Caracterización y calibración de un espejo montado sobre un piezoeléctrico para aplicaciones de...

Caracterizacion y calibracion de un espejo montado sobre un piezoelectrico paraaplicaciones de mezcla de dos ondas.

Gines R. Perez Teruel1, ∗

En este trabajo se describe la labor realizada durante la estancia de investigacion en el De-partamento de Ciencia de Materiales, Optica y Tecnologıa Electronica de la Universidad MiguelHernandez(UMH). Se introduce brevemente el efecto fotorrefractivo, primero de forma cualitativay luego por medio de su fundamento teorico. Posteriormente, se lleva a cabo una descripcion deldispositivo experimental y sus instrumentos principales. El objetivo del trabajo es la calibracion deun espejo montado en un material piezoelectrico, cuyo fin es la generacion de un desfase δω en unode los haces.

∗Electronic address: [email protected]

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Contents

I. Introduccion. El efecto fotorrefractivo 2

II. Fundamento teorico 4A. Ecuaciones independientes del tiempo 5B. Fenomeno de resonancia con franjas moviles 7C. Solucion de la ecuacion de onda para las intensidades opticas 7

III. Parte experimental 8A. Dispositivo experimental 8B. Propiedades de los piezoelectricos. 11C. Metodologıa experimental 12

IV. Resultados y Conclusiones 12

I. INTRODUCCION. EL EFECTO FOTORREFRACTIVO

El efecto fotorrefractivo se manifiesta como una variacion del ındice de refraccion de un medio material fotoconductory electrooptico inducida por una distribucion no uniforme de intensidad luminosa. Se observo por primera vez hacia1967 en el LiNbO3, desde entonces son muchos y muy diversos los materiales en los que se ha manifestado este efectooptico no lineal.

En efecto, el fenomeno fotorrefractivo se enmarca en la optica no lineal, y en ella se estudia la interaccion de luz yla materia, en otras palabras, se analiza que hace la luz al material y que hace el material a la luz. Precisemos ahoraalgunas ideas sobre la fotorrefractividad, recordando que la propagacion de la luz en un medio esta determinada por lapropiedad optica denominada ındice de refraccion; ahora bien, si el ındice de refraccion del medio se puede controlarcon la intensidad de un haz de luz, entonces la propagacion de un haz de luz se puede manipular con otro haz deluz. Pues bien, esto ultimo es lo que en los materiales fotorrefractivos se puede hacer, y con ello desarrollar una granvariedad de aplicaciones, basadas en control de luz por la misma luz. En optica lineal no es posible el control de luzcon luz, dado que el ındice de refraccion solo depende de la frecuencia de la luz y por ende la reflexion y refraccionde la misma luz es independiente de su intensidad; en el regimen optico no lineal existe dependencia tanto de laintensidad de la radiacion como de su frecuencia.El efecto fotorrefractivo se considera un caso especial de los fenomenos opticos no lineales; los fenomenos no linealesdenominados puros, dependen directamente de la intensidad del campo electrico de la radiacion, sin embargo, elefecto fotorrefractivo no es causado directamente por la intensidad del campo electrico de la luz que perturba elmaterial; esta especial caracterıstica de los materiales fotorrefractivos se convierte en una ventaja en el sentido deque podemos generar efectos de orden superior con intensidades de la radiacion electromagnetica relativamente bajas,por ejemplo de 1mW/cm2 ; los materiales no lineales puros estos efectos solo son posibles con intensidades de campoelectromagnetico de 1W/cm2 o superior. La presencia de un campo optico modifica las propiedades del medio, elcual a su vez, puede modificar otro campo optico o el mismo campo original. Una manera de representar la respuestade un material a la radiacion electromagnetica es a partir del vector densidad de polarizacion P(r, t) y el vectorcampo electrico E(r, t); el medio sera no lineal cuando la relacion entre ambos campos no lo sea. En esos terminos,la respuesta del material se puede caracterizar mediante la relacion

P = ε0χ1E + ε0χ

2EE + ε0χ3EEE + ... (1)

Donde P,es el vector densidad de polarizacion inducida en el medio, ε0 es la permitividad del vacıo, E es el campoelectrico de la radiacion, χ1 χ2,χ3, son los parametros asociados con la susceptibilidad electrica de primer, segundo ytercer orden respectivamente. La optica lineal esta descrita por el primer termino (primer orden) de la Ec.(1), dondeel parametro χ1 esta relacionado con el ındice de refraccion mediante la expresion

n2 = 1 + χ1 (2)

Los terminos de segundo orden y demas, se refieren a la respuesta optica no lineal del medio, situacion que da origena toda una serie de aplicaciones interesantes. Por ejemplo, el termino de segundo orden, χ2EE es el responsable del

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doblado de frecuencia de una onda monocromatica (generacion del segundo armonico), el mezclado de dos ondasmonocromaticas genera una tercera onda cuya frecuencia es la suma o diferencia de las frecuencias de las ondasoriginales (conversion de frecuencia), el uso de dos ondas para amplificar una tercera onda (amplificacion), y laadicion de retroalimentacion de un amplificador parametrico para crear un oscilador. El termino de tercer orden,χ3EEE, es responsable de fenomenos diversos como generacion de tercer armonico, mezclado de cuatro ondas, efectoKerr, auto-enfoque, amplificacion optica y conjugacion de fase.

