GOLDEN ROOT SYMMETRIES OF GEOMETRIC FORMS-PREPUBLICATION SECOND EDITION OF TRANSLATION IN CHINESE

Eur Ing Panagiotis Stefanides

几何形状的黄金根对称性

作者 Eur Ing Panagiotis Ch. Stefanides BSc(Eng)Lon(Hons) CEng MIET MSc(Eng)Ath

MΤCG

Panagiotis Ch. Stefanides

欧洲工程师工程学士（伦敦荣誉）注册工程师工程学院会员工程硕士（雅典）

希腊科技学会会员

2006 对称性会展

匈牙利布达佩斯

2010 - Heliotropio Stefanides 雅典出版


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国际书号 978 – 960 – 93 – 2219 – 5

出版人 Panagiotis Ch. Stefanides - Heliotropio Stefanides

作者 Panagiotis Ch. Stefanides

出版日期 2010 年 8 月，雅典

© 2010 Panagiotis Ch. Stefanides 版权所有

希腊国会图书馆，2010 年 8 月 4 日馆藏

希腊国会图书馆，2010 年 8 月 5 日发出国际书号：

978 – 960 – 93 – 2219 – 5

封面插图由 Panagiotis Ch. Stefanides 制作

封面

“ 对数螺旋线” - “ΠΕΙΡΑΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ”

对数与螺旋线的关系

一个新的概念：对数螺旋线在几何上与黄金比率平方根的关系，及多面体中

正二十面体和正十二面体与大金字塔模式的相互关系。

由本人用 Excel 设计的对数螺旋线图，参考 41 页附录 B

© 版权所有 1999 年 6 月 11 日 Panagiotis Ch. Stefanides

封底

求积法 “QUADRATURES”

AutoCad “尺规”方式关联基本几何形状的求积法

一个新的概念：根据本人的解释，证实柏拉图蒂迈欧篇最美的三角形，类似开普勒

三角形，但不一样，是对求积法计算的三角形的应用。

© 版权所有 1987 Panagiotis Ch. Stefanides.

../AppData/Local/Microsoft/Windows/Temporary%20Internet%20Files/Content.IE5/V0R686D3/Eur%20Ing%20Panagiotis%20Stefanides


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MΤCG




© 版权所有 2010 P. Stefanides

8, Alonion st.,

Kifissia,

雅典, 145 62

希腊




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谨以此书献给我的妻子玛丽、女儿娜塔莉亚，感谢她们对我的忍耐及支持

“et Amorem, Qui Mundos Unit”


© 版权所有 1986-2010 P. Stefanides



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鸣谢

我感谢那些帮助过我的同事、工程师朋友、亲属家人等，也感谢他们提出的宝贵

意见，让这篇作品能在匈牙利布达佩斯 2006 对称性会展发布。特别感谢这次国际

会议的主席 György Darvas 教授的邀请。感谢希腊艺术学会会员画家 Takis

Parlavantzas的邀请让我在 1991年 11月 22-24日在Demokriteio 大学的Xanthe 艺

术节中发布题为“柏拉图几何概念与艺术的关系”一文。

同样我感谢 Vassilis Karasmanis 教授及希腊数学学会在 1989 年 3 月 2-4 日让我在

“古希腊数学历史和哲学”的会议上发表题为“最美的三角形 – 柏拉图蒂迈欧篇”

