Estudo do Tratamento de Restrições Críticas e Não-Críticas no Problema de Reconfiguração em...

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Anais do XIX Congresso Brasileiro de Automática, CBA 2012.

ISBN: 978-85-8001-069-5

ESTUDO DO TRATAMENTO DE RESTRIÇÕES CRÍTICAS E NÃO-CRÍTICAS NO PROBLEMA DE

RECONFIGURAÇÃO EM SISTEMAS DE DISTRIBUIÇÃO PRIMÁRIA

TIAGO A. G. SILVEIRA1, MATEUS A. O. LEITE

1, CARLOS HENRIQUE N. R. BARBOSA

1,2,3, EZEQUIEL C. PEREIRA

4,

JOÃO A. VASCONCELOS1,2

1 Laboratório de Computação Evolucionária, Departamento de Engenharia Elétrica,

Universidade Federal de Minas Gerais

Av. Antônio Carlos no 6627, Pampulha, 31270-901 – Belo Horizonte, MG

E-mails: [email protected], [email protected]

2 Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Universidade Federal de Minas Gerais

Av. Antônio Carlos no 6627, Pampulha, 31270-901 – Belo Horizonte, MG

E-mail: [email protected],[email protected]

3 Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas, Universidade Federal de Ouro Preto

Rua 36 no 115, Loanda, 35931-008 – João Monlevade, MG

4 Companhia Energética De Minas Gerais S.A.

Av. Barbacena, no 1200, Santo Agostinho, 30190-131 – Belo Horizonte,MG

E-mail: [email protected]

Abstract It is known that managing distribution systems under optimal conditions according to pre-established criteria is still

a challenging task to the power utilities. Because this is a real-world problem, feeder configuration optimization problem

(FCOP) has numerous critical and non-critical constraints. This work makes a comparison among three constraint handling

techniques applied to the FCOP: penalization assignment, additional objective, and feasibility dominance. Most common tech-

nical and operational constraints are included into the mathematical formulation presented here. The effects of the chosen tech-

nique over the final solution quality and the stochastic algorithm convergence towards optima set are both investigated. Two al-

ready known test systems of 33 and 69 busses are employed on experimental simulations. The results indicated specific short-

comings in all techniques evaluated and the most appropriated conditions to apply each of them.

Keywords Power System, Distribution, Reconfiguration, Constraint Handling.

Resumo Sabe-se que a operação de sistemas de distribuição em condições ótimas segundo critérios preestabelecidos é um de-

safio ainda recorrente para as concessionárias. Por se tratar de um problema do mundo real, o problema de otimização da confi-

guração de redes de distribuição primária (POCRDP) apresenta um vasto conjunto de restrições críticas e não críticas. Este tra-

balho realiza uma comparação entre três técnicas de tratamento de restrições conhecidas e aplicáveis ao POCRDP: atribuição de

penalidades, acréscimo de objetivo e dominância por factibilidade. A influência da estratégia de tratamento das restrições sobre

a qualidade das soluções finais e a convergência do algoritmo evolucionário empregado na otimização são investigadas. Dois

sistemas já conhecidos na literatura especializada, de 33 e 69 barramentos, são usados nos experimentos. Os resultados indica-

ram limitações específicas de cada técnica usada em contextos de carregamento do sistema de distribuição distintos. As condi-

ções mais apropriadas para a seleção de uma das três técnicas aplicadas ao POCRDP são ratificadas pelos resultados alcançados.

Palavras-chave Sistemas Elétricos de Potência, Distribuição, Reconfiguração, Tratamento de Restrições.

1 Introdução

A incorporação e tratamento eficientes das res-

trições técnico-operacionais referentes ao problema

de otimização da configuração de redes de distribui-

ção primária de energia elétrica (POCRDP) é funda-

mental para a aplicação em casos reais. Uma formu-

lação matemática mais completa para o POCRDP é

geralmente composta por múltiplos objetivos e múl-

tiplas restrições. Trata-se de um problema multimo-

dal, discreto, não-diferenciável, não-linear, de com-

plexidade combinatorial elevada e tido como perten-

cente à classe NP-difícil . De maneira geral, os obje-

tivos são divididos em técnicos e gerenciais. Já as

restrições são classificadas como críticas e não críti-

cas. Admite-se que as restrições críticas devam ser

atendidas necessariamente, visto que alguma violação

das mesmas pode incorrer em riscos para a integrida-

de do sistema elétrico. Porém, é desejável que as

restrições não críticas sejam também atendidas apesar

da violação das mesmas não impossibilitar a realiza-

ção da solução encontrada. Obviamente, uma solução

que atende às restrições críticas, mas viola restrições

não críticas, é preterida por outra que satisfaça ambos

os tipos de restrição.

