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CURSO DE HIDRÁULICA 2010 LECCIÓN 8. VENAS LIBRES. ORIFICIOS: CONCEPTO Y TIPOS. GASTO A TRAVÉS DE UN ORIFICIO. VACIADO DE DEPÓSITOS. BOQUILLAS: TIPOS Y GASTO A TRAVÉS DE LAS BOQUILLAS. VERTEDEROS: CONCEPTO DE VERTIDO Y TIPOS DE VERTEDEROS. GASTO A TRAVÉS DE UN VERTEDERO EN PARED DELGADA SEGÚN BOUSINESQ. GASTO A TRAVÉS DE UN VERTEDERO EN PARED GRUESA SEGÚN BELANGER. Venas libres Se denominan venas libres a los flujos que no están guiados por un contorno en su totalidad. El estudio teórico de estos movimientos se realiza a través de la variable compleja, cuando se trata de flujos irrotacionales y se prescinde del peso; considerando que los mismos están regidos únicamente por las fuerzas de presión y de inercia:

Pero en esta lección se prescinde de consideraciones teóricas y se atiende a los aspectos prácticos de este tipo de movimientos, que tienen significación en las obras de corrección de torrentes. Las estructuras más importantes que generan venas libres son los orificios y los vertederos. Orificios: Concepto y tipos Un orificio es una hendidura o agujero en la pared de un depósito por el que sale el líquido a presión y ocupando toda su superficie. Los orificios pueden ser de pared delgada, cuado se espesor es muy pequeño respecto de su diámetro o se encuentra biselado; o de pared gruesa, si no cumple ninguna de estas condiciones. A la salida del líquido por un orificio se produce una contracción de su vena. Al cociente entre la superficie contracta de la vena líquida Sc y la superficie geométrica del orificio S se le conoce como coeficiente de contracción.

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Por otro lado, también existe una resistencia del flujo a salir a través del orificio. Aplicando la ecuación de Bernoulli (ver figura):

En consecuencia:

Al término

se le conoce como coeficiente de velocidad Al producto de los coeficientes de contracción y de velocidad se le denomina coeficiente de gasto

Gasto por un orificio libre. Fórmula de Torricelli. La fórmula de Torricelli exige los siguientes supuestos: 1) Orificio en pared delgada. 2) Líquido en el depósito en reposo. 3) Descarga a la atmósfera. 4) No se consideran las pérdidas de carga en el proceso.

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2, utilizando como plano de referencia la superficie superior del depósito, hasta donde llega su llenado, que está a la presión atmosférica.

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Operando:

Como el depósito se supone en reposo u1 = 0 , en consecuencia

El gasto teórico por el orificio libre es:

y el gasto real

Teóricamente el coeficiente de gasto ξ depende de:

Existe un diagrama de Hansen que establece el siguiente rango:

W* = W·β W, es el número de Weber

β, coeficiente que depende de la posición del orificio

, número de Reynolds

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El valor más frecuente del coeficiente de gasto ξ en orificios está en torno a 0,60 En los orificios de fondo la altura h en la ecuación de la velocidad no presenta problemas de interpretación; pero en los orificios laterales podría presentarlos. Para estos últimos se toma la altura de carga en el centro de gravedad del orificio: h = hG

Gasto por un orificio sumergido Se llama orificio sumergido o ahogado, cuando se vierte a un depósito en el que la superficie libre está por encima del borde superior del orificio.

