Spring, 2014. 쉬운 미적분학신준용, 經營, 經濟 數學 (3rd ed.), 敎友社

그림 1: 표지

제1장

제2장

1

제3장

선형대수(線型代數) I

] 드넓은 목장에 돼지와 닭이 사이좋게 놀고 있습니다. 대가리(이 말은 동물에게 쓰는 우리의 고유언어 입니다. 사람은 ‘머리’라고 하지요!)가 모두 45개이고다리가 146개 입니다. 돼지는 몇 마리, 닭은 몇 마리 일까요? 단!!! 연립방정식을이용해서 풀지 마세요!!!.

그림 2: 돼지와 닭

(이 강좌에서는) 미적분학을 이용한 최적화 문제를 다루는데 필요한 선형대수 기법을 소개한다.

2

3.1 行 列

정의 • 행렬(行列, matrix(복수 matrices))이란 행 (column)과 열 (row)에 맞추어 수 (수학적 대상)를 직사각형 모양으로 배열한 것이다.

• 이렇게 나열된 대상 각각을 그 행렬의 성분 (entry)라 부른다.

다음은 행렬의 간략한 예들이다.

(1 2 34 5 6

),

1 23 45 6

1 2

3 45 6

1행2행3행

1열 2열

주의 (1) 행렬의 행의 수와 열의 수를 기준으로 m× n-행렬 (읽을때는 “m행,n열인 행렬”, 또는 “m by n 행렬”) 이라 부른다.

(2) 행 수와 열 수가 같은 n × n행렬은 (n차) 정사각행렬 (square matrix),또는 정방행렬이라 부른다.

(3) 1 × 1-행렬은 괄호기호없이 쓰기도 한다.

(1) = 1, (a) = a.

행렬의 표현

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

... . . . ...am1 am2 · · · amn

,

(aij)1≤i≤m,1≤j≤n, (aij)m×n, (aij)

• aij 는 i번째 행과 j번재 열의 교차지점에 있는 원소를 나타낸다.• n차 정사각행렬에서 i = j인 성분 aii 들, 즉 a11, ann, . . . , ann 들을 주대

각선 성분이라 한다.• 정사각행렬에서 주대각선 성분을 제외한 모든 성분이 0이면, 그 행렬을

대각선행렬 (diagonal matrix)이라 한다. (대각선행렬의 주대각선 성분은 0일수 있다).

• 주대각선 성분이 모두 1인 대각선행렬을 단위행렬 또는 항등행렬이라하며 n × n 단위행렬을 In 으로 나타낸다.

• 성분이 모두 0인 행렬을 영행렬이라 하고 O라고 표시한다.

3

3.2 행렬의 연산

A = (aij), B = (bij), C = (cij)가 모두 m × n-행렬이라 하자.• 행렬의 상등모든 i, j에 대하여 aij = bij 이면 A = B이다.• 행렬의 상수배, 스칼라(scalar)배임의의 실수 k ∈ R에 대하여 kA = k(aij) = (kaij), 즉

kA = k

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

... . . . ...am1 am2 · · · amn

=

ka11 ka12 · · · ka1n

ka21 ka22 · · · ka2n

... . . . ...kam1 kam2 · · · kamn

• 행렬의 덧셈

A + B = C ⇐⇒ aij + bij = cij .

• 행렬의 뺄셈A − B = A + (−1)B,

즉,A − B = C ⇐⇒ aij − bij = cij .

주의 같은 크기의 두 행렬 A, B에 대해서만 상등, 덧셈과 뺄셈을 정의한다.

예 A =

(1 −2 00 1 5

)그리고 B =

(0 3 10 1 −1

)이면

A + B =

(1 + 0 −2 + 3 0 + 10 + 0 1 + 1 5 − 1

)=

(1 1 10 2 4

)

A − B =

(1 − 0 −2 − 3 0 − 10 − 0 1 − 1 5 + 1

)=

(1 −5 −10 0 6

)

3A =

(3 × 1 3 × (−2) 3 × 03 × 0 3 × 1 3 × 5

)=

(3 −6 00 3 15

)

4

•행렬의곱셈행렬의 곱셈은 구조가 보잡하다1. 쉬운단계부터 접근해 보자.

