G\'eom\'etries Lorentziennes de dimension 3 : classification et compl\'etude

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7

GEOMETRIES LORENTZIENNES DE DIMENSION 3 :

CLASSIFICATION ET COMPLETUDE

SORIN DUMITRESCU⋆ & ABDELGHANI ZEGHIB†

Abstract. (Lorentz geometries in dimension 3: completeness and classification). Westudy 3-dimensional non-Riemannian Lorentz geometries, i.e. compact locally homoge-neous Lorentz 3-manifolds, with non-compact (local) isotropy group. One result is that,up to a finite cover, all such manifolds admit Lorentz metrics of (non-positive) constantsectional curvature. In fact, if the geometry is maximal, then, there is a tri-chotomy.The metric has constant sectionnal curvature, or is a left invariant metric on the Heisen-berg group or the SOL-group. These geometries, on each of the latter two groups arecharacterized by having a non-compact isotropy without being flat. Recall, for the needof his formulation of the geometrization conjecture, W. Thurston counted the 8 max-imal Riemannian geometries in dimension 3. Here, we count only 4 maximal Lorentzgeometries, but ignoring those which are at the same time Riemannian. Also, all suchmanifolds are geodesically complete, except the previous non flat left invariant metric onthe SOL-group.

Resume. Nous classifions les geometries lorentziennes de dimension 3 qui admettentdes realisations compactes. Notre resultat implique que toute variete lorentzienne lo-calement homogene compacte de dimension 3 est isometrique au quotient (a gauche)d’un espace homogene lorentzien G/I de dimension 3 par un sous-groupe discret Γ deG agissant proprement et discontinument. Si, de plus, le groupe d’isotropie locale de lametrique lorentzienne est suppose non compact, le revetement universel de la variete estisometrique a une metrique invariante par translations sur l’un des 4 groupes suivants :

R3, ˜SL(2, R), Heis ou SOL.Notre classification implique egalement que toute variete compacte connexe de di-

mension 3 qui possede une metrique lorentzienne localement homogene dont le grouped’isotropie locale est non compact, admet, a revetement fini pres, une metrique lorentzi-enne de courbure sectionnelle constante (negative ou nulle).

Un autre corollaire est que toute variete compacte connexe de dimension 3 munied’une metrique lorentzienne localement homogene dont le groupe d’isotropie locale estnon compact est geodesiquement complete, sauf si elle est localement modelee sur l’uniquemetrique invariante a gauche sur le groupe SOL qui n’est pas plate, mais qui admet ungroupe d’isotropie locale non compact.

1. Introduction, Exemples

Soit G un groupe de Lie reel et G/I, ou I est un sous-groupe ferme de G, un espacehomogene suppose simplement connexe.

On dit que G/I est lorentzien et que (G,G/I) est une geometrie lorentzienne (au sensde Klein) si l’action canonique de G sur G/I preserve une metrique lorentzienne (i.e. unchamp lisse de formes quadratiques non degenerees de signature (n−1, 1)), ou de maniere

Date: le 26 octobre 2007.Mots cles: Varietes lorentziennes localement homogenes- algebres de Killing transitives- completude

geodesique-completude des (G, X)-structures.Classification math. 53B30, 53C22, 53C50 .

1

http://arXiv.org/abs/math/0703846v2

2 S. DUMITRESCU, A. ZEGHIB

equivalente, si l’action adjointe de I preserve une forme quadratique non degeneree designature (n − 1, 1) sur le quotient G/I des algebres de Lie correspondantes.

Une variete compacte connexe M admet une (G,G/I)-structure (on dit aussi que M estlocalement modelee sur l’espace homogene G/I) s’il existe un atlas de M a valeurs dans desouverts de G/I tel que les applications de changements de cartes soient donnees par deselements du groupe G. Dans ce cas, tout objet geometrique (par exemple, un tenseur ouune connexion) sur G/I, invariant par l’action de G, induit un objet geometrique du memetype sur M . En particulier, dans le cas d’un espace homogene de type lorentzien G/I, lavariete M herite d’une metrique lorentzienne localement homogene (voir la definition ensection 3). Nous dirons aussi que la geometrie lorentzienne (G,G/I) admet une realisationcompacte sur la variete M .

La geometrie lorentzienne (G,G/I) est dite maximale, si l’action de G ne s’etend pas enune action fidele d’un groupe de Lie de dimension strictement plus grande G′ qui preserveune metrique lorentzienne. Deux metriques lorentziennes sur G/I dont les composantesneutres des groupes des isometries sont conjuguees dans le groupe des diffeomorphismesde G/I definissent une meme geometrie.

Une (G,G/I)-structure sur M donne classiquement naissance a une application de-

veloppante qui est un diffeomorphisme local entre un revetement universel M de M etl’espace modele G/I [39, 40, 37]. L’application developpante conjugue l’action du groupe

de revetement M → M a l’action du groupe d’holonomie Γ sur l’espace modele.Une (G,G/I)-structure est dite complete si son application developpante est un diffeo-

morphisme. Lorsque G preserve une metrique lorentzienne ou riemannienne, ou plusgeneralement une connexion, on a aussi la notion de completude geodesique [41]. Lacompletude geodesique est plus forte que la completude au sens ci-dessus (voir lemme 2.2).

Si M est complete, alors M = Γ\G/I, ou Γ est le groupe d’holonomie de M , qui agitlibrement et proprement sur G/I. Lorsque I est compact, ceci equivaut au fait que Γ soitun reseau cocompact de G.

On dit qu’une (G,G/I)-structure satisfait a une rigidite de Bieberbach, si pour touterealisation compacte complete M , il existe un sous-groupe de Lie connexe L de G con-tenant, a indice fini pres, le groupe d’holonomie Γ de M et agissant librement et tran-sitivement sur G/I. Dans ce cas, L s’identifie a G/I et, a indice fini pres, M est Γ\L.L’enonce classique du theoreme de Bieberbach correspond au cas de la geometrie euclidi-enne (O(n) ⋉ Rn,Rn), avec L = Rn, le groupe des translations.

Rappelons que W. Thurston a classifie les huit geometries riemanniennes maximalesde dimension 3 qui possedent des realisations compactes (voir [39, 40, 37], et egalement[10, 38], pour des etudes recentes sur ces geometries).

Une specificite bien connue des (G,G/I)-structures riemanniennes est que toute realisationcompacte d’une telle structure est necessairement complete. Ce phenomene n’est nulle-ment assure (et souvent faux) pour les (G,G/I)-structures generales, mais sera demontredans cet article pour les (G,G/I)-structures lorentziennes de dimension 3.

Nous nous interessons dans ce travail aux geometries lorentziennes de dimension 3 quisont non-riemanniennes, i.e. l’action de G sur G/I ne preserve pas de metrique rieman-nienne. C’est equivalent au fait que l’action adjointe de I soit a image non bornee dans legroupe des transformations lineaires de G/I.

Dans la suite de cette introduction on explicite des exemples de geometries lorentziennesnon-riemanniennes maximales de dimension 3.

Les geometries lorentziennes de courbure sectionnelle constante sont maximales car ellesrealisent la dimension maximale du groupe des isometries (voir proposition 3.1 ou [41]).

GEOMETRIES LORENTZIENNES EN DIMENSION 3 3

Avant de presenter les geometries modeles (G,G/I) qui incarnent, en dimension 3, lesgeometries lorentziennes de courbure sectionnelle constante et qui sont la geometrie platede Minkowski (courbure nulle), la geometrie de Sitter (courbure positive) et la geometrieanti de Sitter (courbure negative), precisons que, d’apres un resultat du a Carriere [4]dans le cas plat et etendu par Klingler [22] au cas de courbure sectionnelle constante(voir egalement [27, 30]), toute realisation compacte de G/I est complete. Ce resultat decompletude est essentiel dans l’etude des geometries lorentziennes de courbure sectionnelleconstante.

Il implique, en particulier, que la geometrie de courbure sectionnelle constante positiven’admet pas de realisation compacte. En effet, d’apres les travaux [3], seuls les groupesfinis agissent proprement sur l’espace de Sitter, qui n’admet donc pas de quotient compact.

Geometrie Minkowski. Un modele de la geometrie Minkowski est R3, muni de la formequadratique dx2 + dy2 − dz2. Le groupe G de cette geometrie est O(2, 1) ⋉ R3, agissantaffinement sur R3. L’isotropie I de la geometrie Minkowski est O(2, 1).

Il est demontre dans [13, 15] que la geometrie Minkowski satisfait a une rigidite deBieberbach, avec le groupe L isomorphe a R3, Heis ou SOL.

Geometrie anti de Sitter. Un modele de cette geometrie est le revetement universel˜SL(2,R) de SL(2,R), muni de la metrique lorentzienne invariante par translations a

gauche qui coıncide en identite avec la forme de Killing q sur l’algebre de Lie sl(2,R).Comme la forme de Killing q est invariante par la representation adjointe, le groupe desisometries de la geometrie anti de Sitter contient egalement les translations a droite. Lacomposante neutre du groupe des isometries de la geometrie anti de Sitter est (modulo

quotient par le noyau de l’action qui est fini, de cardinal quatre) G = ˜SL(2,R)× ˜SL(2,R),

avec isotropie I isomorphe a ˜SL(2,R) et plongee diagonalement dans G.

Comme le groupe ˜SL(2,R) agit librement transitivement sur le modele G/I, il suffit

de considerer le quotient a gauche de ˜SL(2,R) par un reseau cocompact Γ de ˜SL(2,R),

pour construire ainsi des varietes compactes M = Γ\ ˜SL(2,R) localement modelees sur lageometrie anti de Sitter.

La rigidite de Bieberbach, valable dans le cas plat, n’est plus valide pour la geometrieanti de Sitter [14, 36].

Geometrie Lorentz-Heisenberg. Il s’agit de la geometrie d’une certaine metrique lorentzi-enne invariante par translations a gauche sur le groupe de Heisenberg Heis. Designonspar heis l’algebre de Lie de Heis.

Proposition 1.1. Modulo automorphisme et a constante multiplicative pres, il existesur Heis une seule metrique lorentzienne invariante a gauche, affectant une longueurpositive au centre de heis. Ces metriques definissent une meme geometrie lorentziennenon-riemannienne maximale, dont la composante neutre du groupe des isometries est dedimension quatre, isomorphe a un produit semi-directe R ⋉ Heis et dont l’isotropie estsemi-simple (i.e. agit sur l’espace tangent au point base comme un groupe a un parametrediagonalisable). Cette geometrie sera appelee Lorentz-Heisenberg.

Comme avant, il suffit de considerer un quotient (a gauche) de Heis par un reseaucocompact Γ, pour se convaincre que la geometrie Lorentz-Heisenberg se realise bien surdes varietes compactes.


Geometrie Lorentz-SOL. C’est une geometrie obtenue a partir d’une metrique lorentzi-enne invariante a gauche sur SOL. Rappelons que l’algebre de Lie correspondante solest engendree par {X,Z, T}, avec seuls crochets non-nuls [T,X] = X et [T,Z] = −Z.L’algebre derivee est donc R2 = RX ⊕ RZ. Considerons sur SOL la metrique lorentzi-enne invariante a gauche g definie en identite par : X et T sont isotropes, Z est orthogonala RX ⊕ RT , et g(X,T ) = g(Z,Z) = 1.

Proposition 1.2. A automorphisme pres, g est l’unique metrique lorentzienne invariantea gauche sur SOL, qui rend l’algebre derivee degeneree et telle que l’une des deux directionspropres de ad(T ) est isotrope. La composante neutre du groupe des isometries de g estde dimension 4 : il s’agit d’une extension non triviale de Heis (ici, Heis n’agit pastransitivement) et l’isotropie locale est non compacte (unipotente). Cette metrique definitune geometrie lorentzienne maximale et non-riemannienne qu’on designera par Lorentz-SOL.

2. Enonces des resultats

Le theoreme principal de cet article montre que les exemples precedents constituentles seules geometries lorentziennes non-riemanniennes maximales qui se realisent sur desvarietes compactes de dimension 3 :

Theoreme 2.1. Soit M une variete lorentzienne compacte connexe de dimension 3 lo-calement modelee sur une geometrie lorentzienne non-riemannienne (G,G/I).

Classification :

(i) Le modele G/I est isometrique a une metrique lorentzienne invariante a gauche sur

l’un des quatre groupes suivants : R3, ˜SL(2,R), Heis ou SOL.• Dans le cas de R3, toutes les metriques sont plates.

