Capítulo 1 CIRCUITOS RL Y RC

Capıtulo 1

CIRCUITOS RL Y RC

Portada del Capıtulo 6

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2 CAPITULO 1. CIRCUITOS RL Y RC

1.1 INTRODUCCION

En el capıtulo anterior se examinaron dos elementos almacenadores de energıaelectrica, el inductor y el capacitor en este capitulo se examina el compor-tamiento de estos en circuitos simples formados por un elemento almacenadory una o varias resistencias. Estos circuitos ocasionan respuestas diferentessegun el elemento que se incluya, por esta razon dentro de este capıtulo, seencuentran en forma separada, la representacion de estas respuestas.

Esta respuesta esta dada por una ecuacion diferencial lineal de primer orden.En este caso se desconectan todas las fuentes independientes, la respuestade este tipo de circuitos se conoce como respuesta natural, al depender solode sus elementos. Para encontrar la solucion de una ecuacion diferencialde primer orden se puede usar varios metodos como el de separacion devariables o suponer una solucion exponencial. Si un circuito no tiene fuentesindependientes, pero incluye fuentes dependientes, este se ve afectado porestas, por lo tanto se deben tener en cuenta a la hora de encontrar la respuestanatural del circuito.

1.2. BIOGRAFIA 3

1.2 BIOGRAFIA

Tomas Alva Edison ( 1847 - 1931 ): Celebre fısico escoces inventor deltelefono, nacido en Edimburgo y naturalizado norteamericano. Erahijo de un famoso profesor de elocucion que habıa inventado un sistemapara la ensenanza de sordomudos, en cuyo perfecciona miento participoposteriormente Alejandro. En 1870 tuvo que trasladarse por motivos deenfermedad al Canada, donde se dedico a la instruccion de sordomudos,y en 1872 fue nombrado profesor de fisiologıa vocal de la Universidadde Boston.

Continuo sus investigaciones sobre el telefono, aparato que invento en


1876, y al cual introdujo mas tarde notables mejoras. Esto le valioque el Institute de Francia le otorgara en 1880 el Premio Volta. Bellinvento ademas algunos otros instrumentos, aunque ninguno de ellosde importancia comparable a la del telefono. Uno de estos, el fotofono,permite trasmitir el sonido por medio de un rayo de luz a una distanciade 200 m.

En 1883 invento, en companıa de Sumner Tainter y C. A. Bell, elgramofono, en el cual se hacia uso de discos de cera semejantes a losde los fonografos modernos. Invento, ademas, la balanza de induccion,el radiofono, una sonda telefonica, e hizo diversos experimentos en ma-teria de aviacion. Escribio diferentes memorias, entre ellas algunas demucho interes para el estudio de los sordomudos.

Fue el fundador de la Asociacion Norteamericana para la Promocionde la Ensenanza de Sordomudos, fue regente de la Smithsonian Institu-tion y presidente por algun tiempo de la National Geographic Society.Murio en Nueva Escocia, Canada. Durante su entierro guardaron si-lencio todos los telefonos de la America del Norte.

1.3. CIRCUITO RL SENCILLO 5

1.3 CIRCUITO RL SENCILLO

Figura 1.1: Circuito sencillo RL

En este caso se tiene un circuito con una fuente independiente conectada auna resistencia y una inductancia en serie junto con otra en paralelo, despuesde un tiempo se desconecta la fuente, la inductancia con una resistencia enserie, forman un nuevo circuito, el cual se va a estudiar, como se observa enla figura 1.1.

El accionamiento del interruptor es en un tiempo ınfimo y se descarta cualquierperdida de energıa por parte de este.

Para el circuito que se observa en la figura 1.1b, la ecuacion de la respuestanatural se describe a continuacion:

Se plantea la LKV alrededor de la malla, obteniendo:

LdiLdt

+ RiL = 0

o

LdiLdt

+R

LiL = 0

(1.1)


1.4 CIRCUITO RC SENCILLO

Para un circuito como el mostrado en la figura 1.2, al accionar el interruptorel circuito resultante, es un capacitor con una resistencia en paralelo.

Figura 1.2: Circuito sencillo RC

Al aplicar LCK :ic + iR = 0

Teniendo en cuenta la convencion pasiva de signos, para cada termino setiene:

ic = C · dvc

dte

iR =vc

R

(1.2)

Combinando estas dos ecuaciones:

dvc

dt+

vc

R= 0

o

dvc

dt+

1

RC· vc = 0

(1.3)

1.4. CIRCUITO RC SENCILLO 7

Figura 1.3: Circuito sencillo RC

Las ecuaciones resultantes de los circuitos RC y RL que se muestran en lafigura ?? son:

dvc

dt+

1

RC· vc = 0

y

LdiLdt

+R

LiL = 0

(1.4)

Son ecuaciones diferenciales de primer orden, con coeficientes constantes ysu forma general es:

dx

dt+ ax = 0

Donde:

a =1

RC, x = vcpara el circuito RC

y

a =R

L, x = iLpara el circuito RL

(1.5)

Para solucionar este tipo de ecuaciones se plantean diferentes metodos desolucion de los cuales se presentan tres:


• Separacion de variables seccion.