(1) A = (a1, . . . , an) 이고 B =

b1

...bn

인 경우

AB = (a1, a2, . . . , an)

b1

b2

...bn

= a1b1 + a2b2 + · · · + anbn

으로 정의한다. 즉 1 × n-행렬과 n × 1-행렬로 1 × 1-행렬을 만든다.(2) m × r-행렬

A =

a11 a12 · · · a1r

a21 a22 · · · a2r

... . . . ...am1 am2 · · · amr

와 r × n-행렬

B =

b11 b21 · · · b1n

b21 b22 · · · b2n

... . . . ...br1 br2 · · · brn

에 대하여

A1 = (a11, a12, . . . , a1r),A2 = (a21, a22, . . . , a2r),

· · ·Am = (am1, am2, . . . , amr),

B1 =

b11

b21

...br1

, B2 =

b21

b22

...br2

, · · · , Bn =

b1n

b2n

...brn

,

이라 하자.

1행렬의 곱의 구조는 연립방정식의 풀이의 구조에 근거를 두고 있다.

5

이 경우에,

AB =

A1B1 A1B2 · · · A1Bn

A2B1 A2B2 · · · A2Bn

... . . . ...AmB1 AmB2 · · · AmBn

.

즉, m × r-행렬과 r × n-행렬로 m × n-행렬이 구성되도록 곱을 정의한다.2

그림 3: 행렬의 곱의 구조

위와 같은 행렬의 곱에 대한 정의를 이용하면 1차연립방정식 (system oflinear equations)을 행렬의 곱의로 표현할 수 있다.

예 A =?, B =? 일 때, AB =?

2AB = (aik)m×r(bkj)r×n = (cij)m×n, 여기서 cij =Pr

k=1 aikbkj .

6

연립방정식 풀이:a11x + a12y + a13z = c1

a21x + a22y + a23z = c2

a31x + a32y + a33z = c3

=⇒

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

x

y

z

=

c1

c2

c3

연립방정식 −→ 행렬표현

AX = C (A를 계수행렬이라 한다)

계수행렬

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

확대행렬

a11 a12 a13 c1

a21 a22 a23 c2

a31 a32 a33 c3

∗ 확대행렬을 이용하여 연립방정식을 구할 수 있다.

예 연립방정식 2x + 3y = 2

−3x + y = 8→

(2 3

−3 1

)(x

y

)=

(28

)행렬표현

→

(2 3 2

−3 1 8

)확대행렬

→

(−3 1 8

2 3 2

)두 행을 바꾼다

→

(1 7 122 3 2

)R1 + 2R2

한 행에 상수배를 하여 다른 행에 더해준다

→

(1 7 120 −11 −22

)R2 − 2R1

→

(1 7 120 1 2

)(−1/11) × R2

한 행에 상수배를 한다

→

(1 0 −20 1 2

)R1 − 7R2

마지막으로 나타난 확대행렬을 연립방정식으로 표현하면1 · x + 0 · y = −2

0 · x + 1 · y = 2즉,

x = −2

y = 2.

위 예에서 빨간색으로 표현된 세 가지 과정을 기본행연산이라 한다.

7

행렬을 이용하여 연립방정식을 푸는 방법을 자세히 설명하기 전에 몇 가지기본 개념을 소개한다.

정의 m × n 행렬 A = (aij)에 대하여 A의 전치행렬(轉置行列,transpose)At = (bij)는 그 성분이 모든 i, j에 대하여 bij = aji로 주어지는 n×m 핼렬이다.

예 A =

1 23 45 6

=⇒ At =

(1 3 52 4 6

)

행렬의 연산은 다음 법칙을 만족한다.

정리 1 아래의 모든 행렬의 연산이 가능한 경우,1) A + B = B + A,2) (A + B) + C = A + (B + C),3) (AB)C = A(BC),4) A(B + C) = AB + AC 그리고 (A + B)C = AC + BC,5) a(B + C) = aB + aC 그리고 (a + b)C = aC + bC,6) (ab)C = a(bC)7) a(BC) = (aB)C = B(aC)8) A + O = A = O + A, A − A = O, O − A = −A, AO = O = OA,9) AI = A = IA (단 I 는 단위행렬)10) (At)t = A, (A + B)t = At + Bt, (kA)t = kAt, (AB)t = BtAt.

정의 A를 정사각행렬이라 하자. AB = BA = I 가 되는 행렬 B가 존재하면,A를 가역행렬(可逆行列, invertible matrix)라 한다. 이 때 B를 A−1로 표시하고 A의 역행렬(逆行列, inverse matrix)이라 한다.

