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  Porque todo tiende a infinito…

Construir un heptágono regular con regla y compás

No, el título del post no está mal. Vamos a ver cómo construir un heptágono regular con regla ycompás. Bueno, mejor dicho vamos a reproducir la construcción del heptágono regular que se podía veren una de las imágenes del post de la semana pasada dedicado al Tratado Práctico de Geometría que meencontré en la calle. Me refiero a ésta:

Si os fijáis, en la página de la izquierda puede verse una supuesta construcción de un heptágono regularinscrito en una circunferencia. Lo que vamos a hacer es seguir paso a paso esta construcción.

Partimos, por ejemplo, de los puntos   y  , que serán nuestros puntos de partida. Trazamos el segmento, después el punto medio de este segmento,  , y después la circunferencia de centro   y radio  :

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Trazamos ahora una circunferencia con centro en   y radio   y otra con centro en   y radio también . Estas dos circunferencias se cortan en dos puntos. Tomamos uno de ellos, digamos  :

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Ahora dividimos el diámetro   en siete partes iguales, procedimiento que se puede realizar con regla ycompás, como ya vimos en este artículo. Básicamente la idea es trazar un segmento desde el punto (que forme un ángulo mayor que cero con  ) y llevar a ese segmento la misma distancia siete veces(en el dibujo esa distancia es 1). Unimos después el último punto obtenido en dicho segmento con elpunto   y después trazamos paralelas al segmento resultante que pasen por los puntos obtenidosanteriormente en el segmento:

Nos quedaría el diámetro   dividido en siete partes iguales:

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En este punto nos encontramos con una de las claves de la construcción: desde   trazamos unasemirrecta que pase por el segundo punto que nos encontramos en   comenzando a contar desde. Esa semirrecta cortará a la circunferencia inicial en dos puntos. Quedándonos con el que en la figura

se denomina 

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tenemos que el lado del heptágono regular buscado es  . Ahora simplemente tenemos que transportarese lado a lo largo de la circunferencia

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para obtener nuestro heptágono regular:

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Sorprendente, ¿verdad? ¿Cómo que no se podía construir un heptágono regular con regla y compás?

Bien, pues no, no se puede, ya que 7 no cumple el teorema que aparece en este artículo. Por tanto tieneque haber algo mal. ¿Alguien ha encontrado el fallo?

Vamos a ampliar un poco la imagen anterior:

¿Veis qué ocurre? La última circunferencia no pasa exactamente por el punto  , como debería ocurrir,sino que corta a la circunferencia inicial en otro punto. Lo que ocurre es que cada punto que obtenemosen nuestra circunferencia no es exactamente un vértice del heptágono regular, aunque lo parece.Conforme vamos obteniendo puntos vamos cometiendo un mínimo error que se va acumulando hastallegar al último punto, en el que se muestra el error total cometido. Por tanto, el último lado delsupuesto heptágono regular que habríamos dibujado sería más pequeño que los anteriores. Enconsecuencia, la figura que tenemos inscrita en la circunferencia inicial no es en realidad unheptágono regular. Es una interesante aproximación, pero solamente eso, una aproximación.

En esta página se pueden ver algunas mentiras clásicas relacionadas con construcciones con regla ycompás, acompañadas de una explicación y un applet de GeoGebra. Por ejemplo, aquí tenéis un métodoaproximado para construir un eneágono regular con regla y compás (recordemos que el eneágono regular,polígono regular de 9 lados, tampoco se puede construir con regla y compás).

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Autor: ^DiAmOnD^  |  Publicado el 26 de septiembre de 2011Categorías: Geometría  |   Imprime este post  Imprime este post

29 comentarios

1. 

Jesus | 26 de septiembre de 2011 | 11:46

Vótalo   2

A mi me suena haber dado ese método aproximado en dibujo de BUP o COU como construccióngeneral del polígono de n lados. Mi memoria no me alcanza para saber si lo llamaron aproximadoo no. Y además me suena que para dividir el diametro se usaba el teorema de thales.