的文章。

D. Lelingou 女士及 Stefanos Tsitomeneas 教授及希腊物理学家学会让我在 2008 年

1 月 16-19 日在雅典 Gazi 的 Technopolis “科学与艺术”国际会议上发表“黄金

根及其与几何形状的对称性”文章。

IET Hellas- Apostolos Kokkosis 教授及工程技术学院让我在 2008 年 10 月 30 日在

雅典希腊科技学会上发表“柏拉图三角形的对称性”一文。

特别感谢 CNRS 研究院院长 Stamatios Tzitzis 博士指导我研究柏拉图蒂迈欧篇；

Argyrios Spyridonos 博士，Manolis Mavrogiannakis 博士多年来一起探讨，Giannis

Kandylas 博士,Georgios Mamais 工程博士及 Kyriakos Michos 工程师在 2006 年对

称性会展发表论文提供宝贵意见。Phoebus Symeonides 博士，已故的 Dimitris

Betsios 博士及其他曾参与我的发布会的人士。

感谢洛杉矶加州大学的 Shirley B. Gray 博士，Porto 大学 Paulo Ferreira da Cunha

教授。

必须感谢还有我的希腊拉丁古文化教授，已故的 Leonids Betsios 教授，曾帮助我

审阅早期文章。

最后感谢我已故的父亲，Christos P. Stefanides 船长，在航海中引导我对导航的认

识，对数学及几何的概念性启发，以及日照测量的方法。这些都成为我日后焚膏

继晷不断研究的原动力。

“ Nauta Solus, In Nocte ”




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前言

本书的出版是基于在匈牙利布达佩斯 2006 对称性会展中发布的文章“几何形状的

黄金根对称性”，用意是提出一个新的观念，对柏拉图蒂迈欧篇最美的三角形的

诠释，这个观念在希腊的国际会议中曾两次提出过，希望透过本书能让国际科学

界认识这个理论。

这个三角形的几何形状是基于对柏拉图蒂迈欧篇 54 节数学模型的分析，我对

“ΣΡΙΠΛΗΝ ΚΑΣΑ ΔΤΝΑΜΙΝ” 这个句子的解读是“三次方”而不是现在普遍

解读的“平方根的三倍”。

LIDDEL & SCOTT 字典指出：“数学，根的意思是 καηά μεηαθοράν η εν

γεωμεηρίας λέγεηαι δ., …通常平方根 square 的意思是 καηά δύναμιν , 柏拉图蒂迈

欧 54b, …一个数字的平方根不是一个完美的平方，不尽根，反义词 Μήκος, 柏

拉图泰亚泰德篇 147d.

柏拉图泰亚泰德篇 147d.，柏拉图指出 POWERS (περί δσνάμεων ηι ημίν

Θεόδωρος όδε έγραθε…”) 的基本含义：

“这是塞奥多洛给我们讲的平方根：我们把所有用来代表等边形数、构成这平面

图形的所有相等的边的线段定义为边长，而由正方形边长构成的图形的面积与某

长方形面积相等，我们把作为正方形的边长线段称为平方根，因为这些线段不能

用其他长度的线段来度量，只有用面积与它们边长构成的图形的正方形边长才能

度量。立方体也是一样。”

这里柏拉图“立方体也是一样。” (και περί ηα ζηερεά άλλο ηοιούηον) 一语可以

视为把立方体与根 (“ΔΤΝΑΜΕΙ”) 等同关联 (περί δσνάμεων …όδε έγραθε) 。

柏拉图在国家篇 528B 指出“在讨论平面之后，我们就涉及有运动的。立体的事

物。步骤是从二维度进到三维度，我认为这三个维度是每个具有厚度的事物都有

的。我想它是存在的，但苏格拉底，这个学问似乎还没有被发现。”