Na literatura especializada, há várias técnicas para o

tratamento de restrições. No entanto, a identificação

da(s) mais adequada(s) para o POCRDP ainda não

foi claramente realizada. O presente trabalho tem

como principal objetivo avaliar a influência de algu-

mas dessas técnicas na qualidade das soluções finais

http://cba2012.dee.ufcg.edu.br/

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ISBN: 978-85-8001-069-5

para o POCRDP, dadas as características já mencio-

nadas desse problema. Grande parte das técnicas de

tratamento de restrições foram originalmente aplica-

das à otimização mono-objetivo. Com adaptações, é

possível aplicar tais técnicas aos problemas multi-

objetivos. Diferentes abordagens apresentam dificul-

dades que podem afetar a qualidade das soluções

finais e até a convergência do algoritmo de otimiza-

ção. Nesse artigo, três técnicas para o tratamento de

restrições são incorporadas ao algoritmo evolucioná-

rio NSGA-II (Deb, et al., 2002). A constatação da

melhor adaptabilidade de tratamento de restrições

para o POCRDP é alcançada por meio de testes expe-

rimentais realizados em dois sistemas conhecidos na

literatura: 33 e 69 barramentos. Os resultados são

analisados com o intuito de comparar cada técnica

em relação à qualidade das soluções finais obtidas.

O presente artigo foi organizado em 7 seções. Na

Seção 1, uma breve apresentação do problema abor-

dado foi feita. Uma revisão dos trabalhos relaciona-

dos ao tema tratado aqui foi desenvolvida na Seção 2

e as respectivas contribuições foram avaliadas. Na

Seção 3, o modelo matemático do POCRDP foi des-

crito em detalhes. As estratégias de tratamento de

restrições empregadas na otimização realizada pelo

algoritmo evolucionário NSGA-II foram discutidas

na Seção 4 e os aspectos de implementação, relevan-

tes para a classe do problema abordado, foram vistos

na Seção 5. Na Seção 6, os resultados experimentais

foram analisados e em seguida as conclusões foram

dadas na Seção 7.

2 Revisão da Literatura

A reconfiguração de redes reais é um problema

inerentemente restrito cujo número de restrições está

associado ao tamanho do sistema. Em particular, o

problema de otimização da configuração de redes de

distribuição primária (POCRDP) já foi descrito ma-

tematicamente em sua forma multiobjetivo admitin-

do-se apenas critérios técnicos e algumas restrições

(Augugliaro, et al., 2004) (Hong & Ho, 2005),

levando-se em conta critérios gerenciais (Miu, et al.,

1997) ou uma combinação dos anteriores (Hsiao,

2004). Diferentes propostas para solucionar o

POCRDP foram apresentadas (Taylor & Lubkeman,

1990) (Wang, et al., 1996) (Miu, et al., 1997)

(Huang, 2002). Os três primeiros trabalhos citados

anteriormente resolveram o problema com heurísticas

que buscavam soluções viáveis, ou seja, que atendi-

am todas as restrições impostas. Entretanto, a busca

através de heurísticas não garante a identificação da

solução ótima global. Já Huang (Huang, 2002) pro-

pôs uma abordagem pseudo-multiobjetivo nebulosa,

transformando o problema multiobjetivo em mono-

objetivo por meio da atribuição de pesos às funções

de pertinência. Usando uma abordagem bastante si-

milar, Hong e Ho (Hong & Ho, 2005) resolveram o

POCRDP. Hong utilizou um algoritmo evolucionário

juntamente com a técnica de penalidades variáveis

para resolver as restrições do problema. Outro traba-

lho que utilizou a lógica nebulosa para “serializar” as

soluções foi o de Augugliaro (Augugliaro, et al.,

2004). Apesar de ter comentado as restrições referen-

tes ao POCRDP, ele não fez menção à técnica de

tratamento das mesmas. Já Ciric (Ciric & Popovic,

2000) empregou uma soma ponderada em cinco

objetivos. Ele tratou as restrições de cada barra e

linha do sistema de maneira independente, mas tam-

bém não detalhou como o tratamento delas teria sido

realizado. Uma abordagem multiobjetivo legítima foi

apresentada em (Hsiao, 2004) para o POCRDP, que

foi resolvido por meio da programação evolutiva.