• Dans le cas de ˜SL(2,R), il y a trois geometries lorentziennes non-riemanniennesqui proviennent des metriques lorentziennes invariantes a gauche : la seule geometriemaximale est anti de Sitter, les deux autres sont donnees par des metriques lorentziennesde courbure sectionnelle non constante invariantes a gauche et egalement par un sous-groupe a un parametre unipotent (respectivement semi-simple) de translations a droite.

• Dans le cas de Heis, il y a deux geometries lorentziennes non-riemanniennes invari-antes a gauche. L’une est plate et l’autre correspond a la geometrie Lorentz-Heisenberg.

• Dans le cas de SOL, il y a deux geometries lorentziennes non-riemanniennes invari-antes a gauche. L’une est plate et l’autre correspond a la geometrie Lorentz-SOL.

(ii) Si la geometrie lorentzienne (G,G/I) est maximale, alors c’est l’une des 4 geometriessuivantes : Minkowski, anti de Sitter, Lorentz-Heisenberg ou Lorentz-SOL.

Completude :

(iii) La (G,G/I)-structure est complete.

(iv) On a une rigidite de Bieberbach dans tous les cas ou la geometrie maximale cor-repondante n’est pas anti de Sitter. Dans le cas des geometries Lorentz-Heisenberg ouLorentz-SOL, le groupe d’holonomie est, a indice fini pres, un reseau cocompact de Heisou SOL, respectivement.


(v) M est geodesiquement complete, sauf si elle est localement modelee sur la geometrieLorentz-SOL.

Precisons a present les implications qui existent entre les differents points du theoremeprecedent. Un resultat essentiel qui permet de passer de la completude geodesique a lacompletude au sens des (G,G/I)-structures est le lemme bien connu suivant :

Lemme 2.2. Soit M une variete qui admet une (G,G/I)-structure telle que l’action deG sur G/I preserve une connexion lineaire ∇. Si la connexion induite sur M par ∇ estgeodesiquement complete, alors la (G,G/I)-structure de M est complete.

Ce resultat, combine avec le theoreme classique de completude geodesique de Hopf-Rinow [41], implique que les (G,G/I)-structures riemanniennes sur des varietes compactessont automatiquement completes. En particulier, toute (G,G)-structure (ou le groupe deLie G agit sur lui-meme par translations) sur une variete compacte M est complete et Ms’identifie au quotient de G par un reseau cocompact.

Grace aux resultats de Carriere et Klingler [5, 22] qui affirment que les varietes lorentzi-ennes compactes de courbure sectionnelle constante sont geodesiquement completes, lelemme 2.2 fournit egalement la completude des varietes compactes localement modeleessur les (G,G/I)-structures pour lesquelles l’action de G preserve une metrique lorentziennesur G/I de courbure sectionnelle constante. Le theoreme de classification des geometrieslorentziennes non-riemanniennes maximales (partie (ii) du theoreme 2.1) permet alors derestreindre l’etude de la completude aux varietes compactes localement modelees sur lesgeometries Lorentz-Heisenberg et Lorentz-SOL. La completude et la rigidite de Bieber-bach des realisations compactes des geometries Lorentz-Heisenberg et Lorentz-SOL sedemontre via les propositions 8.1 et 7.1 respectivement. Finalement, on obtient le resultatde completude de la partie (iii) du theoreme principal, qui peut s’enoncer egalement dela maniere suivante :

Corollaire 2.3. Toute variete lorentzienne localement homogene compacte connexe et dedimension 3 est isometrique au quotient (a gauche) d’un espace homogene lorentzien G/Ipar un sous-groupe discret Γ de G agissant proprement.

Mentionnons que, dans le contexte des metriques lorentziennes analytiques de dimension3, l’homogeneite locale sur un ouvert non vide de M assure l’homogeneite locale sur M [11]et le corollaire precedent s’applique.

Une consequence du theoreme 2.1 est le resultat d’uniformisation suivant :

Theoreme 2.4. 1 Toute variete compacte connexe de dimension 3 qui possede une metriquelorentzienne localement homogene dont le groupe d’isotropie locale est non compact admetun revetement fini qui possede une metrique lorentzienne de courbure sectionnelle con-stante (negative ou nulle).

En effet, si la geometrie maximale correspondante n’est pas de courbure sectionnelleconstante, celle-ci coıncide alors avec la geometrie Lorentz-Heisenberg, ou bien avec lageometrie Lorentz-SOL. Dans les deux cas, la partie (iv) du theoreme 2.1 assure que (arevetement fini pres) la variete M est un quotient (a gauche) de Heis ou de SOL parun reseau. Or, aussi bien Heis, que SOL, possedent des metriques lorentziennes platesinvariantes a gauche [35] qui descendent bien sur M .

Ainsi, les quotients compacts de la forme Γ\Heis portent deux geometries lorentziennesmaximales differentes : Minkowski et Lorentz-Heisenberg. Ce phenomene est specifique a

1Suite a ce travail, nous avons demontre un theoreme analogue dans le contexte des metriques rieman-niennes holomorphes [12].


la geometrie non-riemannienne : dans le contexte riemannien il y a unicite de la geometriemaximale portee par les varietes compactes de dimension trois [37].

Par ailleurs, les parties (i) et (iii) du theoreme 2.1 permettent de ramener l’etude duprobleme de completude geodesique a la completude geodesique des metriques invariantes

a gauche sur les groupes de Lie R3, ˜SL(2,R), Heis ou SOL et d’obtenir la partie (vi) dutheoreme 2.1, en utilisant des resultats connus dans ce contexte.

Nous avons vu que la completude geodesique est acquise dans le cas de courbure sec-tionnelle constante. La completude geodesique de la geometrie Lorentz-Heisenberg estdemontree dans la section 4 de [35], ou le calcul explicite des geodesiques est presente.Plus generalement, toutes les metriques lorentziennes invariantes a gauche sur Heisenbergsont geodesiquement completes [17].

Le manque de completude geodesique de la metrique Lorentz-SOL est prouve dans [19].

Finalement le cas des metriques invariantes sur ˜SL(2,R) est analyse dans [18] : leresultat des auteurs implique bien qu’on a completude geodesique des que l’isotropie n’estpas compacte (voir la preuve du corollaire 5.2).

Par ailleurs, les exemples de [18] et l’exemple de [19] montrent que la completudegeodesique peut tomber en defaut pour certaines metriques lorentziennes invariantes a

gauche sur ˜SL(2,R) ou sur SOL (ici, meme en presence d’un groupe d’isotropie noncompact). Neanmoins notre resultat de completude pour les realisations compactes des(G,G/I)-geometries lorentziennes persiste meme quand le modele G/I lui-meme n’est pasgeodesiquement complet.

Organisation de l’article. Dans la section 3, nous etudions l’algebre de Lie des champs deKilling locaux G d’une variete lorentzienne localement homogene de dimension 3. CommeG est supposee transitive, la dimension de G est au moins 3. Nous montrons que le casdelicat auquel on peut se ramener rapidement est celui ou G est de dimension 4 et l’algebred’isotropie locale I est de dimension 1 (unipotente ou semi-simple). Nous construisonsdes feuilletages F , totalement geodesiques et degeneres pour la metrique, grace a la non-compacite du groupe d’isotropie locale.

La section 4 presente les geometries lorentziennes invariantes par translations sur lesgroupes Heis et SOL. On y demontre les propositions 1.1 et 1.2.

Dans la section 5, on determine les geometries dont l’algebre de Killing contient unecopie de sl(2,R). En particulier, on classifie celles qui sont invariantes par translations

sur ˜SL(2,R).Dans la section 6, on classifie les algebres resolubles de dimension 4 qui peuvent ap-

paraıtre comme algebre de Killing d’une geometrie lorentzienne non-riemannienne. Uneetape intermediaire importante est la determination de la structure algebrique du stabil-isateur d’une feuille de F . On classifie ensuite les modeles algebriques correspondantesG/I sans hypothese d’existence de realisations compactes.

Lors de la section 7, on demontre que la seule geometrie lorentzienne non-riemanniennesmaximale avec G resoluble de dimension 4 et isotropie contenant un sous-groupe a unparametre unipotent est Lorentz-SOL. On montre egalement la completude et la rigiditede Bieberbach des realisations compactes de la geometrie Lorentz-SOL.

Dans la section 8, on prouve que dans le cas restant, G resoluble de dimension 4 etisotropie contenant un sous-groupe a un parametre semi-simple, la geometrie est Lorentz-Heisenberg. On demontre ici la completude et la rigidite de Bieberbach des realisationscompactes de la geometrie Lorentz-Heisenberg.


3. Dynamique lorentzienne locale

Considerons une metrique lorentzienne g sur une variete M . Dans toute la suite del’article la variete M sera supposee compacte, connexe et de dimension 3 et g sera supposeelocalement homogene.

Rappelons qu’un champ de vecteurs (local) est dit champ de Killing (local) de g sison flot (local) preserve g. La metrique lorentzienne g est dite localement homogene sil’algebre des champs de Killing locaux G de g agit transitivement sur M . Dans ce cas, ladimension de G est minoree par la dimension de M . La sous-algebre d’isotropie I, formeepar les elements de G qui s’annulent en un point x0 ∈ M , engendre le pseudo-groupe desisometries locales qui fixent x0.

Rappelons qu’une isometrie locale de g est entierement determinee par son 1-jet [41, 9],ce qui explique que I s’injecte dans le groupe orthogonal de (Tx0

M,gx0). Il vient que la

dimension de I est inferieure ou egale a la dimension du groupe orthogonal precedent.

Proposition 3.1. A revetement fini pres, toute metrique lorentzienne localement ho-mogene g sur une variete compacte M de dimension 3 est localement modelee sur uneunique geometrie maximale (G,G/I), avec G connexe.

i) La dimension de G est ≤ 6, avec egalite si et seulement si g est de courbure section-nelle constante.

ii) Si la dimension de G est egale a 3, alors M est (a revetement fini pres) un quotientΓ\G, de G, par un reseau cocompact Γ. De plus, l’image reciproque de g sur G est unemetrique lorentzienne invariante par translation a gauche.

iii) La dimension de G est differente de 5 (donc I n’est jamais de dimension 2).

Remarque 1. En dimension plus grande, en general, l’existence d’un modele G/I tombeen defaut, aussi bien dans le contexte riemannien [21, 25], que dans le contexte pseudo-riemannien [33].

Demonstration. Un modele local G/I existe si et seulement si le groupe I associe ala sous-algebre I de G est ferme dans l’unique groupe connexe et simplement connexe Gassocie a G (voir le theoreme 1.3 de [33]). Or, d’apres un resultat de G. Mostow [31], ceciest vrai des que la codimension de I dans G est < 5. La codimension de I dans G etantici egale a 3 (la dimension de M), le theoreme de Mostow s’applique. La variete M estalors localement modelee sur une geometrie dont le groupe est le groupe des isometries deG/I (et pas seulement sa composante neutre G). Comme le groupe des isometries de G/Iadmet un nombre fini de composantes connexes, un revetement fini de M est localementmodele sur (G,G/I).

i) La dimension de G est bornee superieurement par la somme de la dimension de Met de la dimension du groupe orthogonal correspondant. En dimension 3, la dimensionmaximale de G est donc egale a 6 et elle caracterise les metriques de courbure sectionnelleconstante. En effet, dans ce cas I est de dimension 3 et agit transitivement sur les 2-plans non degeneres contenus dans Tx0

M . Ceci implique, dans un premier temps, quela courbure sectionnelle en x0 ne depend que de x0 et l’homogeneite locale permet deconclure que la courbure sectionnelle est constante sur M (pour les notions classiques degeometrie lorentzienne le lecteur pourra consulter [41]).

ii) Dans ce cas M admet une (G,G)-structure, avec G agissant par translation a gauchesur lui-meme. Le revetement universel de M s’identifie donc au modele G et M estisometrique au quotient de G par un reseau cocompact.

iii) La preuve est basee essentiellement sur le fait que le stabilisateur d’une orbite d’uneaction lineaire algebrique de PSL(2,R) sur un espace vectoriel de dimension finie est unsous-groupe algebrique qui n’est jamais de dimension 2. Pour la preuve de ce fait il suffitde le constater pour les representations irreductibles de PSL(2,R) et de remarquer que,


dans le cas general, le stabilisateur d’une orbite est l’intersection des stabilisateurs quicorrespondent aux projections de cette orbite sur chaque representation irreductible.

