Es i s t enza e unieita per campi elettromagnetici stazionari con eondizioni al eontorno dissipative (*)(**).

!V~AURO ~ABRIZIO - BAI%BARA ~LAZZAI%I (Ferrar~)

]

Sunto. - Per u n prob!ema relativo allo studio di campi elettriei armoniei con una condizione al eontorno dissipativa espressa dalla relazione:

( , ) E t = Z*H~•

si perviene a u~ teorema di esistenza, unicith e dipendenza continua. Cio~ si prova ta cotter. tezza del problema che invece non sussiste se si sostituisce ga relazione ( , ) con la nsuale con. dizione al contorno dei eonduttori per/etti:

E~xn = O,

Summary. - l~or the problem relati~g to the study o~ eleetroy~agnetic fields with a dissipative boundary condition expressed by the relation:

( , ) E t _~ Z*Ht •

we prove a theorem o/ existence, uniqueness and continuous dependence. That is we prove the correctness o/ the problem that does not exist i f we replace the relation ($) by the customary bo~tndary condition/or a per/ect conducting medium:

E t x n = O .

Introduzione.

La p ropagaz ione di u n e a m p o e l e t t r omagne t i eo a rmon ieo a l l ' i n f e rno di u n rna-

t e r i a le i n d i v i d u a t o da u n domin io D c R 8 ~ regola to dal le equaz ion i :

(i) v x E + i~H -- 0

(2) V x H - icogE ~ J

dove E, H, J , sono i ve~tori c ampo eleCtrico, campo rnagnet ico , dens i t s di corren~e

e]e t t r ica , di f r eqaenz~ eJ # 0, m e n , r e g e 5 sono i t ensor i c o s ~ n t e e le t t r ic~ e per-

meub i l i t s m a g n e t i c s .

(*) E n ~ r a ~ in Red~zione il 19 febbraio 1983. (**) Lavoro eseguito nell 'ambito delle attivits del G.N.F.)I.

74 MAUR0 ~ABRIZIO - :BARBARA ~AZZARI: Esistenza e unieit~t, eec.

ben noto che se ~t9 6 la f ront iera di ~ , 1~ usuale condizione:

(3) E • su ~t~

dove n 5 1~ normale esterna a 3D, deserive le p~reti del contorno quando e~se sono cost i tui te da un conduttore per]etto, e risult~ la condizione ma temat i camen te natu- rale per ogni problema ai l imiti legato alle equazioni di Maxwell [1], [2]. ~el lo stu- dio dei problemi stazionari il s is tema (1), (2), associato alla condizione (3), risu]ta ben posto soltunto s e i l m~teriale & eondut tore [3], cio~

(4) J = ~E + I

dove 0 ~ ull tensore che rappresenta 1~ conducibili t$ del mezzo e I la densits di eor- rente elet tr ica impressa. In fa t t i il problema (1), (2), (3), con ~ = 0, non ammet t e in generale teoremi di esistenza e unicit~, essendo un problema agli autovalori .

Cer tamente non ~utti i mater ial i sono condut tor i , si pensi ad esempio al vuoto. Pe r t an to in ques*o lavoro dimostreremo come sia possibile dare una corre t ta for- mulazione del problema anehe per material i non condut tor i al lorquando si intro-

duca la nuova condizione al contorno:

(5) E* = 2*H * • n su ~

dove E t e H t sono te r i spet t ive component i tangenzia]i dei campi elettrico e magne- rico e 2" mx oppor tuno eoefficiente, carat ter is t ico del mater iale che costituisee la f ront iera OY2. Ricordiamo che la condizione (5) descrive in modo assai soddisfa- eente ([4], [5]) la f font iera eost i tui ta da an buon condut tore (non neeessariamente perfet to) con un raggio di eurva tura grande in rappor to alla lunghezza dell 'onda; ess~ viene anche chiamata eondizione ~1 contorno dissipativa di LE0~-TOVIC-SCHEL- KU~0FF-GRAF]~I (Cff. [6], [7]~ [8]). Mediante ta le eondizione r o n d a non viene pifi comple tamente riflessa, come nel caso (3), ma una par te di essa viene trasmessa, useendo quindi dal dominio ~9. Per ta le ragione b possibile reahzzare una situazione

