DISTRIBUSIVARIABEL ACAKModul 9. Pengantar Statistik

Dr. Ir. Prima Kristalina, MT

Juni 2019

Program Pasca Sarjana Terapan

Politeknik Elektronika Negeri Surabaya

PENS

OUTLINE

1. Beberapa macam Distribusi Variabel Acak Khusus

2. Distribusi Variabel Acak Diskrit: Binomial, Poisson

3. Distribusi Variabel Acak Kontinyu: Uniform, Normal, Eksponensial, Gamma, Chi-Square

4. Pemakaian tabel distribusi normal baku

5. Contoh Soal dan Pembahasan

2

PENS

BEBERAPA MACAM DISTRIBUSI PROBABILITAS

• Distribusi Probabilitas Variabel Diskrit:• Distribusi Binomial

• Distribusi Geometrik

• Disribusi Hypergeometrik

• Distribusi Poisson

• Distribusi Probabilitas Variabel Kontinyu:• Distribusi Uniform

• Distribusi Gamma

• Distribusi Eksponensial

• Distribusi Weibull

• Distribusi Normal

• Distribusi Chi Square

3

PENS

DISTRIBUSI BINOMIAL

• Distribusi ini hanya mengenal dua keadaan, yaitu berhasil atau gagal.

• Distribusi ini sering disebut juga sebagai proses Bernoulli (Bernoulli trials).

• Ciri-ciri proses Bernoulli:

1. Ada dua kejadian yang bisa terjadi dan saling asing pada setiap percobaan, yaitu: sukses dan gagal.

2. Urutan dari percobaan tersebut merupakan kejadian independen

3. Probabilitas sukses dinyatakan sebagai p, dimana nilai p ini tetap dari satu percobaan ke percobaan berikutnya atau dari satu kejadian ke kejadian lainnya.

4

PENS

DISTRIBUSI BINOMIAL

• Ada tiga nilai yang diperlukan dalam proses Bernoulli: jumlah percobaan ,n dimana setiap hasil keluaran saling independen, jumlah keberhasilan, X dan p yang menyatakan probabilitas keberhasilan dari X.

• Distribusi Binomial dapat dinyatakan dengan persamaan kombinasi sbb:

( ) ( ) ( )

( )( )

| , 1

! = 1

! !

n xx

n xx

nf x n p P X x p p

x

np p

x n x

−

−

= = = −

−−

5

PENS

DISTRIBUSI BINOMIAL

• Nilai mean dan varians dari distribusi Binomial ditentukan oleh berbagai peristiwa yang dihasilkan dari percobaan Binomial.

• Jika sebuah variabel X terdiri dari n percobaan, dimana:

• maka mean dari populasi distribusi Binomial dinyatakan sbb:

• Varians dari total populasi distribusi binomial dinyatakan sbb:

1 2 ... nX L L L= + + +

( ) ( ) ( )1 2 ...

= ... .nE X E L E L E L

p p p n p

= = + + +

+ + + =

1 2

2 2 2 2...

= . . ... . . .nL L LV X

p q p q p q n p q

= = + + +

+ + + =

6

PENS

• Contoh 1:Dari hasil penelitian didapatkan bahwa probabilitas seseorang untuk sembuh dari sakit antrax dengan pemberian obat tertentu adalah 60%. Jika diambil 10 orang yang terjangkit penyakit secara acak, hitung:

a. Probabilitas tidak lebih dari 3 orang untuk sembuh

b. Probabilitas sedikitnya 5 orang untuk sembuh

c. Hitung rata-rata dan simpangan baku pasien sembuh

1 2 3 4 5 6 7 8 9100

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35 pmf n=10, p=0.6

x

f(x)

1 2 3 4 5 6 7 8 9100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1 cdf

x

F(x

)

7

PENS

( ) ( ) ( )

( )