Para su cálculo se aplica la ecuación de Bernoulli entre los puntos 1 y 2 utilizando el plano de referencia indicado en la figura

El término (u – u2)2/(2g) corresponde a la pérdida de carga del flujo a su paso por el orificio (u es la velocidad de paso del flujo por el orificio). Operando:

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Como u1 y u2 son próximos a cero (se supone el líquido de ambos depósitos prácticamente en reposo)

h corresponde al desnivel del líquido entre ambos depósitos. Luego el gasto teórico resulta:

y el gasto real:

Vaciado de depósitos por orificios a) Vaciado directo a la atmósfera Sean h y z las profundidades del líquido en el depósito en los tiempos 0 y t

Sea Ω el área del depósito correspondiente a la altura z. El volumen líquido evacuado por el orificio será:

El volumen de líquido que desciende en el depósito será: Ω·dz . Estableciendo la ecuación de continuidad:

El signo (-) en el miembro de la derecha responde a que se ha tomado como referencia la cota del orificio y el vaciado implica una pérdida de altura del líquido en el depósito.

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Operando:

b) Vaciado de depósitos comunicados entre sí Se toma como plano de referencia el que pasa por el orificio (ver figura)

Geométricamente se cumple: x = y + z . Diferenciando:

Gasto a través del orificio:

La variación de volumen en el depósito de la izquierda:

El signo (-) responde a que el calado del líquido en el depósito de la izquierda disminuye con el tiempo y se ha tomado como referencia el plano que pasa por el orificio. La variación de nivel del depósito de la derecha será:

Sustituyendo el valor de dx en la ecuación (2) y el valor de dy en la ecuación (3), en la ecuación geométrica (1)

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Operando:

Boquillas: Concepto y tipos Se llama boquilla a todo tubo de pequeña longitud adaptado a un orificio. Pueden se entrantes o salientes. También se clasifican en: Cilíndricas, convergentes o toberas y divergentes. Gasto a través de una boquilla cilíndrica entrante o de Borda Se tiene un depósito y en el instante t la masa líquida contenida en el mismo está limitada por la superficie libre AB y la sección contracta CD. En el instante (t + ∆t) la masa líquida está delimitada por A’B’ y la sección C’D’ situada a una destancia u·dt de la sección CD; siendo u la velocidad de salida del líquido por el orificio.

Las dos situaciones tienen en común A’B’C’D’, luego en esta masa no hay incremento de la cantidad de movimiento. Aplicando la ecuación de la conservación de la cantidad de movimiento en el intervalo ∆t a la masa que se pone en movimiento resulta:

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Donde u es la velocidad del líquido en la sección de salida del orificio. Esta variación de la cantidad de movimiento solo es debida a la diferencia de las fuerzas de presión en las superficies E’F’ y EF en el intervalo ∆t; porque el peso del líquido en el recipiente no afecta al movimiento; luego el impulso es:

Igualando las ecuaciones (5) y (6) para que se verifique: F·dt = m·du

Operando llegamos a:

Luego el coeficiente de contracción resulta:

Gasto a través de una boquilla cilíndrica exterior Sea una boquilla cilíndrica exterior con las siguientes características: 1) Su longitud es 1,5 veces su diámetro. 2) A la contracción de la vena le sigue una expansión. 3) La boquilla descarga a plena sección.

Si c es el coeficiente de contracción: Sc = S·c . Las pérdidas de carga debidas a la expansión posterior a la contracción, resultan:

Atendiendo a la Ecuación de Continuidad en la boquilla

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Sustituyendo el valor de uc/u en la ecuación (10) en la ecuación (9) resulta:

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre las secciones 1 y 2 de la figura y operando, resulta:

Tomando para c un valor medio de 0,62 . El gasto resultante será:

Este aumento del gasto se justifica por el vacío parcial que se produce en CD (sección 2 en la figura); donde la presión es ligeramente inferior a la atmosférica. La situación presentada con la boquilla cilíndrica exterior, podría hacer pensar que diseñando las boquillas exteriores divergentes, de modo que la vena líquida a la salida por las citadas boquillas se ajuste perfectamente a su perfil, se podría aproximar el gasto real al gasto teórico. Esta cuestión resulta imposible; porque en tal caso la disminución de la presión en la boquilla podría llegar a situarse por debajo de la presión de vapor, dando lugar a los fenómenos de cavitación, con lo que se altera el proceso.