2.  Trackback | 26 sep, 2011

Bitacoras.com

3. 

161803398874 | 26 de septiembre de 2011 | 16:12

Vótalo   1

Sí, tal y como dice Jesús, es un método aproximado para el polígono de n lados, a mí también melo explicaron en la ESO. Dividiendo el lado CD en n partes iguales y pasando por la segunda desdeN, obtenemos el lado del polígono “regular” de n lados… ¿Decís que no es regular? es más regularque ninguno, porque bien bien no está jajajaja…Yo sí que recuerdo que no nos dijeron nada de que fuese aproximado y siempre teníamos esepequeño error, que solíamos achacar a que el compás no fuese demasiado bueno y se moviera unpoco trazando los arcos para todos los lados del polígono, pero nada que no se pudiera solucionarcon el Teorema del Punto Gordo. 

4. 

zurditorium | 26 de septiembre de 2011 | 17:39

Vótalo   0

Hombre, ya sabes por qué dicho tratado andaba por la basura 

Por cierto, ¿qué programa usas exactamente para estos dibujos? (lo cierto es que debería de saberlo

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:p ).

5. 

gaussianos | 26 de septiembre de 2011 | 18:39

Vótalo   1

zurditorium, pues sí, en el libro debería poner que es una aproximación.

Respectos a los dibujos, en este caso he utilizado GeoGebra y luego he hecho capturas de pantalla.

6. 

spoken | 26 de septiembre de 2011 | 19:56

Vótalo   0

¿Alguien me puede explicar por qué este método da una aproximación tan buena?

7. 

Ignacio Larrosa Cañestro | 26 de septiembre de 2011 | 20:32

Vótalo   0

Esta construcción la hice hace ya algún tiempo. Se puede escoger el número de lados del polígono,y luego marcar las sucesivas casillas para ir viendo la construcción:

http://www.xente.mundo­r.com/ilarrosa/GeoGebra/PoligonoConstruccion.html

8. 

a | 26 de septiembre de 2011 | 22:53

Vótalo   3

¿Y cómo sabemos que el error no está en tu impericia manejando la regla y el compás? Bromasaparte, aunque la construcción del heptágono regular sea imposible con regla y compás tu dibujono demuestra nada.

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9. 

panta | 27 de septiembre de 2011 | 00:47

Vótalo   0

Perdona por el absoluto off­topic pero Me he permitido lanzarte una preguntaSaludos

10. 

Alberto | 27 de septiembre de 2011 | 10:41

Vótalo   0

El final de este artículo era un buen momento para introducir el “teorema del punto gordo”.

11. 

zurditorium | 27 de septiembre de 2011 | 14:11

Vótalo   0

@spoken, pues es cuestión de echar los cálculos. Pero vamos, que no es sorprendente que sea tanaproximado, cierto es que no se puede construir con regla y compás un heptágono, pero sí quepodemos acercarnos tanto como queramos.

12. 

zurditorium | 27 de septiembre de 2011 | 14:16

Vótalo   0

@a, estoy trasteando con el geogebra (que había oído hablar de él pero no lo había usado hastaahora) y te permite elegir el punto intersección de dos circunferencias o crear la circunferencia contal centro y que pasa por tal otro con precisión perfecta, así que no debe de tener error.

13. 

Ignacio Larrosa cañestro | 27 de septiembre de 2011 | 14:26

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No es extyraño que sea bastante aproximado (0.63º de diferencia en 51.4º), pues ésta construcciónes exacta para para n = 3, 4 y 6, aunque en estos casos hay otras construcciones exactas y mássencillas. Para n = 5, no es exacta, pero es muy buena, apenas 1/4 de grado de diferencia entre losángulos centrales en 72º. Pero para 5 hay otra construcción que si es exacta y no es mucho máscompleja. Para 8 nuevamente hay construcción exacta, y a partir de 9, el último lado quedavisiblemente más corto que el resto. Para n = 9, la diferencia entre los primeros ángulos centrales yel último es ya de 2.5º en 40º, y a partir de aquí emperora ostensiblemente.

http://www.xente.mundo­r.com/ilarrosa/GeoGebra/PoligonoConstruccion.html

En definitiva, la construcción solo resulta interesante para el heptágono regular y, si acaso, elenéagono.

