Даниел А. Романо: Анализа резултата пријемног теста из...

ISSN 1986–518X ISTRAŽIVANJE MATEMATIČKOG OBRAZOVANJA

http://www.imvibl.org/dmbl/meso/imo/imo2.htm Vol. VI (2014), Broj 10, 5–24

АНАЛИЗА РЕЗУЛТАТА ПРИЈЕМНОГ ТЕСТА ИЗ МАТЕМАТИКЕ

НА МАШИНСКОМ ФАКУЛТЕТА У БАЊОЈ ЛУЦИ ОДРЖАНОГ 01.07.2013.1

Даниел А. Романо

Машински факултет Бања Лука, 78000 Бања Лука, Војводе Степе Степановића 71, БиХ, e-mail: [email protected]

Сажетак: У овом тексту понуђена је анализа задатака и мoтиви избора тих задатака математичког теста на примјеном испиту на Машинском факултету у Бањој Луци школске 2013/14 године. Сем тога, понуђена је анализа успјешности кандидата на том тесту. Циљ овог извјештаја је информисање академске и друштвене јавности о установљеним нивоима математичке писмености тестираних кандидата. Кључне ријечи и фразе: пријемни испит из математике, SOLO таксономија исхода учења Abstract. In this article we give an information about mathematical tasks into entrance examination at the Faculty of Mechanical Engineering at Banja Luka University realized on July 1, 2013. Besides, we give an estimation of established mathematics education levels of candidates. Key words and phrases: mathematics entrance examination, SOLO taxonomy

1. Увод

Тзв. ефект турбуленције испитивања (енглески: backwash effect of examinations) је познати феномен на свим нивоима образовања. Он се може препознати по типичним предиспитним студентским питањима типа: Да ли ће 'ово' бити на испиту? Повезано са претходним, наставничка питања су везана са избором и мотивацијом избора питања / задатака за тај конкретни испит: Због чега би 'ово' питање требало да буде на испиту? Понекад наставници имају добре одговоре на оваква питања. Почесто, задовољавају се одговорима да ће знања покривена 'тим' питањем студентима бити корисна касније. Сасвим природно је поставити питање: Шта је 'то' што би студенти требало да науче јер ће им 'то' касније бити корисно? Описи курсева готово убијек садрже описе тематских подручја о којима би студенти требало научити одређену количину информација. Слиједећа дилема честo није садржана у тим дескрипцијама: Да ли је 'учити како нешто треба радити' исто као 'учити нешто о нечему'? Ради илустрације узмимо примјер кухања. 'Учити кухати' је знатно другачије од 'учити о кухању'. Аналогно, 'причати о подучавању математике' и 'подучавати студенте како треба подучавати математику' и/или 'подучавати студенте матерматику' наравно да није исто. Овај извјештај, ослањајући се на класификацију Шели Креиглер елемената алгебарског мишљења (погледати: [14], Романо, 2009), нивое теорије ван Хиелеових о разумијевања геометрије

1 Текст овог рада је допуњен извјештај о резултатима пријемног испита на Машинском факултету Универзитета у

Бањој Луци што га је аутор поднио менаџменту Факултета.

IMO, Vol. VI(2014), Broj 10 D.A.Romano

6

(погледати: [13], Романо, 2009) и на SOLO таксономију2 пожељних исхода основношколског и средњошколског математичког образовања у нас, нуди промишљање о кандидатским математичким компетенцијама, о досегнутим когнитивним равнима, о развијеним математичким способностима и вјештинама кандидата, о њиховим усвојеним социо – математичким нормама3. На самом почетку овог извјештаја понудићемо промишљање у којем ћемо бар дјелимично одговорити на питање 'Шта су мотиви и разлози за припрему и публиковање овако дизајнираног извјештаја?' Оставимо по страни научни интерес и сагледајмо друштвене консеквенте информација које нуди овакав текст. У нас, у Републици Српској, не постоји никакво екстерно (дакле, независно) процјењивање успјешности математичког образовања свршених ученика основних односно средњих школа. То значи да ни на који начин не можемо стећи увод у исходе тог математичког образовања. Судећи по прикупљеним дјелимичним информацијама посредством анализирања резултата математичких тестова на факултетским пријеним испитима формира се слутња да је већ направљена силазна спирала неповратног урушавања квалитета математичког образовања у нас: Прво: На примјер, на учитељским студијама Универзитета у Бањој Луци, још од оснивања те студијске групе, методику наставе математике предавали су, и још увијек предају, потпуно неодговарајући4 предавачи. Друго: Такво образовани учитељи са врло скромним математичко-дидактичким компетенцијама формирају образовне стандарде / исходе математичког образовања које преузима друштвена али, нажалост, и академска заједница. Треће: У нас не постоји образовање реализатора наставе математике за више разреде, 6-9 разред, основне школе. Те наставнике формирају студијски програми математике и информатике на наша два јавна универзитета као непотпуно5 квалификоване средњошколске наставнике математике без неопходних дидактичких компетенција. Четврто: Средњошколски реализатори наставе математике су под екстремно снажним притиском ресорног министарства али и исконструисаног друштвеног јавног мнијења да не примјењују никакве стандарде у процјењивању успјешности у досезању циљева наставе математике. То за послиједицу има да ученици, али и њихови родитељи, формирају увјерења да су исходи математичког образовања, какви се остварују у већини средњих школа у нас, планска опредјељења ове друштвене заједнице. Тако образовани свршени ученици средњих школа пријављују се за упис на факултете. Овај извјештај је формиран на основу анализирања резултата математичких тестирања двије генерације пријављених кандидата на Машински факултет Универзитета у Бањој Луци. У циљу стицања увода у резултате теста из математике за генерацију кандидата 2012/13 погледати текст [16] (Романо 2013). О задацима на тесту за генерацију кандидата 2013/14, мотивима избора тих задатака али и установљеним нивоима математичких компетенција тих кандидата, биће ријечи у одјељку 4. Тест из математике реализован је 01.07.2013. Требало је да кандидати понуде прихватљиве одговоре на десет питања/задатака. Питања, контекстуални задаци и задаци дизајнирани су тако да омогуће идентификацију математичких способности и вјештина за које процијењујемо да би требало да кандидати посједују да би били у стању да прате и учествију у наставном

2 О SOLO таксономији погледати, на примјер, текстове [1] (Arnold, 1996), [2] (Atherton, 2005), [3] (Claus Brabrand and

Bettina Dahl, 2009) и [4] (Biggs and Collis, 1982). 3 O теоријском конструкту 'социо-математичке норме' могу се погледати текстови: [10] (Црвенковић и остали, 2012)

и [11] (Марковић и Романо, 2013) 4 Под термином 'неодговарајући предавачи' подразумијевамо наставника који своје додипломско академско

образовање није стекао на студијама математике, а постипломске студије и докторске студије није окончао у домени Дидактике математике или домени Истраживање матемаичког образовања. Под тим, такође, мислимо на универзитетске наставнике који нису потврдили своје компетенције публикујући научне чланке у неком од међународно верификованик часописа у домени Истраживања математичког образовања.

5 Под термином ‘непотпуно квалификоване ...' мисли се на систем школовања наставника математике за више разреде основне школе по истом програму као средњошколски наставници математикe само без четврте године. Ти студенти и полазници програма за образовање средњошколских наставника математике слушају исти курс методике наставе. Овакав концепт образовања наставника математиек није компатибилан са искуствима у школовању таквих наставника многих земаља Европе и свијет који имају дужу традицију образовања од наше.


7

процесу академских математичких курсева широког спектра. Будући да су установљени нивои математичке писмености, овладани алати математичког и логичког мишљења али и неопходне математичке вјештине врло скромни, овај извјештај, осим што је подлога за дијалог на тематској сједници Наставно-научног вијећа Машинског факултета, требало би да буде и подстицај друштвеној и академској заједници (нпр. Друштву математичара Републике Српске) да захтијева од ресорних институција (на примјер: Министарства просвјете и културе Републике Српске, колегија директора основних и средњих школа Републике Српске, Републичког педагошког завода Републике Српске, Сената Универзитета у Бањој Луци, и других који имају утицаја на провођење политике образовања) у нас да се отвори академска расправа о досезању међународно препознатљивих стандарда математичког образовања у нашем образовном систему.