3

0

b. 5 1 :10,0.6 4 :10,0.6

1 0,0548 0,0159 0,929

c. Rata-rata populasi: . 10 0,6 6

Simpangan baku: . . 10 0,6 0,4 1,55

P X f x f

n p x

n p q x x

= − +

= − + =

= = =

= = =

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

3

0

0 10 1 9 2 8 3 7

a. 3 :10,0.6

0 :10,0.6 1:10,0.6 2 :10,0.6 3 :10,0.6

10 10 10 10 .0,6 .0,4 .0,6 .0,4 .0,6 .0,4 .0,6 .0,4

0 1 2 3

0,0001 0,001

P X f x

f f f f

=

= + + +

= + + +

= +

6 0,0106 0,0425 0,0548+ + =

10, 0,6 1 0,6 0,4 n p q= = = − =

• Jawab:

8

PENS

DISTRIBUSI POISSON

• Distribusi ini efektif digunakan untuk n jumlah pengamatan yang sangat besar, sementara probabilitas satu kejadian, p sangat kecil (biasanya jauh di bawah 0,5)

• Contoh penggunaan distribusi Poisson a.l: pendudukan trafik telepon dalam satu jam pada sentral telepon, banyaknya kesalahan ketik dalam satu halaman laporan, jumlah cacat pada motif selembar kain

9

PENS

DISTRIBUSI POISSON

• Ciri-ciri percobaan Poisson:1. Banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang

tertentu atau daerah tertentu tidak bergantung pada selang atau daerah lain

2. Probabilitas terjadinya satu hasil percobaan selama selang waktu yang singkat sekali atau daerah yang kecil sebanding dengan selang waktu atau daerah yang lain, juga tidak bergantung pada banyaknya percobaan yang terjadi di luar selang waktu atau daerah yang lain tersebut

3. Probabilitas bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat atau daerah yang kecil bisa diabaikan.

10

PENS

DISTRIBUSI POISSON

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( )

Distribusi Binomial biasanya dinyatakan sbb:

. 1 . 2 ... 1| , . . 1 . . 1

!

karena . atau maka:

1 2| , ... 1

!

n x n xx x

x x

n n n n n xf x n p p p p p

x x

n p pn

n n nf x n p

n n n n x

− −

−

− − − + = − = −

= =

− − = −

( )

( )

( )

/

1

pada , limit dari persamaan di atas kurung = 1, sehingga tinggal:

| , 1!

untuk persamaan paling kanan: 1 1

sehingga: | .!

n

nx

n n

x

n

n

f x n px n

en n

ef x e

x

− −

−

−

−

=

= −

− = − =

= =

.

!

x

x

−

Distribusi Poisson

= banyaknya sukses yang diharapkan

e = konstanta yang nilainya mendekati 2,71828

banyaknya sukses setiap unit

= rata-rata dari seluruh nilai sukses

x

=

11

PENS

DISTRIBUSI POISSON

• Mean dan varians dari distribusi Poisson dinyatakan sbb:

• Fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari Poisson dinyatakan sebagai:

E X = V X =

( )( )

0

|!

floor x i

i

F x ei

−

=

=

12

PENS

• Contoh 2:• Polisi Resor Surabaya Barat mencatat rata-rata

tertangkap 5 orang dalam kasus psikotropika dalam sebulan. Hitung probabilitas bahwa pada satu bulan tertentu orang yang terlibat kasus ini adalah:

a. Tepat 5 orang

b. Kurang dari 5 orang

c. Antara 5 sampai 9 orang

• Jawab: ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 5

54

0

5 0 5 1 5 2 5 3 5 4

5a. 5, 5 0,1755

5!

5b. 5, 0,5 1,5 2,5 3,5 4,5

!

5 5 5 5 5

0! 1! 2! 3!

4! 0,0067 0,0337 0,0842 0,1404 0,1755 0,44

x

ep X

ep X p p p p p

x

e e e e e

−

−

− − − − −

= = = =

= = + + + +

=

= + +

+ + +

+ =

+

+

( )5 59 4

0 0

5 5c. 5 9,

! !

