Direct camera calibration using two concentric circles from a single view

6

Transcript of Direct camera calibration using two concentric circles from a single view

��������� ���� ����������� � ������ ��������� ������������������������� ��� !����� �����#" ���� $��%������&���'���� �

(*) +&, - +&.�/10 - 243&+&. 5&6�798 :�;�<&- = = 8 = )>4? @&A B�C&B D9E�F G&B DHC&B�IKJ&G&L B DHM�N O4P�P�Q I

RTS U&B�VTW XYJ&D L A B SZ*J�P�[&J&G&L S B S F B \ ]�^`_&a&b&_&_&\IKJ&G&L B DHP�B C&B cYd&\ e4S J&G&? B

f g h i j�k l m nTi jHl o g hp q i r r s r t nTi jHl o g h

u*v1w x y z&{ x| } ~ ����� ��� ��� � � � � ~ � � ���K� � ��� � ��� � �Y� � � ~ � � � � ~ � �K��� � } � �� � � � ��� ��� � � ~ �&� � ����� � ��� � � ~ � � �T���K� � ��� � � � � � � �Y� } � ��� } �� � � ~ � � � � ~ � �4~ ����� � � ~ � � �*� � ~ � �K� � ��� ~ � ��� �T� �1�4� � � � � � � � ~ �� ~ � � � � �4� �!� � � ���Y� � � ~ ~ ����� � � �#� �#� } �!� � � ~ ��� � ~ � �#� �Y� } ���� � � � � � � ��� ~ � � � ��� � � � � � ��� � ��� �T� } ��� � � ~ �&� � �1��� � ��� � � ~ � ��� �� } ����� � � ��� � � ~ � � ��� � � � � � ~ � ��� ��� ~ � � � � � � � � ��� � �9� � ~ � } �� � � ~ ��� � � �`� � � }�� } �Y� � � � ��� � � �9� }�� � ��� } � ��� � �`� � �� � ~ � � � � � ~ � �H� ��� } ��� � ��� � � ������ � � ~ � � � ��� } �&��� � � � � ��� � � � ��� ��� � �1� � �9� � ~ � } �#� � ~ � �*� � � }� � � � } � � ~ �Y� � � � � � �*~ ��� �9� � ��| } �#� � �#� � � ~ � � � � �!� � � � � � �� ~ �&��� ~ � ~ � ��� } ��� � � ~ � � � � ~ � ����� � � � � ��� �!� � ~ � ��� � � � � � ~ ��~ ��� � � ���� � �H� ��� � �&�&� � �H� } ��� � � � � � � �*� ��� } ��� � � � � � ����~ � }�� � � � } � ���� � � � � � � ����� � � ~ � � � � ~ � �H��� � } � � �| } ~ �!� � � ~ � � � � ~ � �#��� � } � ��~ �4� � � �Y��� � � � � � ~ � � ��� �#� } �K�  ��� � � � � � � � � � � ~ � �T��� � � � � ��� � � �¡� ��~ ��� �9�T� � ¢ � � � � �K� �K� �� � � � � � ��� � � � �H� ����� � � � � � � � � � �£�¤ ¥ ¦�§ ¨ © ª¡« ¬ s j�i h s ¬ s r t ­ h s m t k l ®#¯�r r t °&± i`° h k ° i h m t i ± ®² h k ³ i p m t f i�´�i k j�i m h µ ® ¶ ·!¸�i p k l ± m h ¹ p m t k l ® º�t h m ¹ s r ¸1i s r t m µ o»&¼

½ ¾ x y ¿&À1Á1{ x  ¿ ¾¬ k l ± t à i h s ­ r iÄi g g k h m ± q s f iÅ­ i i lÆj�s à iÄm kÇh i p k f i h° q k m k h i s r t ± m t p j�k à i r ±�k g�h i s r�k ­ ³ i p m ± o&È q i�jHk ± m1t j�° k h m s l m± m s É i!k g�m q i!j�k à i r t l ÉYt ±*m q i p s r t ­ h s m t k l�± m s É i o ¬ s j�i h sp s r t ­ h s m t k l¡t ±�m k¡i ± m t j�s m i�m q i�t l m h t l ± t p s l ÃÊi Ë m h t l ± t p° s h s j�i m i h ±�k g1m q i p s j�i h s o9Ì�µ�t l m h t l ± t p ®&Í�i�jHi s l�t l m i h l s r° s h s j�i m i h ±&k g m q i p s j�i h s�Î g k p s r r i l É m q s l Ã�° h t l p t ° s r ° k t l m ®s ± ± ¹ j�t l É�Ï i h kT± Ð i Í�®&¹ l t m�s ± ° i p m1h s m t k ®&l k�à t ± m k h m t k l ±�s l ñ Ñ ¹ s h iT° t Ë i r ± ®�Í q t p q s h i!É k k ÃYs ± ± ¹ j�° m t k l ±*g k h*jHk à i h lp s jHi h s ± o&Ì1µ�i Ë m h t l ± t p ° s h s j�i m i h ± ®&Í�i�j�i s l*m q iH° k ± i�s l Ãk h t i l m s m t k lHk g m q i p s j�i h s�t lHs lHs ­9± k r ¹ m i�g h s jHi o¬ s r t ­ h s m t k l�j�i m q k à ±!s h i�à t f t à i à t l m k�m Í�k p s m i É k h t i ±YÎp s r t ­ h s m t k lH¹ ± t l É p s r t ­ h s m t k lH° s m m i h l�Ò Ó Ô1Ò Õ Ô�Ö s�¶ ·#k ­ ³ i p m9k gÐ l k Í�l#É i k j�i m h µKÍ�t m q s4Ð l k Í�lK° k ± t m t k l#t l#± ° s p i × ®�s l Ã

