónlogarítmica suponiendo que la función está definida para valores dex donde f(x)>0

5. Responder con verdadero o falso las siguientes preguntas, justificando las respuestas

A) La recta tangente puede tocar a la curva en un solo punto?B) Si la recta tangente a la gráfica de y = f(x) es horizontal en x=c,

entonces f´(c) = 0?

3. APLICACIONES DE LA DERIVADA

DEFINICIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES Y ABSOLUTOS.

Una función f tiene un máximo absoluto (o máximo global) en c si f (c)≥f (x )para todo x en D, donde D es el dominio de f. El número f (c) se llamavalor máximo de f en D. de manera análoga, f tiene un mínimo absoluto enf (c)≤f (x ) para todo x en D; el número f (c) se denomina valor mínimo de fen D. Los valores máximo y mínimo de f se conocen como valores extremosde f.

DEFINICIÓN Y DETERMINACIÓN DE PUNTOS ESTACIONARIOS Y PUNTOS CRÍTICOS.

Teorema de valor extremo: si f es continua sobre un intervalo cerrado[a,b ], entonces f alcanza un valor máximo absoluto f (c) y un valor mínimoabsoluto f (d) en algunos números c y d en [a,b ].

Un número crítico de una función f es un número c en el dominio de f talque f' (c)=0 o f' (c ) no existe.

Si f tiene un máximo o minimo local en c, entonces c es un número críticode f.


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FUNCIÓN CRECIENTE Y DECRECIENTE. CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA.

a) Si f' (x)>0 sobre un intervalo, entonces f es creciente en eseintervalo.

b) Si f' (x)<0 sobre un intervalo, entonces f es decreciente en eseintervalo.

Se ilustra la gráfica de la derivada f ’ de la función f.

(a) ¿En qué intervalos f es creciente o decreciente?(b) ¿En qué valores de x la función f tiene un máximo local o un

mínimo local?

DETERMINACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES MEDIANTE LA 1ª DERIVADA. Supongamos que c es un número crítico de una función continua f.

(a) Si f' cambia de positiva a negativa alrededor de c, entonces ftiene un máximo local en c.

(b) Si f' cambia de negativa a positiva alrededor de c, entonces ftiene un mínimo local en c.

(c) Si f' no cambia de signo en c (es decir f' es positiva en amboslados de c, o negativa en ambos lados), entonces f no tiene máximoni mínimo locales en c.

RECORDAR

Continuidad de Funciones Se dice que una función es continua cuando al

realizar la gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de

papel, como podemos observar en la siguiente gráfica:


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Analizando la siguientegráfica podemos observarque esta función escontinua en el intervalo[a, b]

Derivadas de orden superior

La operación de derivación toma una función f que produce una nuevafunción f´. Si ahora derivamos f’, producimos otra función denotada por f’’y denominada segunda derivada de f. A su vez, puede derivarse, y de ahíproducir f´´´ que se denomina tercera derivada de f, y así sucesivamente.La cuarta derivada se denota con f4, la quinta derivada se denota por f5,etc.

Ejemplo

f (x )=2x5−4x4+7x3−5x+9

f´ (x )=dydx

=10x4−16x3+21x2−5

f'' (x )=d2ydx =40x3−48x2+42x

f''' (x )=d3ydx =120x2−96x+42

f4 (x)=d4ydx =240x−96


x

y

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f5 (x)=d5ydx =240

Teorema del valor intermedioSea una función continua en un intervalo . Entonces para cada talque , existe al menos un dentro de tal que .

CONCAVIDAD Y EXTREMOS

Teorema de Concavidad

Sea f dos veces derivable en el intervalo abierto I

a.Sif'' (x )>0paratodaxenI,entoncesfescóncava (haciaarriba )enI

b.Sif´´ (x )<0paratodaxenI,entoncesfescóncavahaciaabajoenI

Ejemplo.

Sea:

f (x )=x3−3x2+3f´ (x )=3x2−6xf´´ (x )=6x−6=6(x−1)

x−1=0x=1 (Punto crítico)


x f´´(x) conclusiónx<1 Negativ

a (-)Cóncava haciaabajo

x>1 Positiva (+)

Cóncava haciaarriba

x

y

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Criterio de la segunda derivada

Ejemplo

TASAS DE CAMBIO RELACIONADAS

Como la derivada expresa el cambio instantáneo que experimenta unavariable con respecto a otra variable, para una función , se podríaobtener la derivada o razón de cambio de las variables "x" y “y" con


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respecto al tiempo "t", es decir: dydt y dxdt . Lo cual nos va a

permitir resolver problemas de aplicación. A un problema en que intervengan razones de cambio, respecto al tiempo,de variables relacionadas, se le llama problema de rapideces de variaciónrelacionadas, las variables tienen una relación específica para valoresde t, donde t es el tiempo. Esta relación suele expresarse en forma deuna ecuación, con frecuencia, los valores de las variables y susvelocidades de cambio con respecto a t se expresan en un instante dado.