El segundo termino se puede considerar como una modificacion del primer termino de la siguiente forma

∆χ1 = χ2E (3)

Para un medio optico tıpico, ∆χ1 es del orden de la unidad. Para luz de intensidad ordinaria similar a la luz solara nivel del mar, el campo electrico de la luz es del orden de 10V/cm. Para haces laser con potencia moderada, elcampo electrico asociado es comparable a un campo electrico interatomico de cerca de 107V/cm. La iluminacion demateriales apropiados por tal haz laser induce un cambio significativo del ındice de refraccion, y por tanto puedeafectar la propagacion del haz de luz. Antes de 1961 muchas propiedades opticas no lineales en la materia nofueron descubiertas; las investigaciones mostraban que las transmision, reflexion y refraccion de la luz en materialestransparentes no eran afectadas por la intensidad de la luz ni por la presencia de otro haz; es decir, que se trataba delregimen de la optica lineal, donde la frecuencia de la luz que entra al material no cambia al salir de el y su intensidadde entrada-salida es proporcional.

La razon para la no deteccion de la optica de orden superior se dio por la dificultad de disponer de fuentes queproporcionaran campos electromagneticos altos, y que solo fueron posibles despues de la construccion del primerlaser. Como ya hemos mencionado, en 1967 se descubre el efecto fotorrefractivo, y con el la optica no lineal de bajaintensidad de luz. De forma simple podemos definir este fenomeno, como aquel donde el ındice de refraccion cambialocalmente cuando un frente de onda, de distribucion de intensidad no uniforme espacialmente, incide en el material;de esta forma, se produce una migracion de electrones desde las impurezas donadoras del material y hacia la bandade conduccion, y posterior recombinacion en las impurezas aceptoras. El resultado de este proceso, es la generacionde una distribucion de carga espacial y por ende un campo de carga electrica denominado campo de carga espacial.Este campo de carga espacial es el responsable de inducir en el material un cambio local de ındice de refraccion vıaefecto electro-optico de primer orden (Pockels) o de segundo orden (Kerr), lo cual depende del tipo de material.

El efecto fotorrefractivo queda resumido en el esquema representado en la Figura 1. Tal y como se ilustra, el efectofotorrefractivo tiene lugar en las siguientes etapas o fases:1). El material fotorrefractivo es iluminado por dos haces coherentes (en holografıa, estos haces se corresponderıancon la senal y y el haz de referencia). La interferencia entre ambos haces genera un patron de franjas brillantes yoscuras a traves del material.2). En las zonas donde hay una franja brillante, los electrones pueden absorber la luz y ser promovidos hacia la bandade conduccion del material, dejando un hueco tras de sı de carga neta positiva. Estos electrones promovidos haciala banda de conduccion del material no proceden de la banda de valencia, sino de una intermedia conocida como elnivel o banda de impurezas (impurity levels). El grado de fotoionizacion G(x) es proporcional a la intensidad opticay al numero por unidad de volumen de donadores no ionizados.

G(x) = S(ND −N+

D

)I(x) (4)

Donde ND, N+D , es el numero por unidad de volumen de donadores, y de donadores ionizados respectivamente. S es

la constante de fotoionizacion.3). Una vez en la banda de conduccion, los electrones son libres para moverse libremente y difundirse a traves delcristal. Puesto que los electrones estan siendo excitados preferentemente en las zonas de franjas brillantes, la corrientede difusion neta de electrones tiene lugar hacia la zona donde estan las franjas oscuras del material.4).Durante el movimiento por la banda de conduccion, los electrones pueden, con cierta probabilidad, recombinarsecon los huecos y volver a la banda de los niveles de impurezas del material. El grado de recombinacion determina cuanlejos los electrones pueden difundirse, lo que parametriza la importancia del efecto fotorrefractivo en dicho material.Este grado de recombinacion R(x), viene dado por

R(x) = γrn(x)N+D (5)

El equilibrio se alcanzara cuando el grado de fotoionizacion sea igual al de recombinacion, G(x) = R(x), esto propor-ciona

S(ND −N+

D

)I(x) = γrn(x)N+

D (6)

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Donde γr es la constante de recombinacion de los electrones y n(x) el numero de electrones por unidad de volumenen la banda de conduccion. De esta ultima ecuacion es posible despejar n(x) en funcion de I(x)

n(x) =S

γr

ND −N+D

N+D

I(x) (7)

