Georgios Pachymeres, reader of Nicomachus: The arithmetical theory of ratios as a means for solving...

Ο Γεώργιος Παχυμέρης αναγνώστης του ΝικομάχουΗ αριθμητική θεωρία των λόγων ως εργαλείο για την επίλυση

προβλημάτων

Αθανασία Μεγρέμη και Γιάννης Χριστιανίδης

Περίληψη Η θεωρία των λόγων αποτελεί ένα από τα κατrsquo εξοχήν χαρακτηριστικά γνωρίσματα της αρχαίας ελληνικής μαθηματικής παράδοσης Παρά την αδιαμφισβήτητη θέση της στην αρχαία και μεσαιωνική αριθμητική θεωρία δεν έχει ως τώρα προταθεί καμία ερμηνεία που να εντάσσει την αριθμητική θεωρία των λόγων σε ένα γενικότερο πλαίσιο αριθμητικής πρακτικής Στην παρούσα εργασία προτείνεται μια μη συμβατική οπτική για την απάντηση ενός φαινομενικά συμβατικού ερωτήματος μπορεί κανείς να διατυπώσει μια υπόθεση εργασίας με έμφαση στην πρακτική διάσταση της αριθμητικής θεωρίας των λόγων Θα υποστηρίξουμε ότι το lsquoδιοφαντικόrsquo τμήμα του βιβλίου της Αριθμητικής της Τετραβίβλου του Γεωργίου Παχυμέρη προσφέρει ένα τέτοιο παράδειγμα

Abstract Ratio theory is one of the main characteristics of Greek Mathematics Though highly appreciated and studied throughout ancient late antique and medieval theoretical arithmetical traditions (having as a starting point the Arithmetic introduction by Nicomachus of Gerasa) there has never been proposed that the arithmetical theory of ratios could be viewed in the context of arithmetical practice In the present paper we propose an apparently unconventional context so as to answer a rather conventional question could it be possible to produce a case study where the theory of ratios is studied through the prism of a certain practicality We will argue that the lsquodiophantinersquo arithmetical part found in Georgius Pachymeresrsquo Quadrivium provides us with such a case study

bull

Η ΑΘΑΝΑΣΙΑ ΜΕΓΡΕΜΗ είναι υποψήφια διδάκτωρ του Τμήματος Μεθοδολογίας Ιστο-ρίας και Θεωρίας της Επιστήμης (ΜΙΘΕ) του Πανεπιστημίου Αθηνών

Ο ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΔΗΣ είναι Καθηγητής του Τμήματος Μεθοδολογίας Ιστορί-ας και Θεωρίας της Επιστήμης (ΜΙΘΕ) του Πανεπιστημίου Αθηνών μέλος του Centre Alexandre Koyreacute (CNRS ndash EHESS ndash MNHN) του Παρισιού και μέλος της Διεθνούς Επι-τροπής Ιστορίας των Μαθηματικών (ICHM)

Μια πρώτη εκδοχή του παρόντος άρθρου παρουσιάστηκε υπό τον τίτλο laquoLa lecture de Nicomaque par Georges Pachymegravere La theacuteorie arithmeacutetique des rapports comme moyen pour reacutesoudre des problems arithmeacutetiquesraquo στο συμπόσιο με θέμα laquoPratiques algorithmiques dans les matheacutematiques preacute-algeacutebriquesraquo Paris 4ndash7 Mars 2014

ΝΕΥΣΙΣ 22 (2014) 53-86

ΑΘΑΝΑΣΙΑ ΜΕΓΡΕΜΗ amp ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΔΗΣ54

1 Εισαγωγή

Ο Νικόμαχος ο Γερασηνός και ο Γεώργιος Παχυμέρης είναι συγγραφείς που έζησαν σε δύο εποχές τις οποίες χωρίζουν περισσότεροι από δώδεκα αιώνες

Ο Νικόμαχος έζησε τον 2ο μΧ αι και καταγόταν από την πόλη Γέρασα της ρωμαϊκής Συρίας Ελάχιστες πληροφορίες διασώζονται για τον ίδιο και τη ζωή του εκτός από τη φήμη του στον αρχαίο κόσμο ως επιδέξιου μαθηματικού Είναι γνωστός στην ιστορία της επιστήμης κυρίως για το έργο του Αριθμητική εισαγωγή το οποίο άσκησε μεγάλη επίδραση στην αριθμητική παιδεία όλων των παραδόσεων που ήρθαν σε επαφή μαζί του ανατολικών και δυτικών (ελληνικών αραβικών εβραϊκών λατινικών) Ο Παχυμέρης γεννήθηκε το 1242 στη Νίκαια της Βιθυνίας (πέθανε μετά το 1308 στην Κωνσταντινούπολη) και είναι ένας από τους γνωστότερους λογίους της lsquoπαλαιολόγειας αναγέννησηςrsquo1 Σημαντικότερο έργο του θεωρείται το πολύτομο Συγγραφικαί ιστορίαι2 στην ιστορία της επιστήμης ωστόσο κατέχει μια θέση ως συγγραφέας της Τετραβίβλου ή αλλιώς του Συντάγματος των τεσσάρων μαθημάτων (αριθμητικής μουσικής αστρονομίας και γεωμετρίας) ενός quadrivium δηλαδή το οποίο σώζεται ολόκληρο και είναι μάλιστα το μόνο του μεγέθους του που επιζεί από τα βυζαντινά quadrivia Έχει επισημανθεί επανειλημμένως ότι η Αριθμητική εισαγωγή επηρέασε σημαντικά τα διάφορα quadrivia που συντάχθηκαν κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα καθορίζοντας την ύλη και τη μορφή του κεφαλαίου της Αριθμητικής μεταξύ αυτών και το quadrivium του Παχυμέρη Όμως για το κεφάλαιο περί Αριθμητικής ο Παχυμέρης χρησιμοποίησε και άλλες πηγές εκτός από τον Νικόμαχο τα Στοιχεία του Ευκλείδη και τα Αριθμητικά του Διοφάντου έργα τα οποία τόσο από άποψη περιεχομένου όσο και μορφολογικά διαφέρουν από το έργο του Νικομάχου Στην παρούσα μελέτη θα εξετάσουμε τη συγγένεια των προαναφερθέντων έργων του Νικομάχου και του Παχυμέρη σε ένα πολύ συγκεκριμένο πεδίο αυτό της πραγμάτευσης των λόγων Μία επιπλέον πλευρά της συσχέτισης αυτής θα αναδειχθεί όπως θα δούμε από την επιλογή του Παχυμέρη να εντάξει ύλη από τα Αριθμητικά του Διοφάντου στο βιβλίο της Αριθμητικής της Τετραβίβλου

Για την επίτευξη του στόχου αυτού θα ακολουθήσουμε την εξής ανάπτυξη Πρώτον θα παρουσιάσουμε συνοπτικά τη δομή και το περιεχόμενο της Αριθμητικής εισαγωγής εστιάζοντας ιδιαίτερα στα περιεχόμενα που μας αφορούν δεύτερον θα εξετάσουμε πώς τα ίδια περιεχόμενα εκτίθενται στο έργο του Παχυμέρη και τρίτον θα επιχειρήσουμε να ερμηνεύσουμε τα δεδομένα αυτά θέτοντας και

1 Ο χαρακτηρισμός lsquoπαλαιολόγεια αναγέννησηrsquo αποδίδεται στην περίοδο μετά την ανάκτηση της Κωνσταντινούπολης από τους Βυζαντινούς το 1261 και μέχρι τις αρχές του 15ου αιώνα Στην περίοδο αυτή οι επιστήμες τα γράμματα και συνολικότερα η παιδεία αλλά και οι τέχνες γνωρίζουν εκρηκτική άνθιση

2 Για έναν λεπτομερή κατάλογο των έργων του Παχυμέρη βλ λχ P Golitsis laquoGeorg-es Pachymegravere comme didascale Essai pour une reconstitution de sa carriegravere et de son en-seignement philosophiqueraquo Jahrbuch der Oumlsterreichischen Byzantinistik 58 (2008) 53ndash68

Ο ΓΕΏΡΓΙΟΣ ΠΑΧΥΜΕΡΗΣ ΑΝΑΓΝΏΣΤΗΣ ΤΟΥ ΝΙΚΟΜΑΧΟΥ 55

συζητώντας ένα πολύ συγκεκριμένο ερώτημα αναφορικά με τη χρήση των λόγων και της θεωρίας τους στην επίλυση αριθμητικών προβλημάτων Ας πάρουμε όμως τα πράγματα με τη σειρά

2 Η Αριθμητική εισαγωγή του Νικομάχου

21 Το έργο και η επίδρασή του

Ο Νικόμαχος υπήρξε εξέχων εκπρόσωπος του επονομαζόμενου στη σύγχρονη βιβλιογραφία ρεύματος των laquoνεοπυθαγορείωνraquo κατά την Ύστερη Αρχαιότητα των φιλοσόφων εκείνων δηλαδή που θεωρούσαν ότι η φιλοσοφία αφορμάται από τις πυθαγόρειες αρχές και προσπάθησαν να αναδείξουν τα πυθαγορικά στοιχεία στη σύγχρονή τους φιλοσοφική σκέψη Όπως αναφέρθηκε δεν διασώζονται πληροφορίες για τη ζωή του και τα όποια βιογραφικά στοιχεία μπορούν να συναχθούν μόνο εμμέσως3 Με σχετική βεβαιότητα λοιπόν μπορούμε να πούμε ότι ο Νικόμαχος καταγόταν από την πόλη Γέρασα της ρωμαϊκής Συρίας (σημερινή πόλη Jarash της Ιορδανίας) η περίοδος της ζωής του τοποθετείται ανάμεσα στα μέσα του 1ου και στα μέσα του 2ου μΧ αι και αν κρίνουμε από τη ρήση laquoἀριθμέεις ὡς Νικόμαχος ὁ Γερασηνόςraquo την οποία εκφωνεί ένας από τους χαρακτήρες του διαλόγου Φιλόπατρις ή Διδασκόμενος4 φημιζόταν ως επιδέξιος μαθηματικός Δυστυχώς τίποτα δεν είναι γνωστό αναφορικά με το πού μαθήτευσε και πού δίδαξε ο Νικόμαχος

Καθιερωμένη αρχή για την πυθαγόρεια φιλοσοφία αποτελούσε η πεποίθηση ότι τα laquoτέσσερα μαθήματαraquo (Αριθμητική Γεωμετρία Μουσική Αστρονομία) αποτελούσαν το πρώτο σκαλοπάτι κάθε σοβαρής προσπάθειας προσέγγισης της φιλοσοφίας Κατά συνέπεια όποιος ήθελε να ακολουθήσει τη ζωή του φιλοσόφου θα έπρεπε να έχει κατrsquo αρχήν άρτια γνώση των τεσσάρων αυτών επιστημών5 για

3 Βλ L Taraacuten laquoNicomachus of Gerasaraquo Complete Dictionary of Scientific Biography 2008 (httpwwwencyclopediacom)

4 Ο διάλογος αυτός παραδίδεται ως έργο του σοφιστή του 2ου μΧ αι Λουκιανού (βλ M D Macleod (ed) Lucian τ VIII sect 125 Cambridge Mass Harvard Universi-ty Press 1967) Σήμερα πιστεύεται ότι ο Φιλόπατρις δεν είναι έργο του Λουκιανού αλλά έργο που γράφηκε από άγνωστο Βυζαντινό συγγραφέα ο οποίος μιμείται το ύφος και την τεχνοτροπία του Λουκιανού (βλ K Snipes laquoLucianraquo The Oxford Dictionary of Byzantium τ 2 σ 1255 Oxford Oxford University Press 1991)

5 Χρησιμοποιούμε τον όρο rsquoεπιστήμηrsquo με τον τρόπο που τη χρησιμοποιεί ο Νικόμα-χος Σύμφωνα με τον Νικόμαχο επιστήμη είναι η εμβριθής αλλά και εξειδικευμένη γνώση των όντων Κατά συνέπεια lsquoεπιστήμεςrsquo ονομάζει τις τέσσερεις γνωστικές περιοχές οι οποίες είναι laquoἐπιστῆμαι [hellip] πεπερασμένωνraquo Βλ R Hoche (ed) Nicomachi Geraseni Pythago-rei Introductionis Arithmeticae libri II Leipzig Teubner 1866 σ 55 Στο εξής οι αναφορές


να μπορέσει στη συνέχεια να περάσει στη βαθύτερη μελέτη της φιλοσοφίας Σε αυτή τη λογική στηρίχθηκε και η σύλληψη του νεοπλατωνικού lsquoεκπαιδευτικού ιδεώδουςrsquo η οποία προϋπέθετε στην αρχή των ανώτατων σπουδών τη στοιχειώδη σύμφωνα με τα δεδομένα της εποχής γνώση των τεσσάρων μαθηματικών επιστημών προκειμένου στη συνέχεια να εμβαθύνει στη μελέτη του έργου του Αριστοτέλη και τέλος του Πλάτωνα

Σημαντική συνεισφορά του έργου του Νικομάχου όπως το μαρτυρούν οι πηγές της Ύστερης Αρχαιότητας υπήρξε η μεταφορά και διάδοση της πυθαγόρειας παράδοσης Σε πολύ μεγάλο βαθμό θεωρείται ότι απηχεί τις παραδοσιακές αρχές της πυθαγόρειας σκέψης Συγκεκριμένα η Αριθμητική εισαγωγή έργο που μεταφέρει τις αρχές της πυθαγόρειας αριθμητικής άσκησε σημαντική επιρροή τόσο στην εποχή που γράφηκε όσο και κατά τους αιώνες που ακολούθησαν έως και την Αναγέννηση Οι εκλαϊκευμένες συνόψεις του έργου που κυκλοφόρησαν τον 5ο και τον 6ο αι από τον Μαρτιανό Καπέλλα (Martianus Minneus Felix Capella ήκμ τον 5ο αι)6 και τον Κασσιόδωρο (Flavius Magnus Aurelius Cassiodorus περ 490ndash585)7 αντιστοίχως αποτέλεσαν τη βάση για κάθε εγκυκλοπαιδικό έργο περί των lsquoελευθερίων τεχνώνrsquo τουλάχιστον μέχρι τον 14ο αιώνα Κάθε μεσαιωνικό quadrivium περιείχε ένα μέρος που αφορούσε στην Αριθμητική τη θεωρία των αριθμών δηλαδή βασισμένο στην Αριθμητική εισαγωγή ακριβέστερα στην παράφραση του έργου από τον Βοήθιο (περ 480ndash524525) η οποία υπήρξε η βάση σχεδόν κάθε βιβλίου Αριθμητικής στη Δυτική Ευρώπη για πολλούς αιώνες8 Αλλά και στο Ισλάμ η επιρροή του έργου του Νικομάχου υπήρξε σημαντική όπως θα φανεί στη συνέχεια

Αντίθετα με τη φήμη και την επιρροή που άσκησε η Αριθμητική εισαγωγή κατά την Αρχαιότητα και τον Μεσαίωνα η νεότερη ιστοριογραφία έχει μεταφέρει για τον συγγραφέα και το έργο μια εικόνα που καθιστά την ιστορική τους αξία αμφισβητήσιμη Ακόμη και σήμερα μελετητές της ιστορίας των Μαθηματικών αλλά και μελετητές της ιστορίας της Φιλοσοφίας αντιμετωπίζουν κατά κανόνα την Αριθμητική εισαγωγή ως έργο παρωχημένο και στερούμενο lsquoκαινοτομίαςrsquo και lsquoέμπνευσηςrsquo τόσο για τα Μαθηματικά όσο και για τη Φιλοσοφία Ειδικά όσον αφορά στα Μαθηματικά την καθιερωμένη άποψη για τον Νικόμαχο και την Αριθμητική εισαγωγή τη διερμηνεύει με τον καλύτερο ίσως τρόπο ο T L Heath στην παρακάτω περικοπή

στην έκδοση Hoche θα γίνονται αναφέροντας μόνο τον αριθμό σελίδας και τους στίχους6 Martianus Capella Martianus Capella and the Seven Liberal Arts vol II The mar-

riage of Philology and Mercury translated by W H Stahl R Johnson E L Burge New York and Oxford Columbia University Press 1977

7 Cassiodorus Institutions of Divine and Secular Learning and On the Soul translated by J W Walporn and M Vessey Liverpool Liverpool University Press 2004

8 Boegravece Institution arithmeacutetique texte eacutetabli et traduit par J-Y Guillaumain Paris Les Belles Lettres 1995