2. Припремна настава6

У намјери да једнократно утиче на квалитет математичког образовања у нас, менаџмент Машинског факултета у Бањој Луци одобрио је организовање тзв. припремне наставе математике за пријављене кандидате. У овом дијелу укратко ћемо описати реализавију припремне наставе математике коју је оранизовао Факултет прије пријемног тестирања. Настава је реализована током три седмице, петком и суботом по три школска сата. Дакле, укупно 18 сати. За припремну наставу пријавило се нешто више од 90 кандидата од којих је редовно наставу посјећивало нешто између 70 и 80 полазника. Припремна настава реализоана је провјежбавањем задарака из одговарајуће збирке плански предвиђене за ову намјену. Збирка садржи слиједеће области: 1. Полиноми и алгебарски изрази; 2. Линеарне једначине и неједначине са једном непознаницом; 3. Размјере и пропорције; 4. Системи линеарних алгебарских једначина; 5. Степени цјелобројног изложиоца, коријени и комплексни бројеви; 6. Квадратне једначине и неједначине; 7. Експоненцијалне и логаритамске једначине и неједначине; 8. Тригонометрија; и 9. Површине и запремине. За сваку од наведених области реализатор наставних садржаја направио је и кратак теоријски увод са онолико података колико је, према његовом мишљењу, било неопходно да се разумију рјешења задатака. Детаљно је образложен поступак рјешавања линеарне једначине ax = b (a, b R) и различите случајеве који могу наступити у зацисности од параметара a, b. У дијелу о квадратним функцијама, једначинама и неједначинама детаљно су објашњени неопходни детаљи (улога најстаријег коефицијента и дискриминанте и томе слично). У дијелу о експоненцијалним и логатирамским функцијама, једначинама и неједначинама кандидатима је пружена могућност да се подсјете осим дефиниција тих функција и неких важних њихових особина (нпр. инјективности) већ и како се те особине користе код рјешавања неједначина али и поступци који битно зависе од база кориштених експоненцијалних односно логаритамских функција. Према понуђеним информацијама реализатора ове припремне наставе, осим задатака из поменутих области, рјешавани су и задаци са пријемног испита из претходне школске 2012/13 године.

3. SOLO таксономија SOLO таксономија се темељи на проучавању исхода наставе. Акроним SOLO je скраћеница “Structure of the Observed Learning Outcome”. Таксономски термини и у вези с њима разликовање пет различитих нивоа који одговарају когнитивним процесима за досезање тих новоа чине: SOLO описује једну хијерархију гдје свака парцијална конструкција (ниво) постаје темељ на којем додатно учење може бити изграђено. (Biggs, 2003, стр. 41). SOLO се може користити за детерминисање 'планираних исхода учења', облика наставе који их подржавају, облика процјена којима се прави евалуација досезања циљева наставе. Он је развијен у намјери остваривања независног увида у досегнуте пожељне исходе учења. Тих пет новоа су слиједећи (Biggs and Collis, 1982, стр. 17-31; Biggs, 2003, стр. 34-53; Biggs and Tang, 2007, стр. 76-80; [8] Brabrand and Dahl, 2008): 6 Захваљујем се колеги Александру Јањићу на информацијама о организацији и реализацији припремене наставе.


8

SOLO 1: "Предструктурни ново“ На овом нивоу особа показује недостатак било какве врсте разумијевања, користи неважне информације или их, чак, потпуно изоставља. Неке спорадичне информације, без икакве њихове међусобне повезаности у неку структуру, могу вити смјештене у посматране когнитивне равни у одговарајућем дијелу који се односи на пожељни домен. Сматра се да ученик може рјешавати линеарно једноставне задатке. SOLO 2: "Уни-структурални ниво" Особа, за коју процјењујемо да се налази на нивоу SOLO 2, може експонирати разумијевање са тзв. једнодимензионим проблемима, може уочавати међусобне односе елемената тог проблема само са једног аспекта. Сматра се да таква особа може скоро успјешно користити коресподентну терминологију, може успјешно репродуковати прочитани материјал, реализовати једноставне упуте, тј. примјењивати једноставне алгоритме, обављати аритметичке операције, идентификовати објекте, и томе слично. Сматра се да ученик може рјешавати линеарно сложене проблеме / задатке. SOLO 3: "Mулти-структурални ниво" На овом нивоу ученик се може ности са више аспеката при чему добијене резултате примјене тих различитих приступа третира као међусобно независне. Метофорички говорећи, студент види више стабала али не види шуму. За особу за коју процјењујемо да је на овом нивоу овладаних знања, способности и вјештина процеса образовања процјењује се да може са доста успјеха набрајати објекте (уочавајући шеме по којим је то набрајање организовано), описивати својства објеката и њихових конструктивних елемената, правити класификације према једном или више предиката, успјешно примјењивати стратегије рјешавања, разумијевати структуре, и томе слично. Сматра се да ученик може рјешавати нелинеарно сложене проблеме / задатке. SOLO 4: "Релациони ниво" На новоу четри, ученик може разумијети међуодносе између неколико апската те како добивене информације примјењујући те различите аспекте може уградити у цијелину. Способан је ра разумијевање форми, структура. Метафорички говорећи, ученик интроспективним увидом разумије да много стабала чини шуму. Особа, за коју процјењујемо да је на новоу SOLO 4 способна је правити компарације, уочавати међусобне односе подструктура неке структуре, анализирати те међуодносе, примјењивати теоријска рјешања у практичним ситуацијама, успјешно објашњавати везе између узрока и последица неког процеса, и томе слично. Сматра се да особа на том нивоу може са доста успјеха рјешавати нестандардне проблеме / задатке. SOLO 5: "Апстактни ниво" На овом нивоу, особа може правити уопштавања и генерализације структура, може посматрајући концепте структуре са различитих аспеката не само прености те концепте на друга подручја већ их и употпуњавати. Сматра се да таква особа посједује способности и вјештине изградње генерализација концепата, анализирања хипотетичких структура, разумијевања унутрашње организације структура те конструкције и исправног изношења новоформираних тврђења. Сматра се да особа на том нивоу може са доста успјеха самостално конструисати нове структуре / конструкције.

4. Задаци, мотиви избора тих задатака и анализа успјешности кандидата

За математички тест изабрано је, или су намјерно дизајнирани, 10 питања и задатака. Свако питање / задатак вредновано је са 5 индексних поена. У овом дијелу изложени су мотиви избора / дизајнирања ових питања / задатака, начин вредновања понуђених кандидатских одговора на та питања уз пратеће коментаре анализатора.

Задатак 1. (Утврђивање нивоа аритметичког мишљења)


9

Ако имаш суд од 10 литара и суд од 3 литара запремине (и ништа више), измјери тачно 8 литара воде. Рјешење: Ако се смију употребљавати само поменута два суда, рјешење овог задатка је, на примјер, слиједеће (Осим овог рјешења, могућа су и нека друга рјешења.): Први корак: Наспемо суд од 10 литара водом. Други корак: Из већег суда пресимамо воду у мањи суд – тачно 3 литра. Трећи и четврти корак: Поновимо претходни поступак. У великој посуди остане 1 литар воде. Пети корак: Преосталу воду, 1 литар воде, преспемо у мали суд. Дакле, у мали суд се још може насути 2 лита воде. Шести корак: Наспемо поново воду у суд од 10 литара. Седми корак: Из великог суда преспемо у мали суд воде тако да га напунимо, тј. да у њему буде 3 литра воде. Како је у малом суду већ био 1 литар воде, можемо додати још само 2 литра воде. Тако у великом суду остане тачно 8 литара воде.

Аналитичко сагледавање окружења овог задатка: Задатак је облика 10x + 3y = 8, при чему су варијабле x и y цијели бројеви. Дакле, треба наћи (по могућности, најмање) цијеле бројеве x и y такве да је задовољена једнакост 10x + 3y = 8. Ово значи да у цјелобројној мрежи треба одредити чворове те мреже тако да леже на правој 10x + 3y = 8. У овом случају, имамо стратегију:

10л (велика посуда) – 3 пута по 3л (мала подуда) = 1л (остатак у великој посуди) 1л (вода из велике посуде) – 3л (капацитет мале посуде) = -2л (неискориштени капацитет мале посуде)

10 (велика посуда) – 2л (попуњавање капацитета мале подуде) = 8л.

Успјешност / бодови 0 2.5 5 Укупно Број кандидата 51 58 1 22 132 Проценат 38.67% 43.94 0.76 16.67 100.00%

Легенда: Успјешност значи да кандидат није ни покушао да понуди рјешење задатка. Успјешност 0 значи да су информације које је кандидат понудио као рјешење задатка биле потпуно неприхватљиве. Анализа. Задаци овог типа су плански предвиђени као алати за подстицај развоја рано - аритметичког мишљења код ученика нижих разреда основне школе. То су класични задаци реалних сутација. Mотивација за укључивање овог задатка у тест, процјељујемо, била је утврђивање вјештина анализирања могућег реалног проблема и проналажење стратегија за његово рјешавање. Врло изненађујуће је да преко 82% кандидата није понудило прихватљиво промишљање о овом проблему скромне сложености. Будући да је оваква врста задатака плански предвиђена за дјецу узраста од 7-11 година са врло скромним животним искуствима, уз знатно изненађење овај истраживач математичког мишљења средњошколаца прихвата овај установљени ниво рано-аритметичког мишљења средњошколаца. Будући да је рјешење овог аритметичког задатка линеарно сложено, процјењујемо да се рјешење овог задатка може класификовати као уни-структурални ниво.