Apesar de contemplar radialidade e potência disponí-

vel para as cargas, ele não tratou restrições de desvio

de tensão e capacidade de corrente por considerar

que estavam implicitamente incluídas nos objetivos.

Mezura-Montes apresentou uma extensa revisão

sobre métodos de tratamento de restrições, já

propostos (Mezura-Montes & A. Coello Coello,

2011). Dentre as várias abordagens, as mais comuns

são: penalização, dominância por factibilidade,

inclusão de objetivos e emprego de operadores

especiais. Para o método de penalização, Mezura-

Montes citou métodos distintos para a escolha dos

pesos que são associados aos termos de penalidade;

porém não há consenso em relação ao melhor método

para determiná-los (Woldesenbet, et al., 2009)

(Mezura-Montes & A. Coello Coello, 2011). O uso

de operadores especiais visa reduzir o aparecimento

de soluções infactíveis. Entretanto, desenvolver

operadores que evitam solução infactíveis é uma

tarefa extremamente complexa e específica para cada

problema de otimização.

Como visto, existem diversas técnicas para tratar

restrições em problemas de otimização. Por se tratar

de uma aplicação real, é importante avaliar quais

ténicas são mais adequadas ao POCRDP. Pelo

levantamento bibliográfico feito, não foi encontrado

nenhum trabalho científico que tenha investigado

comparativamente tais técnicas para o problema em

questão (Woldesenbet, et al., 2009). Nesse sentido, o

presente artigo apresenta resultados de desempenho

que esclarecem a adequabilidade das mesmas ao

POCRDP restrito.

3 Formulação Matemática do Problema

O POCRDP é formulado com um conjunto de

restrições cuja quantidade é proporcional ao sistema

analisado que possui NB barras e NL linhas. Matema-

ticamente, o problema é descrito como se segue.

Admitindo-se que os estados das Nc chaves mano-

bráveis do sistema elétrico sejam denotados por um

vetor binário x=[x1 x2 .. xk .. xNc], um conjunto de

critérios técnicos e gerenciais compõe o vetor de fun-

ções F(x). Cada variável de otimização xk que repre-

senta uma chave equivalente pode assumir os valores:

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Neste artigo, as perdas de potência real PR(x), o ín-

dice de desvio da tensão de barramento IDT(x) e o

índice de carregamento de corrente ICC(x) serão

admitidos como critérios técnicos de acordo com as

definições dadas a seguir:

(1)

(2)

(3)

em que Re(Zi) denota a componente real da impedân-

cia longitudinal da i-ésima linha, Ii representa a cor-

rente que flui pela linha i e Vk é o módulo da tensão

da barra k que tem a ela associado um valor nominal

Vnom

k. Cada linha i possui um valor de ampacidade

(Imax

i). O índice de custo das manobras ICM(x) foi

acrescido como critério gerencial que indica apenas a

quantidade de chaveamentos necessária à modifica-

ção da configuração atual para aquela indicada por

uma solução potencial:

(4)

em que x0w denota o estado da w-ésima chave na con-

figuração atual e x’w o estado dessa mesma chave

para a configuração proposta. Portanto, o problema

multiobjetivo aqui tratado pode ser descrito:

(5)

sujeito às restrições de igualdade que representam a

radialidade (6a) e as leis de Kirchhoff da tensão (6b)

e da corrente (6c)

(6a)

(6b)

(6c)

em que V e I equivalem aos vetores de tensão e cor-

rente nas barras e linhas do sistema. São consideradas

também as restrições de desigualdade de tensão de

barramento admissível e ampacidade de linha:

(7a)

(7b)

totalizando NL + 2NB + 3 restrições, uma vez que a

Eq. 7a é subdividida em dois grupos associados aos

valores mínimos e máximos das tensões, respectiva-

mente. Portanto, o POCRDP formulado pode ser

adequadamente resolvido por algoritmo evolucioná-

rio multiobjetivo que lide eficientemente com um

número elevado de restrições. Na próxima seção, as

três técnicas de tratamento de restrições implementa-

das nesse trabalho serão discutidas.