Para evitar los procesos de cavitación, el término p/γ en la sección Sc debe ser superior a 5 ó 6 m. Las boquillas convergentes o toberas presentan la forma de la figura adjunta y sus condiciones más favorables están en el rango:

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1) La relación entre longitud y diámetro sea aproximadamente igual a 2,5 2) Ángulo de abertura 13º 30’

Pueden llegar a coeficientes de gasto del orden de ξ = 0,947 Vertederos: Concepto y tipos El fenómeno de vertido es el derrame de un líquido por una escotadota debido a la gravedad. Un vertedero es una escotadura grande de forma variable, a través de la cual se derrama el líquido por gravedad. Por generalización se llama vertedero a la propia escotadura. Los vertederos se pueden clasificar por la forma geométrica de la escotadura en:

Por la cresta o umbral del vertedero en:

Comportamiento del flujo ante un fenómeno de vertido En la sección I I’ toda ella participa del movimiento del flujo en el cauce. En la sección II II’ existe junto al fondo del lecho una parte del líquido sin movimiento, que no interviene en el fenómeno de vertido. Según Grialou la línea ABC es tangente en A al fondo del lecho y en C a la pared del vertedero. La superficie libre (* en la figura) va creciendo conforme el flujo se va acercando a la pared del vertedero. Desde la sección I I’ hacia la sección que pasa por el umbral del

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vertedero, hay una disminución de la energía debido a las fuerzas de gravedad y de presión y un aumento de la energía viva debida a la aceleración.

Experimentalmente Forcheimer estableció que: a) La depresión del flujo aparece para L = 4·h b) La depresión del flujo es del orden del 3 % a la distancia L = 3·h En el umbral del vertedero el calado de la lámina de agua es el calado crítico. Inmediatamente que el flujo pasa por la cresta del vertedero se produce una contracción vertical y una contracción lateral. Formas de vertido

Bazin (citado por Forcheiner) establece para la lámina anegada:

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Donde: Q1, gasto en el vertedero con la lámina libre y carga h Q, gasto en el vertedero con lámina anegada y carga h H, altura del umbral del vertedero En los diques de corrección de torrentes lo normal es diseñar el vertedero para lámina libre. Solo en situaciones especiales se plantean perfiles de tipo Creager, que presentan lámina adherida. Gasto por vertederos En el presente apartado se consideran las cuestiones siguientes: a) El cálculo teórico-matemático de gasto por un vertedero. b) Las secciones de vertido (vertederos) que tienen determinada y comprobaba su ecuación de gasto, reciben nombres propios y se utilizan para tal fin, es decir, como instrumentos de medida del caudal. c) El gasto por un vertedero en pared delgada establecido por Bousinesq, determinado atendiendo el fenómeno físico que tiene lugar en el momento del vertido. d) El gasto por un vertedero en pared gruesa establecido por Belanger, determinado atendiendo al fenómeno físico que tiene lugar en el momento del vertido. e) Gasto por vertederos especiales. a) Gasto teórico-matemático por un vertedero en pared delgada, sin contracción lateral y lámina libre

Cálculo teórico del gasto

Para todo el vertedero

Tratándose de un vertedero rectangular: x = b

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Tratándose de vertederos triangulares:

A estos gastos teóricos hay que afectarles del correspondiente coeficiente de gasto ξ

Donde, como hemos visto, K vale 0,666 para vertederos rectangulares y 0,533 para los vertederos triangulares. La determinación del coeficiente de gasto ξ en los vertederos es experimental. Existen fórmulas al efecto, pero estas también son experimentales y en general bastante complejas. b) Secciones de vertido que tienen determinado y comprobada su ecuación de gasto Los vertederos en pared delgada se utilizan para aforar caudales; su fundamento se basa en que el flujo a su paso por ellos adquiere el calado crítico, que se corresponde biunívocamente con el caudal crítico (F = 1). Lógicamente la curva de gasto en el vertedero debe ser comprobada antes de poner el vertedero en servicio en el lugar asignado para ello. Algunas secciones de vertido (vertederos) se conocen con nombres propios (Thompson, Gourley, Cipoletti, etc.) y de las mismas se conocen sus ecuaciones de gasto, pero aún así conviene comprobarlas. En este epígrafe se adjuntan algunas