0,9682 0,44

0

05 0,5277

5x xe e

p Xx x

− −

= −

= − =

13

PENS

DISTRIBUSI UNIFORM

• Merupakan jenis distribusi variabel acak kontinyu

• Pada distribusi ini setiap variabel acak yang muncul memiliki probabilitas yang sama, dimana:

• Jika nilai dari variabel acak tersebut tersebar pada sebuah interval (a,b), maka pdf dari distribusi uniform dinyatakan sebagai:

( )1

| , ; f x a b a x bb a

= −

( ) 1 2

1| ; untuk , ,..., kf x k x x x

k=

14

PENS

DISTRIBUSI UNIFORM

• Mean dari distribusi uniform:

• Varians dari distribusi uniform:

( )2

2

12

b a

−=

( )2

a bE X

+= =

15

PENS

DISTRIBUSI UNIFORM

• Fungsi Distribusi Kumulatif (cdf) dari distribusi uniform dinyatakan sebagai:

( )

0;

;

1;

x a

x aF x a x b

b a

x b

−=

−

16

PENS

• Contoh 3:

Jika waktu seseorang menunggu datangnya pesawatdisebuah bandara antara jam 08.00-10.00 berdistribusi uniform.Hitung berapa probabilitas seseorang harus menunggu

a. Kurang atau sama dengan 30 menit dari jam 08.00?

b. Lebih dari 30 Menit

Jawab:

a. Waktu 08.00 – 10.00 adalah 120 menit, maka

b.

( )30

0

130 0,25

120 0P X dx = =

−

( ) ( )30 1 30

= 1 0,25

= 0,75

P X P X = −

−

17

PENS

• Contoh 4:• Dapatkan grafik pdf dan cdf dari sekelompok bilangan

dalam interval (0,10). Berapa mean dan varians nya ?

0 2 4 6 8 100

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12 pdf

x

f(x)

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

cdf

x

F(x

)

2210 0 10

5; 8,332 12

+

= = = =

18

PENS

DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

• Digunakan untuk memodelkan jumlahan waktu hingga kemunculan sebuah event tertentu, atau memodelkan waktu di antara event-event yang saling independen

• Beberapa aplikasi distribusi eksponensial:

pemodelan waktu hingga komputer log off, pemodelan waktu antara waktu kedatangan panggilan telepon, dan pemodelan waktu lainnya.

19

PENS

DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

• Fungsi kerapatan probabilitas (pdf) dari distribusi eksponensial, dinyatakan sebagai sbb:

• Mean dari distribusi variabel acak eksponensial dinyatakan sebagai:

• variance sbb:

1

E X

= =

2

2

1V X

= =

( ); 0; 0

|0; lainny

a

xe x

f xx

− =

20

PENS

DISTRIBUSI EKSPONENSIAL

• Fungsi Distribusi Kumulatif (cdf) dari distribusi eksponensial dinyatakan sebagai berikut:

• Jika distribusi eksponensial digunakan untuk merepresentasikan waktu antar kedatangan (inter arrival time), maka parameter adalah sebuah kecepatan dengan satuan kedatangan per periode waktu.

( )0; 0

1 ; 0x

xF x

e x−

=

−

21

PENS

• Contoh 5:Waktu kedatangan busway pada sebuah halte interseksi mengikuti distribusi eksponensial dengan mean 12 detik.

Berapa probabilitas dimana waktu antar kedatangan adalah 10 detik atau kurang ? Gambarkan grafik pdf dan cdf –nya.

Jawab:

Rata-rata interarrival time (waktu kedatangan)=12, jadi

Sehingga:

1

12 =

( ) ( )1/12 1010 1 0,57P X e

− = −

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

x

f(x)

pdf distribusi eksponensial P(X<10)

=1/12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

F(x

)

cdf distribusi eksponensial P(X<10)

( ) ( ) ( )10

1/12 1/12

0

101 1 1( | ) 12

012 12 12

=-1.0,43=-0,43+1=0,57

x xf x e dx e

− −= = −

22

PENS

DISTRIBUSI GAMMA

• Pdf dari distribusi probabilitas Gamma dinyatakan sebagai:

• Fungsi gamma dinyatakan sebagai:

• Untuk nilai-nilai integer, fungsi ini menjadi

• Distribusi ini memiliki hubungan yang erat dengan distribusi eksponensia, karena jika maka distribusi ini menjadi distribusi exponensial

( )t ( ) 1

0

y tt e y dy

− − =

( )1 !t −

1t =

t = parameter bentuk

parameter skala =( )( )

( )

1

; , ; 0

txe xf x t x

t

−−

=

23

PENS

DISTRIBUSI GAMMA

• Mean dari distribusi probabilitas gamma:

• Variance dari distribusi probabilitas gamma:

• Fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari distribusi gamma:

( )t

E X

=

( ) 2

tV X

=

( )

( )1

0

0; 0

; , 1; 0

x

t y

x

F x ty e dy x

t

− −

=

24

PENS

• Contoh 6:Gambarkan grafik fungsi kepadatan probabilitas dan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi gamma untuk yang masing-masing bernilai 1,2 dan 3.

t =

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

=t=1

=t=2 →

=t=3

x

f(x)

pdf distribusi Gamma

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

=t=1

=t=2

=t=3

x

F(x

)

cdf distribusi Gamma

25

PENS

DISTRIBUSI CHI-SQUARE

• Distribusi ini banyak digunakan untuk menganalisa secara statistik data hasil pengujian terhadap data-data teoritisnya.

• Distribusi chi-square digunakan untuk menu-runkan distribusi varians sampel dan perlu untuk pengetesan goodness-of-fit

• Dalam distribusi Chi-Square ada parameter yang disebut derajat kebebasan, v.

• Dengan maka distribusi gamma menjadi distribusi chi-square.

0,5 dan t= 2v =

26

PENS

DISTRIBUSI CHI-SQUARE

• Pdf dari variabel acak terdistribusi chi-square dengan derajat kebebasan v adalah:

• Mean dari variabel acak terdistribusi Chi-Square adalah:

• Varians dari variabel acak terdistribusi Chi-Square :

( )( )

12 2

/2

1 1; ; 0

2 2

v x

vf x v x e x

v

− − =

E X v=

2V X v=

27

PENS

DISTRIBUSI CHI-SQUARE

• Fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari distribusi Chi-Square adalah:

( ) ( )

( )

2

2 /2 2

2

0

0; 0

;0

2 2

v

v y

v

x

F x v y edy x

v

− −

=

28

PENS

• Contoh 7:Gambarkan grafik fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi Chi-Square untuk v yang bernilai 2,4 dan 6.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

v=2

v=4

v=6

x

f(x)

pdf distribusi Chi-Square

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

v=2

v=4

v=6

x

F(x

)

cdf distribusi Chi-Square

29

PENS

DISTRIBUSI WEIBULL

• Distribusi Weibull banyak digunakan dalam bidang rekayasa, seperti pada analisa reliabilitas (keandalan) dan pengujian panjang umur (life testing) suatu komponen. Misal: analisa jumlah waktu yang diperlukan sampai sebuah komponen mengalami kegagalan.

• Pada distribusi Weibull akan sama dengan distribusi eksponensial dengan

0 dan 1v = =

1 =

30

PENS

DISTRIBUSI WEIBULL

• Pdf dari variabel acak terdistribusi Weibull adalah:

• Mean dari variabel acak terdistribusi Weibull adalah:

• Variance dari variabel acak terdistribusi Weibull adalah:

1

1E X v

= + +

2

2 2 11 1V X

= + − +

( )1

; , , ; , 0, 0

x vx v

f x v e x v

− − −

−

=

31

PENS

DISTRIBUSI WEIBULL• Fungsi distribusi kumulatif dari variabek acak terdistribusi

Weibull adalah:

( )0;

; , ,

1 ;

x v

x v

F x v

e x v

− −

= −

32

PENS

• Contoh 11:Gambarkan grafik fungsi kepadatan probabilitas dari distribusi Weibull untuk alfa=500 dan beta=1/3, 1 dan 5/3.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

F(x

)

cdf distribusi Weibull

1=1/3

2=1

3=5/3

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 20000

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.02

x

f(x)

pdf distribusi Weibull

1=1/3

2=1

3=5/3

33

PENS

DISTRIBUSI NORMAL

1. Sekumpulan nilai data kontinyu akan terdistribusi secara normal (membentuk kurva simetris) apabila rata-rata nilai variabel sama dengan median, dan sama dengan modus dari nilai-nilai data tersebut.

