Горбань И.И. Теория гиперслучайных явлений: физические...

Created with novaPDF Printer (www.novaPDF.com)

http://www.novapdf.com

НАЦИОНАЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УКРАИНЫИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МАШИН И СИСТЕМ

И. И. ГОРБАНЬ

ТЕОРИЯГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ

ЯВЛЕНИЙ:ФИЗИЧЕСКИЕ

И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

ÏÐÎÅÊÒ«ÍÀÓÊÎÂÀ ÊÍÈÃÀ»

КИЕВ НАУКОВА ДУМКА 2011

ÓÄÊ 519.2: 530.1: 600.1

Ìîíîãðàôèÿ ïîñâÿùåíà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâ-ëåíèé, îïèñûâàþùåé ôèçè÷åñêèå ñîáûòèÿ, âåëè÷èíû, ïðîöåññû è ïîëÿ â óñëî-âèÿõ íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.

Äëÿ ÷èòàòåëåé ñ ðàçíûì óðîâíåì ìàòåìàòè÷åñêîé ïîäãîòîâêè: òåõ, êòî ëèøüïîâåðõíîñòíî çíàêîì ñ òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé è õîòåë áû ïîçíàêîìèòüñÿ ñ ìåòî-äàìè ó÷åòà íàðóøåíèé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëå-íèé, à òàêæå äëÿ èíæåíåðîâ, øèðîêî èñïîëüçóþùèõ ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû,ìàòåìàòèêîâ, ñïåöèàëèçèðóþùèõñÿ â îáëàñòè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, è ôèçèêîâ,ñòðåìÿùèõñÿ ïîñòè÷ü îñíîâû ìèðîçäàíèÿ.

Ìîíîãðàô³ÿ ïðèñâÿ÷åíà ô³çèêî-ìàòåìàòè÷í³é òåîð³¿ ã³ïåðâèïàäêîâèõ ÿâèù, ùîîïèñóº ô³çè÷í³ ïîä³¿, âåëè÷èíè, ïðîöåñè ³ ïîëÿ â ñòàòèñòè÷íî íåñò³éêèõ óìîâàõ.

Äëÿ ÷èòà÷³â ç ð³çíèì ð³âíåì ìàòåìàòè÷íî¿ ï³äãîòîâêè: òèõ, õòî ìàº ëèøå çà-ãàëüíå óÿâëåííÿ ïðî òåîð³þ éìîâ³ðíîñòåé ³ áàæàº ïîçíàéîìèòèñü ç ìåòîäàìèâðàõóâàííÿ ïîðóøåíü ñòàòèñòè÷íî¿ ñò³éêîñò³ ðåàëüíèõ ô³çè÷íèõ ÿâèù, à òàêîæäëÿ ³íæåíåð³â, ÿê³ øèðîêî âèêîðèñòîâóþòü ñòàòèñòè÷í³ ìåòîäè, ìàòåìàòèê³â, ÿê³ñïåö³àë³çóþòüñÿ ó ãàëóç³ òåîð³¿ éìîâ³ðíîñòåé, òà ô³çèê³â, ÿê³ íàìàãàþòüñÿ îñÿãíó-òè îñíîâè âñåñâ³òó.

The monograph is dedicated to the physico-mathematical theory which describesphysical events, variables, processes, and fields in non-constant statistical conditions.

The book is oriented to different readers: ones that have only some images aboutprobability theory and want to obtain information about modern statistical methodstaking into consideration statistical instability of real physical phenomena, engineersthat widely use statistical methods, mathematicians working in probability theory area,and physicists looking for the basis of universe.

Ð å ö å í ç å í ò û:÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû, ä-ð òåõí. íàóê Í.Þ. Êóçíåöîâ,

ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð Ï.Ñ. Êíîïîâ,ä-ð òåõí. íàóê À.Ì. Ðåçíèê

Ðåêîìåíäîâàíà ê èçäàíèþ ó÷åíûì ñîâåòîìÈíñòèòóòà ïðîáëåì ìàòåìàòè÷åñêèõ ìàøèí è ñèñòåì ÍÀÍ Óêðàèíû

(ïðîòîêîë ¹ 9 îò 08.09.2010 ã.)

Âèäàííÿ çä³éñíåíå çà äåðæàâíèì êîíòðàêòîìíà âèïóñê íàóêîâî¿ äðóêîâàíî¿ ïðîäóêö³¿

Íàó÷íî-èçäàòåëüñêèé îòäåëôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé è òåõíè÷åñêîé ëèòåðàòóðû

Ðåäàêòîð Â.Â. Âåðîöêàÿ

ISBN 978-966-00-1093-2

© È.È. Ãîðáàíü, 2011© ÍÏÏ «Èçäàòåëüñòâî “Íàóêîâà äóìêà”

ÍÀÍ Óêðàèíû», äèçàéí, 2011

3

ПРЕДИСЛОВИЕ

–Êàê óñòðîåí íàø ìèð?

Îêðóæàþùèé ìèð ïîä÷èíÿåòñÿ îïðåäåëåííûì ôèçè÷åñêèì çàêîíàì,ñðåäè êîòîðûõ îñîáîå ìåñòî çàíèìàåò ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ìàñ-ñîâûõ ÿâëåíèé – óäèâèòåëüíûé ôèçè÷åñêèé ôåíîìåí, ôèêñèðóåìûé âîìíîãèõ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèÿõ.

Ñîâðåìåííàÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé (âêëþ-÷àþùàÿ â øèðîêîì ïîíèìàíèè è ìàòåìàòè÷åñêóþ ñòàòèñòèêó) èçó÷àåòçàêîíû ìàññîâûõ ÿâëåíèé, îïèñûâàÿ èõ ñ ïîìîùüþ ñëó÷àéíûõ (âåðîÿò-íîñòíî-ñëó÷àéíûõ èëè, èíà÷å, ñòîõàñòè÷åñêèõ) ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäå-ëåé, õàðàêòåðèçóåìûõ âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé.

Â îñíîâå ïîñòðîåíèÿ òàêèõ ìîäåëåé ëåæèò ôèçè÷åñêàÿ ãèïîòåçààáñîëþòíîé (èäåàëüíîé) ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ÷àñòîòû ñîáû-òèé, èç êîòîðîé ñëåäóåò àáñîëþòíàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü (ñòà-òèñòè÷åñêàÿ ïðîãíîçèðóåìîñòü) ïàðàìåòðîâ è õàðàêòåðèñòèê ëþáûõôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé – ðåàëüíûõ ñîáûòèé, âåëè÷èí, ïðîöåññîâ è ïî-ëåé. Òåì ñàìûì ïðèçíàåòñÿ êîíöåïöèÿ óñòðîéñòâà ìèðà ïî ñëó÷àéíî-ìó ïðèíöèïó.

Ìíîãèå ãîäû ãèïîòåçà èäåàëüíîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñ÷è-òàëàñü íåçûáëåìîé, õîòÿ íåêîòîðûå ó÷åíûå äîïóñêàëè, ÷òî â ðåàëüíîììèðå îíà ñïðàâåäëèâà ëèøü ñ îïðåäåëåííûìè îãîâîðêàìè.

Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ðàçëè÷íûõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí èïðîöåññîâ íà áîëüøèõ èíòåðâàëàõ íàáëþäåíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî ãèïîòåçàèäåàëüíîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íå ïîäòâåðæäàåòñÿ. Â ðåàëüíîéæèçíè âñåãäà ïðîèñõîäÿò áîëåå èëè ìåíåå çíà÷èìûå íàðóøåíèÿ ñòàòè-ñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Ñâÿçàíû îíè ñ òåì, ÷òî îêðóæàþùèé ìèð –îòêðûòàÿ ñèñòåìà. Õàðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåòðû ðåàëüíûõ îáúåêòîâ èóñëîâèÿ èõ íàáëþäåíèÿ ïîñòîÿííî ìåíÿþòñÿ. Èçìåíåíèÿ ïðîèñõîäÿò íàâñåõ óðîâíÿõ, â òîì ÷èñëå ñòàòèñòè÷åñêîì.

Ñòàòèñòè÷åñêèå îöåíêè, ôîðìèðóåìûå íà îòíîñèòåëüíî íåáîëüøèõâðåìåííûõ, ïðîñòðàíñòâåííûõ èëè ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ èíòåð-âàëàõ íàáëþäåíèÿ, îáëàäàþò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî ïðè âîçðàñòàíèè îáúå-ìà ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ óðîâåíü ôëóêòóàöèé èõ çíà÷åíèé óìåíüøàåò-ñÿ, ÷òî ñîçäàåò èëëþçèþ èäåàëüíîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Íî,íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî êðèòè÷åñêîãî îáúåìà, ïðè óâåëè÷åíèè êîëè÷åñòâà

Предисловие

4

äàííûõ óðîâåíü ôëóêòóàöèé íå òîëüêî íå óìåíüøàåòñÿ, à, íàîáîðîò,âîçðàñòàåò.

Èññëåäîâàíèÿ íàðóøåíèé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ÿâëåíèé èðàçðàáîòêà ýôôåêòèâíûõ ñðåäñòâ àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ìèðà ñ ó÷å-òîì òàêèõ íàðóøåíèé ïðèâåëè ê ïîñòðîåíèþ íîâîé ôèçèêî-ìàòå-ìàòè÷åñêîé òåîðèè – òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé.

Â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé áàçîâûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè îáúåêòàìè (ìî-äåëÿìè) ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûå ñîáûòèå, âåëè÷èíà è ôóíêöèÿ; â òåîðèèãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé â òàêîì êà÷åñòâå âûñòóïàþò ãèïåðñëó÷àéíûåñîáûòèå, âåëè÷èíà è ôóíêöèÿ, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ìíîæåñòâà íå-ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé, âåëè÷èí è ôóíêöèé.

Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé áà-çèðóåòñÿ íà êëàññè÷åñêèõ àêñèîìàõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé À.Í. Êîë-ìîãîðîâà, ôèçè÷åñêàÿ – íà ãèïåðñëó÷àéíûõ ãèïîòåçàõ: ãèïîòåçå îãðà-íè÷åííîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ñîáûòèé, âåëè÷èí,ïðîöåññîâ è ïîëåé è íà ãèïîòåçå àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ýòèõ ôèçè÷å-ñêèõ ÿâëåíèé ãèïåðñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè.

Ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ãèïåðñëó÷àéíûå ãèïîòåçû ñïðàâåäëèâû äëÿøèðîêîãî êðóãà ìàññîâûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé, ïðèâîäèò ê íîâîé êîí-öåïöèè óñòðîéñòâà ìèðà íà ãèïåðñëó÷àéíûõ ïðèíöèïàõ. Îñíîâîïîëà-ãàþùàÿ ðîëü â íåé îòâîäèòñÿ íå àáñîëþòíîé, êàê â êîíöåïöèè óñòðîé-ñòâà ìèðà íà ñëó÷àéíûõ ïðèíöèïàõ, à îãðàíè÷åííîé ñòàòèñòè÷åñêîéóñòîé÷èâîñòè.

Ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêè òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé –âåòâü òåîðèè âåðîÿòíîñòåé; ñ òî÷êè çðåíèÿ ôèçèêè – íîâàÿ òåîðèÿ,îñíîâàííàÿ íà íîâûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ îá îêðóæàþùåì ìèðå.

* * *

Ìîíîãðàôèÿ íàïèñàíà íà îñíîâå îðèãèíàëüíûõ òåîðåòè÷åñêèõ è ýêñïå-ðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé àâòîðà, ðåçóëüòàòû êîòîðûõ îïóáëèêîâàíûâ íàó÷íûõ æóðíàëàõ [Ãîðáàíü, 2005–2010, Gorban, 2008–2010] è ìîíî-ãðàôèè [Ãîðáàíü, 2007]. Îñíîâîïîëàãàþùèå èäåè êíèãè ôîðìèðîâàëèñüâ õîäå âûïîëíåíèÿ ðàáîò, êîòîðûå àâòîð ïðîâîäèë â îáëàñòè ãèäðîàêó-ñòèêè, íà÷èíàÿ ñ êîíöà 70-õ ãîäîâ (èõ ðåçóëüòàòû îáîáùåíû â êóðñåëåêöèé [Gorban, 1998] è ìîíîãðàôèÿõ [Ãîðáàíü, 2008, Gorban, 2008]).

Ïðåäëàãàåìàÿ êíèãà ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ìîíîãðàôèè 2007 ã.,êàê ïî îáúåìó, òàê è ñîäåðæàíèþ. Îñîáîå âíèìàíèå óäåëåíî â íåé ôè-çè÷åñêîé ñòîðîíå òåîðèè è ýêñïåðèìåíòàëüíîìó ïîäòâåðæäåíèþ îñíîâ-íûõ åå ïîëîæåíèé. Êðîìå òîãî, ìàòåìàòè÷åñêàÿ ÷àñòü çíà÷èòåëüíî ðàñ-øèðåíà è óòî÷íåíà çà ñ÷åò íîâûõ ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ â ïîñëåäíååâðåìÿ.

Äàííàÿ ìîíîãðàôèÿ ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü èíòåðåñ äëÿ ñòóäåíòîâñòàðøèõ êóðñîâ óíèâåðñèòåòîâ òåõíè÷åñêîãî, ôèçè÷åñêîãî è ìàòåìàòè-÷åñêîãî ïðîôèëåé, àñïèðàíòîâ, ó÷åíûõ è ñïåöèàëèñòîâ, çàíèìàþùèõñÿðàçðàáîòêîé ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé,


5

ïîñòðîåíèåì íîâûõ ôèçè÷åñêèõ è ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, ðàçâèòèåìòåîðåòè÷åñêîé áàçû ïðîâåäåíèÿ èçìåðåíèé, ðàçðàáîòêîé ìåòîäîâ îöåí-êè ïàðàìåòðîâ è îáíàðóæåíèÿ ñèãíàëîâ, à òàêæå äëÿ âñåõ, êòî çàäóìû-âàåòñÿ íàä âîïðîñîì óñòðîéñòâà îêðóæàþùåãî ìèðà.

Ìàòåðèàë èçëîæåí ñ îðèåíòàöèåé íà ÷èòàòåëåé ñ ðàçíûì óðîâíåììàòåìàòè÷åñêîé ïîäãîòîâêè:

• òåõ, êòî ëèøü ïîâåðõíîñòíî çíàêîì ñ òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé è ìà-òåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè è õîòåë áû ïîçíàêîìèòüñÿ ñ ñîâðåìåííûìèìåòîäàìè ó÷åòà íàðóøåíèé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ôè-çè÷åñêèõ ÿâëåíèé,

• èíæåíåðîâ, øèðîêî èñïîëüçóþùèõ ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû â ñâîåéïîâñåäíåâíîé äåÿòåëüíîñòè,

• ìàòåìàòèêîâ, ñïåöèàëèçèðóþùèõñÿ â îáëàñòè òåîðèè âåðîÿòíî-ñòåé, è ôèçèêîâ, ñòðåìÿùèõñÿ ïîñòè÷ü îñíîâû ìèðîçäàíèÿ.

Ïåðâóþ êàòåãîðèþ ÷èòàòåëåé ìîãóò çàèíòåðåñîâàòü ââåäåíèå, ãëàâû1, 2, 4, 14 è ïîñëåñëîâèå.

Èíæåíåðàì ê òîìó æå ìîãóò áûòü èíòåðåñíû ãëàâû 3, 5, 6 è 8, àòàêæå ãëàâû 11, 13, 15 – 20.

Àâòîð íàäååòñÿ, ÷òî ôèçèêîâ è ñïåöèàëèñòîâ â îáëàñòè òåîðèè âåðî-ÿòíîñòåé çàèíòåðåñóþò è äðóãèå ãëàâû, ïðè÷åì íàñòîëüêî, ÷òî îíè ïðî-÷èòàþò êíèãó öåëèêîì.

* * *

Òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ëåæèò íà ñòûêå ôèçèêè, ìàòåìàòèêè èòåõíè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé. Ïîýòîìó ê ðåöåíçèðîâàíèþ áûëè ïðèâëå÷åíûó÷åíûå ðàçíûõ ñïåöèàëüíîñòåé.

Àâòîð ïðèçíàòåëåí âñåì, êòî ïðî÷èòàë ðóêîïèñü, âûñêàçàë ñâîèêðèòè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ è ïðèíÿë ó÷àñòèå â êîíñòðóêòèâíîì îáñóæäåíèèêíèãè.

Îñîáóþ áëàãîäàðíîñòü àâòîð õîòåë áû âûðàçèòü îôèöèàëüíûì ðå-öåíçåíòàì: ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû Êóçíåöîâó Í.Þ., ä.ô.-ì.í., ïðîô.Êíîïîâó Ï.Ñ., ä.ò.í. Ðåçíèêó À.Ì., à òàêæå àêàä. ÐÀÍ Øîêèíó Þ.È.,ä.ô.-ì.í., ïðîô. Òóòóáàëèíó Â.Í., ä.ò.í., ïðîô. Ïàâëîâó À.À., ä.ô.-ì.í.ßðîùóêó È.Î., ä.ô.-ì.í. Êëþøèíó Ä.À., ä.ò.í. Êîíîíîâó À.À., ä.ô.-ì.í.,ïðîô. Øàðîìó Ñ.Ï., îçíàêîìèâøèìñÿ ñ ðóêîïèñüþ è âûñêàçàâøèì ðÿäêðèòè÷åñêèõ çàìå÷àíèé, ñïîñîáñòâîâàâøèõ óëó÷øåíèþ êíèãè.

Àâòîð áëàãîäàðåí àêàä. ÍÀÍ Óêðàèíû Êîâàëåíêî È.Í., ÷ë.-êîð. ÀÍÌîëäàâèè Ãàèíäðèêó Ê.Â., ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû Òîì÷óêó Ï.Ì.,ä.ô.-ì.í., ïðîô. Ñàðáåþ Î.Ã., ä.ò.í., ïðîô. Èâàíåíêî Â.È. è ä.ò.í., ïðîô.Øëåçèíãåðó Ì.È. çà ïðåäîñòàâëåííûå âîçìîæíîñòè âûñòóïèòü íà ðóêî-âîäèìûõ èìè ñåìèíàðàõ, à òàêæå âñåì ó÷àñòíèêàì ýòèõ ñåìèíàðîâ çàïëîäîòâîðíîå îáñóæäåíèå ìàòåðèàëîâ ìîíîãðàôèè.

Àâòîð ïðèçíàòåëåí àêàä. ÐÀÍ Àêóëè÷åâó Â.À., àêàä. ÐÀÍ Íèãìàòó-ëèíó Ð.È., àêàä. ÍÀÍ Óêðàèíû Ãðèí÷åíêî Â.Ò., ÷ë.-êîð. ÍÀÍ ÓêðàèíûËûñåíêî Â.Ñ., ä.ò.í., ïðîô. Çèíüêîâñêîìó Þ.Ô., ä.ò.í., ïðîô. Ñèâî-âó Í.Ñ., ä.ò.í., ïðîô. Æóêó Ñ.ß., ä.ò.í., ïðîô. Ïîïîâó Ì.À., ä.ò.í., ïðîô.


6

Ëèòâèíîâó Â.Â., ä.ò.í., ïðîô. Êàçèìèðó Â.Â., ä.ò.í., ïðîô. Ñòðåëüíèêî-âó Â.Ï., ä.ò.í., ïðîô. Õàð÷åíêî À.Â., ê.ò.í. Âèøíåâñêîìó Â.Â., ê.ò.í.Êðèñèëîâó À.Ä. è ìíîãèì äðóãèì, ïðîÿâëÿþùèì óñòîé÷èâûé èíòåðåñ êïðîâîäèìûì èì ðàáîòàì, â ÷àñòíîñòè â îáëàñòè òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõÿâëåíèé.

Àâòîð áëàãîäàðåí äèðåêòîðó ÈÏÌÌÑ ÍÀÍ Óêðàèíû ÷ë.-êîð. ÍÀÍÓêðàèíû Ìîðîçîâó À.À. è çàìåñòèòåëþ äèðåêòîðà ïî íàó÷íîé ðàáîòåä.ô.-ì.í., ïðîô. Êëèìåíêî Â.Ï. çà ïîääåðæêó èññëåäîâàíèé â îáëàñòèòåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé è ïîìîùü, îêàçàííóþ èìè ïðè ïîäãî-òîâêå äàííîé ìîíîãðàôèè.

Ñ ÷óâñòâîì îñîáîé áëàãîäàðíîñòè àâòîð âñïîìèíàåò ëþäåé, êîòîðûõóæå íåò â æèâûõ, íî áåç êîòîðûõ ýòîé êíèãè íå áûëî áû. Ïðåæäå âñåãî,ðîäèòåëåé, áàáóøêó è òåòþ, âîñïèòàâøèõ åãî è ñ äåòñòâà ïðèâèâøèõëþáîâü ê íàóêå, ñâîèõ ó÷èòåëåé – ïðîô. ßðåì÷óêà Ô.Ï., ðàñêðûâøåãîïåðåä íèì êðàñîòó ìàòåìàòèêè, è ïðîô. Ãàòêèíà Í.Ã., ñûãðàâøåãî âàæ-íóþ ðîëü â ôîðìèðîâàíèè åãî íàó÷íûõ èíòåðåñîâ è âçãëÿäîâ, à òàêæåáëèçêîãî äðóãà – òàëàíòëèâîãî êîíñòðóêòîðà è ó÷åíîãî, Ãëàâíîãî êîí-ñòðóêòîðà ãèäðîàêóñòè÷åñêîé ñòàíöèè Áîæêà Þ.Ä., îáùåíèå ñ êîòîðûìñïîñîáñòâîâàëî ðàçâèòèþ ó àâòîðà êðèòè÷åñêîãî îòíîøåíèÿ ê óñòîÿâ-øèìñÿ èñòèíàì è ìíåíèÿì.

Àâòîð áëàãîäàðåí êîëëåãàì ïî ýêñïåðòíîìó ñîâåòó ÂÀÊ Óêðàèíû èñïåöèàëèçèðîâàííûì ñîâåòàì ïî çàùèòå äèññåðòàöèé, ñ êîòîðûìè åìóïîñ÷àñòëèâèëîñü ñîòðóäíè÷àòü íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ ëåò, à òàêæå êîë-ëåãàì ïî ðàáîòå çà èõ äîáðîæåëàòåëüíîå îòíîøåíèå è ïîääåðæêó.

Àâòîð èñêðåííå áëàãîäàðåí ñâîåé æåíå çà åå ÷óòêîñòü, òåðïåíèå, çà-áîòó è ëþáîâü.

* * *

Çàìå÷àíèÿ è ðåêîìåíäàöèè ìîæíî íàïðàâëÿòü àâòîðó ïî àäðåñó:Èíñòèòóò ïðîáëåì ìàòåìàòè÷åñêèõ ìàøèí è ñèñòåì

ÍÀÍ Óêðàèíûïð. Ãëóøêîâà, 42, Êèåâ, 03187, Óêðàèíà,

àäðåñ ýëåêòðîííîé ïî÷òû: [email protected].

7

ВВЕДЕНИЕ

Îäíîé èç îñíîâíûõ ïðîáëåì ïîçíàíèÿ ÿâëÿåòñÿ àäåêâàòíîåïðåäñòàâëåíèå îêðóæàþùåãî ìèðà. Ôèçè÷åñêèå è ìàòåìàòè÷å-ñêèå ìîäåëè, èñïîëüçóåìûå äëÿ îïèñàíèÿ ðåàëüíûõ ÿâëåíèé,ïîñòîÿííî ñîâåðøåíñòâóþòñÿ. Ñ ïîëó÷åíèåì íîâûõ äàííûõ èðàçâèòèåì ïðåäñòàâëåíèé î ìèðå ñòàðûå ìîäåëè îòõîäÿò íà âòî-ðîé ïëàí, çàìåíÿþòñÿ íîâûìè, áîëåå ñîâåðøåííûìè.

Åñëè äî ñåðåäèíû ñðåäíåâåêîâüÿ ìèð âèäåëñÿ íåèçìåííûìè îïèñûâàëñÿ ïðåèìóùåñòâåííî äåòåðìèíèðîâàííûìè ìîäåëÿ-ìè, òî â íàñòîÿùåå âðåìÿ îí ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê äèíàìè÷íîìåíÿþùàÿñÿ ñòðóêòóðà. ×ðåçâû÷àéíî âàæíóþ ðîëü ñûãðàëî óñ-òàíîâëåíèå ôàêòà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ìàññîâûõ ÿâ-ëåíèé, ïîðîäèâøåãî òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêóþñòàòèñòèêó.

Îäíèì èç îñíîâíûõ ñðåäñòâ îïèñàíèÿ ìèðà ñòàëè ñëó÷àéíûå(âåðîÿòíîñòíî-ñëó÷àéíûå èëè, èíà÷å, ñòîõàñòè÷åñêèå [Êîëìîãî-ðîâ, 1956]) ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè. Â ýòèõ ìîäåëÿõ â êà÷åñòâåàáñòðàêòíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ âûñòóïàþò ñëó÷àéíûå ÿâ-ëåíèÿ – ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ, âåëè÷èíû è ôóíêöèè, õàðàêòåðè-çóåìûå âåðîÿòíîñòíîé ìåðîé.

Â ñòîõàñòè÷åñêèõ ìîäåëÿõ äåòåðìèíèçì íå èçæèò ïîëíîñòüþ.Îí ïðèñóòñòâóåò â íèõ è èãðàåò âàæíóþ ðîëü. Ñ óðîâíÿ äåòåðìè-íèðîâàííîãî îïèñàíèÿ ÿâëåíèé îí ïåðåøåë íà óðîâåíü äåòåðìè-íèðîâàííîãî îïèñàíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåò-ðîâ – âåðîÿòíîñòåé, ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, ìîìåíòîâ, êóìó-ëÿíòîâ è ïð.

Â ýòèõ ìîäåëÿõ ãëàâíóþ ðîëü èãðàåò ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿâåðîÿòíîñòåé – äåòåðìèíèðîâàííàÿ õàðàêòåðèñòèêà, äàþùàÿèñ÷åðïûâàþùåå îïèñàíèå ëþáîãî ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ.

Ïîñëåäíèå ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ïîêàçûâàþò,÷òî ôàêò ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ìàññîâûõ ÿâëåíèé íå òà-

Введение

8

êîé óæ íåîñïîðèìûé, êàê êàçàëñÿ ðàíåå. Ïî âñåé âèäèìîñòè,èìååò ìåñòî íå àáñîëþòíàÿ, à îãðàíè÷åííàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñ-òîé÷èâîñòü ÿâëåíèé.

Èññëåäîâàíèÿ íàðóøåíèé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ÿâëå-íèé è ðàçðàáîòêà ýôôåêòèâíûõ ñðåäñòâ àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ìèðàñ ó÷åòîì ýòèõ íàðóøåíèé ïðèâåëè ê ïîñòðîåíèþ íîâîé ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè – òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé.

Â ãèïåðñëó÷àéíûõ ìîäåëÿõ, î êîòîðûõ ïîéäåò ðå÷ü äàëåå, íå-îïðåäåëåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ óñèëåíà, à äåòåðìèíèðîâàííàÿ –îñëàáëåíà. Äîñòèãíóòî ýòî ââåäåíèåì äîïîëíèòåëüíîé ñòåïåíèñâîáîäû. Çà ñ÷åò óñèëåíèÿ íåîïðåäåëåííîé ñîñòàâëÿþùåé ñòàëîâîçìîæíûì îïèñûâàòü ðåàëüíûå ÿâëåíèÿ áîëåå àäåêâàòíî ñ ó÷å-òîì ïðèñóùèõ èì ýëåìåíòîâ ñòàòèñòè÷åñêîé íåïðåäñêàçóåìîñòè(íåïðîãíîçèðóåìîñòè).

Âî âñåõ òåîðèÿõ âàæíóþ ðîëü èãðàåò òî÷íîñòü ôîðìóëèðîâîêèñõîäíûõ ïîíÿòèé. Ïîýòîìó ïðåæäå, ÷åì èçëàãàòü ñóòü òåîðèèãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, êðàòêî îñòàíîâèìñÿ íà íåêîòîðûõ ååáàçîâûõ ïîíÿòèÿõ.

Óìåñòíî çàìåòèòü, ÷òî ïîíÿòèå ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ, øèðîêîèñïîëüçóåìîå â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìíîãî÷èñëåííûõ åå ïðè-ëîæåíèÿõ, äî ñèõ ïîð íå èìååò îäíîçíà÷íîãî òîëêîâàíèÿ, ïðè-÷åì äàæå ñðåäè ìàòåìàòèêîâ. Èñïîëüçóåìàÿ â äàííîé ìîíîãðà-ôèè ìàòåìàòè÷åñêàÿ òðàêòîâêà ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ ñîîòâåòñòâóåòòåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîìó ïîäõîäó, ðàçðàáîòàííîìó À.Í. Êîë-ìîãîðîâûì [Êîëìîãîðîâ, 1936].

Ïîíÿòèå ñëó÷àéíîãî ÿâëåíèÿ. Ñëó÷àéíîå ñîáûòèå îïèñûâàåòñÿ ñïîìîùüþ âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà, çàäàâàåìîãî òðèàäîé( , ,PΩ ℑ ), ãäå Ω – ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ω∈Ω ,

ℑ – áîðåëåâñêîå ïîëå (σ -àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ ñîáûòèé) è P –âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà (âåðîÿòíîñòü) ïîäìíîæåñòâ ñîáûòèé. Èìåííîòàêèì îáðàçîì ôîðìàëèçîâàíî ïîíÿòèå ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ â íî-âîì ìåæäóíàðîäíîì ñòàíäàðòå ISO [International standard, 2006].

Ïîä ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé ïîíèìàåòñÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ,îïðåäåëåííàÿ íà ïðîñòðàíñòâå Ω ýëåìåíòàðíûõ ñëó÷àéíûõ ñî-áûòèé ω , à ïîä ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé – ôóíêöèÿ íåçàâèñèìîãîàðãóìåíòà, çíà÷åíèå êîòîðîé ïðè ôèêñèðîâàííîì åãî çíà÷åíèèïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó.

Ïîä ñëó÷àéíûì ÿâëåíèåì ïîíèìàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèé îáúåêò(ñëó÷àéíîå ñîáûòèå, âåëè÷èíà èëè ôóíêöèÿ), êîòîðûé èñ÷åðïû-âàþùå õàðàêòåðèçóåòñÿ îïðåäåëåííûì, âïîëíå êîíêðåòíûì çà-êîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé.

Введение

9

Â äàëüíåéøåì ÿâëåíèå èëè ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, íå îïèñû-âàåìàÿ êîíêðåòíûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ, ñëó÷àéíûì íå ñ÷èòàåò-ñÿ. Ýòî ÷ðåçâû÷àéíî âàæíîå ïîëîæåíèå, íà êîòîðîå ñëåäóåò îá-ðàòèòü îñîáîå âíèìàíèå.

Ïîíÿòèå âåðîÿòíîñòè. Â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé êëþ÷åâûì ÿâëÿ-åòñÿ ïîíÿòèå âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ. Â ïðèâåäåííîì âûøå îïðå-äåëåíèè îíî íå èìååò ôèçè÷åñêîé òðàêòîâêè.

Ïðè áîëåå íàãëÿäíîì ñòàòèñòè÷åñêîì îïðåäåëåíèè âåðîÿòíî-ñòè (ïî Ð. ôîí Ìèçåñó [Mises, 1919, 1928, 1964, Ìèçåñ, 1930])âåðîÿòíîñòü ( )P A ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ A ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê

ïðåäåë ÷àñòîòû ( )Np A åãî íàáëþäåíèÿ ïðè ïðîâåäåíèè îïûòîâ âîäèíàêîâûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ è óñòðåìëåíèè êîëè÷åñòâàîïûòîâ N ê áåñêîíå÷íîñòè: ( ) lim ( )NN

P A p A→∞

= .

Ïðè íåáîëüøèõ çíà÷åíèÿõ N ÷àñòîòà ( )Np A ñèëüíî ôëóê-

òóèðóåò, îäíàêî ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ N ïîñòåïåííî ñòàáèëèçè-ðóåòñÿ è ïðè N → ∞ ñòðåìèòñÿ ê îïðåäåëåííîìó ïðåäåëó ( )P A .

Âàæíûì çâåíîì, ñâÿçûâàþùèì äâà ðàçíûõ îïðåäåëåíèÿ âå-ðîÿòíîñòè, ñëóæèò çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë, îïðåäåëÿþùèé ñõîäè-ìîñòü ÷àñòîòû ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ ê åãî âåðîÿòíîñòè.

Àêñèîìû è ãèïîòåçû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Âñå òåîðèè îñíîâû-âàþòñÿ íà íåäîêàçóåìûõ àêñèîìàõ, ïîñòóëàòàõ è ïîëîæåíèÿõ-ãèïîòåçàõ. Ëþáàÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ áàçèðóåòñÿ íàìàòåìàòè÷åñêèõ àêñèîìàõ è ïîñòóëàòàõ, îáðàçóþùèõ îñíîâó ååìàòåìàòè÷åñêîé ÷àñòè, à òàêæå ôèçè÷åñêèõ ãèïîòåçàõ, îáåñïå÷è-âàþùèõ èíòåðïðåòàöèþ ðåàëüíîãî ôèçè÷åñêîãî ìèðà ñ ïîìîùüþåå ôèçè÷åñêèõ è ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé.

Ñîâðåìåííàÿ òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé ñ ìíîãî÷èñëåííûìè ååïðèêëàäíûìè ðàçäåëàìè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ôèçèêî-ìàòåìà-òè÷åñêóþ òåîðèþ. Îñíîâîé åå ìàòåìàòè÷åñêîé ÷àñòè ñëóæàò àê-ñèîìû À.Í. Êîëìîãîðîâà.

Êîððåêòíîå èñïîëüçîâàíèå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé íà ïðàêòèêåîáåñïå÷èâàåòñÿ ïðèíÿòèåì ôèçè÷åñêîé ãèïîòåçû ñòàòèñòè÷åñêîéóñòîé÷èâîñòè ÷àñòîòû ðåàëüíûõ ñîáûòèé èëè ýêâèâàëåíòíîé åéôèçè÷åñêîé ãèïîòåçå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè (ñòàòèñòè÷å-ñêîé ïðîãíîçèðóåìîñòè) ïàðàìåòðîâ è õàðàêòåðèñòèê ôèçè÷åñêèõÿâëåíèé – ðåàëüíûõ ñîáûòèé, âåëè÷èí, ïðîöåññîâ è ïîëåé.

Îáû÷íî ïîëàãàåòñÿ, ÷òî ãèïîòåçà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâî-ñòè ñïðàâåäëèâà äëÿ øèðîêîãî êðóãà ìàññîâûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëå-

Введение

10

íèé. Èíûìè ñëîâàìè, ïðèíèìàåòñÿ êîíöåïöèÿ óñòðîéñòâà ìèðàíà ñëó÷àéíûõ ïðèíöèïàõ.

Îäíèì èç îñíîâíûõ òðåáîâàíèé ê íàó÷íûì ôèçè÷åñêèì ãè-ïîòåçàì ÿâëÿåòñÿ èõ ñîãëàñîâàííîñòü ñ îïûòíûìè äàííûìè.Ìíîãèå ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ïîäòâåðæäàþò ñïðà-âåäëèâîñòü ãèïîòåçû ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Îäíàêî îêà-çûâàåòñÿ, ÷òî îíà ñïðàâåäëèâà íå âñåãäà.

Ðàññìîòðèì êëàññè÷åñêèé ïðèìåð ñ ïîäáðàñûâàíèåì ìîíåòû.Ïðèìåð èãðû â îðëÿíêó 1. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ïðè ïîäáðàñûâàíèè

ìîíåòû èñõîäû îïûòîâ íîñÿò ñëó÷àéíûé õàðàêòåð è âåðîÿòíîñòü

îP âûïàäåíèÿ îðëà ðàâíà âåðîÿòíîñòè pP âûïàäåíèÿ ðåøêè:

î p 0,5P P= = .

Íà ïåðâûé âçãëÿä, íåò îñíîâàíèé ñîìíåâàòüñÿ â àäåêâàòíî-ñòè îïèñàííîé ìîäåëè. Òåì áîëåå, ÷òî ôàêò ðàâåíñòâà âåðîÿòíî-ñòåé ïîäòâåðæäàåòñÿ ðÿäîì ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé.Íàïðèìåð, Áþôôîí ïîäáðàñûâàë ìîíåòó 4 040 ðàç. Îðåë âûïàë2 048 ðàç. Ê. Ïèðñîí ïðîâåë äâå ñåðèè îïûòîâ: ñ ïîäáðàñûâàíè-åì ìîíåòû 12 000 è 24 000 ðàç. Â ïåðâîé ñåðèè îðåë âûïàë 6 019ðàç, âî âòîðîé – 12 012 ðàç. Ïîäîáíûå ýêñïåðèìåíòû ïðîâîäèëèè äðóãèå ó÷åíûå. Ðåçóëüòàòû ýòèõ èññëåäîâàíèé ïîäòâåðæäàþò,÷òî ÷àñòîòà âûïàäåíèÿ îðëà è ðåøêè ïðèìåðíî îäèíàêîâû.

Îäíàêî, åñëè ðàçîáðàòüñÿ â çàäà÷å äåòàëüíî, òî ñòàíåò ÿñíî,÷òî îñíîâàíèÿ äëÿ ñîìíåíèé â àäåêâàòíîñòè ìîäåëè âñå æå åñòü.È ñîìíåíèÿ äîñòàòî÷íî îáîñíîâàííûå.

Âåðîÿòíîñòè îP , pP çàâèñÿò îò óñëîâèé ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðè-

ìåíòà (òàê íàçûâàåìûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèé). Â ôèêñèðîâàí-íûõ óñëîâèÿõ ïðè óñòðåìëåíèè ÷èñëà îïûòîâ N ê áåñêîíå÷íîñòè÷àñòîòû âûïàäåíèÿ îðëà è ðåøêè ñòðåìÿòñÿ ê îïðåäåëåííûì âå-ðîÿòíîñòÿì îP è pP (â ÷àñòíîñòè îíè ìîãóò áûòü ðàâíûìè).

Íî íà ïðàêòèêå íå ïðèõîäèòñÿ ðàññ÷èòûâàòü íà èäåàëüíóþñòàáèëüíîñòü ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèé. Åñëè ýòè óñëîâèÿ ìåíÿþò-ñÿ, ïðè÷åì áåç êàêîé-ëèáî ñòàòèñòè÷åñêîé çàêîíîìåðíîñòè, óò-âåðæäàòü, ÷òî ïðè N → ∞ ÷àñòîòû âûïàäåíèÿ îðëà è ðåøêèñòðåìÿòñÿ ê êîíêðåòíûì âåðîÿòíîñòÿì, íåëüçÿ. Â ýòîì ñëó÷àåâåðîÿòíîñòè ñîáûòèé íå ñóùåñòâóþò.

1 Äàëåêî íå íà âñåõ ìîíåòàõ èçîáðàæåí îðåë. Ïîýòîìó íàçâàíèå èãðû â

îðëÿíêó íåëüçÿ ïðèçíàòü óäà÷íûì. Îäíàêî â ðóññêîÿçû÷íîé ëèòåðàòóðå ýòîíàçâàíèå óêîðåíèëîñü.

Введение

11

Êàê ïîäîéòè ê ïîñòðîåíèþ ìîäåëè, àäåêâàòíî îïèñûâàþùåéèãðó? Ìîæíî èñõîäèòü èç òîãî, ÷òî ñóùåñòâóþò îïðåäåëåííûåâåðîÿòíîñòè îP , pP äëÿ ðàçëè÷íûõ óñëîâèé ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðè-

ìåíòà. Åñëè ýòè âåðîÿòíîñòè èçâåñòíû, òî ìîæíî ðàññ÷èòàòü èí-òåðâàëû âåðîÿòíîñòåé, â êîòîðûõ áóäóò íàõîäèòüñÿ ÷àñòîòû ïðèN → ∞ .

Ìîäåëü, êîððåêòíî ó÷èòûâàþùàÿ âîçìîæíûå êîëåáàíèÿ ÷àñ-òîò âûïàäåíèÿ îðëà è ðåøêè â îïðåäåëåííûõ èíòåðâàëàõ âåðîÿò-íîñòè, î÷åâèäíî, áîëåå àäåêâàòíî îïèñûâàåò ðåàëüíóþ ñèòóà-öèþ, ÷åì ìîäåëü ñëó÷àéíîãî òèïà, íåîáîñíîâàííî ïðåäïîëàãàþ-ùàÿ, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà îïûòîâ ýòè ÷àñòîòû ñòðåìÿòñÿ êôèêñèðîâàííûì âåðîÿòíîñòÿì.

Ðàññìîòðèì äðóãîé ïðèìåð.Îöåíêà êó÷íîñòè ñòðåëüáû. Ïóñòü íåîáõîäèìî ýêñïåðèìåí-

òàëüíûì ïóòåì îöåíèòü êó÷íîñòü ñòðåëüáû îðóæèÿ, íàïðèìåð,àâòîìàòà îïðåäåëåííîãî òèïà. Êîíêðåòèçèðîâàòü ýòó çàäà÷óìîæíî ïî-ðàçíîìó.

Åñëè ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ êó÷íîñòü ñòðåëüáû êîíêðåòíîãî îá-ðàçöà îðóæèÿ, òî çàäà÷à äîñòàòî÷íî ëåãêî ðåøàåòñÿ ìåòîäàìè êëàñ-ñè÷åñêîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. Ïðî-âåäÿ ñåðèþ âûñòðåëîâ ïî ìèøåíè, ìîæíî îöåíèòü äèñïåðñèþ èëèñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèå. Åñëè êîëè÷åñòâî âûñòðåëîâ äîñ-òàòî÷íî âåëèêî, òî ìîæíî ïîëó÷èòü ýìïèðè÷åñêóþ ôóíêöèþ ðàñ-ïðåäåëåíèÿ. Ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè êîëè÷åñòâà âûñòðå-ëîâ ýòè îöåíêè ñòðåìÿòñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùèì äèñïåðñèè, ñðåäíå-êâàäðàòè÷åñêîìó îòêëîíåíèþ è ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.

Ïîñòàíîâêà çàäà÷è è åå ðåøåíèå, îäíàêî, âûãëÿäÿò ñîâåð-øåííî èíà÷å, åñëè ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ êó÷íîñòü ñòðåëüáû àâ-òîìàòîâ, ïîñòàâëÿåìûõ íà îðóæåéíûé ñêëàä ñ ðàçíûõ îðóæåéíûõçàâîäîâ. Êó÷íîñòü ñòðåëüáû êàæäîãî èç àâòîìàòîâ ìîæåò áûòüîõàðàêòåðèçîâàíà îïðåäåëåííîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ. Äëÿðàçíûõ îáðàçöîâ îðóæèÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçíàÿ. Êîð-ðåêòíîå ðåøåíèå çàäà÷è òðåáóåò ó÷åòà ðàçëè÷èÿ ýòèõ ðàñïðåäå-ëåíèé è ðàñ÷åòà íåêîòîðûõ õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ, äàþùèõèíòåãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå î êà÷åñòâå íàõîäÿùåéñÿ íà ñêëàäåïðîäóêöèè.

Çàäà÷à åùå áîëåå óñëîæíÿåòñÿ, åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå,÷òî îáîðóäîâàíèå, íà êîòîðîì èçãîòàâëèâàþòñÿ àâòîìàòû, ìåíÿ-åòñÿ, è ìåíÿþòñÿ çàâîäû, ïîñòàâëÿþùèå ïðîäóêöèþ. Ýòè ñòàòè-ñòè÷åñêè íåïðåäñêàçóåìûå îáñòîÿòåëüñòâà ïðèâîäÿò ê ñòàòèñòè-

Введение

12

÷åñêè íåïðîãíîçèðóåìûì èçìåíåíèÿì õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâêà÷åñòâà àâòîìàòîâ.

Â äàííîé ñèòóàöèè íèêàêîå äàæå î÷åíü äëèòåëüíîå ýêñïåðè-ìåíòàëüíîå èçó÷åíèå êó÷íîñòè ñòðåëüáû íå ìîæåò ãàðàíòèðîâàòüïîëó÷åíèå ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâûõ îöåíîê äèñïåðñèè èëèôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ìàêñèìóì, íà ÷òî ìîæíî ðàññ÷èòû-âàòü, – ïîëó÷åíèå ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâûõ îöåíîê ãðàíèö äèñ-ïåðñèè, ãðàíèö ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèõ îòêëîíåíèé èëè ãðàíèö ôóíê-öèè ðàñïðåäåëåíèÿ.

Èçìåí÷èâîñòü ìèðà. Àíàëèç ïîäîáíûõ çàäà÷ ïðèâîäèò ê îñîç-íàíèþ, ÷òî îêðóæàþùèé ìèð ïî ñâîåé ïðèðîäå èçìåí÷èâ. Ïðàê-òè÷åñêè âñå õàðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåòðû ðåàëüíûõ îáúåêòîâ èóñëîâèÿ èõ íàáëþäåíèÿ ìåíÿþòñÿ. Èñêëþ÷åíèå ìîãóò ñîñòàâ-ëÿòü, âîçìîæíî, ëèøü ôóíäàìåíòàëüíûå ôèçè÷åñêèå êîíñòàíòû,òàêèå êàê ñêîðîñòü ñâåòà, ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ è ïð.2 Èç-ìåíåíèÿ ïðîèñõîäÿò íà ðàçíûõ óðîâíÿõ, â òîì ÷èñëå, êàê ïîêà-çûâàþò ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé, è íà ñòà-òèñòè÷åñêîì óðîâíå.

Ïðîáëåìà îïèñàíèÿ ÿâëåíèé íà áîëüøèõ èíòåðâàëàõ íàáëþäå-íèÿ. Îáû÷íî íà íåáîëüøèõ âðåìåííûõ, ïðîñòðàíñòâåííûõ èëèïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ èíòåðâàëàõ íàáëþäåíèÿ ñòàòèñòè÷å-ñêèå õàðàêòåðèñòèêè ðåàëüíûõ ÿâëåíèé ìàëî ìåíÿþòñÿ (ïðàêòè-÷åñêè ñòàáèëüíû) è ïîòîìó ñòîõàñòè÷åñêèå ìîäåëè õîðîøî îïè-ñûâàþò ôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ.

Íà áîëüøèõ æå èíòåðâàëàõ íàáëþäåíèÿ íåóñòîé÷èâîñòü ñòà-òèñòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ïðîÿâëÿåòñÿ ñèëüíåå. Îíà îáíàðóæè-âàåòñÿ ïîâñåìåñòíî ïðè èññëåäîâàíèè ðàçëè÷íûõ ôèçè÷åñêèõÿâëåíèé.

Ñóùåñòâåííî, ÷òî èçìåíåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèêíîñÿò íåïðåäñêàçóåìûé (íåïðîãíîçèðóåìûé) õàðàêòåð. Îíè íå îïè-ñûâàþòñÿ êàêèìè-òî çàêîíàìè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîýòîìó êëàññè-÷åñêèå ñòîõàñòè÷åñêèå ìîäåëè îêàçûâàþòñÿ ìàëîïðèãîäíûìè.

Äëÿ àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ îêðóæàþùåãî ìèðà òðåáóþòñÿ ìî-äåëè äðóãîãî òèïà, ïîçâîëÿþùèå ó÷èòûâàòü êàê ñòàòèñòè÷åñêóþíåóñòîé÷èâîñòü õàðàêòåðèñòèê èññëåäóåìûõ ÿâëåíèé, òàê è íåóñ-òîé÷èâîñòü ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèé íàáëþäåíèÿ ýòèõ ÿâëåíèé.

Íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè â ðåàëüíîì ìèðåÿâëÿþòñÿ ïðîÿâëåíèÿìè íåîïðåäåëåííîñòè.

2 Ýêñïåðèìåíòàëüíî äîêàçàòü ïîñòîÿíñòâî ýòèõ âåëè÷èí íå ïðåäñòàâ-

ëÿåòñÿ âîçìîæíûì èç-çà îãðàíè÷åííîé òî÷íîñòè ðåàëüíûõ èçìåðåíèé.

Введение

13

Íåîïðåäåëåííîñòü è ñïîñîáû åå ó÷åòà. Íåîïðåäåëåííîñòü –øèðîêîå ïîíÿòèå, íå èìåþùåå îäíîçíà÷íîãî òîëêîâàíèÿ ñðåäèó÷åíûõ. Ñóùåñòâóþò ðàçíûå åãî òðàêòîâêè è êëàññèôèêàöèè. Âýòèõ êëàññèôèêàöèÿõ ñëó÷àéíûì ÿâëåíèÿì, êàê ïðàâèëî, îòâî-äèòñÿ íåáîëüøîå ìåñòî [Áî÷àðíèêîâ, 2001].

Äëÿ ó÷åòà íåîïðåäåëåííîñòè ðåàëüíûõ ñîáûòèé, ïðîöåññîâ èïîëåé èñïîëüçóþò ðàçëè÷íûå ïîäõîäû. ×àñòî ïðèìåíÿþò ìíîãî-ïàðàìåòðè÷åñêèå ñòîõàñòè÷åñêèå ìîäåëè, îïèñûâàåìûå ìíîãî-ìåðíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè.

Îäèí èç íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ïîäõîäîâ – èñïîëüçî-âàíèå ñëó÷àéíûõ íåñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ è íåîäíîðîäíûõïîëåé. Äðóãîé ïîäõîä – ââåäåíèå â ìîäåëü äîïîëíèòåëüíûõýëåìåíòîâ íåîïðåäåëåííîñòè íåñëó÷àéíîãî òèïà [Ëåìàí, 1971,Êîðîëþê è äð., 1985, Ëåâèí, 1976, Òåîðèÿ îáíàðóæåíèÿ ñèãíà-ëîâ, 1984, Âàí Òðèñ, 1972, 1975, 1977, Õüþáåð, 1984, Êíîïîâ,1981, Êðàâöîâ, 2003 è äð.].

Ýòè è äðóãèå ïîäõîäû äàþò íåïëîõèå ðåçóëüòàòû ïðè ðåøå-íèè ðÿäà çàäà÷, îäíàêî íå ðåøàþò ïðîáëåìó â öåëîì.

Ñòðåìëåíèå íàéòè óíèâåðñàëüíûå è ýôôåêòèâíûå ñðåäñòâàó÷åòà ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè è íåîïðåäåëåííîñòè èãðà-ëî, ïî âñåé âèäèìîñòè, íå ïîñëåäíþþ ðîëü ïðè ôîðìèðîâàíèèðÿäà îòíîñèòåëüíî íîâûõ òåîðèé, òàêèõ êàê òåîðèÿ íå÷åòêèõìíîæåñòâ [Çàäå, 1976, Zadeh L.A., Kacprzyk, 1992, Äþáóà, Ïðàä,1990, Êîôìàí, 1982, Îðëîâñêèé, 1981, Áî÷àðíèêîâ, 2001], òåîðèÿèíòåðâàëüíîãî àíàëèçà [Êàíòîðîâè÷, 1962, Øîêèí, 1981, Øà-ðûé, 2010, Àëåôåëüä, Õåðöáåðãåð, 1987, Moore, 1966, Sunaga,1958, Neumaier, 1990], ðàçëè÷íûå òåîðèè íåîïðåäåëåííîñòè,ñóáúåêòèâíûõ è èíòåðâàëüíûõ âåðîÿòíîñòåé, èíòåðâàëüíîé ñòà-òèñòèêè [Èâàíåíêî, Ëàáêîâñêèé, 1990, Kyburg, 1998 – 2000,Walley, 1991, Êóíöåâè÷, 2006, Îðëîâ, 2002, 2006, Âîùèíèí, Ñî-òèðîâ, 1989, Kreinovich, 2005, Êóçíåöîâ, 1991 è äð.], òåîðèÿ äè-íàìè÷åñêîãî õàîñà [Crownover, 1995, Sharkovsky, Romanenko,2005, Ïðèãîæèí, Ñòåíãåðñ, 2009, Ãðèí÷åíêî è äð., 2005], áóäñò-ðåï-àíàëèçà [Ýôðîí, 1988] è ïð.3

3 Ñðåäè ïåðå÷èñëåííûõ òåîðèé îñîáî õîòåëîñü áû îòìåòèòü ïðàêòè÷åñêè

íåèçâåñòíóþ øèðîêîé íàó÷íîé îáùåñòâåííîñòè èíòåðâàëüíî-ñòàòèñòè÷åñêóþòåîðèþ Â.Ï. Êóçíåöîâà [Êóçíåöîâ, 1991]. Ýòà òåîðèÿ, àëüòåðíàòèâíàÿêëàññè÷åñêîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè, áàçèðóåòñÿ íàîðèãèíàëüíîé ñèñòåìå àêñèîì ñðåäíèõ è èñïîëüçóåò â êà÷åñòâå èñõîäíûõñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ èíòåðâàëüíûå ñòàòèñòè÷åñêèå ñðåäíèå ìíîæåñòâà ÷èñ-ëîâûõ ïðèçíàêîâ.

Введение

14

Ê ÷èñëó òàêèõ òåîðèé ìîæíî îòíåñòè è ôèçèêî-ìàòåìàòè-÷åñêóþ òåîðèþ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé.

Ãèïåðñëó÷àéíûå ÿâëåíèÿ. Ïîä ãèïåðñëó÷àéíûì ÿâëåíèåì ïîäðà-çóìåâàåòñÿ ñåìåéñòâî ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé, âåëè÷èí èëè ôóíê-öèé, çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà g G∈ , êîòîðûé ðàññìàòðèâàåòñÿêàê íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ è àññîöèèðóåòñÿ ñî ñòàòèñòè÷åñêè-ìè óñëîâèÿìè íàáëþäåíèÿ (èëè óñëîâèÿìè ôîðìèðîâàíèÿ) ðàñ-ñìàòðèâàåìîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáúåêòà.

Ãèïåðñëó÷àéíîå ñîáûòèå ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ òåòðàäû( , , , gG PΩ ℑ ), ãäå Ω – ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé

ω∈Ω , ℑ – áîðåëåâñêîå ïîëå, G – ìíîæåñòâî óñëîâèé g G∈ ,

gP – âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà ïîäìíîæåñòâ ñîáûòèé, çàâèñÿùàÿ îò

óñëîâèÿ g . Òàêèì îáðàçîì, âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà çàäàåòñÿ äëÿ

âñåõ ïîäìíîæåñòâ ñîáûòèé è âñåõ âîçìîæíûõ óñëîâèé g G∈ .

Ìåðà æå äëÿ óñëîâèé g G∈ îñòàåòñÿ íå îïðåäåëåííîé.Èñïîëüçóÿ ñòàòèñòè÷åñêèé ïîäõîä, ãèïåðñëó÷àéíîå ñîáûòèå

A ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ñîáûòèå, ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ êîòîðîãî( )Np A ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà îïûòîâ N íå ñòàáèëèçèðóåòñÿ è

ïðè N → ∞ íå èìååò ïðåäåëà. Â äàííîì ñëó÷àå ñâîéñòâîì ñòà-òèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè îáëàäàåò íå ÷àñòîòà ñîáûòèÿ, à ãðàíè-öû äèàïàçîíà åå èçìåíåíèÿ.

Ãèïåðñëó÷àéíîå ÿâëåíèå – ýòî îáîáùåíèå ïîíÿòèÿ ñëó÷àé-íîãî ÿâëåíèÿ. Ïîýòîìó ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ, âåëè÷èíû è ôóíê-öèè ìîãóò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê âûðîæäåííûå ãèïåðñëó÷àéíûåÿâëåíèÿ.

Ñëó÷àéíîå ÿâëåíèå èñ÷åðïûâàþùå îïèñûâàåòñÿ âåðîÿòíîñò-íûì ðàñïðåäåëåíèåì, à ãèïåðñëó÷àéíîå ÿâëåíèå – ìíîæåñòâîìóñëîâíûõ âåðîÿòíîñòíûõ ðàñïðåäåëåíèé.

Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X , íàïðèìåð, ïîëíîñòüþ õàðàêòåðèçó-åòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ( )F x , à ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà

/ X X g G= ∈ – ìíîæåñòâîì óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ

( / )F x g , g G∈ .Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ñâîèìè ìî-

ìåíòàìè èëè äðóãèìè ïàðàìåòðàìè. Â îáùåì ñëó÷àå îíè íåîäíî-çíà÷íî îïðåäåëÿþò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ. Îäíàêî, íåñìîòðÿíà ýòî, ïðè èñïîëüçîâàíèè ýòèõ ïàðàìåòðîâ âñåãäà ïðåäïîëàãà-þò, ÷òî õîòÿ çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû ïîëíîñòüþ íåèçâåñòåí, îí âñå æå ñóùåñòâóåò.

Введение

15

Ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà íå òîëü-êî ìíîæåñòâîì óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, íî è äðóãè-ìè õàðàêòåðèñòèêàìè è ïàðàìåòðàìè, â ÷àñòíîñòè âåðõíåé

( ) sup ( / )Sg G

F x F x g∈

= è íèæíåé ( ) inf ( / )I g GF x F x g

∈= ãðàíèöàìè

ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, öåíòðàëüíûìè è íåöåíòðàëüíûìè ìî-ìåíòàìè ýòèõ ãðàíèö, ãðàíèöàìè ìîìåíòîâ è äð. Ýòè õàðàêòå-ðèñòèêè è ïàðàìåòðû íåîäíîçíà÷íî îïèñûâàþò ãèïåðñëó÷àé-íóþ âåëè÷èíó. Îäíàêî, íåñìîòðÿ íà ýòî, ïðè ðàññìîòðåíèè ãè-ïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû âñåãäà èñõîäÿò èç òîãî, ÷òî ñóùåñòâóåòìíîæåñòâî óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèé, îïèñûâàþùèõðàññìàòðèâàåìóþ ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, è ýòî ìíîæåñòâîôèêñèðîâàíî.

Çàìåòèì, ÷òî ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòüêàê ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, ó êîòîðîé ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñ-ïðåäåëåíèÿ ñîâïàäàþò: ( ) ( ) ( )S IF x F x F x= = .

Äåòåðìèíèðîâàííóþ âåëè÷èíó 0x ïðèáëèæåííî ìîæíî ðàñ-ñìàòðèâàòü êàê âûðîæäåííûé ñëó÷àé ñëó÷àéíîé (èëè ãèïåðñëó-÷àéíîé) âåëè÷èíû ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ( )F x , èìåþùåé

åäèíè÷íûé ñêà÷îê â òî÷êå 0x .Èíòåðâàëüíàÿ âåëè÷èíà, õàðàêòåðèçóåìàÿ ãðàíèöàìè èíòåð-

âàëà 1x , 2x , ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷è-

íîé, ó êîòîðîé ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ( )SF x , ( )IF x

èìåþò åäèíè÷íûå ñêà÷êè ñîîòâåòñòâåííî â òî÷êàõ 1x è 2x .

Ïðè óñòðåìëåíèè òî÷êè 1x ê ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòè, à 2x – ê

ïëþñ áåñêîíå÷íîñòè èíòåðâàëüíàÿ âåëè÷èíà 1 2[ , ]x x ñòðåìèòñÿ êïîëíîñòüþ íåîïðåäåëåííîé âåëè÷èíå, êîòîðóþ ìîæíî ðàññìàò-ðèâàòü êàê «õàîòè÷åñêóþ».

Òàêèì îáðàçîì, ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ îáîá-ùåíèåì ïîíÿòèé äåòåðìèíèðîâàííîé, ñëó÷àéíîé è èíòåðâàëü-íîé âåëè÷èí. Áëàãîäàðÿ òàêîé óíèâåðñàëüíîñòè ñ ïîìîùüþãèïåðñëó÷àéíûõ ìîäåëåé ìîæíî ìîäåëèðîâàòü ðàçíîîáðàçíûåôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ, îáëàäàþùèå ðàçíîé ñòåïåíüþ íåîïðåäå-ëåííîñòè.

Óìåñòíî áóäåò îáðàòèòü âíèìàíèå åùå íà îäíî âàæíîå îá-ñòîÿòåëüñòâî: â òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, êàê è â òåîðèèâåðîÿòíîñòåé, äåòåðìèíèçì ïîëíîñòüþ íå èçæèò. Ñäàâ ïðåæíèåïîçèöèè, êîòîðûå çàíèìàë â êëàññè÷åñêîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé,îí ïåðåìåñòèëñÿ íà óðîâåíü óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ,

Введение

16

ãðàíèö ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, ãðàíèö ìîìåíòîâ è äðóãèõ õà-ðàêòåðèñòèê è âåëè÷èí, ðàññìàòðèâàåìûõ â ðàìêàõ òåîðèè ãè-ïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí êàê äåòåðìèíèðîâàííûå.

Îáùàÿ õàðàêòåðèñòèêà òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé. Îáúåêòèññëåäîâàíèÿ òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ñîñòàâëÿþò ðå-àëüíûå ôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ – ñîáûòèÿ, âåëè÷èíû, ïðîöåññû èïîëÿ, à ïðåäìåò èññëåäîâàíèÿ – íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñ-òîé÷èâîñòè èõ õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ.

Òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé èìååò ìàòåìàòè÷åñêóþ èôèçè÷åñêóþ ñîñòàâëÿþùèå. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ÷àñòü áàçèðóåòñÿ íàêëàññè÷åñêèõ àêñèîìàõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ôèçè÷åñêàÿ – íàãèïåðñëó÷àéíûõ ãèïîòåçàõ: ãèïîòåçå îãðàíè÷åííîé ñòàòèñòè÷åñêîéóñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ñîáûòèé, âåëè÷èí, ïðîöåññîâ è ïîëåé èãèïîòåçå àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ãè-ïåðñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè.

Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ãèïåðñëó÷àéíûå ãèïîòåçû ñïðàâåäëèâûäëÿ øèðîêîãî êðóãà ìàññîâûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Òåì ñàìûìïðèíèìàåòñÿ êîíöåïöèÿ óñòðîéñòâà ìèðà íà ãèïåðñëó÷àéíûõ ïðèí-öèïàõ. Îñíîâîïîëàãàþùàÿ ðîëü â íåé îòâîäèòñÿ íå èäåàëüíîé,êàê â êîíöåïöèè óñòðîéñòâà ìèðà íà ñëó÷àéíûõ ïðèíöèïàõ, àîãðàíè÷åííîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.

Ãëàâíûìè ñòðóêòóðíûìè ýëåìåíòàìè ìàòåìàòè÷åñêîé ÷àñòèíîâîé òåîðèè ÿâëÿþòñÿ íå àáñîëþòíî ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâûåîáúåêòû – ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ, âåëè÷èíû è ôóíêöèè, èñïîëü-çóåìûå â êëàññè÷åñêîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîéñòàòèñòèêå, à îáúåêòû ñ îãðàíè÷åííîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâî-ñòüþ – ãèïåðñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ, âåëè÷èíû è ôóíêöèè.

Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ÷àñòü òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ñôîð-ìèðîâàíà ïî êëàññè÷åñêîé ñõåìå ïîñòðîåíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåéè ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. Ñõåìà ïîñòðîåíèÿ ôèçè÷åñêîé ÷àñòèòåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé áîëåå ñïåöèôè÷íà.

Ïîñêîëüêó òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé èñïîëüçóåò ñèñòå-ìó ìàòåìàòè÷åñêèõ àêñèîì òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, ñ ìàòåìàòè÷åñêîéòî÷êè çðåíèÿ îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåòâü òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ñôèçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé – íîâàÿôèçè÷åñêàÿ òåîðèÿ, áàçèðóþùàÿñÿ íà íîâûõ ôèçè÷åñêèõ ãèïîòå-çàõ, ïîçâîëÿþùèõ âçãëÿíóòü íà îêðóæàþùèé ìèð ïîä íîâûì óã-ëîì çðåíèÿ è îáåñïå÷èâàþùàÿ íîâóþ åãî òðàêòîâêó.

Введение

17

Ïîýòîìó â öåëîì òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé – íîâàÿôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ, ïðåäîñòàâëÿþùàÿ íîâûå âîç-ìîæíîñòè ïîçíàíèÿ ìèðà.

Ïîòåíöèàëüíûå âîçìîæíîñòè òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé.Íå ñëåäóåò êàê ïåðåîöåíèâàòü, òàê è íåäîîöåíèâàòü âîçìîæíî-ñòè ýòîé òåîðèè.

Áîëüøèíñòâî òåîðèé, â îñîáåííîñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ, ôîð-ìèðóþòñÿ êîíñòðóêòèâíî íà îñíîâå äðóãèõ òåîðèé ñ ñîõðàíåíèåìèñõîäíîé àêñèîìàòè÷åñêîé áàçû ïóòåì ââåäåíèÿ íîâûõ îáîá-ùàþùèõ îáúåêòîâ è óñòàíîâëåíèÿ ïðàâèë ðàáîòû ñ íèìè. Òàêî-âûìè ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, òåîðèÿìàòðèö, òåíçîðíîãî èñ÷èñëåíèÿ, îïåðàòîðíûõ ìåòîäîâ è ìíîãèåäðóãèå. Ê èõ ÷èñëó îòíîñèòñÿ è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ÷àñòü òåîðèè ãè-ïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, áàçèðóþùàÿñÿ íà êëàññè÷åñêîé òåîðèèâåðîÿòíîñòåé.

Îñîáåííîñòüþ ýòèõ òåîðèé ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ðåøåíèÿ ëþáîéçàäà÷è, ïîëó÷åííûå ñ èõ ïîìîùüþ è ñ ïîìîùüþ ïîðîæäàþùèõèõ òåîðèé, ýêâèâàëåíòíû. Ïîýòîìó îò ìàòåìàòè÷åñêîé ÷àñòèòåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé íåëüçÿ îæèäàòü êàêèõ-ëèáî ðå-çóëüòàòîâ, êîòîðûå ïîòåíöèàëüíî íå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû âðàìêàõ êëàññè÷åñêîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.

Öåííîñòü òåîðèé, ïîñòðîåííûõ êîíñòðóêòèâíûì ïóòåì (âòîì ÷èñëå òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé), ñîñòîèò â òîì, ÷òîîíè, áëàãîäàðÿ èñïîëüçîâàíèþ îáîáùàþùèõ ïîíÿòèé, ïîçâî-ëÿþò âçãëÿíóòü íà ðåøàåìûå çàäà÷è ñ áîëåå îáùèõ ïîçèöèé èóëîâèòü çàêîíîìåðíîñòè è îñîáåííîñòè èññëåäóåìûõ ÿâëåíèé,êîòîðûå íà óðîâíå ïîðîæäàþùèõ òåîðèé áûëè ñêðûòû ãðî-ìîçäêîñòüþ ðàññóæäåíèé è âûêëàäîê. Â ðåçóëüòàòå ïðîöåäóðàðåøåíèÿ íåêîòîðûõ çàäà÷ ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ, à ñàìî ðå-øåíèå óäàåòñÿ ïðåäñòàâèòü â êîìïàêòíîì âèäå.

Ýôôåêòèâíîñòü ïðèìåíåíèÿ òàêèõ òåîðèé íà ïðàêòèêå îïðå-äåëÿåòñÿ ñòåïåíüþ àäåêâàòíîñòè îïèñàíèÿ ÿâëåíèé ðåàëüíîãîìèðà ñ ïîìîùüþ èõ ñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ. Âïå÷àòëÿþùèå óñ-ïåõè òåîðèè ìàòðèö èëè, íàïðèìåð, ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçàîáóñëîâëåíû â ïåðâóþ î÷åðåäü òåì, ÷òî ìíîãèå ðåàëüíûå ôèçè-÷åñêèå ÿâëåíèÿ àäåêâàòíî ïðåäñòàâëÿþòñÿ ìàòðè÷íûìè è íåïðå-ðûâíûìè ìîäåëÿìè.

Òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ó÷èòûâàåò ñ ïîìîùüþ ãè-ïåðñëó÷àéíûõ ìîäåëåé îäíó èç îñíîâíûõ îñîáåííîñòåé ðåàëü-íîãî ôèçè÷åñêîãî ìèðà, èãíîðèðóåìóþ êëàññè÷åñêîé òåîðèåé

Введение

18

âåðîÿòíîñòåé, – îãðàíè÷åííîñòü ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.Ýòî äåëàåò íîâóþ òåîðèþ ýôôåêòèâíûì èíñòðóìåíòîì ðåøåíèÿçàäà÷, â êîòîðûõ íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè èãðà-þò ñóùåñòâåííóþ ðîëü.

Äëÿ èëëþñòðàöèè îòêðûâàþùèõñÿ âîçìîæíîñòåé ðàññìîòðèìïðîáëåìó èçìåðåíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí.

Ïðîáëåìà èçìåðåíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí. Ïðè ïîñòðîåíèèôèçè÷åñêèõ ìîäåëåé èçìåðåíèé, êàê ïðàâèëî, ïðåäïîëàãàþò,÷òî âåëè÷èíû, ïîäëåæàùèå èçìåðåíèþ, íîñÿò äåòåðìèíèðîâàí-íûé, à èõ îöåíêè – ñëó÷àéíûé õàðàêòåð. Ïîýòîìó äëÿ ìàòåìà-òè÷åñêîãî îïèñàíèÿ èçìåðÿåìûõ âåëè÷èí îáû÷íî èñïîëüçóþòäåòåðìèíèðîâàííûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, à äëÿ îïèñàíèÿ èõîöåíîê – ñëó÷àéíûå (ñòîõàñòè÷åñêèå) ìîäåëè ñ îïðåäåëåííûìèçàêîíàìè ðàñïðåäåëåíèÿ. Íà ýòîì ïîñòðîåíà âñÿ ñîâðåìåííàÿòåîðèÿ èçìåðåíèé, ÿâëÿþùàÿñÿ òåîðåòè÷åñêîé áàçîé ïðèêëàä-íîé ìåòðîëîãèè.

Äîïóùåíèÿ î äåòåðìèíèðîâàííîì õàðàêòåðå èçìåðÿåìîé âå-ëè÷èíû è ñëó÷àéíîì õàðàêòåðå îöåíêè çà÷àñòóþ âïîëíå îáîñíî-âàíû, íî íå âñåãäà.

Ïðåäñòàâëåíèå ðåàëüíûõ ÿâëåíèé ãèïåðñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè.Ïðèíèìàåìûå â òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ãèïîòåçû ãè-ïåðñëó÷àéíîñòè êàñàþòñÿ ðàçëè÷íûõ ðåàëüíûõ ÿâëåíèé, â òîì÷èñëå âåëè÷èí, ôóíêöèé è ïîëåé, ïîäëåæàùèõ èçìåðåíèþ, äåé-ñòâóþùèõ ïîìåõ, à òàêæå ïîãðåøíîñòåé èçìåðåíèÿ.

Â îáåèõ øèðîêî ðàñïðîñòðàíåííûõ â íàñòîÿùåå âðåìÿòåîðèÿõ èçìåðåíèé (îñíîâàííûõ íà êîíöåïöèè ïîãðåøíîñòè[Òþðèí, 1973] è êîíöåïöèè íåîïðåäåëåííîñòè [Ðóêîâîäñòâîïî âûðàæåíèþ íåîïðåäåëåííîñòè èçìåðåíèé, 1999]) ïðåäïî-ëàãàåòñÿ, ÷òî îòêëîíåíèå ðåçóëüòàòà èçìåðåíèÿ îò èñòèííîãîçíà÷åíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû íîñèò èñêëþ÷èòåëüíî ñëó-÷àéíûé õàðàêòåð.

Â ðàìêàõ êîíöåïöèè ïîãðåøíîñòè ðàññìàòðèâàþòñÿ äâå ñî-ñòàâëÿþùèå: ñèñòåìàòè÷åñêàÿ è ñëó÷àéíàÿ, ââåäåííûå åùå Ãàëè-ëåî Ãàëèëååì [Ãàëèëåé, 1948].

Ïîä ñèñòåìàòè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé ïîäðàçóìåâàåòñÿ ÷àñòüïîãðåøíîñòè, íå ìåíÿþùàÿñÿ îò èçìåðåíèÿ ê èçìåðåíèþ èëèèçìåíÿþùàÿñÿ ïî èçâåñòíîìó çàêîíó. Ïîä ñëó÷àéíîé ñîñòàâ-ëÿþùåé ïîíèìàåòñÿ èçìåíÿåìàÿ ÷àñòü ïîãðåøíîñòè, èìåþùàÿñëó÷àéíûé õàðàêòåð è îïèñûâàåìàÿ îïðåäåëåííûì çàêîíîì ðàñ-ïðåäåëåíèÿ. Ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè ê áåñêîíå÷íîñòè

Введение

19

ñëó÷àéíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ è â öåëîì ïîãðåø-íîñòü ñòðåìèòñÿ ê ñèñòåìàòè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé.

Â ðàìêàõ ãèïåðñëó÷àéíîé ïàðàäèãìû ïîãðåøíîñòü íîñèòãèïåðñëó÷àéíûé õàðàêòåð è îïèñûâàåòñÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âå-ëè÷èíîé.

Â îáùåì ñëó÷àå âûäåëèòü â ãèïåðñëó÷àéíîé ïîãðåøíîñòè îò-äåëüíûå ñîñòàâëÿþùèå íå óäàåòñÿ. Â îäíîì èç ïðîñòåéøèõ ñëó-÷àåâ, êîãäà ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîéïîãðåøíîñòè îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî ìàòåìàòè÷åñêèìèîæèäàíèÿìè ãðàíèö, ïîãðåøíîñòü ìîæíî ðàçäåëèòü íà ñèñòåìà-òè÷åñêóþ, ñëó÷àéíóþ è íåîïðåäåëåííóþ (íåïðîãíîçèðóåìóþ). Íåîï-ðåäåëåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ, ïîäîáíî ñëó÷àéíîé, èçìåíÿåòñÿ îòîïûòà ê îïûòó, íî ïðè ýòîì, â îòëè÷èå îò ïîñëåäíåé, íå ïîä÷è-íÿåòñÿ êàêîìó-ëèáî çàêîíó ðàñïðåäåëåíèÿ. Ýòó ñîñòàâëÿþùóþìîæíî îïèñàòü èíòåðâàëüíîé âåëè÷èíîé.

Â îáùåì ñëó÷àå ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè ê áåñêî-íå÷íîñòè ãèïåðñëó÷àéíàÿ ïîãðåøíîñòü ñòðåìèòñÿ íå ê îïðåäå-ëåííîé ñèñòåìàòè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè, à ê ñóììå ñèñòåìàòè÷å-ñêîé è èíòåðâàëüíîé ïîãðåøíîñòåé.

Ãèïåðñëó÷àéíûì õàðàêòåðîì ïîãðåøíîñòè ìîæíî îáúÿñíèòüìíîãèå èçâåñòíûå, íî äîëãîå âðåìÿ îñòàâàâøèåñÿ íåïîíÿòíûìèôàêòû, â ÷àñòíîñòè, ïî÷åìó òî÷íîñòü ëþáûõ ôèçè÷åñêèõ èçìå-ðåíèé îãðàíè÷åíà, ïî÷åìó ïðè èñïîëüçîâàíèè áîëüøîãî ÷èñëàýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ òî÷íîñòü íå çàâèñèò îò îáúåìà äàí-íûõ è äð.

Ãëîáàëüíûì âîïðîñîì ÿâëÿåòñÿ âîïðîñ î íàëè÷èè ïðåäåëàïîçíàíèÿ ìèðà. Èç òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ñëåäóåò, ÷òîñóùåñòâóåò ãîðèçîíò ïîçíàíèÿ. Îí îïðåäåëÿåòñÿ ãðàíèöàìè íå-ïðåäñêàçóåìîãî (ñòàòèñòè÷åñêè íåïðîãíîçèðóåìîãî) èçìåíåíèÿôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé è óñëîâèé èõ íàáëþäåíèÿ. Îãðàíè÷åíèå âïîçíàíèè ìîæíî îáúÿñíèòü òåì, ÷òî ðåàëüíûé ìèð – îòêðûòàÿñèñòåìà.

* * *

Ñòðóêòóðà ìîíîãðàôèè. Êíèãà ñîñòîèò èç òðåõ ÷àñòåé. Ïåðâàÿ÷àñòü (ñ ïåðâîé ïî ÷åòâåðòóþ ãëàâû) ïîñâÿùåíà èñòîêàì òåîðèèãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, âòîðàÿ (ñ ïÿòîé ïî òðèíàäöàòóþ ãëà-âû) – ìàòåìàòè÷åñêèì îñíîâàì íîâîé òåîðèè, òðåòüÿ (íà÷èíàÿ ñ÷åòûðíàäöàòîé ãëàâû) – åå ôèçè÷åñêèì îñíîâàì.

Íèæå ïðèâåäåíû àííîòàöèè ãëàâ.

Введение

20

Ãëàâà 1. Ðàññìîòðåíû îáùèå ïðèíöèïû ïîñòðîåíèÿ íàó÷íûõòåîðèé, ôîðìèðîâàíèÿ çíàíèé è ìèðîâîççðåíèÿ. Èññëåäîâàíûïðîöåññû ìûøëåíèÿ è ïîçíàíèÿ ìèðà. Îáðàùåíî âíèìàíèå íàòî, ÷òî âñå íàó÷íûå òåîðèè áàçèðóþòñÿ íà íåäîêàçóåìûõ àê-ñèîìàõ, ïîñòóëàòàõ è ãèïîòåçàõ è âàæíóþ ðîëü â ïîçíàíèè èã-ðàåò èçìåðåíèå. Ïðîàíàëèçèðîâàíà ïðîáëåìà ïîñòðîåíèÿ àäåê-âàòíûõ îöåíîê è ìîäåëåé. Ðàññìîòðåíà ñïåöèôèêà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé. Àêöåíòèðîâàíî âíèìàíèå íà òîì, ÷òîêàæäàÿ òàêàÿ òåîðèÿ ñîñòîèò èç ìàòåìàòè÷åñêîé ÷àñòè, áàçè-ðóþùåéñÿ íà ñèñòåìå ìàòåìàòè÷åñêèõ àêñèîì, è ôèçè÷åñêîé÷àñòè, îñíîâàííîé íà ôèçè÷åñêèõ ïîëîæåíèÿõ-ãèïîòåçàõ.

Ãëàâà 2. Ïðîàíàëèçèðîâàíû ôèçè÷åñêèå è ìàòåìàòè÷åñêèåîñíîâû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Ïîêàçàíî, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêàÿ÷àñòü ñîâðåìåííîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé áàçèðóåòñÿ íà îáùå-ïðèçíàííîé êîëìîãîðîâñêîé òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîé àêñèî-ìàòèêå, à ôèçè÷åñêàÿ ÷àñòü – íà ãèïîòåçå ñòàòèñòè÷åñêîé óñ-òîé÷èâîñòè ÷àñòîòû ðåàëüíûõ ñîáûòèé èëè ýêâèâàëåíòíîé åéãèïîòåçå àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé (ñîáûòèé,âåëè÷èí, ïðîöåññîâ è ïîëåé) ñëó÷àéíûìè (ñòîõàñòè÷åñêèìè)ìîäåëÿìè. Â ðàìêàõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïîëàãàåòñÿ, ÷òî ãèïî-òåçà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñïðàâåäëèâà äëÿ øèðîêîãîêðóãà ìàññîâûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé, ò.å. ïðèíèìàåòñÿ êîíöåï-öèÿ óñòðîéñòâà ìèðà íà ñëó÷àéíûõ ïðèíöèïàõ. Êðàòêî èçëîæå-íà èñòîðèÿ èññëåäîâàíèÿ ôåíîìåíà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâî-ñòè. Îáñóæäåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ âîçìîæíû íàðóøåíèÿñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.

Ãëàâà 3. Ôîðìàëèçîâàíî ïîíÿòèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷è-âîñòè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ñëó÷àéíîãîïðîöåññà. Óñòàíîâëåíî, ÷òî íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé-÷èâîñòè íå ïðîòèâîðå÷èò çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë. Ïðè íàðóøå-íèè ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âûáîðî÷íîå ñðåäíåå è ñðåä-íåå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé íå èìåþò ïðåäåëîâ. Îäíàêî ðàç-íîñòü ìåæäó âûáîðî÷íûì ñðåäíèì è ñðåäíèì ìàòåìàòè÷åñêèõîæèäàíèé ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèèîáúåìà âûáîðêè. Âûÿñíåíî, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûåïðîöåññû – îñîáûé êëàññ íåñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ. Íà îñ-íîâå àíàëèòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé è êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðî-âàíèÿ âûäâèíóòà ãèïîòåçà, ÷òî ïðè÷èíîé íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè-÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ íà îãðàíè÷åííîì

Введение

21

èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñâåðõíèçêî÷àñòîòíûå êîëåáà-íèÿ ñðåäíåãî 4. Ïðåäëîæåíû ïàðàìåòðû, õàðàêòåðèçóþùèå íà-ðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà íàêîíå÷íîì èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ.

Ãëàâà 4. Ïðîâåäåíû ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ðÿäàôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è âåëè÷èí íà ïðåäìåò èõ ñòàòèñòè÷åñêîéóñòîé÷èâîñòè, â òîì ÷èñëå èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè èçìåíåíèÿñïåêòðîâ ñîáñòâåííûõ øóìîâ óñèëèòåëÿ, ñïåêòðîâ ãèäðîàêóñòè-÷åñêèõ øóìîâ ìîðñêèõ ñóäîâ, êîëåáàíèé íàïðÿæåíèÿ ãîðîäñêîéýëåêòðîñåòè, âûñîòû ìîðñêèõ âîëí è ïåðèîäà èõ ñëåäîâàíèÿ,ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè è êîòèðîâêè âàëþò. Óñòàíîâëåíî, ÷òî íàíåáîëüøèõ èíòåðâàëàõ íàáëþäåíèÿ íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîéóñòîé÷èâîñòè íå îáíàðóæèâàþòñÿ, îäíàêî íà áîëüøèõ èíòåðâà-ëàõ íàáëþäåíèÿ âñå îíè îêàçûâàþòñÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷è-âûìè. Òîò ôàêò, ÷òî èññëåäîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòèñîâåðøåííî ðàçíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ïðèâîäÿò ê îäíîìó èòîìó æå âûâîäó, ïîçâîëÿåò ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íàðóøåíèå ñòàòè-ñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïðèñóùå ìíîãèì, åñëè íå âñåì, ðåàëü-íûì ôèçè÷åñêèì ÿâëåíèÿì.

Ãëàâà 5. Ââåäåíî ïîíÿòèå ãèïåðñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ. Äëÿîïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ èñïîëüçîâàíû óñëîâíûå âå-ðîÿòíîñòè è ãðàíèöû âåðîÿòíîñòåé. Èññëåäîâàíû ñâîéñòâà ýòèõïàðàìåòðîâ.

Ãëàâà 6. Îïðåäåëåíî ïîíÿòèå ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âå-ëè÷èíû. Äëÿ åå îïèñàíèÿ èñïîëüçîâàíû óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñ-ïðåäåëåíèÿ (äàþùèå èñ÷åðïûâàþùåå îïèñàíèå ãèïåðñëó÷àéíîéâåëè÷èíû), ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è èõ ìîìåíòû, àòàêæå ãðàíèöû ìîìåíòîâ. Èññëåäîâàíû ñâîéñòâà ýòèõ õàðàêòåðè-ñòèê è ïàðàìåòðîâ.

Ãëàâà 7. Ââåäåíî ïîíÿòèå âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè-÷èíû. Ìåòîäû îïèñàíèÿ ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíûîáîáùåíû íà ñëó÷àé âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Èñ-ñëåäîâàíû ñâîéñòâà õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ âåêòîðíûõ ãè-ïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.

Ãëàâà 8. Îïðåäåëåíî ïîíÿòèå ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîéôóíêöèè. Ðàññìîòðåíû ðàçëè÷íûå ñïîñîáû åå ïðåäñòàâëåíèÿ.

4 Íåäàâíèå èññëåäîâàíèÿ [Ãîðáàíü, 2011] ïîêàçàëè, ÷òî íàðóøåíèå

ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âûçûâàþò è äðóãèå ïðè÷èíû.

Введение

22

Äëÿ îïèñàíèÿ èñïîëüçîâàíû óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ(äàþùèå íàèáîëåå ïîëíóþ õàðàêòåðèñòèêó ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíê-öèè), à òàêæå ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ïëîòíîñòè ðàñ-ïðåäåëåíèÿ ãðàíèö, ìîìåíòû ãðàíèö è ãðàíèöû ìîìåíòîâ.

Ãëàâà 9. Ââåäåíû ïîíÿòèÿ âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíê-öèè, ãèïåðñëó÷àéíîãî ôóíêöèîíàëà è ãèïåðñëó÷àéíîãî îïåðàòî-ðà. Ðàññìîòðåíû ðàçëè÷íûå ñïîñîáû îïèñàíèÿ ýòèõ ìàòåìàòè÷å-ñêèõ îáúåêòîâ. Èññëåäîâàíû ñâîéñòâà èõ õàðàêòåðèñòèê è ïàðà-ìåòðîâ.

Ãëàâà 10. Ââåäåíû ïîíÿòèÿ ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòèãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ôóíêöèé, à òàêæå ïîíÿòèÿ íåïðå-ðûâíîñòè, äèôôåðåíöèðóåìîñòè è èíòåãðèðóåìîñòè ãèïåðñëó-÷àéíûõ ôóíêöèé.

Ãëàâà 11. Ôîðìàëèçîâàíû ïîíÿòèÿ ñòàöèîíàðíîñòè è ýðãî-äè÷íîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Ðàññìîòðåíû ñïåêòðàëüíûåìåòîäû îïèñàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Èñ-ñëåäîâàíû ñâîéñòâà ñòàöèîíàðíûõ è ýðãîäè÷åñêèõ ãèïåðñëó÷àé-íûõ ôóíêöèé.

Ãëàâà 12. Ïîíÿòèå ìàðêîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà îáîá-ùåíî íà ñëó÷àé ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà. Äëÿ ãèïåðñëó÷àéíîãîìàðêîâñêîãî ïðîöåññà ïîëó÷åíû óðàâíåíèÿ, àíàëîãè÷íûå èç-âåñòíûì óðàâíåíèÿì Êîëìîãîðîâà äëÿ ñëó÷àéíîãî ìàðêîâñêîãîïðîöåññà. Â êà÷åñòâå ïðèìåðîâ ðàññìîòðåíû âèíåðîâñêèé è ãà-óññîâñêèé ãèïåðñëó÷àéíûå ìàðêîâñêèå ïðîöåññû.

Ãëàâà 13. Ïðîàíàëèçèðîâàíû èçâåñòíûå ñïîñîáû ïðåäñòàâ-ëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ïðîöåññîâ íà ïðåäìåò öåëå-ñîîáðàçíîñòè èõ ïðèìåíåíèÿ ïðè îïèñàíèè ðàçëè÷íûõ òèïîâïðåîáðàçîâàíèé. Ïîëó÷åíû ñîîòíîøåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå õàðàê-òåðèñòèêè è ïàðàìåòðû ïðåîáðàçîâàííûõ è èñõîäíûõ ãèïåðñëó-÷àéíûõ âåëè÷èí è ïðîöåññîâ. Äàíû ðåêîìåíäàöèè ïî èñïîëü-çîâàíèþ ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè-÷èí ïðè ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ, à òàêæå ãè-ïåðñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ïðè áåçûíåðöèîííûõ è èíåðöèîííûõïðåîáðàçîâàíèÿõ.

Ãëàâà 14. Ñôîðìóëèðîâàíû îñíîâíûå ôèçè÷åñêèå ãèïîòåçûòåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, îáåñïå÷èâàþùèå êîððåêòíîååå èñïîëüçîâàíèå íà ïðàêòèêå: ãèïîòåçà îãðàíè÷åííîé ñòàòè-ñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé è ãèïî-òåçà àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ãèïåðñëó÷àé-íûìè ìîäåëÿìè. Ðàññìîòðåíà êîíöåïöèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî óñò-

Введение

23

ðîéñòâà ìèðà. Ñîïîñòàâëåíû ãèïåðñëó÷àéíûå è ñëó÷àéíûå ìî-äåëè. Î÷åð÷åíû îáëàñòè èõ ïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ.

Ãëàâà 15. Ôîðìàëèçîâàíî ïîíÿòèå ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêèè îïðåäåëåíû åå ñâîéñòâà. Îïèñàíà ìåòîäîëîãèÿ ôîðìèðîâàíèÿîöåíîê õàðàêòåðèñòèê ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Èññëåäîâàíàñõîäèìîñòü ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ê ñîîòâåòñòâóþùèì òî÷íûìõàðàêòåðèñòèêàì.

Ãëàâà 16. Ñôîðìóëèðîâàí çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ãèïåð-ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, îïðåäåëÿþùèé óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè ãðàíèöâûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Äîêàçàíà äëÿãèïåðñëó÷àéíûõ ñîáûòèé òåîðåìà, àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìå Áåð-íóëëè äëÿ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé.

Ãëàâà 17. Äîêàçàíà öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà äëÿ ãè-ïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, àíàëîãè÷íàÿ öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîéòåîðåìå äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.

Ãëàâà 18. Îïèñàíû ðàçëè÷íûå ìîäåëè èçìåðåíèÿ ôèçè÷åñêèõâåëè÷èí. Èññëåäîâàíà äåòåðìèíèðîâàííî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ ìî-äåëü èçìåðåíèÿ. Äëÿ òî÷å÷íûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ââåäåíûïîíÿòèÿ íåñìåùåííîé, ñîñòîÿòåëüíîé, ýôôåêòèâíîé è äîñòàòî÷-íîé îöåíîê, à äëÿ èíòåðâàëüíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê – ïî-íÿòèÿ äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà è ãðàíèö äîâåðèòåëüíîé âåðî-ÿòíîñòè. Äîêàçàíû òåîðåìû, îïðåäåëÿþùèå ãðàíèöû âåðõíåéãðàíèöû òî÷íîñòè òî÷å÷íîé îöåíêè è ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãîèíòåðâàëà èíòåðâàëüíîé îöåíêè. Ïîêàçàíî, ÷òî èç-çà íåêîíòðî-ëèðóåìîé èçìåí÷èâîñòè óñëîâèé íàáëþäåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûåîöåíêè äåòåðìèíèðîâàííûõ âåëè÷èí íå ñîñòîÿòåëüíû, à òî÷-íîñòü èçìåðåíèÿ – îãðàíè÷åíà.

Ãëàâà 19. Ðàññìîòðåíà ãèïåðñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ ìî-äåëü èçìåðåíèÿ. Âûâåäåíû ôîðìóëû, îïèñûâàþùèå ïîãðåø-íîñòü ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â îá-ùåì è ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ. Ïîëó÷åíû ñîîòíîøåíèÿ, ïîçâîëÿþùèåðàññ÷èòûâàòü ïîãðåøíîñòü ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè ïðè êîñâåí-íûõ èçìåðåíèÿõ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.

Ãëàâà 20. Äëÿ òî÷å÷íûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ãèïåðñëó-÷àéíûõ âåëè÷èí ââåäåíû ïîíÿòèÿ íåñìåùåííîé, ñîñòîÿòåëü-íîé, ýôôåêòèâíîé è äîñòàòî÷íîé îöåíîê. Äîêàçàíû òåîðåìû,îïðåäåëÿþùèå ãðàíèöû âåðõíåé ãðàíèöû òî÷íîñòè òî÷å÷íîéîöåíêè è ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà èíòåðâàëüíîéîöåíêè. Äàíî ìàòåìàòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå èçâåñòíîãî èç ïðàê-òèêè ôàêòà, ÷òî òî÷íîñòü ëþáûõ ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ èçìåðå-

Введение

24

íèé èìååò ïðåäåë, ïðåîäîëåòü êîòîðûé íå óäàåòñÿ äàæå ïðèî÷åíü áîëüøîì îáúåìå äàííûõ.

Ãëàâà 21. Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ îöå-íîê äåòåðìèíèðîâàííûõ è ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, îáîáùåíûíà ñëó÷àé ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé.Îáîñíîâàíî ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî âñå ðåàëüíûå îöåíêè ôèçè÷å-ñêèõ ïðîöåññîâ íå ñîñòîÿòåëüíû, à òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ ðåàëüíûõïðîöåññîâ, êàê è òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ âå-ëè÷èí, îãðàíè÷åíà.

Â Ïðèëîæåíèå âûíåñåíû âûñêàçûâàíèÿ èçâåñòíûõ ó÷åíûõ ïîïîâîäó ôåíîìåíà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.

Â ñïèñîê ëèòåðàòóðû âêëþ÷åíû ðàáîòû îòå÷åñòâåííûõ è çàðó-áåæíûõ àâòîðîâ, èñïîëüçîâàííûå ïðè íàïèñàíèè ìîíîãðàôèè.

25

ИСТОКИ ТЕОРИИГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ

ЯВЛЕНИЙ

Глава 1

ПРИНЦИПЫ ПОЗНАНИЯ МИРА

Ðàññìîòðåíû îáùèå ïðèíöèïû ïîñòðîåíèÿ íàó÷íûõ òåîðèé, ôîðìè-ðîâàíèÿ çíàíèé è ìèðîâîççðåíèÿ. Èññëåäîâàíû ïðîöåññû ìûøëåíèÿ èïîçíàíèÿ ìèðà. Îáðàùåíî âíèìàíèå íà òî, ÷òî âñå íàó÷íûå òåîðèèáàçèðóþòñÿ íà íåäîêàçóåìûõ àêñèîìàõ, ïîñòóëàòàõ è ãèïîòåçàõ èâàæíóþ ðîëü â ïîçíàíèè èãðàåò èçìåðåíèå. Ïðîàíàëèçèðîâàíà ïðî-áëåìà ïîñòðîåíèÿ àäåêâàòíûõ îöåíîê è ìîäåëåé. Ðàññìîòðåíà ñïå-öèôèêà ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé. Àêöåíòèðîâàíî âíèìàíèåíà òîì, ÷òî êàæäàÿ òàêàÿ òåîðèÿ ñîñòîèò èç ìàòåìàòè÷åñêîé÷àñòè, áàçèðóþùåéñÿ íà ñèñòåìå ìàòåìàòè÷åñêèõ àêñèîì, è ôèçè-÷åñêîé ÷àñòè, îñíîâàííîé íà ôèçè÷åñêèõ ïîëîæåíèÿõ-ãèïîòåçàõ.

1.1. ОСНОВЫ НАУЧНЫХ ТЕОРИЙ

Âîïðîñû î òîì, êàê óñòðîåí íàø ìèð, êàê ÷åëîâåê ïîçíàåò åãî,÷òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîöåññ ïîçíàíèÿ, ñóùåñòâóþò ëè ãðà-íèöû ïîçíàíèÿ, âîëíîâàëè ÷åëîâå÷åñòâî èçäàâíà. Íàéòè èñ÷åð-ïûâàþùèå îòâåòû íà ýòè âîïðîñû, ñêîðåå âñåãî, íèêîãäà íå óäàñò-ñÿ. Çäåñü ìû ñòàëêèâàåìñÿ ñ èçâåñòíîé â ôèëîñîôèè ïðîáëåìîéïðèíöèïèàëüíîé íåäîêàçóåìîñòè ñïðàâåäëèâîñòè ëþáîé òåîðèèåñòåñòâîçíàíèÿ.

Â îñíîâå âñåõ åñòåñòâåííûõ íàóê ëåæàò õîðîøî ñîãëàñóþ-ùèåñÿ ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè ïîëîæåíèÿ, êîòîðûå íå-âîçìîæíî íè äîêàçàòü, íè îáúÿñíèòü. Ýòè ïîëîæåíèÿ ïðèíèìà-þòñÿ íà âåðó è âîçâîäÿòñÿ â ðàíã àáñîëþòíûõ èñòèí, îñòàþùèõ-ñÿ òàêîâûìè äî òåõ ïîð, ïîêà íå ïðîèçîéäåò èõ ïåðåîöåíêà. Ïîòåðìèíîëîãèè, ïðèíÿòîé â ôèëîñîôèè íàóêè, îíè íîñÿò íàçâà-íèå ôóíäàìåíòàëüíûõ àáñòðàêòíûõ îáúåêòîâ [Ñòåïèí, 1999].

Ïðèìåðîì òàêèõ ïîëîæåíèé ñëóæàò çàêîíû êëàññè÷åñêîéìåõàíèêè Íüþòîíà, äîëãîå âðåìÿ ñ÷èòàâøèåñÿ àáñîëþòíûìè èñ-

ЧАСТЬ І

Глава 1. Принципы познания мира

26

òèíàìè, òî÷íî îïèñûâàþùèìè ðåàëüíûé ìèð. Íî îáíàðóæåííûåíà ðóáåæå ÕIÕ–ÕÕ âåêîâ íåñîîòâåòñòâèÿ ðåçóëüòàòîâ ðÿäà îïû-òîâ ýòèì ïîëîæåíèÿì ïîêîëåáàëè ñóùåñòâóþùèå ïðåäñòàâëåíèÿè ïðèâåëè ê ôîðìèðîâàíèþ íîâûõ çàêîíîâ, ñîñòàâèâøèõ îñíîâóêâàíòîâîé ìåõàíèêè è òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè Ýéíøòåéíà.

Íåäîêàçóåìûå ïîëîæåíèÿ ëåæàò â îñíîâå íå òîëüêî åñòåñò-âåííûõ íàóê. Äàæå ìàòåìàòèêà, ïðåòåíäóþùàÿ íà àáñîëþòíóþñòðîãîñòü, ñîäåðæèò íåäîêàçóåìûå ýëåìåíòû – àêñèîìû è ïî-ñòóëàòû.

Èñïîëüçîâàíèå ïîñòóëàòîâ ñèñòåìàòèçèðóåò çíàíèÿ è îáëåã-÷àåò ôîðìèðîâàíèå ñòðîãèõ óìîçàêëþ÷åíèé. «Ìåòîä ïîñòóëè-ðîâàíèÿ, – ñ þìîðîì îòìå÷àë Áåðòðàí Ðàññåë [Ëèòëâóä, 1962,ñ. 67], – èìååò ìíîãî ïðåèìóùåñòâ, ñîâïàäàþùèõ ñ òåìè, êîòî-ðûå ïðèñóùè âîðîâñòâó ïî ñðàâíåíèþ ñ ÷åñòíûì òðóäîì».

Êàê íè ñòðàííî êàæåòñÿ íà ïåðâûé âçãëÿä, îñíîâîé ïîçíàíèÿìèðà ñëóæàò ñîãëàñóþùèåñÿ ñ îïûòíûìè äàííûìè, íî íåäîêà-çóåìûå è ïðèíèìàåìûå íà âåðó ïîëîæåíèÿ-ãèïîòåçû. Îíè îáðà-çóþò àêñèîìàòè÷åñêèé áàçèñ òåîðèé.

Çäåñü óìåñòíî íàïîìíèòü ñëîâà Ìàêñà Ïëàíêà: «Íî íå ñëåäóåòäóìàòü, ÷òî ìîæíî äàæå ñ ñàìîé òî÷íîé èç âñåõ åñòåñòâåííûõ íàóêïðîäâèíóòüñÿ âïåðåä áåç âñÿêîãî ìèðîñîçåðöàíèÿ, ò.å. áåç íåäîêà-çóåìûõ ãèïîòåç. Äëÿ ôèçèêè òàêæå èìååò ñèëó èçðå÷åíèå, ÷òî íåòñïàñåíèÿ áåç âåðû, ïî êðàéíåé ìåðå, áåç âåðû â íåêîòîðóþ ðåàëü-íîñòü. Òîëüêî ýòà òâåðäàÿ âåðà è óêàçûâàåò ïóòü òâîð÷åñêîìóñòðåìëåíèþ, òîëüêî îíà äàåò òî÷êó îïîðû ïðîäâèãàþùåéñÿ îùó-ïüþ ôàíòàçèè, òîëüêî îíà â ñîñòîÿíèè âñÿêèé ðàç îáîäðèòü ìûñëü,óñòàëóþ îò íåóäà÷, è ñíîâà âîîäóøåâèòü åå. Èññëåäîâàòåëü, êîòî-ðûé íå ðóêîâîäèòñÿ â ñâîèõ ðàáîòàõ êàêîé-ëèáî ãèïîòåçîé, õîòÿ áûîñòîðîæíîé è ïðåäâàðèòåëüíîé, òåì ñàìûì çàðàíåå îòêàçûâàåòñÿîò áîëåå ãëóáîêîãî ïîíèìàíèÿ ñâîèõ ñîáñòâåííûõ ðåçóëüòàòîâ»[Ïëàíê, 1966, ñ. 82, 83].

Ê ñèñòåìå áàçèñíûõ ãèïîòåç ïðåäúÿâëÿþòñÿ òå æå òðåáîâà-íèÿ, ÷òî è ê ñèñòåìàì àêñèîì, èñïîëüçóåìûì â ìàòåìàòèêå, –íåïðîòèâîðå÷èâîñòü è âçàèìíàÿ íåçàâèñèìîñòü. Îò ãèïîòåç åñòå-ñòâîçíàíèÿ òðåáóåòñÿ, êðîìå òîãî, ñîãëàñîâàííîñòü ñ îïûòíûìèäàííûìè.

Îá ýòîì Ìàêñ Ïëàíê ãîâîðèë òàê: «Ïðàâäà, îäíîé âåðû íå-äîñòàòî÷íî. Êàê ïîêàçûâàåò èñòîðèÿ íàóêè, îíà ÷àñòî ìîæåò áûòüïðè÷èíîé çàáëóæäåíèé, îãðàíè÷åííîñòè è ôàíàòèçìà. Äëÿ òîãî÷òîáû îíà îñòàâàëàñü íàäåæíûì ïóòåâîäèòåëåì, åå íåîáõîäèìî

1.1. Основы научных теорий

27

ïîñòîÿííî ïðîâåðÿòü çàêîíàìè ìûøëåíèÿ è îïûòîì» [Ïëàíê,1966, ñ. 83].

Ãèïîòåçû åñòåñòâîçíàíèÿ ìîãóò áûòü îáùåãî õàðàêòåðà, íà-ïðèìåð, ÷òî â îñíîâå óñòðîéñòâà ìèðîçäàíèÿ ëåæàò ñëó÷àéíûåïðèíöèïû è ïîýòîìó ìèð õîðîøî îïèñûâàåòñÿ ñëó÷àéíûìè ìî-äåëÿìè (â íàñòîÿùåå âðåìÿ ýòà ãèïîòåçà øèðîêî ðàñïðîñòðàíå-íà), èëè áîëåå êîíêðåòíûìè, íàïðèìåð, ÷òî ìèð îïèñûâàåòñÿçàêîíàìè Íüþòîíà èëè Ýéíøòåéíà.

Çàìåíà ðåàëüíûõ îáúåêòîâ, îòíîøåíèé è îïåðàöèé îïðåäå-ëåííûìè ìîäåëÿìè, îñíîâàííûìè íà ïðèíèìàåìûõ ãèïîòåçàõ,ñóùåñòâåííî óïðîùàåò ïðîöåññ ïîçíàíèÿ è îáåñïå÷èâàåò ñòà-áèëüíóþ ïëàòôîðìó äëÿ èçó÷åíèÿ ìèðà, íî, âìåñòå ñ òåì, ñîçäà-åò íåïðåîäîëèìûå (â ðàìêàõ ïðèíÿòîé ñèñòåìû ãèïîòåç) ïðåïÿò-ñòâèÿ äëÿ ïðîíèêíîâåíèÿ â ñóòü ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Îòáðàñû-âàíèå íåñóùåñòâåííûõ, êàê íàì ïðåäñòàâëÿåòñÿ, íþàíñîâ ðåàëü-íîñòè âåäåò ê ïîòåðå ïîíèìàíèÿ ñóùíîñòè ìèðà.

Ñêëàäûâàåòñÿ ïàðàäîêñàëüíàÿ ñèòóàöèÿ: áåç ñèñòåì áàçîâûõãèïîòåç íåâîçìîæíî ïîçíàíèå, íî íàëè÷èå òàêèõ ñèñòåì ñäåðæè-âàåò ïîíèìàíèå îñíîâ ìèðîçäàíèÿ.

Îãðàíè÷èâàÿ ñâîè âîççðåíèÿ íà ìèð îïðåäåëåííûìè ãèïî-òåçàìè, êîòîðûå ñ÷èòàåì ñïðàâåäëèâûìè, ìû îòìåòàåì âñå, ÷òîíå âïèñûâàåòñÿ â óñòàíîâëåííûå ðàìêè. Îäíàêî ðàíî èëèïîçäíî ïðèõîäèì ê ïîíèìàíèþ, ÷òî ïðèíÿòûå ãèïîòåçû èìåþòîãðàíè÷åííóþ îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ è íóæäàþòñÿ â ïåðåñìîòðå.Ìèð çíà÷èòåëüíî ñëîæíåå, ÷åì ìû ïûòàåìñÿ åãî ïðåäñòàâèòü.Íàøè ãèïîòåçû – ëèøü ïðåäïîëîæåíèÿ, ïîçâîëÿþùèå ïî-ñòðîèòü óïðîùåííûå ìîäåëè, ïðèáëèæåííî îïèñûâàþùèå ðå-àëüíûé ìèð.

Ìíîæåñòâî ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèé ðåàëüíîãî ÿâëåíèÿ íà áà-çå íåçàâèñèìûõ ñèñòåì áàçîâûõ ãèïîòåç ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàêñîâîêóïíîñòü åãî ïðîåêöèé íà ðàçíûå àáñòðàêòíûå ïëîñêîñòè. ×åìáîëüøå ñèñòåì ãèïîòåç è ïîñòðîåííûõ íà èõ îñíîâå òåîðèé, òåìáîëüøå ïðîåêöèé, òåì ãëóáæå âîçìîæíî ïîçíàíèå ìèðà. Ïîÿâëåíèåíîâûõ òåîðèé, ïîçâîëÿþùèõ âçãëÿíóòü íà èçâåñòíûå ôàêòû ïîäíîâûì óãëîì çðåíèÿ, îáåñïå÷èâàåò ðàçâèòèå íàóêè.

Â ðàìêàõ ôèêñèðîâàííîãî íàáîðà ãèïîòåç íàóêà ðàçâèâàåòñÿýêñòåíñèâíî. Äëÿ èíòåíñèâíîãî åå ðàçâèòèÿ íåîáõîäèìà ðàçðà-áîòêà íîâûõ àëüòåðíàòèâíûõ ãèïîòåç è òåîðèé. Áåç íèõ ïðîãðåññ÷åëîâå÷åñòâà íåìûñëèì.

Îñíîâîé ëþáîé òåîðèè ÿâëÿþòñÿ ìîäåëè.


28

1.2. МОДЕЛИ

1.2.1. Неформализованные модели

Îêðóæàþùèé ìèð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëîæíóþ ñèñòåìó, ñîäåð-æàùóþ áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî âçàèìîñâÿçàííûõ ýëåìåíòîâ –îáúåêòîâ. Êàæäûé îáúåêò õàðàêòåðèçóåòñÿ áåñêîíå÷íûì ÷èñëîìñâîéñòâ, îïðåäåëÿþùèõ åãî îñîáåííîñòè. Îòäåëüíûå ñâîéñòâà ðàç-íûõ îáúåêòîâ ìîãóò ñîâïàäàòü èëè áûòü áëèçêèìè ïî îïðå-äåëåííîìó êðèòåðèþ. Îáúåêòû ñ îäèíàêîâûìè èëè áëèçêèìèñâîéñòâàìè ãðóïïèðóþòñÿ â íàøåì ñîçíàíèè â êëàññû ïîäîáíûõîáúåêòîâ.

Êàæäûé îáúåêò ìîæåò âõîäèòü â ñîñòàâ íåñêîëüêèõ êëàññîâ.Êëàññû ìîãóò âõîäèòü â ñîñòàâ äðóãèõ êëàññîâ. Ñâîéñòâà, ïðèñó-ùèå ïîäîáíûì îáúåêòàì êëàññà, ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê çàêîíîìåð-íîñòè.

Çàêîíîìåðíîñòè òîæå ÿâëÿþòñÿ îáúåêòàìè. Êàê è äðóãèå îáú-åêòû, îíè ìîãóò îáðàçîâûâàòü êëàññû. Çàêîíîìåðíîñòè îïðåäåëÿ-þò ñïåöèôè÷åñêèå îñîáåííîñòè ñâÿçåé îáúåêòîâ, âõîäÿùèõ âêëàññ, ñ îáúåêòàìè ýòîãî æå êëàññà è ñ îáúåêòàìè äðóãèõ êëàññîâ.

Êëàññàìè, íàïðèìåð, ÿâëÿþòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ ôèçè÷åñêèõîáúåêòîâ, ïîä÷èíÿþùèõñÿ çàêîíàì êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè, âñåçàêîíû ìåõàíèêè, ïðåäìåòû, ðàçìåð êîòîðûõ ìåíüøå èëè áîëü-øå îïðåäåëåííîé âåëè÷èíû, ðàñòåíèÿ èëè æèâîòíûå îïðåäåëåí-íîãî âèäà, ëþäè îïðåäåëåííîé íàöèîíàëüíîñòè, âåðû, ðàñû èëèâîçðàñòíîé êàòåãîðèè, æèòåëè îäíîé ñòðàíû è ò.ä.

Ñèñòåìàòèçàöèÿ (ôîðìèðîâàíèå ñèñòåìû âçàèìîñâÿçàííûõêëàññîâ îáúåêòîâ) è êëàññèôèêàöèÿ (ðàñïðåäåëåíèå îáúåêòîâ ïîêëàññàì) – êðàåóãîëüíûå êàìíè ïîçíàíèÿ ìèðà. Îíè âêëþ÷àþòâûÿâëåíèå íîâûõ îáúåêòîâ, èññëåäîâàíèå è îïèñàíèå èõ ñâîéñòâ,ïîïîëíåíèå èçâåñòíûõ êëàññîâ íîâûìè îáúåêòàìè, îáðàçîâàíèåíîâûõ êëàññîâ è èçúÿòèå èç ñèñòåìû óñòàðåâøèõ êëàññîâ.

Â ðåçóëüòàòå ñèñòåìàòèçàöèè è êëàññèôèêàöèè â ñîçíàíèè ÷å-ëîâåêà ôîðìèðóþòñÿ íåôîðìàëèçîâàííûå ìîäåëè, äàþùèå èíòå-ãðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå î êëàññàõ ïîäîáíûõ îáúåêòîâ.

Íåôîðìàëèçîâàííûå ìîäåëè íå èäåíòè÷íû ðàññìàòðèâàåìûìîáúåêòàì, òàê êàê íåñóò èíôîðìàöèþ î ìíîæåñòâå ïîäîáíûõ îáúåê-òîâ, âõîäÿùèõ â êëàññû, è ÿâëÿþòñÿ èõ îñðåäíåííûìè îáðàçàìè.

Êàæäûé íîâûé îáúåêò ÷åëîâåê ïûòàåòñÿ îòíåñòè, êàê ïðàâè-ëî, ïîäñîçíàòåëüíî ê ðàçíûì íåôîðìàëèçîâàííûì ìîäåëÿì. Ìî-

1.2. Модели

29

äåëè, ê êîòîðûì ýòîò îáúåêò íàèáîëåå ïîäõîäèò, àññîöèèðóþòñÿñ îáúåêòîì è, íàîáîðîò, îáúåêò àññîöèèðóåòñÿ ñ ýòèìè ìîäåëÿ-ìè. Â ðåçóëüòàòå ôîðìèðóåòñÿ ìíîæåñòâî íåôîðìàëèçîâàííûõìîäåëåé, ñîâîêóïíîñòü êîòîðûõ âîñïðèíèìàåòñÿ ÷åëîâåêîì êàêíåêèé èíòåãðàëüíûé îáðàç îáúåêòà. Ìíîæåñòâî òàêèõ îáðàçîâðàçíûõ îáúåêòîâ ñîçäàåò ñóáúåêòèâíîå ïðåäñòàâëåíèå ÷åëîâåêà îìèðå.

Îêðóæàþùèé ìèð ïîñòîÿííî ìåíÿåòñÿ, èçìåíÿþòñÿ îáúåêòûè èõ ìîäåëè. Èçìåíåíèå ìîäåëåé îáóñëîâëåíî íå òîëüêî èçìå-íåíèåì ñàìèõ îáúåêòîâ, íî è èçìåíåíèåì êðèòåðèåâ êëàññèôè-êàöèè. Ñóùåñòâåííóþ ðîëü ïðè âûáîðå êðèòåðèÿ èãðàþò ïðèîá-ðåòåííûé ðàíåå îïûò, îêðóæàþùàÿ ñðåäà è ìíîãèå äðóãèå ôàê-òîðû.

Ëþäè ðàçëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé è ðàçëè÷àþòñÿ óñëîâèÿ èõæèçíè. Ïîýòîìó äëÿ ðàçíûõ ëþäåé ðàçíûìè îêàçûâàþòñÿ íå-ôîðìàëèçîâàííûå ìîäåëè îäíèõ è òåõ æå îáúåêòîâ è ïðåäñòàâ-ëåíèÿ î ìèðå.

Ðåàëüíûå îáúåêòû âîñïðèíèìàþòñÿ ÷åëîâåêîì ñ ïîìîùüþîðãàíîâ ÷óâñòâ â ôîðìå îöåíîê, êîòîðûå òîæå ìîæíî ðàññìàòðè-âàòü êàê îáúåêòû.

Îöåíêà çàâèñèò îò ìíîæåñòâà ñóáúåêòèâíûõ è îáúåêòèâíûõôàêòîðîâ (óñëîâèé). Îöåíêà îòëè÷àåòñÿ îò ðåàëüíîãî îáúåêòà.Îòëè÷èå âûçâàíî, âî-ïåðâûõ, íåñîâåðøåíñòâîì íàøèõ îðãàíîâ÷óâñòâ è ñðåäñòâ íàáëþäåíèÿ, à âî-âòîðûõ, íàëè÷èåì ðàçëè÷íûõïîìåõ. Ïðè èçìåíåíèè óñëîâèé (íàïðèìåð, óõóäøåíèè çðåíèÿ,èñïîëüçîâàíèè áîëåå èëè ìåíåå ñîâåðøåííûõ ñðåäñòâ íàáëþäå-íèÿ, èçìåíåíèè õàðàêòåðèñòèê ïîìåõè è äð.) îöåíêà ìåíÿåòñÿ.

Ìîäåëü è îöåíêà – ðàçíûå ïîíÿòèÿ. Åñëè ìîäåëü îáúåêòà –îáîáùåííîå ïðåäñòàâëåíèå î ñîâîêóïíîñòè ïîäîáíûõ îáúåêòîâ,òî îöåíêà – áîëåå èëè ìåíåå èñêàæåííîå ïðåäñòàâëåíèå îá îä-íîì îáúåêòå.

Ïî ñîâîêóïíîñòè îöåíîê ñòðîèòñÿ óñðåäíåííàÿ îöåíêà è ìî-äåëü îöåíêè.

Ìíîæåñòâî ðàçíûõ îöåíîê, îòíîñÿùèõñÿ ê îäíîìó è òîìó æåîáúåêòó èëè ðàçëè÷íûì îáúåêòàì îïðåäåëåííîãî êëàññà, ïîðîæ-äàåò â ñîçíàíèè ÷åëîâåêà íåôîðìàëèçîâàííóþ ìîäåëü îöåíêè. Ýòàìîäåëü, êàê è ìîäåëü îáúåêòà, ïîñòîÿííî ìåíÿåòñÿ. Èçìåíåíèÿâûçûâàþòñÿ èçìåíåíèåì îáúåêòîâ, îöåíîê è êðèòåðèåâ êëàññè-ôèêàöèè îáúåêòîâ è èõ îöåíîê.

Íåôîðìàëèçîâàííûå ìîäåëè îöåíîê ÿâëÿþòñÿ áàçîé äëÿ ôîð-ìèðîâàíèÿ íåôîðìàëèçîâàííûõ ìîäåëåé îáúåêòîâ.


30

Íåôîðìàëèçîâàííûå ìîäåëè îáúåêòîâ è íåôîðìàëèçîâàííûåìîäåëè îöåíîê – ðàçíûå êàòåãîðèè. Îäíàêî â ñîçíàíèè ëþäåéîíè îáû÷íî îòîæäåñòâëÿþòñÿ.

1.2.2. Физические и математические модели

Íåôîðìàëèçîâàííûå ìîäåëè îáúåêòîâ è îöåíîê ìîæíî ôîðìà-ëèçîâàòü ñ ïîìîùüþ ôèçè÷åñêèõ ìîäåëåé, ó÷èòûâàþùèõ íàèáîëååñóùåñòâåííûå èõ îñîáåííîñòè, è îïèñàòü ìàòåìàòè÷åñêèìè ìî-äåëÿìè.

Äëÿ êàæäîé ñîâîêóïíîñòè ðåàëüíûõ îáúåêòîâ è ñîâîêóïíîñòèîöåíîê ìîæíî ïîñòðîèòü ìíîæåñòâî ðàçíûõ ôèçè÷åñêèõ ìîäå-ëåé. Êàæäàÿ ôèçè÷åñêàÿ ìîäåëü ìîæåò áûòü îïèñàíà ïî-ðàçíîìóìíîæåñòâîì ðàçíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé.

Íà ýòàïå ôîðìàëèçàöèè ÷àñòü îáúåêòîâ, âõîäÿùèõ â ðàññìàò-ðèâàåìûé êëàññ îáúåêòîâ, ìîæåò íå îïèñûâàòüñÿ ôèçè÷åñêîéìîäåëüþ. Âìåñòå ñ òåì â íåå ìîãóò áûòü âêëþ÷åíû îáúåêòû, íåâõîäÿùèå â ðàññìàòðèâàåìûé êëàññ. Ïðè ïîñòðîåíèè ìàòåìàòè-÷åñêîé ìîäåëè, êàê ïðàâèëî, âñå îáúåêòû ðàññìàòðèâàåìîãîêëàññà, ïîïàâøèå â ôèçè÷åñêóþ ìîäåëü, îïèñûâàþòñÿ ìàòåìàòè-÷åñêîé ìîäåëüþ.

Íà ðèñ. 1.1 ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíû ïîäîáíûå îáúåêòû îä-íîãî êëàññà, èõ îöåíêè, ðàññìàòðèâàåìûé îáúåêò x , åãî îöåíêà

*x , ìîäåëè îáúåêòà (íåôîðìàëèçîâàííàÿ xN , ôèçè÷åñêàÿ xP è

ìàòåìàòè÷åñêàÿ xM ), à òàêæå ìîäåëè îöåíêè (íåôîðìàëèçîâàí-

íàÿ *xN , ôèçè÷åñêàÿ *x

P è ìàòåìàòè÷åñêàÿ *xM ).

Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî êðèòåðèåâ êëàññèôèêàöèè ìàòåìàòè-÷åñêèõ ìîäåëåé. ×àñòî ïðèáåãàþò ê ôîðìàëüíîé êëàññèôèêàöèè,îñíîâàííîé íà êëàññèôèêàöèè èñïîëüçóåìûõ ìàòåìàòè÷åñêèõñðåäñòâ, íàïðèìåð, ðàçëè÷àþò ìîäåëè ëèíåéíûå è íåëèíåéíûå,ñîñðåäîòî÷åííûå è ðàñïðåäåëåííûå, äåòåðìèíèðîâàííûå è ñòî-õàñòè÷åñêèå, äèñêðåòíûå è íåïðåðûâíûå è ò.ä. [Ìàòåìàòè÷åñêîåìîäåëèðîâàíèå].

Èñïîëüçóþò òàêæå êëàññèôèêàöèþ ïî ñïîñîáó ïðåäñòàâëåíèÿîáúåêòà, âûäåëÿÿ ïðè ýòîì ñòðóêòóðíûå è ôóíêöèîíàëüíûå ìî-äåëè [Ìûøêèñ À.Ä., 2007]. Ïåðâûå ïðåäñòàâëÿþò èçó÷àåìûéîáúåêò â âèäå ñèñòåìû, èìåþùåé îïðåäåëåííóþ ñòðóêòóðó è àë-ãîðèòì ðàáîòû, à âòîðûå – â âèäå «÷åðíîãî ÿùèêà», äëÿ êîòî-ðîãî âàæíû ëèøü âíåøíèå ïàðàìåòðû è õàðàêòåðèñòèêè.

1.3. Формирование знаний

31

Ðèñ. 1.1. Ñõåìà ôîðìèðîâàíèÿ ìîäåëåé è îöåíîê

Èíòåðåñíà ñîäåðæàòåëüíàÿ êëàññèôèêàöèÿ Ð. Ïàéåðëñà, âû-äåëÿþùàÿ ñëåäóþùèå ñåìü òèïîâ ìîäåëåé [Ïàéåðëñ Ð.Ý., 1983]:

1. Ãèïîòåçà (òàêîå ìîãëî áû áûòü).2. Ôåíîìåíîëîãè÷åñêàÿ ìîäåëü (âåäåì ñåáÿ òàê, êàê åñëè áû…).3. Ïðèáëèæåíèå (÷òî-òî ñ÷èòàåì î÷åíü ìàëûì èëè î÷åíü

áîëüøèì).4. Óïðîùåíèå (îïóñòèì äëÿ ÿñíîñòè íåêîòîðûå äåòàëè).5. Ýâðèñòè÷åñêàÿ ìîäåëü (êîëè÷åñòâåííîãî ïîäòâåðæäåíèÿ

íåò, íî ìîäåëü ñïîñîáñòâóåò áîëåå ãëóáîêîìó ïðîíèêíîâåíèþ âñóòü äåëà).