Una vez los electrones se han recombinado y situado de nuevo en la banda de impurezas, se encuentran atrapados yya no pueden continuar moviendose a no ser que vuelvan a ser reexcitados por luz hacia la banda de conduccion.5). Dicha redistribucion neta de electrones hacia las regiones oscuras del material deja huecos en las zonas brillantes,dando lugar a una distrubucion resultante de carga que crea un campo electrico, conocido como campo electrico decarga espacial interno. Puesto que los electrones y huecos permanecen atrapados e inmoviles, este campo electricopersiste incluso cuando el material deja de ser iluminado. El campo electrico depende de la derivada de n(x) y de latemperatura

E(x) =KBT

e

1

n(x)

dn(x)

dx(8)

6).El campo electrico de carga espacial interno, a traves del efecto electro-optico causa una variacion del ındice derefraccion del cristal, especialmente en las regiones donde el campo electrico es mas intenso. El cambio en el ındicede refraccion viene dado por

∆n = −1

2n3reffE(x) (9)

Donde reff es la constante electro-optica efectiva.7). El patron de ındice de refraccion difracta la luz, lo cual recrea la estructura periodica de luz almacenada en elcristal.

En la Figura 2 representamos un esquema de estos procesos.

II. FUNDAMENTO TEORICO

En terminos mas precisos, la respuesta del material fotorrefractivo al ser iluminado, puede ser descrito por un grupode ecuaciones diferenciales introducidas por Kukhtarev y sus colaboradores. Estas ecuaciones son las siguientes

e∂N+

D

∂t= e

∂n

∂t+∇ ~J (10)

∂N+D

∂t=(βe + sI

)(ND −N+

D

)+ γrnN

+D (11)

~J = eµn ~Es −KBTµ∇n+ ~pI (12)

∇(ε0εs ~Es) = e(n+NA −N+

D

)(13)

Donde n lo definimos en el apartado anterior y es el numero de electrones por unidad de volumen en la bandade conduccion, ND, NA el numero de donadores y de aceptores por unidad de volumen respectivamente, N+

D es el

numero de donadores ionizados por unidad de volumen, ~J es la densidad de corriente, ~Es es el campo electrico estatico

constituido por el campo electrico aplicado ~E0 y el campo espacial de carga creado por el desequilibrio de carga, Ies la intensidad de la luz, e es la carga del electron, βe es el ratio de generacion termica, s la seccion eficaz defotoionizacion,γr la constante de recombinacion de los electrones, µ es la movilidad de los portadores de carga, KB esla constante de Boltzmann, T es la temperatura, ~p es el vector de la constante fotovoltaica, ε0 es la permitividad delvacıo, εs es la constante dielectrica relativa, t es el tiempo, y ∇ es el operador diferencial.

Este sistema de ecuaciones general suele simplificarse considerablemente bajo los siguientes supuestos: (i) n << N+D ,

(ii) βe << sI,(iii) N+D << ND, el operador diferencial de las Ecs.(4) y (7) se escoge de la forma (iv) ∇ = (∂/∂x)i, es

decir, solo se consideran variaciones en una dimension, (v) ~p = 0, no hay efecto fotovoltaico, y (vi), εs es independiente

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ILUMINACION

ABSORCION

EXCITACION DE LA CARGA

TRANSPORTE DE CARGA

DISTRIBUCION DE CARGAESPACIAL INHOMOGENEA

CAMPO ELECTRICO DECARGA ESPACIAL INTERNO

EFECTO ELECTROOPTICO (POCKELS)

OR. MOLECULAS ASIS.POR CAMPO (KERR)

CAMBIO DE INDICE DE RE-FRACCION INHOMOGENEO

ATRAPAMIENTO

REEXCITACION DE CARGA

Figure 1: Esquema del mecanismo de variacion del ındice de refraccion a traves del efecto fotorrefractivo.

de x. Efectivamente, bajo estas condiciones concretas, el sistema de ecuaciones anterior adquiere la siguiente formasimplificada en una dimension

e∂N+

D

∂t=∂J

∂x(14)

∂N+D

∂t= sIND − γrnN+

D (15)

J = eµnEs −KBTµ∂n

∂x(16)

∂Es

∂x=

e

ε0εs

(NA −N+

D

)(17)

A. Ecuaciones independientes del tiempo

Los dos haces opticos incidentes (sin tener en cuenta el cambio de fase en la frecuencia de uno de los haces) danlugar a un patron de interferencia estacionario. Como consecuencia, cabe esperar que todas las variables fısicas deinteres, n, N+

D , J , y Es variaran de forma periodica. Para resolver el sistema de ecuaciones, suponemos que lassoluciones tienen esta forma

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Figure 2: Representacion de la intensidad optica, densidad de carga, campo electrico espacial de carga y modulacion de ındicede refraccion como funciones de x. En general, tendremos un desfase entre la intensidad (patron de franjas), y la modulaciondel ındice de refraccion.