4 Tratamento de Restrições

As restrições de igualdade e desigualdade

compõem a descrição matemática de problemas

típicos do mundo real (Venkatraman & Yen, 2005).

Uma solução é dita viável somente se ela não viola

qualquer restrição. Há diversas técnicas para se

incorporar o tratamento de restrições ao algoritmo de

otimização. No presente trabalho, três técnicas de

tratamento das restrições serão abordadas: penaliza-

ção de objetivos, inclusão de objetivos e dominância

por factibilidade (Venkatraman & Yen, 2005).

4.1 Penalização de objetivos (PO)

A penalização dos objetivos é a mais antiga

abordagem. Em geral, a penalização é proporcional

ao grau da violação ocorrida e ao peso escolhido.

Apesar da sua simplicidade, a escolha dos valores

para os pesos não é trivial e influencia tanto no

conjunto das soluções finais obtidas quanto no

comportamento do algoritmo de otimização. A técni-

ca de penalização trata qualquer violação das restri-

ções como um termo somado aos objetivos. As múl-

tiplas violações das restrições são contabilizadas em

um somatório. Assim, a escolha dos fatores multipli-

cativos (pesos) associados a cada violação é fator

decisivo na convergência do algoritmo para as solu-

ções eficientes. Pesos com valor alto comprometem o

processo de busca por regiões de factibilidade que

estejam cercadas por regiões de infactibilidade

(Michalewicz, 1995). Ao serem duramente penaliza-

dos os indivíduos infactíveis, a probabilidade de que

os algoritmos de busca alcancem regiões de soluções

factíveis isoladas é sensivelmente reduzida

(Michalewicz, 1995) (Mezura-Montes & A. Coello

Coello, 2011). Se aos pesos são atribuídos valores

muito pequenos, soluções infactíveis podem passar a

ser consideradas melhores do que as factíveis. Duas

variâncias da PO são empregadas nesse artigo. A

primeira adota pesos de valor fixo e a segunda utiliza

uma regra pré-fixada para a variação dos mesmos de

acordo com a progressão do algoritmo (POV).

4.2 Acréscimo de Objetivos (AO)

Nesta abordagem, dois objetivos são incorpora-

dos ao problema original, tornando-o tratável pelo

algoritmo evolucionário de maneira indiferente ao

problema irrestrito equivalente. Um objetivo viol

acumula os termos de penalização associados às res-

trições violadas por uma solução particular. Já o ou-

tro objetivo qviol contém a quantidade de restrições

violadas. Portanto, o vetor de funções F(x) que agre-

gava n objetivos passa a ter tamanho n + 2:

(8)

Assim, quaisquer restrições adicionais são incluídas

de modo transparente e o conjunto de soluções efici-

entes deve ser composto por aquelas soluções cujos

valores dos dois últimos objetivos sejam nulos:

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ISBN: 978-85-8001-069-5

Essa abordagem, descrita em (Mezura-Montes & A.

Coello Coello, 2011), aumenta a complexidade do

problema multiobjetivo o que pode degradar o

desempenho do algoritmo de otimização já

empregado na versão irrestrita do problema.

4.3 Dominância por Factibilidade (DF)

Enquanto os métodos de penalidade somam aos

objetivos termos que se referem às restrições, a

dominância por factibilidade funciona separando os

objetivos das restrições. A idéia é criar um conjunto

de regras para se efetuar a busca de modo diferente

entre indivíduos factíveis e não-factíveis. Proposta

em (Deb, 2000) (Deb, et al., 2002), a dominância por

factibilidade baseia-se na natureza das soluções

comparadas. Portanto, as soluções infactíveis não são

eliminadas sumariamente. Supondo a existência de

soluções factíveis e infactíveis no processo de busca,

três tipos de comparação podem ocorrer: (a) aquela

entre duas soluções factíveis; (b) aquela entre solução

factível e infactível; e (c) aquela entre duas soluções

infactíveis. O conceito de dominância Pareto é apli-

cado no primeiro caso. Na segunda situação, a solu-

ção factível domina a inviável. No terceiro e último

caso, a solução com menor margem de violação do-

mina a outra. É importante mencionar que este

método pode apresentar convergência prematura

como foi constatado pelos resultados obtidos nesse

artigo.