Considerons l’action de I sur l’espace tangent Tx0M (le groupe d’isotropie locale s’identifie

alors a un sous-groupe du groupe orthogonal O(2, 1) ≃ PSL(2,R)) . Cette action preservele tenseur courbure de Ricci en x0, note Riccix0

.Considerons l’action du groupe orthogonal PSL(2,R) sur l’espace vectoriel S2(T ∗

x0M)

des formes quadratiques sur Tx0M . L’action preserve la metrique gx0

et induit une actionde PSL(2,R) sur l’espace vectoriel quotient S2(T ∗

x0M)/Rgx0

.Le groupe d’isotropie locale est contenu dans le stabilisateur de l’element induit par

Riccix0dans l’espace vectoriel S2(T ∗

x0M)/Rgx0

.Si la dimension du groupe d’isotropie est strictement superieure a 1, il vient que le

stabilisateur de la courbure de Ricci est de dimension 3 (on a vu que la dimension ne peutetre egale a 2) et que ce stabilisateur coıncide avec tout le groupe orthogonal. Ceci impliqueque Riccix0

= λgx0avec λ ∈ R (la fonction λ est constante sur M par homogeneite locale)

et notre espace est a courbure sectionnelle constante. Le groupe d’isotropie est alors dedimension 3. On vient de prouver que le groupe d’isotropie n’est jamais de dimension 2et que donc la dimension de G est 6= 5. 2

.

Il reste a regler le cas ou l’algebre de Lie G des champs de Killing est de dimension 4 etl’algebre d’isotropie I est de dimension 1 et agit non proprement sur G/I. Ce sera toutela suite de notre travail qui se concentrera sur cette situation.

La composante neutre du groupe d’isotropie locale I en x0 s’identifie avec un sous-groupea un parametre du groupe orthogonal SO(2, 1).

Rappelons que l’action de SO(2, 1) sur (Tx0M,gx0

) est conjuguee a l’action par larepresentation adjointe de PSL(2,R) sur son algebre de Lie (car cette action preservela forme de Killing sur sl(2,R)).

Rappelons egalement que les sous-groupes a un parametre de PSL(2,R) sont conjuguesa l’un des sous-groupes suivants :

(1) un sous-groupe elliptique de la forme

(cost sint−sint cost

)qui fixe un vecteur de

norme −1 dans Tx0M ;

(2) un sous-groupe unipotent

(1 t0 1

)qui fixe un vecteur isotrope dans Tx0

M ;

(3) un sous-groupe semi-simple

(t 00 t−1

)qui fixe un vecteur de norme 1 dans Tx0

M .

Le cas elliptique sera exclu de notre etude car il represente une geometrie riemanni-enne. Nous allons nous concentrer donc sur les cas d’isotropie semi-simple ou d’isotropieunipotente.

Base adaptee. Dans le cas d’isotropie semi-simple l’action de I sur Tx0M fixe un

vecteur e1 de norme egale a 1. Le plan e⊥1 est alors lorentzien et les vecteurs e2, e3 ∈ e⊥1sont definis a constante multiplicative pres par les conditions suivantes : e2, e3 engendrentles deux directions isotropes du plan e⊥1 et g(e2, e3) = 1. L’action du temps t du flot de Is’exprime dans la base (e1, e2, e3) par (e1, e2, e3) → (e1, e

te2, e−te3).

Dans le cas d’isotropie unipotente l’action de I sur Tx0M fixe un vecteur isotrope e1

et donc egalement le plan degenere e⊥1 (qui contient e1). Considerons alors des vecteurse2 et e3 qui verifient les relations suivantes : g(e1, e2) = 0 , g(e2, e2) = 1, g(e3, e3) =0, g(e2, e3) = 0 et g(e3, e1) = 1.

Une telle base sera dite adaptee. Remarquons qu’une base adaptee est entierementdeterminee par le choix du vecteur unitaire e2 ∈ e⊥1 : e3 sera alors l’unique vecteurisotrope situe dans le plan lorentzien e⊥2 et qui est tel que g(e3, e1) = 1 (les vecteurs e1 et


e3 engendrent donc les deux directions isotropes de e⊥2 ). Le passage d’une base adaptee aune autre se fait par l’action de la differentielle en x0 du groupe d’isotropie engendre par

I. La matrice de cette differentielle dans la base (e1, e2, e3) sera alors

1 t − t2

2

0 1 −t0 0 1

.

Lemme 3.2. Si G est de dimension 4, alors (a revetement fini pres) M possede un champde vecteurs X qui est G-invariant et de divergence nulle.

i) Si I est unipotent, alors X est partout isotrope.ii) Si I est semi-simple, alors X est un champ de Killing de norme constante egale a 1.

Corollaire 3.3. Si I est semi-simple, G admet un centre non trivial.

Remarque 2. Dans le cas d’isotropie unipotente le champ de vecteurs fixe par l’isotropien’est pas toujours de Killing (voir le cas c 6= 0 dans la section 7 qui mene a la geometrieLorentz-SOL). Ce phenomene represente une exception lorentzienne car dans le cas desgeometries riemanniennes avec un groupe d’isometries de dimension 4, le champ de vecteursstabilise par l’isotropie est necessairement de Killing [40].

Demonstration. Il suffit de remarquer que le fibre des reperes orthonormees de Madmet une reduction au groupe structural I (ou l’on identifie I a son image dans O(2, 1)par sa representation d’isotropie). Le groupe I n’est pas necessairement connexe dansO(2, 1), mais il a un nombre fini de composantes connexes et, a revetement fini pres deM , on peut considerer que I est connexe et conjugue au stabilisateur d’un vecteur denorme constante egale a 1 (cas semi-simple) ou bien de norme constante egale a 0 (casunipotent). Cette reduction du groupe structural determine un champ de vecteurs Xsur M , naturellement invariant par l’action de G, et qui est de norme egale a 1, si I estsemi-simple, ou bien isotrope, si I est unipotent.

Montrons que X est de divergence nulle. Designons par div(X) la divergence du champde vecteurs X par rapport a la forme volume vol induite sur M par la metrique lorentzi-enne : LXvol = div(X) · vol, ou LX est la derivee de Lie dans la direction de X. CommeX et vol sont G-invariants, il vient que la fonction div(X) est egalement G-invariante etdonc constante egale a λ ∈ R. Notons par φt le temps t du flot de X : nous avons alorsque (φt)∗vol = exp(λt) · vol, pour tout t ∈ R. Comme le flot de X doit preserver

∫M

vol,il vient que λ = 0.

ii) Supposons que I est semi-simple et montrons que X est de Killing. On montred’abord qu’a l’instar de G, l’action de φt preserve X⊥. En effet, fixons un point x0 ∈ Met considerons son image φt(x0) par le temps t du flot de X. Pour chaque t consideronsune isometrie locale gt qui envoie x0 sur φt(x0).

Les diffeomorphismes locaux (gt)−1 ◦ φt fixent x0 ainsi que le vecteur X(x0) ∈ Tx0M ,

et commutent avec toutes les isometries locales. Donc, la differentielle Lt de (gt)−1 ◦φt enx0 commute avec l’action de l’isotropie en x0 et preserve, par consequent, les sous-espacesvectoriels stabilises par l’isotropie.

La differentielle Lt preserve donc le plan X(x0)⊥ et ses deux droites isotropes. Comme

div(X) = 0, la differentielle Lt preserve le volume. Il vient que le produit des deux valeurspropres associees aux deux directions isotropes de X(x0)

⊥ vaut 1. Ceci implique que ladifferentielle de (gt)−1 ◦ φt en x0 est une isometrie et que le flot de X agit par isometries.

Nous avons donc que X est un element non trivial du centre de G. 2.

Designons par ∇ la connexion de Levi-Civita de g. Nous avons le


Lemme 3.4. Si I est unipotent, alors le champ d’endomorphismes ∇·X du fibre tangent

s’exprime dans une base adaptee sous la forme

0 0 α0 0 00 0 0

, avec α ∈ R.

De plus, X est de Killing si et seulement si α = 0.

Demonstration. Soit B la matrice de ∇·X dans une base adaptee de Tx0M . L’invariance

de ∇·X par l’action de I implique, en particulier, que la matrice B commute avec

Lt =

1 t − t2

2

0 1 −t0 0 1

, pour tout t ∈ R.

Les espaces propres de chacune des deux matrices sont stables par l’autre. Comme Lt

ne laisse stable aucune decomposition non triviale de Tx0M en somme directe, il vient

que toutes les valeurs propres de B sont egales. Un calcul direct precise la forme de la

matrice : B =

λ β α0 λ −β0 0 λ

, avec α, β, γ ∈ R.

Il suffit de montrer que ∇·X est nilpotent et que β = 0.D’apres le lemme 3.2, div(X) = 0. Or, la divergence de X en un point x0 de M n’est

rien d’autre que la trace de l’endomorphisme (∇·X)(x0), egale en occurrence a 3λ.Ainsi, λ = 0. Par ailleurs, il sera montre, de maniere independante, dans la proposi-

tion 6.3, que X est parallele le long de toute courbe tangente a X⊥. Ceci implique que∇e2

X = 0 et donc que β = 0.Le champ de vecteurs X est de Killing si et seulement si l’operateur ∇·X est g-anti-

symetrique [41]. Un operateur de rang ≤ 1 etant anti-symetrique si et seulement s’il estidentiquement nul, il vient que X est de Killing si et seulement si α = 0. 2

.

Un phenomene caracteristique a la dynamique lorentzienne, remarque pour la premierefois par M. Gromov dans [16] (voir egalement l’article de survol [9]) et qui a ete ample-ment utilise depuis est le fait que la presence d’un groupe d’isotropie (local) non compactimplique l’existence de hypersurfaces totalement geodesiques degeneree pour la metrique.

Le fait remarquable est que dans notre contexte ce feuilletage est regulier :

Lemme 3.5. i) Dans le cas d’isotropie unipotente la variete M possede un feuilletage Fde dimension deux, totalement geodesique et g-degenere, dont le plan tangent en chaquepoint est X⊥.

ii) Dans le cas d’isotropie semi-simple la variete M possede deux feuilletages de di-mension deux, totalement geodesiques et degenerees F1 et F2. Le plan tangent a chacunde ces feuilletages est engendre par le champ de vecteurs X et par une des deux droitesisotropes de X⊥.

L’action de G preserve chacun de ces feuilletages.

Demonstration. L’idee de la demonstration consiste a voir le graphe d’un element f dugroupe d’isotropie locale en x0 ∈ M comme une sous-variete de dimension 3 au voisinagede (x0, x0) dans M × M . Cette sous-variete est totalement geodesique et isotrope pourla metrique pseudo-riemannienne g ⊕ (−g) sur M × M . Si fn est une suite d’elementsdu groupe d’isotropie locale qui tend vers l’infini dans O(2, 1), alors la suite des graphesde fn converge vers une sous-variete F ′ totalement geodesique et isotrope, mais qui nerepresente plus un graphe. Neanmoins l’intersection de F ′ avec l’espace vertical {x0}×Mest de dimension au plus 1, car il s’agit d’une sous-variete isotrope de la variete lorentzienneM . Il vient que la projection F de F ′ sur l’horizontale M×{x0} s’identifie avec une surfacetotalement geodesique qui passe par x0 et qui est degeneree. Rappelons ici que le rang et


la signature de la restriction de g a une surface totalement geodesique sont invariants partransport parallele et donc constants.

Dans notre cas, il suffit de considerer une suite d’isometries locales qui se trouve dansle sous-groupe a un parametre engendre par I. Ces isometries se linearisent en coor-donnees exponentielles et s’expriment dans une base adaptee de Tx0

M sous la formepresentee precedemment. On constate immediatement que la limite de nos suites degraphes d’applications lineaires est le plan X(x0)

⊥ dans le cas d’isotropie unipotente etles deux plans engendres par X(x0) et par chacune des deux directions isotropes de X(x0)

⊥

dans le cas d’isotropie semi-simple.Finissons la preuve dans le cas d’isotropie unipotente.Nous venons de prouver que par chaque point x0 ∈ M passe une surface totalement

geodesique degeneree tangente a X(x0)⊥. Nous demontrons que cette surface est unique.