± i r g Ø p s r t ­ h s m t k l!j�i m q k à ±�Ò Ù Ô�Ö s ­9± k r ¹ m i�Ñ ¹ s à h t p i ± m t j�s m t k lk f i h�sY± i Ñ ¹ i l p iKk g*t j�s É i ± × o�Ú q i l#¹ ± t l É#s p s r t ­ h s m t k l° s m m i h l ® m q i1° h i p t ± t k lHk g9m q i1° s h s j�i m i h�i ± m t j�s m t k l�t ±�h i r s m i Ãm k�m q i�s p p ¹ h s p µ`k g#m q i�t j�s É i�j�i s ± ¹ h i j�i l m ± k g�m q ip s r t ­ h s m t k l�° s m m i h l ®9s l Ã�m q i�s r É k h t m q j�l i i à ±�s�r s h É i�± i m�k gt j�s É iH° k t l m ±�m k p k l f i h É i�¹ ± t l É*s�l k l Ø r t l i s h�k ° m t j�t Ï s m t k lÒ Û Ô oÜ lTk ¹ h�jHi m q k à ®&Í�i�° h k ° k ± i�m k p s r t ­ h s m i�m q i p s jHi h s�¹ ± t l Ék l r µ*k l i�t j�s É i�k g�m Í�k p k l p i l m h t p�p t h p r i ±�k g�Ð l k Í�l*h s à t t oÚKi�g t h ± m p q s h s p m i h t Ï i�m q i1° i h ± ° i p m t f i�° h k ³ i p m t k l�k g�s p t h p r i ®Í q t p q t ±�s l¡i r r t °9± i�t l¡s p r s ± ± t p�p k l g t É ¹ h s m t k lÊÖ l k là i É i l i h s m i à p k l t p × o È q i�i r r t °9± i ±�s h i�à i m i p m i ÃHs ¹ m k j�s m t p s r r µ¹ ± t l É m q i�Ý�k ¹ É q m h s l ± g k h j�­ s ± i Ã�s r É k h t m q jÇÒ Þ Ô o*È q ip k i g g t p t i l m ±*k g�m q i p k l t p Ö i É o�m q i4i r r t °9± i ×*s h i!i ± m t j�s m i ù ± t l É*± m s l à s h à p k l t p g t m m t l É*s r É k h t m q j�Ò ¶ Ô�Ò ß Ô o9à�k k Ð t l É*s mm q i p k i g g t p t i l m ±�k g9m q i�i r r t °9± i ® m q i µ�s h i�g ¹ l p m t k l�k g�t l m h t l ± t ps l ÃKi Ë m h t l ± t p ° s h s jHi m i h ±�s ±�Í�i r r�s ±�m q i�° h k ³ i p m i à p t h p r ip i l m i hHÒ á Ô�Ö Í q t p q t ±�à t g g i h i l m1g h k j�m q i�i r r t °9± i p i l m i h × o&È�ki ± m t j�s m i#m q iK° h k ³ i p m i à p t h p r i p i l m i h4Í�i�¹ ± iY° h k ³ i p m t f iÉ i k jHi m h µ4m k k r�r t Ð i*m q i p h k ± ± Ø h s m t kYÒ â Ô o1È q i lKg h k j�m q i�ãt j�s É i�° k t l m ±Hk g�m q i*i ± m t j�s m i ÃTi r r t °9± i ®�t m ±�± t Ë p k i g g t p t i l m ±Ö p k jHt l É�g h k j m q i p k l t p i Ñ ¹ s m t k l ×1s l Ã�m q i�° h k ³ i p m i à p t h p r ip i l m i h ® m q t ±�r i s à ±1m k�s l*k f i h Ø Ã i m i h jHt l i Ã�± µ ± m i j�g k h�Í q t p qm q iK± k r ¹ m t k l#É t f i ±�m q i!g k p s r�r i l É m q ®�m q iT° k ± t m t k l�k g�m q ip s jHi h s�s l Ã�m q i�l k h j�s r1m k�m q i*± ¹ h g s p i*± ¹ ° ° k h m t l É�m q i*¶ ·p t h p r i oä ¹ h�jHi m q k Ã�¹ ± t l É�­ k m q ± µ l m q i m t p s l Ã�h i s r1t j�s É i ± ®�s l ÃTsl k t ± i�s l s r µ ± t ±�É t f i ± p k j�° s h s ­ r iH° i h g k h jHs l p i p k j�° s h i�m kk m q i h p s jHi h s p s r t ­ h s m t k lÅjHi m q k Ãå¹ ± t l Éås p k j�° r i Ëp s r t ­ h s m t k l�° s m m i h l oÈ q t ±*° s ° i h�t ±�k h É s l t Ï i Ã�s ±Tg k r r k Í�±!ÎHt l ± i p m t k l�Ó ®HÍ�i° h i ± i l m�m q i�° t l q k r i p s j�i h s�jHk à i r�Í q t p q t ±�à i h t f i ÃTg h k j° h k ³ i p m t f i�É i k j�i m h µ o Ü lT± i p m t k l�¶ ®9Í�i�à i h t f i�m q i�i Ñ ¹ s m t k lk gTm q iY° i h ± ° i p m t f iY° h k ³ i p m t k l�k g4s p t h p r i�s l à q k Í�m ki ± m t j�s m i#m q iY° h k ³ i p m i à p t h p r i p i l m i h o Ü l�± i p m t k l�á ®�Í�i° h i ± i l m m q i p k h i�k g&k ¹ h p s r t ­ h s m t k l�j�i m q k Ã�­ s ± i Ã�k l�i r r t °9± ii Ñ ¹ s m t k l ±�s l Ã�° h k ° i h m t i ± o Ü l�± i p m t k l�â ® Í�iH± q k ÍYm q i�h i ± ¹ r m ±

k g�m q i p s r t ­ h s m t k l*s r É k h t m q j�k lT± µ l m q i m t p s l Ã�h i s r�t j�s É i ± ®s l Ã4s*l k t ± i*s l s r µ ± t ± o�æ9t l s r r µ ®�Í�i p k l p r ¹ à i�m q t ±H° s ° i h�t l± i p m t k lHÕ oç&¼