2. Distribusi normal mempunyai bentuk kurva seperti bel (bell shape).

3. Distribusi normal disebut juga distribusi Gauss (Gaussian Distribution)

4. Pada distribusi normal, rata-rata populasi membagi luasan kurva menjadi dua sama banyak, luas daerah sebelah kiri = 0,5 dan sebelah kanan = 0,5, total luas daerah =1.

5. Suatu distribusi dikatakan normal jika kurang lebih 68% data observasi berada di dalam satu standard deviasi, atau kurang lebih 95% data observasi berada dalam dua standard deviasi

34

PENS

DISTRIBUSI NORMAL

• Distribusi normal dengan parameter mean, dan varians 2 biasanya ditulis sebagai

• Pdf dari variabel acak terdistribusi normal dinyatakan sebagai:

= mean populasi

= standard deviasi (simpangan baku) populasi

= konstanta 3,14159

e = konstanta 2,7182

( )

21

21| ,

2

x

f x e

− −

=

2

( )2,

35

PENS

DISTRIBUSI NORMAL

• Nilai pada distribusi normal menyatakan besarnya sebaran dari populasinya, semakin besar simpangan baku, maka sebaran data semakin menjauhi rata-rata nya, sebaliknya jika kecil maka sebaran data mendekat rata-ratanya.

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 140

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

0.18

0.2

x

f(x)

pdf distribusi Normal

1=2

2=4

3=6

36

PENS

DISTRIBUSI NORMAL

• Sifat-sifat Distribusi Normal

1. Grafik simetris terhadap garis tegak x=

2. Grafik selalu berada di atas sumbu x, f(x) >0

3. Mempunyai satu nilai modus

4. Luas daerah di bawah kurva f(x) dan di atas sumbu x memiliki nilai:

( ) 1P x− + =

37

( ) 0f x

( )f x

( ) 1P x− + =( ) 1P x− + =PENS

DISTRIBUSI NORMAL

• Probabilitas• Probabilitas ini dapat ditentukan di bawah kurva f(x) dengan

penyelesaian integral

• Namun penyelesaian dengan integral membutuhkan proses yang rumit.

• Untuk itu diselesaikan dengan mentransformasikan nilai-nilai x menjadi nilai-nilai baku Z, dengan persamaan:

( )P a x b

( ) ( )

21

21

2

xb b

a a

P a x b f x dx e dx

− −

= =

2 + 3 +

0

Z

X

0; =1 =

xZ

−=

38

-3 -2 -1 +1 +2 +3

= 0, = 1

-3 -2 -1 0 1 2 3

PENS

DISTRIBUSI NORMAL

• Setelah itu gunakan Tabel Distribusi Normal Standard (terlampir) untuk mendapatkan probabilitas dari nilai Z .

• Contoh:

Luasan berwarna

hijau adalah pdf dari

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Z

f(Z

)( )2 2P Z−

39

PENS

CARA MENGGUNAKAN TABEL Z (TABEL DISTRIBUSI NORMAL)

40

Misal:

Carilah P(Z=1,45)

Kolom 1, cari nilai 1,4

kemudian cari nilai 5 pada

baris 1.

Pertemuan keduanya

menghasilkan nilai 0,4265PENS

DISTRIBUSI NORMAL• Fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari distribusi normal:

• Sifat-sifat cdf dari distribusi normal:

1. F(x) monoton naik

2.

3.