N+D = N+

D0+

1

2[N+

D1(z, t) exp jKx+ cc], (18)

n = n0 +1

2[n1(z, t) exp jKx+ cc] (19)

J = J0 +1

2[J1(z, t) exp jKx+ cc] (20)

Es = E0 +1

2[Es1(z, t) exp jKx+ cc] (21)

Donde K = 2π/Λ, Λ es el espaciado entre las franjas, y cc alude al complejo conjugado. Debemos enfatizar que lascantidades con subındice 0 son constantes, mientras aquellas con subındice 1 solo son independientes de la coordenadax, y por tanto pueden depender de z y t.

Sustituyendo estas ecuaciones en el sistema (14)-(17) se obtienen ecuaciones diferenciales para las variables consubındices 1 que hacen referencia a la modulacion. A continuacion, se tienen en cuenta dos nuevas aproximaciones: enprimer lugar, se considera que el producto cruzado de dos magnitudes moduladas es despreciable (correspondiente a loque es conocido como primera perturbacion), y en segundo lugar, la segunda derivada temporal puede despreciarse encomparacion con la primera derivada (permisible porque la funcion varıa lentamente con el tiempo). Las ecuacionesdiferenciales resultantes contienen terminos constantes y terminos multiplicados por exp jKx. Igualandolas a ceropor separado, concluımos con un grupo de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo de las cuales mostraremos aquıtan solo la correspondiente al campo de carga espacial Es

∂Es1

∂t+ gEs1 = hm (22)

Donde

g =1

Dτd

(1 +

ET

Eq+ j

E0

Eq

)(23)

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h =1

Dτd(−E0 + jET ) (24)

τd =ε0εseµn0

(25)

n0 =sI0ND

γrNA(26)

ET =KTKB

e(27)

Eq =eNA

ε0εsK(28)

Por ultimo, el parametro m es, m = 2(IRIS)1/2/(IR + IS) que se corresponde con la modulacion de las franjas. Porsu parte, IR e IS se corresponden con las intensidades del haz de referencia y de la senal, respectivamente. ET yEq son respectivamente, el campo de difusion y el maximo valor del campo de carga espacial correspondiente a unaseparacion de carga de un perıodo del patron interferencial. Finalmente, indicar que la Ec. (22) muestra que estamosante un sistema lineal forzado con un “forcing term” que da lugar a oscilaciones forzadas. En efecto, si g es complejo,la respuesta del sistema sera parcialmente atenuada y parcialmente oscilatoria. Ademas, si el termino responsablede este fenomeno (forcing term) es tambien de caracter oscilatorio con la frecuencia adecuada, tendra el efecto demejorar la interaccion.

B. Fenomeno de resonancia con franjas moviles

Como discutiremos mas adelante, un punto clave es que la frecuencia del haz de referencia sufre un desfase δωdebido a la acccion de un espejo montado sobre un material piezoelectrico. Por lo tanto, las franjas no permanecenestaticas sino que se desplazan con una velocidad dada por v = δω/K. Por tanto el segundo miembro de la Ec.(22) debe incluir un factor dado por exp(−jKvt). Es decir, tenemos por tanto un termino oscilatorio causante dela oscilacion forzada. En estas condiciones, cabe esperar la presencia de una resonancia cuando la frecuencia del“termino forzador” sea igual a la parte imaginaria de g. El efecto de la resonancia sera mas fuerte cuando la partereal de g sea pequena, concretamente

E/Eq, ET /Eq, ET /E0 << 1 (29)

Por tanto, Im(g) = −(1/τd)(EM/E0) y consecuentemente la velocidad optima esta dada por

Vopt = − 1

Kτd

EM

E0= −NDEq

KNA

sI0E0

= −eND

εK2

sI0E0

(30)

Donde EM = γrNA/µK.

C. Solucion de la ecuacion de onda para las intensidades opticas

El problema del acoplamiento de dos ondas electromagneticas por medio de una red (grating), es un problemaclasico comun a varias disciplinas fısicas: difraccion por rayos x, difraccion acusto-optica y holografıa. El resultadodel acoplamiento es que se produce una transferencia de energıa de la onda incidente a la onda difractada. Estaconfiguracion clasica que contiene una red pasiva puede ser empleada como acoplador, pero para lograr una amplifi-cacion apreciable necesitamos una red dinamica cuya modulacion dependa de las amplitudes de ambas ondas. Unacorrecta descripcion de este parametrico tipo de amplificacion fue primero estudiada por Vahey, y posteriormente porKukhtarev y sus colaboradores. El punto de partida es la ecuacion de onda que escribiremos en la forma siguiente

∇×∇× ~E − µε0∂2

∂t2

[(εr + ∆εr) ~E

]= 0 (31)

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Donde ~E es el campo electrico asociado a los haces opticos, µ0 es la permeabilidad del espacio libre, y εr es la constantedielectrica relativa a frecuencias opticas. El pequeno cambio en la constante dielectrica ∆εr esta relacionado con elcampo electrico estatico mediante la relacion

∆εr = reff ε2rEs (32)