Ο Νικόμαχος ο οποίος στην πραγματικότητα δεν ήταν μαθηματικός προόριζε πιθανώς την Εισαγωγή του όχι για επιστημονική πραγματεία αλλά για μια εκλαϊκευτική έκθεση του αντικειμένου προορισμένη να αφυπνίσει στον αρχάριο το ενδιαφέρον για τη θεωρία αριθμών κάνοντάς τον κοινωνό των πιο αξιοσημείωτων αποτελεσμάτων που είχαν ως τότε βρεθείmiddot όσον αφορά στις αποδείξεις των περισσότερων από τις προτάσεις του θα μπορούσε να ανατρέξει στον Ευκλείδη και χωρίς αμφιβολία σε άλλες πραγματείες που σήμερα είναι χαμένες Το στυλ του βιβλίου επιβεβαιώνει αυτήν την υπόθεσηmiddot είναι ρητορικό και χαρακτηρίζεται από έντονες υπερβολέςmiddot οι ιδιότητες των αριθμών παρουσιάζονται σαν να είναι θαυμάσιες ακόμα δε και θαυμαστέςmiddot οι πιο προφανείς σχέσεις μεταξύ των αριθμών διατυπώνονται με πομπώδη γλώσσα πολύ κουραστική στην ανάγνωση Τον Νικόμαχο τον ενδιέφερε περισσότερο η μυστική παρά η μαθηματική πλευρά της θεωρίας αριθμών Αν απαλείψει κανείς την πολυλογία το μαθηματικό περιεχόμενο μπορεί να διατυπωθεί σε πολύ μικρό χώρο Λίγα πράγματα από το βιβλίο είναι πρωτότυπα ή ακόμα και τίποτα και εκτός από μερικούς ορισμούς και εκλεπτύνσεις στην ταξινόμηση η ουσία του είναι προφανές ότι ανάγεται στους πρώιμους Πυθαγορείους Η επιτυχία του είναι δύσκολο να εξηγηθεί εκτός αν υποθέσουμε ότι διαβαζόταν κατά πρώτο λόγο από φιλοσόφους παρά από μαθηματικούς9

Όμως αν ένα έργο θεωρείται σημαντικό από τους συγχρόνους του τότε καθήκον του ιστορικού είναι να προσπαθήσει να το κατανοήσει με βάση τα δικά τους κριτήρια και τη νοοτροπία της εποχής Υπό το πρίσμα αυτό και σε μια προσπάθεια να επανεξετάσουμε τον Νικόμαχο και το έργο του από την άποψη μιας σύγχρονης ιστοριογραφικής προσέγγισης και επίσης επιχειρώντας να αποκαταστήσουμε ως ένα σημείο μια στρεβλή εικόνα για τη συμβολή τους στην ιστορία θα παρουσιάσουμε μερικά στοιχεία για τον ιστορικό ρόλο της Αριθμητικής εισαγωγής και στη συνέχεια θα προχωρήσουμε σε μια σύντομη περιγραφή των περιεχομένων της

Χαρακτηριστικό της εκτίμησης που έτρεφαν οι άνθρωποι της Ύστερης Αρχαιότητας για το πρόσωπο και το έργο του Νικομάχου είναι το γεγονός ότι η Αριθμητική εισαγωγή μεταφράστηκε ήδη από τα τέλη του 2ου αι στα Λατινικά από τον Απουλήιο (Lucius Apuleius περ 124ndash170) Αν και αυτή η μετάφραση δεν διασώζεται ίχνη της βρίσκουμε στα έργα του Μαρτιανού Καπέλλα και του Κασσιόδωρου που μνημονεύθηκαν προηγουμένως Το έργο μεταφράστηκε όπως είπαμε εκ νέου στα Λατινικά τον 6ο μΧ αιώνα από τον Βοήθιο μια μετάφραση σε συντετμημένη μορφή (ακριβέστερα θα την χαρακτηρίζαμε μάλλον ως lsquoεπιλεκτική παράφρασηrsquo) η οποία όπως επίσης σημειώσαμε αποτέλεσε τη βάση για την αριθμητική παιδεία της Δυτικής Ευρώπης μέχρι την Αναγέννηση Στον ελληνικό κόσμο της Ύστερης

9 T L Heath A History of Greek Mathematics Oxford Clarendon Press 1921 τ 1 σ 98ndash99


Αρχαιότητας γνωρίζουμε ότι η Αριθμητική εισαγωγή σχολιάστηκε εκτενώς κατά τον 6ο αιώνα και αργότερα Σήμερα διασώζονται τουλάχιστον τέσσερα σχόλια στην Αριθμητική εισαγωγή στα Ελληνικά Τα δύο ανήκουν στο περιβάλλον της σχολής της Αλεξάνδρειαςmiddot πρόκειται για τα σχόλια του Ασκληπιού του Τραλλιανού10 και του Ιωάννη του Φιλοπόνου11 Τα άλλα δύο είναι βυζαντινές διασκευές του 14ου αιώνα οι οποίες στα χειρόγραφα αποδίδονται και οι δύο στον Ιωάννη Φιλόπονο Η ταυτοποίηση των λογίων που επιμελήθηκαν τις διασκευές αυτές είναι εξαιρετικά δύσκολη αν και ο P Tannery έχει κάνει μια προσπάθεια να αποδώσει τη μία εκδοχή στον Ισαάκ Αργυρό (περ 1310ndash1371) και την άλλη στον Αρσένιο Ολβιόδωρο (τέλη 14ου αρχές 15ου αιώνα) Ανεξαρτήτως της βασιμότητας της υπόθεσης του Tannery αυτό που είναι βέβαιο είναι ότι και οι δύο εκδοχές έχουν σαν βάση και αφετηρία το σχόλιο του Φιλοπόνου12 Εκτός από τα σχόλια κατά την Ύστερη Αρχαιότητα παρήχθησαν και άλλα έργα που συνδέονται με την Αριθμητική εισαγωγή πρόκειται για το Περί της Νικομάχου Αριθμητικής του Ιαμβλίχου13 και το Εγχειρίδιον Αριθμητικής εισαγωγής του Δομνίνου του Λαρισσαίου14

Γνωρίζουμε επίσης ότι η Αριθμητική εισαγωγή μεταφράστηκε από τα Ελληνικά στα Συριακά κατά τη διάρκεια του 8ου μΧ αι και ότι απrsquo αυτά έγινε η πρώτη μετάφρασηπαράφραση του έργου στα Αραβικά στα τέλη του ίδιου αιώνα15 Ακολούθησαν και άλλες μεταφράσεις στα Αραβικά και στα Εβραϊκά κατά τον 9ο αιώνα στην Ευρώπη και την Ασία με πλέον διαδεδομένη αυτή του Thabit ibn Qurra16 Θα μπορούσε κανείς να διακρίνει στη μεταφραστική παράδοση της

10 Asclepius of Tralles Commentary to Nicomachusrsquo Introduction to Arithmetic ed-ited with an introduction and notes by L Taraacuten Philadelphia Transactions of the American Philosophical Society vol 59 part 4 1969

11R Hoche (ed) Ιωάννου Γραμματικοῦ Αλεξανδρέως (τοῦ Φιλοπόνου) Εἰς τὸ πρῶτον τῆς Νικομάχου ἀριθμητικῆς εἰσαγωγῆς Leipzig Teubner 1864middot R Hoche (ed) Ιωάννου Γραμματικοῦ Αλεξανδρέως τοῦ Φιλοπόνου Εἰς τὸ δεύτερον τῆς Νικομάχου ἀριθμητικῆς εἰσαγωγῆς Berlin S Calvary 1868

12 Asclepius of Tralles Commentary to Nicomachusrsquo Introduction to Arithmetic σ 613 Jamblique In Nicomachi arithmeticam introduction texte critique traduction

franccedilaise et notes de commentaire par N Vinel Pisa amp Roma Fabrizio Serra editore 2014 (Mathematica Graeca Antiqua 3) Μέχρι πρόσφατα το έργο αυτό είχε ερμηνευθεί εσφαλμένα ως σχόλιο του Ιαμβλίχου στην Αριθμητική εισαγωγή

14 Domninus of Larissa Encheiridion and spurious works introduction critical text english translation and commentary by P Riedlberger Piza amp Roma Fabrizio Serra edi-tore 2013 (Mathematica Graeca Antiqua 2) To Εγχειρίδιον του Δομνίνου αποτελεί μια περιεκτική έκθεση των περιεχομένων της Αριθμητικής εισαγωγής αν και δεν είναι σίγουρο ότι στοχεύει να αναδείξει το έργο του Νικομάχου

15 Για την ευρωπαϊκή αραβική και εβραϊκή παράδοση βλ M Zonta amp G Freuden-thal laquoNicomachus of Gerasa in Spain circa 1100 Abraham bar Hiyyarsquos Testimonyraquo Aleph 92 (2009) 189ndash224 Για την ασιατική αραβική παράδοση βλ S Brentjes laquoUntersuchun-gen zum Nicomachus Arabusraquo Centaurus 30 (1987) 212ndash239

16 M Zonta amp G Freudenthal laquoNicomachus of Gerasa in Spain circa 1100raquo σ 190


Αριθμητικής εισαγωγής στα Αραβικά και τα Εβραϊκά δύο κεντρικούς άξονες τις μεταφράσεις που έγιναν γύρω στον 9ο μΧ αι στα Αραβικά στην Ανατολή και τις μεταφράσεις που έγιναν στη Δύση από τα Αραβικά στα Εβραϊκά κατά τον 11ο αιώνα Η κατεξοχήν μετάφραση που διαδόθηκε στη Δύση ήταν η μετάφραση του Abraham bar Hiyya περί το 1100 στα Εβραϊκά η οποία αποτελεί άμεση μετάφραση από τα Αραβικά ενώ παράλληλα υπήρχε και η μετάφραση από τα Ελληνικά στα Αραβικά του Thabit ibn Qurra η οποία ήταν καθιερωμένη ως η κατεξοχήν αραβική μετάφραση του νικομάχειου έργου σε μη ευρωπαϊκό έδαφος17

Σήμερα γνωρίζουμε την Αριθμητική εισαγωγή μέσω της έκδοσης του έργου που έκανε ο Richardus Hoche το 1866 στις εκδόσεις Teubner της Λειψίας18 Ο Ηοche υποστηρίζει ότι η δουλειά του απέχει από το να είναι ολοκληρωμένη μιας και όπως αναφέρει δεν έχει λάβει υπrsquo όψιν του έργα που έχουν σχέση με την Αριθμητική εισαγωγή συγκεκριμένα το σχόλιο του Ασκληπιού του Τραλλιανού και τη μετάφραση του Thabit ibn Qurra19 Προσθέτουμε ότι η έκδοσή του βασίζεται μόνο σε επτά χειρόγραφα που φυλάσσονται σε βιβλιοθήκες στη Γερμανία ενώ αν ανατρέξει κανείς στην ηλεκτρονική βάση Pinakes (httppinakesirhtcnrsfr) θα διαπιστώσει ότι τα σωζόμενα χειρόγραφα της Αριθμητικής εισαγωγής είναι περισσότερα από ογδόντα Γίνεται φανερό λοιπόν ότι μια σύγχρονη κριτική έκδοση της Αριθμητικής εισαγωγής θα ήταν βαρύνουσας σημασίας για την περαιτέρω μελέτη του έργου

22 Τα περιεχόμενα της Αριθμητικής εισαγωγής

Όπως έχει ήδη αναφερθεί η Αριθμητική εισαγωγή είναι ένα έργο Αριθμητικής με την έννοια της θεωρητικής αριθμητικής και όχι της υπολογιστικής αριθμητικής την οποία οι αρχαίοι Έλληνες ονόμαζαν laquoλογιστικήraquo Αναφέρεται δηλαδή στις ιδιότητες και τα είδη των αριθμών στις μεταξύ τους σχέσεις και σε κάποιον βαθμό στην οντολογία τους Αναφέρεται επίσης στην ίδια την Αριθμητική ως γνωστικό αντικείμενο Κατά την πυθαγόρεια κατάταξη των επιστημών η Αριθμητική είναι φύσει προτέρα των επιστημών διότι αντικείμενό της είναι ο αριθμός που σύμφωνα με τη θεμελιώδη φιλοσοφική αντίληψη της σχολής αποτελεί τη βάση κάθε επιστήμης Αντικείμενο της Αριθμητικής είναι επίσης οι συστατικές έννοιες της αριθμητικής γνώσης όπως είναι το άπειρο και το πεπερασμένο το μέγεθος και η ποσότητα η σχέση του ενός προς άλλο η ισότητα και η ανισότητα η ταυτότητα και η ετερότητα η ευταξία και η γένεση Κατά τον Νικόμαχο η Αριθμητική έχει σαν αντικείμενο τα είδη του lsquoποσούrsquo Το lsquoποσόνrsquo με τη σειρά του εκφράζεται από τους αριθμούς όπου ως αριθμός νοείται ένα ορισμένο πλήθος μονάδων Οι ιδιότητες των αριθμών πάλι

17 M Zonta amp G Freudenthal laquoNicomachus of Gerasa in Spain circa 1100raquo σ 193ndash194

18 R Hoche (ed) Nicomachi Geraseni Pythagorei Introductionis Arithmeticae libri II 19 R Hoche (ed) Nicomachi Geraseni Pythagorei Introductionis Arithmeticae σ ix


μπορούν να μελετηθούν είτε αν εξετάσουμε τους αριθμούς καθrsquo εαυτούς είτε αν τους εξετάσουμε τον έναν σε σχέση με κάποιον άλλο Όπως σημειώνει και ο ίδιος ο Νικόμαχος το έργο θα είναι πολύ χρήσιμο σε όσους το διαβάσουν διότι έτσι θα ξεκινήσουν την lsquoοδόrsquo της φιλοσοφίας Τονίζει τον εισαγωγικό χαρακτήρα του έργου αναφέροντας σε αρκετά σημεία ότι δεν θα προχωρήσει σε περαιτέρω ανάλυση καθώς ότι έχει πει αρκεί ως laquoπρώτη εισαγωγήraquo20 Από τον Φιλόπονο μαθαίνουμε ότι το συγκεκριμένο έργο ονομάζεται laquoεισαγωγήraquo γιατί προετοιμάζει το έδαφος για τα laquoμεγάλα Αριθμητικάraquo ή αλλιώς τα Θεολογούμενα της αριθμητικής21

Το έργο αποτελείται από δύο βιβλία Τα βιβλία έχουν χωριστεί σε κεφάλαια πιθανότατα από τους σχολιαστές του έργου μιας και ο Νικόμαχος ουδέποτε αναφέρεται σε κεφάλαια ενώ κάνει σαφώς λόγο για πρώτο και δεύτερο βιβλίο Τα πρώτα έξι κεφάλαια αποτελούν τη φιλοσοφική θεμελίωση του έργου Αμέσως μετά ο Νικόμαχος περνά στην εξέταση των αριθμών εξετάζοντας αρχικά τους αριθμούς ως laquoκαθ᾽ αὑτούςraquo (στα κεφάλαια 7ndash17) και στη συνέχεια ως laquoπρός τιraquo (στα κεφάλαια 18ndash23 του πρώτου βιβλίου και 1ndash5 του δεύτερου βιβλίου) Θα εξετάσει λοιπόν τα είδη του αρτίου τα είδη του περιττού τους τέλειους υπερτελείς και ελλιπείς αριθμούς τα είδη των πολυγώνων αριθμών αλλά θα αναπτύξει και τη θεωρία των λόγων και τις αναλογίες Θα δώσει λεπτομερή παραδείγματα για όλα τα παραπάνω αλλά εκτός αυτού θα παρουσιάσει και τεχνικές μέσω των οποίων ο αναγνώστης του έργου θα μάθει τη laquoγένεσήraquo τους (πώς παράγονται) το laquoχύμαraquo τους (την ακολουθία τους) και την laquoευταξίαraquo τους (τον τρόπο με τον οποίο σχετίζονται μεταξυ τους τον οποίο μπορούμε να αντιληφθούμε πχ εξετάζοντας τον τρόπο γένεσής τους) Μέσω της διεξοδικής περιγραφής του ο Νικόμαχος επιτυγχάνει όχι απλώς να μας εκθέσει το υλικό που θεωρεί απαραίτητο ως πρώτη εισαγωγή στην Αριθμητική αλλά και να μας εκπαιδεύσει σχετικά με τις μαθηματικές και φιλοσοφικές έννοιες που θα χρειαστούμε στη συνέχεια

Επειδή το θέμα στο οποίο εστιάζεται η σύγκριση των έργων του Νικομάχου και του Παχυμέρη που θα κάνουμε στην παρούσα εργασία είναι η πραγμάτευση των λόγων και επειδή οι λόγοι υπάγονται στην κατηγορία του laquoπρος τιraquo ποσού θα αναφέρουμε στη συνέχεια συνοπτικά πώς παρουσιάζει ο Νικόμαχος το laquoπρος τιraquo ποσόν και τη θεωρία των λόγων