Supposons par l’absurde qu’il existe une deuxieme surface totalement geodesique degenereetangente au point x0 a un plan degenere contenu dans Tx0

M . Comme I agit transitivementsur les plans degeneres differents de X(x0)

⊥, il vient que chaque plan degenere contenudans Tx0

M est tangent a une surface totalement geodesique degeneree. Ceci implique quela metrique lorentzienne g est a courbure sectionnelle constante (voir [44], proposition 3) :absurde (car nous sommes dans le cas d’isotropie de dimension 1).

Il vient que l’unique surface totalement geodesique degeneree qui passe par x0 est en toutpoint tangente a X⊥. Le champ de plans X⊥ est integrable et le feuilletage F engendreest totalement geodesique et degenere.

Comme l’action de G preserve X, elle preserve egalement X⊥ et le feuilletage F . Lesmemes arguments s’appliquent dans le cas d’isotropie semi-simple. 2

.

Le stabilisateur H d’une feuille. Si I est unipotent, designons par H la sous-algebrede G qui stabilise la feuille F = F(x0) de x0 et par H le sous-groupe de G correspondant.Si I est semi-simple, on garde les memes notations pour le stabilisateur de F1(x0).

Lemme 3.6. Le groupe H est de dimension 3 et agit transitivement sur F(x0) (respec-tivement F1(x0)). L’isotropie I en x0 est contenue dans H.

Corollaire 3.7. Les feuilles de F (resp. F1) sont localement modelees sur (H,H/I).

Demonstration. Faisons la preuve dans le cas ou I est unipotent.Une isometrie locale de g qui relie deux points x0 et x1 d’une meme feuille F(x0)

preserve X et egalement X⊥ et envoie donc expx0(X⊥) sur expx1

(X⊥). Il vient que cetteisometrie locale stabilise la feuille totalement geodesique F(x0) et que, en particulier,l’algebre d’isotropie I du point x0 est contenue dans l’algebre H qui stabilise la feuilleF(x0). Comme G agit transitivement sur M , la remarque precedente implique que H agittransitivement sur F(x0) (avec une isotropie de dimension 1) ce qui implique que H estde dimension 3. 2

.

Remarquons que la restriction de H a une feuille F de F est un isomorphisme d’algebresde Lie. Ceci est du au fait qu’une isometrie locale de g est completement determineepar sa restriction a un sous-ensemble invariant totalement geodesique de dimension 2 (ilsuffit de lineariser l’isometrie en coordonnees exponentielles et de verifier ce fait pour lesapplications lineaires).

Dans la suite de l’article nous allons egalement designer par X et par F , les objetscorrespondants sur le modele G/I.

4. Geometrie des metriques invariantes a gauche

Dans cette section, nous examinons la geometrie de certaines metriques lorentziennesinvariantes par translations a gauche sur des groupes de Lie unimodulaires de dimension


3. Cette etude a ete initiee par J. Milnor [28] dans le cas riemannien et poursuivie dans lecadre lorentzien [32, 34, 7]. Comme les metriques lorentziennes qui nous interessent sontprecisement celles de courbure sectionnelle non constante et dont le groupe d’isotropielocale est non compact, les groupes R3, S3 et le groupe des deplacements du plan euclidien

seront exclus de notre etude. Il reste a examiner les groupes Heis, SOL et ˜SL(2,R). Le

cas ˜SL(2,R) fera l’objet de la proposition 5.1, en section 5.

4.1. Cas du groupe Heis. Nous decrivons ici les metriques lorentziennes invariantes agauche sur Heisenberg et demontrons au passage la proposition 1.1.

Demonstration. L’algebre de Lie heis est engendree par un element central X ′ etpar deux elements Z et T tels que [Z, T ] = X ′. Les automorphismes de l’algebre deLie preservent le centre et envoient donc l’element X ′ sur un multiple de la forme λX ′,avec λ ∈ R∗. Un tel automorphisme agit sur le plan heis/RX ′ ≃ R2 par un automor-phisme de determinant egal a λ. Inversement, toutes ces transformations sont bien desautomorphismes de l’algebre de Lie heis.

Il est montre dans [34] et [35] que, modulo automorphisme de heis, il existe troisclasses de metriques lorentziennes invariantes sur Heis selon que l’element X ′ est de normestrictement negative, nulle ou bien strictement positive. Pour les resultats suivants, quidecrivent ces metriques, nous renvoyons le lecteur a [34] et [35].

- Dans le cas ou X ′ est de norme nulle, la metrique est plate.- Quand X ′ est de norme constante egale a −1, son orthogonal est le plan rieman-

nien engendre par Z et T (a automorphisme pres) et le sous-groupe a un parametred’automorphismes de heis qui stabilise X ′ et agit par rotations euclidiennes sur le planengendre par Z et T constitue un sous-groupe a un parametre (elliptique) d’isometries.Le groupe des isometries est dans ce cas de dimension 4 et sa composante connexe del’identite est engendree donc par les translations a gauche et par le sous-groupe a unparametre (d’isotropie) precedent. Il vient que cet exemple est riemannien.

- Le cas interessant a notre sens et qui fournit la geometrie Lorentz-Heisenberg est celuiou X ′ est de norme constante positive. Dans ce cas, quitte a appliquer un automorphismede heis on peut supposer que X ′⊥ est le plan lorentzien engendre par les droites isotropesportees par Z et T . En appliquant finalement un automorphisme de la forme (X ′, Z, T ) →(λ2X ′, λZ, λT ), avec λ ∈ R∗, on peut rendre g multiple de l’unique metrique qui attribuea X ′ la norme 1 et qui est telle que g(Z, T ) = 1.

Le groupe des isometries de cette famille de metriques est le meme. Il est de dimension4, il contient Heis et l’isotropie contient le sous-groupe a un parametre d’automorphismesde heis qui fixe X ′ et qui agit sur le plan lorentzien engendre par Z et T par les ma-

trices

(et 00 e−t

). Le groupe d’isotropie contient alors un sous-groupe a un parametre

semi-simple et on est en presence d’une geometrie lorentzienne non-riemannienne dont lacomposante neutre du groupe des isometries est G = R ⋉ Heis, ou l’action du facteur R

qui engendre l’isotropie sur Heis vient d’etre explicitee.Comme la composante neutre du groupe des isometries de cette metrique n’est pas

contenu dans le groupe des isometries de la metrique plate [35], il vient que cette geometrieest egalement maximale. 2

.

4.2. Cas du groupe SOL. Rappelons que l’algebre de Lie sol est engendree par {X ′, Z, T},avec les elements X ′ et Z qui commutent et les deux crochets non-nuls [T,X ′] = X ′ et[T,Z] = −Z.

Nous demontrons a present la proposition 1.2.


Demonstration. Les automorphismes de sol agissent sur l’algebre derivee R2 =RX ′⊕RZ en preservant la decomposition en espaces propres de l’operateur ad(T ). Cetteaction se fait donc par homothetie sur chacune des droites RX ′ et RY . Par ailleurs, unautomorphisme de sol envoie T sur la somme de T avec un element de l’algebre derivee.Inversement tout isomorphisme de l’espace vectoriel sol de la forme precedente est unautomorphisme de sol.

Considerons une metrique lorentzienne g, invariante a gauche sur SOL, qui rend l’algebrederivee degeneree et l’une des deux directions propres de ad(T ) isotrope.

Pour fixer les idees, supposons que X ′ engendre l’unique direction isotrope de l’algebre

derivee et donc que RX ′ ⊕ RZ coıncide avec X ′⊥. Quitte a appliquer une homothetiesur la direction RZ, on peut supposer que Z est de norme egale a 1. En additionnant aT un multiple de Z, on peut considerer que T est orthogonal a Z. On applique ensuiteune homothetie sur la droite engendree par X ′ de maniere a avoir g(T,X ′) = 1 (ceci estpossible car le plan Z⊥, engendre par X ′ et T , est lorentzien et donc g(T,X ′) est non nul).Finalement, on ajoute a T un multiple de X ′, de maniere a rendre T de norme egale a 0(tout en preservant l’orthogonalite entre T et Z). Nous venons de prouver l’unicite de g(a automorphisme pres).

Nous montrons a present que cette metrique n’est pas plate. Un calcul direct impliqueque ∇ZT = Z, ∇T Z = 0, ∇TT = −T , ∇X′X ′ = 0, ∇ZZ = −X ′, ∇X′Z = ∇ZX ′ = 0,∇X′T = 0 et ∇T X ′ = X ′.

Ceci donne que R(T,Z) est un endomorphisme non nul qui s’exprime dans la base

(X ′, Z, T ) par la matrice

0 −2 00 0 20 0 0

. La metrique n’est donc pas plate.

Precisons, par ailleurs, que la metrique etant isometrique a ses multiples par des con-stantes, tous ses invariants scalaires sont nuls. En particulier, ses courbures principalessont nulles. La structure locale des metriques lorentziennes localement homogenes nonplates dont tous les invariants scalaires sont nuls a ete classifiee par V. Patrangenaru (voirla proposition 3.2 de [33]) : parmi ces exemples, seule la metrique Lorentz-SOL se realisesur des varietes compactes.

Maintenant nous prouvons que le groupe des isometries de la geometrie Lorentz-SOLest de dimension 4. Pour cela nous construisons la metrique precedente d’une manieredifferente. Considerons l’algebre de Lie heis engendree par trois elements Y,X ′, Z, avecX ′ element central et [Y,Z] = X ′. Considerons l’action d’un quatrieme element T sur

heis donnee, dans la base (X ′, Z, Y ), par la matrice ad(T ) =

1 0 00 −1 10 0 2

.

Cette action est bien une derivation, ce qui implique que les elements {T,X ′, Z, Y }engendrent une algebre de Lie G isomorphe a l’algebre de Lie du produit semi-directG = R⋉ Heis, ou l’action du facteur R, engendre par T , sur Heis vient d’etre explicitee.Le sous-groupe a un parametre I engendre par Y est ferme dans G (voir le lemme 3.1).L’espace homogene G/I est lorentzien car l’action de ad(Y ) sur G/I s’exprime, dans la

base (X ′, Z, T ), par la matrice ad(Y ) =

0 1 00 0 −10 0 0

, qui engendre un sous-groupe a un

parametre unipotent preservant une metrique lorentzienne pour laquelle X ′ est isotropeet le plan engendre par X ′ et Z degenere. Par ailleurs, l’isotropie I est engendree parRY qui intersecte trivialement l’algebre de Lie sol engendree par {T,X ′, Z}. Il vientque l’action du groupe SOL sur G/I est libre et transitive et la metrique precedente


s’identifie a l’unique metrique invariante a gauche sur SOL qui rend X ′ isotrope et l’algebrederivee RX ′ ⊕ RZ degeneree. On vient de demontrer que cette metrique admet uneisotropie non triviale unipotente et que son groupe des isometries est de dimension aumoins 4. La geometrie Lorentz-SOL est donc non-riemannienne. Comme la metriquen’est pas de courbure sectionnelle constante, le lemme 3.1 implique que le groupe desisometries est de dimension egale a 4 et sa composante neutre coıncide avec G = R⋉Heis.Mentionnons que, contrairement a la geometrie Lorentz-Heisenberg, ici le facteur Heiscontient l’isotropie RY et n’agit donc pas librement.

Le groupe des isometries de la geometrie Lorentz-SOL n’est contenu strictement dansle groupe des isometries d’aucune autre metrique invariante sur SOL. En effet, le grouped’isotropie I agit de maniere unipotente sur le plan engendre par X ′ et Z. Ceci im-plique que toute metrique lorentzienne invariante a gauche sur SOL, qui est preserveepar I, rend l’algebre derivee degeneree et la direction RX ′ isotrope. Or, on a vu que cesmetriques coıncident necessairement (a automorphisme pres) avec la metrique Lorentz-SOL. La geometrie Lorentz-SOL est donc maximale. 2

.

Le groupe SOL admet egalement des metriques plates invariantes par translations.Pour s’en convaincre, il suffit d’exhiber une copie de SOL dans le groupe des isometries deMinkowski, qui agit simplement transitivement. Nous ne construirons pas un tel exempleici, car une metrique plate explicite sur SOL apparaıtra naturellement en section 8, aucours de la preuve de la proposition 8.2.

5. Modeles algebriques SL(2,R)-invariants

Nous classifions ici les geometries lorentziennes non-riemanniennes de la forme G/I,avec G groupe de Lie de dimension 4 non resoluble et isotropie I de dimension 1.