( )( )

2

221

| ,2

xx

F x e dx

−−

−

=

( )0 1F x

( ) ( ) ( ) ( )lim 0 dan lim 1X X

F F x F F x→ →

− = = + = =

-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

x

F(x

)

cdf distribusi Normal

1=2

2=4

3=6

41

PENS

• Contoh 12:Bila X adalah variabel acak berdistribusi normal dengan rata-rata = 25 dan simpangan baku =10 , tentukan probabilitas P(20 <X < 38)

Gambarkan kurva pdf nya.

Jawab:

25 =

( ) ( ) ( )( ) ( )

11

22

20 250,5

1038 25

1,3 sehingga:10

0,5 1,3 0,5 0 0 1,3

= 0 0,5 0 1,3

= 0,1915 0,4032

XZ

XZ

P Z P Z P Z

P Z P Z

− −= = = −

− −= = =

− = − +

+

+

= 0,5947

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Z

f(Z

)

42

PENS

• Contoh 13:Sebuah perusahaan memproduksi panci presto yang memiliki ketahanan berdistribusi normal dengan rata-rata 825 hari dan simpangan baku 45 hari. Ditanyakan:

a. Berapa persen panci yng memiliki ketahanan antara 800 dan 860 hari ?

b. Berapa banyak panci yang ketahanannya lebih dari 950 hari jika diproduksi 5000 panci ?

Jawab:

( ) ( ) ( )( ) ( )

11

22

a) 825 45

800 825 Z 0,55

45860 825

0,78 sehingga:45

0,55 0,78 0,55 0 0 0,78

= 0 0,55 0 0,78

X

XZ

P Z P Z P Z

P Z P Z

= =

− −= = = −

− −= = =

− = − +

+

= 0,2088 0,2823

= 0,4911

Jadi ada 49,11% panci yang punya ketahanan antara 800 dan 860 hari

+

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

z

f(z)

43

PENS

( ) ( ) ( )

3

33

b) 950

950 825 Z 2,78

45 sehingga:

2,78 0 0 2,78

= 0,5 0,4973

= 0,0027

Untuk 5000 panci, terdapat 0

X

X

P Z P Z P Z

− −= = =

= −

−

,0027x5000=13,5 atau 14 panci

yang punya ketahanannya lebih dari 950 hari

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

z

f(z)

44

PENS

CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN

• Selesaikan menggunakan Distribusi Binomial

1. Probabilitas seorang bayi tidak di imunisasi polio adalah 0,1. Pada suatu hari di Puskesmas “X” ada 4 orang bayi. Hitunglah peluang dari bayitersebut jika ada 3 orang belum diimunisasi polio.

2. Sebuah perusahaan memiliki karyawan yang baiksebanyak 30% dari jumlah total. Perusahaan tersebut akan mengirimkan 20 karyawannya untukstudy banding ke luar negeri. Hitunglah peluangbahwa 4 orang dari 20 karyawan tersebut adalahkaryawan yang dianggap baik.

45

PENS

• Jawab:

1.

2.

46

( ) ( )

( )3 4 3

0,1 1 0,9 3 4

| , 1

4! = .0,1 .0,9

3! 4 3 !

=0,0036

n xx

p p x n

nf x n p p p

x

−

−

= − = = =

= −

−

( ) ( )

( )( ) ( )

4 20 4

0,3 1 0,7 4 20

| , 1

20! = .0,3 .0,7

4! 20 4 !

=4845 81/1000 3,323 /1000

0,13

n xx

p p x n

nf x n p p p

x

x x

−

−

= − = = =

= −

−

=

PENS

• Selesaikan menggunakan Distribusi Poisson

3. Diketahui probabilitas untuk terjadi shock pada saat imunisasi dengan vaksinasi meningitis adalah0,0005. Kalau di suatu kota jumlah orang yang dilakukan vaksinasi sebanyak 4000. Hitunglahpeluang tepat tiga orang akan terjadi shock.