23 Η θεωρία των λόγων στον Νικόμαχο

Το laquoπρος τι ποσόνraquo θεωρείται laquoεν συγκρίσειraquo προς κάποιο άλλο (πᾶν γὰρ ἐν συγκρίσει πρὸς ἕτερον θεωρούμενον 4411ndash12) Αποτελείται από δύο είδη το lsquoίσονrsquo και το lsquoάνισονrsquo Πράγματι οτιδήποτε συγκρίνεται είτε είναι ίσο με κάποιο άλλο είτε είναι άνισο

20 laquoΚαὶ οὕτως [hellip] ὡς ἐν πρώτῃ λαμβάνουσιν εἰσαγωγῇraquo (6421ndash23) 21 R Hoche (ed) Ιωάννου Γραμματικοῦ Αλεξανδρέως (τοῦ Φιλοπόνου) Εἰς τὸ πρῶτον

τῆς Νικομάχου ἀριθμητικῆς εἰσαγωγῆς σ 11


Η πρώτη σχέση η ισότητα χαρακτηρίζεται από τον Νικόμαχο ως lsquoαδιαίρετηrsquo και κατά συνέπεια ως lsquoαρχήrsquo22 του προς τι ποσού με άλλα λόγια είναι η σχέση από την οποία αρχίζουν και στην οποία καταλήγουν όλες οι συγκρίσεις Τη θέση αυτή ο Νικόμαχος θα την lsquoκαταδείξειrsquo23 στα κεφάλαια 1XXIII6 έως 2II3 όπου παρουσιάζει μία μέθοδο δια της οποίας μπορεί κανείς να δείξει πώς laquoπάντα τὰ τῆς ἀνισότητος ποικίλα εἴδηraquo (6520ndash21) προέρχονται εν τέλει από την ισότητα Η σχέση της ανισότητας αντίθετα διαιρείται σε δύο είδη στο είδος του lsquoμεγαλύτερουrsquo και στο είδος του lsquoμικρότερουrsquo Κατά τη διατύπωση του Νικομάχου laquoτὸ δὲ ἄνισον καὶ αὐτὸ καθ᾽ ὑποδιαίρεσιν διχῆ σχίζεται καὶ ἔστιν αὐτοῦ τὸ μὲν μεῖζον τὸ δὲ ἔλαττονraquo (457ndash9) Με τη σειρά του το lsquoμεγαλύτεροrsquo χωρίζεται σε πέντε είδη το πολλαπλάσιο το επιμόριο το επιμερές το πολλαπλασιεπιμόριο και το πολλαπλασιεπιμερές Κατά τον ίδιο τρόπο το lsquoμικρότεροrsquo χωρίζεται και αυτό σε πέντε είδη το υποπολλαπλάσιο το υπεπιμόριο το υπεπιμερές το υποπολλαπλάσιεπιμόριο και το υποπολλαπλασιεπιμερές

Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ο Νικόμαχος διακρίνει δέκα είδη λόγου τα οποία μελετώνται ανά ζεύγη

Πολλαπλάσιος ndash υποπολλαπλάσιοςΕπιμόριος ndash υπεπιμόριος Επιμερής ndash υπεπιμερής Πολλαπλασιεπιμόριος ndash υποπολλαπλασιεπιομόριοςΠολλαπλασιεπιμερής ndash υποπολλαπλασιεπιμερής

Μεγάλο μέρος της Αριθμητικής εισαγωγής είναι αφιερωμένο στη μελέτη των λόγων24

Επειδή ο μη ειδικός αναγνώστης δεν είναι εξοικειωμένος με το νόημα αυτών των τεχνικών όρων και επειδή τους όρους αυτούς θα τους συναντήσουμε αρκετές φορές στη συνέχεια αυτού του άρθρου είναι χρήσιμο στο σημείο αυτό να παρουσιάσουμε με τη μορφή ορισμών και με χρήση σύγχρονου συμβολισμού τι σημαίνει ότι δύο αριθμοί σχηματίζουν τον έναν ή τον άλλον από τους παραπάνω

22 laquoΑρχήraquo ονομάζεται το στοιχειώδες το συστατικό στοιχείο laquoἀρχὴ δὲ πᾶσα στοιχειώδης καὶ ἀσύνθετος εἰς ἣν πάντα ἀναλύεται καὶ ἐξ ἧς πάντα συνίσταται αὐτὴ δὲ εἰς οὐδὲν καὶ ἐξ οὐδενόςraquo (279ndash11)

23 Το κείμενο του Νικομάχου έχει ως εξής laquoἔστι δὲ ἀποδεικτικὸν τοῦ ἀπ᾽ ἰσότητος μονωτάτης καὶ πρωτίστης οἷον μητρός τινος καὶ ῥίζης γεννᾶσθαι πάντα τὰ τῆς ἀνισότητος ποικίλα εἴδη καὶ εἰδῶν διαφοράςraquo (6518ndash21) Το επίθετο laquoἀποδεικτικὸνraquo εδώ πρέπει να νοείται με την ευρύτερη έννοια του laquoπαρουσιάζω με πειστικό τρόπο κάτιraquo και όχι με την τεχνική έννοια της μαθηματικής απόδειξης

24 Πρέπει να σημειώσουμε ότι οι όροι αυτοί χρησιμοποιούνται από τον Νικόμαχο τόσο για να δηλώσουν τους λόγους όσο και για να δηλώσουν τους αριθμούς των ζευγών που σχηματίζουν τον έναν ή τον άλλον λόγο Για παράδειγμα το ζεύγος (6 3) ανήκει στον λόγο του διπλασίου αλλά επίσης ο 6 είναι διπλάσιος του 3


λόγους Στον παρακάτω πίνακα τα Α Β k m n δηλώνουν φυσικούς αριθμούς ενώ ο λόγος του Α προς τον Β γράφεται Α Β

Ονομασία λόγουΕίδη μείζονος λόγου Είδη ελάσσονος λόγου

ΠολλαπλάσιοςΑ Β με Α = nB

ΥποπολλαπλάσιοςA B με Β = nA

ΕπιμόριοςΑ Β με Α = Β + 1

n times ΒΥπεπιμόριοςΑ Β με B = A + 1

n times A

ΕπιμερήςΑ Β με Α = Β + (m times 1

m+n ) times ΒΥπεπιμερήςΑ Β με B = A + (m times 1

m+n ) times A

ΠολλαπλασιεπιμόριοςΑ Β με Α = kΒ + 1

n times ΒΥποπολλαπλασιεπιμόριοςΑ Β με Β = kΑ + 1

n times ΑΠολλαπλασιεπιμερήςΑ Β με Α = kΒ + (m times 1

m+n ) times ΒΥποπολλαπλασιεπιμερήςΑ Β με Β = kΑ + (m times 1

m+n ) times Α

Ο Νικόμαχος εξετάζει λεπτομερώς τα τρία πρώτα είδη του lsquoμεγαλυτέρουrsquo τα είδη του πολλαπλασίου του επιμορίου και του επιμερούς και δεν επιμένει στα αντίστοιχα είδη του rsquoμικροτέρουrsquo μιας και αποτελούν απλά αντιστροφή των όρων του lsquoμεγαλυτέρουrsquo Η εξέταση των πολλαπλασιεπιμορίων και των πολλαπλασιεπιμερών γίνεται πιο σύντομα μιας και έχει ήδη μιλήσει για τα συστατικά τους στοιχεία (που είναι οι τρεις πρώτες μορφές των λόγων)

Όπως προαναφέρθηκε ο Νικόμαχος εκθέτει τη θεωρία των λόγων στα κεφάλαια 17 ώς 23 του πρώτου βιβλίου25 Η παρουσίασή του ακολουθεί σε αδρές γραμμές ενιαία δομή η οποία περιλαμβάνει τα παρακάτω μέρη (1) ορισμός του λόγου (2) περιγραφή του τρόπου γένεσης του κάθε είδους (3) παράθεση παραδειγμάτων (4) λεπτομερής ανάλυση του τρόπου ονοματισμού των ειδών Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε συνοπτικά την πραγμάτευση του Νικομάχου

Πολλαπλάσιος ndash υποπολλαπλάσιοςΤο είδος του πολλαπλασίου θεωρείται το laquoπρώτιστον καὶ προγενέστερον φύσειraquo είδος του lsquoμεγαλύτερουrsquo (4610) Πολλαπλάσιος λέγεται ένας αριθμός ο οποίος περιέχει τον εαυτό του μια φορά ή περισσότερες26 Υποπολλαπλάσιος αντίστοιχα

25 Κατά κανόνα ο Νικόμαχος δεν χρησιμοποιεί τον όρο laquoλόγοςraquo στα κεφάλαια αυτά αλλά τον όρο laquoσχέσιςraquo (πρβλ την έκφραση laquoΚαὶ οὕτως αἱ δέκα ἀριθμητικαὶ σχέσεις πέρας ἡμῖν τῆς θεωρίας ὡς ἐν πρώτῃ λαμβάνουσιν εἰσαγωγῇraquo (6421ndash23)) Ωστόσο ο όρος αυ-τός χρησιμοποιείται ως συνώνυμος του όρου laquoλόγοςraquo όπως προκύπτει από την φράση του Νικομάχου laquoλόγος μὲν οὖν ἐστι δύο ὅρων πρὸς ἀλλήλους σχέσιςraquo (1205ndash6)

26 Κατά τη διατύπωση του Νικομάχου laquoἔχων αὐτὸν ἐν ἑαυτῷ ὅλον πλεονάκις ἢ ἅπαξraquo (4612ndash13)


είναι ο αριθμός ο οποίος όταν συγκριθεί με έναν μεγαλύτερο αριθμό μπορεί να τον μετρήσει μία ή περισσότερες φορές

Ο Νικόμαχος αφιερώνει ουσιαστικά ολόκληρο το κεφάλαιο XVIII στην εξήγηση του πώς μπορεί κανείς να βρίσκει μέσα στο σύνολο των φυσικών αριθμών τους αριθμούς που ανήκουν στα διάφορα είδη του πολλαπλασίου (κατά συνέπεια και του υποπολλαπλασίου) Για κάθε είδος πολλαπλασίου παρουσιάζει στην πραγματικότητα δύο διαδικασίες εύρεσης ζευγών αριθμών Θα εξηγήσουμε τις δύο διαδικασίες παίρνοντας σαν παράδειγμα την περίπτωση των τριπλασίων Φυσικά θα μπορούσε κανείς να περιγράψει αντίστοιχες διαδικασίες για άλλα είδη πολλαπλασίων

Πρώτη διαδικασία Η πρώτη διαδικασία συνίσταται στο να γράψουμε τους διαδοχικούς φυσικούς αριθμούς αρχίζοντας από το 3 και παραλείποντας κάθε φορά δύο όρους να επιλέγουμε τον αμέσως επόμενο όρο της ακολουθίας Σύμφωνα με τη διατύπωση του Νικομάχου τριπλάσιοι laquoπάντες εἰσὶν οἱ ἀπ᾽ ἀρχῆς δύο παραλειπομένωνraquo (4723) Η διαδικασία απεικονίζεται στον παρακάτω πίνακα

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 hellip

Δεύτερη διαδικασία Η δεύτερη διαδικασία συνίσταται στο να τοποθετήσουμε σε μία σειρά τους φυσικούς αριθμούς και στη συνέχεια κάτω από τον καθέναν σε μία δεύτερη σειρά να γράψουμε τον αριθμό που προκύπτει τριπλασιάζοντας τον κάθε όρο της φυσικής ακολουθίας Η διαδικασία απεικονίζεται στον παρακάτω πίνακα

1 2 3 4 5 6 hellip3 6 9 12 15 18 hellip

Θεωρούμε σκόπιμο στο σημείο αυτό να υπογραμμίσουμε ότι η παρουσίαση του Νικομάχου η οποία περιλαμβάνει δύο διαδικασίες εύρεσης πολλαπλασίων φανερώνει μια προσπάθεια να υποδειχθούν στον αναγνώστη τρόποι με τους οποίους θα μπορεί να βρίσκει ζεύγη αριθμών σε σχέση πολλαπλασίου υποπολλαπλασίου Το γεγονός αυτό φαίνεται να προσδίδει στην Αριθμητική εισαγωγή μια lsquoχρηστικήrsquo χροιά έστω και αν η στόχευση δεν είναι εκπεφρασμένη Στο θέμα αυτό όμως θα επανέλθουμε στη συνέχεια του άρθρου

Επιμόριος ndash υπεπιμόριοςΤο δεύτερο είδος του lsquoμεγαλύτερουrsquo είναι ο επιμόριος (492ndash4) Επιμόριος είναι ο αριθμός ο οποίος περιέχει όλον τον συγκρινόμενο αριθμό και ένα μέρος του (ένα


μόριο δηλαδή frac12 ⅓ frac14 κοκ)27 Ανάλογα με το ποιο είναι αυτό το μόριο ο αριθμός παίρνει και το όνομά του Δηλαδή εάν το μόριο είναι το ήμισυ (frac12) τότε ο αριθμός καλείται laquoημιόλιοςraquo εάν το μόριο είναι τρίτο τότε ονομάζεται laquoεπίτριτοςraquo και ούτω καθεξής Όταν πρόκειται αντίστοιχα για τον αριθμό που βρίσκεται στο είδος του lsquoμικρότερουrsquo τότε αυτός που δεν θα έχει το μόριο frac12 θα λέγεται laquoύφημιόλιοςraquo αντίστοιχα αυτός χωρίς το μόριο ⅓ laquoυπεπίτριτοςraquo κοκ

Το ημιόλιο είδος προκύπτει όταν τίθενται σε ζεύγη μεγαλύτερου-μικρότερου (πρόλογος-υπόλογος) αντίστοιχοι όροι από τις ακολουθίες των τριπλασίων και των διπλασίων Δηλαδή αν θέσει κανείς τους τριπλασίους στη σειρά ξεκινώντας από το 3 στη θέση του προλόγου και τους διπλασίους στη σειρά ξεκινώντας από το 2 στη θέση του υπολόγου τότε γεννώνται τα ζεύγη των ημιολίων όπως φαίνεται στον πίνακα που ακολουθεί

Τριπλάσιοι 3 6 9 12 15 hellipΔιπλάσιοι 2 4 6 8 10 hellip

Τα ζεύγη των αριθμών που βρίσκονται στην ίδια στήλη είναι ζεύγη ημιολίου και υφημιολίου (ο 3 είναι ημιόλιος του 2 ο 6 του 4 ο 9 του 6 κλπ και αντίστροφα ο 2 είναι υφημιόλιος του 3 κλπ) Με παρόμοιο τρόπο σχηματίζεται το είδος των επιτρίτων όπως απεικονίζεται στον πίνακα που ακολουθεί

Τετραπλάσιοι 4 8 12 16 20 hellipΤριπλάσιοι 3 6 9 12 15 hellip

Τα ζεύγη των αριθμών που βρίσκονται στην ίδια στήλη είναι ζεύγη επιτρίτου υπεπιτρίτου (o 4 είναι επίτριτος του 3 ο 8 του 6 ο 12 του 9 κλπ)

Η διαδικασία που περιγράψαμε προηγουμένως συνιστά έναν τρόπο εύρεσης ζευγών επιμορίων Στην πραγματικότητα όπως και στην περίπτωση των πολλαπλασίων ο Νικόμαχος δεν αρκείται στην παρουσίαση αυτού του τρόπου αλλά προσφέρει στον αναγνώστη και έναν δεύτερο τρόπο

Στο τέλος του κεφαλαίου όπου συζητά τους επιμορίους και προτού περάσει στην έκθεση των επιμερών ο Νικόμαχος παραθέτει έναν πίνακα δια του οποίου lsquoεξηγείrsquo πώς τα διάφορα είδη των επιμορίων γεννώνται από τα είδη των πολλαπλασίων Ο Νικόμαχος θέτει σαν στόχο την ανάδειξη αυτής της lsquoπαραγωγήςrsquo και παρrsquo όλο που ο πίνακας χρησιμεύει και για άλλες παρατηρήσεις όπως λέει εκείνος σκοπεύει να περιγράψει κυρίως τον τρόπο με τον οποίο θα αναδειχθούν

27 Σύμφωνα με τη διατύπωση του Νικομάχου laquoὁ ἔχων ἐν ἑαυτῷ τὸν συγκρινόμενον ὅλον καὶ μόριον αὐτοῦ ἕν τι ἀλλ᾽ ἐὰν μὲν ἥμισυ ᾖ τὸ μόριον καλεῖται ἡμιόλιος εἰδικῶς ὁ τῶν συγκρινομένων μείζων ὑφημιόλιος δὲ ὁ ἐλάσσων ἐὰν δὲ τρίτον ἐπίτριτός τε καὶ ὑπεπίτριτος καὶ ἀεὶ οὕτωςraquo (492ndash4)