6. Àíàëîãèÿ (ó÷òåì òîëüêî íåêîòîðûå îñîáåííîñòè).7. Ìûñëåííûé ýêñïåðèìåíò (ãëàâíîå ñîñòîèò â îïðîâåðæå-

íèè âîçìîæíîñòè).

1.3. ФОРМИРОВАНИЕ ЗНАНИЙ

Çíàíèå – ñîâîêóïíîñòü ñâåäåíèé â êàêîé-íèáóäü îáëàñòè [Îæå-ãîâ, 1960].

Çà ïðîøåäøèå òûñÿ÷åëåòèÿ ðàçâèòèÿ öèâèëèçàöèè ÷åëîâå÷å-ñòâîì íàêîïëåí êîëîññàëüíûé îáúåì çíàíèé îá îêðóæàþùåììèðå. Òåìï ïîñòóïëåíèÿ íîâîé èíôîðìàöèè ïîñòîÿííî âîçðàñ-òàåò. Îðèåíòèðîâàòüñÿ â åå ïîòîêå ñòàíîâèòñÿ âñå áîëåå è áîëååòðóäíî. Íà ïîìîùü ïðèõîäèò îòðàáîòàííûé ïðèðîäîé ìåõàíèçìñèñòåìàòèçàöèè, êëàññèôèêàöèè è îáîáùåíèÿ äàííûõ î ïîäîá-íûõ îáúåêòàõ.


32

Çíàíèÿ ÷åëîâåêà – íå ïðîñòî ñîâîêóïíîñòü ðàçðîçíåííûõ ñâå-äåíèé, à ñèñòåìà âçàèìîñâÿçàííûõ ñèñòåìàòèçèðîâàííûõ, êëàñ-ñèôèöèðîâàííûõ è îáîáùåííûõ äàííûõ – ìîäåëåé.

Âîçìîæíîñòè ÷åëîâåêà ïî âîñïðèÿòèþ è ïåðåðàáîòêå èíôîð-ìàöèè îãðàíè÷åíû. Ìåõàíèçì ïîçíàíèÿ ìèðà ñ ïîìîùüþ ìîäå-ëåé çàùèùàåò ÷åëîâå÷åñêèé îðãàíèçì îò èíôîðìàöèîííîé ïå-ðåãðóçêè.

Çíàíèÿ ÷åëîâå÷åñòâà ôîðìèðóþòñÿ íà îñíîâå çíàíèé îòäåëü-íûõ ëè÷íîñòåé ïóòåì êîëëåêòèâíîé ñèñòåìàòèçàöèè, êëàññèôè-êàöèè è îáîáùåíèÿ çíàíèé îòäåëüíûõ èíäèâèäóóìîâ.

Çíàíèÿ ëè÷íîñòè è ÷åëîâå÷åñòâà ñîñòîÿò èç ôîðìàëèçîâàí-íûõ è íåôîðìàëèçîâàííûõ ìîäåëåé. Ìîäåëè â îáëàñòè òî÷íûõíàóê â îñíîâíîì ôîðìàëèçîâàíû, à êàñàþùèåñÿ ãóìàíèòàðíîéîáëàñòè – íåôîðìàëèçîâàííûå.

1.4. МИРОВОЗЗРЕНИЕ И МЫШЛЕНИЕ

Ïðåäñòàâëåíèÿ ÷åëîâåêà îá îêðóæàþùåì ìèðå, åãî ìèðîâîççðå-íèå – íè ÷òî èíîå, êàê ñîâîêóïíîñòü ìîäåëåé, îáðàçóþùèõçíàíèÿ, è ëè÷íàÿ (ñóáúåêòèâíàÿ) îöåíêà ýòèõ ìîäåëåé ïî ìíî-æåñòâó êðèòåðèåâ (îïàñíîñòè, äîñòîâåðíîñòè, âàæíîñòè, íîâèç-íû, ñîîòâåòñòâèÿ îïðåäåëåííûì íîðìàì è ïð.).

Çàìåòèì, ÷òî îöåíêè ìîäåëåé è ìîäåëè îöåíîê ñîâåðøåííîðàçíûå êàòåãîðèè. Åñëè êðèòåðèè çàâèñèìû, òî îöåíêè ïî ðàç-íûì êðèòåðèÿì âçàèìîñâÿçàíû. Çíàíèÿ è ñóáúåêòèâíûå îöåíêèðàçíûõ ëþäåé â îïðåäåëåííîé ïðåäìåòíîé îáëàñòè, íåñìîòðÿ íàèíäèâèäóàëüíîñòü ëè÷íîñòè, ìîãóò áûòü ñõîæèìè. Ëþäè ñ îäè-íàêîâûìè âçãëÿäàìè íà æèçíü, îáùèìè èíòåðåñàìè, îäíîé ðå-ëèãèè, ïðèíàäëåæàùèå îäíîìó ýòíîñó, ïîëó÷èâøèå îäèíàêîâîåîáðàçîâàíèå – âñå ýòî ëþäè ñ ïîäîáíûìè ìîäåëÿìè è ñõîæèìèñóáúåêòèâíûìè îöåíêàìè ìîäåëåé ïî ìíîæåñòâó ðàçíûõ êðèòå-ðèåâ. Îöåíêè ìîäåëåé îòäåëüíûõ ñóáúåêòîâ ñëóæàò îñíîâîéôîðìèðîâàíèÿ êîëëåêòèâíûõ îöåíîê.

Ìîäåëè è îöåíêè (ñóáúåêòèâíûå è êîëëåêòèâíûå) – îòíîñè-òåëüíî óñòîé÷èâûå ôîðìèðîâàíèÿ, ìåäëåííî èçìåíÿþùèåñÿ âîâðåìåíè ïîä âîçäåéñòâèåì âíåøíèõ ôàêòîðîâ. Ïîýòîìó ìèðî-âîççðåíèå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñèñòåìó îòíîñèòåëüíî óñ-òîé÷èâûõ ìîäåëåé ñ îòíîñèòåëüíî óñòîé÷èâûìè îöåíêàìè.

Ìîäåëè èìåþò ðàçíûé óðîâåíü îáîáùåíèÿ. Íà îñíîâå èìåþ-ùèõñÿ ìîäåëåé íèçêîãî óðîâíÿ âîçìîæíî ñîçäàíèå ïðîèçâîäíûõìîäåëåé áîëåå âûñîêîãî óðîâíÿ.

1.5. Познание мира

33

Ìîäåëè ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâà êëàññà: ìîäåëè ñòðóêòóðíûõýëåìåíòîâ è ñâÿçè ìåæäó íèìè. Ïîñëåäíèå ïðåäñòàâëÿþò ìîäåëèðåàëüíûõ çàêîíîìåðíîñòåé ïðèðîäû.

Ñèíòåç íîâûõ ìîäåëåé ñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ, óñòàíîâëåíèåíîâûõ ñâÿçåé, ôîðìèðîâàíèå íîâûõ îöåíîê è èõ ïåðåñìîòð ñî-ñòàâëÿþò ñóòü ìûøëåíèÿ.

Êàê íè ïàðàäîêñàëüíî êàæåòñÿ íà ïåðâûé âçãëÿä, èìåííîáëàãîäàðÿ óñòîé÷èâîñòè ìîäåëåé ñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ, ñâÿçåéìåæäó íèìè è èõ îöåíîê îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ñîçäàíèå ïðî-èçâîäíûõ ìîäåëåé ñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ, óñòàíîâëåíèå íîâûõñâÿçåé, ôîðìèðîâàíèå íîâûõ îöåíîê è èõ ïåðåñìîòð.

Ïðîöåññ ìûøëåíèÿ çàâèñèò îò ñòåïåíè óñòîé÷èâîñòè èñõîä-íûõ çíàíèé: ÷åì îíà âûøå, òåì áîëüøåå êîëè÷åñòâî óðîâíåéïðîèçâîäíûõ ìîäåëåé ñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ, ñâÿçåé è îöåíîêìîæåò áûòü ñôîðìèðîâàíî.

Ñóäÿ ïî ðåçóëüòàòàì öåëîãî ðÿäà áèîëîãè÷åñêèõ èññëåäîâà-íèé, ÷åëîâåê ñóùåñòâåííî óñòóïàåò ìíîãèì æèâîòíûì ïî ñïî-ñîáíîñòè âîñïðèÿòèÿ, ïåðåðàáîòêè èíôîðìàöèè è îïåðàòèâíîãîçàïîìèíàíèÿ (ò.å. ïî ñïîñîáíîñòè ôîðìèðîâàòü èñõîäíûå ìîäå-ëè), îäíàêî áëàãîäàðÿ îïðåäåëåííîìó «êîíñåðâàòèçìó» (èíåðöè-îííîñòè ìûøëåíèÿ) çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò èõ ïî ñïîñîáíîñòèóñòàíàâëèâàòü ñâÿçè ìåæäó ìîäåëÿìè ñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ èñèíòåçèðîâàòü ïðîèçâîäíûå ìîäåëè.

Ñî âðåìåíåì ïîä âîçäåéñòâèåì ðàçëè÷íûõ ôàêòîðîâ ìîäåëèñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ, ñâÿçè ìåæäó íèìè è îöåíêè èçìåíÿþò-ñÿ. Ñîçäàþòñÿ íîâûå ìîäåëè ñòðóêòóðíûõ ýëåìåíòîâ, íîâûå ñâÿ-çè è íîâûå êðèòåðèè èõ îöåíêè. Ïðîèñõîäèò óòî÷íåíèå è èñ-êëþ÷åíèå óñòàðåâøèõ è íåâîñòðåáîâàííûõ ýëåìåíòîâ, çàìåíàñòàðûõ ýëåìåíòîâ íà íîâûå, ôîðìèðîâàíèå îöåíîê è èõ ïåðå-ñìîòð.

1.5. ПОЗНАНИЕ МИРА

Ïîçíàíèå – ïðîöåññ ïðèîáðåòåíèÿ çíàíèé è ïîñòèæåíèÿ çàêî-íîìåðíîñòåé îáúåêòèâíîãî ìèðà [Îæåãîâ, 1960]. Ïîçíàíèå ìèðà(ëè÷íîñòüþ è ÷åëîâå÷åñòâîì) ìîæíî ðàçäåëèòü íà äâà ýòàïà:

• ôîðìèðîâàíèå èñõîäíûõ çíàíèé (èñõîäíîé ñîâîêóïíîñòèìîäåëåé) è îöåíîê,

• àêòóàëèçàöèÿ (îáíîâëåíèå, óòî÷íåíèå) èìåþùèõñÿ çíàíèéè îöåíîê.


34

Ðèñ. 1.2. Ñõåìà ôîðìèðîâàíèÿ çíàíèé

Íà ïåðâîíà÷àëüíîì ýòàïå îñîáóþ ðîëü èãðàþò íåôîðìàëèçî-âàííûå ìîäåëè, â äàëüíåéøåì – êàê íåôîðìàëèçîâàííûå, òàê èôîðìàëèçîâàííûå. Ïî ìåðå ðàçâèòèÿ ëè÷íîñòè è ÷åëîâå÷åñòâàâñå áîëåå è áîëåå çíà÷èìóþ ðîëü, ïî âñåé âèäèìîñòè, ïðèîáðå-òàþò ôîðìàëèçîâàííûå ìîäåëè.

Îáà ýòàïà ïîçíàíèÿ ìèðà ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îáó÷åíèå.Îáó÷åíèå ëè÷íîñòè ìîæåò ïðîõîäèòü áåç ïîñòîðîííåé èëè ñ ïî-ñòîðîííåé ïîìîùüþ. Ñïîñîáû ïåðåäà÷è çíàíèé îò ñóáúåêòà êñóáúåêòó ðàçíûå: ïóòåì ïðÿìîãî îáùåíèÿ ñóáúåêòîâ èëè îïî-ñðåäñòâåííî ñ èñïîëüçîâàíèåì âñïîìîãàòåëüíûõ ñðåäñòâ (êíèã,âèäåîòåõíèêè è êîìïüþòåðîâ, Èíòåðíåòà è ïð.), îáåñïå÷èâàþ-ùèõ çàïèñü, õðàíåíèå, èíîãäà ïåðåðàáîòêó è âîñïðîèçâåäåíèåèíôîðìàöèè. Îïèñàííàÿ ìîäåëü ôîðìèðîâàíèÿ çíàíèé ñõåìà-òè÷íî ïðèâåäåíà íà ðèñ. 1.2.

Ïîçíàíèå – ñëîæíûé ìíîãîïëàíîâûé ïðîöåññ, òðåáóþùèéôîðìèðîâàíèÿ îöåíîê, ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé, ñðàâíåíèÿ, ñîïî-

1.6. Измерение

35

ñòàâëåíèÿ, ñèñòåìàòèçàöèè, êëàññèôèêàöèè, îáíàðóæåíèÿ è öå-ëîãî ðÿäà äðóãèõ äåéñòâèé, â îñíîâå êîòîðûõ ëåæèò ïðîöåäóðàèçìåðåíèÿ.

1.6. ИЗМЕРЕНИЕ

1.6.1. Метрические пространства

Âñå íåôîðìàëèçîâàííûå, ôèçè÷åñêèå è ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëèîáúåêòîâ è îöåíîê ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îáúåêòû. Äëÿ êîëè÷åñò-âåííîé õàðàêòåðèñòèêè ðàññòîÿíèÿ ìåæäó îáúåêòàìè íåîáõîäè-ìî ââåäåíèå ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà – ìíîæåñòâà S , äëÿïðîèçâîëüíûõ ýëåìåíòîâ ,x y êîòîðîãî îïðåäåëåíà âåùåñòâåííàÿ

ôóíêöèÿ ( , )x yµ (ìåòðèêà èëè ðàññòîÿíèå), óäîâëåòâîðÿþùàÿ

ñëåäóþùèì ïîñòóëàòàì: ( , ) 0x yµ = òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà

x y= ; ( , ) ( , ) ( , )x y z x z yµ ≤ µ + µ (íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà), ãäå

, ,x y z – ïðîèçâîëüíûå ýëåìåíòû ìíîæåñòâà S . Ìåòðèêà – íå-

îòðèöàòåëüíàÿ âåëè÷èíà è ( , ) ( , )x y y xµ = µ .Èçâåñòíî, ÷òî íå äëÿ ëþáîãî ìíîæåñòâà ìîæíî ïîñòðîèòü

ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Íàïðèìåð, äëÿ ìíîæåñòâà äåéñòâè-òåëüíûõ ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå, ïî-ñòðîåíèå ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà íåâîçìîæíî. Ïîýòîìóíåëüçÿ ïîñòðîèòü ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, âêëþ÷àþùåå ìî-äåëü ðåàëüíîãî îáúåêòà è ìîäåëè âñåõ ïîòåíöèàëüíî âîçìîæíûõåãî îöåíîê. Ñóçèâ êëàññ ðàññìàòðèâàåìûõ ôóíêöèé, íàïðèìåð,äî íåïðåðûâíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ôóíêöèé, ìîæíî ïîñòðîèòüìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî. Â ýòîì ñëó÷àå äëÿ âñåõ ìàòåìàòè÷å-ñêèõ îáúåêòîâ, îïèñûâàåìûõ òàêèìè ôóíêöèÿìè, ìîæíî îïðåäå-ëèòü ðàññòîÿíèå.

Íà îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå S ðàçíûå ìåòðèêè ïîðîæäàþòðàçíûå ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà. Âàðèàöèîííûé ðÿä ðàññòîÿ-íèé ìåæäó êîíêðåòíûìè ýëåìåíòàìè , , ,x y z K çàâèñèò îò ìåòðè-êè. Ïîýòîìó â äâóõ ðàçíûõ ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâàõ, ïîñòðî-åííûõ íà îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå, âêëþ÷àþùåì ìîäåëü ðå-àëüíîãî îáúåêòà è ìîäåëè åãî îöåíîê, ê ìîäåëè ðåàëüíîãî îáú-åêòà íàèáîëåå áëèçêî ðàñïîëîæåííûìè ìîãóò îêàçàòüñÿ ðàçíûåìîäåëè îöåíîê.

Âîçìîæíî ñóùåñòâîâàíèå öåëîãî êëàññà ìåòðè÷åñêèõ ïðî-ñòðàíñòâ, çàäàííûõ íà îäíîì è òîì æå ìíîæåñòâå, äëÿ êîòîðûõíàèáîëåå áëèçêîé îêàçûâàåòñÿ îäíà è òà æå ìîäåëü îöåíêè. Ââå-


36

Ðèñ. 1.3. Âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå îáúåêòà, îöåíêè è èõ ìîäåëåé

äåíèåì ìåòðèêè óñòàíàâëèâàåòñÿ ýòàëîííàÿ âåëè÷èíà (íåêàÿ óñ-ëîâíàÿ åäèíèöà), ñ êîòîðîé ñðàâíèâàåòñÿ ðàññòîÿíèå. Â ìåòðî-ëîãèè èñïîëüçóåòñÿ, îáû÷íî, åâêëèäîâà ìåòðèêà.

1.6.2. Расстояние

Áëèçîñòü ìîäåëåé xM ′ , *xM ′ ê ñîîòâåòñòâóþùèì îáúåêòàì

(µ ′( , )xx M ∼ 0, µ ′**( , )

xx M ∼ 0) òàê æå, êàê è áëèçîñòü ìîäåëè

îöåíêè *xM ′′ ê ìîäåëè ðåàëüíîãî îáúåêòà xM ′′ (µ ′′ ′′*( , )x x

M M ∼ 0),

íå ãàðàíòèðóåò, ÷òî îöåíêà è åå ìîäåëü áëèçêè ê ðåàëüíîìóîáúåêòó (ðèñ. 1.3, à). Îöåíêà *x , ìîäåëü îöåíêè *x

M è ìîäåëü

îáúåêòà xM ìîãóò íàõîäèòüñÿ íà íåáîëüøîì ðàññòîÿíèè äðóã îòäðóãà, îäíàêî âäàëè îò ñàìîãî îáúåêòà x (ðèñ. 1.3, á).

Íà ïðàêòèêå äëÿ ïîäòâåðæäåíèÿ àäåêâàòíîñòè òåîðèè ÷àñòîïðèáåãàþò ê ïðîâåðêå áëèçîñòè òåîðåòè÷åñêèõ ðåçóëüòàòîâ êýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì. Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî,÷òî ìàëîå ðàçëè÷èå ðåçóëüòàòîâ, îáû÷íî ðàññìàòðèâàåìîå êàêíåîñïîðèìûé äîâîä âåðíîñòè òåîðèè, â äåéñòâèòåëüíîñòè íå ÿâ-ëÿåòñÿ òàêîâûì. Ýêñïåðèìåíòàëüíûé ðåçóëüòàò ïðåäñòàâëÿåò ñî-áîé îöåíêó, à òåîðåòè÷åñêèé ðåçóëüòàò – ìîäåëü äðóãîé îöåíêè.Áëèçîñòü ýòèõ ðåçóëüòàòîâ ñâèäåòåëüñòâóåò ëèøü î òîì, ÷òî îíèìàëî ðàçëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé, íî íå î áëèçîñòè èõ ê ðåàëüíîìóîáúåêòó. Âîïðîñ îá àäåêâàòíîñòè ìîäåëè îñòàåòñÿ îòêðûòûì äîòåõ ïîð, ïîêà íå óñòàíîâëåí ôàêò áëèçîñòè ýêñïåðèìåíòàëüíîãîðåçóëüòàòà ê èññëåäóåìîìó îáúåêòó.

1.6.3. Проблема построенияадекватных оценок и моделей

Èñòèííàÿ (íåèñêàæåííàÿ) èíôîðìàöèÿ î ðåàëüíîì îáúåêòå xíåäîñòóïíà. Ïîýòîìó íåâîçìîæíî óñòàíîâèòü ñòåïåíü áëèçîñòè ê


37

îáúåêòó íè îöåíêè *x , íè ìîäåëè îöåíêè *xM , íè ìîäåëè îáú-

åêòà xM .Âñëåäñòâèå ýòîãî çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ àäåêâàòíûõ îöåíîê è

ìîäåëåé íå èìååò òî÷íîãî ðåøåíèÿ. Â äàëüíåéøåì ïîä àäåêâàò-íûìè ïîäðàçóìåâàþòñÿ îöåíêè è ìîäåëè, íàõîäÿùèåñÿ â îêðåñò-íîñòè ðàññìàòðèâàåìîãî îáúåêòà.

Ñîâïàäåíèå îöåíêè, ìîäåëè îöåíêè èëè ìîäåëè îáúåêòà ññîîòâåòñòâóþùèì ðåàëüíûì îáúåêòîì ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî.Ïðè÷èí òîìó ìíîãî. Ñðåäè íàèáîëåå ñóùåñòâåííûõ ìîæíî îòìå-òèòü ñëåäóþùèå:

• ó÷åò ïðè ôîðìèðîâàíèè ôèçè÷åñêèõ ìîäåëåé íå âñåõ ôàê-òîðîâ, îïðåäåëÿþùèõ ñîñòîÿíèå ðåàëüíîãî îáúåêòà è îöåíêè;

• ôîðìèðîâàíèå ìîäåëè îáúåêòà íà îñíîâå ìîäåëè îöåíêè;• íåñîãëàñîâàííîå èçìåíåíèå ñîñòîÿíèÿ ðåàëüíîãî îáúåêòà è

îöåíêè;• «îòñòàâàíèå» ôèçè÷åñêèõ ìîäåëåé îò òåêóùåãî ñîñòîÿíèÿ

îáúåêòà è îöåíêè;• «îòñòàâàíèå» ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé îò ôèçè÷åñêèõ ìîäåëåé;• ñòàòèñòè÷åñêàÿ íåïðåäñêàçóåìîñòü ïîâåäåíèÿ îáúåêòà è

îöåíêè;• âîçäåéñòâèå ðàçëè÷íûõ ìåøàþùèõ ôàêòîðîâ (ïîìåõ), ïðè-

âîäÿùåå ê èñêàæåíèþ îöåíêè, ìîäåëè îöåíêè è ìîäåëè ðåàëü-íîãî îáúåêòà;

• ñòàòèñòè÷åñêàÿ íåïðåäñêàçóåìîñòü õàðàêòåðèñòèê ïîìåõ;• íåñîâåðøåíñòâî ôèçè÷åñêèõ è ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé è äð.

1.6.4. Погрешность измерения

Ðàññòîÿíèå ìåæäó îöåíêîé è îáúåêòîì (ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíîé,ïðîöåññîì, ïîëåì) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ.Ïîãðåøíîñòü îáóñëîâëåíà íåàäåêâàòíûì âîñïðèÿòèåì èññëå-äóåìîãî îáúåêòà, à òàêæå âîçäåéñòâèåì ïîìåõ. Íåàäåêâàòíîåâîñïðèÿòèå ìîæåò áûòü âûçâàíî îáúåêòèâíûìè è ñóáúåêòèâíû-ìè ïðè÷èíàìè. Ïîìåõè, êàê ïðàâèëî, ñâÿçàíû ñ îáúåêòèâíûìèôàêòîðàìè.

Ðàçíûé õàðàêòåð ïðè÷èí, âûçûâàþùèõ îòëè÷èå îöåíêè îòðåàëüíîãî îáúåêòà, òðåáóåò ðàçíûõ ïîäõîäîâ ê ó÷åòó è êîìïåíñà-öèè ñâÿçàííûõ ñ íèìè ñîñòàâëÿþùèõ ïîãðåøíîñòè. Îäíàêîñòðàòåãèÿ îáû÷íî ïðèìåíÿåòñÿ îäíà è òà æå: íàêîïëåíèå äàííûõè ïîñëåäóþùåå èõ óñðåäíåíèå.


38

Êîìïåíñàöèÿ íåàäåêâàòíîãî âîñïðèÿòèÿ îáúåêòà, âûçâàííîãîîáúåêòèâíûìè ïðè÷èíàìè, áàçèðóåòñÿ íà ôîðìèðîâàíèè ðÿäàîöåíîê, ïîëó÷åííûõ ðàçíûìè ñïîñîáàìè. Êîìïåíñàöèÿ íåàäåê-âàòíîãî âîñïðèÿòèÿ, îáóñëîâëåííîãî ñóáúåêòèâíûìè ïðè÷èíà-ìè, – íà ìíîãîêðàòíîé îöåíêå îáúåêòà ðàçíûìè ñóáúåêòàìè, àêîìïåíñàöèÿ âîçäåéñòâèÿ ïîìåõ â ñòàòèñòè÷åñêè ïîñòîÿííûõóñëîâèÿõ – íà ìíîæåñòâå îöåíîê, ïîëó÷åííûõ â îäíèõ è òåõ æåñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ.

Ðåçóëüòàòû ìíîãîêðàòíîé îöåíêè îáúåêòà ðàçíûìè ñïîñîáà-ìè è ðàçíûìè ñóáúåêòàìè èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ óñðåä-íåííîé îöåíêè. Ïîëó÷àåìàÿ òàêèì îáðàçîì óñðåäíåííàÿ îöåíêà,õîòÿ è îêàçûâàåòñÿ áëèæå ê ðåàëüíîìó îáúåêòó, ÷åì áîëüøàÿ÷àñòü èñõîäíûõ îöåíîê, íî âñå æå íå ñîâïàäàåò ñ ðåàëüíûì îáú-åêòîì. Îáóñëîâëåíî ýòî íå òîëüêî òåì, ÷òî îáúåì äàííûõ âñåãäàîãðàíè÷åí è ñïîñîá óñðåäíåíèÿ, êàê ïðàâèëî, íå îïòèìàëåí.Ãëàâíàÿ ïðè÷èíà â òîì, ÷òî íå óäàåòñÿ îòñëåäèòü âñå èçìåíåíèÿõàðàêòåðèñòèê èññëåäóåìîãî îáúåêòà è äåéñòâóþùèõ ïîìåõ.

1.6.5. Современные подходы к оценке точностиизмерений

Òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ – êà÷åñòâåííàÿ êàòåãîðèÿ, õàðàêòåðèçóåìàÿêîëè÷åñòâåííî ïîãðåøíîñòüþ èëè íåîïðåäåëåííîñòüþ èçìåðåíèÿ.

Â ìåòðîëîãèè äëÿ õàðàêòåðèñòèêè òî÷íîñòè èçìåðåíèÿ â íà-ñòîÿùåå âðåìÿ ïðèìåíÿþòñÿ äâà ïîäõîäà. Îäèí èç íèõ îñíîâàííà êîíöåïöèè ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèÿ, äðóãîé – íà êîíöåïöèèíåîïðåäåëåííîñòè èçìåðåíèÿ.

Â ðàìêàõ êîíöåïöèè ïîãðåøíîñòè, ïðåäëîæåííîé åùå Ãàëè-ëåî Ãàëèëååì [Ãàëèëåé, 1948], ðàññìàòðèâàþòñÿ ñèñòåìàòè÷åñêàÿè ñëó÷àéíàÿ ïîãðåøíîñòè.

Ïîä ñèñòåìàòè÷åñêîé ïîíèìàþò ïîãðåøíîñòü, êîòîðàÿ ïðèìíîãîêðàòíîì èçìåðåíèè îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé èëè èçìåíÿåòñÿïî îïðåäåëåííîìó çàêîíó, à ïîä ñëó÷àéíîé – ïîãðåøíîñòü, êîòî-ðàÿ ïðè ïîâòîðíûõ èçìåðåíèÿõ èçìåíÿåòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì[Òþðèí, 1973].

Âîçíèêíîâåíèå ñëó÷àéíîé ïîãðåøíîñòè îáû÷íî ñâÿçûâàþò ñîñëó÷àéíûìè âðåìåííûìè è (èëè) ïðîñòðàíñòâåííûìè èçìåíå-íèÿìè âëèÿþùèõ âåëè÷èí, à ñèñòåìàòè÷åñêóþ ïîãðåøíîñòü – ñîòêëîíåíèÿìè ïàðàìåòðîâ èëè óñëîâèé èçìåðåíèÿ îò èäåàëüíûõ.

Ñëó÷àéíóþ ïîãðåøíîñòü ìîæíî óìåíüøèòü ïóòåì ñòàòèñòè-÷åñêîé îáðàáîòêè ðåçóëüòàòîâ ðÿäà èçìåðåíèé, ñèñòåìàòè÷åñêóþ


39

îøèáêó, êàê ïðàâèëî, – ïóòåì ó÷åòà òåõ èëè èíûõ èçâåñòíûõçàâèñèìîñòåé ðåçóëüòàòà èçìåðåíèé îò ïàðàìåòðîâ, âëèÿþùèõ íàðåçóëüòàò.

Åñëè ñèñòåìàòè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü íå ìåíÿåòñÿ îò èçìåðå-íèÿ ê èçìåðåíèþ (ýòîò ôàêò, êàê ïðàâèëî, ïðèíèìàåòñÿ ïîóìîë÷àíèþ, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå), òî ñèñòåìàòè÷åñêàÿïîãðåøíîñòü ñîâïàäàåò ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ñóììàðíîéïîãðåøíîñòè. Ïðè ýòîì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîéïîãðåøíîñòè îêàçûâàåòñÿ ðàâíûì íóëþ.

Ïîãðåøíîñòü îöåíêè *Θ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû θ îáû÷íîõàðàêòåðèçóþò ëèáî ñèñòåìàòè÷åñêîé ïîãðåøíîñòüþ 0ε (ìàòåìà-òè÷åñêèì îæèäàíèåì ïîãðåøíîñòè) è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îò-êëîíåíèåì *θ

σ îöåíêè *Θ , ëèáî äîâåðèòåëüíûì èíòåðâàëîì* *

0 0( ) [ , + ]I pγ = Θ − ε − ε Θ − ε ε , ñîîòâåòñòâóþùèì îïðåäåëåííîé

äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè *0( )Pγ = θ − ε − θ ≤ ε òîãî, ÷òî àáñî-

ëþòíîå îòêëîíåíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû *0Θ − ε îò èçìåðÿåìîé

âåëè÷èíû θ íå áîëüøå íåêîòîðîé çàäàííîé âåëè÷èíû ε .Â ðÿäå ñëó÷àåâ ñèñòåìàòè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü ÷àñòè÷íî ìîæåò

áûòü ñêîìïåíñèðîâàíà ïóòåì ïðèìåíåíèÿ îñîáûõ ñïîñîáîâ èç-ìåðåíèÿ, êîòîðûå äàþò âîçìîæíîñòü áåç îïðåäåëåíèÿ åå âåëè÷è-íû óìåíüøèòü åå âëèÿíèå íà êîíå÷íûé ðåçóëüòàò. Èçâåñòåí öå-ëûé ðÿä òàêèõ ñïîñîáîâ: çàìåùåíèÿ, êîìïåíñàöèè ïîãðåøíîñòèïî çíàêó, ïðîòèâîïîñòàâëåíèÿ, ñèììåòðè÷íûõ íàáëþäåíèé è äð.[Òþðèí, 1973].

Èäåÿ êîìïåíñàöèè ñèñòåìàòè÷åñêîé ïîãðåøíîñòè ñïîñîáîìïðîòèâîïîñòàâëåíèÿ ìîæåò áûòü ïðîèëëþñòðèðîâàíà íà ïðèìåðåâçâåøèâàíèÿ ãðóçà íà ðàâíîïëå÷èõ âåñàõ. Ýòîò ñïîñîá áûë ïðåä-ëîæåí åùå Ãàóññîì.

Ðåàëüíàÿ äëèíà ïëå÷ âåñîâ íåñêîëüêî îòëè÷àåòñÿ. Ïîýòîìóðåçóëüòàò âçâåøèâàíèÿ 1P íå ðàâåí èñòèííîìó âåñó ãðóçà P .Ñèñòåìàòè÷åñêóþ ïîãðåøíîñòü, âûçâàííóþ ðàçíîé äëèíîé ïëå÷,ìîæíî ñêîìïåíñèðîâàòü ïóòåì ïîâòîðíîãî âçâåøèâàíèÿ ãðóçà,ïîìåíÿâ ìåñòàìè ãðóç è ãèðè. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî âåñ ãðóçàðàâåí ñðåäíåãåîìåòðè÷åñêîìó ðåçóëüòàòîâ äâóõ âçâåøèâàíèé:

1 2P P P= , ãäå 2P – ðåçóëüòàò ïîâòîðíîãî âçâåøèâàíèÿ.

Ñëó÷àéíàÿ ïîãðåøíîñòü ìîæåò áûòü óìåíüøåíà ïóòåì ìíî-ãîêðàòíîãî èçìåðåíèÿ è óñðåäíåíèÿ ïîëó÷åííûõ äàííûõ.


40

Â ðàìêàõ êîíöåïöèè íåîïðåäåëåííîñòè ðàññìàòðèâàþòñÿ äâàòèïà íåîïðåäåëåííîñòåé èçìåðåíèÿ: ïî òèïó A è ïî òèïó B .

Ïîä íåîïðåäåëåííîñòüþ ïî òèïó A ïîäðàçóìåâàþò âñå ñîñòàâ-ëÿþùèå íåîïðåäåëåííîñòè, îöåíèâàåìûå ïóòåì ïðèìåíåíèÿ ñòà-òèñòè÷åñêèõ ìåòîäîâ, à ïîä íåîïðåäåëåííîñòüþ ïî òèïó B – âñåñîñòàâëÿþùèå, îöåíèâàåìûå äðóãèìè ñïîñîáàìè [Ðóêîâîäñòâîïî âûðàæåíèþ íåîïðåäåëåííîñòè èçìåðåíèé, 1999].

Íåîïðåäåëåííîñòü èçìåðåíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû θ õà-

ðàêòåðèçóåòñÿ íåîïðåäåëåííîñòüþ Aθu ïî òèïó A , íåîïðåäåëåí-

íîñòüþ Bθu ïî òèïó B , ñóììàðíîé ñòàíäàðòíîé íåîïðåäåëåííî-

ñòüþ 2 2A Bu u uθ θ θ= + è ðàñøèðåííîé íåîïðåäåëåííîñòüþ U kuθ θ=

(ãäå k – êîýôôèöèåíò îõâàòà), êîòîðàÿ â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ

êîìïîíåíòû Bu θ òðàêòóåòñÿ êàê íåîïðåäåëåííîñòü, ñîîòâåòñò-âóþùàÿ äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè γ .

Äåëåíèå ïîãðåøíîñòåé íà ñëó÷àéíûå è ñèñòåìàòè÷åñêèå îáó-ñëîâëåíî ïðèðîäîé èõ âîçíèêíîâåíèÿ è ïðîÿâëåíèÿ â õîäå èç-ìåðåíèé, à äåëåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé ïî òèïàì A è B – ìå-òîäàìè èõ ðàñ÷åòà.

Â íàñòîÿùåå âðåìÿ ìíîãèå ìåòðîëîãè ñ÷èòàþò, ÷òî êîí-öåïöèÿ íåîïðåäåëåííîñòè áîëåå ïðîãðåññèâíà, ÷åì êîíöåïöèÿïîãðåøíîñòè. Ñ òàêèì ìíåíèåì ñëîæíî ñîãëàñèòüñÿ. Ïðåä-ñòàâëÿåòñÿ áîëåå ïðàâèëüíîé òî÷êà çðåíèÿ, âûñêàçàííàÿ Á.Â. Ãíå-äåíêî â êîììåíòàðèè ê øåñòîé ïðîáëåìå Ãèëüáåðòà [Ïðîáëå-ìû Ãèëüáåðòà, 1969]: «… êàæäàÿ åñòåñòâåííîíàó÷íàÿ äèñöèï-ëèíà èìååò ñâîé ìàòåðèàëüíûé îáúåêò èññëåäîâàíèÿ è åå ñî-äåðæàíèå îïðåäåëÿåòñÿ ïðèðîäîé òåõ ðåàëüíûõ ÿâëåíèé, êîòî-ðûå îíà èçó÷àåò. Íå ìåòîä èññëåäîâàíèÿ, à ìàòåðèàëüíûéïðåäìåò èññëåäîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëÿþùèì äëÿ êàæäîéíàóêè î ïðèðîäå».

Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî, íåñìîòðÿ íà ðàçëè÷èå ïîäõîäîâ, îáåêîíöåïöèè îïèðàþòñÿ íà ïðåäñòàâëåíèè î òîì, ÷òî ïîãðåøíî-ñòè èçìåðåíèÿ ìîãóò âûçûâàòüñÿ ëèøü äåòåðìèíèðîâàííûìè èñëó÷àéíûìè ôàêòîðàìè. Äðóãèå òèïû ôàêòîðîâ âî âíèìàíèåíå ïðèíèìàþòñÿ. Ýòà äîñòàòî÷íî îðòîäîêñàëüíàÿ ïîçèöèÿ íó-æäàåòñÿ, ïî âñåé âèäèìîñòè, â ïåðåñìîòðå. Îá ýòîì áóäåò èäòèðå÷ü äàëåå.

1.7. Физико-математические теории

41

1.7. ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ

Îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèå òåîðèè.Ôîðìèðîâàíèå ýòèõ òåîðèé îáû÷íî ïðîõîäèò â òðè ýòàïà:

• íàêîïëåíèå ðàçðîçíåííûõ ìàòåðèàëîâ,• îáîáùåíèå íàêîïëåííîãî ìàòåðèàëà,• ôîðìàëèçàöèÿ òåîðèè.Ñîçäàíèå áîëüøèíñòâà èçâåñòíûõ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ

òåîðèé ïðîäèêòîâàíî ïîòðåáíîñòüþ îïèñàíèÿ ðåàëüíîãî ìèðà ñîâñå âîçðàñòàþùåé òî÷íîñòüþ.

Òàê ñîçäàâàëèñü, íàïðèìåð, ïðàêòè÷åñêè âñå ðàçäåëû ìàòåìà-òè÷åñêîé ôèçèêè, òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìíîãèå äðóãèå òåîðèè.Ïåðâûì øàãîì íà ýòîì ïóòè ÿâëÿåòñÿ ïðèíÿòèå ôèçè÷åñêèõ ãè-ïîòåç, ôîðìàëèçóþùèõ èçó÷àåìóþ ðåàëüíîñòü ñ ïîìîùüþ îáîá-ùåííîé ôèçè÷åñêîé ìîäåëè. Ñëåäóþùèé øàã – ôîðìàëèçàöèÿôèçè÷åñêîé ìîäåëè ìàòåìàòè÷åñêèìè ñðåäñòâàìè ñ èñïîëüçîâà-íèåì ìàòåìàòè÷åñêèõ àêñèîì.

Îïèñàííàÿ ñõåìà ôîðìèðîâàíèÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîéòåîðèè íå åäèíñòâåííàÿ. Èçâåñòíû òåîðèè (íàïðèìåð, òåîðèÿ÷èñåë, ãåîìåòðèè Ðèìàíà è Ëîáà÷åâñêîãî è äð.), ñîçäàâàåìûåâíà÷àëå êàê àáñòðàêòíûå ìàòåìàòè÷åñêèå òåîðèè íà áàçå ìàòåìà-òè÷åñêèõ àêñèîì è ëèøü ïîòîì íàøåäøèå ïðàêòè÷åñêîå ïðèìå-íåíèå.

Íàäî îñîáî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ëþáàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåî-ðèÿ – àáñòðàêòíàÿ òåîðèÿ, îïèñûâàþùàÿ íåêèå èäåàëüíûå (ïîÏëàòîíó) ñóùíîñòè [Ïåíðîóç, 2007]. Îíà îñòàåòñÿ òàêîâîé äî òåõïîð, ïîêà åå íå íà÷èíàþò ïðèìåíÿòü äëÿ ðåøåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõçàäà÷.

Êîððåêòíîå èñïîëüçîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè â ðàçëè÷-íûõ îáëàñòÿõ ôèçèêè, òåõíèêè, ñîöèàëüíûõ íàóêàõ è ïð. âîç-ìîæíî ëèøü ïðè íàëè÷èè ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ, ïîäòâåð-æäàþùèõ ôàêò àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ èññëåäóåìûõ ÿâëåíèé ñî-îòâåòñòâóþùèìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ìîäåëÿìè.

Â ÷àñòíîñòè, äëÿ êîððåêòíîãî èñïîëüçîâàíèÿ â ôèçèêå êëàñ-ñè÷åñêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà íåîáõîäèìû äàííûå îá àäå-êâàòíîì ïðåäñòàâëåíèè ðàññìàòðèâàåìûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèéíåïðåðûâíûìè äèôôåðåíöèðóåìûìè ôóíêöèÿìè, à äëÿ êîð-ðåêòíîãî èñïîëüçîâàíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé – äàííûå, ïîä-òâåðæäàþùèå àäåêâàòíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ èññëåäóåìûõ ôèçè÷å-ñêèõ ñîáûòèé, âåëè÷èí, ïðîöåññîâ è ïîëåé ñëó÷àéíûìè (ñòîõàñ-òè÷åñêèìè) ìîäåëÿìè.


42

Çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, ïîëíîñòüþ àäå-êâàòíûõ ðåàëüíûì ôèçè÷åñêèì ÿâëåíèÿì, íå èìååò òî÷íîãî ðå-øåíèÿ. Äàæå åñëè áû òàêèå ìîäåëè è ñóùåñòâîâàëè, ñòðîãî äîêà-çàòü èõ àäåêâàòíîñòü áûëî áû íåâîçìîæíî èç-çà îãðàíè÷åííîéòî÷íîñòè ëþáûõ èçìåðåíèé.

Èìåÿ â ñâîåì ðàñïîðÿæåíèè ðÿä îïûòíûõ äàííûõ, ìîæíîîöåíèòü ñòåïåíü ñîãëàñîâàííîñòè ìîäåëåé ñ ðåàëüíûìè îáúåêòà-ìè èññëåäîâàíèÿ. Êàêàÿ áû íè èñïîëüçîâàëàñü ïðè ýòîì ìåòîäè-êà àíàëèçà, ïîëó÷èòü àáñîëþòíî òî÷íûé îòâåò îá àäåêâàòíîñòèìîäåëåé íåëüçÿ. Ïîýòîìó ïðè äîñòàòî÷íî âûñîêîì óðîâíå ñîãëà-ñîâàííîñòè ìîäåëåé ðåàëüíûì äàííûì ïðèõîäèòñÿ ëèøü äîâîëü-ñòâîâàòüñÿ ïðèíÿòèåì ãèïîòåçû àäåêâàòíîñòè ìîäåëåé.

Àêñèîìà àäåêâàòíîñòè – ôèçè÷åñêàÿ ãèïîòåçà, îáåñïå÷è-âàþùàÿ ñâÿçü ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ñ îêðóæàþùåé äåéñòâè-òåëüíîñòüþ. Ýòà àêñèîìà îòêðûâàåò âîçìîæíîñòü êîððåêòíîãîïðèìåíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè íà ïðàêòèêå. Áëàãîäàðÿ åéìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ïðèîáðåòàåò íîâîå êà÷åñòâî: ñòàíîâèòñÿôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé.

Ê ïðèìåðó, ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé, áàçèðóþ-ùàÿñÿ íà òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûõ àêñèîìàõ Êîëìîãîðîâà,ëèøü ïîñëå ïðèíÿòèÿ äîïîëíèòåëüíîé ãèïîòåçû àäåêâàòíîãîîïèñàíèÿ ðåàëüíûõ ÿâëåíèé ñòîõàñòè÷åñêèìè ìîäåëÿìè è ìàòåìà-òè÷åñêèé àíàëèç ëèøü ïîñëå ïðèíÿòèÿ ãèïîòåçû îá àäåêâàòíîìîïèñàíèè ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé íåïðåðûâíûìè äèôôåðåíöèðóåìûìèôóíêöèÿìè ñòàíîâÿòñÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèìè òåîðèÿìè.

Øèðîêîå ïðèìåíåíèå òîé èëè èíîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèèíà ïðàêòèêå ñâèäåòåëüñòâóåò î ïðèçíàíèè, ÷òî îêðóæàþùèé ìèðèëè çíà÷èòåëüíàÿ åãî ÷àñòü ïîñòðîåíû íà ïðèíöèïàõ ñîîòâåòñò-âóþùåé àêñèîìû àäåêâàòíîñòè. Â ÷àñòíîñòè, ïîâñåìåñòíîå ïðè-ìåíåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ åñòåñò-âîçíàíèÿ îçíà÷àåò ïðèíÿòèå ãèïîòåçû, ÷òî ôèçè÷åñêèé ìèð (âîâñÿêîì ñëó÷àå, ìàêðîìèð) íåïðåðûâåí, à ïîâñåìåñòíîå ïðèìåíå-íèå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé – ïðèíÿòèå ãèïîòåçû, ÷òî ýòîò ìèðíîñèò ñëó÷àéíûé (ñòîõàñòè÷åñêèé) õàðàêòåð.

Êàêèì áû íè áûë ðåàëüíûé ïóòü ïîñòðîåíèÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè, åå ìîæíî èçëàãàòü, îòòàëêèâàÿñü êàê îòàáñòðàêòíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ àêñèîì, òàê è îò ôèçè÷åñêèõ ãèïî-òåç. Îáà ñïîñîáà ïðåäñòàâëåíèÿ ìàòåðèàëà âûãëÿäÿò íà ïåðâûéâçãëÿä ýêâèâàëåíòíûìè. Îäíàêî ýòî íå ñîâñåì òàê.

Äåëî â òîì, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ôèçè÷åñêîéìîäåëè ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíà ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè ñ èñ-

1.7. Физико-математические теории

43

ïîëüçîâàíèåì ðàçíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, îñíîâàííûõ íàðàçíûõ ñèñòåìàõ àêñèîì. Ìíîãîçíà÷íîñòü ìàòåìàòè÷åñêèõ èí-òåðïðåòàöèé ôèçè÷åñêîé ìîäåëè, çà÷àñòóþ íåñóùåñòâåííàÿ ñïðàêòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ, ñòàâèò ïåðåä ìàòåìàòèêàìè ñëîæ-íóþ çàäà÷ó âûáîðà ñðåäè âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ íàèëó÷øåãî.

Ôèçè÷åñêàÿ æå èíòåðïðåòàöèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, êàêïðàâèëî, îäíîçíà÷íà. Â ýòîì ñëó÷àå ïðîáëåìà âûáîðà íå ñòîèò.Ïîýòîìó èçëîæåíèå ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ òåîðèé ÷àñòî íà÷è-íàåòñÿ ñ ìàòåìàòè÷åñêèõ îñíîâ, íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ñîçäàâàëèñüýòè òåîðèè â íà÷àëå êàê ïðèêëàäíûå.

Õàðàêòåðíûé ïðèìåð – ñîâðåìåííàÿ òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé ñìíîãî÷èñëåííûìè åå ïðèêëàäíûìè ðàçäåëàìè.

Ýòà òåîðèÿ ôîðìèðîâàëàñü íà ïðîòÿæåíèè íåñêîëüêèõ âåêîâ,â ïåðâóþ î÷åðåäü, êàê èíñòðóìåíò ðåøåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷.Ôèçè÷åñêàÿ îñíîâà ïðîñëåæèâàåòñÿ â íåé î÷åíü ÷åòêî.

Îäíàêî, â íàñòîÿùåå âðåìÿ ýòà òåîðèÿ ïîäàåòñÿ êàê ìàòåìà-òè÷åñêàÿ òåîðèÿ, èìåþùàÿ îïðåäåëåííóþ ôèçè÷åñêóþ èíòåðïðå-òàöèþ.

Òàêèì îáðàçîì, êàê áû íè èçëàãàëàñü (ïðåäñòàâëÿëàñü) òàèëè èíàÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ, â åå îñíîâå ëåæàò êàêìàòåìàòè÷åñêèå àêñèîìû, òàê è ôèçè÷åñêèå ãèïîòåçû.

44

Глава 2

ФЕНОМЕНСТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Ïðîàíàëèçèðîâàíû ôèçè÷åñêèå è ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû òåîðèèâåðîÿòíîñòåé. Ïîêàçàíî, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêàÿ ÷àñòü ñîâðåìåííîéòåîðèè âåðîÿòíîñòåé áàçèðóåòñÿ íà îáùåïðèçíàííîé êîëìîãîðîâ-ñêîé òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîé àêñèîìàòèêå, à ôèçè÷åñêàÿ÷àñòü – íà ãèïîòåçå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ÷àñòîòû ðå-àëüíûõ ñîáûòèé èëè ýêâèâàëåíòíîé åé ãèïîòåçå àäåêâàòíîãî îïè-ñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé (ñîáûòèé, âåëè÷èí, ïðîöåññîâ è ïîëåé)ñëó÷àéíûìè (ñòîõàñòè÷åñêèìè) ìîäåëÿìè. Â ðàìêàõ òåîðèè âåðî-ÿòíîñòåé ïîëàãàåòñÿ, ÷òî ãèïîòåçà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòèñïðàâåäëèâà äëÿ øèðîêîãî êðóãà ìàññîâûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé, ò.å.ïðèíèìàåòñÿ êîíöåïöèÿ óñòðîéñòâà ìèðà íà ñëó÷àéíûõ ïðèíöèïàõ.Êðàòêî èçëîæåíà èñòîðèÿ èññëåäîâàíèÿ ôåíîìåíà ñòàòèñòè÷åñêîéóñòîé÷èâîñòè. Îáñóæäåíû óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ âîçìîæíû íàðóøå-íèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.

2.1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ:ФИЗИЧЕСКИЕ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

Íà ïðîòÿæåíèè âåêîâ òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé ôîðìèðîâàëàñü êàêïðèêëàäíàÿ òåîðèÿ, îðèåíòèðîâàííàÿ íà îïèñàíèå ðåàëüíûõ ñî-áûòèé, âåëè÷èí, ïðîöåññîâ è ïîëåé. Ëèøü â íà÷àëå ïðîøëîãîñòîëåòèÿ â ðåçóëüòàòå ñòðîãîé ôîðìàëèçàöèè åå áàçîâûõ ïîíÿòèéè ñèñòåìàòèçàöèè îñíîâíûõ ïîëîæåíèé îíà ïðèîáðåëà ÷åðòûìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè è áûëà ïðèçíàíà ðàçäåëîì ìàòåìàòèêè.Ñîâðåìåííóþ òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàêôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêóþ òåîðèþ, èìåþùóþ îáøèðíóþ îáëàñòüïðàêòè÷åñêîãî ïðèìåíåíèÿ.

Ìàòåìàòè÷åñêîé îñíîâîé ñîâðåìåííîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñëó-æèò òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûé ïîäõîä, ðàçðàáîòàííûé À.Í. Êîë-ìîãîðîâûì, è ïðåäëîæåííàÿ èì ñèñòåìà àêñèîì [Êîëìîãîðîâ,

2.1. Теория вероятностей: физические и математические основы

45

1936]. Èìåííî òàêèì îáðàçîì ôîðìàëèçîâàíû ïîíÿòèÿ òåîðèèâåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè â íîâîì ìåæäóíà-ðîäíîì ñòàíäàðòå ISO [International standard, 2006].

Îáúåêòàìè èññëåäîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ÷àñòè òåîðèè âåðî-ÿòíîñòåé ÿâëÿþòñÿ àáñòðàêòíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îáúåêòû – ñëó-÷àéíûå ñîáûòèÿ, âåëè÷èíû è ôóíêöèè (ñëó÷àéíûå ÿâëåíèÿ), ïðåä-ñòàâëÿåìûå áåñêîíå÷íûì ìíîæåñòâîì ñâîèõ ðåàëèçàöèé è èñ-÷åðïûâàþùå õàðàêòåðèçóåìûå îïðåäåëåííûìè, âïîëíå êîíêðåò-íûìè, çàêîíàìè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòíîé ìåðû (ôóíêöèÿ-ìè ðàñïðåäåëåíèÿ).

Çàìåòèì, ÷òî ÿâëåíèå, íå îïèñûâàåìîå êîíêðåòíûì çàêîíîìðàñïðåäåëåíèÿ, äàëåå ñëó÷àéíûì íå ñ÷èòàåòñÿ.

Ìîñòîì, ñâÿçûâàþùèì ðåàëüíûé ìèð ñ àáñòðàêòíûì ìèðîìâåðîÿòíîñòíûõ ïîíÿòèé, ñëóæèò ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà,èçó÷àþùàÿ ñëó÷àéíûå âûáîðêè. Êëþ÷åâûì â ìàòåìàòè÷åñêîéñòàòèñòèêå ÿâëÿåòñÿ çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë, äîêàçàííûé ß. Áåð-íóëëè òðèñòà ëåò íàçàä [Bernoulli, 1713, Áåðíóëëè, 1986].

Â þáèëåéíîé ðå÷è, ïîñâÿùåííîé äâóõñîòëåòèþ çàêîíà áîëüøèõ÷èñåë, À.À. Ìàðêîâ ñôîðìóëèðîâàë ýòîò çàêîí ñëåäóþùèì îáðàçîì[Áåðíóëëè, 1986, ñ. 10]: «Åñëè ïðîèçâîäèòñÿ íåîãðàíè÷åííûé ðÿäèñïûòàíèé è ïðè âñåõ ýòèõ èñïûòàíèÿõ íåêîòîðîå ñîáûòèå èìååòîäíó è òó æå âåðîÿòíîñòü, òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì ÷èñëå èõìîæíî óòâåðæäàòü ñ âåðîÿòíîñòüþ, ñêîëü óãîäíî áëèçêîé ê äîñòî-âåðíîñòè, ÷òî îòíîøåíèå ÷èñëà ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿ ê ÷èñëó èñïû-òàíèé îòêëîíèòñÿ îò âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ ìåíåå, ÷åì íà äàííîå÷èñëî, êàê áû ìàëî îíî íè áûëî».

Èíûìè ñëîâàìè, ïðè ïðîâåäåíèè íåçàâèñèìûõ èñïûòàíèé âîäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ, êîãäà íåêîòîðîå ñîáûòèå èìååò îäíó è òóæå âåðîÿòíîñòü, à ÷èñëî èñïûòàíèé íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò,÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ýòîé âå-ðîÿòíîñòè.

Êîððåêòíîå ïðèìåíåíèå ëþáîé ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè íàïðàêòèêå âîçìîæíî ëèøü ïðè íàëè÷èè ãèïîòåçû àäåêâàòíîñòèìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ôèçè÷åñêîé ðåàëüíîñòè. Îá ýòîì øëàðå÷ü â ïàðàãðàôå 1.7.

Äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòè íà ïðàêòèêå è, â ÷à-ñòíîñòè, çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë íåîáõîäèìî ïðèíÿòèå ôèçè÷åñêîéãèïîòåçû ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè (ñòàòèñòè÷åñêîé ñòà-áèëüíîñòè) ÷àñòîòû ðåàëüíûõ ñîáûòèé.

Â äàííîì ñëó÷àå ïîä ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòüþ ÷àñòîòûñîáûòèÿ ïîíèìàåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà, ê êîòîðîìó ñòðå-

Глава 2. Феномен статистической устойчивости

46

ìèòñÿ ýòà ÷àñòîòà ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè ÷èñëà èñ-ïûòàíèé.

Òàêèì îáðàçîì, ãèïîòåçà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ÷àñòî-òû ýêâèâàëåíòíà ãèïîòåçå ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ÷àñòîòû ðåàëü-íûõ ñîáûòèé. Ýòîò ïðåäåë òðàêòóåòñÿ ôèçèêàìè è èíæåíåðàìèêàê âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿ.

Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà èçó÷àåò âûáîðêè ñ ïîìîùüþñòàòèñòèê – ôóíêöèé âûáîðîê. Âûáîðêè ìîãóò áûòü îäíîðîä-íûå è íåîäíîðîäíûå.

Â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå îäíîðîäíîé âûáîðêè ïîëàãàåòñÿ, ÷òîâñå ýëåìåíòû âûáîðêè èìåþò îäèí è òîò æå çàêîí ðàñïðåäåëå-íèÿ. Ïðè ýòîì ñòàòèñòèêà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíóþ âåëè-÷èíó, çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé ðàñ-ïðåäåëåíèÿ ýëåìåíòîâ ðàññìàòðèâàåìîé âûáîðêè.

Îñíîâíàÿ òåîðåìà ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè (òåîðåìà Ãëè-âåíêî) óòâåðæäàåò [Ãíåäåíêî, 1961], ÷òî ïðè íåîãðàíè÷åííîìóâåëè÷åíèè îáúåìà îäíîðîäíîé âûáîðêè ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿðàñïðåäåëåíèÿ, ðàññ÷èòàííàÿ ïî âûáîðêå, ñõîäèòñÿ (ñ âåðîÿòíî-ñòüþ åäèíèöà) ê èñòèííîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.

Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èñ÷åðïûâàþùå õàðàêòå-ðèçóåò ñëó÷àéíîå ÿâëåíèå, ñõîäèìîñòü ýìïèðè÷åñêîé ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ ê èñòèííîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ îçíà÷àåò ñó-ùåñòâîâàíèå ðàçëè÷íûõ ýìïèðè÷åñêèõ (âûáîðî÷íûõ) õàðàêòåðè-ñòèê è ïàðàìåòðîâ (â ÷àñòíîñòè, îöåíîê ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëå-íèÿ, ìîìåíòîâ, êóìóëÿíòîâ è ïð.), ñõîäÿùèõñÿ ê ñîîòâåòñòâóþ-ùèì õàðàêòåðèñòèêàì è ïàðàìåòðàì èñòèííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ(êîíå÷íî, åñëè òàêîâûå ñóùåñòâóþò).

Òåì ñàìûì ïîíÿòèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ÷àñòîòûðåàëüíûõ ñîáûòèé ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ íà âûáîðî÷íóþ ôóíêöèþðàñïðåäåëåíèÿ è äðóãèå âûáîðî÷íûå õàðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåò-ðû ðåàëüíûõ âåëè÷èí, ïðîöåññîâ è ïîëåé. Ýòî ïîçâîëÿåò ãîâî-ðèòü î ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñàìîãî ðàññìàòðèâàåìîãîôèçè÷åñêîãî ÿâëåíèÿ.

Çàìåòèì, ÷òî ãèïîòåçà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ãàðàíòè-ðóåò òåîðåòè÷åñêè àáñîëþòíî òî÷íûé ñòàòèñòè÷åñêèé ïðîãíîçõàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ èññëåäóåìîãî ÿâëåíèÿ ïðè íåîãðà-íè÷åííîì óâåëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè.

Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå äëÿ îäíîðîäíîé âûáîðêè, îáîáùà-þòñÿ íà ñëó÷àé íåîäíîðîäíîé âûáîðêè, ýëåìåíòû êîòîðîé îïè-ñûâàþòñÿ ðàçíûìè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ.

2.2. Экскурс в историю исследования феномена …

47

Â ðàìêàõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ðàññìàòðèâàþò íåîäíîðîäíûåâûáîðêè, ó êîòîðûõ ÷åðåäîâàíèå ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîèñ-õîäèò ïî ñëó÷àéíîìó çàêîíó, îïèñûâàåìîìó îïðåäåëåííîé ôóíê-öèåé ðàñïðåäåëåíèÿ.

Â ýòîì ñëó÷àå ñòàòèñòèêà, ðàññ÷èòàííàÿ ïî âûáîðêå, õàðàêòå-ðèçóåò íå òîëüêî ñîâîêóïíîñòü ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, íî òàê-æå è çàêîí ÷åðåäîâàíèÿ ðàñïðåäåëåíèé.

Äëÿ òàêîé âûáîðêè ëþáàÿ íåòðèâèàëüíàÿ ñòàòèñòèêà ïðåä-ñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, õàðàêòåðèçóåìóþ êîíêðåò-íîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ. Òàêàÿ ñòàòèñòèêà îáëàäàåò ñâîéñò-âîì ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.

Èç ïðèâåäåííîãî ñëåäóåò, ÷òî ïîíÿòèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé-÷èâîñòè îêàçûâàåòñÿ ýêâèâàëåíòîì ñëó÷àéíîñòè (ñòîõàñòè÷íî-ñòè) ÿâëåíèÿ. Èìåííî òàê òðàêòóåòñÿ ýòî ïîíÿòèå â äàëüíåéøåì.

Òàêèì îáðàçîì, ïðèíÿòèå ãèïîòåçû ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷è-âîñòè ÷àñòîòû ðåàëüíûõ ñîáûòèé ïðèâîäèò ê ïðèíÿòèþ ãèïîòåçûñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Ñëå-äóþùèì øàãîì ÿâëÿåòñÿ ïðèíÿòèå ãèïîòåçû àäåêâàòíîãî îïèñà-íèÿ ðåàëüíûõ ÿâëåíèé ñëó÷àéíûìè (ñòîõàñòè÷åñêèìè) ìîäåëÿìè.Áåç ýòèõ ãèïîòåç íåâîçìîæíî êîððåêòíîå ïðèìåíåíèå íà ïðàê-òèêå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.

Êàê îòìå÷àëîñü â ãëàâå 1, â ðàìêàõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïî-ëàãàåòñÿ, ÷òî ãèïîòåçà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñïðàâåäëèâàäëÿ øèðîêîãî êðóãà ìàññîâûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Èíûìè ñëî-âàìè, ïðèíèìàåòñÿ êîíöåïöèÿ óñòðîéñòâà ìèðà íà ñëó÷àéíûõïðèíöèïàõ.

2.2. ЭКСКУРС В ИСТОРИЮ ИССЛЕДОВАНИЯФЕНОМЕНА СТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Íà ôåíîìåí ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ÷àñòîòû âïåðâûå îá-ðàòèë âíèìàíèå â 1669 ã. òîðãîâåö ñóêíîì Äæ. Ãðàóíò [Graunt,1939]. Ñîõðàíèëèñü îòðûâî÷íûå ñâåäåíèÿ îá èññëåäîâàíèÿõ ñòà-òèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè, ïðîâîäèìûå â ïåðèîä ñ êîíöà XVIIïî êîíåö XIX ñòîëåòèÿ Ä. Âåííîì, Ñ.Ä. Ïóàññîíîì, È.Æ. Áüå-íåìå, Î. Êóðíî, À. Êåòëå, ß. Áåðíóëëè è äð. [Øåéíèí, www,×àéêîâñêèé, 2004].

Ñèñòåìàòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòèíà÷àëèñü â êîíöå XIX âåêà. Íåìåöêèé ñòàòèñòèê Â. Ëåêñèñ â1879 ã. âïåðâûå ïîïûòàëñÿ ñâÿçàòü ïîíÿòèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñ-òîé÷èâîñòè ÷àñòîòû ñ äèñïåðñèåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Íà ðó-áåæå ñòîëåòèé è â íà÷àëå XX âåêà èññëåäîâàíèåì ñòàòèñòè÷åñêîé


48

óñòîé÷èâîñòè çàíèìàëèñü Ê. Ïèðñîí, À.À. ×óïðîâ, Â.È. Áîðò-êåâè÷, À.À. Ìàðêîâ, Ð. ôîí Ìèçåñ è äð. [Øåéíèí, www, ×àé-êîâñêèé, 2004].

Èçâåñòíî, íàïðèìåð, ÷òî ÷àñòîòó âûïàäåíèÿ îïðåäåëåííîé ñòî-ðîíû ìîíåòû èññëåäîâàëè Ëàïëàñ, Áþôôîí, Ê. Ïèðñîí è ìíîãèåäðóãèå ó÷åíûå (ñì. ââåäåíèå). Îïèñàíèå ýòèõ è äðóãèõ ïîäîáíûõèññëåäîâàíèé ïðèâåäåíî â ðÿäå ëèòåðàòóðíûõ èñòî÷íèêîâ, â ÷à-ñòíîñòè [Ãíåäåíêî, 1961, 1988].

Ðåçóëüòàòû ìíîãèõ ýêñïåðèìåíòîâ óêàçûâàþò íà ïðàâäîïî-äîáíîñòü ãèïîòåçû ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ÿâëå-íèé, à ýòî ïîçâîëÿåò ïðåäïîëîæèòü, êàê îòìå÷àë Á.Â. Ãíåäåíêî[Ãíåäåíêî, 1961, ñ. 42], «íàëè÷èå íå çàâèñÿùèõ îò èñïûòàòåëÿçàêîíîìåðíîñòåé òå÷åíèÿ ÿâëåíèÿ, ïðîÿâëåíèå êîòîðûõ è çà-êëþ÷àåòñÿ â óêàçàííîì ïî÷òè ïîñòîÿíñòâå ÷àñòîòû».

Â íà÷àëå ïðîøëîãî âåêà âñòàë âîïðîñ î ôîðìàëèçàöèè òåî-ðèè âåðîÿòíîñòåé. Íà II Ìåæäóíàðîäíîì êîíãðåññå ìàòåìàòè-êîâ, ïðîõîäèâøåì â 1900 ã., Äàâèäîì Ãèëüáåðòîì áûëè ñôîðìó-ëèðîâàíû îñíîâíûå ïðîáëåìû ìàòåìàòèêè [Ïðîáëåìû Ãèëüáåð-òà, 1969]. Øåñòîé ïðîáëåìîé èì áûëî íàçâàíî ìàòåìàòè÷åñêîåèçëîæåíèå àêñèîì ôèçèêè. Ðàñêðûâàÿ ñóòü ýòîé ïðîáëåìû,Ä. Ãèëüáåðò àêöåíòèðîâàë âíèìàíèå íà àêñèîìàòèçàöèè òåîðèèâåðîÿòíîñòåé.

Ïðåäëàãàëèñü ðàçëè÷íûå ïîäõîäû ê ðåøåíèþ ýòîé ïðîáëåìû.Ïåðâóþ íå ñîâñåì óäà÷íóþ ïîïûòêó àêñèîìàòèçàöèè òåîðèè âå-ðîÿòíîñòåé ïðåäïðèíÿë Ã. Áîëüöìàí [Bohlmann, 1908].

Â 1918 ã. Ñ.Í. Áåðíøòåéí ïðåäëîæèë ñèñòåìó àêñèîì [Áåðí-øòåéí, 1918, 1946], îñíîâàííóþ íà êà÷åñòâåííîì ñðàâíåíèèñëó÷àéíûõ ñîáûòèé ïî èõ áîëüøåé èëè ìåíüøåé âåðîÿòíîñòè.Ñîâîêóïíîñòü ñîáûòèé ïðè ýòîì ðàññìàòðèâàëàñü êàê áóëåâààëãåáðà.

Ñ ïîçèöèé åñòåñòâîèñïûòàòåëÿ ïîäîøåë ê ïðîáëåìå ìàòåìà-òèê è ìåõàíèê Ð. ôîí Ìèçåñ [Mises, 1919, 1928, 1964, Ìèçåñ,1930]. Îí ïðåäëîæèë îðèãèíàëüíóþ ñèñòåìó àêñèîì, îñíîâàííóþíà ñòàòèñòè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèÿõ. Êëþ÷åâóþ ðîëü â åãî ïîäõîäåèãðàëà ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ÷àñòîòû. Âåðîÿòíîñòü ñîáû-òèÿ îïðåäåëåíà èì êàê ïðåäåë ÷àñòîòû ïðè óñòðåìëåíèè êîëè÷å-ñòâà îïûòîâ ê áåñêîíå÷íîñòè.

Â 1923 ã. À. Ëîìíèöêèé íà áàçå èäåé Ý. Áîðåëÿ î ñâÿçè ïî-íÿòèé âåðîÿòíîñòè è ìåðû [Borel, 1909] ïðåäëîæèë ñâîþ ñèñòåìóàêñèîì [Lomnicki, 1923].

2.2. Экскурс в историю исследования феномена …

49

Â êîíöå 20-õ ãîäîâ À.Í. Êîëìîãîðîâûì áûëà ñôîðìóëèðîâà-íà ñòàâøàÿ êëàññè÷åñêîé ñèñòåìà àêñèîì, îñíîâàííàÿ íà òåîðèèìíîæåñòâ è òåîðèè ìåðû [Êîëìîãîðîâ, 1929, 1936]. Ïîçäíåå, â 60-õãîäàõ îí íà÷àë ðàçðàáàòûâàòü èíûå, àëãîðèòìè÷åñêèå, ïðèíöèïûôîðìàëèçàöèè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.

Îáùåïðèçíàííûì â íàñòîÿùåå âðåìÿ ñ÷èòàåòñÿ òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûé ïîäõîä À.Í. Êîëìîãîðîâà.

Õîòÿ â ðåçóëüòàòå íàó÷íûõ ñïîðîâ ñòàòèñòè÷åñêèé ïîäõîäÐ. ôîí Ìèçåñà áûë îòâåðãíóò áîëüøèíñòâîì ìàòåìàòèêîâ, ñòàòè-ñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ïðîäîëæàåò èãðàòü áîëüøóþ ðîëü. Ñâÿçàíîýòî ñ òåì, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ÿâëÿåòñÿ îáúåêòèâíîéðåàëüíîñòüþ ôèçè÷åñêîãî ìèðà.

Óñïåõè â ðàçâèòèè òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñîçäàþò èëëþçèþ,÷òî ïðè îïèñàíèè ìàññîâûõ ÿâëåíèé íå äîëæíî áûòü ñåðüåçíûõïðîáëåì. Îäíàêî îêàçûâàåòñÿ, íå âñå òàê ïðîñòî.

Ïðåäñêàçûâàåìàÿ òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé âîçìîæíîñòü òåîðå-òè÷åñêè àáñîëþòíîãî òî÷íîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ïðîãíîçà õàðàêòå-ðèñòèê è ïàðàìåòðîâ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ïðè íåîãðàíè÷åííîìóâåëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè, ê ñîæàëåíèþ, íå íàõîäèò ýêñïåðè-ìåíòàëüíîãî ïîäòâåðæäåíèÿ. Êðîìå òîãî, íå óäàåòñÿ äîñòè÷ü èáåñêîíå÷íî âûñîêîé òî÷íîñòè èçìåðåíèÿ, òàêæå ïðåäñêàçûâàå-ìîé òåîðèåé âåðîÿòíîñòåé.

Ýòè è äðóãèå ïðîòèâîðå÷èÿ ìåæäó òåîðèåé è ïðàêòèêîé óêà-çûâàþò íà íåàäåêâàòíîå îïèñàíèå ðåàëüíûõ ÿâëåíèé ñëó÷àéíû-ìè ìîäåëÿìè.

Êðóïíûå ó÷åíûå, ãîâîðÿ î ôåíîìåíå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé-÷èâîñòè, ïðîÿâëÿëè è ïðîÿâëÿþò áîëüøóþ îñòîðîæíîñòü â ôîð-ìóëèðîâêàõ, îáðàùàÿ âíèìàíèå íà òî, ÷òî ìîãóò èìåòü ìåñòî íà-ðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Íåêîòîðûå âûñêàçûâà-íèÿ ïî ýòîìó ïîâîäó ïðèâåäåíû â ïðèëîæåíèè 1.

Ïðîáëåìà íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè äîñòà-òî÷íî àêòèâíî îáñóæäàëàñü è ïðîäîëæàåò îáñóæäàòüñÿ â íàó÷íîéëèòåðàòóðå. Íî çà÷àñòóþ ìàòåìàòèêè ñ÷èòàþò, ÷òî âîïðîñ ñòàòè-ñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íå èìååò ïðÿìîãî îòíîøåíèÿ ê ìàòåìà-òèêå, à ôèçèêè ïîëàãàþò åãî ñóãóáî ìàòåìàòè÷åñêèì âîïðîñîì. Âèòîãå ïðîáëåìà íàðóøåíèÿ è ó÷åòà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòèäî íåäàâíåãî âðåìåíè îñòàâàëàñü ìàëîèçó÷åííîé.

Îòñóòñòâèå íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ ëåò ñåðüåçíîãî èíòåðåñà êïðîáëåìå íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ìîæíî îáú-ÿñíèòü òåì, ÷òî íà îòíîñèòåëüíî íåáîëüøèõ âðåìåííûõ, ïðî-ñòðàíñòâåííûõ è ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ èíòåðâàëàõ íà-áëþäåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé


50

îáû÷íî ìàëî èçìåíÿþòñÿ è ïîýòîìó êëàññè÷åñêèå ñòîõàñòè÷å-ñêèå ìîäåëè îáåñïå÷èâàþò âïîëíå àäåêâàòíîå èõ ïðåäñòàâëåíèå.

Âîçðàñòàþùàÿ ïîòðåáíîñòü ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè èçìåðåíèéïðèâåëà â ïîñëåäíèå ãîäû ê íåîáõîäèìîñòè çíà÷èòåëüíîãî óâå-ëè÷åíèÿ èíòåðâàëîâ îáðàáîòêè. Íà áîëüøèõ èíòåðâàëàõ, êàêïîêàçûâàþò ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ, íàáëþäàþòñÿ ñó-ùåñòâåííûå íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Âñå óêà-çûâàåò íà òî, ÷òî âñå ðåàëüíûå ôèçè÷åñêèå âåëè÷èíû, ïðîöåññûè ïîëÿ (çà èñêëþ÷åíèåì, âîçìîæíî, ëèøü íåêîòîðûõ ôóíäàìåí-òàëüíûõ óíèâåðñàëüíûõ ïîñòîÿííûõ, òàêèõ êàê ñêîðîñòü ñâåòà ââàêóóìå) îáëàäàþò íå àáñîëþòíîé, à âñåãî ëèøü îãðàíè÷åííîéñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòüþ. Î÷åíü ñóùåñòâåííî, ÷òî íàðóøå-íèÿ óñòîé÷èâîñòè íîñÿò ñòàòèñòè÷åñêè íåïðåäñêàçóåìûé (íåïðî-ãíîçèðóåìûé) õàðàêòåð, íå ïîääàþùèéñÿ âåðîÿòíîñòíîìó îïèñà-íèþ ñ ïîìîùüþ êàêèõ-ëèáî çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ.

2.3. НАРУШЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙУСТОЙЧИВОСТИ

Åñëè âûáîðêà îäíîðîäíàÿ, òî âñå åå ñòàòèñòèêè (ôóíêöèè âû-áîðêè) îáëàäàþò ñâîéñòâîì ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Åñëèæå âûáîðêà íåîäíîðîäíàÿ, òî â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ñòàòèñòèêèîêàçûâàþòñÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûìè.

Â ýòîé ñâÿçè íà ïðàêòèêå ïî âîçìîæíîñòè ïûòàþòñÿ èçáåãàòüíåîäíîðîäíûõ âûáîðîê. Äëÿ îöåíêè ñòàòèñòè÷åñêîé íåîäíîðîä-íîñòè ïîëåçíû ìåòîäû ïðîâåðêè íåïàðàìåòðè÷åñêèõ ñòàòèñòè÷å-ñêèõ ãèïîòåç, îñíîâàííûå íà êðèòåðèè Êîëìîãîðîâà, Ïèðñîíà,îìåãà-êâàäðàò è ïð. [Áîëüøåâ, Ñìèðíîâ, 1983, Êîðîëþê è äð.,1985, Ãîðáàíü, 2003].

Âûáîðêè, ñîîòâåòñòâóþùèå íåáîëüøèì èíòåðâàëàì íàáëþäå-íèÿ, êàê ïðàâèëî, îäíîðîäíû. Ïðè ýòîì ïðîáëåìû íàðóøåíèÿñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íåò.

Âûáîðêè æå, ñîîòâåòñòâóþùèå áîëüøèì èíòåðâàëàì íàáëþ-äåíèÿ, îáû÷íî íåîäíîðîäíû. Òîãäà ìîãóò ïðîèñõîäèòü íàðóøå-íèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.

Â ïàðàãðàôå 2.1 ðàññìàòðèâàëñÿ âàðèàíò ÷åðåäîâàíèÿ â íåîä-íîðîäíîé âûáîðêå ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ñëó÷àéíîìó çàêî-íó. Ñòàòèñòèêè, ñôîðìèðîâàííûå ïî òàêîé âûáîðêå, ñòàòèñòè÷å-ñêè óñòîé÷èâûå.

Îäíàêî âîçìîæíî íåðåãóëÿðíîå ÷åðåäîâàíèå ôóíêöèé ðàñ-ïðåäåëåíèÿ, íå îïèñûâàåìîå ñëó÷àéíûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ.

2.4. Неопределенные и случайные модели

51

Â ýòîì ñëó÷àå äàëåêî íå êàæäàÿ ñòàòèñòèêà èìååò êîíêðåò-íûé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ. Ñòàòèñòèêà, íå îïèñûâàåìàÿ êîíêðåò-íîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ, íå ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé.Òàêèå ñòàòèñòèêè íå îáëàäàþò ñâîéñòâîì ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé-÷èâîñòè.

Îòìåòèì, ÷òî íåêîòîðûå ñòàòèñòèêè è ïðè íåðåãóëÿðíîì ÷å-ðåäîâàíèè ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ îñòàþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè-÷èíàìè, äëÿ êîòîðûõ èìååò ìåñòî ñâîéñòâî ñòàòèñòè÷åñêîé óñ-òîé÷èâîñòè.

Â êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì âûáîðêó ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíñ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè èç èíòåðâàëà 1 2[ , ]m m ïðè íå-ðåãóëÿðíîì ÷åðåäîâàíèè çàêîíîâ ðàñïðåäåëåíèÿ.

Â äàííîì ñëó÷àå ñðåäíåå âûáîðêè – íåñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà,ïîñêîëüêó îíà íå îïèñûâàåòñÿ êîíêðåòíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäå-ëåíèÿ. Â ðåçóëüòàòå âûáîðî÷íîå ñðåäíåå íå èìååò ìàòåìàòè÷å-ñêîãî îæèäàíèÿ.

Îäíàêî, äàæå ïðè ïðîèçâîëüíîì ÷åðåäîâàíèè ôóíêöèé ðàñ-ïðåäåëåíèÿ ýëåìåíòîâ âûáîðêè, ïóòåì óñðåäíåíèÿ äàííûõ ìîãóòáûòü ïîëó÷åíû ñëó÷àéíûå îöåíêè, íàïðèìåð, îöåíêè ãðàíèöñðåäíåãî, ñõîäÿùèåñÿ ê 1m è 2m .

Çàìåòèì, ÷òî ïðè êîíêðåòíîì ÷åðåäîâàíèè çàêîíîâ ðàñïðå-äåëåíèÿ ñðåäíåå âûáîðêè – ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, äëÿ êîòîðîéñóùåñòâóåò îïðåäåëåííîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñðåäíåãî.Çíà÷åíèå ýòîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íàõîäèòñÿ â èíòåðâà-ëå 1 2[ , ]m m .

Íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ôèçè÷å-ñêèõ ÿâëåíèé ñîçäàåò ñåðüåçíûå ïðîáëåìû, ïîñêîëüêó êëàññè÷å-ñêèå ïîäõîäû òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêèçà÷àñòóþ îêàçûâàþòñÿ ìàëîïðèãîäíûìè. Òðåáóþòñÿ íîâûå ïîä-õîäû è íîâûå ìîäåëè.

2.4. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ И СЛУЧАЙНЫЕМОДЕЛИ

Ïîçíàíèå îêðóæàþùåãî ìèðà îñíîâàíî íà ïîñòðîåíèè íåôîð-ìàëèçîâàííûõ è ôîðìàëèçîâàííûõ ìîäåëåé (ñì. ãëàâó 1). Ôîð-ìàëèçîâàííûå ìîäåëè ïîäðàçäåëÿþòñÿ íà ôèçè÷åñêèå è ìàòåìà-òè÷åñêèå.

Ñðåäè ôèçè÷åñêèõ ìîäåëåé îáû÷íî âûäåëÿþò äåòåðìèíèðî-âàííûå è ñëó÷àéíûå (èëè ñòîõàñòè÷åñêèå) ìîäåëè, äîïóñêàþùèå


52

àäåêâàòíîå îïèñàíèå ðåàëüíûõ ÿâëåíèé ñîîòâåòñòâåííî ñ ïîìî-ùüþ äåòåðìèíèðîâàííûõ è ñëó÷àéíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé.

Òàêàÿ êëàññèôèêàöèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ íå î÷åíü óäà÷íîé, ïî-ñêîëüêó ïðè ìàòåìàòè÷åñêîé ôîðìàëèçàöèè ïîíÿòèÿ ñëó÷àéíîãîÿâëåíèÿ (ñîáûòèÿ, âåëè÷èíû, ïðîöåññà, ôóíêöèè) ñ èñïîëüçîâàíè-åì, íàïðèìåð, òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííîé àêñèîìàòèêè À.Í. Êîë-ìîãîðîâà îñòàåòñÿ âíå ðàññìîòðåíèÿ êëàññ ôèçè÷åñêèõ ÿâëå-íèé, äëÿ êîòîðûõ õàðàêòåðíî íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé-÷èâîñòè.

Áîëåå êîíñòðóêòèâíûì, íà íàø âçãëÿä, ïðåäñòàâëÿåòñÿ äåëå-íèå ôèçè÷åñêèõ è ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé íà äåòåðìèíèðîâàí-íûå è íåäåòåðìèíèðîâàííûå (èëè, èíà÷å, íåîïðåäåëåííûå) ìîäåëè.

Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ êëàññèôèêàöèèíåîïðåäåëåííûõ ìîäåëåé (ñì., íàïðèìåð, [Áî÷àðíèêîâ, 2001]).Ïðèìå÷àòåëüíî, ÷òî âî âñåõ êëàññèôèêàöèÿõ, êàê ïðàâèëî, ñëó-÷àéíûå ìîäåëè çàíèìàþò ëèøü íåáîëüøóþ ÷àñòü. Áîëüøèíñòâîæå ñîñòàâëÿþò íåñëó÷àéíûå ìîäåëè.

Ñìåøàííûå ìîäåëè, â êîòîðûõ ïðèñóòñòâóþò ñëó÷àéíûå èíåñëó÷àéíûå ñîñòàâëÿþùèå, áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê íåñëó÷àé-íûå.

Çàìåòèì, ÷òî ïðè òàêîé êëàññèôèêàöèè ãèïåðñëó÷àéíûå ìî-äåëè, ðàññìàòðèâàåìûå â ýòîé êíèãå, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïîä-êëàññ íåîïðåäåëåííûõ ìîäåëåé, â ñîñòàâ êîòîðîãî âõîäÿò ñëó-÷àéíûå ìîäåëè.

53

Глава 3

СТАТИСТИЧЕСКИ НЕУСТОЙЧИВЫЕПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ПРОЦЕССЫ

Ôîðìàëèçîâàíî ïîíÿòèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè äëÿ ïîñëå-äîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà. Óñòàíîâëåíî,÷òî íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íå ïðîòèâîðå÷èò çàêîíóáîëüøèõ ÷èñåë. Ïðè íàðóøåíèè ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âû-áîðî÷íîå ñðåäíåå è ñðåäíåå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé íå èìåþòïðåäåëîâ. Îäíàêî ðàçíîñòü ìåæäó âûáîðî÷íûì ñðåäíèì è ñðåäíèììàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè íåîãðàíè÷åííîìóâåëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè. Âûÿñíåíî, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé-÷èâûå ïðîöåññû – îñîáûé êëàññ íåñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ. Íà îñíîâåàíàëèòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé è êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ âûäâè-íóòà ãèïîòåçà, ÷òî ïðè÷èíîé íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòèôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ íà îãðàíè÷åííîì èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ ÿâëÿþòñÿñâåðõíèçêî÷àñòîòíûå êîëåáàíèÿ ñðåäíåãî 1. Ïðåäëîæåíû ïàðàìåòðû,õàðàêòåðèçóþùèå íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñëó÷àéíîãîïðîöåññà íà êîíå÷íîì èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ.

3.1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬСЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ПРОЦЕССОВ

Â ïðåäûäóùåé ãëàâå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî íåîäíîðîäíàÿ ñëó÷àé-íàÿ âûáîðêà ñ íåðåãóëÿðíûì ÷åðåäîâàíèåì ôóíêöèé ðàñïðå-äåëåíèÿ, íå îïèñûâàåìûì ñëó÷àéíûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ,ìîæåò èìåòü ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûå ñòàòèñòèêè.

Ðàññìîòðèì óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ âûáîðî÷íîå ñðåäíåå îêà-çûâàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûì.

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 1 2, ,...X X ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ñëó÷àéíóþâûáîðêó) áóäåì íàçûâàòü ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâîé (ñòàòèñòè-÷åñêè ñòàáèëüíîé), åñëè ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè N êáåñêîíå÷íîñòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âûáîðî÷íîé äèñïåð-

1 Ñì. ñíîñêó íà ñ. 21.

Глава 3. Статистически неустойчивые последовательности и процессы

54

ñèè 2

1

1( )

N N

N

Y n Yn

D Y mN =

= −∑ ôëóêòóàöèè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî

1

1 n

n ii

Y Xn =

= ∑ ( 1,n N= ) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, ãäå 1

1N

N

Y nn

m YN =

= ∑ –

âûáîðî÷íîå ñðåäíåå ôëóêòóàöèè ñðåäíåãî. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè,íå óäîâëåòâîðÿþùèå ýòîìó óñëîâèþ, áóäåì íàçûâàòü ñòàòèñòè-÷åñêè íåóñòîé÷èâûìè.

Àíàëîãè÷íî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ( )X t áóäåì íàçûâàòü ñòàòè-ñòè÷åñêè óñòîé÷èâûì (ñòàòèñòè÷åñêè ñòàáèëüíûì), åñëè ïðèóñòðåìëåíèè âðåìåíè íàáëþäåíèÿ T ê áåñêîíå÷íîñòè ìàòåìàòè-

÷åñêîå îæèäàíèå èíòåãðàëà 2

0

1( ( ) ) d

T

T

yY t m tT

−∫ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ,

ãäå 1 10

1( ) ( )d

t

Y t X t tt

= ∫ – íàêîïëåííîå ñðåäíåå, 0

1( )d

T

T

ym Y t tT

= ∫ –

ñðåäíåå íàêîïëåííîãî ñðåäíåãî. Ïðîöåññû, íå óäîâëåòâîðÿþùèåýòîìó óñëîâèþ, áóäåì íàçûâàòü ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûìè.

Â äàííîì ñëó÷àå òèï ñõîäèìîñòè íå ñòîëü ñóùåñòâåí, íî äëÿïðèäàíèÿ îïðåäåëåíèÿì íåîáõîäèìîé ìàòåìàòè÷åñêîé ñòðîãîñòèáóäåì ïîäðàçóìåâàòü ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè.

Çàìåòèì, ÷òî ïðèáëèæåííî äåòåðìèíèðîâàííóþ âåëè÷èíó 0xìîæíî ñ÷èòàòü âûðîæäåííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ó êîòîðîéôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä ôóíêöèè åäèíè÷íîãî ñêà÷êà âòî÷êå 0x [Ãîðáàíü, 2005 (1), 2007 (1)]:

0( ) sign[ ]F x x x= − ,

à äåòåðìèíèðîâàííóþ ôóíêöèþ 0( )x t – âûðîæäåííîé ñëó÷àé-íîé ôóíêöèåé, ó êîòîðîé ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ

0( ; ) sign[ ( )]F x t x x t= − ,

ãäå [ ] ïðè

ïðè

0 0,sign

1 0.

xx

x

≤= >

Ïîýòîìó ïîíÿòèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷è-âîñòè ïðèìåíèìû òàêæå äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè äåòåðìèíèðî-âàííûõ âåëè÷èí è äåòåðìèíèðîâàííûõ ôóíêöèé.

Ñòåïåíü ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòåéñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ìîæåò áûòü ðàçíàÿ.Â îäíîì ñëó÷àå ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè N ê áåñêî-

3.2. Закон больших чисел при нарушении статистической устойчивости

55

íå÷íîñòè ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âûáîðî÷íîé äèñïåðñèèôëóêòóàöèè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè, âäðóãîì ñëó÷àå – îêàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííûì. Âåðõíÿÿ ãðàíèöàC ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè ôëóêòóà-öèè õàðàêòåðèçóåò ñòåïåíü íåóñòîé÷èâîñòè.

3.2. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ПРИ НАРУШЕНИИСТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Èçâåñòíàÿ òåîðåìà ×åáûøåâà, âûðàæàþùàÿ çàêîí áîëüøèõ ÷èñåëäëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 1,..., NX X ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ñëó÷àé-íûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ êîíå÷íûå äèñïåðñèè è ìàòåìàòè÷åñêèåîæèäàíèÿ

1, ,

Nx xm mK , óòâåðæäàåò [Ãíåäåíêî, 1988, Ãîðáàíü,

2003], ÷òî ïðè óñòðåìëåíèè N ê áåñêîíå÷íîñòè âûáîðî÷íîå

ñðåäíåå 1

1 N

N nn

Y XN =

= ∑ ñòðåìèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ñðåäíåìó

1

1N n

N

y xn

m mN =

= ∑ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé 1, ,

Nx xm mK .

Îáðàòèì âíèìàíèå íà îäíó òîíêîñòü, óñêîëüçàþùóþ îòìíîãèõ: ýòà òåîðåìà íå ãîâîðèò î ñõîäèìîñòè íè âûáîðî÷íîãîñðåäíåãî NY , íè ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé

Nym , à óò-

âåðæäàåò ñõîäèìîñòü ýòèõ âåëè÷èí äðóã ê äðóãó èëè, èíà÷å, óò-âåðæäàåò ñõîäèìîñòü ê íóëþ èõ ðàçíîñòè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âû-áîðî÷íîå ñðåäíåå NY è ñðåäíåå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé

Nym

ìîãóò íå èìåòü ïðåäåëà. Îíè ìîãóò, íàïðèìåð, ôëóêòóèðîâàòüâîêðóã êîíñòàíòû, íî ïðè ýòîì îíè èçìåíÿþòñÿ ñèíõðîííî.

Èç òåîðåìû ×åáûøåâà ñëåäóåò, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèéòåîðåìû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí òîãäà è òîëüêîòîãäà ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâà, êîãäà ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìàâûáîðêè N ê áåñêîíå÷íîñòè âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ ôëóêòóàöèèñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé

Nym ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.

Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, óäîâëåòâîðÿþ-ùèõ óñëîâèÿì òåîðåìû, ýòî ïîëîæåíèå ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿêàê îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.

Ïðèìåíèòåëüíî ê ñëó÷àéíîìó ïðîöåññó òåîðåìà ×åáûøåâàìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïóñòü ñå÷åíèÿ

1 2( ), ( ),X t X t K ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ( )X t ïðåäñòàâëÿþò ñîáîéïîïàðíî íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, èìåþùèå êîíå÷íûå


56

äèñïåðñèè è ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ 1 2( ), ( ),x xm t m t K . Òîãäàïðè óñòðåìëåíèè âðåìåíè íàáëþäåíèÿ t ê áåñêîíå÷íîñòè ñðåä-

íåå ïðîöåññà 1 10

1( ) ( )d

t

Y t X t tt

= ∫ ñòðåìèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ñðåä-

íåìó 1 10

1( ) ( )d

t

y xm t m t tt

= ∫ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé.

Åñëè ïðåäåë ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ( )ym t ñóùå-

ñòâóåò, òî ïðè t → ∞ ïðîöåññ ( )Y t , çàòóõàÿ, ñòðåìèòñÿ ê ýòîìóïðåäåëó. Åñëè æå ïðåäåë íå ñóùåñòâóåò, òî ïðè t → ∞ ïðîöåññ

( )Y t è ñðåäíåå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ( )ym t ñèíõðîííî

ôëóêòóèðóþò, ïðè ýòîì ôëóêòóèðóþò òàêèì îáðàçîì, ÷òî( ) ( )yY t m t→ , ò.å. çíà÷åíèå ïðîöåññà ( )Y t ïðèáëèæàåòñÿ ê çíà÷å-

íèþ ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ( )ym t .

3.3. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ О СТАТИСТИЧЕСКИ НЕУСТОЙЧИВЫХПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ И ПРОЦЕССАХ

Ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâûìè ÿâëÿþòñÿ îäíîðîäíàÿ ïîñëåäîâà-òåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ îãðàíè÷åííûìè ïåðâûìè äâóìÿìîìåíòàìè, à òàêæå íåîäíîðîäíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõâåëè÷èí ñ îãðàíè÷åííûìè ïåðâûìè äâóìÿ ìîìåíòàìè ïðè óñëî-âèè, ÷òî ñðåäíåå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ýòèõ âåëè÷èí èìååòïðåäåë. Ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâûì ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèé äåòåð-ìèíèðîâàííûé ïðîöåññ.

Ïðèìåðû ìîäåëåé ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâûõ ïðîöåññîâ ïðè-âåäåíû íà ðèñ. 3.1: ìîäåëü áåëîãî ãàóññîâñêîãî øóìà (ìîäåëü 1) èìîäåëü ãàðìîíè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ (ìîäåëü 2).

Åñëè ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè ê áåñêîíå÷íîñòèñðåäíåå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íå èìååòïðåäåëà (íàïðèìåð, ôëóêòóèðóåò), òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòü – ñòà-òèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâà. Ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûì ÿâëÿåòñÿ÷èñëîâîé íåñõîäÿùèéñÿ ðÿä.

Ïîä÷åðêíåì, ÷òî äëÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ïîíÿòèÿ íåñòàöèî-íàðíîñòè è ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè íå òîæäåñòâåííû.

Ñòàöèîíàðíûå ýðãîäè÷åñêèå ïî îòíîøåíèþ ê ìàòåìàòè÷å-ñêîìó îæèäàíèþ ïðîöåññû [Ãîðáàíü, 2003] ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé-÷èâû. Ñðåäè íåñòàöèîíàðíûõ âñòðå÷àþòñÿ êàê ñòàòèñòè÷åñêèóñòîé÷èâûå, òàê è ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûå ïðîöåññû.

3.4. Причины нарушения статистической устойчивости

57

Ðèñ. 3.1. Ìîäåëü áåëîãî ãàóññîâñêîãî øóìà (ìîäåëü 1) (à), ìîäåëü ãàðìîíè-÷åñêîãî êîëåáàíèÿ (ìîäåëü 2) (â) è ñîîòâåòñòâóþùèå èì íàêîïëåííûå ñðåä-

íèå (á, ã)

Òàêèì îáðàçîì, ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûå ïðîöåññû – îñî-áûé êëàññ íåñòàöèîíàðíûõ ïðîöåññîâ.

3.4. ПРИЧИНЫ НАРУШЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙУСТОЙЧИВОСТИ

Ïðåäñòàâèì íåñòàöèîíàðíûé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ( )X t â âèäå

ñóììû åãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ( )xm t è ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà

( )X to

ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì:

( ) ( ) ( )xX t m t X t= +o

.

Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñðåäíåãî ( )ym t îïðåäåëÿåòñÿ ìà-

òåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ( )xm t :


58

1 10

1( ) ( )d

t

y xm t m t tt

= ∫ .

Ïîýòîìó äëÿ èçó÷åíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè îñîáûéèíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ( )xm t .

Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûå ïðîöåññû ñ òðåìÿ òèïàìè èçìåíåíèÿìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ( )xm t : ïåðèîäè÷åñêèì, ñêà÷êîîáðàç-íûì è àïåðèîäè÷åñêèì.

3.4.1. Случайные процессы с периодическиизменяющимся математическим ожиданием

Ïóñòü ( )xm t – ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ ïåðèîäîì T . Òîãäà ååìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä Ôóðüå:

j2( ) expx k

k

m t a ktT

∞

=−∞

π =

∑ & , (3.1)

ãäå exp( j )k k ka a= ϕ& – êîìïëåêñíûé êîýôôèöèåíò ðàçëîæåíèÿ,

ka – àìïëèòóäà, kϕ – ôàçà.Ïðè ýòîì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñðåäíåãî

01

sin( ) 2 cos( )y k k

k

tk Tm t a a tk T

tk T

∞

=

π= + π + ϕ

π∑ . (3.2)

Èç âûðàæåíèÿ (3.2) ñëåäóåò, ÷òî ïåðåìåííàÿ ÷àñòü ìàòåìàòè-÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñðåäíåãî îïèñûâàåòñÿ ãàðìîíè÷åñêèìè ôóíê-öèÿìè, çàòóõàþùèìè ïî çàêîíó sin /x x . Ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ

ýòèõ ôóíêöèé îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ïåðèîäà T : ïî ìåðå óâå-ëè÷åíèÿ ïåðèîäà ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ óìåíüøàåòñÿ, à ïðè T → ∞îíà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.

Ìèíèìàëüíàÿ ñêîðîñòü çàòóõàíèÿ – ó ïåðâîãî ÷ëåíà ðÿäà(ñîîòâåòñòâóþùåãî 1k = ). Â ìàòåìàòè÷åñêîì îæèäàíèè ñðåäíåãî(3.2) ãàðìîíèêè âûñøåãî ïîðÿäêà, ïðèñóòñòâóþùèå â ðàçëîæå-íèè (3.1), îêàçûâàþòñÿ ïîäàâëåííûìè. ×åì âûøå ïîðÿäîê ãàð-ìîíèêè, òåì ñèëüíåå ïîäàâëåíèå.

Åñëè äëèòåëüíîñòü t èíòåðâàëà íàáëþäåíèÿ ñóùåñòâåííîìåíüøå ïåðèîäà T , èçìåíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñðåä-íåãî ( )ym t íåçíà÷èòåëüíû. Ýòî – îáëàñòü âûðàæåííîé ñòàòèñòè-

÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Ñèòóàöèÿ, îäíàêî, ìåíÿåòñÿ ïî ìåðå ïðè-


59

Ðèñ. 3.2. Ìîäåëè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ñ âûñîêîé (ìîäåëü 3) (à) è íèçêîé(ìîäåëü 4) (â) ÷àñòîòîé êîëåáàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è ñîîòâåòñò-

âóþùèå èì íàêîïëåííûå ñðåäíèå (á, ã)

áëèæåíèÿ äëèòåëüíîñòè t ê ïåðèîäó T . Íà èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ[0, ]t T∈ , êàê âèäíî èç âûðàæåíèÿ (3.2), ïðîèñõîäÿò çíà÷èòåëüíûå

èçìåíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, ÷òî ñâèäåòåëüñòâóåò î âû-ðàæåííîé òåíäåíöèè íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.

Õàðàêòåðèçóÿ ïðîöåññ íà ýòîì èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ, ìîæíîñ÷èòàòü åãî ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûì.

Çàìåòèì, ÷òî îùóòèìûå èçìåíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäà-íèÿ ñðåäíåãî è íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ìîãóòòàêæå ðåãèñòðèðîâàòüñÿ è íà èíòåðâàëàõ íàáëþäåíèÿ, ñóùåñò-âåííî áîëüøèõ ïåðèîäà T . Ýòî èìååò ìåñòî, êîãäà ãàðìîíèêèâûñøåãî ïîðÿäêà äîñòàòî÷íî âåëèêè, à èõ íîìåðà íå î÷åíüáîëüøèå.

Îïèñàííûå îñîáåííîñòè ïðîèëëþñòðèðîâàíû ðèñ. 3.2 (ìîäå-ëè 3, 4).

Ïðè ðàñ÷åòàõ èñïîëüçîâàëàñü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü


60

1 0 2 cos(2 / )ln nx a n n fn N= + σ + σ π ,

ðàññìàòðèâàåìàÿ êàê ôóíêöèÿ âðåìåíè t tn= ∆ â ÷àñàõ ( 1,n N= ,0,2t∆ = ñ), ñ äâóìÿ ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè ÷àñòîòû f . Â ìîäå-

ëè 3 400f = (ðèñ. 3.2, à, á), à â ìîäåëè 4 – 1f = (ðèñ. 3.2, â, ã). Â

îáåèõ ìîäåëÿõ 220a = , 1 1σ = , ìíîæåñòâî îòñ÷åòîâ ðàçáèòî íà L

áëîêîâ ïî M îòñ÷åòîâ â êàæäîì (N ML= , 64M = ), 0ln – ñîîò-

âåòñòâóþùèé l -ìó áëîêó îòñ÷åò ãàóññîâñêîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è åäèíè÷íîé äèñïåðñèåé,

nn – n -é îòñ÷åò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì

îæèäàíèåì è åäèíè÷íîé äèñïåðñèåé, 2 10σ = .

Èç âûðàæåíèÿ (3.2) ñëåäóåò, ÷òî ïðè t → ∞ è êîíå÷íîì Tôëóêòóàöèè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñðåäíåãî ( )ym t ñòðåìÿò-

ñÿ ê íóëþ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî, íåñìîòðÿ íà íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè-÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íà îïðåäåëåííîì èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ,ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñ ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùèìñÿ ìàòåìàòè÷å-ñêèì îæèäàíèåì â öåëîì ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâ.

Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ( )X t , ïðåäñòàâëÿþùèé ñî-

áîé ñóììó Q ïðèìåðíî îäèíàêîâûõ ïî óðîâíþ ïðîöåññîâ ( )qX t

ñ ïåðèîäàìè èçìåíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ 1 2, , , QT T TK .

Ïåðèîä 1qT + êàæäîãî ñëåäóþùåãî ïðîöåññà 1( )qX t+ çíà÷èòåëüíî

áîëüøå ïåðèîäà qT ïðåäûäóùåãî ïðîöåññà ( )qX t .

Íà èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ îò íóëÿ äî t , çíà÷èòåëüíî ìåíü-øåì 1T , ôëóêòóàöèè ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ïðàêòè÷åñêè íå

ïðîÿâëÿþòñÿ è ïîýòîìó ïðîöåññ ( )X t ìîæíî ñ÷èòàòü ïðàêòè÷å-

ñêè óñòîé÷èâûì. Ïðè ïðèáëèæåíèè t ê 1T ïðîöåññ 1( )X t (à ñëå-

äîâàòåëüíî, è ïðîöåññ ( )X t ) ñòàíîâèòñÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé-÷èâûì. Ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè âðåìåíè íàáëþäåíèÿ íà÷è-íàþò ïðîÿâëÿòüñÿ ñòàòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà ïðîöåññà 1( )X t è îíïîñòåïåííî ïðèîáðåòàåò õàðàêòåð óñòîé÷èâîãî ïðîöåññà. Ïðèýòîì ïðîöåññ ( )X t òàêæå íà÷èíàåò ïîõîäèòü íà ñòàòèñòè÷åñêèóñòîé÷èâûé ïðîöåññ.

Ïðè ïðèáëèæåíèè t ê 2T ïðîöåññ 2( )X t ñòàíîâèòñÿ ñòàòè-ñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûì. Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ñòàòèñòè÷å-ñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ïðîöåññà ( )X t íàðóøàåòñÿ è ò.ä. Ïðè Q → ∞


61

Ðèñ. 3.3. Ìîäåëè ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì, ñîäåð-æàùèì òðè ñèëüíî îòñòîÿùèõ äðóã îò äðóãà ïî ÷àñòîòå ãàðìîíèêè (ìîäåëü5) (à) è ïÿòü áëèçêî ðàñïîëîæåííûõ ïî ÷àñòîòå ãàðìîíèê (ìîäåëü 6) (â), à

òàêæå ñîîòâåòñòâóþùèå èì íàêîïëåííûå ñðåäíèå (á, ã)

÷åðåäîâàíèå óñòîé÷èâûõ è íåóñòîé÷èâûõ ñîñòîÿíèé îõâàòûâàåòáåñêîíå÷íûé èíòåðâàë íàáëþäåíèÿ è â öåëîì ïðîöåññ îêàçû-âàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûì.

Êîãäà ïåðèîäû ñâÿçàíû íåðàâåíñòâàìè 1 2q qT T+ < , îáëàñòè

íåóñòîé÷èâûõ ñîñòîÿíèé ñëèâàþòñÿ ìåæäó ñîáîé è ïðàêòè÷åñêèíà âñåì èíòåðâàëå 1[ , )QT T ïðîöåññ îêàçûâàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêè

íåóñòîé÷èâûì.Îïèñàííàÿ ñõåìà ôîðìèðîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûõ

îáëàñòåé ïðîèëëþñòðèðîâàíà ìîäåëÿìè 5 è 6 (ðèñ. 3.3).Ìîäåëü 5 îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì

3

1 0 21

cos(2 / )ln n i

i

x a n n f n N=

= + σ + σ π∑ ,


62

ãäå 1 256f = , 2 16f = , 3 1f = , à ìîäåëü 6 – âûðàæåíèåì

5

1 0 21

cos(2 / )ln n i

i

x a n n f n N=

= + σ + σ π∑ ,

ãäå 1 16f = , 2 8f = , 3 4f = , 4 2f = , 5 1f = .Â îáåèõ ìîäåëÿõ íåîãîâîðåííûå ïàðàìåòðû òàêèå æå, êàê â

ìîäåëè 3.Îïèñàííàÿ àääèòèâíàÿ ìîäåëü ìîæåò èñïîëüçîâàòüñÿ â êà÷å-

ñòâå ìîäåëè ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ. Íàëè÷èåì â íåé ñëó÷àéíûõñîñòàâëÿþùèõ ñ ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùèìèñÿ ìàòåìàòè÷åñêè-ìè îæèäàíèÿìè ìîæíî îáúÿñíèòü ÷åðåäîâàíèå â ðåàëüíûõ ïðî-öåññàõ ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâûõ è íåóñòîé÷èâûõ ñîñòîÿíèé.

3.4.2. Случайные процессы со скачкообразноизменяющимся математическим ожиданием

Ñ òî÷êè çðåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñëó÷àéíûé ïðî-öåññ ñî ñêà÷êîîáðàçíî èçìåíÿþùèìñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåìíå ïðåäñòàâëÿåò îñîáîãî èíòåðåñà, ïîñêîëüêó ïðè íàëè÷èè ñèëüíîâûäåëÿþùèõñÿ îòñ÷åòîâ ñðåäíåå îòêëèêàåòñÿ íà âîçäåéñòâèåâñïëåñêàìè óðîâíÿ, íî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè îíè áûñòðî ñãëàæè-âàþòñÿ (ìîäåëü 7, ðèñ. 3.4, à, á).

Â ðàññìàòðèâàåìîé ìîäåëè îòñ÷åòû âõîäíîãî ïðîöåññà îïè-ñûâàþòñÿ âûðàæåíèåì 1 1 2 2(1 | |)n n p nx a n n= + σ + σ ε + , ãäå 2 20σ = ,

1nn , 2nn – ãàóññîâñêèå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ íóëåâûì ìàòåìà-òè÷åñêèì îæèäàíèåì è åäèíè÷íîé äèñïåðñèåé,

0, åñëè íå êðàòíî ,

1, åñëè êðàòíî ,p

n p

n p

ε =

4000p = , à îñòàëüíûå ïàðàìåòðû òàêèå æå, êàê â ìîäåëè 3.

3.4.3. Случайные процессы с апериодическиизменяющимся математическим ожиданием

Çàìåòèì, ÷òî ñëó÷àéíûå ïðîöåññû ñ ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùèìñÿìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì, ðàññìîòðåííûå â ï. 3.4.1, íà èíòåð-âàëå íàáëþäåíèÿ äëèòåëüíîñòüþ ìåíåå ïåðèîäà T ìîæíî èíòåð-ïðåòèðîâàòü êàê ïðîöåññû ñ àïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùèìñÿ ìàòå-ìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî òàêèå ïðîöåññû ìîãóò


63

Ðèñ. 3.4. Ìîäåëü ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ñ ïåðèîäè÷åñêè ñêà÷êîîáðàçíûì èç-ìåíåíèåì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ (ìîäåëü 7) (à), ìîäåëü ñëó÷àéíîãîïðîöåññà ñ àïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùèìñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì (ìî-

äåëü 8) (â) è ñîîòâåòñòâóþùèå èì íàêîïëåííûå ñðåäíèå (á, ã)

áûòü ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûìè íà îïðåäåëåííûõ èíòåðâàëàõíàáëþäåíèÿ.

Ïóñòü ( )xm t äîïóñêàåò ðàçëîæåíèå â ðÿä Ìàêëîðåíà:

0

( ) kx k

k

m t a t∞

=

= ∑ . (3.3)

Òîãäà

0

( )1

kk

yk

a tm t

k

∞

=

=+∑ . (3.4)

Èç âûðàæåíèÿ (3.4) ñëåäóåò, ÷òî èçìåíåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿ ( )xm t ïî çàêîíó kt ïðèâîäèò ê òàêîìó æå çàêîíó èç-

ìåíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñðåäíåãî ( )ym t . Ýòî îçíà÷à-


64

åò, ÷òî åñëè ( ) kxm t t= , òî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ñòàòèñòè÷åñêè íå-

óñòîé÷èâ íà ëþáîì èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ.Çàìåòèì, ÷òî èç-çà íàëè÷èÿ â ðàçëîæåíèè (3.4) äîïîëíèòåëü-

íûõ ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàçëîæåíèåì (3.3) êîýôôèöèåíòîâ 1( 1)k −+çàêîí èçìåíåíèÿ ( )ym t â îáùåì ñëó÷àå íå ïîâòîðÿåò çàêîí èç-

ìåíåíèÿ ( )xm t , à ïîòîìó íå îáÿçàòåëüíî ïðîöåññ ñ àïåðèîäè÷å-ñêè èçìåíÿþùèìñÿ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ÿâëÿåòñÿ ñòàòè-ñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûì.

Ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, ó êîòîðîãî ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå ( )xm t â ëîãàðèôìè÷åñêîì ìàñøòàáå èçìåíÿåòñÿ ïå-

ðèîäè÷åñêè ñ ïåðèîäîì T . Â ýòîì ñëó÷àå ìàòåìàòè÷åñêîå îæè-äàíèå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî ðÿäîì

j2( ) exp lnx k

k

m t a k tT

∞

=−∞

π =

∑ & .

Èíòåãðèðîâàíèå ýòîãî âûðàæåíèÿ ñ íîðìèðîâêîé íà t äàåòìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñðåäíåãî ( )ym t , êîòîðîå ñ ïîìîùüþ

íåñëîæíûõ àíàëèòè÷åñêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðèâîäèòñÿ ê âèäó

0 2 2 21

( ) 21 4 /

ky

k

am t a

k T

∞

=

= + ×+ π

∑

sin(2 ln +arctg( / 2 )).kk t T T k× π + ϕ π

Êàê âèäíî, äëÿ ïåðèîäè÷åñêîé â ëîãàðèôìè÷åñêîì ìàñøòàáåôóíêöèè ( )xm t ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ñðåäíåãî ( )ym t îïèñû-

âàåòñÿ ðÿäîì íåçàòóõàþùèõ ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíêöèé. Ýòî îçíà÷à-åò, ÷òî òàêîé ïðîöåññ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâ íà èíòåðâàëåíàáëþäåíèÿ [0, )∞ .

Íà ðèñ. 3.4, â, ã ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ ìîäåëè,ïðåäñòàâëÿåìîé ôóíêöèåé

1 2cos(2 lg / lg )n nx a n f n N= + σ + σ π

(ìîäåëü 8), ãäå 2 10σ = , 20f = , à îñòàëüíûå ïàðàìåòðû è âå-ëè÷èíû òàêèå æå, êàê è â ìîäåëè 3.

Ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ âðÿä ëè îïèñû-âàþòñÿ ôóíêöèÿìè òèïà kt èëè êîñèíóñ-ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíê-öèåé. Îñíîâíàÿ ïðè÷èíà òîìó – èõ íåèíâàðèàíòíîñòü ê ñäâèãó.

3.5. Оценка степени нарушения статистической устойчивости …

65

Ïðè ýòîì, îäíàêî, íå ñëåäóåò èñêëþ÷àòü âîçìîæíîñòü, ÷òî îòäåëü-íûå ôðàãìåíòû ðåàëèçàöèé ìîãóò îïèñûâàòüñÿ ïîäîáíûìè ôóíê-öèÿìè ñ âûòåêàþùèìè èç ýòîãî ïîñëåäñòâèÿìè.

3.5. ОЦЕНКА СТЕПЕНИ НАРУШЕНИЯСТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НА КОНЕЧНОМ

ИНТЕРВАЛЕ НАБЛЮДЕНИЯ

Óñòàíîâèòü íà ïðàêòèêå ôàêò ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëü-íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èëè ðåàëüíîãî ïðîöåññà ïðèíöèïèàëüíîíåâîçìîæíî, ïîñêîëüêó èíòåðâàë íàáëþäåíèÿ âñåãäà îãðàíè÷åí. Ïîýòîé æå ïðè÷èíå íåâîçìîæíî âû÷èñëèòü ãðàíèöó C ìàòåìàòè-÷åñêîãî îæèäàíèÿ âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè ôëóêòóàöèè ñðåäíåãî,õàðàêòåðèçóþùóþ ñòåïåíü íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòèèññëåäóåìîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èëè ïðîöåññà.

Ïî àíàëîãèè ôîðìàëèçàöèè øèðîêî èñïîëüçóåìîãî èíæåíå-ðàìè ïîíÿòèÿ èíòåðâàëà ñòàöèîíàðíîñòè (ïîä êîòîðûì îáû÷íîïîäðàçóìåâàåòñÿ èíòåðâàë, íà êîòîðîì ïðîöåññ íå òîëüêî ñòà-öèîíàðåí, íî è ïðàêòè÷åñêè ýðãîäè÷åí) ìîæíî ôîðìàëèçîâàòüïîíÿòèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íà êîíå÷íîì èíòåðâàëåíàáëþäåíèÿ.

Îñíîâîé äëÿ ôîðìàëèçàöèè ìîæåò ñëóæèòü âûÿâëåíèå ïðèóâåëè÷åíèè îáúåìà îáðàáàòûâàåìûõ äàííûõ òåíäåíöèè ñòàáèëè-çàöèè óðîâíÿ âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî èëè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæè-äàíèÿ ñðåäíåãî. Íàëè÷èå òàêîé òåíäåíöèè ÿâëÿåòñÿ êà÷åñò-âåííûì ïîêàçàòåëåì ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Îòñóòñòâèåòàêîé òåíäåíöèè ñâèäåòåëüñòâóåò î íàðóøåíèè ñòàòèñòè÷åñêîéóñòîé÷èâîñòè.

Äëÿ êîëè÷åñòâåííîé îöåíêè ñòåïåíè íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷å-ñêîé óñòîé÷èâîñòè ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïàðàìåòðû, õàðàêòåðè-çóþùèå ôëóêòóàöèþ âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî NY èëè ôëóêòóàöèþ

ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé Ny

m .

Óðîâåíü ôëóêòóàöèè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî NY ïðåäñòàâëÿåò

âûáîðî÷íàÿ äèñïåðñèÿ NYD ôëóêòóàöèè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî nY .

Â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà, õàðàêòåðèçóþùåãî ñòåïåíü íàðóøåíèÿñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè,ìîæåò ñëóæèòü ïàðàìåòð ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè âûáî-ðî÷íîãî ñðåäíåãî. Ýòîò ïàðàìåòð ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàòåìàòè÷å-ñêîå îæèäàíèå âûáîðî÷íîé äèñïåðñèè

NYD , íîðìèðîâàííîå íà äèñ-


66

ïåðñèþ âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî 2

1

1N n

N

y xn

D DN =

= ∑ è îáúåì âûáîðêè

N : 1

MN

N

Y

Ny

D

ND

γ = , ãäå M[ ]⋅ – îïåðàòîð ìàòåìàòè÷åñêîãî îæè-

äàíèÿ, nx

D – äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû nX .

Óðîâåíü ôëóêòóàöèè ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé Ny

m

ïðåäñòàâëÿåò äèñïåðñèÿ ôëóêòóàöèè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ âûáî-

ðî÷íîãî ñðåäíåãî 2

1

1( )

y n yN N

N

m y mn

D m mN =

= −∑ , ãäå 1

1y nN

N

m yn

m mN =

= ∑ –

ñðåäíåå ôëóêòóàöèé ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ny

m âûáîðî÷íîãî

ñðåäíåãî.Ïîýòîìó ïàðàìåòðîì, õàðàêòåðèçóþùèì ñòåïåíü íàðóøåíèÿ

ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè,ìîæåò ñëóæèòü òàêæå ïàðàìåòð ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè

ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé 2yN

N

m

Ny

D

NDγ = , ïðåäñòàâëÿþ-

ùèé ñîáîé äèñïåðñèþ ôëóêòóàöèè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿâûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî

yNmD , íîðìèðîâàííóþ íà äèñïåðñèþ âû-

áîðî÷íîãî ñðåäíåãî Ny

D è îáúåì âûáîðêè N .

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïàðàìåòð ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé-÷èâîñòè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî è ïàðàìåòð ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñ-òîé÷èâîñòè ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé îïèñûâàþòñÿñîîòâåòñòâåííî âûðàæåíèÿìè

2

11

1

M ( )N

n

N

n Yn

N N

xn

Y m

D

=

=

− γ =∑

∑,

2

12

1

( )n yN

n

N

y mn

N N

xn

m m

D

=

=

−γ =

∑

∑.

Íà îñíîâàíèè òåîðåìû ×åáûøåâà ïðè N → ∞ ïàðàìåòð ñòà-

òèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî 1Nγ ñòðåìèò-ñÿ ê ïàðàìåòðó ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè ñðåäíåãî ìàòåìà-òè÷åñêèõ îæèäàíèé 2Nγ , ïðè÷åì êàê â ñëó÷àå ñòàòèñòè÷åñêè óñ-òîé÷èâûõ, òàê è â ñëó÷àå ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûõ ïîñëåäî-âàòåëüíîñòåé.

3.5. Оценка степени нарушения статистической устойчивости …

67

Äëÿ ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè èõ ïðå-

äåëüíûå çíà÷åíèÿ ðàâíû íóëþ (òàê êàê M 0NYD → , à

NyND –

êîíå÷íàÿ âåëè÷èíà), à äëÿ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâîé ïîñëåäîâà-òåëüíîñòè ýòè âåëè÷èíû ìîãóò ïðèíèìàòü íåêîòîðîå ïîëîæèòåëü-íîå çíà÷åíèå, ôëóêòóèðîâàòü èëè ñòðåìèòüñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè.

Âåëè÷èíû ïàðàìåòðîâ ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè 1Nγ , 2Nγçàâèñÿò êàê îò âåëè÷èíû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ âûáîðî÷íîé

äèñïåðñèè MNYD ôëóêòóàöèè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî è äèñïåð-

ñèè ôëóêòóàöèè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ yNmD âûáîðî÷íîãî

ñðåäíåãî, òàê è îò äèñïåðñèè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî Ny

D : ïðè óìåíü-

øåíèè ïàðàìåòðîâ ôëóêòóàöèè MNYD è

yNmD ïàðàìåòðû ñòàòè-

ñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè 1Nγ , 2Nγ óìåíüøàþòñÿ, à ïðè óìåíüøå-

íèè äèñïåðñèè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî Ny

D – âîçðàñòàþò.

Äëÿ îöåíêè ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè èíîãäà ìîãóò áûòüáîëåå óäîáíûìè äðóãèå ïàðàìåòðû ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâî-ñòè – ïàðàìåòðû 1Nµ , 2Nµ , ñâÿçàííûå ñ ïàðàìåòðàìè 1Nγ , 2Nγ

ñîîòíîøåíèÿìè 1 1 1/(1 )N N Nµ = γ + γ , 2 2 2/(1 )N N Nµ = γ + γ .

Â îòëè÷èå îò ïàðàìåòðîâ 1Nγ , 2Nγ , îãðàíè÷åííûõ ëèøü ñíèçó

íóëåâûì çíà÷åíèåì, ïàðàìåòðû 1Nµ , 2Nµ îãðàíè÷åíû êàê ñíèçó,òàê è ñâåðõó: ìèíèìàëüíî âîçìîæíîå çíà÷åíèå ýòèõ ïàðàìåòðîâðàâíî íóëþ, à ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå – åäèíèöå.

×åì ìåíüøå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ 1Nµ , 2Nµ , òåì áîëåå óñòîé-

÷èâà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ 1Nµ , 2Nµ , áëèç-

êèå ê íóëþ ïðè áîëüøèõ îáúåìàõ âûáîðêè N , ñâèäåòåëüñòâóþòî âûñîêîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè,áîëüøèå æå çíà÷åíèÿ – î åå ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè.

Ðåàëüíûå ïðîöåññû ñîäåðæàò êàê ñòàòèñòè÷åñêè ïðîãíîçèðóåìóþ,òàê è ñòàòèñòè÷åñêè íåïðîãíîçèðóåìóþ ñîñòàâëÿþùèå. Õîòÿ âñå ðàñ-ñìîòðåííûå ïàðàìåòðû ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè – îòíîñè-òåëüíûå (áåçðàçìåðíûå) âåëè÷èíû, ìåæäó íèìè ñóùåñòâóåò ïðèíöè-ïèàëüíîå ðàçëè÷èå. Ïàðàìåòðû 1Nγ , 2Nγ õàðàêòåðèçóþò àáñîëþòíûé

óðîâåíü íåóñòîé÷èâîñòè, à 1Nµ , 2Nµ – îòíîñèòåëüíûé óðîâåíü.