4. Jika waktu kedatangan nasabah dalam sebuahbank mengikuti proses Poisson dengan rata-rata 20 orang permenit, tentukan :i) Probabilitas dalam selang waktu 1 jam ada 100 orang yang datang! ii) Probabilitas ada 50 orang datang dalaminterval waktu 10.00 – 10.15, jika diketahui bahwaada orang yang datang pada interval waktu09.00 – 10.00.

47

PENS

• Jawab:

3.

4.

48

( )

2 3

2

0,0005 4000 3

Dicari nilai rata-rata . 4000 0,0005 2

.| .

! !

.2 =

3!

2,718 .8

6 0,1804

x x

p n x

n p x

ef x e

x x

e

−−

−

−

= = =

→ = = = =

= =

=

=

( )1200 100

1

Dicari nilai rata-rata per jam 20 60 1200

.1200( ) | .

! 100!

( ) Untuk 10.00 - 10.15 ada 15 men

laju kedatangan pe

it 20 1

r menit = 20 orang 100

5 3

x

x

ei f x e

x

ii x

x

−−

→ = =

= =

= =

=

( )

2

1200 50

00

ada 50 nasabah datang 50

asumsi pada jam 09.00 - 10.00 ada yang datang, 20 60 1200

.300 | .

! 50!

x

x

x

ef x e

x

−−

→ =

= =

= =

PENS

• Selesaikan menggunakan Distribusi Uniform5. Sebuah ruang konferensi dapat disewa untuk rapat

yang lamanya tidak lebih dari 5 jam. Misalkan X adalahvariabel acak yang menyatakan waktu rapat, dan mempunyai distribusi uniform. Tentukan:

a) Fungsi densitas peluang dari X

b) Peluang suatu rapat berlangsung 3 jam atau lebih.

6. Sebuah kuesioner diikuti oleh 30 responden. Setiappertanyaan diberikan alokasi waktu 25 detikkepada seluruh responden. Berapa probabilitasbahwa ada yang menjawab dalam waktu 6 detik?

49

PENS

• Jawab:

5. 6.

50

( )

( )

( )

5

3

a) 0 5

10 5

5

0 lainnya

1b) 3

5

51 .

35

1 2 5 3

5 5

a b

xf x

x

P X dx

x

= =

=

=

=

= − =

( )

( )

( )

6

0

a) 0 25

10 25

25

0 lainnya

1b) 6

25

61 .

025

1 6 6

25 25Jika ada 30 responden, maka jumlah

6yang menjawab di bawah 6 detik ada 30x 7 orang

25

a b

xf x

x

P X dx

x

= =

=

=

=

= =

PENS

• Selesaikan menggunakan Distribusi Normal

7. People's monthly electric bills in Surabaya are normally distributed with a mean of Rp 500.000,-and a standard deviation of Rp 125.000,-. Those Surabayan spend a lot of time online. In a group of 10000 customers, how many would we expect to have a bill that is Rp 100.000,- or less?

8. On a recent English test, the scores were normally distributed with a mean of 74 and a standard deviation of 7. What proportion of the class would be expected to score between 60 and 80 points?

51

PENS

• Jawab:

7. 8.

52

( ) ( )

( )

500000 125000

100000 500

100000

3,2

dengan melihat tabel Z didapatkan

P 3,2 0 3,2 0,4993

Probabilitas bill di bawah Rp 10

50

0.

000

000

0

12500

,- adalah :

P ~ 3,2 0,5 0,

0

4993

x n

xZ

Z P Z

Z

= =

= =

− −= =

= −

− = = =

− = − = 0,0007

Jika ada 10000 pelanggan, maka yang memiliki

bill < Rp 100.000,-

=10000x0,0007=7 pelanggan

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 21 2

74 7

60 80

60 74 80 74

7 7 2 =0,86

dengan melihat tabel Z didapatkan

P 2 0 2 0,4772

P 0 0,86 0,86 0,3051

P 2 0,86 2

x x

x xZ Z

Z P Z

Z P Z

Z P Z P

= =

= =

− −− −= = = =

= −

− = = =

= = =

− = = + ( )0,86

= 0,4772 0,3051

0,7823

Z =

+

=PENS