è z�éKê y zTë�¿&À1ê ìí ±*t m�t ±�Ð l k Í�l#t lKm q i!¶ ·`f t ± t k l p k j�jH¹ l t m µ ®�m q i4j�k ± mp k jHj�k l r µ�¹ ± i Ã�jHk à i r!m k�h i ° h i ± i l mYs�f t ± t k l¡± i l ± k h ®l s jHi r µHs p s j�i h s ® t ±9m q i�° t l q k r i1j�k à i r Ö ± i i1æ9t É ¹ h iHÛ ×1Î

î ï ð&ñ ò ï

ó ð ï ô ñõ ö ÷ ñ ø ù

ú�û ò ø ü

ý÷

þÿ

� �� � � �

� �� �� �

� ��î ö ò � ø ñ ù

� ø ø ö ù ñ ù

� � � ����� � � � � � � � � � ��� � � !� " � � � � "�� � � # � � � � � � $ � � % � � �&� � % % � � � 'à�i m&m q i�k h t É t l*k g�m q i�Í�k h r Ã*g h s j�i�­ i�r k p s m i Ã�s m�m q i p i l m i hk g&m q i�¶ · p k l p i l m h t p�p t h p r i ± o È q i)()* Ø í Ë t ±1t ±1k h m q k É k l s r m km q i*¶ · p t h p r i�° r s l i o�È q i p k k h à t l s m i ±�k g�s p t h p r i�° k t l m�t ±i Ë ° h i ± ± i ÃHs ±&m q i1f i p m k h1Î

[ ] +,,.-/ 01=

2 Ö Û ×È q i p k h h i ± ° k l à t l É�t j�s É i�° k t l m t ±�Î

[ ] 34576=8 Ö Ó ×È q iYm h s l ± g k h j�s m t k l�­ i m Í�i i l�m q i#t j�s É iK° k t l m ±!s l Ã�m q iÍ�k h r Ã�° k t l m ±!t ±4m q i#Í�i r r Ø Ð l k Í�l ° i h ± ° i p m t f iY° h k ³ i p m t k lh i r s m t k l�Î

9:;=<< =λ Ö ¶ ×Ú q i h i

[ ]>?@ACB= Ö á ×

D t ±T° h k ³ i p m t k l�k ° i h s m k h ® λ t ±Ks�± p s r i�g s p m k hKà ¹ i�m kq k j�k É i l i k ¹ ± p k k h à t l s m i4± µ ± m i j�o1È q i�j�s m h t ËFE�à i ° i l à ±k l r µ�k l�m q i�t l m h t l ± t p ° s h s j�i m i h ±�k g m q i p s j�i h s�Î

GGGHI

JJJKL

= MNNNN

OOPQSR

QT U V W

XZY\[ ] ] ^ _`Y\a b [ a!a b YF] Y c ] d egf ]`h Y e i Y j agkml Y e dn] o Y p!qr^ c f a[ ] h Y j a e [ a f d q c d!s f ] a d e a f d c ]�[ c s`] t ^ [ e Y�h f u Y v ] wxy[ c s{z|[ e YFe Y ] h Y j a f } Y v ~�a b YZe d a [ a f d c{_`[ a e f u{[ c s�a b Ya e [ c ] v [ a f d c�_`[ a e f u U a b Y`Y u a e f c ] f j!h [ e [ _�Y a Y e ] W d ima b Yg] Y c ] d ee Y � [ e s f c �)a d!a b Yrp)d e v s!e Y i Y e Y c j Yri e [ _`Y w

�����

�����

= � �� �� �� �� �� �� �� �� ����������

� � � �

�����

�����

= � �� �� �

� � � �

��  ¡£¢ ¢ ¤ ¥m¦ § ¦�¨�¦�©�¤ ª « ¢ § ¦�¬)§ ª ¦ ¥m§ « ­ ¤ ®�§g¬)ª ¯�° § « ­ ¤ ¯�±²�³ ´¶µ · ¸ ¹ º » · ¼ ¹ ½ ¾F¿ · ¼ ¼ ´ » ¾nÀ)´F· » ´¶Á  ¹ ¾ Ãn¹ Â�µ ½ Ä!¿ ½  ´ ÅnÀ)¹ ¼ ³½ ¾ ¸ ÆZ¼ À!½�µ ½ ¾ µ ´ ¾ ¼ » ¹ µFµ ¹ » µ ¸ ´ Â�À!¹ ¼ ³�Ç ¾ ½ Àr¾�» · Å ¹ ¹ È!²�³ ´\º ¹ õ ¹ » µ ¸ ´F³ · Â�» · Å ¹ Á ÂÊÉ!Ë � Àr³ ¹ µ ³{À)´ZÀ)¹ ¸ ¸£µ · ¸ ¸`¼ ³ ´¶¿ » ¹ ¾ µ ¹ ¿ · ¸µ ¹ » µ ¸ ´ � · ¾ Å!¼ ³ ´) Ä`· ¸ ¸ µ ¹ » µ ¸ ´m³ · Â�» · Å ¹ Á Â�É�Ì ÈÍ Î Ï Î