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MΤCG




2006 对称性会展

匈牙利布达佩斯



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对称性会展 2006 第一部分进程

摘自：对称性在艺术及科学教育 1,17 章 1-2 节，页 1-208 （2006）

综述

György Darvas

对称性在艺术及科学教育 1,17 章 1-2 节，页 5-6 （2006）

教育方法论，认知

Jan B. Deregowski, P. McGeorge

认知的原因及对称性，寻找答案。 17 章 1-2 节，页 7-20 （2006）

Diane Humphrey

视觉美学上对称性的启示 17 章 1-2 节，页 21-32 （2006）

Takeshi Sugimoto

对称性地学习科技和美学

17 章 1-2 节，页 21-32 （2006）

Douglas Dunham

对称双曲线与艺术教学

V17 章 1-2 节，页 41-50 （2006）

Roza Leikin

对称性对数学老师的重大意义

17 章 1-2 节，页 51-53 （2006）

数学应用

Emil Molnár, Jenö Szirmai

无晶体学

17 章 1-2 节，页 55-74 （2006）

László Vörös

超立方体的对称性三维模式

17 章 1-2 节，页 75-79 （2006）

Szaniszló Bérczi, Sándor Kabai

准晶体微结构到晶体物料

17 章 1-2 节，页 81-88 （2006）

Solomon Marcus

对称现象的根源

17 章 1-2 节，页 89-90 （2006）



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黄金分割

Jay Kappraff

Anne Bulckens 对巴特隆及其比例意义的分析

17 章 1-2 节，页 91-96 （2006）



17 章 1-2 节，页 97-111 （2006）

Tatyna A. Rakcheeva

Pentacanon

17 章 1-2 节，页 113-120 （2006）

Vladimir V. Smolyaninov

黄金对称性

17 章 1-2 节，页 121-139 （2006）

纪念 Y. NE'EMAN：物理对称性

Asao Arai

量子物理学对称性基础及其哲学层面

17 章 1-2 节，页 141-157 （2006）

Laurence I. Gould

爱恩斯坦相对论的对称性概览

17 章 1-2 节，页 158 （2006）

Dezsö Horváth

粒子物理学的对称性及变异

17 章 1-2 节，页 159-174 （2006）

György Darvas

不变性、同一性、相等性

17 章 1-2 节，页 175-192 （2006）

对称性与不对称性在物料科技方面

M. Shinitzky, A.C. Elitzur, Y. Scolnik, U. Cogan, D.W. Deamer

氨基酸的对称性分裂

17 章 1-2 节，页 193-196 （2006）

Michel Petitjean

最小对称性、随机及混沌

17 章 1-2 节，页 197-205 （2006）



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摘要

我的研究和艺术工作在“几何形状的黄金根对称性”的题目下展开，包含圆形、正

方形、三角形、平面、固体、螺旋及对数等的几何形状对称性。它们都统一在黄

金根之下，并与之相关。这些研究将在“对称性会展”中透过海报和演讲等发布，

阐述“对称性是宇宙规律的表现”。

研究的理论是基于我提出对柏拉图蒂迈欧篇组成物质结构的三角形的理解：“最美

的三角形”和“等腰三角形”[蒂迈欧篇，54B]，及“Somatoides”1及“固态的 – 最

美的结合”[蒂迈欧篇，31B，C/32B]，加上我对螺旋线和不同底数的对数的特别

理论。

我特别感兴趣的还有一种鹦鹉螺，其外壳经测量后被发现是和以黄金根为底数的

对数是一致的。黄金根是指黄金比率的平方根。

古希腊用“SYMMETRIA”一词代表对称性，意思是“有尺度的”、“合乎尺度的”、“合

乎比例的”、“具普遍测量性的”、“和谐的”。对称性的概念和宇宙未被创造前的状

态相反，那时神不在场，各种元素[火、气、土、水]是“没有比例”的[alogos]，“没

有尺度的” [ametros]，与其他物质一样只零星存在着。神以“理”和“数”把这种状

态转化为尽可能“最美”和“最好”的，和以前的状态刚好相反。

1 Somatoides，笔者指柏拉图蒂迈欧 31B 原文“凡被创造出来的东西必定是有形体的”，这一形体就是

Somatoides。



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1945 年我生于雅典艾基里奥市，在比雷埃夫斯港口长大。

我在希腊[柏拉图学园]的初高中教育主要是古典文艺和语言，在大学[伦敦和雅典]

主修工程学，包括了很大部分的数学内容。

在与运动、力、能量、电力等学科的持续接触，加上对工程和科学的知识，我发

现有七种基本形态的存在，它们之间相生相连，是构成一个（强大的）功能单元

所必须的，从概念到物质化的过程分别是线、面、单位体积的质量（水的密度/时

间单元）、动量、力、功（能）和电。它们是以空间（长度）的幂为分子和以时

间的幂为分母组成的分数。

L^1 /T^0 , L^2 /T^0 , L^3 /T^1 , L^4 /T^1, L^4 /T^2, L^5 /T^2, L^5 /T^3.