Задатак 2. (Утврђивање нивоа вишег аритметичког мишљења)

За боцу и запушач је плаћено 11 КМ. Колико је плаћен запушач, ако је боца скупља за 10 КМ од запушача? Рјешење: Означимо са b цијену боце и са z цијену запушача. Према условима задатка, имамо: (а) Боца и запушач заједно су плаћени 11 КМ: b + z = 11, (б) Боца је скупља од запушача за 10 КМ: b = z + 10. Добили смо систем од двије једначине са двије непознанице.

b + z = 11, b = z + 10. Ако другу једначину, једначину (б), уврстимо у прву једначину, једначину (а), добијамо

(z + 10) + z = 11, т.ј.

2z = 1. Одавде слиједи да је z = ½ КМ и, према томе, b = 10.5 КМ.


10

Напомена уз задатак. Овим задатком, а посебно рјешењима овог задатка које нуде студенти, добро се илуструје однос између интуитивног приступа рјешавању задатака и аналитичког приступа рјешавању задатака.

Успјешност / бодови 0 2.5 4 5 Укупно Број кандидата 12 45 3 2 70 132 Проценат 9.09% 34.09% 2.27% 1.52% 53.03%

Легенда: Успјешност значи да кандидат није ни покушао да понуди рјешење задатка. Успјешност 0 значи да су информације које је кандидат понудио као рјешење задатка биле потпуно неприхватљиве. Анализа. Задаци овог типа, унутар Теорије реалистичког математичког образовања, омогућавају установљавање приступа сагледавања проблема са којима се кандидати сусрећу. Овај задатак је аритметички задатак ниске сложености – то је линеарно сложени задатак. Његов дизајн омогућава сагледавање начина на који кандидати приступају аритметичким проблемима: да ли проблему приступају аналитички или интуитивно. Преко 43% кандидата, према резултатима теста, није се потрудило да уопште размишља о проблему већ је понудило одговор на постављено питање интуитивно (тј. без размишљања). Наравно, прво је требало извршити поступак 'ленеарне математизације, тј. требало је моделитари проблем, осносно „превести га“ из контекстуалне приче у математички задатак (систем једначина) а потом провести ветрикалну математизацију, тј. ријешти припадни систем линеарних једначина. Поента са оваквим приступом рјешавању проблема није у понуђеном погрешном рјешењу проблема већ у увјерењу кандидата да својим стеченим компетенцијама могу да пронађу рјешење без претходног промишљања. Овакав приступ проблемима, тзв. интуитиван приступ, сугерише нам да неке од усвојених социо-математичких норми које се односе на вјештине рјешавања проблема нису у складу са општеприхваћеним циљевима образовања.

Задатак 3. (Утврђивање развоја аритметичко-раноалгебарског мишљења рјешавањем аритметичких контекстуалних задатака)

588 путника мора се превести из једног мјеста у друго ради чега ће путници користити два различита воза. Једна композиција садржи само вагоне од 12 мјеста, док се у другој композицији налазе само вагони са 16 мјеста. Претпоставимо да овај последњи воз има осам вагона више него прва композиција. Колико вагона најмање треба да имају обје композиције да би се сви путници превезли? Рјешење: Означимо са x број вагона прве композиције, а са y означимо број вагона друге композиције. Према условима задатка, имамо:

x, y N 12 x + 16 y 588

y = x + 8 Ако из (друге) једначине вриједност варијабле y уврстимо у (прву) неједначину, добијамо

12 x + 16(x +8) 588 12 x + 16 x + 128 588 28 x 588 – 128 = 460 x x

Ако је x број вагона првог возатада је y = x + 8 = 17+8 = 25 број вагона другог воза. Дакле, оба воза могу превести 1217 + 1625 = 204 + 400 = 604 путника што је више од потребник 588 мјеста за 16 мјеста тј. више је за један читав вагон друге композиције. Напомена. Ако би смањили другу композицију за 1 вагон, према условима задатка смањили би и прву композицију такође за 1 вагон. У овом случају број мјеста би био

12(17-1) + 16(25-1) = 192 + 384 = 576 што је недовољно за превоз свих питника. Дакле, иако би концепт 'прва композиција од 17 вагона и друга композиција од 24' био довољан за превоз свих 588 путника јер је


11

1217 + 1624 = 204 + 384 = 588 рјешење x и y = 24 овог задатка, које су понудили неки од кандидата, ипак није прихватљиво јер је 17+8 = 25 24.

Успјешност / бодови 0 2.5 4 5 Укупно Број кандидата 32 38 13 6 43 132 Проценат 24.24% 28.79% 9.89% 4.55% 32.58%

Легенда: Успјешност значи да кандидат није ни покушао да понуди рјешење задатка. Успјешност 0 значи да су информације које је кандидат понудио као рјешење задатка биле потпуно неприхватљиве. Анализа. Задатак овог типа је нелинеарно сложени аритметички задатак. Будући за његово рјешавање захтијева разумијевање концепта 'математичког окружења' и концепата 'једначина и неједначина' поступак рјешавања задатка благо приближава овај задатак домени алгебре. Зато је разврстан у категорију аритметичко-раноалгебарских задатака. Типови ових задатака су класични задаци унутар Теорије реалистичког математичког образовања. Зато се очекивала висока успјешност у понуђеним одговорима на ово питање. На жалост, преко 53% кандидата или није понудило никакве информације (24.24%) или је понудило потпуно неприхватљиве информације (28.79%) као рјешење овог питања. Осим поступка моделирања, тј. превођења контекста у математички систем једне неједначине и једне једначине у полупрстену природних бројева требало је узимати у обзир и услове (друга композиција има 8 вагона више од прве композиције) под којима је требало пронаћи рјешење проблема. Наравно, рјешавање овог проблема спада у уни-структурални ниво (у дијелу у коме се рјешава систем од једне једначине и једне неједначине) али и у мулти-структурни ниво (у дијелу линеране математизације и процјењивања квалитета добијеног рјешења).

Задатак 4. (Утврђивање постојања логичких алата)

Дата је тврдња: 'Ако је квадрат неког природног броја паран, тада је и сам тај број паран'. Одредити:

(4.1) Хипотезу ове импликације. (4.2) Консеквент импликације. (4.3) Обрат ове импликације. (4.4) Контрапозицију дате импликације. и (4.5) Докажи контрапозицију. Рјешење: Ако са А означимо изјаву 'Квадрат неког природног броја је паран.' , а са B изјаву 'Природан број је паран.', тада дату изјаву

'Ако је квадрат неког природног броја паран, тада је и сам тај број паран'. можемо записати у облику

A B. Дакле, (а) хипотеза ове импликације је изјава А:

Квардат природног броја је паран. (б) консеквент / подљедица ове импликације је изјава B:

Природан број је паран. (в) обрат импликације A B је импликација B A:

Ако је природан број паран, тада је и квадрат тог броја паран број. (г) контрапозиција импликације A B је импликација B A:

Ако природан број није паран, тада и квадрат тог броја није паран број. или

Ако је природан број непаран, тада је и квадрат тог броја непаран број.

(д) Нека је природан број n непаран. (За природан број кажемо да је паран, ако је дјељив бројем 2. За природан број кажемо да је непаран ако није дјељив бројем 2. 'Природан број је паран или непаран.' и 'Природан број не може истовремено бити паран и непаран.') Тада га можемо записати у облику n = 2m – 1 (на примјер, за m = 1, добија се непаран број 1; за m = 2, добија се непаран број 3, за m = 3, добија се


12

непаран број 5, и тако даље ...) или n = 2m+1 (у овом случају обухваћени су непарни бројеви 3, 5, и тако даље,...). Доказ Аргументација Природан број n је непаран. Хипотеза n = 2m – 1 Репрезентација непарног броја. n = 2m – 1 n2 = (2m – 1)2 = 4m2 – 4m + 1 = 2(2m2 – 2m) + 1 Квадрирање броја n Број n2 има форму 2q+1 (за неки број q = 2m2 – 2m ) Препознавање репрезентације Број n2 је непаран природан број. Закључак. Шта је важно у овом задатку? Прво. Концепти парног (Природан број је паран ако је дјељив бројем 2. Дакле, у првој декади, бројеви 2, 4, 6, 8 су парни бројеви) и непарног природног броја (Природан број је непаран природан број ако није дјељив бројем 2. Дакле, бројеви 1, 3, 5, 7, 9 су непарни бројеви у првој декади). Друго. Концепти парног и непарног природног броја у уређеном полупрстену (N,=,+,,1,) природних бројева задовољава слиједеће логичке законе: (1) Закон искључења трећег: Природан број је паран или непаран. и (2) Закон неконтрадикције: Природан број не може истовремено бити паран и непаран. То су алати логичког мишљења које желимо да провјеримо да ли су студенти усвојили. Треће. Вјештине које желимо да утврдимо да ли студенти владају су препознавање парних и непарних природних бројева – ро је вјештина препознавања репрезентација конкретних математичких концепата: Ако се двоцифрен број завршава са 0, или парним бројем, тада је он паран број. Ако се двоцифрен врој завршаца непарним бројем, тада је тај број непаран број. Четврто. Вјештина претстављања, али и вјештина препознавања тих репрезентација, концепата парних и непарних природних бројева у уређеном полупрстену (N,=,+,,1,) природних бројева је пожељна компетенција. Пето: Ми, у суштини, не утврђујемо ваљаност импликације

'Квадрат неког природног броја паран Сам тај број је паран', већ, кориштењем контрапозиције, будући да су логички еквивалентне, утврђујемо ваљаност импликације

Природан број је непаран Квадрат тог броја је непаран. Шесто: Прихватање тврдње 'Квадрат неког природног броја је паран Сам тај број је паран', али и познавање и разумијевање њеног доказа неопходно је за извођење доказа да једначина x2 – 2 = 0 нема рјешење (погледати Задатак (6.3)) у уређеном пољу (Q,+,0,,1,) рационалних бројева, тј. да коријен броја 2 није рационалан број.