14. 

Manzano | 27 de septiembre de 2011 | 16:21

Vótalo   0

Haciendo unos cuantos cálculos con geometría analítica, se llega a lo siguiente (si no me heequivocado), para un heptágono inscrito en una circunferencia de radio uno:

– Lado del heptágono regular:  .– Lado del “heptágono” de la construcción: 

.

Es un error pequeñito, pero se nota al usar esa medida aproximada siete veces.

15. 

gaussianos | 27 de septiembre de 2011 | 17:58

Vótalo   1

a, la construcción descrita no pretendía ser una demostración de nada, simplemente quería ilustrarcon ella una construcción que da una aproximación muy cercana a un heptágono regular.

spoken, ahora mismo no sabría cómo explicarlo. A ver si alguien está más lúcido que yo y te locuenta :).

16. 

Ignacio Larrosa cañestro | 27 de septiembre de 2011 | 19:37

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Vótalo   1

Tomando el diámetro de la circunferencia como 1, AN = rq(3)/2, y AP = 1/2.

El ángulo PNA = arctg((1/2 – 2/n)/(rq(3)/2)) = arctg((n – 4)/(rq(3)n))

Aplicando el teorema del seno al triángulo NAP, tenemos entonces que

(1/2)/sen(PNA) = (rq(3)/2)/sen(APN).

llamando alfa al ángulo central CAP, que debería ser 2pi/n, tenemos que

alfa + pi/2 + APN + PNA = pi

alfa = pi/2 – APN – PNA = pi/2 – arcen(rq(3)sen(arctg((n­4)/(rq(3)n)))) – arctg((n­4)/(rq(3)n))

Esto puede ‘simplificarse’ a:

alfa = arccot(rq(3)·(n – 4)/rq(n^2 + 16·n – 32)) – arctg(rq(3)·(n – 4)/(3·n))

Para n = 3..12, tenemos entonces que 2pi/alfa es:

3, 4, 5.003234495, 6, 6.987818759, 7.966827644, 8.937923183, 9.902130951, 10.86040411,11.81357081

No se a quien se le ocurrió el procedimiento, pero desde luego tenía vista … Supongo, sin mayorfundamento, que surgió de la observación de que para n = 6 daba exacto.

No es de mucho interés, pero para n = 2, también da exacto.

17. 

Juanjo VLM | 27 de septiembre de 2011 | 21:18

Vótalo   0

“En el Tratado de Geometría de Catalán, se atribuye esta construcción general a Bion, y en“matematica dilettevole e curiosa” de Italo Gershi, se asegura que este método es de Rinaldini”.

Fuente: Fernando López de Frías ” Construcción de polígonos regulares”, Dept. de exprexióngráfica en la ingeniería, Univ. Polit. de Valencia, servicio de publicaciones, ref. 98.986, donde ensu pag 7 ( de 25, es un pequeño folleto, creo que no venal) se construye con este método elheptágono, indicando explicitamente que es un método aproximado, dado que no existe formaexacta de hacerlo con regla y compás.Saludos.

18. 

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Roberto | 5 de noviembre de 2011 | 17:36

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A Ignacio:Supongo que este método surgió buscando un punto exterior que proyectado sobre la división n­sima del diámetro, dividiera en n partes la semicircunferencia. No existe tal punto común para todon, pero si se trazan esas proyecciones se ve que “pasan cerca” del punto exterior de la construcción(a raíz de tres del centro, considerando el radio de la circunferencia 1).

Hay un método de rectificación de arcos de circunferencia (menores de 90º) que usa un sistemaparecido, aunque proyectado sobre una tangente exterior. En ese método el punto está a 1’75 delcentro (en lugar de 1’732..), pero en el fondo funciona con la misma lógica (hacer una equivalenciaentre la división de un arco y la de una recta).Un saludo.