其中长度(L^1 ) 及平面面积(L^2) 是没有时间的(T^0 =1) ，这是一个意识形态

的概念，不是实质的。

下面我引述一些与希腊文化、艺术及几何学相关的资源。大英百科全书（1972 年，

第十册，829 页，希腊建筑）说：“希腊人担负着开创传统形式规范的任务，这些

规范成为以后欧洲建筑的基础。希腊人是有耐心的天才，在创新和为老问题寻找

新解决方法的前进道路上从不偏离，巨细无遗，力臻完美。这一对传统的保守继

承产生了伟大的作品，例如巴特隆神殿和厄瑞克忒翁神庙。

据 THEOPHANIS MANIAS [3, 4]，在很多古迹中表现出希腊的美感和希腊的精

神，不会被时间、死亡、人们的盲目狂热等因素所摧毁。城市和神殿是按照科学

计算和规划而被建造的。古代人的宗教就是信仰绝对的美，而希腊人相信神就是

绝对的美。美学和视觉的美，体现在形状和颜色；声音之美为音乐；伦理之美为

美德；精神之美为好学与求知。人类通过爱，感知和克服所有的美，因为爱是和

谐宇宙的共同组成物质。如今建筑师、设计师、甚至任何与美学和艺术相关的人

都在使用这一可见的和谐美，圆形、方形、等边三角形、六角形，正方体，金字

塔等具有几何形状的美，是肉眼能察觉并感受到的美。古人用宗教的虔诚来研究

这一主题，并发现自然界中存在另一种美。这另一种美，在可见的和谐美之外，

在对称性、类比性和其数学关系上得以呈现，它是隐藏的、不容易被察觉的，如

树叶花瓣的纹理、树枝树干的结构，动物的体型和最为重要的人类的身体特征都



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隐藏着这一种和谐的美，其形状和颜色是优于可见和谐美的。我们发现这种隐性