Успјешност / бодови 0 Укупно Број кандидата 128 4 132 Проценат 96.97% 3.03% 100%

Легенда: Успјешност значи да кандидат није ни покушао да понуди рјешење задатка. Успјешност 0 значи да су информације које је кандидат понудио као рјешење задатка биле потпуно неприхватљиве.

Анализа. Са садржајима укљученим у ово питање и очекиваним одговорима на њих ученици средњих школа се сусрећу у првом разреду. Утврђена успјешност у рјешавању овог задатка сугерише нам да кандидати уопште не владају елементима логичког вокабулара који је требало да су овладали окончањем средње школе. Мишљења смо да би требало да је установљени ниво логичких алата тестираних кандидата експонираних нуђењем одговора на питања овог задатка потпуно неприхватљив за академску заједницу: потпуни изостанак термина и појмова покривених тим терминима из здраво-разумског вокабулара тестираних кандидата отвара знатан број питања о квалитету математичког образовања у нас. Једно од важнијих је: Да ли је нас образовни систем одустао од подстицаја развоја логичког и математичког мишљења код ученика средњих школа? О неопходним логичким алатима којима би требало да су обладали свршени ученици средњих школа мање информисан читалац може погледати у текстовима [6] (Боричић и остали, 2010) и [7] (Боричић и остали, 2012). Код кандидата који су тестирани идентификовано је потпуно одсуство основних логичких појмова из њиховог властиотог рјечника. Правила закључивања, као што су на примјер, modus


13

ponens, modus tollens, контрапозиција или и Аристтелови силогизми, нису могла да се идентификују унутар тзв. здраворазумског резоновања тестиране популације. Наравно, одговори на ово питање спадају у уни-структурални ниво (Задаци (4.1) и (4.2)), мулти-структурални ниво (Задаци (4.3) и (4.4)) и у релацијски ниво (Задак (4.5)).

Задаци 5, 6 и 7.

У задацима 5, 6. и 7. кандидатима су понуђена питања везана за установљавање рјешивости линеарних и квадратних једначина и неједначина у различитим окружењима: у уређеном прстену (Z,+,0,,1,) цијелих бројева, у уређеном пољу (Q,+,0,,1,) рационалних бројева и у уређеном пољу (R,+,0,,1,) реалних бројева. Прво, на когнитивном нивоу, занимало нас је да ли кандидати разумију концепте поменутих алгебарских структура. Занимало нас је и разумијевање слиједећих специфичних подскупова тих структура: Ако је са (S,означен уређени скуп, тј. носач било које од поменутих алгебарских структура, занимало нас је да ли кандидати разумију концепте подскупова: {a,b} – неуређени пар објеката скупа S; (а,b) – уређени пар објеката скупа S; a,b S{xS: a < x < b} (интервал);a,b S{x S: a x b} (сегмент), те подскупова a,bS{x S: a < x b}, a,bS{x: a x < b} у поменутим алгебарским уређеним структурама, те вјештине репрезентовања горе побројаних концепата подскупова, које колоквијално називамо 'размаци', у тим различитим алгебарским структурама. Друго, у домену алгебарског мишљења, жељели смо да се освједочимо о постојању вјештина рјешавања једначина и неједначина у различитим окружењима. Занимале су нас алгебарске вјештине рада са неједнакостима: (1) занимало нас је да ли кандидати препознају математички концепт рјешивости једначина и неједначина у различитим бројевним окружењима; (2) занимао нас је однос кандидата према концептима неједнакости, тј. да ли кандидати разумију концепте сагласности операција адиције и мултипликације у поменутим алгебарским структурама са релацијам уређења у тим структурама. Наравно, одговори на ова три питања разврставамо на слиједећи начин:

- уни-структурни ниво: задаци (5.1), (5.2) и (7.3); - мулти-структурни ниво: задаци (5.3), (5.5), (5.6), (6.1), (6,2), (7.1), (7.2);

- релациони ниво: задаци (5.4), (5.7) – у дијелу аko je ab

(a 0) цијели број, (6.3) – у дијелу изношења тврђења да не постоји рационалан број x такав да је његов квадрат x2 једнак 2, (6.4) и (7.4);

- апстрактни ниво: задаци (5.7) – у дијелу аko je ab

(a 0) није цијели број и (6.3) – у дијелу конструисања доказа да не постоји рационалан број x такав да је његов квадрат x2 једнак 2.

Задатак 5. (Утврђивање нивоа алгебарског мишљења – развој вјештина рјешавања једначина и неједначина у заданом окружењу – у уређеном прстену цијелих бројева)

У уређеном прстену (Z,+,0,,1,) цијелих бројева ријеши слиједеће једначине и неједначине

(5.1) x + 7 = 3, (5.2) 3x – 6 = -x + 2, (5.3) 7x +5 = 3, (5.4) ax + b = c (a, b, cZ).

(5.5) -5x 12, (5.6) -3(x-1) 6. (5.7) ax b (a,bZ) Рјешење: (5.1) x + 7 = 3, (5.2) 3x – 6 = -x + 2, (5.3) 7x +5 = 3, (5.4) ax + b = c (a, b, cZ) x = 3 – 7 3x + x = 6 + 2 7x = 3 – 5 ax = c – b x = - 4 Z 4x = 8 7x = - 2 (i) Нека је a 0. Тада је x = 8 : 2 x = -2 : 7 x = (c – b) : a

x = 2 Z x = 72

Z (ii) Aко је a = 0, имамо


14

0 = 0 x = c – b У случају да је c = b, имамо 0 x = 0 што је тачно за свако xZ. Закључци: Једначине (5.1) и (5.2) имају рјешења у прстену (Z,+,0,,1) цијелих бројева. Jедначина (5.3) нема рјешења у прстену (Z,+,0,,1) цијелих бројева. Jедначина (5.4), aко је a = 0 и b = c има рјешење у прстену (Z,+,0,,1) цијелих бројева. Aко је a 0, тада једначина (5.4) има рјешење у прстену (Z,+,0,,1) цијелих бројева за све цијеле бројеве a, b, c за

које је acb Z . За вијеле бројеве a, b, c за које је a

cb Z jeдначина (5.4) нема рјешења у прстену

(Z,+,0,,1) цијелих бројева. У уређеном прстену (Z,+,0,,1,) цијелих бројева стратегије рјешавања неједначина су, на примјер, слиједеће: (5.5) -5x 12, (5.6) -4(x-1) < 6. (5.7) ax b (a,bZ) -5x 12 : (-2) -4(x-1) < 6 : (-4) ax b : a (a 0, a,bZ)

x - 5

12 Z x – 1 > -

46

Z x ab

(a > 0), x ab

(a < 0)

x{-, ..., -5, -4, -3} x > 1-46

= -21 Z Ako je a

b (a 0), цијели број, тада

x{0, 1, 2, ... +} неједначина (5.7) има за рјешење скупове

x{-, ..., ab

} (aкo je a > 0)

x{ ab

, ..., +} (aкo je a < 0).

Нека ab

(a 0) није цијели број. Ако са ab означимо први цијели број мањи од a

b (a > 0), тада

неједначина (5.7) има за рјешење скуп {-, ..., ab }. Ако са a

b означимо први цијели број већи од a

b

(a < 0), тада неједначина (5.7) има за рјешење скуп { ab, ..., +}.

Aко je a = 0, неједначина (5.7) има облик 0 = 0 x b што је могуће само ако је b ненегативан цијели број. У овом случају, рјешење неједначине (5.7) је било који цијели број. Aкo je a = 0 и b < 0, тада неједначина (5.7) нема рјешења.