68

Глава 4

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯСТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И ПРОЦЕССОВ

Ïðîâåäåíû ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ðÿäà ôèçè÷åñêèõ ïðî-öåññîâ è âåëè÷èí íà ïðåäìåò èõ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè, âòîì ÷èñëå èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè èçìåíåíèÿ ñïåêòðîâ ñîáñòâåííûõøóìîâ óñèëèòåëÿ, ñïåêòðîâ ãèäðîàêóñòè÷åñêèõ øóìîâ ìîðñêèõ ñóäîâ,êîëåáàíèé íàïðÿæåíèÿ ãîðîäñêîé ýëåêòðîñåòè, âûñîòû ìîðñêèõ âîëíè ïåðèîäà èõ ñëåäîâàíèÿ, ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè è êîòèðîâêè âàëþò.Óñòàíîâëåíî, ÷òî íà íåáîëüøèõ èíòåðâàëàõ íàáëþäåíèÿ íàðóøåíèÿñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íå îáíàðóæèâàþòñÿ, îäíàêî íàáîëüøèõ èíòåðâàëàõ íàáëþäåíèÿ âñå îíè îêàçûâàþòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèíåóñòîé÷èâûìè. Òîò ôàêò, ÷òî èññëåäîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîéóñòîé÷èâîñòè ñîâåðøåííî ðàçíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ïðèâîäÿò êîäíîìó è òîìó æå ðåçóëüòàòó, ïîçâîëÿåò ïðåäïîëîæèòü, ÷òîíàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïðèñóùå ìíîãèì, åñëè íåâñåì, ðåàëüíûì ôèçè÷åñêèì ÿâëåíèÿì.

4.1. ПРИМЕРЫ СТАТИСТИЧЕСКИ НЕУСТОЙЧИВЫХЯВЛЕНИЙ

Äîëãî èñêàòü ïðèìåðû ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûõ ÿâëåíèé íåïðèõîäèòñÿ. Ïðè äëèòåëüíîì íàáëþäåíèè ïðàêòè÷åñêè ëþáîéâåëè÷èíû èëè ïðîöåññà 1 ïðîèñõîäèò íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîéóñòîé÷èâîñòè.

Íà ðèñ. 4.1, à – ç ïðèâåäåíû ñïåêòðû ñîáñòâåííûõ øóìîâ íèç-êîêà÷åñòâåííîãî óñèëèòåëÿ ïðè ðàçíîì êîëè÷åñòâå óñðåäíåíèé 2.

Ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿ ÷èñëà óñðåäíåíèé ïðè îòíîñèòåëüíî íå-áîëüøîì èõ êîëè÷åñòâå (â äàííîì ñëó÷àå äî ñîòíè ðåàëèçàöèéìãíîâåííîãî ñïåêòðà) íàáëþäàåòñÿ óìåíüøåíèå óðîâíÿ ôëóêòóà-

1 Èñêëþ÷åíèå ìîãóò ñîñòàâëÿòü ëèøü ìèðîâûå êîíñòàíòû.2 Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ïðåäíàìåðåííî áûë âûáðàí íèçêîêà÷åñòâåííûé

óñèëèòåëü, òàê êàê íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íà÷èíàåò ïðî-ÿâëÿòüñÿ â íåì óæå íà íåáîëüøîì èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ.

4.1. Примеры статистически неустойчивых явлений

69

Ðèñ. 4.1. Ñïåêòðû ñîáñòâåííûõ øóìîâ óñèëèòåëÿ ïðè 2, 8, 32, 128, 256, 512,1024 è 2048 óñðåäíåíèÿõ ìãíîâåííûõ ñïåêòðîâ (ñîîòâåòñòâåííî à – ç)

Глава 4. Экспериментальные исследования статистической устойчивости …

70

Ðèñ. 4.2. Ñïåêòðû øó-ìîâ îäíîãî è òîãî æåñóäíà â ðàçíûå ïåðèî-

äû íàáëþäåíèÿ

öèé, îäíàêî äàëåå ôëóêòóàöèè âîçðàñòàþò. Ïðè äàëüíåéøåì íà-êîïëåíèè ñïåêòðîâ (â äàííîì ñëó÷àå äî òûñÿ÷è ðåàëèçàöèéìãíîâåííîãî ñïåêòðà) ïðîèñõîäèò óìåíüøåíèå óðîâíÿ ôëóêòóà-öèé, à äàëåå – îïÿòü èõ âñïëåñê.

Ïðèâåäåííûé ïðèìåð íàãëÿäíî äåìîíñòðèðóåò, ÷òî äëèòåëü-íîå íàêîïëåíèå äàííûõ íå âñåãäà ïðèâîäèò ê æåëàåìîìó ïîäàâ-ëåíèþ øóìîâ 3.

Äðóãîé ïðèìåð êàñàåòñÿ ãèäðîàêóñòèêè. Íà ðèñ. 4.2 ïðèâåäåíûñïåêòðû øóìîâ ìîðñêîãî ñóäíà, ïîëó÷åííûå àâòîðîì â îäíîé èç

3 Ïðèâåäåííûå ñïåêòðû áûëè ïîëó÷åíû è èññëåäîâàíû àâòîðîì

íåäàâíî. Â.È. Èâàíåíêî, äàâíî è ïëîäîòâîðíî çàíèìàþùèéñÿ ïðîáëåìîéíåîïðåäåëåííîñòè (ñì., íàïðèìåð, [Èâàíåíêî, Ëàáêîâñêèé, 1990]), ñîîáùèëàâòîðó â ÷àñòíîé áåñåäå, ÷òî àíàëîãè÷íûå èññëåäîâàíèÿ îí ïðîâîäèë åùå â60-õ ãîäàõ è ïðèøåë ê òåì æå âûâîäàì.

4.1. Примеры статистически неустойчивых явлений

71

Òèõîîêåàíñêèõ ýêñïåäèöèé 80-õ ãîäîâ 4 (ñì. [Ãîðáàíü, 2008,Gorban, 2008]). Ñïåêòðû ñíÿòû â ñðåäíå÷àñòîòíîì äèàïàçîíå âìîìåíòû âðåìåíè, îòñòîÿùèå äðóã îò äðóãà ïðèìåðíî íà 10ìèíóò.

Êàê âèäíî, îíè ñóùåñòâåííî ðàçëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé. Äèñ-êðåòíûå ñîñòàâëÿþùèå íà ÷àñòîòàõ 200 è 300 Ãö, ïðèñóòñòâóþ-ùèå â ñïåêòðå, ïðåäñòàâëåííîì íà ðèñ. 4.2, à, îòñóòñòâóþò âñïåêòðàõ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 4.2, á, â. Äèñêðåòíûå ñîñòàâ-ëÿþùèå íà ÷àñòîòàõ 625 è 650 Ãö âíà÷àëå òðàíñôîðìèðóþòñÿ âäèñêðåòíóþ ñîñòàâëÿþùóþ íà ÷àñòîòå 650 Ãö, à çàòåì èñ÷åçàþò.Çàòî ïîÿâëÿþòñÿ äðóãèå äèñêðåòíûå ñîñòàâëÿþùèå, â ÷àñòíîñòèíà ÷àñòîòàõ 225, 250, 830, 925 Ãö.

Ñïåêòðû øóìîèçëó÷åíèÿ ñóäîâ è êîðàáëåé íà áîëåå íèçêèõ÷àñòîòàõ (äî 100 Ãö) çíà÷èòåëüíî áîëåå èçðåçàíû. Èññëåäîâàíèåäèíàìèêè èçìåíåíèÿ íèçêî÷àñòîòíûõ ñïåêòðîâ ïîêàçûâàåò, ÷òîîíè òîæå ìåíÿþòñÿ, õîòÿ è íå òàê áûñòðî.

Èçìåíåíèÿ ñïåêòðîâ øóìîèçëó÷åíèÿ ñâÿçàíû ñî ìíîãèìèïðè÷èíàìè, â ÷àñòíîñòè ñ èçìåíåíèåì ðåæèìîâ ðàáîòû ñóäîâûõóñòðîéñòâ è ìåõàíèçìîâ. Î÷åíü âàæíóþ ðîëü, êàê âûÿñíÿåòñÿ[Ãîðáàíü, 2008, Gorban, 2008], èãðàåò äâèæåíèå èñòî÷íèêà çâóêàîòíîñèòåëüíî ïðèåìíèêà.

Ãèäðîàêóñòè÷åñêàÿ ñðåäà ðàñïðîñòðàíåíèÿ êîëåáàíèé ñóùå-ñòâåííî íåîäíîðîäíà, â îñîáåííîñòè ïî ãëóáèíå. Â ðåçóëüòàòåýòîãî âîçíèêàþò ýôôåêòû ìíîãîëó÷åâîãî (íà âûñîêèõ è ñðåäíèõ÷àñòîòàõ) è ìíîãîìîäîâîãî (íà íèçêèõ ÷àñòîòàõ) ðàñïðîñòðàíåíèÿêîëåáàíèé.

Ïàðàìåòðû ëó÷åé èëè ìîä, ïðèõîäÿùèõ â òî÷êó ïðèåìà, îï-ðåäåëÿþòñÿ ãèäðîëîãè÷åñêèìè óñëîâèÿìè ðàñïðîñòðàíåíèÿ êî-ëåáàíèé, èõ ÷àñòîòîé, à òàêæå ðàññòîÿíèåì ìåæäó èñòî÷íèêîìçâóêà è ïðèåìíèêîì. Ïðè âçàèìíîì ïåðåìåùåíèè èñòî÷íèêà èïðèåìíèêà ðàññòîÿíèå ìåíÿåòñÿ, ÷òî âûçûâàåò ñòàòèñòè÷åñêèíåïðîãíîçèðóåìûå íàðóøåíèÿ êîãåðåíòíîñòè ñèãíàëà è, êàêñëåäñòâèå, íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñïåêòðàïðèíèìàåìûõ êîëåáàíèé.

Ïîýòîìó â óñëîâèÿõ äâèæåíèÿ ñïåêòð ïðèíèìàåìîãî êîëåáà-íèÿ çíà÷èòåëüíî îòëè÷àåòñÿ îò ñïåêòðà èçëó÷åííîãî êîëåáàíèÿ.Èíòåðâàë âðåìåíè, â òå÷åíèå êîòîðîãî ñïåêòð ìàëî ìåíÿåòñÿ,ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ è ñêîðîñòè âçàèìíîãî ïå-

4 Èññëåäîâàíèÿ ïðîâîäèëèñü íà íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèõ ñóäàõ «ÀêàäåìèêÀ.Ï. Âèíîãðàäîâ» è «Àêàäåìèê Ì.À. Ëàâðåíòüåâ» ïî ïðèãëàøåíèþ Òèõîîêåàíñêîãîîêåàíîëîãè÷åñêîãî èíñòèòóòà ÄÂÍÖ ÀÍ ÑÑÑÐ (íûíå ÄÂÎ ÐÀÍ).


72

ðåìåùåíèÿ èñòî÷íèêà çâóêà è ïðèåìíèêà, à òàêæå îò ÷àñòîòûêîëåáàíèé. ×åì áûñòðåå ìåíÿåòñÿ ðàññòîÿíèå, òåì ìåíüøå ýòîòèíòåðâàë, ïðè÷åì äëÿ âûñîêèõ ÷àñòîò îí ìåíüøå, ÷åì äëÿ íèç-êèõ ÷àñòîò.

Ïðè îòñóòñòâèè âçàèìíîãî ïåðåìåùåíèÿ èñòî÷íèêà çâóêàè ïðèåìíèêà ýôôåêò íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòèòàêæå íàáëþäàåòñÿ. Â ýòîì ñëó÷àå îí âûçâàí äèíàìèêîé èçìå-íåíèÿ ñðåäû. Ïîñêîëüêó èçìåíåíèÿ ñðåäû ïðîòåêàþò äîñòàòî÷íîìåäëåííî, èíòåðâàë âðåìåíè, íà êîòîðîì ñïåêòðû ìàëî èçìåíÿ-þòñÿ, ñóùåñòâåííî áîëüøå.

Èçìåí÷èâîñòü ñïåêòðîâ ïðèíèìàåìûõ êîëåáàíèé îãðàíè÷è-âàåò äîïóñòèìóþ äëèòåëüíîñòü èõ íàêîïëåíèÿ.

Ïðèâåäåííûå ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé äèíàìèêè èçìåíåíèÿñïåêòðà ñîáñòâåííûõ øóìîâ óñèëèòåëÿ è ñïåêòðà øóìîâ ñóäíàñâèäåòåëüñòâóþò î èõ ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè.

Â ýòèõ èññëåäîâàíèÿõ ñòåïåíü íàðóøåíèÿ óñòîé÷èâîñòè êî-ëè÷åñòâåííî íå îöåíèâàëàñü. Ðàññìîòðèì ðåçóëüòàòû äðóãèõ èñ-ñëåäîâàíèé, â êîòîðûõ ïðîâîäèëèñü ðàñ÷åòû ïàðàìåòðîâ ñòàòè-ñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè.

4.2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯСТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАПРЯЖЕНИЯ

ГОРОДСКОЙ ЭЛЕКТРОСЕТИ

Ïàðàìåòðû ýëåêòðîñåòè, â òîì ÷èñëå è íàïðÿæåíèå, ìåíÿþòñÿ.Ñóùåñòâóåò ñòàíäàðò [ÃÎÑÒ Ð 51317.3.3–99, 1999], îïðåäåëÿþ-ùèé äîïóñòèìûå îòêëîíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ îò íîìèíàëüíîãî çíà-÷åíèÿ, âûçûâàåìûå òåõíè÷åñêèìè ñðåäñòâàìè. Ñîãëàñíî ýòîìóñòàíäàðòó ìàêñèìàëüíîå îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå íàïðÿæåíèÿíå äîëæíî ïðåâûøàòü 1,33 ⋅ 4 % = 5,32 %, åñëè ýòè èçìåíåíèÿ«âûçâàíû ðó÷íûìè ïåðåêëþ÷åíèÿìè èëè ÷àñòîòà èõ ïîâòîðåíèÿìåíüøå 1/÷».

Äëÿ èçó÷åíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ìåäëåííûõ êîëå-áàíèé íàïðÿæåíèÿ ýëåêòðîñåòè áûë èçãîòîâëåí ìàêåò, âêëþ-÷àþùèé ïîíèæàþùèé òðàíñôîðìàòîð, ñîãëàñóþùåå óñòðîéñòâî(äåëèòåëü íàïðÿæåíèÿ) è êîìïüþòåð.

Ââîä ñèãíàëà îñóùåñòâëÿëñÿ ñ ÷àñòîòîé äèñêðåòèçàöèè 5 êÃö.Ïî êàæäûì 1024 îòñ÷åòàì âû÷èñëÿëèñü äåéñòâóþùèå (ýôôåê-òèâíûå) çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ, çàïèñûâàåìûå â ïàìÿòü êîìïüþ-òåðà ñ 16 ðàçðÿäíîé çâóêîâîé êàðòîé. Çàïèñü âåëàñü ñåàíñàìèíà ïðîòÿæåíèè äâóõ ìåñÿöåâ ñ ïåðåðûâàìè â íåñêîëüêî äíåé.

4.2. Экспериментальные исследования … напряжения …

73

Ðèñ. 4.3. Èçìåíåíèå âî âðåìåíè íàïðÿæåíèÿ ýëåêòðîñåòè íà ïðîòÿæåíèèäâóõ ñåàíñîâ çàïèñè (à, â) è ñîîòâåòñòâóþùèå íàêîïëåííûå ñðåäíèå (á, ã)

Ïðîäîëæèòåëüíîñòü êàæäîãî ñåàíñà ñîñòàâëÿëà îêîëî 60 ÷àñîâ.Çà âðåìÿ ñåàíñà çàïèñûâàëîñü 202 1N = ≈ ìëí îòñ÷åòîâ íàïðÿ-æåíèÿ.

Îáðàáîòêà ïîëó÷åííûõ çàïèñåé ïîêàçàëà, ÷òî íàïðÿæåíèå ñå-òè ïîñòîÿííî ìåíÿëîñü. Â ðàçíûõ ñåàíñàõ èçìåíåíèÿ íîñèëèðàçíûé õàðàêòåð. Äëÿ ïðèìåðà íà ðèñ. 4.3, à, â ïðèâåäåíû çàâè-ñèìîñòè íàïðÿæåíèÿ ñåòè îò âðåìåíè (â ÷àñàõ), ïîëó÷åííûå íàïðîòÿæåíèè äâóõ ñåàíñîâ, è ñîîòâåòñòâóþùèå èì íàêîïëåííûåñðåäíèå.

Àíàëèç ïîëó÷åííîãî ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ìàòåðèàëà âûÿâèëõàðàêòåðíóþ îñîáåííîñòü, ïðèñóùóþ âñåì çàïèñÿì: íåçàòóõàþ-ùèé õàðàêòåð íàêîïëåííîãî ñðåäíåãî (ðèñ. 4.3, á, ã).

Ýòîò ðåçóëüòàò, ñòðàííûé íà ïåðâûé âçãëÿä, ðåçêî êîíòðà-ñòèðóåò ñ ðàññìîòðåííûìè â ãëàâå 3 ðåçóëüòàòàìè äëÿ áåëîãî ãà-óññîâñêîãî øóìà è ïåðèîäè÷åñêîãî êîëåáàíèÿ (ñì. ðèñ. 3.1), äå-ìîíñòðèðóþùèìè ïðè óâåëè÷åíèè âðåìåíè íàêîïëåíèÿ çàòóõà-íèå íàêîïëåííîãî ñðåäíåãî.


74

Ðèñ. 4.4. Ïàðàìåòðû ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî 1Nγ

(à) è ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé 2Nγ (á)

Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïàðàìåòðà ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâî-ñòè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî 1Nγ è ïàðàìåòðà íåóñòîé÷èâîñòè

ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé 2Nγ äëÿ îïèñàííûõ â ïðå-äûäóùåé ãëàâå âîñüìè ìîäåëåé è ÷åòûðåõ ýêñïåðèìåíòàëüíî ïî-

4.2. Экспериментальные исследования … напряжения …

75

Ðèñ. 4.5. Ïàðàìåòðû ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî

1Nµ (à) è ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäà-

íèé 2Nµ (á)

ëó÷åííûõ çàïèñåé, âêëþ÷àÿ ïðåäñòàâëåííûå íà ðèñ. 4.3, ïðèâå-äåíû íà ðèñ. 4.4, à ðåçóëüòàòû àíàëîãè÷íûõ ðàñ÷åòîâ ïàðàìåòðîâíåóñòîé÷èâîñòè 1Nµ , 2Nµ – íà ðèñ. 4.5.


76

Òîíêèìè ëèíèÿìè 1, 2 è 7, 8 èçîáðàæåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷å-òîâ äëÿ ìîäåëåé 1, 2 è 7, 8 ñîîòâåòñòâåííî, ïîëóæèðíûìè ëè-íèÿìè 3 – 6 – ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ ìîäåëåé 3 – 6 ñîîòâåò-ñòâåííî, à æèðíûìè ëèíèÿìè 9 – 12 – ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äëÿ÷åòûðåõ çàïèñåé íàïðÿæåíèÿ ýëåêòðîñåòè.

Ïðè ðàñ÷åòàõ âõîäÿùèå â ïàðàìåòðû ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñ-òîé÷èâîñòè äèñïåðñèè çàìåíÿëèñü îöåíêàìè, ôîðìèðóåìûìè ïîâûáîðêå.

Èç ðèñóíêîâ âèäíî, ÷òî äëÿ âñåõ ìîäåëåé è ðåàëüíûõ ïðî-öåññîâ ïàðàìåòðû ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè âûáîðî÷íîãîñðåäíåãî 1Nγ è ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé 2Nγ ïðàêòè-÷åñêè ñîâïàäàþò, ÷òî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü ïðè îöåíêå ñòàòè-ñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè ëþáîé èç ýòèõ ïàðàìåòðîâ. Òàêîé æåâûâîä ìîæíî ñäåëàòü è äëÿ ïàðàìåòðîâ íåóñòîé÷èâîñòè 1Nµ ,

2Nµ : ïðè áîëüøèõ âðåìåíàõ íàáëþäåíèÿ ïàðàìåòðû 1Nµ è 2Nµ

îêàçûâàþòñÿ ïðèìåðíî îäèíàêîâûìè ( 1 2 =N N Nµ ≈ µ µ ).Äëÿ ìîäåëåé 1 – 3 è 7, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòàòèñòè÷åñêè óñ-

òîé÷èâûì ïðîöåññàì, ñ óâåëè÷åíèåì âðåìåíè íàáëþäåíèÿ tçíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè ìîíîòîííîóìåíüøàþòñÿ, à äëÿ ìîäåëåé 4 – 6 è 8, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòàòè-ñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûì ïðîöåññàì, – âîçðàñòàþò. Äëÿ âñåõ ýêñ-ïåðèìåíòàëüíî ïîëó÷åííûõ ïðîöåññîâ â îáëàñòè áîëüøèõ âðå-ìåí íàáëþäåíèÿ çíà÷åíèÿ ýòèõ ïàðàìåòðîâ ëèáî âîçðàñòàþò, ëè-áî, äîñòèãíóâ ìàêñèìóìà, êîëåáëþòñÿ, îñòàâàÿñü ïðè ýòîì ïðè-ìåðíî íà îäíîì è òîì æå óðîâíå.

Â îáëàñòè áîëüøèõ âðåìåí íàáëþäåíèÿ äëÿ ìîäåëåé ñòàòè-ñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûõ ïðîöåññîâ ïàðàìåòðû 1Nγ , 2Nγ è 1Nµ ,

2Nµ ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ, áîëüøèå, ÷åì äëÿ ìîäåëåé ñòàòèñòè-÷åñêè óñòîé÷èâûõ ïðîöåññîâ. Ýòî ïîäòâåðæäàåò âîçìîæíîñòüèñïîëüçîâàíèÿ ïàðàìåòðîâ 1Nγ , 2Nγ (èëè 1Nµ , 2Nµ ) äëÿ óñòàíîâ-ëåíèÿ ôàêòà íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.

Ïî äèíàìèêå èçìåíåíèÿ ýòèõ ïàðàìåòðîâ ìîæíî ñóäèòü îáèíòåðâàëàõ íàáëþäåíèÿ, íà êîòîðûõ èññëåäóåìûé ïðîöåññ îêà-çûâàåòñÿ ïðàêòè÷åñêè ñòàòèñòè÷åñêè óñòîé÷èâûì èëè ñòàòèñòè-÷åñêè íåóñòîé÷èâûì.

Äëÿ âñåõ ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîëó÷åííûõ çàïèñåé (íå òîëü-êî ïðèâåäåííûõ íà ðèñ. 4.4, 4.5) çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ñòàòèñòè-÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè 1Nγ , 2Nγ , 1Nµ , 2Nµ â êîíöå 60-÷àñîâîãî

4.3. Экспериментальные исследования … высоты морских волн …

77

íàáëþäåíèÿ îêàçàëèñü áîëüøèìè. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ïîçâîëÿåòñäåëàòü âûâîä, ÷òî êîëåáàíèÿ íàïðÿæåíèÿ ýëåêòðîñåòè íîñÿòâûðàæåííûé ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûé õàðàêòåð.

Èíòåðâàë, íà êîòîðîì ïàðàìåòðû ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷è-âîñòè ïðèíèìàþò áîëüøèå çíà÷åíèÿ, íà÷èíàåòñÿ îò íåñêîëüêèõ÷àñîâ è äîõîäèò äî êîíöà çàïèñåé. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî îáëàñòüñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè íåïðåðûâíà è ïåðåêðûâàåò äèà-ïàçîí îò íåñêîëüêèõ åäèíèö äî íå ìåíåå 60 ÷àñîâ.

Óñòîé÷èâûé õàðàêòåð íàáëþäàåìûõ íàðóøåíèé ñòàòèñòè÷å-ñêîé óñòîé÷èâîñòè êîëåáàíèé ýëåêòðîñåòè, à òàêæå ðåçóëüòàòûïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà ïîçâîëÿþò ïðåäïîëîæèòü, ÷òî àíàëîãè÷-íûå íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïðèñóùè è äðóãèìôèçè÷åñêèì (à, âîçìîæíî, è íå òîëüêî ôèçè÷åñêèì) ÿâëåíèÿì.

4.3. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯСТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ВЫСОТЫМОРСКИХ ВОЛН И ПЕРИОДА ИХ СЛЕДОВАНИЯ

Â íàñòîÿùåå âðåìÿ äîñòàòî÷íî õîðîøî ðàçðàáîòàíà òåîðèÿ ñëó-÷àéíîãî ïîëÿ ìîðñêèõ âîëí (ñì., íàïðèìåð, [Ïîëíèêîâ, 2007]).Îäíàêî íåò èíôîðìàöèè î ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïàðàìåò-ðîâ âîëíåíèÿ.

Äëÿ îöåíêè ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âûñîòû ìîðñêèõâîëí è ïåðèîäà èõ ñëåäîâàíèÿ áûëè ïðîâåäåíû ñïåöèàëüíûå èñ-ñëåäîâàíèÿ. Ïðè ýòîì èñïîëüçîâàëèñü ñòàòèñòè÷åñêèå äàííûå îïàðàìåòðàõ âîëíåíèÿ ìîðÿ, ïîëó÷åííûå Èíñòèòóòîì îêåàíîëî-ãèè èì. Ï.Ï. Øèðøîâà ÐÀÍ çà 15 ìåñÿöåâ íàáëþäåíèÿ â ðàéîíåÍîâîðîññèéñêà (ñ ñåíòÿáðÿ 2001 ã. ïî äåêàáðü 2003 ã.) [Åäèíàÿãîñóäàðñòâåííàÿ ñèñòåìà èíôîðìàöèè îá îáñòàíîâêå â ìèðîâîìîêåàíå ÅÑÈÌ]. Äàííûå ñîáðàíû ñ ïîìîùüþ âîëíîâîé ñòàíöèè,ïîêàçàíèÿ êîòîðîé ðåãèñòðèðîâàëèñü ñ èíòåðâàëîì îò îäíîãî äîíåñêîëüêèõ ÷àñîâ.

Âîëíåíèå ìîðÿ çà âðåìÿ íàáëþäåíèÿ èçìåíÿëîñü â øèðîêèõïðåäåëàõ, î ÷åì ñâèäåòåëüñòâóþò ïðèâåäåííûå íà ðèñ. 4.6 êðèâûåäëÿ òðåõ ìåñÿöåâ íàáëþäåíèÿ (êàæäàÿ êðèâàÿ ñîîòâåòñòâóåò ìå-ñÿöó íàáëþäåíèÿ).

Ïî ñîáðàííûì äàííûì áûëè ïðîâåäåíû ðàñ÷åòû ïàðàìåòðàñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè Nµ âûñîòû ìîðñêèõ âîëí è ïå-ðèîäà èõ ñëåäîâàíèÿ (ðèñ. 4.7).


78

Ðèñ. 4.6. Çàâèñèìîñòè âû-ñîòû ìàêñèìàëüíûõ âîëí(à) è ïåðèîäà ìàêñèìàëü-íûõ âîëí (á) îò âðåìåíè

Äèñêðåòíîñòü âûâîäà ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòà ïàðàìåòðà ñòàòèñòè÷å-ñêîé íåóñòîé÷èâîñòè – ïðèìåðíî 10 ÷. Íóëåâîé îòñ÷åò âðåìåíèñîîòâåòñòâóåò ïåðâîìó ðåçóëüòàòó ðàñ÷åòà.

Èç ðèñóíêîâ âèäíî, ÷òî ïàðàìåòð ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷è-âîñòè Nµ âåçäå ïðèíèìàåò áîëüøèå çíà÷åíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òîíà âñåì èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ çàâèñèìîñòè âûñîòû è ïåðèîäàâîëí îò âðåìåíè íîñÿò ÿâíî ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûé õàðàê-òåð. Ñòàòèñòè÷åñêèé ïðîãíîç ýòèõ ïàðàìåòðîâ íà èíòåðâàëå âðå-ìåíè ñâûøå ïîëóñóòîê ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæåí.

4.4. Экспериментальные исследования …магнитного поля Земли

79

Ðèñ. 4.7. Çàâèñèìîñòè óñðåäíåííûõ ïî 15 ìåñÿöàì çíà÷åíèé ïàðàìåòðà ñòà-

òèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè Nµ (íåïðåðûâíûå êðèâûå) è ãðàíèö èçìåíå-

íèÿ ýòîãî ïàðàìåòðà (òî÷å÷íûå êðèâûå) îò âðåìåíè íàáëþäåíèÿ: à – äëÿâûñîòû ìàêñèìàëüíûõ âîëí, á – äëÿ ïåðèîäà ìàêñèìàëüíûõ âîëí

4.4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯСТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ МАГНИТНОГО

ПОЛЯ ЗЕМЛИ

Ìàãíèòíîå ïîëå Çåìëè ìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè è ïðîñòðàíñòâå. Íàïðîòÿæåíèè ìíîãèõ ëåò â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ Çåìëè âåäåòñÿñèñòåìàòè÷åñêîå íàáëþäåíèå çà åãî êîëåáàíèÿìè. Òàêèå ðàáîòû


80

Ðèñ. 4.8. Èçìåíåíèå x -, y - è z -ñîñòàâëÿþùèõ èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ

(à, â, ä) è ñîîòâåòñòâóþùèõ íàêîïëåííûõ ñðåäíèõ (á, ã, å) çà 13 ëåò íàáëþ-äåíèÿ â ðàéîíå Ìîñêâû

ïðîâîäèò, â ÷àñòíîñòè, Èíñòèòóò çåìíîãî ìàãíåòèçìà, èîíîñôåðû èðàñïðîñòðàíåíèÿ ðàäèîâîëí èì. Í.Â. Ïóøêîâà ÐÀÍ.

Íà ðèñ. 4.8, à, â, ä ïðèâåäåíû çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè x -, y -è z -ñîñòàâëÿþùèõ èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïîñòðîåííûå íàîñíîâå äàííûõ ýòîãî èíñòèòóòà [Äàííûå î âàðèàöèè èíäóêöèèìàãíèòíîãî ïîëÿ â ðàéîíå Ìîñêâû], íà ðèñ. 4.8, á, ã, å – ñîîòâåò-ñòâóþùèå çàâèñèìîñòè íàêîïëåííûõ ñðåäíèõ, à íà ðèñ. 4.9 – ïà-ðàìåòðû ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè 1Nµ , 2Nµ , ðàññ÷èòàííûåïî îïèñàííîé âûøå ìåòîäèêå.

Äàííûå ðåãèñòðèðîâàëèñü ñ èíòåðâàëîì â îäèí ÷àñ. Îöåíêàäèñïåðñèè

nxD âû÷èñëÿëàñü ïî 16 èçìåðåíèÿì.

Àíàëèç ðèñóíêîâ ïîêàçûâàåò, ÷òî â öåëîì ìàãíèòíîå ïîëåÇåìëè ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâî, õîòÿ ñóùåñòâóþò èíòåðâàëûîòíîñèòåëüíîé óñòîé÷èâîñòè. Äëèòåëüíîñòü ýòèõ èíòåðâàëîâ íî-

4.5. Экспериментальные исследования … котировки валют …

81

Ðèñ. 4.9. Èçìåíåíèå âîâðåìåíè çíà÷åíèé ïàðà-ìåòðîâ ñòàòèñòè÷åñêîé íå-óñòîé÷èâîñòè äëÿ x -, y -è z -ñîñòàâëÿþùèõ èíäóê-öèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ (ñî-îòâåòñòâåííî êðèâûå 1, 2,3) çà 13 ëåò íàáëþäåíèÿ âðàéîíå Ìîñêâû, à òàêæåäëÿ êîíòðîëüíîãî áåëîãîãàóññîâñêîãî øóìà (êðèâûåáåç íîìåðà). Ñïëîøíûìëèíèÿì ñîîòâåòñòâóþò ïà-ðàìåòðû ñòàòèñòè÷åñêîé íå-

óñòîé÷èâîñòè 1Nµ , òî÷å÷-

íûì – ïàðàìåòðû ñòàòèñòè-

÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè 2Nµ

ñèò íåðåãóëÿðíûé õàðàêòåð è êîëåáëåòñÿ îò íåñêîëüêèõ ìåñÿöåâäî íåñêîëüêèõ ëåò. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêèé ïðîãíîçèíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñâûøå íåñêîëüêèõ ìåñÿöåâ ïðî-áëåìàòè÷åí, à ñâûøå íåñêîëüêèõ ëåò – ïðàêòè÷åñêè íåâîç-ìîæåí.

4.5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯСТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ КОТИРОВКИ ВАЛЮТ

Ïðåäñòàâëåíèå î ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè êîòèðîâêèâàëþò äàþò êðèâûå íà ðèñ. 4.10, ïîëó÷åííûå ïî äàííûì FOREX[FOREX].

Èç ãðàôèêîâ ñëåäóåò, ÷òî ïàðàìåòð ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé-÷èâîñòè ïðèíèìàåò áîëüøèå çíà÷åíèÿ ñ ïåðâûõ æå ÷àñîâ íàáëþ-äåíèÿ è ïîñòîÿííî âîçðàñòàåò. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êóðñ âàëþòêðàéíå ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâ è åãî ñòàòèñòè÷åñêèé ïðîãíîçïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæåí.

* * *

Ïðèâåäåííûå ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé äè-íàìèêè èçìåíåíèÿ ñïåêòðîâ ñîáñòâåííûõ øóìîâ óñèëèòåëÿ,ñïåêòðîâ ãèäðîàêóñòè÷åñêèõ øóìîâ ìîðñêèõ ñóäîâ, êîëåáàíèéíàïðÿæåíèÿ ãîðîäñêîé ýëåêòðîñåòè, âûñîòû ìîðñêèõ âîëí è ïå-ðèîäà èõ ñëåäîâàíèÿ, ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè è êîòèðîâêè âàëþò


82

Ðèñ. 4.10. Óñðåäíåííûé ïî 16 äåêàäàì ïàðàìåòð ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷è-âîñòè Nµ (íåïðåðûâíàÿ êðèâàÿ) è ãðàíèöû èçìåíåíèÿ ýòîãî óñðåäíåííîãî

ïàðàìåòðà (ïóíêòèðíûå êðèâûå), îïðåäåëÿåìûå ÑÊÎ, äëÿ êîòèðîâêè êîí-âåðòèðóåìîãî àâñòðàëèéñêîãî äîëëàðà (AUD) ïî îòíîøåíèþ ê äîëëàðó

ÑØÀ (USD) çà 2001 ã. (à) è 2002 ã. (á)

ñâèäåòåëüñòâóþò î íàðóøåíèÿõ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòèýòèõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí.

Òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî îíè ïðåäñòàâëÿþò ÿâëåíèÿ ñîâåðøåí-íî ðàçíîãî ïðîèñõîæäåíèÿ, ïîçâîëÿåò ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íàðó-øåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïðèñóùå ìíîãèì, åñëè íåâñåì, ðåàëüíûì ôèçè÷åñêèì ÿâëåíèÿì.

4.5. Экспериментальные исследования … котировки валют …

83

Íå ñëåäóåò ïîíèìàòü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû êàê îïðîâåðæå-íèå ôàêòà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé.Ðå÷ü íå îá ýòîì. Îïðîâåðãàåòñÿ ôàêò àáñîëþòíîé ñòàòèñòè÷åñêîéóñòîé÷èâîñòè. Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé óêàçûâàþò íà òî, ÷òîñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé íîñèò îãðàíè-÷åííûé õàðàêòåð.

Îïèñàíèå ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ñ ó÷åòîì íàðóøåíèÿ ñòàòè-ñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíî ðàçíûìè ìà-òåìàòè÷åñêèìè ñïîñîáàìè. Äàæå â ðàìêàõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåéâîçìîæíî íåñêîëüêî ýêâèâàëåíòíûõ ôîðì ïðåäñòàâëåíèÿ.

Ôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà, íàïðèìåð, ìîæåò áûòü îïèñàíà ñ ïî-ìîùüþ ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àé-íûõ âåëè÷èí, ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà,íåîäíîðîäíîé âûáîðêè, îáëàäàþùåé îñîáûìè ñâîéñòâàìè, è,íàêîíåö, ìíîæåñòâîì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ðàññìàòðèâàåìûì êàêåäèíûé ìàòåìàòè÷åñêèé îáúåêò, – ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà.

Äëÿ îïèñàíèÿ â óñëîâèÿõ íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé-÷èâîñòè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è ïîëåé ìîãóò áûòü èñïîëüçîâà-íû ìíîæåñòâà ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, ðàññìàòðèâàåìûå êàê öåëü-íûå îáúåêòû, – ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè.

Îïèñàíèþ ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðàòà ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëå-íèé ïîñâÿùåíà âòîðàÿ ÷àñòü ìîíîãðàôèè.

84

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫТЕОРИИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ

ЯВЛЕНИЙ

Глава 5

ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Ââåäåíî ïîíÿòèå ãèïåðñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ. Äëÿ îïèñàíèÿ ãèïåð-ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ èñïîëüçîâàíû óñëîâíûå âåðîÿòíîñòè è ãðàíèöûâåðîÿòíîñòåé. Èññëåäîâàíû ñâîéñòâà ýòèõ ïàðàìåòðîâ.

5.1. СЛУЧАЙНЫЕ И ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕСОБЫТИЯ

Ïîíÿòèå ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ íå èìååò îäíîçíà÷íîãî òîëêîâà-íèÿ, ïðè÷åì äàæå ñðåäè ìàòåìàòèêîâ.

Â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé óòâåðäèëîñü êîëìîãîðîâñêîå (òåîðå-òèêî-ìíîæåñòâåííîå) [Êîëìîãîðîâ, 1936] îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ.

Ïðè ýòîì ñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ, ðàññìàòðèâàåìûå êàê ìàòåìà-òè÷åñêèå îáúåêòû, îïèñûâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ âåðîÿòíîñòíîãîïðîñòðàíñòâà (áîðåëåâñêîãî ïîëÿ âåðîÿòíîñòåé), çàäàâàåìîãîòðèàäîé (Ω ℑ, ,P ), ãäå Ω – ïðîñòðàíñòâî ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèéω∈Ω , ℑ – áîðåëåâñêîå ïîëå (σ-àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ ñîáûòèé)è P – âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà ïîäìíîæåñòâ ñîáûòèé [Êîëìîãîðîâ,1974]. Èìåííî òàêèì îáðàçîì ôîðìàëèçîâàíî ïîíÿòèå ñëó÷àé-íîãî ñîáûòèÿ â íîâîì ìåæäóíàðîäíîì ñòàíäàðòå ISO [Inter-national standard, 2006].

Ïðè áîëåå íàãëÿäíîì ñòàòèñòè÷åñêîì ïîäõîäå (ïî Ð. ôîíÌèçåñó [Ìèçåñ, 1930]) âåðîÿòíîñòü ( )P A ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿA ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê ïðåäåë ÷àñòîòû ( )Np A íàáëþäåíèÿýòîãî ñîáûòèÿ â ôèêñèðîâàííûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ ïðè

ЧАСТЬ I I

5.1. Случайные и гиперслучайные события

85

óñòðåìëåíèè êîëè÷åñòâà îïûòîâ N ê áåñêîíå÷íîñòè: ( )P A =lim ( )NN

p A→∞

= .

Èçâåñòåí àëãîðèòìè÷åñêèé ïîäõîä ê îïðåäåëåíèþ ïîíÿòèÿñëó÷àéíîñòè, ïðåäëîæåííûé â 60-õ ãîäàõ ïðîøëîãî ñòîëåòèÿÀ.Í. Êîëìîãîðîâûì, îñíîâàííûé íà àíàëèçå àëãîðèòìè÷åñêîéñëîæíîñòè ïðîãðàììû ïåðåâîäà èçâåñòíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âèññëåäóåìóþ [Êîëìîãîðîâ, 1987].

Ñóùåñòâóþò è äðóãèå ïîäõîäû, î ÷åì óïîìèíàëîñü â ïàðà-ãðàôå 2.2. Íà ïðàêòèêå â êà÷åñòâå êðèòåðèÿ ñëó÷àéíîñòè ôèçè-êàìè íåðåäêî èñïîëüçóþòñÿ ðàçëè÷íûå ýìïèðè÷åñêèå, ïîëóýì-ïèðè÷åñêèå, ïîëóôîðìàëèçîâàííûå èëè äàæå íåôîðìàëèçîâàí-íûå êðèòåðèè: ñïàäàþùåé êîððåëÿöèè, ñïëîøíîãî ñïåêòðà,íåâîñïðîèçâîäèìîñòè, íåïîâòîðÿåìîñòè, íåêîíòðîëèðóåìîñòè,íåïðåäñêàçóåìîñòè è äð. [Êðàâöîâ, 1989].

Â äàëüíåéøåì áóäåì ïðèäåðæèâàòüñÿ êîëìîãîðîâñêîãî òåîðå-òèêî-ìíîæåñòâåííîãî ïîäõîäà ê îïðåäåëåíèþ ïîíÿòèÿ ñëó÷àé-íîãî ñîáûòèÿ.

Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî êàæäîìó ñîáûòèþ A áîðåëåâñêîãî ïîëÿñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà ( / )P A g , îïðåäåëÿå-ìàÿ ïðè íåêîòîðûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ g . Â ðåçóëüòàòå òðèà-

äà (Ω ℑ, ,P ) çàäàåò âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî äëÿ óñëîâèé g .Óñëîâèÿ g ìîãóò áûòü äåòåðìèíèðîâàííûìè (åñëè g ôèêñè-

ðîâàíî) èëè ñëó÷àéíûìè (åñëè îïðåäåëåíà âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà( )P g ∀ ∈g G ). Â îáîèõ ñëó÷àÿõ A ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíûì ñîáûòè-

åì – ñîáûòèåì, äëÿ êîòîðîãî îïðåäåëåíà âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà.Ïðè íåîïðåäåëåííûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ g , êîãäà èç-

âåñòíî ëèøü ìíîæåñòâî G âîçìîæíûõ çíà÷åíèé g , âåëè÷èíà( / )P A g îêàçûâàåòñÿ íåîïðåäåëåííîé. Â ýòîì ñëó÷àå ñîáûòèå A

íåëüçÿ îòíåñòè ê ñëó÷àéíûì ñîáûòèÿì. Ýòî ñîáûòèå äðóãîé ïðè-ðîäû, íàçûâàåìîå â äàëüíåéøåì ãèïåðñëó÷àéíûì.

Ãèïåðñëó÷àéíîå ñîáûòèå, ðàññìàòðèâàåìîå êàê ìàòåìàòè÷å-ñêèé îáúåêò, çàäàåòñÿ àíàëèòè÷åñêè òåòðàäîé Ω ℑ( , , , )gG P , ãäå

gP – âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ∈g G .

Ãèïåðñëó÷àéíîå ñîáûòèå ìîæíî ïðåäñòàâèòü ìíîæåñòâîìñëó÷àéíûõ ñîáûòèé, çàâèñÿùèõ îò óñëîâèé g . Äëÿ êàæäîãî èçâõîäÿùèõ â ýòî ìíîæåñòâî ñîáûòèé îïðåäåëåíà âåðîÿòíîñòíàÿìåðà gP , íî äëÿ óñëîâèé g ìåðà íå îïðåäåëåíà.

Глава 5. Гиперслучайные события

86

5.2. ПАРАМЕТРЫ ГИПЕРСЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯИ ИХ СВОЙСТВА

Äëÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ A çàäàòü âåðîÿòíîñòíóþ ìåðóíåëüçÿ, íî ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå îïðåäåëåííûåâåëè÷èíû, êîëè÷åñòâåííî õàðàêòåðèçóþùèå äèàïàçîí èçìåíåíèÿâåðîÿòíîñòè ýòîãî ñîáûòèÿ: åå âåðõíþþ ( )SP A è íèæíþþ ( )IP Aãðàíèöû, íàçûâàåìûå â äàëüíåéøåì ãðàíèöàìè âåðîÿòíîñòè (ðèñ. 5.1).Ýòè ãðàíèöû îïèñûâàþòñÿ âûðàæåíèÿìè

∈∈= =( ) sup ( / ), ( ) inf ( / ).S I g Gg G

P A P A g P A P A g (5.1)

Èñïîëüçóÿ íå ñòðîãèé ñòàòèñòè÷åñêèé ïîäõîä, ãèïåðñëó÷àé-íîå ñîáûòèå A ìîæíî òðàêòîâàòü êàê ñîáûòèå, ÷àñòîòà ïîÿâëå-íèÿ êîòîðîãî ( )Np A ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà îïûòîâ N íå ñòàáè-

ëèçèðóåòñÿ è ïðè → ∞N íå èìååò ïðåäåëà.Åñëè ìíîæåñòâî óñëîâèé ñîñòîèò èç îäíîãî ýëåìåíòà ( = constg ),

ýòè ãðàíèöû ñîâïàäàþò. Òîãäà ãèïåðñëó÷àéíîå ñîáûòèå âûðîæäàåòñÿâ ñëó÷àéíîå. Ïðè ýòîì âåëè÷èíà = =( ) ( ) ( )S IP A P A P A ïðåäñòàâëÿåò

ñîáîé âåðîÿòíîñòü ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ A .Íà îñíîâå àêñèîì òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî

1) ≥ ≥( ) 0, ( ) 0;S IP A P A (5.2)

2) äëÿ ïîïàðíî íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé

≤ ≥∑ ∑U U( ) ( ), ( ) ( );S n S n I n I nn nn n

P A P A P A P A (5.3)

3) Ω = Ω =( ) ( ) 1.S IP P (5.4)

Èç âûðàæåíèé (5.1)–(5.4) ñëåäóåò, ÷òî ( )SP A è ( )IP A ïðåä-ñòàâëÿþò ñîáîé íîðìèðîâàííûå ïîëóìåðû, óäîâëåòâîðÿþùèå

Ðèñ. 5.1. Óñëîâíûå âåðî-ÿòíîñòè ( / )P A g (ñîîòâåò-ñòâóþùèå òî÷êàì) è ãðà-íèöû âåðîÿòíîñòè ( )SP A ,

( )IP A (ñîîòâåòñòâóþùèå

ïóíêòèðíûì ëèíèÿì) ãè-ïåðñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ A

5.2. Параметры гиперслучайного события и их свойства

87

âñåì àêñèîìàì ìåðû, çà èñêëþ÷åíèåì àêñèîìû ñ÷åòíîé àääè-òèâíîñòè. Ïðè ýòîì

≤ ≤ ≤ ≤ ∅ = ∅ =0 ( ) 1, 0 ( ) 1, ( ) ( ) 0.S I S IP A P A P P

Äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ñîáûòèé ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ôîð-ìóëû:

4) åñëè +⊂ 1m mA A , ≥ 1,m òî

= == =U U

1 1( ) ( ), ( ) ( ),

M M

S m S M I m I Mm m

P A P A P A P A (5.5)

∞

→∞==U

1( ) lim ( )S m S MMm

P A P A ;

5) åñëè + ⊂1m mA A , ≥ 1,m òî

= == =I I

1 1( ) ( ), ( ) ( ),

M M

S m S M I m I Mm m

P A P A P A P A (5.6)

∞

→∞==I

1( ) lim ( ).I m I MMm

P A P A 1

Äîêàçàòåëüñòâî ðàâåíñòâ (5.5) è (5.6) îñíîâàíî íà òîì, ÷òîîáúåäèíåíèå ñîáûòèé 1,..., MA A , ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé ñîîò-

íîøåíèåì ⊂ ⊂1 ... MA A , ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîáûòèå MA , à ïå-

ðåñå÷åíèå ñîáûòèé 1,..., MA A , ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøå-

íèåì ⊃ ⊃1 ... MA A , òîæå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîáûòèå MA .

Äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ñîáûòèé 1A è 2A ñïðàâåäëèâû íåðàâåí-ñòâà

≤ + −U I1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ),S S S IP A A P A P A P A A (5.7)

≥ + −U I1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ),I I I SP A A P A P A P A A (5.8)

àíàëîãè÷íûå âûðàæåíèþ, îïèñûâàþùåìó òåîðåìó ñëîæåíèÿ äëÿñëó÷àéíûõ ñîáûòèé:

= + −U I1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ).P A A P A P A P A A

1 Â îáùåì ñëó÷àå ôîðìóëû

1( ) lim ( )I m I MMm

P A P A∞

→∞==U ,

1( ) lim ( )S m S MMm

P A P A∞

→∞==I

äëÿ ñîîòâåòñòâåííî 1m mA A +⊂ è 1m mA A+ ⊂ ( 1m ≥ ) íåâåðíû. Íà ýòî îáðà-

òèë âíèìàíèå àâòîðà Â.Í. Òóòóáàëèí.


88

Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà íåðàâåíñòâ (5.7), (5.8) ðàññìîòðèì äâà ñî-áûòèÿ 1A è 2A , â îáùåì ñëó÷àå ñîâìåñòíûõ. Âåðõíÿÿ ãðàíèöà

âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ U1 2A A

∈= + − ≤U I1 2 1 2 1 2( ) sup( ( / ) ( / ) ( / ))S

g GP A A P A g P A g P A A g

∈∈≤ + − I1 2 1 2sup( ( / ) ( / )) inf( ( / ).

g Gg GP A g P A g P A A g

Îòñþäà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî (5.7).Íèæíÿÿ ãðàíèöà âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ U1 2A A

∈= + − ≥U I1 2 1 2 1 2( ) inf( ( / ) ( / ) ( / ))I g G

P A A P A g P A g P A A g

∈ ∈≥ + − I1 2 1 2inf( ( / ) ( / )) sup( ( / )).

g G g GP A g P A g P A A g

Îòñþäà ñëåäóåò íåðàâåíñòâî (5.8).Îòìåòèì, ÷òî, êîãäà ñîáûòèÿ 1A è 2A íåñîâìåñòíûå, òî

=I1 2( ) 0SP A A , =I1 2( ) 0IP A A è èç âûðàæåíèé (5.7), (5.8) ñëåäóåò

≤ +U1 2 1 2( ) ( ) ( ),S S SP A A P A P A

≥ +U1 2 1 2( ) ( ) ( ).I I IP A A P A P A (5.9)

Êîãäà ⊂1 2A A , òî ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèþ (5.5)

= =U U1 2 2 1 2 2( ) ( ), ( ) ( )S S I IP A A P A P A A P A .

Â îáùåì ñëó÷àå äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ñîáûòèé 1A è 2A ñïðà-âåäëèâû íåðàâåíñòâà

≤ ≠I1 2 1 2 1 1( ) ( ) ( ), ( ( ) 0),S S S SP A A P A P A A P A

≥ ≠I1 2 1 2 1 1( ) ( ) ( ), ( ( ) 0),I I I IP A A P A P A A P A (5.10)

àíàëîãè÷íûå âûðàæåíèþ

=I1 2 1 2 1( ) ( ) ( ),P A A P A P A A

îïèñûâàþùåìó òåîðåìó óìíîæåíèÿ äëÿ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé ïðè≠1( ) 0P A . Â äàííîì ñëó÷àå ïîä 2 1( )SP A A è 2 1( )IP A A ïîäðàçó-

ìåâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû âåðîÿòíî-ñòè ñîáûòèÿ 2A ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðîèçîøëî ñîáûòèå 1A . Äîêà-çàòåëüñòâî íåðàâåíñòâ (5.10) àíàëîãè÷íî ðàññìîòðåííîìó.

5.3. Аналоги формулы полной вероятности и теоремы гипотез

89

Ãèïåðñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ 1A è 2A áóäåì íàçûâàòü íåçàâèñèìû-ìè, åñëè ãðàíèöû âåðîÿòíîñòè ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ñîáûòèé ôàêòî-ðèçóþòñÿ:

= =I I1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ).S S S I I IP A A P A P A P A A P A P A (5.11)

Ñìûñë ôîðìóë (5.11) çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðè íåçàâèñè-ìûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ñîáûòèÿõ 1A è 2A ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñ-ïðåäåëåíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ñîáûòèé îïðåäåëÿþòñÿ ëèøü ãðàíèöàìèôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñîáûòèÿ 1A è ãðàíèöàìè ôóíêöèè ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ ñîáûòèÿ 2A . Ïðè ýòîì íåñóùåñòâåííî, ïðîèçîøëî

èëè íå ïðîèçîøëî ñîáûòèå 1A äî âûÿñíåíèÿ, êàêîâû ãðàíèöû

ñîáûòèÿ 2A , è ïðîèçîøëî èëè íå ïðîèçîøëî ñîáûòèå 2A äî âû-

ÿñíåíèÿ, êàêîâû ãðàíèöû ñîáûòèÿ 1A . Ðåçóëüòàò áóäåò îäèí èòîò æå.

Ãèïåðñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ 1A è 2A áóäåì íàçûâàòü íåçàâèñèìû-

ìè ïðè âñåõ óñëîâèÿõ, åñëè äëÿ âñåõ ∈g G óñëîâíûå âåðîÿòíîñòèïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ñîáûòèé ôàêòîðèçóþòñÿ:

=I1 2 1 2( / ) ( / ) ( / ).P A A g P A g P A g

Íåçàâèñèìûå ãèïåðñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è íåçàâèñèìûå ïðèâñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ – ðàçíûå ïîíÿòèÿ. Èçíåçàâèñèìîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ ñîáûòèé ïðè âñåõ óñëîâèÿõ íåñëåäóåò èõ íåçàâèñèìîñòü è, íàîáîðîò, èç íåçàâèñèìîñòè ãè-ïåðñëó÷àéíûõ ñîáûòèé íå ñëåäóåò èõ íåçàâèñèìîñòü ïðè âñåõóñëîâèÿõ.

5.3. АНАЛОГИ ФОРМУЛЫПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМЫ ГИПОТЕЗ

Àíàëîãàìè ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòè è òåîðåìû ãèïîòåç(òåîðåìû Áàéåñà) òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñëóæàò ñëåäóþùèåòåîðåìû, äîêàçûâàåìûå ïî ðàññìîòðåííîé âûøå ñõåìå.

Òåîðåìà 1. Ïóñòü ñîáûòèå A ìîæåò ïðîèçîéòè ñîâìåñòíî ñîäíèì è òîëüêî îäíèì ñîáûòèåì K1 , , MH H , îáðàçóþùèì ïîë-íóþ ãðóïïó íåñîâìåñòíûõ ñîáûòèé (ãèïîòåç). Òîãäà

=

≤ ∑1

( ) ( ) ( ),M

S S m S mm

P A P H P A H


90

=

≥ ∑1

( ) ( ) ( ).M

I I m I mm

P A P H P A H (5.12)

Òåîðåìà 2. Ïóñòü K1 2, ,H H – ìíîæåñòâî ïîïàðíî íåñîâìå-ñòíûõ ñîáûòèé (ãèïîòåç), îáðàçóþùèõ ïîëíóþ ãðóïïó. Òîãäà äëÿêàæäîé ïàðû ñîáûòèé ( , )mH A ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà

∞

=

≤ ≤

∑

I

1

( ) ( ) ( )( ) ,

( ) ( ) ( )

S m S m S mS m

II m I m

m

P H A P H P A HP H A

P A P H P A H

∞

=

≥ ≥

∑

I

1

( ) ( ) ( )( ) .

( ) ( ) ( )

I m I m I mI m

SS m S m

m

P H A P H P A HP H A

P A P H P A H

91

Глава 6

СКАЛЯРНЫЕГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Îïðåäåëåíî ïîíÿòèå ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Äëÿ ååîïèñàíèÿ èñïîëüçîâàíû óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (äàþùèåèñ÷åðïûâàþùåå îïèñàíèå ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû), ãðàíèöû ôóíê-öèè ðàñïðåäåëåíèÿ è èõ ìîìåíòû, à òàêæå ãðàíèöû ìîìåíòîâ. Èñ-ñëåäîâàíû ñâîéñòâà ýòèõ õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ.

6.1. СКАЛЯРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé X íàçûâàåòñÿ ïðî-èçâîëüíàÿ èçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà ïðîñòðàíñòâåΩ ýëåìåíòàðíûõ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé ω . Ïðè ýòîì çíà÷åíèå xñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå íåêî-òîðîé ôóíêöèè ( )x = ψ ω , ãäå ω∈Ω . Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ñëó-÷àéíîé âåëè÷èíû îáðàçóåò ïðîñòðàíñòâî çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âå-ëè÷èíû. Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà çàäàåòñÿ íå òîëüêî ïðîñòðàíñòâîìåå çíà÷åíèé, íî è ïàðàìåòðàìè, õàðàêòåðèçóþùèìè âåðîÿòíîñòüïîÿâëåíèÿ òåõ èëè èíûõ çíà÷åíèé ýòîãî ïðîñòðàíñòâà.

Â äàëüíåéøåì îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ñëó÷àéíûõ âåëè-÷èí, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé èçìåðèìûå ÷èñëîâûå ôóíêöèè ýëå-ìåíòàðíûõ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé.

Åñëè ïðîñòðàíñòâî çíà÷åíèé èìååò îäíî èçìåðåíèå, ñëó÷àé-íàÿ âåëè÷èíà íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíîé; â ñëó÷àå íåñêîëüêèõ èçìå-ðåíèé îíà íàçûâàåòñÿ âåêòîðíîé.

Ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé X áóäåì íàçûâàòü ïðî-èçâîëüíóþ ÷èñëîâóþ ôóíêöèþ, îïðåäåëåííóþ íà ïðîñòðàíñòâåΩ ýëåìåíòàðíûõ ñîáûòèé ω , äëÿ êîòîðîé ïðè ôèêñèðîâàííûõóñëîâèÿõ íàáëþäåíèÿ ∈g G îïðåäåëåíà âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà, íîäëÿ óñëîâèé íàáëþäåíèÿ âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íå îïðåäåëåíà.Çíà÷åíèÿ x ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , êàê è â ñëó÷àå ñëó-

Глава 6. Скалярные гиперслучайные величины

92

÷àéíîé âåëè÷èíû, ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ñ ïîìîùüþ íåêîòîðîéôóíêöèè ( )x = ψ ω , ãäå ω∈Ω .

Ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäåìíîæåñòâà ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí /X g : = ∈/X X g G .

Ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñâÿçàíû ñî ñëó÷àéíûìè âåëè÷è-íàìè ïîäîáíî òîìó, êàê âåêòîðíûå âåëè÷èíû – ñî ñêàëÿðíûìèâåëè÷èíàìè: âåêòîð ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí ìíîæåñòâîì ñêà-ëÿðíûõ âåëè÷èí; ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ìîæåò áûòü îõàðàê-òåðèçîâàíà ìíîæåñòâîì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. ×àñòíûì ñëó÷àåìâåêòîðà ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿð, ÷àñòíûì ñëó÷àåì ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè-÷èíû – ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà.

6.2. УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИИ МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКАЛЯРНОЙ

ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Äëÿ îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ìîæíî èñïîëüçîâàòüðàçëè÷íûå âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè óñëîâíûõ ñëó÷àéíûõâåëè÷èí /X g ∈( )g G , íàïðèìåð, óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ(ðèñ. 6.1)

= <( / ) /F x g P X x g ,

ãäå < /P X x g – âåðîÿòíîñòü âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà <X x

â óñëîâèÿõ g , óñëîâíûå ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé (ðèñ. 6.2)

=d ( / )

( / )d

F x gf x g

x,

óñëîâíûå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè∞

−∞

ω = ω∫( j / ) ( / )exp( j )dQ g f x g x x ,

îáðàçóþùèå ôóíêöèè ìîìåíòîâ, ôóíêöèè ôàêòîðèàëüíûõ ìîìåí-òîâ è äð.

Â äàëüíåéøåì íàðÿäó ñ ïðèâåäåííûìè îáîçíà÷åíèÿìè óñ-ëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, óñëîâíûõ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíî-ñòåé è óñëîâíûõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé áóäåì èñïîëüçî-âàòü äðóãèå, ýêâèâàëåíòíûå èì – / ( )x gF x , / ( )x gf x , / ( )j gQ jω ω .

Íàèáîëåå ïîëíîå îïèñàíèå ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû äàåòìíîæåñòâî óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ âñåõ ∈g G .

6.3. Границы функции распределения и моменты границ …

93

Ðèñ. 6.1. Ìíîæåñòâî óñëîâ-íûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëå-íèÿ / ( )x gF x (òîíêèå ëè-

íèè) è ãðàíèöû ôóíê-öèè ðàñïðåäåëåíèÿ ( )SxF x ,

( )IxF x (æèðíûå ëèíèè) ãè-

ïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X

Ðèñ. 6.2. Ìíîæåñòâî óñëîâ-íûõ ïëîòíîñòåé ðàñïðå-äåëåíèÿ / ( )x gf x ãèïåðñëó-

÷àéíîé âåëè÷èíû X

Ìåíåå ïîëíîå îïèñàíèå îáåñïå÷èâàþò ìíîæåñòâà öåíòðàëüíûõè íåöåíòðàëüíûõ ìîìåíòîâ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí /X g ∀ ∈g G , â÷àñòíîñòè, ìíîæåñòâà óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé

∞

−∞

= = ∫/ M[ / ] ( / ) dx gm X g xf x g x ,

ìíîæåñòâà óñëîâíûõ äèñïåðñèé

= = − 2/ /D[ / ] M[( / ) ]x g x gD X g X g m

è ïð., ãäå ⋅M[] è ⋅D[] – îïåðàòîðû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ èäèñïåðñèè ñîîòâåòñòâåííî.

Äëÿ îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ìîãóò áûòü èñ-ïîëüçîâàíû òàêæå è äðóãèå õàðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåòðû.

6.3. ГРАНИЦЫ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И МОМЕНТЫГРАНИЦ СКАЛЯРНОЙ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Îáùåå ïðåäñòàâëåíèå î ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíå äàþò ôóíêöèè

( ) sup / sup ( / ),Sg G g G

F x P X x g F x g∈ ∈

= < =


94

( ) inf / inf ( / ),Ig G g G

F x P X x g F x g∈ ∈

= < = (6.1)

ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ñîîòâåòñòâåííî âåðõíþþ è íèæíþþãðàíèöû âåðîÿòíîñòè âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ <X x , ò. å. ÿâëÿ-þùèåñÿ ãðàíèöàìè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ( / )F x g .

Â äàëüíåéøåì íàðÿäó ñ ïðèâåäåííûìè îáîçíà÷åíèÿìè ãðà-íèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèÿ

( ), ( )Sx IxF x F x , â êîòîðûõ ïðèíàäëåæíîñòü ãðàíèö ôóíêöèè ðàñ-ïðåäåëåíèÿ îïðåäåëåííîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíå ïîä÷åðêíóòàñîîòâåòñòâóþùèì èíäåêñîì (ñì. ðèñ. 6.1).

Äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ ( )F x ìîãëà áûòü ôóíêöèåé ðàñïðå-äåëåíèÿ íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, íåîáõîäèìî è äîñòà-òî÷íî, ÷òîáû îíà áûëà íåóáûâàþùåé ïðè âñåõ x , íåïðåðûâíîéñëåâà è èìåëà ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ −∞ =( ) 0F , +∞ =( ) 1F [Ãíå-äåíêî, Êîëìîãîðîâ, 1949].

Ðàññìîòðèì ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X ñî ñëó÷àéíûìè âå-ëè÷èíàìè /X g , îïèñûâàåìûìè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿìè

( / )F x g ∈( )g G . Âñå ýòè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íåóáûâàþùèå,íåïðåðûâíûå ñëåâà è èõ ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ ðàâíû íóëþ èåäèíèöå. Ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âå-ëè÷èíû, îïðåäåëÿåìûå ôîðìóëàìè (6.1), òàêæå óäîâëåòâîðÿþòâñåì ýòèì óñëîâèÿì. Ïîýòîìó ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ íåêèõ âèðòó-àëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.

Êðîìå òîãî, ≥( ) ( )S IF x F x , ïðè ìèíèìàëüíîì çíà÷åíèè ãè-ïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (åñëè îíî ñóùåñòâóåò) ãðàíèöû ñîâïà-äàþò è ðàâíû íóëþ, à ïðè ìàêñèìàëüíîì çíà÷åíèè (åñëè îíîñóùåñòâóåò) ãðàíèöû ñîâïàäàþò è ðàâíû åäèíèöå.

Ìåæäó ãðàíèöàìè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàñïîëîæåíà çîíàíåîïðåäåëåííîñòè (çàòåìíåííàÿ îáëàñòü íà ðèñ. 6.3, à). Åå øèðè-íà îïðåäåëÿåòñÿ ðàçíîñòüþ ∆ = −( ) ( ) ( )S IF x F x F x : ÷åì áîëüøå

íåîïðåäåëåííîñòü, òåì áîëüøå âåëè÷èíà ∆ ( )F x .Âûðîæäåííûé ñëó÷àé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû – ñëó÷àé-

íàÿ âåëè÷èíà. Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ãðàíèöû ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ ñîâïàäàþò ñ åå ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ( )F x :

= =( ) ( ) ( )S IF x F x F x è ðàçíîñòü ∆ ( )F x ðàâíà íóëþ (ðèñ. 6.3, á).Äåòåðìèíèðîâàííóþ âåëè÷èíó a , êàê îòìå÷àëîñü â ïàðàãðà-

ôå 3.1, ïðèáëèæåííî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñëó÷àéíóþ âåëè-


95

Ðèñ. 6.3. Ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FS(x), FI(x) íåâûðîæäåííîé ãè-ïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (à), ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (á), äåòåðìèíèðîâàííîé

âåëè÷èíû (â) è èíòåðâàëüíîé âåëè÷èíû (ã)

÷èíó X , ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ( )F x êîòîðîé èìååò âèä åäè-

íè÷íîãî ñêà÷êà â òî÷êå a : [ ]= −( ) signF x x a (ðèñ. 6.3, â).

Èíòåðâàëüíóþ âåëè÷èíó, îïðåäåëÿåìóþ èíòåðâàëîì [ ],a b , òàê-

æå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X , âåðõ-íÿÿ ãðàíèöà êîòîðîé îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé åäèíè÷íîãî ñêà÷êà âòî÷êå a :

[ ]= −( ) signSF x x a , (6.2)

à íèæíÿÿ – ôóíêöèåé åäèíè÷íîãî ñêà÷êà â òî÷êå b :

[ ]= −( ) signIF x x b (6.3)

(ðèñ. 6.3, ã).Åñëè → −∞a , à → ∞b , òî ñêà÷êè âåðõíåé ãðàíèöû ôóíêöèè

ðàñïðåäåëåíèÿ ñòðåìÿòñÿ ê ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòè, à íèæíåé ãðà-íèöû – ê ïëþñ áåñêîíå÷íîñòè. Ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ñ òà-êèìè ãðàíèöàìè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïîë-íîñòüþ íåîïðåäåëåííóþ èëè õàîòè÷åñêóþ.

Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî îïðåäåëÿåìàÿ òàêèì îáðàçîì õàîòè÷åñêàÿâåëè÷èíà, åñëè è èìååò, òî êîñâåííîå îòíîøåíèå ê ïîíÿòèþ äå-òåðìèíèðîâàííîãî õàîñà, øèðîêî èñïîëüçóåìîãî â ëèòåðàòóðå.


96

Òàêèì îáðàçîì, äåòåðìèíèðîâàííóþ, ñëó÷àéíóþ è èíòåð-âàëüíóþ âåëè÷èíû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ÷àñòíûå ñëó÷àè ãè-ïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.

Ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó áóäåì íàçûâàòü íåïðåðûâíîé, åñëèíà ëþáîì êîíå÷íîì èíòåðâàëå ãðàíèöû åå ôóíêöèè ðàñïðåäåëå-íèÿ íåïðåðûâíû è ñóùåñòâóþò èõ êóñî÷íî-íåïðåðûâíûå ïðîèç-âîäíûå.

Äëÿ íåïðåðûâíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû àíàëîãàìè ïëîò-íîñòè âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìîãóò ñëóæèòü ôóíê-öèè

= =d ( ) d ( )

( ) , ( ) ,d dS I

S I

F x F xf x f x

x x (6.4)

ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ïðîèçâîäíûå âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèöôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è íàçûâàåìûå ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäå-ëåíèÿ ãðàíèö.

Èñïîëüçóÿ îáîáùåííûå ôóíêöèè, â ÷àñòíîñòè δ-ôóíêöèþ,ìîæíî îïðåäåëèòü ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö íå òîëüêîäëÿ íåïðåðûâíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, íî è äëÿ òåõ, ó êîòî-ðûõ ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êó-ñî÷íî-íåïðåðûâíûå ôóíêöèè, â òîì ÷èñëå äëÿ ôóíêöèé (6.2),(6.3).

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèöîáëàäàþò ñâîéñòâàìè ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîé âåëè-÷èíû: ïîñêîëüêó ( )SF x è ( )IF x íåóáûâàþùèå, òî ïëîòíîñòè

ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö íåîòðèöàòåëüíû ( ≥( ) 0Sf x , ≥( ) 0If x ),

ïîñêîëüêó ïåðâîîáðàçíûå ( )SF x , ( )IF x ôóíêöèé ( )Sf x , ( )If xïðè → ∞x ðàâíû åäèíèöå, òî

∞ ∞

−∞ −∞

= =∫ ∫( )d ( )d 1S If x x f x x

è − = ∫1

2

2 1( ) ( ) ( )dx

S S Sx

F x F x f x x , − = ∫1

2

2 1( ) ( ) ( )dx

I I Ix

F x F x f x x .

Àíàëîãàìè õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ñëó÷àéíîé âåëè÷è-íû ìîãóò ñëóæèòü õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ãðàíèö ãèïåðñëó-÷àéíîé âåëè÷èíû, ïîä êîòîðûìè ïîíèìàåòñÿ îáðàòíîå ïðåîáðàçî-âàíèå Ôóðüå ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö:


97

( j ) ( )exp( j )d ,S SQ f x x x∞

−∞

ω = ω∫

( j ) ( )exp( j )d .I IQ f x x x∞

−∞

ω = ω∫ (6.5)

Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ãðàíèö îáëàäàþò ñâîéñòâàìè õà-ðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè: îíè îãðàíè÷åíû ( ( j ) (0) 1,S SQ Qω ≤ =

( j ) (0) 1I IQ Qω ≤ = ) è â ñëó÷àå âåùåñòâåííûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè-

÷èí îáëàäàþò ñâîéñòâîì êîìïëåêñíîé ñîïðÿæåííîñòè ( ( j )SQ − ω =

( j )SQ ∗= ω , ( j ) ( j )I IQ Q ∗− ω = ω ).

Çäåñü è äàëåå çâåçäî÷êîé îáîçíà÷åíà îïåðàöèÿ êîìïëåêñíîãîñîïðÿæåíèÿ.

Â îòëè÷èå îò ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ïëîòíîñòèðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö è õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ãðàíèö íåñòîëü íàãëÿäíî õàðàêòåðèçóþò çîíó íåîïðåäåëåííîñòè, õîòÿ ñ èõïîìîùüþ ìîæíî îïðåäåëèòü ïîëåçíûå â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ âå-ëè÷èíû, íàïðèìåð ∆ =( )f x −( )Sf x ( )If x .

Èíôîðìàòèâíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ÿâëÿþòñÿ ñðåäíèå ãðà-íèö: ñðåäíåå ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ

= +0( ) ( ( ) ( )) / 2S IF x F x F x

è ñðåäíåå ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö

= +0( ) ( ( ) ( )) / 2S If x f x f x .

Ýòè ñðåäíèå ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé î÷åâèäíûì ñîîòíîøåíè-åì:

= 00

d ( )( )

dF x

f xx

.

Äëÿ îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîãóò áûòü èñïîëüçî-âàíû ìîìåíòû ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ: ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿãðàíèö, äèñïåðñèè ãðàíèö, ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿãðàíèö è äð.

Ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ãðàíèö [ ]M ( )S Xϕ , [ ]M ( )I Xϕ

ôóíêöèè ( )Xϕ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñ ïëîòíîñòÿìè ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ ãðàíèö ( )Sf x , ( )If x áóäåì íàçûâàòü èíòåãðàëû


98

[ ]M ( ) ( ) ( )d ,S SX x f x x∞

−∞

ϕ = ϕ∫

[ ]M ( ) ( ) ( )d .I IX x f x x∞

−∞

ϕ = ϕ∫ (6.6)

Ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ñóùåñòâóþò íå âñåãäà: òîëü-êî êîãäà ñóùåñòâóþò (â ñìûñëå àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè) èíòå-ãðàëû (6.6).

Èç âûðàæåíèé (6.5), (6.6) âèäíî, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíê-öèè ãðàíèö – ýòî âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿ êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû exp( j )Xω . Èçâûðàæåíèé (6.6) ñëåäóåò, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö

S xm , Ixm ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ, ïðåäñòàâëÿåìûå êàê ìàòåìàòè-

÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ôóíêöèè ( )X Xϕ = , îïèñûâàþòñÿ âûðà-æåíèÿìè

[ ] [ ]∞ ∞

−∞ −∞

= = = =∫ ∫M ( )d , M ( )dSx S S Ix I Im X x f x x m X x f x x (6.7)

(ñì. ðèñ. 6.1).Äëÿ âåùåñòâåííîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X äèñïåðñèè

ãðàíèö SxD è IxD ìîæíî îïðåäåëèòü êàê

2 2M ( ) , M ( ) ,Sx S Sx Ix I IxD X m D X m = − = − (6.8)

à ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ ãðàíèö Sxσ è Ixσ – êàê

σ = σ =, .Sx Sx Ix IxD D (6.9)

Ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö Sxm è Ixm ãèïåðñëó÷àéíîé

âåëè÷èíû X õàðàêòåðèçóþò ñðåäíèå çíà÷åíèÿ X , ðàññ÷èòàííûåäëÿ âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ. Äèñïåðñèè ãðàíèö

SxD è IxD âåëè÷èíû Õ, à òàêæå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíå-

íèÿ ãðàíèö Sxσ è Ixσ âåëè÷èíû X õàðàêòåðèçóþò ðàçáðîñ çíà-

÷åíèé X îòíîñèòåëüíî ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæè-äàíèé Sxm è Ixm .

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðè =1 2( ) ( )S IF x F x èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî

≤1 2x x , íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ≤Sx Ixm m , ïðè÷åì ðàâåíñòâîèìååò ìåñòî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷è-

6.4. Границы вероятностных характеристик и границы моментов …

99

íà X âûðîæäàåòñÿ â ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó. Âåëè÷èíà æå äèñïåð-ñèè SxD ìîæåò áûòü áîëüøå, ìåíüøå èëè ðàâíà âåëè÷èíå IxD .

Â êà÷åñòâå èíòåãðàëüíûõ õàðàêòåðèñòèê ìîæíî èñïîëüçîâàòüòàêæå ñðåäíåå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ãðàíèö ôóíêöèè φ( )X ,îïðåäåëÿåìîå êàê

[ ] [ ] [ ]0M ( ) =(M ( ) +M ( ) ) / 2S IX X Xϕ ϕ ϕ ,

ñðåäíåå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷è-íû X , îïðåäåëÿåìîå êàê = +0 ( ) / 2x Sx Ixm m m , ñðåäíåå äèñïåðñèé

ãðàíèö 20 0 0M ( )x xD X m = − è ñðåäíåå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèõ îò-

êëîíåíèé ãðàíèö σ =0 0x xD .

Ïðåäñòàâëåíèå î ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíå äàþò è äðóãèå õà-ðàêòåðèñòèêè, â ÷àñòíîñòè, íà÷àëüíûå ìîìåíòû ãðàíèö νSxm è νIxm

ν-ãî ïîðÿäêà, îïðåäåëÿåìûå êàê ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèöôóíêöèè ( )X X νϕ = , öåíòðàëüíûå ìîìåíòû ãðàíèö Sxνµ è Ixνµν-ãî ïîðÿäêà, îïðåäåëÿåìûå êàê ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ñîîò-âåòñòâåííî ãðàíèö ôóíêöèé ( ) ( )SxX X m νϕ = − è ( )Xϕ =

( )IxX m ν= − è äð.

6.4. ГРАНИЦЫ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГРАНИЦЫ МОМЕНТОВ СКАЛЯРНОЙ


Äëÿ îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîãóò ïðèìåíÿòüñÿ õà-ðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåòðû äðóãîãî òèïà, íå îñíîâàííûå íàãðàíèöàõ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, íàïðèìåð, ãðàíèöû ïëîòíîñòèðàñïðåäåëåíèÿ, îïðåäåëÿåìûå äëÿ ñêàëÿðíîé âåùåñòâåííîé âå-ëè÷èíû X ñëåäóþùèì îáðàçîì:

∈∈= =( ) sup ( / ), ( ) inf ( / )s i g Gg G

f x f x g f x f x g ,

ãäå ( / )f x g – ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè-

÷èíû X ïðè óñëîâèè ∈g G .Íàðÿäó ñ ïðèâåäåííûìè îáîçíà÷åíèÿìè ãðàíèö ïëîòíîñòè

ðàñïðåäåëåíèÿ áóäåì èñïîëüçîâàòü ýêâèâàëåíòíûå ( ), ( ),sx ixf x f x âêîòîðûõ ôàêò ïðèíàäëåæíîñòè ê ñîîòâåòñòâóþùåé ãèïåðñëó÷àé-íîé âåëè÷èíå îòðàæåí â èíäåêñå.


100

Äëÿ îïèñàíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü òàêæå ãðàíèöû ìîìåíòîâ.Ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ôóíêöèè ( )Xϕ ãèïåð-

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X îïðåäåëèì ñëåäóþùèì îáðàçîì:

M [ ( )] sup ( ) ( / )d ,sg G

X x f x g x∞

∈ −∞

ϕ = ϕ∫

M [ ( )] inf ( ) ( / )d .i g GX x f x g x

∞

∈−∞

ϕ = ϕ∫ (6.10)

Ê ÷èñëó ãðàíèö ìîìåíòîâ îòíîñÿòñÿ âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíè-öû íà÷àëüíîãî ìîìåíòà ν-ãî ïîðÿäêà:

= M [ ] sup ( / )d ,sx sg G

m X x f x g x∞

ν νν

∈ −∞

= ∫

= M [ ] inf ( / )d ,ix i g Gm X x f x g x

∞ν ν

ν ∈−∞

= ∫ (6.11)

à òàêæå ãðàíèöû öåíòðàëüíîãî ìîìåíòà ν-ãî ïîðÿäêà:

/ /= M [( ) ] sup ( ) ( / )d ,sx s x g x gg G

X m x m f x g x∞

ν νν

∈ −∞

µ − = −∫

/ /= M [( ) ] inf ( ) ( / )d ,ix i x g x gg GX m x m f x g x

∞ν ν

ν ∈−∞

µ − = −∫ (6.12)

ãäå =/ M[ / ]x gm X g – ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàñïðåäåëåíèÿ â

óñëîâèÿõ g .×àñòíûì ñëó÷àåì ãðàíèö ìîìåíòîâ ÿâëÿþòñÿ ãðàíèöû ìàòå-

ìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X :∞ ∞

∈∈ −∞ −∞

= =∫ ∫sup ( / )d , inf ( / )dsx ix g Gg Gm xf x g x m xf x g x (6.13)

(ñì. ðèñ. 6.1).Ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, êàê ñëåäóåò èç âûðàæå-

íèé (6.10) è (6.11), ÿâëÿþòñÿ ãðàíèöàìè íà÷àëüíîãî ìîìåíòàïåðâîãî ïîðÿäêà. Ãðàíèöàìè öåíòðàëüíîãî ìîìåíòà âòîðîãî ïî-ðÿäêà ÿâëÿþòñÿ ãðàíèöû äèñïåðñèè 2sx sxD = µ , 2ix ixD = µ . Êîðíè èç

ýòèõ âåëè÷èí = sx sxDσ , = ix ixDσ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ãðàíèöû

ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ.

6.5. Связь между границами моментов и моментами границ …

101

6.5. СВЯЗЬ МЕЖДУ ГРАНИЦАМИ МОМЕНТОВИ МОМЕНТАМИ ГРАНИЦ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Â îáùåì ñëó÷àå îïåðàòîðû ⋅M []s , ⋅M []i íå ñîâïàäàþò ñ îïåðàòî-

ðàìè ⋅M []S , ⋅M []I , à ãðàíèöû ìîìåíòîâ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷è-

íû sxm ν , ixm ν , sxνµ , ixνµ íå ñîâïàäàþò ñ ìîìåíòàìè ãðàíèö ôóíê-

öèè ðàñïðåäåëåíèÿ Sxm ν , Ixm ν , Sxνµ , Ixνµ .Çàìåòèì, ÷òî êàê ãðàíèöû ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèé, òàê è

ãðàíèöû ìîìåíòîâ íåñóò èíôîðìàöèþ íå î ãðàíèöàõ ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ, à î äèàïàçîíå èçìåíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ õà-ðàêòåðèñòèê ïðè èçìåíåíèè óñëîâèé g â ïðåäåëàõ ìíîæåñòâà

óñëîâèé G . Ãðàíèöû ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ è ïëîòíîñòè ðàñ-ïðåäåëåíèÿ ãðàíèö – ðàçíûå õàðàêòåðèñòèêè, à ãðàíèöû ìîìåí-òîâ è ìîìåíòû ãðàíèö – ðàçíûå ïàðàìåòðû, ïî-ðàçíîìó ïðåä-ñòàâëÿþùèå ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó.

Äëÿ ïîÿñíåíèÿ ïðè÷èí âîçìîæíûõ îòëè÷èé ãðàíèö õàðàêòå-ðèñòèê îò ñîîòâåòñòâóþùèõ õàðàêòåðèñòèê ãðàíèö íà ðèñ. 6.4ïðèâåäåíû íåñêîëüêî ïðèìåðîâ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåð-ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû .X

Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿìîãóò íå ïåðåñåêàòüñÿ (ðèñ. 6.4, à, á), à ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ ìåæ-äó ñîáîé (ðèñ. 6.4, â, ã). Â ñëó÷àÿõ «à» è «á» ãðàíèöû äâóõ ïåðâûõìîìåíòîâ ñîâïàäàþò ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ìîìåíòàìè ãðàíèö, âñëó÷àå «â» íàáëþäàåòñÿ ÷àñòè÷íîå, à â ñëó÷àå «ã» – ïîëíîå íå-ñîâïàäåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ õàðàêòåðèñòèê.

Åñëè ñóùåñòâóþò ìèíèìàëüíûå è ìàêñèìàëüíûå çíà÷åíèÿìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, òî ìàòå-ìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö Sxm è Ixm ñâÿçàíû ñ ãðàíèöàìè

ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ixm è sxm íåðàâåíñòâîì

≤ ≤ ≤Sx ix sx Ixm m m m .

Äîêàçàòåëüñòâî áàçèðóåòñÿ íà ñëåäóþùèõ ñîîáðàæåíèÿõ.Ïóñòü ( )SxF x è ( )IxF x – ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ

ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû = ∈/X X g G , Sxm è Ixm – ìàòåìà-

òè÷åñêèå îæèäàíèÿ ýòèõ ãðàíèö, ( )ixF x è ( )sxF x – ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (èç ÷èñëà îáðàçóþùèõ ãè-ïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó = ∈/X X g G ) ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè

îæèäàíèÿìè ñîîòâåòñòâåííî ixm è sxm .


102

Ðèñ. 6.4. Ðàçëè÷íûå òèïû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Òîíêèìè ëèíèÿìè èçî-áðàæåíû óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ( / )F x g , à æèðíûìè – ãðàíèöû

ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ FSx(x), FIx(x)

Íà íåêîòîðûõ ó÷àñòêàõ ôóíêöèè ( )SxF x è ( )ixF x ìîãóò ñîâïà-äàòü, íà íåêîòîðûõ – íå ñîâïàäàòü. Íà èíòåðâàëàõ, ãäå îíè íåñîâïàäàþò, êðèâàÿ ( )SxF x ðàñïîëàãàåòñÿ ëåâåå êðèâîé ( )ixF x .Ïîýòîìó

≤∫ ∫1 1

0 0

d ( ) d ( )Sx ixx F x x F x ,

ò. å. ≥ix Sxm m .

Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâî ≤sx Ixm m .

103

Глава 7

ВЕКТОРНЫЕГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Ââåäåíî ïîíÿòèå âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Ìåòîäû îïè-ñàíèÿ ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îáîáùåíû íà ñëó÷àé âåê-òîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Èññëåäîâàíû ñâîéñòâà õàðàêòå-ðèñòèê è ïàðàìåòðîâ âåêòîðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.

7.1. ВЕКТОРНАЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА,ЕЕ УСЛОВНЫЕ ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

И МОМЕНТЫ

Ìàòåðèàëû øåñòîé ãëàâû îáîáùàþòñÿ íà âåêòîðíûå ãèïåðñëó-÷àéíûå âåëè÷èíû, êàæäàÿ êîìïîíåíòà êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿåò ñî-áîé ñêàëÿðíóþ ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó.

Ì-ìåðíóþ âåêòîðíóþ ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó rX áóäåì

ðàññìàòðèâàòü êàê ìíîæåñòâî âåêòîðíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

∈r

/X g G èëè êàê âåêòîð, ñîñòîÿùèé èç M ñêàëÿðíûõ ãèïåð-

cëó÷àéíûõ âåëè÷èí =( 1, )mX m M .

Äëÿ îïèñàíèÿ âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû =rX (X1,…

, )MXK ìîæíî èñïîëüçîâàòü ðàçëè÷íûå âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðè-

ñòèêè óñëîâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí r

/X g ∈( )g G , íàïðèìåð, óñëîâíûåôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ:

1 1 1( / ) ( , , / ) = , , /M M MF x g F x x g P X x X x g= < <r

K K ,

ãäå < <K1 1, , /M MP X x X x g – âåðîÿòíîñòü âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâ

< <K1 1, , M MX x X x â óñëîâèÿõ g , óñëîâíûå ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé:

∂=∂ ∂

rr

K1

( / )( / )

M

M

F x gf x g

x x,

Глава 7. Векторные гиперслучайные величины

104

óñëîâíûå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè:∞ ∞

−∞ −∞

ω = ω∫ ∫r r rr r

K( j / ) ( / )exp( j )dQ g f x g x x ,

óñëîâíûå îáðàçóþùèå ôóíêöèè ìîìåíòîâ, óñëîâíûå îáðàçóþ-ùèå ôóíêöèè ôàêòîðèàëüíûõ ìîìåíòîâ è äð.

Ìíîæåñòâî ëþáûõ èç ýòèõ óñëîâíûõ õàðàêòåðèñòèê äëÿ âñåõ∈g G äàåò íàèáîëåå ïîëíîå îïèñàíèå âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àé-

íîé âåëè÷èíû.Ìåíåå ïîëíîå îïèñàíèå îáåñïå÷èâàþò öåíòðàëüíûå è íåöåí-

òðàëüíûå ìîìåíòû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí r

/X g ∀ ∈g G .Îñíîâíûìè ÷èñëîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè âåêòîðíîé L-ìåð-

íîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû =r

K1( , , )LX X X ñ óñëîâíûìè ïëîò-

íîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ K1( , , / )Lf x x g ÿâëÿþòñÿ óñëîâíûå ìàòå-

ìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ Ì-ìåðíîé âåêòîðíîé ôóíêöèè ( )Xϕrr

äëÿ

âñåõ ∈g G , îïðåäåëÿåìûå êàê∞ ∞

−∞ −∞

ϕ = ϕ ∫ ∫rr r

K K K K1 1 1M ( ) / ( , , ) ( , , / )d dL L LX g x x f x x g x x

(åñëè èíòåãðàëû ñóùåñòâóþò).×àñòíûì ñëó÷àåì ýòèõ õàðàêòåðèñòèê ÿâëÿåòñÿ âåêòîð óñëîâ-

íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé = r

rr/ M /x gm X g ñëó÷àéíûõ âåê-

òîðîâ r

/X g .

Äëÿ L-ìåðíîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà rX ñ âåùåñòâåííûìè

êîìïîíåíòàìè õàðàêòåðèñòèêîé ðàçáðîñà ìîæåò ñëóæèòü âåêòîðóñëîâíûõ äèñïåðñèé r

r/x gD , ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîé ìàòåìàòè÷åñêîå

îæèäàíèå ôóíêöèé

ϕ = − =rr 2

/( / ) (( / ) , 1, ),ll x gX g X g m l L

è âåêòîð óñëîâíûõ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèõ îòêëîíåíèé σ rr

/x g , êîìïî-

íåíòû êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ êàê âåëè÷èíû, ðàâíûå êâàäðàòíîìóêîðíþ èç êîìïîíåíò âåêòîðîâ r

r/x gD , ãäå /lx gm – l-å êîìïîíåíòû

âåêòîðîâ rr

/x gm .

Âåñüìà ïîëåçíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè L-ìåðíîé ãèïåðñëó÷àé-íîé âåëè÷èíû

rX ìîãóò áûòü óñëîâíûå íà÷àëüíûå ìîìåíòû ν ν

rK1/ Lx gm

7.1. Векторная гиперслучайная величина…

105

ïîðÿäêà 1 Lν = ν + + νK , îïðåäåëÿåìûå ñëåäóþùèì îáðàçîì:

ννν ν

= r

K K11/ 1M /

LL

x g Lm X X g

( lν – öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, = 1,l L ), à òàêæå óñëîâíûå

öåíòðàëüíûå ìîìåíòû ν νµ rK1/ Lx g ïîðÿäêà 1 Lν = ν + + νK , îïðåäå-

ëÿåìûå êàê1

1 1/ 1 / /M ( ) ( ) / .LL Lx g x g L x gX m X m gν ν

ν ν µ = − − rK K

Ñìåøàííûå óñëîâíûå öåíòðàëüíûå ìîìåíòû âòîðîãî ïîðÿäêàµ

1 2 /x x g âåùåñòâåííûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 1X è 2X ìîæíî

íàçâàòü óñëîâíûìè êîâàðèàöèîííûìè ìîìåíòàìè, ñìåøàííûå óñ-ëîâíûå íà÷àëüíûå ìîìåíòû âòîðîãî ïîðÿäêà

1 2 /x x gm – óñëîâíû-

ìè êîððåëÿöèîííûìè ìîìåíòàìè, à ñìåøàííûå öåíòðàëüíûå ìî-ìåíòû âòîðîãî ïîðÿäêà, íîðìèðîâàííûå íà ñîîòâåòñòâóþùèåñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ σ

1 /x g è σ2 /x g , – óñëîâíûìè

êîýôôèöèåíòàìè êîððåëÿöèè:µ

=σ σ

1 2

1 2

1 2

//

/ /

.

x x gx x g

x g x g

r

Óñëîâíûå êîâàðèàöèîííûå ìîìåíòû µ1 2 /x x g , óñëîâíûå êîððå-

ëÿöèîííûå ìîìåíòû 1 2 /x x gm è óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäà-

íèÿ 1 /x gm ,

2 /x gm ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 1X è 2X ñâÿçàíû ìå-

æäó ñîáîé ñîîòíîøåíèÿìè

µ = −1 2 1 2 1 2/ / / / .x x g x x g x g x gm m m

Âåêòîðíûå ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû rX è

rY áóäåì íàçûâàòü

íåçàâèñèìûìè ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ∈g G , åñëè ôàêòîðèçóþòñÿ

âñå óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ: ( , / ) ( / ) ( )f x y g f x g f y g=r r r r

g G∀ ∈ .

Äëÿ íåçàâèñèìûõ âåëè÷èí rX è

rY ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ∈g G

ôàêòîðèçóþòñÿ íå òîëüêî âñå óñëîâíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëå-íèÿ, íî è âñå óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, è âñå óñëîâíûåõàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè:

=r r r r

( , / ) ( / ) ( )F x y g F x g F y g ,


106

( j , j / ) ( j / ) ( j / )x y x yQ g Q g Q gω ω = ω ωr r r r

.

Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî íåçàâèñèìîñòü ãèïåð-ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïðè âñåõ óñëîâèÿõ íå îçíà÷àåò, ÷òî ìåæäóýòèìè âåëè÷èíàìè îòñóòñòâóåò ñâÿçü. Ïðîñòî íà óðîâíå ðàññìàò-ðèâàåìûõ õàðàêòåðèñòèê îíà íå ïðîÿâëÿåòñÿ.

Óìåñòíî îòìåòèòü, ÷òî ïîíÿòèå íåçàâèñèìîñòè ñëó÷àéíûõ âå-ëè÷èí ñëåäóåò òðàêòîâàòü òàê æå: ñâÿçü ìåæäó ðàññìàòðèâàåìûìèâåëè÷èíàìè ìîæåò ñóùåñòâîâàòü, õîòÿ íà óðîâíå âåðîÿòíîñòíîéìåðû îíà íå ïðîÿâëÿåòñÿ.

7.2. ГРАНИЦЫ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯИ МОМЕНТЫ ГРАНИЦ ВЕКТОРНЫХ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ

ВЕЛИЧИН

Ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷è-íû =

rK1( , , )MX X X îïðåäåëèì êàê

∈

= < <r

K1 1( ) sup , , / ,S M Mg G

F x P X x X x g (7.1)

∈

= < <r

K1 1( ) inf , , / ,I M Mg GF x P X x X x g (7.2)

ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö – êàê

∂ ∂= =∂ ∂ ∂ ∂

r rr r

K K1 1

( ) ( )( ) , ( ) ,

M MS I

S IM M

F x F xf x f x

x x x x (7.3)

à õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ãðàíèö – êàê

( j ) ( )exp( j )d ,S SQ f x x x∞ ∞

−∞ −∞


K

( j ) ( )exp( j )d .I IQ f x x x∞ ∞

−∞ −∞


K

Çäåñü óìåñòíî áóäåò ñäåëàòü íåêîòîðîå îòñòóïëåíèå.Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ òîãî ÷òîáû ôóíêöèÿ

r( )F x ìîãëà áûòü

ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ íåêîòîðîé M-ìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè-÷èíû =

rK1( , , )MX X X , ãäå ≥ 2M , íåîáõîäèìî, ÷òîáû îíà áûëà

íåóáûâàþùåé ïî êàæäîìó àðãóìåíòó, íåïðåðûâíîé ñëåâà ïî êàæ-äîìó àðãóìåíòó è óäîâëåòâîðÿëà ñîîòíîøåíèÿì +∞ +∞K( , , )F ,


107

→−∞=K1lim ( , , ) 0

mMx

F x x ≤ ≤(1 )m M . Îäíàêî, ýòèõ ñâîéñòâ íå äîñòà-

òî÷íî. Äëÿ òîãî ÷òîáû r

( )F x áûëà ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ, íåîá-õîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû êðîìå ïåðå÷èñëåííûõ òðåõ ñâîéñòâ,àíàëîãè÷íûõ îäíîìåðíîìó ñëó÷àþ, âûïîëíÿëîñü åùå îäíî, ÷åò-âåðòîå, òðåáîâàíèå: ïðè ëþáûõ =

rK1( , , )Ma a a è =

rK1( , , )Mb b b

( ≤ ≤K1 1, , )M Ma b a b âûðàæåíèå

= <

≤ < = − + + + −∑ ∑r rr r r

K1

( ) ( 1) ( )M

Mm mn

m m n

P a x b F b p p F a

äîëæíî áûòü íåîòðèöàòåëüíûì, ãäå Kmn kp – çíà÷åíèå ôóíêöèè

K1 2( , , , )MF c c c ïðè =m mc a , =n nc a , …, =k kc a è ïðè îñòàëüíûõ

sc , ðàâíûõ sb [Ãíåäåíêî, 1988].Ñìûñë ÷åòâåðòîãî òðåáîâàíèÿ î÷åâèäåí: âåðîÿòíîñòü íàõîæ-

äåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû rX â ìíîãîìåðíîì ïàðàëëåëåïèïåäå

≤ <rrr

a X b íå ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíîé âåëè÷èíîé.Áîëå ãëóáîêèé ñìûñë ýòîãî òðåáîâàíèÿ ðàñêðûâàåòñÿ ïðè

ðàññìîòðåíèè äâóìåðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Â ýòîì ñëó÷àåâåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â ïðÿìîóãîëüíèêåñ âåðøèíàìè 1 2( , )a a , 1 2( , )b a , 1 2( , )b b , 1 2( , )a b îïèñûâàåòñÿ âûðà-æåíèåì

≤ < = ∆ − ∆rr r

2 2 b aP a x b F F ,

ãäå ∆ = −2 1 2 1 2( , ) ( , )bF F b b F a b , ∆ = −

2 1 2 1 2( , ) ( , )aF F b a F a a – ïðèðà-

ùåíèÿ ôóíêöèè r

( )F x â ñå÷åíèÿõ =2 2x b è =2 2x a ñîîòâåò-ñòâåííî.

Âåëè÷èíà, îïèñûâàþùàÿ ýòó âåðîÿòíîñòü, íåîòðèöàòåëüíà,åñëè ïðèðàùåíèÿ ôóíêöèè

r( )F x â ñå÷åíèè =2 2x b íå ìåíüøå,

÷åì åå â ïðèðàùåíèå â ñå÷åíèè =2 2x a (∆ ≥ ∆2 2b aF F ). Ïîíÿòíî,

÷òî àíàëîãè÷íîå òðåáîâàíèå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ïî îòíîøå-íèþ ñå÷åíèé âäîëü îñè 1x .

Îáîáùàÿ, äëÿ äâóìåðíîãî ñëó÷àÿ ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü÷åòâåðòîå òðåáîâàíèå ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïî ìåðå óâåëè÷åíèÿëþáîé êîîðäèíàòû ïðèðàùåíèå ôóíêöèè

r( )F x â ñå÷åíèÿõ íå

äîëæíî óìåíüøàòüñÿ.Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ≥ 3M ÷åòâåðòîå òðåáîâàíèå, â ïðèíöèïå,

òàêæå ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíî íà îñíîâàíèè ïîíÿòèé ïðè-


108

ðàùåíèé. Îäíàêî, óãëóáëÿòüñÿ äàëåå â ýòîò âîïðîñ, íà íàøâçãëÿä, íå èìååò ñìûñëà, ïîñêîëüêó ðàñïðåäåëåíèÿ áîëüøîéìåðíîñòè íà ïðàêòèêå èñïîëüçóþòñÿ êðàéíå ðåäêî.

Ïåðå÷èñëåííûå ÷åòûðå òðåáîâàíèÿ êàñàþòñÿ íå òîëüêî ôóíê-öèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, íî è ãðàíèö ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.

Çàìåòèì, ÷òî íå êàæäàÿ ôóíêöèÿ r

( )SF x èëè r

( )IF x , ïîëó÷åí-íàÿ ïóòåì ðàñ÷åòà ãðàíèö, óäîâëåòâîðÿåò âñåì íåîáõîäèìûì èäîñòàòî÷íûì òðåáîâàíèÿì, ÷òîáû áûòü ôóíêöèåé íåîïðåäåëåí-íîñòè êàêîé-òî ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.

Â äàëüíåéøåì áóäåì èñõîäèòü èç òîãî, ÷òî âñå ÷åòûðå óñëî-âèÿ âûïîëíÿþòñÿ äëÿ îáåèõ ãðàíèö.

Â ýòîì ñëó÷àå ïàðû õàðàêòåðèñòèê îáëàäàþò ñâîéñòâàìè,ïðèñóùèìè ñîîòâåòñòâåííî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ïëîòíîñòèâåðîÿòíîñòåé è õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè âåêòîðíîé ñëó÷àé-íîé âåëè÷èíû, à òàêæå ñâîéñòâàìè, õàðàêòåðíûìè äëÿ ñîîòâåò-ñòâóþùèõ ïàð õàðàêòåðèñòèê ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷è-íû. Â ÷àñòíîñòè ≥

r r( ) ( ),S IF x F x ïðè÷åì ãðàíèöû ãèïåðñëó÷àéíîé

âåëè÷èíû ñòðåìÿòñÿ ê ñîâïàäåíèþ ïðè óñòðåìëåíèè êîìïîíåíòâåêòîðà

rx ê ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòè è ïëþñ áåñêîíå÷íîñòè.

Ðàññìîòðèì L-ìåðíóþ ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ( , )Z X Y=r r r

, ñî-

ñòîÿùóþ èç M-ìåðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Xr

è (L — M)-ìåð-íîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y

r. Ââåäåì ïîíÿòèÿ ãðàíèö óñëîâ-

íîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ r r

( )SF y x , r r

( )IF y x , óñëîâíûõ ïëîòíî-

ñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö r r

( )Sf y x , r r

( )If y x è óñëîâíûõ õàðàêòå-

ðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé ãðàíèö ( j )S yQ xωrr

, ( j )I yQ xωrr

ãèïåðñëó÷àéíîé

âåëè÷èíû Yr ïðè óñëîâèè, ÷òî ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X

r ïðè-

íÿëà êîíêðåòíîå çíà÷åíèå rx .

Ñîâìåñòíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö r r

( , )Sf x y , r r

( , )If x y

ñèñòåìû ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ( , )Z X Y=r r r

ñâÿçàíû ñ óñëîâ-

íûìè ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö r r

( )Sf y x , r r

( )If y x ãè-

ïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Yr è ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðà-

íèö r

( )Sf x , r

( )If x ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Xr

íåðàâåíñòâàìè

≤ ≥r r r r r r r r r r

( , ) ( ) ( ), ( , ) ( ) ( ),S S S I I If x y f x f y x f x y f x f y x (7.4)

ñëåäóþùèìè èç âûðàæåíèé (5.10).


109

Ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû rX è

rY áóäåì íàçûâàòü íåçàâèñèìû-

ìè, åñëè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö r r

( , )Sf x y è r r

( , )If x yäîïóñêàþò ôàêòîðèçàöèþ:

= =r r r r r r r r

( , ) ( ) ( ), ( , ) ( ) ( ).S S S I I If x y f x f y f x y f x f y (7.5)

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî äëÿ íåçàâèñèìûõ âåëè÷èí rX è

rY

ôàêòîðèçóþòñÿ íå òîëüêî ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö, íîòàêæå ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è õàðàêòåðèñòè÷åñêèåôóíêöèè ãðàíèö:

= =r r r r r r r r

( , ) ( ) ( ), ( , ) ( ) ( ),S S S I I IF x y F x F y F x y F x F y

( j , j ) ( j ) ( j ),S x y S x S yQ Q Qω ω = ω ωr r r r

( j , j ) ( j ) ( j ).I x y I x I yQ Q Qω ω = ω ωr r r r

Çàìåòèì, ÷òî íåçàâèñèìîñòü ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è èõíåçàâèñèìîñòü ïðè âñåõ óñëîâèÿõ – ðàçíûå ïîíÿòèÿ.

Ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö M-ìåðíîé ãèïåðñëó÷àé-íîé âåëè÷èíû ( K1, , MX X ) îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè íåðàâåí-ñòâàìè:

−≤K K K1 1 1 2 1 1( , , ) ( , , ) ( ) ( ),S M S M M S Sf x x f x x x f x x f x (7.6)

−≥K K K1 1 1 2 1 1( , , ) ( , , ) ( ) ( ).I M I M M I If x x f x x x f x x f x (7.7)

Çäåñü − − =K K1 1 1 1( , , ), ( , , ) ( 2, )S m m I m mf x x x f x x x m M – îäíîìåð-

íûå óñëîâíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö; 1( )Sf x , 1( )If x –îäíîìåðíûå áåçóñëîâíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö.Äîêàçàòåëüñòâî ýòèõ íåðàâåíñòâ ìîæåò áûòü ïðîâåäåíî ìåòîäîììàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ñ èñïîëüçîâàíèåì íåðàâåíñòâ (7.4).

Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå íåçàâèñèìûõ êîìïîíåíò ãèïåðñëó÷àé-íîé âåëè÷èíû

1 1( , , ) ( ) ( ),S M S S Mf x x f x f x=K K

1 1( , , ) ( ) ( ).I M I I Mf x x f x f x=K K

Äëÿ M-ìåðíîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà ìîæíî îïðåäåëèòüñðåäíåå ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ñðåäíåå ïëîòíîñòåé ðàñ-ïðåäåëåíèÿ ãðàíèö ñîîòâåòñòâåííî ñëåäóþùèì îáðàçîì:

= +r r r

0( ) ( ( ) ( )) / 2S IF x F x F x ,

= +r r r

0( ) ( ( ) ( )) / 2S If x f x f x .


110

Ýòè ñðåäíèå ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé î÷åâèäíûìè ñîîòíîøå-íèÿìè, àíàëîãè÷íûìè ñêàëÿðíîìó ñëó÷àþ:

∂=∂ ∂

rr

K0

01

( )( )

M

M

F xf x

x x.

Â êà÷åñòâå îñíîâíûõ ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê âåêòîðíûõ ãè-ïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìàòåìàòè÷åñêèå îæè-äàíèÿ ãðàíèö M-ìåðíîé âåêòîðíîé ôóíêöèè ( )Xϕ

rr ãèïåðñëó÷àéíîé

L-ìåðíîé âåëè÷èíû =r

K1( , , )LX X X ñ ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ

ãðàíèö K1( , , )S Lf x x è K1( , , )I Lf x x , îïðåäåëÿåìûå êàê

1 1 1M ( ) ( , , ) ( , , )d d ,S L S L LX x x f x x x x∞ ∞

−∞ −∞

ϕ = ϕ ∫ ∫rr r

K K K K (7.8)

1 1 1M ( ) ( , , ) ( , , )d dI L I L LX x x f x x x x∞ ∞

−∞ −∞

ϕ = ϕ ∫ ∫rr r

K K K K (7.9)

(åñëè èíòåãðàëû ñóùåñòâóþò).×àñòíûì ñëó÷àåì õàðàêòåðèñòèê (7.8), (7.9) ÿâëÿþòñÿ ìàòå-

ìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö rr

Sxm è rr

Ixm ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðàrX , ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèöôóíêöèè ( )X Xϕ =

r rr:

M , M .Sx S Ix Im X m X = = r r

r rr r (7.10)

Äëÿ L-ìåðíîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà rX ñ âåùåñòâåííûìè

êîìïîíåíòàìè õàðàêòåðèñòèêîé ðàçáðîñà ìîãóò ñëóæèòü äèñïåð-ñèè ãðàíèö r

rSxD , r

rIxD , ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ìàòåìàòè÷åñêèå

îæèäàíèÿ ãðàíèö ñîîòâåòñòâåííî ôóíêöèé

ϕ = − =rr 2( ) (( ) , 1, ),

lS l SxX X m l L

ϕ = − =rr 2( ) (( ) , 1, )

lI l IxX X m l L

è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ σ rr

Sx , σ rr

Ix ãðàíèö, êîìïîíåíòûêîòîðûõ îïðåäåëåíû êàê âåëè÷èíû, ðàâíûå êâàäðàòíîìó êîðíþèç êîìïîíåíò âåêòîðîâ r

rSxD , r

rIxD , ãäå

lSxm è lIxm – l-å êîìïî-

íåíòû âåêòîðîâ rr

Sxm è rr

Ixm ñîîòâåòñòâåííî.


111

Ïîëåçíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ìîãóò áûòü íà÷àëüíûå ìîìåíòûãðàíèö ν ν

rK1 LSxm è ν ν

rK1 LI xm ïîðÿäêà 1 Lν = ν + + νK L-ìåðíîé ãèïåð-

ñëó÷àéíîé âåùåñòâåííîé âåëè÷èíû rX , îïðåäåëÿåìûå ñëåäóþ-

ùèì îáðàçîì:1

1 1M ,L

LSx S Lm X X νν

ν ν =

rK K

11 1M

LL

Ix I Lm X X ννν ν

= r

K K (7.11)

( lν – öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, = 1,l L ), à òàêæå öåíòðàëüíûå

ìîìåíòû ãðàíèö ν νµ rK1 LSx è ν νµ r

K1 LIx ïîðÿäêà 1 Lν = ν + + νK , îïðå-

äåëÿåìûå êàê1

1 11M ( ) ( ) ,LL LSx S Sx L SxX m X mν ν

ν ν µ = − − rK K (7.12)

11 11M ( ) ( ) .L

L LIx I Ix L IxX m X mν νν ν µ = − − rK K (7.13)

Ñìåøàííûå öåíòðàëüíûå ìîìåíòû ãðàíèö âòîðîãî ïîðÿäêà

1 2Sx xµ è 1 2Ix xµ âåùåñòâåííûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 1X è 2X

ìîæíî íàçâàòü êîâàðèàöèîííûìè ìîìåíòàìè ãðàíèö, ñìåøàííûåíà÷àëüíûå ìîìåíòû ãðàíèö âòîðîãî ïîðÿäêà

1 2Sx xm è 1 2Ix xm –

êîððåëÿöèîííûìè ìîìåíòàìè ãðàíèö, à ñìåøàííûå öåíòðàëüíûåìîìåíòû âòîðîãî ïîðÿäêà, íîðìèðîâàííûå íà ñîîòâåòñòâóþùèåñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ σ

1Sx , σ2Sx è σ

1Ix , σ2Ix ãðà-

íèö, – êîýôôèöèåíòàìè êîððåëÿöèè ãðàíèö

µ µ= =

σ σ σ σ1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

, .

Sx x Ix xSx x Ix x

Sx Sx Ix Ix

r r (7.14)

Êîâàðèàöèîííûå ìîìåíòû ãðàíèö 1 2Sx xµ è

1 2Ix xµ , êîððåëÿöè-

îííûå ìîìåíòû ãðàíèö 1 2Sx xm è

1 2Ix xm è ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäà-

íèÿ ãðàíèö 1Sxm ,

2Sxm , 1Ixm è

2Ixm ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 1X è

2X ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèÿìè

µ = − µ = −1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

, ,Sx x Sx x Sx Sx Ix x Ix x Ix Ixm m m m m m (7.15)

àíàëîãè÷íûìè èçâåñòíîìó ñîîòíîøåíèþ äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.Ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû 1X è 2X áóäåì íàçûâàòü íåêîððåëè-

ðîâàííûìè, åñëè èõ êîâàðèàöèîííûå ìîìåíòû ãðàíèö ðàâíû íó-


112

ëþ: 1 2Sx xµ =

1 20Ix xµ = . Ïðè ýòîì = =

1 2 1 20Sx x Ix xr r è êîððåëÿöèîí-

íûå ìîìåíòû ãðàíèö, ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (7.15), ñâÿçàíû ñëå-äóþùèìè çàâèñèìîñòÿìè ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ãðà-íèö:

=1 2 1 2Sx x Sx Sxm m m , =

1 2 1 2Ix x Ix Ixm m m .

Ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû 1X è 2X áóäåì íàçûâàòü îðòîãîíàëü-íûìè, åñëè êîððåëÿöèîííûå ìîìåíòû ãðàíèö ðàâíû íóëþ:

=1 2Sx xm =

1 20Ix xm . Ïðè ýòîì êîâàðèàöèîííûå ìîìåíòû ãðàíèö

1 2Sx xµ è 1 2Ix xµ , êàê âèäíî èç âûðàæåíèÿ (7.15), îêàçûâàþòñÿ ñâÿ-

çàííûìè ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ãðàíèö ñëåäóþùèìîáðàçîì:

1 2Sx xµ =1 2Sx Sxm m− ,

1 2Ix xµ =1 2Ix Ixm m− .

Åñëè ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû 1X è 2X íåêîððåëèðîâàíû, òîïðè ãàóññîâñêèõ çàêîíàõ ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö îñè ýëëèïñîâ ðàññåÿ-íèÿ îðèåíòèðîâàíû âäîëü îñåé êîîðäèíàò. Åñëè ñóùåñòâóåò ëèíåé-íàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó ýòèìè âåëè÷èíàìè, òî = =

1 2 1 21Sx x Ix xr r è

ýëëèïñû ðàññåÿíèÿ âûðîæäàþòñÿ â îòðåçêè ïðÿìûõ

2 2

2 1

1 1

2 1Sx Sx

Sx SxSx Sx

x x m m σ σ

= + − σ σ , 2 2

2 1

1 1

2 1Ix Ix

Ix IxIx Ix

x x m m σ σ

= + − σ σ .

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî èç íåçàâèñèìîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõâåëè÷èí 1X è 2X ñëåäóåò èõ íåêîððåëèðîâàííîñòü. Îáðàòíîåóòâåðæäåíèå â îáùåì ñëó÷àå íåâåðíî.

Â âåêòîðíîì ñëó÷àå äëÿ ñðåäíèõ ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäå-ëåíèÿ ìîæíî ââåñòè ñëåäóþùèå õàðàêòåðèñòèêè: âåêòîð ñðåäíåãîìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ãðàíèö ôóíêöèè ( )Xϕ

rr:

0M ( ) = (M ( ) + M ( ) ) / 2,S IX X X ϕ ϕ ϕ r r rr r r

âåêòîð ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîãîâåêòîðà

rX : = +r r r

r r r0 ( ) / 2,x Sx Ixm m m âåêòîð ñðåäíåãî äèñïåðñèé ãðàíèö

20 0 0(M ( ) , 1, )

lx l xD X m l L = − = r

r, âåêòîð ñðåäíåãî ñðåäíåêâàäðà-

òè÷åñêèõ îòêëîíåíèé ãðàíèö σ rr

0x , êîìïîíåíòû êîòîðîãî ðàâíû

êîðíþ èç êîìïîíåíò äèñïåðñèè r

r0xD , ñðåäíåå íà÷àëüíûõ ìîìåíòîâ

ãðàíèö

7.3. Границы моментов векторных гиперслучайных величин

113

ν ν ν ν ν ν= +r r rK K K1 1 10 ( ) / 2,

L L Lx Sx Ixm m m

ñðåäíåå öåíòðàëüíûõ ìîìåíòîâ ãðàíèö

ν ν ν ν ν νµ = µ + µr r rK K K1 1 10 ( ) / 2

L L Lx Sx Ix

è äð.Äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ñêàëÿðíûõ âåëè÷èí 1X è 2X î÷åâèäíûì

îáðàçîì ìîæíî ââåñòè ñðåäíåå êîâàðèàöèîííûõ ìîìåíòîâ ãðàíèöµ = µ + µ

1 2 1 2 1 20 ( ) / 2x x Sx x Ix x è ñðåäíåå êîððåëÿöèîííûõ ìîìåíòîâ ãðà-

íèö = +1 2 1 2 1 20 ( ) / 2.x x Sx x Ix xm m m Åñëè ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû

íåêîððåëèðîâàíû, òî ñðåäíåå êîâàðèàöèîííûõ ìîìåíòîâ ãðàíèöµ

1 20x x ðàâíî íóëþ, åñëè æå îíè îðòîãîíàëüíû, òî ðàâíî íóëþ

ñðåäíåå êîððåëÿöèîííûõ ìîìåíòîâ 1 20 x xm .

Êðîìå óêàçàííûõ õàðàêòåðèñòèê, ìîæíî èñïîëüçîâàòü è äðó-ãèå ïàðàìåòðû, àíàëîãè÷íûå ïðèìåíÿåìûì ïðè îïèñàíèè ñêà-ëÿðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.

7.3. ГРАНИЦЫ МОМЕНТОВ ВЕКТОРНЫХГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Îïðåäåëèì äëÿ L-ìåðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû rX ãðàíèöû ìà-

òåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M-ìåðíîé âåêòîðíîé ôóíêöèè ( )Xϕrr

ñëåäóþùèì îáðàçîì:

1 1 11

M [ ( )] sup ... ( ,..., ) ( ,..., / )d ...d ,M

s m L L L mg Gm

x x x f x x g x x e∞ ∞

∈= −∞ −∞

ϕ = ϕ∑ ∫ ∫r rr

1 1 11

M [ ( )] inf ... ( ,..., ) ( ,..., / )d ...d ,M

i m L L L mg Gm

x x x f x x g x x e∞ ∞

∈= −∞ −∞

ϕ = ϕ∑ ∫ ∫r rr

ãäå 1( ,..., )m Lx xϕ – m-ÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà 1( ,..., / )Lx x gϕr

, rme –

m-é îðò ýòîãî âåêòîðà.Ê òàêèì ïàðàìåòðàì îòíîñÿòñÿ ãðàíèöû L-ìåðíîãî ìàòåìà-

òè÷åñêîãî îæèäàíèÿ rr

sxm , rr

ixm âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíûrX : =r

rrM [ ]sx sm X , =r

rrM [ ]ix im X è ãðàíèöû L-ìåðíîé äèñïåðñèè:

= − =r

r2

/M [( ) , 1, ]lsx s l x gD X m l L , = − =r

r2

/M [( ) , 1, ]lix i l x gD X m l L ,

ãäå /lx gm – l-ÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî

îæèäàíèÿ =r

rr/ M[ / ]x gm X g .


114

Ñ ïîìîùüþ ãðàíèö äèñïåðñèè r

rsxD , r

rixD ìîæíî îïðåäåëèòü

ãðàíèöû L-ìåðíîãî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ sxσ rr

, ixσ rr

êàêâåêòîðû, êîìïîíåíòû êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êîðíè èçêîìïîíåíò ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðàíèö äèñïåðñèè.

Ïàðàìåòðàìè âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû rX ÿâëÿ-

þòñÿ ãðàíèöû íà÷àëüíûõ ìîìåíòîâ 1... Lsxm ν ν

r , 1 ... Lixm ν ν

r ïîðÿäêà ν =

1 ... L= ν + + ν , îïðåäåëÿåìûå êàê

1 1

1 1... 1 ... 1M [ ... ], M [ ... ],L L

L Lsx s L ix i Lm X X m X Xν ν ν νν ν ν ν= =r r

è ãðàíèöû öåíòðàëüíûõ ìîìåíòîâ 1 ... Lsx ν νµ r ,

1 ... Lixν νµ r ïîðÿäêà ν =

1 ... L= ν + + ν , îïðåäåëÿåìûå êàê

11 1... 1 / /M [( ) ...( ) ]L

L Lsx s x g L x gX m X mν νν νµ = − −r ,

11 1... 1 / /M [( ) ...( ) ]L

L Lix i x g L x gX m X mν νν νµ = − −r .

Â äâóìåðíîì ñëó÷àå =( 2)L ãðàíèöû ñìåøàííîãî íà÷àëüíîãî

ìîìåíòà âòîðîãî ïîðÿäêà 1 2sx xm è

1 2ix xm áóäåì íàçûâàòü ãðàíèöàìè

êîððåëÿöèîííîãî ìîìåíòà è îáîçíà÷àòü 1 2sx xK è

1 2ix xK , à ãðàíèöû

ñìåøàííîãî öåíòðàëüíîãî ìîìåíòà âòîðîãî ïîðÿäêà 1 2sx xµ è

1 2ix xµ –

ãðàíèöàìè êîâàðèàöèîííîãî ìîìåíòà è îáîçíà÷àòü 1 2sx xR è

1 2ix xR .

Ãðàíèöû êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè îïðåäåëèì êàê

1 2

1 2

1 2

/

/ /

sup x x gsx x

g G x g x g

Rr

∈=

σ σ, 1 2

1 2

1 2

/

/ /

inf x x gix x g G

x g x g

Rr

∈=

σ σ.

Ãðàíèöû ìîìåíòîâ íàõîäÿòñÿ â ðåçóëüòàòå îòáîðà ýêñòðå-ìàëüíûõ çíà÷åíèé èç ìíîæåñòâà çíà÷åíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõðàçíûì óñëîâèÿì ∈g G . Ïðè ýòîì ðàçíûì ãðàíèöàì ìîìåíòîâñîîòâåòñòâóþò â îáùåì ñëó÷àå ðàçíûå óñëîâèÿ g . Ïîýòîìó âîáùåì ñëó÷àå ãðàíèöû êîâàðèàöèîííîãî ìîìåíòà

≠ −1 2 1 2 1 2sx x sx x sx sxR K m m , ≠ −

1 2 1 2 1 2ix x ix x ix ixR K m m .

Ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû 1X è 2X áóäåì íàçûâàòü íåêîððåëè-ðîâàííûìè ïðè âñåõ óñëîâèÿõ, åñëè ãðàíèöû èõ êîâàðèàöèîííûõìîìåíòîâ

1 2sx xR è 1 2ix xR ðàâíû íóëþ.

7.4. Параметры скалярных комплексных гиперслучайных величин

115

Ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû 1X è 2X áóäåì íàçûâàòü îðòîãîíàëü-íûìè ïðè âñåõ óñëîâèÿõ, åñëè ãðàíèöû èõ êîððåëÿöèîííûõ ìî-ìåíòîâ

1 2sx xK è 1 2ix xK ðàâíû íóëþ.

Åñëè ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû 1X è 2X íåêîððåëèðîâàíûïðè âñåõ óñëîâèÿõ è óñëîâíûå çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ – ãàóññîâ-ñêèå, òî îñè ýëëèïñîâ ðàññåÿíèÿ îðèåíòèðîâàíû âäîëü îñåé êîîð-äèíàò.

Èç íåçàâèñèìîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 1X è 2X ïðèâñåõ óñëîâèÿõ ñëåäóåò èõ íåêîððåëèðîâàííîñòü ïðè âñåõ óñëîâè-ÿõ. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå â îáùåì ñëó÷àå íåâåðíî.

Ïîíÿòèÿ íåêîððåëèðîâàííîñòè è îðòîãîíàëüíîñòè ãèïåðñëó-÷àéíûõ âåëè÷èí ïðè âñåõ óñëîâèÿõ îòëè÷àþòñÿ îò ïîíÿòèé íå-êîððåëèðîâàííîñòè è îðòîãîíàëüíîñòè, ñâÿçàííûõ ñ ðàâåíñòâîìíóëþ ñîîòâåòñòâåííî êîâàðèàöèîííûõ è êîððåëÿöèîííûõ ìî-ìåíòîâ ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.

Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî ñîâîêóïíîñòü ãðàíèöìîìåíòîâ, â îòëè÷èå îò ñîâîêóïíîñòè ìîìåíòîâ ãðàíèö ðàñïðå-äåëåíèÿ, íå îïðåäåëÿåò ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.