di regime t ra l 'energia ent rante , dovuta alla corrente impressa I e quella uscente dalle pare t i di D, situazione ev identemente impossibile nel caso di un contorno del

t ipo (3). P e r t a n t o il problema (1), (2) con ~ -~ 0 risulta ben posto se assoeiato ad una con-

dizione del t ipo (5). In c~uesto lavoro stabil iremo infat t i un teorema di esistenza, nniei t~ e dipendenza cont inua per il problem~ (1), (2), (5) relat ivo ad un generieo dominio t~ con f font iera sufficientemente regolare.

Possiamo inoltre agginngere e h e l a mancanza di unicit~ provat~ in [9] non auto- rizza ad ~ffermare ehe le condizioni di impedenza (5) non sono adegaate allo studio de] problema, in qu~n*o i] eontroesempio Ii por ta to , b relat ivo soltanto al problema statieo ~ssociato ~d ~ dominio con buehi. Per uJa simile problems, del resto, anche

MAVRO FA]~RlZiO - BARBARA LAZZARI: Esistenza e unlcith, eee. 75

con l ' t lsuale eondizione J~ • n = 0 su ~Q, l 'unic i ts viene a cadere in eondizioni s ta- t iehe, m a non per questo poss iamo af fermare c h e l a condizione E • = 0 g ina- degua ta nello studio dei domini con buchi.

1. - P o s i z i o n e del prob lema.

Sia D a n dominio l imi ta to di R 3 di f ront iera ~D regolare nel senso di KELLOG [10]. Ciaseun pun to di D verrg indicato con X = (X~, X~, X3).

Un campo e le t t romagnet ieo ~ individuat0 dai ve t tor i E(X, t), H(X, t), B(X, t),

D(X, t), J(X, t), che r appresen tano r i s l0e t t iwmente i ve t tor i eampo elettrieo, campo magnetico, indgzione magnetica, spostamento elettrieo, densit~ di corrente elettrica. Se i campi sono armoniei , la d ipendenza d~l t empo del generico ve t to re A(X, t) ~ del t ipo

(6) A(X, t) = ~ @ ~

dove ~o r 0 r app re sen t a la f requenza e A ~ un ve t to re complesso indipendente da t. Le eqnazioni di Maxwell per i campi ~rmonici si espr imono nella fo rma:

[ (V• Ji, (7) ( V • iogBh---- 0 SU ~Q.

Poich~ consideriamo un mater ia le dielettrico J~ r appresen ta solo le component i della

eorrente impressa , ment re i eampi sono legati dalle seguenti relazioni cost i tut ive:

(8) { Dh(X) = shj~(X) Ek(X)

B~(X) = ~.~(X) H,(X)

dove s,~,/*h~ sono le component i dei tensori cos tante elet tr ica e permeabi l i t s magne- t ica g e ft.

Richiediamo che e~:, ~aTr siano funzioni rea]i, un i fo rmemente h61deriane~ con

de r iva ta pr im~ cont inua su ~ e inoltre che i ~ensori g e fi siano s immetr ici , unifor- m e m e n t e definiti positi~i e l imitat i , he1 senso che esistono quat t ro costant i s~, e~, /z~, ~u~v Call che:

(9) { c~e'e ~ e~ (X)e~ . e~ eMe'e

~,~e. e <= #hk(X)eh" e~ <= #~e. e

per tu t t i gli X ~ / 2 e per tur i ve%ori reMi e = (e~, e2, e3).

6 - A n n a l i d i M a t e m a t i c a

76 ~IAURO ~ A B R I Z I 0 - BAR]~AtCk LAZZARi : Esistenza e unieith, eee.