5 Aspectos da Implementação

Para resolver o POCRDP, utilizou-se o

algoritmo evolucionário baseado em população

NSGA-II, conforme proposto por (Deb, et al., 2002).

No problema em questão, cada indivíduo representa

uma configuração radial. Portanto, a restrição

topológica é superada. A codificação inteira foi

adotada como esquema de representação desses

indivíduos (Mendoza, et al., 2006). O método de

seleção foi o torneio entre cinco indivíduos

aleatoriamente escolhidos na população corrente, a

partir dos quais os dois melhores são admitidos como

pais para a próxima geração. As probabilidades de

cruzamento (pc) e mutação (pm) no NSGA-II foram

fixadas em 90% e 5%, respectivamente. Os

operadores genéticos também foram desenvolvidos e

adaptados com base na proposta de Mendoza

(Mendoza, et al., 2006). A avaliação de cada solução

foi feita a partir da execução do método de fluxo de

potência, como aquele descrito em (Huang, 2002).

As restrições técnicas descritas na Seção 3 pelas Eqs.

7(a-b) precisaram ser estipuladas caso não houvesse

especificação na literatura sobre os sistemas

simulados. Como tensão de barramento admissível,

foi estipulada uma margem aceitável de 6% em torno

do valor nominal das barras. Para um dos sistemas

avaliados, foi necessário definir os valores de

ampacidade nas linhas de acordo com um

carregamento médio identificado por prévias

execuções do método de fluxo de potência para

diferentes configurações aleatoriamente selecionadas.

É importante mencionar que nos experimentos

realizados a mesma população inicial foi usada em

todos os testes, garantindo assim uma igualdade de

condições iniciais para as técnicas avaliadas, a saber:

PO, POV, DF e AO. As soluções ditas não-

dominadas ou eficientes que compõem a fronteira

Pareto ótima (FPO) foram identificadas por meio de

um método do tipo busca exaustiva.

6 Resultados Experimentais

Foram utilizados dois sistemas de distribuição conhe-

cidos da literatura. O primeiro, descrito em (Zhu,

2002), com 33 barramentos e 37 linhas chaveáveis,

possibilita 50.751 soluções radiais. Esta rede, refe-

renciada como Sistema #1, apresentou 25 soluções

que atenderam completamente as restrições, sendo 12

delas eficientes que integram a FPO. O segundo sis-

tema avaliado, denominado Sistema #2 e descrito em

(Huang, 2002), tem 69 barramentos e 74 linhas cha-

veáveis. A partir dele, 376.028 soluções radiais po-

dem ser geradas. Para a formulação multiobjetivo

empregada, esse sistema apresentou 22.366 soluções

que atenderam completamente as restrições, das quais

19 compuseram a FPO. Ambos os sistemas foram

avaliados em dois cenários mantendo-se o número de

avaliações fixo. Percebe-se que em testes com o pro-

blema irrestrito equivalente, 4000 avaliações em mé-

dia foram suficientes para assegurar a identificação

de pelo menos 90% das soluções ótimas. Tomando-se

esse valor como referência, arbitrou-se o uso de 7500

avaliações por ser considerado um número suficiente

para a convergência do processo de otimização. O

primeiro cenário empregou uma população com 50

indivíduos evoluída durante 150 gerações (Npop =

50 e Nger = 150). Neste cenário, um número maior

de gerações foi escolhido para que fosse possível

avaliar o potencial de convergência de cada uma das

técnicas. Já no segundo cenário, as avaliações foram

realizadas ao longo de 75 gerações em populações de

100 indivíduos (Npop = 100 e Nger = 75). Foram

definidos três valores de peso para a técnica PO: 1

(PO1), 20 (PO20) e 100 (PO100). Na técnica POV,

os pesos foram iniciados com valor unitário e dobra-

dos a cada geração. Visando a significância estatísti-

ca dos resultados obtidos, cada cenário foi executado

50 vezes. Os resultados podem ser comparados por

meio do percentual médio de soluções pertencentes à

FPO que foram encontradas nas 50 execuções. Os

resultados referentes ao Sistema #1 são apresentados

na Figura 1. Nesse caso, a técnica que obteve o me-

lhor desempenho foi a PO1. Apesar do número ele-

vado de avaliações, as outras técnicas de penalização

apresentaram dificuldade em encontrar todas as solu-

ções da FPO. As técnicas DF e AO obtiveram o pior

desempenho. Comparando-se os resultados alcança-

dos pela PO1, PO20 e PO100, foi notório que a con-

vergência para esses métodos baseados em penaliza-

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ISBN: 978-85-8001-069-5

ção é influenciada pelos valores dos pesos adotados.