ÐrÑ Ò Ó Ô ÕrÖ&Õ Ò × Ø�Õ Ó Ù Ñ Ú ÕrÖ&Ò Û Ü Õ Ó Ù Ñ Û ÝÞ� ¹ ¾ ÃF¼ ³ ´Ê¿ » ½ ß ´ µ ¼ ¹ ½ ¾�½ ¿ ´ » · ¼ ½ » à{á)¼ ³ ´¶¹ Ä`· à ´\¿ ½ ¹ ¾ ¼ Â�· » ´Ã ¹ â ´ ¾)º Æ£ã

ääääå

æççççè

éäääåæ

çççèé

=äääåæ

çççèé

êë

ì íì ìì îì ï î íî ìî îî ï ï íï ìï îï ïððñò

óóóó óóóó óóóóôõλλλ ö ÷ ø

ù�ú ûgü ý þ ÿ � þ ü � ��� þ ý � � û\þ �£þ ÿ�� ú û�ü � � ÿ û�� �� rù�ú û�� � � � ��� �þ ��� � û�ü � þ ÿ � ��� û � � ý þ � þ ÿ ��� ú û�� þ ý � � ûrþ ��� û � þ ÿ û ��� ���

�� ����

++++=

++++=

! "! !! # $ "$ !$ # ! "! !! # # "# !# #%&%'% %&%'%(%&%'% %&%'%)

** ** ** ** ö + ø

,-��û . � ý � � � þ ÿ �0/1 � ÿ �2/354 6 ûmú � 7 û��

89:++=++= ;;; ;;; <=>?@A B=C?DE

F Fö G H ø

IFú û ý û�J�K LNMNK L�O�K L�P�K LNQ-K�� ÿ ��R-K�� û ü û ÿ ��� ÿS� ú û�þ ÿ � ý þ ÿ � þ �� ÿ �Fû . � ý þ ÿ � þ �S� � �`û ý ��ü � ý � �`û � û ý � �T ÿ�� ú û 6 � ý � �¶ý û � û ý û ÿ � û� ý � ��û 4 � ú û�ü ý þ ÿ � þ ü � �N� þ ý � � û 4 � û ÿ � û ý û �U� �N� ú ûV� ý þ � þ ÿ 4 ú � ��� ú û� � � � � 6 þ ÿ �!û W � � � þ � ÿV�( ) XYZ [[[ =−+= \]^]^_ ```` ö G G ø

ù�ú û ý û � � ý û�� �a� � þ ÿ � ö G ø þ ÿ ö b ø 6 ûc� � � � þ ÿd� ú ûFü ý þ ÿ � þ ü � �û � � þ üe� û 4fghij kk

=+++++= lm�no�pqenr�p ns�pnpq ö G b øù�ú þ ��þ ��� ú û)û W � � � þ � ÿV� ����� � ÿ þ � t)ÿ`û � � þ üe� û!þ �N� � � � þ ÿ û � 6 þ � ú� ú û�� � ÿ � � ý � þ ÿ � uvw

<− x�yz T ÿ)ü ý � � � þ � û 4 � ú þ ��� � ÿ � � ý � þ ÿ �þ �V� � � � � � �a� � � þ � � þ û �Zþ �V� � � ��� ý û\ÿ � ��� � ��� þ � � � � û �Zþ ÿc��� � � �� û � � þ � ÿU� ÿ �V� ú û�� � ÿ þ �`þ �mÿ � �N� û � û ÿ û ý � � û � �ù�ú û�� � û � � þ � þ û ÿ � �� � � ú û�� � ÿ þ ��� ý û)û � � þ ��� � û �{� � þ ÿ ��� ÿ`û � � þ üe� û�� þ � � þ ÿ ��� � � � ý þ � ú �| } ~ � � � �

��� � � �V� � � � �V� � � � ����� � � � � � � ����� � � � ����� � � � ��{�-� � � � � ��� �U� � � � �   � � � ¡ ��¢ £ ¤ ¥ � ¦ � � �V¦ � £ ¦ § ��¦ � � � � £N� �N� � ¨ ¨ � £ � � �¨ £ ¤ ©ª� ¡ ��� § § � ¢e� � ��¦ � � � � £ � «�¬�¡ ��©�� � ¡ ¤ �­� ¤c� � � � £ ©�� � ��� ¡ �¢ £ ¤ ¥ � ¦ � � ��¦ � £ ¦ § ��¦ � � � � £�� ��� � � ¢ � £ � ��® ¯��   � «�   �-� � ¨ � � ����� � °c¢ £ ¤ ¥ � ¦ � � ± ��� � ± � £ � � � �N¨ ¤ £�� ¡ ��¢ £ ¤ ¥ � ¦ � � ¤ �U¤ ¨¦ ¤ � ¦ � � � £ � ¦­¦ � £ ¦ § � ��²{³ � ¡ �­¦ � � � � £S¤ ¨�¢ £ ¤ ¥ � ¦ � � �d¦ ¤ � ¦ � � � £ � ¦¦ � £ ¦ § � �N� § °�� ¯ �N§ � � �N¤ ����§ � � ��� � ¨ � � � �{® ¯�� ¡ ��� § § � ¢e� � �N¦ � � � � £ �´ � � � £�� � ¯�¢ £ ¤ ¥ � ¦ � � ± �-� £ � � � ¨ ¤ £ ©�� � � ¤ � � µ�¶ � � �-·e� ¸ ´ £ �-¹ º «