Per una iormulazione corret%a del nostro problema ~ essenziale in t rodurre alcunil sp~zi di funzioni:

L=(O) = {A: ~ -+ Ca; A misurabil% 1]A]I = f [ A ( X ) I ~ d X < -~ oo},

5~(VxO) = {A e 5~(/21; V x A e E(/21},

~f~(/2) = {(z, ~ ) ; E e L'(V x/2), ~7 e ~-(V •

A1 sistema (7), come gig osservato ne]FIntroduzione, associamo la condizione a contorno [4], [5]:

(10) E ~= �89 + i ) t H * x n so. ~/2

dove 2 : v/2/,~c,o/%~ essendo ,u2 e ~2 la permeabi] i tg magnetica e la eondneibilits 4el mater ia le cost i tuente la frontiera.

La regolari tg delle funzioni appar tenen t i a s e la dimensione di /2 ci per- met re d_i affermar% in base ad alcuni teoremi di t raccia [11], che E e Z ~ ( a / 2 ) e H e I,~(~/2), per tan to la relazione (1) risulta ben definita per funzioni di s

Definiamo ora lo spazio:

(11) iF(/2) = {(E, H) e ~f~(/2); E t = �89 ~- i ) H t • su a/2}.

]~ possibile pervenire per mater ial i rappresenta t i dalle relazioni cost i tut ive (8) con condizioni (9) alla seguente definizione di soluzione:

DEFI~][ZIO~E I. -Chiamiamo soluzione per il problema (7)-(10), con J E L2(/2) ogni vampo elettromagnetieo (E, H ) e ~ ( / 2 ) che soddis/a il sistema:

(1,2)

quasi da per tutto in [2.

L'unici tg e l 'esistenza della soluzione del problem~ formulato nella Definizione 1 sono conseguenza dell~ disugu~glianz~ a priori espressa dal seguente teorem~:

]]EORES~A 1. -- S e 09 ~ 0 e g, fe soddis/ano le eondizioni (9) , allora per tutti i campi

(E, H) e ~f(/2) che veri/ieano il sistema (12) con J ~ L~(/2) esiste una eostante C indi- pendente da E e da H, tale ehe

(13) H~I[ + l!H]t < cHJik.

Dimostreremo questo teorem~ medi~nte i suceessivi Lemmi 1 e 2.

M~vno FA]~z~o - BARBARA LAZZARI: Esistenza e unieitS, ecc. 77

Pr ima di enunciare il I~emma 1 osserviamo che per le propriet~ dei tensori g e fi il sis~ema di equazio~fi differenziali del secondo ordine che si r icava dalle equ~zioni di Maxwell retr da l l ' ope r~ore eosl definito:

z~ = v x (/7-~(x) v x) - o,~(x)

r ientra nella classe dei sistemi ellittici a eoeifieienti u per cni esiste [12] una matr ice fondamenta le (tensore di Green) appar tenente a Z2(V• soluzioni del s istema

z~P(x, x,) = - I ~ ( x - x,)

essendo d la funzione di Dirac e I i l tensore identith.

~LEM~[A 1. - - Nelte ipotesi del Teorema 1 esistono quattro costanti A~, A2, B~, B2, indipendenti dai eampi .E e H, tali che:

(14)

(].5)

A IEtl l2 .-L [IEII~ 1, a~. - - AuIIJ]I'~ ( 1 )

IIH]]2 = ~ B~I[E~[]~ ~- B.z]]J[] 2 .

DIMOSTRAZI0~E. - L'esistenza della soluzione fondamenta le ~ per l 'operatore L~, ci pe rmet te di affermere che esistono i tensori /~1 e /~, definiti come soluzioni del seguen~e sis~ema:

(16) [ v ~ • x , ) - i o , ~ ( x ) [ ' . ( x , x , ) = - i ~ ( x - x , )

v~ • x , ) + i~o/7(x)P.(x, x , ) = o .