和谐在希腊文明中随处可见。

EVAGELOS STAMATIS 在希腊数学 1979 年第二版第四册内，陈述

THEOPHANIS MANIAS 对古希腊神殿的研究，发现神殿之间的距离是按照几何

学计算和测量的，并应用了黄金分割比例。EVAGELOS STAMATIS 进一步说明

德国哲学家慕尼黑大学教授 MAX STECK 在“研究与进步期刊”发表的文章认同西

方文明、艺术、工艺及科学都在希腊数学的影响下派生出来，而我们对希腊数学

的知识来自考古学的研究及古人的文学论著上。

MATILA GHYKA [1,2]，在其作品中，详尽说明了黄金分割和几何学与绘画、雕

塑、人脸和身体的结构、动物体型、植物，以及贝壳生物对数螺旋线等的关系。

ROBERT LAWLOR[5]，同样阐述了这些主题，他更指出埃及人在建造金字塔时，

使用了 4/SQR[Phi] (4 除以黄金比率的平方根)，用以代表圆周率 Pi。

MAX TOTH (金字塔的预言，1988 年版)，同样指出这一比率作为一种实用的近似

的形式。他还指出自从希罗多德后的数学家们创建的一个正交三角形模型，其垂

直短边等于一，长的垂直边等于 Phi 的平方根，其斜边等于 Phi (即黄金比例数)。

据 Roger Herz-Fischler [8] 教授说，KEPLER 开普勒也在一封给其前教授

Michael Mastlin 的信中援引了这样的(MAGIRUS 的)三角形。

笔者在创建一个概念性向日采光装置 [图 4] 的过程中，发现太阳最大方位角与

360 度及黄金比率的近似关联性，如最长日照时间在 38 度纬线左右（希腊雅典 6

月 21 日，日出 05:03，日落 19:51，时差=14 小时 48 分=14.8 小时，24 小时/14.8

小时=1.62...）

由于上述种种，驱使我深入探究此一主题和毕达哥拉斯定理、特别是柏拉图的蒂

迈欧篇的关系。蒂迈欧篇让我认识到黄金比率、其分割、数字及其平方根。

在蒂迈欧篇第 53 段，柏拉图谈到四种固体的形状，其种类及构成。分别是火(正

四面体)、土(正六方体)、水(正二十面体)、气(正八面体)。它们是实体和有厚度的。

因厚度而必然包含其平面以及垂直于平面的三角形的边，而所有三角形都是由两

种正交三角形所产生的，即“正交等腰三角形”和“正交非等边三角形”。其中“正交

等腰三角形”只有一种性质，即一个直角和两个 45 度的锐角。“正交非等边三角形”

则有无限的形体，即一个直角和两个加起来是 90 度的任意角度的锐角。



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在这些无限多的三角形内，我们选择了一种“最美的三角形”，即在众多之中，我

们认定一种为“最美的”，而不管其它，例如组成等边三角形的六个锐角分别是 30

度和 60 度的“正交非等边三角形”。 “正交非等边三角形”中，其斜边[笔者的诠释]

等于其水平短边的值[T^1] 的“立方” [T^3]，其垂直长边的值为[T^2]，即短边的

“平方”。

因此，按照毕达哥拉斯定理 [T^3]^2 =[T^2]^2 + [T^1]^2

或 T^6=T^4+T^2

或 T^4 - T^2 - 1 = 0 [ 图 1 及图 2 ]

水平短边的值(T)相等于黄金比率的平方根，其余相连的两边的比率也是等于黄金

根(几何上的比率)，甚至斜边和水平短边的夹角

(Θ=51度49分38秒15..)的正切值也等于黄金根。水平短边与斜边的乘积等于垂直

长边的平方，与此同时，可用毕达哥拉斯定理证得。此三角形的边为无理数，由

四次方程式计算出来。把这个三角形重组一下，我们得到另一个角度一样的，其

垂直长边等于 4，其水平短边等于 4 除以黄金根，且其斜边等于 4 乘以黄金根，

它的余角是(90-Θ) = 38 度 10 分 21 秒 44…。

再者在蒂迈欧篇，柏拉图指“最美的三角形” (54 段) 和 31 及 32 段所谓的创造物

必须是具有形体的(SOMATOIDES)、可见的和可触知的，通过它们四大元素才能

完美地统一结合起来。这一结合内外融合，以最美的形式即比例的自然属性呈现

出来，分析一下这些比例：

火：气 = 气：水及气：水 = 水：土；因此

火：气 = 气：水 = 水：土

笔者认为这些比例可由两对正交不等边三角形的平面设置而成。[一对正交三角形

的边分别是 T^3 , T^2 , T^1；另一对的边是 T^2, T^1 和 1，即四个三角形的

平面基于三个正交笛卡尔坐标轴(X,Y,Z)在空间上融合，我们得到一个固体形状[图

3]，即上述所谓的 SOMATOIDES [固体融合]，其坐标为：

(0,0,0),(0,0,T^2), (T,0,0) ,(0,1/T, 1/T^2 ).

此固体形状，加上其互补体（也是一个固体），构成由两个互相垂直的正交三角

形（一个等腰三角形和一个最美的三角形）为骨干的整体，相等于 1/8 个大金字

塔模型 [G.P. Model]。SOMATOIDES 固体及其互补体的体积比例是黄金根，它

们的体积加起来等于第三个楔子形状的固体，此固体与前两者互补，构成 1/4 个

大金字塔模型。



15

基于以上的四次方程式，运用绘图的知识，可以做出用尺规绘制的黄金根图，其

中黄金分割为[Phi]=[T^2] [图 5]. .http://www.stefanides.gr/gmr.htm

与此三角形关联的圆形、正方形及平行四边形，得到几何的关联性，[图 6 及图 7]

http://www.stefanides.gr/quadrature.htm

http://www.stefanides.gr/corollary.htm 及

[ 图 8 和图 9 ]

http://www.stefanides.gr/piquad.htm , http://www.stefanides.gr/quadcirc.htm]

