CALCULUS DERIVATIVE

CALCULUSDERIVATIVE

Atok [email protected]

Jurusan MatematikaUniversitas Gadjah Mada

Today

Initial of name CALCULUS DERIVATIVE

Chain rule

Theorem

Jk f dan g memp turunan, mk fungsi komposisi f ◦ g jugamempunyai turunan yg diberikan oleh

(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x)

Dg notasi Leibniz, jk y = f (u) dan u = g(x) mk rumus di atasdpt dinyatakan sbg

dydx

=dydu

· dudx


Derivatif fungsi invers

Theorem

Diberikan f fungsi satu-satu dan g invers fungsi f . Jk f mempturunan dan f ′(g(a)) 6= 0, mk g memp derivatif di a dgn

g′(a) =1

f ′(g(a))


Dg menggantikan a dg sebarang bil x pada teorema di atas,diperoleh

g′(x) =1

f ′(g(x))

Jk dituliskan y = g(x), mk f (y) = x , shg pers di atas apabiladituliskan dg notasi Leibniz, menjadi

dydx

=1dxdy


Contoh1 tentukan (f−1)′(2) jika f (x) = x2.2 Diket f (x) = 2x + cos x , tentukan (f−1)′(1)


Derivatif fungsi implisit

Pd bagian sebelumnya, dibicarakan fungsi yg dpt dijelaskan dgmenyatakan satu variable secara eksplisit dlm bentuk variablelainnya, misal

1 y = x3(1− x)

2 y = x2 cos x

atau secara umum y = f (x). Beberapa fungsi didefinisikansecara implisit oleh suatu kaitan antara variable-variablenya,seperti

1 x3 + y3 = 12 x sin y + xy = 2

Secara umum,relasi antara x dan y dapat dinyatakan sebagai

F (x , y) = 0

Pada bagian ini, dibicarakan metode menurunkan fungsi-fungsiimplisit tsb.


Fungsi siklometri

Fungsi f dg f (x) = sin x bukan fungsi bijektif, sehingga tidakmempunyai fungsi invers. Tetapi jk domain f dibatasi hanyapada −π

2 ≤ x ≤ π2 , mk f mrpkan fungsi bijektif,sehingga

mempunya fungsi invers yg disebut fungsi sinus invers ataufungsi arcus-sinus,dan ditulis

f−1(x) = sin−1 x atauf−1(x) = arcsin x

y = arcsin x ⇔ x = sin y , dg − π

2≤ y ≤ π

2


Dg cara sama,

1

y = arccos x ⇔ x = cos y dg 0 ≤ y ≤ π

2

y = arctan x ⇔ x = tan y dg − π

2< y <

π

23

y = arccotx ⇔ x = cot y dg 0 < y < π

4

y = arcsecx ⇔ x = sec y dg y ∈ [0,π

2) ∪ [π,

3π

2)

5

y = arccscx ⇔ x = csc y dg y ∈ (0,π

2] ∪ (π,

3π

2]


Derivatif fungsi siklometri

Theorem

ddx

(arcsin x) =1√

1− x2dgn − 1 < x < 1

ddx

(arccos x) = − 1√1− x2

dgn − 1 < x < 1

ddx

(arctan x) =1

1 + x2


ddx

(arccotx) = − 11 + x2

ddx

(arcsecx) =1

x√

x2 − 1dgn |x | > 1

ddx

(arccscx) = − 1

x√

x2 − 1dgn |x | > 1


Derivatif fungsi eksponen

Diket bhw

limx→0

ax − 1x

= `na

Diberikan f (x) = ax , a > 0, a 6= 1, mk

f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)

h

= limh→0

ax · ah − 1h

= ax · limh→0

ah − 1h

= ax · `na


Theorem

Jk f (x) = ax , a > 0, a 6= 1, mk f ′(x) = ax · `na

Akibat

Jk f (x) = ex , mk f ′(x) = ex .


Derivatif fungsi logaritma

Fungsi logaritma mrpkan invers fungsi eksponensial

y = loga x , a > 0, a 6= 1, x > 0 ⇔ x = ay

Karena itu,dxdy

= ay · `na = x · `na

Dg menggunakan derifatif fungsi invers diperoleh

dydx

=1dxdy

=1

x · `na


Theorem

Jk f (x) = loga x, a > 0, a 6= 1, x > 0, mk f ′(x) = 1x ·`na

akibat

Jk f (x) = `nx mk f ′(x) = 1x


Fungsi Hiperbolik

sinh x = ex−e−x

2

cosh x = ex+e−x

2

tanh x = sinh xcosh x

coth x = cosh xsinh x

sechx = 1cosh x

cschx = 1sinh x


Derivatif fungsi Hiperbolik

ddx (sinh x) = cosh xddx (cosh x) = sinh xddx (tanh x) = sech2xddx (coth x) = −csch2xddx (sechx) = −sechx tanh xddx (cschx) = −cschx coth x


CALCULUS DERIVATIVE

Documents

Transcript of CALCULUS DERIVATIVE