Pos~o

~(E, H) = f v ~ . (Pl(x, x , ) • + P~(x, x,) • dX /2

applieando la formula della divergenza di un prodot to vettoriale, per la simmetria dei tensori g e /7 o t teniamo:

a~(~, R) = f {v~ • x , ) .E (x ) - P~(x, x , ) . v~ • + V~ • P~(X, X,).H(X) -- .Q

- P ( x , X,).V~• aX

O) II~D~ =SIB~(X)l ~ dX. OY2

78 ~IrAURO ~ A B I ~ I Z I 0 - ]~AI~BARA ~LAZZARX: Esis tenza e ~nieit5~ e c e .

e per (12) e (14) abbiamo

J(~ , H) =f{ [o~(X)r~(X, X, ) -- ~ ( X -- X ' ) ] .~ (X) -- P~(X, X,). V~ • E(X) -- 0

- icop(x)P~(x, X , l . t t ( x ) - P~(x, x , ) . v ~ • aN =

= f { ( v ~ • R(x) - i~(x)~(x))P~(x, x,) - (v~ • ~(x) + s

~- io)p(X)H(X))T~(X, X ' ) - i (5(X- X')E(X)} dX =

=f{J(X).P~(x, x , ) - ~(x- x,)F(x)} aN s

e per le propriet~ di d abbiamo:

(17) E(x , ) = - ~r H) § X') dX . ~J

D~altra par~% per il teorema della, divergenza ~ ( E , H) si pub esprimere nella se- guente forma :

J(E, ~) =f[P~(x , x , ) x ~ ( x ) + P~(x, x , ) • aa

0s

e per (10) abbiamo

J(E, H) =f[n(x) • x') + 1-- X')] E~(X) d(~ . 0.(2

Sostituendo in (17) il risultato ottenuto si ha:

1 - ~ x ' ) ] E , ( x ) aa + (18) ~(x,)=-f[ , (x)• + ~ - r ~ ( x , as

+ f j(x) p~(x, z,) az. s

Per la definizione di prodotto interno in L~(~2), d~ (18) discende:

HEIi~ = f f [n(x) • s 0s

D

s 0s

1 - - i p . x x ' ) ] ~ , ( x ) + + - - i - - 3( , a~

dX'<=

P2(x, x ' ) E,(x) a~ §

~ /~AUR0 F A B R I Z I 0 - ] 3 A R B A I ~ A LAZZAI~I: Esistenza e unicit~, e e c . 79

+ [ fJ(X)'f~(X, X') dX ~}dX'<= s

~2~2

--~ i f~(x, x')

d X d X ~ .

2

IE~(X)] ~ vZ~ ~x'q-

t)oich6 E e J zione possi~mo maggiorare il csmpo E nel seguente modo:

IIEI,~<= 2f,E~(x),of n(x)• x') 1 - i f ~ ( x ' X,) 2 ---~- dx' ~ +

F2

" --X---P~(x' ax' 4~ + 6D E2

+ ~ll~lt~ff'~(x, x')l ex, ax . ~2~2

I)osto

dipendono polo du X, essendo lecito invertire Pordine di integru-

A~!f n(X)• ~--{fyX, X ' ) z ~dX'~

& =f ff 'dx, x')l ~ dx' ~x

otteniamo (14). Procedendo in modo ~nalogo, eostrllendo cio6 un opportmlo oper~tore Lg e

ripetendo i passaggi qui svolti, si ottiene (15). Indic~t~ con C(/~, H) la qu~ntit~

6*(E, (19) d X ~2

medi~nte l~ disIlgu~gli~nz~ Sehw~rz e per !e propI~et~ delle fnnzioni di j4Z(~Q) si dimos~r~ immedi~tamente i] segnente Lemm~:

L ~ x 2. - Per tutti :i eampi iE, H ) e ~ g f i ~ ) , Sol~zibne d e l s i s t e m a (12) eon J e L~(~) risulta:

(20) [$'(~, H)I __< []jill]Eli .

80 2~'~AURO ~ABRTZIO - BAt~]3AtIA L A Z Z A R I : Esistenza e unieitd, e e e .