Proposition 5.1. Si G a une partie semi-simple non triviale, alors G est l’algebre de Lie

de R × ˜SL(2,R) et g est isometrique a :

(1) une metrique lorentzienne sur ˜SL(2,R) invariante par les translations a gauche etpar un sous-groupe a un parametre unipotent (respectivement semi-simple) de translations

a droite. L’isotropie I est le premier facteur du produit R × ˜SL(2,R). La geometriemaximale correspondante est celle de courbure sectionnelle constante negative donnee parla forme de Killing.

(2) la geometrie produit de R et du plan de Sitter de dimension 2, i.e. la surfacelorentzienne homogene simplement connexe de courbure sectionnelle constante non nulle.

L’isotropie I est incluse dans le facteur ˜SL(2,R) et est conjuguee a un sous-groupe a unparametre semi-simple.

Remarque 3. On montrera a la proposition 8.4 (section 8) que la geometrie produit ducas (2) ne se realise pas sur des varietes compactes.

Corollaire 5.2. Toute realisation compacte d’une geometrie du type precedent admet un

revetement universel isometrique a ˜SL(2,R) muni d’une metrique invariante a gauche etpar un sous-groupe a un parametre (semi-simple ou unipotent) de translations a droite.Ces metriques sont geodesiquement completes.

Passons a la preuve de la proposition.Demonstration. Comme G est de dimension 4 et qu’il n’existe pas de groupe de Liesemi-simple de dimension 4, il vient que G = R ⊕ G1, ou G1 est une algebre de Lie semi-simple de dimension 3 [20]. L’algebre de Lie G1 est alors isomorphe a sl(2,R) ou a l’algebrede Lie de S3, ou S3 est la sphere de dimension 3 avec sa structure canonique de groupe


de Lie.

(1) Considerons d’abord le cas ou G1 agit librement transitivement sur G/I et donc gs’identifie avec une metrique invariante par translations sur le groupe de Lie associe G1.

Si G1 est S3, le modele G/I s’identifie a S3 muni d’une metrique lorentzienne invariantepar translation. Comme S3 est simplement connexe, d’apres un resultat de [8] le groupedes isometries G est compact. Ceci implique que I est compact et qu’il s’agit donc d’unegeometrie riemannienne.

Il reste a regler le cas ou G1 est ˜SL(2,R). Considerons (X ′, Y, Z) une base de l’algebrede Lie sl(2,R) avec les crochets de Lie usuels : [X ′, Y ] = Y , [X ′, Z] = −Z et [Z, Y ] = 2X ′.

Completons cette base en une base de G en ajoutant un generateur T de I.Considerons l’action du groupe d’isotropie I en un point x0 sur l’ideal sl(2,R) qui

s’identifie a Tx0M . Cette action se fait par isomorphisme de l’algebre de Lie sl(2,R) et doit

fixer un vecteur de sl(2,R). Quitte a operer un changement de base par un automorphismeinterieur de sl(2,R) on peut supposer que le vecteur stabilise par I coıncide avec X ′ (s’ilest de norme non nulle pour la forme de Killing) ou bien avec Y (s’il est de norme nullepour la forme de Killing).

Les seuls isomorphismes de l’algebre de Lie sl(2,R) qui fixent X ′ etant de la forme(X ′, Y, Z) → (X ′, etY, e−tZ), il vient que l’action de I (donc de T ) coıncide avec celle dead(X ′). Le quatrieme champ de Killing T est alors le sous-groupe a un parametre de

˜SL(2,R) engendre par X ′ et plonge diagonalement dans ˜SL(2,R) × ˜SL(2,R).

Nous venons de demontrer que G = R× ˜SL(2,R) : la composante connexe de l’identitedu groupe des isometries est engendree par toutes les translations a gauche et par lesous-groupe a un parametre des translations a droite engendre par X ′.

De la meme maniere on constate que tous les isomorphismes de l’algebres de Lie sl(2,R)qui fixent Y sont engendres par l’action adjointe de Y . Dans ce cas la composante connexede l’identite du groupe des isometries est engendree par toutes les translations a gaucheet par le sous-groupe a un parametre des translations a droite engendre par Y .

Dans les deux cas G est un sous-groupe de ˜SL(2,R) × ˜SL(2,R) qui est la composanteconnexe de l’identite du groupe des isometries de la metrique lorentzienne a courbure sec-

tionnelle constante negative obtenue en considerant la metrique de Killing de ˜SL(2,R).Notre geometrie n’est donc pas maximale : elle est subordonnee a la geometrie de courburesectionnelle constante negative.

(2) Supposons que I est contenu dans G1.Ceci implique que les orbites de l’action de G1 sont de dimension 2 et que l’action de

l’isotropie preserve une decomposition non triviale de l’espace tangent a M (induite parla decomposition, ad(I)-invariante, G = R⊕G1). Il vient que l’isotropie I est semi-simple,que le champ X est engendre par le facteur R et que l’espace tangent aux orbites de G1

est X⊥.Les orbites de G1 sont alors des surfaces lorentziennes homogenes et donc de courbure

sectionnelle constante. Or, l’algebre de Lie de S3 n’est pas l’algebre de Killing d’une tellesurface, tandis que sl(2,R) se realise bien comme l’algebre de Killing du plan de Sitter.

Nous sommes alors dans le cas de la geometrie produit decrite au point (2), ou l’isotropie

est conjuguee dans ˜SL(2,R) a un sous-groupe a un parametre semi-simple. 2.

Nous passons a la preuve du corollaire 5.2.


Demonstration. Par la proposition 5.1, l’action de G sur le modele G/I preserve unemetrique de courbure sectionnelle constante negative. Le lemme 2.2 et le resultat de [22]impliquent que la (G,G/I)-structure de M est complete.

Pour montrer que M est geodesiquement complete, il suffit alors de montrer que lemodele G/I est geodesiquement complet. On utilisera les resultats de [18] sur la completude

geodesique des metriques lorentziennes invariantes a gauche sur ˜SL(2,R).Exprimons la forme quadratique g par rapport a la forme de Killing q de sl(2,R) :

g(u, v) = q(φ(u), v), ou φ est un endomorphisme q-symetrique de sl(2,R) et u, v ∈ sl(2,R).De plus, φ est invariant par l’action d’un sous-groupe a un parametre semi-simple ouunipotent.

Si le sous-groupe a un parametre est semi-simple, il vient que φ laisse stables les espacespropres du sous-groupe a un parametre semi-simple et il est donc diagonalisable. On verifieque φ est q-symetrique si et seulement si les deux valeurs propres qui correspondent auxdeux vecteurs propres q-isotropes sont egales. Il vient que φ admet un espace propre dedimension au moins 2 et on se trouve dans le cas (a) d’application du theoreme 4 de [18],qui assure la completude geodesique de g.

Dans le cas restant, le groupe a un parametre qui laisse invariant g (et donc egalementφ) est unipotent et φ s’exprime dans une base adaptee (voir la preuve du lemme 3.4) par

une matrice de la forme

λ β α0 λ −β0 0 λ

, avec α, β, γ ∈ R.

Cet endomorphisme est q-symetrique si et seulement si β = 0. Il vient que φ admet unespace propre de dimension au moins deux et on conclut comme avant. 2

.

6. Modeles algebriques avec G resoluble

Dans cette section on classifie les geometries lorentziennes non-riemanniennes G/I, avecG resoluble de dimension 4 et I de dimension 1.

Nous determinons d’abord H :

Proposition 6.1. i) L’algebre derivee [H,H] est isomorphe a R.ii). Le groupe H est isomorphe au groupe de Heisenberg ou bien au produit H = R×AG,

ou AG est le groupe affine.

Avant de passer a la preuve rappelons que le groupe affine de la droite AG est un groupede Lie de dimension 2 qui peut etre vu comme l’ensemble des couples (a, b) ∈ R2 muni dela multiplication (a, b) · (a′, b′) = (a + a′, exp(a)b′ + b).Demonstration.

i) Rappelons que l’algebre derivee d’une algebre resoluble est toujours nilpotente. Or, Hest supposee resoluble et donc [H,H] est une algebre nilpotente de dimension strictementinferieure a 3.

L’algebre derivee [H,H] ne peut etre triviale. En effet, sinon H est abelienne et doncl’action de l’isotropie I ⊂ H sur Tx0

F ≃ H/I est triviale. Ceci est absurde car l’on a vuqu’un element de G agissant trivialement sur F est trivial.

Il vient que [H,H] est isomorphe a R ou a R2. Supposons par l’absurde que l’algebrederivee est isomorphe a R2.

On demontre d’abord que I est inclus dans [H,H]. Supposons par l’absurde le contraire.Alors R2 agit par isometries sur chaque feuille F du feuilletage F . Nous demontrons alorsque la restriction de la connexion ∇ a F est plate. Dans les coordonnees locales (x, h)de F donnees par l’action de R2, l’expression de g est dh2. Dans ces coordonnees, X estegalement invariant par translations et est de la forme ∂

∂x, si I est unipotent et de la forme

∂

∂h, si I est semi-simple.


Un calcul simple montre que toute connexion sans torsion ∇, invariante par translationssur R2, et compatible avec dh2 est donnee par ∇ ∂

∂h

∂

∂h= a ∂

∂x, ∇ ∂

∂x

∂

∂x= b ∂

∂xand ∇ ∂

∂h

∂

∂x=

∇ ∂

∂x

∂

∂h= c ∂

∂x, avec a, b, c ∈ R. L’invariance de ∇ par I implique qu’au moins deux des

parametres a, b et c s’annulent. Ceci implique que la courbure de ∇ s’annule.Par consequent, le groupe des isometries de ce modele est contenu dans le groupe affine

de R2. Il coıncide avec R ⋉ R2, ou l’action de l’isotropie I ≃ R sur R2 est donnee par(1 t0 1

), si I est unipotent, ou par

(et 00 1

), si I est semi-simple. Il vient que H est

isomorphe, ou bien a Heisenberg, ou bien a AG×R. Dans les deux cas son groupe deriveeest de dimension un : absurde.

Il vient donc que l’algebre d’isotropie I est incluse dans l’algebre derivee [H,H]. Lesorbites de [H,H] sur F seront alors de dimension un.

Nous demontrons que ces orbites sont les courbes integrales sur F de l’unique directionisotrope et que l’isotropie I est unipotente. Pour cela, designons par Y un generateur del’algebre d’isotropie, par (Y,X ′) une base de l’algebre commutative [H,H] et finalementpar (Y,X ′, Z) une base de H. Comme ad(Y ) · H ⊂ [H,H] et que [H,H] est abelienne, ilvient que ad(Y ) ·X ′ = 0 et ad(Y ) ·Z = aX ′ (mod Y ). Donc, l’action de ad(Y ) sur l’espacetangent a F est unipotente et admet X ′ comme unique direction (isotrope) propre. Or,X ′ engendre bien l’espace tangent aux orbites de [H,H] sur F .

Designons par L l’algebre derivee de G. Nous avons les inclusions I⊂ [H, H]⊂ L.La dimension de L est 2 ou 3 et les orbites de l’action de L sur le modele G/I sont dedimension respectivement 1 ou 2.

Traitons d’abord le cas ou L est de dimension 3 et ses orbites sont donc de dimension 2.Comme l’unique 2-plan de Tx0

G/I preserve par l’isotropie unipotente est X ′⊥, il vient queles orbites de H et L coıncident. Ceci est absurde car L est nilpotente (en tant qu’algebrederivee d’une algebre resoluble) et pas H (son algebre derivee etant de dimension 2).

Il reste a traiter le cas ou L est de dimension 2. Dans ce cas L = [H,H]. L’image de Gpar l’action de l’isotropie ad(Y ) est alors incluse dans L. Cette image est donc de dimen-sion 2 et de dimension 1 dans G/I qui s’identifie a Tx0

G/I. Ceci est absurde car ad(Y )doit etre de rang 2 (comme on l’a vu a la section 3 en considerant des bases adaptees).On vient de montrer que [H,H] est de dimension 1.

ii). Considerons un generateur Z de l’algebre [H,H] et son application adjointe ad(Z) :H→ RZ. Si l’application precedente est identiquement nulle, autrement dit si l’elementZ est central dans H, alors H est nilpotente et H est isomorphe au groupe de Heisenberg.

Sinon, soit X ′ un generateur du noyau de ad(Z) et Y un element de H tel que Y,X ′, Zengendrent H. Comme Z n’est pas central, on peut supposer que [Y,Z] = Z. Nous avonsque [X ′, Y ] = αZ, pour α ∈ R.