주의 모든 행렬이 역행렬이 존재하는 것은 아니다.

정리 2 A와 B가 같은 크기의 가역행렬이라 하자.1) A의 역행렬은 유일하게 존재한다.2) AB는 가역이고 (AB)−1 = B−1A−1.3) (A−1)−1 = A.4) 0이 아닌 임의의 실수 k에 대하여 (kA)−1 = 1

kA−1.

8

3.3 역행렬의 계산: 방법 I

기본행연산(基本行演算, elementary row operation)

연립방정식의 풀이 제시 −→ 특징 분석: 7page의 예를 다시 한 번 보자!

정의 기본행연산은 주어진 행렬의 임의의 행에 대하여 다음과 같은 변환을하는 것이다.

(1) 한 행의 모든 원소에 0이 아닌 실수 c를 곱한다.(2) 한 행에 0이 아닌 실수 c를 곱하여 다른 행에 더해준다.(3) 임의의 두 행의 위치를 바꾼다.

i행의 모든 원소에 0이 아닌 실수 c를 곱한다. cRi

a11 a12 · · · a1n

... . . . ...ai1 ai2 · · · ain

... . . . ...am1 am2 · · · amn

cRi−→

a11 a12 · · · a1n

... . . . ...cai1 cai2 · · · cain

... . . . ...am1 am2 · · · amn

i행에 0이 아닌 실수 c를 곱하여 j행에 더해준다. Rj + cRi

a11 a12 · · · a1n

... . . . ...ai1 ai2 · · · ain

... . . . ...aj1 aj2 · · · ajn

... . . . ...am1 am2 · · · amn

Rj+cRi−→

a11 a12 · · · a1n

... . . . ...ai1 + caj1 ai2 + caj2 · · · ain + cajn

... . . . ...aj1 aj2 · · · ajn

... . . . ...am1 am2 · · · amn

i행과 j해의 위치를 바꾼다. Ri ↔ Rj

a11 a12 · · · a1n

... . . . ...ai1 ai2 · · · ain

... . . . ...aj1 aj2 · · · ajn

... . . . ...am1 am2 · · · amn

Rj+cRi−→

a11 a12 · · · a1n

... . . . ...aj1 aj2 · · · ajn

... . . . ...ai1 ai2 · · · ain

... . . . ...am1 am2 · · · amn

9

정의 n × n 단위행렬에 단 한번의 기본행연산을 적용하여 얻어지는 n × n

행렬을 기본행렬(基本行列, elementary matrix)이라 한다.

-너무 이론적인 내용이 전개되므로 기본행렬에 대하여는 논하지 않겠다.-모든 기본행렬은 가역행렬이다.

정의 기본행연산을 행렬 A에 여러 번 적용하면 행렬 B가 얻어지고, 반대로행렬 B에 기본행연산을 여러 번 적용하여 행렬 A가 얻어지면, 두 행렬 A와B는 행-동등(行同等, row equivalent)하다고 말한다.

정리 3 n × n-행렬 A에 대하여 다음은 동치명제이다.X = (x1, x2, . . . , xn)t 라 할 때,1) A는 가역행렬이다2) AX = O는 자명한 해(X = O)를 갖는다.3) A는 In 과 행-동등하다.

예

10

계수행렬의 역행렬을 이용하면 연립방정식을 쉽게 풀 수 있다.

정리 4 n×n-행렬 A가 가역이고 C가 n× 1행렬이라면, 연립방정식 AX = C

는 유일한 해 X = A−1C를 갖는다.

예 연립방정식

x + 2y + 3z = 5

2x + 5y + 3z = 3

x + 8z = 17

의 계수행렬은 위 예의 행렬 A와 같다.

따라서 x

y

z

=

−40 16 913 −5 −35 −2 −1

5

317

=

1−12

확대행렬

1 2 3 52 5 3 31 0 8 17

을 이용하면 더 빨리 해를 구할 수 있다.

각자가 해 볼까나 ! (김광규 억양 ˆ̂ ;)

11

* 지난주 복습문제문제

x + 2y + z = 3

3x − y − 3z = −1

2x + 3y + z = 4

(1) 연립방정식의 해를 구하여라.(2) 계수행렬의 역행렬을 구하여라

(풀이) (1) 행변환 이용 :연립방정식의 행렬표현: 1 2 1

2 −1 −32 3 1

x

y

z

=

3−14

.