Com exceção da técnica AO, as demais técnicas fo-

ram capazes de encontrar as 12 soluções ótimas do

problema em pelo menos uma das 50 execuções.

Os resultados do Sistema #2 são apresentados na

Figura 2. As técnicas PO1, PO20, PO100, POV e DF

apresentaram desempenhos equivalentes e em grande

parte das 50 execuções efetuadas todas as soluções

da FPO foram encontradas. O método AO apresentou

novamente o pior desempenho. O desempenho supe-

rior alcançado por todas as técnicas no Sistema #2 é

justificado pela maior quantidade de indivíduos factí-

veis no espaço de busca, o que gera menos regiões

factíveis isoladas (Michalewicz, 1995). Tal afirmação

também explica o melhor desempenho da técnica

PO1 no Sistema #1, visto que ao penalizar menos os

indivíduos infactíveis, ela favorece um processo de

busca que transita entre as regiões de factibilidade

(Mezura-Montes & A. Coello Coello, 2011).

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Percentual Médio de Ótimos [%]

Geração

Comparação Entre Técnicas De Tratamento De Restrições No Sistema #1 Para Npop = 50

PO1 PO20 PO100 POV DF AO Figura 1. Percentual de soluções ótimas encontradas pelas técnicas

PO, POV, DF e AO no Sistema #1 para Npop=50 indivíduos.

Em ambos os sistemas avaliados, a quantidade de

soluções da FPO encontrada pela técnica AO estag-

nou prematuramente quando uma população de 50

indivíduos foi usada. A inclusão de mais dois objeti-

vos alterou o espaço de busca (acréscimo de duas

dimensões) e, por conseguinte, a FPO. Provavelmen-

te, mais indivíduos foram adicionados a ela.

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Geração


PO1 PO20 PO100 POV DF AO

Figura 2. Percentual de soluções ótimas encontradas pelas técnicas


A partir daí, o NSGA-II selecionou as soluções que

pertenciam à primeira fronteira e promoviam melhor

espalhamento para assegurar a diversidade das solu-

ções finais.

No segundo cenário, o desempenho das técnicas de

tratamento de restrições foi avaliado para uma popu-

lação maior, agora com 100 indivíduos (Npop =

100), mantendo-se, porém, o mesmo número de ava-

liações. Os resultados para o Sistema #1 são apresen-

tados na Figura 3. Graças ao aumento no tamanho da

população, a técnica AO teve um desempenho mais

próximo do melhor desempenho obtido pela PO1.

Como anteriormente, as técnicas PO20, PO100, POV

e DF não permitiram ao algoritmo de otimização

encontrar 100% das soluções eficientes na média das

50 tentativas realizadas. Tal fato pode ser justificado

pela dificuldade de tais técnicas em varrerem as regi-

ões de factibilidade. Para o Sistema #2, os resultados

são apresentados na Figura 4. Todas as técnicas apre-

sentaram desempenhos similares e na maioria das 50

execuções realizadas, elas encontraram 100% das

soluções da FPO.

0

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0 10 20 30 40 50 60 70 80


Geração


PO1 PO20 PO100 POV DF AO Figura 3. Percentual de soluções ótimas encontradas pelas técnicas


As técnicas avaliadas obtiveram melhor desempenho

nos testes realizados para populações maiores. Con-

tudo, é importante ressaltar que uma população maior

implica em custo computacional elevado para o

NSGA-II.

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Geração


PO1 PO20 PO100 POV DF AO

Figura 4. Percentual de soluções ótimas encontradas pelas técnicas


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A inclusão de mais objetivos na técnica AO pode causar

alteração significativa no comportamento e no desem-

penho do algoritmo evolucionário multiobjetivo empre-

gado, uma vez que a consideração de mais objetivos

conflitantes torna a otimização mais desafiadora

(Purshouse & Fleming, 2007).