Успјешност / Бодови

(1)

0 (1)

0.1-1.5 (1)

1.51-2.5 (2)

2.51-3.5 (3)

3.51-4.5 (4)

4.51-5 (5)

Укупно

Број кандидата 6 3 15 73 16 12 7 132 Проценат 4.55% 2.27% 11.36% 55.3% 12.12% 9.09% 5.3%

Легенда: Успјешност значи да кандидат није ни покушао да понуди рјешење задатка. Успјешност 0 значи да су информације које је кандидат понудио као рјешење задатка биле потпуно неприхватљиве. Потпуно прихватљиво урађен задатак носи 5 бодова. Сваки од седам прихватљиво урађених дијелова носи по 5/7 бодова. Постојала је могућност да се вреднује и половина сваког од седам дијелова задатка – то је вредновано са 5/14 бодова. Због великог броја могућих опција вредновања, приказани резултати су разврсзани у кластере према устаљеним нормама у средњим школама. 24 кандидата (тј. 18.18%) није понудило ни један исправан одговор на питања овог задатка; 73 кандидата (тј. 55.3%) понудило је прихватљива рјешенја за задатке (5.1), (5.2) и (5.3). док на остале дијелове задатка није понудило никакве информације или су понуђене информације биле потпуно неприхватљиве. Само 19 кандидата (тј. 14.40%) експонирало је да влада вјештинама рјешавања линеарних алгебарских неједначина. Показало се да проблем претстављају концепти сагласности релација уређења и агебарске операције множења (и, наравно, алгебарске радње дијељења). Неки од студентских концепата који доводе до погрешних рјешења су:


15

Примјер 1. -5x 12, -4(x-1) < 6. -5x 12 : (-2) -4(x-1) < 6 : (-4)

x - 5

12 x < -21

У овом случају, кандидат показује да нема способност препознавања релација поретка '' и '<' у уређеном прстену (Z,+,0,,1,) цијелих бројева нити препознаје / зна међусобне односе ових релација поретка и операција адиције и мултипликације (али и математичке радње одузимања) те да не влада вјештинама рјешавања неједначина у овом уређеном прстену. Примјер 2. -5x 12 -4(x-1) < 6 ... ...

x - 5

12

x > -21

x(-, - 5

12 x(- 5

12 +)

У овом примјеру, кандидат, иако исправно примјењује стратегије рјешавања неједначина, експонира да не препознаје концепте објеката {a,b}, (а,b), a,ba,b{a,b} је двочлани скуп који се састоји од објеката а и b; (2) (а,b) је уређени пар објеката а и објекта b: (а,b) = {{a},{a,b}}; (3) a,bје интервал у уређеном пољу (R,+,0,,1,) реалних бројева: a,b{xR: a < x < b}; (4) a,bје сегмент у уређеном пољу (R,+,0,,1,) реалних бројева: a,b{xR: a x b}. Овакве ознаке су резервисане за означавање наведених скупова и не могу се користити за означавање других математичких ентитета.

Задатак 6. (Утврђивање нивоа алгебарског мишљења – развој вјештина рјешавања једначина и неједначина у заданом окружењу – у уређеном пољу рационалних бројева)

У уређеном пољу (Q,+,0,,1,) рационалних бројева ријеши јеначине и неједначине

(6.1) -5x 12, (6.2) -4(x-1) 6. (6.3) x2 – 2 = 0. (6.4) ax b (a,bZ) Рјешење: У уређеном пољу (Q,+,0,,1,) рационалних бројева стратегије рјешавања постављених задатака су, на примјер, слиједеће: (6.1) -5x 12, (6.2) -4(x-1) < 6. (6.4) ax b (a,b Q) -5x 12 : (-2) -4(x-1) < 6 : (-4) a x b : a (a 0, a,b Q)

x - 5

12 Q x – 1 > -46 Q x a

b (a > 0), x a

b (a < 0)

x-,- 5

12 Q x-46 , +Q

чему су чему вриједи а,bQ = а,b Q.

Aко je a = 0, неједначина има облик 0 = 0 x b што је могуће само ако је b ненегативан рационалан број. У овом случају, рјешење неједначине (6.4) је било који рационалан број. Aкo je a = 0 и b < 0, тада неједначина (6.4) нема рјешења. Једначина (6.3) x2 – 2 = 0, будући да је еквивалентна са једначином (6.3') x2 = 2, нема рјешења у уређеном пољу (Q,+,0,,1,) рационалних бројева јер не постоји рационалан број чији је квадрат једнак 2 (Како ми то знамо? ) Успјешност / Бодови

0 1.0 1.25 1.78 2.5 3.75 5 Укупно

Број кандидата 23 66 1 16 1 23 2 0 132 Проценат 17.42% 50.0% 0.76% 12.12% 0.76% 17.42% 1.52% 0.0% Легенда: Успјешност значи да кандидат није ни покушао да понуди рјешење задатка. Успјешност 0 значи да су информације које је кандидат понудио као рјешење задатка биле потпуно неприхватљиве. Потпуно прихватљиво урађен задатак носи 5 бодова.


16

Да би рјешили задатак (6.3) у потпуности требало је да кадидати понуде доказ да не постоји рационалан број x такав да је његов квадрат x2 једнак 2. Доказ ове тврдње уобичајено се изводи контрапозицијом - довођењем до противрјечности претпоставке: Претпоставимо да постоји рационалан број x чији је квадрат x2 једнак 2. У том доказивању на једном мјесту се користи тврдња задатка 4: 'Ако је квадрат неког природног броја паран, тада је и сам тај број паран'.

Претпоствимо да постоји рационалан број x = ab

(а и b су релативно прости природно бројеви ) такав да

је x2 = )(ab 2 Taда би имали x2 =

2

2

ab = 2, одакле би слиједило да за природне бројеве а и b вриједи

b2 = 2a2 . Ову последњу једначину интерпретирамо на слиједећи начин: Квадрат природног броја b је паран природан број. Ослањајући се на Задатак 4, закључујемо да је и сам број b паран број. Дакле, може се претставити у облику b = 2c за неки природан број c. Даље, имам ли би 4c2 = 2a2, тј. имали би a2 = 4c2 што значи да је и квадрат природног броја а такође паран број. Одавде би опет слиједило да је и сам број а такође паран број тј. морао ни имати репрезентацију у облику а = 2d за неки природан број d. Овим би добили класичну контрадикцију: Природни бројеви а и b су релативно прости и, истовремено, као последицу претпоставке 'постоји рационалан број x чији је квадрат x2 једнак 2' имају репрезентације b = 2c и а = 2d што би значило да нису релативно пости природни бројеви. Добивена контрадикција обара претпоставку 'постоји рационалан број x чији је квадрат x2 једнак 2'. Према томе, доказали смо позивањем на контрапозицију, трдњу Не постоји рационалан број x чији је квадрат x2 једнак 2'. Уочени проблеми су:

(1) Непрепознавање концепата релација поретка '' (и њеног инверза '') и '<', њихових особина у уређеном пољу (Q,+,0,,1,) рационалних бројева;

(2) Непосједовање вјештина рјешавања неједначина у уређеном пољу (Q,+,0,,1,) рационалних бројева, тј. не препознавање међусобних односа ових релација са операцијама (и њиховим инверзима) адиције и мултипликације у уређеном пољу (Q,+,0,,1,) рационалних бројева;

(3) Неразумијевање фундаменталног својства уређеном поља (Q,+,0,,1,) рационалних бројева: постоје одозго (одоздо) ограничени подскупови у Q који немају супремум (инфимум) у Q. Дакле, постоје једначине које у уређеном пољу (Q,+,0,,1,) рационалних бројева немају рјешење. У овом случају, кандидати експонирају да не разликују концепте објеката

a,bQ{x Q: a < x < b}a,bQ{x Q: a < x b}a,bQ {x Q: a x < b}a,bQ{x Q: a x b}

од објекатаa,ba,ba,ba,bреспективно.

Задатак 7. (Утврђивање нивоа алгебарског мишљења – развој вјештина рјешавања једначина и неједначина у заданом окружењу – у уређеном пољу реалних бројева)

У уређеном пољу (R,+,0,,1,) реалних бројева ријеши јеначине и неједначине

(7.1) -5x2 12, (7.2) -4(x-1)2 6. (7.3) x2 – 2 = 0. (7.4) ax2 b (a,b R) Рјешење: У уређеном пољу (R,+,0,,1,) реалних бројева стратегије рјешавања постављених задатака су, на примјер, слиједеће: (7.1) -5x2 12, (7.2) -4(x-1)2 < 6. (7.4) ax2 b (a,b R) -5x2 12 : (-2) -4(x-1)2 < 6 : (-4) ax2 b : a (a 0, a,b R)

x2 - 5

12 (x – 1)2 > -46 (а) x2 a

b (a > 0), (б) x2 a

b (a < 0)

x x R Aко је b < 0, тада неједначина (а) нема рјешења, тј. тада је x

Aко је b > 0, тада је неједначина (а) еквивалентна неједначини -ab x

ab .


17

Aко је b < 0, тада неједначина (б) има за рјешење читав скуп R. Aко је b > 0, тада је неједначина (б) еквивалентна дисјункцији неједначина x -

ab x

ab .