Si α = 0, H = R × AG, le centre etant engendre par X ′ et le deuxieme facteur parRZ ⊕ RY .

Si α 6= 0, il suffit de changer X ′ en X ′ + αZ pour se ramener au cas precedent. 2.

6.1. Cas : H = R × AG.

Proposition 6.2. Si H = R × AG, l’isotropie I est semi-simple et engendree par legenerateur des homotheties dans AG. Le groupe G est l’un des trois groupes suivants :

(1) G = R× SOL,(2) G = R ⋉ Heis,(3) G = R2 ⋉ R2.


Dans le cas (2) l’action du premier facteur sur Heis, dans une base (X ′, Z, T ) de heisformee par l’element central X ′ et telle que [T,Z] = X ′, s’exprime par (X ′, Z, T ) →(X ′, etZ, e−tT ).

Dans le cas (3) l’action de la premiere copie de R2 sur la deuxieme copie de R2 est

donnee par les matrices

(et 00 e−t

)et

(1 00 e−t

).

Remarque 4. Comme le centre de G = R2 ⋉ R2 est trivial, le lemme 3.2 impliquera quecette geometrie ne se realise pas sur des varietes compactes.

Demonstration. Pour fixer les idees supposons que X ′ est un element central nontrivial de H et que Y et Z engendrent l’algebre de Lie du groupe affine : [Y,Z] = Z. AlorsX ′, Y, Z engendrent H et designons par T un quatrieme generateur de G.

Nous montrons que, quitte a appliquer un automorphisme de H qui envoie Y sur Y +aZ + bX ′, avec a, b ∈ R, l’algebre d’isotropie I est RY . Pour cela, il suffit de montrer queI n’est pas incluse dans RX ′ ⊕ RZ.

Remarquons que ad(αX ′ + βZ)(H) ⊂ RX ′ ⊕ RZ, ∀α, β ∈ R. Si I est R(αX ′ + βZ),alors l’action de ad(αX ′ + βZ) sur Tx0

F ≃ H/I est donnee par une matrice de rang 1.Ceci implique que I n’est pas semi-simple. Nous venons de prouver que dans le cas ou Iest semi-simple, alors I n’est pas incluse dans RX ′ ⊕RZ et on peut donc considerer queI = RY .

Demontrons la meme chose dans le cas ou I est unipotent. Observons d’abord queI 6= RX ′, car l’element central X ′ agit trivialement sur H et donc aussi sur H/I ≃ Tx0

F .Supposons par l’absurde que I ⊂ RX ′⊕RZ. Quitte a appliquer un automorphisme de

H qui envoie Z sur Z + αX ′, avec α ∈ R, supposons que I = RZ. Il vient que l’algebrecommutative RX ′⊕RY intersecte trivialement I et agit donc librement et transitivementsur F . Comme dans la preuve de la proposition 6.1, ceci implique que la connexion induitesur F par ∇ est plate et que H est le groupe de Heisenberg. Ceci est absurde : le groupede Heisenberg et R × AG ne sont pas isomorphes.

Il vient que, modulo un automorphisme de H, on a I = RY . Mais ceci est impossibledans le cas unipotent. En effet, de nouveau RX ′ ⊕ RZ agit librement et transitivementsur F et F est plate. Comme avant, H est isomorphe au groupe de Heisenberg, ce quicontredit notre hypothese.

Nous venons de demontrer que H = R × AG implique que l’isotropie est semi-simpleet que I est engendree par Y .

Comme l’isotropie ad(Y ) fixe le vecteur X ′ et dilate exponentiellement la directionengendree par Z, on peut choisir pour T la deuxieme direction isotrope du plan lorentzienX ′⊥. Alors ad(Y ) · T = [Y, T ] = −T + αY , pour une certaine constante reelle α. Quitte achanger T en T − αY , on suppose que [Y, T ] = −T .

On montre que [T,Z] = aX ′ + bY , avec a, b ∈ R et [T,X ′] = cT .La relation de Jacobi donne [Y, [T,Z]] = [[Y, T ], Z] + [T, [Y,Z]] = [−T,Z] + [T,Z] = 0.

Ceci montre que [T,Z] centralise Y et doit donc appartenir a l’algebre engendree par Yet X ′.

Par ailleurs, comme X ′ et Y commutent, T est egalement un vecteur propre de ad(X ′)(non seulement de ad(Y )). Ceci donne [T,X ′] = cT , avec c ∈ R.

Considerons maintenant L = [G,G]. Comme [Y,Z] = Z, [Y, T ] = −T et [T,Z] =aX ′ + bY , nous avons que L contient l’algebre de Lie engendree par Z, T et aX ′ + bY .On remarque que [aX ′ + bY, Z] = bZ. Ceci implique b = 0, car sinon l’algebre de Lieengendree par les vecteurs aX ′ + bY et Z est l’algebre du groupe affine qui ne peut pasetre contenue dans l’algebre nilpotente L.


Nous avons donc b = 0 et [T,Z] = aX ′. Comme [T, aX ′] = acT , le meme argumentimplique que ou bien a = 0, ou bien c = 0.

Une renormalisation evidente permet de voir que a 6= 0 peut etre remplacer par a = 1et c 6= 0 peut etre remplacer par c = 1.

Finalement on a trois algebres de Lie possibles pour G.

(1) Si a = 0 et c = 0, les relations sont les suivantes : [Y,Z] = Z, [Y, T ] = −T, [T,Z] =0 et X ′ est central. Le groupe G est alors R × SOL, ou X ′ engendre le centredu groupe et l’algebre de Lie de sol est engendree par Y,Z, T . Le groupe SOLpeut etre vu comme un produit semi-directe R ⋉ R2, ou l’action infinitesimale de

Y est donnee dans la base Z, T , par la matrice

(1 00 −1

). Le sous-groupe a un

parametre Y engendre l’isotropie qui se trouve entierement incluse dans SOL.(2) Pour a = 1 et c = 0 on trouve [Y,Z] = Z, [Y, T ] = −T, [T,Z] = X ′, [T,X ′] = 0 et

le groupe correspondant est R ⋉ Heis .Le premier facteur R est engendre par le groupe d’isotropie Y . L’action du

sous-groupe a un parametre engendre par le premier facteur sur l’algebre de Lie deHeisenberg est (X ′, Z, T ) → (X ′, etZ, e−tT ). L’element X ′ qui engendre le centrede Heisenberg est donc egalement dans le centre de G.

Le deuxieme facteur, isomorphe au groupe de Heisenberg, intersecte trivialementle groupe d’isotropie et agit donc transitivement sur G/I.

(3) Pour a = 0 et c = 1 on trouve : [Y,Z] = Z, [Y, T ] = −T, [T,Z] = 0, [T,X ′] = Tet on a G = R2 ⋉ R2. L’action adjointe du premier facteur, engendre par Y etX ′ agit sur la copie de R2 engendree par les elements Z et T par les matrices(

1 00 −1

)et respectivement

(0 00 −1

).

Ceci acheve la preuve. 2.

6.2. Cas : H isomorphe a Heisenberg.

Proposition 6.3. i) L’isotropie I est unipotente.ii) Les feuilles de F sont plates (pour la connexion de Levi-Civita) et X est parallele le

long de F .

Demonstration. L’action de I sur H/I ≃ Tx0F ne preserve aucune decomposition non

triviale de Tx0F . Il en resulte que I est unipotent. Aussi, I est different du centre de

Heisenberg car celui-ci agit trivialement sur H/I. Ceci implique qu’il existe des copies deR2 transverse a I dans H et qui agissent donc librement et transitivement sur F . Commedans la preuve de la proposition 6.1, ceci implique que F est plate et que X est paralleleen restriction a F . 2

.

Proposition 6.4. H est un ideal de G.

Corollaire 6.5. Le feuilletage engendre par l’action locale de H coıncide avec F .

Demonstration. Considerons A un champ de Killing et B un champ de vecteurs tangenta X⊥. Nous montrons que [A,B] = ∇AB − ∇BA est encore dans X⊥. Le terme ∇ABest dans X⊥. En effet, g(B,X) = 0 implique g(∇AB,X) = −g(∇AX,B) = 0 (d’apres laproposition 3.4, ∇AX est colineaire a X).

Par ailleurs, le champ de Killing A preserve X et donc ∇XA = ∇AX. Comme ∇·Aest anti-symetrique, on a g(∇BA,X) = −g(B,∇XA) = −g(B,∇AX) = 0, car ∇AXest colineaire a X. Le terme ∇BA est donc egalement dans X⊥, ce qui implique que[A,B] ∈ X⊥. 2

.


Structure algebrique de G.De ce qui precede resulte que G est une extension de H. Considerons, comme avant,

une base {X ′, Y, Z} de H telle que X ′ est central, [Y,Z] = X ′ et Y engendre I. Vul’expression de l’action de I = RY sur G/I ≃ Tx0

M , dans une base adaptee, on peutchoisir le quatrieme generateur T de G tel que ad(Y )T = −Z dans G/I. Il vient que[Y, T ] = −Z + aY , avec a ∈ R. Quitte a changer Z en Z − aY , on obtient [Y, T ] = −Z,tout en laissant les autres relations inchangees.

Comme l’action adjointe de T sur H preserve le centre RX ′ de H, il existe une constantereelle c telle que [T,X ′] = cX ′.

Proposition 6.6. i) Il existe une fonction H-invariante f sur G/I telle que X ′ = fX (fest localement definie sur M et constante sur les feuilles de F).

ii) X est de Killing (et f est constante) si et seulement si c = 0.

iii) Dans la base {X ′, Z, Y } de H l’action de T est donnee par ad(T ) =

c m 00 c 10 n 0

,

avec m,n ∈ R.(iv) Si c = 0 et n = 0, alors g est une metrique plate, invariante a gauche sur Heis.

Demonstration.

i) Le champ de droites RX ′ est G-invariant. Or, dans le cas d’isotropie unipotente, leseul champ de droites G-invariant dans TM est celui engendre par X. Donc, X ′ et X sonten tout point colineaires.

ii) Comme X est G-invariant, il est de Killing si et seulement s’il engendre le centrede G. Ainsi X est de Killing si et seulement s’il est un multiple constant de X ′. Il estequivalent de dire que la fonction f est constante ou que c = 0.

iii) On applique la relation de Jacobi aux elements Y,Z and T de G et on constate quead(T ) agit comme une derivation sur G si et seulement si ad(T )Z = mX ′ + cZ + nY , avecm,n ∈ R.

iv) Si c = 0 et n = 0, alors les elements X ′, Z et T engendrent une sous-algebre de Liede G isomorphe a l’algebre de Heisenberg (avec X ′ comme centre) qui agit librement ettransitivement sur M . Il vient que g est localement isometrique a une metrique invariantea gauche sur Heisenberg qui attribue la norme 0 a l’element central. Or, ces metriqueslorentziennes sont plates [35]. 2

.

7. Classification : cas de l’isotropie unipotente

Ici, l’isotropie est supposee unipotente. D’apres ce qui precede, nous sommes dans lecas ou H est le groupe de Heisenberg. Rappelons que des constantes c et n ont ete definiesa la proposition 6.6. Le but de cette section est de demontrer la

Proposition 7.1. Soit (M,g) une variete lorentzienne compacte localement modelee surune geometrie lorentzienne (non necessairement maximale) G/I, avec G resoluble de di-mension 4 et I sous-groupe a un parametre unipotent.

(i) Si c = 0, alors g est localement isometrique a une metrique plate, invariante agauche sur Heis.

(ii) Si c 6= 0, alors M est localement modelee sur la geometrie Lorentz-SOL. Les seulesrealisations compactes de la geometrie Lorentz-SOL sont, a revetement fini pres, des quo-tients de SOL par un reseau Γ.

Demontrons d’abord la completude via les deux propositions suivantes :

Proposition 7.2. La (H,H/I)-structure est complete sur chaque feuille de F . Les feuillesde F sont homeomorphes a des plans, a des cylindres ou a des tores.


Demonstration. Demontrons que la (H,H/I)-structure sur une feuille F est complete.

Designons par F le revetement universel de F et par X l’image reciproque du champ X

sur F . L’application developpante de notre (H,H/I)-structure envoie F sur un ouvert de

R2 et le champ de Killing X sur le champ ∂

∂xdans l’espace des parametres (h, x) de R2.