Ãðàíèöû ìîìåíòîâ íå èñïîëüçóþò èíôîðìàöèþ î ãðàíèöàõôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïîýòîìó èõ ðàñ÷åò òðåáóåò, êàê ïðà-âèëî, ìåíüøèõ âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò, ÷åì ðàñ÷åò ìîìåíòîâãðàíèö.

Äëÿ èíòåãðàëüíîé õàðàêòåðèñòèêè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èíìîæíî èñïîëüçîâàòü òàêæå ñðåäíèå ãðàíèö ïàðàìåòðîâ.

7.4. ПАРАМЕТРЫ СКАЛЯРНЫХ КОМПЛЕКСНЫХГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Óñëîâíûå êîððåëÿöèîííûå ìîìåíòû & /z gm êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé

âåëè÷èíû = +& jZ X Y ìîæíî îïðåäåëèòü êàê óñëîâíûå ìàòåìà-òè÷åñêèå îæèäàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ äåéñòâèòåëüíîé è ìíèìîé ÷àñòåéóñëîâíîé âåëè÷èíû & /Z g : =& / M[ / ]z gm XY g , à óñëîâíûå êîâà-

ðèàöèîííûå ìîìåíòû /z gµ & – êàê óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæè-

äàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ åå öåíòðèðîâàííûõ âåùåñòâåííîé è ìíèìîé÷àñòåé:

/ / /M[( / )( / )]z g x g y gX g m Y g mµ = − −& .

Çäåñü è äàëåå òî÷êà íàä áóêâîé îçíà÷àåò êîìïëåêñíûé õàðàêòåðîïèñûâàåìîé åþ âåëè÷èíû, òàê, êàê ýòî ïðèíÿòî â ðàäèîòåõíèêå.


116

Ïîíÿòèÿ íåêîððåëèðîâàííîñòè è îðòîãîíàëüíîñòè ãèïåðñëó-÷àéíûõ âåëè÷èí ïðè âñåõ óñëîâèÿõ îáîáùàþòñÿ íà ñëó÷àé Nêîìïëåêñíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.

Êîìïëåêñíûå ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû & &1,..., NX X áóäåì íàçû-

âàòü íåêîððåëèðîâàííûìè (ïîïàðíî) ïðè âñåõ óñëîâèÿõ, åñëè äëÿâñåõ ≠ =, , 1,n m n m N èìåþò ìåñòî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî:

∗ ∗=& &M[ / ] M[ / ]M[ / ]n m n mX X g X g X g

è îðòîãîíàëüíûìè (ïîïàðíî) ïðè âñåõ óñëîâèÿõ, åñëè ∗ =&M[ / ] 0n mX X g .

Êîððåëÿöèîííûå ìîìåíòû ãðàíèö Sxym è Ixym êîìïëåêñíîé ãè-

ïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû = +& jZ X Y ìîæíî îïðåäåëèòü êàê ìàòå-ìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ïðîèçâåäåíèÿ äåéñòâèòåëüíîé èìíèìîé åå ÷àñòåé:

= M [ ]Sxy Sm XY , = M [ ]Ixy Im XY ,

à êîâàðèàöèîííûå ìîìåíòû ãðàíèö Sxyµ è Ixyµ – êàê ìàòåìàòè÷å-

ñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ïðîèçâåäåíèÿ åå öåíòðèðîâàííûõ âåùå-ñòâåííîé è ìíèìîé ÷àñòåé

M [( )( )]Sxy S Sx SyX m Y mµ = − − ,

M [( )( )]Ixy I Ix IyX m Y mµ = − − .

Ïîíÿòèÿ íåêîððåëèðîâàííîñòè è îðòîãîíàëüíîñòè ãèïåðñëó-÷àéíûõ âåëè÷èí ìîæíî îáîáùèòü íà ñëó÷àé N êîìïëåêñíûõãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Êîìïëåêñíûå ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû& &1,..., NX X áóäåì íàçûâàòü íåêîððåëèðîâàííûìè (ïîïàðíî), åñëè

äëÿ âñåõ ≠ =, , 1,n m n m N èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:

∗ ∗=& &M [ ] M [ ]M [ ]S n m S n S mX X X X ,

∗ ∗=& &M [ ] M [ ]M [ ]I n m I n I mX X X X ,

è îðòîãîíàëüíûìè (ïîïàðíî), åñëè ïðè òåõ æå óñëîâèÿõ∗ ∗= =& &M [ ] M [ ] 0S n m I n mX X X X .

Ãðàíèöàìè êîððåëÿöèîííîãî ìîìåíòà êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àé-íîé âåëè÷èíû = +& jZ X Y íàçîâåì âåëè÷èíû

= M [ ]sxy sK XY , = M [ ]ixy iK XY ,

7.5. Параметры векторных комплексных гиперслучайных величин

117

à ãðàíèöàìè êîâàðèàöèîííîãî ìîìåíòà – âåëè÷èíû

= − −/ /M [( )( )]sxy s x g y gR X m Y m ,

= − −/ /M [( )( )]ixy i x g y gR X m Y m .

7.5. ПАРАМЕТРЫ ВЕКТОРНЫХ КОМПЛЕКСНЫХГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Äëÿ L-ìåðíîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî êîìïëåêñíîãî âåêòîðà = +r r r& jZ X Y

õàðàêòåðèñòèêîé ðàçáðîñà ìîæåò ñëóæèòü âåêòîð óñëîâíûõ êîì-

ïëåêñíûõ äèñïåðñèé r

r&/z gD , ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé L-ìåðíûå ìàòå-

ìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ âåêòîðîâ

− + − =2 2/ /(( / ) j( / ) , 1, )l x g l y gl l

X g m Y g m l L ,

è âåêòîð óñëîâíûõ êîìïëåêñíûõ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèõ îòêëîíåíèéσ r&

r&/z g

, âåùåñòâåííûå êîìïîíåíòû êîòîðûõ ðàâíû êîðíþ èç âåùåñò-

âåííûõ êîìïîíåíò âåêòîðà óñëîâíûõ êîìïëåêñíûõ äèñïåðñèé

r&

r&/z g

D , à ìíèìûå – êîðíþ èç ìíèìûõ êîìïîíåíò ýòèõ æå âåëè÷èí.

Õàðàêòåðèñòèêîé ðàçáðîñà L-ìåðíîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî êîì-

ïëåêñíîãî âåêòîðà = +r r r& jZ X Y ìîãóò ñëóæèòü òàêæå êîìïëåêñíûå

äèñïåðñèè ãðàíèö r&

r&Sz

D , r&

r&Iz

D , ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé L-ìåðíûå ìà-

òåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ âåêòîðîâ2 2(( ) j( ) , 1, )l Sx l Syl l

X m Y m l L− + − = ,

2 2(( ) j( ) , 1, ),l Ix l Iyl lX m Y m l L− + − =

è êîìïëåêñíûå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ ãðàíèö σ r&

r&Sz

, σ r&

r&Iz

,

âåùåñòâåííûå êîìïîíåíòû êîòîðûõ ðàâíû êîðíþ èç ñîîòâåòñò-âóþùèõ âåùåñòâåííûõ êîìïîíåíò êîìïëåêñíûõ äèñïåðñèé ãðà-

íèö r&

r&Sz

D , r&

r&Iz

D , à ìíèìûå – êîðíþ èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ìíèìûõ

êîìïîíåíò ýòèõ æå âåëè÷èí.Äëÿ îïèñàíèÿ L-ìåðíîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî êîìïëåêñíîãî âåê-

òîðà = +r r r& jZ X Y ìîæíî èñïîëüçîâàòü ãðàíèöû êîìïëåêñíîãî ìà-

òåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ:


118

1

M [ j ] [ ( / )d j ( / )d ] ,L

s l l sl l l l sl l lszl

m X Y x f x g x y f y g y e∞ ∞

= −∞ −∞

= + = +∑ ∫ ∫r&

r rr r&

1

M [ j ] [ ( / )d j ( / )d ] ,L

i l l il l l l il l lizl

m X Y x f x g x y f y g y e∞ ∞

= −∞ −∞

= + = +∑ ∫ ∫r&

r rr r&

ãäå slg è ilg – çíà÷åíèÿ g , ïðè êîòîðûõ äîñòèãàþòñÿ ñîîòâåò-

ñòâåííî âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû ôóíêöèè

∞ ∞

−∞ −∞

+

∫ ∫

2 2

( / )d ( / )dl l l l l lx f x g x y f y g y ,

è ãðàíèöû ìîìåíòîâ, îïðåäåëÿåìûõ ñ ïîìîùüþ ãðàíèö êîì-ïëåêñíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M-ìåðíîé êîìïëåêñíîé

âåêòîðíîé ôóíêöèè ( )Zϕrr && :

1 1=1 - -

M [ ( )]= [ ... ( , ,..., , )M

s m L Lm

Z x y x y∞ ∞

∞ ∞

ϕ ϕ ×∑ ∫ ∫rr && &

1 1 1 1( , ,..., , / )d d ...d d ] ,L L sm L L mf x y x y g x y x y e×r

1 1=1 - -

M [ ( )]= [ ... ( , ,..., , )M

i m L Lm

Z x y x y∞ ∞

∞ ∞

ϕ ϕ ×∑ ∫ ∫rr && &

1 1 1 1( , ,..., , / )d d ...d d ] ,L L im L L mf x y x y g x y x y e×r

ãäå 1 1( , ,..., , )m L Lx y x yϕ& – m-ÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà ( )zϕrr && ; smg ,

img – çíà÷åíèÿ g , ïðè êîòîðûõ äîñòèãàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííîâåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû ôóíêöèè

2

1 1 1 1 1 1- -

... ( , ,..., , ) ( , ,..., , / )d d ...d d .m L L L L L Lx y x y f x y x y g x y x y∞ ∞

∞ ∞

ϕ∫ ∫ &

Ê ÷èñëó ãðàíèö ìîìåíòîâ êîìïëåêñíîãî âåêòîðà îòíîñÿòñÿ, â

÷àñòíîñòè, ãðàíèöû êîìïëåêñíîé äèñïåðñèè r&

r&sz

D , r&

r&iz

D , îïðåäåëÿåìûå

êàê ãðàíèöû êîìïëåêñíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ âåêòîðà

=

− + −∑r2 2

/ /1

[( ) j( ) ]l l

L

l x g l y g ll

X m Y m e .

7.5. Параметры векторных комплексных гиперслучайных величин

119

Ñ ïîìîùüþ ãðàíèö êîìïëåêñíîé äèñïåðñèè ìîæíî îïðåäå-

ëèòü ãðàíèöû êîìïëåêñíîãî ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ r&

r&σsz

,

izσ r&

r& êàê âåêòîðû, âåùåñòâåííûå êîìïîíåíòû êîòîðûõ ðàâíû êîð-

íþ èç ñîîòâåòñòâóþùèõ âåùåñòâåííûõ êîìïîíåíò ãðàíèö êîì-

ïëåêñíîé äèñïåðñèè r&

r&sz

D , r&

r&iz

D , à ìíèìûå êîìïîíåíòû – èç ñîîò-

âåòñòâóþùèõ ìíèìûõ êîìïîíåíò äèñïåðñèé r&

r&sz

D , r&

r&iz

D .

Â íàñòîÿùåé ãëàâå áûëè ðàññìîòðåíû ìåòîäû îïèñàíèÿ âåê-òîðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ÷àñòíîãî âèäà, ó êîòîðûõ äëÿ ðàç-íûõ ñëó÷àéíûõ êîìïîíåíò óñëîâèÿ g îäèíàêîâûå. Çàìåòèì, ÷òîýòè ìåòîäû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ îïèñàíèÿ òàêæå âåê-òîðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îáùåãî âèäà, ó êîòîðûõ ýòè óñëî-âèÿ ðàçíûå äëÿ ðàçíûõ ñëó÷àéíûõ êîìïîíåíò (â ýòîì ñëó÷àå óñ-ëîâèÿ îïèñûâàþòñÿ âåêòîðîì

rg ). Ñ òàêèìè âåêòîðíûìè ãèïåð-

ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè íàì ïðèäåòñÿ ñòîëêíóòüñÿ ïðè îïèñà-íèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé îáùåãî âèäà.

120

Глава 8

СКАЛЯРНЫЕГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

Îïðåäåëåíî ïîíÿòèå ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè. Ðàññìîò-ðåíû ðàçëè÷íûå ñïîñîáû åå ïðåäñòàâëåíèÿ. Äëÿ îïèñàíèÿ èñïîëüçî-âàíû óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ (äàþùèå íàèáîëåå ïîëíóþõàðàêòåðèñòèêó ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè), à òàêæå ãðàíèöû ôóíê-öèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö, ìîìåíòû ãðà-íèö è ãðàíèöû ìîìåíòîâ.

8.1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Ïîä ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèåé ( )X t áóäåì ïîíèìàòü ÷èñëîâóþôóíêöèþ íåçàâèñèìîãî àðãóìåíòà t , çíà÷åíèå êîòîðîé ïðè ëþ-áîì ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè ∈t T (ãäå T – îáëàñòü îïðåäåëå-íèÿ àðãóìåíòà) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó,íàçûâàåìóþ ñå÷åíèåì. Ìíîæåñòâî çíà÷åíèé âñåõ ñå÷åíèé ãè-ïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè îáðàçóåò ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé S (ôà-çîâîå ïðîñòðàíñòâî).

i-é ðåàëèçàöèåé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )X t (âûáîðî÷íîé ôóíê-

öèåé) áóäåì íàçûâàòü äåòåðìèíèðîâàííóþ ôóíêöèþ ( ; )i tx t g

(îáîçíà÷àåìóþ òàêæå êàê ( ) /i tx t g ), êîòîðàÿ äëÿ ôèêñèðîâàííîãî

îïûòà ∈i I ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ∈t T è êîíêðåòíîìóóñëîâèþ ∈t tg G îäíî èç çíà÷åíèé ∈x S .

Ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà ìíîæåñò-âîì ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ( ) / tX t g (îáîçíà÷àåìûõ òàêæå êàê

( ; )tX t g ): = ∈( ) ( ) / t tX t X t g G .Íàðÿäó ñ òàêèìè ãèïåðñëó÷àéíûìè ôóíêöèÿìè îáùåãî âèäà áó-

äåì ðàññìàòðèâàòü ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè ÷àñòíîãî âèäà, äëÿêîòîðûõ óñëîâèÿ ∈t tg G íå çàâèñÿò îò t : ( =tg g , =tG G ).

Ðåàëèçàöèÿ ( ; )ix t g òàêîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè (îáîçíà-

÷àåìàÿ òàêæå êàê ( ) /ix t g ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äåòåðìèíèðîâàí-

8.1. Основные определения

121

Ðèñ. 8.1. Ðåàëèçàöèè ãè-ïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè

( )X t ÷àñòíîãî âèäà

íóþ ôóíêöèþ, êîòîðàÿ äëÿ ôèêñèðîâàííîãî îïûòà ∈i I è ôèê-ñèðîâàííîãî óñëîâèÿ ∈g G ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå êàæäîìó ∈t T

îäíî èç çíà÷åíèé ∈x S . Ïðåäñòàâëåíèå î ðåàëèçàöèÿõ ãèïåðñëó-÷àéíîé ôóíêöèè ÷àñòíîãî âèäà, êîãäà ìíîæåñòâî G – ñ÷åòíîå,äàåò ðèñ. 8.1.

Òàêàÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ èìååò ÷åðòû êàê ãèïåðñëó-÷àéíîé âåëè÷èíû, òàê è äåòåðìèíèðîâàííîé ôóíêöèè: ïðè ôèê-ñàöèè çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà t ïðåâðàùàåòñÿ â ãèïåðñëó÷àéíóþâåëè÷èíó, à ïðè ôèêñàöèè îïûòà i è óñëîâèé g – â äåòåðìè-íèðîâàííóþ ôóíêöèþ.

Ìíîæåñòâî ðåàëèçàöèé I ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ìîæåòáûòü îãðàíè÷åííûì, ñ÷åòíûì èëè íåñ÷åòíûì.

Ðàçìåðíîñòü N îáëàñòè T îïðåäåëåíèÿ àðãóìåíòà t ìîæåòáûòü ðàçíîé. Åñëè = 1N , òî ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ ( )X t áó-äåì íàçûâàòü ãèïåðñëó÷àéíûì ïðîöåññîì è ïðåäñòàâëÿòü ìíîæåñò-âîì ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ( ) / tX t g . Åñëè > 1N , òî àðãóìåíò t –

âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà. Â ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèþ ( )X t áóäåì íàçû-âàòü ãèïåðñëó÷àéíûì ïîëåì è ïðåäñòàâëÿòü ìíîæåñòâîì ñëó÷àéíûõïîëåé ( ) / tX t g .

Åñëè ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé îäíîìåðíî, òî ãèïåðñëó÷àéíàÿôóíêöèÿ – ñêàëÿðíàÿ, åñëè ðàçìåðíîñòü ïðîñòðàíñòâà ñîñòîÿ-

Глава 8. Cкалярные гиперслучайные функции

122

íèé áîëüøå åäèíèöû, òî ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ – âåêòîðíàÿ.Â ïåðâîì ñëó÷àå ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ ìíî-æåñòâîì ñêàëÿðíûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, âî âòîðîì – ìíîæåñò-âîì âåêòîðíûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé.

Åñëè ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé âåùåñòâåííîå, òî ãèïåðñëó÷àé-íàÿ ôóíêöèÿ îïèñûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì âåùåñòâåííûõ ñëó÷àéíûõôóíêöèé, åñëè îíî êîìïëåêñíîå, òî ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿîïèñûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì êîìïëåêñíûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé.

8.2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИСКАЛЯРНОЙ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ

Ñêàëÿðíóþ ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ ( )X t áóäåì ïðåäñòàâëÿòüñîâîêóïíîñòüþ åå ñå÷åíèé. Äëÿ îïèñàíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòüóñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ:

= < <rr r

1 1 1( ; / ) ( ) ,..., ( ) / ,..., L M LF x t g P X t x X t x g g

(îáîçíà÷àåìûå òàêæå êàê rr r

( ; ; )F x t g ), ãäå =r

1( ,..., )Lx x x – L-ìåð-

íûé âåêòîð çíà÷åíèé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )X t â ìîìåíòû

âðåìåíè 1,..., Lt t , îáðàçóþùèå L-ìåðíûé âåêòîð âðåìåíè

=r

1,..., Lt t t ; =r

1,..., Lg g g – âåêòîð óñëîâèé ( ∈rr

g G ), ñîîòâåòñò-

âóþùèé âåêòîðó âðåìåíè rt ;

r / P A g – âåðîÿòíîñòü âûïîëíå-

íèÿ íåðàâåíñòâà A ïðè óñëîâèÿõ rg , à òàêæå óñëîâíûå ïëîòíîñòè

ðàñïðåäåëåíèÿ∂

=∂ ∂

rr rrr r

1

( ; / )( ; / )

...

L

L

F x t gf x t g

x x

(îáîçíà÷àåìûå òàêæå êàê rr r

( ; ; )f x t g ), óñëîâíûå õàðàêòåðèñòè÷åñêèåôóíêöèè

( j ; / ) ... ( ; / )exp( j )dQ t g f x t g x x∞ ∞

−∞ −∞

ω = ω∫ ∫r rr r r r rr r

è äð.Ïðåäñòàâëåíèå îá óñëîâíûõ ïëîòíîñòÿõ ðàñïðåäåëåíèÿ ãè-

ïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ÷àñòíîãî âèäà äëÿ ìíîæåñòâà óñëîâèé1,..., G äàåò ðèñ. 8.2.

Êðîìå òîãî, ìîæíî èñïîëüçîâàòü öåíòðàëüíûå è íåöåíòðàëü-íûå ìîìåíòû ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ( ) / tX t g ∈( )t tg G , â ÷àñòíî-

8.2. Вероятностные характеристики скалярной гиперслучайной функции

123

Ðèñ. 8.2. Óñëîâíûå ïëîòíîñòèðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé

ôóíêöèè ( )X t ÷àñòíîãî âèäà

ñòè, óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ / ( )tx gm t = M [ ( ) / ]tX t g , óñ-

ëîâíûå äèñïåðñèè

= = − 2/ /( ) D [ ( ) / ] M [( ( ) / ( )) ]

t tx g t t x gD t X t g X t g m t ,

óñëîâíûå êîððåëÿöèîííûå ìîìåíòû

=1 21 2/ 1 2 1 2( , ) M[( ( ) / )( ( ) / )]

t tx g g t tK t t X t g X t g ,

óñëîâíûå êîâàðèàöèîííûå ìîìåíòû

21 2 1 2/ 1 2 1 / 1 2 / 2( , ) M[( ( ) / ( ))( ( ) / ( ))]t t t tx g g x g t x gR t t X t g m t X t g m t= − −

è ïð.Äëÿ îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )X t ìîãóò áûòü èñ-

ïîëüçîâàíû òàêæå àíàëîãè ïåðå÷èñëåííûõ õàðàêòåðèñòèê è ïà-ðàìåòðîâ ãðàíèö.

Ê ÷èñëó âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê îòíîñÿòñÿ ãðàíèöû ôóíê-öèè ðàñïðåäåëåíèÿ

r rr r( ; ), ( ; )S IF x t F x t , ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö

rr( ; )Sf x t ,

rr( ; )If x t è õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ãðàíèö ( ; )SQ j tω

vr,

( ; )IQ j tωrr

, îïðåäåëÿåìûå ñîîòâåòñòâåííî ñëåäóþùèì îáðàçîì:

1 1( ; ) sup ( ) ,..., ( ) / ,S M Mg G

F x t P X t x X t x g∈

= < <rr

rr r

1 1( ; ) inf ( ) ,..., ( ) / ,I M Mg G

F x t P X t x X t x g∈

= < <rr

rr r (8.1)

∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂

r rr rr rr r

1 1

( ; ) ( ; )( ; ) , ( ; ) ,

... ...

L LS I

S IL L

F x t F x tf x t f x t

x x x x (8.2)


124

( j ; ) ... ( ; ) exp( j )d ,S SQ t f x t x x∞ ∞

−∞ −∞

ω = ω∫ ∫r rr r rr r

( j ; ) ... ( ; ) exp( j )d .I IQ t f x t x x∞ ∞

−∞ −∞

ω = ω∫ ∫r rr r rr r

(8.3)

Ýòè õàðàêòåðèñòèêè îáëàäàþò òåìè æå ñâîéñòâàìè, ÷òî èàíàëîãè÷íûå õàðàêòåðèñòèêè âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷è-íû (ñì. ïàðàãðàô 7.2).

Øèðèíà çîíû íåîïðåäåëåííîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèÿìè

∆ = −r r rr r r

( ; ) ( ; ) ( ; )S IF x t F x t F x tè

∆ = −r r rr r r

( ; ) ( ; ) ( ; )S If x t f x t f x t .

Äëÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ýòè ôóíêöèè ðàâíû íóëþ. Ïðè ïîë-íîé íåîïðåäåëåííîñòè (ïîëíîì õàîñå) ∆ =

rr( ; ) 1F x t .

Ïðåäñòàâèì ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ ( )X t ñîâîêóïíîñòüþ

L åå ñå÷åíèé 11( ; )tX t g ,…, ( ; )

LL tX t g . Ðàçäåëèì ýòè ñå÷åíèÿ íà äâå

ãðóïïû. Ê ïåðâîé ãðóïïå îòíåñåì ëþáûå M ñå÷åíèé, íàïðè-ìåð ïåðâûå, à êî âòîðîé – îñòàëüíûå (L — M) ñå÷åíèé. ÒîãäàL-ìåðíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö 1 1( ,..., ; ,..., )S L Lf x x t t ,

1 1( ,..., ; ,..., )I L Lf x x t t ñâÿçàíû ñ M-ìåðíûìè ïëîòíîñòÿìè ðàñïðå-äåëåíèÿ ãðàíèö

1 1( ,..., ; ,..., )S M Mf x x t t , 1 1( ,..., ; ,..., )I M Mf x x t t

è óñëîâíûìè (L — M)-ìåðíûìè ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö

+1( ,..., ;S M Lf x x +1 1 1,..., / ,..., ; ,..., )M L M Mt t x x t t ,

+ +1 1( ,..., ; ,..., /I M L M Lf x x t t 1 1,..., ; ,..., )M Mx x t t

ñëåäóþùèìè íåðàâåíñòâàìè:

1 1 1 1( ,..., ; ,..., ) ( ,..., ; ,..., )S L L S M Mf x x t t f x x t t≤ ×

1 1 1 1( ,..., ; ,..., / ,..., ; ,..., ),S M L M L M Mf x x t t x x t t+ +×

1 1 1 1( ,..., ; ,..., ) ( ,..., ; ,..., )I L L I M Mf x x t t f x x t t≥ ×

1 1 1 1( ,..., ; ,..., / ,..., ; ,..., ),I M L M L M Mf x x t t x x t t+ +×

8.3. Моментные функции границ распределения скалярной …

125

âûòåêàþùèìè èç àíàëîãè÷íûõ ñîîòíîøåíèé äëÿ âåêòîðíîé ãè-ïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.

Ñå÷åíèÿ 1t , 2t ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )X t áóäåì íàçûâàòüíåçàâèñèìûìè, åñëè äâóìåðíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèöôàêòîðèçóþòñÿ:

1 2 1 2 1 1 2 2( , ; , ) ( ; ) ( ; ),S S Sf x x t t f x t f x t=

1 2 1 2 1 1 2 2( , ; , ) ( ; ) ( ; ).I I If x x t t f x t f x t= (8.4)

Ñå÷åíèÿ 1t ,…, Lt ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )X t íàçîâåì íåçàâè-ñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè, åñëè íåçàâèñèìû â ñîâîêóïíîñòè çíà÷å-íèÿ âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ñîîòâåòñòâóþùèåýòèì ñå÷åíèÿì, ò. å. âîçìîæíî ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå ïëîò-íîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö:

1 11

( ,..., ; ,..., ) ( ; ),L

S L L S l ll

f x x t t f x t=

= ∏

1 11

( ,..., ; ,..., ) ( ; ).L

I L L I l ll

f x x t t f x t=

= ∏ (8.5)

Êàê è â ñëó÷àå ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, èç íåçàâèñèìîñòè â ñî-âîêóïíîñòè ñå÷åíèé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ñëåäóåò ïîïàðíàÿèõ íåçàâèñèìîñòü. Îáðàòíîå æå óòâåðæäåíèå íåâåðíî.

8.3. МОМЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ ГРАНИЦРАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКАЛЯРНОЙ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ

Ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ôóíêöèè 1( ( ),..., ( ))LX t X tϕ çíà-

÷åíèé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )X t â L òî÷êàõ =1 1( )X X t ,…, ÕL =

( )LX t= îïèñûâàþòñÿ âûðàæåíèÿìè

ϕ =K1M [ ( ( ), , ( ))]S LX t X t

1 1 1 1( , , ) ( , , ; , , )d d ,L S L L Lx x f x x t t x x∞ ∞

−∞ −∞

= ϕ∫ ∫K K K K K

ϕ =K1M [ ( ( ), , ( ))]I LX t X t

1 1 1 1( , , ) ( , , ; , , )d d .L I L L Lx x f x x t t x x∞ ∞

−∞ −∞

= ϕ∫ ∫K K K K K (8.6)


126

Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )X t ìîãóò áûòüèñïîëüçîâàíû ìîìåíòíûå ôóíêöèè ãðàíèö. Íà÷àëüíûìè L-ìåðíûìèìîìåíòíûìè ôóíêöèÿìè ãðàíèö ïîðÿäêà 1 Lν = ν + + νK ãèïåðñëó÷àé-

íîé ôóíêöèè ( )X t áóäåì íàçûâàòü ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðà-

íèö ôóíêöèè 11 1( ( ), , ( )) ( ) ( )L

L LX t X t X t X tν νϕ =K K :

11... 1 1( , , ) M [ ( ) ( )]L

LS L S Lm t t X t X tν νν ν = =K K

11 1 1 1( , , ; , , )d d ,L

L S L L Lx x f x x t t x x∞ ∞

ν ν

−∞ −∞

= ∫ ∫K K K K K

11... 1 1( , , ) M [ ( ) ( )]L

LI L I Lm t t X t X tν νν ν = =K K

11 1 1 1( , , ; , , )d d ,L

L I L L Lx x f x x t t x x∞ ∞

ν ν

−∞ −∞

= ∫ ∫K K K K K (8.7)

ãäå lν – öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî ( 1, )l L= .Ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè

( )X t îïðåäåëèì êàê

=( ) M [ ( )]Sx Sm t X t , =( ) M [ ( )]Ix Im t X t .

Öåíòðàëüíûìè L-ìåðíûìè ìîìåíòíûìè ôóíêöèÿìè ãðàíèö ïî-ðÿäêà 1 Lν = ν + + νK áóäåì íàçûâàòü ñëåäóþùèå ôóíêöèè:

11... 1 1 1( , , ) M [( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ],L

LS L S Sx L Sx Lt t X t m t X t m tν νν νµ = − −K K

11... 1 1 1( , , ) M [( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ].L

LI L I Ix L Ix Lt t X t m t X t m tν νν νµ = − −K K (8.8)

×àñòíûì ñëó÷àåì ýòèõ ôóíêöèé ÿâëÿþòñÿ äèñïåðñèè ãðàíèö( )SxD t , ( )IxD t , îïðåäåëÿåìûå êàê

2( ) D [ ( )] M [( ( ) ( )) ],Sx S S SxD t X t X t m t= = −

2( ) D [ ( )] M [( ( ) ( )) ].Ix I I IxD t X t X t m t= = − (8.9)

Ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ( )Sxm t , ( )Ixm t õàðàêòåðè-

çóþò ñðåäíèå çíà÷åíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )X t , ðàññ÷è-òàííûå äëÿ âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, àäèñïåðñèè ãðàíèö ( )SxD t , ( )IxD t è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îòêëî-íåíèÿ ãðàíèö, îïðåäåëÿåìûå êàê

8.3. Моментные функции границ распределения скалярной …

127

( ) ( )Sx Sxt D tσ = , ( ) ( )Ix Ixt D tσ = ,

õàðàêòåðèçóþò ñòåïåíü ðàçáðîñà ýòîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèèîòíîñèòåëüíî ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ( )Sxm t

è ( )Ixm t .

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ≤( ) ( )Sx Ixm t m t , à ñîîòíîøåíèå ìåæäó

( )SxD t è ( )IxD t ìîæåò áûòü ëþáûì.×àñòíûìè ñëó÷àÿìè âûðàæåíèé (8.7), (8.8) ÿâëÿþòñÿ êîâàðèà-

öèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè

1 2 1 1 2 2( , ) M [( ( ) ( ))( ( ) ( ))],Sx S Sx SxR t t X t m t X t m t= − −

1 2 1 1 2 2( , ) M [( ( ) ( ))( ( ) ( ))]Ix I Ix IxR t t X t m t X t m t= − −

è êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö

1 2 1 2( , ) M [ ( ) ( )],Sx SK t t X t X t=

1 2 1 2( , ) M [ ( ) ( )].Ix IK t t X t X t= (8.10)

Îíè ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:

1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( ) ( ),Sx Sx Sx SxR t t K t t m t m t= −

1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( ) ( ).Ix Ix Ix IxR t t K t t m t m t= − (8.11)

Êîâàðèàöèîííûå è êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö, à òàê-æå íîðìèðîâàííûå êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö

1 2 1 21 2 1 2

1 2 1 2

( , ) ( , )( , ) , ( , )

( ) ( ) ( ) ( )Sx Ix

Sx IxSx Sx Ix Ix

R t t R t tr t t r t t

t t t t= =σ σ σ σ

(8.12)

õàðàêòåðèçóþò çàâèñèìîñòü ñå÷åíèé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè.Ñå÷åíèÿ 1t , 2t ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )X t áóäåì íàçûâàòü

íåêîððåëèðîâàííûìè, åñëè äëÿ ýòèõ ñå÷åíèé êîâàðèàöèîííûåôóíêöèè ãðàíèö = =1 2 1 2( , ) ( , ) 0Sx IxR t t R t t . Ïðè ýòîì, ñîãëàñíî âû-ðàæåíèþ (8.11),

=1 2 1 2( , ) ( ) ( )Sx Sx SxK t t m t m t , =1 2 1 2( , ) ( ) ( )Ix Ix IxK t t m t m t .

Ñå÷åíèÿ 1t , 2t ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )X t áóäåì íàçûâàòüîðòîãîíàëüíûìè, åñëè äëÿ íèõ êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö

= =1 2 1 2( , ) ( , ) 0Sx IxK t t K t t .Ïðè ýòîì, ñîãëàñíî âûðàæåíèþ (8.11),


128

= −1 2 1 2( , ) ( ) ( )Sx Sx SxR t t m t m t , = −1 2 1 2( , ) ( ) ( )Ix Ix IxR t t m t m t .

Ïîíÿòèÿ íåçàâèñèìîñòè, íåêîððåëèðîâàííîñòè è îðòîãî-íàëüíîñòè ñå÷åíèé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè àíàëîãè÷íû òàêèìæå ïîíÿòèÿì ñëó÷àéíîé ôóíêöèè. Åñëè ñå÷åíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîéôóíêöèè êîððåëèðîâàíû, òî îíè çàâèñèìû. Îáðàòíîå óòâåðæäå-íèå íåâåðíî. Åñëè ñå÷åíèÿ íåçàâèñèìû, òî îíè íåêîððåëèðîâà-íû. Åñëè ñå÷åíèÿ îðòîãîíàëüíû, òî îíè ìîãóò áûòü êàê çàâèñè-ìûìè, òàê è íåçàâèñèìûìè, êàê êîððåëèðîâàííûìè, òàê è íå-êîððåëèðîâàííûìè. Åñëè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö õîòÿáû îäíîãî èç äâóõ ðàññìàòðèâàåìûõ ñå÷åíèé ðàâíû íóëþ, òî èçîðòîãîíàëüíîñòè ñå÷åíèé ñëåäóåò èõ íåêîððåëèðîâàííîñòü, à èçíåêîððåëèðîâàííîñòè – èõ îðòîãîíàëüíîñòü.

8.4. ГРАНИЦЫ МОМЕНТОВ СКАЛЯРНОЙГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ

Äëÿ îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü ðÿääðóãèõ õàðàêòåðèñòèê, àíàëîãè÷íûõ ðàññìîòðåííûì â ïàðàãðà-ôå 7.3 äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.

Îñíîâîé ýòèõ õàðàêòåðèñòèê ÿâëÿþòñÿ ãðàíèöû ìàòåìàòè÷å-ñêîãî îæèäàíèÿ ôóíêöèè ( ; )X tϕ =

r r 1 1( ,..., ; ,..., )L LX X t t= ϕ ãèïåðñëó-

÷àéíîé ôóíêöèè ( )X t :

M [ ( ; ] sup ... ( ; ) ( ; / )d ,s mg G

X t x t f x t g x∞ ∞

∈ −∞ −∞

ϕ = ϕ∫ ∫rr

r r r rr r r r

M [ ( ; )] inf ... ( ; ) ( ; / )d .i mg G

X t x t f x t g x∞ ∞

∈−∞ −∞

ϕ = ϕ∫ ∫rr

r r r rr r r r

×àñòíûì ñëó÷àåì ÿâëÿþòñÿ ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ

=( ) M [ ( )]sx sm t X t , =( ) M [ ( )]ix im t X t ,

ãðàíèöû äèñïåðñèè

= − 2/( ) M [( ( ) ( )) ]

tsx s x gD t X t m t ,

= − 2/( ) M [( ( ) ( )) ]

tix i x gD t X t m t ,

ãäå =/ ( ) M[ ( ) / ]tx g tm t X t g – çíà÷åíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ

â óñëîâèÿõ ∈t tg G , à òàêæå ãðàíèöû íà÷àëüíûõ ìîìåíòîâ

8.4. Границы моментов скалярной гиперслучайной функции

129

11... 1 1( ,..., ) M [ ( )... ( )]L

Ls L s Lm t t X t X tν νν ν = ,

11 ... 1 1( ,..., ) M [ ( )... ( )]L

Li L i Lm t t X t X tν νν ν =

ïîðÿäêà 1 ... Lν =ν + + ν è ãðàíèöû öåíòðàëüíûõ ìîìåíòîâ

11 1... 1 1 / 1 /( ,..., ) M [( ( ) ( )) ...( ( ) ( )) ],L

L t tLs L s x g L x g Lt t X t m t X t m tν νν νµ = − −

11 1i ... 1 1 / 1 /( ,..., ) M [( ( ) ( )) ...( ( ) ( )) ]L

L t tLL i x g L x g Lt t X t m t X t m tν νν νµ = − −

ïîðÿäêà 1 ... Lν = ν + + ν .Ãðàíèöû ñìåøàííîãî íà÷àëüíîãî ìîìåíòà âòîðîãî ïîðÿäêà

11 1 2( , )sm t t , 11 1 2( , )im t t áóäåì íàçûâàòü ãðàíèöàìè êîððåëÿöèîííîé

ôóíêöèè è îáîçíà÷àòü 1 2( , )sxK t t , 1 2( , )ixK t t , ãðàíèöû ñìåøàííîãîöåíòðàëüíîãî ìîìåíòà âòîðîãî ïîðÿäêà – ãðàíèöàìè êîâàðèàöè-îííîé ôóíêöèè è îáîçíà÷àòü 1 2( , )sxR t t , 1 2( , )ixR t t .

Êàê è â ñëó÷àå ãðàíèö êîððåëÿöèîííîãî è êîâàðèàöèîííîãîìîìåíòîâ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èç-çà òîãî, ÷òî ãðàíèöûêîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè, ãðàíèöû êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè èãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ìîãóò ñîîòâåòñòâîâàòü ðàç-ëè÷íûì óñëîâèÿì

rg , â îáùåì ñëó÷àå

≠ −1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( ) ( )sx sx sx sxR t t K t t m t m t ,

≠ −1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( ) ( )ix ix ix ixR t t K t t m t m t .

Îòñ÷åòû ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )X t â ìîìåíòû 1t , 2t áó-äåì íàçûâàòü íåêîððåëèðîâàííûìè ïðè âñåõ óñëîâèÿõ, åñëè

= =1 2 1 2( , ) ( , ) 0sx ixR t t R t t , è îðòîãîíàëüíûìè ïðè âñåõ óñëîâèÿõ, åñëè

= =1 2 1 2( , ) ( , ) 0sx ixK t t K t t .Çàìåòèì, ÷òî ïîíÿòèÿ íåêîððåëèðîâàííîñòè è îðòîãîíàëüíî-

ñòè îòñ÷åòîâ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè, ïðèâåäåííûå â ïðåäû-äóùåì ïàðàãðàôå, äëÿ îïèñàíèÿ ñèòóàöèé, êîãäà ñîîòâåòñòâóþ-ùèå êîððåëÿöèîííûå è êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö ðàñ-ïðåäåëåíèÿ ðàâíû íóëþ, îòëè÷àþòñÿ îò ïðèâåäåííûõ çäåñü ïî-íÿòèé.

Èç íåêîððåëèðîâàííîñòè è îðòîãîíàëüíîñòè îòñ÷åòîâ íå ñëå-äóåò ñîîòâåòñòâåííî èõ íåêîððåëèðîâàííîñòü è îðòîãîíàëüíîñòüïðè âñåõ óñëîâèÿõ. Â îáùåì ñëó÷àå è èç íåêîððåëèðîâàííîñòè èîðòîãîíàëüíîñòè îòñ÷åòîâ ïðè âñåõ óñëîâèÿõ íå ñëåäóåò ñîîòâåò-


130

ñòâåííî èõ íåêîððåëèðîâàííîñòü è îðòîãîíàëüíîñòü. Ïîñëåäíååñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ

rr( ; )SF x t ,

rr( ; )IF x t íå âñåãäà ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó óñëîâíûõ ôóíêöèé

ðàñïðåäåëåíèÿ rr r

( ; / )F x t g , ∈rr

g G .Åñëè æå ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âñå æå ïðèíàäëå-

æàò ýòîìó ìíîæåñòâó, òî èç íåêîððåëèðîâàííîñòè è îðòîãîíàëü-íîñòè îòñ÷åòîâ ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ñëåäóåò ñîîòâåòñòâåííî èõ íå-êîððåëèðîâàííîñòü è îðòîãîíàëüíîñòü. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèåíåâåðíî.

Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî òàê æå, êàê è â ñëó÷àå ãè-ïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ìíîæåñòâî ãðàíèö âñåõ ìîìåíòîâ íåîä-íîçíà÷íî îïðåäåëÿåò ãðàíèöû ðàñïðåäåëåíèÿ.

131

Глава 9

ВЕКТОРНЫЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ,ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ

И ОПЕРАТОРЫ

Ââåäåíû ïîíÿòèÿ âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè, ãèïåðñëó÷àé-íîãî ôóíêöèîíàëà è ãèïåðñëó÷àéíîãî îïåðàòîðà. Ðàññìîòðåíû ðàç-ëè÷íûå ñïîñîáû îïèñàíèÿ ýòèõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îáúåêòîâ. Èññëå-äîâàíû ñâîéñòâà èõ õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ.

9.1. ВЕКТОРНЫЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕФУНКЦИИ

Âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèåé áóäåì íàçûâàòü âåêòîðíóþôóíêöèþ ( )X t

r, êîìïîíåíòû êîòîðîé ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñêà-

ëÿðíûå ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè: 1( ) ( ( ),..., ( ))HX t X t X t=r

.

Âåêòîðíóþ H-ìåðíóþ ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ ( )X tr

ìîæíîîïèñàòü ìíîæåñòâîì HL-ìåðíûõ óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëå-íèÿ 1 1 1( , , ; , , / , , )H H HF x x t t g g

r rr r r rK K K , ãäå L-ìåðíûå âåêòîðû hx

r, htr

,

hgr

õàðàêòåðèçóþò h-å êîìïîíåíòû âåêòîðà ( )X tr

â óñëîâèÿõ

h hg G∈rr

( 1,h H= ).Êðîìå òîãî, åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü óñëîâíûìè öåíòðàëüíûìè

è íåöåíòðàëüíûìè ìîìåíòàìè, àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ýòî ñäåëà-íî â ïàðàãðàôå 8.2.

Ýòó ôóíêöèþ ìîæíî îïèñàòü òàêæå â L ñå÷åíèÿõ ãðàíèöàìèHL-ìåðíîé ñîâìåñòíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ 1( , ,SF x

rK 1; , ,Hx t

rrK

)Htr

, 1 1( , , ; , , )I H HF x x t tr rr r

K K , ãäå L-ìåðíûå âåêòîðû hxr

è htr

õàðàêòå-

ðèçóþò h-å êîìïîíåíòû âåêòîðà ( )X tr

( 1, )h H= , ïëîòíîñòÿìè ðàñ-ïðåäåëåíèÿ ãðàíèö

1 1( , , ; , , )S H Hf x x t tr rr r

K K , 1 1( , , ; , , )I H Hf x x t tr rr r

K K

èëè õàðàêòåðèñòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè ãðàíèö

Глава 9. Векторные гиперслучайные функции …

132

1 1( j , , j ; , , )S H HQ t tω ωr rr r

K K , 1 1( j , , j ; , , )I H HQ t tω ωr rr r

K K .

Ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè 1( )X t è 2( )X t áóäåì íàçûâàòü íåçàâè-

ñèìûìè, åñëè ïðè ïðîèçâîëüíîì íàòóðàëüíîì L åå 2L-ìåðíûåñîâìåñòíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö ôàêòîðèçóþòñÿ:

1 2 1 2 1 1 2 2( , ; , ) ( ; ) ( ; ),S S Sf x x t t f x t f x t=r r r rr r r r

1 2 1 2 1 1 2 2( , ; , ) ( ; ) ( ; ).I I If x x t t f x t f x t=r r r rr r r r

(9.1)

Êîìïîíåíòû âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )X tr

áóäåìíàçûâàòü íåçàâèñèìûìè â ñîâîêóïíîñòè, åñëè ôàêòîðèçóþòñÿ ååñîâìåñòíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö:

1 11

( , , ; , , ) ( ; ),H

S H H S h hh

f x x t t f x t=

= ∏r r rK K

1 11

( , , ; , , ) ( ; ).H

I H H I h hh

f x x t t f x t=

= ∏r r rK K (9.2)

Åñëè êîìïîíåíòû âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )X tr

ïîïàðíî íåçàâèñèìû, òî íå îáÿçàòåëüíî íåçàâèñèìû â ñîâîêóï-íîñòè åå êîìïîíåíòû.

Ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ãðàíèö ( )Sm tr

, ( )Im tr

áóäåì íà-çûâàòü äåòåðìèíèðîâàííûå âåêòîðíûå ôóíêöèè, êîìïîíåíòûêîòîðûõ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèöñîîòâåòñòâóþùèõ êîìïîíåíò âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíê-öèè ( )X t

r:

( ) M [ ( )], ( ) M [ ( )].S S I Im t X t m t X t= =r rr r

(9.3)

Äèñïåðñèÿìè ãðàíèö ( )SD tr

, ( )ID tr

âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîéôóíêöèè áóäåì íàçûâàòü äåòåðìèíèðîâàííûå âåêòîðíûå ôóíê-öèè, êîìïîíåíòû êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ äèñïåðñèÿìè ãðàíèö ñîîò-âåòñòâóþùèõ êîìïîíåíò ôóíêöèè ( )X t

r:

( ) D [ ( )], ( ) D [ ( )].S S I ID t X t D t X t= =r r r r

(9.4)

Êîâàðèàöèîííûìè ôóíêöèÿìè ãðàíèö H-ìåðíîé âåêòîðíîé ãè-ïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )X t

r áóäåì íàçûâàòü êâàäðàòíûå ìàòðèöû

SR , IR ðàçìåðîì H H× ñ ýëåìåíòàìè

9.1. Векторные гиперслучайные функции

133

1 2 1 1 2 2( , ) M [( ( ) ( ))( ( ) ( ))],h kShk S h Sx k SxR t t X t m t X t m t= − −

1 2 1 1 2 2( , ) M [( ( ) ( ))( ( ) ( ))].h kIhk I h Ix k IxR t t X t m t X t m t= − − (9.5)

Äèàãîíàëüíûå ýëåìåíòû ýòèõ ìàòðèö ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé êî-âàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö êîìïîíåíò. Íåäèàãîíàëüíûåýëåìåíòû îïèñûâàþò êîâàðèàöèîííûå ñâÿçè ìåæäó êîìïîíåí-òàìè. Ñâÿçè ìåæäó êîìïîíåíòàìè ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü òàê-æå íîðìèðîâàííûìè êîâàðèàöèîííûìè ôóíêöèÿìè ãðàíèö, îïðåäå-ëÿåìûìè îäíèì èç ñëåäóþùèõ îáðàçîâ:

1 21 2

1 2 1 2

( , )( , )

( , ) ( , )Shk

Shk

Shh Skk

R t tr t t

R t t R t t= ,

1 21 2

1 2 1 2

( , )( , )

( , ) ( , )Ihk

Ihk

Ihh Ikk

R t tr t t

R t t R t t= ;

1 21 2

1 1 2 2

( , )( , )

( , ) ( , )Shk

Shk

Shk Shk

R t tr t t

R t t R t t= ,

1 21 2

1 1 2 2

( , )( , )

( , ) ( , )Ihk

Ihk

Ihk Ihk

R t tr t t

R t t R t t= ;

1 21 2

1 2

( , )( , )

( ) ( )Shk

Shk

Sh Sk

R t tr t t

D t D t= , 1 2

1 2

1 2

( , )( , )

( ) ( )Ihk

Ihk

Ih Ik

R t tr t t

D t D t= ,

ãäå , 1,h k H= .Ïîäîáíî êîâàðèàöèîííûì ôóíêöèÿì ãðàíèö ìîæíî îïðåäå-

ëèòü êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîéôóíêöèè:

1 2 1 2( , ) M [ ( ) ( )],Shk S h kK t t X t X t=

1 2 1 2( , ) M [ ( ) ( )].Ihk I h kK t t X t X t=

Ñâîéñòâà ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ãðàíèö, äèñïåðñèé ãðà-íèö, êîâàðèàöèîííûõ ôóíêöèé ãðàíèö è êîððåëÿöèîííûõôóíêöèé ãðàíèö âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ñîâïàäàþòñî ñâîéñòâàìè ñîîòâåòñòâóþùèõ õàðàêòåðèñòèê âåêòîðíûõ ãè-ïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (ñì. ïàðàãðàô 7.2).


134

9.2. ПАРАМЕТРЫ КОМПЛЕКСНЫХГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ

Êîððåëÿöèîííûìè ôóíêöèÿìè ãðàíèö 1 2( , )SxK t t& , 1 2( , )IxK t t& êîìïëåêñ-

íîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )X t& áóäåì íàçûâàòü äâóìåðíûå íà-÷àëüíûå ìîìåíòíûå ôóíêöèè ãðàíèö âòîðîãî ïîðÿäêà:

*1 2 1 2( , ) M [ ( ) ( )],Sx SK t t X t X t=& &

*1 2 1 2( , ) M [ ( ) ( )],Ix IK t t X t X t=& & (9.6)

à êîâàðèàöèîííûìè ôóíêöèÿìè ãðàíèö 1 2( , )SxR t t& , 1 2( , )IxR t t& – äâó-ìåðíûå öåíòðàëüíûå ìîìåíòíûå ôóíêöèè ãðàíèö âòîðîãî ïî-ðÿäêà:

* *1 2 1 1 2 2( , ) M [( ( ) ( ))( ( ) ( ))],Sx S Sx SxR t t X t m t X t m t= − −& & &

* *1 2 1 1 2 2( , ) M [( ( ) ( ))( ( ) ( ))].Ix I Ix IxR t t X t m t X t m t= − −& & & (9.7)

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî êîâàðèàöèîííûå è êîððåëÿöèîííûåôóíêöèè ãðàíèö ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñëåäóþùèìè ñîîòíîøå-íèÿìè:

*1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( ) ( )Sx Sx Sx SxK t t R t t m t m t= +& & & ,

*1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( ) ( )Ix Ix Ix IxK t t R t t m t m t= +& & & .

Åñëè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ðàâíû íóëþ, òî êîð-ðåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì êîâàðèà-öèîííûì ôóíêöèÿì ãðàíèö:

1 2 1 2( , ) ( , )Sx SxK t t R t t=& & , 1 2 1 2( , ) ( , )Ix IxK t t R t t=& & .

Çíà÷åíèÿ êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )X t& â ìîìåíòû

âðåìåíè 1t , 2t áóäåì íàçûâàòü íåêîððåëèðîâàííûìè, åñëè êîâà-

ðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö 1 2( , )SxR t t =& =&1 2( , ) 0IxR t t . Ïðè ýòîì

*1 2 1 2( , ) ( ) ( )Sx Sx SxK t t m t m t=& & , *

1 2 1 2( , ) ( ) ( )Ix Ix IxK t t m t m t=& & .

Çíà÷åíèÿ êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )X t& â ìîìåíòû

âðåìåíè 1t , 2t áóäåì íàçûâàòü îðòîãîíàëüíûìè, åñëè êîððåëÿöè-

îííûå ôóíêöèè ãðàíèö 1 2 1 2( , ) ( , ) 0Sx IxK t t K t t= =& & . Òîãäà

*1 2 1 2( , ) ( ) ( )Sx Sx SxR t t m t m t= −& & , *

1 2 1 2( , ) ( ) ( )Ix Ix IxR t t m t m t= −& & .

9.2. Параметры комплексных гиперслучайных функций

135

Âçàèìíûìè êîððåëÿöèîííûìè ôóíêöèÿìè ãðàíèö 1 2( , )SxyK t t& ,

1 2( , )IxyK t t& è âçàèìíûìè êîâàðèàöèîííûìè ôóíêöèÿìè ãðàíèö 1( ,SxyR t&2 ),t

1 2( , )IxyR t t& êîìïëåêñíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ( )X t& è ( )Y t& áóäåì

íàçûâàòü ñîîòâåòñòâåííî äâóìåðíûå íà÷àëüíûå è öåíòðàëüíûå âçà-èìíûå ìîìåíòíûå ôóíêöèè ãðàíèö âòîðîãî ïîðÿäêà:

*1 2 1 2( , ) M [ ( ) ( )],Sxy SxyK t t X t Y t=& &

*1 2 1 2( , ) M [ ( ) ( )],Ixy IxyK t t X t Y t=& & (9.8)

* *1 2 1 1 2 2( , ) M [( ( ) ( ))( ( ) ( ))],Sxy Sxy Sx SyR t t X t m t Y t m t= − −& & &

* *1 2 1 1 2 2( , ) M [( ( ) ( ))( ( ) ( ))].Ixy Ixy Ix IyR t t X t m t Y t m t= − −& & & (9.9)

Êîððåëÿöèîííûå è êîâàðèàöèîííûå ñâÿçè ìåæäó ñå÷åíèÿìèêîìïëåêñíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ( )X t& è ( )Y t& â ìîìåíòû

âðåìåíè 1t , 2t îïèñûâàþòñÿ êîððåëÿöèîííûìè è êîâàðèàöèîí-íûìè ìàòðèöàìè ãðàíèö:

1 2 1 21 2

1 2 1 2

( , ) ( , )( , )

( , ) ( , )Sx Sxy

S

Syx Sy

K t t K t tK t t

K t t K t t=

& &&

& &, (9.10)

1 2 1 21 2

1 2 1 2

( , ) ( , )( , )

( , ) ( , )Ix Ixy

I

Iyx Iy

K t t K t tK t t

K t t K t t=

& &&

& &, (9.11)

1 2 1 21 2

1 2 1 2

( , ) ( , )( , )

( , ) ( , )Sx Sxy

S

Syx Sy

R t t R t tR t t

R t t R t t=

&&

& &, (9.12)

1 2 1 21 2

1 2 1 2

( , ) ( , )( , )

( , ) ( , )Ix Ixy

I

Iyx Iy

R t t R t tR t t

R t t R t t=

& &&

& &. (9.13)

Êîìïëåêñíûå ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè ( )X t& è ( )Y t& áóäåì íà-çûâàòü íåêîððåëèðîâàííûìè, åñëè äëÿ äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ìîìåí-òîâ âðåìåíè 1t , 2t 1 2( )t t≠ âçàèìíûå êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèèãðàíèö


136

1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0Sxy Syx Ixy IyxR t t R t t R t t R t t= = = =& & & & ,

ò. å. ìàòðèöû (9.12), (9.13) – äèàãîíàëüíûå.Êîìïëåêñíûå ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè ( )X t& è ( )Y t& áóäåì íà-

çûâàòü îðòîãîíàëüíûìè, åñëè äëÿ äâóõ ïðîèçâîëüíûõ ìîìåíòîââðåìåíè 1t , 2t 1 2( )t t≠ âçàèìíûå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèèãðàíèö

1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0Sxy Syx Ixy IyxK t t K t t K t t K t t= = = =& & & & ,

ò. å. ìàòðèöû (9.10), (9.11) – äèàãîíàëüíûå.Íîðìèðîâàííûìè êîâàðèàöèîííûìè ôóíêöèÿìè ãðàíèö áóäåì

íàçûâàòü ôóíêöèè

1 21 2

1 2

( , )( , ) ,

( ) ( )Sx

Sx

Sx Sx

R t tr t t

D t D t=

&&

1 21 2

1 2

( , )( , ) ,

( ) ( )Ix

Ix

Sx Sx

R t tr t t

D t D t=

&& (9.14)

1 21 2

1 2

( , )( , ) ,

( ) ( )Sxy

Sxy

Sx Sy

R t tr t t

D t D t=

&&

1 21 2

1 2

( , )( , ) .

( ) ( )Ixy

Ixy

Sx Sy

R t tr t t

D t D t=

&& (9.15)

Ñâîéñòâà êîâàðèàöèîííûõ ôóíêöèé ãðàíèö êîìïëåêñíûõ ãè-ïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé àíàëîãè÷íû ñâîéñòâàì êîâàðèàöèîííûõôóíêöèé êîìïëåêñíûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Â ÷àñòíîñòè, êîâà-ðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö îáëàäàþò ñâîéñòâàìè:

• ýðìèòîâîñòè, ò. å.

*1 2 2 1( , ) ( , )Sxy SyxR t t R t t=& , *

1 2 2 1( , ) ( , )Ixy IyxR t t R t t=& ;

• îãðàíè÷åííîñòè, à èìåííî2

1 2 1 2( , ) ( ) ( )Sxy Sx SyR t t D t D t≤& ,

2

1 2 1 2( , ) ( ) ( )Ixy Ix IyR t t D t D t≤&

(çíàêè ðàâåíñòâà èìåþò ìåñòî, êîãäà 1 1( ) ( )Y t aX t b= + , ãäå a è

b – êîíñòàíòû);

9.2. Параметры комплексных гиперслучайных функций

137

• íåîòðèöàòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè, ïîä êîòîðîé ïîäðàçóìå-âàåòñÿ, ÷òî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ 1,..., Lt t è êîìïëåêñíûõ 1,..., Lz z& &

âåëè÷èíû *

, 1

( , )L

Sx l m l ml m

R t t z z=∑ & & , *

, 1

( , )L

Ix l m l ml m

R t t z z=∑ & & âåùåñòâåííû è íå-

îòðèöàòåëüíû.Îñíîâîé îïèñàíèÿ êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè

( ) ( ) j ( )Z t X t Y t= +& ÷àñòíîãî âèäà ìîãóò áûòü òàêæå ãðàíèöû ìà-

òåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ êîìïëåêñíîé ôóíêöèè 1( ; ) ( ,Z t Xϕ = ϕr r&

& &

1 1,..., , ; ,..., )L L LY X Y t t :

1 1 1M [ ( ; )] ... ( , ,..., , ; ,..., )s L L LZ t x y x y t t∞ ∞

−∞ −∞

ϕ = ϕ ×∫ ∫r r

& &

1 1 1 1 1( , ,..., , ; ,..., / )d d ...d d ,L L L s L Lf x y x y t t g x y x y×

1 1 1M [ ( ; )] ... ( , ,..., , ; ,..., )i L L LZ t x y x y t t∞ ∞

−∞ −∞

ϕ = ϕ ×∫ ∫r r

& &

1 1 1 1 1( , ,..., , ; ,..., / )d d ...d d ,L L L i L Lf x y x y t t g x y x y×

ãäå sg , ig – çíà÷åíèÿ g , ïðè êîòîðûõ äîñòèãàþòñÿ ñîîòâåò-ñòâåííî âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû ôóíêöèè

1 1 1| ... ( , ,..., , ; ,..., )L L Lx y x y t t∞ ∞

−∞ −∞

ϕ ×∫ ∫ &

21 1 1 1 1( , ,..., , ; ,..., / )d d ...d d |L L L L Lf x y x y t t g x y x y× .

Â ÷àñòíîñòè, êîãäà

( ( )) ( ) j ( )Z t X t Y tϕ = +&& ,

ïîëó÷àåì ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ

( ) ( ; / )d j ( ; / )dsz s sm t xf x t g x yf y t g y∞ ∞

−∞ −∞

= +∫ ∫&& ,

( ) ( ; / )d j ( ; / )diz i im t xf x t g x yf y t g y∞ ∞

−∞ −∞

= +∫ ∫&& ,

êîãäà2 2

/ /( ( )) ( ( ) ( )) j( ( ) ( )) ,x g y gZ t X t m t Y t m tϕ = − + −&&


138

èìååì ãðàíèöû äèñïåðñèè

2/( ) ( ( )) ( ; / )d

ssz x g sD t x m t f x t g x∞

−∞

= − +∫&&

2/j ( ( )) ( ; / )d ,

sy g sy m t f y t g y∞

−∞

+ −∫

2/( ) ( ( )) ( ; / )d

iiz x g iD t x m t f x t g x∞

−∞

= − +∫&&

2/j ( ( )) ( ; / )d .

iy g iy m t f y t g y∞

−∞

+ −∫

9.3. ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫИ ОПЕРАТОРЫ

Íàáîð ïðàâèë, êîòîðûå ñòàâÿò êàæäîìó îáúåêòó x êëàññà (ìíîæåñò-âà) A â ñîîòâåòñòâèå îáúåêò y êëàññà (ìíîæåñòâà) B , íàçûâàåòñÿ

ïðåîáðàçîâàíèåì èëè îòîáðàæåíèåì êëàññà A â êëàññ B .Áóäåì ðàçëè÷àòü òðè òèïà ïðåîáðàçîâàíèé. Åñëè ýëåìåíòû

êëàññîâ A è B – ìíîæåñòâà âåëè÷èí, òî y ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé

àðãóìåíòà x . Åñëè êëàññ A – ìíîæåñòâî ôóíêöèé, à êëàññB – ìíîæåñòâî âåëè÷èí, òî y ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëîì x . Åñëè

æå îáà êëàññà A è B – ìíîæåñòâà ôóíêöèé, òî ïðåîáðàçîâàíèåïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îïåðàòîð.

Ýëåìåíòû ìíîæåñòâ A è B ìîãóò áûòü äåòåðìèíèðîâàííîãî,ñëó÷àéíîãî èëè ãèïåðñëó÷àéíîãî òèïà. Ñî÷åòàíèÿ ðàçëè÷íûõòèïîâ ýëåìåíòîâ ìíîæåñòâà A ñ ðàçëè÷íûìè òèïàìè ýëåìåíòîâìíîæåñòâà B ïîðîæäàþò äåâÿòü âîçìîæíûõ êîìáèíàöèé.

Ïîä ãèïåðñëó÷àéíûì ôóíêöèîíàëîì ( )X ϕ áóäåì ïîíèìàòü îòî-áðàæåíèå ìíîæåñòâà Ô ôóíêöèé ϕ (äåòåðìèíèðîâàííûõ, ñëó-÷àéíûõ èëè ãèïåðñëó÷àéíûõ) íà ìíîæåñòâî ãèïåðñëó÷àéíûõâåëè÷èí. Ïðè ëþáîé ôèêñèðîâàííîé ϕ ∈ Ô îòîáðàæåíèå äàåòãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, íàçûâàåìóþ ñå÷åíèåì. Ìíîæåñòâîçíà÷åíèé âñåõ ñå÷åíèé ãèïåðñëó÷àéíîãî ôóíêöèîíàëà îáðàçóåòïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé S (ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî).

i -é ðåàëèçàöèåé ãèïåðñëó÷àéíîãî ôóíêöèîíàëà ( )X ϕ (âûáîðî÷-íûì ôóíêöèîíàëîì) áóäåì íàçûâàòü äåòåðìèíèðîâàííûé ôóíê-

9.3. Гиперслучайные функционалы и операторы

139

öèîíàë ( )ix ϕ , êîòîðûé äëÿ ôèêñèðîâàííîãî îïûòà i I∈ è

ôèêñèðîâàííûõ óñëîâèé g G∈ ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèå êàæäîé

ôóíêöèè ϕ îäíî èç çíà÷åíèé x S∈ .

Ãèïåðñëó÷àéíûé ôóíêöèîíàë èìååò ÷åðòû êàê ãèïåðñëó÷àé-íîé ôóíêöèè, òàê è äåòåðìèíèðîâàííîãî ôóíêöèîíàëà. Ïðèôèêñàöèè ôóíêöèè ϕ îí ïðåâðàùàåòñÿ â ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíê-öèþ, à ïðè ôèêñàöèè îïûòà è óñëîâèé – â äåòåðìèíèðîâàííûéôóíêöèîíàë. Ìíîæåñòâî ðåàëèçàöèé I ìîæåò áûòü îãðàíè÷åí-íûì, ñ÷åòíûì èëè íåñ÷åòíûì.

Ãèïåðñëó÷àéíûì îïåðàòîðîì áóäåì íàçûâàòü îòîáðàæåíèåìíîæåñòâà ôóíêöèé Φ (äåòåðìèíèðîâàííûõ, ñëó÷àéíûõ èëèãèïåðñëó÷àéíûõ) íà ìíîæåñòâî ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé Ψ .

Ðåçóëüòàòîì âîçäåéñòâèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî îïåðàòîðà ÿâëÿåòñÿãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ. Ïðè ýòîì íå èìååò çíà÷åíèÿ òèï èñ-õîäíîé ôóíêöèè, íà êîòîðóþ âîçäåéñòâóåò îïåðàòîð.

Äëÿ îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèîíàëîâ è ãèïåðñëó÷àé-íûõ îïåðàòîðîâ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïîäõîäû, ïàðàìåòðû è õà-ðàêòåðèñòèêè, ïðèìåíÿåìûå äëÿ îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõôóíêöèé.

Íàïðèìåð, ñêàëÿðíûé ãèïåðñëó÷àéíûé ôóíêöèîíàë ìîæíîïðåäñòàâèòü ñîâîêóïíîñòüþ ñå÷åíèé. Äëÿ îïèñàíèÿ ìîæíî èñ-ïîëüçîâàòü ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ( ; ), ( ; )S IF x F xϕ ϕ

r rr r,

ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö ( ; )Sf x ϕr r

, ( ; )If x ϕr r

è õàðàêòåðè-ñòè÷åñêèå ôóíêöèè ãðàíèö ( j ; )SQ ω ϕ

r r, ( j ; )IQ ω ϕ

r r, îïðåäåëÿåìûå

ñîîòâåòñòâåííî ñëåäóþùèì îáðàçîì:

1 1( ; ) sup ( ) ,..., ( ) / ,S M Mg G

F x P X x X x g∈

ϕ = ϕ < ϕ <r r

1 1( ; ) inf (φ ) , ..., (φ ) / ,I M Mg GF x P X x X x g

∈ϕ = < <

r r

1 1

( ; ) ( ; )( ; ) , ( ; ) ,

... ...

L LS I

S IL L

F x F xf x f x

x x x x

∂ ϕ ∂ ϕϕ = ϕ =

∂ ∂ ∂ ∂

r rr rr rr r

( j ; ) ... ( ; ) exp( )d ,S SQ f x j x x∞ ∞

−∞ −∞

ω ϕ = ϕ ω∫ ∫r rr r r rv


140

( j ; ) ... ( ; ) exp( )d ,I IQ f x j x x∞ ∞

−∞ −∞

ω ϕ = ϕ ω∫ ∫r rr r r rv

ãäå 1( ,..., )Lx x x=r

– L -ìåðíûé âåêòîð çíà÷åíèé ãèïåðñëó÷àé-

íîãî ôóíêöèîíàëà ( )X ϕ äëÿ âåêòîðà ôóíêöèé 1( ,..., )Lϕ ϕ .

Äëÿ ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî ôóíê-öèîíàëà ìîãóò áûòü ðàññ÷èòàíû öåíòðàëüíûå è íåöåíòðàëüíûåìîìåíòû, à òàêæå äðóãèå õàðàêòåðèñòèêè, íåñóùèå îáîáùåííîåïðåäñòàâëåíèå î ðàññìàòðèâàåìîì ôóíêöèîíàëå.

141

Глава 10

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕИ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ

ФУНКЦИЙ

Ââåäåíû ïîíÿòèÿ ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõâåëè÷èí è ôóíêöèé, à òàêæå ïîíÿòèÿ íåïðåðûâíîñòè, äèôôåðåíöè-ðóåìîñòè è èíòåãðèðóåìîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé.

10.1. СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Äëÿ äàëüíåéøåãî èçëîæåíèÿ íåîáõîäèìî ââåñòè ïîíÿòèÿ ñõîäèìîñòèïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ôóíêöèé.

Â ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ íå íàêëàäûâàëèñü îãðàíè÷åíèÿ íàìíîæåñòâî óñëîâèé G . Äàëåå íàì ïîòðåáóåòñÿ êîíêðåòèçèðîâàòüýòó ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ìîæíî áûëîáû îïðåäåëèòü ïîíÿòèÿ ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó-÷àéíûõ âåëè÷èí è ôóíêöèé. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü G êàê ìåòðè÷å-ñêîå òîïîëîãè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ñ îïðåäåëåííîé ìåòðèêîé.

Ââîäèìûå ïîíÿòèÿ îñíîâàíû íà ñõîäèìîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè-÷èí è ôóíêöèé (ñì., íàïðèìåð, [Ãíåäåíêî, 1988, Àíãî, 1967]).

Ïóñòü èìååòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

1X ,..., NX X= è ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Õ. Äëÿ âñåõ 1,..., NX X

è Õ îïðåäåëåíû óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ 1 1/ ( )x gF x ,...,

/ ( )N Nx gF x è / ( )x gF x äëÿ âñåõ óñëîâèé 1, , Ng g G∈K , g G∈ .

Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X1) ñõîäèòñÿ (â ñìûñëå Áåðíóëëè) ê X ïî ôóíêöèè ðàñïðåäåëå-

íèÿ ( ( ) ( )Nx xF x F x→ ), åñëè â êàæäîé òî÷êå x , ãäå / ( )x gF x íåïðå-

ðûâíà, äëÿ âñåõ óñëîâèé g G∈ ïðè N → ∞ è Ng g→

/ /( ) ( )N Nx g x gF x F x→ , (10.1)

ò. å. åñëè äëÿ âñåõ g G∈ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

Глава 10. Дифференцирование и интегрирование гиперслучайных функций

142

1 1/ ,..., /N NX g X g ñõîäèòñÿ ïî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ê ñëó÷àé-

íîé âåëè÷èíå /X g ;

2) ñõîäèòñÿ ê X â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì 2(M[ ] 0)NX X− → ,

åñëè äëÿ âñåõ óñëîâèé g G∈ ïðè N → ∞ è Ng g→ óñëîâíûåìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ

2M[ / / ] 0N NX g X g− → , (10.2)

ò. å. åñëè äëÿ âñåõ g G∈ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè-

÷èí 1 1/ ,..., /N NX g X g ñõîäèòñÿ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå /X g âñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì. Ïðè òàêîé ñõîäèìîñòè áóäåì ïèñàòül . i .m . / /

N

N NNg g

X g X g→∞→

= èëè

l . i .m . NNX X

→∞= . (10.3)

Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî äâóìåðíîìó ðàñïðåäåëåíèþ ñëó-÷àéíûõ âåëè÷èí /N NX g è /X g ;

3) ñõîäèòñÿ ê X ïî÷òè íàâåðíîå (ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà –( ) 1NP X X→ = ), åñëè äëÿ âñåõ óñëîâèé g G∈ ïðè N → ∞ è

Ng g→ óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòü

( / / ) 1N NP X g X g→ = , (10.4)

ò. å. åñëè g G∀ ∈ ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 1 1/ ,..., /N NX g X g

ñõîäèòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå /X g . Ïðèòàêîé ñõîäèìîñòè áóäåì ïèñàòü

lim NNX X

→∞= ; (10.5)

4) ñõîäèòñÿ ê X ïî âåðîÿòíîñòè ( ( ) 0)NP X X− > ε → , åñëè

äëÿ âñåõ óñëîâèé g G∈ è 0ε > ïðè N → ∞ è Ng g→

( / / ) 0N NP X g X g− > ε → , (10.6)

ò. å. åñëè g G∀ ∈ ñëó÷àéíàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü 1 1/ ,X g

..., /N NX g ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå /X g .

Çàìåòèì, ÷òî â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà X ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéìíîæåñòâî ÷èñåë, îïèñûâàåìûõ ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ â âè-äå ôóíêöèé åäèíè÷íîãî ñêà÷êà, ìîæíî ãîâîðèòü î ñõîäèìîñòè

10.2. Сходимость последовательности гиперслучайных функций

143

Ðèñ. 10.1. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ðàçíûìè òèïàìè ñõîäèìîñòè

ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ê ýòîìó ìíîæåñòâó ÷èñåë. Êîãäà ýòîìíîæåñòâî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èíòåðâàë, ìîæíî ãîâîðèòü î ñõî-äèìîñòè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ê ýòîìó èíòåðâàëó.

Òàêæå, êàê è äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí,íàèáîëåå ñëàáàÿ ñõîäèìîñòü äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó-÷àéíûõ âåëè÷èí – ñõîäèìîñòü ïî ðàñïðåäåëåíèþ. Áîëåå ñèëüíàÿñõîäèìîñòü – ïî âåðîÿòíîñòè. Åùå áîëåå ñèëüíàÿ ñõîäèìîñòü –â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì è ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Ñëåäóåòèìåòü â âèäó, ÷òî íåêîòîðûå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñõîäÿòñÿ âñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì, íî íå ñõîäÿòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà;äðóãèå æå – ñõîäÿòñÿ ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà, íî íå ñõîäÿòñÿ âñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì. Ýòè ïîëîæåíèÿ ïðÿìî ñëåäóþò èç àíà-ëîãè÷íûõ ïîëîæåíèé äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè-÷èí. Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ðàçíûìè òèïàìè ñõîäèìîñòè óñëîâíîèçîáðàæåíû íà ðèñ. 10.1.

10.2. СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ

Ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé îïðåäå-ëÿþòñÿ àíàëîãè÷íî, â ÷àñòíîñòè, èñïîëüçóåìûå â äàëüíåéøåì ñõî-äèìîñòü â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì è ñõîäèìîñòü ïî÷òè íàâåðíîå.

Ïóñòü èìååòñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé

1X( ) ( ),..., ( )Nt X t X t=

è ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ( ) ( )X t t T∈ , äëÿ êîòîðûõ îïðåäåëå-íû óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ

1 1/ /( ; ),..., ( ; )

N Nx g x gF x t F x t , / ( ; )x gF x t .


144

Òîãäà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü X( )t

1) ñõîäèòñÿ ê ( )X t â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì, åñëè äëÿ âñåõ

t T∈ è g G∈ ïðè N → ∞ è Ng g→

2M[ ( ) / ( ) / ] 0N NX t g X t g− → , (10.7)

ò. å. l.i.m. ( ) ( )NNX t X t

→∞= ;

2) ñõîäèòñÿ ê ( )X t ïî÷òè íàâåðíîå (ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà),

åñëè äëÿ âñåõ t T∈ è g G∈ ïðè N → ∞ è Ng g→

( ( ) / ( ) / ) 1N NP X t g X t g→ = , (10.8)

ò. å. lim ( ) ( )NNX t X t

→∞= .

Çàìåòèì, ÷òî â ïðèâåäåííûõ îïðåäåëåíèÿõ ñõîäèìîñòè ïî-ñëåäîâàòåëüíîñòåé ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ôóíêöèé ôèãóðè-ðóåò óñëîâèå Ng g→ . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñòàòèñòè÷åñêèå óñëîâèÿïîñëåäîâàòåëüíîñòè è îáúåêòà, ê êîòîðîìó ýòà ïîñëåäîâàòåëü-íîñòü ñòðåìèòñÿ, ìîãóò îòëè÷àòüñÿ.

Åñëè 1 Ng g g= = =K , òî äëÿ âñåõ ðàññìîòðåííûõ òèïîâ ñõî-

äèìîñòè óñëîâèå Ng g→ îòñóòñòâóåò. Ïðè ýòîì â âûðàæåíèÿõ

(10.1), (10.2), (10.4), (10.6) – (10.8) óñëîâèå Ng ìåíÿåòñÿ íà óñ-ëîâèå g .

Íà îñíîâå ñõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõôóíêöèé ìîæíî ââåñòè ïîíÿòèÿ íåïðåðûâíîñòè, äèôôåðåíöè-ðóåìîñòè è èíòåãðèðóåìîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé.

10.3. НЕПРЕРЫВНЫЕ, ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕИ ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ

ФУНКЦИИ

Ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ ( )X t ( t T∈ ) áóäåì íàçûâàòü ãèïåð-ñëó÷àéíîé ôóíêöèåé âòîðîãî ïîðÿäêà, åñëè ìàòåìàòè÷åñêîå îæè-äàíèå íèæíåé ãðàíèöû êâàäðàòà ýòîé ôóíêöèè îãðàíè÷åíî äëÿâñåõ t T∈ : 2M [ ( )]I X t < ∞ .

Ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ âòîðîãî ïîðÿäêà ( ) ( ) / tX t X t g G= ∈áóäåì íàçûâàòü íåïðåðûâíîé â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì â òî÷êå t , åñëè

0l.i.m. ( ) ( )

tX t t X t

∆ →+ ∆ = ,

10.3. Непрерывные, дифференцируемые и интегрируемые …

145

ò. å. åñëè äëÿ âñåõ óñëîâèé ,t t tg g G+∆ ∈2

0lim M[ ( ) / ( ) / ] 0

t t t

t t ttg g

X t t g X t g+∆

+∆∆ →→

+ ∆ − = .

Ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ ( )X t âòîðîãî ïîðÿäêà íàçîâåìäèôôåðåíöèðóåìîé â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì â òî÷êå t , åñëè ñóùå-ñòâóåò ôóíêöèÿ ( )X t′ (ïðîèçâîäíàÿ), îïèñûâàåìàÿ ñëåäóþùèìâûðàæåíèåì:

0

( ) ( )( ) l.i.m.

t

X t t X tX t

t∆ →

+ ∆ −′ =∆

,

ò. å. åñëè äëÿ âñåõ óñëîâèé ,t t tg g G+∆ ∈

2

0

( ) / ( ) /lim M ( ) / 0

t t t

t t ttt

g g

X t t g X t gX t g

t+∆

+∆

∆ →→

+ ∆ − ′− = ∆

.

Ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ ( )X t âòîðîãî ïîðÿäêà áóäåì íà-

çûâàòü èíòåãðèðóåìîé íà èíòåðâàëå ( )T τ , åñëè ïðè ïðîèçâîëüíîì

ðàçáèåíèè èíòåðâàëà ( )T τ íà N èíòåðâàëîâ 1n n nt t t −∆ = − íåçà-

âèñèìî îò âûáîðà òî÷åê nt ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ ( )Y τ (èíòåãðàë

ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )X t ), îïðåäåëÿåìàÿ âûðàæåíèåì

max 0( )

( ) lim ( ) ( )dn

t tn

n nt n Tg g

Y X t t X t t∆ →

τ→

τ = ∆ =∑ ∫ ,

ò. å. åñëè äëÿ âñåõ , ( 1, )nt tg g G n N∈ =

2

max 0( )

lim M ( ( ) / ) ( ( ) / )d 0n

nt tn

n t n tt n Tg g

X t g t X t g t∆ →

τ→

∆ − = ∑ ∫ .

Èíà÷å, ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ( )X t âòîðîãî ïîðÿäêà íå-ïðåðûâíà, äèôôåðåíöèðóåìà èëè èíòåãðèðóåìà, åñëè íåïðåðûâ-íû óñëîâèÿ è ñîîòâåòñòâåííî íåïðåðûâíû, äèôôåðåíöèðóåìûèëè èíòåãðèðóåìû ñîñòàâëÿþùèå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè ( ) / tX t g

äëÿ âñåõ tg G∈ .Çàìåòèì, ÷òî íà îñíîâàíèè èçâåñòíûõ òåîðåì äëÿ ñëó÷àéíûõ

ôóíêöèé (ñì., íàïðèìåð, [Ãîðáàíü, 2003]) ñïðàâåäëèâû ñëåäóþ-ùèå óòâåðæäåíèÿ:


146

1) ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ( )X t âòîðîãî ïîðÿäêà íåïðåðûâ-íà â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì â òî÷êå t òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàäëÿ âñåõ tg G∈ ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ / ( )

tx gm t ñëó÷àéíûõ

ôóíêöèé ( ) / tX t g íåïðåðûâíû â òî÷êå t , à êîâàðèàöèîííûå

ôóíêöèè 1 2/ 1 2( , )t tx g gR t t ýòèõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé íåïðåðûâíû â

òî÷êå 1 2t t t= = ;

2) ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ( )X t âòîðîãî ïîðÿäêà äèôôå-ðåíöèðóåìà â òî÷êå t òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà äëÿ âñåõ

tg G∈ ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ / ( )tx gm t ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé

( ) / tX t g äèôôåðåíöèðóåìû â òî÷êå t è â òî÷êå 1 2t t= ñóùåñòâó-

þò ñìåøàííûå ïðîèçâîäíûå âòîðîãî ïîðÿäêà 1 2

2

/ 1 21 2

( , )t tx g gR t t

t t∂

∂ ∂îò êîâàðèàöèîííûõ ôóíêöèé

1 2/ 1 2( , )t tx g gR t t ;

3) ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ( )X t âòîðîãî ïîðÿäêà ñ ìàòåìà-

òè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè / ( )tx gm t è êîâàðèàöèîííûìè ôóíê-

öèÿìè 1 2/ 1 2( , )t tx g gR t t èíòåãðèðóåìà, åñëè ñóùåñòâóþò èíòåãðàëû

/( )

( )dtx g

T

m t tτ∫ ,

1 2/ 1 2 1 2( ) ( )

( , )d dt tx g g

T T

R t t t tτ τ∫ ∫ . Ïðè ýòîì

( )

M ( ) / dtT

X t g tτ

∫ = /

( )

( )dtx g

T

m t tτ∫ ,

1 21 2 1 2( ) ( )

M ( ( ) / )( ( ) / )d dt tT T

X t g X t g t tτ τ

∫ ∫ =

1 2 1 2/ 1 2 1 2 / /( ) ( ) ( ) ( )

( , )d d ( )d ( )dt t t tx g g x g x g

T T T T

R t t t t m t t m t tτ τ τ τ

= +∫ ∫ ∫ ∫ .

Ïîíÿòèÿ íåïðåðûâíîñòè, äèôôåðåíöèðóåìîñòè è èíòåãðè-ðóåìîñòè ïîñòðîåíû â äàííîì ñëó÷àå íà îñíîâå ñõîäèìîñòè ãè-ïåðñëó÷àéíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè â ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîì. Àíà-ëîãè÷íî ìîæíî îïðåäåëèòü ýòè æå ïîíÿòèÿ íà îñíîâå ñõîäèìî-ñòè ïî âåðîÿòíîñòè è ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà. Îïðåäåëåíèå ýòèõïîíÿòèé íà îñíîâå ñõîäèìîñòè ïî ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âðÿäëè èìååò ñìûñë èç-çà íåîïðåäåëåííîãî õàðàêòåðà ñõîäèìîñòè âñìûñëå Áåðíóëëè [Àíãî, 1967].

147

Глава 11

СТАЦИОНАРНЫЕ И ЭРГОДИЧЕСКИЕГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

Ôîðìàëèçîâàíû ïîíÿòèÿ ñòàöèîíàðíîñòè è ýðãîäè÷íîñòè ãèïåðñëó-÷àéíûõ ôóíêöèé. Ðàññìîòðåíû ñïåêòðàëüíûå ìåòîäû îïèñàíèÿñòàöèîíàðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Èññëåäîâàíû ñâîéñòâàñòàöèîíàðíûõ è ýðãîäè÷åñêèõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé.

11.1. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ

Íåêîòîðûå ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè îáëàäàþò ñâîéñòâîì ñòà-öèîíàðíîñòè. Ïðåæäå, ÷åì ïåðåõîäèòü ê ðàññìîòðåíèþ ñòàöèîíàð-íûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, íàïîìíèì ðàçëè÷íûå âàðèàíòû îï-ðåäåëåíèÿ ïîíÿòèÿ ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè, èñïîëüçóå-ìûå â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, è îñíîâíûå èõ ñâîéñòâà [Ãíåäåíêî,1988, Ãîðáàíü, 2003].

Îïðåäåëåíèå 1. Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ( )X t íàçûâàåòñÿ ñòàöèî-íàðíîé â óçêîì ñìûñëå (ñòðîãî), åñëè åå L-ìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿïðè ëþáîì L çàâèñÿò òîëüêî îò äëèòåëüíîñòè èíòåðâàëîâ

2 1 1,..., Lt t t t− − è íå çàâèñÿò îò ïîëîæåíèÿ ýòèõ èíòåðâàëîâ íà

îñè t , ãäå 1,..., Lt t – çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà ôóíêöèè ( )X t .Ñëó÷àéíûå ôóíêöèè, íå îòíîñÿùèåñÿ ê ñòàöèîíàðíûì ôóíê-

öèÿì, íàçûâàþòñÿ íåñòàöèîíàðíûìè.Ãëàâíîé îñîáåííîñòüþ ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè

ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìîñòü åå âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê ëþáîéìåðíîñòè L îò ñìåùåíèÿ çíà÷åíèé àðãóìåíòà t , â ÷àñòíîñòèL-ìåðíîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé

1 1 1 1( , , ; , , ) ( , , ; , , )L L L Lf x x t t f x x t t= + τ + τK K K K , (11.1)

ãäå τ – ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî.Äðóãîé îñîáåííîñòüþ ÿâëÿåòñÿ íåçàâèñèìîñòü åå îäíîìåðíûõ

âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê îò àðãóìåíòà t , â ÷àñòíîñòè ïëîò-íîñòü âåðîÿòíîñòåé ( ; ) ( )f x t f x= (ðèñ. 11.1).

Глава 11. Стационарные и эргодические гиперслучайные функции

148

Òðåòüÿ îñîáåííîñòü – äâó-ìåðíûå âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòå-ðèñòèêè ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîéôóíêöèè ( )X t çàâèñÿò òîëüêî îò

ðàçíîñòè 2 1t tτ = − çíà÷åíèé àð-ãóìåíòà t , â ÷àñòíîñòè ïëîòíîñòüâåðîÿòíîñòåé 1 2 1 2( , ; , )f x x t t 1( ,f x=

2; )x τ .

Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ( )xm t è äèñïåðñèÿ ( )xD t ñòàöèîíàð-

íîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ êîíñòàíòàìè ( ( )x xm t m= =const= , ( ) constx xD t D= = ), à êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ 1 2( , )xR t t è

íîðìèðîâàííàÿ êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ 1 2( , )xr t t îïðåäåëÿþòñÿ ðàç-

íîñòüþ ñâîèõ àðãóìåíòîâ ( 1 2( , ) ( )x xR t t R= τ , 1 2

( )( , ) ( ) = )x

x xx

Rr t t r

D

τ= τ .

Èíîãäà ñòàöèîíàðíóþ â óçêîì ñìûñëå ñëó÷àéíóþ ôóíêöèþîïðåäåëÿþò èíà÷å.

Îïðåäåëåíèå 2. Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ( )X t íàçûâàåòñÿ ñòàöèî-íàðíîé â óçêîì ñìûñëå ïîðÿäêà K , åñëè åå âåðîÿòíîñòíûå õàðàê-òåðèñòèêè ïîðÿäêà L K≤ èíâàðèàíòíû ê ñäâèãó âäîëü îñè t , â÷àñòíîñòè ðàâåíñòâî (11.1) èìååò ìåñòî ïðè L K≤ .

Îïðåäåëåíèå 3. Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ( )X t íàçûâàåòñÿ àñèìïòî-òè÷åñêè ñòàöèîíàðíîé â óçêîì ñìûñëå, åñëè åå L-ìåðíûå âåðîÿò-íîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ïðè âñåõ L èìåþò ïðåäåëû ïðè óñò-ðåìëåíèè ê áåñêîíå÷íîñòè ñìåùåíèÿ τ âäîëü îñè t , â ÷àñòíîñòèñóùåñòâóåò ïðåäåë ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé:

1 1lim ( , , ; , , )L Lf x x t tτ→∞

+ τ + τK K .

Îïðåäåëåíèå 4. Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ( )X t íàçûâàåòñÿ ñòàöèî-

íàðíîé â óçêîì ñìûñëå íà èíòåðâàëå T , åñëè îíà ñîîòâåòñòâóåòîïðåäåëåíèþ 1 äëÿ âñåõ t T∈ .

Îïðåäåëåíèå 5. Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ( )X t íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷-íî ñòàöèîíàðíîé (öèêëîñòàöèîíàðíîé) â óçêîì ñìûñëå, åñëè ååL-ìåðíûå âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ïðè âñåõ L ïåðèîäè÷-íû ñ ïåðèîäîì 0T , â ÷àñòíîñòè

1 1 1 1 0 0( , , ; , , ) ( , , ; , , )L L L Lf x x t t f x x t kT t kT= + +K K K K ,

ãäå 0, 1,k = ± K .

Ðèñ. 11.1. Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíê-

öèè ( )X t

11.1. Стационарные случайные функции

149

Ïîíÿòèå ñòàöèîíàðíîñòè â óçêîì ñìûñëå îáîáùàåòñÿ íà ñëó-÷àé äâóõ è íåñêîëüêèõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Îñòàíîâèìñÿ íà îñ-íîâíîé ìîäèôèêàöèè ýòîãî ïîíÿòèÿ.

Îïðåäåëåíèå 6. Äâå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè ( )X t è ( )Y t íàçûâàþòñÿñîâìåñòíî ñòàöèîíàðíî ñâÿçàííûìè â óçêîì ñìûñëå, åñëè èõ ñîâìåñò-íûå (N M+ )-ìåðíûå âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ïðè ëþ-

áûõ N è M çàâèñÿò ëèøü îò äëèíû èíòåðâàëîâ 2 1 1,..., Nt t t t− − ;

1 1 1,..., Mt t t t′ ′− − , ãäå 1,..., Nt t – çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà ôóíêöèè ( )X t ,

à 1 ,..., Mt t′ ′ – çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà ôóíêöèè ( )Y t .Èç ïðèâåäåííîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî, â ÷àñòíîñòè, ñî-

âìåñòíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé

1 1 1 1( ,..., , ,..., ; ,..., , ,..., )N M N M N Mf x x y y t t t t+ ′ ′ =

1 1 1 1( ,..., , ,..., ; ,..., , ,..., )N M N M N Mf x x y y t t t t+ ′ ′= + τ + τ + τ + τ ,

ãäå τ – ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî.Çàìåòèì, ÷òî èç ñòàöèîíàðíîñòè ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ( )X t è

( )Y t íå âûòåêàåò, ÷òî îíè ñîâìåñòíî ñòàöèîíàðíî ñâÿçàíû â óç-êîì ñìûñëå.

Íà ïðàêòèêå èñïîëüçóþò åùå äðóãîå ïîíÿòèå ñòàöèîíàðíîñòè.Îïðåäåëåíèå 7. Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ( )X t íàçûâàåòñÿ ñòàöèî-

íàðíîé â øèðîêîì ñìûñëå, åñëè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïî-ñòîÿííî ( ( ) constx xm t m= = ), à êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ çàâèñèò

òîëüêî îò ðàçíîñòè çíà÷åíèé àðãóìåíòà t : 1 2( , ) ( )x xR t t R= τ .

Çàìåòèì, ÷òî ïîíÿòèÿ ñòàöèîíàðíîñòè â óçêîì ñìûñëå è øè-ðîêîì ñìûñëå íå òîæäåñòâåííû. Ñëó÷àéíûå ôóíêöèè, ñòàöèî-íàðíûå â óçêîì ñìûñëå, ñòàöèîíàðíû è â øèðîêîì ñìûñëå. Îá-ðàòíîå óòâåðæäåíèå â îáùåì ñëó÷àå íåâåðíî.

Äëÿ ãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ïîíÿòèÿ ñòàöèîíàðíî-ñòè â óçêîì è øèðîêîì ñìûñëå òîæäåñòâåííû.

Èíîãäà èñïîëüçóþò ïîíÿòèÿ ñòàöèîíàðíûõ â øèðîêîì ñìûñëåñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, àíàëîãè÷íûå ðàññìîòðåííûì âûøå ìîäèôè-êàöèÿì ñòàöèîíàðíûõ â óçêîì ñìûñëå ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé.

Íà ïðàêòèêå âñòðå÷àåòñÿ òàêæå ïîíÿòèå ñîâìåñòíî ñòàöèî-íàðíî ñâÿçàííûõ â øèðîêîì ñìûñëå ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, àíà-ëîãè÷íîå ïîíÿòèþ ñîâìåñòíî ñòàöèîíàðíî ñâÿçàííûõ â óçêîìñìûñëå ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé.


150

Îïðåäåëåíèå 8. Äâå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè ( )X t è ( )Y t íàçûâà-þòñÿ ñîâìåñòíî ñòàöèîíàðíî ñâÿçàííûìè â øèðîêîì ñìûñëå, åñëèèõ ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ïîñòîÿííû, à âçàèìíàÿ êîððåëÿöè-îííàÿ ôóíêöèÿ èíâàðèàíòíà ê ñäâèãó âäîëü îñè t :

1 2 1 2 2 1( , ) M [ ( ) ( )] ( ),xy xy xyK t t X t Y t K t t= = τ τ = − .

Êàê è â ñëó÷àå ñòàöèîíàðíûõ â óçêîì ñìûñëå ñëó÷àéíûõôóíêöèé, ñòàöèîíàðíîñòü â øèðîêîì ñìûñëå ñëó÷àéíûõ ôóíê-öèé íå ãàðàíòèðóåò, ÷òî îíè ñòàöèîíàðíî ñâÿçàíû â øèðîêîìñìûñëå.

Âåùåñòâåííûå ñòàöèîíàðíûå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè îáëàäàþòðÿäîì ñïåöèôè÷åñêèõ ñâîéñòâ:

• ( )x xR Dτ ≤ , | ( ) | 1xr τ ≤ ;

• ìàêñèìóìû êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè è íîðìèðîâàííîéêîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè ñîîòâåòñòâóþò 0τ = : (0)x xR D= ,

(0) 1xr = ;

• êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ è íîðìèðîâàííàÿ êîâàðèàöèîí-íàÿ ôóíêöèÿ – ÷åòíûå: ( ) ( )x xR Rτ = −τ , ( )xr τ = ( )xr −τ ;

• âçàèìíûå êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ è íîðìèðîâàííàÿ êî-âàðèàöèîííàÿ ôóíêöèè íå ÿâëÿþòñÿ ÷åòíûìè, îäíàêî τ =( )xyR

= −τ( )yxR , ( ) ( )xy yxr rτ = −τ ;

• åñëè êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà ïðè 0τ = , òîîíà íåïðåðûâíà ïðè ëþáîì τ .

Òåðìèí «ñòàöèîíàðíîñòü» ÷àùå âñåãî èñïîëüçóþò â òîì ñëó-÷àå, êîãäà àðãóìåíò t – âðåìÿ. Åñëè ôèçè÷åñêèé ñìûñë àðãóìåí-òà t èíîé, óïîòðåáëÿþò òåðìèí «îäíîðîäíîñòü». Â ñëó÷àå ôóíê-öèé íåñêîëüêèõ àðãóìåíòîâ, ñðåäè êîòîðûõ åñòü âðåìÿ, ïðèìå-íÿþò îáà òåðìèíà. Ïðè ýòîì, ðàññìàòðèâàÿ âðåìåííîé àðãóìåíò,óïîòðåáëÿþò òåðìèí «ñòàöèîíàðíîñòü», à àíàëèçèðóÿ îñòàëüíûåàðãóìåíòû – «îäíîðîäíîñòü».

Ñëó÷àéíîå ïîëå ìîæåò áûòü ñòàöèîíàðíûì, íî íåîäíîðîä-íûì, ìîæåò áûòü îäíîðîäíûì ïî îäíèì àðãóìåíòàì è íåîäíî-ðîäíûì ïî äðóãèì.

11.2. Стационарные гиперслучайные функции

151

11.2. СТАЦИОНАРНЫЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕФУНКЦИИ

Ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ ( ) ( ) /X t X t g G= ∈ , ãäå ( ) /X t g – ñëó-

÷àéíàÿ ôóíêöèÿ â óñëîâèÿõ g , íàçîâåì ñòàöèîíàðíîé â óçêîìñìûñëå (ñòðîãî), åñëè ãðàíèöû åå L-ìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ïðèëþáîì L çàâèñÿò òîëüêî îò äëèòåëüíîñòè èíòåðâàëîâ 2 1,t t−

1..., Lt t− è íå çàâèñÿò îò ïîëîæåíèÿ ýòèõ èíòåðâàëîâ íà îñè t .Ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè, íå îòíîñÿùèåñÿ ê ýòèì ôóíêöèÿì,

áóäåì íàçûâàòü íåñòàöèîíàðíûìè â óçêîì ñìûñëå.Ñâîéñòâà ñòàöèîíàðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ïîäîáíû

ñâîéñòâàì ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè: ãðàíèöû ìíîãî-ìåðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ìíîãîìåðíûå ïëîòíîñòè ðàñ-ïðåäåëåíèÿ ãðàíèö, ìíîãîìåðíûå õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèèãðàíèö íå çàâèñÿò îò ñìåùåíèÿ ïî t . Êðîìå òîãî, ïåðå÷èñëåí-íûå îäíîìåðíûå õàðàêòåðèñòèêè íå çàâèñÿò îò àðãóìåíòà t , àäâóìåðíûå õàðàêòåðèñòèêè çàâèñÿò îò ðàçíîñòè 2 1t tτ = − çíà÷å-íèé àðãóìåíòà t , ò. å.

( ; ) ( )Sx Sxf x t f x= , ( ; ) ( )Ix Ixf x t f x= ,

1 2 1 2 1 2( , ; , ) ( , ; )Sx Sxf x x t t f x x= τ ,

1 2 1 2 1 2( , ; , ) ( , ; )Ix Ixf x x t t f x x= τ .

Ìîìåíòíûå ôóíêöèè ãðàíèö ñòàöèîíàðíîé ãèïåðñëó÷àéíîéôóíêöèè ( )X t îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè: ìàòåìàòè÷åñêèå

îæèäàíèÿ ãðàíèö è äèñïåðñèè ãðàíèö ïîñòîÿííû ( ( )Sx Sxm t m= ,

( )Ix Ixm t m= , ( )Sx SxD t D= , ( )Ix IxD t D= ), à êîððåëÿöèîííûå ôóíê-öèè ãðàíèö

1 2 1 2( , ) M [ ( ) ( )]Sx SK t t X t X t= , 1 2 1 2( , ) M [ ( ) ( )]Ix IK t t X t X t= ,

êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö

1 2 1 2( , ) M [( ( ) )( ( ) )]Sx S Sx SxR t t X t m X t m= − − ,

1 2 1 2( , ) M [( ( ) )( ( ) )]Ix I Ix IxR t t X t m X t m= − −

è íîðìèðîâàííûå êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö

1 21 2

1 2

( , )( , )

( ) ( )Sx

Sx

Sx Sx

R t tr t t

D t D t= , 1 2

1 2

1 2

( , )( , )

( ) ( )Ix

Ix

Ix Ix

R t tr t t

D t D t=


152

íå çàâèñÿò îò ïîëîæåíèÿ èíòåðâàëà 2 1t tτ = − íà îñè t :

1 2( , ) ( )Sx SxK t t K= τ , 1 2( , ) ( )Ix IxK t t K= τ ,

1 2( , ) ( )Sx SxR t t R= τ , 1 2( , ) ( )Ix IxR t t R= τ ,

( ) ( ) /Sx Sx Sxr R Dτ = τ , ( ) ( ) /Ix Ix Ixr R Dτ = τ .

Ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ ( )X t íàçîâåì ñòàöèîíàðíîé â øèðî-êîì ñìûñëå, åñëè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ åå ãðàíèö ïîñòîÿííû( ( )Sx Sxm t m= , ( ) )Ix Ixm t m= , à êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèöçàâèñÿò òîëüêî îò ðàçíîñòè çíà÷åíèé àðãóìåíòà t :

1 2 1 2( , ) M [ ( ) ( )] ( )Sx S SxK t t X t X t K= = τ ,

1 2 1 2( , ) M [ ( ) ( )] ( )Ix I IxK t t X t X t K= = τ .

Ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè, ñòàöèîíàðíûå â óçêîì ñìûñëå,ñòàöèîíàðíû è â øèðîêîì. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå â îáùåì ñëó-÷àå íåâåðíî.

Äâå ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè ( )X t è ( )Y t íàçîâåì ñîâìåñòíîñòàöèîíàðíî ñâÿçàííûìè â øèðîêîì ñìûñëå, åñëè ìàòåìàòè÷åñêèåîæèäàíèÿ èõ ãðàíèö ïîñòîÿííû, à èõ âçàèìíûå êîððåëÿöèîííûåôóíêöèè ãðàíèö èíâàðèàíòíû ê ñìåùåíèþ âäîëü îñè t :

1 2 1 2( , ) M [ ( ) ( )] ( )Sxy S SxóK t t X t Y t K= = τ ,

1 2 1 2( , ) M [ ( ) ( )] ( )Ixy I IxóK t t X t Y t K= = τ .

Îòìåòèì, ÷òî ñòàöèîíàðíîñòü ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé âøèðîêîì ñìûñëå íå ãàðàíòèðóåò èõ ñîâìåñòíóþ ñòàöèîíàðíóþñâÿçàííîñòü â øèðîêîì ñìûñëå.

Êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö è íîðìèðîâàííûå êîâà-ðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö âåùåñòâåííûõ ñòàöèîíàðíûõ ãè-ïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ( )X t , ( )Y t îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîé-ñòâàìè:

• ( )Sx SxR Dτ ≤ , ( ) 1Sxr τ ≤ , ( )Ix IxR Dτ ≤ , ( ) 1Ixr τ ≤ ;

• ìàêñèìóìû êîâàðèàöèîííûõ ôóíêöèé ãðàíèö è íîðìèðî-âàííûõ êîâàðèàöèîííûõ ôóíêöèé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíê-öèè èìåþò ìåñòî ïðè 0τ = ;

• ôóíêöèè ( )SxR τ , ( )IxR τ , ( )Sxr τ , ( )Ixr τ – ÷åòíûå;

• ( ) ( )Sxy SyxR Rτ = −τ , ( ) ( )Ixy IyxR Rτ = −τ ,

( ) ( )Sxy Syxr rτ = −τ , ( ) ( )Ixy Iyxr rτ = −τ ,

11.2. Стационарные гиперслучайные функции

153

ãäå ( )SxyR τ , ( )IxyR τ – âçà-

èìíûå êîâàðèàöèîííûåôóíêöèè ãðàíèö, ( )Sxyr τ ,

( )Ixyr τ – íîðìèðîâàííûå

âçàèìíûå êîâàðèàöèîííûåôóíêöèè ãðàíèö: τ =( )Sxyr

= τ( ) ,Sxy SxyR D τ =( )Ixyr

= τ( ) ,Ixy IxyR D (0),Sxy SxyD R=

(0).Ixy IxyD R=

Ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ ( ) ( ) /X t X t g G= ∈ íàçî-

âåì ñòàöèîíàðíîé â óçêîìñìûñëå ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g G∈ , åñëè ïðè âñåõ g åå óñëîâíûå

L-ìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè ëþáîì L çàâèñÿò òîëüêî îò äëè-òåëüíîñòè èíòåðâàëîâ 2 1 1,..., Lt t t t− − è íå çàâèñÿò îò ïîëîæåíèÿýòèõ èíòåðâàëîâ íà îñè t .

Îäíîìåðíûå óñëîâíûå âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ñòà-öèîíàðíîé ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè íå çà-âèñÿò îò âðåìåíè, â ÷àñòíîñòè óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëå-íèÿ ( ; / ) ( / )F x t g F x g= è óñëîâíûå ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé

( ; / ) ( / )f x t g f x g= (ðèñ. 11.2).

Ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ ( )X t íàçîâåì ñòàöèîíàðíîé â øèðîêîì

ñìûñëå ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g G∈ , åñëè ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàí-

íîì óñëîâèè g óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå =/ ( )x gm t∞

−∞

= ∫ ( ; / )dx f x t g x íå çàâèñèò îò àðãóìåíòà t ( / ( )x gm t = /x gm ), à

óñëîâíàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ

/ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ; , / )d dx gK t t x x f x x t t g x x∞ ∞

−∞ −∞

= ∫ ∫

çàâèñèò ëèøü îò ðàçíîñòè çíà÷åíèé àðãóìåíòà t è óñëîâèÿ g :

/ 1 2 /( , ) ( )x g x gK t t K= τ .

Îòìåòèì, ÷òî ïðè ýòîì óñëîâíàÿ êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ

Ðèñ. 11.2. Óñëîâíûå îäíîìåðíûå ïëîò-íîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ñòàöèîíàðíîé ïðèâñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè

= = K( ) ( ) / , 1,2, ,X t X t g g G


154

/ 1 2 1 / 2 /( , ) ( )( )x g x g x gR t t x m x m∞ ∞

−∞ −∞

= − − ×∫ ∫

1 2 1 2 1 2( , ; , / )d df x x t t g x x×

òàêæå çàâèñèò òîëüêî îò τ è g .Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ

/( ) sup ( ),sx x gg G

m t m t∈

= /( ) inf ( )ix x gg Gm t m t

∈=

ñòàöèîíàðíîé â øèðîêîì ñìûñëå ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g ãèïåð-

ñëó÷àéíîé ôóíêöèè íå çàâèñÿò îò âðåìåíè t , ò. å. ( )sx sxm t m= ,

( )ix ixm t m= , à ãðàíèöû êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè

/( ) sup ( ),sx x gg G

K K∈

τ = τ /( ) inf ( )ix x gg GK K

∈τ = τ

è ãðàíèöû êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè

/( ) sup ( )sx x gg G

R R∈

τ = τ , /( ) inf ( )ix x gg GR R

∈τ = τ

çàâèñÿò òîëüêî îò τ .Ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè ( )X t è ( )Y t íàçîâåì ñîâìåñòíî ñòà-

öèîíàðíî ñâÿçàííûìè ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g , åñëè óñëîâíûå ìàòåìà-

òè÷åñêèå îæèäàíèÿ ýòèõ ôóíêöèé / ( )x gm t , / ( )y gm t íå çàâèñÿò îò

àðãóìåíòà t ( / /( )x g x gm t m= , / /( )y g y gm t m= ), à óñëîâíàÿ âçàèìíî-

êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ

/ 1 2 1 2( , ) ( , ; , / )d dxy gK t t xyf x y t t g x y∞ ∞

−∞ −∞

= ∫ ∫

èíâàðèàíòíà ê ñìåùåíèþ âäîëü îñè t :

/ 1 2 /( , ) ( )xy g xy gK t t K= τ .

Ïðè ýòîì óñëîâíàÿ âçàèìíî-êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ

/ 1 2 / /( , ) ( )( )xy g x g y gR t t x m y m∞ ∞

−∞ −∞

= − − ×∫ ∫

1 2( , ; , / )d df x y t t g x y×

òàêæå èíâàðèàíòíà ê ñìåùåíèþ âäîëü îñè t :

11.3. Спектральное описание стационарных гиперслучайных функций

155

/ 1 2 /( , ) ( )xy g xy gR t t R= τ .

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ãðàíèöû âçàèìíî-êîððåëÿöèîííîéôóíêöèè

/( ) sup ( ),sxy xy gg G

K K∈

τ = τ /( ) inf ( )ixy xy gg GK K

∈τ = τ

è ãðàíèöû âçàèìíî-êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè

/( ) sup ( ),sxy xy gg G

R R∈

τ = τ /( ) inf ( )ixy xy gg GR R

∈τ = τ

çàâèñÿò òîëüêî îò τ .Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî ïîíÿòèÿ ñòàöèîíàðíîé â

øèðîêîì ñìûñëå ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè è ôóíêöèè, ñòàöèî-íàðíîé â øèðîêîì ñìûñëå ïðè âñåõ óñëîâèÿõ, – ðàçíûå ïîíÿ-òèÿ. Îáùèìè äëÿ íèõ ÿâëÿþòñÿ áåñêîíå÷íàÿ äëèòåëüíîñòü ðåà-ëèçàöèé è èíâàðèàíòíîñòü ê ñäâèãó îïðåäåëåííûõ (ïðè ýòîìðàçíûõ) õàðàêòåðèñòèê.

Ââåäåííûå â íàñòîÿùåì ïàðàãðàôå ïîíÿòèÿ ñòàöèîíàðíîéãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè áàçèðóþòñÿ íà îïðåäåëåíèÿõ 1 è 7 ïî-íÿòèÿ ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè. Ïîäîáíûì îáðàçîììîæíî îïðåäåëèòü ïîíÿòèÿ ñòàöèîíàðíîé ãèïåðñëó÷àéíîéôóíêöèè íà îñíîâå äðóãèõ ìîäèôèêàöèé ïîíÿòèÿ ñòàöèîíàðíîéñëó÷àéíîé ôóíêöèè.

11.3. СПЕКТРАЛЬНОЕ ОПИСАНИЕ СТАЦИОНАРНЫХГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ

Ñïåêòðàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé â ðÿäåñëó÷àåâ ñóùåñòâåííî îáëåã÷àåò èõ àíàëèç. Â ïåðâóþ î÷åðåäü ýòîêàñàåòñÿ ôóíêöèé, îáëàäàþùèõ ñâîéñòâîì ñòàöèîíàðíîñòè.

Íàçîâåì ñïåêòðàëüíûìè ïëîòíîñòÿìè ìîùíîñòè âåðõíåé èíèæíåé ãðàíèö (ýíåðãåòè÷åñêèìè ñïåêòðàìè ãðàíèö) ñòàöèîíàðíîéãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )X t ôóíêöèè ( )SxxS f , ( )IxxS f , ñâÿ-

çàííûå ñ êîððåëÿöèîííûìè ôóíêöèÿìè ãðàíèö ( )SxK f , ( )IxK fñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:

( ) ( )exp( j2 )d ,Sxx SxS f K f∞

−∞

= τ − π τ τ∫

( ) ( )exp( j2 )d ,Ixx IxS f K f∞

−∞

= τ − π τ τ∫


156

( ) ( )exp( j2 )d ,Sx SxxK S f f f∞

−∞

τ = π τ∫

( ) ( )exp( j2 )d .Ix IxxK S f f f∞

−∞

τ = π τ∫

Ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè ìîùíîñòè ãðàíèö îáëàäàþò ñâîéñò-âàìè, õàðàêòåðíûìè äëÿ ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ìîùíîñòè ñëó-÷àéíîãî ïðîöåññà:

• ýíåðãåòè÷åñêèå ñïåêòðû (âíå çàâèñèìîñòè îò òîãî, ÿâëÿåòñÿëè ôóíêöèÿ ( )X t âåùåñòâåííîé èëè êîìïëåêñíîé) äåéñòâèòåëü-

íû è íåîòðèöàòåëüíû, ò. å. ( ) 0SxxS f ≥ , ( ) 0IxxS f ≥ ;

• ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè ìîùíîñòè ãðàíèö äåéñòâèòåëüíîéãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )X t ÷åòíûå, ò. å.

( ) ( )Sxx SxxS f S f= − , ( ) ( )Ixx IxxS f S f= −

(ýòî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèöñòàöèîíàðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ÷åòíûå).

Íàçîâåì ãèïåðñëó÷àéíûì áåëûì øóìîì ñòàöèîíàðíóþ ãèïåðñëó-÷àéíóþ ôóíêöèþ ( )N t ñ íóëåâûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿ-ìè ãðàíèö, ó êîòîðîé ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè ìîùíîñòè ãðàíèöïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïîñòîÿííûå âåëè÷èíû, ò. å. 2Snn SS N= ,

2Inn IS N= , ãäå SN , IN – êîíñòàíòû.Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö

ãèïåðñëó÷àéíîãî áåëîãî øóìà îïèñûâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ δ -ôóíê-öèè: ( ) ( ) 2Sn SK Nτ = δ τ , ( ) ( ) 2In IK Nτ = δ τ .

Îòìåòèì, ÷òî ýòèìè æå âûðàæåíèÿìè îïèñûâàþòñÿ è êîâà-ðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîãî áåëîãî øóìà.

Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî ïðè îïðåäåëåíèè ãè-ïåðñëó÷àéíîãî áåëîãî øóìà, òàê æå, êàê è ïðè îïðåäåëåíèè ñëó-÷àéíîãî áåëîãî øóìà, íå èñïîëüçîâàíû ïîíÿòèÿ ãàóññîâîñòè èíåçàâèñèìîñòè ñå÷åíèé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ãèïåðñëó÷àéíûé áå-ëûé øóì ìîæåò áûòü íåãàóññîâñêèì è ñ çàâèñèìûìè (â òîìñìûñëå, êàê ýòî ïîíèìàåòñÿ â òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé)ñå÷åíèÿìè.

Ìåòîä ñïåêòðàëüíîãî îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèéäîïóñêàåò îáîáùåíèå íà ñëó÷àé ñòàöèîíàðíî ñâÿçàííûõ ãèïåð-ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé.


157

Âçàèìíûìè ñïåêòðàëüíûìè ïëîòíîñòÿìè ìîùíîñòè ãðàíèöäâóõ ñòàöèîíàðíî ñâÿçàííûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ( )X t è

( )Y t áóäåì íàçûâàòü äåòåðìèíèðîâàííûå ôóíêöèè ( )SxyS f& è

( )IxyS f& , îïðåäåëÿåìûå êàê ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå âçàèìíûõ êîð-

ðåëÿöèîííûõ ôóíêöèé ãðàíèö ( )SxyK τ è ( )IxyK τ :

( ) ( )exp( j2 )d ,Sxy SxyS f K f∞

−∞

= τ − π τ τ∫&

( ) ( )exp( j2 )d .Ixy IxyS f K f∞

−∞

= τ − π τ τ∫&

Âçàèìíûå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö ñâÿçàíû ñ âçà-èìíûìè ñïåêòðàëüíûìè ïëîòíîñòÿìè ìîùíîñòè ãðàíèö îáðàò-íûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå:

( ) ( )exp( j2 )d ,Sxy SxyK S f f f∞

−∞

τ = π τ∫ &

( ) ( )exp( j2 )d .Ixy IxyK S f f f∞

−∞

τ = π τ∫ &

Â îòëè÷èå îò ñïåêòðàëüíûõ ïëîòíîñòåé ìîùíîñòè ãðàíèöîäíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè, âçàèìíûå ñïåêòðàëüíûå ïëîò-íîñòè ìîùíîñòè ãðàíèö ( )SxyS f& è ( )IxyS f& â îáùåì ñëó÷àå íå

ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâåííûìè ôóíêöèÿìè. Êðîìå òîãî, îíè íå ÿâ-ëÿþòñÿ ÷åòíûìè, îäíàêî îáëàäàþò ñâîéñòâàìè ýðìèòîâîé ñî-ïðÿæåííîñòè:

*( ) ( ),Sxy SyxS f S f=& *( ) ( ).Ixy IyxS f S f=&

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî âçàèìíûå ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòèìîùíîñòè ãðàíèö ( )SxyS f& , ( )IxyS f& ôóíêöèé ( )X t è ( )Y t ñâÿçàíû

ñî ñïåêòðàëüíûìè ïëîòíîñòÿìè ìîùíîñòè ãðàíèö ( )SxxS f , ( )IxxS f

è ( )SyyS f , ( )IyyS f ýòèõ ôóíêöèé ñëåäóþùèìè íåðàâåíñòâàìè:

2( ) ( ) ( ),Sxy Sxx SyyS f S f S f≤&

2( ) ( ) ( ).Ixy Ixx IyyS f S f S f≤&


158

Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ñòåïåíè è õàðàêòåðà ñâÿçè ìåæäó ãè-ïåðñëó÷àéíûìè ôóíêöèÿìè ( )X t è ( )Y t ìîæíî èñïîëüçîâàòü

ôóíêöèè ÷àñòîòíîé êîãåðåíòíîñòè ãðàíèö 2 ( )Sxy fγ , 2 ( )Ixy fγ , îïðå-

äåëÿåìûå ïîäîáíî ôóíêöèè ÷àñòîòíîé êîãåðåíòíîñòè äâóõ ñëó-÷àéíûõ ôóíêöèé:

2

2( )

( ) ,( ) ( )Sxy

SxySxx Syy

S ff

S f S fγ =

&

2

2( )

( ) .( ) ( )Ixy

IxyIxx Iyy

S ff

S f S fγ =

&

Ôóíêöèè ÷àñòîòíîé êîãåðåíòíîñòè ãðàíèö ëåæàò â èíòåðâàëå[0,1]. Åñëè ôóíêöèè ( )X t è ( )Y t íåêîððåëèðîâàíû, òî äëÿ âñåõ

0f ≠ 2 2( ) ( ) 0Sxy Ixyf fγ = γ = , åñëè æå îíè ëèíåéíî ñâÿçàíû, òî2 2( ) ( ) 1Sxy Ixyf fγ = γ = .

Ôóíêöèè ÷àñòîòíîé êîãåðåíòíîñòè ãðàíèö ïîäîáíû íîðìè-ðîâàííûì êîâàðèàöèîííûì ôóíêöèÿì ãðàíèö ( )Sxyr τ , ( )Ixyr τ , îä-

íàêî â îòëè÷èå îò ïîñëåäíèõ îíè õàðàêòåðèçóþò íå òîëüêî ëè-íåéíûå, íî è íåëèíåéíûå ñâÿçè ìåæäó ãèïåðñëó÷àéíûìè ôóíê-öèÿìè.

Ìãíîâåííûì ñïåêòðîì ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( ) ( )/X t X t g G= ∈

â óñëîâèÿõ g áóäåì íàçûâàòü êîìïëåêñíóþ ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíê-

öèþ / ( )x gS f& , ñâÿçàííóþ ñ íàáëþäàåìûì ïðè óñëîâèè g ïðîöåññîì

( ) /X t g ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå:

/ ( ) ( ( ) / )exp( j2 )dx gS f X t g ft t∞

−∞

= − π∫& .

Ìãíîâåííûé ñïåêòð ñòàöèîíàðíîé ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g ãè-ïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè îáëàäàåò ñâîéñòâàìè, ïîäîáíûìè ñâîé-ñòâàì ìãíîâåííîãî ñïåêòðà ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè. Â÷àñòíîñòè, óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå

/( )

x gSm f& ìãíî-

âåííîãî ñïåêòðà ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )X t ñâÿçàíî ñ óñ-

ëîâíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì /x gm ôóíêöèè ( )X t âûðà-

æåíèåì / /( ) ( )

x g x gSm f m f= δ& .


159

Îïðåäåëèì óñëîâíûé ñïåêòð ìîùíîñòè / ( )xx gS f ôóíêöèè

( )X t êàê ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå óñëîâíîé êîððåëÿöèîííîé

ôóíêöèè / ( )x gK τ :

/ /( ) ( )exp( j2 )d ,xx g x gS f K f∞

−∞

= τ − π τ τ∫

ãäå / ( )x gK τ ñâÿçàíà ñ / ( )xx gS f îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì

Ôóðüå:

/ /( ) ( )exp( j2 )dx g xx gK S f f f∞

−∞

τ = π τ∫ .

Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî óñëîâíóþ êîððåëÿöèîííóþ ôóíêöèþìãíîâåííîãî ñïåêòðà 1 2/

( , )xS g

K f f& ñòàöèîíàðíîé ïðè âñåõ óñëîâè-

ÿõ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )X t ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþ-ùèì îáðàçîì:

1 2 / 1 2 1/( , ) ( ) ( )

x xx gS gK f f S f f f= δ −& . (11.2)

Èç âûðàæåíèÿ (11.2) ñëåäóåò, ÷òî• ìãíîâåííûé ñïåêòð ñòàöèîíàðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíê-

öèè íå ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé ôóíêöèåé;• îòñ÷åòû ìãíîâåííîãî ñïåêòðà, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçíûì

÷àñòîòàì, îðòîãîíàëüíû;• ïðè íóëåâûõ ãðàíèöàõ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ îòñ÷åòû

ìãíîâåííîãî ñïåêòðà, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçíûì ÷àñòîòàì, íåòîëüêî îðòîãîíàëüíû, íî è íåêîððåëèðîâàíû.

Îòìåòèì, ÷òî óñëîâíûé ñïåêòð ìîùíîñòè / ( )xx gS f ñâÿçàí ñ

óñëîâíûì ìãíîâåííûì ñïåêòðîì / ( )Tx gS f& , âû÷èñëÿåìûì íà èí-

òåðâàëå T , ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì:

/ / /

1( ) lim M[ ( ) ( )]

T Txx g x g x gTS f S f S f

T∗

→∞= & .

Ãðàíèöû ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà ìîæíî îïðåäåëèòü òàêèìîáðàçîì:

/( ) sup ( )sxx xx gg G

S f S f∈

= , /( ) inf ( )ixx xx gg GS f S f

∈= .

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ãðàíèöû ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðàñòàöèîíàðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ñâÿçàíû ñ åå ìãíîâåí-íûì ñïåêòðîì ïðè óñëîâèè g ñîîòíîøåíèÿìè


160

/ /

1( ) lim sup M[ ( ) ( )]

T Tsxx x g x gT g GS f S f S f

T∗

→∞ ∈= & ,

/ /

1( ) lim inf M[ ( ) ( )]

T Tixx x g x gT g GS f S f S f

T∗

→∞ ∈= & .

Íàçîâåì ãèïåðñëó÷àéíûì áåëûì øóìîì ïðè âñåõ óñëîâèÿõñòàöèîíàðíóþ ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ

( )N t , ó êîòîðîé óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî íó-ëþ, à óñëîâíûé ñïåêòð ìîùíîñòè íå çàâèñèò îò ÷àñòîòû, ò. å.

/ 2nn g gS N= , ãäå gN – êîíñòàíòà, â îáùåì ñëó÷àå çàâèñÿùàÿ îò

óñëîâèÿ g .Óñëîâíàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ òàêîãî øóìà ïðåäñòàâëÿ-

åò ñîáîé δ-ôóíêöèþ: / ( ) ( ) 2n g gK Nτ = δ τ . Ýòèì æå âûðàæåíèåì

îïèñûâàåòñÿ è åãî êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ.Çàìåòèì, ÷òî ïðè îïðåäåëåíèè ïîíÿòèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî áå-

ëîãî øóìà ïðè âñåõ óñëîâèÿõ íå íàëîæåíû îãðàíè÷åíèÿ íà óñ-ëîâíûå çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ. Ëèøü â ÷àñòíîì ñëó÷àå îíè ìîãóòáûòü ãàóññîâñêîãî òèïà.