Donde reff es el coeficiente electro-optico efectivo. En general, tanto la constante dielectrica como el coeficiente elec-trooptico seran tensores pero para un caso practico con las orientaciones del cristal fijadas, es usualmente satisfactorioconsiderarlos como escalares, aunque por supuesto un campo de carga espacial en una direccion particular puede darlugar a una variacion de la constante dielectrica en alguna otra direccion. Suponemos que la solucion de la Ec. (31)tiene la forma

E =1

2

[ER exp j(ωrt− krr) + ES exp j(ωst− ksr) + cc

](33)

Donde ω y k se refieren a la frecuencia y el vector de ondas, r es el radio vector, y los subındices R y S serefieren al haz referencia y senal respectivamente. Es importante notar que la diferencia de frecuencias entre loshaces es extraordinariamente pequeno (para una velocidad de las franjas de 100µm/s y un espaciado de Λ = 23µm,tendrıamos δω = 27Hz). Podemos ahora sustituir la Ec. (33) en la (31), suponiendo que tanto ER como ES solo varıana lo largo de la direccion z, que varıan lentamente y que no hay presentes altos ordenes de difraccion. Quedandonosa primer orden, tras cierta cantidad de algebra, se llega a las ecuaciones diferenciales acopladas

dIRdz

= −ΓsIRISIR + IS

dISdz

= ΓsIRISIR + IS

(34)

Donde

Γs =2πreff ε

3/2r Eω

λ cos θ(35)

Estas ecuaciones, introducidas por Vahey y Kukhtarev, son validas para pequenas modulaciones. Suponiendo que elhaz de referencia es difıcilmente empobrecido o mermado en los experimentos, puede considerarse a efectos practicosque IR = constante. Por lo tanto, la ecuacion diferencial para el haz senal se convierte

dISdz

= ΓsIS (36)

III. PARTE EXPERIMENTAL

Una vez realizada una breve introduccion al efecto fotorrefractivo, a continuacion se va a describir el dispositivoexperimental objeto de este estudio.

A. Dispositivo experimental

En esta seccion discutiremos el dispositivo experimental y llevaremos a cabo una descripcion detallada de los instru-mentos que contiene. El dispositivo experimental con el que hemos trabajado durante la estancia viene representadoen el esquema de la Figura 3. Tenemos en primer lugar la fuente optica, que en nuestro caso es un laser de Meta-vanadato de Neodimio (NdV O4), que genera un haz verde de longitud de onda, λ = 532 nm. En E tenemos colocadoslos espejos, mientras que S y H, es la posicion de la separadora y de la muestra, respectivamente. El haz inicialguassiano que procede de la fuente es reflejado por el primer espejo E y pasa a continuacion a traves de un sistemade colimacion formado por una lente, un filtro espacial, una segunda lente y finalmente un diafragma. El sistema decolimacion uniformiza el haz inicial guassiano que emerge del laser, de forma que el perfil resultante puede aproxi-marse por una onda plana. Un generador de senal introduce una diferencia de potencial en el espejo montado sobreel piezoelectrico. Como explicaremos con detalle mas tarde, esta diferencia de potencial produce una oscilacion en elpiezo, lo que genera una diferencia de camino optico entre los haces y como consecuencia un δω. Por ultimo, el patroninterferencial resultante es analizado por medio del osciloscopio.

Tal y como hemos dicho, la posicion de la muestra, tıpicamente un material fotorrefractivo, se corresponde con elpunto H del esquema. Sin embargo, en nuestro caso se ha modificado el dispositivo experimental quitando la muestray colocando en su lugar una separadora, conviertiendo ası el dispositivo en un Interferometro Mach-Zehnder(MZI).

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En este tipo de interferometro, inventado en 1891, la senal inicial es dividida en dos haces iguales al atravesarla separadora (beam splitter), los haces recorren dos caminos diferentes y son posteriormente recombinados en unacoplador, generando un patron interferencial. Este interferometro se puede utilizar para medir el desfase entre doshaces, causado por una muestra o por el cambio en la longitud de uno de sus brazos, que implicara un cambio enel camino optico recorrido por uno de los haces. El Mach-Zehnder tiene importantes aplicaciones en muchas areasde la fısica ademas de la optica, y puede emplearse para estudiar efectos de entrelazamiento cuantico, criptografıa,computacion cuantica, etc. En la Figura 4 hemos representado un ejemplo sencillo de este tipo de interferometro,con dos espejos y dos acopladores. Notese que no es exactamente el mismo con el que hemos trabajado nosotros,pues en nuestro dispositivo se incluyen un tercer espejo y un sistema de colimacion. La Figura 5 es una fotografıa deldispositivo experimental, con el sistema de colimacion en primer termino y la fuente optica al fondo.

E

L

Fs

SPC

P

H

E

E

L

Di

D

D

Laser

Generador de Señal

Piezo

Figure 3: Esquema del dispositivo experimental

Figure 4: Ejemplo de un interferometro Mach-Zehnder

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Figure 5: Fotografıa del dispositivo experimental. En primer termino se observa el sistema de colimacion.