19. 

lydia | 17 de diciembre de 2011 | 14:05

Vótalo   3

Que lio Dios

20. 

José | 12 de enero de 2013 | 21:42

Vótalo   2

A donde han estudiado las abejas para obtener el conocimiento de hacer los panales con las cerdastodas con la misma dimensión?

21. 

welinton | 12 de abril de 2013 | 17:01

Vótalo   1

esta bien

22. 

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yamila | 16 de abril de 2013 | 15:44

Vótalo   1

hola necsito sacar esto algien me puede ayudar1­explicar por que no existe ningun heptagono tal que todos sus lados tengan la misma longitud ysus angulos midan exactamente 120°,150°,120°,120°,120°,150°y 120°,en ese orden.2­justificar porque existe algun heptagono tal que todos sus lados tiene la misma longitud y susangulos miden,exctamente en ese orden,108°,168°,108°,132°,108°,168°y 108|

23. 

tino | 14 de agosto de 2013 | 00:11

Vótalo   0

trasteando con el Geogebra he intentado algo parecido. Dividir un segmento de longitud 1 en trespartes iguales por thales y parece que tampoco es posible. me salen tres segmentos de 0,33.Matemáticamente es imposible, pero alguien me podría decir si es posible hacerlo con regla ycompás?

24. 

JJGJJG | 14 de agosto de 2013 | 12:24

Vótalo   1

Sobre una recta traza, con un compás, tres segmentos iguales de longitud arbitraria.Traza una paralela a la anterior.Sobre ella marca con el compás un segmento igual al que quieres dividir.Une con la regla los extremos del segmento suma de los tres primeros con los extremos delsegmento en la otra recta y prolonga hasta que se corten.Une el punto de intersección con los dos intermedios de la primera recta y dividirás tu segmento entres partes iguales (puro Tales).

25. 

tino | 15 de agosto de 2013 | 22:49

Vótalo   1

ok!, entonces con el heptágono podría ocurrir lo mismo?Es decir, ¿con el programa Geogebra no se podría construir, y sin embargo con regla y compás síse podría?

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26. 

Ignacio Larrosa Cañestro | 16 de agosto de 2013 | 00:03

Vótalo   1

Tino,

Con GeoGebra puede construirse cualquier cosa que pueda construirde con regla y compás, puestiene las herramientas básicas que hacen las mismas funciones que estos instrumentos: recta quepasa por dos puntos y compás (transportar la medida de un segmento). Además se pueden hacermuchas construcciones, de forma aproximada, imposibles de hacer con regla y compás, como porejemplo la construcción de polígonos regulares de cualquier número de lados. Pero como seexplica en este artículo, esto no puede hacerse de forma exacta con regla y compás, en particularpara el heptágono.

Respecto a la división de un segmento en cualquier número de partes iguales, si que puede hacersesin ningún problema con regla y compás (y por tanto con Geogebra). Si divides 7un segmento delongitud 1 en tres partes iguales, te da segmentos de longitud 0.33 porque aproxima la presentaciónde los números a dos decimales. Si cambias el número de decimales con que se _presentan_ losresultatos, podrás ver que te pone 0.3333… con tantods treses como decimales hayas fijado (hasta15). Por otra parte, si cambias el tamaño del segmento que divides a 2 unidades, verrás que cadauna de las tres partes mide ahora 0.67, no 0.66, por que aproxima por redondeo, no portruncamiento.

27.  Trackback | 13 oct, 2013

Gaussianos cumple 6 años de vida ­ Gaussianos | Gaussianos

28. 

Oscar | 21 de enero de 2014 | 18:35

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Soy licenciado en matemáticas y tengo un hijo que cursa 1º de ESO. Cual ha sido mi sorpresa queen el examen de plástica que le han puesto hoy le han mandado dibujar un heptágono regular.Toma, toma, toma….

29. 

alisson | 26 de marzo de 2014 | 04:08

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1/5/2015 Construir un heptágono regular con regla y compás ­ Gaussianos | Gaussianos

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Me gustó mucho pero es un poco enredado gracias sirve mucho

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