运用求积法及与对数螺旋线的关系，得到如 [ 图 10, 图 11, 图 12, 图 13 及图18 ] http://www.stefanides.gr/nautilus.htm

http://www.stefanides.gr/why_logarithm.htm

[螺旋的弯曲点可以图形化地用尺规绘制，因为包含幂的级数表达可以一步步使用

正交三角形相同长度的边全部相乘的属性而图像化。]

我们使用四种正多面体的分割面部分即可发现它们之间的关系，即正二十面体和

正八面体；正四面体和正六面体。此外，如我们把正二十面体、正八面体和正四

面体三者的分割面靠拢，得到一个和在正十二面体中找到的相同角度 ε

41.8103149 度=反正切{1/T^4} = 反正切{1/(1.25)的平方根}。[epsilon

41.8103149.Deg.=2*arctan{1/T^4}=arctan{1/sqrt (1.25)}]

从而我们得到正十二面体与其他四种柏拉图正多面体的关系，柏拉图在蒂迈欧篇

视正十二面体为第五种正多面体，是神用它来装饰世界，哲学家们也称之为以太

AETHER。

黄金比率在正十二面体的分割中出现，也在正二十面体中被找到，如图 14 正二十

面体，http://www.stefanides.gr/icosohadron.htm, 以及


http://www.stefanides.gr/gmr.htm

http://www.stefanides.gr/quadrature.htm

http://www.stefanides.gr/corollary.htm

http://www.stefanides.gr/piquad.htm

http://www.stefanides.gr/quadcirc.htm

http://www.stefanides.gr/nautilus.htm

http://www.stefanides.gr/why_logarithm.htm

http://www.stefanides.gr/icosohadron.htm


16

图

用于装饰的柏拉图体 http://www.stefanides.gr/dec_plastic.htm

如图 16 及图 17 求积假设

http://www.stefanides.gr/theo_circle.htm, http://www.stefanides.gr/quad.htm .

结论


http://www.stefanides.gr/dec_plastic.htm

http://www.stefanides.gr/theo_circle.htm

http://www.stefanides.gr/quad.htm


17

通过黄金根我们得到几何结构、对数及螺旋线的关系。总结出来，柏拉图用“最美

的三角形”及其边的类比性与元素（统一定理）相关联，即火/气等于气/水，等于

水/土，等于 T 黄金根。

最后我们使用黄金根的计量 [μέτρον] 或对称性，可以明白柏拉图对所有三角形

都由两种正交三角形（等腰三角形和非等边三角形）所派生出来的陈述。

参考文献



18

1. THE GEOMETRY OF ART AND LIFE ，艺术与生命的几何学

MATILA GHYKA ，DOVER PUBLICATION, INC. NEW YORK 1977.

2. LE NOMBRE D' OR 黄金数字

MATILA C. GHYKA，GALLIMARD 1959.

3. PARTHENON 巴特隆

THEOPHANIS MANIAS，PYRINOS COSMOS 1987.

4. TA AGNOSTA MEGALOURGIMATA TON ARCHAEON ELLINON THEOPHANIS MANIAS PYRINOS COSMOS 1981

5. SACRED GEOMETRY 神圣的几何学

ROBERT LAWLOR，THAMES AND HUDSON 1982.

6. THE MOST BEAUTIFUL TRIANGLE - PLATO'S TIMAEUS 最美的三角

形

P.C.STEFANIDES ，FIRST CONFERENCE OF HISTORY AND

PHILOSOPHY OF ANCIENT GREEK MATHEMATICS 第一届古希腊数

学的历史和哲学会议，MATHEMATICAL SOCIETY RESEARCH

INSTITUTE 2, 3 AND 4 MARCH 1989.