El objetivo del trabajo es calibrar la respuesta del espejo montado sobre el piezo a la tension electrica introducidapor el generador de senal. Bajo el efecto de esta tension el piezo oscila, generando una diferencia de camino opticoentre los haces, lo cual produce un desfase δω, del orden de unos pocos Herzios como comentamos en el apartadoanterior. Este pequeno desfase de frecuencia se puede conseguir por medio de moduladores electro-opticos de fase,moduladores acusto-opticos, o tambien mediante un espejo montado en un material piezoelectrico, que es el caso quenos ocupa. Por lo tanto, se quiere calibrar este cambio de frecuencia en la mezcla de ondas para entender lo que nosencontraremos posteriormente al colocar la muestra para investigar diversas aplicaciones del efecto fotorrefractivo,tales como amplificacion de senales, generacion de hologramas, o produccion de luz lenta, por citar solo unos pocosejemplos. Pasamos a comentar los aspectos esenciales de los piezoelectricos.

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B. Propiedades de los piezoelectricos.

Una caracterıstica distintiva de estos materiales es que carecen de centro de simetrıa, de forma que al ser sometidosa tensiones mecanicas, adquieren una polarizacion electrica lo que genera una diferencia de potencial, que produce unflujo de cargas electricas hacia su superficie. El efecto puede presentarse a la inversa tal y como ilustra la Figura 6. Alaplicar un voltaje al material piezoelectrico, este responde con una vibracion mecanica, contrayendose y expandiendose,y por tanto oscilando con la misma frecuencia de la senal electrica aplicada, con la posibilidad de un cierto desfase.

Figure 6: Respuesta de un piezoelectrico a la tension electrica aplicada

Figure 7: Un P-753 similar al utilizado en la experiencia

En la Figura 7 podemos ver el piezoelectrico de nuestro dispositivo experimental. Se trata del modelo P-753 LISA(Linear Stage Actuators), un material de acero inoxidable con un rango operativo de temperaturas de 100 (de −20

a 80). Las dimensiones son de 44x30x15 mm, su resolucion de 0, 05 nm, y su masa de unos 0, 2 Kg (dependiendo delmodelo concreto). La alta resolucion y excelente precision tıpica de estos instrumentos los hace ideales para estudiarprocesos de interferometrıa. Por ultimo, es importante remarcar que aunque la tension electrica inducida en el piezoque ilustra la Figura 6 es de tipo sinusoidal, nosotros en la experiencia hemos trabajado con una senal tipo diente desierra.

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C. Metodologıa experimental

En esta seccion describiremos el trabajo llevado a cabo durante la estancia, ası como el proceso de adquisicion yanalisis de los datos experimentales. Como hemos dicho en el apartado anterior, el objetivo del trabajo es calibrarla respuesta del piezoelectrico a la senal tipo diente de sierra introducida. Esta senal excita al piezo, que empieza aoscilar mecanicamente, lo que tiene el efecto de generar por efecto Doppler un pequeno desfase δω entre los haces.Este desfase lo queremos determinar para entender que va a pasar cuando posteriormente coloquemos la muestra yhagamos interferir en ella los haces para estudiar, por ejemplo, aplicaciones del efecto fotorrefractivo.

En primer lugar, conviene parametrizar matematicamente la superposicion de los dos haces planos para hacernosuna idea de lo que tipo de patron interferencial nos vamos a encontrar en el piezoelectrico. Puesto que lo que medimosson al final, intensidades, suponemos una estructura de ondas planas de la forma

E1 = A1 exp j(k1r1 − ω1t+ φ1) (37)

E2 = A2 exp j(k2r2 − ω2t+ φ2(t)) (38)

Suponemos, por razones de simplicidad y en buena aproximacion que k1 = k2 = k ≡ 2π/λ, siendo λ = 532nm,la longitud de onda del laser de Metavanadato de Neodimio (NdV O4). Tendremos k ' 10−2nm−1. Por otra parte,ω1 = ω2 = ω ≡ ck ' 1015Hz. El desfase de frecuencias lo caracterizamos por tanto por medio del parametrodependiente del tiempo φ2(t).

El patron de intensidades sera por tanto

I = |E1 + E2|2 = |A1|2 + |A2|2 + 2A1A2cos(kr + δ(t)) (39)

Donde δ(t) = φ1 − φ2(t) es el desfase de frecuencias inducido en el piezoelectrico, que es lo que queremos determinarexperimentalmente. Como buscamos caracterizar una respuesta lineal del piezoelectrico, la forma de este termino seralineal con el tiempo, de la forma

δ(t) = δω · t (40)

Por tanto de lo que se trata es de determinar esta constante δω, que en el correspondiente ajuste se corresponderacon la pendiente de una recta. Por otra parte, kr = cte, y esta constante esta relacionada con el espaciado de lasfranjas o frecuencia espacial del patron interferencial. A continuacion, introducimos una senal tipo diente de sierraen el piezo por medio del generador de senal. En esta senal tenemos tres parametros libres: el voltaje de referenciaV0 (offset), la amplitud V1, y la frecuencia ν.

