11

Dimensi Tiga(Jarak)

22

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

Menentukanjarak antara unsur-unsur

dalamruang dimensi tiga

33

Kita akan membahas jarak antara:

titik ke titik titik ke garis titik ke bidang garis ke garis garis ke bidang bidang ke bidang

44

Jarak titik ke titikPeragaan ini,

menunjukanjarak titik A ke B,adalah panjang ruas

garis yang menghubungkan

titik A ke B

A

BJarak dua

titik

55

ContohDiketahui

kubus ABCD.EFGHdengan

panjang rusuk a cm.Tentukan jarak titik A ke C, titik A ke G,

dan jarak titik A ketengah-tengah bidang

EFGH

A BCD

HE F

G

a cm

a cm

a cm

P

66

PembahasanPerhatikan

segitiga ABC yangsiku-siku di B, maka

AC = = = = Jadi diagonal sisi AC = cm

A BCD

HE F

G

a cm

a cm

a cm

22 BCAB 22 aa

2a22a

2a

77

Jarak AG = ?Perhatikan

segitiga ACG yangsiku-siku di C, maka

AG = = = = =Jadi diagonal ruang AG = cm

A BCD

HE F

G

a cm

a cm

a cm

22 CGAC 22 a)2a(

2a3 3a3a

22 aa2

88

A BCD

HE F

G

a cm

P

Jarak AP = ?Perhatikan

segitiga AEP yangsiku-siku di E, maka

AP = = = = =Jadi jarak A ke P = cm

22 EPAE

2212 2aa

2212 aa

223 a 6a2

1

6a21

99

Jarak titik ke GarisA

g

Jarak titik

dan garis

Peragaan ini,menunjukanjarak titik A kegaris g adalahpanjang ruas garis yang ditarik dari titik A dan tegak lurus garis g

1010

Contoh 1

Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 5 cm.Jarak titik A kerusuk HG adalah….

A BCD

HE F

G

5 cm

5 cm

1111

Pembahasan

Jarak titik A kerusuk HG adalahpanjang ruas garisAH, (AH HG)

A BCD

HE F

G

5 cm

5 cm

AH = (AH diagonal sisi)AH = Jadi jarak A ke HG = 5√2 cm

2a25

1212

Contoh 2

Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 6 cm.Jarak titik B kediagonal AGadalah….

A BCD

HE F

G

6 cm

6 cm

1313

Pembahasan

Jarak B ke AG =jarak B ke P (BPAG)Diagonal sisi BG =6√2 cmDiagonal ruang AG= 6√3 cmLihat segitiga ABG

A BCD

HE F

G

6√2 cm

6 cm

P 6√3 cm

A B

G

P

6√3

6

6√2?

1414

Lihat segitiga ABGSin A = = =

BP =

BP = 2√6

A B

G

P6√3

6

6√2

AGBG

ABBP

3626

6BP

36)6)(26(

?

Jadi jarak B ke AG = 2√6 cm

366

33x

2

1515

Contoh 3

Diketahui T.ABCDlimas beraturan.Panjang rusuk alas12 cm, dan panjangrusuk tegak 12√2 cm. Jarak A ke TC adalah….

12 cm

12√2 cm

T

C

A B

D

1616

PembahasanJarak A ke TC = APAC = diagonal persegi = 12√2AP = = = = Jadi jarak A ke TC = 6√6 cm

12 cm

12√2 cm

T

C

A B

D

P

12√2

6√26√2

22 PCAC 22 )26()212( 108.2)36 144(2

6636.3.2

1717

Contoh 4

Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 6 cm danA B

CD

HE F

G

6 cm6 cm

Titik P pada pertengahan FG. Jarak titik A dan garis DP adalah….

P

1818

A BCD

HE F

G

6 cm6 cm

P Pembahasan

Q

6√2 cm

R

P

AD

G F

6 cm

3 cm

DP = = =

22 GPDG 22 3)26(

9972

1919

Pembahasan

Q

6√2 cm

R

P

AD

G F

6 cm

3 cmDP =Luas segitiga ADP½DP.AQ = ½DA.PR 9.AQ = 6.6√2 AQ = 4√2Jadi jarak A ke DP = 4√2 cm

9972

4

2020

Garis tegak lurus BidangGaris tegak

lurussebuah bidangjika garis tersebuttegak lurus duabuah garis berpo-tongan yang ter-dapat pada bidang

V

g

ab

g a, g b,Jadi g V

2121

Jarak titik ke bidangPeragaan ini

menunjukan jarakantara titik A kebidang V adalahpanjang ruas garis yang menghubungkantegak lurus titik A ke bidang V

A

V

2222

Contoh 1Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 10 cmJarak titik A kebidang BDHF adalah….