DI~OSTRAZIONE DEL TEO~I~MA 1. - Per la definizione di g~(E, H) e per (20) o~- ~eniamo :

f [V . ( ]~ .H) @ i~o(gE..E fill.H)] dX I ~ ( ~ , / t ) l = I - =

D

= fE• + =

&c2 s

6.q 6D D c~D

osservando ehe E*.E = IEq 2 si ha:

�89 l~lflEq~ d~ < il~l{ ]lJll OD

(21)

e per (14) ot teniamo

(2,2) LIEJI tzl [tEIJI[Jlt- &NJII~

tale disuguaglianza 6 soddisfatta se e solo se

(23)- I,,E,J _< ~ @ [])~l~ ~- 4A~ ]lJ]l

inoltre d~ (15), (21) e (23) abbiamo la seguente s~ima per il campo HH][:

(24) []HBL <\-~T\~-~T @ [I~12 + 4A~ + B2 [',J], ~ ~ i ~

ponendo

C - 2max N ' V[)~I ' § [IZl N + [ ~ + +B~

e sommando membro a membro (23) e (24) otgeniamo

HEH + ',!~i} _-< cl[J[].

Poich~ il sistema ~ l ine , re d~l Teorema 1 discendono, come faeili corollari, i teoremi di unicitg e di dipendenza continua dai d~ti.

CO~OLLARIO 1 (Teorema di dipendenza continua dai dati). - NelIe ipotesi del Teorema 1 vale la seg~,ente disuguaglianza:

(25) FIE m - E(~)I] + :IH ( 1 ) - ~ H~)'~] =_< CilJ a ) - J(")][

MAU~o FABR~ZI0 - BARbArA LAZZAttI: Esistenza e unicit~ 6 etc. 81

per ogni (E (~), H(1)), (j~(.o), H(.~)) appartenente a .]d(Q), soluzione del problema (12)-(10) eon correnti rispettivamente j(1) e J(:) in L~(~Q).

COI~OLLARIO 2 (Teorema di unicit~.). - Nelle ipotesi del Yeorema 1, per ogni

J ~ L~(Q) esiste al pitt una soluzione del problema (12)-(10) seeondo la De/inizione 1.

Prima di dimostrare il r di esistenza ~ utile dare Ia definizione di sohl- zione debole per il problema (12)-(10) e provare l'eq~fivalenza ~ra sohlzione debole e soluzione secondo la Definizione 1.

DEFINIZI0~E 2. -- _La eoppia (E, H) e L~([2) • e soluzione per il probIema

(12)-(10) con sorgente J ~ L~([2) se per ogni (~, ~ ) ~ d/f(~)) risulta

(26) f [V • qb.H -- iwgE. r -- J . ~ + V • T . E + iwfiH. TJ d X -~ O. ~9

OSSEI~VAZI0~E 1. -- (E, H) e soluzione debole per il problema (12)-(10) s e e solo se

(E, H) e sol,tzione secondo la De/izione 1.

DI~I0S~RAZI0h~E. - Sia (E, H) soluzione debole del problem~ (12)-(10). Preso (b(~)e Co(Y2 ) e ~b(2)~ 0, T (1)-- 0 e T(~)~ Co(/2) , le coppie (q)(~), ~P(~)) e (r T (~)) appartengono a 5/~(~2), app]icando (26) ot teniamo:

(27) fly • r n] d x = f (i~o~E. ~( , + J . ~(,) d• .Q ~9

(28) f(v • ~ . E ) d x = f - i ~ H . ~(~, ex . 9 t~

Poieh6 le funzioni (ioggE. qb (1) ~- J . ~b(1)), ( _ io)/~H.~P(2)) appartengono a L2(/2) e (27) e (28) valgono per ogni ~b(1) e T(~) in Co(Y2 ) possiamo concludere che E e H appartengono a L-~215 e inoltre ( E , H ) verificano le equazioni di 5Iaxwell quasi da per tu t to su .(2.. Per prov-are che (E, H) soddi~fa (10)osserviamo che per (26) e (12) si ha:

f ( V • i w g E . r (V• -~ icogE).qb -~ V • V x E . T } d X : 0 D

per ogni (q~, ~ ) ~ Yf(.C2), quindi

o = f v (v• + = 6/)

: . ~ . c 2 . . . .