계수행렬과 확대행렬: 1 2 12 −1 −32 3 1

,

1 2 1 32 −1 −3 −12 3 1 4

1 2 1 3

3 −1 −3 −12 3 1 4

R2−3R1, R3−2R1−→

1 2 1 30 −7 −6 −100 −1 −1 −2

(−1)R2, (−1)R3, R2↔R3−→

1 2 1 30 1 1 20 7 6 10

−(R3−7R2)−→

1 2 1 30 1 1 20 0 1 4

R1−R3, R2−R3−→

1 2 0 −10 1 0 −20 0 1 4

R1−2R2−→

1 0 0 30 1 0 −20 0 1 4

∴ x = 3, y = −2, z = 4.

12

(2) 역행렬구하기 1 2 1 1 0 03 −1 −3 0 1 02 3 1 0 0 1

R2−3R1, R3−2R1−→

1 2 1 1 0 00 −7 −6 −3 1 00 −1 −1 −2 0 1

(−1)R2, (−1)R3, R2↔R3−→

1 2 1 1 0 00 1 1 2 0 −10 7 6 3 −1 0

−(R3−7R2)−→

1 2 1 1 0 00 1 1 2 0 −10 0 1 11 1 −7

R1−R3, R2−R3−→

1 2 0 −10 −1 70 1 0 −9 −1 60 0 1 11 1 −7

R1−2R2−→

1 0 0 8 1 −50 1 0 −9 −1 60 0 1 11 1 −7

계수행렬

1 2 12 −1 −32 3 1

의 역행렬은

8 1 −5−9 −1 611 1 −7

.

1 2 12 −1 −32 3 1

x

y

z

=

3−14

x

y

z

=

1 2 12 −1 −32 3 1

−1 3

−14

=

8 1 −5−9 −1 611 1 −7

3

−14

=

3−24

.

13

제4장

선형대수(線型代數) II

4.1 행렬식(determinant)

4.2 여인수 전개와 행렬식의 계산

행렬식(行列式, determinant)은 (그 이름과는 달리 식이 아니고) 정사각행렬에부여하는 실수값이다. 정사각행렬마다 행렬식이라는 하나의 실수값을 부여하는 함수를 행렬식함수 (determinant function)라 부르며, det 또는 | · |로 표시한다.

A : 행렬 −→ A의 행렬식 : detA, |A|

행렬식의 정의를 이해하는 일은 매우 번거로운 일이다.여인수 전개 개념을 응용하여 행렬식을 설명한다.

Case 1: 1 × 1-행렬det(a) = a

Case 2: 2 × 2-행렬

det(

a11 a12

a21 a22

)= (−1)1+1a11a22 + (−1)1+2a12a21 = a11a22 − a12a21

det(

a11 a12

a21 a22

)= (−1)2+1a21a12 + (−1)2+2a22a11 = a11a22 − a12a21

det(

a11 a12

a21 a22

)= (−1)1+1a11a22 + (−1)2+1a21a12 = a11a22 − a12a21

det(

a11 a12

a21 a22

)= (−1)1+2a12a21 + (−1)2+2a22a11 = a11a22 − a12a21

14

Case 3: 3 × 3-행렬

det

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

= (−1)1+1

∣∣∣∣∣ a22 a23

a32 a33

∣∣∣∣∣+ (−1)1+2a12

∣∣∣∣∣ a21 a23

a31 a33

∣∣∣∣∣+ (−1)1+3a13

∣∣∣∣∣ a21 a22

a31 a32

∣∣∣∣∣= a11(a22a33 − a23a32) − a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a32 − a22a31)

위 두번째 등식에서 i행과 j열을 제고하고 남은 나머지 원소들만의 행렬식을 aij 의 소행렬식(小行列式, minor or minor determinant) 이라 하고 일반적인 기호로 Mij 로 쓴다. 그리고 원소 aij 의 여인수(余因數, cofactor) Cij 는(−1)i+jMij , 즉 소행렬식에 부호를 부여한 것이다.

질문: 아래 붉은색 행이나 열을 중심으로 값을 계산한다면 어떻게 전개될까요?

det

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33 =?

, det

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=?,

det

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=?, det

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=?,

det

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

=?.