Îïðåäåëèì óñëîâíûé âçàèìíûé ñïåêòð ìîùíîñòè / ( )xy gS f&

ñòàöèîíàðíûõ ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ( )X t è

( )Y t êàê ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå óñëîâíîé âçàèìíî-êîððåëÿ-

öèîííîé ôóíêöèè / ( )xy gK τ :

/ /( ) ( )exp( j2 )d ,xy g xy gS f K f∞

−∞

= τ − π τ τ∫&

ãäå / ( )xy gK τ ñâÿçàíà ñ / ( )xy gS f& îáðàòíûì ïðåîáðàçîâàíèåì Ôóðüå:

/ /( ) ( )exp( j2 )dxy g xy gK S f f f∞

−∞

τ = π τ∫ & .

Ãðàíèöû âçàèìíîãî ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà ìîæíî îïðåäåëèòüñëåäóþùèì îáðàçîì:

( ) M [ ( )]sxy i xyS f S f=& & , ( ) M [ ( )]ixy s xyS f S f=& & .

Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî óñëîâíûé âçàèìíûé ñïåêòðìîùíîñòè / ( )xy gS f& è ãðàíèöû âçàèìíîãî ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåê-

òðà ( )sxyS f& è ( )ixyS f& â îáùåì ñëó÷àå íå ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâåííû-

11.4. Эргодические случайные функции

161

ìè ôóíêöèÿìè, íå ÿâëÿþòñÿ ÷åòíûìè è îáëàäàþò ñâîéñòâîì ýð-ìèòîâîé ñîïðÿæåííîñòè:

*/ /( ) ( )xy g yx gS f S f=& , *( ) ( )sxy syxS f S f=& , *( ) ( )ixy iyxS f S f=& .

Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè ñòåïåíè è õàðàêòåðà ñâÿçè ìåæäó ãè-ïåðñëó÷àéíûìè ôóíêöèÿìè ( )X t è ( )Y t ìîæíî èñïîëüçîâàòü

ãðàíèöû ôóíêöèè ÷àñòîòíîé êîãåðåíòíîñòè 2 ( )sxy fγ , 2 ( )ixy fγ , îïðå-

äåëÿåìûå êàê

2

2( )

( )( ) ( )sxy

sxysxx syy

S ff

S f S fγ =

&,

2

2( )

( )( ) ( )ixy

ixysxx syy

S ff

S f S fγ =

&.

Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî óñëîâíûé âçàèìíûé ñïåêòðìîùíîñòè / ( )xy gS f& ñâÿçàí ñ óñëîâíûìè âçàèìíûìè ñïåêòðàìè

ìîùíîñòè / ( )xx gS f è / ( )yy gS f ñëåäóþùèì íåðàâåíñòâîì:

2

/ / /( ) ( ) ( )xy g xx g yy gS f S f S f≤& ,

îäíàêî ãðàíèöû âçàèìíîé ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ìîùíîñòè( )sxyS f& , ( )ixyS f& íå èìåþò ïîäîáíîé ñâÿçè ñ ãðàíèöàìè ñïåê-

òðàëüíûõ ïëîòíîñòåé ìîùíîñòè ( )sxxS f , ( )ixxS f è ( )syyS f , ( )iyyS f ,

ò. å. íå âñåãäà ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà

2

( ) ( ) ( )sxy sxx syyS f S f S f≤& ,

2

( ) ( ) ( )ixy ixx iyyS f S f S f≤& .

Ïîýòîìó ãðàíèöû ôóíêöèè ÷àñòîòíîé êîãåðåíòíîñòè 2 ( )sxy fγ ,2 ( )ixy fγ ìîãóò ïðèíèìàòü çíà÷åíèÿ, ïðåâûøàþùèå åäèíèöó.

11.4. ЭРГОДИЧЕСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕФУНКЦИИ

Íåêîòîðûå ñòàöèîíàðíûå (îäíîðîäíûå) ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíê-öèè îáëàäàþò ñïåöèôè÷åñêèì ñâîéñòâîì ýðãîäè÷íîñòè. Ïðåæäå,÷åì ïåðåõîäèòü ê ðàññìîòðåíèþ ýðãîäè÷åñêèõ ãèïåðñëó÷àéíûõôóíêöèé, íàïîìíèì ðàçëè÷íûå âàðèàíòû îïðåäåëåíèÿ ïîíÿòèÿýðãîäè÷åñêîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè, èñïîëüçóåìûå â òåîðèè âåðî-


162

ÿòíîñòåé, è îñíîâíûå ñâîéñòâà òàêèõ ôóíêöèé [Ãíåäåíêî, 1988,Ãîðáàíü, 2003].

Äëÿ íåêîòîðûõ ñòàöèîíàðíûõ (èëè îäíîðîäíûõ) ñëó÷àéíûõôóíêöèé ðàñ÷åò õàðàêòåðèñòèê ìîæåò áûòü ïðîâåäåí íå ïóòåìóñðåäíåíèÿ ïî àíñàìáëþ ðåàëèçàöèé, à óñðåäíåíèåì äàííûõëèøü îäíîé ðåàëèçàöèè. Òàêèå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè íàçûâàþòñÿýðãîäè÷åñêèìè. Èçâåñòíî íåñêîëüêî îïðåäåëåíèé ïîíÿòèÿ ýðãî-äè÷åñêîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè.

Îïðåäåëåíèå 1. Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ íàçûâàåòñÿ ýðãîäè÷åñêîé,åñëè ëþáàÿ åå õàðàêòåðèñòèêà, ïîëó÷åííàÿ óñðåäíåíèåì ïî ìíî-æåñòâó âîçìîæíûõ ðåàëèçàöèé, ñ âåðîÿòíîñòüþ ñêîëüêî óãîäíîáëèçêîé ê åäèíèöå ðàâíÿåòñÿ ñðåäíåìó ïî âðåìåíè, ïîëó÷åííî-ìó èç îäíîé-åäèíñòâåííîé ðåàëèçàöèè ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ïó-òåì óñðåäíåíèÿ çà áåñêîíå÷íûé èíòåðâàë âðåìåíè.

Òåîðåìà 1. Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ýðãîäè÷íîñòè ñëó÷àéíîéôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ åå ñòàöèîíàðíîñòü â óçêîì ñìûñëå.

Îïðåäåëåíèå 2. Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ (ïðîöåññ) ( )X t íàçûâàåòñÿýðãîäè÷åñêîé ïî îòíîøåíèþ ê ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ, åñëè

2

2

1l.i.m. ( )d

T

xTT

X t t mT→∞

−

=∫ .

Çàìåòèì, ÷òî íå êàæäàÿ ñòàöèîíàðíàÿ ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ýðãîäè-÷åñêîé.

Òåîðåìà 2 (ýðãîäè÷åñêàÿ). Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ( )X t ÿâëÿåòñÿýðãîäè÷åñêîé ïî îòíîøåíèþ ê ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ òî-ãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå xm ñëó÷àé-íîé ôóíêöèè ïîñòîÿííî, à åå êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ

1 2( , )xR t t óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ

2 2

1 2 1 222 2

1lim ( , )d d 0

T T

xTT T

R t t t tT→∞

− −

=∫ ∫ . (11.3)

Äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñïðàâåäëèâîñòè ðàâåíñòâà (11.3) ÿâëÿ-åòñÿ óñëîâèå

2 11 2lim ( , ) 0xt t

R t t− →∞

= ,

ò. å. ÷òî êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ 1 2( , )xR t t ñòðåìèòñÿ ê íóëþïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè ìîäóëÿ ðàçíîñòè àðãóìåíòîâ

2 1t t− .

11.4. Эргодические случайные функции

163

Ïðîâåðêà âûïîëíåíèÿ ýòîãî óñëîâèÿ îáû÷íî âûçûâàåò ìåíü-øèå òðóäíîñòè, ÷åì ïðîâåðêà óñëîâèÿ (11.3).

Äëÿ ñòàöèîíàðíûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé óñëîâèå (11.3) ìîæåòáûòü çàïèñàíî ñëåäóþùèì îáðàçîì:

0

1lim 1 ( )d 0

T

xTR

T T→∞

τ − τ τ =

∫ .

Äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñïðàâåäëèâîñòè ýòîãî ðàâåíñòâà ÿâëÿ-åòñÿ óñëîâèå lim ( ) 0xR

τ→∞τ = .

Îïðåäåëåíèå 3. Ñòàöèîíàðíàÿ ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ( )X t íàçû-âàåòñÿ ýðãîäè÷åñêîé ïî îòíîøåíèþ ê êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè

( )xR τ , åñëè2

2

1( ) lim ( ) ( )d

T

x TT

R X t X t tT→∞

−

τ = + τ∫o o

,

ãäå ( )X to

– öåíòðèðîâàííàÿ ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ( )X t .Òåîðåìà 3. Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ýðãîäè÷-

íîñòè ñòàöèîíàðíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ïî îòíîøåíèþ ê êîâà-ðèàöèîííîé ôóíêöèè ( )xR τ ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî

20 0

0

1lim 1 [ ( ) ( ) ( )]d 0

T

x x xTR R R

T T→∞

τ − τ + τ + τ τ − τ τ =

∫

ïðè ëþáîì ôèêñèðîâàííîì 0τ .×àñòî ýðãîäè÷åñêàÿ ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ åùå

ñëåäóþùèì îáðàçîì.Îïðåäåëåíèå 4. Ñòàöèîíàðíàÿ â óçêîì ñìûñëå ñëó÷àéíàÿ ôóíê-

öèÿ ( )X t íàçûâàåòñÿ ýðãîäè÷åñêîé, åñëè äëÿ êàæäîé ôóíêöèè

1( ( ),..., ( ))Nx t x tϕ óñðåäíåííîå ïî àðãóìåíòó t åå çíà÷åíèå

2

1 12

1M[ ( ( ),..., ( )] lim ( ( ),..., ( )d

T

N NTT

x t x t x t t x t t tT→ ∞

−

ϕ = ϕ + +∫

ïî÷òè íàâåðíîå ðàâíî ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ ϕ 1M[ ( ( ),...X t

..., ( )].NX tÍåêîòîðûå â öåëîì íåñòàöèîíàðíûå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè

ïðîÿâëÿþò ñâîéñòâà ñòàöèîíàðíîñòè è ýðãîäè÷íîñòè íà èíòåðâà-ëàõ êîíå÷íîé äëèòåëüíîñòè.


164

Ðèñ. 11.3. Îäíîìåðíàÿïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿôðàãìåíòàðíî-ýðãîäè÷åñ-êîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè

( )X t ñ ôðàãìåíòàìè, îïè-ñûâàåìûìè îäíîìåðíûìèïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëå-íèÿ ( )hf x , −− =1h hT T T ,

= K1,2,h

Ôðàãìåíòàðíî-ýðãîäè÷åñêîé áóäåì íàçûâàòü ñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ( )X t , ñîñòîÿùóþ èç ïðàêòè÷åñêè ñòàöèîíàðíûõ ýðãîäè÷åñêèõ ôðàã-

ìåíòîâ îïðåäåëåííîé äëèòåëüíîñòè T (ðèñ. 11.3).Ïîä ïðàêòè÷åñêè ñòàöèîíàðíûì ýðãîäè÷åñêèì ôðàãìåíòîì

ñëó÷àéíîé ôóíêöèè â äàííîì ñëó÷àå ïîäðàçóìåâàåòñÿ òàêîé ååôðàãìåíò, õàðàêòåðèñòèêè êîòîðîãî (ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå,êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ è äð.) ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû ñ ïðå-íåáðåæèìî ìàëîé ïîãðåøíîñòüþ ïî îäíîé ðåàëèçàöèè ýòîãîôðàãìåíòà.

Ïðè ðåøåíèè ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ âàæíûì âîïðîñîì ÿâëÿåò-ñÿ îïðåäåëåíèå äëèòåëüíîñòè T ïðàêòè÷åñêè ñòàöèîíàðíûõôðàãìåíòîâ, èíà÷å ãîâîðÿ, èíòåðâàëà ñòàöèîíàðíîñòè ñëó÷àéíîéôóíêöèè.

11.5. ЭРГОДИЧЕСКИЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕФУНКЦИИ

Ñòàöèîíàðíóþ ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ (ïðîöåññ) Õ(t) = ( ) /X t g ∈

∈ G ( ),gX t g G= ∈ áóäåì íàçûâàòü ýðãîäè÷åñêîé ïðè âñåõ

óñëîâèÿõ g , åñëè äëÿ âñåõ g ñîñòàâëÿþùèå åå ñëó÷àéíûå

ôóíêöèè ( )gX t ÿâëÿþòñÿ ýðãîäè÷åñêèìè.

Ïîä ýðãîäè÷åñêèìè ñëó÷àéíûìè ôóíêöèÿìè ìîæíî ïîíè-ìàòü ôóíêöèè, ñîîòâåòñòâóþùèå îäíîìó èç îïðåäåëåíèé, ïðèâå-äåííûõ â ïàðàãðàôå 11.4.

Ïðè èñïîëüçîâàíèè, â ÷àñòíîñòè, îïðåäåëåíèÿ 4, ïîä ãèïåð-ñëó÷àéíîé ýðãîäè÷åñêîé ôóíêöèåé ïîäðàçóìåâàåòñÿ ïðîöåññ

( ) ( ) /X t X t= g G∈ , äëÿ êîòîðîãî ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g ñðåä-

íåå çíà÷åíèå 1M[ ( ( ) / ,..., ( ) / )]Lx t g x t gϕ ôóíêöèè 1( ( ) / ,...,x t gϕ( ) / )Lx t g , ðàññ÷èòàííîå ïî ïðîèçâîëüíî âûáðàííîé ðåàëèçàöèè

11.5. Эргодические гиперслучайные функции

165

( ) /x t g ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( ) /X t g ïóòåì óñðåäíåíèÿ ïî t íà

èíòåðâàëå ( , )−∞ ∞ , ñ âåðîÿòíîñòüþ, ðàâíîé åäèíèöå, ðàâíî ñðåä-

íåìó, ðàññ÷èòàííîìó äëÿ ôóíêöèè 1( ( ) / ,..., ( ) / )LX t g X t gϕ ïóòåì

óñðåäíåíèÿ ìíîæåñòâà ðåàëèçàöèé ôóíêöèè ( ) /X t g .Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñðåäíåå ïî t íà èíòåðâàëå äëèòåëüíî-

ñòüþ T

1 1M [ ( ( ),..., ( ))] M [ ( ( ) / ,..., ( ) / )],T L T Lx t x t x t g x t g g Gϕ = ϕ ∈ =

/ 2

1/ 2

1( ( ) / ,..., ( ) / )d ,

T

LT

x t t g x t t g t g GT −

= ϕ + + ∈

∫

ìíîæåñòâà ôóíêöèé 1( ( ) / ,..., ( ) / )Lx t t g x t t gϕ + + , g G∈ ñõîäèòñÿ

ïðè T → ∞ ïî÷òè íàâåðíîå ê ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ

1M[ ( ( ),..., ( ))]LX t X tϕ – ìíîæåñòâó ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé

1M[ ( ( ) / ,..., ( )) / ]LX t g X t gϕ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 1( ( ) / ,...,X t gϕ( ) / )LX t g , âû÷èñëåííûõ äëÿ ðàçëè÷íûõ óñëîâèé g ïóòåì óñðåä-

íåíèÿ ïî àíñàìáëþ ðåàëèçàöèé:

1 1lim M [ ( ( ),..., ( ))] M[ ( ( ),..., ( ))]T L LTx t x t X t X t

→∞ϕ = ϕ .

Åñëè ýëåìåíòû ìíîæåñòâà G îäèíàêîâûå, ãèïåðñëó÷àéíàÿýðãîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ âûðîæäàåòñÿ â ñëó÷àéíóþ ýðãîäè÷åñêóþôóíêöèþ.

Ãðàíèöàìè ñðåäíåãî íà èíòåðâàëå äëèòåëüíîñòüþ T ìíîæåñò-âà ðåàëèçàöèé ( ) ( ) / ( ),gx t x t g G x t g G= ∈ = ∈ ýðãîäè÷åñêîé

ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )X t íàçîâåì ôóíêöèè

/ /sup , inf ,T T T Tsx x g ix x gg Gg G

m m m m∈∈

= =

ãðàíèöàìè êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ìíîæåñòâà ðåàëèçàöèé –ôóíêöèè

/( ) sup ( )T Tsx x g

g GK K

∈τ = τ , /( ) inf ( )

T Tix x gg GK K

∈τ = τ ,

à ãðàíèöàìè êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè ìíîæåñòâà ðåàëèçàöèé –ôóíêöèè

/( ) sup ( )T Tsx x g

g GR R

∈τ = τ , /( ) inf ( )

T Tix x gg GR R

∈τ = τ ,


166

ãäå 2

/2

1( ) d

T

T

x g gT

m x t tT −

= ∫ – ñðåäíåå çíà÷åíèå ôóíêöèè ( )gx t ,

2

/2

1( ) ( ) ( )d

T

T

x g g gT

K x t x t tT −

τ = + τ∫ – àâòîêîððåëÿöèîííàÿ, à / ( )Tx gR τ =

2

/ /2

1[ ( ) ][ ( ) ]d

T T

T

g x g g x gT

x t m x t m tT −

= + τ − −∫ – àâòîêîâàðèàöèîííàÿ

ôóíêöèÿ ôóíêöèè ( )gx t íà èíòåðâàëå äëèòåëüíîñòüþ T .

Ïðè T → ∞ ãðàíèöû ñðåäíåãî ìíîæåñòâà ðåàëèçàöèé sxm ,

ixm ïî÷òè íàâåðíîå ñõîäÿòñÿ ê ãðàíèöàì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæè-

äàíèÿ: ,sx sx ix ixm m m m= = , ãðàíèöû êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè

ìíîæåñòâà ðåàëèçàöèé ( )sxK τ , ( )ixK τ – ê ãðàíèöàì êîððåëÿöè-

îííîé ôóíêöèè ( )sxK τ , ( )ixK τ , ãðàíèöû êîâàðèàöèîííîé

ôóíêöèè ìíîæåñòâà ðåàëèçàöèé ( )sxR τ , ( )ixR τ – ê ãðàíèöàì êî-

âàðèàöèîííîé ôóíêöèè ( )sxR τ , ( )ixR τ , à âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíè-

öû äèñïåðñèè ìíîæåñòâà ðåàëèçàöèé (0)sx sxD R= , (0)ix ixD R= –

ê ãðàíèöàì äèñïåðñèè sxD , ixD .Ïðèâåäåííûå ðåçóëüòàòû äîïóñêàþò îáîáùåíèÿ íà ìíîãîìåðíûé

ñëó÷àé. Â ÷àñòíîñòè, ãðàíèöàìè âçàèìíîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèèìíîæåñòâà ðåàëèçàöèé ( ) ( ),gx t x t g G= ∈ , ( ) ( ),gy t y t g G= ∈

ýðãîäè÷åñêèõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé

( ) ( ) / ( ),gX t X t g G X t g G= ∈ = ∈ ,

( ) ( ) / ( ),gY t Y t g G Y t g G= ∈ = ∈

ìîæíî íàçâàòü ôóíêöèè

/( ) sup ( )T Tsxy xy g

gK Kτ = τ , /( ) inf ( )

T Tixy xy ggK Kτ = τ ,

à ãðàíèöàìè âçàèìíîé êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè ìíîæåñòâàðåàëèçàöèé – ôóíêöèè

/( ) sup ( )T Tsxy xy g

g GR R

∈τ = τ , /( ) inf ( )

T Tixy xy gg GR R

∈τ = τ ,

ãäå

11.5. Эргодические гиперслучайные функции

167

2

/2

1( ) ( ) ( )d

T

T

xy g g gT

K x t y t tT −

τ = + τ∫

– âçàèìíàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ, à2

/ / /2

1( ) ( ( ) )( ( ) )d

T T T

T

xy g g x g g y gT

R x t m y t m tT −

τ = + τ − −∫

– âçàèìíàÿ êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ ôóíêöèé ( )gx t è ( )gy t .

Ïðè T → ∞ ãðàíèöû âçàèìíîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè

ìíîæåñòâà ðåàëèçàöèé ( )sxyK τ , ( )ixyK τ ïî÷òè íàâåðíîå ñõîäÿòñÿ

ê ãðàíèöàì âçàèìíîé êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ( )sxyK τ , ( )ixyK τ ,

à ãðàíèöû âçàèìíîé êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè ìíîæåñòâà ðåà-ëèçàöèé ( )sxyR τ , ( )ixyR τ – ê ãðàíèöàì âçàèìíîé êîâàðèàöèîí-

íîé ôóíêöèè ( )sxyR τ , ( )ixyR τ .

Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû è äðóãèå óñ-ðåäíåííûå õàðàêòåðèñòèêè.

Çàìåòèì, ÷òî òàê æå, êàê è â òåîðèè ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé, äëÿîïðåäåëåíèÿ ýðãîäè÷åñêîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ìîæíî èñ-ïîëüçîâàòü äðóãîé òèï ñõîäèìîñòè, íàïðèìåð, âìåñòî ñõîäèìî-ñòè ïî÷òè íàâåðíîå ïðèìåíÿòü ñõîäèìîñòü â ñðåäíåêâàäðàòè÷å-ñêîì.

Âñÿ èíôîðìàöèÿ î õàðàêòåðèñòèêàõ ñëó÷àéíîé ýðãîäè÷åñêîéôóíêöèè ñîäåðæèòñÿ â ëþáîé åå ðåàëèçàöèè. Ýòî äàåò âîçìîæ-íîñòü âû÷èñëÿòü ìîìåíòû è äðóãèå õàðàêòåðèñòèêè ïî îäíîéðåàëèçàöèè.

Ê ñîæàëåíèþ, äëÿ ðàñ÷åòà õàðàêòåðèñòèê ãèïåðñëó÷àéíîéýðãîäè÷åñêîé ôóíêöèè îäíîé ðåàëèçàöèè íåäîñòàòî÷íî. Íåîáõî-äèìî ìíîæåñòâî ðåàëèçàöèé – ïî îäíîé äëÿ êàæäûõ óñëîâèé.Ýòî ñóùåñòâåííî óñëîæíÿåò ðàñ÷åòû.

Îáîéòèñü îäíîé ðåàëèçàöèåé ìîæíî â òîì ñëó÷àå, êîãäà ãè-ïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ïðîÿâëÿåò ñâîéñòâà ñòàöèîíàðíîñòè èýðãîäè÷íîñòè íà èíòåðâàëàõ êîíå÷íîé äëèòåëüíîñòè. Î òàêèõãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèÿõ èäåò ðå÷ü â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.


168

11.6. ФРАГМЕНТАРНО-ЭРГОДИЧЕСКИЕПРИ ВСЕХ УСЛОВИЯХ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ

ФУНКЦИИ

Ðàññìîòðèì ñòàöèîíàðíóþ ýðãîäè÷åñêóþ ïðè âñåõ óñëîâèÿõãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ ( ) ( ) / , 1,2, ,U t U t h h H= = K ñî

ñòàöèîíàðíûìè ýðãîäè÷åñêèìè ñëó÷àéíûìè ñîñòàâëÿþùèìè( ) /U t h .

Ïóñòü íà èíòåðâàëàõ äëèòåëüíîñòüþ T ñîñòàâëÿþùèå( ) /U t h – ïðàêòè÷åñêè ýðãîäè÷åñêèå, ò. å. èõ õàðàêòåðèñòèêè

ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû ñ ïðåíåáðåæèìî ìàëîé ïîãðåøíîñòüþ ïîîäíîé ðåàëèçàöèè äëèòåëüíîñòüþ T .

Ôðàãìåíòàðíî-ýðãîäè÷åñêîé ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíîéôóíêöèåé áóäåì íàçûâàòü ãèïåðñëó÷àéíóþ ôóíêöèþ ( )X t =

( ) / , 1,2, ,X t g g G= = K , ñîñòàâëÿþùèå êîòîðîé ( ) /X t g –

ôðàãìåíòàðíî-ýðãîäè÷åñêèå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè, ñôîðìèðîâàí-íûå èç ôðàãìåíòîâ ïðàêòè÷åñêè ýðãîäè÷åñêèõ ñëó÷àéíûõ ñîñòàâ-ëÿþùèõ ( ) /U t h äëèòåëüíîñòüþ T (ðèñ. 11.4, 11.5).

Êàæäàÿ ðåàëèçàöèÿ ôðàãìåíòàðíî-ýðãîäè÷åñêîé ïðè âñåõ óñ-ëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè íåñåò èíôîðìàöèþ î õàðàêòå-ðèñòèêàõ âñåõ ôðàãìåíòîâ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè. Ïîýòîìóäëÿ ðàñ÷åòà õàðàêòåðèñòèê òàêîé ôóíêöèè äîñòàòî÷íî îäíîé(ëþáîé) ðåàëèçàöèè.

Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî äëÿ ôðàãìåíòàðíî-ýðãîäè÷åñêîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè (ñì. ðèñ. 11.3) ïîðÿäîê ñëåäî-âàíèÿ ðàñïðåäåëåíèé fh(x) äåòåðìèíèðîâàí; äëÿ ôðàãìåíòàðíî-

Ðèñ. 11.4. Ñõåìà ôîðìè-ðîâàíèÿ ôðàãìåíòàðíî-ýðãîäè÷åñêîé ñëó÷àéíîéôóíêöèè X(t)/g èç ñòà-öèîíàðíîé ýðãîäè÷åñêîéïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãè-ïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè

=( ) ( ) / ,U t U t h 1,2,h =

K,H

11.6. Фрагментарно-эргодические при всех условиях гиперслучайные …

169

Ðèñ. 11.5. Îäíîìåðíûåóñëîâíûå ïëîòíîñòè ðàñ-ïðåäåëåíèÿ ôðàãìåíòàð-íî-ýðãîäè÷åñêîé ïðèâñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó-÷àéíîé ôóíêöèè =( )X t

= = K( ) / , 1,2, ,X t g g G ñ ôðàãìåíòàìè, îïèñûâàåìûìè ïëîòíîñòÿìè ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ ( )hf x , = K1,2, ,h H

ýðãîäè÷åñêîé ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè (ñì.ðèñ. 11.5), êîãäà óñëîâèÿ g ôèêñèðîâàíû, ýòîò ïîðÿäîê òîæåäåòåðìèíèðîâàí, îäíàêî, êîãäà óñëîâèÿ íå ôèêñèðîâàíû, ïîðÿ-äîê íå îïðåäåëåí.

170

Глава 12

МАРКОВСКИЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕПРОЦЕССЫ

Ïîíÿòèå ìàðêîâñêîãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà îáîáùåíî íà ñëó÷àé ãè-ïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà. Äëÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññàïîëó÷åíû óðàâíåíèÿ, àíàëîãè÷íûå èçâåñòíûì óðàâíåíèÿì Êîëìîãî-ðîâà äëÿ ñëó÷àéíîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà. Â êà÷åñòâå ïðèìåðîâðàññìîòðåíû âèíåðîâñêèé è ãàóññîâñêèé ãèïåðñëó÷àéíûå ìàðêîâñêèåïðîöåññû.

12.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАРКОВСКОГОГИПЕРСЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Ïóñòü 0 0( ),..., ( )N NX X t X X t= = – çíà÷åíèÿ íåïðåðûâíîãî ãè-

ïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ( )X t â ïðîèçâîëüíûå ìîìåíòû âðåìåíè

0 1 ... N t t t< < < . Ãèïåðñëó÷àéíûé ïðîöåññ ( )X t íàçîâåì ìàðêîâ-

ñêèì, åñëè äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè N t è ëþáîãî óñëîâèÿ

Ntg G∈ îäíîìåðíàÿ óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé

−− − =0 11 0 1 0 1( ; ; / ,..., ; ,..., ; ,..., )

N NN N t N N t tf x t g x x t t g g

−− −=11 1 1( ; ; / ; ; ).

N NN N t N N tf x t g x t g (12.1)

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ìíîãîìåðíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåéìàðêîâñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ( )X t ìîæåò áûòü ïðåä-ñòàâëåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì:

00 0( ,..., ; ,..., ; ,..., )NN N N t tf x x t t g g =

0 11 0 0 1 11

( ; ; ) ( ; ; / ; ; ),n n

N

t n n t n n tn

f x t g x t g x t g−− −

=

= Π∏ (12.2)

ãäå 11 1( ; ; / ; ; )

n nn n t n n tx t g x t g−− −Π =

11 1 1( ; ; / ; ; )n nn n t n n tf x t g x t g

−− − – ïëîò-

12.2. Уравнения Колмогорова для марковского гиперслучайного процесса

171

íîñòü âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ( ) / tX t g , íà-

õîäÿùåéñÿ â ñîñòîÿíèè 1nx − â ìîìåíò âðåìåíè 1nt − â óñëîâèÿõ

1ntg

−, â ñîñòîÿíèå nx â ìîìåíò âðåìåíè nt â óñëîâèÿõ

ntg .

Èç âûðàæåíèÿ (12.1) ñëåäóåò, ÷òî åñëè çíà÷åíèÿ ãèïåðñëó-÷àéíîãî ïðîöåññà â ëþáûå íåñîâïàäàþùèå ìîìåíòû âðåìåíèíåçàâèñèìû ïðè âñåõ óñëîâèÿõ tg , òî ïðîöåññ – ìàðêîâñêèé.Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå íåâåðíî.

Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà ( ; ; / ; ; )t tx t g x t g ′′ ′Π ÿâëÿåòñÿíåîòðèöàòåëüíîé âåëè÷èíîé, íîðìèðîâàííîé ê åäèíèöå:

( ; ; / ; ; )d 1t tx t g x t g x∞

′−∞

′ ′Π =∫ .

Êðîìå òîãî, ýòà ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé îáëàäàåò ñâîéñòâîìñèíãóëÿðíîñòè:

lim ( ; ; / ; ; ) ( )t t

t tt tg g

x t g x t g x x′

′′→→

′ ′ ′Π = δ −

è óäîâëåòâîðÿåò îáîáùåííîìó óðàâíåíèþ Ìàðêîâà (óðàâíåíèþ Ñìî-ëóõîâñêîãî):

00 0( ; ; / ; ; )t tx t g x t gΠ =

00 0( ; ; / ; ; ) ( ; ; / ; ; )d .t t t tx t g x t g x t g x t g x∞

′ ′−∞

′ ′ ′ ′ ′= Π Π∫

12.2. УРАВНЕНИЯ КОЛМОГОРОВАДЛЯ МАРКОВСКОГО ГИПЕРСЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Äëÿ ìàðêîâñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ( )X t ïëîòíîñòü âå-

ðîÿòíîñòåé ïåðåõîäà 00 0( ; ; / ; ; )t tx t g x t gΠ èç ñîñòîÿíèÿ 0x â ìî-

ìåíò âðåìåíè 0 t â óñëîâèÿõ 0t

g â ñîñòîÿíèå x â ìîìåíò âðåìå-

íè t â óñëîâèÿõ tg îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèåì

00 00

( ; ; / ; ; )t tx t g x t gt∂

− Π =∂

0 00 0 0 0

1 0

( ; ; ) ( ; ; / ; ; ),

!t t tA x t g x t g x t g

xν

ν∞

νν=

∂ Π=

ν ∂∑ (12.3)

Глава 12. Марковские гиперслучайные процессы

172

ãäå

M0 0 0

0 0

0 0 0 0 00

1( ; ; ) lim ( ( ; / ; ; )

t t t

t t t ttg g

A x t g X t t g x t gtν

+∆

+∆∆ →→

= + ∆ −∆

0 00 0 0( ; / ; ; )) .t tX t g x t g ν −

Ýòî âûðàæåíèå ïðÿìî ñëåäóåò èç èçâåñòíîé òåîðåìû äëÿ ñëó-÷àéíîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà [Êîðîëþê è äð., 1985, Ãîð-áàíü, 2003].

Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà 0 0 00 0 0 0( ; / ; ; ) ( ; /t t t tX t t g x t g X t g+∆+ ∆ −

00 0; ; )tx t g ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðèðàùåíèå ñîñòîÿíèÿ, ïðîèñõî-

äÿùåå çà âðåìÿ t∆ . Ïîýòîìó êîýôôèöèåíòû 00 0( ; ; )tA x t gν ìîæíî

òðàêòîâàòü êàê ëîêàëüíûå ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ íà÷àëüíûõ ìî-ìåíòîâ ν -ãî ïîðÿäêà ïðèðàùåíèÿ ñîñòîÿíèÿ.

Ïî àíàëîãèè ñ óðàâíåíèÿìè, îïèñûâàþùèìè äèôôóçèîííûåñëó÷àéíûå ïðîöåññû, ãèïåðñëó÷àéíûå ïðîöåññû, îïèñûâàåìûåóðàâíåíèåì (12.3) ñ êîýôôèöèåíòàìè, ðàâíûìè íóëþ äëÿ âñåõ

3ν ≥ , áóäåì íàçûâàòü ïåðâûì (îáðàòíûì) óðàâíåíèåì Êîëìîãî-ðîâà:

0 0 00 0 0 0 0 00 0

( ; ; / ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; / ; ; )t t t t tx t g x t g a x t g x t g x t gt x∂ ∂

− Π = Π +∂ ∂

0 0

2

0 0 0 020

1( ; ; ) ( ; ; / ; ; ),

2 t t tb x t g x t g x t gx∂

+ Π∂

(12.4)

à óðàâíåíèå

00 0( ; ; / ; ; )t tx t g x t gt∂Π =

∂

00 0( ; ; ) ( ; ; / ; ; )t t ta x t g x t g x t gx∂ = − Π + ∂

0

2

0 02

1( ; ; ) ( ; ; / ; ; )

2 t t tb x t g x t g x t gx∂ + Π ∂

(12.5)

– óðàâíåíèåì Ôîêêåðà–Ïëàíêà–Êîëìîãîðîâà èëè ïðÿìûì óðàâíå-íèåì Êîëìîãîðîâà, ãäå

0 00 0 1 0 0( ; ; ) ( ; ; )t ta x t g A x t g= – êîýôôèöèåíò

ñíîñà, à 0 00 0 2 0 0( ; ; ) ( ; ; )t tb x t g A x t g= – êîýôôèöèåíò äèôôóçèè.

12.2. Уравнения Колмогорова для марковского гиперслучайного процесса

173

Ãèïåðñëó÷àéíûå ìàðêîâñêèå ïðîöåññû, îïèñûâàåìûå óðàâíå-íèÿìè (12.4), (12.5), áóäåì íàçûâàòü äèôôóçèîííûìè.

Óðàâíåíèÿ (12.4) è (12.5) – çàâèñèìûå.Èç óðàâíåíèÿ (12.5) ñëåäóåò óðàâíåíèå äëÿ îäíîìåðíîé

ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé:

[ ]1 1( ; ; ) ( ; ; ) ( ; ; )t t tf x t g a x t g f x t gt x∂ ∂

= − +∂ ∂

[ ]2

12

1( ; ; ) ( ; ; ) .

2 t tb x t g f x t gx∂

+∂

(12.6)

Ãèïåðñëó÷àéíûé äèôôóçèîííûé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ áóäåì íàçû-âàòü îäíîðîäíûì âî âðåìåíè, åñëè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé ïåðå-õîäà

00 0( ; ; / ; ; )t tx t g x t gΠ íå çàâèñèò ïðÿìî îò ìîìåíòîâ âðåìåíè

t , 0t è óñëîâèé tg , 0t

g , à îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü èõ ðàçíîñòÿìè

0t tτ = − , 0t tg g gτ = − :

00 0 0( ; ; / ; ; ) ( / ; ; )t tx t g x t g x x gτΠ = Π τ . Îäíî-

ìåðíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé òàêîãî ïðîöåññà 1( )f x , à òàêæå

êîýôôèöèåíòû ñíîñà ( )a x è äèôôóçèè ( )b x íå çàâèñÿò îò âðå-ìåíè è óñëîâèé.

Åñëè íåïðåðûâíûé ãèïåðñëó÷àéíûé ìàðêîâñêèé ïðîöåñññòàöèîíàðåí â óçêîì ñìûñëå ïðè âñåõ óñëîâèÿõ, òî îí îäíîðî-äåí. Ýòî ñëåäóåò èç èçâåñòíîé òåîðåìû äëÿ ñëó÷àéíûõ ìàðêîâ-ñêèõ ïðîöåññîâ [Êîðîëþê è äð., 1985]. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèåíåâåðíî.

Èç ñîîòíîøåíèÿ (12.6) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ñòàöèîíàðíîãî â óç-êîì ñìûñëå ïðè âñåõ óñëîâèÿõ äèôôóçèîííîãî îäíîðîäíîãî ãè-ïåðñëó÷àéíîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà

[ ]1 1

d( ) ( ) 2 ( ) ( )

db x f x a x f x C

x= + ,

ãäå C – êîíñòàíòà, îïðåäåëÿåìàÿ èç óñëîâèÿ íîðìèðîâêè.Ñòîõàñòè÷åñêèì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì, îïèñûâàþ-

ùèì ãèïåðñëó÷àéíûé ïðîöåññ, áóäåì íàçûâàòü óðàâíåíèå âèäà

d( , , ) ( , , ) ( ; )

d t t t

xh x t g g x t g n t g

t= + ,

ãäå ( , , )th x t g è ( , , )tg x t g – äåòåðìèíèðîâàííûå ôóíêöèè, óäîâ-ëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ Ëèïøèöà:


174

( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )t t t th x t g h y t g g x t g g y t g L x y− + − ≤ −

( const 0)L = > ,

( ) ( ; ),t tN t N t g g G= ∈ – ãèïåðñëó÷àéíûé ãàóññîâñêèé øóì, ïðåä-

ñòàâëÿþùèé ñîáîé ìíîæåñòâî ãàóññîâñêèõ íåêîððåëèðîâàííûõñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ( ; )tN t g ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæè-

äàíèåì è ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ìîùíîñòè 0( ) / 2tN g , çàâè-

ñÿùåé îò óñëîâèé tg â ìîìåíò âðåìåíè t .

12.3. ВИНЕРОВСКИЙ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЙПРОЦЕСС

Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêè. Ïóñòüâ ãàçå èëè æèäêîñòè íàõîäèòñÿ ìèêðî÷àñòèöà åäèíè÷íîé ìàññû.Òåìïåðàòóðà ñðåäû T íåïðåäñêàçóåìî ìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ

1 2[ , ]T T . Ïðè ôèêñèðîâàííîé òåìïåðàòóðå T ñêîðîñòü òåïëîâîãîäâèæåíèÿ ìîëåêóëû â ôèêñèðîâàííîì íàïðàâëåíèè ïðåäñòàâëÿåòñîáîé ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, îïèñûâàåìóþ â ïðèáëèæåíèè Ìàêñ-âåëëà ãàóññîâñêèì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íóëåâûì ìàòåìàòè-÷åñêèì îæèäàíèåì è äèñïåðñèåé /kT m [ßâîðñêèé, Äåòëàô,1968], ãäå k – ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà, m – ìàññà ìîëåêóëû.

Èç-çà íåïðåäñêàçóåìîãî èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû ñðåäû ñêî-ðîñòü òåïëîâîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóëû ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâàè ìîæåò áûòü îïèñàíà ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, ãðàíèöû äèñ-ïåðñèè êîòîðîé ðàâíû 1 /kT m , 2 /kT m .

Ìîëåêóëû, ñòàëêèâàÿñü ñ ÷àñòèöåé, âûçûâàþò åå ïåðåìåùå-íèå. Â êàæäûé ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè ïðîèñõîäèòáîëüøîå ÷èñëî òàêèõ ñòîëêíîâåíèé. Ñèëó óäàðà ( )N t , âûçû-âàþùåãî äâèæåíèå ÷àñòèöû âäîëü çàäàííîãî íàïðàâëåíèÿ, èñêîðîñòü äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ( )V t ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ãè-ïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè ãàóññîâñêîãî òèïà.

Åñëè ïðè ôèêñèðîâàííûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ tg (òåìïå-ðàòóðå ñðåäû) ñèëà óäàðà îïèñûâàåòñÿ ãàóññîâñêîé ñëó÷àéíîéôóíêöèåé ( ; )tN t g â âèäå ãàóññîâñêîãî áåëîãî øóìà ñ íóëåâûììàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòüþ ìîùíî-ñòè 0( ) / 2tN g , òî íà îñíîâàíèè âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà ñêîðîñòü

12.3. Винеровский гиперслучайный процесс

175

äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ( ; )tV t g îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì ñòîõàñòè÷å-ñêèì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì:

d ( ; )( ; )

dt

t

v t gn t g

t= . (12.7)

Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ïðè íóëåâîì íà÷àëüíîì óñëîâèè( 0(0; ) 0v g = ) ÿâëÿåòñÿ ÷èñòî äèôôóçèîííûé (âèíåðîâñêèé) ãèïåð-ñëó÷àéíûé ïðîöåññ:

11 10

( ; ) ( ; )dt

t tv t g n t g t= ∫ . (12.8)

Èç âûðàæåíèÿ (12.8) âèäíî, ÷òî çíà÷åíèå ïðîöåññà â òåêó-ùèé ìîìåíò âðåìåíè t â óñëîâèÿõ tg îïðåäåëÿåòñÿ ìíîæåñòâîìñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèé â ìîìåíò âðåìåíè t è ïðåäøåñòâóþùèååìó ìîìåíòû âðåìåíè 1t t< . Ýòî çíà÷åíèå çàâèñèò îò ÷àñòîòûâñòðå÷àåìîñòè â ðåàëèçàöèè òåõ èëè èíûõ óñëîâèé.

Ãèïåðñëó÷àéíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ îáëàäàåò ñâîéñòâàìè,ïîõîæèìè (íî íå èäåíòè÷íûìè) ñâîéñòâàì ñëó÷àéíîãî âèíåðîâ-ñêîãî ïðîöåññà:

• ãèïåðñëó÷àéíûé âèíåðîâñêèé ïðîöåññ ÿâëÿåòñÿ öåíòðèðî-âàííûì ( ( ) M[ ( , )] = 0v tm t V t g= ),

• äèñïåðñèÿ ýòîãî ïðîöåññà îïèñûâàåòñÿ èíòåãðàëîì:

1 2 1

21 2 1 2 0 1

0 0 0

1( ) M[ ( ; ) ( ; )]d d ( )d

2

t t t

v t t tt N t g N t g t t N g tσ = =∫ ∫ ∫ ,

• ïðîöåññ – ãàóññîâñêèé. Åãî ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé îïè-ñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì

2

1 2

1( ; ; ) exp

2 ( )2 ( )t

vv

vf v t g

tt

= −

σπσ , (12.9)

• ïðîöåññ – ìàðêîâñêèé (òàê êàê îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì

3

2

2

3 2( ) ( ; ) ( , )d ),t

t tt

v t v t g n t g t= + ∫

• ïðîöåññ èìååò íóëåâîé êîýôôèöèåíò ñíîñà ( ( ; ; ) 0ta v t g = ) è

êîýôôèöèåíò äèôôóçèè 0( ; ; ) ( ) / 2t tb v t g N g= , â îáùåì ñëó÷àåçàâèñÿùèé îò âðåìåíè.


176

Â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà óñëîâèÿ tg íå çàâèñÿò îò âðåìåíè t

( tg g= ), äèñïåðñèÿ âèíåðîâñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà2

0( ) ( ) / 2v t N g tσ = .

Ãðàíèöû äèñïåðñèè 2 ( )iv tσ , 2 ( )sv tσ ýòîãî ïðîöåññà îïèñûâàþò-

ñÿ âûðàæåíèÿìè 20( ) / 2iv it N tσ = , 2

0( ) / 2sv st N tσ = , ãäå 0iN /2 è

0sN /2 – ñîîòâåòñòâåííî íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû ñïåêòðàëü-

íîé ïëîòíîñòè ìîùíîñòè 0N /2 ãèïåðñëó÷àéíîãî ãàóññîâñêîãî

øóìà ( )N t .Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äèàïàçîí èçìåíåíèÿ äèñïåðñèè âèíåðîâ-

ñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ðàñøèðÿåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíîâðåìåíè t .

Äëÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî âèíåðîâñêîãî ïðîöåññà ñ ó÷åòîì ïðèâå-äåííûõ ñâîéñòâ ïðÿìîå óðàâíåíèå Êîëìîãîðîâà èìååò âèä

21 1

0 2

( ; ; ) ( ; ; )1( )

4t t

t

f v t g f v t gN g

t v

∂ ∂=

∂ ∂,

à åãî ðåøåíèå îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì (12.9).

12.4. ГАУССОВСКИЙ МАРКОВСКИЙГИПЕРСЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

Îáîáùåíèåì ðàññìîòðåííîãî âèíåðîâñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãîïðîöåññà ÿâëÿåòñÿ ãàóññîâñêèé ìàðêîâñêèé ãèïåðñëó÷àéíûé ïðîöåññ

( )X t , ñëó÷àéíûå ñîñòàâëÿþùèå êîòîðîãî óäîâëåòâîðÿþò ñòîõàñ-òè÷åñêîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ:

d ( ; )( ; ) ( ; )

dt

t t

x t gx t g n t g

t+ α = γ , (12.10)

ãäå ,α γ – ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû.Ê òàêîìó óðàâíåíèþ ìîæíî ïðèéòè, â ÷àñòíîñòè, ðàññìàòðè-

âàÿ ïðåäûäóùóþ çàäà÷ó ñ ó÷åòîì âÿçêîñòè ñðåäû.Òîò ôàêò, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûé ãèïåðñëó÷àéíûé ïðîöåññ

( )X t ÿâëÿåòñÿ ãàóññîâñêèì, ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî ( ; )tN t g – ãàóñ-ñîâñêèé áåëûé øóì, à óðàâíåíèå (12.10) – ëèíåéíîå. Òî, ÷òîãèïåðñëó÷àéíûé ïðîöåññ ( )X t ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêèì, ñëåäóåò èç

òîãî, ÷òî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ( ; )tX t g – ìàðêîâñêèé [Êîðîëþê èäð., 1985].

12.4. Гауссовский марковский гиперслучайный процесс

177

Îáùèì ðåøåíèåì îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãîóðàâíåíèþ (12.10), ÿâëÿåòñÿ ( ; ) exp( )tx t g C t= − α , ãäå C – êîí-ñòàíòà. ×àñòíûì ðåøåíèåì ýòîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ

11 1 10

( ; ) exp( ) ( , )exp( )dt

t tx t g t n t g t t= γ − α α∫ ,

à åãî îáùèì ðåøåíèåì –

10 1 1 10

( ; ) (0, )exp( ) exp( ) ( , )exp( )d ,t

t tx t g x g t t n t g t t= − α + γ − α α∫ (12.11)

ãäå 0(0, )x g – íà÷àëüíûå óñëîâèÿ â íóëåâîé ìîìåíò âðåìåíè â

óñëîâèÿõ 0g .Èç âûðàæåíèÿ (12.11) âèäíî, ÷òî çíà÷åíèå ïðîöåññà â òåêó-

ùèé ìîìåíò âðåìåíè t â óñëîâèÿõ tg òàê æå, êàê è äëÿ âèíå-ðîâñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà, îïðåäåëÿåòñÿ ìíîæåñòâîìñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèé

1tg â ïðåäøåñòâóþùèå ìîìåíòû âðåìå-

íè 1t t< è â ìîìåíò âðåìåíè t . Íî â îòëè÷èå îò âèíåðîâñêîãîïðîöåññà ýòî çíà÷åíèå çàâèñèò íå îò ÷àñòîòû âñòðå÷àåìîñòè âðåàëèçàöèè òåõ èëè èíûõ óñëîâèé

1tg , à îò ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

ñëåäîâàíèÿ ýòèõ óñëîâèé.Ãèïåðñëó÷àéíûé ãàóññîâñêèé ìàðêîâñêèé ïðîöåññ îáëàäàåò

ñâîéñòâàìè, ïîõîæèìè (íî íå èäåíòè÷íûìè) ñâîéñòâàì ñëó÷àé-íîãî ãàóññîâñêîãî ìàðêîâñêîãî ïðîöåññà:

• ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ãèïåðñëó÷àéíîãî ãàóññîâñêîãîìàðêîâñêîãî ïðîöåññà íå çàâèñèò îò èçìåíåíèÿ âî âðåìåíè óñ-ëîâèé è îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèÿìè 0g â ïåðâîíà÷àëüíûé ìîìåíò

âðåìåíè: 0( ) (0; )exp( ),xm t x g t= −α• äèñïåðñèÿ ýòîãî ïðîöåññà

1

22

0 1 10

( ) ( )exp(2 ( ))d ,2

t

x tt N g t t tγ

σ = α −∫

• êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ ïðîöåññà

21 2( , ) ( )exp( | |),x xR t t t= σ −α τ

ãäå 2 1 1 2; min( , ) 0t t t t tτ = − = ≥ ,


178

Ðèñ. 12.1. Ãðàíèöû äèñïåðñèè (à) è ãðàíèöû êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè (á)ãàóññîâñêîãî ìàðêîâñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà

• êîýôôèöèåíò ñíîñà ( ; ; ) ( ; )t ta x t g x t g= −α , à êîýôôèöèåíò

äèôôóçèè 20( ; ; ) ( ) / 2t tb x t g N g= γ .

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè >0α ãðàíèöû äèñïåðñèè,2 ( )ix tσ , 2 ( )sx tσ è ãðàíèöû êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè 1 2( , )ixR t t ,

1 2( , )sxR t t ãàóññîâñêîãî ìàðêîâñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññàîïèñûâàþòñÿ âûðàæåíèÿìè

( )2

2 0( ) 1 exp( 2 )4i

ix

Nt t

γσ = − − α

α,

( )2

2 0( ) 1 exp( 2 )4s

sx

Nt t

γσ = − − α

α,

21 2( , ) ( )exp( | |),ix ixR t t t= σ −α τ

21 2( , ) ( )exp( | |).sx sxR t t t= σ −α τ

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì t äèàïàçîí èçìåíåíèÿäèñïåðñèè ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ïîñòåïåííî âîçðàñòàåò, íîïðè t → ∞ ñòðåìèòñÿ ê íåçàâèñÿùåìó îò âðåìåíè èíòåðâàëó

2 20 0/(4 ), /(4 )i sN N γ α γ α (ðèñ. 12.1, à). Äèñïåðñèÿ ïðîöåññà â

ìîìåíò âðåìåíè t îïðåäåëÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêèìè óñëîâèÿìè âýòîò ìîìåíò âðåìåíè è ïðåäøåñòâóþùèå åìó ìîìåíòû âðåìåíè.

Ïðè óâåëè÷åíèè âåëè÷èíû τ (èíòåðâàëà ìåæäó îòñ÷åòàìè)äèàïàçîí èçìåíåíèÿ êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè óìåíüøàåòñÿ èïðè τ → ∞ ñòðåìèòñÿ ê íóëþ (ðèñ. 12.1, á). Ïðè ýòîì êîýôôèöè-åíò êîððåëÿöèè ïðîöåññà

12.4. Гауссовский марковский гиперслучайный процесс

179

1 21 2 2

( , )( , ) exp( )

( )x

xx

R t tr t t

t= = −α τ

σ

íå çàâèñèò îò èçìåíåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèé âî âðåìåíè.Ïðÿìîå óðàâíåíèå Êîëìîãîðîâà äëÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé

ãàóññîâñêîãî ìàðêîâñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà èìååò âèä

2 21 0 1

1 2

( ; ; ) ( ) ( ; ; )[ ( ; ; )]

2t t t

t

f x t g N g f x t gxf x t g

t x x

∂ γ ∂∂= α +

∂ ∂ ∂.

Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ îïèñûâàåòñÿ ãàóññîâñêîé ôóíêöèåé2

1 2

( ( ))1( ; ; ) exp

2 ( )2 ( )x

txx

x m tf x t g

tt

−= −

σπσ .

180

Глава 13

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХВЕЛИЧИН И ПРОЦЕССОВ

Ïðîàíàëèçèðîâàíû èçâåñòíûå ñïîñîáû ïðåäñòàâëåíèÿ ãèïåðñëó÷àé-íûõ âåëè÷èí è ïðîöåññîâ íà ïðåäìåò öåëåñîîáðàçíîñòè èõ ïðèìå-íåíèÿ ïðè îïèñàíèè ðàçëè÷íûõ òèïîâ ïðåîáðàçîâàíèé. Ïîëó÷åíûñîîòíîøåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå õàðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåòðû ïðåîá-ðàçîâàííûõ è èñõîäíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ïðîöåññîâ. Äàíûðåêîìåíäàöèè ïî èñïîëüçîâàíèþ ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ îïèñàíèÿ ãè-ïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïðè ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ,à òàêæå ãèïåðñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ïðè áåçûíåðöèîííûõ è èíåðöè-îííûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ.

13.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СКАЛЯРНОЙГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è ïðîöåññû ïîäâåðãàþòñÿ ðàçëè÷íûìïðåîáðàçîâàíèÿì. Åñòåñòâåííî, âîçíèêàåò âîïðîñ, êàê îïèñàòüâåëè÷èíó èëè ïðîöåññ ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ, åñëè èçâåñòíû ïà-ðàìåòðû è õàðàêòåðèñòèêè äî ïðåîáðàçîâàíèÿ. Íà÷íåì ðàñ-ñìîòðåíèå âîïðîñà ñ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîéâåëè÷èíû.

13.1.1. Описание преобразования с помощьюусловных функций распределения и их моментов

Ïîñêîëüêó ñêàëÿðíàÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðåäñòàâëÿåòñîáîé ìíîæåñòâî ñêàëÿðíûõ óñëîâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, äëÿåå îïèñàíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü èçâåñòíûå ñïîñîáû îïèñàíèÿïîñëåäíèõ. Èçìåíåíèÿ, ïðîèñõîäÿùèå ïðè ïðåîáðàçîâàíèè, ìî-ãóò áûòü îõàðàêòåðèçîâàíû ñ ïîìîùüþ õàðàêòåðèñòèê è ïàðà-ìåòðîâ óñëîâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ê òàêèì õàðàêòåðèñòèêàì èïàðàìåòðàì îòíîñÿòñÿ, â ÷àñòíîñòè, óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëå-

13.1. Преобразование скалярной гиперслучайной величины

181

íèÿ, óñëîâíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ, à òàêæå öåíòðàëüíûå èíåöåíòðàëüíûå ìîìåíòû ýòèõ ðàñïðåäåëåíèé.

Åñëè óñëîâíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà /X g ñ ïëîòíîñòüþ ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ / ( )x gf x ïîäâåðãàåòñÿ îäíîçíà÷íîìó ïðåîáðàçîâàíèþ

( )y x= ϕ , èìåþùåìó îäíîçíà÷íóþ îáðàòíóþ íåïðåðûâíî äèôôå-

ðåíöèðóåìóþ ôóíêöèþ ( )x y= η , òî [Ëåâèí, 1974, Òèõîíîâ, Õà-ðèñîâ, 1991, Ãîðáàíü, 2003] óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿïðåîáðàçîâàííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû /Y g çàïèñûâàåòñÿ òàê:

/ /

d ( )( ) ( ( ))

dy g x g

yf y f y

yη

= η . (13.1)

Íà÷àëüíûé /y gm ν è öåíòðàëüíûé /y gνµ ìîìåíòû ν -ãî ïîðÿä-

êà ïðåîáðàçîâàííîé âåëè÷èíû /Y g îïèñûâàþòñÿ ôîðìóëàìè

/ M[ / ]=M[ ( )/ ]y gm Y g X gν νν = ϕ ,

/ / ( ) /[( ) ] [( ( )/ ) ],y g y g x gY m X g mν νν ϕµ = Μ − = Μ ϕ −

ãäå /y gm è ( ) /x gmϕ – ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ñîîòâåòñòâåííî

óñëîâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí /Y g è ( ) /X gϕ :

/ /[( / ] ( )dy g y gm Y g y f y y∞

−∞

= Μ = ∫ ,

( ) / /[( ( ) / ] ( ) ( )dx g x gm X g x f x x∞

ϕ−∞

= Μ ϕ = ϕ∫ .

Çàâèñèìîñòü ïðåîáðàçîâàííîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû îòèñõîäíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïðîÿâëÿåòñÿ òàêæå íà óðîâ-íå äðóãèõ õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ.

13.1.2. Описание преобразования с помощьюграниц функций распределения и их моментов

Òåîðåìà 1. Ïóñòü ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà /X X g G= ∈ ñ

ãðàíèöàìè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ( )SxF x , ( )IxF x è ïëîòíîñòÿìè

ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö ( )Sxf x , ( )Ixf x ïîäâåðãàåòñÿ îäíîçíà÷íîìó

ïðåîáðàçîâàíèþ ( )y x= ϕ , èìåþùåìó îäíîçíà÷íóþ îáðàòíóþ íå-

Глава 13. Преобразование гиперслучайных величин и процессов

182

ïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ ôóíêöèþ ( )x y= η . Òîãäà ãðàíèöû

ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ( )SyF y , ( )IyF y è ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëå-

íèÿ ãðàíèö ( )Syf y , ( )Iyf y ïðåîáðàçîâàííîé ãèïåðñëó÷àéíîé âå-

ëè÷èíû Y îïèñûâàþòñÿ âûðàæåíèÿìè

( ) ( ( )), ( ) ( ( )),Sy Sx Iy IxF y F y F y F y= η = η (13.2)

d ( ) d ( )( ) (( )) , ( ) ( ( )) ,

d dSy Sx Iy Ix

y yf y f y f y f y

y yη η

= = η (13.3)

åñëè ( )yη – âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ, è

( ) 1 ( ( )), ( ) 1 ( ( )),Sy Ix Iy SxF y F y F y F y= − η = − η (13.4)

d ( ) d ( )( ) ( ( )) , ( ) ( ( )) ,

d dSy Ix Iy Sx

y yf y f y f y f y

y yη η

= − η = − η (13.5)

åñëè ( )yη – óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ.Äîêàçàòåëüñòâî ôîðìóë (13.2)–(13.5) îñíîâàíî íà òîì ôàêòå,

÷òî ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû X è Y ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñîîò-âåòñòâåííî ñåìåéñòâî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí /X g è /Y g g G∀ ∈ ,

à óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ / ( )y gf y ïðåîáðàçîâàííîé

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû /Y g ñâÿçàíà ñ óñëîâíîé ïëîòíîñòüþ ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ / ( )x gf x èñõîäíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû /X g ñîîò-

íîøåíèåì (13.1).Ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ( )SyF y , ( )IyF y ìîãóò áûòü

ïðåäñòàâëåíû â âèäå

/ 1 1( ) sup ( )d ,y

Sy y gg G

F y f y y∈ −∞

= ∫ / 1 1( ) inf ( )dy

Iy y gg GF y f y y

∈−∞

= ∫ .

Èç ýòèõ âûðàæåíèé ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (13.1) è î÷åâèä-íîãî ðàâåíñòâà

sup ( ) , åñëè 0,

sup( ( ) ) inf ( ) , åñëè 0,

, åñëè 0,

g G

g Gg G

a g b a

a g b a g b a

b a

∈

∈∈

ψ + >ψ + = ψ + <

=

ãäå ,a b – êîíñòàíòû, ( )gψ – ôóíêöèÿ g G∈ , ïîëó÷àþòñÿ ôîð-


183

ìóëû (13.2), (13.4). Äèôôåðåíöèðîâàíèå âûðàæåíèé (13.2), (13.4)ïðèâîäèò ê ôîðìóëàì (13.3), (13.5).

Ñëåäñòâèå. Èç ôîðìóë (13.2), (13.4) ñëåäóåò, ÷òî ïðè âûïîë-íåíèè óñëîâèé òåîðåìû ãðàíèöû ( )SxF x , ( )IxF x ôóíêöèè ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ èñõîäíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X òðàíñôîð-ìèðóþòñÿ â ãðàíèöû ( )SyF y , ( )IyF y ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðå-

îáðàçîâàííîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y , ïðè÷åì, åñëè ôóíê-öèÿ ( )yη – ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ, òî ãðàíèöû ( )SxF x , ( )IxF xïðåîáðàçóþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî â âåðõíþþ è íèæíþþ ãðàíèöû

( )SyF y , ( )IyF y , à åñëè ôóíêöèÿ ( )yη – ìîíîòîííî óáûâàþùàÿ,

òî – ñîîòâåòñòâåííî â íèæíþþ è âåðõíþþ ãðàíèöû ( )IyF y ,

( )SyF y .

Íå âñåãäà ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîéâåëè÷èíû X ïðåîáðàçóþòñÿ â ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y . Ïîýòîìó íà÷àëüíûå Sym ν , Iym ν è

öåíòðàëüíûå Syνµ , Iyνµ ìîìåíòû ν -ãî ïîðÿäêà ãðàíèö ãèïåðñëó-

÷àéíîé âåëè÷èíû Y

[ ] ( )d , [ ] ( )d ,Sy Sy Sy Iy Iy Iym Y y f y y m Y y f y y∞ ∞

ν ν ν νν ν

−∞ −∞

= Μ = = Μ =∫ ∫∞

ν νν

−∞

µ = Μ − = −∫[( ) ] ( ) ( )d ,Sy Sy Sy Sy SyY m y m f y y

∞ν ν

ν−∞

µ = Μ − = −∫[( ) ] ( ) ( )dIy Iy Iy Iy IyY m y m f y y

ìîãóò îòëè÷àòüñÿ îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ìîìåíòîâ ( )S xm ϕ ν , ( )I xm ϕ ν ,

( )S xϕ νµ , ( )I xϕ νµ ãðàíèö ôóíêöèè ( )Xνϕ , ðàññ÷èòûâàåìûõ ïî ôîð-

ìóëàì

( ) [ ( )] ( ) ( )d ,S x Sx Sxm X x f x x∞

ν νϕ ν

−∞

= Μ ϕ = ϕ∫

( ) [ ( )] ( ) ( )d ,I x Ix Ixm X x f x x∞

ν νϕ ν

−∞

= Μ ϕ = ϕ∫

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d ,S x Sx S x S x Sxx m x m f x x∞

ν ν

ϕ ν ϕ ϕ−∞

µ = Μ ϕ − = ϕ − ∫


184

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )d ,I x Ix I x I x Ixx m x m f x x∞

ν ν

ϕ ν ϕ ϕ−∞

µ = Μ ϕ − = ϕ − ∫

ãäå [ ]SyΜ ⋅ , [ ]IyΜ ⋅ – îïåðàòîðû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ãðàíèö

ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y ; [ ]Sy Sym Y= Μ ,

[ ]Iy Iym Y= Μ – ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé

âåëè÷èíû Y ; [ ]SxΜ ⋅ , [ ]IxΜ ⋅ – îïåðàòîðû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæè-

äàíèÿ ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ;

( ) [ ( )]S x Sxm Xϕ = Μ ϕ , ( ) [ ( )]I x Ixm Xϕ = Μ ϕ – ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ

ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ( )Xϕ .Òåîðåìà 2. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ òåîðåìû 1. Òîãäà íà-

÷àëüíûå Sym ν , Iym ν è öåíòðàëüíûå Syνµ , Iyνµ ìîìåíòû ν -ãî ïî-

ðÿäêà ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y ñâÿçàíû ñ ñîîòâåòñò-âóþùèìè ìîìåíòàìè ( )S xm ϕ ν , ( )I xm ϕ ν , ( )S xϕ νµ , ( )I xϕ νµ ν -ãî ïîðÿäêà

ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ( )Xϕ ñëåäóþùèìè âûðàæå-íèÿìè:

( ) ( ), ,Sy S x Iy I xm m m mν ϕ ν ν ϕ ν= =

( ) ( ), ,Sy S x Iy I xν ϕ ν ν ϕ νµ = µ µ = µ (13.6)

åñëè ( )yη – âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ, è

( ) ( ), ,Sy I x Iy S xm m m mν ϕ ν ν ϕ ν= =

( ) ( ), ,Sy I x Iy S xν ϕ ν ν ϕ νµ = µ µ = µ (13.7)

åñëè ( )yη – óáûâàþùàÿ ôóíêöèÿ.

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îñíîâàíî íà ñëåäñòâèè òåîðåìû 1.Ñëåäñòâèå. Èç âûðàæåíèé (13.6), (13.7) ñëåäóåò, ÷òî â ñëó÷àå

ïðåîáðàçîâàíèÿ y x= − ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö Sym ,

Iym ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y ñâÿçàíû ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè

îæèäàíèÿìè ãðàíèö Sxm , Ixm ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñî-

îòíîøåíèÿìè Sy Ixm m= − , Iy Sxm m= − , à äèñïåðñèè ãðàíèö SyD ,

IyD ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y – ñ äèñïåðñèÿìè ãðàíèö SxD ,

IxD ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñîîòíîøåíèÿìè Sy IxD D= ,

Iy SxD D= .


185

Èíà÷å ãîâîðÿ, ïðè èçìåíåíèè çíàêà ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè-÷èíû ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö ïðå-îáðàçîâàííîé âåëè÷èíû ðàâíû ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèÿì ñî-îòâåòñòâåííî íèæíåé è âåðõíåé ãðàíèö èñõîäíîé âåëè÷èíû,âçÿòûì ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì. Äèñïåðñèè æå âåðõíåé èíèæíåé ãðàíèö ïðåîáðàçîâàííîé âåëè÷èíû ðàâíû äèñïåðñèÿìñîîòâåòñòâåííî íèæíåé è âåðõíåé ãðàíèö èñõîäíîé âåëè÷èíû.

13.1.3. Описание преобразованияс помощью границ моментов

Òåîðåìà 3. Ïóñòü ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà /X X g G= ∈ ñ

óñëîâíûìè ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ / ( )x gf x ïîäâåðãàåòñÿ

ïðåîáðàçîâàíèþ ( )y x= ϕ . Òîãäà âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû

íà÷àëüíîãî ìîìåíòà ν -ãî ïîðÿäêà sym ν , iym ν ãèïåðñëó÷àéíîé

âåëè÷èíû Y ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî âåðõíåé è íèæíåé ãðà-íèöàì ( )s xm ϕ ν , ( )i xm ϕ ν ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ôóíêöèè

( )Xνϕ : ( )sy s xm mν ϕ ν= , ( )iy i xm mν ϕ ν= , à âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû

öåíòðàëüíîãî ìîìåíòà ν -ãî ïîðÿäêà syνµ , iyνµ ãèïåðñëó÷àéíîé

âåëè÷èíû Y – ñîîòâåòñòâóþùèì ãðàíèöàì ( )s xm ϕ ν , ( )i xm ϕ ν öåíò-

ðàëüíîãî ìîìåíòà ν -ãî ïîðÿäêà ôóíêöèè ( )Xϕ : ( )sy s xν ϕ νµ = µ ,

( )iy i xν ϕ νµ = µ , ãäå

M [ ] supM[( / ) ]sy sg G

m Y Y gν νν

∈= = ,

M [ ] inf M[( / ) ]iy i g Gm Y Y gν ν

ν ∈= = ,

( ) /[ ( )] sup ( ) ( )d ,s x s x gg G

m x x f x x∞

ν νϕ ν

∈ −∞

= Μ ϕ = ϕ∫∞

ν νϕ ν ∈

−∞

= Μ ϕ = ϕ∫( ) /[ ( )] inf ( ) ( )d ,i x i x gg Gm x x f x x

ν νν

∈µ = Μ − = Μ −/ /[( ) ] sup [( / ) ],sy s y g y g

g GY m Y g m

/ /[( ) ] inf [( / ) ],iy i y g y gg GY m Y g mν ν

ν ∈µ = Μ − = Μ −


186

( ) ( ) / ( ) /[( ( ) ) ] sup [( ( ) / ) ],s x s x g x gg G

X m X g mν νϕ ν ϕ ϕ

∈µ = Μ ϕ − = Μ ϕ −

( ) ( ) / ( ) /[( ( ) ) ] inf [( ( ) / ) ],i x i x g x gg GX m X g mν ν

ϕ ν ϕ ϕ∈µ = Μ ϕ − = Μ ϕ − (13.8)

[ ]sΜ ⋅ , [ ]iΜ ⋅ – îïåðàòîðû ãðàíèö ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.

Òåîðåìà äîêàçûâàåòñÿ íà îñíîâå îïðåäåëåíèé (13.8) ãðàíèöìîìåíòîâ.

Ñëåäñòâèå 1. Èç òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ãðàíèöû ìàòåìàòè÷å-ñêîãî îæèäàíèÿ sym , iym ïðåîáðàçîâàííîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè-

÷èíû Y ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ãðàíèöàì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæè-äàíèÿ ( )s xm ϕ , ( )i xm ϕ ôóíêöèè ( )Xϕ : ( ) [ ( )]sy s x sm m Xϕ= = Μ ϕ , iym =

( ) [ ( )]i x im Xϕ= = Μ ϕ , à ãðàíèöû äèñïåðñèè syD , iyD – ñîîòâåòñò-

âåííî ãðàíèöàì äèñïåðñèè ( )s xD ϕ , ( )i xD ϕ ôóíêöèè ( )Xϕ :

2( ) ( ) /[( ( ) ) ]sy s x s x gD D X mϕ ϕ= = Μ ϕ − ,

2( ) ( ) /[( ( ) ) ]iy i x i x gD D X mϕ ϕ= = Μ ϕ − .

Ñëåäñòâèå 2. Â ñëó÷àå ïðåîáðàçîâàíèÿ y x= − ãðàíèöû ìàòåìà-

òè÷åñêîãî îæèäàíèÿ sym , sym ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y ñâÿçàíû

ñ ãðàíèöàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ sxm , ixm ãèïåðñëó÷àéíîé

âåëè÷èíû X ñîîòíîøåíèÿìè sy ixm m= − , iy sxm m= − , à ãðàíèöû

äèñïåðñèè ,sy iyD D âåëè÷èíû Y ñâÿçàíû ñ ãðàíèöàìè äèñïåðñèè

,sx ixD D âåëè÷èíû X ñîîòíîøåíèÿìè sy sxD D= , iy ixD D= .

Òàêèì îáðàçîì, ïðè èçìåíåíèè çíàêà ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè-÷èíû âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿïðåîáðàçîâàííîé âåëè÷èíû ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî íèæíåé èâåðõíåé ãðàíèöàì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ èñõîäíîé âåëè÷è-íû, âçÿòûì ñ ïðîòèâîïîëîæíûì çíàêîì, à âåðõíÿÿ è íèæíÿÿãðàíèöû äèñïåðñèè ïðåîáðàçîâàííîé âåëè÷èíû – ñîîòâåòñòâåí-íî âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèöàì äèñïåðñèè èñõîäíîé âåëè÷èíû.

Ïðèìåð 1. Ðàññìîòðèì ïðèìåð, èëëþñòðèðóþùèé òåîðåìû.Ïóñòü ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà X ïîäâåðãàåòñÿ ëèíåéíîìóïðåîáðàçîâàíèþ y ax b= + . Òîãäà ñîãëàñíî âûðàæåíèÿì (13.2)–

(13.5) âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû ( )SyF y , ( )IyF y ôóíêöèè ðàñïðå-


187

äåëåíèÿ è ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö ( )Syf y , ( )Iyf y ïðåîá-

ðàçîâàííîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y ñâÿçàíû ñ âåðõíåé èíèæíåé ãðàíèöàìè ( )SxF x , ( )IxF x ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è

ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö ( )Sxf x , ( )Ixf x èñõîäíîé ãè-

ïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:

( ) (( ) / ),Sy SxF y F y b a= − ( ) (( ) / ),Iy IxF y F y b a= −

1( ) ,Sy Sx

y bf y f

a a− =

1( )Iy Ix

y bf y f

a a− =

,

åñëè 0a > , è

( ) 1 (( ) / ),Sy IxF y F y b a= − − ( ) 1 (( ) / ),Iy SxF y F y b a= − −

1( ) ,Sy Ix

y bf y f

a a− = −

1( )Iy Sx

y bf y f

a a− = −

,

åñëè 0a < .Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïðåîáðàçîâàíèè y ax b= + âåðõíÿÿ è

íèæíÿÿ ãðàíèöû ( )SxF x , ( )IxF x ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ èñõîä-

íîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ïðè ïîëîæèòåëüíîì çíà÷åíèèêîýôôèöèåíòà a òðàíñôîðìèðóþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî â âåðõíþþè íèæíþþ ãðàíèöû ( )SyF y , ( )IyF y ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðå-

îáðàçîâàííîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y , à ïðè îòðèöàòåëü-íîì çíà÷åíèè ýòîãî êîýôôèöèåíòà – ñîîòâåòñòâåííî â íèæíþþè âåðõíþþ ãðàíèöû ( )IyF y , ( )SyF y ýòîé âåëè÷èíû.

Ïðè ýòîì ñîãëàñíî ôîðìóëàì (13.6), (13.7) ìàòåìàòè÷åñêèå îæè-äàíèÿ ãðàíèö Sym , Iym è äèñïåðñèè ãðàíèö SyD , IyD ïðåîáðàçîâàí-

íîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y ñâÿçàíû ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæè-äàíèÿìè ãðàíèö Sxm , Ixm è äèñïåðñèåé ãðàíèö SxD , IxD èñõîäíîé

ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñîîòíîøåíèÿìè ,Sy Sxm am b= +

,Iy Ixm am b= + 2 ,Sy SxD a D= 2 ,Iy IxD a D= åñëè 0a > , è

,Sy Ixm am b= + ,Iy Sxm am b= + 2 ,Sy IxD a D= 2 ,Iy SxD a D= åñëè 0a < .

Ñ ó÷åòîì ñëåäñòâèÿ 1 èç òåîðåìû 3 ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿ sym , iym ïðåîáðàçîâàííîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y

ñâÿçàíû ñ ãðàíèöàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ sxm , ixm èñõîä-

íîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñîîòíîøåíèÿìè ,sy sxm am b= +


188

,iy ixm am b= + åñëè 0a > , è ,sy ixm am b= + ,iy sxm am b= + åñëè

0a < . Ãðàíèöû æå äèñïåðñèè syD , iyD ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

Y âíå çàâèñèìîñòè îò çíàêà êîýôôèöèåíòà a ñâÿçàíû ñ ãðàíèöàìäèñïåðñèè sxD , ixD ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñîîòíîøåíèÿìè

2sy sxD a D= , 2

iy ixD a D= .

13.2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕКТОРНОЙГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

13.2.1. Описание преобразования с помощьюусловных функций распределения и их моментов

Âåêòîðíàÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîæåñòâîâåêòîðíûõ óñëîâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïîýòîìó ïðåîáðàçîâàíèåâåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàêíåçàâèñèìîå ïðåîáðàçîâàíèå âåêòîðíûõ ñëó÷àéíûõ åå ñîñòàâ-ëÿþùèõ.

Åñëè óñëîâíàÿ H -ìåðíàÿ âåêòîðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà/X g

r ñ ïëîòíîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ / ( )x gf xr

r ïîäâåðãàåòñÿ îäíî-

çíà÷íîìó ïðåîáðàçîâàíèþ ( )y x= ϕr rr

, èìåþùåìó îäíîçíà÷íóþ

îáðàòíóþ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìóþ ôóíêöèþ ( )x y= ηr rr

, òî[Ëåâèí, 1974, Òèõîíîâ, Õàðèñîâ, 1991, Ãîðáàíü, 2003] ïëîòíîñòüðàñïðåäåëåíèÿ ïðåîáðàçîâàííîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû /Y g

r ìî-

ãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû ñëåäóþùèì îáðàçîì:

/ / 1( ) ( ( ), , ( )) ( )y g x g H Hf y f y y J y= η ηr rr r r r

K ,

ãäå ( )HJ yr

– ÿêîáèàí ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåìåííûõ:

1 1

1

1

( ) ( )...

( )

( ) ( )...

H

H

H H

H

y yy y

J y

y yy y

∂η ∂η∂ ∂

=∂η ∂η∂ ∂

r r

rLLLLLLL

r r.

Çàìåòèì, ÷òî çàâèñèìîñòü ìåæäó ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ

/ ( )y gF yrr

, / ( )x gF xrr

ïðåîáðàçîâàííîé è èñõîäíîé ñëó÷àéíûìè âå-

13.2. Преобразование векторной гиперслучайной величины

189

ëè÷èíàìè /Y gr

è /X gr

íîñèò ñóùåñòâåííî áîëåå ñëîæíûé õà-ðàêòåð, ÷åì ìåæäó ïëîòíîñòÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ, ïîñêîëüêó èí-òåãðàë, ñòîÿùèé â ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ

1

/ / /( )

( ) ( )d ( )dHy y

y g y g x gV y

F y f y y f x x−∞ −∞

= =∫ ∫ ∫ ∫r r r

r

r r r r rK K

(ãäå 0( )V yr

– îáëàñòü èíòåãðèðîâàíèÿ â ñèñòåìå êîîðäèíàò

1, , Hx xr rK , ñîîòâåòñòâóþùàÿ íåðàâåíñòâàì 1 01 0, , H Hy y y y< <K â

ñèñòåìå êîîðäèíàò 1, , Hy yK ), â îáùåì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ

ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû /X gr

.Ñëîæíûé õàðàêòåð çàâèñèìîñòè èìååò ìåñòî äàæå ïðè ëè-

íåéíîì ïðåîáðàçîâàíèè ñ ïîâîðîòîì îñåé êîîðäèíàò. Ëèøü âïðîñòåéøåì ñëó÷àå ïîêîîðäèíàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ, îïèñû-âàåìîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèìè ôóíêöèÿìè ( )h h hx y= η ,

1,h H= , ïîëó÷àåòñÿ ïðîñòàÿ çàâèñèìîñòü / / 1 1( ) ( ( ),...y g x gF y F y= ηr rr

, ( ))H HyηK .Â äâóìåðíîì ñëó÷àå, êîãäà ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà

1 2( , )X X X=r

ïîäâåðãàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèþ, îïèñûâàåìîìó ôóíê-

öèÿìè 1 1 1 2( , )y x x= ϕ , 2 2y x= , èìåþùèìè íåïðåðûâíî äèôôåðåí-

öèðóåìûå îäíîçíà÷íûå îáðàòíûå ôóíêöèè 1 1 1 2( , )x y y= η , 2 2x y= ,

óñëîâíûå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíòû 1Y ãèïåðñëó÷àéíîãî

âåêòîðà Yr èìåþò âèä

1

1 1 2/ 1 / 1 1 2 2 2

1

( , )( ) ( ( , ), ) dy g x g

y yf y f y y y y

y

∞

−∞

∂η= η

∂∫ r .

Ýòà èçâåñòíàÿ ôîðìóëà ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü óñëîâíûå ïëîò-íîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y , ïîëó÷àåìîéâ ðåçóëüòàòå àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé íàä ãèïåðñëó÷àéíûìèâåëè÷èíàìè 1X , 2X . Â ÷àñòíîñòè, ïðè ñëîæåíèè âåëè÷èí óñëîâ-íàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ

/ / 2 2 2( ) ( , )dy g x gf y f y x x x∞

−∞

= −∫ r ,

ïðè âû÷èòàíèè –

/ / 2 2 2( ) ( , )dy g x gf y f y x x x∞

−∞

= +∫ r ,

ïðè óìíîæåíèè –


190

2/ / 2

2 20

d( ) ,y g x g

xyf y f x

x x

∞ =

∫ r

è ïðè äåëåíèè –

( )/ / 2 2 2 20

( ) , dy g x gf y f yx x x x∞

= ∫ r .

Ïðè ïðåîáðàçîâàíèè ( )y x= ϕr rr

íà÷àëüíûé 1/ , , Hy gm ν ν

rK è öåí-

òðàëüíûé 1/ , , Hy gν νµ rK ìîìåíòû 1, , Hν νK -ãî ïîðÿäêà ïðåîáðàçî-

âàííîé âåëè÷èíû /Y gr

èìåþò ñëåäóþùèé âèä:

1 11/ , , 1 1M[ / ]=M[ ( ) ( )/ ],H H

Hy g H Hm Y Y g X X gν ν ν νν ν = ϕ ϕr

K

r rK K

11 1/ , , 1 / /[( ) ( ) ]H

H Hy g y g H y gY m Y mν νν νµ = Μ − − =r

K K

111 ( ) / ( ) /M[( ( )/ ) ( ( )/ ) ],H

Hx g H x gX g m X g mν νϕ ϕ= ϕ − ϕ −r r

r rK (13.9)

ãäå /hy gm è ( ) /h x gmϕr – ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ h -é êîìïîíåí-

òû ñîîòâåòñòâåííî óñëîâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí /Y gr

è

( ) /X gϕrr

:

/ /[ / ] ( )dh hy g h y gm Y g y f y y

∞

−∞

= Μ = ∫ ,

( ) / /[ ( ) / ] ( ) ( )dh hx g h h x gm X g x f x x

∞

ϕ−∞

= Μ ϕ = ϕ∫r

r r r r.

13.2.2. Описание преобразования с помощьюграниц функций распределения и их моментов

Êàê ñëåäóåò èç èçëîæåííîãî âûøå, â ñêàëÿðíîì ñëó÷àå õàðàê-òåðèñòèêè è ïàðàìåòðû ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåîáðàçîâàííîéâåëè÷èíû äîñòàòî÷íî ïðîñòî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç òàêèå æå õàðàê-òåðèñòèêè è ïàðàìåòðû ãðàíèö èñõîäíîé âåëè÷èíû. Ýòî çíà÷è-òåëüíî îáëåã÷àåò àíàëèç. Ê ñîæàëåíèþ, ïîëó÷èòü â âåêòîðíîìñëó÷àå ïîäîáíûå ïðîñòûå çàâèñèìîñòè íå óäàåòñÿ.

Âûçâàíî ýòî òåì, ÷òî ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðåîá-ðàçîâàííîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Y

r ñëîæíûì îáðàçîì çàâè-

ñÿò îò ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ èñõîäíîé âåëè÷èíû Xr

.

13.2. Преобразование векторной гиперслучайной величины

191

Ðàñ÷åò ãðàíèö ( )SyF yrr

, ( )IyF yrr

ïî äàííûì âåëè÷èíû Xr

òðåáó-

åò çíàíèÿ óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ / ( )x gF xrr

g G∀ ∈ è

ïðåäïîëàãàåò âûïîëíåíèå ðÿäà øàãîâ: • ðàñ÷åò ïî óñëîâíûì ôóíêöèÿì ðàñïðåäåëåíèÿ / ( )x gF xr

r èñ-

õîäíîé âåëè÷èíû Xr

óñëîâíûõ ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ

//

1

( )( )

Hx g

x gH

F xf x

x x

∂=∂ ∂

r

r

rr

K,

• íàõîæäåíèå óñëîâíûõ ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ / ( )y gf yrr

ïðåîáðàçîâàííîé âåëè÷èíû Yr ñ ó÷åòîì ÿêîáèàíà ïðåîáðàçîâà-

íèÿ ïåðåìåííûõ,• îïðåäåëåíèå óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ

1

/ /( ) ( )dHy y

y g y gF y f y y−∞ −∞

= ∫ ∫r rr r r

K ,

• ðàñ÷åò âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ( )SyF yrr

, ( )IyF yrr

.

Ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö ïðåîáðàçîâàííîé âåëè÷èíûìîæíî íàéòè ïóòåì äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ãðàíèö ôóíêöèè ðàñ-ïðåäåëåíèÿ:

1 1

( ) ( )( ) , ( )

H HSy Iy

Sy IyH H

F y F yf y f y

x x x x

∂ ∂= =∂ ∂ ∂ ∂

r r

r r

r rr r

K K.

Íà÷àëüíûå 1, , HSym ν ν

rK ,

1, , HIym ν νr

K è öåíòðàëüíûå 1, , HSyν νµ rK ,

1, , HIyν νµ rK ìîìåíòû ãðàíèö ïðåîáðàçîâàííîé âåêòîðíîé ãèïåðñëó-

÷àéíîé âåëè÷èíû âû÷èñëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ ïëîòíîñòåé ðàñïðå-äåëåíèÿ ãðàíèö ( ), ( )Sy Iyf y f yr r

r r:

1 11 1, , 1 , , 1M [ ], M [ ],H H

H HSy S H Iy I Hm Y Y m Y Yν ν ν νν ν ν ν= =r r

K KK K

11 1, , 1[( ) ( ) ],H

H HSy S Sy H SyY m Y mν νν νµ = Μ − −r

K K

11 1, , 1[( ) ( ) ].H

H HIy I Iy H IyY m Y mν νν νµ = Μ − −r

K K


192

13.2.3. Описание преобразованияс помощью границ моментов

Ðàñ÷åò ãðàíèö ìîìåíòîâ íå ñòîëü ñëîæåí. Ìîìåíòû ãðàíèöïðåîáðàçîâàííîé âåëè÷èíû îïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé.

Òåîðåìà 4. Ïóñòü H -ìåðíàÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Xr

ïîäâåðãàåòñÿ ïðåîáðàçîâàíèþ ( )y x= ϕr rr

. Òîãäà ãðàíèöû íà÷àëü-

íûõ 1, , Hsym ν ν

rK ,

1, , Hiym ν νr

K è öåíòðàëüíûõ 1, , Hsyν νµ rK ,

1, , Hiyν νµ rK ìîìåí-

òîâ 1, , Hν νK -ãî ïîðÿäêà ïðåîáðàçîâàííîé âåëè÷èíû Yr îïèñû-

âàþòñÿ ôîðìóëàìè

1 11 1, , 1 1 ( ) , ,M [ ]=M [ ( ) ( )]= ,H H

H Hsy s H s H s xm Y Y X X mν ν ν νν ν ϕ ν ν= ϕ ϕr rr

K K

r rK K

1 11 1, , 1 1 ( ) , ,M [ ]=M [ ( ) ( )]= ,H H

H Hiy i H i H i xm Y Y X X mν ν ν νν ν ϕ ν ν= ϕ ϕr rr

K K

r rK K

11 1, , 1 / /[( ) ( ) ]H

H Hsy s y g H y gY m Y mν νν νµ = Μ − − =r

K K

11 11 ( ) / ( ) / ( ) , ,[( ( ) ) ( ( ) ) ] ,H

H Hs x g H x g s xX m X mν νϕ ϕ ϕ ν ν= Μ ϕ − ϕ − = µr r rr

K

r rK

11 1, , 1 / /[( ) ( ) ]H

H Hiy i y g H y gY m Y mν νν νµ = Μ − − =r

K K

11 11 ( ) / ( ) / ( ) , ,[( ( ) ) ( ( ) ) ] .H

H Hi x g H x g i xX m X mν νϕ ϕ ϕ ν ν= Μ ϕ − ϕ − = µr r rr

K

r rK (13.10)

Ñîîòíîøåíèÿ (13.10) ñëåäóþò èç ôîðìóë (13.9).Ñëåäñòâèå. Èç ñîîòíîøåíèé (13.10) âèäíî, ÷òî ãðàíèöû ìà-

òåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ hsym ,

hiym h -é êîìïîíåíòû ãèïåðñëó-

÷àéíîé âåëè÷èíû Yr îïèñûâàþòñÿ âûðàæåíèÿìè

[ ] ( )M M ( ) ,h hsy s h s h s xm Y X m ϕ

= = ϕ = r

r

[ ] ( )M M ( ) ,h hiy i h i h i xm Y X m ϕ

= = ϕ = r

r (13.11)

à ãðàíèöû äèñïåðñèè hsyD ,

hiyD h -é êîìïîíåíòû – âûðàæåíèÿìè

2 2/ ( ) / ( )[( ) ] [( ( ) ) ] ,

h h h hsy s h y g s h x g s xD Y m X m Dϕ ϕ= Μ − = Μ ϕ − = r

r

2 2/ ( ) / ( )[( ) ] [( ( ) ) ] .

h h h hiy i h y g i h x g i xD Y m X m Dϕ ϕ= Μ − = Μ ϕ − = r

r(13.12)

13.3. Преобразование гиперслучайного процесса

193

13.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГИПЕРСЛУЧАЙНОГОПРОЦЕССА

13.3.1. Безынерционное преобразованиегиперслучайного процесса

Ïðè áåçûíåðöèîííîì ïðåîáðàçîâàíèè ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà( ) ( ) / X t X t g G= ∈ â ãèïåðñëó÷àéíûé ïðîöåññ ( ) ( ) / Y t Y t g G= ∈

êàæäîå ñå÷åíèå âîçäåéñòâèÿ ( )X t ïîðîæäàåò ñîîòâåòñòâóþùåå

ñå÷åíèå îòêëèêà ( )Y t .

Äëÿ ôèêñèðîâàííûõ óñëîâèé g G∈ M -ìåðíîå óñëîâíîå ðàñ-

ïðåäåëåíèå / ( ; )x gF x trrr

( 1 1( , , ), ( , , )M Mx x x t t t= =rr

K K ) ñëó÷àéíîãî

ïðîöåññà ( ) /X t g ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèþ ðàñïðåäå-

ëåíèÿ / ( )x gF xrr

óñëîâíîé âåêòîðíîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû /X gr

,

êàæäàÿ m -ÿ êîìïîíåíòà êîòîðîé ðàâíà ñå÷åíèþ ñëó÷àéíîãîïðîöåññà ( ) /X t g â ìîìåíò âðåìåíè mt ( 1,m M= ). Ïîýòîìó âñå

õàðàêòåðèñòèêè è ïàðàìåòðû ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ( )X tñîâïàäàþò ñ õàðàêòåðèñòèêàìè è ïàðàìåòðàìè ñîîòâåòñòâóþùåéâåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X

r.

Àíàëèòè÷åñêàÿ çàïèñü õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ ãèïåðñëó-÷àéíîãî ïðîöåññà îòëè÷àåòñÿ îò çàïèñè õàðàêòåðèñòèê è ïàðà-ìåòðîâ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ëèøü ôîðìàëüíî íàëè÷èåìïàðàìåòðà, óêàçûâàþùåãî íà çàâèñèìîñòü ýòèõ õàðàêòåðèñòèê èïàðàìåòðîâ îò âðåìåíè. Óêàçàííîå ñîâïàäåíèå õàðàêòåðèñòèê èïàðàìåòðîâ ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü äëÿ îïèñàíèÿ áåçûíåðöèîí-íûõ ïðåîáðàçîâàíèé ãèïåðñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ñîîòíîøåíèÿ,îïèñûâàþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè-÷èí.

13.3.2. Преобразование гиперслучайного процессалинейным инерционным оператором

Ðàññìîòðèì ëèíåéíûé ôèçè÷åñêè ðåàëèçóåìûé ñòàöèîíàðíûéôèëüòð, õàðàêòåðèçóåìûé èìïóëüñíîé ïåðåõîäíîé õàðàêòåðèñòè-êîé ( )h τ . Îòêëèê ( )y t òàêîãî ôèëüòðà íà âîçäåéñòâèå ïðîöåññà

( )x t îïèñûâàåòñÿ ñâåðòêîé


194

0

( ) ( ) ( )dy t x t h∞

= − τ τ τ∫ .

Ïðè ïîñòóïëåíèè íà âõîä ôèëüòðà ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà( ) ( ) / X t X t g G= ∈ , ïðåäñòàâëÿåìîãî ìíîæåñòâîì óñëîâíûõ

ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ / ( ; )x gF x trrr

, íà âûõîäå ãèïåðñëó÷àéíûé

ïðîöåññ ( ) ( ) / Y t Y t g G= ∈ îïèñûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì óñëîâíûõ

ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ / ( ; )y gF y trrr

. Ðàñ÷åò ôóíêöèè / ( ; )y gF y trrr

–

íåïðîñòàÿ çàäà÷à.Îäíàêî îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè îòêëèêà ñâÿçàíû ñ õàðàê-

òåðèñòèêàìè âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ äîñòàòî÷íî ïðîñòî. Â ÷àñòíî-ñòè, ïåðâûå äâà ìîìåíòà ñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ( ) /Y t g äëÿ ôèê-ñèðîâàííûõ óñëîâèé g îïèñûâàþòñÿ [Ëåâèí, 1974, Ãîðáàíü,2003] ñëåäóþùèìè ôîðìóëàìè:

/ /0

( ) ( ) ( )dt

y g x gm t m t h= − τ τ τ∫ ,

1 2

/ 1 2 / 1 1 2 2 1 2 1 20 0

( , ) ( , ) ( ) ( )d d ,t t

y g x gK t t K t t h h= − τ − τ τ τ τ τ∫ ∫

1 2

/ 1 2 / 1 1 2 2 1 2 1 20 0

( , ) ( , ) ( ) ( )d d ,t t

y g x gR t t R t t h h= − τ − τ τ τ τ τ∫ ∫ (13.13)

2

/ 1 2 / 1 20

( , ) ( , ) ( )dt

xy g x gR t t R t t h= − τ τ τ∫ ,

ãäå / ( )y gm t , / ( )x gm t – óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ îò-

êëèêà è âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ; / 1 2( , )y gK t t , / 1 2( , )x gK t t – óñëîâ-

íûå êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè îòêëèêà è âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ;

/ 1 2( , )y gR t t , / 1 2( , )x gR t t – óñëîâíûå êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè îò-

êëèêà è âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ; / 1 2( , )xy gR t t – óñëîâíàÿ âçàèìíàÿ

êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ îòêëèêà è âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ.Çíàíèÿ óñëîâíûõ ìîìåíòîâ íåäîñòàòî÷íî äëÿ ðàñ÷åòà ìîìåí-

òîâ ãðàíèö ïðåîáðàçîâàííîãî ïðîöåññà, íî äîñòàòî÷íî äëÿ ðàñ-÷åòà ãðàíèö åãî ìîìåíòîâ:

/( ) sup ( )sy y gg G

m t m t∈

= , /( ) inf ( )iy y gg Gm t m t

∈= ,


195

1 2 / 1 2( , ) sup ( , ),sy y gg G

R t t R t t∈

= 1 2 / 1 2( , ) inf ( , )iy y gg GR t t R t t

∈=

è äð.Â ñëó÷àå ñòàöèîíàðíîãî â øèðîêîì ñìûñëå ïðè âñåõ óñëîâè-

ÿõ ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ( )X t , êîãäà ïðè ëþáîì ôèêñèðî-

âàííîì g G∈ óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå /x gm íå çàâè-

ñèò îò àðãóìåíòà t , à óñëîâíàÿ êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ

/ ( )x gK τ çàâèñèò ëèøü îò ðàçíîñòè τ çíà÷åíèé àðãóìåíòà t è

óñëîâèé g , ñîîòíîøåíèÿ (13.13) èìåþò áîëåå ïðîñòîé âèä:

/ /0

( ) ( )dt

y g x gm t m h= τ τ∫ ,

1 2

/ 1 2 / 2 2 1 1 1 2 1 20 0

( , ) ( ( ) ) ( ) ( )d d ,t t

y g x gK t t K t t h h= − τ − − τ τ τ τ τ∫ ∫

1 2

/ 1 2 / 2 2 1 1 1 2 1 20 0

( , ) ( ( )) ( ) ( )d d ,t t

y g x gR t t R t t h h= − τ − − τ τ τ τ τ∫ ∫

2

/ 1 2 / 2 10

( , ) ( ) ( )dt

xy g x gR t t R t t h= − τ − τ τ∫ .

Èç ýòèõ âûðàæåíèé âèäíî, ÷òî îòêëèê íà âîçäåéñòâèå ñòà-öèîíàðíîãî ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ïðåä-ñòàâëÿåò ñîáîé â îáùåì ñëó÷àå íåñòàöèîíàðíûé ãèïåðñëó÷àéíûéïðîöåññ. Îäíàêî ïðè ðàññìîòðåíèè îòêëèêà â ìîìåíòû âðåìåíè,îòñòîÿùèå îò íà÷àëà âîçäåéñòâèÿ âõîäíîãî ïðîöåññà íà âåëè÷è-íó, ïðåâîñõîäÿùóþ äëèòåëüíîñòü èìïóëüñíîé ïåðåõîäíîé õàðàê-òåðèñòèêè T , îòêëèê îêàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì, ïðîöåññû

( )X t è ( )Y t – ñòàöèîíàðíî ñâÿçàííûìè ïðè âñåõ óñëîâèÿõ èôîðìóëû ïðèîáðåòàþò ñëåäóþùèé âèä:

/ /0

( )dT

y g x gm m h= τ τ∫ ,

/ / 2 1 1 2 1 20 0

( ) ( ( )) ( ) ( )d d ,T T

y g x gK K h hτ = τ − τ − τ τ τ τ τ∫ ∫

/ / 2 1 1 2 1 20 0

( ) ( ( )) ( ) ( )d d ,T T

y g x gR R h hτ = τ − τ − τ τ τ τ τ∫ ∫


196

/ / 1 1 10

( ) ( ) ( )dT

xy g x gR R t h t tτ = τ −∫ . (13.14)

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè ýòîì óñëîâíûå ñïåêòðàëüíûåïëîòíîñòè ìîùíîñòè îòêëèêà / ( )y gS f è âõîäíîãî âîçäåéñòâèÿ

/ ( )x gS f ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèåì

2/ /( ) | ( ) | ( )y g x gS f K f S f= , (13.15)

ãäå ( )K f – ïåðåäàòî÷íàÿ õàðàêòåðèñòèêà ôèëüòðà.Â ñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.Òåîðåìà 4. Ïóñòü ñòàöèîíàðíûé ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó-

÷àéíûé ïðîöåññ ( )X t ñ ãðàíèöàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ

sxm , ixm , ãðàíèöàìè ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ìîùíîñòè ( )sxS f ,

( )ixS f , êîððåëÿöèîííûìè ôóíêöèÿìè ýòèõ ãðàíèö ( )sxSK τ ,

( )ixSK τ è èõ êîâàðèàöèîííûìè ôóíêöèÿìè ( )

sxSR τ , ( )ixSR τ ïîä-

âåðãàåòñÿ ôèëüòðàöèè ôèëüòðîì, îïèñûâàåìûì êîìïëåêñíîé

ïåðåäàòî÷íîé õàðàêòåðèñòèêîé ( )K f⋅

, ñîîòâåòñòâóþùåé èì-

ïóëüñíîé ïåðåõîäíîé õàðàêòåðèñòèêå ( )h t äëèòåëüíîñòüþ T .

Òîãäà îòêëèê ôèëüòðà â ìîìåíò âðåìåíè t T> ïðåäñòàâëÿåò ñî-áîé ñòàöèîíàðíûé ãèïåðñëó÷àéíûé ïðîöåññ. Ãðàíèöû ìàòåìàòè-÷åñêîãî îæèäàíèÿ ýòîãî ïðîöåññà (0)sy sxm K m= , (0)iy ixm K m= ,

åñëè (0) 0K > , è (0)sy ixm K m= , (0)iy sxm K m= , åñëè (0) 0K < ,

ãðàíèöû ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ìîùíîñòè

2( ) ( ) ( )sy sxS f K f S f= ,

2( ) ( ) ( )iy ixS f K f S f= ,

êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòèìîùíîñòè

2 1 1 2 1 20 0

( ) ( ( )) ( ) ( )d d ,sy sx

T T

S SK K h hτ = τ − τ − τ τ τ τ τ∫ ∫

2 1 1 2 1 20 0

( ) ( ( )) ( ) ( )d d ,iy ix

T T

S SK K h hτ = τ − τ − τ τ τ τ τ∫ ∫

à êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòèìîùíîñòè


197

2 1 1 2 1 20 0

( ) ( ( )) ( ) ( )d d ,sy sx

T T

S SR R h hτ = τ − τ − τ τ τ τ τ∫ ∫

2 1 1 2 1 20 0

( ) ( ( )) ( ) ( )d d .iy ix

T T

S SR R h hτ = τ − τ − τ τ τ τ τ∫ ∫

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îñíîâàíî íà ñîîòíîøåíèÿõ (13.14)è (13.15).

Ñëåäñòâèå. Èç äâóõ ïîñëåäíèõ ñîîòíîøåíèé ñëåäóåò, ÷òî äèñ-ïåðñèè ãðàíèö ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ìîùíîñòè îòêëèêà

2 1 1 2 1 20 0

( ) ( ) ( )d d ,sy sx

T T

S SD R h h= τ − τ τ τ τ τ∫ ∫

2 1 1 2 1 20 0

( ) ( ) ( )d d .iy ix

T T

S SD R h h= τ − τ τ τ τ τ∫ ∫

Ïðèìåð 2. Ðàññìîòðèì ïðèìåð, èëëþñòðèðóþùèé òåîðåìó. Ïðèïîñòóïëåíèè íà âõîä ôèëüòðà ãèïåðñëó÷àéíîãî áåëîãî ïðè âñåõ óñ-ëîâèÿõ øóìà, îïèñûâàåìîãî óñëîâíûìè ñïåêòðàëüíûìè ìîùíîñòÿ-ìè / / 2n g gS N= , ãäå gN – êîíñòàíòà, îïðåäåëÿåìàÿ óñëîâèÿìè g ,

ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ îòêëèêà sy iy sx ixm m m m= = = =

= 0 , ãðàíèöû ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ìîùíîñòè ïðîöåññà íà âûõî-

äå 2

( ) ( ) / 2sy sS f K f N= , 2

( ) ( ) / 2iy iS f K f N= , à êîððåëÿöèîííûå

è êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè ãðàíèö ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè ìîù-íîñòè

2 2 20

( ) ( ) ( ) ( )d ,2sy sy

Ts

S S

NK R h hτ = τ = τ − τ τ τ∫

2 2 20

( ) ( ) ( ) ( )d ,2iy iy

Ti

S S

NK R h hτ = τ = τ − τ τ τ∫

ãäå sN è iN – ñîîòâåòñòâåííî âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû

êîíñòàíòû gN .

* * *

Àíàëèç èçâåñòíûõ ñïîñîáîâ ïðåäñòàâëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõâåëè÷èí è ïðîöåññîâ (ñ ïîìîùüþ óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäå-ëåíèÿ (óñëîâíûõ ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ) è èõ ìîìåíòîâ,


198

ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è èõ ìîìåíòîâ è ãðàíèö ìîìåí-òîâ ðàñïðåäåëåíèÿ) ïîêàçûâàåò:

• âñå ñïîñîáû ïðåäñòàâëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìîãóòáûòü ýôôåêòèâíî èñïîëüçîâàíû äëÿ îïèñàíèÿ ïðåîáðàçîâàíèéñêàëÿðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí;

• äëÿ îïèñàíèÿ ïðåîáðàçîâàíèé âåêòîðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõâåëè÷èí óäîáíûìè îêàçûâàþòñÿ ñïîñîáû ïðåäñòàâëåíèÿ âåëè÷èíñ ïîìîùüþ óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ è óñëîâíûõ ìî-ìåíòîâ, à òàêæå ñ ïîìîùüþ ãðàíèö ìîìåíòîâ;

• âîçìîæíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëå-íèÿ è ìîìåíòîâ ãðàíèö äëÿ îïèñàíèÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðíûõãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îãðàíè÷åíû, ÷òî âûçâàíî çíà÷èòåëü-íûìè âû÷èñëèòåëüíûìè òðóäíîñòÿìè ðàñ÷åòà õàðàêòåðèñòèê èïàðàìåòðîâ ãðàíèö ïðåîáðàçîâàííîé âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîéâåëè÷èíû ïî äàííûì èñõîäíîé âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè-÷èíû;

• äëÿ îïèñàíèÿ áåçûíåðöèîííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ãèïåðñëó-÷àéíûõ ïðîöåññîâ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñîîòíîøåíèÿ, îïèñû-âàþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí;

• ïðè èíåðöèîííûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ îñíîâíûìè ñïîñîáàìèïðåäñòàâëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ ÿâëÿþòñÿ óñëîâíûåìîìåíòû ðàñïðåäåëåíèÿ (â ïåðâóþ î÷åðåäü óñëîâíûå ìàòåìàòè-÷åñêèå îæèäàíèÿ è óñëîâíûå êîâàðèàöèîííûå ôóíêöèè), ãðàíè-öû ýòèõ ìîìåíòîâ, à òàêæå ãðàíèöû ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòèìîùíîñòè.

* * *

Ðàçðàáîòàííûé ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëå-íèé ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí äëÿ îïèñàíèÿ ðàçëè÷íûõ ðåàëüíûõôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ñ ó÷åòîì ïðèñóùåé èì ñòàòèñòè÷åñêîé íå-óñòîé÷èâîñòè.

Äëÿ êîððåêòíîãî ïðèìåíåíèÿ ýòîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî àïïàðà-òà íà ïðàêòèêå íåîáõîäèìà ôîðìàëèçàöèÿ ïåðåõîäà îò ôèçè÷å-ñêèõ ìîäåëåé ê ñîîòâåòñòâóþùèì ãèïåðñëó÷àéíûì ìàòåìàòè÷å-ñêèì ìîäåëÿì. Ê ðàññìîòðåíèþ ýòîãî âîïðîñà ìû è ïðèñòóïèì.

199

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ

Глава 14

ФИЗИЧЕСКИЕ ГИПОТЕЗЫ И МОДЕЛИТЕОРИИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ

Ñôîðìóëèðîâàíû îñíîâíûå ôèçè÷åñêèå ãèïîòåçû òåîðèè ãèïåðñëó-÷àéíûõ ÿâëåíèé, îáåñïå÷èâàþùèå êîððåêòíîå åå èñïîëüçîâàíèå íàïðàêòèêå: ãèïîòåçà îãðàíè÷åííîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòèðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé è ãèïîòåçà àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ãèïåðñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè. Ðàññìîòðåíà êîí-öåïöèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî óñòðîéñòâà ìèðà. Ñîïîñòàâëåíû ãèïåðñëó-÷àéíûå è ñëó÷àéíûå ìîäåëè. Î÷åð÷åíû îáëàñòè èõ ïðàêòè÷åñêîãîïðèìåíåíèÿ.

14.1. ГИПОТЕЗЫ ГИПЕРСЛУЧАЙНОСТИ

Ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé ôåíîìåíà ñòàòèñòè-÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé, îïèñàííûå âãëàâå 4, è ìàòåðèàëû ìíîæåñòâà äðóãèõ èññëåäîâàíèé ñâèäåòåëü-ñòâóþò îá îòñóòñòâèè àáñîëþòíîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.Íàáëþäàåòñÿ ëèøü îãðàíè÷åííàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü.

Ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé-÷èâîñòè – ýôôåêò, ïðèñóùèé âñåì ðåàëüíûì ôèçè÷åñêèì ÿâëå-íèÿì.

Òàêèì îáðàçîì, âûäâèãàåòñÿ ôèçè÷åñêàÿ ãèïîòåçà îãðàíè÷åí-íîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé.

Ýòà ãèïîòåçà ìîæåò áûòü ôîðìàëèçîâàíà ðàçëè÷íûìè ñïîñî-áàìè, îäèí èç êîòîðûõ – ñ ïîìîùüþ ãèïåðñëó÷àéíûõ ìàòåìàòè-÷åñêèõ ìîäåëåé.

Êîððåêòíîå èñïîëüçîâàíèå ãèïåðñëó÷àéíûõ ìîäåëåé íà ïðàê-òèêå òðåáóåò ïðèíÿòèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé àêñèîìû àäåêâàòíîñòè –ôèçè÷åñêîé ãèïîòåçû, ïðåäïîëàãàþùåé âîçìîæíîñòü àäåêâàòíîãîîïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ãèïåðñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè.

ЧАСТЬ I I I

Глава 14. Физические гипотезы и модели теории гиперслучайных явлений

200

Ãèïîòåçû ãèïåðñëó÷àéíîñòè – ãèïîòåçà îãðàíè÷åííîé ñòàòè-ñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé è ãè-ïåðñëó÷àéíàÿ àêñèîìà àäåêâàòíîñòè – ÿâëÿþòñÿ áàçîâûìè ãèïî-òåçàìè òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, îáåñïå÷èâàþùèìè êîð-ðåêòíîå åå ïðèìåíåíèå íà ïðàêòèêå.

Ïðèíèìàÿ ãèïåðñëó÷àéíóþ àêñèîìó àäåêâàòíîñòè, ìû íåòîëüêî ïðèçíàåì ãèïîòåçó îãðàíè÷åííîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé-÷èâîñòè ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé, íî òàêæå äîïóñêàåìâîçìîæíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ â ðåàëüíîì ìèðå ñòàòèñòè÷åñêè íå-ïðîãíîçèðóåìûõ (íåïðåäñêàçóåìûõ) ÿâëåíèé.

Ýòî äîïóùåíèå íå òàêîå àáñóðäíîå, êàê ìîæåò ïîêàçàòüñÿ íàïåðâûé âçãëÿä. Ñóùåñòâîâàíèå ñòàòèñòè÷åñêè íåïðîãíîçèðóåìûõÿâëåíèé ìîæíî îáúÿñíèòü òåì, ÷òî ðåàëüíûé ìèð – íå çàìêíó-òàÿ, à îòêðûòàÿ ñèñòåìà.

Â îòêðûòîé ñèñòåìå èíôîðìàöèÿ î ëþáîì ôèçè÷åñêîì ÿâëå-íèè, ïîëó÷åííàÿ äàæå íà áåñêîíå÷íîì èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ,íå ìîæåò ãàðàíòèðîâàòü àáñîëþòíî òî÷íûé ïðîãíîç áóäóùåãî,òàê êàê â òàêîé ñèñòåìå íå èñêëþ÷åíà âîçìîæíîñòü ïîÿâëåíèÿíîâûõ íå äåéñòâîâàâøèõ ðàíåå ôàêòîðîâ, êîòîðûå ìîãóò â êîðíåèçìåíèòü ñèòóàöèþ.

Îñíîâíûìè ìåòîäàìè ïðîãíîçèðîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ ñòàòèñòè-÷åñêèå ìåòîäû, ýêñïåðòíûå îöåíêè è ìîäåëèðîâàíèå.

Âî âñåõ ñëó÷àÿõ ïðîãíîçèðîâàíèå áàçèðóåòñÿ íà äîïóùåíèè,÷òî óñëîâèÿ ïîëó÷åíèÿ äàííûõ, èñïîëüçóåìûõ äëÿ ïðîãíîçà,ïðåíåáðåæèìî ìàëî îòëè÷àþòñÿ îò óñëîâèé, äëÿ êîòîðûõ îñóùå-ñòâëÿåòñÿ ïðîãíîç 1. Àâàðèè, êàòàñòðîôû è êàòàêëèçìû, êàê ïðà-âèëî, ñâÿçàíû ñ ñóùåñòâåííûì íåïðîãíîçèðóåìûì èçìåíåíèåìóñëîâèé.

Äåëàÿ òîò èëè èíîé ñòàòèñòè÷åñêèé ïðîãíîç, ìû ïðèíèìàåì(õîòÿ è íå âñåãäà îñîçíàííî) ãèïîòåçó ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷è-âîñòè ðàññìàòðèâàåìûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé.

Ïîäàâëÿþùåå ÷èñëî òåîðèé åñòåñòâîçíàíèÿ ðàçðàáàòûâàëèñüäëÿ çàêðûòûõ ñèñòåì â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî óñëîâèÿ (íå òîëüêîñòàòèñòè÷åñêèå) ôèêñèðîâàíû. Ê ÷èñëó òàêèõ òåîðèé îòíîñèòñÿè êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé, â êîòîðîé ãèïîòåçà ñòàòè-ñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè èãðàåò ïåðâîñòåïåííóþ ðîëü.

Òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé îðèåíòèðîâàíà íà îïèñàíèåîòêðûòûõ ñèñòåì. Îíà èñõîäèò èç òîãî, ÷òî ðåàëüíûå óñëîâèÿìîãóò èçìåíÿòüñÿ. Ýòèì òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé êîðåí-

1 Èëè, åñëè è èçìåíÿþòñÿ, òî ïðåäñêàçóåìî.

14.1. Гипотезы гиперслучайности

201

íûì îáðàçîì îòëè÷àåòñÿ îò ìíîãèõ äðóãèõ èçâåñòíûõ òåîðèé, âòîì ÷èñëå è îò êëàññè÷åñêîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.

Íåîáõîäèìîñòü ó÷åòà íàðóøåíèÿ ñòàáèëüíîñòè ðåàëüíûõ óñ-ëîâèé îñîçíàâàëàñü äàâíî. Ýòî íàøëî îòðàæåíèå â ðÿäå òåîðèé,ñôîðìèðîâàâøèõñÿ çà ïîñëåäíèå ïîëâåêà, òàêèõ êàê òåîðèÿ íå-÷åòêèõ ìíîæåñòâ [Çàäå, 1976, Zadeh L.A., Kacprzyk, 1992, Äþáóà,Ïðàä, 1990, Êîôìàí, 1982, Îðëîâñêèé, 1981, Áî÷àðíèêîâ, 2001 èäð.], òåîðèÿ èíòåðâàëüíîãî àíàëèçà [Êàíòîðîâè÷, 1962, Øîêèí,1981, Øàðûé, 2010, Àëåôåëüä, Õåðöáåðãåð, 1987, Moore, 1966,Sunaga, 1958, Neumaier, 1990], òåîðèè íåîïðåäåëåííîñòè, ñóáúåê-òèâíûõ è èíòåðâàëüíûõ âåðîÿòíîñòåé, èíòåðâàëüíîé ñòàòèñòèêè[Èâàíåíêî, Ëàáêîâñêèé, 1990, Kyburg, 1998 – 2000, Walley, 1991,Êóíöåâè÷, 2006, Îðëîâ, 2002, 2006, Âîùèíèí, Ñîòèðîâ, 1989,Kreinovich, 2005, Êóçíåöîâ, 1991 è äð.], òåîðèÿ äèíàìè÷åñêîãîõàîñà [Crownover, 1995, Sharkovsky è äð., 1995, Ïðèãîæèí, Ñòåí-ãåðñ, 2009, Ãðèí÷åíêî è äð., 2005], áóäñòðåï-àíàëèçà [Ýôðîí,1988] è ïð.

Ñðåäè ìíîæåñòâà ýòèõ òåîðèé õîòåëîñü áû âûäåëèòü òåîðèþèíòåðâàëüíîãî àíàëèçà è ñâÿçàííûå ñ íåé òåîðèè.

Èíòåðâàëüíàÿ ìàòåìàòèêà íà÷àëà èíòåíñèâíî ðàçâèâàòüñÿ ññåðåäèíû ïðîøëîãî ñòîëåòèÿ. Îáúåêòîì åå èçó÷åíèÿ ÿâëÿþòñÿèíòåðâàëû.

Â íàñòîÿùåå âðåìÿ èíòåðâàëüíûå ïîäõîäû ïðèìåíÿþòñÿ íåòîëüêî äëÿ ïîñòðîåíèÿ äåòåðìèíèðîâàííûõ, íî è âåðîÿòíîñòíûõìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé [Îðëîâ, 2004, Øàðûé, 2010, Kyburg,1998 – 2000, Walley, 1991, Kreinovich è äð., 2005]. Ýòè ïîäõîäûáëèçêè ïî äóõó, õîòÿ è íå èäåíòè÷íû, ê ïîäõîäàì, ðàçðàáàòû-âàåìûì â òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé.

Òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ïðåäïîëàãàåò, ÷òî ñòàòèñòè-÷åñêèå óñëîâèÿ ìîãóò èçìåíÿòüñÿ â ðàìêàõ çàðàíåå îãîâîðåííîãîìíîæåñòâà óñëîâèé, êîòîðîå ìîæåò áûòü êîíå÷íûì, ñ÷åòíûìèëè íåñ÷åòíûì.

Îäíèì èç ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ íåñ÷åòíîãî ìíîæåñòâà ÿâëÿåòñÿìíîæåñòâî, ïðåäñòàâëÿþùåå èíòåðâàë. Ïîýòîìó òåîðèþ ãèïåð-ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ìîæíî ðàññìàòðèâàòü íå òîëüêî êàê îáîáùå-íèå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, íî òàêæå êàê îáîáùåíèå ðÿäà äðóãèõòåîðèé, èñïîëüçóþùèõ èíòåðâàëüíî-âåðîÿòíîñòíûå ìîäåëè.

Ïðåäñòàâëåíèå î ñâÿçè ìîäåëåé ðàçëè÷íîãî òèïà äðóã ñ äðó-ãîì äàåò ðèñ. 14.1.

Ýòîò ðèñóíîê îòðàæàåò òîò ôàêò, ÷òî âûðîæäåííûì ñëó÷àåìãèïåðñëó÷àéíûõ ìîäåëåé ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûå ìîäåëè, âûðîæ-


202

Ðèñ. 14.1. Ñâÿçü ìîäåëåé äðóã ñ äðó-ãîì: ãèïåðñëó÷àéíûõ (ÃÑÌ), ñëó-÷àéíûõ (ÑÌ), äåòåðìèíèðîâàííûõ (ÄÌ) è èíòåðâàëüíûõ (ÈÌ)

äåííûì ñëó÷àåì ñëó÷àéíûõ ìîäåëåé – äåòåðìèíèðîâàííûå ìî-äåëè, à èíòåðâàëüíûå ìîäåëè ìîãóò ïðèñóòñòâîâàòü â ëþáîì èçïåðå÷èñëåííûõ êëàññîâ ìîäåëåé.

14.2. КОНЦЕПЦИЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНОГОУСТРОЙСТВА МИРА

Ñîâðåìåííàÿ òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé áàçèðóåòñÿ íà êîíöåïöèèóñòðîéñòâà ìèðà íà ñëó÷àéíûõ ïðèíöèïàõ. Îá ýòîì øëà ðå÷ü âïàðàãðàôå 2.1.

Òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé èñõîäèò èç äðóãîé êîíöåï-öèè – êîíöåïöèè ãèïåðñëó÷àéíîãî óñòðîéñòâà ìèðà, ïðåäïîëà-ãàþùåé, ÷òî ãèïåðñëó÷àéíûå ãèïîòåçû, ðàññìîòðåííûå â ïàðà-ãðàôå 14.1, ñïðàâåäëèâû äëÿ øèðîêîãî êðóãà ôèçè÷åñêèõ ÿâëå-íèé.

Èñêëþ÷åíèå ìîãóò ñîñòàâëÿòü íåêîòîðûå ôóíäàìåíòàëüíûåôèçè÷åñêèå êîíñòàíòû, òàêèå êàê ñêîðîñòü ñâåòà â âàêóóìå, ãðà-âèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ è äð.1 , 2

Ïðèíÿòèå êîíöåïöèè ãèïåðñëó÷àéíîãî óñòðîéñòâà ìèðà îç-íà÷àåò ïðèçíàíèå òîãî, ÷òî â îñíîâå ìèðîçäàíèÿ ëåæàò ñòàòè-ñòè÷åñêè íåïðîãíîçèðóåìûå ÿâëåíèÿ, ïðîÿâëÿþùèåñÿ âî âñåõðåàëüíûõ ñîáûòèÿõ, âåëè÷èíàõ, ïðîöåññàõ è ïîëÿõ.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âîçìîæíîñòè ïîçíàíèÿ ìèðà ñòàòèñòè÷å-ñêèì ïóòåì îãðàíè÷åíû. Èíà÷å ãîâîðÿ, â ìèðå ñóùåñòâóþò îá-ëàñòè çíàíèé, ïðîíèêíóòü â êîòîðûå ïóòåì îáðàáîòêè íàêîï-ëåííûõ äàííûõ íåëüçÿ.

1 Â ñîâðåìåííîé ôèçèêå çíà÷åíèÿ íåêîòîðûõ (â òîì ÷èñëå ïåðå÷èñëåííûõ)

ôóíäàìåíòàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ïîñòîÿííûõ ñ÷èòàþòñÿ ïî îïðåäåëåíèþ àáñîëþòíîòî÷íûìè, à çíà÷åíèÿ äðóãèõ ôèçè÷åñêèõ ïîñòîÿííûõ ïðèíèìàþòñÿ ñ îïðåäå-ëåííîé ïîãðåøíîñòüþ (íåîïðåäåëåííîñòüþ) [Ôóíäàìåíòàëüíûå ôèçè÷åñêèåêîíñòàíòû].

2 Åñëè ðàññìàòðèâàòü äåòåðìèíèðîâàííûå âåëè÷èíû êàê âûðîæäåííûéñëó÷àé ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, âîïðîñ îá èñêëþ÷èòåëüíîì ñòàòóñå êàêèõ-ëèáî êîíñòàíò âîîáùå íå ñòîèò.

14.3. Случайные и гиперслучайные модели

203

Íå áóäåì äàëåå óãëóáëÿòüñÿ â ôèëîñîôèþ, îòìåòèì ëèøü, ÷òîèäåÿ, ïðåäïîëàãàþùàÿ íàëè÷èå â ìèðå íåïðåäñêàçóåìûõ ÿâëå-íèé, âûäâèãàëàñü è îáñóæäàëàñü ìíîãèìè ôèëîñîôàìè. Íî, íà-ñêîëüêî èçâåñòíî àâòîðó, îíà íå áûëà ðàçðàáîòàíà äî óðîâíÿôîðìàëèçîâàííûõ ôèçè÷åñêèõ è ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, ïî-çâîëÿþùèõ äåëàòü ñòðîãèå ëîãè÷åñêèå âûâîäû. Íîâèçíà è ñïå-öèôèêà òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ñîñòîèò ãëàâíûì îáðà-çîì â òîì, ÷òî îíà ôîðìàëèçóåò ýòó èäåþ íà ôèçè÷åñêîì óðîâíåè ïðåäëàãàåò ìàòåìàòè÷åñêèé àïïàðàò äëÿ ðåøåíèÿ ïðàêòè÷åñêèõçàäà÷.