με γλαφυρότητα οι σχέσεις τις οποίες μόλις παρουσίασε28 Η χρηστική σημασία αυτού του πίνακα γίνεται προφανής και γιrsquo αυτό θα τη συζητήσουμε λεπτομερώς

Η κατασκευή του πίνακα γίνεται ως εξής Πρέπει κανείς να θέσει σε έναν στίχο τους φυσικούς αριθμούς μέχρις εκεί που θέλει (ο Νικόμαχος φθάνει ως το 10) Κάτω από τον στίχο των φυσικών αριθμών τοποθετούνται ο ένας μετά τον άλλον οι στίχοι των πολλαπλασίων ξεκινώντας από τους διπλασίους κατόπιν τοποθετούνται οι τριπλάσιοι οι τετραπλάσιοι μέχρι να συμπληρωθεί ο πίνακας εν προκειμένω μέχρι τους δεκαπλασίους Η σχέση του πολλαπλασίου αναδεικνύεται όχι μόνο επειδή την έχει κατασκευάσει έτσι αυτός που κατασκευάζει τον πίνακα αλλά επειδή μπορεί κανείς να την επιβεβαιώσει και από το γεγονός ότι ο πρώτος αριθμός του κάθε στίχου (πυθμήν) αναδεικνύει τη σχέση που έχει ο αριθμός αυτός με το 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 405 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 809 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Ο πίνακας του Νικομάχου29

Στη συνέχεια ο Νικόμαχος εξηγεί πώς θα εντοπίσει κανείς τους επιμορίους στον πίνακα Κάθε γραμμή πολλαπλασίου με την αμέσως προηγούμενή της δημιουργεί έναν λόγο lsquoμεγαλυτέρουrsquo (ή αλλιώς αν το δει κανείς αντίστροφα

28 Αναφέρει laquoΚαὶ ἕτερα πολλὰ τοιαῦτα φιλοτιμούμενος εὕροι τις ἂν τερπνὰ ἐμφαινόμενα τῷδε τῷ διαγράμματι περὶ ὧν οὐ καιρὸς νῦν μηκύνεινraquo (5520ndash22)

29 Με μια πρώτη ματιά θα μπορούσε κανείς να δει τον πίνακα αυτόν σαν τον λεγόμενο laquoΠίνακα του Πυθαγόραraquo έναν πίνακα δηλαδή που περιέχει όλους τους πολλαπλασιασμούς από το 1 times 1 έως το 10 times 10 μια άποψη διαδεδομένη τους προηγούμενους αιώνες όσον αφορά τον πίνακα αυτόν Για παράδειγμα ο Edouard Lucas έχει αναφέρει για τον πίνακα του Πυθαγόρα laquoΠίνακας του Πυθαγόρα ονομάζεται ο πίνακας πολλαπλασιασμού των πρώτων (δέκα) αριθμών Η παρατήρηση του πίνακα δείχνει πλέον της συμμετρίας ότι δεν περιέχει όλους τους αριθμούς αλλά αυτούς που προκύπτουν ως γινόμενο δύο άλλωνraquo (Theacuteorie des nombres nouveau tirage Paris Albert Blanchard 1958 σ xxiii Πρώτη έκδοση Paris Gau-thier-Villars 1891)


κάθε γραμμή πολλαπλασίου με την αμέσως επόμενή της δημιουργεί ένα είδος lsquoμικρότερουrsquo λόγου) Εμφανίζονται έτσι πρώτα οι ημιόλιοι μετά οι επίτριτοι οι επιτέταρτοι οι επίπεμπτοι κοκ Αντίστροφα βλέπουμε τη γένεση της υπό- σχέσης δηλαδή πρώτα τους υφημιόλιους μετά τους υπεπίτριτους τους υπεπιτέταρτους τους υπεπίπεμπτους κλπ Τα παραπάνω φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί (όπου στην πρώτη στήλη σημειώνεται ποιες είναι οι σειρές των πολλαπλασίων που σχηματίζουν τους επίτριτους και στην τελευταία στήλη ποιες είναι οι σειρές που σχηματίζουν τους ημιόλιους και τους επιτέταρτους)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 20

ΗμιόλιοςΕπίτριτος

3 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 40

Επιτέταρτος5 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 809 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Παρόλο που σε αυτόν τον πίνακα είναι δυνατόν να βρει κανείς και τα άλλα είδη του lsquoανίσουrsquo (επιμερείς πολλαπλασιεπομόριους και πολλαπλασιεπιμερείς)30 ο Νικόμαχος επιλέγει να σταματήσει την περιγραφή των ειδών στον πίνακα σε αυτό το σημείο Για την γένεση του αρχικού είδους του επιμερούς θα κατασκευάσει άλλον πίνακα31 Αργότερα ωστόσο στο έργο του (πχ στο τέλος της ενότητας 22) καθιστά σαφές ότι στον συγκεκριμένο πίνακα μπορούν να ανιχνευθούν όλα τα είδη λόγων Σε αυτή την κατεύθυνση κινούνται και τα έργα των σχολιαστών με παράδειγμα το σχόλιο του Ιωάννη Φιλόπονου στο συγκεκριμένο λήμμα που αφορά στον πίνακα όπου περιγράφει πώς όλα τα είδη των λόγων βρίσκονται διαδοχικά σε αυτόν32

30 Όπως για παράδειγμα κάνει ο Φιλόπονος στο σχόλιό του31 Ο πίνακας που κατασκευάζει ο Νικόμαχος περιέχει τους φυσικούς αριθμούς ξεκι-

νώντας από το 3 συγκρινόμενους με τους περιττούς ξεκινώντας από το 5 Έτσι βρίσκουμε τους πυθμένες των ειδών του επιμερούς και του υπεπιμερούς Οι lsquoσυνεχείςrsquo (οι αριθμοί που ακολουθούν τους πυθμένες) θα εμφανιστούν αν διπλασιάσουμε τριπλασιάσουμε κλπ τους αρχικούς όρους της συγκρίσεως

32 R Hoche (ed) Ιωάννου Γραμματικοῦ Αλεξανδρέως (τοῦ Φιλοπόνου) Εἰς τὸ πρῶτον


Επιμερής ndash υπεπιμερήςΤο τρίτο είδος λόγου από τη σειρά των λόγων του lsquoμεγαλύτερουrsquo είναι ο επιμερής Επιμερής είναι ο αριθμός ο οποίος περιέχει όλον τον συγκρινόμενο και μέρη του συγκρινομένου περισσότερα από ένα33 Ο επιμερής παίρνει το όνομά του από το πλήθος των μερών του συγκρινομένου που περιέχει Έτσι το πρώτο είδος των επιμερών αυτό που περιέχει όλον τον συγκρινόμενο αριθμό και 2 μέρη του καλείται lsquoεπιδιμερήςrsquo Το δεύτερο είδος των επιμερών που περιέχει όλον τον συγκρινόμενο και 3 μέρη του θα ονομαστεί lsquoεπιτριμερήςrsquo κοκ Παραδείγματος χάριν ο 5 είναι επιδιμερής του 3 διότι περιέχει ολόκληρο το 3 και 2 τρίτα μέρη αυτού Επίσης ο 7 είναι επιτριμερής του 4 επειδή περιέχει όλόκληρο το 4 και 3 τέταρτα μέρη αυτού34

Πολλαπλασιεπομόριος ndash υποπολλαπλασιεπιμόριοςΤο τέταρτο είδος λόγου είναι ο πολλαπλασιεπιμόριος Πολλαπλασιεπομόριος είναι ο λόγος στον οποίον ο πρόλογος όρος περιέχει (α) τον υπόλογο περισσότερες από μία φορές και (β) επιπλέον ένα (οποιοδήποτε) μόριό του35 Όπως αναφέρθηκε και παραπάνω οι λόγοι περιγράφονται από εδώ και στο εξής με βάση τον τρόπο ονοματισμού τους τρόπον τινα το όνομα λειτουργεί ως μια lsquoκωδικοποίησηrsquo των ξεχωριστών ειδών που συγκροτούν την κατηγορία του πολλαπλασιεπομορίου Για παράδειγμα ο 5 ο οποίος περιέχει δύο φορές τον 2 και ένα δεύτερο αυτού ονομάζεται διπλασιεφημιόλιος του 2 Ομοίως ο 52 είναι τριπλασιεπιτέταρτος του 16 διότι περιέχει τρεις φορές το 16 και επιπλέον ένα τέταρτό του (52 = 3times16 + frac14 times16)

Στην περίπτωση του πολλαπλασιεπιμορίου ο Νικόμαχος χωρίς να κατασκευάζει πίνακα όπως προηγουμένως επισημαίνει τις ακολουθίες των πολλαπλασίων που πρέπει κάθε φορά να χρησιμοποιούνται προκειμένου να εντοπίζονται τα διάφορα είδη Στην παρούσα εργασία δεν θα επεκταθούμε σε περαιτέρω ανάλυση του θέματος αυτού

τῆς Νικομάχου ἀριθμητικῆς εἰσαγωγῆς σ 40 εντός του λήμματος ρλθ΄33 Κατά τη διατύπωση του Νικομάχου laquoἜστι δὲ ἐπιμερὴς μὲν σχέσις ὅταν ἀριθμὸς

τὸν συγκρινόμενον ἔχῃ ἐν ἑαυτῷ ὅλον καὶ προσέτι μέρη αὐτοῦ πλείονα ἑνόςraquo (5512ndash4) 34 Σε μια τελευταία παράγραφο του κεφαλαίου στο οποίο πραγματεύεται τους

επιμερείς λόγους ο Νικόμαχος σημειώνει ότι η γνώση του τρόπου ονοματισμού των ειδών του επιμερούς (η γνώση του πώς lsquoκατασκευάζονταιrsquo τα ονόματα) δεν είναι χωρίς σημασία για τη δημιουργία των ίδιων των ειδών Αυτό έχει ιδιαίτερη σημασία επειδή οι υποκατηγορίες των ειδών των επιμερών είναι πολλές Αυτή η παρατήρηση θα αποκτήσει ακόμη μεγαλύτερη σημασία όταν παρακάτω γίνει η παρουσίαση των lsquoσύνθετων σχέσεωνrsquo του πολλαπλασιεπιμορίου και του πολλαπλασιεπιμερούς όπου τα είδη των λόγων εκτός από τα μέρη αποκτούν και την παράμετρο του πολλαπλασίου

35 Κατά τη διατύπωση του Νικομάχου laquoΠολλαπλασιεπιμόριος μὲν οὖν ἐστι σχέσις ὅταν τῶν συγκρινομένων ὁ μείζων πλεονάκις ἢ ἅπαξ ἔχῃ ἐν ἑαυτῷ τὸν ἐλάσσονα καὶ πρὸς τούτῳ μοριόν τι ἓν αὐτοῦ οἷον δήποτεraquo (597ndash10)


Πολλαπλασιεπιμερής ndash υποπολλαπλασιεπιμερήςΣτο τελευταίο κεφάλαιο του πρώτου βιβλίου ο Νικόμαχος συζητά πολύ συνοπτικά τον πολλαπλασιεπιμερή λόγο Πολλαπλασιεπιμερής είναι αριθμός ο οποίος περιέχει (α) ολόκληρο τον συγκρινόμενο περισσότερες από μία φορές και (β) μέρη του συγκρινομένου περισσότερα από ένα δηλαδή 2 ή 3 ή 4 ή 5 κλπ36 Για παράδειγμα εδώ αναφέρει τον 8 που είναι διπλασιεπιδιμερής του 3 (ο 8 περιέχει τον 3 δύο φορές και επιπλέον 2 τρίτα του)

24 Παρατηρήσεις για τον τρόπο παρουσίασης της θεωρίας των λόγων από τον Νικόμαχο

Από την ανάγνωση των κεφαλαίων της Αριθμητικής εισαγωγής στα οποία ο Νικόμαχος πραγματεύεται τους λόγους θεωρούμε ότι προκύπτουν κάποια συμπεράσματα τα οποία είναι χρήσιμο να επισημάνουμε Ένα πρώτο σημείο στο οποίο νομίζουμε ότι πρέπει κανείς να σταθεί είναι ότι ο Νικόμαχος εξηγεί τόσο πώς κατασκευάζεται ο πίνακας όσο και πώς πρέπει να διαβάζεται στο οποίο μάλιστα επιμένει ιδιαιτέρως Αυτή η εξαντλητική επιμονή στον τρόπο κατασκευής του πίνακα δείχνει με σαφήνεια ότι δεν πρόκειται για μια θεωρητική κατασκευή απλώς για ένα νοητικό πρόβλημα Περιμένει από τον αναγνώστη του να κατασκευάσει τον πίνακα και να αναζητήσει σε αυτόν τις συσχετίσεις (τους λόγους) για τις οποίες κάνει λόγο

Ένα δεύτερο σημείο έχει να κάνει με το κατά πόσον θα μπορούσε κανείς να θεωρήσει αυτόν τον πίνακα ως έναν περιεκτικό πίνακα αναφοράς των σχέσεων των αριθμών και των ιδιοτήτων τους Σύμφωνα μάλιστα με τον Ιωάννη Φιλόπονο στο σχόλιό του στην Αριθμητική εισαγωγή ο Νικόμαχος στοχεύει πρώτα να αποδείξει την laquoφύσει τάξινraquo των ειδών του ανίσου και σε δεύτερο στάδιο την προτεραιότητα της ισότητας έναντι της ανισότητας ως laquoστοιχείουraquo του laquoπρός τιraquo Ωστόσο ο Φιλόπονος θεωρεί ότι μέσω του πίνακα ο Νικόμαχος επιπλέον τεκμηριώνει (laquoτεκμήριον ποιεῖταιraquo) τα λεγόμενά του όσον αφορά στις ιδιότητες που περιγράφει37 Κάλλιστα μπορεί κανείς να υποστηρίξει ότι με τη βοήθεια του πίνακα ο Νικόμαχος πετυχαίνει ή έστω προχωρεί προς όλους αυτούς τους σκοπούς Πράγματι μια προσεκτική ανάγνωση της ενότητας όπου συζητά τον πίνακα από την οπτική της ρητορικής του γραπτού λόγου αναδεικνύει μια συστηματική και λεπτομερή lsquoκειμενική ρητορικήrsquo Βάσει αυτής δεν μένει αμφιβολία πως ένας από τους στόχους του συγγραφέα είναι να καταστήσει τον μελετητή του έργου ικανό να αναπαράγει αυτού του είδους τη γνώση Το πλαίσιο στο οποίο θα

36 Σύμφωνα με τον Νικόμαχο πολλαπλασιεπιμερής είναι ένας αριθμός laquoὅταν hellip τὸν συγκρινόμενον ἀριθμὸν ὅλον τε ἔχῃ ἐν ἑαυτῷ πλεονάκις ἢ ἅπαξ hellip καὶ πρὸς τούτῳ μέρη τινὰ αὐτοῦ πλείονα ἑνὸςraquo (543ndash5)

37 R Hoche (ed) Ιωάννου Γραμματικοῦ Αλεξανδρέως (τοῦ Φιλοπόνου) Εἰς τὸ πρῶτον τῆς Νικομάχου ἀριθμητικῆς εἰσαγωγῆς σ 41 λήμμα ρμδ΄ (στ 1)


μπορούσε να αξιοποιηθεί μια τέτοια γνώση θα μπορούσε να είναι είτε θεωρητικοί προβληματισμοί για την Αριθμητική και την πυθαγόρεια φιλοσοφία είτε (όπως θα υποστηρίξουμε αργότερα στην παρούσα εργασία) μια πιο lsquoπρακτικήrsquo ενασχόληση όπως είναι αυτή της επίλυσης προβλημάτων