Ejemplo:

V=πr2h3

Analizando la gráfica existen dos triángulos rectángulos semejantes entresí; entonces:

rh=24;despejandortenemos:r=

h2

Entonces sustituyendo en V tenemos:

V=13π[ h2 ]

2

.h= π12

h3

Derivando con respecto a t cada miembro:

dVdt

=π4h2 dhdt

De modo que:


a) Un depósito para aguatiene la forma de uncono circularinvertido; el radio dela base es de 2m y laaltura es de 4m. Si elagua se bombea haciael depósito a una

razón de 2 m3

min,

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dhdt

=4πh2

dVdt

Al sustituir h = 3m y dVdt = 2m3min, se obtiene:

dhdt

=4

π(3)2.2=

89π

mmin

Quiere decir que el nivel del agua sube a razón de 0.28 mmin

DIFERENCIALES Y APROXIMACIONES

Definición de diferencial

Supóngase que y=f(x) es diferenciable en “x” y que dx, la diferencial de una variable independiente “x”, designa un incremento arbitrario de“x”.La diferencial de “y” correspondiente a la variable dependiente “y” sedefine como:

dy=f´ (x)dx

Aproximación de una función

Observe la gráfica

Note que ∆x=dx y que, si ∆x→0 entonces ∆y≈dy es decir∆y≈f´(x)∆x .


Si una lata cerrada de estaño con un volumen de debe tener la forma de un cilindro circular recto, determine la altura y el radio de dicha lata para utilizar la mínima cantidad de material en su construcción.

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Por lo tanto f (x0+∆x)−f (x0 )≈f´(x0)∆x

Es decir f (x0+∆x)≈f (x0)+f´(x0)∆x , representa la aproximación def(x) en x0 .

Estimación de errores

Sea y=f(x) , entonces la variación ∆y cuando varia “x” en unacantidad ∆x se la calcula empleando la fórmula : ∆y≈f´(x)∆x .

Revisar el ejemplo 3 de la página 250

PROBLEMAS DE OPTIMIZACION

Los métodos para hallar valores máximos y mínimos de funciones tienen aplicaciones prácticas. En la solución de estos problemas prácticos es necesario convertir el problema en palabras en un problema matemático de optimización. Es importante determinar en primer lugar la función que debe maximizarse o minimizarse.

Ejemplo:

1. El área de la superficie total del cilindro es igual al área de

la superficie lateral más el área de las dos tapas:

S=2πrh+2πr2 Cuyo volumen es: V=πr2h; donde 16π=πr2h

demodoqueh=16r2 ;sustituyendoenlaprimeraecuación,obtenemos:

S (r )=2πrh+2πr2=2πr [16r2 ]+2πr2


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S (r )=32πr

+2πr2

S´ (r )=32πr2 +4πr=0yS'' (r )=64π

r3 +4π

Ahora:

Haciendo S´ (r )=0;tenemos:4πr3=32π;donde:r3=8;quedandor=3√8=2

Aplicando el criterio de la segunda derivada, tenemos:

S´(r) S´´(r) Conclusiónr= 2 0 + S tiene un mínimo

relativo

Por lo tanto, la mínima cantidad de material se utilizará en laconstrucción de la lata cuando el radio sea 2 plg y la altura de 4 plg.Teniendo entonces un área total de:

Smin (r )=2πrh+2πr2=2π (2) (4)+2π(2)2=24πplg2

REGLA DE L´HOPITAL

Regla de l´hospital para formas del tipo 0/0

Suponga que limx→u

f(x)=limx→u

g(x)=0. Si limx→u [f´(x)

g´(x) ] existe en cualquierade los sentidos finito o infinito (es decir, si este límite es unnúmero finito 0 - ∞ o 0+∞), entonces:

limx→u

f(x)g(x)

=limx→u

f´(x)g´(x)

Regla de l´hospital para formas del tipo ∞/∞

Suponga que limx→u

|f(x)|=limx→u

|g(x)|=0. Si limx→u [f´(x)

g´(x) ] existe en cualquierade los sentidos finito o infinito, entonces:

limx→u

f(x)g(x)

=limx→u

f´(x)g´(x)


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Aquí u puede significar cualquiera de los símbolos a, a-, a+, -∞ o+∞

Formas indeterminadas de la forma 00, ∞0, 1∞

Cuando tenemos indeterminaciones 00, ∞0, 1∞. Ahora regresemos a tresformas indeterminadas del tipo exponencial. Aquí, el truco es noconsiderar la expresión original sino su logaritmo. Por lo común, laregla de L´Hopital se aplicará al logaritmo. Por ejemplo:

Encuentre limx→0+¿(x+1)cotx ¿

¿

Si se evalúa en la forma directa tendremos 1∞. Entonces y=(x+1)cotx ,de modo que al sacar logaritmo a las dos partes tendremos:

lny=cotxln (x+1 )=ln (x+1)tanx . Mediante la regla de L´Hopital para

formas 0/0, obtenemos:

limx→0+¿lny= lim

x→0+¿ ln (x+1)tanx = lim

x→0+ ¿

1x+1sec2x

=¿1 ¿¿

¿ ¿

¿ ¿

¿

Ahora bien, como lo que necesito es y entonces aplico elantilogaritmo

elny=e1

y=e


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4. RESOLVER:

AC1. Encuentre la ecuación de la recta tangente y normal a las curvas enel punto dado. Grafique.

(a) y=√x,P (1,1 )

(b) y=(1+2x )2P(1,9)

(c) y=2xx+1

enelpunto(1,1)

AC2. Encontrar una ecuación de la recta tangente a la curva:

x2+xy+y2=3enelpunto(1,1)

Resp. x+y−2=0


x

y

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AC3. Encontrar una ecuación de la recta normal a la curva:

9x3−y3=1enelpunto(1,2)

Resp. 4x+9y−22=0

AC4. Responda:

¿Si la aceleración de un objeto es negativa, entonces su velocidad estádisminuyendo?

¿Si el radio de una esfera está aumentando a razón de k piesseg , entonces su

volumen está creciendo V=[k¿¿3]pies3seg ?¿

AC5.El largo de un rectángulo se incrementa a razón de 8 cmsegy el ancho en

3 cmseg. Cuando la longitud es de 20cm y el ancho de 10cm, ¿Qué tan rápido

se incrementa el área del rectángulo?

Resp. dAdt

=140[ cm2

seg ]


x

y

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AC6.Dos personas parten de un mismo punto. Uno camina desde el este 10°

al norte con velocidad de 5 mllashra y la otra camina desde el oeste 35°

hacia el norte con velocidad de 10 mllshra ¿Qué tan rápido cambia la

distancia entre las personas después de 80min?

Resp. 12.09 mllshra

AC7.Una lámpara está instalada en lo alto de un poste de 15pies dealtura. Un hombre de 6 pies de estatura se aleja caminando desde el

poste con una rapidez de 5 piesseg a lo largo de una trayectoria rectilínea.

¿Qué tan rápido la punta de su sombra se desplaza cuando está a 40piesdel poste?

Resp. 7.80piesseg

AC8. Analice el siguiente gráfico, y complete los enunciadosplanteados, para su ayuda cuenta con las siguientes opciones:

a) Punto (a, f(a))b) Punto (d, f(d))c) Punto (b, f(b))d) Punto (c, f(c))


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1) El máximo absoluto de la función es ________________________2) El mínimo absoluto de la función es

________________________3) Si sólo se consideran los valores de x cercanos a b

(intervalo (a, c), el punto ________ es el más grande de esosvalores de f(x) y se conoce como valor máximo local de f.

4) Si sólo se consideran los valores de x cercanos a c(intervalo (b, d), el punto ____________ es el mínimo valorde esos valores de f(x) y se conoce como valor mínimo local def.

AC9. En el siguiente gráfico indique en que puntos se encuentran tanto los máximos y mínimosrelativos como los máximos ymínimos absolutos.

AC10. Resuelva:

a) En el gráfico indique el Punto (-2, 16) ¿A qué máximocorresponde de la función?

b) En el gráfico indique el Punto (0, 0) ¿A qué máximocorresponde de la función?


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a) b)

AC11. Encuentre los puntos críticos de las siguientes funciones:

a) f(x)=5x2+4x R: -2/5 b) f(x)=x3+3x2−24x R: -4, 2

AC12. Halle los valores máximo y mínimo absolutos de f sobre elintervalo dado:

a) f(x)=3x2−12x+5 [0,3 ] R: 0,5 2, -7b) f(x)=2x3−3x2−12x+1 [−2,3] R: -1,8 2, -19

AC13. Si la derivada de una función en un intervalo es mayor quecero es decir: f '(x)>0 entonces f es creciente en ese intervalo.Justifique el enunciado mediante un ejemplo.

AC14. En la función f(x)=x3−27x+1 6 determinar los puntos críticosy los intervalos donde la función crece o decrece. Verifique conel gráfico.