14.3. СЛУЧАЙНЫЕ И ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕМОДЕЛИ

Åñòåñòâåííî âîçíèêàåò âîïðîñ: ÷åì ãèïåðñëó÷àéíûå ìîäåëèëó÷øå ñëó÷àéíûõ? ×òî îíè ìîãóò äàòü ïðè ðåøåíèè ïðàêòè÷å-ñêèõ çàäà÷?

Äëÿ îòâåòà íà ýòè âîïðîñû ðàññìîòðèì êîíêðåòíûé ïðèìåðïðåöèçèîííîãî èçìåðåíèÿ äèàìåòðà öèëèíäðè÷åñêîé äåòàëè êðóã-ëîãî ñå÷åíèÿ. Ýòà ñîâåðøåííî òðèâèàëüíàÿ íà ïåðâûé âçãëÿä çà-äà÷à òàèò â ñåáå íåìàëî ïîäâîäíûõ êàìíåé.

Çàìåòèì, ÷òî èçãîòîâèòü äåòàëü àáñîëþòíî êðóãëîãî ñå÷åíèÿíåâîçìîæíî. Åå ñå÷åíèå âñåãäà îòëè÷àåòñÿ îò èäåàëüíîãî êðóãà:âî-ïåðâûõ, èç-çà ýëëèïñîèäàëüíîãî èëè èíîãî îòêëîíåíèÿ îòèäåàëüíîé êðóãîâîé ôîðìû, à âî-âòîðûõ, èç-çà íåðîâíîñòè ïî-âåðõíîñòè. Ñëåäóåò òàêæå èìåòü â âèäó, ÷òî ðàçíûå ñå÷åíèÿ ïîîñè öèëèíäðà îòëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé. Ôèçè÷åñêàÿ ìîäåëü èç-ìåðÿåìîé âåëè÷èíû äîëæíà ó÷èòûâàòü è îòêëîíåíèå îò èäåàëü-íîé êðóãîâîé ôîðìû ñå÷åíèÿ äåòàëè, è øåðîõîâàòîñòü ïîâåðõíî-ñòè, è ðàçëè÷èå ñå÷åíèé âäîëü åå îñè.

Äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêîé ìîäåëè ìîæíîèñïîëüçîâàòü êàê îáùåïðèíÿòóþ ñëó÷àéíóþ, òàê è ãèïåðñëó÷àé-íóþ ìîäåëè.

Ñëó÷àéíàÿ ìîäåëü áàçèðóåòñÿ íà ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âåðîÿò-íîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ðàçìåðà äåòàëè íå èìåþò ðàçáðîñà. Êî-íå÷íî, â ïðåäåëàõ íåáîëüøèõ ëîêàëüíûõ îáëàñòåé îíè ìîãóò áûòüïðèáëèçèòåëüíî îäèíàêîâûìè, îäíàêî â öåëîì ñóùåñòâåííî çàâè-ñÿò îò ðàññìàòðèâàåìîãî ñå÷åíèÿ è íàïðàâëåíèÿ, âäîëü êîòîðîãîïðîâîäèòñÿ èçìåðåíèå. Ïîýòîìó ãèïåðñëó÷àéíàÿ ìîäåëü èçìåðÿå-ìîé âåëè÷èíû, ó÷èòûâàþùàÿ âàðèàáåëüíîñòü ôóíêöèé ðàñïðå-äåëåíèÿ, áîëåå àäåêâàòíî, ÷åì ñëó÷àéíàÿ ìîäåëü, îïèñûâàåò âñå


204

íþàíñû, ñâÿçàííûå ñ îáúåêòèâíî ñóùåñòâóþùåé ñòàòèñòè÷åñêîéíåóñòîé÷èâîñòüþ.

Ëþáûå èçìåðåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ â óñëîâèÿõ âîçäåéñòâèÿ ðàç-ëè÷íûõ ìåøàþùèõ ôàêòîðîâ (ïîìåõ). Â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷åâ òàêîì êà÷åñòâå âûñòóïàåò çàãðÿçíåíèå ïîâåðõíîñòè äåòàëè.Ïûëü è ãðÿçü íà ïîâåðõíîñòè ñîáèðàþòñÿ íåðàâíîìåðíî. Â ïðå-äåëàõ íåáîëüøèõ ëîêàëüíûõ îáëàñòåé òîëùèíó çàãðÿçíåííîãîñëîÿ ïðèáëèæåííî ìîæíî îïèñàòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Íî äëÿðàçíûõ îáëàñòåé çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ ðàçíûå. Ïðåäâèäåòü, êà-êîé çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò ìåñòî â êàæäîé îáëàñòè, íåâîç-ìîæíî. Ïîýòîìó áîëåå àäåêâàòíîå îïèñàíèå òîëùèíû çàãðÿç-íåííîãî ñëîÿ äàåò ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà.

Èäåàëüíûõ, àáñîëþòíî òî÷íûõ, ñðåäñòâ èçìåðåíèÿ â ìèðå íåñóùåñòâóåò. Íè øòàíãåíöèðêóëü, íè ìèêðîìåòð, íè êàêîé-ëèáîäðóãîé èçìåðèòåëüíûé èíñòðóìåíò íå â ñîñòîÿíèè îáåñïå÷èòüèçìåðåíèÿ ñ áåñêîíå÷íî âûñîêîé òî÷íîñòüþ. Â êàæäîì êîíêðåò-íîì ñëó÷àå äåéñòâóþò ðàçíûå èñòî÷íèêè ïîãðåøíîñòè. Äëÿ ìèê-ðîìåòðà, íàïðèìåð, òàêîâûìè îêàçûâàþòñÿ êîíå÷íûå ðàçìåðûïîâåðõíîñòåé, ñîïðèêàñàþùèåñÿ ñ äåòàëüþ, ëþôò ìèêðîìåòðè-÷åñêèõ âèíòîâ, ïåðåêîñû è äð. Îáúåäèíÿþùèì ñâîéñòâîì ôàê-òîðîâ, îãðàíè÷èâàþùèõ òî÷íîñòü èíñòðóìåíòàëüíûõ ñðåäñòâ,ÿâëÿåòñÿ èõ ñòàòèñòè÷åñêàÿ íåóñòîé÷èâîñòü. Ïîýòîìó ïðè ïî-ñòðîåíèè ìîäåëè ñðåäñòâà èçìåðåíèÿ òàêæå èìååò ñìûñë âîñ-ïîëüçîâàòüñÿ ãèïåðñëó÷àéíîé ìîäåëüþ.

Ïðèâåäåííûé ïðèìåð íàãëÿäíî äåìîíñòðèðóåò, ÷òî ãèïåð-ñëó÷àéíûå ìîäåëè ïîçâîëÿþò ó÷åñòü âñå îñîáåííîñòè, îïèñû-âàåìûå ñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè, è â òîæå âðåìÿ ó÷åñòü íåêîòî-ðûå îñîáåííîñòè, èãíîðèðóåìûå èìè. Â ïåðâóþ î÷åðåäü, ýòîâàðèàáåëüíîñòü ñòàòèñòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê îáúåêòîâ èçìå-ðåíèÿ è âàðèàáåëüíîñòü ñòàòèñòè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê óñëîâèéèçìåðåíèÿ.

Âîçìîæíîñòü ó÷åòà íàðóøåíèé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòèõàðàêòåðèñòèê ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâåííûì ïðåèìóùåñòâîì ãèïåð-ñëó÷àéíûõ ìîäåëåé ïî ñðàâíåíèþ ñ êëàññè÷åñêèìè ñëó÷àéíûìèìîäåëÿìè.

Êîíå÷íî, êîãäà íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòèïðîÿâëÿþòñÿ ñëàáî (à ýòî îáû÷íî èìååò ìåñòî ïðè íåáîëüøîìîáúåìå âûáîðêè), èñïîëüçîâàòü ãèïåðñëó÷àéíûå ìîäåëè íå èìååòñìûñëà. Çäåñü ïðåêðàñíî ðàáîòàþò êëàññè÷åñêèå âåðîÿòíîñòíûåìîäåëè. Îäíàêî, êîãäà íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè

14.3. Случайные и гиперслучайные модели

205

çíà÷èòåëüíû, ïðèìåíåíèå ãèïåðñëó÷àéíûõ ìîäåëåé îêàçûâàåòñÿîïðàâäàííûì.

Îñîáóþ ðîëü â ïîçíàíèè ìèðà èãðàåò èçìåðåíèå. Ïîýòîìó÷ðåçâû÷àéíî âàæíûì âîïðîñîì ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå ðåàëü-íûõ ÿâëåíèé è îöåíîê àäåêâàòíûìè ìîäåëÿìè, ïðåäíàçíà÷åí-íûìè äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ïðè ïðîâåäåíèè ôèçè÷åñêèõ èçìå-ðåíèé.

Ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îöåíêó ñìåñè ðå-àëüíîãî çíà÷åíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû, ïðîöåññà èëè ïîëÿ èïîìåõ, ìåøàþùèõ ïðîâåäåíèþ íàáëþäåíèé.

Ïðèíèìàåìàÿ â ðàìêàõ òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ãè-ïîòåçà àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ãèïåðñëó÷àé-íûìè ìîäåëÿìè ïðèìåíèìà ê ðàçëè÷íûì ðåàëüíûì ÿâëåíèÿì, âòîì ÷èñëå âåëè÷èíàì, ïðîöåññàì è ïîëÿì, ïîäëåæàùèì èçìåðå-íèþ, äåéñòâóþùèì ïîìåõàì, à òàêæå ïîãðåøíîñòÿì èçìåðåíèÿ.

Åñëè ïîìåõà íîñèò ãèïåðñëó÷àéíûé õàðàêòåð, òî äàæå â òîìñëó÷àå, êîãäà èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ ìèðîâîé êîíñòàí-òîé, ðåçóëüòàò èçìåðåíèÿ îêàçûâàåòñÿ âåëè÷èíîé ãèïåðñëó÷àé-íîãî òèïà.

Ãèïåðñëó÷àéíûé õàðàêòåð îöåíêè ïðîÿâëÿåòñÿ â ïåðâóþ î÷å-ðåäü â íåïðåäñêàçóåìîì äðåéôå ñìåùåíèÿ, êîòîðîå â ñèëó íå-ïðîãíîçèðóåìîãî õàðàêòåðà èçìåíåíèé ñêîìïåíñèðîâàòü íåâîç-ìîæíî.

Ýòèì ìîæíî îáúÿñíèòü, ïî÷åìó âñå ðåàëüíûå îöåíêè âåëè-÷èí, ïðîöåññîâ è ïîëåé èìåþò îãðàíè÷åííóþ òî÷íîñòü.

Ãðàíèöû òî÷íîñòè îïðåäåëÿþòñÿ íå òîëüêî êîëè÷åñòâîì èñ-ïîëüçóåìûõ ðåçóëüòàòîâ îäèíî÷íûõ èçìåðåíèé è èõ ñëó÷àéíûì ðàç-áðîñîì, íî è, ãëàâíîå, èçìåí÷èâûì õàðàêòåðîì âåðîÿòíîñòíûõ õà-ðàêòåðèñòèê îáúåêòà èçìåðåíèÿ è ïîìåõ.

Ýòî âàæíîå îáñòîÿòåëüñòâî, î êîòîðîì íå ñëåäóåò çàáûâàòü.Ïðåæäå ÷åì ïåðåõîäèòü ê äåòàëüíîìó åãî èññëåäîâàíèþ, îñòàíî-âèìñÿ íà áàçîâûõ ïîíÿòèÿõ ñòàòèñòèêè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé,çàêîíå áîëüøèõ ÷èñåë è öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå, îáåñ-ïå÷èâàþùèõ ñâÿçü ôèçè÷åñêîé è ìàòåìàòè÷åñêîé ÷àñòåé òåîðèèãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé.

206

Глава 15

ОСНОВЫ СТАТИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ

Ôîðìàëèçîâàíî ïîíÿòèå ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêè è îïðåäåëåíû ååñâîéñòâà. Îïèñàíà ìåòîäîëîãèÿ ôîðìèðîâàíèÿ îöåíîê õàðàêòåðèñ-òèê ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Èññëåäîâàíà ñõîäèìîñòü ãèïåðñëó-÷àéíûõ îöåíîê ê ñîîòâåòñòâóþùèì òî÷íûì õàðàêòåðèñòèêàì.

15.1. ГИПЕРСЛУЧАЙНАЯ ВЫБОРКА

Ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X â îáùåì ñëó÷àå ìîæíî ïðåäñòàâèòüìíîæåñòâîì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí /X g , íàáëþäàåìûõ â óñëîâèÿõ

g G∈ : /X X g G= ∈ . Â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà /X g ïðåäñòàâëÿåò

ñîáîé äåòåðìèíèðîâàííóþ âåëè÷èíó, îäíîçíà÷íî ñâÿçàííóþ ñóñëîâèåì g G∈ , ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà /X X g G= ∈ âû-

ðîæäàåòñÿ âî ìíîæåñòâî äåòåðìèíèðîâàííûõ âåëè÷èí.Ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòüþ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X =

/X g G= ∈ áóäåì íàçûâàòü áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî âñåõ åå

ðåàëèçàöèé (÷ëåíîâ èëè ýëåìåíòîâ), íàáëþäàåìûõ âî âñåõ óñëî-âèÿõ g G∈ . Ýòî ìíîæåñòâî ìîæåò áûòü êàê ñ÷åòíûì, òàê è íå-ñ÷åòíûì.

Ãåíåðàëüíóþ ñîâîêóïíîñòü ìîæíî îïèñàòü ñ ïîìîùüþ ôóíê-öèè ðàñïðåäåëåíèÿ ( )xF x ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , ìíîæå-

ñòâà óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ / ( )x gF x ( g G∈ ), âåðõíåé

è íèæíåé ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ( )SxF x , ( )IxF x , ìîìåí-òîâ ãðàíèö, ãðàíèö ìîìåíòîâ è äðóãèõ õàðàêòåðèñòèê.

Êîíå÷íîå ìíîæåñòâî ÷ëåíîâ ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè

1( ,..., ) /Nx x x x g G= = ∈rr r r

ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , ïîëó÷åííîå ïðè êîíå÷íîì ÷èñëåN îïûòîâ â óñëîâèÿõ g G∈

rr, ãäå 1( , , )Ng g g=

rK – âåêòîð óñëî-

15.1. Гиперслучайная выборка

207

âèé, ðàç

( , , )N

G G G=r

K14243 , áóäåì íàçûâàòü âûáîðêîé èç ãåíåðàëüíîé ñîâî-

êóïíîñòè, à åå ýëåìåíòû 1,..., Nx x – âûáîðî÷íûìè çíà÷åíèÿìè èëè

ðåàëèçàöèÿìè. Êàæäàÿ êîìïîíåíòà /n nx g ( 1, )n N= âåêòîðà /x gr r

ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêè Xr

â óñëîâèÿõ g G∈rr

ïðåäñòàâëÿåò ñî-

áîé äåòåðìèíèðîâàííóþ âåëè÷èíó, à êàæäàÿ ðåàëèçàöèÿ nx âåê-

òîðà Xr

áåç êîíêðåòèçàöèè óñëîâèé – ìíîæåñòâî äåòåðìèíèðî-âàííûõ âåëè÷èí.

Â ÷àñòíîì ñëó÷àå ðàññìàòðèâàåìàÿ âûáîðêà ìîæåò ôîðìèðî-âàòüñÿ â íåèçìåííûõ óñëîâèÿõ g G∈ . Ïðè ýòîì /x x g G= ∈

r r.

Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî âûáîðêà 1,..., Nx x ïðèíàäëåæèò ãèïåð-

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå /X X g G= ∈ ñ óñëîâíûìè ôóíêöèÿìè ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ / ( )x gF x ( g G∈ ), åñëè îíà ïîëó÷åíà èç ãåíåðàëüíîé

ñîâîêóïíîñòè, îïèñûâàåìîé ïðè ôèêñèðîâàííûõ óñëîâèÿõ g

ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ / ( )x gF x .

Áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî âûáîðîê 1( ,..., )Nx x x= =r ∈

rr r/x g G

îáúåìîì N , ñôîðìèðîâàííûõ èç îäíîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíî-ñòè, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé N -ìåðíûé ãèïåðñëó÷àéíûé âåêòîð:

1( ,..., ) /NX X X X g G= = ∈r r rr

,

íàçûâàåìûé â äàëüíåéøåì ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêîé èëè âûáîðî÷-íîé ñîâîêóïíîñòüþ.

Ïðè ýòîì ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî âñå ýëåìåíòû ãèïåðñëó÷àéíîãî âåê-òîðà îïèñûâàþòñÿ îäíîé è òîé æå ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ

( )xF x . Êîìïîíåíòû /n nX g ( 1, )n N= ýòîãî âåêòîðà â óñëîâèÿõ

g G∈rr

ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, îïèñûâàåìûå

çàêîíàìè ðàñïðåäåëåíèÿ / ( )nx gF x ñëó÷àéíûõ ñîñòàâëÿþùèõ ãå-

íåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè. Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ / ( )nx gF x çà-

âèñÿò îò íîìåðà ýëåìåíòà âûáîðêè îïîñðåäñòâåííî (÷åðåç óñëî-âèÿ ng ).

Òàêàÿ âûáîðêà – îäíîðîäíàÿ. Äðóãîé òèï âûáîðêè – íåîä-íîðîäíàÿ. Íåîäíîðîäíàÿ âûáîðêà ôîðìèðóåòñÿ èç ðàçíûõ ãåíå-ðàëüíûõ ñîâîêóïíîñòåé. Êàæäûé åå ýëåìåíò îïèñûâàåòñÿ ñâîåé

Глава 15. Основы статистики гиперслучайных явлений

208

ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Ïîýòîìó çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ / ( )n nx gF x

ñëó÷àéíîé êîìïîíåíòû /n nX g íåîäíîðîäíîé âûáîðêè ïðÿìîçàâèñèò îò íîìåðà ýëåìåíòà âûáîðêè n .

Êîìïîíåíòû nX ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêè Xr

áóäåì ïîëàãàòüâçàèìíî íåçàâèñèìûìè ïðè âñåõ óñëîâèÿõ, åñëè íå îãîâîðåíîïðîòèâíîå. Ïðè âçàèìíîé íåçàâèñèìîñòè êîìïîíåíò óñëîâíàÿôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ / ( )x gF xr r

r ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêè X

r â

óñëîâèÿõ g G∈rr

äîïóñêàåò ïðåäñòàâëåíèå â âèäå

/ /1

( ) ( )n n

N

x g x g nn

F x F x=

= ∏r rr

.

Ñòàòèñòèêîé áóäåì íàçûâàòü ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ( )Y Y X=r

âûáîðêè Xr

, âàðèàöèîííûì (ñòàòèñòè÷åñêèì) ðÿäîì â

óñëîâèÿõ g G∈rr

– ðåàëèçàöèè âûáîðêè /x gr r

, óïîðÿäî÷åííûå ïîâîçðàñòàíèþ èëè óáûâàíèþ, à ðàíæèðîâàííûì ðÿäîì â óñëîâèÿõg G∈

rr – ðåàëèçàöèè âûáîðêè /x g

r r, óïîðÿäî÷åííûå ïî óáûâà-

íèþ.Ïî ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

ìîæíî âû÷èñëèòü ðàçëè÷íûå åå õàðàêòåðèñòèêè, íàïðèìåð, óñ-ëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ / ( )x gF x , ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ ( )SxF x , ( )IxF x , óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ

/x gm , ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö Sxm , Ixm , ãðàíèöû ìà-

òåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ sxm , ixm , óñëîâíûå äèñïåðñèè /x gD ,

äèñïåðñèè ãðàíèö SxD , IxD , ãðàíèöû äèñïåðñèè sxD , ixD è ïð.Ïî ðåàëèçàöèÿì ñ èñïîëüçîâàíèåì îïðåäåëåííûõ ñòàòèñòèêìîæíî âû÷èñëèòü îöåíêè ýòèõ æå õàðàêòåðèñòèê, â ÷àñòíîñòè,îöåíêè óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ *

/ ( )x gF x , îöåíêè ãðà-

íèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ * ( )SxF x , * ( )IxF x , îöåíêè óñëîâíûõ

ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé */x gm , îöåíêè ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäà-

íèé ãðàíèö *Sxm , *

Ixm , îöåíêè ãðàíèö ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ*sxm , *

ixm , îöåíêè óñëîâíûõ äèñïåðñèé */x gD , îöåíêè äèñïåðñèè

ãðàíèö *SxD , *

IxD , îöåíêè ãðàíèö äèñïåðñèè *sxD , *

ixD è äð.

15.2. Модели случайных и гиперслучайных выборок

209

Çàìåòèì, ÷òî îïèñàííûå âûøå ñòàòèñòè÷åñêèå ïîíÿòèÿ åñòå-ñòâåííî îáîáùàþòñÿ íà ãèïåðñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è ôóíêöèè ïî-äîáíî òîìó, êàê â êëàññè÷åñêîé òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ñòàòèñòè-÷åñêèå ïîíÿòèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îáîáùàþòñÿ íà ñëó÷àéíûåñîáûòèÿ è ôóíêöèè.

15.2. МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ И ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХВЫБОРОК

Â ñòàòèñòèêå ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ðàññìàòðèâàþòñÿ íå îäèíî÷íûåñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ è âåëè÷èíû, à ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñîáûòèéè âåëè÷èí (ðèñ. 15.1, à – ã). Îíè ìîãóò áûòü êàê îäíîðîäíûìè(èìåþùèìè îäèíàêîâûå çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ: ðèñ. 15.1, à, â),òàê è íåîäíîðîäíûìè (èìåþùèìè ðàçíûå çàêîíû ðàñïðåäåëå-íèÿ: ðèñ. 15.1, á, ã).

Ðèñ. 15.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé (îäíîðîäíûõ (à) è íåîäíîðîä-íûõ (á)), ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (îäíîðîäíûõ (â) è íåîäíîðîä-

íûõ (ã)) è ñëó÷àéíûå ïðîöåññû (ñòàöèîíàðíûé (ä) è íåñòàöèîíàðíûé (å))


210

Ðèñ. 15.2. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ ñîáûòèé (îäíîðîäíûõ (à) èíåîäíîðîäíûõ (á)), ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (îäíîðîä-íûõ (â) è íåîäíîðîäíûõ (ã)) è ãèïåðñëó÷àéíûå ïðîöåññû (ñòàöèîíàðíûé (ä)

è íåñòàöèîíàðíûé (å))

Ñëó÷àéíûå ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííûõ (ïðîöåññû) ìîãóòáûòü ñòàöèîíàðíûìè (ðèñ. 15.1, ä) è íåñòàöèîíàðíûìè (ðèñ. 15.1, å),à ñëó÷àéíûå ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ (ïîëÿ) – ìîãóòáûòü îäíîðîäíûìè è íåîäíîðîäíûìè.

Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé èëè âåëè÷èí ìîæíîèíòåðïðåòèðîâàòü êàê ñëó÷àéíûé ïðîöåññ ( )X t , ó êîòîðîãî îá-

ëàñòü îïðåäåëåíèÿ T – äèñêðåòíîå ìíîæåñòâî òî÷åê 1 2, , , Nt t tK .Äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé ïðîñòðàíñòâî ñî-ñòîÿíèé äèñêðåòíî (ïðèíèìàåò äâà çíà÷åíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèõ

15.3. Оценки характеристик и параметров гиперслучайной величины

211

íàñòóïëåíèþ èëè íå íàñòóïëåíèþ ñîáûòèÿ), à äëÿ ïîñëåäîâà-òåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îíî ìîæåò áûòü êàê íåïðåðûâ-íûì, òàê è äèñêðåòíûì.

Â ñòàòèñòèêå ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé ðàññìàòðèâàþòñÿïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ ñîáûòèé è âåëè÷èí(ðèñ. 15.2, à–ã). Îíè ìîãóò áûòü êàê îäíîðîäíûìè (èìåþùèìèîäèíàêîâûå çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè ôèêñèðîâàííûõ ñòàòè-ñòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ: ðèñ. 15.2, à, â), òàê è íåîäíîðîäíûìè(èìåþùèìè ðàçíûå çàêîíû ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè ôèêñèðîâàííûõóñëîâèÿõ: ðèñ. 15.2, á, ã).

Ãèïåðñëó÷àéíûå ïðîöåññû ìîãóò áûòü ñòàöèîíàðíûìè (îïè-ñûâàòüñÿ îäíèì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè ôèêñèðîâàííûõñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ: ðèñ. 15.2, ä) è íåñòàöèîíàðíûìè (îïè-ñûâàòüñÿ èçìåíÿþùèìñÿ âî âðåìåíè çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèôèêñèðîâàííûõ óñëîâèÿõ: ðèñ. 15.2, å). Òàêæå è ãèïåðñëó÷àéíûåïîëÿ ìîãóò áûòü îäíîðîäíûìè è íåîäíîðîäíûìè.

15.3. ОЦЕНКИ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПАРАМЕТРОВ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ / ( )x gF x , ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäå-

ëåíèÿ ( )SxF x , ( )IxF x , ìîìåíòû /x gm , Sxm , Ixm , sxm , ixm , /x gD ,

SxD , IxD , sxD , ixD è ïð. ÿâëÿþòñÿ äåòåðìèíèðîâàííûìè õàðàê-

òåðèñòèêàìè. Ñîîòâåòñòâóþùèå æå îöåíêè */ ( )x gF x , * ( )SxF x , * ( )IxF x ,

*/x gm , *

Sxm , *Ixm , *

sxm , *ixm , *

/x gD , *SxD , *

IxD , *sxD , *

ixD è ïð. ÿâëÿþòñÿ

äåòåðìèíèðîâàííûìè, åñëè ïîëó÷åíû ïî êîíêðåòíîé ðåàëèçàöèèãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêè X

r, è ãèïåðñëó÷àéíûìè, åñëè ðàñ-

ñ÷èòàíû ïî ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè-÷èíû X .

Ïðîöåäóðà ôîðìèðîâàíèÿ óêàçàííûõ îöåíîê ìîæåò ñòðîèòü-ñÿ ïî ñëåäóþùåé ñõåìå. Äëÿ âñåãî ìíîæåñòâà G óñëîâèé gôîðìèðóþòñÿ âûáîðêè

1,..., /Nx x x g G= ∈r

.

Ïî âûáîðêàì äëÿ êàæäîãî óñëîâèÿ g â îòäåëüíîñòè ðàññ÷è-òûâàþòñÿ îöåíêè óñëîâíûõ õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ: îöåíêàóñëîâíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ *

/ ( )x gF x , îöåíêà óñëîâíîãî

ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ */x gm , îöåíêà óñëîâíîé äèñïåðñèè


212

*/x gD è äð. Ïî îöåíêàì óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ

*/ ( )x gF x g G∀ ∈ âû÷èñëÿþòñÿ îöåíêè ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðå-

äåëåíèÿ:* *

/( ) sup ( ),Sx x gg G

F x F x∈

= * */( ) inf ( )Ix x gg G

F x F x∈

=

è îöåíêè õàðàêòåðèñòèê, õàðàêòåðèçóþùèå ýòè ãðàíèöû: ìàòå-ìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö *

Sxm , *Ixm , îöåíêè äèñïåðñèé ãðàíèö

*SxD , *

IxD è ïð. Ïî îöåíêàì óñëîâíûõ âåëè÷èí îïðåäåëÿþòñÿîöåíêè ãðàíèö ñîîòâåòñòâóþùèõ âåëè÷èí, íàïðèìåð, ïî îöåí-êàì ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé *

/x gm – îöåíêè ãðàíèö ìàòå-

ìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ * */supsx x g

g Gm m

∈= , * *

/infix x gg Gm m

∈= , ïî îöåíêàì

óñëîâíûõ äèñïåðñèé */x gD – îöåíêè ãðàíèö äèñïåðñèè

* */sup ,sx x g

g GD D

∈= * *

/infix x gg GD D

∈= è ò.ä.

Îïðåäåëåííûå òðóäíîñòè ìîæíî îæèäàòü ïðè ôîðìèðîâà-íèè òðåáóåìîé âûáîðêè 1,..., /Nx x x g G= ∈

r èç-çà ñëîæíîñòè

îáåñïå÷åíèÿ, êîíòðîëÿ è ïîääåðæàíèÿ óñëîâèé g G∈ . Îäíàêîâîïðîñ îáëåã÷àåòñÿ òåì, ÷òî äëÿ ðàñ÷åòà ðÿäà èñêîìûõ õàðàêòå-ðèñòèê íå òðåáóþòñÿ çíàíèÿ òîãî, â êàêèõ èìåííî óñëîâèÿõ ïî-ëó÷åíû óñëîâíûå õàðàêòåðèñòèêè. Ãëàâíîå, ÷òîáû íà óðîâíåóñëîâíûõ õàðàêòåðèñòèê áûëè ïðåäñòàâëåíû âñå âîçìîæíûå óñ-ëîâèÿ g ìíîæåñòâà G è â ìàññèâ äàííûõ, èñïîëüçóåìûé äëÿðàñ÷åòà óñëîâíûõ õàðàêòåðèñòèê, íå ïîïàäàëè äàííûå, ñîîòâåò-ñòâóþùèå äðóãèì óñëîâèÿì.

Îáû÷íî ïîñëåäíåå òðåáîâàíèå ìîæíî îáåñïå÷èòü îãðàíè÷å-íèåì îáúåìà äàííûõ N , ïîñêîëüêó óñëîâèÿ, õîòÿ è ìåíÿþòñÿçà÷àñòóþ íåïðåðûâíî, íî èçìåíÿþòñÿ äîñòàòî÷íî ìåäëåííî, èïîýòîìó íà îñíîâå íåêîòîðîé àïðèîðíîé èíôîðìàöèè îêàçûâà-åòñÿ âîçìîæíûì óêàçàòü ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ïîñëåäîâàòåëüíûõýëåìåíòîâ maxN , äëÿ êîòîðûõ óñëîâèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü ïðàêòè÷å-ñêè íåèçìåííûìè (ðèñ. 15.3).

Ýòî ïîçâîëÿåò ñîáèðàòü äàííûå íà äîñòàòî÷íî áîëüøîì èí-òåðâàëå íàáëþäåíèÿ, íå çàáîòÿñü î òîì, êàêîâû â êîíêðåòíûéìîìåíò âðåìåíè óñëîâèÿ è â êàêîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îíè ÷å-ðåäóþòñÿ. Äàëåå ïîëó÷åííûå äàííûå ìîæíî ðàçäåëÿòü íà ôðàã-

15.4. Сходимость гиперслучайных оценок

213

Ðèñ. 15.3. Ìîäåëè ïîñëå-äîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó-÷àéíûõ ñîáûòèé (à), ïî-ñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåð-ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (á) èãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåñ-ñà (â) ïðè ìåäëåííîì

èçìåíåíèè óñëîâèé

ìåíòû ïî maxN ïîñëåäîâàòåëüíûõ ýëåìåíòîâ (èëè íà ôðàãìåíòû,çàêëþ÷åííûå â íåïåðåñåêàþùèõñÿ èíòåðâàëàõ îïðåäåëåííîéäëèòåëüíîñòè) è èñïîëüçîâàòü äëÿ ðàñ÷åòà èñêîìûõ îöåíîê.Ãëàâíîå ïðè òàêîì ïîäõîäå – îáåñïå÷èòü îõâàò âñåõ âîçìîæíûõóñëîâèé íàáëþäåíèÿ.

15.4. СХОДИМОСТЬ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ОЦЕНОК

Âàæíûì ñâîéñòâîì ðÿäà ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òîïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè îíè ñõîäÿòñÿ ê ñîîòâåòñòâóþùèìâåëè÷èíàì è õàðàêòåðèñòèêàì.


214

Ïîñêîëüêó ãèïåðñëó÷àéíîå ÿâëåíèå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíî-æåñòâî ñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé, òî ñõîäèìîñòü ãèïåðñëó÷àéíûõ îöå-íîê èìååò ìåñòî ïðè ñõîäèìîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëó÷àéíûõñîñòàâëÿþùèõ îöåíîê.

Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó X . Ïóñòü

1,..., NX X – âûáîðêà ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X îáúåìîì N ,* / gΘ – ñôîðìèðîâàííàÿ ïî âûáîðêå â óñëîâèÿõ g ñëó÷àéíàÿ

îöåíêà, îáëàäàþùàÿ ñâîéñòâîì ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè êïàðàìåòðó / gθ .

Òîãäà ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà * *= / g GΘ Θ ∈ ñõîäèòñÿ ïî

âåðîÿòíîñòè ê ìíîæåñòâó âåëè÷èí = / g Gθ θ ∈ , à ãðàíèöû

îöåíêè * *= sup /sg G

g∈

Θ Θ , * *= inf /i g Gg

∈Θ Θ – ê ñîîòâåòñòâóþùèì ãðà-

íèöàì = sup /sg G

g∈

θ θ , = inf /i g Gg

∈θ θ . Â ÷àñòíîñòè, îöåíêè ãðàíèö ìà-

òåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ *sxm , *

ixm ñõîäÿòñÿ ê ãðàíèöàì ìàòåìà-

òè÷åñêîãî îæèäàíèÿ sxm , ixm , à îöåíêè ãðàíèö äèñïåðñèè *sxD ,

*ixD – ê ãðàíèöàì äèñïåðñèè sxD , ixD .

Äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñõîäèìîñòü îöåíêè ôóíêöèè ðàñ-ïðåäåëåíèÿ ê ñàìîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ îñ-íîâíîé òåîðåìîé ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè (òåîðåìîé Ãëè-âåíêî).

Òåîðåìà Ãëèâåíêî. Ïóñòü ( )F x – ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , à *( )F x – ýìïèðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ ðåçóëüòàòîâ N íàáëþäåíèé ýòîé âåëè÷èíû. Òîãäàïðè N → ∞ ôóíêöèÿ *( )F x ñõîäèòñÿ ê ( )F x ïî÷òè íàâåðíîå (ñâåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà):

*sup ( ) ( ) 0 1x

P F x F x−∞< <∞

− → = .

Îòìåòèì, ÷òî ïîñêîëüêó ñõîäèìîñòü ñ âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöàáîëåå ñèëüíàÿ, ÷åì ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè, òî *( )F x ñõîäèò-

ñÿ ê ( )F x è ïî âåðîÿòíîñòè.

Èç òåîðåìû Ãëèâåíêî ñëåäóåò, ÷òî ïðè N → ∞ îöåíêè ýìïè-

ðè÷åñêèõ óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ */ ( )x gF x g G∀ ∈ ãè-

15.4. Сходимость гиперслучайных оценок

215

ïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X ñõîäÿòñÿ ê óñëîâíûì ôóíêöèÿì ðàñ-ïðåäåëåíèÿ / ( )x gF x . Ïîýòîìó îöåíêè ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé

ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ *( )SF x , *( )IF x ñõîäÿòñÿ ê ãðàíèöàì

ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ( )SF x , ( )IF x , îöåíêè ìîìåíòîâ ãðà-íèö – ê ìîìåíòàì ãðàíèö, à îöåíêè ãðàíèö ìîìåíòîâ – ê ãðà-íèöàì ìîìåíòîâ.

Â ÷àñòíîñòè, îöåíêè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ãðàíèö *Sxm ,

*Ixm ñõîäÿòñÿ ê ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ ãðàíèö Sxm , Ixm ,

îöåíêè äèñïåðñèè ãðàíèö *SxD , *

IxD – ê äèñïåðñèè ãðàíèö SxD ,

IxD è ò.ä.

Ñïîñîá îöåíêè õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ ðàñïðåäåëåíèÿãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, îïèñàííûé â òåêóùåì è ïðåäûäóùåìïàðàãðàôàõ, äîñòàòî÷íî ïðîñò è ïðîçðà÷åí. Îäíàêî îñòàåòñÿ íå-âûÿñíåííûì ðÿä âîïðîñîâ, â ÷àñòíîñòè, êàêîâû ñâîéñòâà ãè-ïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê, êàêèì îáðàçîì èõ âû÷èñëÿòü ïðè áûñòðîéñìåíå ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèé è äð.

Òåîðåòè÷åñêîé îñíîâîé îòâåòîâ íà ýòè âîïðîñû ñëóæàò çàêîíáîëüøèõ ÷èñåë è öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà äëÿ ãèïåðñëó-÷àéíûõ âåëè÷èí, ðàññìàòðèâàåìûå â äâóõ ïîñëåäóþùèõ ãëàâàõ.

216

Глава 16

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛДЛЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

Ñôîðìóëèðîâàí çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí,îïðåäåëÿþùèé óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè ãðàíèö âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ãè-ïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Äîêàçàíà òåîðåìà äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ñî-áûòèé, àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìå Áåðíóëëè äëÿ ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé.

16.1. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛДЛЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ

И ВЕЛИЧИН

Îñíîâîé ñòàòèñòèêè ñëóæèò çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ñëó÷àéíûõÿâëåíèé, ïåðâîíà÷àëüíàÿ âåðñèÿ êîòîðîãî áûëà îïóáëèêîâàíà âïîñìåðòíîé ðàáîòå ß. Áåðíóëëè â 1713 ã. [Áåðíóëëè, 1986]. Ýòîòçàêîí áûë äîêàçàí ß. Áåðíóëëè äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àé-íûõ ñîáûòèé â âèäå òåîðåìû, ñîâðåìåííàÿ èíòåðïðåòàöèÿ êîòî-ðîé ñëåäóþùàÿ.

Òåîðåìà 1 (Áåðíóëëè). Ïóñòü âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿâ ñåðèè îïûòîâ ïîñòîÿííà è ðàâíà 0p (ñì. ðèñ. 15.1, à). Òîãäà

ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè ÷èñëà îïûòîâ N ÷àñòîòà

0 /N N ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè (ïðàêòè÷å-

ñêè äîñòîâåðíî) ê âåðîÿòíîñòè 0p :

00lim 0

N

NP p

N→∞

− > ε =

,

ãäå 0N – ÷èñëî îïûòîâ, ïðè êîòîðîì ïðîèçîøëî ñîáûòèå, ε –ïðîèçâîëüíîå, êàê óãîäíî ìàëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.

Çà ìèíóâøèå òðè ñòîëåòèÿ çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë äåòàëüíîèçó÷àëñÿ è îáîáùàëñÿ. Âûÿñíèëîñü, ÷òî îí ñïðàâåäëèâ è äëÿ áî-ëåå øèðîêîãî êîìïëåêñà óñëîâèé, ÷åì ïîëàãàë ß. Áåðíóëëè, â÷àñòíîñòè – â ìîäèôèöèðîâàííîì âèäå äëÿ íåîäíîðîäíîé ïî-

16.1. Закон больших чисел для последовательностей случайных событий …

217

ñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé, à òàêæå ïîñëåäîâàòåëüíî-ñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ôóíêöèé.

Èçâåñòíî ìíîãî âàðèàíòîâ çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ïîñëå-äîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí [Ãíåäåíêî, 1988]. Íàïîìíèìíåêîòîðûå èç íèõ.

Òåîðåìà 2 (×åáûøåâà). Ïóñòü 1 2, , , NX X XK – ïîñëåäîâàòåëü-íîñòü ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ ìàòåìàòè÷å-ñêèìè îæèäàíèÿìè 1 2, , , Nm m mK è îãðàíè÷åííûìè äèñïåðñèÿ-

ìè. Òîãäà ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè N ê áåñêîíå÷íîñòèñðåäíåå âûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé 1 2, , , NX X XK ñòðåìèòñÿ ïî âåðî-

ÿòíîñòè ê ñðåäíåìó ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé 1 2, , , Nm m mK :

1 1

1 1lim 0

N N

n nN n n

P X mN N→∞ = =

− > ε =

∑ ∑ ( 0)ε > .

Òåîðåìà 3 (Õèí÷èíà). Ïóñòü 1 2, , , NX X XK – ïîñëåäîâàòåëü-íîñòü ïîïàðíî íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àé-íûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷íûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì m . Òîãäàïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè N ê áåñêîíå÷íîñòè ñðåäíååâûáîðî÷íûõ çíà÷åíèé 1 2, , , NX X XK ñòðåìèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè êìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ m :

1

1lim 0

N

nN n

P X mN→∞ =

− > ε =

∑ ( 0)ε > .

Äëÿ íåîäíîðîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íåîáÿçàòåëüíî íåçà-âèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë áûë äîêàçàíÀ.À. Ìàðêîâûì.

Òåîðåìà 4 (Ìàðêîâà). Ïóñòü 1 2, , , NX X XK – ïîñëåäîâàòåëü-íîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí òàêîâûõ, ÷òî ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìàâûáîðêè N ê áåñêîíå÷íîñòè

21

1D 0

N

nn

XN =

→ ∑ ,

ãäå [ ]D ⋅ – îïåðàòîð äèñïåðñèè. Òîãäà ñðåäíåå ýëåìåíòîâ

1 2, , , NX X XK ñòðåìèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ñðåäíåìó èõ ìàòå-

ìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé 1 2, , , Nm m mK :

1 1

1 1lim 0

N N

n nN n n

P X mN N→∞ = =

− > ε =

∑ ∑ ( 0)ε > .

Глава 16. Закон больших чисел для гиперслучайных последовательностей

218

Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèÿ ïðèìåíèìîñòè çàêîíàáîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êàê óãîäíî çàâèñèìûõñëó÷àéíûõ âåëè÷èí îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùåé òåîðåìîé.

Òåîðåìà 5. Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñõîäèìî-ñòè ïî âåðîÿòíîñòè ñðåäíåãî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 1 2, , , NX X XK ê

ñðåäíåìó èõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé 1 2, , , Nm m mK ïðè óñò-

ðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè N ê áåñêîíå÷íîñòè ÿâëÿåòñÿ ñòðåì-ëåíèå ê íóëþ âåëè÷èíû

* 2

* 2M

1

x

x

m

m

+

o

r

o

r

,

ãäå *

1

1( )

N

x n nn

m X mN =

= −∑o

r – ñðåäíåå öåíòðèðîâàííûõ âåëè÷èí ïî-

ñëåäîâàòåëüíîñòè.À.Í. Êîëìîãîðîâûì áûë äîêàçàí òàê íàçûâàåìûé óñèëåííûé

çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë, ïîä êîòîðûì ïîíèìàåòñÿ ñõîäèìîñòü ñ âå-ðîÿòíîñòüþ åäèíèöà.

Òåîðåìà 6 (Êîëìîãîðîâà). Ïóñòü 1 2, , , NX X XK – ïîñëåäîâà-òåëüíîñòü âçàèìíî íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, óäîâëåòâî-ðÿþùèõ óñëîâèþ

[ ]21

1D

N

nn

XN =

< ∞∑ ,

Òîãäà îíà ïîä÷èíÿåòñÿ óñèëåííîìó çàêîíó áîëüøèõ ÷èñåë.Íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ñïðàâåäëèâîñòè óñèëåí-

íîãî çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ îäíîðîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòèâçàèìíî íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí äàåò òåîðåìà, äîêà-çàííàÿ òàêæå À.Í. Êîëìîãîðîâûì.

Òåîðåìà 7 (Êîëìîãîðîâà). Íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëî-âèåì ïðèìåíèìîñòè óñèëåííîãî çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ îä-íîðîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âçàèìíî íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõâåëè÷èí ÿâëÿåòñÿ ñóùåñòâîâàíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ.

Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà ÷ðåçâû÷àéíî âàæíîå îáñòîÿ-òåëüñòâî, î êîòîðîì øëà ðå÷ü â ïàðàãðàôå 3.2: çàêîí áîëüøèõ÷èñåë äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íå ãàðàíòèðó-

åò, ÷òî âûáîðî÷íîå ñðåäíåå *

1

1 N

x nn

m XN =

= ∑ è ñðåäíåå ìàòåìàòè÷å-

ñêèõ îæèäàíèé 1

1 N

x nn

m mN =

= ∑ èìåþò ïðåäåëû. Ýòîò çàêîí óòâåð-

16.1. Закон больших чисел для последовательностей случайных событий …

219

Ðèñ. 16.1. Ñõåìû ôîðìèðî-âàíèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëå-íèÿ *

xmF (õ) âûáîðî÷íîãî

ñðåäíåãî ñëó÷àéíîé âåëè÷è-íû ïðè → ∞N , êîãäà âû-

áîðî÷íîå ñðåäíåå *xm è

ñðåäíåå ìàòåìàòè÷åñêèõîæèäàíèé xm – ôèêñèðî-

âàííûå âåëè÷èíû (à – ïðèðàçíûõ, á – ïðè îäèíàêî-âûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäà-íèÿõ ýëåìåíòîâ âûáîðêè), à

òàêæå êîãäà *xm è xm –

êîíå÷íûå èíòåðâàëû (â)

æäàåò ëèøü ñõîäèìîñòü âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ê ñðåäíåìó ìàòå-ìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé, íå òðåáóÿ ïðè ýòîì èõ ñõîäèìîñòè ê îïðå-äåëåííûì ôèêñèðîâàííûì âåëè÷èíàì.

Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ:1) êîãäà èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî *

xm è

ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé xm ê îïðåäåëåííûì ôèêñè-ðîâàííûì âåëè÷èíàì (÷èñëàì),

2) êîãäà òàêîé ñõîäèìîñòè íåò.Ðàññìîòðèì îáà ñëó÷àÿ. Ïðåæäå âñåãî îòìåòèì, ÷òî ïðè êî-

íå÷íîì îáúåìå âûáîðêè âåëè÷èíà *xm – ñëó÷àéíàÿ. Åå ìîæíî

îïèñàòü ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ * ( )xm

F x .

Â ïåðâîì ñëó÷àå ïðåäåë ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé xmìîæåò áûòü îïèñàí ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ â âèäå ôóíêöèè åäè-íè÷íîãî ñêà÷êà â òî÷êå xm . Ê íåé ñòðåìèòñÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ

* ( )xm

F x âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî *xm ïðè N → ∞ (ðèñ. 16.1, à, á).


220

Ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî, ñîîòâåòñò-âóþùèå ðàçíûì âûáîðêàì, ìîãóò ðàçëè÷àòüñÿ (ðèñ. 16.1, à), àìîãóò è ñîâïàäàòü (ðèñ. 16.1, á). Ñîâïàäåíèå ìàòåìàòè÷åñêèõîæèäàíèé âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî èìååò ìåñòî â òîì ñëó÷àå, êîãäàâûáîðêà îäíîðîäíà èëè êîãäà îíà õîòÿ è íåîäíîðîäíà, íî ìàòå-ìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ åå ýëåìåíòîâ îäèíàêîâû. Íà ðèñóíêå êðè-âûìè

1* ( )

mxF x

r, *

2( )

mxF xr èçîáðàæåíû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñðåä-

íåãî äëÿ äâóõ âûáîðîê ðàçíûõ îáúåìîâ, à òî÷êàìè 1x

mr , 2x

mr íà

îñè x – ñîîòâåòñòâóþùèå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ.Âî âòîðîì ñëó÷àå ïðè N → ∞ âûáîðî÷íîå ñðåäíåå *

xm è

ñðåäíåå ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé xm ìîãóò ëèáî ñòðåìèòüñÿ êïëþñ èëè ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòè, ëèáî ôëóêòóèðîâàòü â îïðåäå-ëåííûõ èíòåðâàëàõ.

Âàðèàíò, êîãäà ïðè N → ∞ âåëè÷èíû *xm è xm – èíòåðâàëû,

ïðåäñòàâëÿþò îñîáûé èíòåðåñ. Ðàññìàòðèâàåìûå èíòåðâàëû ìî-ãóò áûòü êîíå÷íûìè èëè áåñêîíå÷íûìè. Åñëè èíòåðâàëû êîíå÷-íû, òî ñóùåñòâóþò ãðàíèöû *

ixm , *sxm âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî *

xm è

ãðàíèöû ixm , sxm ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé xm . Ýòèãðàíèöû ìîæíî îïèñàòü ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ â âèäåôóíêöèé åäèíè÷íîãî ñêà÷êà â òî÷êàõ *

ixm , *sxm , ixm , sxm .

Íà îñíîâàíèè çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë *ixm ñòðåìèòñÿ ê ixm , à

*sxm – ê sxm (ðèñ. 16.1, â). Èíòåðâàë [ ixm , sxm ] – îáëàñòü, â êî-

òîðîé ôëóêòóèðóåò âûáîðî÷íîå ñðåäíåå ïðè N → ∞ .Òàêèì îáðàçîì, âûáîðî÷íîå ñðåäíåå ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ìî-

æåò ñõîäèòüñÿ ê îïðåäåëåííîìó ÷èñëó, ñòðåìèòüñÿ ê ïëþñ èëèìèíóñ áåñêîíå÷íîñòè èëè ôëóêòóèðîâàòü â îïðåäåëåííîì èíòåð-âàëå. Â ïîñëåäíåì ñëó÷àå ìîæíî ãîâîðèòü î ñõîäèìîñòè âûáîðî÷-íîãî ñðåäíåãî ê èíòåðâàëó.

16.2. ТЕОРЕМЫ О СХОДИМОСТИ ГРАНИЦСРЕДНЕГО ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЫБОРКИ

Ðàññìîòðèì ìîäèôèêàöèè çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ïîñëåäîâà-òåëüíîñòåé ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.

Òåîðåìà 8 (àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìå 2). Ïóñòü ãèïåðñëó÷àéíàÿ âå-ëè÷èíà /X X g G= ∈ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñîâîêóïíîñòü ñëó÷àé-

16.2. Теоремы о сходимости границ среднего гиперслучайной выборки

221

íûõ âåëè÷èí /X g äëÿ ðàçëè÷íûõ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèé g G∈ñ óñëîâíûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè /x gm è îãðàíè÷åí-

íûìè óñëîâíûìè äèñïåðñèÿìè /x gD . Íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðà-

íèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Xðàâíû ñîîòâåòñòâåííî ixm , sxm . Èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè

ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X , ïîëó÷åííîé â íåêîíòðîëèðóåìîèçìåíÿþùèõñÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ, ôîðìèðóåòñÿ ãèïåð-ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà 1, , NX XK îáúåìîì N ñ âçàèìíî íåçàâè-

ñèìûìè äëÿ âñåõ óñëîâèé ýëåìåíòàìè. Ïî ýòîé âûáîðêå ðàñ-ñ÷èòûâàåòñÿ ãèïåðñëó÷àéíîå âûáîðî÷íîå ñðåäíåå:

*

1

1 N

x nn

m XN =

= ∑ .

Òîãäà ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè ê áåñêîíå÷íîñòè(N → ∞ ) ãèïåðñëó÷àéíîå âûáîðî÷íîå ñðåäíåå *

xm ñõîäèòñÿ ïî âå-

ðîÿòíîñòè ê ìíîæåñòâó / , x x gm m g G= ∈r

rr, ïðåäñòàâëÿþùåìó ñîáîé

ìíîæåñòâî ñðåäíèõ / /1

1n

N

x g x gn

m mN =

= ∑r óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ

îæèäàíèé 1/ /, ,

Nx g x gm mK ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 1/ , , / NX g X gK , ñî-

îòâåòñòâóþùèõ âñåâîçìîæíûì óñëîâèÿì , 1,ng G n N∈ = , à íèæ-íÿÿ è âåðõíÿÿ ãðàíèöû ýòîãî âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ñõîäÿòñÿ ïîâåðîÿòíîñòè ñîîòâåòñòâåííî ê íèæíåé è âåðõíåé ãðàíèöàì ìà-òåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X :

*lim inf 0,x ixN g GP m m

→∞ ∈− > ε =rr

*lim sup 0,x sxN g GP m m

→∞ ∈

− > ε =

rr

(16.1)

ãäå ε – êàê óãîäíî ìàëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ âûáîðêó

1/ , , / NX g X gK , ïîëó÷åííóþ ïðè ôèêñèðîâàííîé ïîñëåäîâà-

òåëüíîñòè óñëîâèé 1( , , )Ng g G∈r

K . Ðàññ÷èòàííîå ïî íåé âûáî-

ðî÷íîå ñðåäíåå */

1

1/

N

x g nn

m X gN =

= ∑r ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âû-


222

áîðêè N ê áåñêîíå÷íîñòè ñîãëàñíî òåîðåìå ×åáûøåâà äëÿ ñëó-÷àéíûõ âåëè÷èí ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ñðåäíåìó óñëîâíûõìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé /x gm r :

*/ /lim 0x g x gN

P m m→∞

− > ε =r r .

Ñõîäèìîñòü âåëè÷èíû */x gm r ê /x gm r äëÿ âñåõ g G∈

rr îçíà÷àåò

ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðàgr ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû *

/x gm r ê âåëè÷èíå /x gm r . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî

èìååò ìåñòî ñõîäèìîñòü ïî âåðîÿòíîñòè ãèïåðñëó÷àéíîãî âûáîðî÷-íîãî ñðåäíåãî * *

/ , x x gm m g G= ∈r

rr ê ìíîæåñòâó / , x x gm m g G= ∈r

rr.

Ïðè ëþáîé ôèêñèðîâàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè óñëîâèé èN → ∞ âûáîðî÷íîå ñðåäíåå *

/x gm r îãðàíè÷åíî èíòåðâàëîì* *[ , ]ix sxm m , ãäå * *

/infix x gg G

m m∈

= rrr , * */supsx x g

g Gm m

∈= r

rr, à ñðåäíåå óñëîâíûõ

ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé /x gm r – èíòåðâàëîì [ , ]ix sxm m . Ïðè ýòîì

ìèíèìàëüíîìó ñðåäíåìó çíà÷åíèþ ixm ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêîãî

îæèäàíèÿ ñîîòâåòñòâóåò íèæíÿÿ ãðàíèöà *inf xg G

m∈rr âûáîðî÷íîãî ñðåä-

íåãî, à ìàêñèìàëüíîìó ñðåäíåìó çíà÷åíèþ sxm – âåðõíÿÿ ãðàíèöà*sup x

g Gm

∈rr

âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî, ò. å. ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî (16.1).

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ðàññìîòðåííûå â ïàðàãðàôå 16.1ìîäèôèêàöèè çàêîíà áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòèñëó÷àéíûõ âåëè÷èí äîïóñêàþò îáîáùåíèÿ íà ñëó÷àé ïîñëåäîâà-òåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, â ÷àñòíîñòè òåîðåìà 5, îï-ðåäåëÿþùèå íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñõîäèìîñòèïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ïî âåðîÿòíîñòè (óñèëåííûé çàêîí áîëü-øèõ ÷èñåë).

Ýòà òåîðåìà ôîðìóëèðóåòñÿ äëÿ íåîäíîðîäíîé âûáîðêè ãè-ïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.

Òåîðåìà 9 (àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìå 5). Ïóñòü 1, , NX XK – ãèïåð-

ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà, *ixm , *

sxm – ãðàíèöû ãèïåðñëó÷àéíîãî âûáîðî÷-

íîãî ñðåäíåãî *

1

1 N

x nn

m XN =

= ∑ , à ixm , sxm – ãðàíèöû ãèïåðñëó÷àé-

íîé âåëè÷èíû / , x x gm m g G= ∈r r

rr, ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé ìíîæå-

16.2. Теоремы о сходимости границ среднего гиперслучайной выборки

223

ñòâî ñðåäíèõ / /1

1n n

N

x g x gn

m mN =

= ∑r r óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäà-

íèé 1 1/ /, ,

N Nx g x gm mK ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 1 1/ , , /N NX g X gK .

Òîãäà íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñõîäèìîñòè ïîâåðîÿòíîñòè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî *

xm ê ìíîæåñòâó xm ñðåäíèõóñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìàâûáîðêè N ê áåñêîíå÷íîñòè è ñõîäèìîñòè ïî âåðîÿòíîñòè ãðà-íèö *

ixm , *sxm ýòîãî âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ñîîòâåòñòâåííî ê ãðà-

íèöàì ixm , sxm ÿâëÿåòñÿ ñòðåìëåíèå ê íóëþ äëÿ âñåõ g G∈rr

âå-ëè÷èí

* 2/

* 2/

M1

x g

x g

m

m

+

o

r r

o

r r

, (16.2)

ãäå */ /

1

1( / )

n n

N

x g n n x gn

m X g mN =

= −∑o

r r – ñðåäíåå öåíòðèðîâàííûõ óñ-

ëîâíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 1 1/ , , /N NX g X gK .Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 9 àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó òåîðå-

ìû 8. Ðàçëè÷èå ìåæäó äîêàçàòåëüñòâàìè ñîñòîèò ëèøü â òîì, ÷òîâìåñòî èñïîëüçîâàíèÿ óòâåðæäåíèÿ òåîðåìû ×åáûøåâà èñïîëü-çóåòñÿ óòâåðæäåíèå òåîðåìû 5.

Îáðàòèì âíèìàíèå, ÷òî ïðåäåëû óñëîâíûõ ñðåäíèõ ìàòåìà-òè÷åñêèõ îæèäàíèé /x gmr r ïðè ôèêñèðîâàííûõ g G∈

rr ìîãóò ñó-

ùåñòâîâàòü, à ìîãóò íå ñóùåñòâîâàòü.Åñëè îíè ñóùåñòâóþò äëÿ âñåõ g G∈

rr, òî ãèïåðñëó÷àéíîå âû-

áîðî÷íîå ñðåäíåå *xm ñõîäèòñÿ ê ìíîæåñòâó äåòåðìèíèðîâàííûõ

âåëè÷èí xm . Îòñóòñòâèå ïðåäåëà äëÿ êàêîãî-íèáóäü g G∈rr

îçíà-÷àåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùåå óñëîâíîå ñðåäíåå ìàòåìàòè÷åñêèõîæèäàíèé ëèáî ñòðåìèòñÿ ê ïëþñ èëè ìèíóñ áåñêîíå÷íîñòè, ëè-áî ñõîäèòñÿ ê èíòåðâàëó (ñì. ïàðàãðàô 16.1).

Â ñëó÷àå ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëîâ óñëîâíûõ ñðåäíèõ ìàòåìà-òè÷åñêèõ îæèäàíèé /x gmr r äëÿ âñåõ g G∈

rr ìíîæåñòâî ÷èñåë xm

ìîæåò áûòü îïèñàíî ìíîæåñòâîì óñëîâíûõ ôóíêöèé ðàñïðåäå-ëåíèÿ â âèäå ôóíêöèé åäèíè÷íîãî ñêà÷êà â òî÷êàõ /x gmr r . Ãðàíè-

öû ýòîãî ìíîæåñòâà ixm , sxm îïèñûâàþòñÿ ôóíêöèÿìè ðàñïðåäå-


224

Ðèñ. 16.2. Ñõåìà ôîðìèðîâà-íèÿ ãðàíèö ôóíêöèè ðàñ-ïðåäåëåíèÿ *

xSmF (õ), *

xImF (õ)

âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ãè-ïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ïðè

→ ∞N , êîãäà âûáîðî÷íîå

ñðåäíåå *xm è ñðåäíåå ìàòå-

ìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé xm –

ìíîæåñòâà ÷èñåë (à – ïðèðàçíûõ óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷å-ñêèõ îæèäàíèÿõ r r

/x gm , âñþäó

ïëîòíî çàïîëíÿþùèõ èíòåð-âàë [ , ]ix sxm m , á – ïðè îäè-

íàêîâûõ r r/x gm ∀ ∈

rrg G ), à

òàêæå êîãäà *xm è xm – êî-

íå÷íûå ìóëüòèèíòåðâàëû (â)

ëåíèÿ â âèäå ôóíêöèé åäèíè÷íîãî ñêà÷êà â òî÷êàõ ixm , sxm ,

ñîâïàäàþùèõ ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ãðàíèö Sxm , Ixm

( ix Sxm m= , sx Ixm m= ) (ðèñ. 16.2, à).

Íà ðèñóíêå êðèâûìè */1 1x gm

Fr r

(õ), */2 2x g

mF

r r(õ) èçîáðàæåíû ôóíêöèè

ðàñïðåäåëåíèÿ ñðåäíåãî äëÿ äâóõ ðàçíûõ âûáîðîê êîíå÷íîãî îáúå-ìà â óñëîâèÿõ 1g

r è 2g

r, à òî÷êàìè

1 1/x gmr r , 2 2/x gmr r íà îñè x – ñî-

îòâåòñòâóþùèå èì ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ.Êîãäà óñëîâíûå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ /x gmr r g G∀ ∈

rr âñþäó

ïëîòíî çàïîëíÿþò èíòåðâàë [ , ]ix sxm m , ãèïåðñëó÷àéíîå âûáîðî÷íîå

ñðåäíåå ïðèáëèæàåòñÿ ïðè N → ∞ ê èíòåðâàëüíîé âåëè÷èíå[ , ]ix sxm m , ïîêàçàííîé íà ðèñ. 16.2, à çàòåìíåííîé îáëàñòüþ.

Èíòåðåñåí âûðîæäåííûé ñëó÷àé, êîãäà óñëîâíûå ìàòåìàòè-÷åñêèå îæèäàíèÿ /x gmr r g G∀ ∈

rr îäèíàêîâû ( /x g xm m=r r ). Ïðè ýòîì

16.3. Теорема о сходимости оценок границ выборочного среднего

225

ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ixm , sxm ñîâïàäàþò

( = =ix sx xm m m ) è ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè ê áåñêîíå÷-íîñòè âûáîðî÷íîå ñðåäíåå ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñòðåìèòñÿê äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíå xm (ðèñ. 16.2, á).

Â ñëó÷àå ñõîäèìîñòè ïðè N → ∞ âñåõ óñëîâíûõ ñðåäíèõ ìà-

òåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ /x gmr r ê èíòåðâàëàì (ðèñ. 16, â) ãèïåð-

ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà xm ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìóëüòèèíòåðâàë(ìíîãîñâÿçíûé èíòåðâàë [Øàðûé, 2010]) – ìíîæåñòâî êîíå÷-íûõ èíòåðâàëîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñóíêå çàòåìíåííûìè îá-ëàñòÿìè.

Åñëè îòäåëüíûå èíòåðâàëû ìóëüòèèíòåðâàëà ïîëíîñòüþ ïå-ðåêðûâàþòñÿ, òî ìóëüòèèíòåðâàë xm âûðîæäàåòñÿ â èíòåðâàë

[ , ]ix sxm m . Òîãäà âûáîðî÷íîå ñðåäíåå *xm ïðè N → ∞ ôëóêòóèðó-

åò â ýòîì èíòåðâàëå, íå âûõîäÿ çà åãî ãðàíèöû.Òàêèì îáðàçîì, ïðè N → ∞ âûáîðî÷íîå ñðåäíåå ãèïåðñëó-

÷àéíîé âåëè÷èíû ìîæåò ñõîäèòüñÿ ê ôèêñèðîâàííîé âåëè÷èíå,ê ìíîæåñòâó ôèêñèðîâàííûõ âåëè÷èí (÷èñåë), ôëóêòóèðîâàòü âíåïåðåñåêàþùèõñÿ èíòåðâàëàõ óñëîâíûõ ãðàíèö, ôëóêòóèðîâàòüâî âñåì èíòåðâàëå [ , ]ix sxm m èëè ñòðåìèòüñÿ ê +∞ èëè −∞ .

Ôàêò ðàçëè÷èÿ òèïîâ âåëè÷èí, ê êîòîðûì ñòðåìÿòñÿ âûáî-ðî÷íûå ñðåäíèå ñëó÷àéíûõ è ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èãðàåòñóùåñòâåííóþ ðîëü â ïðèëîæåíèÿõ. Ê ýòîìó âîïðîñó ìû âåðíåì-ñÿ ïîçæå.

16.3. ТЕОРЕМА О СХОДИМОСТИ ОЦЕНОК ГРАНИЦВЫБОРОЧНОГО СРЕДНЕГО

Òåîðåìà 10. Ïóñòü 1, , NX XK – â îáùåì ñëó÷àå íåîäíîðîäíàÿ

ãèïåðñëó÷àéíàÿ âûáîðêà, ixm , sxm – ãðàíèöû ãèïåðñëó÷àéíîé

âåëè÷èíû / , x x gm m g G= ∈r r

rr, ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé ìíîæåñòâî

ñðåäíèõ / /1

1n n

N

x g x gn

m mN =

= ∑r r óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé

1 1/ /, ,N Nx g x gm mK ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 1 1/ , , /N NX g X gK , à âåëè-

÷èíû, îïèñûâàåìûå âûðàæåíèåì (16.2), ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ ïðèâñåõ g G∈

rr.


226

Èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè â íåêîíòðîëèðóåìî ìåíÿþ-ùèõñÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ ôîðìèðóåòñÿ L íåïåðåñåêàþ-ùèõñÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âûáîðîê 11 1 1( ,..., ),...,( ,..., )N L NLX X X X îáú-

åìîì N êàæäàÿ ( 2L ≥ ). Ïóñòü ïðè L → ∞ è N → ∞ ñîîòâåòñò-âóþùèå ýòèì âûáîðêàì ãèïåðñëó÷àéíûå âûáîðî÷íûå ñðåäíèå

1

* *1

1 1

1 1,...,

L

N N

x n x nLn n

m X m XN N= =

= =∑ ∑

âñþäó ïëîòíî çàïîëíÿþò èíòåðâàë [ , ]ix sxm m .Òîãäà ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèè êîëè÷åñòâà âûáîðîê

è îáúåìà êàæäîé âûáîðêè îöåíêè ãðàíèö âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî* *

1,inf

lix xl L

m m=

= , * *

1,sup

lsx xl L

m m=

= (16.3)

ñõîäÿòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ñîîòâåòñòâóþùèì ãðàíèöàì ixm , sxm

ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû xm :

*lim lim 0,ix ixL NP m m

→∞ →∞− > ε =

*lim lim 0sx sxL NP m m

→∞ →∞− > ε = .4

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ñîãëàñíî òåî-ðåìå 9, äëÿ ëþáîé l -é âûáîðêè ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîð-êè ê áåñêîíå÷íîñòè ãðàíèöû ãèïåðñëó÷àéíîãî âûáîðî÷íîãîñðåäíåãî *

lxm ñòðåìÿòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ãðàíèöàì ìàòåìàòè÷å-

ñêîãî îæèäàíèÿ ,ix sxm m ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû xm . Ýòî îç-íà÷àåò, ÷òî îáëàñòü çíà÷åíèé ãèïåðñëó÷àéíîãî âûáîðî÷íîãîñðåäíåãî *

lxm îãðàíè÷åíà èíòåðâàëîì, ñòðåìÿùèìñÿ ê èíòåðâàëó

[ , ]ix sxm m .

Ïîñêîëüêó ïðè L → ∞ è N → ∞ èìååò ìåñòî âñþäó ïëîòíîåçàïîëíåíèå èíòåðâàëà [ , ]ix sxm m âûáîðî÷íûìè ñðåäíèìè èñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà (16.3), ïðè íåîãðàíè÷åííîì óâåëè÷åíèèêîëè÷åñòâà âûáîðîê è îáúåìà êàæäîé âûáîðêè îöåíêè ãðàíèö

4 Íà íåîáõîäèìîñòü îáÿçàòåëüíîãî ââåäåíèÿ â óñëîâèå òåîðåìû âñþäó

ïëîòíîãî çàïîëíåíèÿ èíòåðâàëà [ , ]ix sxm m âûáîðî÷íûìè ñðåäíèìè îáðàòèë

âíèìàíèå àâòîðà Â.Í. Òóòóáàëèí.

16.4. Теорема, аналогичная теореме Бернулли

227

âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî *ixm , *

sxm ñõîäÿòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê òåì

æå ãðàíèöàì ,ix sxm m .

Èç òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ñîñòîÿòåëüíûå îöåíêè ãðàíèö ìàòå-ìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ìîãóò áûòüïîëó÷åíû âû÷èñëåíèåì ñðåäíèõ ïî ìíîæåñòâó îòñ÷åòîâ äëÿìíîæåñòâà âûáîðîê è ðàñ÷åòà ïî íèì èñêîìûõ ãðàíèö.

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî òàêèì æå ïóòåì ìîæíî âû÷èñëÿòü ñî-ñòîÿòåëüíûå îöåíêè ãðàíèö * *

1,inf

lix xl L

m mν ν=

= , * *

1,sup

lsx xl L

m mν ν=

= íà÷àëü-

íûõ ìîìåíòîâ ëþáîãî ïîðÿäêà ν , ãäå *lx

m ν – îöåíêà íà÷àëüíîãî

ìîìåíòà ν -ãî ïîðÿäêà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ l -é âûáîðêå.Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ðàññ÷èòûâàòü ãðàíèöû öåíòðàëüíûõ

ìîìåíòîâ *ixνµ , *

sxνµ ïî îïèñàííîé ñõåìå, ê ñîæàëåíèþ, íåëüçÿèç-çà îòñóòñòâèÿ íåîáõîäèìîé äëÿ ýòîãî èíôîðìàöèè îá îöåíêàõóñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé.

16.4. ТЕОРЕМА, АНАЛОГИЧНАЯ ТЕОРЕМЕБЕРНУЛЛИ

Òåîðåìà 11 (àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìå 1). Ïóñòü â íåêîíòðîëèðóåìîìåíÿþùèõñÿ ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèÿõ ïðîâîäèòñÿ ñåðèÿ N íå-çàâèñèìûõ îïûòîâ, â êàæäîì èç êîòîðûõ ìîæåò ïðîèçîéòèíåêîòîðîå ñîáûòèå A , ðàññìàòðèâàåìîå êàê ãèïåðñëó÷àéíîåñîáûòèå, ïðåäñòàâëÿåìîå ìíîæåñòâîì ñëó÷àéíûõ ñîáûòèé /A gâ óñëîâèÿõ g G∈ : /A A g G= ∈ .

Âåðîÿòíîñòü ïîÿâëåíèÿ ñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ /A g â ôèêñè-

ðîâàííûõ óñëîâèÿõ g G∈ ðàâíÿåòñÿ /a gp . Íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ

ãðàíèöû âåðîÿòíîñòè ãèïåðñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ A ñîîòâåòñòâåí-íî ðàâíû IaP , SaP . ×àñòîòà ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A â ðàññìàòðè-

âàåìîé ñåðèè îïûòîâ îïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèåì aNN

Ξ = , ãäå

aN – ÷èñëî îïûòîâ, â êîòîðûõ ïðîèçîøëî ñîáûòèå A . Ýòà ÷àñ-òîòà – ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïðåäñòàâëÿåìàÿ ìíîæåñòâîìñëó÷àéíûõ âåëè÷èí / gΞ ( g G∈ ): / g GΞ = Ξ ∈ .

Òîãäà ãðàíèöû ( )IF ξ ξ , ( )SF ξ ξ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ( )Fξ ξ


228

÷àñòîòû Ξ ïðè N → ∞ ñõîäÿòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ôóíêöèÿìåäèíè÷íîãî ñêà÷êà â òî÷êàõ IaP , SaP .

Äîêàçàòåëüñòâî îñíîâàíî íà òåîðåìå 8. Ãèïåðñëó÷àéíîå ñî-áûòèå A ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíóX , ïðèíèìàþùóþ çíà÷åíèå, ðàâíîå åäèíèöå, êîãäà ïðîèñõîäèòñîáûòèå A , è çíà÷åíèå, ðàâíîå íóëþ, êîãäà ñîáûòèå íå ïðîèñ-õîäèò.

Óñëîâíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå /x gm ñëó÷àéíîé âåëè÷è-

íû /X g ðàâíî /a gp , à óñëîâíàÿ äèñïåðñèÿ

2 2/ / / / / / /(1 ) (0 ) (1 ) (1 )x g a g a g a g a g a g a gD p p p p p p= − + − − = −

– âåëè÷èíà îãðàíè÷åííàÿ.Ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè-

÷èíû X ðàâíû IaP , SaP . Âûáîðî÷íîå ñðåäíåå ãèïåðñëó÷àéíîé

âåëè÷èíû X ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ÷àñòîòó aNN

Ξ = ïîÿâëåíèÿ ñî-

áûòèÿ A .Òîãäà íà îñíîâàíèè òåîðåìû 8 ñïðàâåäëèâî óòâåðæäåíèå äî-

êàçûâàåìîé òåîðåìû.Èç òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà îïûòîâ

( )N → ∞ ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ A âíå çàâèñèìîñòè îò êî-

ëè÷åñòâà óñëîâèé G (åñëè 1G ≠ ) íàõîäèòñÿ â äèàïàçîíå[ , ]Ia SaP P . Ïðè ýòîì ÷àñòîòà ïîÿâëåíèÿ ñîáûòèÿ íå ñòðåìèòñÿ êêàêîìó-òî êîíêðåòíîìó çíà÷åíèþ.

229

Глава 17

ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМАДЛЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Äîêàçàíà öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âå-ëè÷èí, àíàëîãè÷íàÿ öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå äëÿ ñëó÷àéíûõâåëè÷èí.

17.1. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМАДЛЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñïðàâåäëèâà òåîðåìà, àíàëîãè÷íàÿöåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. Îíàîïðåäåëÿåò çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî âûáîðî÷íîãîñðåäíåãî ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìà âûáîðêè ê áåñêîíå÷íîñòè.Ïðåæäå ÷åì ïåðåõîäèòü ê ðàññìîòðåíèþ òåîðåìû, íàïîìíèì áåçäîêàçàòåëüñòâà öåíòðàëüíóþ ïðåäåëüíóþ òåîðåìó äëÿ ñëó÷àéíûõâåëè÷èí.

Òåîðåìà 1 (Ëèíäåáåðãà–Ôåëëåðà). Ïóñòü 1, , NX XK – â îáùåìñëó÷àå íåîäíîðîäíàÿ ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà, ýëåìåíòû êîòîðîé âçà-èìíî íåçàâèñèìû è îïèñûâàþòñÿ ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ

( )nx

F x ñ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè nx

m è äèñïåðñèÿìè nx

D

( 1,n N= ). Âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå Ëèíäåáåðãà: ïðè ëþáîì 0ε >

22

1 ε

1lim ( ) d ( )

n n

x Nn

N

x xN nN x m B

x m F xB→∞ = − >

− =∑ ∫ 0, (17.1)

ãäå 2

1n

N

N xn

B D=

= ∑ – ñóììà äèñïåðñèé nx

D ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí nX .

Òîãäà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ *xP m x<r âûáîðî÷íîãî ñðåä-

íåãî *

1

1 N

x nn

m XN =

= ∑r ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî ê ãàóññîâñêîé ôóíêöèè

Глава 17. Центральная предельная теорема для гиперслучайных величин

230

ðàñïðåäåëåíèÿ ( / , ) xx x

x

x mF x m D

D

−= Φ

rr r

r ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæè-

äàíèåì 1

1n

N

x xn

m mN =

= ∑r è äèñïåðñèåé 22

1x ND B

N=r :

*lim lim ( / , )x x xN NP m x F x m D

→∞ →∞< =r r r ,

ãäå ( ) 21exp( / 2)d

2

x

x z z−∞

Φ = −π ∫

.

Îòìåòèì, ÷òî óñëîâèå (17.1) ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòà-òî÷íûì óñëîâèåì ñõîäèìîñòè âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ê ãàóññîâ-ñêîìó ðàñïðåäåëåíèþ.

17.2. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМАДЛЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Íàçîâåì ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ôðàãìåíòàðíî-ãàóññîâñêîé, åñëèîíà îïèñûâàåòñÿ ôðàãìåíòàìè ãàóññîâñêèõ ôóíêöèé ðàñïðå-äåëåíèé. Àíàëèòè÷åñêè òàêóþ ôóíêöèþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü ââèäå

1

0 1

( ) ( / , )rect ,J

jj j

j j j

x xG x F x m D

x x

−

= +

−=

− ∑

ãäå [ ]rect x – Ï-îáðàçíàÿ ôóíêöèÿ:

[ ] 0 ïðè 0, 1,rect

1 ïðè 0 1,

x xx

x

≤ >= < ≤

0 1, , , Jx x xK – ïîñëåäîâàòåëüíûé ðÿä òî÷åê íà îñè x , â êîòîðûõ

ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå âèäà ðàñïðåäåëåíèÿ, 0x → −∞ , Jx → ∞ .Ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ íàçîâåì ïðåäåëüíîé ôðàãìåíòàðíî-

ãàóññîâñêîé, åñëè îíà ïîëó÷åíà èç ôðàãìåíòàðíî-ãàóññîâñêîéôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè áåñêîíå÷íî áîëüøîì êîëè÷åñòâåòî÷åê, â êîòîðûõ ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå âèäà ðàñïðåäåëåíèÿ.

Òåîðåìà 2. Ïóñòü 1, , NX XK – â îáùåì ñëó÷àå íåîäíîðîäíàÿãèïåðñëó÷àéíàÿ âûáîðêà ñ âçàèìíî íåçàâèñèìûìè ïðè âñåõ óñ-ëîâèÿõ g G∈

rr ýëåìåíòàìè, n -é ýëåìåíò âûáîðêè â óñëîâèÿõ ng

îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ / ( )n nx gF x ñ ìàòåìàòè÷å-

17.2. Центральная предельная теорема для гиперслучайных величин

231

ñêèì îæèäàíèåì /n nx gm è äèñïåðñèåé /n nx xD . Ïðè âñåõ óñëîâèÿõ

g G∈rr

âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå Ëèíäåáåðãà: ïðè ëþáîì 0ε >

/

2/ /2

1

1lim ( ) d ( ) 0

n n n n

x g Nn n

N

x g x gN nN x m B

x m F xB→∞ = − >ε

− =∑ ∫ ,

ãäå 2/

1n n

N

N x gn

B D=

= ∑ – ñóììà äèñïåðñèé /n nx gD ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

/n nX g ( 1,n N= ).

Òîãäà ïðè N → ∞ âåðõíÿÿ è íèæíÿÿ ãðàíèöû * ( )xSm

F x ,

* ( )xIm

F x ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî âûáîðî÷íîãî

ñðåäíåãî * */ ,x x gm m g G= ∈r r

rr, ãäå *

/1

1/

N

x g n nn

m X gN =

= ∑r r – ñëó÷àéíîå

ñðåäíåå â óñëîâèÿõ g G∈rr

, ðàâíîìåðíî ñòðåìÿòñÿ ê ïðåäåëüíûìôðàãìåíòàðíî-ãàóññîâñêèì ôóíêöèÿì ðàñïðåäåëåíèÿ.

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îñíîâàíî íà öåíòðàëüíîé ïðåäåëü-íîé òåîðåìå äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí (òåîðåìå Ëèíäåáåðãà–Ôåë-ëåðà).

Â ñîîòâåòñòâèè ñ öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìîé äëÿ ñëó-÷àéíûõ âåëè÷èí ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ *

/( )

x gmF x

r r ñëó÷àéíîãî

âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî */x gmr r ïðè N → ∞ ðàâíîìåðíî ñòðåìèòñÿ ê

ãàóññîâñêîìó ðàñïðåäåëåíèþ ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì

/ /1

1n n

N

x g x gn

m mN =

= ∑r r è äèñïåðñèåé 2/ 2

1x g ND B

N=r r :

*/ / /lim lim ( / , ) .x g x g x gN N

P m x F x m D g G→∞ →∞

< = ∀ ∈r r r r r r

rr

Ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ * ( )xSm

F x , * ( )xIm

F x ãèïåðñëó-

÷àéíîãî ñðåäíåãî *xm ôîðìèðóþòñÿ èç ôðàãìåíòîâ ôóíêöèé ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ */

( )x gm

F xr r ñëó÷àéíûõ ñðåäíèõ */x gmr r , g G∈

rr (ðèñ. 17.1).

Ïðè áîëüøîì N ýòè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïðèáëèæàþòñÿê ãàóññîâñêèì ðàñïðåäåëåíèÿì. Ïîñêîëüêó äâå ðàçíûå ãàóññîâ-ñêèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïåðåñåêàþòñÿ íå áîëåå ÷åì â îäíîéòî÷êå, ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ * ( )

xSmF x , * ( )

xImF x ãèïåð-

Глава 17. Центральная предельная теорема для гиперслучайных величин

232

Ðèñ. 17.1. Âååð ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ

r r*/

( )x gm

F x ñëó÷àéíûõ ñðåäíèõ r r*/x gm

(òîíêèå êðèâûå), âåðõíÿÿ * ( )xSm

F x (æèð-

íàÿ ñïëîøíàÿ êðèâàÿ) è íèæíÿÿ * ( )xIm

F x

(æèðíàÿ øòðèõîâàÿ êðèâàÿ) ãðàíèöûôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî

ñðåäíåãî *xm , = constN

ñëó÷àéíîãî ñðåäíåãî *xm ïðè N → ∞ ðàâíîìåðíî ñòðåìÿòñÿ ê

ïðåäåëüíûì ôðàãìåíòàðíî-ãàóññîâñêèì ôóíêöèÿì ðàñïðåäåëåíèÿ.Çàìåòèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ òåîðåìà, óòâåðæäàþùàÿ, ÷òî â

ñëó÷àå âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ Ëèíäåáåðãà ïðè óñòðåìëåíèè îáúåìàâûáîðêè ê áåñêîíå÷íîñòè èìååò ìåñòî ôðàãìåíòàðíî-ãàóññîâ-ñêèé õàðàêòåð ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âûáîðî÷íîãîñðåäíåãî, íå ïðîòèâîðå÷èò òåîðåìå 8 ïðåäûäóùåé ãëàâû, óòâåð-æäàþùåé ñõîäèìîñòü ýòèõ ãðàíèö ê ôèêñèðîâàííûì âåëè÷èíàì(ãðàíèöàì âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ixm , sxm ).

Èíà÷å ãîâîðÿ, â ñëó÷àå âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ Ëèíäåáåðãàôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ïðè óâå-ëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè N ïðèáëèæàþòñÿ ê ôóíêöèÿì, îïè-ñûâàåìûì ôðàãìåíòàðíî-ãàóññîâñêèìè ðàñïðåäåëåíèÿìè, êîòî-ðûå ïðè N → ∞ ïåðåõîäÿò â ôóíêöèè åäèíè÷íîãî ñêà÷êà â òî÷-êàõ ixm è sxm .

233

Глава 18

ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ВЕЛИЧИН

Îïèñàíû ðàçëè÷íûå ìîäåëè èçìåðåíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí. Èññëå-äîâàíà äåòåðìèíèðîâàííî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ. Äëÿòî÷å÷íûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ââåäåíû ïîíÿòèÿ íåñìåùåííîé,ñîñòîÿòåëüíîé, ýôôåêòèâíîé è äîñòàòî÷íîé îöåíîê, à äëÿ èí-òåðâàëüíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê – ïîíÿòèÿ äîâåðèòåëüíîãî èí-òåðâàëà è ãðàíèö äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè. Äîêàçàíû òåîðå-ìû, îïðåäåëÿþùèå ãðàíèöû âåðõíåé ãðàíèöû òî÷íîñòè òî÷å÷íîéîöåíêè è ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà èíòåðâàëüíîé îöåíêè.Ïîêàçàíî, ÷òî èç-çà íåêîíòðîëèðóåìîé èçìåí÷èâîñòè óñëîâèé íà-áëþäåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûå îöåíêè äåòåðìèíèðîâàííûõ âåëè÷èí íåñîñòîÿòåëüíû, à òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ – îãðàíè÷åíà.

18.1. МОДЕЛИ ИЗМЕРЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХВЕЛИЧИН

Ïðè ïîñòðîåíèè ôèçè÷åñêèõ ìîäåëåé èçìåðÿåìûõ âåëè÷èí è èõîöåíîê, êàê ïðàâèëî, ïðåäïîëàãàþò, ÷òî âåëè÷èíû, ïîäëåæàùèåèçìåðåíèþ, íîñÿò äåòåðìèíèðîâàííûé, à èõ îöåíêè èç-çà âîç-äåéñòâèÿ ðàçëè÷íûõ ìåøàþùèõ ôàêòîðîâ – ñëó÷àéíûé õàðàê-òåð. Ïîýòîìó äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ èçìåðÿåìûõ âåëè-÷èí ÷àñòî èñïîëüçóþò äåòåðìèíèðîâàííûå ìàòåìàòè÷åñêèå ìî-äåëè, à äëÿ îïèñàíèÿ èõ îöåíîê – ñëó÷àéíûå (ñòîõàñòè÷åñêèå)ìîäåëè ñ îïðåäåëåííûìè çàêîíàìè ðàñïðåäåëåíèÿ. Íà ýòîì ïî-ñòðîåíà âñÿ ñîâðåìåííàÿ êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿ èçìåðåíèé, ÿâ-ëÿþùàÿñÿ òåîðåòè÷åñêîé áàçîé ïîâñåìåñòíî èñïîëüçóåìîé ïðè-êëàäíîé ìåòðîëîãèè.

Èíîãäà ïîëàãàþò, ÷òî íå òîëüêî îöåíêà, íî è èçìåðÿåìàÿ âå-ëè÷èíà íîñèò ñëó÷àéíûé õàðàêòåð.

Íà ðèñ. 18.1, 18.2 äëÿ ñêàëÿðíîé èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû è ååîöåíêè ñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ñîîò-

Глава 18. Гиперслучайные оценки детерминированных величин

234

Ðèñ. 18.1. Äåòåðìèíèðîâàííî-ñëó-÷àéíàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ

âåòñòâóþùèå óêàçàííûì äåòåðìèíèðîâàííî-ñëó÷àéíîé è ñëó÷àéíî-ñëó÷àéíîé ìîäåëÿì èçìåðåíèÿ.

Ïðèáëèæåííî äåòåðìèíèðîâàííóþ âåëè÷èíó θ ìîæíî ðàñ-ñìàòðèâàòü êàê ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ñ δ -îáðàçíîé ïëîòíîñòüþðàñïðåäåëåíèÿ â òî÷êå θ . Ïîýòîìó íà ðèñ 18.1 äåòåðìèíèðîâàí-íàÿ âåëè÷èíà θ ïðåäñòàâëåíà ñêà÷êîîáðàçíîé ôóíêöèåé ðàñïðå-äåëåíèÿ.

Íà ðèñ. 18.1, 18.2 * ( )Fθθ – ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àé-

íîé îöåíêè ∗Θ ; ( )Fθ θ – ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èçìåðÿåìîé

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ ; 0ε – ñìåùåíèå îöåíêè (åñëè èçìåðÿå-

ìàÿ âåëè÷èíà – äåòåðìèíèðîâàííàÿ, òî *0 mθ

ε = − θ , åñëè ñëó-

÷àéíàÿ, òî *0 m mθθε = − ); *m

θ – ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå îöåí-

êè ∗Θ ; mθ – ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå èçìåðÿåìîé ñëó÷àéíîé

âåëè÷èíû Θ ; θσ , *θσ – ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ ñîîò-

âåòñòâåííî èçìåðÿåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ è åå îöåíêè ∗Θ .Îáîáùåíèåì äåòåðìèíèðîâàííî-ñëó÷àéíîé è ñëó÷àéíî-ñëó-

÷àéíîé ìîäåëåé ÿâëÿþòñÿ äåòåðìèíèðîâàííî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ(ðèñ. 18.3) è ñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ (ðèñ. 18.4) ìîäåëè. Â ïåðâîéìîäåëè èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà îïèñûâàåòñÿ äåòåðìèíèðîâàííîé, àâî âòîðîé – ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Â îáåèõ ìîäåëÿõ îöåíêàïðåäñòàâëÿåòñÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé.

Íà ðèñóíêàõ * ( )S

Fθθ è * ( )

IF

θθ – ñîîòâåòñòâåííî âåðõíÿÿ è

íèæíÿÿ ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé îöåí-êè ∗Θ ; 0Sε è 0Iε – ñìåùåíèÿ âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö ôóíêöèè

Ðèñ. 18.2. Ñëó÷àéíî-ñëó÷àéíàÿ ìî-äåëü èçìåðåíèÿ

18.1. Модели измерения физических величин

235

Ðèñ. 18.3. Äåòåðìèíèðîâàííî-ãè-ïåðñëó÷àéíàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ

Ðèñ. 18.4. Ñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àé-íàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ

Ðèñ. 18.5. Äåòåðìèíèðîâàííî-èíòåðâàëüíàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ

ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè îòíîñèòåëüíî èçìåðÿå-ìîé âåëè÷èíû (åñëè ýòà âåëè÷èíà – äåòåðìèíèðîâàííàÿ, òî

θε = − θ*0 ,S S

m *0I Im

θε = − θ , åñëè ñëó÷àéíàÿ, òî *0S S

m mθθε = − ,

*0I Im mθθ

ε = − ); *Sm

θ, *I

mθ

– ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ âåðõíåé è

íèæíåé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè; *Sθσ , *I θ

σ – ñðåäíåêâàäðà-

òè÷åñêèå îòêëîíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé îöåí-êè. Çîíà íåîïðåäåëåííîñòè ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè ïîêàçàíà çàòåì-íåííîé îáëàñòüþ.

Îïðåäåëåííûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò äåòåðìèíèðîâàííî-èíòåð-âàëüíàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ, â êîòîðîé èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà ðàñ-ñìàòðèâàåòñÿ êàê äåòåðìèíèðîâàííàÿ, à îöåíêà – êàê èíòåð-âàëüíàÿ âåëè÷èíà.

Íà ðèñ. 18.5 äëÿ âåëè÷èíû θ è èíòåðâàëüíîé îöåíêè ∗Θñõåìàòè÷íî èçîáðàæåíà òàêàÿ ìîäåëü. Çîíà íåîïðåäåëåííîñòèèíòåðâàëüíîé âåëè÷èíû ïðåäñòàâëåíà çàòåìíåííîé îáëàñòüþ.

Ñëåäóþùèì øàãîì îáîáùåíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòü ãèïåðñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíóþ ìîäåëü èçìåðåíèÿ, â êîòîðîé èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíàè åå îöåíêà ïðåäñòàâëÿþòñÿ ãèïåðñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. Ýòàìîäåëü íàèáîëåå òî÷íî è àäåêâàòíî îïèñûâàåò ïðîöåäóðó èçìå-ðåíèÿ.


236

Íà÷íåì ðàññìîòðåíèå ìîäåëåé èçìåðåíèÿ ñ äåòåðìèíèðîâàí-íî-ãèïåðñëó÷àéíîé ìîäåëè.

18.2. ТОЧЕЧНАЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНАЯ ОЦЕНКАДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îöåíêè äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû θ ïîðåçóëüòàòàì íàáëþäåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû /X X g G= ∈ .

Òî÷å÷íóþ ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó *Θ áóäåì ðàññìàòðèâàòü êàê

íåêîòîðóþ ñòàòèñòèêó – ôóíêöèþ âûáîðêè Xr

îáúåìà N èç ãè-ïåðñëó÷àéíîé ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè. Îöåíêó *Θ ìîæíî

îïèñàòü ìíîæåñòâîì ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí * / gΘ , ñîîòâåòñòâóþùèõ

ðàçëè÷íûì óñëîâèÿì g G∈ : * * / g GΘ = Θ ∈ . Ñëó÷àéíàÿ îöåíêà* / gΘ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ñëó÷àéíîé âûáîðêè /X g

r.

Êîíêðåòíóþ âåëè÷èíó *θ ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè *Θ ìîæíî

ïðåäñòàâèòü ìíîæåñòâîì äåòåðìèíèðîâàííûõ âåëè÷èí * / gθ ,

ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçëè÷íûì óñëîâèÿì g G∈ : * * / g Gθ = θ ∈ .

Â çàâèñèìîñòè îò ïîñòàíîâêè çàäà÷è òî÷íîñòü òî÷å÷íîéîöåíêè ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü ïî-ðàçíîìó. Â îáùåì ñëó÷àå òî÷-íîñòü õàðàêòåðèçóåò ãèïåðñëó÷àéíàÿ ïîãðåøíîñòü *Z = Θ − θ . Ïðèôèêñèðîâàííîì óñëîâèè g â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà òî÷íîñòè îöåí-

êè *Θ ìîæåò âûñòóïàòü âåëè÷èíà 2/z g∆ – ìàòåìàòè÷åñêîå îæè-

äàíèå ñðåäíåãî êâàäðàòà ñëó÷àéíîé ïîãðåøíîñòè */ /Z g g= Θ − θ :

22 */ /z g g ∆ = Μ Θ − θ

.

Äëÿ õàðàêòåðèñòèêè òî÷íîñòè îöåíêè áåç êîíêðåòèçàöèè óñ-ëîâèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü èíòåðâàë, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ âåëè÷è-

íà 2/z g∆ . Îöåíêà * / gθ ìîæåò áûòü êàê áîëüøå, òàê è ìåíüøå èç-

ìåðÿåìîé âåëè÷èíû. Ïîýòîìó âåðõíÿÿ ãðàíèöà ýòîãî èíòåðâàëà

2 2 2max max[ , ],Sz Iz∆ = ∆ ∆

ãäå 22 *M [ ],Sz S∆ = Θ − θ

22 *M [ ]Iz I∆ = Θ − θ – ñðåäíèå êâàäðàòû ïî-

18.3. Несмещенная и состоятельная гиперслучайные оценки …

237

ãðåøíîñòè Z , ðàññ÷èòàííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîîòâåòñòâåííîâåðõíåé * ( )

SF

θθ è íèæíåé * ( )

SF

θθ ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.

Òî÷íîñòü òî÷å÷íîé îöåíêè ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü òàêæåãðàíèöàìè ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè Z :

2 22 * 2 *inf [ / ], sup [ / ].iz szg G g Gg g

∈ ∈∆ = Μ Θ − θ ∆ = Μ Θ − θ

18.3. НЕСМЕЩЕННАЯИ СОСТОЯТЕЛЬНАЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ

ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó *Θ äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû θ áóäåìíàçûâàòü íåñìåùåííîé (ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g G∈ ), åñëè äëÿ âñåõ

g G∈ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå **

/M[ / ]

gm g

θ= Θ óñëîâíîé

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû * / gΘ ðàâíî îöåíèâàåìîé âåëè÷èíå: * / gm

θ= θ .

Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå îöåíêó áóäåì íàçûâàòü ñìåùåííîé. Âåëè÷èíàñìåùåíèÿ (ñèñòåìàòè÷åñêàÿ ïîãðåøíîñòü) â óñëîâèÿõ g îïèñûâàåòñÿ

âûðàæåíèåì *0 / /g gm

θε = − θ .

Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì íåñìåùåííîñòè ãèïåðñëó÷àéíîéîöåíêè ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî ìåæäó ñîáîé ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäà-íèé */g

m g Gθ

∀ ∈ . Ïðè ðàçëè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèÿõ

*/gm

θ äëÿ ðàçíûõ óñëîâèé g îöåíêà *Θ îêàçûâàåòñÿ ñìåùåííîé.

Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî äàæå äëÿ íåñìåùåííîéîöåíêè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö *S

mθ

, *Im

θ íå âñåãäà

ðàâíû ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèÿì */gm

θ óñëîâíûõ ñëó÷àéíûõ

âåëè÷èí * / gΘ . Ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî, åñëè óñëîâèÿ ïîñòîÿííû(ïðè ýòîì ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà âûðîæäàåòñÿ â ñëó÷àéíóþâåëè÷èíó).

Ãðàíèöû 2Sz∆ , 2

Iz∆ è 2iz∆ , 2

sz∆ ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì

îáðàçîì:2 2 2Sz Sz Szm∆ = + σ , 2 2 2

Iz Iz Izm∆ = + σ ,

2 2 2/ /inf[ ]iz z g z gg G

m∈

∆ = + σ , 2 2 2/ /sup[ ]sz z g z g

g Gm

∈∆ = + σ ,


238

Ðèñ. 18.6. Âååð óñëîâíûõôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ

θθ* /

( )g

F (òîíêèå êðèâûå)

äëÿ ðàçëè÷íûõ óñëîâèég , âåðõíÿÿ

θθ* ( )

SF (æèð-

íàÿ ñïëîøíàÿ êðèâàÿ) èíèæíÿÿ

θθ* ( )

IF (æèðíàÿ

ïóíêòèðíàÿ êðèâàÿ) ãðà-íèöû ôóíêöèè ðàñïðåäå-

ëåíèÿ

ãäå * 0Sz SSm m

θ= − θ = ε , * 0Iz II

m mθ

= − θ = ε – ìàòåìàòè÷åñêèå îæè-

äàíèÿ ãðàíèö ïîãðåøíîñòè, ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ñìåùåíèÿîöåíêè îòíîñèòåëüíî ñîîòâåòñòâåííî âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö

ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ; ( )2 2

Sz S SzZ m σ = Μ −

, ( )2 2

Iz I IzZ m σ = Μ −

–

äèñïåðñèè ãðàíèö ïîãðåøíîñòè; ( )2* *

22 *

/ / //z g g gg m

θ θ

σ = σ = Μ Θ − –

óñëîâíàÿ äèñïåðñèÿ ïîãðåøíîñòè, ñîâïàäàþùàÿ ñ óñëîâíîé äèñ-ïåðñèåé îöåíêè (ðèñ. 18.6).

Ïîãðåøíîñòü â íåîïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ /z g îïèñûâàåòñÿíåðàâåíñòâîì

0 0/S Sz I Izk z g kε − σ < < ε + σ , (18.1)

à èíòåðâàë íàõîæäåíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû θ ïðè íàëè÷èè

îöåíêè * / gθ – íåðàâåíñòâîì

* *0 0/ /I Iz S Szg k g kθ − ε − σ < θ < θ − ε + σ , (18.2)

ãäå k – êîíñòàíòà, îïðåäåëÿþùàÿ ñòåïåíü äîâåðèÿ.

Åñëè óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ îöåíêè * / gΘ íå ïå-ðåñåêàþòñÿ è ñ âîçðàñòàíèåì óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäà-íèé îöåíêè */g

mθ

èõ óñëîâíûå äèñïåðñèè *2

/ gθσ óâåëè÷èâàþòñÿ

(òèï ðàñïðåäåëåíèÿ «à» â ñîîòâåòñòâèè ñ êëàññèôèêàöèåé, ââå-äåííîé â ïàðàãðàôå 6.5) èëè óìåíüøàþòñÿ (òèï ðàñïðåäåëåíèÿ«á»), ýòîò èíòåðâàë îïðåäåëÿåòñÿ ãðàíèöàìè ñìåùåíèÿ 0iε , 0sε è

ãðàíèöàìè ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ îöåíêè *iθσ , *sθ

σ .

Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òèïà «à» îí ðàâåí


239

* ** *

0 0[ / , / ]s is ig k g k

θ θθ − ε − σ θ − ε + σ ,

à äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òèïà «á» –

* ** *

0 0[ / , / ]s ii sg k g k

θ θθ − ε − σ θ − ε + σ .

Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó *Θ äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû θ íà-çîâåì ñîñòîÿòåëüíîé, åñëè ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g G∈ îíà ñõîäèòñÿïî âåðîÿòíîñòè ê ýòîé âåëè÷èíå:

lim / 0N

P g g G∗

→∞Θ − θ > ε = ∀ ∈ ,

ãäå N – îáúåì âûáîðêè äëÿ êàæäîãî g ; 0ε > – êàê óãîäíîìàëîå ÷èñëî.

Äàëåêî íå âñå ãèïåðñëó÷àéíûå îöåíêè ñîñòîÿòåëüíû. Â ïà-ðàãðàôàõ 16.2, 16.3 îáðàùàëîñü âíèìàíèå íà òî, ÷òî â îáùåìñëó÷àå ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè ãèïåðñëó÷àéíîå ñðåäíååñòðåìèòñÿ íå ê îïðåäåëåííîìó ÷èñëó, à ê ìíîæåñòâó ÷èñåë.Ëèøü â èñêëþ÷èòåëüíîì ñëó÷àå îíî ñòðåìèòñÿ ê ÷èñëó. Ýòî îç-íà÷àåò, ÷òî îöåíêè, ñîõðàíÿþùèå ãèïåðñëó÷àéíûé õàðàêòåð ïðèN → ∞ , ìîãóò áûòü íå ñîñòîÿòåëüíûìè.

Íåñîñòîÿòåëüíûå ãèïåðñëó÷àéíûå îöåíêè áóäåì íàçûâàòüîöåíêàìè ãèïåðñëó÷àéíîãî òèïà, à ñîñòîÿòåëüíûå – ñëó÷àéíîãîòèïà.

Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ðåàëüíûå ñòàòèñòè÷åñêèå óñëîâèÿ íà-áëþäåíèÿ âåëè÷èí ïîñòîÿííî èçìåíÿþòñÿ. Ïîýòîìó ïðåäñòàâëÿ-åòñÿ âåñüìà ïðàâäîïîäîáíûì ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî îöåíêè âñåõðåàëüíûõ äåòåðìèíèðîâàííûõ âåëè÷èí, îáû÷íî ðàññìàòðèâàå-ìûå êàê ñëó÷àéíûå è ñîñòîÿòåëüíûå, â äåéñòâèòåëüíîñòè íîñÿòãèïåðñëó÷àéíûé õàðàêòåð è ñâîéñòâîì ñîñòîÿòåëüíîñòè íå îáëà-äàþò.

Ïðè èñïîëüçîâàíèè äåòåðìèíèðîâàííî-ñëó÷àéíîé ìîäåëèèçìåðåíèÿ ïîãðåøíîñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíóþ âåëè÷è-íó. Îíà ìîæåò áûòü îïèñàíà äâóìÿ ñîñòàâëÿþùèìè: ñèñòåìàòè-÷åñêîé, íå èçìåíÿþùåéñÿ â ïðîöåññå ôîðìèðîâàíèÿ âûáîðêè,è ñëó÷àéíîé ñîñòàâëÿþùåé ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäà-íèåì, èçìåíÿþùåéñÿ îò îïûòà ê îïûòó. Ýòè ñîñòàâëÿþùèåìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü äâóìÿ ïàðàìåòðàìè: ñìåùåíèåì 0ε è

ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì zσ . Ïðè ýòîì ïîãðåøíîñòü

z êîíêðåòíîãî èçìåðåíèÿ ìîæåò áûòü îïèñàíà íåðàâåíñòâîì


240

0 0z zk z kε − σ < < ε + σ .

Â ñëó÷àå äåòåðìèíèðî-âàííî-ãèïåðñëó÷àéíîé ìî-äåëè èçìåðåíèé ïîãðåø-íîñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó.Îíà îïðåäåëÿåòñÿ çîíîéíåîïðåäåëåííîñòè è îïèñû-âàåòñÿ íåðàâåíñòâîì (18.1),

â êîòîðîì ôèãóðèðóþò ÷åòûðå ïàðàìåòðà: 0 0, , ,S I Sz Izε ε σ σ . Ýòè

ïàðàìåòðû çàäàþò íà îñè ïîãðåøíîñòè ìåñòîïîëîæåíèå è ðàçìåðçîíû íåîïðåäåëåííîñòè (ðèñ. 18.7).

Â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿðàçëè÷àþòñÿ ëèøü ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè (òîãäà

Sz Iz zσ = σ = σ ), ïîãðåøíîñòü Z ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà àääè-

òèâíîé ìîäåëüþ 0Z z Z= + % ñ äâóìÿ ñîñòàâëÿþùèìè: íåîïðåäå-

ëåííîé ñîñòàâëÿþùåé 0z , õàðàêòåðèçóþùåé ìåñòîïîëîæåíèå èïðîòÿæåííîñòü çîíû íåîïðåäåëåííîñòè, è ñëó÷àéíîé ñîñòàâëÿþ-ùåé Z% , õàðàêòåðèçóþùåé ôîðìó ýòîé çîíû.

Íåîïðåäåëåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ 0z – ñòàòèñòè÷åñêè íåïðî-ãíîçèðóåìàÿ – ìîæåò áûòü îïèñàíà èíòåðâàëüíîé âåëè÷èíîé

0 0[ , ]S Iε ε , à ñëó÷àéíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ Z% – ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì

îòêëîíåíèåì σz .

Íåîïðåäåëåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ 0z ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëå-

íà â âèäå ñóììû ñèñòåìàòè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé 0 0Sz ′ = ε , õà-ðàêòåðèçóþùåé íà÷àëî çîíû íåîïðåäåëåííîñòè, è èíòåðâàëü-íîé âåëè÷èíû 0 0 0[0, ]I Sz ′′ = ε − ε , õàðàêòåðèçóþùåé ïðîòÿæåí-íîñòü ýòîé çîíû íåîïðåäåëåííîñòè. Ïðè ýòîì ïîãðåøíîñòüèìååò òðè ñîñòàâëÿþùèå: ñèñòåìàòè÷åñêóþ, ñëó÷àéíóþ è èí-òåðâàëüíóþ.

Òàêèì îáðàçîì, â äåòåðìèíèðîâàííî-ñëó÷àéíîé è äåòåðìè-íèðîâàííî-ãèïåðñëó÷àéíîé ìîäåëÿõ èçìåðåíèÿ ïîãðåøíîñòèîêàçûâàþòñÿ ðàçíûìè. Â ïåðâîì ñëó÷àå ïîãðåøíîñòü íîñèòñëó÷àéíûé õàðàêòåð è ñîäåðæèò ñèñòåìàòè÷åñêóþ è ñëó÷àéíóþñîñòàâëÿþùèå. Âî âòîðîì ñëó÷àå îíà íîñèò ãèïåðñëó÷àéíûéõàðàêòåð è â îáùåì ñëó÷àå íå ìîæåò áûòü ðàçëîæåíà íà óêàçàííûå

Ðèñ. 18.7. Ìîäåëü ïîãðåøíîñòè èçìåðåíèÿ

18.4. Эффективная и достаточная гиперслучайные оценки …

241

ñèñòåìàòè÷åñêóþ è ñëó÷àéíóþ ñîñòàâëÿþùèå. Â ÷àñòíîì ñëó÷àåïîãðåøíîñòü ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà òðåìÿ ñîñòàâëÿþùèìè:ñèñòåìàòè÷åñêîé, ñëó÷àéíîé è èíòåðâàëüíîé.

18.4. ЭФФЕКТИВНАЯ И ДОСТАТОЧНАЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕОЦЕНКИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Âàæíîé õàðàêòåðèñòèêîé îöåíêè ÿâëÿåòñÿ åå ýôôåêòèâíîñòü.Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó *

eΘ äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû θ íàçî-

âåì ýôôåêòèâíîé (ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g G∈ ), åñëè óñëîâíûå ìàòå-

ìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ îöåíêè * /e gΘ îò âå-

ëè÷èíû θ ïî ñîâîêóïíîñòè âûáîðîê çàäàííîãî îáúåìà N íå

áîëüøå, ÷åì äëÿ ëþáûõ äðóãèõ îöåíîê * /i gΘ :

2 2[( / ) ] M[( / ) ],e ig g∗ ∗Μ Θ − θ ≤ Θ − θ

1, 2,..., .i g G= ∀ ∈ (18.3)

Âåëè÷èíà * 2( / - )gΜ Θ θ â îáùåì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ äèñ-

ïåðñèåé îöåíêè *2

/ gθσ . Îíà îêàçûâàåòñÿ òàêîâîé ëèøü äëÿ íå-

ñìåùåííûõ îöåíîê. Äëÿ òàêèõ îöåíîê óñëîâèå ýôôåêòèâíîñòèìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå * *

2 2

/ /,

e ig gθ θσ ≤ σ 1, 2,i g G= … ∀ ∈ .

Ýôôåêòèâíîñòü îöåíêè, êàê è íåñìåùåííîñòü, çàâèñèò îòíàëè÷èÿ àïðèîðíûõ äàííûõ î ðàñïðåäåëåíèè ãèïåðñëó÷àéíîéâåëè÷èíû Õ è îò âèäà ðàñïðåäåëåíèÿ.

Ìåðîé ýôôåêòèâíîñòè ìîãóò ñëóæèòü ãðàíèöû îòíîñèòåëü-íîé ýôôåêòèâíîñòè îöåíêè sl , il , îïðåäåëÿåìûå êàê ãðàíèöûîòíîøåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ ýô-ôåêòèâíîé îöåíêè *

eΘ ê ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ êâàäðàòà

îòêëîíåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé îöåíêè *Θ :

* 2 * 2

* 2 * 2

M[( / ) ] M[( / ) ]sup , inf .

M[( / ) ] M[( / ) ]e e

s i g Gg G

g gl l

g g∈∈

Θ − θ Θ − θ= =

Θ − θ Θ − θ

Ãðàíèöû îòíîñèòåëüíîé ýôôåêòèâíîñòè íàõîäÿòñÿ â èíòåð-âàëå [0,1]. Â ñëó÷àå, êîãäà îöåíêà ýôôåêòèâíà, s il l= = 1.

Ãðàíèöû ïîãðåøíîñòè ìîæíî îöåíèòü ñ ïîìîùüþ ñëåäóþ-ùèõ òåîðåì.


242

Òåîðåìà 1. Ïóñòü ïî âûáîðêå xr îáúåìîì N äëÿ êàæäîãî óñ-

ëîâèÿ g G∈ ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà /X X g G= ∈r r

îöåíèâà-

åòñÿ äåòåðìèíèðîâàííàÿ âåëè÷èíà θ . Ïðè ýòîì ãðàíèöû îáëàñòèîïðåäåëåíèÿ N-ìåðíîé óñëîâíîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé

/ , ( )x gf xθr

r íå çàâèñÿò îò θ , ýòà ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè àáñîëþòíî

èíòåãðèðóåìà ïî xr, äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà ïî θ è, êðîìå

òîãî, äëÿ óñëîâíîé ñëó÷àéíîé îöåíêè */gΘ ñóùåñòâóþò ïåðâûå

äâà ìîìåíòà. Òîãäà ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè 2sz∆ ,

2iz∆ è ãðàíèöû *

2

sθσ , *

2

iθσ óñëîâíîé äèñïåðñèè îöåíêè *

2

/ gθσ îïðå-

äåëÿþòñÿ íåðàâåíñòâàìè

*

20 /2 2 1sup 1 ,g

sz gs g GJ −

θ ∈

∂ε ∆ ≥ σ ≥ + ∂θ

*

20 /2 2 1inf 1 ,g

iz gi g GJ −

θ ∈

∂ε ∆ ≥ σ ≥ + ∂θ

(18.4)

ãäå gJ – èíôîðìàöèÿ ïî Ôèøåðó:

22

/ , / ,

2

ln ( ) ln ( )M M ,x g x g

g

f X f XJ θ θ

∂ ∂ = = − ∂θ ∂θ

r r

r r

M[]⋅ – îïåðàòîð ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, äåéñòâóþùèé â

äàííîì ñëó÷àå íà âåêòîð Xr

.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îñíîâàíî íà èçâåñòíîì íåðàâåíñòâå

Êðàìåðà–Ðàî äëÿ ñëó÷àéíûõ îöåíîê [Ëåâèí, 1976, Âàí Òðèñ, 1972,Ãîðáàíü, 2003]. Ïðè âûïîëíåíèè óêàçàííûõ óñëîâèé äëÿ ñëó-÷àéíûõ âåëè÷èí */gΘ ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå íåðàâåíñòâî:

21

*0 /* 2 2

/M ( ) / 1 g

ggg J −

θ

∂ε Θ − θ ≥ σ ≥ + ∂θ

. (18.5)

Íà åãî îñíîâàíèè ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà (18.4).Èç âûðàæåíèÿ (18.4) âèäíî, ÷òî äëÿ îáåñïå÷åíèÿ íóëåâîé

äèñïåðñèè âåëè÷èíà 0 / g∂ε ∂θ äîëæíà áûòü ðàâíîé 1− . Îòñþäà

18.4. Эффективная и достаточная гиперслучайные оценки …

243

ñëåäóåò, ÷òî òàê æå, êàê è â ñëó÷àå ñëó÷àéíûõ îöåíîê, íåâîç-ìîæíî îäíîâðåìåííî îáåñïå÷èòü íóëåâîå ñìåùåíèå è íóëåâóþäèñïåðñèþ.

Äëÿ îäíîðîäíîé íåçàâèñèìîé âûáîðêè

/ , / ,1

( ) ( )n

N

x g x g nn

f x f xθ θ=

= ∏rr

è 2

/ ,

2

ln ( )M x g

g

f XJ N θ ∂

= − ∂θ

.

Âìåñòî ïðèâåäåííîãî âûøå îïðåäåëåíèÿ ýôôåêòèâíîé îöåí-êè ìîæíî ââåñòè äðóãîå îïðåäåëåíèå.

Ýôôåêòèâíîé îöåíêîé *eΘ íàçîâåì îöåíêó *Θ , äëÿ êîòîðîé

ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè

( )2

2 0 /* 1M sup 1 ,gs g

g GJ −

∈

∂ε Θ − θ = + ∂θ

( )2

2 0 /* 1M inf 1 .gi gg G

J −

∈

∂ε Θ − θ = + ∂θ (18.6)

Â îáùåì ñëó÷àå îïðåäåëåíèÿ (18.3) è (18.6) íå ýêâèâàëåíòíû.Åñëè ýôôåêòèâíàÿ îöåíêà â ñîîòâåòñòâèè ñ âûðàæåíèÿìè (18.6)âñåãäà óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó (18.3), òî ýôôåêòèâíàÿ îöåíêàâ ñîîòâåòñòâèè ñ âûðàæåíèåì (18.3) íå âñåãäà óäîâëåòâîðÿåò ðà-âåíñòâàì (18.6). Åñëè íå ñóùåñòâóåò ýôôåêòèâíîé îöåíêè â ñîîò-âåòñòâèè ñ âûðàæåíèÿìè (18.6), òî ýòè âûðàæåíèÿ õàðàêòåðèçóþòíå ïîòåíöèàëüíóþ òî÷íîñòü îöåíêè, à âåðõíþþ ãðàíèöó òî÷íî-ñòè îöåíêè.

Ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðàXr

ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíûõâåêòîðîâ / SX g

r è / IX g

r, ñîîòâåòñòâóþùèå íåêîòîðûì âèðòó-

àëüíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì Sg è Ig , êîòîðûå ìîãóò ïðèíàäëå-

æàòü, à ìîãóò è íå ïðèíàäëåæàòü ìíîæåñòâó G .Òåîðåìà 2. Ïóñòü ïî âûáîðêå x

r îáúåìîì N äëÿ êàæäîãî óñëî-

âèÿ g G∈ ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà /X X g G= ∈r r

îöåíèâàåòñÿ

äåòåðìèíèðîâàííàÿ âåëè÷èíà θ . Ïðè ýòîì ãðàíèöû îáëàñòè îï-ðåäåëåíèÿ N-ìåðíûõ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòåé ãðàíèö / , ( )

Sx gf xθr

r,


244

/ , ( )Ix gf xθ

rr

íå çàâèñÿò îò θ , ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé ãðàíèö àáñî-

ëþòíî èíòåãðèðóåìû ïî xr è äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìû ïî θ .

Êðîìå òîãî, äëÿ ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè *Θ ñóùåñòâóþò ïåðâûåäâà ìîìåíòà ãðàíèö. Òîãäà ñðåäíèå îòíîñèòåëüíî ãðàíèö êâàäðàòûàáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè 2

Sz∆ , 2Iz∆ è äèñïåðñèè ãðàíèö *

2

Sθσ , *

2

I θσ

îïðåäåëÿþòñÿ íåðàâåíñòâàìè

*

22 2 101 ,

S

SSz gS

J −θ

∂ε ∆ ≥ σ ≥ + ∂θ

*

22 2 101 ,

I

IIz gI

J −θ

∂ε ∆ ≥ σ ≥ + ∂θ (18.7)

ãäå Sg

J , Ig

J – èíôîðìàöèÿ ïî Ôèøåðó äëÿ ñîîòâåòñòâåííî

âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ:2

/ ,ln ( )M S

S

x gg

f XJ θ

∂ = ∂θ

r

r

,

2

/ ,ln ( )M I

I

x gg

f XJ θ

∂ = ∂θ

r

r

.

Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû îñíîâàíî íà íåðàâåíñòâå (18.5).Íà îñíîâàíèè íåðàâåíñòâà (18.5) ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà (18.7).

Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó *Θ äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû θ áóäåìíàçûâàòü äîñòàòî÷íîé (ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g G∈ ), åñëè äëÿ âñåõ

g G∈ N-ìåðíàÿ óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé * 1/ Nx gf x x

θ ,( , ..., )r

âûáîðêè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íå çàâèñèò îò âåëè÷èíû θ ,ò. å. îöåíêà íåñåò âñþ ñîñðåäîòî÷åííóþ â âûáîðêå ïîëåçíóþ èí-ôîðìàöèþ î θ .

Åñëè îöåíêà ýôôåêòèâíàÿ, òî îíà äîñòàòî÷íàÿ. Îáðàòíîå óò-âåðæäåíèå íåâåðíî.

18.5. Интервальная гиперслучайная оценка детерминированной величины

245

18.5. ИНТЕРВАЛЬНАЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНАЯ ОЦЕНКАДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Ðàññìîòðèì ãèïåðñëó÷àéíóþ èíòåðâàëüíóþ îöåíêó äåòåðìèíèðî-âàííîé âåëè÷èíû.

Ïóñòü äëÿ äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû θ ñóùåñòâóåò ãè-

ïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà *Θ , ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïî-

ãðåøíîñòè *Z =Θ − θ ýòîé îöåíêè îïèñûâàþòñÿ âûðàæåíèÿìè*( )SzF θ − θ , *( )IzF θ − θ , à ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö – âû-

ðàæåíèÿìè *( )Szf θ − θ , *( )Izf θ − θ (ðèñ. 18.8).

Âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî ïîãðåøíîñòü îöåíêè íå áîëüøå −ε ,îïðåäåëÿåòñÿ äâîéíûì íåðàâåíñòâîì

*( / )I SP gα ≤ Θ − θ ≤ −ε ≤ α ,

à âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî îíà íå ìåíüøå ε , – íåðàâåíñòâîì*( / )S IP gβ ≤ Θ − θ ≥ ε ≤ β ,

ãäå ( )dI Izf z z−ε

−∞

α = ∫ , ( )dS Szf z z−ε

−∞

α = ∫ ,

( )dS Szf z z∞

ε

β = ∫ , ( )dI Izf z z∞

ε

β = ∫ .

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè* *( / )P gΘ − ε < θ < Θ + ε

íàõîæäåíèÿ èñòèííîãî çíà÷åíèÿ âåëè÷èíû θ â äîâåðèòåëüíîì èí-

òåðâàëå * *( , / )I g= Θ − ε Θ + ε îïðåäåëÿþòñÿ äâîéíûì íåðàâåíñòâîì* *1 ( ) ( / ) 1 ( )S I I SP g− α + β ≤ Θ − ε < θ < Θ + ε ≤ − α + β .

Ïîäîáíî èíòåðâàëó * * * *[ , ]S S I I

m k m kθ θ θ θ− σ + σ , ýòî íåðàâåíñò-

âî õàðàêòåðèçóåò òî÷íîñòü ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè.

Ðèñ. 18.8. Ïëîòíîñòè ðàñ-ïðåäåëåíèÿ ãðàíèö ïîãðåø-

íîñòè Θ − θ*=Z


246

* * *

Òàêèì îáðàçîì, èç-çà èçìåíåíèé ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèé íà-áëþäåíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ðåàëüíûå îöåíêè íîñÿò ãèïåð-ñëó÷àéíûé õàðàêòåð. Ïðè ýòîì îíè íå îáëàäàþò ñâîéñòâîì ñî-ñòîÿòåëüíîñòè.

Â ðàìêàõ äåòåðìèíèðîâàííî-ãèïåðñëó÷àéíîé ìîäåëè èçìåðå-íèÿ ïîãðåøíîñòü îïèñûâàåòñÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé. Ååíåëüçÿ ðàçëîæèòü íà ñèñòåìàòè÷åñêóþ è ñëó÷àéíóþ ñîñòàâëÿþ-ùèå. Â ÷àñòíîì ñëó÷àå (ïðè ñîâïàäåíèè ôîðìû ãðàíèö ôóíêöèèðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòè) ïîãðåøíîñòü ìîæíî ïðåäñòàâèòü ââèäå ñóììû òðåõ ñîñòàâëÿþùèõ: ñèñòåìàòè÷åñêîé, èíòåðâàëüíîéè ñëó÷àéíîé.

247

Глава 19

ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Ðàññìîòðåíà ãèïåðñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ. Âû-âåäåíû ôîðìóëû, îïèñûâàþùèå ïîãðåøíîñòü ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêèãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû â îáùåì è ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ. Ïîëó÷åíû ñî-îòíîøåíèÿ, ïîçâîëÿþùèå ðàññ÷èòûâàòü ïîãðåøíîñòü ãèïåðñëó÷àé-íîé îöåíêè ïðè êîñâåííûõ èçìåðåíèÿõ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû.

19.1. ГИПЕРСЛУЧАЙНО-ГИПЕРСЛУЧАЙНАЯМОДЕЛЬ ИЗМЕРЕНИЯ

Ïîä ãèïåðñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíîé ìîäåëüþ èçìåðåíèÿ ïîíèìàåòñÿìîäåëü, â êîòîðîé èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà è åå îöåíêà ïðåäñòàâ-ëÿþòñÿ ãèïåðñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè.