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orientaciones respecto a los vertederos en pared delgada (rectangulares y triangulares) utilizados como aforadores. Vertederos rectangulares. Se pueden describir como un corte rectangular ubicado sistemáticamente en una placa delgada perpendicular a los lados y fondo de un canal abierto y recto (figura adjunta).

Dentro de la situación planteada hay tres subdivisiones: 1) Totalmente contraídos: Cuando los lados y fondo del canal están lo suficientemente lejos de la cresta de vertido, de modo que no tengan efecto sobre la contracción de la lámina de vertido. 2) Parcialmente contraído: Cuando existe una contracción de la lámina de vertido, que no se desarrolla completamente, como consecuencia de la proximidad de las fronteras del canal. 3) Ancho libre, cuando el vertedero se extiende completamente a través del canal de llegada. En la figura b = T Para que el vertedero se considere completamente contraído debe cumplir (Bos, 1976):

Cuando no se cumplan estas condiciones, deben considerarse parcialmente contraídos, salvo que se traten de ancho libre. La ecuación para estimar el gasto por este tipo de vertedero para cualquiera de los tres casos (totalmente contraídos, parcialmente contraídos o de ancho libre), modificada por Kindsvater y Carter (1957), es la siguiente:

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Donde: be, es el ancho efectivo; be = b + Kb he, es la carga efectiva; he = h1 + Kn Ce, es el coeficiente de gasto efectivo. Depende de (b/T) y (h1/p). Oscila alrededor

de 0,6. Kb y Kn, son parámetros que representan el efecto combinado de la viscosidad y

tensión superficial del flujo: Kn, generalmente se considera constante con un valor de 0,003 ft (0,001 m);

recomendado para todos los valores de (b/T) y (h1/p) Kb, se determina de forma empírica como una función de (b/T). Oscila

alrededor de 0,008 ft) Este tipo de vertedero presenta las siguientes limitaciones: a) El valor mínimo recomendado de h1 = 0,10 ft (0,03 m) b) Si (h1/p) > 5 el calado crítico puede presentarse en el canal de llegada e invalidar en el vertido. Se recomienda que (h1/p) < 2 y p > 0,3 ft (0,10 m) para una buena medida. c) El ancho de vertedero b > 0,50 ft (0,17 m) d) Para asegurarse la aireación, el nivel del agua, aguas abajo del vertedero, debe estar al menos a 0,16 ft (0,05 m) debajo de la elevación de la cresta del vertedero. Vertederos triangulares. Se pueden describir como un corte en V ubicado simétricamente en una placa delgada que es perpendicular al fondo y a los lados del canal abierto.

Dentro de la situación planteada se puede subdividir en: 1) Totalmente contraídos 2) Parcialmente contraídos Las especificaciones de cada caso se dan a continuación (Bos, 1976)

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La ecuación de gasto del vertedero triangular en situaciones de total o parcialmente contraído tiene la expresión

Donde: he, es la carga efectiva; he = h1 + Kn (el valor de Kn se obtiene en función del