Le champ X etant complet (car X est defini sur la variete compacte M), pour chaque

orbite de X l’application developpante realise un diffeomorphisme entre un ouvert connexe

de F contenant l’orbite en question et invariant par X et une bande ouverte horizontalede la forme ]h − ǫ, h + ǫ[×R dans R2.

On peut construire un champ de vecteurs V ∈ X⊥, globalement defini sur M , et denorme constante egale a 1. Pour cela il suffit de choisir un champ de vecteurs dans X⊥ quin’est en aucun point collineaire a X (a revetement double pres, il n’y a pas de contraintetopologique pour cela) et de le diviser par sa norme (cette norme est non nulle car lenoyau de la restriction de g a F est engendre par X). Comme le feuilletage engendre parX est transversalement riemannien (pour la metrique induite par g sur la transversale) etles orbites de V sont parametrees par la longueur, le flot de V envoie necessairement uneorbite de X sur une autre orbite de X (sans respecter necessairement le parametrage).

L’image reciproque V de V par le revetement universel de F est un champ de vecteurs

complet sur F (car V complet sur M). Par connexite, une orbite du flot de V intersecte

chaque orbite de X. Ceci est suffisant pour conclure a la completude de notre (H,H/I)-structure (pour plus de details, voir [42] proposition 9.3).

Passons a present au type topologique des feuilles de F . Comme les feuilles admettentle champ de vecteurs non singulier X, si elles sont compactes elles sont necessairementhomeomorphes a des tores. Si une feuille F est ouverte, son groupe fondamental π1(F )

agit sur le revetement universel R2 en preservant les flots des champs de vecteurs X et

V . Il vient que π1(F ) agit sur la transversale du feuilletage engendre par X en preservant

le flot de V : ceci donne un morphisme de π1(F ) dans R. Le noyau de ce morphisme

est forme par les elements de π1(F ) qui fixent les feuilles donnees par l’action de X : ce

sous-groupe de π1(F ) commute avec le flot de X et est donc egalement commutatif. Ilvient que π1(F ) ne peut etre un groupe libre, sans etre isomorphe a Z ou trivial. Dans cecas F est necessairement homeomorphe a un cylinde ou a un plan. 2

.

Proposition 7.3. La (G,G/I)-structure de M est complete.

Demonstration. La (G,G/I)-structure de M est une combinaison de la (H,H/I)-structure des feuilles de F et de la structure transverse de translation du feuilletage F ,qui est modelee sur G/H ≃ R. Par compacite de M , la structure transverse de F estcomplete [29]. Comme les feuilles de F sont completes par la proposition 7.2, il vient quela (G,G/I)-structure de M est egalement complete. 2

.

Lemme 7.4. i) Le groupe d’holonomie Γ n’est pas contenu dans H.ii) Γ n’est pas abelien.iii) Si c = 0 et Γ est nilpotent, alors g est plate, invariante a gauche sur Heis.

Demonstration. Considerons l’adherence de Zariski Γ de Γ dans G. Il s’agit d’un sous-groupe algebrique de Γ, qui admet donc un nombre fini de composantes connexes. Quitte aconsiderer un revetement fini de M , on peut supposer que Γ est connexe. Par completude,l’application developpante de la (G,G/I)-structure de M fournit une application surjectivede M dans le double quotient Γ\G/I, et donc egalement une application de M sur Γ\G/I.

i) Supposons par l’absurde que Γ ⊂ H. Nous avons alors une application de M sur lequotient de H\G/I. Or, ce quotient, qui s’identifie a la transversale R du feuilletage F ,


est un espace separe et non compact qui ne peut etre l’image continue du compact M :absurde.

ii) Supposons par l’absurde que Γ et, par consequent, aussi Γ est abelien. Un calculimmediat montre que le centralisateur dans H d’un element appartenant a la differenceG \ H est de dimension egale a 1, engendre par X ′, si c = 0, ou par un element de H noncontenu dans RX ′ ⊕ RY , si c 6= 0. Il vient que Γ est de dimension au plus 2.

Supposons d’abord que Γ est un sous-groupe a un parametre (non contenu dans H).Dans ce cas le double quotient Γ\G/I s’identifie a H/I qui n’est pas compact : absurde.

Supposons maintenant que Γ est de dimension 2.Si c 6= 0, alors Γ intersecte H selon un sous-groupe a un parametre engendre par un

element Z ′ de H non contenu dans RX ′ ⊕ RY . Le groupe Γ est engendre alors par lesous-groupe a un parametre associe a Z ′ et par n’importe quel sous-groupe a un parametrel, contenu dans Γ et transverse a H. Le quotient Γ\G/I s’identifie alors au quotient agauche de H/I par le sous-groupe a un parametre engendre par Z ′.

Comme Z ′ /∈ RX ′ ⊕RY , l’algebre commutative RX ′ ⊕RZ ′ agit transitivement sur lesfeuilles de F . En particulier, le champ de Killing Z ′ est parallele, et en restriction a lafeuille H/I de F , une orbite du champ de vecteurs complet X constitue une transversaletotale au feuilletage defini par Z ′. Ceci implique que le quotient de H/I ≃ R2 par l’actionde Z ′ s’identifie a la transversale R du feuilletage trivial definit par Z ′. Or, R ne peutpas etre l’image continue du compact M : absurde.

Si c = 0, Γ est engendre par X ′ et par n’importe quel sous-groupe a un parametrel contenu dans Γ et transverse a H. Le quotient Γ\G/I s’identifie alors au quotient agauche de H/I par le sous-groupe a un parametre engendre par le centre X ′. Ce quotientest isomorphe a R qui n’est pas compact : absurde.

iii) Comme G n’est pas nilpotent, il vient que Γ est de dimension 3, isomorphe augroupe de Heisenberg. On a donc que l’algebre de Lie derivee de l’algebre de Lie de Γ estRX ′. Or, si T + aY + bZ et T + a′Y + b′Z sont deux elements lineairement independantsdu quotient de l’algebre de Lie de Γ par RX ′ (avec a, b et a′, b′ des constantes reelles),leur crochet qui vaut (a − a′)Z + (b − b′)nY n’est nul que si n = 0. Donc n = 0 et laproposition 6.6 implique alors que g est plate. 2

.

Remarque 5. Dans la preuve precedente nous considerons l’adherence de Zariski Γ de Γdans G. Cette operation est legitime si G est un groupe de Lie algebrique reel. Dans lesexemples qu’on etudie G n’est pas toujours un groupe algebrique reel, mais il est isomorpheen tant que groupe de Lie a la composante connexe de l’identite d’un groupe algebriquereel.

Passons maintenant a la preuve de la proposition 7.1 :Demonstration.

(i) Supposons d’abord c = 0. D’apres la proposition 6.6, X est alors un champ deKilling isotrope globalement defini.

Il est prouve dans [42] (section 14) que le champ de Killing X est necessairementequicontinu. Par definition, ceci signifie que l’adherence du flot de X dans le groupedes homeomorphismes de M est un groupe compact.

Par consequent, le flot de X preserve egalement une metrique riemannienne sur M .Nous pouvons donc utiliser la classification des champs de Killing riemanniens sur lesvarietes compactes de dimension 3 [4]. Dans notre cas, le feuilletage engendre par X esttransversalement de Lie, localement modele (transversalement) sur le quotient de G parson centre. Un resultat de [29] (theoreme 4.2) affirme alors que les adherences des orbitesde X ont toutes la meme dimension. Selon la dimension de l’adherence des orbites de X


les situations possibles sont les suivantes [4] :

1) Si les orbites de X sont denses dans M , alors M s’identifie a un tore T 3 sur lequelle flot de X est a orbites denses et le feuilletage engendre par X est lineaire. Comme legroupe fondamental de T 3 est abelien, il vient que Γ est abelien, ce qui est impossible parle lemme 7.4.

2) Si les adherences des orbites sont de dimension 2, il est montre egalement dans [4](voir le theoreme 1 de la section III.A et le corollaire 4 de la section III.B) que M est untore T 3 de dimension 3. On conclut comme precedemment .

3) Il reste a traiter le cas ou les orbites de X sont fermees. Dans ce cas, a revetementfini pres, M est une fibration principale sur un tore T 2 ou bien sur une sphere S2 avecle champ de Killing X qui engendre la fibration principale [4] (le cas des fibres de Seifertnon triviaux est elimine grace a l’existence de la structure transverse : l’holonomie d’uneorbite de X ne peut etre une rotation rationnelle non triviale).

Comme les orbites de X sont fermees, l’holonomie Γ intersecte non trivialement lecentre de H et cette intersection est un sous-groupe discret isomorphe a Z (image dugroupe fondamental de la fibre par le morphisme d’holonomie).

Ainsi l’holonomie Γ est une extension centrale d’un groupe abelien (l’image du groupefondamental de T 2) et est donc nilpotente. Le lemme 7.4 implique alors que g est plate,invariante a gauche sur Heis.

(ii) Considerons maintenant le cas c 6= 0.Prouvons d’abord que Γ ∩ H est un sous-groupe ∆ non trivial de Γ.Supposons par l’absurde que Γ∩H = {1}. Il vient donc que Γ s’injecte dans G/H ≃ R,

ce qui implique que Γ est commutatif, et contredit le lemme 7.4.Comme les feuilles de F sont completes, une telle feuille s’identifie au quotient de H/I

par l’action (a gauche) de ∆. Il vient que ∆ s’identifie au groupe fondamental d’une feuillede F et est un sous-groupe discret de H isomorphe a Z (les feuilles sont homeomorphes ades cylindres) ou a Z ⊕ Z (les feuilles sont homeomorphes a des tores).

Considerons γ un element de Γ ayant une projection non-triviale sur G/H. Pour ce quiva suivre, on ne fera plus appel aux crochets exacts de T avec Y et Z. On se permettra doncde modifier T en lui ajoutant un element de H. On peut ainsi supposer que γ = exp(αT ),pour un certain α ∈ R. Quitte a changer T par −T et γ par γ−1, on suppose que α > 0et c < 0.

Considerons maintenant l’action de γ sur H, et en particulier sur ∆ et sur sa fermeturede Zariski ∆ dans H.

Considerons d’abord le cas ∆ ≃ Z. Comme Z n’admet pas d’automorphismes autresque z → −z, a indice 2 pres, Γ agit trivialement sur ∆, et donc egalement sur le groupea un parametre ∆. Comme c 6= 0, l’element γ ne preserve pas X ′ et donc ∆ admet ungenerateur infinitesimal Z ′ ∈ H, non colineaire a X ′.

Il vient aussi que Γ est contenu dans le centralisateur C de ∆ dans G. Le sous-groupeC de G admet un centre de dimension au moins 1 et est donc de dimension au plus 3(comme c 6= 0, le centre de G est trivial).

L’algebre de Lie C de C contient RX ′ ⊕ RZ ′, et doit egalement contenir T . Ainsi Cest definie par les relations [T,Z ′] = [X ′, Z ′] = 0 et [T,X ′] = cX ′. Comme ∆ et (donc) ∆agissent proprement sur H/I, il s’en suit que RZ ′ intersecte trivialement l’isotropie RY .Il en decoule que le groupe C agit librement et transitivement sur le modele G/I et que


M admet une (C,C)-structure. En particulier, Γ est un reseau (cocompact) de C et Ms’identifie au quotient Γ\C. Or, C est isomorphe a R× AG et n’admet pas de reseau caril n’est pas unimodulaire. Ceci est absurde.

Considerons a present le cas ∆ ≃ Z2. Alors ∆ est abelien et de dimension 2. Il doitcontenir le centre de H. Notons son algebre de Lie RX ′ ⊕ RZ ′, ou Z ′ est un element deH non colineaire a X ′.

Les feuilles de F sont des tores. La theorie generale des structures transverses desfeuilletages [29] assure que M est un fibre en tores sur un cercle et l’image de Γ par laprojection G → G/H est un sous-groupe discret isomorphe a Z. On peut alors supposerque l’element choisi γ engendre la projection de Γ sur G/H. Il vient alors que Γ est inclusdans le groupe engendre par γ et ∆.