El proceso de toma de datos experimentales se llevo a cabo de la manera siguiente; Para cada valor del offsetV0 = cte, realizamos un barrido de amplitudes V1, en un rango V1 ∈ [150, 300] mV a intervalos de 10 mV repitiendolas medidas tres veces para cada valor de amplitud. Al terminar el barrido de amplitudes, duplicamos el valor dela frecuencia y repetimos el proceso, con ν ∈ [2, 128]Hz. Posteriormente cambiamos el valor de V0 y volvemos aempezar, llevando a cabo el correspondiente barrido de amplitudes y frecuencias en los rangos mencionados. Elnumero de medidas realizadas fue de n = 4 · 7 · 16 · 3 = 1344

Una vez recabados todos los datos experimentales, se realiza un ajuste no lineal con el programa Mathematica conel fin de determinar las condiciones optimas de trabajo, es decir, los rangos de valores de los parametros para los quese observa una respuesta lineal adecuada del piezoelectrico.

IV. RESULTADOS Y CONCLUSIONES

En esta seccion se presentan los resultados obtenidos. En primer lugar, de entre los cuatro valores del parametro V0estudiados, correspondientes a V0 =, 150, 200, 250, 300 mV, encontramos toda una serie de armonicos, fluctuaciones yruido que nos alejaban del regimen lineal para todos los valores, excepto en el caso V0 = 200± 1mV , que sı respondıaal comportamiento esperado. La presencia de estos armonicos se debe a la existencia de varias frecuencias, lo cualsignifica que estamos en un regimen no operativo donde la respuesta del piezoelectrico a la senal introducida resultaser no lineal. Por otra parte, para discriminar entre los ajustes aceptables de los no aceptables de los perfiles de

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intensidades, impusimos el criterio siguiente. Aceptamos como buenos los ajustes correspondientes a coeficientes decorrelacion cuadraticos “con un mınimo de tres nueves”, como por ejemplo: r2 = 0, 999 y descartamos los ajustescon coeficientes por debajo de este umbral. Este criterio, que a primera vista puede parecer sumamente restrictivoy arbitrario, esta sin embargo claramente justificado; En efecto, dado el gran numero de puntos de cada perfil deintensidades (del orden de cinco a seis mil puntos), el algoritmo era capaz de ajustar muchos puntos de la graficay por tanto proporcionaba coeficientes de correlacion cercanos a la unidad, incluso en los casos en los que el ajusteera claramente insatisfactorio, como se ilustra por medio de las Figuras 8 y 9, que son dos ejemplos del conjunto deajustes realizados.

Junto con estos dos ajustes concretos, adjuntamos los promedios de las frecuencias obtenidas con los ajustes, (los δωque buscabamos determinar), para las frecuencias de la senal diente de sierra correspondientes a, ν = 2, 4, 8, 16, 32, 64,y 128 Hz. A continuacion representamos los coeficientes de correlacion de los ajustes obtenidos para cada una de lasfrecuencias. Se observa que, en general, para frecuencias bajas obtenemos mejores ajustes, lo que significa que eneste regimen la respuesta del piezoelectrico se aproxima mejor al caracter lineal esperado. Sin embargo, conforme vaaumentando la frecuencia observamos que los coeficientes de correlacion obtenidos para los ajustes son claramentepeores, lo cual indica que este regimen de altas frecuencias no es operativo. En terminos mas precisos, podemosobservar del analisis de los resultados que el desfase δω esta relacionado linealmente con la frecuencia ν de la senaldiente de sierra mediante la expresion

δω = 2πν (41)

Analizamos ahora frecuencia a frecuencia los resultados obtenidos en los ajustes. Notese que VT = V0 + V1

-Frecuencia ν = 2 Hz

Coeficiente de regresion por encima de 0, 998 desde VT = 0, 35V hasta VT = 0, 43V . En general observamos quelos datos presentan una fluctuacion importante y los ajustes empeoran a partir de este valor


Coeficiente de regresion por encima de 0, 999 desde VT = 0, 35V hasta VT = 0, 41V . A partir de aquı observamosclaramente una peor calidad en los ajustes.


Coeficiente de regresion por encima de 0, 999 desde VT = 0, 35V hasta VT = 0, 42V . Cae sensiblemente a partir deaquı. Entre 0, 44 V y 0, 46 V el coeficiente de regresion esta incluso por debajo de 0, 996


Para esta frecuencia el coeficiente de regresion ya esta por debajo de 0, 999 en todo el intervalo. Entre VT = 0, 35Vy VT = 0, 42V esta por encima de 0, 998 sin llegar a 0, 999. Observamos que cae rapidamente por debajo de 0, 998para VT > 0, 42 V


En esta frecuencia se observa que los datos estan muy estabilizados y sin grandes fluctuaciones. Coeficiente deregresion por encima de 0, 998 sin llegar a 0, 999 en todo el intervalo.