7. GEOMETRIC CONCEPTS IN PLATO–RELATED TO ART 柏拉图的几

何观念 – 艺术方面

P.C. STEFANIDES, DEMOKRITEIO UNIVERSITY, 22-23 and 24 Nov. 1991 CONFERENCE OF THE CHAMBER OF ECASTIC ARTS OF GREECE- XANTHE.

8. Division in EXTREME and MEAN RATIO 中末比分割

ROGER HERZ-FISCHLER

网上参考资料



19

http://curvebank.calstatela.edu/log/log.htm ,

http://www.direito.up.pt/IJI/taxonomy/term/4 [卷 II/III]

http://www.stefanides.gr

附录 A


http://curvebank.calstatela.edu/log/log.htm

http://www.direito.up.pt/IJI/taxonomy/term/4

http://www.stefanides.gr/


20

图 1



21

图 2

B^2，垂直边的平方是短边的三倍

这是普遍对古希腊原文的解读，但笔者认为应该解读作：

短边的立方是斜边的长度，垂直边的长度是短边的平方，

因此，设 A=T，即 B=T^2 及 C=T^3

T 是黄金根，即黄金比率的平方根



22

图 3



23

图 4



24

图 5

尺规表述黄金比率的几何图

1 绘制三角形 MLK 直交三角形

2 以 ML 为直径绘制半圆形

3 以 KL 为半径绘制四分一圆

4 (NL) = (KL) = 1



25

图 6

化圆为方（求积法）的主要定理（以几何的黄金比率 T 为基础）



26

图 7

圆与圆周的关联推论



27

Pi, IRRATIONAL, POSITIVE REAL ROOT OF FOURTH ORDER EQUATION

图 8

四次方公式的圆周率、无理数、正数实根



28

图 8[A]

绘制步骤

1 作正交三角形 ABC 设 x=(HG)……..

2 延长 CA 到 AD = AB 16T = 圆 DKLM 的面积

3 绘制正交三角形 DCE 圆 I 的面积 = A

4 以 CD 为直径作半圆

5 CE 为半径作四分一圆注二：求积条件 DH 是圆 I

6 圆弧的交叉点为 G 圆周的四分一

7 垂直线 GH 到 CD

8 DG 为直径作圆注三：另一正交三角形 CGH

9 以 DH 为半径作弧，在 J 点通过 DG 也适用同样方法

10 在圆 I 作垂直线由 J 到 K

11 DK 作正方形

12 证 GH=Pi



29

图 9

圆的求积法理论定义：

如一弦 DH 的长度是圆周的四分一，则 DKLM 的面积与圆面积相等，DHRS 的周

长与圆周相等。



30

图 10



31

图 10

鹦鹉螺与对数曲线

2001 年 9 月版权所有 Panagiotis Stefanides

矢量 SA = 1∠0

R θ角度的任何向量

由 SA 顺时针为正，逆时针为负

1 曲线非常接近锡罗斯岛的鹦鹉螺壳 2001

2 鹦鹉螺壳的尺寸（分数 10）CDGHJ

3 定理参考：

4 底数（T），对数例子

5 三角形 ABC 的边分别为 T^1 T^2 T^3（最美三角形）

鹦鹉螺壳

图 11



32

图 12



33

图 13



34

图 12

对数的新的理解 A + B = Stephanoid 曲线

A：对应大于 1 数字的对数相量曲线

B：对应小于 1 数字的对数相量曲线

C：底数 e 的相量对数螺旋线

D：底数 T 的相量对数螺旋线

图 13

E：底数 b 的相量对数螺旋线 b=1 圆半径为 1 的螺旋递减

L：螺旋点，E，底数 b，相量 R

注

1 任何 X-Y 平面的点因此可以定义

2 是多值复数

3 是单值实数

4 90 度

5 底数<1 得出数字小于 1 的对数，反之亦然

6 X 是角度θ在 X 轴的代表相量，其长为 SX，为 X 轴的正实数



35

图 14

AD=FC=圆 D 直径

RO=垂直三角形的底线（BC）



36

图 15

装饰性的柏拉图立方体及概念形状



37

图 16

理论圆方求积的预设



38

图 17

圆的二元性量子化



39

图 18

1-3 曲线斜面是正数

4 介于无限小与无限大的值

5-6 曲线斜面是负数



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附录 B

2006 对称会展，匈牙利布达佩斯



43



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The IET Today and Symmetries of the Platonic Triangle