Rappelons que γ agit sur le plan ∆ en preservant le reseau ∆. Mais le groupe preservantun reseau est unimodulaire. Il en decoule que γ agit sur ∆ en preservant le volume.Comme [T,X ′] = cX ′, l’action de γ admet une valeur propre egale a eαc < 1. Il s’ensuitque l’action de γ sur RX ′ ⊕ RZ ′ est diagonalisable, avec deux valeurs propres eαc ete−αc. Ainsi, l’algebre de Lie engendree par X ′, Z ′ et T est isomorphe a sol. Comme avant,RX ′⊕RZ ′ intersecte trivialement l’isotropie et SOL agit librement et transitivement surG/I. Par la proposition 1.2, nous sommes en presence d’une geometrie Lorentz-SOL, carl’algebre derivee engendree par X ′ et Z ′ est degeneree et la direction propre RX ′ de ad(T )est isotrope. Par ailleurs, nous avons montre que l’holonomie Γ est contenue dans SOL.Il vient que M possede une (SOL,SOL)-structure, ce qui implique que M est un quotientde SOL par un reseau cocompact. 2

.

8. Classification : cas de l’isotropie semi-simple

L’isotropie est supposee semi-simple. Traitons d’abord le cas

8.1. G resoluble. Le but de cette partie est de demontrer la

Proposition 8.1. Soit (M,g) une variete lorentzienne compacte localement modelee surune geometrie lorentzienne (non necessairement maximale) G/I, avec G resoluble de di-mension 4 et I sous-groupe a un parametre semi-simple. Alors g est localement isometrique,ou bien a une metrique plate, invariante a gauche sur SOL, ou bien a la metrique Lorentz-Heisenberg.

Les seules realisations compactes de la geometrie Lorentz-Heisenberg sont, a revetementfini pres, des quotients de Heis par un reseau Γ.

On utilise la classification des algebres G obtenue dans la proposition 6.2.

Cas G = R × SOL.

Proposition 8.2. La geometrie (G,G/I) represente une metrique invariante a gauchesur SOL. Elle n’est donc pas maximale.

Demonstration. Dans ce cas G = R × SOL, ou SOL est engendre par {Z, T, Y }(avec les relations [Y,Z] = Z, [Y, T ] = −T et [T,Z] = 0) et le centre est engendre par X ′.L’algebre de Lie engendree par {X ′, Z, T} est abelienne et agit librement transitivement surG/I. La metrique g est donc plate. Cette metrique s’identifie a une metrique lorentzienneinvariante a gauche sur le groupe SOL engendre par les elements {Y + X ′, Z, T}.

Le modele G/I ne represente pas une geometrie lorentzienne maximale : la geometriemaximale correspondante est la geometrie Minkowski. 2

.


Cas G = R ⋉ Heis.

Proposition 8.3. La geometrie (G,G/I) est la geometrie Lorentz-Heisenberg.

Demonstration. Le centre de G est non trivial et engendre par un element central X ′

de Heis. Ceci donne l’existence d’un champ de Killing globalement defini sur M de normeconstante positive et qui est preserve par l’action de G. Il coıncide donc avec un multipledu champ de Killing X stabilise par l’isotropie.

Le deuxieme facteur Heis agit librement et transitivement sur G/I. Ceci impliqueque la metrique g s’identifie localement a une metrique invariante a gauche sur Heis quiattribue a l’element central X ′ une norme positive. La variete M est alors localementmodelee sur la geometrie Lorentz-Heisenberg (voir section 4). 2

.

Demontrons maintenant la completude et la rigidite de Bieberbach des realisationscompactes de la geometrie Lorentz-Heisenberg.Demonstration. Dans le cas ou le champ de Killing X (de norme egale a 1) est non-equicontinu, il a ete montre dans [42] que X est necessairement un flot d’Anosov dontles feuilletages stables et instables sont les deux droites isotropes de X⊥. Comme G estresoluble, M est necessairement une suspension d’un diffeomorphisme hyperbolique d’untore et g est plate (voir [42]). Ceci est absurde car les seules metriques lorentziennes plateset invariantes par translations sur Heis attribuent a l’element central X ′ la norme 0 [35].

Il reste a analyser le cas ou le flot de X est equicontinu. Le feuilletage engendre parX admet une structure transverse qui est a la fois lorentzienne et riemannienne. Enparticulier, le feuilletage engendre par X est transversalement de Lie et la dimension del’adherence d’une orbite de X ne depend pas de l’orbite choisie [2, 29]. Selon la valeur decette dimension nous avons les possibilites suivantes [4] (voir egalement le theoreme 4.2dans [2]) :

1) Si les orbites de X sont denses dans M alors M s’identifie a un tore T 3 sur lequel leflot de X est a orbites denses et le feuilletage engendre par X est lineaire. L’adherence duflot de X dans le groupe des homemorphismes de M est alors un groupe de Lie abeliencompact qui agit transitivement par isometries, aussi bien pour la metrique lorentzienneg, que pour une metrique riemannienne. Ceci implique que l’adherence du flot de X estun tore T 3 qui agit simplement transitivement et par isometries sur M . Il en resulte queg est egalement plate : absurde.

2) Si les adherences des orbites de X sont de dimension 2, il est montre dans [4] (voirle theoreme 1 de la section III.A et le corollaire 4 de la section III.B) que M est un toreT 3. Par ailleurs, l’adherence du flot de X dans les homeomorphismes de M est un tore T 2

qui agit par isometries pour la metrique lorentzienne g, ce qui entraıne l’existence de deuxchamps de Killing periodiques et qui commutent sur M . Ceci implique que le groupe deholonomie Γ contient un sous-groupe discret isomorphe a Z2.

Comme le groupe fondamental de T 3 est abelien, il vient que l’holonomie Γ est egalementabelienne. Comme Γ contient un sous-groupe discret isomorphe a Z2, son adherence deZariski Γ est un sous-groupe de Lie abelien de dimension au moins 2 de G. Quitte aconsiderer un revetement fini de M , Γ sera suppose connexe.

Supposons par l’absurde que Γ n’est pas contenu dans Heis.On constate que le centralisateur dans l’algebre de Lie heis d’un element de G qui ne se

trouve pas dans heis est exactement RX ′. Donc Γ est de dimension 2. Plus precisement,Γ est une copie de R2 ⊂ G engendree par RX ′ et par n’importe quel sous-groupe a unparametre l contenu dans R2 et transverse a RX ′.


L’image de l’application developpante est un ouvert U de G/I. Nous avons donc uneapplication surjective de M dans le quotient de U par l’action de Γ. Comme le champ deKilling X est globalement defini sur M , l’ouvert U est invariant par l’action de X ′.

Pour comprendre le quotient a gauche de G/I par Γ, il est aise de regarder d’abordle quotient de G par son centre, engendre par RX ′. On constate que ce quotient estisomorphe au groupe SOL et que le quotient a gauche de G/I par Γ s’identifie au quotienta gauche de SOL/I par l’image l′ de l dans G/I ≃ SOL. Le modele SOL/I est le plande Minkowski et l’image de l’ouvert sature U dans SOL/I est un ouvert U ′.

L’application developpante fournit alors une application surjective de M dans le quotientde U ′ par le champ de Killing l′ ⊂ SOL, non contenu dans les translations (car l noncontenu dans Heis).

La contradiction recherchee viendra du fait que la norme de l′ (constante sur les orbitesde l′) descend en une fonction continue sur M sans extremas locaux.

En effet, pour preciser cette idee considerons des coordonnees (z, t) sur SOL/I danslesquelles la metrique lorentzienne s’exprime q = dzdt. Comme l′ est un champ de Killingqui n’est pas une translation pure, alors quitte a le multiplier par une constante, l′ =(z ∂

∂z− t ∂

∂t) + a ∂

∂z+ b ∂

∂t, avec a, b ∈ R. Dans ce cas l’expression de q(l′) est la fonction

(z + a)(b − t) qui n’admet pas d’extrema local sur R2.Pourtant la fonction q(l′) descend bien en une fonction continue non constante sur la

variete compacte M : elle devrait donc admettre sur l’ouvert U ′ au moins un minimumet un maximum. Cette contradiction acheve la preuve de Γ ⊂ Heis (a indice fini pres),dans le cas ou l’adherence d’une orbite de X est de dimension 2.

3) Il reste a regler le cas ou toutes les orbites de X sont fermees, de dimension 1. Dansce cas M est une fibration principale en cercles sur un tore T 2, la fibration principale etantengendree par X. Les orbites de X etant fermees, le groupe d’holonomie Γ intersecte lesous-groupe a un parametre engendre par l’element central X ′ selon un sous-groupe discretisomorphe a Z. Il vient que le sous-groupe a un parametre engendre par X ′ est contenudans Γ ∩ Heis, ou Γ est l’adherence de Zariski de Γ.

Il en resulte que l’holonomie Γ est une extension centrale d’un groupe abelien (l’image dugroupe fondamental de T 2 par le morphisme d’holonomie). Le groupe Γ est donc nilpotent.

Supposons par l’absurde que Γ n’est pas contenu dans Heis. Alors l’adherence deZariski Γ de Γ est un sous-groupe nilpotent de G qui contient le centre RX ′ et qui n’estpas contenu dans G. Comme avant, on peut supposer Γ connexe.

On montre que Γ est necessairement de dimension 2. D’abord, la dimension ne peutetre 4 car G n’est pas nilpotent.

Le centralisateur dans l’algebre de Lie heis d’un element de G qui ne se trouve pas dansheis est exactement RX ′. Par ailleurs, si l’algebre de Lie de Γ est supposee de dimension3, alors l’intersection de l’algebre de Lie de Γ avec heis est de dimension 2. Or, le crochetde Lie d’un element appartenant a la difference G \ heis avec un element de heis \ RX ′

n’est jamais contenu dans RX ′. Notre algebre ne peut donc pas etre nilpotente et dedimension 3.

Il vient que Γ est une copie de R2 ⊂ G engendree par RX ′ et par n’importe quelsous-groupe a un parametre l contenu dans R2 et transverse a RX ′. On conclut alorscomme dans le cas precedent. Plus precisement, le quotient de l’image de l’applicationdeveloppante par Γ s’identifie au quotient d’un ouvert de SOL/I par le feuilletage trivialengendre par X ′. Or, ce quotient est separe et non compact et ne peut etre l’imagecontinue de M : absurde.


Nous venons de demontrer que (a indice fini pres) Γ ⊂ Heis et donc que (a revetementfini pres) M est un quotient de Heis par un reseau cocompact. 2

.

8.2. G non resoluble. Il reste a regler le cas de la geometrie produit apparue au point

(2) de la proposition 5.1. Dans ce cas, G = R × ˜SL(2,R) et I ⊂ ˜SL(2,R) est un groupea un parametre semi-simple.

Proposition 8.4. Il n’existe pas de realisation compacte de (G,G/I).

Demonstration. Il s’agit d’un cas simple d’application de la methode developpeedans [1] (voir egalement la section 2.2.2 du rapport de survol [24]) dont nous presentonsbrievement le principe.

La projection naturelle G → G/I munit G/I d’un fibre en droites reelles G-invariant,qui est donc bien defini sur M . La forme lineaire sur G, qui s’annule sur le centre R

et qui coıncide sur sl(2,R) avec la forme duale (par rapport a la forme de Killing) d’ungenerateur de I, equipe ce fibre d’une connexion G-invariante dont la forme de courbureω est une forme volume en restriction aux orbites de SL(2,R). La 2-forme ω est alorsbien definie sur M , ou elle s’annule sur X et est non degeneree en restriction aux feuillesde X⊥.

Par ailleurs, le fibre en droites precedent admettant une section jamais nulle (eventuelle-ment sur un revetement double de M), la forme de courbure ω est exacte, egale a ladifferentielle de la 1-forme de connexion ω1 associee a une section.

Considerons a present la 1-forme differentielle µ sur M qui s’annule sur X⊥ et telle queµ(X) = 1 (il s’agit de la forme duale de X par rapport a g). Comme le flot de X preservele champ de plans integrable X⊥, la 1-forme µ est fermee.

La forme differentielle ω ∧ µ est une forme volume sur M . Par ailleurs, cette forme estexacte, egale a d(ω1 ∧ µ). Si M est compacte, ceci est impossible. 2

.

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⋆ Departement de Mathematique d’Orsay, equipe de Topologie et Dynamique, Bat. 425,U.M.R. 8628 C.N.R.S., Univ. Paris-Sud (11), 91405 Orsay Cedex, France

E-mail address: [email protected]

† CNRS, UMPA, ecole Normale Superieure de Lyon, FranceE-mail address: [email protected]

http://arXiv.org/abs/math/0604391

G\'eom\'etries Lorentziennes de dimension 3 : classification et compl\'etude

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