Ένα τρίτο σημείο το οποίο πρέπει να επισημάνουμε αφορά στην ευρετική λειτουργία που έχει η πραγμάτευση των λόγων στο κείμενο του Νικομάχου στους σχολιαστές του αλλά και στον Παχυμέρη Η ευρετική αυτή διάσταση δεν φαίνεται να ήταν έξω από τον ορίζοντα των ίδιων των συγγραφέων Το συμπέρασμα αυτό συνάγεται από τη ρητορική των κειμένων (για παράδειγμα οι συγγραφείς χρησιμοποιούν συχνά το ρήμα laquoευρίσκωraquo) αλλά και από την αναφορά που όλοι οι συγγραφείς κάνουν στο laquoθεώρημα των Μουσώνraquo που θέτει ο Πλάτων στην ψυχογονία του στον Τίμαιο (36b) και το οποίο ανάγεται στο πρόβλημα της εύρεσης δύο lsquoεπόγδοωνrsquo αριθμών38 Ένα ερώτημα παρόμοιο με αυτό το πρόβλημα θέτει ο Ασκληπιός στο σχόλιό του μεταφέροντας τα λόγια του δασκάλου του Αμμώνιου laquoλέγει τις ὅτι ldquoεὗρέ μοι δ ἡμιολίουςrdquoraquo39 Το ίδιο ερώτημα μεταφέρει επίσης ο Φιλόπονος40 προσθέτοντας επιπλέον ότι ο Νικόμαχος σκοπεύει να χρησιμοποιήσει τη γνώση αυτή προκειμένου να βρει τα αρμονικά θεωρήματα και τους μουσικούς λόγους Το παράδειγμα από τον Πλάτωνα είναι τοποθετημένο σε φιλοσοφικό πλαίσιο ασφαλώς ωστόσο δεν παύει να αποτελεί ένα παράδειγμα αριθμητικών υπολογισμών προκειμένου να βρεθεί η αρμονική και αριθμητική μεσότητα Η αναφορά στο πλατωνικό έργο έχει να κάνει περισσότερο με την απόδοση θεωρητικού lsquoβάρουςrsquo στο ζήτημα παρά με τον ίδιο τον υπολογισμό Ο Νικόμαχος όμως και οι κατοπινοί συγγραφείς δεν διστάζουν να προχωρήσουν τον συλλογισμό πέρα κι έξω από τη φιλοσοφία Είναι χαρακτηριστικό ότι η συζήτηση για το ερώτημα lsquoας υποθέσουμε ότι πει κάποιος βρες μου 4 αριθμούς οι οποίοι να έχουν την τάδε σχέσηrsquo εμφανίζεται στα σχόλια του Φιλοπόνου και του Ασκληπιού αφού έχει τελειώσει η έκθεση της θεωρίας Αφού δηλαδή έχουν μιλήσει για τους λόγους και τις μεταξύ τους σχέσεις και έχουν αρχίσει να εξετάζουν χροιές που απορρέουν από την αριθμητική θεωρία41

38 Βλ Νικόμαχος Β΄ σ 7515 Ασκληπιός Β΄ λήμμα ε΄ Φιλόπονος λήμμα ιβ΄ 39 Asclepius of Tralles Commentary to Nicomachusrsquo Introduction to Arithmetic σ

562640 R Hoche (ed) Ιωάννου Γραμματικοῦ Αλεξανδρέως τοῦ Φιλοπόνου Εἰς τὸ δεύτερον

τῆς Νικομάχου ἀριθμητικῆς εἰσαγωγῆς σ 3641 Είναι σημαντικό να υπογραμμίσει κανείς την ιδιαιτερότητα στο συγκεκριμένο ζή-

τημα του κειμένου του Ιαμβλίχου σε σχέση με τα υπόλοιπα κείμενα τόσο από πλευράς εκφραστικής όσο και από πλευράς προβληματισμού Η χροιά της υπολογιστικής οπτικής απουσιάζει εντελώς καθώς και οι αναφορές σε πρώτο πρόσωπο


Συνοψίζοντας όσα αναφέραμε ως τώρα σχετικά με την παρουσίαση της θεωρίας των λόγων στην Αριθμητική εισαγωγή επισημαίνουμε ότι η παρουσίαση με υπερβολική λεπτομέρεια των ειδών των λόγων αφενός και η επιμονή στην ανάπτυξη εναλλακτικών τρόπων ευρέσεως ζευγών αριθμών που σχηματίζουν τα είδη των λόγων αφετέρου είναι ευδιάκριτες στο κείμενο του Νικομάχου42 Εύλογα λοιπόν εγείρεται το ερώτημα προς τι η επιμονή στην τόσο αναλυτική περιγραφή των ειδών των λόγων και στην κατασκευή ζευγών αριθμών που lsquoυποστασιοποιούνrsquo τα διάφορα είδη Το ερώτημα αυτό δεν φαίνεται να έχει απασχολήσει ουσιαστικά τους μελετητές Κατά κανόνα η ενασχόληση της ιστοριογραφίας με το έργο του Νικομάχου έχει επικεντρωθεί στη μελέτη της δομής και του περιεχομένου του έργου καθώς και στη διερεύνηση του ρόλου του στο πλαίσιο της φιλοσοφικής lsquoατζένταςrsquo του συγγραφέα Και όσες φορές οι μελετητές έρχονται αντιμέτωποι με θέματα που άπτονται του εν λόγω ερωτήματος επικαλούνται είτε το lsquoχαμηλό επίπεδο του συγγραφέαrsquo είτε τον εκλαϊκευτικό χαρακτήρα του έργου43

Θα μπορούσε ωστόσο κανείς να υποστηρίξει ότι υπάρχει και άλλη κατεύθυνση για την αναζήτηση μιας πειστικής απάντησης στο ερώτημα που θέσαμε προηγουμένως Μια κατεύθυνση η οποία καθορίζεται από το πλαίσιο (context) της πρακτικής χρήσης που ειδικά η θεωρία των λόγων θα μπορούσε να έχει

Ας επιμείνουμε λίγο περισσότερο Το ερώτημα που θέτουμε είναι αν οι απαντήσεις που έχουν διατυπωθεί από τους μελετητές και που αναφέραμε προηγουμένως αρκούν για να εξηγήσουν την επιμονή του Νικομάχου στην παρουσίαση μεθόδων εύρεσης ζευγών αριθμών σε λόγους Γιατί ο Νικόμαχος δεν αρκείται στους ορισμούς των ειδών των λόγων στην παρουσίαση των ιδιοτήτων και στην παράθεση παραδειγμάτων και προβαίνει σε τόσο λεπτομερή συζήτηση αναφορικά με το πώς παράγονται οι διαφόρων ειδών λόγοι Μήπως θα ήταν δυνατόν μια τέτοια λεπτομερής παρουσίαση της θεωρίας των λόγων να ερμηνευθεί και με έναν επιπλέον τρόπο αυτόν που θα υπαινισσόταν μια πιο πρακτική λειτουργία του μέρους αυτού του έργου του Νικομάχου

42 Αυτή η εξαντλητική παρουσίαση του Νικομάχου έχει ερμηνευθεί από ορισμένους ιστορικούς όπως αναφέρθηκε (βλ προηγουμένως σ 57) ως laquoπολυλογίαraquo Όμως όπως θα δούμε στη συνέχεια η επιμονή του Νικομάχου να εξηγεί λεπτομερώς και μάλιστα με διαφορετικούς τρόπους τα θέματα τα σχετικά με τους λόγους και την περί αυτούς θεωρία δεν πρέπει κατrsquo ανάγκην να ερμηνεύεται ως ιδιάζον χαρακτηριστικό του ύφους του συγγραφέα Μια ερμηνεία η οποία θα ενέτασσε τον τρόπο εκφοράς του κειμένου σε ένα πλαίσιο που θα λάμβανε υπόψη την εκπαιδευτική λειτουργία του έργου και τους επιμέρους στόχους της θα ήταν πολύ πιο ενδιαφέρουσα και κυρίως πιο πειστική Όπως θα δούμε μια τέτοια ερμηνεία είναι δυνατή αν θεωρήσουμε ότι η πραγμάτευση των λόγων στην Αριθμητική εισαγωγή αποσκοπεί εκτός των άλλων στην παροχή χρηστικής γνώσης η οποία μπορεί να αξιοποιηθεί σε ποικίλα πεδία

43 Ενδεικτική είναι η φράση του van der Waerden ο Νικόμαχος laquoείχε επίγνωση σε τι κοινό απευθυνότανraquo (B L van der Waerden Η αφύπνιση της επιστήμης μτφρ Γ Χριστιανίδης Ηράκλειο Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης 2000 σ 105)


Θα υποστηρίξουμε ότι στο ερώτημα αυτό μπορεί να δοθεί καταφατική απάντηση Μάλιστα θα δείξουμε ότι ιστορικά αυτό έχει συμβεί και ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα που επιβεβαιώνει τον ισχυρισμό μας είναι το μαθηματικό έργο του Γεωργίου Παχυμέρη και πιο συγκεκριμένα η παρουσίαση της θεωρίας των λόγων και ο χειρισμός των λόγων στο έργο αυτό

3 Το Σύνταγμα των τεσσάρων μαθημάτων του Γεωργίου Παχυμέρη

Το Σύνταγμα των τεσσάρων μαθημάτων του Γεωργίου Παχυμέρη είναι ένα έργο με πλούσια ιστορία αν και όχι πλήρως μελετημένη44 Η ολοκληρωμένη έκδοση45 του έργου προετοιμάστηκε από τον P Tannery δημοσιεύθηκε όμως μετά τον θάνατό του υπό την επιμέλεια του E Steacutephanou το 1940 στη σειρά Studi e Testi του Βατικανού46 Η πολύτιμη πληροφορία που έχουμε για το βιβλίο το οποίο έφθασε ως τις μέρες μας είναι ότι ο κώδικας στον οποίο βασίζεται η έκδοσή του ο Angelicus gr 38 (C 3 7) έχει ταυτοποιηθεί ως αυτόγραφο του Παχυμέρη47 που προοριζόταν πιθανότατα για προσωπική χρήση48

Τα quadrivia κώδικες που περιέχουν τα λεγόμενα lsquoτέσσερα μαθήματαrsquo (Αριθμητική Γεωμετρία Μουσική Αστρονομία) ήταν ευρέως διαδομένα στη Δυτική Ευρώπη και είναι παγιωμένη θέση στην ιστοριογραφία ότι αποτελούσαν εκπαιδευτικά έργα για την εκμάθηση των βασικών γνώσεων στις τέσσερεις αυτές επιστήμες49 Ωστόσο στην Ανατολή η παραγωγή τέτοιου είδους έργων δεν ήταν κάτι σύνηθες Τα lsquoτέσσερα μαθήματαrsquo (η μαθηματική τετρακτύς) διδάσκονταν σαν προπαιδεία στις φιλοσοφικές σχολές τουλάχιστον από τον 3ο πΧ αι και η

44 Βλ Σ Λαμπάκης Γεώργιος Παχυμέρης Πρωτέκδικος και Δικαιοφύλαξ Εισαγωγικό Δοκίμιο Αθήνα ΕΙΕΙΒΕ 2004 σ 227ndash228

45 Το μέρος της Μουσικής είχε εκδοθεί ανεξάρτητα από τον A J H Vincent το 1847 (A J H Vincent Notice sur divers manuscrits grecs relatifs agrave la musique Paris Imprimerie royale 1847) Επίσης ανεξάρτητα είχε εκδοθεί και το μέρος για την Αστρονομία από τον Th H Mar-tin το 1849 (T H Martin Theonis Smyrnaeligi Platonici Liber de astronomia Paris E Reipubli-cae typographeo 1849) Τέλος τμήμα από την Αριθμητική είχε εκδοθεί επίσης ανεξάρτητα από τον Tannery το 1895 στον δεύτερο τόμο της έκδοσης του Διοφάντου (P Tannery (ed) Diophantus Alexandrinus opera omnia τ ΙΙ Leipzig Teubner 1895 σ 78ndash122)

46 P Tannery E Steacutephanou (eds) Quadrivium de Georges Pachymegravere ou Σύνταγμα τῶν τεσσάρων μαθημάτων ἀριθμητικῆς μουσικῆς γεωμετρίας καὶ ἀστρονομίας Cit-tagrave del Vaticano Bibliotheca Apostolica Vaticana 1940 (Studi e Testi 94)

47 Η ανακάλυψη ότι ο κώδικας Angelicus gr 38 είναι αυτόγραφος του Παχυμέρη οφείλεται στον D Harlfinger Die Textgeschichte der pseudo-aristotelischen Schrift Περὶ ἀτόμων γραμμῶν Ein kodikologisch-kulturgeschichtlicher Βeitrag zur Klaumlrung der Uumlberliefe-rungsverhaumlltnisse im Corpus Aristotelicum Amsterdam 1971 357 σημ 3

48 P Tannery E Steacutephanou (eds) Quadrivium de Georges Pachymegravere σ vi49 N H Κaylor P E Phillips (eds) A Companion to Boethius in the Middle Ages

Leiden Brill 2012


διδασκαλία τους αποτελεί μια από τις παλαιότερες παραδόσεις στην ιστορία της ελληνικής και της ύστερης ρωμαϊκής εκπαίδευσης Τα ίδια μαθήματα με παρόμοιο περιεχόμενο διδάσκονταν κατά την Ύστερη Αρχαιότητα και τους μεσαιωνικούς χρόνους στην Ανατολική και στην Δυτική Αυτοκρατορία όμως η ιδιαιτερότητα στην περίπτωση της ανατολικής παράδοσης είναι ότι δεν υπήρχαν συγκροτημένοι κώδικες με συστηματικό περιεχόμενο Η τάση για τη δημιουργία ενός τέτοιου έργου φαίνεται να ξεκινά στις αρχές του 11ου αι εποχή από την οποία διασώζεται ένα μικρό έργο ndash που μέχρι πρόσφατα αποδιδόταν στον Μιχαήλ Ψελλό ndash με τίτλο Σύνταγμα ευσύνοπτον εις τας τέσσαρας μαθηματικάς επιστήμας Αριθμητικήν Μουσικήν Γεωμετρίαν και Αστρονομίαν50 Το επόμενο και μοναδικό δείγμα quadrivium που έχουμε από τους βυζαντινούς λογίους είναι αυτό του Παχυμέρη η συγγραφή του οποίου τοποθετείται χρονικά γύρω στο 129651 Το βιβλίο έχει μια έμμετρη εισαγωγή και μετά ακολουθούν κατά σειρά οι τέσσερεις επιστήμες Αριθμητική Μουσική Γεωμετρία Αστρονομία Η δομή αυτή που προτάσσει την Αριθμητική είναι χαρακτηριστική των αντιστοίχων έργων της λατινικής γραμματείας αλλά προέρχεται από την πυθαγόρεια ταξινόμηση των τεσσάρων επιστημών και την ανάδειξη της σημασίας της Αριθμητικής για το σύνολο της φιλοσοφίας Το Σύνταγμα του Παχυμέρη ωστόσο μολονότι εντάσσεται στο ίδιο είδος γραμματείας διακρίνεται από μια μοναδικότητα η οποία το καθιστά ιδιαίτερα ενδιαφέρον για τον μελετητή και την οποία θα εκθέσουμε ευθύς αμέσως

4 Η Αριθμητική του Συντάγματος του Παχυμέρη

Η ενότητα της Αριθμητικής στο Σύνταγμα του Παχυμέρη παρουσιάζεται πρώτη ως είθισται Περιλαμβάνει μία εισαγωγή τον ορισμό της Αριθμητικής και ακολουθούν τα κυρίως περιεχόμενα τα οποία αντλούνται από τρεις πηγές τον Νικόμαχο τον Ευκλείδη και τον Διόφαντο Η μοναδικότητα του έργου του Παχυμέρη έγκειται ακριβώς στη μείξη αυτή των πηγών της Αριθμητικής του Τα περισσότερα λατινικά quadrivia έχουν ως πηγή του αριθμητικού τους μέρους την παράφραση της Αριθμητικής εισαγωγής που είχε κάνει ο Βοήθιος όπως έχουμε προείπει πράγμα που σημαίνει ότι εν τέλει αντλούν το περιεχόμενό τους από τον Νικόμαχο Το περιεχόμενο της Αριθμητικής των quadrivia παραμένει λίγο ως πολύ αμετάβλητο μέχρι τον 16ο αιώνα κατά τη διάρκεια του οποίου η μορφή

50 J L Heiberg (ed) Anonymi Logica et Quadrivium cum Scholiis Antiquis Koslashbehavn Det Kgl Danske Videnskabernes Selskab Historisk-filologiske Medelelser XI 1 1921 Για τη χρονολόγηση του έργου βλ C M Taisbak laquoThe Date of Anonymus Heiberg Anonymi Logica et Quadriviumraquo Cahiers de lrsquoInstitut du Moyen-Age Grec et Latin 39 (1981) 97ndash102

51 P Golitsis laquoGeorges Pachymegravere comme didascale Essai pour une reconstitution de sa carriegravere et de son enseignement philosophiqueraquo σ 63


και το περιεχόμενό τους αλλάζει οριστικά52 Ο Παχυμέρης ωστόσο χρησιμοποιεί για το αριθμητικό μέρος του Συντάγματός του τρεις πηγές συνδυάζοντας κείμενα που εκ πρώτης όψεως φαίνονται ασύνδετα την Αριθμητική όπως εκτίθεται στο πιο διαδεδομένο έργο της Ύστερης Αρχαιότητας το οποίο διαπνέεται από πυθαγόρειες αρχές δηλαδή την Αριθμητική του Νικομάχου προτάσεις από τα αριθμητικά βιβλία των Στοιχείων του Ευκλείδη (βιβλία VII-IX) αλλά και προτάσεις από το δεύτερο βιβλίο των Στοιχείων ένα υλικό που σπάνια το συναντούμε στα αριθμητικά μέρη των quadrivia τέλος μέρος της εισαγωγής καθώς και προβλήματα από το πρώτο βιβλίο των Αριθμητικών του Διοφάντου του λιγότερο διαδεδομένου συγγραφέα από τους τρεις