Com intuito de ratificar as considerações feitas anteri-

ormente a respeito dos resultados obtidos para os dois

cenários simulados, são apresentados gráficos com va-

lores médios (µ) e variância (2) para o Sistema #1 no

cenário 1. As quantidades médias de indivíduos da

FPO encontrados usando-se cada uma das técnicas de

tratamento de restrição analisadas por este trabalho são

mostradas na Figura 5(a-f) juntamente com as respecti-

vas variâncias, simbolizadas pelas barras verticais. Ain-

da nos gráficos da Figura 5, os limites máximos e mí-

nimos encontrados pelas 50 execuções são identificados

por linhas tracejadas. Na Figura 5(a), fica evidente que

a técnica PO1 obteve uma evolução mais comportada

(2 menor) nas 50 execuções, sendo seu valor médio

estritamente gera crescente e sua variância reduzida ao

longo das últimas ções. Todas as execuções encontra-

ram ao menos 11 dentre os 12 indivíduos da FPO até as

7500 avaliações. Os gráficos das Figuras 5(b,c,d) real-

çam a influência dos valores dos pesos na dinâmica de

busca do NSGA-II, conforme já comentado na presente

seção. Para as técnicas PO20, PO100 e POV o algorit-

mo teve a sua capacidade para encontrar indivíduos da

FPO comprometida resultando, assim, em uma variân-

cia maior e limite mínimo de menor valor. Na Figura

5(e), apresenta-se o comportamento do NSGA-II quan-

do a técnica DF é adotada. Nesse caso, a maior dificul-

dade em buscar as regiões de factibilidade torna-se clara

uma vez que houve pelo menos uma execução em que

nenhuma solução da FPO foi encontrada. Embora todas

as soluções da FPO sejam encontradas, o uso da técnica

AO (Figura 5(f)) não assegura que elas sejam mantidas

na população. Por causa da adição de objetivos, o gran-

de número de soluções não-dominadas supera o tama-

nho da população utilizada nos testes.

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

2

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12

14Evolução do algoritmo utilizando a técnica PO1

Geração

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(a) (b)

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Geração

Qu

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tid

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ad

os

0 20 40 60 80 100 120 140 160

0

2

4

6

8

10

12

14Evolução do algoritmo utilizando a técnica POV

Geração

Qu

an

tid

ad

e d

e ó

tim

os e

nco

ntr

ad

os

(c) (d)

0 20 40 60 80 100 120 140 1600

2

4

6

8

10

12

14Evolução do algoritmo utilizando a técnica DF

Geração

Qu

an

tid

ad

e d

e ó

tim

os e

nco

ntr

ad

os

0 20 40 60 80 100 120 140 160

0

2

4

6

8

10

12

14Evolução do algoritmo utilizando a técnica AO

Geração

Qu

an

tid

ad

e d

e ó

tim

os e

nco

ntr

ad

os

(e) (f)

Figura 5. Gráficos com média, variância e limites máximo e mínimo de quantidade de soluções da FPO encontradas com as técnicas

(a) PO1, (b) PO20, (c) PO100, (d) POV, (e) DF e (f) AO.

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ISBN: 978-85-8001-069-5

7 Conclusão

A partir dos resultados experimentais, conclui-se

que nenhuma técnica avaliada demonstrou desempe-

nho significativamente superior em todos os proble-

mas. Pode-se afirmar que problemas com poucas

soluções factíveis, ou seja, sistemas de distribuição

com carregamento próximo à sua capacidade máxi-

ma, devem ser tratados por técnicas que não penali-

zam demasiadamente as soluções infactíveis para não

prejudicar a varredura no espaço de busca para as

regiões de factibilidade. A técnica de penalização

apresentou comportamento sensível ao peso escolhi-

do e a determinação do peso, por não ser uma tarefa

trivial, torna tal técnica menos atrativa para casos

gerais. A técnica de dominância por factibilidade,

apesar de não precisar do ajuste de parâmetros exter-

nos, sofre com a convergência prematura em proble-

mas com poucas soluções factíveis. Por outro lado, a

técnica de acréscimo de objetivos obteve desempe-

nho satisfatório para populações maiores, embora

torne o problema mais complexo pelo aumento de

sua dimensão. Ainda, elevar o número de indivíduos

da população deve ser uma medida tomada com cau-

tela, visto que ela implica em aumento do custo com-

putacional necessário para se resolver o problema.

Agradecimentos

Agradecemos as orientações técnicas dadas pelo cen-

tro de operação da distribuição da CEMIG S.A. e o

seu suporte financeiro. Registramos os nossos agra-

decimentos às agências de fomento CNPq e CAPES.

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