Aко je a = 0, неједначина (7.4) има облик 0 = 0 x b што је могуће само ако је b ненегативан реалан број. У овом случају, рјешење неједначине (7.4) је било који реалан број. Aкo je a = 0 и b < 0, тада неједначина (7.4) нема рјешења. Једначина (7.3) x2 – 2 = 0, будући да је еквивалентна са једначином (7.3') x2 = 2, има рјешења у уређеном пољу (R,+,0,,1,) реалних бројева јер постоје реални бројеви 2

и - 2

чији је квадрат

једнак 2. Успјешност / Бодови

0 0.56 0.625 0.83 1.15 1.25 1.87 2.5 Укупно

Број кандидата 29 44 1 4 2 1 44 1 6 132 Проценат 21.97% 33.3% 0.76% 3.03% 1.52% 0.76% 33.3% 0.76% 4.55% Легенда: Успјешност значи да кандидат није ни покушао да понуди рјешење задатка. Успјешност 0 значи да су информације које је кандидат понудио као рјешење задатка биле потпуно неприхватљиве. Потпуно прихватљиво урађен задатак носи 5 бодова. Неразумијевања која су експонирали кандидати могу се илустровати примјерима: Примјер 1. Примјер 2. Примјер 3. (1) -5x2 12, -5x2 12 -4(x-1)2 < 6 (2) -5x2 12 : (-2) x2 -

512 -4 x2 - x +1 < 6

(3) x2 - 5

12 x[- 5

12 , +) -4 x2 -2x < 6

(4) x -5

12 x 5

12 -4 x < 6

(5) x = 23

Aнализа: У Примјеру 1. кандидат, иако исправно примјењује стратегију рјешавања неједначина, прелазом са линије (3) на линију (4) показује да нема изграђено више алгебарско мишљење које се односи на домену уређено поље (R,+,0,,1,) реалних бројева. Кандидат експонира неразумијевање својстава квадратних функција у овом пољу. (Ова неопходна знања, разумијевања и потребне вјештине, кандидат је требало да инкорпорира у своје когнитивне равни окончањем другог разреда средње школе.) Док се за експонирано размишљање у Примјеру 2 може понудити образложење аналогно изнјетом образложењу за Примјер 1, чак и искусним истраживачима математичког мишљења тешко је да реконструишу процесе закључивања којима се руководио кандидат у Примјеру 3 при прелазу са једне линије на другу линију. Овај истраживач математичког образовања, иако му се чини да је у стању да реконструише прелаз (1) (2), никако не успијева да реконструише овдје изложене процесе закључивања (2) (3), (3) (4) и (4) (5).

Задатак 8. (Утврђивање нивоа напреднијег алгебарског мишљења – контекстуални задатак са линеарним једначином и линеарном неједначином)

Када користимо taxi, плаћамо ’полазни тошак’ у износ од 2.00 КМ и 0.60 КМ по пређеном километру. Одговорите на слиједећа питања: (8.1) Од чега зависи трошак једног кориштења taxi-а? (8.2) Ако платимо y КМ за једно кориштење taxi-а, при пређених x колометара, прикажи y као

функцију величине x. (8.3) Направи кратку табелу међуовисности величина x и y. (8.4) Опиши како се конструише граф ове функције. (8.5) Ако је за једно кориштење taxi-а плаћено 10 КМ, колико километара је пређено? (8.6) Ако је при кориштењу taxi-а taxi-шоферу дато 10 КМ, које све могуће руте су плаћене, и

колико је кусур при свакој од тих рута?


18

Рјешење. (8.1) Трошак јендог кориштења taxi-а очигледно зависи од 'полазног трошка' и броја пређених километара. (8.2) Функционална веза која повезује укупан трошак y (у КМ) кориштења taxi-а при пређених x колометара је

y = 2 + 0.6 x. То је линеарна функција са слободним чланом 2 и коефицијентом правва праве k = 0.6. (8.3) Кратку табела функционалне међуовисности величина x и y.

x 0 1 2 3 4 y 2 2.6 3.2 3.8 4.4

(8.4) Граф ове финквије се конструише на слиједећи начин: Прва се нацртају тачке (0, 2), (1, 2.6), (2, 3.2), (3, 4.8) и (4, 4.4) у Декартовом правоуглом координатном систему. Друго, споје се нацртане тачке, а потом се направи есктраполација. Тако добијени граф ове линеарне функције је права линија која пресјеца осу ордината у тачки (0,2) а са осом апсциса заклапа угао детерминисан једначином tg = 0.6. y 2

-3.3 0 x

Цртеж 1. Граф функције y = 2 + 0.6 x.

(8.5) Да би израчунали колико километара је пређено ако је за једно кориштење taxi-а плаћено 10 KM, треба да ријешимо једначину

10 = 2 + 0.6 x Даље, имамо

x = 8 : 0.6 13.33... (8.6) Ако је при кориштењу taxi-а taxi-шоферу дато 10 КМ, могуће руте, тј. број x пређених километара, које су плаћене добијају се рјешавањем слиједеће неједначине

10 2 + 0.6 x. Дакле, 'кусур' z је

z = 8 - 0.6 x при чему је x рјешење горње неједначине. Дакле

x може бити 1 (z = 7.4 КМ), 2 (z = 6.8 КМ), 3 (z = 6.2 КМ), ..., 13 (z = 0.2 КМ).


0 0.83 1.2 1.67 2.5 3.33 4.16 4.5 5 Укупно

Број кандидата 34 30 18 2 13 12 5 7 2 9 132 Проценат 25.76% 22.73% 13.64% 1.52% 9.85% 9.09% 3.79% 5.3% 1.52% 6.82%

Легенда: Успјешност значи да кандидат није ни покушао да понуди рјешење задатка. Успјешност 0 значи да су информације које је кандидат понудио као рјешење задатка биле потпуно неприхватљиве. Потпуно прихватљиво урађен задатак носи 5 бодова.

Напомена. Овај познати задатак, тзв. 'taxi-проблем' пружа изванредну прилику за процјењивање досегнутог (вишег) нивоа алгебарског мишљења кандидата. Препознавање линеарне функције, њених својстава али и експонираним (не-)вјештина рјешавања припадних линеарних алгебарских једначина и неједначина сматра се неопходно потребним елементима вишег алгебарског мишљења којима би требало да кандидати владају будући да су ('официјелно' успјешно) окончали више разреде основне школе. .


19

Aнализа: 64 кандидата (или 48.48%) или нису уопште понудили или су понудили неприхватљиве информације као одговоре на питања овог задатка. 33 кандидата (или 25%) понудило је вело мали број прихватљивих информација. Само 23 кандидата (или 17.42%) су понудила неке значајније информације као одговоре. Будући да је ријеч о линеарној функцији и њеном графу овај истраживач математичког образова скоро са невјерицом прихвата добијене информације. Процјењујемо да нуђење одговора на питања овог задатка експонира постојање математичких способности на мулти-структуралном нивоу.

Задатак 9. (Утврђивање нивоа развоја геометријског мишљења у складу са класификацијом унутар Теорије ван Хиелеових о разумијевању геометрије – развој појма бесконачности у геометријском концепту)

Нека је дата кружница k(C,r) са центром у тачци C и двијема дијаметрално супротним тачкама А и B. Размисли о свим могућим троугловима ABC са врхом у тачки C која лежи на кружници. Koлико има таквих троуглова – коначно много, бесконачно пребројиво много или бесконачно непревројиво много? Нацртај два таква троугла тако да је висина h троугла (дуж од тачке C до дужи AB): (9.1) највећа могућа; (9.2) најмања могућа. (9.3) У сваком од ова два случаја опиши (што је могуће прецизније) положај тачке C. Напомена: Ако Вам се чини да неки од понуђених података чини да задатак изгледа неразумљив, уз нагалашавање промијените тај податак па понудите рјешење тако промјењеног задатка.) Рјешење: Задатак је дизајниран тако да се установи да ли кандидати препознају концепт немогућег / контрадикторног /апсурдног окружења за проналажење тражених информација). Према условима задатка, тачка С је истовремено и центар кружнице и тачка на ружници. То је класична контрадикција, јер

Тачка С не може је истовремено бити и не бити на кружници. (Примјена принципа неконтрадикције, који је таутологија / аксиом у класичној логици, на однос тачке и кружница). Дакле, овај задатак нудећи некомпатибилне улазне податке, није могуће ријешити. Напомена. Концепт на којем је конструисан овај задатак (и наравно, питања у њему) био је слиједећи: (1) кандидати само препознају немогуће окружење задатка, или (2) кандидати препознају немогуће окружење задатка измјене податак: треће тјеме тространика, ради одређености, означимо га са D, не може бити у центру кружнице k(C,r). Тако измјењени задатак требало је да гласи: Нека је дата кружница k(C,r) са центром у тачци C и двијема дијаметрално супротним тачкама А и B. Размисли о свим могућим троугловима ABD са врхом у тачки D која лежи на кружници. Koлико има таквих троуглова – коначно много, бесконачно пребројиво много или бесконачно непревројиво много? Нацртај два таква троугла тако да је висина h троугла (дуж од тачке D до дужи AB): (9.1') највећа могућа; (9.2') најмања могућа. (9.3') У сваком од ова два случаја опиши (што је могуће прецизније) положај тачке D. Сматрамо да је посебно је важно да се култивише идеја рационалности немогућих контекста у вези са аргументацијом која поткрепљује елементе доказа препличући елементе телеолошке контроле и епистемиолошких знања. Аргументација и доказивање у различитим контекстима анализирани су са више различитих аспеката. Значајан број студија посвећен је структурним аспектима узајамности доказовања и припадне аргументације. На примјер, Бетина Педемонте их анализира кориштењем тернарног Тоулмановог модела7. С друге стране, Роберт Дувал поентира тернарне структуре само за доказе. Он се снажно залаже да треба разликовати доказ од припадне неопходне аргументације истичући да закључивање у аргументацији се заснива на тзв. 'суштинским везама' док се доказ базира на више формализованом процесу при чему се закључује у корацима заснованим на претходним премисама. Да су кандидати понудили одговоре на овај задатака у облику (2) тада би истраживачи могли изводити закључке о њиховим концептима појма бесконачности у геометријском окружењу.