» ¼» ½

» ¾ » ¿

À Á Â Ã Ä Å ÆNÇ È É Ê Ë Ì Í Î Ì Ï�Í Ð É Í Ñ Ì Í Ì Ò Î Ì É Ð Ó Ê Ò�Ô Ñ Ð Ò Ì Ï Ì Õ Ð Ò Ì Ó Ö ×eÎ Ø Ì Í Ì Ò Î Ì É Ó Ê Õ Î Ø ÌÎ Ù�Ê�Ì Ñ Ñ Ð Ú Ó Ì Ó Û¬�¡ ��¤ � § ¯­¢ £ ¤ ¥ � ¦ � � ± �­� � ± � £ � � � �V� �U� ¡ �­¦ £ ¤ � � Ü £ � � � ¤a¤ ¨�¨ ¤ ´ £� § � ¸ � � �U¢ ¤ � � � � «NÝ ��¤ ´ £�¦ � � � �N°��U¦ � ��� � ¨ � � ��� ¡ �S¨ ¤ § § ¤ °�� � ¸¦ £ ¤ � � Ü £ � � � ¤�¶ � � �-·e� ¸ ´ £ �-¹ ºN²

Þ ßÞÞÞ ÞÞÞ�ßÞàáNâ ãäå äãåã∆⋅∆∆⋅∆= ¶ æ ç º

è ¡ � £ �( ) ( ) éé ê ë ìê ëNíî ë ìî ëNíëNí ë ì −+−=∆

¶ æ � ºè �-¡ � ± ��� § � ¤

ïð ðïñ òò òóô-õ+

= ¶ æ   ºö � � ¦ �-� ¡ ��¦ £ ¤ � � Ü £ � � � ¤{� ��� � ± � £ � � � � � °���¦ � ��� � ��²

÷ø�ù÷øVù úû=

¶ æ ü º¬�¡ � £ � ¨ ¤ £ �S� ��� ��¢ ¤ � � � ® § �U� ¤�� ý � £ � ¦ ��� ¡ �S� ©�� ¸ �S¦ ¤ ¤ £ � � � � � � �þ ÿ � � � � ÿ ¤ ¨ � ¡ �N¢ £ ¤ ¥ � ¦ � � �{¦ � £ ¦ § �-¦ � � � � £ � ÿ «

��� ����� � � ����� � ��� ��� � ���ö � � ¦ �U� ¡ �S¦ ¤ � ¨ ¨ � ¦ � � � � �V¤ ¨�� ¡ ��¢ £ � � ¦ � ¢ � §�� § § � ¢e� �U¡ � ± �U® � � �� � � � ©�� � � � � °���¦ � ��� � ¨ � � ��� �e°�� � ¡V� � �N©�� � £ � ý�¨ ¤ £ © � �N� � ¨ � � � �® ¯V� � ��²

�����

�����

�=

������������ ��!" � "#

$ % & ' (

)+*�, - . / , * * , 021 354 6 7 8 9 : ,<; 3 1 9=3 > / ?A@ B=9 >29 : ,+C 1 / C B ,D. B @ 3 ,+1 *C > ?D. ; 9 , 0+@ *E > B B > F<*�G

HHHIJ

KKKLM

±=HHHIJ

KKKLM

NO�PQ P

RSSS

TU VV VW V X Y Z [

\^] _ ` _ [ ]⋅acb _ d e f g h i _ djg k ` lAh m e n h i e k gAi k2hDo g e i=p _ q i k `jh g br sut v s h ` _wi ] _we lAh f _wq k k ` b e g h i _ dk x=i ] _�y ` k z _ q i _ b q e ` q m _q _ g i _ ` {j|�] _ ` _ x k ` _�}D_5q h g~_ � i ` h q i<_ h q ]^q k lDy k g _ g i<k x<i ] _o g e i g k ` lAh m=�

����

�����

⋅=

=

=

� � � �+��� � � � �+�� � � � �+��

�� ��� ��� �

α

α

α

� � � �

�^� � � �<�

������� �� � � �+  ααα ++= � ¡ ¢ �£ ¤ ¥

¦¦¦§

¦¦¦¨©

+⋅+⋅=

+⋅+⋅=

+⋅+⋅=

ª ªªªªª

«¬­

®¯°±²�°³±¯°´²�°µ³¯�°µ²�°¶

α

α

α� ¡�� �

���¸· £ ¤¹£ º » ¼ � ½ ¾ � � » »À¿ � �¸Á ¼ º º ¼ Â<à ¤ Ä � � º £ ¿ à ¼ ¤ »Å¼ Á ¿ � �¿ � £ ¤ » º £ ¿ à ¼ ¤<Æ � · ¿ ¼ ���

ÇÈ ÉÊ�ËÈ Ì ⋅= Ç

È ÉÍ ËÈ Î ⋅= � ¡ ¡ �

Ï » à ¤ Ä � � � � Ðw� ¡ ¢ � Ðw� ¡�� � Ðw� ¡ ¡ � à ¤ � � ¡ � Ð Â � ¼ Ñ ¿ £ à ¤^¿ � � ¤ � · ¼ � Á Á à · à � ¤ ¿ » Á ¼ � ¿ � �j¾ � à ¤ · à ¾ £ º � º º à ¾ » �<�

ÒÒÒÒÒÒÒ

Ó

ÒÒÒÒÒÒÒ

Ô

Õ

++⋅=

++⋅=

++⋅=

++⋅=

++⋅=

++⋅=

Ö××××ØÖ××××ØÖ××××ØÖ××××ØÖ××××ØÖ××××Ø

ÙÙÙÙÙÙÙÙÙÙÙÙÙÙÙÙÙÙÙÙÙÙÙÙ

ÚÛ ÜÝÚÝÚÚÞÛ ÜÝÞÝÞÞßÛ ÜÝßÝßßàÛ ÜÝàÝààáÛ ÜÝáÝááâÛ ÜÝâÝââ

� ¡ ã �

ä�� � � � Á ¼ � �  �w� £ Æ �<�åæçèé êê

=+++++= ëëëëëë ìíîïðíñï íòïóíïñ � ¡ ô �õ ¼ � ¿ � ��ö�¾ ¼ à ¤ ¿ »¼ Á ¿ � �D� º º à ¾ » � Ð ¿ � à » � ÷ ø £ ¿ à ¼ ¤ · £ ¤DÑ �wø » � ¥<¿ ¼Á ¼ � ù ¿ � �wÁ ¼ º º ¼ ÂDà ¤ Ä<¼ Æ � � ú ¥ � ¿ � � ù à ¤ � ¥A» û » ¿ � ùÅ�

üý þ=

� ¡ ÿ ��^� � � �

����

����

�=����

��������

����

��� �

��

��

�����

���

� � ¡ � �

ä�� � » ¼ º ø ¿ à ¼ ¤ ¼ Á ¿ � à »D» û » ¿ � ù à »w¼ Ñ ¿ £ à ¤ � ¥ £ »�¿ � � º � £ » ¿�» ÷ ø £ � �¾ » � ø ¥ ¼ ú à ¤ Æ � � » � ¿ � · � ¤ à ÷ ø �<�( ) ����� ����−=

� ¡ � �õ � ¼ ù Í Ð Â � ¼ Ñ ¿ £ à ¤ ¿ � �AÁ ¼ · £ º�º � ¤ Ä ¿ ��� £ ¤ ¥ È É�� Ï » à ¤ Ä� � � � Ðj� ¡ ¢ � Ðj� ¡�� � Ð £ ¤ ¥ � ¡ ¡ � Ð Â ��· £ ¤ · £ º · ø º £ ¿ � ¿ � �5� ½ ¿ � à ¤ » à ·¾ £ � £ ùA� ¿ � � » �� ¿wà »<à ù<¾ ¼ � ¿ £ ¤ ¿�¿ ¼ � � ù £ � � ¿ � £ ¿� � ¼ ¤ º û ¼ Ñ ¿ £ à ¤5¿ � � » � · ¼ ¤ ¥· ¼ º ø ù ¤ ¼ Á ¿ � �D� ¼ ¿ £ ¿ à ¼ ¤ ù £ ¿ � à ½ Ð Â � à · � à »�¿ � �<ø ¤ à ¿¤ ¼ � ù £ º=¿ ¼¿ � �2· à � · º � » ø ¾ ¾ ¼ � ¿ à ¤ Ä ¾ º £ ¤ � � � Á  � Â<£ ¤ ¿j¿ ¼5¼ Ñ ¿ £ à ¤5¿ � � ¿ ÂD¼¼ ¿ � � � · ¼ º ø ù ¤ » Ð Â � · £ ¤ ø » � ¿ ÂD¼ · à � · º � »5» à ¿ ø £ ¿ � ¥ ¼ ¤�¿ ÂD¼¼ � ¿ � ¼ Ä ¼ ¤ £ º ¾ º £ ¤ � » � » � �wõ Ã Ä ø � � ã � £ ¤ ¥ ø » à ¤ Ä<¿ � � £ º Ä ¼ � à ¿ � ù à ¤� ô � Ð ¿ � à »�º � £ ¥ »=¿ ¼D¿ � �  � ¼ º ��� ¼ ¿ £ ¿ à ¼ ¤ ù £ ¿ � à ½ �

� ! " # $ %'& ( ) * + , - + , ) . / + 0 ) 1 *32 + 0 0 4 / *50 151 . 0 + ) *50 6 4 4 * 0 ) / 4 / 1 0 + 0 ) 1 *57'+ 0 / ) 8 9

:5; <>=@?BA C =D<>=5E F GHC =5I F J5KBLNM5OHA C F ?BA KHI =5E@PQA R SHE I RT@U V W X Y Z[W \ ] ^`_aY ] bD^ c \ ] b W ] Y deY ZNf g W ^[f \ h>X W f iHY ZNf g W ^`b f j Wk W W \Nd f X X Y W hNl m ] n T@i i Y V3^ W ^'f X Wao Y ] ] W h k cNf`h Y X W d ]5i W f ^ ]@^ p m f X WZNW ] b l h[l o q3Y ] r g Y k k l \ts u v nw x y x

z { | } ~ � } � �H� �t� � � �q3l X>^ c \ ] b W ] Y dDY ZNf g W ^ �H_`WQm ^ W h�] b WDo l i i l _`Y \ g�^ Y Z[m i f ] Y l \V f X f ZNW ] W X ^'�� u � � ��V Y U W i ^� �� � � n � �� �� � n � u� �� � n u �� � � � n u`Z[Z� � �5�'Z[Z� � � � �`Z[Z�[� � �aZ[Z�H� � ��Z[Z