Ωστόσο η επιλογή αυτή του Παχυμέρη δεν είναι αυθαίρετη ο Νικηφόρος Βλεμμύδης (περ 1197ndash1272) όπως γνωρίζουμε από μαρτυρία του ιδίου είχε διδαχθεί Αριθμητική και από τις τρεις αυτές πηγές από τον δάσκαλό του τον Πρόδρομο από τη Σκάμανδρο χωρίς ωστόσο να έχουμε περισσότερα στοιχεία53 Μιας και ο Βλεμμύδης υπήρξε δάσκαλος του Γεωργίου Ακροπολίτη (περ 1217ndash1282) ο οποίος με τη σειρά του υπήρξε δάσκαλος του Παχυμέρη είναι λογικό να θεωρήσει κανείς ότι και ο ίδιος ο Παχυμέρης διδάχθηκε την Αριθμητική κατά τον ίδιο τρόπο καθιστώντας έτσι την επιλογή των πηγών του συμβατή με το παιδευτικό πλαίσιο στο οποίο μαθήτευσε και ο ίδιος

Η Αριθμητική του Συντάγματος του Παχυμέρη περιλαμβάνει συνολικά 74 κεφάλαια Τα πρώτα πέντε κεφάλαια περιέχουν έναν πρόλογο φιλοσοφικού περιεχομένου που μιλά για το καθήκον του λογίου και την επιδίωξη της ευτυχίας που προέρχεται από τη γνώση και μια φιλοσοφική πραγμάτευση του αριθμού και της Αριθμητικής Στη συνέχεια τα κεφάλαια 6ndash24 αποτελούν το κατrsquo εξοχήν lsquoνικομάχειοrsquo μέρος του έργου Έπεται το lsquoδιοφαντικόrsquo μέρος που καλύπτει τα κεφάλαια 25ndash44 Ακολουθούν τα κεφάλαια 45ndash46 που πραγματεύονται τετραγώνους και ετερομήκεις αριθμούς και η ενότητα της Αριθμητικής ολοκληρώνεται με τα κεφάλαια 47ndash74 που αποτελούν το lsquoευκλείδειοrsquo μέρος της

41 Το lsquoδιοφαντικόrsquo τμήμα της Αριθμητικής του Παχυμέρη η σειρά προβλημάτων και η οργάνωσή της

Το lsquoδιοφαντικόrsquo κομμάτι της Αριθμητικής του Παχυμέρη αποτελείται όπως

52 A Moyer laquoThe Quadrivium and the Decline of Boethian Influenceraquo στο N H Κaylor P E Phillips (eds) A Companion to Boethius in the Middle Ages σ 479ndash518

53 C N Constantinides Higher education in Byzantium in the thirteenth and early four-teenth centuries (1204 ndash ca 1310) Nicosia Cyprus Research Centre 1982 σ 8 M Cacouros laquoLa philosophie et les sciences du Trivium et du Quadrivium agrave Byzance de 1204 agrave 1453 entre tradition et innovation les textes et lrsquoenseignement Le cas de lrsquoeacutecole du Prodrome (agrave Petra)raquo στο M Cacouros amp M-H Congourdeau Philosophie et sciences agrave Byzance de 1204 agrave 1453 Les textes les doctrines et leur transmission Leuven Peeters 2006 σ 1ndash52


αναφέρθηκε από είκοσι κεφάλαια Στο πρώτο από αυτά ο Παχυμέρης παρουσιάζει τους τεχνικούς όρους της lsquoαριθμητικής θεωρίαςrsquo που ο Διόφαντος εκθέτει στην εισαγωγή των Αριθμητικών καθώς και τις πράξεις με τους όρους αυτούς Είναι ενδιαφέρον να παρατηρήσουμε ωστόσο ότι ενώ η παρουσίαση των όρων αυτών από τον Διόφαντο είναι ενταγμένη στην ανάδειξη μιας γενικής μεθόδου επίλυσης αριθμητικών προβλημάτων που περιλαμβάνει διάφορα lsquoστοιχείαrsquo αρμονικά συνδυασμένα μεταξύ τους ώστε όλα μαζί να συγκροτούν έναν ενιαίο μηχανισμό η παρουσίαση του Παχυμέρη δεν περιλαμβάνει όλα αυτά τα lsquoστοιχείαrsquo Για παράδειγμα ο Παχυμέρης δεν αναφέρεται καθόλου στην εξίσωση η οποία δημιουργείται από το πρόβλημα σύμφωνα με τη γενική μέθοδο που υποδεικνύει ο Διόφαντος ούτε φυσικά στον χειρισμό της Είναι προφανές ότι η γενική στόχευση των δύο συγγραφέων είναι διαφορετική

Στα κεφάλαια 26ndash44 ο Παχυμέρης πραγματεύεται αριθμητικά προβλήματα που αντιστοιχούν στα προβλήματα 1ndash11 του πρώτου βιβλίου των Αριθμητικών του Διοφάντου Δημιουργεί έτσι μία σειρά προβλημάτων η οργάνωση των οποίων έχει γίνει με βάση δύο κριτήρια τη διάταξη με την οποία παρουσιάζει τα προβλήματα ο Διόφαντος αφενός και τη διάταξη με την οποία παρουσιάζει τα είδη των λόγων ο Νικόμαχος αφετέρου Το γεγονός ότι ο Παχυμέρης χρησιμοποιεί τα κριτήρια αυτά έχει ως αποτέλεσμα η σειρά των προβλημάτων του να είναι πολύ πιο εκτενής από την αντίστοιχη σειρά του Διοφάντου Πράγματι ενώ τα προβλήματα του Διοφάντου που χρησιμοποιεί ο Παχυμέρης είναι μόνο ένδεκα η σειρά των προβλημάτων που ο ίδιος δημιουργεί εκτείνεται σε δέκα εννέα κεφάλαια το καθένα από τα οποία πραγματεύεται διαφορετικό τύπο προβλήματος (υπό την έννοια ότι ο εμπλεκόμενος λόγος όταν το πρόβλημα περιέχει λόγο είναι διαφορετικός) Για παράδειγμα το δεύτερο πρόβλημα του Διοφάντου ζητεί ένας δοθείς αριθμός να διαιρεθεί σε δύο αριθμούς οι οποίοι σχηματίζουν δοθέντα λόγο54 Στη συγκεκριμένη περίπτωση που επιλύει ο Διόφαντος ο δοθείς αριθμός είναι ο 60 και ο λόγος είναι ο τριπλάσιος Ο Παχυμέρης στην Αριθμητική του συζητά προβλήματα τέτοιου τύπου όχι σε ένα αλλά σε έξι κεφάλαια (27ndash32) Τη διάκριση των κεφαλαίων την κάνει με βάση το είδος του λόγου ενώ σε κάθε κεφάλαιο επιλύει περισσότερα του ενός προβλήματα Όλα αυτά απεικονίζονται στον παρακάτω πίνακα

Κεφάλαιο Είδος λόγου Αριθμός προβλημάτων27 πολλαπλάσιος 328 επιμόριος 629 επιμερής 3

54 P Tannery (ed) Diophantus Alexandrinus opera omnia τ I Leipzig Teubner 1893 σ 1624ndash25


30-31 πολλαπλασιεπιμόριος 5 + 332 πολλαπλασιεπιμερής 5

25

Από τον πίνακα φαίνεται ότι στην προκειμένη περίπτωση από ένα μόνο πρόβλημα του Διοφάντου ο Παχυμέρης παράγει είκοσι πέντε προβλήματα Αυτό είναι κάτι που χαρακτηρίζει τον τρόπο με τον οποίο ο Παχυμέρης οργανώνει τη σειρά των προβλημάτων του Έτσι το τρίτο πρόβλημα του Διοφάντου το οποίο ζητεί να χωριστεί δοθείς αριθμός σε δύο αριθμούς τέτοιους ώστε ο μεγαλύτερος να έχει προς τον μικρότερο δεδομένο λόγο και επιπλέον να υπερέχει κατά ένα δεδομένο πλήθος μονάδων δίνει τη δυνατότητα στον Παχυμέρη να δημιουργήσει δέκα τέσσερα προβλήματα τα οποία πραγματεύεται σε τρία κεφάλαια (33ndash35) της Αριιθμητικής του όπως φαίνεται στον πίνακα

Κεφάλαιο Είδος λόγου Αριθμός προβλημάτων33 πολλαπλάσιος 534 επιμόριος 5

35επιμερής

πολλαπλασιεπιμόριος πολλαπλασιεπιμερής

4

14

Συνολικά η σειρά των προβλημάτων που δημιουργεί ο Παχυμέρης απεικονίζεται στον παρακάτω πίνακα

Κεφάλαιο Είδος λόγου που εμπλέκεται στο πρόβλημα

Αριθμός προβλημάτων

25 --- -26 Δεν εμπλέκεται λόγος 2

27-32Δοθείς αριθμός να χωριστεί σε δύο αριθμούς που σχηματίζουν δοθέντα λόγο55

27 Πολλαπλάσιος 328 Επιμόριος 6

55 Στη γραμμή αυτή του πίνακα όπως και στις επόμενες γραμμές που περιέχουν κείμενο με έντονη γραφή αναφέρουμε σε ελεύθερη μετάφραση τη γενική διατύπωση του προβλήμα-τος του Διοφάντου το οποίο αντιστοιχεί στα προβλήματα που ο Παχυμέρης πραγματεύεται στα κεφάλαια που αναφέρονται στην πρώτη στήλη του πίνακα


29 Επιμερής 330-31 Πολλαπλασιεπιμόριος 8

32 Πολλαπλασιεπιμερής 5

33-35Δοθείς αριθμός να χωριστεί σε δύο αριθμούς που έχουν δοθείσα διαφορά και σχηματίζουν δοθέντα λόγο


35 Επιμερής Πολλαπλασιεπιμόριος Πολλαπλασιεπιμερής 4

36-38Δοθείς αριθμός να χωριστεί σε δύο αριθμούς έτσι ώστε ο ένας αν αυξηθεί κατά έναν δοθέντα αριθμό να σχηματίζει με τον άλλο δοθέντα λόγο56

36 Πολλαπλάσιος 4

37 Επιμόριος 2


39 Να βρεθούν δύο αριθμοί που έχουν δοθείσα διαφορά και σχηματίζουν δοθέντα λόγο


40 Δεν εμπλέκεται λόγος 5

41 Σε δύο δοθέντες αριθμούς να προστεθεί ο ίδιος (ζητούμενος) αριθμός και οι παραγόμενοι να σχηματίζουν δοθέντα λόγο


42-43Από δύο δοθέντες αριθμούς να αφαιρεθεί ο ίδιος (ζητούμενος) αριθμός και οι παραγόμενοι να σχηματίζουν δοθέντα λόγο

42-43 Πολλαπλάσιος 1

44aΣε δύο δοθέντες αριθμούς στον μεν μικρότερο να προσθέσουμε από δε τον μεγαλύτερο να αφαιρέσουμε τον ίδιο (ζητούμενο) αριθμό και οι παραγόμενοι να έχουν δοθέντα λόγο


44b

Δύο δοθέντες αριθμούς τον έναν να τον προσθέσουμε τον άλλο να τον αφαιρέσουμε από τον ίδιο (ζητούμενο) αριθμό και οι παραγόμενοι να έχουν δοθέντα λόγο


56 Ο τύπος αυτός του προβλήματος δεν περιέχεται στο έργο του Διοφάντου


42 Η χρήση της θεωρίας των λόγων στην επίλυση προβλημάτων

Με αφορμή την ενδελεχή παρουσίαση της θεωρίας των λόγων από τον Νικόμαχο είχαμε θέσει σε προηγούμενο σημείο της εργασίας μας (σ 69ndash71) το ερώτημα αν η θεωρία αυτή θα μπορούσε να έχει μια χρηστική λειτουργία η οποία θα δικαιολογούσε την επιμονή του Νικομάχου στην παρουσίασή της Αναφέραμε επίσης ότι η Αριθμητική του Παχυμέρη αποτελεί ένα παράδειγμα που καθιστά μια τέτοια εκδοχή ιστορικά βάσιμη Στην ενότητα αυτή θα επιχειρηματολογήσουμε υπέρ αυτής της θέσης Η επιχειρηματολογία μας θα βασιστεί στη συζήτηση δύο παραδειγμάτων από το έργο του Παχυμέρη

Παράδειγμα 1 (κεφ 27 σελ 5012ndash17)Στο κεφάλαιο 27 ο Παχυμέρης συζητά προβλήματα του τύπου laquoΔοθείς αριθμός να χωριστεί σε δύο αριθμούς οι οποίοι σχηματίζουν δοθέντα πολλαπλάσιο λόγοraquo Πιο ειδικά στους στίχους 12ndash17 εξετάζει την περίπτωση που ο λόγος είναι διπλάσιος Δηλαδή εξετάζει το πρόβλημα laquoΔοθείς αριθμός να διαιρεθεί σε δύο αριθμούς οι οποίοι σχηματίζουν διπλάσιο λόγοraquo57

Το κείμενο του Παχυμέρη έχει ως εξής

Τὰ δὲ ἐπὶ πολλαπλασιασμοῖς ἀριθμητικὰ προβλήματα ἔχουσιν οὕτως εἰ ἐπιταττοίμεθα τὸν δοθέντα ἀριθμὸν διαιρεῖν ἐν λόγῳ ἢ διπλασίῳ ἢ τριπλασίῳ ἢ ὁποσαπλασίῳ ἵνα ἔχοι τὸ μέρος τοῦ μέρους τὸν δοθέντα λόγονΔεῖ οὖν εἰ ἐν διπλασίῳ λόγῳ ἐπιταττοίμεθα διαιρεῖν λαμβάνειν τὸν τοῦ ὅλου ὑποτριπλάσιον καὶ τὸν τοιοῦτον τιθέναι ἐλάσσω ὅρον οὗ τὸν διπλάσιον λαμβάνομεν τὸν λοιπὸν δηλονότι μείζω ὅρονmiddot καὶ τὸ πρόβλημα γίνεται

Ο Παχυμέρης διατυπώνει τις παρακάτω οδηγίες για την επίλυση αυτού του προβλήματος

1 [Εφόσον ο δοθείς λόγος είναι διπλάσιος] laquoδεῖ λαμβάνειν τὸν τοῦ ὅλου ὑποτριπλάσιονraquo 2 Αφού βρούμε τον αριθμό που περιγράφεται στο βήμα 1 τον θέτουμε ως τον μικρότερο (τὸν τοιοῦτον τιθέναι ἐλάσσω ὅρον) από τους δύο αριθμούς που ψάχνουμε3a Του αριθμού που βρήκαμε στο πρώτο βήμα laquoτὸν διπλάσιον λαμβάνομενraquo Ή εναλλακτικά3b laquoτὸν λοιπὸν ltλαμβάνομενgtraquo Δηλαδή πρέπει να βρούμε τον αριθμό που

57 Το πρόβλημα αυτό αντιστοιχεί στο πρόβλημα Ι2 του Διοφάντου


υπολείπεται αν από τον laquoὅλονraquo αφαιρέσουμε τον αριθμό που βρήκαμε στο πρώτο βήμα4 Αφού βρούμε τον αριθμό που περιγράφεται στο βήμα 3 τον θέτουμε ως τον μεγαλύτερο (μείζω ὅρον) από τους δύο αριθμούς που ψάχνουμε

Για το τρίτο βήμα ο Παχυμέρης προτείνει δύο εναλλακτικούς τρόπους 3a Σύμφωνα με τον πρώτο τρόπο λαμβάνοντας υπrsquo όψιν ότι το πρόβλημα επιτάσσει ο μεγαλύτερος από τους δύο ζητούμενους αριθμούς να είναι διπλάσιος του μικρότερου και δεδομένου ότι ο μικρότερος αριθμός ήδη προσδιορίστηκε στο πρώτο βήμα αρκεί να λάβουμε τον διπλάσιο αυτού που βρήκαμε στο πρώτο βήμα3b Σύμφωνα με τον δεύτερο τρόπο λαμβάνοντας υπrsquo όψιν ότι το πρόβλημα επιτάσσει οι δύο αριθμοί που ψάχνουμε να έχουν άθροισμα τον laquoὅλονraquo και δεδομένου ότι ο ένας από τους δύο ήδη προσδιορίστηκε από το πρώτο βήμα αρκεί να βρούμε αυτόν που υπολείπεται ώστε να σχηματισθεί ο laquoὅλοςraquo δηλ ο εξ αρχής δεδομένος αριθμός