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AC15. Entre 0 °C y 30 °C el volumen V (en cm3) de 1 kg de agua auna temperatura T se expresa aproximadamente mediante la fórmula:

V=999,87−0,06426T+0,0085043T2 −0,0000679T3

Encuentre la temperatura a la cual el agua tiene su densidad

máxima. R: T≈3,9665°C

AC16. Complete:

Si f' (x)>0, en todas partes, entonces f es_____________en todas partes; y

si f'' (x )>0en todas partes, entonces f es _____________en todas partes

Si______ y ______ en un intervalo abierto I, entonces f es creciente y

cóncava hacia abajo en I

Un punto en la gráfica de una función continua, en donde la concavidad

cambia se denomina_________

AC17. En los siguientes ejercicios, la figura adjunta muestra la gráficade la derivada de una función f continua en su dominio, el cual es elconjunto de los números reales, A partir de la gráfica determinar:

a) Los números críticos de f y los intervalos en los que f es

creciente y decreciente

b) Los números donde ocurren los extremos relativos de f

c) Dónde la gráfica es cóncava hacia arriba o abajo


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Determinación de máximos y mínimos locales mediante la segunda derivada ytrazo completo

AC18. En los siguientes ejercicios, obtener los extremos relativos de lafunción usando el criterio de la segunda derivada, además determinar losintervalos de concavidad y trazar la gráfica:

1.f (x)=3x4−4x3−12x2+17

2.f (x)= (x−2 )2

x2

3.f (x)= 2x2

(9−x)2


a) b)

c) d)

e) f)

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4.x√9−x2

AC19.Un tanque rectangular cerrado de base cuadrada debe tener un volumen

de 125m3. El costo por metro cuadrado para el fondo del tanque es de $24

y el de los laterales es de $12. Obtenga las dimensiones del tanque para

que el costo del material sea mínimo.

Resp. base=3.96cmyaltura=7.97cm

AC20.Una página de impresión debe contener 24plg2 de área impresa,

márgenes de 1,5 plg por las partes superior e inferior y los márgenes

laterales deben ser de 1 plg. ¿Cuáles son las medidas de la página para

que el área sea máxima?

Resp. base=6plgyaltura=9plg

AC21. Determine el punto en la recta 6x+y=9que está más cerca alpunto A (−3,1)

Resp. Elpuntode6x+y=9máscercanoaA (−3,1)esP(4537 ,6337 )REGLA DE L´HOSPITAL

AC22. Calcular los siguientes límites:

limx→0

(1+x2)1x Respuesta: 1

limx→0

¿¿ Respuesta: 1

limx→0

x(

34+lnx

)Respuesta:e3

limx→π

2

(2xtanx−π

cosx) Respuesta:-2


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5. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE REFUERZO

AC1. (Extra clase) Dibuje la gráfica de una función f que seacontinua sobre [1,5] y tenga como propiedades: mínimo absoluto en2, máximo absoluto en 3, mínimo local en 4.

AC2. (Extra clase) Encuentre los puntos críticos de las siguientesfunciones:

a) s(t)=3t4+4t3−6t2 R: 0, ½(-1±√5)

b)g(y)=

y+1y2−y+1 R: 0, 2

AC3. (Extra clase) Halle los valores máximo y mínimo absolutos def sobre el intervalo dado:

a) f(x)=x4−2x2+3 [−2, 3 ] R: 3 , 66 ±1, 2

AC4. (Extra clase) En los siguientes ejercicios determine lospuntos críticos de la función, los intervalos donde es creciente odecreciente y grafique la función.

a) f(x)=x2+8x+1 6

b) f(x)=x3

SECCIÓN

PÁGINA EJERCICIOS

4.1 277 12,27,33,35,55,74

4.3 295 9,12,13,21,37,39

6. BIBLIOGRAFÍA RELACIONADA CON EL TEMA AUTOR: STEWART, JAMES.

TITULO: Cálculo de una variable –Trascendentes tempranas / Cengage Learning. México. 6ta. edición 2008.


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AUTOR: THOMAS, GEORGE B., JR TITULO : Cálculo: Una Variable; Undécima edición, 2006; Pearson Educación

AUTOR: LARSON, ROLAND E; HOSTETLER, ROBERT .; EDWARDS, BRUCE H. TITULO: Cálculo y geometría analítica / Mc Graw-Hill. Madrid. 6ta. edición.Tomo1. 1999.

AUTOR: PENNEY, DAVID E.; EDWARDS, C. H. TITULO: Cálculo con geometría analítica/ Prentice Hall Hispanoamericana. México. 1994.

7. OBSERVACIONES ESPECIALES

Revise los conceptos vistos en clase, que están relacionados con esta guía.

Desarrollar todos los ejercicios propuestos en esta guía y los recomendados por el docente.

Utilice software matemático para ayuda con las gráficas de algunos ejercicios.

Ante cualquier duda, pregunte a su profesor.


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