 @l¡o Y \ h¡l m ]B] b W¢\ l Y ^ W¢X l k m ^ ] \ W ^ ^£l o¤l m X£d f i Y k X f ] Y l \f i g l X Y ] b Zt� _`W�f h h W ha\ l Y ^ W�Y \aV Y U W i ^5] l`] b W�W i i Y V3^ W�h f ] f n 5b WtX W ^ m i ] ^`l oa] b W>W U V W X Y ZNW \ ]�f X Weg Y j W \DY \D] b W>o l i i l _aY \ go Y g m X W ^H�

� ! " # $ ¥'& ¦34 , + 0 ) § 4 4 / / 1 / ¨ ) *@©'ª 1 *50 6 4 « 1 - + , , 4 * ¬ 0 6 9

� ! " # $ ­@& ¦34 , + 0 ) § 4 4 / / 1 / ¨ ) *@©'ª 1 *50 6 4 ® * ) 0 * 1 / 7'+ , 9

� ! " # $ ¯'& ¦ 4 , + 0 ) § 4 4 / / 1 / ¨ ) *'©'ª 1 *50 6 4 0 / + * ° , + 0 ) 1 *5§ 4 - 0 1 / 9w x ± x

²`� � ³ � �t� � � � 5b WDd f i Y k X f ] Y l \´V f ] ] W X \�m ^ W hBY ^>^ b l _a\BY \Bq3Y g m X W´� n� 5b WY ZNf g W ^[_`W X W>] f µ W \ k c´fQh Y g Y ] f i�d f ZNW X f>q m ¶ Y o Y i Z¡q5Y \ W ·5Y U� ¸ � �Q¹@l l ZNn@ 5b WeY Z[f g W ^`b f j W>ftX W ^ l i m ] Y l \´l oN� � � � U � ¸ � n 5b W�W i i Y V3^ W ^5_aW X W�h W ] W d ] W ham ^ Y \ gNs � v n

� ! " # $ º@& » + , ) . / + 0 ) 1 *5¼ + 0 0 4 / * 9q3l X½V W X o l X Z[f \ d W¾d l Z`V f X Y ^ l \ �£] b W¿^ c ^ ] W ZÀ_af ^Áf i ^ ld f i Y k X f ] W hN_aY ] bt] b W`_aW i i � µ \ l _�\ed f i Y k X f ] Y l \tf i g l X Y ] b Z¢o X l Z '^ f Y s � v n

 � � � à ± Ä Å5Æ Ç È3Ç � � ÉÊ ± Ë Ì Í x ± ± y Í y x ÎÏ �� Ë x Ë Ë Ë Ð Ë x Ë Ë y� �� Ë x Î Í Ë x Î ±� �� Ë x w w Ë x w Ñ Ì� � Ò ± x y Ñ Ò ± x y y� � Í w x Í Í w x Ñ� � Í Ð Í x ± Ì Ë Ë x Ó

Ô[^ Y \ gÕ] b WÖd f i Y k X f ] Y l \ÕV f X f ZNW ] W X ^½l k ] f Y \ W h¾_`Y ] b¿l m Xf i g l X Y ] b Zt�3Y ]HY ^�V l ^ ^ Y k i WN] leX W � h X f _a\>] b W[V X l ¶ W d ] Y l \Ql oH] b WV X Y \ d Y V f i d Y X d i W�× ^ W WHq3Y g m X W � Ø'�

� ! " # $ Ù'& ¦ 4 Ú 2 / 1 Û 4 - 0 4 Ü 2 / ) * - ) 2 + , - ) / - , 4 ¨ ) *5Ý36 ) 0 4 ª + * Ü30 6 4 * 1 / 7'+ , ¨ ) *Ý36 ) 0 4 ª 9

Þ5; <>J5KHß E SHR F J5Kà \N] b Y ^@V f V W X � _aW`b f j WaV X W ^ W \ ] W htf`\ W _ád f ZNW X f`d f i Y k X f ] Y l \ZNW ] b l h k f ^ W h¤l \¤] b WBW i i Y V3^ W ^eV X l V W X ] Y W ^ n`Ô[^ Y \ g¤l \ i c£f^ Y \ g i W`j Y W _¤l o@] _altd l \ d W \ ] X Y d[d Y X d i W ^ � f \eW ^ ] Y ZNf ] Y l \el o@] b WV X l ¶ W d ] W htd Y X d i W`d W \ ] W XHf \ htf \eW i i Y V3^ W[o Y ] ] Y \ gtf i g l X Y ] b Zt� _`W^ b l _a\`] b f ] Y ] Y ^3V l ^ ^ Y k i WH] l[l k ] f Y \`] b Wao l d f i i W \ g ] b � ] b WHV l ^ Wf \ h`] b W�l X Y W \ ] f ] Y l \[l o ] b W�d f Z[W X f nâBY ] bã^ c \ ] b W ] Y dáf \ h£X W f iDY Z[f g W ^ �>l m XBf i g l X Y ] b Zä^ b l _`^d l ZaV f X f k i W�V W X o l X Z[f \ d W ^�_`Y ] b¢] b W£W U Y ^ ] Y \ g¢d f i Y k X f ] Y l \f i g l X Y ] b Zt� k m ]`_aY ] bBl \ i c�l \ WDY ZNf g WDf \ h�] _alBd l \ d W \ ] X Y dd Y X d i W ^ n 5b Y ^Dd f i Y k X f ] Y l \áZ[W ] b l háY ^Df i ^ l¤_aW i i � ^ m Y ] W h¤] l¤] b WBu å �X W d l \ ^ ] X m d ] Y l \�V X l k i W Z¿o X l Z¿f \£Y ZNf g W¤^ W p m W \ d WBl o>f \l k ¶ W d ]QV i f d W hãl \ãf£] m X \ � ] f k i W �>m ^ Y \ g¢] b f ]�l \ Wæf ^B] b Wd f i Y k X f ] Y l \aV f ] ] W X \ nç \¤W U ] W \ ^ Y l \�l oel m XQf i g l X Y ] b Zt�`_aY i i k W´] l�Y \ ] W g X f ] W�f \W ^ ] Y ZNf ] Y l \Ál o�] b WæV X Y \ d Y V f i´V l Y \ ] �D] b W½^ µ W _äf \ h½] b Wh Y ^ ] l X ] Y l \ ^5l o ] b Wa^ W \ ^ l X n