ángulo θ y oscila entre 0,002 y 0,008 ft) Ce, es el coeficiente de gasto efectivo y para un vertedero totalmente contraído es

función del ángulo θ y oscila entre 0,575 y 0,590 Bos (1976) recomendó que los vertederos de contracción parcial triangulares se ubicaran en canales de acceso rectangulares y que los de contracción total se ubicaran en canales no rectangulares. Los vertederos triangulares presentan las siguientes limitaciones: a) (h1/p) < 1,2 y (h1/T) < 0,4 b) 0,16 ft (0,05 m) < h1 < 2,0 ft (0,61 m) c) p > 0,3 ft (0,1 m) d) T > 2 ft (0,61 m) Vertedero Cipoletti. Citado por Forchheimer y referido a su autor (1894) que planteó su construcción de manera que su coeficiente de gasto fuera el mismo a todos los niveles de carga; lo que pretendió conseguir dando a las paredes un talud de ¼ (1 en horizontal por 4 en vertical) y estableciendo par ella la ecuación siguiente

Donde: b, es la longitud de la cresta del vertedero h, es el desnivel En principio la ecuación anterior el autor (Cipoletti) la planteó para un vertedero triangular.

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French (1985, versión en español 1988) se refiere al vertedero Cipoletti como de sección trapezoidal con cresta horizontal y lados con taludes 1 en horizontal por 4 en vertical (igual que el original). Su ecuación de gasto viene dad por:

Donde: CD, toma un valor aproximado de 0,63 CV, coeficiente de velocidad, función del término (CD·A*/A1), donde A* es el área

mojada para y = 1 y A1 es el área mojada en la sección medida. Su valor está comprendido entre 1,0 y 1,15 y representado por un ábaco.

El vertedero Cipoletti se puede usar en canales de acceso no rectangular siempre que se cumplan las condiciones de la figura y además: a) (h1/b) < 0,50 b) 0,20 < h1 < 2,0 ft (0,06 < h1 < 0,61 m) Gasto en un vertedero en pared delgada establecido por Bousinesq Se trata del estudio teórico más completo del gasto por un vertedero de pared delgada. Las condiciones de partida son: a) Pared delgada b) Contracción lateral suprimida c) Distribución uniforme de la velocidad (en toda su anchura) Hipótesis de partida: 1) Existe una sección AB en la cual todas las trayectorias del flujo son concéntricas. 1’) La sección AB forma con la vertical AC (que pasa por la cota más alta) un ángulo β muy pequeño (cos β prácticamente igual a 1)

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2) La naturaleza se acomoda al fenómeno del vertido, de modo que con la carga disponible produce la máxima descarga (1ª y 2ª curvas de Koch) Se plantea el gasto unitario: En una trayectoria

En todo el chorro

Se quiere establecer la descarga q en función de la altura de carga H en el vertedero y del coeficiente de gasto ξ

Para ello se plantean las dos aplicaciones siguientes: 1ª Aplicación. Determinar u en función de uo (velocidad del filete inferior de vertido) a) Aplicando Bernoulli entre M y N

Derivando respecto de z y operando

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b) Aplicando la Ecuación de Euler al eje normal del vertido (perpendicular al plano del papel)

Igualando los términos comunes en las ecuaciones (13) y (14) resulta:

Integrando la ecuación (15)

Sustituyendo el valor de u en la ecuación (16) en la ecuación (12’) resulta:

2ª Aplicación. Se aplica la ecuación de Bernoulli entre la secciones I I’ y II II’ para los filetes (trayectorias) superior e inferior del vertido. Previamente se plantean las siguientes consideraciones:

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Aplicando Bernoulli al filete (trayectoria) superior:

Aplicando Bernoulli al filete (trayectoria) inferior:

Como uo·Ro = u1·(Ro + e) , introduciendo los valores de u1 y u2 en las ecuaciones (18) y (19) resulta:

Operando y simplificando:

Introduciendo las ecuaciones (18), (19) y (21) en la ecuación (17)

Introduciendo la ecuación (22) en la ecuación (23) y simplificando:

Multiplicando y dividiendo la ecuación (24) por H3/2 resulta

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Luego el coeficiente de gasto es:

A continuación se demuestra que ψ es máximo:

Como K = Ro/(Ro + e) < 1 pero próximo a 1 , L1 = 0 ; luego 2·L(1/K) tiende a 0 ψ’’ = -4 < 0 (negativo) luego hay máximo. Dicho máximo se obtiene:

Operando, K = 0,4685

Experimentalmente se calcula ε/H y se observa que tiende a 0,1151 . En consecuencia:

Operando:

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Gasto en un vertedero en pared gruesa establecido por Belanger Sea el vertedero de pared gruesa de la figura, con un espesor e y longitud perpendicular al papel l.