7 Stephen Edelston Toulmin (25.03.1922, Лондон – 4.12.2009, Лос Анђелес), британски филозоф и едукатор


20


0 2.5 5 Укупно

Број кандидата 79 49 1 3 132 Проценат 59.85% 37.12% 0.76% 2.27%

Aнализа: Установљена (не-) успјешност тестираних кандидата сугерише нам о њиховим врло скромним геометријским компетенцијама. Посебно истичемо да велика већина кандидата (128 или 96.97%) или није понудила (79 кандидата или 59.85%) било какве промишљања о питањима овог задатка, или је понудила (49 кандидата или 37.12%) потпуно неприхватљиве информације као одговоре на питања овог задатка. Свега 3 кандидата (тј. 2.27%) уочило је да међусобни однос улазних података овог задатка не омогућава давање одговора на питања (9.1) – (9.3). не упуштајући се у даље и дубље анализирање задатка. Процјењујемо да је овај задатак дизајниран ради експонирања математичких способности на релационом нивоу (SOLO 4) и нивоу проширивања уочених конструкција (SOLO 5).

Задатак 10. (Утврђивање нивоа развоја геометријског мишљења – минимално на 'нивоу 1' али и установљавање елемената напреднијег математичког мишљења)

(10.1) Нацртај квадрат. Спој средине сусједних страница. тако се добија нови квадрат. Aко

поновимо процедуру за овај квадрат, добија се трећи квадрат. И тако даље ... добија се низ уметнутих квадрата.

(10.2) Напиши неколико чланова и општи члан низа дужина страница тих квадрата. (10.3) Напиши неколико чланова и општи члан низни површина тих квадрата. Рјешење. Означимо странице полазног квадрата са a. Kвадрат странице a1 слиједећег квадрата A1 B1 C1 D1 се добија кориштењем Питагориног теорема о правоуглом тространику/троуглу на слиједећи начин:

222

2222

1aaaa

Квадрат странице a2 слиједећег квадрата A2 B2 C2 D2 се добија аналогно претходном поступку:

22

21

21

212

2 21

222aaaaa

Kвадрат странице a3 слиједећег квадрата A3 B3 C3 D3 добија се аналогно:

23

22

22

222

3 21

222aaaaa

Ако кандидат понуди прихватљув цртеж низа уметнутих квадрата, тада се процјењује да је ниво геометријског мишљења кандидата на 'нивоу 0' 8 (јер зна и препознаје квадрат) и унутар 'нивоа 1' (јер зна и препознаје елементе квадрата - тјемена, странице, центар странице, али и разумије међусобне односе елемената квадрата – сусједне странице, ...) Експонирањем способности препознавања и разумијевања међусобних односа страница у правоуглом тространику / троуглу, али и експонирањем вјештине примјене Питагорине теореме о дужинама страница тих тространика / троуглова кандидат показује да је овладао вишим математичким мишљењем (што су компетенције које се стичу окончањем старијих разреда основне школе у нас). Претпоставимо, сада, да општи члан тог низа изгледа овако

8 У складу са теоријом ван Хиелеових нивоа о разумијевању геометрије.


21

22

21 aa kk

Ако овај постипак наставимо, послије k+1 корака, добијамо

21

2222

1 21

222aaaaa k

kkkk

На основу принципа математичке индукције, закључујемо да: (1) опадајући низ површина квадрата чланова тог низа је:

P = a2, P1 = 21 a2, P2 = 22

1 a2, P3 = 321 a2, ..., Pк = k2

1 a2, ...

(2) опадајући низ дужина страница квадрата чланова тог низа је:

a , 21

aa , 22

2

aa , 33

2

aa , ..., kk

aa2

...


0 0.5 0.83 1.67 1.87 2.0 2.5 3.33 Укупно

Број кандидата 56 40 1 2 27 2 1 2 1 132 Проценат 42.42% 30.30% 0.76% 1.52% 20.45% 1.52% 0.76% 1.52% 0.76% Легенда: Успјешност значи да кандидат није ни покушао да понуди рјешење задатка. Успјешност 0 значи да су информације које је кандидат понудио као рјешење задатка биле потпуно неприхватљиве. Потпуно прихватљиво урађен задатак носи 5 бодова. Будући да је задатак имао три дијела, сваки од дијелова био је вреднован са 5/3 бодова. Анализа резултата задатка 10: Нивои разумијевања геометријских облика, према теорији ван Хиелеових, који су могли бити установљени код тестираних студената су: (а) 'предново' – кандидат не препознаје геометријску фигуру квадрат; (б) 'ниво 0' – дандидат препознаје геометријску фигуру квадрат али не препознаје елементе те

фигуре; (в) унутар 'нивоа 1' – кандидат препознаје квадрат и његове елементе (тјемена, странице,

унутрашње и вањске углове квадрата, дијагонеле, средине странице, ...) али не препознаје / или препознаје међусобне односе тих елемената квадрата (у овом случају, не препознаје /или препознаје сусједне странице квадрата).

У вези са претходним, искажимо да:

- 42.42% тестираних кандидата није ни покушало да понуди неке одговоре на постављена питања у овом задатку;

- 5 (пет) кандидата је експонирало да не препознаје квадрат; - за 36 кандидата је утврђено да не препознају синтагму 'сусједне странице квадрата'

(дакле, елементе квадрата); - за 36 кандидата је успјело да понуди прихватљив (потпуни – намјење три уметнута

квадрата, или непотпуни) цртеж уметнутих квадрата без / или са одговарајућим потребним означавањем;

- 6 кандидата је показало да зна да у овом случају треба примјени Питагорину теорему на одговарајући правоугли троугао (од 36 кандидата њих 27 примјенило је Питагорину теорему на неприхватљив начин);

- само код једног кандидата је установљено дјелимично постојање напреднијег математичког мишљења које се стиче успјешним окончањем средње школе; и

- ни једна од тестираних кандидата није исказао способност разумијевања концепта нумеричког низи нити пособност обезбијеђивања доказа за форму општих чланова тражених низова (облик општег члана тих низова мора се доказивати позивањем на принцип математичке индукције).


22

Процјењујемо да је овај задатак дизајниран ради експонирања математичких способности на нивоима SOLO 3 (Конструкција низа уметнутих квадрата. Препознавање елемената тих уметнутих квадрата), SOLO 4 (Уочавање постојања уметнутих правоуглих тространика унутар уметнутих квадрата као и уочавање међуодноса елемената тих тространика али и њихову везу са елементима уметнутих квадрата. Примјена Питагорине теореме у више, најмање три, уметнута тространика.), SOLO 5 (Уочавање форме општих чланова тражених низова – низа дужина страница уметнутих квадрата и низа површина тих квадрата. Доказивање, примјеном принцима математичке индукције, да општи чланови тих тражених низова изгледају баш онако како се претпоставња.).

5. Концептуализација културолошких и друштвених импликација

математичког образовања Намјера нам је да у овом дијелу направимо концептуалиозацију културолошких и друштвених импликација математичког образовања. Намјера нам је да, колико год је то могуће, постакнемо академску заједницу да отвори дијалог о слиједећим питањаима:

1. Зашто професионални развој мора постати један од приоритета у реализацији циљева математичког образовања?