82 MAUI%O ~A:B~IZIO - BAl%:BAlgA I~AZZAlgI: Es i s t enza e ~enieitdt, e t c .

Rieordando ehe ~bt = �89 (1 @ i)2(~/jt • n) o t teniamo

- f ( ~ • n). [�89 + i) ,~(n • HO + Eq do" OD

quind% per l~arbitra~Jet~ di }/st possiamo eoneludere ehe

= 0

�89 + i ) 2 n • E ~ = 0

cosi g p rova to che vale (i0). Viceversa, dalla Definizione 1 si ottiene, con semplici passaggi, l 'equazione (26).

Indieato con ~f~ il sottoinsieme di -its(f2) formato dalle eoppie (E, H) tall ehe V• @ iwf iH = 0, il t eorema di esistenza ~ prova to non appena si dimostra ehe l 'opera tore A: ~g,0(D) _.> L~(D), eosi definito

A(E, H) = V • H -- i~ogE

g sm'riettivo. Tale dimostrazione si basa suI seguente r isultato fondamenta le :

Lm~.~A 3. - Nelle ipotesi del Teorema 1, t ' insieme A ( ~ ~ immagine di ;gf~ in

L~([2), attraverso !'operatore A~ ~ denso in .L~(Y2).

DI~OSTI~AZIONE. -- Per p rovare l 'affermazione g suff~eiente provare che lo spa- zio ~4r, eomplemento ortogonale della chiusura di A(.;4f ~ in L2(D), eontiene solo il

ve t to re hullo. Preso A e~dr abbiamo

f A . J d X = 0 Q

per ogni J e A(Jf~ Poiehg J = V • @ i~ogE con (E, H ) e Y0(s si ha

(29) fA. (V • H - - io)gE) d X = 0 D

per ogni (E, H ) e Yt~~ Preso H = 0 e / ~ C~'(sg) da (29) diseende

f %E" A d X = 0 .O

e poichg g ~ un tensore definito positivo, per l 'arbi trar iet~ di E si ha A = 0 quasi

da per t u t to in D e quindi ~ = {0}. La disuguaglianza (25), ehe afferma ehe l 'operat0re A ~ (uniformemente) eontinuo,

ei pe rme t t e di dimosta'are il t eorema di esistenza.

TEOR.E~IA 2. - Nelle ipotesi del Teoremc~ 1, i,n corrispondenza ad ogni sorgente

J * e L: (~) esiste una so~uzione del problemct (12)-(10)~ secoq~do la De]inizione 1.

~r FABIalZIO - :BAI~I]ARA ]LAZZARI: Esistenza e unieit5~ etc. 83

DI~[OS~RAZlO~E. -- P resa J * ~ Z~(D), per il r isul ta to p r o r a t e nel L e m m a ~ esiste l im A ( E (~) H (~)) tma successione {(E (~), H ( ' ) ) } ~ ~t~"(D) ta le che ~-+~ [ ,-- , - g * I I - - o .

Allora per ogni n e m natural i , in ~drtfl di (25) ubbiamo

Pereib le suecessioni {EI~ '}~, {H(~'}~e~ sono di Cauehy in [JS~(D). Esis tono a llora E* e H* in ~=(D) tal l ehe

~lim liE ( ' ) - E*[] = 0; lira IIH<~--H*II = 0 .

Poich~ 1~ rel~zione (26) va le per ogni coppia (E (~1, H ~"~) ~1 var ia re d i n nei n~-

turMi, ess~ eontinu~ a v~lere per i campi l imite (E*, H*), cio5 (E*~ H*) ~ soluzione

del problem~ (12)-(10), con sorgente J*. In virt/1 del l 'Osservazione 1~ che dimostr~

l 'eqtfiv~lenz~ tr~ soluzione debole e soluzione secondo l~ Definizione 1~ possi~mo

~llor~ ~fferm~re che (E*, H*) ~ soluzione di (12)-(10) seeondo 1~ Definizione 1. Cib prov~ il t eorem~ di esistenz~.

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