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre las secciones I I’ (donde no se manifiesta el fenómeno de vertido y la velocidad del flujo es despreciable) y II II’ ( en pleno fenómeno de vertido):

Pero en la sección II II’ se cumple la condición de calado crítico, en consecuencia (despreciando las pérdidas de carga) se cumple:

Condición de gasto máximo:

Luego hay un máximo. Para obtener dicho máximo

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Operando:

Aplicando el valor de h1 en la ecuación (28) en la ecuación del gasto (27)

La última expresión (29) es la que utiliza el programa HEC-RAS para vertederos de pared gruesa. Si se considera la velocidad de fluencia del agua al vertedero (velocidad uo en la sección I I’) la carga en la ecuación (29) se transforma:

Gasto por vertederos especiales Se mencionan los tres más específicos a) Vertederos sumergidos b) Vertederos formando un ángulo b, no recto, con las paredes del canal. c) Vertederos laterales o aliviaderos de superficie. Cada una de las situaciones tiene su tratamiento específico, que debe se abordado particularmente. A continuación se comentan algunos aspectos relacionados con los mismos. En el caso del vertedero sumergido, se determinan por separado el caudal Q1 (para un vertedero sumergido de altura de carga h1) y el caudal Q2 (para un vertedero de lámina libre de altura h2)

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El valor de

se obtiene aplicando la ecuación de Bernoulli entre las secciones 1 y 2 de la figura y utilizando la fórmula de Belanger (u – u2)2/(2g) para establecer la velocidad en la sección del vertido (donde existe una pérdida de carga singular) Los coeficientes de gasto se estiman en: ξ1 = 0,62 y ξ2 entre 0,44 y 0,56 El procedimiento es propuesto por Forchheimer, pero el autor recomienda su verificación. En el caso de un vertedero que forma un ángulo β, distinto de 90º , con las paredes del canal; distintos ensayos de laboratorio establecen relaciones como la que se adjunta:

Donde: Q1, es el gasto por un vertedero que forma un ángulo β con el eje del canal. Q, es el gasto por un vertedero perpendicular al eje del canal. ψ, es un coeficiente que depende del ángulo β y de la altura de carga en el

vertedero. Como l = L/sen β , cuanto más inclinación en teoría el gasto sería mayor, pero existe la limitación que paralelamente baja la altura de carga. Boileau, generalizando, aconseja utilizar la expresión:

En el caso de los vertederos laterales o aliviaderos de superficie, éstos consisten en un recorte practicado en la pared de un canal, saliendo el agua aproximadamente en

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dirección perpendicular a la corriente y quedando así limitada la altura máxima que el agua puede alcanzar en la conducción. Dicha perpendicularidad equivale a una velocidad nula en el vertedero lateral, cuya cresta se supone rectilínea. Coleman propone la siguiente expresión para el cálculo del gasto en un vertedero lateral

Los términos de la fórmula aparecen el la siguiente figura

Forchheimer propone un análisis teórico para mantener la velocidad del flujo en el canal a lo largo del trayecto del aliviadero de superficie; para lo que establece ir reduciendo la sección del canal durante su trayecto.

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EJEMPLO. Determinar el gasto teórico del vertedero de la figura

Ecuación de la parábola que define el vertedero

Ecuación del gasto teórico por un vertedero:

Cálculo de la integral:

Se plantea el siguiente cambio de variable

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En consecuencia:

Cálculo de λ . Cuando

Luego el gasto será