Ïóñòü ìíîæåñòâî G îõâàòûâàåò ìíîæåñòâî âñåõ âàðèàíòîâóñëîâèé ôîðìèðîâàíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû è îöåíêè. Çà âðå-ìÿ âçÿòèÿ âûáîðêè â ôèêñèðîâàííûõ óñëîâèÿõ g G∈ çíà÷åíèåèçìåðÿåìîé âåëè÷èíû íå èçìåíÿåòñÿ. Èçìåðÿåìàÿ ãèïåðñëó÷àé-íàÿ âåëè÷èíà Θ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîæåñòâî ñëó÷àéíûõ âåëè-÷èí /gΘ , îïèñûâàþùèõ èçìåðÿåìóþ âåëè÷èíó ïðè ôèêñèðîâàí-

íûõ óñëîâèÿõ g G∈ : / g GΘ = Θ ∈ (ðèñ. 19.1). Ñëó÷àéíàÿ âåëè-

÷èíà /gΘ ìîæåò ïðèíèìàòü ìíîæåñòâî êîíêðåòíûõ çíà÷åíèé

/gθ . Ìíîæåñòâî ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Θ îáðàçóåò ïðî-

ñòðàíñòâî 0Θ .

Ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà *Θ , ñîîòâåòñòâóþùàÿ èçìåðÿåìîé ãè-ïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíå Θ , ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîæåñòâî ñëó-

÷àéíûõ âåëè÷èí */gΘ , îïèñûâàþùèõ îöåíêè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

/gΘ â óñëîâèÿõ g G∈ : * * / g GΘ = Θ ∈ . Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû */gΘ îïðåäåëÿåòñÿ çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ

Глава 19. Гиперслучайные оценки гиперслучайных величин

248

Ðèñ. 19.1. Êà÷åñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû è îöåíêè

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû * / ,gΘ θ , îïèñûâàþùèì îöåíêó ïðè êîí-

êðåòíîì çíà÷åíèè èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû /gθ , è çàêîíîì ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû /gΘ . Ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà* / ,gΘ θ ìîæåò ïðèíèìàòü ìíîæåñòâî êîíêðåòíûõ çíà÷åíèé

* / ,gθ θ . Ìíîæåñòâî ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê *Θ îáðàçóåò

ïðîñòðàíñòâî *0Θ .

Ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà *Θ ôîðìèðóåòñÿ íà îñíîâå ãèïåðñëó-

÷àéíîé âûáîðêè äàííûõ /X X g G= ∈r r

èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóï-

íîñòè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû /X X g G= ∈ , äîñòóïíîé äëÿ

íåïîñðåäñòâåííîãî èçìåðåíèÿ. Ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà *Θ ÿâëÿåòñÿ

ôóíêöèåé (ñòàòèñòèêîé) ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêè Xr

, ñëó÷àéíûåîöåíêè */gΘ è * / ,gΘ θ – ôóíêöèÿìè ñîîòâåòñòâåííî ñëó÷àéíûõ

âûáîðîê /X gr

è / ,X gθr

, à êîíêðåòíàÿ îöåíêà * / ,gθ θ – ôóíêöè-

åé êîíêðåòíîé âûáîðêè / ,x gθr

.

Âåëè÷èíû Θ , * / ,gΘ θ , */gΘ è *Θ îïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèìîáðàçîì.

Ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Θ ïðåäñòàâëÿåòñÿ âåðîÿòíîñòíûìèõàðàêòåðèñòèêàìè (óñëîâíûìè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ / ( )gFθ θ

äëÿ âñåõ g G∈ , óñëîâíûìè ïëîòíîñòÿìè / ( )gfθ θ , ãðàíèöàìè

ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ( )SF θ θ , ( )IF θ θ è äð.), óñëîâíûìè ïàðàìåò-

ðàìè (ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì / gmθ , ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì

19.1. Гиперслучайно-гиперслучайная модель измерения

249

Ðèñ. 19.2. Ãèïåðñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ

îòêëîíåíèåì / gθσ è ò.ä.) è áåçóñëîâíûìè ïàðàìåòðàìè (ìàòåìà-

òè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ãðàíèö Sm θ , Im θ , ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêè-

ìè îòêëîíåíèÿìè ãðàíèö Sθσ , I θσ è äð.).

Ñëó÷àéíàÿ îöåíêà * / , gΘ θ õàðàêòåðèçóåòñÿ âåðîÿòíîñòíûìè

õàðàêòåðèñòèêàìè (ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ * / ,( )

gFθ θ

θ , ïëîòíîñòüþ

ðàñïðåäåëåíèÿ * / ,( )

gfθ θ

θ è ïð.) è ÷èñëîâûìè ïàðàìåòðàìè: ìàòåìà-

òè÷åñêèì îæèäàíèåì * / ,gm

θ θ, ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì

* / ,gθ θσ è ò.ä., à ñëó÷àéíàÿ îöåíêà * / gΘ – ôóíêöèåé ðàñïðåäåëå-

íèÿ * /( )

gFθ

θ , ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì * */ / ,M[ ]

g gm m

θ θ Θ= , ñðåä-

íåêâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì * / gθσ è ïð., ãäå â äàííîì ñëó÷àå

îïåðàòîð ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ M[ ]⋅ äåéñòâóåò íà ñëó÷àéíóþâåëè÷èíó /gΘ .

Ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà *Θ îïèñûâàåòñÿ âåðîÿòíîñòíûìè õà-ðàêòåðèñòèêàìè (óñëîâíûìè ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëåíèÿ * /

( )g

Fθ

θ

g G∀ ∈ , ãðàíèöàìè ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ * ( )S

Fθθ , * ( )

IF

θθ è

äð.), óñëîâíûìè ïàðàìåòðàìè (ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì */gm

θ,

ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì * / gθσ äëÿ âñåõ g G∈ è ò.ä.)

è áåçóñëîâíûìè ïàðàìåòðàìè (ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìèãðàíèö *S

mθ

, *Im

θ, ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèìè îòêëîíåíèÿìè ãðàíèö

*Sθσ , *I θ

σ è äð.).

Ñõåìàòè÷íî ãèïåðñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ ìîäåëü èçìåðå-íèÿ èçîáðàæåíà íà ðèñ. 19.2.


250

Îäíà èç îñíîâíûõ çàäà÷ èçìåðåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷è-íû Θ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû, èìåÿ â ñâîåì ðàñïîðÿæåíèè êîí-êðåòíóþ âûáîðêó / ,x gθ

r, ñîîòâåòñòâóþùóþ íåèçâåñòíîé âåëè-

÷èíå θ è íåèçâåñòíûì óñëîâèÿì g G∈ , à òàêæå àïðèîðíóþèíôîðìàöèþ î ïàðàìåòðàõ è õàðàêòåðèñòèêàõ îöåíêè è èçìå-ðÿåìîé âåëè÷èíû, âû÷èñëèòü îöåíêó è îöåíèòü òî÷íîñòü èçìå-ðåíèÿ.

Îöåíêó ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê òî÷å÷íóþ èëè êàê èíòåð-âàëüíóþ. Â ïåðâîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî ñôîðìèðîâàòü ïî âûáîðêå

/ ,x gθr

êîíêðåòíóþ îöåíêó * / ,gθ θ è äëÿ íåîïðåäåëåííûõ óñëî-âèé óêàçàòü ãðàíèöû ïîãðåøíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùèå ãèïåðñëó-÷àéíîé âåëè÷èíå Θ è ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêå *Θ . Âî âòîðîìñëó÷àå ñ ó÷åòîì ãèïåðñëó÷àéíûõ ñâîéñòâ ïîãðåøíîñòè íàäî ðàñ-ñ÷èòàòü ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà, íàêðûâàþùåãî èç-ìåðÿåìóþ ãèïåðñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó Θ . Ðàññìîòðèì îáà òèïàîöåíîê.

19.2. ТОЧЕЧНАЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНАЯ ОЦЕНКАГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Â ôèêñèðîâàííûõ óñëîâèÿõ g î áëèçîñòè ñëó÷àéíîé îöåíêè*/gΘ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå /gΘ ìîæíî ñóäèòü ïî óñëîâíîé

ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ / ( )z gF z ïîãðåøíîñòè */ = / /Z g g gΘ − Θ .

Â êà÷åñòâå ìåòðèêè ìîæíî èñïîëüçîâàòü êîðåíü èç ñðåäíåãî

êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè 2*

/ M / /z g g g ∆ = Θ − Θ (èëè êâàäðàò

ýòîé âåëè÷èíû).Âåëè÷èíà /z g∆ ñâÿçàíà ñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì /z gm è

ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì /z gσ ïîãðåøíîñòè çàâèñè-

ìîñòüþ 2 2/ / /z g z g z gm∆ = + σ . Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî âåëè÷èíà

/z gm ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñìåùåíèå îöåíêè //g ggm m∗ θθ

ε = − â

óñëîâèÿõ g , à äèñïåðñèÿ ïîãðåøíîñòè 2/z gσ ñâÿçàíà ñ óñëîâíûìè

ìîìåíòàìè èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû è åå îöåíêè ñëåäóþùåé çàâè-ñèìîñòüþ:

2 2 2/ // /

2z g gg gR∗ ∗θθ θ θ

σ = σ + σ − ,

19.2. Точечная гиперслучайная оценка гиперслучайной величины

251

Ðèñ. 19.3. Õàðàêòåðèñòè-êè è ïàðàìåòðû ïîãðåø-

íîñòè

ãäå *// /

M[( / )( / )]gg gR g m g m∗ ∗ θθ θ θ

= Θ − Θ − – óñëîâíûé êîâàðèà-

öèîííûé ìîìåíò îöåíêè è èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû.Â íåîïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ õàðàêòåðè-

çóþò ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòè ( )SzF z ,

( )IzF z , à òàêæå âåëè÷èíû Sz∆ , Iz∆ , ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé

êîðíè èç ñðåäíèõ îòíîñèòåëüíî ãðàíèö êâàäðàòîâ ïîãðåøíî-ñòè (ðèñ. 19.3):

2 ( )dSz Szz f z z∞

−∞

∆ = ∫ , 2 ( )dIz Izz f z z∞

−∞

∆ = ∫ ,

ãäå ( )Szf z , ( )Izf z – ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö, ñîîòâåò-

ñòâóþùèå ôóíêöèÿì ðàñïðåäåëåíèÿ ( )SzF z , ( )IzF z .

Âåëè÷èíû Sz∆ , Iz∆ îïðåäåëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäà-

íèÿìè Szm , Izm ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ( )SzF z , ( )IzF z è

ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèìè îòêëîíåíèÿìè ãðàíèö Szσ , Izσ :

2 2Sz Sz Szm∆ = + σ , 2 2

Iz Iz Izm∆ = + σ .

Â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ,Szm ,Izm ,Sz Izσ σ âåëè-

÷èíà Sz∆ ìîæåò áûòü êàê áîëüøå, òàê è ìåíüøå âåëè÷èíû

Iz∆ (ðèñ. 19.3).

Ïîãðåøíîñòü êîíêðåòíîãî èçìåðåíèÿ */ / , /z g g g= θ θ − θ âíåèçâåñòíûõ óñëîâèÿõ g ìîæíî îöåíèòü íåðàâåíñòâîì

/Sz Sz Iz Izm k z g m k− σ < < + σ , (19.1)


252

à èíòåðâàë íàõîæäåíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû /gθ ïðè íàëè÷èè

îöåíêè * / ,gθ θ – íåðàâåíñòâîì* */ , / / ,Iz Iz Sz Szg m k g g m kθ θ − − σ < θ < θ θ − + σ , (19.2)

ãäå k – íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà (ñì. ðèñ. 19.3), îïðåäåëÿåìàÿ ñòå-ïåíüþ äîâåðèÿ ê ðåçóëüòàòó èçìåðåíèÿ.

Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî â íåðàâåíñòâàõ(19.1), (19.2) ó÷èòûâàåòñÿ ðàçëè÷èå äèñïåðñèé ãðàíèö ðàñïðå-äåëåíèÿ, ÷òî îêàçûâàåòñÿ ñóùåñòâåííûì ïðè çíà÷èòåëüíîì èõîòëè÷èè.

Âûðàæåíèÿ (19.1), (19.2) óïðîùàþòñÿ, êîãäà óñëîâíûå ôóíê-öèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòè /Z g äëÿ âñåõ g G∈ íå ïåðåñå-êàþòñÿ è ñ âîçðàñòàíèåì óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèéïîãðåøíîñòè /z gm åå óñëîâíûå äèñïåðñèè 2

/z gσ óâåëè÷èâàþòñÿ

(òèï ðàñïðåäåëåíèÿ «à» â ñîîòâåòñòâèè ñ êëàññèôèêàöèåé, ââå-äåííîé â ïàðàãðàôå 6.5) èëè óìåíüøàþòñÿ (òèï ðàñïðåäåëåíèÿ«á»). Òîãäà èíòåðâàëû (19.1), (19.2) õàðàêòåðèçóþòñÿ ãðàíèöàìèìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîãðåøíîñòè izm , szm è ãðàíèöàìè

ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî åå îòêëîíåíèÿ izσ , szσ :

/inf infiz z g g ig G g Gm m

∈ ∈= = ε = ε , /sup supsz z g g s

g G g Gm m

∈ ∈= = ε = ε ,

2 2/ // /

inf inf 2 ,iz z g gg gg G g GR∗ ∗θθ θ θ∈ ∈

σ = σ = σ + σ −

2 2/ // /

sup sup 2 .sz z g gg gg G g GR∗ ∗θθ θ θ∈ ∈

σ = σ = σ + σ − (19.3)

Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òèïà «à» íåðàâåíñòâà (19.1), (19.2) èìåþòñîîòâåòñòâåííî âèä

/ ,i iz s szk z g kε − σ < < ε + σ

* */ , / / , ,s sz i izg k g g kθ θ − ε − σ < θ < θ θ − ε + σ (19.4)


/ ,i sz s izk z g kε − σ < < ε + σ

* */ , / / , .s iz i szg k g g kθ θ − ε − σ < θ < θ θ − ε + σ (19.5)

Ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè 2iz∆ , 2

sz∆ îïðåäåëÿ-

19.3. Аддитивная и мультипликативная модели оценки

253

þòñÿ ðàçíîñòüþ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé îöåíêè */gm

θ è èçìå-

ðÿåìîé âåëè÷èíû /gmθ (ñìåùåíèåì îöåíêè gε ), äèñïåðñèÿìè

îöåíêè *2

/gθσ è èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû 2

/gθσ , à òàêæå êîâàðèàöè-

îííûì ìîìåíòîì * / gR

θ θ ïðè ðàçíûõ óñëîâèÿõ g G∈ :

2 2 2 2 2/ // /

inf inf( 2 ),iz z g g gg gg G g GR∗ ∗θθ θ θ∈ ∈

∆ = ∆ = ε + σ + σ −

2 2 2 2 2/ // /

sup sup( 2 ).sz z g g gg gg G g GR∗ ∗θθ θ θ∈ ∈

∆ = ∆ = ε + σ + σ −

Ñòðóêòóðà íåðàâåíñòâ (18.1), (19.1), îïèñûâàþùèõ ïîãðåø-íîñòü ñîîòâåòñòâåííî äëÿ äåòåðìèíèðîâàííî-ãèïåðñëó÷àéíîé èãèïåðñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíîé ìîäåëåé, îäèíàêîâà. Â îáîèõñëó÷àÿõ ïîãðåøíîñòü ìîæåò áûòü îõàðàêòåðèçîâàíà ÷åòûðüìÿïàðàìåòðàìè Szm , Izm , Szσ , Izσ , çàäàþùèìè íà îñè ïîãðåøíîñòèìåñòîïîëîæåíèå è ðàçìåðû çîíû íåîïðåäåëåííîñòè.

Â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ðàç-ëè÷àþòñÿ ëèøü ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ( Sz Iz zσ = σ = σ ),

ïîãðåøíîñòü Z ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà íåîïðåäåëåííîé 0z è ñëó-

÷àéíîé Z% ñîñòàâëÿþùèìè. Íåîïðåäåëåííàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ìîæåòáûòü îïèñàíà èíòåðâàëüíîé âåëè÷èíîé [ , ]Sz Izm m , à ñëó÷àéíàÿ ñî-

ñòàâëÿþùàÿ – ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèì îòêëîíåíèåì zσ . Â ýòîì æå

÷àñòíîì ñëó÷àå äðóãîé âàðèàíò ïðåäñòàâëåíèÿ ïîãðåøíîñòè – ñïîìîùüþ ñèñòåìàòè÷åñêîé Szm , ñëó÷àéíîé Z% è èíòåðâàëüíîé

[0, ]Iz Szm m− ñîñòàâëÿþùèõ.

19.3. АДДИТИВНАЯИ МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ МОДЕЛИ ОЦЕНКИ

Â ðÿäå ñëó÷àåâ îöåíêà *Θ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà àääèòèâíîéìîäåëüþ, îïèñûâàåìîé ñóììîé èçìåðÿåìîé ãèïåðñëó÷àéíîéâåëè÷èíû Θ è ãèïåðñëó÷àéíîé ïîìåõè W . Ïðè ýòîì ñìåùåíèå

gε ðàâíî ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ /w gm ñëó÷àéíîé ïîìåõè

/W g , äèñïåðñèÿ ïîãðåøíîñòè 2/z gσ – äèñïåðñèè ïîìåõè 2

/w gσ ,

ãðàíèöû ñìåùåíèÿ iε , sε – ñîîòâåòñòâåííî ãðàíèöàì ìàòåìà-


254

òè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîìåõè iwm , swm , à ãðàíèöû äèñïåðñèè

ïîãðåøíîñòè 2izσ , 2

szσ – ñîîòâåòñòâóþùèì ãðàíèöàì äèñïåðñèè

ïîìåõè 2iwσ , 2

swσ .Òîãäà äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòè òèïà «à» íåðàâåíñòâà

(19.4) ïðèîáðåòàþò âèä

/ ,iw iw sw swm k z g m k− σ < < + σ

* */ , / / , ,sw sw iw iwg m k g g m kθ θ − − σ < θ < θ θ − + σ

à äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òèïà «á» íåðàâåíñòâà (19.5) –

/ ,iw sw sw iwm k z g m k− σ < < + σ

* */ , / / , .sw iw iw swg m k g g m kθ θ − − σ < θ < θ θ − + σ

Ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè2 2 2

/ /inf ( ),iz w g w gg Gm

∈∆ = + σ 2 2 2

/ /sup( )sz w g w gg G

m∈

∆ = + σ . (19.6)

Èç âûðàæåíèé (19.6) ñëåäóåò, ÷òî â ñëó÷àå àääèòèâíîé ìîäå-ëè ïîìåõè ãèïåðñëó÷àéíûå îñîáåííîñòè èçìåðÿåìîé âåëè÷èíûíå âëèÿþò íà òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ. Ñóùåñòâåííóþ ðîëü èãðàþòëèøü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ïîìåõè. Ïðè ïðå-íåáðåæèìî ìàëîé äèñïåðñèè 2

/w gσ g G∀ ∈ ãðàíèöû ñðåäíåãî

êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè ðàâíû ñîîòâåòñòâóþùèì ãðàíèöàì êâàä-ðàòà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîìåõè 2

iwm , 2swm .

Â äðóãîì ÷àñòíîì ñëó÷àå îöåíêà *Θ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâ-ëåíà ìóëüòèïëèêàòèâíîé ìîäåëüþ, îïèñûâàåìîé âûðàæåíèåì

* (1 )Θ = + Ξ Θ . Ïðè ýòîì ïîãðåøíîñòü / ( / )( / )Z g g g= Ξ Θ , ãäå Ξ ,

/gΞ – ñîîòâåòñòâåííî ãèïåðñëó÷àéíàÿ è ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíû,õàðàêòåðèçóþùèå ìíîæèòåëü ìóëüòèïëèêàòèâíîé ïîìåõè.

Åñëè âåëè÷èíû /gΞ , /gΘ íåçàâèñèìû ïðè ëþáîì g , òî ìà-

òåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîãðåøíîñòè /z gm (ñìåùåíèå îöåíêè)

ðàâíî / /g gm mξ θ , à äèñïåðñèÿ

2 2 2 2 2 2 2/ / / / / / /z g g g g g g gm mξ θ ξ θ ξ θσ = σ σ + σ + σ ,

ãäå / gmξ , 2/ gξσ – ñîîòâåòñòâåííî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è

äèñïåðñèÿ ìíîæèòåëÿ / gΞ . Ïðè ýòîì ñðåäíèé êâàäðàò ïîãðåø-

19.4. Гиперслучайная оценка результатов косвенных измерений …

255

íîñòè 2 2 2 2 2/ / / / /( )( )z g g g g gm mξ ξ θ θ∆ = + σ + σ , ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðà-

òà ïîãðåøíîñòè2 2 2 2 2

/ / / /inf [( )( )]iz g g g gg G

m mξ ξ θ θ∈

∆ = + σ + σ ,

2 2 2 2 2/ / / /sup[( )( )]sz g g g g

g Gm mξ ξ θ θ

∈∆ = + σ + σ ,

à ïàðàìåòðû ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ, âõîäÿùèå â íåðàâåíñòâà(19.1) è (19.2), îïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèìè âûðàæåíèÿìè:

Sz S Sm m mξ θ= , Iz I Im m mξ θ= ,

2 2 2 2 2 2 2Sz S S S S S Sm mξ θ ξ θ ξ θσ = σ σ + σ + σ , 2 2 2 2 2 2 2

Iz I I I I I Im mξ θ ξ θ ξ θσ = σ σ + σ + σ ,

ãäå Sm ξ , Im ξ – ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ, à 2Sξσ , 2

I ξσ – äèñïåðñèè

ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ ìíîæèòåëÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîé ïîìåõè.Êàê âèäíî, â äàííîì ñëó÷àå ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ îïðåäå-

ëÿåòñÿ ïàðàìåòðàìè äâóõ âåëè÷èí: ìíîæèòåëÿ ìóëüòèïëèêàòèâ-íîé ïîìåõè è èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû.

19.4. ГИПЕРСЛУЧАЙНАЯ ОЦЕНКА РЕЗУЛЬТАТОВКОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ

ВЕЛИЧИНЫ

Ïðè êîñâåííûõ èçìåðåíèÿõ çíà÷åíèå èçìåðÿåìîé (âûõîäíîé)âåëè÷èíû îïðåäåëÿåòñÿ íà îñíîâàíèè èçìåðåíèé äðóãèõ (âõîäíûõ)âåëè÷èí. Ïóñòü âûõîäíàÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà Θ ÿâëÿåòñÿèçâåñòíîé ôóíêöèåé M âõîäíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí

( 1, )mY m M= : 1( ,..., )MY YΘ=ϕ . Ïðè ýòîì ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà /gΘ

ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí / ( 1, )mY g m M= :

1 1/ ( / ,..., / )Mg Y g Y gΘ =ϕ , à ñëó÷àéíàÿ îöåíêà * / gΘ – ôóíêöèåé

ñëó÷àéíûõ îöåíîê * / ( 1, )mY g m M= : * * *1/ ( / ,..., / )Mg Y g Y gΘ = ϕ .

Òîãäà â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ èç-ìåðÿåìîé âåëè÷èíû è åå îöåíêè îïèñûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííîâûðàæåíèÿìè

1/ / /

( ,..., )M

g y g y gm m mθ = ϕ , * * *

1/ / /( ,..., )

Mg y g y gm m m

θ= ϕ ,

à ìîìåíòû âòîðîãî ïîðÿäêà – âûðàæåíèÿìè


256

2/ /

1 1 m l

M M

g y y gm l m l

Ry yθ

= =

∂ϕ ∂ϕσ =

∂ ∂∑∑ ,

* * *2

* */ /1 1 m l

M M

g y y gm l m l

Ry yθ

= =

∂ϕ ∂ϕσ =

∂ ∂∑∑ ,

* **/ /1 1 m l

M M

g y y gm l m l

R Ry yθ θ

= =

∂ϕ ∂ϕ=

∂ ∂∑∑ ,

ãäå /my g

m , * /my gm – ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè-

÷èí /mY g , * /mY g ñîîòâåòñòâåííî; my

∂ϕ∂

, *my

∂ϕ∂

– ïðîèçâîäíûå

ôóíêöèè 1( ,..., )My yϕ ïî my ñîîòâåòñòâåííî â òî÷êàõ 1( ,..., )My y =

1 / /= ( ,..., )

My g y gm m è * *

11 / /

( ,..., ) ( ,..., )M

M y g y gy y m m= ;

/m ly y gR ,

* * /m ly y gR , * /m ly y g

R – êîâàðèàöèîííûå ìîìåíòû ñîîòâåòñòâåííî ïàð

âåëè÷èí ( / , / )m lY g Y g , * *( / , / )m lY g Y g , *( / , / )m lY g Y g .

Ïîñêîëüêó ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîãðåøíîñòè /z gm ðàâ-

íî ñìåùåíèþ îöåíêè //g ggm m∗ θθ

ε = − â óñëîâèÿõ g , à äèñïåðñèÿ

ïîãðåøíîñòè 2/z gσ ñâÿçàíà ñ óñëîâíûìè ìîìåíòàìè èçìåðÿåìîé

âåëè÷èíû è åå îöåíêè çàâèñèìîñòüþ * *2 2 2

/ // /2z g gg gRθθ θ θ

σ = σ + σ − ,

ñðåäíèé êâàäðàò ïîãðåøíîñòè 2/z g∆ , ðàâíûé 2 2

/ /z g z gm + σ , îïèñû-

âàåòñÿ âûðàæåíèåì

* *1 1

2 2/ / / / /

[ ( ,..., ) ( ,..., )]M M

z g y g y g y g y gm m m m∆ = ϕ − ϕ +

* * ** * */ / /1 1

2 .m l m ml l

M M

y y g y y g y y gm l m l m l m l

R R Ry y y y y y= =

∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ+ + −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∑∑

Èñïîëüçóÿ ýòî ðàâåíñòâî, íåòðóäíî ðàññ÷èòàòü ãðàíèöû ñðåäíåãîêâàäðàòà ïîãðåøíîñòè

2 2/inf ,iz z gg G∈

∆ = ∆ 2 2/sup .sz z g

g G∈∆ = ∆

257

Глава 20

ХАРАКТЕРИСТИКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХОЦЕНОК ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Äëÿ òî÷å÷íûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ââå-äåíû ïîíÿòèÿ íåñìåùåííîé, ñîñòîÿòåëüíîé, ýôôåêòèâíîé è äîñ-òàòî÷íîé îöåíîê. Äîêàçàíû òåîðåìû, îïðåäåëÿþùèå ãðàíèöû âåðõ-íåé ãðàíèöû òî÷íîñòè òî÷å÷íîé îöåíêè è ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãîèíòåðâàëà èíòåðâàëüíîé îöåíêè. Äàíî ìàòåìàòè÷åñêîå îáîñíîâà-íèå èçâåñòíîãî èç ïðàêòèêè ôàêòà, ÷òî òî÷íîñòü ëþáûõ ðåàëüíûõôèçè÷åñêèõ èçìåðåíèé èìååò ïðåäåë, ïðåîäîëåòü êîòîðûé íå óäà-åòñÿ äàæå ïðè î÷åíü áîëüøîì îáúåìå äàííûõ.

20.1. НЕСМЕЩЕННАЯИ СОСТОЯТЕЛЬНАЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕОЦЕНКИ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó *Θ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ áóäåìíàçûâàòü íåñìåùåííîé (íåñìåùåííîé ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g G∈ ),

åñëè äëÿ âñåõ g G∈ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå * / gm

θ ñëó÷àéíîé âå-

ëè÷èíû * / gΘ ðàâíî ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ /gmθ óñëîâíîé

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû / gΘ , ò.å. åñëè 0g g Gε = ∀ ∈ . Â ïðîòèâ-

íîì ñëó÷àå îöåíêó áóäåì íàçûâàòü ñìåùåííîé.Ïðèâåäåííîå îïðåäåëåíèå ïîíÿòèÿ íåñìåùåííîé îöåíêè äëÿ

ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû è ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè ñîãëàñîâàíîñ îáùåïðèíÿòûì îïðåäåëåíèåì ýòîãî æå ïîíÿòèÿ äëÿ äåòåðìè-íèðîâàííîé âåëè÷èíû è ñëó÷àéíîé îöåíêè [Ëåâèí, 1976, ÂàíÒðèñ, 1972, Ãîðáàíü, 2003], à òàêæå äëÿ äåòåðìèíèðîâàííîé âå-ëè÷èíû è ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè (ñì. ïàðàãðàô 18.3).

Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî åñëè îöåíêà íåñìåùåííàÿ, òî ãðàíè-öû ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû è ååîöåíêè ñîâïàäàþò *i i

m mθ θ= , *s s

m mθ θ= . Ïðè ýòîì èç ôàêòà, ÷òî

îöåíêà íåñìåùåííàÿ, íå ñëåäóåò, ÷òî îáÿçàòåëüíî ñîâïàäàþò

Глава 20. Характеристики гиперслучайных оценок гиперслучайных величин

258

ñîîòâåòñòâóþùèå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ ãðàíèö (ò.å. *S Sm mθ θ

= ,

*I Im mθ θ

= ).

Ñîâïàäåíèå èìååò ìåñòî ëèøü â íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ,íàïðèìåð, êîãäà îáà ðàñïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí Θ è *Θ îòíîñÿòñÿ êòèïó «à» èëè «á» ñîãëàñíî êëàññèôèêàöèè ïàðàãðàôà 6.5. Â ýòèõäâóõ ñëó÷àÿõ ïðè íåñìåùåííîé îöåíêå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäà-íèÿ ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòè ðàâíû íóëþ:

0Sz Izm m= = .

Îïðåäåëåííûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ÷àñòíûé ñëó÷àé ñìå-ùåííîé îöåíêè – ñìåùåííîé íà ôèêñèðîâàííóþ âåëè÷èíó 0ε

g G∀ ∈ . Òîãäà ãðàíèöû ñìåùåíèÿ 0i sε = ε = ε .

Äëÿ äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû θ è ñëó÷àéíîé îöåíêè *Θ ,êàê èçâåñòíî, ñîñòîÿòåëüíîé íàçûâàåòñÿ îöåíêà, êîòîðàÿ ñõîäèòñÿ ïîâåðîÿòíîñòè ê âåëè÷èíå θ [Ëåâèí, 1976, Âàí Òðèñ, 1972, Ãîðáàíü, 2003].

Îïðåäåëåíèå ñîñòîÿòåëüíîé ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè * /Θ θäåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû θ äàíî â ïàðàãðàôå 18.3.

Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó *Θ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ áóäåìíàçûâàòü ñîñòîÿòåëüíîé, åñëè äëÿ âñåõ óñëîâèé g G∈ îíà ñõî-äèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ýòîé âåëè÷èíå:

*lim / / 0N

P g g→∞

Θ − Θ > ε = g G∀ ∈ ,

ãäå N – îáúåì âûáîðêè äëÿ êàæäîãî óñëîâèÿ g .Ñõîäèìîñòü ïî ðàñïðåäåëåíèþ áîëåå ñëàáàÿ, ÷åì ñõîäèìîñòü

ïî âåðîÿòíîñòè [Ãíåäåíêî, 1988]. Ïîýòîìó íåîáõîäèìûì óñëîâè-åì ñõîäèìîñòè ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè *Θ ê ãèïåðñëó÷àéíîéâåëè÷èíå Θ ÿâëÿåòñÿ ñõîäèìîñòü ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ

* /( )

gFθ

θ ê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ / ( )gFθ θ .

×àñòíûì ñëó÷àåì ââîäèìîãî ïîíÿòèÿ ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿòåëüíàÿñëó÷àéíàÿ îöåíêà *Θ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ , îïðåäåëÿåìàÿ ïðèïîñòîÿííûõ è åäèíñòâåííûõ óñëîâèÿõ íàáëþäåíèÿ ñëåäóþùèìîáðàçîì:

*lim 0N

P→∞

Θ − Θ > ε = .

Ñìûñë ýòîãî âûðàæåíèÿ ïîíÿòåí. Ñëó÷àéíóþ ïîãðåøíîñòü*=Z Θ − Θ ïðè îáúåìå âûáîðêè N ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïà-


259

ðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, îïèñûâàåìûõôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ ( )zNF z , çàâèñÿùåé îò ïàðàìåòðà N .

Ïðè óñòðåìëåíèè N ê áåñêîíå÷íîñòè ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ( )zNF z ïðèáëèæàåòñÿ ê ôóíêöèè åäèíè÷íîãî ñêà÷êà ( )zF z∞ â

òî÷êå 0 .Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà ñëó÷àéíîé

âåëè÷èíû, ñîõðàíÿþùàÿ ãèïåðñëó÷àéíûé õàðàêòåð ïðè N → ∞ ,òàê æå, êàê è ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè-÷èíû, íåñîñòîÿòåëüíà (ÿâëÿåòñÿ ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêîé ãè-ïåðñëó÷àéíîãî òèïà).

Â ñëó÷àå ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíûäåëî îáñòîèò íåñêîëüêî èíà÷å. Åñëè ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà *Θãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ ñîõðàíÿåò ïðè N → ∞ ãèïåðñëó-÷àéíûé õàðàêòåð, òî òåîðåòè÷åñêè îöåíêà ìîæåò áûòü êàê ñî-ñòîÿòåëüíîé, òàê è íåñîñòîÿòåëüíîé. Íåîáõîäèìûì óñëîâèåìñîñòîÿòåëüíîñòè îöåíêè ÿâëÿåòñÿ ñîãëàñîâàííîå èçìåíåíèå èç-ìåðÿåìîé âåëè÷èíû è îöåíêè ïðè èçìåíåíèè óñëîâèé, ÷òî ïðàê-òè÷åñêè íåðåàëüíî.

Ïîýòîìó, ïðèíèìàÿ àäåêâàòíîñòü îïèñàíèÿ ðåàëüíûõ ïðîöå-äóð èçìåðåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè, ñëå-äóåò ïðèçíàòü, ÷òî âñå ðåàëüíûå îöåíêè íåñîñòîÿòåëüíû, ò.å. ÿâ-ëÿþòñÿ îöåíêàìè ãèïåðñëó÷àéíîãî òèïà.

Îòñþäà ñëåäóåò ôóíäàìåíòàëüíûé âûâîä: äîñòè÷ü áåñêîíå÷íîâûñîêîé òî÷íîñòè èçìåðåíèÿ ðåàëüíûõ âåëè÷èí ïðèíöèïèàëüíîíåëüçÿ íè ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ, äàæå ïðè áåñêîíå÷íî áîëüøîì îáúåìåäàííûõ. Ïîäòâåðæäåíèåì ýòîãî ñëóæàò ñëåäñòâèÿ èç òåîðåì, äî-êàçàííûõ â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.

Â çàêëþ÷åíèå íàñòîÿùåãî ïàðàãðàôà îòìåòèì, ÷òî òàê æå,êàê è â ñëó÷àå äåòåðìèíèðîâàííî-ãèïåðñëó÷àéíîé ìîäåëè èçìå-ðåíèÿ, êîãäà ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòè ðàç-ëè÷àþòñÿ ëèøü ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè (ñì. ïàðàãðàô18.3), ïîãðåøíîñòü ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå ñóììû íå-îïðåäåëåííîé è ñëó÷àéíîé ñîñòàâëÿþùèõ, îïèñûâàåìûõ ñîîò-âåòñòâåííî èíòåðâàëüíîé è ñëó÷àéíîé âåëè÷èíàìè.


260

20.2. ЭФФЕКТИВНАЯИ ДОСТАТОЧНАЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИ


Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó *eΘ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ áóäåì

íàçûâàòü ýôôåêòèâíîé (ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g G∈ ), åñëè äëÿ âñåõ

g G∈ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ îöåíêè* /e gΘ îò âåëè÷èíû / gΘ ïî ñîâîêóïíîñòè âûáîðîê çàäàííîãî

îáúåìà N (ò.å. ñðåäíèé êâàäðàò ïîãðåøíîñòè 2/z g∆ ) íå áîëüøå,

÷åì äëÿ ëþáûõ äðóãèõ îöåíîê * /i gΘ :

2 2/ / , 1,2,...,

e iz g z g i g G∆ ≤ ∆ = ∀ ∈ , (20.1)

ãäå2 2

/ M[( / / ) ]ez g e g g∗∆ = Θ − Θ , 2 2

/ M[( / / ) ]iz g i g g∗∆ = Θ − Θ .

Êàê è äëÿ äåòåðìèíèðîâàííî-ãèïåðñëó÷àéíîé ìîäåëè èçìå-ðåíèÿ, ìåðîé ýôôåêòèâíîñòè ìîãóò ñëóæèòü ãðàíèöû îòíîñè-òåëüíîé ýôôåêòèâíîñòè îöåíêè il , sl , îïðåäåëÿåìûå â äàííîìñëó÷àå êàê ãðàíèöû îòíîøåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ êâàä-ðàòà îòêëîíåíèÿ îò /gΘ ýôôåêòèâíîé îöåíêè * /e gΘ ê ìàòåìà-

òè÷åñêîìó îæèäàíèþ êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ îò / gΘ ðàññìàòðè-

âàåìîé îöåíêè * / gΘ :

2

* 2

M[( / / ) ]inf ,

M[( / / ) ]e

i g G

g gl

g g

∗

∈

Θ − Θ=

Θ − Θ

2

* 2

M[( / / ) ]sup .

M[( / / ) ]e

sg G

g gl

g g

∗

∈

Θ − Θ=

Θ − Θ

Ãðàíèöû îòíîñèòåëüíîé ýôôåêòèâíîñòè íàõîäÿòñÿ â èíòåð-âàëå [0,1]. Êîãäà îöåíêà ýôôåêòèâíà, 1i sl l= = .

Ãðàíèöû òî÷íîñòè èçìåðåíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèìèòåîðåìàìè.

Òåîðåìà 1. Ïóñòü ïî ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêå /X X g G= ∈r r

îáúåìîì N äëÿ êàæäîãî óñëîâèÿ g G∈ îöåíèâàåòñÿ ãèïåðñëó-

20.2. Эффективная и достаточная гиперслучайные …

261

÷àéíàÿ âåëè÷èíà Θ , îïèñûâàåìàÿ óñëîâíîé ïëîòíîñòüþ âåðîÿò-íîñòåé / ( )gfθ θ . Ïðè ýòîì ( 1N + )-ìåðíàÿ óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü

ðàñïðåäåëåíèÿ , / ( , )x gf xθ θrr

äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà ïî θ , ïðî-

èçâîäíûå , / ( , )x gf xθ∂ θ

∂θ

rr

è 2

, /

2

( , )x gf xθ∂ θ

∂θ

rr

àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìû

ïî xr è θ , à

*, /lim ( ) ( , ) d 0x gf x x

∞

θθ→±∞−∞

θ − θ θ =∫ rr r

.

Òîãäà ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè2 1 2 1inf , sup ,iz g sz gg G g G

J J− −

∈ ∈∆ ≥ ∆ ≥ (20.2)

ãäå gJ – óñëîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî Ôèøåðó, îïðåäåëÿåìàÿ âû-

ðàæåíèåì2

2, / , /

2

ln ( , ) ln ( , )M Mx g x g

g

f X f XJ θ θ

∂ Θ ∂ Θ = = − ∂Θ ∂Θ

r r

r r

.

Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû îñíîâàíî íà èçâåñòíîì íåðà-âåíñòâå Êðàìåðà–Ðàî äëÿ ñëó÷àéíûõ îöåíîê [Ëåâèí, 1976, ÂàíÒðèñ, 1972, Ãîðáàíü, 2003].

Ïðè âûïîëíåíèè óêàçàííûõ â òåîðåìå óñëîâèé ñïðàâåäëèâûñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà: 2 1

/z g gJ g G−∆ ≥ ∀ ∈ . Îòñþäà ñëåäóþò

íåðàâåíñòâà (20.2).Äëÿ îäíîðîäíîé íåçàâèñèìîé âûáîðêè

, / / / ,1

( , ) ( ) ( )N

x g g x g nn

f x f f xθ θ θ=

θ = θ ∏rr

,

2/ / ,

2

[ln ( ) ln ( )]M g x g

g

f N f XJ θ θ

∂ Θ += − ∂Θ

.

Åñëè ýëåìåíòû âûáîðêè /nX g ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé àääèòèâ-

íóþ ñìåñü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû / gΘ ñ äèñïåðñèåé 2/ gθσ è íåçà-

âèñèìîé ñëó÷àéíîé îäíîðîäíîé ïîìåõè /V g ñ ìàòåìàòè÷åñêèì

îæèäàíèåì /v gm è äèñïåðñèåé 2/v gσ , òî ïðè ãàóññîâñêîì ðàñïðå-


262

äåëåíèè âåëè÷èí / gΘ è /nX g óñëîâíàÿ èíôîðìàöèÿ ïî Ôè-

øåðó 2 2

/ /

1g

g v g

NJ

θ

= +σ σ

.

Òîãäà ïðè N → ∞ èìåþò ìåñòî íåðàâåíñòâà 2 0iz∆ ≥ , 2 0sz∆ ≥ .

Íà îñíîâàíèè ýòîãî ðåçóëüòàòà ìîæåò ñëîæèòüñÿ ìíåíèå, ÷òîâûâîä ïðåäûäóùåãî ïàðàãðàôà, êàñàþùèéñÿ ïðåäåëà òî÷íîñòèèçìåðåíèÿ, íåâåðåí, ÷òî òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ ìîæåò áûòü íå-îãðàíè÷åííî âûñîêîé. Â äåéñòâèòåëüíîñòè ýòî íå òàê.

Áîëåå òî÷íûå ãðàíèöû òî÷íîñòè èçìåðåíèÿ, îïðåäåëÿåìûåäâóìÿ ñëåäóþùèìè òåîðåìàìè, âíîñÿò íåîáõîäèìóþ ÿñíîñòü âýòîò âîïðîñ.


îáúåìîì N äëÿ êàæäîãî óñëîâèÿ g G∈ îöåíèâàåòñÿ ãèïåðñëó-÷àéíàÿ âåëè÷èíà Θ , îïèñûâàåìàÿ óñëîâíûìè ïëîòíîñòÿìèðàñïðåäåëåíèÿ / ( )gfθ θ . Ãðàíèöû îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ N -ìåð-

íîé óñëîâíîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ / , ( )x gf xθr

r íå çàâèñÿò îò

θ , ýòà ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìà ïî xr

è äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìà ïî θ . Êðîìå òîãî, äëÿ óñëîâíîé

ñëó÷àéíîé îöåíêè * / ,gΘ θ ñóùåñòâóþò äâà ïåðâûõ ìîìåíòà.

Òîãäà ãðàíèöû 2

i ∗θσ , 2

s ∗θσ ñðåäíåé äèñïåðñèè 2 2

/ / ,M[ ]

g g∗ ∗θ θ Θσ = σ äèñ-

ïåðñèè 2

/ ,g∗θ θσ îöåíêè * / ,gΘ θ îïðåäåëÿþòñÿ íåðàâåíñòâàìè

2/2 1inf M 1 ( ) ,g

gi g GJ∗

Θ −θ ∈

∂ε σ ≥ + Θ ∂Θ

2/2 1supM 1 ( ) ,g

gs g GJ∗

Θ −θ ∈

∂ε σ ≥ + Θ ∂Θ

(20.3)

à ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè – íåðàâåíñòâàìè

2

/2 2 1/inf M 1 ( ) ,g

iz g gg GJΘ −

Θ∈

∂ε ∆ ≥ ε + + Θ ∂Θ


263

2

/2 2 1/supM 1 ( ) ,g

sz g gg G

JΘ −Θ

∈

∂ε ∆ ≥ ε + + Θ ∂Θ (20.4)

ãäå */ / ,( / )g gm gθ θ θ

ε = − θ – ñìåùåíèå îöåíêè * / , gΘ θ â óñëîâèÿõ

g îòíîñèòåëüíî / gθ ; ( )gJ θ – èíôîðìàöèÿ ïî Ôèøåðó äëÿ ñëó-

÷àéíîé îöåíêè * / , gΘ θ :

22

/ , / ,

2

ln ( ) ln ( )( ) M Mx g x g

g

f X f XJ θ θ

∂ ∂ θ = = − ∂θ ∂θ

r r

r r

.

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îñíîâàíî íà íåðàâåíñòâå Êðàìåðà–Ðàî äëÿ ñëó÷àéíîé îöåíêè äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû. Äëÿñëó÷àéíîé âåëè÷èíû * / , gΘ θ ïðè ôèêñèðîâàííûõ âåëè÷èíàõ θ ,g è âûïîëíåíèè óêàçàííûõ â òåîðåìå óñëîâèé ñïðàâåäëèâû ñëå-

äóþùèå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ äèñïåðñèè 2

/ ,g∗θ θσ è ñðåäíåãî êâàäðàòà

ïîãðåøíîñòè 2 2/ , M[( / , / ) ]z g g g∗θ∆ = Θ θ − θ :

2/2 1

/ ,1 ( )g

ggJ∗

θ −θ θ

∂ σ ≥ + θ ∂θ

ε, 2 2 2

/ , / / ,z g g g∗θ θ θ θ∆ = ε + σ .

Òîãäà äëÿ ñðåäíåé äèñïåðñèè 2

/ g∗θσ è ñðåäíåãî êâàäðàòà ïî-

ãðåøíîñòè 2 2/ / ,M[ ]z g z gΘ∆ = ∆ èìååì

2/2 1

/M 1 ( ) ,g

ggJ∗

Θ −θ

∂ σ ≥ + Θ ∂Θ

ε

2/2 2 1

/ /M 1 ( ) .gz g g gJΘ −

Θ

∂ ∆ ≥ ε + + Θ ∂Θ

ε (20.5)

Èç íåðàâåíñòâ (20.5) ñëåäóþò íåðàâåíñòâà (20.3) è (20.4).Èç âûðàæåíèé (20.3) âèäíî, ÷òî äëÿ îáåñïå÷åíèÿ íóëåâîé

ñðåäíåé äèñïåðñèè âåëè÷èíà / gθ∂ε ∂θ äëÿ âñåõ / gθ äîëæíà

áûòü ðàâíîé 1− . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íåâîçìîæíî îäíîâðåìåííîîáåñïå÷èòü íóëåâîå ñðåäíåå ñìåùåíèå è íóëåâóþ ñðåäíþþ äèñ-ïåðñèþ îöåíêè.


264

Äëÿ îäíîðîäíîé íåçàâèñèìîé âûáîðêè2

/ ,

2

ln ( )( ) M x g

g

f XJ N θ ∂

θ = − ∂θ

.

Òîãäà ïðè N → ∞ ñïðàâåäëèâû íåðàâåíñòâà2 2

/inf M[ ]iz gg G Θ∈∆ ≥ ε , 2 2

/supM[ ]sz gg G

Θ∈

∆ ≥ ε .

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïîòåíöèàëüíàÿ òî÷íîñòü îïðåäåëÿåòñÿãðàíèöàìè ñðåäíåãî êâàäðàòà ñìåùåíèÿ, à áåñêîíå÷íî âûñîêàÿòî÷íîñòü èçìåðåíèÿ îáåñïå÷èâàåòñÿ ïðè áåñêîíå÷íî áîëüøîìîáúåìå âûáîðêè è îòñóòñòâèè ñìåùåíèÿ äëÿ âñåõ θ è óñëîâèég G∈ .

Ñòàòèñòè÷åñêèå óñëîâèÿ ôîðìèðîâàíèÿ èçìåðÿåìîé âåëè÷è-íû è îöåíêè, êàê ïðàâèëî, ìåíÿþòñÿ àñèíõðîííî. Ïîýòîìóïðàêòè÷åñêè íåðåàëüíî, ÷òîáû îáåñïå÷èâàëîñü îòñóòñòâèå ñìå-ùåíèÿ äëÿ âñåõ óñëîâèé, à, ñëåäîâàòåëüíî, è áåñêîíå÷íî âûñîêàÿòî÷íîñòü èçìåðåíèÿ.

Âìåñòî ïðèâåäåííîãî âûøå îïðåäåëåíèÿ ýôôåêòèâíîé îöåí-êè ìîæíî ââåñòè äðóãîå îïðåäåëåíèå, îñíîâàííîå íà íåðàâåíñò-âàõ (20.4): ýôôåêòèâíîé ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêîé *

eΘ ìîæíî íà-

çâàòü îöåíêó *Θ çàäàííîãî îáúåìà N , äëÿ êîòîðîé ãðàíèöûñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè îïðåäåëÿþòñÿ ðàâåíñòâàìè

2

/2 2 1/inf M 1 ( ) ,g

iz g gg GJΘ −

Θ∈

∂ε ∆ = ε + + Θ ∂Θ

2

/2 2 1/supM 1 ( ) .g

sz g gg G

JΘ −Θ

∈

∂ε ∆ = ε + + Θ ∂Θ (20.6)

Îòìåòèì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå îïðåäåëåíèÿ (20.1) è (20.6) íå ýê-âèâàëåíòíû.


îáúåìîì N äëÿ êàæäîãî óñëîâèÿ g G∈ îöåíèâàåòñÿ ãèïåðñëó-÷àéíàÿ âåëè÷èíà Θ , îïèñûâàåìàÿ óñëîâíûìè ïëîòíîñòÿìè ðàñ-ïðåäåëåíèÿ / ( )gfθ θ . Ãðàíèöû îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ N-ìåðíûõ


265

ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö / , ( )Sx gf xθ

rr

, / , ( )Ix gf xθ

rr

íå çàâè-

ñÿò îò θ , ýòè ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíî èíòåãðèðóåìûïî x

r è äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìû ïî θ . Êðîìå òîãî, äëÿ ñëó-

÷àéíîé îöåíêè * / , gΘ θ ñóùåñòâóþò äâà ïåðâûõ ìîìåíòà. Òîãäà

ñðåäíèå äèñïåðñèè ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòè 2

S ∗θσ =

2

/ ,M[ ]

Sg∗θ Θ

= σ , 2 2

/ ,M[ ]

II g∗ ∗θ θ Θσ = σ îïèñûâàþòñÿ íåðàâåíñòâàìè

2/2 1M 1 ( ) ,S

S

ggS

J∗Θ −

θ

∂ε σ ≥ + Θ

∂Θ

2/2 1M 1 ( ) ,I

I

ggI

J∗Θ −

θ

∂ε σ ≥ + Θ

∂Θ (20.7)

à ñðåäíèå îòíîñèòåëüíî ãðàíèö êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè 2Sz∆ è 2

Iz∆ –

íåðàâåíñòâàìè2

/2 2 1/M 1 ( ) ,S

S S

gSz g gJΘ −

Θ

∂ε ∆ ≥ ε + + Θ

∂Θ

2/2 2 1

/M 1 ( ) ,I

I I

gIz g gJΘ −

Θ

∂ε ∆ ≥ ε + + Θ

∂Θ (20.8)

ãäå / Sgθε , / Igθε – ñìåùåíèÿ îöåíêè äëÿ âåðõíåé è íèæíåé ãðà-

íèö ðàñïðåäåëåíèÿ; ( )Sg

J θ , ( )Ig

J θ – èíôîðìàöèÿ ïî Ôèøåðó

äëÿ ñîîòâåòñòâåííî âåðõíåé è íèæíåé ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ:2

/ ,ln ( )( ) M S

S

x gg

f XJ θ

∂ θ = ∂θ

r

r

,

2

/ ,ln ( )( ) M I

I

x gg

f XJ θ

∂ θ = ∂θ

r

r

.

Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû ïîäîáíî äîêàçàòåëüñòâó òåîðå-ìû 2. Ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîð-


266

êè Xr

ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó-÷àéíûõ âåêòîðîâ / SX g

r, / IX g

r, ñîîòâåòñòâóþùèõ âèðòóàëüíûì

óñëîâèÿì Sg , Ig , êîòîðûå ìîãóò ïðèíàäëåæàòü, à ìîãóò è íå

ïðèíàäëåæàòü ìíîæåñòâó G . Ó÷èòûâàÿ íåðàâåíñòâà (20.5), èìååìíåðàâåíñòâà (20.7), (20.8).

Äëÿ îäíîðîäíîé íåçàâèñèìîé âûáîðêè îáúåìîì N

2/ ,ln ( )

( ) M S

S

x gg

f XJ N θ

∂ θ =

∂θ ,

2/ ,ln ( )

( ) M I

I

x gg

f XJ N θ

∂ θ =

∂θ .

Òîãäà ñðåäíèå îòíîñèòåëüíî ãðàíèö êâàäðàòû ïîãðåøíîñòè2Sz∆ è 2

Iz∆ ïðè N → ∞ ñòðåìÿòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ê 2/M[ ]

SgΘε è2

/M[ ]IgΘε .

Äëÿ íåâûðîæäåííîé ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè * /Θ θ ñïðàâåä-

ëèâû íåðàâåíñòâà * */ , / ,S Ig gm m

θ θ θ θ< , / /S Ig gθ θε < ε . Ñ ó÷åòîì ýòîãî

2 2/ /max M[ ], M[ ] 0

S Ig gΘ Θ ε ε > . Òîãäà ïðè N → ∞ ìàêñèìàëüíûé

ñðåäíèé îòíîñèòåëüíî ãðàíèö êâàäðàò ïîãðåøíîñòè áîëüøå íó-ëÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè-÷èíû îãðàíè÷åíà.

Ñëåäñòâèÿ òåîðåì 2, 3 äàþò òåîðåòè÷åñêîå îáîñíîâàíèå õî-ðîøî èçâåñòíîãî èç ïðàêòèêè ôàêòà, ÷òî òî÷íîñòü ëþáûõ ðåàëü-íûõ ôèçè÷åñêèõ èçìåðåíèé èìååò ïðåäåë, ïðåîäîëåòü êîòîðûé íåóäàåòñÿ äàæå ïðè î÷åíü áîëüøîì îáúåìå äàííûõ.

Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó *Θ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ áóäåì íà-çûâàòü äîñòàòî÷íîé (ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g G∈ ), åñëè äëÿ âñåõ

g G∈ N-ìåðíàÿ óñëîâíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé * 1/ Nx gf x x

θ ,( , ..., )r

âûáîðêè ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X íå çàâèñèò îò âåëè÷èíûΘ , ò. å. îöåíêà íåñåò âñþ ñîñðåäîòî÷åííóþ â âûáîðêå ïîëåçíóþèíôîðìàöèþ î Θ . Ýòî îïðåäåëåíèå ñîãëàñîâàíî ñ èçâåñòíûìîïðåäåëåíèåì ñëó÷àéíîé äîñòàòî÷íîé îöåíêè è ãèïåðñëó÷àéíîéäîñòàòî÷íîé îöåíêè äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû.

20.3. Интервальная гиперслучайная оценка гиперслучайной величины

267

Åñëè ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ÿâ-ëÿåòñÿ ýôôåêòèâíîé, òî îíà äîñòàòî÷íàÿ. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèåíåâåðíî.

20.3. ИНТЕРВАЛЬНАЯ ГИПЕРСЛУЧАЙНАЯ ОЦЕНКАГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Ðàññìîòðèì èíòåðâàëüíóþ ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó ãèïåðñëó÷àéíîéâåëè÷èíû. Äîâåðèòåëüíûé èíòåðâàë 1 2[ , ]z z , õàðàêòåðèçóþùèé

âåëè÷èíó ãèïåðñëó÷àéíîé ïîãðåøíîñòè Z , è ïðåäïîëàãàåìûéèíòåðâàë * *

2 1/ , / / ,g z g g zθ θ − < θ < θ θ − íàõîæäåíèÿ èçìåðÿåìîé

âåëè÷èíû /gθ ìîãóò áûòü ðàññ÷èòàíû, èñõîäÿ èç ãðàíèö äî-âåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè.

Ïóñòü1

( )dz

S Szf z z−∞

α = ∫ , 1

( )dz

I Izf z z−∞

α = ∫ ,

2

( )dS Szz

f z z∞

β = ∫ , 2

( )dI Izz

f z z∞

β = ∫ .

Òîãäà 1( / )I SP Z z gα ≤ ≤ ≤ α , 2( / )S IP Z z gβ ≤ ≥ ≤ β . Îòñþäà

1 2( / )i sP z Z z gγ ≤ < < ≤ γ , èëè

* *2 1( / )i sP z z gγ ≤ θ − < Θ < θ − ≤ γ ,

ãäå ,iγ sγ – ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè:

1 ( )i S Iγ = − α + β , 1 ( )s I Sγ = − α + β . (20.9)

Ïðè èçâåñòíûõ ôóíêöèÿõ ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö ïîãðåøíî-ñòè ( )SzF z , ( )IzF z ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè ,iγ sγ

îïðåäåëÿþò ãðàíèöû äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà 1z , 2z .Äëÿ ãàóññîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèö ñ ïàðàìåòðàìè

( , )Sz Szm σ , ( , )Iz Izm σ ðàñ÷åò ãðàíèö äîâåðèòåëüíîãî èíòåðâàëà ñî-

ñòîèò â ñëåäóþùåì.Ó÷òåì, ÷òî

1 SzS

Sz

z m −α = Φ σ

, 1 IzI

Iz

z m −α = Φ σ

,


268

21 SzS

Sz

z m −β = − Φ σ

, 21 IzI

Iz

z m −β = − Φ σ

,

ãäå ( )xΦ – ôóíêöèÿ ãàóññîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íóëåâûììàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è åäèíè÷íîé äèñïåðñèåé.

Òîãäà èç âûðàæåíèÿ (20.9) èìååì ñèñòåìó óðàâíåíèé

2 1

2 1

,

.

Iz Szi

Iz Sz

Sz Izs

Sz Iz

z m z m

z m z m

− −Φ − Φ = γ σ σ

− −Φ − Φ = γ σ σ

Èñêîìûå ãðàíèöû 1z , 2z ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì ýòîé ñèñòåìû.

20.4. КРИТИЧЕСКИЙ ОБЪЕМ ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙВЫБОРКИ

Îáúåì âûáîðêè èìååò ñìûñë óâåëè÷èâàòü äî òåõ ïîð, ïîêà ýòîïðèâîäèò ê îùóòèìîìó ïîâûøåíèþ òî÷íîñòè èçìåðåíèÿ. Äëÿãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ñóùåñòâóåò êðèòè÷åñêèé îáúåì âûáîðêè,âûøå êîòîðîãî óâåëè÷èâàòü îáúåì îáðàáàòûâàåìûõ äàííûõîêàçûâàåòñÿ íåöåëåñîîáðàçíûì. Â ýòîì îòíîøåíèè ãèïåðñëó-÷àéíûå îöåíêè âåäóò ñåáÿ ïîäîáíî èíòåðâàëüíûì îöåíêàì[Îðëîâ, 2002].

Ðàññìîòðèì ïðîñòîé ïðèìåð. Ïóñòü èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà Θ ,

îöåíêà *Θ è âûáîðêà Xr

– ãèïåðñëó÷àéíû. Ñëó÷àéíàÿ âûáîðêà

/ / , 1, nX g X g n N= =r

, ñîîòâåòñòâóþùàÿ óñëîâèÿì g G∈ ,ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àääèòèâíóþ ñìåñü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

/ gΘ ñ äèñïåðñèåé 2/ gθσ è ñëó÷àéíîé îäíîðîäíîé ïîìåõè, îïè-

ñûâàåìîé âåêòîðîì /V gr

, êîìïîíåíòû êîòîðîãî íåçàâèñèìû è

èìåþò ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ /v gm è äèñïåðñèè 2/v gσ . Ïîìå-

õà íå çàâèñèò îò èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû è äèñïåðñèÿ ïîìåõè ëå-æèò â äèàïàçîíå ( 2

ivσ , 2svσ ). Ñòàòèñòè÷åñêèå óñëîâèÿ èçìåíÿþòñÿ

íàñòîëüêî ìåäëåííî, ÷òî óñëîâèÿ ôîðìèðîâàíèÿ âûáîðêè ìîæíîñ÷èòàòü ïðàêòè÷åñêè ïîñòîÿííûìè.

Íåîáõîäèìî îöåíèòü èçìåðÿåìóþ âåëè÷èíó / gθ â íåèçâåñò-

íûõ óñëîâèÿõ g G∈ è òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ.

20.4. Критический объем гиперслучайной выборки

269

Èìåÿ N ïîäðÿä èäóùèõ îòñ÷åòîâ / ,nx gθ , ìîæíî ñôîðìèðîâàòü

äëÿ íåèçâåñòíûõ óñëîâèé g G∈ îöåíêó *

1

1/ , / ,

N

nn

g x gN =

θ θ = θ∑ .

Ñðåäíèé êâàäðàò ïîãðåøíîñòè 2

/2 2/

v gz g vm

N

σ∆ = + . Òîãäà â ñî-

îòâåòñòâèè ñ âûðàæåíèåì (19.6) ýòó âåëè÷èíó ìîæíî îöåíèòüñëåäóþùèì íåðàâåíñòâîì:

2 22 2 2

/| | | |iv svi z g sN N

σ σε + < ∆ < ε + , (20.10)

ãäå 2 2/| | infi v gg G

m∈

ε = , 2 2/| | sups v g

g Gm

∈ε = – êâàäðàòû íèæíåé è âåðõíåé

ãðàíèö ìîäóëÿ ñìåùåíèÿ îöåíêè.Ïðè N → ∞ èìååì 2 2 2

/| | | |i z g sε < ∆ < ε .

Èñïîëüçóÿ ïðàâóþ ÷àñòü íåðàâåíñòâà (20.10), ìîæíî îöåíèòü

êðèòè÷åñêèé îáúåì 0N âûáîðêè: 2

0 2

10

| |sv

s

Nσ

>ε

.

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñ óìåíüøåíèåì âåðõíåé ãðàíèöû ìîäóëÿñìåùåíèÿ è ñ óâåëè÷åíèåì âåðõíåé ãðàíèöû äèñïåðñèè ïîìåõè

2svσ ãðàíèöà êðèòè÷åñêîãî îáúåìà âûáîðêè âîçðàñòàåò. Åñëè

âåðõíÿÿ ãðàíèöà ìîäóëÿ ñìåùåíèÿ ñîïîñòàâèìà ñ âåðõíåé ãðà-íèöåé ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ ïîìåõè, êðèòè÷åñêèéîáúåì âûáîðêè 0N îêàçûâàåòñÿ â ðàéîíå âñåãî äåñÿòè îòñ÷åòîâ.

Îïèñàííûå ìåòîäû ïðèìåíèìû äëÿ ðàñ÷åòà ïîãðåøíîñòåéèçìåðåíèÿ ðàçëè÷íûõ äåòåðìèíèðîâàííûõ, ñëó÷àéíûõ è ãèïåð-ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, íàáëþäàåìûõ â íåîïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ.Îíè äàþò áîëåå îáúåêòèâíóþ èíôîðìàöèþ îá èññëåäóåìîì ÿâ-ëåíèè, ÷åì òðàäèöèîííûå ìåòîäû, ïðåäïîëàãàþùèå îïðåäåëåí-íûé, íàïðèìåð ðàâíîìåðíûé, çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ óñëîâèé èëèâîîáùå èãíîðèðóþùèå ôàêò èçìåíåíèÿ óñëîâèé.

* * *

Ðàññìîòðåííûå â ãëàâàõ 18–20 ãèïåðñëó÷àéíûå ìîäåëè èçìåðåíèÿôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ïîñòðîåíû â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âûáîðêà X

r,

îöåíêà *Θ , à â ãëàâàõ 19, 20 è èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà Θ àäåêâàòíîîïèñûâàþòñÿ ãèïåðñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè ÷àñòíîãî âèäà, ïðåäñòàâ-


270

ëÿåìûìè ìíîæåñòâàìè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí â îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ,

ò.å. /X X g G= ∈r r

, * * / g GΘ = Θ ∈ è / g GΘ = Θ ∈ .

Áîëåå îáùèå ãèïåðñëó÷àéíûå ìîäåëè èçìåðåíèÿ ó÷èòûâàþòâîçìîæíîñòü èçìåíåíèÿ óñëîâèé â ïðîöåññå ôîðìèðîâàíèÿ âû-áîðêè. Ïðè ýòîì âûáîðêà, îöåíêà è èçìåðÿåìàÿ âåëè÷èíà îïè-ñûâàþòñÿ ãèïåðñëó÷àéíûìè ìîäåëÿìè îáùåãî âèäà, ïðåäñòàâ-ëÿåìûìè ìíîæåñòâàìè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí â èçìåíÿþùèõñÿ óñ-

ëîâèÿõ, ò.å. /X X g G= ∈r r rr

, * * / g GΘ = Θ ∈rr

è / g GΘ = Θ ∈sr

.

Ïðè èñïîëüçîâàíèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ìîäåëåé îáùåãî âèäà âîâñåõ âûðàæåíèÿõ ãëàâ 18–20, ãäå âñòðå÷àåòñÿ ñêàëÿðíàÿ âåëè÷è-íà g , ñëåäóåò ïðîñòàâèòü âåêòîð g

r, à òàì, ãäå âñòðå÷àåòñÿ ìíî-

æåñòâî G , – ìíîæåñòâî Gr.

Ïåðåõîä ê áîëåå îáùèì ãèïåðñëó÷àéíûì ìîäåëÿì íå ïðèâ-íîñèò íè÷åãî íîâîãî, ïîñêîëüêó, ïî ñóòè, ïðîñòî îäíî îáîçíà÷å-íèå ìåíÿåòñÿ íà äðóãîå.

* * *

Â çàêëþ÷åíèå ãëàâ, ïîñâÿùåííûõ ãèïåðñëó÷àéíûì ìîäåëÿì èç-ìåðåíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, õîòåëîñü áû ïîä÷åðêíóòü, ÷òî âîâñåõ ñëó÷àÿõ èç-çà èçìåíåíèé ñòàòèñòè÷åñêèõ óñëîâèé íàáëþäå-íèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ðåàëüíûå îöåíêè íîñÿò ãèïåðñëó÷àé-íûé õàðàêòåð. Ýòè îöåíêè íå îáëàäàþò ñâîéñòâîì ñîñòîÿòåëüíî-ñòè. Ïîýòîìó ðàññìîòðåííûå ãèïåðñëó÷àéíûå ìîäåëè áîëåå àäå-êâàòíî, ÷åì êëàññè÷åñêàÿ äåòåðìèíèðîâàííî-ñëó÷àéíàÿ ìîäåëü,îïèñûâàþò ïðîöåäóðó èçìåðåíèÿ. Â ðàìêàõ ýòèõ ìîäåëåé ïî-ãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ õàðàêòåðèçóåòñÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷è-íîé. Ýòó ïîãðåøíîñòü íåëüçÿ ðàçëîæèòü íà ñèñòåìàòè÷åñêóþ èñëó÷àéíóþ ñîñòàâëÿþùèå. Â ÷àñòíîì ñëó÷àå (ñîâïàäåíèÿ ôîðìûãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòè) ïîãðåøíîñòü ìîæ-íî ïðåäñòàâèòü ñóììîé òðåõ ñîñòàâëÿþùèõ: ñèñòåìàòè÷åñêîé, èí-òåðâàëüíîé è ñëó÷àéíîé.

271

Глава 21

ГИПЕРСЛУЧАЙНЫЕ ОЦЕНКИГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ

Ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê äåòåðìèíèðî-âàííûõ è ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, îáîáùåíû íà ñëó÷àé ãèïåðñëó÷àé-íûõ îöåíîê ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. Îáîñíîâàíî ïðåäïîëîæåíèå,÷òî âñå ðåàëüíûå îöåíêè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ íåñîñòîÿòåëüíû, àòî÷íîñòü èçìåðåíèÿ ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ, êàê è òî÷íîñòü èçìåðåíèÿðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí, îãðàíè÷åíà.

21.1. ГИПЕРСЛУЧАЙНО-ГИПЕРСЛУЧАЙНАЯМОДЕЛЬ ИЗМЕРЕНИЯ

Â ïðåäûäóùèõ äâóõ ãëàâàõ íå ñòàâèëàñü çàäà÷à îöåíêè çà-êîíà èçìåíåíèÿ âî âðåìåíè èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû. Ïðè ïî-ñòàíîâêå òàêîé çàäà÷è â ðàìêàõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ìîäåëåé îáúåê-òîì èçìåðåíèÿ îêàçûâàåòñÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ ( )tΘ . Åå

îöåíêîé ÿâëÿåòñÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ *( )tΘ , ïðåäñòàâëÿþùàÿ

ñîáîé ñòàòèñòèêó âûáîðêè ( )X t , ãäå t T∈ – âðåìÿ, T – èíòåðâàëíàáëþäåíèÿ.

Ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè ( )tΘ , ( )X t è *( )tΘ ìîæíî ïðåä-ñòàâèòü ìíîæåñòâîì ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé:

( )= ( )/t t g GΘ Θ ∈ , ( ) ( )/X t X t g G= ∈ , *( )tΘ = Θ ∈*( )/t g G . Ñëó-

÷àéíûå ôóíêöèè ( )/t gΘ , ( )/X t g , *( )/t gΘ ìîãóò ïðèíèìàòü ìíî-

æåñòâî êîíêðåòíûõ çíà÷åíèé (ðåàëèçàöèé) ( )/t gθ , ( ) /x t g ,

*( )/t gθ . Ñëó÷àéíàÿ ôóíêöèÿ *( )/t gΘ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà

ìíîæåñòâîì óñëîâíûõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé *( )/ ( ),t t gΘ θ .

Ñëó÷àéíûå ôóíêöèè ( )/t gΘ , ( ) /X t g , *( )/ ( ),t t gΘ θ , *( )/t gΘ è*( ( ), ( ))/t t gΘ Θ îïèñûâàþòñÿ ìíîãîìåðíûìè óñëîâíûìè ôóíêöèÿìè

Глава 21. Гиперслучайные оценки гиперслучайных функций

272

ðàñïðåäåëåíèÿ θ / ( ; )gF tθr r

, / ( ; )x gF x trr

, **

/ ,( ; )

gF tθ θ

θr r

, **

/( ; )

gF tθ

θr r

,

**

1 2θ θ /( , ; , )

gF t tθ θ

r r r r, ìíîãîìåðíûìè óñëîâíûìè ïëîòíîñòÿìè ðàñïðå-

äåëåíèÿ / ( ; )gf tθ θr r

, / ( ; )x gf x trr

, **

/ ,( ; )

gf tθ θ

θr r

, **

/( ; )

gf tθ

θr r

, **

1 2/( , ; , )

gf t tθ θ

θ θr r r r

,

à òàêæå ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè / ( )gm tθ , / ( )x gm t , * / ,( )

gm t

θ θ,

* */ / ,( ) M[ ( )]

g gm t m t

θ θ Θ= , * /

( )g

m tθ θ

, äèñïåðñèÿìè 2/ ( )g tθσ , 2

/ ( )x g tσ ,

*2

/ ,( )

gt

θ θσ , *

2

/( )

gt

θσ , êîâàðèàöèîííûì ìîìåíòîì

( ) ( )* **

// /( ) M ( ) / ( ) ( ) / ( )gg g

R t t g m t t g m tθθ θ θ = Θ − Θ −

è öåëûì ðÿäîì äðóãèõ ïàðàìåòðîâ.Ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè ( )tΘ , *( ) / ( )t tΘ θ , *( )tΘ õàðàêòåðè-

çóþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè ãðàíèö ( )Sm tθ , ( )Im tθ ,

* /( )

Sm t

θ θ, * /

( )I

m tθ θ

, * ( )S

m tθ

, * ( )I

m tθ

, äèñïåðñèÿìè ãðàíèö 2 ( )S tθσ ,

2 ( )I tθσ , *2

/( )

St

θ θσ , *

2

/( )

It

θ θσ , *

2 ( )S

tθ

σ , *2 ( )I

tθ

σ è ïðî÷èìè âåëè÷èíàìè.

Îáîáùåííîå ïðåäñòàâëåíèå î ñëó÷àéíûõ ôóíêöèÿõ ( )/t gΘ ,*( ) / ( ),t t gΘ θ , *( ) /t gΘ è *( ( ), ( ))/t t gΘ Θ íà èíòåðâàëå T äàþò ñëó-

÷àéíûå âåëè÷èíû /gΘ , * / , gΘ θ , */gΘ è *( , )/gΘ Θ , ôóíêöèè ðàñ-

ïðåäåëåíèÿ êîòîðûõ / ( )gFθ θ , **

/ ,( )

gFθ θ

θ , **

/( )

gFθ

θ , **

/( , )

gFθ θ

θ θ ÿâ-

ëÿþòñÿ óñðåäíåííûìè íà èíòåðâàëå T ôóíêöèÿìè ðàñïðåäåëå-íèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé:

/ /( ) ( ; )g gF F tθ θθ = θ , * ** *

/ , / ,( ) ( ; )

g gF F tθ θ θ θ

θ = θ ,

* ** *

/ /( ) ( ; ),

g gF F tθ θ

θ = θ * ** *

/ /( , ) ( , ; , ),

g gF F t tθ θ θ θ

θ θ = θ θ

ãäå ÷åðòà íàä ôóíêöèåé îáîçíà÷àåò óñðåäíåíèå åå ïî âðåìåíè t .Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû /gΘ , * / , gΘ θ , * / gΘ , *( , )/gΘ Θ ïîðîæ-

äàþò ñîîòâåòñòâóþùèå ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû: / g GΘ = Θ ∈ ,

* */ / , g GΘ θ = Θ θ ∈ , * * / g GΘ = Θ ∈ , * *( , ) ( , ) / g GΘ Θ = Θ Θ ∈ .

Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû / gΘ , * / , gΘ θ , * / gΘ è *( , ) / gΘ Θîïèñûâàþòñÿ ìîìåíòàìè, â ÷àñòíîñòè, ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäà-

21.2. Погрешность измерения

273

íèÿìè / / ( )g gm m tθ θ= , * */ , / ,( )

g gm m t

θ θ θ θ= , * */ /

( )g g

m m tθ θ

= , * / gm

θ θ=

* /( )

gm t

θ θ= , äèñïåðñèÿìè 2 2

/ / ( )g g tθ θσ = σ , * *2 2

/ , / ,( )

g gt

θ θ θ θσ = σ , *

2

θ /σ

g=

*2

θ /σ ( )

gt= , êîâàðèàöèîííûì ìîìåíòîì * */ /

( )g g

R R tθ θ θ θ

= è äð.

Ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Θ , * /Θ θ , *Θ è *( , )Θ Θ õàðàêòå-ðèçóþòñÿ ìîìåíòàìè ãðàíèö: ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìèãðàíèö Sm θ , Im θ , * /S

mθ θ

, * /Im

θ θ, *S

mθ

, *Im

θ, äèñïåðñèÿìè ãðàíèö

2Sθσ , 2

I θσ , *2

/Sθ θσ , *

2

/I θ θσ , *

2

Sθσ , *

2

I θσ è ïð.

Çàäà÷à èçìåðåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )tΘ àíàëîãè÷íàçàäà÷å èçìåðåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Θ , ðàññìîòðåííîéâ òðåõ ïðåäûäóùèõ ãëàâàõ. Îäíàêî èç-çà ôóíêöèîíàëüíîé çàâè-ñèìîñòè îò âðåìåíè t ýòà çàäà÷à îêàçûâàåòñÿ áîëåå ñëîæíîé. Ååìîæíî îïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Èìååòñÿ êîíêðåòíàÿ âû-áîðêà ( ) / ( ),x t t gθ , ñîîòâåòñòâóþùàÿ íåèçâåñòíîé ôóíêöèè ( )tθ èíåèçâåñòíûì óñëîâèÿì g G∈ , à òàêæå àïðèîðíàÿ èíôîðìàöèÿ îïàðàìåòðàõ è õàðàêòåðèñòèêàõ îöåíêè è èçìåðÿåìîé ôóíêöèè.Íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü îöåíêó *( ) / ( ),t t gθ θ è îöåíèòü òî÷íîñòüèçìåðåíèÿ.

21.2. ПОГРЕШНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ

Ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ â óñëîâèÿõ g G∈ îïèñûâàåòñÿ ñëó÷àéíîé

ôóíêöèåé *( )/ = ( ) / ( )/Z t g t g t gΘ − Θ èëè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé*/ = / /Z g g gΘ − Θ . Áëèçîñòü ñëó÷àéíîé îöåíêè *( )/t gΘ ê èçìå-

ðÿåìîé ôóíêöèè ( )/t gΘ ìîæíî îõàðàêòåðèçîâàòü â êàæäûé

ìîìåíò âðåìåíè t ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ / ( ; )z gF z t ôóíêöèè

( )/Z t g èëè ñðåäíèì êâàäðàòîì ïîãðåøíîñòè

( )22 */ ( )=M ( ) / ( ) /z g t t g t g ∆ Θ − Θ

, (21.1)

à áëèçîñòü ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû */gΘ ê ñëó÷àéíîé âåëè÷èíå

/gΘ – ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ / ( )z gF z ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

/Z g èëè âåëè÷èíîé


274

( )22 */ =M / /z g g g ∆ Θ − Θ

. (21.2)

Âûðàæåíèÿ (21.1), (21.2) ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû ñëåäóþ-ùèì îáðàçîì:

2 2 2/ / /( )= ( ) ( )z g z g z gt m t t∆ + σ , 2 2 2

/ / /=z g z g z gm∆ + σ ,

ãäå */ //( ) ( ) ( ) ( )z g g gg

m t t m t m tθθ= ε = − – ñìåùåíèå îöåíêè,σ =2

/ ( )z g t

θθ θ θ= σ + σ −* *

2 2// /

( ) ( ) 2 ( )gg gt t R t – äèñïåðñèÿ îöåíêè, = ε =/z g gm

θ= −* θ // gg

m m – ñìåùåíèå óñðåäíåííîé îöåíêè, θ

σ = σ +*2 2

/ /z g g

θ θ θ+σ − *

2/ /

2g gR – äèñïåðñèÿ óñðåäíåííîé îöåíêè.

Â íåîïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè tòî÷íîñòü èçìåðåíèÿ õàðàêòåðèçóþò ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäå-ëåíèÿ ( ; )SzF z t , ( ; )IzF z t ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )/Z t g è ôóíêöèè

2( ) ( ; )dSz Szt z f z t z∞

−∞

∆ = ∫ , 2( ) ( ; )dIz Izt z f z t z∞

−∞

∆ = ∫ , (21.3)

à íà èíòåðâàëå âðåìåíè T – ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ( )SzF z , ( )IzF z ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû /Z g è âåëè÷èíû

2 ( )dSz Szz f z z∞

−∞

∆ = ∫ , 2 ( )dIz Izz f z z∞

−∞

∆ = ∫ , (21.4)

ãäå ( ; )Szf z t , ( ; )Izf z t , ( )Szf z , ( )Izf z – ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ

ãðàíèö, ñîîòâåòñòâóþùèå ôóíêöèÿì ðàñïðåäåëåíèÿ ( ; )SzF z t ,

( ; )IzF z t , ( )SzF z , ( )IzF z .

Ôóíêöèè ( )Sz t∆ , ( )Iz t∆ õàðàêòåðèçóþò äèíàìèêó èçìåíåíèÿ

ãðàíèö ïîãðåøíîñòè ñ òå÷åíèåì âðåìåíè, à âåëè÷èíû Sz∆ , Iz∆ –

çíà÷åíèÿ ãðàíèö óñðåäíåííîé ïîãðåøíîñòè íà ðàññìàòðèâàåìîìèíòåðâàëå.

Ôóíêöèè ( )Sz t∆ , ( )Iz t∆ îïðåäåëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèìè îæè-

äàíèÿìè ( )Szm t , ( )Izm t ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ( ; )SzF z t ,

( ; )IzF z t è ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèìè îòêëîíåíèÿìè ãðàíèö ( )Sz tσ ,

21.2. Погрешность измерения

275

( )Iz tσ , à âåëè÷èíû Sz∆ , Iz∆ – ìàòåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè

Szm , Izm ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ( )SzF z , ( )IzF z è ñðåä-

íåêâàäðàòè÷åñêèìè îòêëîíåíèÿìè ãðàíèö Szσ , Izσ :

2 2( ) ( ) ( )Sz Sz Szt m t t∆ = + σ , 2 2( ) ( ) ( )Iz Iz Izt m t t∆ = + σ ,

2 2Sz Sz Szm∆ = + σ , 2 2

Iz Iz Izm∆ = + σ .

Ïîãðåøíîñòü êîíêðåòíîãî èçìåðåíèÿ ( )/z t g â íåèçâåñòíûõóñëîâèÿõ g ìîæíî îöåíèòü íåðàâåíñòâîì

( ) ( ) ( ) / ( ) ( )Sz Sz Iz Izm t k t z t g m t k t− σ < < + σ , (21.5)

à ñðåäíþþ ïîãðåøíîñòü íà èíòåðâàëå T – íåðàâåíñòâîì

/Sz Sz Iz Izm k z g m k− σ < < + σ . (21.6)

Èíòåðâàë íàõîæäåíèÿ èçìåðÿåìîé ôóíêöèè ( )/t gθ ïðè íàëè-

÷èè îöåíêè *( ) / ( ),t t gθ θ îïèñûâàåòñÿ íåðàâåíñòâàìè

*( ) / ( ), ( ) ( ) ( ) /Iz Izt t g m t k t t gθ θ − − σ < θ <

*( ) / ( ), ( ) ( ),Sz Szt t g m t k t< θ θ − + σ (21.7)

* *( ) / ( ), ( ) / ( ) / ( ),Iz Iz Sz Szt t g m k t g t t g m kθ θ − − σ < θ < θ θ − + σ , (21.8)

ãäå k – íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà, îïðåäåëÿåìàÿ ñòåïåíüþ äîâåðèÿ êðåçóëüòàòó èçìåðåíèÿ.

Â íåðàâåíñòâàõ (21.7), (21.8), êàê è â ñëó÷àå îöåíêè ãèïåð-ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, ó÷èòûâàåòñÿ ðàçëè÷èå äèñïåðñèé ãðàíèöðàñïðåäåëåíèÿ, ÷òî ñóùåñòâåííî ïðè çíà÷èòåëüíîì èõ îòëè-÷èè. Íåðàâåíñòâà (21.6) è (21.8) äàþò îáîáùåííîå ïðåäñòàâëå-íèå îá îöåíêå íà ðàññìàòðèâàåìîì èíòåðâàëå, à íåðàâåíñòâà(21.5) è (21.7), îòñëåæèâàþùèå ñïåöèôè÷åñêèå îñîáåííîñòèñå÷åíèé, – áîëåå ïîäðîáíîå îïèñàíèå.

Åñëè äëÿ âñåõ t T∈ óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ïî-ãðåøíîñòè ( )/Z t g g G∀ ∈ íå ïåðåñåêàþòñÿ è ñ âîçðàñòàíèåì óñ-

ëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ïîãðåøíîñòè / ( )z gm t åå óñ-

ëîâíûå äèñïåðñèè 2/ ( )z g tσ óâåëè÷èâàþòñÿ (òèï ðàñïðåäåëåíèÿ

«à» ïî êëàññèôèêàöèè ïàðàãðàôà 6.3) èëè óìåíüøàþòñÿ (òèï


276

ðàñïðåäåëåíèÿ «á»), òî èíòåðâàëû (21.5), (21.7) õàðàêòåðèçóþò-ñÿ ãðàíèöàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîãðåøíîñòè ( )izm t ,

( )szm t è ãðàíèöàìè äèñïåðñèè 2 ( )iz tσ , 2 ( )sz tσ , îïðåäåëÿåìûìè

ñëåäóþùèì îáðàçîì:

/( ) inf ( ) inf ( ) ( )iz z g g ig G g Gm t m t t t

∈ ∈= = ε = ε ,

/( ) sup ( ) sup ( ) ( )sz z g g sg G g G

m t m t t t∈ ∈

= = ε = ε ,

2 2 2 2/ // /

( ) inf ( ) inf[ ( ) ( ) 2 ( )],iz z g gg gg G g Gt t t t R t∗ ∗θθ θ θ∈ ∈

σ = σ = σ + σ −

2 2 2 2/ // /

( ) sup ( ) sup[ ( ) ( ) 2 ( )].sz z g gg gg G g Gt t t t R t∗ ∗θθ θ θ∈ ∈

σ = σ = σ + σ − (21.9)

Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òèïà «à» íåðàâåíñòâà (21.5), (21.7) èìåþòñîîòâåòñòâåííî âèä

( ) ( ) ( ) / ( ) ( ),i iz s szt k t z t g t k tε − σ < < ε + σ

*( ) / ( ), ( ) ( ) ( ) /s szt t g t k t t gθ θ − ε − σ < θ <

*( ) / ( ), ( ) ( ),i izt t g t k t< θ θ − ε + σ (21.10)


( ) ( ) ( ) / ( ) ( ),i sz s izt k t z t g t k tε − σ < < ε + σ

*( ) / ( ), ( ) ( ) ( ) /s izt t g t k t t gθ θ − ε − σ < θ <

*( ) / ( ), ( ) ( ).i szt t g t k t< θ θ − ε + σ (21.11)

Àíàëîãè÷íî, åñëè óñëîâíûå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ óñðåä-íåííîé ïîãðåøíîñòè /Z g g G∀ ∈ íå ïåðåñåêàþòñÿ è ñ âîçðàñòà-

íèåì óñëîâíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ïîãðåøíîñòè /z gm åå

óñëîâíûå äèñïåðñèè 2/z gσ óâåëè÷èâàþòñÿ (òèï ðàñïðåäåëåíèÿ

«à») èëè óìåíüøàþòñÿ (òèï ðàñïðåäåëåíèÿ «á»), òî èíòåðâàëû(21.6), (21.8) õàðàêòåðèçóþòñÿ ãðàíèöàìè ñìåùåíèÿ iε , sε è ãðà-

íèöàìè ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ ïîãðåøíîñòè izσ ,

szσ . Ïðè ýòîì äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òèïà «à» íåðàâåíñòâà (21.6),

(21.8) èìåþò âèä

21.3. Аддитивная модель оценки

277

( ) / ,i iz s szk z t g kε − σ < < ε + σ

* *( ) / ( ), ( ) / ( ) / ( ), ,s sz i izt t g k t g t t g kθ θ − ε − σ < θ < θ θ − ε + σ (21.12)


( ) / ,i sz s izk z t g kε − σ < < ε + σ

* *( ) / ( ), ( ) / ( ) / ( ), .s iz i szt t g k t g t t g kθ θ − ε − σ < θ < θ θ − ε + σ (21.13)

Ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè 2 ( )iz t∆ , 2 ( )sz t∆ îïðå-

äåëÿþòñÿ ñìåùåíèåì îöåíêè ( )g tε , äèñïåðñèÿìè îöåíêè *2

/( )

gt

θσ

è èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû 2/ ( )g tθσ , à òàêæå êîâàðèàöèîííûì ìî-

ìåíòîì * /( )

gR t


2 2 2 2 2/ // /

( ) inf ( ) inf[ ( ) ( ) ( ) 2 ( )],iz z g g gg gg G g Gt t t t t R t∗ ∗θθ θ θ∈ ∈

∆ = ∆ = ε + σ + σ −

2 2 2 2 2/ // /

( ) sup ( ) sup[ ( ) ( ) ( ) 2 ( )].sz z g g gg gg G g Gt t t t t R t∗ ∗θθ θ θ∈ ∈

∆ = ∆ = ε + σ + σ −

Àíàëîãè÷íî ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðàòà óñðåäíåííîé ïî-ãðåøíîñòè 2

iz∆ , 2sz∆ îïðåäåëÿþòñÿ ñìåùåíèåì îöåíêè gε , äèñ-

ïåðñèÿìè îöåíêè *2

/gθσ è èçìåðÿåìîé âåëè÷èíû 2

/gθσ , à òàêæå êî-

âàðèàöèîííûì ìîìåíòîì * / gR


2 2 2 2 2/ // /

inf inf( 2 ),iz z g g gg gg G g GR∗ ∗θθ θ θ∈ ∈

∆ = ∆ = ε + σ + σ −

2 2 2 2 2/ // /

sup sup( 2 ).sz z g g gg gg G g GR∗ ∗θθ θ θ∈ ∈

∆ = ∆ = ε + σ + σ −

21.3. АДДИТИВНАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ

Åñëè îöåíêà *( )tΘ îïèñûâàåòñÿ àääèòèâíîé ìîäåëüþ â âèäå ñóììû

èçìåðÿåìîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ( )tΘ è ãèïåðñëó÷àéíîé

ïîìåõè ( )W t , òî ñìåùåíèå ( )g tε ðàâíî ìàòåìàòè÷åñêîìó îæè-

äàíèþ / ( )w gm t ñëó÷àéíîé ïîìåõè ( ) /W t g , äèñïåðñèÿ ïîãðåøíîñ-

òè 2/ ( )z g tσ – äèñïåðñèè ïîìåõè 2

/ ( )w g tσ , ãðàíèöû ñìåùåíèÿ ε ( ),i t


278

( )s tε – ñîîòâåòñòâåííî ãðàíèöàì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ

ïîìåõè ( )iwm t , ( )swm t , à ãðàíèöû äèñïåðñèè ïîãðåøíîñòè 2 ( )iz tσ ,2 ( )sz tσ – ñîîòâåòñòâóþùèì ãðàíèöàì äèñïåðñèè ïîìåõè 2 ( )iw tσ ,2 ( )sw tσ .

Òîãäà äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòè òèïà «à» íåðàâåíñòâà(21.10) ïðèîáðåòàþò âèä

( ) ( ) ( ) / ( ) ( ),iw iw sw swm t k t z t g m t k t− σ < < + σ

*( ) / ( ), ( ) ( ) ( ) /sw swt t g m t k t t gθ θ − − σ < θ <

*( ) / ( ), ( ) ( ),iw iwt t g m t k t< θ θ − + σ

à äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ òèïà «á» íåðàâåíñòâà (21.11) –

( ) ( ) ( ) / ( ) ( ),iw sw sw iwm t k t z t g m t k t− σ < < + σ

*( ) / ( ), ( ) ( ) ( ) /sw iwt t g m t k t t gθ θ − − σ < θ <

*( ) / ( ), ( ) ( ).iw swt t g m t k t< θ θ − + σ

Ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè2 2 2

/ /( ) inf( ( ) ( )),iz w g w gg Gt m t t

∈∆ = + σ

2 2 2/ /( ) sup( ( ) ( )).sz w g w g

g Gt m t t

∈∆ = + σ (21.14)

Ñìåùåíèå gε ðàâíî ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ /w gm ñëó-

÷àéíîé óñðåäíåííîé ïîìåõè /W g , ñîîòâåòñòâóþùåé ñëó÷àéíîé

ôóíêöèè ( ) /W t g , äèñïåðñèÿ ïîãðåøíîñòè 2/z gσ – äèñïåðñèè

ïîìåõè 2/w gσ , ãðàíèöû ñìåùåíèÿ iε , sε – ñîîòâåòñòâåííî ãðà-

íèöàì ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ïîìåõè iwm , swm , à ãðàíèöû

äèñïåðñèè ïîãðåøíîñòè 2izσ , 2

szσ – ñîîòâåòñòâóþùèì ãðàíèöàì

äèñïåðñèè ïîìåõè 2iwσ , 2

swσ .

Òîãäà íåðàâåíñòâà (21.12) è (21.13) äëÿ ðàñïðåäåëåíèé òèïà«à» è «á» ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñîîòâåòñòâåííî êàê

/ ,iw iw sw swm k z g m k− σ < < + σ

21.4. Мультипликативная модель оценки

279

* *( ) / ( ), ( ) / ( ) / ( ),sw sw iw iwt t g m k t g t t g m kθ θ − − σ < θ < θ θ − + σè

/ ,iw sw sw iwm k z g m k− σ < < + σ

* *( ) / ( ), ( ) / ( ) / ( ), ,sw iw iw swt t g m k t g t t g m kθ θ − − σ < θ < θ θ − + σ

à ãðàíèöû óñðåäíåííîãî ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè – êàê

2 2 2/ /inf( ),iz w g w gg G

m∈

∆ = + σ 2 2 2/ /sup( )sz w g w g

g Gm

∈∆ = + σ . (21.15)

Èç âûðàæåíèé (21.14) è (21.15) ñëåäóåò, ÷òî â ñëó÷àå àääè-òèâíîé ìîäåëè ïîìåõè ãèïåðñëó÷àéíûå îñîáåííîñòè èçìåðÿåìîéôóíêöèè íå âëèÿþò íà òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ. Ñóùåñòâåííóþ ðîëüèãðàþò ëèøü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ïîìåõè.Ïðè ïðåíåáðåæèìî ìàëîé äèñïåðñèè 2

/ ( )w g tσ g G∀ ∈ ãðàíèöû2 ( )iz t∆ , 2 ( )sz t∆ îïðåäåëÿþòñÿ ãðàíèöàìè êâàäðàòà ìàòåìàòè÷åñêîãî

îæèäàíèÿ ïîìåõè 2 ( )iwm t , 2 ( )swm t , à ãðàíèöû óñðåäíåííîãî ñðåä-

íåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè 2iz∆ , 2

sz∆ – ãðàíèöàìè êâàäðàòà ìà-

òåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ óñðåäíåííîé ïîìåõè 2iwm , 2

swm .

21.4. МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ

Â äðóãîì ÷àñòíîì ñëó÷àå îöåíêà *( )tΘ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà

ìóëüòèïëèêàòèâíîé ìîäåëüþ, îïèñûâàåìîé âûðàæåíèåì Θ =*( )t(1 ( )) ( )t t= + Ξ Θ . Ïðè ýòîì ïîãðåøíîñòü ( ) / ( ( ) / )( ( ) / )Z t g t g t g= Ξ Θ ,

ãäå ( )tΞ , ( )/t gΞ – ñîîòâåòñòâåííî ãèïåðñëó÷àéíàÿ è ñëó÷àéíàÿôóíêöèè, õàðàêòåðèçóþùèå ìíîæèòåëü ìóëüòèïëèêàòèâíîéïîìåõè.

Åñëè ôóíêöèè ( )/t gΞ , ( )/t gΘ íåçàâèñèìû ïðè ëþáîì g , òî

ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîãðåøíîñòè / ( )z gm t (ñìåùåíèå îöåí-

êè) ðàâíî / /( ) ( )g gm t m tξ θ , à äèñïåðñèÿ ïîãðåøíîñòè

2 2 2 2 2 2 2/ / / / / / /( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z g g g g g g gt t t m t t t m tξ θ ξ θ ξ θσ = σ σ + σ + σ ,

ãäå / ( )gm tξ , 2/ ( )g tξσ – ñîîòâåòñòâåííî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå

è äèñïåðñèÿ ìíîæèòåëÿ ( )/t gΞ . Ïðè ýòîì ñðåäíèé êâàäðàò ïî-


280

ãðåøíîñòè ( ) ( )2 2 2 2 2/ / / / /( ) ( ) ( ) ( ) ( )z g g g g gt m t t m t tξ ξ θ θ∆ = + σ + σ , ãðàíèöû

ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè

( ) ( )2 2 2 2 2/ / / /( ) inf ( ) ( ) ( ) ( ) ,iz g g g gg G

t m t t m t tξ ξ θ θ∈ ∆ = + σ + σ

( ) ( )2 2 2 2 2/ / / /( ) sup ( ) ( ) ( ) ( ) ,sz g g g g

g Gt m t t m t tξ ξ θ θ

∈

∆ = + σ + σ (21.16)

à ïàðàìåòðû ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ ïîãðåøíîñòè îïèñûâàþòñÿñëåäóþùèìè âûðàæåíèÿìè:

( ) ( ) ( )Sz S Sm t m t m tξ θ= ,

( ) ( ) ( )Iz I Im t m t m tξ θ= ,

2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Sz S S S S S St t t m t t t m tξ θ ξ θ ξ θσ = σ σ + σ + σ ,

2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Iz I I I I I It t t m t t t m tξ θ ξ θ ξ θσ = σ σ + σ + σ ,

ãäå ( )Sm tξ , ( )Im tξ – ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ, à 2 ( )S tξσ , 2 ( )I tξσ –

äèñïåðñèè ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ ìíîæèòåëÿ ìóëüòèïëèêàòèâíîéïîìåõè.

Åñëè ôóíêöèè ( )/t gΞ , ( ) /t gΘ íåçàâèñèìû ïðè ëþáîì g , òî

ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ïîãðåøíîñòè /z gm ðàâíî / /( ) ( )g gm t m tξ θ ,

à äèñïåðñèÿ

2 2 2 2 2 2 2/ / / / / / /( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z g g g g g g gt t m t t t m tξ θ ξ θ ξ θσ = σ σ + σ + σ .

Ïðè ýòîì ñðåäíèé êâàäðàò óñðåäíåííîé ïîãðåøíîñòè ∆ =2/z g

( ) ( )ξ ξ θ θ= + σ + σ2 2 2 2/ / / /( ) ( ) ( ) ( )g g g gm t t m t t , ãðàíèöû ñðåäíåãî êâàäðàòà

óñðåäíåííîé ïîãðåøíîñòè

( ) ( )2 2 2 2 2/ / / /inf ( ) ( ) ( ) ( ) ,iz g g g gg G

m t t m t tξ ξ θ θ∈

∆ = + σ + σ

( ) ( )2 2 2 2 2/ / / /sup ( ) ( ) ( ) ( ) ,sz g g g g

g Gm t t m t tξ ξ θ θ

∈

∆ = + σ + σ (21.17)

à ïàðàìåòðû ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ óñðåäíåííîé ïîãðåøíîñòèîïèñûâàþòñÿ âûðàæåíèÿìè

21.5. Характерные особенности гиперслучайных оценок …

281

( ) ( )Sz S Sm m t m tξ θ= ,

( ) ( )Iz I Im m t m tξ θ= ,

2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Sz S S S S S St t m t t t m tξ θ ξ θ ξ θσ = σ σ + σ + σ ,

2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Iz I I I I I It t m t t t m tξ θ ξ θ ξ θσ = σ σ + σ + σ .

Èç âûðàæåíèé (21.16), (21.17) âèäíî, ÷òî â ñëó÷àå ìóëüòè-ïëèêàòèâíîé ïîìåõè ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ìà-òåìàòè÷åñêèìè îæèäàíèÿìè è äèñïåðñèÿìè êàê ìíîæèòåëÿìóëüòèïëèêàòèâíîé ïîìåõè, òàê è èçìåðÿåìîé ôóíêöèè. Ýòèìîíà ñóùåñòâåííî îòëè÷àåòñÿ îò ïîãðåøíîñòè â ñëó÷àå àääèòèâ-íîé ïîìåõè.

21.5. ХАРАКТЕРНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХОЦЕНОК ГИПЕРСЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ

Ïî àíàëîãèè ñ ãèïåðñëó÷àéíûìè îöåíêàìè ãèïåðñëó÷àéíûõ âå-ëè÷èí äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèéìîæíî ââåñòè ïîíÿòèÿ íåñìåùåííûõ, ñîñòîÿòåëüíûõ, ýôôåê-òèâíûõ è äîñòàòî÷íûõ îöåíîê.

Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó *( )tΘ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )tΘ áóäåì

íàçûâàòü íåñìåùåííîé (íåñìåùåííîé ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g G∈ ),

åñëè äëÿ âñåõ g G∈ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå * /( )

gm t

θ ñëó÷àéíîé

ôóíêöèè *( ) /t gΘ ðàâíî ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ / ( )gm tθ óñ-

ëîâíîé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( ) /t gΘ , ò.å. åñëè ( ) 0g t g Gε = ∀ ∈ . Â

ïðîòèâíîì ñëó÷àå îöåíêó áóäåì íàçûâàòü ñìåùåííîé.Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó *( )tΘ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )tΘ

ìîæíî íàçâàòü ñîñòîÿòåëüíîé, åñëè äëÿ âñåõ óñëîâèé g G∈ è

âñåõ t T∈ îíà ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ýòîé âåëè÷èíå:

*lim ( ) / ( ) / 0N

P t g t g→∞

Θ − Θ > ε = ,g G t T∀ ∈ ∈ ,

ãäå N – îáúåì âûáîðêè äëÿ êàæäîãî óñëîâèÿ g .Ïðèâåäåííûå îïðåäåëåíèÿ ïîíÿòèé íåñìåùåííîé îöåíêè è

ñîñòîÿòåëüíîé îöåíêè äëÿ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ñîãëàñîâàíûñ îïðåäåëåíèÿìè ýòèõ æå ïîíÿòèé äëÿ äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè-


282

÷èíû è ñëó÷àéíîé îöåíêè, äëÿ äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû èãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè, à òàêæå ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêè.

Åñëè îöåíêà íåñìåùåííàÿ, òî ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿ èçìåðÿåìîé ôóíêöèè è ãðàíèöû ìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿ îöåíêè ñîâïàäàþò: *( ) ( )i i

m t m tθ θ= , *( ) ( )s s

m t m tθ θ= . Ïðè

ýòîì èç ôàêòà, ÷òî îöåíêà íåñìåùåííàÿ, íå ñëåäóåò, ÷òî îáÿçà-òåëüíî ñîâïàäàþò ñîîòâåòñòâóþùèå ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿãðàíèö (ò.å. *( ) ( )S S

m t m tθ θ= , *( ) ( )I I

m t m tθ θ= ).

Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà ñëó÷àéíîéôóíêöèè, ñîõðàíÿþùàÿ ãèïåðñëó÷àéíûé õàðàêòåð ïðè N → ∞ ,ïîäîáíî ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêå äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû,à òàêæå ãèïåðñëó÷àéíîé îöåíêå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû, íåñîñòîÿ-òåëüíà.

Åñëè ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà *( )tΘ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè

( )tΘ ñîõðàíÿåò ãèïåðñëó÷àéíûé õàðàêòåð ïðè N → ∞ , òî òåîðå-òè÷åñêè îöåíêà ìîæåò áûòü ñîñòîÿòåëüíîé. Òàêàÿ âîçìîæíîñòüèìååò ìåñòî, êîãäà äëÿ âñåõ óñëîâèé g G∈ è âñåõ t T∈ ïðè

N → ∞ ñìåùåíèå îöåíêè îòñóòñòâóåò. Òàêîå òðåáîâàíèå íàïðàêòèêå íèêîãäà íå âûïîëíÿåòñÿ.

Ïîýòîìó âñå ðåàëüíûå îöåíêè ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ îêàçûâà-þòñÿ íåñîñòîÿòåëüíûìè. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òî÷íîñòü èçìåðåíèÿðåàëüíûõ ïðîöåññîâ, êàê è òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ ðåàëüíûõ ôèçè÷å-ñêèõ âåëè÷èí, îãðàíè÷åíà, ïðè÷åì äàæå ïðè íåîãðàíè÷åííîì îáúåìåäàííûõ.

Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó *( )e tΘ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )tΘ ìîæ-

íî íàçûâàòü ýôôåêòèâíîé, åñëè äëÿ âñåõ óñëîâèé g G∈ è âñåõ

t T∈ ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå êâàäðàòà îòêëîíåíèÿ îöåíêè*( ) /e t gΘ îò âåëè÷èíû ( )/t gΘ ïî ñîâîêóïíîñòè âûáîðîê çàäàí-

íîãî îáúåìà N (ò.å. ñðåäíèé êâàäðàò ïîãðåøíîñòè 2/ ( )z g t∆ ) íå

áîëüøå, ÷åì äëÿ ëþáûõ äðóãèõ îöåíîê *( ) /i t gΘ :

2 2/ /( ) ( ), 1,2,...,

e iz g z gt t i g G∆ ≤ ∆ = ∀ ∈ , (21.18)

ãäå 2 2/ ( ) M[( ( ) / ( ) / ) ]

ez g et t g t g∗∆ = Θ − Θ ,

2 2/ ( ) M[( ( ) / ( ) / ) ]

iz g it t g t g∗∆ = Θ − Θ .

21.5. Характерные особенности гиперслучайных оценок …

283

Ìåðîé ýôôåêòèâíîñòè ìîãóò ñëóæèòü ãðàíèöû îòíîñèòåëü-íîé ýôôåêòèâíîñòè îöåíêè il , sl , îïðåäåëÿåìûå êàê ãðàíèöûîòíîøåíèÿ óñðåäíåííîãî ïî âðåìåíè ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿêâàäðàòà îòêëîíåíèÿ îò ( )/t gΘ ýôôåêòèâíîé îöåíêè *( ) /e t gΘ êóñðåäíåííîìó ïî âðåìåíè ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ êâàäðàòàîòêëîíåíèÿ îò ( )/t gΘ ðàññìàòðèâàåìîé îöåíêè *( ) /t gΘ :

2

* 2

M[( ( ) / ( ) / ) ]inf ,

M[( ( ) / ( ) / ) ]e

i g G

t g t gl

t g t g

∗

∈

Θ − Θ=

Θ − Θ

2

* 2

M[( ( ) / ( ) / ) ]sup .

M[( ( ) / ( ) / ) ]e

sg G

t g t gl

t g t g

∗

∈

Θ − Θ=

Θ − Θ

Ãðàíèöû îòíîñèòåëüíîé ýôôåêòèâíîñòè íàõîäÿòñÿ â èíòåð-âàëå [0,1]. Êîãäà îöåíêà ýôôåêòèâíà, 1i sl l= = .

Ãèïåðñëó÷àéíóþ îöåíêó *( )tΘ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ( )tΘìîæíî íàçûâàòü äîñòàòî÷íîé (ïðè âñåõ óñëîâèÿõ g G∈ ), åñëèãèïåðñëó÷àéíûå îöåíêè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ñîîòâåòñò-âóþùèå âñåì t T∈ , ÿâëÿþòñÿ äîñòàòî÷íûìè.

Åñëè ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè ÿâëÿ-åòñÿ ýôôåêòèâíîé, òî îíà äîñòàòî÷íàÿ. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèåíåâåðíî.

284

ПРИЛОЖЕНИЕ

УЧЕНЫЕ О ФЕНОМЕНЕСТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Â ôèçè÷åñêîì ìèðå íåò ìåñòà èäåàëüíûì ÿâëåíèÿì òàê æå, êàê âèäåàëüíîì ìèðå ìàòåìàòè÷åñêèõ àáñòðàêöèé – ðåàëüíûì ÿâ-ëåíèÿì. Ýòî îñîçíàâàëè åùå ìûñëèòåëè äðåâíîñòè [Ïåíðîóç,2007]. Ôèçè÷åñêèé ìèð è ìàòåìàòè÷åñêèé ìèð – ðàçíûå ìèðû.Â íèõ ìîãóò ïðèñóòñòâîâàòü ïîõîæèå ýëåìåíòû, íî íå èäåí-òè÷íûå.

Ôèçè÷åñêèé ôåíîìåí ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íå ÿâëÿ-åòñÿ èñêëþ÷åíèåì. Èñïîëüçóåìîå â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé ïîíÿ-òèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ÷àñòîòû, ïîä êîòîðûì ïîíèìà-åòñÿ àáñîëþòíàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü – ñõîäèìîñòü ÷àñ-òîòû ê îïðåäåëåííîìó ïðåäåëó (âåðîÿòíîñòè), îïèñûâàåò ôèçè-÷åñêèé ôåíîìåí ëèøü ïðèáëèæåííî.

Íèæå ïðèâåäåíû âûñêàçûâàíèÿ èçâåñòíûõ ó÷åíûõ, êàñàþ-ùèåñÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè, â êîòîðûõ ïðîñëåæèâàåòñÿìûñëü îá îòñóòñòâèè â ðåàëüíîì ìèðå àáñîëþòíîé ñòàòèñòè÷å-ñêîé óñòîé÷èâîñòè èëè íå ñòîëü êàòåãîðè÷íîå óòâåðæäåíèå, ÷òîâ ðåàëüíîì ìèðå ìîæåò íå áûòü àáñîëþòíîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñ-òîé÷èâîñòè.

1. Àâòîðû èçâåñòíîãî ñïðàâî÷íèêà ïî ìàòåìàòèêå [Êîðí,Êîðí, 1977, ñ. 607] ïèøóò: «Ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü â êàæ-äîé êîíêðåòíîé ñèòóàöèè åñòü ýìïèðè÷åñêèé ôèçè÷åñêèé çàêîí,êîòîðûé ìîæåò áûòü ïðîâåðåí òîëüêî îïûòîì. ×àñòî òî÷íîñòüïðåäñêàçàíèÿ íåêîòîðîé ñòàòèñòèêè âîçðàñòàåò ñ âîçðàñòàíèåìîáúåìà âûáîðêè (ôèçè÷åñêèé çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë)».

2. À.À. Ìàðêîâ îòìå÷àåò [Ìàðêîâ, 1924, ñ. 67]: «Èç òåîðåìûÁåðíóëëè îáûêíîâåííî çàêëþ÷àþò, ÷òî ïðè áåñïðåäåëüíîì âîç-ðàñòàíèè ÷èñëà èñïûòàíèé îòíîøåíèå ÷èñëà ïîÿâëåíèé ñîáûòèÿê ÷èñëó èñïûòàíèé ïðèáëèæàåòñÿ ê âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ ïðèîòäåëüíûõ èñïûòàíèÿõ. Ïîäîáíîå çàêëþ÷åíèå íåëüçÿ, îäíàêî,ïðèçíàòü áåçóñëîâíî ïðàâèëüíûì íå òîëüêî äëÿ òåõ ñëó÷àåâ, êî-ãäà óñëîâèÿ òåîðåìû Áåðíóëëè íå âûïîëíèìû, íî è äëÿ òåõ ñëó-

Приложение

285

÷àåâ, ê êîòîðûì ýòà òåîðåìà âïîëíå ïðèìåíèìà. Óñëîâèÿ òåîðå-ìû Áåðíóëëè ñîñòîÿò â íåçàâèñèìîñòè èñïûòàíèé è â ïîñòîÿí-ñòâå âåëè÷èíû âåðîÿòíîñòè ñîáûòèÿ. Ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ òåîðåìàÁåðíóëëè îáíàðóæèâàåò íåâåðîÿòíîñòü çíà÷èòåëüíûõ îòêëîíå-íèé îòíîøåíèÿ m n îò p ïðè áîëüøèõ n . Íî îíà íå óñòðàíÿåòîêîí÷àòåëüíî âîçìîæíîñòè òàêèõ îòêëîíåíèé; è ýòè íåâåðîÿò-íûå îòêëîíåíèÿ ìîãóò îêàçàòüñÿ äåéñòâèòåëüíûìè».

3. Îñíîâîïîëîæíèê ñîâðåìåííîé àêñèîìàòè÷åñêîé òåîðèèâåðîÿòíîñòåé À.Í. Êîëìîãîðîâ â ñòàòüå 1983 ã. ïèøåò [Êîëìîãî-ðîâ, 1986]: «Ãîâîðÿ î ñëó÷àéíîñòè â îáûäåííîì ñìûñëå ýòîãîñëîâà, ìû èìååì ââèäó òå ÿâëåíèÿ, â êîòîðûõ ìû íå îáíàðóæè-âàåì çàêîíîìåðíîñòåé, ïîçâîëÿþùèõ íàì ïðåäñêàçûâàòü èõ ïî-âåäåíèå. Âîîáùå íåò ïðè÷èí ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñëó÷àéíûå â ýòîìñìûñëå ÿâëåíèÿ ïîä÷èíÿþòñÿ êàêèì-òî âåðîÿòíîñòíûì çàêîíàì.Ñëåäîâàòåëüíî, íóæíî ðàçëè÷àòü ñëó÷àéíîñòü â ýòîì øèðîêîìñìûñëå è ñòîõàñòè÷åñêóþ ñëó÷àéíîñòü (êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ïðåäìå-òîì òåîðèè âåðîÿòíîñòåé)».

4. Â ðàáîòå [Ìàòåìàòèêà, åå ñîäåðæàíèå, ìåòîäû è çíà÷åíèå,1956, ñ. 274, 275] À.Í. Êîëìîãîðîâ îòìå÷àåò: «Äîïóùåíèå î âå-ðîÿòíîì õàðàêòåðå èñïûòàíèé, ò.å. î òåíäåíöèè ÷àñòîò ãðóïïè-ðîâàòüñÿ âîêðóã ïîñòîÿííîãî çíà÷åíèÿ, ñàìî ïî ñåáå áûâàåò âåð-íî (êàê è äîïóùåíèå î «ñëó÷àéíîñòè» êàêîãî-ëèáî ÿâëåíèÿ)ëèøü ïðè ñîõðàíåíèè íåêîòîðûõ óñëîâèé, êîòîðûå íå ìîãóò ñî-õðàíÿòüñÿ íåîãðàíè÷åííî äîëãî è ñ íåîãðàíè÷åííîé òî÷íîñòüþ.

Ïîýòîìó òî÷íûé ïåðåõîä ê ïðåäåëó pnµ→ íå ìîæåò èìåòü ðå-

àëüíîãî çíà÷åíèÿ. Ôîðìóëèðîâêà ïðèíöèïà óñòîé÷èâîñòè ÷àñòîòïðè îáðàùåíèè ê òàêîìó ïðåäåëüíîìó ïåðåõîäó òðåáóåò îïðåäå-ëåíèÿ äîïóñòèìûõ ñïîñîáîâ îòûñêàíèÿ áåñêîíå÷íûõ ïîñëåäîâà-òåëüíîñòåé èñïûòàíèé, êîòîðîå òîæå ìîæåò áûòü ëèøü ìàòåìà-òè÷åñêîé ôèêöèåé».

5. À.Í. Êîëìîãîðîâ â ñâîåé ôóíäàìåíòàëüíîé ðàáîòå «Îñ-íîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé» [Êîëìîãîðîâ, 1974,ñ. 12–14] ïèøåò: «Ïðè èçâåñòíûõ óñëîâèÿõ, â êîòîðûå ìû çäåñüíå áóäåì ãëóáæå âäàâàòüñÿ, ìîæíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íåêîòîðûìñîáûòèÿì A , êîòîðûå ìîãóò íàñòóïèòü èëè æå íå íàñòóïèòü ïî-ñëå îñóùåñòâëåíèÿ óñëîâèé σ, ïîñòàâëåíû â ñîîòâåòñòâèå îïðå-äåëåííûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà ( )P A , îáëàäàþùèå ñëåäóþùèìèñâîéñòâàìè:


286

À. Ìîæíî áûòü ïðàêòè÷åñêè óâåðåííûì, ÷òî åñëè êîìïëåêñóñëîâèé σ áóäåò ïîâòîðÿòüñÿ áîëüøîå ÷èñëî n ðàç è åñëè ÷åðåçm îáîçíà÷åíî ÷èñëî ñëó÷àåâ, ïðè êîòîðûõ ñîáûòèå A íàñòóïè-

ëî, òî îòíîøåíèå mn

áóäåò ìàëî îòëè÷àòüñÿ îò ( )P A .

Â. Åñëè ( )P A î÷åíü ìàëî, òî ìîæíî ïðàêòè÷åñêè áûòü óâå-

ðåííûì, ÷òî ïðè îäíîêðàòíîé ðåàëèçàöèè óñëîâèé σ ñîáûòèå Aíå áóäåò èìåòü ìåñòà…

Ïðèìå÷àíèå 1. Èç ïðàêòè÷åñêîé äîñòîâåðíîñòè äâóõ óòâåð-æäåíèé ñëåäóåò ïðàêòè÷åñêàÿ äîñòîâåðíîñòü óòâåðæäåíèÿ îá èõîäíîâðåìåííîé ïðàâèëüíîñòè, õîòÿ ñòåïåíü äîñòîâåðíîñòè ïðèýòîì íåñêîëüêî ïîíèæàåòñÿ. Åñëè, îäíàêî, ÷èñëî óòâåðæäåíèéî÷åíü âåëèêî, òî èç ïðàêòè÷åñêîé äîñòîâåðíîñòè êàæäîãî îò-äåëüíîãî èç ýòèõ óòâåðæäåíèé âîîáùå íåëüçÿ âûâåñòè íèêàêèõçàêëþ÷åíèé îòíîñèòåëüíî îäíîâðåìåííîé ïðàâèëüíîñòè âñåõýòèõ óòâåðæäåíèé. Ïîýòîìó èç ïðèíöèïà À íèêîèì îáðàçîì íåñëåäóåò, ÷òî ïðè î÷åíü áîëüøîì ÷èñëå ñåðèé ïîn èñïûòàíèé â

êàæäîé ñåðèè îòíîøåíèå mn

áóäåò ìàëî îòëè÷àòüñÿ îò ( )P A ».

6. Ýìèëü Áîðåëü [Áîðåëü, 1961, ñ. 28, 29] òàê îáúÿñíÿåò âîç-ìîæíîñòü íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ÷àñòîòû:«Åñëè ïðè î÷åíü áîëüøîì ÷èñëå èñïûòàíèé ýòà ÷àñòîòà íå ñòðå-ìèòñÿ ê ïðåäåëó, à áîëåå èëè ìåíåå êîëåáëåòñÿ ìåæäó ðàçëè÷-íûìè ïðåäåëàìè, òî íàäî óòâåðæäàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòü p íå îñ-òàåòñÿ ïîñòîÿííîé, à èçìåíÿåòñÿ â õîäå èñïûòàíèé. Ýòî èìååòìåñòî, íàïðèìåð, äëÿ ëþäñêîé ñìåðòíîñòè â òå÷åíèå âåêîâ, òàêêàê óñïåõè ìåäèöèíû è ãèãèåíû èìåþò ñâîèì ñëåäñòâèåì óâåëè-÷åíèå ñðåäíåé ïðîäîëæèòåëüíîñòè æèçíè. Ñòàëî áûòü, âåðîÿò-íîñòü p äëÿ ðîäèâøåãîñÿ ðåáåíêà äîñòè÷ü âîçðàñòà 60 ëåò èìååòòåíäåíöèþ ê ðîñòó. Ýòà ýìïèðè÷åñêàÿ òî÷êà çðåíèÿ âïîëíå ïðè-åìëåìà äëÿ ñòàòèñòèêà, èçó÷àþùåãî äåìîãðàôè÷åñêèå ÿâëåíèÿ,òàê êàê çäåñü ìû äîëæíû, çà íåèìåíèåì äðóãèõ íàó÷íûõ ñðåäñòâäëÿ ïðåäâèäåíèÿ, îãðàíè÷èòüñÿ èñïîëüçîâàíèåì áåñ÷èñëåííûõíàáëþäåíèé».

7. À.Â. Ñêîðîõîä â ïðåäèñëîâèè ê ìîíîãðàôèè [Èâàíåíêî,Ëàáêîâñêèé, 1990] ïèøåò: «Íàèáîëåå ïîëíî ðàçðàáîòàíî ïîíÿòèåíåîïðåäåëåííîñòè, èñïîëüçóþùåå âåðîÿòíîñòíóþ ñëó÷àéíîñòü…Çàìå÷ó, ÷òî ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî íåêîòîðàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü,ñêàæåì ÷èñåë, ïîëó÷åíà íåçàâèñèìûìè íàáëþäåíèÿìè íåêîòî-ðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (íåâàæíî, èçâåñòíî èëè íåò åå ðàñïðå-


287

äåëåíèå), íàêëàäûâàåò íà ýòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âåñüìà æåñòêèåîãðàíè÷åíèÿ, êîòîðûå âðÿä ëè âûïîëíÿþòñÿ âî ìíîãèõ ðåàëüíûõÿâëåíèÿõ».

8. Â.Í. Òóòóáàëèí â ñâîåé êíèãå [Òóòóáàëèí (2), 1972, ñ. 6, 7]îòìå÷àåò: «Íàó÷íàÿ äîáðîñîâåñòíîñòü òðåáóåò îò êàæäîãî èññëå-äîâàòåëÿ ïðèìåíåíèÿ äîñòóïíûõ ìåòîäîâ ïðîâåðêè ñòàòèñòè÷å-ñêîé óñòîé÷èâîñòè, íî íàëè÷èå åå ðåäêî ìîæíî âïîëíå ãàðàíòè-ðîâàòü». Äàëåå îí î÷åð÷èâàåò îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ êëàññè÷åñêîéòåîðèè âåðîÿòíîñòåé: «Âñå ìûñëèìûå ýêñïåðèìåíòû ìîæíî ðàç-äåëèòü íà òðè ãðóïïû. Ê ïåðâîé ãðóïïå îòíîñÿòñÿ õîðîøèå ýêñ-ïåðèìåíòû, â êîòîðûõ îáåñïå÷èâàåòñÿ ïîëíàÿ óñòîé÷èâîñòü èñ-õîäà îïûòîâ. Êî âòîðîé ãðóïïå îòíîñÿòñÿ ýêñïåðèìåíòû ïîõóæå,ãäå ïîëíîé óñòîé÷èâîñòè íåò, íî åñòü ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷è-âîñòü. Ê òðåòüåé ãðóïïå îòíîñÿòñÿ ñîâñåì ïëîõèå ýêñïåðèìåíòû,êîãäà íåò è ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè. Â ïåðâîé ãðóïïå âñåÿñíî áåç òåîðèè âåðîÿòíîñòåé, â òðåòüåé ãðóïïå îíà áåñïîëåçíà.Âòîðàÿ ãðóïïà ñîñòàâëÿåò íàñòîÿùóþ ñôåðó ïðèìåíåíèÿ òåîðèèâåðîÿòíîñòåé, íî ìû âðÿä ëè êîãäà-íèáóäü ìîæåì áûòü âïîëíåóâåðåíû, ÷òî èíòåðåñóþùèé íàñ ýêñïåðèìåíò îòíîñèòñÿ êî âòî-ðîé, à íå ê òðåòüåé ãðóïïå».