• Exponencial seccion.

• Operadores Diferenciales.

Utilizando cualquiera de los metodos mencionados la solucion es de la forma

vc(t) = Vset

RC (1.6)

Solucion de la ecuacion del circuito RC.

iL(t) = IseRtL (1.7)

Solucion de la ecuacion del circuito RL

1.5 SEPARACION DE VARIABLES

Se tiene la ecuacion:dx

dt+ ax = 0

Se separan las variables y se escribe:

dx

x= −adt (1.8)

Al integrar ambos lados de la ecuacion:

∫dx

x= −a

∫dt (1.9)

1.5. SEPARACION DE VARIABLES 9

Entonces:

ln (x) = −at + k (1.10)

Donde k es una constante resultante de la integracion, que debe satisfacer lacondicion inicial; para el caso del circuito RC, se tiene:

ln vC(0) = 0

Hay que tener en cuenta, que la condicion inicial es justo un instante despuesde abrir el interruptor y en este momento el voltaje, al cual esta cargado elcapacitor es igual al voltaje de la fuente que se desconecto, entonces:

ln vs = k

Sustituyendo esto en la ecuacion de la solucion se tiene:

ln vC = −a · t + ln vs (1.11)

o

ln vC − ln vs = −a · t (1.12)

ası:

lnvC

vs

= −at (1.13)

Como:

eln x = x


Al aplicar la funcion exponencial a ambos lados de la ecuacion:

vC

vs

= e−at o vC = vs · e−at = vs · e −tRC (1.14)

Ası Vc se describe en la ecuacion anterior, para el circuito RC, donde elvoltaje inicial es vs.

Para el circuito RL, se desarrolla de manera similar y se obtiene como resul-tado:

iL = Is · e−RtL

Donde Is es la corriente inicial.

1.6 EXPONENCIAL

Se tiene la ecuacion:

dx

dt+ ax = 0

Se parte del supuesto, que su solucion en forma exponencial es:

x = A · est (1.15)

Donde A y s, son constantes a encontrar, para esto, sustituyendo la solucionen la ecuacion diferencial :

d(A · est)

dt+ a · A · est = 0 (1.16)

1.6. EXPONENCIAL 11

o

s · A · est + a · A · est = 0 (1.17)

Factorizando:

(s + a) · A · est = 0 (1.18)

En este punto la solucion es (s + a) = 0 o A · est = 0, la segunda opcion nopuede ser igual a cero porque se obtendrıa una solucion trivial, para todo t,ası:

s + a = 0

o

s = −a

(1.19)

Sustituyendo en la solucion exponencial:

x = A · e−at (1.20)

Donde A se se determina a partir de las condiciones iniciales del circuito.

Para el circuito RL se desarrolla de la siguiente manera:

di

dt+

R

L· i = 0 (1.21)

Se supone una solucion exponencial:i = A · est (1.22)


Como:di

dt= s · A · est (1.23)

Reemplazando en la ecuacion del circuito:

s · A · est +R

L· A · est (1.24)

Factorizando:

A · est

(s +

R

L

)= 0, De donde: (1.25)

s = −R

L(1.26)

Y por tanto:

i = A · e−RtL (1.27)

Para calcular A se tienen en cuenta las condiciones iniciales del circuito:

i(0) =vs

R0

i(0) = A =⇒ A =vs

r0

(1.28)

Ası la solucion final es:

i =vs

R0

· e−RtL (1.29)

1.7. OPERADORES DIFERENCIALES 13

En la siguiente tabla se muestra un resumen de la solucion general de loscircuitos RL y RC:

Circuito Respuesta si Fuentes

RL iL(t) = iL(0)e−RtL

RC vc(t) = vc(0)e−t

RC

Tabla 1.1: Resumen de Respuesta sin Fuentes

1.7 OPERADORES DIFERENCIALES

Un operador es una representacion de una operacion matematica, medianteun sımbolo, ası un operador diferencial representa la derivada de una variablerespecto a otra, por ejemplo:

sx =dx

dty s2x =

d2x

dt(1.30)

En este caso, s representa la derivada con respecto al tiempo de la variablex, la utilidad de esta representacion es su uso como cantidad algebraica yfacilita el manejo de las ecuaciones diferenciales, como las resultantes de loscircuitos RL y RC, que tiene la siguiente forma:

dx

dt+ ax = 0, usando el operador: sx + ax = 0 (1.31)

Al factorizar: (s+a)x = 0 , como x no puede ser cero por ser esta la soluciontrivial, entonces: s = −a, Al postular una solucion exponencial se tiene:

x = A · est,

Reemplanzando s:

x = A · e−at

(1.32)

Y con las condiciones iniciales se determina el valor de A.