El coeficiente de regresion esta por debajo de 0, 999 en todo el intervalo y los datos presentan una importantedispersion. Claramente ya estamos muy alejados del regimen operativo.


El coeficiente de regresion esta por debajo de 0, 999 en todo el intervalo, llegando a caer por debajo de 0, 994

A la luz de estos resultados, podemos concluir que las condiciones optimas de trabajo se encuentran para lossiguientes rangos de frecuencias y tensiones: ν ∈ [2, 8] Hz, VT ∈ [0, 35, 0, 41]V, para un valor del offset V0 = 200 mV

14

-4 -2 0 2

0.31

0.32

0.33

0.34

0.35

Tiempo HsL

Inte

nsi

dad

Hu.a

L

Figure 8: Comparacion entre los perfiles de intensidades normalizadas para la curva teorica (en azul) correspondiente a la Ec.(57), y la curva experimental (en rojo), para un coeficiente de correlacion r2 = 0, 988.

-4 -2 0 2

0.31

0.32

0.33

0.34

0.35

0.36

0.37

Tiempo HsL

Inte

nsi

da

dHu.

aL

Figure 9: En este caso r2 = 0, 999.Como vemos la curva teorica ajusta bien los datos experimentales.

15

æ æ

æ

æ

æ æ

æ

æ æ

æ

æ

ææ

æ

æ

æ

æ

0.35 0.40 0.45 0.50

12.0

12.5

13.0

13.5

VT HVL

∆Ω

Hrad

sL

2 Hz

Figure 10: Representacion del desfase δω, como funcion de VT ≡ V0 + V1, para una frecuencia ν = 2Hz de la senal diente desierra

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

0.35 0.40 0.45 0.50

0.996

0.997

0.998

0.999

1.000

VT HVL

r2

2 Hz

Figure 11: Representacion de los coeficientes de correlacion r2 como funciones de VT para una frecuencia ν = 2Hz de la senaldiente de sierra

16

æ æ æ æ æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ æ

æ

æ

0.36 0.38 0.40 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50

24

26

28

30

32

VT HVL

∆Ω

Hrad

sL

4 Hz


æ

æ

ææ æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

ææ

0.36 0.38 0.40 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50

0.996

0.997

0.998

0.999

1.000

VT HVL

r2

4 Hz


17

ææ

ææ

ææ æ

æ

æ

æ

æ æ

æ

æ

æ

æ

0.36 0.38 0.40 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50

47.0

47.5

48.0

48.5

49.0

49.5

50.0

50.5

VT HVL

∆Ω

Hrad

sL

8 Hz


ææ

æ

æ

æ

æ æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

0.36 0.38 0.40 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50

0.994

0.995

0.996

0.997

0.998

0.999

1.000

VT HVL

r2

8 Hz


18

æ

æ

æ

æ

æ æ

æ

æ

ææ

æ

0.34 0.36 0.38 0.40 0.42 0.44100

101

102

103

104

105

VT HVL

∆Ω

Hrad

sL

16 Hz


æ

æ æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

0.34 0.36 0.38 0.40 0.42 0.44

0.994

0.995

0.996

0.997

0.998

0.999

VT HVL

r2

16 Hz


19

ææ

æ æ

æ

æ

æ

ææ

æ

0.34 0.36 0.38 0.40 0.42 0.44200.0

200.5

201.0

201.5

202.0

VT HVL

∆Ω

Hrad

sL

32 Hz


æ

æ

æ

æ

æ æ

æ

æ

æ

æ

0.34 0.36 0.38 0.40 0.42 0.44

0.992

0.994

0.996

0.998

VT HVL

r2

32 Hz


20

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

0.34 0.36 0.38 0.40 0.42 0.44400.0

400.5

401.0

401.5

402.0

402.5

403.0

VT HVL

∆Ω

Hrad

sL

64 Hz


æ

æ

æ

æ

æ

æ

ææ

0.34 0.36 0.38 0.40 0.42 0.440.9970

0.9975

0.9980

0.9985

0.9990

0.9995

1.0000

VT HVL

r2

64 Hz


21

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

0.34 0.36 0.38 0.40 0.42 0.44800

801

802

803

804

805

806

807

VT HVL

∆Ω

Hrad

sL

128 Hz


æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

æ

0.34 0.36 0.38 0.40 0.42 0.44

0.992

0.994

0.996

0.998

1.000

VT HVL

r2

128 Hz

Figure 23: Representacion de los coeficientes de correlacion r2 como funciones de VT para una frecuencia ν = 128Hz de lasenal diente de sierra

Caracterización y calibración de un espejo montado sobre un piezoeléctrico para aplicaciones de...

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