A BCD

HE F

G

10 cmP

2323

PembahasanJarak titik A kebidang BDHF diwakili olehpanjang AP.(APBD)AP = ½ AC (ACBD) = ½.10√2 = 5√2

A BCD

HE F

G

10 cm

P

Jadi jarak A ke BDHF = 5√2 cm

2424

Contoh 2Diketahui limassegi-4 beraturanT.ABCD.Panjang AB = 8 cmdan TA = 12 cm.Jarak titik T kebidang ABCDadalah….

8 cm

T

C

A B

D

12 cm

2525

PembahasanJarak T ke ABCD = Jarak T ke perpotongan AC dan BD = TP AC diagonal persegiAC = 8√2AP = ½ AC = 4√2

8 cm

T

C

A B

D

12 cm

P

2626

AP = ½ AC = 4√2 TP = = = = = 4√7

8 cm

T

C

A B

D

12 cm

P

2 2 AP AT 2 2 )24( 12

32 144 112

Jadi jarak T ke ABCD = 4√7 cm

2727

Contoh 3

Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 9 cm.Jarak titik C kebidang BDGadalah….

A BCD

HE F

G

9 cm

2828

PembahasanJarak titik C kebidang BDG = CPyaitu ruas garis yang dibuat melaluititik C dan tegaklurus GT

A BCD

HE F

G

9 cm

PT

CP = ⅓CE = ⅓.9√3 = 3√3Jadi jarak C ke BDG = 3√3 cm

2929

Jarak garis ke garisPeragaan menunjukan jarakantara garis g ke garis h adalahpanjang ruas garis yang menghubungkan tegak lurus keduagaris tersebut

P

Q

g

h

3030

ContohDiketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 4 cm.Tentukan jarak:

A BCD

HE F

G

4 cm a.Garis AB ke garis HG

b.Garis AD ke garis HF

c.Garis BD ke garis EG

3131

Penyelesaian

Jarak garis:a.AB ke garis HG = AH (AH AB,

AH HG)

= 4√2 (diagonal sisi)

b.AD ke garis HF = DH (DH AD,

DH HF

= 4 cm

A BCD

HE F

G

4 cm

3232

Penyelesaian

Jarak garis:b.BD ke garis EG = PQ (PQ BD,

PQ EG

= AE = 4 cm

A BCD

HE F

G

4 cmP

Q

3333

Jarak garis ke bidangPeragaan

menunjukanJarak antara garis g ke bidang V adalahpanjang ruas garis yang menghubungkantegak lurus garisdan bidang

V

g

g

3434

Contoh 1Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 8 cmJarak garis AE kebidang BDHF adalah….

A BCD

HE F

G

8 cmP

3535

PembahasanJarak garis AE kebidang BDHF diwakili olehpanjang AP.(AP AEAP BDHF)AP = ½ AC(ACBDHF) = ½.8√2 = 4√2

A BCD

HE F

G

8 cmP

Jadi jarak A ke BDHF = 4√2 cm

3636

V

W

Jarak Bidang dan Bidangperagaan,

menunjukan jarakantara bidang Wdengan bidang Vadalah panjang ruas garis yangtegak lurusbidang W dantegak lurus bidang V

WJarak Dua Bidang

3737

Contoh 1

Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 6 cm.Jarak bidang AFHke bidang BDGadalah….

A BCD

HE F

G

6 cm

6 cm

3838

PembahasanJarak bidang AFHke bidang BDGdiwakili oleh PQPQ = ⅓ CE(CE diagonal ruang)PQ = ⅓. 9√3 = 3√3

A BCD

HE F

G

6 cm

6 cm

P

Q

Jadi jarak AFH ke BDG = 4√2 cm

3939

Contoh 2Diketahui kubusABCD.EFGHdengan panjangrusuk 12 cm.A B

CD

HE F

G

12 cm

Titik K, L dan M berturut-turutmerupakan titik tengah BC, CDdan CG. Jarak antara bidangAFH dan KLM adalah….

KL

M

4040

Pembahasan•Diagonal EC = 12√3•Jarak E ke AFH =jarak AFH ke BDG =jarak BDG ke C

A BCD

HE F

G

12 cm

Sehingga jarak E ke AFH = ⅓EC =⅓.12√3 = 4√3Berarti jarak BDG ke C juga 4√3

L

4141

A BCD

HE F

G

12 cm

BDG ke C juga 4√3Jarak BDG ke KLM = jarak KLM ke C = ½.4√3 = 2√3

KL

M

Jadi jarak AFH ke KLM = jarak AFH ke BDG + jarak BDG ke KLM = 4√3 + 2√3 = 6√3 cm

4242

SELAMAT BELAJARSELAMAT BELAJAR