今天的 IET 及柏拉图三角形的对称性

主讲人: Apostolos Kokkosis 教授及 Panagiotis Stefanides

2008 年 10 月 30 日

日程

时间 18.45 抵达

19.00 - 19.30 今天的 IET ，由 Apostolos Kokkosis 教授主讲

19.30 - 20.15 柏拉图三角形的对称性，由 Panagiotis Stefanides, 希腊航天工业经理主讲

地点 TEE (希腊科技学会)

Karageorgis Servias 4 (STOA), Lecture Room 5th floor, Syntagma Square,

雅典 Athens

今天的 IET 介绍，成为会员的条件 MIET, CEng, IEng, Eng. Technician

之后

讲座：Panagiotis Stefanides, EMC Hellas SA 标准及认证主管, 题目： “柏拉图三角形的对称性” 四种基本

形状的三角形及其组合



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后记

自传

Panagiotis Chr. Stefanides


希腊科技学会退休名誉会员

1945 年 1 月 5 日, 生于雅典艾基里奥市

学历及专业：

[2002] 注册工程师 (英国),

[2002] IEE[IET] 会员

[1997] Cranfield 大学审计主管

[1977] 希腊科技学会会员

[1975] 雅典科技大学电机工程师

[1974] 伦敦大学机电工程师

专业经验:

1978 – 2010 年 6 月 30 日 [HAI]

电磁互补性，标准认证主管，EMC Hellas SA, HAI 附属

研究发展部工程师主管，认证及测试电子系统

工程质量工程师主管 HAI 质量审计员

M53P2 工程喉管方法组主管，SNECMA- HAI 企业, 管理工程方法组

工程测试及配件主管

工程电力配件主任

1978-1974

G.E., 雅典代表，销售部工程师/副经理

德克萨斯州大陆电力 EDOK-ETER 工程公司在沙地阿拉伯 2MW 电力传输装置项目

Chandris 船厂工程师，船只维修主管, Salamis 群岛

训练:

公共电力集团 [希腊], Sizewell 核电厂 [英国], Oceangoing Steamship [S/S Chelatros] 及船

只导航 [对空, 无线, 岸上] “Kassos” 船厂有限公司 [R&K 伦敦].

发表、出版、会议、奖项:

http://www.stefanides.gr/Pdf/CV_STEFANIDES.pdf http://www.stefanides.gr

最新的文章在 MEDPOWER 2008 [IET] Thessaloniki [2008 年 11 月 2-5 日] 题为:

“足够电磁互补性水平下设备的适应性” 标准认证主管，EMC Hellas SA, HAI 附属 [HAI] 2-4,

Messsogion Ave[Athens Tower], 11527 雅典

http://medpower08.com/data/General%20Programme.pdf http://www.youtube.com/pstefanides#g/u


http://www.stefanides.gr/Pdf/CV_STEFANIDES.pdf

http://www.stefanides.gr/

http://medpower08.com/data/General%20Programme.pdf

http://www.youtube.com/pstefanides#g/u


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PRE-PUBLICATION * SECOND EDITION - TRANSLATION IN CHINESE

Author Panagiotis Ch. Stefanides

Translator: Bernard Ip , BA (NCU Taiwan); Head Teacher, Siwei Vocational Training

School, Zhuhai, China

译者：叶峰（台湾政治大学文学士），中国珠海四维职业培训学校主任导师


GOLDEN ROOT SYMMETRIES OF GEOMETRIC FORMS-PREPUBLICATION SECOND EDITION OF TRANSLATION IN CHINESE

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Transcript of GOLDEN ROOT SYMMETRIES OF GEOMETRIC FORMS-PREPUBLICATION SECOND EDITION OF TRANSLATION IN CHINESE