2. Који су то циљеви професионалног развоја? Класификација ових циљева могла би, на примјер, бити слиједећа:

2.1. Формирање опште слике о парадигми професионалног развоја. 2.2. Усвајање великог математичког знања. 2.3. Разумијевање о томе шта студенти мисле и како уче математику. 2.4. Усвајање међународно препознатљивих социо-математичких норми. 2.5. Прихватење и разумијевање улоге праведности унутар школске математике. 2.6. Прихватање и разумијевање значења властите личности као будућег професионалног

експерта. 3. Која би принципијелно-филозофска опредјељења требало усвојити да буду основа за

дизајнирање тог професионалног развоја? 4. Шта је то што би то требало да наставници науче да би подучавали математику? 5. Шта би требало да ради академска заједница математичара, истраживача математичког

образовања и наставника математике у циљу подизања квалитета математичког образовања? 6. Шта реализатори наставе математике могу научити изучавајући своју властиту праксу? 7. Шта се може научити из истраживања математичког образовања? и 8. Шта истраживачи математичког образовања знају о појавама у професионалном развоју? Друштвена заједница би требало да усвоји ригорозне стандарде уз један визионарски

сценарио компарибилан са најпоузданијим резултатима савремених истраживања математичког образовања о томе како ученици уче, измјенама и допунама наставних програма математике у нашим основним и средњим школама, промовишући такве наставе стратегије које би давале прихватљивије резултате од оних који се сада добијају.

Радна група WG3 конференције CERME 2(2001), између осталих, бавила се и

слиједећим питањем: 'Колико су сигнификантни друштвени и политички услови реализације наставе математике?', док се радна група TG 12, током конференције CERME 3(2003), између осталих, бавила и слиједећим питањима:

- Какву врсту показатеља би требало обезбиједити да би се друштвеној и академској заједници показало да је квалитније образовање реализатора наставе математике важан национални стратешки циљ те да би друштвена заједница требало да у то образовање улаже знатно више енергије и новца?

- Какву врсту показатеља немамо, али би требало обезбиједити, да отворимо дискусију са различимом људима, посебно са особама које имају утицаја на избор принципијено-филозофских ставова у политици образовања реализатора наставе математике у нас, да остваримо намјере исказане у претходном питању?

- Шта се подразумијева под термином 'показатељи' у домени истраживања образовања реализатора наставе математике?


23

- Каква врста показатеља се може обезбиједити унутар тог домена? Успјешно критичко математичко образовање мора да оснажи ученике, прво на превладавању властитих унутрашњих кочница и априорног гледања на самог себе као неадекватно припремљеног за даљи професионални развој. Друго, што се односи на интеракцију школски систем - наставник – ученик у којој се усвајају норме правичности, а треће на разумијевање односа према ауторитетима. Дакле, да постану социјално оснаженији кроз наставу математике. Међутим, наша претходна искуства често снажно сугеришу ученицима неоспорно прихватање ауторитета у школи и у друштву. Ово може да се манифестује кроз недостатак повјерења, пасивност или чак и агресију.

6. Закључне опсервације

Математичко оспособљавање може се посматрати са више комплементарних перспектива (погледати: [13], Ernest 2002). Међу тим аспектима осим когнитивног и семиотичког посебну пажњу у последње вријеме привлачи и социјални контекст. Са когнитивне перспективе математичко оспособљавање се односи на 'усвајање' факата, вјештина, концепата и концептуалних структура и општих стратегија рјешавања проблема. Семиотичке способности, према Полу Ернесту, у математичком образовању укључују слиједеће: способност читања математичког контекста, проналажење смисла у том контексту, уочавање објаката који се појављују у њему, откривање сврхе и циљева концепата који су инволвирани у контекст, линеарну и вертикалну математизацију контекста као и интерпретацију добијених одговора. Друштвени аспект математичког образовања (према: [3], Athwel and Brady, 2009; [13], Ernest 2002; [7], Shulman, 1998) требало би прислонити уз неку општеприхваћену концептуализацију културолошког, друштвеног и политичког контекста математичког образовања. Кориштење SOLO таксонимије за идентификацију математичких способности, овладаних математичких вјештина али и усвојених пожељних социо-математичких норми тестираних кандидата очигледно даје неке резултате. Сасвим природно је поставити питање: Шта смо, заправо, показали? Према мишљењу овог аналитичара, формирног уз уважавање савременог приступа анализирању математичког образовања9, могући су слиједећи закључци:

- на когнитивном нивоу, нивои математичка знања тестираних кандидата нису у пожељној корелацији са нивоима за које се процјењује да су неопходни за праћење и разумијевање академске наставе на Машинском факултету;

- на афективном нивоу, нивои установљених математичких способнисти и вјештина сугеришу слутњу о неспремности тестиране популације да без већих потешкоћа прихвате принципијелно-филозофска опредијељења академске заједнице инкорпорираних у курикулуме академских курсева математике на овом Факултету.

- SOLO таксонимије је доста добар алат за идентификацију и анализу досегнутих циљева наставе математике.

Удруживање овог алата за идентификацију пожељних исхода наставе математике, алата које нам даје теорија ван Хиелових о разумијевању геометрије као и класификација елемената аритметичког и алгебарског мишљења даје истраживачима математичког образовања корисне инструменте чијом употребом се оправдава слутња, тј. формира се хопотеза, о досегнутим нивоима математичке писмености тестиране популације. Елементи SOLO таксонимије би се могли врло корисно инкорпорирати у наставе програме математике у нашем образовном систему. Захалност. Аутор се захваљује колегиници Проф. др-у Слагјани Јакимовик (Скопје) и колеги Проф. др-у Миловану Винчићу (Бања Лука) на стрпљивом читању текста приликом његовог настајања и на корисним сугестијама.

Литература

9 Сугеришемо мање упућеном читаоцу да о савременим трендовима у домени 'Истраживање математичког образовања' погледа тесктове : [15] (Романо, 2008), [18] (Романо, 2009) и [20] (Schoenfeld, 2011).


24

[1] S.Arnold: Challenge and Support: The SOLO Taxonomy. The University of Newcastle: Faculty of

Education. 1996, http:éécompasstech.com.auéARNOLDéPAGESéCS4.htm. [2] J.S.Atherton: Learning and Teaching: SOLO taxonomy. 2005,

www.learningandteaching.info/learning/solo.htm. [3] Bill Athwel and Kate Brady: Socially response-able Mathematics Education: Implication of an Ethical

Approach; Eurasia journal of mathematics, science and technology education, 5(3)(2009), 267-276 [4] J.B.Biggs and K.F.Collis: Evaluating the Quality of Learning: The SOLO Taxonomy,Structure of the

Observed Learning Outcome; Academic Press, London 1982 [5] J.B.Biggs: Teaching for Quality Learning at University. Open University Press, Maidenhead, 2003 [6] J.B.Biggs and C.Tang: Teaching for Quality Learning at University. Open University Press, Maidenhead,

2007 [7] B.Shulman: Math – Alive! using original sourses to teach mathematics in social context; Primus, VIII (1)

(1998), 1-14 [8] Б.Боричић, Б.Ибрахимпашић, Е.Лиђан и Д.А.Романо: Утврђивање нивоа разумијевања неких

основних логичких појмова студената студијских програма за предшколско образовање на педагошким факултетима у Бихаћу и Бијељини; ИМО, Вол. II(2010), Број 3, 15-25

[9] Б.Боричић, Д.А.Романо и В.Тодић: Логичко образовање студената предшколског програма, ИМО, Вол. IV(2012), Број 7, 5-16

[10] C.Brabrand and B.Dahl: Constructive Alignment and the SOLO Taxonomy: A Comparative Study of University Competences in Computer Science vs. Mathematics. Conferences in Research and Practice in Information Technology, Vol. 88 (2008), 3-17.

[11] Claus Brabrand and Bettina Dahl: Using the SOLO Taxonomy to Analyze Competence Progression of University Science Curricula; Higher Education, 58(4)(2009), 531-549.

[12] С.Црвенковић, М.Миловановић, Д.А.Романо: Упоредна анализа природе математичких знања које се користи и конструише у учионици, НОРМА, 17(2)(2012), 133-154

[13] P.Ernest: Empowerment in mathematics Education; Philosophy of Mathematics Education, 15(2002), 1st paper

[14] V.Marković i D.A.Romano: Šta su socio-matematičke norme i kako ih prepoznati u nastavi matematike u nižim razredima osnovne škole? IMO, ISSN 1986-518X, V(2013), Broj 9, 43–52

[15] Д.А.Романо: O мотивима за истраживање математичког мишљења; Настава математике , LIII (3-4) (2008), 1-11

[16] Д.А.Романо: О геометријском мишљењу; Настава математике, LIV (2-3)(2009), 1-11 [17] Д.А.Романо: Шта је алгебарсдко мишљење? МАТ-КОЛ, XV(2) (2009), 19-29 [18] Д.А.Романо: Истраживање математичког образовања, ИМО, Вол. I (2009), Број 1, 1-10 [19] Д.А.Романо: Резултати пријемног испита на Машинском факултету у Бањој Луци, одржаног

02.07.2012. MAT-KOL, XIX (2)(2013), 15-19 [20] A.H.Schoenfeld, Namjere i metode u istraživanju matematičkog obrazovanja, IMO, Vol. III (2011), Broj 4,

23-34

Примљено у редакцију 10.07.2013. Ревидирана верзија 05.09.2013.

Даниел А. Романо: Анализа резултата пријемног теста из...

Documents

Transcript of Даниел А. Романо: Анализа резултата пријемног теста из...