Με τη μέθοδο που περιγράφηκε παραπάνω (στη μία ή στην άλλη παραλλαγή της όσον αφορά στο τρίτο βήμα) προσδιορίζουμε τους δύο αριθμούς που ψάχνουμε και απαντούμε στο πρόβλημα

Οι παραπάνω είναι γενικές οδηγίες Στη συνέχεια ο Παχυμέρης παρουσιάζει ένα συγκεκριμένο παράδειγμα (σελ 5018ndash21) Έστω ότι μας ζητείται να χωρίσουμε τον 24 σε δύο αριθμούς που σχηματίζουν διπλάσιο λόγο Τα βήματα είναι τα εξής

1 Στο πρώτο βήμα laquoΖητοῦμεν τὸν ὑποτριπλάσιον αὐτοῦ καὶ ἔστιν ὁ ηraquo (σ 5018ndash19) Ο laquoὅλοςraquo εν προκειμένω είναι ο 24 οπότε ο υποτριπλάσιος αυτού είναι ο 8 2 Θέτουμε ως μικρότερο από τους δύο αριθμούς που ψάχνουμε τον 83a Στο τρίτο βήμα σύμφωνα με την πρώτη εκδοχή laquoτὸν διπλάσιον λαμβάνομενraquo του αριθμού που βρήκαμε στο βήμα 1 Εν προκειμένω ο αριθμός που βρήκαμε στο βήμα 1 είναι ο 8 οπότε ο διπλάσιος αυτού είναι ο 163b Σύμφωνα με τη δεύτερη εκδοχή laquoτὸν λοιπὸν ltλαμβάνομενgtraquo του αριθμού που βρήκαμε στο βήμα 1 Εν προκειμένω ο αριθμός που βρήκαμε στο βήμα 1 είναι ο 8 οπότε ο laquoλοιπόςraquo είναι ο 16 (24 ndash 8 = 16)4 Θέτουμε ως μεγαλύτερο από τους δύο αριθμούς που ψάχνουμε τον 16

Βρήκαμε λοιπόν τους δύο αριθμούς που ζητούσαμε Ο ένας είναι 16 και ο άλλος 8 Και πράγματι ο 16 είναι αφενός διπλάσιος του 8 (δηλ οι δύο αριθμοί βρίσκονται σε διπλάσιο λόγο) και αφετέρου laquoλοιπόςraquo του 8 ως προς τον 24

Η επίλυση μπορεί να αναπαρασταθεί (στη μία παραλλαγή της) με ένα διάγραμμα σαν το παρακάτω


Δεδομένα 24 (ο προς διαίρεση αριθμός) διπλάσιος λόγος24 8 16

όπου οι αριθμοί με έντονη γραφή είναι αυτοί που απαντούν στο πρόβλημα

Η επίλυση στην άλλη παραλλαγή της παριστάνεται με το διάγραμμα24 8 16

Για να επιλύσει κανείς το πρόβλημα με τη μέθοδο του Παχυμέρη χρειάζεται να γνωρίζει τα εξής δύο(1) Επειδή ο δοθείς λόγος είναι διπλάσιος ο λύτης πρέπει να γνωρίζει ότι για να διεκπεραιώσει το πρώτο βήμα πρέπει να εργαστεί με υποτριπλάσιο λόγο(2) Γνωρίζοντας τον αριθμό 24 πρέπει να βρει ποιος είναι ο αριθμός που σχηματίζει με τον 24 ένα ζεύγος σε υποτριπλάσιο λόγο Εν προκειμένω δοθέντος του 24 πρέπει να βρει τον 8 διότι το ζεύγος (8 24) βρίσκεται σε υποτριπλάσιο λόγο

Το (1) από τα προαπαιτούμενα αυτά εξαρτάται από τη φύση του προβλήματοςΤο (2) όμως δεν εξαρτάται από τη φύση του προβλήματος Είναι μια δεξιότητα που ο λύτης πρέπει να την έχει αποκτήσει από τη μελέτη της σχετικής θεωρίας Πιο συγκεκριμένα για να χειριστεί ειδικά το (2) πρέπει ο λύτης να μπορεί να απαντά σε ερωτήματα αναφορικά με τους λόγους του εξής τύπου

(Ε) Γνωρίζοντας τον έναν από τους δύο αριθμούς ενός ζεύγους (Α Β) που βρίσκεται σε συγκεκριμένο λόγο (στην προκειμένη περίπτωση ο λόγος είναι υποτριπλάσιος) να βρεθεί ο άλλος αριθμός του ζεύγους

Η εξοικείωση με τον χειρισμό του ερωτήματος (Ε) είναι προϋπόθεση για την επίλυση του προβλήματος με τη μέθοδο που περιγράψαμε Μάλιστα στην περίπτωση της πρώτης παραλλαγής της μεθόδου (όπου το τρίτο βήμα είναι το 3a) το ερώτημα (Ε) τίθεται δύο φορές

Όμως τα εργαλεία για να απαντήσουμε στο ερώτημα αυτό μας τα παρέχει η Αριθμητική εισαγωγή του Νικομάχου Στον πίνακα του Νικομάχου που εξετάσαμε στη σ 65 τα ζεύγη των αριθμών σε τριπλάσιο υποτριπλάσιο λόγο εμφανίζονται στον πρώτο και στον τρίτο στίχο

1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 30

υποτριπλάσιος διπλάσιος

υποτριπλάσιος λοιπός [24-8]


Επειδή πρέπει να βρούμε τον υποτριπλάσιο του 24 αναζητούμε στον τρίτο στίχο τον αριθμό 24 και βρίσκουμε αμέσως τον υποτριπλάσιό του δηλαδή τον 8 στην πρώτη γραμμή και στην ίδια στήλη Με τον ίδιο τρόπο βρίσκουμε και ότι ο διπλάσιος του 8 είναι ο 16 (ο οποίος βρίσκεται στην ίδια στήλη με τον 8 και στη δεύτερη γραμμή αυτή των διπλασίων)58

Παράδειγμα 2 (κεφ 35 σελ 5827ndash31)Στο κεφάλαιο 35 και στους στίχους 27ndash31 ο Παχυμέρης συζητά το πρόβλημα να χωριστεί ο 18 σε δύο αριθμούς τέτοιους ώστε ο ένας να είναι επιδίτριτος του άλλου και επιπλέον να υπερέχει κατά 2 μονάδες Υπενθυμίζεται ότι ένας λόγος (Α Β) είναι επιδίτριτος όταν ο Α ισούται με Β + 2

3 Β Τέτοιοι λόγοι είναι πχ οι (5 3) (10 6) (15 9) (20 12) κλπ Το κείμενο είναι το εξής

Ἔστω γοῦν πρῶτος ὁ ἐπιδίτριτος καὶ κείσθω ὁ ιη ὃν διαιρεῖν ἐπιταττόμεθα ἐν λόγῳ ἐπιδιτρίτῳ καὶ ὑπεροχὴ μονάδων δύο Ἀφαιρῶ τὴν ὑπεροχὴν καὶ τοῦ λειπομένου ις ζητῶ τὸν ὑποδιπλασιεπιδίτριτον καὶ ἔστιν ὁ ςmiddot τοῦτον τίθημι ἐλάσσω καὶ τὸν λοιπὸν σὺν τῇ ὑπεροχῇ μείζω τὸν ιβ καὶ γίνεται τὸ πρόβλημαmiddot ὁ γὰρ ιβ πρὸς τὸν ς ὑπεροχὴν ἔχει τὰς δύο μονάδας καὶ ὁ λοιπὸς ἐπιδίτριτός ἐστιν

Η επίλυση εκτυλίσσεται σύμφωνα με τα εξής βήματα1 Αφαιρούμε από τον 18 την υπεροχή 2 Δηλαδή 18 ndash 2 = 162 Βρίσκουμε τον υποδιπλασιεπιδίτριτο του 16 Είναι ο 6 τον οποίο θέτουμε ως τον μικρότερο από τους δύο ζητούμενους αριθμούς Υπενθυμίζεται ότι ένας λόγος (Α Β) είναι υποδιπλασιεπιδίτριτος όταν ο Β ισούται με 2Α + 2

3 Α Τέτοιοι λόγοι είναι πχ οι (3 8) (6 16) (9 24) (12 32) κλπ Στη σειρά αυτή πράγματι συναντούμε το ζεύγος (6 16) οπότε επιβεβαιώνουμε ότι ο 6 είναι υποδιπλασιεπιδίτριτος του 163 Αφαιρούμε τον 6 που βρήκαμε στο δεύτερο βήμα από τον 16 Αυτή η πράξη δηλώνεται στο κείμενο με τη λέξη laquoτὸν λοιπὸνraquo Γίνεται 16 ndash 6 = 104 Προσθέτουμε την υπεροχή 2 στον 10 που βρήκαμε στο τρίτο βήμα Βρίσκουμε 10 + 2 = 12 και αυτός είναι ο μεγαλύτερος από τους δύο ζητούμενους αριθμούς

Η λύση απεικονίζεται στο παρακάτω διάγραμμαΔεδομένα 18 (ο προς διαίρεση αριθμός) 2 (η υπεροχή) επιδίτριτος λόγος

58 Στην περίπτωση του παραπάνω προβλήματος οι εμπλεκόμενοι αριθμοί είναι μικροί και οι λόγοι που πρέπει να σχηματίζονται είναι απλοί (εύκολοι) Άρα θα μπορούσε κανείς να πει ότι ο χειρισμός του ερωτήματος (Ε) είναι σχεδόν προφανής και δεν απαιτεί κάποια ιδιαίτερη δεξιότητα και παιδεία Ωστόσο αυτό δεν αλλάζει την ουσία Και η ουσία είναι ότι για να επιλύσει κανείς το πρόβλημα με τη συγκεκριμένη μέθοδο πρέπει να είναι εξοικειωμένος με τον χειρισμό ερωτημάτων σαν το (Ε) παραπάνω


18 16 6

16 10 12

Στο δεύτερο βήμα της επίλυσης χρειάστηκε να βρούμε τον υποδιπλασιεπι-δίτριτο του 16 ο οποίος είναι ο 6 Οδηγούμαστε λοιπόν πάλι στο να απαντήσουμε σε ένα ερώτημα σαν το (Ε) που θέσαμε προηγουμένως Και πάλι τα εργαλεία για να απαντήσουμε μας τα παρέχει ο πίνακας του Νικομάχου Οι μικρότεροι αριθμοί που εμφανίζουν αυτό το είδος λόγου (οι πυθμένες) είναι οι (3 8) Επομένως θα ανατρέξουμε στους στίχους των τριπλασίων και των οκταπλασίων του πίνακα του Νικομάχου όπως φαίνεται παρακάτω

1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 405 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 80

Στον στίχο των οκταπλασίων αναζητούμε τον 16 και στην ίδια στήλη και στη γραμμή των τριπλασίων βρίσκουμε τον 6 που είναι ο ζητούμενος αριθμός

Από τα παραδείγματα που παραθέσαμε προηγουμένως φαίνεται πώς το μέρος της Αριθμητικής εισαγωγής του Νικομάχου περιέχει όλο το απαραίτητο υλικό προκειμένου να μπορεί κανείς να απαντά με ευκολία σε τέτοιου είδους ερωτήματα που ανακύπτουν κατά την επίλυση αριθμητικών προβλημάτων Η θεωρία των λόγων στο κείμενο του Νικομάχου όπως έχουμε αναφέρει περιέχει πολλές λεπτομέρειες οι οποίες εκ πρώτης όψεως φαίνεται ότι δύσκολα θα μπορούσαν να ερμηνευθούν στο πλαίσιο της φιλοσοφικής lsquoατζένταςrsquo του συγγραφέα και ως εκ τούτου έχουν χαρακτηριστεί από διάφορους μελετητές ως μακρηγορία Είδαμε όμως μέσω των παραδειγμάτων που εξετάσαμε ότι οι λεπτομέρειες αυτές μπορούν να ενταχθούν αρμονικά σε ένα ερμηνευτικό πλαίσιο το οποίο λαμβάνει υπrsquo όψιν την επίλυση προβλημάτων Αξιοποιώντας το ερμηνευτικό αυτό πλαίσιο αναδεικνύεται μια νέα διάσταση του έργου του Νικομάχου την οποία ως τώρα η ιστοριογραφία δεν είχε εξετάσει Μέσω αυτού ο μελετητής μπορεί να εκμεταλλευθεί περισσότερα

αφαιρούμε την υπεροχή [18-2] υποδιπλασιεπιδίτριτος

προσθέτουμε την υπεροχή [10+2] λοιπός [16-6]


εργαλεία προκειμένου να αποκτήσει ευρύτερη και αρτιότερη κατανόηση των έργων του Νικομάχου και του Παχυμέρη του ακροατηρίου τους καθώς και της αριθμητικής παράδοσης των χρόνων της Ύστερης Αρχαιότητας

Γεώργιος Παχυμέρης Μικρογραφία από τον κώδικα Monacencis gr 442 (fol 6v) του τρίτου τετάρτου του 14ου αιώνα Φυλάσσεται στη Βαυαρική Κρατική Βιβλιοθήκη του Μονάχου


ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

Αριθμητική vs αλγεβρική επίλυση προβλημάτων

Η μελέτη του lsquoδιοφαντικούrsquo μέρους της Αριθμητικής του Συντάγματος του Γεωργίου Παχυμέρη σε αντιπαραβολή με τη μελέτη του αντίστοιχου υλικού όπως εμφανίζεται στην αρχή του πρώτου βιβλίου των Αριθμητικών του Διοφάντου (προβλήματα 1ndash11) μας οδηγεί σε μερικά πολύ ενδιαφέροντα συμπεράσματα όσον αφορά στις μεθόδους επίλυσης αριθμητικών προβλημάτων που χρησιμοποιούν οι δύο συγγραφείς Σκοπός του παρόντος παραρτήματος είναι να προβεί στη σύγκριση των μεθόδων επίλυσης των δύο συγγραφέων όπως εφαρμόζονται στην περίπτωση ενός από τα κοινά προβλήματα που επιλύουν συγκεκριμένα του πρώτου προβλήματος του πρώτου βιβλίου των Αριθμητικών του Διοφάντου59 Ο Παχυμέρης συζητά το πρόβλημα αυτό στο κεφάλαιο 26 της Αριθμητικής του60 Τα δύο κείμενα φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί

Παχυμέρης κεφ 26 Διόφαντος πρόβλημα Ι1Ὅτε γοῦν τις ἀριθμὸς δοθῇ καὶ ἐπιταχθῶμεν διελεῖν αὐτόν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἐν ὑπεροχῇ τῇ δοθείσῃ οἳον φέρε τὸν ρ ἐν ὑπεροχῇ τῷ κ ὀφείλομεν ὑπεξαιρεῖν ἐκ τῶν ρ τὴν δοθεῖσαν ὑπεροχήν δηλονότι τόν κ καὶ τόν καταλειφθέντα ἀριθμὸν διαιρεῖν δίχα ὡς ἐνταῦθα τόν π εἰς μ καὶ μ καὶ ἔπειτα ἑνὶ μέρει προστιθέναι τὴν ὑπεροχήν ὡς ἐνταῦθα τῷ μ τὸν κ ὁμοῦ ξ διῃρέθη τοίνυν ὁ ρ εἰς ξ καὶ μ καὶ ἔστιν ἡ ὑπεροχὴ τοῦ ξ πρὸς τὸν μ κ καὶ τὸ ἐπιταχθὲν ἐγένετο

Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἐν ὑπεροχῇ τῇ δοθείσῃἜστω δὴ ὁ δοθεὶς ἀριθμὸς ὁ ρ ἡ δὲ ὑπεροχὴ Μο μ εὑρεῖν τοὺς ἀριθμούςΤετάχθω ὁ ἐλάσσων Sαmiddot ὁ ἄρα μείζων ἔσται Sα Μο μmiddot συναμφότεροι ἄρα γίνονται Sβ Μο μmiddot δέδονται δὲ Μο ρΜ ἄρα ρ ἴσαι εἰσὶν S β Μο μ καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια ἀφαιρῶ ἀπὸ τῶν ρ Μο μ [καὶ ltἀπὸgt τῶν β ἀριθμῶν καὶ τῶν μ μονάδων ὁμοίως μονάδας μmiddot] λοιποὶ Sβ ἴσοι Μο ξ ἕκαστος ἄρα γίνεται S Μο λ ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μο λ ὁ δὲ μείζων Μο ο καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά

Για τη συζήτηση των κειμένων θα εισαγάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό61 θα χρησιμοποιούμε το x για να δηλώσουμε τη λέξη laquoἀριθμόςraquo η οποία εμφανίζεται στο κείμενο του Διοφάντου και μόνο σε αυτό με την τεχνική σημασία ενός ονόματος

59 P Tannery (ed) Diophantus Alexandrinus opera omnia τ I σ 169ndash2260 P Tannery E StEacutephanou (eds) Quadrivium de Georges Pachymegravere σ 4926ndash50461 Ο συμβολισμός αυτός έχει προταθεί στα άρθρα A Bernard J Christianidis laquoA

new analytical framework for the understanding of Diophantusrsquo Arithmetica I-IIIraquo Archive for History of Exact Sciences 66 (2012) 1ndash69middot J Christianidis J Oaks laquoPracticing Algebra in Late Antiquity The Problem-Solving of Diophantus of Alexandriaraquo


που αποδίδεται σε έναν ζητούμενο όρο του προβλήματος στη συγκεκριμένη έκδοση του Tannery που έχουμε αναπαραγάγει η λέξη laquoἀριθμόςraquo αναπαριστάνεται με τη συντομογραφία S Το διπλό βέλος () θα χρησιμοποιείται για να δείξει ένα επίταγμα που δηλώνεται στην εκφώνηση ενώ το απλό βέλος (rarr) για να δείξει το αποτέλεσμα μιας πράξης Το σύμβολο laquo=raquo θα χρησιμοποιείται για να δείξει την ενέργεια της απόδοσης ονόματος σε έναν ζητούμενο όρο ενώ θα χρησιμοποιούμε το σύμβολο της ισότητας (=) αποκλειστικά και μόνο για να γράψουμε μια εξίσωση

Με βάση αυτές τις συμβάσεις για τον συμβολισμό το πρόβλημα που επιλύουν οι δύο συγγραφείς μπορεί να γραφεί ως εξής Χ + Υ a X ndash Υ b όπου Χ και Υ οι ζητούμενοι αριθμοί και a b δεδομένοι αριθμοί Στην περίπτωση του προβλήματος του Διοφάντου οι a b είναι οι αντιστοίχως οι 100 40 ενώ στην περίπτωση του προβλήματος του Παχυμέρη είναι οι 100 20

(i) Η επίλυση του προβλήματος Χ + Υ 100 X ndash Υ 20 από τον ΠαχυμέρηΗ επίλυση του Παχυμέρη εκτυλίσσεται ακολουθώντας τα εξής βήματα 1 100 ndash 20 rarr 80 2 80 2 rarr 40 3 40 + 20 rarr 60

Απάντηση οι ζητούμενοι αριθμοί είναι 60 και 40

Είναι φανερό ότι η επίλυση γίνεται με την εφαρμογή ενός αλγορίθμου ο οποίος εφαρμόζεται επί συγκεκριμένων αριθμών Ο αλγόριθμος περιγράφεται στον πίνακα που ακολουθεί

ΑλγόριθμοςΔεδομένα D1 D2

D1 ndash D2 rarr R1

R1 2 rarr R2

R2 + D2 rarr R3

Απάντηση R2 R3

(ii) Η επίλυση του προβλήματος Χ + Υ 100 X ndash Υ 40 από τον Διόφαντο

Η επίλυση του Διοφάντου εκτυλίσσεται σύμφωνα με τα εξής βήματα1 Αποδίδονται ονόματα στους δύο ζητούμενους αριθμούς Συγκεκριμένα ο μικρότερος (αυτός που παραστήσαμε με το Υ) ονομάζεται lsquo1Srsquo και ο μεγαλύτερος (αυτός που παραστήσαμε με το Χ) ονομάζεται lsquo1S και 40 μονάδεςrsquo Σύμφωνα με τον συμβολισμό που υιοθετήσαμε η πράξη της απόδοσης ονομάτων στους δύο ζητούμενους αριθμούς μπορεί να παρασταθεί ως εξής Υ = 1x X = 1x + 40


2 Με τους ονοματισμένους πια αριθμούς εκτελούνται οι πράξεις που αναφέρονται στην εκφώνηση Συγκεκριμένα η πράξη που εκτελείται είναι η πρόσθεση η οποία δηλώνεται στο κείμενο με τη φράση laquoσυναμφότεροι ἄρα γίνονται Sβ Μο μraquo Σύμφωνα με τον συμβολισμό που υιοθετήσαμε η πράξη αυτή μπορεί να παρασταθεί ως εξής (1x) + (1x + 40) rarr 2x + 403 Διατυπώνεται μια εξίσωση εκφρασμένη στη γλώσσα των ονομάτων (και όχι στη φυσική γλώσσα στην οποία είναι διατυπωμένο το πρόβλημα) Στην προκειμένη περίπτωση η εξίσωση δηλώνεται στο κείμενο με τη φράση laquoΜ ἄρα ρ ἴσαι εἰσὶν Sβ Μο μraquo Με τον συμβολισμό που υιοθετήσαμε η εξίσωση είναι 2x + 40 = 1004 Στη συνέχεια η εξίσωση απλοποιείται και επιλύεται Η λύση είναι 305 Τελικώς λαμβάνοντας υπrsquo όψιν τη λύση της εξίσωσης υπολογίζονται οι ζητούμενοι αριθμοί του προβλήματος ο 30 και ο 70 που πράγματι ικανοποιούν τα επιτάγματα του προβλήματος

Η επίλυση του Διοφάντου αναπαριστάνεται συνοπτικά στους πίνακες που ακολουθούν

Κατάστρωση της εξίσωσης

Απόδοση ονομάτων Εκτέλεση πράξεων Διατύπωση εξίσωσηςΥ = 1x X = 1x + 40

(1x) + (1x + 40) rarr 2x + 402x + 40 = 100

Επίλυση της εξίσωσης

Αρχική εξίσωση Απλοποιημένη εξίσωση Λύση της εξίσωσης2x + 40 = 100

2x = 60x = 30

Απάντηση στο πρόβλημαΧ = 30 Υ = 70

Η σύγκριση των δύο επιλύσεων φανερώνει αμέσως τις μεταξύ τους θεμελιώδεις διαφορές Στην επίλυση του Διοφάντου εισάγεται ο άγνωστος (ο lsquoἀριθμόςrsquo) και εκτελούνται πράξεις με αυτόν Στην επίλυση του Παχυμέρη πράξεις εκτελούνται μόνο με γνωστούς αριθμούς Επίσης στην επίλυση του Διοφάντου σχηματίζεται μια εξίσωση η οποία στη συνέχεια επιλύεται Στην επίλυση του


Παχυμέρη δεν σχηματίζεται καμιά εξίσωση Είναι φανερό λοιπόν πως πρόκειται για δύο διαφορετικούς τρόπους επίλυσης Η επίλυση του Παχυμέρη είναι μια αριθμητική επίλυση Η επίλυση του Διοφάντου από τους χρόνους του μεσαιωνικού Ισλάμ και μετά είναι γνωστή ως αλγεβρική

bull


1 Εισαγωγή

Ο Νικόμαχος ο Γερασηνός και ο Γεώργιος Παχυμέρης είναι συγγραφείς που έζησαν σε δύο εποχές τις οποίες χωρίζουν περισσότεροι από δώδεκα αιώνες

Ο Νικόμαχος έζησε τον 2ο μΧ αι και καταγόταν από την πόλη Γέρασα της ρωμαϊκής Συρίας Ελάχιστες πληροφορίες διασώζονται για τον ίδιο και τη ζωή του εκτός από τη φήμη του στον αρχαίο κόσμο ως επιδέξιου μαθηματικού Είναι γνωστός στην ιστορία της επιστήμης κυρίως για το έργο του Αριθμητική εισαγωγή το οποίο άσκησε μεγάλη επίδραση στην αριθμητική παιδεία όλων των παραδόσεων που ήρθαν σε επαφή μαζί του ανατολικών και δυτικών (ελληνικών αραβικών εβραϊκών λατινικών) Ο Παχυμέρης γεννήθηκε το 1242 στη Νίκαια της Βιθυνίας (πέθανε μετά το 1308 στην Κωνσταντινούπολη) και είναι ένας από τους γνωστότερους λογίους της lsquoπαλαιολόγειας αναγέννησηςrsquo1 Σημαντικότερο έργο του θεωρείται το πολύτομο Συγγραφικαί ιστορίαι2 στην ιστορία της επιστήμης ωστόσο κατέχει μια θέση ως συγγραφέας της Τετραβίβλου ή αλλιώς του Συντάγματος των τεσσάρων μαθημάτων (αριθμητικής μουσικής αστρονομίας και γεωμετρίας) ενός quadrivium δηλαδή το οποίο σώζεται ολόκληρο και είναι μάλιστα το μόνο του μεγέθους του που επιζεί από τα βυζαντινά quadrivia Έχει επισημανθεί επανειλημμένως ότι η Αριθμητική εισαγωγή επηρέασε σημαντικά τα διάφορα quadrivia που συντάχθηκαν κατά τη διάρκεια του Μεσαίωνα καθορίζοντας την ύλη και τη μορφή του κεφαλαίου της Αριθμητικής μεταξύ αυτών και το quadrivium του Παχυμέρη Όμως για το κεφάλαιο περί Αριθμητικής ο Παχυμέρης χρησιμοποίησε και άλλες πηγές εκτός από τον Νικόμαχο τα Στοιχεία του Ευκλείδη και τα Αριθμητικά του Διοφάντου έργα τα οποία τόσο από άποψη περιεχομένου όσο και μορφολογικά διαφέρουν από το έργο του Νικομάχου Στην παρούσα μελέτη θα εξετάσουμε τη συγγένεια των προαναφερθέντων έργων του Νικομάχου και του Παχυμέρη σε ένα πολύ συγκεκριμένο πεδίο αυτό της πραγμάτευσης των λόγων Μία επιπλέον πλευρά της συσχέτισης αυτής θα αναδειχθεί όπως θα δούμε από την επιλογή του Παχυμέρη να εντάξει ύλη από τα Αριθμητικά του Διοφάντου στο βιβλίο της Αριθμητικής της Τετραβίβλου

Για την επίτευξη του στόχου αυτού θα ακολουθήσουμε την εξής ανάπτυξη Πρώτον θα παρουσιάσουμε συνοπτικά τη δομή και το περιεχόμενο της Αριθμητικής εισαγωγής εστιάζοντας ιδιαίτερα στα περιεχόμενα που μας αφορούν δεύτερον θα εξετάσουμε πώς τα ίδια περιεχόμενα εκτίθενται στο έργο του Παχυμέρη και τρίτον θα επιχειρήσουμε να ερμηνεύσουμε τα δεδομένα αυτά θέτοντας και

1 Ο χαρακτηρισμός lsquoπαλαιολόγεια αναγέννησηrsquo αποδίδεται στην περίοδο μετά την ανάκτηση της Κωνσταντινούπολης από τους Βυζαντινούς το 1261 και μέχρι τις αρχές του 15ου αιώνα Στην περίοδο αυτή οι επιστήμες τα γράμματα και συνολικότερα η παιδεία αλλά και οι τέχνες γνωρίζουν εκρηκτική άνθιση

2 Για έναν λεπτομερή κατάλογο των έργων του Παχυμέρη βλ λχ P Golitsis laquoGeorg-es Pachymegravere comme didascale Essai pour une reconstitution de sa carriegravere et de son en-seignement philosophiqueraquo Jahrbuch der Oumlsterreichischen Byzantinistik 58 (2008) 53ndash68
































































n times A



m+n ) times A





m+n ) times Α










3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 hellip


1 2 3 4 5 6 hellip3 6 9 12 15 18 hellip
















1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 405 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 809 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100







1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 20


3 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 40

Επιτέταρτος5 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 809 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100











































Leiden Brill 2012






















25



35επιμερής


4

14



























44b






























1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 30













18 16 6

16 10 12


1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 405 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 80









ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ















D1 ndash D2 rarr R1

R1 2 rarr R2

R2 + D2 rarr R3









(1x) + (1x + 40) rarr 2x + 402x + 40 = 100



2x = 60x = 30





bull
































































n times A



m+n ) times A





m+n ) times Α










3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 hellip


1 2 3 4 5 6 hellip3 6 9 12 15 18 hellip
















1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 405 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 809 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100







1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 20


3 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 40

Επιτέταρτος5 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 809 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100











































Leiden Brill 2012






















25



35επιμερής


4

14



























44b






























1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 30













18 16 6

16 10 12


1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 405 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 80









ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ















D1 ndash D2 rarr R1

R1 2 rarr R2

R2 + D2 rarr R3









(1x) + (1x + 40) rarr 2x + 402x + 40 = 100



2x = 60x = 30





bull





3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 hellip


1 2 3 4 5 6 hellip3 6 9 12 15 18 hellip
















1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 405 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 809 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100







1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 20


3 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 40

Επιτέταρτος5 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 809 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100











































Leiden Brill 2012






















25



35επιμερής


4

14



























44b






























1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 30













18 16 6

16 10 12


1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 405 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 80









ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ















D1 ndash D2 rarr R1

R1 2 rarr R2

R2 + D2 rarr R3









(1x) + (1x + 40) rarr 2x + 402x + 40 = 100



2x = 60x = 30





bull














1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 405 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 809 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100







1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 20


3 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 40

Επιτέταρτος5 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 809 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100











































Leiden Brill 2012






















25



35επιμερής


4

14



























44b






























1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 30













18 16 6

16 10 12


1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 405 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 80









ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ















D1 ndash D2 rarr R1

R1 2 rarr R2

R2 + D2 rarr R3









(1x) + (1x + 40) rarr 2x + 402x + 40 = 100



2x = 60x = 30





bull



1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 20


3 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 40

Επιτέταρτος5 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 809 18 27 36 45 54 63 72 81 90

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100











































Leiden Brill 2012






















25



35επιμερής


4

14



























44b






























1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 30













18 16 6

16 10 12


1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 405 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 80









ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ















D1 ndash D2 rarr R1

R1 2 rarr R2

R2 + D2 rarr R3









(1x) + (1x + 40) rarr 2x + 402x + 40 = 100



2x = 60x = 30





bull







































Leiden Brill 2012






















25



35επιμερής


4

14



























44b






























1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 30













18 16 6

16 10 12


1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 405 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 80









ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ















D1 ndash D2 rarr R1

R1 2 rarr R2

R2 + D2 rarr R3









(1x) + (1x + 40) rarr 2x + 402x + 40 = 100



2x = 60x = 30





bull






















25



35επιμερής


4

14



























44b






























1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 30













18 16 6

16 10 12


1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 405 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 80









ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ















D1 ndash D2 rarr R1

R1 2 rarr R2

R2 + D2 rarr R3









(1x) + (1x + 40) rarr 2x + 402x + 40 = 100



2x = 60x = 30





bull




















44b






























1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 30













18 16 6

16 10 12


1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 405 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 80









ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ















D1 ndash D2 rarr R1

R1 2 rarr R2

R2 + D2 rarr R3









(1x) + (1x + 40) rarr 2x + 402x + 40 = 100



2x = 60x = 30





bull



























1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 30













18 16 6

16 10 12


1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 405 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 80









ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ















D1 ndash D2 rarr R1

R1 2 rarr R2

R2 + D2 rarr R3









(1x) + (1x + 40) rarr 2x + 402x + 40 = 100



2x = 60x = 30





bull











18 16 6

16 10 12


1 2 3 4 5 6 7 8 9 102 4 6 8 10 12 14 16 18 203 6 9 12 15 18 21 24 27 304 8 12 16 20 24 28 32 36 405 10 15 20 25 30 35 40 45 506 12 18 24 30 36 42 48 54 607 14 21 28 35 42 49 56 63 708 16 24 32 40 48 56 64 72 80









ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ















D1 ndash D2 rarr R1

R1 2 rarr R2

R2 + D2 rarr R3









(1x) + (1x + 40) rarr 2x + 402x + 40 = 100



2x = 60x = 30





bull





ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ















D1 ndash D2 rarr R1

R1 2 rarr R2

R2 + D2 rarr R3









(1x) + (1x + 40) rarr 2x + 402x + 40 = 100



2x = 60x = 30





bull








D1 ndash D2 rarr R1

R1 2 rarr R2

R2 + D2 rarr R3









(1x) + (1x + 40) rarr 2x + 402x + 40 = 100



2x = 60x = 30





bull






(1x) + (1x + 40) rarr 2x + 402x + 40 = 100



2x = 60x = 30





bull



bull

Georgios Pachymeres, reader of Nicomachus: The arithmetical theory of ratios as a means for solving...

Documents

Transcript of Georgios Pachymeres, reader of Nicomachus: The arithmetical theory of ratios as a means for solving...