Continuidades y descontinuidad

Aplicando la definición de límite, probar que:

limites y continuidad

Para comprobarlo vamos a tomar un ε = 0,01.

Entonces cualquier punto que pertenezca a este entorno tiene que tener su imagen en el entorno:

Para x = 0.995    f(x)= (0.995 + 3)/ 2= 1.9975.

Para x = 1.015    f(x)=(1.015 + 3)/2 = 2.0075.

Calcular el límite de:

Calcular el límite de:

Calcular el límite de:

Calcular el límite de:

Al elevar el binomio del numerador al cuadrado obtenemos x 4, y por tanto el grado del numerador es mayor que el grado del denominador.

Calcular el límite de:

El denominador es un infinito de orden superior.

Calcular el límite de:

El numerador es un infinito de orden superior.

Calcular el límite de:

Calcular el límite de:

Calcular el límite de:

Calcular el límite de:

Calcular el límite de:

Calcular el límite de:

Calcular el límite de:

Calcular el límite de:

Calcular:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

Continuidades

Estudia, en el intervalo (0,3), la continuidad de la función:

Sólo hay duda de la continuidad de la función en los puntos x = 1 y x = 2, en los que cambia la forma de la función.

En x = 1 tiene una discontinuidad de salto 1.

En x = 2 tiene una discontinuidad de salto 1.

Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:

1

La función es continua en todos los puntos de su dominio.

D = R − {−2,2}

La función tiene dos puntos de discontinuidad en x = −2 y x = 2.

2

La función es continua en toda R menos en los valores que se anula el denominador, si igualamos éste a cero y resolvemos la ecuación obtendremos los puntos de discontinuidad.

x = −3; y resolviendo la ecuación de 2º grado obtenemos también: x=2−√3 y x=2+√3

La función tiene tres puntos de discontinuidad en x=−3, x=2−√3 y x=2+√3

3

La función es continua en toda 

4

|−1 − (−3)| = 2

La función es discontinua inevitable de salto 2 en x = 0 .

5

En x = 1 hay una discontinuidad de salto finito.

6

La función es discontinua inevitable de salto 1/2 

Estudia la continuidad de f(x) en x = 0.

f(0)=0

En x = 0 hay una discontinuidad esencial.

¿Son continuas las siguientes funciones en x = 0?

1

La función es continua en x = 0.

2

En x = 0 hay una discontinuidad de salto infinito.

Encontrar los puntos de la función f(x) = x 2 + 1+ |2x − 1| es

discontinua.

La función es continua en toda  .

Dada la función:

Determinar los puntos de discontinuidad de la función.

La función exponencial es positiva para toda x ∈  , por tantoel denominador de la función no se puede anular.

Sólo hay duda de la continuidad en x = 0.

Resolvemos la indeterminación dividiendo por 

La función es continua   − {0}.

Estudiar la continuidad de la función:

La función f(x) es continua para x ≠ 0. Vamos a estudiar la continuidad en x = 0.

La función no es continua en x = 0, porque no está definida enese punto.

Estudiar la continuidad de la función f(x) = x · sgn x.

La función es continua en toda  .

Estudiar la continuidad en x = 0 de la función:

La función   está acotada  . por tanto se verifica:

, ya que cualquier número multiplicado porcero da cero.

Al ser f(0) = 0.

La función es continua.

Dada la función:

1  Demostrar que f(x) no es continua en x = 5.

f(5) = 0.

Resolvemos la indeterminación:

f(x) no es continua en x = 5 porque:

2 ¿Existe una función continua que coincida con f(x) para todos

los valores x ≠ 5? En caso afirmativo dar su expresión.

Si   la función sería continua, luego la función redefinida es:

Dada la función:

Determinar el valor de a para que la función sea continua para x =

3.

Calcular el valor de a para que la función siguiente sea continua:

La función definida por:

es continua en [0, ∞).

Hallar el valor de a que hace que esta afirmación sea cierta.

Sea la función:

Determinar el valor de a para que f(x) sea continua.

En esta función a trozos las dos funciones parciales son continuas en sus dominios. Estudiaremos el comportamiento de la función en el punto de unión.

Calcular el valor de k para que la siguiente función sea continua.

Por tanto no existe límite y, por consiguiente no se puede conseguir que f(x) sea continua en x=0, sea cual sea el valor que se le dé a k.

Se considera la función

Si f(2) = 3, determinar los valores de a y b para que f(x) sea

continua.

Sólo existe duda de la continuidad en x = 1.

Para que la función sea continua debe cumplirse que:

Por otro lado tenemos que:

Resolvemos el sistema de ecuaciones y obtenemos que:

a = 1 b = −1

Hallar a y b para que la función sea continua.

Calcular los valores de a y b para que la siguiente función sea

continua.

b= 1

3a = −2 a = −1

Dada la función

Determinar a y b de modo que la función f sea continua para todo

valor de x.