Case n: n × n-행렬 Case 3의 여인수전개 구조를 귀납적으로 확장하여계산한다.

15

정의 정사각행렬 A = (aij)에서 i행과 j열을 제고하고 남은 나머지 원소들만의 행렬식을 aij 의소행렬식(小行列式, minor or minor determinant) 이라 하고일반적인 기호로 Mij 로 쓴다. 그리고 원소 aij 의 여인수(余因數, cofactor) Cij

는 (−1)i+jMij , 즉 소행렬식에 부호를 부여한 것이다.

예 A =

3 1 0−2 −4 35 4 −2

:

M11 =? M12 =? M13 =?M21 =? M22 =? M23 =?M31 =? M32 =? M33 =?

C11 =? C12 =? C13 =?C21 =? C22 =? C23 =?C31 =? C32 =? C33 =?

det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 1행에 대한 여인수 전개

= a21C21 + a22C22 + a23C23 2행에 대한 여인수 전개

= a31C31 + a32C32 + a33C33 3행에 대한 여인수 전개

= a11C11 + a21C21 + a31C31 1열에 대한 여인수 전개

= a12C12 + a22C22 + a32C32 2열에 대한 여인수 전개

= a13C13 + a23C23 + a33C33 3열에 대한 여인수 전개

행렬식을 구하기 위해서는 행렬의 한 행, 또는 한 열을 선정하고 그 행 (열)의 원소와 그 원소의 여인수를 곱하여 생긴 값을 모두 더하여 주면 된다. 이러한방법을 여인수전개(cofactor expansion)라 한다.

det(aij)n×n =n∑

j=1

a1jC1j =n∑

j=1

a2jC2j = · · · =n∑

j=1

anjCnj

=n∑

i=1

ai1Ci1 =n∑

i=1

ai2Ci2 = · · · =n∑

i=1

ainCin

16

주의 n × n 행렬 A의 i행에 대한 여인수를 다른 k행의 원소에 곱하여 모두더하면 0이 된다. (0이 안되면 소행렬식이나 여인수 등, 뭔가 잘 못 계산것임ㅋㅋㅋ)

det(aij)n×n =n∑

j=1

aijCkj =n∑

j=1

aijCir = 0

정리 5 A를 n × n 행렬이라고 하자.1) A의 한 행의 성분이 모두 0 이면 det(A) = 0.2) A의 한 행의 원소에만 실수 k를 곱한 행렬을 A∗라 하면,

det(A∗) = k det(A).

따라서 det(kA) = kn det(A).3) A의 두 행의 위치를 바꾸어 놓아서 얻어진 행렬을 A∗라 하면,

det(A∗) = −det(A).

따라서 행의 성분이 모두 동일한 두 행이 있으면 det(A) = 0.4) A의 한 행에 실수 k를 곱하여 다른 행에 더해준 행렬을 A∗라 하면,

det(A∗) = det(A).

5) det(At) = det(A) (따라서 행에 대하여 표현된 모든 행렬식의 성질은열에 대하여도 만족 된다.)

6) A와 B가 같은 크기의 정사각행렬이면

det(AB) = det(A)det(B)

7) det(I) = 1.

17

8)

det

a11 a12 · · · a1n

... . . . ...ai1 + bj1 ai2 + bj2 · · · ain + bjn

... . . . ...am1 am2 · · · amn

= det

a11 a12 · · · a1n

... . . . ...ai1 ai2 · · · ain

... . . . ...am1 am2 · · · amn

+ det

a11 a12 · · · a1n

... . . . ...bi1 bi2 · · · bin

... . . . ...am1 am2 · · · amn

예

det

0 1 53 −6 92 6 1

= · · · = 165

정리 5 의 내용들을 이용하여 계산하여 보자.

18

기본행연산을 이용하여 행렬식의 성분의 값을 간단히 바꾼후 행렬식을 계산하면 쉽다.

정의 행렬식이 0인 행렬을 특이행렬(特異行列, singular matric)이라 하고,행렬식이 0이 아닌 행렬을 정칙행렬(正則行列, nonsingular matric)이라

한다.

정리 6 정사각행렬 A가 가역이다 ⇐⇒ A는 정칙이다, 즉, det(A) 6= 0.

정리 7 det(A) det(A−1) = 1.

4.3 Cramer법칙과 역행렬의 계산: 방법 II

To be continue...

19