P>A è A C A KHß A Rs � v3é`n å[n q3f m g W X f ^ � ê  5b X W W � å[Y Z[W \ ^ Y l \ f i5ëHl Z`V m ] W X ì'íeî ï ðñ'ò ó ô ô � � � � u ns � v n5�an õ[n@ '^ f Y �@ê ç j W X ^ f ] Y i Wed f ZNW X fed f i Y k X f ] Y l \Q] W d b \ Y p m Wo l X@b Y g bNf d d m X f d cNu å¤Z[f d b Y \ Waj Y ^ Y l \NZNW ] X l i l g cNm ^ Y \ gNl o o �] b W � ^ b W i o5] jtd f ZNW X f ^'f \ hNi W \ ^ W ^ ö'î ÷5íãø'ó ô ó ù ò ú û[ø'ó ü'ý ò þ ø�ÿ� � � � � � � � � � ns u v[q3Y ] r g Y k k l \ ���´n'·5Y i m ��f \ h´��n��anHq3Y ^ b W X ��ê å[Y X W d ][i W f ^ ]^ p m f X Weo Y ] ] Y \ g>l oaW i i Y V3^ W ^ ö � î ���áï ò ù � ô ù ú þ � ý � ôtý �>ñ'ù þ þ ó ò � � ù � � ô � ô�ù � �aíQù ú û � � ó@î � þ ó � � � �3ó � ú ó � j l i n �5� � �[l n � � V V3n � � ¸ �� � � � � � � � ns � v�[n �`f \ f ] f \ Y � f \ hNâBn �@Y m � ê u å¤à \ ] W X V X W ] f ] Y l \tl o@ë'l \ Y d ^f \ hQé�X ] b l g l \ f i Y ] c ö �'ÿ�� �@î ñ��'î �aù �3ó��� � ó ò ô þ ù � � � � �5�5j l i n� � � �[l n u � �[l j W Z k W X � V V3n � � ¸ � u �3� � � � � u ns � v�� n � n!�`Y Zt��"[n[âBn!�`Y ZN�Nà n � n!�a_`W l \ �Nê ç ë'f ZNW X fëHf i Y k X f ] Y l \#�DW ] b l h´m ^ Y \ gBëHl \ d W \ ] X Y d´ëHY X d i W ^eo l X%$`Y ^ Y l \ç V V i Y d f ] Y l \ ^ ö � ÿHÿ&� � ' ' � � �DW i k l m X \ W � ç m ^ ] X f i Y f � � f \ m f X c� � � � n

s ¸ v'¹'n ¹5b f \ g �3ê q3i W U Y k i W[ëHf ZNW X fNë'f i Y k X f ] Y l \ k c%$`Y W _`Y \ gef·5i f \ W q X l Z Ôa\ µ \ l _�\ é�X Y W \ ] f ] Y l \ ^ ö �æî � ñ'ò ý ú (*) + ,î � þ ó ò � ù þ � ý � ù �Bÿ@ý � - ó ò ó � ú óæý �Öÿ@ý �5ü/. þ ó ò0� � ô � ý � �DëHl X o m �1 X W W d W � V V3n ¸ ¸ ¸ � ¸ � u � � W V ] W Z k W X�� � � � ns � v´¹'ne¹5b f \ g �>ê ·5f X f ZNW ] W XBT'^ ] Y ZNf ] Y l \ã @W d b \ Y p m W ^¤� ç 5m ] l X Y f i>_`Y ] b ç V V i Y d f ] Y l \æ] l¢ë'l \ Y dáq3Y ] ] Y \ g ö �tø'ó ô ó ù ò ú ûøHó ü'ý ò þ 2�3 � 4 ) 4 � à �`��à ç � éad ] l k W XH� � � � ns � v5��n  5X Y g g ^ � ê ç m ] l d f i Y k X f ] Y l \Nf \ h`] b W çHk ^ l i m ] W&6�m f h X Y d ö �î �áî ���¾ÿ@ý � - ó ò ó � ú ó7� �ãÿ@ý �5ü/. þ ó ò8� � ô � ý �æù � �£ñ'ù þ þ ó ò �øHó ú ý � � � þ � ý � � · m W X ] l X Y d l � � � � � ns � v#�[n��`f \ f ] f \ Y �%�Nn>é�b ] f �Qê ç m ] l Z[f ] Y d£å`W ] W d ] Y l \ãl oëHY X d m i f XQé k ¶ W d ] ^ k c�T'i i Y V3^ W 1 X l _aY \ g ö ��íQó �`ý � ò ô�ý -¤þ û ó9Hù ú . � þ �Õý -:�/� �5� � ó ó ò � � �5��$`l iBn´u ¸ �;�[l n�� �´é�µ f c f ZNfÔa\ Y j W X ^ Y ] c � � f V f \ � å`W d W Z k W X3� � � �3� n