Este metodo ofrece mejores resultados en ecuaciones diferenciales de ordensuperior.


1.8 GRAFICA DE LA RESPUESTA DE LOS

CIRCUITOS RL Y RC

Hasta el momento se ha planteado la solucion de las ecuaciones que originanlos circuitos RC y RL: x = A · e−at, que tambien puede escribirse de lasiguiente forma:

x = A · e− tτ

Donde τ = 1a, y se llama constante de tiempo del circuito, sus unidades son

segundos.

Entonces τ para RL es τ = LR

y para RC es τ = RC, la siguiente graficamuestra el comportamiento de la respuesta exponencial:

Figura 1.4: Grafica de la Respuesta de un Circuito RL o RC

Es claro que esta respuesta depende de la magnitud t, que a su vez dependede RL y RC, respectivamente.

Como se observa en la tabla 1.2 cuando t se a cerca cinco constantes de

1.9. RESPUESTA COMPLETA DE RC Y RL 15

t=nτ τ 2τ 3τ 4τ 5τ

e−tτ 0.368 0.135 0.050 0.018 .007

Tabla 1.2: Valores de e−tτ para t=nτ

tiempo, la respuesta es una fraccion de su valor inicial entonces la salida delcircuito se ha estabilizado, el perıodo antes de este punto se llama respues-ta transitoria,y la que se observa despues se denomina respuesta de estadoestable. estable.

En conclusion la respuesta de un circuito RL y RC sin fuentes, dependenfundamentalmente de:

1. La constante de tiempo

2. La condicion inicial.

1.9 RESPUESTA COMPLETA DE RC Y RL

Las ecuaciones que resultan de los circuitos de primer orden RC y RL, en sumayorıa presentan la siguiente forma:

dx

dt+ ax = f(t) (1.33)

Teniendo en cuenta el metodo exponencial, esta ecuacion se puede resolverdirectamente para x(t):

Multiplicando a ambos lados de la ecuacion por eat

eat dx

dt+ eatax = f(t)eat (1.34)


El primer miembro de la ecuacion queda:

eat dx

dt+ aeatx =

d

dtxeat (1.35)

de forma que la ecuacion,

eat dx

dt+ eatax = f(t)eat (1.36)

queda:

d

dtxeat = eatf(t) (1.37)

Al integrar desde −∞, hasta un tiempo mayor que cero t > 0, resulta:

xeat =

∫ t

−∞eaτf(τ)dτ =

∫ 0−

−∞eaτf(τ)dτ +

∫ t

0−eaτf(τ)dτ (1.38)

El primer termino del resultado de la derecha es una constante, por quelos lımites entre los que se evaluan la integral son constantes, quedando laecuacion como:

xeat = K +

∫ t

0−eaτf(τ)dτ (1.39)

Multiplicando a ambos lados de la ecuacion para despejar x(t), se obtiene:

x(t) = Ke−at +

∫ t

0−e−a(t−τ)f(τ)dτ (1.40)

1.9. RESPUESTA COMPLETA DE RC Y RL 17

La constante se puede determinar por medio de las condiciones iniciales.

Ejemplo:

Obtener la respuesta a escalon del circuito de la figura 1.5por integraciondirecta.

Figura 1.5: Grafica de la Respuesta de un Circuito RL o RC

Aplicando la LCK se obtiene la ecuacion diferencial:

v(t)− vc

R1

=vc

R2

+ ic

cdvc

dt+

(1

R1

+1

R2

)vC =

1

R1

v(t)

dvc

dt+

R1 + R2

R1R2Cvc =

1

R1Cu(t)

(1.41)

De la ecuacion,

x(t) = Ke−at +

∫ t

0−e−a(t−τ)f(τ)dτ (1.42)

con a = R1+R2

R1R2C,


vc(t) = ke−at +

∫ 0−

t

e−ateaτ 1

R1Cu(τ)dτ, para t ¿ 0

vc(t) = ke−at +1

R1Ce−at

∫ 0−

t

eaτ (1)dτ +1

R1Ce−at

[1

a

(eat − 1

)]

vc(t) = ke−at +1

R1Ca

(1− e−at

)= ke−at +

R2

R1 + R2

+(1− e−at

)

Puesto que vc(0−) = vc(0+) = 0, vemos que k = 0; y ası:

W (t) = vc(t) =R2

R1 + R2

+(1− e−at

)para todo t ¿ 0 (1.43)

Capítulo 1 CIRCUITOS RL Y RC

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