9. Àíäðå Àíãî â êíèãå äëÿ ýëåêòðî- è ðàäèîèíæåíåðîâ[Àíãî, 1967, ñ. 620] îáðàùàåò âíèìàíèå ÷èòàòåëåé íà ïðîáëåìóîãðàíè÷åííîé òî÷íîñòè èçìåðåíèé, òåñíî ñâÿçàííîé ñ ïðîáëå-ìîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè, è äàåò ñëåäóþùèå ðåêîìåí-äàöèè: «Êàçàëîñü áû, ÷òî, óâåëè÷èâàÿ ÷èñëî èçìåðåíèé, ìîæíîäî áåñêîíå÷íîñòè óâåëè÷èâàòü òî÷íîñòü. Îäíàêî, åñëè òåîðåòè-÷åñêè ìîæíî ïîëó÷èòü åùå îäíó çíà÷àùóþ öèôðó, ïåðåéäÿ îòîäíîãî åäèíñòâåííîãî èçìåðåíèÿ ê 100 èçìåðåíèÿì, èëè îòãðóïïû â 10 èçìåðåíèé ê 1000 èçìåðåíèÿì, òî ïðàêòè÷åñêè ïî-ëó÷åíèå òàêîãî âûèãðûøà âåñüìà ñîìíèòåëüíî. Äåéñòâèòåëüíî,ñëåäóåò îïàñàòüñÿ, ÷òî ïðè òûñÿ÷íîì èçìåðåíèè èçìåðÿåìàÿôèçè÷åñêàÿ âåëè÷èíà áóäåò óæå íå ñîâñåì òà, ÷òî âíà÷àëå.Äðóãèìè ñëîâàìè, â óñëîâèÿõ îïûòà ìîãóò èìåòü ìåñòî íå-áîëüøèå èçìåíåíèÿ, êîòîðûå âîçäåéñòâóþò íà ðåçóëüòàò íåñëó-÷àéíûì îáðàçîì (òàê íàçûâàåìîå «ñïîëçàíèå öåíòðà ðàññåèâà-íèÿ»). Ýòî áîëåå ÷åì âåðîÿòíî, òàê êàê ñåðèÿ â 1000 èçìåðåíèéäîëæíà ïðîäîëæàòüñÿ çíà÷èòåëüíîå âðåìÿ. Ïîýòîìó íå ïðèíÿòîäåëàòü áîëüøèå ñåðèè èçìåðåíèé è ÷èñëî n ðåäêî áûâàåòáîëüøå 10. Âñå ñêàçàííîå õîðîøî ñîãëàñóåòñÿ ñ ïðîñòûì çäðà-âûì ñìûñëîì. Ëó÷øå óñîâåðøåíñòâîâàòü ýêñïåðèìåíòàëüíûé


288

ìåòîä, ÷åì óâåëè÷èâàòü ÷èñëî èçìåðåíèé; 10 õîðîøèõ èçìåðå-íèé ïîëåçíåå, ÷åì 1000 ïîñðåäñòâåííûõ».

* * *

Îãðàíè÷åíèå òî÷íîñòè èçìåðåíèé îáóñëîâëåíî ìíîãèìè ïðè-÷èíàìè, ñðåäè êîòîðûõ ñëåäóåò âûäåëèòü, ïðåæäå âñåãî, èçìåí-÷èâîñòü îáúåêòà èçìåðåíèÿ, èçìåí÷èâîñòü ïàðàìåòðîâ è õà-ðàêòåðèñòèê ïîìåõ, à òàêæå èçìåí÷èâîñòü ïàðàìåòðîâ èõàðàêòåðèñòèê ñðåäñòâ èçìåðåíèÿ. Ýòè è äðóãèå ïðè÷èíûâûçûâàþò íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè.

289

ПОСЛЕСЛОВИЕ

Ãèïîòåçà àáñîëþòíîé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ôèçè÷åñêèõ ÿâëå-íèé, ïîðîäèâøàÿ â ñâîå âðåìÿ êëàññè÷åñêóþ òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé èìàòåìàòè÷åñêóþ ñòàòèñòèêó, íå íàõîäèò ýêñïåðèìåíòàëüíîãî ïîäòâåð-æäåíèÿ. Âñå óêàçûâàåò íà òî, ÷òî â ðåàëüíîì ìèðå èìååò ìåñòî íå àáñî-ëþòíàÿ, à îãðàíè÷åííàÿ ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü.

Ïîèñê àäåêâàòíûõ ñðåäñòâ îïèñàíèÿ ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ñîáûòèé,âåëè÷èí, ïðîöåññîâ è ïîëåé ñ ó÷åòîì íàðóøåíèé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé-÷èâîñòè ïðèâåë ê íîâîé ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ãèïåðñëó÷àé-íûõ ÿâëåíèé, ïðåäëàãàþùåé íîâûé âçãëÿä íà îêðóæàþùèé ìèð è íîâûåïóòè åãî ïîçíàíèÿ.

Ïåðâîî÷åðåäíûå îáëàñòè ïðèìåíåíèÿ íîâîé òåîðèè, î÷åâèäíî, ñâÿ-çàíû ñ òåìè ðàçäåëàìè íàóêè è òåõíèêè, â êîòîðûõ êëàññè÷åñêàÿ òåîðèÿâåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà óæå çàâîåâàëè óâåðåííûåïîçèöèè. Ïðåæäå âñåãî, ýòî òåîðèÿ èçìåðåíèé, ìåòðîëîãèÿ, ðàäèîòåõ-íèêà, ñâÿçü, ñòàòèñòè÷åñêàÿ ôèçèêà, êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà è äð.

* * *

Âñå ãèïîòåçû è òåîðèè èìåþò îãðàíè÷åííûé ñðîê æèçíè. Íåâîçìîæíîçàðàíåå ïðåäâèäåòü, â êàêîé ìåðå îíè áóäóò âîñòðåáîâàíû. Èñòèííàÿöåííîñòü íàó÷íûõ ðåçóëüòàòîâ ðàñêðûâàåòñÿ â õîäå èñïûòàíèé âðåìå-íåì. Õîòåëîñü áû íàäåÿòüñÿ, ÷òî òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé çàé-ìåò äîñòîéíîå ìåñòî â ñèñòåìå ÷åëîâå÷åñêèõ çíàíèé è ïîçâîëèò ñäåëàòüî÷åðåäíîé øàã â ïîçíàíèè îêðóæàþùåãî ìèðà.

290

D[ ]X — äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíîé âå-ëè÷èíû X

D [ ]I X ,D [ ]S X

— äèñïåðñèè íèæíåé èâåðõíåé ãðàíèö ðàñïðå-äåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîéâåëè÷èíû X

M[ ]X — ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèåñëó÷àéíîé âåëè÷èíû X

M [ ]i X ,M [ ]s X

— íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðà-íèöû ìàòåìàòè÷åñêîãîîæèäàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîéâåëè÷èíû X

M [ ]I X ,M [ ]S X

— ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäà-íèÿ íèæíåé è âåðõíåéãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ ãè-ïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Õ

0M [ ]X — óñðåäíåííîå ìàòåìà-òè÷åñêîå îæèäàíèåãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿãèïåðñëó÷àéíîé âåëè-÷èíû X

M [ ( )]T X t — ñðåäíåå ïî t íàèíòåðâàëå T ãè-ïåðñëó÷àéíîé ôóíê-öèè ( )X t

P A — âåðîÿòíîñòü âûïîë-íåíèÿ óñëîâèÿ A

( )P A — âåðîÿòíîñòü ñîáûòèÿA

,( )

( )I

S

P A

P A

— íèæíÿÿ è âåðõíÿÿãðàíèöû âåðîÿòíî-ñòè ñîáûòèÿ A

inf, sup — íèæíÿÿ è âåðõíÿÿ ãðà-íèöû

lim NN

X→∞

— ñõîäèìîñòü ãèïåðñëó-÷àéíîé âåëè÷èíû NX ñ

âåðîÿòíîñòüþ åäèíèöà(ïî÷òè íàâåðíîå)

l . i .m . NN

X→∞

— ñõîäèìîñòü ãèïåðñëó-÷àéíîé âåëè÷èíû NX

â ñðåäíåêâàäðàòè÷å-ñêîì

rect[ ]x — П-îáðàçíàÿ ôóíêöèÿ

sign[ ]x — ôóíêöèÿ åäèíè÷íîãîñêà÷êà

X — ìíîæåñòâî X

∀ — äëÿ âñåõ

U — ëîãè÷åñêîå ñëîæåíèå

I — ëîãè÷åñêîå óìíîæåíèå

∅ — ïóñòîå ìíîæåñòâî*θ — îöåíêà âåëè÷èíû θ

1( , , )Nx xK — âåêòîð ñ êîìïîíåíòà-ìè 1, , Nx xK

1, , NX XK

— ìíîæåñòâî èëè óïî-ðÿäî÷åííîå ìíîæåñòâî ñýëåìåíòàìè 1, , NX XK

СПИСОК ОСНОВНЫХУСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

Îïåðàòîðû

Ñïåöèàëüíûå ìàòåìàòè÷åñêèå çíàêè

Список основных условных обозначений

291

,ix sxD D — íèæíÿÿ è âåðõíÿÿãðàíèöû äèñïåðñèèãèïåðñëó÷àéíîé âå-ëè÷èíû X

,Ix SxD D — äèñïåðñèè íèæíåé èâåðõíåé ãðàíèö ôóíê-öèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãè-ïåðñëó÷àéíîé âåëè-÷èíû X

( )f x — ïëîòíîñòü ðàñïðåäå-ëåíèÿ ñëó÷àéíîé âå-ëè÷èíû X

( / )f x g или

/ ( )x gf x

— ïëîòíîñòü ðàñïðåäå-ëåíèÿ ãèïåðñëó÷àé-íîé âåëè÷èíû X âóñëîâèÿõ g

( ), ( )I Sf x f x — ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëå-íèÿ íèæíåé è âåðõíåéãðàíèö ôóíêöèè ðàñ-ïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó-÷àéíîé âåëè÷èíû X

0( )f x — ñðåäíåå ïëîòíîñòåéðàñïðåäåëåíèÿ ãðà-íèö ãèïåðñëó÷àéíîéâåëè÷èíû X

( )F x — ôóíêöèÿ ðàñïðåäå-ëåíèÿ âåëè÷èíû X

( ), ( )I SF x F x — íèæíÿÿ è âåðõíÿÿãðàíèöû ôóíêöèè ðàñ-ïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó-÷àéíîé âåëè÷èíû X

( / )F x g или

/ ( )x gF x

— óñëîâíàÿ ôóíêöèÿ ðàñ-ïðåäåëåíèÿ ãèïåðñëó-÷àéíîé âåëè÷èíû X âóñëîâèÿõ g

( / , )F x m D — ãàóññîâñêàÿ ôóíêöèÿðàñïðåäåëåíèÿ ñ ìà-òåìàòè÷åñêèì îæè-äàíèåì m è äèñïåð-ñèåé D

( )F x∆ — ðàçíîñòü ãðàíèö ôóíê-öèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãè-ïåðñëó÷àéíîé âåëè÷è-íû

0( )F x — ñðåäíåå ãðàíèö ôóíê-öèè ðàñïðåäåëåíèÿ ãè-ïåðñëó÷àéíîé âåëè÷è-íû X

1 2

1 2

( , ),

( , )ix

sx

K t t

K t t

— íèæíÿÿ è âåðõíÿÿãðàíèöû êîððåëÿöè-îííîé ôóíêöèè ãè-ïåðñëó÷àéíîé ôóíê-öèè ( )X t

1 2

1 2

( , ),

( , )Ix

Sx

K t t

K t t

— êîððåëÿöèîííûåôóíêöèè íèæíåé èâåðõíåé ãðàíèö ãè-ïåðñëó÷àéíîé ôóíê-öèè ( )X t

1 2

1 2

( , ),

( , )Ixy

Sxy

K t t

K t t

— âçàèìíûå êîððåëÿöè-îííûå ôóíêöèè íèæ-íåé è âåðõíåé ãðàíèöãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíê-öèé ( )X t è ( )Y t

ixm , sxm — íèæíÿÿ è âåðõíÿÿãðàíèöû ìàòåìàòè÷å-ñêîãî îæèäàíèÿ ãè-ïåðñëó÷àéíîé âåëè-÷èíû X

Ixm , Sxm — ìàòåìàòè÷åñêèå îæè-äàíèÿ íèæíåé èâåðõíåé ãðàíèö ôóíê-öèè ðàñïðåäåëåíèÿãèïåðñëó÷àéíîé âå-ëè÷èíû X

1 Lim ν νK ,

1 Lsm ν νK

— íèæíÿÿ è âåðõíÿÿãðàíèöû íà÷àëüíûõìîìåíòîâ ïîðÿäêàν = ν1 + … + νL ãè-ïåðñëó÷àéíîãî âåê-òîðà

1,

LIm ν νK

1 LSm ν νK

— íà÷àëüíûå ìîìåíòûíèæíåé è âåðõíåéãðàíèö ïîðÿäêà ν == ν1 + … + νL ãèïåð-ñëó÷àéíîãî âåêòîðà

( j )xQ ω — õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿôóíêöèÿ ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû X

Ôóíêöèè

Список основных условных обозначений

( j / )xQ gω — óñëîâíàÿ õàðàêòåðè-ñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ãè-ïåðñëó÷àéíîé âåëè÷è-íû X â óñëîâèÿõ g

( j ),

( j )I x

S x

Q

Q

ω

ω

— õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿôóíêöèÿ íèæíåé èâåðõíåé ãðàíèö ôóí-êöèè ðàñïðåäåëåíèÿãèïåðñëó÷àéíîé âå-ëè÷èíû X

0( j )xQ ω — ñðåäíåå õàðàêòåðè-ñòè÷åñêèõ ôóíêöèéðàñïðåäåëåíèÿ ãðà-íèö ãèïåðñëó÷àéíîéâåëè÷èíû X

1 2

1 2

( , ),

( , )ix

sx

r t t

r t t

— íèæíÿÿ è âåðõíÿÿíîðìèðîâàííûå ãðà-íèöû êîâàðèàöèîí-íîé ôóíêöèè ãèïåð-ñëó÷àéíîé ôóíêöèè

( )X t

1 2

1 2

( , ),

( , )Ix

Sx

r t t

r t t

— íîðìèðîâàííûå êî-âàðèàöèîííûå ôóíê-öèè íèæíåé è âåðõíåéãðàíèö ãèïåðñëó÷àé-íîé ôóíêöèè X(t)

1 2

1 2

( , ),

( , )Ix

Sx

R t t

R t t

— êîâàðèàöèîííûå ôóí-êöèè íèæíåé è âåðõ-íåé ãðàíèö ãèïåðñëó-÷àéíîé ôóíêöèè ( )X t

( ),

( )

ixx

sxx

S f

S f

— íèæíÿÿ è âåðõíÿÿãðàíèöû ñïåêòðàëüíîéïëîòíîñòè ìîùíîñòèãèïåðñëó÷àéíîé ôóíê-öèè ( )X t

( ),

( )

Ixx

Sxx

S f

S f

— ñïåêòðàëüíûå ïëîòíî-ñòè ìîùíîñòè íèæíåéè âåðõíåé ãðàíèö ãè-ïåðñëó÷àéíîé ôóíê-öèè ( )X t

( ),

( )

Ixy

Sxy

S f

S f

&

&

— âçàèìíûå ñïåêòðàëü-íûå ïëîòíîñòè ìîù-íîñòè íèæíåé è âåðõ-íåé ãðàíèö ãèïåðñëó-÷àéíûõ ôóíêöèé

( )X t è ( )Y t

δ — äåëüòà-ôóíêöèÿ2

2

( ),

( )

ixy

sxy

f

f

γ

γ

— íèæíÿÿ è âåðõíÿÿãðàíèöû ôóíêöèè÷àñòîòíîé êîãåðåíò-íîñòè ãèïåðñëó÷àé-íûõ ôóíêöèé ( )X t è

( )Y t2

2

( ),

( )

Ixy

Sxy

f

f

γ

γ

— ôóíêöèè ÷àñòîòíîéêîãåðåíòíîñòè íèæ-íåé è âåðõíåé ãðàíèöãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíê-öèé ( )X t è ( )Y t

1 Li ν νµ K ,

1 Ls ν νµ K

— íèæíÿÿ è âåðõíÿÿãðàíèöû öåíòðàëü-íûõ ìîìåíòîâ ïîðÿä-êà

1 Lν = ν + … + ν ãè-

ïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà

1 LI ν νµ K ,

1 LS ν νµ K

— öåíòðàëüíûå ìîìåíòûíèæíåé è âåðõíåéãðàíèö ïîðÿäêà ν =

1 L= ν + … + ν ãèïåðñëó-

÷àéíîãî âåêòîðà( )xΦ — ãàóññîâñêàÿ ôóíêöèÿ

ðàñïðåäåëåíèÿ ñ íó-ëåâûì ìàòåìàòè÷å-ñêèì îæèäàíèåì èåäèíè÷íîé äèñïåð-ñèåé

293

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Àêóëè÷åâ Â.À., Áåçîòâåòíûõ Â.Â., Êàìåíåâ Ñ.È., Êóçüìèí Å.Â., Ìîðãó-íîâ Þ.Í., Íóæäåíêî À.Â. Àêóñòè÷åñêàÿ òîìîãðàôèÿ äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîââîäíîé ñðåäû â øåëüôîâîé çîíå ßïîíñêîãî ìîðÿ // ÄÀÍ. – 2001. – Ò. 381,¹ 2. – Ñ. 243–246.

2. Àêóëè÷åâ Â.À., Áåçîòâåòíûõ Â.Â., Êàìåíåâ Ñ.È., Ëåîíòüåâ À.Ï., Ìîðãó-íîâ Þ.Í. Àêóñòè÷åñêèå äèñòàíöèîííûå èçìåðåíèÿ òå÷åíèé íà øåëüôåßïîíñêîãî ìîðÿ // Àêóñòè÷åñêèé æóðíàë. – 2004. – Ò. 50. – Ñ. 581–584.

3. Àêóñòèêà îêåàíà / Ïåð. ñ àíãë. – Ì.: Ìèð, 1982. – 318 ñ.4. Àêóñòèêà îêåàíà / Ïîä ðåä. Ë. Ì. Áðåõîâñêèõ, È.À. Àíäðååâîé. – Ì.:

Íàóêà, 1982. – 247 ñ.5. Àêóñòèêà îêåàíà / Ïîä ðåä. Ë.Ì. Áðåõîâñêèõ. – Ì.: Íàóêà, 1974. –

693 ñ.6. Àëåôåëüä Ã., Õåðöáåðãåð Þ. Ââåäåíèå â èíòåðâàëüíûå âû÷èñëåíèÿ. –

Ì.: Ìèð, 1987. – 356 ñ.7. Àëèìîâ Þ.È. Àëüòåðíàòèâà ìåòîäó ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. – Ì.:

Çíàíèå, 1980. – 64 ñ.8. Àëèìîâ Þ.È., Êðàâöîâ Þ.À. ßâëÿåòñÿ ëè âåðîÿòíîñòü «íîðìàëüíîé»

ôèçè÷åñêîé âåëè÷èíîé // Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê. – 1992. – Ò. 162,¹ 7. – Ñ. 149–182.

9. Àíãî À. Ìàòåìàòèêà äëÿ ýëåêòðî- è ðàäèîèíæåíåðîâ. – Ì.: Íàóêà,1967. – 779 ñ.

10. Àíèùåíêî Â.Ñ., Âàäèâàñîâà Ò.Å., Îêðîêâåðöõîâ Ã.À., Ñòðåëêîâà Ã.È.Ñòàòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà äèíàìè÷åñêîãî õàîñà // Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íà-óê. – Ò. 175, ¹ 2. – 2005. – Ñ. 163–179.

11. Áåðíóëëè ß. Î çàêîíå áîëüøèõ ÷èñåë. – Ì.: Íàóêà, 1986. – 176 ñ.12. Áåðíøòåéí Ñ.Í. Îïûò àêñèîìàòè÷åñêîãî îáîñíîâàíèÿ òåîðèè âåðî-

ÿòíîñòåé // Ñîîáùåíèÿ Õàðüêîâñêîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáùåñòâà. – 1917. –¹ 15. – Ñ. 209–274.

13. Áåðíøòåéí Ñ.Í. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. – Ì.–Ë.: Ãîñ. èçä-âî,1927. – 367 ñ.

14. Áåðíøòåéí Ñ.Í. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. – Ãîñòåõèçäàò, 1946. – 410 ñ.15. Áîëüøåâ Ë.Í., Ñìèðíîâ Í.Â. Òàáëèöû ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè. –

Ì.: Íàóêà, 1983. – 416 ñ.16. Áîðåëü Ý. Âåðîÿòíîñòü è äîñòîâåðíîñòü. – Ì.: Íàóêà, 1961. – 120 ñ.17. Áîðîâêîâ À.À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. – Ì.: Íàóêà, 1986. – 432 ñ.18. Áî÷àðíèêîâ Â.Ï. Fuzzy-òåõíîëîãèÿ: Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû. Ïðàê-

òèêà ìîäåëèðîâàíèÿ â ýêîíîìèêå. – ÑÏá: Íàóêà, 2001. – 328 ñ.

Список литературы

294

19. Áðèëëþýí Ë. Íàóêà è òåîðèÿ èíôîðìàöèè. – Ì.: Ôèçìàòãèç, 1960. – 395 ñ.20. Áðèëëþýí Ë. Íàó÷íàÿ íåîïðåäåëåííîñòü è èíôîðìàöèÿ. – Ì.: Ìèð,

1960. – 395 ñ.21. Áóëèíñêèé À.Â., Øèðÿåâ À.Í. Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. – Ì.:

Ôèçìàòëèò, 2003. – 399 ñ.22. Âàí Òðèñ Ã. Òåîðèÿ îáíàðóæåíèÿ, îöåíîê è ìîäóëÿöèè. – Ì.: Ñîâåòñêîå

ðàäèî, 1972. – Ò. 1. – 743 ñ.; 1975. – Ò. 2. – 343 ñ.; 1977. – Ò. 3. – 662 ñ.23. Âåíöåëü Å.Ñ. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. – Ì.: Íàóêà, 1969. – 576 ñ.24. Âåðîÿòíîñòü è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà: Ýíöèêëîïåäèÿ / Ãë. ðåä.

Þ.Â. Ïðîõîðîâ. – Ì.: Áîëüøàÿ ðîññèéñêàÿ ýíöèêëîïåäèÿ, 1999. – 910 ñ.25. Âîùèíèí À.Ï., Áî÷êîâ À.Ô., Ñîòèðîâ Ã.Ð. Ìåòîä àíàëèçà äàííûõ ïðè

èíòåðâàëüíîé íåñòàòèñòè÷åñêîé îøèáêå // Çàâîäñêàÿ ëàáîðàòîðèÿ. –1990. – Ò. 56, ¹ 7. – Ñ. 76–81.

26. Âîùèíèí À.Ï., Ñîòèðîâ Ã.Ð. Îïòèìèçàöèÿ â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííî-ñòè. – Ì.: ÌÝÈ – Ñîôèÿ: Òåõíèêà, 1989. – 224 ñ.

27. Ãàëèëåé Ã. Äèàëîã î äâóõ ãëàâíåéøèõ ñèñòåìàõ ìèðà: ïòîëåìååâîé èêîïåðíèêîâîé. – Ì.–Ë., 1948. – 147 ñ.

28. Ãàïîíîâ-Ãðåõîâ À.Â., Ðàáèíîâè÷ Ì.È. Íåëèíåéíàÿ ôèçèêà. Ñòîõàñòè÷-íîñòü è ñòðóêòóðû // Ôèçèêà XX âåêà: Ðàçâèòèå è ïåðñïåêòèâû. – Ì.: Ìèð,1984. – Ñ. 188–218.

29. Ãåéçåíáåðã Â., Øðåäèíãåð Ý., Äèðàê Ï.À.Ì. Ñîâðåìåííàÿ êâàíòîâàÿìåõàíèêà. Òðè íîáåëåâñêèõ äîêëàäà. – Ë.–Ì.: Ãîñóäàðñòâåííîå òåõíèêî-òåîðåòè÷åñêîå èçä-âî, 1934. – 76 ñ.

30. Ãèõìàí È.È., Ñêîðîõîä À.Â. Ââåäåíèå â òåîðèþ ñëó÷àéíûõ ïðîöåñ-ñîâ. – Ì.: Íàóêà, 1977. – 567 ñ.

31. Ãèõìàí È.È., Ñêîðîõîä À.Â., ßäðåíêî Ì.È. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìà-òåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. – Ê.: Âûùà øê., 1979. – 408 ñ.

32. Ãíåäåíêî Á.Â., Êîëìîãîðîâ À.Í. Ïðåäåëüíûå ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ñóììíåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. – Ì.–Ë.: Ãîñ. èçä-âî òåõíèêî-òåîðåòè÷åñêîé ëèòåðàòóðû, 1949. – 264 ñ.

33. Ãíåäåíêî Á.Â. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. – Ì.: Èçä-âî ôèç.-ìàò. ëè-òåðàòóðû, 1961. – 406 ñ.

34. Ãíåäåíêî Á.Â. Êóðñ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. – Ì.: Èçä-âî ôèç.-ìàò. ëè-òåðàòóðû, 1988. – 448 ñ.

35. Ãîðáàíü ².². Òåîð³ÿ éìîâ³ðíîñòåé ³ ìàòåìàòè÷íà ñòàòèñòèêà äëÿ íàó-êîâèõ ïðàö³âíèê³â òà ³íæåíåð³â. – Ê.: ²ÏÌÌÑ ÍÀÍ Óêðà¿íè, 2003. –245 ñ. (http://www.immsp.kiev.ua/perspages/gorban_i_i/ index.html).

36. Ãîðáàíü È.È. Ãèïåðñëó÷àéíûå ÿâëåíèÿ è èõ îïèñàíèå // Àêóñòè÷å-ñêèé âåñòíèê. – 2005. – Ò. 8, ¹ 1–2. – Ñ. 16–27.

37. Ãîðáàíü È.È. Ìåòîäû îïèñàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ôóíêöèé //Àêóñòè÷åñêèé âåñòíèê. – 2005. – Ò. 8, ¹ 3. – Ñ. 24–33.

38. Ãîðáàíü È.È. Ñëó÷àéíîñòü, ãèïåðñëó÷àéíîñòü, õàîñ è íåîïðåäåëåííîñòü //Ñòàíäàðòèçàö³ÿ, ñåðòèô³êàö³ÿ, ÿê³ñòü. – 2005. – ¹ 3. – Ñ. 41–48.

39. Ãîðáàíü È.È. Ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè è èõ îïèñàíèå // Èçâåñòèÿâóçîâ. Ðàäèîýëåêòðîíèêà. – 2006. – ¹ 1. – Ñ. 3–15.

40. Ãîðáàíü ².². Ìàòåìàòè÷íèé îïèñ ô³çè÷íèõ ÿâèù ó ñòàòèñòè÷íî íå-ñòàá³ëüíèõ óìîâàõ // Ñòàíäàðòèçàö³ÿ, ñåðòèô³êàö³ÿ, ÿê³ñòü. – 2006. – ¹ 6. –Ñ. 26–33.


295

41. Ãîðáàíü È.È. Îöåíêè õàðàêòåðèñòèê ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí // Ìà-òåìàòè÷åñêèå ìàøèíû è ñèñòåìû. – 2006. – ¹ 1. – Ñ. 40–48.

42. Ãîðáàíü È.È. Ñòàöèîíàðíûå è ýðãîäè÷åñêèå ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíê-öèè // Èçâåñòèÿ âóçîâ. Ðàäèîýëåêòðîíèêà. – 2006. – ¹ 6. – Ñ. 54–70.

43. Ãîðáàíü È.È. Òî÷å÷íûé è èíòåðâàëüíûé ìåòîäû îöåíêè ïàðàìåòðîâãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí // Ìàòåìàòè÷åñêèå ìàøèíû è ñèñòåìû. – 2006. –¹ 2. – Ñ. 3–14.

44. Ãîðáàíü È.È. Òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé. – Ê.: ÈÏÌÌÑ ÍÀÍÓêðàèíû, 2007. – 184 ñ. (http://ifsc.ualr.edu/jdberleant/intprob/, http://www.immsp.kiev.ua/perspages/gorban_i_i/index.html).

45. Ãîðáàíü È.È. Ãèïåðñëó÷àéíûå ÿâëåíèÿ: îïðåäåëåíèå è îïèñàíèå //Proceedings of XIII-th International conference KDS. – Sofia, Bulgaria, 2007. –P. 137–147.

46. Ãîðáàíü È.È. Ïðåäñòàâëåíèå ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ãèïåðñëó÷àéíûìè ìî-äåëÿìè // Ìàòåìàòè÷åñêèå ìàøèíû è ñèñòåìû. – 2007. – ¹ 1. – Ñ. 34–41.

47. Ãîðáàíü È.È. Èçìåðåíèå âåëè÷èí â ñòàòèñòè÷åñêè íåîïðåäåëåííûõ óñëî-âèÿõ // Èçâåñòèÿ âóçîâ. Ðàäèîýëåêòðîíèêà. – 2008. – ¹ 8. – Ñ. 3–22.

48. Ãîðáàíü È.È. Îïèñàíèå ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ãèïåðñëó÷àéíûìè ìîäå-ëÿìè // Algorithmic and Mathematical Foundations of the Artificial Intelligence.International Book Series. Number 1 ITHEA, Sofia, Bulgaria. – 2008. –P. 135–141.

49. Ãîðáàíü È.È. Ãèïåðñëó÷àéíûå ìàðêîâñêèå ìîäåëè // Proceedings ofXIII-th International conference KDS-2. – Sofia – Uzhgorod, Bulgaria –Ukraine, 2008. – P. 233–242.

50. Ãîðáàíü È.È. Îáðàáîòêà ãèäðîàêóñòè÷åñêèõ ñèãíàëîâ â ñëîæíûõ äè-íàìè÷åñêèõ óñëîâèÿõ. – Ê.: Íàóê. äóìêà, 2008. – 272 ñ. (http://www.immsp.kiev.ua/perspages/gorban_i_i/index.html).

51. Ãîðáàíü È.È. Ãèïîòåçà ãèïåðñëó÷àéíîãî óñòðîéñòâà ìèðà è âîçìîæ-íîñòè ïîçíàíèÿ // Ìàòåìàòè÷åñêèå ìàøèíû è ñèñòåìû. – 2009. – ¹ 3. –Ñ. 44–66.

52. Ãîðáàíü È.È. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêè //Proceedings of XIV-th International conference KDS-2. Book 15. – Sofia –Kiev, Bulgaria – Ukraine, 2009. – P. 251–257.

53. Ãîðáàíü È.È. Îïèñàíèå ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé ãèïåðñëó÷àéíûìè ìîäåëÿ-ìè // Òðóäû ïÿòîé äèñòàíöèîííîé êîíôåðåíöèè «Ñèñòåìû ïîääåðæêè ïðèíÿ-òèÿ ðåøåíèé. Òåîðèÿ è ïðàêòèêà. ÑÏÏÐ ’2009». – Ê., 2009. – Ñ. 5–9.

54. Ãîðáàíü È.È. Íàðóøåíèå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ôèçè÷åñêèõïðîöåññîâ // Ìàòåìàòè÷åñêèå ìàøèíû è ñèñòåìû. – 2010. – ¹ 1. –Ñ. 171–184.

55. Ãîðáàíü È.È. Èññëåäîâàíèå íàðóøåíèé ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòèêóðñà âàëþò // Òðóäû ïÿòîé êîíôåðåíöèè «Ìàòåìàòè÷åñêîå è èìèòàöèîí-íîå ìîäåëèðîâàíèå ñèñòåì. ÌÎÄÑ ’2010». – Ê., 2010. – Ñ. 84–86.

56. Ãîðáàíü È.È. Ïðåîáðàçîâàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ïðîöåññîâ //Èçâåñòèÿ âóçîâ. Ðàäèîýëåêòðîíèêà. – 2010. – ¹ 2. – Ñ. 3–15.

57. Ãîðáàíü È.È. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ íåóñòîé÷èâîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè //Òðóäû øåñòîé äèñòàíöèîííîé êîíôåðåíöèè «Ñèñòåìû ïîääåðæêè ïðèíÿòèÿðåøåíèé. Òåîðèÿ è ïðàêòèêà. ÑÏÏÐ ’2010». – Ê., 2010. – Ñ. 189–192.


296

58. Ãîðáàíü È.È. Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëå-íèé ñ îáùåñèñòåìíûõ ïîçèöèé // Ìàòåìàòè÷åñêèå ìàøèíû è ñèñòåìû. –2010. – ¹ 2. – Ñ. 3–9.

59. Ãîðáàíü È.È. Ýôôåêò ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè â ãèäðîôèçèêå //Òðóäû äåñÿòîé Âñåðîññèéñêîé êîíôåðåíöèè «Ïðèêëàäíûå òåõíîëîãèè ãèä-ðîàêóñòèêè è ãèäðîôèçèêè». – ÑÏá: Íàóêà, 2010. – Ñ. 199–201.

60. ÃÎÑÒ Ð 51317.3.3—99 (ÌÝÊ 61000-3-3—94). Ñîâìåñòèìîñòü òåõíè÷å-ñêèõ ñðåäñòâ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ. Êîëåáàíèÿ íàïðÿæåíèÿ è ôëèêåð, âûçû-âàåìûå òåõíè÷åñêèìè ñðåäñòâàìè ñ ïîòðåáëÿåìûì òîêîì íå áîëåå 16 À (âîäíîé ôàçå), ïîäêëþ÷àåìûìè ê íèçêîâîëüòíûì ñèñòåìàì ýëåêòðîñíàáæå-íèÿ. Íîðìû è ìåòîäû èñïûòàíèé. – Ì.: Ãîññòàíäàðò Ðîññèè, 1999. – 20 ñ.

61. Ãðèí÷åíêî Â.Ò., Ìàöèïóðà Â.Ò., Ñíàðñêèé À.À. Ââåäåíèå â íåëèíåéíóþäèíàìèêó. – Ê.: Íàóê. äóìêà, 2005. – 263 ñ.

62. Ãð³í÷åíêî Â.Ò., Âîâê ².Â., Ìàöèïóðà Â.Ò. Îñíîâè àêóñòèêè. – Ê.: Íà-óê. äóìêà, 2007. – 640 ñ.

63. Ãóñåâ Â.Ã. Ñèñòåìû ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé îáðàáîòêè ãèäðî-àêóñòè÷åñêîé èíôîðìàöèè. – Ë.: Ñóäîñòðîåíèå, 1988. – 264 ñ.

64. Äàííûå î âàðèàöèè èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ðàéîíå Ìîñêâû.Èíñòèòóò çåìíîãî ìàãíåòèçìà, èîíîñôåðû è ðàñïðîñòðàíåíèÿ ðàäèîâîëíèì. Í.Â. Ïóøêîâà ÐÀÍ. – http://forecast.izmiran.rssi.ru/bankr.htm.

65. Äîáðîíåö Á.Ñ. Èíòåðâàëüíàÿ ìàòåìàòèêà. – Êðàñíîÿðñê: Êðàñíîÿð-ñêèé ãîñ. óíèâåðñèòåò, 2004. – 219 ñ.

66. Äîí÷åíêî Â. Ìíîæåñòâåííûå ìîäåëè íåîïðåäåëåííîñòè: ýìïèðè÷å-ñêèé è ìàòåìàòè÷åñêèé àñïåêòû // Algorithmic and Mathematical Foundationsof the Artificial Intelligence. International Book Series. Number 1 ITHEA, Sofia,Bulgaria. – 2008. – P. 127–134.

67. Äþáóà Ä., Ïðàä À. Òåîðèÿ âîçìîæíîñòåé. Ïðèëîæåíèå ê ïðåäñòàâëå-íèþ çíàíèé â èíôîðìàòèêå. – Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1990. – 287 ñ.

68. Äûõíå À.Ì., Ñíàðñêèé À.À., Æåíèðîâñêèé Ì.È. Óñòîé÷èâîñòü è õàîñ âäâóìåðíûõ ñëó÷àéíî-íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ è LC-öåïî÷êàõ // Óñïåõè ôèçè-÷åñêèõ íàóê. – 2004. – Ò. 1174, ¹ 8. – Ñ. 887–894.

69. Åäèíàÿ ãîñóäàðñòâåííàÿ ñèñòåìà èíôîðìàöèè îá îáñòàíîâêå â ìèðî-âîì îêåàíå ÅÑÈÌ. Äàííûå Èíñòèòóòà îêåàíîëîãèè èì. Ï.Ï. ØèðøîâàÐÀÍ. – http://ias.ocean.ru/esimo.

70. Æóê Ñ.ß. Ìåòîäû îïòèìèçàöèè äèñêðåòíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñîñëó÷àéíûìè ïàðàìåòðàìè. – Ê.: ÍÒÓÓ «ÊÏÈ», 2008. – 232 ñ.

71. Çàäå Ë. Ïîíÿòèå ëèíãâèñòè÷åñêîé ïåðåìåííîé è åãî ïðèìåíåíèå êïðèíÿòèþ ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé. – Ì.: Ìèð, 1976. – 168 ñ.

72. Èâàíåíêî Â.È., Ëàáêîâñêèé Â.À. Ïðîáëåìà íåîïðåäåëåííîñòè â çàäà-÷àõ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ. – Ê.: Íàóê. äóìêà, 1990. – 135 ñ.

73. Èëüè÷åâ Â.È., Êàëþæíûé À.ß., Êðàñíûé Ë.Ã., Ëàïèé Â.Þ. Ñòàòèñòè÷å-ñêàÿ òåîðèÿ îáíàðóæåíèÿ ãèäðîàêóñòè÷åñêèõ ñèãíàëîâ. – Ì.: Íàóêà,1992. – 415 ñ.

74. Êàëìûêîâ Ñ.À., Øîêèí Þ.È., Þëäàøåâ Ç.Õ. Ìåòîäû èíòåðâàëüíîãîàíàëèçà. – Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 1986. – 222 ñ.

75. Êàíòîðîâè÷ Ë.Â. Î íåêîòîðûõ íîâûõ ïîäõîäàõ ê âû÷èñëèòåëüíûììåòîäàì è îáðàáîòêè íàáëþäåíèé // Ñèáèðñêèé ìàòåìàòè÷åñêèé æóðíàë. –1962. – Ò. 3, ¹ 5. – Ñ. 701–709.


297

76. Êàðíàï Ð. Ôèëîñîâñêèå îñíîâàíèÿ ôèçèêè. Ââåäåíèå â ôèëîñîôèþíàóêè. – Ï.: Ïðîãðåññ, 1971. – 390 ñ.

77. Êëèìåíêî Â.Ï., Ëÿõîâ Î.Ë. ²íòåëåêòóàë³çàö³ÿ ðîçâ’ÿçàííÿ ñêëàäíèõïðèêëàäíèõ çàäà÷ ìåòîäàìè êîìï’þòåðíî¿ àëãåáðè. – Ê.: ²ÏÌÌÑ ÍÀÍÓêðà¿íè, 2009. – 293 ñ.

78. Êëþøèí Ä.À., Ïåòóíèí Þ.È. Äîêàçàòåëüíàÿ ìåäèöèíà. – Ê.: Äèàëåê-òèêà-Âèëüÿìñ, 2007. – 320 ñ.

79. Êëÿ÷êèí Â.È. Âåðîÿòíîñòíûå çàäà÷è ñòàòèñòè÷åñêîé ãèäðîàêóñòèêè.×. 1. Ãðàíè÷íî-êîíòàêòíûå çàäà÷è. – ÑÏá: Íàóêà, 2007. – 629 ñ.

80. Êíîïîâ Ï.Ñ., Ãîëîäíèêîâ À.Í., Ïåïåëÿåâ Â.À. Îöåíèâàíèå ïàðàìåòðîâíàäåæíîñòè ïðè íàëè÷èè íåïîëíîé ïåðâè÷íîé èíôîðìàöèè // Êîìïüþòåð-íàÿ ìàòåìàòèêà. – 2003. – ¹ 1. – Ñ. 36–37.

81. Êíîïîâ Ï.Ñ. Îïòèìàëüíûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñ-òåì. – Ê.: Íàóê. äóìêà, 1981. – 151 ñ.

82. Êîâàëåíêî È.Í., Êóçíåöîâ Í.Þ., Øóðåíêîâ Â.Ì. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû:Ñïðàâî÷íèê. – Ê.: Íàóê. äóìêà, 1983. – 366 ñ.

83. Êîâàëåíêî È. Í., Ôèëèïïîâà À.À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷å-ñêàÿ ñòàòèñòèêà. – Ì.: Âûñøàÿ øê., 1973. – 368 ñ.

84. Êîëìîãîðîâ À.Í. Îáùàÿ òåîðèÿ ìåðû è èñ÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòåé //Òðóäû êîììóíèñòè÷åñêîé àêàäåìèè. Ìàòåìàòèêà. – 1929. – Ñ. 8–21.

85. Êîëìîãîðîâ À.Í. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé. – Ì.:ÎÍÒÈ, 1936. – 175 ñ.; 1974. – 119 ñ.

86. Êîëìîãîðîâ À.Í. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé // Ìàòåìàòèêà, åå ìåòîäû èçíà÷åíèå. – Ì., 1956. – Ò. 2. – Ñ. 252–284.

87. Êîëìîãîðîâ À.Í. Òåîðèÿ èíôîðìàöèè è òåîðèÿ àëãîðèòìîâ. – Ì.:Íàóêà, 1987. – 232 ñ.

88. Êîëìîãîðîâ À.Í. Î ëîãè÷åñêèõ îñíîâàíèÿõ òåîðèè âåðîÿòíîñòåé //Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. – Ì.: Íàóêà, 1986. –Ñ. 467–471.

89. Êîðí Ã., Êîðí Ò. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå äëÿ íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâè èíæåíåðîâ. – Ì.: Íàóêà, 1977. – 831 ñ.

90. Êîðîëþê Â.Ñ. è äð. Ñïðàâî÷íèê ïî òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè-÷åñêîé ñòàòèñòèêå. – Ì.: Íàóêà, 1985. – 637 ñ.

91. Êîðîëþê Â.Ñ. Ñòîõàñòè÷í³ ìîäåë³ ñèñòåì. – Ê.: Ëèá³äü, 1993. – 136 ñ.92. Êîôìàí À. Ââåäåíèå â òåîðèþ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ. – Ì.: Ðàäèî è

ñâÿçü, 1982. – 432 ñ.93. Êðàâöîâ Þ.À. Ñëó÷àéíîñòü, äåòåðìèíèðîâàííîñòü, ïðåäñêàçóåìîñòü //

Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê. – 1989. – Ò. 158, ¹ 1. – Ñ. 93–122.94. Êðàìåð Ã. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû ñòàòèñòèêè. – Ì.: Ìèð, 1975. – 648 ñ.95. Êðîíîâåð Ð.Ì. Ôðàêòàëû è õàîñ â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ. Îñíîâû

òåîðèè. – Ì.: Ïîñòìàðêåò, 2000. – 348 ñ.96. Êóçüìè÷åâ Â.Å. Çàêîíû è ôîðìóëû ôèçèêè. Ñïðàâî÷íèê. – Ê.: Íàóê.

äóìêà, 1989. – 862 ñ.97. Êóçíåöîâ Â.Ï. Èíòåðâàëüíûå ñòàòèñòè÷åñêèå ìîäåëè. – Ì.: Ðàäèî è

ñâÿçü, 1991. – 348 ñ.98. Êóëèêîâ Å.È., Òðèôîíîâ À.Ï. Îöåíêà ïàðàìåòðîâ ñèãíàëîâ íà ôîíå

ïîìåõ. – Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1978. – 296 ñ.


298

99. Êóíöåâè÷ Â.Ì. Óïðàâëåíèå â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè: ãàðàíòèðî-âàííûå ðåçóëüòàòû â çàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ è èäåíòèôèêàöèè. – Ê.: Íàóê.äóìêà, 2006. – 261 ñ.

100. Êóõëèíã Õ. Ñïðàâî÷íèê ïî ôèçèêå. – Ì.: Ìèð, 1985. – 519 ñ.101. Ëåâèí Á.Ð. Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû ñòàòèñòè÷åñêîé ðàäèîòåõíèêè. –

Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1974. – Ò. 1. – 552 ñ.; 1976. – Ò. 2. – 285 ñ.102. Ëåâèí Á.Ð. Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû ñòàòèñòè÷åñêîé ðàäèîòåõíèêè. –

Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1989. – 454 ñ.103. Ëåâèí Â.È. Èíòåðâàëüíàÿ ìàòåìàòèêà è èçó÷åíèå íåîïðåäåëåííûõ

ñèñòåì // Èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè. – 1998. – ¹ 6. – Ýë. âåðñèÿ íàÔåäåðàëüíîì ïîðòàëå «Èíæåíåðíîå îáðàçîâàíèå». Èíòåëëåêòóàëüíûå ñèñ-òåìû. 5 ìàÿ 2005. www.techno.edu.ru.

104. Ëåìàí Å. Ïðîâåðêà ñòàòèñòè÷åñêèõ ãèïîòåç / Ïåð. ñ àíãë. Þ.Â. Ïðî-õîðîâà. – Ì.: Íàóêà, 1971. – 375 ñ.

105. Ëèòëâóä Äæ. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñìåñü. – Ì.: Ãîñ. èçä-âî ôèç.-ìàò.ëèòåðàòóðû, 1962. – 150 ñ.

106. Ëîýâ Ì. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. – Ì.: ÈË, 1962. – 720 ñ.107. Ìàðêîâ À.À. Èñ÷èñëåíèå âåðîÿòíîñòåé. – Ì., 1924.108. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. – http://ru.wikipedia.org/wiki/.109. Ìèääëòîí Ä. Ââåäåíèå â ñòàòèñòè÷åñêóþ òåîðèþ ñâÿçè. – Ì.: Ñîâ.

ðàäèî, 1962. – Ò. 2. – 832 ñ.110. Ìèçåñ Ð. Âåðîÿòíîñòü è ñòàòèñòèêà. – Ì. – Ë., 1930. – 250 ñ.111. Ìèð ôèëîñîôèè. ×. 1. Èñõîäíûå ôèëîñîôñêèå ïðîáëåìû, ïîíÿòèÿ

è ïðèíöèïû. – Ì.: Èçä-âî ïîëèòè÷åñêîé ëèòåðàòóðû, 1991. – 672 ñ.112. Ìîðîçîâ À.À., Êîñîëàïîâ Â.Ë. ²íôîðìàö³éíî-àíàë³òè÷í³ òåõíîëîã³¿

ï³äòðèìêè ïðèéíÿòòÿ ð³øåíü íà îñíîâ³ ðåã³îíàëüíîãî ñîö³àëüíî-åêîíîì³÷-íîãî ìîí³òîðèíãó. – Ê.: Íàóê. äóìêà, 2002. – 230 ñ.

113. Ìîñòåëëåð Ô., Ðóðêå Ð., Òîìàñ Äæ. Âåðîÿòíîñòü. – Ì.: Ìèð, 1969. – 433 ñ.114. Ìûøêèñ À.Ä. Ýëåìåíòû òåîðèè ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé. – Ì.:

ÊîìÊíèãà, 2007. – 192 ñ.115. Íèãìàòóëèí Ð.È. Äèíàìèêà ìíîãîôàçíûõ ñðåä. – Ì.: Íàóêà,

1987. – Ò. 1. – 464 ñ.; 1987. – Ò. 2. – 359 ñ.116. Îæåãîâ Ñ.È. Ñëîâàðü ðóññêîãî ÿçûêà. – Ì.: Ãîñ. èçä-âî èíîñòð. è

íàö. ñëîâàðåé, 1960. – 900 ñ.117. Îëüøåâñêèé Â.Â. Ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû â ãèäðîëîêàöèè. – Ë.: Ñó-

äîñòðîåíèå, 1973. – 201 ñ.118. Îëüøåâñêèé Â.Â. Ñòàòèñòè÷åñêèå ñâîéñòâà ìîðñêîé ðåâåðáåðàöèè. –

Ì.: Íàóêà, 1966. – 202 ñ.119. Îðëîâ À.È. Ýêîíîìåòðèêà. – Ì.: Ýêçàìåí, 2002. – 576 ñ.120. Îðëîâ À.È. Ïðèêëàäíàÿ ñòàòèñòèêà. – Ì.: Ýêçàìåí, 2006. – 672 ñ.121. Îðëîâñêèé Ñ.À. Ïðîáëåìû ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé ïðè íå÷åòêîé èñõîä-

íîé èíôîðìàöèè. – Ì.: Íàóêà, 1981. – 112 ñ.122. Î òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå. Ïåðåïèñêà

À.À. Ìàðêîâà è À.À. ×óïðîâà. – Ì.: Íàóêà, 1977. – 199 ñ.123. Ïàéåðëñ Ð. Ïîñòðîåíèå ôèçè÷åñêèõ ìîäåëåé // ÓÔÍ. – 1983,

¹ 6. – Ñ. 315–332.124. Ïåíðîóç Ð. Ïóòü ê ðåàëüíîñòè èëè çàêîíû, óïðàâëÿþùèå âñåëåííîé.

Ïîëíûé ïóòåâîäèòåëü. – Ì.–Èæåâñê: Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâà-íèé, ÍÈÖ «Ðåãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà», 2007. – 912 ñ.


299

125. Ïåòðîâñêèé Â.Ñ. Íåñòàöèîíàðíûå çàäà÷è ãèäðîàêóñòèêè. – Ë.: Ñó-äîñòðîåíèå, 1988. – 264 ñ.

126. Ïëàíê Ì. Åäèíñòâî ôèçè÷åñêîé êàðòèíû ìèðà. – Ì.: Íàóêà,1966. – 282 ñ.

127. Ïîëêàíîâ Ê.È., Ëîñêóòîâà Ã.Â. Ïðîñòðàíñòâåííî-÷àñòîòíûå è ÷àñ-òîòíî-âîëíîâûå ìåòîäû îïèñàíèÿ è îáðàáîòêè ãèäðîàêóñòè÷åñêèõ ïîëåé. –ÑÏá.: Íàóêà, 2007. – 348 ñ.

128. Ïîëíèêîâ Â.Ã. Íåëèíåéíàÿ òåîðèÿ ñëó÷àéíîãî ïîëÿ âîëí íà âîäå. –Èçä. ãðóïïà URSS, 2007. – 408 ñ.

129. Ïîðòåíêî Í.È., Ñêîðîõîä À.Â., Øóðåíêîâ Â.Ì. Ìàðêîâñêèå ïðîöåñ-ñû. – Èòîãè íàóêè è òåõíèêè. Ñîâðåìåííûå ïðîáëåìû ìàòåìàòèêè. Ôóíäà-ìåíòàëüíûå íàïðàâëåíèÿ. – ÂÈÍÈÒÈ, 1989. – 248 ñ.

130. Ïðèãîæèí È., Ñòåíãåðñ È. Âðåìÿ, õàîñ, êâàíò. – Êíèæíûé äîì«Ëèáðîêîì», 2009. – 232 ñ.

131. Ïðîáëåìû àêóñòèêè îêåàíà / Îòâ. ðåä. Ë.Ì. Áðåõîâñêèõ. – Ì.: Íàó-êà, 1984. – 222 ñ.

132. Ïðîáëåìû Ãèëüáåðòà / Ñá. ïîä îáù. ðåä. Ï.Ñ. Àëåêñàíäðîâà. – Ì.:Íàóêà, 1969. – 238 ñ.

133. Ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííàÿ îáðàáîòêà ñèãíàëîâ / Ïîä. ðåä.È.ß. Êðåìåðà. – Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1984. – 224 ñ.

134. Ïðîõîðîâ Þ.Â., Ðîçàíîâ Þ.À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. – Ì.: Íàóêà,1967. – 494 ñ.

135. Ïóàíêàðå À. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé (1912). – Èæåâñê, 1999. – 282 ñ.136. Ïóàíêàðå À. Î íàóêå. – Ì.: Íàóêà, 1983. – 560 ñ.137. Ïóãà÷åâ Â.Ñ. Òåîðèÿ ñëó÷àéíûõ ôóíêöèé. – Ì.: Èçä-âî ôèç.-ìàò.

ëèòåðàòóðû, 1962. – 883 ñ.138. Ïóãà÷åâ Â.Ñ. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ñòàòèñòèêà. –

Ì.: Íàóêà, 1979. – 469 ñ.139. Ðàñïðîñòðàíåíèå çâóêà â ôëþêòóèðóþùåì îêåàíå / Ïåð. ñ àíãë. ïîä

ðåä. Ë.Ì. Áðåõîâñêèõ. – Ì.: Ìèð, 1982. – 336 ñ.140. Ðåçíèê À.Ì. Î ñòðóêòóðå îïòèìàëüíîãî ïðèåìíèêà äëÿ îáíàðóæåíèÿ

ëîêàëüíîãî èñòî÷íèêà ñèãíàëà â ïîëå øóìîâîé ïîìåõè // Ðàäèîòåõíèêà èýëåêòðîíèêà. – 1965. – ¹ 6. – Ñ. 979–986.

141. Ðåçíèê À.Ì. Î øóìîâîì ïîëå âíóòðè ñôåðû êîíå÷íîãî ðàäèóñà, ñîç-äàâàåìîì ñëîåì ïðîñòûõ èñòî÷íèêîâ, ðàñïîëîæåííûõ íà åå ïîâåðõíîñòè //Àêóñòè÷åñêèé æóðíàë. – 1965. – Ò. XI, ¹ 1. – Ñ. 79–83.

142. Ð³çíèê Î.Ì. Çàãàëüíà ìîäåëü ðîçâèòêó // Ìàòåìàòè÷í³ ìàøèíè ³ñèñòåìè. – 2005. – ¹ 1. – Ñ. 84–98.

143. Ðåçíèê À.Ì. Î ïðèðîäå èíòåëëåêòà // Ìàòåìàòè÷åñêèå ìàøèíû èñèñòåìû. – 2008. – ¹ 1. – Ñ. 23–45.

144. Ðåïèí Â.Ã., Òàðòàêîâñêèé Ã.Ï. Ñòàòèñòè÷åñêèé ñèíòåç ïðè àïðèîð-íîé íåîïðåäåëåííîñòè è àäàïòàöèÿ èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåì. – Ì.: Ñîâ.ðàäèî, 1977. – 432 ñ.

145. Ðûæèêîâ À.Â., Áàðñóêîâ Þ.Â. Ñèñòåìû è ñðåäñòâà îáðàáîòêè ñèãíà-ëîâ â ãèäðîàêóñòèêå. – ÑÏá: ËÝÒÈ, 2007. – 328 ñ.

146. Ðûòîâ Ñ.Ì., Êðàâöîâ Þ.À., Òàòàðñêèé Â.È. Ââåäåíèå â ñòàòèñòè÷å-ñêóþ ðàäèîôèçèêó. – Ì.: Íàóêà, 1978. – ×. 2: Ñëó÷àéíûå ïîëÿ. – 464 ñ.

147. Ðóêîâîäñòâî ïî âûðàæåíèþ íåîïðåäåëåííîñòè èçìåðåíèé. – ÑÏá:ÃÏ «ÂÍÈÈÌ» èì. Ä.È. Ìåíäåëååâà, 1999. – 126 ñ.


300

148. Ñâåøíèêîâ À.À. Îñíîâû òåîðèè îøèáîê. – Ë.: Èçä-âî ëåíèíãðàä-ñêîãî óí-òà, 1972. – 125 ñ.

149. Ñêîðîõîä À.Â. Âåðîÿòíîñòü. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Ñòðóêòóðà. Ìåòîäû //Èòîãè íàóêè è òåõí. Ñåð. Ñîâðåì. ïðîáë. ìàò. Ôóíäàì. íàïðàâëåíèÿ. –1989. – ¹ 43. – Ñ. 5–145.

150. Ñêîðîõîä À.Â. Ëåêö³¿ ç òåîð³¿ âèïàäêîâèõ ïðîöåñ³â. – Ê.: Ëèá³äü,1990. – 168 ñ.

151. Ñêó÷èê Å. Îñíîâû àêóñòèêè / Ïåð. ñ àíãë. ïîä ðåä. Ë.Ì. Ëÿìøåâà. –Ì.: Ìèð, 1976. – Ò. 1. – 520 ñ.; 1976. – Ò. 2. – 542 ñ.

152. Ñëîâíèê ç äèñòàíö³éíîãî çîíäóâàííÿ Çåìë³ / Çà ðåä. Â.². Ëÿëüêî ³Ì.Î. Ïîïîâà. – Ê.: ÑÌÏ «ÀÂÅÐÑ», 2004. – 170 ñ.

153. Ñîñóëèí Þ.Ã. Òåîðèÿ îáíàðóæåíèÿ è îöåíèâàíèÿ ñòîõàñòè÷åñêèõñèãíàëîâ. – Ì.: Ñîâ. ðàäèî, 1978. – 320 ñ.

154. Ñòåïèí Â.Ñ. Òåîðåòè÷åñêîå çíàíèå. – Ì.: Íàóêà, 1999. – 472 ñ.155. Ñòðåëüíèêîâ Â.Ï., Ôåäóõèí À.Â. Îöåíêà è ïðîãíîçèðîâàíèå íàäåæ-

íîñòè ýëåêòðîííûõ ýëåìåíòîâ è ñèñòåì. – Ê.: Ëîãîñ, 2002. – 486 ñ.156. Òåîðèÿ îáíàðóæåíèÿ ñèãíàëîâ / Ïîä ðåä. Ï.À. Áàêóòà. – Ì.: Ðàäèî

è ñâÿçü, 1984. – 440 ñ.157. Òåñëåð Ã.Ñ. Íîâàÿ êèáåðíåòèêè. – Ê.: Ëîãîñ, 2004. – 404 ñ.158. Òèõîíîâ Â.È., Õàðèñîâ Â.Í. Ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç è ñèíòåç ðàäèî-

òåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâ è ñèñòåì. – Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1991. – 608 ñ.159. Òóòóáàëèí Â.Í. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé â åñòåñòâîçíàíèè. – Ì.: Çíà-

íèå, 1972. – 48 ñ.160. Òóòóáàëèí Â.Í. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. – Ì.: Èçä-âî Ìîñêîâñêîãî

óí-òà, 1972. – 230 ñ.161. Òóòóáàëèí Â.Í. Âåðîÿòíîñòü, êîìïüþòåðû è îáðàáîòêà ðåçóëüòàòîâ ýêñ-

ïåðèìåíòà // Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê. – 1993. – Ò. 163, ¹ 7. – Ñ. 93–109.162. Òþðèí Í.È. Ââåäåíèå â ìåòðîëîãèþ. – Ì.: Èçä-âî ñòàíäàðòîâ,

1973. – 279 ñ.163. Óâàðîâ Á.Ì., Ç³íüêîâñüêèé Þ.Ô. Îïòèì³çàö³ÿ ñò³éêîñò³ äî òåïëîâèõ

âïëèâ³â êîíñòðóêö³é ðàä³îåëåêòðîííèõ çàñîá³â ç ã³ïåðâèïàäêîâèìè õàðàêòå-ðèñòèêàìè. – Ëóãàíñüê, 2010. – 154 ñ.

164. Ôàëüêîâè÷ Ñ.Å. Îöåíêà ïàðàìåòðîâ ñèãíàëîâ. – Ì.: Ñîâ. ðàäèî,1970. – 336 ñ.

165. Ôåéíìàí Ð. Õàðàêòåð ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ. – Ì.: Íàóêà, 1987. –160 ñ.

166. Ôåëëåð Â. Ââåäåíèå â òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèëîæåíèÿ. – Ì.:Ìèð, 1967. – Ò. 1. – 498 ñ.; 1967. – Ò. 2. – 752 ñ.

167. Ôëàòòå Ê. Ðàñïðîñòðàíåíèå çâóêà â ôëóêòóèðóþùåì îêåàíå / Ïåð.ñ àíãë. – Ì.: Ìèð, 1982. – 336 ñ.

168. Ôóíäàìåíòàëüíûå ôèçè÷åñêèå êîíñòàíòû. – http://physics.nist.gov/constants.

169. Õèí÷èí À.ß. Ó÷åíèå Ìèçåñà î âåðîÿòíîñòÿõ è ïðèíöèïû ôèçè÷åñêîéñòàòèñòèêè // Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê. – 1929. – ¹ 9. – Ñ. 141–166.

170. Õèí÷èí À.ß. Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíè-êè. – Ì.: Ãîñòåõèçäàò, 1941. – 117 ñ.

171. Õèí÷èí À.ß. ×àñòîòíàÿ òåîðèÿ Ð. Ìèçåñà è ñîâðåìåííûå èäåè òåî-ðèè âåðîÿòíîñòåé // Âîïðîñû ôèëîñîôèè. – 1961, ¹ 1. – Ñ. 91–102;¹ 2. – Ñ. 77–89.


301

172. Õîëåâî À.Ñ. Âåðîÿòíîñòíûå è ñòàòèñòè÷åñêèå àñïåêòû êâàíòîâîéòåîðèè. – Ì.: Íàóêà, 1980. – 320 ñ.

173. Õüþáåð Ï. Ðîáàñòíîñòü â ñòàòèñòèêå. – Ì.: Ìèð, 1984. – 303 ñ.174. ×àéêîâñêèé Þ.Â. Î ïðèðîäå ñëó÷àéíîñòè. – Ì.: Öåíòð ñèñòåìíûõ èñ-

ñëåäîâàíèé–Èíñòèòóò èñòîðèè åñòåñòâîçíàíèÿ è òåõíèêè ÐÀÍ, 2004. – 280 ñ.175. ×åðíîâ Ë.À. Âîëíû â ñëó÷àéíî-íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ. – Ì.: Íàóêà,

1975. – 165 ñ.176. Øàðûé Ñ.Ï. Êîíå÷íîìåðíûé èíòåðâàëüíûé àíàëèç. – XYZ: Èíñòè-

òóò âû÷èñëèòåëüíûõ òåõíîëîãèé, 2010. – 597 ñ. (http://www.nsc.ru/interval).177. Øåéíèí Î.Á. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé. Èñòîðè÷åñêèé î÷åðê. –http://www.

sheynin.de.178. Øåíäåðîâ Å.Ë. Âîëíîâûå çàäà÷è ãèäðîàêóñòèêè. – Ë.: Ñóäîñòðîå-

íèå, 1972. – 352 ñ.179. Øèðÿåâ À.Í. Âåðîÿòíîñòü è êîíöåïöèÿ ñëó÷àéíîñòè: ê 75-ëåòèþ

âûõîäà â ñâåò ìîíîãðàôèè À.Í. Êîëìîãîðîâà «Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèèâåðîÿòíîñòåé». – 2009. – 92 ñ.

180. Øèðÿåâ À.Í. Âåðîÿòíîñòü. – Ì.: Íàóêà, 1989. – 574 ñ.181. Øèøëÿííèêîâà Â.Í., Øèøëÿííèêîâà Ñ.Í. ×èñëåííûå è ãðàôè÷åñêèå

ìåòîäû. – Ðèãà: ÐÈÈÃÂÔ, 1963. – 314 ñ.182. Øëåçèíãåð Ì.È., Ãëàâà÷ Â. Äåñÿòü ëåêöèé ïî ñòàòèñòè÷åñêîìó è

ñòðóêòóðíîìó ðàñïîçíàâàíèþ. – Ê.: Íàóê. äóìêà, 2004. – 545 ñ.183. Øîêèí Þ.È. Èíòåðâàëüíûé àíàëèç. – Íîâîñèáèðñê: Íàóêà,

1981. – 112 ñ.184. Øðåäèíãåð Ý. Èçáðàííûå òðóäû ïî êâàíòîâîé ìåõàíèêå. – Ì.:

Íàóêà, 1976. – 422 ñ.185. Ýôðîí Á. Íåòðàäèöèîííûå ìåòîäû ìíîãîìåðíîãî ñòàòèñòè÷åñêîãî

àíàëèçà. – Ì.: Ôèíàíñû è ñòàòèñòèêà, 1988. – 263 ñ.186. ßâîðñêèé Á.Ì., Äåòëàô À.À. Ñïðàâî÷íèê ïî ôèçèêå äëÿ èíæåíåðîâ

è ñòóäåíòîâ ÂÓÇîâ. – Ì.: Íàóêà, 1968. – 940 ñ.187. ßðîùóê È.Î., Ïîïîâ Ã.Â. Ñòàòèñòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ðàñïðî-

ñòðàíåíèÿ âîëí âî ôëóêòóèðóþùèõ ñðåäàõ. – Âëàäèâîñòîê: Äàëüíàóêà,2000. – 156 ñ.

188. ßðîùóê È.Î., Ãóëèí Î.Ý. Ìåòîä ñòàòèñòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ âçàäà÷àõ ãèäðîàêóñòèêè. – Âëàäèâîñòîê: Äàëüíàóêà, 2002. – 351 ñ.

189. Batyrshin I., Kacprzyk J., Sheremetov L., Zadeh L.A. Perception-basedData Mining and Decision Making in Economics and Finance // Studies inComputational Intelligence. – 2007. – Vol. 36. – P. 55–83.

190. Bernoulli J. The art of conjecturing. – 1713.191. Bohlmann G. Die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung inihrer

Anwendung auf die Lebensversicherung, Atti del IV Congresso internazionale deiMathematici. – Roma, 6–11 Aprile 1908. – Vol. III, Secione 11b.

192. Borel E. Sur les probabilities denombrables et leurs applicationsarithmetiques // Rend. Circ. Mat. Palermo, 1909. – N 26. – P. 247–271.

193. Crownover R.M. Introduction to fractals and chaos. – Boston –London: Jones and Bartlett Pub., Inc., 1995. – 195 ð.

194. Ferson S., Kreinovich V., Ginzburg L., Myers D.S., Sentz K. Constructingprobability boxes and Dempster-Shafer structures / SAND report SAND2002-4015. – 2003. – 143 p.


302

195. FOREX. – http://www.forexite.com.196. Gorban I.I. New approach in optimization of space-time signal

processing in hydroacoustics // Course notes to the Tutorial on the conference«Ocean’98». – France, IEEE, 1998. – 69 p.

197. Gorban I.I. Space-time signal processing algorithms for moving antenna //IEEE «Ocean’98». Conference Proceedings. – 1998. – Vol. 3. – P. 1613–1617.

198. Gorban I.I. Space-time signal processing for moving antennae //Elsevier, Advances in Engineering Software. – 2000. – Vol. 31. – P. 119–125.

199. Gorban I.I. Mobile Sonar Systems: Optimization of Space-Time SignalProcessing. – Kiev: Nauk. dumka, 2008. – 240 ð.

200. Gorban I.I. Hyper-random phenomena: definition and description //Information Theories and Applications. – 2008. – Vol. 15, N 3. – P. 203–211.

201. Gorban I.I. Cognition Horizon and the Theory of Hyper-randomPhenomena // International Journal of Information Theories and Applications. –2009. – Vol. 16, N 1. – P. 5–24.

202. Gorban I.I. Disturbance of statistical stability // Information Models ofKnowledge. – Kiev – Sofia: ITHEA. – 2010. – P. 398–410.

203. Graunt J. Natural and political observations made upon the bills ofmortality (1662). – Baltimore. – 1939.

204. Gray R.M. Probability, Random Processes and Ergodic Properties. –Springer Verlag, 1987. – 209 p.

205. Hagan M.T., Demuth H.B., and Beale M.H. Neural network design. –Boston, MA: PWS Publishing, 1996. – 345 p.

206. Halpern J.Y. Reasoning about uncertainty. – MIT Press, 2003. – 497 p.207. International standard ISO 3534-1:2006 (E/F). Statistics. Vocabulary and

symbols. Part I: General statistical terms and terms used in probability. – 2006. – 105 p.208. Keller J.B. The probability of heads // Am. Math. Monthly. – 1986. –

Vol. 93. – P. 191.209. Kolmogorov A.N. On logical foundations of probability // Lect. Notes.

Math. – 1983. – N 1021. – P. 1–5.210. Kreinovich V. Why intervals? A simple limit theorem that is similar to

limit theorems from statistics // Reliable Computing. – 1995. – Vol. 1, N 1. –P. 33–40.

211. Kreinovich V., Berleant D.J., Ferson S. and Lodwick W.A. Combininginterval and probabilistic uncertainty: foundations, algorithms, challenges. – AnOverview «Proceedings of the International Conference on Fuzzy Systems,Neural Networks, and Genetic Algorithms FNG'05». – Tijuana, Mexico, 2005. –P. 1–10.

212. Kyburg H.E. Interval-valued probabilities // Imprecise ProbabilitiesProject. – 1998–2000. – http://ippserv.rug.ac.be/.

213. Lomnicki A. Nouveaux fondements du calcul des probabilities // Fund.Math. – 1923. – Vol. 4. – P. 34–71.

214. Milanese M., Norton J., Piet-Lahanier H., Walter E. Boundingapproaches to system identification. – New York: Plenum Press, 1996. – 248 p.

215. Mises R. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Math. –1919. – Z. 5. – P. 52–99.

216. Mises R. Wahrscheinlichkeit, Statistik und Wahrheit. – Wien, 1928.217. Mises R. Mathematical theory of probability and statistics / Edited and

complemented by H. Geiringer. – N.Y. and London: Acad. Press, 1964. – 232 ð.


303

218. Moor R.E. Interval analyses. – Englewood Cliffs. N.J.: Prentice-Hall,1966. – 159 p.

219. Neumaier A. Interval methods for systems of equations. – Cambridge:Cambridge University Press, 1990. – 255 p.

220. Sharkovsky A.N., Romanenko E.Yu. Turbulence, ideal / Encyclopedia ofNonlinear Science. – N. Y. and London, 2005. – P. 955–957.

221. Shary S.P. A new technique in systems analysis under interval uncertainty andambiguity // Reliable computing. – 2002. – N 8. – P. 321–418.

222. Sunaga T. Theory of an interval algebra and its application to numericalanalysis // RAAG Memoirs. – 1958. – Vol. 2, Misc. II. – P. 547–564.

223. Walley P. Statistical reasoning with imprecise probabilities. – N.Y.:Chapman and Hall, 1991. – 706 p.

224. Zadeh L.A. and Kacprzyk J. Fuzzy logic for the management of un-certainty. – N. Y.: John Wiley and Sons, 1992. – 256 ð.

• Публикации конца 2010–2011 гг. •

225. Ãîðáàíü È.È. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ íåóñòîé÷èâîñòü ôèçè÷åñêèõ ïðîöåñ-ñîâ // Èçâåñòèÿ âóçîâ. Ðàäèîýëåêòðîíèêà. – 2011 (â ïå÷àòè).

226. Ç³íüêîâñüêèé Þ.Ô., Óâàðîâ Á.Ì. Ã³ïåðâèïàäêîâ³ñòü ôóíêö³îíàëüíèõõàðàêòåðèñòèê ðàä³îåëåêòðîííèõ àïàðàò³â // Â³ñíèê ÆÄÒÓ. – 2010. –¹ 1. – Ñ. 96–103.

227. Ç³íüêîâñüêèé Þ.Ô., Óâàðîâ Á.Ì. Ðàä³îåëåêòðîííà àïïàðàòóðà ÿêîá’ºêò òåîð³¿ ã³ïåðâèïàäêîâèõ ÿâèù // Â³ñíèê ÍÒÓÓ «ÊÏ²». Ñåð. Ðàä³î-òåõí³êà. Ðàä³îàïàðàòóðîáóäóâàííÿ. – 2010. – ¹ 40. – Ñ. 100–108.

228. Çèíüêîâñêèé Þ.Ô., Óâàðîâ Á.Ì. Ãèïåðñëó÷àéíîñòü àëãîðèòìîâìîäåëèðîâàíèÿ ñîâðåìåííîé ðàäèîýëåêòðîííîé àïïàðàòóðû // Èçâåñòèÿâóçîâ. Ðàäèîýëåêòðîíèêà. – 2011. – ¹ 3. – Ñ. 39–46.

229. Óâàðîâ Á.Ì. Ã³ïåðâèïàäêîâ³ ôóíêö³îíàëüí³ õàðàêòåðèñòèêè ðàä³î-åëåêòðîííèõ çàñîá³â // Â³ñíèê ÍÒÓÓ «ÊÏ²». Ñåð. Ðàä³îòåõí³êà. Ðàä³î-àïàðàòóðîáóäóâàííÿ. – 2010. – ¹ 40. – Ñ. 113–121.

230. Óâàðîâ Á.Ì. Ìåòîäû ïðåäñòàâëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê ðàäèîýëåêòðîí-íîé àïïàðàòóðû íà îñíîâå òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé // Èçâåñòèÿ âó-çîâ. Ðàäèîýëåêòðîíèêà. – 2010. – ¹ 10. – Ñ. 35–42.

231. Óâàðîâ Á.Ì., Ç³íüêîâñüêèé Þ.Ô. Ã³ïåðâèïàäêîâ³ õàðàêòåðèñòèêè òåï-ëîâèõ ïðîöåñ³â ó ïðèñòðîÿõ ðàä³îåëåêòðîííî¿ àïàðàòóðè // Â³ñíèê ÍÒÓÓ«ÊÏ²». Ñåð. Ðàä³îòåõí³êà. Ðàä³îàïàðàòóðîáóäóâàííÿ. – 2010. – ¹ 41. –Ñ. 103–108.

304

À

Àêñèîìà àäåêâàòíîñòè 42— — ãèïåðñëó÷àéíàÿ 199

Â

Âåêòîð ñðåäíåãî äèñïåðñèé ãðàíèöãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà 112

— — ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ãðà-íèö ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà 112

— — — — — ôóíêöèè 112— — ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèõ îòêëî-

íåíèé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîãîâåêòîðà 112

— óñëîâíûõ äèñïåðñèé 104— — — êîìïëåêñíûõ 117— — ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé 104— — ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèõ îòêëî-

íåíèé 104— — — — êîìïëåêñíûõ 117âåëè÷èíà ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåêòîð-

íàÿ 103— — íåïðåðûâíàÿ 96— — ñêàëÿðíàÿ 91— èíòåðâàëüíàÿ 95— ñëó÷àéíàÿ 45, 91— — óñëîâíàÿ 92— õàîòè÷åñêàÿ 95âåëè÷èíû ãèïåðñëó÷àéíûå âåêòîðíûå

íåçàâèñèìûå ïðè âñåõ óñëîâèÿõ 105— — — íåçàâèñèìûå 109— — íåêîððåëèðîâàííûå 111— — — ïðè âñåõ óñëîâèÿõ 114, 116— — — êîìïëåêñíûå 116

— — îðòîãîíàëüíûå 112— — — ïðè âñåõ óñëîâèÿõ 115, 116— — — êîìïëåêñíûå 116âûáîðêà ãèïåðñëó÷àéíàÿ ãèïåð-

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 207— èç ãåíåðàëüíîé ñîâîêóïíîñòè

ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 207— íåîäíîðîäíàÿ 46, 207— îäíîðîäíàÿ 46, 207âûáîðî÷íàÿ ñîâîêóïíîñòü ãèïåð-

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 207âûáîðî÷íûå çíà÷åíèÿ ãåíåðàëüíîé

ñîâîêóïíîñòè ãèïåðñëó÷àéíîé âå-ëè÷èíû 207

Ã

Ãåíåðàëüíàÿ ñîâîêóïíîñòü ãèïåð-ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 206

ãèïîòåçà àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ðå-àëüíûõ ÿâëåíèé íåïðåðûâíûìèäèôôåðåíöèðóåìûìè ôóíêöèÿ-ìè 42

— àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ ðåàëüíûõÿâëåíèé ñëó÷àéíûìè (ñòîõàñòè-÷åñêèìè) ìîäåëÿìè 42, 47

— àäåêâàòíîñòè ìîäåëè 42— ãèïåðñëó÷àéíîñòè 200— íåïðåðûâíîñòè ôèçè÷åñêîãî

ìèðà 42— îãðàíè÷åííîé ñòàòèñòè÷åñêîé

óñòîé÷èâîñòè 199— ñëó÷àéíîãî õàðàêòåðà ìèðà 42— ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè

(ñòàáèëüíîñòè) 45

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ

Предметный указатель

305

— — — ðåàëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëå-íèé 47

— — — ÷àñòîòû 45— ñóùåñòâîâàíèÿ ïðåäåëà ÷àñòîòû 46ãðàíèöà âåðîÿòíîñòè 86— — âåðõíÿÿ 86— — íèæíÿÿ 86— âçàèìíîãî ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíê- öèé 160— âçàèìíîé êîâàðèàöèîííîé ôóíê-

öèè ðåàëèçàöèé ýðãîäè÷åñêèõ ãè-ïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé 166

— — êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ðåà-ëèçàöèé ýðãîäè÷åñêèõ ãèïåðñëó-÷àéíûõ ôóíêöèé 166

— äèñïåðñèè 100— — âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âå-

ëè÷èíû 113— — — — — êîìïëåêñíîé 118— — ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âå-

ëè÷èíû 100— — âåùåñòâåííîé ãèïåðñëó÷àéíîé

ôóíêöèè 128— — êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé

ôóíêöèè 138— äîâåðèòåëüíîé âåðîÿòíîñòè 245— êîâàðèàöèîííîé ôóíêöèè ãè-

ïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 129— — — ðåàëèçàöèé ýðãîäè÷åñêîé ãè-

ïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 165— êîìïëåêñíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî

îæèäàíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî âåê-òîðà 117

— — — — êîìïëåêñíîé âåêòîðíîéôóíêöèè 118

— — ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëî-íåíèÿ 119

— êîìïëåêñíîé äèñïåðñèè 118— êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèè ãèïåð-

ñëó÷àéíîé ôóíêöèè 129— — — ðåàëèçàöèé ýðãîäè÷åñêîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 165— êîýôôèöèåíòà êîððåëÿöèè 114— ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ âåê-

òîðíîé ôóíêöèè 113

— — — — ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû113

— — — âåùåñòâåííîé ãèïåðñëó÷àé-íîé ôóíêöèè 128

— — — êîìïëåêñíîãî âåêòîðà 117— — — êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àé-

íîé ôóíêöèè 137— — — — ôóíêöèè 137— — — ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé

âåëè÷èíû 100— — — ôóíêöèè ãèïåðñëó÷àéíîé

âåëè÷èíû 100— — — — — ôóíêöèè 128— ìîìåíòà 100— — êîâàðèàöèîííîãî 114— — — êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àé-

íîé âåëè÷èíû 117— — êîððåëÿöèîííîãî 114— — — êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àé-

íîé âåëè÷èíû 116— — íà÷àëüíîãî 100, 114, 128— — öåíòðàëüíîãî 100, 114, 129— ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ 99— ñìåøàííîãî íà÷àëüíîãî ìîìåíòà

âòîðîãî ïîðÿäêà âåêòîðíîé ãè-ïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 114

— — öåíòðàëüíîãî ìîìåíòà âòîðîãîïîðÿäêà 114

— ñðåäíåãî êâàäðàòà ïîãðåøíîñòè237

— — ðåàëèçàöèé ýðãîäè÷åñêîé ãè-ïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 165

— ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíå-íèÿ âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîéâåëè÷èíû 114

— — — — — — êîìïëåêñíîé 119— — — ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé

âåëè÷èíû 100— óñëîâíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëå-

íèÿ âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîéâåëè÷èíû 108

— ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðíîéãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 106

— — — ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè123

— — — — — âåêòîðíîé 131


306

— — — ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîéâåëè÷èíû 94

— — ÷àñòîòíîé êîãåðåíòíîñòè ãè-ïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé 161

— ýíåðãåòè÷åñêîãî ñïåêòðà ãèïåð-ñëó÷àéíîé ôóíêöèè 159

Ä

Äèñïåðñèÿ ãðàíèöû âåêòîðíîéãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 132

— — ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà 110— — ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 98— — — ôóíêöèè 126— óñëîâíàÿ 93, 123

Ç

Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ïîñëåäî-âàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ âå-ëè÷èí 220

— — — — — — — óñèëåííûé 222— — — — — ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 217— — — — — — ñîáûòèé 216— — — — — — ÿâëåíèé 216— — — óñèëåííûé 218çàêîíîìåðíîñòü 28çíàíèå 31çíà÷åíèÿ âûáîðî÷íûå (ðåàëèçà-

öèè) 207— êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àéíîé

ôóíêöèè íåêîððåëèðîâàííûå 134— — — — îðòîãîíàëüíûå 134çîíà íåîïðåäåëåííîñòè 94

È

Èçìåðåíèå êîñâåííîå 255èíòåãðàë ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè

145èíòåðâàë äîâåðèòåëüíûé 245èíôîðìàöèÿ ïî Ôèøåðó 242

Ê

Êëàññèôèêàöèÿ 28

êîâàðèàöèîííàÿ ôóíêöèÿ ãðàíèöûâåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíê-öèè íîðìèðîâàííàÿ 133

— — — ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè127, 132

— — — — — íîðìèðîâàííàÿ 127, 133— — — êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àé-

íîé ôóíêöèè 134— — — êîìïëåêñíûõ ãèïåðñëó÷àé-

íûõ ôóíêöèé âçàèìíàÿ 135— — — — — — íîðìèðîâàííàÿ 136êîìïîíåíòû âåêòîðíîé ãèïåðñëó-

÷àéíîé ôóíêöèè íåçàâèñèìûå âñîâîêóïíîñòè 132

êîíöåïöèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî óñò-ðîéñòâà ìèðà 202

— ïîãðåøíîñòè 38— íåîïðåäåëåííîñòè 38— óñòðîéñòâà ìèðà íà ñëó÷àéíûõ

ïðèíöèïàõ 47êîððåëÿöèîííàÿ ôóíêöèÿ ãðàíèöû

âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíê-öèè 133

— — — êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àé-íîé ôóíêöèè 134

— — — êîìïëåêñíûõ ãèïåðñëó÷àé-íûõ ôóíêöèé âçàèìíàÿ 135

— — — ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 127— — ìãíîâåííîãî ñïåêòðà ãèïåð-

ñëó÷àéíîé ôóíêöèè óñëîâíàÿ 159êîýôôèöèåíò äèôôóçèè 111— êîððåëÿöèè ãðàíèöû 111— — óñëîâíûé 105— ñíîñà 172

Ì

Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ãðàíè-öû âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîéôóíêöèè 132

— — — — ôóíêöèè ãèïåðñëó÷àéíîãîâåêòîðà 110

— — — ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà 110— — — ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 98— — — — ôóíêöèè 126— — — ôóíêöèè 97, 125


307

— — óñëîâíîå 93— — — ôóíêöèè âåêòîðíîé 104— — — — ãèïåðñëó÷àéíîé 123ìåòðèêà (ðàññòîÿíèå) 35ìèðîâîççðåíèå 32ìîäåëü 28— àäåêâàòíàÿ 37— äåòåðìèíèðîâàííàÿ 52— èçìåðåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíî-

ãèïåðñëó÷àéíàÿ 235, 247— — äåòåðìèíèðîâàííî-

ãèïåðñëó÷àéíàÿ 234— — äåòåðìèíèðîâàííî-

èíòåðâàëüíàÿ 235— — äåòåðìèíèðîâàííî-ñëó÷àéíàÿ

234— — ñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ 234— — ñëó÷àéíî-ñëó÷àéíàÿ 234— êîëåáàíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî 56— ìàòåìàòè÷åñêàÿ 30— íåäåòåðìèíèðîâàííàÿ (íåîïðå-

äåëåííàÿ) 52— íåôîðìàëèçîâàííàÿ 28— îöåíêè 32— — àääèòèâíàÿ 253, 277— — ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ 254, 279— — íåôîðìàëèçîâàííàÿ 29— ôèçè÷åñêàÿ 30— øóìà áåëîãî ãàóññîâñêîãî 56ìîìåíò ãðàíèöû êîâàðèàöèîííûé

111— — — êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àé-

íîé âåëè÷èíû 116— — êîððåëÿöèîííûé 111— — — êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àé-

íîé âåëè÷èíû 116— — íà÷àëüíûé 99, 111— — ðàñïðåäåëåíèÿ 97— — öåíòðàëüíûé 99, 111— óñëîâíûé êîâàðèàöèîííûé 105,

123— — — êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àé-

íîé âåëè÷èíû 115— — êîððåëÿöèîííûé 105, 123— — — êîìïëåêñíîé ãèïåðñëó÷àé-

íîé âåëè÷èíû 115

— — íà÷àëüíûé 104— — öåíòðàëüíûé 105ìóëüòèèíòåðâàë 225

Í

Íåîïðåäåëåííîñòü èçìåðåíèÿ 38— ïî òèïó A 40— ïî òèïó B 40íåðàâåíñòâî Êðàìåðà—Ðàî 242

Î

Îáúåêò ïîäîáíûé 28îáúåì âûáîðêè êðèòè÷åñêèé 268îäíîðîäíîñòü 150îïåðàòîð 138— ãèïåðñëó÷àéíûé 139îòîáðàæåíèå 138îòñ÷åòû âåùåñòâåííîé ãèïåðñëó-

÷àéíîé ôóíêöèè íåêîððåëèðî-âàííûå ïðè âñåõ óñëîâèÿõ 129

— — — — îðòîãîíàëüíûå ïðè âñåõóñëîâèÿõ 129

îöåíêà 32— àäåêâàòíàÿ 37— ãèïåðñëó÷àéíàÿ ãèïåðñëó÷àéíîé

âåëè÷èíû 247— — — — äîñòàòî÷íàÿ 266— — — — èíòåðâàëüíàÿ 250, 267— — — — íåñìåùåííàÿ 257— — — — ñìåùåííàÿ 257— — — — ñîñòîÿòåëüíàÿ 258— — — — òî÷å÷íàÿ 250— — — — ýôôåêòèâíàÿ 260, 264— — ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 271— — — — äîñòàòî÷íàÿ 283— — — — íåñìåùåííàÿ 281— — — — ñìåùåííàÿ 281— — — — ñîñòîÿòåëüíàÿ 281— — — — ýôôåêòèâíàÿ 282— — äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû

236— — — — äîñòàòî÷íàÿ 244— — — — èíòåðâàëüíàÿ 244— — — — íåñìåùåííàÿ 237— — — — ñìåùåííàÿ 237


308

— — — — ñîñòîÿòåëüíàÿ 239— — — — òî÷å÷íàÿ 236— — — — ýôôåêòèâíàÿ 241— ãèïåðñëó÷àéíîãî òèïà 239— ìîäåëè 32— ñëó÷àéíàÿ ñîñòîÿòåëüíàÿ ñëó-

÷àéíîé âåëè÷èíû 258— ñëó÷àéíîãî òèïà 239

Ï

Ïàðàìåòð ñòàòèñòè÷åñêîé íåóñòîé-÷èâîñòè 65, 67

— âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî 65, 67— ñðåäíåãî ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäà-

íèé 66, 67ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé óñëîâíàÿ

ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 103— — — ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 92— ðàñïðåäåëåíèÿ ãðàíèöû ãèïåð-

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 96— — — — — âåêòîðíîé 106— — — — — ñêàëÿðíîé 96— — — — — óñëîâíàÿ 108— — — — ôóíêöèè 123— — — — — âåêòîðíîé 131ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ 37— — ãèïåðñëó÷àéíàÿ 236, 250, 273— — èíòåðâàëüíàÿ 240, 253— — íåîïðåäåëåííàÿ (ñòàòèñòè÷å-

ñêè íåïðîãíîçèðóåìàÿ) 240, 253— — ñèñòåìàòè÷åñêàÿ 38, 236, 253— — ñëó÷àéíàÿ 38, 236, 253ïîçíàíèå 33ïîëå ãèïåðñëó÷àéíîå 121ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñòàòèñòè÷åñêè

íåóñòîé÷èâàÿ (íåñòàáèëüíàÿ) 54— — óñòîé÷èâàÿ (ñòàáèëüíàÿ) 53ïðåîáðàçîâàíèå 138ïðîãíîç ñòàòèñòè÷åñêèé àáñîëþò-

íî òî÷íûé 47ïðîèçâîäíàÿ ãèïåðñëó÷àéíîé

ôóíêöèè 145ïðîñòðàíñòâî ìåòðè÷åñêîå 35— çíà÷åíèé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû

91

— ñîñòîÿíèé (ôàçîâîå) 120, 138ïðîöåññ ãèïåðñëó÷àéíûé 121— — âèíåðîâñêèé (÷èñòî äèôôóçè-

îííûé) 175— — ìàðêîâñêèé 170— — — ãàóññîâñêèé 175— — — äèôôóçèîííûé 173— — — — îäíîðîäíûé âî âðåìåíè

173— ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûé

(íåñòàáèëüíûé) 54— — óñòîé÷èâûé (ñòàáèëüíûé) 54

Ð

Ðàññòîÿíèå (ìåòðèêà) 35ðåàëèçàöèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî

ôóíêöèîíàëà 138— ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 120ðÿä âàðèàöèîííûé (ñòàòèñòè÷å-

ñêèé) 208— ðàíæèðîâàííûé 208

Ñ

Ñå÷åíèå 122, 138ñå÷åíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè

íåçàâèñèìûå 125— — — — â ñîâîêóïíîñòè 125— — — íåêîððåëèðîâàííûå 127— — — îðòîãîíàëüíûå 127ñèñòåìà çàêðûòàÿ 200— îòêðûòàÿ 200ñèñòåìàòèçàöèÿ 28ñîáûòèå ãèïåðñëó÷àéíîå 85— — íåçàâèñèìîå 89— — — ïðè âñåõ óñëîâèÿõ 89— ñëó÷àéíîå 45ñîâîêóïíîñòü ãåíåðàëüíàÿ ãèïåð-

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 206— âûáîðî÷íàÿ 207ñïåêòð ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè

ìãíîâåííûé 158— ãðàíèö ýíåðãåòè÷åñêèé 155— ìîùíîñòè ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíê-

öèè óñëîâíûé 159


309

— — ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé óñ-ëîâíûé âçàèìíûé 160

ñïåêòðàëüíàÿ ïëîòíîñòü ìîùíîñòèãðàíèöû 155

ñïåêòðàëüíûå ïëîòíîñòè ìîùíî-ñòè ãðàíèö âçàèìíûå 157

ñðåäíåå ãðàíèö ôóíêöèè ðàñïðå-äåëåíèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòî-ðà 109

— — — — ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîéâåëè÷èíû 97

— äèñïåðñèè ãðàíèö ðàñïðåäåëå-íèÿ ïîãðåøíîñòè 265

— äèñïåðñèé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àé-íîé âåëè÷èíû 99

— çíà÷åíèå ôóíêöèè 166— êîâàðèàöèîííûõ ìîìåíòîâ ãðà-

íèö 113— êîððåëÿöèîííûõ ìîìåíòîâ ãðà-

íèö 113— ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ãðà-

íèö ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû99

— — — — ôóíêöèè 99— íà÷àëüíûõ ìîìåíòîâ ãðàíèö ãè-

ïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà 112— îòíîñèòåëüíî ãðàíèöû êâàäðàòà

ïîãðåøíîñòè 265— ïëîòíîñòåé ðàñïðåäåëåíèÿ ãðà-

íèö ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà 109— — — — ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé

âåëè÷èíû 97— ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèõ îòêëîíå-

íèé ãðàíèö ãèïåðñëó÷àéíîé âå-ëè÷èíû 99

— öåíòðàëüíûõ ìîìåíòîâ ãðàíèöãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòîðà 113

ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîå îòêëîíåíèåãðàíèöû ãèïåðñëó÷àéíîãî âåêòî-ðà 110

— — — ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 98— — — — ôóíêöèè 126— — — êîìïëåêñíîå 117ñðåäíèé êâàäðàò ïîãðåøíîñòè 236— îòíîñèòåëüíî ãðàíèö êâàäðàò

ïîãðåøíîñòè 265

ñòàòèñòèêà 46, 208ñõîäèìîñòü âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî

ê èíòåðâàëó 220— ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó-

÷àéíûõ âåëè÷èí â ñðåäíåêâàäðà-òè÷åñêîì 142

— — — — ïî âåðîÿòíîñòè 142— — — — — ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ 141— — — — ïî÷òè íàâåðíîå (ñ âåðîÿò-

íîñòüþ 1) 142— — — ôóíêöèé â ñðåäíåêâàäðàòè-

÷åñêîì 144— — — — ïî âåðîÿòíîñòè 144— — — — ïî÷òè íàâåðíîå (ñ âåðîÿò-

íîñòüþ 1) 144ñòàöèîíàðíîñòü 150

Ò

Òåîðåìà, àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìåÁåðíóëëè 227

— Áàéåñà 89— Áåðíóëëè 216— ãèïîòåç 89— Ãëèâåíêî 214— Êîëìîãîðîâà 218— Ëèíäåáåðãà—Ôåëëåðà 229— Ìàðêîâà 217— î ñõîäèìîñòè ãðàíèö ñðåäíåãî

ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêè 220— — — îöåíîê ãðàíèö âûáîðî÷íîãî

ñðåäíåãî ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîð-êè 225

— ñëîæåíèÿ 87— óìíîæåíèÿ 88— Õèí÷èíà 217— ×åáûøåâà 55, 217òåîðèÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ 42— ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ 42òî÷íîñòü èçìåðåíèÿ 38— òî÷å÷íîé îöåíêè 236

Ó

Óðàâíåíèå äèôôåðåíöèàëüíîå ñòî-õàñòè÷åñêîå 173


310

— Êîëìîãîðîâà ïåðâîå (îáðàòíîå)äëÿ ìàðêîâñêîãî ãèïåðñëó÷àé-íîãî ïðîöåññà 172

— — ïðÿìîå (Ôîêêåðà—Ïëàíêà—Êîëìîãîðîâà) äëÿ ìàðêîâñêîãîãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà 172

— Ìàðêîâà îáîáùåííîå (Ñìîëó-õîâñêîãî) äëÿ ãèïåðñëó÷àéíîãîïðîöåññà 171

óñëîâèå Ëèïøèöà 173

Ô

Ôîðìóëà ïîëíîé âåðîÿòíîñòè 89ôðàãìåíò ïðàêòè÷åñêè ñòàöèîíàð-

íûé ñëó÷àéíîé ôóíêöèè 164ôóíêöèè ãèïåðñëó÷àéíûå êîì-

ïëåêñíûå íåêîððåëèðîâàííûå135

— — — îðòîãîíàëüíûå 136— — íåçàâèñèìûå 132— — ñîâìåñòíî ñòàöèîíàðíî ñâÿ-

çàííûå â øèðîêîì ñìûñëå 152— — — — — ïðè âñåõ óñëîâèÿõ 154— ñëó÷àéíûå ñîâìåñòíî ñòàöèîíàð-

íî ñâÿçàííûå â óçêîì ñìûñëå 149— — — — — — øèðîêîì ñìûñëå 149ôóíêöèîíàë 138— ãèïåðñëó÷àéíûé 138ôóíêöèÿ àðãóìåíòà 138— ãèïåðñëó÷àéíàÿ 120— — âåêòîðíàÿ 131— — âòîðîãî ïîðÿäêà 144— — äèôôåðåíöèðóåìàÿ â ñðåäíå-

êâàäðàòè÷åñêîì 145— — èíòåãðèðóåìàÿ 145— — íåïðåðûâíàÿ â ñðåäíåêâàäðà-

òè÷åñêîì 144— — îáùåãî âèäà 120— — ñòàöèîíàðíàÿ â óçêîì ñìûñëå

(ñòðîãî) 151— — — — — — ïðè âñåõ óñëîâèÿõ 153— — — â øèðîêîì ñìûñëå 152— — — — — — ïðè âñåõ óñëîâèÿõ 153— — íåñòàöèîíàðíàÿ â óçêîì ñìûñ-

ëå 151

— — ÷àñòíîãî âèäà 120— — ôðàãìåíòàðíî-ýðãîäè÷åñêàÿ

ïðè âñåõ óñëîâèÿõ 168— — ýðãîäè÷åñêàÿ ïðè âñåõ óñëîâè-

ÿõ 164— âûáîðî÷íàÿ 120— ìîìåíòíàÿ ãðàíèöû 126— — — íà÷àëüíàÿ 126— — — öåíòðàëüíàÿ 126— ðàñïðåäåëåíèÿ óñëîâíàÿ ãèïåð-

ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 103— — — — ôóíêöèè 122— — — ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû 92— — ôðàãìåíòàðíî-ãàóññîâñêàÿ 230— — — ïðåäåëüíàÿ 230— ñëó÷àéíàÿ 45— — ñòàöèîíàðíàÿ â óçêîì ñìûñëå

147— — — — — — àñèìïòîòè÷åñêè 148— — — — — — íà èíòåðâàëå 148— — — — — — ïîðÿäêà K 148— — — — øèðîêîì ñìûñëå 149— — íåñòàöèîíàðíàÿ 147— — ïåðèîäè÷íî ñòàöèîíàðíàÿ

(öèêëîñòàöèîíàðíàÿ) 148— — ôðàãìåíòàðíî-ýðãîäè÷åñêàÿ 164— — ýðãîäè÷åñêàÿ 162— — — ïî îòíîøåíèþ ê êîâàðèàöè-

îííîé ôóíêöèè 163— — — — — — ìàòåìàòè÷åñêîìó îæè-

äàíèþ 162— ÷àñòîòíîé êîãåðåíòíîñòè ãðàíèö

158

Õ

Õàîñ äåòåðìèíèðîâàííûé 95õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ãðà-

íèöû ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèèâåêòîðíîé 131

— — — — âåëè÷èíû âåêòîðíîé 106— — — — — ñêàëÿðíîé 96— — — — — óñëîâíàÿ 108— — — — ôóíêöèè 123— — óñëîâíàÿ ãèïåðñëó÷àéíîé âå-

ëè÷èíû âåêòîðíîé 104


311

— — — — — ñêàëÿðíàÿ 92— — — — ôóíêöèè 122

Ö

Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìàäëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 230

— — — — ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí 229

Ø

Øóì áåëûé ãèïåðñëó÷àéíûé 157— — — ïðè âñåõ óñëîâèÿõ 160— ãèïåðñëó÷àéíûé ãàóññîâñêèé 174

Ý

Ýëëèïñ ðàññåÿíèÿ 112, 115ýôôåêò ìíîãîëó÷åâîãî ðàñïðî-

ñòðàíåíèÿ êîëåáàíèé 71— ìíîãîìîäîâîãî ðàñïðîñòðàíåíèÿ

êîëåáàíèé 71

ß

ßâëåíèå ãèïåðñëó÷àéíîå 16— ñëó÷àéíîå 45— ñòàòèñòè÷åñêè íåïðîãíîçèðóåìîå(íåïðåäñêàçóåìîå) 200

312

БИОГРАФИЧЕСКАЯСПРАВКА

Ãîðáàíü Èãîðü Èëüè÷ – äîêòîð òåõíè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð. Ðîäèëñÿ30 àâãóñòà 1952 ã. â ã. Êèåâå. Â 1975 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèéèíñòèòóò ïî ñïåöèàëüíîñòè «ãèäðîàêóñòèêà», à â 1978 ã. – àñïèðàíòóðó ïîòîé æå ñïåöèàëüíîñòè.

Â 1980 ã. çàùèòèë êàíäèäàòñêóþ äèññåðòàöèþ â ÖÍÈÈ «Ìîðôèçïðè-áîð», â 1991 ã. – äîêòîðñêóþ â Èíñòèòóòå êèáåðíåòèêè ÀÍ ÓÑÑÐ. Â 1989 ã.áûëî ïðèñâîåíî ó÷åíîå çâàíèå ñòàðøåãî íàó÷íîãî ñîòðóäíèêà, â 2000 ã. –ïðîôåññîðà.

Äî 1992 ã. ðàáîòàë â Êèåâñêîì ÍÈÈ ãèäðîïðèáîðîâ, ó÷àñòâîâàë â ïðî-âåäåíèè ðÿäà îïûòíî-êîíñòðóêòîðñêèõ è íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèõ ðàáîò.Áûë ïåðâûì çàìåñòèòåëåì Ãëàâíîãî êîíñòðóêòîðà ãèäðîàêóñòè÷åñêîé ñòàí-öèè (ÃÀÑ) ñ ãèáêîé ïðîòÿæåííîé áóêñèðóåìîé àíòåííîé, îòâåòñòâåííûì çààëãîðèòìè÷åñêîå îáåñïå÷åíèå ñòàíöèè, Ãëàâíûì êîíñòðóêòîðîì îïûòíî-êîíñòðóêòîðñêîé ðàáîòû ïî ñîçäàíèþ ÃÀÑ íà îïòè÷åñêîé ýëåìåíòíîé áàçå,íàó÷íûì ðóêîâîäèòåëåì äâóõ òèõîîêåàíñêèõ íàó÷íûõ ýêñïåäèöèé ïî èçó÷å-íèþ ãèäðîàêóñòè÷åñêèõ ñèãíàëîâ.

Ñ 1992 ã. â òå÷åíèå 12 ëåò ðàáîòàë â Èíñòèòóòå ïðîáëåì ìàòåìàòè÷åñêèõìàøèí è ñèñòåì (ÈÏÌÌÑ) ÍÀÍ Óêðàèíû â äîëæíîñòè ãëàâíîãî íàó÷íîãîñîòðóäíèêà, çàòåì çàìåñòèòåëÿ äèðåêòîðà ïî íàó÷íîé ðàáîòå. Ñ 2004 ïî2008 ãã. ðàáîòàë â ÓêðÍÈÓÖ Ãîñïîòðåáñòàíäàðòà Óêðàèíû â äîëæíîñòèçàìåñòèòåëÿ ãåíåðàëüíîãî äèðåêòîðà ïî íàó÷íîé ðàáîòå. Â 2009 ã. âåðíóëñÿ âÈÏÌÌÑ ÍÀÍ Óêðàèíû, ãäå ðàáîòàåò ïî íàñòîÿùåå âðåìÿ.

Àêòèâíî çàíèìàåòñÿ íàó÷íîé, íàó÷íî-ïåäàãîãè÷åñêîé è íàó÷íî-îðãà-íèçàöèîííîé ðàáîòîé. Áûë íàó÷íûì ðóêîâîäèòåëåì íåñêîëüêèõ íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèõ ðàáîò, ïðåïîäàâàë â Êèåâñêîì èíñòèòóòå âîåííî-âîç-äóøíûõ ñèë, íà ïðîòÿæåíèè ðÿäà ëåò ÿâëÿëñÿ ÷ëåíîì ýêñïåðòíîãî ñîâåòàÂÀÊ Óêðàèíû. Ðóêîâîäèò íàó÷íîé ðàáîòîé àñïèðàíòîâ, ÷ëåí ñïåöèàëèçèðî-âàííûõ ñîâåòîâ ïî çàùèòå äîêòîðñêèõ äèññåðòàöèé, ÷ëåí ðåäêîëëåãèéíàó÷íûõ æóðíàëîâ è ìåæäóíàðîäíûõ îáùåñòâ, â òîì ÷èñëå Àêóñòè÷åñêîãîîáùåñòâà Àìåðèêè (ASA), Èíñòèòóòà èíæåíåðîâ â îáëàñòè ýëåêòðîòåõíèêè èýëåêòðîíèêè (IEEE) è äð.

Àâòîð òðåõ òåîðèé: òåîðèè ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé îáðàáîòêè ãèäðî-àêóñòè÷åñêèõ ñèãíàëîâ â ñëîæíûõ äèíàìè÷åñêèõ óñëîâèÿõ, òåîðèè áûñòðîéìíîãîêàíàëüíîé îáðàáîòêè ãèäðîàêóñòè÷åñêèõ ñèãíàëîâ (èõ èçëîæåíèþ ïî-ñâÿùåíû ìîíîãðàôèè [Gorban, 1998, Gorban, 2008, Ãîðáàíü, 2008]) è ôèçè-êî-ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ãèïåðñëó÷àéíûõ ÿâëåíèé (åå îïèñàíèþ ïîñâÿùåíàìîíîãðàôèÿ [Ãîðáàíü, 2007] è íàñòîÿùàÿ êíèãà).

Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé îïóáëèêîâàíû áîëåå ÷åì â 150 íàó÷íûõ òðóäàõ, âòîì ÷èñëå 8 ìîíîãðàôèÿõ, è âíåäðåíû â ðÿäå ãèäðîàêóñòè÷åñêèõ ñòàíöèé.

313

ОГЛАВЛЕНИЕ

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ ............................................................................................... 3

ÂÂÅÄÅÍÈÅ.........................................................................................................7

ЧАСТЬ I . ИСТОКИ ТЕОРИИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ ..............25

Глава 1. Принципы познания мира ........................................................... 25

1.1. Îñíîâû íàó÷íûõ òåîðèé ..........................................................................251.2. Ìîäåëè ......................................................................................................28

1.2.1. Íåôîðìàëèçîâàííûå ìîäåëè .........................................................281.2.2. Ôèçè÷åñêèå è ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ..........................................30

1.3. Ôîðìèðîâàíèå çíàíèé ..............................................................................311.4. Ìèðîâîççðåíèå è ìûøëåíèå ...................................................................321.5. Ïîçíàíèå ìèðà ..........................................................................................331.6. Èçìåðåíèå ..................................................................................................35

1.6.1. Ìåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà ............................................................351.6.2. Ðàññòîÿíèå .......................................................................................361.6.3. Ïðîáëåìà ïîñòðîåíèÿ àäåêâàòíûõ îöåíîê è ìîäåëåé .................361.6.4. Ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ..................................................................371.6.5. Ñîâðåìåííûå ïîäõîäû ê îöåíêå òî÷íîñòè èçìåðåíèé ................38

1.7. Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèå òåîðèè ..............................................................41

Глава 2. Феномен статистической устойчивости ...................................... 44

2.1. Òåîðèÿ âåðîÿòíîñòåé: ôèçè÷åñêèå è ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû ............ 442.2. Ýêñêóðñ â èñòîðèþ èññëåäîâàíèÿ ôåíîìåíà ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé-÷èâîñòè .............................................................................................................472.3. Íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè .............................................502.4. Íåîïðåäåëåííûå è ñëó÷àéíûå ìîäåëè ....................................................51

Глава 3. Статистически неустойчивые последовательностии процессы ......................................................................................................53

3.1. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ñëó÷àéíûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé èïðîöåññîâ .........................................................................................................533.2. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë ïðè íàðóøåíèè ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè 55

Оглавление

314

3.3. Ïðåäñòàâëåíèå î ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûõ ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿõè ïðîöåññàõ .....................................................................................................563.4. Ïðè÷èíû íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ........................... 57

3.4.1. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû ñ ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùèìñÿ ìàòå-ìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì .......................................................................... 583.4.2. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû ñî ñêà÷êîîáðàçíî èçìåíÿþùèìñÿ ìàòå-ìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ............................................................................623.4.3. Ñëó÷àéíûå ïðîöåññû ñ àïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿþùèìñÿ ìàòå-ìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ............................................................................62

3.5. Îöåíêà ñòåïåíè íàðóøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íà êî-íå÷íîì èíòåðâàëå íàáëþäåíèÿ .................................................................... 65

Глава 4. Экспериментальные исследования статистической устойчи-вости физических величин и процессов .................................................. 68

4.1. Ïðèìåðû ñòàòèñòè÷åñêè íåóñòîé÷èâûõ ÿâëåíèé .................................. 684.2. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòèíàïðÿæåíèÿ ãîðîäñêîé ýëåêòðîñåòè ..............................................................724.3. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòèâûñîòû ìîðñêèõ âîëí è ïåðèîäà èõ ñëåäîâàíèÿ ...........................................774.4. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòèìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè ...................................................................................794.5. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòèêîòèðîâêè âàëþò ..............................................................................................81

ЧАСТЬ I I . МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХЯВЛЕНИЙ......................................................................................................... 84

Глава 5. Гиперслучайные события .............................................................. 84

5.1. Ñëó÷àéíûå è ãèïåðñëó÷àéíûå ñîáûòèÿ ................................................. 845.2. Ïàðàìåòðû ãèïåðñëó÷àéíîãî ñîáûòèÿ è åãî ñâîéñòâà ............................865.3. Àíàëîãè ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòè è òåîðåìû ãèïîòåç .................89

Глава 6. Скалярные гиперслучайные величины ........................................91

6.1. Ñêàëÿðíûå ñëó÷àéíûå è ãèïåðñëó÷àéíûå âåëè÷èíû............................ 916.2. Óñëîâíûå âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè è ìîìåíòû ðàñïðåäåëåíèÿñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû .......................................................... 926.3. Ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ìîìåíòû ãðàíèö ñêàëÿðíîéãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ..............................................................................936.4. Ãðàíèöû âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê è ãðàíèöû ìîìåíòîâñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ...........................................................996.5. Ñâÿçü ìåæäó ãðàíèöàìè ìîìåíòîâ è ìîìåíòàìè ãðàíèö ðàñïðåäå-ëåíèÿ............................................................................................................... 101

Глава 7. Векторные гиперслучайные величины ..................................... 103

7.1. Âåêòîðíàÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, åå óñëîâíûå âåðîÿòíîñòíûåõàðàêòåðèñòèêè è ìîìåíòû........................................................................... 1037.2. Ãðàíèöû ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ è ìîìåíòû ãðàíèö âåêòîðíûõãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ..............................................................................106


315

7.3. Ãðàíèöû ìîìåíòîâ âåêòîðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ....................1137.4. Ïàðàìåòðû ñêàëÿðíûõ êîìïëåêñíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí .........1157.5. Ïàðàìåòðû âåêòîðíûõ êîìïëåêñíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí .........117

Глава 8. Скалярные гиперслучайные функции ........................................120

8.1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ ..........................................................................1208.2. Âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè 1228.3. Ìîìåíòíûå ôóíêöèè ãðàíèö ðàñïðåäåëåíèÿ ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó-÷àéíîé ôóíêöèè ............................................................................................ 1258.4. Ãðàíèöû ìîìåíòîâ ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé ôóíêöèè .................. 128

Глава 9. Векторные гиперслучайные функции, гипер-случайные функционалы и операторы ..................................................... 131

9.1. Âåêòîðíûå ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè ...................................................1319.2. Ïàðàìåòðû êîìïëåêñíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ...........................1349.3. Ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèîíàëû è îïåðàòîðû .......................................138

Глава 10. Дифференцирование и интегрирование гипер-случайных функций .....................................................................................141

10.1. Ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ..............14110.2. Ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé .............14310.3. Íåïðåðûâíûå, äèôôåðåíöèðóåìûå è èíòåãðèðóåìûå ãèïåðñëó-÷àéíûå ôóíêöèè ............................................................................................ 144

Глава 11. Стационарные и эргодические гиперслучайные функции ...147

11.1. Ñòàöèîíàðíûå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè ....................................................14711.2. Ñòàöèîíàðíûå ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè........................................... 15111.3. Ñïåêòðàëüíîå îïèñàíèå ñòàöèîíàðíûõ ãèïåðñëó÷àéíûõ ôóíêöèé ..15511.4. Ýðãîäè÷åñêèå ñëó÷àéíûå ôóíêöèè .....................................................16111.5. Ýðãîäè÷åñêèå ãèïåðñëó÷àéíûå ôóíêöèè ............................................16411.6. Ôðàãìåíòàðíî-ýðãîäè÷åñêèå ïðè âñåõ óñëîâèÿõ ãèïåðñëó÷àéíûåôóíêöèè ........................................................................................................ 168

Глава 12. Марковские гиперслучайные процессы ..................................170

12.1. Îïðåäåëåíèå ìàðêîâñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ......................17012.2. Óðàâíåíèÿ Êîëìîãîðîâà äëÿ ìàðêîâñêîãî ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðî-öåññà ...............................................................................................................17112.3. Âèíåðîâñêèé ãèïåðñëó÷àéíûé ïðîöåññ ..............................................17412.4. Ãàóññîâñêèé ìàðêîâñêèé ãèïåðñëó÷àéíûé ïðîöåññ ......................... 176

Глава 13. Преобразование гиперслучайных величини процессов .................................................................................................. 180

13.1. Ïðåîáðàçîâàíèå ñêàëÿðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ....................18013.1.1. Îïèñàíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ óñëîâíûõ ôóíêöèéðàñïðåäåëåíèÿ è èõ ìîìåíòîâ ...............................................................18013.1.2. Îïèñàíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ ãðàíèö ôóíêöèé ðàñ-ïðåäåëåíèÿ è èõ ìîìåíòîâ ....................................................................18113.1.3. Îïèñàíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ ãðàíèö ìîìåíòîâ .......185


316

13.2. Ïðåîáðàçîâàíèå âåêòîðíîé ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ....................18813.2.1. Îïèñàíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ óñëîâíûõ ôóíêöèéðàñïðåäåëåíèÿ è èõ ìîìåíòîâ .............................................................. 18813.2.2. Îïèñàíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ ãðàíèö ôóíêöèé ðàñ-ïðåäåëåíèÿ è èõ ìîìåíòîâ ....................................................................19013.2.3. Îïèñàíèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ ãðàíèö ìîìåíòîâ ...... 192

13.3. Ïðåîáðàçîâàíèå ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà .......................................19313.3.1. Áåçûíåðöèîííîå ïðåîáðàçîâàíèå ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà 19313.3.2. Ïðåîáðàçîâàíèå ãèïåðñëó÷àéíîãî ïðîöåññà ëèíåéíûì èíåð-öèîííûì îïåðàòîðîì .............................................................................193

ЧАСТЬ I I I . ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГИПЕРСЛУЧАЙНЫХЯВЛЕНИЙ .......................................................................................................199

Глава 14. Физические гипотезы и модели теории гиперслучайныхявлений .......................................................................................................... 199

14.1. Ãèïîòåçû ãèïåðñëó÷àéíîñòè ............................................................... 19914.2. Êîíöåïöèÿ ãèïåðñëó÷àéíîãî óñòðîéñòâà ìèðà ..................................20214.3. Ñëó÷àéíûå è ãèïåðñëó÷àéíûå ìîäåëè ................................................203

Глава 15. Основы статистики гиперслучайных явлений ........................206

15.1 Ãèïåðñëó÷àéíàÿ âûáîðêà ......................................................................20615.2. Ìîäåëè ñëó÷àéíûõ è ãèïåðñëó÷àéíûõ âûáîðîê .................................20915.3. Îöåíêè õàðàêòåðèñòèê è ïàðàìåòðîâ ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ... 21115.4. Ñõîäèìîñòü ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ..................................................213

Глава 16. Закон больших чисел для гиперслучайных после-довательностей ............................................................................................ 216

16.1. Çàêîí áîëüøèõ ÷èñåë äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ñëó÷àéíûõ ñîáû-òèé è âåëè÷èí ................................................................................................21616.2. Òåîðåìû î ñõîäèìîñòè ãðàíèö ñðåäíåãî ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêè . 22016.3. Òåîðåìà î ñõîäèìîñòè îöåíîê ãðàíèö âûáîðî÷íîãî ñðåäíåãî ........ 22516.4. Òåîðåìà, àíàëîãè÷íàÿ òåîðåìå Áåðíóëëè ...........................................227

Глава 17. Центральная предельная теорема для гиперслучайныхвеличин .......................................................................................................... 229

17.1. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà äëÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ...............22917.2. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà äëÿ ãèïåðñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ..... 230

Глава 18. Гиперслучайные оценки детерминированных величин ........ 233

18.1. Ìîäåëè èçìåðåíèÿ ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí ........................................... 23318.2. Òî÷å÷íàÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè÷èíû .. 23618.3. Íåñìåùåííàÿ è ñîñòîÿòåëüíàÿ ãèïåðñëó÷àéíûå îöåíêè äåòåðìè-íèðîâàííîé âåëè÷èíû ................................................................................. 23718.4. Ýôôåêòèâíàÿ è äîñòàòî÷íàÿ ãèïåðñëó÷àéíûå îöåíêè äåòåðìèíè-ðîâàííîé âåëè÷èíû .......................................................................................24118.5. Èíòåðâàëüíàÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà äåòåðìèíèðîâàííîé âåëè-÷èíû.................................................................................................................245


317

Глава 19. Гиперслучайные оценки гиперслучайных величин .............. 247

19.1. Ãèïåðñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ ...........................24719.2. Òî÷å÷íàÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ..........25019.3. Àääèòèâíàÿ è ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ìîäåëè îöåíêè ............................25319.4. Ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà ðåçóëüòàòîâ êîñâåííûõ èçìåðåíèé ãèïåð-ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû .....................................................................................255

Глава 20. Характеристики гиперслучайных оценок гиперслучайныхвеличин .......................................................................................................... 257

20.1. Íåñìåùåííàÿ è ñîñòîÿòåëüíàÿ ãèïåðñëó÷àéíûå îöåíêè ãèïåðñëó-÷àéíîé âåëè÷èíû .......................................................................................... 25720.2. Ýôôåêòèâíàÿ è äîñòàòî÷íàÿ ãèïåðñëó÷àéíûå îöåíêè ãèïåðñëó-÷àéíîé âåëè÷èíû........................................................................................... 26020.3. Èíòåðâàëüíàÿ ãèïåðñëó÷àéíàÿ îöåíêà ãèïåðñëó÷àéíîé âåëè÷èíû . 26720.4. Êðèòè÷åñêèé îáúåì ãèïåðñëó÷àéíîé âûáîðêè ................................. 268

Глава 21. Гиперслучайные оценки гиперслучайныхфункций ......................................................................................................... 271

21.1. Ãèïåðñëó÷àéíî-ãèïåðñëó÷àéíàÿ ìîäåëü èçìåðåíèÿ ...........................27121.2. Ïîãðåøíîñòü èçìåðåíèÿ ......................................................................27321.3. Àääèòèâíàÿ ìîäåëü îöåíêè ..................................................................27721.4. Ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ ìîäåëü îöåíêè ................................................... 27921.5. Õàðàêòåðíûå îñîáåííîñòè ãèïåðñëó÷àéíûõ îöåíîê ãèïåðñëó-÷àéíîé ôóíêöèè ........................................................................................... 281

ÏÐÈËÎÆÅÍÈÅ. Ó÷åíûå î ôåíîìåíå ñòàòèñòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ......284

ÏÎÑËÅÑËÎÂÈÅ ...........................................................................................289

ÑÏÈÑÎÊ ÎÑÍÎÂÍÛÕ ÓÑËÎÂÍÛÕ ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈÉ..........................290

ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ ............................................................................293

ÏÐÅÄÌÅÒÍÛÉ ÓÊÀÇÀÒÅËÜ......................................................................304

ÁÈÎÃÐÀÔÈ×ÅÑÊÀß ÑÏÐÀÂÊÀ................................................................312


318

Íàóêîâå âèäàííÿ

ÍÀÖ²ÎÍÀËÜÍÀ ÀÊÀÄÅÌ²ß ÍÀÓÊ ÓÊÐÀ¯ÍÈ

²ÍÑÒÈÒÓÒ ÏÐÎÁËÅÌ ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÍÈÕÌÀØÈÍ ² ÑÈÑÒÅÌ

ГОРБАНЬ Ігор Ілліч

ТЕОРІЯГІПЕРВИПАДКОВИХ ЯВИЩ:ФІЗИЧНІ ТА МАТЕМАТИЧНІ ЗАСАДИ

(Ðîñ³éñüêîþ ìîâîþ)

Êè¿â, Íàóêîâî-âèðîáíè÷å ï³äïðèºìñòâî«Âèäàâíèöòâî “Íàóêîâà äóìêà” ÍÀÍ Óêðà¿íè», 2011

Õóäîæí³é ðåäàêòîð ².Ð. Ñ³ëüìàíÒåõí³÷íèé ðåäàêòîð Ã.Ì. Êîâàëüîâà

Êîðåêòîð Ë.Ã. Áóç³àøâ³ë³Îïåðàòîðè Î.Ì. Êóçüìåíêî, Î.Î. ²ùåíêî

Êîìï’þòåðíà âåðñòêà Î.Î. Áàëþê

Ï³äï. äî äðóêó 16.05.2011. Ôîðìàò 60× 90/16. Ïàï³ð îôñ. ¹ 1.Ãàðí. Òàéìñ. Äðóê. îôñ. Óì. äðóê. àðê. 20,0. Óì. ôàðáî-â³äá. 20,5.

Îáë.-âèä. àðê. 16,0. Íàêëàä 300 ïðèì. Çàì. ¹ 11–395

ÍÂÏ «Âèäàâíèöòâî “Íàóêîâà äóìêà” ÍÀÍ Óêðà¿íè»Ñâ³äîöòâî ïðî âíåñåííÿ ñóá’ºêòà âèäàâíè÷î¿ ñïðàâè äî Äåðæàâíîãî ðåºñòðó

ÄÊ ¹ 2440 â³ä 15.03.2006 ð.01601 Êè¿â, 1, âóë. Òåðåùåíê³âñüêà, 3

ÇÀÒ ô³ðìà “Â³ïîë”03151 Êè¿â 151, âóë. Âîëèíñüêà, 60

Ñâ³äîöòâî ïðî âíåñåííÿ äî Äåðæàâíîãî ðåºñòðóñåð³ÿ ÄÊ ¹ 752 â³ä 27.12.2001

Горбань И.И. Теория гиперслучайных явлений: физические...

Documents

Transcript of Горбань И.И. Теория гиперслучайных явлений: физические...